Alejandro de Icaza Peña
Alejandro de Icaza Peña
Alejandro de Icaza Peña
Matemáticas 2 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:
Dirección General de Contenidos
Antonio Moreno Paniagua Dirección de Ediciones
Wilebaldo Nava Reyes Gerencia de Secundaria
Iván Vásquez Rodríguez Gerencia de Arte y Diseño
Humberto Ayala Santiago
Edición
Rubén García Madero y Leticia Martínez Ruiz Asistencia editorial
Enrique Martínez Sánchez y Victoria Moreno Ayapantecatl Corrección de estilo
Pablo Mijares Mijares Muñoz, Rafael Serrano Pérez Grovas y Octavio Zaragoza Ríos Colaboración en Habilidades digitales
Ernestina San Martín Pérez Edición de Realización
Coordinación de Secundaria
Haydée Jaramillo Barona
Óscar Díaz Chávez
Edición Digital
Coordinación de Matemáticas
Miguel Ángel Flores Medina
Ma. del Pilar Vergara Ríos
Diseño de portada e interiores
Coordinación de Diseño
Diagramación
Carlos A. Vela Turcott Coordinación de Iconografía
Raymundo Ríos Vázquez Eduardo Sevilla González, Yazmín Alonso, Nancy Lozano, Gonzalo Linares, Ivonne Carreón y Héctor Ovando
Nadira Nizametdinova Malekovna
Iconografía
Coordinación de Realización
Ilustración
Gabriela Armillas Bojorges
Renata Galindo Prieto, Jorge Aurelio Álvarez Yáñez, Héctor Ovando y Ricardo Ríos Delgado
Miguel Bucio Trejo
Fotografía
Juan José Morón García, Olivia Vivanco Torres, Shutterstock. com, NASA, Thinkstock. Com, moleskinearquitectonico.blogspot.mx, educaplay.com y Wikipedia Digitalización de imagen
Gerardo Hernández Ortíz
La presentación presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2 son propiedad del editor. Queda Qued a estrictamente prohibida prohibida la reproduc reproducción ción parcial o total de esta obra por cualquier sis tema o método m étodo electrónico, incluso el f otocopiado, ado, sin autorización escrita del editor. © 2013 por Alejandro de Icaza Peña D. R. © 2013 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, México, D. F. 78 -607-0101-1961-3 1961-3 ISBN: 978-607Primera edición: diciembre de 2013 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México/ Printed Printed in Mexico
2
B
ienvenido, bienvenida a Matemáticas 2 de la serie Todos Juntos Oro. En primer lugar, queremos explicarte por qué hemos titulado así a esta serie. Se llama Todos Juntos porque hoy, más que nunca, es importante construir de manera colectiva muchas cosas, como la paz, la riqueza, el cuidado del medio natural, el futuro, el conocimiento... pues como sociedad hemos aprendido que los esfuerzos individuales no son suficientes para lograr metas tan complejas. Por ello, en las actividades que te proponemos en esta obra encontrarás con frecuencia la propuesta de reunirte con tus compañeros, ponerte de acuerdo con tu maestra o maestro, y comentar con tu familia para resolver la situación o el problema que se plantea. Los resultados del trabajo colaborativo son mejores que los obtenidos con la dedicación de una sola persona. Si sumamos y multiplicamos los esfuerzos de cada uno, Todos Juntos lograremos metas y satisfacciones insospechadas. Para obtener estos logros, se requieren cualidades y actitudes que tú tienes, pero que tal vez no has descubierto: las propiedades del Oro. Este metal es muy resistente: muy pocas sustancias lo pueden alterar. No obstante, es dúctil y maleable, es decir, posee la flexibilidad suficiente para permitir formar hilos y láminas con él. Además, el oro nunca pierde su brillo ¿Qué te parece esta metáfora? Pues bien, Todos Juntos Oro significa unir nuestra firmeza y nuestra flexibilidad para lograr metas comunes que resalten nuestro brillo en la construcción del conocimiento matemático. En las actividades propuestas se tomaron en cuenta los intereses de los alumnos de secundaria, las experiencias de profesores y el nivel de tratamiento del contenido, ya que las matemáticas son esenciales para la formación de los estudiantes de este nivel educativo. En el diseño de las lecciones se consideraron las cuatro competencias matemáticas: • • • •
Resolver problemas de manera autónoma Comunicar información matemática Validar procedimientos y resultados Manejar técnicas eficientemente
Por último, Matemáticas 2 será también el punto de partida para el acceso a recursos digitales que tú conoces muy bien y te divierten, además de que te proporcionan información. ¡Te deseamos el mayor de los éxitos! Los editores
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Conoce A continuación te mostramos el propósito de cada sección que integra el libro Matemáticas 2, las cuales están numeradas para que las identifiques con mayor facilidad.
Evaluación diagnóstica Evaluacióndiagnóstica
Antes de empezar a estudiar los contenidos propuestos en este grado escolar, es conveniente que resuelvas la evaluación diagnóstica para que, con base en los resultados que obtengas, midas el nivel de conocimientos matemáticos que tienes y puedas decidir junto con tu profesor qué hacer en caso de que requieras apoyo.
Evaluación diagnóstica
Esta sección te permite evaluar los conocimientos de matemáticas que adquiriste durante el grado anterior, y que son la base para el estudio de los nuevos contenidos de Matemáticas 2.
Lee y responde.
1. Relaciona cada número fraccionario con su expresión decimal.
39 • 100 676 • 100 7 • 2 6 • 50 1 • 3 1897 • 5000
• 3.5 • 0.39 • 0.3333... • 0.0676 • 3.33... • 0.12 • 6.76 • 0.3794
2. Ubica los números en las rectas.
1 4
Entrada de bloque Este apartado está integrado por doble página en la que 2 una se muestra una fotografía, el número de bloque y los aprendizajes esperados de este.
0.83
0.6
8 11
0 9 10
0.2
0.42
7 11
1
0 9 11
0.11
4 5
3 8
1
0
1
20
Palabras para el alumno
E
n este ciclo aplicarás los conocimientos que adquiriste en tu primer curso de secundaria y ampliarás lo que ya sabes; esto implica enfrentar mayores retos académicos, que te permitirán adquirir una formación matemática cada vez más sólida. Debido a ello, Matemáticas 2 contiene actividades que integran desafíos y problemas matemáticos cuya resolución implica que expliques tus ideas, argumentes tus procedimientos, encuentres la vinculación de los contenidos matemáticos con otros campos de conocimiento, y junto con tus compa-
ñeros elabores conclusiones para validar el trabajo realizado. Estas conclusiones son enriquecidas con la información matemática que se encuentra en las lecciones y con la mediación del profesor. La finalidad de esta obra es serte de utilidad para tus estudios y transmitirte el gusto y el interés por el estudio de la asignatura.
Entrada de bloque
5
2
4
Aprendizajes esperados •
•
•
•
Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Construye figuras simétricas respecto de un eje e identifica las propiedades de la figura original que se conservan. Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos elementos del círculo, como: ángulos inscritos y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas circulares. Explica la relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
3
Patiodelos Arrayanes.LaAlhambra, Granada,España.LaTorrede Comares fuediseñadasimétricamentey, al reflejarseen laspilasdeagua, se observaunadoblesimetría.
272
273
Fotografía Muestra una gran imagen 3 relacionada con alguno de los
Aprendizajes esperados Orientan tus procesos de 4 aprendizaje al señalar lo que se
contenidos que estudiarás en el bloque.
espera que logres al final del bloque.
Palabras para el docente
M
atemáticas 2 contiene actividades cuidadosamente diseñadas, estructuradas, seleccionadas y validadas en el aula escolar. Muchas de estas se desarrollan en contextos cercanos a los estudiantes, como una consola de audio. Con ello, se quiere comunicar que las matemáticas son útiles en la vida diaria para resolver situaciones básicas y que, sin duda, son imprescindibles para el avance científico y tecnológico de la actualidad. La propuesta didáctica de esta obra fomenta el trabajo en equipos y en grupo con la intención de que todos participen en la construcción del conocimiento matemático,
donde la discusión, la confrontación, el intercambio de ideas y la explicitación de dificultades y dudas por parte de los alumnos, cobran un papel fundamental. En este contexto, la labor del profesor debe ser de mediador y guía para que los escolares alcancen el objetivo. En las páginas finales de cada bloque se hace una invitación a la lectura en la sección “Tu competencia lectora”. Su objetivo es que los estudiantes desarrollen sus competencias lectoras, las cuales son esenciales para el aprendizaje de la asignatura.
5
Conoce Lecciones
5 5
6
Cálculo de áreas
9
9. En parejas, lean la información y resuelvan. Eje: Forma, espacio y medida Tema: Medida
En 1905 fue encontrado en Pretoria, en una mina de Sudáfrica el famoso diamante Cullinan, conocido como Estrella del Sur. Su peso bruto fue de 3 106 quilates.
Contenido: Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras com-
puestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides
8
Joyas famosas
7
a. ¿Cuántos miligramos equivalen a un quilate? b. De acuerdo con los datos, ¿cuántos gramos pesa el diamante Cullinan? c. ¿A cuántas onzas equivale dicho peso?
El cubo de colores
Diamante Cullinan. Fue
encontradoenSudáfricaen 1905.
