o. • 1 xQ.E.D. pa Se demuestra a continuación que la f ., . . en el teorema 8.3.1, es en realidad única. uncion E, cuya existencia se estableció 8.3.4 Teorema. La funciónE· R + R u . ,f. . teorema 8.3.l es única. . q e satisface las propiedades i y ii del
8.3.5 Definición. A la función única E: R-+ R tal que E'(x) = E(x) para toda x E R y E(O) = 1 se le llama la fondón exponencñal. Al número e = E(l) se Je · llama el número de Euler. Con frecuencia se escribirá para x ER. ex:= E(x) o exp(x) := E(x) El número e se puede obtener como un límite, y en consecuencia, es posible aproxi marlo de varias maneras. (Ver los ejercicios 8.3.1 y 8.3.10 y el ejemplo 3.3.5.]
El uso de la notación ex para E(x) se justifica por la propiedad v del teorema siguiente, donde se establece que si r es un número racional, entonces E(r) y er coinciden. (Los exponentes racionales se analizaron en la sección 5.5.) Por tanto,
l ,\', l llN('l()Nl·:s
la función E se puede considerar como una ampliacíóu de l¡1 itk<1(.li.;1.:xp1)1H.:i1vl111 de números racionales a números reales cualesquiera. Para una deJ'i11iei1'111 para a > O y x E R arbitraria, ver la definición 8.3.10.
11111
1 li• 11
8.3.6 Teorema. La función exponencial satisface las siguientespropirda.lv« iii E(x) O para toda x E R; iv E(x +y) == E(x) E(y) para toda x, y E R; v E(r) == er para toda r E Q.
*
Demostración. iii Sea a E R tal que E( a)=: O, y seaJ a el intervalo cerrado v1111 . puntos terminales O, a. Sea K ~ IE (t)[ para toda r El a· Al aplicar el teorema th Taylor 6.4. J, se concluye que para toda n EN existe un punto e E J tal que 11
1
=
E(O)
=
E(a)
E'(a)
E< 1l(a)
ll
(n1)!
11
+ (a)+ · · · + E<"l(c )
E(
l~
l'm iv
1:
)
Se tiene por tanto K
,¡;;
lal n!
para
11
n EN.
Pero como lím (Jaln/n!) ==O, esto constituye una contradicción. iv Sea y fija; por iii se tiene E(y) O. Sea que G: R-> Resté definida por
*
G(x)
:=
EN,
x
E
R, entonces
E(nx) = E(x)11• Si se hace x = l/n, esta relación indica que
e= E(l)
=E( n · ~) =E(~
r
de donde se sigue que E(l/n) = e1/n. Se tiene asimismo queE(m) = 1/E(m) == 1/e'" co e-m para m EN. Por lo tanto, si m E Z, n EN, se tiene E(m/n) = (E(l/n))m = (e1/11)'1' = em/11• Con esto se establece v.
Q.E.D.
8.3.7 Teorema. La función exponencial E es estrictamente creciente en R Y tiene codominio igual a {y E R: y> O}. Además se tiene vi lím E(x) = O y líTl} E(x) = w. x-+-cc
<1
se sigue que sin
inducción
l.O(U\ld'l'MIC/\
(a)"1
·+ • n ! " ( --a )" = n! ' Cn ( -a) n .
O
1:.x1·0Nl'N('l/\l.Y
x--+x.
Demostración. Se sabe que E(O) = 1 > O y que E(x) i= O para toda x E R. Puesto que E es continua en R, por el teorema del valor intermedio de Bolzano 5.3.6 se sigue que E(x) > O para toda x E R. Por lo tanto, E'(x) = E(x) > O para x E R, de modo que E es estrictamente creciente en R. Por el corolario 8.3.3 se sigue que 2
E( x + y) E(y)
X__,
x
para
E::
R.
Asimismo, como
O<
E(-n)
oo
= e-11 <
Evidentemente se tiene
2-11, se sigue que lím E(-n)
=O, así
que
lím E(x)=O.
x-> oo
G'(x) para toda x
E
E'(x +y)
E(y)
E( x + y) E(y)
==
G( X)
R, y
Por lo tanto, por el teorema del valor intermedio 5.3.6, toda y nece al codominio de E.
ER
con y> O perte Q.E.D.
La función Iogarítmíca G(O) = E(O +y)
E(y)
=
l
.
De la unicidad de E, demostrada en el teorema 8.3.4, se sigue que G(x) = E(x) para toda x E R. Por tanto, E(x +y)= E(x) E(y) para toda x E R. Puesto que y E Res un valor cualesquiera, se obtiene iv.
