Matemática para Negócios
2014
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Matemática para Negócios
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Capítulo 1: Teoria de Conjuntos ............ 7
Objetivos da sua aprendizagem ......................... 7 Você se lembra? ......................................................... 7 1.1 Introdução ................................................................. 8 1.2 Conjuntos e operações com conjuntos ............................ 8 1.3 Conjuntos numéricos .......................................................... 13 1.4 Aplicações das operações operações com conjuntos................................ 16 1.5 Potenciação e radiciação radiciação .............................................................. 21 1.6 Racionalização de denominadores denominadores ................................................... 29 1.7 Fatoração de expressões algébricas ..................................................... 31 1.8 Intervalos numéricos numéricos ............................................................................... 37 Atividades.......................................................................................................... 39 Reflexão ............................................................................................................... 45 Referências ............................................................................................................. 45 No próximo capítulo ................................................................................................. 46
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Capítulo 2: Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem ......................................................................................... 47
Objetivos da sua aprendizagem .................................................................................... 47 Você se lembra? ............................................................................................................. ............................................................................................................. 48 2.1 Equação do primeiro grau ....................................................................................... 49 2.2 Inequação do primeiro grau .................................................................................... 58 2.3 Razão e proporção ................................................................................................. 61 2.4 Operações com porcentagens porcentagens ................................................................................ 74 Atividades.................................................................................................................... 80 Reflexão..................................................................................................................... Reflexão........................................................... .......................................................... 82 Leitura recomendada ............................................................................................... 82 Referências Bibliográficas ................................................................................... 83 No próximo capítulo ........................................................................................ 83 Capítulo 3: Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro........... 85
Objetivos da sua aprendizagem................................................................ 85 Você se lembra? .................................................................................... 85 3.1 Função linear, gráfico e crescimento/decrescimento crescimento/decrescimento ................. 86 3.2 Funções Custo e Receita; ponto de equilíbrio equilíbrio ....................... 99 Atividades .............................................................................. 106 Reflexão............................................................................ Reflexão............................................................ ................ 107
Leituras recomendadas.................................................................................................. 108 Referências.................................................................................................................... 109 No próximo capítulo ..................................................................................................... 110 Capítulo 4: Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro ................................................................................................111
Objetivos da sua aprendizagem .....................................................................................111 Você se lembra? .............................................................................................................111 4.1 Função quadrática e representação gráfica ........................................................... 112 4.2 A função de segundo grau: definição e exemplos .................................................. 113 4.3 Gráfico da função de segundo grau: a parábola ..................................................... 114 4.4 Exemplo de funções quadráticas: Receita, lucro e maximização do lucro ............ 125 Atividades ..................................................................................................................... 129 Reflexão ........................................................................................................................ 131 Leitura recomendada..................................................................................................... 131 Referências.................................................................................................................... 133 No próximo capítulo ..................................................................................................... 134 Capítulo 5: Limites e Derivadas ................................................................................ 135
Objetivos da sua aprendizagem .................................................................................... 135 Você se lembra? ............................................................................................................ 135 5.1 Definição e cálculo de limites de funções.............................................................. 136 5.2 Definição de derivada e cálculo da derivada através de limites ........................... 150 5.3 Regras de derivação (diferenciação) ...................................................................... 163 Atividades ..................................................................................................................... 179 Reflexão ........................................................................................................................ 181 Leituras recomendadas.................................................................................................. 181 Referências.................................................................................................................... 181
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Prezado (a) estudante, Nos dias atuais, presenciamos avanços tecnológicos inimagináveis há alguns anos. Isso ocorre em todas as áreas e facilita, de for peito dos fenômenos que nos cercam. E, se pararmos para prestar atenção, veremos a presença da Matemática em praticamente todos os acontecimentos relacionados com tais fenômenos. Essa evolução gera um grande volume de informações e também a necessidade crescente de resolução de diversos tipos de problemas. Isso, certamente, aumenta a importância do conhecimento matemático. Compreender e aplicar os conceitos, métodos e algoritmos matemáticos tem fundamental Em nosso dia a dia, cada vez mais, vemos a necessidade da utilização do raciocínio matemático. Participante, há muito tempo, da evolução humana, a Matemática desenvolveu-se (e desenvolve-se) a partir da necessidade do homem em resolver seus problemas. E não é muito diferente nos dias atuais. Nos compreensão dos conceitos matemáticos diminuam sua capacidade de gradativamente, o conhecimento e o raciocínio lógico que lhe ajudarão a compreender melhor os fenômenos que o cercam. Veremos aqui a aplicação de conceitos matemáticos na resolução de diversos tipos de problemas, desenvolvendo assim o raciocínio lógico e analítico, habilidade fundamental para a tomada de boas decisões, mesmo em momentos que não envolvam a matemática propriamente dita, pois o raciocínio lógico auxilia na análise de vários tipos de situações encontradas no cotidiano de uma organização.
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Este livro está dividido em cinco capítulos. Começaremos, no Capítulo 1, pelo estudo dos conjuntos e suas operações com ênfase na resolução de problemas envolvendo tais conceitos. No Capítulo 2, estudaremos as equações do 1º grau, razões, proporções e suas aplicações na resolução de problemas envolvendo porcentagens. A função linear, seu comportamento e características serão apresentados no Capítulo 3. Nele também serão apresentadas aplicações importantes desse tipo de função: funções custo, receita e demanda, além do ponto de equilíbrio. O Ca pítulo 4 apresenta a função quadrática e sua aplicações, com ênfase no estudo da receita, do lucro e da maximização do lucro. O estudo da taxa de variação de funções matemáticas é abordado no Capítulo 5, através da apresentação dos limites e derivadas de funções. Mesmo considerando que apenas uma pequena parte das aplicações da Matemática será aqui apresentada, estamos certos de que será de gran Atenciosamente, Professor André Luís Corte Brochi
Teoria de Conjuntos O desenvolvimento da Matemática passa, para não dizer que começa, com o surgimento da ideia de conjuntos. Estabeler relações entre quantidades de conjuntos diferentes foi de fundamental importância na criação do sistema de numeração que utilizamos nos dias de hoje. Acredita-se que os antigos pastores de ovelhas, rebanho, relacionavam cada ovelha com uma pedra ou com nós em uma corda. Nosso sistema de numeração tal como é hoje permite (e permitiu) o desenvolvimento de diversas técnicas matemáticas que ajudam a resolver problemas das mais diversas áreas e bastante complexos.
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Objetivos da sua aprendizagem Representar conjuntos numéricos de formas variadas; Compreender as operações com conjuntos e utilizá-las na resolução de problemas lógicos.
Você se lembra? Você se lembra de quando estudou os conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais? Deve fazer muito tempo, mas os elementos de tais conjuntos estão presentes em nosso cotidiano com uma frequência enorme. Não são raras as situações em que necessitamos lidar com cálculos envolvendo números naturais ou inteiros, ou de qualquer outro tipo. Não é de hoje que tais números são de extrema necessidade no dia a dia do homem; a mesma necessidade que, em tempos antigos, levaram o homem à criação de tais conjuntos. À medida que o conhecimento matemático que se tinha surgiam, novos conceitos e técnicas foram desenvolvidos.
Matemática para Negócios
1.1 Introdução Muitos questionam a aplicabilidade ou utilidade prática do que se aprende em Matemática, talvez pelo fato de que seus conteúdos, muitas vezes, são apresentados de forma extremamente teórica, como um conjunto de regras, teoremas e algoritmos que apenas devem ser seguidos, sem que haja a preocupação adequada com a construção de uma lógica, em relação ao aluno, para que ele realmente compreenda o que está fazendo. Tanto os teoremas como os algoritmos e regras, apresentados no desenvolvimento da Matemática, têm importância fundamental, pois ajudam na interpretação e resolução de problemas de ordem prática. As tão temidas fórmulas matemáticas (pelo menos em sua maioria) traduzem um raciocínio lógico que, geralmente, não é difícil de desenvolver. A não compreen são fatores que tornam o trabalho um tanto traumático. Entretanto, se tra balhada de forma adequada, a Matemática torna-se extremamente útil em usam a Matemática em seus afazeres. Talvez não a utilizem por não dominála, não que ela não seja necessária. Qualquer que seja a área do conhecimento, a Matemática é sempre necessária, portanto precisamos encontrar formas de conhecê-la realmente, para que ela nos possa ser útil. Neste capítulo, iremos abordar assuntos de grande importância e geral, conceitos básicos e de fácil entendimento, mas, nem por isso, são menos importantes que outros. Aliás, acreditamos que seja o contrário: pela sua importância na compreensão da linguagem matemática, pela utilização em diversos assuntos da própria matemática e pela variedade de aplicações diretas que tem na resolução de problemas, os assuntos aqui tratados serão de fundamental importância para o bom entendimento dos assuntos abordados nos demais capítulos.
1.2 Conjuntos e operações com conjuntos B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Um dos principais e mais utilizados conceitos da Matemática, o conceito de conjunto, é primitivo e tem sentido de coleção ou totalidade dos elementos. Podemos citar, por exemplo, o conjunto de disciplinas obrigatórias de um curso de graduação. Cada disciplina é chamada de elemento desse conjunto.
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Para representar matematicamente os conjuntos, utilizamos letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ... . Os elementos são reprensentados por letras minúsculas: a, b, c, ... . Entre os elementos e os conjuntos, há uma relação de pertinência. Se a é um elemento do conjunto A, então dizemos que “o elemento a pertence ao conjunto A”, ou simplesmente, “ a pertence a A”. Na simbologia matemática, escrevemos: a A. Uma forma bastante utilizada no trabalho com conjuntos é a sua re presentação por meio do diagrama de Venn. Veja o exemplo a seguir. Exemplo
Vamos representar o conjunto de números inteiros entre 2 e 8. Na notação de conjuntos, podemos escrever A = {3,4,5,6,7}. Utilizando o diagrama de Venn, temos: 3 4
5
6
7
Em relação ao conjunto A, podemos, por exemplo, escrever: 3 A 7 A 9 A Se um conjunto V é vazio,
Para indicar o número de podemos representá-lo por V = {} ou V = . Tome certo cuidado, pois, se elementos de um conjunto A, povocê escrever V = {}, a representação é demos utilizar a notação n(A). No de um conjunto formado por um elemento que caso do conjunto A do exemplo é o símbolo entre chaves., portanto, deixa de ser um conjunto vazio. anterior, temos n(A) = 5. Quando um conjunto não possui nenhum elemento, ele é denominado conjunto vazio e pode ser representado por {} ou .
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subconjunto de um conjunto A, o conjunto formado somente por elementos que pertencem a A. Veja o exemplo seguinte. Exemplo
Seja A = {1,2,3,4,5,6,7}. Podemos considerar o conjunto B = {2,4,6} como um subconjunto de A. Nesse caso, dizemos que “A contém B” (A B) ou que “B está contido em A” (B A). Se um conjunto B está contido em A (B A), dizemos que se x B, então x A. Podemos representar essa relação também por meio de diagramas. Veja. A B
B A ou A B
A representação por meio de diagramas é um instrumento muito útil na resolução de problemas lógicos envolvendo conjuntos, como veremos mais adiante.
Os símbolos (“pertence a”) e (“não pertence a”) somente devem ser utilizados quando se deseja indicar a relação existente entre um elemento e um conjunto. Já os símbolos (“está contido”) e (“não está contido”) são utilizados para indicar a relação existente entre dois conjuntos. Por exemplo, considere o conjunto A = {a, b, c, d } e os seus subconjuntos B = {a, b} e C = { b}. A partir deles podemos, por exemplo, escrever: a A; a B; a A; b C; {b} C; B A; C B A; A.
1.2.1 Operações com conjuntos Veremos, a seguir, as operações que podemos realizar com os conjuntos. Tais operações serão úteis na resolução de alguns problemas lógicos.
1.2.1.1 União Sejam A e B dois conjuntos. A união de A e B, denotada por “A B”, é um conjunto formado por todo elemento que pertence a A ou a B (ou a ambos). B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
A
B
A B
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
A B = { x / x A ou x B} Exemplo
Sejam: A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6}. A união de A com B é dada por: A B = {1,2,3,4,5,6}. Ressaltamos que os elementos 2 e 4, que são comuns aos dois conjuntos, também pertencem à união. Podemos representar a união de A e B, desse exemplo, também por meio de diagramas. Veja. A
B 1
2 3
5
4
6
1.2.1.2 Intersecção Sejam A e B dois conjuntos. A intersecção de A e B, denotada por “A B”, é um conjunto formado por todo elemento de A que também pertence a B. Podemos dizer que a intersecção entre dois conjuntos A e B é um conjunto formado pelos elementos comuns de A e de B. A representação da intersecção por digramas pode ser feita da seguinte forma: A
B
A B B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
como: A B = { x A e x B} Exemplo
Sejam: A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6}. A intersecção de A com B é dada por: A B = {2,4}.
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1.2.1.3 Diferença Sejam A e B dois conjuntos. A diferença entre B e A, nessa ordem, denotada por “B – A”, é um conjunto formado por todo elemento de B que não pertence a A. A representação da diferença de A em relação a B, por meio de digramas, pode ser feita da seguinte forma: A
B
B–A
B – A como: B – A = { x / x B e x A} Exemplo
Sejam: A = {1,2,3,4,5} e B = {2,4,6}. A diferença de A em relação a B é dada por B – A = {6}.
1.2.1.4 Complementar Sejam A e B dois conjuntos tais que A B. O complementar de A em relação a B, denotado por “A c” ou “ A ”, é um conjunto formado por todo elemento de B que não pertence a A. A representação do complementar de A em relação a B, por meio de diagramas, pode ser feita da seguinte forma: B
A
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A
de A em relação a B como: A
= { x / x B e x A}
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Exemplo
Sejam: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,6,9}. O complementar de A em relação a B é dado por A = {4,6,9}.
Conexão :
Um vídeo que apresenta de forma interessante a teoria de conjuntos está no endereço: < http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1075>. Vale a pena conferir!
1.3 Conjuntos numéricos Mas onde vou usar isso? Qual é a utilidade prática dos conteúdos matemáticos? Certamente, perguntas como essas já
passaram pela sua cabeça quando você estudou algumas das partes da Matemática. É comum não conseguirmos ver uma relação direta entre o que se estuda e o que necessitamos e presenciamos em nosso cotidiano. Talvez isso aconteça pelo fato de, muitas vezes, não compreendermos realmente o que estamos estudando. A Matemática, frequentemente, é vista como uma ciência cheia de regras e algoritmos complicados e que só podem ser compreendidos por pessoas bem dotadas intelectualmente. Que há conceitos e procedimentos complexos nessa ciência, não dá para contestar, mas que é possível compreender e utilizar, em nosso dia a dia, boa parte do conteúdo da Matemática também é inegável. Historicamente, o desenvolvimento da Matemática esteve intimamente ligado às necessidades humanas. Apesar de nos parecer, por vezes, lução de problemas práticos e concretos de nosso cotidiano, seja em nossa Nos primeiros anos de nossas vidas, a partir de certo momento, passamos a ter a necessidade de efetuar contagens. Na história do homem ocorreu de forma semelhante. Havia a necessidade primária de se contar os animais de um rebanho, por exemplo. Começa, então, a surgir a ideia dos números que hoje denominamos naturais . O conjunto dos números naturais, que denotamos por N, é: N = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...} No entanto, principalmente com o desenvolvimento do comércio, o homem passa a ter necessidade de uma representação para a “falta” de unidade, algo como, nos dias de hoje, representar um saldo devedor em uma conta corrente. Cria-se, então, o conceito de que números negativos e a união deles com os naturais resulta no conjunto dos números inteiros, denotado por Z:
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Z = {... ,–5 , –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ...} Podemos representar o conjunto Z na reta numérica da seguinte forma: –6 –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
Figura 1 – Números inteiros na reta numérica.
O sinal “ – ”, que utilizamos para representar valores negativos, ou simétrico, ou seja, aquele valor que está à mesma distância do zero, mas do outro lado (lado oposto) da reta Isso tudo aconteceu alguns milhares de anos a.C e todo o desenvolnumérica. O valor “–4”, por exemvimento dos conceitos e ideias matemáticos plo, é o oposto (ou simétrico) de apresentou evolução lenta, nada aconteceu de uma hora para outra. Acompanhar e aquela regra tão mencionada de compreender essa evolução é importante para uma melhor compreensão da Matemática. que “menos com menos dá mais”. É que, se “–4” é o oposto de 4, então “–(–4)” é o oposto de “–4” que, por sua vez, é igual a 4 (positivo). Com os números inteiros é possível realizar diversos cálculos importantes, mas quando necessitamos realizar divisões como, dividir o lucro em uma sociedade, mesmo que estejamos dividindo um número inteiro por outro também inteiro, essa divisão pode não ser exata, ou seja, há um resto diferente de zero ou o quociente é um número não inteiro. Houve uma época em que o homem passou a ocupar propriedades e a ter necessidade de dividi-las. Nesse processo, percebeu a necessidade de uma representação para quantidades não inteiras, como resultado da divisão de dois números inteiros. Surgem, então, os números racionais , cujo conjunto é denotado por Q: a b
Q = , a ∈ Z e b ∈ Z * B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
O asterisco (*) que aparece na descrição do conjunto indica a exclusão do zero, ou seja, * é o conjunto dos números inteiros não nulos. Perceba que, nesse caso, não é possível representar o conjunto mostrando alguns racionais. Quando nos referimos aos números naturais ou inteiros, se consi-
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
deramos, por exemplo, as quantidades 4 e 5, sabemos que entre eles não há nenhum outro inteiro ou natural. No entanto, com relação ao conjunto dos números racionais, se destacarmos dois números, por mais próximos que Por exemplo, entre os valores 4 e 5, temos 4,1; 4,2; 4,3; etc. Se tomarmos o 4 e o 4,1, temos 4,01; 4,02; 4,03; etc. Aumentando o número de casas decimais, sempre encontraremos outros racionais entre dois quaisquer. Há números que não conseguimos escrever como uma fração de dois inteiros. Alguns exemplos são: o número (aproximadamente 3,14), tão utilizado nos cálculos de áreas de círculos, comprimentos de circunferências e medidas de ângulos; o número e (aproximadamente 2,72), que é base do logaritmo crescimento exponencial, entre outras; raiz quadrada de números primos 2 , 3 , 5 , etc. Tais números são denominados irracionais e denotados por I ou Q’. Podemos dizer que o conjunto dos racionais contém o conjunto dos inteiros que, por sua vez, contém o conjunto dos naturais. E todo número que não pertence ao conjunto dos números racionais é considerado irracional. A união dos racionais e dos irracionais constitui o conjunto dos números reais. Este é denotado por R e compreende todos os números com os quais nos defrontamos em nosso cotidiano.
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Figura 2 – Diagramas – o conjunto dos números reias e seus subconjuntos.
Na Matemática, há um conjunto que contém o conjunto dos números reais, que é o conjunto dos números complexos, mas que não o utilidade para o seu curso.
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1.4 Aplicações das operações com conjuntos Nesta seção, apresentaremos exemplos de problemas cujas resoluções podem ser efetuadas com auxílio da teoria de conjuntos. Representar operações com conjuntos são recursos bastante interessantes para ajudar na compreensão, análise e resolução dos problemas. Exemplo
Uma pesquisa de mercado foi realizada com 450 consumidores para que indicassem o consumo de um ou mais de três produtos selecionados, A, B e C. Alguns dos resultados obtidos são apresentados a seguir: 40 consomem os três produtos; 60 consomem os produtos A e B; 100 consomem os produtos B e C; 120 consomem os produtos A e C; 240 consomem o produto A; 150 consomem o produto B. Considerando que há 50 pessoas que responderam que não consomem nenhum dos três produtos, responda: a) Quantas consomem somente o produto C? b) Quantas consomem pelo menos dois produtos? c) Quantas consomem o produto A e o produto B e não consomem o produto C? Uma forma bem interessante e ágil de resolver esse problema é utilizando diagramas para os três conjuntos, A, B e C, que são, respectivamente, aqueles que representam os entrevistados que consomem os produtos A, B e C. Esses três conjuntos estão contidos num conjunto maior denominado de conjunto universo U U (que contém todas as pessoas particiA B pantes da pesquisa). Temos, então, a seguinte representação:
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C
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Com as informações dadas, podemos preencher parte dos espaços e do raciocínio utilizados na resolução, vamos denotar por x1 , x2 ,..., x 8 as quantidades das regiões determinadas pelo conjunto universo e pelos con U
A
B x4
x1 x5
C
x7 x3
x2 x6 x8
Quando você estiver resolvendo problemas desse tipo, não é preciso utilizar as incógnitas x1 , x 2 ,..., x 8 da forma que apresentamos aqui. Os valores obtidos para tais incógnitas podem ser lançados diretamente nos diagramas. Esse procedimento está sendo feito apenas para tornar as ex plicações mais claras. Cada valor x refere-se à quantidade de pessoas que consome um ou mais produtos. A seguir, a indicação da representação de cada valor: x1: quantidade de entrevistados que consome somente o produto A. x2: quantidade de entrevistados que consome somente o produto B. x3: quantidade de entrevistados que consome somente o produto C. x4: quantidade de entrevistados que consome somente os produtos A e B. x5: quantidade de entrevistados que consome somente os produtos A e C. x6 : quantidade de entrevistados que consome somente os produtos B e C. x7 : quantidade de entrevistados que consome os três produtos. x8: quantidade de entrevistados que não consome nenhum dos três produtos.
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Se começarmos, por exemplo, pela informação “240 consomem o
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O mesmo acontece, por exemplo, com informações do tipo “60 consomem os produtos A e B”, pois ela nos remete à intersecção dos conjuntos A e B. No entanto, essa intersecção está dividida em duas regiões. Devemos, portanto, começar com as informações “40 consomem os três produtos” e “há 50 pessoas que responderam que não consomem nenhum dos três produtos”. Essas informações nos indicam, sem deixar dúvida alguma, os valores de x7 e x8, respectivamente. Assim, podemos atualizar as informações dos diagramas: U
A
B 20
x1 x5
40
x2 x6
x3
C
50
Agora, podemos inserir as informações que referem-se às pessoas que consomem dois dos três produtos, obtendo os valores de x4, x5 e x6 . Vamos, ver por exemplo, como determinar o valor de x4. Como há 60 pessoas que consomem os produtos A e B, mas já vimos que há 40 que consomem A, B e C (e, portanto, consomem A e B), então o valor de x4 é obtido pela diferença 60 – 40 = 20. De forma análogadeterminamos os valores 80 e 60 para x5 e x6 U
A
B 20
x1 80
C
40 x3
x2 60 50
Finalmente, utilizamos as informações “240 consomem o produto A” e “150 consomem o produto B”. Como no diagrama de A, já há 140 pessoas (20 + 40 + 80), então o valor de x1 é 100. No caso do diagrama de B, o valor de x2 é igual 30 (150 menos U A B a soma de 20, 40 e 60). Nosso diagra20 100 30 ma, agora, está quase completo. 40 80 60 Veja.
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C
x3
50
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Agora, falta-nos determinar o valor de x3 (que é quantidade de pessoas que consomem somente o produto C). Se somarmos todas as quantidades do diagrama (incluindo o valor de x3), temos que obter o resultado 450 (total de pessoas participantes da pesquisa). O valor de x3 será obtido, portanto, da seguinte forma: x3 = 450 – (100 + 20 + 30 + 80 + 40 + x3 = 450 – 380 x3 = 70
60 + 50)
Portanto, as respostas das alternativas são: a) 70 pessoas; b) 20 + 80 + 60 + 40 = 200 pessoas; c) 100 + 20 + 30 = 150 pessoas. Exemplo
Considere três conjuntos X, Y e Z tais que: n(X Y) = 26 n(X Z) = 10 n(X Y Z) = 7
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Qual é quantidade de elementos do conjunto X (Y Z)? Podemos iniciar construindo os diagramas dos conjuntos X, Y e Z e destacando a área que representa o conjunto X (Y Z), para sabermos quais valores serão necessários para chegar ao resultado do problema. A X
Y
Z
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Dessa forma, a intersecção dessa união com o conjunto X, que é rer e presentada por X (Y abaixo. X
Y a2 a3
a1
Z
Os valores a1, a2 e a3 nados pelas informações dadas no enunciado do problema. Como n(X Y Z) = 7, concluímos que a1 = 7. Como n(X Y) = 26 e já temos a1 = 7, então a2 = 19, pois a soma de a1 com a2 tem que ser igual a 26. De forma semelhante, chegamos ao valor de a3 , que é 3 (10 – 7). O diagrama com os valores é apresentado a seguir. X
Y 19 3
7
Z
Logo, n(X Y Z)) = 19 + 7 + 3 = 29 Exemplo
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A quantidade de elementos em um conjunto A é 20, num conjunto B é 12 e na intersecção de ambos é 5. Qual é a quantidade de elementos da união de A com B? O que se deseja determinar, aqui, é n(A B), sabendo que n(A) = 20, n(B) = 12 e n(A B) = 5. Se somarmos n(A) = 20 com n(B) = 12, obtemos 32 elementos, mas, nessa soma, os 5 elementos da intersecção de A com B foram considerados duas vezes, pois pertencem a A e a B. Devemos, portanto, subtrair 5 do resultado da soma, obtendo o valor 27.
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Esse procedimento para determinar a quantidade de elementos na união de dois conjuntos pode ser generalizado. Sendo assim, podemos escrever que:
(A B) = n(A) + n(B) – n(A B)
n
Nas atividades deste capítulo, há mais uma série de problemas que podem ser resolvidos com a utilização da teoria de conjuntos. Ressaltese que essa não é a única forma de resolução de tais problemas, mas a clareza que tais procedimentos conferem à modelagem do problema, permitindo-nos raciocinar de forma lógica, faz com que seja uma das formas mais utilizadas nesses casos. O cálculo de probabilidades também utiliza frequentemente a teoria de conjuntos.
