UNIVERSIDAD DEL CAUCA FIC Y FIET Modelos Matemáticos que Responden ED de Primer Orden Lecturas de Clase IV
Modelo de Tanque Antes de empezar a describir el modelo es necesario establecer las notaciones que se emplearan:
Ce t
ve t
Concentración
Ce t Indica concentración de entrada C s t Indica concentración de salida
unid. masa C unid
C t
unid .vol .
Caudal
C s t
v s t
ve t Indica caudal de entrada v s t Indica caudal de salida
nid .Vol Vol . Unid Unid .Tiem Tiempo po v Unid Condición Sea x x t la función que representa la cantidad total de substancia S dentro del tanque después de un tiempo t , la cual una concentración C C t .
Si se agita rápidamente la substancia de homogéneamente distribuida, se cumple C C s .
Si la substancia ni se crea ni se destruye en el proceso, la razón neta de cambio de x x t es igual a la diferencia entre las razones de entrada y salida de la
manera
que
se
mantenga
substancia. Propuesta
d xi d t
vi t Ci t donde i e, s y C t
x t V t
Ecuación Diferencial
dx d t
a t x b t , donde a t
v s t V t
y b t ve t Ce t
Las condiciones iniciales se presentan tanto en el volumen como en la cantidad de substancia y concentración. Por otro lado el volumen se puede expresar:
dV d t
t
ve t vs t , lo que implica que V t V t0 ve t vs t d t t o
Mg. Julián Andrés Zúñiga
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Ejercicios
1. Un tanque está lleno con 8 gal de agua salada en la cual 2 lb de sal están disueltas. Agua salada con 3 lb de sal por galón entra al tanque a 4 gal min , y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a. Establezca una ED para la cantidad de sal como una función de tiempo t . b. Encuentre la cantidad de sal como una función del tiempo. c. Encuentre la concentración de sal después de 8 min . d. ¿cuánta sal hay después de un tiempo largo? 2. Un tanque tiene 40 gal de agua pura. Una solución salada, con 1 lb de sal por galón entra a 2 gal min , y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa. a. ¿Cuánta sal hay en el tanque en cualquier tiempo? b. ¿Cuándo el agua que sale tendrá 0.5 lb ? 3. Un tanque tiene 10 gal de agua salada con 2 lb de sal disuelta. Agua salada con 1.5 lb de sal por galón entra a 3 gal min ,
y la mezcla bien agitada sale a 4 gal min . a. Encuentre la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo. b. Encuentre la concentración de sal después de 10 min . c. Grafique la cantidad y concentración de sal contra el tiempo y obtenga el máximo en cada caso.
4. Considere el ejercicio anterior, pero teniendo en cuenta que inicialmente en el tanque el agua es pura, compare los resultados 5. Consideremos un tramo del Río Cauca desde un punto antes de Popayán hasta un punto después de Popayán como un tanque con un volumen de 60 millones de metros cúbicos en el cual hay una concentración de contaminantes (detergentes y tóxicos de uso doméstico, desechos industriales, etc. ) del 0.00001%. Supóngase que a partir de t 0 entra agua con una concentración de contaminantes del 0.001% a razón de 3 1200 m s y que sale igual cantidad de agua bien mezclada. a. ¿Cuál será la concentración de contaminantes en el río al cabo de t minutos? b. ¿Cuánto tardará la concentración en elevarse al 0.0001%? c. Si las condiciones persisten, ¿Qué pasará cuando t ? 6. Una fábrica está situada cerca de un 3 río con caudal constante de 1000 m s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con un volumen de 1000 millones de metros cúbicos. Suponiendo que la fábrica empezó a funcionar el 1 de febrero 2001, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, se bombean 3 continuamente al río a razón de 1 m s y 3
que el lago tiene una salida de 1000 m s de agua bien mezclada.
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a.
