Operaciones Unitarias I -TRANSFERENCIA DE MASA Y DIFUSIÓN

UNIDAD I: TRANSFERENCIA DE MASA Y DIFUSIÓN Transferencia de masa se defne defne como el proceso proceso natural natural o asistido en el cual se transfere materia de una región de alta concentración a otra de baja concentración, esta dierencia o gradiente de concentración se conoce como fuerza impulsora. impulsora . La masa puede transerirse por medio difusión) o del movimiento molecular ortuito en lo uidos en reposo ( difusión) puede transerirse de una superfcie a un uido en movimiento ayudado por las características dinámicas del uido de los uidos en contacto conducción). stos dos modos dierentes de transerencia de masa (conducción). molecula molecularr y convecti convectiva va son análogo análogos s a la transer transerenci encia a de calor calor por conducción y por convección.  !ranser  !ranserencia encia de calor calor

!ranserencia ranserencia de masa masa

"onvecci ón ´ Q cond=− k∙ A∙

 dt  dz

´  A , dif =− D AB ∙ A ∙ m

 d ρ A dz

"onducci ón ´ conv =hconv ∙ ( T s −T ∝ ) Q

m ´ conv =hmasa ∙ ( C s−C ∝)

DIFUSIÓN MOLECULAR #ajo el t$rmino diusión se entiende la transerencia de masa en una ase, %ue se eect&a por un gradiente gradiente de potencial potencial %uímico, e%uilibrando el gradiente solamente por un movimiento molecular. l transporte de materia en sistemas multicomponentes está inuido por gradientes de concentración' a parte de los gradientes de concentración tambi$n los gradientes de temperatura y de presión pueden tener su importancia. La diusión a base de gradientes de concentración se denomina diusión

ordinaria. stá diusión ordinaria es la base del análisis de diusión multicomponente. arrot (*+) observo %ue en cual%uier sistema donde eiste dos o mas especies moleculares con concentraciones %ue varían de un punto a otro, esta sometido aun proceso tal %ue disminuye la dierencia de concentración entre estos dos puntos. -dol ic/ observo eperimentalmente %ue el ujo de molecular (diusión) de una especie en un medio en reposo a temperatura y presión contante es proporcional al gradiente de concentración. ara un sistema en el ujo de masa total (n) es nulo (012), ic/ determinó, para el ujo de diusión de - en #, %ue3 n A =− D AB ∙ ∇  ρ A

4onde

 D AB  es el coefciente de diusión de la me5cla binaria

6ás tarde se denominó como la Ley de difusión de Fick , %ue establece %ue la “razón de difusión de masa,

m ´ dif 

, de una especie A en un medio en reposo

es proporcional al gradiente de la concentración

∇ ρ A

  en esa dirección” .

7root (8+), propuso una relación mas general del ujo %ue no esta restringido a sistemas isot$rmico isobáricos. 4eterminando %ue3  Flujo=−( densidadtotal ) ∙ ( coeficiente de difusión ) ∙ ( gradientedeconcentración ) 9

  A =−c ∙ D AB ∙

 d !  A d"

"omo la concentración total, c es contante bajo condiciones isot$rmicas e isobáricas, una epresión e%uivalente, %ue corresponde a

 j A , z

, %ue es el

ujo de masa en dirección de 5, relativo a la velocidad promedio de la masa, es3

 j A , z=− ρ∙ D AB ∙

4onde.

d # A d"

d # A d" es el gradiente de concentración en unción de la racción de

masa. "uando la densidad es contante, esta relación se simplifca, %uedando así3

 j A , z=− D AB ∙

 d ρ A ( 1) d"

n un sistema binario con velocidad media constante en dirección de 5, el ujo molar en la dirección de 5, relativo a la velocidad molar media se puede epresar tambi$n se epresar de la manera siguiente3

 j A , z=C  A ∙ ( v A , z −$  z ) ( 2 ) :i se igualan las epresiones  y ;, se obtiene3

 j A , z=− D AB ∙

 d ρ A =c A ∙ ( v A , z −$  z ) d"

4e lo cual nos %ueda3

c A ∙ v A , z =− D AB ∙

d ρ A + c A ∙ $  z ( 3 ) d"

