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INTRODUCCION El presente manual se escribió con el fin de apoyar el proceso de enseñanza aprendizaje de la asignatura de FÍSICA DEL MOVIMIENTO, a través d e la realización de experimentos en el laboratorio. laboratorio. En general, el curso básico de LABORATORIO DE FÍSICA DEL MOVIMIENTO es especialmente adecuado para tratar los princi pios básico principios básicoss de la experi experimentac mentación. ión. Tal vez, ahora más que nunca, sea necesa necesario rio hacer hincapié en estos principios, teniendo en cuenta la posibilidad actual de que el experimentado experimentadorr se encuentre totalmente aislado del fenómeno que investiga, por una barrera ba rrera casi c asi impenetra imp enetrable, ble, de equipos e quipos de d e procesamien proces amiento to de datos dato s y de nuevos nuevo s procedimien proced imientos tos analíticos. analí ticos. Tiene incluidas 14 prácticas relacionadas con las ramas siguientes de la Física: Cinemática, Dinámica y Colisiones que forman parte del programa de FÍSICA DEL MOVIMIENTO, programa similar al de varias Universidades; por lo cual puede ser un material de consulta útil para los estudiantes estudiantes de licenciatura licenciatura que inician el trabajo trabajo de experimentación experimentación a nivel profesional. profesional. Es más, independiente del área en que se realizan los experimentos, el de Física puede proporcionarles una introducción a los principios fundamentale fundamentaless en que se basan los experimentos ex perimentos de cualquier cu alquier tipo. Se espera espe ra que el alumno pueda experimenta experimentarr con fenómenos que suceden en la naturaleza y que los relacione con los conceptos y las leyes fundamentales en la Física, para ello se le proporciona información fundamental sobre los procedimientos científicos, estadísticos y de medición en los que se basa el diseño de experimentos. Las tres primeras prácticas pretenden familiarizar al alumno con el concepto de medición, capacitarlo en el análisis de las mediciones realizadas en el laboratorio, y darle las herramientas necesarias para que pueda realizar, con éxito, el análisis de un conjunto de datos, pudiendo obtener a partir de ellos la relación teórica-experimental que describa los fenómenos que se reproducen en el laborator laboratorio. io. En cada práctica se ha incluido un objetivo general seguido de varios objetivos específicos, la introducción teórica esperamos que sea suficiente para la realización de las mismas, nuestra idea es que los alumnos deben revisar esa teoría auxiliados con la bibliografía bibliogr afía y presentarse prese ntarse en la l a sesión de laboratori l aboratorioo con conocimientos conoci mientos previos pr evios del tema. te ma. En algunas prácticas, la introducción teórica es extremadamente larga, eso sucede sobre todo en las primeras, se hizo así, porque los concepto c onceptoss teóricos teó ricos que se s e abordan abo rdan en esta es ta parte p arte son fundame fu ndame ntal ntales, es, no solo para el trabajo experime experimental ntal en Física, Fí sica, sino en cualquier trabajo experimental. En las demás prácticas, la extensión en la introducción teórica se explica porque va dirigida a alumnos de los primeros semestres de la Licenciatura, para los cuales se considera adecuado que tengan casi todos los elementos presentes; según se vaya avanzando sobre los temas y de acuerdo con la adquisición de experiencia por parte del alumno, la introducción introducción se hace cada vez más p equeña. Se ha intercalado un desarrollo experimental en cada práctica, en la cual se dan las instrucciones necesarias para la realización de la misma, tal desarrollo puede variarse dependiendo de las posibilidades del equipo, de la carencia de algunos materiales, o bien, los alumn alumnos os puede puedenn prop oner nuevas experienc experiencias ias a realiza realizar. r. El tiempo es la limitante princ principal, ipal, por tal razón es conveniente que también el desarrollo experimental se lea previamente. La parte de análisis y resultados es la más importante de la práctica, e s ahí, donde el alumno debe obtener conclusiones válidas, utilizando para ello herramientas como: el graficado de result ados, el análisis estadístico, la teoría de errores, etc., este trabajo debe realizarse principalmente en casa, pero es recomendable hacer un esbozo del mismo cuando se está realizando la práctica, esto con el fin de obtener mejores mediciones o repetir aquellas en las que existe alguna equivocación al tomarlas. En el caso de que el profesor de la materia evalúe con reporte, se recomienda pedir una discusión de resultados, la elaboración de las conclusiones y sugerencias para mejorar mejorar el experimento . El cuestionario (de aquellas prácticas que lo incluyan) se debe de contestar lo mejor posible y debe considerarse en la evaluación. La bibliografía para cada práctica se da al final del manual, recordando que su revisión permitirá una mejor realización de las prácticas, práct icas, debido a que el alumno al umno tendrá te ndrá los lo s conceptos concep tos antecedentes ant ecedentes nece sarios sarios.. Los apéndices tratan temas, que no se han incluido en el cuerpo principal del texto porque hubieran estropeado el desarrollo de éste. ést e. Esto incluye información sobre laboratorio, algunas deducciones matemáticas, recomendaciones recomendaci ones para hacer el reporte del experimento e incluso el Reglamento del Laboratorio de Física.