1.5 Potenciação e radiciação Da mesma forma que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais, a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. É uma forma abreviada de exprimir uma multiplicação cujos termos são todos iguais. Muitas situações práticas são modeladas matematicamente através do uso de potências e, consequentemente, utilizamos a radiciação (que é a operação inversa da potenciação) potenciação) para tornar possível a realização de certos cálculos. de seu montante após certo período é calculado através do uso de potência. Cálculos referentes a crescimento populacional geralmente baseiam diretas das potências, além de sua utilidade para a realização de cálculos algébricos e desenvolvimento de funções matemáticas aplicadas. Apenas com a intenção de ilustrar como pode se dar a aplicação de potências, vejamos vejamos o exemplo seguinte: seguinte:
B E S i n U
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Exemplo
apenas R$ 2,00, mas prometendo-lhe pagar, a cada mês, o dobro do valor
Matemática para Negócios
pago no mês mês imediatamente anterior anterior.. Para os 10 primeiros meses meses teríamos os seguintes valores: m ês valor (R$)
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32
6 64
7 12 8
8 25 6
9 51 2
10 1024
Os valores de mesada são dados por uma sequência de potências de basee 2 porq bas porque ue voc vocêê dec decidiu idiu que a cada cada mês o valo valorr iria iria dob dobrar rar (mu (multip ltiplica licarr por por 2). Podemos reescrever os valores de mesada da tabela na forma de potência. m ês valor (R$)
1 21
2 22
3 23
4 24
5 25
6 26
7 27
8 28
9 29
10 210
O crescimento ocorrido com o valor da mesada é denominado ex ponencial. Casos semelhantes ocorrem em várias situações e contextos diferentes. Se você deixa de pagar, por exemplo, a fatura de seu cartão de crédito durante alguns meses, o valor devido irá crescer de forma exponencial também, claro que não na mesma taxa da mesada do exemplo anterior. Mas o tipo de cálculo que é efetuado, assemelha-se ao do exemplo. operação de radiciação pode ser transformada sempre em potência. Por esse motivo, priorizaremos o estudo das potências e os exemplos envolvendo raízes serão inseridos como aplicações de uma das propriedades da potenciação. exemplo que aborda algumas potências simples. Exemplo
a) 23 = 2 · 2 · 2 = 8 b) (–2)2 = (–2) · (–2) = 4 c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8 d) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16 e) 51 = 5 f) 13 = 1 · 1 · 1 = 1 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
an (leia-se: a elevado a n) como abaixo: a
n =
a ⋅ a ⋅ a ⋅… ⋅ a n vezes
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
em que: a é a base; n é o expoente; an é a potência . Note que nos itens (b), (c) e (d) do exemplo anterior, as bases das potências são negativas (todas iguais a –2). No entanto, nem todos resultados têm sinais iguais. A que se deve essa diferença? Vamos recordar cação de dois números, se um é positivo e o outro negativo, o resultado será negativo. Se ambos forem positivos ou ambos negativos, o resultado será positivo. Sendo assim, se a base de uma potência é negativa e a elevamos ao expoente 2, o resultado será positivo. Se o expoente for 3, por exemplo, haverá um fator a mais nessa multiplicação e aquele resultado positivo (da base negativa elevada a 2) será agora multiplicado por um valor negativo, o que fará com que o resultado obtido seja negativo. E se, agora, elevarmos a base ao expoente 4, este último resultado, que é negativo, será multiplicado mais uma vez pela base negativo, gerando um novo resultado positivo. O que ocorre quando a base é negativa, portanto, é que o sinal do resultado dependerá do valor do expoente. Se o expoente for par, o resultado será positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo.
1.5.1 Propriedades das potências Vamos, a seguir, ver algumas propriedades que irão facilitar muitos dos cálculos que teremos que realizar com potências. Não é nosso ob jetivo fazer uma abordagem com o formalismo muitas vezes exigido na Matemática. Vamos tentar deduzir as propriedades a partir da análise de certos exemplos, sem a Conexão: preocupação com o rigor matemático requeNo endereço http:// www.mundoeducacao.com. rido em algumas generalizações. O que nos br/matematica/a-utilizacaoimporta é que você reconheça as situações potencias-no-cotidiano.htm você encontra o texto “A utilização de em que as propriedades podem ser aplicapotências no cotidiano”. Vale a das e como aplicá-las de forma correta. pena conferir!
B E S i n U
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Considere a multiplicação de potências abaixo e note que as bases são iguais: 2
4 ∑4
3
Podemos resolvê-la fazendo o seguinte desenvolvimento: 4
2 ⋅
4
3 =
4 4 4 4 4 ⋅
4
⋅
⋅
2
⋅
4
=
4
5
3
Não é difícil perceber que quando as bases são iguais, o resultado da multiplicação será igual a uma potência com mesma base e o seu expoente será a soma dos expoentes anteriores. Portanto, de forma geral, podemos escrever que quaisquer que sejam os valores reais a, m e n: a
m
⋅a
n
= a
m+ n
(I)
Exemplo
a) 73 · 78 = 73+8 = 711 b) 57 · 5 –4 = 57+(–4) = 57–4 = 53 3
5
2 2 c) 3 ⋅ 3
+
3 5
8
2 2 = = 3 3
d) x2 · x3 · x6 = x2+3+6 = x11 Vejamos o que acontece quando ocorre a divisão de potências com mesma base. Veja o exemplo a seguir: 5
4
5
4 4
3
=
4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅4 4 ⋅ 4 ⋅4
=
/ ⋅ / 4 4 ⋅ / 4 ⋅ 4 ⋅ 4
=4
2
/ ⋅ / 4 4 ⋅ / 4
3
4
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
as bases são iguais, numa divisão, o resultado será uma potência com a mesma base das potências iniciais e seu expoente será dado pela diferença entre o expoente do numerador (parte superior da fração) e o expoente do
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
denominador (parte inferior da fração), nessa ordem. Portanto, de forma geral, podemos escrever que quaisquer que sejam os valores reais a, m e n: a
m
a
=
n
a
m −n
(II)
Exemplo
a)
2
5
2
3
5 b) 7 3
7
c)
2
=
5
6 x y
−
2
=
75
=
−
5 3
( 3)
− −
2
=
75
+
3
=
78
4 =
3
2 x y
3 x
5 3 −
y
4 1 −
2
=
3x y
3
Outra forma frequente de potência que ocorre é a denominada potência de potência. Veja o exemplo abaixo e o seu desenvolvimento:
(5 ) 3
2
=
3
5
3
⋅5
=
5
3+ 3
=
5
6
Note que aplicamos a propriedade (I) quando apareceu a multiplicação 53 por 53. A soma dos expoentes iguais pode ser expressa pela multi plicação por 2. Portanto, nesses casos, basta multiplicar os expoentes. De forma geral, para quaisquer valores reais a, m e n, temos: (III) (a ) a n
m
m
=
⋅
n
Exemplo B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
a)
5
(9 ) 3
b) ( x
2
=
)
4 =
9
35
c) ( x
)
3
=
x2 4 ⋅
1 6
6 =
15
⋅
x
9
=
1
⋅
3
x8 6
=
x3
=
x2
Agora, veremos o que pode ser feito quando há uma multiplicação entre dois valores (iguais ou não) elevada a um único expoente, como no exemplo a seguir:
Matemática para Negócios
( 2 5)
3
⋅
( 2 5 ) ( 2 5 ) (2 5 )
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2 2 2 5 5 5 ⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
2
3
5
3
⋅
O expoente, externo aos parênteses, é distribuído para os valores internos. De forma geral, quaisquer que sejam os valores reais a, b e n, temos:
( a b)
n
⋅
=
a
n ⋅
b
n
(IV)
Exemplo
a) ( 3 x ) b) c)
7
9 ⋅
(5 x
2 =
5
2
9 =
y
3
)
3
2
x2
⋅
=
(7 5)
9
⋅
4 =
5
9x
=
2
35 4
9
(x ) (y )
4
2
3
4
8
=
12
625 x y
O mesmo tipo de distribuição do expoente ocorre quando, no interior dos parênteses, temos uma divisão. Vejamos: 3
2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 5 5 5 5 5 ⋅ 5 ⋅ 5 5
3
3
De forma geral, quaisquer que sejam os valores reais a, b e n, com b n
a = a b b Exemplo 2
4 4 16 a) = = 5 5 25 2
2
b) B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
8
7
2
7
7
8 = 2 = 4 5
7
3 x 3 x 243 x c) 2 y = 2 y = 32 y 5
5
5
5
5
5
n n
(V)
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Vale ressaltar que as propriedades (IV) e (V) são válidas somente quando os valores internos aos parênteses estão sendo multiplicados ou divididos um pelo outro. Até aqui, procuramos mostrar as propriedades a partir de exemplos que podem ser desenvolvidos a partir do conceito de potência. Mas como podemos elevar uma base a um expoente expoente negativo? Ou elevado a zero? É possível? Vamos retomar os valores das potências do exemplo da mesada. m ês
1 21 2
valor (R$)
2 22 4
3 23 8
4 24 16
5 25 32
6 26 64
7 27 12 8
8 28 256
9 29 51 2
10 210 1024
Vamos ressaltar o fato de que, a cada mês, o valor da mesada é igual ao do mês anterior multiplicado por 2 (porque a base das potências é igual a 2). Ou seja, cada vez que aumentamos uma unidade no expoente, o valor da potênci potê nciaa é multi multiplic plicado ado por 2. Da Da mesma mesma form forma, a, se se diminu diminuirmo irmoss uma uma unida unida-de no expoente, o valor da potência é dividido por 2. Dessa forma, podemos deduzir os valores das potências 2 0, 2 –1, 2 –2, 2 –3, etc. Veja a tabela abaixo: 2 –4
2 –3
2 –2
2 –1
1
1
1
1
16
8
4
2
20
21
22
23
24
25
1
2
4
8
16
32
Por esse raciocínio podemos compreender porque 2 0 é igual a 1. Isso acontece com toda base diferente de zero. Generalizando, para todo a a0 = 1 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
Note também que as frações
pectivamente, como
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
1
1 1 1 1 , , e 2 4 8 16 1
1 1 , , 3,e 4 1 2 2 2 2 2
podem ser escritas, res-
. Note que quando o expoente é
negativo, a potência pode ser dada, de forma equivalente, pelo seu inverso com o expoente positivo. Portanto, podemos concluir que para quaisquer que sejam a e n reais, com a a
−
n =
1 a
n
(VI)
Matemática para Negócios
Essa propriedade também pode ser escrita na forma: 1 = (VI) n
a
−
n
a
Exemplo
a)
2
−1
1
=
=
1
2
1
1
ou
2
−1
1
3 5 b) = = 5 3
c)
5
−3
1
=
=
3
5
2
−1
1 1 = 2 = 2
5 3 3
1
ou
5
−3
1 1 1 1 = 5 = 5 = 5 = 125 3
3
125
3
2
d)
3 x y z 7
e)
2
=
5
−
x y
5
3 x yz
3
−
x
=
7
7
7 y
3
Por último, temos uma propriedade que é muito utilizada para transformar raízes em potências. m
a
n
n
a
m
(VII)
Nesse caso, se quisermos transformar uma potência em raiz, é necessário que n seja um valor natural maior ou igual a 2 e que, se n for ímpar, o valor da potência am seja positivo. Exemplo 1
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
a)
92
b)
3
2
1
9
9
3
6
5
6
53
5
2
3
c) x
3
⋅
x
=
x
2
25 1
⋅
x
2
3
=
x
2
1 +
2
4
=
x2
=
x2
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
1.6 Racionalização de denominadores Muitas vezes, ao trabalharmos com expressões envolvendo raízes, chegamos a resultados na forma fracionária com raiz no denominador, como, por exemplo: 5
2 x ou
4
3
x
3
A presença de raiz no denominador pode determinar um número veniente, nesses, casos escrevê-lo com denominador racional, mas não podemos alterar o valor valor do resultado! O processo de tornar o denominador um número na forma racional é denominado racionalização de denominadores e consiste em multiplicar tanto o numerador como o denominador por um mesmo valor (o que não altera o valor da fração composta por eles), de tal forma que o produto no denominador seja um número racional. Veja o exemplo seguinte: Exemplo: 5
Vamos racionalizar o denominador da fração
3
.
Quando o denominador é uma raiz quadrada, basta multiplicar o numerador e o denominador pelo próprio denominador. Veja: 5
3
⋅
5 =
3
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
⋅
3
⋅
3 2
( 3)
5 =
3 3
Como proceder quando temos uma raiz com índice maior que 2? Vamos ver o exemplo seguinte. Exemplo:
Como racionalizar o denominador da fração
2 3
7
?
Matemática para Negócios 3
Se multiplicarmos os termos da fração por
, o denominador
7
continuará sendo expresso na forma de raiz ( 7 ) . Para resolver o pro blema, escolha como fator de racionalização um número escrito na forma de raiz de mesmo índice e com expoente do radicando igual ao índice da raiz menos o valor do expoente do radicando da expressão original. O que 3 isso quer dizer? Considere racionalizar o denominador da fração 72 . O índice da raiz é igual a 3 e o expoente do radicando é igual a 1, pois 7 = 71. Portanto, escolheremos, para multiplicar os termos da fração, o radical. Note que o expoente do radicando é igual a 2, pois, assim, o resultado da multiplicação será uma raiz com índice igual ao expoente do radicando. Veja: 3
−
3
2
2
− =
7
3
7
3 ⋅
3 ⋅
72
− =
2
3
2
3
72
− =
3
72
72
2
7
72
De modo geral, para racionalizar um denominador da forma basta efetuar a multiplicação por c ac b .
c
ab
,
Veja, agora, um exemplo com expressão algébrica. Exemplo x 2
Racionalize o denominador da expressão
3 x
.
2
A expressão que compõe o radicando tem expoente 1, então podemos escrevê-la como: 1
(3 x + 2)
Como o índice da raiz é 2, o expoente do fator racionalizante será igual a 2 – 1 = 1. Sendo assim: x 2
⋅
3x 3 x
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
+
+
2
2 =
x 2
(
⋅
3x
3 x
+
2
+
2
2
)
=
x 2
⋅
3x
3 x
+
+
2
2
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
1.7 Fatoração de expressões algébricas As seções anteriores foram dedicadas às operações envolvendo números. Podemos combinar números, sinais de operações e parênteses para formar diversos tipos de expressões aritméticas, como, por exemplo: 1 3 9 1 4 3 2 9 6 6 25 2 5 8 7 1 4 1 1 3 2 : 3 5 7 5
[7, 2 · 3,7 – 0,25) : (0,4 – 0,27 : 200] · (2,05 – 1,45 + 3,5 Todas essas operações podem ser resolvidas e o resultado obtido é um número. Vamos, agora, considerar expressões mais gerais, que, de certa forma, permitirão resolver uma quantidade muito grande de problemas matemáticos. Essas expressões, denominadas de expressões algébricas , apresentam operações envolvendo letras. Eis alguns exemplos de expressões algébricas: 3 · x · y3 · 5 · x3 · z2 2 · x + 3 · x 3 · x2 + 5 · x2 – 2 · x2 – x + 1 2 · x · y2 – 3 x2 · y + 4 x · y2 –7 xy Antes de resolver as operações envolvendo expressões algébricas, salientamos que um monômio é uma expressão envolvendo uma multi plicação de letras, afetadas por expoentes, e números. Exemplos de monômios:
B E S i n U
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x x · y 2 x · x ·y 3 · x2 · y2 1 a b3 x y2 2
As operações envolvendo expressões algébricas são semelhantes àquelas discutidas nas seções anteriores. Basta lembrar que na soma ou na subtração só é possível resolvê-las se os monômios forem semelhantes.
Matemática para Negócios
Na multiplicação ou na divisão, efetuamos as operações envolvendo potenciação. Assim: 3 x 2 y3 5 x 3 z 2
=
3 5 x 2 x 3 y3 z
=
15
=
x5
2 x+3 x =5 x
termos semelhantes
3 x2 + 5 x – 2 x2 – x + 1 = (3 x2 – 2 x2) + (5 x – x) + 1 = x2 + 4 x + 1 gados a utilizar a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição , isto é: a · (b + c) = ab + ac Exemplos: 2 · ( x + y) = 2 x + 2 y 2 x · ( x + 3) = 2 x2 + 6 x –2a · (a2 – 3b) = 2 · a3 + 6ab 3 xy · ( x + y2) = 3 x2 y + 3 xy3
1.7.1 Produtos notáveis São produtos especialmente importantes e frequentes em cálculos algébricos. a
b
a =
a2
+
ab
+
ab
+
b2
b
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
(a+b)2 = a2 +2ab + b 2
Note que elevar a soma (a + b) ao quadrado é multiplicar termos iguais, ou seja, (a + b) · (a + b). O produto pode ser lido assim: o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo e mais o quadrado do segundo termo .
Outros produtos notáveis que aparecem com muita frequência na resolução de problemas algébricos são: O quadrado da diferença: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Exemplo: (2a – b)2 – 2 · 2a ·ab + (ab)2 = 4a2 – 4a2b +a2b2
(3xy – x2)2 = (3xy)2 – 2 · 3xy · x 2 + (x2)2 = 9x2 y2 – 6x3y + x4 O cubo da soma: ( a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. Exemplo:
(2x + 3)3 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 3 + 3 · (2x) · 32 + 33 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 O cubo da diferença: ( a – b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b2. Exemplo 3 3 2 1 = ( 2x ) − 3 ⋅ ( 2x ) 2x − 3 = 8x3 − 4x 2 +
2 3
x−
1
⋅ 3 + 3 ⋅ 2x
1 2 1 3 ⋅ 3 − 3 =
1 27
O produto da soma pela diferença: ( a + b) · (a – b) = a2 – b2 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Exemplo: (3xy – 2) · (3xy + 2) = 9x2y2 – 4
produto, isto é, fatorar uma expressão algébrica é obter outra expressão que: a) seja equivalente à expressão dada; b) esteja na forma de produto.
Matemática para Negócios
1.7.2 Fatoração Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável e existem vários casos que iremos mostrar a seguir. 1º Caso: Fator comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, seja literal ou misto; em seguida, colocamos em evidência esse fator comum e sim ax + bx = x · (a + b) Exemplo:
3x3y2 – 9x2y = 3x2y(xy – 3) 2o Caso: agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum; em seguida, colocar o fator comum em evidência. mx + nx + my + ny = x · (m + n) + y · (m + n) = (m + n) · (x + y) Exemplos:
a) 2ax =
+
a
+
(2x
+
1 a+b
)(
b) xy2 + 5y2 =
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2bx
−
+
b
=
(
a 2x
) + b ( 2x
+1
+
)
1
)
2x − 10
=
y
2
( x + 5) − 2 ( x + 5)
( x + 5) ( y2 − 2)
Na fatoração por agrupamento, não há, necessariamente, um caminho a ser seguido. Considere o exemplo (a). Podemos, inicialmente, reescrever a expressão 2ax + a + 2bx + b na forma 2ax + 2bx + a + b Assim, a fatoração pode ser realizada da seguinte forma:
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
3o Caso: Diferença de quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. a2 – b2 = (a + b) · (a – b) Exemplos:
a) 25a 2 − 9 = (5a )2 − 32 =
(5a + 3) (5a − 3)
b) − x 4 y 4 + 16 = 16 =
=
2
2
−
2
+
2 4
x y
2
( xy ) ( 4 xy ) (4 4
−
−
xy
2
)
4o Caso: Trinômio quadrado perfeito
drado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios. O trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corres ponde à (x2 + 2)2. Exemplos: 2
a) 16a 2 − 8ab + b 2 = ( 4a ) = B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
( 4a
b) 9x 2 =
+
−
b
−
2
⋅
4a
⋅
b
+
b
2
2
)
12xy
+
4y
2
=
2
( 3x )
+
2 ⋅ 3x ⋅ 2 y
+
2
( 2 y)
2
(3x + 2 y )
racionais, como as que veremos no exemplo a seguir.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Exemplo:
a) 5a 2 + 10ab 5a (a + 2b ) =
a + 2b
2 2 b) 9x + 12 xy + 4 y
3x + 2 y 3x + 2 y xy + 2x − 6 y − 12 x
2
−
36
5a
2
=
=
c)
=
a + 2b
=
( 3x + 2 y ) 3x + 2 y
x ( y + 2) − 6 ( y + 2 )
( x + 6) ( x − 6)
( x − 6) ( y + 2) ( x + 6) ( x − 6) ( y + 2) = ( x + 6) Muitas vezes, o processo de fatoração algébrica faz com que tenhamos realizar algumas tentativas. Isso é normal. Veja, por exemplo, o caso seguinte. Tente fatorar a expressão antes de ver o resultado. =
a2 x – 2ax2 + x3 + 3a2 – 6ax + 3 x2
Não parece tão simples. Mas, veja que uma possibilidade é, inicialmente, realizar a fatoração por agrupamento, colocando em evidência o termo x para os três primeiros termos e o valor 3 para os três últimos termos. Dessa forma, perceba que será possível, na próxima etapa, colocar em evidência a expressão a2 – 2ax + x2
A expressão acima também pode ser fatorada. Trata-se de um trinômio do segundo grau. A seguir, o processo completo dessa fatoração. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2
a x
−
2ax
2
+
x
3
=
(a
=
(a − b) ( x + 3)
2
−
2ax + x 2
2
2
− 6ax + 3x
+
3
+ 3a
)(x
)
2
=
(
x a
2
−
2ax
+
x
2
) 3 (a +
2
−
2ax
+
x
2
)
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Embora pareçam complicados, os procedimentos de fatoração vi pena investir tempo no estudo desse assunto. Adquirindo certa prática,
1.8 Intervalos numéricos Em diversas aplicações envolvendo números reais, geralmente, temos que fazer referências a intervalos numéricos reais. Duas formas bem interessantes são a de notação de conjuntos e a de intervalos reais (forma Intervalos abertos ]a,b[ = { x R / a < x < b}
a
b
R
O intervalo ]a,b[ é composto por todo número real maior que a e menor que b. Intervalos fechados [a,b] = { x R / a x b}
a
b
R
O intervalo [a,b] é composto por todo número real maior que a e menor que b e também pelos valores a e b. Intervalos semiabertos
Um intervalo pode ser aberto de um lado e fechado de outro. Vejamos. [a,b[ = { x R / a x < b} R a
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
b
O intervalo [a,b[ é composto por todo número real maior ou igual a a e menor que b. ]a,b] = { x R / a < x b}
a
b
R
O intervalo ]a,b] é composto por todo número real maior que a e menor ou igual a b.
Matemática para Negócios
Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de uma lado e ilimitado do outro. Vejamos. [a,[ = { x R / x a}
R
a
O intervalo [a,[ é composto por todo número real maior ou igual a a. O símbolo “ ]– , a[ = { x R / x < a}
a
R
O intervalo ]– , a[ é composto por todo número real menor que a. Dizer que um intervalo é aberto em um dos lados não é exatamente a mesma coisa que dizer que ele é ilimitado. Considere, por exemplo ,os intervalos [2,5[ e [3, [. O primeiro é dito “fechado à esquerda no 2”, pois, o valor 2 pertence ao intervalo e é, portanto, o seu menor valor. No entanto, se nos perguntarmos qual é o maior valor do intervalo [2,5 [não conseguiremos determinálo, pois sempre conseguiremos nos aproximar mais e mais do valor 5, mas ele próprio não pertence ao intervalo. Portanto, o intervalo é aberto à direita no valor 5 e é limitado por este valor. Já no caso do intervalo [3, [, dizemos que ele é fechado à esquerda, no valor 3, e aberto à direita sem ser limitado por valor algum. Nesse caso, ele é aberto e ilimitado à direita.
Como os intervalos reais são Conexão: conjuntos numéricos, é possível Um vídeo muito interessante que realizar, com eles, as operaapresenta, entre outras coisas, a história ções de união, intersecção, do desenvolvimento do sistema de numeração indo-arábico está disponível no endereço: . Nesse caso, a determinaVale a pena assistir a ele, principalmente a primeira parte. Seus produtores defendem a valiosa contribuição dos chineses na construção de nosso sistema de numeração. como exercício. E o desenvolvimento dos sistemas de numeração tem
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
íntima relação com o surgimento dos conjuntos numéricos. Ele está dividido em duas partes, sendo que somente a primeira trata desse assunto. O nome do vídeo é “Os gênios do Oriente”.
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Atividades 01. Represente através de diagramas de Venn, os seguintes conjuntos:
a) (A B) – C b) A – (B C) c) (B – A) (B – C) d) (B – A) (B – C) 02. -
des: a) b) c) d)
Se A B, então A B = A e A B = B. (A B) C = A (B C) (propriedade associativ associativaa) (A B) C = A (B C) (propriedade associativ associativaa) A (B C) = (A B B)) (A C) (propriedade distributiva distributiva))
03. Dado Dadoss os conju conjuntos ntos A = {2,4,6,8,10 {2,4,6,8,10}}, B = {1,3,5,7 {1,3,5,7,9} ,9} e C = {6,8 {6,8}}, deterde ter-
mine: a) A B b) A (B C) c) complementar de C em relação a A. d) A – C e) complementar de B C em relação a A. f) A (B C) g) (A B) (A C)
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
04. Considere os conjuntos A e B, tais que o conjunto n(A) = 16, n(A B) = 7, n(A C) = 8, n(B C) = 5, n(A B) = 28 e n(B C) = 20. Determine n(C). 05. Numa relação entre 3 conjuntos A, B e C, sabemos que n(A B C) = 5, n(A) = 9, n(B) = 12, n(A B) = 7. Determine a quanti-
dade de elementos do conjunto C.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
x < 9} e B = { x R / 7 < x 9 9}, 06. Dados os conjuntos A = {x R / 6 x
determine: a) A B b) A B c) B – A determine mine e represente 07. Dados os conjuntos A = [–2,6[ e B = [–2,6[ , deter a) A B b) A B c) B – A 08. Considere os intervalos inter valos reais A = ]3,7] ]3,7],, B =[5, =[5,[ e C = ]– ,4[. Deter-
mine: a) A B b) B C c) A B d) A C e) A – B f) B – C g) C – B g) o complementar de A em relação ao conjunto dos números reais (R). i) o complementar de B em relação ao conjunto dos números reais (R). j) o complementar de C em relação ao conjunto dos números reais (R). 09. Uma pesquisa sobre o consumo de três produtos, A, B e C, foi reali-
zada e os resultados são apresentados na tabela a seguir: Produtos
A
Quantidade de 120 consumidores
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
B
C
AeB
AeC
BeC
AeBeC
70
23 0
30
25
40
15
Determine a quantidade de pessoas entrevistadas que consomem: consomem: a) somente o produto B; b) somente um produto; c) somente dois produtos; d) A ou B; e) A, mas não consomem C;
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
10.
mou hoje que os voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova Zelândia também serão inspecionados por uma equipe da agência e por médicos da Empresa Brasileira de Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente, apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados Unidos eram inspecionados. A decisão foi foi tomada durante dura nte reunião da Anvisa com representantes das companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de Cumbica, em Guarulhos, Guarul hos, na Grande São Paulo. Paulo. Disponível em: . Acesso em: 09 mai. 2009. Adaptado.
