Problemas Máquinas
Diseño de
ENGRANAJES RECTOS Y HELICOIDALES
Problema 1. Un sistema de banda transportadora va a ser impulsado por un motor eléctrico que gira a 1200 rpm. La relación de velocidades entre los engranes que conectan el motor al transportador es de 1:3. El piñón tiene paso diametral 6, 18 dientes de 20º de altura completa, de acero de 180 BHN de dureza mínima en la superficie. Ambos engranajes son del mismo material y tienen cara de 2 pulgadas de ancho. Confiabilidad 99'9%. a) ¿Cuál será la potencia máxima que puedan transmitir basada solo en la resistencia a flexión y usando el método de la AGMA?. b) ¿Es seguro al desgaste, usando el método de la AGMA? SOLUCIÓN a) El esfuerzo admisible a flexión es: s adm =
STKL K T KR
ST (Tabla 14-3) valor mínimo 180 BHN. acero
S T = 25000 psi, 170 MPa
7
KL (figura 14-9) vida infinita 10 ciclos KL = 1 KT normalmente T<250 ºF (120ºC) K T = 1 KR (Tabla 14-7) confiabilidad 99'9% KR = 1'25
*1 Por tanto: s adm = S T = 20000 psi ,136 MPa 1 * 1.25 Este esfuerzo debe ser igual o mayor que el esfuerzo a flexión que se produzca
W t * Ka P Ks * Km F J Kv Debemos de obtener el valor de la carga trasmitida Wt , teniendo en cuenta que: s = s adm =20000 psi = 136 MPa El esfuerzo a flexión es: s =
Wt =
s K V FJ K a P K s Km
Kv (fig 14-7); Factor dinámico. Diámetro de paso d =
N 18 = = 3 pulgadas P 6
La velocidad de paso v = Para un
p dn ft m = 942 , 4.71 12 min s
Qv ≤ 5, Kv=0'6.
F=2 pulg Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-1
Problemas Diseño de Máquinas J(fig 14.4) J = 0'32 (Suponemos la carga en un solo diente y en su punto más alto) Ng =Np*3=18*3=54 dientes Np=18 dientes Ka(Tabla 1.2) Ka=1'2 (aplicación) P=6 (Paso diametral) KS=1 (tamaño) Km(Tabla 14.6) Km=1'6. (distribución de cargas) F= 2" Menos precisos. 20000 * 0.6 * 2 * 0.32 Por tanto sustituyendo: W t = = 667 lb = 3000 N 1.2 * 6 * 1 * 1.6 v 667 * 942 La potencia admisible será entonces: HP = W t = = 19.04 HP 33000 33000 b)
W * Ca * Cs * Cm * Cf El esfuerzo por contacto s C = CP * t Cv * F * d * I CP (Tabla 14.5) =2300 (Elástico) Acero. W t =667 lb Ca =Ka =1'2 (Aplicación) Cs =Ks =1 (Tamaño) Cm =Km =1'6 (Distribución) Cf =1 (No tenemos información) (Condición de superficie) Cv =Kv =0'6 (Dinámico) F=2 pulg d=3 pulg cos φ t * sen f t mG I (Formula), (geométrico) I = * 2 * mN mG + 1 mN =1 (Engranajes rectos) mG =3 (Relación de velocidad) φt =20º cosφt =0'94, senφt =0'34; Por tanto: I =
Con lo cual: s C = 2300 *
0.94 * 0.34 3 * = 0.12 2*1 3 +1
667 * 1′ 2 * 1 * 1′ 6 = 125228 psi 0 ′6 * 2 * 3 * 0′12
Y el esfuerzo admisible por contacto es: s c adm =
SC C L C H CT CR
SC (Tabla 14-4) valor mínimo; Acero 180 BHN {85000 psi} CL= KL=1 (Duración) CH=1 (dureza). (Sólo para engrane) CT= KT =1 (Temperatura) CR=KR =1'25 (Confiabilidad) Por tanto: s C adm =
85000 * 1 * 1 = 68000 psi 1 * 1.25
Comparando σC=125228 psi
σC adm=68000 psi
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-2
Problemas Diseño de Máquinas Como σC>σC adm el esfuerzo al que está sometido por desgaste es mayor que el admisible. Por tanto, no son seguros al desgaste. Se podría calcular la potencia máxima que podría transmitir basada en el criterio de desgaste, tomando como σC la obtenida con σC adm, y despejando de la fórmula de σC el valor de W t, y de este el de HP. O bien, tomar un acero con mayor resistencia, que resista los esfuerzos de desgaste calculados.
