raizes de funçoes

Cálculo de Raízes de Funções

3-1

Cálculo de Raízes de Funções Introdução O cálculo de raízes de funções encontra uso na obtenção da solução de uma ampla gama de problemas de engenharia. Usualmente, a forma analítica de problemas matemáticos y = f(x) requer o conhecimento dos valores da variável independente x para os quais f(x) = 0. Por exemplo, considere a função f(x) = ax2 + bx + c, que é um polinômio de 2 o grau com coeficientes a, b, e c e que possui duas raízes. Essas raízes podem ser determinadas pela conhecida fórmula de Baskhara: b2

−b +

x1

=

x2

= −b −

− 4ac

2a

e b

2

− 4ac

2a

Para uma equação particular f(x) = x2 - 5x + 6 , temos que a = 1, b = -5 e c = 6, resultando na solução: x1

x2

= =

− (−5) + (−5) 2 − (4).(1).(6) (2).(1)

+ = 5 1=3 2

− (−5) − (−5) 2 − (4).(1).(6) (2).(1)

=

5 −1 =2 2

Substituindo-se o valor das raízes na expressão de f(x) = x2 - 5x + 6 , veremos que tanto x1, quanto x2 fazem com que esta função se anule, ou seja, que f(x1) = 0 e f(x2) = 0. As equações polinomiais também conduzem a soluções cujo domínio seja o dos números complexos. Por exemplo, a equação de 2 o grau f(x) = x2 - 2x + 2 apresenta as seguintes raízes: x1 = x2 =

− ( −2) + ( −2) 2 − (4).(1).(2) ( 2).(1)

− ( −2) − ( −2) 2 − (4).(1).(2) (2).(1)

=4

+ −4

=4

− −4

2 2

+ − = 4 2 1 = 2+i 2

− − = 4 2 1 = 2−i 2

sendo que i = − 1 . Na prática, nem sempre um problema pode ser equacionado na forma de uma função que possui uma solução analítica como a função de 2 o grau. As funções transcendentes, por exemplo, não possuem fórmula analítica para o cálculo das raízes. Nesses casos, pode-se calcular as raízes através de dois métodos: Cálculo Numérico e Computacional

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3-2

• Método gráfico • Métodos numéricos Nesta nota de aula, trataremos apenas dos métodos para o cálculo de raízes reais, embora os métodos numéricos possam calcular raízes complexas também.

Método Gráfico As funções transcendentes podem ter raízes reais e complexas. Entretanto, diferentemente das funções polinomiais, não se pode determinar nem se a função possui raiz real e nem a sua quantidade. O método gráfico é o procedimento inicial adotado para estimar as raízes e como a determinação da raiz com precisão não pode ser feita com este método, deve-se utilizar um método numérico para "refinar" a solução, isto é, melhorar a precisão do valor calculado da raiz. Vamos mostrar a avaliação da raiz de uma função pelo método gráfico através do exemplo de uma função transcendente do tipo: f(x) = ex - 3x, cujo gráfico está mostrado na Fig. 3.1. 5

4

3 x 3 x

e = ) x ( f

2

1

0

-1 -1

0

x R1

1

xR2

2

3

x

Fig. 3.1 - Gráfico da função f(x) = ex - 3x. No gráfico observa-se duas raízes indicadas como x R1 e xR2 e localizadas, respectivamente, nos intervalos [0,5;1] e [1,5;2]. Uma estimativa grosseira das raízes seria x R1 ≅ 0,6 e xR2 ≅ 1,5. O valor com maior precisão será calculado pelos métodos numéricos.

Cálculo Numérico e Computacional

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3-3

Método da Bisseção O método da bisseção é um método conceitualmente simples e baseia-se na idéia de "cercar" a raiz xR por dois valores: um à esquerda da raiz ( xE ) e outro à direita ( xD), formando um intervalo que vai ser continuamente reduzido até que a largura final do intervalo seja tão pequena quanto o erro absoluto da raiz. A redução contínua da largura do intervalo é feita dividindo-se o intervalo em dois e definindo um valor médio xM .pela fórmula: xM

= ( xE

+ xD )

(3.1)

