PROBABILIDAD

GUÍ A PARA EL EXAMEN DE ADMISIÓN A LA MAESTRÍ A DE ADMINISTRACIÓN

SEPI-UPIICSA-IPN

PROBABILIDAD ELABORADA POR

DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Octubre del 2005

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

CONTENIDO C

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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

1.1 MODELOS DETERMINÍSTICOS Y PROBABILÍSTICOS Uno de los objetivos del estudio de las Ciencias es desarrollar estructuras conceptuales que permitan comprender los fenómenos que ocurren en la naturaleza y poder predecir sus efectos que de ellos se derivan. De la experiencia científica se deduce fácilmente que para poder estudiar un fenómeno es necesaria su imitación o reproducción en una cantidad suficiente para que su investigación sea lo más precisa posible. Esta necesidad es lo que da origen a los modelos. Por modelo, entenderemos a la representación o reproducción de los fenómenos. Los modelos pueden ser de diferentes tipos, para nuestros objetivos nos interesarán modelos de tipo matemático.  Definición 1.1 Modelo matemático Un Modelo Matemático es una representación simbólica de un fenómeno cualquiera, realizada  con el fin de estudiarlo mejor. Por ejemplo: fenómenos físicos, económicos, sociales, etc. Los modelos matemáticos los podemos clasificar en: determinísticos y probabilísticos.  Definición 1.2 Modelos determinísticos Cuando se realiza el modelo matemático de un fenómeno y en él se pueden manejar los factores que intervienen en su estudio con el propósito de predecir sus resultados, lo llamaremos “Modelo Determinístico”.

EJEMPLO 1.1 Sobre modelos determinísticos El modelo de una compañía en donde dos productos se elaboran al pasar en forma sucesiva por tres máquinas. Ahí el tiempo por máquina asignado a los dos productos está limitado por una cantidad determinada de horas por día; igualmente, el tiempo de producción y la ganancia por capítulo de cada  producto se pueden establecer de tal manera que combinando los productos podemos obtener una  ganancia óptima. En el modelo anterior se puede notar que en él nosotros estamos controlando los diferentes parámetros que intervienen; por lo tanto, al establecer el modelo matemático correspondiente y los valores para los factores podemos predecir su resultado.  Definición 1.3 Modelo probabilístico o estocástico A los modelos matemáticos de los fenómenos en los cuales no se pueden controlar los fa ctores que intervienen en su estudio, y además dichos factores ocurren de manera tal que no es posible predecir sus resultados, los llamaremos “Modelos Probabilísticos” .

EJEMPLO 1.2 Sobre modelos probabilísticos Si deseamos conocer el lugar de caída de un satélite que se salió de su órbita y se dirige a la tierra no podemos predecir el lugar donde él caerá, puesto que no podemos controlar su movimiento; por lo tanto, sólo es posible indicar una región en donde se cree caerá el satélite con un valor numérico que represente la aseveración. 4

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

 Definición 1.4  Experimento aleatorio o probabilístico Al proceso por el cual se describen los resultados que no se conocen y no se pueden predecir, lo llamaremos experimento aleatorio.

EJEMPLO 1.3 Sobre experimentos aleatorios Observación de la cantidad de artículos defectuosos en un lote de 50 artículos, en donde existen 9 defectuosos. Se eligen los artículos sin reemplazo y se anotan los resultados hasta obtener el último defectuoso.  Definición 1.5 Experimento determinístico Al proceso por el cual se describen los fenómenos de los que se pueden predecir sus resultados, lo llamaremos experimento determinístico.

EJEMPLO 1.4 Sobre experimentos determinísticos La mezcla de sustancias químicas para la obtención de algún compuesto. Al realizar un experimento generalmente se registran sus resultados para obtener las conclusiones correspondientes al fenómeno en estudio, por lo que surge la necesidad de introducir un concepto referente al conjunto de todos los resultados del experimento. 1 

 Definición 1.6  Espacio muestral Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento probabilístico lo llamaremos “Espacio Muestral del experimento”  y lo denotaremos por S . A los elementos de un espacio muestral los llamaremos puntos muestrales.

EJEMPLO 1.5 Sobre espacios muestrales. Se realiza el experimento sobre el lanzamiento de una moneda 3 veces y anotan sus resultados posibles. En el espacio muestral a representa águila y s cara  {

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S  = sss ssa sas ass saa asa aas aaa ,

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 Definición 1.7  Evento Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral S , se llama  evento a un conjunto de resultados posibles de S . Fácilmente podemos notar que un evento, no es más que un subconjunto de un espacio muestral.  Definición 1.8 Evento simple Al evento que consta de un sólo elemento le llamaremos evento simple.

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5

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJEMPLOS 1.6 Sobre eventos Obtenga el evento indicado en los espacios muestrales de los ejemplos anteriores. Se lanza una moneda 3 veces y se anotan sus resultados posibles. Sea el evento  E : “Aparece una sola águila”. Representando águila por a y sol por s, el evento será: {

}

 E  = ssa sas ass ,

,

1.2 INTERPRETACIONES DE LA PROBABILIDAD La palabra probabilidad es empleada por el ser humano con demasiada frecuencia; por ejemplo en expresiones tales como: “Es probable que hoy estudie estadística”, “El equipo mexicano de fútbol está   jugando mal, y es muy probable que en su siguiente partido pierda”, “El cielo está bastante despejado; por lo tanto, no hay muchas posibilidades de que hoy llueva”, etc. Como se pudo notar en las expresiones anteriores, las palabras relacionadas con la probabilidad tienen la característica de basarse en sucesos que pueden ser verdaderos y que a causa de los hechos observados; resultados preliminares; tiempo, etc. se puede hablar de la posibilidad de su ocurrencia. A pesar de los esfuerzos realizados por muchos matemáticos para asignar de forma única la  probabilidad a un suceso todo ha sido en vano puesto que desde los inicios de su estudio hasta nuestros días, no tenemos una forma única de asignación de probabilidades. Con lo que contamos son con diferentes corrientes de probabilidad, las cuales se aplican para asignar un valor numérico a la  posibilidad de la ocurrencia de algún suceso probabilístico. De hecho, el verdadero significado de la  probabilidad sigue siendo conflictivo; por lo tanto, en lugar de comenzar el curso con una definición formal de probabilidad comentaremos sus 4 corrientes más comunes. 1.2.1 CORRIENTE FRECUENTISTA En la corriente frecuentista -tal vez una de las más empleadas-, se asigna un valor de probabilidad a un evento E , a partir de lo que se considera que ocurrirá. Su definición o interpretación de la probabilidad está basada, como su titulo lo indica, en la  frecuencia relativa con la que se obtendría  E , si el experimento se repite una gran cantidad de veces, en condiciones similares (no idénticas, puesto que en este caso el proceso no sería aleatorio). 2 

Por ejemplo, se lanza una moneda 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen. Sea el evento E : “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos”, la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento E ? Para responder a la pregunta desde el punto de vista frecuentista, se debe de realizar el experimento una gran cantidad de veces. Supongamos que el experimento se repite 1000 veces en condiciones similares y como resultado se obtienen 400 casos con dos soles, en tal situación, se diría  400

que la probabilidad de que ocurra  E , será:

= 0.4 . Si ahora el experimento se repite 100,000

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veces, de las cuales 38,000 resultan con dos soles, dir íamos que la probabilidad de que ocurra  E  es:

2 

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l

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c

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e

n

q

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e

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c

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r

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l

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u

c

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

e

n

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r

e



e

l

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o

t

a

l



d

e

 

.

6



ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ 38,000 100,000

= 0.38 , de esta forma podr íamos repetir nuestro experimento tantas veces como se quiera y

obtener una frecuencia relativa para la probabilidad del evento  E , pero surge la pregunta  ¿porqué diferentes resultados para un mismo evento?. La respuesta está en la interpretación de que entendemos por: “repetir el experimento una gran cantidad de veces”, ¿qué se entiende por una gran cantidad de veces? y ¿cuá l sería dicha cantidad de repeticiones?. Estas condiciones son muy vagas para servir de base en una definición científica de probabilidad. Aunado a lo anterior en muchos de los fenómenos no podemos realizar una gran repetición de estos, por ejemplo: a).- Para calcular la probabilidad de que el lanzamiento de un cohete resulte exitoso. Evidentemente, no podemos realizar una gran cantidad de lanzamientos de cohetes, para que de esta manera se obtenga la probabilidad en forma frecuentista del éxito de un lanzamiento. b).- Para calcular la probabilidad de que Juan Pérez se case este a ño. En este caso tampoco podemos realizar una gran cantidad de repeticiones del experimento para indicar el valor numérico que represente desde el punto de vista de la frecuencia relativa de que Juan Pérez se casará o no este a ño.

1.2.2 CORRIENTE CLASICA (A PRIORI) En la corriente clá sica se consideran espacios muestrales uniformes, es decir se asigna probabilidades a  eventos, basá ndose en resultados equiprobables (igualmente verosímiles). Esto es, los clasistas asignan la misma probabilidad a cada punto del espacio muestral ( 1 n , en donde n es la cantidad de elementos del espacio muestral), posteriormente para obtener la probabilidad de la ocurrencia de un evento  E , se suma la cantidad de elementos de  E , y se multiplica por la probabilidad de un elemento del espacio muestral ( 1 n ). Cabe notar que de lo anterior se deduce, que la probabilidad de los puntos muestrales se establece a priori, es decir, antes de cualquier experimento. Resolviendo el ejemplo anterior en la forma clá sica tendremos, lo siguiente: Se lanza una moneda equilibrada 3 veces y se anotan los resultados posibles que aparecen, sea el evento E : “Obtención de dos soles en los tres lanzamientos ”, la pregunta es ¿cuá l es la probabilidad de que ocurra el evento E ? Para responder a la pregunta, desde el punto de vista clasista obtenemos el espacio muestral; representando á guila por a y sol por s, tendremos:

{

}.

S  = sss ssa sas ass saa asa aas aaa ,

,

,

,

,

,

,

En estos casos, ssa representa que los primeros 2 lanzamientos resultaron soles y el tercer lanzamiento á guila. Considerando que cada punto del espacio muestral es equiprobable con probabilidad de ocurrencia  1 8 , tendremos que la probabilidad del evento  E  (resulten dos soles en los tres lanzamientos), se resuelve al conocer la cantidad de elementos del evento:

{

},

 E  = ssa sas ass ,

,

como E contiene 3 elementos tenemos que la probabilidad de que ocurra el evento E es: Probabilidad de E =

3×

1 8

= 0.375 .

 Algunas de las dificultades por las que atraviesa esta interpretaci ón   de probabilidad son: 7

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD • En primer lugar al hablar de resultados equiprobables (tienen la misma probabilidad), estamos

empleando el concepto que se está definiendo. • En segundo lugar cuando los resultados no son equiprobables. • En tercer lugar no se indica un método para realizar el cá lculo de las probabilidades.

1.2.3 CORRIENTE SUBJETIVA En la corriente subjetivista (esta interpretación de la probabilidad es muy empleada en el estudio de la  Teorí a de decisiones), se asignan probabilidades a eventos bas á ndose en el conocimiento o experiencia  que cada persona tiene sobre el experimento; por lo tanto, la probabilidad asignada est á  sujeta al conocimiento que el científico tenga con respecto al fenómeno estudiado. Para un mismo experimento las probabilidades asignadas por diferentes personas pueden se r distintas. La interpretación subjetiva de la probabilidad tiene diferentes dificultades, una de ellas es la  dependencia en el juicio de cada persona al asignarla, adem á s que tal juicio debe estar completamente fuera de contradicciones lo que es sumamente dif ícil por depender de la persona que la asigne. Podemos mencionar que en la asignaci ón de probabilidades subjetivas se emplea en muchos casos el conocimiento frecuentista que se tenga del experimento.

1.2.4 CORRIENTE BAYESIANA (A POSTERIORI) En la corriente bayesiana se asignan probabilidades a eventos, despu és del experimento. Es decir las probabilidades son del tipo dependiente, esto es basá ndose en el conocimiento de la ocurrencia de eventos que estén en dependencia con el evento estudiado. Por ejemplo, en el caso anterior cuando se lanza una moneda equilibrada, 3 veces y se cuenta la cantidad de soles que aparecen, el evento  E  :“Obtención de dos soles en los tres lanzamientos ”, la pregunta es ¿cuá l es la probabilidad de que ocurra el evento E ?, si se sabe que el primer lanzamiento resultó un sol. Como se puede comprender no se debe comenzar un estudio matem á tico de la teoría de las probabilidades si se quiere tener una forma universal de asignaci ón de probabilidades para los diferentes eventos. Por lo tanto, es necesario estructurar a la probabilidad sobre una base axiom ática que le d é  el formalismo que el  Á lgebra, la Geometr í a y las otras áreas de las matem áticas tienen,

esto se puede lograr haciendo uso de la teoría de conjuntos aplicada a los eventos, formando lo que se denomina  “Álgebra de Eventos”.

1.3 CONCEPTOS FUNDAMENTALES SOBRE EVENTOS  Notaci ón   de eventos. Al espacio muestral de un experimento lo denotamos por  S , y a los eventos por letras mayúsculas, como son  A,  B, C , etc. A los resultados del experimento, que cumplen las condiciones del evento, se les representa por letras minúsculas, como son a, b, etc. Si el resultado a del

experimento realizado pertenece al evento  A, esto lo simbolizaremos a ∈ A , en caso de que no pertenezca, se simbolizará  por ∉ . Los eventos también se representan por llaves, dentro de las cuales se escriben sus elementos (¡ sin repetirlos ¡), o las propiedades que dichos elementos cumplen. a

A 

 Definici ón   1.9. Eventos finitos.

Si al contar los elementos de un evento resulta una cantidad determinada, entonces dicho evento se llama finito. 8

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Por ejemplo: 1.-  A: Es un número par, resultado del lanzamiento de un dado, esto es,

{2, 4, 6} . 2.-  A: Al menos se observan 4 soles en 6 lanzamientos de una moneda, esto es,  A = {4, 5, 6}.  A =

 Definici ón   1.10 Evento vacío o no realizable.

El Evento que no contiene ningún elemento, esto es, no existe alg ún resultado del experimento que cumpla las condiciones del evento se llama evento vací o. Por ejemplo.

“Lanzamiento de un par de dados y que la suma de sus lados sea mayor a 13 ”, esto es  A = { } , el evento A no tiene ningún elemento. La má xima suma de las caras en el lanzamiento de dos dados es 12. El evento vac ío, se suele simbolizar por ∅ .

 A:

 Definici ón   1.11 Eventos infinitos

Si al contar los resultados posibles de un evento el proceso de conteo no termina con el tiempo, entonces el evento se llama infinito. Por ejemplo: 1.-  E : “La cantidad de lanzamientos de una moneda hasta obtener la primer á guila ”.  E  =

{1, 2, 3, 4, 5, K}.

2.- El evento cuyos elementos son todos los puntos del intervalo indicado en donde los extremos son diferentes,  E  = ( 2,7) .

1.3.1 RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS  Definici ón   1.13 Igualdad de eventos Los eventos  A y  B correspondientes a un mismo experimento son iguales, si cualquier resultado de  A es también elemento de B, y viceversa   A =  B , si ∀a ∈  A, entonces a ∈  B y viceversa, ∀b ∈ B , entonces b ∈  A Una relación muy particular entre los eventos consiste en estudiar los casos cuando todos los elementos de un evento dado est á n contenidos en el otro evento.  Definici ón   1.14  Subeventos

Sean los eventos  A y  B correspondientes a un mismo experimento, se dice que  A es subevento de  B si cualquier elemento que esté en A está en B. Lo anterior se simboliza,  A ⊂ B . Es decir,  A ⊂ B ; si a ∈ A , entonces a ∈ B .  Definici ón   1.15 eventos mutuamente excluyentes (ver conjuntos ajenos o disjuntos)

Los eventos  A y  B, correspondientes a un mismo experimento, se llaman mutuamente excluyentes si no tienen resultados comunes. Esto es: Para cualquier a ∈ A , entonces ∉ ; igualmente, para todo b ∈ B , entonces ∉ . a

b

B 

A 

Podemos generalizar que el evento vacío con cualquier otro evento es mutuamente excluyente. 9

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

1.3.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE EVENTOS 1.- UNIÓN ENTRE EVENTOS La unión de los eventos  A y B, correspondiente a un mismo experimento, es otro evento formado por los resultados que pertenecen al evento  A o al evento  B o a los dos. La unión la simbolizaremos por: ( A unión B). ∪ A ∪ B = { x x ∈ A o x ∈ B} la unión de los eventos  A y B.  A

B 

2.- INTERSECCIÓN ENTRE EVENTOS La intersección entre los eventos  A  y B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos que pertenecen a ambos eventos. La intersección, la simbolizaremos  A ∩ B ( A intersección B). A ∩ B = { x x ∈ A y x ∈ B} la intersección entre los eventos A y B. 3.- DIFERENCIA ENTRE EVENTOS La diferencia del evento  A menos el evento B, correspondientes a un mismo experimento, es otro evento formado por los elementos del evento  A, que no pertenecen al evento  B. La diferencia, la  simbolizaremos  A − B ( A menos B).

{x

A− B =

}

x∈ A y x∉ B

la diferencia del conjunto A, menos B.

4.- EVENTO COMPLEMENTARIO O COMPLEMENTO DE UN EVENTO El complemento del evento  A, es otro evento formado por los resultados del experimento que pertenecen al espacio muestral, pero que no pertenezcan al evento A. El complemento del evento A, lo simbolizaremos, como  A o A′ (complemento de A) c 

 A

{

}

=  x  x ∈ S  y  x ∉  A el evento complementario de A.

c 

1.4 AXIOMATIZACIÓN DE LA PROBABILIDAD  Definición 1.18 Probabilidad axiomá tica  D

a

c

o

d

c

d

o

u

n

o

l

m

u

a

i

m

s

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p

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l

l

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e

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e

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A 

o

m

n

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o

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Á

y

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i

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m

a



1

.

 

P

a

r

a



c

u

A

x

i

o

m

a



2

.

 

P

a

r

a



e

l

A

x

o

m

a



3

.

 

P

a

r

a

a







2 

a

u

,

i

l

 E 

q

m

u

,

e

i

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K

e

,

r

u

 E 

s

m

l

s

t

l

r

a

l

a

l

m

a

ó

c

l

l

,

r



a

f

y

u

m



o

e

a

a

y

e

m

a

,

S 

s

d

m



l

n

u

f

m

i

p

n

l

i

e

t

a



a

s

i



a



P



x

a

m

o

q

i

b

u

i

a

e

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l

i

b



m

l

a

i

o

s

s



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a



l

d

i



e

d

a

v

e

e

a



v

d

o

K

e

a

l

r

o

 P ( E ) ≥

,

A 

o

f

r

l

a

(

a



t

o

i

n

s

 P ( S ) = 1

,

i





e

S 

s

e

s

d



e

,

l

a

,

c

s

[0,1]

o

a

e

,

o

E 

t

s

3 

i

u

o

l

o

s

r

t

x

t

m

a

a

n

u

v





n

r

s

o

e

e

e

v

i

v

t

r

e

c

E

n

t

o

a



i





p

e



s

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c

a

l

e

e

s

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i

e





u



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c

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r

e

q

s

o

o

i

l

e

,

b

g

u

a

c

e

n

 E   E  1 

o

g

g

A

i

t

0

x

e

l

n

t

i

s

o

s



m

,

A 

á

t

i

c

 P( E )



m

o

o

g

ó

r

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a



a

p

l

a



p

,

a



r

a

q

l

a

a

r

u

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

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u

a

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c

f



u

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c

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l

m

s

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

ó

u

i

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e

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i

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e

s



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u



i

e

t

m

e

n

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é

v

i

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e

s

s

r

n

a

o

i

t

c



a

o

c

u



E 

m

p

,

P 



e

c

n

l

u



e

y

n

o

A 

,

A 

,

:

.

.



i

n

f

i

n

i

t

a

)

d

e



e

v

e

n

t

o

s



m

u

t

u

a

m

e

n

t

e



e

x

c

l

u

y

e

n

t

e

s

,

d

e



:

n 

     P U  E   =  P( E  ) +  P ( E  ) + L +  P( E  ) = ∑  P ( E  )   =   = n 

n 

k 

k 

1 

2 

n 

.

k 

1 

k 

1 

10

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

TEOREMA 1.1 Sea ∅ el evento vacío, entonces  P(∅) = 0

TEOREMA 1.2  Para cualquier evento E,

( ) = 1 −  P( E )

 P  E 

c 

TEOREMA 1.3  Para cualquier evento E, 0 ≤  P( E ) ≤ 1

TEOREMA 1.4 Si A y B son eventos de un mismo espacio muestral, tales que  P ( A) ≤  P ( B )

⊂

 A 

 B 

, entonces

TEOREMA 1.5  Para dos eventos cualesquiera A y B de un mismo espacio muestral, se cumple que:  P( A ∪  B ) =  P ( A) +  P( B) −  P ( A ∩ B)

EJEMPLO 1.13 1).-

Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que:

( ) = 0.6 ,

 P  A

c 

( ) = 0.7 y  P( A ∩ B) = 0.2 , calcule  P( A ∪ B) .

 P  B

c 

Empleando el Teorema 1.2, tenemos

( ) = 1 − 0.6 = 0.4

 P ( A) = 1 −  P A

Finalmente, del Teorema 1.5

c 

y

( ) = 1 − 0.7 = 0.3 .

 P ( B ) = 1 −  P B

 P ( A ∪  B) =  P ( A) +  P( B ) −  P( A ∩ B ) =

c 

0.4 + 0.3 − 0.2 = 0.5 .

Sean los eventos a y b, correspondientes a un mismo espacio muestral, tales que:  P (( A ∪  B) ) = 0.2 ,  P ( A ) = 0.2 y  P( A ∩ B ) = 0.2 , calcule  P ( A) y  P( B) .

2).-

c 

c 

Empleando el Teorema 1.2,

( ) = 1 − 0.2 = 0.8 y  P( A ∪  B) = 1 −  P(( A ∪ B) ) = 1 − 0.2 = 0.8 .

 P ( A) = 1 −  P A

c 

c 

Finalmente, del teorema 1.5  P( A ∪  B ) =  P ( A) +  P ( B ) −  P( A ∩  B ),

despejando

 P ( B ) =  P ( A ∪  B ) −  P( A) +  P ( A ∩  B ) =

 P( B)

0.8 − 0.8 + 0.2

= 0.2

EJERCICIOS 1).- ¿Cómo se le llama al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estocá stico? 2).- ¿Cómo se le llama al conjunto que representa a una parte de todos los resultados posibles (pueden

ser todos los resultados o ninguno) de un experimento estocá stico? 3).-

¿Cuá les son los tipos de corrientes de probabilidad má s comunes? 11

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

4).- Si un administrador asigna probabilidades a eventos dependiendo de su experiencia para realizar

una toma de decisión, él estaría empleando la corriente de probabilidad llamada. 5).- Cuando la probabilidad de ocurrencia de un evento se asigna antes que se realice el experimento se

le llama probabilidad de tipo... 6).- ¿Cuá ndo dos eventos son mutuamente excluyentes? 7).- Enumera las operaciones fundamentales entre eventos. 8).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. y y a).d).∩ ⊂ ∩ ⊂ ∪ ⊂ b).− ⊂ e).− ⊂ ∩ = c).⊂ − f). A 

B 

 A 

 A 

B 

 A 

B 

B 

 A 

 A 

B 

 A 

 A 

B 

¿Cuá les incisos son correctos? ∪

 A 

B 

⊂

B 

B 

c 

 A 

 A 

B 

 A 

 A 

S 

9).- Describa los tres axiomas de Kolmogórov, para un á lgebra finita.

Sean  A y  B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. correctos?

10).-

a).b).-

( 

 A 

∩

B 

) 

=

 P 

( 

 A 

) 

 P 

( 

 A 

∩

B 

) 

≤

 P 

( 

 A 

) 

 P ( A) = 1 −  P ( A

c).11).-

 P 

d).e).-

 P 

( 

∩

 A 

 P ( A

c 

) 

B 

≥

( 

 P 

¿Cuá les incisos son

) 

 A 

) =  P( A) − 1

)

c 

¿Sí el evento  E  está  constituido de puros elementos negativos, entonces su probabilidad tendr á 

que ser negativa? Justifique respuesta.  A ∪ B = ∅ ,

sólo puede ocurrir si A y B son....

