Lecciones de mecanica de fluidos.pdf

el Celemín  Matachana

WEJD UNIVERSIDAD DE LEON 1996

LECCIONES  DE MECANICA DE FLUIDOS

VII

INDICE

XV

INTRODUCCION ler   Tema:  Estática de fluidos

.»

1'  Lección

1.1.1. Fluidos:   definición y  clasificación 1.1.1.1.   Clasificación 1.1.2. Concepto de  presión 1.1.2.1. Unidades 1.1.2.2. Isotropía  de la  presión 1.1.3. Densidad y compresibilidad 1.1.4. Aplicación:  estudio de la  compresión isoterma isoterma del aire en una  tubería

1 2 3 4 5 6 10

2' Lección

1.2.1.  Ecuación  fundamental de la  estática  de de fluidos 1.2.1.1.  Presión atmosférica 1.2.1.2.   Presión hidrostática 1.2.2. Principio de  Pascal 1.2.3.  Barómetros 1.2.3.1. Tipos de   barómetro 1.2.4.  Manómetros 1.2.4.1.  Piezómetros 1.2.4.2.   Manómetros de  líquido 1.2.4.3.  Manómetros metálicos 1.2.4.4.  Empleo de los distintos   manómetros 3*  Lección — 

 ——  ———• 

——-—

14 16 17 18 20 23 26 28 29 30 31 —

 

1.3.1. Principio de   Arquímedes: la  subpresíón 1.3.2. Equilibrio  de los  cuerpos  su sumergidos 1.3.3. Determinación  de la densidad de  sólidos y  líquidos 1.3.3.1.  Análisis granulométrico por   sedimentación -

4   Lección 1

—-—

1.4.1.  Sistema de  fuerzas  hidrostáticas  sobre una una superficie  plana  plana sume sumerg rgid idaa 1.4.1.1. Momentos de inercia de un   área 1.4.2. Aplicación: equilibrio de un azud 1.4.3.  Fórmula  de de Mariotte 5*  Lección

32 36 40 44   48 52 54 57

 — 

1.5.1.  Fuerzas  in intermoleculares 1.5.2.  Tensión  su superficial 1.5.2.1. Unidades 1.5.3.  Sobrepresión  de de curvatura 1.5.4.  Formación de  meniscos

59 61 64 65 67

VIII

1.5.5.  Ca Capilaridad 1.5.6. Aplicación:  ascenso  de la savia en  árboles y  plañías

2   Tema:  Cinemática  de fluidos 9

68 70

1

1*  Lección 2.1.1. Descripción  del movimiento de un  fluido: métodos de Lagrange y Euler 2.1.2. Lfnea de corriente, de trayectoria y de traza 2.1.3.  Clasificación macroscópica del movimiento movimie nto de un fluido 2.1.4. Otras clasificaciones 2.1.5. Concepto de caudal 2.1.6.  Ecuación de continuidad 2.1.7.  Aceleración

72 73 75 78 79 81 84

3er Tema:  Dinámica  de fluidos 1* Lección 3.1.1.  Teorema de  Bernoulli 3.1.1.1.  Representación gráfica   del teorema de  Bernoulli 3.1.1.2.  Cálculo del  trinomio de  Bernoulli 3.1.2. Teorema de  Torricelli 3.1.3. Tubo de   Venturi 3.1.4. Tubo de Pitot 3.1.5. Tubo de Prandtl 3.1.6. El sifón

87 98 100 102 102 103 106 108 110 110

2* Lección 3.2.1.  Estudio de la viscosidad 3.2.1.1.   Unidades 3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad 3.2.1.3.  Medición  de la viscosidad 3.2.2.  Máquinas hidráulicas 3.2.3.  Generalización   del teorema de  Bernoulli 3.2.3.1.  Gráfico de  energía 3.2.4. Estudio del movimiento de un   fluido  real 3.2.4.1.  Bernoulli  entre las las secciones 1 y 2 (Fig. (Fi g. 3.2.7) 3.2.7) 3.2.4.2.  Bernoulli  entre las secciones 2 y 3 (Fig. 3.2.7) 3.2.4.3. Bernoulli  entre las las  secciones 1 y 4 (Fig (F ig.. 3.2.7) 3.2.7)

113 117 119 122 124 125 128 132 132 137 138

3* Lección 3.3.1. Régimen laminar y turbulento 3.3.1.1.  Capa  límite 3.3.2.  Fórmula de Poiseuille 3.3.3.  Fórmula de Darcy-Weisbach 3.3.4. Ley de  Stokes Aplicaciones 3.3.4.1.  Ap

140 146 146 147 151 153 157

Ejercicio  n°l de fuerzas hidrosíáticas,  equivalencia  mecánica de siste  mas de  de  fuerzas, centro de centro de áreas, equilibrio del sólido rígido Sistemas

Ejercicio  n°2  Reducción de sistemas de fuerzas,  de fuerzas, barras articuladas cargadas en  nudos, equilibrio del sólido rígido. Ejercicio n ^ subpresión, centro de  de áreas, reducción de sistemas de  Fuerzas  Fuerzas de subpresión, centro  fuerzas,  equilibrio del sólido rígido. 1

Ejercicio  n°4  Fuerzas  Fuerzas h'tdrostáticas sobre área  circular, momento de inercia,  centro   centro  de áreas, centro áreas, centro de  de presión,  estabilidad  al   al  vuelco.   vuelco. Ejercicio  n°5 metacentro,  empuje de Centro de   carena, centro de  gravedad,  metacentro,   Arquímedes,  equilibrio de  cuerpos flotantes. Ejercicio  n°6  Empuje  Empuje de Arquímedes,  peso y peso específico,   específico,  centro de carena, equilibrio de cuerpos flotantes. Ejercicio n 7  Distribución de velocidad  en   en régimen permanente y  uniforme,  cál  a partir de la definición y por aplicación del   segundo  culo del   caudal  a  teorema de Guldin. D

Ejercicio n 8  Estudio  Estudio del   movimiento  de una partícula de fluido por aplicación  de la  segunda ley de Newton,  teorema de  Torricelli. a

Ejercicio  n°9  Aplicación del  teorema  flu ido ideal,   ecuación   teorema de Bernoulli a un fluido  general   de la estática de fluidos, de fluidos, principio de continuidad.

X

n°10 Ejercicio   n°  Aplicación del   teorema de  Bernoulli  generalizado a un fluido  real,  cálculo del   coeficiente  de fricción por  aproximaciones  sucesivas,  principio de  continuidad,  número de Reynolds. Gráfico de energía. n°ll Ejercicio  n°  Aplicación del   teorema de Bernoulli generalizado a un fluido real,  pérdidas  localizadas de carga,  de  carga, presión manométrica y  absoluta,  defini  ción de caudal. Gráfico de energía

189

194 194 195

199 199

n°12 Ejercicio  n°  Estudio  Estudio de una elevación de agua mediante el   teorema de Bernou lli  generalizado,  determinación de la carga hidráulica y obtención de ¡a  potencia  teórica de ¡a bomba,  definición de caudal.

200

n°13 Ejercicio  n° Cálculo de la carga hidráulica necesaria  hidráulica necesaria para la elevación de agua entre depósitos  mediante  la aplicación del   teorema de Bernoulli generali  zado,  definición de  caudal, potencia  teórica de una bomba. Gráfico de energía

203

Ejercicio n 14  Aplicación del   teorema de Bernoulli  generalizado a una impulsión  de agua entre  depósitos, consideración de tuberías de características  geo  métricas  distintas  y de pérdidas de carga localizadas y  unitarias, principio unitarias, principio  de  continuidad. Gráfico de energía D

206 206 207

210

211 Ejercicio n 15  Resolución de un  sistema de tuberías, con punto  alto  interme  dio , por  doble aplicación del   teorema de  Bernoulli generalizado, principio  de  continuidad, pérdidas  localizadasy unitarias. Gráfico de energía 215 215 B

XI

Práctica n l : Aparatos para para la medida medida de presiones presiones en  fluidos

219

Práctica  n°2: Estudio de la  distribución  de fuerzas  hidrostáticas sobre superficies sumergidas

229

n° 3: Teorem Teoremaa de  Bernoulli Práctica n°3:

247

Apéndice   n°l: Programa  REMICUAD.BAS.

271

Apéndice n°2: Pérdida de carga en un cono convergente.

281

Bibliografía.

285 285

e

XIU

PRÓLOGO Estas  "Lecciones de   Mecánica  de Fluidos" han venido siendo   utiliza das, desde  el curso 1990-1991, 1990- 1991, com o guiones de   clase  para la  implantación

del capítulo homónimo  del Programa de   Física  de la que era Escuela Universitaria de  Ingeniería Técnica Agrícola y hoy es Escuela Superior Su perior y Técnica de  Ingeniería  Agraria. Varias  fueron las  ocasiones en las que, a lo largo lar go de los cursos trans curridos desde que  q ue   estas  Lecciones fueron escritas,   pensé  en su  publicación; sin  embargo no   debí  encontrar motivos suficientes para   iniciar   los corres  pondient  pond ientes es  trámites. H e  creído  que las circunstancias actuales:   aplicación  del Plan de Estudios Estudi os de la Reforma Reform a y la consigui cons iguiente ente   extinción  del Plan 1971 sí son motivos que   justifican la  edición  de las Lecciones, por lo que   solicité ésta y la obtuve, del Servicio de Publicaciones. En el  presente  curso 1995-1996 ha comenzado, en la Escuela Superior y Técnica de  Ingeniería  Agraria, la aplicación  de la Reforma de los  Planes de Estudios. U n ca camb mbio io de de plan de estudios estudio s es  ocasión  para reflexionar sobre contenidos,   introducción de  nuevas formas docentes,   optimización d el   tiem  po de los alum al umno nos, s, etc. E n ese sent se ntid idoo  espero que   este  libro ayude a alcan zar alguno o algunos de   esos objetivos. En   el nuevo Plan de Estudios, la asignatura de   Física  ha sido sustitui da por   Física I y  Física I I .  Este  libro será  utilizado en la   enseñanza  de los contenidos de  Mecánica  de Fluidos que hay en   cada  una de las anteriores materias. En   el curso 1995-1996 se ha iniciado  también  la paulatina  extinción del de l  Plan 1971 y con ella, la   desaparición  de la  enseñanza oficial  de la asig natura de  Física  de dicho Plan. He   pensado que  estas  "Lecciones de Mecánica  de Fluidos"  podrían  ayudar a los alumnos del Plan 1971 a prepa rar   adecuadamente  la asignatura. A  los agradecimientos que, en su día,  recogí  en la introducción a estas Lecciones, y que hoy reitero,  añado  el que quiero  hacer  llegar   llega r al Servicio Servici o de de Publicaciones de   esta  Universidad, dirigido por el Dr.  José  Manuel  Martínez Rodríguez. León,  febrero de 1996 Miguel Celemín  Matachana Dr. Ingeniero de Caminos,  Canales y Puertos Universidad de  León

XV

INTRODUCCION

En  este libro se desarrollan, en forma  teórico-práctica, las lecciones que cons tituyen el  capítulo  titulado "Mecánica  de Fluidos" del programa de   Física  que se

 la Universidad imparte en la Escuela Universitaria  de Ingeniería Técnica Agrícola de la Universidad

de León. Dos han sido, fundamentalmente, las las  razones por las que se   eligió dicho capítulo, y no otro del programa, para ser desarrollado por escrito: en primer lugar

se encuentra encuentra el hecho del  carácter  de  de materi mat eriaa "ca "casi nueva" que la  mecánica de  fluidos tiene para los alumnos alumno s que acceden a la universidad, a lo que contribuye contribuy e el que nada relativo a dicha materia   figure en los temarios oficiales del Curso de   Orientación Universitaria  (B.O.E. del 17 de Marzo Mar zo de 1978); en segundo segundo lugar, el tratarse de una

materia  básica  para la formación  de) ingeniero  técnico  agrícola, y ésto en un doble sentido, ya que no n o sólo es import imp ortant antee por las las aplicaciones aplicaciones que en sí misma encuentra encuentra  el ejercicio de la ingeniería agraria, en el ejercicio  ag raria, sino también porque  po rque muchos de de sus sus conceptos conceptos

se necesitan para el estudio de otras  partes de  de la l a Física tales como  Termodinámica, en general, y  Meteorología, en particular. La  estructura de  este libro: contenidos teóricos, ejercicios y  prácticas de labo ratorio  pretende, bajo su   título, transmitir la idea de que   teoría y práctica y espe  estrechamente relacionadas entre cialmente, las  prácticas de laboratorio, han de estar  estrechamente

  integración posible de sí, buscando la mejor  integración de una en otra. ot ra. Aunque  puede decirse que esta idea es de  aplicación a la  ingeniería en general, es en las  escuelas de  ingeniería

técnica donde adquiere una  mayor relevancia debido a las características del  técnico las características

que en ellas se forma. De   acuerdo con lo anterior, en la primera parte del   libro  se desarrollan los  de l programa teórico relativos a la mecánica de fluidos, prestando especial contenidos del atención a las aplicaciones de algunos de dichos contenidos -Teorema de   Bernoulli, ecuación general de la  hídrostática, etc.,- en ciertos

 d   interés para el alumno

XVI

efectuado la resolución detallada de quince ejercicios de aplicación de los conceptos estudiados,  habiéndose  dibujado en la  mayoría  de los de   dinámica el  gráfico de energía, que es la representación  del teorema de  Bernoulli. Con el fin de potenciar al máximo  ciertos hábitos que los alumnos han adquirido como son: actuar   reflexi

vamente  ante la  resolución  de ejercicios, explicar   éstos  e indicar los teoremas y conceptos aplicados en dicha resolución, etc., y a la vez, remabilizar el tiempo que   de unos "comentarios a la el alumno dedica al ejercicio,  cada uno va  acompañado de resolución"  que, con objeto de que su lectura no obligue a ver  simultáneamente   simultáneamente la

que precede a ésta. La tercera resolución del ejercicio, han sido incluidos en  un bloque que laborato rio y última  parte del  libro contiene los guiones de las  clases prácticas de laboratorio seleccionadas para la visualización  de los fenómenos  estudiados así como para la experimentales básicas. Con la realización familiarización del alumno con las técnicas experimentales de las  prácticas también se   se intenta iniciar  al   al alumno en la faceta de usuario de pro gramas estándar, haciendo que ejecute un programa basado en cálculos de los que,   conocer su fundamento, posee criterio para juzgar ios resultados de la  ejecución  por  conocer de dicho programa, aspecto  éste muy muy importante cuando, cuando, probablemente, probablemen te, el orde nador sea una herramienta de trabajo en su vida profesional. Varias  son las personas  que de una u otra forma  han tenido que ver con la

mod o especial especial a  quienes realización de este libro. A todas ellas mi agradecimiento y de modo han colaborado más directamente: Covadonga Palencia Coto, por su ayuda en la verificación y  puesta  a punto de los equipos y   prácticas  de laboratorio; Rafael

 qu e hizo el tratamiento González Ortega, que  Ortega, que delineó las figuras; Pablo Peláez Aller  que de textos y por   último, pero no en  último  lugar, a mi  compañero Andrés Liaño de l Dpto. de Ciencias y  Técnicas de Agua   Titular  de Universidad del Herrera, Profesor  Herrera, Profesor  Titular   de l Medio Ambiente, en la E.T.S, de Ingenieros Inge nieros de Caminos Camino s de Santander, por po r sus sus y del acertadas sugerencias.

Miguel Celemín  Matachana León, Septiembre de 1990.

1

 I-Tema  I-Tema..

Es ¡ática de Fluidos.

¡-Lección.  Fluidos: definición y clasificación. Concepto de presión.  Den  sidad y compresibilidad.  Aplicación:  estudio de la compresión  isoterma del  aire en una  tubería.

1.1.1.  FLUIDOS: DEFINICION Y CLASIFICACIÓN

A l  iniciar  el   el

estudio de la  mecánica de  fluidos parece obligado definir   aquello

que va a ser objeto de dicho estudio. Antes de proponer, por tanto, una  definición de  fluido y dado  que en el  capítulo  anterior del programa de la asignatura se ha estudiado el comportamiento de un sólido real bajo las hipótesis del modelo elástico lineal,  puede  resultar   esclarecedor establecer  una  comparación  entre  dicho com

 portamiento  portam iento y el de un u n  fluido. La diferencia má  m á s notable entre el comportamiento de un sólido y el de un fluido

se presenta al analizar la respuesta de  de uno y otro frente frente a tensiones tangenciales. La fig. 1.1.1 muestra un cuerpo  sólido solicitado por un   estado de  tensión  tangencial  pura. Como Com o consecuencia de dicho estado el sólido se deforma ( contorno en trazo discontinuo) y las fuerzas  internas movilizadas  por  po r el sólido  hacen  posible que se  alcance una configuración de equilibrio en la que se cumple:  x-yG 

(1.1.1)

donde " G"  G" es, como se recordará, el  módulo de Fig.  1.1.1.  Deformación de un sólido s o l i c i t a d o p o r

elasticidad elasticidad transv transvers ersal al y " v " l a  deformación . angular.

2

Cuando se aplica una   tensión  tangencial a un   fluido  no se alcanza una configuración de equilibrio; el fluido se deforma continuamente siendo la velocidad

de deformación angular y no la deformación angular, angular, la magnitud magn itud que que  está relacio nada con las tensiones tangenciales " T " a través  del coeficiente de viscosidad  " u,",

es decir,

La ecuación 1.1.2 -denominada ley de Newton de la viscosidad-  expresa lo que  puede  puede  ser considerado como el  aspecto  más relevante del comportamiento de un

fluido, por lo que  éste es recogido recogid o en la   mayoría de las definiciones definic iones de  fluido  que

se encuentran en la  bibliografía  y en particular, en la que   aquí  se propone, cuyo enunciado es el siguiente: un   fluido  es un medio material, continuo, deformable,   grandes deformaciones bajo la desprovisto de rigidez que  que puede fluir; es decir, sufrir  grandes

acción de fuerza fuerzass de cuya intens int ensida idadd  depende la mayor mayor o menor veloci v elocidad dad de de dichas dichas

deformaciones.

1.1.1.1.  Clasificación

Los  fluidos  pueden ser clasificados atendiendo a diversos criterios, dos de los  su origen en la  la ecuaci ón 1.1.2. Así, el cumplimiento el cumplimiento  ono de esta ecuación cuales tienen su

 permit  per mitee clasificarlos como newtonianos o no newtonianos respectivamente, respectivamen te, mientras que con arreglo al valor del coeficiente de viscosidad, los  fluidos pueden clasificarse como ideales o reales, según que dicho coeficiente se suponga suponga o no cero.  Sin embargo, la clasificación  más elemental de los  fluidos  quizá  sea aquella que distingue entre líquidos líquido s y gases, en la que el clasificación es el estado en el que se presenta e l criterio de  de clasificación la  materia.

3 Una de las diferencias más conocidas entre los líquidos y los gases consiste en

que los primeros primer os ocupan un u n volumen determinado y presentan presentan superficie superficie  libre, mientras que los segundos, segundos, no. no . La explicación a esta diferencia se encuentra en la forma en la que que se se disponen disp onen espacialmente las las  moléculas de un  líquido y las de un

gas. Los Los líquidos líquido s se comporta comp ortann como se se ha indicado, debido  debid o a que sus moléculas están muy próximas unas de otras, por lo que se ejercen mutuamente fuerzas atractivas de origen  eléctrico  cuya intensidad permite, sin embargo, que las  moléculas  puedan

 las  moléculas están desplazarse aleatoriamente en el seno del líquido. En los gases las muy separadas y como consecuencia  apenas se ejercen fuerzas entre sí, lo  que  que  implica

que las moléculas se desplazan libremente hasta ser detenidas por un contorno. Un gas, por tanto, se expande  hasta ocupar todo el volumen del que dispone. Los líquidos y los gases presentan  analogías y diferencias que  irán poniéndose

de manifiesto a medida que se vayan estudiando determinadas propiedades de los En tree las las propiedades propiedad es comunes se se encuentra la de ejercer presiones sobre sobre fluidos. Entr las superficies con las que el  fluido  tiene contacto; entre las propiedades diferenciadoras, la densidad y la compresibilidad la compresibilidad son las más  importantes. Estas propiedades serán estudiadas en los dos apartados siguientes.

Por  último,   último, conviene tener bien presente que aunque la estructura molecular es el origen ori gen de las propiedades propied ades de los fluidos y que por tanto, en algunas  ocasiones se recurrirá a ella, es el comportamiento macroscópico, es decir, dec ir, a gran escala, el que se considera en e n la l a resolución de los problemas que se plantean en ingeniería. Se dice, entonces, que se considera al fluido como como un medio continuo. continuo .

LL2. CONCEPTO DE PRESION

La presión de un fluido se define como la fuerza normal que ejerce la materia

fluida  sobre una superficie cualquiera. S i " A f „ " es el el módulo de la fuerza normal

que  actúa  sobre un elemento  infinitesimal  de superficie  " A 5 "  que contiene a un  punto,  punto , la presión media " p " en el punto considerado es :  m

 P

 m

~

(1.1.3)

Se define la presión en un punto como el limite de la presión media calculada en dicho punto, pun to, es es decir: dF  p = li m p = ¡im ——•  = - ~ Af,

AS - o 

m

ÜS-O

 n

A6

aó

.

(1.1.4)

De la ecuación 1.1.4 se deduce que la presión de un fluido da lugar a un siste sistema ma

de fuerzas, siendo la  expresión vectorial genérica de una de ellas la siguiente:  dF'p.dS.ñ

•

,

(1.1.5)

La definición de presión muestra claramente que se trata de una magnitud de

puede , sin s in embargo, ser  utilizada  escalar, que puede, carácter  escalar,   utilizada como indica la ecuación 1.1.5; fuerza que resulta cuando la presión actúa sobre una superficie. superficie. formando parte de la fuerza

1.1.2.1. Unidades

Sistema Cegesimal  u nidadd es ^7 = baria. Dado Dad o que es una unidad uni dad muy pequeña para los  usos La  unida habituales, se  utiliza,  frecuentemente, el   múltiplo de ella denominado  bar,  siendo la relación entre  ambas la siguiente: 1 bar - 1 0*barias

Sist Sistem emaa Internacio Inter nacional nal siend o una L a unidad es " "°" «= pasca l.  Aunque mayor que la  baria sigue siendo f 

 a

5  muy pequ p equeña eña,, por lo que se utilizan los múltiplos con los prefijos  adecuados, unidad mu

es decir, decir ,  IkPa=  IkPa=

lQ Pa  3

 

\MPa=\Q Pa

~ 

lGPa-\0 Pa

1

 b

 9

Sistema  Técnico La unidad eskp/m ókgf/m\

;

 2

Además  de las unidades  reseñadas se  utilizan  otras como el " kgf   í'cm ~,  2

s. i." (libras / pul   gado. } que pertenece al sistema " i/m " y la anglosajona " p . s.  2

 2

técnic técnicoo inglésy ing lésy  cuya relación con la unidad  unid ad usual usual de presión en España es la siguiente: 1 kgf/cm

 2

-= ! 4 p .s. t.

La relación  de unidades de  presión se  completará mas mas  adelante con  aquéllas

cuya  utilización  más extendida se da en el contexto de la  meteorología  para la medición de la  presión atmosférica.

1.122. Isotropfa

de la  presión

Una de las las propiedades más má s importantes impor tantes de la  estática  de fluidos es la que establece que en el interior de un fluido en reposo se verifica  que la presión en un

 punt  puntoo cualquiera, es la misma en todas las  las direcciones. direccio nes. Para demostrarlo, se considera u n  fluido en reposo y en él un  p unto" O " de un un  sistema de ejes  cartesianos. La línea A B Px y ¿

representa la  dirección  de un plano cual

quiera infinitamente próximo  a" Oaunque en la figura  1.1.2 se haya dibujado separado de él, en beneficio de la claridad del Fig.  1.1.2.  Sección  recta  infini-  esquema. Los  ejes coor- denados y la  línea tesimal  de un prisma de  fluido

de un elemento   prismático de  fluido  cuya dimensión  perpendicular al papel es 1 unidad.

.

Puesto que el   fluido está en reposo, el efecto efecto que ejerce ejerce la parte suprimida suprim ida fuerza normal a la l a superficie considerad éste tiene que  estar representado por una fuerza ya que de no ser  así,  a sí, no sería  posible el equilibrio. Basta tener presente a este respe

que un  fluido se deforma continuamente ante la  aplicación  de fuerzas tangencial (ec. 1.1. 1.1.2. 2.). ). E n consecuencia, consecuencia, el sistema de fuerzas fuerzas que  actúa sobre el elemento de fluido considerado, es el que  aparece en la figura  1.1.2.

Imponiendo la condición de  equilibrio (R - 0)

para el elemento elemen to de altura altura

 se obtie ob tiene nenn las las siguientes ecuaciones escalares: escalares: unidad se  p - A y - p - A S -  sena - 0

(1. 1.6 )

- ^ - y A x - A y - p • Ax + p - & S • cosa= 0

(1.1 . 7)

x

 j

y

y teniendo en cuenta cuenta las relaciones relaciones  geométricas que se dan en la  figura 1.L2 resulta:

 p - p = 0

(1. 1.8 )

| y A y - p * p =0

(1.1.9)

i

y

Al

hallar el límite cuando Ay -» Ode la ecuación  1.1.9 resultap = p , yconla y

ecuación 1.1.8 se tiene, finalmente: PM'P>"P 

(1.1.10)

Dado  que la  orientación  " ot" del plano considerado es arbitraria, queda

demostra demostrada da la propiedad. propied ad.

1.1 3.  DENSIDAD Y COMPRESIBILIDAD

7

P=^

(1,1 .11)

Lass unidades La unidades en las las que con más má s frecuencia se  expresa  la densidad son el "g/cm " , en el Sistema Cegesimal y el" kg/cm "tn 3

 3

el Sistem Sistemaa Intern Int ernacio acional nal..

En general, la densidad de un cuerpo depende de la presión y de la temperatura, aunque la importancia de esta dependencia es función del estado en el que se presenta

la materia. En lo que se refiere a los fluidos líquidos, las variaciones de volumen debidas

ala temperatura se estudian mediante el coeficiente de  dilatación cúbica  "p", cuya expresión  es:

P — ^

(1.1.12)

mientras que los cambios de volumen cuya causa se encuentra en las variaciones de  presión  presión se cuantifican a  través del  módulo de elasticidad volumétrica o módulo de compresibilidad "K", que se define:

La ecuación  1.1.12 y las consecuencias que se derivan de ella, como los movi

mientos de convección de las masas de agua, se suelen estudiar en el contexto de los fenómenos térmicos, ya que su influencia en los aspectos prácticos  de la  mecánica

de fluidos es muy escasa. Mucho más má s interés  ofrece, al  menos  desde  el punto de vista conceptual, la compresibilidad. En efecto, ello es así hasta el extremo de que en la mayoría de los

text textos os rela re lativ tivos os a mecánica de fluidos se señala que el estudio que en ellos se realiza está está limitado limita do al de los fluidos incompresibles, que que es tanto como decir  al  al de los fluidos

8

líquidos, como se verá más adelante. La compresibilidad de los líquidos  supone,

consiguiente,  que las  únicas variaciones de volumen son debidas a cambios en estado de presiones.

Tomando  logaritmos neperianos en la  ecuación  1.1.11 resulta:  Lp-Lm-LV  

(1.1.14

diferenciando esta última ecuación, teniendo en cuenta el  principio de  conservació

de la materia, mater ia, y reemplazando las las diferenciales por incrementos incre mentos se llega a: p

v

y sustituyendo  este resultado en 1.1.13, se obtiene otra  expresión  para el módulo

compresibilidad, Ap  K - ~ ~ Ap/p

(1.1.1

Las ecuaciones  1.1.13 y 1.1.16 muestran que las unidades en las que se expr el módulo  de compresibilidad son las mismas que las de la  presión,  siendo usu

hacerlo en kgf/cm    2

E l  valor

del  módulo

2 . 1 x lO kgf/cm  A

oenGPa.

 z

de comp c ompresib resibilida ilidadd para

el

agua agua es es d

ó 2. 1 GPa De este orden de magnitud magnitu d es también el módul

compresibilidad de los líquidos, lo que justifica que en muchas aplicaciones de de compresibilidad mecánica de fluidos se suponga que la densidad es independiente de la  presión, esto  consiste la   hipótesis de incompresibilidad incompre sibilidad de los los   líquidos,  lo que a efect

 prác  pr áctitico coss supone  admitir, también,  que la densidad densidad permanece constante. constante. La hipótesis de  incompresibilidad  de los  líquidos simplifica  notablemente

desarrollo  de los cálculos y conduce a resultados muy aproximados en   números

aplicaciones de la  mecám'ca de fluidos. Sin embargo, esta hipótesis no es de aplicació

9 la velocidad, que  que originan grandes fuerzas inerciales y, como consecuencia, se se generan genera n

alias presiones "que en  este  caso  sí que producen efectos de  compresibilidad. U n ejemplo de  de esto último lo ofrece la parada repentina de un grupo de bombeo que da lugar  a  a la aparición del fenómeno que se conoce como golpe de ariete. En los gases, la  l a variación de la densidad con la  presión y la temperatura se

deduce de su ecuación de estado. Así, para los gases ideales,  ideales, para los que la ecuación de estado es:  pV  = nRT 

(1.1.17)

i

la expresión expr esión de la densidad se obtiene sustituyendo ei  número  de moles " n " por la

 y dividiendo ésta por el volumen. Resulta Resulta así: masa molecular  y

ecuación que  refleja la relación  de dependencia que se da entre la densidad y las

variables variables de estado presión y temperatura. Dado que  que se dispone de la expresión de la densid densidad ad de ungas ung asyy que la deducción

de la ecuación  1.1.16 no contiene restricción  alguna para su aplicación, se  utilizará ésta para obtener el módulo de compresibilidad de un gas.

Tomando logaritmos neperianos en   1.1.18 se obtiene: obtie ne:  Lp = Lp*LP - 

LR-LT 

(1.1.19)

 7" A 7" T

(1.1.20)

 m

y diferencia  diferenciando ndo resulta: resu lta:  A p

 —  P

áo P

  módulo de compre sustituyendo  este resultado en la ecuación  1.1.16 se obtiene el módulo sibilidad de un gas:

P

7

depende de las variables de estado sino  también  de su  evolución. Para el caso de una  transformación  isoterma ( A 7 = 0 ) el módulo de comp

sibilidad  es, precisamente, el valor de la   presión  durante la  transformación.  Esto significa  que, por ejemplo, un gas a la   presión atmosférica (equivalente (equivalente a  k g f / c m ) 1 ,0336 kg  2

tiene un módulo de compresibilidad compresibili dad de de 1.01 x 1 0 " CPaloque 4

supone que es veinte m i l veces más compresible que el  agua.

Conviene tener claro que cualquiera que sea el tipo de   módulo de elasticidad que se esté considerando  (lineal, superficial o volumétrico  para los sólidos o  única mente el volumétrico en los líquidos), su valor es proporcional a la  indeformabilidad correspondiente.  Así, cuanto m ás  alto es el módulo de Young de un sólido tanto más emba rgo, hay hay autores que prefieren emplear el inverso del  módulo rígido es éste. Sin embargo, de elasticidad, denominado coeficiente de elasticidad, ya que   éste es proporcional a la deformabilidad. Es frecuente por ello que al hablar de fluidos se emplee el coe ficiente de compresibilidad por ser proporcional a  esta propiedad.

1.1.4. APLICACION: ESTUDIO DE LA COMPRESION COMPR ESION ISOTERMA D E L AIRE

EN UNA TUBERIA

F i g  1.1.3. 

Sistema

emba lse- cond ucci ón —depósito.

La figura  1.1.3  representa el   esquema  de una  instalación  para la  captación,

11

 pendiente  pendi ente donde se acumula el aire a ire que, con

=

diversas procedencias, siempre hay en una

m

tubería.  Si no se  prevé su  evacuación o habiéndola previsto, previsto , ios dispositivos dispositivos no funfun-

Bolsa Bolsa de a i r e

Fiq  Fi q   1.1.4.

r

en una  t u b e r í a .

r

cionan correctamente, se va formando una

 sección (Fig. 1.1.4) e  bo  bolsa de de aire que con el tiempo tie mpo,,  puede llegar a ocupar toda la  sección  as í la circulación de agua. Si interrumpir  así  Si esto sucediera, el  agua se  se vería frenada por la bolsa de  de aire al tiempo que éste sufriría una  compresión isoterma durante la cual,

su alta alt a compresibilidad, aumentaría  considerablemente la  presión del  de l aire y debido a su ocluido, superando superando con creces la resistencia de la   tubería y provocando, por tanto,

la rotura de ésta. Al  aplicar

el teorema de las fuerzas vivas entre los instantes 2  {detención  del

flujo de agua) y 1  (circulación con velocidad  "v") se  se tiene: tien e:  E -E\-W^ 

(1.1.22)

 2

El trabajo " W  ¡  ¡ ^ "  es el que se produce sobre el aire durante su   compresión  2

isoterma y se  se calcula mediante: m ediante: l /

 N

2

= f*

P

 d

(1.1.23)

V 

siendo " p " la  presión del aire y" dV" el volumen de un elemento diferencial. diferenci al. Durante la compresión  isoterma la presión varía con el volumen siguiendo siguiendo la ley ley de Boyle, es decir,  pV = K 

(1.1.24)

sustituyendo   1.1.24 en  1.1.23 e integrando, se obtiene el trabajo:

Dado que l < K , , el trabajo trabajo es negativo, por lo que se puede escribir: 7

2

W^-KL^

12  K" Con el fin de  de preparar la ecuación  1.1.26 para su aplicación conviene obtener" K"

y sustituir  el  el cociente de volúmenes  por el cociente de presiones. Ambos cambios se

efectúan por    aplicación  de la ecuación  1.1.24. Se  llega asi a: po r  aplicación ^ I - 2 - - P I ^ I ¿ ~ 

(1.1.27)

Pi

Sustituyendo 1.1.27 en  1.1.22 y teniendo tenien do en cuenta cuenta el valor  de   de la  energía cinética de la l a masa de agua que resulta frenada, se obtiene: -\mv 2

 z

= ~ p V   L ^ í 

l 

(1.1.28)

 Pi

En la ecuación anterior  se  se conocen todas la variables salvo salvo " p " que es la presión  z

que se alcanz alcanzaa en la l a bolsa de aire al final del proceso. Para ilustrar  el  e l análisis realizado, realizado , se se  hará aplicación a un u n caso cuyos datos son los

siguientes:

Longitud de la conducción:  13200 m

Distancia de la bolsa de aire al embalse: 7000 m Velocidad del agua en la  tubería: 0,97 m/s

Diámetro de la tubería: 500 mm Presión del agua en el punto donde se produce la bolsa: 5   kgf/cm

 2

Voíúmen de la bolsa de aire antes de la compresión: 600 1

 La ecuación  1.1.28 resume el fenómeno que tiene lugar cuando se forma una bo  de aire que interrumpe la circulación del  agua  agua de una tubería: la energía cinética de l   aire encerrad   masa de agua circulante se transforma en  trabajo de compresión del  aire

¡a bolsa.

13

 de  aire.  bolsa de aire.  El  segundo  segundo miembro de  aire ocluido en  ¡a bolsa  miembro de la ecuación  1.1.28 se refiere al  aire

los dos primeros factores constituyen ta constante de  Boyle en la compresión la compresión isoterma,  tercer factor el que contiene que contiene la presión final del  citado  siendo el  tercer  citado proceso termodinámica.

 m=V-p ; m = n - r

 ÍSOO

m =  •

)

 E--mv  E--mv

 2

 

2

6 

6

11

/í-2.94'

2

 2

= -p,V ,L—

 Pi

 p =  2

 5

1 0 Kgf  •  ctrJ'

 2

 m

ka

• 7 0 0 0 n v  1 0 0 0 ^

),37.\0 kg

5

l 

- l  v

Y

1.37- 1 0 6 ' 0 , 9 7 z , ,„ , , = = 6 . 4 4 \0 Julios

V  -5kgf/cm .6O0l^-^~-3-

 Pí 

 \m

• ¿ - p ; m = n  -~-mm • -—-

: 

 \kgf\o cm  2

\0 JuUos  JuUos  5

- 6 . 4 4 - 1 0  =  =  - 2 , 9 4 ' 1 0 ¿ ^ 5

5

5

5(! " z45kgf/cm  2

>

 2

14 1 -Tema  2-Lección  2-Lección..

. Estática de fluidos. Ecuación Ecuación  fundamental  de la estática de  fluidos:  presión

 atmosférica  atmosférica y presión hidrostática. hidrostática.  Principio de  Pascal. Barómetros. Manó  metro  me tros. s.

1.2.1. ECUACION FUNDAMEN TAL DE  LA ESTATICA D E  FLUIDOS

En el   interior   de un  fluido en

reposo se considera un   paralelepí"Jdy "Jdy pedo elementa elem ental. l. SÍ éste  se aisla del resto de la masa  fluida (F ig. ig . 1.2 1.2.1), .1), sobre  cada  una de sus   caras se ejercerá  la fuerza derivada de la  pres  pr esii ón que  ejercía el  fluido  supri F i g 1. 2 . 1 .  Paralelepípedo  elemental de   fluido.

 " W'' mido.  Además, actuará el  peso " W

del paralelepípedo de  fluido.

F , a la fuerza que ejerce ejerce la  presión sobre una cara oculta del Si se denomina F,  pa  p a r a l e l e p í p e d o , las ecuaciones de equilibrio de éste quedan de la siguiente   forma: £ > , - 0 

2>,-0 £ f , « 0  A l  expresar   cada una

F.-F .-O P;-F,-l/-0

(1.2.1)

F;-F -0 a

de las fuerzas superficiales en función  de la presión " p"

existente en el centro del  paralelepípedo  resulta:

15

í  

dpdx'

! 

dpdy'

[

)dydz= 0

 j d y d z -

P

 pgdxdyd z )d.v-dz-  pgdxdydz

Jdxdz -

 j d x d y 2 ,

 \dxdy =

=0

(1.2.2)

0

Simplificando, las ecuaciones  1.2.2 se transforman en:

^ = 0  dx

(1.2.3)

^ - P 9 =0

(1.2.4)

^=0

(1.2.5)

 dy

Las ecuaciones 1.2.3 y 1.2.5 indican que la presión no varía en un plano horizontal olo que que es lo mismo: la presión sólo depende de  lo que la ecuación  es lo mismo:  de la variable " y ", por  lo

1.2.4 se puede escribir en la forma:  dp = -pgdy

( 1.2,6) 1.2,6)

La ecuación  1.2.6 se denomina   ecuación  fundamental de la  estática de fluidos y expresa la variación  de la presión en el interior de un   fluido  en reposo. Dado el

sentido que se ha tomado como positivo  para  el ej eje " y " en la  figura 1.2.1, 1.2.1, de l a ecuación 1.2.6 se  deduce que la presión disminuye con la variable " y  " es decir, con la altura topográfica. Por  último,   último, para integrar la ecuación fundamental de la  estática

defluidos,es preciso conocer la  variación de la densidad "p" y de la gravedad   "g" con la  la altura" y" .

Dos Dos son los casos en los que la integración de la ecuación 1.2.6 ofrece   resultados con mayor  interés   interés práctico  y son aquellos en los que dicha   ecuación se aplica ai aire y al  al agua. En el primer  caso,  caso, se obtiene la ley de  variación de la  presión atmosférica

con la alti  altitud tud topográ top ográficay ficay  en el segundo, la ley de variación de la presión hidrostática con la profundidad.

16 12.1,1. Presión atmosférica

Para deducir la variación de la presión atmosférica, se hace la  hipótesis de que que

el  aire se comporta como un gas  ideal,  con lo que su densidad viene dada-por la ecuación  1.1.18:

l a  atmósfera varía con la  altitud topográfica " z", por La  temperatura " T  "  " de la lo  que se necesita conocer la ley de  variación de la prim pr imer eraa con la segund segunda. a. En   la troposfera, que es la capa de la atmósfera en contact con tactoo con la l a supe superf rfic icie ie

terrestre y cuyo cuyo espesor  es  es de 8 a 10 k m en en los polos p olos y de 15 a 18 km en el Ecua Ecuado dor, r, la temperatura disminuye a razón de 0,65°C cada 100 100 m, aprox apr oxima imadam dament ente. e. Re Resu sult ltaa  por   po r   tanto, que puede  suponerse  que la ley de   variación  de la temperatura con la altitud viene dada por la  ecuación: T  - T -6,S-

C 1.2.8)

I0' z  3

0

siendo" T " la temperatura tempera tura de la atmósfera al nivel del mar y estando expresada la 0

altitud " z " en metros. metros . La aceleración  de la gravedad  depende  de la altitud " z"  y de la  latitud

Como  expresión  aproximada de  esta  dependencia puede tomarse la que recoge la ecuación: g = 9 , 8 0 ó - 2 5 - 1 0 " cos2ij>-3- 10 ~ - z  3

6

(1-2.9)

de la que se deduce que la  aceleración de la gravedad al  nivel del mar y a una latitud d e 4 5 ° , es d e 9 , 8 0 6 m / s , aproximadamente. E

De la ecuación  1.2.9 también se deduce que, en un estudio como el que aquí se está  efectuando, resulta procedente ignorar la   variación  de la  aceleración de la

17 Sustituyend Sustituyendoo 1.2. 1.2.88 en 1.2. 1.2.77 y ésta en 1.2.6 se tiene:  pP g ^   m

 dp--~~

(1.2.10)

—-—dz

ecuación diferencial de variables separadas que  puede escribirse en la forma: •dp  J  p

P„g í* dz R Jx.o T - 6 , 5 - 1 0 ~ z

(1.2.11)

3

0

 Pa  Pa

de donde resulta, finalmente: f ..-W.-' ..-W.-' > l

Po

. - [  1 - 6 , 5 -

V

(

6 .  5 ' I 0 "

3

 j

10~ ^- I  oJ 

(1.2.12)

J

T 

 la ecuación  anterior," p " es la presión atmosférica al nivel del mar; " p " es la En la  0

que corresponde a la altitud " z" ; " T " es la temperatura al nivel del mar,  presi  presión ón que 0

"Ampar araa poder pod er ser ser susti s ustitui tuida da en la l a  ecuación  1.2.10; " P " es la masa expresada en "Amp  m

  del aire (28,9 g); " g" se  hace igual a 9 ,  S O ó m / s , de acuerdo acuerdo con el molecular  del 2

comentario hecho anteriormente; " R"  es la constante de los  gases  ideales temp eratura ura en la (0.082a¡rrt • i/°K  • mol) y ó . 5 - 1 0 " es el gradiente de temperat 3

troposfera, expresado en °C  ó  ó " K"por  metro.  metro. Sustituyendo los valores anteriores en  1.2.12  se obtiene la siguiente ley de variación de la presión atmosférica  con la altitud topográfica: topográf ica: \5.25

/

- - = i - 6 . 5 - 1 0 "  — Po V P

3

(1.2.13)

1.2.1.2, Presió Presiónn hidr ostática ostá tica

Teniendo en cuenta la hipótesis de incompresibilidad  de los líquidos, así como las observ observaci acione oness que se hici hi cier eron on con  relación a la  aceleración  de la gravedad, la integración  de la  ecuación  1.2.6 para un  líquido  resulta inmediata,  pudiéndose escribir:

18 donde" p " es la presión que existe en la superficie  libre del de l líquido, para  pa ra la que que se 0

ha tomado y - O y ~ p " a la presión  que corresponde a la profundidad " y " del  punto  punt o  considerado. La ecuación  1.2.14, integrada, queda en la  forma:

(1.2.1

 P-Po-PQy  P-Po-PQy

En la   figura  1.22 se

representado representado -en -en trazo continu la ecuación   1.2.15  y en tr

discontinuo, el  caso  particul

qu e c o rr esp o nd e a p ^ O , Aunque la  expresión:' tribución hidrostática  de presi

nes" hace  referencia al agua, Fig.  1.2.2.  Distribución hidrostática de  pres  pr esio ione nes. s.

utiliza 

para

denominar

 distribución  de presi cualquier  distribución

nes linealmente linealme nte variable. variab le. La ley lineal de variación   de la presión con la profundidad fue deducida L . Euler,  Eul er, que que la publicó en 1749, en su obra "Scientia Navalis".

122.  PRINCIPIO D E  PASCAL

Se dice que un fluido  se encuentra en  equilibrio isotérmico,  cuando la tem ratura en todos los puntos de la  masa fluida es la misma. A I hablar de los líquidos se comentó que esta hipótesis conduce a que la densidad sólo depende de la presi y dada  dada la reducida compresibilidad de los líquidos, ello  supone en la práctica,  que

densidad permanece constante. La hipótesis  de equilibrio térmico  para un  gas  gas impli

19 que el gas se encuentr enc uentraa confin con finado ado.. Hechas  estas  consideraciones, la  ecuación fun damental de la estática de  fluidos permite extraer una importante y conocida apli cación práctica denominada principio de Pascal. La integración  de la ecuación  diferencial  1.2.6. entre dos puntos cualesquiera

de un líquido en reposo encerrado en un recipiente conduce al siguiente resultado:

;

 p -p -pgh.   2

¡

(1.2.16)

siendo" h "la diferencia de profundidad entre los puntos  pun tos considerados. considerados. De D e la ecuación 1.2.16 se deduce que si una de las presiones aumenta, la otra ha de aumentar exac

tamente lo mismo, ya que la diferencia difer encia ha ha de mantenerse constante. constant e.  gas ideal en equilibrio térmico, la integración de la ecuación  diferencial Para un gas 1.2.6 da como resultado: (1.2.17)

P]

El valor  de  de la constante que multiplica a la diferencia diferenc ia de alturas entre los puntos

 2 0 ° C dicha constante es del orden considerados es muy pequeño -para -para el aire seco a 20

de lO su producto prod ucto por la diferencia de alturas que puede puede haber  l O " " ! " - por lo que su 4

1

prácticamente  cero. ent entre los los puntos pun tos consid co nsiderad erados os es prácticamente La ecuación  1.2.17 puede escribirse, escribirse, por consiguiente, en en la forma:

 p - p , - 0 2

(1.2.18)

con lo que se pone de relieve que un aumento en la  presión en un punto cualquiera del gas encerrado en un recipiente se traduce en un incremento de  igual magnitud en cualqui  cualquier er otro otr o punto. pun to.  1.2.18 Las Las conclusione conclusioness a las que se se ha llegado llega do a partir  de  de las ecuaciones  1.2.16 y 1.2.18

son idénticas y constituyen el  principio  de Pascal (1653), cuyo enunciado puede en un hacerse en los siguientes términos: "La presión aplicada a un fluido confinado en recipiente se trasmite íntegramente a todos los puntos de dicho fluido".

20

el  gato hidráulico.los  frenos de aire  comprimido, los frenos  hidráulicos y la prensa hidráulica. En los sistemas denominados hidráulicos se suele utilizar el  aceite como líquido  para la transmisión  de fuerzas.

La figura 1.2.3 representa el esquema

I

de una prensa  hidráulica. En  él, "v"y"w~

f  2

)

son válvulas antirretorno del aceite y"  y " u"

f

es una válvula de seguridad. u

Si  se denomina  "D¡~ y "D "  al 2

diámetro del  cilindro  de la izquierda y al de la derecha, derech a, respectiv respe ctivament amente, e, se se pu puede

escribir, en el  equilibrio: F i g . 1.2.3. 1.2.3 .

Prensa Prensa  hidra'ulica.

0,25nZ)   2

O.ZS  k D

2

(1.2.19)

ecuación que expresa la igualdad entre las presiones en los puntos del fluido situados  por  debajo de cada uno de los émbolos. Con relación a la figura 1.2 1.2.3 se deduce deduce  también:  F

• a - F, • ó

(1.2.20)

en aplicación de la ley de la palanca. De  las ecuaciones 1.2.20 y 1.2.19 resulta:

 D J 

b"

C 1

' - > 2

2 1

 multiplicador  de la fuerza apli que muestra el poder  multiplicador  a plicada cada que q ue caracter cara cteriza iza a la prensa hidráulica.

