Problemas de Calor Temperatura y Termodinamica

C A P I T U L O 15

presión constante ct = y

TEMPERATURA Y DliATACION

3T

, o en términos del coeficiente de expansión volumétrica o

dilatación cúbica a presión constante (3 = --

dJ

y

Tumperatura. - Termómetro: El concepto de temperatura desde un punto de vista físico I);; ol de una m.ii)niluil üscalar, tnacroscópica, relacionada a nuestro sentido de caliente o de frío. Se mi(j() niodianto loa instrumentos llamados termómetros los cuales contienen una .sustancia de trabajo con una propiedad medible o mesurable tal como longitud, presión, etc. quH camíjian i;n forma regular cuando tai sustancia se calienta o se enfría.

PROBLEMAS

Una regla de acero, de un metro, es exacta a 0°C y otra a 2S°C. ¿Cuál es la diferencia entre sus longitudes a 20°C?

Cuando un termómetro y cualquier otro objeto se ponen en contacto mutuo, ambos eventualmente adquieren el equilibrio térmico. Por consiguiente ¡a lectura del termómetro será entonces la temperatura del otro objeto, proceso consistente con la ley cero de la Termodinámica.

15^2.- Una cinta de agrimensor de 100 pies es correcta a la temperatura de 65°F. La distancia entre dos puntos se mide con esta cinta un día en que la temperatura es 95°F, y resulta ser 86,57 pies. ¿Cuál es la verdadera distancia entre ios dos puntos? Un anillo de acero de 75 mm de diámetro interior a 20°C, ha de ser calentado e introducido en un eje de latón de 75,05 mm de diámetro a 20°C. a) ¿A qué temperatura ha de calentarse el anillo? b) Si el anillo y el eje juntos se enfrían por algún procedimiento, tal como introduciéndolos en aire líquido, ¿a qué temperatura saldrá el anillo solo del eje?

Ley Cero de la Termodinámica.- Esta ley establece que si dos cuerpos A y B s e encuentran en equilibrio térmico con un tercer cuerpo C (digamos el termómetro) entonces los cuerpos A y B estarán en mutuo equilibrio térmico. Termómetro de g a s a volumen c o n s t a n t e . - En este termómetro la temperatura e s proporcional a la presión de la muestra de gas cuyo volumen se mantiene constante. L a constante de proporcionalidad es establecida definiendo el valor numérico de alguna condi--; ción reproducible tal como aquella en la cual el agua pueda coexistir en equilibrio en sus tees fases de sólido, líquido y vapor. La temperatura de este triple punto del agua ha sido elegida internacionalmente con el valor de T = 273,16°K. 'l

1^'4.-,A la temperatura de 20''C, el volumen de un cieri:o matraz de vidrio, hasta una señal de referencia que lleva en el cuello, es exactamente 100 cm^. El matraz está lleno hasta dicha señal con un líquido cuyo coeficiente de dilatación cúbica es 120 x 10" °C-\o tanto el matraz como el líquido a 20°C. El coeficiente de dilatac-ion lineal del vidrio es 8 x 10"^ "C"''. La sección transversal del cuello es 1 mrrv' y p i i m l i ' considerarse como constante. ¿Cuánto ascenderá o descenderá el líquido d rui' lio, cuando la temperatura se eleve hasta 40°C?

Temperatura de un gas i d e a l . - Se ha logrado encontrar experimentalmente que las temperaturas medidas con termómetros de gas a volumen constante dependen de la clase y cantidad de gas usados y que las discrepancias entre diferentes gases son menores si se usa menos gas. Una temperatura de un gas ideal puede definirse entonces como la tempé^ ratura límite lograda por un termómetro de gas a volumen constante cuando en repetidas mediciones se usan cada vez cantidades menores de gas. Es decir, la temperatura de un

15.5.-Un reloj cuyo péndulo da una vibración e n 2 seg, marca exactamonfi' l^| l i o i n i m . i i . i n do la temperatura es 25°C. La varilla del péndulo es de ICDH, y .u i i i . . m . m • i. inercia puede despreciarse frente al de la lenteja, a) ¿Cu.il la v . n i . n u m i.ilniivrt t|» longitud de la varilla cuando se enfría hasta 15'C'^ h) :i)anl.i. . i M j i i n . i - > • Í M adelantará o retrasará el reloj a 15°C?

p Qas T estará dada por la relación

T = ¡imite

x 273,16

(V = ccnsíanie)

donde P es la

rldl gas que trabaja a la temperatura T y P,, es la presión a ia temperatura del punto iiiph' ili:l agua.

|M'Í:;Í()II

{ • c a l a Kalvin de Temperatura.- La escala de temperatura de un gas ideal es equLva^, 'Uto ii lii f)rii:nla K.'lvin tU) N;mperatura definida más apropiadamente en íermodinámica. "lili.II.i

.1

:

, . 1

|M)r

lo ninni).; otras

do:i

liscalas termodinámicas en uso que son:

•i|\llutailn •!' - . - M i r . 11.'111111 la IIIir la [(""lacifín: t^, ) t». 4 U f l h i . i M l u i i l

Inllnlil ,

PROPUESTOS

T-273,15'

* 15.S.-Una varilla delgada de acero oscila como un |). induli. ii-.u .• zontal que pasa por uno de sus e;
I I O ' I . M I I . I ,I« un «!•

, i •

hod

i

1.

" i 5.7.-Un alambre de a c i i r n de ( i . : " ; IMIH 11. mos de una Urga . l a n i i i . r tensión HU. Uli |n 1.1 l j, u l i . .l n ^ i 1 5 . 8 . - l )ii i i u l i i

11

j , • lililí iiiii I. |i •

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Ll 'ja;- '.'n u i i II.'Í;IIIJIIIOIIO JI3 gas a volumen constante se i ) í K . u . j i i l i a i '..i luioparalliiM

- 432 -

-433-

t e r m ó m e t r o s e l l e v a e n t o n c e s a la t e m p e r a t u r a d e e b u l l i c i ó n d e l a z u f r e y l a pres'r

15.3.-Como datos d e este problema tenemos:

r e g i s t r a d a e s 2 1 5 , 5 m m d e H g . C a l c u l a r la t e m p e r a t u r a d e e b u i l i c i ó n a e l a z u f r e .

A n i l l o d e a c e r o d e d i á m e t r o i n t e r i o r d ^ = 7 5 m m a t e m p e r a t u r a t^ = 2 0 ° C ,

1 5 . 1 0 - S e l l e n a c o m p l e t a m e n t e u n f r a s c o d e v i d r i o d e 2 5 0 c m ^ d e v o l u m e n c o n glicerina

E j e d e l a t ó n d e d i á m e t r o d'g = 7 5 , 0 5 m m a t e m p e r a t u r a t^ = 2 0 ' ' C ,

t e m p e r a t u r a d e 6 0 ° C . S e e n f r í a l u e g o el f r a s c o y la g l i c e r i n a , h a s t a la t e m p e r a t u r a

C o e f i c i e n t e d e d i l a t a c i ó n l i n e a l d e l a c e r o a = 1 2 x 1 0 - ^ ( ° C ) - ^ y el

0 ° C . ¿ C u á n t a g l i c e r i n a a 0 ° C d e b e a d i c i o n a r s e al f r a s c o p a r a m a n t e n e r i o l l e n o ?

Coeficiente d e dilatación lineal del latón a ' = 2 0 x 10-^ ( ° C ) - ^

1 5 . 1 1 . - L a s l í n e a s f é r r e a s d e s c a n s a n g e n e r a l m e n t e e n s e g m e n t o s . C o n s i d é r e s e rieles a c e r o d e 6 0 p i e s d e l o n g i t u d . C a l c u l a r el c a m b i o e n l o n g i t u d d e c a d a s e g m e n t o et

a)

un d í a frío de invierno ( - 1 0 °C) y un d í a caliente d e v e r a n o (40 ° C ) . N o olvidar q u e

D e s i g n a n d o p o r d = 7 5 , 0 5 1 m m el m í n i m o n u e v o d i á m e t r o d e l anillo d e a c e r o u n a v e z c a l e n t a d o a la t e m p e r a t u r a t, c a p a z d e p o d e r s e r i n t r o d u c i d o al e j e d e

c o e f i c i e n t e d e d i l a t a c i ó n l i n e a l e s la t e r c e r a p a r t e d e l c o e f i c i e n t e d e d i l a t a c i ó n c ú b | -

l a t ó n , e n t o n c e s el a l a r g a m i e n t o d e l d i á m e t r o d e l a n i l l o d e a c e r o h a d e s e r Á d = d - d g = a d j j (t - tj,),

PROBIEMAS

DESARROLLADOS

SOLUCIÓN DE A l G U N O S DE I O S P R O B L E M A S

>

d-d

-

°

de d o n d e resulta que:

75,051-75

«d„

12x10-^x75

= 56,67"t).

Y p o r c o n s i g u i e n t e la t e m p e r a t u r a a la c u a l h a d e c a l e n t a r s e el a n i l l o s e r á :

PROPUESTOS

t = tg + 5 5 , 5 5 = 2 0 + 5 6 , 6 7 = 7 6 , 6 7 " C 1 5 . 1 . - C o m o d a t o s d e e s t e p r o b l e m a t e n e m o s las r e g l a s d e a c e r o d e l o n g i t u d e s n o r m a l

b)

exactas

1

S i el a n i l l o y el e j e c o n p r á c t i c a m e n t e el m i s m o diám.etro d = d'g, s e e n f r í a n d e s d e u n a t e m p e r a t u r a i n i c i a l tal c o m o t^ = 2 0 ° C h a s t a o t r a t e m p e r a t u r a t a la c u a l el

m = 100 c m

a

Z'^ = 1 m = : 1 0 0 c m

t^ = 0 ° C

a

t'„ = 2 5 ° C .

a n i l l o h a d e s a l i r s ó l o d e l e j e , e n t o n c e s los n u e v o s d i á m e t r o s d e l a n i l l o y e j e , u n a vez enfriados serán respectivamente

A d e m á s la t e m p e r a t u r a f i n a l e s t = 2 0 ° C y el c o e f i c i e n t e d e d i l a t a c i ó n l i n e a l d e l a c e r

es

a=12x10-«C'C)-\

d, = d [ 1 + a ( t - t „ ) ]


d e b e s e r a l m e n o s d , - d", = 0 , 0 5 m m , r e s u l t a q u e d , - d ' , = d(t - 1 ^ ) ( a -

- : -

¿ = ¿ „ ( 1 + a A t ) = ¿,[1 + a ( t - t , ) ]

= 1 0 0 [1 + 1 2 x 1 0 - 6 ( 2 0 - 0 ) 1 = 1 0 0 , 0 2 4 c m .

d'f-df

^ *°

P o r lo t a n t o la d i f e r e n c i a e n t r e s u s l o n g i t u d e s a la t e m p e r a t u r a t = 2 0 ° C s e r á

a=12x10-°(=C)-i

= -83,2778'=C,

y el c o e f i c i e n t e d e d i l a t a c i ó n l i n e a l d e l a c e r o ' -

= - 63,2778 °C.

^'

5 . 4 . - C o m o datos de este problema t e n e m o s

t^, = 5 ° F ; la d i s t a n c i a m e d i d a e n t r e d o s _

= |x12x10-6(°F)--' = ^ x 1 0 - 6 ( ° F ) - ' .

75,05(20-12)x10-^

t = tg - 8 3 , 2 7 7 8 = 2 0 - 8 3 , 2 7 7 8

1 5 . 2 . - C o m o d a t o s d e e s t e p r o b l e m a t e n e m o s la c i n t a ( d e a c e r o ) d e a g r i m e n s o r d e l o n g i t u d p u n t o s d = 8 6 ^ 5 7 p i e s , c u a n d o t = 95°r

0,05

d(a-a')

p o r lo q u e l a t e m p e r a t u r a r e q u e r i d a h a d e s e r

= 0,03 c m .

íí,. = 1 0 0 p i e s , c o r r e c t a a la t e m p e r a t u r a

;

P a r a la m a t r a z d e v i d r i o ,

A = 1 m m ^ = 0,01 c m ^ , o sea s u coeficiente de dilatación

c ú b i c a p = 3 a = 2 4 x 1 0 - 6 ( ° C ) - i ; s e c c i ó n t r a n s v e r s a ! del c u e i l o A = 1 m m ^ = 0,01 c m ^ , P a r a e¡ l í q u i d o , V'g = 1 0 0 c m 3 , t'„ = 2 0 ' ' C , p ' = 1 2 0 x 1 Q-s

D e s i g n a n d o p o r i ia l o n g i t u d d e la c i n t a a !a í e m p e r a t u r a í = 9 5 ° F , s e t i e n e : ¿ = ¿, (1 + ixM) =

[ 1 + a ( t - t^)j = 1 0 0 1 +

20

~ x 1 0 " ^ ( 9 5 - 6 5 ) = 1 0 0 + 0,02 = 1 0 0 , 0 2 pies,

•3

d e d o n d e s e d e d u c e q u e el a u m e n t o d e l o n g i t u d d e la c i n t a s e r á : A ¿= ¿-

= 0,02 pies.

C o m o q u i e r a q u e la di.stancia e n t r e tos d o s p u n t o s h a s i d o m e d i d a c o n u n a cinta a l a r g a d a , la d i s t a n c i a v e r d a d e r a e n t r a d i c h o s p u n t o s h a d e s s r d' = d + ¿ií = 8 6 , 5 7 + 0 , 0 2 = 8 6 , 5 9 p i e s .

a') y por

consiguiente

[1 + a (t - 1 ' „ ) ] = 1 0 0 [1 + 1 2 X 1 0 - 6 ( 2 0 - 2 5 ) ] = 9 9 , 9 9 4 c m .

A¿ =

d', = d ' J 1 + a ' ( t - t , ) ]

y c o m o q u i e r a q u e la d i f e r e n c i a d e d i á m e t r o a la c u a l el a n i l l o s a l e s ó l o d e l e j e

A la t e m p e r a t u r a f i n a l t = 2 0 ° C , l a s l o n g i t u d e s f i n a l e s d e a m b a s r e g i a s s e r á n r e s p e c tivamente:

y

A d e m á s la t e m p e r a t u r a f i n a l d e l s i s t e m a e s t = 4 0 ° C . C u a n d o la t e m p e r a t u r a d e l s i s t e m a (matraz de vidrio y líquido) se e l e v a , los v o l ú m e n e s finales h a de ser respectivamente: V

= y j i + B ( t - t „ ) ] = 1 0 0 f1 + 2 4 x 1 0 - 6 = 100,048 cm^

_ 20)] rig. 1

-435

- 4 3 4 y y. =

[1 + P' {t - í'o ) ] = 100 [1 + 120 X 10-5 (40 - 20)] = 102,400 cm^.

son los momentos de inercia de la varilla relativos ai eje (perpendicular a esta página) que pasa por uno de sus extremos. Por consiguiente.