Problema 2. Dos engranes helicoidales están montados en flechas separadas 6 pulgadas. El piñón tiene paso diametral de 6, paso diametral normal de 7 y ángulo de presión de 20º. La relación de velocidades de ½. Determinar el número de dientes de cada engrane y el ángulo de presión normal. SOLUCION
1 Np dp = = 2 NG dG
La relación de velocidad es ½:
El paso circular del piñón es: p =
o NG = 2 Np
o
d G = 2 dp
p p = = 0.524 pulg P 6
Según Tabla 13.5:
dp =
Np P n cos?
dG = El ángulo de hélice:
cos? =
El ángulo de presión normal:
→
NG P n cos?
P 6 = Pn 7
cos? =
Np dp Pn
→
cos? =
=
P Pn
NG dG Pn
? = 31º
tg φn = tg φt cos ? = tg20º * cos31º → φn = 17.3º
dp + d G = 6 → dp + dG = 12 2 3*dP=12 → dP=4 pulg dG=8 pulg 6 6 Np = dp PN cos? = 4 * 7 * = 24 dientes : N G = dG PN cos? = 8 * 7 * = 48 dientes 7 7
dG=2*dP
Por tanto:
Problema 3. (TRIMESTRAL 92/93) Se han instalado en un soporte de elevadores, un par de engranajes rectos de 20º de profundidad completa, que tienen paso diametral normal 5, son fabricados de acero SAE 1040 rolados en caliente 180 BHN con ancho de cara de tres pulgadas. El piñón gira a 2000 rpm, tiene 20 dientes, y la relación de velocidad es de 1/5. Determinar la potencia máxima en caballos que pueda ser transmitida para una seguridad de tres, antes de producirse fluencia en el material. Duración infinita, confiabilidad 99'9% índice de
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-3
Problemas Diseño de Máquinas nivel de exactitud en la transmisión es 5, en montaje menos rígido. Ángulo de presión tangencial φt = 20º SOLUCION. a) Usando la ecuación de Lewis, basado solo en efectos dinámicos. b) Con el método de AGMA, basado solo en la resistencia a flexión. a) La fuerza según Lewis es: s =
Wt *P Kv * F * Y
Wt =
s * Kv * F * Y p
Donde: s (Tabla A-20) SAE 1040 HR → Sy=290 Mpa = 42 Kpsi Factor de seguridad =3, s adm =97 Mpa = 14 Kpsi.
V=
p * dn p * 4 * 2000 ft = = 2094 12 12 min
d=
N 20 = = 4 pulg P 5
KV=1200/(1200+V)=0'364 F= 3 pulg Y (Tabla 14.2, N=20 dientes) → 0'322 P = ( 5 pulg) 14000 * 0′364 * 3 * 0 ′322 = 984.5 lb Wt = 5
La potencia maxima ser : HP =
W t * v 984.5 * 2094 = = 62.5 HP 33000 33000
b) Por la fórmula de AGMA solo a resistencia a la flexión. El esfuerzo realizado es: s =
W t * Ka * Pd * K s * K m Kv * F * J
El esfuerzo admisible es: s adm =
St * KL * s = s adm KT * KR
St (Tabla 14-3) 80 BHN → 25000 psi KL=1 (Duración) KT =1 (Temperatura) KR =1'25 (Confiabilidad) Factor de seguridad = 3
s adm =
25000 * 1 = 6666.7 psi 1 * 1.25 * 3
Despejando la carga transmitida de la primera fórmula: W t =
s adm = 6666'7 psi Kv con V=2094 ft/min y Qv =5 → Kv =0'52 F = 3 pulg J = (Fig 14.4) Ng = 5 NP =5*20=100 dientes → J=0'335 Ka (Tabla 1.2) = 2 P=5 Ks = 1 Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-4
s adm * K v * F * J Ka * Pd * K s * K m
Problemas Máquinas Km (Tabla 14.6) menos rígido → Km = 1'62 La carga transmitida es:
Wt =
Diseño de
6666.7 * 0.52 * 3 * 0.335 = 215.06 lb 2 * 5 * 1 * 1.62
v 215.06 * 2094 La potencia es: HP = W t = = 13.64 HP 33000 33000
Problema 4. SEPTIEMBRE 92/93. TRIMESTRAL 93/94 Proyectar los dientes para un par de engranajes cilíndricos rectos. El material será acero. La potencia a transmitir 40 HP. La velocidad de rotación del piñón. np=1150 rpm. La relación de transmisión e=2.5. La distancia aproximada entre ejes de 220 mm. Los dientes están tallados al cero son de seguridad funcional del 90%, montaje preciso, choque uniforme en el motor y la carga está aplicándose en los dos sentidos; el coeficiente de seguridad de n=2. SOLUCIÓN: a) Estimar geometría y número de dientes:
1 ( dp + dG) = 220 2
dG dp
= 2.5 =
NG NP
Además:
dp = m * Np
dG = m * NG
1 (m * Np + m * 2.5 Np ) = 220 2 440 m * Np (1 + 2.5) = 440 ⇒ m Np = = 125.714 3.5 m (normalizado) = 6 Np (Debe ser ≥17) = 21
NG = 2.5 Np = 52.6 ≈ NG = 53
dp = m Np = 6 * 21 = 126 mm
dG = m NG = 6 * 53 = 318 mm
c=
1 (126 + 318) = 222 mm ≈ 220 mm 2
b) Estimación de materiales por desgaste
W C C C C La fórmula AGMA de esfuerzo es: s c = Cp t a s m f Cv Fd I Cp → (tabla 14.5) < Wt → Wt =
Acero Acero
> 191
( MPa )
H * 60000 40 * 746 * 2 * 60000 = = 7866.14 N p * dp * n p * 1150
Ca → (tabla 1.2) 1.5 Cs →1 Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-5
Problemas Máquinas Cm → (tabla 14.6) Montaje preciso F=3"=75 mm 1.34
Diseño de
F = (3 ÷ 5)p = 4 πm = 4 π36 = 75.4 mm = 2.97 ≈ 3" = 76,2 mm Cf →1
126 p dp n p 25.4 1150 ft = 1493.5 > = 0.71 Cv → (fig 14.7)
126 = 4.96" 25.4
I=(engranajes externos)
I=
Engranes rectos mN = 1
cos φt sen φt 2 mN
cos20 * sen20 2.5 mG = = 0.12 + 1 2 *1 2.5 + 1 mG
φt = 20º
mG = 2.5
Por tanto, sustituyendo
s c = 191 * 10
3
7866.14 * 1.5 1 1.34 * 1 = 839 MPa 0.71 0.0762 * 0.126 0.12
La fórmula AGMA del esfuerzo admisible es:
s Cadm =
SC * CL * CH CT * CR
Tomamos como: σc adm = σc = 839 MPa CL = 1 (duración indefinida) CH = 1 (dureza sólo para el engrane) CT = 1 (temperatura < 250ºF) CR = 0,85 (confiabilidad 90%) 83931 * 0.85 Despejando la resistencia: = 713.15 MPa SC = 131
Tomamos un ACERO (tabla 14 - 4) 240 BHN
> SC = 720 MPa
Problema 5. Se desea proyectar una transmisión a través de dos engranajes helicoidales con una capacidad de potencia de 13 HP, y una vida probable de 5000 horas. La distancia entre ejes será de 230 mm, la velocidad del piñón de 1000 rpm y la relación de transmisión m G =np/nG=4. El diseño se efectuará suponiendo siempre unas características medias en cuanto al montaje y al choque, considerando además que la carga se aplica en un solo sentido los cálculos se realizaran para un coeficiente de seguridad de n=1'5 y una seguridad funcional del 90%, especificándose todas las características de los engranajes. Se recomienda un ancho de cara mayor o igual a dos veces el paso axial. Diseñar solo a desgaste. Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-6
Problemas Máquinas a) Estudio cinemático b) Estudio a resistencia
Diseño de
c
SOLUCIÓN: a) Estudio cinemático Determinaremos el número y características de los dientes mn Por lo tanto dG = mG * Np cos? Sustituyen do 1 1 mn * Np d = ( m n mG Np + mn Np) = (mG + 1) 2 cos? cos? 2 cos? Para mG = 4 y d = 230mm 1 Np Np 230 = mn * (4 + 1) ⇒ mn = 92 2 cos? cos?
c=
1 N ( dG + dp ); mG = G 2 Np
dp = m * Np =
mn Np cos?
Si tomamos mn =6 (normalizado) y
92 * cos20º = 14.4 6 6 * 14 mn =6 → ? = arccos = 24.07º 92
ψ =20º( valor medio) → Si Np = 14 y Definimos: Np = 14
Np =
NG = 14*4 = 56
ψ = 24º
mn = 6
b) Estudio a Resistencia. (PIÑÓN) Comprobaremos el piñón que es el mas desfavorable A desgaste El esfuerzo al que está sometido es: s c = C p
W t Ca Cs Cm Cf Cv F * d I
Siendo Cp = Tabla 14-5 (Acero) Cp = 2300 Coeficiente elástico W t carga transmitida
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-7
dG = m * NG =
mn NG cos?