Se ha visto que la función exponencial E es una función derivable estricta mente creciente con dominio R y codominio {y E R: y> O}. (Ver la figura 8.3.1.) Se infiere que R tiene una función inversa. 8.3.8 Definición. A la función inversa de E: R-> R se le llama el logaritmo (o el logaritmo natural). Se denotará por L o por log. (Ver la figura 8.3.2.)
330
SUCESIONLS
3:31
1 ¡\~¡ l•l lNl 'ION l'.S 1 \X l'ONl',N( 'IAI. Y 1.00/\l
DI·'. l'iJN( 'IONl1,I
H.J.? 'Iuorernu. W logaritmo L es una [uncián estrictamente creciente con 1{11111i11io (x E R: x >O} y codominio R. La derivada de L está dada por vii L'(x) = l/x para x > O. /·.'/ logaritmo satisface la ecuación [uncional viii L(xy) = L(x) + L(y) para x >O, y> O. ,. .,·,.tiene además ix L(l) =O y L(e): l. x L(x') = rL(x) para x > O, r E Q. xi lím L(x) = oo y lím L(x) = oc, x~o+
Demostracíén. El hecho de que Les estrictamente creciente con dominio {x > O} y codominio R se sigue de que E es estrictamente creciente con domi nio R y codominio {y E R: y > O}. vii Puesto queE'(x) = E(x) >O, por el teorema 6.1.9 se sigue queL es derivable en (O, oo) y que E
FIGURA 8.3.1 Gráfica de E.
x~x
R: x
I.:(x)
l
l
1
E' o L(x)
E o L( x)
X
para
x
E (O,
oo).
vm Si x >O, y> O, sean u·"" L(x) y v := L(y). Se tiene entonces x =E (u) y y Por la propiedad iv del teorema 8.3.6 se sigue que
= E(v).
xy = E(u)E(v) = E(u
+ v),
de modo queL(xy) = L E(u + v) =u+ v = L(x) + L(y). Con esto se establece viii. Las propiedades de ix se siguen de las relaciones_§(O)=Yy E(l) =e. x Este resultado se sigue por viii y por índuccíó» matemática para n E N, y se generaliza para r E Q aplicando razonamientos similares a los empleados en la demostración de 8.3.6 v. Para establecer la propiedad xi se observa en primer término que como 2 < e, entonces lím (en) = oo y lím (e11) =O. Puesto que L(e") = -n y L (e11) = -n, del hecho de que L es estrictamente creciente se sigue que 0
FIGURA 8.3.2 Gráfica de L.
Puesto que E y L son funciones inversas, se tiene
lim L(x)
x~oo
L E(x) = x
para toda
0
=
lím L(en)
=
oo
lím L(x)
y X
>O+
=
lím L(e-") = oo,
x ER Q.E.D.
y E0L(y)=y
paratoda
yER,y>O.
Estas fórmulas también se pueden escribir en la forma log ex= x,
elogy
=y.
Funciones de potencias En la definición 5.5.6 se analizó la función potencia x ~ x', x >O, donde res un número racional. Mediante las funciones exponencial y logarítmica es posible generalizar la noción de funciones de potencias de potencias racionales a poten cias reales cualesquiera.
¡
1111 ll (l 1~1¡1•11111111J)11
11! 'IAI ) 1 ( Jt li\1111
11!
l'vll! 1\
sun:sroN 11.s 111·. l•'l IN< ·11111tt11
332
8.3.JlO Definición. Si a E R y x >O, el número
x" ==
e"logx
.x" se
(ki'i11c
1 ,ji r1rnd1111 log{/
cu11111
( '111111do
11
•
O,
11
J 1, c11 ocasiones es conveniente definir Ja función logª.
= E(aL(x)). H.J. l ..J Dcfinicíón. Sea a
A la función x H xª para x >O se le llama la función potencia con cxponcuu
11
Nota. Si x >O y a= m/n, donde m E Z, n EN, entonces en la sección 5.5 se dcl'inlu 1" := (x"') 1111• Se tiene por tanto log x" = a log x, de donde se sigue que x" = elog x" = e'il"''· 1, f 111 consecuencia, la definición 8.3.10 es consecuente con la definición dada en la sección ~1,'1
Se establecen a continuación algunas propiedades de las funciones ele poten cías. Sus demostraciones son consecuencias inmediatas de las propiedades de 11111 funciones exponencial y logarítmica y se dejarán al lector. ER
b)x">O; d) (x/y)ª = xª /y".
a
E R.
> l.
Entonces la función x ,_, x" de (O, oo) a R es
continua y derivable, y para
x E (O,
oc'[,
= DeªIogr =
para toda x E (O, oo).
x" ·
a X
= eªlogx. =
para
log a
x
E (O,
oo).
