11. SINIF
MATEMATİK MEB’in 11. Sınıf Matematik Müfredatına Eklediği Yeni Konu
İSTATİSTİK Konu Anlatımı Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık Ünitesi Ayrı Bir PDF Olarak Sitemizde Yer Almaktadır.
0 %10 etim r i Öğ mı n e Y gra Pro
Yazar Nihat Eminoğlu
Konu anlatımı kitabınız, Akıllı Öğretim Sistemi'nde “İnteraktif Z-KİTAP" olarak yer almaktadır: www.akilliogretim.com
İncirli Caddesi Santral Çıkmazı No: 27 Kat: 2 Bakırköy / İSTANBUL Tel: 0212 572 20 00 (pbx) Fax: 0212 572 19 49
İnternet üzerinden siparişleriniz için: www.okyanusokulkitap.com
Genel Yayın Yönetmeni Ali Rıza Bayzan Editörler Erdal Şen Halil İbrahim Küçükkaya Ümit Can
/ Dizgi Servisi (A.O.P)
Baskı Cilt
Nesil Matbacılık Tel: 0212 876 38 68
Yardımcı Ders Kitabı Seti’nin Akademik Sistem Tasarımı’nın her hakkı saklı olup tüm hakları Basım Yayın Tic. Ltd. Şti.’ye aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz, metin ve soruları aynen veya değiştirilerek elektronik, mekanik, fotokopi ya da başka türlü bir sistemle çoğaltılamaz, depolanamaz.
İÇİNDEKİLER
1. ÜNİTE: İSTATİSTİK İstatistik.................................................................................................... 8 - 28
Ýstatistik
Ýstatistik
Ýstatistik Maaþ
Ýstatistik
A
B
C
2009
650
700
720
2010
700
780
800
2011
780
850
900
Yýl
Araþtýrmalar yapýlmasý, verilerin toplanmasý ve toplanan verilerin belli yöntem ve tekniklerle ifade edilmesine istatistik denir.
Örneðin
Çözüm
Bir dersanenin uyguladýðý dört sýnavda dört öðrencinin Maaþ(TL)
yaptýðý net sayýsý aþaðýdaki tabloda verilmiþtir. Buna göre, tabloda verilenleri çizgi ve sütun grafiðin-
C
900
de ayrý ayrý gösterelim. Sýnav Öðrenci
1. sýnav
Ali
60
70
80
90
Murat
100
95
110
75
Hasan
80
90
120
125
2. sýnav 3. sýnav 4. sýnav
B
850 800 780
C B BC
720 700
A
A
650
2009 Seren
65
75
90
A
Yýl
2011
2010
120
Maaþ(TL)
Çözüm Öðrencinin neti
900
C
850
130 120 110 100 90 80 70 60
Hasan
800
Seren
750
B
700
Murat Ali
A
650 2009
1
2
Yýl
2011
Sýnav no
4
3
2010
Örneðin
Öðrencinin neti
Yetiþtirilen hayvan x (10 000)
130 120 110 100 90 80 70 60
30 25 15 10
1
2
3
4
Sýnav no
2008
2009
2010
Yýl
Büyükbaþ hayvan Küçükbaþ hayvan
Örneðin Tabloda üç memurun 3 yýlda maaþlarýndaki deðiþim görülmektedir.
Þekilde 3 yýllýk sütun grafiðiyle verilen küçükbaþ ve
Buna göre, bu tablodaki verileri sütun ve çizgi grafi-
büyükbaþ hayvan miktarý dairesel grafikte gösterildi-
ðiyle gösteriniz.
ðinde elde edilen sonuç nedir?
8 ~ MATEMATÝK
Ýstatistik
Çözüm B.Baþ
K.Baþ
Çözüm
2008 yýlýnda
15 bin
10 bin
2009 yýlýnda
25 bin
15 bin
Pazartesi günü
9 saat
2010 yýlýnda
30 bin
25 bin
Salý günü
6 saat
Çarþamba günü
0 saat
Perþembe günü
9 saat
Cuma günü
0 saat
120 bin hayvanýn 50 bini küçükbaþ ise
Cumartesi günü
12 saat
360° ? 3 360 .50 « ? = 120 «
Pazar günü
+ + 70 bin 50 bin Toplam: 120 bin
48 saat
= 150°
Büyük baþ
12 saat +
Buna göre, A, C, D, E þýklarý yanlýþtýr. B þýkký doðrudur.
Küçük baþ 150°
Örnek Soru 2 Bir grupta Ýngilizce, Almanca ve Fransýzca bilenler vardýr. Ýngilizce bilenler Almanca bilenlerin 3 katý, Fransýzca bilenlerin yarýsý olduðuna göre, bu grup bir daire grafiðinde gösterilirse aþaðýdakilerden hangisi doðru olur?
Örnek Soru 1
A)
B) Fransýzca Almanca 100° 60°
Çalýþma saati
Fransýzca
50°
Ýngilizce
12 11 10 9 6
Almanca 120°
Ýngilizce
C)
D) Ýngilizce Fransýzca
Almanca
108° 36°
Fransýzca 200°
108° Ýngilizce
Gün
E)
Þekilde verilen çizgi grafiðinde bir dersane öðretmeninin çalýþtýðý saatler verilmektedir.
Fransýzca
Buna göre, aþaðýda verilenlerden hangisi kesinlikle
Almanca 80°
100° Ýngilizce
doðrudur? A) Bir haftada toplam 36 saat çalýþmýþtýr. B) Bir hafta içerisinde hafta sonu çalýþtýðý süre, hafta içi çalýþtýðý süreye eþittir.
Çözüm
C) Cuma günü perþembe gününden daha çok çalýþmýþtýr. D) Pazar günü hiç çalýþmamýþtýr. E) Çarþamba günü 6 saat çalýþmýþtýr.
i A F 3x x 6x 10x kiþi
MATEMATÝK ~ 9
Ýstatistik 360°
10x kiþi ise
Nasýl Oluþturulur?
? x kiþi dir. ? = 36° (Almanca bilenler)
1. Ýlgili deðiþkenlerle ilgili veri çiftleri toplanýr. 2. Koordinat düzlemi çizilir ve eksenlere deðiþkenler konulur.
360°
10x kiþi ise
3. Toplanan verilerdeki karþýlýk gelen noktalar iþaretlenir.
? 6x kiþi dir. ? = 216° (Fransýzca bilenler)
4. Bütün noktalara uzaklýklarý toplamý en küçük olan doðru çizilir.
108° (Ýngilizce bilenler) Örneðin; Bir öðretmen Matematik ve Türkçe notlarý araÞýklardaki grafiklere bakýldýðý zaman cevabýn C þýkkýnda olduðu görülür.
sýnda bir iliþki olup olmadýðýný öðrenmek için sýnýftan rastgele 10 öðrenci seçiyor.
Cevap C Öðrenci
Örneðin Bir çiftçinin bir yýl içerisinde ektiði ürünlerin miktarlarý-
Hakan Mert Ali Zeynep Mine Ayþe
Elif Hatice Necla Hanife
Türkçe
75
65
85
84
60
64
96
100
85
88
Matematik
60
54
72
70
48
50
80
90
75
72
nýn dairesel grafikteki gösterimi aþaðýdaki gibidir. Bu tablo kullanýlarak aþaðýdaki serpilme grafiði oluþturulur. Mýsýr Ayçiceði 120°
70°
Pamuk 90°
Soya
Buna göre, 180 ton ayçiçeði biçen bu çiftçinin kaç ton soya biçmesi beklenir?
