Metodo de Cross-Ing. Biaggio Arbulu

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL


MÉTODO DE CROSS DOCENTE: ING. OSCAR PORRO AÑI ALUMNO: SANTA MARÍA CARLOS, MARIANO JESÚS

LAMBAYEQUE, SEPTIEMBRE DE 2014

1



CAPITULO 7

El Método de Distribución de momentos que se exponen en este capítulo que desarrollado por el profesor Hardy Cross (1) y es universalmente conocido como el método de Cross. Es un método iterativo, de aproximaciones sucesiva, extensamente utilizado para la solución de estructur as hiperestáticas; es muy simple, por cuanto se utilicen operaciones aritméticas sencillas que se repiten bajo las mismas pautas; es o través de cada operación que se realice; y, finalmente, es tan aproximado cuanto se desee, dependiendo esto de la cantidad de veces que se realice las operaciones de aproximación.

bjetivo, pues permite observar o “sentir” el comportamiento físico de la estructura a

La aproximación gradual es un camino natural para la solución de muchos problemas de análisis. Desde antiguo fue utilizado este procedimiento; por ejemplo, por Newton en el cálculo de raíces de índice cualquiera y en la solución de un sistema de ecuaciones. El éxito de cualquier método de aproximaciones sucesivas depende de la rapidez de la convergencia de los sucesivos resultados así como de su practicabilidad, es decir de la factibilidad de hacer uso de las formulas o expresiones simples, de memorizarlas con facilidad y realizar operaciones sencillas. ______________________________________________ ___________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________ __________________________ 1) Hardy Cross (1885 - 1959), norteamericano; graduado del Hampden Sydney College (1902) con el grado de B.A; graduado B.S. in C.E. (1908) en Massachusetts Institute of Technology, y M.C.E (1911) en Harvad University. Combino la práctica general de la ingeniería, especialmente en el campo de puentes y la docencia superior, habiendo sido profesor en Brown University (1911- 1918), University of Illinois (1921 - 1937) y en Yale University (1937 - 1953). Autor de muchos artículos y es autor con N.D. Morgan de Su trabajo origin distributing fixedonduits , selección de trabajo de H. Cross, ed University of Illinois Press, Urbana, 1963.

la obra “Continuous Frames of Reinforced Concrete” Nueva York, ed Wiley, 1932. alend sobremoments”, el métodoProcedings está expuesto en “Analysis of continuous frames by rol. N° 56 de Am. Soc. of Civil Engineers, May 1930, reproducido en “Arches, continuous frames, Columns and C ” 2



CAPITULO 7

El Método de Distribución de momentos que se exponen en este capítulo que desarrollado por el profesor Hardy Cross (1) y es universalmente conocido como el método de Cross. Es un método iterativo, de aproximaciones sucesiva, extensamente utilizado para la solución de estructur as hiperestáticas; es muy simple, por cuanto se utilicen operaciones aritméticas sencillas que se repiten bajo las mismas pautas; es o través de cada operación que se realice; y, finalmente, es tan aproximado cuanto se desee, dependiendo esto de la cantidad de veces que se realice las operaciones de aproximación.

bjetivo, pues permite observar o “sentir” el comportamiento físico de la estructura a

La aproximación gradual es un camino natural para la solución de muchos problemas de análisis. Desde antiguo fue utilizado este procedimiento; por ejemplo, por Newton en el cálculo de raíces de índice cualquiera y en la solución de un sistema de ecuaciones. El éxito de cualquier método de aproximaciones sucesivas depende de la rapidez de la convergencia de los sucesivos resultados así como de su practicabilidad, es decir de la factibilidad de hacer uso de las formulas o expresiones simples, de memorizarlas con facilidad y realizar operaciones sencillas. ______________________________________________ ___________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________ __________________________ 1) Hardy Cross (1885 - 1959), norteamericano; graduado del Hampden Sydney College (1902) con el grado de B.A; graduado B.S. in C.E. (1908) en Massachusetts Institute of Technology, y M.C.E (1911) en Harvad University. Combino la práctica general de la ingeniería, especialmente en el campo de puentes y la docencia superior, habiendo sido profesor en Brown University (1911- 1918), University of Illinois (1921 - 1937) y en Yale University (1937 - 1953). Autor de muchos artículos y es autor con N.D. Morgan de Su trabajo origin distributing fixedonduits , selección de trabajo de H. Cross, ed University of Illinois Press, Urbana, 1963.

la obra “Continuous Frames of Reinforced Concrete” Nueva York, ed Wiley, 1932. alend sobremoments”, el métodoProcedings está expuesto en “Analysis of continuous frames by rol. N° 56 de Am. Soc. of Civil Engineers, May 1930, reproducido en “Arches, continuous frames, Columns and C ” 2



El éxito de cualquier método de aproximaciones sucesivas depende de la rapidez de la convergencia de los sucesivos resultados así como de su practicabilidad, es decir de la factibilidad de hacer uso de las formulas o expresiones simples, de memorizarlas con facilidad y realizar operaciones sencillas. El procedimiento de aproximaciones sucesivas fue utilizado también antes de ahora en análisis estructural para el cálculo de esfuerzos secundarios de armadura por Mohr (2). En cuanto a la distribución sucesiva de momento, del primero que se tiene noticia de haber publicado el desarrollo de método Caliser (3), incorporando algunas de las ideas fundamentales de la distribución de momento al análisis de esfuerzos secundarios en pórticos de uno y dos pisos con y sin desplazamiento laterales. El mismo método fue posteriormente publicado en forma muy clara y simple por Hardy Cross en el ya mencionado Proceeding N° 56 de la A.S.C.E., recibiendo amplia difusión difusión y acogida. La paternidad del método no es pues, exclusivamente de Cross; aunque según refiere el Profesor Gere (4) las ideas básicas del método de la distribución de momentos empezó a enseñarles el Prof. Hardy Cross a sus alumnos de la University of Illinois des 1922. El método de Cross fue inicialmente utilizado en forma habitual en los Estados Unidos de Norteamérica; en Europa se inició la divulgación casi inmediatamente; con motivo de la Segunda guerra mundial se detuvo esta divulgación, hasta aproximadamente el año 1950 en que es utilizado de una manera corriente iniciándose, así, una notable tendencia a simplificar el método, sobre todo para los casos en que se presenta desviaciones de los nudos de la estructura. En nuestro país fue enseñado y empleado en toda el año 1936. ______________________________________________ ___________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________ __________________________

2 Otto Mohr, “Abhandlungen au dem Gebiete der techmischen Mechanik”, 1906. 2 (1922), n° 17 – 21 1923; y en “Die 3 K. A . Caliser, “Tehniéki List” Zagreb, n° 1 – Methode der sukzessiven Annäherung”, Publ. IABSE, vol. 4, 1936. 4 James M. Gere, “Distribución de Momentos”, ed. Compañía Editoria Contin Continental ental S. A . , México, 1962. método de la distribución 5 M. Fornerod “Cálculo del pórtico múltiple mediante el - Dernedde, “Cálculo algebraica de momentos”, ed Schweizerische Bauzeitung, 1933. aproximado de vigas continuas y pórticos”, Bauingenierur, 1938. 3



En la aplicación de este método se seguirá convención de signos considerada, para el método de las deformaciones angulares.