12.3.  BAROMETROS

21 la atmósfera  en el lugar de  observación.  Generalmente, se denomina  presión atmosférica al resultado de la   medición,  sin embargo.la norma alemana  DIN' 1314

 prop  propon onee el empleo del  término presión   ambiental. Aunque en el texto se   seguirá empleando la conveniente tener  ten er  bien  la primera denominación, es conveniente   bien presente la propuesta de la norm normaa alemana, ya que en determinadas determin adas situaciones, situacione s, su empleo emp leo resulta re sulta más má s adecuado. La primera determinación  de la  presión atmosférica fue realizada en 1644 por

Evangelista  Torricelli, discípulo   de Galileo. Para  ello, Torricelli utilizó  un tubo de vidrio cerrado en uno de sus extre

mos mos y abierto en el otro, otro , el cual, una vez lleno de mercurio introdujo, en la  forma que indica la   figura  1.2.4.

en una cubeta que también tambié n contenía mercurio.  El resultado fué que el mercurio permaneció en el interior del  tubo, ocupando una altura  "h" Fig.  1.2.4. Exp erim ento de  Torricelli.

d e :

" . . n codo y un cuarto,  y un dedo U

que equivale a unos unos 76 cm. más" -según escribió Torricelli-  y que Dado que en el espacio existente en la parte superior del tubo no podía  haber entrado el aire, la  presión de la columna de mercurio al nivel de la superficie  libre de éste en la cubeta, estaba siendo equilibrada con  con la presi pre sión ón ejercida por la atmósfera sobre dicha superficie. La presión atmosférica se suele expresar en unidades  específicas,  aunque hay una cierta t endencia hacia el empleo de unidades unidades  S.I. Entre las primeras se encuentra  cierta tendencia el mm. de mercurio, al que se ha dado la denominación  "torr" siendo, por tanto, 1 torr

= 1  mmHg

Cuando al nivel del mar, a una latitud de 45°y a 0°Cde  temperatura, la presión

22 l a í m -  760mmHg

par a expr expres esar ar la En meteorología se  utiliza  habitualmente el  milibar  ( m b) para  pres  pr esió iónn en las cartas ¡sobáricas o mapas del tiempo. Teniendo en cuenta la equiva

lencia  anterior así como su significado físico y utilizando los factores de conversión

habituales se puede escribir: latm-76cmHg- 

13,6^

1k

g

f   9

•

8

N

c m ]Q gf lkgf 1

 3

 ° '

1

d i a á

l b a r i a

\N

l b

a

r  

lO^barias  lbar

\dina/cm    2

obteniéndose  como resultado: l a í m -  1013mbw

Cuando se trabaja en las unidades del Sistema Internacional la   presión atmosférica se suele  expresar en  hectopascales (_hPa ) , siendo la equivalencia equivalencia con

  la siguiente: el milibar  la  \hPa=  \hPa=  lmb<*r

Si  en la  ecuación  1.2.13  se sustituye " p ' 0

por 760 y "T " p or 288,15, que 0

corresponde a una temperatura de  15°C , se se puede obtener la tabla 1.2.1, que pro  porciona  porc iona  la  l a variación  de la presión, atmosférica  con la altitud topográfica. ALTITUD (m) 0 11 22 33 44 55 ' 66 77 88 99

PRESION (mmHg) 760 759,01 '  758,02 757,03 756,05 755,06 754,08 753,10 752,11 751,13

23 atmosférica disminuye muy aproximadamente 1 mm Se observa que la presión atmosférica de Hg cada 11 m de incremento en la  altitud topográfica, lo que constituye un orden de magnitud de la variación fácilmente fácilmente  memorizable.

UJ.1. Tipos de  barómetro

Los baróme ba rómetros tros  pueden ser clasificados de la forma siguiente:

Torricelli

de mercurio

Fortín Tonnelot

Barómetros Vidi

metálicos o aneroides

Bourdon

E! esquema de un barómetro de mercurio es el que se  mostró en la figura  1.2.4. Las diferencias entre los diferentes tipos de  barómetro  radican, fundamentalmente,

en el procedimiento util u tiliza izado do para obviar el inconveniente que constituye constituye la oscilación  de nivel en el mercurio de la cubeta. En el  barómetro de Torricelli se suele  disponer una escala móvil cuyo cero se sitúa al  al nivel de la superficie   libre  antes de hacer  la  l a  medición.

24 En el barómetro de  Fortín, el fondo de la

cubeta es de gamuza y es desplazado   hasta hacerlo  coincidir   con una punta de  marfil  -"M" en la figura  1.2.5- que coincide con el cero cero de ia escala. Por  último,   último, cabe también la posibilidad

de alterar la  escala y  ésto es lo que caracteriza al barómetro  de Tonnelot o de   escala  com

Fig.  1.2.5.  Barómetro de Fortín (detalle).

 pensada.  pensada.

El  fundamento de la   modificación es sencillo: sen cillo: como el volume vol umenn de mercu m ercurio rio es es

constante, se ha de  verificar   (ver  fig.  fig. 1.2.6):  s.h-S.H 

siendo "s" la sección del tubo tub o y "S" la de la cubeta, y  también,  h  h*H~

S + s S

En la ecuación anterior " h " es la lectura del  ba  b a r ó m e t r o  que corresponde a la   variación  real

las superfici superficies es libres del  " del desnivel entre las " h * H  " mercurio. Se  deduce  de dicha  ecuación  que para  variación real, su escala que que la lectura  represente la variación real, Fig.  1.2.6-  Notación para el barómetro de  Tonnelot

ha

de  estar  afectada afectada

por

el

coeficiente

~s/(s*sy.

En   general, las lecturas de los  barómetros  hechas  en diferentes observatorios

o estaciones  meteorológicas  no son comparables, ya que han sido   efectuadas en condiciones distintas.  Para  poder comparar entre sí las presiones   barométricas de diferentes lugares es preciso reducirlas a  unas condiciones normales.   Estas condi ciones, establecidas por la   Organización Meteorológica Mundial, son las siguientes:

25

La reducción  a las condiciones normales se realiza mediante   sendas correc má s una tercera, denominada ciones: una,  una, por la temperatura temper atura  y  otra  ot ra por la gravedad, gravedad, más

instrumental, que que depende del aparato y que debe indicar el fabricante ya que suele  capilaridad, imperfección del  vacío en el tubo barométrico, estar  relacionada  relacionada con la  capilaridad, imperfección

etc. Los barómetros metálicos están constituidos por un recipiente recipie nte en cuyo cuyo  interior se ha hecho el vacío y en el que una u na de sus superficies superficies es susceptible de  deformación. El movimiento de esta superficie bajo la actuación de la presión atmosférica se refleja,

mediante un sistema de engranaje, en el  movimiento de una aguja sobre una  escala graduada en unidades de   presión. La forma que adopta el recipiente es lo que distingue a unos   barómetros de  el de Vidi el otros: en el  e l recipiente recipient e es una cajita, mientras que que en e n el de  Bourdon, es un

tubo de sección elíptica.

Fig.1.2.7.

Mapa del tiempo iempo.. (Hemis (Hemisferio ferio Norte) orte)

26 Una Un a de las las aplica aplicacione cioness más m ás importantes importantes del conocimien co nocimiento to de la  presión atmosférica es la de su su utilización en la confección de los mapas del tiempo. En estos mapas la mayor parte de la  información la propor pro porcio cionan nan las las lineas curvas curvas denomi denomi

nadas isóbaras, que se obtiene obti enenn uniendo los puntos en los que que existe existe la misma presión

atmosférica al nivel de! mar. Cada   isóbara se caracteriza por un  número que  indica la presión atmosférica en mili mi liba bares res o hectopasca hectopascales les que existe en cada cada uno un o de de sus

 puntos. Las isóbaras suelen dibujarse cada cuatro  milibares y con su  representación  " A" y zonas con bajas se pueden  identificar   zonas de altas presiones o anticiclones "A"

 presiones  presiones o borrascas borrascas  "B". Los anticiclones se caracterizan porque en ellos dominan las corrientes de aire dirigidas hacia afuera y girando en torno a ellos en sentido horario  -ver  figura   figura  1.2.7-  mientras que en las zonas con bajas presiones   sucede lo contrario:  las corrientes de aire se   dirigen hacia el centro de las borrascas girando

alrededor de ellas en sentido  antihorario y favoreciendo así la formación  de nubes. El aire que sale de los anticiclones se se  dirige hacia las borrascas siguiendo con  bastante  bastante  aproximación la   dirección  de las  isóbaras,  por lo que  éstas  pueden ser

consideradas como "líneas de viento". Las isóbaras no  sólo están  relacionadas, por tanto, con la presión atmosférica sino que  también lo están con los vientos, hasta el

  de la separación  entre  punto  pun to de que la velocidad de  éstos se puede deducir a  partir  de las las isóbaras. 1 2.4.  MANOMETROS

i

E n  numerosas ocasiones se necesita conocer la  presión  a la que se encuentra un gas o a la que  circula un líquido: la verificación o control de procesos industriales y aveces, la seguridad de personas y bienes, son algunas algunas de dichas ocasiones.

La determinación  de la presión de un gas o de un líquido  se realiza mediante

27 étrica . La suma de la  presión atmosférica o ambiental con la decir, presión manom étrica.  presión relativa o manométrica constituye la presión absoluta, es decir:  P

 ab¡

= P,* + P „ 

(1.2.22)

 at

Esto implica que, en general, para determinar la presión  absoluta se necesita un barómetro baróme tro y un u n manómetro. Hay sin sin embargo,  manómetros de presión  absoluta

 pero  pero su utilización no es es habitual. habitu al. En  consecuencia, la presión absoluta absoluta y la presión relativa son denominaciones

alusivas alusivas a la posición del cero cero de la escala de medida, medida , en en la primera, el cero es el cero absoluto mientras que en la segunda, el cero es la  presión atmosférica. Por lo que respect respectaa al

 J Presión absoLuta

Presio'n manométrica  positiva

signo, la  l a  presión manométrica

 puede ser positiv pos itivaa o negativa, Presión} mancmetrica negativcij

Presi dn atmosférica

mientras que la presión  abso Presión absoluta

luta  siempre es  positiva. (Fig.

1.2.8)

C E R O  ABSOLUTO

Fig. 1. 2 .8 .  Presión  absoluta,  manométrica y  atmosférica.

Entre  los diversos tipos

de  manómetros,  se han selec cionado para ser comentados aquí los siguientes:

- piezómetros. - manómetros de líquido. - manómetros metálicos.

28 12.4.1. Piezómetros

Un piezómetro está constituido por un tubo transparente de   cristal o plástico, met ro no debe ser  inferior   inferior  a 5 mm para evitar  fenómenos   fenómenos recto o con un codoy cuyo diá metro

de capilaridad. U n piezómetro permite medir la presión  que existe en un  líquido y  para   ello, basta con leer la altura al tura que éste alcanza en el tubo. Con relación a la figura  1.2.9, si la escala del  de l piezómetro está graduada en

metros, su lectura " h " proporciona la  pre  p resi sión ón que hay en "A" "A " expresada expresada en

metros de columna del   líquido  almace nado. Ftg. 1. 2. 9. P iez iezómetro conectado  a un  depósito de  agua

El  producto de "h"  por el  peso

específico del  líquido  "pg"  permite

obtener la  presión  expresada en unidades de fuerza  dividida  por unidades de superficie. Un piezómetro también puede ser conectado a

una  tubería por la que  circula un  líquido a presión y con  velocidad uniforme, ya que en  esas condiciones

es aplicable la  ecuación 1.2.16. Es  importante señalar que en el  caso  que se considera, hay que prestar especial  atención a la  ejecución  de la  conexión  del Fig.  1.2.10.  Piezómetros conectados  a una tubería.

 pi  p i e z ó m e t r o a la tubería para que no queden pro

tuberancias que  dificulten la lectura. lectura . A tal fin tam

 bié  bi é n se recomienda la utilización de piezómetros cuyos tubos tengan un  diámetro no inferior   a 10 mm.

29 12.42.  Manómetros

de  líquido

Los manómetros de líquido se denominan así porque, a diferencia de los pie zómetros, se requiere la  utilización  de un  líquido distinto a aquel cuya   presión se

quiere medir, denominado   líquido manométrico  y que, generalmente,   suele  ser mercurio.  No obstan obstante te lo anterior ante rior,, en cada caso habrá que comprobar la   adecuación del líqui líquido do mano ma nomét métri rico co a la magnitud de la  presión a medir. En la figura  1.2.11 se muestra un manómetro de  líquido montado en una tubería por la que circula a velocidad uniforme un  fluido a presión. A l 

aplicar la  ecuación  de la

estática de fluidos al nivel de la interfaz fluido de la tubería -  líquido manoméFig.  1.2.11.  Manómetro de  líquido. PA

t r i c 0 s e 

t ¡ e n e :

+ P iQh  p gh

(1.2.23)

=

 m

en la que" p " es la presión en  el centro  tuber íay " p ¡" y " p " son las densidades  cen tro de de la tuberíay A

 m

del fluido y del líquido manométrico , respectivamente. Si el  fluido es un gas se  suele  l o que,  el  segundo despreciar su densidad por  lo  que, en tal ta l caso, su  su presión vendría dada por  el

miembro de la ecuación  1.2.23. Un manómetro  como el representado en la  figura  1.2.11 también  puede  ser utilizado  para medir presiones relativas negativas, es decir, presiones relativas

inferiores a la  atmosférica.  En tal caso, el  líquido manométrico alcanzaría  mayor

altura en  en la rama izquierda izq uierda que que en la rama derecha derecha del   manómetro.

30 Entre los manómetros de líquido

se encuentra el  manómetro  diferen cial,  denominado así porque se

emplea para medir la diferencia de  pres  pr esió iónn que existe entre dos puntos. En la  figura  1.2.12  se ha repre sentado un   manómetro  manómetro  diferencial

Fig.

1. 2.12. 2.1 2.  Manómetro diferencial

conectado a una   tubería  por la que circula un  fluido de densidad "p,".

A l  aplicar

la  ecuación  de la  estática de  fluidos entre los puntos 1 y 2 del

manómetro  resulta: = P„ gh~P,g(x

 PA-p gx l 

l 

+ h)+ p

 B

(1.2.24)

y agrupando  términos,  p - pr(p  pr(p -P/)gft  A

m

( 1.2.25)

1.2.4.3.  Manómetros metálicos

El  principio  de su funcionamiento es  similar   al de los  barómetros metálicos:

hacer que la   presión  que se  desea  medir   actúe  sobre un recipiente deformable y transformar  el movimiento de éste en desplazamiento de una aguja sobre una  escala ión . Hay sin sin embargo los baróm ba rómetr etros, os, graduada en unidades de  pres ión.  em bargo una diferencia con  c on los

yes que en los manómetros convencionales la  presión que se mide  actúa en el interior explica el por  qu del  recipiente, estando éste en contacto con la  atmósfera. Esto explica  q u é un manómetro  convencional no mide presiones absolutas. Basta, no obstante, con  produ  pro ducir  cir  el vacío en el interior  del   del recipiente y hacer que el líquido  ejerza  presión

sobre el exterior de  éste  para que la presión medida sea la absoluta.

31

1.2.4.4. Empleo de los lo s dis d isti tinn tos to s manómetros Los piezóm pi ezómetro etross y los los manóme man ómetro tross líquidos son baratosy están bien fabricados bara tosy si están bien  muy precisos. Su mayor inconveniente es su  fragilidad y la gama  limitada de son mu

 pr  presiones que pueden medir me dir sin que dejen de ser ser manejables. maneja bles. Este  tipo de  manó  utilización en los laboratorios. metros encuentra su mayor  utilización

transportables , baratos y pueden Los manómetros metálicos son  fácilmente transportables, presione s. Su principal inconveniente inconven iente es que su diseño los medir  amplias  amplias bandas de presiones. hace sensibles a desgastes mecánicos  por lo que,  periódicamente,  deben ser   cali

 br  brados. Por  último, los manómetros,  suele ser habitual denominar  último, y aplicable a todos los vacuómetro al  manómetro  capaz de medir presiones  manométricas  negativas y manovacuómetro,  al que sirve para medir presiones  manométricas  tanto negativas

como positivas.

32 ¡ -Tema. 

Estática de fluidos.

3  L e c c i ó n .  Principio de  Arquímedes: £

 cuerpos  cuer pos sumergidos.  Determinación

la  subpresión.  Equilibrio de los

de la densidad de sólidos y  líquidos.

SUBPRES IÓN 13.1. PRINCIPIO D E ARQUIMEDES: LA SUBPRESIÓN En la figura 1.3 1.3.1-a) -a) se ha

representado

un  

cuerpo

 de sumergido  en un  fluido '• de

densidad "p ¡ "   cuya superficie libre  coincide  con el  plano \ 

dSí

xoz. ! \W

ds

!

d

i

\ | tdF )

La fuerza hidrostática   que actúa  sobre un elemento  dife rencial de  superficie " dS~  la ecuación  1.1.5: viene dada por  la  d~F = pdSn 

(1.3.1)

Para  descomponer   esta

fuerza diferencial se utilizarán las componentes que aparecen en su  plano proyectante   vertij cal:"(dF) -.y-(d/0„\(ver¡ y

Fig- 1. 3.1. Fuerzas uerzas hidrostat hidrostatica icass sobre un cuerpo cuerpo sumergido.

(dF).

 y

Fig. 1.3.1-a). sen a - dF sen

(1.3.2)

33 Se estudiará en primer lugar la  ecuación  1.3.3, que  también se escribe en la

forma: (dF)

 xz

ahora bien, "dScosa"

(1.3.4)

= pdS  cosa

es la proyección  ortogonal de " d S " en la dirección de la

componente ( d / ) , *  (ver Fig. 1.3.1-b) y es, por consiguiente, un  diferencial de 7

superficie  vertical  ( d S „ ) . Resulta así que que el segundo segundo miembro miembr o de la ecuación  1.3.4 representa la fuerza hidrostática que que  actúa sobre  " d S „ " .

Si se considera la componente  horizontal de la fuerza  diferencial  hidrostática

~(dF)  ." que corresponde a cada diferencial de superficie situado a igual  profun  x¡

didad que  que  "dS" y se proyecta sobre un plano horizontal este conjunto de fuerza fuerzass se obtiene la figura 1.3.1 1.3.1-c) -c).. La resultant resu ltante e de dicho dic ho sistema de fuerzas fuerzas  será:

 R~= f (dF) xt-I  

pdS„n»

(  1 . 3 . 5 )

 unitario normal a " d S  „". en la que " n „"  „" representa  representa el vector  unitario Las componentes de la fuerz fue rza" a" R "  son:   son:  R

 R

2

 x

= r'l = j pdS pdSvÜ-í  Ü-í 

= R"k = J   pdS,ñ k u

= j  pldz = j  pídx

(1.3.6)

(1.3.7)

siendo " p" la presión hidrostática existente existente a la profundi prof undidad dad consid considerada erada y " í " la

dimensión de  de  "dS„" paralela al eje  eje OY  O Y . Dado que la última integración inte gración que  que aparece en las ecuaciones 1.3. .3.6 y 1.3 1.3.7 se extiende extiende a un reci re cint nto o cerrad cer rado, o, su valor  es nulo. De acuerd acuerdo o con c on lo ante an teri rior or se deduce deduce que las fuerzas fuerzas  hidrostáticas que que actúan sobre el cuer cuerpo po considerado no tienen tiene n resultante horizontal  sino sólo resultante  vertical.

Para calcular  c alcular la resultante vertical de las fuerzas hidrostáticas se  se comenzará por

escribir  la  l a ecuación 1.3. 1.3.2 2 en en la forma:

34

en la que "dSsen a" es la proyección ortogonal de ~dS~  en la dirección "OY" por lo que se trata de un diferencial de superficie horizontal

(dS ).  h

Sustituyendo en 1.3.8 el valor de la presión hidrostática a la profundidad con siderada resulta: (1.3.9)

(dF) -p,gydxdz  y

En la ecuación  anterior  "y"  "y"  representa un punto genérico de la superficie del  vendrá dado por una expresión del cuerpo, por lo que su valor  vendrá de l  tipo: y =y(*2)

( 1 .3 . 3 .1 .1 0 )

E l  módulo de la resultante   vertical de las fuerzas  hidrostáticas será:  R = J (dF) = j y

 y

jp  ydxd: ¡g

(1.3.11)

donde " y dxd^~  representa el diferenci dife rencial al de volumen vol umen del cuerpo considerado considerado (ver (ver ~L 

fig. 1.3.2) que, al multiplicarlo por la densidad del fluido y la aceleración de la gravedad, pasa a ser  el  peso  peso de dicho diferencial de volumen supuesto éste

ocupado por el fluido. En consecuencia, la integral doble que aparece en la ecuación  1.3.11 representa  d el fluido desalojado por el cuerpo. el peso del

F ig 1. 3. 2. E lemento lemento rencial de  volumen.

dife

 Fig. 1.3.1-a)- que la Teniendo Teni endo en cuenta cuenta -(ver  Fig.

fuerza hidrostática aumenta con la profund prof undidad idad ,s ,se

deduce que la resultante obtenida mediante la ecuación 13.11 13.1 1 es es de signo signo negativo lo que significa que  está dirigida  hacia arriba. E l análisis anterior se enuncia mediante el conocido principio de  Arquímedes:

'Todo  cuerpo  introducido en un fluido experimenta una fuerza   vertical ascendente cuyo módulo es el peso del fluido desalojado". Esta fuerza   vertical ascendente suele

denominarse empuje de Arquíme Arq uíme des

punto d  aplicación

 el centro de gravedad

35  má s conocida- el enunciado ya recoge su validez para todos los  fluidos, ya imagen más

que a los efectos de su  aplicación  puede  suponerse  que la densidad de   éstos es constante. El principio de Arquímedes se aplica siempre que se puedan desarrol desa rrollar lar fuer fuerza zass

hidrostáticas y  éstas  aparecen cuando cuando hay continuidad continuid ad en el   líquido,  aunque esa continuidad se  se establ establezc ezcaa a lo largo de de una grieta g rieta o fisura o a través de los huecos de un medio poroso. Un azud de   hormigón en  masa proporciona la oportunidad de

comentar  ambas  ambas posibilidades. Por muy bien bie n ejecu ejecutada tada que que   esté la cimentación es imposible garantizar que el agua agua no pueda pueda introducirse introdu cirse en en el contacto entre la  base del azud y el terreno,  ter reno, con lo que inmediatamente inmediatamen te se  producirían fuerzas ascendentes

que  tratarían  de "levantar" "levantar" el azud. Por otro lado, la   constitución del   hormigón -cemento, arena, grava y agua-  hace que su fabricación de lugar a un medio poroso, muy poco permeable, pero que al cabo de un tiempo suficientemente largo de con

tact tactoo con con el agua agua permi per mite te que   ésta entre en sus huecos. En cuanto tal  cosa suceda,  partícula  mineral queda sometida al empuje de  Arquímedes, lo cada partícula   l o que supone supone una

merma o reducción de su peso y, consecuentemente, consecuentemente, de toda  presa o azud, Para tener en cuenta   ambas situaciones, cuya   denominación genérica  es la de

subpresión  y que, como má s que en la  aparición de presiones com o se se ha visto, no consiste más en los hueco  huecoss deu d eunn medio poroso-presiones intersticiales-  las normas oficiales exigen

que la subpresión  sea considerada entre las acciones sobre la  presa.   último, el principio de  Arquímedes  constituye la  base para el estudio Por  último, estudio del equilibrio  de los cuerpos sumergidos así como para la  determinación  de densidades,  por   por  lo   lo que ambas cuestiones  serán  tratadas a  continuación.

36

132.  EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS SUMERGIDOS

De  acuerdo con el principio de  Arquí

medes, un cuerpo sumergido  total  o parcial mente en un  fluido está sometido al empuje " E"  aplicado en el centro de gravedad del

volumen sumergido, al que se denominará, en  en lo   sucesivo, centro de carena "C.   Además,

1. 3. 3. Fuerzas sobre sobre un cuerpo cue rpo sumergido umergido..

Fig.

sobre el  cuerpo actuará el peso" W ", ", aplicado

en su su centro de gravedad  "G". De la  comparación  entre el valor   relativo  de las fuerza fuerzass interv int ervini inient entes es se

obtienen las tres situaciones posibles: si el peso " W" es superior al empuje " E~, el

cuerpo se  hundirá;  si el peso es  igual  al empuje, se  mantendrá  sumergido en una  posi  po sici ción ón cualquiera y si el peso es menor que el empuje, el cuerpo   flotará. De la situación que corresponde al segundo  caso, y que  aparece  representada

en la figura  1.3.3 se deduce otra  forma de expresar lo mismo, aunque en  función de una propiedad física de los cuerpos como es la densidad. Dado que:  E-W  

(1.3.12)

al estar  el   el cuerpo totalmente sumergido resulta:  gV-pgV   gV-pgV 

 Pf 

'

(1.3 .13)

expresión en la que " V" representa el volumen volum en del cuerpo. cuerp o. En E n consecuencia consecuencia,, se

 puede decir dec ir que cada una de las situaciones situacion es anteri ant eriore oress se correspond corres ponde, e, respecti respec ti vamente, con densidad del de l cuerpo mayor, igual, o menor que la densidad del  fluido. En el caso de cuerpos en equilibrio sumergido puede ser impor im portan tante te el carácter del equilibrio, lo que es función  de la posición relativa entre el centro de carena "C"

37 Así,  un

Ü

cuerpo que se

encuentra en  equilibrio en la posición representada en la figura  1.3.4-a  en trazo

lleno,  y que como conse

cuencia de alguna  acción es desplazado adoptando la F ig   1.3-4.  Clases de  equilibrio en un cuerpo  sumergido.

posición que  aparece en

trazo tra zo discontinuo disco ntinuo,, se dice dice que se se encuentra encuen tra en  equilibrio estable, ya que  que la l a desestabilización induce la  aparición de un par que devuelve al cuerpo a la  posición de  equilibrio. En el caso en que la  distribución de  masa fuera tal que el centro de gravedad

estuviera por encima del centro de   carena, (Fig. 1.3.4.-b), la   actuación  de fuerzas transversales   supondría la aparición de un par de vuelco , por lo que se dice que en tal situación el equilibrio es inestable. Finalmen Fin almente, te, si coinciden el centro de carena y el  el centro de gravedad, graved ad,

el  equilibrio se denomina indiferente. Para el estudio del equilibrio  de los

cuerpos flotantes conviene   establecer  m previame prev iamente nte el significado de algunos algunos =B==^=== ^

de desviación nula (Fig. 1.3.5-a), se  se define

~~^ ^

Fig 1. 3 5.  Equilibrio de un cuerpo wf-

flotante,

L_ l_| U I I L ÍJ  I I U

LJ*T LJI I

respecto a la  situación t é r m i n o s : así, y con respecto

', ..IQ

 plano  pla no de flotación como la intersección del

p u

cuerpo con la superficie   libre, y eje eje de

flotación, como la recta perpendicular al plano de   flotación que pasa por el centro

de gravedad. recta soporte soport e del empuje se denomina La intersección del eje de  flotación con la recta metacentro (M), y es la posición relativa de este punto respecto al centro de gravedad gravedad

38

Asf, en la figura  1.3.5-b puede verse la situación que corresponde al   equilibrio estable. Ante una pequeña peq ueña desviación desviación  del eje de  flotación  respecto a su  posición

normal,  el centro de carena se desplaza   hasta la  posición que corresponde al centro de gravedad del d el  volumen sumergido (C) que ahora tiene  sección transversal trapecial, como se ve en la  figura  1.3.5-b. Resulta así as í que la desviación da lugar a que  aparezca

un par cuyo sentido tiende a devolver al cuerpo flotante a la  posición inicial.  Esto se debe a que el metacentro   está situado por encima del centro de gravedad. Dado que carena a (C) (C ) está por encima del centro de gravedad   (G), era previsible el centro de caren que el equilibrio debía  ser estable. Sin embargo, y a diferencia de lo que  sucede con  en equilibrio aún los cuerpos totalmente sumergidos, un cuerpo flotante  puede estar   puede estar  en cuando el centro de gravedad   esté por encima del centro cent ro de de carena. carena. Esta situación   es la que se representa en la figura  1.3.5-c. Como se ve, el par que que aparece cuando se produce la  desviación   hace que el cuerpo flotante flota nte recupere recupere

la posición de  equilibrio. Es, por consiguiente, la   posición   del metacentro la que determina determin a el e l sentido del par y con ello, e! carácter  del  equilibrio. estable si el metacentro metacent ro En  resumen, el equilibrio   de un cuerpo flotante  será  estable

está por encima del centro de gravedad e inestable, en  caso contrario. La situación en la que ambos puntos coinciden coinci den corresponde al  equilibrio  indiferente.

E l  estudio de la  posición normal en Ic -—-

=-

—

—

la flotación  de un cuerpo permite obtener

=—

~

(Fig. - :1 _. -3 .- 6- . „Posición • • . , Posición norma normall de equilibrio.

una  relación   interesante; dado que el cuerpo se encuentra en  equilibrio,  se ha de K

H

verificar:  E = W  

(1.3.14)

las fuerzas fuerzas que aparecen apare cen en y sustituyendo en  1.3.14 las expresiones de cada una de las

dicha ecuación  resulta:

39 Siendo ~ v " el volumen  el  volumen sumergido en el cuerpo  y " v " el volumen  el volumen total. L a ecuación s

1.3.15 también puede ser escrita en la  forma:

tv La expresión que  aparece a la izquierda de la igualdad anterior se denomina

densidad relativa de un cuerpo respecto a un  fluido.  Cuando el  fluido es agua y su temperatura es de 4 C   su densidad es 1  g.f '/cm y  ésta se  utiliza  como densidad o

 3

 patrón, den d enom omii nánd ná ndos osee densida densidadd relativa de un cuerpo" cuer po"  D,", al resultado de dividir su densidad entre la del agua a  4°C, es decir:  D

 P

 r

(1-3.17)

-

P « ; 0 

,4*C

El  cociente que   figura a la derecha del signo  igual en la  ecuación  1.3.16 es  es la

fracción del volumen del volumen del  de l cuerpo que se se sumerge. E n consecu consecuencia encia,, la  ecuación 1.3.16

indicaque dichafracción  coincide con la densidad relativa del  relativa del cuerpo flotante referida al fluido en el que tiene lugar la   flotación.

Aunque la densidad del agua salada varia de unos mares a otros y la densidad del hielo tampoco es es constante, suele tomarse como densidad relativa rela tiva de   éste 0,92, lo que explica explica , sin sin necesid necesidad ad de más má s comentarios, el pelig p eligro ro que representan los

icebergs para la  navegación  en ciertas rutas.

40 133.  DETERMINACION D E LA DENSIDAD DE  SOLIDOS   SOLIDOS  Y LIQUIDOS

La   densidad es una propiedad  física del de l estado de cada cuerpo que se define

como  el cociente entre la masa y el  volumen  de dicho cuerpo (ec. 1.1.11). En el

apartado  anterior  se  se ha definido el concepto de densidad relativa (ec. 1.3.17), número adimensional   que permite expresar la densidad de un cuerpo en   función  de la del

agua a 4 ° C . Relac  Re laciona ionado do con con la la densidad densidad se encuentra encuen tra el concepto de  peso específico "Y", que se define como el cociente entre el  peso " P" de un cuerpo y su  volumen

" V  ".  ". De la definición  se se deduce que que el peso específico no es una propiedad   física,

ya  que depende del campo   gravitatorio.  De dicha  definición,  y con ayuda de la ecuación  1.1.11, se deduce la  relación  antes citada:  Y - £ =^ - p

f

f 

(1.3.18)

E l conocimiento de la densidad de los cuerpos es uno de los criterios que se

emplean  para la toma de decisiones que corresponden a ciertas actividades. Así,

 para la construcción de  firmes de carretera, las normas oficiales exigen un grado de compactación  en terraplenes,   capas granulares y mezclas   asfálticas  que se estima determinación  de la densidad "in shu". Las estructuras se dimensionan mediante la determinación no sólo para resistir ciertas  cargas como el peso de la nieve, niev e, las las fuerzas fuerzas derivadas de la presión que ejerce el viento sobre los paramentos del  edificio,  etc., sino  también

 para soporta sop ortarr su propio peso que, en algunos  casos, es  es la l a acción más importante. Por último, la densidad de algunos productos  agrícolas es, a veces, el único  criterio dis

 ponibl  pon iblee para la realización  de las transacciones comerciales. La determinación  de la densidad de los cuerpos   sólidos  puede realizarse

mediante la balanza   hidrostática.  Aunque el  método se  basa  en el  principio de Arquímedes   -de hecho, este principio lo  descubrió Arquímedes  cuando trataba de

41

identificar  u n cuerpo cuerpo por su su densidad- es generalmente reconocida la   aportación metodológica de Galileo, que escribió en 1586 un breve tratado de   carácter   experi

mental  sobre  sobre la l a balanza  hidrostática,  titulado La Bilancetta. En la   figura  1.3.7-a  se ha represen

tado

un

esquema

de

la

balanza

hidrostática,   que es  similar   a! de una

 balanza convencio conv encional nal con la   particulari dad de que uno un o de de sus sus platillos ha de estar 777777777777777Z

sumergido en un  fluido que suele ser agua. E l esquema de las fuerzas que  intervienen

en el proble pro blema ma puede verse verse en la fig.

V

1.3. 1.3.7. 7.-b -b,, en el qu q u e "  P " es el peso al aire del

Ps

objeto;" P ", el peso que tiene cuando se  s

 b) Fig.

le sumerge en agua; " E" es el empuje de 1.

3 . 7 Balanza hidr ost áti ca.

Arquímed Arquímedes es y" T" representa la fuerza de

enlace. En la posición de equilibrio se  verifica:  E=P-P  

(1.3.19)

S

y teniendo en cuenta la  definición de empuje, resulta:  p gV-P-P,

(1.3.20)

 f 

 " del cuerpo que sustituido De la ecuación anterior se obtiene el  volumen " V  "

en la fórmula  de la densidad y teniendo en cuenta la   relación  entre masa y peso,

!

 perm  permit itee escribir:  P/g p - — V  (P-Ps)/(S>,9)

P-P,

'

(1.3.21)

De la  ecuación 1.3. 1.3.21 21 se obtiene obtien e realmente realm ente la densidad densi dad   relativa  del cuerpo

respecto al fluido. Si se conoce la densidad de   éste, se puede deducir la del cuerpo.

42 La balanza hidrostática también puede ser  utilizada  el volumen  utilizada para determinar  el de un cuerpo si se conoce la densidad del  fluido, según  se deduce de la  ecuación 1.3.20 y asimismo, asimi smo, es posibl pos ible e obtene obt enerr la densidad  densida d   relativa  de un  iíquido respecto a que determinar determ inar el peso al aire air e y los pesos sumergidos de un cuerpo en otro, sin más que cada uno de los líquidos, aplicar  a plicar en cada determinación la ecuación 1.3.21 1.3.21 y dividir,

según convenga, estas ecuaciones. La determinación de la l a densidad de los los líquidos  puede realizarse mediante la  balanza de de Mobr, aparato  apara to que se se muestra en

la  figura 1.3. 1.3.8 8 y que que  está  constituido, esen

cialmente,  por un brazo con contrapeso en un  lado y una serie de ranuras en el otro, en  en las que se pueden alojar   unas pesas espe ciales denominadas reiter; y un objeto -el  1.3. 8  Balanza de  Monn Fig. 1.3. Líquido de  densidad  1,14  respec to al  agua a 4" C.

inmersor-

en

cuyo  interior  hay un

termómetro  que se introduce en el  líquido de prueba. prueba . La balanza ha de estar  equili   equili

 en el aire, con el inmersor  colgado  sin reiter  alguno  colgado del extremoy sin  alguno en las  brada en las ranuras.

 unidad se elige de manera que al introducir  el E l reiter  unidad  el  inmersor  en  en agua a4 °C se restituya  el equilibrio colocando aquél en la ranura ranur a situada encima del gancho. gancho. E l restantes reit re iter er es es tal t al que teniendo tenien do en cuenta las ranuras en  peso  peso de cada uno de los restantes las que se alojan, se pueda leer directamente la densidad del  líquido  hasta la cuarta

cifra  decimal.  la densidad de los líquidos es el areómetr areóm etroo Otro aparato que permite determinar  la o densímetro (Fig. 1.3.9), 1.3.9), muy utilizado en la determinaci ón sistemática sistemática de densida

43 Este tiene en su  pane superior un tubo de

Escala

vidrio  en el que hay una   escala  y en su parte inferior, un flotador flotado r lastrado con con el fin de manman-

Fiota do  dor Lastre

t

tener  vertical    el conjunto. A l 

introducir  el  densímetro  en la probeta

que contiene al   líquido  de prueba y una vez Fig Fi g 1. 3. 9.   Areómetro densímetro.

o

alcanzado el equilibrio se  verifica:  E

= W   D  D

(1.3.22)

siendo" W  " el peso del densímetro, que es una constante  y " E" el empuje del líquido  D  D

sobre éste. Teniendo en cuenta la  definición de empuje se obtiene:  p , - — 

(1.3.23)

que proporcion propo rcionaa la densidad del   líquido en  función del volumen sumergido del densímetro " V ".  El aparato se  diseña  de manera que al   utilizarlo sólo  emerja el  D

tubo, con  con lo cual la escala se  se  gradúa para que de su lectura se obtenga directamente la densidad del líquido. El  densímetro se  utiliza profusament profusamentee en los laboratorios laborator ios de geotecnia geotecnia y de

análisis de suelos para conocer  el  el porcentaje de una muestra de suelo que que corresponde

a diámetros inferio  in feriores res a 0, 0,075 mm m m mediante la técnica que se conoce como  análisis granulométrico  por   sedimentación. Sus resultados,  junto a los  los obtenidos en  el análisis  po r  sedimentación. granulométrico   por tamizado, permiten permi ten representar la curva  granulométrica (Fig.

1.3.10) del suelo y/o conocer el porcentaje que corresponde a los  tamaños de grava, arena, limo y arcilla,  siendo ésto lo que en la  técnica agronómica  suele  denominarse

la  textura del suelo. En los laboratorios de   análisis,  la textura permite clasificar agronómicamente un suelo, suelo, mientras que que en los laboratorios laborat orios de de geotecnia, el cono cono cimiento de la curva  granulométrica no basta para la clasificación de un suelo.

44

La  curva  granulométrica

 prop  pr opor orcio ciona na  información  res  pecto a la perm pe rmea eabi bili lida dad, d,   sus ceptibilidad  a la helada, origen

geológico  etc., de un suelo, así 60

2

como  sobre  la magnitud cuanti

O.O02

0.06

Diámetro de las las  partículas en mm.

tativa  de su  fracción fina -limo y

3.10-  Curva granulométrica de Fig. 1. 3.10un suelo.

arcilla-,  sin

embargo,

para

  un suelo desde el punto clasificar  un

de vista geotécnico,  se requiere conocer cualitativamente dicha   fracción fina, y para Atterber g. ello es preciso determinar   también los límites de Atterberg.

I J - l l .  Análisis granulométrico por  po r   sedimentación

po r   sedimentación se  basa en la ley de Stokes E l  análisis granulométrico por  (ec. 3.3.49) que proporciona la fuerza resistiva que ejerce un  fluido sobre un cuerpo sólido  que se mueve en su   interior   en condiciones de   régimen  laminar. Conocida

dicha fuerza se puede estudiar el movimiento de una  partícula y deducir ded ucir su velocidad de sedimentación "v,  "(apartado 3.3.4.): v

-

g

(

p

- -

 p

' y

(1.3.24)

18(1

expresión en la que " p " es la densidad de las  partí s

culas de suelo; " D" su  diámetro y  "o," y "u." la densidad y viscosidad del   fluido.  Para  realizar un anál ¡sis por  sedimentación  sedimentación se prepara en una probeta

 un a suspensión uniforme unifo rme del suelo suelo en  agua y se  se coloca . una

45 La fórmula  1.3.24 puesta en  función de la profundidad  "2", y de la densidad densidad y

viscosidad del agua agua " p ,"y"u. ,''queda en la  forma: u

ll

que indica que al cabo de un tiempo " í " desde que  comenzó la sedimentación,  las  partículas  cuyo diámetro es " D " se  se encuentran encuen tran a la profundidad " z ". Esto significa

que si se puede determinar la   concentración de  partículas  que ocupan la   posición  "C  ," - el porcentaje de   partículas "2" "2"e n el instante "i"  -que se representará por  "C   z  z

" p " cuyo tamaño es  inferior  a " D " vendrá dado por: C  ,  z  z

(1.3.26) conc entració aciónn inicial de partículas es decir, el peso del suelo dividido donde "C,"es la concentr

 L a ecuación  1.3.26  po  por el volumen el  volumen de la suspensión por lo que su valor  es conocido. La  proporci  proporciona, ona, por consiguiente, los puntos necesarios para   dibujar  la   la curva granulométrica en la zona correspondiente a los tamaños más  finos. El  densímetro  puede ser   utilizado  para determinar  " C  ,"  ya que existe una  2  2

correlación   entre  ésta  y la lectura de un   densímetro " p , " introducido  en la sus z

 pensión,  pensión, cor c orre rela laci ción ón  que viene dada por: C«--£2—ff{p„-p„)

(1.3.27)

cuya demostración,  aunque sencilla,  se omite para no desviar la  atención del motivo  principa  principal.l. No obstante, dicha  demostración puede verse en la referencia   bibliográfica n  13. B

El densímetro proporciona la densidad que existe a una profundidad"  2"e n un un

iastante " í", pero nada se ha dicho respecto a cual es la profundidad " 2 " a la que   dilucidar. corresponde dicha densidad. Esta es, por tanto, la  cuestión que falta por  po r  dilucidar.

46

Cuando el densímetro de peso ~W " se introduce en un  líquido  líquido homogéne o de  D

densidad " p " se  verifica:  pg

siendo  ~d(Voiy

d(Vol) d(Vol)

= W D

(1.3.28)

el volumen de un elemento diferenc dif erencial ial situado situado en la parte parte

sumergida sumergida del de l densímetro y extendiéndose la integral integr al al volumen volum en de densímetro  que está  sumergido.

Mientras hay sedime ntación la densidad de lasuspensión no es constante, siendo

suficientemente suficientemente aproximado aproxi mado suponer suponer que varia vari a lineal lin ealmen mente te con la profund pro fundida idad, d, es es decir: p =a + bz

(1.3.29)

De acuerdo con la  ecuación  1.3.29, la  ecuación que  expresa el  equilibrio  del densímetro en una  suspensión será: (1.3.30)

en la que " d'V ot)" y~ W  '' tienen el mismo significado que en la  ecuación  1.3.28.  D  D

Si se representa por" z'" la profundida profu ndidadd a la cual la densidad densidad de la  suspensión

coincide con la lectura del densímetro " p¿", se  verifica: = a + bz

(1.3.31)

Sustituyendo   1.3.31 en  1.3.28 se tiene: tien e:

De la igualdad entre las ecuaciones 1.3.32 y 1.3.30 se obtiene:

 z =

(1.3.33)

47

que identifica a ~ z'~  z'~ como el centroide centroide gravedad del volumen volum en sumergido, es decir, como el centro cent ro de carena del volumen sumergido del densímetro.  En consecuencia, la lectura del densímetro proporciona la densidad de la suspensión a la profundidad a la que  que se encuentra el centro cent ro de carena del volumen sumergido del densímetro. Se

necesita por tanto, conocer la profundidad del centro de  carena  que corresponde a cada lectura del d el densímetro, operación   que se denomina calibrado del densímetro.  I

El procedimiento a seguir en la realización del  análisis por  po r   sedimentación se  pu  puede resumir en los siguientes pasos:

1.1.- La lectura del  densímetro  proporciona la densidad de la  suspensión a la

 prof  profun undi dida dadd a la que se se encuentra su centro de carena, profundidad que que se determina determ ina

en el calibrado o ajuste del   densímetro. 2. - La ecuación  1.3.25 permite obtener el  diámetro  de las partículas que en el

inst instan ante te en el que se hizo la lectura se se encontraban encon traban a la profundida profun didadd del de l centro de carena del  densímetro.

3. - La concentración  de las partículas  cuyo diámetro se obtuvo en el apartado  y que se anterior  y se encuentran a la profundidad del centro de carena en el instante de

lectura, se obtiene mediante la ecuación  1.3.27. 4.- E l  porcentaje de  partículas  cuyo diámetro es  inferior  al obtenido en el paso n° 2 se obtiene sustituyendo en la ecuación  1.3.26 la concentración  calculada en el apartado anterior.

48 i-Toma

.Estática de  fluidos.

 4*Lección  4*Lección.. 

Sistema de  fuerzas  hidrostáticas  sobre una  superficie  plana

 sumerg  sum ergida. ida.   Aplicación:  equilibrio  de un azud.  Fórmula de Mariotte.

1.4.1.  1.4.1.  SISTEMA DE   FUERZAS  HIDROSTATICAS SOBRE UNA  SUPERFICIE PLANA SUMERGIDA E n ia  figura  1.4.1-a)  se muestra el alzado  desde aguas  arriba de un muro de

embalse en el que hay una compuerta rectangular   MNPQ.  Cuando la  presión hidrostática "p"actúa  sobre un elemento  diferencial de  área " dA",  aparece una

fuerza  normal y dirigida  hacia éste " dF" cuyo módulo viene dado por:  dF=pdA  dF=pdA

(1.4.1)

SECCION A A

a) Fig.  1.4.1.

b) F uerzas uerzas hidrostátic hidrostáticas as sobre una  superficie.

E l  conjunto de fuerzas que se  origina  como consecuencia de la   presión

 E n la figura 1.4.1-b) 1.4.1-b) se ha hidrostática se denomina sistema de fuerzas   hidrostáticas. En representado la  distribución  plana de fuerzas   hidrostáticas  correspondiente a la

49 Las fuerzas que  actúan  sobre la compuerta constituyen un sistema de fuerzas  para  parale lela lass y comu tal, ta l, puede  ser reducido a un sistema  mecánicamente  equivalente formado por una sola fuerza aplicada en un punto determinado de la compuerta, denominado centro de  presión. La determinación del centro de presión se facilita  considerablemente si, como suele ser  ser frecuente, el e l área de la compuerta es simétrica y uno de sus sus ejes de simetría

resu result ltaa ser ser perpen pe rpendicu dicular lar a la  intersección del plano de la compuerta con la superficie libre del agua. En tal caso, es fácil compro  c omprobar bar que dicho eje eje de simetría lo es es también

 par  paraa la distribución de fuerzas  hidrostáticas y,  por consiguiente, el centro de presión ha de ser uno de los puntos de dicho eje.

Fig.  1. 4. 2.  

Sistemas 

mecánicamente  equivalentes.

Así  pues, para determinar la posición del centro de presión basta con conocer "ycp" (Fig. 1.4.2-b). Tanto  esta determinación como la de la fuerza   única " R "  ha H 

de realizarse imponiendo las condiciones para que los sistemas  de fuerzas I y 11 11

50 las resultantes resulta ntes de los sistemas I y I I , permite La igualdad entre los módulos de las obtener  R :  H 

(1.4.2)

 [   yydA-ft

 H 

 J 

A

y teniendo en cuenta la  definición de centro de gravedad de un  área  resulta: Y V c ^ t f * 

(1-4.3)

donde " y " es el peso específico del  agua," A " es el área  de la compuerta e  " y " es  es c

la profundidad  profundida d del centro de graveda gravedadd del área de la superficie plana sumergida.

Conocido el módulo de la resultante de las fuerzas  hidrostáticas, la  l a posición del

centro de  presión se obtiene mediante la igualdad entre los momentos de las resul tantes de los sistemas de fuerzas I y I I (Fig. 1.4.2), es decir:

f   ( Y y c M ) y - t f „ y „

(1.4.4)

 JA

1.4.2, 2, pued puede e escribirse que, teniendo en cuenta la  ecuación 1.4.

