Método de La Espiral Logarítmica en El Caso de Empuje Pasivo

Centro de Ciencias del Diseño y de la Construcción. Ingeniería Civil. Departamento de Geotecnia e Hidráulica. Obras Hidraulicas. 8 !emestre.

"eporte practica# $%&todo de la 'spiral (ogarítmica).

*ro+esor# $,uan Carlos (ópe- rellano). . lumno# /lores Olivares %iguel ngel.

001231420 3 %&todo de la 'spiral (ogarítmica en el caso de empu5e pasivo

Consta de un plano de +alla 6ue se compone de una espiral 7D9 y una línea recta 7D'9 a di+erencia del m&todo de las dovelas 6ue emplea una circun+erencia. θtang ∅

r= ro e

(a espiral se tra-a con la +ormula

 teniendo el origen sobre la recta

:D con el ;n de tener continuidad de la espiral a la recta. (a masa D/: se encontrara en e6uilibrio ba5o las siguientes +uer-as# < = !u propio peso aplicado en su centro de gravedad. '0 = *roducida por el elemento /D' y aplicado en D/1>. C = Co?esión entre la espiral y el suelo. C@ = d?erencia entre el suelo y :. / = "esultante de los es+uer-os normales y tangenciales de +ricción producidos en la espiral D. * = "esultante de los es+uer-os normales y tangenciales de +ricción producidos en la sección :A Inclinada con respecto a la normal del muro un ángulo

δ =

2 3

∅

.

 Ba 6ue se desconoce * se aproima con dos +uer-asA *@ y *@@A donde *@ e6uilibra a las +uer-as '0@A /@ y B :14. *ara determinar *@ puede elegirse arbitrariamente una super;cie ?ipot&tica de desli-amiento D' con lo 6ue

' 

1

2

 E 1 = γ ( DF )  N   aplicada en D/1> 2 ∅

 B despu&s obtener *@ tomando momentos en torno a O de las +uer-as '0@A
modi;car moviendo el O en el segmento :D y el menor *@ será el empu5e pasivo total de proyecto. 'n dado caso de tener co?esión se determinara *@@A para lo cual tendremos una  E 1 ’ ’ = 2 cDF  √  N   aplicada en D/14 ∅

 B para conocer el valor del momento de C utili-amos la +ormula θ1

∫

 M = dM = 0

c ( r 12−r 02) A al ;nal se calculan momentos respecto a O de las 2 tg ∅

+uer-as *@@A CA C@A '0@@ y /@@. 'l anterior procedimiento se plantea por separado el cálculo de las *@ y *@@A en el caso de tener +ricción y co?esión es conveniente llevar en +orma grá;ca los valores de la suma *@  *@@.

Centro de Ciencias del Diseño y de la Construcción. Ingeniería Civil. Departamento de Geotecnia e Hidráulica. Obras Hidraulicas. 8 !emestre.

"eporte practica# $%&todo de las Dovelas aplicado a una cortina).

*ro+esor# $,uan Carlos (ópe- rellano). . lumno# /lores Olivares %iguel ngel.

001231420 3 !uper;cie de /alla presente solo en el talud de la cortina con el caso de vaciado rapido.

!uper;cie de /alla presente solo en el talud de la cortina con el nivel de aguas normales 7EE9.

!uper;cie de +alla presente en el talud 5unto con el estrato de aluvion deba5o del talud en el caso de vaciado rapido.

!uper;cie de +alla presente en el talud 5unto con el estrato de aluvion deba5o del talud con el nivel de aguas normales 7EE9.

%&todo de la espiral logarítmica

(a super;cie de desli-amiento consta de una parte curva y otra recta 7segmentos D y D'9.

'l arco D es un segmento de espiral logarítmica con centro en O. 'l ?ec?o de 6ueA por continuidadA el tramo de espiral deba ser tangente al segmento de recta D' en DA obliga a 6ue el centro O caiga sobre el segmento :D. 'n estas condiciones la ecuación de espiral logarítmica puede escribirse como# r= r0 e

θtg ∅

(a masa de suelo :D' puede considerarse en estado $plástico) pasivo de "anFineA de manera 6ue no ?ay es+uer-os cortantes actuando en la sección vertical D/ yA sobre &staA el empu5e pasivo es ?ori-ontal 7' 09 y puede calcularse como ?a 6uedado indicado. (a masa D/: estará en e6uilibrio ba5o la acción de las siguientes +uer-as# su peso propioA  la resultanteA CA de la co?esión actuante en el arco D la +uer-a resultante de la ad?erencia entre el suelo y la super;cie :A C@ la +uer-a /A resultante de los es+uer-os normales y tangenciales de +ricción producidos en el arco D y la +uer-a *A resultante de los es+uer-os normales y tangenciales de +ricción a lo largo de :. 'sta ltima +uer-a estará inclinada respecto a la normal al muro un ángulo#

δ =

2 3

∅

Como la línea de acción de * no es conocida a priori se debe recurrir a un arti;cio aproimado para determinar su magnitud y posición. 'l arti;cio consiste en reempla-ar a * por dos +uer-as *@ y *@@A con la misma dirección 6ue *. (a +uer-a *@ se considera en e6uilibrio con
+uer-as son la ' 0 y /A antes citadas pero admitiendo por el momento 6ue la

γ 

del suelo sea igual a cero9. 'n el primer grupo se ?an reunido las +uer-as de masa y las normales y de +ricción debidas al e+ecto < en el segundo grupo aparecen las +uer-as de co?esiónA 6ue son independientes de <. (os puntos de aplicación de *@ y *@@ seránA desde luegoA :1> y :14A respectivamente. 'n estas condicionesA cada una de esas +uer-as podrá calcularse por separado y su resultante produce el empu5e total *. *uesto 6ue el arco escogido entre  y D es de una espiral logarítmicaA segn la ecuación 3>A todos los radios de vectores del mismo +orman un ángulo con la normal al arco en cada punto. Como

∅

∅

 es el ángulo de +ricción internaA

se sigue 6ue las direcciones de los radios vectores son las de los elementos de +uer-a cuya resultante es /A por lo 6ue la propia / debe pasar por el centro de la espiralA O. *ara determinar *@ puedeA entoncesA elegirse arbitrariamente una super;cie ?ipot&tica de desli-amiento D' 7;g. IJ089. 'l empu5e de '@ 0 se calcula con la

´ ecuación#  E ' 1= 2 γ  DF   N  1

2

∅

y acta en D/1>. !i se toman a?ora momentos en torno a O de las +uer-as '@ 0
´ usual. sí#  E ' ' 1=2 c  DF √  N 

∅

'l ?ec?o de ?acer

γ =0  e6uivale a anular el peso del sueloA de5ando sólo el

t&rmino del empu5e 6ue depende de la $co?esión) del mismo. 'l punto de aplicación '@@ 0 será el punto medio del segmento D/. !i se considera un elemento ds en la super;cie DA obrará en &l una +uer-a cdsA cuyo momento respecto a O vale# 7;g. IJ08.b9# rdθ 2 dM =rc cos ∅ ds= rc cos ∅= c r dθ cos ∅

2

'ntoncesA el momento de la $co?esión) total será#

2

r 1− r 0 c dM = (¿) 2 tg ∅ θ1

∫¿

 M =

0

 Komando a?ora momentos con respecto a O de las +uer-as *@@A CA C@A '@@ 0 y /@@ 7momento nulo9 puede conocerse la +uer-a *@@ correspondiente a la super;cie de +alla supuesta.