Nama: Niswatul Khasanah Nim : 1301596
Ringkasan Materi 2 DIFRAKSI KRISTAL DAN KISI BALIK A. Jenis Difraksi Dalam Kristal 1. Sinar X Sinar- X adalah gelombang elektromagnetik dengan sifat fisik yang sama seperti gelombang elektromagnetik lainnya, seperti gelombang optik. Panjang gelombang sinar-x sama dengan konstanta kisi kristal, dan hal inilah yang membuat sinar-x berguna dalam analisis struktur kristal. Energi dari sinar-x foton diberikan oleh hubungan Einstein E=hυ , di mana h adalah konstanta Planck dan υ adalah frekuensi (Bagian AI). Mengganti h = 6,6 x 10-27 erg.s dan λ = 1 Å υ
(ingat bahwa
= c / λ), orang menemukan energi E »104 eV, yang merupakan nilai khas. Pengaturan eksperimen dasar untuk menghasilkan sinar-x digambarkan pada
Gambar 1. Elektron yang dipancarkan dari katoda di dalam tabung vakum dipercepat oleh potensial yang besar. Sehingga elektron memperoleh energi kinetik yang tinggi dan ketika elektron menumbuk target logam yang membentuk anoda pada ujung tabung, hamburan sinar-x yang dipancarkan. Beberapa radiasi sinar-x kemudian diekstraksi dari tabung dan digunakan untuk tujuan yang dimaksudkan. Radiasi yang dipancarkan memiliki spektrum kontinyu yang luas, yang ditekankan serangkaian garis diskrit. Spektrum kontinyu terjadi karena emisi radiasi oleh elektron seperti yang dibelokkan oleh muatan nuklir pada target, sedangkan garis diskrit disebabkan emisi oleh atom dalam target setelah garis diskrit tersebut ditimbulkan oleh elektron yang datang. Frekuensi maksimum spektrum kontinyu vo berhubungan dengan potensial percepatan oleh eV = hv0, karena energi maksimum foton tidak dapat melebihi energi kinetik dari elektron yang datang. Panjang gelombang λ diberikan oleh persamaan
λ0 =
12,3 Å V
dimana V adalah dalam kilovolt. Ketika sinar sinar-x melewati bahan, sebagian sinar diserap. Intensitas berkas dilemahkan menurut hubungan I =I 0 e−αx Dimana Io adalah intensitas awal pada permukaan medium dan x
(2) jarak
tempuh. Parameter ini dikenal sebagai koefisien penyerapan. Pelemahan intensitas diungkapkan oleh persamaan (2) yang disebabkan oleh hamburan dan penyerapan berkas oleh atom dalam medium.
Gambar 1. Generasi sinar X Difraksi sinar-x oleh sebuah materi terjadi akibat dua fenomena: (1) hamburan oleh tiap atom dan (2) interferensi gelombang-gelombang yang dihamburkan oleh atom-atom tersebut. Interferensi ini terjadi karena gelombang-gelombang yang dihamburkan oleh atom-atom memiliki koherensi dengan gelombang datang dan, demikian pula, dengan mereka sendiri. 2. Elektron Cepat Berkas elektron dihasilkan dari bedil elektron (elektron gun). Pemilihan panjang gelombang elektron dilakukan dengan mengatur tegangan pemercepatnya (energi elektron), menurut persamaan :
Salah satu kekurangan elektron sebagai sumber radiasi untuk difraksi kristal, adalah karena elektron merupakan partikel bermuatan. Sebagai partikel bermuatan,
elektron mudah diserap oleh bahan, sehingga daya tembusnya kurang. Dengan demikian, difraksi elektron hanya memberikan informasi tentang permukaan bahan saja. 3. Neutron Berkas neutron dihasilkan dari reaksi inti, yang dapat berlangsung di dalam reaktor atom (melalui reaksi fisi) dan dalam generator neutron. Dalam reaktor atom, reaksi fisi diawali dengan penembakan neutron termal yang diarahkan pada inti berat, misal uranium (92U235), sehingga terjadi pembelahan inti (fisi) yang disertai dengan pemancaran neutron (dalam jumlah yang banyak) dan pembebasan energi sampai 200 MeV; menurut reaksi : n
+ 92U235
neutron termal
X+Y
+
inti hasil fisi
an
+
200 MeV sejumlah neutron