Muchos de los procedimientos tradicionales de otros cursos de laboratorio no serán adecuados para este curso, por ejemplo se evitará pensar en un experimento como en un procedimiento para reproducir cierto resultado “correcto”; en la vida real no tiene sentido buscar algún procedimiento correcto, rara vez habrá alguien dispuesto a decirnos que hacer o cual debe ser nuestro resultado, nuestra utilidad dependerá de la capacidad para tomar nuestras decisiones sobre como manejar la situación. Es necesario que se aprenda a trabajar dentro del marco de los aparatos disponibles. Toda experimentac experim entación ión profesional está sujeta a limitaciones sobre los recurso y, gran parte de la habilidad para la experimentación consiste en 1
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optimizar el rendimiento experimental a partir de esos recursos. Las restricciones en el tiempo simulan las circunstancias reales en las cuales se trabaja, el aparato mismo nunca es ideal, lo cual no debe verse como un defecto, sino como un reto; el experimentador debe aprender a identificar las fuentes de error por si mismo, y, de ser posible, eliminarlas o hacer las correcciones experimentales que se requieran. La capacidad de cumplir tales requisitos solo se puede adquirir en condiciones realistas, lo peor que se puede hacer con los estudiantes de primeros cursos de laboratorio, es proporcionarles aparatos ajustados con demasiado cuidado, o darles la impresión de que los experimentos son ideales, lo cual es lamentable, porque los fundamentos de la futura destreza están en la respuesta constructiva a las limitaciones experimentales. El uso del tiempo de laboratorio resultará más fructífero cuando los experimentos se acepten como problemas que deberán resolverse por el estudiante mimo, debe entenderse que lo que aprendemos es más importante que lo que hacemos, esto no quiere decir que se debe mostrar complacencia con el resultado del experimento, es desarrollo de nuestras habilidades experimentales solo se logrará si tomamos en serio el reto de obtener el mejor resultado posible de cada experimento. La redacción de los informes de laboratorio debe enfrentarse con el mismo espíritu constructivo, en el trabajo profesional de investigación no tienen caso dedicar tiempo y esfuerzo a un experimento a menos que podamos comunicar en forma conveniente el resultado a los demás. La elaboración de un informe que degenera en una mera indicación de que el experimento se realizó es poco menos que una pérdida de tiempo y de oportunidades para una práctica necesaria.
Agosto del 2013
ALEJANDRO MUÑOZ DIOSDADO GONZALO GALVEZ COYT
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3 PRACTICA I
MEDICIONES Y ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS OBJETIVO GENERAL
Analizar el proceso de medición para expresar las medidas directas en forma correcta. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Conocer los conceptos de medición, patrón, error, incertidumbre, exactitud y precisión. Efectuar mediciones de longitud, masa y tiempo. Obtener la incertidumbre asociada a cada medición. Expresar los resultados de las mediciones empleando cifras significativas. Mostrar mediante la construcción de gráficas, la distribución estadística de las mediciones realizadas. Determinar la media aritmética, el error absoluto y el error relativo de las mediciones, así como la desviación estándar de ellas. Analizar y discutir las posibles causas de e rror. INTRODUCCIÓN TEÓRICA La experimentación tiene una definición muy amplia, se entiende como el proceso completo de identificar una porción del mundo que nos rodea, obtener importación de ella e interpretarla. Los sistemas que se estudiarán son sencillos y comprensibles, la práctica con ellos preparará el terreno para el trabajo real con sistemas importantes y complicados. Se debe ser cuidadoso con estos sistemas sencillos, porque se obtendría un beneficio muy limitado, si el trabajo se limita a conjuntos de instrucciones que digan como hacer experimentos particulares. Se tratará de identificar los principios generales de la experimentación. La observación directa de los procesos naturales nos permite llegar a determinaciones puramente cualitativas que dependen de cada persona y en consecuencia son subjetivas. Al aumentar la capacidad de nuestros sentidos por medio de instrumentos, la observación se amplía y se profund iza, lo cual permite advertir mayor número de hechos y caracterizarlos con mayor precisión, esto lleva al establecimiento de relaciones cuantitativas entre los procesos naturales. Esta determinación cuantitativa implica la realización de mediciones que permiten evidenciar relaciones más profundas y ordenaciones simples entre los hechos ocurridos. Todo trabajo científico requiere de mediciones con el fin de darle validez y utilidad a los resultados obtenidos en el tratamiento de cualquier fenómeno, es por eso que resulta conveniente estandarizar las técnicas de medición. La definición clásica de medición es la de comparar aquello que se desea cuantificar con un patrón aceptado como unidad por la comunidad científica, el patrón debe ser de carácter universal, reproducible y de fácil utilización. Pero medir no es solo comparar sino que es un proceso más complejo, de hecho la aplicación del patrón no garantiza obtener el valor verdadero de lo que se mide. En cualquier medición se emplea una escala que es una expresión del patrón escogido, por ejemplo en la medición de la longitud de un objeto se utiliza una regla que es reproducción de un patrón de longitud:
3
4
Escala graduada en cm. 1
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|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
Objeto
Figura 1 Como puede observarse en la Figura 1, la longitud del objeto es un poco mayor de 4 cm, puede asegurarse además que es menor que 4.5 cm, pero no es posible obtener el valor verdadero de la longitud con dicha escala. Lo que podemos asegurar es que el valor verdadero se encuentra en un intervalo dado por [4 cm., 4.5 cm. ]. Si utilizamos una escala más fina:
Escala gradu ada en mm. 10
20
30
40
50
60
| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Objeto
Figura 2 Amplificando la imagen
40
50 Objeto Figura 3
Podemos asegurar ahora que la medida se encuentra en el intervalo [43mm,43.5mm], intervalo que se aproxima más al valor verdadero. Pero el proceso podría continuar y sin embargo nunca se obtendrá el valor exacto o verdadero, siempre tendremos que dar un valor aproximado dentro de un intervalo que depende del instrumento de medición, es decir siempre existe una incertidumbre en la medida originada, esta será más pequeña mientras más fino sea el instrumento. Para otra longitud podría suceder también lo ilustrado en la figura siguiente:
40
50
Figura 4 observe que en este caso el intervalo donde se encuentra el valor verdadero es [42.5mm,43.0mm]. Lo cual nos permite el afirmar que l as medidas no son simples números exact os, sino que consisten en intervalos, dentro de los cuales tenemos confianza de que se encuentra el valor esperado. El tipo de medición, la figura de la escala, nuestra agudeza visual, las condiciones de iluminación, todas tomarán parte en determina r la anchura del intervalo de medición. El ancho, por lo tanto, debe determinarse explícitamente cada vez que se haga una medición.