Considerando un elemento cualquiera, Fig. 6.z, de longitud (o simplemente l), que forma parte de una estructura aporticada o continua; es de secciones variables a lo largo de su longitud. Para los efectos de las deformaciones que enseguida daremos en cuanto a propiedades elásticas del elemento y para la determinación de las correspondientes formulas generales que se necesitan para el desarrollo y aplicación del Método de Cross, consideramos que este elemento esta descargado. 7.3.1 Rigidez Angular Tal como ya se indicó en la Sección 4.2, en general, se denomina rigidez angular en el extremo de un elemento, el valor del par que debe aplicarse en ese extremo para producir allí un giro o deformación angular de un radian. Aplicamos esta definición a cuatro casos: 1° El extremo opuesto está perfectamente empotrado





 

Si en el extremo del elemento , Fig 7.1, perfectamente empotrado (en cualquier tipo de unión, puede ser empotrado total o parcial, articulación, etc.), et c.), aplicamos un par tal que genera en ese extremo un giro de un radian, de acuerdo con la definición dad, ese par es la rigidez angular en el extremo i del elemento. Sustituyendo valores en la primera de las expresiones (6.3) y (6.4), teniendo en cuenta que el elemento está desbalanceado y que no hay desplazamiento relativo éntrelos extremos , tenemos que:







    , Ψ  0         7.1 4



Contrariamente, si es el extremo el que está perfectamente empotrado, Fig. 7.2, el par que produce el giro de un radian en el extremo en el que esta aplicado, será ahora la rigidez angular en este extremo; y sustituyendo valores en las seguidas expresiones (6.3) y (6.4), tenemos que:









      

7.2

O sea que un elemento físicamente asimétrico a lo largo de su longitud, tiene dos valores para la rigidez angular: uno para cada extremo; y cada uno de ellos es, respectivamente, igual al factor de forma de 2° especie en el extremo (esto, conforme se ha indicado cuando el extremo opuesto está perfectamente empotrado). Estas rigideces angulares son rigideces absolutas. En el Método de Cross aplicado a estructuras con elementos de sección variable podemos trabajar más sencillamente con valores relativos para las rigideces en cada elemento. Si denominamos un valor de momento de inercia de comparación para toda la estructura, tenemos:



     ̅ 7.3

Siendo

̅    , 

7.4 

Tomamos como rigidez relativa en el extremo :

   ̅

7.5 

De manera similar tendremos que la rigidez relativa en el extremo es:

   ̅

7.6 5



Si en la estructura en conjunto hay elementos unas de reacciones variables y otros de secciones constantes en toda su longitud, para los mismos se emplearán las expresiones (7.5) y (7.6), pero cada una de los de secciones constantes:

Debido a que

    4.

    4̅  7.7

Si finalmente, todos los elementos de la estructura son de secciones constantes a lo largo de cada uno de ellos, en las expresiones (7.1) y (7.2) podemos prescindir del factor , y considerar como rigidez relativa del elemento:

   4   4     7.8

2° El extremo opuesto está articulado



Si en el extremo del elemento , Fig, 7.3, articulado en el extremo (en cualquier tipo de unión), aplicamos un par tal que genera en ese extremo un giro de un radian, ese par es la rigidez angular en el extremo i del elemento. Si en las dos expresiones (6.3) reemplazamos los dos valores correspondientes a este caso, tenemos:





 

′



′   + 0   +

Eliminando entre estas igualdades obtenemos:

   −    ′   

O sea, según las expresiones (3.4), la rigidez angular en i es:

′  1 7.9 6





En la que es el factor forma de 1 situación debemos considerar que la rigidez en el extremo opuesto es nula. En forma similar, si el extremo está articulado, se obtiene que la rigidez angular en es:

era especie



en el extremo del elemento. En esta







′  1 7.10



Siendo el factor de forma de 1 era especie en el extremo del elemento; y la rigidez angular en el extremo opuesto, es decir en el extremo articulado, debemos tomarla igual a cero. Para emplear valores relativos de estas rigideces, consideramos el mismo momento de inercia de comparación , y según (3.34) y (3.35), tenemos:

 ′    1  ̅  ̅  ̅ 7.11    ′    1  ̅  ̅   ̅ 7.11   

La relación existente entre la rigidez angular en un elemento con articulación en un extremo y la correspondiente rigidez que tendría el mismo elemento si en vez de articulación existiera empotramiento perfecto en ese extremo, se obtiene entre las expresiones (7.11) y (7.3); así, en general, se tienen las siguientes rigideces angulares en valor absoluto: 





Si la articulación está en el extremo :

′    ̅



Si la articulación está en el extremo :

7

′ 0

7.12



′  0 ′    ̅  7.13 Y lo mismo tendremos si consideramos rigideces, relativas: ′   ̅ ′ 0 ′  0 ′   ̅

7.14 7.15

Reemplazando en estas expresiones los (7.5) y (7.6) tenemos otra forma de indicar las rigideces relativas:

′  ̅   ̅ ′  0

′ 0 7.16 ′  ̅  ̅  0 7.17 Si dentro de la estructura hay elementos unos con secciones variables y otro con secciones constantes, para estos     4 y  ̅    ̅   3; luego, las rigideces relativas para estos elementos de sección constante son: ′  34  ′ 0 7.18 ′  0 ′  34  7.19 Resultados que nos indica que la rigideces relativas en elementos en los que hay una articulación extrema es igual a las ¾ partes de la rigidez relativa que tendría ese elemento si en vez de articulación en ese extremo hubiera empotramiento perfecto.