 2,  y dA ¿

 J 

 y•CP~ =—r

/

(1-4.5)

Cf 

 ydA

•

e l mome mo ment ntoo de E l  numerador del segundo miembro de la   ecuación 1.4.5 es el compuert a con respecto respecto al eje eje X X es decir, con respect respectoo a la inercia del  área de la compuerta de lacomp lac ompuer uerta ta con la superfic superficie ie libre del  agua, y se representa intersección del plano de  por  /

x x

,

Dado que el momento de inercia se denomina  también  momento de segundo orden, se  puede  decir que la profundidad del centro de   presión  se obtiene como cociente entre los momentos de segundo y primer orden del   área  de la compuerta. Con la notación ya explicada, la  ecuación  1.4.5 queda en la forma:  y

CF

= ~~

(1-4-6)

51

 los problemas problemas relacionados con la determinación del centro En algunos casos, los depresión pueden ser resueltos con  bastante rapidez si se analiza la distribución de

fuerzas  hidrostáticas. En el caso de una compuerta rectangular como la que que  aquí se ha considerado,

sistem emaa de fuerzas repres rep resent entado ado en la  figura 1.4.2 e identi ide ntifica ficado do en ella el la como el sist  1, puede ser reducido al que se muestra en la figura  1.4.3, que a su vez puede sistema 1,

ser reducido a una sola fuerza pasando por el centro de gravedad de la   distribución trapecial. El centro de  presión es el punto de  intersección de la recta soporte de esta

fuerza fuerza con el plano de la compuerta. co mpuerta. E l procedimiento que se acaba

  particular, de describ de scribir ir es de carácter  particular, y no puede ser  utilizado,   utilizado, por ejemplo,

si el área de la compuerta es circular.

plana equiFig.  1.4.3-  Distribución  plana valente a la  distribución  espacial.

En tal  caso,  es el procedimiento general, denominado  método  del

volumen de presiones" el que  debe ser  ser aplicado. aplicad o. La denominación del   método se basa en una  interpretación geométrica   de la

que aparece en su primer pri mer miembr mie mbroo es es ecuación   1.4.2, en base a la cual el integrando que un elemento diferencial del volumen del volumen creado por la distribución de presiones presiones actuante  A sí  pues, la ecuación  1.4.2 indica que el módulo de la resultante sobre la compuerta. Así del del  sistema de fuerzas  hidrostáticas  se obtiene calculando el volumen que crea la distribución de presiones  hidrostáticas que actúa sobre la compuerta.

Teniendo en cuenta  este  resultado, la ecuación  1.4.4 muestra que la  posición de gravedad gravedad del de l volumen de presiones, del del centro de presión coincide con la del centro de con lo que queda definido el.sistema II (Fig.  1.4.2) mecánicamente  equivalente al

sistema I constituido por la distribución  de fuerzas  hidrostáticas.

\

'

52 1.4.1.1. Momentos de inercia ine rcia de un   área

E l momento de inercia de un  área

con  respecto a un eje puede ser rela • dA ( o W V /

' 

/

1

cionado con la  posición  del centro de

r

yo

gravedad de dicho  área con respecto al

y

 1.4.4, eje. Así, con la notación  de la figura 1.4.4,

en la que  "ye"  representa la ordenada del  centro de gravedad del  área" A", se F¡ g  1.4.4. N otacidn otac idn para para el cálculo de  magnitudes inerciaIes de un  a'rea.

tiene: ¡xx-

 y dA  z

C 1-4.7)

y  también:

 f  Á(y c

+  rfdA

(1.4.8)

y desarrollando el  binomio, teniendo en cuenta que r   - 0 resulta:  c

I 

x

x 

=  l x x + y U  

(1-4.9)

que es el teorema-de Steiner para los momentos de inercia de un  área. El teorema de Steiner puede ser  utilizado imp ortante nte propiedad prop iedad del centro de   utilizado para deducir una importa 1.4.9 en 1.4. 1.4.66 resu re sult lta: a:  pres  pr esió ión. n.  Sustituyendo la  ecuación  1. y

(

 y A

(1.4.10)

 c

que muestra que el centro de presión está siempre por po r debajo debajo del centro cent ro de grav graved edad ad del área. En la  mayoría  de las determinaciones del centro de  presión  de una superficie

 plana  pla na sumergida, sumergida , basta con aplicar la ecuación 1.4.6 .4.6 para situar situ ar dicho dic ho punto pu nto,, ya que

53

Si, haciendo abstracción de las consideraciones de simetría, se calcúlala abscisa del del centro de presión -siguiendo la misma metodología  empleada para la deducción

de la ordenada- se obtiene como resultado:  x CP

~

(1.4.11)

El numerador de la ecuación 1.4.11 representa el producto prod ucto de inercia inerc ia del área

considerada, cuya definición  es: (1.4.12) De la ecuación  1.4.12 se  nulo si uno de los  se deduce deduce que el producto produc to de inercia iner cia es nulo si los

de l área. ejes con respecto a los cuales se calcula dicho producto es eje de  simetría del Dado  que, que, generalmen generalmente, te, la variable variable " y " de la  ecuación  1.4.12  se emplea para

expresar la variación de la  presión hidrostática, resulta que la simetría de la sección respecto al eje correspondiente a la variable " y "  supone  supone la l a simetría de  la distribución de fuerzas hidrostáticas y en consecuencia, el centro de presión deberá ser un punto de dicho eje, por lo que   tomándolo  como eje de referencia se  obtendrá  siempre x   - 0. C P

Tomando como modelo la  deducción  del teorema de Steiner, es inmediato

obtener obtener una un a  relación similar  para el e l producto produc to de de inercia, que que es la siguiente: (1,4.13)

54  APLICACION: EQUI LIBR IO DE  UN AZUD 1.42. APLICACION:

Algunos de  de los conceptos conceptos recie r ecientem ntemente ente estudiados estudiados son de aplicación al  analizar el equilibrio de un azud o presa pequeña  cuya misión fundamental es la de crear el

remanso suficiente para la desviación  del agua. En la  figura  1.4.5 se ha representado un elemento transversal de espesor  unidad  unidad del  azud. Las fuerzas activas fundamentales

 para el   análisis del   equilibrio  son las siguientes: - Sistema de fuerzas  hidrostáticas. F i g  1.4.5.  Geometría P

d e l 

r o b t e m a

-Subpresión.

- Peso del elemento.

En el   cálculo  de grandes  presas  se consideran  además,  acciones  sísmicas, térmicas, etc.,  etc., el efecto de los aterram ater ramient ientos, os, oleaje e incluso las fuerz fuerzas as que  podrían

actuar sobre la presa si se helara h elara superficialmente superficialmen te el embalse. embalse. E l sistema de fuerzas  hidrostáticas que actúa sobre la presa representada represe ntada en la

figura 1.4.5 da lugar a una  distribución  lineal que tiene su origen en la l a superficie libre

y que llega hasta el punto más bajo de la obra de   fábrica, es decir, aunque una vez

ejecutada la cimentación se suele suele rellenar rellen ar estay e l terreno terre no aguas arriba  arrib a queda como indícala línea  discontinua de la  figura  1.4.5, la distribución  de fuerzas actuante sobre la presa se extiende hasta su base.

denomin arse "empuje "empuje del La  fuerza resultante de la  distribución -que suele denominarse agua agua""- se aplica apl ica en el centro cen tro de  presión  de la superficie sobre la que  actúa , determinándose su situación  mediante la ecuación 1.4. 1.4.10 10.. Tenie Ten iend ndoo en cuenta que

55  n

17

TÍ*

3

2

 h

(1.4.14)

1 V

El  módulo del empuje se  obtendrá

CP

mediante la  ecuación  1.4.3: (1.4.15) El  efecto de la   subpresión  puede

ser considerado mediante la ley que se representa con trazo de punto pun to y raya en Fig  1.4.6.  Fuerzas en el  equili brio de un azud.

la figura  1.4.6; en la que la presión en el

extremo aguas arriba de la   base  se ha

hecho igual a la presión hidrostática existente en dicho punto y nula, la  presión en el otro extremo, ya que en  éste sólo actúa la  presión atmosférica. La distribución  de fuerzas debidas a la  subpresión  puede ser reducida a una

fuerza de  módulo igual al  área  de dicha  distribución, dirección  vertical y sentido ascendente y pasando por el centro de gravedad de la  distribución, es decir:

S =  | Y , f i ó  m--b

(1.4.16) (1.4.17)

Por  Por  último, considerado "W" se  se obtendrá multiplicando   último, el peso del elemento considerado  obtendrá multiplicando su volumen  por el  peso  específico del  hormigón, que es el material mater ial de uso uso más má s

generalizado para   este tipo  de obras. Esta fuerza   está aplicada en el centro de gra vedad del elemento, cuya determinación po r  descomposición determinación puede hacerse por    descomposición del  área de la sección en áreas  sencillas.  Así  As í pues: (1.4.18)

1/,-atfYc

(1.4.19)

56 V  =

-{b-a){H-h-)y

 2  2

(1.4.20)

 c

 a

(1.4.21)

c. = -

(1.4.22)

" c --(6 -a ) 2

p or considerar  las  fuerzas reactivas, representadas por  po r su resultante Sólo quedan por  las fuerzas reactivas,  " y el punto "A" de aplicación  de ambas. vertical " Y ", su resultante  horizontal " X  "

se han representado represe ntado las fuerzas que  intervienen en el equilibrio En la figura figura 1.4.7 se del elemento considerado. Las  Las tres incógnitas: módulos  de las reacciones y la posición posició n

de su punto pu nto de  aplicación (OA),  se obtienen median me diante te las ecuaciones ecuaciones escalares de  de  equilibrio en el plano:

(1.4.23)  R = 0

(1.4.24)

 M* -0

(1.4.25)

 x

0

F i q . 1.4. 7. Fuer Fu erza zass sobre el sólido rígido-

dete rminados ados los valores valore s de de la las Una Un a vez determin reacciones "X" y  " ) ' "  se plantea el problema

 con la seguridad adecuada resistente, resistente , es es decir, si el suelo o cimiento es  es capaz de resistir  con  X " e "Y"  que le transmite el elemento de   presa considerado. las fuerzas " X" conside rado. Est Este

 proble  pro blema ma  se resuelve mediante la   aplicación  de la  teoría  correspondiente a la mecánica del suelo, que que permite perm ite estimar estimar la resistenci resistenciaa del terreno y aplicando a  ésta

unos coeficientes de seguridad preestablecidos , averiguar si dicha resistencia es superior  a   a las cargas que ha de soportar.

de intersección con la base, de la l a recta recta La condición  1.4.25 proporciona el punto de de acción de la resultante de las fuerzas reactivas, que lo es  también de la resultante

57 fuera de la base. Dado que la  Norma para el  cálculo de presas exige  exige que la l a resultante resultan te

de las fuerzas activas caiga dentro del tercio central de la  base, el vuelco no puede puede tene tenerr lugar si se se cumple dicha Norma. Nor ma.

1.4.3. FORMULA DE  MARIOTTE

La distribución  en red y en ocasiones, el transporte de los   fluidos,  se realiza

mediante  tuberías en  presión. Asimismo, es casi  práctica  generalizada, almacenar  E n ambos ambos casos, las fuerzas fuerzas derivadas de  la presión los fluidos en depósitos circulares.  En se ejercen radialmente, lo que  simplifica su  análisis. Si para  facilitar  la visualización del

 proble  pro blema, ma,  se estudia un  depósito circular

de agua y se considera en él una   sección diametral  del mismo, limitada  por dos

secciones paralelas a la  base y separadas F i g 1. 4. 8. emi-s eccio'n trans trans 8. S emi-s versal de un  depósito circular

entre sí una magnitud unidad, el sistema sistema de fuerzas fuerzas a considerar conside rar es el que se se  mués-

tra en la figura  1.4.8. • Se ha despreciado la   variación  de la  presión  con la altura del elemento  pudié  pud iéndo ndose se  tomar, o  bien la presión media, o mejor  aún,   aún, la presión existente en la

 parte  parte inferior  del elemento considerado, con lo que se se   está claramente del lado de la seguridad.  " representan la resultante de las que   actúan en el espesor  "e" Las fuerzas " T  "   "e"

De l equilibrio de fuerzas se obtiene: del cilindro. Del 2 7 - 

'o

ptfdasena

(1.4.26)

58  es nula, y de la ecuación  1.4.26 resulta: La integral de la  ecuación  1.4.27 es T-pR

(1.4.28)

mediante la cual se obtiene la tensión   tensión  circunferencial" c", en la   forma: ( I .4.2J

e

e

 de los l os tubos tubos E l resultado de la ecuación  1.4.29 sirve para determinar el espesor  de comerciales de fibrocemento, P.V.C., etc., al comparar la tensión que se produce prod uce en en un  tubo de radio "R~  cuando en su   interior   hay un  fluido a  presión ~p" con la

resistencia a tracción del material mate rial del tubo. También  sirve, naturalmente, para determinar la armadura necesaria en un

circula r de  hormigón  ya que  sólo  el acero es  capaz de resistir la  tracción depósito circular  produ  pro ducid cida. a. La fórmula  1.4.29 es la fórmula de Mariotte, aunque se la conoce  también por "fórmula de los tubos".

59

 }-Tema  }-Tema.. 

Estática de fluidos

 5-Lección  .Fuerzas Ínter moleculares.  Tensión  superficial.  oleculares. Tensión  superficial.  Sobrepresión de  curvatura.  curvatura.   Formación de meniscos.  Capilaridad. Aplicación: ascenso de la  savia en árboles y plantas.

1.5.1. FUERZAS  INTERMOLECULARES

En   esta  lección  se van a estudiar diversos  fenómenos físicos  relacionados,

fundamentalmente, con la propiedad de los líquidos o mejor, con la propiedad del contacto  aire-líquido  que se denomina  tensión  superficial. La comprensión no sólo de ésta,  sino también  de otras varias propiedades de la materi mat eriaa se  facilita  conside rablemente si su estudio se realiza desde un punto de vista microscópico, es decir, teniendo en cuenta la constitución molecular molecular de de la materia. En  cualquiera de los estados o formas en que se presente la materia,  ésta está

po r  moléculas   moléculas en movimiento cuya intensidad va desde la  l a vibración en constituida por  torno a la posición de equilibrio, que caracteriza a las moléculas de los sólidos, hasta la libertad de movimiento que  poseen las  moléculas  de los gases, pasando por la

 int ermedia edia que que corresponde a las las moléculas de los líquidos. El  E l movimiento situación interm de las  moléculas  se corresponde con la intensidad de las fuerzas intermoleculares; ésta es grande grand e en el caso de los sólidos y nula en el de los gases, correspondiendo, lógicamente, a los líquidos la situación  intermedia.

5.1 se se ha representado en trazo conti co ntinuo nuo la variación de la fuerza E n la figura 1.5.1  con la distancia existente entre los centros  centro s de las moléculas. Se  Se aprecia intermolecular  con en ella que cuando la distancia es superior a"d,", la fuerza intermolecular  atrae  atrae a

60 centros de Jas  moléculas sea  sea  inferiora " d „ l a fuerza intermolecular  es  es de repulsión.  es representativa La distancia ~ d „  puede considerarse como  el  el diámet ro molecular,y es de la distancia media de   equilibrio  estable  entre una  molécula y las que la rodean. Esta distancia media de   equilibrio  depende de las condiciones externas de  presió  pr esiónn y temperatura. E(>0)

•co •

Efe O) F i g .  1. 5.1.   Variación  de la tuer tu erza za interm int ermole ole cular cul ar y de la la   energía  pote  po tenc ncia iall  con la  separación  intermolecuiar

La situación de  equilibrio  estable que corresponde a " d „"  implica que en ella

ha de ser   mínima la energía potencial" E", definida como la  energía necesaria  para llevar  una   molécula  desde el   infinito  hasta  una distancia "r" del centro de otra

 E n efecto, efecto, definida así la la  energía, se tiene: molécula. En  dE = -E(r)dr 

(1.5.1)

consecuencia, la gráfica de energía potencial -en -en trazo discontinuo en la  figura y en consecuencia, 1.5.1-se obtiene por   integración de la  función F ( r ) .

 de energía potencia  po tenciall de la la figura 1.5.1 perm pe rmite ite comprobar  comp robar  la La curva de  la estabilidad  se separara una  molécula del equilibrio que corresponde a"  d  ": si por alguna causa se  0  0

de otra otr a auna distancia superior superio r a" d " , la la energía potencial sería mayor que ¡a mínima  0

61

cohesivas). En el  caso de inten in tentar tar configuraciones moleculares en las las que que la distancia distancia entre los centros de las  moléculas fuera  inferior  a " d„",  resultaría  que la tendencia  mínima la energía potencial las   separaría, es decir, se  ejercerían  fuerzas de a hacer  mínima repulsión. La figura 1.5.1 muestra   también que los efectos de las fuerzas intermoleculares sólo se dejan sentir por debajo de una distancia  "R" (10 Angstróm) que sería el radio  molécula. Tambié n se observa en dicha   figura que de la esfera de influencia de  cada molécula.

 pa  para "sacar" a una molécula de la esfe esfera ra de influencia influe ncia de otra o tra es es preciso  deshacer  los  los enlaces intermoleculares  y  ello  requiere la aportación  de una  energía de  cohesión

"¿f". La intensidad de las fuer fuerza zass intermole inter molecular culares es es es muy superior a la de   atracción

entre masas, por lo l o que se trata tra ta de fuerza fuerzass de  carácter eléctrico.  Las fuerzas que se ejercen entre  moléculas  de una misma sustancia se denom de nominan inan fuerzas fuerzas cohesivas cohesivas,, mientras que las fuerzas que se desarrollan entre   moléculas de cuerpos distintos se denomin denominan an fuerzas adhesivas.

 p2.  TENSION SUPERFICIAL

 servirán para explicar  la  la propiedad, Lass ideas expuestas en el apartado anterior  La anteri or  servirán

exclusiva de los líquidos, que consiste en que   éstos  presentan una superficie  libre y tensa como como consecuencia de la l a  acción  de fuerzas superficiales de   extensión  que se

denominan  genérica y globalmente, como  tensión superficial. En la figura 1.5. .5.2 se se ha represen repre sentado tado la esfera de   acción correspondiente a la molécula "A", situada en el  interior  de   de un líquido y a la molécula  superficial "B".

62 B

Las fuerzas cohesivas correspondientes a la molécula "A" dan lugar a una resultante nula,

hay una mientras  que en la  molécula "B" hay resultante  vertical y dirigida  hacia el interior de la masa fluida.  Esto significa que para que una   molécula de  interior,  situada en alguna 1 5. 2.  Estera de in fluencia de moléculas moléculas líquid líquidas. as. Fig.

esfera de influencia, pase a ser una   molécula superficial es preciso realiza rea lizarr un trabajo

contra las fuerzas cohesivas, trabajo que según la  figura 1.5.1 viene dado po p o r " AF ". En   consecuencia, toda molécula   molécula  superficial tiene una energía potencial, por lo energía  superficial que  sería la suma de la  energía  corres que cabe hablar de una  energía 

 pondien  pon diente te   a cada una de las   moléculas  superficiales. Dado que la   situación de equilibrio está  asociada al  mínimo de  energía  potencial, la superficie del  líquido tenderá hacia la mínima posible, que para un contorno dado, es es la superficie plana.

Esta tendencia exige la aparición de fuerzas fuerzas tangentes a la superficie superf icie libre del de l líquido que al  tensar  dicha   dicha superficie hacen que sea  mínima.  Estas  fuerzas son la  tensión superficial del de l líquido, que al mantener estirada la superficie, dan a ésta un  aspecto

de membrana  elástica  tensa. Sin embargo, la superficie   libre  de un  líquido  no se  tensión  superficial comporta como una membrana me mbrana  elástica ya que, como se se verá, la tensión  no sigue sigue la ley de Hooke Ho oke.. SÍ se introduce en una disolución jabonosa un bastidor  metálico   metálico en  forma de "U" "U " y  se  se cierra cie rra la abertura mediante median te un alambre ala mbre deslizante, deslizante, se observa que una vez vez

formada la  lámina de  líquido  en el  interior  del   del bastidor y puesto   éste en  posición vertical, el alambre es despla desplazado zado ligeramente ligeram ente hacia arrib ar riba, a, como conse consecuen cuencia cia de la tensión  tensión  superficial que actúa sobre él.

63

 4&

E l 

^

dispositivo  aparece

representado en la figura 1.5. 1.5.33 y

o

 puede  puede ser    utilizado para medir la  ser  utilizado Ax

fj

F 1

1

F  4

tensión superficial de la siguiente

si T "  representa la forma:  si fuerza que equilibra la  tensión

Fig. 1. 5. 3. B astido as tidorr para para la medida de la tensión  superficial.

superficial  se tiene:  Zla = F 

(1.5.2)

y por tanto:  o =

 F_

(1.5.3)

21

La ecuación 1.5.3 permite determinar la  tensión superficial" o" ala temperatur temperaturaa

del ensayo a partir de la fuerza " F" -el peso del alambre deslizante más el de las  pe  pesas precisas para el equilibrio-  conocida la longitud " l" del alambre.

. Si incrementando ligeramente " F", se desplaza el alambre una distancia"  A x"  x" se observa que el equilibrio  se  se alcanza con la misma fuerza  "  F" con la que se alcanzó antes. Sin embargo, al  desplazar   el alambre se ha producido un trabajo " A l / " de

valor: A l / =  F A x

(1.5.4)

sustituyendo 1.5.2 en 1.5.4 resulta: Al/

= 2 o i A x 

(1.5.5)

 pe  p e r o " 2 ¿ A.v" es precisamente el incremento increm ento de superficie de la lámina" AS",  por

lo que: Al/

(1.5.6)

que expresa que la tensión superficial de un líquido es igual al trabajo que hay que

64

1.52.1. Unidades

ecu acione oness 1.5. 1.5.22 ó 1.5. 1.5.66 se deduce la   ecuación  de dimensiones de la De  las ecuaci tensión  superficial:  [a]  = MT'  

(1.5.7)

 z

o, tomando como como magnitud magn itud fundamental la fuerza:  [a]  = FL'  

(1.5.8)

 ] 

Las unidades de  tensión  superficial  se deducen de la  ecuación  1.5.8, siendo /m" o~ dina/cm~, en los sistemas sistemas SI y CGS respectivamente. habitual emplear" N /m" La ecuación  1.5.6 muestra que   también es posible expresar la  tensión  superficial en -J/m "  2

(SI) o en " e r  g / c m "  (CGS). 2

tem peratura tura,, como se se dedu deduce ce La tensión superficial disminuye al aumentar la tempera de la observación de la tabla 1.5.1, en la que se dan algunos valores de la   tensión superficial del agua.

Temperatura

Tensión  superficial

<°C)

(dinas/ cm)

0

75.64

5

74.92

10

74.22

15

73.49

20

72.75

25

71.97

30

71.18

Tabla  1.5.1 Viscosidad del agua a diferentes temperaturas.

65 1.5.3. SOBREPRESION   SOBREPRESION   DE CURVATURA

anter ior se vió  que las fuerzas de tensión  superficial  tienden a En el apartado anterior

 mínima la superficie libre de un líqu lí quido ido.. Así se se explica la  explica la planeidad que  presenta hacer  mínima la superficie  libre de los líquidos almacenados en un recipiente y también la esferi  l a cidad  de las gotas de  líquido,  ya que la superficie  esférica  es la que minimiza la

superficie  que corresponde a un  volumen  dado. Este  último fenómeno  resulta adecuado para analizar  lo  lo que ocurre cuando ía superficie  libre de un líquido no es

 plan  plana. a. se ha representad represe ntado o la l a  distribución  de fuerzas de  tensión En la  figura 1.5.4 se  que aparece en la circunferencia  de un casquete esférico, obtenido a partir superficial que  en  equilibrio se necesita la la de una gota líquida. Para que el casquete pueda estar  en

existencia 

de

una 

sobrepresión

cada a punto del interior " Ap"actuando en cad de la superficie considerada.  de la sobrepresión " Ap"se El valor  de  puede  puede obtener mediante el balance balance ener ener

gético  asociado a un aumento de la Fig. 1. 5 . 4.

en superficie

Tensión ensión superficial superficial no  plana. 

de la siguiente forma: superficie de la gota de

la energía necesaria para aumentar en " dS " la superficie de la esfera  será:  d£  = adS 

(1.5.9)

 dS "se obtiene diferenciando la superficie de la esfera,  obteniéndose como donde" dS

resultado:  dS^Snr  dS^Snrdr dr 

(1.5.10)

de realizar  las  ese aumento de  superficie El trabajo que han de  las fuerzas de  de presión pres ión en es

viene dado por:

66 siendo "5" la superficie de la esfer esferaa de radio radi o " r " , que sustituida en 1.5.10 da lugar a:  dW = Ap-

4nr -dr  2

(1.5.12)

Igualando la energía superficial (ec.  1.5.9) -después de sustituir en ella  1.5.10( ec. 1.5.12 1.5.12)) y despejando despeja ndo la sobrepresión " Ap" al trabajo de las fuerzas de  presión  (ec. se obtiene: (1.5.13)

La ecuación  1.5.13  muestra que la formación  de una gota de  agua requiere el

desarrollo de una sobrepresión relativamente elevada -tanto más cuanto menor sea  estados po r lo que, en ocasiones, ocasiones, la atmósfera llega a alcanzar  estados el diámetro diáme tro de la gota- por

de elevada  sobresaturación. A este fenómeno se debe el que la formación de gotas de l vapor de agua de la atmósfera requiera requi era la exist existencia encia en ella ell a de  por cond co nden ensa saci ción ón del núcleos de condensación: partículas de polvo, partículas procedentes de la actividad industrial  o urbana, etc., con el fin de proporcionar una superficie de soporte para

dicha  condensación. La sobrepresión sobrepre sión que corresponde a un  chorro líquido circular de radio" r " puede

deducirse de la aplicación  de la fórmula  1.4.28, con lo que se obtiene: (1.5.14)

Tanto la  fórmula  1.5.13 como la  1.5.14 son  casos  particulares de la  fórmula genera! que da la sobrepresión  para una superficie en  función de sus radios de cur vatura principal " R

y"

R ": 2

(1.5.15)

fórmula

ley de Lapla

67 1.5.4. FORMACION DE  MENISCOS

En el contacto con una pared sólida la superficie libre de los líquidos deja de

ser  horizontal.  L a razón  para  ello es que las  moléculas situadas en la superficie de  horizontal. La contacto no  sólo se ven solicitadas por las fuerzas cohesivas sino también  por las fuerzas adhesivas ejercidas por las  moléculas  de la pared  sólida. L a forma  de la  s ólido-líquidoo depende del resultado de la comparació com paraciónn superficie  libre en el contacto sólido-líquid

entre ambas fuerzas. Si  la resultante de las

fuerzas adhesivas

"F "-nor  a

mal  siempre a la superficie sólida-  es mayor que la

resultante

de

las

fuerzas

cohesivas " F   "-dirigida  hacia  c

el  interior  del   líquido- la F ig 1. 5 . 5 . a) Menisco cóncavo cóncavo y b) Menisco Menisco convex convexo. o.

superficie   libre del   líquido

adopta la forma  representada

en la figura  1.5.5-a) ya que para que exista equilibrio,  la resultante

"  R " 

ha de de ser

  a dicha superficie. Se dice que en tal caso se  se ha formado forma do un menisco menisco  perpendicular   perpendicular  a cóncavoy también,  que el líquido "moja" líquido "moja" al sólido. sóli do. Una situación situac ión así puede ser descrita

mediante mediante el e l ángulo de contacto contacto " 6 " , que que es es el que que forma la tangente a la superficie libre  con la pared, en el punto de contacto. La  situación  de menisco  cóncavo

corresponde corresponde a 0 < 90°, esto es, a un ángulo de contacto agudo y puede encontrarse encontrarse en el contacto agua-vidrio (G = 2 5 ) . El caso de ángulo de contacto nulo es aquel en 0

el que la pared se recubre de una delgada  película líquida  que asciende por  ella,   ella, y

se da en el contacto entre agua pura y vidrio perfectamente  limpio.

68 Cuando Cuan do las fuerzas fuerzas cohesivas cohesivas son  altas -lo  que corresponde a, una elevada  tensión  esquema representado en la figura superficial- la geometría del contacto responde al esquema representado

1.5.5-b), que  puede  ser descrito diciendo que el menisco es convexo; el  ángulo de contacto obtuso o que el  líquido  no moja al  sólido.  Este  es el  caso  del contacto es del orden orden de 1 4 0 ° . La magnitud magnitud del del mercurio-vidrio,  en el que el ángulo " 9" es ángulo  de contacto del mercurio  está, lógicamente,   en consonancia con su  tensión superficial, que a  20°C  es  d e 4 ó 5 r í t r ¿ a s / c m , es decir, m ás de seis veces superior

a la del agua.

1.5.5. CAPILARIDAD

Si  se introduce un tubo  estrecho de  vidrio

en un  líquido  que lo moja, se observa que  éste asciende  hasta  una altura ~h "  (Fig.1.5.6),  c

denominada altura de  ascensión  capilar. En la  parte  part e superior supe rior del tubo tub o  aparece  el correspon diente menisco  cóncavo  que se une con las  ca¬ Fig.  1.5.6.  Ascensión ca  lan pi lan

 paredes  paredes  del tubo formando con él el  ángulo de

contacto "0".

En  los puntos "A" y "C"  "C" la presión ha de ser la misma y por tanto se tiene: P ^Y /Í S

/

C

=0

( 1 .5.16)

siendo " p " la presión  relativa existente en el punto   "B", y " y /" / " el peso  específico B

del líquido.

Por otro ot ro lado, la curvatura del menisco menisco exige exige que la presión  absoluta en "B" sea

69 1  » / r

(1.5.17)

sien siendo do " r  " el radio de curvatura del menisco (Fig. m

1.5. 1.5.7) 7),, y "o " o " la  tensión  de l líquido.  tensión  superficial del 1.5.77 se deduce: dedu ce: De la figura 1.5.  elaciones F i g 1. 5. 7 R  elaciones geométricas en un menisco.

 r

ni

 r cos9

(1.5.18)

Sustituyendo  1.5.18 en  1.5.17 se tiene: P s 

=

2acos9 ~  r

(1.5.19)

y entrando con este valor  en  1.5.16 y  despejando "h "  resulta:  c

2acosG

(1.5.20)

La fórmula  1.5.20 indica  que la altura de   ascensión  capilar es inversamente  proporcional al radio del tubo, resultado que se conoce por ley de  Jurin.

que asc ascien iende de por capilar cap ilaridad idad se encuentra encuentr a sometido som etido todo él a El  líquido  que  pres  presio iones nes negativas, con la ley de   variación lineal que  aparece a la derecha de la 1.5.66 y cuyo  valor   máximo  se deduce de 1.5.16. Si se aplica la   fórmula de figura 1.5.  se deduce deduce que el tubo queda sometido Mariotte a esta situación de  depresión interior  se a un estado de compresión. Se trata, en   definitiva, del estado de cargas contrario al que aparece en la figura  1.4.8. Si se tiene en cuenta lo anterior, así como el hecho de que la capilaridad se

 prod  produc ucee en cualqu cua lquier ier medio med io poroso como es el suelo, resulta resu lta que las presiones negativas del agua alojada en  los poros del suelo situado situado por encima del nivel freático suelo una elevada resistencia, lo que permi per mite te que, por confieren a las partículas del suelo  las playas playas puedan pu edan ser  utilizadas  pistas para par a la realización ejemplo, las  utilizadas en la bajamar  como  como pistas de pru prueb ebas as deport dep ortiva ivas. s.

70  APLICACION: ASCENSO DE  LA SAVIA EN 1.5.6.  APLICACION: ASCENSO  E N ARBOLES Y  PLANTAS

algunos productos de la  fotosíntesis  entre La savia está contituida por agua más má s algunos los  que se encuentra el  azúcar.  Esta  solución  acuosa se desplaza en los árboles árbole s y

 plantas a  través  de una una red de de conduc conducto toss de de radio comprendido entre 2 5 p m y 2 5 0 u. m denominada  xilema. Debido a la  constitución de la savia, se establece a nivel radicular una diferencia diferencia

de presión osmótica entre el agua del suelo  y la savia que propicia el  e l ascenso de ésta  por  el xilema,  llegándose a explicar por  este   este concepto, ascensos del orden de unos

siete siete metros. me tros. Si se aplica a plica a los conductos del  xilema la fórmula 1.5. 1.5.20 20,, se se obti ob tien enen en altura alt urass de de

orde n de de unos unos sesenta  centímetros. ascensión capilar del orden De  las consideraciones anteriores se deduce que ni la   presión osmótica ni la capilaridad explican el ascenso de la savi saviaa en ciertos  árboles hasta hasta altura a lturass que, como

es el caso de la sequoya, llegan a ser de  sesenta metros. adm ite que la explicación al ascenso de la savia savia se se encuentra En la actualidad se admite en  la l a ccapacid apacidad ad del agua agua para desarroll desa rrollar ar elevadas elevadas presiones negativas, negativas, que son son

debidas a las fuerzas moleculares de cohesión. Como se  recordará, toda la columna líquida que asciende  capilaridad presenta una  ley creciente asciende por  p or  capilaridad  creci ente de presiones negativa negativass (Fig.  1.5.6), aunque moderadas. Sin embargo, el agua es capaz de desarrollar pre

siones negativas mucho  má  m á s elevadas: así, en agua con aire disuelto se han medido resistencias a la  tracción  comprendidas entre 6 y 40 atm., mientras que en agua desaireada desaireada a 2 7 "C se ha llegado a aalcanzar lcanzar una resistencia a la equitracción de 223±5aím.

71 Si se supone que la savia de la  raíz se encuentra a la  presión de 1 atmósfera y

se aplica la   ecuación  general de la   hidrostática, se deduce que en lo más alto de sequoya, a, la savia savia se se encuentra enc uentra a una presión negativa de  unas cinco árboles como la sequoy atmósferas,  lo que está dentro del rango de resistencias a la  tracción del agua.

72  2-Tema.  2-Te ma.  

 I-Lección  I-Lección.. 

Cinemática de fluidos.  movimiento de  un Descripción del  movimiento  un fluido: métodos de Lagrange

 y Euler. Línea  de corriente, de  trayectoria y de  traza. Clasificación  macros Concepto  de  cópica  cópica del   movimiento de un fluido. Otras clasificaciones. Concepto de

 caudal  cau dal..  Ecuación de continuidad.  Aceleración.

2.1.1. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO D E UN FLUIDO FLUI DO

La cinemática es la parte de la mecánica que estudia la geometría del de l movi   las causas que lo miento de las partículas,  supuesto  éste  conocido, sin considerar  las

 otra parte, se dice que el movimiento de una partícula está  definido originan.  Por  otra cuando se  de cir,, cuand cuandoo  se conoce la posición que ésta  ocupa a lo largo del  tiempo, es decir  ley horaria del movimiento, que es de l tipo: se conoce la  l a ley es una-expresión del r 

= r(í)

(2.1.1) (2. 1.1)

 descrito a partir  del de l movimiento de cada E l movimiento de un  fluido  puede ser  descrito una de sus partículas para lo cual es preciso distinguir  unas  otras . Esto Esto  unas partículas de otras.  puede hacerse asignando  a cada partícula sus coordenadas coordenadas respecto a un sistema sistema de referencia  en un instante  cualquiera, que suele ser   el instante  inicial del  de l movimiento.  ser  el

correspondien te vector  vec tor  de  de posi Dfenominando " q , " a  dichas coordenadas y  " r\ " al correspondiente { 

ción, el movimiento  de un  fluido  queda  definido si se  conoce  la ley horaria del movimiento de cada  partícula, es decir:

r-ríñ!,!)

VieZ"

(2.1.2)

2.1.2 se Una descripción del  movimiento de un  fluido mediante las ecuaciones 2.1.2  se denomina  descripción  referencial o de de Lagrange.

73 dualizadas en la citada descripción. Sin embargo, en las aplicaciones de la  mecánica de fluidos el interés  se centra en conocer lo que ocurre en diversos puntos de la corriente, corriente, p. p . ej., la velocidad veloc idad en ciertas zonas, el caudal en las secciones de aforo, etc, etc, es más má s ventajosa la  descripción  espacial o de Euler en la que el y para  estos fines es  ecuaciones cuya expresión  general es: movimiento  queda definido  d efinido por  ecuaciones v=v(r,t)  

(2.1.3)

en la que " r  " es el vector que   identifica la sección o punto de la corriente en la que se realiza la observación de la velocidad. En lo que sigue, y salvo advertencia   explícita, se  supondrá  que el movimiento

es plano o bidimensional.

 D E CORRIENTE, 2.12. LINEA DE

DE TRAYECTORIA Y DE  TRAZA

La ecuación 2.1.3 expresa que una de las las formas de describir descri bir el movimiento  de un fluido consiste en conocer el vector  velocidad  velocidad a lo largo del tiempo en cada punto del del  espacio  ocupado por dicho  fluido.  Se comprende, sin embargo, que la repre sentación  del campo vectorial resultante no  sería  un procedimiento eficaz para visualizar  la  la corriente. La situación  cambia totalmente si en lugar de representar  el   el vector velocidad en   cada punto y en

cada instante, se dibujan las  líneas que son tangentes

a los vectores velocidad en un instante de tiempo. Estas líneas  se denominan  líneas de corriente (Fig.

2.1.1). Una Un a  definición  más precisa de  línea de

corriente sería la siguiente: siguien te: las líneas de corriente son son Fig. 2 . 1 . 1.  Líneas de corriente en el instante'!'

las envolventes del vector velocidad en un instante dado. dado. Una Un a línea de corriente es, por tanto, una  línea

74 que indica, por su tangencia con el vector velocidad, la  dirección instantánea  de la corriente en cada uno de los puntos   situados a lo largo de de ella. Como consecuencia, se deduce  que no puede existir corriente a  través de  estas líneas  en ninguno de sus  puntos, ya que ello el lo supondría  que las  líneas  de corriente se cortan, o lo que es lo mismo, que en el punto de   intersección habría dos vectores velocidad. En   general, las  líneas  de corriente  instantáneas podrán ser   convergentes o

divergentes  según  su curvatura en el  espacio, ya que la velocidad  puede variar en magnitud y dirección  de un punto a otro del   fluido  en movimiento. Así  pues, las líneas  de corriente,  aisladamente  consideradas, informan  sobre la  dirección  de la

corriente, corriente, pero m ás adelante se verá que de su separación también puede  deducirse la velocidad de  aquélla. Si en el  fluido  se considera una  línea  "L"

que corta a un grupo de  líneas  de corriente (Fig.  2.1.2) se obtiene una superficie de  flujo. Si la línea  considerada es cerrada, la superficie

se denomina tubo de  flujo y el volumen ence   esta superficie, vena  fluida. rrado por  esta

Fig. 2.1 . 2.  Representación de superficie de  flujo en una corriente  b¡dimensional.

E n cinemática se definió la trayectoria de   geométrico  de las una partícula como el lugar  geométrico

 posiciones ocupadas por ella a lo largo largo del tiempo. Recordando el signific significado ado  físico de la ecuación vectoria vec toriall 2.1. 2.1.2, 2, resulta obvio que la ecuación de la trayectoria de una  par  p artítícc u la fluida  se obtiene de la eliminación del parámetro  temporal entre las tres ecuaciones escalares asociadas a ella.

  último, línea de traza es el lugar  geométrico   geométrico de los puntos  ocupados en un Por  último,

instante  dado por  po r  todas una determinada  posición.  todas las partículas que han pasado por una

75 2.U. CLASIFICACION MACROSCOPICA DE DE UN  FLUIDO  D E L MOVIMIENTO DE UN

SÍ se observa el movimiento del humo que sale por una chimenea chimenea en un día de

viento, se aprecia claramente el alto grado de variabilidad que  puede llegar a pre sentar  dicho  dicho movimiento. En efecto, una   fotografía  de la nube de humo tomada en

un instante cualquiera" / * revela una fuerte  variabilidad espacial en el movimiento,

ya que el vector velocidad cambia sus  características  de un punto a otro de la nube. Otro tipo de  de variabilidad se detecta cuando se comparan dos fotografías de la misma

zona del espacio tomadas en instante instantess distintos; distint os; en este caso, el vector velocidad en un punto cualquiera de la nube ha variado de un instante a otro. Así  pues, el  movi

miento de unfluido se caracteriza por  presentar   presentar  dos  dos tipos de variabilidad: en el tiempo y en el espacio.

Con respecto a la variabilidad en el tiempo, el movimiento de un fluido puede

ser permanente permanente o estacionario, o variable. varia ble. U n movimie mov imiento nto es permanente cuando cuando cu alquiera, el vector velocidad es el e l mismo a lo l o largo del tiempo, tiemp o, aunque en un punto cualquiera, el vector velocidad puede,  naturalmente, variar de un punto a otro del  fluido. Es

deci decir, r, en un movi mo vimie mient ntoo permanente se verifica: ^=0 di

v

(2.1.4) '

En un movimiento permanente permane nte ha de ser nula también la derivada temporal de

cualquier otra magnitud ligada al movimiento como presión,  densidad, etc. De la ecuación  2.1.4 se  deduce  que que en un movimie mov imiento nto permanente, las las  líneas de corriente no varían de un instante a  otro. Asimismo, la no variación de  de la velocidad con el tiempo implica que tampoco variarán las líneas de trayectoria y las de traza  y

que éstas coincidirán entre sí y también con las  líneas de corriente. La mayoría de las situaciones habituales con las que se encuentra el ingeniero

76   tuberías y canales, una vez establecido el flujo, es quizá el ejemplo más de agua por  tuberías

representativo de movimiento permanente. Lógicamente, el movimiento movimie nto variable es  aquél  en el cual no se cumple cu mple la ecuación  2.1.4. Cuando se  abre  la compuerta que alimenta un canal y  hasta  que se establece el   flujo, el movimiento es variable. Otro ejemplo de movimiento variable

lo proporciona la  acción contra  c ontraria ria a la descrita descrita anteriorm an teriormente: ente: el cierre de una válvula

en una  tubería o la parada repentina de un grupo de bombeo. Una de las  represen sencillas de un movim mo vimien iento to variable es el vaciado de un taciones m á s sencillas depósito (Fig.2.1.3). El teorema de Torricelli -que se verá m á s  adelante-  proporciona la velocidad del fluido en el punto P:

(2.1.5)

v =42gy  F 

cuya derivada temporal no es, evidentemente, nula. Fig. 2 . 1 . 3. Vaciado de un depósito. En lo que se refiere a la variab var iabilid ilidad ad en el espacio, el movimiento de un  fluido  puede  ser uniforme o no uniforme. Un   movi

miento es uniforme  cuando  en un instante cualquiera, la  distribución  del vector velocidad no  varía  de una a otra  sección  transversal a la  dirección  de la corriente. Un  movimiento uniforme es por tanto   aquél en el que se  verifica: r  / / / / / / / / / / .

5

(2.1.6) En  la figura 2.1.4 se ven las líneas  de corriente

en el movimiento de un fluido  que atraviesa un dispositivo  en el que se efectúa una  reducción de

77 neas a trazos corresponden a la  distribución  del vector velocidad en las  secciones

señaladas con trazo de punto y raya. Si a izquierda y derecha del dispositivo de la l a figura figu ra 2.1. 2.1.44 no se se producen prod ucen cambios

en la sección  transversal, la  distribución  del vector velocidad en cualquiera de sus secciones coincidirá con la de la izquierda o con la de la  derecha de las representadas

en dicha figura, por consiguiente, a ambos  lados de la  reducción el movimiento es uniforme. Obviamente, el movimiento es no uniforme cuando el  fluido  atraviesa la

reducción de  sección.

Tanto el movimiento uniforme como el no uniforme, puede ser, a su vez,  per manente o variable. Si aguas arriba de la reducción  representada en la figura 2.1.4

estabilización del  flujo, el movimiento es hay una llave de paso, al abrirla y hasta la estabilización

variable y uniforme, antes y  después  de la  reducción  y variable no uniforme, al  la reducción. Una vez que el  flujo ha quedado regularizado regularizado el movimiento atravesar  la  pa  pasa a ser   permanente y uniforme a uno y otro otr o lado de la reducción y permanente

no uniforme en ella. ell a.   interés desde Entre las cuatro combinaciones posibles, la que ofrece un mayor  interés el punto de vista  práctico  es la que  corresponde  al movimiento permanente y uni forme. En él, las  líneas  de corriente son  rectas y la  distribución  de velocidad es la

misma en el tiempo y en el espacio.

78 2.1.4. 2.1.4. OTRAS OTRA S CLASIFICACIONES

Además  de la clasificación  del movimiento estudiada en el apartado anterior   influencia hay otras que también tienen interé  in terés. s. Así, y con arreglo a la mayor o menor  influencia

de las fuer fuerzas zas derivadas deriv adas de la viscosidad visco sidad frente frent e a las fuerzas fuerzas  másicas, el movimiento  clasificar carse se en movimiento movimie nto laminar lamina r o turbulent turbu lento. o. Esta Esta  clasificación será  ana  puede  puede clasifi lizada con  más  m ás  detalle en el tema siguiente, en el que se estudiará la dinámica de los fluidos.

La naturaleza del campo de velocidades velocidades en el movimiento de un fluido da lugar

a la clasificación de éste en movimiento solenoidal, irrotacional o armónico.  Entre estos tres tipos de  movimiento conviene  destacar  el segundo por su importancia en

la aplicación  del teorema de Bernoulli, ya que si un movimiento es irrotacional este

teorema  puede  ser aplicado entre dos puntos cualesquiera de la masa  fluida. U n movimiento se dice que es irrotacional siroíu = 0

(2-1-7) (2- 1-7)

Físicamente, la ecuación  2.1.7 significa que un elemento de   fluido  cualquiera

no tiene velocidad angular   respecto a su centro de  masa, por lo que su movimiento es  únicamente de  traslación sin que haya, por consiguiente,  rotación  de dicho ele mento alrededor de su centro de masa.  ser analizado analiza do en e n una, dos, o tres dimensiones E l movimiento de un fluido puede ser en función del  número  de componentes que  presente el vector velocidad veloc idad y el vector vector aceleración. Esta circunstancia permite clasificar el movimiento, por   p or   razón del tipo

de  análisis que que se lleve lleve a cabo cabo,, en movimien m ovimiento to unidimensional, unidimens ional, bidimensional bidimensiona l o  tri dimensional.