15 cm 1. Resuelve de manera individual. En el taller de carpintería, los alumnos elaboraron un cubo de colores como el que se muestra a la izquierda.
d. ¿Cuál fue el peso total, en gramos, de las 105 gemas producidas? quilate. Esuna unidad
a. ¿Cuántos cuadrados forman las seis caras del cubo?
Cara 1
Cuando el diamante fue tallado, se produjeron 105 gemas que pesaron 1 063 quilates, en total. La mayor fue una piedra con forma de gota llamada la Estrella de África que pesaba 106.4 g, y representa al diamante tallado más grande del mundo.
e. ¿Cuántos quilates pesa la piedra Estrella de África?
de medida de masa que se utiliza en piedraspreciosas.Un quilateesequivalente a 0.2 g.
Analiza el modelo que representa la cara 1 del cubo. b. Calcula la medida del área que se pintará de rojo.
Otra de las joyas más grandes y famosas, es el diamante Vargas, que fue encontrado en Brasil en 1938. Su peso era de 726.6 quilates en bruto; cuando lo cortaron, en 1945, obtuvieron 29 piedras con un peso total de 411 quilates.
onza. Esuna unidad
c. ¿Cuál es la medida del área pintada de morado?
del SI yequivale a 28.34 g.
d. ¿Cuál es la medida del área que se pintará de color negro? e. ¿Cuál es el área de las seis caras del cubo?
f. ¿Cuál fue el peso en gramos del diamante? g. ¿Cuántos gramos pesan las piedras que se obtuvieron?
Justifica tu res-
h. ¿Cuántos quilates del diamante no se aprovecharon?
10
puesta. Otro alumno del taller de carpintería diseñó un cubo como el que se muestra a la izquierda.
¿Cuál es su equivalencia en gramos? En la boda de una celebridad, la novia usó una diadema de 765 diamantes pequeños, un total de 78 quilates, realzados por dos diamantes de 2.5 quilates.
f. El área del cuadrado rojo es de 112.5 cm 2. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus lados?
Redondea el resultado.
¿Qué hiciste para calcular la medida?
i. ¿Cuál es el peso en quilates de uno de los 765 diamantes de la diadema? j. ¿Cuánto pesan las joyas de la diadema en gramos?
g. ¿Cuál es la medida de cada cara del cubo?
k. ¿Cuál es el peso de la diadema en onzas?
h. Si en cada cara del cubo se pinta un cuadrado con diferentes colores, como se puede
l. ¿Qué procedimiento emplearon para realizar las conversiones?
observar en la imagen, ¿qué cantidad de superficie se pintó de amarillo? i. David, alumno de secundaria, quiere diseñar un cubo cuya medida del área de una cara
sea de 144 cm 2. ¿Cuál es la medida de una arista del cubo?
¿Cuál es el
volumen del cubo?
• Comenten por qué en este caso es más conveniente usar la unidad de medida del “quilate” en lugar de gramos u onzas.
j. ¿Qué diferencia hay entre calcular el volumen de un cuerpo geométrico y calcular el
área de sus caras?
Socialicen con otros compañeros sus respuestas. Comenten acerca del procedimiento que emplearon para obtener las respuestas y registren sus acuerdos.
1 2
2
Lecciones Cada lección presenta las situaciones 5 didácticas convenientes para tratar de
Desarrollo A lo largo de la lección se diseñaron 9 actividades en las que tendrás oportunidad
manera adecuada los contenidos.
de explicitar tus ideas, probar distintos procedimientos para resolver las situaciones y desafíos matemáticos; así como validar aquellos procedimientos que son más eficientes que otros.
Título
6
Las lecciones tienen un título relacionado con el contenido.
Contenido
7
Se indica el eje, tema y contenido que se trabajará en la lección.
Inicio Se plantean problemas que se pueden 8 resolver al aplicar lo que conoces del tema que se estudia en cada lección. 6
Compara tus respuestas con un compañero y describan el procedimiento empleado para resolver la actividad. Analicen cada uno y validen el más eficiente.
Glosario Presenta definiciones de términos 10 matemáticos desconocidos que se mencionaron durante el desarrollo de la lección.
Relaciones funcionales
Otros problemas de interés compuesto
2. Resuelvan en parejas la actividad.
6. Resuelvan en parejas los problemas.
Para representar la situación de la página anterior, Joaquín escribió lo siguiente: si denominamos como x a la cantidad de aceite, y llamamos y a su costo, la expresión algebraica que me permite calcular el costo ( y) de cualquier cantidad de aceite ( x) es: y = 120 x.
a. Martha invirtió un capital de $10 000 con interés compuesto durante 20 años. El
interés durante los primeros cinco años es de 6%. Después se incrementó a 7% durante otros cinco años. Lo ahorrado lo reinvierte con un interés compuesto de 8% por 10 años más.
a. ¿Están de acuerdo con el procedimiento empleado por Joaquín?
• ¿Qué capital tiene durante los primeros ocho años?
b. ¿Coincide con la expresión que sugirieron en la página anterior?
• ¿Cuál es su ahorro en 15 años?
c. Apliquen la expresión algebraica anterior para completar la tabla.
• ¿Qué capital tendrá al finalizar los 20 años?
12.45
Cantidad de aceite (L)
25.5
52
70
• ¿Cómo obtuvieron las respuestas?
150
b. Saraí va a solicitar una beca para realizar sus estudios de posgrado en el extranjero
durante tres años. Las ofertas que le ofrece la embajada son:
Costo ($)
Comparen sus resultados con los del grupo y discutan sobre la validez de la expresión algebraica para obtener los resultados correctos.
Una relación es funcional siempre que una cantidad se modifica en función de otra, es decir, dados dos conjuntos de datos ( x y y), cada elemento de x se relaciona con un único elemento de y. Dicho de otra manera, las variables x y y se relacionan funcionalmente cuando, conociendo el valor de x , se puede saber el valor de y. Un ejemplo de una relación funcional son las relaciones de proporcionalidad directa. Como vimos en primero, dos conjuntos de cantidades son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una cantidad, la otra lo hace en la misma proporción. Esto se puede representar con la expresión y = kx , en la que k representa el factor constante de proporcionalidad. El cual indica la cantidad por la que hay que multiplicar x para obtener el valor de y.
Una beca mensual de $15 000.00 y un bono anual de $10 000.00.
11
Una beca mensual de $12 000.00 más un interés mensual simple de 9%. Una beca mensual de $18 000.00 y un bono trimestral de $2 000. • ¿Qué opción le conviene a Saraí? • ¿Cuánto recibiría en las otras opciones?
do en 2, 3 1 , 4, 5 1 , 6, 7 y 8 horas? 4 2
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y lleguen a acuerdos. Joaquín identificó tres magnitudes y justificó lo realizado: • Magnitud 1: tiempo Variable independiente, son los datos que se deben encontrar. • Magnitud 2. distancia Variable dependiente, depende del tiempo de recorrido. • Magnitud 3. velocidad constante , el valor dado no cambia. e. ¿Estás de acuerdo con Joaquín? Justifica tu respuesta.
en grupo. variables. Se lesllama
le ofreció 2% de interés compuesto trimestral. Cuatro años más tarde, nació su hija Valeria, y entonces dividió el monto acumulado en dos partes: una de 13 para Iván y el resto para Valeria. • ¿Qué tendrá cada uno cuando cumplan 21años? b. La compañía de seguros Estrella, tiene que pagar a las hijas de un asegurado la misma
cantidad de dinero cuando ambas cumplan la mayoría de edad. El importe de la cantidad asegurada es de $500 000. Mientras que las dos no cumplan la mayoría de edad, la compañía se queda con el dinero abonando 1.5 % de interés compuesto anual. A la muerte del asegurado, las hijas tienen las edades de 12 y 14 años respectivamente.
Discutan en grupo qué significado asocian con los términos “variable independiente” y “variable dependiente”. Después socialicen sus argumentos y en el cuaderno escriban una conclusión acerca de cada término.
14
a. Paola abrió una cuenta de ahorros cuando nació su hijo Iván. Depositó $2 800 y el banco
a lasliteralesque se utilizanenexpresiones algebraicas. magnitud. Esuna propiedadfísicaque puedemedirse,como la altura, el peso, la velocidad, la superficie, etcétera.
Reto
1. Resuelve con otro compañero los siguientes problemas. Después validen sus resultados
Lupe conduce una pipa de gas. Cuando la pipa está vacía puede circular a 40 km/h.
b. ¿Cuáles son las magnitudes que se relacionan en este problema? c. ¿Qué magnitud depende de la otra? d. ¿Qué magnitud representa la constante de proporcionalidad?
Describan los procedimientos que emplearon para resolver los problemas. Comparen y validen sus resultados; por último, registren sus conclusiones.
Ahorros y la compañía de seguros
3. Resuelvan el problema. Respondan en el cuaderno. a. Supongan que la pipa circula a una velocidad constante. ¿Qué distancia habrá recorri-
13
• Si cumplen la mayoría de edad a los 18 años, ¿qué cantidad ha de recibir cada una?
