Libro Teoría de Números

Una Introducción a la Teoría de Números Algunas aplicaciones con DERIVE Luis Alejandro Másmela Caita Junio de 2010

ii

Índice general Introducción

VI I

I Primera Parte

1

1. Fundamentos 1.1. 1.1. Pro Propie piedad dades Funda undam ment entales ales . . . . . . 1.2. 1.2. La Nota Notaci ción ón Suma Sumato tori riaa y Prod Produc ucto tori riaa 1.3. Inducción Matemática . . . . . . . . . 1.4. 1.4. Relac elacio ione ness de Recur ecurre renc nciia . . . . . . . 1.5. El Teorema Binomial . . . . . . . . . . 1.6. Números Poligonales . . . . . . . . . . 1.7. Números Piramidales . . . . . . . . . . 1.8. Números de Catalán . . . . . . . . . .

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3 3 11 19 26 32 41 48 53

2. Divisibilidad 2.1. 2.1. El Algor goritm itmo de la Divisi visión ón . . 2.2. 2.2. Con…g on…gur urac aciione ones Numé umérica ricass . . 2.3. 2.3. Númer úmeros os Prim Primoos y Compu ompues esto toss 2.4. Números de Fermat . . . . . .

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59 59 69 74 85

. .. .. .. . .. .. .. .. . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 104 104 108 108 120 120 127 127 132 132

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3. Máximo Común Divisor 3.1. Máximo Común Divisor . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. 3.2. El Algor goritm itmo de Eucl Euclid ides es . . . . . . . . . . . . . . 3.3. 3.3. El Teore eorema ma Funda undame ment ntal al de la Arit Aritmé méti tica ca . . . . . 3.4. 3.4. Mínim ínimoo Común omún Múlti últipl ploo . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5. Ecua Ecuaci cion ones es Line Lineal ales es Diof Diofán ánti tica cass . . . . . . . . . . . 3.5. 3.5.1. 1. Métod Métodoo de de Eul Euler er para para la solu soluci ción ón de ELDs ELDs

A. Una Intro ducción al paquete DERIVE A.1. ¿QUÉ ES DERIVE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. RECUENTO RECUENTO DE DE LOS LOS PRINCI PRINCIP PALES COMANDO COMANDOSS . A.2.1. Barra de Títulos . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2. Barra de Menú . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

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137 . . . . . 137 . . . . . 138 . . . . . 138 . . . . . 138

iv

ÍNDICE GENERAL A.2.3. Barra de herramientas o de órdenes . . . . . . . . . . . . 139 A.2.4. Ventana de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A.2.5. Barra de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A.2.6. Barra de introducción de expresiones . . . . . . . . . . . . 139 A.2.7. Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos . . . . 139 A.3. APLICACIONES CON DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Introducir expresión expresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A.3.1. Introducir Expresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 A.3.2. Simpli…car Expresiones A.3.3. Introducir vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 A.3.4. Introducir Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Prefacio This is the preface. It is an unnumbered chapter. The markboth TeX …eld at the beginning of this paragraph sets the correct page heading for the Preface portion of the document. The preface does not appear in the table of contents.

v

vi

PREFACE

Introducción El texto que a continuación se presenta y que aborda el tema de la Teoría de Números, es una traducción de la primera parte del libro “Elementary Number Theory with Applications” escrito por Thomas Koshy. Busca esbozar algunos temas que se han seleccionado de dicho libro y que se han desarrollado en un primer curso de Teoría de Números con estudiantes de primer semestre del Proyecto de Matemáticas en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Se busca que el estudiante, a través de este curso, se familiarice de manera gradual con diferentes procesos rigurosos de las matemáticas, en especial con los distintos procesos de demostración, formalizando conceptos que fueron trabajados operativamente en sus cursos anteriores de matemáticas en la secundaria. Se ha pretendido desarrollar este curso a la par con laboratorios en sala de cómputo, utilizando el software matemático DERIVE, debido a la simplicidad en su manejo y a que se convierte en una herramienta que le permite al estudiante, explorar muchas de las conjeturas que él mismo establece a medida que avanza en el estudio de los distintos temas.

vii

viii

INTRODUCCIÓN

Parte I

Primera Parte

1

Capítulo 1

Fundamentos 1.1. Propieda Propiedades des Fundamen undamentales tales La teoría de números concierne a una teoría que se desarrolla solamente sobre el conjunto de los números enteros. Es así que de ahora en adelante se denotará al conjunto de números enteros a través del símbolo Z : 1

f  2; 1; 0; 1; 2; : : :g A lo largo de este texto se escribirá " x 2 S "para "para denotar que "el elemento x pertenece al conjunto S "; "; de manera similar " x 2= S "denotará "denotará que "el elemento x no pertenece al conjunto S:"Por ejemplo si hacemos referencia al conjunto de interés Z; se puede a…rmar que 4 2 Z, mientras que  2= Z: Z = :::

Los números enteros pueden representarse geométricamente sobre la denominada recta numérica. Ver Figura 1.1.

Figura 1.1: Recta Numérica enteros positivos positivos.. Ellos también A los enteros 1; 2; 3;:::se les denomina enteros contar. Se enreciben el nombre de números naturales o números para contar. cuentran a la derecha del origen (coordenada cero) en la recta númerica. Se denotará al conjunto de los enteros positivos por Z+ o N : Z+ = N = 1; 2; 3; : : :

f

1 La

letra

Z

g

proviene de la palabra alemana Zahlen para números.

3

4

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS

El conjunto de los enteros positivos, junto con el 0; conforman el conjunto denominado números enteros W :

f

g

W = 0; 1; 2; 3; : : :

El conjunto de los enteros negativos, a saber, : : : ; 3; 2; 1 se ubican a la izquierda del origen. Es de notar que 0 no es ni positivo ni negativo. Es posible utilizar los números enteros positivos para comparar los números enteros en general, como en la siguiente de…nición.

La Relación de Orden

Sean a y b dos enteros cualesquiera. Entonces a es menor que b; que se denota por a < b si existe un entero positivo x tal que a + x = b; esto es, si b  a es un entero positivo. Cuando a < b; se puede a…rmar también que b es mayor que a; que se escribe b > a: 2 Si a no es menor que b, se escribirá a  b; similarmente, a  b denotará que a no es más grande que b: Se sigue de esta de…nición que un entero a es positivo si y solo si a > 0: De…nición De…nición 1 (Ley de la Tricotomía) Dados dos números enteros a y b, hay tres posibilidades: posibilidades: a < b; o a = b; o a > b: Geométricamente, esto signi…ca que si a y b son cualesquiera dos puntos en la recta numérica, entonces es cierta solo una de las siguientes tres a…rmaciones, el punto a esta a la izquierda del punto b; el punto a coincide con el punto b; o el punto a esta a la derecha del punto b: Puede combinarse el menor que y la relación de igualdad para de…nir la relación menor que o igual. igual. Si a < b o a = b; se escribirá a  b:3 De manera similar, a  b signi…ca que a > b o a = b. Se puede notar que a  b si y solo si a

 b:

Teorema 2 Denote mnfx; y g el mínimo de los enteros x y y; y max axfx; y g su axfx; yg = x + y: máximo. Entonces mnfx; yg + max Demostraci Demostración. ón. (por casos) Caso 1. Sea x  y: Entonces mnfx; yg = x y max axfx; y g = y; así, mnfx; y g+

f g f g

m ax ax x; y = x + y: Caso 2. Sea x > y: Entonces mn x; y = y y max ax x; y = x; así, mn x; y + m ax ax x; y = y + x = x + y:

2 Los

f g

f g

f g

símbolos < y > son introducidos en 1631 por el matemático inglés Thomas Harriet (1560–1621). 3 Los símbolos  y  fueron introducidos en 1734 por el matemático francés P. Bougher.

1.1. PROPIEDADES PROPIEDADES FUNDAMENT FUNDAMENTALES ALES

5

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real x; denotado por jxj ; se de…ne por



si x  0 jxj = xx en otros casos Por ejemplo, j5j = 5; 5 ; jj = ( ); j0j = 0: 0:

Geométricamente el valor absoluto de un número indica la distancia de éste al origen de la recta numérica. Aunque el interés recae sólo en las propiedades de números enteros, enteros, a menudo se tratará con números racionales y reales. Las funciones piso y techo son dos tales funciones teórico-númericas. Ellas tienen usos importantes en matemáticas discretas y ciencias de la computación.

Funciones Piso y Techo El piso de un número real x; denotado por bxc es el más grande entero  x: El techo de x; denotado por dxe, es el más pequeño entero  x:4 El piso de x redondea por debajo a x; mientras que el techo redondea a x por encima. De acuerdo a esto, si x 2= Z; el piso de x es el más próximo entero a la izquierda de x sobre la recta numérica, y el techo de x es el más próximo entero a la derecha función piso f ( de x; ver Figura . La función f (x) = bxc y la función techo g (x) = dxe son conocidas también como la función mayor entero y la función menor entero, respectivamente.

Por ejemplo

d3; 5e = 3:

p 

bc

2 = 1;  = 3;

b3; 5c

=

4; p 2

 

= 2;  = 4 y

de

La función piso es práctica cuando los números reales deben ser truncados o aproximados a un número deseado de cifras decimales. Por ejemplo el número real  = 3; 3 ;1415926535 : : : truncado a tres cifras decimales está dado por

b1000 1000 c 3141 = = 3; 3 ;141 141;; 1000

1000

de otro lado  redondeado a tres cifras decimales es

b1000 1000  + 0; 0;5c = 3; 3 ;142 142:: 1000

Hay otro uso simple de la función piso. Suponga que se divide el intervalo unitario [0; [0; 1) en 50 subintervalos de igual longitud y luego se pretende saber el 4 Estas

dos notaciones y los nombres, piso y techo, fueron introducidas por Kenneth E. Iverson en los albores de los 60s. Ambas notaciones son variaciones de la original notación mayor entero [x] :

6


subintervalo que contiene el número 0;4567. Ya que b0;4567 4567==0;02c + 1 = 23 23 éste esta en el subintervalo número 23. De manera general, sea 0  x < 1: Entonces x esta en el subintervalo bx=0 x=0;02c + 1 = b50 50x xc + 1: 1: Ejemplo 3 (La (La funci función ón de la o…cin o…cina a de corre orreos) En 2006 la tasa de franqueo en Estados Unidos para un primer tipo de carta de peso x; de no más de una onza fue de 39 c/; la tasa para cada onza adicional o fracción hasta 11 onzas fue un adicional de 24 c/. Así, el franqueo p(x) para una primera clase de carta puede de…nirse como p(x) = 0;39+0 39+0;;24 dx  1e ; 0 < x  11 11:: Por ejemplo, el franqueo para una carta que pesa 7.8 onzas es p(7; (7;8) = 0; 0;39+0 39+0;;24 d7;8  1e = $2 $2;;07 07::

Algunas propiedades de la función piso y techo son listadas en el siguiente teorema. Se probará una de ellas; las otras se proponen como ejercicio. Teorema 4 Sea x cualquier número real y n un número entero. Entonces 1. bnc = n = dne 2. dxe = bxc + 1 (x 2= Z) 3. bx + nc = bxc + n 4. dx + ne = dxe + n 5. 6.

  n 2

=

n1 2

si n es impar.

n 2

=

n+1 2

si n es impar.

Demostración. Todo número real x puede ser escrito como x = k + x0 ; donde k = bxc y 0  x0 < 1: Ver Figura . Entonces

x + n = k + x0 + n = (k + n) + x0

así

bx + nc

= (k + n) + x0 = k + n ya que 0 = x +n

b

bc

que era lo que se quería mostrar.

c

 x0 < 1


7

Ejercicios 1.1. Evalúe cada una de las siguientes expresiones, en donde x es un número real. 1. El matemático inglés Augusto De Morgan, que vivió en el siglo XIX, una vez comentó que él tenía x años en el año x2 . ¿Cuándo nacio él? Evalúe cada item, asuma que x es un número real. 2. f (x) =

x jxj

6 3. g(x) = bxc + bxc 4. h(x) = dxe + dxe (x = 0)

Determine si:

5.

 bxc = bxc 6.  dxe = dxe 7. Hay cuatro números enteros entre 100 y 1000 que son, cada uno igual a la suma de los cubos de sus dígitos. Tres de ellos son 153, 371, y 407. Encuentre el cuarto número. 8. Un número entero positivo N de n dígitos es un número de Kaprekar si la suma del número formado por los últimos n dígitos en N 2, y el número formado por los primeros n (o n  1) dígitos en N 2 es igual a N . Por ejemplo, 297 es un número de Kaprekar ya que 2972 = 88209 y 88 + 209 = 297 . Hay cinco números de Kaprekar < 100. Encuéntrelos. 9. Encuentre la falla en la siguiente "demostración": Sean a y b números reales tales que a = b: Entonces a2



ab = b2 ab = a2

 b2

)(a  b): Cancelando a  b en ambos lados, Factorizando, a(a  b) = (a + b)(a a = a + b: Ya que a = b; de esto se tiene que a = 2a: 2 a: Cancelando a ambos lados a, se tiene que 1 = 2:

10. El entero 1105 puede expresarse como la suma de dos cuadrados en cuatro formas diferentes. Encuentrelas. 11. ¿Cuántos cuadrados perfectos pueden mostrarse en la pantalla de una calculadora de 15 dígitos? Pruebe cada item, asumiendo que a; b y n son enteros cualesquiera, y x es un número real. 12. jabj = jaj  jbj

8

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS 13. ja + bj  jaj + jbj 14. 15. 16. 17. 18.

jk  lm    jk lm

n n 1 si n es impar. = 2 2 n n+1 si n es impar. = 2 2 n2 4

=

n2 4

=

n2

1

4

si n es impar.

n2 + 3 si n es impar. 4

n n + =n 2 2

19. dxe = bxc + 1 (x 2= Z) 20. dxe =  bxc 21. dx + ne = dxe + n La distancia desde x hasta y sobre una línea recta, denotada por d(x; y); se de…ne por d(x; y ) = jy  xj : Pruebe cada item, asumiendo que x; y y z son enteros cualesquiera. 22. d(x; y )  0 (0; x) = jxj 23. d(0;

24. d(x; y ) = 0 si y solo si x = y: 25. d(x; y ) = d(y; x) 26. d(x; y )  d(x:z) x:z ) + d(z; y )


9

DERIVE. Laboratorio 1 Objetivo

En el presente taller se busca implementar algunos ejemplos trabajados en esta sección y que utilizan la función Piso ( FLOOR) y Techo (CEILING) en DERIVE.

Actividades

Inicialmente se establecen tres parámetros requeridos para implementar de manera correcta las funciones que se desean crear, éstas determinan el modo de precisión y el número de dígitos en las simpli…caciones: PrecisionDigits:=100 NotationDigits:=100 Notation:=Decimal

1. Con base en la función Piso ( FLOOR) se desea crear una función que se llamará "truncar" cuyos parámetros serán: x:valor a truncar n:número de cifras en el truncamiento La función se de…ne como: truncar(x,n):=

FLOOR(x 10n )



10n

La función Piso es práctica cuando los números reales deben ser truncados o aproximados a un número deseado de cifras decimales. Por ejemplo el número real  = 3;1415926535 1415926535::: ::: truncado a tres cifras decimales está dado por 3;141 141:: Para ello basta con simpli…car en DERIVE, luego de especi…cada la función anterior, la expresión truncar(pi,3)

2. Similar a la función anterior, se desea crear, con base en la función Piso (FLOOR) una función que se llamará " redondo" que busca redondear un número dado y cuyos parámetros serán: x:valor a redondear n:número de cifras en el redondeo La función se de…ne como: redondo(x,n):=

FLOOR(x 10n + 0; 0 ; 5)



10n

Así,  redondeado a tres cifras decimales es 3;142 y se puede obtener simpli…cando redondo(pi,3)

10

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS 3. La función a continuación pretende, pretende, al dividir el intervalo intervalo [0; [0; 1) en n subintervalos, encontrar el subintervalo que contiene al valor x. La función se bautizará con el nombre "endonde(x,n)"los parámetros representan: x:valor que se pretende ubicar n:número de subintervalos en que se divide el intervalo [0; [0; 1) Para esto, la función se de…ne como:



endonde(x,n):=FLOOR(x n + 1)

Por ejemplo, suponga que se divide el intervalo unitario [0; [0; 1) en 50 subintervalos de igual longitud, y luego se pretende saber el subintervalo que contiene el número 0;4567 4567:: Para ello se simpli…ca la expresión endonde(0.4567,50)

4. Mediante la siguiente función se ilustra el Ejemplo 3 página 6, "La función de la o…cina de correos". En 2006 la tasa de franqueo en Estados Unidos para un tipo de carta de peso x, de no más de una onza fue de 39 centavos, la tasa para cada onza adicional o fracción hasta 11 onzas fuen un adicional de 24 centavos. la función post(x) de…nida a continuación permite calcular el franqueo de una carta con peso x.



post(x):=0.39+0.24 CEILING(x

Por ejemplo, simpli…cando carta de 7.8 onzas.

post(7.8)

 1)

se encuentra el franqueo para una

5. Por último, algunas funciones adicionales para esta sección son valor absoluto, mínimo y máximo que se obtiene mediante ABS(x) MIN(X1,X2,...) MAX(X1,X2,...)

Por ejemplo ABS( ), MIN(2,4,-2) y MAX(2,4,-2)se simpli…can a ; 2 y 4 respectivamente.

1.2. LA NOTACIÓN NOTACIÓN SUMATORIA SUMATORIA Y PRODUCTORIA PRODUCTORIA

11

1.2.. La Nota 1.2 Notació ción n Sumat Sumatori oriaa y Produ Producto ctoria ria Se dará la notación de sumatoria y productoria muy utilizada a lo largo de este texto. Primero se iniciará con la notación sumatoria.

La Notación Sumatoria Sumas tales como ak + ak+1 +    + am ; pueden escribirse de manera más

P

compacta usando el símbolo sumatoria (letra Griega mayúscula sigma), la cual se denota con la palabra suma. La notación de sumatoria fue introducida en 1722 por el matemático francés Joseph Louis Lagrange. Un término típico de la suma referida con anterioridad puede ser ai ; así, la suma anterior es la suma de los números ai con i recorriendo los números m enteros desde k hasta m que se puede escribir escribir como ii= =k ai : De esta forma

P

i=m

X

ai = ak + ak+1 +

i=k

   + am

sumatoria. Los valores La variable i es el índice de la sumatoria. alores k y m son, respectivamente, los límites inferior y superior del índice i: El "i = " del límite superior es usualmente omitido: i=m

m

X X ai =

i=k

ai

i=k

Por ejemplo 5

X

i2 = 1 2 + 22 + 32 + 42 + 52

i=1

El índice i es una variable dummy; dummy; se puede usar cualquier variable como índice sin afectar el valor de la suma, así m

m

m

X X X ai =

i=k

Ejemplo 5 Evalúe Solución.

P

1 3 j =2 j (j

aj =

j =k

ar

r=k

 1)2

0

X

j =2

j 3 (j

 1)2

= ( 2)3 ( 2 =

   1)2 + (1)3(1  1)2 + (0)3(0  1)2 76

Los siguientes resultados son muy usados en la evaluación de sumas …nitas, ellos pueden ser probados utilizando inducción matemática, un método de prueba que se presentará más adelante.

12


Teorema 6 Sean n cualquier entero positivo y c cualquier número real, y a1 ; a2 ; ::: ; a n ; y b1 ; b2 ; ::: ; b n un par de secuencias numéricas. Entonces n

X

(1.1)

c = nc

i=1

n

X

n

cai = c

i=1

n

X

X X X

(1.2)

ai

i=1

n

(ai + bi ) =

i=1

n

ai +

i=1

(1.3)

bi

i=1

(Este resultado puede ser extendido a cualquier límite inferior k 2 Z:)

Ejemplo 7 Evalúe Solución. 3

P  3 j =1

X

10 10jj 2 + 3j 3j

j =1

 X X

10 10jj 2 + 3j 3j :

3



3

j2 + 3

= 10

j =1 2

j

j =1

2

= 10(1 + 2 + 32 ) + 3(1 + 2 + 3) = 158

Sumatorias Indexada

La notación sumatoria puede ser extendida a secuencias con conjuntos de índices I como sus dominios. Por ejemplo, i2I ai denota la suma de los valores ai cuando i recorre todos los valores de I: Por ejemplo, si I = f1; 3; 5; 7g ; entonces i2I (i2 + 1) representa la suma de los valores de i2 + 1 cuando i toma los valores en I; esto es,

P P

X

(i2 + 1) = (1 2 + 1) + (3 2 + 1) + (5 2 + 1) + (7 2 + 1)

i2I

= 88

P

Frecuentemente se requiere evaluar sumas de la forma P aij ; donde los subíndices i y j satisfacen ciertas propiedades P: (2i +3j +3j ); denota la suma Por ejemplo, sea I = f1; 2; 3; 4g: Entonces 1i
P X

P

















(2i (2i + 3j 3j ) = (2 1 + 3 2) + (2 1 + 3 3) + (2 1 + 3 4) + (2 2 + 3 3)

i








+(2 2 + 3 4) + (2 3 + 3 4) = 80

1.2. LA NOTACIÓN NOTACIÓN SUMATORIA SUMATORIA Y PRODUCTORIA PRODUCTORIA Ejemplo 8 Evalúe Solución.

X

P

d1 d; dj6

13

donde dj6 signi…ca que d divide a 6:

d = suma de los enteros positivos d; divisores de 6

d1 dj6

= suma de los divisores positivos de 6 = 1 + 2 + 3 + 6 = 1122

Sumatorias múltiples también también son frecuentes en matemáticas. Ellas se evalúan evalúan por lo general de derecha a izquierda. Por ejemplo, la doble sumatoria i j aij se evalúa como i j aij ; como se muestra a continuación.

P P  P P XX X 24 X 35 X   X      


1

1 i=1

0 2 j =1 3i j:

0

1

2

3i j

PP

0

3i2 j

=

i=1 j =1

i=1

j =1

1

3i2 ( 1) + 3i 3i2 (0)

=

i=1 1

3i2

=

i=1

= =

3( 1)2 + 6

3(0)2 +

3(1)2



La Notación Productoria La notación productoria es usada de manera similar a la notación sumatoria, m el producto ak ak+1    am se denota por ii= =k ai ; el símbolo productoria

Q

Q

corresponde a la letra Griega mayúscula pi. Como en el caso de la notación sumatoria, la "i = " arriba del símbolo productoria se omite frecuentemente: i=m

m

Y Y ai =

i=k

ai = ak ak+1

i=k

   am

Nuevamente, i es una variable dummy. factorial, se usa frecuentemente en teoría de números, y puede La función factorial, de…nirse usando la notación productoria, como se muestra en el siguiente ejemplo.

14


Ejemplo 10 La función factorial f ( f (n) = n! (se lee n factorial o el factorial de n) se de…ne como n! = n(n  1)    2  1; donde 0! = 1: 1: Usando la notación productoria n

f ( f (n) = n! =

Y

i

i=1


Q

4 (2i i=2 (2i

+ 3): 3):

4

Y

(2i (2i + 3) = [2(2 [2(2)) + 3][2(3) 3][2(3) + 3][2(4) 3][2(4) + 3]

i=2

= 693

Ejemplo 12 Evalúe

Q

(2i i;j2 i;j 2I (2i ijj i
+ 3j 3j ) donde I = 1; 2; 3; 4 :

f

g

Solución. Se re…ere aquí a la productoria de todas las parejas de la forma (i; j ); donde i y j son elementos de I; pero especí…camente aquellas parejas en donde i divide a j siendo i menor que j: Estas son (1; (1; 2); 2); (1; (1; 3); 3); (1; (1; 4); 4); (2; (2; 4); 4); así, 3j en cada una de estas parejas se tiene que evaluando 2i + 3j

Y









(2i (2i + 3j 3j ) = (2 1 + 3 2)(2 1 + 3 3)

i;j2 i;j 2I ijj

(2  1 + 3  4)(2  2 + 3  4)

= 191 19172

Ejercicios 1.2

Evalúe cada suma. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

P P P P P P

6 i=1

i

4 j =0 (j

 1)

4 k=0 (3 +

k)

4 i=1 3 2 j =2 j (j 5 k=1 (3

 2)

 2k ) k

Reescriba cada suma utilizando la notación sumatoria.

7. 1 + 3 + 5 +    + 23 8. 31 + 32 +    + 310


15

9. 1  2 + 2  3 +    + 11  12 10. 1(1 + 2) + 2(2 + 2) +    + 5(5 + 2) Determine si cada proposición es verdadera. 11. 12.

P P

n i=m i

P P

n i=m (n +

=

n i i=m x

=

m

 i)

n n+mi i=m x

P

13. Sumas de la forma S = in=m+1 (ai  ai1 ) son llamadas sumas telescopicas. Muestre que S = an  am : 14. Use el Ejercicio 13 y la identidad 1 para in=1 i(i+1) :

P

1 i(i+1)

=

1 i

 i+11 ; y encuentre una formula

15. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i + 1)2  i2 = 2i 2 i + 1; desarrolle una formula para in=1 i:

P

16. Usando el Ejercicio 13 y la identidad (i + 1)3  i3 = 3i 3 i3 + 3i + 1; desarrolle una formula para in=1 i2 : Evalue. 17. 18. 19. 20. 21.

P P P P Q Q Q  P Q  P Q 5 i=1

6 (2i j =1 (2i

3 i=1

i j =1 (i

3 i=0 (i

P

+ 3j 3j )

+ 3)

+ 1)

5 2 j =3 (j

50 k=0 (

+ 1)

1)k

Evalue cada ítem, donde p 2 f2; 3; 5; 7; 11 11;; 13g e I = f1; 2; 3; 5g : 22. 23. 24. 25.

p10

p

(3i i2I (3i

i i;j2 i;j 2I (2 ijj

1)

+ 3j )

j i;j2 i;j 2I i ij

26. Encuentr Encuentree el dígito dígito de las decenas decenas en la suma

P

999 k=1 k !

16



En el presente taller se busca implementar algunos ejemplos trabajados en esta sección y que utilizan la función Sumatoria ( SUM) y Productoria Productoria (PRODUCT) en DERIVE.

Algunas funciones requeridas

Antes de comenzar se revisarán dos funciones adicionales como son y

VECTOR

DIVISORS.

VECTOR(u, (u, k, m, n) se simpli…ca a un vector de n-m+1 elemenLa función VECTOR tos generado por la simpli…cación de la expresión u(k) con la variable k variando desde m hasta n en saltos de 1. Por ejemplo VECTOR VECTOR(k^ (k^2, 2, k, 2, 5)

se simpli…ca al vector [4, [4, 9, 16, 25] 25]

Los parámetros m y n pueden cambiarse por un vector sobre el cual la variable k toma valores evaluados en la función u(k ); por ejemplo VECTOR VECTOR(k^ (k^2, 2, k, [3, 5, 8])

que se simpli…ca al vector [9, [9, 25, 25, 64] 64] :

La función DIVISORS(n) se simpli…ca simpli…ca al vector ordenado ordenado de todos los dividivisores positivos de n. Por ejemplo DIVISORS(28)

se simpli…ca a [1, 2, 4, 7, 14, 28] :

Actividades La función SUM maneja los mismos parámetros de la función VECTOR y se interpretan de manera similar, así la sumatoria de la expresión u respecto a n desde k hasta m se puede introducir mediante la expresión SUM( SUM(u, u, n, k, m)

la diferencia es que mientras la función VECTOR genera un vector con ciertos elementos, elementos, la función SUM entrega la suma de dichos elementos. A continuación continuación


17

se ingresará la sumatoria del Ejemplo 5 y se simpli…cará utilizando la función SUM. Recordando la sumatoria de este ejemplo, esto es, 0

X

j 3 (j

j =2

 1)2

= ( 2)3 ( 2 = =

   1)2 + (1)3(1  1)2 + (0)3(0  1)2 72 + (4) + 0 76

ésta se ingresa a DERIVE a través del siguiente código SUM(j^3( SUM(j^3(j-1) j-1)^2, ^2, j, -2, 0)

que se simpli…ca efectivamente a 76. Cabe observar que si se cambia la instrucción SUM por VECTOR su simpli…cación genera en un vector la sucesión de números sumandos en esta sumatoria, así al simpli…car VECTOR(j VECTOR(j^3(j ^3(j-1)^2 -1)^2, , j, -2, 0)

se obtiene [-72, [-72, -4, 0]

Para el caso de las productorias se procede de manera similar, salvo que se cambia la orden SUM por PRODUCT, los parámetros son los mismos PRODUC PRODUCT(u T(u, , n, k, m)

con este código se obtiene la productoria de la expresión hasta m. Para el Ejemplo 11

u

respecto a n desde k

4

Y

(2i (2i + 3) = [2(2 [2(2)) + 3] [2(3 [2(3)) + 3] [2(4 [2(4)) + 3]

i=2

= 693

se digita y simpli…ca la siguiente expresión en DERIVE PRODUC PRODUCT(2 T(2j+3 j+3, , j, 2, 4) :

Para el Ejemplo 8,

X

d = suma de los enteros positivos d; divisores de 6

d1 dj6

= suma de los divisores positivos de 6 = 1 + 2 + 3 + 6 = 1122

se simpli…ca en DERIVE la siguiente expresión SUM(j, SUM(j, j, DIVISORS DIVISORS(6)) (6)) :

18


Anidando la función sumatoria una en otra se obtiene una suma doble, de esta forma como el Ejemplo 9 lo pide, calcular 1i=1 j0=1 3i2 j; digitando sobre DERIVE el siguiente código obtenemos esta sumatoria

P P

SUM(SUM(3i^2j, SUM(SUM(3i^2j, j, -1,0),i,-1,1)

y simpli…cando obtenemos la solución.