Çözüm Soya 80° ye karþýlýk gelir. 120° ye 180 ton karþýlýk gelirse 80° ye x ton 60180 .80 2 « « = 120 ton x = 120 « 3
Bu grafiði yorumladýðýmýzda matematik dersinin notlarý arttýkça Türkçe dersinin de notlarý artmaktadýr. Noktalar birbirine yakýn ve bir çizgi boyunca kümelendiklerinden aralarýnda güçlü pozitif bir iliþki vardýr.
Serpilme Grafiði
Kutu Grafiði
Bir tür kalite diyagramýdýr. Ýki farklý deðiþken arasýndaki
Veriler içerisinde medyan, en küçük deðer, alt çeyrek, üst
iliþkiyi belirlemek için kullanýlýr. Aralarýndaki iliþkinin se-
çeyrek ve en büyük deðer bulunur. Kutu grafiði iskeleti
bebi görülemese de ilgili iki deðiþkenin arasýnda direk
minumum ile maksimum deðerleri arasýnda üzeri ölçekli
olarak bir iliþki bulunup bulunmadýðýný ve iliþkinin ne de-
bir çizgiden oluþur. Bu çizgi üzerinde bir kutu çizilir kutu-
rece güçlü olduðu görülebilir.
nun en küçük deðeri alt çeyrek, en büyük deðeri üst çeyrektir.
Aralarýnda iliþki bulunan iki deðiþkenin deðerleri diyagramda bir çizgi boyunca uzanacaktýr. Karþýlýk gelen de-
Kutunun bu uç noktalarýna menteþe adý verilir. Ýki mente-
ðerler bu çizgiye yaklaþtýkça aralarýndaki iliþkinin güçlen-
þe noktalarý arasýndaki uzaklýk çeyrekler açýklýðýný verir.
diði anlaþýlýr.
Böylece gösterim bir kutu ile çeyrekler yani menteþe dýþýndaki veri deðerlerini gösteren býyýklar þekline girmiþtir.
Serpilme diyagramý 7 kalite kontrol aracýndan birisidir. Ýki
Bunun için bu grafiðe kutu ve býyýklar grafiði de denir. En
farklý sonucun ayný sebepten kaynaklanýp kaynaklanma-
son olarak medyan kutu üzerindeki ölçeðe göre yerine ko-
dýðý görülebilir.
nur.
10 ~ MATEMATÝK
Ýstatistik
Örneðin
Çözüm
Biri erkek biri kýz olan iki kiþinin nabýz sayýlarý ile ilgili
Öncelikle veri açýklýðý hesap edilir. Veri açýklýðý = En büyük deðer – En küçük deðer
aþaðýdaki veriler verilmiþtir.
= 44 – 36 = 8 –
En küçük
Alt çeyrek
Ortanca
Üst çeyrek
En büyük
Erkek
56
60
66
76
96
Kýz
60
68
74
80
115
â = 2,6 (en yakýn ve büyük tek sayýya yuvarlanýrsa sayý 3 tür. Yani gruplarýn geniþliði 3 alýnýr.) Verileri sýralarsak, 36,36,37,38,38,39, 39,40,40,41,41,42,44,44,44,44 36–38 39–41 42–44 þimdi bunlarý bir histogramda gösterelim. Öðrenci sayýsý
Erkek
6 5
Kýz
Ayakkabý numarasý 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115
Nabýz sayýsý
Histogram Verileri belirli bir geniþliðe sahip veri gruplarý içine dahil edip bu gruplardaki verilerin sayýlarýnýn kullanýlmasý ile
Örneðin Bir doktorun 30 günlük bir zaman diliminde hergün baktýðý hasta sayýsý aþaðýda verilmiþtir. 15,12,14,13,21,16,12,9,18,21,16,24,24,30,32,28,14,15,12,10,8,
oluþturulan sütün grafiklerine histogram denir.
9,11,13,16,17,19,32,33,34 Bu verileri 9 gruplu bir histogramda gösterelim.
Bir histoðramýn çizilebilmesi için aþaðýdaki yöntemler sýrasýyla izlenir.
Çözüm
– Veri açýklýðý belirlenir. (Veri açýklýðý belirlenirken, en
Veri açýklýðý=En büyük deðer–En küçük deðer=34–8=26
büyük deðerden, en küçük deðer çýkartýlýr. ) – Açýklýk, verilen grup sayýsýna bölünür ve bölüme en yakýn büyük tek sayý veri grubunun geniþliði olarak alýnýr. – Histogram çizilir.
Nüfus yoðunluðunun yaþ aralýklarýna göre daðýlýmý
Bir ailenin 12 ay boyunca kullandýðý elektrik
Bir sýnýftaki öðrencilerin not daðýlýmý grafiði
Ülkemizde hangi yaþ aralýklarýnýn internet baþýnda ne
26 = 2,8(Büyük ve en yakýn tek sayý 3 tür. 3 e yuvarlanýr.) 9 Verileri sýralarsak, 8,9,9,10,11,12,12,12,13,13,14,14,15,15,16,16,16,17,18,19,21,21 8–10 11–13 14–16 17–19 20–22 24,24, 28, 30, 32,32,33,34 23–25 26–28 29–31 32–34
kadar zaman geçirdikleri ve daha nice örnekler histogram için veri oluþturur. Örneðin Bir sýnýftaki 16 öðrencinin giydikleri, ayakkabý numaralarýna bakýlmýþ ve aþaðýdaki ölçümler elde edilmiþtir. 36,37,38,39,41,38,42,44,36,39,40,41,44,44,40,44 Bu verilere ait 3 grup oluþturarak histogram yapalým.
MATEMATÝK ~ 11
Ýstatistik
Örneðin
Test Ýstatistikleri
Bir anketörün bir gün boyunca anket uyguladýðý 20 kiþinin yaþlarý aþaðýdaki gibidir. 17,15,16,13,14,17,20,21,24,15,13,16,17,18,20,21,24,20,18,15 Buna göre, veri grup sayýsýný 4 alarak histogram oluþturalým. Merkezi Eðilim (Yýðýlma) Ölçüleri
Çözüm Veri açýklýðý = En büyük deðer – En küçük deðer = 24 – 13 = 11
Merkezi Daðýlým (Yayýlma) Ölçüleri
1. Mod (Tepe deðer)
1. Ranj (Açýklýk)
2. Medyan (Ortanca)
2. Alt çeyrek, üst çeyrek çeyrekler açýklýðý
3. Aritmetik ortalama
3. Standart sapma
11 = 2,7 O halde, grup geniþliði 3 tür. 4
Merkezi Eðilim (Yýðýlma) Ölçüleri Verileri sýralarsak, 13,13,14,15,15,15,16,16, 17,17,17,18,18,20,20,20,21,21,24,24 13–15 16–18 19–21 22–24
MOD (Tepe Deðer)
Bir veri dizisinde en çok tekrar eden deðere tepe deðeri (Mod) denir. En kolay hesaplanabilen merkezi eðilim ölçüsüdür. Hiç bir iþlem gerektirmez.
Örneðin Bir sýnýftaki 15 öðrencinin matematik dersinden aldýklarý notlar aþaðýda verilmiþtir. 1,2,3,4,3,4,1,2,4,2,2,3,5,1,2 Buna göre, bu sayý dizisinin modu kaçtýr?
