WATER INFLUX Facultad de Petroleo y Gas Natural Preparo: Ing. Freddy Reynolds Pareja !!a " Enero # $%&&
Water Influx
• Muchos reservorios están limitados en una parte o la totalidad de sus periferias por capas acuíferas llamadas acuíferos
• Los acuíferos pueden ser tan grandes en comparación con los reservorios que colindan que parecen infinitas a todos los efectos prácticos o
• . Ellos pueden tener un rango hasta los tan pequeño como para ser insignificantes en sus efectos sobre el rendimiento del yacimiento.
Water Influx
• El propio acuífero puede ser totalmente limitado por la roca impermeable para que el reservorio y el acuífero juntos forman una unidad cerrada cerrada o volumtrica. volumtrica. afloramientos • !or otra parte" el reservorio puede tener afloramientos en uno o más lugares donde puede ser repuesto por las aguas superficiales.
Water Influx En respuesta a una caída de presión en el reservorio el acuífero reacciona para compensar o retardar la declinación de la presión" proporcionando una fuente de afluencia de agua por #a$ E%pansión del agua y la compresión de los poros #b$ El flujo de las aguas artesianas que se produce cuando el acuífero se eleva a un nivel por encima del yacimiento.
Evaluacion del Water Influx
• &na parte integral del control normal del reservorio es un programa de evaluación del influjo del agua activa.
•
La pr'(era )ase de la e*aluac'on es el d'agnost'co+ clas')'cac'on y caracter',ac'on del e(puje de agua.
• La segunda fase trata de identificar los modelos
•
matemáticos aplicables para ayudar en la simulación del pasado y la predicción del rendimiento futuro del acuífero. Esta fase tambin incluye la estimación de los parámetros del modelo. La fase final incluye la combinación de los acuíferos y modelos de los yacimientos" en un modelo com'n que en 'ltima instancia" puede predecir el comportamiento del yacimiento y se puede utili(ar para optimi(ar el agotamiento.
Clasificacion de los Acuiferos
• La nomenclatura del empuje de agua esta basado en la ubicación de los acuíferos con relación al reservorio.
Per'p-eral ater dr'*e: )cuífero rodea el reservorio total o parcialmente
• •
Edge ater dr'*e: )cuífero se alimenta por un solo lado o en el flanco del reservorio /otto( ater dr'*e: )cuífero esta debajo del reservorio y lo alimenta desde abajo
Clasificacion de los Acuiferos
•
*lasificaciones basadas en el empuje. #es decir" el po(o que proporciona agua de recarga del acuífero al reservorio y poder mitigar la disminución de la presión del yacimiento
•
•
•
0trong acu')ero : )cuífero en el que el caudal del influjo agua es similar que el caudal de e%tracción de fluidos a condiciones de yacimiento. Estos yacimientos se llaman empuje completo de agua y se caracteri(a por la pequeña disminución de la presión. )cuíferos fuertes son generalmente muy grandes y bien comunicados con el reservorio 1oderado o de!'l acu')ero: )cuífero donde la caudal de recarga del agua es considerablemente inferior al caudal producido del reservorio de líquidos. Estos yacimientos se llaman pulsiones parciales de agua. +e caracteri(a por una mayor disminución de la presión mayor que la de un empuje de agua integral. Inact'*o acu')ero : Los acuíferos sin influjo absoluto durante el agotamiento
Diagnosis del Empuje de Agua
• 2'agnose t-roug-: • •
Understand'ng reser*o'r geology: 'dent')y co((un'cat'ng and nonco((un'cat'ng pat-ays. onsult (ap to 'dent')y reser*o'r trap and '(penetrata!le sur)aces !y ater 0tudy per)or(ance para(eters3*ar'a!les
• • • •
•
W4R -'story o) ells and reser*o'r: steady r'se 's an 'nd'cat'on o) aterdr'*e. /e care)ul a!out ater con'ng 5'story o) a*erage reser*o'r pressure: 0loer decl'ne t-an e6pected 's an 'nd'cat'on Reser*o'r Pressure d'str'!ut'on: 5'g- pressures e6'sts near reser*o'r3a7u')er !oundary. Loer pressures at (ore d'stant locat'ons. A pressure contour (ap 's use)ul. G4R 's also an 'nd'cat'on. 0trong aterdr'*es -a*e s(all c-anges 'n G4R
1/E analys's d'agnost'c plots suc- as t-'s one )or an undesaturated reser*o'r
F E 0
= N +
W e E 0
Diagnosis via performance plots
Una 'nd'cac'8n )unda(ental es el au(ento de la pres'8n pro(ed'o del yac'('ento cuando las caudales se reducen.