1.3. INDUCCIÓN INDUCCIÓN MATEMÁ MATEMÁTICA TICA

19

1.3.. Indu 1.3 Inducci cción ón Matem Matemáti ática ca El principio de inducción matemática (PIM) es una poderosa técnica de prueba que se usará con frecuencia en posteriores capítulos. Muchos resultados interesantes en matemáticas se cumplen para todos los enteros positivos. Por ejemplo las siguientes proposiciones son verdaderas para cada entero positivo n y todos los números reales x; y; y xi : (x y )n = xn y n





log(x log(x1 n

P P

i=

i=1 n1 i=0

   xn) = n(n + 1) 2

ri =

n

P

log xi

i=1

rn 1 r 1

 

¿Cómo se puede probar que esos resultados se tienen para cada entero positivo n ? Obviamente, Obviamente, es imposible sustituir cada entero positivo por n y veri…car que la fórmula se mantiene. El principio de inducción puede establecer la validez validez para tales fórmulas. Antes de pasar a la inducción matemática, es necesario establecer el principio de buen-orden, el cual se aceptará como un axioma. (Un axioma es una a…rmación que es aceptada como verdadadera; con frecuencia se trata de proposiciones obvias, evidentes.)

El Principio de Buen-Orden Todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene un elemento mínimo. Por ejemplo, el conjunto f17 17;; 23 23;; 5; 18 18;; 13g tiene un elemento mínimo, a saber,

5. Los elementos del conjunto pueden ser ordenados como 5; 13 13;; 17 17;; 18 18;; y 23.

En virtud del principio del buen-orden, el conjunto de enteros positivos es bien ordenado. Se puede notar que el conjunto de enteros negativos no es bien ordenado. El siguiente ejemplo es una aplicación simple del principio de buen-orden. Ejemplo 13 Pruebe que no hay enteros positivos entre 0 y 1 Demostración (por contradicción). Supongamos que hay un entero positivo a entre 0 y 1. Sea S = fn 2 Z+ j 0 < n < 1g. Ya que 0 < a < 1; a 2 S , así S es no vacío. Por lo tanto, por el principio de buen-orden, S tiene un elemento mínimo l, donde 0 < l < 1 . Entonces 0 < l 2 < l , así l2 2 S . Pero l2 < l , lo que contradice nuestra suposición que l es el elemento mínimo de S . Así, no hay enteros positivos entre 0 y 1 . El principio de buen-orden puede extenderse a casi todos los números, como lo muestra el siguiente ejemplo.

20


Ejemplo 14 Pruebe que cada conjunto no vacío de enteros no negativos tiene un elemento elemento mínimo. mínimo. Demostraci Demostración ón (por casos). casos). Sea S un conjunto de enteros no negativos. Caso 1 Supongamos que 0 2 S . Ya que 0 es menor que todo entero positivo, 0 es menor que cada elemento diferente de cero en S , así 0 es el elemento mínimo de S . Caso 2 Supongamos que 0 2= S . Entonces S contiene únicamente enteros positivos. Así, por el principio de buen-orden, S tiene un elemento mínimo. De esta forma, en ambos casos, S tiene un elemento mínimo.

Versión Débil de Inducción

El siguiente teorema es pieza fundamental para el principio de inducción. Teorema 15 Sea S un conjunto de enteros positivos que satisface las siguientes propiedades: 1. 1 2 S . 2. Si k es un entero positivo arbitrario en S , entonces k + 1 2 S: Luego S = N . Demostración(por contradicción). Suponga que S = N. de…niendo el conjunto

6

S 0 = n

f 2 N j n 2= S g

60 ;, por el principio de buen orden, S 00 tiene un elemento mínimo l00 . Ya que S 0 = Entonces l > 1 por la condición (1). Dado que l es el elemento mínimo de S , l0  1 2 = S 0 . Por lo tanto l0  1 2 S . Consecuentemente, por la condición (2), 0 (l  1) + 1 = l0 2 S . Esto contradice lo establecido en la suposición. Este resultado puede ser generalizado, como lo muestra el siguiente teorema. La prueba queda como ejercicio. Teorema 16 Sea n0 un entero …jo. Sea S un conjunto de enteros que satisfacen las siguientes condiciones: 1. n0 2 S . 2. Si k es un entero arbitrario

 n0 tal que k 2 S , entonces k + 1 2 S . Luego S contiene todos los enteros positivos n  n0 .

Luego de ver los anteriores resultados, se tienen las herramientas para poder demostrar el teorema de interés y que se enuncia a continuación.


21

Teorema 17 (Principio Sea P ( (Principio de Inducc Inducción ión Matemátic Matemática) a) P (n) una proposición que satisface las siguientes condiciones, donde n 2 Z: 1. P ( P (n0 ) es verdadera para algún entero n0 . P (k) es verdadera para un entero arbitrario k  n0 , entonces P ( P (k + 1) 2. Si P ( también es verdadera. P (n) es verdadera para cada entero n  n0 . Luego P (

Demostración. Sea S un conjunto de enteros  n0 para los cuales P ( P (n) es verdadera. Ya que P ( P (n0 ) es verdadera, n0 2 S . Por la condición (2), cada vez que k 2 S , k + 1 2 S , así, por el Teorema 16, S contiene todos los enteros  n0 P (n) es verdadera para cada entero n  n0 . . Consecuentemente, Consecuentemente, P ( En la condición (1) del teorema 17 se asume la proposición P ( P (n) como verdadera cuando n = n0 . En la condición (2): Si P ( P (n) es verdadera para un entero k  n0 , también lo es para n = k + 1 . Entonces, aplicando nuevamente P (n0 + 1) , P ( P (n0 + 2); 2) ; : : : se mantienen verdaderas. En otras la condición (2), P ( P (n) permanece para cada n  n0 . palabras , P ( El Teorema Teorema 17 puede ser establecido directamente directamente desde el principio de buenorden. Demostrar un resultado por inducción comprende dos pasos clave: Paso Básico: Compruebe que P ( P (n0 ) es cierto. Paso de Inducción: Asumir que P ( P (k ) es cierto para algún entero arbitrario inductiva) k  n0 (hipótesis inductiva) A continuación, compruebe que P ( P (k + 1) también es cierto. Para Para recordar: recordar: Con Con frecuenc frecuencia ia nos pregun preguntamo tamoss "¿No es es este un razonamiento circular? ¿No estamos suponiendo lo que queremos demostrar?"De hecho, no. La confusión deriva una mala interpretacion del paso 2 para la conclusión. El paso de inducción muestra que P ( P (k ) implica P ( P (k + 1) ; esto es que si P ( P (k ) es verdadero, entonces también lo es. La conclusi conclusión ón es: "P ( P ( P (k + 1) también P (n) es verdadera para cada n  n0 ".

Ejemplo 18 Pruebe que 1 + 2 + 3 + ::: + n =

n(n + 1) para cada entero positivo n 2

(1.4)

22


Demostración. (por inducción) inducción) Sea P ( P (n) el enunciado n

X

i=

i=1

n(n + 1) 2

Paso Básico: Veri…car que P (1) P (1) es verdadero (nota: aquí n0 = 1 ) n

donde n = 1; LMD =

1(1+1) 2

= 1 =

X

i =LMI.5 Entonces, P (1) P (1) es ver-

i=1

dadero. Paso de Inducción: Sea k un entero positivo arbitrario. Se debe mostrar P (k ) implica P ( P (k + 1). Asuma que P ( P (k ) es verdadero,es decir que P ( n

X

i=

i=1

n(n + 1) 2

(hipótesis de inducción) k+1

X " X X !

Se muestra que P ( P (k ) implica P ( P (k + 1), es decir

LMI LM I =

k

X X i=

i=1

i=1

(k+1)(k +1)(k+2) 2

, empezamos

i=1

con LMI en en esta ecuaci ecuación ón k+1

i=

k+1

i + (k (k + 1); 1);

Nota:

k

xi =

i=1

xi

i=1

+ (x (xk + 1)

#

k (k + 1) + (k (k + 1) por hipótesis de inducción 2 (k + 1)(k 1)(k + 2) = 2 = LM D =

P (k ) es verdadero, entonces P ( P (k + 1) también lo es. Así, por inLuego si P ( ducción, P ( P (n) es verdadero para cualquier entero n  1; esto es, la fórmula vale para cada entero positivo.

Ejemplo 19 Deduzca una formula para la suma de los n primeros enteros positivos impares y luego use la inducción para establecer la conjetura. Solution 20 Primero, se estudiar las primeras cuatro sumas, y luego se identi…ca un patrón para predecir la fórmula de la suma de los n primeros enteros positivos impares. Las primeras cuatro sumas son 1 1+3 1+3+5 1+3+5+7 5 LMD

= = = =

12 22 32 42

y LMI son las abreviaciones de lado a mano izquierda y lado a mano derecha, respectivamente, al referirse a una expresión y con el signo de igualdad como referente.


23

Se puede observar claramente el patrón, patrón, entonces se puede establecer establecer que la suma 2 de los n primeros enteros positivos impares es n ;esto es n

X

(2i (2i

i=1

 1) = n2

(1.4)

Se mostrará ahora la prueba por el principio de inducción. n

Demostración. Cuando n = 1 ,

X

1

(2i (2i

i=1

 1) =

X

(2i (2i

i=1

 1) = 1 = 12, entonces el

resultado es válido cuando n = 1 . Ahora, asuma que la fórmula es válida cuando n = k, k

X

(2i (2i

i=1

 1) = k2: k+1

Para mostrar que es válida cuando n = k + 1, considerese la suma

i=1

Luego tenemos que k+1

X

(2i (2i

i=1

X

(2i (2i

 1).

k

 1)

=

X

(2i (2i

i=1 2

 1) + [2(k [2( k + 1)  1]

= k + (2k (2k + 1) por hipótesis de inducción = (k + 1)2

En consecuencia, si la fórmula es válida cuando n = k, es también válida válida cuando n = k + 1. Por tanto, por inducción, la fórmula es válida para cualquier entero positivo n: Volviendo a la inducción, nosotros encontramos que ambos, los pasos básicos como los pasos de inducción son esenciales para la prueba por inducción, como se puede ver en los dos siguientes ejemplos.

Ejemplo 21 Considere la "fórmula" 1 + 3 + 5 +    + (2n (2n  1) = (n (n  2)2 . Claramente es cierta cuando n = 1 . Pero no es cierta cuando n = 2: 2 : La verdad es que los pasos básicos no aseguran que el enunciado 1+3+5+    + (2n (2n  1) = 2 sea cierto para cualquier entero (n  2) n: El siguiente ejemplo muestra que la validez del paso de inducción es necesaria, pero no su…ciente para garantizar que P ( P (n) es verdadero para todos los enteros deseados.

24


Ejemplo 22 Considere la "fórmula" P ( P (n) : 1 + 3 + 5 +    + (2n (2n  1) = n2 + 1. k

P (k ) es verdadero: Suponga que P (

X  X  (2i (2i

1) = k2 + 1. Entonces

i=1

k+1

X i=1

(2i (2i

k

 1)

=

(2i (2i

1) + [2(k [2(k + 1)

i=1 2

 1]

= (k + 1) + (2k (2 k + 1) 2 = (k + 1) + 1

Entonces si P ( P (k) es verdadero, P ( P (k + 1) también lo es. Sin embargo, la fórmula P (1) no se tiene. no incluye a cualquier entero positivo n. Se puede veri…car que P (1)

Versión fuerte de inducción

Ahora se presentará la versión fuerte de inducción. A veces lo cierto de P ( P (k ) puede no ser su…ciente para establecer la veracidad de P ( P (k + 1). En otras P (k + 1) puede requerir más que la de P ( P (k). En tales palabras, la veracidad de P ( casos, se tiene que asumir una hipótesis de inducción más fuerte tal como que P ( P (n0 ), P ( P (n0 + 1); 1) ; : : : ; P ( k) son todos verdaderos; luego veri…car que P ( P (k + 1) es también verdad. Esta versión fuerte, que puede ser demostrada usando la versión débil de inducción, se establece como sigue. Teorema 23 ( Segundo Segundo Principio de la Inducción Matemática ) Sea P ( P (n) un enunciado que satisfase las siguientes condiciones, donde n 2 Z: 1. P ( P (n0 ) es verdadero para algún entero n0 : 2. Si k es un entero arbitrario  n0 tal que P ( P (n0 ); P ( P (n0 + 1); 1); : : : ; P ( k) son verdaderos, entonces P ( P (k + 1) también lo es. P (n) es verdadero para cualquier entero n  n0 . Luego P (

Demostración. Sea S = fn 2 Z j P ( P (n) es verdaderog. Como P ( P (n0 ) es verdadero por la condición (1) n0 2 S . Ahora asumamos que P ( P (n0 ), P ( P (n0 +1); +1); : : : ; P ( k ) es verdadero para un entero arbitrario k. Entonces n0 ; n0 + 1; 1 ; : : : ; k pertenece a S . Luego por la condición (2), k + 1 también pertenece a S . Por lo tanto por el teorema 16, S contiene P (n) es verdadero para cada entero todos los enteros n  n0 . En otras palabras, P ( n

 n0 :

El siguiente ejemplo muestra la técnica de prueba.

Ejemplo 24 Pruebe que cualquier envío postal cuyo valor es de n ( 2) centavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos.


25

Demostración. Sea P ( P (n) el enunciado que a…rma que cualquier envío postal cuyo valor valor es de n centavos centavos puede hacerse con estampillas de dos y tres centavos. centavos. Paso básico (Note (Note que n0 = 2 ) Dado que un envío de dos centavos se puede hacer con una estampilla de dos centavos, P (2) P (2) es verdadero. Del mismo modo, P (3) P (3) es también verdadero. Paso de inducción Supongamos que P (2) P (2);; P (3) P (3);; P (4) P (4);; : : : ; P ( k ) son verdaderos, es decir, cada envío postal de dos centavos hasta de k centavos centavos puede P (k + 1) es hacerse con estampillas de dos y tres centavos. Para mostrar que P ( verdadero, considere un envío postal de k +1 centavos. Ya que k +1 = (k (k  1)+2, un envío de k + 1 centavos puede formarse con estampillas de dos y tres centavos si el envío de k  1 centavos puede realizarse con estampillas de dos y tres centavos. Como P ( P (k  1) es verdero por la hipótesis de inducción, esto implica que P ( P (k + 1) también es verdadero. Por lo tanto, por la versión fuerte de inducción, P ( P (n) es cierto para cada n  2, es decir, cualquier envío postal de n( 2) centavos se puede hacer con estampillas de dos o tres centavos.

Ejercicios 1.3

Usando Inducción matemática pruebe cada una de las siguientes proposiciones para todo entero n  1: 1. 2. 3. 4.

P P P P

n (2i i=1 (2i n 2 i=1 i n 3 i=1 i

 1) = n2 = =

n(n+1)(2n +1)(2n+1) 6

h i

n i1 i=1 ar

n(n+1) 2

=

2

a(rn 1) r1 ;

6

r =1

Determine si cada conjunto es bien ordenado. Si su respuesta es no, explique. 5. El conjunto de los enteros negativos. 6. El conjunto conjunto de los enteros. enteros. 7. fn 2 Njn  5g 8. fn 2 Zjn  3g Probar. 9. Sea a 2 Z: No hay enteros entre a y a + 1: 1: 10. (Propiedad Arquimediana) Sean a y b enteros positivos. Entonces hay un entero positivo n tal que na  b: (Sugerencia: Use el principio de buen orden y contradicción)

26


1.4.. Re 1.4 Relac lacion iones es de Re Recur curre renci nciaa La Recursión es una de las más elegantes técnicas para solucionar problemas. Ésta es una herramienta muy poderosa que puede ser apoyada a través de lenguajes de programación. Se iniciará esta sección con un problema muy conocido denominado el Problema del Apretón de Manos : Hay n invitados a una …esta. Cada persona estrecha la mano, exactamente una vez, con cada uno de los otros invitados. ¿cuántos apretones de manos se hacen?

Si se decide solucionar un problema como éste, la solución puede no ser obvia. Sin embargo, es posible que el problema pueda de…nirse en términos de i nductivaa. una versión más simple de si mismo. Tal de…nición es una de…nición inductiv Por consiguiente, consiguiente, el problema dado se puede resolver si la versión simple se puede resolver.

De…nición recursiva de una función

Sea a 2 W y X = fa; a + 1; 1 ; a + 2; 2 ; : : : g. Una de…nición inductiva de una función f con dominio X; consiste de tres partes: Paso base Algunos valores iniciales f ( f (a); f ( f (a + 1); 1); : : : ; f ( a + k  1) se especi…can. Ecuaciones que especi…can tales valores valores iniciales se denominan condiciones iniciales. Paso de recursión Se proporciona una fórmula para calcular f ( f (n) desde los k precedentes valores funcionales f ( f (n  1); 1); f ( f (n  2); 2); : : : ; f ( n  ( o fórmula k ). Tal fórmula se denomina una relación de recurrencia (o recursiva). Paso …nal Solamente valores así obtenidos son valores funcionales válidos. (Por conveniencia, esta cláusula se establece desde la de…nición recursiva.) En una de…nición recursiva recursiva de f , f ( f (n) se pueden de…nir usando los valores de f ( to das las funciones de…nidas recursivamente recursivamente pueden f (k ), donde k = 6 n; así no todas de…nirse inductivamente; Ver ejercicios 8-14. De esta forma, la de…nición recursiva de f consiste de un número …nito de condiciones iniciales y una relación de recurrencia. Puede emplearse recursión para encontrar el mínimo y el máximo de tres o más números reales. Por ejemplo

f

g

f f

f

f gggg ;

mn w;x;y;z = mn w; mn x; mn y; z

1.4. RELACIONES RELACIONES DE RECURRENCIA RECURRENCIA

27

m ax ax w;x;y;z puede evaluarse de manera similar. Por tanto

f

g mn f23 23;; 5; 6; 47 47;; 31g = mn f23 23;; mn f5; mn f6; mn f47 47;; 31gggg = 6

y

f



g

f

f

m ax ax 23 23;; 5; 6; 47 47;; 31 = max ax 23 23;; m ax ax 5; m ax ax

f6; max ax f47 47;; 31gggg = 47

Los siguientes ejemplos ilustran de…niciones recursivas. Ejemplo 25 De…na recursivamente la función f factorial. Solución.

Llamando a la función factorial f; de…nida por f ( f (n) = n!, donde f (0) f (0) = 1. Y al tenerse que n! = n(n  1)!, puede de…nirse la recursividad de la siguiente manera f ( f (0) = 1 f (n) = n f (n



 condición inicial  relación relación de recurrencia recurrencia

 1); 1); n  1

f (3) recursivamente. Suponga que se quiere calcular f (3) recursivamente. Se debe continuar aplicando la relación de recurrencia hasta que se encuentre la condición inicial, como se muestra: f ( f (3) f ( f (2) f ( f (1) f ( f (0)

=

. =

. =

. =



(1.5)



(1.6)

1 f (0) f (0)



(1.7)

1

(1.8)

3 f (2) f (2) 2 f (1) f (1)

Ya que f (0) f (0) = 1, 1 se sustituye por f (0) f (0) en la ecuación (1.7) y f (1) f (1) se calcula: f (1) f (1) = 1  f (0) f (0) = 1  1 = 1 . Este valor se sustituye para f (1) f (1) en la ecuación (1.6) y f (2) f (2) se calcula: f (2) f (2) = 2  f (1) (1) = 2  1 = 2 . Este valor se utiliza en la ecuación (1.5) para calcular f (3) f (3): f (3) f (3) = 3  f (2) f (2) = 3  2 = 6, como era de esperar.

Ahora, volviendo al problema del apretón de manos. Ejemplo 26 ( El El problema del apretón de manos ) Hay n invitados en una …esta. Cada persona estrecha la mano a cada uno de los demás exactamente una vez. De…na por recursividad el número de apretones de manos hechos h(n): Solución.

Claramente, h(1) = 0, entonces sea n  2. Sea x uno de los invitados. El número de apretónes de manos hechos por los n  1 invitados entre ellos, por de…nición de…nición es h(n  1). Ahora la persona x estrecha su mano con cada uno de los n  1 invitados, realizando realizando n  1 apretones de manos. Así el número total (n  1), donde n  2. de apretones de manos es igual a h(n  1) + (n

28

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS Luego, h(n) puede de…nirse recursivamente como sigue: h(1) = 0 h(n) = h(n

 condición inicial  1) + (n ( n  1); 1); n  2  relación relación de recurrencia. recurrencia.

Ejemplo 27 ( Torre Torre de Brahma ) Según una leyenda, al inicio de la creación, Dios apiló 64 discos de oro sobre una de tres clavijas de diamante en una plataforma de latón en el templo de Brahma en Benares, India (ver Figura 1.2). Pidieron a los sacerdotes de turno mover los discos desde la primera clavija a la tercera , usando la clavija del medio como clavija auxiliar, bajo las siguientes condiciones: Únicamente un disco será movido en cada turno Ningún disco puede colocarse sobre un disco más pequeño Si las clavijas se etiquetan de izquierda a derecha con las letras X , Y y Z . Suponga que hay n discos en la clavija X . Denote por bn el número de movimientos necesarios para trasladar los discos desde la clavija X hasta la clavija Z usando la clavija Y como un intermediaria. De…na bn recursivamente. Solución. Si hay un sólo disco, simplemente se mueve a la clavija deseada. Si se asumen n  2 discos, se comienza de manera recursiva por invocar el algoritmo para mover los n  1 discos superiores a la clavija Y; quedando un solo disco en la clavija X: Durante estos movimientos el disco más grande queda …jo en la clavija X: Después se mueve el disco que queda …jo de la clavija X a la clavija Z: Por último, de nuevo se invoca el algorítmo de manera recursiva para mover los n  1 discos de la clavija Y a la clavija Z: Así el total de movimientos necesarios es bn1 + 1 + bn1 = 2bn1 + 1. Entonces bn puede de…nirse recursivamente como sigue: bn =



1 2bn1 + 1

si n = 1 si n  2

 condición inicial  relación relación de recurrencia recurrencia

Figura 1.2: Torre de Hanoi


29

Por ejemplo, b4

= 2b3 + 1 = 2[2b2 + 1] + 1 = 4b2 + 2 + 1 = 4[2b1 + 1] + 2 + 1 = 8b1 + 4 + 2 + 1 = 8(1) 8(1) + 4 + 2 + 1 = 15

De esta forma son 15 movimientos movimientos para transferir 4 discos desde X hasta Z . Note que la de…nición recursiva recursiva de una función f no proporciona una fórmula explicita para f ( f (n) pero establece un procedimiento sistemático para encontrarla. El Método Iterativo para encontrar una fórmula para f ( involucra dos f (n) involucra pasos: 1. Aplique la fórmula iterativa de recurrencia y mire un patrón para predecir la formula explícita. 2. Use inducción para probar que la fórmula es verdadera para cada posible valor del entero n: El siguiente ejemplo ilustra este método. Ejemplo 28 Solucione la relacion de recurrencia en el ejemplo del problema del apretón de manos. Solución.

Usando iteración, se tiene: h(n) = h(n = h(n = h(n

.. .

 1) + (n ( n  1)  2) + (n ( n  2) + (n ( n  1)  3) + (n ( n  3) + (n ( n  2) + (n (n  1) 



= h(1) + 1 + 2 + 3 + + (n (n 2) + (n (n = 0+1+2+3+ + (n (n 1) n(n 1) = : 2



Ejercicios 1.4





 1)

En los ejercicios 1-4, calcule los primeros cuatro términos de la secuencia de…nida recursivamente. recursivamente.

30

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS 1. a1 = 1 an = an1 + 3; 3; n

2

2. a1 = 1 an =

n n1 an1 ;

n

2

1 ; a2 = 2 3. a1 = 1; an = an1 + an2 ; n

3

4. a1 = 1; 1 ; a2 = 2; 2 ; a3 = 3 an = an1 + an2 + an3 ; n

4

De…na recursivamente cada secuencia numérica. 10;; 13 13;::: ;::: 5. 1; 4; 7; 10 21;; 45 45;::: ;::: 6. 0; 3; 9; 21

7. 1; 2; 5; 26 26;; 677 677;::: ;::: La función-91 de…nida por John McCarthy, se de…ne recursivamente sobre W como sigue: f (x) =





x 10 f ( f (f (x + 11))

Si x > 100 Si 0  x  100

Calcule: 8. f (99) f (99) 9. f (98) f (98) 10. f ( f (f (99)) f (99)) 11. f ( f (f (91)) f (91)) f (99) = 91 12. Muestre que f (99) f (x) = 91 para 90  x  100 13. Pruebe que f (

14. Pruebe que f ( f (x) = 91 para 0  x < 90


31


En el presente taller se busca implementar algunos funciones de recurrencia utilizando la orden (IF) e ilustrar su utilización a partir de algunos ejemplos trabajados en esta sección.

Algunas funciones requeridas La forma general de las expresiones

IF

es

IF (test, entonces, en caso contrario, en caso de duda) Por ejemplo, se creará una función que al ingresar en su argumento un número positivo devuelve un 1 de lo contrario devuelve un 0, el nombre de la función sera "positivo ": positivo(x):=IF (x >0, 1, 0) Para esta función positivo(2) se simpli…ca a 1, positivo(0) se simpli…ca a 0, positivo(-0.5) se simpli…ca a 0.

Actividades 1. A continuación se utilizará la orden IF para crear una función que permita ilustrar la fórmula de recurrencia del Ejemplo 26, el problema del apretón de manos. Para ello se creará la función denominada apretones , cuyo argumento será n el número de individuos en la …esta y al simpli…car dicha función en un valor particular se generará el número de apretones de manos que se darán las personas que se indica están en la …esta de acuerdo al contexto del problema. Así apretones(n):=IF (n=1, 0, apretones(n-1)+(n-1)) De esta manera si se simpli…ca apretones(5) da como resultado 10 que corresponde al número de apretones de manos si hay 5 personas en la …esta. 2. Para el Ejemplo 27 que hace referencia al ejemplo de la torre de Hanoi o torre de Brahma, la función de recurrencia puede ingresarse digitando el siguiente código que utiliza la orden IF, Hanoi(n):=IF (n=1, 1, 2*Hanoi(n-1)+1) De esta forma, Hanoi(7) se simpli…ca a 7, que indica que son mínimo 7 los pasos requeridos para pasar 3 discos de la clavija X a la clavija Z .

32


1.5.. El Teor 1.5 eorem emaa Binomi Binomial al Los binomios son sumas de dos términos, y aparecen a menudo en matemáticas. Esta sección muestra la forma de expandir potencias enteras positivas de manera sistemática. Los coe…cientes en una expansión binomial tienen varias propiedades interesantes. interesantes. Se empezará con un análisis de los coe…cientes binomiales.

Coe…cientes Binomiales Sean n y r enteros no negativos. El coe…ciente binomial6 por

 n r

=

n! si r r!(n !(n r)!





n está de…nido r

 n;

y es 0 en otro casos; esto también se denota por C (n; r) o n C r . Por ejemplo,

 5 3

= =

5! 3!(5 3)! 5 4 3 2 1 = 10 3 2 1 2 1

        

Se desprende de la de…nición que

  n 0

=1 =

n : n

Hay muchos casos en los que se necesita calcular el par de coe…cientes bino6 El

término coe…ciente binomial fue introducido por el alemán algebrista Michel Stifel (1486-1567). En su trabajo más conocido, Arithmetica Integra (1544), Stifel da los coe…cientes binomiales para n  17. La notación de paréntesis binivel para coe…ciente binomial fue introducida introducida por el matemático y físico alemán Baron Andreas von E ttinghausen ttinghausen (1796–1878). Von Von Ettinghausen, nacio en Heidelberg, asistió a la Universidad Universidad de Viena en Austria. Durante dos años trabajó como asistente asistente de matemáticas y física en la Universidad. Universidad. En 1821 se convirtió en profesor de matemáticas, y en 1835, profesor de física y director del Instituto de Física. Trece años más tarde, se convirtió en el director de Estudios de Matemáticas e Ingeniería de la Academia de Viena. Un pionero en la física matemática, von Ettinghausen trabajó en el análisis, álgebra, geometría diferencial, mecánica, óptica y electromagnetismo. electromagnetismo.

1.5. EL TEOREMA TEOREMA BINOMIA BINOMIAL L miales

      n r

y

n

n

r

33

: Ya que n

n

r

= = =

n! (n r )! [n (n r )]! n! n! = (n r )!r )!r! r! (n r)! n r



 

 



en este caso no es necesario evaluar ambos, lo que reduce signi…cativamente el trabajo. Por ejemplo,

    25 20

=

25

25

25 5

=

 20

= 53130: 53130:

El siguiente teorema muestra una importante relación de recurrencia que satisfacen los coe…cientes binomiales. Se conoce como la identidad de Pascal, debida al extraordinario matemático y …lósofo francés Blaise Pascal. Teorema 29 ( Identidad Identidad de Pascal ) Sean n y r enteros positivos con r  n: Entonces

     n = r

n r

1 n 1 + : 1 r



Demostración. Se simpli…cará la expresión del LMD y demostrará que es igual a la expresión del LMI:

  n r



1 n 1 + 1 r

= = = = = =



        

(n 1)! (n 1)! + (r 1)!(n 1)!(n r)! r! (n r 1)! r (n 1)! (n r ) (n 1)! + r (r 1)!(n 1)!(n r)! r! (n r) (n r 1)! r (n 1)! (n r) (n 1)! + r! (n r)! r! (n r)! (n 1)![r 1)![ r + (n (n r)] (n 1)!n 1)!n = r! (n r)! r! (n r)! n! r! (n r)! n r



   

 

así el teorema queda demostrado.