Finalmente, si todos los elementos de la estructura son de secciones constantes a lo largo de cada uno de ellos, tomado según (7.8) como rigidez relativa , tendremos que:

  

′  34  ′  0 8

′ 0 ′  34 

7.20 7.21



3° Elementos centrales en estructuras simétricas cargadas simétricamente En este tipo de elementos, con el fin de trabajar con el Método de Cross con solamente media estructura, conviene conocer cuál es la rigidez absoluta y cuál es la rigidez relativa a considerar. Los pares en los extremos del elemento, así como deformaciones angulares son, respectivamente, iguales entre sí, pero da signos opuestos. Si estas deformaciones son iguales a la unidad, los pares representan la rigidez angular absoluta. Así aplicando al caso la primera expresión (6.4):

′′    ( −) 7.22 La que comparada con la rigidez absoluta  para el caso de extremo opuesto perfectamente empotrado, da:   ′′  1−  7.23 O, tomamos rigideces relativas en la forma que se ha venido haciendo, se tiene:   ′′  1−   1− 7.24 Si este elemento es de sección constante, para el  4,  2, tendremos: ′′  12  7.25

Resultando que nos expresa que para estos elementos centrales de estructura simétricas cargadas simétricamente, cuando son de sección constante y para los fines de trabajar solamente con media estructura, debe considerarse una rigidez igual a la mitad de la del elemento total. Como para estos casos de sección constantes hemos considerando , la rigidez relativa para cada elemento central que nos ocupa, hay que tomarla:

/

′′  12 

7.26 9



4° Elementos centrales de estructuras simétricas cargadas antisimétricamente En este caso, para los mismos fines indicados para el caso anterior, los pares y deformaciones angulares extremos del elemento, son iguales entre sí y del mismo signo. Aplicando la primera expresión (6.4) tenemos ahora:

′′′   ( +) 7.27 Que comparándola con la rigidez absoluta  , se tiene:   ′′′  1+  7.28 O, considerando rigideces relativas:   ′′′  1+   (1+) 7.29 Si el elemento central es de sección constante, tendremos:

′′′  32 

7.30

O sea que para estos elementos centrales de estructuras simétricas antisimétricamente cargados, cuando son de sección constante, debe considerarse una rigidez igual a los 3/2 de la del elemento total, cuando se quiera aprovechar la simetría y antisimetría indicadas y trabajar con solamente media estructura. Considerando conforme la hemos venido haciendo, tenemos finalmente:

  ⁄

′′′  32 

7.31

En la página 79 aparece el cuadro 7.1 en el que se expone un resumen de las formulas principales aquí deducidas. 10



7.3.2 Factor De Transporte -over factor”. Si en el extremo  del elemento , Fig. 7.7, También denominado “carry perfectamente empotrado en  (en  cualquier tipo de unión), aplicamos un par , hacia los extremos opuesto reperente un momento  , o que en el empotramiento j se genere el par  . Es cociente entre este par transmitido y el par aplicado es lo que denomina factor de transporte o coeficiente de transmisión. Aplicando las expresiones (6.4) a este caso, tenemos:

     ( )     ()

O sea que:

      

Luego,

  

7.32

O sea que el par transmitido es igual al par aplicado por el factor de transporte del extremo hacia el extremo , el cual tiene por valor:



    





7.33 11







Si por el contrario, el extremo está perfectamente empotrado, Fig. 7.8, y en aplicamos el par , hacia el extremo opuesto reprerate al momento . La aplicación de las expresiones (6.4) da ahora:





    ()     ()

12



1

2

3

4

5

6

   ̅   ∑      

′   ̅1    ∑′

′  0   0

′′  1−    ∑′′

′′′  1+  ′′′|   ∑ 

    0

    0

    0

    0

I.- SECCIONES VARIABLES.-

 

RIGIDEZ ANGULAR COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN

FACTOR DE TRANSPORTE

̅     1 II.- TODOS LOS ELEMENTOS DE SECCIONES CONSTANTES.RIGIDEZ ANGULAR COEFICIENTE DE DISTRIBUCIÓN

 

FACTOR DE TRANSPORTE

2

3

4

5

6

     ∑

′  34    ∑′     0

′  0   0

′′  12    ∑′′     0

′′′  32  ′′′|   ∑      0

    0

    0

13



O sea que:

      

Luego:

  

7.34

Es decir que el par transmitido Mij es igual al par aplicado de M por el factor de transporte tij del extremo j hacia el extremo i, el cual tiene por valor:

    

7.35

En los elementos asimétricos hay, pues, dos coeficientes de transporte,

  

En los



O sea que:

      

Luego:

  

7.34

Es decir que el par transmitido Mij es igual al par aplicado de M por el factor de transporte tij del extremo j hacia el extremo i, el cual tiene por valor:

    

7.35   . 1⁄2.

En los elementos asimétricos hay, pues, dos coeficientes de transporte, En los elemebtos sisicamente simétricos ambos coegicientes tienen el mismo valor, ya que en ellos y , estos coeficientes de transporte son iguales a

    4   2

Si se trata de un elemento que tiene articulación en un extremo es cero; es decir que no repercute momento alguno hacia al extremo articulado. En el cuadro 7.1 aparece un resumen de las expresiones o valores de estos coeficientes. 7.3.3 Repartición De Momentos. Factores De Distribución Considerando el nudo i, Fig. 7.9, al cual concurren varios elementos de una estructura aporticada; estos elementos pueden tener sus extremo opuesto unos perfectamente empotrados y otros articulados y otros articulados.

1, 2,… , ,…,

Si entre este nudo actúa un par , en primer lugar se produce un giro del nudo, que es también la deformación angular de cada uno de





14



los extremos i de los elementos allí concurrentes (excepto, por supuesto, del elemento que, por tener rótula en 4, no es influida por la deformación del nudo ); es decir.

4



      ⋯    ⋯   7.36 En segundo lugar, en los extremos  de estos elementos suscitaran momentos tales que sumados con el par  hacen que se cumpla la ecuación de equilibrio: suma de momentos en el nudo igual a cero: 0 :  + + +⋯+ +⋯+  0 

De donde:

 + + +⋯+ +⋯+  − 7.37 Para el elemento genérico  en el que como consecuencia del par  el nudo  aplica al elemento el par  , la relación entre este par y la deformación angular producida es:    7.38 A esta igualdad se llega razonando así: para un elemento descargado en el que no hay desplazamiento relativo entre sus extremos, de acuerdo con las Ecuaciones de Guldan (6.3), la deformación angular en el extremo es directamente proporcional al par aplicado en ese extremo; luego, si para un par aplicado igual a la rigidez angular se producen un giro , es decir:



De lo cual sale la igualdad (7.38).



   1 

 utilizamos rigideces relativas , en la (7.38) obtendremos “giros” relativos; así, entonces:    7.39 Si en vez de rigideces angulares

de elementos con extremo  a la rigidez relativa, trátese    opuesto perfectamente empotrado, o articulado, etc.    ×  ,   tal como se detalló Denominando en general

en la sección 7.3.1. Utilizando para todos los elementos concurrentes á i la misma 15



y la rigidez relativa, el “giro” 

proporcionalidad entre la rigidez angular es igual para todos los extremos i, y procedemos aplicar la igualdad (7.39) para todos los elementos del nudo i:

∑ 

      ⋯    ⋯     +⋯+ +⋯+  −   + + +⋯+ +⋯+ ∑ 

Donde es la suma de las rigideces relativas de todos los elementos concurrentes al nudo i. De estas igualdades obtenemos:

Donde

  −∑  −   −∑  − …………………………………… ……………………………………   −∑  − …………………………………… ……………………………………   −∑   −   ∑ 7.40

Se denomina el factor de distribución del elemento.





