Resumen: T-022
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006
Simulación del comportamiento elastoplástico de materiales ductiles. Validación experimental. 1
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Mroginski, Javier L. - Di Rado, H. Ariel - Beneyto, Pablo A. - Awruch, Armando M.
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1. Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional del Nordeste Av. Las Heras 727, 3500 Resistencia - ARGENTINA e-mail:
[email protected].
[email protected]. web: http://ing.unne.edu.ar/mecap/ http://ing.unne.edu.ar/mecap/ 2. Centro de Mecánica Aplicada y Computacional (CEMACOM), (CEMACOM), Universidad Federal do Rio Grande do Sul Av. Osvaldo Aranha 99, Porto Alegre, BRASIL
1- Introducción. Tanto en la ingeniería Civil como en la Mecánica, es imprescindible conocer el comportamiento de los materiales cuando son solicitados por cargas. En la teoría de la Elasticidad (Malvern ,1969) se considera que al menos en un pequeño intervalo las tensiones son proporcionales a las deformaciones. Cuando esto ocurre se dice que el cuerpo se encuentra en el campo elástico. Cuando las cargas sobrepasan este campo el cuerpo se comporta en forma plástica dando como resultado relaciones no lineales entre la tensión y la deformación. 2- Teoría clásica de la plasticidad. La principal característica del comportamiento plástico de los sólidos es que la relación entre las tensiones y las deformaciones no es única como lo es en el caso de la elasticidad lineal y no lineal. Como consecuencia del pasaje de un estado elástico a uno plástico se observan deformaciones remanentes en el material una vez retiradas las cargas o disipadas las tensiones. Para diferenciar el comportamiento entre dos materiales, uno con características elásticas no lineal y el otro elastoplástico, debe estudiarse el proceso de descarga ya que el material elástico no lineal seguirá la misma curva de carga mientras que si el material se encuentra en el campo plástico seguirá una curva diferente que depende de la historia (Zienkiewicz y Taylor, 1991).
Figura 1: Plasticidad uniaxial (Zienkiewicz y Taylor 1991): a) Co mportamiento elástico no lineal y plástico; b) Plasticidad ideal; c) Plasticidad con endurecimiento por deformación. 2.1- Superficie de fluencia Experimentalmente se demostró que, en el caso general, las deformaciones plásticas de los materiales ocurren cuando las tensiones σ satisfacen, o alcanzan, un criterio general de fluencia, conocido también como superficie de fluencia: F(σ , κ ) = 0 (1)
siendo κ un parámetro de endurecimiento que modifica la forma y la posición de la superficie. 2.2- Regla de flujo Fue propuesto por Von Mises (Von Mises, 1928) y define que los incrementos de deformación plásticos se relacionan con la superficie de fluencia de la siguiente manera: ∂F (2) dε p = dλ ∂σ En esta expresión dλ es una constante de proporcionalidad todavía indeterminada, llamada multiplicador plástico. La relación (2) puede ser interpretada como una condición de que el vector incremento de deformación plástica sea normal a la superficie de fluencia, en el espacio n-dimensional de tensiones. De aquí que a este criterio se lo conozca también como principio de ortogonalidad. De existir el caso en el cual sea imposible cumplir con la restricción impuesta por la regla de flujo descripta anteriormente, es factible definir un potencial plástico, Q ,
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006 Q = Q(σ , κ )
(3)
que define el incremento de deformación plástica de forma análoga que la relación (2), es decir, ∂Q dε p = dλ (4) ∂σ El caso particular de F = Q se conoce como plasticidad asociada, en caso contrario ( F ≠ Q ) será plasticidad no asociada. 2.3- Relación tensión-deformación Durante un incremento infinitesimal de tensión, es posible separar la variación de la deformación en dos parte, una elástica y otra plástica, entonces:
dε = dε e + dε p (5) Esta claro que los incrementos de deformación elásticos deben estar relacionados con los incrementos de tensión por medio de la matriz constitutiva simétrica, D , correspondiente al comportamiento lineal del material. Sabiendo que:
dσ = D ⋅ dε e ⇒ dε e = D −1dσ
(6)
y reemplazando en (5), teniendo en cuenta (4), −
dε = D 1dσ + dλ
∂Q ∂σ
(7)
Análogamente a lo que ocurre en el caso uniaxial, el incremento plástico de deformación, dε p , ocurrirá cuando el incremento elástico de tensión, dσ e (8) dσ e = D ⋅ dε tienda a colocar la tensión sobre la superficie de fluencia, esto ocurrirá cuando esté en dirección de carga plástica. Si, por lo contrario, este cambio de tensión produce descarga, naturalmente no aparecerá deformación plástica. Cuando se produce carga plástica las tensiones se ubicaran sobre la superficie de fluencia, dada por la ecuación (1). Diferenciando esta ultima por la regla de la cadena se tiene. ∂F ∂F ∂F (9) dF = dσ1 + dσ 2 + K + dκ
∂σ1
∂σ 2
∂κ
o bien en forma matricial, T
∂F dσ − A ⋅ d λ = 0 ∂σ
(10)
donde, A=−
∂F dκ ∂κ dλ
(11)
Este valor es conocido como módulo de endurecimiento (Owen y Hinton, 1980) . La constante de proporcionalidad, dλ , que hasta el momento es indeterminada, puede eliminarse primero pre multiplicando ambos términos de la ecuación (7) por {∂F ∂σ} D y luego reemplazándolo en (10), con lo cual, T
{∂F ∂σ}T D dλ = [{∂F ∂σ}T D{∂Q ∂σ} + A ]
(12)
reemplazando esta expresión en (7) y pre multiplicando ambos miembros por D, se tiene:
dσ = D − D
{∂Q ∂σ}{∂F ∂σ}T D dε [{∂F ∂σ}T D{∂Q ∂σ} + A ]
(13)
ordenando términos,
dσ = D ep dε D ep
{∂Q ∂σ}{∂F ∂σ}T D = D−D [{∂F ∂σ}T D{∂Q ∂σ} + A ]
(14) (15)
Esta ultima relación, D ep , es conocida como matriz elastoplástica y tiene un significado similar a la matriz de rigidez elástica, D T , empleada en el análisis incremental (Zienkiewicz y Taylor, 1991). Haciendo un análisis mas profundo puede verse que solo en el caso de plasticidad asociada, donde Q = F , la matriz D ep será simétrica. Por otro lado, cuando se trata de plasticidad perfecta (ver figura 1) la relación tensión-deformación elastoplástica tiende a cero y esto ocurrirá cuando el parámetro A sea nulo. Considerando el caso de plasticidad asociada, el módulo elastoplástico (15) se transforma en. D ep = D − D
{∂F ∂σ}{∂F ∂σ}T D [{∂F ∂σ}T D{∂F ∂σ} + A ]
(16)
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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2006 cuya forma matricial es: D ep = D −
D ⋅ a ⋅ aT ⋅ D
(17)
a⋅ D⋅a + A T
donde a es el vector de flujo plástico: aT =
∂F ∂F ∂F ∂F ; ; K; = ∂σ ∂σ1 ∂σ 2 ∂σ n
(18)
3- Criterio de fluencia de Von Mises Este criterio fue ampliamente estudiado en todo tipo de materiales, dando resultados óptimos en los materiales de rotura dúctil. La expresión matemática de este criterio es: 1
(J ′2 ) = k (κ )
(19)
2
donde k es un parámetro material aún indeterminado y J ′2 es el segundo invariante del tensor desviador dado por: J ′2 =
1 2
σ′ij σ′ij =
=
1 2
[σ′
2 x
1 6
[(σ
− σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 2
1
2
2
]
(20)
+ σ′y2 + σ ′z2 ] + τ 2xy + τ 2yz + τ 2zx
La función de fluencia (19) puede ahora expresarse como:
σ = 3 (J ′2 )
1
2
= 3 k
(21)
El significado físico del parámetro k puede verse considerando la fluencia de materiales bajo estados tensionales simples, por ejemplo, en el estado uniaxial de tensión ( σ1 = σ 3 = 0 ) se requiere que
3 k sea la tensión de fluencia
