UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS, FÍSICAS Y QUÍMICAS CARRERA: INGENIERIA CIVIL PROYECTO DE MÉTODOS NUMÉRICOS NIVEL: CUARTO´´C´´ NIVEL: CUARTO´´C´´ MATERIA: MÉTODOS MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS DOCENTE: ING. DOCENTE: ING. MANUEL SALTOS INTEGRANTES: JORGE DANIEL TUMBACO MOREIRA JIMMY CESAR ZAMBRANO CEDEÑO MIGUEL ANGEL ANGEL PIN ZAMBRANO ZAMB RANO JOFFRE ANDRES GUILLEN MENDOZA EDIN JOSE PALACIOS FEC!A: "# FEC!A: "# DE AGOSTO DEL "$%&
INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA O SPLINES INTRODUCCIÓN En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable denida en porciones mediante polinomios. En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. ara el ajuste de curvas, los splines se utilizan para apro!imar formas complicadas. "a simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los #acen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los grácos por ordenador.
MATLAB es un entorno de computación y desarrollo de aplicaciones totalmente integrado orientado para llevar a cabo proyectos en donde se encuentren implicados elevados cálculos matemáticos y la visualización gráca de los mismos. $%&"%' integra análisis numérico, cálculo matricial, proceso de se(al y visualización gráca en un entorno completo donde los problemas y sus soluciones son e!presados del mismo modo en que se escribirían tradicionalmente, sin necesidad de #acer uso de la programación tradicional.
OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL.
)ealizar la programación de segmentaria en el programa denominado matlab.
ejercicios de interpolación de entorno computacional
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
*omprender las propiedades de las interpolaciones segmentarias.
*onocer las aplicaciones que encontramos en +matlab para obtener un mejor desenvolvimiento.
"ograr un entendimiento óptimo de la interpolación segmentaria y el programa matlab que nos permita lograr un mejor trabajo investigativo.
MARCO TEORICO El término -spline- #ace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. "os splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. "as funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.
TIPOS SPLINE LINEAL "os splines de grado son funciones polinomiales de grado /)ectas de la forma f/!01a!2b0 que se encargan de unir cada par de coordenadas mediante una recta. 3ados los n2 puntos4
5na función spline de grado que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos /ar coordenados0 mediante segmentos de recta, como se ilustra en las siguientes guras4
*laramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado . %sí, se tiene que para este caso4
SPLINE CUADRATICA "os polinomios /!0 a través de los que construimos el 6pline tienen grado 7. Esto quiere decir, que va a tener la forma /!0 1 a!8 2 b! 2 c *omo en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener 9: ecuaciones /donde 9 son los puntos sobre los que se dene la función0. "a interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos /!0 va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones4 •
;ue las partes de la función a trozos /!0 pasen por ese punto. Es decir, que las dos n/!0 que rodean al f/!0 que queremos apro!imar, sean igual a f/!0 en cada uno de estos puntos.
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;ue la derivada en un punto siempre coincida para ambos -ladosde la función denida a trozos que pasa por tal punto com &enemos ? incógnitas por cada /!0. En un caso sencillo con f/!0 denida en tres puntos y dos ecuaciones /!0 para apro!imarla, vamos a tener seis incógnitas en total. ara resolver esto necesitaríamos seis ecuaciones, pero vamos a tener tan sólo cinco4 cuatro que igualan el /!0 con el valor de f/!0 en ese punto /dos por cada intervalo0, y la quinta al igualar la derivada en el punto com
6e necesita una se!ta ecuación, =de dónde se e!trae> Esto suele #acerse con el valor de la derivada en alg
SPLINE CUBICA *ada polinomio /!0 a través del que construimos los 6plines en @m,nA tiene grado ?. Esto quiere decir, que va a tener la forma /!0 1 a!B 2 b!8 2 c! 2 d En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo /a,b,c,d0, y una nueva condición para cada punto com
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;ue las partes de la función a trozos /!0 pasen por ese punto. Es decir, que las dos n/!0 que rodean al f/!0 que queremos apro!imar, sean igual a f/!0 en cada uno de estos puntos. ;ue la derivada en un punto siempre coincida para ambos -ladosde la función denida a trozos que pasa por tal punto com
"a forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines c
Splines c!ic"s n#$%&#les4 "a forma más típica. "a derivada segunda de se #ace C para el primer y
el conjunto de 6plines, esto son, los puntos m y n en el intervalo @m,nA. 3ar los valores de la derivada segunda de m y n de forma -manual-, en el conjunto de splines denidos en el intervalo @m,nA. Dacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines denidos en el intervalo @m,nA.
Splines c!ic"s s%'e$"s( "a derivada primera de debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y
EJERCICIO EN MATLAB
EJERCICIO eamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos4
rocedamos a calcular la interpolación por splines de grado 7. rimero que nada, vemos que se forman tres intervalos4 @ A @ A @F ,G ,G , H.I ,H.I ,?A En cada uno de estos intervalos, debemos denir una función polinomial de grado 7, como sigue4
Dacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que4
%sí, se forman las siguientes ecuaciones4
Dasta aquí, tenemos un total de J ecuaciones con F incógnitas. El siguiente paso es manejar la e!istencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 7, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden K:1, es decir, primera derivada continua. *alculamos primero la primera derivada4
emos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son ! 1 H.I y ! 1 G. or lo tanto para que s L/!0 sea continua, se debe cumplir que4
&ambién debe cumplirse que4
%sí, tenemos un total de M ecuaciones vs. F incógnitasN esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia a 1 C. 3e esta forma, tenemos un total de M ecuaciones con M incógnitas. Estas son las siguientes4
Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial4
6e obtiene la siguiente solución4
6ustituyendo estos valores /junto con a 1 C0, obtenemos la función spline cuadrática que interpola la tabla de datos dada4
"a gráca que se muestra a continuación, contiene tanto los puntos iníciales de la tabla de datos, así como la spline cuadrática.
CONCLUSIONES
Es a menudo más conveniente dividir el intervalo de interés en subintervalos más peque(os y usar en cada subintervalos
polinomios de grado relativamente bajo, tratando de que la función a trozos denida de este modo tenga un aspecto nal adecuado al fenómeno que estamos representando. "a idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.
odemos decir, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno denido en un intervalo y que se unen entre sí bajo ciertas condiciones de continuidad. *abe mencionar que entre todas, las splines c
"a realización de este trabajo en un lenguaje de programación nos proporcionara mayores destrezas en un ámbito académico.
)EBGRAFÍA
#ttp4OOPPP.monograas.comOtrabajosHOmatlabOmatlab.s#tml #ttp4OOesfm.egorma!imenKo.comOnumericalQmet#odsOprogQc ubicQsplines.pdf #ttp4OOPPP..unju.edu.arOmateriasOmateriaO*9OdocumentO&eo riaQ*alculoOR9&E)S"%*RT3?9QQ3EQQ6"R9E6.pdf> cid)eq1*9 #ttp4OOinterpolacion.PiKidot.comOspline:ejercicios