79

2.1.5. CONCEPTO DE  CAUDAL

En la  figura  2.1.5 "S"  representa  una

superficie situada en el interior de una  masa ' /  ~C  /  / /

/ 

fluida.  Para  calcular la  masa " M" de  fluido

 

0 1

que ha  atravesado  dicha superficie en un intervalo  de tiempo " d i " se  comenzará  por

determinar la masa de  fluido  que ha pasado F i g  2.1.5.  Flujo a  t r a v é s de una una superf sup erfici icie. e.  

a  través  de un elemento diferencial de _-. _-. . „ . „ „ , . superficie dS , es decir:

v

 dM-pd(  dM-pd(Vol) Vol) 

(2.1.8)

donde " p " es la densidad densidad de  fluido y "d(Voiy

es el volumen del prisma prism a oblicuo

que definen con su  desplazamiento  los puntos situados en el elemento de superficie considerado. Si  " 6 " es el  ángulo  que forma el vector velocidad " v " del punto " A " con el versor normal" n"al elemento diferencial de superficie"  dS" en dicho punto, resulta:  d(Vol)-dSvdt-cose

(2.1.9)

 pero  pero  n • v = ÜCOS 0

(2.1.10)

 po  por consiguiente: consiguiente:  diVof)'dSvdt

(2.1.11)

sustituyendo 2.1.11 en 2.1.8 se obtiene:  dM  = pv-dSdt 

(2.1.12)

Se define el caudal   másico ~Q " que  atraviesa la superficie elemental"   dS"  M 

como: I

Q u ~

(2.1.13)

80 QM 

™ / p ^ d S

(2.1.14)

incomp resible y por consiguiente consiguiente Si el   fluido es un líquido  puede suponérsele incompresible se puede dividir  por  po r "p " la ecuación 2.1.14 obteniéndose el caudal volumétrico " Q" que se define: Q = j  Z-dS 

(2.1.15)

En   las aplicaciones  prácticas se determina el  flujo a  través de superficies nor

males a las  líneas de corrie c orriente, nte, con lo que que la  ecuación 2.1.15 2.1.15 queda: qued a: Q = J  vdS

„ (2.1.16)

 inte grando se se deduce de la ecuación La velocidad La velocidad "  " v "que aparece en el integrando ecua ción analítica correspondiente a la distribución velocidad es. En  la  l a práctica, se suele distrib ución de velocidades.  prácti ca, sin embargo, se utilizar  la media"  v  " de dicha distribución; cuya definición  es: vdS

v =¿4

(2.1 .17)

l s 

d

S

sucesiv sivo, o, y mientras no se se especifique especifique lo  contrario, la  l a velocidad media en En lo suce  p or  "u", 2.1.16 16 queda de la l a siguiente siguiente la sección se representará por   "u", con lo que la ecuación 2.1. forma: Q = uS 

(2.1.18)

siendo, como ya se ha advertido, " 5 " una   sección  normal a la corriente y " v" la velocidad media de la distribución de velocidades en dicha   sección. La ecuación de dimensiones del caudal es:  [Q]-[v][S  [Q]-[v][S]  ] 

= L T-' 

(2.1.19)

 3

unidadess SI y ST ST  coinciden y son son "m " m /s"mientras que las unidades y por tanto, las unidade 3

CGS que expresan el caudal  serán" cm' /s". En la práctica,  para expresar   caudales  3

81

2.1.6. ECUACION DE CONTINUIDAD

Esta  ecuación  expresa que la variación de la  masa del  fluido contenido   contenido en el -S ", en  es igual  en un tiempo cualquiera, es volumen limitado por una superficie cerrada " -S al fluido  que atraviesa dicha superficie en el mism  mismoo tiempo. tiempo . La ecuación de conti

nuidad  recoge, por consiguiente, el principio de conservación de la materia. Para  deducir  la   ecuación de  continuidad se

 él , el espacio definido considera un tubo de flujo y en él,

 por  dos  secciones  transversales  a las   líneas de corriente (Fig. 2.1.6). Se  define así una superficie que se ha de verificar  el  principio de cerrada en la que

F i g 2 1 6 

Superficie 

cerrada en un tubo de flujo.

conservación de la  materia.  materia. La L a masa existente  en la f í ¡ e en un instante "í~ será:

 

s u p e r  

c

 pSd x (Gfm),=  pSdx

(2.1.20)

  ~t*dí"  será: y la masa, en un instante posterior  ~t*dí"  (dm\,

= Sdx

 ai

P

+ 

-(pSdx)dt

(2.1.21)

Las ecuaciones 2.1.20 2.1.20 y 2.1.21 muestran muestra n que ha habido un incremento de  masa dado por:

=

(Am)

 IJI 

(_pSdx)dt-—(pS)dxdt

T 

¿t

 di

(2.1.22)

La masa de fluido que ha atravesado la  l a sección " S" en  "/"será : (dm) 'pSvdt  s

(2.1.23)

 S" \  distante " dx" de" S": y la que ha salido por la sección " S"\

(dm)  s

= pSvt * —  (pSvdt)dx

(2.1.24)

82 (Am)

 clll 

 d = - — rpSvdt)dx-O X 

d  — (pSv)dtdx Ó

(2.1.25)

X

La variación de masa en el espacio espacio "dx" es, por tanto, tanto , E l  principio de  conservación  de la  masa exige que  coincidan  las ecuaciones

2.1.2 .255 y en consecuenc co nsecuencia, ia, se ha de  verificar: 2.1.22 y 2.1.22 y 2.1 -(pS)--^-(pSu)

 oí 

dx

(2,1.26)

Si e l movimiento  es permanente, cualquier derivada temporal es nula y la ecuación 2.1.26 queda: ~(pSv)-0

(2.1.27)

que expresa la constancia del caudal másico. Si además el  fluido es incompresible, la  ecuación 2.1. 2.1.27 27 queda en la  forma: -^(Sv)

=Q

(2.1.28)

lo que implica que el caudal volumétrico permanece constante. La ecuación  2.1.28

 puede se serr aplica apl icada, da, por po r tant ta nto, o, al  movimiento  permanente de los  líquidos bajo la denominación de ecuación de continuidad y  continuidad y escrita,  esc rita, con la notación que se utilizó en  en la ecuación 2.1.18, de la l a siguiente siguiente forma: S,ü,-S u 2

2

=Sv   n  a

(2.1.29)

en la que los  subíndices   subíndices  indican las secciones consideradas. La ecuación de continuidad, que reúne el concepto de caudal y el principio de conservación de lamateria, constituye, junto a la  la ecuación ecuac ión que expresa la  la conservación conse rvación

de la energía, la  base para la resolución de cualquier problema problem a de  hidráulica. Ambas ecuaciones:  continuidad y conservación  de la  energía, están inequívo

camente vinculadas a sendas personas, aunque au nque sólo una de estas vinculaciones figure

83

energía específica hidráulica, resulta poco frecuente frecuente encontrar la referencia a Leo Leo 

nardo ardo al trat tr atar ar la ecuación de continuidad, a pesar  de  de tas numerosas ocasiones en las que este tema  aparece tratado en el Códice Atlántico y en el Códice  Hammer, que fueron  dos de sus  obras más  m ás importantes. importantes. La claridad clar idad y la originalidad con con las las que que

Leonardo escribió sobre la continuidad fueron las razones en las que se basaron H. Rouse  y S. Ince para proponer en su "Historia de la   Hidráulica"  de 1957 que la

denominación "principio de continuidad" continuid ad" se  acompañara   de la  indicación "según

Leonardo". A l estudiar

las líneas de corriente corrie nte se señaló que de su separación relativa   relativa podía

 l a velocidad. Así As í resulta si,  s i, con deducirse información  respecto al módulo de la  con relación al flujo bidimensional  representado en la figura 2.1.4, se denomina" &n¡  "y " An &n ¡ "y  A n ~ a 2

la separación  entre dos  líneas  de corriente en secciones consecutivas y se aplica la ecuación de continuidad entre ellas, obteniéndose: u , A n , - n A / i j 

(2.1.30)

2

de donde. Ai!,

Cz

= f , f , 7 — -

,

(2.1.31)

expresión que relaciona la velocidad con la separación  entre las  líneas de corriente y de  de la que se deduce que su divergencia divergencia incrementa la variación de velocidad en una

nor mal,, ocurriendo ocurrie ndo lo contrario si las las  líneas  de corriente son convergentes. sección normal

84 2.1.7.  2.1.7.  ACELERACION

La figura  2.1.7-a) representa

v (t+At)

una  partícula de la  la  trayectoria de una  fluido en un movimie mov imiento nto perma perma A

»vAv

n

nente,  en la que se han dibujado

las velocidades de dicha  dicha   partícula en los instantes ~ í"  í " y " y  " í + A r". L r". Laa variación  variación  del vector velocidad de la partícula a partícula a lo largo del tiempo se mide mediante la  la  aceleración a)  Geometría del movimiento, F i  g. 2.1.7. a) Geometría  b) Variac Var iación ión   convectiva de la velocidad velocid ad (movimiento   permanente).

que, como se  sabe, se define (Fig 2.1.7-b): - , . A u dv  a =  Lim — = — di A I - . 0 ¿ í 

(2.1.32)

Dado que el vector velocidad de la la partícula trayectoria , su  partícula es  tangente a la trayectoria, expresión en coordenadas intrínsecas   intrínsecas  es: v = vt 

(2.1.33)

  tangente a la trayectoria (Fig.2.1.7-a). siendo " i " el versor  tangente

Sustituyendo  2.1.33 en 2.1 2.1.3 .322 y derivando derivand o vectoria vec torialment lmentee resulta:  a

dvdt ( + v —  dt dt

(2.1.34)

El  segundo sumando  de 2.1.34  puede  ser modificado realizando, en primer

lugar , una  una  derivación  derivación  intermedia  respecto al  arco  de curva " s " y sustituyendo, a

85 que es la expresión de la aceleración en coordenadas intrínsecas para el movimiento componente se denomina   aceleración tangencial y mide la  perm  perman anen ente te.. La primera componente variación  en el módulo de la velocidad, mientras que la  segunda, denominada  ace leración normal, cuantifica el cambio que experimenta la  dirección del vector velo

cidad. Para  aplicaciones posteriores interesa   expresar  el  módulo  de la  aceleración

tangencial en  función del arco de curva " s", s",  para  lo cual basta con efectuar una derivación  intermedia en dicho  módulo,  resultando:  dv _dv

ds _ dv _ 1 d 

'~dl~ds'dl~ dl~2dl 

 a

 tJ 

 2

'

(2.1.36)

Hasta  aquí se ha estudiado el movimiento en  masa o de convección del fluido, suponiendo que no hay  variabilidad temporal en dicho movimiento,  esto es, que el  es permanente. En tal caso, ¡a componente tangencial de la  aceleración, movimiento es dada por la ecuación 2.1.36, se denomina  aceleración  tangencial convectiva mientras

que la componente norma no rmal,l,  representada  por el  segundo sumando  de la  ecuación 2.1.35, se denomina  aceleración normal convectiva. En  un movimiento variable, el vector v (t*At)

velocidad  varía  de un instante a otro en cualquie cual quierr punto pun to "P "P" que se consider consideree en la masa  fluida (Fig.2.1.8). Hay por tanto, una

variación local  de la velocidad y por consi

guiente,   cabe  hablar del vector   aceleración local  y de sus  componentes  intrínsecas, es

decir, de la  aceleración local  normal y de la Fig, 2.1. 2. 1.8. 8. Variación local loc al ÍAv)¡ de la  velocidad (movi miento uniforme).

aceleración local  tangencial. En un   movi

miento variable y uniforme, las  componentes locales intrínsecas  de la aceleración serán:

86 a,

 dv  di

(2.1.37)

a.-

—   ó!

(2.1.38)

En el caso genera! de un movimiento variable no uniforme, se  se   producirá  producirá  tanto velocidad  (Fig. 2.1.8)  2.1.8) como  como  lavariaciónconvectiva(Fig2.1.7-a), la variac var iación ión local local de la velocidad (Fig.  por lo que las  componentes  intrínsecas  intrínsecas  de la  la  aceleración serán,  serán,  en tal  caso,  las siguientes:  ,'¿V}  dv\

1° , v

2,

(2.1.39)

 2

•'.3FJ/7

(2.1.40)

teniendo, por tanto,  cada  componente  componente  intrínseca  la aceleración   una componente intrínseca  de la aceleración local  local  y una componente componen te convectiva.

87  3"Tema.D  3"Tema.Dinám inámica ica

de  Fluidos.

1*Lección.  Teorema  de Bernoulli. Teorema  de  Torricelli.  Torricelli.  Tubo de Venturi. Tubo de  Pitot.  Tubo de  Prandtl.  El sifón.

3.1.1.  TEOREMA DE  BERNOU LLI

En la  figura 3.3.1 se ha represen

tado un elemento de  fluido  ideal, de fuerzass forma  forma  cilindrica, a s í como las fuerza que actúan sobre él y tienen proyección en la dirección de su eje. Estas  fuerzas Fig. 3.1. 1.  Fuerzas en el   miento   según  "sí

movi

son las que se deri d erivan van de la presión que actúa sobre las caras circulares y el peso del   elemento.

A l aplicar

a dicho elemento la 2  ley de Newton y proyectarla en la dirección a

de su eje  longitudinal  resulta:  pdA-^p

+ ~^ds^dA-ydAdscos$-

ma

 s

(3.1.1)

en la que " y " es el peso específico del  fluido, " m" la masa del elemento y " a," la  proyecc  proy ección ión   de la aceleración del elemento en la dirección " s". Expresando"  cosfi"

en función de " d z "y dividiendo por el peso del elemento se obtiene:

 JMi).  JM i).^^ ¿$V\J  

ds

g

c 3

.1.2)

Si el  fluido es incompresible, la  ecuación  anterior se puede escribir   también:

88 J

¿
g

(3.1.3)

Si la aceleración  en la dirección " s " es nula nul a se se  verifica:

(3.1.4) y si también es nula en cualquier otra  dirección se deduce que: ~*   y

z^h-Cte.

(3.1.5)

De  acuerdo con la I   ley de Newton, dos son las opciones a considerar si la a

aceleración es nula: nul a: o el  movimiento  es  es uniforme unifor me o la velocidad es nula. Entre ellas, sólo la  l a segunda es coherente con la  hipótesis de inexistencia inexistenc ia de fuerz fuerzas as tangenciales tangenciales

viscosas, ya que   según l a ecuación  1.1.2,  éstas sólo  son realmente nulas si no hay velocidad de  deformación.  En consecuencia, la   ecuación  3.1.5 es, rigurosamente

hablando, la   ecuación  de la  hidrostática y "h"  recibe la   denominación  de altura  píez  pí ezom omét étri rica ca,, ya que  representa la altura a la que que  ascendería el líquido contenido en un recipiente si se le colocara un tubo   piezométrico (Fig.  1.2.9). La altura píezométrica es la suma de la altura de  presión " p/y" " p/y" y de la altura altu ra geométrica " z", que son magnitudes   homogéneas  como revela su   análisis  dimen

sional: P

_ Y

 [F/V] [2]-¿

(3.1.6) (3 .1. 7)

Dado que la altura  píezométrica se  expresa  en unidades de   longitud,  admite una sencilla  representación geométrica:  elegido un plano al que referir la altura geo métrica " 2 " de cada punto del  fluido, de la ecuación 3.1.5 se deduce que  que la altura altu ra de  pres  pr esió iónn "p/y"  viene dada por la distancia entre en tre el punto pun to y su superficie  libre.

Un razonamiento similar al empleado para deducir  la   la ecuación ecuac ión 3. 3.1.3 permiti perm itiría ría obtener  la   la ecuación que  corresponde  a la proyección de la  segunda  ley de  Newton

en la dirección de la normal al  movimiento del  elemento de fluido  considerado. Así  n." son:  las ecuaciones del  de l  movimiento proyectadas  en las  direcciones" s " y "  n."  pu  pues, las

**\y

J

g

• ¿ ( £ • 0 -  dn\y  dn\y ) g

(3-1.9)

y sustituyendo en 3.1.8 3.1.8 y 3.1.9 las ecuaciones 2.1.39 y 2.1.40 resulta:

1 dv  2g ds

(3.1.10)

+ I ¡ ¡ !  g r

(3.1.11)

 2

l

 Y 

J gUJ --Í-Í-1

La ecuación  3.1.10 puede escribirse  también en la  forma:

(3.1.12)  ds\ *  Z

y* ZgJ- 

g\dl)

 t

La ecuación  3.1.12 se denomina teorema de Bernoulli o ecuación de la línea de

corriente y la suma que  aparece entre paréntesis, en el primer  miembro,  miembro, trinomio de  H". La  altura   total se  obtiene, por   consiguiente, al Bernoulli " B" o  altura   total " H".

añadir a la  altura   píezométrica "h" "h" la  magnitud   homogénea ~v /2g",  2

que se

denomina altura  cinética o altura  de  velocidad.

El   teorema  de Bernoulli  expresa  que si la aceleración local  tangencial  no es

nula, la  altura  total varía a lo  largo  de una línea de  corriente.   Ahora bien,  si el hay acele ac elerac ración ión local local y el teorema de Bernoulli Bernou lli  indica, movimiento es estacionario, no ha en ese  caso, que la  altura  total permanece constante  de un punto a otro  de una línea de  corriente,  esto  es: 2

£ i

+ 1

+

Y

Í Í L =  

2g

z

2

Y

2g

(3.1.13)

90 Si el movimiento del  fluido  se desarrolla en las condiciones de  régimen  per

manente y uniforme, las  líneas de corriente corrien te resultan ser  ser  líneas   líneas  rectas ( r = °°)  °° ) y como consecuencia, de la  ecuación  3.1.11 se  deduce  que en el plano perpendicular a la dirección de la corriente, existe una  distribución hidrostática  de presiones.

Como ya ha sido dicho, en un movimiento estacionario se verifica que la altura total no varía de un punto a otro de una misma línea de corriente. Sin embargo, en

el caso general de que el movimiento  sea  sea  rotacional, la altura total varía de una línea

de corriente a otra. Aunque  esta importante observación se  se comprobará más  adelante mediante el tubo de de Pitot, Pit ot, puede darse ahora una justificación analítica,  para lo  cual se  comenzará  por escribir la  ecuación  3.1.11 para un movimiento estacionario, resultando:  dn\ 

y) y)

(3.1.14)

gr

De la relación  de semejanza existente entre los triángulos representados en la figura 2.1.7-b) se deduce, en primera  aproximación:  dv  ds

(3.1.15)

sustituyendo 3.1.15 en 3.1.14 y añadiendo a cada uno de los miembros de esta última ecuación la derivada de la altura cinética respecto a la normal, se tiene:  p V  z + — + —  dn\ y 2g

vfdv\

 g\ds)    a

_ i

dn\2g

(3.1.16)

realizando la derivación del  paréntesis del segundo miembro y extrayendo el factor común del resultado se- llega a: ..2 \ 

 dn\

Y 2g)

,, f ( ¿ u \

g

Y

7-1 -(-11 { ¿ii

(3.1.17)

Si el  e l movimiento es  irrotacional se  verifica: r o t v = 0

(3.1.18)

91 y por  por consiguiente: consig uiente: í  Sv\

(  b\¡ \

( 3 ,1.19)

Resulta por tanto, tanto , que que en  el movimiento permanente e irrotacional  de un  fluido ideal e incompresible, la altura   total  es la misma en dos puntos cualesquiera del fluido, es decir: z

+

£ PHi _ L = Y 2g +

2

+

^Pi  _ vi l y 2g +

( 3 . 1 .20)

Hasta ahora el estudio del  movimiento ha sido realizado, fundamentalmente,  para  para el  caso  bidimensional y mediante dicho estudio ha sido posible exponer los  principios  principios  básicos  del movimiento  curvilíneo.  Sin embargo, y aunque el   método

 bidimensional  de  de análisis encuentra aplicación en algunos casos reales, en la  mayoría

de los problemas relacionados con el  movimiento de los fluidos, se viene empleando el método unidimensional de  análisis que no es sino una  simplificación de las con tridimensional,  en el que se   supone que la corriente diciones del movimiento bi o tridimensional,

tiene las características  de un filamento líquido, adoptán dose valores medios medios para la considerando así a la corriente corri ente como un velocidad, presión velocidad, presión y altura geométrica y considerando corrien te. conjunto en cada sección transversal de  este filamento de corriente.  no se se introduce ahora: La idea que encierra  el  el métod o unidimensional de análisis no conti nuidad ad al represent representar ar la dis dis fué fué utilizada  en la formulación  de la ecuación de continuid tribución  de velocidades por su media   estadística, representación   que, conviene simplificación  alguna. recordarlo, no supone simplificación

per mitee resolver resolver ciertos E l estudio unidimensional del movimiento  de un fluido permit  problemas  problemas de la  mecánica de  fluidos:  fuerzas en los cambios de   dirección  de la  expresioness sencillas en la  aplicación, corriente, resalto  hidráulico, etc., al obtenerse expresione a estos problemas, de los teoremas de fuerzas  vivas y de de la cantidad can tidad de  movimiento. En concreto, es mediante el uso del teorema de las fuerzas vivas como se llega a la

92 Para la deducción del teorema de Bernoulli mediante el teorema de las fuerzas

vivas  es preciso suponer que el filamento  de corriente de trazo discontinuo en la figura 3.1.2 representa las condiciones  del movimiento  del movimiento de la porción por ción  de  fluido definida  fluido definida

de corriente. corri ente.  por   po r  un tubo de La deducción se  inicia  aplicando a un

elemento  diferencial del de l filamento   filamento  líquido el teorema de las fuerzas vivas teniendo en cuenta que el sistema de fuerzas que  actúa sobre él es el que se mostró en la  figura 3.1.1. E l trabajo realizado por el  peso y las fuerzas fuerzas

-Sección 1 Fig.  3.1. 2.  Filamento corriente.

de

derivadas de la presión que   actúan  sobre el elemento considerado, en un desplazamiento desplazamiento

 ds~ de dicho elemento  será:  dW-F-dr  dW-F-dr

 — CP* \z)dsdA 

|í-(ds)(

(3.1.21)

 unitario en la dirección de la velocidad. Para un expresión en la l a que " í" es un u n vector  unitario

movimiento permanente, la ecuación 3.1.21 se escribe en la  forma siguiente:  dW = -dsdA — (p +  yz)ds  ds

(3.1.22)

La energía cinética de un elemento diferencial del de l filamento viene dada por: !|  ^pdsdAv

 2

(3.1.23)

que para un fluido  incompresible, en  movimiento permanente, queda en la forma:  dE = pdsdA—\

— ds

(3.1.24)

E l teorema de las fuerzas vivas establece que:

 dE = dW

susti tuyendo ndo 3.1.22 3.1.22 y 3.1. 3.1.24 24 en 3.1.25, 3.1.25, resulta resu lta::  por   po r  lo que sustituye

(3.1.25)

93 -dsdA

— (p

 ds

+ yz)ds<°  pdsdA — (  — \ds ds\ 2

(3.1.26)

Teniendo en  cuenta la definición la definición del  del  módulo de módulo de la velocidad, así como la de caudal, y dividiendo por "dt" el resultado de sustituir   ambas  definiciones en la ecuación 3.1.26, ecuación 3.1.26, se obtiene: --^-(p*yz)dsdQ-p~(%  

 ds

(3.1.27)

)dsdQ ds\ 2 }

Dado que, para un  u n fluido incompresible  fluido incompresible en movimiento  permanente,  el caudal la  ecuación 3.1.27 a lo largo del filamento y  entre  perm  perman anec ece e constante, al integrar la ecuación las secciones 1 y 2, se obtiene: [Cp   Y 2 , ) - ( P +

1

+ 2

V2 )]dQ = p ^ - ^ d ( 3 2

(3.1.28)

la ecuación 3.1.28 se necesita integrar  ambos   ambos miembros, es decir: Para resolver la ecuación  /  Kp *yz )-(p^yz )]dQ l 

i

 2

=

| p ( ^- ^W 

(3.1.29)

los  paréntesis que  aparecen en el Si se Si se supone que el movimiento es uniforme, los paréntesis   miembro son  constantes en la sección la sección ya  ya que como se  se  recordará, en  primer   primer  miembro recordará, en tal caso la distribución distribució n de presiones es   es  hidrostática. La  La  integral del  segundo  miembro de la  la  ecuación  3.1.29 puede expresarse en función de función de la velocidad media "v" en la sección la sección si  si se  hace intervenir un coeficiente corrector  " K„",  denominado factor de  de  energía  de  corrección  energía  o coeficiente de  corrección  de la cuya definición   es: energía cinética  cinética  cuya definición

' ' U{ í f  

K 

siendo " siendo " A " la sección la sección   transversal.

dQ

(3

- - 

l   3 0 ) 

94 Así   pues, la  ecuación 3.1.29 puede expresarse como:

[ C p * Y = ) - C P 2 + V Z z ) ] Q - p ( j - ^ J / í e  l

(3.1.31)

í

l

en la que " v," y " v " representan la  velocidad media en las secciones 1 y 2.  z

A l  dividir  la  ecuación 3.1.31

por  "yQ"   "yQ" se obtiene una serie de   términos  que

las dimensiones de  energía por unidad uni dad de peso. peso. Agrupando seguidamente los tienen las que corresponden a cada una de las secciones consideradas resulta: v

 p,

p,

 2

vi

El  coeficiente  " K "  depende de la   distribución  de velocidades en la   sección  a  a

 2 en el transversal;  tomando el valor  1 cuando la distribución es uniforme y el valor  2  confinad o en en una tubería  circular. caso de distribución parabólica  en un movimiento confinado En las las aplicaciones relacionadas relacion adas con el  movimiento del agua en  tuberí as, el valor  del  del

 unidad coeficiente de  energía es de! orden de 1.1, siendo   habitual  tomar el valor  unidad  que suele tener la  altura cinética. En  E n consecuencia, habida cuenta del  del peque ño  valor  que la ecuación 3.1.32 queda en la  forma: , . P£ il í  _f ±? =

z

+

'

Y 2g

P? 2

vi

+

 

 2

y

( 3.1.33 )

2g

las aplicaciones del de l teorema teorem a de de y constituye la  expresión a emplear en la mayoría de las Bernoulli,  motivo por el cual será analizada detenidamente más má s  adelante.

Cada uno de los sumandos de la  ecuación  3.1.33 representa una   energía por p or lo l o que es habitual denominar  "energía  a l trinomio de  "energía específica"  al unidad de peso, por Bernoulli. Además de  esta  denominación   se emplea   también,  sobre todo en las

aplicaciones  ingeníenles de la mecánica de fluidos, la de "carga hidráulica". Dado el  los térm inos de la ecuación  3.1.33, puede  pued e decirse decirse significado energético de cada  uno de lo

que dicha ecuación  expresa el principio de  conservación de la  energía hidráulica.

95 la primera de ellas Se han efectuado dos dos deducciones del teorema teore ma de Bernoulli: la primera ellas

(ec.3.1.12) ha conducido cond ucido a una expresión de uso restringido a puntos situados en una misma línea de corriente; la segunda (ec.3.1.33),  ha permitido obtener una expresión más más adecuada para las numerosas aplicaciones  aplicaciones que que el teorema de Bernoulli tiene en la ingeniería. En la Historia de la mecánica de fluidos se pueden  identificar   tres momentos

clave con relación a la deducción dei teorema de  Bernoulli, pudiéndose comprobar también  que, como ha sucedido y probablemente siga sucediendo, en no pocas ocasiones las aplicaciones técnicas van por delante de ios  conocimientos  científicos:

A.

 d e lo que La primera La primera aplicación  aplicación de hoy  se conoce por teorema de Bernoulli

apareció  en el  libro

"Hydrodynamica" de  Daniel  Ber noulli,  que fué publicado en 1738. Daniel  Bernoulli  dedujo el teorema

que  lleva  su nombre mediante la aplicación del teorema de las fuerzas Fig 3.1.3. Sistema estudiado  por Danief Bernoulli ! Repr  R eprodu oducc cción ión de la Fig.72 de  Hidrodinámica).

vivas  al estudio del movimiento  del agua en el sistema que se muestra en

3.1.3, 3, obtenien obte niendo do una expre la figura 3.1.

sión cuya forma guardaba gran parecido con  con la que se obtendría de la particularización al caso de la  ecuación  3.1.33. La falta  de coincidencia  tenía su  origen, fundamen

talmente, en que Daniel Bernoulli no conocía el verdadero verdade ro alcance alcance del concepto concepto de  presión. La deducción del ya "teorema de Bernoulli"  para una línea de corriente, tanto tanto en el caso de movimiento  permanente como en el de movimiento variable, fué rea-

96 l ibro lizada por  Johanfl  Johanfl Bernoulli -padre del anterior- que publicó sus resultados en el libro

feci iado en 1742, 1742, cuya cuyass ecuaciones   coincidirían -escritas en la  notación "Hidráulica", feciiado actual- con 3.1.13 y 3.1.12, respectivamente. La primera de las deducciones que  aquí se  se han hecho del teorema teorem a de   Bernoulli,

coincidente en  líneas generales con las las que se ven en la  bibliografía de mecánica de fluidos, se basa casi  casi por completo co mpleto en la metodología que  permitió a Leonhard Euler

obtener las ecuaciones generales de cualquier  movimiento.   movimiento. Dicha  Dicha  metodología   fue  publica  pub licada da  por Euler en 1750 bajo el   título "Découverte  d'un nouveau principe de mécanique" y  está  constituida por dos ideas fundamentales: la   utilización  de un

elemento  diferencial,  representativo de la   constitución del cuerpo continuo al que se aplica apl icann las las fuerzas fuerzas que  actúan sobre sobre él é l -idea que expresa la l a  figura 3.1.1-y por otro  cálculo  diferencial e  integral para resolver las ecuaciones   dife lado, el empleo del  cálculo 

renciales que resultan de la   aplicación  de la segunda ley de   Newton  al elemento considerado. Siguiendo  esta  metodología,  Euler   escribió  la obra "Principes   généraux de

mouvement de mouvement dess fluides" que  publicó en 1755  y en la que pueden verse las ecuaciones generales del  movimiento  de un  fluido,  denominadas ecuaciones de Euler cuya expresión  abreviada es: _ 

 y

\dp_dv

 x

 páx

di

 \do  p dy

dv dt

w

 \dp_dv  \dp_d v

 t

p dz

=

dt

en las que " X", " Y" y " Z" representan las componentes de las fuerzas por unidad

de masa que actúan sobre el elemento en la  dirección de los ejes coordenados;  ~v ",  x

" Vy*y  *y  " ü , * son las componentes de la velocidad en dichas direcciones; "p" es la

97 densidad del fluido y" p" es la presión. ecuaciones ones anteriores anterio res a lo largo de una línea de corriente La integración de las ecuaci conduce, conduce, como com o es lógico, a la  obtención del teorema de  Bernoulli. En resumen, el teorema de  Bernoulli o ecuación  de la línea de corriente -de

 d el simposio simposio " Hydraulics  and nominación esta última que puede verse en las actas del Hydraulic   Research - Historical  Development an Present Trends-", celebrado en

1985 - se enuncia enun cia como com o sigue: Berlín Oeste en 1985  ( p =  c í e - i  en un movimiento  per En un  fluido  ideal (u. - 0 )e   incompresible (p manente o estacionario [ - • O j el trinomio de Bernoulli permanece constante a lo largo de una línea de corriente  {ec. 3.1.20). Bajo la   denominación genérica  "teorema de  Bernoulli"  se pueden dar los

siguient siguientes es enunciados: I

o

En un fluido  ideal e incompresible incompresible en  movimiento permanente e irrota cional  ( r o t u = 0 ) , el  trinomio de  Bernoulli  permanece constante en

cualquier  parte   parte de la masa  fluida (ec. 3.1.20) 2   En un análisis unidimensional del  movimiento  permanente y uniforme o

de un fluido ideal e  incompresible, el  trinomio de Bernoulli se mantiene constante de una sección a otra del filamento de corriente considerado, debiendo debie ndo ser  ser   multiplicado por el factor de energía ( K , } el  e l sumando sumando del trinomio que corresponde a la altura cinética ( ees. 3.1.32 y 3.1.33).

 d el teorema teorema de Bernoulli para el caso En el apartado 3.2.3 se  dará la  expresión del de  fluido real y existencia existencia de de máquinas hidráulicas en la corriente.

98 3.1.1.1, Representación gráfica del  teorema  de Bernoulli

En las aplicaciones del teorema de Bernoulli se suele emplear  la  la ecuación ecua ción 3.1.33,

deducida  en el análisis  unidimensional del  del  movimiento.  se trata de estudiar  el movimiento  el movimiento de  de un líquido en un conducto cerrado Cuando  se  puede  puede obtenerse  una visión de  conjunto  de las características de la  corriente  si se

el  valor   de la  altura dibuja a escala, sobre  el perfil longitudinal de la conducción, el   pí  p í ezo ez o mét mé t ric ri c a " h " y de la altura total " H~ existentes en  cada punto  de la corriente.

Fig.  3.1.4.  Representacio'n  gráfica del  teorema de Ber nou lli . E l  resultado  de una representación así se  puede  ver en la figura 3.1.4  para ei caso del desagüe libre de un depósito de gran  tamaño por una tubería con un cambio

de sección, en  cuyo extremo hay hay una válvul vál vula. a.

'

Elegido un  plazo de comparación  como referencia para la representación de la al  llevar  en altura  geométrica " z", el  lugar   geométrico de los  puntos  obtenidos al   prol  pr olon onga gaci ción ón de ést és t a la altura de  de pre p resi sión ón se se denomina línea píe zométr zom étrica ica . En la figu figura ra 3.1.4 la línea píezométrica ha  sido dibujada sido dibujada con  trazo  discontinuo. La formulación del  teorema  de Bernoulli  correspondiente a la ecuación 3.1.33

99 caso de un  fluido  ideal, esa altura   será  la misma en cualquier otra   sección  de la

segmento representativo   geométrico del extremo del segmento corriente, por lo que el lugar  geométrico de la altura altu ra  total, será una línea recta recta paralela para lela al plano de  comparación. Dicho lugar geométrico se denomina  línea  de carga,  línea de  energía o línea de altura  total. E n la figura 3.1.4 esta línea ha sido dibujada con trazo continuo.En  los tramos de   tubería  en que la sección  permanece constante la   línea de

carga y la línea píezomét rica son paralelas, siendo s iendo su "separación", el valor   de la altura el valor  de cinética en cada sección. Se ha entrecomillado la palabra   separación  para recalcar

que no es la distancia -perpendicular   común a las las rectasrectas- lo que representa la altura altur a cinética,  sino el segmento interceptado entre las   líneas y la perpendicular al plano

de comparación. Cuando las líneas son paralelas al plano  p lano de comparaci ón (Fig. 3.1.4) distancia y  separación  coinciden, evidentemente, pero se   verá  en el apartado 3.2. 3.2.33 que no siempre es así, y que en tal  caso,  es la separación y no la distancia lo que representa la altura  cinética. La observación  de la  figura 3.1.4 pone de manifiesto de forma sencilla ciertos

detalles: la  "separación" entre el eje de la  conducción -con trazo de punto y raya en la figura que se comenta- y la  línea piezométrica,   representa la presión a la que  está  e l dimensionamiento sometida la  conducción, lo que que constituye un dato esencial esencial para  el  línea piezométrica piezométr ica   para darse cuenta de cuales de los los tubos. Basta Basta con representar la  línea

son las zonas de la tubería que soportarán m ás presión. Lógicamente los tubos han de dimensionarse para soportar la   máxima presión y ésto  es algo que  también se  de la l a representación de las líneas. La máxima  máxima presión presió n en la tubería se alcanza deduce de en la situación  en la cual la  válvula del extremo   está  cerrada; en tal  caso las  líneas tan to la distancia distancia entre cualquier cualqu ier punto del de l eje eje de la  tubería y la línea coinciden y por tanto  piez  pi ezom omét étri rica ca indica  indica la presión que  soportarán los tubos  y en consecuencia, el timbraje

que hay que  exigir  al   al fabricante de dichos tubos. Respecto a  ésto  conviene  señalar que la distancia proporciona directamente la  presión en metros de columna de  agua (m.c.a.), pero el timbraje de los tubos  suele expresarse en  atmósferas o en paséales.

100 Por  último,   último, de las condiciones en el extremo libre de la tubería se deduce que en la salida la velocidad es muy alta, ya que la presión se iguala, en ese punto, a la  pre  p resi sióó n atmo at mosf sfér éric ica. a. Es obvio que que la velocidad en el extremo libre puede  reducirse si se aumenta la cota de  este punto.

rec urrir ir a una una En  todo  perfil  longitudinal es  prácticamente obligado recurr representación  distorsionada,  esto  es, al empleo de  escalas distintas para las mag

nitudes nitudes horizontales y verticales. verticales. En este sentido suele ser habitual emplear, en los  perfiles  perfile s  longitudinales de las  obras  lineales, como son, por ejemplo,  carreteras y tuberías, una  relación de 10 entre la escala vertical y la horizontal. Sin embargo, embar go, ca casi si

siempre es preciso superar   esta relación en la representaci repre sentación ón gráfic gráficaa del teorema de Bernoulli e incluso se  hace  necesario, a veces, emplear   escalas verticales distintas

 para poder pode r dife di feren rencia ciarr la línea  de altura total  de la  línea piezométrica.   Este ha de ser, precisamente, el criterio a seguir en la elección  de la escala o  escalas verticales. En  cuanto a la escala horizontal, ésta se aplica directamente a la longitud de la

coin cida con su tubería, aunque  ello conduzca a que la longitud real de la tubería no coincida representación.  Hay que tener en cuenta a este  respecto que tal detalle  carece de

importancia práctica cuando la inclinación de la tubería es pequeña, cosa que ocurre

a menos que se trate de una  impulsión.

i  3.1.1.2.  Cálculo

del  trinomio de Bernoulli

En la ecuación  3.1.33," z " es la altura geométrica del centro de gravedad de la sección  transversal, referida al plano de  comparación.  Teniendo en cuenta el signi ficado energético ficado energético de dicha altura," z  "también puede denominarse "energía potencial geodésica", "energía geodésica"  o simplemente  "energía de  posición".  Se trata, en

101 definitiva,  de la  energía que  posee un  líquido en  razón a su  posición topográfica,

siendo  quizá el caso más  m ás  ilustrativo  el del aprovechamiento que de   esta energía se hace en las turbinas de una central   hidroeléctrica.

La altura de presión" p/y", en la ecuación 3.1.33, debería ser la presión media

en la sección,  deducida de la lectura de un conjunto de   piezómetros  distribuidos alrededor de la  sección transversal. En la  práctica, dicha altura de  presión se suele   en el centro de gravedad de la  sección, como punto más representativo de calcular  en ella. El  E l término de  presión  se denomina  también "energía de  presión",  aunque en rigor, tal   expresión sólo deba ser utilizada para   fluidos compresibles. Dado que los

líquidos  se suponen incompresibles a efectos   prácticos,  se entiende que se necesita un  gradiente de presiones para que la  presión  aplicada a un  líquido desarrolle un

trabajo. La representación  de la  figura  3.1.4 y en general,  todas  las del teorema de Bernoulli,  emplean la  presión manométrica o relativa, sin embargo,  nada  hay que

objetar a la  utilización  de presiones absolutas,   bastando para  ello  con desplazar la línea piezométrica   en la magnitud que corresponde a la   presión atmosférica o

ambiental. Lógicamente, el timbraje de los tubos se define para la  presión relativa.

pa rtir ir de la la velocidad media en Finalmente,  el sumando" u /2g" se obtiene a part  2

la sección, calculada como indica la  ecuación 2.1.18. La altura cinética se denomina también energía cinética.

102

3.1.2. TEOREMA D E TORRICE LLI

Basándose en los estudios de  Galileo

sobre la caída  libre de los cuerpos, Evan gelista Torricelli  dedujo que la  velocidad

po r un orificio practicado del agua que  sale por  en la pared de un  depósito (Fig. 3.1.5), es

 prop  pr opor orci cion onal al a la   raíz  cuadrada de la

Esquemaa y  notación Fig. 3. 1. 5. Esquem  para  pa ra el teor te oree m a de  Torricelli.

 profun  pro fundid didad ad de dicho orificio con  respecto

a la superficie libre, es decir: (3.1.35)

v = KÍH   A

La ecuación 3.1.35 resume, por tanto, el denominado teorema de   Torricelli,

cuya  comprobación realizó éste,   experimentalmente, mediante el aforo de un recipiente de capacidad conocida, dado que el caudal  desaguado por un orificio es  prop  pr opor orcio cional nal a la  velocidad de salida.

 deducido mediante la aplicación E l teorema  te orema de de Torricelli puede ser  ser  deducido aplica ción del del teorema

de Bernoulli entre la superficie  libre del de l depósito y la  sección " A" (Fig. 3.1.5). Uti lizando el subíndice "0" para designar a la superficie libre, el teorema de   Bernoulli

se escribe:

,  H 

Po + fo  2g

+ —

PA 0 + v\ —+ —  2g Y

n

(3.1.36)

Dado que el depósito está abierto y que se desagüa a la  atmósfera, las presiones

que aparecen en 3.1.36 son iguales a la  presión  ambiental o atmosférica. Por   otro  se supone que el  depósito es de de grandes grandes dimensiones conres con respec pecto to  al lado, si se  al diámetr di ámetroo despreciars iarsee la altur al turaa cinética en el primer  miembro,   miembro, con lo que del desagüe, puede desprec

103 3.L3. TUBO DE  VENTURI

Un   tubo de  Venturi  es un

aparato constituido constitu ido por un cono de reducción que Finaliza en un estre

chamiento denominado garganta, garganta, al que sigue un cono difusor mediante el cual se recupera gradualmente la Fig.  3-1-6 Tubo de  Venturi manómetro  diferencial.

sección inicial (Fig. 3.1.6). Además,

y

el tubo de Venturi  debe llevar  algún  algún

dispositivo que permita conocer la diferencia de  presión  entre la  sección inicial (1) y  la garganta (2).   Para  ello,  pueden utilizarse  sendos  manómetros  o bien un

diferen cial como como el que que aparece en la  figura  3.1.6. manómetro diferencial Aplicando el teorema de Bernoulli  entre las secciones (1)  (1 ) y (2) resulta:

'

y

Y 2g

vi 2g

(3.1  .38)

Mediante la ecuación de continuidad se puede relacionar la velocidad existente

en las secciones de referencia, -v A    2

 2

(3.1.39)

y expresando ¡a sección en función del diámetro, y despejando despejando ~ v, "se llega a:

(3.1.40)

Dado que el esquema que se se representa en la  figura  3.1.6 corresponde a una configuración de  equilibrio,  se ha de  cumplir  la ecuación  general de la estática de fluidos que, aplicada al nivel AA', se expresa expresa de la siguiente forma: form a:  P^yl~P *y t   2

 m

(3.1.41)

104

en la que  " y " es  es el e l peso específico del fluido que circula por  po r el tubo de Venturi, ~y ~  m

es el peso  especifico del  líquido manométrico  y " í" es la lectura del  manómetro diferencial.   Nótese  que para la  aplicación  de la  ecuación  3.1.41 se precisa que el

 sea uniforme en las secciones, secciones, ya que solo solo así  la distribución de presiones movimiento sea en una  sección  transversal  será hidrostática. De la ecuación 3.1.41 se deduce que la diferencia de alturas pie/o métricas entre

las secciones"!" y "2"

(_h , -h )  z  

viene dada por:  —   "

(3.1.42)

i ) '

donde " p"  p "  es la densidad del  líquido  de la tubería y " p

m  " 

es la la del líquido mano-

métrico.

Sustituyendo 3.1.42  3.1.42 y 3.1.40 3.1.40 en 3.1.38 3.1.38 y despejando " v "  se obtiene:  2

, „_ j

(P -p)í  m

v, = . 2g

 —  p [ l - ( D / £ > , ) ]

( 3 . .43)

4

2

Conocida la velocidad  la velocidad en la sección de garganta, es inmediato deducir el caudal

que circula, Q-A v

 2  2

=

/ 2g

H m

'

(3.1.44)

U n examen detallado de la   ecuación 3.1.44 pone de manifiesto que, dado un

tubo de  Venturi, la única variable de la  ecuación  es la lectura "l" del  d el  manómetro diferencial,  por lo que el caudal es directamente   proporcional a dicha variable. En

la práctica, la constante de proporcionalidad se obtiene mediante med iante el tarado del tubo

de  Venturi, operación  que se  efectúa en  laboratorio. Así pues, la ecuación  3.1.44  puede ser ser escrita en la forma: Q = Kft 

(3.1.45)

en la que" ¿"es la lectura del del ma nóm etro  diferencial y " K"ia constante de calibración

105 perm ite, por consiguiente, medir el caudal que que   circula por El  tubo de  Venturi permite, una una conducción en carga, para lo cual basta con colocarlo colo carlo en una zona de la  tubería en la que no haya turbulencias,   debiéndose a  este  respecto disponer un tramo de aproximación y otro ot ro de salida. Por su tamaño y la protección que requiere, el tubo

de Venturi  debe ser alojado en una  caseta. Sólo de esa forma se  podrá contar con un aparato fiable  y preciso para la medida de  caudales pudiéndose, en tales condiciones, estimar  éstos   éstos con la exactitud del  + 2,5% que pueden llegar a alcanzar.  fu ncionamiento nto del tubo de Venturi está basado en la depresión que aparece El funcionamie en un fluido cuando se le  hace pasar  a  a través de un estrechamiento. En  esto consiste el denominado "efecto  Venturi" que encuentra numerosas  aplicaciones   prácticas   como el

mechero Bunsen; el pulverizador; el "sun", "sun", que hace posible la ventilación  de los edificios (Fig.  edificios (Fig.

3.1.7) o las capuchas de ventilación que se ven Fig.  3.1.7.  Ventilación de edificios median mediante te "sun"

en la cubierta de  los barcos y que hacen posible posib le la extracción del aire de las  bodegas.

Por  último, de la gasolina con el   aírese  realiza también  por efecto  último,  la mezcla de Carburante

Venturi  en el carburador de los motores de

a los  cilindros

explosión.  Cuando el aire es introducido en el

tubo de mezcla del carburador   (Fig, 3.1.8), se le  hace pasar  por   por un estrechamiento o difusor "D", lo que provoca la  depresión necesariapara

ire Fig. 3. 1. 8.   Esquema  del carburador de un  motor de explosión-

aspirar la gasolina que a   continuación es  pul verizada en  el gicleur   el gicleur  "s  "s" (siclé), prod p roduci uciénd éndose ose como resultado   final la mezcla carburada.

106 3.1.4. TUBO DE  PITOT

puede verse En la figura  3.1.9  puede verse

un tubo de Pitot introducido en una

corriente.  Ai orientar una de sus ramas en la dirección de  aquélla, el

extremo de dicha rama produce un  punt  pu ntoo de parada o estancamiento (2), al tiemp  t iempoo que el líquido entra en el  tubo alcanzando una altura " l"

3.1.9.  Tubo de  Pitot F i g  3.1.9. 

A l aplicar  el  el teorema

(Fig. 3.1.9).

de Bernoulli   Bernoulli entre los puntos 1 y 2, suponiendo que ambos

tienen la misma altura geométrica,  resulta:  Y  Zg

y

(3.1.46)

Se deduce, por tanto, que en el punto de parada se desarrolla una  sobrepresión que viene dada por la altura cinética del punto 1. La presión en el punto de parada o de estancamient estancamientoo se denomina presión de estancamiento y es  es la suma de la presión estática " p i / Y ~ y de la  presión dinámica "v /2g~ .  2

E l  líquido  que se encuentra en el tubo de Pitot  está en  equilibrio,  por lo que

aplicando la ecuación  de la estática de  fluidos entre el punto de estancamiento y la superficie  libre del  líquido en el tubo se obtiene:  p -yt   2

(3.1.47)

siendo " Y " el peso específico del líquido," í" la lectura del tubo de Pitot y" p ~ la  2

 pres  pr esió iónn  de estancamiento o  presión total.

107 Si además del tubo de Pitot, se dis  pone  pone un tubo piezométrico  en la  sección

que  pasa por el punto 1 (Fig. 3.1.10), la diferencia de lecturas " /'",  entre el tubo de Pitot y el tubo   piezométrico  es la diferencia  entre  las alturas de   presión 3 . 1 . 10-  Instrumentación básica para la  medida de velo Fi g

correspondientes a dichos puntos, por lo que, de la ecuación  3.1.46 se  se deduce:

cidades.

v,=>[2gT  

(3.1.48)

En   consecuencia,  un tubo de Pitot y un tubo   piezométrico  constituyen una instrumentación   suficiente  para medir la velocidad en una corriente. Esta  instrumentación básica   puede  ser utilizada  para visualizar la diferencia entre la aplicación  del teorema de  Bernoulli a una línea de corriente corr iente (ec. 3.1.13) 3.1.13) y la

aplicación al conjunto de la  masa fluida  (ec. 3.1.20). SÍ se  supone  que en la sección (1) de una  tubería (Fig.

3.1.11) la  distribución  de velo cidades es  parabólica,  la velo

cidad en cidad en puntos tales como el "a" y  el "b" será  distinta y   también

lo será,  por tanto, su altura cinética. La  consecuencia de Fig.  3 . 1 . 1 1 .  Visualización  del teorema de  Bernoulli. hay en ' V .

ésto es que la energía  total que

hay en "a coincid e con la que  "a" no coincide

108 Esto puede comprobarse  fácilmente si se colocan sendos tubos de Pitot en las  po r "a"y "a"y "b". De acuerdo con lo estudiado estudiado anteriormente, líneas de corriente que pasan por un tubo de Pitot colocado en la  línea  de corriente que  pasa por "a" mide la presión

de estancamiento, de la que  puede deducir  deducirse se la altura altu ra cinética si se tiene en cuenta la lectura del tubo piezométrico, que fija la línea piezométrica.  En la figura 3.1.11 se

han acotado  sólo  las alturas que corresponden a la  línea que  pasa  por "a", siendo inmediato identificar las de la otra  línea. Se ve claramente que la  energía específica varía  de una  línea a otra, de ahí ah í la necesid necesidad ad de que se se cumpl cu mplaa la  condición de movimiento irrotacional, ya que ello supone que las líneas de corriente transportan la misma cantidad de  energía.

3.1.5. TUBO DE  PRANDTL

La medición  de velocidades se

considerablem ente si se utiut isimpüfica considerablemente liza el   aparato  esquematizado esquematizado en la figura  3.1.12, constituido como  puede

verse, por un tubo  piezométrico, un tubo de Pitot y un   manómetro diferencial.