4
5 x el valor aproximado, en el caso de la figura anterior x = 43.0 mm, el valor verdadero x se expresa como: Sea
x = x x es decir el valor verdadero debe encontrarse en el intervalo:
[ x - x , x + x ]
(*)
donde x es igual la incertidumbre en la medición, que en este caso, y sólo en este caso, es la mitad de la mínima escala del instrumento de medida:
x = 43.0 mm ± 0.5mm = (43.0 ± 0.5) mm el intervalo (*) se llama intervalo de confianza. Desde luego que al realizar la medición con una determinada escala, el resultado se puede expresar como un número el cual puede contener tantas cifras como se pueda, dependiendo de la división mínima en la escala empleada. Se llaman cifras significativas a las que se obtienen como seguras más una estima da. Por ejemplo, al medir el objeto anterior en la escala de centímetros el resultado se puede expresar como:
4.3 cm 0.5 cm el 4 es una cifra segura, el 3 es estimada y ambas son significativas, si con la misma escala una persona expresa el resultado como:
4.36 cm 0.5 cm el 6 no es cifra significativa, ya que con la escala utilizada no puede estimarse hasta esa cifra, por lo tanto no tiene sentido e xpresar el resultado con cifras que no sean significativas.
Es un error común creer que, cuando se hace una medición usando una escala graduada, el “error de lectura” es automáticamente la mitad de la división de la escala más pequeña, esta es una simplificación excesiva que sólo sucede en las mediciones del tipo repr oducibles. El proceso anterior ilustra una medición de tipo directo, pero existen mediciones indirectas que se obtienen a partir de medidas directas. Tales mediciones serán objeto de la siguiente práctica. Entre las medidas directas se pueden distinguir las reproducibles y las no reproducibles. Las reproducibles son aquellas que al repetir la medición, bajo las mismas circunstancias, siempre la medida cae dentro del intervalo de confianza, lo cual no sucede en las no reproducibles pues en estas últimas existen factores que no se pueden controlar, por ejemplo la temperatura, presión, humedad, etc. en nuestro caso el tamaño de los objetos depende de la temperatura y en general, este es solo uno de los factores que influyen. Por lo tanto, son pocas las mediciones que se realizan en el laboratorio que se puedan considerar reproducibles, por lo que la incertidumbre, rara vez es el resultado de dividir la escala mínima entre dos, y habrá que considerar algunos otros mecanismos para encontrarla, de lo que sí estamos seguros es de que el resultado final deberá se un intervalo que representa, hasta donde nuestra capacidad lo garantice, los límites dentro de los que se encuentra el valor deseado. El que se reproduzca o no una medición, depende del tipo de error que resulta ser más significativo en cada caso, se entiende por error la diferencia del valor verdadero y el aproximado, pero no es posible por lo anterior dete rminar el valor verdadero, así que basándonos en la ec. (*) la diferencia está acotada por x, este hecho se ilustra en la figura 5: Se desprende de lo dicho que una medición nunca será exacta ya que siempre daremos solamente aproximaciones. En el proceso de medición no tiene sentido el concepto de exactitud.
