RESUMEN DE CÁLCULO INTEGRAL Definición de integral indefinida
= Para resolver las integrales existen diversos métodos, entre los cuales están: integración directa, por sustitución, por partes, sustitución trigonométrica trigonométrica y fracciones parciales, entre otros. Integración directa. directa . Se utiliza cuando f(x) toma formas como las siguientes (Éstas son solo algunas fórmulas, para mayor información consultar un formulario completo de cálculo integral)
= = = 1 + = || = = = Integración por sustitución. Estas integrales se presentan cuando f(x) no corresponde a una integral directa, sino que se debe hacer un cambio de variable (normalmente se cambia x por u) y de esta es ta forma la integral se transforma en una integral directa. Integración por partes. Se utiliza cuando la integral toma la forma:
= Reglas de integración por partes 1. 2.
Escoger a u como la parte más sencilla de la integral Todo lo que queda es dv, la cual deberá poder integrarse
1.
La integral se resuelve con una sola aplicación de la fórmula
CASOS
2. 3.
Se requieren dos o más pasos de aplicación de la fórmula Aparece de nueva cuenta la integral original
ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS CON INTEGRALES DIRECTAS Ejercicio 1. Resolver
5
Solución. Esta integral se resuelve directamente y es de la forma Kdx, por lo que
5 = 5 Ejercicio 2. Resolver
4 Solución. Esta es de la forma Kx donde K = 4 , n = 1 4 + = 2 4 = 11 n
Ejercicio 3. Resolver
52
Solución. Esta es de la forma Kx n donde K = 5 / 2 , n = 2
5 5 5 2 + = 32 + = 56 2 = 21 Ejercicio4. Resolver
Solución. Esta es de la forma
43
donde K = 3 / 4 , por lo que
43 = 34 ln ||
Ejercicio 5. Resolver
Solución. Esta es de la forma
65
donde K = 6/ 5 , por lo que
65 = 65
Ejercicio 6. Resolver
Solución. Esta es de la forma
23
donde K = 2/ 3 , por lo que
23 = 32
Ejercicio 7. Resolver
Solución. Esta es de la forma
2
donde K = 2 , por lo que
2 = 2 Ejercicio 8. Resolver
4 3 2 10
Solución. Separamos por integrales y resolvemos con la fórmula que le corresponda a cada caso. Observar el cambio que hacemos en el término de
4 3 2 10 = 4− 3 2 10 4 −+ 3 2 10 = 21 = 44− 3 210 = 3 210
ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS CON EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Ejercicio 9. Resolver
52 3 5
Solución. Esta es de la forma Ku n donde K = 5 / 2 , n = 2. El cambio de variable consiste en hacer Por lo que
= 3 5 = 3 0 = 3 = 3
Observar que se despejó dx ya que en la integral original solo existe la constante y dx fuera del paréntesis. La integral original se convierte en
5 5 5 5 5 6 2 3 5 = 2 3 = 6 21 + = 36 = 185 3 5 Observar que al final se reemplazó el valor de u
Ejercicio 10. Resolver
52 3 5
Solución. Esta es de la forma Ku n donde K = 5 / 2 , n = 2. El cambio de variable consiste en hacer Por lo que
= 3 5 = 6 0 = 6 = 6
Observar que se despejó xdx ya que en la integral original aparece x y la constante , además de dx fuera del paréntesis. La integral original se convierte en
5 5 5 5 5 12 + = 123 2 3 5 = 2 6 = 12 21 = 365 3 5
Observar que al final se reemplazó el valor de u
Ejercicio 11. Resolver
65 Solución. Esta es de la forma donde K = 6/ 5 y hacemos = 3 = 3 3 = 65 = 65 3 = 156 = 25 = 25
, por lo que
Ejercicio 12. Resolver
65 Solución. Esta es de la forma donde K = 6/ 5 y hacemos = 2 3 = 62 2 = 6 65 = 65 6 = 306 = 15 = 25
, por lo que
Ejercicio 13. Resolver
23 8 Solución. Esta es de la forma donde K = 2/ 3 , = Hacemos = 8 por lo que = 8 23 8 = 23 8 = 242 = 121 = 121 8 ,
.