2

O valor médio xM estabelece dois sub-intervalos: um, entre xE e xM , outro entre xM e xD. A raiz xR estará em um dos dois sub-intervalos. Para determinar em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, calculamos f(xE ), f(xD) e f(xM ) e realizamos a seguinte comparação: Se sinal[ f(xM )] = sinal[f(xE )], então xR está no intervalo [ xE ; xM ] senão xR está no intervalo [ xM ; xD] Este procedimento está ilustrado para os dois casos nos gráficos da Fig. 3.2 e 3.3. Na Fig. 3.2 estão mostrados os valores [ xE , f(xE )] e [ xD, f(xD)], respectivamente à esquerda e à direita da raiz xR. Utilizando a equação (3.1) obtém-se o valor xM , que para este caso está localizado à esquerda da raiz. A verificação algébrica deste fato é feita comparando-se o sinal de f(xM ), que é positivo assim como é positivo o sinal de f(xE ). O gráfico da Fig. 3.3 ilustra o caso em que o valor calculado de xM está localizado à direita da raiz xR, porque, algebricamente, o sinal de f(xM ) é igual ao sinal de f(xD). y = f(x)

f(x E)

f(x M)

0 f(x D)

xE

xM

xR

xD

x

Fig. 3.2 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à esquerda da raiz xR


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3-4

y = f(x)

f(x E)

0 f(x M)

xE

xR

xM

xD

x

f(x D)

Fig. 3.3 - Método da bisseção para o caso do valor xM estar localizado à direita da raiz xR Uma vez determinado em qual dos dois sub-intervalos está localizada a raiz, atribui-se o valor de xM ao valor de xE ou xD, conforme o resultado do teste algébrico descrito anteriormente e re-escrito na forma: Se sinal[ f(xM )] = sinal[f(xE )], então xE ← xM

senão

xD ← xM

Em linguagem C, o código para este teste é descrito por: if (signbit(f(xm) == signbit(f(xe))) { xe = xm; } else { xd = xm }

Uma vez estabelecido o novo intervalo [ xE ; xD], repete-se o cálculo do valor de xM e aplica-se novamente o teste para verificação do sub-intervalo em que está localizado a raiz. Atribui-se o valor de xM a xE ou xD , conforme o resultado do teste e redefine-se o novo intervalo, conforme ilustra a Fig. 3.4. Os cálculos e testes se repetem até uma determinada variável alcançar um critério de convergência. A este procedimento de cálculo automático denomina-se ITERAÇÃO (não confundir com interação, que tem outro significado) ou cálculo iterativo, que se baseia na repetição de cálculos à partir de valores iniciais arbitrariamente estabelecidos. Do dicionário Michaelis: i.te.ra.ção sf (lat iteratione ) Ato de iterar ou repetir. in.te.ra.ção sf ( inter+ação ) 1 > Ação recíproca de dois ou mais corpos uns nos outros. 2 Atualização da influência recíproca de organismos inter-relacionados. 3 Ação recíproca entre o usuário e um equipamento (computador, telev isor etc.).


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3-5

y = f(x)

0

xE

(1)

xE

(3)

xR

xD

(2)

xD

(1)

x

Fig. 3.4 - Determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR pelo método da bisseção. Os expoentes numéricos indicam a seqüência de iteração. O cálculo iterativo continua até que o seguinte critério de convergência seja satisfeito: xE − xD

< ε

(3.2)

no qual ε é o erro absoluto especificado. Quando o critério for satisfeito, a raiz xR será dada por: xR

= xM ± ε

(3.3)

Observar que o erro ε estabelece o número de casas decimais de precisão. Assim, se quisermos calcular a raiz de uma função com precisão de sete casas decimais, estabelece-se que ε = 10-7.

Exemplo Vamos ilustrar a aplicação do método da bisseção no cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x localizada no intervalo [0; 1], com erro de 10 -5. Solução A função f(x) = ex - 3x, como visto anteriormente, possui duas raízes, sendo que será calculada a raiz localizada no intervalo [0; 1]. Assim, esses valores serão os valores iniciais de -5 xE e xD. Como o erro é 10 , vamos apresentar os resultados do cálculo com cinco casas decimais na tabela 3.1. A 1 a coluna contém o contador do número de iterações, denotado pela letra i. O conteúdo das outras colunas estão identificadas pelo nome das variáveis na 1 a linha.