:e puede evaluar

$  z

 para este sistema binario por medio de ecuación de la

velocidad promedio o medida de la masa o molar, en la orma3 1

$  z =  ∙ ( c A ∙ v A , z− c B ∙ v B , z ) ( 4 ) c -l sustituir esta epresión (<) en la relación %ue se tiene (=), se obtiene3

c A ∙ v A , z =− D AB ∙

d ρ A c A ∙ ( c ∙ v −c ∙ v ) + d" c  A  A , z B B , z

De"%&&ines Le' Fi& , establece %ue la ra5ón de diusión de masa,

m ´ dif  , de una especie -

en un medio en reposo, en la dirección 5, es proporcional al gradiente de la concentración

d C  A

´  A , dif =− D AB ∙ A ∙ m

d% 

 en esa dirección.

 d ρ A d ρ A ∴   =− D AB ∙ dz dz  A

V= 0 (sistema en reps! Baja concentración de Sal  VA V"i#$A

 Alta concentración de Sal 

igura >? , !ranserencia de masa por diusión de una especie - en dirección de @, en #. n principio esta ley se Aa limita a considerar a la diusión en un medio en reposo (012)' por ende, el &nico movimiento %ue interviene es el de infltración de las mol$culas en la dirección de la concentración decreciente y no se tuvo movimiento de la me5cla como un todo, ver fgura >? , >o obstante, la velocidad de una especie (0 -) es sencillamente la velocidad de diusión, la cual, es la velocidad promedio de un grupo de mol$culas( difusión molecular, V dif  ) , en ese lugar, movi$ndose por la inuencia del gradiente de concentración.

:i consideramos %ue el sistema no se encuentra en reposos, es decir, %ue el velocidad de una especie (0 -) es igual a la suma de la velocidad del ujo de masa por movimiento molecular (difusión molecular, V dif  ) y por el movimiento ayudado por la características dinámicas del sistema ( convección, V ).

$  A =$ + $ dif  Bgualmente se podría epresar de la manera siguiente3

 A ∙ ρ A ∙ $  A = A ∙ ρ A ∙$  + A ∙ ρ A ∙$ dif  4onde  ρ A = Densidad de A

 A = readela secció n transversal NOTA:  l gasto de masa en cual%uier sección del ujo se epresa como m ´ = ρ ∙ A ∙ $  , la relación de conservación de la masa para el ujo en una me5cla %ue comprende las dos especies - y #, puede epresarse como3

m ´ =m ´  A + m ´B o

 ρ ∙ A ∙ $ = ρ A ∙ A∙$  A + ρB ∙ A ∙ $  B  6odelo generali5ado n

n

´ =∑ m ´ i =∑  ρ i ∙ A ∙ $  i m i =0

i =0

4e lo cual se obtiene %ue3

 ρ ∙ A ∙ $  A  + ρB ∙ A ∙ $  B  ρ A ∙ $  A + ρ B ∙$ B $ =  A =  ρ ∙ A  ρ or lo tanto3  A ∙ ρ A ∙ $  A = A ∙ ρ A ∙

( ρ A ∙ $  A + ρ B ∙ $ B )  ρ

+ A ∙ ρ A ∙ $ dif 

 A ∙ ρ A ∙ $  A =' A ∙ ( A ∙ ρ A ∙ $  A + A ∙ ρB ∙$  B ) + A ∙ ρ A ∙$  dif  m m A + m´ B ) + m ´  A= ' A ∙ (  ´ ´  A , dif  :i se aplica la Ley de de ic/ de diusión, pueden epresarse los ujos totales

m ´  j = de masa,  A , como

 j A ='  A ∙ ( j A + jB )− D AB ∙ ρ ∙

d ' A  ρ A  d ρ ∙ ( j A + j B ) − D AB ∙  A = dz  ρ dz

presión del ujo molar.