En general, pues el momento absorbido por el extremo del elemento genérico es directamente proporcional a su rigidez angular en ese extremo (o, también, su rigidez relativa), y es igual al producto del par aplicado por el correspondiente factor de sistribución, producto con signo cambiado al de

   :

16



  − 7.41 Como verificación debe cumplirse que, en el nudo, la suma de los factores de distribución de todos los elementos concurrentes a él, debe ser igual a la unidad.

=

   + +⋯+ +⋯+  1 =

Los apoyos con empotramiento perfecto se comportan si se

Tratará de un nudo al cual concurren dos elementos: el real de rigidez infinitamente grande, Fig. 7.10. La suma de rigideces en el nudo es El factor de distribución en el extremo i del elemento ij es.

∞+  ∞.

  ∞  0

Por consiguiente, cada vez que se tenga un empotramiento perfecto, directamente hay que considerar que el factor de distribución allí es igual a cero. 7.3.4 Momentos De Empotramiento Debidos a Desplazamientos De Los Extremos Pueden presentarse los dos casos: cuando los dos extremos están perfectamente empotrados o cuando en un extremo están perfectamente o cuando en un extremo hay empotramiento y en el otro una articulación. Estos dos casos ya fueron estudiados en los capítulos 3 y 4; aquí reconocemos lo tratado con el fin de facilitar su aplicación al Método de Cross. 1° Los Dos Extremos Perfectamente Empotrados: En la sección 5.3.3 se demostró que los pares que generan en los empotramientos del elemento , Fig. 7.11, de sus secciones variables debidos a un desplazamiento relativo entre los extremos tiene como expresiones:

∆



(   Δ⁄), °  −  − Δ °  −  − Δ 17



Siendo

   +     ( +)     ̅    +     ( +)    ̅ 

Los factores de giro del elemento para cada uno de los extremos. Por consiguiente, reemplazando estas expresiones, tenemos:

°  Δ °  Δ

7.42 7.42

Donde: a) Para elementos de secciones variables:

  −  ̅   −  ̅ 

7.43 7.43 b) Para elementos de secciones constantes     :     − 6 O sea que °  °  − 6 Δ 7.44

2° Un Extremo Perfectamente Empotrado y El Otro Articulado:

En la sección 4.6 se hizo la deducción del momento de empotramiento de la viga empotrada y articulada en sus extremos debido a un desplazamiento relativo entre los extremos.

18



Si en el extremo empotramiento, Fig. momento es:

está 7.12(a),

el el

′°  −  1̅  O sea

′°  ∆

7.45

Siendo

  −  1̅ 7.46 (En el extremo  no se genera ningún momento). Si en el extremo  está el empotramiento, Fig. 7.12 (b), el momento es: ′°  −   1̅  7.46 O sea

Siendo

′°  ∆

7.47

  −   1̅ 

7.48

Si el elemento es de sección constante en toda su longitud (momento de inercia I), por consiguiente:

 ̅   ̅   ;

′°  ′°  − 3 ∆ 7.49 En resumen, pues, los momentos de empotramiento perfecto en un elemento de descargado que sufre una desviación ∆ entre sus extremos, son: °  ∆ 7.50 °  ∆ 7.50 19



En el cuadro 7.2 se indican las expresiones de

 y  para cada caso:   

SECCIONES VARIABLES

   −  ̅ −  ̅  0 −   1̅ 0 −   1̅ 

SECCIONES CONSTANTES

 − 6 − 3 0

 − 6 0

− 3

Pueden presentarse, en general, dos tipos de estructuras continuas y aporticadas: aquellas en las que se producen desplazamientos relativos entre los extremos de cada elemento, o sea estructura con nudos indesplazables, y aquellas en las que sí se presentan tales desplazamientos. Para este último tipo de estructuras, conforme se podrá apreciar más adelante, el Método de Cross resulta tanto más complicado y tedioso cuánto más grados de libertad (en desplazamientos) tiene la estructura; y es, en estos casos, en los que conviene recurrir a otros métodos en los que directamente en un solo proceso, se tienen en cuenta las desviaciones de los elementos, como son los Métodos de Cross, Kani, Takabeya, etc. 7.4.1 Estructura con Nudos Indesplazables A través de unos ejemplos sencillos podemos ir explicando detalladamente los conceptos físicos, así como el cómo y porqué del Método de Cross. Considerando como primer caso la viga mostrada en la Fig. 7.13(a), con dos tramos de secciones constantes, sin articulaciones extremas. Las rigideces relativas de los tramos, según (7.89), son:

20



21



22



  1000      1000  1.0   900      600  1.5 2.5 

O sea que: Los coeficientes de distribución son: cero en los empotramientos 1 y 3; en el apoyo 2 son:

  1.2.05 0.4   1.2.55 0.6

Imaginemos por un momento que, antes de la aplicación de las cargas, cada uno de los elementos está bloqueado, perfectamente empotrado en sus dos extremos (excepto en los casos real con anticipación), es decir que suponemos que en cada nudo hay un dispositivo que lo traba e impide su giro. En esta situación, al aplicar las cargas, Fig. 7.13, se generarán momentos de empotramiento perfecto en los extremos, momentos que los nudos aplican a los elementos concurrentes a ellos, y que, en el caso que estudiamos, son:

 53.007.00     −   − 10.00  −7.35   57.003.00     −   + 10.00  +3.15   26.00      −  − 12  − 12 −6.00 

Se tendrá así los diagramas de los momentos flectores en los tramos, tal como se muestra en la Fig. 7.13 (c), en los que hemos conservado los signos de la conservación de Grinter. Si en esta situación eliminamos la trabazón del nido 2, éste girará debido a que en él existe un par desequilibrado igual á sólo se detendrá el giro, habrá estabilzado del mismo y, en consecuencia, equilibrio, cuando se genere allí un par igual y directamente opuesto, o sea de El par desequilibrado según la (7.4.1), se distribuye, con signos opuestos, entre los elementos concurrentes al nudo y en forma directamente proporcional a las rigideces

  +3.15−6.00  −2.85 ; +2.85 .

−2.85 .,

23



de estos, o dicho en otras palabras, los elementos concurrentes al nudo contribuyen a la formación de un par equilibrado, cada uno en proporción a su propia rigides; es decir, debemos multiplicar al valor del par desequilibrado por los factores de distribución, cambiando el signo. En nuestro caso serán: -

 −−2. 8 50. 4 +1. 1 4 . −−2.850.6 +1.71 .