Problemas Máquinas
Diseño de
Wt =
33000H 33000 * 13 = = 452.5 lb V 948 H = 13HP
V=
p * dp * np 12
dp =
=
p * 3 ′62 * 1000 = 948ft/min 12
0 ′ 006 mn 14 = 0 ′ 092m = 3 ′62" Np = cos ? cos24
Ca Factor de aplicación C= 1 Cv Factor velocidad. Para Qv ≤5; V =948 ft/min →figura 14-7 Cv =0'62 Cs Factor de tamaño Cs =1 2p mn 2p 6 F Ancho de cara F ≥ 2 p x = 2 Pn = = = 92.67 mm sen? sen ? sen24”
Tomamos F = 100 mm =3'937" dp=3'62" Cm= Factor de distribución de carga Cm= Tabla 14.6 (Menos rígido, F=3'937")→ Cm =1'65 Cf Factor de estado Cf = 1 I Factor geométrico sen φt cos φ t mG I= 2 mN mG + 1 En engranes helicoidal es
cos? =
tg φN tg φt
⇒ φt = arctg(
tg20” ) = 21.74º cos24”
φN = ángulo de presión normal = 20º ψ =24º mN =PN/0'95Z donde el paso de base normal es PN =pN * cos φn=π*mn * cos φn= 3'14*6*cos20º=17'713 mm Z =
2
(rp + a ) − rb p + 2
rp =
rb p =
(r G + a ) − r 2 b − ( r p + r G )sen φ t G 2
dp 3 ′62" 92mm = = = 46 mm 2 2 2 r G = m G r p = 4 * 46 = 184
dp cos φ t = 46cos21.74 º = 42.73 mm 2
r bp = 42,73 mm circunferencia de base
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-8
Problemas Máquinas
Diseño de
r bG = mG r b p = 4 * 42.73 = 170.936 mm circunfere ncia de base Tabla 136[ φn = 20º ]a = 0 ′3683 * p x = 0 ′3683 p
6 = 17.065 mm sen24”
Sustituyen do Z = (46 + 17.06 ) − 42. 73 2 + (184 + 17.06 ) 2 − 170. 936 2 − (46 + 184)sen21. 74º = 67.04 mm 2
mN
Y así:
I=
PN = 17.713 = 0.278 0.95 * Z 0.95 * 67.04
sen21.74co s21.74 4 * = 0 ′495 2 * 0 ′278 4 +1
Sustituyendo obtenemos el esfuerzo o desgaste
s c = 2300
4 ′525 * 1 1 1′ 65 * 1 = 31272 psi 0 ′62 3 ′937 * 3 ′62 0 ′495
El esfuerzo admisible a desgaste: s cadm =
SC CL CH CT CR
σc = 31272 lb CL Factor de duración. Debe durar: n= 50000*h*1000 rpm*60 m/h=3*108 rev Figura 14.8 (3*108 rev) → CL = (1'4488*3*108)-0'023 = 0'925 CH Factor de dureza CH = 1 CT Factor de temperatura CT =1 CR Factor de confiabilidad para 90% CR = 0'85 Así la resistencia del material debe de ser:
SC =
s Cadm C T CR CL CH
=
31272 * 1 * 0 ′85 = 28738 Psi 0 ′925 * 1
Como nos piden un coeficiente de seguridad de 1'5 SC = 28738 * 1'5 = 43107 Psi Tabla 14.4; SC= 43107 lb Por tanto, mirando en acero templado o revenido de 180 BHN, obtenemos un SC entre 85-95000 Psi.
Problema 6. Final diciembre 95/96, junio 94/95 Un par de engranes helicoidales de un elevador y montaje externo exacto, con un ángulo de presión de 20º y profundidad completa, un ángulo de hélice de 25º, tienen un paso diametral normal 5, están fabricados de acero SAE 1050 estirado en frío endurecido superficialmente, con un ancho de cara de 3 pulgadas, y un índice de nivel de exactitud medio. El piñón gira a 2000 rpm, tiene 20 dientes y la relación de velocidad es de Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-9
Problemas Diseño de Máquinas 1 a 5. Determinar la potencia máxima en caballos que pueda ser transmitida. Duración 600 horas, con un 99.9% de fiabilidad. SOLUCIÓN: a) Estudio cinemático (Tabla 13.5)
Np 20 = = 4.41 pulg Pn cos? 5cos25º
Np = 20 dientes
100 NG = = 22.05 pulg Pn cos? 5cos25
NG = 100 dientes
dp =
dG =
b) Estudio de resistencia. El piñón es el más desfavorable. Comprobaremos a desgaste. A DESGASTE El esfuerzo es s c = Cp
Siendo Cp = tabla 14.5 <
W t Ca Cs Cm Cf C v Fd I Acero Acero
> Cp = 2300 psi