Propiedades Principales del Acuifero
• Las prop'edades (as '(portantes del acu9)ero son los s'gu'entes por su '(portantes para el (odelado del 'n)lujo de agua y su caracter',ac'8n son: &; $; <; =; >; @;
s',e and s-ape per(ea!'l'ty poros'ty ater co(press'!'l'ty roc? co(press'!'l'ty and ater *'scos'ty.
Water Influx Models
•
Los Modelos del influjo de agua son modelos
matemáticos que simulan y predicen muchas variables" pero lo más importante es el historial de entrega ,volumen o influjo del acuífero . -ay varios modelos del acuífero muy populares
0c-'lt-u's (odel &<@; 0teady state+ ss;
*an E*erd'ngen and 5urst (odel &=+ uss;
arter and Tracey (odel &@%+ uss;
0(all3Pot A7u')er (odel 5a*lena B 4de-+ &@<;
Fet?o*'tc- (odel &C&+ pss;
Actual Water Influx Dynamics
• • •
En general+ co(o la deplec'on de la pres'on se or'g'na en el reser*or'o+ de!'do a las d')erenc'as de pres'ones entre el reser*or'o y el au(ento del acu')ero causado por el 'n)lujo de agua. In t'(e+ t-e 'n)lu6 lessens t-e reser*o'r pressure decl'ne to t-e po'nt t-at t-e to reser*o'r and a7u')er; -a*e nearly e7ual pressures. T-'s 'nteract'on causes t-e ater del'*ery rate to start at ,ero gro stead'ly + reac- a (a6'(u( and t-en )'nally decl'ne.
Actual Water Influx Dynamics
• • • •
Los (odelos de estado no estac'onar'os t'enen (as e6'to en la captura de la d'na('ca real en co(parac'on de los otros (odelos pero a un prec'o de una (ayor co(plej'dad. El (odelo de Dan E*erd'ngen and 5urst es un (etodo unsteady state; para un estado 'nesta!le y es el (as so)'st'cado 7ue todos los anter'ores (etodos. . 0u pr'nc'pal *entaja es su capac'dad de capturar la d'ana('ca real del )lujo de agua y por lo tanto+ esta (as cercano a la real'dad. 4r'g'nal(ente su pr'nc'pal des*entaja es la neces'dad de usar gra)'cos y ta!las repet't'*a(ente para un calculo senc'llo
Actual Water Influx Dynamics
•
5oy en d'a+ )ac'l(ente se pueden d'g'tal',ar sus gra)'cos y ta!las+ la neces'dad para otras alternat'*as -a d's('nu'do.
• • •
0'n e(!argo+ para captar los d')erentes (ecan's(os entre los (etodos ta(!'en se podra cu!r'rlos. T-e steady state (et-od o) 0c-'t-u's and Pseudo steady state (et-od o) Fet?o*'tc-.
Pot aquifer model 0' el acu')ero es pe7ueo+ per(ea!'l'dad es alta+ !uena co((un'cac'on entre el acu')ero y los -'drocar!uros del reser*or'o reser*or'o la trans('c'on de la d'stur*anc'a de la pres'on es )ac'l y rap'da para alcan,ar la pres'on de e7u'l'!r'o. '.e. la pres'on pro(ed'o en la ,ona del o'l y el acu')ero son los ('s(os. Por la ca'da de la pres'on pro(ed'o en el s'ste(a reser*o'r3a7u')er + p' " p; + el ater en el a7u')er se e6pandera y el 'n)lujo en el Reser*or'o con una cant'dad de :
We = Vpaq (c w + cf ) (pi - p) = B (pi - p) 2onde / es la constante del acu')ero se o!tendra co(o:
B = V paq (c w + cf )
Pot aquifer model Recordando 7ue 1/E en general
F = N Eo +
mNBti Bgi
E g +NBti (1+m)E f,w + We
0ust'tuyendo We dentro 1/E o!tendre(os:
mBti F = N Eo + E g +B ti (1+m)E f,w + B ( p i − p ) Bgi A7u' 1/E t'ene < constantes desconoc'das+ N+ ( and /
Interpretation Plot
Ten'endo Et
E t =E o +
F El plot de
Et
mBti Bgi
=N+B
E g +B ti (1+m)E f,w
( pi − p ) Et
es una l'nea recta 7ue se 'ntercepta N and slope /. 0' ( no es conoc'da+ entonces se procede por prue!a y error -asta consegu'r 7ue la *ar'a!le ( sea una l'nea recta
Interpretation Plot
0' ( % undersaturated reser*o'r;+ entonces el plot de
F Et
=N+B
( pi − p ) Et
es una l'nea recta 7ue se 'ntercepta N and slope / no es necesar'o de ut'l',ar la tecn'ca de prue!a y error.
