Universidad Tecnológica De Panamá Centro Regional de Veraguas Facultad De Ingeniería De Sistemas Computacionales
Asignatura: Laboratorio de Física 1
Código: 8319
Título Gráficas y Funciones
Profesor Alejando Ríos
Estudiantes Obed Vásquez Joel Carrizo Roy Gomez
Grupo: 4IL121
I Semestre 2016 Fecha: 15/04/2016
Resumen En este laboratorio detallaremos las diferentes formas de obtener una gráfica de los datos dados en alguna aplicación de campo o experimental.
Introducción El método grafico es de gran utilidad en el tratamiento de datos experimentales, debido a su simplicidad y claridad al registrar informaciones relativas al comportamiento de un fenómeno en particular. La representación gráfica nos permite detectar un sin número de datos y también podemos deducir la relación funcional existente entre las variables estudiadas en el fenómeno.
Objetivos
Construir gráficos lineales y no lineales a partir de una tabla de valores. Utilizar los métodos gráficos para determinar la relación funcional entre las variables que intervienen en un fenómeno. Obtener la ecuación que relacione las variables a partir de los gráficos.
Materiales y Métodos Para llevar a cabo esta experiencia del laboratorio utilizamos materiales como: 1. Herramienta de software Excel
Procedimientos empleados en el experimento:
1. En este experimento no hay mucho que explicar pues lo único que hicimos fue con las tablas que la guía nos proporcionó hicimos sus graficas correspondiente además de calcular las ecuaciones que relacionaban las variables. 2. Esto lo realizamos para cada tabla de datos.
Resultados Parte A: FUNCIÓN DE UNA VARIABLE 1. Un recipiente que contiene un líquido hasta una altura h, comienza a vaciarse a través de un orificio. Para diferentes alturas de llenado la variación del tiempo de vaciado se recoge en la siguiente tabla. Tabla 1 h(pulg)
22.22
20.11
16.46
13.43
12.20
10.39
7.86
6.83
t(s)
1.5
2.0
3.0
4.0
4.5
5.3
6.7
7.4
a) Graficar h vs t en una hoja milimetrada
h vs t 25
h(pulg)
20 15 10 y = 29.976e-0.2x
5 0 0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
t (s)
b) Graficar en hoja logarítmica y determinar la relación entre variables
10.0
h vs t
h(pulg)
100
10 h = 29,976e-0,2x
1 0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
t (s)
c) Calcula el valor inicial de la altura. h = 29.956e-0.2t = 29.956e-0.2(0) =29,95 pulg
d) determine la altura a los 20 s. h = 29.956e-0.2t = 29.956e-0.2(20) =0,548 pulg
e) ¿en qué instante su altura es 12.0 pulg? h = 29.956e-0.2t 𝑡=
ln(29,956) − ln(ℎ) 0.2ln(𝑒)
𝑡=
ln(29,956) − ln(12) = 4.57𝑠 0.2ln(𝑒)
2. La temperatura de una sustancia, sometida a calentamiento, aumenta en el tiempo tal como lo recogen los siguientes datos, obtenidos de una experiencia real.