W t = La ponemos en función de la potencia, que es lo que queremos calcular
Wt =
33000H 33000H = (H en HP) V 2309
p dp np p * 4.41 * 2000 ft = = 2309 12 12 min Ca = factor de aplicación Ca = tabla 1.2 = 2 V = 2309 Cv = factor de velocidad fig 14.7 < > Cv = 0.62 Qv = 7 V=
CS tamaño Cs = 1 F ancho de cara F = 3 pulg dp = 4.41 pulg Cm distribución de carga
Montaje exacto fig 14.6 < > Cm = 1.23 F = 3" Cf estado de superficie Cf = 1 I factor geométrico I =
φn = 20º mG = 5
cos φt sen φt 2 mN
ψ = 25º cos? =
mG (engranes externos) mG + 1
tg φn tg φt
→ φt = arctg
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-10
tg20º = 21.88º cos25º
Problemas Máquinas
Diseño de
mN =
la relación de repartición de carga en los dientes, es
pN 0.95Z
y el paso de base normal, para un módulo de 6
pN = pn cos φn = p * mn * cos φn =p * 6 * cos20 = 17.713 y la longitud de la línea de acción en el plano transversal,
Z = ( r p + a ) 2 - r 2 bp + (r G + a )2 + r b2G - (r p + r G)sen φt Los radios de paso son: r p =
4.41 = 2.205" 2
rG =
22.05 = 11.025" 2
Los radios de base son: r bp = r p cos φt = 2.205 * cos21.88= 2.05"
r bG = mG * r bp = 5 * 2.05 = 10.25" Y el adendo para un modulo estimado de 6:
tabla (13.6) φn = 20º
a = 0.3683 * p x = 0.3683
pm p *6 = 0.3683 = 16.43 sen ? sen25º
Sustituyendo Z = (2.205 + 16.43 )2 - 2. 052 + (11.025 + 16.43 )2 - 10. 252 - (2.205 + 11.025)sen21.88 Z = 18.5219 + 24.3886 - 4.5577 = 38.35
I=
cos21.88 * sen21.88 5 = 0.2963 2 * 0.4862 5+1
mN =
17.713 = 0.4862 0.95 * 38.35
Para SAE 1050 CD →197 BHN (tabla A.20)
700 MPa (Tabla 14 - 4) Para 197 BHN SC ≈ < > 100 KPsi Por tanto, según AGMA
s cadm =
SC CL CH CT CR
CL = (600 horas , 2000 rpm * 60
min ) = 7.2 * 10 7 rev h
(figura14 - 8) CL = 1.4488 N-0.023 = 0.9556 CH = 1 (Dureza) CT = 1 (Temperatura) CR (tabla 14.7) 99.9 % → 1.25 (Confiabilidad)
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-11
Problemas Máquinas
Diseño de
s cadm =
100 * 10 3 * 0.9556 = 76.45 kpsi 1 * 1.25
s c = s c adm = 76.45 kpsi
Igualando
Podemos despejar Wt
H=
Wt =
33000H s 2c Cv FdI = 2 2309 Cp Ca Cs Cm Cf
2309 76450 2 0.51 * 3 * 4.41 * 0.2963 = 58.83 HP 33000 2300 2 2 * 1 * 1.23 * 1
Problema 7. CUATRIMESTRAL 95/96, SEPTIEMBRE
96/97)
Se ha de realizar la transmisión de 32 HP con un par de engranajes rectos entre dos ejes que están a una distancia aproximada (se puede ajustar) de 30 cm. Uno de los ejes gira a 1350 rpm, y el otro queremos que lo haga a 450 rpm, con choque uniforme. Los engranajes se prevé fabricarlas de acero, para un montaje preciso, y una seguridad funcional del 99%, en servicio continuo de 6 meses (entre paradas de mantenimiento). Se ha de considerar un coeficiente de seguridad de n = 2,5. Diseñar para flexión y desgaste.
SOLUCION a) Estimar geometría y nº dientes.
(
)
1 dp + d G = 300 mm 2 Como 1 (m * Np + 3 * Np ) = 300 2 Adoptamos Np(≥17)
np
=
nG
1350 N d =3= G = G 450 Np dp
dp = m * Np
dG = m * NG
m * Np (1 + 3) = 2 * 300
m * Np = 150
m = 8 (normalizado) Tabla 13.3 Np = 19 dientes
Np = 150/8 = 18,75 → NG = 19*3 = 57 dientes
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-12
Problemas Máquinas
Diseño de
dp = 8*19 = 152 mm C = ½ (152 + 456) = 308 mm. dG = 8*57 = 456 mm b) Comprobación por desgaste: El esfuerzo AGMA: s c = Cp
W t Ca Cs Cm Cf I Cv F d
CP (tabla 14-5) → (Acero)
191
MPa
La carga a transmitir para los 32 HP.