(tak setabil) atau dapat dituliskan dengan notasi : a(A, B)n. Salah satu contoh reaksi tersebut misalnya : 2He4 (4Be9, 6C12)0n1. Berkas neutron, yang dihasilkan oleh reaksi inti umumnya memiliki energi yang tinggi (neutron cepat). Agar panjang gelombang neutron sekitar 1 angstrom, maka menurut persamaan di atas energi neutron haruslah sekitar 0,025 eV (termasuk neutron termal). Adapun klasifikasi neutron menurut besarnya energi adalah : 1) neutron termal : berenergi 0,025 eV 2) neutron lambat : berenergi 0-1 keV 3) neutron menengah : berenergi 1-500 keV 4) neutron cepat : berenergi 0,5-10 MeV 5) neutron ultra-cepat : berenergi >10 MeV Untuk menurunkan energi neutron perlu langkah termalisasi, dengan cara melewatkan berkas neutron pada moderator (air, grafit, air berat : D 2O). Selanjutnya, neutron termal (λ sekitar 1 angstrom) masih memerlukan upaya penyelesaian agar berkas neutron bersifat monokhromatis (tepatnya monoergis), dan sebagai monokhomator umumnya dipakai kristal grafit. B. Hukum Bragg Sinar-X dapat terbentuk bilamana suatu logam sasaran ditembaki dengan berkas elektron berenergi tinggi. Dalam eksperimen digunakan sinar-X yang monokromatis. Kristal akan
memberikan hamburan yang kuat jika arah bidang kristal terhadap berkas sinar-X (sudut θ) memenuhi persamaan Bragg, seperti ditunjukkan dalam persamaan berikut (Callister, 2003). 2d sin θ = nλ Dimana: d = jarak antar bidang dalam kristal θ = sudut deviasi n = orde (0,1,2,3,.....) λ = panjang gelombang
Gambar 2. ilustrasi pemantulan Bragg dari sebuah kumpulan bidang paralel. Jika JE + EK = λ, kemudian LH + HM = 2λ, dan seterusnya serta seluruh lapisan (layer) yang bertumpuk menghamburkan sefase, maka intensitas dari foton difraksi direkam oleh detektor. Jika wavelets sedikit berbeda fase, maka interferensi destruktif terjadi karena terdapat ratusan lapisan (layer) dengan ketidaksamaan fase yang meningkat sedikit demi sedikit, n umumnya diambil bernilai 1 dan ini dapat dipahami bahwa yang digunakan merupakan sinar monokromatik. C. Metode Percobaan Difraksi Sinar X Difraksi dapat terjadi kapan saja ada hukum Bragg, λ = 2d sin . Persamaan ini menempatkan kondisi yang sangat ketat pada λ dan untuk setiap kristal tertentu. Dengan radiasi monokromatik, pengaturan sebarang dari kristal tunggal dalam berkas sinar-x tidak akan menghasilkan apapun dalam berkas difraksi. Beberapa cara untuk memenuhi hukum Bragg harus dirancang, dan ini dapat dilakukan dengan terus menerus memvariasikan baik λ atau selama percobaan. Terdapat tiga metoda difraksi utama:
1. Metode Laue Metoda Laue adalah suatu metoda difraksi yang pertama pernah digunakan, dan mereproduksi percobaan asli Von Laue. Sebuah sinar radiasi putih, spektrum kontinyu dari sebuah tabung sinar-x, yang dibiarkan jatuh pada kristal tunggal. Pada sudur Bragg yang tetap untuk setiap set bidang dalam kristal, dan setiap set difraksi memiliki panjang gelombang tertentu yang memenuhi hukum Bragg untuk nilai-nilai tertentu d dan . Setiap berkas difraksi memiliki panjang gelombang yang berbeda. Terdapat dua variasi dari metoda Laue yang tergantung pada posisi relatif dari sumber, kristal, dan film (Gambar 3-5). Dalam setiap film yang datar, ditempatkan tegak lurus terhadap berkas peristiwa. Film dalam metoda transmisi Laue (metoda Laue asli) ditempatkan di belakang kristal sehingga dapat merekam berkas difraksi dalam arah maju. Metoda ini disebut demikian karena berkas difraksi sebagian ditransmisikan melalui kristal. Dalam metoda refleksi Laue adalah film ditempatkan di antara kristal dan sumber sinar-x, sinar berkas peristiwa melewati lubang dalam film, dan berkas difraksi dalam arah mundur dicatat. Dalam metoda tersebut, berkas difraksi membentuk sebuah susunan dari titiktitik pada film seperti diperlihatkan pada Gambar. 3.6. Susunan periodik pada titiktitik ini biasanya disebut sebagai pola, tetapi istilah ini tidak digunakan dalam pengertian sempurna dan tidak berarti setiap pengaturan periodik dari titik-titik.