12
Enlos sitiossugeridos podráspracticarel temaestudiado. Problemasdeinterés compuesto www.vitutor.com/di/p/ ejercicios_interes.html www.cca.org.mx/cca/ cursos/matematicas/ cerrada/financieros/ intcomp/caso1.htm www.profesorenlinea. cl/matematica/Interes_ compuesto.html www.aplicaciones.info/ decimales/propo03. htm Calculadoradel interés compuesto www.didactika.com/ matematica/algebra/ interes_compuesto. html Comparte tus experienciasen clase, ysi hay dudas, pide apoyo al profesor.
1
Conceptos y procedimientos En las lecciones se incluyen definiciones, procedimientos y explicaciones para que enriquezcas el trabajo en clase y reafirmes o elabores conclusiones.
11
Socialización Al final de cada actividad, podrás 12 confrontar tus ideas, escuchar puntos de vista, y gradualmente aprenderás a redactar conclusiones como producto del debate escolar. Con el trabajo diario podrás comunicar de manera clara tus argumentos matemáticos y validarlos en la clase.
Apoyo tecnológico En esta sección se sugieren páginas 13 electrónicas donde tendrás la oportunidad de ampliar tus conocimientos respecto a los contenidos estudiados. La sección puede trabajarse fuera del aula escolar, por lo cual es necesario que tengas acceso a una computadora con Internet.
Reto Cada lección cierra con un reto. En este se 14 plantean diversas situaciones, en las que se ponen a prueba los conocimientos adquiridos.
7
Conoce Secciones
Parasabermás
Habilidadesdigitales
15
16
Las unidades de almacenamiento masivo 1. En parejas, analicen la información, después contesten.
En la lección 21 estudiaste equivalencias entre distintas unidades de medida, volumen y capacidad para líquidos y otros materiales que forman parte del Sistema Internacional de Medidas y también de otras socialmente conocidas, como el barril, los quilates, los quintales, etcétera. Ahora, en las actividades que se proponen en esta sección, profundizarás en el estudio de las unidades de almacenamiento masivo. Byte es una palabra del habla inglesa, y es la unidad de medida principal que se usa en unidades de almacenamiento. Su equivalencia es de ocho bits. E n la actualidad, hay discos duros de 1 y 2 terabytes (Tb), pendrives (memorias usb) de 256 gigabytes (Gb), o Blu-Ray’s de 50 Gb.
Teselados, entre peces y cometas
a. Investiguen. ¿Qué es un pendrive? ¿Qué es un disco duro? ¿Cuál es la equivalencia de Gb,
Tb a bytes? ¿Qué es más grande, 50 GB o 1 Tb? ¿En dónde han utilizado estas unidades? b. Escriban qué tipos de dispositivos de almacenamiento de información conocen y escriban sus medidas de capacidad de almacenamiento.
1. Realiza en tu computadora las siguientes actividades.
Raquel, la empleada de una tienda de accesorios de computadora diseñó el siguiente cartel para promover sus ventas de unidades de almacenamiento de información: Disco flexible Tamaño 3.5 pulgadas (9 cm) Capacidad de almacenamiento 1.44 Mb
Como viste en la lección 20, es posible generar teselados a partir de figuras conocidas. Puedes trabajar con el programa PowerPoint para crear algunos de ellos. a. En el menú de Inicio, abre la ventana “Formas” y selecciona “Rectángulos” para formar un cuadrado.
Pendrive Dispositivo usb de memoria flash, se ha convertido en un sistema de almacenamiento de datos muy usado. Capacidad: 1, 2, 4, 8 y 16 Gb
c. ¿Qué tipo de información se puede guardar en un disco flexible? ¿Y en un pendrive? b. Después, en la misma
d. ¿Con qué frecuencia han usado discos flexibles de 3 1 ? ¿Y un pendrive?
ventana de la instrucción anterior,selecciona “Recortar rectángulo de esquinadiagonal” y coloca dicha figura sobre elcuadradoquetrazaste previamente, como se muestraenla imagen2.
2 e. De los dispositivos anteriores, ¿cuál de ellos tiene mayor capacidad de almacenamiento? Justifiquen su respuesta. f. Un pendrive en promedio mide 6.2 cm, ¿cuál es la diferencia en pulgadas entre el disco
flexibleyun pendrivepromedio? g. Si 1Gb equivalea1024megabytes,¿cuántosMbtiene1, 2, 4,8,y 16gigas?Denelresultado
en una tabla de valores y determinen si los datos están relacionados de manera proporcional.
Socialicen sus respuestas y discutan con respecto a las distintas unidades de medida de los dispositivos de almacenamiento.
Para saber más Esta sección se diseñó pensando en un conjunto de actividades que te permitirán ir más allá de lo estudiado en las lecciones, ya que buscan aplicar las herramientas matemáticas en la solución de problemas sociales y ambientales, además de profundizar en el estudio del álgebra, de las formas geométricas y de la representación de la información. 15
Para resolver las actividades de esta sección, pondrás en juego lo aprendido en el bloque, con la intención de que integres saberes al resolver los problemas. Las actividades retoman contextos interesantes como la categoría de un huracán y sus alcances, 8
Imagen1
Imagen2
202
el buceo en zonas turísticas, etcétera. En cada bloque se aborda un tema diferente.
Habilidades digitales En esta sección se presentan actividades que deberás realizar empleando algún programa de geometría dinámica o la hoja electrónica de cálculo. De esta manera observarás cómo la tecnología puede facilitar las tareas matemáticas. 16
Su principal objetivo es proporcionarte elementos que apoyen tu aprendizaje, tus competencias para la vida y el desarrollo de habilidades fundamentales que demanda la sociedad del conocimiento.
17
Leeenvoz altaeltextodándole la entonaciónadecuada.Conapoyodetu profesorode algúnfamiliar,mide laduraciónde tu lectura.
Historia de la estadística
61
La estadística surgió en Egipto como un instrumento de análisis para satisfacer la necesidad de las autoridades por conocer el total de la población, la cantidad de tierra disponible, el modo en que estaba repartida esa tierra y la riqueza que poseían; pero, sobre todo, para obtener la información necesaria para hacer el cálculo de los impuestos.
109
Los chinos y los griegos ya conocían la técnica para levantar censos. Más tarde, los romanos asimilaron este conocimiento y le sumaron sus propios descubrimientos. En la antigua Roma, los censos incluían datos sobre las cabezas de ganado, los recursos naturales y también los matrimonios,nacimientosy defunciones.
178
En el Renacimiento se dio gran importancia a las técnicas para recopilar, ordenar e interpretar datos, que es la �nalidad de la estadística. En la primera mitad del siglo XVI, los alemanes hicieron una recopilación de datos sobre los recursos naturales y la población. En aquellas épocas existía la creencia de que en los años terminados en 7 el número de muertos era mucho mayor que en los demás.
218
En Grecia, la primera referencia en relación con la futura disciplina estadística es el libro II de Tucídides sobre la Guerra del Peloponeso entre espartanos y atenienses. En el texto se anotan conceptos propios de lo que ahora llamamos “muestreo”.
380
El ejército debe asaltar una muralla, y los jefes militares deciden que es necesario tener una torre móvil que permita a los soldados tomar la ciudadela con el menor riesgo posible. La tarea exige conocer la altura de la muralla que protege la ciudadela. En un despliegue de observación vación cientí�ca, los sabios deciden estimar la altura de la muralla para calcular la altura de la torre. rre. Saben que la muralla está construida con ladrillos de dimensiones iguales; por ello, enn vían unapequeña partida de soldados pararecopilardatos aproximados sobre la altura del bastión, contando, ontando, desde desde una prudent prudentee distancia, distancia, el el número número de ladrillos. ladrillos. Cumplida Cumplida la misión, los soldados soldados regresan regresan para informar informar sobre sobre sus sus observacion observaciones. es.Pero Pero surge surge un un inconincon veniente: cada a soldado soldado da da una unacifra cifra distinta distinta del delnúmero númerode de ladrillos ladrillosque que contó contóyy muy muy pocas pocas cifras coinciden. en. Para Para resolver resolver elel problema, problema, los los sabios sabios deciden deciden tomar tomar como como indicador indicado rlos los datos que máss se repiten; repiten;esto estoes, es,deciden decidenusar usaruna unamedida medidade detendencia tendenciacentral, central,“la “lamoda”. mo da”..
EvaluacióntipoPISA
A) 6 + w3 C) 3w+ 6
A) 9 y + 6 yxn + 1 x B) (3 y2 + 1) (4) C) 12 y2 + 4 D) ( x + y) (2c + 1)
c x y
1 y
y
y
1
A) 180°, porque al recortar y juntar los ángulos estos forman un ángulo llano. B) 180°, porque cuando una recta corta a dos paralelas se puede ver que los ángulos del
Palabras por por minuto minuto
= es básica enmatemáticas. Medirsignifica comparar; porejemplo, en La habilidad×de60medir este bloque mediste ángulosinterioresde los polígonos. Con ayuda de la medición, también identificaste lascaracterísticasque tienenlospolígonosque cubren unplano. Lassiguientesactividades te permitiránponer enpráctica tus habilidadespara medir y tus conocimientos.
triángulo: a + b + c = 180°. C) 180°, porque tiene dos ángulos agudos y uno recto. D) 180°, porque sus tres ángulos son agudos, es decir, menores que 90°.