Wt =
H*n 32 * 746 * 60 = = 2221 N V p * 0,152 * 1350
Ca = 1 (Aplicación choque uniforme) Cs = 1 (Tamaño) Cm = 1 (Tabla 14.6) (Distribución de carga) F = (3÷5p) = 4*π*m = 100,53 mm → 100 mm
→
1,35
Montaje preciso Cf = 1 (Superficie) Cv = (Figura 14.7) (dinámico). p * dp * n v= = 10,75 m/s 60 → 0,72
Q≈8 F = 100 mm (Entre 9m < F < 14m), (72 < F <112) dp = 152 mm I = (Engranajes externos rectos)
I= mN = 1
cos φt sen φt 2 mN
φt = 20 ° (Estimamos )
Sustituyendo
s c = 191 * 10 3
El esfuerzo admisible AGMA
cos20º sen20º 3 mG = = 0,12 2 *1 3 +1 mG + 1 mG = 3
2221 * 1 1 1,35 * 1 = 288,6 MPa 0,72 0,1 * 0,152 0,12 s cadm =
Sc CL CH CT CR
Tomamos σ c adm = σ c = 288,6 Mpa CL = 1,4488 N -0,023 = 1,4488 (34,99 * 107)-0,023 = 0,921
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-13
Problemas Máquinas
Diseño de
N° de ciclos (1350 rpm *
60 min 24 h 30 dias * * * 6 meses) = 34,99 * 107 1h 1 dÍa 1 mes
CH = 1 ( sólo engranes ) CT = 1 ( temperatura < 250 ºF ) CR = 1 ( confiabilidad 99% ) Despejando Sc =
288,6 * 10 6 * 1 * 1 = 313,3 MPa 0,921 * 1
Seguridad 2,5 SC = 2,5 * 313,3 = 783,25 Mpa Acero 240 BHN St = (720-790) Mpa c) Comprobación a flexión s =
W t = 2221 N
W t * Ka 1 K s * Km J Kv F * m
Ka = 1,2
Ks = 1 Km = 1,2
Kv = 0,72
F = 100 mm
m=8
J = (figura 14.4) Np = 19
→ 0,330
NG = 57
s=
2221 * 1,2 1 1 * 1,2 = 16826 Pa 0 ′72 0,1* 8 0,330
y
s adm = s =
ST * KL K T * KR
KL =1,4488 * (34,99* 107)-0,023 = 0,921 KT = 1
ST =
16826 * 1 * 1 = 18269 Pa = 0,018 MPa 0,921
KR = 1 Como tenemos un material a cálculo de desgaste escogemos el mismo si resiste a flexión Acero 240 BHN
ST = (210 / 280) Mpa
Problema 8. (JUNIO 95/96. DICIEMBRE 96/97) Un par de engranes de talla recta o cilíndricos con dientes de profundidad total a 20º debe diseñarse como parte del impulsor para una cortadora de madera que se va a utilizar para obtener pulpa que se usará en una fábrica de papel. La fuente de poder es un motor eléctrico que impulsa al piñón a 1750 rpm. El engrane debe girar entre 460 y 465 rpm. Los engranes deben transmitir 13 HP. Se desea un diseño exacto Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-14
Problemas Diseño de Máquinas con un índice de calidad de 7 y con una distancia entre centros que no puede exceder de 130 mm. Especifique los valores geométricos y característicos de los engranes y realice el diseño a flexión y desgastes para que sea seguro a una vida útil previa a la fatiga de 200 horas; con una confiabilidad del 90% SOLUCION a) La relación de transmisión: mG =
np nG
=
Como
1750 = 3,8 460
dp = m * Np
1 (m * Np + m * 3,8 * Np ) = 130 2 Adoptamos unos normalizados:
dG = m * NG
m * Np (1 + 3,8) = 260
m * Np = 54,17
m = 3 (normalizado) Tabla 13.3 Np ≥ 17 dientes = 18
m * Np = 3*18 = 54 dp = m * Np = 3*18 = 54 mm dG = 3,8*dp = 205,2 mm NG = 3,8*18 = 68,4 ≈ 68 dientes → dG = 3*68= 204 mm
mG =
np nG
=
68 = 3,778 18
C = ½ (54 + 204) = 129 mm La velocidad de salida es: nG =
np mG
=
1750 = 463,23 rpm 3,778
b) Comprobación por desgaste:
W t Ca Cs Cm Cf I Cv F d
El esfuerzo AGMA: s c = Cp
CP (tabla 14-5) → (Acero)
Wt =
191
MPa (coeficiente elástico)
H * n 13 * 746 * 60000 = *2,5 = 1959 N V p * 54 * 1750
Ca = 1,2 Tabla 1.2) (Aplicación choque uniforme) Cs = 1 (Tamaño) Cm = 1 (Tabla 14.6) (Distribución de carga) F = (3÷5)p = 4 * π* m = 4*π*3 = 37.7 mm ó F = (8÷14)m = 11* m = 11* 3 = 33 mm Cf = 1 (Superficie) Cv = (Figura 14.7) (dinámico).