Entr En tree los puntos 1 y 2 se se  verifica la ecuación  3.1.46, escrita para el tubo Fig.  3. 1. 12. Tubo Tubo de

P ra n dt l.

de Pitot, es decir, P_i

Y 

+

v]_ P_2 =

2c-

y

(3.1.49J

109 La medición  de la  presión estática se realiza en puntos como el 3 de la   figura

3.1.12, 3.1.12, que que  están distribuidos circunferencialmente. circunferencialmente. Dado que el diseño  del aparato  permite suponer que en el  punt o 3 han han desaparecido desaparecido las las perturbaciones causadas por  e l punto

 que, aproximadamente, el punto de remanso en la red de corriente, se puede admitir  que, se  verifica:

(3.1.50)

Por otro lado, el  líquido que hay en los tubos se encuentra en equilibrio, por lo que se puede aplicar la ecuación de la estática de fluidos al nivel  nivel más má s bajo alcanzado   la superficie  libre del  líquido manométrico,   resultando:  por  la P z - P a - Í Y ^ - Y ) * 

(3.1.51)

donde" Y " es  es el peso específico del  líquido manométrico," Y " es el peso específico M

del líquido que  circula por la tubería y " l~  es la lectura del  manómetro  diferencial.

Sustituyendo 3.1.51 en 3.1.49, teniendo en cuenta 3.1.50 se obtiene: v =j2g\  t

- - ]

(3.1.52)

t

que permite deducir el valor de la velocidad a partir de la lectura del   manómetro diferencial.

Conexiones al  manómetro Fue  Ludwig  Prandtl quien tuvo la idea de reunir en un  sólo

aparato los los tubos de Pitot P itot y pie zométrico,   recomendando asi

Fitj. 3 . 1. 13.  Relación  entre dimen siones  siones  del tubo  según L. Prandtl. Pran dtl.

mismo, la proporción que  debían guardar sus distintas dimensiones (Fig. 3.1.13).

110 3.1.6. EL  SIFON

Se denomina  sifón a un tubo acodado (Fig. 3.1.14) en el que, mediante la  creación  en su   de un estado de presiones inferiores inferi ores a la interior  de que un u n líquido  ascienda ambiental, se hace posible que a un u n nivel superior al que tiene su superficie libre. remotos El  sifón  fué utilizado desde tiempos remotos

F i g .  3.1. 14.  Sifón.

-Philón de Bizanc Biz ancio io (300 a. C) ya hablaba de él

en sus escritos- y continúa siéndolo actualmente, no sólo para el trasiego de  líquidos de un recipiente a otro, sino  también,  por ejemplo, como dispositivo para la de l agua de riego desde la acequia  hasta el surco. distribución del A l aplicar

el teorema de Bernoulli   Bernoulli  entre las secciones 1 y 2 se obtiene: obtien e: Pi 1

Y

v

Pz

vi

2 g• = 2"„   +•Y

2g

 2

£

(3.I.S3)

Dado que sobre las  secciones 1 y 2  actúa la  presión  ambiental y que  puede despreciarse la velocidad de  descenso de la  lámina libre del   depósito y con mayor

motivo, por tanto, su altura cinética, la ecuación 3.1.53 queda en la forma siguiente:  2g

(3.1.54)

de la que se deduce la velocidad de salida del líquido por el extremo libre del de l sifón. Y a se ha señalado la necesidad de que se produzca una depresión en la  tubería

que haga posible el ascenso del líquido. Esta  depresión alcanza su valor  máximo  máximo en el punto 3 pudiéndose  determinar   ésta aplicando el teorema de  Bernoulli  entre las

l o que que se obtiene: obti ene: secciones 2 y 3, con lo

111

Como la sección  de la tubería  es constante, de la ecuación de continuidad se

deduce que las alturas  cinéticas  han de coincidir  en   en las secciones consideradas, por lo  que teniendo en cuenta que en la  sección 2 actúa la presión ambiental, de la ecuación 3.1.55 se obtiene: P amb

~<.z -z )  3

P

3

(3.1.56)

 2

 se deduce que en la sección 3  hay  hay unapresió n manométrica De la ecuación  3.1.56 se negativa que podría llegar  lleg ar a anularse anularse si se cumplie cum pliera: ra:  Z->~Z?  Z->~Z? =

Pamb

(3.1.57)

Si el líquido  es agua, de la ecuación  3.1.57 se  infiere el valor   máximo teórico

que puede tomar la diferencia " z - z ",  dicho valor   sería:  3

(

2

3 -

 2

2

2 )

m

a

B

  10.33m.

(3.1.58)

=

Sin embargo este valor, como se ha señalado, es  sólo teórico, ya que antes de

ser alcanzado se ha producido el cambio de  fase de  líquido a gas, lo que  impide la  l a aplicación del teorema de  Bernoulli por no cumplirse sus   hipótesis. La explicación a  ésto  se encuentra en la  figura 3.1.15, en la que se ha repre sentado

 d el agua. agua. En el diagrama de fases del las combinaciones de él  aparecen las  pres  pr esió iónn  y

temperatura

que

corresponden a las distintas   for mas de  presentación  del agua: gas  (V), sólida  (S), líquida ( L ) y gas 0,01

TCC)

Fig. 3 . 1 . 15-  Diagrama de  fases  del

Las curvas señalan los valores de  pres  pr esió iónn y temperatura en los que

112 que quedan a uno y otro y otro lado de ellas y el punto cuyas coordenadas han sido acotadas es el único en el que las tres fases pueden darse  simultáneamente.

Dado que 4.58 mm  m m es el mínimo valor  de   de la presión para el cual el agua puede puede  se deduce deduce que es físicamente   que se cumpla existir  en  en estado líquido, se  físicamente  imposible lograr  imposible lograr  que

 3.1.58, ya que ello supondría que la la condición dada por  3.1.58,  la presió n del agua sería nula.  sería nula. 3.1.15 5 separa las zonas  señaladas con "L" La   curva  que en la figura 3.1.1 "L " y "V" se

denomina curva de vaporización y proporciona, para cada temperatura, la presión a co n su fas fase e  gaseosa. Esta  presión, denominada la  la  cual  el agua  está en  equilibrio con agua, es es por  tanto,  l a mínima para la cual el agua puede estar  pres  pr esió iónn de vapor  del agua,   tanto, la

en  fase  líquida.

113  3-Tema. 

Dinámica de Fluidos.

 2-Lec  2-Lecci ción ón .Estudio de la viscosidad. Máquinas hidráulicas.

Generalización

 movimiento de un fluido real.  teorema de Bernoulli Estudio del  movimiento  del  teorema  fluido real.

3.2.1. ESTUDIO DE  LA VISCOSIDAD

En la primera  prim era de estas lecciones  lecciones de mecánica de fluidos fluid os se se señaló que el aspecto más relev  ello, dicho  relevante ante del comportamiento comportami ento de un  fluido -hasta el punto de que que por  po r  ello, aspecto era recogido en la  mayoría de las definiciones de   fluido- consistía en que su

resist resistenc encia ia al a l esfue esfuerzo rzo cortante corta nte era propor pro porcio cional nal a la velocidad velocid ad de  deformación. E l coef coefic icien iente te de propo p roporcio rcionali nalidad dad en esta relación  es, precisamente, el coeficiente de viscosidad absoluta o  dinámica "u.". Para estudiar  estudiar el comportamiento comportamien to de los los líquidos bajo la aplicación de esfuerzos

cortantes  puede utilizarse el viscosímetro  de placas.  Este aparato está constituido  por dos dos superficies superficies planas paralelas separadas una pequeña distancia entre las  cuales se coloca el líquido  que se  desea estudiar. El desplazamiento relativo de las  placas en la dirección de  éstas origina en el   líquido una  solicitación de  tensión tangencial  pura  (véase  Fig. 1.1.1) a la que que corresponde un   estado de  deformación  angular  ángulo "y ". caracterizado por el  ángulo

.

Uno Un o de los viscosímetros más comunes es aquél en el que la placa   inferior está fija  mientras que la superior se mueve con velocidad constante "v "  cuando se le 0

aplica una fuerza  horizontal " F", Durante el ensayo  se observa que la  porción de

114 las placa placass adquiere adqu iere su misma velocidad,  por loque en el líquido fluido en contacto con las aparece un gradiente de velocidades, velocidades, lineal o curvo, que presenta  velocidad cero en en

el contacto con la placa  fija y velocidad " u " en el contacto con la otra placa. 0

encuentra n el agua agua y el aceite, el En   cierto tipo de  líquidos, entre los que se encuentran gradiente de velocidades es lineal. Si uno de  estos líquidos se coloca en el viscosímetro  descrito en el  párrafo

anterior  y  y que que se muestra en la figura 3.2.1, resulta

que al aplicar la fuerza

" F", un elemento de fluido como el

1.  Vtscosimetro de placas. Fig. 3. 2. 1.

"abcd"

se  deformará,  pasando a

ocupar la posición genérica"  abe' d  " ' . Para medir  med ir la la deformación angular se puede utilizar  el  ángulo

" Y "  cuya  definición

geométrica   se deduce de la figura 

3.2.1.

placa superior superior es es " 5 " , el cociente cociente " F/S" representa repre senta la fuerza fuerza Si el  área de la placa tangencial unitaria o esfue esfuerzo rzo cortante corta nte " x " cuyo valor  viene dado  viene dado por  la  la ley de Newton

de la viscosidad para el movimiento  unidimensional:  dy

( 3 . 22.. 1 )

en la que  "u." es el coeficiente de viscosidad absoluta o  dinámica y " dy/dt" es la velocidad de  deformación  angular. De la  ecuación 3.2.1 se desprende que en un

 someti do a esfue esfuerzo rzo cortante corta nte la deformación continuamente líquido sometido deformació n angular aumenta continuamente a lo largo del tiempo, no  alcanzándose por consiguiente una   configuración  estable. De la figura  3.2.1 se deduce la siguiente  relación geométrica:  dy _ dv  dt dy

(3.2.2)

que que sustituida sus tituida en 3.2.1 proporciona la la expresión de la ley de  Newton de la viscosidad

115 dv t - H -

(3.2.3)

anter ior se desprende que la viscosidad es la propiedad propi edad mediante la  cual De lo anterior esfuerzos os tangenciales. Cuando un fluido real presenta resistencia  a' la aplicación de esfuerz que aparecen fuerza fuerzass un fluido  real está en  movimiento, la  ecuación  3.2.3  indica  que tangenciale tangencialess deriv derivadas adas de la l a viscosida viscosidad d -fuerzas -fuerzas viscosasviscosas- que se oponen opon en al   movi

miento.  Esto significa  que al estudiar el  movimiento de un fluido  real habrá  que tener en cuenta no  sólo las fuerzas  gravitatorias  y las derivadas de la  presión, como se hizo en la lección anterior, sino sino también las las fuerzas fuerzas viscosas viscosas.. Se Se obtien obt ienen en así as í las las ecuaciones del movimiento de un fluido real rea l o ecuaciones ecuaciones de Navier-Stokes: Navier-S tokes: \ dp 

x  x 

*

 p3x

\ dp   y

dv 

7 

*

dt   dv

_ ¡

C 3

- p ^ * ^ * ' W  

pdz- 

1

-  2

 4 )

dt

en las las que" que " p " es el coeficiente de viscosidad absoluta y" V "   representa el operador 2

de Laplace,  cuya expresión  es: a 

V  2

d 

d  —= ; + — r +  —= dx  dy  dz  2 

2 

a 

3 

2 

2 

(3.2.5)

2 

siendo el significado   de las  restantes magnitudes el que ya se   dijo  al presentar las ecuaciones de Navier  (ec. c omo se se ve, no son sino s ino la  particularización de   (ec. 3.1.34) que como las las de Navier-Stokes  para un fluido  ideal. las ecuaciones ecuaciones de Navier-Stoke Navie r-Stokess a lo largo lar go de una  línea de La integración de las

corriente  conduce a una   expresión  similar   a la del teorema de   Bernoulli,  ya que además del trinomio,  aparece en ella un término que representa la  pérdida de carga debida  a la existencia exis tencia de las fuerzas fuerzas resistivas derivadas de la viscosidad. viscosida d. De la

rea l se tratará contabilización  de las pérdidas de carga en el movimiento de un fluido real

116 Si se representan representa n en un sistema sistema de  ejes  cartesianos el esfuer esfuerzo zo cortan cor tante te y la

velocidad de  deformación  de un  fluido  se obtiene lo que se denomina diagrama reológico (Fig.3.2.2). Los  fluidos que quedan repre sentados  en dicho diagrama por una

línea  recta se denominan fluidos

newtonianos newto nianosyy entre ellos se encuentran los que presentan más interés  desde el  punt  pu ntoo de vista vis ta de las aplicacione apli cacioness de la mecánica de  fluidos: el agua, el aceite

dv/dy F i g 3. 2. 2.

Diagr Diagrama ama  reológico.

y el aire.

Los  fluidos cuya  representación  en el diagrama  reológico  es es una curva cur va se

denominan fluidos no newtonianos y en ellos la viscosidad viscosidad puede ser modificada por la aplicación de  esfuerzos  cortantes. cortan tes. Cuando la viscosidad viscosidad aumenta al aplicar un

esfuerzo cortante se dice que el fluido es dilatan dil atante te y un ejemplo de este tipo  tip o de de  fluido son las arenas movedizas que es como se suele denominar a las arenas sometidas a un gradiente  hidráulico ascendente. Cuando la viscosidad del  fluido  no newtoniano

den ominan an seudoplástico,  la aplicación aplicaci ón  de los esfuerzos cortantes se le denomin  seud oplástico, disminuye con la siendo éste el  caso de la tinta tin ta de los bolígrafos cuya cuya fluencia se se logra logr a por po r los esfuerzos tangenciales originados por el giro de la bolita  de tungsteno. Los ejes del diagrama reológico  corresponden a sendas idealizaciones: el eje de abscisas representa un  fluido ideal y el eje eje de ordenadas corresponde al sólido rígido.

En la dinámic din ámicaa de fluidos se  se utiliza  frecuentemente una magnitud física derivada

de la viscosidad  viscosidad absoluta, denominada denom inada viscosidad viscosidad cinemática  " v ", cuya definición  es: v =^

( 3 . 2 .6)

117 siendo "p" la densidad. Entre las aplicaciones de la viscosidad   cinemática  puede citarse que el número  de Reynolds -que  servirá  para clasificar un  movimiento- se  pu  puede expresar en  función de dicha viscosidad.

3J.1.1. Unidades

Las unidades en las que se debe expresar la viscosidad se obtienen, como las de   otra magnitud  física, a partir  de   de su ecuación  de dimensiones. cualquier  otra cuenta Así, despejando la viscosidad absoluta de la  ecuación 3.2.3 y teniendo en cuenta la definición  de esfuerzo cortante.resulta: < - 3

2

7

)

 dv/dy  dv/d y

cuya ecuación  de dimensiones es.

magn itud fundamental se adopta ad opta la fuerza, fuerza, Si en lugar de tomar la  masa como magnitud la ecuación de dimensiones de la viscosidad es: [u]-= F £ ~ T 

(3.2.9)

2

Las unidades en las que se expresa la viscosidad absoluta deducidas de las ecuaciones de dimensiones 3.2.8 y 3.2.9 son las que se muestran en ¡a tabla 3.2.1 S./.

CCS.  g • cm''

• s'   ( p o t s e ) 1

 dina . ¿-s(barta-s)  cm

 kg • m " ' •s "

,„  —-s(Pa-s) m

 newton

S.T. • UTM • m~

1

,

Tabla 3.2.1. Unidades de viscosidad absoluta.

l 

• s~'

 kgf  - ~ •s m

118 La ecuación de dimensiones de la  viscosidad cinemática se deduce de 3.2.6: [u]

ML' T' l 

^^ái'^r^'^" 

- ' 

(3 2 10)

Con la ecuación 3.2.10 se obtienen las siguientes unidades en cada uno de los

sistemas:

CCS.

cm /s(sío/ce)

S.l.

S.T.

 m /s

m /s

 z

z

 z

Tabla 3.2.2. Unidades de viscosidad  cinemática.

Dado que tanto el poise como el stoke son unidades demasiado grandes para la viscosidad de los líquidos usuales, se utiliza  frecuentemente sus  submúltiplos; el

centipoise C l c / = 1 0 - F ) y e l centistoke ( l c S r = 1 0 ~ S O >

z

2

En  alguno sub-sectores de la  actividad industrial   como es el  caso del de la lubricación,  se emplean frecuentemente las denominadas unidades   empíricas de

necesarioo para que que un u n volumen viscosidad  que expresan  ésta ec función del tiempo necesari determinado de  líquido fluya a través de un orificio de dimensiones normalizadas a

una determinada temperatura. De  este tipo son los segundos  saybolt-furol 

{sSF\

utilizados en los Estados Unidos de   Norteamérica y los segundos redwood (' 'R\

empleados en el Reino Unido. Como ejemplo  e jemplo de de la difusión alcanzada por  este unidade s se puede  citar  este tipo de unidades

hecha por la l a Society Society of  Automotive  Automotive Engila clasificación   de aceites de lubricación hecha neers, cuyas  iniciales,  acompañadas  de un  número  que expresa la viscosidad en segundos,  sirven para diferenciar difere nciar entre sí dichos dichos aceites aceites.. tab la 3.2. 3.2.33 puede verse verse la equivalencia equivale ncia en centipoises c entipoises de la viscosidad viscosidad En tabla expre expresad sadaa en unidades SAE. SA E.

119 Aceite

Viscosidad  absoluta (cP)

SAE  • 10

160 a 220

SAE-20

220 a 300

SAE SA E  -30

300 a 430

Tabla 3.2.3. Viscosidad absoluta de aceites SAE.

Por   último,  en Europa en general y en  España en particular, la viscosidad se  en grados e n g l e r C f ) , que eess un número adimensional, dado expresa, en ocasiones, en que el resultado del  ensayo  que sirve para su  determinación,  esto  es, el tiempo necesario para que 200  mm3 del  líquido  de muestra  pasen a través de un tubo de

2,9 mm de   diámetro y 200 mm de   longitud a la temperatura de  20°C,se  divide por el tiempo obtenido obteni do al realizar el ensayo con agua a  esta  misma temperatura. Existen diversas  fórmulas  que relacionan las unidades  empíricas de viscosidad con con la viscosidad dinámica o cinemática. Algunas de ellas pueden   verse en las refe

rencias  bibliográficas n° 9 y 17. 17.

3.2.1.2. Naturaleza de la viscosidad

orige n en las fuerzas fuerzas intermole inter molecular culares es y en La viscosidad de un  fluido tiene su origen la  transferencia de la cantidad de movimiento molecular. En los líquidos, en los que las  moléculas  se encuentran muy próximas entre sí

 predomina  predo mina el prim pr imer eroo de los  orígenes,  siendo por tanto las fuerzas cohesivas y adhesivas las causantes de la viscosidad. Dado que   ambas fuerzas  dependen  de la

tensión  superficial y  ésta  disminuye al aumentar la temperatura, la viscosidad

120  de l agua, agua, esta variación  pre  p ress e n tar ta r á una variación en el mismo sentido. Para el caso del está recogida en la fórmula de Poiseuille: 1.78-10-

1 + 0 . 3 7 7 - 7 +  0,0002-7"

2

en la que "  T" es la temperatura del agua en grados celsius y " p " es la viscosidad viscosidad absoluta en decapoises ( da

P).

E n los gases la viscosidad depende de la transferencia de la cantidad de  movi

miento molecular y ésta  aumenta con la temperatura, por lo tanto en un gas, la viscosidad  aumenta al hacerlo la temperatura. En un gas, la viscosidad no   sólo

 po r  ello, depende de la temperatura; también interviene la presión, pres ión,  por   ello, es preciso aportar este último dato.

En  la tabla 3.2.4 se da, para distintas temperaturas, la viscosidad absoluta de los  fluidos m ás   interesante en ingeniería.

T e m p e r a tu r a

Viscosidad absoluta

Agua

Aceite

Aire seco (l.Olbar)

10

130,5

23400

1,768

20

100,2

10895

1,819

30

79,7

6291

1,867

65,3

3448

1,915

54,8

2226

1,962

40 50

V

viscosidad dad absoluta absoluta con la temperatu tem peratura. ra. Tabla 3.2.4. Variación de la viscosi

 ten denciaa que se se observa en los datos de la tabla tab la de viscosidades absolut absolutas as La  tendenci se mantiene mantie ne al considerar  la recordar  la viscosidad cinemática,y en este sentido conviene recordar

121 la tabla 3.2.5 se  deduce que  estas variaciones  actúan de forma que la influencia de la  temperatura sobre la viscosidad  cinemática  sigue, como se ha dicho, pautas

comparables a las de la variación de la viscosidad  dinámica.

Tem p eratura

Viscosidad cinemática

• C°C)

(10- m /s) 6

2

Agua

Aceite

Aire seco (l.Olbar)

10

1,30

260

14,18

20

1,00

122

15,10

30

0,80

71

16,03

40

0,65

39

16,98

50

0,55 0,55

26

17,94 17,94

Tabla 3.2.5. Variación de la viscosidad cinemática con la temperatura.

122 3.2.1.3. Medición de la viscosidad

La  viscosidad absoluta puede medirse mediante el viscosímetro  de placas del

que ya se ha hablado en esta misma lección. Existen además otros tipos de   viscosí metro  y entre ellos, quizá  el más interesante sea el denominado viscosímetro de

Couette, cuya cuya descripción no sólo servirá para mejorar la comprensión de las fuerzas viscosas sino que  también permitirá  recordar y aplicar conceptos de la  mecánica de los sólidos rígidos. E l  viscosímetro  de Couette o

viscosímetro de  cilindros  concéntri

cos cos  está  constituido por un   cilindro macizo de  de radio ra dio" R'~ (Fig. 3.2.3) que está  suspendido mediante un alam

 bre de  torsión. Concéntrico con él é l se encuentra un segundo  cilindro de radio  interior  ~R~  al que se puede hacergírar  en  e n torno a su eje mediante un motor. Después de introducir  el   el líquido

en estudio en el espacio existente entre los  cilindros, se  hace  girar al F ig 3. 2. 3.  Viscosímetro  de Couette {Alzado-sección  y planta^

cilindro  exterior con velocidad

angular constante " w", con lo que que se crea en el  líquido situado en la

corona circular  existente  existente entre en tre los cilindros el gradiente  grad iente de velocidades que se muestra muestra   será: en el detalle de la  figura 3.2.3, cuyo valor  será:

123 De la ley de Newton de la viscosidad se deduce el valor  de la fuerza" F " que el fluido ejerce sobre el cilindro suspendido:  F

= \i^-A

(3.2.13)

expresión en la que " A " es el área lateral del cilindro exterior, es decir:

 A-2nRH 

(3.2.14)

Sustituyendo  3.2.12 y 3.2.14 en 3.2.13 se obtiene:  F

= \i-^^2xRH 

(3.2.15)

Esta fuerza fuerza produce prod uce un momento sobre el eje  eje del cilindro suspendido de módulo: U . , . » - ¿ 2 g * .

(3.2.16,

Este Este momento momen to producirá un  u n giro " $" en dicho cilindro, que puede leerse en un limbo graduado. A partir  de esta lectura se deduce el momento que se moviliza en el alambre de  torsión:  M  = G
(3.2.17)

siendo " G " la constante del alambre representativa de su rigidez al giro.  ig ualdad se En el  equilibrio coinciden las ecuaciones 3.2.17 y 3.2.16 y de esta igualdad deduce el coeficiente de viscosidad absoluta,

ájwj

C3

.. 2

18)

 2nwR  2nwR H  3

Si el  espesor  "a"   "a" de la capa de   fluido  situado debajo del cilindro  suspendido   también -en fuera del orden de la separación entre cilindros, habría  que considerar  también las fuerzas viscosas desarrolladas un cálculo similar  al  al realizado- el par  producido  producido por las

 se evita ev ita la aparición de fuerzas fuerzas viscosas en el en dicha zona. A veces se  el fondo del cilindro suspendido haciendo que dicho fondo sea  cóncavo, lo que favorece la aparición de  burbuj  burbujas as de aire en el contacto con el cilindro.

124 3.2.2. MAQUINAS H IDRAULICAS

E l agua almacenada en un embalse se utiliza para diversos fines, entre los cuales

se pueden citar cita r los siguientes: siguientes: abastecimiento abastecim iento de poblaciones, poblac iones, regadíos y producción de  energía eléctrica.   Estos fines, que no son los  únicos,  tienen en  común  el que constituyen aprovechamientos de la energía hidráulica. En efecto, efecto, estos tres usos del

agua se basan en la energía potencial que adquiere  aquélla en razón a su  situación topográfica.  Esta  energía  potencial será   será  utilizada, en el caso de  regadíos y abaste

conduc ir el agua agua hasta los puntos de consumo, venciendo venci endo las fuer fuerza zass cimientos, para conducir resisti resistivas vas derivadas de la viscosidad. Es  también la energía potencial del agua embalsada la que, transformada en energía cinética de  rotación  en las turbinas, produce el   giro  de los alternadores

coaxiales con ellas dentro de un campo magnético y como producto  final la   energía eléctrica. La potencia que es posible extraer de una corriente  depende del desnivel utilizado y del caudal turbinado. La expresión de la potencia teórica "  P "   es:  P = yQ&H  

(3.2.19)

en la que " v " es el peso específico del agua," Q " es el caudal que atraviesa la turbina y  "AH~ la carga carga  hidráulica o energía extraída de la corriente.

Ocurre a veces que el agua no se encuentra donde se la necesita y en tal  caso   energía. La se hace necesario aportar  energía.  L a aportación de energía se efectúa mediante una

 bomba,  bom ba, que es una u na  máquina hidráulica en la que tiene lugar la transformación de la energía térmica  de un combustible o la   eléctrica  de la red general en  energía mecánica,  con el resultado de un incremento en la carga   hidráulica de la corriente al   atravesar atravesar la bomba. bomba . La potencia  teórica  necesaria para aumentar en  " A / / " la energía de un caudal "Q" de agua viene dada  también por la ecuación 3.2.19, con la  parti  pa rticu cula larid ridad ad de que " A H"  representa ahora una   aportación  de carga  hidráulica.

125 En  resumen, las  máquinas hidráulicas son  aparatos  que se intercalan en una

corriente para comunicarle energía -en el caso de  de las bombasbombas- o para tomar  toma r  energía   energía de la corriente en el caso de  de las las turbinas. turbina s. Si " H i "  representa el valor del  trinomio de  Bernoulli  antes  de la  máquina

de ella y " H  " representa hidráulica  o como se suele decir  también,   también,  "aguas arriba" de 2

el trinomio de Bernoulli  Bernoulli después despué s de la máqu ina hidráulica -"aguas abajo"- la variación

de energía o carga  hidráulica  hidráulica  introducida por una bomba " B" viene dada por:  H  + (&H) -H    I   I 

 B

(3.2.20)

 2

y si lo que se interpone en la corriente es una turbina  " T",  entonces la  ecuación de

energía queda queda en la forma:  H  , -

( A W ) - H  r 

 2

(3.2.20 bis)

•

3.2.3.  GENERALIZACION DEL TEOREMA DE  BERNOULLI

"generalización del teorema de Bernoulli" a  la versión de Se suele entender por "generalización este teorema en la que se consideran tanto las  pérdidas de carga  asociadas a la  cir

culación   de un  fluido  real, como el incremento positivo o negativo de  energía hidráulica  que se obtiene con la interposición de máquinas hidráulicas en la corriente. La  ley de Newton de la viscosidad  establece que en un fluido en movimiento, la viscosidad moviliza fuerzas resistivas de naturaleza molecular que, en los  líquidos,

eran debidas a la  cohesión y a la   adhesión  entre  moléculas . La primera de  estas fuerzas  actúa entre las moléculas del  líquido, por tanto actúa en toda la masa  fluida; la segunda, corresponde a la acción  entre las moléculas del  líquido y los contornos sólidos  con los que  está  en contacto. Quiere  ésto  decir que en un  líquido  real en movimiento   se desarrollan fuerzas resistivas en   cada  porción de  líquido  que se

126 o de carg cargaa hidráulica porunidad de longitud de conducción. Esta disminución unitaria  disminución unitaria en la energfa energfa del de l  líquido  se denomina  pérdida  unitaria de carga   "i". Resulta, por consiguiente,  que en una   conducción de longitud " L " la  pérdida  total  será:  AH  = iL 

(3.2.21)

 se deducirán las las expresion expresiones es medi m ediant antee las las cuales se puede En la siguiente lección se  la pérdida de carga, tanto en  régimen laminar como como en régimen turbulento. calcular  la En los fluidos que como el agua, tienen una viscosidad muy  pequeña, la resis

tencia al avance se concentra sobre todo en los contornos, ya que en ellos se da un

elevado gradiente gradi ente de velocidad. En concreto, esta resistencia de superficie superf icie tiene lugar en una capa de  fluido de  pequeño  espesor  -del   -del orden de mieras a mm- situada en contacto con los contornos y denominada  capa límite. En   las conducciones se   hace  necesario a veces, utilizar   piezas  especiales  que

 perm  pe rmit itan an cambios bruscos en la  dirección de la corri co rrient entee como son son p. p . ej. los codo codoss a

9 0 ; o efectuar efectuar cambios cambios en la l a sección mediante conos de  reducción; o simplemente, simplemente, " 

disponer  válvulas   válvulas que permitan aislar tramos de la  conducción y efectuar limpiezas o repara reparacio ciones nes en ellos. Todas las piezas especiales que como las descritas se disponen en las conducciones conducciones producen prod ucen efecto efectoss similares: alteraciones o desprendimientos de la   capa  límite que perturban la corriente, originando remolinos y turbulencias. Se

dice que constituyen una resistencia de  forma que no es sino una  pérdida de  energía

su efecto efecto tiene tien e lugar en el entorno ento rno  próximo del punto en el que se localizada, ya que su sitúa la pieza. La expresión general de  estas pérdidas  localizadas es: v  AH-K  — 2ff  2

(3.2.22)

siendo "v" la velocidad media en la tubería  si se trata de codos,   válvulas, etc. o la velocidad en una determinada   sección, cuando la pieza tiene  sección variable y " K"

 coeficiente adimensional adimen sional que  depende del  tipo  de pieza de que se trate. En la Un coeficiente

127 tabla 3.2.6 se han recogido algunos de  estos coeficientes. El  análisis dimensional de de la ecuación  3.2.22 pone de manifiesto que las  pérdidas localizadas tienen dimensio dimensiones nes

lineales, lo mismo que la  pérdida  total en una  conducción (ec. 3.2.21). Coeficiente  Coeficiente  *K" 0,50 Conexión

depósito-tubería

en  en  ángulo

1,00 C onexión depós ito- tuberí a

entrante

0,05 C onexión aboci nada

depósito-tubería

1,00 Conexión

tubería-depósito

de  perdida de  de  carga. Tabla  3 . 2 . 6 .  Coeficientes de 

En  resumen, en una  conducción se producen dos tipos de  pérdidas de carga: las

unitarias a lo largo de toda la  conducción y las localizadas, correspondientes a  cada una de las piezas especiales, accesorios, etc., interpuestos en la corriente. La suma de ambas será la pérdida  total  de carga: (3.2.23)

AW-ii+V/í—  2g

La generalización   del teorema de  Bernoulli  viene  dada  por la siguiente expresión: v

v

 2

 H *bH -*H -H  i

 B  B

T  T 

i

+ iL + K  — +  2g l  l 

 2

+

^ ^n

2g

(3.2.24) (3.2 .24)

128 en la que "  "W W , * y " H  " son el trinomio de Bernoulli en las secciones consideradas;  2  2

" A W " y "AH ~  representan la variación de carga que corresponde a la interpo S

T  T 

sición en la corriente de una bomba o de una  turbina, respectivamente; " iL" es la  pé  p é r d i d a  total de carga debida a la resistencia de superficie y " K  ^ " representa la a

especia!" a  pé  p é r d i d a  localizada en el aparato o pieza especia!"

Denomin Deno minando ando  ( A H ) , a l a J 2

suma de todas las  pérdidas, la ecuación 3.2.24 puede escribirse en la  forma: / 7 , + C A W ) - C A / / ) - / / + C A / / ) „   J (

T

2

2

(3.2.25)

3.2.3.1. Gráfico de  energía

representación  de la  ecuación  3.2.24 siguen siendo   válidas  las reco Para la representación

mendaciones   hechas al  a l explicar la  representación gráfica del teorema de  Bernoulli. Se trata ahora de completar   aquéllas  con las correspondientes a los sumandos   máquinas hidráulicas y  a las pérdidas de carga. relativos a las máquinas La modificación m á s important importantee quizá sea que la  línea de energía no es  hori zontal; y no lo puede ser debido  pérdida  unitaria de carga, que de bido a ta existencia de de la  pérdida 

se presenta presen ta  desde el primer prim er metro de de conducción. Si en la ecuación 3.2.24 se supone, moment o, que no hay máquinas hidráulicas ni accesorios se obtiene;  por   po r  el momento,  H  = H -iL  l l 

 2

(3.2.26)

De   esta ecuación  se deduce la  forma de  iniciar  la  representación gráfica:   una

vez calculada la l a pérdida unitaria  pérdida unitaria "i" y con ella, la  pérdida  total (ec. 3.2.21), se traza una línea horizontal  p or el e l punto pun to representativo representativo de la sección 1 (Fig. 3.2.4) y a con con  línea horizontal por tinuación  y en la  vertical correspondiente a la  sección 2, se  lleva sobre  ella , desde su punto de  intersección  con la línea   línea  horizontal  anterior y hacia abajo, la   pérdida

129 total. Uniendo el  extremo inferior del segmento que representa el valor  el valor  de  de la pérdida total con el punto representativo de la  sección 1 se obtiene obt iene la  línea de  energía, de

carga hidráulica o de altura  total, cuya pendiente es, evidentemente, "  i".

Fíg.3.2.4. Representación gráfica del teorema de  Bernoulli generali generalizado zado.. ( I ) En la lección  siguiente se verá la estructura de la  pérdida  unitaria " i " ; por el

momento basta con  saber  que  que  depende del material mat erial de la  tubería y de su  diámetro, además de la velocidad.  la velocidad. Se  Se deduce de la  figura 3.2.4 que la  tubería  representada tiene sección constante y  es  es del mismo material. Una  variación en cualquiera de de estos datos

o en los los dos, dos, supondrá que la línea de energía será una poligonal en la que que cada punto punt o anguloso marca el comienzo de un tramo de   tubería de  características distintas al anterior. Con  base en la representación representación hecha en la  figura 3.2.4, es muy  sencillo obtener el gráfico del teorema de  Bernoulli  generalizado,  pues sólo queda desplazar la  línea

de energía paralelamente a sí misma en la  magnitud, sentido y posición que corres máquin a  pondan a cada cada máquina hidráulica o  accesorio. Así, si se  se supone que la única máquina

es una

130

 (II ). Fig.  3.2.5.  Representación gráfica del  teorema de  Bernoulli generalizado. (II).

 B )  y que los accesorios que producen  pérdida  son la  conexión depósito bomba  bom ba ( B)

cod o, se se calcularán las variaciones de  energía hidráulica   que tubería de salida y un codo,  produ  pro ducen cen cada uno un o de ellos, ello s, esto es: el incremento de carga que aporta la bomba ( A H  \ la  pérdida de carga en la conexión (K  ¡ v /2g)  2

 B

y la  pérdida de carga en el

codo ( / í y /29)ya continuación se efectuará la traslación de la línea de carga en 2

2

correspo ndientes a la ubicación de cada máquina o accesorio, accesorio, la vertical de los puntos correspondientes y en la magnitud y sentido adecuados: la magnitud será la de la variación de  energía y el sentido,  senti do, hacia abajo abajo en los accesorios y hacia arriba en labomba. Estas traslaciones

deben  hacerse en el orden en el que aparecen  máquinas y accesorios en el sentido de la comente  (Fig. 3.2.5). Es impor im portan tante te recordar que lo que que se busc buscaa con la representación del teorema de Bernoulli  generalizado es la visualización  de las características de la corriente y  para  ello hay que elegir una escala vertical que permita apreciar todas las variaciones de carga hidráulica que hay en ella. Esta es la condición a tener en cuenta para elegir adecuadamente dicha escala. Una Un a  vez dibujada la  línea de  energía, sólo  queda representar la línea  piezo  ella y para lela a la primera, por debajo de ella y métrica y para ello, basta con dibujar una paralela

131

accesori acce sorios, os, por lo que no  debería haber problemas para  distinguir  perfectamente  perfectamente la línea de  energía  de la  línea piezométrica.  No obstante, si los hubiera,  habría  que

  a una  solución  de compromiso recurriendo  incluso a la  utilización de más má s de llegar  a una escala vertical, aplicándolas, eso eso sí,  de acuerdo con un  criterio razonable.

Fig.  3. 2. 6-   Gráfico de  energía.

3.2.66 se muestra mu estra la l a representación gráfica del teorema de  Bernoulli En la  figura 3.2. generalizado a lo que se   denominará "gráfico de  energía"  para  distinguirla de la representación gráfica del teorema de  Bernoulli.

132 3.2.4.  ESTUDIO

DEL MOVIMIENTO DE  UN FLUIDO REAL

En la figura  3.2.7 puede verse el esquema de una  instalación  de bombeo que

eleva hasta una altura " h " el agua agua procedente de un pozo. pozo .  a

Fig. 3 . 2 . 7 agua.

Esquem Esquemaa de una  elevación de

E l  estudio de dicha   instalación  proporciona la oportunidad de aplicar a un

 prob  pr oblem lemaa  real el teorema de  Bernoulli  generalizado, deduciendo expresiones y

resultados de interés práctico.

3.2.4.1. Bernoulli entre las secciones

1 y 2 (Fig. 3.2.7)

La  gran mayoría de los problemas  problema s que se se plantean plantea n en una instalación de bombeo

como la que muestra la  figura  3.2.7 están relacionados con el régimen  de presiones

existente en la  tubería  que va  desde  el pozo a la bomba, denominada  tubería de aspiración. Con la notación que aparece en la figura 3.2.7, al aplicar el teorema de

133 e ntre la superficie superficie del de l agua agua en el pozoy pozo y ¡a sección de la tubería Bernoulli generalizado entre situada inmediatamente antes de la bomba, resulta: (3.2.27)

fi,-B +CA//) l

W2

siendo " B , " y " B " el trinomio de Bernoulli en las secciones 1 y 2 y " ( A / / ) , _   l a  2

z

 pérd  pé rdid idaa de carga habida entre dichas secciones. Al

aplicar la ecuación 3.2.27 se eriiplearán presiones relativas y se  se tomará como

 plano de  plano de  comparación la superficie libre del agua en el pozo, ya que debido a que, de la tubería, la velocidad en general, la sección recta de un pozo es muy superior a la de la velocidad de descenso de la lámina de agua es prácticamente prácticamente inapreciable. Resulta así nulo el trinomio de  Bernoulli  en la sección 1 mientras que en la su valor  será: sección 2 su  será:

siendo" h „"  la altura de aspiración, "{p/y "  J2

arri ba de la l a bomba y "v /2g" aguas arriba

la presión manométrica  en la sección

la altura cinética en dicha sección, calculada

 z

a partir  de   de la velocidad media en ella. E l  término  correspondiente a las pérdidas  de carga  tendrá  dos sumandos: el

debido a la pérdida unitaria en la  tubería de  aspiración y el correspondiente a las po r  el accesorios que es preciso disponer en  pérd  pé rdid idas as localizadas causadas por   el codo y los accesorios el extremo de la  tuberíaque está  introducido  en el pozo para evitar la entrada de

objetos extraños en  la bomba, así as í como el vaciado de la tubería de aspiración durante las las  paradas.  El primero de  estos  accesorios se denomina alcachofa de toma y consistee en una malla mall a y el segun segundo, do, se denomin den ominaa válvula de pié que no  bási  bá sica came ment ntee consist es más que una clapeta que sólo permite  pe rmite un sentido de  circulación para el agua. Así  pues  pues,, se puede escribi escr ibir: r: ( ^ )

H

2

- i l , +¿

(3.2.29)

134 donde " ¿ " e s la  pérdida  unitaria de carga en la  tubería de  aspiración," i " es la  a

suma de los coeficientes de pérdida de carga en longitud de  ésta," K" representa la suma los  accesorios y " v" es la velocidad media en la tubería de  aspiración.

Sustituyendo 3.2.2 3.2.299 y 3.2. 3.2.28 28 en 3.2.27 3.2.27,, recorda rec ordando ndo que el trinomio de  Bernoulli es nulo en la sección 1, resulta: (3.2.30)

ydespejando (p/v) s e obtiene: obtiene: 2

(3.2.31)

La ecuación  3.2.31 muestra que en la  sección 2 l a  presión manométrica es

negativa, siendo habitual por   ello  que en el lado de  succión  de las bombas y para conocer la presión pre sión allí, allí, haya un tapón que permita, per mita, una vez vez retirado éste, colocar en en él un  vacuómetro. La  altura de presión absoluta en la sección 2 será, por consiguiente:

(3.2.32)

en la que" que " p  /y"es  amb

la altura altu ra de  presión atmosférica. Se deduce de esta  úldma

 al turaa excesiva excesiva " h ", utilización ecuación que un diseño inadecuado de la aspiración -  altur  a

de tubería de  pequeño diámetro, etc, - puede dar lugar a una situación como la que se muestra en la figura 3.2. 3.2.88 en la que el punto pun to 2, obtenido obteni do al representar la presión y la temperatura del agua, se  sitúa muy  próximo a la curva de  vaporización, con lo

que la instalaci  instalación ón quedar ía seriamente expuesta al riesgo de  cavitación, esto es, a la formación de burbujas o cavidades de vapor de agua.

135 Estas  burbujas de vapor

son  arrastradas  por el  agua y cuando alcanzan   zonas de mayor   presión  se produce su condensación  repentina, pro

vocando sobrepresiones locales 0,01

TCC)

Fig.  3. 3. 2 . 8 . Diagrama de  fases del  agua.

que

pueden

lOQOkgf/cm ,   2

superar

los

produciendo

daños muy importantes importa ntes en la

 bomba. En   consecuencia, para prevenir la   cavitación se  deberá  comprobar que la instalación cumple la  condición: C 3.2.33)

siendo " ( p / y ) „ " la presión de vapor que corresponde a la temperatura del  agua. Sustituyendo la ecuación 3.2.32 en el primer miembro de la desigualdad 3.2.33, resulta resulta la l a  expresión: (3.2.34)

que será utilizada para comentar los factores que   influyen en la cavitación, así como el sentido en el e l que  actúa dicha influencia, para lo cual se se supondrá que los restantes

factores no varían cuando lo hace el que es objeto del comentario. Los factores que intervienen en la  cavitación  son: - La altura de  presión atmosférica " p ^ / v " . La  ecuación 3.2.32 muestra que éste es el único sumando positivo entre los que constituyen la  presión absoluta en la sección 2, por lo que su valor  influye  influye decisivamente en la desigualdad 3.2.34. Dicho valor se puede determinar mediante la  ley de variación de la presión atmosférica con la altitud topográfi topo gráfica ca (ec. 1.2.13 presió n atmosférica disminuye cuando 1.2.13). ). Dado Da do que la presión

136  escaso tener en cuenta esta circunstancia, sobre sobre todo t odo en aquellos casos en que haya un  escaso

margen de seguridad frente a la  cavitación.  Algunos  autores  -ver referencia  bibl  bi blio iogr gráf áfic icaa n° 25- proponen que para tener en cuenta la depresión  asociada al paso

de las borrascas se reduzca la  presión atmosférica del lugar en 34 hPa.  L a altura de  aspiración " h„". La altura de aspiración es la diferencia entre la - La cota topográfica a la entrada de la bomba y el nivel de la superficie  libre del  d el agua en el pozo. Por su orden de magnitud, es el factor más importante entre los  tres que contribuyen  a reducir la altura de  presión atmosférica. - I-a pérdida  de carga en la tubería de  aspiración  " ' ' „ " .  Dado que  este factor

contribuye a aumentar aume ntar el riesgo riesgo de cavitación conviene reducir en  lo  l o posible su valor

absoluto. En este sentido se  debe evitar que la tubería de  aspiración  sea innecesa riamente larga y también, el que su diámetro sea sea  pequeño.  K)v /2g". - 1 J S  pérdidas localizadas de carga" ( 1 + K)v  2

Es también un factor que

conviene conviene reducir en la medida de lo posible. Para ello, se debe prestar   atención a las características geométricas  de los accesorios que sea preciso disponer, con el fin de  ", o bien, prescindir de  aquéllos  que puedan ser obtener el  mínimo coeficiente " K  ",

sustituidos por otros elementos tal es el  caso  de la válvula  de pié que  puede  ser reemplazada pdr una bomba de  vacío. De la estructura del factor que se analiza, se procura r una velocidad moderada en la tubería desprende también la conveniencia de procurar de  aspiración.  p / y ) » " . La curva curva que que en la figura - L a  altura de presión  de vapor de agua " ( p/

3.2.8 separa las zonas señaladas con  " L" y " V " se denomina curva de vaporización y  prop  pr opor orci cion onaa los valores de la presión y temperatura para los cuales el agua coexiste con su vapor. La curva de vaporización  muestra que la presión de vapor -que es la

su vaporvapor- aumenta con la temperatura.  pres  pr esió iónn a la que el agua está en equilibrio con su Aunque el  peso  específico del   agua  disminuye- por encima de   3 , 9 8 ° C  - con la

temperatura, el cociente de ambas magnitudes  presenta la misma tendencia que la

137  pres  pr esió iónn de vapor. En consecuencia, el segundo miembro de la desigualdad 3.2.34 depende  de la temperatura, aumentando con ella, y por consiguiente, deberá  ser

 su valor  teniendo determinado su  teniendo en cuenta la temperatura del agua que se desea elevar.