Esboce
la
gráfica
de
la
función
simultánea, se agrega al tanque una mezcla de solución salina que contiene 1 8 lb gal a razón de 3 gal min . Tres horas después se abre una válvula de agua dulce, la cual suministra 2 gal min al tanque además de la mezcla salina que ya se agregó al tanque. Calcule la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier tiempo t 0 . ¿Cuál es la cantidad de sal estacionaria en el tanque? .
x x t que representa la contaminación en el río al cabo de t días. b. Calcule a cuánto ascenderá esta contaminación al cabo de: un día, un mes (30 días) y un año (365 días). 7. Un tanque de 400 galones se llena con una solución salina que contiene 45 libras de sal. En cierto momento, la solución salina comienza a salir de una válvula abierta en la base del tanque a 5 gal min . razón de En forma
Modelo de Circuitos
E
I
E
I R
R C
L Circuito RL
Circuito RC
Para poder dar una descripción clara sobre los circuitos en serie representados, es necesario indicar que E representa la caída de voltaje, R coeficiente de resistencia (o simplemente resistencia), L coeficiente de inductancia (o simplemente inductancia) y C coeficiente de capacitancia (o simplemente capacitancia). Donde
R Ohmio , L Henrio
E Voltios o
fem ,
y C Faradio .
Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen
La caída de voltaje a través de una resistencia E R es proporcional a la corriente I que pasa a través de la resistencia
E R I R
La caída de voltaje a través de un inductor E L es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de corriente I
E L L
d I dt
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La caída de voltaje
a través de un condensador E C es proporcional a la carga
eléctrica Q instantánea en el condensador C
E C
Q
C Es importante considerar que la corriente es la tasa de tiempo instantánea de cambio de la carga eléctrica. dQ I dt Donde las unidades de I Amperio y Q Culombio . Ley de Kirchhoff El voltaje suministrado E es igual a la suma de todas las caídas de voltaje. Considerando las leyes mencionadas se puede analizar cada uno de los circuitos que inicialmente se encuentran enunciados.
Circuito
d I L dt I R E , I t I 0 0
RL
R t
es
dada
por
expresión
cuya
solución
es
dada
por
expresión
L
dQ Q R dt C E , Q t Q 0 0
RC
solución
R t
I t I 0 L1 e L E t dt e
Circuito
cuya
t t Q t Q0 R1 e RC E t dt e RC 1
1
Ejercicios
1. Pruebe que un circuito RC también se puede expresar mediante la ED: dI 1 dE I R , cuya solución es dada dt C dt
2. Un condensador de 5 10 faradios está en serie con una resistencia de 25 ohmios y una fem en voltios, dada por la
por la expresión:
cierra en t 0 . Asumiendo que la carga en el condensador es cero en t 0 , determine la carga y la corriente en cualquier tiempo.
t d E t I t I 0 R1 e RC dt e RC , dt 1
bajo condiciones iniciales.
1
3
expresión 50 Cos 6 t . El interruptor se
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3. Una resistencia de 4 ohmios y un inductor de 1 henrio se conecta en serie 4 t con un voltaje dado por 100 e Cos 50t ,
t 0 . Encontrar I 0 0 en t 0 .
la
corriente
cuando
4. Una resistencia de 200 ohmios se conecta en serie con un condensador de 0,01 faradios y una fem en voltios dada t t por 40 e 20 e . Si Q 0 en t 0 , muestre que la caída máxima en el condensador es de 0,25 culombios. 3
6
5. Un circuito consiste de una resistencia constante de R ohmios en serie con una fem constante de E voltios y una
condensador es cero. Si el interruptor está cerrado hasta que la carga sea 99% de su máximo teórico y luego E se reduce repentinamente a cero, encuentre Q de ahí en adelante. 8. Una fem periódica E t mostrada gráficamente en la figura, se aplica en t 0 a un circuito consistente de R ohmios y C faradios, donde R y C constantes. Encuentre la carga cuando t 4T , asumiendo que en t 0 la carga es cero. E t E 0
inductancia constante de L henrios. Si la corriente inicial es cero, muestre que la corriente crece a la mitad de su valor teórico máximo en t L R Ln 2 . 6. Un inductor de L henrios varía con el tiempo t (segundos) de acuerdo a la expresión
L t 0,05 0,001t ,
si
