III. MODEL-MODEL INTI Sub-pokok Bahasan Meliputi: • Model Tetes Cairan • Model Kulit
3.1 MODEL TETES CAIRAN TUJUAN INTRUKSIONAL KHUSUS: Setelah mempelajari Sub-pokok Bahasan Model Tetes Cairan, mahasiswa diharapkan dapat: • Menjelaskan konsep model tetes cairan dan persamaan semi empiris model ini • Menjelaskan koreksi-koreksi terhadap persamaan semi empiris
3.1.1 Konsep Model Tetes Cairan
Saat ini tidak ada teori dasar yang dapat menjelaskan sifat-sifat inti yang teramati. Sebagai pengganti teori, beberapa model telah dikembangkan, namun hanya beberapa yang dapat menjelaskan sifat inti. C. V. Wieszacker pada tahun 1935 mendapati bahwa sifat-sifat inti berhubungan dengan ukuran, masa dan energi ikat. Hal ini mirip dengan yang dijumpai pada tetes cairan. Kerapatan cairan adalah konstan, ukurannya sebanding dengan jumlah partikel atau molekul di dalam cairan, dan penguapannya (energi ikatnya) berbanding lurus dengan massa atau jumlah partikel yang membentuk tetesan. Model tetes cairan membawa pada persamaan semi empiris. Massa defek inti dirumuskan: m = Zm p + ( A − Z )mn − b1 A + b2 A
2 / 3
+ b3 Z 2 A −1 / 3 + b4 ( A − 2 Z )2 A −1 + b5 A −3 / 4
(3.1)
Konstanta dalam persamaan (3.1) ditentukan dari eksperimen, yang nilainya: b1 = 14,0 MeV
b3 = 0,58 MeV
b2 = 13,0 MeV
b4 = 19,3 MeV
Sedangkan b5 nilanya ditentukan dengan skema berikut: A
Z
b5
Genap
Genap
-33,5 MeV
Genap
Ganjil
+33,5 MeV
Ganjil
-
0
22
3.1.2 Koreksi Persamaan Semi Empiris
Persamaan (3.1) diperoleh dari berbagai koreksi yang dilakukan berurutan. Dengan energi ikat yang diabaikan, estimasi pertama adalah untuk massa inti yang tersusun dari proton Z dan neutron N = A-Z adalah Zm p + ( A − Z )mn Selanjutnya, estimasi massa ini dikoreksi untuk menghitung energi ikat inti. Lantaran gaya inti adalah tarik menarik, energi ikatnya menjadi positif, sehingga massa inti menjadi lebih kecil dibanding massa nukleon yang terpisah-pisah. Dari model tetes cairan, penguapan panas (energi ikat) berbanding lurus dengan jumlah nukleon A. Sehingga menghasilkan koreksi sebesar (–b 1 A). Asumsi pada koreksi pertama, yaitu b 1 pernukleon, tentu tidak terlalu tepat. Sebab, hal itu hanya berlaku untuk inti di bagian dalam yang dikelilingi inti yang lain. Sedangkan inti pada bagian permukaan, pasti terikat lebih lemah. Makanya diperlukan koreksi 2/3
permukaan yang besarnya seluas permukaan inti, yaitu (b 2 A ). Selanjutnya adalah koreksi dari adanya Energi Coulomb (E c) antar proton yang tolakmenolak. Adanya gaya tolak-menolak ini, energi ikat (besanya massa defek) akan lebih kecil. E c ∝
Z 2 R
=
Z 2
( r 0 A1 / 3 )
∝
Z 2
(3.2)
A1 / 3 2
-1/3
Yang memberikan koreksi sebesar (b 3 Z A
).
Sampai disini bentuk ekspresi massa inti telah didapatkan dari analogi dengan tetesan cairan bermuatan. Selain itu, muncul koreksi dari mekanika kuantum. Menurut prinsip pengecualian Pauli, jika terdapat kelebihan netron ketimbang proton atau kebalikannya di dalam inti, maka energinya (massanya) akan mengalami kenaikan.
Akhirnya muncul
koreksi b4 ( N − Z ) A − = b4 ( A − 2 Z ) 2 A − 2
1
1
Nukleon-nukleon di dalam inti juga cenderung berpasangan. Netron-netron atau proton-proton akan berkelompok bersama dalam spin-spin yang berbeda. Akibat efek ini menimbulkan pasangan energi hadir bervariasi sebesar A
-3/4
dan bertambah sebesar jumlah
nukleon-nukleon tidak berpasangan. Rata-rata energi ikat per nukleon diperoleh dari persamaan diatas: BE / A =
[ Zm
p
+ ( A − Z )mn − m]c 2 A
(3.3)
BE / A = b1 − b2 A −1 / 3 − b3 Z 2 A − 4 / 3 − b4 ( A − 2 Z ) 2 − b5 A −7 / 4
23
Dari persamaan diatas jika digambarkan akan tampak seperti gambar 3.1.