Steadystate models! Sc"ilt"ius model
El (odelo 0c-'lt-'us asu(e 7ue:
La pres'on en el l'('te e6terno del acu')ero se (ant'ene en el *alor 'n'c'al P'+
por tanto el reser*or'o alcan,a el estado de e7u'l'!r'o s'tuat'on tal 7ue la pres'on del reser*or'o se esta!'l',ara a una pres'on deter('nada.
As' 7ue el caudal del ater 'n)lu6 desde el a7u')er en el reser*or'o es 'gual a la producc'on de )lu'dos o'l+ gas and ater; desde el reser*or'o.
Sc"ilt"ius model
0' durante un rasona!le largo per'odo @ (eses o (as; el caudal de producc'on y la reser*or'o pres'ons'gue s'endo sustanc'al(ente constante+ entonces asu('(os de 7ue la 'nteracc'on del reser*o'r'o y el acu')ero estan !ajo cond'c'ones de steady state. 2urante la cond'c'on de steady state+ el caudal *olu(etr'co ret'do o (as el caudal *ac'ado del reser*or'o sera 'gual al caudal del ater 'n)lu6.
Sc"ilt"ius model
Esta relac'on en ter('nos de la 1/E sera:
dw e dt
dt
+ (R p
- R si ) B g
dNp dt
+ Bw
dw p dt
Por de)'n'c'on
dw e dt
= Bt
dNp
= Bt Qo + (R p -R si ) Bg Qo + Bw Q w
2onde Ho and H. son los caudales d'ar'os de producc'on en super)'c'e en 0T/ y 0F.
Sc"ilt"ius model
4nce dWe3dt 's deter('ned )ro( product'on data+ 't 's e7uated to dWe dt
= ! (pi - p)
And sol*ed )or ?J. T-e a!o*e relat'on -olds !ecause+ t-e steady state rate )lo 'nto t-e reser*o'r+ !y 2arcyJs la+ 's proport'onal to t-e pressure d'))erent'al. ;
Sc"ilt"ius model
Integrando dWe3dt el co(porta('ento de We co(o )unc'on del t'e(po y p. t
∫
We = ′ (p i -p)dt 0
We entonces podre(os calcular nu(er'ca(ente para todas las porc'ones de los datos de producc'on.Entonces ta(!'en se podra ut'l',ar para e)ectuar las pred'cc'ones del po,o.
Application of t"e Sc"ilt"ius met"od
El un'co eje(lo en los l'!ros de te6to de 0c-'lt-'us de su prop'o tra!ajo. 2esde un ploteo de datos de producc'on + a cont'nuac'on donde se puede 'dent')'car una porc'on donde se t'ene:
La pres'on del reser*or'o esta esta!'l',ada.
El caudal product'on es
sustanc'al(ente constante.
El G4R es !astante
constante.
Application of t"e Sc"ilt"ius met"od
0c-'lt-'us -as 'dent')'ed t-e port'on !eteen $K to <= (ont-s )ro( t-e start o) product'on and collected t-e )ollo'ng data. T-e pressure -as sta!'l',ed at $%% ps'a 4'l rate as su!stant'ally constant at ==&%% 0T/32. G4R K$> 0F30T/ and Rso' 's @%% 0F30T/ /tC.>$% cu)t30T/ and /g%.%%@< cu)t30F at $%% ps'a T-e 'n't'al pressure as $$C> p'a dWp3dt%
Application of t"e Sc"ilt"ius met"od For t-e (ent'oned sect'on o) product'on plots+ one calculates t-e da'ly *'odage '.e. reser*o'r *olu(e o) da'ly product'on rates o) reser*o'r )lu'ds; -'c- (ust !e e7ual to rate o) ater 'n)lu6. 5ence+ dW e dt
= "#$%0 x &&100 + ('%$ − 00)0#00*x &&100 + 0 = &01000 cuft day
0'nce t-e calculated 'll also !e e7ual to dW e dt
= k ′( p i − p s ) = k
− %00) = &01000 !(%%"$
0ol*'ng t-e 'n)lu6 constant y'elds. k ! =
&01000 (%%"$ − %00)
= %1"0 cu)t3day3ps'.
T-'s *alue can !e used )or calculat'ng t-e ater 'n)lu6 )or !otsta!'l',ed and c-ang'ng reser*o'r pressure 'nter*als.
Application of t"e Sc"ilt"ius met"od
I)+ 'n t-e product'on plot+ t-e pressure sta!'l',es !ut 't-draal rates are not reasona!ly constant t-e ater 'n)lu6 )or t-e sta!'l',ed per'od (ay !e )ound )ro( t-e total o'l+ gas and ater *o'dage )or t-e per'od +
∆We = Bt ∆ N p + (∆G p − R soi ∆ N p ) B g + Bw∆W p T-en t-e 'n)lu6 constant 's calculated as:
W e ∆ k ′ = ∆t ( pi − p s )
Application of t"e Sc"ilt"ius met"od El cu(ulat'*o del 'n)lu6 es o!ten'do por la 'ntegrac'on nu(er'ca es7ue(at'ca(ente sera: t
We
= ∫ k ′( p i − p s )dt = k 0
!