Çözüm Mod en sýk tekrarlanan deðerdir. Dolayýsýyla en çok tekrarlanan deðer 2 dir.
deðer ise mod bu iki deðerin aritmetik ortalamasýdýr.
Örneðin Bir sýnýftaki 25 öðrencinin matematik dersinin sýnavlarýn-
Veri daðýlýmýnda en fazla tekrarlanan deðer ardýþýk iki
Örneðin
dan aldýklarý, notlarýn ortalamasý aþaðýdaki gibidir. 84,75,64,45,54,72,86,90,92,91,54,80,48,60,70,72,84,86,78,84, 60,43,50,52,66 Buna göre, grup sayýsýný 5 alarak histogram oluþturalým.
Çözüm Veri açýklýðý=En büyük deðer–En küçük deðer=92–43=49 49 Grup geniþliði = = 9,8 (grup geniþliði 10 olur.) 5
1,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6 þeklinde verilen bir sayý dizinin modu kaçtýr?
Çözüm 3 ve 4 deðerleri en çok tekrar eden ardýþýk iki deðerdir. 3+4 Modu = 3,5 tir. 2 Veri daðýlýmýnda en çok tekrar eden ardýþýk ikiden fazla veri, eþit sayýda ve diðerlerine göre daha çok tekrar etmiþse bu durumda mod, ardýþýk verilerin ortalamasýdýr.
Örneðin 3,3,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7 þeklinde verilen bir sayý dizisinin modu kaçtýr?
Çözüm En çok tekrar eden 5, 6, 7 deðerleridir. 5+6+7 Bunlarýn aritmetik ortlamasý: = 6 dýr. 3
Bir veri daðýlýmýnda ayný sayýda fakat ardýþýk olmayan birden fazla deðer varsa mod bu deðerlerin herbiridir.
12 ~ MATEMATÝK
Ýstatistik
Örneðin
Tabloda verilen puan aralýðýndaki öðrenci sayýlarýna ait
2,3,3,3,4,5,6,6,6,7 þeklinde verilen bir sayý dizinin modu kaçtýr?
daðýlýmda mod en çok kiþinin yer aldýðý 15 – 21 aralýðýnýn
Çözüm
15+21 mod = = 18 dir. 2
Sayý dizisinde en fazla ve eþit sayýda tekrar eden 3 ve 6 rakamlarýdýr. Dolayýsýyla mod 3 ve 6 dýr. Bu sayý dizisi iki modlu bir dizidir.
orta noktasýdýr. Yani,
Örneðin Fiyat aralýðý (Bin TL) Kiþi sayýsý
Örneðin 1,3,3,3,4,5,5,5,6,6,6,7,7,7 þeklinde verilen bir sayý dizinin modu kaçtýr?
50 – 56
12
57 – 63
10
Çözüm
64 – 70
15
Sayý dizisinde en fazla ve eþit sayýda tekrar eden 3 deðer vardýr. 5, 6 ve 7 deðerleri ardýþýk olduðundan bunlarýn modu aritmetik ortalamasýdýr. Yani, 6 dýr. Daðýlýmýn modu ise 3 ve 6 dýr. Bu daðýlým iki modlu bir daðýlýmdýr.
71 – 77
11
78 – 84
9
85 – 91
8
92 – 98
13
Örneðin Bir sýnýftaki öðrencilerin Matematik ve Türkçe derslerinden aldýklarý notlar tabloda verilmiþtir. Matematik
Türkçe
Aldýðý not Kiþi sayýsý
Aldýðý not Kiþi sayýsý
Tabloda bir firmanýn sattýðý ve fiyat aralýðý verilen araçlara, kiþilerin gösterdikleri talepler verilmiþtir. Buna göre, tabloda verilen deðerlerin modu kaçtýr?
100
2
100
2
80
5
90
6
70
4
80
2
60
3
75
6
50
6
70
4
Buna göre, bu derslere ait not daðýlýmlarýnýn modu
Çözüm En çok talep 15 kiþi sayýsýyla 64 – 70 aralýðýndadýr. Aralýk olarak verilenlerde mod hesaplanýrken aralýðýn orta noktasý alýnýr. 64 – 70 aralýðýnýn orta noktasý 67 dir.
kaçtýr?
Yani, mod 67 bulunur.
Çözüm
Örneðin
Matematik dersi için mod 50 dir. Çünkü 50 alan kiþi sayýsý en çoktur. Türkçe dersi için, 90 ve 75 notlarý en fazla ve eþit sayýda alýndýðýndan iki modlu bir dizidir. kiþi sayýsý 90 ve 75 notlarýnda vardýr. Dolayýsýyla mod bunlarýn aritmetik ortalamasýdýr.
Gruplandýrýlmýþ daðýlýmlarda mod bulunurken en çok tekrarlanan deðere sahip olan aralýðýn orta noktasý alýnýr.
Örneðin Puan aralýðý Kiþi sayýsý Þekildeki grafikte bir yýl içerisinde trafiðe kaydý yapýlan
1–7
3
8 – 14
5
15 – 21
6
22 – 28
4
Çözüm
29 – 35
2
Grup aralýðý olarak verilen daðýlýmlarda mod en yüksek
36 – 42
3
deðere ait grup aralýðýnýn ortasýdýr.
Tabloda verilen ifadelerin modu kaçtýr?
araç sayýsý verilmektedir. Buna göre, tabloda verilen deðerlerin modu kaçtýr?
Yani mod 1 – 3 aralýðýnýn ortasýdýr. Ve deðeri de 2 dir.
MATEMATÝK ~ 13
Ýstatistik
Örneðin
Çözüm Tabloda mod olmaya aday 13,12,11 ve 8 deðerleridir. Çünkü hepsi en çok ve eþit sayýdadýr. Burada 13,12,11 deðerleri ardýþýk deðerler olduðundan bunlarýn ortalamasý olan 12 mod dur. 8 deðeri kesinlikle moddur. Dolayýsýyla 8 ve 12 bu daðýlýmýn modudur. Bu nedenle bu daðýlýma iki modlu daðýlým ya da bimodal daðýlým denir.
Þekildeki grafikte bir sýnýftaki öðrencilerin bir dersten aldýklarý puan daðýlýmý verilmiþtir. Buna göre, bu daðýlýmýn modu kaçtýr?
Örneðin
10
Çözüm
8
10 puan alan 6 kiþi 20 puan alan 4 kiþi 30 puan alan 8 kiþi 40 puan alan 6 kiþi
1
50 puan alan 12 kiþi En çok tekrar eden deðer 50 dir. 60 puan alan 10 kiþi 70 puan alan 8 kiþi 80 puan alan 4 kiþi 90 puan alan 6 kiþi Dolayýsýyla mod = 50 dir.
0
2
4
10 15 20 25 30 35 40 45
Firma sayýsý
Þekildeki grafikte bir sanayi sitesindeki firmalar ve firmalarda çalýþan iþçi sayýlarý verilmiþtir. Buna göre, grafikte verilen bu daðýlýmýn modu kaçtýr?
Bir dizide bütün veriler eþitse bu daðýlýmýn modu yoktur denir.
Çözüm Mod deðeri 10 ve 30 deðerleridir. Burada iki modlu bir daðýlým vardýr.
Örneðin Puan
Kiþi sayýsý
40
5
50
5
60
5
70
5
80
5
90
5
Örneðin
Tabloda verilen puan daðýlýmýnýn modu kaçtýr?