5
6
| x x
|
x x
| x x
Figura 5 Mientras mejor sea la aproximación, la medida será más precisa, es decir en el proceso de medición el concepto clave es la precisión, un instrumento será más preciso si con el se obtienen mejores aproximaciones a la medida. En el caso de medidas no reproducibles, al repetir la medición en condiciones idénticas, resulta que se obtienen medidas que no están en el intervalo de confianza, es decir el error aumenta, esto debido a que existen diferentes tipos de error y no solamente el debido a la limitación en la escala del instrumento. Los errores o incerti dumbres se clasifican en sistemáti cos y aleatorios. Los sistemáticos son aquellos que dependen del sistema de medición, siempre dan desviaciones del valor verdadero hacia un solo lado, desviaciones que permanecen constantes, son corregibles siempre cambiando el sistema de medición o las condiciones experimentales, la manera más fácil de detectarlos es efectuar la medición con métodos diferentes, otras veces un análisis gráfico los muestra; algunos de los más comunes son:
Error de paralaje. Se comete debido a la posición del observador: esta debe ser exactamente perpendicular a la escala. Error de calibración. Se refiere a una mala calibración del instrumento, por ejemplo escalas que tienen unidades de longitud más cortas o más largas por defectos de fábrica, como en reglas, escalas de balanzas, amperímetros, etc.; escalas cuyo cero no coincide con el inicio de la numeración, como en las reglas o en las cintas métricas, en los aparatos de aguja como el amperímetro, óhmetro o voltímetro es un error muy común; etc. Condiciones experimentales. Si el instrumento está bajo condiciones experimentales constantes, diferentes de aquellas en las que fue calibrado y no se hace la corrección, entonces se tiene un error sistemático. En ocasiones los resultados experimentales difieren mucho de la teoría, esto en ocasiones se debe a que la teoría aplicada no corresponde a las condiciones experimentales, en este caso al realizar la medición en condiciones diferentes a las que especifica la teoría se comete un error sistemático, por ejemplo: si la teoría es aplicada a un cuerpo sin fricción y en el experimento no se logró evitar completamente la fricción entonces las mediciones estarán desviadas de las esperadas teóricamente. En todo caso, se recomienda ver los instrumentos de medición con desconfianza y verificará su calibración, siempre que esto sea posible. Error aleatorio . Es aquel que varía en cada medición, con frecuencia, se debe a la persona que lo efectúa, a las condiciones en que se realiza la medición o a a mbos. Algunas veces se les llama errores experimentales o accidentales. Por ejemplo:
Errores de juicio. Cuando se toma la cifra estimada, a ve ces el observador dará una pero otras veces dará otra. Condiciones experimentales fluctuantes. Como la temperatura presión, voltaje de l ínea, etc. Pequeñas distorsiones. Como vibraciones mecánicas o en el caso de instrumentos eléctricos señales espurias debidas a la presencia de otros apara tos, magnetos o líneas de c orriente. Definición. A veces aunque se tenga el debido cuidado, resulta que al repetir varias veces la medición no se obtienen los mismos resultados, por ejemplo al medir el ancho de una mesa se mide entre sus lados más cercanos, pero debido a imperfecciones en la superficie no se obtienen los mismos resultados al medir varia s veces. Debe considerarse también que es raro el proceso que se termina con una sola medición, casi invariablemente, el resultado deseado es una combinación de dos o más cantidades medidas, la presencia de incertidumbre en las medidas originales traerá consigo una incertidumbre en el valor final calculado. Este tópico, que se llama propagación de errores, será el tema de la siguiente práctica. Debe de tenerse cuidado de no confundir error con equivocación o procedimiento equivocado. Al medir el experimentador puede equivocarse por no saber medir en una escala, por no saber montar las condiciones experimentales adecuadas o por
6
7 equivocarse en los cálculos matemáticos, estas son equivocaciones debidas a la persona y no entran en el concepto de error o incertidumbre. También puede haber otro tipo de equivocaciones al seleccionar la maquinaria matemática para calcular los resultados de un experimento, las reglas de cálculo, tablas de logaritmos y hasta calc uladoras pueden tener errores, de hecho al redondear siempre se tienen errores pero por lo regular son demasiados pequeños para tomarse e n cuenta. Otras veces los efectos de las distorsiones llegan a ser demasiado grandes comparados con los errores aleatorios, en tal caso el experimento debe suspenderse hasta que la fuente de la distorsión sea eliminada. Para obtener medidas lo más aproximadamente posible y con el objeto de reducir el error se utiliza la estadística.
Cálculo de errores El error obtenido en una medición se puede expresar de diferentes formas: ERROR ABSOLUTO. - Es la diferencia entre el valor obtenido en la medición y el aceptado como correcto.
E Ve V Ve Valor experimental V Valor aceptado ERROR RELATIVO.- Es el valor que se expresa de acuerdo con la magnitud de la medida; se expresa como el cociente de el error absoluto entre el valor aceptado y resulta siempre una fracció n.
E
E Ve V V V
PORCENTAJE DE ERROR.- Es el error relativo expresado con base en 100.