;;

Por consiguiente, la diferencia de volúmenes del líquido y del matraz será:

^^

V - V = AV = 2,352 cm^,

T

^

u

nr

de donde se deduce que la altura h que ha ascendido el líquido en el cuello del matrar

To"v L7 "ll

ha de ser

y como

AV

2,352

„

f= a)

b)

= I = 2 s. Este período es el período será

T=2n^^

= 2n

Para el alambre de acero, d = 0,25 mm, tensión el módulo de Young Y = 20 x 10^ kg/mm^ y ia temperatura final t = 20 "C. Para la barra del latón, a' = 20 x 10"^ (°C)-''

A t = 10°C. :¡

Por lo tanto, la razón de los dos períodos del péndulo ha de ser

Como inicialmente, a la temperatura t^, las longitudes del alambre de acero y de la barra de latón son iguales a l^, resulta que a la temperatura t = 20 °C estas longitudes serán respectivamente.

^

= ^ l - a A t = V l - 1 2 x 1 0 " ^ x 1 0 =0,9999399932,

t

i = ¿, [1 + a (í - !,)]

/ ' - ¿ = A/; = r

de donde T = 0,9999399982T„ = 1,999879996 s. Como quiera que el período ha disminuido, el reloj ha de adelantar, siendo el adelanto por segundo y por día

1 3 - ! = 10,368 s.

15.6.-Como datos de este problema tenemos ia varilla de acero de longitud = 60 cm cuando í,, = 20°G y a = 12 x 1Q-^ ("C)-'. Además !a temperatura final t = 30°C. En el gráfico dé ¡a Fig. 15-6, ia distancia dei eje al centro de gravedad es io =

^=I •

y

-2 Gomo ¡a varilla de acaro oscila como un pénduio físico, los períodos T y a ias temperaturas í y serán respectivamente i

i

y

f = ¿, [1 + a'(t - í j ] ,

por lo que ía diferencia entre ellas ha de ser obviamente

o

T ^ - T = 0,00012 segundos

= O cuando t = 0°C:

e! coeficiente de dilatación lineal «=12x10-® {°C)-';

obviamente es

y

= 1,269471286 s,

15.7.-Como datos de este problema tenemos

temperatura t,

, donde ¿ = Z„ (1 - a At) '

—

AT.= T - T = 0,0000761614S = 7,61614 x 1 Q-s s.

= a ( t „ -1) = 12 X 10-« (25 - 15) = 12 X 10-5.

El período del péndulo cuando t^ = 25°C y su longitud es

r

;

= ^1 + a{t-to) =^1+^2x10^(30-20) =1,000059998 „ Í2L7 [2X60 = 2. =1,2693951253. -

T = 1,000059998

-vH:: ;

Cuando la temperatura desciende hasta t = 15°C, la variación relativa de la longitud de la varilla del péndulo es: ^

= 2TZ

¡ — - . — -

por lo que la variación de aumento que experimenta el período del péndulo será

vibraciones/seg cuando t^ = 25°C ; el coeficiente de dilatación lineal del acero a=12x10-8(°C)-^

ü

resulta que

15.5.-Como datos de este problema tenemos la frecuencia del movimiento pendular

i+a(t-to)j

(tf_a)(t-t,).

De Ciro lado, designando por A = ^ d^. ai área media de !a sección transversal del alambre, ia fuerza de tensión cuando e! sistema (alambre y ba.rra), óe encijsntra a la temperatura t, estará dada per !a rsíación. r = = — ~ - — = A YÜ-í,-,j !a'-ai

de donde resuita que dicha fuerza ha de ser:

*

^0,25f F = rt 1

- I X 20 X 10^ (20 - 0) (20 -12) x 10~« =0,15708 kg = i ,54 nev/tons.

1S.3,-Li'io •latos de asta probíema son ai bloque cúDicc de alurniriio ae arista •: = 20 cm, 1 dñnsidac;

0^, = 2 7 q / o n r

= 24 x 10"° f°C)'' fiotando sn mercurio de densidad

- 436 -

-437-

Como el grado centígrado y ei grado Kelvin son de ia misma magnitud, no hay confusión de unidades entre ios parámetros conocidos para esta problema. Sea y la profundidad en el líquido donde está sumergido ei cubo. La condición de equilibrio de flotamiento antes del calentamiento, nos permite escribir pmg y p^g^, (empuje hidrostático = peso del cuerpo) de donde y 9m = í
ENERGÍA TÉRMICA - CANTIDAD DE CALOR

Al calentarse el sistema (sólido y líquido), todos estos parámetros varían, por lo que

Calor.- El calor es la energía térmica que fluye de un cuerpo a otro cuando entre éstos hay una diferencia de temperatura. Generalmente se mide en las mismas unidades de trabajo es decir en joules y en particular se mide en kilocalorías en el sistema métrico o en unidades británicas de energía (Btu), donde

y Ap,„ + p,^Ay =

+ p,Aí.

De otro lado como la masa del cubo de aium.inio m = pj? = constante, Am = 3pa¿^ A p a = 0 , de donde ¿Apa = - 3 p a A¿ y por lo tanto obien

y Ap^^ + p^n Ay = - 3pa A¿ + pg A¿ = - 2 p a A¿,

Ay = - ^ y - 2 ^ A ¿ , Pm

Finalmente como

y=

^ (aluminio), A¿ = aMT

Pm

AV = ¡3 V A T= yaque

AM = p^AV + VAp^ = O,

se deduce que

Pm

V (mercurio).

^Pm = - P Pm AT 2 7

AT = ( 1 8 0 - 4 8 ) x 1 0 - ^ x 2 0 x

= 0 , 0 2 6 2 cm.

1 5 . 9 . - Este problema queda como trabajo para ei estudiante. 15.10 - Este problema queda como trabajo para ei estudiante. 15.11.-

1 Btu = 252 cal = 1055 J.

De otro lado el calor específico de un material es su capacidad calorífica por unidad de masa, es decir

por ser M = p^V = constante,

y por consiguiente el hundimiento adicional del bloque cúbico de aluminio será: Ay = ( p - 2 a ) ¿

o bien

Capacidad calorífica y calor específico.- La capacidad calorífica de un cuerpo o de una sustancia es la cantidad de energía térmica para aumentar 3lj temperatura. Esto implica una cantidad de energía Q suministrada a un cuerpo para incrementar su temperatura en un AT, dada por la relación

.

Pm

1 kcal = 1000 cal = 4186 J = 3,9682 Btu,

Este problema queda como trabajo para el estudiante.

x 50

Calor de Transformación.- Este calor es energía térmica que suministrada a un cuerpo hace cambiar su estado o fase, por ejemplo de sólido a líquido o de líquido a gas. La cantidad de esta energía requerida por unidad de masa es precisamente su calor específico Q de transformación L, dado oor L = —. m Así por ejemplo, tratándose del agua, su calor específico de vaporización a la presión atmiosférica es L = 539 kcal/'kg y el calor específico de presión también a la presión atmosférica es L = 8 0 kcai/kg. Equivalente jnecánica del caior.- Puesto que ei calor es una forma de energía, sus unidades son también unidades de energía mecánica, de ta! forma que ei equivalente mecánico del calor será Q _ calor _ 1kcal _ stu _ VV trabajo 1J ' i b x pie ' ' Calor ds Transmisión.- La energía térmica a caior también puede ser transferida de un cuerpo a otro debido a la diferencia de temperaturas por varios medios como son conducción, convección y radiación. En ios próximos capítulos trataremos estos tipos de calores de propagación o transmisión.

16.1-a) Cierta casa quema 10 ion de carbón an una instalación de caieracción. Si las pérdidas totales son da un 15%, ¿cuántas kcai se utilizarán realmente para calentar la casa' b) En algunas localidades se calientan, d( iraníe e? vsrano, grandes depósitos da

-439agua mediante ia radiación solar, y la energía almacenada es utilizada como calefacción durante ei invierno. Calcular las dimensiones del tanque aimacén, supuesto ds-v forma cúbica, para almacenar una cantidad de energía igual a !a calculada en la parte 5 a). Supóngase que el agua se calienta a 50°C en el verano y se enfría hasta 25°C en ef invierno.

16.10. - A temperaturas muy bajas, en la proximidad del cero absoluto, el caior específico de los sólidos está dado por la ecuación de Debye c = kT^, siendo T la temperatura absoluta o temperatura Kelvin, y k, una constante, distinta para cada sustancia. a) Calcular el calor necesario para elevar la temperatura de una masa m de un sólido desde 0°K hasta 10°K.

16.2. - U n motor de automóvil, cuya potencia es 40 CV, consume 17 litros de gasolina por hora. El calor de combustión de la gasolina es 7,7 x 10''cal por litro. ¿Cuál es el rendimiento del motor? 16.3. -400 gramos de agua están contenidos en una vasija de cobre de masa 200 g. El agua . se calienta por un dispositivo de rozamiento que consume energía mecánica, y, se obsen/a que la temperatura del sistema se eleva a razón de 3°C por minuto. No setendrán en cuenta las pérdidas de calor al medio ambiente. ¿Qué potencia en vatios se consume dentro del agua? 16.4. -Una bala de plomo, que lleva una velocidad de 350 m/s, llega al blanco y queda ert repeso. ¿Cuál sería la elevación de temperatura de la bala, si no hubiera pérdidas poc*; el calor que pasa al medio? 1,6^5.-Un calorímetro de cobre cuya masa es 300 g contiene 500 g de agua a la temperatura _ / de 15°C. Se deja caer dentro del calorímetro un bloque de cobre de 560 g, a la temperatura de 100°C, y se observa que ia temperatura sube hasta 22,5°C. Despreciando las pérdidas de calor por radiación: a) Calcular e! calor específico del cobre; b) ¿Cuál es e¡ equivalente en agua del calorímetro? •

b)

Calcular el calor específico medio en el intervalo de temperaturas comprendido entre 0°Ky 10°K.

c)

Calcular el calor específico verdadero a la temperatura de 10°K.

16.11. - Una pieza de pan es introducida en un recipiente de acero rodeado por suficiente oxígeno como para quemarla completamente. El recipiente es introducido en 2 kg de agua. El pan es quemado, encontrándose que la temperatura del agua aumenta en 30°K. Si la capacidad calorífica del recipiente de acero es despreciable comparada con la del agua, encontrar el número de calorías de calor liberado por la oxidación de la pieza de pan. Los nutricionistas usan generalmente las kilocalorías (1000 calorías) para medir la energía liberada por los comestibles. 16.12. - Un calentador eléctrico colocado en un bloque de cobre de 1 kg, consume potencia eléctrica a razón de 1 kW por 60 segundos. Si toda esta energía es retenida como calor en el bloque de cobre, ¿cuál es el cambio de temperatura de este bloque de cobre?. Asúmase que la capacidad calorífica del mismo calentador eléctrico es despreciable comparada con aquella del bloque de cobre.

16:6.-iJn calorímetro de cobre, de masa 100 g, contiene 150 g de agua y 8 g de hielo en j equilibrio térmico a la presión atmosférica. Se dejan caer dentro del calorímetro 1 0 0 - ^ g de plomo a la temperatura de 200''C. Calcular la íem.paratura final si no ha habido pérdidas da calor ai medio ambiente.

SOlUCiÓN DE A L G U N O S DE L O S P R O B L E M A S P R O P U E S T O S

1,6.7.-Un tubo une ur, recipiente, en al que está hiiviendo el agua a la presión atmosférica, con un calorímetro. La masa del calorímetro es 150 g, su equivalente en agua 15 g y contiene iniclalmente 340 g de agua a i5'C. El vapor se condensa en ai calorímetro ^ nasía que su temíperatura sube a 71 ^C. después de lo cual ia masa dei calorímetro y su ccntefiido resulta ser 525 g. Calcular C O Í ! estos datos el caiorde vaporización de!

16.1.- a) Como datos de esta primera parte del problema tenemos ei peso de carbón quemado w = mg = 10 toneladas = 10,000 kg = 10" g las pérdidas en la combustión del 15%. Luego, como el calor de combustión es L = 6500 kcal/kg, se deduce que la energía calorífica correspondiente a la combustión de una masa de carbón m - 10000 kg, será

PROBLEMAS

aCjUa.

Q = mL = 10000 kg x 8500 kcal/kg = 9,75 x 10^ kcai.

16.8. - c ; i un srstema domésíico de calefacción cor agua caüenis, si agua 'lega a ios radiadores a la temperatura de 60°C y saie a 38°C. Se desea feeíi¡piaza¡ ei ¿istema de calefacción por otro de vapor en el cuai ei vapor a ¡a presión atmosférica se condensa, en los radiadores, saliendo de éstos a 32 'C. ¿Cuántos kHcgramcs de vacor suministrarán S ! mismo calor que suministraba 1 Kg de agua calienf;; AX\a orimera instalación? 15.9. -EÍ calor aspecííicc c da una sustancia es;a dado per la ecuación .^mpíricac = a - Dt^, aonde a y b son constantes y Í es ia Temperatura oemigrada. ai Calcular sí calor requerido cara elevar ia temperatura de ..¡na ma^a ;n ele í u s ' a M c i - de 0''C at°C. b) ¿Cüái es ai calor específico medio de ia susiancia sr i-, ^p'aivaio -Z'i iemperaturas comprendido eníre 0°C y rO? c) Comparar esie caior cscecííicc T^edio con Ü calor ^^<^^r••^.^!•, ^«i-dadero a la temperatura media enírs O" y f-

DESARROLLADOS

Las pérdidas dei 15% en la combustión correspondiente han de ser por lo tanto

Q' = T7^Q= TTT I X 65 X 10^ kcal

= 9,75 x 10*^ kcai.

por lo que la cantidad de calor que se utilizará realmente para calentar la casa será obviamente A Q = Q - Q' = 55.25 x 10^^ kilocalorías. b)

Designando por t^^ = SO°C ia temperatura del agua en verano y por t¡ - ¿S-'C la temperatura del agua en invierno, el incremento de la ramperatura saré. 4t = \ t| = 26*0

y como quiera que

AQ = 55,^5 \^ kcai.

de la e..ípíes;i:n de !a cantidad de caior absorbida oo; -rl agua

-441 -

- 4 4 0 AQ = me Ai = p Ve AK, se tiene que el volumen del tanque almacén cúbico de lado l será V =

„

¿3 =

AQ

55,25 x 1 0 ^ k cal rr?

pcAt

(io3kg/m3)(lkcal/kgx°c)(25°c)

— = 7 —

por lo que su arista resulta ser

^ T = 2,21

w

X

^ . 103

„

m^,

16.4. - C o m o datos de este problema tenemos la baia de plomo con una velocidad v = 350 m/s, ai valor específico del plomo c = 0,031 kcal/kg °C y el equivalente mecánico del calor J = 4186 joules/kcal. Por lo tanto, teniendo en cuenta que toda la energía cinética de ¡a bala se ha de transformar en calor al producirse el impacto, de la relación - mv^ = J me At, se tiene

L = 13,0256 m.

que la elevación correspondiente de temperatura será

16.2.-Como datos de este problema tenemos la potencia del motor P = 40 CV = 3000 kg m/s-^

At = - ^ = — ( ^ ^ ^ 2cJ 2x0,031x4186

el calor de combustión de la gasolina L = 7,7 x 10''cal/litro = 7,7 x 10" k cal/litro y ef consumo o gasto V/t = 17 litros/hora. La potencia suministrada al motor (a través del consumo del combustible) obviamente es'' P' = IY j (L) = (17 litros/hora) x (7,7 x 10'' kcal/litro)

;^

= 130,9 X 10-* kcal/hora = 0,03636 x 10'* kcal/s

' "'^^

= 15,53 X 10-* kg m/s = 0,207064 X 10* CV = 2070,64 CV, yaque

1 kcal = 427,1 kgm

y

1CV = 7 5 k g m / s .