v=
p * dp * n 60
==
Qv ≈ 7
p * 0,054 * 1750 = 4,95 m/s 60
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-15
Por lo tanto → 0,76 (dinámico)
Problemas Máquinas
Diseño de
F = 0,040 m dp = 0,054m I = (Engranajes externos rectos)
I=
cos φt sen φt 2 mN
cos20º sen20º 3,778 mG == = 0,127 2 *1 3,778 + 1 mG + 1
mN = 1
φt ≈ 20 ° (Estimamos )
Sustituyendo
s c = 191 * 10 3
mG = 3
1959 * 1,2 1 1,2 * 1 = 702,583 MPa 0,76 0,040 * 0,054 0,127
El esfuerzo admisible , si lo igualamos al anterior queda:
s cadm = s c =
Sc CL CH CT CR
CL = 2,466 N -0,056 = 2,466(2,1*107)-0,056 = 0,959
(1750 rpm *
60 min * 200 h) = 2,1 * 10 7 ciclos 1h
CH = 1 ( sólo engranes ) CT = 1 ( temperatura < 250 ºF ) CR = 0,85 ( confiabilidad 90% ) Despejando la resistencia: Sc =
702,58 * 1 * 0,85 = 622,7 MPa 0,959 * 1
Tomamos un acero de 180 BHN (590/660 MPa). C) Comprobación a flexión
W t = 1959 N F = 0,040 m J = (figura 14.4) Np = 18
s=
W t * Ka 1 K s * Km J Kv F * m
Ka = 1,2 m=3
Ks = 1
Km = 1,2
Kv = 0,76
→ 0,325
NG = 68
s=
1959 * 1,2 1 1 * 1,2 = 95174 Pa 0 ′76 0,04 * 3 0,325
KL =1,6813 * (2,1* 107)-0,0323 = 0,976 KT = 1 KR = 0,85
ST =
95174 * 1 * 0,85 = 82887Pa = 0,082 MPa 0,976
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-16
y
s adm = s =
ST * KL K T * KR
Problemas Máquinas
Diseño de
Acero 180 BHN
ST = 170 / 230 Mpa
Problema 9. FEBRERO 97/98. JUNIO 97/98 Se pretende realizar una transmisión dos ejes de maquinaria, distanciados aproximadamente 35 cm, mediante un par de engranes cilíndricos rectos de acero, para una potencia de 55 HP. La relación entre ejes es 3, y el piñón ha de girar a unas 950 rpm. Los dientes se pueden tallar con un índice de exactitud de 7, el montaje es preciso, el choque uniforme y se necesita una seguridad funcional del 90%, con un coeficiente de seguridad de n = 2. La vida estimada es de 7000 horas. Definir las características de los engranes para este montaje. Diseñar para desgaste y flexión.
a) Estimar geometría y nº dientes.
np nG
=
950 nG
=3
⇒
nG =
Como 1 (m * Np + 3 * Np ) = 350 2 Adoptamos Np(≥17)
1 ( dp + dG ) = 350 mm 2
950 = 316,7 rpm 3
dp = m * Np
dG = m * NG
m * Np (1 + 3) = 2 * 350
m * Np = 175 mm
m = 6 (normalizado) Tabla 13.3 Np = 29 dientes
Np = 175/6 = 29,16 NG = 29*3 = 87 dientes
dp = 6*29 = 174 mm C = ½ (174 + 522) = 348 mm. dG = 6*87 = 522 mm b) Comprobación por desgaste: El esfuerzo AGMA s c = Cp
W t Ca Cs Cm Cf C v Fd I
CP (tabla 14-5) → (Acero) 191 MPa = 191* 103 Pa Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-17
mG =
87 =3 29
Problemas Máquinas La carga a transmitir para los 55 HP
Wt =
Diseño de
H * 60000 60000 * 55 * 746 = = 4740.5 N p *d*n p * 0,174 * 950
Ca = 1,2 (Tabla 1.2) Cs = 1 (Tamaño) Cm = 1 (Tabla 14.6) (Distribución de carga) F = (3÷5p) = 4*π*m = 4*π*6 = 75,4 mm è 75 mm, Montaje preciso èCm = 1,63 Cf = 1 (Superficie) Cv = (Figura 14.7) (dinámico). Qv = 7
v=
π * dp * n 60
Cv = 0,68
π * 0,174 * 950 = = 8,65 m/s 60
F = 0,075 m dp = 0,174 m I = (Engranajes externos rectos) cos φt sen φt mG cos20º sen20º 3 I= == = 0,12 2 mN 2 *1 3+1 mG + 1 mN = 1
φt ≈ 20 º
Sustituyendo
s c = 191 * 10
mG = 3 3
4740.5 * 1,2 1 1.63 * 1 = 563.6 MPa 0.68 0.075 * 0.174 0.12
El esfuerzo admisible, lo igualamos al anterior s cadm =
N° de ciclos = 950 rpm *
Sc CL CH CT CR
60 min * 7000 h = 399 * 10 6 ciclos 1h
CL = 2,466 N -0,056 = 2,466 (399*106)-0,056 = 0,813 CH = 1 ( sólo engranes ) CT = 1 ( temperatura < 250 ºF ) CR = 0,85 ( confiabilidad 90% ), (tabla 14.7) Despejando Sc =
s c CT CR 563.6 * 1 * 0.85 = = 589.26 MPa 0.813 * 1 CL CH
Seguridad = 2 SC = 2 * SC= 1178.5 MPa c) Comprobación a flexión s = W t = 4740.5 MPa Ka = 1,2 = Ca Km = Cm = 1.63 F = 0,075 m m=6
W t * Ka 1 K s * Km J Kv F * m
Kv = 0,68 = Cv
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-18
Ks = Cs = 1
Problemas Máquinas J = (figura 14.4) Np = 29
Diseño de
→ 0,39
NG = 87 Sustituyendo: s =
4740.5 * 1,2 1 1 * 1.63 = 77698 Pa 0.68 0.075 * 6 0.39
Si igualamos el esfuerzo admisible: s adm = s =
ST * KL K T * KR
KL =1,6831 * (399* 106)-0,0323 = 0,888 KT = 1 KR = 0,85 n = 2 (Seguridad)
s * K T * KR * n = 0,15 MPa KL Para Sc=1178.5 Mpa, necesitamos un acero de dureza mínima 400 BHN ó un acero endurecido en la superficie. ST =
Problema 10. (Febrero
2000)
Tenemos que transmitir 32 HP al eje de una máquina herramienta, mediante un motor situado a una distancia aproximada de 30 cm. El motor tiene una velocidad nominal de 1400 rpm, y el eje debe girar a 2100 rpm. Diseñar una transmisión mediante engranajes cilindricos rectos de acero para un mes de duracion, montage exacto, choque uniforme en el motor, calidad de la transmision Qv = 7. La confiabilidad es suficiente con el 0,90.