 

34


Triángulo de Pascal Los diferentes coe…cientes binomiales



n ; donde 0 r

 r  n; pueden ar-

reglarse en forma de un triángulo, llamado triángulo de Pascal 7

               0 0

1 0

1 1

2 0

2 1

3 0

2 2

3 1

4 0

3 2

4 1

4 2

4 3

1

    

1 1 1 1 1

1 2

3 4

3 3

3 6

1 4

1

4 4

…la 0 …la 1 …la 2 …la 3 …la 4

El triángulo de Pascal tiene muchas propiedades interesantes: Cada …la empieza y termina en 1. El triángulo de Pascal es simétrico sobre una línea vertical que pasa por el centro. Cualquier número en el interior de cada …la es la suma de los números a izquierda y a derecha de la …la inmediatamente superior. Esto es así en virtud de la identidad de Pascal. La suma de los números en cualquier …la es una potencia de 2. El Corolario 31 veri…cará ésto. La nésima …la puede utilizarse para determinar 11n . Por ejemplo, 113 = 1331 y 114 = 14641. Para calcular altas potencias de 11, se debe tener cuidado ya que algunos de los números envuelven la participación de dos o más dígitos. Por ejemplo, para calcular 115 se procede de la siguiente manera con base en los valores de la …la 5: 1 5 10 10 5 1 7 Aunque

el triángulo de Pascal es el nombre de Pascal, esto actualmente aparece primero en 1303 en una obra del matemático chino Chu Shi-Kie.

1.5. EL TEOREMA TEOREMA BINOMIA BINOMIAL L

35

De derecha a izquierda, liste los dígitos simples. Cuando se llegue a un número de dos dígitos, escriba los dígitos de las unidades y lleva los dígitos de las decenas al número de la izquierda. Añadiendo el número que lleva al de su izquierda. Continue este proceso hacia la izquierda. El número resultante es 161051, que corresponde a 115 . El siguiente teorema muestra cómo los coe…cientes binomiales pueden usarse para encontrar la expansión del binomio (x + y )n : Teorema 30 ( El El Teor eorema Binomial Binomial )8 Sean x y y número reales, y n un entero no negativo. Luego

P  n

n

(x + y ) =

r=0

n nr r x y : r

Demostración. (inducción débil) débil) Cuando n = 0 , LMI = (x ( x + y )0 = 1 y LMI =

P 

n 0r r x y = x0 y0 = 1 , así LMI=LMD. r P (k) es cierto para algunos k 0: Supongamos P ( 0 r=0



k

k

(x + y ) =

X  r=0

k kr r x y r

Entoces (x + y )k+1

= (x + y)k (x + y )

"X   # X  X  "  X   # "X    #   X    X   k

=

k kr r x y (x + y ) r

r=0

k

=

k

r=0

k k+1 k kr r+1 x +1r yr + x y r r r=0 k

=

k k+1 k k+1 x + x +1r y r + 0 r r=1

k1

k kr r+1 k k+1 x y + y r k

r=0

k

=

k + 1 k+1 k k+1 x + x +1r yr + 0 r r=1

k

r=1

8 El

C.).

k

r

1

+1r r xk+1 y +

k + 1 k+1 y k+1

teorema binomial para n = 2 se puede encontrar en el trabajo de Euclides (ca. 300 B.

36

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS =

      X 

k + 1 k+1 y k+1

=

k k + r r 1

k

X 

+1r r xk+1 y +

 

k + 1 k+1 k + 1 k+1 k + 1 k+1 x + x +1r yr + x 0 r k + 1 r=1

k+1

=

k

X     

k + 1 k+1 x + 0 r=1

r=0

k + 1 k+1 x +1r y r r

Así, por inducción, la fórmula es válida para todo entero n  0: Se deduce del teorema binomial que los coe…cientes binomiales en la expansión de (x + y )n son los distintos números en la nésima …la del triángulo de Pascal. El teorema binomial se puede usar para establecer varias identidades interesantes involucrando los coe…cientes binomiales, como lo muestra el siguiente corolario9 . Corolario 31

n

X  r=0

n = 2n r

esto es, la suma de los coe…cientes binomiales es 2n :

Esto se sigue haciendo x = 1 = y en el teorema binomial.

Ejercicios 1.5

(Doce Días de Navidad) Supongamos que el primer día de la Navidad has enviado a tu amor 1 regalo, 1 + 2 regalos en el segundo día, 1 + 2 + 3 regalos al tercer día, y así sucesivamente. 1. Mostrar que el número de regalos enviados en el nésimo día es donde 1  n  12 12::

 

n+1 , 2

2. Mostrar Mostrar que el número número total de los regalos enviados enviados en el nésimo día es

 

n+2 , donde 1 3

 n  12 12::

Encontrar el coe…ciente en cada caso. 8 3. x2 y 6 en la expansión de (2x (2x + y) . 9 Un

corolario es un resultado que se desprende del anterior teorema.

1.5. EL TEOREMA TEOREMA BINOMIA BINOMIAL L

37

4. x4y 5 en la expansión de (2x (2x  3y )9 : Usando el teorema binomial, expandir. (2x  1)5 5. (2x 6 6. (x + 2y 2y)

Encontrar el término medio en la expansión binomial de cada caso.

   

7. 2x + x2

8. x2 + x1

8 10

2

Encontrar el más grande coe…ciente binomial en la expansión de cada caso. 9. (x + y)5 10. (x + y)6 11. (x + y)7 12. (x + y)8 13. Usando los ejercicios 9-12, encontrar el mayor coe…ciente en la expansión binomial (x + y)n . Los números de Bell Bn son llamados así en honor al matemático AmericanoEscoses Eric T. Bell (1883-1960). Éstos son utilizados en combinatoria y se de…nen recursivamente como sigue: B0

= 1 n1

Bn

X  

=

n

i=0

1

i

Calcular los siguientes números de Bell. 14. B2 15. B3 16. B4 17. B5 18. Veri…car que

   n r

=

n r

n i



1 : 1

Bi;

n

 1:

38


19. Probar que

 2n n

es un entero par. (L. Moser, 1962)

Probar cada una de las siguientes proposiciones.

j   X  X  

2n ; cuando se escribe a b signi…ca que a es un factor de b y n

20. (n + 1) n 0. n

21.

r=0

2n 2r

n

=

r=1

j

2n 2r 1

(Sugerecia: Use el Corolario 1.1) n

22.

X  X       X      n = 3n r

2r

r=0 n

23.

r=0

n r

n

n

=

r

2n n

(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (1 + x)n (1 + x)n ) n

24.

i=1

n

i

1

n i

=

2n n+1

(Sugerencia: Considere (1 + x)2n = (x ( x + 1)n (1 + x)n .) Evalúe cada suma.

  



n n n n 25. 1 +2 +3 + +n 1 2 3 n (Sugerecia: Denote con S la suma. Utilice S y la suma en el orden inverso para calcular 2S )









n n n 26. a + (a (a + d) + (a (a + 2d 2d) + 0 1 2



   + (a (a + nd) nd)

n n

(Sugerencia: Utilice la misma sugerecia del Ejercicio 25) C (n; r) si y sólo si r < 27. Muestre que C (n; r  1) < C (

n+1 cuando 0 2

 r < n:

28. Usando el ejercicio 27, pruebe que el mayor coe…ciente binomial C (n; r) ocurre cuando r = bn=2 n=2c Usando inducción, pruebe.

1.5. EL TEOREMA TEOREMA BINOMIA BINOMIAL L 29.

39

                            n n+1 n+2 + + + 0 1 2

n+r + r

=

n+r+1 r

(Sugerencia: Use la identidad de Pascal)

30. 1 31.

n n +2 + 1 2

n 0

2

n + 1

2

+n

n + 2

n n

2

= n2n1 2

n + n

+



=

2n n

(Identidad de Lagrange )

A partir de la expansión binomial n

n

(1 + x) =

X  r=0

n r x ; r

se puede mostrar que n

n1

n(1 + x)

=

X  r=1

n rxn1 : r

Usando este resultado, pruebe.

     

n n n 32. 1 +2 +3 + 1 2 3

33. 1

n n n +3 +5 + 1 3 5

          X  +n

n = n2n1 n

=2

n n n +4 +6 + 2 4 6

n

34. Conjeture una fórmula para

i=2

   = n2n2

i : 2

35. Prube la fórmula fórmula que supuso en el Ejercicio Ejercicio 34. n

36. Conjeture una fórmula para

X  i=3

i 3

37. Probar Probar la fórmula fórmula supuesta en el Ejercicio Ejercicio 36. n

38. Usando los ejercicios 34-37, prediga una fórmula para

X  i=k

i : k

40


DERIVE. Laboratorio 4 Objetivo En el presente taller se busca construír una función que ilustre el desarrollo de binomios a partir del teorema del binomio y algunas otras involucren el coe…ciente binomial comb(n,r).

Algunas funciones requeridas COMB(n, La función COMB(n,

r)

da el número combinatorio, se simpli…ca a n! : r!(n !(n r)!



Actividades 1. En esta primera actividad se creará una función que genere un vector con la késima …la del triángulo de pascal, se le llamará a la función "…la", de esta forma la fución es fila(n):=VECTOR(COMB(n,r),r,0,n)

Así, fila(4), se simpli…ca a un vector con los elementos de la cuarta …la del triángulo de Pascal, es decir a [1, 4, 6, 4, 1]. 2. La función a continuación denominada "binomio"permite encontrar la expansión de un binomio a la nésima potencia, utilizando el teorema del binomio.





binomio( binomio(x, x, y, n):=SUM(C n):=SUM(COMB( OMB(n, n, k) x^(n x^(n - k) y^k, y^k, k, 0, n)

Por ejemplo binomio(2a,b,3) se simpli…ca a la expansión del binomio (2a (2a + b)3 es decir a 8a3 + 12a 12a2 b + 6ab 6ab2 + b3 : 3. A continuación continuación se de…ne una función función denominada termino(k,x,y,n), esta función permite obtener el késimo término de la expansión del binomio (x + y )n





term termin ino( o(k, k, x, y, n) := COMB(n COMB(n, , k - 1) x^(n - (k - 1)) y^(k y^(k - 1) termino(3 o(3, , 2a, b, 3) se simpli…ca al tercer término de la expansión así, termin del binomio (2a (2a + b)3 en este caso 6ab2 :

1.6. NÚMEROS NÚMEROS POLIGONALES

41

1.6.. Núme 1.6 Números ros Poligon oligonale aless Un número poligonal es aquel número que pueden con…gurarse en un polígono regular. Ellos proporcionan un fascinante eslabón entre la teoría de números y la geometría. No sorprende que los números poligonales tengan un origen antiguo, y efectivamente se cree que ellos fueron inventados por los pitagóricos en 1665. Pascal publicó un libro sobre ello llamado Tratado sobre números cifrados. Los números poligonales, también conocidos como números cifrados en el plano, son enteros positivos que pueden ser representados por polígonos regulares en un modelo sistemático. Se mostrará algunos tipos de tales números: números triangulares, números cuadrados, números pentagonales y números hexagonales. En bolos los diez pinos son ordenados inicialmente en un despliegue triangular. De manera similar, las 15 bolas en el juego de pool son inicialmente inicialmente colocadas en una forma triangular. Ambos números 10 y 15 son números triangulares. De acuerdo a lo expresado, se presenta la siguiente de…nición.

Números Triangulares

Un número triangular es un entero positivo que puede ser representado grá…camente por un arreglo triangular equilátero. El nésimo número triangular se denota por tn , con n  1: Los primeros cuatro números triangulares son, 1; 3; 6; y 10 y ellos se representan en la Figura 1.3 Ya que la iésima …la, de arriba hacia abajo, en el iésimo número triangular tiene i puntos, tn es igual a la suma de los n primeros enteros positivos, esto es n

tn =

X i=1

i=

n(n + 1) . 2

Por ejemplo, t4 = (4  5) 2 = 10 y t36 = (36  37) 37)2 = 666: 666 :

Figura 1.3: Números Triangulares.

42


Figura 1.4: Números Cuadrados

Luego tn =

 

n+1 ; 2

de esta forma, los números triangulares pueden ser leidos en el triángulo de Pascal. Ya que en cada con…guración triangular cada …la contiene un punto más que la …la anterior, tn puede ser de…nida recusivamente, ver Tabla 1.

Tabla 1

Una Fórmula Recursiva para tn t1 tn

= 1 = tn1 + n; n

2

Como un ejemplo, ya que t3 = 6; 6 ; t4 = t3 + 4 = 6 + 4 = 10 : El Ejercicio 1 de esta sección plantea resolver la relación de recurrencia para encontrar una formula explícita para tn :

Números Cuadrados

Enteros positivos que pueden ser representados por arreglos cuadrados (de puntos) se denominan números números cuadrados cuadrados.. El nésimo número cuadrado se denota por sn . La Figura muestra los primeros cuatro números cuadrados, 1; 4; 9 y 16. En general sn = n2 ; n  1: Como antes, sn también puede de…nirse recursivamente. La Figura 1.5 permite ver como esto puede considerarse. Puede verse un patrón, en donde el número de puntos en cada arreglo (excepto el


43

Figura 1.5: Recursividad para números cuadrados primero), es igual al número de puntos en el arreglo anterior más dos veces el número de puntos en la …la del anterior arreglo más uno; esto es, sn

 

= sn1 + 2(n 2(n 1) + 1 = sn1 + 2n 2n 1

Así, se tiene la siguiente de…nición recursiva de sn :

Una Fórmula Recursiva para S n s1 sn

= 1 = sn1 + 2n 2n

(1.9)

 1; n  2

Ahora se demostrará una relacion entre tn y sn . El siguiente teorema conocido por el matematico griego Theon de Smyrna (ca. A.D. 100) Y Nicomachus, establece algebráicamente que sn = tn + tn1 : Teorema 32 La suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado. Demostración. tn + tn1



n(n + 1) n(n 1) + 2 2 n n = (n + 1 + n 1) = (2n (2n) 2 2 = n2 = sn : =



A continuación se presentan algunos resultados a través de dos teoremas cuyas demostraciones se dejan como ejercicio.

44


Figura 1.6: Números Pentagonales

Teorema 33 t2n1 + t2n = tn2 :

Teorema 34 8tn + 1 = (2n (2n + 1)2 8tn1 + 4n 4n = (2n (2 n)2

El siguiente turno es para los números pentagonales 10 pn :

Números Pen Pentagonales tagonales

Los primeros tres números pentagonales 1; 5 y 12 son ilustrados en la Figura 1.6 y se puede notar que pn =



n(3n (3n 1) 2

(Ver sección de ejercicios). Una interesante interesante relación que conecta números triangulares, cuadrados y pentagonales puede establecerse de la siguiente forma, tn1 + sn = pn ; n

 2;

esto puede veri…carse algebráicamente y se deja como ejercicio para el lector. A continuación se discutirá respecto a los números hexagonales

10 El 11 El

pre…jo griego penta signi…ca cinco pre…jo griego hexa signi…ca seis

11

hn :


45

Figura 1.7: Números hexagonales

Números Hexagonales

La Figura 1.7 muestra la representación grá…ca de los primeros tres números hexagonales 1; 6 y 15. Se puede veri…car que hn = n(2n (2n

 1); 1); n  1

(Ver sección de ejercicios). Los números triangulares, pentagonales y hexagonales satisfacen la relación pn + tn1 = hn

se puede veri…car esto (Ver sección de ejercicios).

Ejercicios 1.6 1. Resuelva la relación de recurrencia para tn : 2. Encuentre el valor de n tal que tn = 666: 666: (El número 666 se conoce como el número de la bestia) 3. Resuelva la relación de recurrencia para sn : 4. Muestre que 8tn + 1 = s2n+1 : Diofanto 5. De…na recursivamente el nésimo número pentagonal pn : 6. Usando la relación en el ejercicio 5, encuentre una formula explícita para pn :

Pruebe para n  2. 7. t2n1 + t2n = tn

2

8. pn + tn1 = hn

46

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS 9. De…na recursivamente el nésimo número hexagonal hn :

10. Usando la relación de recurrencia en el ejercicio 9, encuentre una formula explícita para hn :


47


En el presente taller se busca conocer las funciones que permiten obtener los números poligonales, en particular los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales trabajados en esta sección.

Algunas funciones requeridas Para los números triangulares se tiene la función TRIANGULAR(n) que permite obtener el nésimo número triangular. En general, la función POLYGONAL(n, p) se simpli…ca al nésimo número poligonal con p caras, p  2. Por ejemplo, para hallar los 10 primeros números poligonales de 3 caras, o tambien llamados triangulares, se simpli…ca cualquiera de las dos siguientres expresiones, VECTOR(TRIANGULAR(n),n,1,10)

o VECTOR(POLYGONAL(n, VECTOR(POLYGONAL(n, 3),n,1,10)

su simpli…cación genera el vector [1, [1, 3, 6, 10, 10, 15, 15, 21, 21, 28, 28, 36, 36, 45, 45, 55] 55]

Si se quiere generar, por ejemplo, un vector con los 20 primeros números hexagonales se procede a simpli…car la expresión VECTOR(POLYGONAL(n, VECTOR(POLYGONAL(n, 6),n,1,20)

Actividades

Con base en las relaciones de recurrencia de…nidas para cada tipo de número poligonal y utilizando la función IF es posible de…nir también en DERIVE funciones que permitan obtener los números poligonales. Puede utilizarse la función de recurrencia en (1.9), de…nida para los números cuadrados, y construir una función en DERIVE para los números cuadrados así, cuadrado(n):=IF(n=1,1,cu cuadrado(n):=IF(n=1,1,cuadrado(n-1)+2 adrado(n-1)+2n-1) n-1)

Habiendo de…nido esta función, simpli…cando la expresión VECTOR(cuadrado(n),n,1,10)

se obtiene un vector con los 10 primeros números cuadrados, esto es [1, [1, 4, 9, 16, 16, 25, 25, 36, 36, 49, 49, 64, 64, 81, 81, 100] 100]

48


Figura 1.8: Números Piramidales Triangulares

1.7.. Númer 1.7 Números os Pirami Piramidal dales es Ahora se estudiará …guras sólidas de números, las cuales están comprendidas por enteros positivos que pueden ser representados de forma piramidal. Se obtienen realizando sumas sucesivas de los correspondientes números poligonales. Los números de lados en la base de una pirámide se incrementa a partir de tres, de esta forma se van obteniendo los diversos números piramidales, como los triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales y así sucesivamente. Se iniciará con el más simple de los números piramidales, los números piramidales triangulares, también conocidos como números tetraédricos.

Números Piramidales Triangulares El nésimo número piramidal triángular T n es la suma de los n primeros

números triangulares tn . Los cuatro primeros números son de la forma: T 1 = 1; T 2 = t1 + t2 = 1+3 = 4; T 3 = t1 + t2 + t3 = 1+3+6 = 10; y T 4 = t1 + t2 + t3 + t4 = 1+3 +6+ 10 = 20 20 . La Figura 1.8 permite observar la obtención de los diferentes números piramidales triangulares, apilando canicas en el orden mostrado. Los diferentes números pirámidales triángulares pueden construirse utilizando la regularidad presentada en la Tabla 1.9. Luego, para obtener el 5o número piramidal triangular se suma el 4o número piramidal triangular triangular con el 5o número triangular. De manera general T n = T n1 + tn ; que equivale a, T n = T n1 + [n(n + 1)]= 1)]=2:Ya que n

T n =

X i=1

ti;

1.7. NÚMEROS NÚMEROS PIRAMIDA PIRAMIDALES LES

49

Figura 1.9: Regularidad Números Piramidales Triangulares de la sección anterior se tiene que: n

T n

=

X i=1

= =

i(i + 1) 2

n(n + 1)(n 1)(n + 2) 6 n+2 3

 

Por consiguiente, consiguiente, T n también puede ser leído en el triángulo de Pascal.

Números Piramidales Cuadrados

Aquí la base de la piramide para la obtención de los números piramidales cuadrados es, efectivamente un cuadrado. Y cada nivel contiene sn puntos. La Figura 1.10 muestra la construcción del 4o número piramidal cuadrado, utilizando una estructura a partir de canicas.)

Figura 1.10: Construcción del 4o número piramidal cuadrado Los primeros cuatro números piramidales cuadrados son 1, 5, 14 y 30. Los números cuadrados pirámidales, notados S n ; pueden construirse fácilmente usando la estructura presentada en la Figura 1.11.Luego el nésimo número piramidal cuadrado se puede obtener n

S n

=

sk =

k=1

=

n

X X

k2

k=1

n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) : 6

50


Figura 1.11: Regularidad Números Piramidales Cuadrados

Números Piramidales Pentagonales La nésima …la de una pirámide pentagonal representa el nésimo número

pentagonal pn, los primeros cinco números pirámidales pentagonales son 1, 6, 18, 40, y 75. Una vez más, se presenta mediante la Figura 1.12 la regularidad para su construcción.Se propone como ejercicio encontrar una fórmula explícita para el nésimo número piramidal pentagonal notado P n.

Figura 1.12: Regularidad Números Piramidales Pentagonales Finalmente se hablará de los números pirámidales hexagonales H n :

Números Piramidales Hexagonales

La nésima …la de una piramide hexagonal representa el nésimo número hexagonal hn, los primeros cinco números pirámidales hexagonales son 1, 7, 22, 50 y 95. De igual manera, se propone como ejercicio, con base en la Figura 1.13, encontrar una formula explícita para H n .

Figura 1.13: Regularidad Números Piramidales Hexagonales

Ejercicios 1.7 1. Encuentre los primeros cuatro números triangulares que son cuadrados.

1.7. NÚMEROS NÚMEROS PIRAMIDA PIRAMIDALES LES

51

2. Usando la relación de recurrencia T n = T n1 + n(n2+1) donde T 1 = 1; encuentre una formula explícita para el nésimo número triangular piramidal T n : 3. De…na recursivamente en nésimo número piramidal cuadrado S n . 4. Usando el ejercicio 3, encuentre una fórmula explícita para S n : 5. Encuentre una fórmula para el nésimo número piramidal pentagonal p entagonal P n : 6. De…na recursivamente el nésimo número piramidal pentagonal P n : 7. Use el ejercicio 6, encuentre una fórmula explícita para P n : 8. Encuentre una fórmula para el nésimo número piramidal hexagonal H n : 9. De…na recursivamente el nésimo número piramidal hexagonal H n : 10. Use el ejercicio 9, encuentre una fórmula explícita para H n :

52



POLYGONAL_PY L_PYRAMI RAMID(n, D(n, En el presente taller se explorará la función POLYGONA que permiten obtener los diferente tipo de números piramidales.

p, d)


En general, Derive provee una función que permite generar cualquier número piramidal, incluso con esta función se pueden obtener los números poligonales. La función a que se re…ere es POLYGONA POLYGONAL_PY L_PYRAMID RAMID(n, (n, p, d)

cuyos parámetros son n que indica que se va a generar el nésimo número que se quiere, p que hace referencia al número de lados del polígono que constituye la base del número que se pretende obtener y d es la dimensión, cuando d es dos hablamos de poligonos mientras que para d igual a 3 se habla de piramides en 3 dimensiones, idea que puede ser genralizada a más dimensiones.

Actividades A continuacion se generará un vector con los 10 primeros números piramidales triangulares mediante la simpli…cacion del siguiente código VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID( VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, n, 3, 3),n,1,10)

cuyo resultado genera el vector [1, [1, 4, 10, 10, 20, 20, 35, 35, 56, 56, 84, 84, 120, 120, 165, 220] 220]

Para los 10 primeros piramidales cuadrados se simpli…ca VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID( VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, n, 4, 3),n,1,10)

que genera como resultado [1, [1, 5, 14, 30, 30, 55, 55, 91, 91, 140, 140, 204, 204, 285, 385] 385]

Para los 10 primeros piramidales hexagonales se simpli…ca VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID( VECTOR(POLYGONAL_PYRAMID(n, n, 6, 3),n,1,10)

que permite obtener el vector [1, [1, 7, 22, 22, 50, 50, 95, 95, 161, 161, 252, 252, 372, 372, 525, 525, 715] 715]

1.8. NÚMEROS NÚMEROS DE CAT CATALÁN

53

1.8. 1.8. Núme Número ross de Cata Catalá lán n Los números de Catalán son un un conjunto de números que encajan de manera perfecta dentro de este contexto, éstos son excelentes candidatos para la exploración, la experimentación y para establecer conjeturas. Como los números de Fibonacci y de Lucas, éstos tienen, como Martin Gardner escribió en la Scienti…c American , "la misma encantadora propensión para aparecer de improviso, en particular en problemas combinatorios "(1976). Aquellos sitios inesperados en donde aparecen incluyen el álgebra abstracta, la teoría combinatoria, la informática, la teoría grafos, y la geometría. Los números de Catalán son llamados así luego de que el matemático belga Eugene C. Catalán, los descubriera en 1838, mientras él estudiaba las secuencias gramaticalmente correctas de paréntesis. Antes, alrededor de 1751, el excepcional matemático suizo Leonhard Euler los encontró estudiando las triangulaciones de polígonos convexos.

El Problema de la Triangulación de Euler

Se inicia el estudio de los números de Catalán C n ; con la investigación de Euler del problema de la triangulación: Problema Proble ma 35 Encuentre el número de formas An ; en que el interior de un n ágono convexo 12 puede ser dividido en áreas triangulares no superpuestas dibujando dibujando diagonales diagonales que no se cruzan, cruzan, donde n 3:





Hay sólo un forma de dividir un triángulo en áreas triangulares, dos modos diferentes de dividir en áreas triangulares un cuadrado, cinco modos diferentes de dividir en áreas triangulares un pentágono, y 14 modos diferentes de dividir un hexágono, como se muestra en la Figura 1.14. Así, se tienen los números de Catalán 1, 2, 5, y 14.Se propone como ejercicio para el lector encontrar las 5 formas de dividir en áreas triangulares el pentagono. Euler usa un argumento inductivo para establecer la formula

       (4n (4n  10) para n  3  1)! 0 ; 1; 2 haciendo k = n  3 se tiene para incluir los casos n = 0; 2  6  10      (4k (4k + 2) para k  0 Ak+3 = An =

2 6 10 (n

(k + 2)!

Así, A3 = 1; A4 = 2; A5 = 5; se obtienen de la anterior expresión asignando valores de k = 0; k = 1 y k = 2 y que corresponden a los números de Catalán 12 Un nágono

convexo es un polígono con totalmente en el interior del polígono.

n

lados tal que todas sus diagonales quedan

54


Figura 1.14: El Problema de la Triangulación de Euler C 1 ; C 2 ; C 3 respectivamente. Cambiando dos espacios a la derecha se tiene que C n = An+2 ; luego C n = An+2 =

  

 2) para n  1;

  



2 6 10 (4n (4n (n + 1)!

pero C n

= = =

2 6 10 (4n (4n 2) (n + 1)! (4n (4n 2) 2 6 10 (4n (4n n+1 n! (4n (4n 2) C n1 n+1

 

  

 6)

Cuando n = 1 se tiene que C 1 = C 0 ; pero ya que C 1 = 1; de…niendo C 0 = 1 se puede escribir la recursividad de los números de Catalán como sigue.

Una De…nición Recursiva de C n C 0 C n

= 1 (4n (4n 2) = C n1 si n n+1



 1:


55

Una Formula Explícita para C n Para la solución de la relación de recurrencia presentada antes se tiene,

C n

= = =

  

(4n (4n 2) C n1 n+1 (4n (4n 2) (4n (4n 6) C n2 n+1 n (4n (4n 2) (4n (4n 6) (4n (4n 10) C n3 n+1 n n 1

 

 

.. . = = = = = =

 2)(4n 2)(4n  6)(4n 6)(4n  10)    6  2 C 0 (n + 1)n 1)n(n  1)    3  2 (2n (2n  1)(2n 1)(2n  3)(2n 3)(2n  5)    3  1 2n (4n (4n

(n + 1)! (2n (2n 1)(2n 1)(2n 3)(2n 3)(2n 5) 3 1 2n (n + 1)! (2n (2n)! 1 2n n (n + 1)! 2 [1 2 n] (2n (2n)! 1 2n (n + 1)! 2n n! 1 (2n (2n)! 1 2n = : (n + 1) n!n! n+1 n





  

    2 4 2 4

 

(2n (2n) (2n (2n)

 



j 

Ya que (n + 1)

2n n

(se propone esta a…rmación como ejercicio para el

lector)13 , de esto se sigue que todo número de Catalán es entero positivo. A continuación se presentan los primeros números de Catalán: 1; 1; 2; 5; 14 14;; 42 42;; 132 132;; 429 429;; 1430 1430;; 4862 4862;; 16796 16796;; 58786 58786;::: ;:::

Se sigue desde la formula explícita que todo número de Catalán C n puede extraerse desde el triángulo de Pascal: Dividiendo cada coe…ciente binomial

13 ajb

signi…ca que

a

es factor de b, o que

a

divide a b.

56


central

 2n n

entre (n + 1); 1);

#               0 0

1 0

1 1

2 0

2 1

3 0

3 1

4 0

2 2

3 2

4 1

4 2

3 3

4 3

"

Ejercicios 1.8

Probar.

                          

1 2n 1. C n = n n 1

2. C n =

2n n

3. C n+1 = 4. C n = 5. C n =

n

1

2n

n

2

1 2n + 1 2n + 1 n

6. C n = 2 7. C n =

2n n

2n

2n 1 n 1 2n n

2n + 1 n+1

2n 1 n 2

2n + 1 n 2

2n n+1

Usando la formula recursiva

b(n1)= 1)=2c

C n =

X  r=0

calcule C n para cada valor de n: 8. n = 5 9. n = 6

n 1 n2r1 2 C r 2n

4 4


57


En el presente taller se explorará la función CATALAN(n) y se construirá otra a partir de la recursividad que genere los números de Calalán.

Algunas funciones requeridas La función en Derive que por defecto genera los números de Catalán se de…ne como CATALAN(n) y se simpli…ca al nésimo número de Catalán. Actividades

Para obtener un vector con los diez primeros números de Catalán se simpli…ca la expresión a continuación VECTOR(CATALAN(n),n,1,10)

Utilizando la de…nición recursiva del los números de Catalán dada en esta sección es posible construir una función que genere dichos números, es así como de…niendo la función



c(n) c(n):= :=IF IF(n (n = 0, 1, (4 n - 2)/(n + 1)c(n - 1))

y simpli…cando VECTOR(c(n),n,1,10)

se obtiene [1, [1, 1, 2, 5, 14, 14, 42, 42, 132, 132, 429, 429, 1430 1430, , 4862 4862, , 1679 16796] 6]

58


Capítulo 2

Divisibilidad Este capítulo continua con el estudio de las propiedades de los enteros y explora los números primos, los cuales son un componente básico de éste conjunto, los números compuestos y una clase particular de números denominados números de Fermat.