0 t 1003 . Se conecta en serie con una fem de 40 voltios y una resistencia de 10
ohmios. Si I 0 en t 0 , encuentre: a. I t , t 0
T
2T
3T
4T
t
9. ¿Qué valor de L debería de escogerse en un circuito LR con E 100 voltios y
R 1000 omhs si se desea que la corriente aumente de 0 a 25% de su valor final en 4 10 segundos? 10. encontrar la corriente I t en un circuito RC, suponiendo R 1 , C 1 F , una carga inicia cero en el capacitor y
b. La corriente máxima teórica 7. Un circuito tiene R ohmios C faradios, y E voltios en serie con un R , C interruptor, siendo y E constantes. La carga inicial en el
t 1 si 0 t a ta a 1 si
E t
Modelo de Cable Colgante Considere un cable o una cuerda que cuelga de dos puntos A y B , no necesariamente al mismo nivel. Asuma que el cable es flexible de modo que debido a su carga (la cual puede ser debida a su propio peso o fuerzas externas actuantes, o una combinación de éstas) toma la forma que se indica en la figura. Sea C la posición más baja del cable, la carga
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total del arco CP se denota por W w x la cual se asume en algún punto R , no necesariamente en el centro del arco. Condición La función y y x representa la forma que toma el cable debido a las cargas
presentes. (función utilizada en la construcción de puentes modernos). T Cos H 0 El sistema CRP se encuentra en equilibrio. Es decir: T Sen W 0 y
T
B
T y P
A
T x
P x, y
R C
H
C
b x
W
Ecuación Diferencial
d y 1 d x H w x (1), considerando H como una constante, ya que es la tensión en el punto y 0 b más bajo.
d 2 y 1 d w 2 H dx Una ED equivalente a la (1) es d x (2), es importante recordar que x 0 , la y 0 0 función y y x alcanza su valor mínimo de ahí que,
dy d x x 0
0.
La expresión d w d x representa el incremento de W por unidad de incremento en x . (Carga por unidad de distancia en la dirección horizontal) Solución De acuerdo a las condiciones del problema se establece d w d x , y luego se resuelve la ED (2) integrando dos veces.
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Ejercicios 1. Un cable de poco peso (despreciable) soporta un puente uniforme. Determine la forma del cable.
tensión del cable en los soportes está
L . H 2
dada, en libras, por H Cosh
y
x
2. Un cable con densidad lineal constante ( d w d s ) cuelga entre dos puntos fijos. Determine su forma. Q s
P
y
5. Muestre que el peso total del cable del ejercicio anterior es dado por la L expresión 2 H Senh . 2 H 6. Un cable de densidad 0.4 lb pie tiene 250 pies de largo. Cuelga de dos soportes que están al mismo nivel y separados 200 pies. a. Calcule la distancia de los soportes por encima del punto más bajo del cable. b. Calcule la tensión en ese punto.
x
Se sugiere considerar la expresión de longitud de arco. 3. Un cable de un puente colgante tiene sus soportes al mismo nivel, separados a una distancia de 500 pies. Si los soportes están a 100 pies más altos que el punto mínimo del cable, use un conjunto apropiado de ejes para determinar la ecuación para la curva que describe el cable cuelga, asumiendo que el puente es 2 de peso variable de 400 0.001 x libras por pie de longitud, donde x es la distancia en pies desde el centro del puente y que el peso del cable es despreciable. Encuentre la pendiente del cable en los soportes. 4. Un cable tiene una densidad constante en libras por pie y cuelga de dos soportes al mismo nivel separados L pies. Si la tensión en el punto más bajo del cable es H libras, muestre que la
7. Un cable de densidad 0.5 lb pie cuelga de dos soportes que están al mismo nivel y separados 50 pies. Los soportes están a 10 pies por encima del punto más bajo del cable. Encuentre a. La longitud del cable b. La tensión en el punto más bajo del cable c. La tensión en los soportes del cable 8. Un cable de P pies de largo tiene una densidad constante de libras por pie. Cuelga de dos soportes que están a un mismo nivel y separados L pies. Los soportes están a pies por encima del punto más bajo del cable. Muestre que la tensión H en el punto más bajo del cable está dada por:
H
L
2 Ln P 2a
P 2 a
Mg. Julián Andrés Zúñiga