∑1%.(p -p) +(p -p) i
i
W e = k ! F (t )
∆t
+1 /
=0
0ust'tuyendo esto en la 1ater'al /alance E7uat'on o!tedre(os: F E o +
0' ( %:
mBti B gi
F (t )
= N + k !
E g + (1 + m) Bti E f , w
F E o + Bti E f , w
= N + k !
E o +
mBti B gi
E g + (1 + m) Bti E f , w
F (t ) E o + Bti E f , w
Ten'endo en cuenta 7ue con esta apro6'(ac'on se ocac'onaran grandes errores en N pero no en ?J .
#nsteadystate models 1etodo Dan E*erd'ngen and 5urst DE5; :
ϕ µ ct ∂ p 1 ∂ p ∂ p + = −* % ∂r r ∂r #**×10 k ∂t %
p pressure ps'a or ps'g; r rad'al d'stance )t; t t'(e days; ? per(ea!'l'ty (d; poros'ty )ract'on; ct total co(press'!'l'ty c.c) ater *'scos'ty cp; Area o'l ,one; Mr R$ Area a7u')er; Mr a7$ # r R$;
raq
r$ %il &one
Aquifer
Metodo 'an Everdingen and (urst La soluc'on cuando la pres'on en los l'('tes del reser*or'o3acu')ero es presentado en )unc'on de la )or(a ad'(ens'onaldel ater 'n)lu6+ W e2 co(o una )unc'on del t'e(po ad'(ens'onless+ t 2 y del rad'us+ r a72
W e (t ) = B ′ ∆P W eD (t D , rD ) Esta soluc'on asu(e 7ue estos ca(!'os de 'nter*alos entre el reser*or'o y la pres'on del acu')ero. 0eran:
∆ p = pi − p R
2onde p' es la pres'on 'n'c'al del acu')ero y p R es la pres'on en los l'('tes del reser*o'or3acu')ero con lo 7ue supone 7ue ta(!'en es un')or(e en todo el reser*or'o.
. Por lo tanto esta soluc'on se deno('na en ter('nos de la pres'on constante.
'an Everdingen and (urst met"od Las *ar'a!les en la soluc'on estan de)'n'das a cont'nuac'on: t2 @.<<6&%#< ? t3 ct r R$; O t O @.<<6&%#< ?3 ct r R$; constante de con*ers'on del t'e(po r a72 r a7 3Rr /J Water 'n)lu6 constant !!l3ps'; &.&& ct r R$ - 3<@% angle represent'ng t-e port'on o) t-e o'l ,one 'n contact 't- t-e a7u')er+ )ull c'rcle <@% degrees; - t-'c?ness o) t-e a7u')er )t;
Water influx function) WeD
Water influx function) WeD
Water influx function) WeD
Water influx function) WeD
Superposicion La soluc'on de DE5 asu(e 7ue la pres'on del rer*or'o es constante+ ('entras 7ue en real'dad la pres'on del reser*or'o decrese con el t'e(po. Para -acer )rente a esta l'('tac'ont+ representare(os 7ue la decl'nac'on de la pres'on del reser*or'o es cont'nua con una ser'e de 'nter*alos de decre(entos de la pres'on y apl'cando el pr'nc'p'o de la superpos'c'on para calcular el *olu(en acu(ulat'*o del ater 'n)lu6.
Superposicion Para apl'car por pr'(era *e, la superpos'c'on+ el t'e(po y la pres'on del reser*or'o seran do('n'os d'scret',ados. . Una *e,+ 7ue el do('n'o del t'e(po se d'scret',a en n&; puntos t%+ t&+ t$+Q.tn; donde t% t&+ t& t$+ t$ t
La ilustracion grafica de la presion y el tiempo discretizados y los intervalos de los decrementos de la presion partiendo desde t=0.
p 0 = p* p*+,p*p-./0
e r u s s e r P
p-
p-+,p*1p-./0,p*1p0./0 + ,p*p0./0
p1 = ( p 0 + p1 ) %
p0
p % = ( p1 + p % ) %
t*
t-
p0+ ,p-p2./0
p2 3ime
t0
t2
Superposicion Let t' St j. 'n t-e d'screta,'ed t'(e do(a'n . At any t'(e t';+ t-e contr'!ut'on o) a step drop 'n pressure t-at -as occurred at a pre*'ous t'(e t j p j; 's e7ual to t-e drop t'(es t-e d'(ens'onless ater 'n)lu6 W e2; correspond'ng to t-e t'(e lapse s'nce t-at step drop occurred: We at t'(e tt ' ; due to a step drop occurred at t j 'll !e e7ul to t-e product /J
p j We2t'#t j;2;
T-e total 'n)lu6 W e at t'(e tt'; 's t-e su( o) contr'!ut'ons o) all pre*'ous step drops t-at occurred at t'(e le*els j%+&Q'#&;.