M2-
08
1
4. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es:
Medición
÷
1 w
3. Nombre del polígono regular cuya suma de ángulos i nternos es de 1 440°: A) Octágono B) Nonágono C) Decágono D) Dodecágono
Paracalcular lar lacantidadde palabrasque palabrasquelees lees por por minuto,completaestaoperación. minuto,completaestaoperación.
Tiempo en segundos segundos
B) 6 + w D) 1(2 + w) + 1(2 + w) + 1(2 + w)
2. ¿Cuál es el área de la figura?
Tallerdematemáticas 18
Total de palabras palabras leídas leídas
Elige la opción con la respuesta correcta.
1. ¿Qué expresión representa el área total de la figura?
Fuente: uente:www.emagister.com/curso-estadistic www.emagister.com/curso-estadistica-aplicada-spss a-aplicada-spss-modulo/historia-est -modulo/historia-estadistica adisti sticaa
Velocidad
19
5. Los cuatro ángulos interiores de cualquier paralelogramo suman:
1. Resuelveelsiguienteproblema.
A) 360°, porque cualquier polígono puede dividirse en triángulos, y para todo triángulo la
suma de sus ángulos interiores es 180°.
Enun centro comercial se delimitó unárea conforma de hexágono regularenla que se pondrá piso de mármol. Determina el área total de este piso si cada lado del hexágono mide 10 m yel apotemaesde 8.66m,aproximadamente.
B) 360°, porque todos los paralelogramos tienen cuatro ángulos rectos: 90 4 = 360°. C) 360°, porque tienen dos pares de ángulos complementarios que suman 180°. D) 360°, porque tienen ángulos opuestos que miden lo mismo.
Justifica en tu cuaderno la veracidad de la opción correcta en los incisos 1 al 5, y explica por qué las otras opciones son incorrectas.
6. Felipe elabora sombrillas con telas de dos colores, como la que se muestra a la izquierda. a. ¿Cuál es la medida del ángulo interno de cada sección azul? Justifica tu respuesta. 2. Leey responde.
Observa la imagende la izquierda. Enella se usan de forma ingeniosa algunaspropiedadesgeométricas. Al veresta obra podríamospreguntarnos: ¿todaslas figuras se pueden usarpara llenarun espacio de tal forma que no se superponganni quede ningúnhueco? ¿Quéfiguraspodríamosusar ycuáles no? Enla siguienteactividadresponderemosestaspreguntas. Observa, porejemplo, que si empleamostriángulosequiláterosy losrotamosalrededorde un mismo centro podemosllenarel espacio sinque quede ningúnvacío, pero no ocurre lo mismo si utilizamospentágonos.
b. ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de la sección azul de la sombrilla? ¿Y de la
sección blanca?
12
Lospentágonos dejanun vacío.
210
Tu competencia lectora Esta sección incluye un texto relacionado con 17 alguno de los contenidos trabajados dentro del bloque, a partir de la lectura podrás ejercitar tus habilidades relacionadas con la velocidad, fluidez y comprensión lectora.
Taller de matemáticas En esta sección se presentan actividades que te ayudarán a desarrollar habilidades como calcular, medir, imaginar, comunicar, estimar, deducir, formular hipótesis, generalizar, entre otras. 18
Evaluación tipo PISA 19
individual, las cuales te permitirán poner en práctica lo que aprendiste en el bloque. Se proponen preguntas abiertas y de opción múltiple, además de problemas, todos relacionados con los aprendizajes esperados. En ellas se sigue el modelo de PISA, que significa Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes. Al final de cada evaluación encontrarás el apartado "Valoro mi avance". Los indicadores te permitirán evaluar tus avances respecto a los aprendizajes esperados, tus habilidades y tus actitudes.
Al final del bloque se presenta una serie de actividades que debes resolver de manera 9
Conoce Infografía Esta sección se presenta en una doble página con fotografías e imágenes atractivas en las que se aborda un tema de interés general, ya sea de música, de arquitectura, de deportes o de ciencias, en cuyo texto hallarás contenidos matemáticos que trabajaste en el bloque. Revísala bien porque te puede dar ideas de cómo organizar información para una presentación o un cartel. 20
20
Francia
l a g u t r o P
España Granada ranada
21
N
La pajarita nazarí
Maurits Cornelis Escher
Se le conoce desde el siglo IX; en el siglo XI se incorporó al recinto amurallado de la ciudad. En el siglo XIII, el monarca nazarí Mohamed ben Al-Hamar la convirtió en la residencia real. En la actualidad es el monumento más visitado de España, por un promedio de tres millones de turistas al año..
Las visitas de Escher a la Alhambra fueron de gran inspiracion para su trabajo. En 1936 pasó muchos días copiando y dibujando los teselados que decoran las paredes y techos. En sus diseños utilizó retículas geométricas como base y después agregó figuras de animales, personas y algunos objetos.
Uno de los teselados más famosos es el de la pajarita. Su diseño está basado en triángulos equiláteros y circunferencias.
Hay pájaros en la Decoración Los arquitectos decoraron cada espacio de la Alhambra, por muy pequeño que fuera.
En la ciudad de Granada, España, se encuentra la Alhambra, una fortaleza que alojó a sultanes nazaríes durante la invasión musulmana a este país. Su nombre significa “castillo rojo” por lo que también se le conoce como La Roja. Este monumento, reconocido por su belleza, representa el esplendor de la cultura árabe en España.
Los teselados Muchos de los teselados de la Alhambra se basan en transformaciones de polígonos regulares. Al modificar el polígono para crear la nueva figura, se garantiza que unida con otras iguales se recubrirá completamente una superficie sin dejar espacios. Según su forma, las figuras que componen los teselados de la Alhambra reciben un nombre en particular:
Arabescos
El pétalo
El avión
El hueso
214
Realidad aumentada 21 En las secciones Tu competencia lectora e Infografía encontrarás el logotipo (RA), que significa Realidad Aumentada, la cual te permitirá acceder a recursos multimedia en Internet que enriquecen el contenido del texto. Para ello deberás contar con un dispositivo móvil, como un teléfono inteligente o una tableta, conectado a la red y que tenga una cámara. Sigue estas instrucciones, de acuerdo con el sistema operativo del aparato que emplearás.
Android® 1. Verifica que la versión del sistema operativo sea 2.2 o superior. 2. Cerciórate de que el dispositivo se encuentre conectado a Internet, ya sea por Wi-Fi, 3G o 4G. 3. Despliega en tu dispositivo la tienda de aplicaciones Play Store de Google®.
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Los arabescos son entrelazados geométricos que cumplen con distintas propiedades de simetría. Tienen líneas que imitan formas naturales, como flores y hojas, y los más importantes se basan en la división del círculo en cuatro, cinco, seis, ocho y doce partes. Siguiendo la línea que forma la figura, que es una sola, se entra en un ciclo infinito. 215
4. En la celda Buscar o Search escribe el texto Layar® y oprime el botón para realizar la búsqueda. 5. Descarga la aplicación Layar®, que es gratuita en el dispositivo; para ello pulsa el botón Instalar o Install. Asegúrate de que haya espacio suficiente en el aparato. 6. Busca donde se instaló la aplicación y ábrela. 7. Donde se encuentra el logotipo (RA), ubica la cámara sobre una página a la vez, espera a que enfoque y pulsa Scan. Verás que aparecen un par de círculos discontinuos y empiezan a girar. A continuación aparecerán sobre la página unos iconos. 8. Pulsa con el dedo sobre alguno de los iconos para que se despliegue el contenido multimedia en el dispositivo.
22
S E R I E
T O D O S
J U N T O S
Una vida con valores
O R O P R E S E N T A
22 Al final de la obra encontrarás una hoja desplegable, llamada encarte, dedicada al tema del bullying , esta forma de acoso que se ha hecho tan frecuente en la escuela y que no debe ocurrir. En ella te presentamos información diversa sobre las estadísticas de la violencia que deriva en bullying y de los espacios en que es más frecuente esta práctica.
El
bullying , trato desigual entre iguales
Lee el encarte con todo cuidado y coméntalo con tus compañeros, tus maestros y tu familia.
El daño que produce el acoso escolar es directamente proporcional al tiempo durante el cual se sufre sufre.
33
Algunos datos
Entre iguales
El bullying o acoso escolar es una práctica frecuente en las escuelas secundarias de México. Lo que varía entre una institución y otra es el porcentaje en que se presenta.
Los agresores son de la misma edad que el agredido o mayores. En el informe mencionado se indica que: • Más de una tercera partede los estudiantes señaló haber sufrido agresiones por algún compañero del sexo masculino. • Una cuarta parte respondió que recibió agresiones de una compañera. • Menos de 10% dijoque fue víctima de algún adulto.
De acuerdo con el Informe Nacional sobre Violencia de Género en la Educación Básica, en México:
de los alumnos de
restante indica que
reconoce que en su escuela sí se presenta el bullying , y el 57% restante indica que esto no sucede en la suya.
secundaria reporta no haber sido víctima de una agresión.
ha sufrido algún tipo de acoso.
Respuestas de niños y niñas de secundaria acerca de quiénes son las personas
% 43 Sí
• Intendente
1
0.2
• Directora
0.3 44.6
• No, nadie me ha agredido
Respuesta de alumnos acerca de si alguna vez han sido víctimas de bullying .
