Laboratorio de Mecánica y Ondas
A. Cros, A. Cantarero y C. Ferrer Modificado por E. Ros. J.A. Font y J.A. Muñoz
OSCILACIONES ACOPLADAS Frecuencias propias de un sistema oscilante
Objetivos: Estudiar los modos normales y las frecuencias propias de vibración de un sistema de osciladores acoplados. Material Utilizado: Utilizado: Carril de aire, carritos deslizantes con accesorios, muelles, cronómetro.
1. Introducción teórica El movimiento de cualquier sistema oscilante puede estudiarse en función de las coordenadas normales. Cada una de estas coordenadas tiene asociado un modo normal de vibración caracterizado por oscilar a una frecuencia bien definida, su frecuencia propia. El movimiento del sistema, por complicado que sea, puede describirse como una superposición de modos normales de vibración. En un sistema con n grados de libertad habrá n modos normales de vibración. La identificación de cada uno de estos modos nos permite entender el comportamiento del sistema en situaciones más complicadas, como por ejemplo, bajo la acción de una perturbación externa (vibraciones forzadas). El método de los modos normales es muy útil en el estudio de sistemas oscilantes. En particular se utiliza para analizar las oscilaciones del campo magnético y el movimiento microscópico en sólidos cristalinos. 1.1 Frecuencias propias de vibración
Supongamos que tenemos un sistema oscilante sencillo compuesto por dos cuerpos de masas m1 y m2 unidas por muelles de constantes k 1 , k 2 y k 3 , como se muestra en la Figura. Si nos limitamos al estudio del movimiento en una dimensión, el sistema resultante tendrá dos grados de libertad representados por las coordenadas de las masas m1 y m2 medidas a partir de la posición de equilibrio, que designaremos como x 1 y x 2 . Las ecuaciones de movimiento del sistema pueden obtenerse utilizando la segunda ley de Newton. Teniendo en cuenta que la fuerza recuperadora de cada muelle es proporcional a su elongación y analizando con detalle su acción sobre cada una de las masas del sistema, obtendremos las fuerzas F 1 y F 2 aplicadas a m1 y m2 : F 1 F 2
=
" k 1 x1 " k 2 ( x1 " x 2 )
=
" k 3 x 2 " k 2 ( x 2 " x1 )
Práctica 7. Oscilaciones Oscilaciones Acopladas Acopladas
(1)
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Aplicando la segunda ley de Newton tendremos que F 1 m1 x˙˙1 y F 2 m2 x˙˙2 , donde hemos utilizado la notación x para indicar la derivada de x respecto al tiempo. Este resultado, junto con la expresión de las fuerzas (1), nos permite escribir las ecuaciones de movimiento del sistema oscilante como: =
=
˙ ˙
˙˙1 m1 x
k 1 x1
+
˙˙2 m2 x
+
k 2 ( x1 " x 2 )
+
k 3 x 2
+
=
k 2 ( x 2 " x1 )
0
=
0
(2)
El movimiento del sistema queda determinado por un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas. Para calcular las frecuencias propias del sistema probamos una solución oscilante de la forma: x1 ( t ) x 2 ( t )
Sustituyendo
x
1
y
x
2
Ae
=
=
i" t
Be
(3)
i" t
en (2) obtenemos el sistema de ecuaciones: ( k 1 + k 2
" m1#
" k 2 A
( k 2
+
+
2
) A " k 2 B
0
=
2
k 3 " m2# ) B
0
=
(4)
Para que este sistema homogéneo tenga una solución distinta de A B 0 , una ecuación deberá ser combinación lineal de la otra, con lo que el determinante de los coeficientes se anulará: =
k 1
+ k
2
" m1#
2
" k 2
" k 2
k 2
+ k
3
" m2#
2
=
=
(5)
0
Resolviendo la ecuación resultante se obtienen las frecuencias propias del sistema: k 1
= " 1,2
2 m1
+
k 3
2 m2
+
k 2
2 µ
$ k 1 + k 2 k 3 + k 2 ' & 2m # 2m ) % 1 2 (
±
2
2
+
k 2
m1m 2
(6)
Donde se ha llamado µ a la masa reducida: µ = m1m2 /( m1 + m2 ) . Puesto que el sistema considerado tiene dos grados de libertad obtenemos dos frecuencias propias de oscilación, " 1 correspondiente al signo + y " 2 para el signo - en la Ecuación (6). Para finalizar el cálculo es necesario determinar la relación entre las amplitudes A y B, que será diferente para cada una de las frecuencias obtenidas. Introduciendo el valor de " 1 y " 2 en una cualquiera de las Ecuaciones (4) y despejando obtenemos: B
para m y 1
i
=
m
2
=
k 1
+
2
k 2 " m1# i k 2
A
(7)
1,2 . Este resultado nos da la relación entre los desplazamientos de las masas
en cada instante. Utilizando la Ecuación (3) obtenemos: x 2 ( t ) x1 ( t )
=
k 1
+ k
2
2
" m1# i
k 2
(8)
Utilizaremos esta relación para imponer las condiciones iniciales del sistema (t = 0) a la hora de obtener cada uno de los modos de vibración. El resultado se simplifica en algunos casos particulares que son interesantes en la práctica. 1.