Para el agua, m = 500 g, c = 1 cal/g x °C, i = 15 °C;

Para el bloque de cobre, M = 560 g, T = 100 ' C . Finalmente, la temperatura final del sistema es t, = 22,5 °C. Designando por c' el calor específico del cobre y teniendo presente el equilibrio térmico del sistema (agua, calorímetros y bloque de cobre), se tiene que Me' (T - 1 , ) = me (í, - t) + m' c' (t, - i'),

P = 40 CV que se utiliza como potencia mecánica para mover al vehículo, por lo que * P 40 •• el rendimiento del motor será ri = — = 2070 g4 = 0.0193, que representa un rendi-miento ri = 1,93%. .|

de donde mc(tf-t)

500x1(22,5-15)

-M{T-t,)-m'(t,-f) b)

1 6 . 3 . - C o m o datos de este problema tenemos lo siguiente:

~ 560(100-22,5)-300(22,5-15)=°'°^^^^''^^9''

Para averiguar el equivalente en agua m^ del calorímetro, se debe tener en cuenta que las capacidades caloríficas del calorímetro m'c' y m^c del agua, deben ser

Para el agua, m = 400 g = 0,4 kg, c = 1 kcal/kg °C; Para la vasija de cobre, m' = 200 g = 0,2 kg, c' = 0,093 kcal /kg x °C y además la tasa

iguales, por lo que m^c = m'c', de donde la masa de agua ha de ser

de aumento de la temperatura

m'c'

ma = —

°C/s.

Luego, designando por Q y Q' las cantidades de calor absorbidas por el agua y el recipiente de cobre, tenemos respectivamente que Q = me At

y

^

Para el calorímetro de cobre, m' = 300 g, su temperatura también i' = 15 °C y

a)

.

=472=C

16.5. - C o m o datos de este problema tenemos los siguientes

De esta potencia absorbida por la máquina P' = 2070,64 CV, sólo se utiliza la potencia

At = 3 °C /minuto =

, -

Q' = m'c' At,

=

300x0,09113 ^

= 2 7 , 3 4 g.

16.6. -Com.o datos de este problema tenemos ios siguientes Para ei agua,

= 1 5 0 g, c, = 1 cai/g x °C, í = O^C

Para e! hielo,

= 8 g, Co = 0 , 5 5 cal/g x "C, t = 0°C, calor de fusión L = 7 9 , 7 cal/g;

o bien teniendo presante el equivalente mecánico del calor J = 4186 joules/kcal, ten-

Para el calorímetro de cobra, m.^ = 1 0 0 g, c„ = 0,0923 cai/g x °C, t = O °C v

dremos que las energías absorbidas correspondientes han de ser

Para ai bioque de plomo, m^ = 1 0 0 g, c. = 0 , 0 3 0 5 oal/g x "C,

W = 4186 me Ai

y

'

VV = 4186 m'c' At.

Dividiendo ambas energías entre e! tiempo, resulta que la potencia total consumida" dentro del agua será 0

0

P =: P + P' = 4 1 8 6 (me At + m'c' Ai) = 4186 X ^ • ya quK

1 vvatt = 1 iouia/s

= 4186 Ai (me + m'c')

y

Luego, designando por i' la temperatura final del sistema (agua, hielo, calorímetro de cobre y bloque de plomo) se tiene que !a cantidad de calor cedida por el plomo ha de ser Q, .= m.,c^ ( i , - í) = 100 X 0.0305 ;< 200 = 610 calorías

0

(0,4 X 1 + 0,2 x 0,093)

= 2 0 0 "C.

= 87,8129 W,

At = — 'C/s.

y como la cantidad de calor necasaria para rundir iodo ei hieio debe ser , Q., -

= 8 X 7 9 , 7 = 6 3 7 , 6 caícrías,

se deduce que a! sisiema no experimentará variación en su temperatura, per lo que la temperaiura nnsí del sistema (agua, hSelo, cobra y plomo) será obviamente í' = O "C.

-442-

-443-

L a cantidad de hieio m'j que h a de fundirse con el calor cedido por el plomo, e s t a r á ' dada por la relación 610 6110 _ mi'2L = 510 calorías, de donde resulta que m'2 = = - ^ g y = / . S S a / g

b)

v-| . | c =

y por consiguiente quedarán A m , = m , - m'r, = 0,3463 g de hielo sin fundirse. 6.7. - C o m o datos de este problema tenemos los siguientes

c)

P a r a el a g u a , m., = 340 g, c, = 1 cal/g x "C, t, = 1 5 ° C ;

^

:

P a r a el calorímetro, m j = 150 g , s u equivalente en agua e s m'., = 15 g, 1^ = 1 5 ° C .

m 2 C j = m'^c,,

de donde

=

-

*

m^ = 5 2 5 - ( 3 4 0 + 150) = 3 5 g ,

.É

de d o n d e L =

O

0-rt 1 A la temperatura media t,„ = ^ = 11, el calor específico verdadero ha de s e r

ri ^

b)

^^'°^«^P^^''fi^° de ios sóli-

E l calor específico medio en el intervalo de temperaturas A T = 10°K e s Q _ 2,5x10^ km c = = 2 , 5 x 102 k. " mAT lOm

c) —i

A l a temperatura T = 10 °K, el calor específico verdadero h a de ser 1 dQ o c = — - ^ = kT3 = k(10)3,

yaque

Q=

,, = 539 cal/g. 16.11. - E s t e problema queda como trabajo para el estudiante.

6.8. ~ C o m o d a t o s d e e s t e p r o b l e m a t e n e m o s ios s i g u i e n t e s E n ei sistema d e calefacción p o r a g u a c a i i s n i s , m = 1 i
= a+^bt^. 4

J

mic, ( t - t , ) + m 2 C 2 ( t - t g ) - m ^ C i ( t ^ - t )

mv 340xl(71-15) +150x0,1(71-15)-35xl(l00-7l) = — — ^ ^

= a+;ibt2

Q = m c dT = k m J J ° T 3 d T = | k m A T ^ = ¿ k m ( 1 0 ) ^ = ^ S x I O ^ k m .

por io que bajo condiciones de equilibrio térmico y teniendo presente que el calor d e • condensación o de vaporización del vapor de agua e s L, resulta que m„L + m,^c, ( t ^ - t ) = m,c. ( t - t ^ ) + m 2 C 2 ( t - t 2 ) ,

m(t-O)

A T ^To^oí í ' ^ ' " " ^ necesaria para elevar la temperatura de una masa m en un AT = 1 o K ha de ser obviamente

15x1

= -¡gg = 0,1 cal/g x ° C .

Obviamente la cantidad de vapor condensado en el calorímetro e s

mAt

es

m at.3bt3

'^•'°do';T= í ! ° P o í o ' S n t o ' ' " ' ' " ' ^

del calorímetro utilizando la relación

m'iCi

Q

1 dQ

i

A d e m á s la m a s a y.temperatura finales del sistema (calorímetro y agua) son respecti-' vamente m = 5 2 5 g y t = 71 ° C . L a temperatura d e l v a p o r de agua e n ebullición e s t,= 100°C. q Previamente determinaremos el calor específico

E l calor específico medio de la sustancia entre O y t

0,036 kg.

6.!? --••k.íiio Catü3 d e e s í e p r o b í e r n a i a n s m o s i a r a i a c i ó n d e l c a l o r s s o e c i f i c o c v o n n e - v i ? s o n c o n s t a n t e s y í la í e m p a r a í u r a c e n t í g r a d a .

a n bt-,

16.12. - E s t e problem,a queda como trabajo para el estudiante.

1

-kmr.

- 4 4 5 -

- 4 4 4 -

c A P i T u i o 17

ecuación

:9HHHHH

k = k^ (1 + a t ) , d o n d e a e s u n a c o n s t a n t e y t la temperatura-centígrada,

a) D e d u c i r la e c u a c i ó n d e la c o r r i e n t e calorífica a través d e u n a lámina p l a n a d e e s t a s u s t a n c i a d e área A y e s p e s o r L, c u a n d o las t e m p e r a t u r a s centígradas d e s u s c a r a s o p u e s t a s s o n t^ y t , ; b) c a l c u l a r la t e m p e r a t u r a e n el p l a n o m e d i o c o m p r e n d i d o e n t r e las c a r a s d e la lámina, si t j = 1 0 0 °C, t., = O ''C, a = 0 , 0 2 "C"''.

PROPAGACIÓN DEL CALOR

1 7 . 4 . - a ) ¿ C u á l s e r á la razón d e l a s a l t u r a s d e las c o l u m n a s d e l t u b o e n U d e la

T r a n s m i s i ó n del C a l o r . - E s la energía t r a n s f e r i d a o p r o p a g a d a e n t r e l o s c u e r p o s d e b i d o

F i g . 1 7 - 4 , s i e l líquido e s a g u a y u n a

a la d i f e r e n c i a d e t e m p e r a t u r a s y a o t r o s f a c t o r e s físicos. E x i s t e n p o r lo m e n o s t r e s f o r m a s d e ':

r a m a está a 4 °C y la o t r a a 7 5 " C ?

transmisión d e l c a l o r c o m o s o n c o n d u c c i ó n , convección y radiación.

b) ¿ C u á l e s la d i f e r e n c i a e n t r e las p r e de a g u a q u e tiene c a d a u n a 10 m d e

c u a l la t e m p e r a t u r a varía c o n l a posición, o b e d e c e a la l e y d e conducción

a l t u r a , si la t e m p e r a t u r a d e u n a e s 4 °C y la d e la o t r a 7 5 ° C ?

dQ e n la c u a l

H =Q =—

TT

s i o n e s e n el f o n d o d e d o s c o l u m n a s

C o n d u c c i ó n - E l f l u j o u n i d i m e n s i o n a l d e energía calorífica d e n t r o d e u n m a t e r i a l e n el ;

H = -k

<=§<

(a)

(b) Fig. 1 7 - 4

dx

1 7 . 5 . - U n t a n q u e d e a g u a h a s i d o c o l o c a d o a l a i n t e m p e r i e e n estación d e frío t i a s t a q u e s e ha f o r m a d o s o b r a su superficie u n a c a p a de hielo d e 5 c m d e e s p e s o r (Ver Fig. 1 7 - 5 ) .

r e p r e s e n t a la t a s a d e c a m b i o ( r e s p e c t o al t i e m p o ) d e la energía

El aire s o b r e el hielo está a - 1 0 ° C .

t r a n s f e r i d a a través d e la s e c c i ó n t r a n s v e r s a l d e á r e a A, k e s la c o n s t a n t e d e c o n d u c t i b i l i d a d

C a l c u l a r la t a s a d e formación d e hielo ( e n centímetros p o r h o r a ) e n la s u p e r f i c i e i n -

térmica d e l m a t e r i a l y ^ r e p r e s e n t a el g r a d i e n t e d e t e m p e r a t u r a d e n t r o d e l m a t e r i a l . QX

ferior d e la c a p a . T ó m e s e la c o n d u c t i v i d a d térmica, ia d e n s i d a d y el c a l o r d e fusión

C o n v e c c i ó n . - L a propagación d e c a l o r p o r convección o c u r r e c u a n d o d i f e r e n c i a s der| t e m p e r a t u r a s d a n l u g a r a m o v i m i e n t o s d e m a s a m a t e r i a l d e l f l u i d o ( d e b i d o a f u e r z a s de''

d e l hielo c o m o 0 , 0 0 4 0 c a l / s e g x c m x °C,

e m p u j e q u e varían d e n t r o d e l f l u i d o a c a u s a d e d i f e r e n c i a s e n d e n s i d a d ) q u e t r a n s p o r t a fluido

0 , 9 2 g/cm^ y 8 0 cal/g r e s p e c t i v a m e n t e .

!

A s ú m a s e a d e m á s q u e n o e n t r a ni s a l e

^

c a l o r d e l a g u a a través d e las p a r e d e s

R a d i a c i ó n . - L a transmisión d e l c a l o r p o r radiación s e r e f i e r e a la energía electromagné-

l

del tanque.

tica e m i t i d a p o r t o d o c u e r p o , c a n t i d a d d e energía q u a s e i n c r e m e n t a al a u m e n t a r la t e m p e r a -

'

a altas t e m p e r a t u r a s d e u n c u e r p o c a l i e n t e a o t r o frío y f l u i d o a b a j a t e m p e r a t u r a d e u n c u e r p o frío a o t r o más c a l i e n t e .