Tabla 2 T(°C)
2.70
4.36
5.55
10.4
13.6
28.0
41.4
80.1
t (min)
1.0
2.6
3.4
5.5
6.4
8.8
10.1
12.3
8.0
10.0
a) Grafiar T vs t en hoja milimetrada
T vs t 90.00 80.00 70.00
T(ºC)
60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.0
2.0
4.0
6.0
12.0
14.0
t (min)
b) Grafique en hoja logarítmica y determine la ecuación T(t)
T vs t
T(ºC)
100.00
10.00 T = 1,9988e0,3x
1.00 0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
t (min)
10.0
12.0
14.0
c) Calcule el valor inicial de la Temperatura T = 1.9988e0.3t T = 1.9988e0.3(0s) T = 1.9988°c d) Determine en que instante la temperatura tiene 100ºc T = 1.9988e0.3t
𝑡= 𝑡=
ln(T)−ln(1,9988) 0,3ln(e) ln(100)−ln(1,9988) 0,3ln(e)
=13.04 min
e) Calcule la temperatura a los 30s. 30𝑠𝑥
1𝑚𝑖𝑛 = 0.5𝑚𝑖𝑛 60𝑠
T = 1.9988e0.3t T = 1.9988e0.3(0.5min) T = 2.32°c 3. Un recipiente se está llenando de un líquido desconocido, la tabla muestra el comportamiento de la altura (h) y el intervalo de tiempo (t) transcurrido. Tabla 3 h(cm) t(min)
18.37 1.5
28.28 2.0
71.17 3.7
80.00 4.0
a) Graficar h vs t en una hoja milimetrada
136.01 5.7
146.97 6.0
316.23 10.0
512.45 13.8
h vs t 600 500
h(cm)
400 300 200
100 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
10
12
14
16
t(min)
h vs t 1000
h(cm)
100
10
1 0
2
4
6
8
t(min)
b) Grafique en hoja logarítmica y determine h(t)
h vs t 1000
h(cm)
100
h = 9,9998x1,4999
10
1 1
10
100
t(min)
c) Calcule la altura del líquido cuando haya transcurrido 1h. h = 9.9998t1.4999 h = 9.9998(60min)1.4999 h=4645.58m d) ¿Cuánto tiempo tardara en llenar el recipiente si su capacidad máxima es de 1m de altura? h = 9.9998t1.4999 𝑡= 𝑡=
1,4999
√ℎ⁄9.9998
1,4999
√100𝑐𝑚⁄9.9998 = 4.64𝑚𝑖𝑛
4. La velocidad de un bote cuando su motor se apaga es registrada según la siguiente tabla. Tabla 4 v(m/s) t(s)
7.41 30
5.2 65
a) Graficar vs t en papel milimetrado
3.01 120
0.50 300
0.07 500
v vs t 8 7
v(m/s)
6 5 4 3 2 1 0 0
100
200
300
400
500
600
t(s)
b) utiliza el papel logarítmico (ya sea doble o semi-log) para determinar v(t)
v vs t
10
1 100
200
300
v(m/s)
0
0.1
0.01
v = 9,9139e-0,01x
t(s)
c) Determinar la velocidad del bote a los 3.0 min V = 9.9139e-0.01t V = 9.9139e-0.01(160s)
400
500
600
V=2.0 m/s d) ¿en qué instante (en minutos) la velocidad instantánea se reduce al 10% del valor inicial en el justo momento en que se apagó el motor? 7.41m/s (10%)=0.74 m/s ln(9.9139) − ln(𝑣) 0.01ln(𝑒) ln(9.9139) − ln(0.74𝑚/𝑠) 𝑡= = 259.50𝑠 0.01ln(𝑒) 𝑡=
t = 259.50/60 t = 4.32 min
5. La siguiente tabla muestra el comportamiento de la intensidad luminosa I, de una lámpara cuando se mide dicha intensidad para diferentes distancias d. Tabla 5 l(cd) D (m)
1 1
1/4 2
1/9 3
1/16 4
1/25 5
a) Graficar I vs d en papel milimetrado
I vs d 1.2 1
D(m)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
2
3
I(cd)
4
5
6
I vs d 1
D(m)
0
1
2
3
4
5
6
0.1
0.01
I(cd)
b) Utilizar el papel logarítmico para determinar/como función de d.