m
1
=
m
2
=
m
;
k 1
=
k 2
=
k 3
=
k
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Es el sistema de osciladores acoplados más sencillo que puede darse. Sustituyendo en las Ecuaciones (6) y (7) obtenemos las frecuencias propias y la relación entre amplitudes para los dos modos de oscilación correspondientes: 3k "
=
1
m
# B
=
$ A
Modo Antisimétrico (9)
k "
2
=
m
# B
=
A
Modo Simétrico
En el modo simétrico las dos masas vibran en fase, mientras que en el modo antisimétrico las oscilaciones se producen en oposición de fase (Figura 2). 2.
m
1
"
m
2
;
k 1
=
k 2
=
k 3
=
k
La expresión para las frecuencias propias es: k $
&1 ± %
" = 1,2
µ &
' 1 # 3 ) 2 (m1 + m 2 ) )( m1m 2
(10)
Siguen existiendo dos modos, uno simétrico y uno antisimétrico, pero ahora las masas vibran con amplitudes diferentes que dependerán del valor concreto de m1 y m2. En la figura se han representado los modos de vibración antisimétrico, (a), y simétrico, (b).
Sólo es posible obtener relaciones sencillas entre las amplitudes para determinadas relaciones entre las masas. Un caso de particular interés es aquel en el que 2 m2 2 m . Las frecuencias propias son aproximadamente: m 1 =
=
"
1
=
# %1 + $
& 3k ) B = * 1 + ( 3 ' 2m
1
(
)
3 A
Modo Antisimétrico (11)
"
2
3.
m
1
=
m
2
=
m
;
=
k 2 " k 1
$ &1 # %
=
k 3
' 3k * B = #1 + ) 3 ( 2m
1
=
(
)
3 A
Modo Simétrico
k
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En este caso tenemos dos osciladores idénticos acoplados por medio de un muelle de constante diferente k 2 . Las frecuencias propias y los modos de oscilación serán: " 1 =
k + 2 k 2 m
# B
=
$ A
(12) k " 2
=
m
# B
=
A
2. Descripción del sistema experimental 2.1. El carril de aire El carril de aire es un perfil de aluminio en el que se introduce aire a presión y se utiliza para disminuir el efecto del rozamiento en determinadas experiencias físicas. Está diseñado para que el movimiento de los deslizadores o carritos que se desplazan sobre él se produzca en una dimensión. La alimentación de aire comprimido se obtiene a partir de los sopladores disponibles en el laboratorio. Para el buen funcionamiento del soplador, es necesario utilizarlo siempre a su potencia máxima. 2.2. Los carritos o deslizadores Cada deslizador está compuesto por un perfil triangular de aluminio con dos orificios en los extremos que permiten acoplar los muelles. Hay asimismo dos masas suplementarias que permiten variar la masa de los carritos. Colocar estas masas siempre de forma simétrica a ambos lados del carrito, con el fin de minimizar el rozamiento.
3. Medidas a realizar En primer lugar deben conocerse las masas de los carritos y de los pesos adicionales. Para ello puede utilizarse una de las balanzas que hay en el laboratorio. Realizar las siguientes medidas: a) Determinar la constante elástica de cada uno de los muelles utilizados en el experimento. Para ello se sujeta uno de los carritos a los soportes fijos por medio de dos muelles iguales (k 1 = k 2). En todo caso los muelles deben estirarse con moderación para evitar que la deformación sea permanente. Desplazar el carrito ligeramente de su posición de equilibrio y medir el período de sus oscilaciones utilizando un cronómetro. Para disminuir el error de la medida es conveniente medir el tiempo transcurrido durante al menos diez oscilaciones completas y calcular el período dividiendo el resultado por el número total de oscilaciones. Realizar el experimento varias veces para reducir el error en la medida. Obtener los valores de la frecuencia propia w y de la constante elástica k con su error para cada pareja de muelles. ¿Cómo se relaciona la frecuencia propia del sistema con la constante elástica de los muelles? ¿Cómo se modifica la Ecuación (6) si la masa m2 es infinita? Comparar ambos resultados.