12).-

En el caso en que

13).-

 A ∩ B = ∅

14).-

¿En qué se basa la definición frecuentista para calcular la probabilidad de un evento? ¿Cómo se considera el espacio muestral en la corriente clá sica de probabilidad? ¿Cómo es la asignación de probabilidades a los eventos en la corriente subjetiva? ¿Por qué a la corriente bayesiana se le conoce también con el nombre de a posteriori? ¿Cuá les son las dificultades por las que atraviesa la interpretación clá sica, para la asignación de

15).16).17).18).-

sólo puede ocurrir si...

probabilidades a los diferentes eventos? 19).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. y a).∪ ⊂ ∪ ⊂ c).− ⊂ b).− ⊂ ⊂ − d).-

¿Cuá l inciso es correcto?

20).- Sean A y B dos eventos cualesquiera de un mismo espacio muestral. a).∩ = c).∩ ≤

¿Cuá l inciso es correcto?

 A 

B 

 A 

b).-

 A 

B 

 P 

( 

 A 

 P 

( 

 A 

 A 

B 

B 

 A 

 A 

∩

B 

) 

B 

) 

B 

 A 

≥

 P 

( 

 A 

) 

 P 

( 

 A 

) 

 P 

d).-

( 

 A 

 P ( A

 A 

B 

c 

B 

) 

B 

 P 

( 

 A 

) 

) =  P( A) − 1

¿Qué corriente de probabilidad será  conveniente emplear para la asignación de un valor numérico al suceso de que Miguel Pérez se case este a ño? 22).- ¿Si  A y  B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general  P( A ∩  B ) =  P( A) −  P( B) ? 21).-

12

TÉCNICAS DE CONTEO Y PROBABILIDAD  Definición 2.1

Sean  A K  A k  conjuntos diferentes y las cantidades respectivas de elementos de dichos conjuntos, entonces la cantidad de arreglos diferentes que contienen un elemento de cada  conjunto; escribiendo primero los elementos del conjunto 1, seguidos de los del conjunto 2 y as í sucesivamente hasta escribir los del conjunto k , la llamaremos regla generalizada de la multiplicación está dada por: ,

,

1 

,

n

,

, 

K 

n

k 

n 

1

n 1 

k 

2 

× n × L× n 2 

k 

EJEMPLO 2.1 Si se tienen 8 libros de Filosof ía, 4 de Historia y 7 de Matem á ticas, todos ellos diferentes, ¿cuá ntos arreglos de 3 libros, que contengan un libro de cada tema, se pueden formar con todos los libros anteriores?, si primero van los libros de Filosof ía, seguidos por los de Historia y finalmente los de Matemá ticas. Como se puede escoger de 8 maneras un libro de Filosof ía, de 4 maneras uno de Historia y de 7 maneras el de Matemá ticas, la regla de la multiplicación, nos indica que el total de arreglos que consten de tres libros diferentes (uno de cada tema), será  8 × 4 × 7 = 224 .

2.1.1 ARREGLOS CON REPETICIÓN (REEMPLAZO) Diremos que los arreglos son con repetici ón o reemplazo, cuando despu és de elegido un elemento puede volverse a seleccionar (cada vez que se realice una nueva extracci ón). Es decir, si tenemos un conjunto  A con n elementos diferentes y realizamos una extracción, esto se podrá  hacer de n formas diferentes. Si nos condicionamos a colocar el elemento elegido en el conjunto (reemplazarlo), al realizar una segunda extracción la podremos realizar otra vez de n formas, y así sucesivamente k veces, resultando n n ×L × 4  ×n=n 142 43  4  k 

arreglos diferentes.

k 

veces

 Definici ón   2.2

Sea el conjunto

A=

{a 1

,

a 2 

,

K

,

a n 

} con

n elementos diferentes, la  cantidad de arreglos que

contengan k elementos elegidos con reemplazo del conjunto A estará dada por: n

k 

EJEMPLO 2.2 ¿Cuá ntos números diferentes de placas se pueden formar con los n úmeros dígitos y las letras del alfabeto, si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que se permite la  repetici ón  .

Cada letra del arreglo se puede escoger de 26 maneras, ya que se permite la repetición. Igualmente cada dígito del arreglo se puede escoger de 10 maneras; por lo tanto, existen 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26 × 10 3

3

números de placas diferentes.

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

2.1.2 ARREGLOS SIN REPETICIÓN: PERMUTACIONES Diremos que los arreglos son sin repetición o sin reemplazo, cuando después de elegido un elemento ya  no puede volver a ser seleccionado. Es decir, si tenemos un conjunto A = { a a K a } con n elementos diferentes y realizamos una primer extracción, esto se podrá  hacer de n formas diferentes. Sea el elemento elegido a , éste ya no se regresa al conjunto teniendo un conjunto  A = {a a a a K a − } con − elementos diferentes, de tal forma que cuando se efect úe una  segunda extracción la podremos realizar sólo de − formas, y así sucesivamente hasta el k  ésimo conjunto el cual contendr á  (n − (k  − 1)) elementos diferentes para elegir uno y por la regla de la  multiplicación la cantidad de arreglos diferentes que se puedan formar con los k conjuntos estará dada  ,

1

,

2 

,

n 

3 

,

2 

1 

,

2 

,

,

4 

5 

,

1 

n 

1 

n 

1 

n 

n × ( n − 1) × ( n − 2 ) ×L×(n − ( k − 1   ))

arreglos diferentes.

14444442444444  3

k  elementos

 Definición 2.3

Sea el conjunto A = { a a K a } con n elementos diferentes, la cantidad de arreglos ordenados que contengan k  elementos elegidos sin reemplazo del conjunto  A estará  dada por el número resultante de: ,

1

,

,

2 

n 

(

) (

)

(

(

))

n × n − 1 × n − 2 × L × n − k  − 1

EJEMPLO 2.3 ¿Cuá ntos números diferentes de placas se pueden formar con los n úmeros dígitos y las letras del alfabeto, si cada número de placa consta de 3 letras y 3 dígitos? Supóngase que no se permite la  repetición.

La primer letra se puede elegir de 26 maneras, la segunda de las 25 restantes y la tercer letra de las 24 sobrantes, en el caso de los números dígitos se escogerá n, el primero de 10 maneras, el segundo de 9 y el tercero de 8, finalmente por la definición 3.4 y la regla de la multiplicación se tiene que la  cantidad de arreglos es ( 26 × 25 × 24) × (10 × 9 × 8) = 11232000 .  Definición 2.5 Factorial de un número.

El   factorial de un número simboliza por . n 

n

∈N

se define como el producto sucesivo

1× 2 ×L× n .

y se

! 

NOTA: 0! = 1

 Definición 2.4 

Llamaremos Permutación de k  elementos escogidos de un total n (todos diferentes) a:  P k 

n 

=

n!

( n − k )!

,

0 

≤

k

≤

n 

.

La cual representa la cantidad total de arreglos ordenados de tama ño k , que se pueden formar con n elementos diferentes cuando no se permite la repetición

14

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

2.1.3 PERMUTACIONES CON ELEMENTOS IGUALES En los casos en que se quiere formar arreglos con todos los elementos de un conjunto entre los cuales existen algunos que son iguales, tenemos lo siguiente. De forma general cuando se tienen n elementos iguales, n elementos iguales, … y n elementos iguales, tales que: n + n +L+ n = n , resultará  la cantidad total de ordenamientos diferentes, considerando todos los n elementos por ordenamiento: 1 

1

 P

=

n 

n 

n  1 

K  2 

n  m 

2

n !n !L n ! 2 

m 

m 

n! 1 

2 

; con

n + n +L+ n 1

2

= n

(1)

m 

m 

EJEMPLOS 2.4 1.-

Se tiene 4 computadoras “Acer” de aspecto semejante, 3 computadoras “Digital” también de aspecto semejante y 3 computadoras Compaq igualmente de aspecto semejante, ¿en cuá ntas maneras diferentes se pueden ordenar en línea recta todas las computadoras?

Como se tiene en total 10 computadoras, de las cuales existen 4, 3 y 3 de aspecto semejante, de la  expresión 1, se tendr á : 10!

= 4200

4!3! 3!

total de arreglos diferentes.

¿Cuá ntas permutaciones diferentes, se pueden formar con todas las letras de la palabra Guanajuato? El problema es del caso en el que existen elementos iguales, se tienen 3 “a ”, 2 “u” y una letra “g”, “n”, “ j”, “t” y “o”. Empleando la expresión 1, tendremos que el total de arreglos es: 2.-

10!

= 302400

3!2!1!1!1!1!1!

permutaciones diferentes

2.2 COMBINACIONES  Definici ón   2.5

Dado un conjunto con n elementos diferentes, llamaremos combinación a cualquier subconjunto no ordenado de tama ño k . Denotaremos al número de combinaciones de tama ño k  que se pueden formar con los n elementos por:

C 

n 

,

0 

≤

k

≤

n 

. En donde

n 

C 

=

n 

k  k 

k 

! 

(

n 

,

! 

−

k 

)

0≤ k ≤ n

(2)

! 

N OTAS  1.- Una diferencia fundamental entre las permutaciones y las combinaciones consiste en que el orden de los elementos de los grupos escogidos en estas últimas no importa, sólo se considera su cantidad de elementos en el grupo, mientras que en las permutaciones el orden entre sus elementos es fundamental. Permutaciones ab ≠ ba. 15

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

Combinaciones

{a b} = {b a} . ,

,

2.- En muchas literaturas para la notación de combinatoria, también suele usarse alguna de las

siguientes:

n k 

 

 

y

  

 

n 

C 

, esta  última se emplea en las calculadoras, junto con la de

k 

n 

P 

k 

para las

 

  

permutaciones.

EJEMPLO 2.5 ¿Cuá ntos grupos de 2 elementos se puede formar de un conjunto que contiene 5 elementos?. Como en estos casos no importa el orden entre los elementos de los arreglos de la expresi ón (2), tendremos que

C  =

5!

5 

2 

(

)

2! 5 − 2 !

= 10 , es el total de grupos diferentes que consten de dos elementos cada 

uno. Por ejemplo, si el conjunto es

{a

,

b c d e ,

,

,

} , los grupos de 2 elementos son:

,

{a b} {a c} {a d } {a e} {b c} {b d } {b e} {c d } {c e} {d e} . ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2.3 REGLA DE LA SUMA  Definición 2.6 

Sean  A ,  A ,…,  A diferentes tipos de arreglos que pueden ocurrir de las siguientes formas n , n ,…,n respectivamente, entonces el total de arreglos de todos los m tipos ocurrirá n de: 1 

2 

1 

m 

2 

m 

n 1

+ n +L+n 2

m 

formas y se le llamará regla de la suma. NOTA

La aplicación de la regla de la suma por lo general se realiza cuando aparecen en el enunciado del problema las frases: “a lo más”, “al menos”, “por lo menos”, “menos que”, “menos que”, etc.

EJEMPLO 2.6 Se va a seleccionar un comité de 5 personas a partir de un grupo de 20, de los cuales 3 son hermanos ¿de cuá ntas maneras se puede formar el comité, si por lo menos dos de los hermanos estar á n en el comité? Como en el problema se pide que al menos dos de los tres hermanos estén en el comité, se tiene que existen dos tipos de arreglos. Un tipo de estos arreglos, será cuando se tengan dos hermanos en el comit é, lo que podr á ocurrir de la  siguiente manera (notar que el orden en este problema  no es importante, ya que sólo interesa que en el

comité existan 5 personas). Puesto que se requieren cinco personas en el comité y dos de ellas deben de elegirse de los tres hermanos, tenemos por la regla de la multiplicación, que esto podrá ocurrir de: C × C  3 

2 

1

7 

maneras,

3 

en donde C  representa la cantidad de maneras de escoger dos de los tres hermanos, mientras que representa la cantidad de maneras de escoger a las otras tres personas de los 17 restantes. 3 

2 

C  1

7 

3

16

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

El segundo tipo de arreglos, es cuando en el comit é se elijan los tres hermanos, lo cual puede ocurrir

de: C × C  3 

1

3 

maneras,

7 

2 

en donde C  representa la cantidad de maneras de escoger tres de los tres hermanos, mientras que representa la cantidad de maneras de escoger a las otras dos personas de los 17 restantes. 3 

3 

C  1

7 

2 

Finalmente, por la regla de la suma, tenemos que el total de maneras en que pueden ocurrir los dos tipos de arreglos es: C × C  3 

2 

1

7 

+ C × C  = 3×680 + 1×136 = 2176. 3 

3 

1

3 

7 

2 

EJEMPLOS 2.7 1.- Una prueba de falso y verdadero está formada de 14 preguntas de las cuales 8 son verdaderas y las

demá s falsas ¿cuá ntos arreglos de 14 respuestas se pueden dar, si se contestan todas las preguntas?

Observemos que el problema se refiere a los casos en que existen elementos iguales (ya que si dos o má s respuestas son verdaderas no se distingue entre ellas). Por lo tanto, de la f órmula (1), tendremos que la cantidad de arreglos posibles está dada por:  P

1

=

4 

8 

, 

6 

14! 8!6!

= 3003 maneras de contestar el examen.

  rica se distribuyen 15 aparatos electrónicos en tres líneas diferentes, con 5 aparatos en 2.- En una f áb cada línea. Si dos de los aparatos resultaron defectuosos, ¿de cuá ntas maneras se pueden distribuir los aparatos en las cinco líneas, cuando a).- los dos defectuosos quedan en la l ínea uno? b).- los dos defectuosos quedan en una misma l ínea?

En este problema, el orden entre los aparatos no importa, s ólo nos interesa que existan 5 en cada línea.

 :  Soluci ón

a).- Se tiene que de los cinco aparatos de la l ínea uno, dos son defectuosos, por lo que podemos

escoger C  defectuosos y C  buenos para la línea uno, mientras que para la línea dos se escogerá n los 5 de los 10 buenos restantes. Finalmente los 5 de la línea 3 se escogerá n de los 5 buenos restantes, lo cual se puede representar de la siguiente forma: 2 

1

2 

3 

3

2 

C

1

C  2 

3 

1

C 

0 

5 

C 

3 

5 

5 

=

2 

C

1

C  2 

3 

×

1

C  3 

0 

×

5 

C  5 

= 72072

5 

b).- Ahora se pide que los dos aparatos defectuosos se localicen en una misma l ínea, la cual puede ser

la primera, la segunda o la tercera. Cada tipo de arreglo tendrá la misma cantidad de casos, por lo cual es necesario resolver sólo uno. Por ejemplo, en la primer línea (inciso a) y después multiplicarlo por la  cantidad de casos a ocurrir C  = 3 . Basá ndose en lo anterior, se tendr á  3×72072 = 216216, maneras de distribuir los 15 aparatos. 3 

1 

17

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

2.4 APLICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE CONTEO A LA PROBABILIDAD Sólo se considerará n espacios muestrales finitos; por lo tanto, simbolizamos por η ( S ) ≠ 0 , a la  cantidad de elementos del espacio muestral  y por η ( E ) la cantidad de elementos de algún evento E . Al considerar que los elementos del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de uno 1 cualesquiera de ellos es y, por la definición clá sica de probabilidad tendremos la probabilidad del η ( S ) evento igual a: η ( E ) . con η ( S ) ≠ 0 y ⊂ .  P( E ) = η ( S ) E 

S 

En los ejemplos siguientes el procedimiento de solución consiste en lo siguiente: •

Primero. Definimos al experimento del que se habla en el problema.

•

Segundo. Se encuentra el espacio muestral del experimento.

•

Tercero. Se define y encuentra al evento correspondiente.

Finalmente se aplica la definición clá sica de probabilidad.

EJEMPLOS 2.8 1.- Una urna contiene 13 bolas numeradas del 1 al 13, de las cuales 3 son rojas, 4 blancas y 6 azules;

todas idénticas en forma y tama ño. Se selecciona al azar 2 bolas de la urna. Calcule la probabilidad de que exactamente una de ellas sea roja, si se extraen a).- una tras otra sin reemplazo.  El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas, una tras otra sin reemplazo”.

Por lo tanto, el espacio muestral S  tendrá  η ( S ) = 13 × 12 = 156 elementos. Por otro lado, el evento  E se define como: “Los resultados del experimento en los que una, y sólo una, de las dos bolas es roja ”. Lo anterior puede ocurrir en dos casos: Primero cuando la primer bola extra ída es roja y la  segunda no lo es × = opciones; y el segundo caso cuando la primera no es roja y la segunda s í lo es opciones. Por lo tanto, η ( E ) = 30 + 30 = 60 , y la probabilidad será : × = 3 

1

0 

3 

3

1

0 

3

0 

0 

 P ( E ) =

η ( E ) 60 = = 0.3846 . η ( S ) 156

b).- Las dos a la vez.

El experimento consiste en: “La extracción de dos, de las 13 bolas a la vez”. Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá  η ( S ) = C  = 78 elementos. 1

3 

2 

Por otro lado, el evento  E  se definirá  como: “Los resultados del experimento en los que una, y sólo una de las dos bolas es roja ”. Lo anterior ocurre de η ( E ) = C  × C  = 30 maneras, y la  probabilidad es: 3 

1 

1

0 

1 

18

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ  P( E ) =

η ( E ) 30 = = 0.3846 . η ( S ) 78

c).- Con reemplazo.

El experimento consiste en: “La extracción de dos de las 13 bolas una tras otra, con reemplazo”. Por lo tanto, el espacio muestral S tendrá  η ( S ) = 13 × 13 = 169 elementos. Por otro lado, el evento  E  se define así: “Los resultados del experimento en los que una, y s ólo una, de las dos bolas es roja ”. Lo anterior puede ocurrir, en dos casos: el primero ocurre cuando la primer bola extra ída es roja    y la segunda no lo es, × = opciones, y el segundo caso es cuando la primera no es roja y la  segunda sí es roja, opciones. Por lo tanto, η ( E ) = 30 + 30 = 60 , y la probabilidad será : × = 3 

1

0 

3 

1

3

0 

3

0 

0 

 P ( E ) =

η ( E ) 60 = = 0.3550 η ( S ) 169

2.- Si se sientan en línea recta 7 hombres y 4 mujeres, en forma aleatoria. Calcule la probabilidad de

que: a).- todas las mujeres se sienten en los primeros 4 lugares? b).- todas las mujeres deben sentarse siempre en lugares contiguos?  Solución:

Notemos que en este problema, sí importa el orden.

El experimento lo definiremos como: “La manera en que pueden sentarse 11 personas en línea  recta ”. Por lo tanto, el espacio muestral S  tendrá  η ( S ) = 11! puntos muestrales. a).- Vamos a definir al evento E : “Las mujeres deben sentarse primero”.

Debido a que las mujeres solas pueden sentar de 4 ×3×2×1 = 4! = 24 formas diferentes, mientras que los hombres se pueden sentar de 7! = 5040 formas. Por la regla de la multiplicación, tenemos que el total de arreglos cuando las mujeres se sentará n primero es:

η ( E ) = 4!×7! = 24×5040 = 120960, de donde,

 P( E ) =

η ( E ) 4!×7! 120,960 = = = 0.0030 η ( S ) 11! 39,916,800

“Las mujeres deben sentarse siempre juntas”. Se tendrá n diferentes tipos de arreglos, uno cuando est én las mujeres en primer lugar, otro en

b).- En este caso el evento E :

segundo, en tercero, etc. hasta el octavo lugar, y todos van a tener la misma cantidad de maneras de acomodarlos; por lo tanto, empleando el resultado del inciso a, tendremos que el total de arreglos cuando las mujeres van siempre juntas está dado por:

η ( E ) = 4!×7!×8 = 967680. de donde:

 P ( E ) =

η ( E ) 4!×8! 967,680 = = = 0.0242 η ( S ) 11! 39,916,800 19

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS 1).- ¿Cuá l es el nombre que se le da a los arreglos en donde el orden entre sus elementos no es de

importancia? 2).- ¿Qué diferencia existe entre arreglos con elementos iguales y arreglos con repetición? 3).- ¿Qué relación existe entre una permutación sin repetición y una combinación? 4).- ¿En qué consiste la principal diferencia entre una permutación y una combinación? 5).- El administrador de una red de 3 salas tiene en su poder 20 películas diferentes con clasificaciones A (6 películas), B (4 películas) y C (10 películas), para proyectar en los siguientes 10 días. Si por

políticas de la administración en un periodo de 10 d ías se proyectan 2 películas diferentes en cada  sala, y el administrador hace la programación al azar. ¿Cuá l es la probabilidad de que la asignaci ón de las dos películas en la sala uno sean del tipo A, la asignación de las dos películas en la sala 2 sean del tipo B y finalmente las dos pel ículas en la sala 3 sean del tipo C?

6).- Considere todas las letras de la palabra  “ Administración”.

Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo.

7).- Una persona, que no sabe leer absolutamente nada, acomoda en l ínea recta en un estante de una 

tienda de libros de viejos, en la calle Donceles, 6 libros de Filosof ía, 4 de Química y 8 libros de Historia (todos ellos diferentes). ¿En cuá ntas formas se pueden acomodar los libros si los de Filosof ía deben de ir juntos? 8).- Se dispone de un grupo de doce problemas, para realizar de tarea. a).- ¿De cuá ntas maneras diferentes se puede asignar la tarea si consta de cinco problemas? b).- Si se tiene 2 problemas má s dif ícil que los demá s, ¿cuá ntas veces se incluirá n los 2 problemas

má s dif íciles en la tarea? 9).- Un experimento consiste en lanzar dos dados, utilice los teoremas combinatorios para determinar el

número de puntos muestrales y asigne probabilidades a los puntos muestrales y encuentre la  probabilidad de que la suma de los n úmeros que aparecen en los dados sea igual a 9. Para presentar un examen de Física, el profesor les da a sus alumnos de antemano 60 preguntas diferentes; las cuales el día del examen colocará  en una urna y el estudiante deberá  elegir aleatoriamente 3 preguntas, sin reemplazo. Supóngase que el primer estudiante que va a elegir sólo se preparo en 50 de las preguntas (las cuales puede contestar sin equivocaci ón), mientras que de las otras 10 no sabe absolutamente nada (si le toca una de ellas la dejar ía en blanco). El estudiante aprobará  el examen si contesta bien al menos dos de las tres preguntas. Calcule la probabilidad de que en dichas condiciones el estudiante apruebe el examen.

10).-

En un componente electrónico existen 20 placas de tres tipos diferentes (8 del tipo I, 5 del tipo II y 7 del tipo III). Se seleccionan al azar 5 placas para inspeccionarlas. Encuentre la probabilidad de: a).- Que las 5 placas sean del mismo tipo. b).- Que dos sean del tipo I; una del tipo II y 2 del tipo III.

11).-

Un productor tiene almacenados nueve motores diferentes; dos de los cuales fueron suministrados por un proveedor en particular. Se deben de distribuir los motores en tres líneas de producción, con tres motores en cada l ínea. Si la asignación de los motores es aleatoria, encuentre la probabilidad de que los dos motores del proveedor queden en una misma l ínea.

12).-

20

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

En un centro comercial quedan 10 carros de control remoto para la venta, entre los cuales existen 4 defectuosos. Si el señor Jaime López entra a la tienda para comprar dos de tales carros para sus hijos, Juan y Carlos. Calcule la probabilidad de que al menos uno de los carros elegidos sea defectuoso.

13).-

En una tienda se tienen 40 refrigeradores de los cuales 35 son buenos y 5 defectuosos. Encuentre la probabilidad de que en los siguientes 4 pedidos que se vendan, se encuentren dos defectuosos.

14).-

Un juego consiste en elegir 6 números sin repetición de 47 posibles ( Melate). La persona que halla elegido con anterioridad al sorteo los 6 números resultantes correctos, ganará  el juego. Calcule la probabilidad de que 3 de los 6 n úmeros elegidos por una persona coincida con los 6 números resultantes del sorteo.

15).-

El alumno Armando Gonzá lez se ha preparado en 25 temas, de un total de 35, para un examen, en el cual se les entregará  una ficha con 5 temas al azar de la lista de 35. Si el alumno deberá  contestar correctamente al menos 3 temas de los 5 para pasar, calcule la probabilidad de que Armando Gonzá lez apruebe el examen.

16).-

¿Cuá l es la probabilidad de que el portero de un cine s é niegue dejar entrar a 2 menores de edad (ya que se exhibe una película sólo para adultos), al revisar las identificaciones de 4 personas de

17).-

entre un grupo de 8, de los cuales tres no son mayores de edad?. Considere todas las letras de la palabra “ Estad ís  tica”. Calcule la cantidad de arreglos diferentes que se pueden formar considerando todas las letras al mismo tiempo (ignorando la acentuación).

18).-

Un examen de Álgebra Lineal en la UPIICSA está  formado por tres temas. El tema  A contiene 6 preguntas, el tema  B, 4 preguntas y el tema  C , 8 preguntas. Se debe contestar 5 preguntas. ¿De cuá ntas maneras diferentes puede elegir sus preguntas un estudiante, si a lo m á s debe de elegir 2 preguntas del tema C ?

