prolin

EJERCICIOS Ejercicio 1.- (P.L.I.) Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultáneamente las inecuaciones: x ≤ 2; x ≥ – 2; y ≤ 1 (León. (León. Junio 1990 ) Solución:

1 -2

0

2

Ejercicio 2.- (P.L.I.) Describir mediante un sistema de desigualdades la región interior del polígono convexo con vértices en los puntos: O(0,0) , A(0,4), B(4,0), C(3,3). ( Madrid. Junio 1995) Solución: x ≥ 0; y ≥ 0; 3x + y ≤ 12; x + 3y ≤12. Ejercicio 3.- (P.L.I.) Escribe inecuaciones que definan una región plana cerrada de modo que los puntos (1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha región, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representación gráfica de la región que elijas. (León. Junio 1993) Solución: x ≥ 0; y ≥ 0; x + y ≤ 3; x + y ≥ 1. Ejercicio 4.- (P.L.I.) Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solución común el interior de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones) (Cantabria. Junio 1991) 1991) Solución: x ≥ 0; y ≥ 0; 2x + y ≤ 2. Ejercicio 5.- (P.L.I.) Se considera el recinto plano de la figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de las rectas asociadas a las desigualdades. Hallar las inecuaciones que definen el recinto. Maximizar la función Z = 3x – 6y sujeta a las restricciones del recinto. Solución: El recinto queda delimitado por las inecuaciones: y ≤ 3; x – y ≤ 0; 3x – y ≥ 0. El máximo se alcanza en O y vale 0.

I.E.S. Bajo Guadalquivir

1

Ejercicio 6.Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2. ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? ( Universidades Universidades de Galicia. Junio 1996 ) Solución: El máximo se alcanza en el punto (3,2) y vale 19. Ejercicio 7.Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. (Universidades (Universidades Andaluzas. Junio 1996 ) Solución: El mínimo se alcanza en el punto (0,4) y vale 8. Ejercicio 8.Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x + 2y restricciones: x + y − 2 ≥ 0; x − y + 2 ≥ 0; x ≤ 3; y ≥ 1; y ≤ 3 (Madrid. 1990 )

−

2, sometida a las

Solución: El máximo se alcanza en el punto (3,3) y vale 7. El mínimo se alcanza en el punto (1,1) y vale 1. Ejercicio 9.Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 1996). 1996) . Solución: Tiene que repartir 50 impresos de la empresa A y 100 de la empresa B, y su beneficio será de 950 ptas. Ejercicio 10.Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991) Solución: Las ganancias son máximas cuando el avión A hace 120 vuelos y el B 80. El consumo de combustible es mínimo cuando cada avión hace 30 vuelos.


2

Ejercicio 6.Dada la región del plano definida por las inecuaciones: x + y – 1 ≥ 0; 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2. ¿Para qué valores de la región es máxima la función Z = 5x + 2y? ( Universidades Universidades de Galicia. Junio 1996 ) Solución: El máximo se alcanza en el punto (3,2) y vale 19. Ejercicio 7.Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones: x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor. (Universidades (Universidades Andaluzas. Junio 1996 ) Solución: El mínimo se alcanza en el punto (0,4) y vale 8. Ejercicio 8.Hallar los valores máximo y mínimo de la función f(x,y) = x + 2y restricciones: x + y − 2 ≥ 0; x − y + 2 ≥ 0; x ≤ 3; y ≥ 1; y ≤ 3 (Madrid. 1990 )

−

2, sometida a las

Solución: El máximo se alcanza en el punto (3,3) y vale 7. El mínimo se alcanza en el punto (1,1) y vale 1. Ejercicio 9.Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? (Cataluña. Junio 1996). 1996) . Solución: Tiene que repartir 50 impresos de la empresa A y 100 de la empresa B, y su beneficio será de 950 ptas. Ejercicio 10.Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias? ¿Cuántos ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de combustible sea mínimo? (Murcia. Junio 1991) Solución: Las ganancias son máximas cuando el avión A hace 120 vuelos y el B 80. El consumo de combustible es mínimo cuando cada avión hace 30 vuelos.


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Ejercicio 11.En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si se vende toda la producción, ¿cuántas de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación? (Universidad ( Universidad de Murcia. Junio 1996 ) 1996 ) Solución: Deberá producir 200 bombillas normales y 300 halógenas, y su facturación será de 270000 ptas. Ejercicio 12.Maximizar la función F(x,y) = 3x + 2y en el dominio: y + 2x ≥ 0; 3y – x ≤ 1 ; 2 ≥ x ≥ 0; y ≥ 0 (Córdoba. Junio 1995 ) Solución: El máximo se alcanza en el punto (2,1) y vale 8. Ejercicio 13.Maximizar la función Z = 0.75x + y, sujeta a: x + 3y ≤ 15; 5x + y ≤ 20; 3x + 4y ≤ 24; x ≥ 0 ; y ≥ 0 ¿Es única la solución? (Alicante. Junio 1990 ) Solución:

⎛ 27 21 ⎞ ⎛ 56 10 ⎞ , ⎟ y⎜ , ⎟. ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 17 17 ⎠

El máximo se alcanza en el segmento que une los puntos ⎜

Ejercicio 14.Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27.5 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0 .5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación programación lineal, el número de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo. (Universidades (Universidades de Castilla y León. Septiembre 1997 ) 1997 ) Solución: Debe hacer 16 docenas y media de pasteles de tipo P y 11 docenas de tipo Q. Ejercicio 15.Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten tres días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones de pesetas y por cada automóvil 2 millones de pesetas, ¿cuántas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias? Solución: Deben fabricar 66 coches y 24 camiones.


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Ejercicio 16.Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: x − 4y ≥ − 4; x + 2y − 4 ≤ 0; x ≥ 0 ; y ≥ 0. Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vértices. b) Razonar si es posible maximizar en él la función f(x,y) = x + 2y . c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza. (Jaén. Junio 1995 ) Solución:

⎛ 4 4 ⎞ , ⎟ ; (0,1) ⎝ 3 3 ⎠

a) (0.0); (4,0); ⎜

b) El máximo se alcanza porque el recinto es acotado.

⎛ 4 4 ⎞ , ⎟. 3 ⎝ 3 ⎠

c) Se alcanza en el segmento que une los puntos (4,0) y ⎜

Ejercicio 17.a) Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales: x + 2y ≤ 10; x + y ≥ 2; x ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0 b) Hallar el máximo y el mínimo de F(x,y) = x − 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior. (Zaragoza. 1991) Solución: El máximo se alcanza en el punto (8,0) y vale 8. El mínimo se alcanza en el punto (0,5) y vale −15. Ejercicio 18.Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. (La Laguna. 1992) Solución: El coste mínimo de la producción es de 150000 ptas. fabricando 1000 unidades de la clase B y ninguno de la A. El coste máximo de la producción es de 550000 ptas. fabricando 2000 unidades de la clase A y 1000 de la clase B. Ejercicio 19.Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostinos, 5 cajas de nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300000 pesetas cada uno. ¿Cuántos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mínimas con el menor coste posible? (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 1997) Solución: Debe pedir 3 contenedores al mayorista A y 2 al B.


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Ejercicio 20.Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un máximo de 1500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo Bae se vende a 10000 pesetas y el modelo Viz a 12000 pesetas, ¿qué cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual? Solución: Debe fabricar 300 sobreros de cada tipo para obtener el máximo beneficio (6600000 ptas.) Ejercicio 21.Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1000000 ptas. en salarios y 1800000 ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

Coste salarial Coste energético

A 200 100

B 100 300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. (Universidades Andaluzas. Septiembre 1997 ). Solución: Debe producir 3600 unidades del producto A y 5200 del B. Ejercicio 22.Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. (Universidades Andaluzas. Junio 1996) Solución: Se deben producir 30/7 unidades de vino y 2/7 de vinagre. El beneficio máximo es de 24000/7 ptas. Ejercicio 23.La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kg. La fabricación de un kg de A cuesta 180 ptas., y uno de B, 150. Calcule cuántos kg de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 270000 ptas/día y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B.(Las Palmas de Gran Canaria. Junio 1991) Solución: Deben fabricarse 100 kg de helado del tipo B.


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Ejercicio 24.Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:

Producto A Producto B

Proteínas 2 1

Hidratos 6 1

Grasas 1 3

Coste(kg) 600 400

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo? (Universidad de La Laguna. Junio 1997) . Solución: Debe comprar 3 kg. del producto A y 2 del B. Ejercicio 25.Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo. (Universidades Públicas de la Comunidad de Madrid. Septiembre 1996) Solución: Deben producirse 150 litros de colonia del tipo B y ninguno del A. El beneficio máximo es de 300000 ptas. Ejercicio 26.Una persona tiene 500000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300000 pesetas en A y como mínimo 100000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500000 pesetas para maximizar sus intereses anuales? (Universidad de Castilla y León. Junio 1996 ). Solución: Debe invertir 300000 ptas. en acciones del tipo A y 200000 en acciones del tipo B. Ejercicio 27.Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca K P N Precio A 4 6 1 15 B 1 10 6 24 ¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N? (Valencia. 1993) Solución: Hay que mezclar medio paquete del abono A con 2 paquetes del abono B.


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Ejercicio 28.- (P.T.) Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

P Q

R 1 2

S 3 1

T 1 1

Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo. (Extremadura. 1993) Solución: La distribución en toneladas de carne es la siguiente: R S T P 20 0 6 Q 0 22 8 Ejercicio 29.- (P.T.) Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro: Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 A 10 15 20 B 15 10 10 Planificar el transporte para que el coste sea mínimo. (Salamanca. Junio 1992). Solución: La distribución, en toneladas, debe ser la siguiente: Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3 A 8 2 0 B 0 6 9 Ejercicio 30.Se desea obtener tres elementos químicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y los de B que han de tomarse para que el coste sea mínimo si un kilo de A vale 200 ptas. y uno de B 1000 ptas. ¿Puede eliminarse alguna restricción? (Zaragoza. Junio 1990) Solución: El coste es mínimo tomando 2 kg de la sustancia A y ninguno de B. Se puede eliminar la restricción/condición sobre el tercer elemento.


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Ejercicio 31. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:

• • •

No debe tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A.