Para el extremo 21: Para el extremo 23:

Pares que se muestran en la Fig. 7.13 (e), son pares, pares de sentido horario aplicados en los extremos 2 de los elementos 21 y 23, respectivamente. Ahora en el nudo 2 hay pares en total que resultan de las superposiciones pares parciales; en el extremo 2 del elemento es igual a y en el extremo 2 del elemento 23 es o sea, dos pares iguales y de sentidos opuestos, lo que hace que el nudo está esta equilibrio, pues se cumple la ecuación

 +3.15+1. 1 4  +4.29 . ,  −6,00+1.71 .; ∑   0.

Según se explicó en la sección 7.3.2. Los pares aplicados generan los pares transmitidos en los extremos lejanos (que tan o que se mantienen como empotramiento perfecto); estos pares trasmitidos son iguales cada uno al par aplicado por el factor de transporte. E n nuestro caso, por ser elementos de sección constante, el factor de transporte es . Luego, los pares transmitidos, son:

1/2

-

 +1.14 +0.57 .   Para el extremo 3 del elemento 23:  +1.71  +0. 885 . Para el extremo 1 del elemento 21:

En la Fig. 7.13 (f) se muestra los momentos flectores que ocurren en los dos elementos debidos al par distribuido y al transmitido. En esta forma al nudo 2 esta en total equilibrio y la estructura en conjunto, en este caso, también lo está. Los pares finales existentes en cada extremo, con los signos de la convención de Grinter utilizados en el proceso, son la superposición de los pares en cada extremo; así: -

-

-

-

En el extremo : 12___ Pares momentos De empotramiento perfecto: Pares de distribución en el Nudo 2 : Pares repartidos desde los Extremos 2 : +0.57 Pares Final : - 6.58

21____

23 ____

32____

−7.35 +3.15 −6.00 +6.00 . +1.14 +1.71 . +0.855 . + 4.29 - 4.29 +6.855 . 24



En la Fig. 7.13 (g) se muestra el diagrama de momentos flectores resultante para la estructura estudiada. Ahora veamos otro ejemplo en el que se pueden ir explicando otros aspectos que se presentan en la aplicación del Método de Cross: La viga que se muestra en la Fig. 7.14 es de secciones constantes en cada tramo, con empotramiento perfecto en 1 y el tramo 45 en voladizo. La carga sobre el voladizo.

4 . 1.20   +4.80 .↻

Equivale a que en el nudo 4 hay un par de que dicho nudo aplica al elemento 43. Así podemos reducir la estructura a la viga de tramos 1-23-4, como si en 4 existiera una articulación. La rigideces relativas en los elementos son:

 950     1200 2.0      500 1.9 600   34 ×   34 × 1200 600 1.5

Los factores de distribución son:

  0

2.0  2.0 0.513   2.0+1.9 3.9 1.9  1.9 0.487   2.0+1.9  1.0 3.9  1.9  1.9 0.559   1.9+1.5 3.4 1.5  1.9 0.441   1.9+1.5  1.0 3.4  25



Los momentos de empotramiento perfecto son:

°  °  − 29   °4,   °31,   3 .  −  4.5 . 6.00  −6.00 . ′°  ′° − 12 ° °4,   °45. °  −°  − 121   °4,   °1. ∴ °  − 121  − 12 121   − 18    ⁄   3  6. 0 0  −  −13.50 . 8

Consideremos que todos los nudos (excepto el 4 por ser apoyo extremo equivalente a articulación) están tratados y que funcionen como empotramiento perfecto. Al aplicar en esta situación las cargas, se generan los pares de empotramiento que acabamos de calcular y que aparecen en la fila 1 en la Fig. 7.15. Lo que enseguida iremos explicando aparece ubicado en las sucesivas filas de esta figura. Estando perfectamente.

Empotrados los nudos 1 (en forma real), así como los 2 y 3 (en forma ficticia), el par de Aplicado en el extremo 4 represente hacia el otro extremo con valor igual al

+4.80 .

26



 +4.80 +2.40 . 

par por el factor de transporte; es decir: (fila 2). Si en esta situación soltamos el nuydo 3, es decir retiramos la trabazón que ha venido impidiendo su giro, en él se generará un par equilibrante igual y directamente opuesto al par desequilibrado; este par desequilibrado es ; luego el par equilibrante es de Que se distribuye entre elementos concurrentes al nudo en forma proporcional a las rigideces de ellos en sus extremos adyacentes al nudo; o, dicho en otra forma, conforme la expresión (7.41) multiplicando el par equilibrante por los correspondientes factores de transporte ; en nuestro caso la distribución es (fila 3):

+11.10 .

−

-

Para el extremo 3 de 32: Para el extremo 3 de 34: :

 −13.50+2.40−11.10 .

 +11.   1 0 0. 5 59 +6. 2 0 . +11.100.441 +4.90 .

Como el extremo opuesto 2 está perfectamente empotrado, a él reparante un par igual a ; el otro extremo, el 4, está articulado, razón por la cual hacia el no hay reproducción o influencia del par absorbido por el extremo 3 del tramo 34. Las reparaciones siempre debemos indicarles con una flechita, lo que permitirá aclarar en cada paso que, efectivamente, se hizo esta operación. El nudo 3 así ya está en equilibrio: en el extremo 3 del elemento 32 actúa un par de , y en el mismo extremo del elemento 34 actúa un par igual á

 +6.20 +3.10 . 

+6. 2 0 . −13.50+2.40+4.90−6.20 .

Una vez hecho la operación de equilibrio de un nudo, trazamos una rayita debajo de las columnas de pares parciales. Estando en equilibrio el nudo 3, lo trabajamos nuevamente y soltamos otro nudo, en este caso 2, en el que el par desequilibrante es ; los pares equilibrantes serán: en el extremo 2 del elemento 21 vale , y en el extremo 2 del elemento 23 vale (fila 4). Estos pares reparten hacia los extremos opuestos (ambos están perfectamente empotrados), con valor igual al correspondiente valor de par por el factor de transporte; o sea, hacia el extremo 3: El nudo 2 ya está en equilibrio, pero con la repercusión hacia el extremo 3, se ha desequilibrado nuevamente éste nudo 3.

  +6.00+3.10−9.  +9.10 . 1 00. 5 13  −9.100.487 −4.43 .

−4.67 .

 −4.43  2.22 . 

En estas circunstancias trabamos nuevamente el nudo 2. En el nudo 1, que es realmente un empotramiento perfecto, y esto ocurrirá con todos los apoyos de este tipo, el par desequilibrado es de , que multiplicado por el factor de distribución en el extremo empotrado, que siempre es igual a cero conforme se vió al final de la sección 7.3.3, da un par distribuido igual a 0 en el extremo 1 del elemento 12 (fila 5). Esto significa que el par equilibrante (el que el elemento aplica hacia el empotramiento, o sea, pues, el par extremo del tramo 12 hacia el nudo 1) es

−8.33 .