19).-

En un grupo de 30 personas se tiene 4 con apellido G ómez. Si se elige un equipo de 3 personas representante del grupo. ¿De cuá ntas formas diferentes se puede realizar la elección de tal manera  que al menos una de las personas elegidas tenga el apellido Gómez?

20).-

En una tienda se tiene 30 artículos de los cuales 20 son buenos y 10 defectuosos. Se seleccionan 8 artículos, ¿de cuá ntas maneras se llevará a cabo la elección de tal forma que a lo má s 2 sean defectuosos?

21).-

21

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

3.1 PROBABILIDAD CONDICIONAL  Definici ón   3.1

Dados dos eventos  A y  B llamaremos probabilidad condicional del evento A dado que sucedió  B a:  P ( A ∩  B ) , con  P( B ) > 0  P ( A |  B) =  P( B)

EJEMPLOS 3.1 1.- Dados los eventos  A y  B (dentro de un mismo espacio muestral S ), tales que  P ( B) = 0.4

y

 P ( A ∩  B ) =

0.1 . Calcule la  P( A |

De la f órmula 1, tenemos que:

 P ( A |  B) =

 P ( A) =

0.6 ,

B) .

0.1 0.4

= 0.25 .

2.- Supóngase que en un lote de 50 automóviles VW se repartirá n aleatoriamente 20 para el mercado

interno y 30 para el de exportación. Diez de los automóviles de exportación son de color blanco, y los otros 20 de color azul. Mientras que la mitad de los automóviles del mercado interno son de color blanco y la otra mitad azul. Si el gerente elige aleatoriamente un automóvil de color blanco ¿cuá l es la probabilidad de que dicho automóvil sea de exportación? Este tipo de problemas se resuelve f ác  ilmente empleando una tabla para representar los datos. Blanco, B

Azul, A

Totales

Mercado interno, I  Mercado externo, E 

10 10

10 20

20 30

Totales

20

30

50

Puesto que nos restringimos a la elección de un automóvil blanco la probabilidad de que el automóvil elegido sea de exportación es de tipo condicional. Representemos por  I , los automóviles del mercado interno, por  E  los del externo, por  B los de color blanco, y finalmente por  A los de color azul. Notamos que el espacio muestral en este caso consta de 50 elementos. Por tanto: La probabilidad de elegir un autom óvil blanco es:

 P( B ) =

η ( B) 20 = = 0.40 , mientras que la  η ( S ) 50

probabilidad de elegir un automóvil blanco y de exportación es:  P( E  ∩  B) =

Luego

 P ( E  |  B ) =

 P ( E  ∩  B)  P ( B)

=

η ( E  ∩  B) 10 = = 0.20 . η ( S ) 50

0.20 = 0.5 . 0.40

22

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

3.2 REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES Al calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos  A y  B cuando conocemos la probabilidad de uno de ellos y la probabilidad del otro condicionado al primero se puede emplear la formula 1, para  realizar el cá lculo, por medio de una regla a la que llamaremos “  Regla de la multiplicación de  Probabilidades”.  P( A ∩  B ) =  P ( B ) P ( A | B) ,

también de forma equivalente a partir de

 P( B

A) ,

|

(2)

se obtiene:

 P ( A ∩  B ) =  P( A) P ( B | A) .

(3)

A las f órmulas anteriores, se les conoce como “ Regla de la multiplicación de probabilidades”.

EJEMPLO 3.2 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 son rojas y 8 blancas todas idénticas en forma y tama ño. Se seleccionan al azar 2 bolas una tras otra sin reemplazo. Calcule la  probabilidad de que las dos bolas extra ídas sean blancas. Primero simbolicemos por  A:  B:

“La primer bola extra ída es blanca ” “La segunda bola extra ída es blanca ”.

Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas, tenemos

 P( A) =

8 . 13

Cuando calculamos la probabilidad del evento  B nos restringimos a la extracción de una bola  blanca quedando en la urna 12 bolas de las cuales 7 son blancas. Se tiene entonces que la probabilidad 7 de extraer una segunda bola blanca es  P( B |  A) = . 12 Finalmente, con las probabilidades calculadas, y empleando la expresión 3, se obtiene:  P( A ∩  B ) =  P ( A) P ( B | A) =

8

×

13

7

56

=

12

156

= 0.3590 .

La regla de la multiplicaci ón para tres eventos.

(

)

 P( A ∩  B ∩ C ) =  P  A ∩ ( B ∩ C ) =  P ( B ∩ C ) P( A |  B ∩ C ) =

=  P(C ) P( B | C ) P( A |  B ∩ C )

En su forma general la regla de multiplicación de Probabilidades para  n eventos estará  dada por la expresión:

(

 P  A ∩  A ∩ K ∩  A 1 

2 

n 

) =  P( A ) P( A |  A ) P( A |  A 1 

2 

1 

3 

1 

∩  A 2 

)

(

 P  A

L

n 

|  A ∩  A ∩ 1 

2 

K

∩A n 

−

)

1 

23

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

3.2.2 EMPLEO DE LOS DIAGRAMAS DE ÁRBOL EN LA PROBABILIDAD CONDICIONAL El árbol lo comenzaremos trazando desde un punto que llamaremos  vértice las diferentes ramas, llamadas caminos o aristas; cada una de ellas llega a otro vértice y de igual forma desde ese punto pueden trazarse otras aristas y así sucesivamente hasta terminar con todos los caminos posibles. En la teoría de las probabilidades siempre debe cumplirse que la suma de todas las probabilidades de los diferentes caminos de cualquier v értice sea igual a 1. La probabilidad de una rama cualquiera se obtiene multiplicando las probabilidades de los caminos descendentes, esto se hace a partir del vértice de la  última arista y hasta llegar al vértice inicial. Es importante hacer notar que las probabilidades de los caminos ascendentes son probabilidades condicionales; puesto que está n restringidas a que sucedan los eventos de las aristas por las que est á  dirigido el camino.

EJEMPLO 3.3 Una bolsa contiene 5 pelotas blancas y 3 negras, una segunda bolsa contiene 3 blancas y 6 negras, finalmente una tercer bolsa contiene 8 pelotas blancas y 3 negras, todas las pelotas son de igual forma y tama ño. Se saca una pelota aleatoriamente de la primer bolsa y se coloca sin verla en la segunda, posteriormente de ésta se saca una pelota y se coloca en la tercera. ¿Cuá l es la probabilidad de que una  pelota que se saque bajo estas condiciones de la tercer bolsa sea negra? Resuelva por diagramas de á rbol, pero escriba en forma simbólica las probabilidades encontradas. Primero vamos a hacer un diagrama que nos represente las diferentes acciones que pueden

ocurrir al sacar e introducir pelotas de una urna a otra. Posteriormente comenzamos con la asignación de probabilidades a las diferentes ramificaciones del diagrama de á rbol ya elaborado. Ver figura  siguiente. 3er. bolsa

(8+1)b

2da. bolsa

Explicación:

Si sacamos una pelota blanca de la primer bolsa y se coloca en la segunda tendremos, en ésta, + = pelotas blancas y 6 negras. 3 

1er. bolsa

5b

3n 8b (3+1)n

(3+1)b 6n

(8+1)b 3n

3b

3n 8b (3+1)n

(6+1)n

1 

4 

En caso de que la pelota de la primer bolsa sea negra  en la segunda bolsa tendremos 3 blancas y + = negras. 6 

1 

7 

Finalmente, si de la segunda bolsa se extrae una  pelota blanca al colocarla en la tercer bolsa tendremos blancas y 3 negras, en caso contrario ser á n + = + = negras y 8 blancas. 8 

1 

3 

1 

9 

4 

Simbolizando por

 B

al evento.

“La pelota 

k 

extra ída de la bolsa k es blanca ”. De igual forma por

 N 

al evento: “La pelota extra ída de la bolsa k es negra ”.

k 

En el siguiente diagrama mostraremos las probabilidades correspondientes: 24

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

3 

4

|  B ) =

 P( B 2 

2 

3 

2 

3 

 P( B

)=

1 

 P( N  1 

)=

5

|  B ) =

 P ( N 

8

2 

1 

6

2 

1 

3 

3

|  N  ) =

2 

2 

3 10

2 

3 

2 

 P( N 

12

1 

|  N  ∩  N  ) =

3 

9 12

1 

|  N  ∩  N  ) =

 P( B

4

|  B ∩  N  ) =

3 

10

1 

1 

2 

 P ( N 

7

|  N  ) =

 P ( N 

1 

12

|  B ∩  N  ) =

3 

 P( B

12 8

1 

2 

 P ( B

8

3

|  N  ∩  B ) =

 P ( N 

10

1 

|  N  ∩  B ) =

 P( B

12

1 

|  B ∩  B ) =

 P( N 

10

1 

9

|  B ∩  B ) =

 P( B

1 

2 

3 12

8 12 4 12

Según el diagrama anterior resultan las siguientes probabilidades: Para la bolsa 1:

 P ( B

)=

1 

5

y

8

 P( N 

)=

1 

3 8

.

Después de ocurrida la extracción de la bolsa 1, tenemos las probabilidades condicionales para la  bolsa 2: En el caso de la primera ramificaci ón en la primera bolsa:  P( B

|  B ) =

2 

1 

4

=

10

2

o

5

 P ( N 

|  B ) =

2 

1 

6

=

10

3 5

.

Para el caso de la segunda ramificación en la primera bolsa: 3 7 o  P( N  |  N  ) = .  P( B |  N  ) = 10 10 2 

1 

2 

1 

Finalmente después de ocurridas las extracciones de las bolsas 1 y 2, tenemos las probabilidades condicionales para la bolsa 3: En el caso de la primera ramificaci ón en la segunda bolsa:  P ( B 3 

|  B ∩  B ) = 2 

1 

9 12

=

3 4

o

 P ( N  3 

|  B ∩  B ) = 2 

1 

3 12

=

1 4

.

En el caso de la segunda ramificaci ón en la segunda bolsa:

25

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

8

|  N  ∩  B ) =

 P ( B 3 

2 

=

12

1 

2

o

3

4

|  N  ∩  B ) =

 P ( N  3 

=

12

1 

2 

1 3

.

En el caso de la tercer ramificación en la segunda bolsa:

9

|  B ∩  N  ) =

 P( B 3 

2 

=

12

1 

3

o

4

|  B ∩  N  ) =

 P ( N  3 

1 

2 

3

=

12

1 4

.

En el caso de la cuarta ramificación en la segunda bolsa:  P( B

8

|  N  ∩  N  ) =

3 

2 

=

12

1 

2

o

3

|  N  ∩  N  ) =

 P ( N  3 

1 

2 

4

=

12

1 3

.

De los resultados anteriores f ác  ilmente se calculan las probabilidades de que la bola extra ída de la tercera urna sea negra. Para tal efecto tenemos 4 casos, tal y como se muestra a continuación:  P ( N  3 

 P ( N  3 

 P ( N  3 

 P ( N  3 

|  B ∩  B ) P( B |  B ) P( B ) = 1 

2 

1 

2 

1 

3

2 

1 

2 

1 

|  N  ∩  B ) P( B |  N  ) P( N  ) = 1 

2 

1 

2 

1 

4

2 

2 

1 

×

5

6

×

3

×

4

×

×

3

×

12 10

3 

1 8

3

320 =

8 1

+

16

. 9

=

8

7

Finalmente por el principio de la suma resultar á   P( N  ) =

=

8

3

.

16

5

12 10

1 

1

=

8

12 10

|  N  ∩  N  ) P( N  |  N  ) P( N  ) = 1 

×

12 10

|  B ∩  N  ) P( N  |  B ) P( B ) = 1 

4

×

7 80

1

. 9

+

8

.

320

+

7 80

=

97 320

= 0.303125 .

3.3 EVENTOS INDEPENDIENTES  Definición 3.2

Dos eventos A y B son independientes, si y sólo si

 P( A ∩  B ) =  P ( A) P( B) .

(5)

OBSERVACIÓN 

Del ejemplo anterior podemos concluir que los ejercicios en donde se realicen elecciones, las condiciones con o sin reemplazo influyen en los eventos para que sean independientes o dependientes. Con reemplazo ⇒ independencia Sin reemplazo ⇒ dependencia

TEOREMA 3.1 Si S es un espacio muestral, A y B eventos independientes en S, entonces las parejas siguientes, también son independientes  A  y  B ;  A  y  B ;  A  y  B . c 

c 

c 

c 

26

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

EJEMPLO 3.4 En una urna se tienen 13 bolas numeradas del 1 al 13 de las cuales 5 bolas son rojas y 8 blancas, todas idénticas en forma y tama ño. Se seleccionan al azar 2 bolas de la urna, una tras otra con reemplazo. Calcule la probabilidad de que las dos bolas extra ídas sean blancas. Primero simbolicemos por

“La primer bola extra ída es blanca ”  B: “La segunda bola extra ída es blanca ”  A:

Como originalmente en la urna existen 13 bolas, de las cuales 8 son blancas. Considerando que el experimento consiste en extraer dos bolas una tras otra con reemplazo, tenemos que el espacio muestral S  tiene η ( S ) = 13 × 13 = 169 elementos. Por otro lado, el evento ∩ : “Ambas bolas blancas”, tiene η ( A ∩ B) = 8 × 8 = 64 elementos, y η ( A ∩  B) 64 por tanto,  P( A ∩  B) = . = η ( S ) 169  A 

 B 

Vamos a calcular las probabilidades de  A y de  B y comprobaremos que estos eventos son independientes.

Para el evento A tenemos 13 bolas de las cuales 8 son blancas; por lo tanto:

 P( A) =

8 . 13

Después de esto volvemos a colocar la bola en la urna quedando 8 blancas y 5 rojas, de tal forma  8 que al sacar otra vez una bola la probabilidad del evento B es:  P( B) = . 13 Fá cilmente se comprueba que los eventos son independientes puesto que:  P ( A ∩  B ) =  P ( A) P ( B ) =

8 8 64 . × = 13 13 169

3.4 TEOREMA DE BAYES Veamos ahora como se resolverían ciertos problemas en donde se conoce el espacio muestral y una  partición de éste. Ademá s de que se tiene conocimientos con respecto a las probabilidades de los eventos de la partición y se quiera calcular la probabilidad de alg ún otro evento del espacio muestral. Pero antes de continuar recordemos el concepto de partición de un espacio muestral. Pues bien sea S un espacio muestral, se dice que los eventos  E  de S , si cumplen con lo siguiente:  P ( E  ) ≠ 0 , para toda  k  = 1, 2, K , n . 1 

a

,

 E  2 

,

K

,

 E 

forman una  partición

n 

) 

k 

n 

b

) 

S  =

U E 

.

k 

k 

c

) 

= 1 

Para cualesquier par de eventos E  y E  , con i ≠   j , de la partición se cumple i 

 j

 E  ∩ E  = ∅ i 

.

 j 

27

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJEMPLOS 3.5 1.-

Sea el experimento “Lanzamiento de dos monedas ”, y anotemos las combinaciones de resultados posibles, S  = {ss sa as aa} (denotando sol por s y á guila con a). ,

,

,

Los siguientes eventos forman una partición de S .  E 

:

“Resulte una sola á guila ”,  E 

1 

 E 

:

,

 E 

= {aa} .

“Resulten dos á guilas”,  E 

2 

2 

:

= {ss} .

“ Ningún á guila ”,  E 

3 

2.-

= {sa as} .

1 

3 

Un espacio muestral S siempre tiene una partición formada con un evento  E , tal que 0 <  P( E ) < 1 , y su complemento.

Este tipo de partición se emplea con mucha frecuencia en los problemas de probabilidad. Dichos eventos sí forman una partición de S ; puesto que cumplen con las tres condiciones de una partici ón. Graficamente una partición del espacio muestral se observa de la siguiente forma: S   E 

 E 

 E 

1 

3 

2 

 E 

 E 

6 

 E 

4 

5 

 E 

... E 

7 

n 

 Fig. 3.1 Muestra la partición de un espacio muestral .

TEOREMA 3.2 De la probabilidad total Si S es un espacio muestral, A un evento en S y  E  ,  E  , 1 

 P( A) =  P ( A |  E  ) P ( E  1 

) +  P( A |  E  ) P( E  ) +

1 

2 

L

K

2 

,  E  una partición de S, entonces n 

+  P( A |  E  ) P( E  ) .

2 

n 

n 

EJEMPLO 3.6 Un preso que se fugo es buscado por la policía, la cual está segura que el prófugo sólo puede seguir uno de 5 caminos posibles C  , C  , C  , C   y C  , los cuales puede elegir con las probabilidades, 0.20, 0.30, 0.10, 0.25 y 0.15, respectivamente. Por las condiciones policíacas de cada una de las ciudades a  las que puede llegar las probabilidades, respectivamente, de que pueda ser atrapado, son; 0.20, 0.10, 0.40, 0.30 y 0.40. Calcule la probabilidad de que sea capturado. 1 

2 

3 

4 

5 

De las condiciones del problema podemos deducir las probabilidades:  P (C  1 

) = 0.20 ,

 P(C  2 

) = 0.30 ,

 P (C  3 

) = 0.10 ,

 P (C  4 

) = 0.25 y

 P (C 

) = 0.15

5 

Como podemos notar tendremos tantas ciudades como caminos, por lo tanto numeraremos a las ciudades con respecto al camino elegido. 28

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Simbolizando por  A el evento: “El fugitivo es atrapado”, tendremos que para ser atrapado en la  ciudad k , con k  = 1, 2, 3, 4, 5 primero debe huir por el camino k . Se tienen entonces las probabilidades condicionales: ) = 0.20 ,

 P( A | C 

) = 0.10 ,

 P ( A | C 

1 

) = 0.40 ,

 P ( A | C 

2 

) = 0.30 y

 P ( A | C 

 P( A | C 

4 

3 

) = 0.40 ,

5 

finalmente por el Teorema de la probabilidad total resulta:  P( A) =  P( A | C  ) P (C  1 

1 

) +  P( A | C  ) P(C  ) + L +  P( A | C  ) P(C  ) = 2 

2 

5 

5 

= 0.20 × 0.20 + 0.10 × 0.30 + 0.40 × 0.10 + 0.30 × 0.25 + 0.40 × 0.15 = 0.245

TEOREMA 3.3 Teorema de Bayes Si S es un espacio muestral A un evento en S y

 E  ,  E 

, K ,  E  una partición de S, entonces

2 

1 

n 

 para cualquier evento k de la partición tendremos que:  P( A |  E  ) P( E  ) .  P( E  |  A) =  P ( A |  E  ) P ( E  ) +  P( A |  E  ) P ( E  ) + L +  P( A |  E  ) P ( E  ) k 

k 

k 

1 

1 

2 

2 

n 

n 

EJEMPLOS 3.7 1.- Del ejemplo anterior, si el fugitivo fue atrapado, ¿cuá l es la probabilidad de que la detención se

efectuará en la ciudad número 2? Empleando la simbología anterior y el Teorema de Bayes tendremos:  P (C  ∩  A)

|  A) =

 P(C 

2 

 P( A)

2 

=

 P( A | C  ) P (C  2 

 P ( A | C  ) P (C  1 

1 

)

2 

) +  P( A | C  ) P(C  ) + L +  P( A | C  ) P(C  ) 2 

2 

5 

5 

0.10 × 0.30 = 0.122 0.245

=

2.- Trace el diagrama de á rbol del ejercicio anterior. Explicación del diagrama de árbol:  A 0

.

2

0

c 

0

.

8

0  A 

C  1

 A 0

.

2

0 0

.

1

0

c 

0

C 

.

9

0  A 

2 

0

.

3

0

 A 0

0

.

1

.

4

0

0

0

.

6

El vértice inicial tiene 5 caminos. En cada uno de ellos se anotan sus probabilidades de ser elegido (observe que la suma  de los 5 es uno). En la parte de arriba en el otro vértice en cada  caso se trazan otros dos caminos, uno para el evento  A, y el otro para su complemento; la suma de probabilidades por v értice sigue siendo uno.

0 c 

C  3 

 A 

0

.

3

De lo anterior se deduce que las segundas probabilidades son condicionales; puesto que nos estamos restringiendo a la  ocurrencia de que haya elegido alguno de los caminos. Por lo tanto, las probabilidades son:

0  A

0

.

2

5

0

.

7

0

C  4  c 

 A 

0

.

1

5

0

.

4

0  A

C  5 

0

.

6

0

c 

 A 

 P( A | C  1 

 P ( A | C  4 

) = 0.30 y

 P( A | C 

) = 0.20 ,

 P ( A | C  2 

) = 0.10 ,

 P ( A | C 

) = 0.40 ,

3 

) = 0.40 ;

5 

29

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

 y sus complementos respectivos:  P ( A

| C  ) = 0.80 ,

c 

 P( A

| C  ) = 0.90 ,

c 

1 

 P( A

| C  ) = 0.60 ,

c 

2 

 P ( A

| C  ) = 0.70 y

c 

 P( A

| C  ) = 0.60 .

c 

4 

3 

5 

Igualmente tenemos la primera ramificación con probabilidades: ) = 0.20 ,

 P (C 

) = 0.30 ,

 P (C 

1 

) = 0.10 ,

 P(C 

2 

) = 0.25 y

 P (C 

) = 0.15 .

 P (C 

4 

3 

5 

Con estos datos y el diagrama de á rbol podemos calcular f ác  ilmente cualquiera de las probabilidades requeridas.

EJERCICIOS 1

)

.

-

 

2

)

.

-

 

¿

C

ó

S

m

i

o

s

e



y

 A 



s

.

¿



C

e

ó

t

v

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p

e

r

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.

-

 

S

i

d

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v

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n

t

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

c

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a

l

e

s

q

u

i

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

s

o

n

7

)

.

-

 

S

i

d

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n

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o

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8

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-

 

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Q

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-

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l

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1

0

)

.

-

 

1

1

)

.

-

 

E

1

2

)

.

-

 

¿

i

r

g

l

o

á

E

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9

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n

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x

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c

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

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e

,

 B 

n

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

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o

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n

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

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

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

n

o

e

b

e

b

a

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a

l

t

b

i

a

l

s

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o

i

o

i



l

i

n

d

e

d

t

a

v

a

e

d

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t

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r

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s

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o

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

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

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p

e

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o

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o





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o

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

o

m

a

e

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

v



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e

d

e

n

e



t



B

e

o

s

v

a



e

y

n

e

y

 A 

t

s



o

s

n

d

 B 



o

s

e

e



s

i

f

p



e

u

m

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á

e

n

d

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l

a

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o

b

a

b

i

l

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a

d

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



q

e

a

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c

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



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

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n

o

s

s

s

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

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y

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n

a

s

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n



e

e

p

p

e

l

r

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T

o

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b

i

o

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r

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e

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e

l

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d

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



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x

n

a

n

y

( 

 P 

E

n

t

e

n

1

3

)

.

-

 

¿

1

4

)

.

-

 

¿

f

1

5

)

.

i

-

n

e

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l

)

.

-

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GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD 3

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34

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ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 4.1 VARIABLES ALEATORIAS  Definición 4.1

Dado un experimento con espacio muestral S , llamaremos variable aleatoria del experimento a  la función numérica que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. En la Teoría de Probabilidades, generalmente a las variables aleatorias se les simboliza por las letras mayúsculas, X , Y , Z , etc. y sus elementos por las letras minúsculas correspondientes. Sea S el espacio muestral del experimento, y números reales. Por lo tanto:

⊂ R ; en donde R, representa al conjunto de los

 R  X 

 X  : S  a  R  X 

representa a la función cuyo dominio es S y rango

. Veamos su representación grá fica.

 R  X 

 X  : S  a  R  X 

S 

 R  X 

e  x

Dominio

Contradominio o rango

Fig. 4.1 Representación grá fica de una variable aleatoria.

Los elementos del rango de una variable aleatoria generalmente se representan por letras minúsculas correspondientes a la variable aleatoria. De tal manera que:  X  (e) =  x

representa la asignación del número real x al punto muestral e, o lo que es lo mismo con el lenguaje de funciones,  X (e) =  x representa a la función X evaluada en el elemento muestral e, cuya imagen es x.

4.2 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS  Definici ón   4.2

Dado un experimento aleatorio y  X  una variable aleatoria de éste con rango  R , llamaremos a  X  “Variable aleatoria discreta”, vad, cuando el conjunto  R resulta finito o infinito numerable.  X 

 X 

N OTA Las Variables Aleatorias Discretas tienen cabida cuando la variable del experimento es tal que se requiere de un conteo para determinar sus elementos. 35

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJEMPLOS 4.2 1).- Al analizar una muestra de 10 artículos entre los cuales existen 3 defectuosos, podemos definir a 

la variable aleatoria  X , como: “La cantidad de extracciones sin reemplazo necesarios para encontrar a los tres artículos defectuosos de la muestra ”. = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} , conjunto finito.