Si 100g de A contiene 450 calorías y 100 g de B 150, ¿cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más pobre en calorías? (País Vasco. 1992) Solución: Debe mezclar 25g de cada producto. Ejercicio 32.Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeños, 6000 ptas. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? (País Vasco. Junio 1990) Solución: El viaje será más económico alquilando 5 autobuses pequeños y 4 grandes. Ejercicio 33.Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2 metros y tales que la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. ¿Cuál es el máximo valor del perímetro de dichas mesas? (Universidad de Murcia. Septiembre 1996) Solución: El perímetro máximo es 6 m. Ejercicio 34.Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: • La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. • La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. • Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio. (Universidad de Cantabria. Junio 1997). Solución: Si x representa los kilos del producto A e y los de B, la función objetivo es: f(x,y) = 7mx + 6my. Las inecuaciones son: y ≤ 2x; x ≤ 2y; 0 ≤ x ≤ 10; 0 ≤ y ≤ 15; 3x + 2y ≤ 30. Hay que producir 15/2 kg del producto A y 15/4 del B.


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Ejercicio 35.Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25000 ptas. por electricista y 20000 por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio? (Universidad de Murcia. Junio 1998) Solución: Deben elegirse 20 electricistas y 30 mecánicos. Ejercicio 36.Un fabricante de alfombras dispone de las siguientes existencias de lana: 500 kg. de color azul, 400 kg. de color verde y 225 kg. de color rojo. Desea fabricar alfombras de dos tipos que llamaremos A y B. Las del tipo A llevan 1 kg. de lana azul, y 2 kg. de lana verde. Las del tipo B, 2 kg. de lana azul, 1 kg. de verde y 1 kg. de lana roja. Por cada alfombra del tipo A obtiene un beneficio de 2000 ptas. y 3000 por cada una del tipo B. ¿Cuántas alfombras debe fabricar de cada clase para que la ganancia sea máxima? Solución: Debe fabricar 100 alfombras de la clase A y 200 de la clase B. Ejercicio 37.Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≤ 2; 2x ≤ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0 Solución: No tiene solución. Ejercicio 38.Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≥ 2; 2x ≤ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0 Solución: El mínimo se alcanza en el punto (-2,4). Ejercicio 39.Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≥ 2; 2x ≥ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0 Solución: El mínimo se alcanza en el punto

⎛ 1 , 3 ⎞ . ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

Ejercicio 40.Minimizar la función F = 12x + 4y sujeta a las siguientes restricciones: x + y ≤ 2; 2x ≥ 1; y ≤ 4; x – y ≤ 0 Solución: El mínimo se alcanza en el punto


⎛ 1 , 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 2 ⎠

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Ejercicio 41.En una urbanización se va a construir casas de dos tipos, A y B. La empresa constructora dispone de 300 millones de ptas. siendo el coste de las casas del tipo A de 6.5 millones de ptas. y el de las del tipo B, 4 millones. Además las casas del tipo A han de ser al menos el 40% del total y las del tipo B, al menos el 20%. Determinar cuántas casas hay que fabricar de cada tipo para que, siendo 1.5 millones de ptas. el beneficio producido por cada casa tipo A, y 1 millón el proporcionado por las del tipo B, el beneficio se máximo. Solución: Deben construirse 24 casas del tipo A y 36 del tipo B. Ejercicio 42.En una fábrica de dulces se producen dos tipos de pasteles. Uno de ellos lleva 2 huevos, 50 gr. de harina y 20 gr. de azúcar. El otro tipo lleva 2 huevos, 40 gr. de harina y 25 gr. de azúcar. Si se dispone de 15 kg. de harina, 7 kg. de azúcar y 50 docenas de huevos, y el fabricante ha de servir al menos 100 pasteles del primer tipo y 150 del segundo, se pide: Calcular el número de pasteles que deben producirse de cada clase para que, siendo 12 ptas. el beneficio que produce cada pastel del primer tipo y 10 las del segundo, el beneficio sea máximo. Solución: Deben producirse 375 pasteles de la primera clase y 250 de la segunda. Ejercicio 43.- (P.T.) Una empresa posee dos fábricas F1 y F2 que producen 80 y 100 unidades respectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros de consumo C1, C2 y C3, que necesitan 50, 70 y 60 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla: C1 C2 C3 F1 50 100 90 F2 100 75 120 ¿Cómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? Solución: F1 F2

C1 50 0

C2 0 70

C3 30 30

Ejercicio 44.Los abonos A y B se obtienen mezclando cierto sustrato con dos fertilizantes F1 y F2 en las siguientes proporciones: A B F1 100 g/kg 50 g/kg F2 70 g/kg 80 g/kg La cantidad disponible de los fertilizantes F1 y F2 son 39 kg y 24 kg. El beneficio que producen los abonos A y B son 75 céntimos/kg y 60 céntimos/kg. ¿Cuántos kilos se deben fabricar de cada tipo de abono para maximizar el beneficio? Solución: Se deben fabricar 320 kg de abono del tipo A y 100 del tipo B.


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Ejercicio 45.Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m 2 de tejido de algodón y 1000 m2 de tejido sintético. Cada pantalón precisa de 1 m 2 de algodón y 2 m 2 de tejido sintético, y cada chaqueta de 1.5 m2 de algodón y 1 m2 de tejido sintético. Si el precio de venta del pantalón es de 5000 ptas. y el de la chaqueta 4000 ptas., ¿cuántos pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para que el importe de la venta sea máximo? Solución: Debe suministrar 300 chaquetas y ningún pantalón. Ejercicio 46.Una persona desea adelgazar. En la farmacia le ofrecen dos compuestos A y B para que tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes condiciones: No debe tomar más de 150 g de la mezcla, ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser mayor o igual que la de B. No debe incluir más de 100 g del compuesto A. Se sabe que cada 100 g de A contienen 30 mg de vitaminas y cada 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas. a) (2 puntos) Formule matemáticamente el conjunto de restricciones, dibuje la región factible y determine sus vértices. b) (1 pun to ) ¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas? Solución: Debe tomar 100 g. del compuesto A y 50 del compuesto B. Ejercicio 47.En una confitería se dispone de 24 kg de polvorones y 15 de mantecados, que se envasan en dos tipos de caj as de la siguiente forma: Caja 1: 200 g de polvoron es y 100 de mantecad os. Precio 4€. Caja 2: 200 g de polvorones y 300 de mantecados. Precio 6 €. ¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo ingreso? Solución: Se deben preparar 105 cajas del tipo 1 y 15 del tipo 2, y los ingr esos serán 510€. Ejercicio 48.- (P.T.) Dos fábricas F1 y F2 que producen 40 y 50 unidades respectivamente de un determinado producto. Deben abastecer a tres centros de consumo C1, C2 y C3, que necesitan 20, 45 y 25 unidades respectivamente. El coste del transporte de cada fábrica a cada centro de consumo, en euros por unidad, viene dado en la siguiente tabla: C1 C2 C3 F1 50 100 150 F2 100 75 140 ¿Cómo ha de realizarse el transporte para que sea lo más económico posible? Solución: F1 F2


C1 20 0

C2 0 45

C3 20 5

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Ejercicio 49.Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P1 y P2 cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los siguientes: A B P1 2 6 P2 4 3 Si el kg de pienso P1 vale 0.4 euros y el de P2 vale 0.6 euros, ¿cómo debe suministrar las vitaminas requeridas en un coste mínimo? Solución: Proporcionando 2/3 Kg. de cada pienso.. Ejercicio 50.(3 puntos ) Una fábrica produce dos tipos de juguetes, muñecas y coches teled irigidos. La fábrica puede producir, como máximo, 200 muñecas y 300 c oches. La empresa dispone de 1800 horas de trabajo para fa bricar los juguetes y sabe que la producción de cada muñeca necesita 3 horas de trabajo y reporta un beneficio de 10 euros, mientras que la de cada coche necesita 6 horas de trabajo y reporta un beneficio de 15 euros. Calcule el número de muñecas y de coches que han de fabricarse para que el beneficio global de la producción sea máximo y obtenga dicho beneficio. Solución: Han de fabricarse 200 muñecas y 200 coches, y en tal caso el beneficio es 5.000 euros. Ejercicio 51.(3 puntos) Una empresa gana 150 euros por cada Tm de escayola producida y 100 euros por cada Tm de yeso. La producción diaria debe ser como mínimo de 30 Tm de esca yola y 30 Tm de yeso. La cantidad de yeso no puede superar en más de 60 Tm a la d e escayola. El triple de la cantidad de escayola, más la cantidad de yeso, no puede superar 420 Tm. Calcule la cantidad diaria que debe producirse de cada material, para obtener la máxima ganancia y determine dicha ganancia. Solución: Debe producirse 90 Tm de escayola y 150 de yeso, y la ganancia será 28.500€. Ejercicio 52.Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1000 ptas/kg y el precio del rape es de 1500 ptas/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? Solución: 2000 kg de rape y 1000 de merluza. Ejercicio 53.Minimizar z = 15x + 33y , sujeta a 3x + 2y ≥ 6; 6x + y ≥ 6; x ≥ 0; y ≥ 0 Solución: El mínimo de z es 30 y se alcanza en el punto (2 ,0).


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Ejercicio 54.Para abonar una parcela de huerta se necesitan, por lo menos, 8 kg de nitrógeno y 12 kg de fósforo. Se dispone de un producto M cuyo precio es de 3 euros por kilogramo y que contiene un 10 % de nitrógeno y un 30 % de fósforo y otro producto N que contiene un 20 % de nitrógeno y un 20 % de fósforo, y cuyo precio es de 4 euros por kilogramo. ¿Qué cantidades se deben tomar de M y N para abonar la parcela con el menor gasto posible? Solución: 20 kg de producto M y 30 de N. Ejercicio 55.Un barco se dedica al transporte de mercancías y pasajeros entre dos puertos d e la costa mediterr ánea. En concreto, transporta vehículos de dos modelos X e Y. Cada coche del modelo X ocupa 7 m 2 y cada uno del modelo Y ocupa 4 m 2. La superficie disponible para transporte de coches es de 28 m 2, y, por otra parte, existe un contrato que prohíbe transportar en cada trayecto más de 5 coches. Si el beneficio neto por transportar cada coche del modelo X es de 200€ y de 150€ por cada uno del modelo Y, ¿cuántos coches deberá transportar por trayecto con el fin de maximizar los beneficios? Solución: Debe transportar 3 coches del tipo X y 2 del tipo Y. Ejercicio 56.Una empresa fabrica dos clases de lápices. De la clase A a 20 ptas. unidad y de la clase B a 15 ptas. unidad. En la producción diaria se sabe que: el número de la clase B no supera en 1000 unidades a los de A; entre las dos clases no superan a 3000 unidades y los de la clase B no bajan de 1000 unidades. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria. Solución: El coste mínimo de la producción es de 15000 ptas. fabricando 1000 unidades de la clase B y ninguno de la A. El coste máximo de la producción es de 55000 ptas. fabricando 2000 unidades de la clase A y 1000 de la clase B. Ejercicio 57.Sea el siguiente sistema de inecuaciones: −5x +3y ≤ 2; − x + 2y ≥ 6; 2x + 3y ≤ 37 a) (2.25 punt o s) Represente el conjunto solución y determine sus vértices. b) (0.75 puntos) Halle el punto del recinto anterior en el cual la función F(x, y) = −2x + 5y alcanza su valor máximo.