Em um voo proveniente de Miami, a Anvisa constatou que, entre todas as pessoas a bordo (passageiros e tripulantes), algumas haviam passado pela cidade do México. No diagrama, U representa o conjunto das pessoas que estavam nesse voo; P o conjunto dos passageiros; M o conjunto das pessoas que haviam passado pela cidade do México e A o conjunto das pessoas com sintomas da gripe A. U
P
A
M
Considerando verdadeiro esse diagrama, Considerando diagr ama, conclui-se que a região som breada representa o conj conjunto unto das pessoas que, de modo inequívoc inequívoco, o, são aquelas caracterizadas como como:: passageiros iros com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do a) passage México. b) passage passageiros iros com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. c) tripulantes com sintomas da gripe que passaram pela cidade do México. México. d) tripulantes com sintomas da gripe que não passaram pela cidade do México. e) tripulantes sem sintomas da gripe g ripe que passaram pela cidade do México.
B E S i n U
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Matemática para Negócios
11. (PUC-RJ) Um levantamento sócioeconômico entre os habitantes de
uma cidade revelou que exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? (PUC) Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três programas de TV favoritos: esporte (E), novela (N) e humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. 12.
Programas
E
N de teles- 400 pectadores °
N
H
EeN
1.200 1.080 220
EeH
NeH
E, N e H
Nenhum
180
800
100
x
munidade que não assistem a qualquer dos três programas é: a) 200 b) os dados do problema estão incorretos. c) 900 d) 100 e) n.d.a. 13. (UFF) Os conjuntos não vazios, M, N e P, estão, isoladamente, repre-
N M
N
P
M P
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
a) b) c) d) e)
A região hachurada pode ser representada por: M (N P) M – (N P) M (N – P) N – (M P) N (P M)
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
14.
esportes e festas” pode ser representada segundo o diagrama: M = {jovens que gostam de matemática} E = {jovens que adoram esportes} F = {jovens que adoram festas} a) b) M E
F F
E
c)
d)
E
F
E F
M
M
e) M
F
E M
15.
não disjuntos. B
A
C
A região sombreada representa o conjunto a) C – (A B) b) (A B) – C c) (A B) – C d) A B C e) A B C
16. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
que o resultado o máximo possível: a) b) c) d)
2 3 2 5 7 3 x x
7 x 3 x 1
Matemática para Negócios
16. Aplicando as propriedades das potências, determine o valor de cada
uma das expressões abaixo: 12
15
a)
5
14
c)
7
11
63
5
4
⋅ 37 ⋅ 3−10
912
b)
3
d)
17. a) b) c) d) e) f) g) h)
( y – 2) ( y + 2) + ( y + 3) ( y – 3) – y · (2 y + 1) – 4 (m + n)2 – (m – n)2 (b – a)2 – (b – a)(a + b) (1 – m) (1 – m 2) –m · (m + 1) a · (a – b) (a + b) – (a + b) (a2 – ab + b2) (b – 1) (b – 2) – (1 + b .+ b2) (4 + 2b + b2) ( x3 + y3)2 –( x2 + y2)3 + 3 x2 y2 ( x + y)2 4 x + 2)(3 – x) – (4 – x) (– x – 1) – ( x – 4)( x + 4)
18. a) b) c) d) e) f) g) h)
Fatore as expressões abaixo. 12y3 – 8y2 13m2n3 – 52m3n2 (a + b)3 + 2 · (a + b) 2 27a3 b2c – 15ab3c2 + 12a3 bc2 ax + ay + bx + by ax – mx + ay – my 5mx + 3ny – 5my – 3nx 5x + xy + 5y + y2
3
2
3
4
i) j) l) m) n) o) p) q)
x2 – 4x + 4 25x2 – 30xy + 9y 2 a6 + 2a3 b2 + b4 m3 – 10m 2 + 25m x2 – 1 x4 –1 9x2 – 4 a4 – b2 · (2a – b)2
h) i) j) l) m) n) o)
3a5 – 6a4 b +3a3 b2 ax – bx + by + cy – cx –ay 2a2y5 + aby2 – aby3 – 2a2y3 x2 – 1 x4 –1 9x2 – 4 a4 – b2 · (2a – b)2
19. Fatore as expressões abaixo.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
a) b) c) d) e) f) g)
2a2 + 4a + 2 y2 – 10y + 25 – 4m 2 m2 + n2 + 2mn ax2 –bx2 –bx + ax + a – b) x3 + x2 + x + 1 (a + b)2 – (m –n)2 a2 – 6ab + 8b2
Teoria de Conjuntos – Capítulo 1
Reflexão Há muitos problemas com os quais nos deparamos que podem ser resolvidos de várias formas. Algumas são mais diretas e simples, outras mais complexas e elaboradas. O papel da Matemática, nesses casos, é oferecer formas claras e simples de resolver tais problemas. Como muitos deles apresentam semelhanças, é comum se estabelecerem modelos matemáticos de resolução. Um desses modelos foi abordado neste capítulo quando utilizamos as operações com conjuntos na resolução de problemas lógicos. Determinar a quantidade de elementos que pertencem à intersecção e à união de dois ou mais conjuntos, bem como determinar a quantidade de elementos que cada conjunto possui, entre outras informações, foi de grande utilidade na resolução de diversos problemas de ordem prática. Além das aplicações aqui apresentadas, os conjuntos são utilizados assuntos da Matemática. Têm larga utilização também no cálculo de pro babilidades.
Referências DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Précálculo. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2009. IEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A.; DEGENSZAJN, D.; PERIGO, R. Matemática. V. Único. Editora Atual, 2006.
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SÉRATES, J. Raciocínio lógico: lógico matemático, lógico quantitativo, lógico numérico, lógico analítico, lógico crítico. 8. ed. Brasília: Jonofon Ltda, 1998. SILVA, S. M; SILVA, E. M.; SILVA, E. M. Matemática para os cursos de economia, administração e ciências contábeis . 4. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
No próximo capítulo No próximo capítulo, iniciaremos o estudo das equações matemáti dos tipos mais elementares e simples de equação, ela é de larga aplicação nas mais diversas áreas de atuação. Muitos problemas aplicados podem ser resolvidos com a simples aplicação de equação do primeiro grau. A
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2
o l
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem
As equações são utilizadas na resolução de muitos tipos de problemas. Com elas, montamos sentenças matemáticas que traduzem simbolicamente o problema em estudo. Utilizamos as equações, muitas organização, por exemplo, em análises sobre oferta e demanda de produtos, previsão de vendas, margem de contribuição, ponto de equilíbrio e diversos outros tipos de análises. Neste capítulo, estudaremos as equações do 1º grau e suas aplicações na resolução de situações-problema. . Veremos também os conceitos de razão e proporção que são em pregados em diversas situações do cotidiano, por exemplo, quando calculamos o consumo médio de um veículo encontramos uma razão. A partir desta razão, utilizamos a proporção para calcular o consumo total de combustível em certo percurso. Um cozinheiro sabe que a quantidade de ingredientes de um prato deve seguir uma proporção para que o sabor seja sempre o mesmo, não importando a quantidade que será preparada. manter as proporções entre as medidas reais do objeto. Veremos, nesse capítulo, como calcular razões e proporções, aplicandoas nas diversas situações-problema que encontramos no dia a dia, incluindo o cálculo de uma razão especial: a porcentagem.
u t í
p a
C
Objetivos da sua aprendizagem
Determinar a raiz de uma equação do 1º grau; Resolver problemas por meio de uma equação do 1º grau; Montar e calcular proporções;
Você se lembra? Em uma equação do 1º grau, por exemplo, x + 6 = 10, devemos determinar o valor que substitui a letra e torna a sentença verdadeira. Neste caso sabemos ser o número 4. As letras nas equações são chamadas de incógnitas e a solução também é chamada de raiz da equação.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
2.1 Equação do primeiro grau 2.1.1 Equação Segundo o dicionário Aulete1 1. Dispor (dados de um problema, de uma questão, de uma situação que pede solução) em forma de equação, para que sejam relacionados de modo a conduzir a uma solução. 2. Fig. Tratar um problema, situação etc. analiticamente, dispondo seus elementos de modo a poder operá-los na direção de uma solução, como numa equação. Em noticiários sobre política e economia é comum ouvirmos a palavra equacionar no sentido de encontrar uma solução para determinada situação. Na formatura da turma 2010 – 2012 do Instituto Rio Branco, em 20 de abril de 2012, a presidente Dilma Rousseff disse que é preciso equacionar três amarras existentes no País: a taxa de juros, a taxa de câmbio e a taxa de câmbio e os impostos altos são problemas que precisam ser solucionados, pois afetam o crescimento econômico do Brasil. A expressão “equacionar um problema” vem da matemática, onde em pregamos as equações na resolução de situações problema nos quais queremos encontrar um valor desconhecido. A equação traduz o problema em uma sentença matemática e utiliza letras para representar números desconhecidos. Veja alguns exemplos simples: A soma do dobro de um número com 5 é igual a 8. Qual é esse número? 2 x + 5 = 8 Metade de um número mais 10 é igual ao mesmo número menos 6. Qual é esse número?
B E S i n U
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x 2
+
10
=
x
−
6
Equação é uma sentença matemática, contendo uma ou mais incógnitas, expressa por uma igualdade. As incógnitas são valores desconhecidos e são representadas por letras.
1 http://aulete.uol.com.br/equacionarc
Matemática para Negócios
ax + b = 0, onde a e b são constantes da equação, com a x é a incógnita. Cada lado em relação ao sinal de igual é chamado membro. Veja um exemplo: 2 + 4 = 10
(1º membro)
(2º membro)
2.1.2 Raiz ou solução de uma equação Solução ou raiz de uma equação é o valor que, ao substituir a incógnita, torna a sentença verdadeira. Por exemplo, na equação 2 x + 4 =10 temos a solução x = 3, pois substituindo a incógnita x por 3, temos uma sentença verdadeira. Observe: 2 x + 4 = 10 3 6 + 4 =10
Para obter a raiz de uma equação do 1º grau, devemos isolar a incógnita “desfazendo” as operações realizadas com ela, ou seja, realizamos operações inversas até que reste apenas a incógnita em um dos membros da equação. A operação inversa da adição é a subtração e da multiplicação é a divisão. Note que os dois membros de uma equação são uma igualdade. Assim, para que a igualdade seja mantida, devemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir os dois mem bros pelo mesmo número. Como em uma antiga balança de braços iguais, para que seja mantido o equilí brio dos pesos, tudo o que for somado a um dos lados deve ser somado ao outro lado também. M O C . E M I T S M A E R D | L E S K O G N E R E
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
A balança de braços iguais é o tipo mais primitivo de balança e tem sido utilizada há aproximadamente 7 mil anos. Ela é formada por um cada extremidade pratos dependurados por cordas ou correntes. Quando a balança está em equilíbrio, ou seja, com o travessão exatamente na posi massa. Assim, em um dos pratos são colocados objetos de massa desconhecida e no outro são colocados diversos pesos padronizados que serão utilizados para equilibrar a balança e determinar a massa desconhecida. Suponha que uma balança esteja em equilíbrio e haja alguns objetos de massa desconhecida em um dos pratos. Se retiramos um objeto de um dos lados, será preciso retirar pesos do outro até que a balança volte ao equilíbrio. As equações funcionam de maneira semelhante. Vejamos alguns exemplos de como utilizar as operações inversas na solução de equações do 1º grau. a) x – 47 = 18. Para isolar a incógnita, desfazemos a subtração realizada com o x somando 47 aos dois membros da equação: x x
−
47
=
18
47 + 47
=
18 + 47
−
x
=
65
Na prática podemos resumir o processo de resolução escrevendo a operação inversa apenas em um dos membros da equação. Observe:
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x
−
x
−
47
=
18
18 + 47
x
=
65
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. x 65
−
47
=
−
47
18
=
18
=
18
18
Matemática para Negócios
b) 3 x = 135 Para isolar a incógnita, desfazemos a multiplicação realizada com o x dividindo por 3 os dois membros da equação: 3 x
135
3
x
3
1 x
x
135
3 45
45
Na prática podemos resumir o processo de resolução escrevendo a operação inversa apenas em um dos membros da equação. Observe: 3 x = 135
x
135
=
3
x
= 45
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. 3 x
=
3 45 ⋅
135
c) x 4
135
=
=
135
135
6, 75
Para isolar a incógnita, desfazemos a divisão realizada com o x multiplicando por 4 os dois membros da equação: x 4
x 4
⋅
4
=
6, 75
=
6, 75 4
x B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
=
⋅
27
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Na prática podemos resumir o processo de resolução escrevendo a operação inversa apenas em um dos membros da equação. Observe: x x
6, 75
=
4
6, 75 4
=
⋅
x
27
=
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. x 4 27
6, 75
4
6, 75
6, 75
6, 75
d) 5 x + 8 = 15 Nesta equação temos que o quíntuplo de um número somado a 8 é igual a 15. Primeiro devemos desfazer a soma subtraindo 8 em ambos os membros e depois desfazer a multiplicação dividindo ambos os mem bros por 5. 5 x
5 x
+
8
=
15
8
−
8
=
15
+
5 x
7
=
5
8
7
=
5 x
−
5
x = 1, 4
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Na prática podemos resumir o processo de resolução escrevendo apenas as operações inversas em um dos membros da equação. Observe: 5 x
+
8
5 x
=
15
5 x
=
5 x
=
x
=
=
15
−8
7 7 5
1, 4
Matemática para Negócios
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. 5 x
+
8
=
15
5 ⋅ 1, 4
+
8
=
=
15
7
8
+
15
=
15
15
e) 9 – 2 x = –1 Atenção a esta equação! Para isolarmos a incógnita, primeiro devemos “tirar” o 9 do primeiro membro da equação subtraindo 9 em ambos os membros. Depois dividimos ambos os membros por –2 que está multi plicando a incógnita. Observe: 9 9
−
2 x
−
9
=
2 x
−
2 x
−
=
2 x
−
1
=
−
−
10
−
10
=
2
1
−
−
9
2
−
−
x
5
=
A divisão de dois números negativos resulta em um número positivo.
Pelo processo prático, temos: 9
−
2 x
−
−
2 x =
2 x
=
−
=
1
−
1
−
−
9
10
10
−
x
=
2
−
x
5
=
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
9 9
−
−
9
2 x
2
−
−
⋅
5
10 1
=
=
−
=
=
−
−
−
1
1 1
1
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Para continuarmos o estudo sobre equações, precisamos relembrar alguns conceitos. As expressões algébricas são sentenças matemáticas nas quais aparecem números, letras e sinais das operações. As letras em uma expressão algébrica são chamadas de variáveis e representam um número qualquer. Expressões algébricas que apresentam apenas um termo são chama cando a parte literal, porém não é utilizado o sinal da multiplicação. São exemplos de monômios: 2 x x –3 xy xy x2 x2
literal.
Polinômio é uma soma algébrica de monômios, cada um dos quais é chamado de termo do polinômio. São exemplos de polinômios: 2a
x 2
x
+
−
5b
+
y
3x
+ −
3c 8
Os termos de um polinômio que apresentam partes literais iguais são chamados de termos semelhantes. Dois ou mais termos semelhantes podem ser reduzidos a um só termo, conservando a parte literal e soman sões algébricas. Observe os exemplos:
B E S i n U
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
x + 2 x = 3 x
Parte literal = x 3 xy – 2 xy + xy = 2 xy Parte literal = xy
Matemática para Negócios
Vejamos agora alguns exemplos de equações nas quais precisamos a) 3 x + 9 = 2 x + 16 Note que a incógnita aparece nos dois membros da equação. Para isolarmos a incógnita, precisamos deixar os termos semelhantes no mesmo membro. Utilizaremos apenas o processo prático da resolução, ou seja, sem realizar a mesma operação em ambos os membros da equação. 3 x
+
9
3 x
−
2x
x
2x
=
=
=
+
16
16
−9
7
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. 3 x
+
9
=
2x
3⋅7
+
9
=
2⋅ 7
+
21
+
9
=
14
16
30
=
+
+
16 16
30
b) 17 – 2 x = 3 x + 2 Para isolar a incógnita precisamos “tirar” o 17 do primeiro membro da equação e o 3 x do segundo membro. Acompanhe as passagens pelo processo prático. 17
−
x
−2
2 x
3x
−
x
−5
x
3x
+
2
2
−
17
=
x nos dois membros da equação.
= − 15
=
x
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
=
−15 −5 =
3
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. 17 17
2 x
=
3x
2⋅ 3
=
3⋅ 3
6
=
9
−
−
17
−
11
2
+
+
2
2
+
11
=
c) 4 x + 10 = x – 5 Pelo processo prático, temos: 4 x 4 x
10
+
x
−
3 x
x
x
=
−
5
= − 5 − 10 = − 15 −15
=
3
x =
−5
Substituindo x correto, pois encontramos uma sentença verdadeira. 4 x
+
10
10
= −
20
+
10
= −
10
+
x
=
26
−
−
+
−
2
x
4 ⋅ ( −5) −
d)
=
= −
5
5
−
5
10
10
x 2
Pelo processo prático, temos: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
2
x 3 2
+
x
=
−
x 2
x +
26
=
26
−
2
← Soma dos coeficientes de x:
2
x =
24
1+
1
2 =
2
1 +
2
3 =
2
2
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
24
x =
←
3 2
x = 24 ⋅
Em uma divis„o por fraÁ„o, multiplicamos o numerador pelo inverso do denom minador.
2 3
48 3 x = 16 x =
e)
x
=
10
−
2
x 3
Pelo processo prático, temos: x
=
10 −
2
x
3 x +
2 5 6
x
= 10
← Soma dos coeficientes de x:
3 1
x = 10
x =
10 5 6
x = 10 ⋅
1 +
2
←
3 =
3
2 +
6
5 =
6
6
Em uma divis„o por fraÁ„o, multiplicamos o num merador pelo inverso do denominador .
6 5
60 5 x = 12 x =
2.2 Inequação do primeiro grau
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Os princípios que norteiam a resolução de equações do primeiro grau são os mesmos utilizados para resolver inequações do primeiro grau. Uma inequação é uma desigualdade matemática. Uma inequação do primeiro grau é uma desigualdade que pode ser escrita em uma das formas seguintes: (I) ax + b > 0 (II) ax + b < 0 (III) ax + b 0 (IV) ax + b 0
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
quaisquer valores reais, com a 0 e x R. Para resolver uma inequação, o procedimento é semelhante à resolução de uma equação. Vamos ver o exemplo a seguir: Exemplo:
Resolver, em R, as inequações: c) 3 x – 8 > 0 d) –2 x + 5 e) 7 x – 4 < 2 x + 11 Vamos detalhar a resolução da equação do item (a). Nosso objetivo, assim como na resolução de uma equação, é isolar a incógnita x. Para isso, vamos, inicialmente, eliminar o valor –8 do membro esquerdo, somando 8 a ambos os lados da inequação 3 x – 8 + 8 > 0 + 8 3 x > 8 mente isolado. 3 x 3
x
8
3 8
3
Podemos representar o conjunto-solução da inequação como: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
S
= x ∈/ x >
x
8 ∈ , ∞ 3
8
3
ou
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Como a expressão “3x – 8” é uma expressão do primeiro grau, podemos escrevê-la como uma função de primeiro grau: y = 3x – 8. Seu 8 . Sendo assim, podemos repre3 + –
8 3
8
Repare que, à esquerda da raiz 3 x e, portanto, a função y = 3 x – 8 assume valores negativos. Já à direita da raiz, ela assume valores positivos. Como a inequação determina que devemos encontra os valores de x para os quais a expressão “3 x – 8” é maior que zero, então a sua solução indica que x deve ser maior que 8 (valores 3 que estão à sua direita). A resolução do item (b) ocorre da mesma forma, mas veja o que acontece no seu desenvolvimento: 2 x 5 5 0 5 2 x 5
sitivo multiplicando toda a inequação por “–1”, mas é preciso tomar certo cuidado, pois quando há uma relação de desigualdade ela será invertida. Por quê? Considere, por exemplo, a desigualdade “2 < 3”. Se multiplicarmos os termos dessa desigualdade por “–1”, deveremos escrever “–2 > –3”. Continuando a resolução da inequação do item (b), temos: 2 x 5 2 x 5 5 x 2
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
( 1)
5 2
S x R / x
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Abaixo, a resolução do item (c): 7 x 4 2 x 11 7 x 2 x 11 4 5 x 15 15 x 5 x 3 S
{x R / x 3}
Vamos ver uma aplicação para a inequação. Exemplo
Certa utilidade tem função lucro total L (em milhares de reais) dada por L( x) 3x 1500 , em que x é a quantidade produzida, em toneladas. Para que valores de x essa utilidade gera lucro (função lucro positiva)? Para resolver o problema, devemos fazer:
L( x) 0
3 x 1500 0 3 x 1500 1500 x 3 x 500 ton.
Portanto, a produção deve superar 500 toneladas.
2.3 Razão e proporção B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
2.3.3 Razão Na linguagem matemática, razão é a comparação entre duas grandezas. A razão entre dois números é o resultado da divisão (quociente) entre eles. Assim, podemos representar a razão entre os números x e y como x:y ou x (lê-se x para y), com y diferente de zero. O numerador (x) y
é chamado de antecedente e o denominador (y) de consequente.
Matemática para Negócios
Um exemplo do emprego da razão é na tela das televisões. Nas televisões mais antigas a razão entre a largura e a altura das telas é de 4:3, enquanto que as televisões mais modernas a razão é de 16:9 (telas wild screen). Outro exemplo é no preparo de alguns sucos, onde vemos nas instruções que a mistura deve seguir uma razão entre a quantidade de suco concentrado e a quantidade de água. Há diversas razões muito utilizadas em nosso dia a dia, tais como candidatos por vaga em vestibulares, velocidade média e escalas em mapas. No vestibular da Fuvest 2012, por exemplo, o curso de medicina obteve uma razão de 51,18 candidatos por vaga, que é obtida pelo quociente entre a quantidade de candidatos e a quantidade de vagas. A velocidade média é a razão obtida entre uma distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Por exemplo, uma distância de 400 km foi percorrida 5 horas. Assim, temos: Velocidade média
400 km
5 horas
80 km/h
Sabemos que durante uma viagem, a velocidade oscila aumentando e diminuindo durante o percurso, portanto, esta velocidade média indica que a cada hora percorreu-se uma média de 80 km, não que a velocidade tenha sido constante durante todo o percurso. A escala numérica utilizada em mapas é representada sob a forma de uma divisão ou uma fração. A distância no mapa é indicada pela unidade do numerador e a distância real correspondente é indicada pelo denominador, sempre em centímetros. Por exemplo, a escala
1:1000
1 ou
1000
(lê-se
1 para 1.000) indica que 1 cm no mapa representa 1.000 cm na distância real, ou seja, 1 cm no mapa equivale a 10 metros na distância real. Vejamos outros exemplos: Exemplo B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
O shinkansen – trem bala japonês – percorre a distância entre Tóquio e Nagoya em 96 minutos. Sabendo que a distância é de 366 km, determine a velocidade média, em km/h, alcançada pelo trem.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
M O C . E M I T S M A E R D | 6 6 6 D O P
Resolução
Se utilizarmos o tempo de 96 minutos na razão, a velocidade média será expressa em km/min, então precisamos transformar 96 minutos em que é igual a 1,6 horas. Para transformar minutos em horas, basta dividir o tempo, em minutos, por 60, pois uma hora tem 60 minutos. Veja alguns exemplos: 30min
60
0, 5 h
75 min 60
1, 25 h
Montando a razão da velocidade média, temos: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Velocidade média
366 km
1, 6 horas
228, 75 km/h
Resposta: a velocidade média é de 228,75 km/h. Exemplo
Para percorrer um trajeto de 100 km, o carro de Murilo consumiu 8 litros de etanol. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido?
Matemática para Negócios
Resolução
A razão entre a distância percorrida e o combustível consumido é representada pela divisão dos valores dessas grandezas, nesta respectiva ordem. Assim, temos: 100 km
Razão
8 litros
12,5 km / litro
Resposta: a razão é 12,5 km/l. Note que se a ordem das razões for alterada, teremos: Razão
8 litros
100 km
0,08 litro / km
Exemplo
Certa bebida é vendida por R$ 5,50 em latas de 250 ml e por Estas razões indicam o consumo médio de combustível do carro. A priR$ 8,00 em latas de 350 ml. Qual das duas embalagens é mais eco- 12,5 km a cada litro de combustível consuminômica para o consumidor? do. A segunda razão informa a quantidade de
percorrido, ou seja, 0,08 l/km.
Resolução
Para saber qual é a opção mais econômica, podemos determinar quantos mililitros da bebida são comprados a cada real, ou seja, a razão de mililitros por real. Assim, temos: Lata de 250 ml Razão
250 ml
5,5 reais
45, 45 ml / real
Lata de 350 ml B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Razão
350 ml
8 reais
43,75 ml / real
Resposta: a opção mais econômica é aquela que compra mais mililitros por real, ou seja, a lata de 250 ml.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2 M E R Y L L | D R E A M S T I M E . C O M
Exemplo
Suponha que o consumo do seu carro na estrada é de 11 km/l movido a etanol e 16 km/l a gasolina. O litro do etanol custa R$ 1,80 e da gasolina R$ 2,60. Calcule qual é a opção mais econômica. Resolução
Para saber qual é a opção mais econômica, podemos determinar quantos quilômetros são percorridos com cada real, ou seja, a razão de quilômetros por real. Como já temos a razão km/l e sabemos o preço de cada litro de combustível, substituiremos na razão a grandeza “litro” pelo seu preço. Assim, temos: Etanol Razão
11 km / l
11 km
1l
11 km
1,80 real
6,11 km / real
Gasolina Razão
16 km / l
16 km
1 l
16 km
2,60 real
6,15 km / real
Resposta: a opção mais econômica é aquela que percorre mais quilômetros por real, ou seja, utilizar gasolina.
2.3.4 Proporção B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Uma igualdade entre duas razões é chamada de proporção podendo ser representada como: a b
c
(lê-se a está para b assim como c está para d )
d
onde: a, b, c e d são chamados de termos; a e d são chamados de extremos (1º e 4º termos); b e c são chamados de meios (2º e 3 º temos).