 R  X 

2).- Si el experimento consiste en lanzar una moneda, y la variable aleatoria  X , se define como: “La 

cantidad de lanzamientos hasta obtener una primer á guila ”. discreta y su rango es:

Tendremos que esta variable es

= {1, 2, 3, 4, K} , conjunto infinito numerable.

 R  X 

4.2.1 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD  Definici ón   4.3

Dado un experimento y una variable aleatoria discreta   X  en él, con rango igual a   R = { x  x K  x } (puede ser infinito numerable). Definimos en todos los reales a la Función de Probabilidad de la variable aleatoria discreta  X , como: ,

,

1 

 X 

,

2 

n 

 P ( X  =  x ), si  x ∈ R  p ( x ) =  si  x ∉ R 0, k 

k 

 X 

k 

k 

Observamos que

 X 

) debe cumplir con las siguientes condiciones:

 p ( x k 

a)

) ≥ 0 para toda k , las probabilidades siempre son mayores o iguales a cero.

 p ( x k 

b)

∑  p( x k 

) = 1 . La suma de todas las probabilidades siempre debe de valer uno. k 

≥ 1 

Por medio de diagramas de Venn podemos ilustrar a  La Función de Probabilidad . Ver Fig. 4.2.  X  : S  a  R  X 

S  e

 x

[0,1]

k 

 p : R

a

[0,1]

 X 

Fig. 4.2 Representación grá fica de la función de probabilidad con el

espacio muestral y la variable aleatoria correspondiente. Con frecuencia a partir de la función de probabilidad se introduce una definici ón má s  Distribución de Probabilidad .

la 

36

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

 Definición 4.4 

Sea  X  una variable aleatoria con rango  R = { x  x K  x } (puede ser infinito numerable), y función de probabilidad  p ( x) ; llamaremos distribución de probabilidad, al conjunto de parejas ,

1 

 X 

( x ,  p( x ) ) , para toda   x k 

k 

,

,

2 

n 

∈ R , tal que se cumple: k 

 X 

 p ( x ) ≥ 0,

1. -

para toda   x ∈ R

k 

k 

∑  p( x

2. -

 X 

) =1 k 

k 

Otro concepto probabilístico de importancia es la  función de distribución acumulada.  Definición 4.5

Sea  X  una variable aleatoria con rango

= { x  x

 R

,

1 

 X 

,

K

,

} (puede ser infinito numerable), y

 x

2 

n 

función de probabilidad  p ( x) llamaremos función de distribución acumulada (fda) de  X , a la  función positiva y no decreciente definida en todos los reales y discontinua en cada punto  x ∈ R , tal que: k 

 X 

F 

( 

 x 

=∑

) 

( 

 p 

, para toda   x ∈ R

) 

 x 

k 

k 

y  X 

≤  x .

 x k 

k 

A partir de la definición de a

es una función no decreciente, es decir, para todos los reales  x,  y, si  F ( x ) ≤  F ( y ) .  F ( x)

) 

b

f ác  ilmente se deduce que:

 F ( x) ,

lím

) 

 x 

→ −∞

 F ( x) = 0

y

lím  x 

→ +∞

 x 

<

 y 

, entonces

Se deducen f ác  ilmente de las propiedades a) y b) de las

 F ( x) = 1 .

funciones de probabilidad. c

) 

La grá fica de  F ( x) es una función escalonada, en donde cada salto representa la probabilidad del punto de discontinuidad a la derecha.

EJEMPLOS 4.3 Analicemos el ejemplo relativo al lanzamiento de tres monedas. En donde,  X : “Representa la cantidad de á guilas en el lanzamiento de las tres monedas”.

Está claro que

= {0, 1, 2, 3} . Por otro lado, las probabilidades para los valores de X son:

 R  X 

 p (0) =  P ( X  = 3) =  p (1) =  P ( X  = 1) =

8 1 1 +

+

1

=

3

8 8 8 8 1 1 1 3

 p ( 2) =  P ( X  = 2) =  p (3) =  P ( X  = 3) =

1

+

8 1 8

+

8 .

=

8

8

1  8 , para   x = 0, 3  3 es decir,  p ( x ) =  , para  x = 1, 2 8 0, para otro valor   37

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

Mientras que su función de Distribución Acumulada según la definición 4.5, será :

0, si  x < 0 1  , si 0 ≤  x < 1 8  4  F ( x) =  , si 1 ≤  x < 2 . 8 7  8 , si 2 ≤  x < 3  1, si 3 ≤  x Fá cilmente se comprueba que se cumplen las condiciones anteriores, respecto a la  Función de  Probabilidad y La Función de Distribución Acumulada. Ver figura siguiente.  p( x)

 F ( x)

1 1

° 0

.

6

0

.

6

° 0 0

.

.

2

2

0

1 2

3

°

0°

X 

1 

3  2 

(a)

 X 

(b)

Fig. 4.3 Representa las funciones de probabilidad (a) y fda (b),

del lanzamiento de las tres monedas.

N OTAS  •

En la grá fica de la función de probabilidad los segmentos verticales son simb ólicos, puesto que en caso contrario no se trataría de una función. El valor de la función está  representado por el círculo negro, y en los demá s puntos vale cero.

•

Los saltos de discontinuidad en la funci ón de distribución acumulada, muestran los valores de la  probabilidad en dichos puntos de la variable aleatoria discreta.

4.4 VALOR ESPERADO DE UNA VAD  Definición 4.6 

}, puede ser infinito numerable, y función de probabilidad  p ( x) , llamaremos valor esperado de X (o esperanza matemá tica de X ), a  la cantidad que denotaremos por  E ( X  ) o  µ  , y se calculará por: Sea  X  una variable aleatoria con rango

= { x  x

 R

,

1 

 X 

,

K

,

2 

 x

n 

 X 

 E ( X ) = ∑  x  p ( x ) k 

k 

k 

≥ 1 

NOTAS 

1

El valor esperado de una variable aleatoria discreta  X  es un pará metro de dicha variable, que representa el   valor promedio que se espera suceda al repetir el experimento, en forma  38

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

independiente, una  “ gran cantidad de veces”. De lo mencionado, se concluye que

es un valor intermedio de los alguno de estos valores. 2

= { x  x

 R

,

1 

 X 

,

K

,

2 

siempre }, pero que no necesariamente debe coincidir con

 x

 E ( X  )

n 

Cuando la variable aleatoria discreta  X , tiene un rango infinito numerable, el valor esperado es una  ∞

∞

serie,  E ( X ) = ∑ x  p ( x ) . Si la serie converge absolutamente, k 

k 

k 

= 1 

∑  x k 

) < ∞ , entonces

 p( x k 

 E ( X  )

k 

= 1 

se designa como valor promedio de X . n 

3

Cuando la variable aleatoria discreta  X tiene un rango finito, el valor esperado  E ( X ) = ∑ x  p ( x ) , k 

se puede considerar como un valor medio ponderado de los valores de

,

 R

 pesos respectivos

 x

,

 x

1 

 X 

k 

=

k 

1 

,

K

,

, con

 x

2 

n 

y promedio ponderado de un conjunto de datos, no son sin ónimos. Puesto que;  E ( X  ) es un pará metro asociado a una variable aleatoria discreta  X , mientras que el  Promedio Ponderado es el resultado de una combinación aritmética entre ciertos datos.  p ( x 1 

),  p ( x ), K ,  p ( x ) . Por otro lado, debemos tener bien claro que 2 

 E ( X  )

n 

4.4.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAD 1.-

Valor esperado de una constante. Sea 

=

 X 

constante, entonces

b 

 E (b) = b .

= + , en donde a y b son constantes el valor 2.- Si realizamos un cambio de variable lineal esperado de la nueva variable estar á dado por  E (Y ) = aE ( X  ) + b . Y 

a

X 

b 

4.5 VARIANCIA DE UNA VAD Como es lógico suponer un sólo pará metro no es suficiente para describir el comportamiento de una  variable aleatoria discreta. Por lo que es necesario recurrir a otro pará metro que nos indique en cierta  medida la variabilidad de los valores de la variable en relación con su valor esperado.  Definición 4.7 

Dado un experimento y una variable aleatoria discreta  X  en él con rango

={

R 

puede ser infinito numerable, y función de probabilidad cantidad que simbolizaremos con

V ( X  )

 p( x ) .

, 

 x 

 X 

1 

, 

 x  2 

K 

, 

},

 x  n 

Llamaremos  variancia de  X  a la 

ó σ  , y calcularemos por medio de: 2 

 X 

V 

( 

 X 

) 

= ∑( k 

−

 x 

( 

E 

)

) 

 X 

k 

2 

 p 

( 

) 

 x 

.

k 

≥ 1 

Debido a que las unidades en que se mide la variable aleatoria y su variancia no coinciden ( ésta  última tiene las unidades cuadradas de la variable), se suele introducir otra definición en base a la ra íz cuadrada positiva de la variancia.  Definici ón   4.8

En las condiciones anteriores llamaremos desviación estándar de la variable aleatoria discreta  X , a la ra íz cuadrada positiva de la variancia: σ  = . V 

( 

 X 

) 

 X 

39

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

O BSERVACIÓN  La variancia de la variable aleatoria discreta  X  es un pará metro positivo de dicha variable el cual representa el   valor esperado de los cuadrados de las desviaciones que tiene cada uno de los valores  x ∈ R , con respecto al valor esperado de la variable aleatoria discreta  X . k 

 X 

4.5.1 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAD De la definición de valor esperado de una variable aleatoria se deduce que : 1.V ( X ) = ∑ ( x −  E ( X ) )  p ( x ) =  E [ X  −  E ( X ) ] . 2 

2 

k 

k 

≥ 1 

( ) − [ E ( X )]

Para los cá lculos la varianza se obtiene como

2.3.-

k 

La variancia de una constante vale cero. Si

V ( X  ) =  E   X 

=

 X 

Si realizamos un cambio lineal de variable

4.-

variancia de la nueva variable estar á dado por

2 

2 

, entonces

c 

=

Y 

a

V (Y ) = a

X 

2 

V ( X  ) =

.

0.

, en donde a y b son constantes la  V ( X  ) . +

b 

EJEMPLOS 4.4 ( x ,  p( x ) ) la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta  X , según se muestra explícitamente: 1.- Sea 

k 

k 

=

 X 

−

 x 

 p( x)

−

3 

0.4

1 

0.3

1

2

0.2

0.1

Encuentre el valor esperado y la variancia de X . a).-  E ( X ) = ∑ x  p ( x ) = ( −3)0.4 + ( −1)0.3 + (1)0.2 + ( 2)0.1 = −1.1 k 

k 

k 

≥ 1 

b). - V ( X ) = ∑ ( x −  E ( X ) )  p ( x ) 2 

k 

k 

k 

≥ 1 

= (− 3 − ( −1.1) ) 0.4 + (− 1 − ( −1.1) ) 0.3 + (1 − (−1.1) ) 0.2 + (2 − ( −1.1) ) 0.1 2 

2 

2 

2 

= 1.444 + 0.003 + 0.882 + 0.961 = 3.29

La desviación está ndar es igual a 

3.29 =

1.814

Con la propiedad (2) el c á lculo resulta má s f ác  il.

( ) − [ E ( X )]

V ( X  ) =  E   X 

2 

2 

= (−3) 0.4 + ( −1) 0.3 + (1) 0.2 + ( 2) 0.1 − ( −1.1) = 2 

2 

2 

2 

2 

= 3.6 + 0.3 + 0.2 + 0.4 − 1.21 = 4.5 − 1.21 = 3.29

2.- Sea  ( y ,  p ( y ) ) , la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta  Y , definida por k 

k 

, cuyos valores se encuentran en la tabla siguiente. Encuentre el valor esperado y la  variancia de Y . Y 

=

2

5 

 X 

−

1 

0 

40

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Y  =  y =

 X 

 p ( y ) =  p ( x ) ,

15

40

90

140

165

1

2

4

6

7

0.15

0.20

0.35

0.25

0.05

 x 

 y = 25 x − 10

De la tabla de distribución y las f órmulas para el valor esperado y la variancia podemos calcular , simplificaríamos los cá lculos ya que = − éstas directamente. Pero de la relación  E (Y ) =  E ( 25 X  − 10) = 25 E ( X  ) − 10 . Y 

2

5 

 X 

1

0 

Por lo anterior es suficiente encontrar el valor esperado y la variancia de la variable aleatoria  discreta  X .  E ( X ) = ∑ x  p ( x ) = (1)0.15 + ( 2)0.20 + ( 4)0.35 + (6)0.25 + (7)0.05 = 3.80 k 

k 

k 

≥ 1 

Por tanto,  E (Y ) = 25 E ( X ) − 10 = ( 25)3.8 − 10 = 85 . De forma similar para la variancia, V (Y ) = a

( ) − [ E ( X )]

V ( X  ) =  E   X 

2 

2 

2 

V ( X  )

.

= (1) 0.15 + ( 2) 0.2 + (4) 0.35 + (6) 0.25 + (7) 0.05 − (3.8) 2 

2 

2 

2 

2 

2 

=

= 0.15 + 0.8 + 5.6 + 9 + 2.45 − 14.44 = 18 − 14.44 = 3.56

Finalmente la variancia de Y resulta: V (Y ) = 25

2 

Mientras que su desviación está ndar será : σ  =

V ( X  ) =

(625)3.56 = 2225 .

V (Y ) =

25

V ( X  ) = 47.17 .

Y 

EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1).- Los valores de una variable aleatoria discreta se obtienen por medio de ... 2).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una variable aleatoria? 3).- ¿Qué diferencia existe entre una función de probabilidad y una distribución de probabilidad de una  variable aleatoria discreta  X ? 4).- Al sumar todas las probabilidades de la distribuci ón de probabilidad de una variable aleatoria  discreta  X , el resultado debe ser igual a.... 5).- ¿Qué representa la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta? 6).- ¿Cómo es la función de distribución acumulada de una variable aleatoria discreta en los valores de

ésta última?

7).- La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del...

¿Qué representa el valor esperado de una variable aleatoria discreta  X ? ¡  No se pide definir al

8).-

valor esperado!. 9).- ¿Podrá ser negativa la variancia de una variable aleatoria discreta?

Al sumar todas las probabilidades de la distribuci ón de probabilidad de una variable aleatoria  discreta  X , el resultado es igual a:

10).-

41

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

a).b).-

Depende de los valores de la variable  X . Uno.

c).- Menor a uno d).- Cualquier valor entre 0 y 1.

11).- En los siguientes incisos indica cuá l de ellos describe a la definición de una variable aleatoria. a).- Una representación de los eventos. b).- Una representación del espacio muestral. c).- Una asignación de probabilidades para los elementos muestrales. d).- Una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral.

Con el propósito de verificar la exactitud de sus estados financieros, las compa ñías tienen auditores permanentes para verificar los asientos contables. Supóngase que los empleados de una  compa ñía efectúan asientos erróneos en el 5% de las veces. Si un auditor verifica tres asientos al azar: Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte má s de un error.

12).-

Un cliente potencial para una póliza de seguro por $20,000 (dólares) tiene una casa en un á rea  que, de acuerdo con la experiencia, puede sufrir una pérdida total en un a ño con una probabilidad de 0.001 y una pérdida del 50% con una probabilidad de 0.01. ¿Qué prima tendría que cobrar la  compa ñía de seguros por una póliza anual, para salir a mano con todas las pólizas de $20,000 de este tipo, ignorando todas las otras pérdidas parciales?.

13).-

Sea  X  una variable aleatoria que representa el número de clientes que en un d ía se quejan por el servicio de una tienda, cuya función de probabilidad está dada por:

14).-

0.1( x + 1), con x = 0 ,1 , 2 , 3  f  ( x ) =  con x ≠ 0 , 1 , 2 , 3 0, Encuentre cuá ntos clientes se espera acudan a quejarse por el servicio en un día determinado. El gerente de un almacén, en una f áb   rica, ha construido la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria (número de veces utilizada) para una herramienta en particular.

15).-

 x

0

1

2

 P( X  = x)

0.1

0.5

0.4

Le cuesta a la f áb   rica $90 pesos cada vez que se utiliza tal herramienta. Encuentre la media y la  variancia del costo diario para el uso de tal herramienta. La producción de artículos domésticos por día, en una cierta f áb   rica es de 12 aparatos, de los cuales hay dos defectuosos. Se elige una muestra de 3 aparatos y sea  X  la variable aleatoria que asigna La cantidad de aparatos defectuosos en la muestra. Determine la función de probabilidad de  X .

16).-

Un vendedor de equipo pesado puede entrevistar a uno o dos clientes diariamente con una  probabilidad de 1 3 y 2 3 , respectivamente. Cada entrevista tendrá  como resultado una  “no venta ” o “una venta ” de $50,000 (dólares) con probabilidades de 0.9 y 0.1, respectivamente. Obtenga la distribución de probabilidad para las ventas diarias. Encuentre la media y la desviación está ndar de las ventas diarias.

17).-

Una agencia de alquiler que arrienda equipo pesado por d ías, se da cuenta de que un equipo costoso es arrendado en promedio, solamente un d ía de cinco. Si el alquiler en un día es independiente del alquiler en cualquier otro día, encuentre la distribución de probabilidad para  X , que representa: “El número de días entre dos alquileres”.

18).-

42

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD 4.6 MODELO BINOMIAL En el estudio de   La Probabilidad y la  Estad ís  tica el concepto de independencia juega un papel muy importante. Por consiguiente, existen muchos fenómenos probabilísticos discretos en donde las pruebas de los experimentos se consideran independientes. Uno de tales Modelos discretos que tiene mucho auge en los experimentos con pruebas independientes es el Modelo Binomial.  Definición 4.9

Un experimento aleatorio se llama Binomial, cuando cumple con las siguientes condiciones: 1).- El experimento consta de n (número finito) pruebas independientes. 2).- Cada prueba tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso. 3).- La probabilidad de éxito en una prueba es  p y la de fracaso q = 1 −  p , y se mantienen constantes de prueba en prueba.  Definición 4.10

A cada una de las pruebas efectuadas en un experimento de Binomial les llamaremos Ensayos de Bernoulli.

N OTAS  •

Por éxito en un ensayo entenderemos el cumplimiento de la variable aleatoria. Es decir si la  variable X se define como: “Cantidad de artículos defectuosos”. Un éxito será cuando el artículo sea defectuoso.

•

Un experimento de Bernoulli se termina cuando ocurre la  n-ésima prueba.

 Definición 4.11

A la variable aleatoria  X definida en un experimento binomial que representa la cantidad de éxitos en n ensayos de Bernoulli le llamaremos “Variable aleatoria Binomial”. Veamos algunos ejemplos en los que comprobaremos, si la variable aleatoria definida en el problema trata o no de una  variable de binomial .

EJEMPLOS 4.5 Un sistema de 3 radares para detectar carros a gran velocidad se instala en una carretera. Cada radar funciona  independientemente con probabilidad de detectar un carro que viaje a gran velocidad igual a  0.99. Calcule la probabilidad de que un carro que viaja a gran velocidad, por dicha carretera, no sea  detectado. Considerando a la variable aleatoria   X : “Cantidad de radares que detectan el carro que viaja a gran velocidad”.

Determine que este experimento es de tipo binomial.

43

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

Comprobación: Verifiquemos que se cumplen las propiedades de un experimento Binomial.

1.- El experimento consiste de tres ensayos cada uno de ellos determina si el radar detecta  o no al carro que viaja a gran velocidad. Por las condiciones del problema vemos que los ensayos son independientes. 2.- Al pasar el carro a gran velocidad por un radar sólo puede ocurrir una de dos: que sea  o no detectado, esto es un é xito o un fracaso. 3.- El éxito, que sea detectado, de las condiciones del problema se conserva constante de radar en radar e igual a 0.99. Igualmente el fracaso es 0.01.

Teorema 4.1 S

i



X



e

s



u

n

a



v

a

r

i

a

b

l

e



a

l

e

a

t

o

r

i

a



b

i

n

o

m

i

a

l



y

= {0, 1, K , n}

 R



,



c

o

n



é

x

i

t

o



p



y



f

r

a

c

a

s

o

q =1− p



,



e

n

t

o

n

c

e

s



s

e



 X 

c

u

m

p

l

i

r

á

:



n 

 P ( X  = k ) = C   p q n 































k 

−

n 

k  = 0, 1, K , n

k 

,

∑ C   p n 

,

k 

=

k 





























 E ( X ) = np



q

k 

n 

−

=1

k 

k 

0 

V ( X ) = npq

,

4.6.1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE LOS MODELOS BINOMIALES Y USO DE TABLAS BINOMIALES En forma general para calcular probabilidades de una variable aleatoria discreta  X , con distribución binomial, se emplea el Teorema 4.1, en donde:  P( X  = k ) = C   p q n 

k 

−

n 

, k  = 0, 1, K , n .

k 

k 

con n cantidad de ensayos,  p éxito de un ensayo y q el fracaso. Pero si el valor de n está entre 1 y 30, y los valores de  p son: 0.05, 0.10, 0.15, ..., 0.95, podemos emplear tablas para la distribución acumulada  de la binomial, tal y como se muestra a continuación.

USO DE TABLAS BINOMIALES Las tablas binomiales est á n dadas para la función de distribución acumulada, como se muestra a  continuación.  x 

Función acumulada de la distribuci ón Binomial,  F ( x) = ∑ C   p (1 −  p) n 

k 

−

n 

k 

k 

=

k 

0 

Valores de  p 0 n



x

14

.

0

5

0

.

1

0

0

.

1

5

0

.

2

0

0

.

2

5

0

.

3

0

0

.

3

5

0

.

4

0

0

.

4

5

0

.

5

0

0

.

5

5

0

.

6

0

0

.

6

5

0

.

7

0



0

.

7

5

0

.

8

0

0

.

8

5

0

.

9

0

0

.

9

5



8

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

0

.

9

9

9

6

0

.

9

9

7

8

0

.

9

9

1

7

0

.

9

7

5

7

0

.

9

4

1

7

0

.

8

8

1

1

0

.

7

8

8

0

0

.

6

6

2

7

0

.

5

1

4

1

0

.

3

5

9

5

0

.

2

1

9

5

0

.

1

1

1

7

0

.

0

4

3

9

0

.

0

1

1

5

0

.

0

0

1

5

0

.

0

0

0

0

9

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

0

.

9

9

9

7

0

.

9

9

8

3

0

.

9

9

4

0

0

.

9

8

2

5

0

.

9

5

7

4

0

.

9

1

0

2

0

.

8

3

2

8

0

.

7

2

0

7

0

.

5

7

7

3

0

.

4

1

5

8

0

.

2

5

8

5

0

.

1

2

9

8

0

.

0

4

6

7

0

.

0

0

9

2

0

.

0

0

0

4

1

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

0

.

9

9

9

8

0

.

9

9

8

9

0

.

9

9

6

1

0

.

9

8

8

6

0

.

9

7

1

3

0

.

9

3

6

8

0

.

8

7

5

7

0

.

7

7

9

5

0

.

6

4

4

8

0

.

4

7

8

7

0

.

3

0

1

8

0

.

1

4

6

5

0

.

0

4

4

1

0

.

0

0

4

2

1

1

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

1

.

0

0

0

0

0

.

9

9

9

9

0

.

9

9

9

4

0

.

9

9

7

8

0

.

9

9

3

5

0

.

9

8

3

0

0

.

9

6

0

2

0

.

9

1

6

1

0

.

8

3

9

2

0

.

7

1

8

9

0

.

5

5

1

9

0

.

3

5

2

1

0

.

1

5

8

4

0

.

0

3

0

1

Las probabilidades má s comunes para calcular son:  P( X  ≤ k ) ,  P( X  ≥ k ) y ejemplo, para  = y  p = 0.60 , tendremos (ver valores en la tabla anterior): n 

1 

P 

( 

k 

≤

 X 

≤

m 

) 

.

Por

4 

44

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

a).-

0.7207 ,

 P ( X  ≤ 9) = F (9) =

 P( X  < 10) =  P ( X  ≤

9) =

F (9) =

0.7207 .

b).-  P ( X  ≥ 10) = 1 − F (9) = 1 − 0.7207 = 0.2793 ,  P ( X  > 9) =  P( X  ≥ 10) = 1 − F (9) = 1 − 0.7207 = 0.2793 c).-

 P 

( 

8 

≤

 X 

≤

1

1 

) 

=

F 

( 

1

1 

) 

−

( 

F 

8 

) 

=

0 

. 

9

2

0

2

−

 

0 

. 

5

1

4

1

 

=

0 

. 

4

0

6

1

 

.

NOTA

 Para resolver problemas de modelos discretos se recomienda seguir tres pasos. 1).- Definir a la variable aleatoria en estudio. 2).- Identificar el modelo al que pertenece la variable definida. 3).- Aplicar las f órmulas correspondientes para el c á lculo de probabilidades, valor esperado y

variancia.