27



+8.33 .

igual directamente opuesto al par desequilibrado, o sea que es igual a En realidad pues, en los apoyos empotramientos perfecto el tratamiento siempre es el mismo: hacia ellos solamente deben considerarse las repercusiones y dar así por equilibrado el nudo trazando inmediatamente la rayita correspondiente. Ahora soltemos nuevamente el nudo 3, en el que al par desequilibrado es -2.22 Tm.; los pare equilibrantes serán: en el extremo 3 del elemento 32 es , y en el extremo 3 del elemento 54 vale (fila 6). Trabajamos la rayita que indica que el nudo ya está equilibrio. De este nudo solo hay repercusión hacia el extremo 2 (ya se explicó lo que ocurre con el nudo 4), y el par repartido vale Sujetamos este nudo 3 y soltamos el 2, en el que el par desequilibrado es de ; el par equilibrante será de , que distribuimos entre los elementos concurrentes al nudo; o sea: el par que absorbe el extremo 2 del elemento 21 es igual (fila 7). Se traza la rayita indicando que el nudo está en equilibrio y se procede a la operación de repercusiones: hacia el extremo 1, y hacia el extremo 3, Obsérvese que conforme se avanza en estas operaciones (siempre las mismas: distribución y repercusión), en cada nuevo tratamiento en cada nudo, los valores de pares distribuidos y pares repartidos, siempre van siendo cada vez menor: llegando un momento en que son de magnitudes insignificantes, pudiéndose detener el proceso, con lo que se obtiene resultados suficientemente aproximados, tanto como se desea, para los efectos prácticos.

   +2. 2 2 0. 5 59  +2.220.441 +0.98 .

+1.24 .

 +1.24 +0.62 . 

+0.62 . −0.62 . −0.620.487  0.30 .  −0.32  −0.16 .,  −0.30 −0.15 .  

En seguida trabamos el nudo 2 y soltamos el 3, con lo que en este se genera un par equilibrante de (igual y directamente opuesto al par desequilibrante de ); este par es absorbido por los extremos 3 de los elementos 32 y 34; así, en 32 y en 34 (fila 8). De aquí solo hay repercución hacia el extremo 2, que es el único extremo lejano perfectamente empotrado. Hacia 2 reparante, pues, un par igual á

+0. 1 5 . −0.+0. 15 .150.559 +0.08

+0.150.441 +0.07 .  +0.08 +0.04 . 

Sujetamos el nudo 3 y liberamos de la trabazón el 2 en el cual ahora hay como par desequilibrado ; este par con sigue cambiado lo distribuimos entre los dos elementos concurrentes al nudo: en el 2 del elemento 21 vale (fila 9). Estos pares repercuten hacia los extremos opuestos con su valor mitad; es decir, hacia 1 vale hacia el extremo 3 no es ya necesario la repercusión, pues esta valdría que, con los decimales que estamos utilizando en las operaciones, aparecería siendo equilibrado con valor absorbido totalmente, por el extremo 3 del elemento 32; dos operaciones que se anulan entre sí.

−0.02 .

+0.04 .

 −0.02  −0.01 ., 

−0.01 .

+0.01 .

28

−0.040.487 



Vemos que en cada extremo de elemento se han ido acumulando una serie de pares: el par correspondiente el momento inicial de empotramiento perfecto, en cada ciclo el par distribuido y el par repartido desde el extremo opuesto. El momento final en cada extremo es, pues, la superposición de estos pares; o sea, simplemente, la suma algebraica de los pares parciales, lo que para cada extremo en el caso estudiado aparece en la fila 10, con signo de la convención de Grinter: En la Fig. 7.16 aparecen los diagramas de momentos flectores resultantes

29

 .



Y el de los esfuerzos cortantes

 ..

Estudiamos el siguiente ejemplo que corresponde al de una estructura con elementos de secciones variables, con las características geométricas y disposiciones de cargas que aparecen en la Fig. 7.17. Es una estructura con elementos unas secciones.

Variable y otros de secciones constantes; para determinar las rigideces relativas utilizamos las expresiones (7.5), (7.6), (7.7) y (7.16), para lo que, en primer lugar, debemos calcular las longitudes reducidas de los elementos, tomando por ejemplo, el momento de inercia de comparación; así tenemos, según la (7.4):





30



̅   1.2 10.00  8.33 . ̅    15.00  15.00 . ̅    12.00  12.00 . ̅   ̅   1.5 7.50  5.00 . Para cada uno de los elementos determinaremos sus características físicas y los momentos de empotramiento perfecto. Así: 1)

  10.2.0000 0.2   1.22 0.6   10.3.0000 ×123.6    4.85  2.65  ̅   ̅ 0.294   0.161  °7 . Según expresiones (7.5) y (7.6):     . 0.582 Los factores de transporte, según las expresiones (7.33) y (7.35) son iguales entre si de uno hacia otro extremo (por la simetría física del elemento):

Tabla N° 23:

1.061

        2.4.6855 0.546

   2.4×10 ° °   −   12 −1.061 12   −21.22 .

Tabla N° 27:

 0.158 °   − −0.1585×10.00 −7.90 . 31



 0.063 °   + +0.0635×10.00 +3.15 . Luego, superponiendo estos resultados parciales, tenemos:

° −21.22−7.80−29.12 . ° +21.22+3.15+24.37 .

2)

 ̅   ̅ 0.292   0.161 . Según expresiones (7.5) y (7.6):     . 0.329

  15.2.4000 0.16   2 0.5 6    4.94  2.73  °7

Los factores de transporte en este elemento también son iguales entre sí:

      2.4.7934 0.553

Tabla N° 23:

1.070

   2.4×10 ° °   − − 12 −1.070 12   −48.15 .

Tabla N° 27:

   0.135 °   −°   − −0.1354×15 −8.10 . Luego, superponiendo tenemos:

° −48.15−8.10−56.25 . ° +48.15+8.10+56.25 . 32



3)

1   2 0.5 3  6.74  4.77  2.83  ̅ 0.198  ̅ 0.279   0.117  °5 ′  ×.  0.421 ′  0 Según la expresión (7.16)=  Para el proceso de distribución no necesitaríamos calcular los factores, pues conforme se indicó al final de la sección 7.3.2, al haber articulación en D no habrá transmisiones de momentos de un extremo a otro. Pero si necesitamos el valor del coeficiente de transporte de D hacia C para poder calcular este extremo empotrado y el otro articulado. Así tenemos que:

      2.4.8737 0.593

Tabla N° 21:

 1.146  0.865

   2.4×10 °   −  12 −1.146 12   −33.01 .    2.4×10 °   +  12 +0.865 12   +24.91 .