Gambar 3.5 Transmisi dan Refleksi Balik Metoda Laue
Gambar 3.6 Transmisi dan Refleksi Balik Pola Laue dari Kristal aluminium. Tungsten radiasi, 30 kV, 19 mA.
Kurva yang terlihat dalam foto umumnya elips atau hiperbola untuk pola transmisi [Gambar. 3.6 (a)] dan hiperbola untuk pola refleksi balik [Gambar. 3.6 (b)].
Gambar 3.7 Lokasi titik Laue (a) pada elips dalam metod transmisi dan (b) pada hiperbola
dalam metoda refleksi balik (C = kristal, F = film, ZA = daerah
sumbu). Titik-titik terletak pada salah satu kurva yang merupakan refleksi dari bidang salah satu daerah. Hal ini disebabkan oleh fakta refleksi Laue pada bidang dari daerah semua di permukaan ke kerucut imajiner yang sumbunya adalah sumbu daerah. Seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-7 (a), satu sisi kerucut bersinggungan dengan berkas transmisi, dan sudut kemiringan
ϕ
sumbu daerah (ZA) berkas transmisi
sama dengan sudut dari semi-puncak kerucut. Sebuah film ditempatkan seperti yang ditunjukkan yaitu memotong kerucut di elips imajiner yang melewati pusat film, titik-titik difraksi dari bidang dari daerah yang diatur pada elips ini. Ketika sudut melebihi 45 °, sebuah film ditempatkan di antara kristal dan sumber sinar-x untuk merekam pola refleksi balik yang akan berpotongan pada kerucut dalam hiperbola, seperti yang ditunjukkan pada Gambar-37 (b) Fakta bahwa refleksi Laue dari bidang pada daerah di permukaan kerucut dapat dengan baik ditunjukkan dengan proyeksi stereografik. Dalam Gambar. 3-8, kristal adalah di pusat bola referensi, berkas peristiwa I masuk dari kiri, dan berkas transmisi T di sebelah kanan. Titik yang mewakili sumbu daerah terletak pada keliling lingkaran dasar dan kutub lima bidang pada daerah ini, P 1 sampai P5, berada di
lingkaran besar yang ditunjukkan. Arah difraksi oleh salah satu bidang, misalnya bidang P2, dapat ditemukan sebagai berikut. I, P2, D2 (arah difraksi yang diperlukan), dan T sebidang. Oleh karena itu D2 terletak pada lingkaran besar melalui I, P2, dan T. Sudut antara I dan P2 (90°-), dan jarak D2 harus terletak pada jarak sudut yang sama dengan sisi lain dari P2, seperti yang ditunjukkan. Para berkas difraksi ditemukan, D l sampai D5, yang terlihat di lingkaran kecil, persimpangan dengan bola referensi dari sumbu kerucut adalah sumbu daerah.
Gambar 3.8 Proyeksi Stereografik dari Metoda Transmisi Laue
Posisi titik pada film, baik untuk transmisi dan metoda refleksi balik, tergantung pada orientasi kristal relatif ke berkas peristiwa, dan titik-titik menjadi menyimpang dan melapisi kristal. Fakta-fakta ini menjelaskan dua penggunaan utama dari metoda Laue yaitu penentuan orientasi kristal dan penilaian kualitas kristal. 2. Metode Rotasi Kristal Dalam Metoda rotasi kristal sebuah kristal tunggal dipasang dengan salah satu sumbu, atau beberapa arah kristallografik, normal ke berkas sinar-x monokromatik. Sebuah film silinder ditempatkan di sekitarnya dan kristal dirotasikan dengan arah yang dipilih, sumbu dari film bertepatan dengan sumbu rotasi kristal (Gambar 3-9). Sebagai kristal berputar, satu set bidang kisi tertentu akan membuat sudut Bragg untuk refleksi dari berkas peristiwa monokromatik, dan pada saat itu sebuah berkas transmisi akan terbentuk. Berkas transmisi sekali lagi terletak pada kerucut imajiner tapi sekarang sumbu kerucut tersebut bertepatan dengan sumbu rotasi. Hasilnya adalah bahwa titik pada film, ketika film ini diletakkan datar, terletak pada garis horisontal imajiner, seperti ditunjukkan pada Gambar. 3-10. Kristal diputar sekitar satu sumbu, sudut Bragg tidak mengambil semua nilai yang mungkin antara 0° dan
90° untuk setiap set bidang. Tidak setiap set mampu menghasilkan Berkas difraksi, sebagai contoh set tegak lurus atau hampir tegak lurus dengan sumbu rotasi.