Matemática para Negócios
Considere, por exemplo, as razões razões são iguais a 2. Assim, temos: 4 2
4 2
6
e
. Sabemos que ambas as
3
6
3
Note que outras razões também são iguais a 2. Assim, podemos montar uma série de razões iguais ou proporções múltiplas. Por exemplo: 4 2
6
3
8
4
10
5
Apresentaremos agora duas propriedades das proporções que utilizemos mais adiante na resolução de situações problemas que são comuns no dia a dia.
2.3.4.1 Propriedades das proporções Propriedade fundamental :
em toda proporção, o produto (multi plicação) dos meios é igual ao produto dos extremos. Assim, temos: Se a c b
d
Por exemplo,se
2 4
3
6
Propriedade da soma (ou diferença) dos antecedentes e dos consequentes: a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes de
uma proporção, assim como a razão entre um dos antecedentes para seu respectivo consequente. Se aplicarmos a subtração (diferença) ao invés da soma, a propriedade se mantém. Assim, temos: Se
a b
c =
d
, ent„o
Por exemplo, se Logo,
2 4
=
5 10
e
a+c
a =
b + d
2 4 3 6
=
=
3 6 5
b
ou
, ent„o
10
a+c
c
b + d
2+3 4+6
=
=
d
5 10
.
porção é verdadeira. Observe:
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2
5 =
4
→
10
5⋅ 4
= 10 ⋅ 2 →
20
=
20
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Esta propriedade também é válida nas proporções múltiplas. Por exemplo: Se
2
3
4
=
, então
2 + 3+ 4
9
. 6 8 3 + 6 + 8 18 9 Se, = e assim sucessivamente. 3 18 3 2
=
=
Utilizamos esta propriedade na divisão de lucros entre sócios, nos casos em que as partes investidas pelos sócios não são iguais, ou seja, na divisão do lucro proporcional ao investimento. Encontramos na história da matemática dois feitos muito interessantes empregando as proConexão: Veja como Tales de porções. Tales de Mileto calculou a altura da Mileto calculou a altura da pirâmide de Quéops, no século VI a.C., utilipirâmide de Quéops neste zando a proporção entre a altura e a sombra de vídeo, disponível em http://www. youtube.com/watch?v=cWkU6 objetos, que é uma aplicação das proporções fGoYA8&feature=related de triângulos semelhantes. Ele sabia que num mesmo momento do dia, as razões entre as alturas de dois objetos e os comprimentos de suas som bras projetadas no chão são iguais. Assim, é possível calcular a altura de um prédio, sem a necessidade alcançar seu topo, medindo o comprimento de sua sombra projetada no chão e fazendo uma proporção com a altura e o comprimento da sombra de outro objeto cuja altura seja conhecida. M O C . E M I T S M A E R D | T D L O W K C E R B N A D
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Para ilustrar esta história, faremos um exemplo calculando a altura de um prédio. Suponha que um muro de 2 metros de altura esteja proje
Matemática para Negócios
tando no chão uma sombra de 1 metro de comprimento, no mesmo instante em que um prédio projeta no chão uma sombra de 6 metros de com primento. Podemos dizer que a altura do muro está para o comprimento de sua sombra, assim como a altura do prédio está para o comprimento de sua sombra. Logo, a altura desse prédio pode ser determinada por meio da seguinte proporção: x
2 =
1 1 x
x
6
=
2 6 ⋅
12
=
Assim, descobrimos que o prédio tem 12 metros de altura. Conexão Outro feito incrível foi realizado por Veja como Eratóstenes calculou a circunferência da Eratóstenes, no século III a.C., que conseguiu Terra neste vídeo, disponível determinar o diâmetro da Terra utilizando uma em http://www.youtube.com/ watch?v=VWU1YoFZIzU proporção. Para isso ele utilizou conhecimentos das circunferências. Vejamos agora alguns exemplos aplicando as propriedades: Exemplo
Calcule o valor de x na proporção
12
9
30 x
Resolução
Aplicando a propriedade fundamental, temos: 12 30
9 =
12 x B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
x
=
30 9 ⋅
270
x
=
x
=
12 22, 5
Resposta: o valor de x na proporção é 22,5.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Exemplo
Um arquiteto planeja construir a maquete de um imóvel que tem 75 metros de altura usando uma escala de 1:200. Qual será a altura da maquete? Resolução
A razão de 1:200 indica que cada 1 cm da maquete representa 200 cm na medida real do imóvel, ou seja, 1 cm na maquete representa 2 m no imóvel. Montando a proporção, temos que 1 cm na maquete está para 2 m no imóvel, assim como x cm na maquete está para 75 m no imóvel. 1 2
x =
2 x
75
=
1 75 ⋅
75 x
x
=
=
2 37, 5
cm
Resposta: a altura da maquete será de 37,5 centímetros. Exemplo
Em um mapa de escala 1:1.000.000, a distância entre duas cidades é de 60 cm. Supondo que um avião percorra esta distância em 2 horas, determine a razão que representa a velocidade média desse percurso. M O C . E M I T S M A E R D | D E T I M I L N U S E L U J
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Resolução
1º) Determinamos a distância real entre as duas cidades.
Matemática para Negócios
A razão de 1:1.000.000 indica que cada 1 cm do mapa representa 1.000.000 cm na medida real. Primeiro convertemos 1.000.000 cm para metros. Para isso, dividimos 1.000.000 cm por 100. Agora sabemos que 1 cm no mapa representa 10.000 m. Ainda podemos converter 10.000 m para quilômetros. Para isso, dividimos 10.000 m por 1.000. Assim, temos que 1 cm no mapa representa 10 km. Montando a proporção, temos que 1 cm no mapa está para 10 km na medida real, assim como 60 cm no mapa está para x km na medida real. 1
60 =
10 1 x
x
=
=
x
10 60 ⋅
600 km
Assim, descobrimos que a distância real entre as duas cidades é de 600 km. 2º) Determinamos a velocidade média. Sabendo que a distância de 600 km é percorrida em 2 horas, determinamos a velocidade média por meio da seguinte razão: 600 km 2 horas
300 km / h
Resposta: a velocidade média é de 300 km/h. Exemplo 8
A razão entre a produção de 2 máquinas de uma fábrica é de 19 para duziu cada máquina? Resolução
A razão 19 para 20 indica que a cada 39 peças produzidas, uma máquina produz 19 e a outra 20. Assim, para determinar quantas peças produziu a primeira máquina, montamos a proporção 19 peças está para 39, assim como x peças está para 2340. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
19 x 39 2340 39 x 19 2340 44460 x 39 peÁas x 1140 =
=
=
=
⋅
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Para descobrir o número de peças produzidas pela outra máquina, basta subtrair 1140 de 2340, ou seja, 1200 peças. Resposta: uma máquina produziu 1140 peças e a outra 1200 peças. Exemplo
Dois sócios dividem o lucro da empresa proporcionalmente ao total de vendas de cada um. Dividia o lucro de R$ 6.000,00 entre eles, sabendo que o primeiro vendeu R$ 8.000,00 e o segundo vendeu R$ 7.000,00. Resolução
Organizamos as informações do enunciado na seguinte tabela: Sócios
Vendas
A B
Lucro
R$ 8.000,00 R$ 7.000,00
a b
Assim, chamaremos de a o lucro do sócio A e de b o lucro do sócio B. O lucro total a ser dividido é de R$ 6.000,00, ou seja, a + b = R$ 6.000,00. Utilizando a propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes, temos: a
8000
b =
7000
=
a+b
8000 + 7000
=
6000 15000
=
0, 4
Assim, determinamos o lucro de cada sócio da seguinte maneira: Lucro do sócio A a 8000 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
=
0, 4
a
=
0, 4 8000
a
=
3200
⋅
Lucro do sócio B b 7000
=
0, 4
b
=
0, 4 7000
b
=
2800
⋅
Resposta: o sócio A recebeu R$ 3.200,00 e o sócio B recebeu R$ 2.800,00.
Matemática para Negócios
Exemplo :
Duas pessoas constituíram uma sociedade com o capital de R$ 90.000 e R$ 76.000, respectivamente. A primeira recebeu, na divisão do lucro, R$ 1.722 a mais que a segunda. Calcule o lucro de cada uma delas. Resolução:
Organizamos as informações do enunciado na seguinte tabela: Sócios
Vendas
A B
Lucro
R$ 90.000,00 R$ 76.000,00
a b
Assim, chamaremos de a o lucro do sócio A e de b o lucro do sócio B . O sócio A recebeu R$ 1.722,00 a mais que o sócio B, ou seja, a – b = 1722. Utilizando a propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes, temos: a
90000
b =
76000
a =
90000
−
b
76000
−
1722 =
14000
=
0,123
Agora determinamos o lucro de cada sócio: Lucro do sócio A a 90000
a
=
a
=
=
0,123
0, 123 90000 ⋅
11070
Lucro do sócio B b 76000
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
=
0,123
b
=
0,123 76000
b
=
9348
⋅
Resposta: o sócio A recebeu R$ 11.070,00 e o sócio B recebeu R$ 9.348,00.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Exemplo
Três sócios empregam, respectivamente, os capitais de R$ 18.000, R$ 22.500 e R$ 27.000 na compra de um terreno que foi vendido por R$ 81.000. Qual será a parte de cada um? Resolução
Organizamos as informações do enunciado na seguinte tabela: Sócios
Vendas
A B C
Lucro
R$ 18.000,00 R$ 22.500,00 R$ 27.000,00
a b c
Assim, chamaremos de a o valor a ser recebido pelo sócio A, de b o valor a ser recebido pelo sócio B e de c o valor a ser recebido pelo sócio C. O valor total a ser dividido é de R$ 81.000,00, ou seja, a + b + c = R$ 81.000,00. Utilizando a propriedade da soma dos antecedentes e dos consequentes, temos: a
b =
18000
22500
c =
27000
=
a+b+c
18000 + 22500 + 27000
=
81000 67500
=
1, 2
Agora determinamos o valor a ser recebido por cada sócio: Sócio A Sócio B a 18000
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
a
=
a
=
=
b
1, 2
22500
1, 2 18000
b
=
21600
b
=
⋅
=
1, 2
1, 2 22500 ⋅
27000
Sócio C c 27000
c
=
c
=
=
1, 2
1, 2 27000 ⋅
32400
Resposta: o sócio A recebeu R$ 21.600,00, o sócio B recebeu R$ 27.000,00 e o sócio C recebeu R$ 32.400,00.
Matemática para Negócios
2.4 Operações com porcentagens 2.4.1 Porcentagens
Conexão:
Para entender melhor o que é a proporção áurea, assista ao vídeo “Encontro inusitado”, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/ recursos/1095
No mercado financeiro a porcentagem é aplicada a diversas situações, por exemplo, aumentos, lucros, prejuízos, taxas de juros que remuneram as aplicações e os empréstimos. Na estatística é utilizada na descrição de dados e no cálculo de probabilidades. Uma das funções da porcentagem é de facilitar a comparação entre quantidades. Por exemplo, quando dizemos que a gasolina vendida nos postos é uma mistura com 20% de etanol, sabemos que a cada 100 litros da mistura há 20 litros de etanol e 80 litros de gasolina. Os números percentuais podem ser representados com o símbolo de porcentagem, na forma de frações centesimais, que são frações de denominador igual a 100, ou números decimais. Veja os exemplos: Porcentagem
50% 25% 10% 5% 2,5%
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
1% 0,5%
Fração centesimal 50 100
25 100 10 100
5 100
2, 5 100 1 100
0, 5 100
Número decimal
0,50 ou 0,5 0,25 0,10 ou 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Observe que para transformar o número na forma de porcentagem em fração, basta retirar o sinal % e utilizar o denominador 100. Como a fração re presenta uma divisão, ao dividirmos por 100 encontramos o número decimal. Para transformar o número decimal em porcentagem basta multiplicá-lo por 100 e acrescentar o sinal %.
2.4.2 Porcentagem de uma quantidade Para obter 12% de R$ 500,00 efetuamos o seguinte cálculo: 12% de R$ 500,00
Vimos que basta transformar a porcentagem em um número decimal e multiplicar pelo valor da quantidade. Outra maneira é por meio da regra de três. Montamos duas colunas, uma da porcentagem e outra da quantidade. O valor inicial a partir do qual queremos calcular a porcentagem representa 100%. % 100 12
R$ 500 x
100 x
=
12 500 ⋅
6000
x
=
x
=
100 60
2.4.3 Operações de compra e venda
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Podemos ter duas situações em operações de compra e venda: lucro ou prejuízo. Quando o preço de venda de um produto é maior que o preço de custo, dizemos que houve lucro, ou seja, a diferença entre o preço de venda e o preço de custo é um valor positivo. Quando o preço de venda é menor que o preço de custo, dizemos que houve prejuízo, ou seja, a diferença entre o preço de venda e o preço de custo de um produto é um valor negativo. O lucro ou o prejuízo podem ser expressos na forma de porcentagens com base no preço de custo ou no preço de venda. Por exemplo, uma mercadoria comprada a R$ 10,00 e vendida a R$ 20,00, gerou um lucro de R$ 10,00. Neste caso, o lucro sobre o preço de custo é de 100%, pois R$ 10,00 representa 100% do preço de custo (R$ 10,00). O lucro sobre o pre-
Matemática para Negócios
ço de venda é de 50%, pois R$ 10,00 representa 50% do preço de venda (R$ 20,00). Observe: Lucro sobre o preço de custo
Lucro sobre o preço de venda
lucro
preço de custo
10
lucro
preço de venda
10
1 100%
10
20
0,5
50%
Da mesma maneira, podemos representar o prejuízo percentual so bre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
2.4.1 Fator de multiplicação Para facilitar operações de acréscimos ou decréscimos percentuais, podemos utilizar o fator de multiplicação. Considerando um valor inicial como 100%, ao aumentá-lo em 15% obtemos 115% do valor inicial. Assim, para aumentar um valor em 15%, basta multiplicá-lo por 1,15. Veja alguns exemplos: De modo análogo, ao reduzir um valor em 15%, obtemos 85% do valor inicial. Assim, para subtrair 15% de um valor, basta multiplicá-lo por 0,85. Veja alguns exemplos:
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Vejamos mais alguns exemplos:
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
Exemplo
O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. Qual o valor do preço de custo? Resolução
Sabendo que houve um aumento de 25% sobre o preço de custo, o preço de venda representa 125% do preço de custo. Utilizando o fator de multiplicação, o preço de venda é calculado multiplicando o preço de custo por 1,25. Chamaremos o preço de custo de x, pois é o valor que queremos determinar. Assim, temos: 1, 25 x ⋅
=
100
100
x
=
x
=
1, 25 80
Resposta: o preço de custo é de R$ 80,00. Outro modo de obter o valor de venda é por meio de uma regra de três. Observe: R$ 100 x
% 125
1, 25 x ⋅
100
=
100
100
x
=
x
=
1, 25 80
Exemplo
Quanto paguei por um automóvel, se ao vendê-lo por R$ 28.000,00, obtive um prejuízo de 20% sobre o preço de custo? B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Resolução
Sabendo que houve um prejuízo de 20% sobre o preço de custo, o preço de venda representa 80% do preço de custo. Utilizando o fator de multiplicação, o preço de venda é calculado multiplicando o preço de custo por 0,8. Chamaremos o preço de custo de x, pois é o valor que queremos determinar. Assim, temos: 0, 8 x ⋅
=
28.000
28.000
x
=
x
=
0, 8 35.000
Matemática para Negócios
Resposta: o preço de custo foi de R$ 350,00. Outro modo de obter o valor de compra é por meio de uma regra de três. Observe: R$ 28.000 x
% 80 100
80 x
=
28.000 100 ⋅
2.8000.000
x
=
x
=
80 35.000
Exemplo
Vendi um imóvel por R$ 230.00,00 obtendo com um lucro de 15% sobre o preço de compra. Meu lucro foi de quantos reais? Resolução
Neste caso não é necessário encontrar o preço de compra, pois queremos determinar apenas o valor do lucro que é de 15% sobre o preço de compra. O preço de venda representa 115% do preço de custo. Montando uma regra de três, temos: R$ 23.000 x
% 115 15
115 x
=
230.000 15 ⋅
3.450.000
x
=
x
=
115 30.000
Resposta: o lucro foi de R$ 30.000,00. Exemplo
Uma pessoa investiu R$ 10.000,00 em ações. No primeiro mês ela perdeu 10% do total investido e no segundo mês ela recuperou 10% do que havia restado. b) Qual foi o seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, so bre o valor do investimento inicial? Resolução B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
1º mês: perdeu 10% de R$ 10.000,00, ou seja, restaram 90% de R$ 10.000,00.
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
2º mês: recuperou 10% do que havia restado no 1º mês, ou seja, Utilizando os fatores de multiplicação, podemos resolver esta conta em uma única etapa. Redução de 10%: fator de multiplicação = 0,9 Aumento de 10%: fator de multiplicação = 1,1 Multiplicando o valor inicial de R$ 10.000,00 pelos fatores, temos: b) Qual foi o seu prejuízo após os dois meses, em porcentagem, so bre o valor do investimento inicial? Valor inicial de R$ 10.000,00. Prejuízo foi de R$ 100,00. Para calcular o prejuízo, em porcentagem, montamos uma razão entre o prejuízo e o valor inicial. 100 10.000
0, 01
1%
Resposta: o prejuízo sobre o investimento inicial foi de 1%. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
Exemplo
Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista com 10% de desconto sobre o preço da tabela ou com um acréscimo de 5% so bre o preço da tabela para pagamento após 30 dias. Um artigo que à vista sai por R$ 1.125,00, custaria quanto no pagamento após 30 dias?
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Resolução
Preço à vista: R$ 1.125,00 Compra à vista: desconto de 10% sobre o preço da tabela
Matemática para Negócios
Compra a prazo: acréscimo de 5% sobre o preço da tabela O preço à vista representa 90% do preço da tabela e o preço a prazo representa 105% do preço da tabela. Não é necessário encontrar o preço da tabela, apenas o preço a prazo. Montando uma regra de três, temos: R$ 1.125 x
% 90 105
90 x
x x
=
1.125 105 ⋅
118.125 =
=
90 1.181, 25
Resposta: custaria R$ 1.181,25 no pagamento após 30 dias.
Atividades 01. Subtrair 3 do triplo de certo número é a mesma coisa que adicionar 5
ao dobro desse número. Qual é esse número? 02. Jean e Érica repartiram R$ 810,00 de modo que Érica recebeu
R$ 32,00 a mais que Jean. Quantos reais recebeu cada um? 03. Para comprar computador que custa R$ 1.950,00, Marli precisa do
dobro da quantia que possui mais R$ 300,00. Quantos reais tem Marli? 04. Um retângulo tem 142 cm de perímetro. O seu comprimento é 10 cm
menor que o dobro da largura. Quanto mede cada lado desse retângulo? 05. Eduardo tem 15 anos e Ana tem 12. Daqui a quantos anos a soma de
suas idades será 61 anos? 06. Em um açougue o quilo da picanha custa R$ 23,00 a mais que o quilo
da linguiça. Comprando três quilos de linguiça e dois de picanha, o gasto total é de R$ 106,00. Qual o preço do quilo da picanha? B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
07. Luana, Tiago e Fernando são irmãos. Luana é 3 anos mais nova que
Tiago e Fernando é 5 anos mais novo que Luana. Sabendo que a soma de suas idades é 85 anos, qual a idade de cada um?
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
08. (UFPE) Em um teste de 16 questões, cada acerto adiciona 5 pontos
e cada erro subtrai 1 ponto. Se uma estudante que respondeu a todas as questões obteve um total de 38 pontos, quantas questões ele errou? 09. João fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 4 horas. Qual a razão
10. Leia a seguinte notícia sobre o concurso do INSS.
A Fundação Carlos Chagas divulgou novas listas de inscritos no concurso do Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) para 1.875 vagas. No total são 921.136 inscritos, sendo 909.337 para 1,5 mil vagas de técnico do seguro social e 11.799 para 375 vagas de perito médico previdenciário. Fonte: g1.com
Determine as razões de candidatos por vaga (a) para o cargo de técnico do seguro social e (b) para o cargo de médico previdenciário. 11. Sabendo que certo carro com motor bicombustível faz 8 km/l movido
a etanol, que custa R$1,70 o litro, e 11 km/l movido a gasolina, que custa R$ 2,50 o litro, determine qual opção de combustível é mais vantajosa. Explique a resposta por meio da razão. 12. A distância entre dois pontos num mapa de escala 1:250.000 é de
20 cm. Qual a distância real entre estes pontos? 13. A distância real entre duas cidades, em linha reta, é de 100 km e num
mapa é de 20 cm. Qual é a escala desse mapa? B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
14. Num terreno a área construída corresponde a
3 4
da área total, ou seja,
a razão entre a área construída e a área total é de 3 para 4. Sabendo que a área construída é de 288 m2, determine a área total do terreno. 15. Em uma sala, a razão entre o número de homens e mulheres é de 3 para
4. Sabendo que há 18 homens, qual é o total de pessoas nessa sala?
Matemática para Negócios
16. A razão entre a produção de duas máquinas A e B é de 4 para 5. Sa-
a produção de cada uma? 17. Três sócios apuraram um lucro de R$ 25.600,00. Sabendo que inves-
tiram, respectivamente, R$ 24.000,00; R$ 22.000,00 e R$ 18.000,00; qual era a parte do lucro de cada um? 18. Dois sócios investiram, respectivamente, R$ 56.500,00 e R$ 42.500,00.
Na divisão do lucro, o primeiro recebeu R$ 518,00 a mais que o segundo. Quanto recebeu cada sócio? 18. Resolva as seguintes inequações: a)
3 x 1 2 x 7
c)
x
b)
8 9 x 7
d)
0, 2 x
4
8
3x 1 5 3
x
3
x 0,7
Reflexão As porcentagens apresentam uma vasta aplicação em nosso cotidiano. O domínio dos conceitos vistos neste capítulo são imprescindíveis para quem lida com compra e venda de bens, pois a todo momento necessita das porcentagens para realizar cálculos de descontos, comissões, lucros e prejuízos. Vimos também a relação existente entre as frações e as porcentagens. Sabendo transformar frações em porcentagens, é possível resolver problemas que envolvam frações utilizando as porcentagens.
Leitura recomendada
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
O livro As Grandes Equações, escrito pelo Professor Robert P. Crease, conta a história de equações que originaram grandes descobertas Esta sugestão de leitura tem o intuito de mostrar a importância das equações no momento histórico em que foram criadas. Segundo o autor, estas grandes equações remodelaram a percepção do universo. Na natureza encontramos uma razão muito especial chamada de “razão áurea”. Artistas utilizam esta razão para tornar obras mais atraen-
Equações e Inequações do Primeiro Grau, Razão, Proporção e Porcentagem – Capítulo 2
tes. Na famosa sequência de Fibonacci a razão áurea também é encontrada. Veja o que é a “razão áurea” nos endereços: numeros_ouro/retangulo_aureo.html ist=UL
Referências Bibliográficas CRESPO, Antôni Arnot. Matemática Financeira e Comercial . São Paulo: Saraiva, 2009. IEZZI, Gelson et al. Fundamentos da Matemática Elementar . Volume 6. São Paulo: Atual, 2004 PIMENTEL, Adriano Cesar dos Santos. Matemática . Coleção: Técnico e Analista – Tribunais. São Paulo: JusPodivm, 2012. ROONEY, Anne. A História da Matemática . São Paulo: M.Books, 2012. SILVA, Sebastião M. Matemática Básica para Cursos Superiores . São Paulo: Atlas, 2002. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
No próximo capítulo No próximo capítulo, você verá uma aplicação muito interessante das equações do primeiro grau no estudo de funções de primeiro. Você verá a representação, através de funções matemáticas, da relação entre custo e quantidade produzida, entre preço e quantidade demandada, entre outras.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Minhas anotações:
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3
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro
Em todas as áreas do conhecimento, há diversos tipos de relações entre variáveis. A velocidade que varia de acordo com o tempo, a demanda que relaciona-se com o preço, o custo que depende da quantidade produzida, o volume de vendas que depende do investimento em propaganda são podem ser descritos através de fórmulas matemáticas que são denominadas funções. Neste capítulo, estudaremos um tipo es aplicações
o l
u t í
p a
C
Objetivos da sua aprendizagem Estabelecer relação entre o custo de produção de certa utilidade em função de sua quantidade produzida; Compreender o que é uma função matemática; Reconhecer uma função do primeiro grau; Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto; Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.
Você se lembra? Você se lembra das vezes em que calculou, numa expressão matemática, o valor de y em função do valor atribuído a x (ou o contrário)? Geralmente, realizamos tais cálculos, mas sem propósitos práticos. Vamos retomar esse tipo de cálculo relacionando-o com situações práticas de nosso cotidiano. Conhecer a forma de relação entre variáveis é fundamental para que possamos, por exemplo, fazer estimativas e projeções, estabelecer metas de produção ou venda, entre tantas outras situações.
Matemática para Negócios
3.1 Função linear, gráfico e crescimento/ decrescimento 3.1.1 Equação do primeiro grau Em nosso cotidiano, mesmo sem perceber, estamos envolvidos por diversos tipos de funções. A relação existente, por exemplo, entre o consumo de água em nossa casa e o valor que iremos pagar, o tempo para cumprir um trajeto e a velocidade desenvolvida, a quantidade de açúcar para adoçar certa quantidade de suco, a quantidade de itens comprados e o valor a ser pago, entre tantas outras situações em que há a relação entre duas (ou mais) grandezas, que chamaremos de variáveis. analisadas com certa precisão. Considere, por exemplo, a quantidade de itens produzidos que determina o custo total envolvido nessa produção; a receita total obtida com a venda de uma utilidade que depende da quantidade vendida; o lucro com a venda de certa utilidade que, entre outras coisas, depende também da quantidade vendida; o volume de vendas (demanda) tem relação com o preço praticado; a quantidade ofertada de certo produto, no mercado, relaciona-se com o preço desse produto. É lógico que tais relações não são exclusivas. Por exemplo, a quantidade ofertada de certo produto, no mercado, tem relação com o preço que está sendo praticado, mas também depende de outras variáveis tais como mentos para aquisição desse produto, os preços dos produtos similares concorrentes, entre tantas outras. No entanto, conhecer individualmente cada uma das relações entre a variável de interesse volume de vendas e as variáveis que Conexão: de certa forma provocam alteração de Um vídeo interessante sobre aplicações de funções está disponível seus valores é imprescindível para se no endereço: http://revistaescola.abril. ter informações importantes sobre a com.br/matematica/pratica-pedagogica/vide variável de interesse. Ele apresenta uma experiência de uma profes Neste capítulo estudaremos sora do ensino fundamental que trabalhou com um tipo de função que conhecemos por função do primeiro grau. É uma ferir, pois nele são apresentados alguns das formas mais elementares de funprocedimentos que faremos no estudo de funções. nidade de aplicações.