(5,9) (8,7) (2,4)

Solución: El máximo se alcanza en el punto (5,9) y vale 35. Ejercicio 58.De todas las soluciones posibles del sistema 2x + 5y ≤ 20; 5x + 2y hallar la que m aximiza la función objetivo z = 2x + 7y.

≤

20; x ≥ 0; y ≥ 0,

Solución: El máximo se alcanza en el punto (0,4) y vale 28.


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Ejercicio 59.(3 puntos) Una empresa fabrica sofás de dos tipos, A y B, por los que obtiene un beneficio, por unidad, de 1500 y 2000 euros, respectivamente. Al menos se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 10 del tipo B, por semana, y además, el número de los del tipo A no debe superar en más de 6 unidades al número de los del B. ¿Cuántas unidades de cada tipo se deben fabricar semanalmente para obtener beneficio máximo, si no se pueden fabricar más de 30 sofás semanalmente? Solución: Se deben fabricar 6 sofás del tipo A y 24 del tipo B, y el beneficio será 57000€. Ejercicio 60.a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≤ 6; y ≤ 8; x + 2y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 b) (1 punto) Calcule sus vértices. c) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 20x + 60y

C

B

D

Solución: b) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5) c) El máximo se alcanza en B y vale 600.

A

E jercicio 61.(1 punto) Dibuje el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≤ 6; y ≤ 8; x + 2y ≥ 10; x ≥ 0; y ≥ 0 a) (1 punt o) Calcule sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x,y) = 20 + 60y en dicho recinto.

C

B

D

A

Solución: b) A(6,2), B(6,8), C(0,8), D(0,5) c) El máximo se alcanza en el segmento CB y vale 500. Ejercicio 62.a) (1 punto) Dibuje el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: x + y ≤ 27; x ≥ 12; y ≥ 6 b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto. c) (1 punto) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función F(x,y) = 90x + 60y en el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores?

C

A

B

Solución: b) A(12,6), B(21,6), C(12,15) c) El máximo se alcanza en el punto B y vale 2250 y el mínimo en A y vale 1440. Ejercicio 63.Minimizar z = 2x + 3y , sujeta a las condiciones: 3x + y

≥

3; 2x + 8y

≥

6; x ≥ 0; y ≥ 0.

Solución:

⎛ 9 , 6 ⎞ ⎟ ⎝ 11 11 ⎠

El mínimo se alcanza en el punto ⎜


y vale

36 11

.

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Ejercicio 64.Dos abonos A y B, están compuestos por los tres mismos componentes: P, Q y R, aunque en distinta proporción. El abono tipo A, cuyo precio es de 12 ptas/kg. consta de 2 unidades de P, 2 de Q y 1 de R; el abono tipo B, cuyo precio es de 15 ptas./kg. consta de 1 unidad de P, 2 de Q y 2 de R. Si el abono necesario para determinada plantación es de 8, 10 y 6 unidades de P, Q y R, respectivamente, ¿cuál es la combinación de los abonos t ipo A y B que supone un coste mínimo? Solución: 4kg del abono A y 1kg del abono B y el coste mínimo es 63 ptas. Ejercicio 65.Maximizar z = 3x + 2y sujeta a: –7x + 5y ≤ 10; –7x + 3y ≥ –15; 2x – 3y ≤ –10; x ≥ 0; y ≥ 0 Solución: El máximo es 47.5 y se alcanza en el punto (7.5, 12.5) Ejercicio 66.Maximizar z = x + y sujeta a: x + 3y ≤ 26; 4x + 3y ≤ 44; 2x + 3y

≤

28; x ≥ 0; y ≥ 0

Solución: El máximo es 1 2 y se alcanza en el punto (8, 4). Ejercicio 67.Una empresa fabrica dos tipos de televisores : en color y en blanco y negro. Todos ellos han de pasar por los departamentos de electrónica y de montaje; cada departamento dispone semanalmente de 100 horas. Un televisor en color necesita 3 horas en el departamento de electrónica y de 1 hora en el de montaje, mientras que uno e n blanco y negro requiere 1 y 2 horas respectivamente. ¿Qué cantidad de televisores de cada tipo han de fabricarse semanalmente para que, siendo el beneficio que produce uno de color de 5000 ptas. y uno de blanco y negro 4000 ptas., el beneficio sea máximo? Solución: 20 en color y 40 en blanco y negro y el beneficio es de 26 0000 ptas. Ejercicio 68.Se considera la región del plano determinada por las inecuacion es: x + 3 ≥ y ; 8 ≥ x + y ; y ≥ x - 3 ; x ≥ 0; y ≥ 0 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el pu nto de esa región en el que la función F( x,y ) = 6 x + 4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor. Solución: a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5), C(0, 3), D(0, 0), E(3, 0) b) El máximo se alcanza en el punto A y vale 43.


B

C

A

D E

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Ejercicio 69.Una fábrica de muebles tiene almacenada de 1200 m 3 de madera de ébano y 1500 m3 de madera de pino, con los cuales fabrica dos clases de muebles, A y B. En la fabricación de los muebles del tipo A utiliza 1 m3 de ébano y 3 m 3 de pino; en la de los del tipo B ut iliza 3 m3 de ébano y 2 m 3 de pino. Si el precio de venta de l os muebles tipo A y B es de 50000 y 60000 ptas. respectivamente, calcular el número d e muebles que han de fabricarse de cada tipo para que el importe de la venta sea el m áximo posible. Solución: 300 muebles de cada tipo y el importe de la venta será 33 millones de pesetas. Ejercicio 70.Cierto laboratorio ha sido inform ado de que ha de proporcionar como mezcla para la fabricación de un producto H, dos materias primas A y B. De A debe poner 40 mg. y de B 45 mg. Se pone en contacto con un fabricante que le ha ofrece dos tipos de producto H, cuyas características son: Pr od uc to m g d e A m g d e B Pr ec io p tas ./m g H1 4 9 35 H2 10 5 50 ¿Qué cantidad de cada tipo de producto habrá d e comprar el laboratorio si quiere f abricar un producto H idóneo con un coste mínimo? Solución:

25 7

mg. de H1 y

18 7

mg. de H2.

Ejercicio 71.Una empresa pro duce dos tipos de componentes eléctricos (A y B). El tiempo requerido para la fabricación del componente A es el doble que para la B, y es conocido que si únicamente fabricara componentes tipo B podría hacer un máximo de 5000 al día. El sum inistro de material para cierto mes hace posible, como máximo, la fabricación de 400 0 componentes diarios (incluyendo ambos tipos). Sabiendo que los márgenes comerciales (beneficios) son de 200 ptas. por cada componente tipo A y de 150 ptas. por cada componente de tipo B, contestar justificando la respuesta: a) ¿Cuántos componentes de cada tipo deberá fabricar diariamente durante dicho mes con objeto de maximizar su beneficio? b) ¿Cuál sería el beneficio máximo? Solución: a) 2500 componentes A y 1500 componentes b. b) 725000 pesetas. Ejercicio 72.Una ganadería desea proporcionar a su ganado una dieta que con tenga un mínimo de 24 unidades del pienso A y un mínimo de 25 unidades del pienso B. En el mercado se comercializan dos tipos de compuestos C1 y C2, elaborados co n ambos piensos. El paquete de C1 contiene 1 unidad de A y 5 de B, s iendo su precio 100 ptas. y el de C2 contiene 4 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 300 ptas. ¿Que cantidades de C1 y de C2 deberá emplear la ganadería para preparar su dieta con el mínimo coste? Solución: 4 paquetes de C1 y 5 de C2, siendo el coste 1900 ptas.


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Ejercicio 73.Maximizar z = x + y sujeta a: x + 3y ≤ 26; 4x + 3y ≤ 44; 2x + 3y

≥

28; x ≥ 0; y ≥ 0

Solución: El máximo es 12.666 y se alcanza en el punto (6, 6.666) Ejercicio 74.Minimizar F(x,y) = 2(x – 1) + 3(y + 2) – 3x – 2y – 4, sujeta a las restricciones: x ≥ 0, y ≥ 0, y – x ≤ 2, y + x ≤ 4, y – x ≥ –2 Solución: El mínimo es –2 y se alcanza en el segmento que une (0, 2) con (1, 3). Ejercicio 75.Una empresa textil confecciona dos tipos de camisetas, A y B. El tiempo requerido para la confección de una camiseta tipo A es el doble que para una del tipo B. Teniendo en cuenta el n úmero de operarios de que dispone, se sabe que si únicamente confeccionara camisetas del tipo B, podría hacer 1000 en un día. El sumini stro de material para determinado mes, sólo hace posible la confección de 800 camisetas diarias, (incluyendo ambos tipos). Determinar el número de camisetas de cada tipo que han de confeccionarse diariamente durante dicho mes con objeto de obtener máximo beneficio, sabiendo que cada camiseta tipo A vendida reporta una ganancia de 200 ptas. y cada camiseta tipo B, 150 ptas. Solución: 500 del tipo A y 300 del tipo B, con unas ganancias de 145000 ptas. Ejercicio 76.Una marca comercial prepara dos tipos de pintura (P1 y P2). El bote P1 contiene 1 Kg. de la sustancia A, 2 Kg. de la B y 1 Kg. de la C y el bote de P2 contiene 2 Kg. de A y 1 Kg. de B. La marca comercial dispone en su almacén de 4000 Kg. de A, 5000 Kg. de B y 3000 Kg. de C. Sabiendo que por cada bote de P1 obtiene una ganancia de 200 ptas. y por cada bote de P2, 300 ptas. ¿cuántos botes de cada tipo deberá preparar con objeto de obtener máximo beneficio? Justificar la respuesta. Solución: 2000 botes del tipo P1 y 1000 del tipo P2. Ejercicio 77.Un comerciante acude a cierto mercado a comp rar naranjas con 50000 ptas. Le ofrec en dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 ptas. el kg y las de tipo B a 80 ptas. el kg. Sabiendo que sólo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 Kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el Kg. de naranjas tipo A a 58 ptas. y el Kg. de tipo B a 90 ptas. Contestar justificando las respuestas: a) ¿Cuántos Kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b) ¿Cuál seria ese beneficio máximo? Solución: a) 625 Kg. del tipo A y ninguno del tipo B. b) 12500 pesetas.