2.1. 2.1. El Alg Algor orit itmo mo de la Div Divis isió ión n El algoritmo de división es una …na aplicación del principio del buen orden y a menudo se emplea como método de comprobación del proceso de la división. Suponga que un entero a se divide por un entero positivo b. Entonces se obtiene un único cociente q y un único residuo (o resto) resto) r, donde el residuo satisface la condición 0  r < b; a es el dividendo y b es el divisor. Esto formalmente se establece de la siguiente forma. Teorema 36 ( El El Algoritmo de la División ) Sea a cualquier entero y b un entero positivo. Entonces existen enteros únicos q y r tales que



a = b q + q + r

donde 0  r < b:

Demostración. La prueba consiste en dos partes. Primero se establecera la existencia de los enteros q y r y luego se mostrará que ellos son únicos. Demostración de la existencia Considere el conjunto S = fa  bnj(n 2 Z) y (a  bn  0)g : Claramente, S  W: Se desea mostrar que S tiene un mínimo elemento. Para este …n, primero se muestra que S es un subconjunto no vacio de W : 59

60

CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD

Caso 1. Suponga a  0: Entonces a = a  b  0 2 S; así S contiene un elemento. elemento. Caso 2. Suponga a < 0: Ya que b 2 Z+ ; b  1: Entonces a  ba  0: Consecuentemente, a  ba 2 S:

ba  a; esto es,

En ambos casos, S contiene al menos un elemento, así S es un subconjunto no vacío de W: Por tanto, por el principio del buen orden, S contiene un mínimo elemento r: Ya que r 2 S , existe un entero q tal que r = a  bq; donde r  0: Por mostrar que r < b : Se mostrará esto por contradicción. Escogiendo r  b: Entonces r  b  0: q + 1): 1) : Ya que a  b(q + q + 1) es de la forma Pero r  b = (a  bq )  b = a  b(q + a  bn y es  0; a  b(q + q + 1) 2 S ; esto es, r  b es más pequeño que r y está en S: Esto contradice la forma de escoger r; así r < b . Así, hay enteros q y y talque a = bq + bq + r; donde 0  r < b: Demostración de la unicidad Se quiere ahora mostrar que los enteros q y r son únicos. Suponiendo que hay enteros q; q 0 ; r y r0 tales que a = bq + bq + r y a = bq 0 + r0 ; donde 0  r < b y

 r0 < b: Asumiendo, por conveniencia, conveniencia, que q  q 0 : Entonces r0  r = b(q  q 0 ): Ya que 0 0 q  q ; q  q  0 y ya que r0  r  0: Pero, ya que r0 < b y r < b; r 0  r < b: Suponga que q > q 0 ; esto es, q  q 0  1: Entonces b(q  q 0 )  b; esto es, r0  r  b: Que es una contradicción ya que r0  r < b: Por tanto, q  q 0 ; así, 0 0 0

q = q ; y ya que, r = r : Luego, los enteros q y r son únicos, completando la prueba de unicidad.

Aunque tradicionalmente tradicionalmente se haya dado a este teorema el nombre de algoritmo de división, éste no presenta un algoritmo para encontrar q y r. Ellos se pueden encontrar usando el método largo de la división.

Ejemplo 37 Encuentre el cociente q y el residuo r cuando 1. 207 se divide por 15 2.

23 se divide por 5 Solución.

1. 207 = 15  3 + 12; así q = 13 y r = 12: 12 : 2. Ya que 23 = 5  (4) + (3); 3); se estaría tentado a decir que q = 4 y r = 3: El residuo, sin embargo, nunca puede ser negativo. Pero 23 se puede escribir como 23 = 5  (5) + 2; 2; donde 0  r(= 2) < 5 (Ver la recta numérica en la Figura 2.1). De esta forma, q = 5 y r = 2: 2:

2.1. EL ALGORITMO ALGORITMO DE LA DIVISI DIVISIÓN ÓN

Figura 2.1: Ilustración de la division de

61

23 entre 5 en la recta numérica.

Puede notarse que la ecuación a = bq + bq + r puede escribirse a r = q + q + ; b b

donde 0  r=b < 1: Consecuentemente, q = ba=bc y r = a  bq = a  b  ba=bc :

Operadores Div y Mod

Los operadores binarios, div y mod, son frecuentemente usados en el área de las matemáticas discretas y computacionales computacionales para encontrar cocientes y residuos. Se pueden de…nir de la siguiente forma: a div b = cociente cuando a se divide entre b a mod b = residuo cuando a se divide entre b

Por ejemplo, 23div5 = 4; 4 ; y 23mod5 = 3; 23div5 = 5; y 23mod5 = 2; 2; como se argumentó en el ejemplo anterior. De las de…niciones anteriores se puede escribir

b c

q = a div b = a=b

y r = a mod b = a

 bq = a  b  ba=bc :

El Principio del Palomar y el Algoritmo de la División

El principio del palomar también conocido como el principio de las cajas de Dirichlet luego de que el matemático alemán Gustav Peter Lejeune Dirichlet lo usara extensivamente en sus trabajos sobre teoría de números. Este principio puede ser utilizado en variadas situaciones. Suponga m palomas volando hacia n palomares, donde m > n: ¿Cuál es su conclusión? Ya que hay más palomas que palomares, al menos dos palomas se posarán en el mismo palomar; en otras palabras, hay palomares que contendrán dos o más palomas. Se establecerá y probará a continuación una versión simple del principio de palomar.

62


Teorema 38 ( El El Princi Principio pio del Paloma Palomar r ) Si m palomas son asignadas a n palomares, donde m > n; entonces al menos dos palomas ocupan el mismo palomar. Demostración. (por contradicción) contradicción) Suponga que la conclusión es falsa; esto es, no hay dos palomas que ocupan el mismo palomar. Entonces toda paloma puede ocupar un distinto palomar, así n  m; lo cual contradice la hipótesis que m > n. Así, dos o más palomas ocupan el mismo palomar. Ejemplo 39 El principio del palomar permite probar que en nuestra ciudad existen dos personas que tienen el mismo número de pelos en la cabeza. La situación se puede argumentar de la siguiente manera, suponga que una persona tiene a lo más 150.000 pelos en la cabeza, habrán calvos (0 pelos en la cabeza), personas con tendencia a la calvicie (digamos 100 pelos en la cabeza), en …n, ellos se podrían clasi…car clasi…car dependiendo del número n úmero de pelos en la cabeza. Suponga que en un primer cuarto entran todos los calvos, en un segundo cuarto entran los que tienen un pelo y así sucesivamente en el último cuarto entran los que tienen 150 mil pelos. De esta forma se tendrían 150.001 cuartos en donde están todos los habitantes de nuestra ciudad. Bajo estos supuestos, si nuestra ciudad tiene más de 150.001 habitantes 1 , por el teorema del palomar, necesariamente debe existir un cuarto que tiene al menos dos personas, esto es, tienen la misma cantidad de pelos en la cabeza. A continuación se presenta la relación de divisibilidad.

La Relación de Divisibilidad

Suponga que en el algoritmo de la división r = 0: 0 : Entonces a = bq + bq + 0 = bq: Se puede a…rmar que b divide a a; b es factor de a; a es divisible por b; o a es un múltiplo de b; y se escribe bja: Si b no es factor de a; se escribe b - a: - a: Por ejemplo, 3j12 12;; 5j30 30;; pero 6 - 15 - 15:: Ejemplo 40 Sea b un entero  2: Suponga que b + 1 enteros se seleccionan aleatoriamente. Probar que la diferencia de dos de ellos es divisible por b: Solución. Sea q el cociente y r el residuo cuando un entero a se divide por otro entero b: Entonces, por el algoritmo de la división, a = bq + bq + r; donde 0  r < b: Los b + 1 enteros dan b + 1 residuos (palomas), pero hay solamente b posibles residuos (palomares). Por tanto, por el principio del palomar, dos de los residuos deben ser iguales. 1 La siguiente página de Internet permite, oprimiendo la tecla F5, saber cuántos habitantes habitantes tiene la ciudad de Bogotá en un instante, en el momento en que se escribe este texto hay 7.261.523 habitantes: http://www.sdp.gov.co:8443/www/formula_contador.php


63

Sean x y y los corrrespondi corrrespondientes entes enteros. Entonces x = bq 1 + r y y = bq 2 + r para para algunos cocientes cocientes q 1 y q 2 : Por tanto, x

y



= (bq 1 + r) (bq 2 + r) = b (q 1 q 2 )



así, x  y es divisible por b:

Un Acertijo Intrigante

Piense en un número de tres dígitos abc: Multiplique el número abc y sus sucesivas respuestas por 7; 11 y 13 13;; respectivamente. Su respuesta es el número abcabc: ¿Sorprendido? ¿Puede usted explicar el porqué de este resultado? A continuación se estudian varias propiedades de la divisibilidad. Se deja al lector sus pruebas como ejercicios. Teorema 41 Sean a y b enteros positivos tales que ajb y bja: Entonces a = b: Teorema 42 Sean a; b, c,  y  enteros cualesquiera. cualesquiera.2 Entonces 1. Si ajb y bjc; entonces ajc: (Propiedad Transitiva) c ): 2. Si ajb y ajc; entonces aj(b + c)

3. Si ajb; entonces ajbc:

Observación La expresión b + c se llama combinación lineal de b y c:

Así, por la parte 2, si a es un factor de b y c; entonces a es también combinaci combinación ón lineal de b y c: En particular, aj(b + c) si  =  = 1 y aj(b  c) si  = 1 y  =

1:

La función piso puede usarse para determinar el número de números enteros positivos menores o iguales que un número entero positivo a y divisible por un número entero positivo b, como el siguiente teorema muestra. Teorema 43 Sean a y b enteros positivos. Entonces el número de enteros positivos  a y divisible por b es ba=bc : Demostración. Suponga que hay k enteros positivos  a y divisibles por b: Se necesita mostrar que k = ba=bc : Los múltiplos positivos de b menores o iguales que a son b; 2b; :::; :::; kb: Claramente, kb  a; esto es, k  a=b: Más aun, (k + 1)b 1)b > a: Así, k + 1 > a=b o a=b  1 < k: k : Por lo tanto, a b

2

y



 1 < k  ab :

son las letras griegas alfa y beta.

64


Así, k es el más largo entero menor o igual a a=b; luego k = ba=bc : Por ejemplo, el número de enteros positivos

b2076 2076==19c = b109 109;; 26316c = 109: 109:

 2076 y divisibles por 19 es

A continuación, se consideraran algunos aspectos de conjuntos y de el principio de inclusión-exclusión.

Unión, Intersección y Complemento

Sea A un conjunto …nito y sea jAj el número de elementos en A: Por ejemplo, si A = f3; 5; 8; 17g ; entonces jAj = 4: (En el Capítulo 1, se utilizó las barras verticales para denotar el valor absoluto de un número, pero aqui denotará el número de elementos en un conjunto. El signi…cado de la notación debe poder deducirse dependiendo del contexto.) Sean A y B dos conjuntos . Su unión A [ B es el conjunto de elementos pertenecientes a A o a B ; su intersección A \ B consiste en los elementos comunes; A0 denota el complemento de A; esto es, el conjunto de elementos en el conjunto universal que no están en A: A continuación se estudiará el principio de inclusión-exclusión. Teorema 44 ( El El Principio de Inclusión-Exclusión ) Sean A1 ; A2 ;:::;A n n conjuntos …nitos. Entonces

[  n

i=1

Ai

 X X j j  X j\ Ai

=

1in

1i
Ai

+

1i
jAi \ Aj j

\  n

Aj

\ Ak j     + (1)n+1

i=1

 

Ai :

Los siguientes dos ejemplos son simple aplicaciones de este teorema.

Ejemplo 45 Encuentre el número de enteros positivos  2076 y divisibles por ambos, 4 y 5: Solución. Sea

f 2 Njx  2076 y divisibles por 4g

A= x

y

f 2 Njx  2076 y divisibles por 5g :

B= x

Entonces

jA [ B j

j j j jj \ j b c b cb 

= A + B A B = 2076 2076= =4 + 2076 2076==5 2076==20 2076 = 519 519 + 415 415 103 = 831: 831:

c


65

Así, entre los primeros 2076 números enteros positivos, hay 2076831 = 1245 números enteros no divisibles por 4 o 5. Ejemplo 46 Encuentre el número de enteros positivos  3000 y divisibles por 3; 5 o 7: Solución. Sean A, B y C los conjuntos enteros positivos  3000 y divisibles por 3; 5 o 7: Por el principio de inclusión-exclusión,

jA [ B [ C j

= =

jAj + jB j + jC j  jA \ Bj  jB \ C j  jA \ C j + jA \ B \ C j b3000 3000= =3c + b3000 3000= =5c + b3000 3000= =7c  b3000 3000==15c  b3000 3000= =35c  b3000 3000= =21c + b3000 3000==105c

= 1629:

Ahora se retornará al algoritmo de la división y se discutirá sobre algunas propiedades de la divisibilidad que envuelve enteros pares e impares.

Enteros Pares e Impares Suponga que en el algoritmo de la división se hace b = 2: Entonces se tiene a = 2q + q + r; donde 0  r < 2: Así, r = 0 o r = 1: Cuando r = 0; a = 2q ; tales

enteros son enteros pares. Cuando r = 1; a = 2q + q + 1; tales enteros son enteros impares. Se sigue de esta de…nición que todo entero es uno de dos, par o impar, pero no ambos. Los Pitagóricos consideraron los números impares como masculinos y buenos, y los números pares como femeninos y malos. El número 1 no fue considerado ni masculino ni femenino. El número 5; es la suma del primer número masculino y el primer femenino, por tanto fue considerado como el símbolo del matrimonio. Algunos …lósofos, soportados por la temprana teología cristiana, identi…caron los números con Dios. Las siguientes propiedades también fueron conocidas por los Pitagóricos. Su demostración se propone como ejercicio. La suma de dos enteros pares es par. El producto de dos enteros pares es par. La suma de dos enteros impares es par. El producto de dos enteros impares es impar. La suma de un entero par y uno impar es impar. El producto de un entero par y uno impar es par. Si el cuadrado de un entero es par, entonces el entero es par. Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar.

66


Ejercicios 2.1

Encuentre el cociente y el residuo cuando el primer entero se divide por el segundo. 1. 78 78;; 11 2. 57 57;; 75 3.

325 325;; 13 4. 23 23;; 25

Denote con f (n) el número de factores positivos del entero n: De esta forma evalue. evalue.

5. f (16) f (16) 6. f (12) f (12) 7. f (15) f (15) 8. f (17) f (17) Encuentre el número de enteros positivos  3076 y 9. Divisibles por 19 10. Divisibles por 23 11. No divisibles por 17 12. No divisibles por 24 Encuentre el número de enteros positivos en el rango de 1976 hasta 3776 que son 13. Divisibles por 13 14. Divisibles por 15 15. No divisibles por 17 16. No divisibles por 19 Marque como verdadero o falso, suponiendo que a; b y c son enteros arbitrarios. 17. 1ja 18. Si ajb; entonces aj  b 19. aj0 20. Si ajb y bja; entonces a = b: 21. Si ajb; entonces a < b:


67

22. Si ajb; entonces ajb: 23. Si ajb y bjc entonces ajc: - b; entonces b - a: - a: 24. Si a - b;

25. Cero no divide ni a pares ni a impares. 26. No hay ningún residuo residuo cuando un entero entero par se divide por 2: Probar o refutar cada proposición, asumiendo a; b y c son enteros arbitrarios. 27. Si a2 = b2 entoces a = b. 28. Si ajb y bja; entonces a = b: 29. Si aj(b + c); entonces ajb y ajc: 30. Si ajbc entonces ajb y ajc: Evalue Evalue asumiendo d entero positivo. 31. 32. 33. 34.

P P P  P  dj12

d

dj12

1

dj18

1 d

dj18

18 d

35. Un número número desnudo es un número número natural n tal que cada uno de sus dígitos es un factor de n: Encuentre los números desnudos impares de tres dígitos que no contienen dígitos repetidos. Sea f una función de…nida recursivamente por f ( f (n) =



si 3 n 1 f ( f (n + 1) en otro caso

j

36. Encuentre f (16) f (16) 37. Encuentre una formula explícita para f (n): Probar cada proposición, asumiendo a y b son enteros positivos. 38. Si ajb y bja; entonces a = b. 39. Si ajb y cjd; entonces acjbd. 40. La suma y el producto de cualquier cualquier dos enteros enteros pares son pares.

68



En el presente taller se explorará la función base en esta la función DIV(m,n)

MOD(m,n)

y se construirá con

Algunas funciones requeridas La función MOD(m,n) se simpli…ca al residuo no negativo de dividir m entre n. Así cuando se divide 23 entre 5, como se vió en el Ejemplo 37, el residuo es 2, de esta forma al simpli…car

MOD(-23,5)

se obtiene 2.

Actividades

Para de…nir el operador DIV se procede de la siguiente forma, ya que DIV es una función reservada para Derive se utilizará como nombre de la función Q(m,n) , Q(m,n):=FLOOR(m/n)

así Q(-23,5)

se simpli…ca al cociente de dividir 23 entre 5, es decir a 5. Con este par de funciones así de…nidas se construira una función que dados dos números el divisor y el dividendo arroje como resultado un vector de dos componenetes que cuyas componentes sean la cociente y el residuo, soportado por el algoritmo de la división. Llamando la función AD(a,b) en donde a es el divisor y b el dividendo se tiene que, AD(a,b):=[Q(a,b),MOD(a,b)]

Por tanto si se le pide a Derive que simpli…que [-5, [-5, 2].

AD(-23,5)

el programa arrojará

2.2. CONFIGURACION CONFIGURACIONES ES NUMÉRICAS NUMÉRICAS

69

2.2.. Con… 2.2 Con…gur guraci acione oness Numér Numérica icass Las con…guraciones de números son una diversión tanto para a…cionados como para profesionales. A menudo el interés recae en añadir una o dos …las al modelo construido, entonces se debe tener capacidad para reconocer el modelo para tener éxito en el arte de razonamiento inductivo. Esto requiere tanto habilidad como ingenio. En dos de los siguientes ejemplos, pruebas matemáticas establecen la validez del modelo. La siguiente fascinante con…guración numérica fue publicada en 1882 por el matemático francés François-Edouard-Anatole Lucas. Ejemplo 47 Estudie la siguiente con…guración numérica y adicione dos o más líneas. 1 12 123 1234 12345 123456

9+2 9+3 9+4 9+5 9+6 9+7

= = = = = =

11 1 11 1111 11111 111111 1111111

.. .

Solución. Aunque el modelo aquí sea muy obvio, se hacen unas observa-

ciones, se estudia, se buscar un comportamiento similar, y se aplica el modelo para añadir dos líneas más: El LMI de cada ecuación es la suma de dos números. El primer número es el producto del número 123 123:::n :::n y 9. El valor de n en la primera ecuación es 1, en la segunda segunda es 2, en la tercera es 3, etc. Observando los segundos sumandos en el LMI: 2; 3; 4; 5;:::: Esta es una secuenci secuenciaa crec creciente iente que comienz comienzaa en 2, así el segundo sumando en la nésima ecuación es n + 1. El LMD de cada ecuación es un número cada vez mayor de 1s, la nésima ecuación ecuación contiene n + 1 unos. Así, el modelo que es: El primer número en la línea nésima es 123 123:::n :::n; el segundo número es siempre 9; el segundo sumando es n + 1; y el LMD está compuesto de n + 1 unos. Así las dos siguientes líneas son

 

1234567 9 + 8 = 111 111111 11111 12345678 9 + 9 = 111 111111 111111 111

70


Ejemplo 48 Estudie la con…guración numérica y adicione dos o más …las: 1 12 123 1234 12345 123456

8+1 8+2 8+3 8+4 8+5 8+6

= = = = = =

9 98 987 9876 98765 987654

.. .

Solución. Un mirada a varias …las revela el modelo siguiente: El primer factor del producto en el LMI de la ecuación n ésima tiene la forma 123 123:::n :::n; el segundo factor es siempre 8. El segundo sumando en la ecuación es n. El número en el LMD de la ecuación n ésima contiene n dígitos, cada uno comienza con el dígito 9, y de izquierda a derecha cada dígito disminuye en 1.





Así las dos siguientes líneas de la con…guración son

 

1234567 8 + 7 = 9876543 12345678 8 + 8 = 9876 987654 5432 32

¿Qué garantiza que estos dos modelo se sostendrán? En general, las conclusiones alcanzadas después de la observación del modelo no tienen que ser verdaderas. En otras palabras, el razonamiento inductivo no necesariamente nos conduce a conclusiones verdaderas. Por ejemplo, considere la secuencia 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6:::: Claramente, hay un modelo. ¿Cuál es el siguiente número en la secuencia? ¿Es el 7? Éste es seguramente una posibilidad, pero el siguiente número también podría ser 0 para obtener el modelo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 0; 1; 2:::: Por suerte, es posible establecer la validez de cada modelo usando pruebas matemáticas, como lo muestran los dos ejemplos siguientes.

Ejemplo 49 Establezca la validez del Ejemplo 47. Demostración. Se quiere probar que 123:::n 123 :::n

 9 + (n ( n + 1) = 11 : : : 11

| {z } n+1 unos

2.2. CONFIGURACION CONFIGURACIONES ES NUMÉRICAS NUMÉRICAS LMI = 123:::n  9 + (n ( n + 1)

   

71

= 9 1 10n1 + 2 10n2 + 3 10n3 +



n



n1



  

n1

   + n  10 10 n n1 n2 10 + 10 + 10 +    + 10 + 1 10 + 2 10

= = 11 : : : 11

+

  

 + n

1) 1 10n1 + 2 10n2 + 3 10n3 +

= (10 =



+ (n (n + 1) + n + (n (n + 1)

+ 2 10n2 +



 + n



+ (n (n + 1)

| {z } n+1 unos

= LMD

(Sería interesante ver si este resultado se mantiene para cualquier entero positivo n; inténtelo.)

Se estudiará un ejemplo adicional.

Ejemplo 50 Adicione dos o más …las en el siguiente modelo, conjeture una formula para la nésima …la, y pruebela: 9 98 987 9876 98765

9+7 9+6 9+5 9+4 9+3

= = = = =

88 8 88 8888 88888 888888

.. .

Solución.

Las siguientes dos …las de con…guraciones son

 

987654 9 + 2 = 8888888 9876543 9 + 1 = 8888 888888 8888 88

La con…guración general esta dada por 987::: 987 :::(10 (10

 n)  9 + (8  n) = 888 : : : 888; 1  n  8

| {z } n+1 ochos

Para probar la conjetura:

72

CAPÍTULO 2. DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD Demostración. :::(10  n)  9 + (8  n) LMI = 987:::(10

= (10 1)[9 10n1 + 8 10n2 + 7 10n3 + + (11 n)10 +(10 n)] + (8 n) = [9 10n + 8 10n1 + + (11 n)102 + (10 n)10] [9 10n1 + 8 10n2 + + (11 n)10 + (10 n)] + (8 n) n n1 n2 = 9 10 (10 + 10 + + 10) (10 n) + (8 n) n n1 n2 = 9 10 (10 + 10 + + 10 + 1) 1 = 10 10n (10n + 10n1 + + 10 + 1) 1



 

= =

 











 











 







            k 10n+1  1 rk+1  1 n+1 i   6 1) ya que 10 1; r = (r = 9 r  1 i=0 n+1  8(10 1)

X

9

Pero

10n+1

así

1=

10n+1 9

Por tanto, LMI =

8(10n+1 9

99 : : : 99

| {z } | {z } | {z }

n+1 nueves

 1 = 11 : : : 11: n+1 unos

 1) = 88 : : : 88 = LMD n+1 ochos

Ejercicios 2.2

Encuentre los siguientes dos elementos de cada secuencia. 1. 1; 3; 6; 10 10;; 15 15;::: ;::: 2. 1; 4; 7; 10 10;; 13 13;::: ;::: 12;; 22 22;; 35 35;::: ;::: 3. 1; 5; 12

4. 1; 6; 15 15;; 28 28;; 45 45;::: ;::: 5. 1; 4; 10 10;; 20 20;; 35 35;::: ;::: 6. 1; 5; 14 14;; 30 30;; 55 55;::: ;::: 7. 1; 1; 2; 3; 5; 8;::: Adicione dos o más …las a cada con…guración numérica.

2.2. CONFIGURACION CONFIGURACIONES ES NUMÉRICAS NUMÉRICAS

73

8. 0+1 1+3 4+5 9+7

= = = =

1 4 9 16

1 1+2 1+2+3 1+2+3+4

= = = =

9. 1 3 6 10

10. 1+0 1+1 1+2 1+3

1 3 4 5

= = = =

1 4 9 16

1 2 3 4

23 34 45 56

11. 23 33 43 53

2 3 4 5

= = = =

12.



= = = = =

1 121 12321 123 123432 4321 1234 123454 5432 3211



= = = = =

49 4489 444889 44448 444888 8899 4444 444448 4888 8889 89

1 1 11 11 111 111 1111 111 1111 11111 1111 111111









13. 7 7 67 67 667 667 6667 6667 6667 66667 6666 666677









74


14.



123456789 9 123456789 18 123456789 27 123456789 36 123456789 45

   

= = = = =

111111111 2222 2222222222 2222 3333 3333333333 3333 4444 4444444444 4444 5555 5555555555 5555

15.



4 4 34 34 334 334 3334 3334 3334 33334 3333 333344









= = = = =

16 1156 111556 111 111155 15556 11 1111 1115 1555 5556 56

16. 102 104 106 108 1010

 10 + 1 = 91  102 + 1 = 9901  103 + 1 = 999001  104 + 1 = 99990001  105 + 1 = 999 999990 9900001 0001 17-24. Conjeture una formula para la nésima …la en cada una de las con…guraciones en los ejercicios del 9 al 16.

25-29. Establezca la validez de su formula en los ejercios 17-20 y 24.

2.3.. Númer 2.3 Números os Primo Primoss y Compu Compuest estos os Los números primos están contenidos en la familia de los números enteros positivos. Por medio de dos algoritmos que son usados a menudo, podemos determinar si un número entero positivo es primo. Algunos enteros positivos tienen exactamente dos factores positivos, otros tienen más de dos. Por ejemplo, 3 tiene exactamente 2 factores positivos, 1 y 3; otros como el 6 tienen por ejemplo 4, estos son: 1, 2, 3 y 6. Ahora de acuerdo con lo que se ha analizado, se dará la siguiente de…nición:

2.3. NÚMEROS NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS COMPUESTOS

75

Números Primos y Compuestos

Un entero positivo > 1 es un número primo (o simplemente un primo) si solo tiene dos factores primos, uno y él mismo. Un entero positivo mayor que uno que no sea un primo, es un número compuesto (o simplemente un compuesto). Se notará por de…nición que 1 no es ni número primo, ni tampoco número compuesto, este es justamente la unidad multiplicativa o la unidad. Los diez primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos son 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Siguiendo la de…nición, el conjunto de números positivos p ositivos pueden ser divididos en tres clases: El conjunto de los primos, el conjunto de los compuestos, y el conjunto f1g. ¿Cuántos primos hay? ¿Hay alguna forma sistemática para determinar si un números positivo es primo? Para responder a la primera pregunta, es necesario el siguiente Lema 3 , el cual se prueba por inducción. Puede también probarse por contradicción. Lema 51 Todos entero n

 2 tienen un factor primo.

Demostración. (induccion fuerte) fuerte) La proposición dada es claramente cierta cuando n = 2: 2 : Ahora se asumirá que también es verdadera para todos los enteros positivos n  k, donde k  2. Ahora se considerará el entero k + 1. Caso 1. Si k +1 es un primo, entonces k +1 tiene un factor primo (él mismo). Caso 2 Si k + 1 no es un primo, k + 1 es un número compuesto, entonces éste debe tener un factor d  k. Ahora, por hipótesis de inducción, d tiene un factor primo p. Luego, Luego, p es un factor primo de k + 1, por el Teorema 42. Así, por la versión fuerte de inducción, la proposición es verdadera para todo entero  2; Luego hemos demostrado que todo número entero  2 tiene un factor primo. Puede probarse que hay un número in…nito de primos. Este resultado elegante presentado por Euclides, es muy usado en teoría de números. Se usará esencialmente su técnica proveniente del libro IX de los Elementos, para su prueba. Pueden observarse pruebas alternativas de este resultado. Teorema 52 Hay in…nitos números primos. Demostración. (por contradicción) contradicción) Asuma que hay un número …nito de primos, p1 ; p2 ;:::;p n. Considere el entero N = p1 ; p2 :::pn + 1: Ya que N  2, por Lema 51 N es divisible por algún primo pi , donde 1  i  n. Ya que pi jN y pi jp1 p2    pn ; entonces pi j(N  p1 p    pn ), por Teorema 42; es decir, ij1 lo cual es imposible. Así, la suposición hecha es falsa, por p or tanto tienen que haber in…nitos números primos. 3 Un

lema es un menor resultado usado para probar un teorema.

76


La prueba de este teorema gira en la escogencia del número E n = p1 p2:::pn + 1, donde pi denota el iésimo primo e i  1. Los primeros 5 valores de E n son E 1 = 3; 3 ; E 2 = 7; 7 ; E 3 = 31; 31 ; E 4 = 211 y E 5 = 2311, todos primos. Desafortunadamente, no todos los valores de E n son primos. En 1996 A. A. K. Majumdar de la universidad Jahangirnagar , Bangladesh estableció un cota superior para E n , cuando n  6: E n < (pn+1 )n2 : Esto se puede establecer usando inducción.