Gambar 3.9 Metoda Rotasi Kristal
Penggunaan utama dari metoda Rotasi kristal dan variasinya dalam mencegah struktur kristal yang tidak diketahui, dan untuk tujuan itu alat yang berguna adalah kristallographer sinar-x Namun, penentuan lengkap struktur kristal kompleks adalah subjek di luar cakupan buku ini dan di luar provinsi metalurgi rata yang menggunakan sinar-x difraksi sebagai alat laboratorium. Untuk alasan ini metoda rotasi kristal tidak akan dijelaskan secara detail lebih lanjut, kecuali untuk diskusi singkat dalam Lampiran I.
Gambar 3.10 Pola Rotasi Kristal dari Kristal hexagonal yang diputar pada sumbu C. Filter Radiasi (coretan disebabkan oleh radiasi putih tidak dihapus oleh filter) (Courtesy B.E.Warren)
3. Metode Serbuk Dalam metoda powder, kristal diperiksa dan dikurangi menjadi powder yang sangat halus dan ditempatkan dalam berkas dari sinar-x monokromatik. Setiap
partikel powder adalah kristal kecil, atau himpunan kristal yang lebih kecil, berorientasi secara acak sehubungan dengan berkas peristiwa. Hanya secara kebetulan, beberapa kristal akan benar berorientasi sehingga (100) bidang, misalnya, dapat merefleksikan berkas peristiwa. Kristal lain akan berorientasi untuk (110) refleksi, dan sebagainya. Hasilnya bahwa setiap set bidang kisi mampu berefleksi. Massa powder setara, pada kenyataannya, rotasi kristal tunggal, bukan tentang satu sumbu, tapi tentang semua sumbu.
Gambar 3.11 Pembentukan Kerucut Difraksi dari Radiasi dalam Metoda Powder
Pertimbangkan satu refleksi hkl. Satu atau lebih kristals kecil akan, berorientasi bahwa (hkl) dalam bidang yang membentuk sudut Bragg untuk refleksi; Gambar. 3.11 (a) menunjukkan satu bidang di set yang cenderung terbentuk pada Berkas terdifraksi. Jika bidang ini sekarang diputar pada berkas peristiwa sebagai sumbu sedemikian rupa sehingga dipertahankan konstan, maka Berkas refleksi akan melakukan perlintasanan di atas permukaan kerucut seperti ditunjukkan pada Gambar. 3.11 (b), sumbu kerucut bertepatan dengan Berkas refleksi. Rotasi ini tidak benarbenar terjadi dalam metoda powder, namun keberadaan sejumlah besar partikel kristal memiliki semua kemungkinan orientasi setara dengan rotasi ini, karena di antara partikel-partikel ini akan ada fraksi tertentu yaitu (hkl) bidang yang membuat sudut Bragg dengan Berkas peristiwa dan pada waktu yang sama posisi rotasi pada sumbu berkas peristiwa. Refleksi hkl dari massa stasioner powder memiliki bentuk lembaran berbentuk kerucut radiasi difraksi, dan kerucut terpisah yang dibentuk untuk setiap set bidang kisi dengan ruang berbeda. Gambar 3.12 menunjukkan tiga kerucut dan juga menggambarkan metoda difraksi powder-yang paling umum. Dalam hal ini, metoda Debye-Wseherrer, film
sempit melengkung ke dalam sebuah silinder dengan spesimen yang ditempatkan pada porosnya dan berkas peristiwa itu diarahkan pada segitiga untuk sumbu ini. Difraksi radiasi Kerucut berpotongan pada strip silinder film di garis dan, ketika strip membuka gulungan dan ditata datar, pola yang dihasilkan memiliki penampilan yang diilustrasikan pada Gambar. 3.l2 (b). Pola yang sebenarnya dihasilkan oleh berbagai serbuk logam yang disajikan pada Gambar. 