 (  A = " A ∙ ( (  A + ( B ) − D AB ∙ C ∙

 d " A C  A d C  ∙ ( (  A + ( B )− D AB ∙  A = dz C  dz

Di#%si)n m*e&%*ar en esta" esta&inari en +%, *aminar"onsiderando un sistema en estado estacionario donde de una especie - se diunde en el sentido 5 &nicamente, N A y NB, son constantes, y se considera %ue l coefciente de diusión es constante, entonces de la ecuaciones anteriores se tiene %ue3

 (  A =

C  A  d C   d C  ∙ ( (  A + ( B ) − D AB ∙  A ⟹ C ∙ (  A =C  A ∙ ( (  A + ( B ) −C ∙ D AB ∙  A C  dz dz

C ∙ D AB ∙

 d C  A =C  A ∙ ( (  A + ( B ) −C ∙ (  A ⟹ C ∙ D AB ∙ d C  A =( C  A ∙ ( (  A + ( B ) −C ∙ (  A ) ∙ dz dz

C  A , 1

∫ C  A , 0

% 

d C  A

( C  ∙ ( (  + (  ) −C ∙ (  )  A

 A

B

=∫ 0

 A

dz C ∙ D AB

-plicando el cambio de variable

u=( C  A ∙ ( (  A + ( B ) −C ∙ (  A ) ∴ d C  A = 1

( (  A + ( B )

 (  A =

(

∙ ln

du ( (  A + ( B )

C  A , 1 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A C  A , 0 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A

)

=

%  C ∙ D AB

(

C  A , 1 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A  (  A C ∙ D AB ∙ ∙ ln C  A , 0 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A ( (  A + ( B ) % 

)

Di#%si)n en esta" esta&inari "e A a tra./s "e* "i#%n"ente :i # no se diunde entonces NB!, por lo tanto  (  A =

 (  A =

(  A

( (  A +0 ) C ∙ D AB % 

 ∙

(

)

(

C  A , 1 ∙ ( (  A + 0 ) −C ∙ (  A  (  A C ∙ D AB C ∙ D AB ( C  A , 1−C ) ∙ (  A = ∙ ln ∙ ∙ ln %  %  C  A , 0 ∙ ( (  A + 0 ) −C ∙ (  A  (  A ( C  A , 0−C ) ∙ (  A

∙ ln

(

C −C  A , 1 C −C  A , 0

)

)

uesto

C − C  A =C B

%ue

C B , 1−C B , 0=−( C  A , 1−C  A , 0 ) ∴

y

C  A , 0−C  A , 1 =1 C B ,1 −C B , 0

entonces3 C ∙ D AB C  A , 0−C  A , 1 C B , 1 C ∙ D AB C  A , 0−C  A , 1 = (  A=  (  A = ∙ ∙ ln ∙ %  C B , 1−C B , 0 C B , 0 %  C B , m

( )

4onde C B ,m =

C B , 1−C B , 0 ln

( ) C B , 1 C B , 0

Cntra"i#%si)n e1%im*ar en esta" esta&inari  (  A =

 ( B =  (  A + ( B=

C  A C 

C  A C 

∙ ( (  A + ( B ) − D AB ∙

(

C  A C 

+

dz

C B  d C B ∙ ( (  A + ( B )− DBA ∙ C  dz

∙ ( (  A + ( B )− D AB ∙

 (  A + ( B=

d C  A

C B C 

)

d C  A dz

+

C 

∙ ( (  A + ( B ) − DBA ∙

∙ ( (  A + ( B ) − D AB ∙

 (  A + ( B=( 1 ) ∙ ( (  A + ( B )− D AB ∙ 0 =− D AB ∙

 D AB ∙

C B

d C  A

d C  A dz

dz

− D BA ∙

− DBA ∙

d C B dz

d C B dz

d C B dz

d C  A d C B − D BA ∙ dz dz

 d C  A  d C B =− D BA ∙ dz dz  (  A =− ( B

Di#%si)n en esta" esta&inari en me2&*as m%*ti&mpnentes

 D A , m=

1 − ! A n

 ! i ∑  D i =B  A ,i

3- Di#%si)n m*e&%*ar en 4ases :uponiendo comportamiento ideal

 )∙ $ = n ∙ * ∙ T  ∴

n )  = =C  $   * ∙ T 

Di#%si)n m*e&%*ar en 4ases en esta" esta&inari en +%, *aminar ) A , 1 ∙ ( (  A + ( B )− )t ∙ (  A  (  A  D ∙ )  (  A = ∙  AB t  ∙ ln ( (  A + ( B ) % ∙ * ∙ T    ) A , 0 ∙ ( (  A + ( B )− ) t ∙ (  A

(

)

Di#%si)n en esta" esta&inari "e a tra./s "e* "i#%n"ente -

( )