Primos y Pi

Ahora se hace una interesante disgresión. En 1734 el gran matemático suizo Leonard Euler mostró que la suma de primos recíprocos p p1 diverge. Sin em1  p1 converge a un límite . De hecho, puede bargo, el producto in…nito

Q  X P Q  

P

2

p

mostrarse que

1

1 1 1 1 1 = = + + +  n=1 n2 12 22 32

 :

1  En 1734 Euler también mostró que 1 n=1 n = 6 entonces  = Así pues, p 1 p1 = 6 0;6079271018 6079271018:: 2

2

2

6 4 2 :

2

Ahora que ya se sabe que hay un número in…nito de primos, ¿puede encontrarse algoritmos para determinar la primalidad de enteros  2?. El gran Arithmeticae :“ El matemático alemán Gauss escribió en 1801 en Disquisitiones Arithmeticae problema de distinguir número primos de números compuestos... se conoce por ser uno de los más importantes y útiles en la aritmética... Mas allá, la dignidad de la ciencia en si requiere que todo posible signi…cado sea explorado para la solución de un problema muy elegante y muy celebrado”. Afortunadamente, Afortunadamente, hay un algoritmo que está basado en siguiente resultado. Teorema 53 Todo Todo numero compuesto n tiene un factor primo

 bp nc :

Demostración. (por contradic contradicción ción)) Ya que n es compuesto, hay enteros 1 < a < n y 1 < b < n Suponga positivos que n = ab, donde p a y> bp tales p np a > n y bp n. Entonces n = ab > n = n, lo cual es imposible. Por lo p  n. Ya que ambos, a y b son enteros. de esto se sigue que tanto,p a  n o bp a  b nc o b  b nc. Por Lema 51 todo entero positivo  2 tiene un factor primo. Tal factor de a o b p también es un factor de a  b = n, por lo tanto n debe tener un factor primo

 b nc :

Observación Se sigue del Teorema anterior que si n no tiene factores p primos  b nc ; entonces n es un número primo; en otro caso, n es un número compuesto. 4

es la letra griega nu.


77

Este hecho puede usarse para determinar cuando un entero n  2 es primo, como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 54 Determinar si 1601 es un número primo. Solución. Primero se lista todos los números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 y 37.

 p 1601 . Estos son

 

Dado que ninguno es factor de 1601, es un número primo.

La Criba de Eratóstenes

El Teorema 53 también es la base de un antiguo algoritmo, la “Criba” de Eratóstenes, usado para encontrar todos los primos  a un entero positivo n. Es un e…ciente algoritmo para n < 106 . Se Ilustra el mecanismo de la “Criba” para n = 100 en la Figura 2.2. Para encontrar todos los primos  100, primero se enlistan todos los enteros positivos del 1 al 100. Entonces eliminamos al 1 y a todos los números compuestos  100 como sigue. Por el Teorema 53, cualquier número compuesto p  100 debe tener un factor primo  100 , que es,  10. Pero los primos  10 son 2; 3; 5; 7, entonces los números compuestos  100 son aquellos números positivos divisibles por alguno de ellos. Para eliminar los no primos de la lista primero se comienza con el 1 ya que no es primo (coloreamos con gris su recuadro), ahora a todos los múltiplos de 2; 3; 5; 7 pero no a ellos ya que son primos. Los números ya eliminados no necesitan ser sombreados nuevamente. Los que quedan son los primos  100. Hay 25 números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. Aunque la “criba” parezca un buen proceso, a medida que n crezca el método se hace ine…ciente. De hecho, no existe un método práctico para probar la primalidad de números grandes.

 

Figura 2.2: Criba de Eratóstenes

78


Teóricos de los números a menudo sueñan con encontrar formulas que generen números primos para valores consecutivos de un variable entera n. Euler encontró una formula en 1772: E (n) = n2  n + 41 la cual sirve para enteros positivos n  40. Pero cuando n = 41; 41 ; E (41) (41) = 412  41+ 41 = 412 que no es un número primo. En 1798 Adrien-Marie Legendre (1752–1833) encontró la formula L(n) = n2 + n + 41 que puede generar primos cuando 1  n  40. Note que L(n) = E (n). Sin embargo, nadie nunca ha construido con éxito un polinomio f ( f (n) que genere números primos para todos los enteros n. La raazón se aclara en el siguiente ejemplo: Ejemplo 55 Probar que no existe un polinomio con coe…cientes enteros que genere primos para todo entero n: Demostración. ( por por contradicción ) Suponga que existe tal polinomio, f ( f (n) = k k1 6 0 . Sea b un entero. Ya que f ( ak n + ak1 n + ::: + a1 n + a0 , donde ak = f (n) es siempre un primo, f ( f (b) debe ser un primo p; esto es, f ( f (b) = ak bk + ak1 bk1 + ::: + a1 b + a0 = p

(2.1)

Sea t un entero arbitrario. Entonces f ( f (b + tp) tp) = ak (b + tp) tp)k + ak1 (b + tp) tp)k1 + + a1 (b + tp) tp) + a0 = (ak bk + ak1 bk1 + + a1 b + a0 ) + p g(t)







donde g (t) es un polinomio en t: Así, f ( f (b + tp) tp) = p + pg( pg (t), por la ecuación (2.1) = p[1 + g (t)]

Entonces pjf ( f (b + tp) tp). Pero todo valor de f es primo, luego f ( f (b + tp) tp) debe ser primo y de ahí f ( f (b + tp) tp) = p. Así, f ( f (b) = p = f (b + tp) tp). Esto implica que f toma en el mismo valor in…nitamente veces, ya que t es un entero arbitrario. f (n) es un polinomio de grado k; entonces no puede asumir el mismo Pero f ( valor más de k veces, siendo esto una contradicción. Así pues, no existe ningún polinomio con coe…cientes enteros que genere solo números primos.

Una Función Teórico-Numérica

Sea x un número real positivo. Entonces  (x) denota el numero de primos  x. Por ejemplo,  (10) = 4; 4 ;  (28; (28;75) = 9 y (100) = 25. Usando la notación de sumatoria  (x) se puede de…nir como: (x) =

X

px

1; donde p denota un primo.


79

La siguiente fórmula para (n) donde n es un entero positivo, puede ser establecida usando el principio de inclusión-exclusión. Su prueba es complicada y aquí se omite.

p

Teorema 56 Sea p1 ; p2 ;:::;p t ser primos  n. Entonces (n) =

X  X      X  

p n  1 +  ( n)  i
i

n + pi

i
n p pj i

n n + ::: + ( 1)t p pj pk p1 p2 :::p t i

El siguiente ejemplo ilustra el resultado. Ejemplo 57 Usando el teorema 2.10 encontrar el número de primos  100.

Solución. Aquí n = 100 100:: Entonces ( n) =  ( 100) = (10) = 4; 4; Hay 4 primos 10, son 2; 3; 5; 7 llamémoslos p1 ; p2 ; p3 ; and p4 , respectivamente. Entonces por

p



p

el teorema 2.10

                                             

100 100 100 100 + + + 2 3 5 7 100 100 100 100 100 100 + + + + + + 2 3 2 5 2 7 3 5 3 7 5 7 100 100 100 100 + + + 2 3 5 2 3 7 2 5 7 3 5 7 100 + 2 3 5 7 = 103 (50 + 33 + 20 + 14) + (16 + 10 + 7 + 6 + 4 + 2) (3 + 2 + 1 + 0) + 0 = 25

 (100) = 100

1+4



  



Lo cual es consistente con la deducción hecha a partir de la criba de Erastótenes.

Aunque la fórmula para (n) en el Teorema 56 es elegante en el sentido que da el número exacto de cantidad de primos, no es muy práctica cuando n es muy grande. Es aquí donde el teorema del número primo, uno de los más celebrados resultados en teoría de números, llega a ser extremadamente útil. Este da un valor aproximado de  (n ), cuando cuando n es muy grande.

80


Teorema 58 ( El El Teorema del Número Primo )  (x) =1 x!1 x= ln x lm

Esto es, mientras x se haga mas grande (x) se aproxima a x= ln x:4

Gauss notó la similitud entre los valores de (x) y x= ln x, mientras x se haga más grande y conjeturó el teorema en 1793, pero no dió una prueba. En 1850 el matematico ruso Pafnuty Lvovich Lvovich Chebychev hizo signi…cativos signi…cativos progresos hacia la prueba, el probó que existen constantes positivas tales que

a

x x <  (x) < b ln x ln x

donde x  2: En 1870, el matemático alemán Ernest Meissel (1826-1895) mostró que hay 5;761 761;;455 números primos menores que 108 . En 1893, cien años después de la conjetura de Gauss, el matemático danés N. P. Bertelsen a…rmó que hay 50 50;;847 847;;478 números primos menores que 109 . En 1959, sin embargo, Derrick H.Lehmer (1905-1991) mostró que la respuesta de Bertelsen era incorrecta y que el número correcto era 50 50;;847 847;;534. También mostro que existen 455 455;;052 052;;512 menores que 1010 En 1896, sin embargo, el matemático Frances Frances Jacques Hadamard (1865-1963) y el matemático Belga Charles-Jean-Gustave-Nicholas de la Valleé-Poussin (18661962), trabajando independientemente, probó el teorema usado matemáticas avanzadas. Esta prueba era un jalón en el desarrollo de teoría de los números. Pero en 1950, el matemático húngaro Paul Erdös (1913-1996) y el matemático noruego Alte Selberg (1917-) demostró el teorema usando cálculo elemental. Según el teorema de número primo, cuando x es su…cientemente grande, (x) puede ser aproximado por x= ln x (mirar columnas 2 y 3 en la Tabla 2.4). Pero una mejor aproximación es la función li (x), de…nida por Gauss en 1792 a la edad de 15 años,

Z

x

li (x) =

2

dt ln t

Se pude notar en la tabla que li ((xx)) se aproxima a 1 más rápidamente que x=(lnx)x : En efecto, li (x) es una aproximación superior para valores pequeños de x: 4 ln x

denota el logaritmo natural de

x:


81

x

(x)

(x) x= ln x

li (x)

(x)

103 104 105 106 107 108 109 1010

168 1229 9592 78498 664579 5761455 5084 508475 7534 34 455 4550525 052512 12

1;160 1;132 1;104 1;085 1;071 1;061 1;054 1;048

0;9438202 0;9863563 0;9960540 0;9983466 0;9998944 0;9998691 0;9999665 0;9999932

En 1985, sin embargo, R. H. Hudson de la Universidad de Carolina del sur mostró que no es verdad para valores arbitrarios de x. Cuatro años después, C. Bays de la Universidad de Carolina del Sur y Hudson mostraron que (x) > li l i(x) 316 en la vecindad de 1;39822  10 : Aunque se haya establecido la in…nitud de los números primos, ¿Qué se puede decir acerca de la distribución de los primos? ¿Cómo se distribuyen entre los enteros positivos? ¿Hay enteros consecutivos que son primos? ¿Hay enteros impares consecutivos que son primos?. Primero, no hay pauta para distribuir los primos. Por ejemplo, 2 y 3 son los únicos dos enteros consecutivos que son primos. También se sabe que 3, 5, y 7 son los único tres enteros impares consecutivos que son primos. Aunque hay sólo dos enteros consecutivos que son primos, nosotros podemos encontrar cualquier número de enteros consecutivos que son números compuestos, como nos muestra el siguiente teorema. Este teorema muestra que los primos se encuentran en intervalos imprevisibles. Su prueba es una prueba de existencia, así que se necesita porporcionar n de tales números compuestos. Teorema 59 Para todo entero positivo n, hay n enteros consecutivos que son números compuestos. Demostración. Considere n enteros consecutivos (n+1)!+2; +1)!+2 ; (n+1)!+3; +1)!+3; :::; :::; (n+ 1)! + (n (n + 1) , con n  1. Suponga que 2  k  n + 1 , entonces kj(n + 1)!, así jk [(n [(n + 1)! + k ], por Teorema 42, para cada k. Por lo tanto, cada uno de ellos son un número compuesto. +1)!+2 ; (n +1)!+3;:::; +1)!+3 ;:::; (n +1)!+(n +1)!+( n + 1) Así, los n enteros consecutivos consecutivos (n +1)!+2; son compuestos. El ejemplo siguiente ilustra el teorema.

Ejemplo 60 Encuentre seis enteros cosecutivos que sean compuestos. Solución. Por el Teorema 59, hay seis enteros consecutivos que empiezan con (n + 1)! + 2 = (6 + 1)! + 2 = 5042 , a saber, 5042, 5043, 5044, 5045, 5046 y 5047:: Aunque la cadena consecutiva más pequeña y que puede verse en la Figura 5047 2.2 es 90, 91, 92, 93, 94, y 95.

82


Ejercicios 2.3

Marque verdadero o falso, asumiendo a, b, d y n son enteros positivos arbitrarios. 1. Un entero entero positivo positivo no primo primo es compuesto compuesto.. 2. Un entero entero positivo positivo no compuesto compuesto es un primo. primo. 3. Todo primo es impar. 4. No hay primos mayores que googolplex. 5 5. Si p es primo entonces p + 2 es un primo. 6. Si p es primo entonces p2 + 1 es un primo. 7. Hay in…nitos números primos. 8. Hay un in…nito número de números compuestos. 9. Si p es primo tal que pjab; entonces pja o pjb: 10. Hay primos de la forma n! + 1 Determine si cada número es primo o compuesto. 11. 129 12. 217 13. 1001 14. 1729 Usando el Teorema 56, calcule el número de primos de n:

 n para cada valor

15. 47 16. 61 17. 96 18. 131 19. Encuentre cinco cinco enteros consecutivos consecutivos < 100 que sean números compuestos. Encuentre n enteros consecutivos que sean compuestos para cada valor de n:

20. siete 21. ocho 5 Un

elevado que corresponde a 10 elevado a googolplex es un número desmesuradamente elevado 100 un googol, es decir, 10googol ó 1010 (un 1 seguido de googol ceros).


83

22. nueve 23. diez 100:: 24. Liste los primos de la foma n2 + 1 y < 100 Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo p y q primos distintos.

25. pq 26. p2q 27. pq 2 28. p2q 2 Sea q 1 = 2 y q n = q 1q 2    q n1 + 1; 1; donde n  2: 29. Encuentre los cuatro primeros primos de la forma q n 30. Encuentre los números compuestos más pequeños de la forma q n : 31. De…na q n recursivamente. Probar. 32. 2 y 3 so los dos únicos enteros enteros consecutiv consecutivos os que son primos. primos. 33. 3, 5 y 7 son los tres únicos enteros enteros impares impares consecutiv consecutivos os que son primos. primos. 34. Si p y p2 + 8 son primos, entonces p3 + 4 es también un primo. (D. L. Silverman, Silverman, 1968)



35. Si p es primo y 1  k  p; entonces pj

p k

36. Sean p y q primos impares sucesivos y p + q = 2r: 2 r: Entonces r es compuesto. (J. D. Baum, 1966)

84



En el presente taller se explorará diversas funciones que tienen que ver con números primos, la funciones PRIME?(m), NEXT_PRIME(m) y PREVIOUS_PRIME(m).


Algunas funciones que involucran primos en Derive se relacionan a continuación: NTH_PRIME(n) : se simpli…ca al nésimo número primo. PRIME?(m): se simpli…ca " true"(verdadero) si m es primo; a " false"(falso) si m no es primo. NEXT_PRIME(m): se simpli…ca al siguiente número primo mayor que m. PREVIOUS_PRIME(m): se simpli…ca al primer número primo menor que m si existe; en caso contrario se simpli…ca a ?.

Actividades

Anidando dos funciones VECTOR es posible construir una matriz, por ejemplo la orden VECTOR(VECTOR(i+j,i,0,20,5),j,1,5)

se simpli…ca simpli…ca a una matriz de 5  5 con los números del 1 al 25. Anidando en la orden anterior la función NTH_PRIME(n) en el argumento de la misma es posible generar una matriz con los primeros 25 números primos, esto es, simpli…cando la orden VECTOR(VECTOR(NTH_PRIME(i VECTOR(VECTOR(NTH_PRIME(i+j),i,0,20,5) +j),i,0,20,5),j,1,5) ,j,1,5)

cuyo resultado es

0 BB @

2 3 5 7 11

13 17 19 23 29

31 37 41 43 47

53 59 61 67 71

73 79 83 89 97

1 CC A

A continuación se creará una función denominada test(n) que se simpli…ca a primo” o “es compuest compuesto o ” dependiendo del valor de n, la frase “es primo test(n): test(n):=IF(P =IF(PRIME RIME?(n) ?(n) = true, true,

“es

primo primo” ,

así, por ejemplo al simpli…car test(5) devuelve es compuesto o . La orden devuelve es compuest

“es

compuest compuesto o ”)

primo primo mientras que test(5)

VECT VECTOR OR([ ([i i + 1, test( test(i i + 1), 1), i + 11, 11, test test(i (i + 11), 11), i + 21, 21, test test(i (i + 21), 21), i + 31, 31, test test(i (i + 31), 31), i + 41, 41, test test(i (i + 41)] 41)], , i, 1, 10) 10)

devuelve una matriz de 10  10 con los números del 2 al 51 frente a los cuales se dice si cada uno es primo o compuesto.

2.4. NÚMEROS NÚMEROS DE FERMA FERMAT T

85

2.4.. Núme 2.4 Números ros de Fer ermat mat n

Los números de la forma f n = 22 + 1 fueron estudiados por el excepcional Fermat". matemático frances Pierre de Fermat y son llamados "números de Fermat". Los cinco primeros números de Fermat son f 0 = 3 , f 1 = 5 , f 2 = 17 , f 3 = 257, y f 4 = 65537. El siguiente teorema, presenta una interesante relación de recurrencia que se satisface para f n . Teorema 61 Denote por f n el nésimo número de Fermat, entonces f n = f n21  2f n1 + 2, donde n  1. n1

Demostración. Para ésta demostración, se substituirá f n1 = 2 2 + 1 en la expresión f n21  2f n1 + 2, y simpli…candola se demostrará que es igual a f n : f n21

 2f n1 + 2

n1

= (22

h

=

(22

+ 1)2

n1

n1

 2(22

)2 + 2(22

n

= 22 + 1 = f n .

n1

+ 1) + 2

)+1

i

2(22

n1

)

2+2

Esto completa la demostración. Este Teorema conduce a una de…nición recursiva de f n :

Una de…nición recursiva de f n f 0 f n

Por ejemplo, y

= 3 = f n21

f 1 = f 02 f 2 = f 12

 2f n1 + 2, n  1

 2f 0 + 2 = 9  2(3) + 2 = 5

 2f 1 + 2 = 25  2(5) + 2 = 17

Podemos hacer una observación interesante sobre los números de Fermat. Note que los números f 2 = 17, f 3 = 257, f 4 = 65537, f 5 = 4294967297, y f 6 = 18446644033331951617 todos acaban en el mismo dígito decimal, 7. ¡Asombroso! ¿Qué podría usted conjeturar acerca de los números de Fermat? Aquí está otra observación interesante: Los primeros cinco números de Fermat 3, 5, 17, 257, y 65537 son primos. Fermat conjeturó que cada número de la forma 22 + 1 era un número primo. Sin embargo, en 1732 Euler estableció la falsedad de su conjetura produciendo un contraejemplo. Él mostró que f 5 es divisible por 641: f 5 = 4294967297 = n

86


641 6700417. Una demostración alternativa fue propuesta en 1926 por el matemáti-



co belga M. Kraitchik (1882-1957) en su Théorie des nombres . El siguiente ejemplo proporciona una demostración elemental e inteligente, por G. T. Bennett. La belleza de su demostración desmiente el hecho de que f 5 sea primo, ya que tiene un factor diferente a él mismo y la unidad. Ejemplo 62 Demuestre que 641jf 5 Solution 63 Primero note que 641 = 5 27 + 1

(2.2)



Ahora 5

22 + 1 = = = = = = 4294 429496 9672 7297 97 =

232 + 1 = 2 4 228 + 1 16 228 + 1 = (641 625) 228 + 1 (641 54 );228 + 1 = 641(2) 28 (5 27 )4 + 1 641( 41(2)28 (641 1)4 + 1, por ecuación (2.2) 641( 41(2)28 (6414 4(641)3 + 6(641)2 4(641) + 1) + 1 641( 41(228 6413 + 4(6412 ) 6(641) + 4) 641( 641(67 6700417) 00417)







  



 



 





Una demostracion alternativa

En 1995, Stanley Peterburgsky, estudiando en la New England Academy f 5 of Torah , Rhode Island, demostró que f 5 es compuesto ya que 641 puede ser expresado como la suma de dos cuadrados. Para ver esto, recuerde que (a2 + b2 )(c )(c2 + d2 ) = (ac + bd) bd)2 + (ad (ad  bc) bc)2 para cualesquier números enteros a, b, c, y d. Entonces (a2 + b2 ) (ac + bd) bd)2 + (ad (ad = (c2 + d2 ) (c2 + d2 )2

 bc) bc)2

Ahora, sea a = 2 16 , b = 1 , c = 4 , y d = 25 . Entonces f 5 641

(216 )2 + 12 (4)2 + (25)2 (216 4 + 25)2 + (25 216 = 6412 = 4092 + 25562 =





 4)2

Lamentablemente, no se conoce nada sobre la in…nitud de los primos de Fermat. Esto todavía deja un problema no resuelto. De hecho, ningún primo de Fermat más allá de f 4 ha sido encontrado; El primo de Fermat mas grande conocido sigue siendo f 4 , mientras que el más grande compuesto es f 2478782 2478782 , descubierto en 2003.


87

cuadrado-libre, es decir sin factores cuadra¿Cada número de Fermat es cuadrado-libre, dos? Esto ha sido conjeturado tanto por Lehmer como por A. Schinzel, el hecho de que en los números de Fermat hay in…nitos cuadrados-libres. El siguiente resultado, obtenido por Lucas, es un instrumento sumamente útil en la factorización prima de f n . En 1747, Euler demostró que cada factor primo de f n debe ser de la forma A  2n+1 + 1. En 1879, Lucas rede…nió el trabajo de Euler mostrando que A debe ser un número entero par 2k. Esto conduce al siguiente teorema. Teorema 64 Todo factor primo de f n es de la forma k  2n+2 + 1, donde n  2 De acuerdo con la a…rmación de éste teorema, si f n no tiene tiene ningun ningun factor factor primo de la forma k 2n+2 +1, entonces f n debe ser un número primo. El siguiente ejemplo rati…ca este hecho. Ejemplo 65 Demuestre que f 4 = 65537 es primo. Solution 66 Para ello será su…ciente mostrar que f 4 no tiene ningún factor 26 k + 1 = 64 64k + 1, primo propio. Ya que cada factor primo de f 4 es de la forma p si f 4 es compuesto, este debe tener un factor primo  65537 , esto es  256. 64k k + 1 y  256 es 193, pero 193 - 65537 - 65537; entonces El único primo de la forma 64 f 4 es un primo.





Como dato curioso, en 1963, S. W. Golomb del Instituto de Tecnología de California estableció que la suma de los recíprocos de números de Fermat es un número irracional. Finalmente, hay un eslabón notable entre los primos de Fermat y la construcción de polígonos regulares con regla y compás, donde la regla es empleada solamente para dibujar líneas, y el compás para trazar arcos. En 1796, Gauss demostró el siguiente teorema famoso. Teorema 67 Un polígono regular de n lados es construible con regla y compas si y sólo si n es de la forma f 1 f 2 : : : fk o 2k f 1 f 2 : : : fk , donde k  0 y f 1 , f 2, : : :, f k son primos de Fermat distintos. Los antiguos Griegos conocían la construcción de los polígonos regulares de lados 2k , 3  2k , 5  2k y 15  2k . (Note que 3 y 5 son primos de Fermat.) Ellos también conocían la construcción de los polígonos de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, y 16 lados, pero no la construcción del polígono regular de 17 lados. Cuando Gauss, a la edad de 19 años, demostró que el polígono regular de 17 lados es construible, se puso tan eufórico por su descubrimiento descubrimiento que decidió dedicar el resto de su vida a las matemáticas. Él también solicitó que un polígono regular de 17 lados fuera

88


grabado sobre su lápida. Aunque su deseo nunca fuera cumplido, tal polígono se puede encontrar sobre un monumento a Gauss en el lugar de su nacimiento en Brunswick, Alemania. ( Una discusión cuidadosa de tales construcciones geométricas requiere técnicas avanzadas del álgebra abstracta, a saber, la teoría de Galois.)

Ejercicios 2.4 1. Usando recursión, calcule los números de Fermat f 3 y f 4 : 2. Haga una conjetura acerca de los dígitos de las decenas en el valor decimal de f n : 3. Establezca su conjetura en el Ejercicio 2. (Sugerencia: Use inducción.) Probar las siguientes proposiciones. 4. Si 2m + 1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2. 5. Si 2m  1 es un primo, entonces m debe ser una potencia de 2. 6. Pruebe o refute: Si m es primo, entonces 2m  1 es un primo. 7. Pruebe que 3 es el único número de Fermat que es número triangular también. (S. Asadulla, 1987) (Sugerencia; Use los Ejercicios 2 y 3) 8. Vuelva a hacer el Ejercicio 7 utilizando el hecho que el producto de dos números enteros es una potencia de 2 si y sólo si ambos números enteros son potencias de 2.


89


En el presente taller se presentarán dos formas de de…nir los números de Fermat, una a través de la de…nición y otra mediante la relación de recurrencia establecida en el Teorema 61.

Actividades

Definición ón de una Función.. Función... . ” en Derive es posiA través de la opción “ Definici ble construir una función que permita obtener los números de Fermat, así, se llamará a la función “ F(n) ” de…nida como se hace a continuación, F(n):= F(n):=2^2 2^2^n ^n + 1

simpli…cando la siguiente expresión VECTOR VECTOR(F( (F(n), n), n, 0, 5)

se obtendrá el siguiente vector con los 6 primeros números de Fermat, [3, 5, 17, 257, 257, 65537, 65537, 429496 429496729 7297] 7] :

De manera similar se puede de…nir, a partir de la relación de recurrencia presentada en el Teorema 61, una función que permita obtener los números de Fermat, se llamará a esta función “ Fermat(n)” y se de…ne de la siguiente forma,



Ferm Fermat at(n (n): ):=I =IF( F(n n = 0, 3, Ferm Fermat at(n (n - 1)^2 1)^2 - 2 F(n - 1) + 2)

De…nida la función “ Fermat(n)” al simpli…car VECTOR(F VECTOR(Ferma ermat(n) t(n), , n, 0, 5)

se obtiene de igual manera un vector con los primeros 6 números de Fermat.

90


Capítulo 3

Máximo Común Divisor Este capítulo trata la teoría de la divisibilidad. Se comienza explorando los factores comunes de dos o mas números enteros positivos.Se establece el teorema fundamental de la aritmética, la piedra angular de la teoría de números, y luego se miran los múltiplos comunes de dos o mas números enteros positivos. Finalmente, se trabajan algunas clases importantes de ecuaciones linelaes diofanticas.

3.1.. Máximo 3.1 Máximo Com Común Diviso Divisorr Un entero positivo puede ser un factor de dos enteros positivos, a y b. Tales comunes, o factores comunes, comunes, de a y b. factores son divisores comunes, Por ejemplo, 12 y 18 tiene cuatro divisores comunes, que son , 1, 2, 3, y 6; mientras que 12 y 25 tienen exactamente un factor común, que es, 1. Muchas veces no se está interesado en todos los divisores comunes de a y b, pero si en el divisor común más grande, así se tiene la siguiente de…nición.

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (MCD) de dos enteros a y b, ninguno de los dos cero, es el más grande entero positivo que divide a a y a b y se denota por (a; b). Por ejemplo, (12; (12; 18) = 6 , (12; (12; 25) = 1 , (11; (11; 19) = 1, (15 15;; 25) = 5 y (3; (3; 0) = 3.

Observación Ya que (a; b) = (a; b) = (a; b), la discusión se centra en MCDs de enteros positivos. ¿Cómo se sabe si el MCD de a y b siempre existe? Ya que 1ja y 1jb, 1 es común divisor de a y b, así que ellos tienen un divisor común que es 1. Si d es común divisor, entonces d  a y d  b, así d  mn fa; bg. Luego el conjunto de factores comunes es …nito, así (a; b) existe. 91

92

CAPÍTULO 3. MÁXIMO COMÚN DIVISOR DIVISOR

Una segunda pregunta importante es la unicidad: ¿Es el MCD de a y b único? Para poder hablar de MCD de a y b (Ésto se propone como ejercicio para el lector). La de…nición verbal precedente de MCD, aunque simple y clara, no es tan práctica, por eso se escribirá simbolicamente.

Una De…nición Simbólica de MCD

Un entero positivo d es el MCD de dos enteros positivos a y b si d a y d b; y

j

j

si d0 ja y d0 jb, entonces d0  d, donde d0 es también un entero positivo. Así, d = (a; ( a; b) si se satisfacen las condiciones: d debe ser un factor común de a y b. d debe ser el más grande factor común de a y b; en otros términos, cualquier otro factor común d0 debe ser d.



En la siguiente sección, se desarrollará un método e…caz para encontrar el MCD de dos enteros positivos. Hay enteros positivos cuyo MCD es 1. Por ejemplo, (6; (6; 35) = 1. De acuerdo con lo anterior, se da la siguiente de…nicion.