W e (t i ) = B ′
i-1
# eD ∑ ∆Pj W
=0
(t Di − t Dj )
Superposicion Por eje(plo+ apl'cando para '&+$ y < se o!t'ene:
W e 1 (t1 ) = B ′∆P0 W eD (t D 1 − t D 0 )
∆ P0 W eD (t D % − t D 0 ) + W e % (t % ) = B ′ ∆ P1 W eD (t D % − t D 1 )
∆ P0 W eD (t D * − t D 0 ) + ′ W e * (t * ) = B ∆P1 W eD (t D * − t D 1 ) + ∆ P% W eD (t D * − t D % )
Systematic 4ater influx calculation steps!
&. 2'scret',ando el do(on'o del t'e(po y la pres'on los 'nter*alos del t'e(po seran 'guales a los 'nter*alos del t'e(po 7ue aceleraran los calculos; or'g'nando una ta!la del t y la p n&; po'nts '%+&+..n $. alcular la constante de con*ers'on del t'e(po. O @.<<6&%#< ?3 ct r R$; and r a72 r a7 3r R <. alcula t2' los *alores de cada (o(ento y aad'r a la ta!la =. alculate t'(e a*erage *alues o) pressures )or eac- t'(e 'nter*al
p i = ( p i −1 + p i ) %
note p 0 = p0
>. 2eter('nar los *alores de algunas ca'das de pres'on+ Vp' '&+$..+n; usando+
∆ p i = ( p i − p i +1 ) To(ar en cuenta el patron resultante d'scret',ac'on central;: Vp% p% " p&;3$ and
Vp& p% " p$;3$
and
Vp' p'#& " p'&;3$
Systematic 4ater influx calculation steps! 0teps )ro( @ to &% 's a repet't'*e procedure )or t-e appl'cat'on o) superpos't'on. To calculate cu(ulat'*e ater 'n)lu6 at a g'*en t'(e t ' '.e at t-e end ') ' tdecre(ent @. For j%+&+$Q'#&; + Wr'te don all t 2'# t2j ; *alues 'n t-e pre*'ous ta!le 'n re*erse 4rder '.e.)ro( greatest to least; 'n a separate colu(n to )or( a ne ta!le C. alculate and Wr'te don W e2j *alues )or eac- t2'# t2j ; 'n t-e ne6t colu(n K. Aga'n )or j%+&+$Q'#&;+ Wr'te don Vp j *alues o) t-e )'rst ta!le 'n nor(al order 'n t-e ne6t colu(n o) t-e ne ta!le Note 'n suc- an order'ng+ eac- pressure drop+ Vp j 's related to 'ts+ t-e elapsed t'(e t jt#tsj; tsj start'ng t'(e )or t-e pressure drop+ and -ence to 'ts d'(ens'onless elapsed t'(e 's t2#t2j; O t#tsj;
Systematic 4ater influx calculation steps!
. 2eter('nar el ater 'n)lu6 ad'(ens'onal de!'do a los decre(entos de la pres'on: We26 Vp j y se adjunta a la ta!la &%. alcular el ater 'n)lu6 ad'(ens'onal desde: We26 Vp j &&. Us'nando la constante del ater 'n)lu6 !!l3ps'; /J &.&& ct r R$ - 3<@% alcular el ater 'n)lu6 ad'(ens'onal usando: /J We26 Vp j
Example of 4ater influx calculation ,'E(. El -'stor'al de ca'das de pres'on y a7u')er prop'edades del acu')ero se tendra a cont'nuac'on. T'(e day;
Pressure ps'g;
%
$>%%
<@>
$<%%
&%> $$%% ? &%% (d %.$ & cp ct C6&%#@ ps'#& r R &%+%%% )t r a7 >%+%%% )t - >% )t <@% alcular el ater 'n)lu6 para un t &%> days.