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Ejercicio 78.Una empresa construye en dos factorías (F1 y F2) tres tipos de barcos deportivos (A, B y C). La factoría F1 construye en 1 mes: 1 barco t ipo A, 5 tipo B y 1 tipo C, siendo su coste de mantenimiento mensual 6 millones de euros. y F2 construye en un mes: 1 barco tipo A, 1 tipo B y 2 tipo C, siendo su coste mensual 3 millones de euros. La empresa se ha comprometido a entregar anualmente a cierto club náutico, 3 barcos tipo A, 15 tipo B y 12 tipo C. ¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada factoría con objeto de que la empresa cumpla su compromiso con el mínimo coste? Justificar la respuesta. Solución: La factoría F1 debe trabajar 2 meses y la factoría F2 debe trabajar 5 meses. El coste en ese caso es de 24 millones de euros. Ejercicio 79.Para la desinfección de cierta piscina es necesario un mínimo de 24 litros del producto A y un mínimo de 25 litros del producto B. En el mercado se comercializan dos preparados (P1 y P2 ) al precio de 1000 y 3000 pesetas el litro, respec tivamente. En la composición de P1 hay un 10% de A y un 50% de B, y en la de P 2, un 40% de A y un 10% de B. Determinar, justificando la respuesta: a) ¿Cuántos litros de P1 y de P2 tendremos que utilizar para desinfect ar la piscina con el coste mínimo? b) ¿Cuál será el coste mínimo? Solución: a) 40 litros de P1 y 50 de P2. b) 190000 pesetas. Ejercicio 80.Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones: 3x − y ≥ −2; x + y ≤ 10; x + y ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0. Se pide: (a) (1 punto) Dibujarlo y hallar sus vértices. (b) (1 punto) Razonar si es posible maximizar y minimizar en él la función f(x,y) = 3x + y (c) (1 punto) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente indicando en que puntos se consigue el máximo o el mínimo. Solución: a) A(10,0), B(2,8), C(0,2), D(0,0). b) Sí, es posible porque la región factible está acotada. c) El mínimo es 0 y se alcanza en el vértice D. El máximo es 30 y se alcanza en A.

B

C A

D

Ejercicio 81.Se considera la región del primer cuadrante determinada por las ine cuaciones: x + y ≤ 8; x + y ≥ 4; x + 2y ≥ 6. a) (2 puntos ) Dibuje la región y determine sus vértices. D b) (1 punto) Dada la función objetivo F(x,y) = 3x + 2y, halle dónde alcanza dicha función su valor mínimo y calcule éste. E

Solución: a) A(2,2), B(6,0), C(8,0), D(0,8), E(0,4) b) El mínimo vale 8 y se alcanza en el punto E.


A B

C

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Ejercicio 82.Un laboratorio utiliza las sustancias A y B en la elaboración de dos vacunas. La primera se prepara con 2 unidades de A y 1 de B, siendo su precio 3000 ptas. y la segunda se elabora con 2 unidades de A y 3 de B, siendo su precio 4000 ptas. Sabiendo que dicho laboratorio dispone de un total de 400 unidades de A y 300 de B, ¿cuántas vacunas de cada tipo deberá preparar para obtener el máximo beneficio? Solución: 150 unidades de la primera y 50 de la segunda, con un beneficio de 650000 ptas. E jercicio 83.Se dispone de tierras de abono, pero éstas no contienen ni calcio ni potasio. El agricultor necesita que cada Kg. de tierra de abono tenga al menos 12 unidades de Ca y 13 de K. Dispone en el mercado de dos tipos de pastillas A y B cuyos contenidos en unidades de calcio y potasio se dan en el cuadro siguiente: A B

Ca 2 4

K 6 2

Sabiendo que cada pastilla de tipo A cuesta 10 ptas. y cada una del tipo B, 20 ptas. y que no se pueden añadir más de 6 pastillas por Kg. de tierra (ello "quemaría" la cosecha) ¿Cuantas pastillas de tipo A y de tipo B debe añadir a cada Kg. de tierra de abono para cumpl ir los requisitos a un costo mínimo? ¿Cuánto costaría producir una tonelada de tierra de abono (sin c ontar el costo de la tierra)? Solución: Al ser un problema de programación lineal entera la región factible es un conjun to discreto de puntos. Hay 3 combinaciones posibles para minimizar el coste 2 pastillas de cada tipo, 4 de tipo A y una de tipo B y 6 pastillas de tipo A. El coste de una tonelada de tierra de abono es 60000 ptas. Ejercicio 84.El dueño de una papelería dispone de 700 c uadernos, 1200 bolígrafos y 1100 lápices. Desea ponerlos a la venta en lotes de dos tipos, L 1 y L2. Cada lote del tipo L1 está formado por 10 cuadernos, 20 bolígrafos y 10 lápices, y se venderá a 1000 ptas. Cada lote L2 está formado por 10 cuadernos, 10 bolígrafos y 20 lápices, y se venderá a 700 ptas. Calcule: a) (2 puntos) Cuántos lotes conviene hacer de cada tipo para alcan zar un ingreso máximo. b) (1 punto) Cuánto dinero se obte ndrá por la venta de todos esos lote s. Solución: a) 50 lotes L1 y 20 lotes L2. b) 64000 pesetas. Ejercicio 85.Se considera la región del plan o determinada por las inecuaciones: x + 3 ≥ y ; x + y ≥ 8 ; y ≥ x - 3 ; x ≥ 0; y ≥ 0 a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices. b) Hallar el punto de esa región en el que la función F( x,y ) = 4 x + 4y alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor.

B A

Solución: a) A(5.5, 2.5), B(2.5, 5.5)


b) El mínimo es 32 y se alcanza en el segmento AB .

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Ejercicio 86.Un joyero fabr ica dos tipos de anillos de boda. Cada anillo del primer tipo requiere 2 gramos de platino y 1 gramo de oro; cada anillo del segundo tipo requiere 1 gramo de platino y 2 gramos de oro. Los anillos del primer tipo se venden a 6000 ptas./unidad y los del segundo tipo a 4000 ptas./unidad. El joyero dispone de 150 gramos de cada metal y desea fabricar anillos de forma que el beneficio que obtenga sea máximo. a) (1 punto) Plantee el problema y dibuje la región factible. b) (1 punto) Halle cuántos anillos de cada tipo debe vender el joyero para que obtenga el máximo ingreso. c) (1 punto ) Calcule dicho ingreso. Solución: b) 50 anillos de cada tipo.

c) 500000 pesetas.

Ejercicio 87.Una empresa agrícola necesita almacenar sus dos clases de producto s, A y B. Una unidad de producto A ocupa 1.6 m3 y una unidad de producto B ocupa 2.5 m3, siendo la capacidad total del almacén 1000 m 3. El precio de una unidad del producto A es de 120 ptas. y el de una unidad del B es de 130 ptas. Calcule cuantas unidades de cada clase deben producirse para que la diferencia entre los ingresos por venta y los gastos por almacenamiento sea máxima, sabiendo que el coste de cada m 3 de almacén es de 5 ptas. Solución: El beneficio máximo es 70000 ptas. y se obtiene produc iendo 625 unidades del producto A y ninguna del B. Ejercicio 88.Una empresa fabrica dos artículos, A y B. El artículo A cuesta 2000 ptas. y el artículo B cuesta 1500 ptas. Se sabe que el número de unidades fabrica das diariamente del artículo B no supera en 10 unidades a las del artículo A, y que e ntre los dos artículos no se superan diariamente las 30 unidades . También se sabe que la producción del artículo B no baja diariamente de 10 unidades. a) (1 punto) Formule el sistema de inecuaciones asociado al enunciado. b) (1 punto) Dibuje la región factible y determine sus vértices. c) (1 punto ) Halle los costes máximo y mínimo de la producción diaria. Solución: a) y ≤ x + 10; x + y ≤ 30; y ≥10; x ≥ 0. b) A(0, 10); B(20,10); C(10,20) c) El coste mínimo es 15000 pesetas (fabricando sólo 10 artículos B) y el máximo 55000 (fabricando 20 artículos A y 10 B).

C

A

B

Ejercicio 89.Cierto taller se dedica a la r evisión mecánica y eléctrica de dos marcas de Automóviles (A y B). La revisión de un automóvil de la marca A requiere 1 hora de mecánica y 1 hora de electricidad, siendo el precio de la revisión de 7000 ptas, y la revisión de un automóvil de m arca B requiere 1 hora de mecánica y 2 horas de electricidad, siendo su precio de 10000 ptas. Teniendo en cuenta el numero de operarios de que dispone el taller, el máximo número de horas al día qu e puede dedicar a las revisiones mecánicas es de 50 hora y las revisiones eléctricas de 70 horas. ¿Cuántos automóviles de cada marca deberá revisar diariamente el taller con objeto de obtener máx ima ganancia? Solución: 30 de la marca A y 20 de la marca B, obteniendo una ganancia de 350000 ptas.


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Ejercicio 90.Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a) ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b) ¿Qué mezcla hace q mínimo? Solución: a) 60 gramos de A y 30 de B. b) 20 gramos de A y 10 de B. Ejercicio 91.La mejora de tierra para usos urbanos cuesta 400 €/m 2 y para usos agrícolas 300€/m2. Realizando un proyecto de mejora del suelo, el director del proyecto se encuentra con las siguientes condiciones aprobadas en el Ayuntamiento: a) Se deben mejorar al menos 4000 m 2 de tierra destinados a usos urbanos. b) Se deben mejorar al menos 5000 m 2 de tierra destinados a usos agrícolas. c) En total se deben mejorar como máximo 20000 m 2 de tierra destinada a cualquier uso. Hallar cual es el coste mínimo del proyecto. Solució n: El coste mínimo es 3100000 € mejorando 4000 m2 para usos urbanos y 5000 m2 para usos agrícolas. E jercicio 92.(3 puntos) Cierta sala de espectáculos tiene una capacidad máxima de 1500 personas, entre adultos y niños; el número de niños asistentes no puede superar los 600. El precio de la entrada a una sesión de un adulto es de 800 pts, mientras que la de un niño es de un 40 % menos. El número de adultos no puede superar al doble del número de niños. Cumpliendo las condiciones anteriores, ¿cuál es la cantidad máxima que se puede recaudar por la venta d e entradas? ¿Cuántas de las entradas serán de niños? Solución: La recaudación máxima es 1040000 pesetas, que se consigue vendiendo 1000 entradas de adulto y 500 de niño. Ejercicio 93.Sea la función f (x, y ) = 2x − 3y definida en la región

⎧ x − 2y ⎪⎪ 2x − y ⎨0 ≤ y ⎪ ⎪⎩ x

≤ ≥ ≤ ≥

0 0 5 0

a) Representar la región de factibilidad. b) Hallar el máximo de dicha función. Solución: a) A(0,0), B(10,5), C(2.5,5) b) f(10,5) = 5.