Enteros Primos Relativos

Dos enteros positivos a y b son primos relativos si su MCD es 1; eso es, si (a; b) = 1. Así, 6 y 35 son primos relativos; como lo son 11 y 24. Esta posible relación entre los enteros será útil en próximas discusiones. Lema 68 Denote por f i el iésimo número de Fermat. Entonces f 0 f 1    f n1 = f n  2, donde n  1: Demostración. (Por Inducción) Inducción) Cuando n = 1 , LMD= f 0 = 3 = 5 2 = LMI. Así, el resultado se mantiene cuando n = 1 . Ahora se asumirá que el resultado es verdadero cuando n = k: f 0 f 1

   f k1 = f k  2

Entonces f 0 f 1

   f k1f k



= (f 0 f 1 f k1 )f k = (f k 2)f 2)f k , por hipótesis de induccion = = =

 (22  1)(22 + 1) 22  1 = (22 + 1)  2 f k+1  2 k

k+1

k

k+1

3.1. MÁXIMO COMÚN DIVISOR

93

Así, si el resultado es verdadero cuando n = k, también es verdadero cuando n = k + 1. De esta forma, por inducción, el resultado se tiene para cada entero n  1. La formula en este lema, conocida como identidad de Duncan, Duncan, se descubrió en 1964 por D.C Duncan. Usando este resultado, se puede mostrar que culquier dos números de Fermat son primos relativos; este resultado fue establecido en 1925 por G. Polya de la universidad de Stanford. Teorema 69 (Polya, 1925) Sean m y n enteros distintos no negativos. Entonces f m y f n son primos relativos. Demostración. Asumiendo, por conveniencia, que m < n. Sea d = (f m; f n ). Entonces djf m y djf n . Pero f n  2 = f 0 f 1    f m    f n1, por el Lema 68. Puesto d=(f n  2), pero d j f n ; Por tanto, dj2, por que djf m, djf 0 f 1    f m    f n . Así d=( Teorema 42. Por consiguiente , d debe ser 1 o 2. Pero los números de Fermat 6 2 . Entonces, d = 1 ; eso es, (f m; f n) = 1: son todos impares, así d = n

El resultado de Polya puede generalizarse: Sea gn = (2k (2 k )2 + 1, donde k > 0. 6 n. Entonces (gm ; gn ) = 1, asumiendo m = Usando estos dos resultados, podemos demostrar ahora de nuevo que hay in…nitos primos. Teorema 70 Existen in…nitos números primos. Demostración. Por Lema 51, cada numero de Fermat tiene un factor primo. Por consiguiente, por el teorema de Polya, no hay dos números distintos de Fermat que tengan factores primos comunes, signi…cando que cada uno tiene un factor primo distinto. Así, ya que hay in…nitos números de Fermat, hay también in…nitos primos. A continuación se presenta una con‡uencia asombrosa de teoría del número, probabilidad y análisis.

Números Primos Relativos y Pi

En la Sección 2.3, se encuentra un eslabon cercano entre los números primos (1  1=p2 ) = 6=2 . Usando técnicas y el número , dado por la formula p2P avanzadas, avanzadas, se puede mostrar que el producto pro ducto in…nito representa el recíproco de la probabilidad que dos números enteros positivos seleccionados al azar sean primos relativos. 1 Así, la probabilidad que dos números enteros positivos seleccionados al azar sean primos relativos esta dada por 1=(1  1=p2 ) = 6=2 .

Y

1 Ver

Ogilvy y Anderson.

Y

p2P

94


A continuación se centrará la atención en algunas usadas propiedades interesantes del los MCDs. Teorema 71 Sea (a; b) = d. Entonces 1. (a=d; a=d; b=d) b=d) = 1 2. (a; a  b) = d

Demostración. 1. Sea d0 = (a=d ( a=d;; b=d) b=d). Se Debe mostrar que d0 = 1 : Ya que d0 es un factor común de a=d y b=d, a=d = ld0 y b=d = md0 para algunos enteros l y m. Entonces a = ldd0 y b = mdd0 , de este modo dd0 es un factor común de a y b. Entonces, por de…nición, dd0  d, de este modo d0  1. Así, d0 es un entero positivo tal que d0  1, entonces d0 = 1. Por tanto, si (a; b) = d, entonces a=d y b=d son primos relativos. 2. Sea d0 = (a; a  b). Se debe mostrar que d = d0 , se mostrará que d  d0 y d0  d. Para mostrar que d  d0 : Entonces d es un común divisor de a y b, a = md y b = nd para algunos enteros m y n. Entonces a  b = (m  n): Así dja y dj(a  b); entonces d es común divisor de a y a  b. Luego, Luego, por de…nición, de…nición, d debe ser menor o 0 igual que (a; a  b); esto es d  d . Para mostrar que d0  d: Entonces d0 es un factor común de a y a  b, a = d0 y a  b = d 0 para algunos enteros  y  . Entonces a  (a  b) = d0  d 0; esto es, b = ( (    )d0 . Así, d0 es común divisor de a y b, entonces d0  d. De esta forma, d  d0 y d0  d, entonces d = d0 . Se sigue, por la parte (2) de este teorema que (a; a + b) = (a; b). (Ver ejercicio 38). A continuación, se prueba que el MCD de a y b se puede expresar como la suma de múltiplos de a y b; pero primero se presenta una de…nición.

Combinación Lineal

Una combinacion lineal de los enteros a y b es la suma de múltiplos de a y b, esto es, una suma de la forma a + b , donde  y  son enteros. Por ejemplo, 2  3 + 5  7 es una combinacion lineal de 3 y 7; así como (4)  3 + 0  7. Ahora se establece y demuestra el resultado mencionado en el párrafo precedente. Su prueba es una elegante aplicación del principio del buen orden.


95

Teorema 72 (Euler) El MCD de enteros positivos a y b es la combinacion lineal de a y b. Demostración. Sea S el conjunto de combinaciones lineales positivas de a y b; esto es, S = fma + nb j ma + nb > 0; con m; n 2 Zg : Se mostrará que S tiene al menos un elemento : Ya que a > 0, a = 1  a + 0  b 2 S , entonces S no es vacío. Así, por el principio de buen orden, S tiene un mínimo elemento d. Para mostrar que d = (a; ( a; b): Ya que d pertenece a S , d = a + b para algunos enteros  y  . 1. Primero mostraremos que dja y djb: Por el algoritmo de la división, existen enteros q y r tal que a = dq + dq + r , donde 0  r < d . Sustituyendo d, r

  

= a dq = a (a + b) b )q = (1 q )a + ( q )b



Esto muestra que r es una combinación lineal de a y b. Si r > 0, entonces r 2 S . Ya que r < d, r es menor que el elemento más pequeño en S , lo cual es una contradicción. Así r = 0 ; por tanto, a = dq; luego dja: Similarmente, djb: Así d es un común divisor de a y b: 2. Por mostrar que cualquier divisor común positivo d0 de a y b es  d: b ), por el teorema 42; esto es, d0 j d. Entonces Sea d0 j a y d0 j b, d0 j (a + b) d0  d. ( a; b). Así, por las partes (1) y (2), d = (a;

Observación Se sigue, por este teorema que el MCD

(a; b) siempre puede

expresarse como una combinacion lineal a + b . En efecto, esta es la más pequeña de tales combinaciones lineales positivas. Un modo de encontrar tal combinación lineal es por ensayo y error, especialmente cuando a y b son pequeños, como lo muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo 73 Exprese (28; (28; 12) como combinacion lineal de 28 y 12. Solución. Primero se tiene que (28; (28; 12) = 4. Luego, se deben encontrar enteros  y  tal que   28 +   12 = 4. Por ensayo y error,  = 1 y  = 2 da como resultado 1  28 + (2)  12 = 4.

96


Observación Note que los valores de  y  en la combinación lineal no tienen porque ser únicos. En el anterior ejemplo se puede notar que (5)  28 + 12  12 = 4. Una segunda forma de encontrar  y  es usando una tabla de múltiplos de a y b y entonces escoger la combinación correcta, como lo muestra la siguiente Tabla. 28 12

28 12

56 24

84 36

112 48

140 60

 

144



En la siguiente sección se presenta un método sistemático para encontrar  y  . El Teorema 72 se puede usar para re…nar la de…nición de MCD y sacar obtener varios resultados útiles acerca de MCDs. Teorema 74 Si d = (a; b) y d0 es cualquier comun divisorde a y b, entonces d0 j d. Demostración. Puesto que d = (a; b), por Teorema 72, existen  y  tal que esta maner maneraa d = a + b: Como d0 ja y d0 jb, por Teorema 42, d0 j (a + b) b ); de esta 0 d jd. Así, cada común divisor d0 de a y b es un factor de su MCD d, y d0  d. De manera inversa, suponga que d a y d b; y

j

j

si d0 ja y d0 jb, entonces d0 jd: Entonces d0  d; así d = (a; ( a; b). Por tanto, la de…nición simbólica de MCD puede modi…carse como sigue.

Una De…nición Alternativa de MCD

Un entero positivo d es el MCD de a y b si d a y d b; y

j

j

si d0 ja y d0 jb, entonces d0 jd, donde d0 es un entero positivo. Teorema 75 Sean a,b, y c enteros positivos. Entonces (ac;bc) ac;bc) = c (a; b) : La prueba de esto es bastante simple y se deja como ejercicio.


97

Teorema 76 Dos enteros positivos, a y b, son primos relativos si y solo si hay enteros  y  tales que a + b = 1 . Demostración. Si a y b son primos relativos, entonces (a; b) = 1. Por tanto, por Teorema 72, existen enteros  y  tal que a + b = 1 . Recíprocamente, suponga que existen  y  tales que a + b = 1. Para demostrar que (a; b) = 1; sea d = (a; ( a; b). Entonces por Teorema 42 dj (a + b) b ); esto es dj1, así d = 1 . Por tanto, a y b son primos relativos. Se puede deducir la parte (1) del Teorema 71 a partir de este Teorema, y este es útil para resolver el ejercicio propuesto número 41. Corolario 77 Si d = (a; ( a; b), entonces (a=d; a=d; b=d) b=d) = 1: El siguiente Corolario se sigue del Teorema 72 (Vea ejercicio 43) Corolario 78 Si (a; b) = 1 = (a; ( a; c);entonces (a;bc) a;bc) = 1: Supongamos ajc y bjc. ¿Signi…ca ésto que abjc ? No. Por ejemplo, 3j12 y 6j12, pero 3  6 - 12 - 12. El siguiente corolario proporciona un criterio por el cual abjc. Corolario 79 Si ajc y bjc, y (a; b) = 1, entonces abjc: Demostración. Como ajc; c = ma para algún entero m. Similarmente, Similarmente, c = nb para algún entero n. Ya que (a; b) = 1, por Teorema 75, a + b = 1 para algunos enteros  y  . Entonces ac + bc = c: Ahora sustituyendo nb por la priemera c y ma para el la segunda: a( a(nb) nb) + b( b (ma) ma) = c

Esto es, b (n + m ) = c; así abjc: Se debe recordar que ajbc no signi…ca que ajb o ajc; aunque bajo algunas condiciones esto se cumple. El siguiente corolario explica cuando esto es verdadero. Corolario 80 ( Euclides Euclides) Si S i a y b son primos relativos, y si ajbc; entonces ajc:

98


Demostración. Dado que a y b son primos relativos, por Teorema 75, existen enteros  y  tal que a + b = 1; 1 ; entonces ac + bc = c ya que ajac y ajbc , ajac + bc por Teorema 42; esto es ; ajc: La de…nición de MCD puede extenderse a tres o más enteros positivos, como muestra la siguiente de…nición.

El MCD de n Enteros Positiv Positivos os El mcd de n ( 2) enteros positivos a1 ; a2 ;:::;a n es el entero positivo más

grande que divide a cada uno de los ai . Éste se denota por (a1; a2 ;:::;a n ) : El siguiente ejemplo ilustra esta de…nición. Ejemplo 81 Encuentre (12; (12; 18 18;; 28), (12; (12; 36 36;; 60 60;; 108), (15; (15; 28 28;; 50). Solución.

a) El entero positivo positivo más grande grande que divide a 12 12;; 18 y 28 es 2, así, (12; (12; 18 18;; 28) = 2:

b) 12 es el factor más grande de 12, y 12 es factor de 12, 36, 60, y 108; así, (12; (12; 36 36;; 60 60;; 108) = 12: 12:

c) Ya que (15; (15; 28) = 1 el factor común más grande de 15, 28 y 50 es 1; esto es (15; (15; 28 28;; 50) = 1: 1:

El Teorema 72 puede ampliarse a n números enteros. Pero primero, se ampliará la de…nición de una combinacion lineal de n enteros positivos.

Una Combinación Lineal de n Enteros Positiv Positivos os

Una combinación lineal de n enteros positivos a1 ; a2 ;:::an es una suma de la forma 1a1 + 2 a2 + ::: + n an donde 1 ; 2 ;:::; n son enteros. Por ejemplo, (1)  12 + 1  15 + 0  21 es una combinación lineal de 12 12;; 15 y 21; Así como también lo es 3  12 + ( 2)  15 + ( 5)  21 21:: Ahora se establece la extensión del Teorema 72 y se deja la prueba como un ejercicio. Teorema 82 El MCD de los enteros positivos a1 ; a2 ;:::;a n ;es el menor entero positivo que es combinación lineal de a1 ; a2 ;:::;a n : El siguiente ejemplo ilustra este Teorema. Ejemplo 83 Exprese (12; (12; 15 15;; 21), en una combinación lineal de 12 12;; 15 15;; 21 21:: Solución. Primero se puede notar que (12; (12; 15 15;; 21) = 3. Después se encuen12+   15+ 15+   21 = 3; tran números enteros ,  y  , por ensayo y error, tal que  12+  = 1 ,  = 1 ,  = 0 es una de tal combinación: (1)  1 2 + 1  1 5 + 0  21 = 3: 3:


99

El siguiente teorema muestra como la recursión puede usarse para encontrar el MCD de tres o más números enteros. Teorema 84 Sea a1 ; a2 ; :::a :::an n ( 3) enteros positivos. Entonces (a1 ; a2 ;:::;a n ) =

((a ((a1 ; a2 ;:::;a n1 ) ; an ) :

Demostración. Sea d = (a1 ; a2 ;:::;a n ) ; d0 = (a1 ; a2 ;:::;a n1 ) yd00 = (d0 ; an ) : mostramos que d0 = d00 : Se mostrará que djd00 : Dado que d = (a1 ; a2 ;:::;a n ) ; djai para todo i: Así djd0 y djan : Entonces dj (d0 ; an ) ; esto es djd00 : Se mostrará que d00 jd : Ya que d00 = (d0 ; an ) ; d00 jd0 y d00 jan : Pero d00 jd0 implica que d00 jai para 1  i  n  1: Así d00 jai para 1  i  n; por tanto d00 jd:

Luego, djd00 y d00 jd; así d = d00 ; por el Teorema 41. El siguiente ejemplo ilustra este teorema. Ejemplo 85 Usando recursión, evalue (18; (18; 30 30;; 60 60;; 75 75;; 132) : Solución. (18; (18; 30 30;; 60 60;; 75 75;; 132) = = = =

((18; 30 30;; 60 60;; 75) ; 132) = (((18; (((18 ; 30 30;; 60) ; 75) ; 132) (((( ((((18 18;; 30) ; 60) ; 75) ; 132) = (((6; (((6 ; 60 60;; ) ; 75) ; 132) ((16; 75) ; 132) = (3; (3; 132) 3:

El corolario a continuación se obtiene por inducción y el Teorema 84. Se puede establecer una prueba y se deja como ejercicio. (Ejercicio 55.) Corolario 86 Si d = (a1 ; a2 ;:::;a n ) : Entonces djai para todo entero i, donde 1

 i  n:

El siguiente corolario es una extensión del Corolario 80. Corolario 87 Si dja1 a2:::an y (d; ai ) = 1 para 1  i  n  1, entonces djan :

100


Antes de enunciar otro corolario, se introduce la siguiente de…nición.

Primos Relativos por Pares

Los enteros positivos a1 ; a2 ;:::;a n son primos relativos relativos por pares, pares, si todo par de enteros son primos relativos, esto es , (ai ; aj ) = 1; siempre i = 6 j: 15;; y 49 son primos relativos por pares, mientras Por ejemplo, los enteros 8; 15 que los enteros 6; 25 25;; 77 77;; y 91 no son primos relativos por pares. El siguiente resultado se deduce del Teorema 76. positivos a1 ; a2 ;:::;a n son pares de primos relativos relativos Corolario 88 Si los enteros positivos entonces (a1 ; a2 ;:::;a n ) = 1:

Por ejemplo, ya que los enteros 8, 15 y 49 son primos relativos por pares, (8; (8; 15 15;; 49) = 1: 1:

Observación Se debe tener en cuenta que el recíproco de este corolario

no es verdadero; esto es, si (a1 ; a2 ;:::;a n ) = 1; entonces los enteros a1 ; a2 ;:::;a n no necesariamente son primos relativos por pares. Por ejemplo (6 (6;; 15 15;; 49) = 1; 1; pero 6; 15 y 49 no son primos relativos por pares, ya que (6 (6;; 15) = 3: 3:

Ejercicios 3.1

Marque verdadero o falso, asumiendo a; b y c son enteros positivos y p es un primo arbitrario. 1. (a; b) = (b; a) 2. (a; b) = (a; a  b) 3. (a; b) = (a; a  2b) 4. (a; a + 2) = 1 5. (p; p + 2) = 1 6. (ac; ac; bc) bc) = c (a; b) 7. Si (a; b) = 1, entonces a y b son primos relativos. 8. Si (a; y b) son primos relativos entonces(a; b) = 1: ( b; c), entonces (a; c) = 1: 9. Si (a; b) = 1 = (b;

10. Si (a; b) = 2 = (b; ( b; c) entonces (a; c) = 2: 11. Si (a; b) = d; entonces (a + b; a  b) = d Exprese el mcd de cada par de números como combinación lineal.


101

12. 18 18;; 28 13. 24 24;; 28 14. 15 15;; 28 15. 21 21;; 26 Denote con f ( f (n) el números de enteros positivos  n y primos relativos f (1) = 1; 1 ; f (2) f (2) = 1 , f (3) f (3) = 2 y f (4) f (4) = 2: 2: Encontrar. a él. Por ejemplo, f (1) 16. f (10) (10) 17. f (13) (13) (18) 18. f (18)

19. f (24) (24) 20. Evalúe

P

f (d) djn f (

12 ; 18 18;; 19 y 25 25:: para n = 12;

21. Usando el Ejercicio 20, prediga una formula para 22. Encuentre el mínimos valores posible de (a; b): Encuentre (a; b) si

P

f (d) djn f (

23. b = 1 24. b = a + 1 25. b = a2 26. b = na Exprese el MCD de los números dados como una combinación de los números. 27. 12 12;; 15 15;; 18 12;; 18 18;; 20 20;; 24 28. 12 Use recursión para evaluar.

29. (12; (12; 18 18;; 28 28;; 38 38;; 44) (14; 18 18;; 21 21;; 36 36;; 48) 30. (14;

31. (a2 b;ab3 ; a2 b2 ; a3b4 ; ab4 ) Refute cada proposición. ( b:c)) ; entonces (a; c) = 1: 32. Si (a; b) = 1 = (b:c

33. Si (a; b) = 2 = (b:c ( b:c)) ; entonces (a; c) = 2: Pruebe cada ítem, asumiendo que a;b;c;d;k;m; y n son enteros positivos arbitrarios, p algún primo y f n el nésimo número Fermat.

102


34. El MCD de cualquier cualquier par de números números enteros enteros es único. único. 35. (a; b) = (a; b) 36. (a; b) = (a; b) 37. (a; b) = (a; b) 38. (a; a + b) = (a; b) 39. (ac; ac; bc) bc) = c(a; b) 40. Si p - a; - a; entonces p y a son primos relativos. 41. Usando Usando el Teorema eorema 76, pruebe que si d = (a; ( a; b); entonces (a=d; a=d; b=d) b=d) = 1: ( a1 ; a2 ;:::;a n ); entonces djai para todo entero i; donde 1  i  n: 42. Si d = (a ( a; c); entonces (a;bc) a;bc) = 1: 43. Si (a; b) = 1 = (a; n

44. Sea gn = (2k (2 k)2 + 1; 1; donde n  0: Entonces (gm ; gn ) = 1; donde m = 6 n: 45. Sea n > m  0: Muestre que f m j(f n  2): 2):

6 n: 46. Usando Usando en Ejercicio Ejercicio 45, muestre muestre que (f m ; f n ) = 1; donde m = 47. Usando el Teorema 69 e inducción, pruebe que hay in…nitos primos.


103


En el presente taller se de…ne y se explorará una función que permita calcular el MCD de dos o más números.


La función que se utilizará en este taller se de…ne como GCD(m1,m2,...,mn) y permite calcular el MCD de los n números m1 ; m2 ;:::;m n :

Actividades

Mediante la opción “GCD(m1,m2,...,mn)” en Derive Derive es posible posible calcular calcular el MCD de un conjunto de números, por ejemplo, la simpli…cación de la expresión GCD(12,18)

arroja como resultado el valor 6 que es le MCD de los dos números 12 y 18. La función permite calcular la el MCD de más de dos números enteros, es así como la simpli…cación de GCD(12,18,28)

arroja como resultado el valor 2 y la simpli…cación de GCD(12,36,60,108)

da como resultado 12, que son los MCD de los conjuntos de números respectivamente.

104


3.2.. El Algori 3.2 Algoritmo tmo de Eucli Euclide dess Existen varios procedimientos para encontrar el MCD de dos enteros positivos. Un algoritmo e…ciente es el Algoritmo de Euclides, llamado después Euclidiano, quien lo incluyó en el Libro VII de su extraordiario trabajo, Los elementos. El algoritmo, sin embargo, probablemente era antes conocido. Ésta es una herramienta fundamental en la teoría de números algorítmica. El siguiente teorema establece la base para el algoritmo de Euclidiano. Teorema 89 Sean a y b enteros positivos y r el residuo, cuando a se dividide por b. Entonces (a; b) = (b; r): Demostración. Sea d = (a; b) y d0 = (b; r). Se debe probar que d = d0 ; es su…ciente mostrar que djd0 y d0 jd . Por el algoritmo de la división, existe un único cociente q tal que (3.1) a = bq + bq + r Se mostrará que djd0 : ( a; b), dja y djb, así djbq , por el Teorema 42. Entonces dj(a  bq ); Ya que d = (a; de nuevo por el Teorema 42. En otras palabras , djr, por la ecuación (3.1). De este modo, djb y djr, así dj(b; r); esto es djd0 . Similarmente, Similarmente, puede mostrarse que d0 jd (ver Ejercicio 9). Así, por el Teorema 41, d = d0 ; esto es, (a; b) = (b; r): El siguiente ejemplo ilustra este teorema. Ejemplo 90 Ilustrar el Teorema 89 con a = 120 y b = 28 . Solución. Primero, se puede veri…car que (120; (120; 28) = 4 . Ahora , por el algoritmo de la división, 120 = 4  28 + 8 , entonces por el Teorema 89, (120; (120; 28) = (28; (28; 8). Pero (28; (28; 8) = 4. Por lo tanto, (128; (128; 28) = 4: 4: El siguiente ejemplo ilustra como el Teorema 89 puede ser utilizado para encontrar (a; b). Ejemplo 91 Usando el Teorema 89, evalúe (2076; (2076; 1776). Solución. Aplicando el algoritmo de la división con 2076 (el mayor de los dos números) como el dividendo y 1776 como el divisor:



2076 = 1 1776 + 300

Aplicando el algoritmo de la división con 1776 como el dividendo y 300 como el divisor:



1766 = 5 300 + 276

3.2. EL ALGORITMO ALGORITMO DE EUCLID EUCLIDES ES

105

Continuando este procedimiento hasta llegar al residuo cero : 2076 1766 300 276 24

= = = = =

  

1 1776 + 300 5 300 + 276 1 276 + 24 11 24 + 12 2 12 + 0



 último residuo diferente de cero



Aplicando repetidamente el Teorema 89 se tiene: (2076; (2076; 1776) = (1776; 300) = (300; (300 ; 276) = (276; 24) = (24; (24; 12) = 12

por tanto , el último residuo diferente de cero en este procedimiento es el MCD.

Ahora se justi…cará este algoritmo, aunque sea algo obvio.

El Algoritmo Euclidiano

Sean a y b dos enteros positivos con a  b: Si a = b, entonces (a; b) = a, así se asume a > b. (Si esto no es verdad entonces se intercambian.) Sea r0 = b. Entonces aplicando sucesivamentes el algoritmo de la división, se tendrá la secuencia de ecuaciones: a = q 0 r0 + r1 ; 0 r0 = q 1 r1 + r2 ; 0 r1 = q 2 r2 + r3 ; 0

.. .

 r1 < r 0  r2 < r 1  r3 < r 2

Continuando de esta manera, se obtiene la siguente secuencia de residuos: b = r0 > r 1 > r 2 > r 3 >

   0

Dado que los residuos son no negativos y son cada vez más y más pequeños, esta secuencia debería eventualmente terminar con el residuo rn+1 = 0 . Así, las dos últimas ecuaciones en el procedimiento anterior son rn2 = q n1 rn1 + rn ; 0

 rn < r n1

y rn1 = q n rn

Se sigue por inducción que (a; b) = (a; r0 ) = (r0; r1 ) = (r1 ; r2) = (rn1 ; rn ) = rn ; el último residuo diferente de cero (ver Ejercicio 10). El siguiente ejemplo también demuestra el Algoritmo Euclidiano.



=

106


Ejemplo 92 Aplique el algoritmo euclidiano para encontrar (4076; (4076; 1024). Solución.

Por la aplicación sucesiva del algoritmo de la división se tiene:

 1  1004 + 20 50  20 + 4  último residuo diferente de cero 54+0

4076 = 3 1024 + 1004 1024 = 1004 = 20 =

(4076; 1024) = 4. ya que el anterior residuo diferente de cero es 4, (4076;

Ejemplo 93 Usando el algoritmo euclidiano exprese (4076; (4076; 1024) como combinación lineal de 4076 y 1024. Solución. Utilizando las ecuaciones obtenidas en el Ejemplo 92 en orden inverso, sustituyendo de manera iterativa en el residuo de la ecuación previa (4076; (4076; 1024) = = = = = =

último residuo diferente de cero 4 1004 50 20 1004 50(1024 1 1004) (sustituyendo el 20) 51 1004 50 1024 51(4 51(407 0766 3 1024) 50 1024 (sustituyendo el 1024) 51 4076 + ( 203)1024

              

Ejercicios 3.2

Usando el algoritmo euclidiano, encuentre el MCD de los enteros dados. 1. 1024 1024;; 1000 2. 2024 2024;; 1024 3. 2076 2076;; 1076 2076;; 1776 4. 2076

5-8. Usando el algoritmo euclidiano, exprese el MCD de cada pareja en los Ejercicios 1-4 como una combinación lineal de los números dados. 9. Sea a y b dos enteros positivos, y r el residuo cuando a se divide por b: ( a; b) y d0 = (b; ( b; r): Pruebe que d0 jd: Sea d = (a; 10. Sea a y b enteros positivos con a  b: Usando la secuencia de ecuaciones en el algoritmo euclideano, pruebe que (a; b) = (rn1 ; rn ); donde n  1:

3.2. EL ALGORITMO ALGORITMO DE EUCLID EUCLIDES ES

107


En el presente taller se de…ne una función que permita expresar el MCD entre dos números como combinación lineal de ellos.


EXTENDED_GCD(a, b) La función que se utilizará en este taller se de…ne como EXTENDED_GCD(a, [g, [x, [x, y]] y]] donde g = (a; y que se simpli…ca al vector de enteros [g, ( a; b) = xa + yb usando el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor.

Actividades

El cálculo de el MCD de los números 4076 y 1024 en el Ejemplo 92 se obtiene simpli…cando en Derive la orden GCD(4076,1024)

esta simpli…cación da como resultado 4. Por otro lado, utilizando la función EXTENDED_GCD(a, EXTENDED_GCD(a, b) y simpli…cando la expresión EXTENDED_GCD(4076,1024)

Derive arroja como resultado [4, [51, [51, -203]] -203]]

que se interpreta como que





(4076; (4076; 1024) = 4 = 51 4076 + ( 203)1024

como se pudo observar en el Ejemplo 93.

108


3.3. El Teore Teorema ma Fund Fundamen amental tal de la Aritmét Aritmética ica Continuando ahora con el estudio de los primos. Se puede establecer, sin temor a equivocarse, la a…rmación de que los números primos son los ladrillos de todos los enteros. En otros términos, enteros  2 son construidos a partir de primos; es decir, cada entero  2 puede descomponerse descomponerse en primos. primos. Este resultado, llamado El Teorema Fundamental de la Aritmética, Aritmética, es ciertamente la piedra angular de la teoría de números y uno de sus resultados principales. Éste aparece en Los Elementos de Euclides. Antes de enunciarlo formalmente y demostrarlo, se necesitan dos lemas fundamentales. A lo largo de estos lemas, se asumirá que todas las letras denotan números enteros positivos. Lema 94 Si p es un primo y pjab, entonces pja o pjb. Demostración. Suponga que a - p: - p: Entonces p y a son primos relativos, por el Teorema 76, hay enteros  y  tal que p + a = 1 . Multiplicando ambos lados ab ) de esta ecuación por b; se tiene pb + ab = b. Como pjp y pjab, pj(pb + ab) por el Teorema 42; es decir, pjb. El siguiente lema extiende este resultado a tres o más factores, usando inducción. Lema 95 Sea p un primo y pja1 a2    an dónde a1 ; a2    ; an son enteros positivos, entonces pjai para algún i dónde 1  i  n. Demostración. (por inducción débil) débil) Cuando n = 1, el resultado se da claramente. Así que suponga que es verdad para un entero positivo arbitrario k : Si pja1 a2    ak , entonces pjai para algún i. Suponga que pja1 a2    ak+1 , es decir, pj(a1 a2    ak )ak+1 . Entonces, por el Lema 93, pja1 a2    ak o pjak+1 . Si pja1 a2    ak , entonces pjai , para algún i dónde 1  i  k. Por tanto, pjai dónde cualquier caso, pjai para algún i; dónde 1  i  k + 1. 1  i  k , o pjak+1 . En cualquier Así, por inducción, el resultado se tiene para cada entero positivo n. El siguiente resultado se sigue de este lema. Corolario 96 Si p; q 1 ; q 2    ; q n son primos tales que pjq 1 q 2    q n , entonces p = q i para algún i; dónde 1  i  n. Demostración. Como pjq 1 q 2    q n , por el Lema 94, pjq i para algún i. Pero p y q i son primos, por lo que p = q i : Podemos ahora declarar y establecer el teorema fundamental de aritmética, el resultado más fundamental en la teoría de números. La prueba consiste en dos partes y una parte larga, por lo que necesitamos seguirlo cuidadosamente.