EJEMPLO 4.6 Un sistema para detectar carros a gran velocidad consta de 3 radares que se instalan en una carretera. Cada radar funciona independientemente, con probabilidad de detectar a un carro que viaja a gran velocidad e igual a 0.99. Considerando a la variable aleatoria  X  : “El n úmero de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”. Determine a).- Distribución de probabilidad, para  X . b).- Valor esperado y variancia de X . • En este ejemplo el primer punto para la solución de problemas ya esta hecho, puesto que la 

variable ya se definió.  X :

“El número de radares que detectan al carro que viaja a gran velocidad”.

• El segundo punto tambi én ya se realizó puesto que en el ejemplo anterior, result ó que  X  tiene una  = {0, 1, 2, 3} .

distribución Binomial con  R  X 

• Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos:

a).- Del Teorema 4.1 para   p = 0.99 y q = 0.01 resultará :  P( X  = 0) = C 

(0.99) (0.01) = 0.000001

3 

0 

3 

0 

 P ( X  = 1) = C 

(0.99) (0.01) = 0.000297

3 

2 

1 

1 

 P ( X  =

2) = C  (0.99) (0.01) = 0.029403 3 

1 

2 

2 

 P ( X  = 3) = C  3 

(0.99) (0.01) = 0.970299 3 

0 

3 

b).- Del Teorema 4.1 se obtiene:  E ( X ) = np = 3(0.99) = 2.97 V ( X ) = npq = 3(0.99)(0.01) = 0.0297

45

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS 1 Aeropuerto aleatoriamente, aleatoriamente, de la siguiente siguiente manera: En la  1).- La revisión aduanal se efectúa en el Aeropuerto salida se encuentra un semá foro, foro, si al pasar la persona se activa la luz roja se realizará  la revisión; en caso de activarse la verde, el viajero sale tranquilamente sin revisión. La luz luz roja roja aparece con una frecuencia del 10% . Si se consideran 18 18 viajeros, ¿Cuá l es la probabilidad de que: a).- 3 o má s sean revisados? b).c).-

menos de 5 sean revisados? ntos de los siguientes 100 viajeros se espera sean revisados? ¿Cuá ntos

2).- Si en general 15 de cada 100 hijos de padres alcohólicos nacen con deficiencias f ísicas o mentales, a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que en los próximos 10 nacimientos (por parte de padres

b).-

alcohólicos) resulten, por lo menos 2 casos de nacimientos de niños con deficiencias f ísicas o mentales? De los siguientes 20 nacimientos (por parte de padres alcoh ólicos) ¿cuá ntos ntos se espera que no tengan deficiencias f ísicas o mentales?

quina produce generalmente el 3).- Una má quina

de objetos defectuosos. defectuosos. Una muestra de 8 objetos se selecciona al azar, de la línea de producción. Si la muestra produce má s de dos objetos defectuosos, se inspeccionará el 100% de la producción. ¿Cuá l es la probabilidad de que ocurra la inspección? a).ntos objetos se espera que no estén defectuosos en una muestra de 50? b).- ¿Cuá ntos 5%

4).- De una población humana muy grande de la cual el

10%

sufre diabetes se seleccionan 20 personas

al azar. a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que al menos 2 de estas personas sean diabéticas? b).¿Cuá l es la cantidad de personas (de las 20 que se seleccionaron), que se espera sean diabéticas?

4.7 MODELO GEOMÉTRICO  Definición 4.12

Un experimento aleatorio se llama geométrico, si cumple con: 1.- El experimento consta de ensayos independientes. 2.- Cada ensayo tiene sólo dos resultados. Éxito y fracaso. La probabilidad de éxito en un ensayo es  p y la de fracaso q = 1 −  p , y se mantienen constantes de ensayo en ensayo. 4.- El experimento termina cuando ocurre el primer éxito en un ensayo. 3.-

 Definición 4.13

A la variable aleatoria discreta  X  definida en un experimento geom étrico que representa a la  cantidad de pruebas necesarias hasta obtener el primer éxito, se le llama  “Variable aleatoria Geométrica”.

46

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

EJEMPLOS 4.7 rdenas, para las 1).- Sí el 35% de la poblaci ón, del D.F., está  a favor del candidato Cuauhtémoc Cá rdenas, elecciones del 2000, podemos definir a la variable aleatoria:  X : “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que est é en favor del candidato”.

quina despachadora de refrescos arroja un poco má s de 200 ml. por vaso derramá ndose ndose 2).- Sí una má quina el líquido en un 5%, de los vasos despachados. despachados. Podemos definir a la variable aleatoria:  X : “Cantidad de vasos despachados, hasta obtener el primero que se derramar á”

Simbolizaremos por G ( k ;  p) =  P( X  = k ) a la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo k . La formula para calcular las probabilidades probabilidades de un   Modelo Geométrico estará  dada por el siguiente teorema.

Teorema 4.2 S

i

X

e

s



u

n

a

v

a

r

i

a

b

l

e



a

l

e

a

t

o

r

i

a

g

e

o

m

é

t

r

i

c

a

,

c

o

n

é

x

i

t

o

p

y



f

r

a

c

a

s

o

q = 1 −  p

,

∞ 









G (k ;  p ) =  P ( X  = k ) = q



k 

− 1 

 p

k 



p







a



r

1  p

 E ( X ) =



a

l

o

s



c

á

l

c

u

l

s

t

o

n

c

e

s



∞

=

k 

− 1 

 p = 1

=

k 

1 

1 

1 −  p

V ( X ) = o

n

∑ G (k ;  p) = ∑ q

k  = 1, 2, 3, K

,

e

 p

2 



a).-

 P( X  ≤ k ) = 1 − q

b).-

 P( X  ≥ k  + 1) =  P ( X  > k ) = q

c).-

 P( m ≤  X  ≤ k ) = q

k 

,

m 

p

a

− 1 

r

a

k  = 1, 2, L

−q

k 

,

p

k 

,

p

a

r

a

a

r

a

k  = 1, 2, L

m, k  = 1, 2, L

 y

m 

≤

k 

.

NOTA

De la definición de variable aleatoria con distribución geométrica debemos de observar que el rango de la variable a diferencia de la binomial comienza en 1 y no termina, es infinito.

EJEMPLO 4.8 Sí el 25% de la población, del D.F. está a f avor del candidato Cuauhtémoc Cuauhtémoc Cárdenas para las elecciones del 2000. a).- Encuentre la probabilidad que la primera persona que esté a favor del candidato Cárdenas, se encuentre después de la quinta persona entrevistada. b).- ¿Cuántas personas se espera entrevistar hasta encontrar la primera que esté a favor del candidato Cárdenas? •  Primer punto, definiremos a la variable.

 X : “Cantidad de personas que se va a entrevistar aleatoriamente hasta obtener la primera que esté a favor del candidato”.

5.5.2, resultó que que  X  •   El segundo punto, clasificaremos el modelo. Cómo se vio en el ejemplo 5.5.2, cumple con una variable Geométrica con  p = 0.25 y q = 0.75 . 47

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD •  Finalmente el tercer y último punto para la aplicación de las formulas tendremos:

a).- Del Teorema 4.2 inciso b) resulta:  P ( X  > 5) = q = (0.75) = 0.2373 . 5 

b).- Del Teorema 4.2 resulta:  E ( X ) =

1  p

=

1 0.25

5 

=4 .

EJERCICIOS 2 1).- Sea una máquina despachadora de refrescos que arroja un poco más de 20 ml por vaso derramándose el líquido líquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir definir a la variable aleatoria   X : “Cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramará”. Considere que la forma de despachar el líquido por la máquina es independiente de vaso en vaso. Calcule la probabilidad de que el primer vaso que se derrame se encuentre después del 15vo. vaso despachado. 2).- Un inspector de la SECOFI ha encontrado que en 6 de 10 tiendas que visita se presentan irregularidades. Si el inspector inspector visita una una serie de tiendas al azar. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de de que: a).- la primer tienda con irregularidades fuera encontrada después de revisar la cuarta? b).- ¿Cuántas tiendas se espera que tenga que visitar para encontrar la primera con irregularidades?

de artículos hay 3% de defectuosos. Si se selecciona al azar un artículo artículo uno tras 3).- En un lote grande de otro hasta encontrar un defectuoso. defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de de que se deban inspeccionar más de 5 artículos? 4).- Se estima que el 70% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad que al entrevistar entrevistar a un grupo de consumidores consumidores a).- sea necesario entrevistar exactamente 4 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca  A  A? b).- se tenga que entrevistar al menos 6 personas para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca  A  A?

4.8 MODELO HIPERGEOMÉTRICO Un modelo probabilístico será de tipo Hipergeométrico cuando los experimentos que se realizan con respecto a un evento  E  son tales que sus pruebas no son independientes. En estos modelos se consideran lotes de artículos, los cuales cuales están constituidos constituidos de elementos divididos divididos en dos clases. El experimento consiste en elegir una muestra del lote sin reemplazo y calcular las probabilidades cuando sus elementos pertenezcan a una de las clases.  Definición 4.14 

Un experimento aleatorio se llama Hipergeométrico si cumple con las condiciones: 1.- El experimento se realiza considerando un lote de tama ño  N  en el cual sus elementos está n divididos en dos clases de tama ños m y  N  − m . 2.- Se toma una muestra de tama ño n, sin reemplazo del lote.

k  elementos de una de las clases estén en la muestra de 3.- Se calculan las probabilidades de que k elementos tama ño n.

48

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

 Definición 4.15

A la variable aleatoria discreta  X definida  X  definida en un experimento Hipergeométrico que representa a la  cantidad de elementos que se encuentran en la muestra perteneciente a la clase de éxitos se le llama “Variable aleatoria Hipergeométrica”.

Teorema 4.3 S

c

i

u

X

a

e

l

s

s

e





u

e

n

l

a

i

v

g

e



a

u

r

n

i

a

a

b

l

e

m

u

m 

 P ( X  = k ) =

a

e

C  C 

 N 

k 



n 

l

s

− −

t

e

a

r

a

o

s

r

i

i

n

a



r

H

e

e

i

m

p

e

p

r

l

g

a

e

z

o

o

m

é

d

e

t



t

r

a

i

c

m

a

c

a

ñ

o

o

n

m

n

,

é

e

n

x

t

o

i

t

n

o

c

s

e



s

e

n

u

n

a

p

o

b

l

m

í

máx{n + m −  N , 0} ≤ k  ≤ mín{n, m} k 

  m     N  

c

{

n 

i

 ,

n 

m 

∑

 N 

n 

a

ó

n

d

e

t

a

m

a

ñ

o



N

d

e



l

a





m 

k 

,

C 

t

=

m

á

x 

{ n 

}

 C  C  −−  }  C  m 

 N 

k 

n 

 N 

+

m 

−

 ,  N 

0 

n 

k 

m 

  =1 

  m  1 − m   N  − n     N     N    N  − 1

 E ( X  ) = n

V ( X  ) = n

EJEMPLO 4.9 En un lote de 10 componentes electrónicos de TV en buen estado, se agregan 3 defectuosos, todos en apariencia y tama ño iguales. Una persona compra 4 de tales componentes para reparar televisores. Calcule la probabilidad de que la persona tenga que regresar a reclamar al vendedor, por haber obtenido componentes defectuosos. punto, definición de la variable. •  Primer punto, Sea  X   X : “Cantidad de componentes defectuosos en la selección” punto, clasificación del modelo. Por las condiciones del problema se deduce que la  •   El segundo punto, selección se realizo sin reemplazo. Ademá s el tama ño del lote es finito e igual a 13 y s ólo tenemos dos clases de componentes, buenos y defectuosos. De lo anterior se deduce que X  que X es es una variable = Hipergeométrica, con: , = , = .  N 

1 

3 

n 

4 

m 

3 

• Tercer y último punto aplicación de formulas.

De las condiciones del problema tenemos que la persona reclamará , s í al menos un componente resulta defectuoso. Por lo tanto, la probabilidad que necesitamos calcular es: C  C  3 

 P ( X  ≥ 1) = 1 −  P( X  = 0) = 1 −

1

0 

4 

C  1 

0 

≈ 1 − 0.2937 = 0.7063 .

3 

4 

Este resultado nos indica, que probablemente el comprador regresará a reclamar. NOTA

Los modelos Hipergeométricos debido a su naturaleza son mucho muy empleados en los problemas de Teoría del Control Estadístico, en donde juega un rol muy importante al analizar los componentes de los lotes, para determinar si se puede aceptar o rechazar un lote dividido en dos clases, buenos y defectuosos.

49

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS 3 1).- Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos; de un lote de 25 de estos se elige una muestra aleatoria de 5 y se prueban, en caso de que no se encuentren defectuosos entre estos 5 el reporte se escribe satisfactorio. ¿Cuá l es la probabilidad de que el reporte sea satisfactorio, si en el lote se han introducido 4 videos defectuosos? 2).- En el aeropuerto Benito Juá rez de la ciudad de México debido a la gran afluencia de pasajeros, sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 20 turistas, 12 tienen compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 20 personas, ¿cuá l es la probabilidad de que las dos personas revisadas tengan que pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto? 3).- Se van a escoger al azar sin reemplazo 8 objetos de un lote con 15 buenos y 6 defectuosos. a).- Calcule la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 defectuosos entre los 8 objetos seleccionados. b).- Cuá ntos de los 8 objetos se espera que no estén defectuosos.

4.9 MODELO DE POISSON El último de los modelos probabilísticos discreto que estudiaremos es el llamado: “Modelo de Poisson ”. Este modelo estudia los experimentos cuyos resultados tienen lugar en intervalos continuos ; de tiempo, á reas, volúmenes, etc. Antes de seguir, cabe mencionar que el modelo de Poisson es discreto puesto que en sus experimentos sólo nos interesará  la  cantidad de resultados que pueden ocurrir en un intervalo (de los antes mencionados), más no la continuidad del intervalo . 3 

4 

El modelo de Poisson tiene muchas aplicaciones. Se emplea generalmente en donde, se desea  optimizar los tiempos, tanto de espera como de servicio, a este tipo de problemas se les estudia en el á rea de Investigación de operaciones en los temas:  Lí neas de Espera o Teorí a de Colas. NOTA

Para ejemplificar la definición de experimento de Poisson al hablar de intervalo, nos referiremos al tiempo, pero tomaremos en cuenta que en lugar de tiempo se podría tratar de un á rea, un volumen, etc.  Definición 4.16 

A la variable aleatoria  X  definida en un experimento de Poisson, que representa la cantidad de resultados, que ocurren en el intervalo de tiempo (t  , t ) , se le llama  Variable aleatoria de 0 

Poisson.

En estas condiciones es obvio que X es discreta con valores: 0, 1, 2, 3,....  Los intervalos dependen del experimento, y estos pueden ser: •

Un minuto, un día, una semana, un a ño, etc.

•

Un metro cuadrado, una hectá rea, etc.

3 

E

d

c

n

e



á

l

h

l

o

c

o

s

u

n



l

o

c

r

r

e

o

a

a

d

l

d

e



m

o

p

r

r

a

e

o

t

s



b

a

e

m

d

á

e

b

i



l

l

i

d

t

a

i



a

c

f

o

í

d

f

s

i

e

c

s

r

a

n

a



c

m

y



e

a

m

a

s

t



e

g

S

i

m

n

á

e

t

m

t

i

é

i

s

c

o

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a

m

D

y

o

a

e

u

t

n

i

o

s

r





d

P

o

e



i

u

s

n

s

a

o



n

.

s

e

N

r

i

e

a



c

d

i

e

d

o

t

r

e

a

b

n

a

P

j

o

i

s

t



h

s

i

o

v

i

b

e

r

r

e

s

:

1

l

a

7



8

1

m

e

y

c

á



m

n

i

u

c

e

r

a

c

t

o

e

l

e

e

n

s

P

t

e

a

,

e

r

l

i

a

s

s



t

e

i

n

c

1

i

d

8

a

4

d

0

,

.

c

a

F

p

i

u

l

e

a



r

i

u

d

n

o

a

d

,

.

4 

D

M

e

o

d

b

i

e

d

l

o

o

s

a



C



l

o

o

n

s

t



i

i

n

n

u

t

e

o

r

s

v



a

d

l

e

o

s

t

i



p

c

o

o

n

E

t

x

i

p

n

u

o

o

n

s

e



n

e

c

n

l

i

a

l

o

s



q

u

e



o

c

u

r

r

e

n

l

o

s



M

o

d

e

l

o

s



d

e



P

o

i

s

s

o

n

,

é

s

t

o

s



t

i

e

n

e

n

u

n

a



e

s

t

r

e

c

h

a



r

e

l

a

c

i

ó

n

c

o

n

l

o

s

.

50



ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ •

Un metro cúbico, etc.

EJEMPLOS 4.10 1).- La cantidad de llamadas telef ónicas a un conmutador en un intervalo de 5 minutos. 2).- La cantidad de accidentes automovilísticos mensuales en un crucero determinado. 3).- La cantidad de carros que llegan a un estacionamiento en una hora determinada. 4).- El número de partículas que pasan a través de un contador en un milisegundo. 5).- La cantidad de errores de mecanograf ía por pá gina en un libro determinado. 6).- Cantidad de á rboles infectados por ciertos gusanos en un á rea determinada. 7).- Llegadas de clientes a una tienda durante un intervalo de tiempo determinado.  P ( k ; λ t ) =  P ( X  = k )

Simbolicemos por

- “La probabilidad de que en el experimento de Poisson

ocurran k resultados en un intervalo (t  , t ) ”. 0 

 Definici ón   4.17 

Llamaremos Distribuci ón de Probabilidad de Poisson, a las parejas (k , P(k ; λ t ) ) , para k  igual a  0, 1, 2, 3, .... En el siguiente teorema daremos la formula para calcular probabilidades de Modelos de Poisson, pero debido a lo complejo de su demostración no la llevaremos a cabo.

Teorema 5.16 S

i



X



e

s



u

n

a



v

a

r

i

a

b

l

e



a

l

e

a

t

o

r

i

a



d

e



P

o

i

s

s

o

n



e

n



e

l



i

n

t

e

r

v

a

l

(t  , t )

o

0 

(

r

e

p

r

e

s

e

n

t

a

n

d

o

p

o

r



t

l

a

l

o

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g

i

t

u

d

d

e

l



i

n

t

e

r

v

a

l

o

(t  , t )

,



y

= {0, 1, 2, K}

 R

,



e

n

t

o

n

c

e

s



 X 

 )

0 

 (λ t )  −λ   P ( k ; λ t ) =  P ( X  = k ) =  e k !   σ 

∞

k 

k  =

t 

0, 1, 2, K

∑  P(k ; λ t ) = 1  µ  =  E ( X ) = λ t  k 

2 

=

0 

= V ( X ) = λ t 

El parámetro λ  está dado por:

λ  =

 E ( X  ) t 

- Representa la razón esperada de resultados en el intervalo de estudio.

En caso de que t  sea igual a una unidad del intervalo (1 hora, 1 día , 1 metro, etc.), λ  y  E ( X  ) tienen el mismo valor numérico. En tal caso, podemos escribir la formula para el calculo de λ  e − λ  probabilidades como:  P ( k , λ ) = . k ! k 

51

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

USO DE TABLAS DE POISSON Las tablas de Poisson están dadas para la función de distribución acumulada, como se muestra a  continuación.

∑

 P ( x; λ t ) =

Función acumulada de la Distribución de Poisson,

=

k 

V

4

.

0

0

4

.

1

0

4

.

2

0

4

.

3

0

4

.

4

0

4

.

5

0

4

.

6

0

4

a

.

7

l

o

r

e

0

s

4



.

8

d

e

− λ 

e

t 

 x 

0 

(λ t ) . k ! k 

 µ  = λ 

 

t 

0

5

.

0

0

5

.

2

0

5

.

3

0

5

.

4

0

5

.

5

0

5

.

6

0

5

.

7

0

5

.

8

0

5

.

9

0

 x 

0

0

.

0

1

8

3



0

.

0

1

6

6



0

.

0

1

5

0



0

.

0

1

3

6



0

.

0

1

2

3



0

.

0

1

1

1



0

.

0

1

0

1



0

.

0

0

9

1



0

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0

0

8

2

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0

6

7



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0

0

5

5



0

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0

0

5

0

0

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0

0

4

5

0

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0

4

1

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0

0

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7

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0

3

3

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0

3

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0

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7

7

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0

4



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6

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1

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2

3

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1

0

2



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8

5

1

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0

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7

3

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6

2

6

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0

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5

2

3

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0

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2

5

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1

2

4

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0

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1

0

8

8



0

.

1

0

1

6

0

.

0

9

4

8

0

.

0

8

8

4



0

.

0

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2

4

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.

0

7

6

8



0

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0

7

1

5



0

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0

6

6

6

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0

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4

3

3

5



0

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1

4

2



0

.

3

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4

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0

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3

7

7

2



0

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5

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4

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0

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3

4

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3

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0

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2

5

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0

9

7



0

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2

9

4

2



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

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

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.

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2

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0

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2

1

3

3

0

.

2

0

1

7



0

.

1

9

0

6



0

.

1

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0

0



0

.

1

7

0

0



0

.

1

6

0

4

4

0

.

6

2

8

8



0

.

6

0

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

0

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8

9

8



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.

5

7

0

4



0

.

5

5

1

2



0

.

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3

2

1



0

.

5

1

3

2



0

.

4

9

4

6



0

.

4

7

6

3



0

.

4

4

0

5



0

.

4

0

6

1



0

.

3

8

9

5

0

.

3

7

3

3

0

.

3

5

7

5



0

.

3

4

2

2



0

.

3

2

7

2



0

.

3

1

2

7



0

.

2

9

8

7

Las probabilidades más comunes para calcular son:  P( X  ≤ k ) ,  P( X  ≥ k ) y ejemplo, para  µ  = 5.40 , tendremos (ver valores en la tabla anterior): a).-  P( X  ≤ 3) = P (3; 5.40) = 0.2133 ,

 P ( X  <

P 

( 

k 

≤

≤

 X 

m 

) 

.

Por

4) = P(3; 5.40) = 0.2133 .

b).-  P( X  ≥ 3) = 1 − P( 2; 5.40) = 1 − 0.0948 = 0.9052 ,  P ( X  > 2) =  P ( X  ≥ 3) = 1 − P ( 2; 5.40) = 1 − 0.0948 = 0.9052 c).-

 P 

( 

2 

≤

 X 

≤

4 

) 

=

 P 

( 

4 

; 

5 

. 

4

0 

−

) 

 P 

( 

1 

; 

5 

. 

4

0 

=

) 

0 

. 

3

7

3

3

 

−

0 

. 

0

2

8

9

=

 

0 

. 

3

4

4

4

 

.

EJEMPLO 4.11 En una tienda los clientes llegan al mostrador conforme una distribución de Poisson con un promedio de 10 por hora. En una hora dada, ¿cuá l es la probabilidad de que lleguen al menos 5 clientes? Identificación de datos:

Definamos a la variable aleatoria  X : “Cantidad de clientes que llegan a la tienda ”. Un promedio de 10 clientes por hora, λ  = 10 En un intervalo de una hora dada, es decir:

   

0 

=

1 

h

o

r

a

.  

.

 × (1 hora) = 10 clientes , con lo cual:

hora   

4) = 1 − [ P ( X  = 0) +  P( X  = 1) +  P( X  = 2) +  P( X  = 3) +  P( X  = 4)] =

 e − (10) = 1−  0!  1

hora 

clientes 

Por lo tanto,  µ  = λ t  = 10  P ( X  ≥ 5) = 1 −  P( X  ≤

t 

clientes

0 

+

e

− 1

0 

(10) 1!

1 

+

e

− 1

0 

(10) 2!

2 

+

e

− 1

0 

(10) 3!

3 

+

e

− 1

0 

(10)  4 

4!

= 

.

= 1 − 0.0293 = 0.9707

La probabilidad es bastante grande, puesto que considerando un valor esperado de 10 clientes será muy probable que 5 o má s clientes lleguen en el transcurso de una hora. 52

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

La probabilidad anterior se pudo haber calculado por tablas, con  µ  = λ t  = 10 clientes ,  P( X  ≥

5) = 1 −  P( X  ≤ 4) = 1 − P( 4; 10) = 1 − 0.0293 = 0.9707 .

EJERCICIOS 4 1).- Una secretaria comete en promedio dos errores al escribir una pá gina. Si los errores cometidos son independientes y siguen un proceso de Poisson ¿Cuá l es la probabilidad de que cometa 1 o m á s errores en la siguiente pá gina que escriba? 2).- Desde el a ño 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, a  razón de 5.7 cierres por a ño. Suponga que el número de cierres por a ño tiene una distribución de

Poisson. Encuentre la probabilidad de que, ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses. 3).- Supóngase que una cajera de un Banco atiende (en promedio), a razón de 4.5 clientes por cada 10 minutos, y ademá s que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson. Calcule la probabilidad, de que dicha cajera atienda a s ólo 2 clientes en el transcurso de los

siguientes 10 minutos.

