La axiomática de Robert Blanché Este texto nos explica lo que es un sistema axiomático, sus partes internas y la definición y función de cada una. A su vez se van presentando diferentes problemas en cada parte ya sea al interior del sistema con las definiciones, fundamentos, la coherencia del sistema, su carácter de verdadero o falso etc. También se presentan problemas en otras ciencias como las matemáticas la lógica, el método científico y la filosofía, esto provoco que geómetras filósofos, matemáticos y lógicos tomaran diferentes posturas a cerca de los fundamentos de la matemáticas y la lógica así como también provoco una pluralidad de sistemas axiomáticos lógicos, matemáticos y geométricos. La pretensión de la axiomática era proveer respuestas absolutas sin subjetividad en donde cada postulado y proposición quedaran bien demostrados y definidos. Esto se viene abajo en cada cado, primero al geometría y luego con las matemáticas y la lógica. Al final nos encontramos con el problema de que los principios, reglas y nociones comunes que son la base de el sistema y que se suponen como axiomas solo son validas dentro del mismo sistema, estas pueden cambiar en otro sistema o modificarse dando lugar a otra axiomática, de una misma teoría, totalmente diferente. Conceptos básicos
El libro comienza por darnos una breve definición de lo que es la axiomática, esta es el proceso mediante el cual puede ser generado un sistema haciendo uso de reglas y deducción lógica. Partiendo de proposiciones básicas (axiomas y postulados) su finalidad es descubrir un modelo en el que cada postulado sea verdadero. Un sistema axiomático es la forma definitiva que en la actualidad toma una teoría deductiva. Los teoremas no se presentan sin una definición previa, las proposiciones no se citan sin haber sido demostradas, los principios no son demostrables ya que una demostración no puede ser retomada al infinito. Es importante no apelar a la experiencia para justificar, se trabaja recurriendo solo a demostraciones. Cada teorema teorema gurda una relación necesaria con la proposición de la que es deducido. Todo junto integra un sistema en el que al sustraer o cambiar algo se compromete todo. En un sistema axiomático todos los términos y las proposiciones no demostradas deben quedar explícitas, los términos no demostrados se consideran como hipótesis con las cuales pueden construirse proposiciones de acuerdo a las reglas lógicas. Errores en la geometría euclidiana y surgimiento de nuevas geometrías
Teniendo en cuenta estos conceptos base se expone un problema dentro de la geometría euclidiana que dará como resultado la creación de geometrías geometrías no euclidianas. Este problema se debe al carácter hipotético de los postulados (específicamente el problema aparece con el postulado cinco, necesario para justificar la proposición proposición veintinueve). veintinueve). Tiempo después al intentar justificarlo se 1
llego a la conclusión de que las demostraciones sucesivas tenían como base suposiciones implícitas. Ya que fue imposible demostrar este postulado se pensó que el negarlo o modificarlo no tendría que provocar contradicciones. De esta forma procedieron Reimann y Lobachevski dando lugar a las geometrías no-euclidianas. En cuanto a la veracidad de un sistema, no se trata de que su contenido sea verdadero o falso, mas bien de que haya coherencia o contradicción interna. Euclides suponía que la intuición es prueba o evidencia en la cual se apoyo al momento de crear sus definiciones, demostraciones y postulados. Desgraciadamente la axiomatización exige rigor y exactitud. Debido a que la intuición puede llegar a caer en interpretaciones subjetivas o introducir presupuestos esta no puede ser utilizada como un apoyo. Primer intento de axiomatización Perdida del sentido empírico en las proposiciones a favor de la reducción a la lógica
Un axioma ,a diferencia de un postulado, es una noción común o proposición analítica. En cambio el postulado sería como una proposición sintética. En cuanto a las definiciones es necesario que existan definiciones y proposiciones primeras, es decir que son indefinibles o indemostrables, esto para evitar una cadena de definición infinita. La función de las demostraciones y definiciones parece un poco problemática pues se destacan dos aspectos, al exponer la geometría se intenta cumplir con un objetivo pedagógico y didáctico o con el rigor lógico. Al tratar de cumplir con ambas cosas puede resulta confusa la exposición de la geometría. La axiomática nace en 1882 cuando por primera vez se intenta hacer una axiomatización de la geometría, fue el alemán Moritz Pasch quien realizo este primer intento, pese a que su sistema presento muchas fallas Pasch dio con un problema importante. Para que la geometría se axiomatice es necesario que el modo de extraer consecuencias sea independiente de los conceptos geométricos. De esta forma las reglas o condiciones que exige una exposición deductiva son que los términos primero sean enunciados claramente, las proproposiciones primeras con que se demostraran otras deben ser también claras, las relaciones entre los términos primeros sean solo lógicas, independientes del sentido concreto que pueda darse a los términos y finalmente que solo estas relaciones puedan intervenir en las demostraciones. Estas reglas implican la distinción entre términos y proposiciones propios del sistema y aquellos que sean anteriores al sistema, pertenecientes mas bien a cuestiones lógicas. Esto se debe a que en un sistema geométrico se presuponen conocimientos lógicos y aritméticos. El que se diga que un termino es indefinible o una proposición indemostrable es relativo a el sistema axiomático del que se esta tratando pues uno puede escoger que términos y definiciones serán los primeros y fundamentales. Este cambio de reglas determinara a los postulados. El carácter lógico de un postulado es que este es una hipótesis que permite deducir un conjunto de proposiciones, por lo que la validez de un razonamiento que se haga a partir de esto es independiente de la verdad de su contenido. 2