) V e M ( 10 n o e 8 l k u n r 6 e p t 4 a k i i g r 2 e n E
56
Fe
40
80 100 140 Nomor Mass A
200
240
Gambar 3.1 Energi ikat per nukleon Pendekaan tersebut nampak cukup sesuai dengan hasil eksperimen, meskipun tidak tepat sama.
3.2 Model Kulit TUJUAN INTRUKSIONAL KHUSUS: Setelah mempelajari Sub-pokok Bahasan Model Kulit, mahasiswa diharapkan dapat: • Menjelaskan konsep model kulit inti • Menjelaskan tingkat-tingkat energi inti
3.2.1 KonsepModel Kulit
Pada model tetesan cairan, nukleon-nukleon tidak diperlakukan secara individu, tetapi dipandang secara kolektif (rata-ratanya). Model ini berhasil menjelaskan beberapa sifat inti, seperti rata-rata energi ikat per nukleon. Namun, sifat inti lainya, seperti energienergi keadaan eksitasi dan momen magnetik inti, membutuhkan pemakaian model mikroskopik dalam perhitungan perilaku nukleon-nukleon secara individu. Menurut data eksperimenl, terbukti bahwa sifat-sifat inti mengalami perubahan pada N atau Z sebesar 2, 8, 20, 28, 50, 82, atau 126 yang dikenal sebagai “bilangan ajaib”
24
(Gambar cari di buku Krane). Pada bilangan ajaib ini didapatkan bahwa inti berada dalam keadaan stabil dan berjumlah banyak. Selain itu, energi-energi keadaan tereksitasi pertama pada “bilangan ajaib”, ternyata lebih besar dibandingkan dengan inti-inti di luar “bilangan ajaib”. Sebagai contoh perak, dengan bilangan ajaib Z = 50 memiliki 10 isotop stabil, sehingga energi yang dibutuhkan untuk melepaskan proton sekitar 11 MeV dan keadaan tereksitasi pertama untuk isotoisotop genap-genap (N dan Z bernilai genap) adalah sekitar 1,2 MeV di atas keadaan dasar. Sebaliknya untuk isotop-isotop terulium (Z = 52) energi yang dibutuhkan untuk melepas proton 7 MeV dan untuk isotop-isotop genap, keadaan tereksitasi pertama memiliki energi sebesar 0,6 MeV. Tampak sekali ada semacam pola sebagaimana pada atom yang elektron-elektronnya mengisi kulit atom dengan pola tertentu. Kesamaan dalam perilaku ini mengisyaratkan adanya kemungkinan bahwa beberapa sifat inti dapat dijelaskan dengan model kulit inti.
3.2.3 Tingkat Energi Model Kulit
Struktur kulit atom didapatkan dari suatu deret pendekatan yang berurutan. Pertama kita asumsikan bahwa tingkat-tingkat energi untuk suatu inti bermuatan Ze telah terisi penuh oleh elektron-elektron Z dan seolah-olah tidak terjadi interaksi satu dengan yang lain. Kemudian dibuat koreksi untuk menghitung efek-efek interaksi yang terjadi. Efek utama,
yang
menghasilkan
pendekatan
pertama
terhadap
tingkat-tingkat
kulit,
memunculkan suatu keadaan bahwa secara rata-rata elektron bergerak independen di dalam medan Coulomb inti. Jika pendekatan yang sama digunakan untuk mengembangkan gambaran kulit inti, potensial yang berbeda harus digunakan untuk merepresentasikan gaya-gaya inti. Salah satu pendekatannya adalah dengan megasumsikan bahwa nukleon-nukleon bergerak di dalam suatu rata-rata potensial osilator harmonik. V =
1 2
kR 2 =
1 2
mω 2 R 2
(3.4)
Setelah dihitung dengan mekanika kuantum, maka tingkat-tingkat energinya diberikan oleh: E = ( Ν +
3 2
)ω
(3.5)
25
Dengan N = 2( n − 1) + l . Besaran l adalah bilangan kuantum momentum orbital dan nilainya adalah 0, 1, 2, 3... serta berhubungan dengan vektor momentum anguler orbital dalam bentuk biasa I = l (l + 1) . Besaran n adalah bilangan bulat yang nilainya adalah 1, 2 ,3... namun, berbeda dengan solusi atom hidrogen, nilai l inti tidak dibatasi oleh n. Keadaan
momentum
anguler
orbital
nukleon
ditunjukkan
dalam
notasi
spektroskopik: Nilai l
0
1
2
3
4
5
...