I vs d 1
D(m)
1
10
0.1 D = 0,9988x-2,001
0.01
I(cd)
c) ¿a qué distancia la intensidad luminosa será 1/3 cd (candela)? l = D-2 −2
𝐷 = √𝑙 −2 𝐷 = √1⁄3 = 1.73𝑚
d) Calcule la intensidad I para d = 1.25 m l = D-2 l = 1.25-2=0.64 cd 6. Sea R la concentración de partículas/m3 que están contenidas en cierta región. Se supone que el comportamiento de la existencia de partículas decrece exponencialmente con el tiempo. Sabiendo que en 4 días; R=80x106 partículas/m3 y 3 días después, R=50x106 partículas/m3. Tabla 6 R (partículas/ m^3) 80x10^6
t (días)
50x10^6
3
4
a) Grafique en el papel semi-logarítmico la información suministrada, es decir R (partículas /m3) vs t(días). 10
R (partículas/m^3)
R vs t y = 2.2857e0.5596x
1 0
0.5
1
1.5
2
2.5
t (dias)
b) Extrapole usando el gráfico anterior mediante una recta y obtenga la lectura de la cantidad de partículas inicialmente Ro. 80x10^6 = Ae^-m(4) 50x10^6 = Ae^-m(7) 8/5= e^3m m=
0.16
c) Escriba la ecuación R(t), donde t esta en días. 2,5𝑥1049 𝑒 −0.16𝑡
d) ¿en cuántos días aproximadamente, la cantidad de partículas se reduce al 90% del valor inicial? 80x10^6 (inicial) 90% = 72000000. 2,5𝑥1049 𝑒 −0.16𝑡 = 597.00 días. e) Calcule la cantidad de partículas/m3 que contiene la región cuando han transcurrido 3 meses. 1.39348E+43
Parte B: FUNCIÓN DE MULTIPLES VARIABLES Esta experiencia consiste en determinar cómo varía el tiempo (T) que tanda una vasija en vaciarse a través de un orificio que se encuentra en el fondo de la misma, como es lógico este tiempo depende del diámetro del orificio (d) y de la cantidad de agua contenida en la vasija indicada a través de su altura (h). De ser posible, o sea si hay fuente de agua en el laboratorio, realice la experiencia siguiendo las instrucciones de su profesor. De lo contrario, presentamos a continuación los valores obtenidos de una experiencia antes realizada. • Para deducir la dependencia del diámetro (d) se llenaron con agua a la misma altura (h) cuatro recipientes cilíndricos del mismo tamaño, pero con orificios de salida de diferente diámetro. • Para determinar la dependencia con la cantidad de agua, las mismas vasijas se llenaron a diferentes niveles de agua, o sea diferentes alturas, y se mantuvo constante el diámetro. •Cada medida se repitió varias veces y en la tabla se registran los valores medios de los tiempos, en segundos, empleados en vaciarse cada uno de los recipientes. •Toda la información que se utilizará; está contenida» en la tabla. Los valores que aparecen en la tabla representan los tiempos de vaciado. tabla (tiempo de vaciado T en segundos)
d(cm)/h(cm)
1
4
10
30
1.5
13.5
26.7
43.5
73
2
7.2
15
23.7
41.2
3 5
3.7 1.5
6.8 2.2
10.5 3.9
18.4 6.8
Matemáticamente se tiene: 𝑇(𝑑, ℎ) = 𝑐 𝑑 𝑛 ℎ𝑚 Donde c representa una constante de proporcionalidad entre ambas variables d y h. Realice las siguientes instrucciones: a) Graficar T vs h, manteniendo d constante, una familia de curvas en papel milimetrado.
T(s)
T vs h d(cm)=1.5
d(cm)=2.0
d(cm)=3.0
d(cm)=5.0
Power (d(cm)=1.5)
80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
5
10
15
20
25
30
35
h(cm)
b) Utilice una hoja logarítmica para determinar el valor de m de la familia de curvas.
T vs h d(cm)=1.5
d(cm)=2.0
d(cm)=3.0
d(cm)=5.0
Power (d(cm)=1.5)
T(s)
100
10
1 0
5
10
15
20
25
30
35
h(cm)
T-vs-h 100 y = 13.508x0.4989 T = 7.2674h0.5123
T(s)
T = 3.6249h0.4708
h1 h2 h3
10 T = 1.3701H0.4531
h4 Power (h1) Power (h2) Power (h3)
1 1
10
100
Power (h4)
h(cm)
c) Graficar T vs d, manteniendo h constante, una familia de curvas papel milimetrado.