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Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Uma ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “máquina” que produz um valor y quando nela inserimos um valor x. Há uma “transformação” da variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórmula matemática que relaciona valores de dois conjuntos. Considere dois conjuntos A e B. Uma função matemática entre A e B, nessa ordem, é uma relação que associa a cada um dos elementos de capítulo estudaremos a função de primeiro grau, que é aquela que pode ser escrita na forma: y = ax + b
ou
f ( x ) = ax + b
em que a e b são valores reais quaisquer, com a 0. A letra a é denominada o (ou de inclinação ) da reta, então o valor de a determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). A letra b é o (ou intercepto ) da função e de de primeiro grau) cruza com o eixo vertical (que é também conhecido por eixo y). x O conjunto de valores x numa numa função de primeiro grau não função é denominado domínio da pode assumir valor zero porque, se isso função e denotado por D(f). Já os acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma função constante valores de y que são relacionados (aquela cujo valor não varia mesmo quando aos valores do domínio constialteramos o valor de x ). tuem um conjunto denominado Imagem da função, denotado por Im(f). É comum utilizarmos as letras x e y para representarmos as variáveis em uma função matemática. No entanto, podemos utilizar as letras que quisermos. Quando, por exemplo, relacionamos o custo de produção de determinada utilidade com a sua quantidade produzida, utilizamos as letras C e q para representar tais variáveis. Vamos ver, inicialmente, dois exemplos de funções do primeiro adiante, veremos algumas aplicações.
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Matemática para Negócios
Exemplo
Considere a função f ( x ) = 2 x + 3 . Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3. Se x = –2, então f ( −2 ) = 2 ⋅ ( −2 ) + 3 = −4 + 3 = −1. Se x = –1, então f ( −1) = 2 ⋅ ( −1) + 3 = −2 + 3 = 1. Se x = 0, então f ( 0 ) = 2 ⋅ 0 + 3 = 0 + 3 = 3. Se x = 1, então f (1) = 2 ⋅ 1 + 3 = 2 + 3 = 5. Se x = 2, então f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 + 3 = 4 + 3 = 7 . Se x = 3, então f ( 3) = 2 ⋅ 3 + 3 = 6 + 3 = 9 . Podemos apresentar os resultados acima numa tabela: x
f(x)
–2 –1 0 1 2 3
–1 1 3 5 7 9
Tabela 3.1 – Valores da função f(x) = 2x + 3.
Note que os valores de x que escolhemos estão variando de uma em uma unidade. Já os valores calculados de y variam de duas em duas. Isso já a) da função dada é igual a 2. Ele determina qual será a variação de y cada vez que x aumenta uma unidade. Os valores da tabela representam apenas alguns pontos da função f (x) = 2 x + 3 (ou y = 2 x reta, apenas É comum indicarmos os pontos de uma função através de pares ordenados ( x, y). No caso dos valores calculados para a função desse exem plo (tabela 8.1), temos os seguintes pares ordenados: (–2, –1), (–1,1), (0,3), (1,5), (2,7) e (3,9).
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Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Associando cada valor de x a seu respectivo valor y 10 9
(3, 9)
8 7
(2, 7)
6 5
(1, 5)
4 3
(0, 3)
2 1
(–1, 1)
0 –3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1 (–2 –)1
–2
Figura 3 – Localização dos pontos da tabela 3.1.
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escolhemos valores inteiros para a variável x. Contudo, o domínio de uma função do primeiro grau compreende todos os números reais. Se escolhermos, por exemplo, mais valores de x entre 1 e 2, tais como: 1,1; 1,2; 1,3; espaço entre os pontos (1,5) e (2,7). O mesmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do domínio da função. Por isso, após localizarmos os pontos calculados, podemos ligá-los através de segmentos de reta.
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Matemática para Negócios
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –3
–2
–1
0
1
2
3
4
–1 –2
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x cresce, y também cresce) e a taxa de crescimento é de 2 unidades em y para cada angular (ou de inclinação) da função. Outro ponto notável é o intercepto y. f ( x) = 2 x 4 limite-se ao domínio (valore de x nitamente tanto para valores maiores quanto para valores menores que os
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Vejamos, agora, um exemplo em que o . Exemplo
Considere, agora, a função f ( x) = – 2 x + 3. Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
Se x = –2, então f ( −2 ) = −2 ⋅ ( −2 ) + 3 = 4 + 3 = 7. Se x = –1, então f ( −1) = −2 ⋅ ( −1) + 3 = 2 + 3 = 5. Se x = 0, então f ( 0 ) = −2 ⋅ 0 + 3 = 0 + 3 = 3. Se x = 1, então f 1 = −2 ⋅1 + 3 = −2 + 3 = 1. Se x = 2, então f ( 2 ) = −2 ⋅ 2 + 3 = −4 + 3 = −1. Se x = 3, então f ( 3) = −2 ⋅ 3 + 3 = −6 + 3 = −3.
Resumindo os resultados numa tabela, temos: x
f(x)
–2 –1 0 1 2 3
7 5 3 1 –1 –3
Tabela 3.2 – Valores da função f(x) = –2 x + 3.
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Nesse caso também, os valores de x escolhidos estão aumentando de uma em uma unidade, mas os valores calculados de y, ao contrário do exemplo anterior, estão diminuindo de duas em duas. Isso porque o coe a) da função considerada é igual a –2. O intercepto, por sua vez, é o mesmo.
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Matemática para Negócios
8
7 6
5 4
3 2 1
0 –3
–2
0
–1
1
2
3
4
–1 –2
–3 –4
Nos dois exemplos dados, é possível perceber que quando a > 0, a função é crescente e quando a < 0, a função é decrescente.
3.1.2 Raiz da função de primeiro grau Em muitas das aplicações que fazemos da função de primeiro grau (e também com outros tipos de funções) é importante determinar quando ela assume valor igual a zero, ou seja, determinar o valor de x para o qual y seja igual a zero. O valor que a variável assume, nesse caso, é denominado raiz da função ta o eixo x. Na função do exemplo 8.1, a raiz é x 3 3 pois f − = 2 ⋅ − + 3 = –3 + 3 = 0.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2
2
= −
2
,
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Já na função do exemplo 8.2, a raiz é x
3
3
3
2
,
pois f = −2 ⋅ + 3 = –3 + 3 = 0. 2 2 Para calcular a raiz de uma função, basta resolver a equação f ( x) = 0. Vamos ver como foi obtida a raiz da função f ( x) = 2 x + 3 do exemplo 8.1: f ( x ) = 0 2 x + 3 = 0 2 x
= −3
x = −
3 2
No caso da função f ( x) = –2 x + 3 do exemplo 8.2, temos: f ( x ) = 0 2 x + 3 = 0
−
2 x = −3
−
( −1)
2 x = 3 x =
3 2
podemos determiná-lo a partir de apenas dois pontos. E como a sua raiz e intercepto são pontos importantes, uma boa opção é utilizá-los na determi f ( x) = 2 x + 3, do exemplo 8.1. Vimos que seu intercepto é o 3, ou seja, quando x = 0, y = 3. Portanto, concluímos que (0,3) é um dos pontos dessa função. Vimos, também,
B E S i n U
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
que sua raiz é
3
, isto é, quando y assume valor , a variável x assume
2
valor
. Então, − 3 , 0 2 2
Matemática para Negócios
dessa função. Dessa forma, conseguimos esboçá-lo a partir desses dois pontos. Veja: 10 9 8 7 6 5 4 3
Intercepto: (0,3)
2 1
Raiz: (–3/2,3) –3
–2
0 –1
0
1
2
3
4
–1 –2
3.1.3 Aplicações Nesta seção, veremos alguns exemplos de aplicações que podemos fazer com funções do primeiro grau. Exemplo
O custo de produção de certa utilidade é dado pela função y = 2.000 + 30 x, em que x é a quantidade produzida, y é o custo (em reais). x (o valor 30) é o custo unitário que compõe, junto com o próprio x, a parte variável da função custo. O valor custo que não depende da quantidade produzida, o qual é composto pelo aluguel, salários de funcionários, etc. Em diversas situações, o custo total de produção é modelado por uma função do primeiro grau.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
duzida x é igual a 0, o custo é dado por y = 2.000 reais. A raiz dessa função y assuma valor igual a zero, a quantidade x tem que assumir valor negativo, o que, na prática, não faz sentido. (30 reais). O custo y cresce 30 reais por cada unidade x produzida a mais. 10000
Custo total
9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0
100
200
300
Quantidade (x)
B E S i n U
Exemplo
Geralmente, a função que fornece a receita obtida com a venda de x unidades de uma utilidade tem a forma y = p · x, onde y é a receita, p é o preço de venda por unidade e x é a quantidade vendida. Considere, por função receita total passa a ser: y = 50 x
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Matemática para Negócios
14000
Receita total
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0 0
100
200
300
Quantidade (x)
É comum que o intercepto da função receita total seja igual a zero. bém é nula. Há alguns casos, menos frequentes, em que o intercepto de uma função dessa natureza seja diferente de zero, ou seja, mesmo que nenhuma unidade seja vendida, a receita é um valor positivo. É o caso, por exemplo, de uma revista que recebe um valor referente à publicidade mais outra parcela que depende da quantidade comercializada. Mesmo, por hipótese, que ela não venda nenhuma unidade, ela recebe o valor dos anunciantes. Exemplo B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Uma locadora cobra R$ 80,00 pelo aluguel de certo modelo de carro 120,00, mas está com preço promocional de R$ 4,00 por quilômetro rodado. a) tativos dos valores pagos pelo aluguel total de cada um dos modelos.
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
b) Para qual quilometragem o valor pago é o mesmo, independentemente do modelo escolhido? Resolução
a) Denotando por y o valor total pago pelo aluguel e por x a quantidade de quilômetros rodados, podemos escrever as seguintes expressões (funções): Modelo 1: y = 80 + 5 x Modelo 2: y = 120 + 4 x Para a função referente ao modelo 1, temos intercepto igual a 80. Se considerarmos, por exemplo, uma quantidade de quilômetros rodados x igual a 50, teremos y = 80 + 5 · 50 = 80 + 250 = 330 reais. Temos, portanto, para essa função os pontos (0,80) e (50,330). Da mesma forma, para a função referente ao modelo 2, temos intercepto igual a 120 e um valor total gasto, para x = 50, igual a y = 120 + 4 · 50 = 120 + 200 = 320 reais. Para essa função, temos os pontos (0,120) e (50,320). 350
300
250
200 Modelo 2 150 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
100 Modelo 1 50
0 0
10
20
30
40
50
60
km (x)
Matemática para Negócios
Note que o modelo 1 gera um custo menor para quem o aluga do que o modelo 2, quando a quilometragem é menor. A partir de determinado ponto, o modelo 2 passa a ser mais barato. E como podemos determinar esse ponto? Essa é a resposta do item (b). b) Para determinar o valor referente à quilometragem que iguala os valores totais dos aluguéis, basta igualar as funções referentes aos dois modelos: 80 + 50 x 5 x − 4 x
= 120 +
4x
= 120 − 80
x = 40 km
x = 40 km. Daniel é vendedor em uma loja de calçados e recebe, mensalmente, um salário comConexão: Teste seus conhecimen tos sobre o tema funções comissão de 5% sobre as vendas que efetua. através do aplicativo “funções” disponível no endereço: http:// a) Qual é a expressão que relaciona o objetoseducacionais2.mec.gov. salário de Daniel com o seu volume br/handle/mec/10470 mensal de vendas? b) Quanto recebe no mês em que vende R$ 6.000,00? c) Qual deve ser o seu volume de vendas num mês para que receba um salário de R$ 2.350,00? Exemplo
Resolução
a) A expressão que representa o salário de Daniel é uma função mensalmente e a parte variável é a multiplicação de 0,05 (que representa 5%) pelo volume de vendas que denotaremos por x. Portanto, o salário y pode ser dado na forma: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
y = 1.100 + 0, 05 x
b) Quando Daniel atinge um volume de venda de R$ 6.000,00, seu salário é:
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
c) Para determinar o volume de vendas x que Daniel deverá ter para chegar a um salário de R$ 2.350,00, basta substituir este valor na função y e resolver a equação resultante: 2.350 = 1.100 + 0, 05 x 0, 05 x = 1. 100 − 2.350
−
0, 05 x = −1.250
−
( −1)
0, 05 x = 1.250
x =
1.250 0, 05
x = 25.000 reais.
Esses são apenas alguns dos muitos exemplos de aplicações em que podemos utilizar funções de primeiro grau para representar as relações entre variáveis. Nas atividades deste capítulo você encontrará mais algumas.
3.2 Funções Custo e Receita; ponto de equilíbrio 3.2.1 Introdução Para operar, na produção de bens ou serviços, toda e qualquer em presa necessita empregar uma série de recursos, conhecidos como fatores de produção. Os fatores de produção são utilizados com o objetivo de se conseguir produzir certa quantidade de produtos ou serviços para oferecer à sociedade. Os mais comuns são mão de obra, matéria-prima, energia (elé O conhecimento da função custo é muito importante para o administrador no sentido de que lhe permite saber o quanto está gastando (com os fatores de produção) para produzir certa quantidade de produtos (ou servi variável, dependendo de como varia, conforme a empresa queira produzir da quantidade produzida, isto é, é um custo constante ao longo do tempo ao qual a empresa incorre, independente de quanto está produzindo, pois é decorrente da decisão que a empresa toma sobre construir suas instalações prediais e adquirir equipamentos, veículos, maquinários etc. Mesmo que a empresa não esteja produzindo nada, ela tem de arcar com o pagamento
B E S i n U
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Matemática para Negócios
matéria-prima, energia (por exemplo) são ditos variáveis porque dependem da quantidade produzida (de produtos ou serviços) pela empresa. Conhecer e administrar estas funções custos é muito importante para o administrador nos dias de hoje, em que é crescente o nível de concorrência entre as empresas. O administrador tem de planejar e controlar suas operações da forma mais enxuta e econômica possível, buscando, assim, a minimização de seus custos e mantendo, é claro, o nível de qualidade de seu produto ou serviço. Outra função muito importante na avaliação do desempenho das empresas é a função receita (ou faturamento), que mostra o volume de entre a receita e os custos. O lucro representa a quantidade de recursos para a empresa proveniente das vendas (receita) depois de pagos os fatores de produção envolvidos (custos). pítulo, o aluno terá aprendido: a valorizar o estudo de funções matemáticas para o administrador empregá-las como um ferramental de gestão, que o auxilie a medir e a avaliar o desempenho da empresa de várias maneiras; a criar aplicações de funções matemáticas aplicadas à administração; variável; a obter a função receita da empresa, proveniente das vendas de produtos ou serviços; a calcular o lucro da empresa, empregando as funções receita e custo; a obter pontos de equilíbrio (break-even-point) em que a em presa começa a ter lucro; a obter o ponto de operação de empresas, em que a empresa maximiza seu lucro.
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Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
3.2.2 Equilíbrio de firma (break even point) O ponto de equilíbrio de uma empresa é aquele em que a receita total iguala-se ao custo total (lucro nulo). A partir deste ponto, isto é, se a empresa produzir e vender uma quantidade superior à quantidade de equilíbrio (Qe), ela terá lucro. $
RT CT CF
CV Q Qe
de uma empresa inserida num mercado de concorrência.
A seguir apresentaremos as funções custo e receita e as variáveis que são utilizadas nos estudos envolvendo tais funções. Alguns cálculos break even point ).
Custo total
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A função que fornece o custo total referente à produção de uma utilidade é dada por: CT = CF + CV = CF + cQ em que: Q é a quantidade produzida do produto; CT é o custo total de produção; CF produzida; CV é o custo variável da produção e depende da quantidade (Q) produzida (gastos com mão de obra, matéria-prima, energia etc.); c é o custo unitário (variável) de produção, isto é, é o custo de se produzir uma unidade do produto.
Matemática para Negócios
Receita total ou faturamento A função que fornece a receita total (ou faturamento) referente à venda de Q unidades de uma utilidade, vendida a um preço unitário igual a p, é dada por: R T = pQ em que: p é o preço do produto no mercado; R T é a receita ou faturamento obtido com o total da venda das Q unidades do produto.
Ponto de equlíbrio O ponto de equilíbrio de um produto é o ponto em que a receita igualase ao custo, ou seja, é o ponto para o qual não há lucro. Para determiná-lo, basta igualar as funções receita e custo total e calcular o valor de Q na equação re sultante para saber qual é a quanção custo total, precisamos determinar para tidade que deve ser produzida e que quantidades ela é válida, pois sabemos vendida para que o produto não que, à medida que a produção aumenta, o custo por unidade pode diminuir, em razão da dê nem lucro nem prejuízo. Em possibilidade da negociação de compra de um seguida, você pode determinar volume maior de matéria-prima, por exemplo. o valor da receita e/ou do custo (pois eles serão iguais) do ponto de equilíbrio substituindo em qualquer uma das funções (custo ou receita) o valor de Q pela quantidade de equilíbrio obtida. (Qe) R T = CT pQe = CF + cQe e então: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Qe
=
CF p
−
c
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Exemplo
to unitário de $ 0,60 e preço de mercado de $ 2,00. Sendo assim, monte as funções do custo total da receita total e encontre o ponto de equilíbrio (Q e). Resolução
Temos: CF = 100.000 c = 0,60 p = 2,00 A função custo total é dada por: C T = 100.000 + 0,60Q. como: R T = 2Q. Para obter o Qe (quantidade do ponto de equilíbrio), podemos resolver a equação: RT
=
CT
2Qe
=
100.000 + 0, 60Q e
Qe
=
Qe
=
Qe
=
100. 000 2 − 0, 60 100. 000
A receita obtida com a venda de determinado produto não é o mesmo que o lucro obtido. Lucro é o valor da receita subtraído o custo desse produto.
1, 40 71.428, 57 reais
ou calcular diretamente através da fórmula: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Qe
=
Qe
=
Qe
=
Qe
=
CF p c −
100.000 2 0, 60 −
100.000 1, 40 71.428, 57 reais
equilíbrio do exemplo trabalhado.
Matemática para Negócios
200.000
$ RT
180.000 160.000 CT
140.000 120.000
CF
100.000 80.000 60.000 CV
40.000 20.000
Q
0 0
10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000 100.00
Qe
Você dispõe também, logo abaixo, de uma tabela com alguns valores das funções apresentadas nesse exemplo.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Q
CF = 100.000
CV = 0,6 * Q
CT = CF +CV
R T = 2,00 * Q
0 10.000 20.000 30.000 40.000 50.000 60.000
100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000
0 6.000 12.000 18.000 24.000 30.000 36.000
100.000 106.000 112.000 118.000 124.000 130.000 136.000
0 20.000 40.000 60.000 80.000 100.000 120.000
70.000
100.000
42.000
142.000
140.000
80.000
100.000
48.000
148.000
160.000
90.000
100.000
54.000
154.000
180.000
100.000
100.000
60.000
160.000
200.000
O conhecimento do ponto de equilíbrio referente a uma utilidade é muito importante para que se estabeleça uma meta de produção e venda que proporcione lucro. Produzir e vender a quantidade de equilíbrio Portanto, essa meta tem que ser superior à quantidade de equilíbrio.
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
3.2.3 Curvas de demanda A curva de demanda nos mostra o estabelecimento do nível de preço (p) no mercado frente à quantidade (Q) de demanda do produto pela sociedade. A lei da demanda e da oferta é fundamental em Economia e Administração. Aqui, aplicamos o lado da demanda (procura). pensas a comprar (ou comprarem menores quantidades) o produto se seu preço aumenta. Exemplo
Plotar as funções demandas pelos produtos A e B a seguir e observar a relação negativa entre o nível de preço e a quantidade de demanda de produtos. A: Q A
=
50
−
p A 4
e B: Q B
=
80
−
pA 2
em que: pA é o nível de preço do produto A; pB é o nível de preço do produto B; QA é a quantidade de demanda do produto A; QB é a quantidade de demanda do produto B. Resolução
A tabela seguinte apresenta alguns valores calculados para as duas funções. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Demandas
P A 0 40 80 120 160 200
Q A 50 40 30 20 10 0
PB 0 20 40 60 80 100 120 140 160
QB 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Matemática para Negócios
De acordo com os valores apresentados na tabela anterior, podemos 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
Q Demanda do produto B
Demanda do produto A
0
20
40
60
80 100 120 140 160 180 200 p (preço)
Atividades 01. Um fabricante vende seu produto por
o custo unitário é de R$ 2,00. a) Obtenha as funções custo total, receita total e lucro total para esse produto.
para melhor análise. Portanto, uma sugestão interessante e útil é que você realize o download e instale em seu computador um aplicativo que, com certeza, será de grande utilidade. Trata-se do “Plotfunção”, disponível no endereço: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/ mec/11400
02. a) f ( x ) = 3 + x b) g ( x ) 3x 5 c) y = −2 x + 1 =
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Conexão: Nas aplicações que você irá realizar das funções, é importante
d)
f ( x )
−
8
−
=
2
x
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
03. Um taxista cobra R$ 6,00 por corrida mais R$ 1,50 por km percor-
rido. Qual expressão fornece o valor cobrado por esse taxista, em função da distância percorrida (em km)? Quanto receberá por uma corrida de 15 km? 04.
(7,20). Qual é a expressão que a representa? 05. Um estudo sobre a demanda de determinado produto revelou que para cada R$ 1,00 de aumento no preço de venda p, há uma queda de 500 unidades na quantidade demandada q. Sabe-se que para um preço de R$ 23,00
a quantidade demandada é de 8.000 unidades. a) Escreva q em função de p. b) c) Qual deve ser o preço praticado para que a demanda atinja 12.000 unidades? 06. Uma revista de grande tiragem recebe, a cada edição, R$ 80.000,00 referente à publicidade mais R$ 6,00 por unidade vendida. O departamento de Marketing apresentou proposta de aumento do valor referente à publicidade para R$ 100.000,00 por edição. Mas para isso, a receita por unidade vendida cairá para R$ 4,50. a) Determine, para cada uma das situações apresentadas, a expressão que relaciona a receita total por edição em relação à quantidade vendida de revistas. b) eixos. c) Qual deve ser a quantidade vendida por edição para que as receitas das duas propostas sejam iguais? B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Reflexão Procure, logicamente, estudar o comportamento da função do pri cá-la a contextos práticos de seu cotidiano ou mesmo imaginar situações em que as variáveis relacionam-se através de funções desse tipo. É que, muitas vezes, nos preocupamos muito com os procedimentos de cálculos (que obviamente são importantes), mas nos esquecemos de
Matemática para Negócios
procurar compreender para que servem tais cálculos, em que situações podem ser utilizadas e que tipo de informações nos fornecem. De nada vale saber realizar de forma perfeita os cálculos se não sabemos para que servem e quando podem ser utilizados. mas porque muitas vezes não conseguimos relacionar o contexto prático com os conceitos matemáticos assimilados
Leituras recomendadas De agora em diante, seu conhecimento matemático passa a ser cada vez mais dependente dos conceitos anteriores. Dessa forma, cabe ressaltar a importância de perseverar no aprendizado da matemática, inclusive para poder participar de ações cotidianas, como ler o jornal. Assim, leia o artigo abaixo, intitulado: matemática, de Correa e MacLean.
A seguir podemos entender um pouco, por meio do resumo, o que propõe o artigo. Resumo
relação a outras disciplinas que compõem o currículo escolar, foi pedido a estudantes de 5ª a 8ª séries residentes no Rio de Janeiro e a estudantes ingleses dade que atribuíam a cinco disciplinas de seu currículo (Matemática, Ciên posições numa escala cujo intervalo variava entre muito fácil e muito difícil. A avaliação dos alunos, tanto no que se refere à Matemática como a outras cada área de conhecimento, de acordo com a maneira pela qual as situações didáticas são organizadas ao longo de sua escolaridade e em cada cultura. Para saber como essa pesquisa se desenvolveu, acesse o link
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Função Linear e as Funções Custo, Receita e Lucro – Capítulo 3
Referências BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º Grau: volume único. 4ª ed. São Paulo: Scipione, 1996 BIGODE, A. J. L. Matemática atual . São Paulo: Atual, 1994. BOYER, C. B. História da Matemática . São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1974. BOULOS, P. Pré-cálculo . São Paulo: Makron Books, 1999. CARAÇA, B. Conceitos fundamentais da Matemática . Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática (4 volumes – 1º grau). São Paulo: Ática, 2002. DANTE, L. R. Matemática : contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo . São Paulo: Addison Wesley, 2009. Dicionário Priberam da Língua Portuguesa 2009,
-
ram.pt/dlpo [consultado em 2010-04-01]
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GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa . São Paulo: FTD, 2002. GUELLI, O. Contando a história da Matemática . Vol. 1. 2. ed. São Paulo: Ática, 1997. IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R. Matemática : volume único. 4ª. ed. São Paulo: Atual, 2007.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
IMENES, L. M.; Lellis, M. Os números na história da civilização . São Paulo: Scipione, 1999. ______. A numeração indo-arábica. São Paulo: Scipione, 2001. Livro didático 1ª a 4ª séries. São Paulo: Editora COC, 2007. MACHADO, N. J. Medindo comprimentos. São Paulo: Scipione, 2000. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2ª Ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2006. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática –vol. único, São Paulo: Ática, 2002.
No próximo capítulo No próximo capítulo, complementaremos o estudo de funções abordando a função do segundo grau ou quadrática. Nela, a variável independente x aparece elevada ao quadrado, o que muda completamente o com portamento da função. Veremos também como uma função de segundo grau pode ter origem a partir de duas funções de primeiro grau.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
4
o l
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro
Muitas são as situações em que a relação entre as variáveis estudadas é da forma de uma função quadrática ou do segundo grau. Nem sempre a relação entre variáveis é linear, como ocorreu no estudo da função do primeiro grau. Há casos em que essa relação mostra-se crescente e, a partir de certo ponto, ela passa a ser decrescente (ou vice-versa). A taxa de variação entre variáveis que se relacionam através de uma função quadrática não é constante e, em determinado ponto, ele é nula. Essas características, determinar a quantidade x que deve ser produzida e comercializada para que o lucro seja máximo, quando o custo de produção de uma utilidade cresce mais rapidamente e qual é a taxa de crescimento e tantas outras situações em que a análise matemática é imprescindível.
u t í
p a
C
Objetivos da sua aprendizagem Reconhecer uma função do segundo grau; Realizar cálculos de valores de funções do segundo grau; Determinar as raízes, o intercepto e o vértice de uma função do segundo grau; Aplicar o conhecimento sobre função do segundo grau em situações práticas do cotidiano.