e
E Ve V *100 *100 V V
Hay que observar que en la definición de error se emplea el término "valor aceptado" en lugar de "valor exacto". Como ya se dijo esta última expresión no tiene significado ya que no se conoce. Aún más, en grupos o conjuntos de elementos con características similares, se encuentra variación al medir la característica que de ellos interesa. Entonces: ¿Cuál valor se puede tomar como aceptado? Es obvio que la decisión no puede ser tal que se tome un valor al azar, pues se volvería a caer en la incertidumbre y esto es precisamente lo que se quiere evita r. Supóngase que se ha hecho un a sola medición, y que, para comprobar el trabajo, se efectúa esta me dición por segunda vez y se obtiene un resultado diferente, entonces sería natural intentarlo una tercera vez, aunque lo más probable es que se tenga un resultado diferente. La salida es realizar una cantidad considerable de mediciones sucesivas, y surgen preguntas adicionales: ¿hay alguna regularidad en los resultados?, ¿alguno de ellos aparece con más frecuencia que los demás?, etc. Con la finalidad de mostrar las características de las mediciones con más claridad se utilizan histograma. Dado que es una presentación gráfica muy común no se darán reglas exhaustivas para su construcción. Es importante entender que estos conceptos no únicamente se presentan en el laboratorio, sino también en otros campos, por ejemplo, en la fabricación de objetos en serie se desea que una característica en particular permanezca constante, pero debido a imprecisiones en las operaciones, siempre se obtienen desviaciones, las cuales se deben evaluar en función del "valor esperado" y este ha sido previamente establecido o aceptado como el correcto o el que se necesita. En este sentido la estadística brinda una ayuda formidable. Una vez que los datos están distribuidos en el histograma, notamos que hay algunos puntos particulares que pueden servir para caracterizar al grupo de observaciones en su totalidad, por eje mplo, la mayoría de las distribuciones tienen un punto máximo cerca del centro, si ese pico está bien definido, el valor sobre la escala horizontal en que ocurre se llama moda de la distribución. Por otro lado, si se colocan las medidas en orden numérico y los dividimos a la mitad en dos partes iguales, el valor correspondiente a esta línea divisoria se llama mediana .
7
8 Se afirmó que existe un valor más probable de una canti dad, en el caso de cantidades medidas directamente se asume arbitrariamente que este valor más probable es la media aritmética de las mediciones individuales, lo cual viene siendo el valor resultante de sumar todas las medidas realizadas y dividir la suma entre el número de mediciones hechas, si x1 , x2 ,...,xn son los valores med idos, la media se expresa como: n
x x2 x3 L xn x 1 n
x
i
i 1
n
donde x = valor medio obtenido n = número de objetos medidos o mediciones reali zadas. Nótes e que para una distribución simétrica, la media, la mediana y la moda coinciden, todas, en el centro de la distribución Una vez obtenida la media, la desviación de cada medida se obtiene como la diferencia entre el valor medio y el valor obtenido en cada medición, xi = x - x ,i la suma algebraica de las desviaciones de todas las medidas debe ser cero. Como es deseable obtener el error promedio en todo el proceso; se puede expresar como porcentaje, tomando los valores absolutos de las desviaciones particulares, como se muestra en seguida: n
x x1 x x 2 L x x n % ep * 100 n
x x i 1
n
i
* 100
n
% ep
δ x i i
n
i
*100
Lo que da idea de la magnitud de la desviación en el proceso global pero no de la ce rtidumbre de cada medición. La aplicación de la estadística permite ir mas allá, pues el análisis se estandariza con el fin de aplicarlo a la predicción del comportamiento de las mediciones y evaluaciones realizadas. Para ello se definen y establecen parámetros estadísticos como la media, la varianza y la des viación estándar. La varianza se obtiene al dividir la suma de los cuadrados de las diferencias entre el número de observaciones realizadas menos uno, es decir:
n 2 n 2 δ x x x i i s2 i 1 n1 i1n1 Donde s2 es la nomenclatura que se utiliza para la varianza. La desviación estándar se define como la raíz cuadrada de la varianza.
σ s 2
i
n
1
δ x i
n 1
1 2 2
haciendo un poco de álgebra se obtiene:
8
9
σ
n 2 2 xi i x 2 s i 1 n1
1 2
La desviación estándar es una medida de la amplitud de la distribución. De hecho, en Física utilizamos únicamente la media y la desviación estándar en el análisis de datos, en cambio, en las ciencias sociales, es común utilizar tanto la moda como la mediana. Supóngase que se realiza la medición de una longitud 47 veces, cuyos resultados se muestran en la Tabla I. Al realizar las mediciones algunas se repiten, la frecuencia es el número de repeticiones de una medida. Al obtener las sumatorias respectivas y utilizar las fórmulas (6), (8) y (9) se obtienen los siguientes resultados:
n 47
47
47
δ x
δ xi 0.72
2
i
i 1
187 * 10 4 cm 2
i 1
x 1.051 cm 1
47 δ 2 2 xi σ i 1 47 1 0.020 cm TABLA
I
x
frecuencia
i*x
x
i| xi |
xi )2
i( xi )2
(cm)
i
(cm)
(cm)
(cm)
(cm)2
(cm)2
1.01
1
1.01
-0.04
0.04
16x10-4
16x10-4
1.02
3
3.06
-0.03
0.09
9
27
1.03
6
6.18
-0.02
0.12
4
24
1.04
8
8.32
-0.01
0.08
1
8
1.05
10
10.5
0.00
0.00
0
0
1.06
8
8.48
0.01
0.07
1
8
1.07
5
5.35
0.02
0.10
4
20
1.08
3
3.24
0.03
0.09
9
27
1.09
2
2.18
0.04
0.08
16
32
1.10
1
1.10
0.05
0.05
25
25
9
10 Los datos de la tabla anterior pueden representarse gráficamente como se muestra en la Figura 6, en el eje de las ordenadas se ha graficado la frecuencia y en el eje de las abscisas el resultado de l a medición.
