1. Asum Asumsi si Dasa Dasarr G Gas as Ide Ideal al
Gas Gas idea ideall adal adalah ah suat suatu u gas gas yang yang diid diidea ealk lkan an oleh oleh manu manusi sia. a. Pada Pada kenyataanya, gas ideal tersebut tidak ada di permukaan bumi. Untuk memberikan gambaran tentang keadaan gas ideal, para ahli memberikan diskripsi baik secara makr makros osko kopi pik k maup maupun un secar secaraa mikr mikros osko kopi pik. k. Seca Secara ra mikr mikros osko kopi pik, k, gas gas idea ideall digambarkan dengan beberapa asumsi dasar sebagai berikut a) Suatu gas yang terdiri dari partikel-partikel partikel-partikel yang disebut molekul dengan
jumlah molekul yang sangat besar . Ini didasari atas penemuan bilangan Avogadro yang menunjukan jumlah molekul dalam 1 kilogram per mol pad padaa teka tekan nan 76 cmHg cmHg dan temp temper erat atu ur 00 C (kea (keada daan an norm normal al). ). Berdas Berdasark arkan an ketent ketentuan uan tersebu tersebut, t, dalam dalam 1 m3 gas yang yang dalam dalam keadaa keadaan n normal terdapat 3 x 10 25molekul. b) Jarak pisah molekul gas sangat jauh dibandingkan ukuran molekul itu
sendiri dan dalam keadaan terus bergerak . Yang mana jarak jarak antar moleku molekull dalam dalam kondisi kondisi standar standar ditent ditentuka ukan n dengan dengan pangkat pangkat
tiga tiga dari dari
volume molekul tersebut. c) Tidak ada gaya yang cukup berarti antara molekul-molekul kecuali saat molekulterjadi tumbukan. Tidak adanya gaya yang cukup berarti antara molekulmolekul saat molekul dalam kedaan diam karena jarak antar molekul jauh lebi lebih h besa besarr darip daripad adaa diam diamet eter er masi masing ng-m -mas asin ing g mole moleku kul. l. Jadi Jadi seca secara ra otomatis, gaya tarik menarik maupun tolak menolak antara satu molekul dengan molekul yang lain pada keadaan diam sangatlah kecil dan dapat diabaikan. d) Tumb Tumbuk ukan an anta antara ra dua dua mole moleku kull bers bersif ifat at elas elasti tiss (tum (tumbu buka kan n lent lentin ing g
sempurna) dan tumbukan terjadi dalam waktu yang sangat singkat dan dinding tempat tumbukan licin sempurna. e) Pada Pada saat saat tidak tidak ada gaya gaya dari dari luar, luar, kedud keduduka ukan n molek molekul ul dalam dalam suatu suatu
volume tersebar merata diseluruh ruangan. Dari asumsi tersebet, maka disetiap titik dalam volume V harga n haruslah sama. f) Semua Semua arah arah dari dari kecepa kecepatan tan molek molekul ul me memil milik ikii kecepa kecepatan tan yang yang sama. sama. Asumsi ini member petunjuk bahwa arah kecepatan molekul pada suatu saat dapat dianggap ke segala arah.
Makalah I\Fisika Statistik 1
d 2 nθ φ = 2. Menurunkan dan Menjelaskan Persamaan
n 4π
Sinθ d θ d φ
Untuk menurunkan persamaan tersebut, maka diperlukan analisa terhadap asumsi-asumsi yang telah dikemukakan. Analisa dilakukan dengan memasangkan vektor pada setiap molekul yang memberikan petunjuk arah kecepatan molekul. Selanjutnya, vektor-vektor tersebut dipindahkan ke titik awal. Pusat titik awal ini adalah bola dengan jari-jari sembarang r . Vektor kecepatan diperpanjang hingga menembus bidang bola. Jumlah titik tembus yang pada bidang bola jumlahnya akan sama dengan molekul yang terdapat dalam bola tersebut. Misalnya, jika terdapat N buah molekul dalam bola, maka titik tembus kecepatannya pada bidang bola juga N buah. Sesuai asumsi gas ideal, maka titik tembus pada bola haruslah merata karena molekul-molekul tersebut tersebar secara merata. Artinya pula, kecepatan molekul arahnya merata pada bola. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka dapat dinyatakan bahwa jumlah titik tembus persatuan luas di seluruh bidang bola harus sama di semua titik dalam bidang bola. Jumlah rata-rata titik persatuan luasnya adalah:
N 4π r 2 ......................................................................................1 Dengan N menyatakan jumlah titik tembus kecepatan molekul dan pembaginya ( 4π r 2 ) merupakan luas bola. Jika pada bola diambil elemen luas dA, maka dN merupakan jumlah titik tembus di dA yang dirumuskan sebagai berikut.