 D AB ∙ ) t   ) A , 1− ) A , 0  ) B , 1  D AB ∙ )t   ) A , 0− ) A , 1 = (  A=  (  A = ∙ ∙ ln ∙ ´ B ,m % ∙ * ∙ T    )B , 1− ) B ,0  ) B , 0 %∙*∙T   ) 4onde ´  ) B , m=

 )B , 1− )B , 0  ) B, 0− )B, 1 ln

=

( ) ( )  ) B, 1  ) B, 0

ln

 ) B , 0  ) B , 1

Cntra"i#%si)n e1%im*ar en esta" esta&inari 3 lo cual implica %ue  ( B =− (  A , por lo cual la siguiente ecuación se simplif%ue de3

 (  A = " A ∙ ( (  A + ( B ) − D AB ∙ C ∙

 d " A dz

-

 (  A =− D AB ∙ C ∙

d " A  d C  A =− D AB ∙ dz dz

:abiendo %ue la concentración se debe escribir en unción de la presión por la naturale5a gaseosa de la ase se tiene %ue3 n A ) A d) A C  A =  = ∴ d C  A = $   * ∙T   * ∙ T  :ustituyendo esta epresión en la %ue la antecede se tiene %ue

 (  A =

− D AB

 d) A − D AB ∙ d) A ∴ (  A ∙ dz =  * ∙ T  dz  * ∙T  ∙

Bntegrando se obtiene3 % 

 ) A 1

∫ (  A ∙ dz= ∫ 0

 ) A 0

− D AB − D AB ∙ d) A ∴ (  A ∙ % = ∙ ( ) A 1− ) A 1 )  * ∙T   * ∙ T 

inalmente se obtiene %ue − D AB  (  A =  ∙ ( ) − ) A 0 )  * ∙ T ∙ %   A 1

5- Di#%si)n m*e&%*ar en *i1%i" Di#%si)n m*e&%*ar en *i1%i" en esta" esta&inari en +%, *aminarC  A , 1 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A  (  A C ∙ D AB  (  A = ∙ ∙ ln C  A , 0 ∙ ( (  A + ( B )−C ∙ (  A ( (  A + ( B ) % 

(

)

Di#%si)n en esta" esta&inari "e A$ a tra./s "e* "i#%n"ente  ρ ∙ D AB C  A , 1 −C  A ,0 C  C ∙ D AB C  A , 0− C  A ,1  (  A = ∙ ∙ ln B , 1 = (  A = ∙ %  C B , 1 −C B , 0 C B , 0 %  C B , m

( )

4onde

C B ,m =

C B , 1−C B , 0 C B , 1 ln C B , 0

( )

COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA l mecanismo del proceso de ujo en %ue intervienen los movimientos de los remolinos en la región turbulenta no se Aa entendido completamente. :ucede lo contrario con el mecanismo de la diusión molecular, al menos para gases, el cual se conoce bastante bien, puesto %ue puede describirse en unción de una teoría cin$tica %ue proporciona resultados %ue están de acuerdo con los eperimentales. or lo tanto, es natural %ue la rapide5 de la transerencia de masa a trav$s de varias regiones desde la superfcie Aasta la 5ona turbulenta, se trate de describir de la misma orma en %ue, por ser adecuados, se describió la diusión molecular.

 !abla >? . !abla comparativa entre la diusión molecular y convección en la ase gaseosa. 4iusión molecular "onvección  D AB ∙ ) t   ) A , 0− ) A , 1  (  A = ∙ ´ B ,m %∙*∙T   )

 (  A =k + ∙ ( ) A , 0− ) A , 1 )

:i observamos las epresiones descritas en la tabla >?  de diusión y convección en la ase gaseosa, se podría deducir %ue3   +=

 D A B ∙ )t 

∙

1

´ B ,m % ∙ * ∙ T    )

4onde

´  ) B,m

se puede de fnir como la d ierencia de presión media

logarítmica, siendo este parámetro independiente del tipo de transerencia de masa (diusión molecular o convección). or tanto el t$rmino