Figura 6 15 a i c n e u c e r F
10 5 0 1.00
1.02
1.04
x - -0.05
-0.03
1.06
1.08
x+
x -0.01
0
1.10
0.01
0.03
0.05
x (cm) x
El rango de valores de x se ha dividido en intervalos iguales x, la frecuencia es el número de valores de x que están dentro de cada intervalo x, cada uno de estos intervalos están centrados en el valor promedio de los valores de x que caen en él. Por ejemplo, las 6 mediciones que dieron 1.03 cm, se consideran que se encuentran en el intervalo entre 1.025 y 1.035 cm, por lo tanto se grafica 6 en la escala vertical contra 1.03 en la escala horizontal. El número de puntos es solamente de 47, con un número tan pequeño no puede obtenerse una curva continua por lo que se conviene en representar tal gráfica como un histograma que consiste de una serie de líneas horizontales de longitud x centradas en los puntos individuales y líneas verticales cuya altura coincide con la frecuencia tal como se muestra en la Figura 6; al aumentar el número de mediciones, digamos al doble, se obtiene una gráfica que no coincide exactamente con la anterior, hay ciertas diferencias llamadas fluctuaciones estadísticas, según se aumenta el número de valores se obtienen fluctuaciones mucho más pequeñas. El número de intervalos crece mostrando un comportamiento más sutil, lo que viene a ser representado por la curva continua. Esta es la tan conocida curva de campana o de distribución normal o de Gauss. Es una curva simétrica, pues sigue el mismo comportamiento a ambos lados del valor medio, el valor máximo de la curva corresponde al valor medio. La distribución de Gauss se utiliza para interpretar muchos tipos de mediciones físicas, en parte, debido a que las circunstancias mecánicas de muchas mediciones físicas guardan estrecha correspondencia con los fundamentos teóricos de la distribución Gaussiana, y, en parte, porque la experiencia demuestra que la estadística Gaussiana si proporciona una descripción razonablemente exacta de muchos sucesos reales. En la gráfica de la Figura 6, los puntos marcados con x - y x + están separados una magnitud igual a dos veces la desviación estándar, lo cual se maneja como una desviación aceptable y permite determinar el número de objetos que nos puede servir; resulta también que cuando una medición se repite varias veces, los diferentes valores obtenidos están por lo regular muy cercanos entre ellos, pero muy frecuentemente resulta que unas pocas mediciones se encuentran muy alejadas, la pregunta que surge inmediatamente es ¿bajo qué condiciones rechazar una medición que aparentemente es anómala? La cuestión no es fácil y su respuesta está en la Estadística; en las afirmaciones que siguen, solamente se darán resultados sin hacer la justificación estadística-matemática. Matemáticamente la distribución normal o distribución de Gauss, está dada por la ecuación: 1 ( x x ) 1 2 2 σ Y 2π e
2
10
11 El área total limitada por la gráfica de esta función y el eje x es 1, de ahí que el área bajo la curva entre dos puntos x=a y x=b (a
En la Figura 7 se muestra la gráfica de esta curva, en ella se indican las áreas incluidas en los intervalos entre z=-1 y +1 , x=-2 y +2, z=-3 y +3; que son respectivamente: 68.27%, 95.45% y 99.73%; esto quiere decir que en los intervalos [-, , [-2 ,2 y [-3,3 teóricamente se encuentran el 68.27%, 95.45% y 99.73% de las mediciones, respectivamente.
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 -4
-3
-3
-2
-2
-1
0
1
2
3
4
3
Figura 7
En la tabla A, se dan las áreas bajo esta curva, limitadas por z = 0 y cualquier otro valor positivo de z, de esta tabla puede obtenerse el área comprendida entre dos ordenadas cualesquiera, por la simetría de la curva respecto a z = 0 .