Example5 2 punto de discreta&acion
p 0 =
p* p*+,p*p-./0
p1 = ( p 0 + p1 ) %
e r u s s e r P
i
ti
pi
* 0
* 267 -*87
07** 02** 00**
pi =
07** 09** 007*
p-+ ,p*p0./0
p p % = ( p1 + p % ) %
p0 *
267
3ime
-*87
Example of 4ater influx calculation ,'E(. Los resultados de la d'scret',ac'on seran ta!ulados co(o s'gue: ya 7ue desea(os We para t &%> days; t day; p ps'g; ' t' t2' p' p' p i % $>%% % t%% % p% $>%% $>%% % <@> $<%% & t&<@> &.@> p& $<%% $=%% &%% &%> $$%% n$ t$&%> =.> p$ $$%% $$>% &>% Tener en cuenta el patron
p '+ co(o se 'lustra en el gra)'co anter'or
p%p%#p&;3$$>%%#$<%%;3$&%% p&p%#p$;3$$>%%#$$%%;3$&>%
and
Example of 4ater influx calculation ,'E(. Usando O @.<<6&%#<6&%%3%.$6&6C6&%#@6&%K; %.%%=>$ day#&+ r a72 > /J &.&&6%.$6C6&%#@6&%K6>%6<@%3<@% CK<< !!l3ps'; 0'nce e ant to calculate at t&%> days '$ 'n pre*'ous ta!le t-us -ence j%+& 'n t-e ne ta!le !elo.; j % &
t2'#t2j =.>#%=.> =.>#&.@><.<
We2
p j &%% &>%
We26 p j
t2#t2j; O t#t j; and We2 *alues needs to !e o!ta'ned )ro( )'gures o) d'(ens'onless solut'ons g'*en earl'er or ta!les suc- as !elo.
Water influx function
Example of 4ater influx calculation ,'E(. Fro( t-e last colu( 'n t-e pre*'ous ta!le e read: j t2#t2j; O t#t j; We2 <.% <.&> % t2 "t2&; <.< <.> <.>=$ =.> =.&< & t2 "t2%; =.> >.% =.=
Example of 4ater influx calculation ,'E(. L'near 'nterpolat'on )or(ula )or t 2:(; t2 t2:(L&; : We2t2; We2( t2 "t2(; We2:(L&; " We2(;3t2:(L&; "t2(; L'near 'nterpolat'on )or(ula )or r a72: We2r 2; We2( r 2 "r 2(; We2:(L&; " We2(;3r 2:(L&; "r 2(; T-us )or t-e *alues 'n t-e pre*'ous sl'de We2t2$#t2&; <.&> <.<"<.%;<.>=$"<.&>;3<.>"<.%; <.=%< We2t2$#t2%; =.&< =.>"=.>;=.="=.&<;3>.%"=.>; =.=@K
Example of 4ater influx calculation ,'E(. j
t2'#t2j
%
=.>#%=.>
=.=@K
&%%
[email protected]
&
=.>#&.@><.<
<.=%<
&>%
>&%.>
W e (t i ) = B ′
We2t2'#t2j;
i-1
# eD ∑ ∆P j W
=0
p j
(t Di − t Dj ) =
C+KK<
[email protected] >&%.> C+>=@+%%$ !!l C.>=@ 11 !!l
We26 p j
Pseudosteadystate model Fet?o*'c- 1et-od: p' In't'al pressure ps'; r R rad'us o) t-e o'l reser*o'r )t; r a7 rad'us o) t-e a7u')er )t; t t'(e days; ? per(ea!'l'ty (d; - t-'c?ness )t; poros'ty )ract'on; ct total co(press'!'l'ty c .c) angle o) contact 't- t-e a7u')er deg;
raq
r$ %il &one
Aquifer
PSE#D%S3EAD:S3A3E P$%CED#$E &. alcular la 'ntrus'on 'n'c'al del ater+ We' !!ls;:
W ei =
p i ct π ( r − r ) hϕ θ % aq
% R
$#1$
*0