Você se lembra? Você se lembra como devem ser calculadas as soluções de uma equação do segundo grau? Esse tipo de procedimento será de extrema importância no estudo da função de segundo grau. Lembre-se que há equações quadráticas que podem apresentar até duas soluções. Há aquelas que possuem apenas uma e também as que não possuem solução. Vamos interpretar todos esses tipos de resultados
Matemática para Negócios
4.1 Função quadrática e representação gráfica 4.1.1 Introdução Vamos iniciar nosso estudo sobre função do segundo grau mostran a partir de uma função de primeiro grau em que a variável independente x é função de outra variável. Exemplo
O proprietário de um restaurante, que comercializa somente pratos executivos, todos com o mesmo preço, resolveu realizar um estudo sobre a receita diária do estabelecimento e como o volume de vendas varia em função do preço praticado. Para isso, realizou, durante longo período, um levantamento comparando a quantidade x de pratos vendidos diariamente e o preço p cobrado por unidade. Chegou, assim, ao seguinte modelo: x
=
100
−
2p
Notou, então, que para cada real aumentado no preço da refeição, angular da função é –2). Esse modelo obtido permite também outras con Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita total y de uma utilidade em relação à quantidade comercializada x tem a forma: y
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
=
p x ⋅
,
em que p é o preço unitário de venda. Se o preço p x aumenta. No entanto, no caso desse restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada com o preço unitário através da relação x
=
100
−
2p
.
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Da mesma forma que podemos escrever x em função de p, podemos fazer o inverso: escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x 100 2 p : =
−
x
=
100
−
2p
2 p
=
100
−
x
p
=
p
=
50
−
p
=
50
−
100
Substituindo a expressão
−
x
2 0, 5 x 0, 5 x na função receita total, temos:
p
y
=
( 50
−
0, 5 x )
⋅
x
Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever: y
=
50 x
−
0, 5 x
2
Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as funções de primeiro grau. Temos agora, uma função de segundo grau (pois variável independente aparece elevada à potência 2). Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor recebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exemplo. Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, retomaremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para que a receita seja a maior possível”.
B E S i n U
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4.2 A função de segundo grau: definição e exemplos Toda função que relaciona elementos de A e B ( x A e y B), nessa ordem, é uma função de A em B se puder ser escrita na forma: y = f ( x ) = ax 2 + bx + c
em que a, b e c
Matemática para Negócios
Exemplo
São exemplos de funções do segundo grau: a) f ( x ) = x − 6 x + 5 em que a 1, b 6, 2
=
b) g ( x ) = − x c)
2
+
2
y = −5 x + 2 x
d) h ( x ) = x
2
+7
4x − 3
, em que
, em que
a
, em que
a
f) y + 2 x em que a 2,
2
= −
+
b
= −
5, b
1, b
e) f ( x ) = 2 − 5 x + 3x , em que 2
a
= −
a
c
= −
=
1, b
=
0, c
3, b
5
4, c
=
2, c
=
=
7
= −
0
= −
;
;
;
5, c
=
, que pode ser escrita na forma 1, c 9 .
x =9 = −
3
2
; 2
y = −2 x − x + 9
,
=
4.3 Gráfico da função de segundo grau: a parábola uma parábola, com concavidade que pode estar voltada para cima ou para x2. Veja: Vértice
Vértice Se a > 0, a concavidade é voltada
para cima
Se a < 0, a concavidade é voltada para baixo.
Figura 10 – Concavidade e vértice da parábola.
Portanto, dada a função, já podemos prever sua concavidade. No O vértice da parábola é o seu ponto mais baixo (quando a concavidade é voltada para cima) ou o ponto mais alto (quando a concavidade é voltada para baixo). Outra informação importante é sobre a simetria que a parábola possui com relação ao eixo vertical que passa sobre seu vértice.
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Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Vértice
Figura 11 – Simetria da parábola.
Se traçarmos uma linha horizontal que cruze a parábola em dois pontos, o segmento determinado por um desses pontos e a intersecção dessa linha com o eixo vertical tem a mesma medida que o segmento determinado por essa interseção e o outro ponto de cruzamento da linha horizontal com a parábola. 11 é uma dobra que você pode realizar. As linhas que determinam os dois lados da mesma parábola vão coincidir após a dobra. Já temos algumas informações interessantes que nos auxiliarão no devem ser determinados através de cálculos: as raízes, o intercepto e o próprio vértice.
4.3.2 Raízes da função do segundo grau
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Lembre-se que raiz de uma função y = f(x) é o valor que a variável x assume de tal forma que y x função do segundo grau pode ter ou não raízes (cruzar ou não o eixo x). O encontro da parábola pode se dar em um único ponto ou em dois. Veja os casos possíveis na Figura 12 Os valores x1 e x2 são as raízes das funções representadas.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
x
x
1
x
2
x
1
2
eixo x
Duas raízes reais distintas x
1
x
1
eixo x Raiz única eixo x
eixo x Nenhuma raiz
Figura 12
Assim como acontece com a função do primeiro grau, para calcularmos as raízes da função de segundo grau (se elas existirem), devemos igualar a função y a zero e resolver a equação resultante. Contudo, essa resolução não é, geralmente, tão simples como ocorre com as funções lineares. Teremos que recorrer às técnicas de resolução de equações de segundo grau, vistas no capítulo 3, que, convenhamos, não são difíceis de realizar. Considerando que você já sabe como resolver uma equação de segundo grau, o que foi fartamente abordado no capítulo 3, não vamos detalhar, aqui, esse tipo de procedimento. Só para relembrar, as raízes (soluções) de uma equação do segundo grau, da forma, ax + bx + c = 0 , podem ser dadas pela fórmula de Bhaskara: 2
x =
∆
2a
em que ∆ = b − 4ac. O discriminante , através de seu sinal, indica a quantidade de raízes da função quadrática. Veja: se > 0, a função possui duas raízes reais distintas; se = 0, a função possui uma única raiz; se < 0, a função não possui raízes reais. 2
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−b ±
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Você poderá utilizar qualquer um dos métodos apresentados para a determinação das raízes da função do segundo grau. Neste capítulo, porém, para evitar que percamos o foco, recorreremos apenas à fórmula de Bhaskara.
4.3.3 Intercepto O intercepto de uma função y = f(x) é sempre o valor que y assume quando a variável x é igual a zero. No caso geral da função de segundo grau, quando x = 0, temos: f ( 0 ) = a ⋅ 0 + b ⋅ 0 + c 2
( 0) = 0 + 0 + c f ( 0 ) = c Portanto, o intercepto de uma função de segundo grau é sempre (0,c). f
4.3.4 Vértice da parábola Como já vimos, o vértice está no eixo de simetria da parábola. Então sua coordenada x pode ser obtida calculando-se a média entre as raízes (se elas existirem). Mas há casos em que elas não existem e temos que recorrer a outro tipo de cálculo. Portanto, para facilitar, podemos utilizar as fórmulas abaixo para determinar as coordenadas x e y do vértice, que denotaremos, respectivamente, por xv e yv: xv
b = −
yv = −
2a ∆
4a A coordenada yv representa o valor máximo ou mínimo da função, conforme a concaviConexão: dade seja voltada, respectivamente para No endereço http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/ baixo ou para cima. Consequentemente, mec/10956, você irá encontrar um a coordenada xv é o valor que atribuímos aplicativo que realiza uma simulação inteà variável independente x para que obte- e do segundo grau. Vale a pena conferir, nhamos o valor máximo ou mínimo da pois através desse aplicativo, você poderá compreender melhor o papel função.
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de funções.
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4.3.5 Exemplos de gráficos Agora vamos aplicar as fórmulas vistas na construção de alguns Exemplo
y x 4 x 5 lando) as raízes (se existirem), o intercepto e o vértice. 2
=
−
−
Resolução
Temos a 1, b 4 e c 5 . Como a > 0, então concluímos que a parábola tem concavidade voltada para cima. O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0,–5). As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante: =
= −
= −
2
y = 0 ⇒ x − 4 x − 5 = 0
Temos: 2
∆ = b − 4ac
(
)
2
(
∆ = −4 − 4 ⋅1 ⋅ −5
)
∆ = 16 + 20 ∆ = 36
Como o valor do discriminante é positivo, então concluímos que a função possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara: x =
x =
−b ±
∆
2a
(
)
− −4 ±
36
2 ⋅1
x1 = B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
x =
4±6 2
x3 =
Portanto, as raízes são 5 e –1.
10 2
−2 2
=5
= −1
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Quando obtemos as raízes de uma função quadrática, como no exemplo
e não o ponto (–1,5). Não se esqueça que, para obtê-las, igualamos a função ( y x. Portanto, de forma geral, considerando que uma função tenha as raízes x1 e x2, os pontos por elas determinados são ( x1,0) e ( x2,0).
As coordenadas do vértice são: xv
b = −
2a
4
4
− = −
2 1
− = −
⋅
2
= −
( 2) −
=
2
e yv = −
∆ 4a
=−
36 4 ⋅1
=−
36 4
= −9
Logo, o vértice é o ponto (2,–9). 8 7 6 5 4 3 2 1
x
0 –3
–2
–1 –1 0
1
2
3
4
5
6
7
–2 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
–3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10
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Exemplo
y = − x + 2 x − 1 lando) as raízes (se existirem), o intercepto e o vértice. 2
Resolução
Temos a 1, b 2 e c 1 . Como a < 0, então concluímos que a parábola tem concavidade voltada para baixo. O intercepto é (0,–1). Igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante, determinaremos as raízes (se elas existirem); = −
=
= −
2
y = 0 ⇒ − x + 2 x − 1 = 0
Temos: 2
∆ = b − 4ac 2
( )( )
∆ = 2 − 4 ⋅ −1 ⋅ −1 ∆ = 4−4 ∆=0
Como o valor do discriminante é nulo (igual a zero), então concluímos que a função possui uma única raiz. Vamos calculá-la utilizando a fórmula de Bhaskara: −b ±
x =
∆
2a −2 ±
x =
0
( )
2 ⋅ −1 −2 ± 0
x =
−2 −2
x =
−2
x = 1
Portanto, a raiz é 1. As coordenadas do vértice são: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
xv
b = −
2a
2 = −
2
⋅
( 1) −
2 = −
2
= −
( 1) 1
−
e yv = −
∆ 4a
=−
0
( )
4 ⋅ −1
=0
−
=
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Logo, o vértice é o ponto (1,0). 1
y
0 –2
–1
1
0
2
3
4
–1
–2
–3
–4
–5
Exemplo 9.5
y = 2 x + 5 do) as raízes (se existirem), o intercepto e o vértice. 2
Resolução
Temos a 2, b 0 e c 5 . Como a > 0, então concluímos que a parábola tem concavidade voltada para cima. O intercepto é (0,5). Igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante, determinaremos as raízes (se elas existirem);
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© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
2
y = 0 ⇒ 2 x + 5 = 0
Temos: 2
∆ = b − 4ac 2
∆ = 0 − 4 ⋅ 2 ⋅5 ∆ = 0 − 40 ∆ = −40
Matemática para Negócios
Como o valor do discriminante é negativo (menor que zero), então x. Quando estudamos as equações de segundo grau, vimos que se o discriminante assume valor negativo, a equação não apresenta nenhuma raiz real. E, a partir daí, escrevemos que seu conjunto-solução é vazio. E os cálculos param por aí. Mas quando estamos trabalhando com funções do segundo grau, utilizamos as respectivas equações apenas para determinar suas raízes. Se elas possui raiz, ou seja, não cruza o eixo x
base em outros pontos.
As coordenadas do vértice são: xv
b = −
2a
0 = −
=
0
2 2 ⋅
e ∆
yv = −
4a
=−
−40
4⋅2
=−
−40
8
= −( −5) = 5
Logo, o vértice é o ponto (0,5). Essa função, além de não ter raízes, tem vértice e intercepto coincidentes. Isso quer dizer que, dos quatro pontos que normalmente utiliza um. No entanto, conhecemos a concavidade da parábola e sabemos que precisão no traçado, podemos calcular mais alguns pontos dessa função: f ( −2 ) = 2 ⋅ ( −2 ) B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
f ( −1) = 2 ⋅ ( −1)
2
2
+
→ ponto: ( − 2, 13) 5 = 2 ⋅ 4 + 5 = 8 + 5 = 13
+
→ ponto: ( − 1, 7) 5 = 2 ⋅ 1 + 5 = 2 + 5 = 7
→ ponto: ( 1, 7) f (1) = 2 ⋅ 12 + 5 = 2⋅ 1 + 5 = 2 + 5 = 7 → ponto: ( 2, 13) f ( 2 ) = 2 ⋅ 22 + 5 = 2 ⋅ 4 + 5 = 8 + 5 = 13
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
14
y
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
x
0 –3
–2
1
0
–1
2
3
Exemplo
Vamos, agora, retomar a aplicação do exemplo 9.1. Vimos que, num certo restaurante, a quantidade x de pratos vendidos diariamente e o preço p cobrado por unidade relacionam-se da forma: x
=
100
−
2p
ou, isolando o preço p, podemos escrever a mesma relação como: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
p
=
50
−
0, 5 x
Também vimos que a receita (que geralmente tem a forma é dada por: y
=
50 x
−
0, 5 x
y
=
p x ⋅
)
2
O nosso objetivo agora é determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para que a receita seja a maior possível”, isto é, queremos determinar a quantidade q que deve ser produzida para que a receita y seja máxima.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Como a função receita y a < 0, essa parábola tem conca yv representa o maior valor que a função pode assumir (receita máxima). Portanto, calculando as coordenadas xv e yv, obteremos, respectivamente, a quantidade que deve ser comercializada para que a receita seja máxima e a receita máxima. Vamos aos cálculos, considerando que para a função y 50 x 0, 5 x 2 , temos a = –0,5, b = 50 e c = 0: =
xv
50
b = −
2a
= −
2
⋅
(
50 = −
0, 5 )
−
1
=
−
50 unidades.
−
Para determinar o valor da coordenada yv, antes precisamos calcular: 2
2
∆ = b − 4ac = 50 − 4 ⋅ (−0 , 5) ⋅ 0 = 2 .500
Daí: yv = −
∆
4a
=−
2.500 4 ⋅ ( −0, 5 )
=−
2.500 −2
= 1.125
reais.
Concluímos, então, que para o restaurante atingir receita máxima, que é de R$ 1.125,00, ele deve comercializar 50 unidades desses pratos. Mas como podemos determinar o preço que deve ser praticado para atingir esses valores? Lembre-se que para chegarmos à construção da função receita, utilizamos uma relação (função) entre o preço p e a quantidade comercializada x, que é: p
=
50
−
0, 5 x
Substituindo o valor encontrado para x, determinaremos o preço solicitado: p
=
50 0, 5 50
p
=
50
p
=
25 reais.
−
−
⋅
25
por exemplo, o lucro com a quantidade produzida e comercializada de certo produto. Há também outras bem interessantes e úteis aplicações envolvendo custo de produção, depreciação, níveis de oferta, etc.
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Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
4.4 Exemplo de funções quadráticas: Receita, lucro e maximização do lucro 4.4.1 Maximização do lucro vende o produto no mercado. Assim, recai sobre ela toda a demanda. O preço não é mais constante como em concorrência, quando a empresa não tem controle sobre quanto cobrar pelo produto. Em concorrência, o preço é esta belecido pelo mercado. Em monopólio, a empresa tem poder de mercado e, portanto, ela pode decidir o quanto irá produzir e qual o preço que colocará no produto, conhecendo a função de demanda que relaciona o preço e a quantidade demandada. No exemplo 3.3, veremos uma situação em que há esse tipo de relação entre preço e demanda (ou quantidade demandada ) e como essa receita total e lucro total . Exemplo
Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores, respectivamente, que a empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto de forma a maximizar seu lucro, sabendo-se que a em de R$ 4,00. A empresa conhece a função (curva) de demanda de seu produto (Q = 120 – p ou p = 120 – Q). Encontre também o lucro máximo. Sugestão: obtenha as funções C T e R T Resolução
Custo total: CT = CF + CV = 1.000 + 4Q Receita total: R T = pQ = (120 – Q)Q = 120Q – Q 2 Note agora que a função receita total será uma parábola (função do segundo grau). Lucro da empresa: L = R T – CT = 120Q – Q 2 – 1.000 – 4Q, que sim 2 + 116Q – 1.000 O valor máximo do lucro (Lucro máximo: Lmáx) ocorre no vértice da parábola:
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−b ; − ∆ = −116 ; −9.456 = 58; 2. 364) 2a 4a −2 ( −4
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Produzindo uma quantidade de 58 unidades do produto (conforme possível, que será de R$ 2.364,00, já que o preço seria, segundo a função da demanda, acima: p = 120 – Q = 120 – 58 = 62,00 reais. Para compreendermos melhor, devemos raciocinar que a empresa colocaria o preço em R$ 62,00 e, assim, as pessoas estariam interessadas em comprar 58 unidades do produto, gerando, então, um lucro total (máximo) de R$ 2.364,00 para a empresa. Este é o ponto de operação da empresa monopolista. 4.000
$
3.000
Lmáx. = 23.648
LT
RT
2.000 1.000 CT
Q
0 0 –1.000
20
40
60
80
100
120
Qótima = 58
–2.000
Exemplo
Dadas as funções receita total R T(Q) = –Q2 + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade: a) determine a quantidade para a qual essa utilidade proporciona receita máxima; b) obtenha a função lucro total para essa utilidade; c) determine a quantidade para a qual o lucro proporcionado por essa utilidade é máximo; d) total dessa utilidade. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Resolução
a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo tão seu valor máximo (receita máxima) ocorre no vértice dessa parábola. Portanto, a quantidade que proporciona receita máxima é dada pela fórmula: Qv
− =
b
2a
Note que, na fórmula acima, o valor que será obtido é referente à coordenada x do vértice (xv). Na função R T(Q) = –Q2 + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coordenada Qv é: Qv
− =
b
2a
200
200
− =
2( 1) −
− =
2
=
100
−
O resulado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida (e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, basta substituir Q por 100 na função R T(Q) = –Q2 + 200Q e calcular o valor de R T. Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, a receita começa a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade aumentando, se o preço cair, o valor de receita pode diminuir. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
b) A função lucro total LT pode ser obtida pela diferença entre as funções receita total R T e custo total CT. Portanto: LT(Q) = R T(Q) – CT(Q) LT(Q) = Q2 + 200Q – (4.000 + 30 Q) LT(Q) = Q2 + 200Q – 4.000 – 30 Q LT(Q) = Q2 + 170Q – 4.000
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c) Assim como ocorreu com a função receita, quando determinamos a quantidade para a qual ela era máxima, vamos aqui proceder da mesma forma para determinarmos a quantidade que gera lucro máximo, ou seja, que maximiza a função lucro total. Na função LT(Q) = Q2 + 170Q – 4.000, que é do segundo grau, temos a = –1, b = 170 e c = –4000. Portanto, a coordenada Qv é dada por: Qv
− =
b
2a
170
170
− =
2( 1)
− =
−
2
=
85
−
d) tal são apresentados a seguir. As linhas pontilhadas indica o comportamento das funções apresentadas, mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades. 12000 10000 8000
Custo Receita
6000
Lucro 4000 2000 Quantidade 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Atividades 01. Calcule as raízes (quando existirem), o intercepto e o vértice de cada
a) b) c) d) e)
2
y = x − 8 x + 7 2 y x = −
y y
=
x
−
2 −
= −
x
2
10 x
2 −
6x
−
9
2
y = x + 1
02. O lucro L (em milhares de reais) referente à produção e comercialização de uma quantidade de x toneladas de certo produto é dado pela função. L
2
= −x +
30 x − 125
L em função de x. Determine a quantidade que deve ser produzida e comercializada para que o lucro seja máximo. c) Calcule o lucro máximo. d) Quais são os valores de x (em toneladas) que fazem com que o produto dê prejuízo? a) b)
(Enem 2009) Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. 03
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Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é a) V = 10.000 + 50 x – x2. b) V = 10.000 + 50 x + x2. c) V = 15.000 – 50 x – x2. d) V = 15.000 + 50 x – x2. e) V = 15.000 – 50 x + x2.
Matemática para Negócios
04. A demanda y de certo produto é dada em função do preço p pela fórmula: 2
y = −2 x − 4 x + 160
Qual é a variação média da demanda quando o preço cai de 7 para 5? De acordo com o modelo matemático dado (fórmula), é possível a demanda atingir valor igual a 170? a) b)
05. Maria vai sair com as amigas e está em dúvida de como vai vestir-
se. Ela tem três blusas (uma vermelha, uma azul e uma amarela) e quatro calças (uma preta, uma branca, uma azul e uma verde). Quantas são as possibilidades diferentes que Maria tem para se vestir? a) Três b) Quatro c) Sete d) Dez e) Doze
Reflexão Esperamos que sua visão sobre a as aplicações da Matemática, nesse momento, seja diferente daquela que você tinha quando iniciamos o curso. Em nenhum momento almejamos que você se tornasse um es pecialista no assunto, mas que ampliasse seu conhecimento matemático, principalmente, no que tange às suas aplicações e à sua incontestável utilidade prática. Só não aplicamos a Matemática em nossa vida, quando não a conhecemos. Os conteúdos matemáticos relevantes à nossa vida, tanto pessoal dessa ciência, a construção e novos conhecimentos relacionados a ela será facilitada e muito mais prazerosa do que era antes. Que você tenha muito sucesso nessa área! B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
Leitura recomendada O texto “Matemática para produtividade”, de autoria de Miguel Taube Netto, trata da importância do conhecimento matemático nas áreas nhecimento na tomada de decisões e no desenvolvimento da capacidade de modelagem de fenômenos administrativos através das ferramentas matemáticas. Através da sua leitura, você terá a oportunidade de começar a entrar em contato com algumas aplicações interessantes da matemática. Ele está disponível no endereço: A seguir, um trecho inicial do artigo. Matemática para produtividade
Miguel Taube Netto
A aptidão pela matemática é mais natural do que se pensa. Antes de conhecermos operações matemáticas com frações já dis cado da soma de “um meio” mais “um terço” usando o conceito físico ou econômico das expressões “um meio” e “um terço”, motivados pela necessidade prática de obter a junção dessas “quantidades”, expressando o “resultado” desta junção (operação) por outra expressão, que também do ambiente físico ou econômico em questão. Em outras palavras, a noção de quantidade e suas transformações são comunicáveis com os recursos naturais de nossa língua. Assim sendo, é então mais importante aprender português do que matemática? Uma resposta plausível a esta pergunta é a de que qualquer aprendizado estimula nossa capacidade de comunicação que, por sua vez, abre novas opções de aprendizado. Não há dúvida de que a língua, em suas várias manifestações, deve ser objeto de contínuo aprendizado. Tenho a opinião de que as empresas técnica, fossem fortemente dirigidos para o aprimoramento do português
B E S i n U
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Matemática para Negócios
como recurso de comunicação de idéias e emoções, no sentido mais amplo, sem compromissos com ideologias de gestão empresarial. No contexto deste artigo, a matemática é vista como um conjunto evolutivo de recursos de comunicação para tratar problemas práticos. A matemática, no entanto, não é construída apenas por motivos práti O uso da matemática em administração, economia, sociologia, engenharias e ciências é reconhecido como necessário. Nem por isso os que a formalização matemática é precedida e sucedida de recursos lingüísticos e prinConexão : A função do segundo grau, ou função quadrática, é de grande do problema em foco e para encaaplicação em diversas situações. O minhamento de suas soluções. Este aplicativo “Estudo da função do segundo grau” apresenta uma forma prática e ágil de processo de articulação de conheci- mentos é chamado de “modelagem como de obter informações relevantes sobre a mesma. Você pode realizar o download e solução de problemas”. A “modedesse aplicativo no endereço: http:// lagem matemática” é parte ou não da objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/mec/7903 modelagem e solução de problemas, ordenação sejam mais ou menos complexos. (...)
Referências BEZERRA, M. J.; PUTNOKI, J. C. Novo Bezerra – Matemática 2º Grau: volume único. 4ª ed. São Paulo: Scipione, 1996 BOULOS, P. Pré-cálculo . São Paulo: Makron Books, 1999. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
DANTE, L. R. Matemática : contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. DEMANA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo . São Paulo: Addison Wesley, 2009.
Função Quadrática, Inequações do Segundo Grau e Maximização do Lucro – Capítulo 4
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R.; GIOVANNI JR, J. R. Matemática completa . São Paulo: FTD, 2002. IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZANJ, D.; PÉRIGO, R. Matemática : volume único. 4ª. ed. São Paulo: Atual, 2007. SANTOS, A., A., M. Matemática para concursos – Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2006. SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática –vol. único, São Paulo: Ática, 2002. TEIXEIRA, J.; NETTO, S. P. . São Paulo: Makron Books, 1998.
No próximo capítulo Nem sempre é possível determinar o valor de uma função para qualquer valor de x. No entanto, em muitas situações, mesmo que não seja possível calcular tais valores, é muito importante conhecer o comportamento da função quando o valor de x se aproxima (tende a) de tal valor. O conceito de limite de uma função, que será abordado no próximo capítulo, permite-nos examinar o comportamento de funções nessa situação, em que há valores de x para os quais tais funções não podem ser determinadas. É um conceito de fundamental importância para que nós possamos também será abordada no próximo capítulo, é um conceito matemático de larga aplicação para as mais diversas áreas de atuação. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
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Minhas anotações:
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Limites e Derivadas Aprender o limite de uma função é fundamental para que possamos com mático de larga utilização nas diversas áreas do conhecimento: a derivada de uma função. O estudo das funções derivadas é muito importante na Matemática ou no cálculo Diferencial e integral: temos o emprego das derivadas nos mais diversos ramos do conhecimento humano, como a Física, a Química, a Engenharia, a Administração, a Economia e a Biologia. Recentemente, até as ciências mais próximas das relações humanas, como a Sociologia e a Psicologia, estão começando a utilizar tal ferramental. Neste capítulo, abordaremos os cálculos e aplicações de limites e derivadas de funções.
5
o l
u t í
p a
C
Objetivos da sua aprendizagem Realizar o cálculo de limites de funções contínuas ou descontínuas; Compreender o conceito de derivada como um taxa de variação instantânea; Calcular a derivada de funções utilizando o conceito de limite; Calcular derivadas de funções utilizando regras de derivação; Resolver problemas aplicados utilizando derivadas de funções.