En cuanto a los términos primeros surge la duda siguiente: en el postulado se hace una abstracción, no importa la verdad de su contenido ¿ se puede hacer esta abstracción a su vez en los términos primeros? Si esto es así ¿cuál es el sentido que tienen pues ni podemos definirlos y además al abstraerlos se pierde su sentido intuitivo? Ya que, como se menciono antes, lo que se pretende es eliminar cualquier subjetividad y términos implícitos, es necesario olvidar cualquier sentido empírico. El sentido se fija por el uso en los postulados que enuncian la relación lógica que hay entre cada noción, gracias a esto lo que queda determinado es la relación entre los términos y no cada termino por separado. Un ejemplo de axiomática es la que elaboro Peano para la teoría de los números naturales. Con sus primeras dos proposiciones define una sucesión numérica. A su ves con esto es posible demostrar todas las proposiciones y nociones elementales de la aritmética. Pluralidad axiomática en las teorías
Una teoría preaxiomática también denominada concreta o material mantiene una relación con su contenido y conserva el sentido y verdad empírica. Considerando una de las múltiples axiomáticas de una teoría concreta, ya que el sentido de sus términos, y en consecuencia de todas sus proposiciones esta fijado equívocamente por los postulados. Se podrían dar distintas interpretaciones o escoger ente distintas realizaciones axiomáticas de una misma teoría. A estas diferentes formas de axiomatizar una misma teoría se les llama modelo. La teoría concreta original que proporcionó los puntos de referencia tambien será uno de los modelos, más no el único. En el caso de que un modelo no se distinga de otro por la mera estrucura lógica (pues en ambos es la misma), sino por la diversidad de interpretaciones concretas que puedan darse de susterminos, se les llamara entonces isomorfo. Esto permite que cualquier teoría puede servir de modelo a otras. Cuando los postulados no son compatibles entre ellos el sistema puede volverse contradictorio, un sistema axiomático debe ser necesariamente consistente. Una posibilidd para saber si un sistema es consistente es que al desarrolarse una larga cadena de consecuencias no se encuetre contradicción, aunque esto no nos promete que puedan aparecer antinomias. Reducir a una teoría anterior. (esta parte del libro no me es clara por lo que la citare como está ecirto) “ Primero se postulando la no contradicción de un sistema anterior bien establecido en la práctica tal como la aritmetica clasica o la geometria euclidiana; a continuación se elabora, a partir del sistema que se estudia, una interpretación tal que venga a aplicarse sobre el primero o parte de éste. La no contradicción postulada del primero se transmite al segundo.” Darle una aplicación a la teoría en el mundo Se construye un modelo físico, la existencia de dicho modelo en el mundo garantiza la consistencia de la axiomática.
3
Simbolización y formalización
Ya que la finalidad de la axiomática es apartar una teoríia de sus significaciones concretase intuitivas, es necesario olvidar el sentido de los términos propios a la teoría y sustiturlos por simblolos desprovistos de sentido previo. Esto hace mas facil el siguiente paso que es la formalización, empezando con proposiciones primeras(aceptadas solo como hipótesis) expuestas mediante lenguaje simbólico, posterirmente se pueden adoptar terminos nuevos sin que se puedan hacer acusaciones a la teoría pues estos se derivaron de las proposiciones priemeras. Esto solo es así si se aceptan las reglas de la lógica como universalmente validas, este punto es interesante pues nos llevara a un gran problema en cuanto a los fundamentos tanto en lógica como en matemáticas. Crisis de los fundamentós lógicos
La crisis en los fundamentos lógicos surgio gracias a que dentro de la teória de conjuntos se encontraron paradojas, para solucionar este problema se exponen las reglas lógicas tambien como si fueran hipotéicas. Este desacuerdo en cuanto a los principios lógicos llevo a la pluralizacón de la axiomatización de la lógica. Habiendo ocurrido esto, las proposiciones lógicas despojadas de su sentido lógico se convirtieron en formas puras, tautologías. La interpretación formal de la lógica da lugar a la aparición de lógicas no clasicas, pues si los principios son hipotéticos, no hay nada que impidiese establecer otros. Posturas Empirismo, logicismo y reconstrucción axiomática
Esto abrió caminos para resolver los problemas de los fundamentos y la teoría de conjuntos. Surgen tres diferentes propuestas para solucionar el problema. El empirismo de Borel y Lebesgeu que atribuyó las dificultades al manejo ciego de los instrumentos lógicos. Propone a la intuición como juez de la validez de las reglas lógicas, este procedimiento lleva a condenar o tener que rechazar partes considerables no solamente de la teoría de conjuntos, sino tambien de las matemáticas. Otra opción es el logicismo de Russell que conserva el proposito de construir matemáticas a partir de leyes de la lógica,aunque estas deben ser reforzadas en vista de que pueden conducir a antinomias. Por desgracia conciliar ambas cosas es dificil. Por últio está la reconstrucción axiomática propuesta por Zermelo que demanda de axiomas que no permitan la produccón de antinomias, aunque esto no resulta suficiente, es necesario que los axiomas sean confiables por si mismos. La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa, si un sistema es o no congruente. Si esta demostración pudiera dárnosla una axiomática de la teoría de los conjuntos, quedaría resuelto el problema de los fundamentos.
4
Bibliografía Blanché, R. (2002). La axiomática. México: Fondo de cultura económoca. Baldor. (2008). Geometría y Trigonometría (segunda edición ed.). México . Euclides. (1991). Los elementos. (M. L. Castaños, Trad.) Madrid: Gredos. Nidditch, P. H. (1995). El desarrollo de la lógica matemática. Madrid: Cátedra.
5