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b) Estudiar el sistema compuesto por dos masas iguales unidas por muelles iguales. Deberán estudiarse los dos modos de vibración por separado: el modo simétrico de vibración se obtendrá separando ambas masas de su posición de equilibrio una distancia igual y en el mismo sentido. El modo antisimétrico se obtiene separando las masas una distancia igual pero en sentidos opuestos. Medir la frecuencia propia de vibración de cada uno de los modos utilizando el cronómetro y comprobar las relaciones (9). Obtener cada una de las frecuencias propias con su error. La frecuencia del modo simétrico es menor que la del antisimétrico. Pensando en cómo se deforman los muelles en cada modo, ¿por qué crees que ocurre esto? ¿De qué depende la energía total del sistema? c) Estudiar el sistema compuesto por dos masas distintas unidas por muelles iguales de forma análoga a como se hizo en el apartado anterior. Para obtener los modos de oscilación correctamente es conveniente calcular primero la relación de amplitudes (B / A) correspondiente a las masas escogidas. El estudio se simplifica para el caso m1 = 2m2 (Ecuación (11)), por lo que se recomienda realizar la práctica con esta relación de masas. d) Estudiar el sistema consistente en dos masas iguales acopladas por tres muelles, siendo el muelle intermedio de constante diferente. e) Demostrar teóricamente que en el caso un sistema de tres cuerpos de igual masa acoplados por medio de muelles idénticos, las frecuencias propias y modos de vibración son tres, una por cada grado de libertad (por cada masa que se mueve en una dimensión): 2 k "
2
=
m
% B 0 #& 'C $ A =
=
(13) = " 2,3
(2
)
2 k
±
m
$B = ! 2 A #% & C = A
Realizar estos cálculos en casa y reflejarlos en el cuaderno antes de la sesión de análisis de datos. f) Realizar el estudio experimental de dicho sistema de tres masas, midiendo la frecuencia propia (con su error) de los tres modos de vibración comprobando las relaciones anteriores. Para hacerlos oscilar adecuadamente es necesario que las amplitudes iniciales sean las adecuadas. Estas amplitudes vienen dadas por la relación entre A, B y C que aparecen en el punto anterior. Por ejemplo, en el primer modo, el carrito de en medio (B) permanecerá en reposo en su posición de equilibrio, mientras que los de los extremos ( A y C ) se desplazarán la misma distancia pero en sentidos opuestos (puesto que C = -A). Una forma sencilla de colocar los carritos en las posiciones adecuada consiste en apuntar sus posiciones de equilibrio, apagar el aire, situarlas en las nuevas situaciones y volver a conectar el aire (siempre a máxima potencia). De esta forma nos aseguramos que todos los carritos iniciarán el movimiento simultáneamente. Describe en tu cuaderno, mediante un dibujo esquemático, cómo es el movimiento de los carritos para cada uno de los tres modos de vibración en este último caso. Práctica 7. Oscilaciones Acopladas
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Para cada sistema analizado (dos masas iguales, dos masas distintas, muelle diferente y tres masas iguales) es necesario comparar las frecuencias propias obtenidas experimentalmente con las frecuencias propias que se obtienen teóricamente, una vez conocido el valor de k . Escribir las distintas frecuencias (con su error) en una tabla, comentando el resultado. En qué modos se asemejan más las frecuencias experimentales a las teóricas, en los simétricos o en los antisimétricos?¿por qué crees que ocurre esto? ¿Cuál será la expresión de las frecuencias de vibración de un sistema con una sola masa y dos muelles si tenemos en cuenta el rozamiento viscoso? Consulta un libro de mecánica.
4 Curiosidades y aplicaciones. Mejora tu intuición física Las moléculas tienen sus átomos ligados entre sí por medio del enlace químico. Este enlace no es completamente rígido, sino que cada átomo puede vibrar en cierta medida alrededor de su posición de equilibrio. Desde el punto de vista vibracional, el enlace se asemeja a un muelle, y el movimiento de los átomos puede describirse estudiando los modos de vibración de la molécula. Supón que en una molécula formada por los átomos A y B sustituimos el átomo B por un isótopo, C, más pesado pero con las mismas características químicas. A la vista de tu experiencia en esta práctica, ¿cómo crees que cambiará la frecuencia de vibración de los modos normales? El método de “sustitución isotópica” se emplea para identificar de forma clara variedades atómicas a través de las propiedades vibracionales de las moléculas de las que forman parte. El concepto de “modos normales de vibración” es ampliamente utilizado tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica, no sólo para describir vibraciones atómicas, sino también para analizar las propiedades del campo magnético y de diversas interacciones, como puede ser la interacción luz-materia.
Bibliografía J. B. Marion, Dinámica clásica de las partículas y sistemas, Ed. Reverté, 1976.
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