10 No
%
% 90 Sí
Un valor moral es un “hábito operativo positivo”; por ejemplo, la vigilancia y la enseñanza son valores porque se orientan hacia el bienestar de las personas. La mayoría de los estudiantes y profesores coinciden en que, para solucionar el fenómeno del bullying , se deben inculcar los siguientes valores.
Consecuencias del bullying • menos rendimiento escolar. • menos sentimiento de pertenencia al grupo. • menos confianza y seguridad.
de las que han recibido alguna agresión física en los últimos dos años.
• Subdirector
• Conserje
% 57 No
Cuanto mayor es el tiempo en que acosan, mayor es el daño que causan. Dicho con otras palabras: el daño por acoso es directamente proporcional al tiempo durante el cual se sufre.
Las víctimas de bullying presentan:
de los profesores
Respuesta de profesores acerca de si se practica el bullying en sus escuelas.
Los valores, una solución
Los acosadores pueden intimidar a sus víctimas durante meses e incluso años.
90%
10%
43%
Tiempo de acoso, un exceso
• Prefecta
• Prefecto
34.6 3 0.2 0.1 1.1
• Director
0.9 2.7
• Maestra
2.5 .
0.9
• Maestro
5.3 19.7
1.5 0.5
En este caso existe una víctima y uno o varios agresores. Pero, debido al alcance de los medios electrónicos, los espectadores pueden ser miles, lo que agudiza el daño a la víctima.
2.6
• Compañera
13.4 • Compañero
22.7 30.2
1.6 N i ña s
N i ño s
Paz
Es el tipo de acoso que se hace a través de medios electrónicos. El daño que produce es psicológico y social.
4
1.9
De acuerdo con las encuestas de la Alianza por la Seguridad en Internet (ASI), en escuelas privadas de la Ciudad de México:
Vigilancia
98%
42%
de los alumnos
tiene teléfonos
cuenta con computadora en casa.
celulares con acceso a Internet ilimitado.
Valores
Respeto
Cantidadesexpresadasenporcentaje.
Los hombres son más señalados como agresores; sin embargo, varios estudios aclaran que las mujeres también agreden, aunque de manera más discreta.
iOS® 1. Verifica que la versión del sistema operativo sea 5.1 o posterior. 2. Cerciórate de que el dispositivo se encuentre conectado a Internet, ya sea por Wi-Fi, 3G o 4G. 3. Despliega en tu dispositivo la tienda de aplicaciones App Store. Es necesario contar con un ID de Apple para descargar la aplicación Layar®; si no cuentas con uno solicita la ayuda de tus padres para obtenerlo en la aplicación iTunes®. 4. Pulsa el botón Buscar . 5. Escribe en la celda superior, junto al dibujo de la lupa, el texto Layar ® y espera unos segundos mientras se realiza la búsqueda. Luego elige Layar® o Layar®-Augmented Reality. 6. Descarga la aplicación Layar®, que es gratuita en el dispositivo; para ello pulsa el botón Instalar o
Responsabilidad
d S a l u
¿Ciberbullying ?
1.6
Enseñanza
Diálogo Sinceridad
La educación en valores es tarea de todos: de la de la escuela y de la sociedad.
familia,
Lo anterior hace que el ciberbullying cobre mayores dimensiones.
Install. Asegúrate de que haya espacio suficien-
te en el aparato. 7. Busca donde se instaló la aplicación y ábrela. 8. Donde se encuentra el logotipo (RA), ubica la cámara sobre una página a la vez, espera a que enfoque y pulsa Scan. Verás que aparecen un par de círculos discontinuos y empiezan a girar. A continuación aparecerán sobre la página unos iconos. 9. Pulsa con el dedo sobre alguno de los iconos para que se despliegue el contenido multimedia en el dispositivo. Mediante esta aplicación accederás a los audios de las lecturas de la sección Tu competencia lectora y a los interesantes videos relacionados con los temas de cada Infografía.
11
Presentación ......................................................................
3
Lección 3 Ángulos, rectas, triángulos y paralelogramos
Conoce Todos Juntos Oro ............................................
4
38
Lección 4
Dosificación ........................................................................ 16
Construcción de triángulos
Evaluación diagnóstica ................................................. 20
Lección 5 Cálculo de áreas
46
52
Lección 6 Cálculo de porcentajes
58
Lección 7 Interés compuesto
64
Lección 8 Eventos aleatorios
70
Lección 9 La media aritmética y la mediana
76
Habilidades digitales ........................................................ 82 Para saber más .................................................................... 86 Tu competencia lectora .................................................... 88 Taller de matemáticas ....................................................... 90 Evaluación tipo PISA .......................................................... 92
Bloque 1
24
Lección 1 Operaciones con números enteros
26
Lección 2 Productos y cocientes de potencias
12
32
Infografía: Viaje al fondo del mar .................................. 94
Habilidades digitales ........................................................ 136 Para saber más .................................................................... 140 Tu competencia lectora .................................................... 142 Taller de matemáticas ....................................................... 144 Evaluación tipo PISA .......................................................... 146 Infografía: ¡Aguas! Que hay poca .................................. 148
Bloque 2
96
Lección 10 Adición y sustracción de monomios
98
Lección 11 Adición y sustracción de polinomios
102
Lección 12 Expresiones algebraicas equivalentes
106
Lección 13 Fórmulas para calcular el volumen
112
Bloque 3
150
Lección 14 Volumen de cubos, prismas y pirámides rectos
118
Lección 15 Proporcionalidad inversa
Jerarquía de operaciones 124
Lección 16 Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica
Lección 17
130
152
Lección 18 Problemas multiplicativos con expresiones algebraicas
158 13
Índice Lección 19 Suma de los ángulos interiores de polígonos
164
Lección 20 Polígonos que permiten cubrir el plano
170
Lección 21 Unidades de medida de volumen
176
Lección 22 Relaciones de proporcionalidad: y = kx
184
Lección 23 Gráficas poligonales e histogramas
190
Lección 24 Las propiedades de la media y la mediana
196
Habilidades digitales ........................................................ 202 Para saber más .................................................................... 206 Tu competencia lectora .................................................... 208
Bloque 4
216
Lección 25
Taller de matemáticas ....................................................... 210
Sucesiones de números enteros
Evaluación tipo PISA .......................................................... 212
Lección 26 Resolución de ecuaciones de primer grado
Infografía: Hay pájaros en la Alhambra ...................... 214
218
224
Lección 27 Ángulos inscritos y ángulos centrales
230
Lección 28 Gráfica de una relación de proporcionalidad directa
236
Lección 29 Representación algebraica de la forma y = ax + b
242
Lección 30 Resolución de problemas de medias ponderadas
14
250
Habilidades digitales ........................................................ 256
Lección 33 Simetría de reflexión
Para saber más .................................................................... 260
Lección 34
Tu competencia lectora .................................................... 262
Área de sectores circulares y la corona
Taller de matemáticas ....................................................... 264
Lección 35 Gráficas de funciones lineales
Evaluación tipo PISA .......................................................... 268 Infografía: Échale un ojo .................................................. 270
286
292
298
Lección 36 Funciones de la forma y = mx + b
304
Lección 37 Comparación de gráficas de proporcionalidad
310
Habilidades digitales ........................................................ 316 Para saber más .................................................................... 320 Tu competencia lectora .................................................... 322 Taller de matemáticas ....................................................... 324 Evaluación tipo PISA .......................................................... 328 Infografía: Sin límites ........................................................ 330 Fuentes de información Para el estudiante
332
Para el docente
333
Consultadas
334
Una vida con valores ......................................................... 335
Bloque 5
272
Lección 31 Resolución de sistemas de ecuaciones
274
Lección 32 Representación gráfica de un sistema de ecuaciones
280
15
Dosificación Semana sugerida
Calendarización
Aprendizajes esperados
Eje
Tema
Bloque 1 1
Evaluación diagnóstica
2 3
Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica.
Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.
Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o de cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren de procedimientos recursivos.
4 5 6 7 8
Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Problemas multiplicativos
Figuras y cuerpos
Medida
Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
9
Nociones de probabilidad Análisis y representación de datos
Evaluación tipo PISA
Bloque 2 10 11 12 13
Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios.
Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos.
14 15
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Forma, espacio y medida
Problemas aditivos
Problemas multiplicativos
Medida
Proporcionalidad y funciones Manejo de la información
16
Nociones de probabilidad
Evaluación tipo PISA
Bloque 3 17
18
16
Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas.
Sentido numérico y pensamiento algebraico
Problemas multiplicativos
La dosificación tiene como propósito distribuir el trabajo de las lecciones en semanas, lo que permite planear el desarrollo de las sesiones de acuerdo con el tiempo del bimestre. La tabla incluye una columna de calendarización en la que tú o el maestro puedan ajustar el trabajo de cada clase de acuerdo con las necesidades del grupo. Contenido
Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros.
Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos. Construcción de triángulos con base en ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides. Resolución de problemas diversos relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; determinar qué porcentaje representa una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa. Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos. Comparación de dos o más eventos a partir de sus resultados posibles, usando relaciones como: “es más probable que …”, “es menos probable que …”.
Análisis de casos en los que la media aritmética o mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.