-

t u r a . U n a relación a d e c u a d a al p r o c e s o d e radiación e s p r e c i s a m e n t e la l e y d e S í e f a n B o l t z m a n n d a d a p o r R = e CTT^, d o n d e e r e p r e s e n t a e l p o d e r e m i s i v o d e l a s u p e r f i c i e d e l

Aire ..Hielo

Agua;

Fig. 1 7 - 5 17.6. - E 1 a i r e d e u n a habitación s e e n c u e n t r a a la t e m p e r a t u r a d e 2 5 "C y el a i r e e x t e r i o r a e l l a a - I S ^ C . C a l c u l a r e l f l u j o calorífico p o r u n i d a d d e s u p e r f i c i e a través d e u n a

c u e r p o q u e e m i t e energía r a d i a n t e . ( P a r a e m i s o r e s o a b s o r b e d o r e s i d e a l e s e = 1), 0 = 5,67 x

v e n t a n a d e v i d r i o c u y a c o n d u c t i b i l i d a d térmica e s 2,5 x 10^^ cal/s x c m x ' C y c u y o

10~3 W a t t s / c m ^ x " K " e s la c o n s t a n t e d e S t e f a n - B o l t z i n a n n y T la t e m p e r a t u r a a b s o l u t a

e s p e s o r d e 2 m m s e m a n t i e n e a u n a t e m p e r a t u r a s u p u e s t a u n i f o r m e d e 5°C.

Kelvin del cuerpo radiante.

17.7. - L a t e m p e r a t u r a d e t r a b a j o d e u n f i l a m e n t o d e ^/volframlio e n u n a lámpara i n c a n d e s -

PSOBISMAS

PS-OPIISSIOS

- ^ ? . l ^ ' n a b a r r a d e 2 m d e i o n g i t u d a s í a íorrnada p o r u n núcleo m a c i z o d a a c a r o d e 1 c m d e diámetro, r o d e a d o d e u n a e n v o l t u r a d e c o b r a c u y o diámetro axíerior e s d e 2 c m . La s u p e r f i c i e e x t e r i o r d e la b a r r a está a i s l a d a térmicamente. U n o d e s u s e x t r e m o s se m a n t i e n e a 1 0 0 °C. y e l o t r o a 0 ° C . a) C a l c u l a r la c o r r i e n t e calorífica t o t a l e n !a barra,

.

c e n t e e s 2 4 5 0 °K, y s u p o d e r e m i s i v o , 0 , 3 0 . C a l c u l a r el área d e la s u p e r f i c i e d e l f i l a m e n t o d e u n a lámoara d e 2 5 w.

47.8. V U n a e s f e r a m a c i z a d e c o b r e e n n e g r e c i d a , d e r a d i o 2 c m , s e c o l o c a d e n t r o d e u n a V ¿cavidad e n la q u e s e h a ¡ischo e l vacío, y c u y a s p a r e d e s s e r f i a n t i e n e n a 1 0 0 "C. ^ ¿ Q u é c a n t i d a d d e e n e r g í a h a d s s u m i n i s t r a r s e p o r s e g u n d o a la e s f e r a p a r a m a n t e n e r s u t e m p e r a t u r a c o n s t a n t e e i g u a l a 1 2 7 °C?

b) ¿ Q u é fracción e s t r a n s p o r t a d a p o r c a d a s u s t a n c i a ? 1 7 . 2 . -ES c a l o r íluye r a d i a l m e n t e - h a c i a a f u e r a a través d e u n a i s l a d o r c i l i n d r i c o d e radio .exterior

q u e r o d e a a u n t u b o d a v a p o r d e r a d i o e x t e r i o r R,. L a íemperatura d e ia

s u p e r f i c i e i n t e r i o r d e l a i s l a d o r es í,,, y ia d e la s u p e r f i c i e exterior, l , . ¿ A qué d i s t a n c i a r a d i a l d e ! c e n t r o d e ! t u b o e s !a í s m p e r a ' i j r a j u s t a m e n t e ia m e d i a aritmética d e t , y t,? 17.3. - L a c c n c u c t i b i l i d a d lérr^Mca d e t c d ^ s :as .sostancias varía a i g o c o n la t e m o e r a t u r a .

17.9. - U n a b a r r a d e a l u m i n i o d e 10 c m d e l o n g i t u d e s a p o y a d a fir.mernente c o n t r a u n a b a r r a d e a c a r o d e 5 c m d e l o n g i t u d . A m b a s b a r r a s t i e n e n idénticas y u n i f o r m e s áreas d e sección t r a n s v e r s a l y amibas e s í á i ! e m p o t r a d a s e n t r e d o s s u p e r f i c i e s d i s t a n t e s 1 5 c m a p a r t e . L a t e m p e r a t u r a d e j a s u p e r f i c i e c o n t r a la b a r r a d e a l u m i n i o a s 10 ''C m i e n t r a s q u e ía s u p e r f i c i e c o n t r a ia b a r r a d e a c e r o a s t a a 8 0 ' C . C a l c j i a r ia íerf.perai:ura d e 'a unión d e las b a r r a s .

- ^ 4 7 17.10 - Una rebanada de pan proporciona 75 i<¡locaiorías luego de su oxidación. Si el 25% de esta energía puede convertirse en trabajo mecánico por el cuerpo humano, encontrar la distancia h que un hombre de 75 kg puede subir con el consumo de esta energía.'

1

_ 27rk¿(ti-t) .

7rk4v-tp) ¡I

"1

PROBLEMAS

DESARROLLADOS '

SOLUCIÓN DE A L G U N O S DE L O S P R O B L E M A S P R O P U E S T O S 17.1.-Como datos de este problema tenemos la barra de longitud ¿ = 2 m = 200 cm, su núcleo de acero de diámetro d^ = 1 cm, la envoltura de cobre de diámetro exterior d = 2 cm y diámetro interior d^ = 1 cm. Además las temperaturas de los extremos de la barrasont, = 1 G 0 ° C y t 2 = 0 X . • a)

Ac = -^(d,^ - dj )= ^ ( = -^cm^ el área de la sección transversal de la envoltura de cobre, y teniendo presente que las conductibilidades térmicas del acero y del cobre son respectivamente

_27ük£(t-t2) ;ck
mente como el flujo calorífico a través de ambas partes es el r mismo, entonces ^

Designando respectivamente por Ag = ^ d j ^ = - ^ x l ^ =-^cm^ el área de la sección transversal del núcleo de acero de la barra y por

pai'a el sector interior deí aislador cilindrico y

Ri

!n

'•

fí^ ~ in -— K r Ra

^.

P^=~.

oblen

17.3.-Com^o datos de^es^^^^^^^^^^ a)

•

donde se deduce que . r = VR;R7.

tenemos ,a expresión de ,a conductibilidad térmica

De acuerdo con la relación H = - KA | que para el caso de nuestro problema es •, . . dt Hf H = - k A -— = - kg (1 + at)A , resulta que

= 0,12 cai/seg x cm x °C y k^ = 0,92 cal/seg x cm x °C, H = -il^f^^1.at)dt=!^[(t2-t.)4a(t|-t,^)

resulta que las corrientes caloríficas a través de estos materiales serán Ha =

l
^—— =

0.'!2xjx100

=0,04712cal/s

M-c(ti-t2) 0,92x^x100 He = - ^ ^ ^ - - ^ = ^ = 1,08384 cal/s , 200 por !o que !a corriente caiorífica total en la barra ha de ser

b)

Designando por t la temperatura en el piano medio entre las caras cuyas temperaturas son tj = 100°C y t, = 0=0 y como quiera que a = 0,02 (°C)-', resulta que el flujo calorífico entre ia cara de temperatura «i plano n i a n n moHi/> « o aperatura t. yv el medio es

H2 = .

(t2-t)4a(t|-t2

y el 'lujo caiü¡'íficc entre el piano medio y la cara de íempe.raiura t es

H=:H, + H^ = 1,13096 cal/s. b)

La fracción de corriente caiorífica transportada por el núcleo de acero obviamente será

Ha 0.04712 = -¡q- = Jy^q^ X 100

cobre ha de ser por ;o íanío

Por lo tanío, como quiera que ios flujos caloríficos H, y H.^son ios mismos,

4,17% y ¡a correspondiente de la envoltura de H„ 1,08384 = jf- = 'ÍT.^QQQ

X

100 = 95,83%

17.2.-Gomo datos de esta problema tenemos el aislador ciiíndrico de radio exterior y i.emperaíura u y ei iuco de vapor de radio exterior R, a la temperatura t,. Luego, si designamos por r la disíancla radiai medida desde el centro del tubo hasta un punto aonce ia temperatura sea 'ustamenía ¡a media arítméfica t = — r - ^ y por-i la longitud

de donde se deduce que ¡a ieinperaiura en e¡ piano medio ha de ¿er dada por ia relación 2 ( - ( i , -^XJ -r ^ a j 2 í - - | t f - t j i | = o , o bien reemplazando dates numéricos, la temperatura í ha de ssiar dada por ia relación

+ lOOt - 10000 = O, por ío

que resolviendo esta ecuación de segundo grade se tiene Í = 51,80 '"C.

- 4 4 9 -

- 4 4 8 -

de una misma masa de agua en las dos ramas son inversamente proporcionales a sus respectivas densidades, a)

La relación de los volúmenes o de las alturas de las columnas de agua será V2 _ Ah2 _ ^2 _ Pi _ VT - Ah7 - h7 -

1g/cm^

- 0,9775 g /cm^ =

ya que según tablas específicas de la densidad del agua, se conoce que a la temperatura t^ = 4 °C, pi = 1 g/cm^ y a la temperatura 1^ = 75 °C, = 0,8775 g/cm^. b)

Si ii^ = hj = ti = 10 m = 1000 cm, la diferencia de presiones del líquido en el fondo de las dos columnas de agua, obviamente será •

'

Ap = P i - p 2 =

gh,-P2gh2 = gh{pi-P2)

= 980 X 1000 (1 - 0,9775) = 22050 dinas/cm^. 17.5.-Como datos de este problema tenemos los siguientes

'-^r• •y''J:í'-^[:.;

Agua de densidad p = 1 g/cm^ a la temperatura T = 0°C, la capa de hielo de densidad'^ p, = 0,92 g/cm^, espesor 1=5 cm, calor de fusión (o calor de solidificación del agua): L = 80 cal/g y conductividad térmica k = 0,0040 cal/s x cm x °C y aire sobre la capada ' tiielo a la temperaturaTf, = -10''C. Si consideramos una porción de la capa de iiielo con una sección transversal unitaria A = 1 cm^, la tasa o flujo calorífico que fluye a través de la capa de iiielo hacia el medio exterior aire ha de ser obviamente . dQ dT AT 10 = k A — = k A — = 0 , 0 0 4 0 x 1 x — = 0,008 cal/s , dX dx í 5 ' donde AT = T - Tj, = 10°C, por lo que el tiempo requerido para solidificar una masa de m = 1 g de agua será entonces

t=

j"^^ =

= ^ 0000 s.

En este tiempo el espesor x que ha de crecer la capa de hieio estará dado por la relación x= m = „ , 1g _3W._2Í =' ^ Ph^ ~ (0,92 g /cm^jílom^j por lo que ia tasa de crecimiento del espesor de la capa de hielo será dx X 1.087 = 1.087 X 10--* cm/s = 3913,2 x 10"'* cm/hora = 0,39132 cm/'hora. dt t 10000

m = p, V , = p,Ax , de donde

17.6-Corno datos de este problema tenemos; La temperatura dei aire delinterior de la habitación T¡ = 25°C; ia temperatura dsl aire de! e;
T = —•

2.

2.

- c oc

2 2 ^' donde ias temperaturas T'¡ y T'^ son ahora respectivamente ías que corresponden a la superficie interior y exterior del vidrio de la ventana. También es cierto que en el estado estacionario los flujos o corrientes caloríficas por convexión en el aire interior y exterior de ia ventana da vidrio y ei flujo por conducción en el .material de vidrio de la ventana sean iodos iguales, lo que nos permitiría escribir la relación conducción

" ^ Hi ^convección dsr' = H ^ del vidrio aira interior

convección del aire exterior

De otro lado, la diferencia de temperaturas entre el aira iipterior de la habitación y el vidrio y entre éste y al aire exterior del m.edio ambiente ha de ser aproximadamente AT = T ¡ - T = T - T 3 = 20°C. Por lo tanto la corriente calorífica por convección en ei aire a ambos lados de la ventana ha de estar dada por la conocida relación H¡ = H , = hAAT , donde el coeficiente de transmisión o propagación dei calor por convección h, según tablas específicas especiales para el aire, está dado por h = 0,424 X 10-^ (AT)"'» = 0,424 x 10-^ (20)"'» = 0,89665 x lO"'» cal/s x cm^x "C. Por consiguiante el flujo calorífico por unidad de área en el aire a ambos lados de la ventana de vidrio ha de ser - J - = = hAT = 0,89665 x 10-^ x 20 = 17,993 X 10-''cal/s X cm2. Finalmente como el flujo calorífico es el mismo tanto en al aire como en el vidrio, se deduce entonces que para el vidrio habremos de tener H k — = - AT' = 17,993 X 10'-' cal/s x cm^, donde obviamente k es al coeficiente de conductibilidad térmica del vidrio y ¿ es el espesor de! vidrio de ia ventana. Por io tanto la diferencia de temperaturas entre las superficies interior y exterior de !a ventana de vidrio ha de ser H ' 0.2 AT' ^-^ -r - = 17,993 x IQ-"» x —^TZIP A K 2,0x10 -

= 0,144-=C.

Tenemos ahora un sistema de dos ecuaciones con ias incügníías T'¡ y T'^, que son precisamente AT' = T'^- 1^ = 0.144

y

T'ijJ"'.