EJERCICIOS DE MODELOS DISCRETOS 1).- ¿Qué representa  P ( X  = k ) , para una variable X con distribución binomial? 2).- ¿Qué representa  P ( X  = k ) , para una variable X con distribución geométrica? 3).- ¿Qué representa  P ( X  = k ) , para una variable X con distribución Hipergeométrica? 4).- ¿Qué representa  P ( X  = k ) , para una variable X con distribución de Poisson? 5).- ¿Cuá ndo se termina un experimento de Bernoulli? 6).- ¿Qué diferencias fundamentales existen entre los modelos binomial y geométrico? 7).- ¿Qué semejanzas existen entre los modelos binomial y geométrico? 8).- ¿En qué modelo siempre son iguales el valor esperado y su variancia? 9).- ¿En que modelo discreto la dependencia entre sus pruebas es una de sus características? 10).-

¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución geométrica?

11).-

¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución de Poisson?

1).- Según las estadísticas de la ciudad de México, en la colonia Doctores se cometen en promedio 10 asaltos a automovilistas al día. Si los asaltos son independientes y se apegan a un proceso de

Poisson. a).- Calcule la probabilidad de que en un d ía determinado se cometan má s de 10 asaltos a  automovilistas. b).- Calcule la probabilidad de que en el transcurso de las 6 y 12 horas del d ía de ma ñana, no se cometan asaltos a automovilistas. Comente el resultado obtenido. 2).- Si el costo de pasaje por persona en una Combi es de $2.5 y cada veh ículo transporta en promedio

12 pasajeros por cada 30 minutos. Suponga que la cantidad de personas transportadas por la combi sigue una distribución de Poisson. 53

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

a).b).-

Encuentre el ingreso esperado por día de trabajo de un chofer (1 día de trabajo equivale a 10 horas), si en gasolina invierte 200 pesos diarios. La probabilidad de que en un intervalo determinado, de 30 minutos, transporte a lo m á s la  mitad del promedio dado anteriormente?

3).- La administración de la empresa PARTEC, S.A. quiere conocer las probabilidades que pueden

suceder para llevar a efecto un control de calidad, para lo cual el administrador supone que tiene un lote de 20 artículos de los cuales 3 son defectuosos y quiere conocer la probabilidad de que al elegir una muestra de 4 artículos, se encuentre al menos un defectuoso. 4).- La probabilidad de que un cliente acuda al mostrador de una tienda de abarrotes en cualquier periodo de un segundo es igual a 0.1. Supóngase que los clientes llegan de manera aleatoria y por

lo tanto, las llegadas en cada intervalo de un segundo son independientes. Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra durante el tercer intervalo de un a).segundo. Encuentre la probabilidad de que la primera llegada ocurra después del tercer intervalo de un b).segundo. 5).- Las estaciones de radio en México, durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecen premios por llamar a la estación), es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse (la línea esté desocupada es de 0.05). Suponga que las llamadas son independientes. a).- Calcule la probabilidad de que la tercera llamada que entra sea la décima que se realizó. b).- ¿Cuá l es el número de llamadas que deben de hacerse para que entre la primera llamada? 6).- Las estaciones de radio en México, durante su periodo de mayor audiencia (cuando se ofrecen premios por llamar a la estación), es tal que la probabilidad de que una persona pueda comunicarse (la línea esté desocupada es de 0.05). Suponga que las llamadas son independientes. Si un radio escucha habla cada día para tratar de ganar los premios que se reparten diariamente. Calcule la  probabilidad de que en dos de los siguientes 5 d ías gane premio, si éste se obtiene con ser el primero que hable. Considere independientes la obtención de los premios por día. 7).- Según un estudio se obtuvo que el 65% de los empleados de una Universidad que tiene pocos a ños

de laborar desean afiliarse a un sindicato. Si toma una muestra aleatoria de 15 empleados y se les pregunta si desean o no el sindicato, calcule la probabilidad de que: a).- La mayor parte deseen el sindicato. b).- Sólo 5 deseen el sindicato. 8).- Se sabe que el 30% de los accionistas dedican 10 o menos minutos a la lectura del balance de su

empresa. Se eligen al azar 8 accionistas de la empresa, calcule la probabilidad de que 5 o menos dediquen 10 o menos minutos a la lectura del balance de la empresa. 9).- En una tienda se encontró que la venta de cierto articulo sigue un proceso de Poisson con un promedio de 5 ventas al d ía, ¿cuá l es la probabilidad de que en un día dado el articulo? a).- Sea pedido má s de 6 veces. b).- Si los pedidos de d ía en día, se suponen independientes, calcule la probabilidad, de que tengan que pasar má s de 4 días de pedidos, para que resulte el primer día con má s de seis pedidos.

En la ciudad de México se efectuaron encuestas a un gran número de amas de casa para saber si por la noche el agua de su casa se sal ía de las cisternas, encontrá ndose que aproximadamente el 5% contesto afirmativamente. Considere la estimación anterior vá lida, calcule la probabilidad de que al inspeccionar a 20 casas, por la noche, al menos en una de ellas se esté tirando el agua.

10).-

54

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

El conmutador del IPN puede manejar un m á ximo de 3 llamadas por minuto. Si se sabe que en promedio recibe 40 llamadas por hora. a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que en un intervalo de un minuto determinado se sature el conmutador?. b).- ¿Cuá ntos intervalos de un minuto se espera tengan que ocurrir para que se encuentre el primero en que se sature el conmutador?

11).-

Para llevar a cabo un reporte de control de calidad sobre la fabricación de videos, se analizan por lotes independientes de 15 aparatos cada uno. Si de cada uno de estos lotes se elige una  muestra aleatoria de 3 de ellos y se prueban. Considere que el productor a introducido en cada lote 2 defectuosos. La embarcación de videos se comprará , si después de analizar un lote no se han encontrado defectuosos. Calcule la probabilidad de que en estas condiciones se tenga que comprar la embarcación.

12).-

Una institución bancaria selecciona a 20 clientes de los cuales 5 forman parte de su cartera  vencida. Si selecciona una muestra aleatoria de 6 de ellos, calcule la probabilidad de que sean deudores con plazo vencido M á s de tres.

13).-

En la industria de la cerveza se lleva a cabo un control de calidad con respecto a la cantidad de llenado de los botes de la misma. Se sabe que la probabilidad de que el llenado esté fuera de las especificaciones es de 0.01, la línea de producción se detiene para ajustarla, si al analizar aleatoriamente una muestra de 25 botes, m á s de uno tiene un contenido de cerveza fuera de las especificaciones. Calcule la probabilidad de que la línea de producción tenga que ser detenida al realizar el siguiente muestreo.

14).-

Un contador público titulado (CPT) ha encontrado que 9 de 10 auditorias de compa ñías contienen errores importantes. Si el CPT revisa la contabilidad de una serie de compa ñías ¿cuá l es la probabilidad de que: a).- la primer contabilidad con errores sustanciales sea la tercera revisada? b).- la primer contabilidad con errores importantes fuera encontrada después de revisar la tercera?

15).-

En el aeropuerto Benito Juá rez de la ciudad de México, debido a la gran afluencia de pasajeros, sólo se revisa el 10% de estos a la salida. Si de un grupo de 30 turistas, 10 tiene compras muy por arriba de la cantidad permitida y se conserva el mismo 10% de revisiones para las 30 personas, ¿cuá l es la probabilidad de que las tres personas revisadas tengan que pagar los impuestos correspondientes por exceso de compras permitidas por las autoridades del aeropuerto?

16).-

Desde el a ño 1996 el cierre de empresas por problemas financieros ha ocurrido, en promedio, a  razón de 5.7 cierres por a ño. Suponga que el número de cierres por a ño tiene una distribución de Poisson. Encuentre la probabilidad de que, ninguna empresa cierre durante un periodo de 4 meses.

17).-

Supóngase que una cajera de Bancomer atiende (en promedio), a raz ón de 3 clientes por cada  10 minutos, y ademá s que la cantidad de personas atendidas por la cajera sigue un proceso de Poisson. Calcule la probabilidad, de que una cajera atienda a sólo 2 clientes en el transcurso de los siguientes 10 minutos.

18).-

Los clientes a cierto restaurante de la zona Rosa, llegan en carro de acuerdo con un proceso de Poisson con media de 10 carros/hora. El estacionamiento tiene 8 lugares techados, si éste abre a las 10:30 horas, ¿cuá l es la probabilidad de que un cliente que llegue en su carro a las 11:00 horas alcance un lugar techado del estacionamiento?. Suponga que un cliente que llega al restaurante tarde má s de 45 minutos en salir.

19).-

55

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS En la parte 4 se repasaron las variables aleatorias que requieren del conteo de sus elementos, dando origen a las variables aleatorias discretas, esto es, variables con dominios finitos o infinitos numerables. Má s sin embargo en la pr á ctica resultan una infinidad de experimentos en los cuales sus resultados se obtienen por mediciones y sus valores pueden ser cualquiera de los puntos de un intervalo.

EJEMPLOS 5.1 a

Al lanzar una moneda puede interesarnos predecir el á rea en la que ella caería.

) 

En este caso podemos apreciar que la cantidad de resultados posibles no es contable, puesto que un resultado puede ser cualquier región de un á rea determinada y del Cá lculo sabemos que un á rea  tiene una cantidad no numerable de puntos. b

c

) 

La humedad en cierta región podemos medirla y asignarle a cada medición de humedad, un punto único en un intervalo. La estatura de los estudiantes de la Universidad.

) 

Al medir a los estudiantes podemos asignarles a cada una de sus estaturas un valor dentro de un intervalo. d

) 

El tiempo de espera en una fila de una oficina, negocio, etc. Al medir el tiempo de espera de las personas al establecimiento se le puede asignar un punto cualesquiera de un intervalo.

 Definición 5.1

Una variable aleatoria   X  de un experimento aleatorio dado con rango “Variable Aleatoria Continua”, abreviada por  vac, cuando el conjunto intervalo del conjunto de los números reales R.

, la llamaremos: resulta ser un

R   X 

R   X 

Como vimos en los ejemplos anteriores generalmente este tipo de variables tiene cabida cuando la variable del experimento es tal que se requiere de una medición para determinar sus elementos. Para la asignación de probabilidades de las variables aleatorias continuas a diferencia de las variables aleatorias discretas, resulta un poco má s complejo el problema, puesto que en éstas últimas podemos contar las probabilidades  P( X  = x ) y posteriormente sumarlas, mientras que en las variables aleatorias continuas no se puede hacer. Por otro lado, en las variables aleatorias continuas  X  la  cantidad de elementos no es contable. Por lo tanto,  P( X  = x ) pierde significado, incluso como veremos en unos momentos, a diferencia de las variables aleatorias discretas, la probabilidad en un punto de una variable aleatoria continua “siempre será igual a cero”. k 

El primer problema a resolver en las variables aleatorias continuas consiste en la asignaci ón de probabilidades. Continuando el uso de la teoría de funciones, tendremos que introducir una función que nos permita realizar el cá lculo de probabilidades de las variables aleatorias continuas.

56

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

5.1.1 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD  Definición 5.2

A la función sumable  f  ( x) en todos los reales; que cumple, con las condiciones siguientes le llamaremos “Función de Densidad de Probabilidad ”, abreviado por fdp, de la variable aleatoria  continua  X . a).-  f  ( x) ≥ 0 , para toda  ∈ R .  x 

∞

b).-

∫  f  ( x)dx = 1 −∞ b 

c).- Para cualesquier reales a y b, tales que

a 

≤

b 

; tenemos  P (a ≤  X  ≤ b) = ∫  f  ( x) dx . a 

Antes de continuar debemos notar que  f  ( x) no representa alguna probabilidad. Las Probabilidades en un intervalo ( a, b) está n representadas por el á rea bajo la curva de la funci ón  f  ( x) , en dicho intervalo. Ver la figura 5.1. b 

P 

( 

a 

≤

 X 

≤

b 

) 

=

∫ 

 f 

( 

 x 

) 

d

x 

a 

 f 

( 

 x 

) 

a

 X 

b

Fig. 5.1 Muestra el á rea bajo la curva de  f  ( x) , en el intervalo (a, b) .

5.1.2 FUNCIÓN ACUMULADA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA  Definición 5.3

Sea  X  una variable aleatoria continua con función de densidad  f  ( x) , llamaremos función de distribución acumulada (fda) de la variable aleatoria continua  X , a la función  F ( x) definida en todos los reales, tal que:  x 

 F ( x) =  P( X  ≤  x) =

∫  f  (t )dt , para toda 

 x

∈R

−∞

5.1.2A PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA a

b

 F ( x) , es una función no decreciente; es decir, para todos los reales  x e  y, si  F ( x ) ≤  F ( y ) .

) 

lím

) 

 x 

→ −∞

 F ( x) = 0 .

 x 

<

 y 

, entonces

Se deduce f ác  ilmente de la definición de una función de distribución acumulada.

57

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD c

lím

) 

 x 

→ +∞

 F ( x) = 1 .

Se deduce inmediatamente del inciso b) de la definición de una función de densidad

de probabilidad. d

) 

e

f

) 

) 

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua es continua. La función de densidad de una variable aleatoria continua X se obtiene de la acumulada  dF ( x)  f  ( x ) = . dx Con la función de distribución acumulada se pueden calcular probabilidades b 

∫  f  ( x)dx =  F (b)

 P( X  ≤ b) =

−∞ a 

 P ( a ≤  X ) = 1 −  P ( X  ≤ a ) = 1 −

∫  f  ( x)dx = 1 −  F (a) −∞

b 

b 

∫ 

 P ( a ≤  X  ≤ b) =  f  ( x) dx =

a 

∫  f  ( x)dx − ∫  f  ( x)dx =  F (b) −  F (a) −∞

a 

−∞

5.2 VALOR ESPERADO Y VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Los pará metros el valor esperado y la variancia de una variable aleatoria discreta los estudiamos en la  parte 4. Para las variables aleatorias continuas la interpretación de éstos se conserva, sólo cambiará  su f órmula para hacer cá lculos, puesto que la sumatoria se cambia por una integral.  Definición 5.4 

Sea  X una variable aleatoria continua con función de densidad,  f  ( x) , llamaremos valor esperado de X (o esperanza matemá tica de X ), al valor que denotaremos por  E ( X  ) o  µ  , y se calcula por:  X 

∞

∫ 

 E ( X ) =  xf  ( x)dx −∞

5.2.1 PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO DE UNA VAC Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. Sea  X  una variable aleatoria  continua con función de densidad  f  ( x ) , entonces se tienen las siguientes propiedades. ∞

a. Si Y  = h( X ) , entonces  E (Y ) =  E (h( X ) ) =

∫ h( x) f  ( x)dx . −∞

b. Si Y  = h( X ) = aX  + b , entonces c.

 E (Y ) = aE ( X  ) + b .

Si = , entonces  E ( X ) = c . Es decir el valor esperado de una constante, es la misma  constante.  X 

c 

d. En particular; si

Y 

=

a

X 

, entonces

 E (Y ) = aE ( X  ) .

58

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

5.2.2 VARIANCIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA  Definición 5.5

Dado un experimento y una variable aleatoria continua  X  en él, con función de densidad  f  ( x) , llamaremos variancia de X  al valor que denotaremos por

V ( X  )

o σ  , y se calcula: 2 

 X 

∞

V ( X ) =

∫ ( x −  E ( X ))

 f  ( x)dx .

2 

−∞

se llama desviación estándar de la variable aleatoria continua  X , a la ra íz positiva de la variancia:

σ  =

V ( X )

 X 

5.2.3 PROPIEDADES DE LA VARIANCIA DE UNA VAC Las propiedades son las mismas que en las variables aleatorias discretas. Sea  X  una variable aleatoria  continua con función de densidad  f  ( x ) , entonces se tienen las siguientes propiedades. ∞

a. V ( X ) =

∫ ( x −  E ( X ))  f  ( x)dx =  E [ X  −  E ( X )] 2 

2 

−∞

b.

( ) − [ E ( X )]

V ( X  ) =  E   X 

2 

2 

c. Si Y  = h( X ) = aX  + b , entonces

V (Y ) = a V ( X  ) .

En particular; si = , entonces V ( X ) = 0 , puesto que no existe variabilidad entre los elementos de una variable aleatoria continua  constante. En particular; si = , entonces V (Y ) = a V ( X ) . 2 

 X 

c 

2 

Y 

a

X 

EJEMPLOS 5.2 1.- Una gasolinera tiene dos bombas, que pueden bombear cada una hasta 10,000 galones de gasolina  por mes. La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria  X  (expresada  en diez miles de galones) con una funci ón de densidad de probabilidad dada por

0 <  x < 1  x,   f  ( x) = 2 −  x, 1 ≤ x < 2 0, en otro lugar  a

b

) 

) 

Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8,000 y 12,000 galones en un mes. Si se sabe que la gasolinera ha bombeado m á s de 10,000 galones en un mes en particular, encuentre la probabilidad de que haya bombeado má s de 15,000 galones durante el mes. 1 

a).-

. 

2 

1 

1 

. 

2 

∫  f  ( x) = ∫  xdx + ∫ (2 −  x)dx =

 P(0.80 ≤  X  ≤ 1.2) = 0 

. 

8 

0 

. 

8 

 x

 x 

= 1 

2 

−

2

1   x 

=

( 2 − x)

 x 

. 

8 

1 

. 

2 

=

2 0 

=

2 

 x 

=

1 

= 0.18 + 0.18 = 0.36

59

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

( 2 −  x ) − 2

2 

[

 P ( X  > 1.5) ∩ ( X  > 1)

 P ( X  > 1.5 |  X  > 1) =

]

=

 P ( X  > 1)

b).-

 P ( X  > 1.5)  P ( X  > 1)

∫ (2 −  x)dx =

1 

. 

=

5 

2 

∫ 

1 

2.-

. 

 x 

=

 x 

=

5 

2 

2 

1 

=

2 

=

 x 

( 2 −  x ) − 2

( 2 −  x ) dx

=

 x 

2 

1 

0.125 = 0.25 0.50

Dada una variable aleatoria continua   X  con función de densidad de probabilidad

e − , si  x > 0 , y la variable aleatoria continua  Y  = h( x ) = 3 X  + 10 . Calcule:  f  ( x) =  0 , si  x 0 ≤   x 

 E (Y )

y

V (Y ) . ∞

∞

Primero se calculará  E ( X ) = ∫  xf  ( x ) dx = ∫  xe − dx = − e − ( x + 1)  x 

−∞

 x 

→∞

 x 

=

 x 

= 0 + 1 = 1.

0 

0 

De las propiedades del valor esperado,

 E (Y ) = 3 E ( X  ) + 10 =

3(1) + 10 = 13 .

Para la variancia primero calculamos  E ( X  ) , 2 

∞

∞

∫ 

∫ 

 E ( X  ) =  x  f  ( x) dx =  x e 2 

2 

−∞

2 

−

 x 

2 

 x 

→∞

 x 

=

( x + 2 x + 2) 2 

 x 

=0 + 2= 2.

0 

0 

De las propiedades de la varianza, tenemos Finalmente, V (Y ) = 3

−

dx = − e

V ( X  ) =

V ( X  ) =  E ( X 

2 

) −  E  ( X  ) = 4 − 1 = 3 . 2 

3 = 27 . 3 

3).- El costo de reparación anual X para cierta má quina tiene una función de densidad de probabilidad,

dada por

3(1 −  x) , 0 < x < 1  f  ( x) =  en otro lugar 0, 2 

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada un 10% de las veces? Sea   x la cantidad buscada, tendremos: 0 

 x 

=

 x 

=

1 

0.10 =  P ( X  >  x ) = ∫ 3(1 −  x ) dx = − (1 −  x) 2 

1 

= −0 + (1 −  x ) = (1 − x ) = 0.10

3 

3 

0 

0 

3 

0 

 x  0 

 x  0 

Despejando

en la última igualdad de la expresión anterior, tenemos

 x 0 

=1−

 x 0 

3 

0.10 = 0.53584

diez miles de pesos, esto es  x = $5,358.4 . 0 

60

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

EJERCICIOS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1).- Generalmente los valores de una variable aleatoria continua se obtienen por medio de ... 2).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una variable aleatoria continua? 3).- ¿Podrá n ser negativos los valores de una funci ón de densidad? 4).- ¿Podrá decrecer la función acumulada? 5).- ¿Si la probabilidad de un evento de una variable aleatoria continua vale cero, esto implica que el evento es el vacío? 6).- La variancia de una variable aleatoria se puede entender como el valor esperado del... 7).- ¿Podrá ser negativo el valor esperado de una variable aleatoria continua? 8).- Si conoces la función acumulada de una variable aleatoria continua  ¿cómo puedes encontrar su función de densidad? 9).- ¿Es cierto que en las variables aleatorias continuas tanto la función acumulada como la de densidad

no deben tener puntos de discontinuidad? La cantidad total de gasolina bombeada en un mes es una variable aleatoria  X  (expresada en diez miles de galones) con una función de densidad de probabilidad dada por:

10).-

 1 , 0< x<3  f  ( x) =  3  0, en otro lugar a).b).-

Calcule la probabilidad de que la gasolinera bombee entre 8,000 y 12,000 galones en un mes. Si se sabe que la gasolinera ha bombeado má s de 20,000 galones en un mes en particular, encuentre la probabilidad de que haya bombeado má s de 25,000 galones durante el mes.

El costo de reparación anual  X  para cierta má quina tiene una función de densidad de probabilidad, dada por:

11).-

2(1 −  x),  f  ( x ) =  0,

0 <  x < 1 en otro lugar

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente en los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada un 10% de las veces? El costo de reparación anual  X  para cierta má quina tiene una función de densidad de probabilidad, dada por:

12).-

 f 

( 

 x 

) 

=

  3 

( 

1 

−

<

2 

 x 

) 

, 

0 

<

 x 

1 

 

0 

, 

e

n

o

t

r

o

 

l

u

g

a

r

 

 

con las mediciones dadas en diez miles de pesos. ¿Qué cantidad de dinero debe presupuestarse anualmente para los costos de reparación, para que el costo real solamente exceda a la cantidad presupuestada un 25% de las veces? 61

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

Por medio de observaciones una persona a notado que su tiempo de espera a la llegada de su Microbús (en minutos), tiene un comportamiento aproximadamente igual a la función acumulada:

13).-

 F ( x ) =

 0,  − 1 − e , 3

 x 

 x ≤

0

 x >

0

Encuentre la probabilidad de que el primer día que la persona tenga que esperar má s de 5 minutos su Microbús sea el tercer día de la semana. Considere que la espera del microbús son independientes. La vida útil de cierto tipo de lavadora automá tica tiene una distribución con función de densidad igual a: 0,  x < 0   f  ( x ) =  − ,  x ≥ 0 0.2e

14).-

0 

. 

2 

 x 

¿Cuá l tiene que ser el tiempo de garantía en a ños que otorgue la empresa, si sólo quiere reparar un 20% de las lavadoras que venda?

La elaboración de cierto proyecto está  planeado a terminarse según una variable aleatoria  X , la  cual tendrá la siguiente función de densidad. Para el primer a ño se espera un resultado optimista de terminación dado por  x y en caso de surgir contratiempos se tiene un comportamiento de terminación pesimista, dado por − . Es decir, la función de densidad correspondiente, est á dada  por:

15).-

2 

 x 

0 ≤  x < 1  x,   f  ( x) = 2 −  x, 1 ≤  x ≤ 2 0,  x ∉ [0,2] 

Calcule la probabilidad de que el proyecto sea terminado en la segunda mitad del tiempo optimista. La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparaci ón anual de cierta  má quina. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual se comportan de forma proporcional a una variable aleatoria  X , dada por:

16).-

1 +  x , 0< x<2  f  ( x) =  4 0, en otro lugar con las mediciones dadas en miles de pesos. a). Encuentra la función de distribución acumulada correspondiente. b). Calcula el valor esperado de X . c). Calcula la probabilidad de que el costo sea menor a 1000 pesos (como est á n en miles sería la  probabilidad de que X sea menor que 1).