Lección
Páginas
1. Operaciones con números enteros
26-31
2. Productos y cocientes de potencias
32-37
3. Ángulos, rectas, triángulos y paralelogramos
38-45
4. Construcción de triángulos
46-51
5. Cálculo de áreas
52-57
6. Cálculo de porcentajes
58-63
7. Interés compuesto
64-69
8. Eventos aleatorios
70-75
9. La media aritmética y la mediana
76-80
92-93
Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios.
10. Adición y sustracción de monomios
98-101
Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios.
11. Adición y sustracción de polinomios
102-105
Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.
12. Expresiones algebraicas equivalentes
106-111
Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.
13. Fórmulas para calcular el volumen
112-117
Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.
14. Volumen de cubos, prismas y pirámides rectos
118-123
Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.
15. Proporcionalidad inversa
124-129
Realización de experimentos aleatorios y registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación de ésta con la probabilidad teórica.
16. Probabilidad frecuencial y probabilidad teórica
130-135
146-147
Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.
17. Jerarquía de operaciones
152-157
Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.
18. Problemas multiplicativos con expresiones algebraicas
158-163
17
Semana sugerida
Calendarización
Aprendizajes esperados
Eje
Tema
19 Figuras y cuerpos 20 Semana sugerida
Calendarización
19 21 20 22 21
Aprendizajes esperados
Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.
Lee y comunica información mediante histogramas Resuelve problemas quey gráficas implican poligonales. usar la relación entre unidades
cúbicas y unidades de capacidad.
23
22 24
Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.
Forma, Ejey espacio medida
Medida Figuras y cuerpos Forma, espacio y medida Manejo de la información
Manejo de la información
23 Evaluación tipo PISA
Bloque 24 4 Evaluación tipo PISA 25
Bloque 4
26 25 27 26 28 27 29 28 30 29 31 30
Evaluación tipo PISA 31
Bloque Evaluación5tipo PISA Bloque 32 5 32 33
33 34
34
35
35 36 36 37 37 38 38
Evaluación tipo PISA Evaluación tipo PISA 39 39
18
Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa. Resuelve problemas quede impliquen Representa sucesiones números el uso de ecuaciones de la forma: enteros a partir de una regla dada y + b = cx + d, donde los ax viceversa. coeficientes son números enteros, Resuelve problemas que impliquen fraccionarios o decimales, positivos el uso de ecuaciones de la forma: y negativos. ax + b = cx + d, donde los Identifica, interpreta y expresa coeficientes son números enteros, relaciones de oproporcionalidad fraccionarios decimales, positivos directa o inversa, algebraicamente o y negativos. mediante tablas y gráficas. Identifica, interpreta y expresa Resuelve que implican relacionesproblemas de proporcionalidad calcular, interpretar y explicitar o directa o inversa, algebraicamente las propiedades de la media mediante tablas y gráficas. y la mediana. Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.
Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones Resuelve problemas que implican el lineales con dos incógnitas. uso de sistemas de dos ecuaciones lineales configuras dos incógnitas. Construye simétricas respecto de un eje e identifica las Construye figuras simétricas propiedades de la figura original que respecto de un eje e identifica las se conservan. propiedades de la figura original que se conservan. Resuelve problemas que implican determinar la medida de diversos Resuelve implican elementosproblemas del círculo,que como: determinar la medida de diversos ángulos inscritos y centrales, arcos elementos del círculo, como: de una circunferencia, sectores y ángulos inscritos coronas circulares.y centrales, arcos de una circunferencia, sectores y coronas Explica lacirculares. relación que existe entre la probabilidad frecuencial y la Explica la relación que existe entre probabilidad teórica. la probabilidad frecuencial y la probabilidad teórica.
Evaluación Evaluación final final
Tema
Sentido numérico y pensamiento algebraico Sentido numérico y pensamiento Forma,espacio algebraico y medida Forma,espacio y medida Manejo de la información Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones Medida Análisis y representación y deProporcionalidad datos funciones Análisis y representación de datos
Patrones y ecuaciones
Patrones y ecuaciones Medida
Medida Proporcionalidad y funciones Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos Análisis y representación de datos
Sentido numérico y pensamiento Sentido algebraico numérico y pensamiento algebraico Forma, espacio y medida Forma, espacio y medida
Patrones y ecuaciones Patrones y ecuaciones Figuras y cuerpos Figuras y cuerpos Medida Medida
Manejo de la información Manejo de la información
Proporcionalidad y funciones Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad Nociones de probabilidad
Contenido
Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.
Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.
Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen de y capacidad parapermita líquidos y otros materiales. Equivalencia entre del Formulación una regla que calcular la suma de los ángulos interiores deunidades cualquier polígono. Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera. Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los Relación entre el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades significados deellasdecímetro variablescúbico con lasycantidades que intervienen en dicha relación. de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Búsqueda, organización presentación de información en histogramas o en gráficas Sistema Internacional deyMedidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información quilates, quintales, etcétera. que proporcionan. Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables las ycantidades Análisis de propiedades de lacon media mediana. que intervienen en dicha relación.
Contenido
Lección
Páginas
19. Suma de los ángulos interiores de polígonos 20. Polígonos que permiten cubrir el plano Lección
Páginas
19. Suma de los ángulos interiores 21. Unidades de medida de volumen de polígonos
164-169 148-155
136-141 142-147
20. Polígonos que permiten cubrir el plano 22. Relaciones de proporcionalidad: y = kx 21. Unidades de medida de volumen
176-183
23. Gráficas poligonales e histogramas
162-167
22. Relaciones de proporcionalidad: 24. y Las propiedades de la media = kx y la mediana
184-189 168-173
23. Gráficas poligonales e histogramas
190195 176-177
170-175 156-161
Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.
Análisis de propiedades de la media y mediana.
24. Las propiedades de la media y la mediana
196-201
Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.
25. Sucesiones de números enteros
212-213 180-185
Resolución dede problemas quede impliquen planteamiento y lalasresolución de ecuaciones Construcción sucesiones númeroselenteros a partir de reglas algebraicas que de cx + d y(en primer las definen. gradoObtención de la forma: de ax la regla + b =general conlenguaje paréntesis algebraico) en uno ode enuna ambos sucesión miembros con de la ecuación, progresiónutilizando aritméticacoeficientes de númerosenteros, enteros.fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
26. Resolución de ecuaciones 25. Sucesiones de números enteros de primer grado
218-223 186-191
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de de ecuaciones sus relaciones. primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos. Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano. Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la Análisis deylas características de las unaque gráfica quevariación represente una relación de proporcionalidad economía otras disciplinas, en existe lineal entre dos conjuntos de en el plano cartesiano. cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma:de ysituaciones = ax + b. problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y Análisis otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación Resolución demediante situaciones medias de la variación unade tabla o unaponderadas. expresión algebraica de la forma: y = ax + b.
Resolución de situaciones de medias ponderadas.
27 . Ángulos inscritos y ángulos centrales 26. Resolución de ecuaciones de primer grado 28. Gráfica de una relación de proporcionalidad directa 27. Ángulos inscritos y ángulos centrales
192-197 224-229 198-203 230-235
28. Representación Gráfica de una relación de de la 29. algebraica proporcionalidad forma y = ax + b directa
236-241 204-211
29. Representación algebraica de la 30. Resolución de medias b forma y = axde +problemas ponderadas
242-249 212-217
30. Resolución de problemas de medias ponderadas
220-221 250-255 268-269
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando el método más pertinente (suma y resta, igualación o sustitución). Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros, utilizando2 el más pertinente (suma y Representación gráfica de un sistema de ecuaciones ×método 2 con coeficientes enteros. resta, igualación o sustitución). Reconocimiento del punto de intersección de sus gráficas como la solución del sistema. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 2 × 2 con coeficientes enteros. Construcción dedel figuras respecto de gráficas un eje, análisis explicitación de las Reconocimiento puntosimétricas de intersección de sus como laysolución del sistema. propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, Construcción de figuras simétricas respecto de un eje, análisis y explicitación de las rombos, cuadrados y rectángulos. propiedades que se conservan en figuras como: triángulos isósceles y equiláteros, Cálculo la medida yderectángulos. ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores rombos,decuadrados circulares y de la corona. Cálculo de la medida de ángulos inscritos y centrales, así como de arcos, el área de sectores circulares y de la corona.de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Lectura y construcción
33. Simetría de reflexión 34. Área de sectores circulares y la corona 34. Área de sectores circulares y la corona 35. Gráficas de funciones lineales
Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas Comparación de las gráficas de dos distribuciones (frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio. veces un experimento aleatorio.
35. Gráficas de funciones lineales 36. Funciones de la forma y = mx + b 36. Funciones de la forma y = mx + b 37. Comparación de gráficas 37.de Comparación probabilidadde gráficas de probabilidad
31. Resolución de sistemas de ecuaciones 31. Resolución de sistemas 32. de Representación ecuaciones gráfica de un sistema de ecuaciones 32. Representación gráfica de un sistema de ecuaciones 33. Simetría de reflexión
224-229 274-279 230-235 280-285 236-241 286-291 242-247 292-297 248-253 298-303 254-259 304-309 260-265 310-315
268-269 328-329
19
Evaluacióndiagnóstica
Antes de empezar a estudiar los contenidos propuestos en este grado escolar, es conveniente que resuelvas la evaluación diagnóstica para que, con base en los resultados que obtengas, midas el nivel de conocimientos matemáticos que tienes y puedas decidir junto con tu profesor qué hacer en caso de que requieras apoyo. ›
Lee y responde.