dN =
N 4π r 2
dA ........................................................................2
Elemen luas dA akan selalu lebih besar dari luas penampang molekul. Selanjutnya adalah menentukan elemen dA yang dinyatakan r ,
θ
, dan
φ
.
Untuk lebih memudahkan perhitungan, dapat dilihat pada Gambar 1. Luas dA tidak lain adalah hasil perkalian RS dan QR. Berdasarkan gambar, maka diperoleh: RS = r sin θ d φ dan QR = r d θ . Sehingga, dA akan dapat dinyatakan sebagai berikut.
dA = RS . QR dA = r sin θ d φ . r d θ dA = r 2 sin θ d θ d φ ................................................................3
Dengan mensubtitusikan persamaan 3 ke persamaan 2, maka akan diperoleh formulasi untuk jumlah molekul yang kecepatannya menembus luasan
dA, yaitu dN sebagai berikut. N
dN =
2
4π r
N
dN =
4π
r 2 sin θ d θ d φ
sin θ d θ d φ .............................................................4
Bila jumlah molekul yang arah kecepatannya menembus dA dinyatakan 2
dengan
dN θ
, maka
d N θ
φ
= jumlah titik tembus pada dA = dN =
N
4π
sin θ d θ d φ .
2
Di mana,
d N θ
menyatakan jumlah titik di luasan ini atau jumlah molekul-
molekul yang memiliki kecepatan di dalam arah θ + d θ , φ dan φ + dφ , yang memenuhi persamaan:
d 2 N θ φ =
N 4π
sin θ d θ d φ ........................................................5
Bila persamaan 5 dibagi dengan V, maka akan diperoleh:
Makalah I\Fisika Statistik 3
d 2 nθ φ =
n 4π
sin θ d θ d φ .........................................................6
Pada kasus ini, juga dapat dimengerti bahwa kecepatan molekul tersebut berubah akibat tumbukan.
3. Tumbukan dengan Dinding yang Diam
Molekul-molekul gas dalam suatu wadah tidak melakukan gaya antara satu dengan yang lain. Molekul-molekul tersebut hanya menumbuk dinding wadah yang diam, dan setelah terjadi tumbukan, dinding wadah tersebut tidak ikut bergerak. Dalam proses tumbukan ini diasumsikan bahwa dinding wadah bersifat licin, sehingga saat tumbukan terjadi, tidak timbul kalor antara permukaan didnding dengan permukaan molekul. Banyak kasus mengenai molekul gas yang menumbuk atau melewati bidang batas. Perhitungan jumlah molekul yang menumbuk bidang batas per satuan luas per satuan waktu digunakan pada kasus kesetimbangan zat cair dengan uap. Pada kasus ini, jumlah molekul yang menguap atau ke luar bidang permukaan per satuan luas per satuan waktu identik dengan jumlah molekul yang menumbuk bidang batas per satuan luas per satuan waktu. a. Tumbukan θ φ v per satuan luas per satuan waktu. Tumbukan θ φ v berarti tumbukan yang dilakukan oleh molekul yang memiliki arah kecepatan θ dan θ + d θ , φ dan φ +d φ serta besar kecepatan
v dan
v +dv. Tumbukan θ φ v ditandai dengan d3θ φ v. Untuk membahas hal
ini, dapat dipergunakan silinder miring pada Gambar 2.