3.13. Setiap baris difraksi jika terdiri dari banyak bintik-bintik kecil, masing-masing dari partikel kristal terpisah, yang berada begitu dekat dengan munculnya garis kontinyu. Garis umumnya melengkung, kecuali mereka terjadi persis pada 2=90° ketika mereka akan menjadi lurus. Dari posisi diukur dari garis difraksi diberikan pada film, dapat ditentukan, dan, mengetahui λ , kita dapat menghitung jarak d dari bidang kisi yang terefleksi yang dapat menghasilkan garis Sebaliknya, jika bentuk dan ukuran sel satuan dari kristal diketahui, kita dapat memprediksi posisi garis semua difraksi pada film. Garis terendah dengan nilai 2 yang dihasilkan oleh refleksi dari bidang dari jarak terbesar. Dalam sistem kubik, misalnya, d adalah maksimum ketika (h2 + k2 + l2) adalah minimum, dan nilai minimum dari istilah ini adalah 1, sesuai dengan (hkl) sebesar (100). Refleksi 100 adalah sesuai salah satu nilai terendah 2. Refleksi berikutnya mungkin akan memiliki indeks hkl sesuai dengan nilai yang lebih tinggi berikutnya (h2 + k2 + l2), yaitu 2, dalam hal ini (hkl) sama dengan (110), dan sebagainya
Gambar 3.12 Debye-Scherrer metoda powder: (a) hubungan film untuk spesimen dan berkas peristiwa, (b) munculnya film saat diletakkan datar.
Debye-Scherrer dan variasi lain dari metoda powder sangat banyak digunakan, khususnya dalam metalurgi. Metoda powder, satu-satunya metoda yang dapat digunakan ketika sebuah spesimen tunggal-kristal tidak tersedia, dan hal ini terjadi lebih sering daripada tidak dalam pekerjaan metalurgi. Metoda ini sangat cocok untuk menentukan parameter kisi dengan presisi tinggi dan untuk identifikasi fase, apakah mereka terjadi sendiri atau dalam campuran seperti paduan polyphase, produk korosi, tahan api, dan batuan. Kegunaan lainnya dari metoda powder akan sepenuhnya dijelaskan dalam bab-bab selanjutnya. D. Penurunan Rumus Amplitudo Hamburan 1. Analisis Fourier Sebagian besar sifat kristal dapat dihubungkan dengan komponen Fourier dari kerapatan elektron. Aspek tiga dimensi pada kecenderungan waktu tertentu tidak menyebabkan berbagai kesulitan dengan matematikanya, tapi pertama kita mengingat fungsi n (x) dengan periode a pada satu dimensi. Kita kembangkan n (x) dalam deret Fourier sinus dan kosinus :
Dimana p adalah bilangan bulat positif, Cp dan Sp adalah konstanta real, disebut koefisien ekspansi Fourier. Faktor
2п a
dalam uraian akan meyakinkan bahwa n (x) memiliki periode
a:
Kita dapat menyatakan bahwa
2п p a
sebuah titik pada kisi balik atau ruang
Fourier pada kristal. Titik kisi balik memberitahukan kita bahwa diizikan terminologi dalam deret Fourier.
Terminologi diizinkan jika konsisten dengan kecenderungan waktu tertentu dari kristal, seperti gambar berikut, titik lain dalam ruang balik tidak diizinkan dalam ekspansi Fourier pada fungsi periodik. Ini adalah waktu yang tepat untuk menuliskan deret dengan rapi dari :
Koefisien np merupakan bilangan kompleks. Untuk memastikan bahwa n (x) adalah fungsi nyata, kita memerlukan n-p = np Kemudian jumlah dari terminologi p dan –p adalah real. Dengan φ = 2 п px /a
maka jumlahnya adalah :
yang mana dalam jumlah untuk fungsi real, jika pers. (4) terpenuhi. Re {np} dan Im {np} menunjukkan bagian real dan imajiner dari np. Ekspansi dari Analisis Fourier untuk fungsi periodik dalam tiga dimensi tidak rumit. Kita temukan kumpulan dari vektor G
adalah sama dibawah seluruh translasi kisi T yang meninggalkan kristal yang sama.