1. Relaciona cada número fraccionario con su expresión decimal. 39 • 100 676 • 100 7 • 2 6 • 50 1 • 3 1897 • 5000
• 3.5 • 0.39 • 0.3333... • 0.0676 • 3.33... • 0.12 • 6.76 • 0.3794
2. Ubica los números en las rectas. 1 0.83 4 0 9 10 0 9 11 0
20
0.6
8 11 1
0.2
0.42
7 11 1
0.11
4 5
3 8 1
3. Dibuja las figuras 4, 5 y 6 de la sucesión.
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
a. ¿Cuántos puntos tendrá la figura 7?
¿Y la 10?
b. ¿Alguna figura de esta sucesión tendrá 50 puntos? Argumenta tu respuesta.
4. Un herrero cortará una lámina de aluminio, de 210 cm de largo y 98 cm de ancho, en cuadrados lo más grandes posible.
a. ¿Qué longitud tendrá el lado de cada cuadrado? b. ¿Cuántos cuadrados se obtendrán de la lámina de aluminio? 5. Tres líneas de autobuses viajan de Veracruz a Villahermosa. La línea 1 tiene corridas cada 12 horas; la línea 2, cada 18 horas y la línea 3, cada 30 horas.
a. ¿Cada cuánto tiempo coinciden tres autobuses en Villahermosa? 6. Traza un rombo; considera que el segmento de recta es una de las diagonales. Escribe el procedimiento que seguiste para construirlo.
21
7. Juan compró un terreno y lo distribuirá de la siguiente manera: 42.5 m Área de cultivo 225 m2
Jardín 75 m2 Fuente
6m
Casa 144 m2
15 m
1.5 m
a. ¿Cuál es el área total del terreno? b. ¿Cuánto mide cada lado de la casa? c. ¿Qué área del terreno ocupará la fuente? d. ¿Cuáles son las medidas del área de cultivo? 8. Construye un hexágono usando regla y compás. Considera que el segmento de recta es uno de sus lados.
9. Lucía quiere calcular la altura de un edificio que aparece en una de sus fotografías. Lucía mide 1.53 m, y su sombra en la fotografía mide 2.5 cm.
Si la sombra del edificio en la fotografía mide 7.5 cm, ¿cuál es la altura del edificio?
A) 45 m B) 45.9 m C) 4.59 m D) 11.5 m
22
10. Analiza la gráfica y responde. Principales emisores de CO 2. OCDE 2009
de América
Fuente:www.oecd-ilibrary.org/environment/co2-emissions-from-fuel-combustion_2075826x-table1
a. ¿Qué parte del total de emisiones de CO2 generan juntos India, Rusia y Japón? b. ¿Qué parte del total de emisiones de CO2 generan juntos Estados Unidos de América y China?
c. ¿Qué país emite la menor cantidad de CO 2? d. ¿Qué lugar ocupa México entre los principales emisores de CO 2?
11. Relaciona los términos con sus definiciones.
•
Mínimo común múltiplo
•
Máximo común divisor
•
Bisectriz de un ángulo
•
Sucesión
•
Mediatriz de un segmento
•
•
•
•
•
Conjunto ordenado de elementos que siguen una determinada regla. A cada uno de los elementos que la integran se le llama término. Es el mayor de los divisores comunes de dos números. Es el menor de los múltiplos comunes de dos o más números a la vez. Recta perpendicular a un segmento que pasa por su punto medio. Recta que divide a un ángulo en dos ángulos de la misma medida. 23
1
Ábaco. El ábaco y las varillas que se usaban en las tablas de cálculo fueron un instrumento muy importante en el sistema de numeración de la cultura china.
24
Aprendizajes esperados •
•
•
•
Resuelve problemas que implican el uso de las leyes de los exponentes y de la notación científica. Resuelve problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo. Resuelve problemas que implican el cálculo de porcentajes o cualquier término de la relación: Porcentaje = cantidad base × tasa. Inclusive problemas que requieren procedimientos recursivos. Compara cualitativamente la probabilidad de eventos simples.
25
Operaciones con números enteros
1
Eje: Sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: Problemas multiplicativos Contenido: Resolución de multiplicaciones y divisiones con números enteros
El ampli�cador de audio 1. Analiza la información, utiliza un diccionario para investigar los términos que desconozcas y contesta en el cuaderno. 0.5
3.75
30
0.06
120
0.007
–24
–15
240
–6
–33
0
–42
+3
dB
La imagen muestra la pantalla de una consola de audio que Justino y sus compañeros aprenden a usar en la clase de música. Este aparato recibe la señal de audio, la corrige y la amplifica para que se escuche más fuerte sin que haya distorsión. Para ello, los estudiantes necesitan conocer cómo funciona. En el instructivo se tiene la siguiente información:
La unidad de medida de la intensidad del sonido es el decibel (dB). Para obtener el mejor rendimiento de un sistema de sonido, se debe ajustar la estructura de audio, la cual permite obtener un sonido con menos ruido. Generalmente un concierto es en –4 dB. La expresión “0 dB” no significa “cero sonido”, sino “el nivel de sonido ideal”.
a. ¿Qué significan los números usados en la pantalla de visualización? b. Si la aguja de la pantalla está en –12 dB y se quiere colocar en –4 dB, ¿cuántos decibeles debe recorrer? c. ¿Cuál es la diferencia en dB entre –6 y –15? d. ¿Qué números corresponden a las líneas que están entre –33 y –42? e. Si contamos de derecha a izquierda, a partir del cero, ¿qué regularidad observan en los números de la pantalla? f. ¿Cómo pueden determinar el número que le corresponde a la línea 6 mediante una multiplicación? ›
Compara tus respuestas con otros compañeros. Lleguen a un acuerdo acerca del procedimiento descrito por cada uno en el inciso f . Registren sus conclusiones.
2. Retomen el problema anterior y, en parejas, realicen lo que se solicita. Para mostrar cómo se movía la aguja de la pantalla de la consola, los estudiantes representaron los números en la siguiente recta numérica. –42
–39
–36
–33
–30
–27
–24
–21
–18
–15
–12
–9
–6
–3
a. Representen con una suma la manera de llegar del 0 al punto rosa. b. ¿Qué suma permite determinar el número que corresponde al punto café? c. Representen como una multiplicación las sumas anteriores. 26
0
+3
Para determinar el número que corresponde al punto rojo se puede sumar nueve veces –3, que es lo mismo que multiplicar (9) × (–3); y para obtener el anaranjado, (10) × (–3). Al utilizar paréntesis se puede omitir el signo ×, (10) × (–3) = (10) (–3)
d. ¿Están de acuerdo con la afirmación anterior? Argumenten su respuesta. e. Expresen mediante multiplicaciones la manera de obtener el número que le corresponde a los puntos que se indican: • café: verde: azul claro: •
•
Cuando se hacen operaciones con números enteros, estos se escriben entre paréntesis para separar los signos de operaciones de los signos de los valores positivos y negativos de los números.
Tablas de multiplicar con números enteros 3. En parejas completen las tablas de multiplicaciones de números enteros y socialicen el procedimiento empleado. Después respondan en el cuaderno.
Tabla del 5 5×2= 5×1= 5×0= 5 × (–1) = –5 5 × (–2) = –10 5 × (–3) = 5 × (–4) =
Tabla del 4 4×2= 4×1= 4×0= 4 × (–1) = 4 × (–2) = 4 × (–3) = 4 × (–4) =
Tabla del 6 6×2= 6×1= 6×0= 6 × (–1) = 6 × (–2) = 6 × (–3) = 6 × (–4) =
a. ¿Cuál es el producto de multiplicar (5) × (–5)? b. ¿Qué sucede con el signo del producto al multiplicar el primer factor con signo positivo por otro con signo negativo? Miguel, un alumno de secundaria, explicó su procedimiento: “como la multiplicación es una suma abreviada, es decir, se suma cinco veces (–5): (–5) + (–5) + (–5) + (–5) + (–5) = (5) × (–5) = –25. Como se muestra en la recta numérica”: (5)
45
›
40
35
30
25
(5) (5)
20
15
(5)
10
(5)
5
0
Julián, un compañero de Miguel, explicó su razonamiento: “si 5 × (5) = 25, entonces (5) × (–5) = –25”. c. Comparen los procedimientos empleados por Miguel y Julián con el suyo. ¿Con cuál de ellos están de acuerdo? Justifiquen su respuesta. d. De acuerdo con alguno de los procedimientos anteriores, ¿cuál es el producto de multiplicar 5 × (–5.5)? ¿Y de 10 × ( 12 )? Con base en lo realizado registren una generalización o una conclusión para este tipo de multiplicaciones. Socialícenla en grupo y registren los acuerdos. Si tienen dudas, consulten a su profesor o alguno de los recursos sugeridos en la sección “Apoyo tecnológico”.
27
4. De manera individual, identifica cuál de las siguientes multiplicaciones es incorrecta. 1 × (– 1 ) = – 1 9 × (–10) = 90 14 × (–14) = 196 2 2 4 1 × (– 1 ) = – 1 (18) (–14) = –252 (10.2) (–48) = –489.6 3 3 9 (–17.5) × (4) = –70
– 38.2 × 2 = 76.4
a. ¿Cuál es el producto de (–5) (4)?