 D AB ∙ )t / % ∙ * ∙ T   , orma generali5ada  D AB ∙ c / z  , es característica

de la diusión molecular en la ase gaseosa, se reempla5a por F, un coefciente de transerencia de masa. "uando la diusión cambia de molecular con un comportamiento laminar a turbulenta, los coefciente de transerencia de masa ( F), deben ser evaluados a trav$s de correlaciones con n&meros adimensionales, %ue incorporen el enómeno del transporte del sistema. 4iusión molecular

"onvección

 D ∙ )  F =  AB t  % ∙*∙ T 

F =f  ( ℜ ,(u,-c,-h,)e,-t )

s posible %ue no sea plana la superfcie a trav$s de la cual sucede la transerencia de masa' si así sucede, la trayectoria de diusión en el uido puede tener una sección transversal variable' en ese caso, > se defne como el u en la interase de la ase, en donde la sustancia abandona o entra a la ase para la cual el coefciente de transerencia de masa es . >- es positiva cuando " - está en el principio de la trayectoria de transerencia y " -;  en el fnal. 4e cual%uier orma, una de estas concentraciones se encontrará en el límite de la ase. La orma en %ue se defna la concentración de - en el uido modifcará el valor de ' generalmente se establece de orma arbitraria. :i la transerencia de masa ocurre entre un límite de ase y una gran cantidad de uido no limitado, como cuando una gota de agua se va evaporando al mismo

tiempo %ue va cayendo a trav$s de un gran volumen de aire, la concentración de la sustancia %ue se diunde en el uido se toma generalmente como el valor constante %ue se encuentra a grandes distancias del límite de la ase.

TRANSFERENCIA DE MASA DE MASA ENTRE FASE . Casta aAora si Aa estudiado la diusión en una sola ase, sin embargo, se sabe %ue las operaciones unitarias se referen a la transerencia de masa de una ase a otra. or lo tanto, supóngase un compuesto  A  %ue se diunde desde la ase gaseosa a una ase li%uida, a trav$s de un área de separación de ambas ases, denominada área interacial.

igura >? , erfl de variación de la concentración del agua. - medida %ue  A, llegue a dicAa área y se diunde en el li%uido la concentración de - se incrementa en el li%uido Aasta generar una diusión en sentido contrario, la cual despu$s de un cierto tiempo t, tendrá una velocidad contante y e%uivalente a la primera, roduci$ndose una velocidad neta de diusión igual a cero, es decir, un e%uilibrio dinámico.

E1%i*i6ri:eg&n lo epuesto anteriormente pude entonces ilustrarse la condición del e%uilibrio, mediante representación grafca de la cantidad de - en cada ase para unas condiciones de presión y temperatura del sistema.

Di#%si)n inter#a&ia* "omo uer5a motri5 del proceso de transerencia de masa interacial esta relacionada con el alejamiento del e%uilibrio, en cada ase' se integra el estudio de la diusión de las dos ases, a trav$s de un área de contacto o área interacial, donde las concentraciones interaciales son las concentraciones de e%uilibrio, las cuales se eval&an a trav$s de la teoría de doble resistencia. 4icAa teoría involucra el estudio de la transerencia el estudio de la transerencia de masa de un componente - de una ase a otra, a la resistencia %ue orece cada una a la diusión integrada con las condiciones de e%uilibrio, mediante el siguiente análisis.

7rafco >? ;. 4iagrama del concepto de la doble resistencia (i5%uierda) y el grafco del alejamiento de las concentraciones de las ases totales del e%uilibrio (derecAa) 4el grafco del alejamiento de las concentraciones de las ases totales del e%uilibrio se puede obtener %ue, la ecuación de la pendiente sea3

 )endiente= m1=

 . !  ! A , +− ! A ,i =  . "  /  A , 0− /  A , i

:in embargo, para la transerencia de masa en estado estacionario, la rapide5 con la cual - alcan5a la interase del gas debe ser igual a a%u$lla con la cual se diunde en el lí%uido, de tal orma %ue no Aaya acumulación o agotamiento de - en la interase. or lo tanto, el de ujo de diusión de - se puede escribir en unción de los coefcientes de transerencia de masa respecto de cada ase y de los cambios de

concentración apropiados para cada una. or lo tanto, cuando k  "  y k  y  son los coefcientes aplicables en orma local.