T(s)
T vs d h(cm)=30
h(cm)=10.0
h(cm)=1.0
Power (h(cm)=30)
h(cm)=4.0
80 70 60 50 40 30 20 10 0 0
1
2
3
4
5
6
d(cm)
d) Utilice una hoja logarítmica para determinar el valor de n de la familia de curvas
T vs d h(cm)=30
h(cm)=10.0
h(cm)=1.0
Power (h(cm)=30)
h(cm)=4.0
T(s)
100
10
1 0
1
2
3 d(cm)
4
5
6
T-vs-d 100 d1
T(s)
d2 d3
10 y = 161.77x-1.972
d4
y = 96.093x-1.999
Power (d1)
y = 62.912x-2.067 y = 26.664x-1.798
Power (d2)
1 1
10
Power (d3) Power (d4)
d(cm)
e) Utilizando los datos de la tabla calcule el valor medio de la constante de proporcionalidad c. T= 𝐴√ℎ𝑑2 A=
6.8 √4(3)2
= 3.778
f) Determine la ecuación que relaciona el tiempo con las variables. T= 𝐴√ℎ𝑑2
g) Calcule el tiempo que tardaría en vaciar el líquido para d=4.0 cm y h=20 cm. T= 𝐴√ℎ𝑑2
T= 3.778√20(4)2 = 270.30𝑠
h) Calcule el valor del diámetro necesario para vaciar el líquido, si h=45 cm en 30 s. T= 𝐴√ℎ𝑑2 d= √𝑇⁄ 𝐴√ℎ d= √30⁄ = 1.087𝑐𝑚 3.778√45
ANALISIS DE RESULTADOS 1. ¿Qué tipo de función obtuvo cuando represento en Excel el tiempo en función del diámetro? R//=Se obtuvo una función potencial.
2. ¿Qué tipo de función obtuvo cuando represento Excel el tiempo en función de la altura? R//=Fue una función potencial. 3. ¿Qué facilidad le dio Excel para encontrar la ecuación que relaciona a las variables? R//=Excel nos permitió encontrar de forma muy fácil la ecuación que relaciona las variables, pues en este programa solo hay que agregar una línea de tendencia y esta nos calcula la ecuación.
4. ¿Puede usted predecir valores dentro de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso? R//= es muy difícil determinar el un valor dentro de la gráfica ya que no se determina con exactitud si se trata de una función exponencial o potencial. Este proceso se llama interpolar. 5. ¿Puede usted predecir valores fuera de la gráfica milimetrada perfectamente? ¿cómo se le llama a este proceso? R= no se puede determinar con exactitud un valor fuera de la gráfica debido a que se sabe que función presenta la misma. Este proceso se conoce como extrapolar.
Agradecimientos Agradecemos al personal encargado de suministrar en el laboratorio de la universidad, los materiales específicos para llevar a cabo esta experiencia de laboratorio y también a usted profesor Alejandro Ríos por contribuir con su ayuda en la realización del mismo.
Literatura Citada
Guía de laboratorio de física I U.T.P Matemática para la física por David C. Marion Física general versión universitaria del comité para las enseñanzas de la física
Conclusiones
Las gráficas nos pueden ayudar a determinar la relación entre un determinado grupo de datos. Se logra obtener una gráfica lineal aplicando distintos tipos de métodos para graficar. Conocemos los distintos tipos de funciones y como graficarlos.
Con Microsoft Excel se puede realizar fácilmente los cálculos y los gráficos de distintos datos.
Análisis indagatorio 1. ¿Qué ventaja tiene la representación gráfica de un conjunto de datos experimentales? R//= A veces el uso de un gráfico puede ser una gran ventaja porque ayuda a visualizar conceptos que de otro modo serían abstractos. La representación gráfica de las líneas de la pendiente como una imagen puede ayudar a los estudiantes a interpretar mejor los resultados. 2. ¿Qué es una función? R//=se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. 3. ¿Cómo analizar gráficamente un conjunto de datos experimentales que involucren tres variables? R//=para representar gráficamente un conjunto de datos que involucraran tres variables, se debe graficar la variable independiente con una de las dependientes dejando la otra constante parta facilitar así su comprensión esto se hace por medio de series.
Recomendaciones
Tener siempre presente los tipos de gráficas y ecuaciones que se generan si utilizamos un papel en especifico Procurar Introducir bien los datos a Excel y saber cuál es la variable dependiente e independiente.
Glosario 1. Línea: Sucesión continua de puntos en el espacio 2. Exponencial: Que tiene un ritmo que aumenta cada vez más rápidamente 3. Potencial: Que puede suceder o existir, en contraposición de lo que ya existe 4. Relación: Conexión, correspondencia de una cosa con otra: 5. Pendiente: es la inclinación de un elemento (natural, ideal o constructivo) respecto de la horizontal.
6. Curva: es una línea (real o imaginaria) que se aparta de la dirección recta sin formar ángulos. 7. Constante: es una cantidad que tiene un valor fijo en un determinado cálculo, proceso o ecuación. 8. Promedio: consiste en el resultado que se obtiene al generar una división con la sumatoria de diversas cantidades por el dígito que las represente en total.