Você se lembra? Você se lembra de como determinar o valor máximo ou mínimo de algumas funções? O conhecimento do comportamento de uma função pode levar-nos a esse tipo de conclusão. A função derivada tem esse poder de descrever o comportamento de funções. É o que veremos.
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5.1 Definição e cálculo de limites de funções 5.1.1 Introdução Um dos objetivos deste capítulo é introduzir conceito e cálculo do limite de uma função. Ao ler este capítulo e resolver todos os exercícios, o aluno terá compreendido o conceito de limite e estará pronto para adentrar a segunda parte deste capítulo, que tratará da função derivada. O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância culo da função derivada. A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – y). Como a próxima unidade então devemos, agora, conhecer mais de perto o limite de funções. cios (resolvidos e propostos), o aluno terá aprendido: a noção e o conceito de limite de uma função; a calcular o valor do limite de uma função num ponto qualquer; a diferença conceitual entre o valor da função e o valor do limite num ponto. Os estudos de Matemática no ensino médio sempre abordam o conhecimento e o cálculo do valor da função (y) para alguns valores da variável independente (x). Agora, trataremos de outra grandeza também importante, que é a do limite da função para certo valor de x. O conceito de limite de uma função será importante para podermos desenvolver os conceitos de diferenciais ou derivadas de funções na próxima unidade. Contudo, em muitas situações, o limite e o valor de uma função se confundem. Eles são iguais para as chamadas funções contínuas. Fun em todos os polinômios que conhecemos, nas funções trigonométricas, nas exponenciais etc.
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Limites e Derivadas – Capítulo 5
A notação utilizada para representar o limite de uma função f(x) quando x tende a um valor x 0 é: lim 0 f (x) Lê-se: limite de f(x) quando o x tende (se aproxima) ao valor x 0.
5.1.2 O conceito intuitivo de limite O limite de uma função num determinado valor de x, isto é, o lim 0 f vizinhanças de x = x 0. Note que o lim 0 f (x) está relacionado aos valores que a função assume nas vizinhanças de x 0, mas não necessariamente em x 0. A função 0 (x0 fora do domínio da função), mas o limite poderá existir. Separemos, pois, os dois principais casos de cálculo do limite: o de funções contínuas e o de descontínuas, conforme segue.
5.1.3 Funções contínuas O valor do limite de uma função quando x tende para um valor x 0 se confunde com o valor da função f(x 0)) no ponto x = x0, se a função f (x) for contínua no ponto x = x 0 Desta forma, se f (x) é contínua em x = x0, então: lim 0 f (x0) Exemplo B E S i n U
Encontrar o lim (3x – 1):
x
y = 3 x – 1
Resolução:
–1 0 1 1,5 1,6 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
–4,00000 –1,00000 2,00000 3,50000 3,80000 4,70000 4,97000 4,99700 4,99970 4,99997
Vamos calcular os valores que f (x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2. As duas próximas tabelas apresentam resulta comportamento da função f (x) nas vizinhanças de x = 2. Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à esquerda de x = 2 .
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Tomemos, agora, as vizinhanças à direita de x = 2: Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhanças à direita de x = 2 . Podemos dizer, então, que o limite de f (x) quando x tende para 2 é 5, isto é, lim (3x – 1) = 5. Nesse caso, o valor do limite da função quando x tende para 2 se confunde com o valor da função. Eles são iguais, pois a função é contínua em x = 2. Desta forma:
x
y = 3 x – 1
5 4 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
14,00000 11,00000 8,00000 6,50000 5,60000 5,30000 5,03000 5,00300 5,00030 5,00003
Exemplo
Vamos calcular os limites seguir, apenas efetuando a substituição do valor mencionado para x. Até o item (q) é possível determinar os valores dos limites dessa forma, pois todas as funções apresentadas são contínuas para x = x 0. No entanto, no item (r) isso não ocorre. Vejamos:
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a Para que exista o limite de uma função com x tendendo a certo valor x0, é necessário que esta função esteja tendendo ao mesmo valor conforme x se aproxima de x0, tanto pela esquerda como pela direita (tanto por valores menores que x0 como por valores maiores que x0).
a) lim (3x – 4) lim (3x – 4) = f(1) = –1 b) lim (3x – 4) lim (3x – 4) = f(–2) = –10 c) lim (3x – 4) lim (3x – 4) = f(0) = – 4 d) lim (x) lim (x) = f(10) = 10 e) lim (–x – 4) lim (–x – 4) = f(– 4) = 0 f) lim (5) lim (5) = f(2) = 5
Limites e Derivadas – Capítulo 5
g) lim (10) lim (10) = f(–3) = 10
( x ) 2
h) lim
x→
1 2
1
x→
1 2
1
( x ) = f 2 = 4 2
lim
i) lim (x3 – 1) lim (x3 – 1) = f(1) = 0 j) lim (x3 – 1) lim (x3 – 1) = f(–1) = –2 k) lim (x2 – 3x + 4) lim (x2 – 3x + 4) = f(0) = 4 l) lim (x4 + 1) lim (x4 + 1) = f(–1) = 2
1 +2x x 1 2 = f (1) = 3 + x →1 x
m) lim x
lim x→1
4 − +1 x 4 →2 3 − +1 = f ( 2) = 8 x
n) lim
x
lim x
x
→2 3 x
o) lim 4 x 13 lim 4 x 13 = f(3) =5 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
p) lim lim
− 4 x 2 x − 1
3 x
2
− 4 x 2 x − 1
3 x
q) lim lim
2
18 x
x − 4 x − 2 2
x − 4 = f(3) = 5 x − 2 2
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r) lim
x − 4 x − 2 2
− 4 = f(2) = ? x − 2
lim x
2
No item (s), observamos que a função no ponto x = 2 não existe, mas o limite existe? Quanto vale? Vimos, até aqui, que, se a função é contínua no ponto em que estamos querendo calcular o limite, então o limite se confunde com o próprio valor da função neste ponto. Como a função (item s acima) não é contínua no ponto x = 2, então sabemos que não existe o valor da função nesse ponto, mas o limite existe? Como calculá-lo? Veremos que o limite existe, sim, nesse caso (item s acima), apesar de não existir o valor da função no ponto x = 2. Temos que recorrer ao conceito original torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele exatamente, isto é, precisamos descobrir o comportamento da função em torno do ponto x = 2, mas não nele. Continuaremos com esta discussão.
5.1.4 Funções descontínuas Para encontrarmos o limite de funções em pontos de descontinuidades, devemos calcular os valores da função nas vizinhanças do ponto 0 (descontínuo), o limite poderá existir, pois o conceito de limite está ligado ao comportamento da função nas proximidades de x0 (ponto de descontinuidade). Retomemos o caso do item (s) do exemplo anterior. Exemplo 4.3:
Encontre o valor limite: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
x 2 − 4 lim x→2 x − 2
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) assume nas vizinhanças de x = 2.
x
–1 0 1 1,5 1,6 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999
− −
1,00000 2,00000 3,00000 3,50000 3,60000 3,90000 3,99000 3,99900 3,99990 3,99999
Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas vizinhanças à esquerda de x = 2. Tomemos, agora, as vizinhanças à direita:
x
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5 4 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001
− − 7,00000 6,00000 5,00000 4,50000 4,20000 4,10000 4,01000 4,00100 4,00010 4,00001
Matemática para Negócios
Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas vizinhanças à direita de x = 2 . Podemos dizer, então, que o limite de f (x), quando x tende a 2, é igual a 4, isto é,
x 2 − 4 lim x→2 x − 2 Neste caso, f x = 2 ( f (x) é descontínua em x = 2), mas o limite existe e vale 4. Vimos que obter o valor do limite num ponto (x), em que a função não é contínua, não é uma operação difícil, mas sim trabalhosa. Porém, nos casos em que podemos fatorar a função, a obtenção do limite é menos trabalhosa, conforme apresentado a seguir. Outra forma de se obter o valor do limite da função no ponto x 0 (descontínuo) passa pela utilização do método da fatoração . Com a fatoração, podemos encontrar outra função (g(x)) que seja contínua em x0 e que tenha exatamente o mesmo comportamento da função original ( f (x)) do nosso problema (que é descontínua no ponto x 0). Se esta segunda função (g(x)) apresentar o mesmo comportamento que a função original ( f (x)), então os limites das duas funções terão o mesmo valor, ainda que f (x) seja descontínua em x = x 0, e o limite será o próprio valor da função g(x) em x0. O segredo está no fato de que devemos lembrar que o valor do limite depende única e exclusivamente do comportamento da função nas vizinhanças do ponto x0, e não necessariamente sobre ele. Assim, como as duas funções f (x) e g(x) têm o mesmo comportamento em todos os pontos, então os limites das duas funções são os mesmos e assumem o valor de g(x 0). Ve jamos o exemplo seguinte (ainda o caso do item s do exemplo 1 anterior). Exemplo
Encontre o valor limite: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
x 2 − 4 lim x→2 x − 2
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Resolução
fatorá-la. Fatorando a expressão do denominador (parte superior da fração), obtemos:
x − 4 ( x − 2) ( x + 2) = = x + 2 x − 2 x − 2 2
Temos, então, duas funções: tínua) em x = 2, que é:
x − 4 f (x) = x − 2 2
(II) a função obtida através da fatoração de f(x), que é: g(x) = x – 2 Como os comportamentos destas duas funções são exatamente os mesmos para todo e qualquer valor de x, exceto em x = 2, em que a função f (x) não é contínua, e lembrando que, para o cálculo do limite, só precisamos conhecer o comportamento da função nas vizinhanças do ponto em questão (x = 2, no caso), mas não necessariamente nele, então:
B E S i n U
x 2 − 4 lim x → 2 ≡ lim x →2 (x + 2) = 4 x − 2
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
Há várias formas de fatoração de expressões algébricas, que não serão aqui abordadas, pois este não é o foco principal do estudo de limites pretendido no curso. No entanto, para podermos resolver uma quantidade considerável de limites cujas funções necessitam ser fatoradas, apresentaremos, na próxima seção, um recurso bastante prático e útil de divisão (e
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
5.1.5 Dispositivo prático de Briott-Rufini Podemos lançar mão do disposi A fatoração da expressão x 2 – 4 divisão (fatoração) de expressões baseou-se na aplicação de uma fórmula de produtos notáveis, que se refere ao produto algébricas. O dispositivo serve da soma pela diferença de dois termos a e b: para dividirmos um polinômio (a + b)(a – b) = a2 – b2 P(x) de grau qualquer por outro Se você considerar a = x e b = 2, a expressão acima do tipo D(x) = (x – a), em que a poderá ser aplicada à fatoração realizada no exemplo. é uma constante real qualquer. Como exemplo, vamos dividir o polinômio P(x) = x2 – 4 por D(x) = x – 2. Sabemos que o resultado deverá ser Q(x) = x + 2 e resto R(x) = 0. O dispositivo consiste em colocarmos potências sobre um traço horizontal e efetuar algumas operações simples 2 P ( x ) = x − 4 D( x ) = x − 2
2; 0 do x e – 4, que é o termo independente) do polinômio P(x) sobre um traço horizontal e a constante a do polinômio D(x)(2, no caso) separada por um traço vertical, 1 0 –4 2 Figura 13 – Preparação para a divisão de (x2
iniciar um procedimento repetitivo que consiste em: multiplicar o co exata, resultando em resto zero.
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Limites e Derivadas – Capítulo 5
a seguir nos mostra o resultado. +
2
1 1
0 2
–4 0
X
Podemos observar que o resto é nulo e que, portanto, obtivemos sucesso na fatoração. O polinô¬mio resultante, isto é, o quociente da divisão, é facil Importante: o grau do polinômio quociente Q(x) é sempre uma unidade menor que o grau do polinômio dividendo D(x). Exemplo
Obtenha o valor de cada um dos limites seguintes:
x − 9 a) lim x − 3 x − 9 0 x − 9 lim = . Não existe f(3), porém, sabemos que = x − 3 x − 3 0 ( x − 3) ( x − 3) 2
2
=
x − 3
2
= x + 3,
x − 9
x − 9
2
2
então: = x + 3, x – {3}. Assim, lim = x − 3 x − 3 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
= lim (x + 3) = 6. Note que, na resolução do item acima, foi realizada a fatoração da expressão x 2 – 9 para depois efetuar-se o cancelamento com a expressão chegar ao resultado.
x − 1 x − 1 4
b) lim
3
Matemática para Negócios
x − 1 0 = . Não existe f(1), porém, sabemos que x − 1 0 4
lim
3
( x − 1) ( x 3 + x 2 + x + 1) , 2 ( x − 1) ( x + x + 1) 3 2 x 4 − 1 ( x − 1) ( x + x + x + 1) então: 3 = x − 1 ( x − 1) ( x 2 + x + 1)
x − 1 = x − 1 4 3
{1}.
x + x + x + 1 4 x − 1 = lim = . x − 1 x + x + 1 3 4
Assim, lim
x –
3
3
2
2
x − 1 x − 1 4
c) lim
3
x − 1 = f(0) = 1 x − 1 4
lim
3
x − 4 x + 2 2
d) lim
2
x − 4 = f(–1) = –1 x + 2 2
lim
2
x − 5 x + 6 x − 2 2
e) lim
x − 5 x + 6 0 = . Não existe f(2), porém, sabemos que x − 2 0 2
lim
x − 5 x + 6 = x − 2 2
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( x − 2) ( x − 3) , ( x − 2)
x − 5 x + 6 então: = (x – 3) x – {2}. x − 2 2
x − 5 x + 6 = lim (x – 3) = –1. x − 2 2
Assim, lim
Limites e Derivadas – Capítulo 5
x 2 1
f) lim lim
x 1
x 2 1
x 1
0 = 0 . Não existe f(1), porém, sabemos que
x − 1 ( x − 1) ( x + 1) x − 1 = ( x − 1) , 2
x − 1 então: = x + 1, x – {1}. x − 1 2
x 2 1
Assim, lim
x 1
= lim ( x + 1) =
2
.
x − 1 x + 3x − 4 3
g) lim
4
x − 1 0 = . Não existe f(1), x + 3x − 4 0 3
lim
4
( x − 1) ( x 2 + x + 1) , 4 ( x − 1) ( x 3 + x 2 + x + 4 ) x 3 − 1 ( x 2 + x + 1) , x – {1}. então: 4 = x + 3x − 4 ( x3 + x 2 + x + 4) ( x 2 + x + 1) 3 x 3 − 1 = Assim, lim 4 = lim 3 2 ( x + x + x + 4) 7 x + 3x − 4 1 0 0 –1 1 1 1 1 0
x − 1 porém, sabemos que = x + 3x − 4 3
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3 – 1 por x – 1, com resultado x2 + x + 1 e resto nulo 1 0 0 3 –4 1 1 1 1 4 0
4 + 3x – 4 por x – 1, com resultado x3 + x2 + x + 4 e resto nulo
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5 x − 12 x + x + 4 3
h) lim
2
3
5 x − 12 x + x + 4 3
lim
2
3
i) lim
+ 4
+ 4 = f(2) = 0
x + x x + 3x + x 3
2
4
3
x + x 0 = . Não existe f(0), porém, sabemos que x + 3x + x 0 3
lim
8x
8x
4
2
3
x ⋅ ( x 2 + x ) , 3 2 3 x ⋅ ( x + 3x + 1) 2 x 3 + x 2 x ⋅ ( x + x ) então: 4 = , x – {0}. 3 2 3 ⋅ + + 3 1 x x x x + 3x + x ( )
x + x = x + 3x + x 3
4
2
x + x x + x Assim, lim = lim = 3 1 x x + + + + 3 x x x 3
4
2
2
3
3
2
0 1
= 0.
Exemplo
f ( x + h ) − f ( x ) Calcule o limite lim para: h
a) f (x) = 2x – 1 b) f (x) = x2 Resolução
a) Para calcular o limite solicitado, preConexão cisamos obter as expressões equiNa página http://www. valentes a f (x) e f (x + h): somatematica.com.br/softwares. B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
f ( x ) = 2x − 1 f ( x + h ) = 2(x + h ) − 1 = 2x + 2h − 1
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f (x) e f (x + h) no limite que desejamos calcular e determinar seu valor, como mostra o desenvolvimento seguinte:
php#, você encontra um ícone para baixar um aplicativo interessante, denominado “polinomial teacher”, que poderá auxiliar-lhe nos cálculos com expressões polinomiais (do tipo das que estamos vendo neste capítulo).
Limites e Derivadas – Capítulo 5
lim h →0
f ( x + h ) − f ( x )
=
h =
=
lim h →0 lim h→0 lim h →0
2 x + 2 h − 1 − ( 2 x − 1) h 2x + 2 h − 1 − 2 x + 1 h 2h
h = lim h →0 2 =
2
b) f (x) = x2 Como no item anterior, vamos obter as expressões equivalentes a f (x) e f (x + h): f ( x ) = x 2 2 2 2 f ( x + h ) = ( x + h ) = x + 2xh + h
Efetuando as substituições necessárias, poderemos determinar o valor do limite: lim
f ( x + h ) − f ( x ) h→0
=
h =
=
lim lim lim
=
lim
=
2x
x 2 + 2xh + h 2 − x 2 h→0 2xh + h 2 h→0
h h ( 2x + h )
h→0
h
h→0 = 2x + 0
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
h
(2 x + h )
O tipo de limite apresentado no Exemplo 4.6 será de muita utilidade na próxima unidade, quando estivermos trabalhando o assunto “derivada de uma função”.
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
5.2 Definição de derivada e cálculo da derivada através de limites 5.2.1 Introdução A derivada de uma função é outra função que tem a característica poderosa de nos mostrar o comportamento da função original. A derivada de uma função nos mostra a forma de seu crescimento/decrescimento. Ela apresenta a taxa de variação (crescimento/decrescimento) da função, isto é, o quanto a função (y) cresceria ou decresceria se incrementássemos “um pouco” a variável independente (x). Na natureza, temos alguns exemplos de derivadas. A velocidade (função velocidade) é a derivada do espaço no estudo da cinemática, pois é a velocidade que nos “mostra” como os espaços estão sendo percorridos em relação ao tempo por um veículo. Se este veículo está imprimindo grande aceleração, então, com o passar do tempo, a função espaço vai aumentando e a cada segundo o aumento é maior, isto é, a taxa de aumento do espaço percorrido por segundo, por exemplo, vai aumentando. Se, em contrapartida, o espaço percorrido aumenta, mas sempre numa mesma taxa – por exemplo, 5 metros a cada segundo –, é porque a sua velocidade (taxa de variação) é constante. O exemplo mais comum na Administração Geral é o do custo marginal . O custo marginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzida de bens ou serviços. Sabemos que, para produzir primas, energia, capital, mão de obra, transporte etc. Desta forma, para cada nível de produção Q, é conhecida a quantia monetária para a sua obtenção, isto é, o custo. O custo marginal, por ser a derivada do custo, apresenta-nos o quanto a empresa terá de gastar a mais (aumento no custo) para conseguir pro a taxa de variação do custo quando se altera o nível de produção de uma empresa ou de uma linha de produção. Depois de ler o capítulo e realizar os exercícios, o aluno terá:
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Limites e Derivadas – Capítulo 5
medida de variação no valor da função (y) e como um impacto na variação da variável independente (x); visto o conceito da função derivada como uma taxa “pontual” de variação da função; calculado a função derivada num ponto qualquer; calculado a função derivada analiticamente por meio de sua Vamos começar revendo um conceito que nos será de bastante utili
5.2.2 O coeficiente angular ção (y) como decorrência de uma variação na variável x (independente), isto é, ele nos mostra o impacto provocado na função (y) pela variação em x. Se a função é crescente, isto é, se um aumento em x provoca um aumento no valor da função (y), então o A forma utilizada para se determinar uma função Em contrapartida, se a derivada, que será abordada neste capítulo, não função é decrescente, isto é, se é a mais prática nem a mais ágil, mas é necessária um aumento em x provoca uma para que se compreenda o conceito de derivada. Na próxima unidade, veremos formas bem mais práticas diminuição no valor da função, de obter tais funções. diminui de valor como decorrên taremos por m, entre dois pontos, P1(x1, y1) e P2(x2 , y2), é dado pela expressão abaixo:
B E S i n U
© – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
m=
∆y ∆x
=
y 2 − y1 x 2 − x1
Matemática para Negócios
prolongamento do segmento de reta P1P2 e pelo eixo x (eixo das abscissas y
P2
y2
y
P1
y1
x
x x1
x2
Nos exemplos seguintes, veremos entre dois pontos. Note que uma das funções apresentadas é do A utilização da letra grega delta maiúscula ( ) seguida de uma variável (x, por exemplo) indica a primeiro grau e a outra é do sevariação ocorrida nessa variável, isto é, x é uma gundo. Procure notar a diferença forma de indicar um intervalo da variável x. entre os resultados. Exemplo
entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = 3x + 1: a) x0 = 0 e x1 = 1 m= B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
4 −1 1− 0
=
3
=
3
b) x0 = 1 e x1 = 2 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
7−4 2 −1
Limites e Derivadas – Capítulo 5
c) x0 = 2 e x1 = 3 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
10 − 7
=
3− 2
=
3
d) x0 = 10 e x1 = 11 m=
∆x ∆y
=
y2 − y1 x2
−
x1
34 − 31
=
=
11 − 10
3
e) x0 = 0 e x1 = 10 m=
∆y ∆x
=
y2
− y1
x2
− x1
=
31 − 1 10 − 0
=
3
f) x0 = 1 e x1 = 101 m=
∆y ∆x
=
y2
− y1
x2
− x1
=
304 − 4 101 − 1
=
3
Exemplo
função y = x 2. a) x0 = 0 e x1 = 1 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
1− 0 1− 0
=1
b) x0 = 1 e x1 = 2 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
4 −1 2 −1
=3
c) x0 = 2 e x1 = 3 B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
9−4 3− 2
=
5
d) x0 = 10 e x1 = 11 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
121 − 100 11 − 10
=
21
e) x0 = 0 e x1 = 10
Matemática para Negócios
m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
100 − 0 10 − 0
= 10
f) x0 = 1 e x1 = 101 m=
∆y ∆x
=
y2
−
y1
x2
−
x1
=
10 ⋅ 201 − 1 101 − 1
= 102
5.2.3 Derivada pela definição ou calcula a variação que ocorre na função (y) ao provocarmos uma varia num determinado ponto, como vimos nos exemplos anteriores, em que x variava de 0 até 1 ou de 1 até 2 ou, ainda, de 0 a 10. A derivada, entretanto, mostra-nos a variação da função quando nitesimal) na variável x. Assim, a derivada é capaz de medir “ a tendência ”. A deriva-da mostra, por assim dizer, a variação da função não mais entre a tendência de variação da função num ponto A derivada da função no ponto x 0 pode ser entendida como sendo a taxa de variação pontual, no ponto x 0. A notação de derivada pode ser encontrada, entre vários autores, como sendo: y’; f’(x); dy xy dx
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Todas estas notações dizem respeito à mesma função matemática: “A derivada de y em relação a x”. diferença de que o acréscimo na variável x, a partir de x 0, é muito peque
Limites e Derivadas – Capítulo 5
y ' = lim ∆x →0
∆y
=
∆x
lim ∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆x
5.2.4 Interpretação gráfica da derivada Já sabemos que a derivada de uma função nos apresenta sua “tendência de variação em cada ponto” e que, desta forma, há pequena di reta entre os dois pontos P1P2 e a abscissa, conforme podemos observar à curva que passa pelo ponto x 0, não necessitando de outro ponto para de curva em cada ponto x. Embora estejamos falando em tangente de ângulo, não precisaremos utilizar os conceitos da trigonometria para trabalhar com derivadas. f(x) P2
f(x 0 + x)
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P1
f(x 0 )
Reta tangente a f(x) pelo ponto x 0
(x 0 )
(x 0 ) + x
Figura 15 – Representações gráficas do coeficiente angular e das derivadas
Matemática para Negócios
Exemplo
guintes derivadas, sendo y = 3x + 1: a) y’(x0 = 1) ou y(1), que representam a deriva- Para representarmos a derivada de uma função da da função no pon- y em um ponto x0 y’(x0). to x0 = 1; b) y’(2); c) y’(0); d) y’(x). Resolução
a) y(1) Vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f (x0) e f (x0 + x): f ( x 0 ) = f (1) = 3 ⋅1 + 1 = 4 f ( x 0 + ∆x ) = f (1 + ∆x ) = 3(1 + ∆x ) + 1 = 3 + 3∆x + 1 = 4 + 3∆x
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a e no limite, valor, como apresentado a seguir: y '(1) = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
f (1 + ∆x ) − f (1) ∆x
4 + 3∆x − 4
Conexão:
No endereço http://objetose∆x ducacionais2.mec.gov.br/handle/ 3∆x mec/11411, você encontrará um interes= lim ∆x →0 sante aplicativo (disponível gratuitamente ∆x para download), denominado “función deriva= lim ∆x →0 (3) da”, que mostra o conceito de taxa de variação média e sua interpretação geométrica, de taxa =3 de variação instantânea, a função derivada e a derivada de função composta. Também apresenta exemplos e exercícios que poderão auxiliar sua aprendizagem. O texto é apresentado em espanhol.
Limites e Derivadas – Capítulo 5
b) y’(2) Novamente vamos determinar, inicialmente, as expressões que re presentam f (x0) e f (x0 + x): f ( x 0 ) = f (2) = 3 ⋅ 2 + 1 = 7 f ( x 0 + ∆x ) = f (2 + ∆x ) = 3(2 + ∆x ) + 1 = 6 + 3∆x + 1 = 7 + 3 ∆x
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x) seu valor, como apresentado a seguir: y '(2 ) = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0
=
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
f (2 + ∆x ) − f (2) ∆x
7 + 3∆x − 7 ∆x
lim ∆x → 0
3∆x ∆x
=
lim ∆x → 0 (3)
=
3
c) y’(0) Determinando as expressões que representam f(x 0) e f(x0 + x), temos:
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
f ( x 0 ) = f (0) = 3 ⋅ 0 + 1 = 1 f ( x 0 + ∆x ) = f (0 + ∆x ) = 3(0 + ∆x ) + 1 = 3∆x + 1 = 1 + 3∆x
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a e no limite, valor, como apresentado a seguir:
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
y '(0 ) = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
f (0 + ∆x ) − f ( 0) ∆x
1 + 3∆x − 1 ∆x
3∆x ∆x
= lim ∆x →0 (3)
Conexão:
No endereço http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/ handle/mec/4998, você encontrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “limits”, que calcula limites de funções.