Çözüm Kiþi sayýsý hepsinde ayný olduðundan burada verilen daðýlýmýn modu yoktur denir.
Þekildeki grafikte bir sýnýftaki öðrencilerin fizik dersinden aldýklarý notlarýn daðýlýmý verilmiþtir. Tepe deðerin üstünde not alanlar bu dersten geçecek-
Örneðin
lerine göre sýnýfta kaç öðrenci bu dersten kalmýþtýr?
Aile hekimi sayýsý
3
3
3
2
1
3
Hekime baðlý sokak sayýsý
13
12
11
10
9
8
Çözüm Mod (tepe deðer) bir puan daðýlýmý grafiðinde grafiðin en yüksek olduðu puandýr. Bu grafikte verilen not daðýlýmýn-
Tabloda bir mahalledeki aile hekimi sayýsý ve bu hekimlerin her birine baðlý sokak sayýsý verilmiþtir. Buna göre, bu tablodaki daðýlýmýn modu kaçtýr?
14 ~ MATEMATÝK
da tepe deðeri 70 tir. 70 in üstünde not alanlar geçmiþ, 70 ve altýnda not alanlar kalmýþtýr.
Ýstatistik Bu nedenle,
Örneðin
70 puan alan
10 kiþi
60 puan alan
4 kiþi
yýlarý verilmiþtir.
50 puan alan
8 kiþi
69, 95, 72, 64, 58, 49, 53, 54, 61, 75, 81, 94, 58, 65, 77, 69, 57,
40 puan alan
6 kiþi
30 puan alan 4 kiþi 32 kiþi kalmýþtýr.
Aþaðýda bir futbol takýmýnýn son 25 sezonda attýðý gol sa-
73, 75, 78, 68, 59, 81, 83, 96 Buna göre, ortanca kaçtýr?
Çözüm
Medyan (Ortanca)
Veriler küçükten büyüðe doðru sýralandýðýnda;
Bir dizide yer alan verilerin büyükten küçüðe, ya da küçükten büyüðe sýralanmasýndan sonra bu verilerin tam
49, 53, 54, 57, 58, 58, 59, 61, 64, 65, 68, 69, 69, 72, 73, 75, 75 ortanca
ortasýnda yer alan deðere ortanca ya da medyan denir.
77, 78, 81, 81, 83, 94, 95, 96
Veri sayýsý tek olduðunda medyanýn bulunuþu:
bulunur.
Veri sayýsý n ve n bir tek sayý olsun.
n+1 Ortanca = . terim dir. 2
Ortanca, veriler sýralandýðýnda ortada yer alan iki verinin
Örneðin
Öncelikle toplam veri sayýsýnýn yarýsý alýnýr.
Bir öðrencinin 7 sýnavdan aldýðý notlar;
Daha sonra toplam veri sayýsýnýn yarýsýnýn 1 fazlasý alýnýr.
Veriler içerisinde bunlara ait olan deðerlerin ortalama-
25,15,30,45,65,35,70
Veri sayýsý çift olduðunda medyanýn bulunmasý:
orta noktasýdýr. Bunun için aþaðýdaki iþlemler yapýlýr.
sý ortancayý verir.
olsun. Buna göre, ortanca terim kaçtýr?
Örneðin Çözüm
Rize ilinin aðustos ayý içerisinde 10 günlük hava sýcaklýk-
Terimleri küçükten büyüðe doðru sýraladýðýmýzda;
larý aþaðýda verilmiþtir.
15,25,30,35,45,65,70 7+1 Ortanca = 4 terimdir. Yani 35 tir. 2
24, 23, 30, 33, 28, 24, 26, 30, 31, 19 Buna göre, ortanca kaçtýr?
Örneðin Çözüm Veriler küçükten büyüðe yazýlýrsa; 19, 23, 24, 24, 26, 28, 30, 30, 31, 33 5. 6. terim terim
Þekilde A,B,C basketçilerinin 7 maçta attýklarý sayýlar verilmiþtir. Buna göre, x+y+z toplamý kaçtýr?
10 = 5. terim 2
10 + 1 = 6.terim 2
26+28 5. ve 6. terimin ortalamasý = 27 yani ortanca 27 dir. 2
Çözüm A, B ve C basketbolcularýna ait veriler küçükten büyüðe
Aritmetik Ortalama
doðru sýralandýðýnda;
Verilerin toplanýp veri sayýsýna bölünmesi ile elde edilen deðerdir. Aritmetik ortalama merkezi eðilim ölçüleri içeri-
A: 9,9,12,12,13,15,15 x B: 10,10,10,11,12,12,13 y C: 11,12,12,13,13,14,15 z
sinde en istikrarlý olanýdýr.
A
x+y+z = 12+11+13 = 36 olur.
x1, x2,... xn gibi n tane sayýsýnýn aritmetik ortalamasý, x1+x2+....+xn Ortalama = þeklinde bulunur. n
MATEMATÝK ~ 15
Ýstatistik
Örneðin
Örneðin Boy (cm)
Kiþi sayýsý
160
5
165
6
170
4
175
4
180
6
185
2
Þ ekilde bir sýnýftaki öðrencilerin boylarý verilmiþtir.
Þekilde bir sýnýftaki öðrencilerin bir dersten aldýklarý not-
Buna göre, bu sýnýfýn boy ortalamasý kaçtýr?
lar verilmiþtir. Buna göre, sýnýfýn not ortalamasý kaçtýr?
Çözüm 800
990 680 700 1080 370
160x5+165x6+170x4+175x4+180x6+185x2 4620 Ort.= = 27 27 = 171,1111...
Çözüm 10 alan 2 kiþi 20 alan 1 kiþi 30 alan 4 kiþi 35 alan 2 kiþi
Bunu anlamlý sayýya yuvarlarsak sýnýfýn boy ortalamasý
60 alan 1 kiþi
171 cm olur.
Notlar toplamý = 20+20+120+70+60 = 290
Örneðin
290 Ortalama = = 29 olur. 10
Örneðin Puan Aralýðý
Kiþi sayýsý
35 – 37
1
38 – 40
2
41 – 43
3
44 – 46
2
47 – 49
3
Þekildeki histogramda 8 yýla ait ihracat rakamlarý veril-
50 – 52
4
miþtir.
53 – 55
1
Buna göre, 8 yýllýk ortalama ihracat kaç milyon TL dir?
56 – 58
3
59 – 61
1
Çözüm 2003 yýlýnda 210 milyon TL 2004 yýlýnda 240 milyon TL
Tabloda 20 öðrencinin 70 puanlýk bir sýnavdan aldýklarý
2005 yýlýnda 150 milyon TL
puanlar puan aralýðý olarak gösterilmiþtir.
2006 yýlýnda 300 milyon TL
Buna göre, bu sýnýfýn puan ortalamasý kaçtýr?