1 L 1 2 . ^ . 5. 2 cuya solución resulta ser T'¡ = 5,072^^0 y T'^ = 4,928 "C, que son las temperaturas cíe !as superficies interior y exterior de ía ventana de vidrio. í /./.-CoiFio dates de ssle problema tenemos al íiiamenío de woiframio de temperatura T= 2450°K, poder emisivo e •= 0,30 y ia lámpara de potencia P = 25 watts. Luego, de acuerdo con !a iey de Stefan-Boitzmann de la energía radianes por unidad de tiempo y por unidad (Je supenicis R = 8aT'*, donde 5,3697 x 10^'^ w/m^ x representa ia ccnstants ds Síafari-Boiízmann, tsndrsmos que ia poíancia de la emisión de energía

-431

- 4 5 0 -

CAPITlIiO I S

r a d i a n t e d e i f i l a m e n t o h a d e s e r i g u a l a l a p o t e n c i a d e l a l á m p a r a d e 2 5 v a t i o s Por lo q u e s i d e s i g n a m o s p o r A e l área d e l a s u p e r f i c i e d e l f i l a m e n t o , resulta que P = RA, d e

P R I M E R P R I N C I P I O D E LA TERMODINÁMICA

donde p A

=

o

=

P

25

ecT'*

0,30 X 5 , 6 6 9 7 x 1 0 - ^ x ( 2 4 5 0 ) ' *

;

= 0 , 4 0 7 9 X 10--*m2 = 0 , 4 0 7 9 cm2. 1 7 . 8 - C o m o datos d e este p r o b l e m a t e n e m o s la esfera d e c o b r e radio r = 2 c m = 2 x l O - ^ m

Trabajo asociado con cambios de volumen.- D e s d e el p u n t o d e v i s t a t e r m o d i n á m i c o ^ el t r a b a j o e s o t r o p r o c e s o p o r el c u a l u n c u e r p o o u n a s u s t a n c i a p u e d e i n t e r c a m b i a r e n e r g í g con s u m e d i o exterior o alrededores. L a cantidad d e energía c o m o trabajo W que u n materia t r a n s m i t e a s u m e d i o e x t e r i o r a l e x p e r i m e n t a r u n a e x p a n s i ó n (o c o n t r a c c i ó n ) v o l u m é t r i c a d e s d e u n v o l u m e n inicial y ¡ h a s t a u n v o l u m e n f i n a l V, s e d e d u c e e s t a r d a d a p o r l a r e l a c i ó n

c o l o c a d a d e n t r o d e la c a v i d a d al v a c í o c u y a s p a r e d e s e s t á n a la t e m p e r a t u r a

W = ^ ' p d V

T^= 1 0 0 ° C = 373*'K. L u e g o , s i d e s e a m o s m a n t e n e r a ía e s f e r a a la t e m p e r a t u r a T g = 127°C = 400°K. y t e n i e n d o p r e s e n t e q u e el á r e a d e la superficie esférica es A = 4 7c r^, s e d e d u c e q u e l a e n e r g í a p o r s e g u n d o q u e h a d e s u m i n i s t r a r s e a l a e s f e r a ennegrecida h a d e ser P = A R = e o A (Te - Te'') = 1 x 5 , 6 6 9 7 X 1 0 - ^ x 47c(2 X 1 0 - 2 ) ^ x [ ( 4 0 0 ) ' * - ( 3 7 3 ) ' '

p u e s t o q u e e n este c a s o el p o d e r e m i s i v o d e la c a v i d a d o el p o d e r absorsivo de la esfera s o n iguales (cuerpo negro) a la unidad (e = 1). 17.9.- Este p r o b l e m a q u e d a c o m o trabajo p a r a el estudiante. 1 7 . 1 0 .- E s t e p r o b l e m a q u e d a c o m o t r a b a j O D a r a e l e s t u d ! a n t e .

-'ji

,

,

f

d o n d e p es la p r e s i ó n q u e t a m b i é n p u e d e v a r i a r d u r a n t e la e x p a n s i ó n .

Primera Ley de !a Termodinámica.- El p r i n c i p i o d e c o n s e n / a c i ó n d e la e n e r g í a p a r a u n a m u e s t r a d e m a t e r i a l q u e i n t e r c a m b i a e n e r g í a m e d i a n t e trabajo r e a l i z a d o y c a l o r a b s o r t a d o o c e d i d o a s u m e d i o exterior, e s e x p r e s a d o a t r a v é s d e ¡a p r i m e r a ley d e la t e r m o d i n á m i c a , d a d a por la relación AU = U , - U ¡ = Q - W

= 1,779 w a t t s ,

-

o bien

dU = d Q - d V V ,

d o n d e U r e p r e s e n t a la e n e r g í a i n t e r n a d e l m a t e r i a l q u e d e p e n d e s o l a m e n t e d e s u e s t a d o d e f i n i d o p o r s u t e m p e r a t u r a , p r e s i ó n , v o l u m e n y c o n s t i t u c i ó n , Q e s el c a l o r a b s o r b i d o p o r e m a t e r i a l y VV r e p r e s e n t a e! t r a b a j o r e a l i z a d o p o r d i c h o m a t e r i a l s o b r e s u m e d i o exterior.

E n e s t a r e i a c i ó n Q y W (o b i e n dQ y d W ) e n g e n e r a l d e p e n d e n d e l p r o c e s o a t r a v é s del c u a l el c u e r p o p a s a d e s u e s t a d o o s i t u a c i ó n inicial a l e s t a d o o s i t u a c i ó n f i n a ! . S i n e m b a r g o U (o b i e n d U ) n o d e p e n d e del t i p o d e p r o c e s o d e t r a n s f o r m a c i ó n , sino s o l a m e n t e d e la n a t u r a l e z a d e s u s e s t a d o s inicial y f i n a l . L a e n e r g í a U r e p r e s e n t a e n e r g í a a l m a c e n a d a e n el m a t e r i a l e n la f o r m a m i c r o s c ó p i c a d e e n e r g í a c i n é t i c a y p o t e n c i a l .

Apiicación de !a primera i e y d e la ten-nodinámica a procesos isoméíricos, isobáricos y adiabáticos 1)

Para procesos o transformaciones termodinámicas a volumen constante (procesos isométricos), tendremos V = constaníe

;

AV = O

;

p o r l o q u e ia p r i m e r a ley e s t a r á d a d a p o r ia r e i a c i ó n

,<>''^'V>*'2^'-.' -

d V = 0,

/ / > /'

dU = dQ.

-

2)

P a r a p r o c e s o s isobáricos (p = c o n s t a n t e ) t e n d r e m o s

;3)

Finaimeníe para proceses o transformaciones adiabáticas,

dU = d Q - pdV

y

•

• " - " ^ ,

Q =0;dQ = 0 p o r lo q u e e l p r i m e r p r i n c i p i o d e i a í o r m o d i n á m i c a e s t a r á d a d o p o r la r s i a c i ó n dU = - d W .

1,S.1 . - E ! v o l u m e n d e u n mioi d e u n g a s i d e a l a u m e n t a i s o t é r m . i c a m e n í e í T = c o n s t . ) d e 1 a 20

litros a 0""C. L a p r a s i ó n d e l g a s e n c u a l q u i e r m o m e n t o e s t á d a d a p o r i a e c u a c i ó n pV-RT, s i e n d o H = 3,31 J ü ! i o s / m o ! - " K , y T, !a t e m p e r a t u r a K s i v i n . ¿ C u á n t o s J u l i o s d-j

- 453 l^fíT-Calcular el trabajo realizado cuando un gas se dilata desde el volumen V, nasta el V¿ siendo la relación entre la presión y el volumen ' ' a ] p + — 2 " ! (V - b) = k en la que a, b y k son constantes. V J

,

18.3.- Durante la expansión adiabática de un gas ideal, la presión en cualquier momento está dada por la ecuación pV = k, en la cual y y k son constantes. Demostrar que el trabajo realizado al expandirse del estado (p.,, V,) al estado {p^, V^) es W = ^^—~f-^1p^-En

un cierto proceso se suministran a un sistema 500 cal, y ai mismo tiempo se realiza sobre el sistema un trabajo de 100 Julios. ¿Cuál es el incremento de su energía interna?

18.5.-Un kg de agua, cuando hierve a 100°C a la presión atmosférica, se convierte en 1594 litros de vapor. Calcular: a) el trabajo exterior en kilográmetros; b) el aumento de ^ energía interna, en kcal. : IS.S.fUna bola de hierro es dejada caer sobre un piso de concreto desde una altura de 10 ^ m. En el primer rebote sube una altura de 0,50 m. Asúmase que toda la energía ' mecánica macroscópica perdida en la colisión es adquirida por la bola. El calor específico del hierro es 0,12 cal/g x °C. a) ¿Se ha adicionado calor a la bola durante la colisión?, b) ¿Se ha realizado trabajo sobre la bola?, c) ¿Ha cambiado la energía interna de la bola? Si es así, ¿cuánto?, d) ¿En cuánto se ha elevado la temperatura de la bola luego de la primera colisión? 18.7.-Un cilindro tiene un pistón metálico de 2 kg de masa cuya área de su sección transversal es 2 cm^ (Ver Fig. 1 8 - 7 ) . El ciiindro contiene agua y vapor a temperatura constante. Se observa que el pistón cae lentamente a razón de 0,30 cm/seg a causa de que se escapa caior a través de las paredes del cilindro. En tanto esto sucede, algo de vapor se condensa en la cámara. La densidad del vapor dentro de la cámara del cilindro es 6 x 10"^ g/ cm^ y la presión atmosférica es 1 atm. a) Calcular la tasa de condensación del vapor, b) ¿A qué tasa el calor abandona la cámara?, c) ¿Cuál es ia tasa de cambio de la energía interna del vapor V del agua dentro de la cámara? Fig. 1 3 - 7

PSOBIEMAS DESASROLIADOS SOIiaCiÓN m

ALSÜNOS Dí IOS PSOBiEMAS PSOPÜESTOS

18.1,-Como datos ds asía problema tenemos el volumen del mol de gas a íemperatura consíanta T = 11- 273 = 0"C + 273 = 273='K, variando isoíérmicameníe desde V¡ = 1 litro hasta V, = 20 ütros, mediante la relación pV = RT donde R = 3,31 j c u l e a ' m o l - ' K . D'i te ecuación mciar da estado pV - RT, la presión

RT

R ( t + 273)

V

V

-

por lo que el trabajo realizado en la expansión isotérmica será

v. rv, dV W = J^^' pdV = RT J ^ ' ^ = RT In

= 8,31 x 273 x In 20 = 6796,208 joules.

18.2.-Como datos de este problema tenemos la expansión del gas desde un volumen inicial V, a otro volumen final V j , realizada según la expresión (V - b) = k.

P+

El trabajo realizado sobre el gas durante el proceso de expansión es por lo tanto f W = J pdV

y como p = y-^ W =

•Va

r

k

[V-b

k a - — ,

resulta entonces^ue el trabajo requerido será

a ]

v^J '^V =

k l n ^ - a

O

^1

18.3.-Como datos de este problema tenemos la expansión adiabática entre los estados (Pi. y (Pg, Vg), realizada de acuerdo con la expresión pVr = k. Como quiera que la presión p = kV-r, el trabajo realizado sobre el gas para pasar del estado (p,, V,) al estado (Pg, Vg) será por lo tanto P2.V2

W =

J pdV = 1

•P2.V2

kV-T^ d V :

Pl.Vi

[

HVi

P1.V1

P1V1-P2V2

nw1P2.V2

1-Y^^

1-y

1P2.V2

'pV^V^-'^ " 1-y

~

Y-1

•

18.4. - C o m o datos de este problema tenemos el calor suministrado al sistema Q = 500 calorías y el trabajo realizado sobre el mismo W = - 1 0 0 joules = - 2 3 , 8 9 calorías. Por lo tanto, según el primer principio de la termodinámica Q = AU + VV, se tiene que el incremento de la energía interna del sistema ha de ser AU = U2 -

= Q - W = 500 - ( - 23,89) = 523,89 cal.

18.5. - C o m o datos de este problema tenemos la masa de agua m = 1 kg a la temoeratura í = 100°C, ocupando un volumen inicial ,, m 1 ' ~ 7 " 0,95838 = •04343 litros = 1,04343 x 10"- m^ para luego transformarse en vapor y ocupar un volumen íinatV, = 1594 litros = 1594 x IQ-^ m^. a)

El crabajo 8;
¡ kaai^

-455-

- 454 b)

El aumento de ¡a energía interna estará dado por la relación

dY:_dV_

Aü = U,-U¡ = Q - W , donde

: ^

b) 18.6.-Como datos de este problema tenemos la bola de hierro en calor específico c = 0,12 cai/g X °C, cayendo desde una altura H = 10 m y rebotando luego de su primera, colisión una altura h = 0,50 m. Como el tiem.po real en que la bola está en contacto con el suelo de concreto es muy corto y a menos de que el piso esté extremadamente caliente, podemos deducir que no hay calor transferido a la bola, por lo que Q = 0.

b)

Como se asume que toda la energía mecánica perdida en la colisión es abson/ida por la bola, el incremento de energía interna de la bola será. A U > 0 , por lo que según el primer principio de la termodinámica i^í Q = AU + w, tendremos que " W = -AQ<0, ya que Q = O, deduciendo por lo tanto qué se ha realizado trabajo sobre la bola.

c)

El cambio en la energía interna AU no viene a ser sino la magnitud de la energía mecánica perdida en la colisión. Por lo tanto, si m es la masa de la bola, la energía mecánica (potencial) y por consiguiente la variación de la energía interna será.

Puesto que L = 539 cal por gramo de vapor son liberadas en su condensación, entonces la razón a la que el calor abandona la cámara del cilindro ha de ser

dQ dt c)

dm L = - 3 , 6 x 1 0 - ^ x 5 3 9 = - 0 , 1 9 4 cal/s = - 0 , 8 1 2 2 5 joules/s. ""dT

Como se asume que el cambio de la energía interna AU no viene a ser sino ia magnitud de la energía mecánica perdida en la colisión,de la expresión del primer principio de la termodinámica, podemos escribir que d C l _ dU dt ~ dt

o bien d)

A U = ,T!c Ai, de donde resulta que 93,1 m

At —

donde

Pa +

me

— n 1 QC:c'^

0,12 cal / g x ^ Q - u,i as

w.

18.7.- a) Sea m y p = 6 x 10"^ g/cm-^ la masa y densidad del vapor y sea V su volumen. Sea V e! volumen ds la cámara de! cilindro y sean M = 2 kg, A = 2 cm^ y v = 0,30 crri/" seg, la masa, sección transversal y velocidad del pistón. Aún cua.í^do V es diferente de V, la variación respecto al tiempo i'ia de estardada dV por ia expresión —

:-Av)

= -(PaA + Mg)v ya que la presión a la que está sometido el vapor obviamente es P = P,+

Mg A

dV es negativo.

dW dt

= - (1,013 X 1 Q S x 2 X 10-4 + 2 X 9,3) X 0,003 = - 0,11958 joules/s.