 (  A =k  " ∙ ( /  A ,i − /  A , 0) =k  ! ∙ ( ! A , +− ! A ,i ) inalmente %uedando %ue3

 (  A ! − ! k  −k   )endiente= m1=  A , +  A ,i =  ! =  "  /  A , 0− /  A , i − (  A k  ! k  " sta pendiente permite evaluar los coefcientes en cada ase, en unción de las composiciones interaciales, las cuales son diíciles de medir, por lo %ue se re%uiere usar unas composiciones fcticias en el e%uilibrio, a trav$s de los coefciente globales, lo cuales estudian la transerencia de masa en unción una sola ase.

3- Fase 4asesa:

7rafco >? =. 7rafco del alejamiento de las concentraciones de las ases totales del e%uilibrio. n el grafco >? =, se puede observar %ue la recta de operación

( )1 )

defnida tiene esa dirección para indicar la transerencia del

gas al lí%uido. "omo eperimentalmente, es diícil evaluar la concentración interaciales, se plantea un artifcio matemático %ue elimine dicAa concentración en la ecuación de la recta de operación.

 ! A ,i − ! A¿ ¿ m 2= ∴  ! A , i− ! A = m 2 ∙ ( /  A ,i − /  A , 0 )  /  A , i− /  A , 0 ¿

ntendi$ndose por

 ! A

  como la mínima concentración de - en el

¿  /   A gas y  como la máima concentración de - en el lí%uido.

ara llevar acabo la simplifcación de la concentración interaciales, se puede establecer %ue3 ¿

¿

 ! A , +− ! A =( ! A , + − ! A ,i ) + ( ! A , i− ! A )

4e ambas epresiones se obtiene %ue3

 ! A , +− ! A¿ =( ! A ,+ − ! A ,i ) + m2 ∙ ( /  A , i− /  A , 0 ) or otro lado, se sabe %ue

 (  A =k  " ∙ ( /  A ,i − /  A , 0) =k  ! ∙ ( ! A , +− ! A ,i )=   ! ∙ ( ! A ,+ − ! A¿ ) or lo tanto, de las dos <imas epresiones se obtiene %ue3

 (  A  (  A m 2 ∙ (  A  (  A  (  A m2 ∙ (  A o = + = +    ! k  ! k  "   + k + k  0 inalmente 1

   !

=

1

k  !

+

m2 1 m2 1 o = + k  "   + k + k  0

 1

donde : esla resistencia encada fase k  l análisis de las ecuaciones %ue rigen la teoría de doble resistencia, radica en evaluar la máima resistencia a la transerencia de masa de cada uno de los caso, es decir, %ue si la resistencia a la transerencia de masa ocurre en la ase gaseosa solamente, por lo cual, se tiene %ue m;

es pe%ueDa entonces el termino

m 2 / k  " 2 0 , por lo cual,

   ! = k  ! 4icAa teoría de la doble resistencia, es aplicada al coefciente al coefciente local

 F = D AB / %  , para casos de soluciones no diluidas, o

de alta concentración (0er paginas ;E, ;F, !reybal)

5- Fase Li1%i"a:

7rafco >? <. 7rafco del alejamiento de las concentraciones de las ases totales del e%uilibrio. 4el grafco se puede deducir %ue3

 /  A¿ − /  A , 0= ( /  A¿ − /  A ,i ) + ( /  A , i− /  A , 0 ) -demás de3

m 3=

 ! A ,+ − ! A ,i  ! A , +− ! A ,i ¿  /   /  ∴ − =  A  A ,i  /  A¿ − /  A ,i m3

4e ambas epresiones se obtiene %ue3

 /  A¿ − /  A , 0=

(

 ! A , +− ! A ,i m3

)(

+  /  A ,i − /  A ,0 )

or otro lado, se sabe %ue

 (  A =   " ∙ ( /  A¿ − /  A ,0 )= k  " ∙ ( /  A¿ − /  A ,i )= k  ! ∙ ( ! A ,+ − ! A , i ) or lo tanto, de las dos <imas epresiones se obtiene %ue3  (  A    "

=

(  A m3 ∙ k  !

inalmente

+

 (  A k  "

1

   "

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1

+

1

m3 ∙ k  ! k  "

:i la resistencia a la transerencia de masa ocurre en la ase lí%uida solamente, por lo cual, se tiene %ue m= es muy grande entonces el termino

1 / m3 ∙ k  " 2 0

, por lo cual,

   " = k  "