11
12 TABLA A
0.5 0.45
0.4
0.35 0.3
LAS ANOTACIONES EN LA TABLA SON LAS PROBABILIDADES
0.25
REPRESENTADAS BAJO EL AREA SOMBREADA DE LA CURVA NORMAL
0.15
0.2
0.1
0.05
0 -4
Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4
0.0000 0. 0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2257 0.2580 0.2881 0.3159 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.4987 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997
0.0100 0.0040 0.0438 0.0832 0.1217 0.1591 0.1950 0.2291 0.2611 0.2910 0.3186 0.3438 0.3665 0.3869 0.4049 0.4207 0.4345 0.4463 0.4564 0.4649 0.4719 0.4778 0.4826 0.4864 0.4896 0.4920 0.4940 0.4955 0.4966 0.4975 0.4982 0.4987 0.4991 0.4993 0.4995 0.4997
0.0200 0.0080 0.0478 0.0871 0.1255 0.1628 0.1985 0.2324 0.2642 0.2939 0.3212 0.3461 0.3686 0.3888 0.4066 0.4222 0.4357 0.4474 0.4573 0.4656 0.4726 0.4783 0.4830 0.4868 0.4898 0.4922 0.4941 0.4956 0.4967 0.4976 0.4982 0.4987 0.4991 0.4994 0.4995 0.4997
0.0300 0.0120 0.0517 0.0910 0.1293 0.1664 0.2019 0.2357 0.2673 0.2967 0.3238 0.3485 0.3708 0.3907 0.4082 0.4236 0.4370 0.4484 0.4582 0.4664 0.4732 0.4788 0.4834 0.4871 0.4901 0.4925 0.4943 0.4957 0.4968 0.4977 0.4983 0.4988 0.4991 0.4994 0.4996 0.4997
0.0400 0.0160 0.0557 0.0948 0.1331 0.1700 0.2054 0.2389 0.2704 0.2995 0.3264 0.3508 0.3729 0.3925 0.4099 0.4251 0.4382 0.4495 0.4591 0.4671 0.4738 0.4793 0.4838 0.4875 0.4904 0.4927 0.4945 0.4959 0.4969 0.4977 0.4984 0.4988 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
0.0500 0.0199 0.0596 0.0987 0.1368 0.1736 0.2088 0.2422 0.2734 0.3023 0.3289 0.3531 0.3749 0.3944 0.4115 0.4265 0.4394 0.4505 0.4599 0.4678 0.4744 0.4798 0.4842 0.4878 0.4906 0.4929 0.4946 0.4960 0.4970 0.4978 0.4984 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
0.0600 0.0239 0.0636 0.1026 0.1406 0.1772 0.2123 0.2454 0.2764 0.3051 0.3315 0.3554 0.3770 0.3962 0.4131 0.4279 0.4406 0.4515 0.4608 0.4686 0.4750 0.4803 0.4846 0.4881 0.4909 0.4931 0.4948 0.4961 0.4971 0.4979 0.4985 0.4989 0.4992 0.4994 0.4996 0.4997
-3
0.0700 0.0279 0.0675 0.1064 0.1443 0.1808 0.2157 0.2486 0.2794 0.3078 0.3340 0.3577 0.3790 0.3980 0.4147 0.4292 0.4418 0.4525 0.4616 0.4693 0.4756 0.4808 0.4850 0.4884 0.4911 0.4932 0.4949 0.4962 0.4972 0.4979 0.4985 0.4989 0.4992 0.4995 0.4996 0.4997
-2
-1
0
0.0800 0.0319 0.0714 0.1103 0.1480 0.1844 0.2190 0.2517 0.2823 0.3106 0.3365 0.3599 0.3810 0.3997 0.4162 0.4306 0.4429 0.4535 0.4625 0.4699 0.4761 0.4812 0.4854 0.4887 0.4913 0.4934 0.4951 0.4963 0.4973 0.4980 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4996 0.4997
1
2
3
4
0.0900 0.0359 0.0753 0.1141 0.1517 0.1879 0.2224 0.2549 0.2852 0.3133 0.3389 0.3621 0.3830 0.4015 0.4177 0.4319 0.4441 0.4545 0.4633 0.4706 0.4767 0.4817 0.4857 0.4890 0.4916 0.4936 0.4952 0.4964 0.4974 0.4981 0.4986 0.4990 0.4993 0.4995 0.4997 0.4998
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13 Podemos afirmar que cuanto más estrecha sea la distribución, mayor confianza se tendrá en las medicione s obtenidas. Por otro lado, en cualquier proceso de medición, cuanto más grande sea el número de mediciones, tanto más precisas serán nuestras afirmaciones finales, o sea que las muestras más grandes tienen medias más precisas. Sin embargo, debe decirse que la precisión de un valor medio aumenta sólo en proporción directa a la raíz cuadrada del número de observaciones de la muestra, por ello se debe ser muy cuidadoso en la elección del tamaño de la muestra, por un lado, no vale la pena intentar cualquier clase de análisis estadístico con muestras que tengan menos de 10 observaciones y por otro lado puede haber, no obstante, restricciones de tiempo u oportunidad, y no siempre podemos obtener muestras del tamaño deseable, por ejemplo, si se desea duplicar la precisión, el tamaño de la muestra debe cuadruplicarse, obvio es decir que no siempre hay tiempo para hacer tal cantidad de mediciones. Una última propiedad práctica de las curvas de distribución tienen que ver con los valores que quedan fuera. Siempre existe la probabilidad de cometer una equivocación, tal vez al leer erróneamente una escala o al mover accidentalmente un instrumento entre el ajuste y la medición. Se han formulado muchas “reglas” empíricas para el rechazo de mediciones, las cuales deben utilizarse con prudencia, a menos que el argumento del rechazo sea plenamente convincente, la mejor opción es considerar todas las observaciones, nos gusten o no . Algunos criterios “seguros” son, por ejemplo:
Los resultados incluidos más allá de ± 3 s son casi seguramente equivocados y pueden quedar descartados. En este criterio, se utiliza la tabla A. Primero se calculan x y s . Si alguna medida x se considera “sospechosa”, entonces para esa medida se calcula: Z = ( x - x ) / s si Z es menor que 3.090 se acepta y en caso contrario, se rechazan. Desde luego que estos criterios son empíricos, pero por otro lado, tienen una amplia aceptación por su eficacia y fundamentación estadística. Una vez que se han rechazado los datos fuera del rango establecido como adecuado, se procede a realizar nuevamente la estadística.