62

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD 5.3 MODELO EXPONENCIAL En una gran parte de los modelos continuos relacionados con el tiempo podemos notar que su distribución es de tal forma que en los tiempos cercanos a cero tiene una mayor acumulaci ón y que conforme pasa el tiempo ésta decrece rá pidamente de forma similar a una función exponencial negativa. Por ejemplo, en los modelos relacionados con las l íneas de espera es común que en los primeros instantes el cliente tenga una mayor probabilidad de ser atendido que despu és de un tiempo transcurrido. Se dice que un modelo probabilístico continuo que describe apropiadamente tales fenómenos es de tipo exponencial cuando la variable aleatoria continua   X  está  distribuida en el intervalo [0, ∞ ) de tal forma que su función de densidad de probabilidad es una funci ón de tipo exponencial negativa.  Definición 5.6 

Sea   X  una variable aleatoria continua del experimento realizado, diremos que tiene una  distribución exponencial con  parámetro positivo  β  en el intervalo [ ∞ ) , cuando su función de densidad de probabilidad (fdp) es: 0 

, 

 1 − β   e , x≥0  f  ( x) =  β  0, en otro lugar   x 

Los modelos exponenciales tienen una gran aplicación en las Líneas de espera o Teoría de Colas, porque las distribuciones de tiempos son propicias para: a).- Espera y llegada de clientes a un centro de servicios. b).- Espera para ser atendidos en un banco. c).- Espera para ser atendidos los pacientes en una clínica. d).- En algunos otros casos en los que se estudian las duraciones de vida de componentes electrónicos; resulta que generalmente tienen una distribución tipo exponencial. e).- Duración de equipos industriales para poder establecer tiempos de garant ías. Los modelos exponenciales se emplean cuando la probabilidad de que la variable aleatoria en estudio que ocurre en una unidad de tiempo sea igual a que suceda en cualquier otra. Lo anterior significa que las variables aleatorias exponenciales son invariantes en el tiempo.

Teorema 5.1 S

d

i

e

a)

X



e

d

e

s

n



s

u

i

n

d

a

a

 µ  =

v

d

E 

a

d

( 

r

e

 X 

i



a

p

b

r

l

o

e

b



a

a

l

b

=  β  ,

) 

e

i

a

l

i

t

d

o

a

r

d

i

a

,

c

e

n

o

n

t

o

t

n

i

c

n

u

e

a

s

d

i

s

t

r

i

b

u

i

d

a

e

x

p

o

n

e

n

c

i

a

l

m

e

n

t

e



e

n

[0, ∞ )



y

,

s

 f 

( 

 x 

u

f

u

n

c

i

ó

n

) 



b).- σ  = V ( X ) = β  2 

2 

0, c).-  F ( x) =  − 1 − e  β  ,

 x <

0

 x ≥

0

 x 

C álculos −

.  P( X  > a) = e

−

a 

β 

 P( X  < a) = 1 − e

−

a 

 β 

 P (a <  X  < b) = e

−

a 

 β 

−e

b 

 β 

 , con

b 

>

a 

>

0 

63

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

EJEMPLOS 5.3 1.- El tiempo de espera de los clientes en un restaurante para ser atendido es una variable aleatoria  continua  X con distribución exponencial y media   µ  = minutos. a).- Calcula la probabilidad, de que la siguiente persona que entre al restaurante sea atendida despu és 5 

de 6 minutos. b).- Si se sabe que Pablo fue atendido despu és de 4 minutos, calcula la probabilidad, de que haya sido atendido después de 6 minutos. c).- Calcula la probabilidad de que Pablo sea atendido despu és de 2 minutos. Compara el resultado, con el obtenido en el inciso b). Como X está distribuida exponencialmente con pará metro  β  =

a

Por el teorema anterior

) 

b

) 

 P( X  > 6) = e

−

tendremos.

5 

6 

.

5 

Por el Teorema anterior y la probabilidad condicional, tenemos:

P 

( 

 X 

>

6 

| 

 X 

>

4 

) 

=

P 

[ ( 

>

 X 

P 

6 

( 

) 

 X 

∩ >

( 

>

 X 

4 

) 

4 

) 

]

=

P 

P 

( 

( 

 X 

 X 

> >

−

6 

−

5 

6 

4 

) 

=

=

e 

−

) 

2 

5 

e 

4 

5 

e 

c

) 

Por el Teorema anterior:

 P( X  >

−

2) = e

2 

5 

, esta probabilidad coincide con la del inciso b.

OBSERVACIÓN 

El resultado del inciso b) se puede generalizar, y nos muestra (al igual que se hizo con el modelo geométrico) que la distribución exponencial no tiene memoria. Es decir: Para cualesquier a y b, se cumple:  P( X  > a + b |  X  > a ) =  P ( X  > b) . Esto último quiere decir que si comparamos las probabilidades de duraci ón de un componente usado, el cual tiene una distribuci ón exponencial. La  probabilidad de que opere por lo menos t  unidades de tiempo adicionales debe ser igual a la  probabilidad cuando un componente nuevo de tal tipo opere al menos la misma  t unidad de tiempo que el viejo. 2.- Una lavadora MABE tiene una vida media de 10 a ños. Si la vida útil de ese tipo de motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuá l debe ser el tiempo de garantía que deben tener dichas lavadoras si se desea que no má s del 20 % de éstas fallen antes de que expire su garant ía?.

Primeramente vamos a definir a la variable aleatoria con distribución exponencial X   X : “Tiempo de vida de las lavadoras Mabe”.

Sea  T  el tiempo de garantía de las lavadoras. Por otro lado, para que una lavadora sea reparada  durante su tiempo de garantía, es necesario que  P( X  < T ) = 0.20 . Si ademá s tomamos en cuenta que  β  = 10 , tendremos: −

De donde, 0.20 =  P( X  < T ) = 1 − e tiempo de garantía.

T 

1 

0 

, la probabilidad de que la lavadora dure menos que el

64

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ −

Despejando la exponencial, resulta:

e

Finalmente:

1 

T 

Por medio del logaritmo natural: −

T 

= 0.80 .

0 

= ln(0.80) .

10

2.23 a ños.

T  = −10 ln(0.80) =

EJERCICIOS 1 1).-

Se ha hecho un estudio sobre el tiempo de espera de los usuarios a cierto banco del D.F., obteni éndose que el tiempo promedio que tardan en atender a un usuario entre las 9 y las 12 horas de un día normal es de 10 minutos, y que el tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente. Calcula la probabilidad de que si vas a dicho banco en un día normal a las 10:20 horas seas atendido a).- En menos de 5 minutos. b).- En má s de 10 minutos.

2).-

El periodo de vida en a ños de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de  µ  = 2 a ños. ¿Cuá l es la probabilidad de que un interruptor falle después del 2do. a ño?

3).-

Un motor eléctrico tiene una vida media de 6 a ños. Si la vida útil de ese tipo de motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuá l debe ser el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo m á s el 15 % de los motores fallen antes de que expire su garant ía?.

4).-

Por medio de una repetición de experimentos se obtuvo que la variable aleatoria continua  X  se describe en forma muy propicia por un modelo de tipo exponencial, y para determinar su par á metro correspondiente se ha empleado su función de distribución acumulada, resultando que la  probabilidad  P ( X  < 35) = 0.26 . Encuentre en tales circunstancias al pará metro  β .

5.4 MODELO NORMAL La distribución normal fue encontrada por Carl Friedrich Gauss , en algunos trabajos se le conoce como: “Ley de probabilidad de Gauss”, según ésta una magnitud sufre la influencia de numerosas causas de variación, todas ellas muy pequeñas e independientes entre sí, los resultados se acumulan alrededor de la media, distribuyéndola simétricamente a su alrededor con una frecuencia que disminuye rá pidamente al alejarse del centro. 5 

 Definición 5.7 

Sea  X  una variable aleatoria continua,se dice que  X  tiene una  distribución normal o de Gauss, con pará metros  µ  y σ  (positivo) en todos los reales cuando su funci ón de densidad de probabilidad es : 1

 f  ( x) =

−

σ  2π 

− µ 

( 

2 

) 

 x 

e

σ 

2 

en

2 

∈ ( −∞, ∞ ) .

 x

5 

C

a

r

l

F

r

i

e

d

r

i

c

h

G

a

u

s

s



m

a

t

e

m

á

t

i

c

o

,

a

s

t

r

ó

n

o

m

o

y



f

í

s

i

c

o

a

l

e

m

á

n

.

N

a

c

i

ó

e

n

B

r

u

n

s

w

i

c

k

e

n

1

7

7

7

y



m

u

r

i

ó

e

n

G

o

t

i

n

g

a

e

n

1

8

5

5

.

65

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

Como se mencionó arriba los modelos con distribuci ón normal se caracterizan por la forma de la gráfica de su función de densidad . La grá fica de la distribución Normal tiene forma de campana , como la mostrada en la siguiente figura: Segmento de longitud σ 

1

.

1 

0

.

9 

0

.

7 

0

.

5 

0

.

3 

0

.

1 

-

-

0

.

 E ( X ) =  µ 

Segmento de longitud σ 

V ( X  ) = σ 

1

2 

 

1

0

.

5

1

1

.

5

2

2

.

5

3

3

.

5

4

 

Fig. 5.2 Grá fica de la fdp, de una variable aleatoria continua  X ,

con distribución normal, media  µ  y variancia  σ  . 2 

En la grá fica anterior, se puede apreciar que la recta  =  µ  es el eje de simetría de la función; mientras que en los valores =  µ  − σ  y =  µ  + σ  se tienen los puntos de inflexi ón de la grá fica de la  función ¡compruebe esto último por medio del Cá lculo!  x 

 x 

 x 

El modelo normal tiene gran aplicación en diferentes á reas y es una de las distribuciones con mayor auge en el estudio de las probabilidades y la estadística, la dimensión de su importancia radica  en un Teorema titulado: “Teorema del Lí mite Central ”.

Teorema 5.2 S

i

d

e

a

) 

b

X

n

e

s

i

s

d



a

u

n

d

a

d

v

e

a

p

r

r

i

o

a

b

b

l

a

e

b



i

a

l

l

i

d

e

a

a

t

d

o

,

r

e

i

n

a

c

t

o

o

n

n

c

t

e

i

s

n

u

a

d

i

s

t

r

i

b

u

i

d

a

n

o

r

m

a

l

m

e

n

t

e



e

n

( −∞, ∞)





y

 f  ( x)

s

u

f

u

n

c

i

ó

n

d

e





 E ( X ) =  µ  . ) 

V ( X  ) = σ 

2 

.

5.4.1 CÁLCULO DE PROBABILIDADES Como se mencionó anteriormente la distribución de Gauss tiene una gran importancia en el estudio de las probabilidades y la estadística, por consiguiente es de gran importancia tener un aná lisis detallado sobre su comportamiento para el c á lculo de probabilidades. Pero de los cursos de Cá lculo, se sabe que la integral de la función:  f  ( x) =

1

σ  2π 

−

e

− µ 

( 

2 

) 

 x 

2 

σ 

2 

no se puede resolver en base a funciones elementales. Por lo tanto, cuando la integral es definida sólo podemos aproximar sus valores por medio de alguno de los m étodos numéricos, entre algunos otros tenemos:  M étodo del trapecio, Simpson 1 3 y Cuadratura de Gauss. De lo anterior, podemos notar que el cá lculo de probabilidades resultaría bastante engorroso para  este tipo de distribuciones, pero debido a su importancia  se tienen tablas y programas para calcular las probabilidades . Desde luego, como es de suponerse se requiere de algún método, con el que no se tenga que resolver integrales para diferentes valores de  µ  y σ . 66

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

El problema anterior se resuelve con el cambio de variable aleatoria: X  − µ 

Z  =

σ 

al cual se le llama: “ La estandarización de la variable X a unidades en Z ”. La f órmula en Z  es una regla de transformación puesto que en la estandarización  X  −  µ  , representa un desplazamiento del eje de las ordenadas ver Figura 5.3; mientras que la divisi ón entre la  desviación está ndar influye en la amplitud de la función, ver figura 5.4.

 µ  = 1; σ  = 1 0

.

4

5

 

0

.

3

5

 

0

.

2

5

 

0

.

1

5

 

0

.

0

5

 

0

5

 µ  =

2 

σ  =

; 

1 

 X  -

2

.

0

-

1

.

5

-

1

.

0

.

 

0

0

.

0

0

.

5

1

.

0

1

.

5

2

.

0

2

.

5

3

.

0

3

.

5

4

.

0

4

.

5

5

.

0

 

Fig. 5.3 Muestra la grá ficas de la distribución normal con la misma  desviación está ndar, pero diferente valor esperado.

Se puede apreciar que las dos grá ficas son iguales, sólo cambia la posición del eje de las ordenadas. En las grá ficas de abajo cambiará su amplitud, a mayor variancia menor amplitud.  µ  =

-

3

.

0

-

2

.

5

-

2

.

0

-

1

.

5

-

1

.

0

0

.

5

5

 

0

.

4

5

 

0

.

3

5

 

0

.

2

5

 

0

.

1

5

 

0

.

0

5

 

0

5

0

.

1 

σ  =

; 

0 

. 

7

o bien

5 

 N (1,0.75)

 µ  = 1; σ  = 1.5 o bien

 N (1,1.5)

 X 

  0

.

0

0

.

5

1

.

0

1

.

5

2

.

0

2

.

5

3

.

0

3

.

5

4

.

0

4

.

5

5

.

0

 

Fig. 5.4  Muestra la grá ficas de la distribución normal con el mismo valor esperado, pero diferente desviación está ndar. Cuando se realiza la estandarización resulta que

 E ( Z ) =

0 y

V ( Z ) = 1 .

 y su grá fica se representa en la Figura 5.5. 67

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

0

.

4

5

 

0

.

3

5

 

0

.

2

5

 

0

.

1

5

 

0

.

0

5

 

Z  -

3

.

0

-

2

.

5

-

2

.

0

-

1

.

5

-

1

.

0

.

0

5

 

0

0

.

0

0

.

5

1

.

0

1

.

5

2

.

0

2

.

5

3

.

0

 

Fig. 7.5 Grá fica de la distribución normal está ndar.

La integral para la función acumulada de la variable aleatoria  Z, es decir la distribución normal en su forma está ndar se calcula y representará por: 2 

1

0 

∫ e 2π 

)=

 F ( z

 z 

0 

−

 z 

dz = Φ( z

2 

) 0 

−∞

Para el cá lculo de probabilidades se emplean las propiedades siguientes de la distribuci ón y la  tabla de la normal está ndar.

5.4.2 PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR a)

Propiedad de simetrí a. La función  f  ( z ) es simétrica con respecto al eje de las ordenadas. Es

decir,  P( Z  < −Z  ) =  P(Z  > Z  ) . 0 

0 

 P( Z  > Z 

b) Propiedad del complemento . En los casos de

) se puede emplear la simetría, inciso a, o

0 

el complemento. Es decir,

 P( Z  > Z 

) = 1 −  P( Z  ≤ Z  ) .

0 

c)

 P( −1 < Z  < 1) =

0 

 P (−2 < Z  <

0.6827 y

2) = 0.9545 .

d) La suma de probabilidades fuera del intervalo ( −4, 4) , no puede ser mayor a 0.0001, es decir, casi

vale cero.

5.4.3 USO DE TABLAS DE LA FUNCIÓN ACUMULADA Como se ha mencionado el uso de tablas o de alg ún programa para el cá lculo de probabilidades es fundamental en la solución de los ejercicios. Por lo tanto, para homogeneizar el uso de tablas que emplearemos en los cá lculos. Función acumulada de la Distribución Normal Estándar  2 

−

 z 

Φ ( 

) 

 z 

=

∫ 

1 

 x  2 

e 

2 

d

=

x 

π  −∞

( 

D 

 z 

) 

1 

-

Z

0.04 0.05 0.06

Φ − ( 

.

Φ ( z )  D ( z )

)   z 

4

8

4

0

5

1

6

0

0

.

4

8

0

1



0

.

5

1

9

9

0

.

4

7

6

1



0

.

5

2

3

9

0 



0

.



0



.

0



0

.

.

0

3

1

9

0

3

9

9



0

4

7

8





z 0.44 0.45 0.46

Φ − ( 

Φ ( z )  D( z )

)   z 

0

.

3

3

0

0

0

.

3

2

6

4



0

.

3

2

2

8

0



.

0



0

.

.

6

7

0

0

6

7

3

6



6

7

7

2

0



.

0



.

0

.

3

4

0

1

3

4

7

3

3

5

4





5



∫  π  −

 x 

2 

e 

2 

z

−

 z 

2 

d

x 

 z 

Z  Z

z 0.84 0.85 0.86

Φ − ( 

0

.

2

0

0

5

0

.

1

9

7

7

0

.

1

9

4

Φ ( z )  D( z )

)   z 



0



9



.

0

0

.

.

8

7

9

9

5



0

.

5

9

9

1



8

0

2

3



0

.

6

0

4

7



0

5

1

0

.

6

1

0

2

z 1.24 1.25 1.26

Φ − ( 

0

0

0

.

.

1

1

.

1

0

7

0

5

5

0

3

Φ ( z )  D( z )

)   z 

6

8





0

0



.

.

0

8

8

.

9

9

8

2

5

4

9



4

6

2

0

0





.

.

0

7

7

.

8

8

7

5

0

8

9



7

2

3





68

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Como se puede observar en estas tablas la   función acumulada se representa por medio de la  función Φ ( z ) . Para el cá lculo de probabilidades en intervalos simétricos se tiene otra función: 2 

1

)=

 D ( z

 z  0 

∫ e

2π  −

0 

−

 z 

2 

dz = Φ ( z

) − Φ( − z ) 0 

0 

 z  0 

Por lo tanto el cá lculo de probabilidades en base a estas funciones y las propiedades anteriores, se podrá efectuar de la siguiente forma: 1).-

 P( Z  < Z 

) = Φ( Z  ) .

0 

2).-

0 

 P( Z  > Z 

) =  P( Z  < −Z  ) = Φ(−Z  ) .

0 

3).-

0 

 P(− Z  < Z  < Z  0 

4).-

0 

) =  D( Z  ) .

0 

0 

 P (a < Z  < b) = Φ(b) − Φ(a) .

En los siguientes ejemplos emplearemos ambas funciones Φ( z ) y

 D ( z ) .

EJEMPLOS 5.4 Sea  Z  una variable aleatoria continua con distribuci ón normal está ndar, calcula las probabilidades indicadas: 1).-

 P ( Z  < 1.25) = Φ (1.25) =

0.8944 .

2).-

 P ( Z  < −0.86) = Φ( −0.86) = 0.1949

0.1949

0.8944 Z 

−

1.25 3).-

Z  0 

. 

8

6 

4).-

 P( Z  > −1.03) = 1 −  P ( Z  ≤ −1.03) =

 P( −2.97 < Z  <

2.97) = D( 2.97) = = 0.9970

= 1 − Φ( −1.03) = = 1 − 0.1515 = 0.8485, o  P( Z  > −1.03) =  P ( Z  < 1.03) = Φ (1.03) =

= 0.8485

0.9970 0.8485 Z 

−

Z  1 

. 

0 

−

2 

. 

9

7 

2.97

3 

69

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

0.57) = D(0.57) = 0.4313 .

5).-

 P( −0.57 < Z  <

6).-

 P( −0.67 < Z  < 1.24) = Φ(1.24) − Φ ( −0.67) =

0.8925 − 0.2514 = 0.6411 .

0.6411 Z 

−

0 

. 

6

1.24

7 

7).-

 P(0.06 < Z  < 3.04) = Φ (3.04) − Φ (0.06) =

8).-

 P( Z  < −4.5) = Φ ( −4.5) ≈

9).-

 P( Z  < 5) = Φ (5) ≈ 1 .

10).-

0.9988 − 0.5239 = 0.4749 .

0.

 P (0.06 < Z  < 5.1) = Φ (5.1) − Φ (0.06) ≈ 1 −

0.5239 = 0.4761

Sea   X  una variable aleatoria continua con distribución normal, calcula las probabilidades indicadas: 11).-

Si  E ( X  ) = 4 y

V ( X  ) = 9 ;

calcule la probabilidad

 P ( X  ≥

7) .

Para esto, primero realizamos la estandarización de la variable X , y después empleamos las tablas de la distribución normal está ndar.  P ( X  ≥

  X  − 4

7) =  P

 

≥

9

7 − 4 

0.1587

= 3  

=  P(Z  ≥ 1) =  P (Z  ≤ −1) = = Φ ( −1) =

4

= 0.1587

12).-

Si  E ( X ) = 3 y σ  =

2 

. 

5 

; calcule  P ( −1 <

7

 X 

X  < 5) .

Para esto, primero realizamos la estandarización, y después empleamos las tablas de la distribución normal está ndar.

 − 1 − 3 <  X  − 3 < 5 − 3  =  P(− 1.6 < Z  < 0.8) = Φ (0.8) − Φ(−1.6)  2.5 2.5     2.5

 P ( −1 <  X  < 5) =  P

= 0.7881 − 0.0548 = 0.7333

El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valor promedio de 70.5 kg y una variancia de 5.3. Si los estudiantes que pesen má s de 85 kg. será n convocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representar á  a la escuela, determine el porcentaje de alumnos que podrá n ser convocados.

13).-

Sea la variable aleatoria  X : “peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA ”.

  X  − 70.5 85 − 70.5  >  =  P(Z  > 2.74 ) = Φ(−2.74) = 0.0031 = 0.31% . 5 . 3 5 . 3    

 P ( X  > 85) =  P

70

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Supóngase que X , representa la resistencia a la ruptura de una cuerda, con un promedio de 100 y una desviación está ndar de 4. Cada alambre para cuerda produce una utilidad de $25, si . > En caso contrario la cuerda se tiene que utilizar con otro propósito diferente y se obtiene una utilidad de $10 por alambre. Encuentra la utilidad esperada por alambre.

14).-

 X 

9

5 

Primero calcularemos las probabilidades:

  X  − 100 > 95 − 100  =  P( Z  > −1.25) = 0.8944 , y  4     4

 P ( X  > 95) =  P

0.8944 = 0.1056 .

 P ( X  ≤ 95) = 1 −  P ( X  > 95) = 1 −

El valor esperado estará dado por: Ganancia esperada =  P( X  > 95) × 25 +  P( X  ≤ 95) × 10 = = 0.8944 × 25 + 0.1056 × 10 = $23.416

5.4.4 USO DE TABLAS PORCENTUALES Con frecuencia al resolver problemas se deben de hacer conclusiones con respecto a la variable aleatoria en estudio. Para tal efecto, es común tener que encontrar los valores de la variable con los cuales se obtienen las probabilidades establecidas (pueden estar dadas en porcentajes). En lo que concierne a las variables aleatorias con distribución normal, se emplean otras tablas, llamadas: “Tablas Porcentuales de la Distribución Normal”, y que tienen el siguiente aspecto.

TABLA PORCENTUAL DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR  2  2 

 z 

Φ ( 

=

) 

 z 

∫  π 

1 

−

 x   z 

2 

e 

d

 D 

x 

Φ

( 

( 

 z 

) 

-

%

) 

 D 

Φ

(   z 

( 

 z 

) 

%

) 

 D 

Φ

(   z 

0

.

6



-

2

.

5

1

2



0

.

0

0

8



5

.

6



-

1

.

5

8

9



0

.

0

7

0



1

0

.

6



-

1

.

2

4

8

0

.

7



-

2

.

4

5

7



0

.

0

0

9



5

.

7



-

1

.

5

8

0



0

.

0

7

1



1

0

.

7



-

1

.

2

4

3

0

.

8



-

2

.

4

0

9



0

.

0

1

0



5

.

8



-

1

.

5

7

2



0

.

0

7

3



1

0

.

9



-

2

.

3

6

6

0

1

1

5

.

9



-

1

.

5

6

3

0

7

4



1



0

.





0

.

=

∫  π 

0

0

.

8

.

9





-

-

1

1

.

2

.

2

3



3

0



7



.

.

0

2 

−

d

x 

 z 

Z

%

Φ

(   z 

( 

 z 

) 

%

) 

 D 

Φ

( 

 z 

) 

( 

 z 

%

) 

 D 

Φ

( 

 z 

) 

( 

 z 

1

3

3



1

5

.

6



-

1

.

0

1

1



0

.

1

9

7



2

0

.

6



-

0

.

8

2

0

0

.

2

6

1

2

5

.

6



-

0

.

6

5

6

0

1

3

5



1

5

.

7



-

1

.

0

0

7



0

.

1

9

8



2

0

.

7



-

0

.

8

1

7

0

.

2

6

2

2

5

.

7



-

0

.

6

5

3

0

1

5

.

8



-

1

.

0

0

3

1

9

9

2

0

.

8



-

0

.

8

1

3

0

2

6

4

2

5

.

8



-

0

.

6

5

0

0

1

5

.

9



-

0

.

9

9

9

2

0

1

2

0

.

9



-

0

.

8

1

0

0

2

6

5

2

5

.

9



-

0

.

6

4

6

0

1

.

 x 

Z 

) 

 D 

.

0

0



2

( 

 z 

) 

−

e 

2 

Z

 z 

) 

−∞

2 

%

 z 

( 

1 

3

1

6

3

7







0

0

.

.





.

.

.

) 

 D 

3

2

7

3

2

8

.

3

2

9

.