2007 yýlýnda 210 milyon TL 2008 yýlýnda 600 milyon TL
Çözüm
2009 yýlýnda 300 milyon TL
Puan aralýðý olarak verildiðinde her bir puan aralýðýnýn or-
2010 yýlýnda 240 milyon TL + Toplam ihracat: 2250 milyon TL
ta noktasý bulunur ve orta nokta öðrencinin puaný olarak
2250 Ortalama ihracat = = 281,25 milyon TL dir. 8
16 ~ MATEMATÝK
alýnýr. (36x1)+(39x2)+(42x3)+(45x2)+(48x3)+(51x4)+(54x1)+(57x3)+(60x1) Ort. = = 48,15 20
Ýstatistik
Merkezi Daðýlým Ölçüleri (Yayýlma Ölçüleri)
Sonuç Kutusu
Yayýlma ölçüleri ranj(açýklýk), alt çeyrek, üst çeyrek, çeyAritmetik ortalama ile aþaðýda verilenler yorumlanabilir. – Grubun ortalama baþarý düzeyi – Grubun genel baþarý düzeyi – Grubun yoðunlaþtýðý yer (aðýrlýk merkezi) – Uygulanan testin güçlük düzeyi
rekler açýklýðý standart sapma gibi deðerlerdir.
Deðerli arkadaþlar! Merkezi eðilim ölçülerinden olan aritmetik ortalama verilerin tamamý dikkate alýnarak hesaplandýðýndan mod ve medyana göre daha fazla bilgi verir.
Ranj (Açýklýk)
Yayýlma ölçüleri ölçümlerin homojen ya da heterojenliðini, ortalamadan ne kadar uzaklara yayýldýðýný gösterir.
Verilen dizi de en büyük deðer ile en küçük deðer arasýndaki açýklýk ya da farktýr. Bir veri grubunda ranja bakýlarak aþaðýdaki yorumlar yapýlabilir. – Ranjýn büyük çýkmasý grubun homojen olmadýðýný, öð-
Örnek Soru 3
renme düzeyleri arasýndaki farkýn çok olduðunu söyler. Bilen öðrenciyle bilmeyen öðrencinin ayýrdedildiði bir
Þekildeki grafikte bir sýnýftaki öðrencilerin fizik dersinden aldýklarý notla-
Öðrenci sayýsý
test olduðunu söyler.
10 8
– Ranjýn küçük çýkmasý grubun homojen olduðunu, öð-
6
rencilerin öðrenme düzeyleri arasýndaki farklýlýklarýn
Buna göre, aþaðýda veri- 4 lenlerden hangisi kesin-
az olduðunu söyler ve bilen öðrenciyle bilmeyen öð-
rýn daðýlýmý verilmiþtir.
0
likle yanlýþtýr?
1
2
3
4
5 Not
rencinin ayýrt edilemediði bir test olduðunu söyler. Bir veri grubunda ranj büyüdükçe standart sapma da bü-
– A) Sýnýfýn aritmetik ortalamasý 3,3 tür.
yür.
B) Sýnýf ortalamasýnýn üstünde not alan 18 kiþi vardýr. C) Uygulanan sýnavýn zorluk düzeyi orta düzeydir. D) Sýnýftaki öðrenciler genelde 3 - 4 arasýnda yoðunlaþmýþtýr.
Örneðin 15 öðrencinin bir sýnavdan aldýðý notlar aþaðýdaki gibidir. 50,55,60,50,45,40,55,65,35,50,65,70,60,50,45
E) Sýnýfýn genel baþarý düzeyi yüksektir.
Bu sayý dizisinin ranjý (açýklýðý) kaçtýr?
Çözüm
Çözüm
En büyük deðer 70 En küçük deðer 35 A
Toplam 4
1 alan 4 kiþidir.
2 alan 6 kiþidir.
12
3 alan 8 kiþidir.
24
4 alan 10 kiþidir.
40
5 alan 8 kiþidir. + 36 kiþi
40 + 120
Ranj (açýklýk) = 70 – 35 = 35 tir.
Örneðin Soru
120 – Arit.Ort. = = 3,3 Dolayýsýyla A þýkký doðrudur. 36 Sýnýf ortalamasýnýn üstünde not alan 4 ve 5 alanlardýr. Toplam 18 kiþidirler. Dolayýsýyla B þýkkýda doðrudur. Aritmetik ortalama 3,3 çýktýðýnda sýnavýn zorluk düzeyi orta düzeydir. Fakat yoðunluk 3 – 4 arasý deðildir. Sýnýfýn genel
Öðrenci A B C D E F G
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
1 2 1 1 1 2 1
0 1 1 2 1 1 1
2 0 2 1 1 2 1
2 0 1 0 1 1 2
1 1 1 1 0 1 1
1 1 2 1 1 0 2
1 1 1 1 2 2 1
0 2 0 1 1 2 1
2 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
Tabloda 7 öðrencinin 10 soruluk bir sýnavda sorulara verdiði cevaplarda aldýklarý puanlar verilmektedir. Buna göre, öðrencilerin bu sýnavdan aldýklarý puanla-
baþarý düzeyi yüksektir. Cevap D
rýn geniþliði kaçtýr?
MATEMATÝK ~ 17
Ýstatistik
Çözüm
Çözüm
A 11
Açýklýk = En büyük deðer – En küçük deðer
B 10
= 140 – 24 = 116 dýr.
C 11
Açýklýðýn büyük çýkmasý daðýlýmýn homojen olmadýðýný
D 11
söyler.
E 10
24 30 36 40 45 48 50 56 72 100 120 124 140
F 13
G 12 En büyük deðer 13 En küçük deðer 10 A
Ranj (açýklýk) = 13 – 10 = 3 tür.
en küçük alt deðer çeyrek 38
ortanca
üst çeyrek 110
en büyük deðer
Çeyrekler açýklýðý = 110 – 38 = 72 bulunur.
Alt Çeyrek, Üst Çeyrek, Çeyrekler Açýklýðý Standart Sapma Veriler küçükten büyüðe sýralandýðýnda ortanca veri alt grup ve üst grup olmak üzere grubu ikiye ayýrýr. Alt grubun ortasýndaki deðere alt çeyrek, üst grubun ortasýndaki deðere de üst çeyrek denir. Alt çeyrek ve üst çeyrek deðerlerin arasýndaki farka çeyrekler açýklýðý denir.
Standart sapma bir veri grubundaki verilerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaþtýðýnýn ortalama ölçüsünü veren bir deðiþim ölçüsüdür. Standart sapma uygulanýrken, aþaðýdaki yöntemler sýrasýyla uygulanýr. 1. Verilerin aritmetik ortalamasý bulunur. 2. Herbir veri ile aritmetik ortalamanýn farkýnýn karesi alý-
Örneðin
nýr ve bulunan deðerler toplanýr.
Bir dersin sýnavýna girmiþ 15 öðrencinin aldýðý puanlar
3. Bulunan toplam, veri sayýsýnýn 1 eksiðine bölünüp kare-
aþaðýdaki gibidir.
kökü alýnýr. 20 24 26 30 30 40 45 50 54 60 60 75 80 80 80 Buna göre, bu daðýlýmýn, açýklýðýný, alt çeyreðini, üst
xi: Her öðrencinin puaný
çeyreðini ve çeyrekler aralýðýný bulunuz.
n: Sýnava giren öðrenci sayýsý x–: Aritmetik ortalama
Çözüm
sx: Standart sapma
Ranj (açýklýk) = En büyük deðer – En küçük deðer
–
= 80 – 20 = 60 týr.
sx =
Açýklýðýn büyük çýkmasý grubun homojen olmadýðýný ve
(xi – x) 2 n–1
testin ayýrdediciliðinin iyi olduðunu, bilenle bilmeyenin
Standart sapma bulunduktan sonra aþaðýdaki yorumlar
ayýrdedildiðini söyler.
yapýlabilir.