=3
d) y’(x). Determinando as expressões que representam f (x0) e f (x0 + x), temos: f ( x 0 ) = f ( x ) = 3x + 1 f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 3(x + ∆x ) + 1 = 3x + 3∆x + 1
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f (x 0) e f (x0 + e determinar seu valor, como apresentado a seguir: y '( x ) = lim ∆x →0 =
=
=
= = B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
lim∆x →0 lim∆x →0 lim∆x →0 lim∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x
3x + 3∆x + 1 − (3x + 1) ∆x
3x + 3 ∆x + 1 − 3x − 1 ∆x
3∆x ∆x
lim m ∆x →0 (3)
=3
Exemplo
2 – 2x + 1: a) y’(2); b) y’(x).
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Resolução
a) y’(2) Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f (x0) e f (x0 + x): f ( x 0 ) = f (2) = 22 − 2 ⋅ 2 + 1 = 4 − 4 + 1 = 1 f ( x 0 + ∆x ) = f (2 + ∆x ) = ( 2 + ∆x )2 − 2(2 + ∆x ) + 1 = 4 + 4 ∆x + ( ∆x )2 − 4 − 2 ∆x + 1 = ( ∆ x ) 2 + 2 ∆x + 1
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x) nar seu valor, como apresentado a seguir: y '(2 ) = lim ∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
= l i m ∆x →0 = lim ∆x →0
=
∆x
( ∆x )2 + 2∆x + 1 − 1 ∆x
( ∆x )2 + 2∆x
lim ∆x → 0
∆x
∆ x ( ∆x + 2 ) ∆x
=
lim ∆x → 0 ( ∆x + 2)
=
0+2
=
2
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
b) y’(x) Nesse caso, para determinar as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x), devemos substituir x0 por x e proceder ao cálculo do limite
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
f ( x 0 ) = f ( x ) = x 2 − 2x + 1 f ( x 0 + ∆x ) = f (x + ∆x ) = (x + ∆x )2 − 2(x + ∆x ) + 1 = x 2 + 2 x ∆ x + ( ∆x ) 2 − 2 x − 2 ∆ x + 1
Matemática para Negócios
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a (x 0) e f (x0 + x) nar seu valor, como apresentado a seguir: y '( 2) = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 =
=
=
lim∆x →0 lim∆x →0 lim∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) ∆x
x 2 + 2x∆x + (∆x ) 2 − 2x − 2∆x + 1 − ( x 2 − 2x + 1) ∆x
x 2 + 2x∆x + (∆x ) 2 − 2x − 2∆x + 1 − x 2 + 2x − 1 ∆x
2x∆x + (∆x )2 − 2∆x ∆x ∆x ( 2x + ∆x − 2) ∆x
=
lim ∆x →0 ( 2x + ∆x − 2)
=
2x + 0 − 2
=
2x − 2
Exemplo
a) y = 4x + 3; c) y 4 ; x b) y = 1 – 5x;
d) y = x2
Resolução
0. Dessa forma, iremos considerar um valor genérico x 0 = x. No mais, o procedimento é semelhante ao que já realizamos nos exemplos anteriores. a) y = 4x + 3 Temos:
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
f ( x 0 ) = f ( x ) = 4x + 3 f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = 4(x + ∆x ) + 3 = 4x + 4 ∆x + 3
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Substituindo as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x) no limi y '( x ) = lim ∆x →0 =
lim∆x →0
= lim∆x →0 = lim∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
4x + 4∆x + 3 − (4 x + 3) ∆x
4x + 4 ∆x + 3 − 4 x − 3 ∆x
4∆x ∆x
= lim ∆x →0 ( 4) =
4
b) y = 1 – 5x; Temos: f ( x 0 ) = f ( x ) = 1 − 5x f ( x 0 + ∆x ) = f (x + ∆x ) = 1 − 5(x + ∆x ) = 1 − 5x − 5∆x
Substituindo as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x) no limi y '( x ) = lim ∆x →0 = lim∆x →0
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=
= =
lim ∆x → 0 lim ∆x → 0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
1 − 5x − 5∆x − (1 − 5x ) ∆x
1 − 5x − 5 ∆x − 1 + 5x ∆x −5∆x ∆x
lim ∆x → 0 ( −5)
= −5
Matemática para Negócios
c) y
4 x
;
Temos: 4 = = ( x ) f ( x ) f 0 x f ( x + ∆x ) = f (x + ∆x ) = 4 0 x + ∆x
Substituindo as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + x) e no y '( x ) = lim∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
4 =
lim∆x →0
=
lim∆x →0
=
lim∆x →0
=
lim∆x →0 lim∆x →0 −4
=
x ( x + 0) = B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
4
lim∆x →0 x + ∆x x ∆x 4 x − 4( x + ∆x )
=
=
−
−4
x2
x ( x + ∆x ) ∆x 4 x − 4 x − 4∆x x ( x + ∆x ) ∆x −4∆x
Conexão:
No exemplo 5.5, item (c), o mínimo múltiplo comum (mmc) de x e (x + x) é igual a x(x + x).
x ( x + ∆x ) ∆x −4∆x
x ( x + ∆x ) −4
x ( x + ∆x )
⋅
1 ∆x
Limites e Derivadas – Capítulo 5
d) y = x2 Temos: f ( x 0 ) = f ( x ) = x 2 f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x )2 = x 2 + 2x ∆x + (∆x ) 2
derivada, temos: y '( x ) = lim = lim
= lim = lim = lim
f (x ∆x → 0
0
+ ∆x ) − f ( x
0
)
∆x
x 2 + 2 x∆x + (∆x )2 − x 2 ∆x → 0
∆x
2 x∆x + (∆x ) 2 ∆x → 0
∆x ∆x ( 2 x + ∆x )
∆x → 0 ∆x → 0
=
2x + 0
=
2x
∆x
( 2 x + ∆x)
5.3 Regras de derivação (diferenciação) 5.3.1 Introdução Vimos, no capítulo 5, como calcular a derivada originalmente, isto Porém, a todo momento precisamos calcular derivadas e levaremos te). Este tema traz, então, uma série de regras de diferenciação (derivação) para que o processo de obtenção do cálculo seja bastante prático. O aluno aprenderá, neste capítulo, as principais regras de diferenciação (ou derivação) de funções. São regras bastante simples que permitirão ao aluno obter rapidamente a forma mais simples da derivada de uma função sem
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Matemática para Negócios
Depois de ler e resolver os exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido as regras de diferenciação de funções e saberá rapidamente obter a derivada: de uma função potência f (x) = xn; de uma função multiplicada por uma constante k: k · f (x); de uma função constante f (x) = k; da soma (ou subtração) de duas funções: f (x) ± g(x); do produto de duas funções: f (x) · g(x); da divisão de duas funções:
f ( x ) g( x )
5.3.2 Derivada da função xn Seja uma função do tipo y=
xn, então a sua derivada é: y’ = nx(n – 1), n R
Demonstração utilizando
Vamos então considerar y = xn. Daí, temos:
As demonstrações destas regras (apresentadas a seguir) podem ser obtidas através
limite. Para efeito de curiosidade, vamos demonstrar apenas o primeiro caso (função potência). Não vamos nos prender em demonstrações, já que não é o objetivo deste curso. O importante aqui é a utilização correta das regras para encontrarmos as derivadas das funções e as utilizarmos em aplicações importantes no curso de Administração.
f ( x 0 ) = f ( x ) = x n f ( x 0 + ∆x ) = f ( x + ∆x ) = (x + ∆x ) n = x n + nx n −1∆x + nx n − 2 ( ∆x )2 + + … + nx 2 ∆x n − 2 + nx∆x n −1 + ( ∆x ) n
Substituindo as expressões equivalentes a f (x0) e f (x0 + Dx) no limi
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Limites e Derivadas – Capítulo 5
y '( x ) = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0 = lim ∆x →0
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ∆x
x n + nx n −1∆x + nx n − 2 (∆x ) 2 + … + nx 2 (∆x )n −2 + nx (∆x )n −1 + ( ∆x )n − x n ∆x
nx n −1∆x + nx n −2 ( ∆x )2 + … + nx 2 (∆x ) n −2 + nx (∆x ) n −1 + (∆x ) n ∆x ∆x[ nx n −1 + nx n −2 ∆x + … + nx 2 ( ∆x ) n −3 + nx ( ∆x ) n − 2 + (∆x ) n −1 ] ∆x
= lim ∆x →0 [ nx n −1 + nx n −2 ∆x + … + nx 2 ( ∆x ) n −3 + nx ( ∆x ) n − 2 + (∆x ) n −1 ] =
nx n −1 + nx n −2 ⋅ 0 + … + nx 2 ⋅ 0 n −3 + nx ⋅ 0 n −2 + 0n −1
=
nx n −1
Exemplo
Se y = x3, então y’ = 3x 3–1 y’ = 3x2. Exemplo
Encontre a derivada de cada uma das funções apresentadas a seguir, utilizando a regra da derivada da função y = x n. a) y = x2 b) y = x8 c) y = x10 d) y = x100 e) y = x Como não está sendo pedida a derivada em 1 f) y determinado ponto, consideremos x = x. 3
g) y h) y B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
x 1
0
x 1
x10
x i) y x3 j) y x5 k) y l) y 3 x m) y 7 x 4 Resolução a) y = x2 Se y = x2, então y’ = 2x 2–1 y’ = 2x. b) y = x8
Matemática para Negócios
Se y = x8, então y’ = 8x 8–1 y’ = 8x7. c) y = x10 Se y = x10, então y’ = 10x 10–1 y’ = 10x9. d) y = x100 Se y = x100, então y’ = 100x100–1 y’ = 100x99. e) y = x Se y = x, então y’ = 1x 1–1 y’ = x0 y’ = 1. f) y 1
Se y
x3
1
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x –3 Então:
x3
y ' = −3x −3−1 ⇒ y ' = −3x −4
g) y Se y
3 x4
, x
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x –1. Então:
y' = −
1 x2
, x
y
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x –10. Então:
y' =
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2
10 x11
, x
≠
0.
x
x
1
0.
x10
x10
y
≠
1
1
⇒
y ' = −10x −10−1 ⇒ y ' = −10x −11 ⇒ y ' = −
Se
0.
x
h) y
i)
≠
x
y ' = −1x −1−1 ⇒ y ' = −x −2
Se y
y' = −
1
1
⇒
1
x2
1
, podemos escrever, de forma equivalente, y x 2 . Então:
1
−
⇒
y' =
1 2
x
−
1 2 ⇒
1
y'= −
1
⇒
y' = −
2x 2
1 2 x
, x > 0.
x3 j) y 3 3 x , podemos escrever, de forma equivalente, y x 2 . Então: Se y
y' =
3 2
3
x2
−1
⇒
y' =
3 2
1
x2
⇒
y' =
3 x 2
, x ≥ 0.
Limites e Derivadas – Capítulo 5
k) y Se
x5
5
y
l) y Se y
3
3
y' =
4 7
7
x
x , podemos escrever, de forma equivalente, y
m) y Se y
, podemos escrever, de forma equivalente, y x 2 . Então:
x5
7
1
x 3 . Então:
x4 4
x4
4
x7
1
, podemos escrever, de forma equivalente, y x 7 . Então:
−
⇒
y' =
4 7
x
−
3 7
⇒
y' =
4 3
7x 7
⇒
y' =
4 7 7 x3
, x > 0.
5.3.3 Derivada de k· f(x) Seja uma função do tipo y = k · f (x), em que: k é uma constante ( k R); f (x) é uma função qualquer, cuja derivada é f ’(x). Então, sua derivada será: y’ = k · f ’(x) Exemplo
Encontre as derivadas das funções seguintes, utilizando as regras de derivação que você conhece: a) y = 3x2 6 g) y 8 x x3 b) y 10 h) y 2 x c) y = 100x3 25x 3 i) y x10 3 d) y 10 j) y 20 3x 5 e) y = 100x100 3 8x 2 k) y 5 2 f) y x l) y = 3 = −
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Matemática para Negócios
Resolução
a) y = 3x2 Se y = 3x2, então: y’ (x) = 3 · (2)x(2 – 1) = 6x1 = 6x b) y Se y
x
10 x8
10
, podemos escre1
x8 . ver, de forma equivalente, y 10 Então:
Quando encontramos, numa função, uma constante (k) que esteja multiplicando ou dividindo outra função, então, se queremos aplicar a derivação, devemos nos preocupar somente com a parte funcional (parte que apresenta o x), mantendo a constante intacta, ou seja, da forma (multiplicando ou dividindo) como se apresenta na função original, antes de começar a derivação.
y' =
1 10
8−1 ⋅8x
⇒
y'=
1 10
7 ⋅ 8x
⇒
y'=
8 x7 10
.
c) y = 100x3 Se y = 100x 3, então: y’ = 100 · (3)x3 – 1 = 300x2 d) y Se y
x10
10
x10 10
, podemos escrever, de forma equivalente, y
x10 10
. Então:
e) y = 100x100 Se y = 100x 100, então: y’= 100 · (100)x100 – 1 = 10.000 = x 99 f) Se Então: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
y
y
5 x
5
x
g) y Se y
, podemos escrever, de forma equivalente, y 5 1 5 x 1. =
x
6 = −
= −
=
x3
6 x3
, podemos escrever, de forma equivalente,
⋅
−
Limites e Derivadas – Capítulo 5
y
6
= −
1 = −
x3
6 x 3. Então: ⋅
−
y ' = −6 ⋅ (−3) x−3−1 ⇒ y ' = 18 x −4 ⇒ y ' =
18 x4
.
h) y 2 x
1
Se y 2 x , podemos escrever, de forma equivalente, y 2 x 2 . Então:
y' = 2⋅
i) y Se y
1
1
⋅ x2
2
1
−
⇒
y' = x
2
⇒
1
y'=
1
⇒
1
y'=
x
.
25x 3
3 25x 3
, podemos escrever, de forma equivalente,
3 25
=
x3
⋅
5 x2 =
3
5 3
x2
⋅
3 2
3
1
−
⇒
3
5
⋅
3
y' =
1
x2
3
y
−
=
y' =
3 5
⋅
x 2 Então: 1
⋅
2
x2
⇒
y'=
5 2
⋅
x.⇒ y ' =
5 x 2
.
j) y 20 3x 5 Se y 20 3x 5 , podemos escrever, de forma equivalente,
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
y' =
5 3 ⋅
3 2
k) y Se y
x2 3
3
3
1
−
⇒
y' =
5 2
1 ⋅
x2
⇒
y'=
5 2
⋅
x.⇒ y ' =
5 x 2
. Então:
8x 2 2
8x 2 2
, podemos escrever, de forma equivalente,
Matemática para Negócios
3
y
3
y
2 y´
=
2 3
2
3
8 x2 2
x3
1
−
2 x2
y
2 y´
=
2 3
x
−
x 3 Então:
1 3
y´
=
2 1
3x 3
y´
=
2 3
.
3 x
l) y = 3 Como y = 3 é uma função constante, podemos escrevê-la na forma y = 3x 0. E, aplicando as mesmas regras que aplicamos nos itens anteriores, temos: y’ = 3 · 0 · x 0–1 = 0 Em situações como essas (de funções constantes), não é necessário gra para derivadas de funções constantes. Podemos dizer que a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.
5.3.4 Derivada de f(x) = k Seja uma função constante, isto é, y = k, em que k é uma constante (k R). Então, sua derivada será: y’ = 0 Exemplo
Encontre as derivadas das funções seguintes: a) y = 3 b) y = 10.400 c) y
1 10
d) y 5 e) y = f) y = 53
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Resolução
Todas as funções apresentadas nos itens de (a) a (f) são funções constantes. Portanto, para todos esses casos, temos: y’ = 0
Limites e Derivadas – Capítulo 5
5.3.5 Derivada de uma soma (ou subtração) de funções Seja uma função do tipo y = f (x) ± g(x), em que: f (x) é uma função cuja derivada é f ’(x), g(x) é uma função cuja derivada é g’(x). Então, sua derivada será: y’(x) = f ’(x) ± g’(x)
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a função varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
Exemplo
Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação: a) y = 3x2 + 2x – 10 b) y = 3x2 + 4x – 5 c) y
x8 =
10
−
3x
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10 Resolução:
a) y = 3x2 + 2x – 10 Se y = 3x2 + 2x – 10, então: y´ = 3 ⋅ 2x 2−1 + 2x1−1 − 0
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y´ = 6x + 2.
b) y = 3x2 + 4x – 5 Se y = 3x2 + 4x – 5, então: y´ = 3 ⋅ 2x 2−1 + 4x1−1 − 0
c) y Se y
x8 =
10
x8 =
10
−
−
y´ = 6x + 4.
3x
3x , então:
8x 8
1
−
y´
=
10
−
3x1 1 −
y´
=
4x 7 5
−
3.
Matemática para Negócios
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10 Se y = 100x 3 – 4x2 + 3x – 10, então: y ' = 100 ⋅ 3x 3−1 − 4 ⋅ 2 x 2−1 + 3x1−1 − 0 ⇒ y ' = 300x 2
− 8x + 3.
5.3.6 Derivada do produto de duas funções: a regra do produto Seja uma função do tipo y = f (x) · g(x), em que: f (x) é uma função cuja derivada é f ’(x); g(x) é uma função cuja derivada é g’(x).
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a função varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
Então, sua derivada será: y’(x) = f ’(x) · g(x) + g’(x) · f(x) Exemplo
Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções seguintes: a) y = x3 · (4x + 2) b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3) c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20) d) y = 5x (25x 2 − 4x + 2 ) 2
Resolução
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
a) y = x3 · (4x + 2) Podemos observar que a função y é o produto de duas funções, que denotaremos, respectivamente, por f(x) e g(x). Portanto: y = f(x) · g(x), em que f ( x ) = x 3 , = + g ( x ) 4 x 2
Limites e Derivadas – Capítulo 5
e suas derivadas são f' ( x ) = 3x 2 g '(x ) = 4 .
tar as funções f(x), g(x), f´(x) e g´(x) por f, g, f´ e g´. Além disso, podemos suprimir o uso do sinal da multiplicação A regra do produto de duas funções não “·”, quando esta operação estiver é tão intuitiva quanto a regra da soma (ou subtração). Agora, a derivada de uma multiplievidente. Aplicando a regra do produto, temos:
cação não é simplesmente a multiplicação das derivadas.
y ' = f'g + g ' f y ' = 3x 2 (4 x + 2) + 4( x 3 )
A expressão y ' = 3x 2 (4 x + 2) + 4( x3 ) já é a derivada que queríamos determinar. No entanto, podemos continuar a y ' = 3x 2 (4 x + 2) + 4( x3 ) y ' = 12 x 3 + 6x 2 + 4 x3 y ' = 16x 3 + 6x 2
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b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3) Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos: y = f · g, em que f = 2x 3 + 3x + 1 , = − g x 3
e suas derivadas são f' = 6x 2 + 3 . g ' = 1
Matemática para Negócios
Aplicando a regra do produto, temos: y ' = f'g + g ' f y ' = (6 x 2 + 3)( x − 3) + 1( 2 x 3 + 3x + 1) y ' = 6 x 3 − 18x 2 + 3x − 9 + 2x 3 + 3x + 1 y ' = 8x 3 − 18x 2 + 6 x − 8
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20) Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos: y = f · g, em que 5x f = , 2 g = 25x 2 − 4x + 2
e suas derivadas são 5 f' = . 2 g ' = 50x − 4
Aplicando a regra do produto, temos: y ' = f'g + g ' f y ' = (300x 2 − 8x )(3x − 20) + 3(100x 3 − 4x 2 ) y ' = 900x 3 − 600x 2 − 24x 2 + 160x + 300x 3 − 12x 2 y ' = 1200x 3 − 636x 2 + 160x
d) y = B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
5x 2
( 25x 2 − 4x + 2 )
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos escrever a função y como o produto de duas funções f e g: y = f · g,
Limites e Derivadas – Capítulo 5
em que
Conexão:
No endereço http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/ mec/6091, você irá encontrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do produto” (“the product rule”) para a obtenção de ções. Você mesmo insere a função produto que deseja
5x f = , 2 g = 25x 2 − 4x + 2
e suas derivadas são
e o programa fornece o resultado da derivada, bem
5 f' = . 2 g ' = 50x − 4
função produto e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
Aplicando a regra do produto, temos: y ' = f'g + g ' f y' = y' = y' =
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p
5 2
(25x 2 − 4 x + 2) + (50x − 4)
125x 2 2 375x 2 2
−
5x 2
10x + 5 + 125x 2 − 10 x
−
20 x + 5
Note que, em cada um dos casos resolvidos anteriormente, poderíamos ter obtido a derivada sem aplicar a regra do produto. Bastaria, para isso, multiplicar as expressões (utilizando a propriedade distributiva), transformando cada uma das funções em polinômios (sem utilização da forma de multiplicação). No entanto, haverá casos em que esse tipo de recurso não será possível. Por isso, é imprescindível que se saiba aplicar a regra do produto.
5.3.7 Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente
a c i t á m e t a M 4 1 D A E
Seja uma função do tipo , em que: y
f ( x ) g( x )
Matemática para Negócios
f (x) é uma função cuja derivada é f ’(x), g(x) é uma função cuja derivada é g’(x). Então, sua derivada será: y'
f' ( x ) g( x ) g '( x ) f ( x ) ⋅
=
−
⋅
[g( x) ]2
.
y'
f'g g ' f −
=
g2
Exemplo
Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes: a) y
5x 4
b) y = c) y =
3x 2 5x 2
+
8x − 1
2x − 3 x 4 + 25 x 3 − 4x 2
Resolução
a) y
5x 4
3x 2
Podemos escrever: y
5x 2
3
ou y
5
3
x2 ,
e, em seguida, derivá-la: B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
y' =
5 3
2x 2−1 ⇒ y ' =
10 x 3
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Apenas para ilustrar e mostrar que pela aplicação da regra do quociente a derivada obtida será a mesma, vamos determinar y´ dessa forma. Vamos, inicialmente, escrever a função y como o quociente de duas funções, f e g: y
f
,
g
em que f = 5x 4 , 2 = g 3x
e suas derivadas são f' = 20x 3 . g ' x 6 =
Aplicando a regra do quociente, temos: b) y =
5x 2
+
8x − 1
2x − 3
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções f e g, temos: y
f
,
g B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
em que f = 5x 2 + 8x − 1 , = − g 2 x 3
e suas derivadas são f' = 10x + 8 . = g ' 2
Matemática para Negócios
Aplicando a regra do quociente, temos: y' = y' = y' = y' =
c) y =
x4
f'g − g ' f g2 (10x + 8)( 2x − 3) − 2(5x 2 + 8x − 1) (2 x − 3) 2 20x 2 − 30x + 16 x − 24 − 10x 2 − 16x + 2 (2 x − 3) 2 10 x 2 − 30x − 22 ( 2 x − 3) 2
+
25
x 3 − 4x 2
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções, f e g, temos: y
f
,
g
em que f = x 4 + 25 3 2 g = x − 4x
e suas derivadas são = 4x 3 f' = . 2 g ' = 3x − 8x
Conexão:
No endereço http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/ mec/6090, você irá encontrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do quociente” (“the quotiente rule”) para a obtenção
funções. Você mesmo insere a função quociente que -
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
nidas) e o programa fornece o resultado da derivada,
função quociente e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Aplicando a regra do quociente, temos: y' = y' = y' = y' =
f'g − g ' f g2 4 x 3 (x 3 − 4x 2 ) − (3x 2 − 8x )( x 4 + 25) ( x 3 − 4x 2 ) 2 4x 6 − 16x 5 − 3x 6 − 75x 2 + 8x 5 + 200x ( x 3 − 4x 2 )2 x 6 − 8x 5 − 75x 2 + 200x ( x 3 − 4x 2 )2
Atividades 01. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
Calcule os limites seguintes: lim (2x – 1) lim (2x – 1) lim (2x – 1) lim (–x + 2) lim (2 (2)) lim (x3) lim (x3) lim (x2 – 4) lim (x2 – 4) lim (x2 – 3x + 4)
k)
5 2 lim + x
l)
lim
x 1 + 2 x − 1 x
m) lim
x − x − 6 x − 3
lim
x − x − 6 x − 3
2
2
n)
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Matemática para Negócios
02. sos abaixo: a) y = 3x b) y = 3x + 1 c) y = –2x +4 d) y = – x 2 e) y = x2 –4 f) y = x2 –5x +6 g) y = x3
03. Utilizando as regras de derivação, calcule as derivadas das fun-
ções abaixo abai xo:: a) y = 2x + 1 b) y = 2x + 5
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
2x + 1
c)
y=
d) e) f) g)
y = x2 + 3x – 7 y = 5x8 – 3x + 4 y = (x3 – 8)(x + 2) y
2x + 5
53
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Reflexão Você pôde perceber, pelo estudo deste capítulo, que obter as derivadas de certas funções não é tarefa tão difícil e maçante como parecia. A aplicação das regras de derivação nos permite derivar vários tipos de uma função. A função derivada nos traz informações sobre o comportamento da função original. Portanto, quando derivamos uma função, não é simplesmente por derivar que o fazemos. Há um propósito nisso. Você verá algumas aplicações em outras disciplinas do curso, como, por exem plo, quando for estudar o custo marginal , que nada mais é do que a derivada da função custo total . O conhecimento da função derivada também nos permite determinar valores máximos e mínimos da função original, o que nos servirá, por exemplo, para determinar valores máximos de lucro, receita etc.
Leituras recomendadas contrará textos explicativos sobre limites e derivas. Clique no ícone ensino superior e, depois, selecione os assuntos referentes aos limites e às derivadas: noção intuitiva de limite, limites e continuidade, derivadas, taxa de variação instantânea, entre outros.
Referências B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P – s o i c ó g e N a r a p a c i t á m e t a M 4 1 D A E
CHIANG, A. Matemática para economistas 1982. DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações . 2. ed. São Paulo: Ática, 2005. GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada à economia, administração e ciências contábeis . Bookman, 1999.
Matemática para Negócios
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo . Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997. LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração . Harbra, 2001. SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, H. M. Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis . São Paulo: Atlas, 1997. TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia . Pioneira Thomson Learning, 2001. WEBER, J. E. Matemática para economia e administração . Harbra, 1988.
B E S i n U © – o ã ç u d o r p e r a a d i b i o r P
Limites e Derivadas – Capítulo 5
Minhas anotações:
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