( Fig. 3.2.7) 3.2.4.2. Bernoulli entre las secciones 2 y 3 (Fig.

 en tre A l aplicar  entre

las secci secciones ones 2 y 3 el teorema de de Bernoulli generalizado resulta:  B + (&H) = S + A t f j _    B

 2

3

(3.2.35)

a

siendo ~ ( A / / ) " l a carga o energía comunicada al agua por la bomba;" (A  H ) _ " 2

É

 3

expresiones del de l la pérdida de carga habida entre dichas secciones y ~ B " y " f í " l a s expresiones E

3

seccio iones nes 2 y 3, respectivamente. respectiv amente. Sustituyendo las trinomio de  Bernoulli en las secc expresiones de estas magnitudes en la ecuación 3.2. 3.2.35 35 y reordena reor denando ndo ésta, se tiene: P-? v\ p , v% (Atf),-(A/Oí.. -*» +— ^ - z * - — - r ^ Y 2g  y 2g 9

(3.2.36)

Dado que si no se anulan las diferencias de altura geométrica y cinética entre

las las secciones considerada consid eradas, s, su valor   su valor  sería  sería en tal  caso muy  muy pequeño peq ueño , puede despreciarse la contribución de una y otra diferencia, resultando la siguiente expresión para la ecuación 3.2.36: ( ¿ W ) ( A / / ) . = ^ - ^ r 

2

3

(3.2.37)

 un vacuómetro v acuómetro Disponiendo en las secciones 2 y 3 la instrumentación adecuada: un

respectivamen te, se podrán conocer las presiones relativas en ellas. y un manóme tro respectivamente, Puesto  que el  primer   miembro de la  ecuación  3.2.37 representa la carga neta

comunicada  al a g u a " ( A / y )

nc(Q

que su valor  puede   puede deducirse mediante la " , resulta que

suma de los valores absolutos de las lecturas " L " y " L " en los manómetros  colo M 

l a salida de de la bomba, es es decir: deci r: cados a la entrada y a la

 v

138  32.43.  Bernoulli entre las secciones 1 y 4 (Fig. 32.7)

U n dato esencial en el diseño de una instalación de bombeo como la que  aquí

se está estudiando es el de la potencia teórica que ha de tener la bomba (ec. 3.2.19).  conviene relacionar  relaciona r la carga teórica de la bomba "(AH) " Para ello conviene  B

con con la geometr geo metría ía

de la instalación, es decir, con la  longitud  de la tubería y altura  geométrica, parti  Dicha relación se obtiene al  aplicar  el  el teorema de Bernoulli generalizado cularmente. Dicha relación

entre las secciones 1 y 4, es decir: fi + ( A / / ) , - B + ( A / / ) i

4

 

1 - 4

(3.2.39)

Teniendo en cuenta que en la  sección 4  también  puede considerarse considerarse nula la altura cinética y que si se se trabaja trab aja en presiones manométricas, la altura de presión es  es también nula, resulta que el valor del trinomio de  Bernoulli  en dicha sección  es:  B -h    4

(3.2.40)

 g

 h  „ " -diferencia entre la cota donde" h „ cota  topográfica de las superficies Ubre Ubress del de l agua en

el depósito  y en el pozo (Fig. 3.2.7)- se suele denominar altura  geométrica  de la elevación. E l factor que representa la  pérdida de carga en la ecuación  3.2.39," ( A H ) i _  " 4

tiene la siguiente estructura: (A//)

l - 4

-(A//)

W 2

+ ( A W )

2 J 3 + ;

i f , - + / í ' ^ + ^ 

(3.2.41)

en la que el valor de   ~ ( A / / ) , _   "  se deduce de la  ecuación  3.2.29; " ( A t f )  _  " a

Z

3

representa las pérdidas en la bomba;" i í ¡ " es la pérdida de carga en la tubería  que va desde la bomba   tubería de bomba al a l  depósito (Fig. 3.2.7), a la que se suele, denominar  tubería impulsión; " K'v /2g~  2

representa la suma de las las  pérdidas  localizadas de carga

habidas entre la bomba y el depósito y "v /2g" es la pérdida correspondiente a la  z

entrada de la tubería  en el depósito  (ver tabla 3.2.6). A l escribir  esc ribir la ecuación  3.2.41

139 mismo material  materia l y tienen el mismo diámetro, ya que en  caso contrario no se   podría   utilizado la notación que en dicha  ecuación  representa la  pérdida unitaria haber  utilizado unitari a de

carg arga y la velocidad veloc idad media m edia en la  tubería de  impulsión. Sustituyend Susti tuyendoo 3.2.40 3.2.40 y 3.2.41 en 3.2. 3.2.39 39 y despejando despejando de la  expresión  resultante (AH~) ,  se obtiene:  B

2

2

+ tl„ + ff^   ( ¿ / / )

(&H),-h

+

 g

a H 3 +

2

¿<   / í ' Í - i L  ( +

+

(3.2.42)

y agrupando  términos semejantes,

 +  C A / V ) - / i + í ( ¿ + ¿ ) + ( A H ) , + ^ ( l + K  + s

B

n

i

a

3

(3.2.43)

La ecuación  3.2.43  muestra que la energía  que ha de comunicar la bomba al agua, y por consiguiente, consiguiente, la potencia teórica de aquélla es superi sup erior or a la que se se necesita

 para  para salvar el desnivel  topográfico entre las superficies libres del agua.

140

 3-Tema. 

Dinámica de Fluidos.

 3-Lección

.Régimen  laminar y turbulento.  Fórmula de Poiseuille. Fórmula  Poiseuille. Fórmula

Darcy-Weisbach. Ley  de Darcy-Weisbach.  Ley de Stokes.

33.1. REGIMEN  LAMINAR   Y

TURBULENTO A  escala  microscópica, el

movimiento   de un  fluido  puede cla

sificarse en  régimen  laminar o régi men  men  turbulento. E turbulento. Ell que aparezca uno u

Fig. 3. a 1.  Aparato de  R e y n o l d s .

i

otro otr o de estos regímenes depende de  p a r a c i ó n  entre las fuerzasde

a c o m

 pred ominann las las primeras el régimen será  inercia y las fuerzas viscosas: si  predomina será  turbulento, viscosas las que prevalec prev alecen, en, el si por el contrario, el contrario, son las fuerzas viscosas  el régimen régi men será se rá laminar.  laminar. Cada uno de estos regímenes puede ser estudiado estudiado mediante el aparato  diseñado  por   po r   Osborne Reynolds que esquemáticamente  se muestra en la  figura 3.3.1.  Dicho

apartado  está constituido por un depósito de agua que alimenta un tubo de  cristal de diámetro " D ", abocinado en un extremo y con una válvula de control en el otro. abocinam iento hay hay una boquilla que comunica, mediante un tubo tu bo delgado, co con En el abocinamiento un pequeño depósito que contiene un colorante (anilina o permanganato  potásico,

generalmente). Al abrir ligeramente la válvula, se  establece el  flujo  de agua en el  se observa que el colorante sale en forma de un filamento líquido prácticamente tuboy se rectilíneo,  hasta el punto de parecer que no hay movimiento (Fig 3.3.2-a).

141

Este movimiento ordenado, en el que a)

las  partículas  siguen trayectorias  paralelas  para lelas entre ent re sí, se denomina deno mina

 b)

régimen  laminar. A l movimiento en  régimen  abrir   un poco más la   válvula, se

c) Fig-  3. 3. 2.   Evolución del   filamento coloreado  para  números  crecientes de Reinolds.

1 *Í i i   aparecen  remolinos y turbulen-

o b s e r v a

e

u e

a r r i b a

u n t 0

a

a >

cias que colorean el agua enesazona. Si se  continúa  aumentando la apertura de la  válvula de  control, los remolinos se

 propagan   aguas arriba de la corriente,  difundiéndose simultáneamente en   ella el colorante.  La  L a difusión del colorante demuestra que ha desaparecido el  movimiento  régimen  laminar  y  y que ha sido  sustituido por  ordenado que caracterizaba al régimen  po r  otro,  otro, en el  que cada  partícula  se mueve aleatoriamente en la   masa  fluida,  en lo que se

denomina movimiento en  e n régimen   régimen  turbulento. Reynolds observó que la aparición aparic ión de uno u otro régimen  otro régimen podía correlacionarse con con un  u n parámetro adimensional que comparara las fuerzas de  inercia con las fuerzas

viscosas. La introducción  de las fuerzas de inercia en el estudio de los   regímenes laminar  y  y turbulento tiene su justificación en que el análisis que se hace de ambos lo

observador  or  ligado efectúa u n observad   ligado a la  l a Tierray por consiguiente, el sistema de referencia   la fuerza cen no es ¡neiáa]. Es en tales casos cuando se hace necesario  introducir  la trífuga y la fuerza de  Coriolis denominadas,  genéricamente,  fuerzas de inercia. La expresión general de estas fuerzas se deduce de la segunda ley de  Newton:  R = ma

(3.3.1)

enla que" R " es la resul  re sultant tantee de las fuerza fuerzass exteriores y " a " es la aceleración absoluta

o aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. Cuando la aceleración se

142 movimiento  de  de traslación y de rotación, la aceleración absoluta tiene como expresión

general:

 a-a^* a *a UI 

(3.3.2)

Cor

 aceleración  relativa, es decir, la que  mediría  el investigador que siendo " a " la  aceleración   t c l

estuviera estuviera realizand rea lizandoo el estudio de movimiento  del  de l  fluido; "a

 a!r

"es la aceleración de

arrastre o  aceleración que  adquiriría  un cuerpo si estuviera  rígidamente unido al sistema no inercial esto es, en el caso que se analiza, si estuviera unido a la  Tierra y " a cor  "  o  o aceleración de Coriolis,  que es la aceleración que resulta del movimiento

de rotación del sistema no inercial y de la velocidad relativa del movimiento que se estudia. A l sustituir

3.3.2 en  3.3.1  resulta:  R-ma^

 ma^  + ma^ + ma^

(3.3.3)

y pasando al primer prime r miembro miemb ro los los dos dos últimos sumandos que aparecen en el segundo,  R ~ m a „ - ma „ r 

 c

=ma   n l

(3.3.4)

La ecuación 3.3.4 expresa que el estudio del movimiento  desde un sistema no inercia! ha de incorporar las fuerzas que se derivan de la aceleración de arrastre y

de la aceleración de  Coriolis,  es decir, además  de las fuerzas fuerzas exteriore exte rioress cuya suma suma es " R ", es preciso tener en cuenta:

(3.3.5)

denominadas fuerza de inercia de arrastre y fuerza de inercia de  Coriolis,  respecti vamente. Si  en la expresión  general ge neral de las las fuerza fuerzass de inercia iner cia se sustituye sustituye la masa en función de la densidad" p" se obtiene:

143 de donde resulta que la expresión general de las fuerzas de inercia es   también:  F,-pL v

(3.3.7)

 z  a

siendo" L" una  dimensión lineal y " v"la  velocidad. La   ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) se   puede  escribir en la forma

siguiente: (3.3.8)

^-u£

de donde se deduce que las fuerzas viscosas " F  „" son proporcionales al coeficiente de viscosidad absoluta absolu ta " u ", a la velocidad " v " y a una dimensión lineal" L", es decir: F , = uu £

 l a expresión A l  dividir  la

(3.3.9)

general de las fuer fuerzas zas de inerc in ercia ia (ec. 3.3.7) 3.3.7) entre la que

corresponde a las fuerzas viscosas (ec. 3.3.9) se obtiene:  F^ PJ±£ 

  PVL

=

=

que que muestra que el e l cociente entr e ntree las fuer fuerzas zas de inercia y las fuerzas viscosas viscosas depende de una un a dimensión lineal" L"; de la velocidad " v "; de la densidad" p " y de  de la viscosidad dinámica " u,". u, ".  Dicho cociente es un número adimensional que se denomina número Re " siendo por tanto su expresión  general: de Reynolds, " Re "  Re= -^ 

(3.3.11)

 P

M

'

que para el movimiento de un líquido en una  tubería de  diámetro "  D  D "  queda   queda en la forma:  R e ^

A l  estudiar

(3.3.12)

mediante el aparato representado en la  figura 3.3.1 los  regímenes

de corriente, Reynolds encontró que cuando el valor valo r de "Re" (ec. 3.3.12) era menor o igual que 2000, el movimiento era siempre  laminar, ya que en tales condiciones, la

144 viscosidad amortiguaba   rápidamente  la turbulencia  causada  por cualquier pertur corrie nte. Esta  situación  no se   daba si el  número de  baci  ba ción ón  que pudiera   sufrir  la corriente. Reynolds era superior a 2000. En efecto,   aunque  es posible obtener un   régimen laminar con * Re > 2 0 0 0 " -Reyn -Reynol olds ds lo  logró para "Se - 1200 12 0000 "y posteriormente, y en condiciones de  ensayo muy controladas, se ha logrado incluso  con"

Re = 40000 "¬

sucede que, en   tales condiciones, el   régimen  laminar es muy sensible a las pertur

 baciones  baciones -tanto -tan to m á s cuanto mayor sea sea el   número  de Reynolds- y por consiguiente, cuando   éstas aparecen, el movimiento se hace turbulento. Así  pues, y por convenio, se  considerará laminar un movimiento con   número  de Reynolds  inferior  o  igual a 2000 2000 y turbule turb ulento, nto, en  caso contrario. u n  líquido de Para cada  cada  caso,  es decir,   dados un  diámetro de  tubería " D " y un viscosidad cinemática " V , exist existee una velocidad velocidad  crítica que es la que se  deduce de la es precisamente precisamente 2000. En la l a   mayoría ecuación 3.3.12 cuando el  número de Reynolds es de los casos, la velocidad de  circulación del  d el  agua en las  tuberías a presión es superior a la crítica, por lo l o que que de acuerdo acuerdo con lo anterior, el movimiento movim iento es turbulent turbu lento. o. E l  valor

del   número  de Reynolds constituye en la   práctica,  el criterio para

lamina r o turbulento. turbulen to. Sin embargo, embargo,  estos regí clasificar  un  movimiento en  régimen laminar menes también se diferencian en otros  aspectos. Así, y en lo que concierne a la

descripción  del movimiento, se   puede

suponer que en el  régimen laminar  éste   éste tiene lugar en la forma que sugiere la figura  3.3.3-a), en la que la  masa  fluida

se  desplaza  telescópicamente;  desli-

~ S 

¿.

- J ^ 

wiuutKKtuiiujitiJ 

F i g .  3.3.3.  Representación del movimiento a) régimen  laminar b) régimen régimen turbulent urbulento. o.

zando   unas  superficies cilindricas concéntricas  sobre  otras, correspondiendo

un desplazamiento nulo a la superficie cilindrica en contacto con el tubo, ya

que se adhiere adhier e a  éste por la viscosidad.

145 y el desplazamiento   máximo  a las   partículas  situadas en la superficie   cilindrica

coincidente  con el eje de la   tubería.  En el  régimen  turbulento, las   partículas se

desplazan aleatoriamente en la  tubería, describiendo trayectorias como las que se representan, para un mismo  intervalo de tiempo ti empo,, en la  figura 3.3.3-b). La situación descrita anteriormente se  refleja en la distribución de velocidades

que corresponde corresponde a uno y otro ot ro  régimen.  Así, mientras el   movimiento  movimiento  telescópico que caracteriza al   régimen  laminar, corresponde, como se se demostrará en el apartado siguiente, a una   distribución  par  p arab abóó lic li c a de velocidades  (Fig. 3.3.4-a),  movimiento turbulento, el registro en el movimiento turbulento,

de velocidad en un instante cualquiera  presenta la  variabilidad que muestra la

figura  3.3.4.-b), y es  sólo  cuando se Fig.  3.3.4.  Distribución  de velocidad

 

r e p r e s e n t a

¡ a

v e l

o d d a d

m e d i a

e

  cada

n

ajrégimen laminan

 b)ré  b) régi gim m en t u r b u l e n t o .

p un to en u n cierto intervalo de tiempo, cuando se logra log ra que una curva logarít

mica represente la  l a distribución de velocidad. La descripción de un movimiento turbulento sólo puede hacerse si se se recurre a la consideración de los valores medios temporales de alguna algunass variables y aún  así, a veces se   parámetros correctores. Esto es  se hace necesario introducir  parámetros es lo  que sucede con

la resistencia al esfuerzo cortante de un   fluido en régimen turbulento.  régimen turbulento. E n efecto, efecto, la ley ley de Newton de la viscosidad (ec. 3.2.1) 3.2.1) sólo es válida para el movimiento laminar, sin sin embargo puede utilizarse  una expresión similar  a  a ella para el régimen turbulento  %" en el si se  se considera el valor medio medi o de la  velocidad " v" y del esfuerzo cortante"  %"

tiempo, es decir: T

= (U + T | ) ^

(3.3.13)

146 sidad sidad de remoli rem olino. no. Por  último,   último, se demostrará en el apartado siguiente que en el régimen laminar la pérdid a unitaria de carga " i" es proporcional a la primera pri mera potencia de la velocidad,  la velocidad,

mientras que en el  régimen  turbulento lo es a una potencia de la velocidad de exponente comprendido entre 1,7 y 2.

33.1.1. Capa  límite

Si  se observa detenidamente la distribución  de velocidad que corresponde al régimen turbulento (Fig. 3.3.4-b), se aprecia que salvo en la zona del  fluido próxima

a los contornos, en la que se registra una fuerte variación de la velocidad, en el resto del fluido  el gradiente de velocidad es muy  pequeño.  Este  es un hecho de gran importancia en  fluidos poco viscosos como el agua, ya que de la ecuación 33.13 se

sea pequeño, apenas habrá  resistencia deduce que allí donde el gradiente de velocidad sea a los esfuer esfuerzos zos cortantes cortan tes y por po r consiguient consigu iente, e, los efectos efectos de la viscosidad viscos idad  sólo serán importantes en una zona próxima a los contornos, contor nos, esta zona es es la denominada denominad a "capa límite".  Es en la capa  límite  por tanto, donde se localizan fundamentalmente las

fuerzas viscosas que originan la pérdida unitaria de carga que, dada la situación de  proximid  prox imidad ad  de la capa límite   límite a los contornos, se denomina  también  resistencia de

superficie. La viscosidad es  es también en última instancia, la causa de las pérdidas localizadas

de carga, ya que éstas tienen  tien en su origen en el desprendimiento de la capa límit  lí mitee y ésta, ésta, como se acaba de señalar, se  se debe a la viscosidad. Sin embargo, la causa más má s inmediata de las  pérdidas  localizadas  obedece  a que cuando la geometría  de los contornos  provoca  provo ca el desprendimiento de la capa límite, se desarrolla un gradiente adverso de

147 minimizar  las pérdidas localizadas por lo que se trata de evitar el desprendimiento

de la capa   límite,  recurriendo al empleo de formas   suaves  -hidrodinámicas y aerodinámicas-  en el diseño de estructuras y piezas piezas especiales. especiales.

33 2.  2 . FORMULA D E  POISEUILLE

Se trata de estudiar el  movimiento de un  fluido real  re al en en régimen permanente en el interior   de una  tubería horizontal de  diámetro " 2 r  " .  Para  ello se  aplicará la 0

segunda ley de  Newton a un elemento cilindrico de fluido de radio " r " y altura 

" i "

(Fig. 33.5). E l sistema de fuerzas con componente

 la dirección direcci ón del movimiento es el que en la

se muestra en la  figura 3.3.6 en el que " P i "y" "y " P 2 "represen tan  tan la presión presió n que -E lemen entto cilindrico ci lindrico.. Fig. 3 . 3 . 5 . -Elem

actúa sobre el elemento  aguas arriba y

 abajo respectivamente;" respectivam ente;"  A " es  es la la aguas abajo I

superficie  de la base del   cilindro  ele

1

mental; " x " es la tensión tangencial o L -

J

esfue esfuerzo rzo cortante cortant e derivado deriv ado de de la

Fig.  3.3.6. Sistema de  fuerzas en la  dirección del  movimiento.

viscosidady" A " es la superficie lateral L

del  elemento.

La proyección de la 2  ley de Newton en la dirección del de l movimiento da lugar a

a la  ecuación:

148  R = ma,

(3.3.14)

 s

y teniendo en cuenta que la aceleración es nula por ser un  movimiento permanente,

la ecuación 3.3.14 es, realmente, una  ecuación para imponer el equilibrio de fuerzas del  elemento considerado   (Fig. 3.3.6), es decir, P i A - p A z

TA - 0

(3.3 .15)

 t

sustituyendo las áreas por su valor en  función  de la geometría del elemento, resulta: ( p , - p ) n r  - T 2 n r ¿ •= O 

(3.3.16)

z

2

de la que se deduce la ley de variación  de la tensión  tangencial, (3.3.17)

 2.L

cuya representación  puede verse en

 r

+

la Figura 3.3.7.

1

 y

Si el  régimen  es laminar, la

 Z 2r. - i

relación  entre las  tensiones  tangen

ciales y el gradiente de velocidades viene dada por la ley de Newton de

3. 3. 7 Distr  buci  bu ción ón tensiones  tangenciales. Fig.

la viscosidad:  dv x

=

|

i

 _ 

(

3.3.18|

ecuación  en la que que la variable " y " se mide  desde el contorno  fijo  (Fig. 3.2.1). Para expresar  la  la ecuación 3.3.18 en función de " r " es preciso relacionar   ambas variables

resultando   (Fig. 3.3.7): y + r = r 

0

(3.3.19)

diferenciando  esta ecuación  se obtiene:  dy = -dr

y sustituyendo sustit uyendo 3.3.20 en 3.3.18 resulta, finalmente:

(3.3.20)

149 T = ~ U ^  dr

(3.3.21)

De las ecuaciones 3.3.17 y 3.3.21 se obtiene la siguiente  siguiente  ecuación diferencial: ecuación diferencial:  P l 

(3.3.22)

= -dv

 rdr

p2

2u¿

que integrada con los límites los límites que  que se  se  señalan,  f   J r .r ,

 

Pi-Pz rdr= [* -dv 2u£

(3.3.23)

 proporciona  propo rciona la distribución la distribución de  de velocidades  para un fluido un  fluido   real en movimiento per manente y régimen  y régimen laminar:  laminar:

La representación gráfica de esta distribución   distribución  se muestra W

' ^^

C n

a

  ^"*'*"

u r a

í

v e

' 'dad oc

máxima se alcanza en el eje de la tubería y tubería y su valor es: Fig.  Fig.  3 . 3 . 6 . .  Distribución  Distribución  de velocidades en  en  régimen  régimen  laminan

v

 ,

 max

=^  P

P

'' r%   l 

(3.3.25)

La velocidad La  velocidad media de la distribución la distribución   se obtiene mediante la ecuación la ecuación 2.1.16:  2.1.16: i

-ü =

¡dS k  dS

(3.3.26)

en la que "dS" se  tomará, para este caso, igual al área al área de  de una corona circular de radio" r"  (Fig. 3.3.8), es decir: deci r:

dS = 2 n r d r

(3.3.27) (3.3. 27)

Sustituyendo 3.3.24 y 3.3.24 y 3.3.27 en 3.3 3.3.2 .266 e integran inte grando, do, se obtiene obtie ne la velocidad  media la velocidad media "v"cuyo valor es:

150 que es igual a la mitad de la velocidad máxima. Despejando de esta última ecuación

la diferencia de presiones se se obtiene obtien e la ecuación de Poiseuille: P , - p =^

(3.3.29)

2

 r

o

en la que " u " representa la velocidad media de la  distribución. Si se aplica entre las  las secciones 1 y 2 el teorema de Bernoulli generalizado resulta: fi,

=e

2

+(Atf) 1 _ 2 

(3.3.30)

y desarrollando cada uno de los trinomios  de  Bernoulli,  Z

i

+

P i -L-e? Z ± -L+

 Y 

Pi + ?^.+ _el±

 Z

2c/

Y

+ l 

&

 

 H )

(3.3.31)

2o-

teniendo en cuenta que la tubería es horizontal  y de sección constante, se obtiene: P

-^^-(A//)

 

w z

(3.3.32)

Sustituyendo 3.3.29 en3.3.32 se deduce el  valor  d  d e "(A//),^2 ~, pérdida de carga

 por  resistencia de superficie superfi cie entre ent re las secci secciones ones 1 y 2, 2, es es decir: deci r: (AtíJuj-^T  Yí  Y í o Si se  se divide la p é r d i d a " ( A W )

 N !

(3.3.33)

" entre la separación  horizontal" L" entre las

secciones consideradas se obtiene la pérdida de carga por unidad de  longitud " i " o

 pér  pé r dida di da   unitaria:

(¿tí)

N!

(3.3.34)

i =-

Teniendo  en cuenta 3.3.33 y haciendo  intervenir  el  diámetro  de la  tubería

mediante mediante la l a variable " D ", la  ecuación 3.3.34 queda en la  forma:

32 u i

%v

 YÜ  Y Ü

(3.3.35)

151 151

*

y buscando la  expresión del número  de Reynolds   entre las variables de 3.3.35,  esta

ecuación puede ser escrita   también de la siguiente  manera: , 64 v

 2

1

" 

TT~z—r 

(3.3.36)

que constituye la  expresión de la pérdida unitaria de  carga en  régimen  laminar.

3.3.3. FORMULA DE   DARCY-WEISBACH

La ecuación  3.3.36  no es sino la   particularización al   régimen  laminar de la expresión  general de las   pérdidas de  carga,  que viene   dada  por la  fórmula de

Darcy-Weisbach: im

ik 

-

í33 37)

en la que " / " es el coeficiente de  fricción," v " es la velocidad media en la  tubería de diámetro " D ~ y " g " es la aceleración  de gravedad. A l  comparar

las  ecuaciones 3.3.37 y 3.3.36 se obtiene obtie ne el valor del coeficiente coeficiente de

fricción en régimen  laminar: 64

/ =—

(3.3.38)

de donde se  deduce que  sólo depende del  número  de Reynolds. Sin Sin  embargo, en el movimiento turbulento, el coeficiente de   fricción  depende del número de Reynolds y de lo que se denomina rugosidad relativa  " K/  D", término en el que " K" representa el  tamaño medio de las irregularidades   geométricas  o rugo

sidad sidad absoluta abs oluta de la superficie   interior   de la tubería y" D" el   diámetro  interior

152 de  de  ésta (Fig. 3.3.9). La rugosidad absoluta absoluta tiene dimensiones lineales yy   sólo  puede medirse con aparatos especiales, dado el valor  que  suele  tomar:  0,025  mm en

absoluta.  Fig-  Fig-  3.3.9. Rugosidad absoluta. 

de  fíbrocemento y polietileno. tuberías de 

E n  resumen, en el régimen el régimen laminar  laminar el coeficiente de  de   fricción sólo depende del número  número  de Reynolds, es decir / - / ( * « )  ) 

(3.3.39)

mientras que en el  el   régimen  coeficiente   también  depende  de la régimen  turbulento dicho coeficiente  rugosidad relativa: (3.3.40)

/-/(§..*•)

el   cálculo  de   fricción en  en  régimen  Para el  cálculo  del coeficiente de  régimen  turbulento, lo que constituye el   caso m á s frecuente en las aplicaciones, aplicacion es, se   utiliza la  la  fórmula de Prandtl-Colebrook: / K/D 

1

2 , 5 1 A 1 A

7 r ~ 'W*W7J 2log

• < 3 ' 3 ' 41)

de la que, como puede verse, no es es posible pos ible  despejar  el valor   coeficiente de  de   fricción.  el valor del del coeficiente Sin  Sin  embargo, el comportamiento  comportamiento   matemático  matemático  de la  la  ecuación  ecuación  3.3.41 es tal que, mediante un cálculo un cálculo constituido  constituido por cuatro o cinco iteraciones se llega a un valor de " / " suficientemente aproximado. aproxima do.  Supuesto conocido el caudal y las  las  características el agua( p. u.) u.) y geométrica s de la tubería la tubería (K  , Z>) se supone un valor  positivo físicas d físicas del  positivo cualquiera   para  el coeficiente de  de   fricción  (f\);  sustituyendo  sustituyendo  éste  éste  en el  segundo miembro de la ecuación la ecuación   3.3.41  3.3.41  quedará: 1' 

7r~

(K/D 2 1 o a

2,51 A

'°l^W7lJ

(3

de   fricción ( / ecuación de ecuación de la que se puede deducir otro valor del coeficiente de 

' ' 3

42)

] ) .  Este

153 (3.3,43) y por consiguiente, ( / ) se se sustituye en el e l segu segundo ndo miemb mi embro ro de de 3.3.41, resultando la 2

ecuación: (3.3.44)

que que una vez vez resuelta, propor pro porcion cionaa ( /  \ el cual se se toma tom a como valor de entrada en la 2

tercera  iteración y así sucesivamente,   hasta que la diferencia entre los valores de entrada y salida del coeficiente de  fricción en una  iteración sea sea  inferior  al error erro r con con el que se desea obtener dicho coeficiente. Generalmente   tres o cuatro iteraciones

son suficientes para conseguir la coincidencia de  tres cifras decimales decimales en los valores de entrada y salida, lo que constituye una  precisión  muy aceptable.

33.4. LEY DE  D E STORES

Se trata ahora de estudiar el movimiento de un cuerpo   sólido en un fluido en reposo, reposo, cuya cuya viscosidad viscosidad absoluta y densidad densidad son "u." "u. " y "p " p " , respectivamen respectivamente. te. La clasificación de este movimiento a escala  microscópica también se hace mediante el númer o de Reynolds cuya  expresión general viene  dada por la ecuación 3.3.11.

Entre Entr e los muchos muchos movimientos movim ientos que se  podrían  analizar tiene especial   interés,  por  las numerosas aplicaciones  aplicaciones que encuentra, encuent ra, el de una esfera esfera de radio rad io " R". Para este movimiento,  el  número de Reynolds se define de la siguiente forma:

 Re-

 pVR

(3.3.45)

siendo " p " y " u," la densidad y viscosidad del  fluido y"v" la velocidad de la esfera de radio rad io " R". Aunque este número de Reynolds depende de la velocidad del cuerpo  de la del fluido, debe advertirse que  desde

de vista formal, la ecuación

154 ser considerada considerada como velocidad relativa relat iva del movimien movim iento to y en  este  sentido,  pued  puede e  ser fluid o -que es el caso que aquí se consideratanto da que que la esfera se mueva respecto al fluido

corno que fuera el fluido  el que se moviera respecto a la esfera. Pues bien, cuando una  esfera  se mueve  respecto a un   ñuido  se observa

experimental mente que si se cumple la condición: ^ <  1

(3.3.46)

esto es, que si el  número de Reynolds es inferior  a uno, entonces el fluido  ejerce una

fuerza resistiva proporcional a la velocidad: F 

= K v  

(3.3.47)

En  tales  condiciones el movimiento es laminar, mientras que si el  número de

Reynolds de  este  movimiento fuera mayor o  igual  que uno, el movimiento  sería turbulento y la  expresión  general de la fuerza resistiva que   actúa  sobre la  esfera  pasa  pa sarí ríaa  a ser: F-Kv* 

(3.3.48)

obtuv o la expresión de la fuerza Para el caso de régimen  laminar, Stokes (1845) obtuvo resistiva que ejerce un  u n fluido en reposo sobre una esfera que se mueve con velocidad

F 

 6nvRn  =  6nvRn

(3.3.49)

Conocida esta fuerza, se puede plantear la ecuación del  d el movimiento de la esfera en el fluido, para lo  l o cual se aplicará la 2 ley de Newton Newt on con los diagramas de  fuerzas a

155

y aceleraciones correspondientes correspondientes al movimiento de la esfera (Fig. 3.3.10): ~R = ma W-F -E

(3.3.50) (3.3.51)

= ma

SI 

esfera; siendo "W  el  peso de la esfera;

~ F , " la s

fuerza resistiva de Stokes;" E"  el empuje de

o

O

 " la masa de la esfera y " a "  a " Arquímedes;" m " la

w

la aceleración de  ésta.  Expresando  estas magnitudes en función de variables relacio

Fig.  3 3.1 3.10. 0. Diagrama Diagrama de fuerzas y de aceleraciones para el  movimiento  de una esfe es fera ra en un fluido en en reposo. reposo.

nadas con el problema se llega a la ecuación:

 mg-6nvR[í 

 m dv p .g = m — p ' dt

(3.3.52)

en la que " que " m" es la masa masa de la esfera; esfera; ~  ~ p " su  " su densidad y " p /"  la densidad del fluido. La

diferencial lineal de primer orden orden que puede ser  ecuación 33.52 es una ecuación diferencial

integrada directamente,  para lo cual se utilizará la siguiente notación:

- 7 (3.3.53) ónffp m

ónflu.

órttfu.

9 u

Teniendo encuenta lo anterior, la ecuación  diferencial del  movimiento queda en la forma:

dv  ,  a-bv = —  dt

(3.3.54)

  integración  de esta  ecuación  se plantea con las  siguientes condiciones de

La

contomo:

di

 dv v-oa-bv

(3.3.55)

to que  conduce a la solución:

(3.3.56)

156 de la que  despejando la velocidad "v" resulta: (3.3.57)

-2(1-.-)

La gráfica  gráfica  de la  la  ecuación  3.3.57 (Fig.33.11)  muestra  que la velocidad tiende  tiende  asintóticamente a asintóticamente a una velocidad que al constante ~v ", lo que significa que  s

 de un u n cierto ciert o tiempo el movimiento cabo de se  hace  uniforme con velocidad "v -a/b"

cuyo valo va lorr se obtiene obtiene

Fig.  Fig.  3.3.11.  Representacio'n

sustituyendo

los  valores  de

de •

 pa  p a r á m e t r o s "a" y "b"  "b"  (ees. 3.3.53), es

 s

•d-e *) 6

los

decir: 2* y-(p-p/) 2

Vc.= -

'

9 _

(i

—

(3.3.58)

La  La   velocidad ~v ~ puede obtenerse también   también  de la siguiente forma: la  la   gráfica  s

de la figura 3.3.11   muestra  que al  comenzar  el   el movimiento, la   esfera  incrementa

 progresivam  prog resivamente ente   su velocidad -como  corresponde  al movimiento  acelerado  que adquiere- y por consiguiente,  consiguiente,  también  aumenta  la fuerza resistiva de   Stokes. En el crecimiento de la fuerza resistiva llega un momento en que   ésta se ésta se iguala a la fuerza neta constante de  de sentido contrar cont rario io es decir, a la diferencia  entre el peso y el empuje.

Cuando  ésto ocurre,  ésto ocurre, es de aplicación de aplicación la I ley ley de Newto New tony ny en consecuencia, al anularse a

la  resultante  sobre la  esfera,  el movimiento que era   acelerado,  pasa  a ser un movimiento uniforme. Teniendo en   cuenta  lo anterior, la  la  condición de  resultante cosa sucede, es decir: nula, permite deducir la velocidad a la que tal cosa

~nR pg-^nR  pg-^nR p g~6nR\i  g~6nR\ivv  3

(3.3.59)

 2

 f 

de la que se obtiene,   despejando " v ", el valor de " v "  dado por la ecuación la ecuación   3.3.58. s

157 3J.4.1. Aplicaciones

La ecuación 3.3.58 3.3.58 es el fundamento fundame nto teórico del viscosímetro de bola, en el que que

una esfera de d e densidad  y radio conocidos se deja caer  enun  enun líquido viscoso de densidad "P/~, con lo que midiendo la velocidad en la fase uniforme del movimiento  puede obtenerse obtenerse la viscosidad del líquido. La ecuación  3.3.58  también  es de  aplicación en el estudio del movimiento de

las las partículas de polvo en la atmósfera o de las gotas de  lluvia, etc.   utilizada para determinar el En otras situaciones, la  ecuación 3.3.58 puede ser  utilizada

 ello, no puede ser medido directamente. radio de partículas muy pequeñas que, por  ello, Un empleo de este tipo, condujo a la obtención de la carga  eléctrica de un  electrón, al poderse determinar el radio de una gotita de aceite cargada   eléctricamente  por

rozamiento, que  Millikan  consiguió  mantener en  equilibrio  estático  mediante la creación de un campo eléctrico  opuesto al sentido de la diferencia entre el peso y el

empuj empujee de dicha gota en el aire. aire . La determinación del radio de de la gota de + + + ++ •* + + + + +

0 I mg-Vp

a

 su volumen " V  " aceite permitió conocer  su volumen  " (Fig.

3.3.12) y con él y aplicando la condición de equilibrio entre las fuerzas   representadas en

la figura 3.3.12, determinar la carga  eléctrica Fig, 3. 3. 12. Ex pe rim ri m en to de

" Q " de la gotita de aceite aceite que  resultó  ser

M i II  ¡kan. 

siempre  múltiplo de " e ", carga del electrón.

Ya se  comentó  comentó  (Aptdo.1.3.3) que el análisis por    sedimentación de un suelo se  p or  sedimentación

 de  ella  se pueden obtener  ba  basa en la aplicación de la ley de Stokes, y  cómo, a  partir  de  puntos suficientes para representar represen tar la curva granulométrica. A veces sin embargo, la velocidad de  sedimentación  natural (ec. 3.3.58) conduce a tiempos de  espera muy

158  ejemplo, sobre los fluidos humanos. E n tales tales casos se recurre recu rre a los que se hacen por  ejemplo, la centrifugación   o a la  ultracentrifugación mediant med iantee la cual se se crea un campo campo gravitatorio  gravitatorio  ficticio en el que la  aceleración de la gravedad viene dada por  " t o r " 2

siendo " OJ " la velocidad de   rotación  del aparato y " r " la distancia de la   partícula que sedimenta al a l eje eje de rotación. La  velocidad de la sedimentación en el proceso de centrifugación  viene determinada  también por la ley de Stokes ya que dicha fuerza

sigue actuando aunque el campo  gravitatorio haya sido aumentado   artificialmente.

161

EJERCICIO N° 1

Una   marisma de agua dulce desagua en el océano a  través  de una  compuerta automática  de mareas que  que  tiene 2 m de ancho y  l,5m de alta La compuerta  está sujeta por goznes situados en su borde superior  en  en A y

un umbral en B. En un momento se apoya en un umbral

dado, el nivel de agua en la marisma es de 3 m y  en el océano de 4,5 m . Hallar  la  la fuerza

ejercida  por el  umbral sobre la compuerta en B y la reaccción de los goznes en A.  A . (Peso específico del agua agua salada salada I 

030kg/m ).  3

Comentarios a la resolución

 El   efecto

  sobre la compuerta es el de una distribución que produce que produce el  umbral    umbral  sobre

uniforme de fuerzas perpendiculares al  erpendiculares al  plano de la compuerta. Dicha distribución puede  ser sustituida por su fuerza mecánicamente  equivalente  (Ru).  La acción de los goznes sobre la compuerta  sería, en general, una distribución plano de la compuerta. Dicha distribución puede uniforme de fuerzas oblicuas respecto al plano

 ser sustituida por  dos: una formada por fuerzas normales a la compuerta y  otra por no proporciona datos suficientes  fuerzas paralelas a ésta. Ahora bien, dado que el  ejercicio  ejercicio no   para calcular el  peso  peso de la compuerta, compuerta, no hay

que considerar que considerar fuerzas exteriores activas

por  consiguiente tampoco puede haber fuerzas exteriores uerzas exteriores reactivas en  paralelas a ella y por  esa dirección.  Resulta, por  tanto, que la acción de los goznes sobre la compuerta sólo

162

está constituida por la distribución  uniforme de fuerzas normales y consecuentemente, esta distribución puede ser reemplazada por su fuerza mecánicamente  equivalente (Rg).

 Las fuerzas exteriores activas están  constituidas por dos   dos  distribuciones espaciale  de fuerzas paralelas, correspondiente cada una de ellas a la acción del agua situada a

uno y otro lado de la compuerta. Estas distribuciones espaciales pueden ser  sustituida  planas siempre que la sustitución  tenga lugar en el  plano de  por  sendas distribuciones planas siempre  plano de  plano de la  simetría perpendicular  simetría perpendicular al  plano  la compuerta. Si se procede como se acaba de decir,  cada distribución  espacial  puede  puede sustituirse por  una

 de  fuerzas distribución  trapecial  de

 paralelas que es mecánicamente equivalente a la distribución  espacial, ya espacial, ya que  de una a  otra sustituyendo cada

se pasa

una de las infinitas distribuciones uniformes planas e

las que se puede  descomponer la distribución espacial, por

sus  respectivas fuerzas

 mecánicamente equivalentes. Por último, cada una de las distribuciones trapeciales,

163 plana  de fuerzas paralelas  Para reemplazar una  distribución  plana  fuerzas paralelas   por su fuerza

 mecánicamente  equivalente,  ésta ha de cumplir las siguientes condiciones:  a

 I 

Su módulo ha de ser igual  al   área de la distribución.  al  área

2   Su dirección y sentido lian de  ser coincidentes fuerzas que  ser coincidentes con  con los de las fuerzas a

 constituyen ¡a

distribución.

 centro de  gravedad  del  3 Su recta de aplicación  debe pasar por el  centro  del área de  a

la distribución.  centro de gravedad  del  área  puede hacerse des  La determinación del  centro  área  trapecial  puede  componiendo  componiendo este área

en suma de un área rectangular área rectangular y un área triangular y aplicando

la fórmula:

-

 x

 A

Y. > >

 x =  -^

 LA'  LA'  El   sistema de fuerzas que actúa  sobre la compuerta puede, de  acuerdo  con lo

 anterior, ser reducido a un sistema mecánicamente  equivalente formado por dos fuerzas  y " R ~  desconocidas y dos fuerzas exteriores activas ' E ~y exteriores reactivas exteriores reactivas ' í „ " y" e

 t

•E ".  z

 sistema esté en  La condición para determinar las fuerzas desconocidas es  desconocidas es que el  sistema

equilibrio, para lo  cual ha de cumplirse:

164 Resolución del ejercicio

Figura

A

1

I A

 Z A,

 z,

 A

Rectángulo  L/2

 aL

 aL /2

(¿/2)( b-a)

(b~a)L /6

( 

 t

 2

2

Triángulo

 L/3

(a-b)L/2

 2

(2a + ó ) ¿ / 6 ?

 A,

F 

 A

• V

^í=Y  F' A

=\

a

 a

a s

s

d 

-hyZm -h -2m=   B

• h„-2m= 

-  1 0 3 0 ^ - 3m- 2 m = 6 1 8 0 ^

1030^-4,5m-2m-9270^ m m \000^-

m

f ' ^ Y a i -h -2m=  B

1 . 5 m • 2m  = 3 0 0 0 ^ m

1 0 0 0 ^ - 3 í n - 2 m  = 6 0 0 0 ^

3

Q +  6

 F i + F a

(6180^+9270^) ¡1.5m =l — •  1 . 5 m - 1 1587,SA:o;/  —  ¿. 2 1 > 

2 . y f ,

1 . 5 m ( 2 - 6 1 8 0 f f  +  9 2 7 0 a í )

F * F B -

3

 A

2

l

l

5

3

6 i

8

^5

m

0

^   9270^ +

: I L

=

' ™

^' 1.5m-67S0fcff/

1 . 5 m . 2 - f ^ f    _ l , 5 m ( 2 - 3 0 0 0 ^ * 6 0 0 0 ^ ) , 2 " 3 F' -F'„ 3 30 00 ^ +6000^ 3™ m m #

 A

; / ? -  l , 5 m + £ y 2 - - F , Z , = 0 0

2

/? • 1 . 5 m + 1 1587 , 5 • 0 , 7 -  6750 • \ = 0  H

* = -2407,S /cg/ £ > , =0

; * =24 07, 5fc g/ R^E R^E -R^E l 

 2

 R + 6 7 50 5 0 = - 2 4 0 7 , 5 +  11587,5 u

2 4 3 00** g/ g/

166 EJERCICIO N° EJERCICIO N° 2

Encontrar   para la  compuerta A B de 2,50 m de  longitud la   fuerza  de compresión sobre la  barra C D  ejercida  por la presión del agua,  sabiendo que B, C y D son  puntos  arti

culados.

Comentarios  a la resolución

 La  compuerta AB ha de estar en equilibrio,  en equilibrio, por  por   consiguiente se consiguiente se ha de verificar: de verificar:

 El   sistema de  fuerzas que

 R-0

(1) (1 )

¡W*-0

(2)

actúa sobre la  compuerta está constituido por:

• El  sistema   sistema de  fuerzas derivado de la presión hidrostática. - La reacción de la articulación. - La reacción de la barra comprimida.  El   sistema de  fuerzas  hidrostáticas

 fuerzas paralelas

está formado  por una distribución  espacial de

que puede ser  ser reducido   reducido  -ver, a este respecto, el   ejercicio n 1- a una  a

 plano de  distribución mecánicamente  equivalente de fuerzas paralelas situadas  en el  plano

 simetría de la compuerta. Se obtiene así una distribución   trapecial  de  de fuerzas que, a su vez, puede ser reducida  ser reducida a  a sólo una fuerza mecánicamente equivalente.

167  Para obtener la fuerza mecánicamente  equivalente se puede descomponer la dis

 tribución trapecial de distribución rectangular y una distribución  trapecial de  fuerzas en suma de una distribución rectangular  triangular  triangular y 

reducir cada uno de estos subsistemas a su fuerza  mecánicamente

equivalente.

i de fuerzas paralelas distribuidas es mecánicamente equivalente Un sistema plano de fuerzas  a uno constituido por

unafuerza de igual  dirección  dirección y sentido que aquéllas; módulo igual

 centro de gravedad  de  al área de la distribución y recta de aplicación  pasando por el  centro  dicho área. fuerzas  El  sistema de fuerzas

hidrostáticas quedaría asi sustituido por un sistema

 mecánicamente  equivalente fonnado por dos  se quisiera,  aún do s fuerzas paralelas fuerzas paralelas que, si  se  se podría  reducir a una sola fuerza, aunque para imponer el  equilibrio  equilibrio esto último

no es

 necesario. En efecto, por definición de sistemas de fuerzas mecánicamente equivalentes, la compuerta estará

en equilibrio si las dos fuerzas anteriores, la reacción de la articu-

la barra comprimida  comprimida constituyen lacióny la reacción de la barra  un sistema nulo, es decir, cumplen  constituyen un

las condiciones  (l)y (2). la barra comprimida,  comprimida,  ejercicio,  esto es, la fuerza en la barra  Para obtener lo que pide el  ejercicio,

 basta  bast a con aplicar la segunda de las condiciones de equilibrio y hacerlo en el  punto  punto B,

es decir, es decir,

168

169 EJERCICIO N°  3

Con  referencia a ia  figura, ¿cuál  es la r - ^ r  

anchura  mínima "b" de la l a base  de la presa de

\

gravedad de una altura de 30 m al suponer que

la presión hidrostática ascensional en la base de  de la presa varía uniformemente desde la altura de 30m

 pres  pr esió iónn total en el borde  bor de de aguas arriba hasta el valor   cero en el borde de  aguas abajo y supo

niendo  además un  empuje " P ¡" debido  a una  j ,

b

^

capa de hielode  18.600 kgf por   metro de presa y que actúa en la parte superior?. Para este estudio

se supondrá que las fuerzas fuerzas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio del

 borde  bord e aguas abajo  abajo y que el peso específico del material de la presa es 2,5

T/m .  3

Comentarios a la resolución

 mínimo  requerido en requerido en  la base de  necesario para que haya  El   ancho mínimo   de la presa será el  necesario equilibrio. •  El   equilibrio de la presa se estudiará  analizando

 de una  rebanada -porción de el  de

 presa limitada por dos secciones transversales próximas- de un metro de espesor.  El   sistema de fuerzas que

actúa sobre la rebanada la rebanada está constituido por:

 La distribución de fuerzas hidrostáticas horizontales sobre el  paramento   paramento vertical

170  La distribución de fuerzas hidrostáticas  verticales sobre la  base o  fuerzas de  subpresión.  El  peso.  peso.

 La reacción del  terreno.  terreno. Cada distribución de fuerzas  hidrostáticas  puede ser reemplazada   por su fuerza

 mecánicamente  equivalente con la condición de que el módulo de dicha de dicha fuerza sea igual  al área de la distribución, su dirección y  sentido coincidan  con los de las fuerzas de la  distribución y su  recta  de aplicación  pase por el  centro   centro de  gravedad   del área de dicha de dicha  distribución.   centro de   gravedad  de   de la rebanada de sección  trapecial y  En  lugar de  calcular el  centro de  situaren él el  peso, puede resultar algo más

rápido descomponer dicha sección  dicha sección en suma

 peso  de la parte de  rebanada d   de sección  sección  rectangular y  triangular y  trabajar  con el  peso

 sección rectangular  sección rectangular y de sección  triangular, ya que ello tiene la  ventaja de que se conoc la posición de la recta  de aplicación de estos dos pesos. en equilibrio, las fuerzas que actúan  sobre ella han de  Para que ¡a rebanada esté en equilibrio, verificar las verificar las condiciones:  R-0  M* = 0

 d    equilibrio de fuerzas  verticales se  obtiene  la reacción  vertical  d   Imponiendo el  equilibrio  terreno,  lo que permite elegir el  extremo  extremo aguas arriba de la base para que se cumpla

él la condición de equilibrio de   momentos,  condición de la cual se  obtiene el  valor  valor del  ancho necesario  ancho necesario en la base de la presa.

 b

*

1-

 F -ytl -l*  A

J 1

-/i

í l

 A  A

1000rcc?/m -30m-30i/m 3

= - 3 0 í / m - 3 0 m = 4S0í ; y = - h = - 3 0 m = 1 Om  £

4S0f ; x , - 3 m ; y , - IS m 6 m -  3 0 m - 1 m • 2 , 5 ¡ / m   - 4S0f 3

l / " ^ C b - 6 ) ' 3 0m 0 m - l m - 2 . 5 f / m =  3 7 . 5 ( b - 6 ) í 3

2

x = 6 + - ( b - 6 ) ; y   = ^ 3 0 m = 1 0 m 2

2

 Ry-0  Ry-0

; S + V  -*W   -*W i-W -0  2

; y-

+ W -S 2

172 M * = 0  ó ' 30 +450 - 3 +37 ,  5(6-6) 450' 10 + 13 13,, ó'

b - 6 - 1 5 6 - ^ 6 - ( 2 2 5 + 22 22,, 56 )^6 )^6 =0

4500 + 55 8+ 1350 + 7 5 0 - 9 0 0 +  12, 5b - S o - 1506- 15b - 0  2

7 , 5 b + 75 6- 55 08 = 0 2

6-22,5m

2

z

173 EJERCICIO  EJERCICIO  N»4

Una   compuerta  circular   vertical de  radio  "R" está  articulada  en los  extremos  del diámetro DD',

llamando " p " a la densidad del  agua, determinar  a)

h 

la reacción en la articulación, b) el  momento  del par necesario para necesario para mantener la compuerta cerrada.