Alt grup Üst grup 20 24 26 30 30 40 45 50 54 60 60 75 80 80 80
en küçük deðer
alt çeyrek
ortanca
üst çeyrek
en büyük deðer
Çeyrekler açýklýðý = 75 – 30 = 45 tir.
Standart Sapma: Büyük çýkan gruplarda.
Grup homejen deðildir.
Öðrenciler arasý farklýlaþma fazladýr.
Yapýlan test bilen ve bilmeyen öðrenciyi ayýrt etmiþtir.
Standart Sapma: Küçük çýkan gruplarda.
Grup homejendir.
Örneðin
Öðrenciler arasý farklýlaþma azdýr.
Bir þirketin son 13 yýlýna ait hesap edilen cirolarý aþaðýda
Yapýlan test bilen ve bilmeyen öðrenciyi ayýrt etmemiþtir.
milyon TL olarak verilmiþtir. 24,30,36,40,45,48,50,56,72,100,120,124,140
Örneðin Fizik dersine giren 5 öðrencinin aldýklarý puanlar:
Buna göre, bu daðýlýmýn açýklýðýný, alt çeyreðini, üst çeyreðini, çeyrekler açýklýðýný bulunuz.
18 ~ MATEMATÝK
56,60,72,84 ve 88 dir. Buna göre, bu daðýlýmýn standart sapmasý kaçtýr?
Ýstatistik
Çözüm 56+60+72+84+88 360 Aritmetik ort. = = = 72 5 5 Sx =
(56 – 72) 2 +(60 – 72) 2 +(72 – 72)2 +(84 – 72) 2 +(88 – 72) 2 4
= 200 = 10 2 17
Burada standart sapmanýn büyük çýkmasý grubun homejen olmadýðýný öðrenciler arasýnda farklýlýklarýn olduðu uygulanan testin de bu öðrenciler için ayýrt edici olduðunu göstermiþtir.
Örneðin 6 öðrencinin matematik dersinden aldýklarý notlar: 40,50,56,64,68,70 tir. Buna göre, bu daðýlýmýn standart sapmasý kaçtýr?
Çözüm 40+50+56+64+68+70 348 Aritmetik ort. = = = 58 6 6 Sx =
18 2 +8 2+2 2+6 2+10 2+12 2 = 5
324+64+4+36+100+144 11,.. 5
Çözüm Standart sapmanýn yüksek olduðu yerde öðrenciler arasýndaki farklýlýk en çoktur. Ortalamanýn yüksek olduðu sýnýfta baþarý yüksek, düþük olduðu sýnýfta baþarý düþüktür. O halde E þýkký yanlýþtýr. Çünkü, I. testin standart sapmasý düþüktür. Dolayýsýyla grup homejendir ve öðrenciler arasý farklýlýklar en azdýr. Cevap E
Örneðin Dersler
Soru sayýsý
Aritmetik ortalama
Standart sapma
Mod
Medyan
Matematik
50
40
6
45
45
Türkçe
60
30
4
35
40
Tarih
40
24
2
30
30
Fizik
50
30
4
36
32
Kimya
60
45
6
50
50
Biyoloji
30
21
2
40
30
Burada standart sapmanýn büyük çýkmasý grubun homejen olmadýðýný öðrenciler arasýnda farklýlýklarýn olduðu, uygulanan testin de bu öðrenciler için ayýrt edici olduðu-
Tabloda bir sýnýftaki öðrencilerin 6 dersten aldýklarý puan-
nu göstermiþtir.
lara ait istatistiki bilgiler verilmiþtir. Buna göre, öðrencilerin sýnýfta en baþarýlý ve baþarýsýz olduklarý dersler hangileridir?
Örnek Soru 4 Çözüm Uygulanan Test Aritmetik ortalama Standart sapma
Baþarýyý gösteren aritmetik ortalamadýr. Ancak bu soru sayýlarýnýn eþit olduðu durumda geçerlidir.
I. Test
70
3
II. Test
65
5
III. Test
55
7
IV. Test
62
10
Dolayýsýyla,
V. Test
68
6
40 Matematik dersi baþarý oraný; = 0,8 50
Soru sayýlarý farklý olduðunda baþarý oraný aritmetik ortalamanýn soru sayýsýna bölünmesiyle elde edilir.
Tabloda bir okuldaki 5 farklý sýnýfta uygulanan matematik testlerinin aritmetik ortalamalarý ve standart sapmalarý verilmiþtir.
30 Türkçe dersi baþarý oraný; = 0,5 60
Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
24 Tarih dersi baþarý oraný; = 0,6 40
A) IV. testin uygulandýðý sýnýfta öðrenciler arasýndaki
30 Fizik dersi baþarý oraný; = 0,6 50
farklýlýk en çoktur. B) Bu sýnýflara giren öðretmenlerden I. testin uygulandýðý bir sýnýfa giren öðretmen en az zorlanýr. C) En yüksek baþarý I. testten elde edilmiþtir. D) Öðrenciler arasýndaki en az farklýlaþma I. testin uygulandýðý sýnýfta vardýr. E) I. testin uygulandýðý sýnýfta öðrenciler arasýndaki farklýlýk en çoktur.
45 Kimya dersi baþarý oraný; = 0,75 60 21 Biyoloji dersi baþarý oraný; = 0,7 30 Bu oranlardan görüldüðü gibi sýnýftaki öðrencilerin en baþarýlý olduklarý ders Matematik, en baþarýsýz olduklarý ders Türkçe’dir.
MATEMATÝK ~ 19
Ýstatistik
Örneðin
Örneðin 12 kiþilik bir grubun bir günde kaç saat uyuduklarý yandaki daire
P.tesi
Salý
Çarþ.
Perþ.
Cuma
C.tesi
Pazar
12
15
24
13
10
20
18
grafiðinde verilmiþtir.
14
16
16
18
18
21
23
Buna göre, verilerin,
9
16
13
15
17
19
23
A Marketi B Marketi C Marketi
a) Medyaný kaçtýr? b) Tepe deðeri kaçtýr?
Yukarýdaki tabloda üç marketin 1 haftada yaptýðý toplam satýþ adedi gün gün verilmiþtir.
c) Aritmetik ortalamasý kaçtýr? d) Standart sapmasý kaçtýr?
Buna göre, A, B, C marketlerinin sattýðý ürün adetlerinin standart sapmasý kaçtýr?
Çözüm a)
Çözüm
360 °
12 kiþi ise
150° ye 5 kiþi karþýlýk geliyorsa
150° ? A her 30° ye 1 kiþi karþýlýk gelir. Dolayýsýyla, 150.12 = 5 kiþi 8 saat uyuyan 5 kiþidir. 360
A marketi 112 – 12+15+24+13+10+20+18 Arit.ort. = x = = =16 7 7
7 saat uyuyan 4 kiþidir.
B marketi
6 saat uyuyan 2 kiþidir.
126 – 14+16+16+18+18+21+23 Arit.ort. = x = = =18 7 7
4 saat uyuyan 1 kiþidir. Deðerler sýralanýrsa: 4,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8
C marketi 9+16+13+15+17+19+23 112 – Arit.ort. = x = = = 16 7 7
Medyan, terim sayýsý çift olduðundan ortadaki iki terimin
A marketi için,
7+7 Yani, = 7 dir. 2
sx =
(16–12)2 +(16–15) 2 +(16–24) 2 +(16–13) 2+(16–10) 2+ (16–20)2 +(16–18)2 6
ortalamasýdýr.
b) =
16+1+64+9+36+16+4 146 73 = = 4,9 6 6 3
Tepe deðeri, en çok tekrar eden 8 olduðundan 8 dir. Yani, mod = 8 dir.