C

B

A

21

Ejercicio 94.a) Representa el conjunto de puntos del primer cuadrante que verifican las inecuaciones: x + 3y ≥ 3; x + y ≤ 5; x + 2y ≤ 8. b) Dada la función F(x,y)=3x+5y , calcular los puntos del conjunto anterior donde F toma su valor máximo y su valor mínimo. D

Solución: a) A(3,0), B(5,0), C(2,3), D(0,4), E(0,1) b) F alcanza el máximo (21) en C y el mínimo (4) en E.

C

E A

B

Ejercicio 95.(3 puntos) Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciuda des, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar 1600 personas y 96 toneladas de equip aje. Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B. La contratación de un avión del tipo A cuesta 4 millones de pts y puede transportar 200 personas y 6 toneladas de equipaje; la contratación de uno del tipo B cuesta 1 millón de pts y puede transportar 100 personas y 15 toneladas de equipaje. ¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? Solución: 6 del tipo A y 4 del tipo B y el coste es de 28 millones de pesetas. Ejercicio 96.Un comerciante desea comprar en un mayorista de modas abrigos de dos tipos: de paño a 30000 ptas. y de piel a 50000 ptas. unidad. Dispone de 700000 ptas. para la operación y no precisa más de 20 unidades. Sabiendo que en la venta posterior de cada abrigo gana el 15 % del precio de venta, ¿cuántos abrigos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos? Solución: 15 de paño y 5 de piel para obtener unos beneficios de 105 000 ptas. Ejercicio 97.Un agricultor dispone de 8 invernaderos de características sim ilares, en cada uno de ellos cultivará pimiento o calabacín. En la tabla siguiente aparecen los recursos de que dispone, los que son necesarios (en unidad de recurso por tonelada) para cada cultivo así como la ganancia en millones de pesetas por tonelada que le da cada cultivo. RECURSO

Invernaderos Abono Agua Ganancia por Tm

UNIDADES DE RECURSO POR TONELADA Pimiento calabacín 2 1 1 1 1 2 2 3

TOTAL DE RECURSO 8 5 8

Calcule las cantidades en toneladas que debe cosechar para que la ganancia sea máxima. Solución: Debe cultivar 2 Tm de pimiento y 3 de calabacín.


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Ejercicio 98.- (P.T.) Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 60 0 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en euros por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿C ómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo? Fábrica I Fábrica II

Tienda A 3 2

Tienda B 7 2

Tienda C 1 6

Solución: La distribución de las piezas debe ser la siguiente: Fábrica I Fábrica II

Tienda A 200 800

Tienda B 0 700

Tienda C 600 0

El coste para esta distribución es 4200€. Ejercicio 99.Un industrial quiere invertir hasta un máximo de 25.000 euros en la elaboración de Plata y Bronce, sabiendo que hay unos gastos fijos de 1.900 euros . El coste de cada kg. de Bronce es de 20 0 euros y el de cada kg. de plata de 300 euros y los beneficios que se espera obtener son 100 euros por cada kg. de Bronce y 80 por cada kg. de Plata obtenido. C El proceso de fabricación obliga a elaborar un número de kg. de Bronce comprendido entre 1 3 y 3 5 del número de kg. de B plata. a) Representar el recinto formado por las restricciones A del problema. b) Determinar la función objetivo del industrial y calcular el número de kg. de cada tipo que debe elaborar para maximizar su beneficio mensual. Solución: a) A(0,0), B(63,21), C(55,33). b) f(x,y)= 80x + 100y, que alcanza su máximo produciendo 55 kg. de plata y 33 de bronce (el máximo es 77000€). Ejercicio 100.En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unid ades de A y una de B. El precio del tipo X e s de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidad es con un coste mínimo? (Islas Baleares. Junio 1990) Solución: a) 2.5 unidades de cada sustancia. b) Considerando el problema como un problema de programación lineal entera t iene dos soluciones, 3 unidades de cada sustancia y 5 de la sustancia A y 2 de la B.


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Ejercicio 101.- (P.L.I.) El conjunto de soluciones posibles del problema de programación lineal Mín {5 x + 6 y | x + y ≥ 3 ; – x + y ≤ 1 ; ax + by ≤ 1 ; cx + dy ≤ 1} es un cuadrado, uno de cuyos vértices es el punto (3,2). a) Dibuje la región factible. b) Calcule los números reales a, b, c y d. c) Encuentre el punto donde la función objetivo alcanza el mínimo y calcule el valor de la función en ese punto. C

Solución: a) A(2,1); B(3,2); C(2,3); D(1,2) 1 b) a = 1; b = – 1; c = d = . 5 c) El mínimo es 16 y se alcanza en el punto A.

D A

Ejercicio 102.Sea el conjunto de restricciones siguiente: x + y ≤ 9; x − y ≤ 0; x + 2y ≤ 16; x ≥ 0 a) (1 pun to ) Dibuje la región factible determinada por dichas restriccio nes. b) (1 pun to ) Calcule los vértices de dicha región. D c) (1 punto) Obtenga los puntos en los que la función objetivo F(x, y ) = x + 2y presenta el máximo y el mínimo. Solución: b) A(0,0); B(4.5,4.5); C(2,7); D(0,8) c) El mínimo es F(0,0) = 0 y el máximo F( CD ) = 16.

B

C

B

A

Ejercicio 103.(3 puntos) Una empresa pastelera dispone semanalmente de 1 60 kg de azúcar y de 240 kg de almendra para hacer tortas de almendra y tabletas de turrón. Se necesitan 150 g de almendra y 50 g de azúcar para hacer u na torta de almendra y 100g de almendra y 100 g de azúcar para cada tableta de turrón. El ben eficio neto por la venta de cada torta es 1.75 euros, y por cada tableta d e turrón es de 1 euro. Determine cuántas tortas de almendra y cuántas tabletas de turrón han de elaborarse para obtener la máxima ganancia. ¿Cuál es el beneficio máximo semanal? Solución: Debe elaborar 1600 tortas para obtener un beneficio máximo de 2800€. Ejercicio 104.(3 puntos ) Para fabricar 2 tipos de cable, A y B, que se venderán a 150 y 100 pts el metro, respectivamente, se emplean 16 Kg de plástico y 4 Kg de cobre para cada Hm (hectómetro) del tipo A y 6 Kg de plástico y 12 Kg de cobre para cada Hm del tipo B. Sabiendo que la longitud de cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, no pueden emplearse más de 252 Kg de plástico ni más de 168 Kg de cobre, determine la longitu d, en Hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero o btenida en su venta sea máxima. Solución: Los ingresos máximos son 280000 ptas., que se obtienen vendiendo 14 Hm. de cable del tipo A y 7 Hm. del tipo B.


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Ejercicio 105.(3 puntos) Un ahorrador dispone de 10000 euros para invertir en fondos de dos tipos: A ó B. La inversión en fondos A debe superar los 5000 euros y, además, ésta debe doblar, al menos, la inversión en fondos B. La rentabilidad del pasado año de los fondos A ha sido del 2.7 % y la de los B ha sido del 6.3 %. Suponiendo que la rentabilidad continúe siendo la mism a, determine la inversión que obtenga el máxim o beneficio. Calcule este beneficio. Solución: La inversión óptima es dos tercios en A y un tercio en B, consiguiéndose un beneficio de 390€. Ejercicio 106.a) (1 punto) Represente gr áficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: ⎧ 2x + y ≤ 18

⎪⎪2x + 3y ≤ ⎨ x+y ≤ ⎪ ⎪⎩ x ≥ 0 ;

26 16 y

≥0

b) (1 punto ) Calcule los vértices de ese recinto. c) (1 punto) Obtenga en dicho recinto el valor máximo y el mínimo de la función F(x, y ) = 5x + 3y . Diga en que puntos se alcanzan. Solución: b) A(0,0); B(9,0); C(7,4); D(0,26/3) c) El mínimo es F(0,0) = 0 y el máximo F(7,4) = 47.

D

C

A

B

Ejercicio 107.(3 puntos) Una fábrica de muebles dispone de 600 kg de madera para fabricar librerías de 1 y de 3 estantes. Se sabe que son necesarios 4 kg de madera para fabricar una librería de 1 estante, siendo su precio de venta 20 euros; para fabricar una librería de 3 estantes se necesitan 8 kg de madera y el precio de venta de ésta es 35 euros. Calcule el número de librerías de cada tipo que se deben fabricar para obtener el máximo ingreso, sabiendo que, por falta de otros materiales, no se pueden fabricar más de 120 librerías de 1 estante, ni tampoco más de 70 de 3 estantes. Solución: El ingreso máximo es 2925 €, que se obtiene vendiendo 120 librerías d e un estante y 15 de 3 estantes. Ejercicio 108.Sea el recinto definid o por las siguientes inecuaciones: 5x + 2y − 10 ≥ 0; x − y − 2 ≤ 0; 3x + 4y − 20 ≤ 0; x ≥ 0; y ≥ 0 a) (2 punto s) Dibuj e dicho recinto y determine sus vértices. b) (1 punto) Determine en qué punto de ese recinto alcanza la función F(x, y) = 4x + 3y el máximo valor. C

Solución: a) A(2,0); B(4,2); C(0,5) c) El máximo es F(4,2) = 22.

B

A I.E.S. Bajo Guadalquivir

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Ejercicio 109.Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 120; 3y ≤ x ; x ≤ 100; y ≥ 10. a) (2 puntos ) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices. b) (1 punto) ¿En qué punto de esa región, F( x , y ) = 25 x + 20y alcanza el máximo? Solución: a) A(30,10); B(100,10); C(100,20); D(90,30). b) El máximo es F(100,20) = 2900.

D C A

B

E jercicio 110.a) (2 pun tos) Represente gráficamente la región del plano delimitada por las x y siguientes inecuaciones: + ≥ 1; y ≤ x; x ≤ 2 3 4 Determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = –x + 2y – 3 en la región anterior e indique para qué valores se alcanzan. Solución: a) A(12/7,12/7); B(2,4/3); C(2,2). b) El máximo es F(2,2) = –1 y el mínimo F(2,4/3) = –7/3.

