David Encastin Flores Cálculo Diferencial Tema Tema 7 Resolución de desigualdades que incluyen valor absoluto. La solución de dicas desigualdades que tienen im!licado un valor absoluto requiere conocer como base el conce!to de un valor absoluto "El valor absoluto de un n#mero es siem!re !ositivo$ sin embargo este t%rmino no tiene uso al resolver estas desigualdades. &or otra !arte' la de(nición geom%trica de un valor absoluto "El valor absoluto de un n#mero es la distancia de ese n#mero con res!ecto de cero en la recta num%rica$ si tiene un uso al resolver estas desigualdades. E)em!los* •
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+i consideramos a , como un valor al que se le va a a!licar valor absoluto debemos considerar que la distancia de este con res!ecto a son cinco unidades' el valor absoluto de , es ,. +i consideramos a /, como otro valor al cual a!licar el valor absoluto ser0a /, que tambi%n ser0a igual a ,
1ay diferentes casos que debemos considerar !ara resolver un valor absoluto* 2. 3enor 3enor desigua desigualdad ldad absolu absoluta* ta* Esto quiere decir que si la desigualdad es del ti!o s4a' entonces en este caso' la solución corres!ondiente tendrá a ser del ti!o 5a 4 s 4 a. Esto a!lica incluso !ara desigualdades de un gran grado de com!le)idad. E)em!lo* 6847 +iguiendo la regla del !rimer caso se reformular0a de la siguiente manera* 9 /746847 Resolvemos !ara : 9 /7/84647/8 9 /2-464; ?. 3enor 3enor o igual igual desig desiguald ualdad ad absolu absoluta* ta* Está desigualdad ser0a del ti!o s 4 a y se resuelve e6actamente igual que la anterior' sólo que se debe tener en consideración el signo menor o igual. E)em!lo* 8/;6 4 7 /7 4 8/;6 4 7 /2- 4 /;6 4 ;
/2-@/; A 6 A ;@/; 2-@; A 6 A /2 BT* el intervalo se marcar0a em!eando con un corcete debido a que !or ser menor o igual signi(ca que !odr0a tocar el !unto' entonces quedar0a /2' 2-@;G
8. 3ayor desigualdad absoluta* De acuerdo a este caso' si sAa lo !odemos resolver mediante se!arar la desigualdad en dos !artes' =s 4 /a> o =s A a> E)em!lo* 6, A H +iguiendo la regla del caso se reformular0a de la siguiente manera* :, 4 /H o :, A H De esta manera ambos ecuaciones !ueden ser resueltas !ara :* : 4 /H /, o : A H/, Resultando de esta forma* :4/28 o : A8 &or lo tanto' la solución consiste en dos intervalos : 4 /28 o 6 A 8 ;. 3ayor o igual desigualdad absoluta* Esta desigualdad ser0a del ti!o s A a y se resuelve e6actamente a la anterior' !ero considerando el signo mayor o igual. BT* En este caso tambi%n se !ondr0a corcetes !ara marcar el intervalo !or que se es!eci(ca que es mayor o igual' esto denota que !odr0a tocar el !unto indicado. ,. &ar de desigualdades* Esto se ace con el (n de encontrar las desigualdades con su valor absoluto corres!ondiente. a> En !rimer lugar' se deben observar los e6tremos de las desigualdades dadas. b> El segundo !aso ser0a calcular la diferencia entre los e6tremos antes determinados. c> El #ltimo !aso es a)ustar las desigualdades a!licando la mitad de la diferencia calculada dará las desigualdades en la forma que cualquiera de los dos casos =a cada n#mero de los e6tremos>. E)em!lo* +u!ongamos que las desigualdades dadas son* De acuerdo con las reglas' los e6tremos son ?; y 2I. Estos e6tremos están a , unidades de distancia. &or tanto' las desigualdades se !ueden a)ustar entre la mitad de la diferencia' es decir /?., a ?.,.
ora' desde 2I 5 =/?.,>9 ?2., o 2I ?., y ?; /?., 9 ?2.,' !or tanto ?2., se necesita !ara ser restados de todos los lados de las desigualdades. : 42I o : A?; : /?2., 4 2I /?2., o : /?2., A ?; /?2., : /?2., 4 /?., o :/ ?2., A ?., +e !uede observar que el resultado es de la forma "mayor que$. &or tanto' el resultante de la desigualdad con valor absoluto es :/ ?2., A?., J. Cambio de signo Como tal este no es una forma de resolver una ecuación' sino es más una indicación al momento de resolver una. +e da de la forma en que si : es negativa =/:> al des!e)arse !ara resolver la ecuación el signo de "mayor o menor que$ debe cambiar de sentido. E)em!lo* +i tenemos que : tiene un signo negativo !ara des!e)arse tenemos que cambiar el sentido al momento de des!e)ar. /: 4 2 : A /2 tro caso e)em!lo que sucede la misma forma es teniendo un n#mero que multi!lique a : Entonces ser resolver0a de la siguiente manera /,: A2 : 4 =/2@,>