B marketi için, sx =
=
(18–14)2 +(18–16)2 +(18–16) 2 +(18–18) 2 +(18–18) 2+ (18–21)2 +(18–23)2 6 16+4+4+0+0+9+25 = 6
58 = 6
29 3,1 3
c) 4 12 28 40 84 – 4+6+6+7+7+7+7+8+8+8+8+8 x = = = 7 12 12
C marketi için, sx =
(16–9)2 +0+(16–13)2 +(16–15) 2 +(16–17) 2+(16–19) 6
2
+(16–23)2
d) sx =
=
49+9+1+1+9+49 = 6
20 ~ MATEMATÝK
118 = 6
59 4,.. 3
9+1+1+1+1+1+1+1 16 2 1,1 = = 12 12 3
Ýstatistik
Standart Puanlar
Örneðin
Bir öðrencinin grup içindeki baþarýsý hakkýnda yorum ya-
Ders
Öðrencinin puaný
Sýnýf ortalamasý
Standart sapma
pýlmak istendiðinde kullanýlýr. En çok kullanýlan Z ve T pu-
Matematik
85
80
10
Geometri
70
60
5
Fizik
75
70
10
Kimya
75
70
5
Biyoloji
90
75
10
anlarýdýr. Z puaný x: Öðrencinin ölçme sonucu (puaný) x–: Aritmetik ortalamasý s: Standart sapmasý – x–x Z = þeklinde hesaplanýr. s
Bir öðrencinin matematik, fizik, kimya, biyoloji ve geometri derslerinden aldýðý notlar bu derslere ait sýnýf ortalamalarý ve standart sapmalarý verilmiþtir.
Z puanýnýn yorumlanmasý;
Buna göre, bu öðrencinin hangi dersten en baþarýlý ve hangisinden en baþarýsýz olduðu Z puaný yardýmýyla bulunuz.
Çözüm Matematik Z puaný
85 – 80 Z = = 0,5 10
70 – 60 Geometri Z puaný= = 2 5 1. Z puaný 0 olan bir öðrenci sýnýfý % 50 sinden daha baþarýlý diðer % 50 sinden daha düþük baþarýya sahiptir. 2. Z puaný –1 olan bir öðrenci grubun yaklaþýk olarak % 16 sýndan baþarýlý, % 84 ünden daha az baþarýlýdýr.
75 – 70 Fizik Z puaný Z = = 0,5 10 75 – 70 Kimya Z puaný Z = = 1 5
Z puaný +1 olan bir öðrenci ise grubun yaklaþýk % 84
90 – 75 Biyoloji Z puaný = = 1,5 10
ünden baþarýlý, % 16 sýndan daha az baþarýlýdýr.
Z puaný en büyük olan ders en baþarýlý derstir. En baþarýlý
3. Z puaný –2 olan öðrenci grubun % 2 sinden baþarýlý, % 98 inden daha az baþarýlýdýr.
ders geometridir. Z puaný en küçük olan ders en baþarýsýz derstir. Matematik ve Fizik en baþarýsýz derslerdir.
Z puaný +2 olan öðrenci ise grubun % 98 inden daha
T puaný:
baþarýlý, % 2 sinden daah az baþarýlýdýr.
T puaný Z puanýnýn özel halidir.
Sonuç olarak Z puaný büyük olan daha baþarýlýdýr.
T = 10.Z+50 þeklinde hesaplanýr.
Örneðin
T puanýnýn yorumlanmasý:
20 öðrencinin 30 soruluk testte aldýklarý puanlarýn aritme-
T puanýnýn yorumu ayný Z puanýndaki gibidir. T puaný da-
tik ortalamasý 60, standart sapmasý 12 dir.
ha büyük olan daha baþarýlýdýr. –3
–2
–1
0
1
2
3
T puaný
20
30
40
50
60
70
80
10.3+50
10.2+50
10.1+50
10.0+50
Öðrencinin aldýðý not (x) = 72 – Sýnýfýn not ortalamasý (x ) = 60
10(–2)+50
Çözüm
10(–1)+50
Z puaný
içerisindeki baþarýsýný yorumlayýnýz.
10(–3)+50
Bu durumda 72 alan bir öðrencinin Z puanýyla sýnýf
Standart sapma (s) = 12 – x–x 72–60 O halde z = = = 1 dir. s 12 Z puanýnýn +1 çýkmasý öðrencinin sýnýfýn yaklaþýk % 84 ünden daha baþarýlý, % 16 sýndan daha az baþarýlý olduðunu söyler.
MATEMATÝK ~ 21
Ýstatistik
Korelasyon Deðiþkenler arasýndaki iliþkinin sayýsal deðeridir.
Örnek Soru 5
–1.00 ile +1.00 arasýnda deðiþken deðer alýr.
Korelasyon +1 e yaklaþtýðýnda yükselir. Yani deðiþken-
Aþaðýda korelasyon katsayýsý verilenlerden hangisin-
lerin ikisi de artar ya da ikisi de azalýr. Buna pozitif ko-
de iliþki en fazladýr?
relasyon denir. A) –0,90
B) –0,40
C) 0,20
D) 0,60
E) 0,70
Örneðin Sigara ve alkol kullandýkça saðlýk problemlerinin artmasý
Korelasyon –1 e yaklaþtýðýnda korelasyon yükselir. De-
Çözüm
ðiþkenlerden biri artarken diðeri azalýr.
Örneðin
–1
Saðlýklý beslendikçe hastalýða yakalanma riskinin azalmasý.
Ýki deðiþken arasýnda bir iliþki yoksa korelasyon katsayýsý sýfýrdýr denir.
Güçlü pozitif iliþki (korelasyon): Ýki deðiþkenin deðerleri ayný anda artar ve noktalar çizginin yakýnýnda
0 iliþki artar
+1 iliþki artar
Sýfýrdan uzaklaþtýkça korelasyon (Ýliþki) artar. Dolayýsýyla doðru cevap A dýr. Cevap A
kümeleþir.
Zayýf pozitif iliþki (korelasyon): Ýki deðiþkenin deðerleri de ayný anda artar fakat noktalar daðýnýk haldedir.
Örnek Soru 6
Güçlü negatif iliþki (korelasyon): Bir deðiþkenin deðerleri artarken diðeri azalýr ve noktalar çizginin yaký-
Aþaðýda verilen ikililer arasýnda hangisinin korelas-
nýnda kümelenmiþtir.
yon kat sayýsýnýn en düþük olmasý beklenir?
Zayýf negatif iliþki (korelasyon): Bir deðiþkenin deðeri artarken diðeri azalýr fakat noktalar daðýnýk hal-
A) Zeka - kalýtým
dedir.
B) Yetenek - baþarý
Karmaþýk iliþki (korelasyon): Deðiþkenler arasý bir
C) Yüksek - yaðýþ
iliþki görülmekte ama iliþkinin yönü tam olarak tespit
D) Para - güç
edilememektedir.
E) Kilo - zekâ
Ýliþki yok: Ýki deðiþkenin birbiriyle iliþkisi yoktur.