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3-6

Tabela 3.1 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex - 3x no intervalo [0;1] pelo método da bisseção i

xE

xD

xM

f(xE)

f(xD)

f(xM)

erro

0

0,00000

1,00000

0,50000

1,00000

-0,28172

0,14872

1,00000

1 2

0,50000 0,50000

1,00000 0,75000

0,75000 0,62500

0,14872 0,14872

-0,28172 -0,13300

-0,13300 -0,00675

0,50000 0,25000

3 4

0,50000 0,56250

0,62500 0,62500

0,56250 0,59375

0,14872 0,06755

-0,00675 -0,00675

0,06755 0,02952

0,12500 0,06250

5

0,59375

0,62500

0,60938

0,02952

-0,00675

0,01116

0,03125

6 7 8 9

0,60938 0,61719 0,61719 0,61719

0,62500 0,62500 0,62109 0,61914

0,61719 0,62109 0,61914 0,61816

0,01116 0,00214 0,00214 0,00214

-0,00675 -0,00675 -0,00232 -0,00009

0,00214 -0,00232 -0,00009 0,00103

0,01563 0,00781 0,00391 0,00195

10

0,61816

0,61914

0,61865

0,00103

-0,00009

0,00047

0,00098

11 12 13

0,61865 0,61890 0,61902

0,61914 0,61914 0,61914

0,61890 0,61902 0,61908

0,00047 0,00019 0,00005

-0,00009 0,00019 -0,00009 0,00005 -0,00009 -0,00002

0,00049 0,00024 0,00012

14

0,61902

0,61908

0,61905

0,00005

-0,00002

0,00001

0,00006

15 16 17

0,61905 0,61905 0,61906

0,61908 0,61906 0,61906

0,61906 0,61906 0,61906

0,00001 0,00001 0,00001

-0,00002 0,00000 0,00000

0,00000 0,00001 0,00000

0,00003 0,00002 0,00001

18

0,61906

0,61906

0,61906

0,00000

0,00000

0,00000

0,00000

A raiz calculada após 18 iterações com ε < 10-5 é igual a 0,61906. Este resultado é exato com cinco casas decimais. Observar que quando o critério de convergência é atingido, os valores de xE , xD e xM são iguais com cinco casas decimais.

Método Iterativo de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson é um método numérico iterativo para o cálculo de raiz de uma função f(x). A fórmula para o cálculo iterativo pode ser obtida através da aproximação de uma função f(x1) em torno de um ponto x0 por uma série de Taylor de 1 o grau: f ( x1 ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 − x0 )

(3.4)

Se considerarmos que o valor de x = x1, está próximo à raiz, então podemos considerar que f(x1) ≅ 0, de modo que podemos escrever a equação na forma: x1

≈ x0 − f ( x0 ) f ′( x0 )

(3.5)

À partir de x1 podemos calcular um novo valor x 2 mais próximo ainda da raiz através da mesma aproximação anterior: f ( x2 ) ≈ f ( x1 ) + f ′( x1 )( x2


− x1 )

(3.6)

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3-7

Neste caso, vamos considerar que f(x2) ≅ 0 e que f(x1) é pequeno porém diferente de zero. Assim, podemos re-escrever a equação como: x2

≈ x1 − f ( x1 ) f ′( x1 )

(3.7)

Se prosseguirmos, podemos escrever uma equação geral para o cálculo de x na iteração i+1 à partir do valor de x, f(x) e f’(x) em x = x0: xi +1

= xi −

f ( xi )

(3.8)

f ′( xi )

Este cálculo, denominado de cálculo iterativo, é realizado até que o critério de convergência seja satisfeito: xi +1 − xi

≤ ε

(3.9)