EQUIPO Y MATERIAL Es importante mencionar que los materiales descritos aquí pueden variar, dependiendo de la disponibilidad de los mismos, del criterio del profesor y de la iniciativa de los alumnos. 1 Regla de 1m (división mínima de 1 dm) 1 vernier de plástico 100 canicas 1 balanza granataria (precisión 0.1 gram o) 2 dados 1 embudo con tapón 1 soporte universal con pinzas 1 probeta Cronómetros manuales (los que más se puedan) Papel milimétrico
DESARROLLO EXPERIMENTAL EXPERIMENTO I
Mida con la regla de 1m graduada en dm el largo de la mesa de trabajo 50 veces, no ponga marcas, aprecie la fracción en dm y registre los datos en una tabla.
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14 EXPERIMENTO II
1.- Mida el diámetro de 50 canicas con un vernier de plástico 2.- Exprese los resultados en la forma x ± x . En caso de duda, solicitar instrucciones para usar el medidor. EXPERIMENTO III
1.- Sujete un embudo con pinzas a un soporte universal, tape el extremo inferior y coloque cualquier cantidad de agua dentro de él, ponga un recipiente bajo el embudo. 2.- Destape el embudo y justo en ese instante accione un cronómetro y mida 50 veces el tiempo que tarda el agua en desalojar completamente el recipiente. Si es posible mida al mismo tiempo con varios cronómetros. 3.- Estime y anote el error de apreciación que se escribe como la suma de la incertidumbre en la medición más el tiempo de reacción al accionar el cronómetro. EXPERIMENTO IV
Mida la masa de las 50 canicas una por una en la balanza granataria, luego mida la masa total. EXPERIMENTO V
Lance un par de dados y sume el valor de las caras superiores. Repita la operación 50 veces y h aga una tab la de dato s.
ANÁLISIS DE RESULTADOS
EXPERIMENTO I
1.- Organice una tabla de datos de las mediciones realizadas indicando la frecuencia de cada una de las medidas. 2.- Obtenga en papel milimétrico el histograma de frecuencias. 3.- Según el diagrama anterior, agrupe los datos en intervalos adecuados con el fin de obtener aproximadamente la gráfica continua en forma de campana. 4.- Calcule el promedio y la desviación estándar, escriba el intervalo [x - , x + ] con el número correcto de cifras significativas. Grafique este intervalo en la gráfica realizada. 5.- Cuente el número de mediciones que caen dentro del intervalo del inciso anterior y obtenga el porcentaje que representa ese número del total. Compare con el porcentaje predicho por la teoría. Haga lo mismo para el intervalo [ x - 2 , x +2 ]. 6.- En todos los experimentos de esta práctica, en caso de que existan mediciones “sospechosas”, aplique los criterios de rechazo de datos. EXPERIMENTO II
1.- Repita los tres pasos del análisis para el Experimento I. 2.- Obtenga el valor promedio de las mediciones. 3.- Calcule el error absoluto y el error relativo en cada ca so y construya una tabla como se indica.
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Número mediciones
de Error absoluto ?
M
Error relativo
Error porcentual
?
?
% Error promedio ____________________ 4.- Calcule la desviación estándar con el número correcto de cifras significativas y obtenga el intervalo [ x - , x + ], grafíquelo. 5.- Repita el punto 5 del análisis del experimento anterior. EXPERIMENTO III
Realice el mismo análisis del experimento anterior. EXPERIMENTO IV
1.- Obtenga la masa promedio de las canicas sumando la masa de cada una de ellas y dividiendo entre el número de canicas. 2.- Obtenga la desviación estándar y escriba: m = m ± m
3.- Ahora vuelva a obtener la masa promedio utilizando el dato de la masa total de las canicas. Obtenga el error porcentual de este valor con respecto a m. EXPERIMENTO V
1.- Construya una tabla de frecuencias para cada uno de los valores de la variable (2, 3, 4, ... , 12). 2.- Dibuje el histograma correspondiente. 3.- Calcule la media y la desviación estándar. 4.- Obtenga el promedio de los promedios de todos los equipos. 5.- Calcule la probabilidad de cada valor posible de la variable, por ejemplo: P(2) = 1/36,
P(5) = 1/9
6.- Determine las desviaciones porcentuales entre las frecuencias relativas y las probabilidades para cada valor de la variable. 7.- ¿Cuál es el valor más probable? En cuanto a sus resultados, ¿Qué espera del valor x cuando el número de eventos no sea 200 sino que tienda a ?
CUESTIONARIO 1.- ¿Depende s del número de mediciones? ¿Depende del proceso de medición? Explique. 2.- Si se desea saber cuál es la probabilidad de que al arrojar una moneda se obtenga "águila" puede tomarse una moneda y hacer una serie de 100, 200 ó 1000 tiradas, ¿Será esto equivalente a tomar 100, 200 ó 1000 monedas y lanzarlas en una sola tirada? 3.- Si solamente cuenta con una regla graduada en milímetros, ¿Cómo puede obtener el espesor de una hoja de su cuade rno? 4.- Utilizando los datos del Experimento IV y el criterio que se dio en la introducción teórica, ¿rechazaría alguna de las mediciones?, o bien ¿hay alguna canica muy defectuosa?
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