Tabla N° 25:

 0.156 °   −  −1.1564.5×12 −8.42 .  0.034 °   + +0.0344.5×12 +1.84 . Los momentos de empotramiento perfecto son:

° −33.01−8.42−41.43 . °  +24.91+1.84  +26.755 . 33



Debemos calcular el momento de empotramiento perfecto en C considerando que este extremo está empotrado y el D simplemente apoyado. Esto lo hacíamos aplicando la expresión (4.14):

′°  ° −° −41.43− 0.593+26.75  −57.29 . 4) Elementos BF y CE: Son de secciones constantes. La longitud en la práctica se toma hasta el eje medio de las vigas o partes de secciones constantes de estas; el error que se comete al proceder así en los casos corrientes resulta insignificante. Las rigideces relativas, según la expresión (7.7), son:

    5.400 0.800

Los factores de transporte son iguales a

1⁄2.

5) Factores de distribución: Debemos calcular para los nudos B y C en base a las rigideces en los extremos concurrentes a cada nudo aplicando la expresión (7.40); así:

 0.800  0.582  0.329 1.711   0.800  0.329 ′ 0.421 1.500 

  0.8001.711  0.468   0.5821.711 0.340   0.3291.711  0.192 1.000   0.8001.550 0.516   0.3291.550 0.212   0.4211.550 0.272 1.000

Enseguida conforme avancemos en el análisis y explicación de la aplicación del método al caso que estamos estudiando, debemos seguir el desarrollo de las operaciones, en el esquema de ejes de la estructura que aparecen en la Fig. 7.18, o según la tabulación que 34



se presenta en la Fig. 7,18, o según la tabulación que se presenta en la Fig. 7.19. En general, en cualquiera de las dos formas puede operarse. La primera, que es la que con mayor frecuencia se usa, al trabajar en el esquema de ejes tiene la ventaja de que a

medida que se desarrollan las operaciones se puede seguir y “sentir” cómo en la estructura se van distribuyendo y transmitiendo paso a paso, nudo a nudo, los momentos hasta que todo el sistema entra en equilibrio; tiene desventaja cuando se trata de una estructura con muchos elementos horizontales y verticales, en que tiene que irse girando el papel en muchas oportunidades para facilitar las anotaciones. En estos casos evidentemente la tabulación es más práctica, aunque siempre es necesaria una mayor extensión de papel para realizar las operaciones, por la cantidad de casilla sin utilización. En la tabulación las filas de la primera parte o encabezamientos se anotan los nudos (primero siempre los empotramientos perfectos), luego los extremos de elementos concurrentes a cada nudo y una columna para las sumas horizontales en el nudo (rigideces, factores de distribución, par desequilibrado y par equilibrante), enseguida los factores de distribución y, finalmente, los factores de transporte (este sólo en los casos de estructuras con elementos de acciones variables, pues en las estructura con todos los elementos de secciones constantes e inecuaciones considerables, ya que todo valen 0.5). A continuación vienen las filas correspondientes.

°

A la iteración, que comienza con los momentos de empotramiento perfecto y las operaciones de distribución. Repercución nudo por nudo y finalmente la última fila 35



ocupada por las sumas de los momentos parciales en cada una de las columnas de la tabulación. Nudos Extremos de elem. Rigideces K Factores de distr. Factores de transp. M° Distrib/reperc. B Distrib/reperc. C Distrib/reperc. B Distrib/reperc. C

A AB 0

E EC 0

F FB 0

-29.12

B

Σ

BF

BA

BC

Σ

CE

CB

CD

1.711 1.000

.800 .468

.582 .340

.329 .192

1.550 1.000

.800 .516

.329 .212

.421 .272

.500

.546

.553

.500

.553

0

+24.37

-56.25

+56.25

57.2 9

+10.84

+6.12

+2.34

-0.27

-2.34

-0.49

+0.05

+0.03

+0.03

-31.82

5.92

+7.46 -0.60

0.05

+31.88

+14.92

-0.27 +0.06

C

+0.27

+0.13

+0.09

-1.21

+3.38 -0.64

-0.03

-0.02

-0

-0.01

0

-1.23

+59.17

-57.94

-0.01

Moment. Finales

-23.15

-0.61

+7.52

0

+15.05

+35.30

-50.35

Suponiendo que la estructura inicialmente tiene trabados los nudos B y C; es decir que estén sujetos evitándoles deformaciones angulares, hacemos actuar el sistema de cargas aplicada, con lo que se generarán los pares de empotramiento ya calculados. Si en estas circunstancias liberamos el nudo B, allí nos encontramos en dos pares: hay, pues, un par desequilibrado el nudo irá girando hasta que se genere un par equilibrante igual y directamente opuesto, o sea de los tres elementos concurrentes al nudo contribuirán, proporcionalmente a las rigideces que tienen en sus extremos adyacentes al nudo, con pares que sumados hagan el par equilibrante total; los factores de proporcionalidad a las rigideces no son otra cosa que los factores de distribución. Multiplicando, pues, por cad uno de los factores de distribución en B, con lo que se tiene la distribución de momentos en este nudo: para los extremos BF, BA y BC, respectivamente; los anotamos e indicamos en una rayita que el nudo ya está en equilibrio. Del extremo B representan hacia los extremos lejanos A, C y F (los en situación de perfectamente empotrados) los pares transmitidos dados por las expresiones (7.34) o (7.32); o sea que para tener los pares transmitidos debemos multiplicar, para cada elemento, el par absorbido en el extremo liberado por el correspondiente factor de transporte; en este caso:

+24. 3 7 .  °  −56.25 .; 56.25−31.88 .; +31.88 .;

°     +24.37−

+31.88 +31. 8 80. 4 68  +14.92, +31.880.340 +10.38  +31.880.192 +6.12  −  :+14.920.500 +7.46 ℎ  36



−  :+10.840.546 +5.92 ℎ  −  : +6.120.553 +3.38 ℎ  Una vez hecha esta operación de repercusiones, trabamos el nudo B y liberamos otro  +56.25−57.29+ de los nudos, el único posible es el C; aquí el par desequilibrado  3.38  +2.34 .; el par equilibrante de −3.24 . tendrá que ser aportado por los extremos C de los elementos concurrentes al nudo, en proporción a sus correspondientes rigideces, o sea multiplicándolo por los factores de distribución; la distribución de momentos en este nudo es:

−2.340.516  −1.21 .  −2.340.212  −0.49 .  −2.340.272  −0.64 .  Los anotamos en sus correspondientes casillas y el nudo está en equilibrio. De este nudo C reparten hacia los extremos lejanos (B y E solamente, hacia D no, por estar articulados) los pares absorbidos por los respectivos factores de transporte; así,