Exemplo Vamos calcular novamente a raiz da função f(x) = ex - 3x localizada próxima ao valor x = 0 pelo método iterativo de Newton-Raphson. A Tabela 3.2 apresenta os valores calculados. Tabela 3.2 - Resultado do cálculo da raiz localizada próxima a x = 0 da função f(x) = e x - 3x pelo método iterativo de Newton-Raphson i

xi

f(xi)

f'(xi)

xi+1

erro

0

0,00000

1,00000 -2,00000

0,50000

0,50000

1

0,50000

0,14872 -1,35128

0,61006

0,11006

2

0,61006

0,01036 -1,15946

0,61900

0,00894

3

0,61900

0,00007 -1,14294

0,61906

0,00006

4

0,61906

0,00000 -1,14282

0,61906

0,00000

A raiz calculada após 4 iterações é igual a 0,61906 com erro menor do que 10 -5. Comparando-se este resultado com o obtido pelo método da bisseção, observa-se que a convergência do método da bisseção foi muito mais lenta do que a do método de NewtonRaphson. Isto deve-se ao fato que o método da bisseção apresenta erro proporcional ao intervalo |xE – xD|, isto é, de primeira ordem na variável x, ao passo que o método de NewtonRaphson apresenta erro de segunda ordem sobre a variável x.

Dificuldades no Cálculo de Raízes pelo Método de Newton-Raphson O método de Newton-Raphson apresenta dificuldades no cálculo de raízes de funções polinomiais que apresentam pontos de mínimos e/ou máximos na vizinhança da raiz, como mostrado na Fig. 3.5.


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3-8

3

2

f(x) = 3x - x - 4x + 5 10

5

y

0

-5

-10 -2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

x

Fig. 3.5 - Gráfico da função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 exibindo pontos de máximo e mínimo locais na proximidade da raiz. No exemplo, a função f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 5 é uma função polinomial de 3 o grau que possui apenas uma raiz real ( x = -1) e duas raízes complexas. O gráfico cartesiano x-y mostra somente a raiz real e mostra também que a função possui um ponto de máximo local em x ≅ -0,57 e um ponto de mínimo local em x ≅ 0,79. Para exemplificar o problema da convergência do método de Newton-Raphson, vamos calcular a raiz real empregando o método de Newton-Raphson com x 0 = 5. Tabela 3.3 - Resultado do cálculo da raiz da função polinomial cúbica pelo método de Newton-Raphson. i

xi

f(xi)

f'(xi)

xi+1

erro

0

5,00000

335,00000

211,00000

3,41232

1,58768

1

3,41232

98,90543

93,97085

2,35981

1,05251

2

2,35981

29,41532

41,39873

1,64927

0,71054

3

1,64927

9,14139

17,18238

1,11725

0,53202

4

1,11725

3,46658

4,99978

0,42391

0,69335

5

0,42391

3,35320

-3,23055

1,46187

1,03797

6

1,46187

6,38783

12,30993

0,94296

0,51892

7

0,94296

2,85435

2,11659

-0,40560

1,34856

8

-0,40560

6,25771

-1,70821

3,25771

3,66331

9

3,25771

85,07572

84,99877

2,25681

1,00091

10

2,25681

25,36255

37,32498

1,57730

0,67951

11

1,57730

7,97532

15,23630

1,05386

0,52344

12

1,05386

3,18525

3,88786

0,23458

0,81928


C.Y. Shigue


3-9

13

0,23458

4,04539

-3,97392

1,25256

1,01799

14

1,25256

4,31632

7,61508

0,68575

0,56681

15

0,68575

2,75417

-1,13922

3,10335

2,41760

16

3,10335

72,61888

76,47034

2,15372

0,94963

17

2,15372

21,71661

33,43898

1,50428

0,64944

18

1,50428

6,93188

13,35705

0,98531

0,51897

19

0,98531

2,95764

2,76687

-0,08364

1,06895

20

-0,08364

5,32582

-3,76975

1,32913

1,41278

21

1,32913

4,96100

9,24111

0,79229

0,53684

22

0,79229

2,69513

0,06498

-40,68675

41,47904

23

-40,68675

-27,09523

13,59152

24

-27,09523

-60296,80000

6657,55526

-18,03833

9,05690

25

-18,03833

-17856,25044

2960,51034

-12,00686

6,03148

26

-12,00686

-5284,02970

1317,49538

-7,99619

4,01066

27

-7,99619

-1560,76358

587,44457

-5,33933

2,65687

28

-5,33933

-458,79785

263,25419

-3,59653

1,74279

29

-3,59653

-133,11269

119,60839

-2,48363

1,11290

30

-2,48363

-37,19392

56,48287

-1,82513

0,65850

31

-1,82513

-9,26958

29,63008

-1,51228

0,31284

32

-1,51228

-1,61366

19,60760

-1,42999

0,08230

33

-1,42999

-0,09728

17,26372

-1,42435

0,00564

34

-1,42435

-0,00044

17,10769

-1,42433

0,00003

35

-1,42433

0,00000

17,10698

-1,42433

0,00000

-203547,62007 14976,07806

Por causa da presença de pontos de mínimo e máximo na vizinhança da raiz observa-se que o método de Newton-Raphson apresenta uma convergência lenta, principalmente quando o valor calculado de xi+1 cai na região compreendida pelos pontos de mínimo e máximo (iteração 22) para a qual f’(x) ≈ 0.

