PRUEBA DE HIPÓTESIS RELACIONADA CON LA MEDIA Caso n<30 (Muestras pequeñas) Parámetro: μ (Es la medida poblacional cuyo valor se desea estimar) Población con distribución normal, varianza σ2 desconocida Estimador T (Variable aleatoria con distribución T, con ν = n-1 ) Valor propuesto para el parámetro: μ0 Para realizar inferencias se usa una variable aleatoria con distribución T
PASOS 1. Formular la hipótesis nula: Ho: μ = μ0 2. Formular una hipótesis alterna, elegir una entre: Ha: μ < μ0 Ha: μ > μ0 Ha: μ ≠ μ0 3. Especificar el nivel de significancia de la prueba α 4. Seleccionar el estadístico de prueba y definir la región de rechazo de Ho
Ha Región de rechazo de Ho en favor de Ha μ < μ0 t < -tα μ > μ0 t > t α μ ≠< μ0 t <-tα/2 ∨ t > tα/2
5. Con los datos de la muestra calcular el valor del estadístico 6. Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, la decisión es rechazar Ho en favor de Ha. Pero, si el valor no cae en esta región crítica, se dice que no hay evidencia suficiente para rechazar Ho. En este caso es preferible abstenerse de aceptar Ho como verdadera pues esto puede introducir el error tipo II
EJEMPLO
Se esta estudiando la tasa de quemado de un propulsor a chorro. Las especificaciones requieren que la tasa media de quemado sea 40 cm/s. Además, supóngase que sabemos que la desviación estándar de la tasa de quemado es aproximadamente de 2 cm/s. El experimentador decide especificar una probabilidad de a= .05, y se basara la prueba en veinticinco propulsores, y la tasa de quemado media de muestra que se obtiene es X = 41.25 cm/s. Las hipótesis que deseamos probar son:
EJERCICIO 1.
2.
De una población normal se tomó una muestra aleatoria y se obtuvieron los siguientes resultados: 15, 17, 23, 18, 20. Probar con una significancia de 10% que la media de la población es mayor a 18. Una muestra aleatoria de 10 observaciones tomada de una población con distribución normal produjo una media 2.5 y una desviación estándar 0.28. Suponga que se desea demostrar que la media poblacional es mayor a 2.3. Realice la prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 5% y determine si los datos son evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula en favor de la hipótesis alterna.
VALOR–P DE UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS El Valor–p de una prueba de hipótesis, o probabilidad de cola, es el valor del área de la cola (o colas), a partir del valor observado y representa el nivel de significancia obtenido con la muestra. Si esta probabilidad es pequeña, es un indicativo de que los datos de la muestra no apoyan a la hipótesis nula propuesta pues el valor del estadístico de la prueba se ubica lejos del valor propuesto para el parámetro. Pero si esta probabilidad es grande, significa que los datos de la muestra no contradicen a la hipótesis nula, pues el valor del estadístico se ubica cerca del parámetro.
EJEMPLO Una muestra aleatoria de 100 paquetes mostró un peso promedio de 71.8 gr. con una desviación estándar de 8.9 gr. Pruebe que el peso promedio de todos los paquetes (población) es mayor a 70 gr. El nivel de significancia α no está especificado, por lo tanto lo obtenemos con los datos de la muestra Hipótesis nula Ho: μ = 70 Hipótesis alterna Ha: μ > 70 Valor del estadístico de prueba
Probabilidad de cola P = P(Z ≥ 2.02) = 1 – F(2.02) = 1 – 0.9783 = 0.0217 = 2.17%
Se puede concluir que la prueba tiene una significancia de 2.17% Este valor se denomina Valor–p de la prueba o probabilidad de cola.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS SOBRE LA IGUALDAD DE DOS MEDIAS, CON VARIANZAS CONOCIDAS
En los problemas en donde tenemos muestras X1 y X2 independientes, tomadas de dos poblaciones con medias m1 y m2 y sus respectivas varianzas, la hipótesis estadísticas relacionadas con diferencias de medias poblacionales vienen expresadas como sigue:
PRUEBAS PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS POBLACIONALES EN RELACIÓN A MEDIAS MUESTRALES
PRUEBAS PARA MEDIAS POBLACIONALES CON ANÁLISIS DE MEDICIONES EN PAREJA
Existen problemas en donde las pruebas se presentan en forma dependiente. Por ejemplo se puede dar el caso en el que se hacen observaciones repetidas en la misma unidad de muestreo y por lo tanto se debe idear un mecanismo de análisis de mediciones que se presentan por parejas.
Utilizando la distribución t de Student
Ejercicio:
En una planta eléctrica se supone que la presión en cierta línea se mantiene a un promedio de 102 lb/pulg2 en un período de cuatro horas con una desviación estándar de 3 lb/pulg2. Si la presión media es mayor que 102 lb/pulg2 durante un período de 5 horas, podrían surgir problemas graves. Durante un período de 5 horas, se toman 40 mediciones al azar, obteniendo una presión media de 105 lb/pulg2. Con base a estas mediciones ¿Es probable que se presenten problemas graves en el funcionamiento de la planta eléctrica, a un nivel de significación del 5%?