C A B

Ejercicio 111.(3 puntos) Una pastelería elabora dos tipos de t rufas, dulces y amargas. Cada truf a dulce lleva 20 g de cacao, 20 g de nata y 30 g de azúcar y se vende a 1 euro la unidad. Cada trufa amarga lleva 100 g de cacao, 20 g de nata y 15 g de azúcar y se vende a 1.3 euros la unidad. En un día, la pastelería sólo dispone de 30 kg de cacao, 8 kg de nata y 10.5 kg de azúcar. Sabiendo que vende todo lo que elabora, calcule cuántas trufas de cada tipo deben elaborarse ese día, para max imizar los ingresos, y determine dichos ingresos. Solución: 125 trufas dulces y 275 amargas, que producen 482.5€. Ejercicio 112.(3 puntos) Una piscifactoría vende gambas y langostinos a 10 y 15 euros el kg, respectivamente. La producción máxima mensual es de una tonelada de cada producto y la producción mínima mensual es de 100 kg de cada uno. Si la producción total es, a lo sumo, de 1700 kg al mes, ¿cuál es la producción que maximiza los ingresos mensuales? Calcule estos ingresos máximos. Solución: 700 Kg. de gambas y 1000 de langostinos, que producen 22000€ E jercicio 113.(3 punto s) Una fábrica produce dos tipos de relojes: de pulsera, que vende a 90 euros la unidad, y de bolsillo, que vende a 120 euros cada un o. La capacidad máxima diaria de fabricación es de 10 00 relojes, pero no puede fabricar más de 800 de pulsera ni más de 600 de bolsillo. ¿Cuántos relojes de cada tipo debe producir para obtener el máximo ingreso? ¿Cuál sería dicho ingreso? Solución: 400 relojes de pulsera y 600 de bolsillo, que producen 108000€.


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Ejercicio 114.(3 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo que alcanza la función F(x, y) = 3x + 5y , en el recinto del plano determinado por las inecuaciones: x ≥ 0, y ≥ 0, 3x − 2y ≥ 10, 2x + 3y ≤ 24, x − 5y ≥ −1. Solución: Mínimo: F(4,1) = 17, máximo F(6,4) = 38. Ejercicio 115.a) (2 puntos) Represente gráfic amente la región del plano delimitada por las siguientes inecuaciones: x + 2 y ≥ 80, 3 x + 2y ≥ 160, x + y ≤ 70, y determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo y el mínimo de la función F(x, y) = 9 x + 8y − 5 en la región anterior e indique para qué valores se alcanzan. C Solución: a) A(40, 20); B(60, 10); C (20, 50). b) Mínimo: F(A) = 515, máximo F(B) = 615.

A

B

E jercicio 116.Optimizar F(x, y) = 5x + 4y en la siguiente región factible: RF =

{( x , y )∈

2

ℝ

: y ≥ 1, x – y ≥ – 2, x + y ≥3

}

Solución: El mínimo es 12.5 y se alcanza en (0.5, 2.5). No tiene máximo. Ejercicio 117.a) (1 punto) Los vértices de un polígono convexo son (1, 1), (3, 1/2), (8/3, 5/2), (7/3, 3) y (0, 5/3). Calcule el máximo de la función objetivo F(x, y) = 3x − 2y + 4 en la región delimitada por dicho polígono. b) (2 puntos ) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones: x + 2y ≥ 6; x − y ≤ 1; y ≤ 5; x ≥ 0; y ≥ 0 B C y determine sus vértices. Solución: a) El máximo es 12 y se alcanza en (3, 0.5). b) A(8/3, 5/3); B(6, 5); C(0, 5); D(0, 3).

D A

Ejercicio 118.-

Sea el sistema de inecuaciones

⎧ x+y ⎪⎪3x − 2y ⎨ x + 3y ⎪ ⎪⎩ x

≤ 6 ≤ 13 . ≥ −3 ≥ 0

a) (2 puntos) Dibuje el recinto cuyos puntos son las solu ciones del sistema y obtenga sus vértices. b) (1 punto ) Halle los puntos del recinto en los que la función F(x, y) = x − 2y toma los valores máximo y mínimo, y determine éstos. D

Solución: a) A(0, −1); B(3, −2); C(5,1); D(0,6). b) El mínimo es F(D) = −12 y el máximo F(B) = 7.

C A


B

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Ejercicio 119.a) (1 punto) Dibuje la región del plano definida por las siguientes inecuaciones: 2x − 3y ≥ −13 , 2x + 3y ≥ 17 , x + y ≤ 11 , y ≥ 0. b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto. c) (1 punto) Calcule los valores máximo y mínimo de la función F(x, y) = 5x + 6y en la región anterior e indique en qué puntos se alcanzan. Solución: b) A(8.5,0); B(11,0); C(4,7); D(1,5). c) El mínimo es F(D) = 31 y el máximo F(C) = 62.

C

D

A

B

Ejercicio 120.a) (1 punto) Dibuje el recinto definido por las siguientes inecuaciones: x − y ≤ 1; x + 2y ≥ 7; x ≥ 0; y ≤ 5. b) (1 punto) Determine los vértices de este recinto. c) (1 punto ) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función ob jetivo F( x , y ) = 2 x + 4y − 5 y en qué puntos alcanza dichos valores? Solución: b) A(3,2); B(6,5); C(0,5); D(0,7/2). c) El mínimo es F(D) = 1 y el máximo F(B) = 27.

B

C D A

Ejercicio 121.Sea el siguiente sistema de inecua ciones: 2 x − 3y ≤ 6; x ≥ 2y − 4; x + y ≤ 8; x ≥ 0; y ≥ 0. a) (2 puntos ) Dibuje la región que definen y calcule sus vértices. b) (1 punt o) Halle los puntos de esa región en los que la función F( x , y ) = 2 x + 3y alcanza los valores máximo y mínimo y calcule dichos valores. C

Solución: a) A(3,0); B(6,2); C(4,4); D(0,2); E(0,0). b) El mínimo es F(E) = 0 y el máximo F(C) = 20.

B

D A

E

Ejercicio 122.a) (2 punto s) Represente la región definida po r las siguientes inecuac iones y calcule x y sus vértices: x + 2y ≥ 6; x ≤ 10 − 2y; + ≥ 1; x ≥ 0 12 3 b) (1 punt o) Calcule el máximo y el mínimo de la función F( x , y ) = 4 − 3 x − 6y en la región anterior e indique en qué puntos se alc anzan. Solución: a) A(0,3); B(8,1); C(0,5). b) El mínimo es F( BC ) = −26 y el máximo F(A) = −14.

C A B

Ejercicio 123.Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabrica r bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máxi mo beneficio? Solución: 20 bicicletas de montaña y 30 de paseo reportan 8500€ de be neficio.


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Ejercicio 124.(3 puntos) El estadio del Mediterráneo, construido para la celebración de los “Juegos Mediterráneos Almería 2005”, tiene una capacidad de 20000 espectadores. Para la asistencia a estos juegos se han establecido las siguientes normas: El número de adultos no debe superar al doble del número de niños; el número de adultos menos el número de niños no será superior a 5000. Si el precio de la entrada de niño es de 10 euros y la de adulto 15 euros ¿cuál es la composición de espectadores que proporciona mayores ingreso s? ¿A cuánto ascenderán esos ingresos? Solución: 12500 adultos y 7500 niños que producirían un ing reso de 262000€. Ejercicio 125.Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 600, x ≤ 500, y ≤ 3 x , x ≥ 0, y ≥ 0. a) (2 puntos ) Represente gráficamente el conjunto d e soluciones del sistema y calcule sus vértices. b) (1 punto) Halle el punto del recinto anterior en el que la D f unción F ( x , y ) = 38 x + 27y alcanza su valor máximo. Solución: a) A(0,0); B(500,0); C(500,100); D(150,450). b) El máximo es F(C) = 21700.

C

A

B

Ejercicio 126.(3 puntos) Una empresa monta dos tipos de ordenadores: fij os y portátiles. La empresa puede montar como máximo 10 fijos y 15 portátiles a la semana, y dispone de 160 horas de trabajo a la semana. Se sabe que el montaje de un fijo requiere 4 horas de trabajo, y reporta un beneficio de 100 euros, mientras que cada portátil necesita 10 horas de trabajo y genera un beneficio de 150 euros. Calcule el número de ordenadores de cada tipo que deben montarse semanalmente para que el ben eficio sea máximo, y obtenga dicho beneficio. Solución: 10 fijos y 12 portátiles que producen un beneficio de 28000€. Ejercicio 127. (P.L.E.) Para el tratamiento de cierta enfermedad hay que suministrar a los pacientes tres tipos de vitaminas, a, b, g. Quincenalmente precisan al menos, 875 mg de vitamina a, 600 mg de vitamina b, y 400 mg de vitami na g. En el mercado dichas vitaminas están en dos productos A y B. Cada comprimido de A tiene 25 mg de vitamina a, 20 mg de vitamina b, y 30 mg de vitamina g. Cada comprimido de B tiene 35 mg de vitamina a, 30 mg de vitamina b, y 10 mg de vitamina g. El coste de cada comprimido de A es de 0.05 euros y el de B de 0.06 euros. ¿Qué número de comprimidos de cada producto hará más económico el tratamiento? Solución: 7 comprimidos del producto A y 20 del B. El tratamiento costará 1.55€.


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Ejercicio 128.Un ave de rapiña necesita para subsistir al día 30 unidades de proteín as, 20 de grasas y 8 de vitaminas. Sus presas son dos tipos de animales: ratones que le proporcionan 3 unidades de proteínas, 4 de grasas y 1 de vitaminas y palomas que le proporcionan 6 unidades de proteínas, 2 de grasas y 1 de vitaminas. Si cazar y comer un ratón le cuesta 7 unidades de energía y una paloma le cuesta 12 unid ades de energía, ¿cuántas presas de cada clase debe cazar para satisfacer sus necesidades con el menor gasto de energía? Solución: 6 ratones y 2 palomas que le proporcionan 66 unidades de energía. Ejercicio 129.Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, F1 y F2. Los del tipo F1 cuestan 300 euros y los del tipo F2, 500 euros. Solo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de com prar de cada tipo para obtener beneficios máximos en la venta posterior, sabiendo que en cada frigorífico gana el 30 % del precio de compra? Solución: x frigoríficos F1 y

700 − 9x 10

F2 con 0 ≤ x ≤15 producen un beneficio de 2100€.