30 cm Motor
SOLUCION a) Estimar geometría y nº dientes.
(
)
1 dp + d G = 300 mm 2
nG nP
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-19
=
2100 = 1,5 1400
Problemas Máquinas dp = m * Np
Diseño de
dG = m * NG Np * 1,5 = NG 600 = m * Np + m * Np * 1,5 = m * Np * 2,5 Adoptamos
módulo = 6
600 = 40 dientes 6 * 2,5 NG = 40 * 1,5 = 60 dientes NP =
dp = 6*40 = 240 mm C = ½ (240 + 360) = 300 mm. dG = 6*60 = 360 mm
d) Comprobación a desgaste: El esfuerzo AGMA: s c = Cp
W t Ca Cs Cm Cf I Cv F d
CP (tabla 14-5) → (Acero)
191
MPa
La carga a transmitir para los 12 HP.
Wt =
H * n 60000 * 32 * 746 = = 905 N V π * 240 * 2100
Ca = 1,2 (Tabla 1.2) (Aplicación choque uniforme) Cs = 1 (Tamaño) Cm = 1,4 (Tabla 14.6) (Distribución de carga) F = (3÷5p) = 4*π*m = 75,36 mm → 75,4 mm
→
1,4
Montaje exacto Cf = 1 (Superficie) Cv = (Figura 14.7) (dinámico). π * dp * n π * 0,24 * 2100 v= = = 26,39 m/s 60 60 → 0,57 Qv = 7 I = (Engranajes externos rectos)
I= mN = 1
cos φt sen φt 2 mN
φt = 20 ° (Estimamos )
cos20º sen20º 1,5 mG = = 0,096 2 *1 1,5 + 1 mG + 1 mG = 1,5
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-20
Problemas Máquinas
Diseño de
Sustituyendo
c
= 191 * 10 3
El esfuerzo admisible AGMA
905 * 1,2 1 1,4 * 1 = 237 MPa 0,57 0,0754 * 0,24 0,096 s cadm =
Sc CL CH CT CR
Tomamos σ c adm = σ c = 237 Mpa CL = 1,4488 N -0,023 = 1,4488 (9,072 * 107)-0,023 = 0,95
N° de ciclos (2100 rpm *
60 min 24 h 30 dias * * * 1 mes) = 9,072 * 10 7 1h 1 dÍa 1 mes
CH = 1 ( sólo engranes ) CT = 1 ( temperatura < 250 ºF ) CR = 0,85 ( confiabilidad 90% ) Despejando Sc =
237 * 10 6 * 1 * 0,85 = 212 MPa 0,95 * 1
Acero Templado 180 BHN e) Comprobación a flexión s =
W t = 339 N
Ka = 1,2
St = (590-660) Mpa
W t * Ka 1 K s * Km J Kv F * m Ks = 1 Km = 1,4
Kv = 0,57
F = 75,4 mm
m=6
J = (figura 14.4) Np = 40
→ 0,41
NG = 60
σ =
905 * 1,2 1 1 * 1,4 = 14,4 M Pa ′ 0 57 0,0754 * 0,006 0,41
y
s adm = s =
ST * KL K T * KR
KL = (Fig 14.9) =1,3558 N -0,0178 = 1,3558 (9,072 * 107)-0,0178 = 0,978 KT = 1
ST =
14,4 * 10 6 * 1 * 0,85 = 13,2 MPa 0,93
KR = 0,85 Como tenemos un material elegido a cálculo de desgaste escogemos el mismo si resiste a flexión Acero Templado 180 BHN
ST = (170 / 230) Mpa >> 13,2 Mpa
Engranajes Rectos y Helicoidales XVIII-21