Finalmente ia variación respecto al tiempo de la energía interna de! vapor y agua dentro de la cám.ara de! cilindro será:

93,1 ¡oules —

me '

dt •

Como quiera que p^ = 1 atm = 1,013 x 10^ .N/m^, tenemos

Como quiera que Q = L\U + W = O y el incremento de la energía interna es positivo, el incremento At de la temperatura de la bola estará dado por la relación

AU

dW

dW dV = P - ^ = p(-Av) dt

AU = mg Ah = mg ( 1 0 - 0 , 5 ) = 9,5 mg = 9,5 x 9,8 m = 93,1 m joules, AU — = 93,1 joules/kg.

dm

p dt

dm = p A v = ( 6 x 1 0 - 4 g/cm3) (2 cm^) (0,30 cm/s) = 3,6 x 10-^ g/s. dt

fepresenta la energía térmica absorbida por el agua a la temperatura de 100°c para transformarse en vapor, por la que U, - U¡ = 539 - 38,55 = 500,45 kcal.

a)

dt

de donde se deduce que ia variación de la masa del vapor o la tasa de condensación del mismo será

Q = mL = pVL = (0,95838 kg'm^) (1,04343 x 1 0 - 3 m^) (539 kcal/kg) = 1 kg X 539 kcal/kg = 539 kcal

2

dy

dt " dt ~ ^ d t

i

dV - — , ¡o cual es más o menos correcia, esto en e! supues-

to caso ae que ei nivel dsi agua crece debido a ia condensación del vapor. Según esta hipótesis y no (sniendo sn cuenta al signo sn ia variación de ¡os /oiúmenes V

dU

dQ

dVV

dt

dt

dt

= - 0 , 8 1 2 2 5 + 0,11958 = - 0,69267 jouies/s.

r

- 4 5 6 -

P R O P I E D A D E S TÉRMICAS D E L A M A T E R I A TEORÍA CINÉTICA D E G A S E S

- 4 5 7 -

G a s e s R e a l e s . - Humedad.- Definimos la humed.ad relativa absoluta como la masa d

vapor de agua por unidad de volumen. La humedad relativa será definida a través de la relació u

Teoría da g a s a s . - Esta teoría relaciona las propiedades macroscópicas de los gases (como presión, volumen, temperatura, etc.) con las propiedades m.icroscópicas de las moléculas gaseosas (como velocidad media, diámetro molecular, etc.). Ecuación de e s t a d o . - Para un gas ideal, las propiedades macroscópicas están relaciona- ^ das mediante la expresión pV = n R T ; n = ^

conocida como la ecuación de estado para los

gases perfectos, donde n es e! número de moles del gas, m es su masa y M su masa molecular. La constante R = 8,31 joules/mol °K es conocida como la constante universal de los gases. Todos los gases reales se aproximan a su estado de gas ideal a muy bajas densidades y con una interacción con su medio exterior despreciable. > Descripción microscópica de un gas ideal.- Desde un punto de vista microscópico un gas ideal está constituido por moléculas cuyo volumen es mucho menor que el volumen del recipiente más pequeño que contenga el gas. Las moléculas están en movimiento aleatono teniendo mutuamente solamente colisiones elásticas y colisiones con las paredes del recipiente que las contiene. Se demuestra que la presión de un gas ideal está relacionada con la velocidad de sus moléculas mediante ia expresión 1 - 9 p = -pv-

1

2

= gPVrms .

donde v^^^ es la velocidad media cuadrática que no viene a ser sino la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las velocidades de las moléculas y p es la densidad del gas. Temperatura c o m o una interpretación de la teoría cinética.- Se demuestra que la energía cinética tota! de translación por mole de m.oléculas de un gas ideai es proporciona, a la temperatura por lo que mv2 = | R T

con un valor de 3400 J/mol a la íem.peratura de 273°K. Anáiogarnaníe ia energía cinética íranslacional media para una simpie niolécuia as tam¡bién --mv^ = - k T 2

;

k = T T - = constante de Boítzmann. Na

C a i o r s s sspaciíicos de un g a s Ideal.- Lo visto anteriormente sugiere qus ia energía interna de un gas ideal depende solamente de su temperatura. Combinando este hecho con. la primera ley de la termodinámica es posible deducir qus Cp - C„ = R,

donde Cp y C.^,

son respectivamente las capacidades caloríficas molares a presión y voíunisn constante. Esta expresión no viene a ser sino ia diferencia de calores específicos molares. En general si Cpy c^ son los caioras específicos de una sustancia o de un maíeriai cualquiera, un parameíro rnuy im.portante es al de su razón, cada por ia expresión

o/\ nn

rl-lSn /oí — IUU X

presión parcial del vapor de agua 7~, ~—;

.—

,

.

. •

,

presión del vapor a ¡a misma temperatura

PROBLEMAS

PROPUESTOS

19í1.-a) Dos gramos de nitrógeno a 27''C ocupan un volumen de 2 litros, ¿cuál es la pre sión?; b) Si la presión se duplica y la tem.peratura^ se eleva hasta 127°C, calcular e ^.^volumen final.

1 ^ - - U n matraz contiene 1 gramo de oxígeno a la presión absoluta de 10 atm y a la tempe ratura de 47°C. Al cabo de cierto tiempo se encuentra que, a causa de un escape, l presión ha descendido a 5/8 de su valor inicial y la temperatura ha bajado a 27°C. a ¿Cuál es el volumen del matraz? b) ¿Qué peso de oxígeno se ha escapado entre la dos observaciones?

19.3. - U n a burbuja de aire, de radio 5 cm, se eleva desde el fondo de un lago de 20,4 m d profundidad. La temperatura en el fondo del lago es 7''C y la temperatura en la super ficie 27°C. ¿Cuál es el radío de ia burbuja cuando alcanza la superficie?

19.4. - U n a bomba de bicicleta está llena de aire a la presión absoluta de 1,055 kg/cm^. L longitud de la carrera de la bomba es 45 cm. ¿En qué parte de la carrera de la bomba comienza a penetrar aire en un neumático en el cual ia presión manométrica es 2,81 / kg/cm^? Supóngase que la compresión es isotérmica.

^ 19.5.-Un cilindro provisto de un pistón móvil contiene S8 gramos de gas a la temperatura da 27°C. Se comprime adiabáticamente el gas hasta que su volumen sea 1/10 del ini cial. Calcular la temperatura final si es: a) anhídrido carbónico; b) helio; c) hidrógeno.

19.6.-Para acdbnar un motor de aire se utiliza aira a la presión mancm.étrica da 21 kg/cmque sale del motor a la presión manométrica de 1,055 kg/cm^. ¿Cuál ha de ser la temperatura del aire comprimido para que no pueda existir posibilidad de formación de escarcha en el tubo de escape del motor? Supóngase que la expansión es adiabática. Observ^ación: Frecuentemente se forma escarcha sn e¡ tubo de escapa de un motor accionado por aire. Esío ocurra cuanao ei aire húmedo se enfría pot ^.^úsbaio de 0°C durante ia expansión que tiene lugar en el moto.'.

(19.7.-Diez litros, a 27°C y presión at.n-;osférica, se corncnrricn ¡sctérmicamente hasta un V volumen de 2 litros y después se les permite expandirse adiabáticamente hasta un volumen de 10 litros. Representar ia íransfor.mación en un diagrama p-V. Calcular la temperatura final.

19,3.-a) ¿Cual es la humedad relativa sn un día sn que ¡a !s¡ripeiatura es 20"C y ei punto da recio 5'C? b) ¿Cuál es la presión parciai dei '/apor ;!& zgua en :a atmóstára? c) ¿Cuá, es la hum.edad absoluta, en gramos por metrn cubico?

19.9,-a) ¿Cuál es la temperatura ccrrssponoií;; ite ai punto ae roo;o un día sn qua !3 temperatura ael aira es 20°C y la ¡nunedad relativa oü%? ü) / Ci;á! 33 hiimedad absoluta, cr gramos por metro cúbico?

19.10 - El volumen de una habitación cerrada, mantenida a temperatura constante de 20°C, es 60 m^. La humedad relativa de la habitación es 10%. Si colocamos una vasija corr agua dentro de la habitación, ¿cuántos gramos se evaporarán? 19.11.- En un sistema de acondicionamiento de aire se requiere incrementar la humedad relativa de 3 m^ de aire por segundo desde 30% hasta 65%. La temperatura del aire es' 20 °C. ¿Cuántos kilogramos de vapor de agua se necesitan por hora?

mRT^

b)

compresión es ^ p^. Determinar si el gas es monoatómico, diatómico o poliatómico, c) ¿Cómo se compara la energía cinética media por molécula en los estados inicial y final? 19.14. - Una cantidad de gas inicialmente a 50 atm de presión, ocupando un volumen de 0,1 m^, se expande adiabáticamente hasta ocupar dos veces su volumen inicial. Si la razón de sus calores específicos es Y = 5/3, calcular la presión final del gas. .

V p'

19.17. - Dos moles de oxígeno son calentados desde la temperatura ambiente (20°C) hasta el punto de ebullición del agua, primero a presión constante y luego a volumen constante. ¿Cuántas calorías de energía se requieren en cada caso?

PEOBIEMAS

DESAUHOiLADOS

SOIUCIÓN DE A i e U N O S B E LOS P R O B I S M A S P R O P U E S T O S 19.1.- a) Como datos de esta primera parte del problema tenernos ei gas nitrógeno de masa m = 2 g, a temperatura T = í + 273 = 27 + 273 = SOCK, contenido en un volumen V = 2litros = 2 x 103 cm^ Luego, como quiera que ia constante universal de ios gases es R = 0,08207 íitros-aírn/moi-"C y ¡a masa mo!scuiar del nitrógeno es M = 28 g/mol, el número de moles será

ni

n = •—.

Por lO tanto, de ía acuacicn ce ssíado para gases ideaies 11RT

- 2x0.08207x400 ~ Mp' ~ 28x1,76 = 1,3323 litros.

19.2.-Como datos de este problema tenemos ei gas oxígeno de m^sa m = 1 g a la presión p = 10 atm y a la temperatura T = t + 273 = 47 + 273= 320°K, contenido en el matraz. Posteriormente, luego del escape de una parte del gas, la presión final es p' = - p = — atm y la temperatura P = t' + 273 = 27 + 273 = 300°K. a)

Designando por V el volumen del recipiente y como quiera que la masa molecular del oxígeno es M = 32 g/mol, de la ecuación de estado ,, „ mRT pv = nRT = , resulta que el volumen del matraz ha de ser

19.15. - Se tiene medio mol de gas a la presión de 5 atm y a la temperatura de 500 °K. Se expande el gas isotérmicamente hasta que su presión alcanza 2 atm. Calcular el trabajo realizado por el gas. 19.16. - Calcular la energía interna contenida en 2 moles de un gas ideal a la temperatura de 400°K.

Si la presión es ahora p' = 2p = 2 x 0,88 = 1,76 atm y la temperatura T = V + 273 = 127 + 273 = 400°K, utilizando nuevamente la ecuación de estado p'V' = nRT', se deduce que el volumen final V estará dado por "

(l 9.12.- Un mol de un gas ideal experimenta una expansión isotérmica. Calcular la cantidad de ; —^calor que fluye al gas en términos de la temperatura y de los volúmenes inicial y finaL 19.13. - Un gas ideal inicialmente a la presión p^ experimenta una expansión libre (adiabática, sin trabajo externo) hasta que su volumen final sea el triple de su volumen inicial. , Calcular la presión del gas después de la expansión libre, b) El gas es luego comprimido lenta y adiabáticamente hasta su volumen original; la presión después de la

(2g)x(0,08207litros-atm/mol-^K)x300°K (28g/mol)x 2 litros = 0,88 atm..

, . _ mRT _ 1x008207x320 Mp -

32^rí0

= 0,08207 litros,

ya que la constante universal de los gases R = 0,08207 litros-atm/mol-°K. b)

De la relación entre los estados inicial y final del sistema pV p'V se deduce que el volumen final del oxígeno, remanente en el matraz es ,,, P T' , 8 300 P ' T ^ " 5 ' ' 3 2 0 ''' = 0'1231 litros. Por lo tanto ei volumen de oxígeno que ha escapado ha de ser AV = V - V -= 0,041 litros 5 SO y como esie volumen ha escapado a la presión p' = - p =

atm

y a ia temperatura T' = 300"K, da !a exoresión p' AV = An RT' = ^ RT', , , . ¡Vi se deduce que :a masa de oxígeno que ha escapado será • 50 p' M A V ^ X 32 X 0,041 Am = m'-m . . = 0,333 gramos. 19.3.-Como datos de este probíema tenemos ía burbuja de aire de radio r = 5 cm en ei icndo del lago de profundidad n = 2040 cm a la temperatura T = ; +• 273 = 7 4- 273 =^ 280'^K, que ha de elevarse a ia superficie del lago donde ia temperatura ss T =

+ 273 = 27 -í- 273 = 300"K.

-460

-461

dinas/cm^, ia presión en el fondo dei mismo y como el volumen de la burbuja de aire en el fondo dei lago es

4 , V = —rer^ , de la relación

pV -

p' V ^

^

-

J

b)

Si el gas contenido en el cilindro es He, la razón de calores específicos y = 1,67 y \y-1

- . • -x T

T = T„

= 300 (10)°>S7= 1403,2 °K o bien v ; t = T - 2 7 3 = 113Q,2°C.

,

se deduce que el volumen V de la burbuja de aire en la superficie del agua será p T „ 3,012x10^ 300 4 3

^ = ? T ^ = i:5T^''280><3-

c)

Finalmente si el gas contenido en el cilindro es H, ia razón de calores específicos Y= 1,41 porto que

y como además V = ^i^r'^ , resulta que el radio de la burbuja de aire cuando alcanza

T=T

la superficie del lago ha de ser dado por la expresión r'^ = 3,186 r^, ó bien r'= 1,47146 r = 1,47146 X 5 = 7,3573 cm. 19.4.-Como datos de este problema tenemos ia presión del aire dentro de la bomba p = 1,055 kg/cm^, la longitud de su carrera ¿ = 45 cm y la presión manométrica del aire dentro de !a bomba en una posición de su carrera donde el aire empieza a penetrar al neumático p ' - Pg = 2,81 kg/cm^. Obviamente la presión p' = Pg + 2,81 kg/cm^ = 1,033 kg/cm^ + 2,81 kg/cm^ = 3,343 kg/ cm^ es la presión del aire en el interior de la bomba en la posición de su carrera donde el aire empieza a penetrar al neumático. Por lo tanto, designando porí' la longitud de la carrera de la bomba correspondiente al volumen donde hay aire y teniendo presente que V/ = A/ y V = M ' , ya que la bemba es cilindrica. Por lo tanteen virtud de la relación pV = p'V se deduce que p¿ = p 7'y por consiguiente p( p

^

= t + 273 = 27 + 273 = 300°K, su voiumen inicial

y su volumen final V = — V^.