Silinder miring (pada gambar 2) dengan ujung berarah θ , φ dan panjang
vdt . Panjang ini merupakan jarak molekul dengan laju v yang ditempuh dalam waktu dt . Jumlah tumbukan θ φ v dengan dA dalan waktu dt sama dengan jumlah molekul θ φ v di dalam silinder. Dengan molekul θ φ v menyatakan molekul dengan laju v dan berarah θ φ . Untuk menentukan banyaknya molekul dalam silinder dapat diasumsikan bahwa molekul-molekul dalam jumlah yang besar, jumlah N molekul dan sub group dN vatau dN θ φ terdistribusi merata. Misalkan dn V menyatakan jumlah per mol per satuan volume dengan laju v dan v+dv, maka
berdasarkan persamaan
d 2 nθ φ =
n 4π
sin θ d θ d φ , dengan mengganti n dengan
dnv , maka jumlah molekul per satuan volume adalah d 3 nθ φ v =
1 4π
nd v sin θ d θ d φ
..................................................7
Volume silinder pada Gambar 2 adalah:
dV = Luas alas × tinggi = dA × vdt cos θ ..................................8 Jumlah molekul θ φ v di dalam silinder sama dengan jumlah tumbukan dengan
dA dalam waktu dt, yakni: d 3 N θ φ v = d 3 nθ φ v × vdt cos θ dA d 3 N θ φ v =
d 3 N θ φ v =
1 4π 1 4π
dnv sin θ d θ d φ ⋅ vdt cos θ dA
dA dt ⋅ vdnv sin θ cos θ d θ d φ
...........................9
Selanjutnya dapat dihitung jumlah tumbukan θ φ v per satuan luas per satuan waktu adalah:
d 3 N θ φ v dA ⋅ dt
=
1 4π
vdnv sin θ cos θ d θ d φ
.....................................10
b. Jumlah tumbukan oleh molekul dengan kecepatan v (yang
Makalah I\Fisika Statistik 5
artinya dari v sampai v + dv) per satuan luas per satuan waktu. Jumlah total tumbukan per satuan luas per satuan waktu yang dibuat oleh molekul dengan laju v diperoleh dengan mengintegralkan seluruh θ antara 0 dan π
2 dan seluruh φ antara 0 dan 2π sebagai berikut.
=
π 2π 2
1
∫ ∫ 4π vdn sin θ cosθ d θ d φ v
0 0
=
π 2π 2
1
∫ ∫ 4π vdn sin θ d sin θ d φ v
0 0
2π
=
∫ 4π vdn d φ ( 12 sin θ ] 1
2
v
0
2π
=
1 π 2
1
∫ 8π vdn
v
0
d φ [sin 2 90 − sin 2 0]
0
= =
1
2π
8π 1
vdnv d φ [1] ( φ ] 0
vdnv
4
..............................................................................11
c. Jumlah semua tumbukan dari molekul dari atas bidang dan dengan segala kecepatan per satuan luas per satuan waktu. Jumlah total molekul per satuan luas per satuan waktu, dengan semua laju diberikan oleh persamaan:
= ∫
1
4π
vdnv
d. Hasil pada c akan digunakan dengan kecepatan rata-rata dari molekul. Jumlah tumbukan v per satuan luas per satuan waktu dapat pula dinyatakan dengan kecepatan rata-rata v adalah:
v
=
∑v N
Jika terdapat N 1 molekul semuanya dengan laju yang sama v1, N 2 molekul semuanya dengan laju yang sama v2 , dan seterusnya, maka rata-ratanya dapat dinyatakan sebagai berikut.
v
=
∑ N i vi N
Atau pembilang dan penyebut dibagi dengan volume V, maka diperoleh; v
=
∑ ni v i n
..............................................................................12
Jika kecepatan molekul kontinu, maka persamaan 12 dapat dituliskan sebagai berikut.