2. Vektor Kisi Balik Sumbu-sumbu vektor b1, b2 dan b3 untuk kisi balik didefinisikan sebagai relasi, dengan , a1 . a2 dan a3 adalah vektor basis kisi . Sifat-sifat dari b 1, b2 dan b3 adalah bahwa berlaku aturan : ij = 1 jika i = j : ij = 0 jika ij. b1 .a1 = 2
b1.a2 = b1 .a3 = 0
bi.aj = 2ij
b2 .a2 = 2
b2.a1 = b2. a3 = 0
b3 .a2 = 2
b3.a1 = b3 .a2 = 0
Titik-titik dalam kisi balik dipetakan dengan seperangkat vektor dalam bentuk vektor kisi balik G : G = hb1 + kb2 + lb3 dengan h, k dan l adalah bilangan bulat . b1, b2 dan b3 disebut dengan vektor basis balik.
b3 a1
a3 a2 b2
b1
Gambar 1. Relasi vektor basis balik dan vector basis kisi Vektor b1 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vektor a2 dan a3 Vektor b2 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a3 Vektor b3 adalah tegak lurus terhadap bidang yang dibuat oleh vector a1 dan a2. a. Kisi Balik Dari Kubus Sederhana (sc = simple cubic) Vektor basis dari kisi kubus sederhana adalah a aˆx 1
a aˆy 2
a aˆz 3
b 2π xˆ 1 a
b 2π yˆ 2 a
b 2π zˆ 3 a
Volume sel adalah a1 . a2 x a3 =a3 . Vektor
basis primitif dari kisi baliknya adalah Batas-batas daerah Brillouin pertamanya adalah bidang normal dari ke 6 vektor kisi balik ±b1 , ±b2 , ±b3 , yaitu pada titik tengah dari vektor kisi balik bersangkutan.
b π xˆ a 1
b π yˆ a 2
b π zˆ a 3
Kisi Balik untuk Kubus Berpusat Tubuh (bcc = body center cubic)
a2
a1
a3 Gambar 2. Kisi Balik untuk Kubus Berpusat Tubuh a 1 a ( xˆ yˆ zˆ); 1 2 a 1 a ( xˆ yˆ zˆ); 2 2 a 1 a ( xˆ yˆ zˆ) 3 2
b 2 ( yˆ zˆ) ; 1 a
Vektor basis primitif dari kekisi bcc adalah
b 2 ( xˆ zˆ) ; 2 a
b 2 ( xˆ yˆ ) 3 a
Vektor basis kisi balik dari bcc adalah
Volume sel dalam ruang balik terebut adalah b1 . b2 x b3 = 2 (2/a) G 2 (k ) xˆ (h ) yˆ (h k ) zˆ a
adalah
Vektor kisi baliknya dalam bilangan h k l
b. Kisi Balik Dari Kubus Berpusat Muka (fcc = face center cubic)
Gambar 3. Vektor basis kisi kubus berpusat-muka (fcc)
a1 a yˆ zˆ ; a2 a xˆ zˆ ; a3 a xˆ yˆ
Vektor basis primitif untuk kisi fcc
adalah b1
2 xˆ yˆ zˆ ; b 2 2 xˆ yˆ zˆ ; b 3 2 xˆ yˆ zˆ a a a
Vektor basis primitif kisi balik
untuk kisi fcc adalah
3. Kondisi Difraksi
k’
k
k (hkl) k k k ' 2
Didefinisikan vektor hamburan k sedemikian rupa k + k = k’. Ini
merupakan ukuran dari perubahan vektor gelombang terhambur. Bila yang terjadi adalah hamburan yang bersifat elastis, maka tidak ada perubahan besar vektor gelombang sehingga
4 Sin
G hkl G hkl
Perubahan vektor k dalam k adalah tegak lurus terhadap bidang
(hkl). Arahnya adalah searah dengan arah G(hkl) atau vektor satuan n. Maka diperoleh hubungan
k k ' k 2 Sin k nˆ
d hkl
2 G hkl
Dapat ditunjukkan bahwa jarak antar bidang d(hkl) berkaitan dengan
besar G(hkl) dalam bentuk 2 d ( hkl ) Sin G ( hkl )
k
k G hkl
Sehingga dapat diungkapkan bahwa
Jika hukum Bragg terpenuhi maka,
k ' G hkl k
Dengan demikian relasi antara vektor gelombang awal dan akhir
refleksi Bragg dari gelombang – partikel dapat ditulis sebagai k
2
k'
2
2 k. G G 2 0