uniaxial, obtenida por ejemplo de un ensayo de tracción simple. Para terminar de definir a la matriz constitutiva elastoplástica (17) se debe conocer el vector a y el módulo A . Una forma computacionalmente conveniente de expresar a , cuando la función de fluencia (19) esta expresada en término de los invariantes de tensión ( J 1 , J ′2 , θ ) como es en este caso, es la siguiente (Owen y Hinton, 1980): a = C 1a 1 + C 2 a 2 + C 3 a 3
(22)
donde: C1 =
∂F ∂J 1
∂F tan 3θ ∂F 1 ∂F − 3 ; C3 = − 1 1 3 ∂ (J ′ ) 2 (J ′ ) 2 ∂θ 2 cos (3θ ) (J ′ ) 2 ∂θ 2 2 2
; C2 =
∂J 1 = { 1, 1, 1, 0, 0, 0} ∂σ 1 ∂ (J ′2 ) 2 1 {σ′x , σ′y , σ′z ,2τ yz ,2τ zx ,2τ xy } a2 = = 1 2 ∂σ ′ 2 (J 2 ) a1 =
a3 =
∂J 3 = {(σ ′y σ ′z − τ ′yz2 + J ′2 3) , (σ ′x σ ′z − τ ′xz2 + J ′2 3 ) , (σ ′x σ ′y − τ ′xy2 + J ′2 3 ) , 2(τ xz τ xy − σ ′x τ yz ) , ∂σ 2 (τ xy τ yz − σ ′y τ xz ) , 2(τ yz τ xz − σ ′z τ xy )}
Con esta forma de expresar el vector a basta con modificar las constantes C1 , C 2 y C 3 para definir una función de fluencia diferente. En el caso del criterio de Von Mises se tiene: C1 = C 3 = 0 y C 2 =
3
4- Ejemplo numérico. El siguiente ejemplo consiste en el modelado matemático del comportamiento elastoplástico de una barra de acero (material dúctil) mediante el método de los elementos finitos (Awruch and Di Rado, 1998) , sometido a un ensayo de tracción simple contrastando los resultados teóricos con valores experimentales. Los resultados experimentales fueron obtenidos durante un ensayo llevado a cabo en la prensa hidráulica de la Facultad de Ingeniería de la UNNE en el año 1999 por parte de alumnos y docentes de la cátedra de “Estudio y ensayo de materiales”. La figura 2 muestra los resultados obtenidos, así como una fotografía de la maquinaria. Para realizar el modelado numérico por el MEF primeramente se discretiza el continuo en elementos (figura 3) de 20 nodos. Para este ejemplo se utilizo una malla de 2400 elementos y 12000 nodos aproximadamente.
Por otro lado en la siguiente figura 4 se represento la deformación experimentada por la barra de acero cuando se finalizo la simulación del proceso de carga. Cabe aclarar que tanto para el mallado como para la representación de los resultados se empleo el GID 7.2 , software de pre y post procesamiento (versión libre).
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Figura 2: Resultados experimentales. Maquinaria
Figura 3: Mallado de la barra con elementos finitos de 20 nodos (2400 elementos y 12000 nodos). Vista superior y lateral
Figura 4: Deformación axial de la barra
Por otro lado, en el siguiente gráfico se comparan los resultados experimentales con la simulación numérica por el MEF con dos valores diferentes del módulo A, ecuación (11) .
Gráfico 1: Comparación de resultados numéricos y experimentales
5000 4500 4000 3500
) g 3000 k ( a 2500 g r a 2000 C
Experimental
1500
Elastico
1000
A=1000000
500
A=500000
0 0,E+00
1,E-04
2,E-04
3,E-04
4,E-04
5,E-04
6,E-04
Estiramiento (m) 5- Conclusiones. Como principal conclusión puede decirse que el modelado matemático, por medio del método de los elementos finitos, del comportamiento elastoplástico de una barra tridimensional de materiales dúctiles sometido a esfuerzos uniaxiales se ajusta correctamente para un valor del módulo de endurecimiento 500.000 . 6- Referencias. Awruch, A. and Di Rado, H. Introducción al método de los elementos finitos. EUDENE (1998). Malvern, L. E. Introduction to the Mechanics of a Continuum Medium, Prentice Hall, Englewood Cliffs, USA (1969). D.R.J. Owen y E. Hinton. Finite Elements in Plasticity . Pineridge Press Limited. Swansea, U.K., 1980. R. Von Mises. Mechanik der plastischen formänderung der kristallen. Z. angew. Math. Mech., 8:85–161, 1928. O.C. Zienkiewicz y R.L. Taylor. The finite element method , volume II. McGraw Hill, 1991.