v
= ∫
dnv v n
atau
∫ v dn v = n v
Jadi semua tumbukan yang timbul dari molekul dengan semua kecepatan dari atas bidang adalah v
1
1
v
∫ 4 v dn = 4 ∫ v dn v
0
v
0
=
1 4
nv ..................................................................................13
Keterangan: n = jumlah molekul per satuan volume
v = kecepatan rata-rata molekul
4. Persamaan Gas Ideal berdasarkan Teori Kinetik
Persamaan gas ideal dinyatakan dengan P (tekanan), V (Volume) dan T (temperatur) gas, di mana dalam termodinamika persamaan gas ideal ini ditemukan sebagai berikut:
PV = nRT ................................................................................14 Persamaan ini merupakan persamaan umum gas ideal (Kamajaya, 2003 ) di mana
Makalah I\Fisika Statistik 7
n= n = banyaknya mole gas,
N N 0
N = jumlah molekul gas N 0 = bilangan Avogadro = jumlah molekul per mole R = 8,3149 × 10 3 Joule R = konstanta umum dengan
kgm − mole. 0 K
Dalam mekanika dikenal tekanan adalah gaya persatuan luas, sebagai berikut:
p
=
F A ....................................................................................15
dikenal juga perumusan untuk impuls adalah sebagai berikut: impuls = perubahan momentum
F dt = mv2 – mv1 sehingga: F =
mv 2
− mv1 dt
......................................................................16
telah diperoleh pula jumlah tumbukan θ φ v pada luas dA dalam waktu dt adalah:
d 3 N θ φ v = dA.dt .
=
1 4π
1 4π
vdnv sin θ cos θ d θ d φ
vdnv sin θ cos θ d θ d φ dA.dt ................................17
Adapun langkah menentukan persamaan gas ideal berdasarkan teori kinetik gas adalah: a. Menentukan gaya oleh molekul yang bekerja pada bidang berdasarkan impuls sama dengan perubahan momentum.
Pada gambar tersebut tumbukan yang terjadi pada luas dA adalah tumbukan θ φ v . Tumbukan ini adalah lenting sempurna, akibatnya:
Kecepatan v sebelum dan sesudah tumbukan tetap atau sama
Komponen v yang mendatar adalah sama besar dan searah
Komponen v yang vertikal sama besar tetapi berlawanan arah
Jika massa satu molekul sama dengan m maka perubahan momentum untuk satu molekul pada tumbukan θ φ v adalah
mv cos θ − (− mv cos θ ) = 2mv cos θ Oleh karena jumlah molekul yang melakukan tumbukan θ φ v pada luas dA dalam waktu dt adalah seperti yang ditunjukan pada persamaan 4, maka dapat ditentukan jumlah perubahan momentum dari tumbukan θ φ v adalah:
= =
2 4π
1 4π
vdnv sin θ cos θ d θ d φ dA.dt 2mv cos θ
mv 2 dnv sin θ cos 2 θ d θ d φ dA.dt
dengan melakukan integrasi persamaan di atas dengan batas integrasi: θ = 0 → 1 π 2 dan φ = 0 → 2π maka perubahan momentum yang ditimbulkan tumbukan –v dari semua arah diperoleh sebagai berikut:
=
1 2π 2π
∫ ∫ 4π mv dn sin θ cos 2
v
0
2π
=
2
2
θ d θ d φ dA .dt
0
1
1 π 2
∫ 2π mv dn d φ dA.dt ∫ sin θ cos θ d θ 2
2
v
0
Makalah I\Fisika Statistik 9
0
2π
= ∫− 0
1 π 2
1 2π
∫
mv 2 dnv d φ dA.dt cos 2 θ d cos θ 0
1
2π
1 2 = ∫ − mv 2 dnv d φ dA.dt cos 3 θ 2π 3 0 0 1
2π
= ∫ − 0
1 1 mv 2 dnv d φ dA.dt cos 3 90 − cos 3 0 2π 3 3 1
2π
= ∫ − 0
2π
=
π
1 2π
1
mv 2 dnv d φ dA.dt 0 −
1
3 2π
1
∫ 6π mv dn d φ dA.dt = 6π mv dn dA.dt ∫ d φ 2
2
v
v
0
=
0
1
2π
6π
mv 2 dnv dA.dt ( φ ) 0
=
1 6π
mv 2 dnv dA.dt 2π
Jadi diperoleh jumlah tumbukan -v menimbulkan perubahan momentum total
=
1
mv 2 dnv dA.dt
3
Sedangkan perubahan tumbukan total dari segala kecepatan adalah: v
1
= ∫ 0
mv dnv dA.dt = 2
3
1 3
v
∫
mdA.dt v 2 dnv 0
Gaya yang bekerja pada bidang dA adalah perubahan momentum yang terjadi dibagi waktu dt. 1
F =
3
v
∫
mdA.dt v 2 dnv 0
dt
=
1 3
v
∫
mdA. v 2 dnv 0
....................18
Menentukan tekanan berdasarkan perumusan tekanan sama dengan gaya persatuan luas.