Jika kuantitas
sehingga kondisi difraksi
dapat ditulis sebagai
a1 . k 2 h ; a 2 . k 2 k ;
a 3 . k 2 l
Ini adalah ungkapan bagi kondisi
yang diperlukan untuk terjadinya difraksi. Dapat dibuktikan bahwa
2 k. G G 2 0
Persamaan ini adalah persamaan Laue, yang mana digunakan
dalam pembicaraan simetri dan struktur kristal. E. Analisis Fourier Dari Basis Resultan gelombang difraksi oleh keseluruhan atom dalam unit sel (satu satuan sel) dinyatakan dalam faktor struktur. Bila kondisi difraksi terpenuhi amplitudo terhambur bagi kristal terdiri dari N sel adalah diungkapkan sebagai FC=N.SG r j x j a1 y j a 2 z j a 3
Dimana kuantitas SG disebut dengan faktor struktur yang
didefinisikan sebagai
G. r j 2 hx j ky j lz j
Dan fj = faktor atomik. Kemudian, bagi refleksi yang dilabel
dengan h, k, l,
S G hkl f j exp i 2 hx j ky j lz j j
F hkl
Sehingga faktor struktur S
fe
i j
j
f Cos f i Sin f A f B
j
Amplitudo
terhambur
sebagai
penjumlahan yang bentuk eksponensial
F
j
2
f j Aj
2
f jBj
j
Dalam difraksi intensitas adalah terkait dengan amplitude,
yaitu besar absolut |F|
A Cos 2 ( hx ky lz ) ; B Sin 2 (hx ky lz )
F
f j
2
j
cos 2 hx j ky j lz j
f j
2
j
sin 2 hx j ky j lz j
F. Daerah Brillouin Zona Brilloin ditemui ketika terjadi difraksi Bragg dari sinar-X. Ketika bidang normal yang membagi dua vektor kisi balik, daerah itu ditutup antara antara bidang tersebut dari variasi Brillouin Zone. Untuk kristal satu dimensi, berhimpit dengan sehingga 2 = 2 cos = 2 , Dengan ϴ demikian nilai = + ½ , dimana = n(2п/a) adalah vektor kisi respirok, dan n adalah bilangan bulat. Sehingga = + ½ = + n(п/a). Difraksi pertama terjadi dan celah energi pertama terjadi untuk nilai = + (п/a). C daerah antara - п/a dengan п/a disebut Daerah Brilloiun zona pertama. Latihan: 1. Perak memiliki struktur fcc dengan jari-jari atom 0,1444 nm, berapa besar sisi unit sel perak itu? Jawab : Diketahui : r= 0,1444 nm Ditanya : a ? a=
4 r 4 (0,1444) = =0,408 nm √2 √2
2. Nikel memiliki struktur fcc dengan kerapatan 8,9 Mg/m3 a) Berapakah besar volume per unit sel ? b) Berdasarkan jawaban bagian a) hitunglah jari-jari atomnya? Jawab : Diketahui :
ρ=8,9 Mg /m3 m= 58,69
Ditanya : a) V ? b) r ? ρ=
m V
m 58,69 = =6,59 x 103 m3 3 ρ 8,9 Mg / m
a)
V=
b)
4 3 V =4 x ( r ) sehingga r= 3 3V 3 16 π
√
√
3(6,59 x 103 m3) r= =7,328 nm 16 (3,14) 3
3. Karena emas tebalnya 0,08 nm dan luasnya 670 nm2 . a) Bila emas itu adala kristal kubik dengan a=0,4076 nm,ada berapa unit sel dalam kertas emas itu? b) Bila emas kerapatannya 19,32 Mg/m3 , berapa massa per unit sel? Jawab : Diketahui : d=0,08 nm a ¿ 0,4076 nm
, luas =670 nm2 ρ=19,32 Mg /m3
Ditanya : a) unit sel ? b) massa per unit sel ? massa sel unit ρ= volume sel unit massa volume Mg sel=ρ x sel= 19,32 3 x ( 53,6 nm 3 )=1,035 x 10−24 mg unit unit m
(
)
4. Perak memiliki struktur fcc, dengan konstanta kisi 0,4077 nm, bila berat atomnya adalah 108, berapakah kerapatannya? Jawab :
Diketahui : a=0,4077 nm m=108 ρ?