$. alcular el Product'*'ty Inde6+ Y+ para el )lujo desde el acu')ero -asta el reser*or'o s'n )lujo l'('te e6ter'or:
=
0#00"0'kh
θ
µ .( raq r R ) − 0#"$/ *0
PSE#D%S3EAD:S3A3E M%DE; <. 2'*'d'r el -'stor'al de la pres'on en 'nter*alos de t'e(po. El ta(ao de algunos 'nter*alos de t'e(po sera: tntn#tn#&. 2e)'n'endo las pres'ones a cont'nuac'on:
p Rn = 2ese2oi2 p2ess32e at t4e ed of t4e n t4 time step pR = ae2age 2ese2oi2 p2ess32e d32ig t4e n t4 time step p = ae2age aq3ife2 p2ess32e at t4e ed of t4e n t4 time step
PSE#D%S3EAD:S3A3E M%DE; =. alcular la pres'on pro(ed'o de reser*or'o para algunos 'nter*alos de t'e(po :
p Rn =
p Rn −1 + p Rn %
Para t%+ desde n%+ esta!lecer lo a'gu'ente: p 0
= pi
p0−1 − p R 0
= ( pi − pi ) = 0
∆W e0 = 0
W e0 =
0
∑= ∆W
ej
=0
j 0
y e)ectuar los pasos @ al K para algunos 'nter*alos de t'e(po n&+$+Qn t suces'*a(ente n t es el nu(ero de los 'nter*alos de t'e(po;:
PSE#D%S3EAD:S3A3E M%DE; @. alcular el ater 'n)lu6 durante el 'nter*alo de t'e(po:
∆W en =
W ei p i
p i ∆t n
( p n −1 − p Rn ).1 − e
−
W ei
/
C. alcular el ntotal ater 'n)lu6 at t-e current t'(e:
We
= ∑ ∆W ej =W en −1 + ∆W en
j =1
K. alcular la pres'on pro(ed'o en el acu')ero at t-e end o) t-e t'(e step:
p n = p i (1 −
W e W ei
)
E
=;#< CA;C#;A3I%> ,=E3?%'IC(. 54e data a2e t4e same as gie i t4e p2eio3s e6ampe# W ei =
=
0#00"0'kh
*0 $#1$ θ
*0
= %#*$ × 10' !!"s
µ .(raq r R ) − 0#"$/ *0
0#00"0' ×100 × $0
*0
1.($000010000) − 0#"$/ *0
W ei p i p i W ei
$#1$
− % % %$00 × " ×10 π ($0000 − 10000 ) × $0 × 0#* *0
= =
p i ct π (raq% − rR% )hϕ θ
=
%#*$ ×10'
=
%$00
= #& ×10&
&1#1 × %$00 %#*$ ×10'
= &#*'% ×10−&
= &1#1 !!" D psi
E=;#< CA;C#;A3I%> ,=E3?%'IC(. t 1
= *$
∆t1 = *$-0 = *$ p Rn −1 + p Rn %$00 + %*00 p = = = %&00 Rn
p n −1
%
= p i (1 −
∆W en =
W ei p i
%
W e W ei
We
0 %#*$ × 10 p i
( p n −1 − p Rn ).1 − e
= #& ×10 n
) = %$00(1 −
&
−
'
) = %$00 psig
∆t n
W ei
(%$00 − %&00).1 − e
/ −&#*'%×10−& × *$
/ = 1#*' ×10 !!"s
= ∑ ∆W ej = W en −1 + ∆W en = 0 + 1#*' ×10 = 1#*' ×10 !!"s j =1
E=;#< CA;C#;A3I%> ,=E3?%'IC(. t % = 10$
∆t1 = 10$-*$ = "*0 p Rn −1 + p Rn %*00 + %%00 = = %%$0 p Rn = %
p n −1 = p i (1 −
∆W en =
W ei p i
%
W e W ei
) = %$00(1 −
1#*' ×10 %#*$ ×10
'
p i ∆t n
( p n −1 − p Rn ).1 − e
−
W ei
/
= #& ×10 (%&'$#% − %%$0).1 − e &
We =
n
) = %&'$#% psig
−&#*'%×10−& ×"*0
/ = #0$*× 10 !!"s
∆ = + ∆ = × + × = × W W W 1#*' 10 #0$* 10 "#&&% 10 !!"s ∑ ej en −1 en j =1
C%MPA$ACI%> DE $ES#;3AD%S
We 11 !!ls; T'(e
DE5
FETZ4DI5
<@%
&.>CC
&.