Ejercicio 130.En la fabricación de piensos se utilizan tres ingredientes, P, Q, y R. Se dispone de 90 toneladas de P , 90 de Q y 70 de R, y se desea fabricar dos tipos de pienso M1 y M2. Una tonelada de pienso M1 requiere 2 toneladas de P, 1 de Q y 1 de R y se vende a 12 euros. Una tonelada de M2 requiere 1 tonelada de P, 2 de Q y 1 de R y se vende a 10 euros. ¿Cuántas toneladas de cada pienso deben facturarse para obtener el mayor beneficio? Solución: 30 toneladas de cada tipo de pienso que producen 660€ de beneficio s. Ejercicio 131.Un agricultor utiliza un invernadero de 300 m 2 para dos tipos de cultivo. Los gastos de cada uno de ellos son de 50 y 20 euros por metro cuadrado, siendo los bene ficios que se obtienen de 300 y 100 euros por metro cuadrado respectivamente. Si se dispones de 7500 euros para invertir, ¿qué superficie debe dedicar a c ada tipo de cultivo para obtener un beneficio máximo? Solución: 150 m2 del primer tipo, que producen un beneficio de 45000€. Ejercicio 132.- (P.L.E.) Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje de caballero requiere 1 m 2 de algodón y 3 m 2 de lana y un vestido de señora necesita 2 m2 de cada una de las telas. Calcular el número de traje s y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden por el mismo precio. Solución: 50 + x m2 de tela de algodón y 10 – x de lana, con 0


≤

x ≤ 10.

30

Ejercicio 133.Se quiere elaborar una dieta diaria para ganado que satisfaga un as condiciones mínimas de con tenidos vitamínicos al día: 2 mg de vitamina A, 3 mg de vitamina B, 30 de la C y 2 de la D. Para ello se van a mezclar dos tipos de piensos P y Q, cuyo precio por kilogramo es para ambos de 0.3€, y cuyo contenido vitamínico por kg se expresa en la tabla. ¿Cómo deben mezclarse los piensos para que el gasto sea mínimo? A 1 mg 1 mg

P Q

B 1 mg 3 mg

C 20 mg 7.5 mg

D 2 mg 0 mg

Solución: x kg. de P y 2 – x de Q, con

6 5

≤x≤

3 2

. El gasto es de 0.6€.

Ejercicio 134.Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitamina diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz proporciona 2.5 unidades de hierro y 1 de vita minas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 de hierro y 2 de vitaminas . Sabiendo que el kilo de maíz vale 0.3 euros y el de pienso compuesto 0.52 euros, se pide: a) ¿Cuál es la composición diaria de la dieta que minimiza los costes? b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado, el granjero no pudiera disp oner de más de 1 kilo diario de pienso compuesto? Solución: a) 0.5 kg. de ma íz y 1.75 kg. de pienso. b) Sí, el mínimo con esa nueva restricción es 1.12€ mezclando 2 kg. de maíz y uno de pienso. Ejercicio 135.(3 puntos) Una imprenta local edita periódicos y revistas. Para cada periódico necesita un cartucho de tinta negra y otro de color, y para cada revista uno de tinta negra y dos de color. Si sólo dispone de 800 cartuchos de tinta negra y 1100 de color, y si no puede imprimir más de 400 revistas, ¿cuánto dinero podrá ingresar como máximo, si vende cada periódico a 0.9 euros y cada revista a 1.2 euros? Solución: 500 periódicos y 300 revistas que reportan unos ingresos de 810€. Ejercicio 136.- (P.T) Dos yacimientos de oro A y B producen al año 2000 kg y 3000 kg de mineral de oro, respectivamente, que deben distribuirse a tres puntos de elaboración: C, D y E, que admiten 500 kg, 3500 kg y 100 0 kg de mineral, respectivamente, al año. El coste del transporte en euros por kilogramo es el de la siguiente tabla. ¿Cómo ha de distribuirse el mineral para que el transporte sea lo más económico posible ? Coste C D E A 10 20 30 B 15 17.5 20 Solución: Coste A B


C 500 0

D 1500 2000

E 0 1000

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Ejercicio 137.- (P.L.E.) Una empresa conservera puede enlatar diariamente un máximo de 1 000 kg de atún. Tiene dos tipos de envases, latas pequeñas y latas grandes, cuyo contenido neto es de 90 g y 400 g respectivamente. Por razones de producción, el número de latas pequeñas no puede superar el doble de las grandes. Si la ganancia empresarial es de 0.3 euros por lata pequeña y de 0.8 euros por lata grande, ¿cómo debe planificarse la producción para que la ganancia sea máxima? Solución: 3448 latas pequeñas y 1724 grandes. Ejercicio 138.Se necesita una dieta que proporciones a un animal 3000 calorías y 80 unidades de proteínas por día. En el mercado hay dos alimentos básicos que pueden usarse para preparar la dieta. El alimento A1 cuesta 0.20 euros por kilo y contiene 600 calorías y 2 unidades de proteínas. El alimento A2 cuesta 0.10 euros por kilo y contiene 50 calorías y 8 unidades de proteínas. Determinar la combinación de alimentos más barata que satisfaga las necesidades de la dieta. Solución: 200/47 kg. de alimento A1 y 420/47 de A2. El precio para estas cantidades es 82/47 €. Ejercicio 139.- (P.T) Dos almacenes A y B distribuyen fruta a tres mercados. El almacén A dispone de 15 toneladas de fruta diarias y el B de 20 toneladas, que reparten en su totalida d. Los tres mercados necesitan diariamente 12, 13 y 10 toneladas de fruta, respectivamente. Si el coste del transporte desde cada almacén a cada mercado está representado en la tabla, ¿cómo se debería planificar el tran sporte de forma que el coste sea mínimo? Almacén A B

Mercado 1 5 8

Mercado 2 10 15

Mercado 3 20 10

Almacén Mercado 1 A x B 12 – x Con 2 ≤ x ≤ 12 y un coste de 346.

Mercado 2 15 – x x–2

Mercado 3 0 10

Solución:

Ejercicio 140.- (P.T) Para abastecer de madera a tres aserraderos A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2, que producen 26 y 30 toneladas respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes del transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en euros, los que figuran en la tabla, planificar el transporte de coste mínimo. B1 B2

A1 10 20

A2 30 10

A3 10 10

B1 B2

A1 20 0

A2 0 22

A3 6 8

Solución:


32

Ejercicio 141.Un pastelero fabrica dos tipos de pasteles de chocolate C1 y C2. El pastel C1 se hace con 1 litro de leche y 0.2 kilos de cacao y el pastel C2 con 1 litro de leche y 0.4 kilos de cacao. Por cada pastel del tipo C1 se obtiene un beneficio de 2 euros y por cada pastel del tipo C2 se obtiene un beneficio de 3.5 euros. La maquinaria disponible sólo permite fabricar como máximo 100 pasteles de cada tipo al día. Si le suministran diariamente 120 litros de leche y 40 kilos de cacao, ¿cuántos pasteles de cada tipo debe fabricar y vender para que el beneficio obtenido sea máximo? Solución: 40 del tipo C1 y 80 del tipo C2 que producen un beneficio de 360€. Ejercicio 142.Una empresa tiene dos centros de producción C1 y C2 en los que fabrica tres tipos de artículos: A1, A2 y A3. Dicha empresa debe fabricar diariamente un mínimo de 360 unidades del artículo A1, 320 del A2 y 180 del A3. La producción por hora en cada centro es: en C1, 25 de A1, 30 de A2 y 10 de A3; en C2, 30 de A1, 20 de A2 y 18 de A3. Si cada hora de funcionamiento cuesta 800 euros en C1 y 1000 en C2, ¿cuántas horas debe funcionar cada centro para que produciendo, al menos, lo necesario, se reduzcan al mínimo los costes de producción? Solución: C1 debe funcionar 7.2 horas (7h 12min) y C2 6 horas. El coste será 11760€. E jercicio 143.- (P.T) Una empresa compra en un lugar P 50000 unidades de un determinado producto y en un lugar G, 40000 unidades del mismo producto. Estas cantidades las guarda en tres almacenes A con capacidad para 20000 unidades, B con 30000 y C con 40000. El precio en euros de llevar una unidad del producto desde los lugares de compra hasta los almacenes viene indicado en la tabla siguiente. ¿Cómo debe planificarse el almacenado del producto para que los gastos de transporte sean mínimos? P G

A 60 80

B 180 120

C 100 140

P G

A 10000 10000

B 0 30000

C 40000 0

Solución:

Ejercicio 144.Sea la región definida por las siguientes inecuaciones: x y + ≥ 1; − x + 2y ≥ 0; y ≤ 2. 2 3 a) (2 puntos ) Represente gráficamente dicha región y calcule sus vértices. b) (1 punto) Determine en qué puntos la función F(x, y) = 3x − 6y + 4 alcanza sus valores extremos y cuáles son éstos. Solución: ⎛ 3 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞ a) A ⎜ , ⎟ ; B(4,2); C ⎜ ,2 ⎟ . ⎝ 2 4 ⎠ ⎝ 3 ⎠

B

C

A

b) El máximo es F( AB ) = 4 y el mínimo F(C) = – 2.


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Ejercicio 145.a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones: x ≥ 3 (y − 3); 2x + 3y ≤ 36; x ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0. b) (1 punto) Calcule los vértices del recinto. c) (0.5 puntos) Obtenga el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indique dónde se D alcanza. E

Solución: b) A(0,0); B(15,0); C(15,2); D(9,6); E(0,3). c) El máximo se alcanza en el segmento CD y vale 144.

C

A

B

Ejercicio 146.a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y calcule sus vértices: x ≥ 0; y ≥ 0; − x + 2y ≤ 6; x + y ≤ 6; x ≤ 4. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función F(x, y) = 2x + 2y + 1 en la región anterior e indique dónde se alcanza. D E

Solución: b) A(0,0); B(4,0); C(4,2); D(2,4); E(0,3). c) El máximo se alcanza en el segmento CD y vale 13.

C

B

A

Ejercicio 147.(3 punto s) Una fábrica produce bombillas de bajo consumo que vende a 1 euro cada una, y focos halógenos que vende a 1.5 euros. La capacidad máxima de fabricación es de 1000 unidades, entre bombillas y focos, si bien no se pueden fabricar más de 800 bombillas ni más de 600 focos. Se sabe que la fábrica vende todo lo que produce. Determine cuántas bombillas y cuántos focos debe producir para obtener los máximos ingresos posibles y cuáles serían éstos. Solución: 400 bombillas y 600 focos producen unos ingresos de 1300€. Ejercicio 148.De un problema de programación lineal se deducen las sigu ientes restricciones: 10 + y 4x + 3y ≥ 60; y ≤ 30; x ≤ ; x ≥ 0; y ≥ 0 2 a) (2 puntos) Represente gráficamente la región facti ble del problema y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) Maximice en esa región factible la función o bjetivo C B F(x,y) = x + 3y. c) (0.5 puntos) ¿Pertenece el punto (11, 10) a la región factible? D

Solución: a) A(9,8); B(20,30); C(0,30); D(0,20). b) El máximo es F(B) = 110. c) No.