Como la transformación es adiabática (no hay variación en la cantidad de caior), utiliza-

donde 7 =

19.6.-Como datos de este probiema tenemos el aire trabajando como sistema entre los estados inicial donde la presión es p¡ = + 21 = 1,033 + 21 = 22,033 kg/cm^ y el volumien es V. y el estado final donde p, = p^ + 1,055 = •>,033 + 1,055 = 2,088 kg.'cm^ y el voiumen es V,. Por ¡o tanto, utilizando las relaciones correspondientes a una transformación adiabática 7-1

\Y-1

se deduce que i =

Tf

pf 1 J Como según nuestro problema la temperatura final ha de tañer un valor mínimo T, = t, + 273 = 0°C + 273 = 273=K que garantice la imposibiüdad de formación de escarcha en e! techo de escape y como para el aire Y= i ,40, resulta que la temperatura inicial T¡ del aire utilizado ha de ser

Ti = T,

O,84J

19.5-Como datos de este problema tenemos ia masa dei gas m = 88 g a la te.mperatura

= 300(10pi=771,118°K

t = T-273-498,118°C.

1,055x45 .. = 12,3536 cm.

Esta longitud ¿' corresponde ai volumen de la bomba donde hay aire y a la posición de ia carrera donde empieza a penetrar aire al neumático, por lo que al pistón de la bomba habrá descendido desde su posición inicial una distancia A Í = ¿ - £ ' = 32,S463cm.

y

o bien

= 273

22,033 ñ40 = 535,2373 °K, 2,088

t¡ = T¡ - 273 = 262,2373°C.

19.7.-Como datos de este problema tenemos el sistema (aire) sobre el cual se han realizado dos transformaciones, una isotérmica (com.presicn) y oí.'-a adiabática (expansión), tal como sa indica en el gráfico da ia Fig. 19-7. Las coordenadas termodinámicas de presión, volumen y temperatura para ios puntes 1, 2 y 3 son respectivamente p, = 1 atm, \ 10 litros, y ' 1, + 273 = 27 + 273 = 300"K; P2, y , 2 üiros, = T, = 300'K, y p,, y., = V, = 10 litros,

es 'a razón de las cacacidadas caloríficas a p,-esión y voiumen constan-

t<ís. Por consiguiente, a) Si el gas contenido en al cilindro es CO„, entonces 'Y= 1,30, cor lo que utiiizando la reiación

. Cur/a isoíeimaT_ Cüpya Isoterma T , , T , • Cur/5 Acíiabáüca

- 463 -

- 4 6 2 -

Además la razón de colores específicos para ei aire es Y= 1,40.

y presión p^ = 6,51 mm de Hg =

De la relación (ley de Boyie-Mariotte) de la compresión isotérmica p-V, = PjVg, Pa-

resulta que

Pi Vi 1x10 V2 " 2 = 5 atm.

_m_Mp^ Pvapor

Análogamente de !a relación de la expansión adiabática PgVj^ = P3V3^ se tiene que p, = Pj

V.3

\10

y

= 0,5253 atm.

Pa Vq = - r = — , se deduce que la temperatura final Tg estará dada por '3 . 0,5253 10 P3 rv3^ ^ T3 = VP2J T2 = — 5 — X ~ X 300 = 157,59 °K,

o bien

Por lo tanto, de acuerdo con la relación de la humedad relativa i-i = 100 x — = 60 ' P y como quiera que la presión p del vapor de agua del aire a la temperatura t = 20''C es, según Tablas de texto, p = 17,5 mm de Hg, se tiene que la presión del vapor de agua (o mejor dicho la presión parcial del vapor de agua) a la cuai se 60 60 satura el vapor, ha de ser Pr = - ^ p = x 17,5 = 10,5 mm de Hg. Como a esta presión el vapor de agua contenido en una porción dada de aire se convierte en vapor saturado, la temperatura correspondiente ha de ser la del punto de rocío que por interpolación usando las mismas tablas de texto, resulta ser aproximadamente, t^ = 12°C.

presión parcial del vapor de agua H = 1 0 0 x presión de vapor a la misma temperatura b)

La humedad absoluta, o masa de vapor de agua por unidad de volumen que hay en ei aire atmosférico a la temperatura T = t + 273 = 20 + 273 = 293 °K según la relación ^

Tal como se ha descnío en la parte a) de este probíema, es evidente que ¡a presión parcial del vapor de agua en la atmosfera ha de ssr _ pHj_ _

100 c)

17,5 mm de Hgx 37,2 = 6,51 mm de Hg. 100

Como quiera que ia masa molecular del vapor de agua 63 ¡Vi = 18 g/moi y ia constante universal de ¡os gases es R = 0,08207 JJtrcs-atm/mol-°K, de la ecuación de estado da ios gases peílectos p V = nRT = ^ RT se deduce que la dansidad dei vapor de agua a ia temperatura r.-=t + 273 = 20 + 273 = 293"K

p,. V = nRT = ~ R T , ha de ser ^m

^ vapci

Pr 6,51 H. = i 00 X ^ = 100 X -jy^ = 37,2%. b)

|o,C8207 litros-atm/mol-''KJx 293 °K

.9.- a) Como datos en esta primera parte dei problema tenemos la temperatura del aire atmosférico (del día) t = 20''C y la humedad relativa = 60%.

19.8.- a) Como datos de esta primera parte del problema tenemos la temperatura del día t = 20°C que no viene a ser sino la temperatura del aire atmosférico y la temperatura del punto de vacío t^ = 5°C. Por lo tanto, de acuerdo con la relación de la humedad relativa en porcentaje

Y como esto sucede en un día en que la temperatura del aire atmosférico (y su vapor de agua) es t = 20°G, a la cuai ia presión de vapor de agua es p = 17,5 mm de mercurio, resulta que

fqj

por lo que la humedad absoluta o masa de vapor de agua por unidad de volumen será obviamente = g^^^, = 6,42 g/m^.

4 - 273 =

y como quiera que la concentración del vapor de agua en !a atmósfera (vapor saturado) se logra a la temperatura del punto de rocío t^ = 5°C a la cual la presión parcial iguala la presión del vapor de agua p, = 6,51 mm de mercurio (Ver Tablas de Textos).

( 18g/mol)x^atm

= 0,00642 gramos/litro = 0,00642 gramos/dm^ = 6,42 g/m^,

Finalmente usando !á relación correspondiente a los puntos 2 y 3 P2 '2

y

atm, lo cual coincide con la presión de vapor

^

( | 0 ^ mm de Hg) x í 18 g / mol)

Pr pj

j Q_o8207 ¡ ¡ { ^ 3 - atm / mol

Mf^.S ^ , ,, : ^ ^ a í m ix i11og/rri0!) :

i

^

(0,08207 litros-atm/mci-'K) X (293''Kí

^QQ^^Q.^

K) X 293 "K

/IJJ^Q ^ .;Q 3^

"

ya que ia masa molecular dei vapor de agua es ivi = 18 g/moi y ia consíante universal de ios gases perfectos 8s R 0,08207 iitros-aím/moi x . 10 - Como datos de este problema teñamos el volumec; aei aire de la habitación V = 60 cm^ a la temperatura t = 20 "C y ia humedad relativa Hr = 10%. Por lo tantc, de la expresión H,,=

TOO

= 10 ,

y como quiera que en este caso y según tablas ciel texto, la presión dei vapor de agua

- 4 6 5 -

- 4 6 4 vapor de agua (o presión parcial de vapor de agua) a la cual se satura el vapor ha de ser

•

19.12.- Como datos de este problema tenemos n = 1 mol de gas expandiéndose a temperatura T = constante. El trabajo realizado por el gas durante la expansión obviamente es

;'pdV = n n T | ; - í í = „ B T , „ ^ ,

Luego, si colocamos !a vasija de agua dentro de la habitación, obviamente la canti- • dad de agua que ha de evaporarse por efecto de ia baja de presión ha de ser equivalente a la masa de agua correspondiente a la humedad absoluta o densidad del vapor de agua evaporada. Tai evaporación ha de corresponder a la disrriinución de la presión

Ap = p ~ Pr = 17,5 - 1,75 = 15,75 m m de Hg = - j ^ atm.

m Por consiguiente de ía relación (p - p^)V = nRT = — RT,

• ••^^•^"^ -

ya que para gases ideales,

pV = nRT.

De otro lado, como en un proceso isotérmico (T = constante) no hay variación de 3 energía interna (U = constante), entonces AU = U, - U¡ = - nRAT = 0 y como AU = Q - W = O, resulta que la energía calorífica o calor perdido en la expansión será V,

resulta que la densidad del vapor de agua será

Q = W = RT ^n -yf , ya que n = 1 mol.

.. - -

^15,75 , m

X 1 8 g/mol

(p-Pr)M _

= Pvapor = y =

p j

19.13.- a) Como datos de esta primera parte del problema tenemos la expansión libre adiabática desde un estado (p^, V^,, T^), hasta otro (p,, V.,, T,), donde

[o,08207 litros - aím / mol - ° KJ x 293 °K

= 0,0155127 g/ütro = 15,5127 g/m^, y a que T = t + 273 = 293''K.

la transformación adiabática

Finalmente, la masa de vanor de agua evaporada ha de ser

p W = constante

m = pV = (15,5127 g/m^) x 60 m^ = 930,762 gramos.

= HV -

la expansión. Por consiguiente, podemos escribir ia relación Po VQ

= 35%.

de donde se deduce que la presión final del sistema ha de ser p, = p^

AU = T , - T „ = 0,

Ap,V = n R T - . g R T

Pvapor - A H , -T7-

/

K) x 2 9 3 " K

Por ücr^siguisníe, como ssie aumsnto de hum,-5dad se realiza por segunde, se deduce c u s la cantidad de vapor de agua por segundo que se han de necesitar será

o bien

V ^ (3,032 ^j/m-'i x 3

m = 65:153 kf3/hora.

T,=T,

b)

( V'

1

1

En esta segunda parte del problema ia presión final es p', = ^/s

y como la

compresión adiabática, es lenta, hay obviamente configuraciones de equilibrio, por !o que podemos escribir p, V", = P2 V"',

= 0,006032 g/iiíros = S.Q32 u/m^.

rh ^

1

^ atm¡x18g/moi

i 0,08207 litros - atm / m o i

oblen

Por !o tanto la expresión anterior de la presión se transformará en

T ^ t + 273 = 20 ¿73 = 293°K, crees, deriva en un aumento ce ía ."umedad absoluta correspondiente, la cual ha de ser

ri 6.125 7f5p

T

Finalmente, com.o durante la expansión adiabática libre, el calor Q = O, el trabajo W = O y según !a primera ley de termodinámica, la variación de energía interna es también AL) = O, obviamente la variación de temperatura será

De otro lado, de ¡a ecuación de gases perfectos

.„

PI VI

\i •

p = Y ^ X 17,5 = 6,125 mm de Hg.

donde la íemperatura

•'

pV = nRT , funciona en los estados inicial y final del sistema, pero tampoco funciona durante

se puede deducir que ai incremento de la presión del vapor de agua (presión parcial) ha de ser 35 35 Ap, = —

.

no funciona. Sin embargo, la ecuación de estado

1 9 . 1 1 . - Como datos de este problema tenemos el volumen de aire V = 3 m a la temperatura í = 20°C y las humedades relativas H, = 3 0 % y H'^ = 65%. Por lo tanto, según Tablas da presión de vapor de agua (de textos) se tiene que a temperatura t = 20°C, la presión de vapor de agua es p = 17,5 mm de mercurio, por lo que de acuerdó^con la relación AH^ = 100 X ^

= SV^. Como el gas

no pasa a través de estados de equilibrio durante la expansión libre, la ecuación de

= 18,09815 g

o bien | ^ P o i(3V,-,)' =1/^3

Po)vJ , de donde

se deduce que; 3".'-' = S^'^, o bien

y= 4/3, indicándonos aue el qas es ooiiatómico.

- 4 6 6 c)

- 4 6 7 -

Las energías cinéticas de traslación en los estados inicial y final son respectivamente , , K T KT„ y = kT^. por lo que ] < ; = •

=I

I

De otro lado, como entre los estados inicial y final funciona ¡a ecuación PoVo _

setieneque

T2

_

=

P2V2

_

P2V2

=

^^PQVQ

_3,'^

_ - ^ - V 3 .

- .

o Por lo tanto,

R J " = ' ' ^ = ^^^22 .

19.14-Este problema queda como trabajo para el estudiante. 19.15. -Este problema queda como trabajo para el estudiante. 19.16. - Como datos de este problema tenemos el número de moles n = 2, la temperatura T = 400 °K y la constante universal de los gases ideales R = 8,314 J/mol-'K. Por consiguiente la energía interna contenida en los dos moles de gas será precisamente U = I nRT = I X 2 X 8,314 X 400 = 9977 J. 19.17. - Como datos de este problema se tienen el número de moles n = 2, la temperatura inicial í = 20°C y la temperatura final t = 10CC. Luego como se trata de oxígeno, en tablas especiales es posible encontrar que los calores molares a volumen y presión constantes son respect¡vam,eníe 0^ = 21,17 J/mol-°C y

= 29,49 J/mol-°C .

Por io tanto ¡a energía calorífica requerida en cada caso será Qp = nCp {t -1^) = 2 X 29.49 (100 - 20) = 4718 J •= 1127 cal y

Q^ = nc^, (t-t^) = 2 x 2 1 , 1 7 ( 1 0 0 - 2 0 ) =3387 •J = 809 cal.

ENTROPIA Y E i SEGUNDO PRINCIPIO DE l A TERMODINÁMICA El Rol de la Segunda ley de la Termodinámica.- Hay muchos procesos en general que no ocurren en la naturaleza aun cuando su ocurrencia no viole la primera ley de la termodinámica. Citaremos como ejemplo el flujo de calor de un c u ^ o frío a un cuerpo caliente. La segunda ley de la termodinámica prevee un criterio para identificar tales procesos prohibidos. Procesos Reversibles e Irreversibles.- Los procesos termodinámicos que llevan a un sistema desde un estado inicial hasta otro estado, final, pueden hacerlo reversiblemente o irreversiblemente. En el primer caso (Fig. 20-1T) el sistema pasa a través de una secuencia continua de estados de equilibrio. Desde luego se puede invertir la trayectoria en cualquier estado haciendo un cambio infinitesimal adecuado en el medio exterior o alrededores del sistema. Fig. 20-1 T En el segundo los estados intermedios no son estados de equilibrio por lo que no es posible invertir la trayectoria. Generalmente todos los procesos reales son irreversibles, pero usando técnicas adecuadas se puede lograr a menudo que se aproximen a la reversibilidad. El Cicio de Carnot.- Este es un ciclo idealizado de una máquina térmica ideal que describe la acción de un motor íérmico ideal (con procesos reversibles). El ciclo consiste de dos procesos adiabáticos (para ios cuales Q = 0) alternados con dos procesos isotérmicos (para los cuales T = constante) esquematizados en e! gráfico de la Fig. 20-2T.