−  : −1.210.500  −0.60 ℎ  −  :−0.490.553 −0.57 ℎ  Haciendo este mismo tipo de operaciones, en este caso alternativamente en B y en C, una vez más en cada uno, se tiene resultado con suficiente aproximación para los efectos prácticos. Los momentos finales en cada extremo de elemento se tiene sumando todos los pares o momentos que parcialmente se han ido acumulando, es decir el par de empotramiento perfecto, los pares por distribución y los pares por repercusiones. Con estos resultados se puede, trazar, Fig. 7.20, el diagrama de momentos flectores y el de los correspondientes esfuerzos cortantes. Diagrama de momentos flectores (en Tm.) y de reacciones de apoyos. Diagrama de esfuerzos cortantes (en Tm.) En la práctica el Método de Distribución de Momentos no se aplica tal como lo hemos expuesto; el detalle y razonamiento seguidos se han hecho con el exclusivo objeto de facilitar la compresión de los fundamentos del método; las operaciones es de distribución y repercusión son, en realidad, automáticos una y calculamos los factores de distribución y de transmisión. Resumiendo y ordenando lo expuesto hasta aquí, la aplicación del Método de Cross en estructuras con nudos indesplazables se hace siguiendo en general, los pasos que a continuación se exponen: 37



A) Si todos los elementos son de secciones constantes: 1° Calcular las rigideces relativas para cada elemento: -

Si no hay articulación en un extremo:

     Si hay articulación en un extremo:   0 2° Calcular los factores de distribución en cada uno de los nudos; en general, para el elemento  concurrente al nudo  :   ∑

-

3° Los factores de transporte son: -

-

Si no hay articulación en un extremo

    12 Si hay articulación en un extremo:     0

4° Calcular los momentos de empotramiento perfecto en cada uno de los elementos debidos a las cargas externas aplicadas; es decir y para los elementos sin articulación en un extremo. Estos momentos están dados en la Tabla N° 4 del Volumen II de esta obra.

° °

B) Para estructuras con elementos de secciones variables:



Si al nudo concurren elementos con secciones variables, todos o algunos, para cada uno de los. 1° Calcular la longitud reducida:

̅    , 

2° Determinar los factores de forma reducido de 2 da especie para los elementos sin articulación extrema, y de 1 ra especie para aquellas en los que hay articulación en un extremo: 38



,,  °9  °12  .  ̅  °5  8  .   ̅  3° Calcular las rigideces relativas en cada extremo:

   ̅    ̅    ̅1 ̅    0   0    ̅ 1 ̅ 

Si dentro del conjunto de elementos concurrentes al nudo, los hay de sección constante, para estos las rigideces relativas son:

    4̅    3̅    0   0   3̅ 

4° Calcular los factores de distribución en cada uno de los nudos, igual que 2° p aso de A). 5° Calcular los factores de transporte en cada elemento:

               0      39



ó ;     ó ,ℎí  ñ. 6° Calcular los momentos de empotramiento perfecto: -

Si no hay articulación en un extremo:

 °21  °28  .. -

Si hay articulación en un extremo:

′°  ° −° ′°  ° −° ° °

Siendo y los momentos de empotramiento perfecto que se tendrían si los dos extremos los consideráramos empotrados.

1° Fijando todos nudos contra rotaciones (excepto los extremos en los que hay articulación) se elige un nudo a ser liberado primero; se calcula el momento desequilibrado en ese nudo.



2° Calcular los momentos distribuidos para los extremos adyacentes de los elementos concurrentes al nudo, multiplicando el momento equilibrado (es de decir, ) por los correspondientes factores de distribución en el nudo.

−

3° Calcular los momentos de transporte o de repercusión en los extremos opuestos en cada elemento, multiplicando el momento distribuido por el correspondiente factor de transporte. 4° Volver a fijar el nudo y elegir otro nudo a ser liberado (procurar escoger, en cada oportunidad, el nudo más desequilibrado y nudos no adyacentes entre sí, de modo que estas operaciones puedan realizarse simultáneamente). Repetir los pasos 1°, 2° y 3°. 40



5° Repetir los pasos 1° a 4° hasta que los momentos desequilibrados sean insignificantes. 6° En cada extremo de elemento, sumar los momentos parciales (el de empotramiento perfecto, más los momentos distribuidos y los de repercusión) para obtener los momentos finales. En los siguientes ejercicios resueltos se puede apreciar la simplicidad del método que sigue un proceso casi automático. Indistintamente trabajaremos en el esquema de eje de la estructura o en forma tabulada, para realizar las operaciones distribución/repercución. Ejemplo 7.4.1.- Calcular los momentos extremos y trazar los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes para la estructura mostrada en la Fig. 7.21.

-

-

Rigideces relativas:

Números Proporcionales

  12.00 −−−−−−−−−−−−−−−− 4   24.300 −−−−−−−−−−−−−−−− 6   34 12.00−−−−−−−−−−−−−− 3 (Hemos considerado como rigideces relativas los números que resultan de tomar 48) Factores de distribución:   4   410  0.4  :   6   310  0.6 10    6   69  0.67  :   3   39  0.33 41



9 

-

Momentos de empotramiento perfecto:

 212  ° °   −  − 12  − 12  −24 . °  −°  −   − 1024  −30 .

8

8

Diagrama de momentos flectores (en Tm.) y de reacciones de apoyos.

42



Diagrama de esfuerzos cortantes (en Tm.)

Ejemplo 7.4.2.- Determinar los momentos flectores y esfuerzos cortantes en la estructura que se muestra en la Fig. 7.23, en la que todos los elementos tienen el mismo valor para .



I.- Cálculos previos.-

Rigideces relativas:

  34 × 20  3

 ℎ     43



    20  4   34 × 15  4 -

  80,     ú     

Factores de distribución:

  3  :   4 7

  37  0.43   47  0.57

  4  :  44 

      13



-

Momentos de empotramiento perfecto:

°  −°  − 8  − 18 1020 −25.0 . ∴ ′°  ° − 12 ° +25.0− 12 −25.0 +37.5 .  1 3   ° °   −  12  − 12 4 20 −25.0 .

44



O, si se quiere, la distribución en forma tabulada:

d

° C B C B C B

0

D DC 0 -4,17 +0.40 +0.02 --3.75

Σ

1.00 +8.33 -8.33 +0.40 -0.40 +0.02 -0.02 0

B BA .43 +37.50 -3.58 -0.17 -0.01 +33.74

BC .57 -25.00 -4.17 -4.75 +0.40 -0.23 +0.02 -0.01 -33.74

Σ

1.00 +25.00 -25.00 -2.37 +2.37 -0.12 +0.12 0

C CE 1/3

+0.04

CB 1/3 +25.00 -8.34 -2.37 +0.79 -0.12 +0.04

-7.50

15.00

-8.33 +0.79

Diagrama de momentos flectores en (Tm.)

Diagrama de esfuerzos cortantes (en Tm.) y de reacciones de apoyos.

45

CD 1/3 -8.33 +0.79 +0.04 -7.50

Metodo de Cross-Ing. Biaggio Arbulu

Recommend Documents