ALGUNOS EJERCICIOS RESUELTOS CON EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES Ejercicio 14. Integración por partes, Caso 1. Comprobar que
= 1
Solución. Hacemos u = x, por lo que du = dx Además , por lo que
=
= = = La integral queda = = = 1 Ejercicio 15. Integración por partes, Caso 2. Comprobar que
− = 2 2 = = 2 = − = ∫ − = − Solución. Hacemos , por lo que Además De manera que
, por lo que
− = − −2 =− 2−
Observar que la última integral se debe resolver por partes, hacemos u = 2x, por lo que du = 2dx Además , por lo que
=
Entonces
= = − = − − = − 2 − −2 − = − 2− 2− − = − 2− 2− = 2 2
Ejercicio 16. Integración por partes, Caso 3. Comprobar que
= 12 12 = = = = ∫ = = = Solución. Hacemos , por lo que Además De manera que
, por lo que
Observar que la última integral se debe resolver por partes, hacemos
=
= = = ∫ =
, por lo que
Además Entonces
, por lo que
= =
Observamos que ya apareció de nueva cuenta la integral original, por lo que la pasamos del lado izquierdo de la ecuación y factorizamos
= 2 = = 12 12
Definición de integral definida
= = |
La integral definida representa el área bajo la curva f(x) y el eje x entre los puntos a y b (límite inferior y superior, respectivamente). Observar que en este caso ya no aparece la constante de integración. F(b) – F(a) significa evaluar la función resultante F(x) en cada uno de los límites y sacar la diferencia de la función evaluada en el límite superior menos la función resultante evaluada en el límite inferior. ALGUNOS EJEMPLOS DE INTEGRALLES DEFINIDAS Ejercicio 17. Resolver
−−5
Solución. Esta integral se resuelve directamente y es de la forma Kdx, por lo que
− − 5 = 5 |12 = 51 52 = 510 = 5 Ejercicio 18. Resolver
4 − 5
Solución. Esta es de la forma Kx n donde K = 4/5 , n = -2
45 −+ 3 45 − 3 4 3 4 4 8 4 − 5 = 21 |1 = 1 |1 = 5 |1 = 53 [ 51] = 15
Ejercicio 19. Resolver
5 3
Solución. Esta es de la forma Kx n donde K = 5 / 3 , n = 3
53 + 2 53 2 5 2 5 5 20 5 3 = 31 |0 = 4 |0 = 12 |0 = 12 2 12 0 = 3 Ejercicio 20. Resolver
Solución. Esta es de la forma
1 2
donde K = 1 / 2 , por lo que
1 1 2 = 2 ln|| |53 = 12 5 21 3 = 0.2554 Ejercicio 21. Resolver
Solución. Esta es de la forma Por lo que
=
/ 27 −
donde K = 2/ 7 , hacemos u = -4x ; du = -4dx
2 − 2 2 2 1 / 7 = / 7 4 = / 7 4 = / 28 = / 14 = 141 |1/2 = 141 − |1/2 = 141 − ( 141 )−/ = 1 − 1 − = 0.0013082 0.009668 = 0.0083598
14
Ejercicio 22. Resolver
Solución. Esta es de la forma
14
/ 23
donde K = 2 ,
= 3 = 2 / 23 = / 2 3 = / 3 = 23 | = 23 3| = 23 cos3 [ 23 cos 34 ] = 23 1 23 √ 22 = 23 √3 2
Hacemos
= 3
, por lo que
.
= 0.19526
ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ejercicio 23. COSTO MARGINAL – COSTO TOTAL Un fabricante descubrió que el costo marginal es dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total de produ cir las primeras 2 unidades es 900 USD. ¿Cuál es el costo total de producir las primeras 5 unidades?
3 60 400
Solución. El costo marginal es, por definición, la derivada de la función costo total. Si consideramos que C(q) es la función del costo total, entonces
′ = 3 60 400 ′ = = 3 60 400
Como
Entonces
Esta es una ecuación diferencial que se resuelve por el método de separación de vari ables. Es decir
= 3 60 400 Integramos ambos lados de la ecuación
Resolvemos la integral
= 3 60 400
= 3 60 400
60 3 = 3 2 400 = 30 400 Necesitamos ahora determinar el valor de la constante K. El problema nos dice que el costo total de producir las primeras 2 unidades es 900 USD. Por lo tanto sustituimos en la C(q) q = 2 & C(q) = 900, por lo tanto
2 = 900 = 2 302 4002 = 900 8120 800 = 212 = 30 400 212 5 = 5 305 4005 212 = 1587
Despejamos y encontramos el valor de K
Y la ecuación de costo total queda
USD
Por lo tanto, para las primeras 5 unidades
Ejercicio 24. COSTO MARGINAL – COSTO TOTAL Un fabricante descubrió que el costo marginal es dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total (incluidos los gastos indirectos) de producir la primera unidad es 130 USD. ¿Cuál es el costo total de producir las primeras 10 unidades?
6 1
Solución. El costo marginal es, por definición, la derivada de la función costo total. Si consideramos que C(q) es la función del costo total, entonces
Como
Entonces
′ = 6 1 ′ = = 6 1
Esta es una ecuación diferencial que se resuelve por el método de separación de vari ables. Es decir
= 6 1 Integramos ambos lados de la ecuación
Resolvemos la integral
= 6 1 = 6 6 = 2 = 3
Necesitamos ahora determinar el valor de la constante K. El problema nos dice que el costo total de producir la primera unidad es 130 USD. Por lo tanto sustituimos en la C(q) q = 1 & C(q) = 130, por lo tanto
1 = 130 = 31 1 = 130 3 1 = 126 = 3 126 10 = 310 10 126 = 436
Despejamos y encontramos el valor de K Y la ecuación de costo total queda
USD
Por lo tanto, para las primeras 10 unidades