3.3. EL TEOREMA FUNDAMENT FUNDAMENTAL AL DE LA ARITMÉTICA ARITMÉTICA

109

Teorema 97 (El Teorema eorema Fundamental de la Aritmética) Aritmética) Todo entero cualquiera n  2 es un primo o puede expresarse como un producto de primos. La factorizació factorizaciónn en primos primos es única única salvo el orden orden de los factores. factores. Demostración. Primero, se mostrará por inducción fuerte que n o es un primo o puede expresarse como un producto de primos. Entonces se establecerá la unicidad de tal factorización. 1. Sea P (n) la proposición que n es un primo o puede expresarse como un producto de primos. Se mostrará que P ( P (n) es verdad para cada entero n  2: Como 2 es un primo, claramente P (2) es verdad. Ahora suponga que P (2) ; P (3) :::;P :::;P (k) son verdaderas; es decir, todo entero desde 2 hasta k o es un primo o puede expresarse como un producto de primos. P (k + 1) es verdad. Así que, suponga que Si k + 1 es un primo, entonces P ( k + 1 es compuesto. Entonces k + 1 = ab para algunos enteros a y b dónde 1 < a;b < k + 1 . Por la hipótesis de inducción, a y b o son primos o pueden expresarse expresarse como los productos productos de primos; primos; en cualquier cualquier caso, k + 1 = ab puede expresarse como un producto de primos. Así, P ( P (k + 1) también es verdad. Así, por inducción fuerte, el resultado se tiene para cada entero n  2. 2. Para establecer la unicidad de la factorización: Sea n un número compuesto con dos factorizaciones en primos: n = p1 p2    pr = q 1 q 2    q S S . Se mostrará que r = s y que cada pi es igual a algún q j ; dónde 1  i; j  r; es decir, los primos q 1 ; q 2 : : : ; qs son una permutación de los primos p1 ; p2 :::;pr . Asuma, por conveniencia que r  s. Como p1 p2    pr = q 1 q 2    q s , p1 jq 1 q 2    q s , por el Corolario 95, p1 = q i para algún i. Dividiendo ambos lados por p1 , se tiene: p2

   pr = q 1q 2    q i1q i+1    q i+1    q s

Ahora p2 divide el LMD, y de nuevo por el Corolario 95, p2 = q j para algún j . Cancelando p2 a ambos lados: p3

   pr = q 1q 2    q i1q i+1    q j1q j q j+1    q s

Como r  s, al continuar así, se cancela cada pt con algún q k . Esto nos da 1 al …nal en el LMI. Entonces el LMD no puede ser un primo o un producto de primos, ya que, un primo o un producto de primos nunca puede dar 1; así, se deben haber agotado todas las q k s. Por consiguiente, r = s y por tanto los :::;q s son loa mismos primos p1 ; p2    ; pr en algún orden. Así, la primos q 1 ; q 2 :::;q factorización de n es única, salvo por el orden en el cual los primos fueron escritos. Se sigue de este teorema que cada número compuesto n puede factorizarse en primos. Tal factorización es llamada factorización en primos de n. Por ejemplo, 5544 = 2  2  3  7  2  11  3 es una factorización en primos de 5544. Usando la notación exponencial, este producto es a menudo escrito como 5544 = 2 3  32  7  11. Tal producto es la descomposición en potencias de

110


factores primos de n; si los primos se escriben en el orden creciente, entonces esta es la descomposición canónica.

Descomposición Canónica La descomposición canónica de un entero positivo n es de la forma n = p1a p2a    pka , donde p1 ; p2    ; pk son distintos primos con p1 < p2 <    < pr 1

2

k

y cada exponente ai es un entero positivo. Hay dos técnicas normalmente usadas para encontrar la descomposición canónica de un número compuesto. El primer método involucra hallar todos los factores primos, empezando con el más pequeño primo, como el siguiente ejemplo muestra.

Ejemplo 98 Halle la descomposición canónica de 2520. Solución. Empezando Empezando con el más pequeño primo 2, desde que 2j2520,2520 = 2  1260. Ahora 2 es un factor de 1260, por lo que 2520 = 2  2  630; 2j630 de nuevo, por lo que 2520 = 2  2  2  315. Ahora 2 - 315, pero 3 si lo hace, por lo que 2520 = 2  2  2  3  105; 3 también es un factor de 105, por lo que 2520 = 2  2  2  3  3  35. Continuando así conseguimos: 2520 = 2 2 2 3 3 5 7 = 23 32 5 7

     

  

qué es la descomposición canónica deseada.

Este método puede consumir mucho tiempo si el número n es bastante grande. El segundo método que es generalmente más e…caz, involucra expresar explícitamente n como el producto de dos enteros positivos, no necesariamente primos, y se continua expresando cada factor en factores hasta que todos los factores obtenidos sean primos. Entre más grandes sean los factores el método se hará más corto. El siguiente ejemplo clari…ca este método, bastante fácil. Ejemplo 99 Halle la descomposición canónica de 2520 por el segundo método. Solución. Note que 2520 = 40  63. Por lo que ninguno de los factores es primo, dividiendo nuevamente: 40 = 4  10 y 63 = 7  9, se tiene que 2520 = (4  10)  (7  9). Como 4, 10 y 9 son compuestos, reexpresando cada uno de ellos se tiene: 2520 = (2  2)(2  5)(7)(3  3). Ahora todos los factores son primos, por lo que el procedimiento para. Se obtiene entonces la descomposición canónica: 2520 = 2 3  32  5  7. La descomposición canónica de un número compuesto puede usarse para encontrar sus factores positivos, como lo muestra el siguiente ejemplo.


111

Ejemplo Ejem plo 100 Halle los factores positivos de 60. Solución. Primero, note que 60 = 22  3  5. Por el teorema fundamental de la aritmética, cada factor de 60 es de la forma 2a  3b  5c , dónde 0  a  2, distintos factores factores son: 0  b y c  1. Así, los distintos 20 30 50 21 30 50 22 30 50

     

= 1 = 2 = 4

20 30 51 = 5 21 30 51 = 10 22 30 51 = 20

     

20 31 50 = 3 21 31 50 = 6 22 31 50 = 12

     

20 31 51 = 15 21 31 51 = 30 22 31 51 = 60

     

(Así, 60 tiene 12 factores. ¿Podría pensar en una buena manera de encontrar el número de factores positivos sin listarlos?)

El siguiente ejemplo presenta una aplicación bonita del teorema fundamental de la aritmética y la función piso. Muestra muy bien que se puede determinar el número de ceros un valor decimal de n!, sin calcularlo. (Por ejemplo, 11! = 39 39;;916 916;;800 tienen dos ceros al …nal.) Ejemplo Ejem plo 101 Halle el número de ceros …nales en 234!. Solución. Por el teorema fundamental de aritmética, 234! puede factorizarse como 2a  5b  c; donde a y b son enteros positivos (¿por qué?) y c denota el producto de primos de la misma manera que 2 y 5. Claramente, a > b (¿por qué?). Cada cero …nal en 234! corresponde a 10 en una factorizacion y viceversa; cada 10 es el producto de un 2 y un 5.



No. de productos de la forma 2  5 (No. de ceros …nales en 234! 34!) = en una factorización prima de 234! = el mínimo de a y b (¿por qué?)



= b

Para encontrar b, procedemos como sigue: No. de enteros positivos  234 y divisibles por 5 = b234 234==5c = 46 . Cada uno de ellos contribuye en un 5 a la factorización en primos de 234!. No. de enteros positivos  234 y divisibles por 25 = b234 234==25c = 9 . Cada uno de ellos contribuye en un 5 adicional a la factorización en primos de 234!. No. de enteros positivos  234 y divisibles por 125 = b234 234==125c = 1 . Contribuye todavía en un 5 adicional a la factorización en primos. Ninguna potencia superior de 5 contribuye en un 5 a la factorización prima de 234!, así el número total de 5s en la factorización prima es igual a 46+9+1 = 56. Así, 234! tiene 56 ceros …nales.

Se sigue de este ejemplo que el exponente más alto e de un primo p que divide n! se obtiene como

b c b

c b

c 

e = n=p + n=p2 + n=p3 +

112


 

Sea k el entero más pequeño tal que pk > n. Entonces n=pk = 0, por lo que la suma es …nita. Por ejemplo, el exponente más grande de 2 que divide 97! es

b

c b

c b

b b

c b

c b

c

e = 97 97= =2 + 97 97= =22 + 97 97==23 + 97 97==24 + 97 97==25 + 97 97==26 = 48 + 24 24 + 12 + 6 + 3 + 1 = 94 94

De manera interesante, hay una relación íntima entre el número de unos en la representación binaria de 97 y el exponente más alto de 2 que divide 97!. Para ver esto, note que 97 = 1100001dos , por lo que la representación binaria contiene tres 1s y 97 = 94 + 3 . De manera general, se tiene el siguiente resultado debido al matemático francés Adrian Mari Legendre. Teorema 102 Denotando por e el exponente más alto de 2 que divide n! y b el número de 1s en la representación binaria de n. Entonces n = e + b: Demostración. Sea n = (ak ak1 : : : a1 a0 )dos = a0 + a1  2 +    + ak  2k . Sea 1  i  k. Entonces:

 



n a0 + a1 2 + + ai1 2i1 = + ai + ai+1 2 + 2i 2i









   + ak  2k1

Pero



a0 + a1 2 +

así

   + ai1  2i1 

1 + 2 + 22 + = 2i1 < 2i ;

 



a0 + a1 2 +

Por consiguiente, consiguiente,

   + ai1  2i1

=0

(3.2)

   + ak  2ki

(3.3)

2i

n = ai + ai+1 2 + 2i





   + 2i1

Entonces, k

X  i=1

n 2i

= a1 + a2 2 + a3 22 +

   + ak  2k1 +a2  1 + a3  2 +    + ak  2k2 +a3  1 +    + ak  2k3 

.. .



+ak 1




113

Esto es,





e = a1 + a2 (1 + 2) + a3 1 + 2 + 2 2 + = = =





   + ak 1 + 22 +    + 2k1 (3.4) (3.5) a1 (2  1) + a2 22  1 + a3 23  1 +    + ak 2k  1 (3.6) a0 + a1  2 + a2  22 +    + ak  2k  (a0 + a1 +    + ak ) (3.7) nb

    



 

Así, n = e + b. Las descomposiciones canónicas de enteros positivos proporciona un nuevo método encontrar MCDs, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 103 Usando las descomposiciones canónicas de 168 y 180, para enEjemplo contrar su MCD. Solución. Se puede veri…car que 168 = 23  3  7 y 180 = 2 2  32  5. Los únicos factores primos comúnes son 2 y 3, por lo que 5 o 7 no pueden aparecer en su MCD. Como 2 aparece tres veces en la descomposición canónica de 168, pero sólo dos veces en la descomposición canónica de 180, 22 son un factor en el MCD. De manera similar, 3 también es un factor común, por lo que (168; (168; 180) = 22  3 = 12.

Observación minf f3;2g minf f1;2g minf f1;0g minf f1;0g (168;; 180) = 2 2 3 = 22 31 50 70 = 2 min (168 3min 5min 7min



  







Esta técnica puede generalizarse como sigue. Sea a y b enteros positivos con las siguientes descomposiciones canónicas: a = p1a1 p2a2

   pan

n

y

b = pb11 pb22

   pbn

n

donde ai ; bi  0. (permitiendo que los exponentes sean cero, siempre se puede asumir que ambas descomposiciones contienen la mismas bases primas pi .) Entonces:

Observación minf min fa1 ;b1 g minf minfa2 ;b2 g min fan ;bn g p2 pminf n

(a; b) = p1

Se dará nuevamente un vistazo a la distribución de los primos, que se estudio en el capítulo precedente.

Revisión de Distribución de Primos

Por el algoritmo de la división, cada entero es de la forma 4n + r, donde r = 0; 1; 2, o 3; así que cada entero impar es de la forma 4n + 1 o 4n + 3. Por

114


ejemplo, 13 y 25 son de la forma 4n + 1: 13 = 4  3 + 1 y 25 = 4  6 + 1, mientras que 11 y 31 son de la forma 4n + 3: 11 = 4  2 + 3 y 31 = 4  7 + 3. Observando los enteros positivos de la forma 4n + 3. Los primeros once de tales números son 3; 7; 11 11;; 15 15;; 19 19;; 23 23;; 27 27;; 31 31;; 35 35;; 39 y 43 de los cuales siete (aproximadamente 64 %) son primos. ¿Qué se podría conjeturar razonablemente de esta observación? Si se supusiera que hay in…nitos primos de la forma 4n + 3 , se estaría en lo correcto. Antes de que se establezca la validez de esta suposición, se necesita que se proponga un fundamento en la forma del siguiente lema. Lema 104 El producto de dos enteros cualesquiera de la forma 4n + 1 también es de la misma forma. Demostración. Sean a y b dos enteros cualesquiera de la forma 4n +1, suponga, a = 4` 4 ` + 1 y b = 4m 4 m + 1 para algunos enteros ` y m. Entonces ab = = = =

(4` (4` + 1)(4m 1)(4m + 1) 16 16`m `m + 4` 4` + 4m 4m + 1 4 (4 (4`m + ` + m) + 1 4k + 1 donde k = 4`m 4 `m + ` + m es un entero

Así, ab también es de la misma forma. Este resultado puede extenderse a cualquier número …nito de tales enteros y la prueba se deja como ejercicio. Ahora se está listos para demostrar la siguiente conjetura. Observe que la demostración es similar a la demostracion de Euclides que estableció la in…nidad de primos. Teorema 105 Hay in…nitos primos de la forma 4n + 3. Demostración. Suponga que sólo hay …nitos primos de la forma 4n+3, es decir, p0 ; p1 ; p2    ; pk dónde p0 = 3 . Considere el entero positivo N = 4p 4 p1 p2    pk + 3. Claramente, N > p k y también es de la misma forma. Caso 1 Si el propio N es primo, entonces N sería mayor que el primo pk ; el más grande de la forma 4n + 3 que es una contradicción. Caso 2 Suponga que N es compuesto. Como N es impar, todo factor de N es de la forma 4n + 1 o 4n + 3. Si cada factor es de la forma 4n + 1, entonces, por el Lema 103, N sería de la misma forma. Pero, como N es de la forma 4n + 3 , por lo menos uno de los factores primos, digamos, p, debe ser de la forma 4n + 3. Subcaso 1 Sea p = p0 = 3 . Entonces 3jN , por lo que 3j (N  3) por el Teorema 42; esto es, 3j4p1p2    pk . Así, por el Lema 94, 3j2 o 3jpi , donde 1  i  k, pero los dos son imposibles.


115

Subcaso 2 Sea p = pi donde 1  i  k. Entonces pjN y pj4p1 p2    pk , por lo que pj (N  4p1 p2    pk ), es decir, pj3, que es de nuevo una contradicción. Ambos casos nos llevan a una contradicción, por lo que la suposición debe ser falsa. Así, hay un número in…nito de primos de la forma dada. Ahora que se ha establecido la in…nitud de los números primos de la forma 4n + 3, se hace la siguiente pregunta lógica: ¿Hay in…nitos primos de la forma 4n + 1? Afortunadamente, la respuesta es de nuevo un sí. De hecho, ambos

resultados son juicios incidentales del siguiente resultado notable, demostrado por Dirichlet en 1837, pero declarados originalmente por Legendre en 1785. Su prueba es sumamente complicada, por lo que se omite. Teorema 106 ( Teorema eorema de Dirichlet ) Si a y b son primos relativos, entonces la sucesión aritmética a; a + b; a + 2b; a + 3b : : : contiene in…nitos primos. Por ejemplo, sea a = 3 y b = 4; entonces la sucesión 3; 4  1 + 3; 4  2 + 3; 4  3 + 3 : : : contiene un número in…nito de primos, a saber, primos de la forma 4n + 3 . Igualmente, escogiendo a = 1 y b = 4, de esto se sigue que hay un número in…nito de primos de la forma 4n + 1. Más aun, hay otro ejemplo, escoja a = 7 y b = 100. Entonces a + nb = 100n 100 n+7, así la sucesión 7; 107 107;; 207 207;; 307 : : : contiene un número in…nito de primos, y terminan terminan en 7.

Ejercicios 3.3

Encuentre la descomposición canónica de cada número compuesto. 1. 1947 2. 1661 3. 1863 4. 1976 5. 227 + 1 6. 248  1 7. 10 10;; 510 510;; 100 100;; 501 8. 1; 004 004;; 006 006;; 004 004;; 001 Encuentre los factores positivos en cada caso, asumiendo que p y q son distintos primos. 9. p

116


10. p2 11. pq 12. pq 2 Encuentre los factores positivos de cada número compuesto. 13. 48 14. 90 15. 210 16. 1040 Encuentre el número de ceros en el valor decimal de cada número. 17. 100! 18. 376! 19. 609! 20. 1010! Encuentre los valores de n para los que n! contiene el número de ceros dado. 21. 58 22. 93 Encuentre el MCD de cada par de números, asuma que p;q; y r son distintos primos. 23. 23  3  5; 2  32  53  72 24. 24  32  75 ; 34  5  112 25. p2 q 3 ; pq 2 r 26. p3 qr 3 ; p3 q 4 r5 Usando las descomposiciones canónicas, encuentre el MCD de cada par de números. 48;; 162 27. 48

28. 72 72;; 108 108;; 29. 175 175;; 192 30. 294; 294; 450 Encuentre el número de ceros en la representación binaria de cada entero.


117

31. 28 32. 32 33. 208 34. 235 35. Usando los Ejercicios 31-34, prediga prediga el número de ceros en la representación representación binaria de el entero positivo n. Encuentre la más alta potencia de cada uno de los númesor que divides a 1001!

36. 2 37. 3 38. 5 39. 7 Usando el Teorema 101, encuentre el número de unos en la representación binaria de cada entero. 40. 234 41. 1001 42. 1976 43. 3076 44. Usando el Ejemplo 100, conjeture sobre el número de ceros que tiene el valor decimal de n! Demuestre cada ítem, aumiendo que p es un primo, y a;b; y n son enteros positivos. 45. Si pja2 , entonces pja. 46. Si pjan , entonces pja. 47. El producto de de n enteros del forma 4k + 1 también es de la misma forma. 48. Si (a; b) = 1, entonces (an ; bn ) = 1. 49. Si (an ; bn ) = 1, entonces (a; b) = 1. 50. Hay Hay in…nitos primos primos de la forma 2n + 3. 51. Hay Hay in…nitos primos primos de la forma 8n + 5.

118


52. Todo entero positivo n puede escribirse como n = 2e m, donde e  0 y m es un entero impar. 53. Cada entero positivo n puede escribirse como n = 2a 5b c, dónde c no es divisible por 2 o 5. 54. Un entero positivo es un cuadrado si y sólo si cada exponente en su descomposición canónica es entero par. Encuentre el número de factores positivos de cada caso, asuma que p, q , y r son distintos primos. F

55. pq 56. pq 2 57. p2 q 2 58. pq 2 r3 Encuentre la suma de los factores positivos en cada caso, asumiendo que p, q , y r son distintos primos. F

59. pi 60. pq j 61. pi q j 62. pi q j rk Un entero positivo es un cuadrado-libre si no es divisible por el cuadrado de cualquier entero positivo > 1. Por ejemplo, 105 = 3  5  7 es cuadradolibre. 63. Un entero > 1 es cuadrado-libre si y sólo si su factorización prima consiste de distintos primos. 64. Cualquier entero n > 1 puede escribirse como el producto de un cuadrado y un entero cuadrado-libre.


119


En el presente taller se de…ne una función que permite descomponer, de acuerdo al Teorema Fundamental de la Aritmética, en producto de factores primos.


La función que se utilizará en este taller se de…ne como FACTOR(n) y que se simpli…ca a la factorización del entero n en producto de factores primos.

Actividades

Mediante la simpli…cación de la orden FACTOR(2520)

se obtiene la factorización del número 2520 como producto de factores primos, de la misma forma en que se ilustró en el Ejemplo 98, la simpli…cación de esta orden en Derive devuelve como resultado 23 32 5 7

  

120


3.4.. Mínimo 3.4 Mínimo Com Común Múltip Múltiplo lo El mínimo común múltiplo (mcm) de dos enteros positivos a y b está estrechamente relacionado con su MCD. De hecho, se utiliza el mcm cada vez que sumamos y restamos fracciones. Ahora se explorará dos métodos para encontrar el mcm de a y b. El primer método que se empleará es la descomposición canónica, y el segundo emplea su MCD. Se empezará con una de…nición.

Mínimo Común Multiplo

El mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a y b es el menor entero positivo divisible tanto por a como por b, y se denota como [a; b] : Suponga que se quiere evaluar [18; [18; 24] : Ya que los múltiplos de 18 son 18 18;; 36 36;; 54 54;; 72 72;; 90 90;::: ;::: y de 24 son 24 24;; 48 48;; 72 72;; 96 96;::: ;::: Así, sus múltiplos comunes son 72 72;; 144 144;; 216 216;::: ;::: Por tanto [18; [18; 24] =su mcm= 72: 72 : Las dos preguntas que normalmente nos podemos hacer son si el mcm de dos enteros ¿siempre existe? Ya que ab es un múltiplo de ambos a y b; el conjunto de comunes múltiplos es simpre diferente de vacío; así, por el principio del buen ordenamiento, el conjunto tiene un mínimo elemento; por tanto, [a; b] siempre existe. Y la otra pregunta que surge es ¿si el mcm es único? La respuesta es nuevamente a…rmativa (Su demostración se propone como ejercicio) A continuación se presentará una de…nición simbólica del mcm.

Una De…nición Simbólica del mcm

El mcm de dos números enteros positivos a y b es el entero positivo m tal que: a m y b m; y

j

j

si ajm0 y bjm0 ; entonces m  m0 ; donde m0 es un entero positivo. La descomposición canónica de a y b se puede emplear para encontrar su mcm. Suponga que queremos encontrar [90; [90; 168] 168]:: Note que 90 = 2  32  5 y 3  168 = 2 3 7: Observando las potencias primas, se sigue que su mcm debe ser múltiplo de 23 ; 32 ; 5 y 7; así su mcm es 23  32  5  7 = 2520: 2520:

Observación [90;; 168] = 23 32 5 7 [90 axf1;3g axf2;1g axf1;0g axf0;1g = 2maxf 3maxf 5maxf 7maxf

   



Esto nos lleva a la siguiente generalización.



3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO

121

Sean a; b enteros positivos con las siguientes descomposiciones canónicas a = p1a1 p2a2 p3a3

   pan

n

y b = pb1 pb2 pb3 1

2

3

   pbn

n

con ai ; bi  0:

(De nuevo, se supone que ambas desomposiciones canónicas contienen exactamente las mismos bases primas pi :) Luego:

Observación m axfa1 ;b1 g m axf axfa2 ;b2 g axf p2

[a; b] = p1

axfa ;b g axf    pm n n

n

El siguiente ejemplo ilustra la técnica anterior.

Ejemplo Ejem plo 107 Encuentre el mcm de 1050 y 2574 usando la decomposición canónica. Solución. Tenga en cuenta que: 1050 = 2 3 52 7

y 2574 = 2  32  11  13

  

Por lo tanto axf1;1g axf1;2g axf2;0g axf1;0g axf1;0g axf0;1g [1050;; 2574] = 2maxf [1050 3maxf 5maxf 7maxf 11maxf 13maxf









= 2 1 32 52 71 111 131 = 450; 450;450

   





A continuación, se desarrollará una estrecha relación entre el MCD y el mcm de dos enteros positivos. Pero primero, se estudiará un ejemplo y se dará una observación. Observe que (18; (18; 24) = 6 y [18; [18; 24] = 72: 72 : También, 6  72 = 18  24. En otras palabras [18; [18; 24] =



18 24 (18; (18; 24)

El siguiente teorema muestra que esto no es una coincidencia, que siempre se da el caso. Se trata de una aplicación directa del Teorema 2 y de la descomposición canónica. Teorema 108 Sean a y b enteros positivos. Entonces [a; b] =

ab : (a; b)

Demostración. Sean a = p1a p2a p3a    pan y b = pb1 pb2 pb3 posiciones canónicas de a y b; respectivamente. respectivamente. Entonces 1

2

3

n

mnfa1 ;b1 g mnfa2 ;b2 g mnfa3 ;b3 g p2 p3

(a; b) = p1

1

2

3

   pbn , las descomn

   pmnnfa ;b g n

n

122


y m axf axfa1 ;b1 g m axf axfa2 ;b2 g m axf axfa3 ;b3 g p2 p3

[a; b] = p1

Por tanto,





mnfa1 ;b1 g



axf axfa ;b g    pm n n

n

m axf axfa ;b g nfa ;b g axf axfa ;b g    pm p1    pm n n mnfa ;b g+m axf axfa ;b g nfa ;b g+m axf axfa ;b g    pm = p1 n = p1a +b p2a +b    pan +b = (p ( p1a p2a p3a    pan ) pb1 pb2 pb3    pbn

(a; b) [a; b] = p1

1

1

1

1

1

1

2

2

n

2

3

1

n

n

= ab

n

1

n

n

1

n

n

n

n



n



1

Así,

2

3

n



ab (a; b)

[a; b] =

que era lo que se quería demostrar. Este teorema proporciona una segunda forma de cálcular [a; b], siempre que se conozca (a; b), como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo Ejem plo 109 Use (252; (252; 360); 360); y calcular [252 [252;; 360] 360]:: Solución. Tenga en cuenta que 252 = 22  32  7 y 360 = 23  32  5; así (252; (252; 360) = 2 2  32 = 36: 36 : Por tanto, por el teorema anterior



252 360 36 = 2520

[252;; 360] = [252

Retornando al Teorema 107, suponga que (a; b) = 1: Entonces [a; b] = ab: Corolario Corola rio 110 Dos enteros positivos a y b son primos relativos si y solo si [a; b] = ab:

Por ejemplo, ya que 15 y 28 son primos relativos, [15; [15; 28] = 15  28 = 420: 420 : Como en el caso del MCD, la idea de mcm puede también ser extendida a tres o más enteros positivos. Por ejemplo 24 = 23  3; 28 = 22  7 y 36 = 22  32 : Por tanto, axf3;2;2g axf1;0;2g axf0;1;0g [24; [24; 28 28;; 36] = 2maxf 3maxf 7maxf

= 2 3 32 71 = 504

 





3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO

123

Nuevamen Nuevamente, te, como en el caso de MCD, la recursivida recursividadd puede ser aplicada aplicada para evaluar el mcm de tres o más enteros positivos, p ositivos, como lo muestra el siguiente resultado resultado.. La prueba se deja como ejercicio ejercicio para el lector. lector. Teorema 111 Sean a1 ; a2 ;    ; an n ( 3) enteros positivos. Entonces [a1 ; a2 :

   an] = [[a [[a1 ; a2 :    an1 ] ; an ]

El siguiente ejemplo ilustra este resultado. Ejemplo Ejem plo 112 Use recursión para evaluar [24; [24; 28 28;; 36 36;; 40] : Solución. [24; [24; 28 28;; 36 36;; 40] = [[24; [[24 ; 28 28;; 36] ; 40] = [[[24; [[[24 ; 28] ; 36] ; 40] = [504; [504; 40] = [[168; [[168 ; 36] ; 40] = 2520

(Usted puede veri…car el resultado usando la descomposición canónica de 24, 28, 36 y 40.)

Los siguientes dos resultados se siguen del Teorema 110. Corolario 113 Si los enteros positivos a1 ; a2 ;    ; an son primos relativos por pares, entonces [a1; a2 ;    ; an ] = a1 a2    an : [12; 25 25;; 77] = Por ejemplo, 12, 25 y 77 son primos relativos por pares, así [12;

 

12 25 77 = 23; 23 ;100 100::

¿Es el recíproco de este resultado cierto?.

Teorema 114 Si m1 ja y m2 ja entonces [m1 ; m2 ] ja: Demostración. Llamando [m1 ; m2 ] = t , se tiene m1 jt y m2 jt: Además, si m1 jt0 y m2 jt0 , debe ocurrir que t  t0 : Se quiere probar que tja: Por el algoritmo de la división a = tq + r con 0  r < t; o de manera equivalente r = a  tq; con 0  r < t: Suponga que 0 < r < t; como m1 ja y m1 jt entonces por el Teorema 42 m1 ja  tq , es decir m1 jr: De igual forma, como m2 ja y m2 jt entonces m2 ja  tq; es decir m2 jr: Ya que por de…nición y como se enuncio inicialmente, si existe otro común múltiplo múltiplo de m1 y m2 ; este tiene que ser mayor que [m1 ; m2 ] = t; entonces r  t que contradice el supuesto que 0 < r < t; por lo tanto r = 0; 0 ; así tja:

124


Corolario 115 Si m1; m2 ;    ; mk y a son enteros positivos tales que mi ja Corolario para 1  i  k: Entonces [m1 ; m2 ;:::;m k ] ja: Demostración. (inducción fuerte sobre k) Claramente se puede ver que se cumple para k = 1; y el Teorema 113 muestra que igualmente se cumple para k = 2: 2:

Suponga que se cumple para todos los enteros desde 1 hasta t. Ahora suponga que mi ja con 1  i  t+1: +1: Entonces por hipótesis de inducción [m1 ; m2 ; : : : ; mt ]ja y además mt+1 ja; así, otra vez por la hipótesis, [[m [[m1 ; m2 ; : : : ; mt ]; mt+1 ]ja; esto es, [m1 ; m2 ; : : : ; mt+1 ]ja por el Teorema 110. Luego, por inducción, el resultado es verdadero para cada entero k.