A

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Ejercicio 149.Se considera el recinto definido por las inecuaciones y − x ≤ 4; x − y ≤ 4; x + y ≤ 12; x ≥ 0; y ≥ 0. a) (2 puntos ) Represente el recinto y calcule sus vértices. 2 4 b) (1 punto ) Dada la función objetivo F(x, y) = x − y , determine los valores máximo 3 5 y mínimo de F y los puntos del recinto donde se alcanzan. C Solución: a) A(4,0); B(8,4); C(4,8); D(0,4); E(0,0). b) El mínimo es F(C) = -28/9 y el máximo F(A) = 8/3.

B

D A

E

Ejercicio 150.-

(3 puntos) Un Ayuntamiento concede licencia para la construcción de una urbanización de a lo sumo 120 viviendas, de dos tipos A y B. Para ello la empresa constructora dispone de un capital máximo de 15 millones de euros, siendo el coste de construcción de la vivienda de tipo A de 100 000 euros y la de tipo B 300000 euros. Si el beneficio obtenido por la venta de una vivienda de tipo A asciende a 20000 euros y por una de tipo B a 40000 euros, ¿cuántas viviendas de cada tipo deben construirse para obtener un beneficio máximo? Solución: 105 viviendas de tipo A y 15 de tipo B que producen un beneficio de 2700000€. Ejercicio 151.La candidatura de un determinado grupo político para las elec ciones municipales debe cumplir los siguientes requisitos: el número total de compo nentes de la candidatura debe estar comprendido entre 6 y 18 y el número de hombre s ( x ) no debe exceder del doble del número de mujeres (y ). a) (2.5 puntos) Represente el recinto asociado a estas restricciones y calcule sus vértices. b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el mayor número de hombres que puede tener una candidatura que cum pla esas condiciones? C

Solución: a) A(4,2); B(12,6); C(0,18); D(0,6). b) 6 hombres.

D

B A

Ejercicio 152.(3 puntos) Una empr esa fabrica lunas para coches. Cada luna delantera requiere 2.5 m2 de cristal, mientras que cada luna trasera requiere 2 m2. La producción de una luna delantera precisa 0.3 horas de máquina de corte y cada luna trasera 0.2 horas. La empresa dispone de 1750 m 2 de cristal por semana y 260 horas semanales de máquina de corte. Para adaptarse a la demanda habitual, la empresa fabrica siempre, como míni mo, el doble de lunas delanteras que de lunas traseras. Determine cuántas lunas de cada tipo debe fabricar semanalmente la empresa para que el núm ero total de lunas sea máximo. Solución: 500 lunas delanteras y 250 traseras.


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Ejercicio 153.(3 puntos) Un laboratorio farmacéutico vende dos preparados, A y B, a razón de 40 y 20 euros el kg, respectivamente. Su producción m áxima es de 1000 kg de cada preparado. Si su producción total no puede superar los 1700 kg, ¿cuál es la producción que maximiza sus ingresos? Calcule dichos ingr esos máximos. Solución: 1000 kg. del preparado A y 700 del B. Los ingresos serían 54000€. Ejercicio 154.Consideramos el recinto del plano limitad o por las siguientes inecuaciones: y – x ≤ 4; y + 2x ≥ 7; – 2x – y + 13 ≥ 0; x ≥ 0; y ≥ 0 C a) (2 puntos ) Represente el recinto y calcule sus vért ices. b) (1 punto) Halle en qué puntos de ese recinto alcanza los D valores máximo y mínimo la función F(x,y) = 4x + 2y – 1. Solución: a) A(3.5,0); B(6.5,0); C(3,7); D(1,5). b) El mínimo es F( AD ) = 13 y el máximo F( BC ) = 25.

A

B

Ejercicio 155.(3 puntos) Un pastelero dispone de 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 26 kg de mantequilla para hac er dos tipos de tartas, A y B. Para hacer una hornada de tartas del tipo A se necesitan 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla, mientras que para hacer una hornada de tartas del tipo B se necesitan 6 kg de harina, 0.5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla. Sabiendo que el beneficio que se obtiene al vender una hornada del tipo A es de 20 € y de 30 € al vender una hornada del tipo B, dete rmine cuántas hornadas de cada tipo debe hacer y vender para maximizar sus beneficios. Solución: Los beneficios se maximizan (760€) haciendo 2 hornadas de tartas del tipo A y 26 del tipo B. Ejercicio 156.(3 puntos ) Un joyero fabrica dos modelos de anillos. El modelo A se hace con 1 gramo de oro y 1.5 gramos de plata. El modelo B lleva 1.5 gramos de oro y 1 gramo de plata. El joyero sólo dispone de 750 gramos de cada metal y piensa fabricar, al menos, 150 anillos del tipo B que ya tiene encargados. Sabiendo que el beneficio de un anillo del tipo A es de 50 € y del tipo B es de 70 €, ¿cuántos anillos ha de fabricar de cada tipo para obtener el beneficio máxim o y cuál será éste? Solución: El beneficio máximo es 36000€ y se obtiene fabricando 300 anillos de cada modelo. Ejercicio 157.(3 puntos) Obtenga los valores máximo y mínimo, indicando los puntos donde se alcanzan, de la función objetivo en la región definida por las

,       restricciones 6    3; 2    2;   ;   0;   0.  Solución: El máximo es 1 y se alcanza en el punto (1,0). El mínimo es

  y se alcanza en el punto  , .


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Ejercicio 158.(3 puntos) Un nutricionista informa a un individuo que, en cualquier tratamiento que siga, no debe ingerir diariamente más de 240 mg de hierro ni más de 200 mg de vitamina B. Para ello están disponibles píldoras de dos marcas, P y Q. Cada píldora de la marca P contiene 40 mg de hierro y 10 mg de vitamina B, y cuesta 6 céntimos de euro; cada píldora de la marca Q contiene 10 mg de hierro y 20 mg de vitamina B, y cuesta 8 céntimos de euro. Entre los distintos tratamientos, ¿cuál sería el de máximo coste diari o? Solución: El tratamiento de coste máximo (88 céntimos diarios) consiste en 4 píld oras de la marca P y 8 de la marca Q. Ejercicio 159.a) (2 puntos) Represente gráficamente la región det erminada por las siguientes restricciones:

2    6;4    10;     3;  0;  0

y determine sus vértices. b) (1 punto) Calcule el máximo de la función en el recinto anterior e indique dónde se alcanza.

,   4  2  3

(1,4) (0,3) (2,2)

Solución: El máximo se alcanza en el segmento que une los vértices (2,2) y (1,4).

(0,0)

(2.5,0)

Ejercicio 160.De las restricciones que deben cumplir las variables e en un problema de programación lineal se deduce el siguiente conjunto de inecuaciones:

  2    8;     13;  4  49;  0;   0

a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por estas inecuaciones. b) (1 punto) Determine los vértices del recinto. (10,9) c) (0.5 puntos) Obtenga los valores extremos de (7,6) la función en ese recinto e indique en qué punto o puntos se alcanza cada extremo.

,   3  4  12

(12,1)

Solución: El mínimo es 6 y se alcanza en el punto (10,9). El máximo es 44 y se alcanza en el punto (12,1). Ejercicio 161.(3 puntos) Una empresa produce botellas de leche entera y de leche desnatada y tiene una capacidad de producción máxima de 6000 botellas al día. Las condiciones de la empresa obligan a que la producción de botellas de leche desnatada sea, al menos, la quinta parte de las de leche entera y, como máximo, el triple de la misma. El beneficio de la empresa por botella de leche entera es de 20 céntimos y por botella de leche desnatada es de 32 céntimos. Suponiendo que se vende toda la producción, determine la cantidad de botellas de cada tipo que proporcio na un beneficio máximo y el importe de este beneficio. Solución: El beneficio máximo es 1380€ y se consigue con 4 500 botellas de leche entera 1500 de leche desnatada.


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Ejercicio 162.En un examen de Matemáticas se propone el siguiente problema: “Indique dónde se alcanza el mínimo de la función en la región .” determinada por las restricciones a) (2.5 puntos) Resuelva el problema. b) (0.5 puntos) Ana responde que se alcanza en (1,4) y Benito que lo hace en (3,0). ¿Es cierto que el mínimo se alcanza en (1,4)? ¿Es cierto que se alcanza en (3,0)?

,   6  3  2 2    6;2  5  30;2    6

Solución: a) El mínimo es 16 y se alcanza en el segmento que une los vértices (3, 0) y (0,6). b) Los dos puntos pertenecen al segmento solución del problema. Ejercicio 163.a) (2.5 puntos) Represent e la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:

  3  12; 3  5  1;   1;   0 b) (0.5 puntos) Calcule los valores extremos de la función ,   5  15 en dicha región y dónde se alcanzan.

Solución: El mínimo es 27 y se alcanza en el vértice (12/5, 1). El máximo es 60 y se alcanza en el segmento que une los vértices ((3/4, 15/4) y (9,1).

(3/4, 15/4) (9, 1) (12/5, 1)

Ejercicio 164.a) (1.5 puntos) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones:

    2;     0;   4;   0

b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función recinto anterior y los puntos donde se alcanzan. (0,4)

  c) (0.5 puntos) ¿Pertenece el punto  ,  al recinto   anterior? Justifique la respuesta.

,      en el (4,4)

(0,2)

Solución: (1,1) El máximo es 8 y se alcanza en el vértice (4,4). El mínimo es 2 y se alcanza en el segmento que une los vértices (0,2) y (1,1). El punto

 ,  no pertenece al recinto porque no cumple     2.

Ejercicio 165.(3 puntos) Un agricultor posee 10 hectáreas ( ha.) y decide dedicarlas al cultivo de cereales y hortalizas. Por las limitaciones de agu a no puede destinar más de 5 ha. A hortalizas. El cultivo de cereales tiene un coste de 1000 euros/ha. y el de las hortalizas de 3000 euros/ ha., no pudiendo superar el coste total la cantidad de 16000 euros. El beneficio neto por ha. de cereales asciende a 2000 euros y el de hortalizas a 8000 euros. Halle la distribución de cultivos que maximiza el beneficio y calcule dicho máximo. Solución: El beneficio máximo es 42000 euros, dedicando una ha. a cereales y 5 a hortalizas.


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prolin

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