Método da Secante Apesar da convergência do método de Newton-Raphson ser rápida, ele apresenta uma dificuldade prática na implementação de um algoritmo para o cálculo de raízes de uma função genérica pelo fato de requerer o cálculo algébrico da derivada da função f(x). Este problema pode ser contornado através da aproximação da derivada exata (que requer um procedimento algébrico) pela diferença finita da função f(x), que é um procedimento numérico. Este método recebe o nome de método da secante, mas também é conhecido, com algumas variações, com o nome de método da falsa posição ou método regula falsi. O procedimento para dedução do método da secante pode ser explicado através do gráfico da Fig. 3.6. Nele vamos definir dois valores de x localizados à esquerda ( xE) e à direita (xD) da raiz xR, tal como no método da bisseção. No entanto, diferentemente deste, o valor que irá dividir o intervalo | xE – xD| em dois é estabelecido através de um cálculo que utiliza a uma reta secante (ou corda) que une os valores de f(xE) e f(xD).


C.Y. Shigue


3-10

y y = f(x) f( x D)

Reta secante

xE

xR

xN

xD

x

f( xE )

Fig. 3.6 – Gráfico esquemático para dedução do método da secante. Por identidade entre os dois triângulos da figura, podemos escrever:

−

f ( x E )

f ( x D )

=

x N − x E xD

− x E

(3.10)

Rearranjando a expressão e isolando o termo para xN , obtém-se a equação: x ⋅ f ( x D ) − x D ⋅ f ( x E ) x N = E f ( x D ) − f ( x E )

(3.11)

Escrevendo-a na forma mais conveniente como: (i) x N

=

(i ) x E

(i)

− x(E i ) ) ⋅ f ( x (E i ) ) − (i) (i ) f ( x D ) − f ( x E ) ( xD

(3.12)

obtém-se uma expressão equivalente à expressão (3.8) do método de Newton-Raphson, na qual a derivada da função f(x) do denominador é substituída pela diferença finita [f(xD)-f(xE )]/(x D-xE )

na fórmula do método da secante. O critério de convergência é semelhante ao do método de Newton-Raphson (equação 3.9), porém aplicado sobre os valores de xN.


C.Y. Shigue


3-11

Exemplo O cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x é apresentado na tabela seguinte empregando o método da secante. Tabela 3.4 - Resultado do cálculo da raiz da função f(x) = ex – 3x pelo método da secante. i

xE

xD

f(xE)

f(xD)

xN

erro



0

0,00000

1,00000

1,00000

-0,28172

0,78020

1

0,00000

0,78020

1,00000

-0,15869

0,67335

0,10686

2

0,00000

0,67335

1,00000

-0,05925

0,63568

0,03767

3

0,00000

0,63568

1,00000

-0,01874

0,62399

0,01169

4

0,00000

0,62399

1,00000

-0,00561

0,62051

0,00348

5

0,00000

0,62051

1,00000

-0,00165

0,61949

0,00102

6

0,00000

0,61949

1,00000

-0,00048

0,61919

0,00030

7

0,00000

0,61919

1,00000

-0,00014

0,61910

0,00009

8

0,00000

0,61910

1,00000

-0,00004

0,61907

0,00003

9

0,00000

0,61907

1,00000

-0,00001

0,61906

0,00001

10

0,00000

0,61906

1,00000

0,00000

0,61906

0,00000

Observa-se que após 10 iterações o método convergiu para a raiz 0,61906 com ε < 10-5. A convergência deste método é semelhante à do método de Newton-Raphson, porém, com a simplicidade conceitual do método da bisseção.