Comentarios  a  la resolución

 vertical  del   En la figura  alzado y la sección  diametral  vertical    sistema de  figu ra1 se  muestra el  alzado  del  sistema  fuerzas hidrostáticas

que actúa   sobre la  compuerta circular.

 En la figura la figura 2  2 puede verse la perspectiva caballera de dicho sistema de fuerzas así  como la reacción que produce en la articulación D'. Dado D'. Dado que  que la distribución de fuerzas

 hidrostáticas  constituye un sistema de fuerzas paralelas, es posible encontrar la fuerza  mecámcamente  equivalente a  ellas.  Teniendo en cuenta  la simetría de la distribución  plano YZ, dicha  esta r situada en este plano, por  con respecto al  plano  YZ, dicha fuerza ha de estar  por  tanto, para

 centro de resiones (Fig.  determinarsu situación basta con calcular''y con calcular''y ~,ordenada del  centro  de presiones (Fig.  CP

 3).  Para que la fuerza " F " sea mecánicamente  equivalente a ¡a distribución, ha de  H 

 producir sobre la compuerta la  misma tendencia a la traslación y al  giro   giro  que producía

 dicha distribución.  dicha distribución. Para lo primero, es preciso que el módulo de" F " sea igual al módulo  H 

 de la  resultante de la distribución, es decir, es decir,

^gydA  F ~ J ^gydA  H 

(1)

174  para lo segundo,  esto

la tendencia al  giro es, para que la tendencia  giro de la compuerta sea la  mism

 q ue bajo  la  distribución,  " F „ " que  bajo " F  bajo la

una y otra deberán  producir el mismo  momento

 respecto al eje de giro   giro  (DD') o respecto a uno cualquiera uno cualquiera paralelo a éste, como es la rect  plano de la   agua (eje XX), así  intersección del  plano  la compuerta con la superficie libre del   del  agua  pues,

 se debe cumplir:  F -y P   H 

C 

(2)

= ¡(pgydAyj

Tanto la ecuación (1) como la (2) pueden (2) pueden escribirse en función de magnitudes

 área  relacionadas  relacionadas con el  área

"A" de la compuerta, la compuerta, ya  ya que  J   ydA-y A

(3) (3 )

 jy*dA  jy*dA-Í  -Í 

(4) (4 )

 c

 xx

 donde "ye" "ye" es ¡a ordenada del  centro  del  área   centro de gravedad  del   área

"A" e "  e " I  x " el  momento  momento de  X 

inercia de dicho área respecto al  eje  eje XX. Conocidas ~ F „" e ~ y cr~, el  valor  valor de la reacción en la articulación se obtiene del equilibrio entre las fuerzas fuerzas normales a la compuerta.

 Para que la compuerta no se  abra será necesario  será necesario un  un  momento de par " M" M" cuyo  cuyo

 módulo  verifique la verifique la  condición:  M>F  M>F (y -h)  H 

CP

(5) (5 )

 Al   imponer la condición (5) se obtiene Un  Un resultado llamativo: el  momento  momento del par par  de la compuerta la compuerta  (h), sin  no depende de la altura de agua sobre el  centro  centro de gravedad  de (h), sin  tan sólo del  radio  radio de ésta La explicación a este resultado sé deduce de la figura 4. Aunque la distribución defuerzas de lafigura4-b de lafigura4-b corresponde aldiámetro

 (Fig. 4-a), el razonamiento  sobre el  eje  eje YY  (Fig.

déla compuerta situado

que sigue es válido para la distribución que

 figu ra 4-b es nulo el  corresponde a cualquier cuerda paralela a dicho diámetro. En la figura

175  momento  respecto  a

O de la  zona rectangular   rectangular  de la distribución, por lo que sólo ¡a

 distribución triangular produce momento, el  cual,  cual, evidentemente, sólo depende del  radio  radio "R".

Resolución del  del  ejercicio Aptdo. a)

176

= pg J  y dA = p gf   2

 J   (pgydA)y

 xx

 xx  xx y A

 f>9' xx  ycp =  pgycA l 

 x  x x

I 

 c

= l  . + Ad DD

¡DD-^ 'X-X!

'•

/

l  o " x-x-

+

'• 

¡

Y-V 

'x'x-" rn l 

  x-x- ~ ~^ ~ 2 /  -x- : I  x-xx

 / = 0

r dA=  2

 Jo

r - 2nrdr =  2

 Jo

•

1

DD-

~   x-x 1

2 

4

0 

TlR-

 nR (R + 4h ) 4 jt R h  2

 Ay

G

 2

 2

 2

 k + R — 4/i

 pghnR  pghnR ; Z=* -

:

 R =0  z

;  2 Z - F „ = 0

Aptdo. b)

 M>F {y ,-h)  H 

 c

 M>pghnR  M>pghnR \h  2

 f 

R + — -h  2

 R*  M  > pgn

F i g 4. Ley Ley de  fuerzas

—

177 EJERCICIO N° 5

Una Un a  gabarra de  forma  paralelepipédica   rectangular recta ngular de dimensiones 6 m de anchura, 18 m de  longitud  y   y 3 m de altura pesa  160.000 kg._Cuando  flota  en agua salada(v =  1 0 2 5 f c g / m ) e l centro de gravedad gravedad de la gabarra gabarra cargad cargada a  está a 3

1,35 m por debajo de su parte superior, a) Situar el centro de carena cuando   flota horizontalmente en agua tranquila, b) Situar el centro de carena cuando ha girado

10° 10° alrededor del eje  longitudinal, c) Determinar el metacentro para la inclinación de  10°.

Comentarios a la resolución

Aptdo.  a)

 gabarra flot a en posición  Cuando la  gabarra posición   normal,  esto  es,  de  flotación per   es,  con su eje  de  pendicular al plano de   flotación, el empuje de  A rquímedes  y  elpeso  elpeso son fuerzas col ineales aunque aplic adas en puntos distint os: el empuje, en el centro de carena  Cy  el  peso, en el  cent el  cent ro de gravedad  G.

La condición de  flotabilidad  se a  igual   flotabilidad  es que  el  peso  sea   al  empuje, obteniéndose de  igual  al   el calado de  ¡a   del cual  se   deduce la  posición   de carena. esta  igualdad   se  deduce  gabarra  del  ¡a  gabarra   posición  de l  centro    centro  de  igualdad  el

Aptdo.  b)

 gabarra  a Al   aproximar  la  result a sencillo  l a sección t ransversal de la  gabarra   a un  u n rectángulo result representar representar su posición cuando se produce  el  giro  d e  10  10 .  Dado  q ue  éste tiene  lugar  lugar  a

alrededor del efe  longitudinal   de la  gabarra,  deduce que el  área   área  sumergida  sumergida de la  sección  sección  longitudinal  de  gabarra, se  deduce tr ansversal ansversal ha de t ener  f orma   trapecial.  El  centro de carena es el centr o de gravedad gravedad de ¡a  sección   sección trapecial situada en  el  plano de simetría t ransversal ransversal de la   gabarra  e l plano

178 Aptdo. c)  El   metacentro

M se obtiene como  intersección de la recta soporte del   empuje de

 Arquímedes con el eje de flotación.  Esta intersección  aparece en detalle en la figura la figura 5-b,  metacentro Mylaproyección ortogonal  deduciéndose de ella la distancia existente entre el  metacentro

 D del   centro de  carena C   sobre el eje de flotación.   Conocida dicha distancia puede  acotarse la

que  existe entre el   metacentro y la  base de la gabarra,  ya que se conoce l 

 posición del  centro   centro de carena.

Resolución del   ejercicio Aptdo. a)

|EJe de flotación.

W = E

160Í = 1  .025

a)

b]

Fig. 1.

Fig 2.

Aptdo. b)

 x =  0 . 5 3 m

Fig. 3.

179 ~— ~ "

0,91 m

Rectángulo

6m

[Triángulo

1,97m

 t

 y i

 A,

 x, Ai

 y i Ai

0,455

3

5,46

2,48

16,38

1,26

2

3,18

4,00

6,36 6,36 |

 x

Figura

8,64 8,64 [ 6,48 6,48

Fig. A.

,4 8 „ - X > M , 6 ,4 x= 8 . 64 -0,7Sm v

c

22,74

- Z y ^ i 2 2 .7 .7 4 ,  y = r = = •-• • ••••• ••••• p 2. 63 m 8,64

Aptdo. c)

eje eje  o e f l o t a c i ó n ^ M 0,37

= — — - = 2 , 0 9 m t g  10"

 AM-AD+DM  ba <

 ñ)

/

c b)

 AM'O,

75 + 2,09 =  2 , 8 4 m

180 EJERCICIO N° 6

U n  cilindro hueco de 1 m de diámetro y 1,  1,5 m de altura pesa 400 kg. a) ¿Cuántos

kilogramos de piorno de peso  específico 1 1 , Zg/cm    3

deben unirse al fondo por su

 parte  exterior  para   para que el  cilindro flote en agua, verticalmente,  con 1 m del mismo  b ) ¿Cuántos  kilogramos se  necesitarán si se colocan en el interior  del  del sumergido? b)

cilindro?

Comentarios  a la  resolución

 peso del  cilindro,  cilindro, el del  lastre  lastre de  cilindro  son: el  peso  Las fuerzas  que actúan  sobre el  cilindro  plomoy el empuje de Arquímedes. La resultante de las dos primeras está dirigida hacia

 cuerpo compuestoy la segunda,  abajo y aplicada en el  centro  segunda, ascendente  centro de gravedad del  cuerpo

está aplicada en el  centro  del  volumen   volumen sumergido.  centro de carena o centro de  centro de  gravedad  del   módulo del empuje y el de la resultante  flot everticalmente el  módulo  Para que el  cuerpo  cuerpo flote  de los pesos deben ser  ser iguales y sus puntos de aplicación han de estar en ¡a en ¡a misma vertical  La  magnitud del  empuje   empuje de Arquímedes que experimenta un  cuerpo sumergido en volumen de dicho cuerpo, el  cual   cual  se un fluido dado sólo depende del volumen  se obtiene,  como se

 sabe,

 peso entre el  peso  peso  específico. al  dividir  dividir el  peso

Resolución del ejercicio Aptdo. a)  P-E

f

. . ' o . s * . i * £ ¡ s í Í S2 S2

-l £ Í _)i o> i a

(n

™ F -

J I - 0 . 5 '2- . 11 + .

a

,l m

a

, 0 - 3 l l1 r t0S - n - 0 . 5d . -l 10"-+ f t ) . ' ' M ~ ~ ". 1 J  11,2 11,2 _J

r

J

¿

t

 P  P = E  ; 400fcg+P

Pb

= r í ' 0 . 5

2

-

10

3

+yy^

; P

 n

= 423,   lBAip

Aptdo. b)

P = 400+ P

P 6

K - 0 . 5 - 1 • 1000 = 785,39Jfcff f - K S ? ' - Y y - K 2

 P = E ;  400+ P

 Fb

= 78 5. 35

; />„ • 385,  39kg

182 EJERCICIO N " 7

Dada la distribución de velocidad en  régimen  permanente y uniforme  de un líquido en movimiento laminar: v=  "^"^ (. a" r ),  e n l a q u e " r   " eselradiode  r

 2

0

 eje del punto considerado, se pide obtener  la la tubería tuber ía y " r " la distancia al eje   la expresión

del  caudal; a) a partir  de   de la definición, b) aplicando el segundo teorema de  Guldin.

Comentarios a la resolución

 La distribución de velocidad  que  que  corresponde al  régimen  régimen permanente y uniforme  de un

líquido en movimiento laminar dentro  laminar dentro de una tubería fue   deducida en la tercera

lección de dinámica de fluidos.  caudal  circulante  Para calcular la expresión del  caudal   circulante a partir de la definición, (ver la

lección de cinemática de fluidos) conviene elegir un  elemento diferencial  de  de  área que  mantenga  ¡a

simetría que tiene la distribución de velocidad.  Esta condición la cumple

una  corona circular de radio " r" y ancho diferencial, que será, por consiguiente, el elemento que

se utilice en el  cálculo.   cálculo.

 Dada la simetría de la distribución de velocidady teniendo en cuenta la  de caudal, se deduce que

definición

éste se puede calcular a partir del 2   teorema de Guldin, ya  a

que el  caudal    área  de la semidistribución de   volumen generado por el  área  caudal  no  no es sino el  volumen  cuando dicho área da una vuelta alrededor del eje de la  tubería velocidad  cuando

183 Resolución del ejercicio

Aptdo. a) Q-j  dS 

vdS -2nrdr

4u¿

Q

=

  - 8 l ^

n

r

°

Aptdo. b)

V =V(r) (r)

o

r 

 dA-udr

dA

cM

; /I =

 dA

 r  dA  o!

Q =  2n- r- A = 2n-

 dA-2n 

r„,dA

 dA

'o 

P l -Pi

Pi - P

4u¿

8u¿

cM = 

vdr

184 EJERCICIO N° 8

 TH

Por el punto A del depós de pósito ito de la  figura  sale  agua con velocidad m.

horizontal.  ¿Para q u é  rango de

1,5m

valores de " H "   pasará el agua agua a

l

través de la abertura BC?

Comentarios  a la l a resolución

 agua por el  punto  La  velocidad  con   con la que sale el  agua aplicación del  punto A se obtiene por aplicación del  teorema de  Torricelli. Con esta velocidad  se  se inicia

 estudio pue un movimiento cuyo estudio pue

 hacerse mediante la segunda ley de Newton. Para ello, se comenzará por representar  diagrama de  fuerzas y el de aceleraciones correspondientes  a  una partícula de agua d 

 masa  "m", en

  movimiento. La proyección de las fuerzas y de l  un instante genérico del  movimiento.

 aceleraciones sobre dos direcciones ortogonales pennite descomponer  el movimien

  curvilíneo en dos movimientos rectilíneos: uniforme en ¡a dirección del  eje  eje "x"  original  curvilíneo uniformemente variado en

la dirección perpendicular. dirección perpendicular.

 La primera integración de las ecuaciones escalares obtenidas ai proyectar la 2  le  a

 de Newton proporciona la ley de velocidades de cada uno de los movimientos rectilíneos e integrando nuevamente, se obtiene se obtiene la

ley horaria de  dichos movimientos. Imponie

la condición de que la partícula de agua pase agua pase por  por la  abertura BC se obtienen obtienen las

"H" que  desigualdades que  permiten acotar el intervalo de valores de "H"

dos

lo hacen posib

Resolución  Resolución  del ejercicio

mg Diagrama de fuerzas

Diagrama de aceleraciones

v = j2gH 0

 R = ma ; 0 = ma

 R = ma  s

 x

 x

 R = ma

; v = v = •JZgH  ; x  =-[2{

: -mg=ma

 y

 x-3

 x

0

; v = ~gt ;  y

; i -

y=--gt

V2g/7

- 2 . 5 < y < - ' l ; - 2 , 5 < - ^ g í < - 1 z

2 . 5 > ^ g r   > l ;  2 , 5 > - g - ^ ~ - :  2  2T2.gH   2T2.gH  2

W

^ g - ^ - > l , 0 ;  2,25>H 

 2

2gH

H>0,9m

:  W < 2 , 2 5

186

EJERCICIO N° 9 Dos depósitos  abiertos  muy grandes A y F contienen el mismo

líquido. U n tubo horizontal   horizontal  BCD que  tiene un estrechamiento en C sale del  fondo del depósito A, y un

tubo acodado E sale del  estrecha miento en C y se  se introduce en el líquido del de l depósito F. Suponiendo  que el líquido es ideal, que la sección transversal en el estrechamiento  C es la mitad que en B y D

y que la diferencia de cota entre la superficie  libre de! líquido en el depósito A y el

eje eje  de la  tubería BCD es " h ¡ ", determinar  la altura " h " que alcanzará   alcanzará  en el tubo acodado E el líquido del de l depósito F.  F .

Comentarios  a la resolución

 enunciado, se añade la de que Si a la hipótesis  definido ideal, de la que habla el  enunciado,

el  movimiento  e irrotacional, resulta que en tales condiciones, el  teore  movimiento sea permanente e irrotacional,  teore  fluid a y en  consecuencia,  de Bernoulli se cumple  se cumple entre puntos cualesquiera de la masa la masa fluida

 ejercicio.  aplicando dicho teorema se resuelve el  ejercicio.  El   ejercicio también  puede ser resuelto mediante la aplicación del  método  método unidi

 mensional  de   de análisis (ver  aptdo. 3.1.1) para lo  cual las hipótesis a realizar serían las de  caso, el líquido  ideal  en  en  movimiento permanente y uniforme. En tal  caso,  el teorema se aplica

 ¡a corriente. entre secciones transversales a ¡a corriente.  El   teorema de Bernoulli ha de aplicarse,  obviamente,  entre secciones relevant

 para el estudio que

se quiere se quiere hacer. A este tipo  este tipo de secciones pertenecen aquéllas en las

187  movimiento  en  porque

la tubería con la depresión  provocada en el  tubo acodado  tubo acodado y la segunda,

en ella la presión es la atmosférica y por por   consiguiente,  consiguiente,  la presión manométrica

  como su  cota relativa. es nula así  como

 La aplicación del   teorema de  Bernoulli entre AyD  conduce a un resultado coin  cidente con

el que se obtendría   mediante el  teorema  teorema de Torricelli

 Las velocidades en las distintas secciones de la tubería no son  independientes, sino que deben cumplir la  cumplir la ecuación de  continuidad. Aplicando esta ecuación se relacionan las velocidades en las secciones  CyD.  Para relacionar la  relacionar la altura " h" que sube el líquido del depósito F con la presión en

ecuación general  de   de la hidrostática entre puntos de la superficie de F   basta aplicar la ecuación general  C  basta  situados en

el  exterior  interior del  tubo.  exterior y en el  interior del   tubo.

Resolución del  del  ejercicio

 B -B  A

C

Y  *2g

V  c Y 2g

P e 

 B -B  A

 D

 2

= S Du D

Sv

 c  c

^S -v  D

 c

;

= S D-u D

 c

:

;

 y

2g

=

p F

O

-S

 D

u = 2u  c

 D

v^Bgh,

;

 D

 F

C 

 

=2v =2^2gh,

 yh = p

S

¡

p - ~yh c

189 EJERCICIO N° 10  10

 entre la superficie libre Determinar  la diferencia de cota" H" que ha de existir  entre

de dos depósitos que contienen   fuel-oil  pesado a 38  3 8 QC para que la tubería que los

une, de 30 cm de diámetro y 1000 m de longitud, pueda transportar  un  caudal de 220  1/s. La  rugosidad  absoluta  de la  tubería ( K ) es de  0,024 cm, la  viscosidad cinemática del   fuel-oil  pesado es, a  35°C,  de 67,9 • 10  1 0 "  n i / s 6

2

y a  40°C, de

5 2 , 8 - 1 0 " m / ¡r.La  ¡r.La  fórmula de Prandtl-Colebrook  es j= - - 21 o 21 ogg [ ^ 6

 2

+ ~j ] . E l

coeficiente de pérdida de carga  localizada  en los depósitos  es 1. Represéntese el gráfico de energía.

Comentarios a la  resolución

 La aplicación del  teorema las superficies libres de   teorema de  Bernoulli generalizado entre las superficies los depósitos  permite relacionar la  relacionar la diferencia  diferencia de  cola que ha de haber entre ellas para  ellas para  enunciado. que la tubería transporte el  caudal   caudal  que indica  que  indica el  enunciado.  El   trinomio de Bernoulli en cada superficie  libre  se ha calculado

en presiones en presiones

 manométricas y se ha despreciado la  altura cinética  Para calcular el  coeficiente  coeficiente de fricción "f hay que saber si el régimen es  laminar o  turbulento y para ello,

es preciso es preciso determinar el  número  número de Reynolds.

 Para conocer conocer el número de Reynolds de este ejercicio es preciso calcularla velocidad

 cinemática a 38°C.  media  en la tubería y la  viscosidad  cinemática

La primera de estas magnitudes

 continuidad, mientras mientr as que ¡asegunda, ha de obtenerse  físicas se  deduce de la ecuación de continuidad,  entre la  viscosidad  a  por interpolación  interpolación  lineal  entre  a 35°Cy a 40°C.

190  Dado que  Dado que el número de Reynolds es superior a 2000, el régimen es turbulento y por  consiguiente, el   coeficiente  de de fricción se  obtiene mediante la fórmula de  PrandtlColebrook.   coeficiente  "f ha de   hacerse por   La detenninación detenninación del  coeficiente  por  iteraciones. Se  comienza

 tomando  como valor de  entrada  en

la primera iteración ( / l ) un  valor cualquiera -ya

que el método  converge rápidamente-  aunque se  reduce  el número de  iteraciones si se  orden de 0,01. Entrando con éste en el  segundo  segundo miembro de la fórmula  toma  un valor del  orden  aparecen, se obtiene el  valo  resto de las variables que en él  aparecen,  valo  de Prandtl y sustituyendo el  resto

 de salida de la primera iteración

(fl).

 Este  Este se adopta como valor de  entrada para la segunda iteración ( / ) y con él se 2

 segundo miembro de la fórmula vuelve a calcular el  segundo

 valor de Prandtl y a continuación, el  valor

 de salida de la segunda iteración (/   ). 2

 El  método   método

 valor de entraday el de salida se continúa   hasta que la diferencia entre el  valor

 sea menor de una cieña  cantidad, que puede situarse en  0,001.

 Determinado "f\

 i -, " y sustituyendo su valor se obtiene la pérdida de  carga "  A H  i 2

  teorema de Bernoulli se  deduce, finalmente, el  valor  valor de la diferencia de  cota "H  en el  teorema entre

los depósitos.

Gráfico de energía  La pendiente de la línea de carga se obtiene dividiendo la diferencia de  cota entre la longitud  de  de la tubería. Ai  representar esta línea hay que tener en cuenta que su punto  de partida se encuentra por  debajo de la superficie libre del depósito más  alto y  finaliza  por encima del  otro  depósito ya que se considera la pérdida pérdida   correspondiente a la conexión  otro depósito  de la tubería con cada depósito.

191 +  (AH)^ 1-2.

 B^B

 2

P,

 + 0 + 0 = H  B = ¡+ — +~-= H  + Y 2g  z

{ 

 p, v B =  z,+ —   + 0 + 0 = 0 2g Y + —^=0  2

?

Fig. 1.  1.

 2g

2

D2g

2g

2g\

D

p - v • D u • D

 Re

Q =  S • v =

2g

v \ v= n £

4-.220i.-ii'  m n(30cm lOOcm 5

>  2

1 0

1

\ 2

=3,11-

(x10 ) 6

67,9-52,8 v-52,8

67,9

40-35 40-38

v = 5 8 ,,88 4 - ] 0 " m / s 6

52,6

35

38

40

T (°C )

 „ vD 3 , 1  \m/s-0,3m  r = —  = • , 15856,5 v 58,84- 10 " m /s 6

2

2

! 

Iteración

 5

/; -o ,o i -21og[

0,024

2,5

]--2log[

+ 1

0,024

2,5

3 , 7 - 3 0 

15856 - V 0 ,01

]

2 1 o g [ l , 7 9 - 10~ ] = 5 , 4 9 3

77!

 f\  = 0 . 0 3 3

 2-/ter  2-/terac ación ión

y 0.024

°

9 L

t

2

 o,o33 = / : = o,o33 0.024

2,5

3 . 7 - 3 0 *  1 5 8 5 6 - v 7 ! 1

m

2,5

° 3 . 7 - 3 0   15856 • ,/b7033 9 l

+

10 " ]-= ]- =  5 . 9 2 •2log[ 1  , 0 8 - 10" 3

/   = 0,028 2

 3 Ilerac  Ileración ión l 

/ 21og[

3

= /   = 0.028 2

0,024

2.5

3 . 7 - 3 0 

15856-vTl

]--21og[

0,024

2,5

3,7-30

15856- -JO, -JO,02 028 8

- - 2 1 o g [ 1 . 1 5 - 1 0 " ]  = 5,87 3

/ -=0,028 3

/ - / - 0 , 0 2 8 - 0 ,  028 - 0, 0 00 . .. ; / - O ,  02 8 3

3

193

v f f \ v (   0 . 0 2 8 A V  \2*-L U   2+ — lOOOm - — ( 2 + 93 ,3 ) ( A / / ) , _ ,  '^ 2g{ D ) 2g\ 0,3m J 2g  a

 2

 2

—

 2

 K

(A//),^^ ^   3

 B, - B + (AH),_  2

 t2

1

-95,3-47.03m

; W - 0 + 4 7 , 0 3 = 4 7 , 0 3 m

Gráfico de energía

v 3, l l ^  — q = = 0, 5m 2 20  z

2

n

y

AH  46 . . ; i = •— = = 0,04óm/m £ 1000 n A

e

195 EJERCICIO N» 11

En la figura, el  punto B dista 180 m del recipiente.  En el punto C hay un contador de agua en el que se lee que  circulan 15 1/s. /s. En tales tal es  condiciones se  se pide:

a) Calcular  la  presión  absoluta en B en kgf/cm ,   2

sabiendo que la  presión

9,87 7 m.ca m. ca.. atmosférica es de 9,8  de agua.  b) Calcular  la pérdida de carga que produce el contador  de   a escala la  línea de carga en presiones  manométricas. c) Dibujar  a

Comentarios a la  resolución

Aptdo. a)  se estudia mediante el  teorema  El   movimiento permanente de un fluido real  se  teorema de

 Bernoulli  Bernoulli generalizado.

 Dado que se desea conocer la presión en B, dicho teorema se  aplicará  entre esta  sección y la superficie libre del depósito A.  La  velocidad  media  media en la tubería, necesaria para calcular la altura cinética en B,  se obtiene mediante  la definición de caudal.  Para calcular la pérdida de carga  desde A hasta B se  utilizará la fórmula de

196 Con la la aplicación del  teorema   teorema de Bernoulli generalizado entre A y B se obtiene una ecuación dé la que se  deduce la altura de presión en B. Si se supone se supone nula la  altura de  presión en el depósito, lo que se obtiene es la altura de presión manométrica, por lo que  para obtener

la  altura  de presión  absoluta  habrá que  sumar la  altura de presión que

 corresponde  corresponde a la presión atmosférica.

Aptdo. b)  La pérdida de carga localizada en el  contador se considera  contador de aguasólo  interviene si se considera  alguna de

las secciones de! tramo CD de la tubería  Como sólo se conoce la posición de

la sección D, se aplicará el  teorema  teorema de  Bemoulii generalizado entre  AyD.  Este  Este  apartado  también podría ser  resuelto aplicando el   teorema de  Bemoulii  generalizado entre las  secciones 

ByD.

Aptdo. c)  Dado   Dado  que la tubería  tiene  sección  constante y  que su  coeficiente  de fricción es  también  constante,  hay una sola pendiente de línea de  carga  En la  vertical   que  se produce un  un  salto de   esta línea debido  a la pérdida de carga  contador se produce  corresponde  corresponde al  contador localizada En

D hay altura cinética, por  por  consiguiente, la consiguiente, la línea piezométrica  finaliza en

un punto situado "v /2g"  2

 punto D. por  encima del  punto

Resolución del  del  ejercicio Aptdo. a)  B =  A

B +(&H) ^  B

 A

 B

197 = 0 , 0 +0 + 0 =0 , 6 + — + —  =0

= z.

 B.

Y

Q-S i; f l

2g

; v  =- 7

f i

1

f l

*\

(

A

>. 

H

)

 _ 

=

í 

.

í

i

v^ v ^- s

i

s

=

AB

/ . £ l .  2

 g

D

0,6-^+^-^+1,10 y 2- 9, 8 -9,87

 Pomb

m.c.a.  ;

2g

Y

0

Y

2g

= 0.85m/s

1

10 cmJ  3

^ *' ¿

=

° ^ . 2 i | 5 !

1

8

0

=

l

i

l

0

m

o, 15 2 - 9 , 8

;  ^^- - 0 . 5 3 6 m . c . Q . v

- ( ^- )

+

 5 3 6 =9 . 3 3 4 m  .c.a. ( y ) - 9 . 87 - 0 . 53

« „ , , . - 9 . 3 3 4 . , 0 0 0 Í £ . i ^. 0 . 3 Í £ Í P

m

I

9

Aptdo. b)  B

 A

=

B D+(AH) A . D

2

 B

 A

 A * ~ * —  =6 +0 + 0 = 6m 2g Y

- Z 

».- *.** '|| -o*o ^.o. o37m

( A W ) ^ , = ^ ^ - 0 . 0 3 7 - 7 0 0 +( A W ) „ , . = 4 , 3 1 6 + ( A / / ) í 

n

( o n l

,

198

 B ~B +(.*H) +  A

 D

 A

 D

6-0,037 + 4. 3) ó+ (A // )

(A//)

c o n (

. =  l , 6 4 7 m

Aptdo. c)  

1

£

180

'

| , .

1

0

-

;  ü l = ° ^ = 0 , 0 3 7 m 2g 2- 9.8

700 m 180m

5 t 5 s , s

Linea

de 

carga

Línea piezométrica EH

1: 3.500

E V 1: 100

Ejer cici o rf 11

GRAF ICO

DE

ENE RGI A

* =^ i v /2g= 0.0 37 r f f 

2

200 EJERCICIO N° 12  12

Una Un a  bomba aspira agua de un pozo  pozo mediante m ediante una tubería  vertical de 15 era. La tubería  horizontal de 10 cm de  diámetro,  situada  bomba  bomb a  desagua a  través  de una  tubería  3,20 m sobre el nivel de agua del  de l  pozo. Cuando  C uando se se bombean 35 1/s las lecturas de los manómetros colocados colocados a la entrada y salida  de la bomba son -O ,  32kgf  1 , 80 kg f /cm /cm

 2

/cm y  2

, respectivamente.  El  manómetro de descarga está situado a 1,0 m

 por   encima de! manómetro de succión. Calcular  la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión  de 15 cm.

Comentarios a la resolución

 bomba depende del  peso  peso específico "  y" del  fluido, del  La potencia teórica de una bomba depende  fluido, del

 caudal  "Q"  "Q" y déla energía " ( A H) " que se comunica al  fluido.  fluido.  B

 El   cálculo de la

energía apañada al   fluido  flui do " ( A H) " se obtiene aplicando el

 generalizado entre  teorema de Bemoulii generalizado entre

 B

las secciones aguas arriba y aguas  y aguas abajo  abajo de

 bomba

 Aplicando la  definición de  cauda!  a las secciones consideradas se  obtiene la  en ellas y conocida ésta velocidad  en l a altura  cinética  conocida ésta se determina la

en dichas en dichas secciones.

Sumando a la altura  cinética la cota y la altura de presión en cada una de  las  secciones se obtiene el  trinomio de  trinomio de  Bemoulii.

•

Si como suele ser habitual, el  trinomio  trinomio de  Bemoulii se calcula en metros, es precis  aplicar factores de conversión a la altura  de

presión.

201 Conocido el  valor  valor del   trinomio de Bemoulii en las secciones de la tubería  situadas inmediatamente antes y  después de la bomba, bomba, el teorema de Bernoulli generalizado  permite  calcular la

energía comunicada difluido que, finalmente, se expresará en CV,

 como suele ser  suele ser habitual.

 teorema  La pérdida de carga en la tubería de succión se deduce de la aplicación aplicación del  teorema   agua en el  pozo  de Bernoulli generalizado,  entre la  superficie Ubre del  agua  pozo y la sección de la

 tubería de aspiración situada antes de la bomba.

Resolución del ejercicio

1,0m

 P-yQ(¿sH)„

2,2 m

 B + {AH) l 

 B

= B

 2

; ¿j = z + £ + | -

Fig. 1.  1. 35- —  2 Q. 15

2 •m

 n • Q"  2

'10

 zVi s

'

A

„ , =  0.1' — _ ^ 4 ,  _  n—^-m 1I Z 4 5

 B, = z i + —  + Y

p, Y

2g

v% 2g

= 0

1000-^

1.8

+

2-9.8

 0 , 2 = - 3 m = - 3 , 2 + 0,

* i *  4 , 4 5 ' = 1 + 18+ 1 .01   = 2 0 , 0 1 m 2-9,8 1 0 0 0 ^  cm

m

202 P - v 9 ( A / f ) , - l 0 0 0 ^ . 3 5 f    ^ . 2 3 . 0 1 m - 8 0 5 . 3 S Í E » . - ^ - 1 0 . 7 4 c J m s 10 i * 75 —   :

B o

=

2

°

+

T

+

2 V ° *

ü

+

0

=

0

•

,2 = - 0 , 8 m + — + — = 2 , 2 + ( - 3 , 2 ) + 0 ,2 Y  2o;

B =B   (A//) 0

1 +

0 J |

;  0 - - 0 , 8 + ( A W ) „ 0

; (AW ( AW ) „, = 0, 8m 0

 I

203  13 EJERCICIO N° 13

Mediante  una

 bomba  bom ba se eleva agua desde un  recipiente

A,  a una elevación de

225 225 m, hasta  otro depósito E, a

una

elevación de 240 m a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la 195 m , es de 5 de 5,, 60kgf/cm tubería de 30 cm, en el punto D a una elevación de 195

 2

.

Las pérdidas de carga son: de A a la entrada de la bomba B, 0,6 m; de la salida de  de la bomba en C hasta D , 38v /2g  2

y desde desde D a E , 40v /2g.   2

Determinar  el caudal

"Q" "Q" y la potencia en watios y en C V  suministrada por la bomba. Dibujar  el  gráfico de energía.

Comentarios a la resolución

 El   caudal se obtiene al  multiplicar   multiplicar la sección de la

 media tubería por la velocidad  media

 agua en  ella.  del  agua

 La  velocidad  media  media de la corriente se obtiene directamente si se aplica el  teorema  teorema  de Bemoulii generalizado  entre ¡as secciones D y E, ya que a! hacerlo  entre  éstas no interviene la aportación de energía de ¡a bomba

 estudio de las conducciones de agua y en  otras muchas  Dado que lo habitual  en  en el  estudio  situaciones es  trabajar en presiones en presiones sobre la

punto D es manométrica el punto

atmosférica, se supondrá que la presión en

204  Para calcular calcular la potencia teórica de la bomba es  preciso conocer la energía" A H"

 comunicada a  comunicada a la corriente por la bomba Conocida la velocidad  media  teorema de Bemoulii  media de la corriente, basta aplicar el  teorema  generalizado  entre secciones  de  bomba, para  que

la tubería  situadas aguas  arriba y  aguas abajo de la

de la ecuación  resultante se pueda obtener el  incremento   incremento de  carga

  ejercicio se ha  optado por las secciones Ay D,  hidráulica  aportado por aquélla En el  ejercicio  pero también

podrían haberse considerado las secciones Ay E.

Gráfico de energía   ejercicio no  queda definida la  pendiente de la línea de carga. Con los datos del  ejercicio de carga. En efecto, no

es posible su determinación  mediante la fórmula de Darcy-Weisbach, puesto

  coeficiente de fricción " /  ".  Tampoco se puede deducir la  valor del  coeficiente que no se conoce el  valor  deducir la

 pendiente dividiendo  la pérdida  diente

de  carga " A H  "  del   tramo correspon  " entre la longitud  del 

" i ",  ",  ya que se desconoce  este  último  dato. Se ha  optado por  reflejar esta cir

 cunstancia  en el gráfico de energía representando  una de las infinitas soluciones que

 podrían  darse en función de los valores que se asignen a las variables antes  variables antes citadas.  citadas.

Resolución del  del  ejercicio

 B D°* 5

 B

£

  (AH)

+

— +— = 2 4 0 + 0 + 0 = 2 4 0 m  Y 2g (A // )

205 v

.„v

.. „t / ; 19 95 5 + 5 6 + — = 2 4 0 + 4 0 — : 11 = 3 9 — ¿g  2g 2g  2

B

 B =  D

+  {AH) ^

E 

 D

E 

v

 2

11 2 ^ =39

Q

- S .

 2

/ _ 11 « - V * 3 9 -

:

2

'

2

3

5

m

/

2

f

f

 

- ; Í 3 0 c m — í ¿ 2 - Y . 2 . 3 5 ^- 0 . 1 6 6 ^- ^4V l O ^c / n / s s ¡o /

U

166s

3

B ,+ C A //) £„ = ^,i

 BD

Z 

=

 D  D

+

PD  —

+

~ 2

 Y

= F +CA//)^ 0

D

— + ^^- = 2 2 5 +0 +0 = 2 2 5 m  Y 2g „„ 11 9800 _ v 1 9 5 +5 + 5 6 + — = 1 95 95 + 5 6 + — = 2ff 39 39

V%

+

b D m 6 Q

 2

=

9

v

1 1 441 4 - 0 , 6 + 3 8 — = 0 , 6 + 38 38 — = - ^  2

(A//j^ -(A//)^ +(AW) B

f 

c

-

f

i

9800 S , +(A r/)

t o m 6 a

= fi   + ( A r / ) ^ 0

D

; 2 2 5 + ( A H  )

 B ¡ > M B A

=—

44! +

~

4 -

= 2 6 2 . 6 - 225 = 37, 6 m

(AH)

 B

- 0 , 1 6 6 — - 3 7 , 6 / 7 1  = 6 2 4 1 , 6 ^ ^ = 83, 22C K P= Y - Q - ¿ H - 1 0 0 0 ^ 7 5 ^  m 3 s s  •

^ =6 2 4 1 . 6 - ^ - ^ - 1 ^ - ^ =6 1 . 1 ^ s Ifc Ifcp; U / s 10 !/ 3

Gráfico de energía

^ - 3 Í =0 , 2 8

v

 2

40

2p

m

;

3 8 - | l = 3 8 . n =1 0 , 7 2 11 4 0 - — = 11, 2 28 8/ n 39

m

EV

1 500

EH

a  estima

Eje rc ici o

n* 13

GRA FIC O

DE

ENE RGI A

207 EJERCICIO N  14  14 B

Si la bomba B de la figura transfiere al fluido 70 CV cuando el caudal de agua de agua es de 2201/s, ¿a qué altura puede situarse el depósito depósi to C? C? Dibujar  el   el gráfico de energía. i

C

i

6 m .-ft  4 5 c m

1  =0,03

Comentarios a la resolución

 generalizado entre las  superficies libres de  La aplicación del  teorema   teorema de Bemoulii generalizado entre

los depósitos hace intervenir a la altura del depósito C  por  por lo que éstapodría ser la primera ecuación a plantear. Al  hacerlo,  hacerlo, se  observa que es preciso es preciso calcularla energía comunicada  energía comunicada  por la bomba al agua  ) agua "  (A H  )

 B

"

así  como  como la pérdida de carga "  (A//),,_ ". c

 La energía que  apona la bomba al  agua se  agua se obtiene mediante la aplicación  de la  fórmula que proporciona que proporciona la  la  potencia teórica de una bomba  Para calcularla pérdida de carga " (A  ( A H) ^ " hay que sumar las pérdidas loca A

lizadas que

 c

se producen a la salida del depósito y en la llave,  con las pérdidas  totales

 debidas a la fricción

en la tubería

 Las pérdidas de carga se obtienen en función de la velocidad  media  media en la tubería  correspondiente.  La  velocidad   media en cada uno de los l os tramos de la l a tubería  debe cumplir la ecuación de continuidad, lo que permite relacionar dichas  velocidades. El  cálculo  cálculo de

208 Gráfico de energía   valor que toman las distintas Una vez calculado el  valor distint as pérdidas de carga se ve la  diferentes escalas para  para la representación  necesidad  de  de utilizar diferentes escalas

del gráfico de energía, ya

que de no hacerlo,  algunas de las pérdidas no podrían ser apreciadas.

Resolución del ejercicio +  

 (AH) -B  -B  B  +  (AH) B 

A

 B

= z

 c

 c

C  C 

Pr 

 Y

0

C

K

 

£

 c

2g

 P = 

7

C  C 

V  = t f  +0 + 0 = t f

+ — +-

7Skam/s — - r f e ^

(MT)^ 

yQ(AH)

 B

i 1 m3 ka „ 0 0 0 - 3 ^- 22 22 00 = 1 1 0 0 0 C = 

 m^ -

(A//)

f i

; T ^

A

H

)

f

i

= 23 . 86 m

( A / / ) ^ =( A / / )   * ( A W ) ^ ( A / / ) , c   ( A W ) f l f 

+

^ w w - ^

e

p

0 , 0 3 v\

 2

(

A

W

)

+

t ó (

.

2 - - i - -

 , f v }

£>2g

s

 B ¿

n

 AB

ule

^ ^ 1 2 0 0,302g

BC

V 

= 8 2g

^ . ^ £ 0 , 4 ^ 8 - - -   5 - - í -  1 . 4 ^ 1 3 ^ 2g 2g 2g 2g 2g 2g c

+

+

+

+

209 $ AB ¿B " $ BC  BC V 

V 

n-0.45   2

 z

"A»

Jl'0.3

2

z

„ __

"*c : v

 BC 

=  2.2^v

 AB

Q O AB

u,,*

(A//). v

y , ,

- cc

"

._,

n-0,45  

n0.45

2

1 .38 —

:

- 1 , 4 — + 1 3 — - 1 . 4 —  + 65  6 5 , 8125-*= - 6 7 , 2 1 2 5 ^ = 6, 53 m '

2ff

2g

2g

2g

2g

6 + 2 3 . 8 6 - H* 6. 53 3m W = 2 3 , 3 3m Gráfico de energía  energ ía (AW) i  L

 BC   sc

d É p

.-0,097m ;

= 3,93m

-0.039m

;  ( A / / ) * , -

2,46m

Otb = 3,93m

ro

o

211 EJERCICIO N° 15 •

Se  conectan dos dos  depósitos,

cuya diferencia de nivel es  14 m,por  es 14 una tubería ABC  cuyo punto más

elevado B se encuentra 1,5 m por  E l tramo A B tiene un diámetro debajo  del nivel del líquido en el depósito  superior. El  200mm y el BC de 150mm. El  150mm. El  coeficiente de fricción es 0,02 de 200mm y 0,02 en ambas ambas ramas. ramas. L a  única pérdida pérdid a localizada longitud total de la tubería es de 3 km. Considerando  como única la que se produce a la salida del depósito A y sabiendo que que la altura  manométrica de presión en B es de -3 m, se pide: I Calcular  la  l a longitud de cada tramo de la tubería. o

2  Dibujar  a estima la línea de energía  y la línea piezo métrica métr ica  y acotar la posición posi ción o

de los puntos necesarios para que dichas líneas queden definidas.

Comentarios  a la  resolución

Como ya ha sido señalado, la superficie libre de un depósito  constituye,  general  mente,

 valor del  trinomio  trinomio de Bemoulii una sección muy adecuadapara calcular en ella el  valor

  menos, la aplicación del lo anterior,  parece obligado  considerar, al  menos,  De  acuerdo con lo anterior,

 teorema de  Bernoulli entre

¡as dos ¡as dos superficies libres existentes en el  ejercicio.  ejercicio.  Si además

 un fluido real  hay  hay que  tener en cuenta  tratarse de un  resulta que al  tratarse

las pérdidas de carga y

que las pérdidas  unitarias son proporcionales  son proporcionales a la longitud de cada uno  uno de  los tramos  de la conducción, es evidente que la aplicación del  teorema   teorema de Bernoulli  entre  las

 superficies libres proporciona   proporciona  una ecuación válida para la resolución del  ejercicio.   ejercicio. En

212 la ecuación resultante aparecen cuatro incógnitas:  cuatro incógnitas: la longitud de cada uno de los  tramos (" L | " y" L ") y la velocidad  media Se necesitan, por  por tanto, tres  media en ellos (" v ' ' y ' 'o "). Se necesitan,  2

2

 1

ecuaciones más.  imponer la condición de que la  longitud  total  total Una segunda ecuación se obtiene al  imponer

 de la tubería ha de ser tres kilómetros.  B, se obtiene una tercera  Dado que  Dado que se conoce la altura depresióny la cota delpunto B,

ecuación  sise  aplica el  teorema  teorema de  Bemoulii entre  el depósito más  alto y dicho punto.  Finalmente,  Finalmente, el  principio de continuidad  de continuidad proporcionará proporcionará la cuartay última ecuación  ejercicio.  necesaria para la resolución del  ejercicio.

Resolución del  del  ejercicio

:-2

Pi Y

ID

'

V\ 2g

u   Y

c

v? 2g

 2

2

v   0 , 0 2   v%_ 2 g   0. 15 2 g  2

¿

|

+

S i» i»

n-0,2 4

4 ¡/i • y , = 0 , 7 5 t / 2

2

a

: f  =  1.77f[ 2

n-0,15 4

z

2

213

6 = g + ( A / y ) „ 2 1

z

2

.2  B

PB

V,

V 

; e =z +— + — -  Y 2g

S,-14

ii

B

l o e

1 2 , 5 + ( - 3 ) + — - 9 , S +

20

f l

B

CAW) , -(ñ//) 1

;  1 4 - ( 0 . 5 + 0 , 1 ¿ , +  0 , 4 ] ¿ ) — -

l

fl

. f   ( A / / )

H f t i t i

- 0 . s | i - + ^

ul

— 2g

^£ |¿-(0,5+0, 0, 2 2g

2g

l

( A W ) ^- ( 0 . 5 + 0 . 1 £ ) r 1

 J

1

^•9 fir5

e

 ( A H )

+

H

;

S

14 = 9 , S +- ! - +( 0 , 5 + 0 , U , ) - i -

2g 4.5-(1.5*0.U )¿ ; 2g 2g

2g

y i

I

M-fO.S + O. li .

4

'

5

1,5 + 0, I I ,

+ O ^ l L , ) — . 2g

1 4 - ( 0 , + 0 , U , + 0 . 4 U 5

^

2 ) i

5 o

i

¿

21 + 1  ,4¿, - 2.25 + 0 . 4 5 ¿ , + 1 , 8 4 5 ¿ 0 , 9 5 / . , - 

1 , 8 4 5 ¿ - - 18. 75 2

 L¡ + í  = 3000 2

0 , 9 5 I , - 1 . 8 45 ¿ ¿i 0,95

+ ¿  

1

 LA  L J  2

j

= - 18,75

=3000

2

-  1 . 8 4 5 \

1

2

 

=

U2J

 

(1973,6m

'  

U 02 6. 4m

=

/•-18.75 V

3000

i

2

U,) ^ 2g

214 Gráfico de  energía

4,5 4,5 v   _ L = 1= ¡ —  =  0,023fn  2g  1 , 5 + 0 , 1 ¿ ! 1,5 + 0,  0 , 1 • 1 97 3, 6  2

 —  = —  1 , 7 7 - v = 1 , 7 7 - 0,023= 0,07 m  2g 2g 2

z

z

B = 2 * —  + — - 1 2 , 5 - 3 + 0, 023 =  9 , 5 2 3 m Y 2g s

(

( A W ) , = C0,5  + 0 ,  u ^ ^ l - í O . S + O . 1 • 1 9 7 4 ) 0 , 0 2 3 = 4 , 5 S l m 1

B

I 0,011

 m

219 PRESIONES EN   FLUIDOS Práctica n» I :  APARATOS PARA LA MEDIDA DE PRESIONES

Introducción

Una Un a de las propiedades que caracterizan a los fluidos es la de ejercer presiones

sobre cualquier superficie con la que tengan contacto. Los aparatos que se  utilizan  para la l a medida medi da de las las presiones son los barómetros y los manómetros. Los primeros se emplean para la  determinación  de la  presión atmosférica o ambiental ambien tal y los los segundos, para la medida de presiones en otros  fluidos,  tanto líquidos como gases. En la segunda lección del tema dedicado a estática de  fluidos se ha descrito el  fun

damento de estos aparatos y se ha dado una clasificación, tanto para los barómetros   barómetros como para los manómetros. Durante la  realización de  esta  práctica se  efectuará  la lectura de la  presión se realizarán  la atmosférica  mediante la utilización de diversos tipos de barómetro y se correcc correccion iones es por temperatura temper atura y gravedad  gravedad para par a reducir reduc ir dicha lectura lectu ra a las las condiciones condiciones normalizadas. La práctica  incluye también la utilización de  manómetros para la medida de la  pres  pr esió iónn en  líquidos,  así como la  comprobación  de un  manómetro de  Bourdon

mediante un equipo para la calibración de  manómetros.

