Método
de
coeficientes ind eter min ados
Para resolver un sistema de ecuaciones por el teorema de coeficientes indeterminados tenemos dos métodos para la resolución del mismo. EL primer método es el Método de Superposición y el segundo es llamado Método del Anulador. A continuación continuación seguiremos seguiremos a explicar explicar cada uno uno de ellos. ellos. Método de Superposición Este método nos permite encontrar una solución particular yp(x) para las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de la forma:
donde a, b, c son constantes y
El
método
es
aplicable
también
cuando
la
función
consiste de una suma y productos finitos de funciones polinomiales, exponenciales,
trigonometricas.
Asimismo,
pueden
considerarse
ecuaciones
diferenciales
no
homogéneas con coeficientes constantes de orden superior. El enfoque del método de coeficientes indeterminados que se
presenta esta
esencialmente basado en tres principios u observaciones que la práctica de derivación de funciones nos ha enseñado. Y los tre principios son : 1.-Cuando derivamos un polinomio, el grado de éste disminuye en uno. Si g(x) = bk x k +bk-1 x k-1 +…..+b1 X+bQ entonces g‘(x) = kbk x k-1 + (k-1)bk-1 x k-2 +…… + b1. Evidentemente si derivamos dos veces p, su grado disminuye en dos.
2.- Al derivar una función exponencial, la función "casi no cambia". Si g(x) = e ax entonces g'(x) — aeax — ag(x). La derivada es casi la función g (salvo por la constante multiplicativa a). 3.-Si derivamos g{x) = sen mx pasamos al coseno: g'{x) = m cos mx. Si derivamos g{x) = cos mx pasamos al seno: g'{x) = —m sen mx. Si derivamos dos veces g{x) = sen mx regresamos casi a g(x), g"(x) =-m2 senmx. Si derivamos dos veces g(x) = cos mx regresamos casi a g(x), g"{x) = -m2cosmx.
Luego, es razonable pensar que una solución particular tendrá la misma forma que g(x), excepto cuando g es una solución de la ecuación homogénea. En esencia, el método consiste en proponer una solución particular que contenga uno o más coeficientes desconocidos. Entonces sustituimos esta solución propuesta en la ecuación diferencial y escogemos los coeficientes de tal manera que la función efectivamente satisfaga la ecuación. Algunos casos especiales para hallar una solución particular , dependiendo de la forma de g{x). CASO I.
g(x) = Pn(x) = an x n + an-1 x n-1+ …+ a1 x + a0.
En este caso la ecuación diferencial toma la forma:
Proponemos una solución particular de la forma:
Sustituyendo y p, y' p y y´´ p en
Resulta:
CASO II.
g(x) = eax P n(x), donde P n(x) es un polinomio de grado n.
Tenemos ahora la euación:
Son posibles los siguientes subcasos. a) a no es una raíz de la ecuación auxiliar
En este caso, es preciso hallar una solución particular de la forma:
En efecto, introduciendo yp, y'v y y^ en
y
dividiendo por eax se sigue que:
Ya que grado (Q n(x)) = n, grado(Q n´(x)) = n - l y grado(Q n´´(x)) = n - 2, los polinomios en ambos miembros son de grado n. Igualando los coeficientes de las mismas potencias de x se obtiene un sistema de n+1 ecuaciones que determina los valores de An, A n-1, . . . , A 0 .
Método del anulador La solución general de una ecuación diferencial no homogénea de n-esimo orden en un intervalo I puede expresarse como: y = c1y1(x) + c2y2(x) + …. + cnyn(x) + yp donde y1; y2; ….; yn conforman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion
homogenea relacionada (su combinacion lineal recibe usualmente el nombre de funcion complementaria, yc), c1; c2; ….; cn son constantes arbitrarias y yp es
cualquier solucion particular de la ecuacion diferencial.
De conocimientos previos se sabe que la función complementaria puede encontrarse resolviendo la ecuación diferencial lineal homogénea relacionada. Resta entonces, para encontrar la solución general del problema, encontrar una solución particular al mismo. Y es aquí, en la obtención de la forma de la solucion particular, en donde puede utilizarse un operador anulador. Luego, para hallar los factores que dan pie a la solución particular explicita, puede usarse el método de coefientes indeterminados. Para entender este método es necesario recordar el uso del operador diferencial D, que representa dy=dx, y de un operador diferencial de n-esimo orden (también operador polinomio) que se define como: L = an(x)Dn + an-1(x)Dn-1 + …+ a1(x)D + a0(x) De esto que podamos escribir una ecuación diferencial lineal de n-esimo orden con coeficientes constantes como: L(y) = (anDn + an-1Dn-1 + …+ a1D + a0)y = g(x)
Sea una ecuacion diferencial : L(y) = b(x) (1)
Donde b es una solucion de la ecuacion diferencial homogenea M(y) = 0 con coecientes constantes. Esto implica que b(x) debe ser una combinacion lineal de terminos de tipo P(x)eax, donde P es un polinomio y a es una constante (notese que a es una constante no necesariamente real, por lo que, segun la ecuacion de Euler, podra dar paso a funciones con senos y cosenos involucrados).
Es necesario notar que al encontrar M hemos determinado un operador que anula a b (de ah el nombre de metodo del anulador). Usualmente este operador M, por estar hablando de ecuaciones diferenciales, consistira en una combinacon de operadores diferenciales de un orden dado por la ecuacion diferencial, que cumple con las caractersticas de un operador lineal y las descritas en la Introduccion. Pasos del método del anulador. Se supone que una ecuación diferencial tiene coeficientes , y la función b(x) consiste en sumas y productos finitos de constantes, polinomios, funciones exponenciales e
ax
funciones trigonometricas. 1.
Encuentrela funcion complementaria yc para la ecuacion homogenea L(y) = 0.
2. Opere ambos lados de la ecuacion no homogenea L(y) = b(x) con un operador diferencial M1 que anule la funcion b(x) . 3. Determine la solucion genera de la ecuacion diferencial homogenea de orden superiorM1L(y) =0. 4. Elimine de la solucion del paso 3 los terminos que se duplican en la solucion complementaria yc encontrada en el paso 1. Forme una combinacion lineal yp de los terminos restantes. Esta es la forma de una solucion particular de L(y) = b(x). 5. Sustituya yp encontrada en el paso 4 en L(y) = b(x). Iguale los coecientes de las distintas funciones en cada lado de la igualdad y resuelva el sistema resultante de ecuaciones a n de determinar los coecientes desconocidos de yp. 6. Con la solucion particular encontrada en el paso 5, forme la solucion general y = yc + yp de la ecuacion diferenial que se proporciona.
,
Comparación con otros métodos A continuación se describen, aunque no en cuadro comparativo, algunas ventajas/desventajas entre los distintos métodos: La desventaja mas obvia del procedimiento de hallar coeficientes indeterminados luego de hallar un anulador es la limitación que existe con respecto a las funciones de entrada. El método de superposición cuenta con el mismo problema. En contraste, el método de variación de parámetros siempre produce una solución particular, si es posible resolver la ecuación homogenea relacionada a la ecuación diferencial. Sin embargo, el método de variación de parámetros involucra el calculo de determinantes de matrices de funciones y luego requiere integrar funciones que pueden tornarse realmente complicadas. En contraste, los métodos del anulador y de superposición reducen el problema a términos algebraicos.