(–17.9) × 5 = –89.5
¿Y de (5) (–4)?
b. ¿Cuál es el producto de (–50) (9)?
¿Y de (50) × (–9)?
c. ¿Qué sucede con el signo del producto cuando el primer factor es un número con signo (–) y el segundo factor, un número con signo (+)?
d. ¿Qué sucede con el producto si se invierte el orden de los factores? ›
Escriban una conclusión acerca del comportamiento de los signos en este tipo de multiplicaciones. Comparen su conclusión con la de la página anterior. Después socialícenla en grupo y registren los acuerdos.
Multiplicaciones de números con signo (–) y (+) 5. Reúnanse en parejas para completar la tabla de multiplicaciones. Analicen los ejemplos registrados. Después contesten.
× +3 +2 +1 0 –1 –2 –3 –4
+3
+2
+1
4 3 0 –3
0
1 0
–4 –3
0 0 0 0 0 0 0 0 0
–1
–2
–3
–4
–5
–6 –12
0 1
0
0
0
–5 0
0
4 9 16
e. Registren en el cuaderno el procedimiento empleado para completar la tabla. f. ¿Cómo es el signo de los números del área sombreada con verde? g. ¿Cuál es el signo de los números en el área sombreada con rosa? h. ¿Cuál es el signo de los números del área azul? i. Discutan y deduzcan en parejas qué generalización o regla pueden aplicar con respecto al signo del producto de una multiplicación cuando los factores tienen signos iguales. j. Analicen las reglas escritas para multiplicar números enteros. Contrástenlas con las de otros compañeros y lleguen a un acuerdo. k. Diseñen, en el cuaderno, una tabla de multiplicar como la anterior, donde usen números enteros mayores a los que se muestran y complétenla. Apliquen las reglas expuestas, y determinen las ventajas de usarlas para multiplicar números enteros. 28
›
Discutan en parejas las reglas para multiplicar números enteros. Contrasten sus reglas con las de otros compañeros y juntos lleguen a un acuerdo. Diseñen en el cuaderno una tabla de multiplicar como la anterior, en la que usen números enteros de mayor magnitud.
Divisiones de números enteros 6. Responde de manera individual. a. Julián guarda monedas de $5, al contarlas tiene $1 505. ¿Qué operación te permite saber la cantidad de monedas que tiene Julián?
b. ¿Cuántas monedas tiene Julián? c. ¿Qué operación permite comprobar el resultado anterior? d. ¿Cuál es el resultado de multiplicar (–5) (12)? e. Reflexiona. ¿Qué relación hay entre la multiplicación anterior y las divisiones –60 12 y –60? –5 f. ¿Qué signo tendrá el cociente de las divisiones anteriores? Justifica tu respuesta. ›
Comenten en parejas la relación que hay entre la multiplicación y la división y cómo aplica al operar con números negativos.
7. Completen las expresiones que permiten resolver los problemas. Después respondan las preguntas de los incisos d y e .
a. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 5 da como resultado –95? Operación: (–95) ÷ 5 =
Comprobación:
× 5 = –95
b. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por –8 da como resultado 360? Operación:
Comprobación:
c. ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por Operación: (–21) ÷ (–7) =
da como resultado
Comprobación:
×
? = –21
d. Analicen lo realizado. ¿Cuál es el signo del cociente al dividir un número con signo negativo entre un número con signo positivo?
e. ¿Cuál es el signo del cociente al dividir un número con signo negativo entre un número con signo negativo? 8. Efectúen las siguientes divisiones.
›
a. 90 ÷ (–10) =
b. 196 ÷ (–14) =
d. 12 ÷ (– 1 ) = 3
e. (–180) ÷ (–12) =
c. 4 1 ÷ (– 1 ) = 2 2 f. (146) ÷ (–4) =
Socialicen sus respuestas y en grupo registren sus acuerdos respecto a lo realizado en las actividades de la página. Si tienen dificultades coméntenlas en clase, y en grupo busquen la manera de solucionarlas. 29
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales o positivos, sus opuestos, llamados negativos, y el cero. Al multiplicar o dividir números enteros, se multiplican los valores absolutos de los factores y, para determinar el signo del producto o cociente, se considera la regla de los signos : • Un número con signo positivo por otro con signo positivo, el producto es un número positivo: (+) (+) = (+) (+) ÷ (+) = (+) • Un número con signo positivo por otro con signo negativo o viceversa, un negativo por otro con signo positivo, el producto es un número negativo: (+) (–) = (–); (–) (+) = (–) (+) ÷ (–) = (–); (–) ÷ (+) = (–) • Un número con signo negativo por otro con signo negativo, el producto es un número positivo: (–) (–) = (+) (–) ÷ (–) = (+) Los paréntesis ayudan a separar signos y al representar una multiplicación, podemos sustituir el signo por (×) por paréntesis. ›
Discutan las afirmaciones anteriores y registren sus acuerdos.
La carga del rayo 9. Reúnanse en parejas para jugar “La carga del rayo”. +2
+3
−1
+1
Para jugar necesitan el tablero que se muestra abajo, una ficha verde con el número (−1), y tres fichas rojas con el signo más (+), numeradas del 1 al 3; un dado, y una bolsa oscura o un cilindro con tapa. Reproduzcan el rayo, que será su ficha para moverse en el tablero de juego.
Medidor de carga del rayo –15 –14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
Instrucciones del juego: • Cada jugador coloca su rayo en el cero. • Colocan las fichas en la bolsa y, por turnos, sacan dos fichas. • Multiplican los números obtenidos y avanzan, hacia la izquierda o la derecha, según el signo del producto obtenido. • Las casillas −15, −10, −5, 5, 10 y 15 indican que cargaste tu rayo, ya sea con carga positiva o negativa. • Gana el primero que cargue tres veces su rayo. a. Lleven a cabo una partida. Al final compartan sus resultados con el grupo y las dificultades que tuvieron al jugar. Después contesten en el cuaderno. b. Si en la primera tirada toman las fichas (+3) y (+1), ¿en qué casilla se coloca el jugador? c. En el segundo tiro, el jugador se ubica en la casilla 2. ¿Qué fichas obtuvo? d. Selecciona la jugada que permite hacer la primera carga del rayo. Justifica tu selección. Primera jugada: (+3) (+1)
Primera jugada: (+2) (+1) Primera jugada: (+3) (+2)
Segunda jugada: (+2) (–1) Segunda jugada: (+3) (–1) Segunda jugada: (+1) (–1)
30
e. Reflexionen lo siguiente y respondan. •
¿Cuál es el signo del producto al multiplicar (+) (–) (–)?
•
¿Cuál es el signo del producto al multiplicar (–) (+) (+)?
•
¿Cuál es el signo del producto al multiplicar (–) (–) (–)?
10. Reunidos en equipos, realicen las operaciones.
›
(–252) × (–25) ÷ (–10) =
(–351) × (–24) ÷
= –84.24
(–11) × (–140) ÷ (2) =
(–54) × (–155) ÷
= –69.75
(–250) × (–10) ÷ (–12) =
(–254) × (–41) ÷
= –10.414
(–25) × (–52) ÷ (1.5) =
(–26) × (–36) ÷
= –10.4
Comprueben la veracidad de los resultados con la calculadora. Si tienen dudas, compártanlas en grupo.
Reto
Cuadrado numérico
. Sustituye los valores indicados para cada literal, después contesta lo que se pide. a2× b2
a
b
= –3
a 2
b
a×b
a
2
= –1
b
1
a2 × b
a × b2
a. ¿Cuál es el producto de las diagonales? b. ¿Cuál es el producto de las filas?
¿Y el de las columnas?
2. Divide los números enteros de cada casilla del cuadrado A entre los números correspondientes del cuadrado B y registra los cocientes en el cuadrado en blanco, como se muestra en el ejemplo.
Cuadrado A
Cuadrado B
–5
–6
1
24
5
–1
1
6
–4
–6
2
15
–2
–3
1
–5
–12 –5
12
1
–3
5
2
1
–3
30
2
–1
–2 –15
–4
–1
En los sitios que se sugieren podrás jugar y practicar operaciones con números enteros. Multiplicación de números con signo, nivel 1: www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/2_ segundo/2_ Matematicas/2m_b01_ t01_s01_descartes/ TS_2_index.html Multiplicación de números con signo, nivel 2: www.telesecundaria. dgme.sep.gob.mx/ interactivos/2_ segundo/2_ Matematicas/2m_b01_ t01_s01_descartes/ TS_3_index.html Juego “Casey Runner”, con números enteros: www. disfrutalasmatematicas. com/numeros/caseyrunner.html Multiplicación y división de números con signo: www.scienceacademy. com/maestro/index. html www.i-matematicas. com/feria2007/juegos/ http://i-atematicas.com/ recursos0809/1ciclo/ enteros/interactivo/ MulDivPot.htm Comenten en parejas sus experiencias al trabajar en las páginas sugeridas. Si tienen dudas, pidan apoyo al profesor.
1
a. ¿Cuál es el producto de las diagonales? b. ¿Y de las filas?
¿Y de las columnas?
Discutan la regla de los cuadrados anteriores. Después registren sus conclusiones.
31