''1 Ull

1!!

Fiq. 20-2 T Designando porQ., y Qg los calores cedido y sustraído del sistema a las correspondientes temperaturas T, y T,, el trabajo reaiizaao será VV = Q, - Q„

- 4 6 9 -

y la eficiencia o rendimiento del ciclo de Carnet se demuestra estar dado por la relacron W

Qi-Qa

= 1-Qi ' Qi Esta ultima expresión en términos de temperatura funciona cuando ei sistema o sustan;ia que trabaja en la máquina de Camotes ideal. • " ÍSegunda ley de la Termodinámica.- De acuerdo con la segunda ley de !a termodinasa deduce que 1) todas las máquinas con ciclos reversibles independientemente de la :lase de sustancia que trabaja tienen esta misma eficiencia y 2) No hay máquina real que tenga una eficiencia o rendimiento mayor. Tenemos tres formulaciones equivalentes de esta segunda ley a saber de a) La formulación de Kelvin-Planek que nos dice-que una máquina ideal es imposible, b) La formulación de Clausius que expresa que una refrigeradora perfecta también es imposible y c) La formulación de la entropía que establece que si un sistema pasa de un estado inicial a otro final, la entropía del sistema más la de su ambiente exterior ha de permanecer constante (si el proceso es reversible) o ha de aumentar (si él proceso es irreversible). Tiica

Entropía.- Para procesos reversibles, la entropía S, así como volumen, presión, etc. es una propiedad de un sistema en equilibrio. El cambio de entropía para un sistema que reversiblemente pasa de un estado inicial a otro final, está dado por la relación

20.5. - U n mol de un. gas ideal monoatómico performa un ciclo tal como el mostrado en la Fig.* 20-5. El proceso be es una expresión adiabática reversible. . -. P Además Pi,= 10atm,

Expansión Adiabática

= 1 m3 y = 8 m3. Calcular, a) El calor suministrado al gas, b) El calor abandonado por el gas, c) El trabajo neto realizado por el gas y d) La eficiencia del ciclo.

Fig. 20-5 ' 20.6. - E n un experimento de calor específico, una masa de 200 gramoé de aluminio (c = 0,215 cal/g-°C) a 100 °C, se mezcla con una masa de 50 gramos de agua a 20 "^C. Calcular la diferencia en la entropía del sistema entre sus valores final luego de la mezcla e inicial antes de la misma. 20.7. -Cuando una cierta cantidad de agua se enfría, la entropía del agua decrece. Cómo se compatibiliza este hecho con el enunciado de que la entropía del universo siempre aumenta.

PROBLEMAS DESARROLLADOS S O l U C l Ó N DE ALGUNOS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMAS PROPUESTOS /20.1

Un motor de Carnot cuyo foco calorífico tiene una temperatura de 127°C, toma 100 calorías a esta temperatura en cada ciclo y cede 80 calorías al depósito de baja temperatura. Calcular ia temperatura de este depósito.

20.2. -Un motor de Carnot cuyo depósito frío está a la temperatura de 7°C tiene un rendimiento del 40%. Se desea aumentar el rendimiento hasta ei 50%. ¿En cuántos grados ha de aumentarse ta temperatura del foco caliente? 20.3. - a ) ¿Cuál ss el coeficiente de performance de una máquina frigorífica de Carnot, que exí.'-ae calor ds un foco que tiene la temperatura de -10°C, y cede calor a un foco a 30°C? b) ¿Cuántos kiiovatios-hora de energía habría que suministrar a la máquina para extraer de! foco de temperatura baja una cantidad de calor igual a ¡a necesaria . para fundir 50 kg de hielo? c) ¿Cuál sería el importe de esta energía, a 1,25 soles el kVVh? 20.4.-Una máquina de Carnot que opera entra ¡as temperaturas T, y T, hace funcionar a un rafngerador de Carnot que trabaja entre dos temperaturas diferentes T3 y T^ (Ver Fig. 20-4). Calcular la razón QJQ, en términos de TpJ¿,

.

T3

t ;

:

i

! !

i t L

"a;

20.1.-Como datos de este problema tenemos que el motor toma Q, = 100 cal del foco calorífico a temperatura Tj = t, + 273 = 127 + 273 = 400° K y cede = 80 cal al foco calorífico frío de temperatura t , . Luego, de acuerdo con la expresión del rendimiento del motor, se tiene Qi

80

^=^-Qr=^-ioo=°'2o o sea que el rendimiento de este motor de Carnot es obviamente n = 20%. Esto quiere decir que en términos de las temperaturas T, y de los focos caloríficos y si es que el ciclo fuera ideal, tendríamos la relación Qi Q2 Q, ^ 80 de donde T, = — Tg = • li T2 ' -^"^"^'^ '1 -¿ 100 : 400 = 320 =K. Pero como el motor y su ciclo no es ideal, el rendimiento del 20% nos inaica ñus solamente se han aprovechado una energía de W = Q 2 - Q ^ =20cal, ^ S"^^^'^t ^ que han sido transformadas en trabajo mecánico. Por lo tanto la relación del rerüimiento de! motor, también puede expresarse como '1 = "I - ^

1

= 0,2 , de donde necesariamente

obíenamos que la temperatura del depósito frío as T, ^- 0,8

= 0,8 X 400 = 320 °K ,

o bien

t^ = T, - 273" = 47

.

iiüiliill

- 4 7 0 -

- 4 7 1 -

20.2-Como datos de este problema tenemos la temperatura del depósito frío = t., + 273 = 7 + 273 = 280°K y los rendimientos r|, = 40% y = 50%. Por lo tanto, de la relación del rendimiento del ciclo del motor de Carnot

Qi = W -I-

Tii = 1 - ^ = , se tiene que la temperatura del foco caliente ha de ser i2 IUU T 280 Tj = Q^ =-Qg-= 466,67 °K, oblen t^ = - 273 = 193,67°C. Simiiarmente de la expresión del nuevo rendimiento aumentado ri2 =

I o

T2 =

=

respectivas temperaturas T,', T^, T3 y T^. Por lo tanto, si aplicamos el primer principio de la termodinámica tanto a la máquina como a la refrigeradora, tenemos Q3 = W + Q ¡

de donde eliminando el trabajo mecánico W resulta que Q., - Qj = Q3 _ ^

Q1-Q2

o bien

Q3-Q.

se tiene que la nueva temperatura del focó caliente es esta vez

Q 1 - Q 2 .. Q3

lUU

280

Q i ~ Q 3 - Q 4 "X' Q i

=-^rr = 560 °K,

0,5 " 0,5

oblen

= T ' j - 273 = 287 "C.

0 bien

Q1-Q2,.

Qi

'^03-04

=

1-

QPY

Finalmente, como para las máquinas y refrigeradoras de Carnot

Finalmente la temperatura del foco caliente ha de aumentarse en At'2 = t'2-t2 = 93,33°C.

=

=1

-

.

^•

Ql Ti y Q3 " Ta ' resulta entonces que la razón requerida tendrá como expresión Q3

20.3. -a) Como datos de esta primera parte del problema tenemos las temperaturas T , = t.^ + 273 = - 1 0 + 273 = 263°K y = tj + 273 = 30 + 273 = SOS-'K de los focos caloríficos entre los cuales trabaja la máquina frigorífica de Carnot. Por lo tanto, de acuerdo con la' relación del coeficiente de performance de la máquina frigorífica

Y=

P W Q2-Q1 Qi Ti y teniendo presente que Q J = J ^ , se puede deducir que « _ Ql _

b)

Ql _ _ J L- - _ J fi Q2-Q1 " Q 2 _ i " I 2 _ i ~ 3 0 3 _ Ql Ti 263

20.5.-Como datos de este problema tenemos el gráfico de la Fig. 20-5, mostrando los parámetros que inten/ienen en el problema. Para un gas ideal monoatómico,

a) cyq

Qab = m c , A T = m | 2 R j ( T , - T 3 )

y como según la relación pV = nRT, aplicada para el mismo proceso implica ^ ^ ^ 0 = (Pb - Pa)^o = "F^^T = nR(Tj, - T3), resulta entonces que

En esta segunda parte del problema tenemos la masa del hielo m = 50 kg y su calor de fusión L = 80 kcal/kg por lo que la cantidad de calor necesario para fundirlo ha de ser obviamente Q = mL = 50 X 80 = 4 x 10^ kcal.

De otro lado, según el gráfico del circuito, p^ = p„ y

Por lo tanto, como la energía requerida por la máquina frigorífica para esta operación es precisamente el trabajo que debe desarrollarse en el ciclo, se deduce entonces que la energía suministrada es Qi

W =Q2-Q, = y =

P b V = P = V PO'

6,575

Qab= 2

= 0,608365 X 10^ kcal = 2,546616 x 10^ J = 0,7074 kWh, c)

Si e! Kiiovaíio-hora cuesta 1,25 soles, si importe de esta energía ha de ser obviamente 0,90 soles aproximadamente.

20.4. -CGmü datos de sste problema tenemos el motor y el refrigerador de Carnot de! gráfi-

= 10

q'Je Pa = Pe = Pb

= -atm.

Por lo tanto el calor suministrado a! gas en ei proceso ab será

4x10^ kcal

yaque 1 kcal = 4186 joules y IkVVh = 3,6 x 10« joules .

3

A lo largo de la trayectoria del proceso isocórico ab, el calor absorbido por el gas o mejor dicho suministrado al mismo es ^3 '

ya que b)

16 i"^'' = •''^.53''25 a i m - m 3 = 1,472 xIO^ joules,

1 atm-nr = 1,013x10^ joules.

Como quiera que la transformación be es una expansión adiabática, Q^^ = 0. Así entonces, a lo largo de la írayecto.-ia ca del proceso isobárico, el calor'^cedido por el gas ha de ser obviamente = nCp AT = nc„ (T^ - T^) = n , 2

.

-

••: ;Í ; <•

• .

-473-

-472-

resulta finalmente que él calor Q^g cedido por el gas estará dado por la relación Q=a

= I

(AV)Pe = I

Pc(Va - Ve) = I

CAPÍTUIO;;2Í:V^^';7'^;; ONDAS E N M E D I O S E L Á S T I C O S -

Po(Vo - 8 V „ )

MOVIMIENTO ONDULATORIO

= - - x — x 7 x 1 =-5,46875 atm-m3 = - 5 , 5 4 x 1 OSjoules. 2 16 c)

Finalmente, sobre el circuito o ciclo completo, la variación de la energía interna es AL) = O, por lo que el trabajo neto realizado, según el primer principio de ta. termodinámica será W = Q - AU = Q =

+ Qbc + Qoa = '472 x 10^ + O - 5,54 x 10^

= 9,18 X 10^ joules. d)

El rendimiento o eficiencia (teniendo presente que las cantidades de calor no se suministran ni se ceden a temperatura constante) será obviamente Q„ ,:

=1

;V;':.^

Qab

5,54x10= : ^ = 0 , 6 2 3 6 4 = 62,364%. 1,472x10^

.

20.6.-Como datos de este problema tenemos -

Para el agua

-i- . ••'m^-vi^í' %4

= 50 g, t^ = 20°C y c^ = 1 cal/g°C - mj = 200 g, tj = 10OX y C2 = 0,215 cal/g-°C.

Para el aluminio

- í

Luego, si el calentamiento del agua y el enfriamiento del aluminio fueran procesos reversibles, el cambio de entropía de ambas sustancias puede ser calculado mediante la relación r dQ fT, dT T, AS = J — = J^. m c p - ^ = mcp ^ n ^ .

Ondas longitudinales y Ondas transversales.- Las ondas materiales u ondas mecánicas que pueden existir en cualquier medio elástico deformable tal como aire, agua o aun hierro son ondas longitudinales si el movimiento de cada partícula del medio tiene la misma dirección que la onda de propagación en cualquier punto considerado. Si el movimiento de tales partículas es perpendicular a la dirección de propagación de las ondas, éstas son llamadas ondas transversales. ^ Una onda es periódica si cada partícula tiene un movimiento que se repite a sí mismo. La onda es armónica simple si el desplazamiento puede ser descrito por una simple función tal como e¡ seno o el coseno. Una frente de onda es una superficie que conecta las partículas del medio, que se mueven en la misma forma en cualquier instante. Una onda es llamada esférica o plana si sus frentes de onda tienen la forma correspondiente. Ecuación General de una onda (Unidimensional).- La expresión general para el deaplazamiento y de una partícula localizada en la posición x en el instante t en una onda viajera unidimensional está dado por y = f(x ± vt), donde la velocidad de la onda es v y f una función cualquiera. El signo menos es usado para describir una onda que viaja en la dirección positiva del eje X. Para una onda viajera armónica simple, el desplazamiento de una partícula localizada en la posición X y en un tiempo t, estará dado por la relación

Para el cálculo de esta variación de entropía, se hace necesario conocer la temperatura final de equilibrio T común a las dos sustancias, dada por la relación m 2 C 2 ( 1 G 0 - T ) = m, c, ( T - 2 0 ) ,

de donde

_ 20miCi + 1^00m2C2 2 0 x 5 0 x 1 + 100x200x0,215 '^^ rn7c7+Wc2 " 50x1+200x0,215 = 56,989 'C = 329,969 °K = 330 'K.

V=v

repetido de la onda y la frecuencia v =j

yaque

¿yo

330 + 200 X 0,215 x In — = 0,68 cai/°K,

T, = t, + 273 = 293 °K

oto

y

es la inversa del período, donde T es el período de

la onda. Si definimos respectiva.menta un número de onda k y una frecuencia angular CÜ por

T T.,_. = AS^g„, + AS,,,^.„i<, = m,c, In ^ + m^c, In ^ QOQ

sen 2n

donde y^^^^ es la amplitud de la onda y donde la magnitud dentro del paréntesis es la fase de la onda y q? es la fase constante. La longitud de onda A, representa el intervalo más corto

Por lo tanto, e! cambio total de entropía del sistema ha de ser obviamente

= 50 X 1 X !n

^ '

= t, + 273 = 373 °K.

,

271

k = -r-

V

^

2TZ

u) = 2-nv = — ,

la ecuación de la onda puede ser escrita más compacíante por ¡a relación y = y^^^^ sen ( kx - (ot +
v-

„

A,

üj

= - - = —. i k

Para ondas transversales, la velocidad de ¡a onda por ejemplo en una cuerda tensa estará dada por la relación

2 0 . 7 - Este pfobiema queda como trabajo para el estudiante. y = 1/ 7 " i donde T es la tensión o fuerza y u !a masa por unidad de longitud de la onda.