Ejercicios 3.4

Marque verdadero o falso, asumiendo que a,b y c son enteros positivos arbitrarios y p es un número primo. 1. El mcm de dos primos es su producto. 2. El mcm de dos enteros positivos consecutivos es su producto. 3. El mcm de dos primos distintos es su producto. 4. Si (a; b) = 1; entonces [a; b] = ab: - a; entonces [p; a] = pa: 5. Si p - a;

6. Si (a; b) = 1; entonces a = 1 = b: 7. Si [a; b] = b; entonces a = 1: 1: 8. Si [a; b] = b; entonces ajb: 9. Si [a; b] = ab; entonces a = b: 10. Si [a; b] = ab y [b; c] = bc; entonces [a; c] = ac: Encuentre el mcm de cada par de enteros. 11. 110 110;; 210 12. 65 65;; 66 Encuentre [a; b] si 13. ajb 14. bja 15. a = 1 16. a = b 17. a y b son distintos primos.

3.4. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO MÚLTIPLO 18. b = a + 1 Encuentre [a; b] si 19. (a; b) = 3 y ab = 693: 693: 20. ab = 156 y a y b son primos relativos. 21. Encuentre el entero positivo a si [a; a + 1] = 132: 132 : 22. Encuentre el par de primos p y q tal que [p; q ] = 323: 323 : Encuentre los enteros positivos a y b tales que 23. (a; b) = 20 y [a; b] = 840 24. (a; b) = 18 y [a; b] = 3780 25. ¿Cuál es su conclusión si (a; b) = [a; b]? ¿Por qué? Usando recursividad, encuentre el mcm de los enteros dados. 26. 12 12;; 18 18;; 20 20;; 28 27. 12 12;; 15 15;; 18 18;; 25 25;; 20 a;b;c] = abc=( abc=(a;b;c) a;b;c) 28. Pruebe o refute: [a;b;c]

125

126



En el presente taller se de…ne y se explorará una función que permita calcular el mcm de dos o más números.


La función que se utilizará en este taller se de…ne como LCM(m1,m2,...,mn) y permite calcular el mcm de los n números m1 ; m2 ;:::;m n :

Actividades

Mediante la opción “LCM(m1,m2,...,mn)” en Derive Derive es posible calcul calcular ar el mcm de un conjunto de números, por ejemplo, la simpli…cación de la expresión LCM(12,18)

arroja como resultado el valor 36 que es le mcm de los dos números 12 y 18. La función permite calcular la el mcm de más de dos números enteros, es así como la simpli…cación de LCM(12,18,28)

arroja como resultado el valor 252 y la simpli…cación de LCM(12,36,60,108)

da como resultado 540, que son los mcm de los conjuntos de números respectivamente.

3.5. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES DIOFÁNTICAS DIOFÁNTICAS

127

3.5.. Ecuaci 3.5 Ecuacion ones es Line Lineale aless Diof Diofán ántic ticas as Frecuentemente se está interesado en soluciones enteras de ecuaciones con diofánticas, coe…cientes enteros. Tales ecuaciones son llamadas ecuaciones diofánticas, después de Diofanto, quien escribió extensivamente sobre éstas. Por ejemplo, cuando se restringe la solución a enteros, las ecuaciones 2x + 3y = 4; 4 ; x 2 + y2 = 1 y x2 + y 2 = z 2 son ecuaciones diofánticas. 3 y = 4 son puntos Geométricamente, tales soluciones de la ecuación 2x + 3y sobre la línea 2x + 3y 3 y = 4 con coordenadas enteras. Puntos con coordenadas látices. Por ejemplo, (1; 2) es una de tales soluenteras son llamados puntos látices. ciones; en efecto, ésta tiene in…nitas soluciones de la forma ( 2 + 3t; 3t; 2t); donde t es un entero arbitrario. La ecuación diofántica x2 + y 2 = 1 tiene exactamente cuatro soluciones: (1; 0) y (0; (0; 1); 1); los puntos donde el círculo unitario x2 + y2 = 1 intersecta a los ejes. Las soluciones de la ecuación diofántica x2 + y2 = z 2 representa la longitud de los lados de un triángulo rectángulo; (3; (3; 4; 5) es una solución. Esta ecuación también tiene un número in…nito de soluciones.

Ecuaciones Lineales Diofánticas

La clase más simple de ecuaciones diofánticas es la clase de ecuaciones lineales diofánticas (ELDs). Una ecuación líneal diofántica en dos variables x y y es una ecuación de la forma ax + by = c: La solución de tal ELD envuelve sistemáticamente sistemáticamente el algoritmo de euclides, como se verá a continuación. Primero se estudiarán ELD en dos variables. Las ELDs se conocían en China antigua e India y sus usos se daban en astronomía y cribas. El primer problema es debido al matemático indio Mahavira (año 850 a.c.). Ejercicio 116 Veintitrés viajeros cansados entraron a un bello bosque. Allí encontraron 63 montones de plátanos y siete platanos sueltos y los dividieron en igual número entre ellos. Encuentre el número de platanos que había en cada montón. Solución. Denote por x el número de plátanos en cada montón y y el número de plátanos recibido por cada viajero. Entonces se obtiene la siguiente ELD 63 63x x + 7 = 23y 23y

Ya que ambos, x y y son enteros positivos, el interés recae solamente en encontrar las soluciones enteras positivas de la ELD. Resolviendo la anterior ecuación para y; se tiene y=

63 63x x+7 23

Cuando x > 0; claramente y > 0: Entonces, se ensaya con los valores 1, 2, 3 y así sucesivamente para x; hasta que el valor de y sea un entero.

128


x y

1 70 70= =23

2 133=23

3 196=23

4 252=23

 

5 14

28 77

 

De la Tabla se sigue que para x = 5 , y = 28 es una solución. Se puede veri…car que x = 28 28;; y = 77 es otra solución. Efectivamente, se puede mostrar que la ELD tiene in…nitas soluciones.

Otro antiguo enigma, llamado el problema de las cien aves, aves, se encuentra en un Clásico Matemático , el libro del siglo sexto de la matemática china llamado llamado el Chang Chiu-chien . Ejercicio 117 ¿Si un gallo vale cinco monedas, una gallina tres monedas, y tres polluelos juntos una moneda, cuántos gallos, gallinas, y polluelos, que sumen 100, pueden ser comprados con 100 monedas? Solución. Denote con x el número de gallos, con y el números de gallinas y con z el número de polluelos. Claramente x, y y z son enteros positivos, cero en su defecto. Entonces los datos que se suministran se condensan en el siguiente par de ELDs x+y+z z 5x + 3y 3y + 3

= 10 0 = 10 0

Despejando z de la primera ecuación ( z = 100  x  y) y sustityendo en la segunda se tiene 5x + 3y 3y +

1 (100 3

 x  y) = 100

Esto es, 7x + 4y 4y y

= 100 100 =

 7x = 25  7 x

4

4

Así, para que y sea un entero, 7=4x debe ser entero; pero 4 - 7; x debe ser un 4 t; donde t es entero. Entonces, múltiplo de 4: x = 4t; y = 25

 74 x = 25  74 (4t (4t) = 25  7t

y z = 100

 x  y = 100  4t  (25  t) = 75 + 3t 3t

Así, toda solución del rompecabezas es de la forma x = 4t; y = 25  7t y z = 75 + 3t; 3t; donde t es un entero arbitrario. Ahora, para encontrar la solución del rompecabezas, se procede de la siguiente 25==7; forma: Ya que x  0; t  0: Además ya que y  0; 25  7t  0; esto es t  25


129

así t  3: Y ya que z  0; 75 + 33tt  0; esto es t  25; pero esto no da información adicional, así que se concluye que 0  t  3: Por tanto, la criba tiene cuatro posibles soluciones, estas corresponden a t = 0; 1; 2 y 3 : x = 0; y = 25, z = 75; x = 4; y = 18, z = 78; x = 8; y = 11, z = 81; y x = 12; 12 ; y = 4 , z = 84: 84 :

Teorema 118 La ELD ax + by = c es tiene solución si y solo si djc, donde d = (a; b): Si x0 ; y0 es una solución particular de la ELD, entonces todas sus soluciones estan dadas por b x = x0 + t d

a d

y y = y0  t

donde t es un entero arbitrario.

Demostración. La prueba consiste en cuatro partes: Si la ELD tiene solución, entonces djc: Si djc entonces la ELD tiene solución. x = x0 + db t y y = y0

 ad t es una solución de la ELD.

Toda solución de la ELD es de esta forma. Se probará cada parte una a una en este orden. Si la ELD tiene solución, entonces djc :

Suponga x =  y y =  es una solución. Entonces a + b = c

Ya que d = (a; ( a; b); dja y djb; así dja + b esto es djc: Para probar que si djc entonces entonces la ELD tiene solución: solución:

Suponga que djc: Entonces c = de para algún entero e: Ya que d = (a; b) existen enteros r y s tales que ra + sb = d: Multiplicando ambos lados de la ecuación por e se obtiene rae + sbe = de

Esto es, a(re) re) + b(se) se) = c

Así, x0 = re y y0 = se es una solución de la ELD; esto signi…ca que tiene solución. Para mostrar que x = x0 + db t y y = y0  ad t es una solución de la ELD:

130


Se tiene que ax + by



 

b a a x0 + t + b y0 t d d abt abt (ax0 + by0 ) + d d ax0 + by0 c

=







= = =

De esta forma x = x0 + db t y y = y0  ad t es una solución para cualquier entero t. Para mostrar que toda solución x0 , y0 es de la misma forma: Ya que x0 ; y0 y x0 ; y0 son soluciones de la ELD, se tiene que: ax0 + by0 = c y ax0 + by0 = c

entonces Por tanto,

ax0 + by0 = ax0 + by0 a(x0

 x0) = b(y0  y0)

(3.8)

dividiendo ambos lados de la ecuación por d : a 0 (x d

 x0) = db (y0  y0)

Por el Teorema 71, (a=d; a=d; b=d) b=d) = 1; así por el Corolario 80, b 0 tanto x  x0 = d t para algún entero t: Esto es,

b d

j(x0  x0) y por

b x0 = x0 + t d

Ahora sustituyendo x0  x0 en la ecuación (3.8), se tiene a



b t = b(y0 y 0 ) d a t = y0 y 0 d a y 0 = y0 t d



 

Así toda solución de la ELD es de la misma forma.

Observación

Se sigue del teorema que si la ELD ax + by = c tiene solución, entonces tiene in…nitas soluciones. Estas soluciones estan dadas por la solución general b x = x0 + t y y = y0 d

 ad t


131

siendo t un entero arbitrario. Dando a t diferentes valores, es posible encontrar cualquier número de soluciones particulares. Este teorema tiene un corolario interesante y útil. Corolario 119 Si (a; b) = 1; entonces la ELD ax + by = c tiene solución y la solución general está dada por x = x0 + bt y y = y0  at; donde x0 ; y0 es una solución particular. Ejemplo 120 Determine si las ELDs 12 Ejemplo 12x x+18 +18yy = 30; 30 ; 2x+3y +3y = 4 y 6x+8y +8y = 25 tienen solución. Solución. (12; (12; 18) = 6 y 6 30 30;; la ELD 12 12x x + 18y 18y = 30 tiene solución.

j

(2; (2; 3) = 1; 1; así por el Corolario 119, la ELD tiene solución. (6; (6; 8) = 2 y 2 - 25 - 25;; así que la ELD 6x + 8y 8y = 25 no tiene solución.

Ejemplo 121 Encuentre la solución general del problema de Mahavira planteaEjemplo do en el Ejemplo 116. Solución. 63x x  23 23yy = 7: Ya que (63; (63; 23) = 1; 1; La ELD en el problema de Mahavira es 63 la ELD tiene solución. Para encontrar una solución particular x0 ; y0 primero se expresa el MCD 1 como combinación lineal de 63 y 23, aplicando primero el algoritmo de Euclides: 63 23 17 6 5

= = = = =

2 1 2 1 5

 23 + 17  17 + 6 6+5 5+1 1+0

Ahora usando las ecuaciones en orden inverso: 1 = = = = = = =

              

6 1 5 6 1(17 2 6) 3 6 1 17 3(23 1 17) 1 17 3 23 4 17 3 23 4(63 2 23) ( 4)63 + 11 23



 

  

132


Multiplicando ambos lados de la ecuación por 7 :

7

     



= ( 7)( 4)63 + ( 7)11 23 = 63 28 23 77

28 ; y0 = 77 es una soluci’on particular de la ELD. luego x0 = 28; Por tanto, por el Corolario 119, la soluci’on general está dada por x = x0 + bt = 28  23 23tt y y = y0  at = 77  63 63t; t; donde t es un entero arbitrario.

3.5.1. 3.5 .1. Mé Método todo de de Euler Euler para para la soluci solución ón de ELDs ELDs Euler inventó un método para solucionar ELDs que emplea el algoritmo de la división, pero no el algoritmo euclideo. Ejemplo 122 Resuelva la ELD 1076 Ejemplo 1076x x + 2076 2076yy = 3076 por el método de Euler. Solución. Ya que (1076; (1076; 2076) = 4 y 4j3076 3076;; la ELD tiene in…nitas soluciones. El método de Euler implica la solución de la ELD para la variable con más pequeño coe…ciente, x en este caso: x = =

2076 2076yy + 3076 1076 1000yy + 924 y + 2 + 1000 1076

(3.9) por el algoritmo de la división (3.10)

1000 y+924 Sea u = 1000y : (Note que u es un entero. ¿Por qué?) De esta expresión 1076 se obtiene la ELD

1076u 1076 u + 1000y 1000y = 924

Esta ELD tiene coe…cientes más pequeños que la original. Resolviendo para y : y

= =

Sea v =

1076 1076u u + 924 1000 76u u + 924 u + 76 ;

76u 76u+924 ; 1000

1000

(3.11) por el algoritmo de la división

(3.12)

de donde 76 76u u + 1000 1000vv = 924

resolviendo para u : u = =

1000 1000vv + 924 76 12 12vv + 12 13 13vv + 12 + ; 76

(3.13) por el algoritmo de la división (3.14)

3.5. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES DIOFÁNTICAS DIOFÁNTICAS Sea w =

12v 12v+12 ; 76

133

así 12 12vv + 76w 76w = 12

resolviendo para v : v=

76 76w w + 12 w = 6w + 1  12

3

Ya que v es un entero, w=3 w=3 debe ser un entero también, así que w=3 w=3 = t: Para obtener una solución particular, se hace t = 0; entonces w = 0 y trabajando con las ecuaciones (3.9), (3.11) y (3.13) en el orden inverso: v

=

u = y

=

x =

6w + 1  w3 = 6(0) + 1  03 = 1 1000 1000(1) + 924 = 1 1000vv + 924 = 76 76 1076 1076(1) + 924 = 2 1076u u + 924 = 1000 1000 2076 2076yy + 3076  2076(2) + 3076 = = 1 1076

1076

Puede veri…carse que x0 = 1; y0 = 2 es en efecto una solución de la ELD. Para encontrar la solución general, con t como entero arbitrario, usando sucesivas sustituciones, nuevamente en orden inverso: w v

= 3t = 6w + 1

  w3 = 19 19tt + 1 u = 13 13vv + 12 + w = 250t 250t  1 y = u + v = 269 269tt + 2 x = y + 2 + u = 519t 519t  1 Así la solución general es x = 519t 519t  1; y = 269 269tt + 2: 2: Teorema 123 La ELD a1 x1 + a2 x2 +    + an xn = c tiene solución si y solamente si (a1 ; a2 ;:::;a n )jc: Cuando ésta es soluble, soluble, tiene in…nitas in…nitas soluciones. soluciones. Ejemplo 124 Determine si las ELD 6x + 8y + 12 Ejemplo 12zz = 10 y 6x + 12 12yy + 15 15zz = 10 tienen solución. Solución. (6; 8; 12) = 2 y 2j10 10;; la ELD 6x + 8y 8y + 12z 12z = 10 tiene solución. Ya que (6; (6; (6; 12 12;; 15) = 3; 3; pero 3 - 10 luego 6x + 12y 12y + 15z 15z = 10 no tiene soluciones soluciones

enteras.

134


Se concluye esta sección con un ejemplo que ilustra la solución de ELDs con tres variables. variables. Encuentre la solución solución general general de la ELD 6x + 8y Ejemplo Ejem plo 125 Encuentre 8y + 12z 12z = 10: 10 : Solución. Por el ejemplo precedente, la ELD 6x + 8y + 12 12zz = 10 tiene 12z es una combinación lineal de 8 y 12, esta in…nitas soluciones. Ya que 8y + 12z (8; 12) = 4 . Así combinación es múltiplo de (8;

(3.15)

8y + 12z 12z = 4u 4u

4 u = 10 10:: Resolviendo Esto permite obtener la ELD en dos variables: 6x + 4u ésta se tiene

 

   

2 = 1 6 + ( 1) 4 10 = 5 6 + ( 5) 4

luego x0 = 5; u0 = 5, de donde x = 5 + 2t y u = arbitrario. Ahora sustituyendo u en la ecuación (3.15):

5  3t con t un entero

  3t )

8y + 12z 12z = 4( 5

(8; 12) = 4 y 4 = 1  8 + 1  12 12;; por tanto Note que (8;

  3t) = (5 + 3t 3 t)  8 + ( 5  3t)  12

4( 5

Así, por el Teorema 118, la solución general de la ecuación (3.15), asumiendo como soluciones particulares y0 = 5 + 3t; 3 t; z0 = 5  3t y parámetro t0 es y = 0 0 5 + 3t + 3t 3 t ; z = 5  3t  2t : De esta forma la solución general de la ELD dada es x = 5 + 2t y = 5 + 3t + 3t 3t0 z = 5 3t 2t0

  

donde t y t0 son enteros arbitrarios.

Obviamente, este método de reducir el número de variables puede ser ampliado a ELDs con cualquier número …nito de variables.

Ejercicios 3.5

Usando el Teorema 118 determine si cada una de las ELDs tiene solución. 1. 12 12x x + 16y 16y = 18 14x x + 16y 16y = 15 2. 14

3.5. ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES DIOFÁNTICAS DIOFÁNTICAS 3. 12 12x x + 13y 13y = 14 4. 28 28x x + 91y 91y = 119 5. 1776 1776x x + 1976y 1976y = 4152 6. 1076x 1076x + 2076y 2076y = 1155 Encuentre la solución general de cada ELD usando el Teorema 118. 7. 2x + 3y 3y = 4 8. 12 12x x + 16y 16y = 20 9. 12 12x x + 13y 13y = 14 10. 15 15x x + 21y 21y = 39 28x x + 91y 91y = 119 11. 28

12. 1776x 1776x + 1976y 1976y = 4152 Determine si cada ELD tiene solución. 13. 2x + 3y 3y + 4z 4z = 5 14. 8x + 10y 10y + 16z 16z = 25 15. 12 12x x + 30y 30y  42 42zz = 66 16. 76 76w w + 176x 176x + 276y 276y + 376z 376z = 476 Resuleva las siguientes ELDs. 17. x + 2y 2y + 3z 3z = 6 18. 2x  3y + 4z 4z = 5 19. 6x + 12y 12y  15 15zz = 33 20. 12 12x x + 30y 30y  42 42zz = 66

135

136


Apéndice A

Una Introducción al paquete DERIVE A.1. A.1. ¿QUÉ ¿QUÉ ES DERI DERIVE VE?? Derive es un programa de cálculo simbólico, o en otras palabras un lenguaje de programación de alto nivel, ofreciendo al usuario unas características particulares tales como: 1. Tiene la posibilidad de de ingresar expresiones de tipo racional, como por ejemplo 2=9 sin la necesidad de operar con su resultado inmediato = 0;222 222 22, aunque también se puede ingresar éste para efectuar las debidas operaciones matemáticas. 2. Permite la manipulación de variables sin asignación, lo que indica que podemos emplear expresiones no numéricas, obteniendo así expresiones de tipo algebraico donde los datos ingresados no han de ser necesariamente valores valores numéricos. 3. Soportan estructuras de datos de tipo vectorial y matricial. 4. Admiten realizar programaciones, aunque DERIVE utiliza una programación funcional en algunos casos muy poco operativa.

137

138

APÉNDICE A. UNA INTRODUCCI INTRODUCCIÓN ÓN AL PAQUETE PAQUETE DERIVE

A.2. RECUEN RECUENTO TO DE LOS PRINCI PRINCIP PALES COMANDOS A continuación, vamos a describir brevemente los comandos funcionales del software Derive 6.0 , así como los principales íconos que se emplearan con mayor frecuencia a lo largo del trabajo aplicativo. Al ingresar por primera vez a Derive , podremos observar la pantalla:

En ella podemos identi…car los comandos que abarcan desde la parte superior hasta la inferior, los cuales, describiremos a continuación:

A.2.1. Barra de Títulos En ésta aparece el nombre del programa, así como el nombre que le hemos asignado a nuestro archivo en Derive, para este caso Álgebra 1 que es otorgado automáticamente por el software. Adicionalmente los botones de minimizar, maximizar y cerrar la ventana.

A.2.2. Barra de Menú En ésta aparecen las funciones básicas de Derive, clasi…cadas en forma de menú. Los menús principales son; Archivo, edición, editar (autor), simpli…car, resolver, cálculo, de…nir, opciones, ventana y ayuda. Para acceder a ellos podemos hacerlo de dos maneras: La primera, dando clic con el mouse sobre el comando, desplegando así el grupo de subcomandos que lo contiene, la segunda„ aplicar

A.3. APLICACIONES APLICACIONES CON CON DERIVE DERIVE

139

la secuencia ALT+(Letra Subrayada), por ejemplo para desplegar el comando Edición, pulsaría la secuencia ALT+E.

A.2.3. Barra de herramientas o de órdenes En la barra de herramientas se encuentran los iconos que representan los comandos utilizados con mayor frecuencia, tales como; Nuevo, guardar, simpli…car, sumatoria, límite, etc.

A.2.4. Ventana de álgebra Aquí aparecen las operaciones que queremos efectuar luego de ser ingresadas en la barra de introducción de expresiones, estas aparecen antecedidas por etiquetas como: #1, #2, etc.

A.2.5. Barra de estado En la barra de estado recibimos mensajes del programa con relación a las operaciones que estamos ejecutando.

A.2.6. Barra de introducción de expresiones Llamada también línea de edición, nos permite introducir las expresiones matemáticas que después serán visualizadas en la ventana de álgebra.

A.2.7. Barra de de letras griegas y símbolos matemáticos En ella tenemos disponibles un conjunto de letras y símbolos de los cuales podemos disponer a la hora de efectuar los cálculos en la línea de edición con solo dar clic con el mouse sobre cada botón.

A.3. A.3. APLIC APLICA ACIONE CIONES S CON DERI DERIVE VE A.3.1. Introducir expresión Luego de una breve introducción a nuestro software derive , procederemos con la aplicabilidad del mismo. Lo primero que vamos a hacer es incorporar una expresión matemática, sea la ecuación x2  4x + 16 = 0 , dicha expresión. Para ingresarla, iremos a la barra de menús, tomamos la opción introducir y damos clic en donde aparece Expresión (o bien se puede solo presionar F2). Luego en la barra de introducción de expresiones el cursor empezará a titilar, esperando a que se introduzca la ecuación. También podemos simplemente dirigirnos directamente a la barra de introducción de expresiones e ingresar la ecuación. Para elevar la x al cuadrado, como opción se tiene en la barra de símbolos matemáticos la tecla ^, tan solo

140


la pulsamos y enseguida tomara el valor anterior como un término elevado a la potencia que el usuario de…na. A continuación para verla en la ventana de álgebra, pulsamos Enter en donde nuestra ecuacion aparecerá precedida de la etiqueta #1, así

A.3.2. Simpli…car Expresiones Normal

Para simpli…car normal, se hace clic sobre =, o simplemente simplemente se pulsa Ctrl+B. Sirve para simpli…car numérica y algebraicamente algebraicamente expresiones matemáticas. Esta orden simpli…ca la expresión o la subexpresión resaltada y muestra el resultado en la Ventana de Álgebra. El resultado se resalta y recibe una etiqueta (un número con #). Si se quiere ver tanto la expresión de entrada como el resultado una vez simpli…cado en una sola línea, introduzca la expresión seguida de un signo igual (=) y haga clic sobre Sí. Derive muestra una ecuación cuyo segundo término es el resultado de simpli…car el primer término. El segundo objetivo de simpli…car normal es transformar las expresiones en otras que sean lo más pequeñas posibles, ya que así ocupan menos espacio para ser almacenadas. Según como sea la expresión, puede que tarde mucho en ser simpli…cada. Después de algunos segundos, el diálogo Progreso del Cálculo aparecerá indicando: 1. La expresión que está siendo simpli…cada 2. La cantidad de tiempo utlizada en simpli…car la expresión 3. El porcentaje de la memoria que está siendo usada para simpli…car la expresión. Expandir

El objetivo de expandir una expresión con respecto a unas variables es maximizar el número de términos que son algebraicamente independientes respecto de esas variables. Use simpli…car expandir, pulsando Ctrl+E o use la función EXPAND para expandir una expresión o subexpresión con respecto de algunas (o todas) de sus variables. Si una expresión polinómica se expande, se obtiene justamente la expansión de ese polinomio. Si se expande una expresión racional, se obtiene su descomposición en fracciones simples. Notemos que simpli…car expandir y la función EXPAND no controlan expansiones exponenciales, logarítmicas ni trigonométricas. Simpli…car expandir expande la expresión resaltada o sólo la subexpresión resaltada. Es este último caso, el resultado será una copia de la expresión en la que se ha expandido la subexpresión resaltada. Una expresión que contiene más de una variable puede ser expandida con respecto a algunas o a todas sus variables. Simpli…car expandir muestra una lista de las variables. Pulse Enter

A.3. APLICACIONES APLICACIONES CON CON DERIVE DERIVE

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si la expansión quiere hacerla con respecto a todas las variables en el orden mostrado. De otro modo, entre la primera variable, la secundaria, etc. La función EXPAND EXPAND puede usarse para introducir directamente la expresión EXPAND(u, , x, y,...) y,...) expande la expresión u(x, que se quiera expandir así: EXPAND(u y,...) con respecto a las variables x, y,... y,... Si no se especi…can las variables, la expansión se hace con respecto a todas las variables de la expresión. También se usa Simpli…car expandir y la función EXPAND para descomponer en fracciones simples una expresión racional (o una subexpresión) con respecto a alguna o a todas las variables de su denominador. Factorizar

Utilice simpli…car factorizar, pulsando Ctrl+F o use la función FACTOR para factorizar una expresión o subexpresión con respecto a alguna o a todas sus variables. Simpli…car factorizar, factoriza la expresión o subexpresión resaltada, de modo que si se resalta una subexpresión, el resultado es una copia de la expresión completa en la que sólo la subexpresión se ha factorizado. Una expresión de varias variables puede ser factorizada con respecto a algunas o a todas sus variables. Simpli…car factorizar le permite seleccionar las variables para la factorización. Haga clic sobre la que quiera que sea la primera, la segunda, etc. Las subexpresiones que no contienen las variables de factorización se simpli…can sin ser transformadas innecesariamente. En otras palabras, las subexpresiones que sólo contienen variables que no son las de factorización no son expandidas ni factorizadas innecesariamente. Las potencias de exponentes semejantes se reúnen y se simpli…can. La función FACTOR puede usarse desde FACTOR(u, , amount, amount, x, y,...) y,...) factoriza la expresión la línea de entrada como: FACTOR(u u(x, y,...) y,...) con respecto a las variables x, y,... y,... Si no se indican variables, la expansion se hace con respecto a todas ellas. Aproximar

Utilice simpli…car aproximar, pulsando Ctrl+G o usando la función APPROX que sirve para aproximar los números irracionales en tales expresiones sin cambiar la precisión. Resolver expresiones usando aproximar es equivalente a reducir expresiones con simpli…car normal pero cambiando temporalmente la precisión aproximada y la notación cientí…ca. Simpli…car aproximar permite además introducir el número de dígitos de precisión que se usarán en los cálculos y que se mostrarán en el resultado. La función APPROX puede usarse de forma equivalente en la línea de entraAPPROX (u, n) aproxima la expresión u usando n dígitos de precisión. Si da así: APPROX se omite n, se toma el número seleccionado actualmente por defecto en Derive. Señalemos que tanto simpli…car expandir, factorizar, aproximar como simpli…car normal transforman una expresión en otra en forma su…cientemente simple. Sin

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embargo, simpli…car normal es casi siempre mucho más rápida y usualmente proporciona un tipo de expresión más parecida a la expresión original.

A.3.3. Introducir vector Para introducir un vector, realizaremos el proceso que empleamos al insertar una expresión, es decir, nos dirigimos al menú introducir solo que ésta vez damos clic en donde aparece vector (otra manera es oprimir en la barra de ordenes la opción introducir vector). A continuación, nos mostrara una ventana en donde solicitará el número de elementos de dicho vector, para nuestro ejemplo elegiremos 4 y damos Sí a la ventana. Nuevamente, aparecerá una ventana en donde la parte superior describirá el número de elementos que hemos seleccionado; allí ingresaremos los valores de nuestro vector por ejemplo ingresemos los números [1, 3, 5, impares del 1 al 7 al dar Sí, en la ventana de álgebra se obtendrá [1, 7].

A.3.4. Introducir Matriz De igual igual forma que para montar montar un vector, vector, Derive Derive ofrece la opción en el menú introducir para insertar una matriz (o en la barra de ordenes oprimir introducir matriz). Al pulsar en ella aparecerá el cuadro de diálogo similar a introducir vector, solo que esta vez solicitara que demos las dimensiones (…las y columnas), ingresemos las opciones de 4 …las y 4 columnas, luego asociemos a cada celda un número, tomemos como ejemplo los números f2; 3; 4; 5g en la primera …la, f3; 4; 5; 6g en la segunda …la, f4; 5; 6; 7g en la tercera …la, y f5; 6; 7; 8g en la cuarta …la luego demos Sí para que genere nuestra matriz:

2 64

2 3 4 5

3 4 5 6

4 5 6 7

5 6 7 8

3 75

Ahora, de forma manual pulsamos F2 y en la barra de introducción de expreVECTOR OR(V (VEC ECTO TOR( R((j (j + k), k), j, 1, 4), 4), k, 1, 4) , en donde j siónes escribimos: VECT y k varian desde uno hasta cuatro para cada uno de los valores.

Libro Teoría de Números

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