p
=
F dA
v
1
=
∫
m v 2 dnv
3
.................................................19
0
Selanjutnya harga p dapat dinyatakan dengan harga rata-rata kuadrat 2
2
kecepatan yaitu v . Harga rata-rata kecepatan v didefinisikan sebagai berikut:
v
2
v =∑
2
N
atau
v
2
N v =∑ ∑ N i
N v =∑
2
i
i
2 i
N
i
dengan sama-sama dibagi V, diperoleh:
N v ∑ V = i
v
2
N V
2 i
nv =∑ i
2 i
n
di mana
N =
∑ N
i
= banyaknya semua molekul
n = jumlah molekul persatuan volume V = Volume vi = kecepaan molekul ke i N i = jumlah molekul nomor i Jika kecepatan molekul kontinu dan dnv merupakan jumlah molekul dengan
v
2
kecepatan v maka bentuk
∑n v = i
n
2 i
dapat diganti dengan bentuk integral
sebagai berikut.
v2
= ∫
2
vi dnv n
Bila n diganti dengan N/V , maka menjadi
v
2
=
∫
2
V vi dnv N
sehingga Makalah I\Fisika Statistik 11
∫
2
vi dnv
=
N V
v2
Jika hasil ini disubstitusikan kepersamaan (19), diperoleh:
p
=
1 3
m
N V
v2 .............................................................20
b. Menentukan harga PV . Untuk menentukan ini, dapat ditinjau dari persamaan (20) dan diperoleh:
pV =
1 3
mN v 2 ............................................................21
Persamaan (21) ini merupakan persamaan gas ideal yang dicari berdasarkan teori kinetik gas. Di mana dalah hal ini:
P = tekanan yang dilakukan gas (tekanan gas) V = Volume gas m = massa satu molekul gas N = jumlah molekul gas mN = jumlah massa gas v 2 = kecepatan kuadrat rata-rata dari gas ideal tersebut. Mengingat bahwa gas ideal yang ditinjau dengan termodinamika dan teori kinetik gas adalah sama, maka persamaan gas yang didapatkan haruslah identik, jadi:
PV = nRT identik dengan
PV =
1 3
mN v 2 PV =
5. Berdasarkan keidentikan persamaan PV = nRT dengan maka dapat ditentukan hal-hal sebagai berikut:
a. Berdasarkan keidentikan tersebut, maka:
nRT =
1 3
mN v 2
Mengingat bahwa:
n= R N 0
N N 0 = jumlah mole gas,
= k
1,3803 × 10 −23 Joule 0 K = konstanta Boltzman =
1 3
mN v 2 ,
2 Maka dapat dicari hubungan v dengan k dan T, sebagai berikut:
nRT =
1
v2
=
3
v2
=
3
mN v 2
mN 3
m
nRT =
3 N
mN N 0
RT =
3 R
m N 0
T
kT .............................................................................22
b. Berdasarkan persamaan (22), dapat ditentukan energi kinetik rata-rata molekul gas sebagai berikut.
v2
=
mv 2 1 2
3
m
kT
= 3kT , kedua ruas dibagi dengan 2, diperoleh
mv 2
=
3 2 1
di mana 2
kT ........................................................................23
mv 2 merupakan energi kinetik rata-rata molekul gas.
c. Berdasarkan persamaan (22), dapat pula ditentukan root mean square atau
v 2 sebagai berikut. v2
=
3 2
kT
Atau ditulis:
v rms
=
3 2
kT .........................................................................25
Daftar Pustaka
Kamajaya, K. 2003. Fisika untuk SMU. Bandung: Grafindo Media Pratama. Ngurah, A. A. G.
. Rencana Perkuliahan Teori Gas Kinetik dan Mekanika
Statistik. Bahan Ajar (tidak diterbitkan). Jurusan Pendidikan Fisika Undiksha singaraja Sujanem, R. Penghantar Fisika Statistik. Bahan ajar (tidak diterbitkan ). Jurdik
Makalah I\Fisika Statistik 13
Fisika FMIPA Undiksha