ditanya : r=
a √ 2 0,4077 nm √ 2 = =0,144 nm 4 4
V =4 x
( 43 r )=4 x ( 43 (0,144) )=0,05 m
ρ=
3
3
3
m 108 = =2159,77 Mg /m3 3 V 0,05 m
5. Suatu kristal KCl memiliki struktur fcc dengan kerapatan 1,98 g/cm3 . bila berat molekulnya adalah 74,55, berapakah jarak antara dua atom yang berurutan? Diketahui :
ρ=1,98 g/cm 3
KCl, m=74,55
Ditanya : jarak antara dua atom yang berurutan? Jawab: Massa unit sel= 4 KCl(74,55)/ (6,02 x 1023 KCl) 3 3 Volume unit sel= V =a Sehingga V =a =
3
V =a =
Massaunit sel ρ
√
Massaunit sel 3 4 KCl(74,55)/(6,02 x 10 23 KCl) −9 se h inggaa= =0,135 x 10 m ρ 1,98 g/cm 3 −9
jarak antara dua atom yang berurutan=1/2 ( 0,135 x 10 m )= 0,067 nm 6. Nikel memiliki struktur fcc dengan jari-jari atomnya adalah 1,243 x 10-10m. Hitunglah jarak antara bidang-bidang : a) (200), b) (220),c) (111). Diketahui : r=1,243 x 10-10m
Ditanya : jarak antara bidang a) (200), b) (220),c) (111)? Jawab: Konstanta kisi dari unit sel fcc a=
4 r 4 x 1,243 x 10−10 m = =3,515 Å √2 √2
d 200 =
d 220 =
3,515 Å =1,757 Å √22 +02 +0 2
3,515 Å =1,242 Å √22 +22 +02
d 111=
3,515 Å =2,029 Å √12 +12 +12
7. Konstanta kisi suatu unit sel timah adalah 0,493 nm. Bila timah hitam ini memiliki struktur fcc, hitunglah jumlah atom/mm2 pada bidang (100) dan (111). Diketahui : a=0,493 nm Ditanya : jumlah atom/mm2 pada bidang (100) dan (111)? a=
4r 0,493 √2 dimanar = =0,174 nm 4 √2
Bidang (100) berisi 2 atom per muka unit sel 0,493 x 10−6 ¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ atom 2 atom = ¿ mm2
Bidang (111) berisi 3 atom dari 1/6 atom dan 3 buah dari ½ atom Jumlah atom pada bidang ini=(3x1/6)+(3x1/2)=2 atom Luas bidang ini : 1 1 1 1 2 2 L AFH = x FHx AK = a √ 2= a √6= a √ 3=4 r √ 3 2 2 2 2 12 atom/ mm3 ¿ atom 2atom 2 atom = 2 = =9,53 x 10¿ 2 2 mm 4 r √ 3 4(0,174 nm) √ 3
8. Lukislah bidang (111) pada Cu yang memiliki struktur fcc dan konstanta kisi 0,361 nm. (a) hitunglah jumlah atomnya per mm2 dan (b) jarak antar bidangnya. Diketahui : a=0,361 nm Ditanya : a) jumlah atomnya per mm2 a=
4r 0,361nm √ 2 dimanar = =0,127 nm 4 √2
Bidang (111) berisi 3 atom dari 1/6 atom dan 3 buah dari ½ atom Jumlah atom pada bidang ini=(3x1/6)+(3x1/2)=2 atom Luas bidang ini : 1 1 1 1 L AFH = x FHx AK = a √ 2= a √6= a2 √ 3=4 r 2 √ 3 2 2 2 2 12 atom /mm3 ¿ atom 2atom 2 atom = 2 = =17,92 x 10¿ 2 2 mm 4 r √ 3 4(0,127 nm) √ 3
9. Nikel memiliki struktur fcc dengan jari-jari atom 0,1246 nm. Berapakah jarak d200;d220;d111? Diketahui : r=0,1246 nm Ditanya : jarak d200;d220;d111? Jawab : Struktur fcc r=0,1246 nm=0,1246 x 10-9 m Konstanta kisi untuk unit sel fcc 4 r 4 x 0,1246 x 10−6 m a= = =o , 352 nm √2 √2 Untuk bidang (200) h=2,k=0,l=0 d 200 =
0,352 Å =0,176 Å √22 +02 +0 2
d 220 =
0,352 Å =0,124 Å √22 +22 +02
d 111=
0,352 Å =0,203 Å √12 +12 +12
