REPASO FINAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES DIFERENCIALES TEMA I : Ecuaciones diferenciales de primer orden. Estudiar ecuaciones separables, exactas, reducibles a exactas, lineales, De Bernoulli y homogéneas. Ejemplos:
1)
2) 3)
dy dx dy
dx dy
e x y y 1 2 y
x 3 y
2 x 1 y 1 ; y(1) 3
x 2 4 x 3
dx x 4) ( x 2 2 y 3 )dy (2 xy 3 x 2 )dx 0
5)
x y ; dx y x dy
y(1) 4
TEMA II: Modelos lineales
Estudiar problemas de aplicación de modelos lineales: crecimiento exponencial, decaimiento exponencial, mezclas, circuitos RL, circuitos RC, enfriamiento de Newton. Ejemplos: 1)
Una cerveza fría, inicialmente a 35°F, se calienta hasta 40°F en 3 minutos, estando en un cuarto con temperatura 70°F. ¿Qué tan caliente estará la cerveza si se deja ahí durante 20 minutos?
2)
El isótopo radiactivo del plomo, Pb-209, se deteriora a una tasa que es proporcional a la cantidad presente en el tiempo t y y tiene vida media de 3.3 horas. Si un gramo de este isótopo está presente en un inicio, ¿cuánto tiempo le tomará descomponerse al 90% del plomo?
3)
Una solución salina entra a una razón constante de 6 litros/minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 50 li tros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si l a concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05 kg/L, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.03 kg/L?
4)
En un circuito RL, la resistencia es de 12 y la inductancia es de 4 H. Si una batería proporciona un voltaje constante de 60V e I(0)=0, determine I(t), la corriente después de 1 segundo y el valor límite de la corriente.
5)
En un circuito RC, la resistencia es de 5 y la capacitancia es de 0.05 F. Si una batería proporciona un voltaje constante de 60V y q(0)=0, determine q(t) e I(t).
TEMA III: Método de Euler
Ejemplo: Considere la ecuación diferencial y´ x 2 y ;
y (0) 1. Utilice el método de Euler con
h = 0.25 para hallar un valor aproximado de y cuando x = 1, dando su respuesta con una aproximación de tres cifras decimales. TEMA IV: Transformada de Laplace
Estudiar transformada directa e inversa, teorema de traslación y uso de la transformada para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Ejemplo: 1. Use la transformada de Laplace para resolver la siguiente ecuación diferencial.
y´´ y´6 y 3e 2 x 2. Use la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado.
dx 2 y dt dy x y dt x(0) 1, y (0) 0 TEMA V: Ecuaciones diferenciales de orden 2 ó superior.
Estudiar ecuaciones homogéneas y no homogéneas (coeficientes indeterminados y variación de parámetros). Ejemplos: 1) Determine una solución general de la ecuación diferencial dada. a)
49 y´´14 y´ y 0
b)
y´´´10 y´11y 0
2) Determine la solución al problema con valores iniciales dado.
y´´´12 y´´27 y´40 y
0
y (0) 3, y´(0) 6, y´´(0) 12
3) Determine la solución general de la ecuación diferencial y´´ y´6 y
3e 2 x usando
coeficientes indeterminados.
4) Determine la solución general de la ecuación diferencial y´´4 y´4 y e
2t
ln t usando
variación de parámetros .
5) Use la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado.
dx 2 y dt dy x y dt x (0) 1, y (0) 0 TEMA VI: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden 2 ó superior. Ejemplo:
Encuentre la carga en el capacitor y la corriente en el circuito RLC.
L 1 H , R 100 , C 0.0004 F , E (t ) 20 V , q (0) 0 C , i (0) 1 A TEMA VII: Ecuaciones diferenciales parciales
Ejemplo: Utilice separación de variables para encontrar las soluciones producto de la ecuación diferencial parcial dada.
2u u x 2 y y x