220 l   Parte:  Barómetros 1

Equipo  necesario Barómetro de Fortín, barómetro de Tonnelot y  termóme tro.

Procedimiento Antes de leer la  presión atmosférica   mediante el  barómetro de  Fortín hay que

ajustar el cero de la escala. Para  ello se gira el tornillo existente en la parte   inferior del depósito de mercurio hasta que la superficie  libre de  éste haga contacto con la

 punta  pun ta de marfil. Queda así  a sí establecido el cero de la escala escala en la que se se mide la altura altu ra

alcanzada por la columna de mercurio. Para conocer el  valor   de dicha altura se desplaza la deslizadera que hay en la parte superior del aparato hasta que su borde horizontal  izquierdo coincida con la superficie   libre  del mercurio situado en la

columna  y a continuación, se lee la altura altur a en  milímetros mediante mediant e el nonius existente existente en la deslizadera. La   altura de la columna de mercurio,  leída  en la escala de un   barómetro de Tonnelot  proporciona, directamente, la  presión atmosférica.   último, se leerá la temperatura Por  último, temperatu ra en el termómetro existente en la l a zona en la

que se ha hecho la  observación. Las lecturas lectura s efectuada efectuadass se anotarán en el espacio  disponible al efecto existente en la tabla 1.1.

Presión atmosférica

Temperatura

(mm  Hg) FORTIN

TONNELOT

Tabla  1.1. Datos de la  práctica.

221

Fundamento   teórico La figura 1 representa,   esquemáticamente, el

fundamento de un  barómetro de mercurio: la  presión atmosférica que  actúa  sobre la superficie   libre  del

mercurio  situado en una cubeta se ve equilibrada por la presión que ejerce ejerce una altura altur a "h" de mercurio merc urio.. Fig. 1.  Barómetro de mercurio

Aplicando la ecuación general de la  estática de fluidos

a los puntos 1 y 2 resulta: (i.i)

 y -h-p  .  Hv

 alm

siendo " y " el peso específico del mercurio  y " P ~ la  presión ambiental o  Hg  Hg

alm

atmosférica. La   distinta denominación  de los barómetros de mercurio mercu rio tiene su origen en en el

 proced  pro cedimi imient entoo utilizado para medir la altura  "h" de la columna de mercurio merc urio..

Cálfjüfis Conocida la  presión atmosférica en un lugar y en  unas condiciones determi nadas, puede deducirse el valor de la  presión atmosférica  en condiciones   normali

zadas aplicando las correccione correccioness por temperatura tempe ratura y gravedad. Dichas correccione correccioness

se efectuarán solamente a la lectura obtenida en el  barómetro de Tonnelot. Tonnel ot. La corrección por temperatura se realiza mediante la tabla 1.2,   obteniéndose  por   consiguiente, la  presión  que corresponde a   0°C. Esta  presión se  anotará en la

casilla existente en la tabla 1.3.

222 TEMPERATUR A

LECT URA DE L  BAROMETRO

(°C)

(mmHg)

16,0 16,5 17,0 17,5 18,0 18,5 19,0 19,5 20,0 20,5 21,0 21,5 22,0 22,5

670

680

690

700

710

720

1,8 1,8 1,9 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6

1,9 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5 2,6 2,6

1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7

1,9 2,0 2,0 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2.7

1,9 2,0 2,1 2,1 2,2 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,7 2,7

2,0 2,0 2,1 2,2 2,2 2,3 2,3 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 2,7 2,8

Tabla  1.2. Reducción de las lecturas  barométricas a cero grados.

(Se (Se  restará de la lectura barométrica el valor obtenido en la tabla)

Presión a T

Presión a 0 °C

ambiente

Tabla  1.3.  Presión atmosférica  reducida a 0°C.

La corrección por gravedad se realiza mediante la  fórmula:

en la que "B," es la  presión atmosférica a 0°C; " g * " , la aceleración  local de la w

223 gravedad en  cm/s ,  calculada  medíante la  fórmula  propuesta al efecto por la  2

Organización Meteorológica Mundial (O.M.M.) y "C " la  presión atmosférica en  g

condiciones normalizadas. La fórmula que la O.M.M. recomienda aplicar para el  cálculo de la aceleración local, obteniéndose ésta encm/s ,   2

es:

-0,0026373c 373cos2< os2 t> + 0,0000059cos 2<|i)  g „ = 98 0, 61 6( 1 -0,0026 2

 t

- 0 ,  0003086 H   +0.00011  IQ(H-H')

(1.3)

en la que" $" es la  latitud del lugar, "i!" es  es la altitud de la estación en metros  y" H'" es la altitud media en metros de la superficie de terreno comprendida en el  interior de un círculo de 150 km de radio con centro en la   estación. Sustituyendo en 1.2 el  valor  de "g " se obtiene obti ene la  presión atmosférica en  tH 

condiciones condiciones normalizadas. Los valores  valor es de las las variables que intervienen en el cálculo de la aceleración local, así  como el valor  obtenido  obtenido para   ésta y el de la  presión en condiciones normalizadas,

se anotarán  en las casillas correspondientes de la tabla 1.4.

Latitud

Altitud

Altitud

Aceleración

Presión en cond.

-•-

- H-

-H*.

-g*><-

normalizadas

(°)

(m)

(m)

(cm/s ) 2

(

Tabla  1.4. Cálculo de la presión  en condiciones normalizadas.

)

224

 2* Parte:  Manómetros: empleo y  calibración

Equipo necesario E l  equipo que se requiere para la  calibración de  manómetros está   compuesto

  cilindro, pistón  por un  manómetro de 180 kPa, un  aparato calibrador constituido por  cilindro,  Fig. 1.1) y tubos  tubos flexibles (ver  Fig.  1.1),, juego jue go de pesas, balanza, calibre o pié de rey y toma de agua. Para medir la presión  en la red de  distribución   se dispone de un adaptador a

rosc roscaa así as í como de un manómetro de 

lOkgf/cm .  2

- pesas, -pistón. -tubo de drenaje.

cilindro nivel de burbuja

 / / / / / ;;/ ,'/ yy 

Fig

1. 1.

_tubo para entrada de agua con conexión a mantímetro. -tornillo de nivelación. / /

/ / / vv v vy/ / / /

E quipo quipo calibrador de  manómetros.

Procedimiento En  primer lugar se  medirá  mediante el pié de rey, el  diámetro del  pistón  que

cali brador y se anotará el resultado en la casilla dispuesta al forma parte del equipo calibrador efecto en la tabla 1.5. A  continuación  se introduce agua  en el cilindro  mediante el tubo correspondiente, se conecta a éste el manómetro y se procede a expulsar el aire que haya podido  quedar  en   en el tubo al efectuar efectuar la conexión, para lo cual se  utilizarán las llaves existentes en el  manómetro.

225 Cuando el cilindro esté lleno llen o de agua, se determina la masa del pistón, se anota su valor en la tabla 1.5 y se introduce en el   cilindro.con  lo que se produce el des  plazamie  plaz amiento nto de la aguja aguja del manómetro, registrándose la lectura correspondiente en la  tabla 1.5. '

El  tubo que   sale de la parte superior del  cilindro (Fig. 1.1) tiene como   misión

servir  para   para  evacuar  el  agua que se introduce entre el  pistón y el cilindro  durante el

 proceso de  colocación de las pesas. Procediendo con  cada una de las pesas de la forma en la que se ha hecho con el pistón, se obtienen nuevas lecturas en el manómetro  que se  anotarán  en la tabla

1.5.

Masa del

Lectura

 pist  pi stón ón

manómetro

(kg)

(kPa)

Tabla  Tabla  1.5. Datos de la  práctica.

226 Fundamento   teórico La presión  se define como la fuerza normal aplicada   sobre  una superficie, obteniéndose  su valor mediante la   expresión:

en la que "  F " es la fuerza normal nor mal a la superficie superfic ie  " 5 ". Si la fuerza se mide m ide en newton newtonss  n

y la superficie en metros   cuadrados, la presión " P " se obtiene en   paséales. A l  colocar

el pistón sobre el cilindro lleno de agua se ejerce una  u na  presión sobre

ésta  cuyo valor se obtiene mediante la   fórmula  1.4. Debido al  principio de  Pascal estapresión se transmite  íntegramente a todo el  fluidoy en consecuencia, es detectada

 por el  manómetro. La calibración o  tarado  de un dispositivo de medida, en   este  caso,  de un manómetro,  consiste  en la  utilización  de dicho  aparato para  medir  presiones   presiones cuyo

  es conocido "a priori". Se trata en  definitiva,  de comprobar el funcionamiento valor  es del manómetro y conocer así su fiabilidad  en la medición. Para  que el calibrado sea

realmente  útil  ha de procurarse que las medidas cubran el rango de   utilización  del manómetro.

Calaítas

Con Co n los datos  obtenidos durante la  realización  de la práctica se  calcularán  las  presio  presiones nes que debería haber  medido  medido el manómetro y se se rellenará con ellas la tercera

columna de la tabla 1.6. En la cuarta columna de dicho cuadro se  pondrá la diferencia entre el valor real  y el valor medido, es es decir, el error erro r absoluto,  y en la quinta quint a columna, columna,

el  cociente  entre  el error absoluto y el valor real   esto  es, el error relativo de la medición.

Masa del

Lectura del

 pist  pi stón ón (kg)

Presión

Error

Error

manómetro '

real

absoluto

relativo

kPa

kPa

kPa

(%)

1

=^=— — •

Tabla  1.6. Resultados de la práctica.

Operaciones

228 Comentarios.

Cuestiones Cuestiones fa plante pla ntear ar por po r el Profesor al  término de la  práctica)

229 Práctica n°2: ESTUDIO DE LA DISTRIBUCION DISTRIB UCION DE FUERZAS  HIDROSTATICAS SOBRE SUPERFICIES   SUMERGIDAS

Introducción

La ecuación  general de la estática de  fluidos permite calcular la  presión  que

hay en cada punto de un fluido en reposo. reposo. Si en contacto con dicho fluido existe una superficie, en  cada  elemento diferencial de  área  de ella, la  presión  da lugar a la aparición  de una fuerza denominada  hidrostática,  perpendicular al diferencial de área y dirigida hacia él y cuyo módulo se obtiene como producto de la  presión por

 E l conjunto conju nto de de fuer fuerzas zas que así as í resulta result a se denomina deno mina sistema sistema de el diferencial de área. El mecánicamente equivalente a la resultante de dicho sistema fuerzas hidrostáticas y es mecánicamente

aplicada en el centro de  presión (ver aptdo. 1.4.1), En   esta  práctica se  estudiará  el sistema de fuerzas   hidrostáticas  asociado a

diversas superficies mediante el aparato de  presión hidrostática (Fig.  2.1).  2 .1). La   reali zación  de la  práctica  ofrece  además  la oportunidad de consolidar algunos de los

conocimientos conocimie ntos adquiridos adquirido s al estudiar la mecánica del sólido rígido, ya que es preciso aplicar  los  los conceptos conceptos de equilibrio, sistema de fuerzas, centro de gravedad, momento

de inercia, etc..

230

Equipo necesario

estudio de En la  figura 2.1. se muestra ei alzado principal del aparato para el estudio

la presión hidrostática y se identifican los principa prin cipales les elementos elementos que lo constituy constituyen. en. Para la realización  de la práctica  se necesita  además un juego de   pesas  adecuado  para ser  ser  utilizado  de 50 g,  g, dos de de   utilizado en el platillo. Dicho juego lo componen siete pesas de

20 g y una de 10 g. La masa del platillo es de 50 g.

F i g  2 . 1 .  Aparato de  presión

n i drdstatica.

Procedimiento

monta r el aparato, es preciso conocer algunos algunos datos datos geométricos  que Antes de montar

intervendrán en los  los cálculos cálculo s que serán efectuados más má s adelante. Así  As í pues, se  medirán las magnitudes "a", "L"  Fig. 2.1), así as í como la anchura anchura "b" del cuadrante, que que  "L " y "d" (ver  Fig.

en la  figura 2.1 es la dimensión perpendicular perpendicul ar al plano del  dibujo.  el recipiente rec ipiente de de metacrilato, se procede a A continuación, y después de nivelar  el  e l conjunto formado por el cuadrante y el brazo de la balanza sobre el  fulcro colocar  el de ésta; a colgar el platillo como muestra la figura 2.1 y por  último,  último, a equilibrar  todo  todo

231 El paso siguiente consiste en colocar una de las pesas en el platillo e introducir agua en el tanque   hasta que se alcance  nuevamente el equilibrio.  En ese momento,

se anota en la tabla 2.1 la   masa  colocada en el  platillo y el  nivel del   agua  en el recipiente, leído este último en la escala que hay en el cuadrante. La  experiencia se  continúa  con la colocación  de una nueva   pesa en el platillo,   último, la lectura del  nivel nueva  aportación de agua hasta lograr el equilibrio y por  último,

alcanzado por   ésta. Una vez utilizado todo el juego de pesas, se procede en orden inverso, es decir,

se retira cada una de las pesas y se permite la salida del  agua hasta que se logra de nuevo el  equilibrio, anotándose la masa y el  nivel del  agua que lo hacen posible. Todos estos datos se  se irán anotando, a medida que se obtengan, en las columnas que para  ello hay en la tabla 2.1. Con el vaciado del recipiente concluye la toma de datos de la práctica.  Antes

de pasara realizar los cálculos, se  se debe relle  rel lenar narla la columna columna de la tabla 2.1 encabezada con el rótulo:  "promedio", para lo cual  basta  con hallar la media  aritmética  de las

lecturas del nivel del agua.

232

a

 b

L

DIMENSIONES (mm)

Tabla 2.1. Datos de la práctica.

d

233 I   Parte: Análisis de la inmersión parcial (h<100 mm) a

La figura 2.2 representa un esquema del aparato de presión hidrostática cuando la variable "h" (ver  Fig.   Fig. 2.2) es  inferior   a 100 mm.  mm . Suponiendo que se trata de una configuración de equilibrio, se ha de verificar   que:  mgL-lf>gbh [a*d-^  2

(2.1)

expresión  en la cual "p" es la densidad del agua, "g" la   aceleración  de la grave  masa  geométri cas del  aparato," m " es la  masa dad;" L " , "  a~,"b~  y "d" son dimensiones geométricas

 h." la altura del agua. colocada en el platillo y" h."

234 Cálculos

Con los datos de la tabla 2.1 que corresponden a la  situación que se analiza en esta primera parte de la  práctica, se rellenarán las dos primeras columnas de la tabla

2.2 y a partir  de   de ellos las  restantes columnas de dicha tabla.

Masa -m

(g)

-

 h

Altura

 m/h

 2

 2

-h(A<   100}

(mm)

(

)

(

)

 _

práctica ca ( I  parte). Tabla 2.2. Resultados de la prácti a

235 Representación  de resultados

En los ejes de la figura 2.3 se  representarán los puntos cuyas coordenadas son el nivel de agua " h"y la  relación " m/h " -segunda -segunda y cuarta cuar ta columnas, respectiva  2

mente de la tabla tabl a 2.2- y se se ajustarán dichos puntos a una recta, re cta, para lo que se se puede utilizar   el programa  REMICUAD.BAS.  Para valorar el error cometido se compararán  la ordenada en el origen  y la pendiente de la recta de ajuste con los  pa  p a r á m e t r o s teór te óric icos os de la recta deducidos de la ecuación 2.1.

 m/h*h

 h

Fig 2.3. Representación gráfica  de resultados.

236

Parámetros

Error   abs.

Valor

de la

s/ec.2.1

recta

(

)

s/F¡g.2.3 (

)

(

Ordenada Pendiente

I

Tabla 2.3. Cálculo de errores.

Operaciones

 reí. Error  reí.

)

 m

Comentarios

Cuestiones ( serán  manteadas por   p or  el  el Profesor de la Práctica al termino Cíe ésta)

238 2   Parte: Análisis de la  inmersión  total ( h > 100 mm) a

Fundamento  teórico

Fig.  2.4.

Inmersión Inmers ión tot total al..

En la figura  2.4. puede verse el esquema descriptivo del aparato de  presión hidrostática  para el supuesto de   inmersión  tota! de la superficie rectangular de

dimensiones "b" "b" y "d". Teniendo en cuenta la  simetría  que presenta la  distribución  de fuerzas hidrostáticas que actúa sobre la  superficie rectangular, resulta que el  centro de presión está situado en su eje de  simetría, por lo que  basta conocer  " y  r "  para que quede  C 

definido.

Dado que las fuerzas  hidrostáticas que  actúan  sobre la superficie rectangular son paralelas, el sistema que constituyen puede ser reducido a otro   mecánicamente equivalente, formado por una fuerza de su misma dirección  y sentido denominada resultante hidrostática"

R "   H 

y aplicada en en el centro de  presión.

239 EJ módulo módu lo"" R H"  de la resultante hidrostática  hidr ostática y la ordenada del centro de presión "y p" se obtienen obtien en mediante media nte las las ecuaciones ecuaciones siguientes (ver aptdo. apt do. 1.4. 1.4.1) 1):: C 

 R -yy -A   H 

 c

(2.2)

La  ordenada del centro de   presión también  puede ser obtenida teniendo en

cuenta que en la  posición  representada en la  figura 2.4 hay  equilibrio y por consi consi   nulo el momento resultante en el punto de apoyo, para lo cual se guiente debe ser  ser  nulo

ha de cumplir:  mgL = R„(y +q)  CP

(2.4)

Cálculos

Con  los datos de la tabla  2.1. que corresponden a la  situación que se analiza en esta segunda parte de la  práctica (h  > 100 mm) mm ) y las las  características geométricas  del

aparato de  presión hidrostática, se rellenarán las las seis primeras  primera s columnas de de la tabla tabla 2.4 2.4 y en la columna colu mna (7) se se dispondrá el resultado obtenido mediante la  aplicación de la ecuación 2.2. Las dos últimas columnas de la tabla 2.4  servirán para comparar la  posi  po sici ción ón  del centro de presiones determinada mediante las ecuaciones 2.3  y 2.4. El espacio entre   paréntesis que existe en el encabezamiento de cada columna

deberá rellenarse con la abreviatura de de la unidad elegida para para expresar expresar la  magnitud

recogida en dicha columna.

240 (1)

(2)

(3)

Masa

Mmto.

Altura

-m-

-mgL-

-h-h -

(g)

(

)

(mm)

(4)

y

(5)

(6)

 XX  XX

(7)

' 

 RH

q

Y   A

c

C  C 

(8)

(9) (9)

 y CP

 y CP

(ec.2.3) (ec.2.4) (

)

<

)

(

)

(

)

(

)

(

 T

=

• i r" r

r J  J I I

--

Tabla 2.4. Resultados de la  práctica ( 2  parte). a

Operaciones

)

241 Representación  de resultados

En los ejes de la figura 2.5 se  representarán  los puntos cuyas coordenadas son la masa "m" y la altura altur a del agua agua "h" -columnas  -columnas (1) (1 ) y (3) respectivamente, respectivamente, de la l a tabla 2.4- y se se  ajustarán a   a su recta de  mínimos cuadrados,  pudiéndose utilizar   para  ello el programa  REMICUAD.BAS.   está totalmente sumergida, la  masa "m" varía Cuando la superficie rectangular  está

linealmente  con "h". Esta circunstancia puede puede ser ser aprovechada para calcular el error erro r cometido en cada lectura del  nivel  de agua. Para ello se  deducirá la ecuación  que  variación,, obteniéndo ob teniéndo se  mediante ella el  valor  de expresa dicha variación  de "h" que corresponde

a dos cualesquiera de los valores de la  masa. L a  comparación  entre el valor así deducido y el leído durante la realización   de la  práctica permitirá obtener el error  relativo cometido en la lectura. E l valor  de absoluto y el error  relativo  de "h" deducido mediante la citada ecuación, así como como el leído en la práctica y los errores correspondientes se recogerán en la tabla 2.5.

 h Fig. 2.5. Repre sentac ión gráfi gráfica ca  de resultados.

Masa

agu a-ftt Altura de agua-f

- m -

leída

s/ecuación

(g)

(mm)

(mm)

Error   abs.

(

Tabla 2.5. Cálculo de errores.

)

Error  reí.  reí.

%

243 Deducción de la ecuación

m = Kh + K'

244

Operaciones

245

Cuestiones  f.Sérájn planteadas par el Profesor de la práctica a l  finalizar ésta)

246

247 Práctica n° 3: TEOREMA DE  BERNOULLI

Introducción

El teorema de  Bernoulli es una de las las ecuaciones ecuaciones fundamentales fundam entales para  el estudio

del  del  movimiento de los  fluidos. En su  formulación básica  establece que en el  movi  fluido  ideal e incompresible, la suma de las alturas  pie miento permanente de un  fluido 

 p ermanece constante constante a lo l o largo larg o de una línea de corriente. zométrica y cinética permanece  d e esta práctica ofrece la posibilidad de mejorar el conocimiento La realización  de y la comprensión del teorema de Bernoulli mediante la  aplicación de dicho teorema

al  al  movimiento  de agua a  través de un tubo de  Venturi  equipado con  piezómetros

 para la medida med ida de presiones presio nes   estáticas y dinámicas. Ad emás,  esta  práctica también  permi  per mite te  estudiar el   régimen  de velocidades y como consecuencia,   clasificar  el

 d el número de  Reynolds. Por  último, movimiento según movimiento según el valor  el valor  del  último, el equipo de medida de presiones que se utiliza en esta práctica está  basado en el e l empleo de piezómetros, que es un tipo de manómetro del que no se se  había hablado en la  práctica número  1, supone que entre  ambas prácticas el alumno alum no se se familiarizará lo que supone familiarizará con las técnicas instrumentales básicas para la medida de presiones.

248

249

Equipo necesario

Para la realización de esta práctica se necesita el banco   hidráulico (Fotografía n 3.1), el aparate para el estudio del teorema de   Bernoulli (Fotografía n°3.2), un H

tomas de corriente corrien te eléctrica y de agua. cronómetro, u n termómetro y tomas La   figura 3.1-a) muestra un esquema en alzado y planta del aparato para el

estudio  del teorema de   Bernoulli  en el que aparecen identificados sus elementos

 E n el conducto comprendido entre  en tre los manguitos de unión hay hay un tubo  principal  prin cipales. es.  En

a)

b

13,9

e

10

c

11,6

f

25

b)

F i g  3.1. Aparato para el  estudio del  teorema de  Bernoulli.

de Venturi  (ver   fotografías números 3.3 y 3.4), cuidadosamente mecanizado sobre sobre metacrilato y cuya geometría  puede verse en la  Figura 3.1.-b), en el que se han

destinados  practica  prac ticado do seis orificios piezométricos  para la  conexión de sendos tubos destinados

250

251 La instrumentación se comple com pleta ta con la sonda, que consiste en un tubo tub o de de  Pitot

que puede ser desplazado a lo largo del eje eje del d el conducto y con un último piezómetro, conectado en el punto M  (Fig. 3.1-a) situado en una generatriz de contorno. En la figura 3.2 se muestran dos perspectivas del banco  hidráulico. Está  cons tituido,  esencialmente, por un depósito de  1601 de capacidad, una bomba que toma

agua de este depósitoy un  tanque volumétrico calibrado que recibe el agua  agua bombeada, bom beada, y que a determinada altura a ltura dispone dispone de un aliviadero que devuelve el agua al depósito.

Piuccdimienls

Se coloca el aparato para el estudio del teorema de Bernoulli  sobre la  superficie de trabajo del banco  hidráulico y se dispone un tubo de  plástico entre el conector (Fig. 3.2) y la entrada de agua agua del aparato  (Fig. 3.1-a), orientándose   adecuadamente éste a fin  de que el agua caiga en el tanque  volumétrico. A  continuación se desplaza el tubo de Pitot hasta que su extremo quede  quede unos tres centímetros, aproximadamente, aguas abajo de la sección " f  (Fig.  (Fig. 3.1.-b), se enchufa a la red eléctrica  el cable de

alimentación,   se abre ligeramente la   llave de  paso  de la bomba y se acciona el

  del motor, con lo que empieza a circular   el agua. La velocidad de  cir interruptor  del culación  del agua no  sólo puede modificarse con la  llave  de paso,  también  puede hacerse mediante la válvula de control (Fig. 3.1.-a). Mientras se regulariza el flujo y

se van llenando llena ndo los los piezómetros, se mantiene abierta la  válvula manual de descarga (Fig. 3.2), con lo que el agua circula en circuito cerrado. El llenado de los piezómetros  ha de  hacerse lentamente para que no queden

en ellos burbujas de aire. Para  facilitar   el purgado de los  piezómetros, éstos están

conectados por su extremo superior, existiendo en la parte derecha de la pieza de conexión un  tornillo y un orificio con tapón  roscado (ver fotografía fotogr afía n° 3.2).  Cuando el agua empieza a entrar en los piezómetros hay que desenroscar el tornillo y retirar

Fig

3.2.

Banco Banco hidráulicohidráulico-

253  ser  pequeña el tapón; la  velocidad de ascenso del agua en aquéllos debe ser   pequeña para que no se formen burbujas de aire,  debiéndose vaciar y volver  a   a llenar todo  piezómetro en el que se vean burbujas. A medida que los  piezómetros se llenan, comienza a salir agua por la rosca del

tornillo y por el orificio, es el momento de colocar un tubo en  este último de manera

que el agua -emulsionada- sea conducida al tanque  volumétrico. Cuando se observe que el agua deja de  estar  emulsionada   emulsionada por haber arrastrado ya las burbujas de aire que había en los piezómetros, se rosca el  tomillo y se coloca el  tapón en el orificio, con lo que  finaliza la operación de purgado.

ord en que se indica, se cierra la  válvula de control  (Fig. A continuación, y en el orden 3.1.-a), la llave de paso (Fig. 3.2) y se para la bomba. A l abrir en  estas condiciones  esto suceda suceda  que esto el tornillo, tornillo , el el agua de los  los piezómetros piezómetr os desciende, debiéndose permitir  que hasta que el nivel  de agua alcance la  mitad  de los piezómetros,  aproximadamente,

en cuyo momento momen to se volverá a cerrar el  tornillo. Para restablecer la  circulación de agua se pondrá en marcha la bomba  y después

se  abrirá  lentamente la  llave de paso, al tiempo que se abre   también la válvula de  Com o consecuen consecuencia cia del de l régimen así establecido,  aparecerá un gradiente de control. Como  presiones en el tub t uboo de   Venturi con lo que el equipo queda dispuesto para su   utili zación en esta  práctica. Una Un a  vez estabilizadas las lecturas de los   piezómetros,  se cierra la  válvula de

m ediante nte la sonda sonda (Fig (F ig,, 3.2), el  nivel  que va alcanzando el descarga y se observa, media agua en el tanque  volumétrico.  Cuando el nivel del agua en la sonda coincida con alguna de las  divisiones, se pone en marcha el  cronómetro, deteniéndolo en alguna de las divisiones anteriores a la de seis litros. E l resultado de de éste y de los otros aforos aforos se  anotará en las casillas correspondientes de la tabla  3.1.

254

1

Cuando el  volumen de  agua  almacenado en el tanque  volumétrico  haya superado los seis litros, se  hará, al menos, un aforo  más. El resultado de los aforos

 último se leerán los ocho tubos se anotará en las las casillas existentes en la tabla tab la  3.1. Por  último  picz  pi czom omét étri rico cos, s,  anotando estas lecturas en  los recuadros dispuesta dispuesta al efecto efecto en la tabla 3.1.

Lectura Sección

 pi  p i e z ó m e t r o (

)

Volúmenes Inicial (

)

Final (

)

práctica ( I  parte). Tabla 3.1. Datos de la práctica a

Tiempo

255 La  segunda parte de la práctica consiste en medir la presión de estancamiento

en diversos puntos del eje del tubo de Venturi  mediante la colocación en ellos de un tubo de Pitot. Para  ello se  desplaza  dicho tubo  hasta  que su extremo  ocupe  las  posiciones  señaladas con los  números 1, 2, etc.  (Fig. 3.3), anotándose en la columna de la tabla tab la 3.2 3.2 las lecturas correspondientes. correspondie ntes. Una Un a vez situado el tubo tub o de Pitot en la la  posi  po sici ción ón adecuada, se esperarán sesenta segundos para dar tiempo a la estabilización del nivel de agua en dicho tubo. Con el registro de de la temperatura del agua utilizada

en la realización  de la práctica  finaliza la toma de   datos de  ésta.

256 tubo de Pitot. f.

Fig. 3 . 3 .

Posi Posici cion ones es del tubo tub o de Pitot-

Posición

Lectura tubo Pitot (

rz

)

257 Fundamento  teórico

En el  movimiento permanente y uniforme de un líquido, la altura cinética en

 de corriente viene  viene dada por la diferencia de lecturas lecturas un punto cualquiera de una línea de corriente  pie  pi e zomé zo métr trii cas ca s  obtenidas con un tubo de Pitot y un tubo  piezométrico  (ver, a este

respect respecto, o, la primera prime ra lección de  dinámica de  fluidos). permane nte de los los líquidos se cumple la ecuación de  conti En el  movimiento permanente nuidad,  por lo que si se conoce el caudal y la sección transversal, puede obtenerse la  la velocidad media en dicha  sección. El   teorema de Bernoulli o teorema de la  línea de corriente establece que en el

movimiento  permanente de un  fluido  ideal e incompresible, la suma de la altura

constante en los puntos en una misma línea de cinética y piezométrica  permanece constante corriente. Para estudiar el movimiento de un líquido real, la mecánica de fluidos aplica aplica el

teorema de Bernoulli generalizado, en el que la carga  hidráulica se obtiene a partir de los valores medios de la altura  cinética y piezométrica en cada sección y además se contabilizan las variaciones de carga  hidráulica  producidas por la presencia de máquinas hidráulicas   en la corriente así como las   pérdidas  de carga debidas al

rozamiento y a la forma de los conductos.

258 Cuestiones I   Utilizando los datos obtenidos en la  medición de volúmene s y tiempos, determinar a

el valor medio, en 1/s, del caudal circulante.

2   Calcular el número  de Reynolds en  cada  uno de los tramos del conducto en los a

que la sección es constante y clasi clasific ficar ar el e l movimi m ovimiento. ento.

259 3   A la vista de las lecturas obtenidas al desplazar   el tubo de Pitot a lo largo del a

quéé puntos de la  línea axial de corriente se cumple el teorema conducto, indicai  entre qu seña lar  alguna de Bernoulli, y señalar   alguna razón que explique expl ique el incumplimiento de dicho teorema

en los restantes puntos.

4   Calcular la pérdida  de carga entre las secciones que  que pasan por los puntos 11 y 3. a

260 5* ¿Qué condiciones ha de cumplir un movimiento para que, utilizando un tubo de Pitot  y un tubo  piezométrico,  pueda  determinarse la velocidad veloci dad en un punto cual

quiera? Determinar por ese procedimiento la velocidad existente en el punto 3 de la figura 3.3,  3.3, explicando explican do la necesidad de  cada una de las las condiciones requeridas. requer idas.

261

6   Calcular la pérdida de carga que se produce en el cono convergente del tubo de a

Venturi siguiendo el  método recogido en el apéndice n° 2. La rugosidad absoluta de

las paredes del tubo puede  considerarse nula.

262 7   Deducir la   expresión  de la velocidad media en el estrechamiento del tubo de a

Venturi en Función de la lectura de los  piezómetros  existentes en las secciones que  pasa  pasan n por los puntos 11 y 7  (Fig.  3.3), pérdida  de carga en el cono convergente y

diámetro  de dichas secciones.   Indicar   los teoremas que sea preciso aplicar en la deducción.

263 8   Como aplicación de la expresión deducida en el apartado anterior, deducir la  que a

 proporc  pro porciona iona  el  caudal circulante  por el tubo de Venturi. Particularizar  la  e l caudal  la expresión

resultante con los valores correspondientes de esta práctica. Comparar el caudal caudal así calculado con  el  e l determinado en la primera de estas  cuestiones.

264

Operaciones

265 Comentarios

Cuestiones  (serán  Planteadas nnr el Profesor al término de la  práctica^

Programa  REMICUAD.  BAS

271 Descripción del procedimiento de   ejecución

 ejecutarr el programa  REMICUAD.BAS en el ordenador  IBM AT deben Para ejecuta seguirse los siguientes pasos: I

o

Conectar la unidad central del ordenador.

Encenderr el monitor. mon itor. 2 Encende o

3 Cuando en en la pantalla pantal la del monitor  se  se pregunte la fecha, pulsar la tecla  "intro", Q

que cuando se solicite solic ite la hora. hora . (ver figura  A - l . l ) lo mismo que En  la pantalla aparecerán los siguientes  caracteres: C:\>

donde  "C": indica que que la unidad activa es es el disco disco duro; la raya invertida inver tida (\ ) muestra que se está trabajando en el directorio principal y el símbolo "mayor que" es el indica ind icador dor que que caracteriza caracter iza al conjunto conju nto de programas que se deno deno genéricamente, sistema operativo MS-DOS. mina, genéricamente,

Dado Dad o que el programa que que se desea utilizar  es  es GWBASIC se procederá como sigue:

T E C L A S

FUNCION

DE

1

9) ISIEIB ISI EIBISI ISI,M ,MBE BEIB IB.IB .IBÍBI ÍBIBIB BIBII I H1 l

n

ü

T

• • m 

mm  m ••

n ESI l

i BAR  RA I - BAR   RA

E SPACI ADORA

i

•

Fig Fi g  A - 1 . 1  PLANTILLA DE  TECLADO

¡

l

m

m 

W

LTECLAS DE  MOVIMIENTO J

A
272 4°  Escribir  G  G WBAS1C y pulsar  "intro".   "intro". La pantalla cambia y  aparece "ok", que

es el indicador propio prop io del   BASIC. 5   Pulsar  la  la tecla de  función F3 y a continuación escribir   continuación escribir  el  el nombre  del programa. Q

También puede cargarse el programa escribiendo  LOAD, pulsando la barra espadadora una vez y seguid  seguidament amente, e, el nombre del d el programa. En cualquiera

de los  casos la orden ord en no n o se ejecuta   hasta que no se pulsa la tecla   "intro". 6   Pulsar la tecla de   función F2, o bien, escribir escribir R U N y a  continuación  pulsar o

"intro". E l programa comienza solicitando el nombre con el que el usuario  desea que

se almacenen en el disco duro los  datos de la  práctica. Conviene elegir un nombre que pueda ser recordado  fácilmente ya que después,  despu és, el el programa pregunta  si los datos han sido o no introducidos previamente. Si fueron introducidos y se ha dado correctamente el nombre como   respuesta  a la primera pregunta, no es preciso introducir   nuevamente los  datos y el control de! programa se transfiere a una zona

  dichos datos. La   ejecución del mismo en la que se ofrece la  posibilidad de   modificar  dichos del  programa   puede  ser interrumpida en cualquier momento sin más que pulsar simultáneamente  las teclas   "control" y  "pausa"(Fíg.A-l.l), pudiéndose  reanudar aquélla actuando como se  indicó en el paso  sexto.

 vez que se introduce intr oducenn los los datos, datos, el programa progr ama   solicita el  número Si es la primera vez total de lecturas realizadas y el  número de lecturas en las que la altura de  agua fué

100 mm, mm , para seguidament seguidamentee pedir la  introducción de las alturas de  agua y inferior  a 100 de las correspondientes   masas. Finalizada la entrada entrada de  datos y de  igual  forma que cuando  éstos ya han sido introducidos en una  ocasión anterior, existe la  posibilidad de comprobar y corregir todos y  cada uno de los datos, de manera que el programa no calcula los  parámetros  de las rectas de   regresión  hasta  que el usuario no da su conformidad a la  última de las comprobaciones existentes. Si una vez escrito un dato

273  antes de pulsar la tecla  "intro", puede corregirse  éste  despla se detecta  algún error  antes

zando el cursor con las "teclas "teclas de  movimiento del cursor" hasta situarlo debajo del carácter   que se desea modificar  y   y pulsando a continuación la tecla "supr".

Finalizada la fase de  cálculo, la pantalla del ordenador   informa al usuario de

que datos y resultados  están  archivados, haciendo   aparecer  las   las letras "ok" en dicha  pantal  pan talla. la. Una  vez ejecutado el programa, debe guardarse nuevamente en el disco duro,

 para lo cual se  escribirá EDfT 10, a fin de solicitar solic itar que  aparezca en la pantalla la línea n°  10 del programa. Cuando dicha  línea haya aparecido, se  desplazará el cursor hasta situarlo debajo del " 1 " del  número de línea y seguidamente seguidam ente se pulsará la tecla

"supr" tantas veces  como sea preciso para borrar el número de  línea y el  apóstrofe que le sigue. Hecho  ésto, la  l a pulsación de la tecla "intro" ordena grabar el programa en el disco duro y dejarlo así  listo para una posterior   ejecución. resultados hay hay que que preparar pre parar la Para  obtener una copia impresa de   datos  y resultados impresora y para  ello se  procederá de la siguiente forma: 1° Retirar  Retira r el papel continuo si si está  cargado. 2  Conectar la impresora. o

3  Introducir  una   una hoja en ta abertura dispuesta al efecto. o

4   Pulsar las teclas:  "avance página", "en línea" y "avance página",que   hay en o

el panel de mandos existente en la parte izquierda de la impresora. La   impresora  está  así en condiciones de recibir la  información  de la unidad

central y consecuentemente consecuentemente,, de  imprimir  dicha   dicha  información. Durante la ejecución  del programa se crearon dos archivos: el de datos, cuyo nombre elige el usuario, y el de resultado resultados, s, cuya cuya denominación es "RESUL". Ambos archivos se encuentran en el directorio raíz del disco duro y para   acceder   a él es  preciso, en prim pr imer er lugar, abandonar   GWBASIC y regresar  al  al sistema operativo, para lo  cual basta con escribir  SYSTEM   SYSTEM y pulsar   "intro". Aparecerán a  continuación   los

274 caracteres ya conocidos:

C:\> lo que significa que se está en el directorio  principal del  disco  duro. Para imprimir  el archivo "RESUL" se escribirá PRINT,  seguido de un espacio

últ imo y del nombre del archivo que  qu e se se desea imprimir, en  e n este este caso, "RESUL", y por último se pulsará la tecla "intro". Finalizada la  l a impresión de resultados, se  se extrae la hoja de

la impresora,  se desconecta ésta y a continuación, la  unidad  central y el  monitor.

10 'SAVE"C:remicuad.bas",A 20 INPU INP UT "Referenc "Referencia ia de la práctica (siet (siete e caract carac teres máx.):",RE máx.):",R E F$ 30 INP INP UT "¿Datos "¿ Datos ya introducidos introducidos(l) (l) o a introd introducir(0)? ucir(0)?",DT ",DT:C :CLS LS 40 IF DT=1   THEN GOTO 150 50 INPU INP UT "Número de lecturas lecturas -altur -altura a de de aguaagua- realizadas:",N realizadas:",N 60 INPUT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:",N1 70 DIM M(N),H(N) 80 FOR 1=1 TO TO N 90 PRINT PR INT USING US ING "Alt "Altur ura a de agua agua No No W;I W; I :I N P U T ";H(I) ";H(I ) 100 PRINT :NEXTI 110 FOR 1=1  TON 120 PRINT USING "Masa No ##";I:INPUT ";M(I) 130 PRINT :NEXTI 140 GOTO 220 150 FILE$ = "C:"+REF$ 160 16 0 O P E N FILE$ FILE $ FO FOR R INPUT INP UT AS 1 170 INPUT #1,N,N1 180 FOR 1=1  TON 190 INPUT # 1 , M(I),H(I) 200 NEXTI 210CLOSE #1 220 RE R E M Posibilidad osibilidad de cambiar los los datos 230 CLS:PRINT:PRINT 240 PRINT "Número de lecturas:";N 250 INPUT INP UT "¿ S e desea modi modificar ficar algo algo (S/N)? (S/ N)?",S$ ",S$ 260 IF S $= $="N" "N" OR S $= $='n" 'n" T HE N GO G O T O 290 270 INP IN P UT "¿Nuevo "¿ Nuevo núm número ero de lecturas? lecturas?",N ",N 280 GOTO 230 290 CL&PRINT PRINT 300 PRINT "Número de la última lectura inferior a 100 mm:";N1 310 INPUT INP UT "¿ "¿ Se desea modif odificar icar (S ( S /N)? /N )? \S $ 320 IF S $= $="n" "n" OR S $= $="N" "N" T HE N GO G O T O 350 330 INP INP U T "¿ Número de la últim última a lectura lectura inferiora 100 mm? mm? ",N1 ",N1 340 GOTO 290 350 CLS:PRINT :PRINT 360P R IN T " N MASA ALTUR ALT URA A ":PRINT 370 FOR 1=1 T O N 380 PRINT USING " ## ###  M ,M(I ),H(I) ###.## 390 NEXT l:PRINT:PRINT 400 INP IN P UT "¿ Hay que que hacer hacer cambios cambios (S/N)? (S/ N)?",S$ ",S$ 410 41 0 IF S $= $="N" "N" OR S $ =V T HE N G O T O 450 420 INPU INP UT "¿Número "¿ Número (N) (N) que se quiere quiere cambiar? cambiar?",NU ",NUM M 430 INP IN P UT "Nueva masa y nueva altura altura de agua(nueva agua(nueva masa.nueva aftura)';M(NUM),H(NUM) 440 CLS: PRINT: PRINT: GOTO 360 450 F(LE$ = "C:"+REF$ 460 OPE OP E N FILES FILES FOR OUT O UTPU PUT T AS 1 47 0WR 0W R I T E #1 , N, N1

276 480 FOR I = 1 T O N 490 WRITE # 1  , M(l) M( l),, H(l) 500NEXTI 510CLOSE#1 520 FILE$ = "C:"+REF$ 530 OPEN FILES FOR INPUT AS 1 540 INPUT #1,N,N1 550 FOR 1=1 TO N 560 INPUT #1,M(I),H(I) 570 NEXTI 580 CLOSE #1 590 RE R E M C álculo de los súm s úmatenos atenos 600 FOR I = 1 TO N1 610SH(0) = 0 620 62 0 S H(I) H(I) = SHÍJ -1) + H(l) 630 SY(0)= 0 640 SY(I) = SY(I-1) 4- M(I)/(H(I))"2 650 SCH(0)= 0 660 SCH(I)=SCH(I-1)+(H(I))"2 670 SYH(0)=0 680 SYH(I)=SYH(I-1)+M(I)/H(I) 690 NEXTI 700 70 0 R E M C álculo álc ulo de los parámetros parámetros de la la recta de regres regresión ión 710 OR1=((SY(N1))*(SCH(N1))-(SH(N1))*(SYH(N1)))/ (N1*(SCH(N1))-(SH(N1)) 2) 720 PE 1= 1=(N1*SY (N1*SYH{ H{N1)-S N1)-SH(N1)*SY H(N1)*SY(N1))/(N1*{ (N1))/(N1*{S C H(N1))-(SH(N1))" H(N1))-(S H(N1))"2) 2) 730 73 0 RE R E M Cál Cálcul culo o de la recta de regresión regresión de m sobre h 740 REM Nueva definición de las variables 750 FOR l=N1+1 TO N 760 H2(I-N1)=H(I) 770 M2{I-N1)=M(I) 780NEXTI 790 N2=N-N1 800 REM Cálculo de los sumatorios 810 FOR 1=1 TO N2 820 SH2(0)=0 830 SH2(I)=SH2(I-1)+H2(I) 840 SY2(0)=0 850 SY2(I)=SY2(I-1)+M2(I) 860 SCH2(0)=0 870 SCH2(I)=SCH2{I-1)+(H2(I)) 2 880 SY2H2(0)=0 890 SY2H2(I)=SY2H2(I-1)+M2(I)*H2(I) 900 NEXTI 910 RE R E M C álculo álc ulo de los parámetros de la la recta de regres re gresión ión 920 OR2=((SY2(N2))*(SCH2(N2))-(SH2(N2))*(SY2H2(N2)))/ (N2*SCH2(N2)-(SH2(N2)) 2) A

A

A

277 930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) 2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h 2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1  TON1 1010 P R INT IN T #2, US ING * ##.## .#### ';M(I ';M(I)/ )/H( H(I) I) 2,H(I) 1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=* AD $=* ordena orde nada da pendiente pendie nte " 1050 PRINT #2,  AD $  #2, AD$ 1060 106 0 P R INT IN T #2,US 2,U S ING IN G " ##. ##. ##   ";OR1,PE1 1070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" AD$=" R E C TA DE R E G RE SIO N DE m S O BR E h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 110 11 00AD 0A D $=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FO FO R l=N1 l=N1 +1 T O N 1130 PRINT #2,USING "  tHHt  Mtt.tt  ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" AD $=" ordenada ordena da pendiente pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " ##.##   ##.##   *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN END A

A

A

A

AAAA

AAAA

AAAA

277 930 PE2=(N2*SY2H2(N2)-SH2(N2)*SY2(N2))/(N2*SCH2(N2)- (SH2(N2)) 2) 940 OPEN "C:RESUL" FOR OUTPUT AS 2 950 PRINT #2,:PRINT #2, 960 AD$=" RECTA DE REGRESION DE m/h 2 SOBRE h " 970 PRINT #2,AD$ : PRINT #2, 980AD$=" m/h 2 h " 990 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1000 FOR 1=1  TON1 1010 PRINT #2, USING * ##.####  fHttt.tf  ';M(I)/H(I)   ';M(I)/H(I) 2,H(I) 1020NEXTI 1030 PRINT #2, 1040 AD$=" ordena orde nada da pendiente pendie nte " 1050 PRINT #2,  AD $  #2, AD$ 1060 10 60 P R INT IN T #2,USING 2,US ING " ";OR ";OR 1,PE 1 1070 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1080 AD$=" AD$=" R E C TA DE R E G RE SIO N DE m S O BR E h ' 1090 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 110 11 00AD 0A D $=" m h " 1110 PRINT #2,AD$:PRINT #2, 1120 FO FO R l=N1 l=N1 +1 T O N 1130 PRINT #2,USING "  tHHt  tHHt.tt  ";M(I),H(I) 1140 NEXTI 1150 PRINT #2, 1160 AD$=" AD $=" ordenada ordena da pendiente pendiente ' 1170 PRINT #2,AD$ 1180 PRINT #2,USING " ##.##   ##.##   *;OR2,PE2 1190 PRINT #2,:PRINT #2,:PRINT #2, 1200 CLOSE #2 1210END 1220 CLOSE #2 1230 EN END A

A

A

A

AAAA

AAAA

281

Cálculo de la pérdida de carga en un cono convergente

La pérdida de carga ( A h) que se produce en un cono convergente convergente  (Fig. A-2.1)

tiene dos sumandos sumandos : el debido al rozamiento   ( A h í ) y el cor corrrespo espon n

diente a la  separación  de la capa límite  ( A / i ) . 2

F i q   A-2.1. Cono convergente.

. . . , , La  expresión general de la pér

3

dida de carga debida al rozamiento es la siguiente: (A-2.1)

Aft,=xAh'|

en la que " A h'  " es la pérdida de carga que se produce en un conducto  cilindrico t

de la misma longitud que el cono convergente y sección  igual a la sección mayor, y " x" viene dada por la expresión: X

~ 4(n-l)

(

A

2

'

2 )

en la que " rt"es el cocien cociente te entre el diámetro de entrada ( D ) y el de de salida salida ( d ) . La pérdida de carga que corresponde al despegue de la capa  límite se calcula

a  través del coeficiente de pérdida de carga, esto es: v &h = K—  2

 2

(A-2.3)

siendo " v " la velocidad media en la sección mayor del cono convergente y " K " el coeficiente de pérdida de carga, cuyo valor  se  se obtiene entrando en la tabla  A-2.1 con el valor  ) .  v alor de " n " y el del ángulo en el vértice ( a ).

\oí

1.15

1.25

1.50

1.75

2

2.5

6

0.006

0.018

0.085

0.23

0.5

1.5

8

0.009

0.028

0.138

0.373

0.791

2.42

10

0.012

0.04

0.20

0.53

1.05

3.4

15

0.022

0.07

0.034

0.934

1.98

6.07

Tabla A-2.1. Coeficiente de pérdida de carga por separación de capa límite en un cono convergente.

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