Exercícios propostos 1. Para cada uma das equações abaixo, encontre pelo menos uma das raízes para que f(x) = 0, empregando o método da bisseção e o método de Newton-Raphson: (a) ex/2 - x2 = y (b) x2 - 5x + 6 = 0 (c) ln x - x + 2 2 4 2 (d) x - senh x (e) x – 14x + 24x - 10 2. Um outro método para encontrar as raízes de f(x) = 0 é o chamado método iterativo linear, no qual a raiz é calculada re-escrevendo a função f(x) = g(x) - x, de maneira que o problema agora é encontrar o valor de x tal que g(x) = x por iteração. Encontre a função g(x) e resolva o problema do cálculo da raiz de x localizada no intervalo [0; 0,5] da função x f(x) = e – 3x empregando o método iterativo linear. 3. Escreva uma equação de iteração pelo método de Newton-Raphson para o cálculo da raiz quadrada e raiz cúbica de um número real x. Faça x = 2 e aplique a equação de iteração obtida para calcular a sua raiz quadrada e a sua raiz cúbica. 4. Duas escadas, uma de 20 m e outra de 30 m, apoiam-se em edifícios frontais a uma avenida, conforme ilustrado na Fig. P1. Se o ponto no qual as escadas se cruzam está a 8 m de altura do solo, determinar a largura da avenida. Gruenberger e Jeffrey, em Problems for Computer Solution (New York: Wiley, 1964), mostram que este problema pode ser formulado para pedir a solução da seguinte equação: y 4 − 16y 3 + 500y 2 − 8000y + 32.000 = 0 Cálculo Numérico e Computacional

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para o qual x = 400 − y 2 .

30 20

y

8

x

Fig. P1 5. Analisando-se o comportamento de compressores de ar a pistão, frequentemente é necessário obter-se gráficos de pressão versus rotação angular da árvore de manivelas do compressor durante o tempo de compressão. Esses dados podem ser aproximados analiticamente primeiro definindo-se um modelo para o compressor e, em seguida, aplicando-se fundamentos de mecanismos e termodinâmica ao modelo. Os componentes básicos do compressor a pistão são mostrados na Fig. P2, juntamente com os parâmetros geométricos usados na determinação do volume limitado entre o pistão e o cilindro. Pela aplicação dos fundamentos de mecanismos, este volume pode ser expresso como:

πD 2  V = Vc + r (1 − cos θ) + 4  



2   r   1 − 1 −  sen θ       

(P5.1)

no qual: Vc - volume morto no ponto morto alto r - raio da árvore de manivelas D - diâmetro do cilindro - comprimento da biela θ - ângulo de rotação da árvore de manivelas a partir do ponto morto alto 

Consideremos que o tempo de compressão ao se mover o pistão a partir do ponto morto baixo (θ = 180o) até o ponto morto alto ( θ = 360o). Um modelo freqüentemente usado para este processo supõe que as válvulas de admissão e escape conservam-se fechadas e que não há transferência de calor de ou para o ar durante o tempo de compressão. A aplicação da termodinâmica a este modelo fornece as seguintes relações entre pressão, volume e temperatura:


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 T   V  1  + B ( T − Ti ) + C ( T 2 − Ti2 ) + D n   = 0 2  Ti   Vi   V   T  p = p i  i  ⋅  i   V   T 

A n 

(P5.2)



(P5.3)

nas quais: p - pressão V - volume T - temperatura absoluta A = 0,15787 B = 0,51001.10-4 C = 0,74171.10-8 D = 0,6855 e o índice i denota a condição inicial no início do tempo de compressão, que se supõe conhecido. As equações (P5.1), (P5.2) e (P5.3) podem ser usadas para determinar p versus θ. O procedimento para obter esses valores é selecionar um valor de θ entre 180o e 360o em (P5.1). O valor resultante para V pode ser usado em (P5.2), que pode ser resolvido pelo método de Newton-Raphson para se obter T. Os valores de T e V são, então, usados em (P5.3) para determinar o valor de p correspondente. Calcular uma tabela de θ versus p, V e T, para θ entre 180o e 360o com incremento de 10o. Com estes resultados, traçar o gráfico de p em função de θ. Considere para o problema que, para p i = 14,7 psi, T i = 530oR, θ = 240o, Vc = 6,3 ft3, r = 2,0 in, D = 3,5 in e = 7,0 in, os resultados aproximados poderiam ser p = 18,7 psi, V = 37,3 ft 3 e T = 568oR. 