&%>
C.>=@
C.==$
C%MPA$ACI%> DE $ES#;3AD%S
'E( $ES#;3AD%S
=E3?%'IC( $ES#;3AD%S
E
E=;#< PA$AME3E$ $AME3E$S S DE3E$M DE3E$MI>A3 I>A3I%> I%> El * *olu(en olu(en de ater 'n)lu6 puede ser o!ten'da con la ecuac'on del l !alance de (ater'a: We NpEp Wp/. # N Et mBti E t =E o + E g +B ti (1+m)E f,w donde B gi
on el (etodo DE5
y
E p =B =B t + (R p − R soi ) Bg
W e /J [ Vp jWe2j
2onde+ We2 )t2 +r a72 a72; y
t2 O t+
2e esta (anera pode(os encontrar dos para(etros+ /J y r a72. El ploteo de We *s. [Vp jWe2j con los *alores correctos de O y r a72 a72 y la pe(d'ente J de la l'nea recta / y la 'ntecepc'on %
E=;#< PA$AME3E$ $AME3E$S S DE3E$M DE3E$MI>A3 I>A3I%> I%>
E=;#< PA$AME3E$ $AME3E$S S DE3E$M DE3E$MI>A3 I>A3I%> I%>
MA3E$IA; @A;A>CE E#A3I%> F Np/o/gRp#Rs; Wp/. # W'/. F NEot(Egt We F3Eot(Egt N /J [VpWe2 3Eot(Egt A plot o) F3E ot(Egt *s. [VpWe2 3Eot(Egt la l'nea recta con la 'ntercepc'on N y la pend'ente /J s' ( no es conoc'da+ entonces se a tra'l and error procede con el proced'('ento de prue!a y error para d')erentes *alores de ( -asta la o!tenc'on de una l'nea recta 0' la constante con*ers'on del t'e(po+ O no es conoc'da+ entonces O ta(!'en tendran 7ue ser *ar'das -asta o!tener la l'nea recta. 0' ( %+ entonces: F3Eot N /J [VpWe2 3Eot 2el ploteo de F3E ot *s. [VpWe2 3Eot es o!ten'da la l'nea recta con la 'ntercepc'on N y la pend'ente /J
MA3E$IA; @A;A>CE E
Rs'
(
=
K%%
%.<
MA3E$IA; @A;A>CE E
MA3E$IA; @A;A>CE E
MA3E$IA; @A;A>CE E
DE3E$MI>A3I%> %= WA3E$ I>BEC3I%> $E#I$EME>3 Np/o/gRp#Rs; Wp/. " W'/. NEot(Egt We I) t-e pressure 's (a'nta'ned constant o*er a per'od o) t'(e+ t-en t-e pressure dependent ter(s are constant /o#/gRs;dNp 3dt/gdNpRp;3dt/.dWp 3dt;#dW 3dt;dW 3dt ' e /o#/gRs;dNp 3dt/gdGp 3dt/.dWp 3dt;#dW 3dt; dWe 3dt ' T-e ater 'nject'on rate re7u'red to (a'nta'n t-e pressure constant can !e o!ta'ned )ro(: /.dW 3dt /o#/gRsdNp 3dt /gdGp 3dt /.dWp 3dt " dWe 3dt ' dW 3dt H'nj Water 'nject'on rate 0T/32; ' dWp 3dt H. Water product'on rate 0T/32; dWe 3dt Water 'n)lu6 rate !!l32; dNp 3dt Ho 4'l product'on rate 0T/32; dGp 3dt Hg Gas product'on rate 0F32;
DE3E$MI>A3I%> %= WA3E$ I>BEC3I%> $E#I$EME>3 /.H'nj /o#/gRsHo /gHg /.H. " dWe 3dt G4R R Hg 3Ho Hg R Ho W4R H. 3Ho H. W4R Ho /.H'nj /o#/gRsHo /g R Ho /. W4R Ho " dWe 3dt /.H'nj /o#/gRs /g R /. W4RHo " dWe 3dt H'nj \/o /g R#Rs ; /. W4RHo " dWe 3dt]3/. H'nj \/t /g R#Rs' ; /. W4RHo " dWe 3dt]3/. R Rs ?rg 3?ro; /o^o 3/g^g W4R ?r. 3?ro; /o^o 3/.^. 0. 0.' /.W'#Wp;We3Dpo,; 0o /o N#Np; 3Dpo,; dWe 3dt /J d[ Vp jWe2j3dt
EBEC3I%> $E#I$EME>3%S p $>K>: /t &.@@ !!l30T/ /g %.%%&> !!l30F Rs' K%% 0F30T/ / & !!l30T/ Para(etros de Product'on s: Ho &%+%%% 0T/32 R &$%% 0F30T/ W4R %.> 2eter('nar el caudal ater 'n)lu6 : dWe 3dt /J d[ Vp jWe2j3dt t &$% (ont-s: dWe 3dt /J d[ Vp jWe2j3dt &%+%@C !!l32
EBEC3I%> $E#I$EME>3 alcular el caudal de 'nject'on del agua: H'nj \/t/g R#Rs' ; / W4RHo " dWe 3dt]3/ H'nj &.@@%.%%&>&$%%#K%%;%.>6&%+%%% " &%+%@C $C+@%% " &%+%@C &C+><< 0T/32
Los re7uer'(entos del caudal de 'nject'on del agua se 'ncre(entaran con el t'e(po de!'do al 'ncre(ento del W4R por el 'ncre(ento de la saturat'on pro(ed'o del agua.
DE3E$MI>A3I%> %= WA3E$ I>=;#< $A3E
DE3E$MI>A3I%> %= WA3E$ I>=;#< $A3E 1 ϕµ r % − Ei − p ( r , t ) = pi − ÷ %π kh % &kt q µ
# pc!
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1()#(
−
*&)#$γ g
%
−
"0#0γ g
1 ϕµ r % − Ei − p ( r , t ) = pi − ÷ %π kh % &kt q µ