Çözüm
A) Zeka ile kalýtýmýn birbirini etkilediði ve aralarýnda bir iliþki olduðu kanýtlanmýþtýr. B) Yetenekli insanlarýn daha baþarýlý olduðu kanýtlanmýþtýr. C) Deniz seviyesinden yükseldikçe yaðýþýn da arttýðý görülmektedir. D) Paranýn insana bir çok þeyi elde etme gücü verdiði bilinmektedir. E) Kilosu artan ya da azalan insanlarýn daha zeki olduklarý ya da zekalarýnda bir deðiþme olduðu hakkýnda birþey söylenmez. Dolayýsýyla korelasyon kat sayýsý 0 dýr. Cevap E
22 ~ MATEMATÝK
Ýstatistik
BOŞLUK DOLDURMA
1. Bir veri grubunda en çok tekrarlanan deðere ..................................... denir.
2. Bir veri grubunun tam ortasýndaki deðere ..................................... denir.
3. Bir veri grubunda en büyük ve en küçük deðer arasýndaki farka .................................... denir.
4. Bir veri grubunda alt çeyrek ile üst çeyrek arasýndaki farka ..................................... denir.
5. Bir veri grubunda en küçük deðer ile ortancanýn tam ortasýndaki deðere ..................................... denir.
6. Standart sapma ile bir sýnýfýn ..................................... ya da ..................................... belirtilebilir.
7. Ýki deðiþken arasýndaki iliþkinin sayýsal deðerine ..................................... denir.
8. –1 den +1 e kadar deðer alabilen ifadeye ..................................... denir.
9. 50 aritmetik ortalama ve 10 standart sapmayla 50+10.z þeklinde hesaplanan deðere ..................................... denir.
10.Sýnavlarýn yoðunluðu ve stres arasýndaki iliþkiyi ifade eden korelasyon katsayýsý ..................................... dir.
MATEMATÝK ~ 23
Ýstatistik
ALIŞTIRMALAR
Standart sapma küçük ise
Standart sapma büyük ise
Homejen
Heterojen
Benzer
Farklý
Az
Çok
Puanlarýn aritmetik ortalamaya yakýnlýðý
Yakýn
Uzak
Uygulanan testin ayýrtediciliði
Düþük
Yüksek
Ayýrmamýþ
Ayýrmýþ
Öðrenci Grubu
Öðrencilerin öðrenme düzeyleri
Öðrenciler arasýndaki farklýlaþma
Bilen öðrenci ile bilmeyen öðrencinin birbirinden ayrýlmasý
O kadar çalıştım ama yine de 75 aldım.
24 ~ MATEMATÝK
Hiç çalışmadan bu dersten 75 aldım.
Ulen bu dersten çakacağız galiba kopyada çekemedim.
Çalıştığım dersten istediğim notu aldım.
Ýstatistik
Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
MATEMATÝK ~ 25
Ýstatistik
ALIŞTIRMALAR
Standart sapmanýn küçük olmasý sýnýfýn homojen olduðunu söyler.
Bütün öðrencilerin ayný notu aldýðý bir grupta mod yoktur. Mod bir veri grubunda en çok tekrar eden deðerdir.
Veri daðýlýmýnda en çok tekrarlanan deðer ardýþýk iki deðer ise mod bu iki deðerin aritmetik ortalamasýdýr.
Bir veri grubunda birden fazla mod olabilir.
Medyan bir veri grubunun tam ortasýndaki deðerdir.
Ýstatistik
Üst çeyrek ile alt çeyrek arasýndaki farka çeyrekler açýklýðý denir.
Ranjýn sýfýr olduðu bir veri grubunda bütün deðerler aynýdýr.
26 ~ MATEMATÝK
Aritmetik ortalama bir veri grubundaki bütün verilerin toplamýnýn veri sayýsýna bölünmesidir.
Standart sapmada bütün veriler dikkate alýnýr.
Bütün öðrencilerin ayný notu aldýðý bir testin standart sapmasý 0 dýr.
Standart sapmanýn büyük olmasý testin güvenilirliðinin iyi olduðunu gösterir.
Ýstatistik 5. Veriler bir histogramda gösterilirse hangisi doðru
ALIŞTIRMALAR
olur?
20 öðrencinin 50 soruluk bir deneme sýnavýnda yaptýðý netler aþaðýdaki gibidir. 32,24,30,32,36,40,28,30,34,45,42,48,36,27,26,24,30,36,45,36 Bu verilere göre ilk beþ soruyu cevaplayýnýz. 1. Bu öðrenci grubunun yaptýðý netlerin tepe deðeri (Modu) kaçtýr? A) 30
B) 32
C) 36
D) 40
E) 45
2. Verilen grubun ortancasý (Medyaný) kaçtýr? A) 30
B) 32
C) 33
D) 34
E) 35
6.
A) 94 B) 24
C) 26
Öðrenci sayýsý
45 – 55
2
56 – 66
5
67 – 77
4
78 – 88
3
89 – 99
1
Þekilde verilen not daðýlýmýnýn modu kaçtýr?
3. Verilen grubun veri açýklýðý kaçtýr? A) 20
Not aralýðý
D) 27
B) 83
C) 72
D) 61
E) 51
E) 30 7.
Þekildeki grafikte bir gruptaki kiþi sayýsý ve yaþlarý ve4. Bu veriler 5 gruba ayrýlýrsa grup geniþliði aþaðýda-
Buna göre, bu grubun yaþ ortalamasý kaçtýr?
kilerden hangisi olur? A) 3
B) 5
rilmiþtir.
C) 6
D) 7
E) 8
A) 26,15
B) 25,40
C) 26,55
D) 27,35
E) 27,65
MATEMATÝK ~ 27
Ýstatistik 8.
Öðrencinin neti
Dersane ortalamasý
Standart sapma
25
15
5
Kimya
27
22
5
Biyoloji
20
6
7
Fizik
10. Aþaðýda grafiði verilen ikililerden hangileri arasýndaki iliþkinin negatif yönlü ve en çok olduðu söylenebilir?
Þekildeki LYS deneme sýnavýna giren bir öðrencinin fizik, kimya ve biyoloji derslerinden yaptýðý netler, bu derslere ait dersane ortalamasý ve standart sapmalarý verilmiþtir. Buna göre, aþaðýdaki yorumlardan hangisi yanlýþtýr? A) Öðrenci fizik dersinde dersanenin %98 inden daha fazla baþarýlýdýr. B) Öðrenci kimya dersinde dersanenin %16 sýndan daha az baþarýlýdýr. C) Öðrenci biyoloji dersinde dersanenin %2 sinden daha az baþarýlýdýr. D) Öðrenci fizik dersinde dersanenin %2 sinden daha az baþarýlýdýr. E) Öðrenci biyoloji dersinde dersanenin %2 sinden daha baþarýlýdýr.
11. 9.
Öðrenci
T puaný
A
50
B
60
C
65
D
45
E
70
Þekilde 5 öðrencinin bir derse ait T puanlarý verilmiþ-
Þekilde dairesel bir grafikte bir sýnýftaki öðrencilerin A,
tir.
B, C ve D derslerinden geçenlerin yüzdeleri verilmiþtir.
Buna göre, en baþarýsýz öðrenci aþaðýdakilerden
A dersinden geçenlerin sayýsý, C dersinden geçen-
hangisidir?
lerden 12 fazla ise sýnýf mevcudu kaç kiþidir?
A) E
B) D
28 ~ MATEMATÝK
C) C
D) B
E) A
A) 21
B) 24
C) 36
D) 40
E) 45