Válvulas de admissão e escape

Ponto morto alto (extremidade do pistão quando θ = 0o )

Cilindro d

Pistão

Biela

Ponto morto baixo (extremidade do pistão o quando θ = 180 )

¡

Virabrequim

θ

r

Fig. P2


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6. Deseja-se determinar o efeito da pressão sobre a temperatura do ponto de condensação do produto da combustão completa de hidrocarbonetos parafínicos com ar teórico. A temperatura de condensação, também chamada de ponto de orvalho, é definida como a temperatura na qual o vapor d’água começa a condensar-se à medida que o produto da combustão seja resfriado à pressão constante. Quando é alcançado o ponto de orvalho, a pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão vai igualar a pressão do vapor de água pura na temperatura de condensação e esta relação pode ser usada para determinar o ponto de orvalho. Um hidrocarboneto parafínico tem fórmula química C nH2n+2 e a equação para combustão completa com ar teórico pode ser expressa como: C n H 2 n + 2 + ( 2n + 1) O 2 + ( 2n + 1)

79 79 N 2 → n CO 2 + (n + 1) H 2 O + (2n + 1) N 2 (P6.1) 21 21

da qual a fração molar do vapor d’água nos produtos é calculada por: x H2 O =

n+1 n+1 = n + ( n + 1) + (2n + 1) (79 / 21) 9 ,52n + 4 ,76

(P6.2)

A pressão parcial do vapor d’água no produto da combustão é igual ao produto da fração molar do vapor d’água pela pressão do produto da combustão. Assim, p H 2O = x H2 O ⋅ p =

( n + 1) p 9 ,52n + 4,76

(P6.3)

A relação entre a pressão do vapor de água pura e a temperatura é dada por:



x a + bx + cx 3  n p v = 8,07284 − 2,3026  T  1 + dx 

(P6.4)

no qual: pv - pressão de vapor (psi) T - temperatura absoluta ( oR) x = 1165,09 - T a = 3,2437814 b = 3,2601444.10 -3 c = 2,0065808.10-9 d = 1,2154701.10 -3 Como a pressão parcial e a pressão do vapor d’água devem ser iguais no ponto de condensação, (P6.2), (P6.3) e (P6.4) podem ser combinados para se obter:



x  a + bx + cx 3   ( n + 1) p   n = 8,07284 − 2,3026  T 1 + dx  9,52m + 4,76 


(P6.5)

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que pode ser solucionado em T para valores dados de p e n. Como (P6.5) é uma equação não-linear, um método numérico como o Newton-Raphson deve ser usado. Com este objetivo, é conveniente reescrever (P6.5) como: ( n + 1) p  x  a + bx + cx 3   − n  − 8,07284 = 0 f (T) = 2,3026  T  1 + dx   9,52 m + 4,76  

(P6.6)

Para usar o método de Newton-Raphson é necessário diferenciar-se (P6.6) com relação a T, para se obter:

 a + bx + cx 3   xd df 1165,09  x( b + 3cx 2 )  = 2,3026 − ⋅  − dT  1 + dx   T(1 + dx) T 2  T(1 + dx) 

(P6.7)

Para o etano (n = 2) sob 1 atm (p = 14,7 psi), o resultado é T = 582,97 oR = 323,87 K. Verificar este resultado e calcular o ponto de orvalho para o produto da combustão do metano (n = 1), do propano (n = 3), do butano (n = 4) e do pentano (n = 5). 7. O pH de soluções diluídas de ácidos fracos pode ser calculado pela fórmula: [ H + ] 3 + K a [H + ] 2 − (K a C a + K w )[H + ] − K w K a = 0 na qual:

(P7.1)

pH = - log [H +] Ka - constante de dissociação do ácido Ca - concentração molar do ácido Kw - produto iônico da água

Calcular o pH de uma solução de ácido bórico a 24 oC sabendo-se que: Ka = 6,5.10-10 (moles/l) 2, Ca = 1,0.10-5 moles/l Kw = 1,0.10-14 (moles/l) 2


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raizes de funçoes

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