Simbol huruf
s
p
d
f
g
h
...
Bila nilai n di depan simbol huruf, akan menunjukkan orde (terhadap kenaikan energi) dari suatu keadaan l tertentu. Dengan demikian 2d adalah keadaan l = 2 setelah keadaan yang paling rendah. Untuk menghitung bilangan ajaib yang teramati, Mayer dan Jensen pada tahun 1949 secara independen memperlihatkan keberadaan interaksi spin-orbit ( l.s) selain potensial osilator harmonis. Karena nukleon memiliki nilai s = ½ yang tunggal untuk bilangan kuantum spinnya, efek spin orbit akan menyebabkan setiap keadaan momentum anguler orbital dengan l > 0 terbagi menjadi dua orbit, mengikuti apakah total bilangan kuantum momentum anguler j adalah j = l + s atau j = l – s. Energi relatif untuk melakukan pembagian diperoleh melalui pengevaluasian l.s: l.s =
1 2
[ j ( j + 1) − l (l + 1) − s( s + 1)] 2
⎧1 2 ⎪2 l.s = ⎨ l +1 2 ⎪− ⎩ 2
j = l + 1 / 2
(3.6)
j = l − 1 / 2
Pengurangan kedua ekspresi ini memperlihatkan bahwa pemisahan energi antar kedua orbit sebanding dengan 2 l +1 dan menjadi besar seiring dengan bertambahnya l. Selanjutnya lambang 1d3/2 merupakan kombinasi bilangan-bilangan kuantum n = 1, l = 2, j = l-s = 3/2. Untuk inti, prinsip Pengecualian Pauli dinyatakan: tidak ada dua nukleon dapat memiliki kumpulan bilangan kuantum yang sama (n, l, j, m j). Ini berarti setiap orbit dapat memuat maksimum 2j + 1 nukleon.
26
i s a t o N
n o t o r p n o h t r a l e m n u & J
b i a j a n a g n a l i B
126 1i13/2
14
1h9/2
10
2f 5/2
6
3p1/2
2
3p3/2
4
2f 7/2
8
82 1h11/2
12
1g7/2
8
2d3/2
4
3s1/2
2
2d5/2
6
50 1g9/2
10
1f 5/2
6
2p1/2
2
2p3/2
4
28 1f 7/2
20 1d3/2
4
2s1/2
2
1d5/2
6
8 1p1/2
2
1p3/2
4
1s1/2
2
2
Gambar 3.2 Tingkat Energi Inti
27
Soal-soal:
1. Buktikanlah bahwa isobar yang paling stabil untuk A ganjil denagn model tetesan cairan adalah Z =
A
0,015 A
2 / 3
+2
2. Untuk A = 25, carilah inti yang paling stabil 3. Carilah momentum anguler keadaan dasar
15 8
O dan
39 19
K
4. Tunjukkan bahwa orbit dari j tertentu mungkin berada pada nukleon-nukleon 2j + 1. Tunjukkan bahwa kedaan p (l = 1), hasil ini konsisten dengan prinsip Pauli memperbolehkan 2 (2l + 1) = 6 nukleon. 32 P 5. Berapakh nilai-nilai momentum anguler keadaan dasar yang mungkin untuk 15
Biografi Singkat JENSEN Johannes Hans Daniel Jensen adalah ahli fisika penemu teori struktur kulit inti atom dan peraih Hadiah Nobel. Ia lahir di Hamburg, Jerman, pada 25 Juni 1907. Ia bekerja di Universitas Hamburg, lalu pindah ke Institut Hannover dan akhirnya bekerja di Universitas Heidelberg. Menurut Jensen, inti atom mempunyai struktur seperti kulit elektron yang berlapis-lapis dengan garis tengah yang berbeda-beda. Lapisan kulit itu ditempati proton dan netron dengan susunan menurut sifat-sifat proton dan netron. Pada tahun yang sama (1949) di tempat yang berlainan Mayer, ahli fisika AS, menemukan teori yang sama di Universitas Chicago. Padahal mereka bekerja sendiri-sendiri. Pada tahun itu juga Jensen bersama Wigner mengajukan model kulit inti. Pada tahun 1955 Jensen, Mayer dan Wigner mendapat Nobel untuk fisika karena dapat menerangkan sifat-sifat inti atom secara terperinci.
28