3

3

1

.









EJEMPLOS 5.5 1).- Encontrar el valor de

, tal que

 z 0 

 P ( Z  < z

) = 0.108 . 0 

0.108 Z   z 0 

71

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

La probabilidad que se nos indica es igual al 10.8%; por lo tanto, buscando en las tablas porcentuales el 10.8%, tenemos: = Z (Φ ) = −1.237 ; esto es:  P ( Z  < −1.237) = 0.108

 z 0 

2).- Encontrar el valor de

, tal que

 z

 P ( Z  ≥ z

0 

) = 5% . 0 

Como las tablas porcentuales nos muestran los valores para la funci ón acumulada de menos infinito hasta el valor indicado, tenemos que emplear la propiedad del complemento; es decir  P ( Z  ≥  z ) = 1 −  P( Z  < z ) = 5% ; de donde, necesitamos  P ( Z  < z ) = 95% . 0 

0 

0 

= Z (Φ ) = 1.645 , esto es:  P ( Z  ≥ 1.645) = 0.05 .

 z 0 

Este ejercicio también se puede resolver empleando la propiedad de simetr ía: ) =  P ( Z  ≤ − z ) = 5% , de donde − z = −1.645 . Es decir

 P( Z  ≥  z 0 

0 

0 

= 1.645 .

 z 0 

0.05

0.95

= 1.645

 z 0 

3).- Si

 E ( X ) =

4 y

V ( X  ) = 9 ;

calcular el valor de

tal que

 x

 P( X  ≤ x

0 

) = 75% . 0 

Para esto, primero realizamos la estandarización, y después empleamos las tablas Porcentuales de la distribución normal está ndar.

  X  − 4

) =  P

 P( X  ≤  x

  3

0 

≤

− 4 

 x 0 

3

 =  P( Z  ≤ z ) = 75% , tenemos   =

 z 0 

Despejando

, tenemos:

 x 0 

−4

x 0 

3

= 0.674 ; por otro lado:

 z

0 

0 

.

= 4 + 3 z = 4 + 3(0.674) = 6.022

 x 0 

 P ( X  ≤

0 

6.022) =  P ( Z  ≤ 0.674) = 75% .

75%  Z 

= 0.674

 z 0 

72

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

4).- La variable aleatoria   X  representa la vida promedio de cierto aparato electrónico, tiene una  distribución aproximadamente normal, con media   µ  = 3.5 a ños y desviación está ndar σ  = a ños. Si el fabricante de dichos aparatos desea reparar en el periodo de garantía, solamente el 10% de estos. Determinar cuá l tendría que ser el periodo de garantía. 1 

. 

5 

Como  X  representa a la vida promedio de los aparatos, y el 10% a la probabilidad de que el aparato dure menos que el per íodo establecido,  x ; tendremos: 0 

  X  − 3.5

) =  P

 P ( X  ≤  x 0 

en donde,

=

 z 0 

− 3.5

x 0 

1.5

  1.5

≤

− 3.5 

 x

 =  P( Z  ≤ z ) = 0.10 ,  

0 

1.5

0 

.

Por tanto, despejando

, tenemos:

 x

= 3.5 + 1.5 z .

 x

0 

0 

0 

De las tablas porcentuales de la distribución normal está ndar, resulta   z = −1.282 . 0 

Finalmente el periodo de garantía:

= 3.5 + 1.5( −1.282) = 1.577 a ños.

 x 0 

EJERCICIOS 2 1).- El diá metro de los pernos de una f áb  rica tiene una distribución normal con una media de 950 milímetros y una desviación está ndar de 10 milímetros. a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que un perno escogido al azar tenga un diá metro entre 947 y 958 milímetros? b).- ¿Cuá l es el valor apropiado de c tal que un perno escogido al azar tenga un diá metro menor que c con una probabilidad del 0.90?

2).-

Se supone que los resultados de un examen tienen una distribuci ón normal con una media de 78 y una variancia de 36. a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que una persona que presenta un examen obtenga una calificaci ón mayor a 72? b).- ¿Cuá l debe ser la mínima calificación aprobatoria si el examinador pretende que solamente el 28% de los estudiantes apruebe?

3).-

Los pesos de un n úmero grande de perros de lana miniatura está n distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 8 kilogramos y una desviaci ón está ndar de 0.9 kilogramos. Encuentre la fracción de estos perros de lana con pesos, a).- arriba de 9.5 kilogramos; b).- cuando mucho 8.6 kilogramos; c).- entre 7.3 y 9.1 kilogramos inclusive.

4).-

  rica produce pistones cuyos diá metros se encuentran distribuidos en forma normal con Una f áb un diá metro promedio de 5 cm y una desviación está ndar de 0.001 cm. Para que un pistón sea útil, su diá metro debe encontrarse entre 4.998 y 5.002 cm. Si el diá metro del pistón es menor de 4.998; éste se desecha, y si él es mayor de 5.002 se puede reprocesar. Si en la f áb   rica se producen mensualmente 20,000 pistones: a).- ¿Cuá ntos pistones será n útiles? b).- ¿Cuá ntos pistones será n desechados?

73

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

c).- ¿Cuá ntos pistones necesitan ser reprocesados? La administración de una empresa quiere calcular los costos de reparación anual de cierta  5).má quina. Para esto lleva a cabo un estudio en el cual obtiene que los costos de reparación anual se comportan de forma normal con media de $400,000 y desviaci ón está ndar de $50,000 a). Calcula la probabilidad de que los costos de reparaci ón para este a ño estén entre $300,000 y $500,000. b). Abajo de que costo anual se encuentra el presupuesto para la reparaci ón anual de las má quinas en el 10% de los casos.

6).-

El peso de los estudiantes hombres de la UPIICSA se distribuye normalmente con un valor promedio de 73.5 kg y una variancia de 4.3. Si los estudiantes que pesen má s de 85 kg. ser á n convocados para formar parte del equipo de Fut-bol americano que representará  a la escuela, determine el porcentaje de alumnos que podrá n ser convocados.

EJERCICIOS MODELOS CONTINUOS 1).- ¿Cómo son las variables aleatorias con distribución exponencial, con respecto del tiempo?. 2).- Si  X  es una variable con distribución normal, describe a su función de densidad de probabilidad. 3).- Sea  Z  una variable de un modelo normal est á ndar, calcula (sin usar tablas ni calculadora) con 4 dígitos exactos: a).-  P( Z  > 7.23) . b).-  P( Z  ≤ −3π ) . c).-  P(−8 < Z  < 8) . d).-  P(0 < Z  < 12.79) .

4).- ¿Qué distribución continua es invariante en el tiempo, es decir no tiene memoria?. 5).- ¿Qué valores puede tomar el rango de una variable aleatoria con distribución exponencial?. 6).- Los administradores de cierta industria han notado que su producto tiene un tiempo de duraci ón que puede considerarse una variable aleatoria con distribución exponencial con una vida media de 5 a ños. a).- ¿Cuá l es la probabilidad de que al elegir un articulo de dicha producci ón dure má s de 10 a ños?. b).- ¿Si el tiempo de garantía asignado por los administradores es de 2 a ños, qué porcentaje de sus productos tendrá que reparar la industria durante el periodo de garantía?.

7).- El periodo de vida en a ños de un interruptor eléctrico tiene una distribución exponencial con un promedio de falla de  µ  = 2 a ños. ¿Cuá l es la probabilidad de que un interruptor falle despu és del 3er. a ño?

8).- Las televisiones de cierta marca tienen una vida media de 12 a ños. Si la vida  útil de ese tipo de televisiones puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuá l debe ser el tiempo de garantía que otorgará  el fabricante, si desea reparar, por garantía, a lo má s el 20 % de los televisores?.

74

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

9).- Suponga que el tiempo promedio que tardan en atenderlo en una oficina de la tesorer ía es de 10 minutos, y que ese tiempo de espera en ser atendido se distribuye exponencialmente. Calcule la  probabilidad de que su tiempo de espera sea: a).- Mayor de 10 minutos. b).- De 5 a 10 minutos.

10).- El tiempo entre llegadas a la oficina de Hacienda es exponencial con valor medio de 0.05 horas. La oficina abre a las 8:00 horas. a).- Encuentra la función de densidad para la variable exponencial que describe el tiempo entre llegadas. b).- Encuentre la probabilidad de que no llegue ning ún cliente antes de las 8:10 horas. c).- Si son ahora las 8:50 horas y el último cliente entró en las oficinas a las 8:40 horas, ¿cuá l es la  probabilidad de que el siguiente cliente llegué antes de las 9:00 horas?

11).-

Una empresa metalúrgica produce rodamientos con un di á metro que tiene una desviación normal, con media 3.0005 pulgadas y desviaci ón está ndar de 0.0010 pulgadas. Las especificaciones requieren que los diá metros estén en el intervalo pulgadas. Si los ± cojinetes cuyos diá metros quedan fuera de ese intervalo se rechazan, ¿qué fracción de la producción total será rechazada? 3 

. 

0

0

0 

0 

. 

0

0 

2

0 

12).- El liquido despachado por una m á quina de refrescos está  distribuido normalmente, con una  media de 230 mililitros y una desviación está ndar de 10 mililitros. Calcule la probabilidad de que el siguiente vaso despachado tenga má s de 250 mililitros.

13).-

Los tornillos producidos por una má quina tienen un diá metro con distribución normal, y cuya  desviación está ndar es de 0.01mm. Si los tornillos se distribuyen en cajas con 200 tornillos cada  una, ¿cuá l es la probabilidad de que en menos de 3 cajas de 8 seleccionadas al azar se encuentren menos de 10 tornillos defectuosos?. Considerando a los tornillos defectuosos, aquellos cuyo diá metro se desvía de su media en má s de 0.025 mm. Ademá s se consideran a las cajas independientes.

14).- Ciertos tipos de baterías para automóvil tienen un tiempo de vida normalmente distribuido con media 1,200 días y desviación está ndar igual a 100 d ías. ¿Por cuá nto tiempo se deben garantizar las baterías si el fabricante quiere reemplazar sólo el 10 por ciento de las baterías vendidas?

15).-

Se supone que los resultados de los ex á menes de Introducción a la administración en la  universidad, tienen una distribuci ón aproximadamente normal con  µ  = 7.2 puntos y variancia de 1.8 puntos. ¿Cuá ntos de los 480 alumnos que van a presentar el examen de esta asignatura  obtendr á n una calificación menor a 6?

16).- El diá metro de un cable eléctrico está  distribuido normalmente con promedio 0.8 y variancia  0.0004. Un cable se considera defectuoso si el diá metro se diferencia de su promedio en m á s de 0.025. ¿Cuá l es la probabilidad de obtener un cable bueno?

17).- Se observo durante un largo periodo que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y en las reparaciones de cierta f áb   rica tiene aproximadamente una distribución normal con  µ  = $400 y

75

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

σ  = . ¿De cuá nto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y mantenimiento, para que la cantidad presupuestada solamente sea rebasada con una probabilidad de 0.1? $ 

2

0 

18).- Cierto proceso de manufactura produce pernos que deben tener un di á metro entre 1.2 y 1.25 pulgadas. Se sabe que el diá metro se distribuye normalmente con  µ  = 1.21 y σ  = porcentaje de los pernos está fuera de éstas especificaciones?

0 

. 

0 

2 

. ¿Qué

19).- Al probarse a compresión simple los cilindros de concreto, se obtuvieron los resultados: en promedio resistieron 240 kg. por cm , con una desviación está ndar de 30 kg. por cm . Suponga  que la resistencia a la compresión tiene una distribución normal. ¿Cuá l es la probabilidad de que otro cilindro tomado al azar, a).- resista má s de 330 kg/cm . 2 

2 

2 

b).- su resistencia esté en el intervalo de 210 a  240 kg/ cm .? 2 

20).- Para seleccionar a sus empleados un ejecutivo industrial usa una prueba que tiene una  puntuaci ón promedio  µ  y una desviación está ndar, σ  = . Suponga que la distribución de las puntuaciones es normal; y que una puntuaci ón mínima de 65 le permita al solicitante seguir siendo considerado. ¿Cuá l debe ser el valor de  µ  , si se quiere que aproximadamente el 2.5 % de los solicitantes sigan siendo considerados en esta prueba? 1 

0 

21).- Una compa ñía paga a sus empleados un salario promedio de $5.25 pesos por hora con una  desviación está ndar de 50 centavos. Si los salarios tienen aproximadamente una distribución normal. a).- ¿Qué porcentaje de los trabajadores recibe salario entre 4.75 y 5.69 pesos por hora inclusive? b).- ¿Mayor de que cantidad es el 5 % de los salarios má s altos?

76

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ I P N -

U P I I C S A

Sección de estudios de Posgrado e Investigación Examen de Selección, 31/07/1998

Nombre:_______________________________________________________________________  Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas  y formularios. La sección I, se calificará aciertos menos errores. I.- En la parte de debajo de la tabla escribe la relación que existe entre las siguientes columnas Nombre

Definición

Expresión matemática

a).- Variable aleatoria  1).- Representa el número de sucesos Geométrica 

b

c

d

)

)

.

.

)

-

-

.



Variable aleatoria  2).- Representa el número de éxitos de Poisson ocurridos en una secuencia finita de n ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito  p. Variable aleatoria  3).- Representa el número de la  Binomial prueba en que se obtiene el primer éxito en una secuencia de k  ensayos independientes, cada uno con una  probabilidad de éxito  p.



-

ocurridos en un espacio y/o en un intervalo de tiempo definido. En este caso la probabilidad de que ocurra un solo resultado es proporcional a la  magnitud del intervalo y/o al tama ño de la región y no depende del n úmero de sucesos ocurridos fuera de ellos.



Variable aleatoria  4).- Representa el número de Hipergeométrica  individuos, de una clase determinada, presentes en una muestra tomada, sin reemplazo, de una población finita  dividida en dos clases. 5).-  Ninguna de las anteriores.

C  C  m 

A). -

 P ( X  = k ) =

k 

n 

C 

 N 

− −

m 

,

k 

 N 

n 

max{n + m −  N ,0} ≤ k  ≤ min{n, m} La función vale 0 en cualquier otro lugar.

B). -

 P( X  = k ) =  p(1 − p )

k 

− 1 

,

k  = 1, 2, 3,K

La función vale 0 en cualquier otro lugar.

 µ  k 

C). -

 P ( X  = k ) = k  =

e

− µ 

,

k !

0, 1, 2, 3,K

La función vale 0 en cualquier otro lugar. D). -

 P ( X  = k ) = C   p (1 −  p ) n 

k 

n 

−

k 

k 

k  = 0, 1, K , n La función vale 0 en cualquier otro lugar. E).-  Ninguna de las anteriores.

Espacio para las respuestas, como se relacionan las columnas anteriores: a) ---------

----------

b) ---------

----------

c) ---------

----------

d) ---------

----------

77

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

II.- En la formulación de las siguientes preguntas es posible que exista un error, en tal caso indicar cual serí a este, en caso de que no existir, contestar: La pregunta esta bien planteada. Nota: ¡No se pide resolver el problema!  P( A) =

1.- Sean  A y  B son dos eventos mutuamente excluyentes, con:  P ( A ∩ B ) = 0.1 . Calcular  P( A ∪ B )

(

0.5 ,

 P  B

c 

= 0.6

y

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 2.- Sean  A y  B son dos eventos independientes, con: Calcular  P( A ∪ B )

 P( A) =

0.5 ,

(

 P  B

c 

= 0.6

y

 P ( A ∩ B ) =

0.1 .

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 3.- Sean  A,  B y C  eventos que forman una partición del espacio muestral S , con:  P( B) = 0.6 . Calcular  P (C )

 P( A) =

0.4 , y

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 4.- ¿Si  A y  B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general

(

)

 P  A  B =  P( A) ?

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 5.- ¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes, se pueden aplican cuando tenemos un conjunto finito de eventos independientes, cuya uni ón es el espacio muestral? Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ III.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas 1.- Indicar el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal, por medio de la  cual, bajo ciertas condiciones, podemos aproximar cualquier otra distribución. Resp. .................................................................................................................................................. 2.- Indica las propiedades que debe de cumplir una funci ón  f  ( x) , de una variable aleatoria continua  X , para que sea una función de densidad Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 3.- Explica de la forma má s breve posible, que significa el valor esperado y la variancia de una variable

aleatoria, ya sea discreta o continua (no se pide indicar formula, para calcularlo). Resp. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 78

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ I P N -

U P I I C S A

Sección de estudios de Posgrado e Investigación Examen de Selección Nombre:_______________________________________________________________________  Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas  y formularios. La sección I, se calificará aciertos menos errores. FECHA: 03.2000 _____________________________CALIFICACIÓN: _________________  Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas y formularios. La sección I, se calificará sumando aciertos y restando errores. I.- Lea cuidadosamente la siguiente tabla y escriba en la siguiente p á gina la relación que existe entre

las columnas; Definición

Nombre

Expresión matemática

a).- Variable aleatoria  1).- Representa el número de sucesos Geométrica  ocurridos en un espacio y/o en un

intervalo de tiempo definido. En este caso la probabilidad de que ocurra un solo resultado es proporcional a la  magnitud del intervalo y/o al tama ño de la región y no depende del n úmero de sucesos ocurridos fuera de ellos.

m 

 P ( X  = k ) =

A). -

prueba en que se obtiene el primer éxito en una secuencia de k  ensayos independientes, cada uno con una  probabilidad de éxito  p.

d).- Variable aleatoria  4).- Representa el número de Hipergeométrica  individuos, de una clase determinada,

presentes en una muestra tomada, sin reemplazo, de una población finita  dividida en dos clases. 5

)

.

-



N

i

n

g

u

n

a



d

e



l

a

s



a

n

t

e

r

i

o

r

e

s

.

 

 N 

n 

C 

− −

m 

,

k 

 N 

max{n + m −  N ,0} ≤ k  ≤ min{n, m} La función vale 0 en cualquier otro lugar.

 P( X  = k ) =  p(1 − p )

B). -

k 

− 1 

,

k  = 1, 2, 3,K

La función vale 0 en cualquier otro lugar.

c).- Variable aleatoria  3).- Representa el número de la 

Binomial

k 

n 

b).- Variable aleatoria  2).- Representa el número de éxitos de Poisson ocurridos en una secuencia finita de n

ensayos independientes, cada uno con una probabilidad de éxito  p.

C  C 

 µ 

e

k 

 P ( X  = k ) =

C). -

k  =

− µ 

,

k !

0, 1, 2, 3,K

La función vale 0 en cualquier otro lugar.  P ( X  = k ) = C   p (1 −  p )

D). -

n 

k 

n 

−

k 

k 

k  = 0, 1, K , n La función vale 0 en cualquier otro lugar. E

)

.

-

N

i

n

g

u

n

a



d

e



l

a

s

a

n

t

e

r

i

o

r

e

s

.

79

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD

 Espacio para las respuestas, como se relacionan las columnas anteriores, ejemplo: a) con 5 y B

Columna  Columna  Columna  Columna 

a) con ______ y ______  b) con ______ y ______  c) con ______ y ______  d) con ______ y ______ 

II.- En la formulación de las siguientes preguntas existe un error, indique cu ál es. Nota: ¡No se pide resolver el problema! 6.- Sean  A y  B dos eventos mutuamente excluyentes, con: Calcule  P( A ∪ B )

 P ( A) =

0.5 ,

( ) = 0.6

 P  B

c 

y

 P ( A ∩ B ) =

0.1 .

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 7.- Sean  A y  B dos eventos independientes, con:  P( A ∪ B )

 P( A) =

0.5 ,

(

 P  B

c 

= 0.6

y

 P ( A ∩ B ) =

0.1 . Calcule

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 8.- Sean  A,  B y C  eventos que forman una partici ón del espacio muestral S , con:  P( B) = 0.6 y  P (C ) = 0.3 . Calcule  P ( A ∪ C )

 P ( A) =

0.4 ,

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ 9.- ¿Si  A y  B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces en general

(

)

 P  A  B =  P( A) ?

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ ¿Los teoremas de la probabilidad total y el de Bayes, se pueden aplican cuando tenemos un conjunto finito de eventos independientes cuya uni ón es el espacio muestral?

10.-

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ III.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas 4.- Indica el nombre del teorema que explica la importancia de la distribución normal, por medio de la  cual, bajo ciertas condiciones, podemos aproximar cualquier otra distribución. Resp. .................................................................................................................................................. 5.- Indica las propiedades que debe de cumplir una funci ón  f  ( x) , de una variable aleatoria continua  X , para que sea una función de densidad Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 6.- Define a la variable aleatoria, de un experimento dado, con espacio muestral S . 80

ELABORÓ EL DR. EDUARDO GUTIÉRREZ GONZÁLEZ

Resp. ..................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ Explica de la forma má s breve posible, que significa el valor esperado y la variancia de una  variable aleatoria, ya sea discreta o continua (no se pide indicar f órmula, para calcularlo). Resp. .................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................ 7.-

IV.- Contesta brevemente a las siguientes preguntas 1.- En términos generales, el cá lculo de probabilidades es equivalente a 

a).b).c).d).-

Predecir el futuro. Encontrar valores numéricos que nos permitan cuantificar la incertidumbre. Establecer relaciones causa  – efecto para fenómenos naturales o experimentales. Ninguna de las anteriores.

2.- Menciona los axiomas de Kolmogorov, de la definición axiomá tica de probabilidad. Resp. .............................................................................................................................

...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... 3.- Entre las diferentes corrientes del estudio de las probabilidades, tenemos a: La frecuentista, clá sica, subjetivista, la bayesiana. Menciona brevemente en qué consiste cada una de ellas, remarcando las similitudes y las diferencias entre éstas. Resp. .............................................................................................................................

...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ...................................................................................................................................... ......................................................................................................................................

81

GUÍA PARA EL EXAMEN DE PROBABILIDAD I P N -

U P I I C S A

Sección de estudios de Posgrado e Investigación

Nombre:_______________________________________________________________________  Notas: El examen es totalmente conceptual, por lo tanto no es necesario y no se permite uso de tablas  y formularios. La sección I, se calificará aciertos menos errores. Examen de Probabilidad. Admisión para la maestrí a en administración 10.03.2005 Nota: Para obtener todos los créditos escriba el desarrollo de cada respuesta. Se permite el uso de calculadora y tablas estadísticas. TEMA Técnicas de conteo y probabilidad 1).-

La administración de la empresa PARTEC, S.A. estableció la siguiente regla de control de calidad sobre sus líneas de producción para determinar cuando debe llevar a cabo una inspección de la l ínea. De cada lote de tama ño 100 toma una muestra aleatoria de 20 art ículos y decide parar la  línea de producción, si encuentra al menos un artículo defectuoso. Supóngase que en un lote se encuentran 10 artículos defectuosos, ¿cuá l es la probabilidad de que se tenga que parar la línea de producción?.

TEMA Probabilidad condicional, eventos independientes y árboles. 2).- Una compa ñía de gran prestigio tiene 2 administradores, Luis y Horacio. Cuando se llevan a cabo

los reportes financieros de la empresa, el gerente deja la misma tarea a ambos administradores. Si la probabilidad de que Luis se equivoque es de 0.1 y de que Horacio lo haga es de 0.05, calcula la  probabilidad de que ambos hagan mal su trabajo en el siguiente periodo de reportes. Se supone independencia en los reportes erróneos de ambos. 3).- En las elecciones pasadas para Presidente de la República Mexicana el 44% de los votantes estuvo a favor de Fox. Se reporta que el 60% de los votantes en favor de Fox fueron menores de 22 a ños, mientras que con respecto a los otros candidatos los votantes a su favor menores de 22 a ños sólo fue el 10%. Se escoge una persona de 20 a ños (menor a 22 a ños) de edad al azar de esta población de votantes. Encuentre la probabilidad condicional de que esta persona votó a favor de Fox. 4).- Según estudios hechos en el 2004 en la ciudad de M éxico para conocer el ranking de televidentes

en una hora determinada, se tiene que la empresa 1 (TV Azteca) tiene el 40%, la empresa 2 (Televisa) el 45% y la empresa 3 (otras empresas) el restante 15% de televidentes. Para aumentar su porcentaje de televidentes a dicha hora, la empresa 1 comienza a mostrar pel ículas de estreno. Después de una semana de estrenos, se encuentra que el 90% de televidentes de la empresa 1 sigue en su programación, el 6% se cambia a la empresa 3 y el 4% a la empresa 2. Mientras que el 40% de los televidentes de la empresa 2 se cambia de programaci ón a la empresa 1 y el 5% a la empresa  3 (el 55% sigue en la empresa 2). Finalmente, el 30% de de televidentes de la empresa 3 se cambia  a la empresa 1, y el 4% a la empresa 2 (el 66% sigue en la empresa 3). a).-

¿Qué porcentaje de televidentes tiene la empresa televisiva 1 después de una semana?

82