Para x E (O, oo), al número logª(x) se le llama el logaritmo de x base a. El caso produce la función logaritmo (o logaritmo natural) de la definición 8.3.8. El , 11:;11 11 = 10 da lugar a la función logaritmo base 10 (o logaritmo común) log.¿ de 11·1\l trccuente en la realización de cálculos. Las propiedades de las funciones logª ~.1· presentarán en los ejercicios.
Demostrar que si x > O y si n > 2x, entonces
Usar esta fórmula para demostrar que 2 ~
x
x
que, por lo tanto, e no
y
x
11
x"~1
+ · · · + ~ ex ~ l + ~ + · · · + l! n! 11 (nI)I
enxn
+
ni
4. Demostrar que si n ~ 2, entonces
Demostración. Por la regla de la cadena se tiene Dx"
X
,.
l.
El siguiente resultado se refiere a la naturaleza derivable de las funciones du potencias. 8.3.13 Teorema. Sea
* l. Se define
Ejercicios ene la sección 8.3
y x, y pertenecena (O, .oo), entonces:
8.3J.2 Teorema. Si a, f3 E R y x E (O, oo), entonces: a) x" + f3 == x"xf3; b) (xª)/3 == x"f3 = (xf3)ª; e) x-" = l/x"; d) si a< (3, entonces xª < xf3 para x
log
log , (x) ·
11
8.J.n Teorema. Si a a) 1ª=1; e) (xy)" == xªyª;
> O, a
.. +2)n! <_e_< n! n + 1
O< en!(1+1+_2_+· 2!
D(a log x)
l.
Usar esta desigualdad para demostrar que e no es un número racional.
ax"-1•
5. Si x ~O y n EN, demostrar que Q.E.D.
En uno de los ejercicios se verá que si a> O, Ja función potencia x i-->X" es estricta mente creciente de (O, oo) a R, y que si a < O, Ja función x ,_. x" es estrictamente decrecien te. (¿Qué ocurre si a= O?)
1 --=1-x+x X + 1
( r:
+ -x
(x)" + . l +X
Usar esta igualdad para probar que log ( x + l)
Las gráficas de las funciones x ,_, x" de (O, ce) a R son similares a las de la figura 5.5.8 de la página 200.
~x 3 +
2
= X -
x2 -
2
x3
+
3
· · · + ( 1) n
¡x"
n
+
fx(-t)" (1
l+t
dt
SLJ<.'HHl(INl!S
IJI\ 111 INI '1111'11
1 /\!I liJ 1 N(
•j
y que / log (X
'i(
)NI IH 'l'lll(
1(
)N( )M l\'J'l(l( '/\H
.1.1'1
Sl~CCIÚN tt.4 Las funciones trigonométricas
+ l) (X - ~2 + ~3
...
+(1)"I
x" )/ ~
n
~1
n
·I
Junto con las funciones exponencial y logarítmica, existe otra colección muy te de funciones trascendentales conocidas como las funciones l 1 igonométricas. Estas son las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, se cuníc y cosecante. Es común introducirlas con base en una perspectiva geométrica en términos de triángulos, o bien, del círculo unitario. En esta sección las funcio 111.:s trigonométricas se introducen de manera analítica y después se establecen nlgunas de sus propiedades básicas. En particular, las diferentes propiedades de las íuuciones trigonométricas que se usaron en los ejemplos de partes anteriores de este libro se deducirán con todo rigor en esta sección. Basta considerar las funciones seno y coseno ya que las demás funciones lrigonométricas se definen en términos de estas dos. El tratamiento del seno y el coseno es similar en esencia al que se empleó con la función exponencial por cuanto primero se establece la existencia de las funciones que satisfacen ciertas propiedades de derivación. 11n portan
,
1
6. Usar la ~órmula ?el ejercicio anterior para calcular log 1.1 y log (1.4) co11
cuatro c_1fras decimales de precisión. ¿De qué magnitud se debe elegir ,1 (iJI esta desigualdad para calcular log 2 con cuatro cifras decimales de precisión? 7. Demostrar que log(e/2) = 1 log 2. Usar este resultado para calcular lo~') con cuatro cifras decimales de precisión. 8. Sea f: R--> R tal que f'(x) = f(x) para toda x E R. Demostrar que existe K is }( tal que f(x) = Ke" para toda x E R. 9. Sea ak >O para k = 1, ... , n y sea A := (a1 +···+a )In la media aritmética do dichos números. Para cada k, incorporar xk :=a 1 en la desigualdad 1 1 x ~ ex (v~lida para x ~ O). Multiplicar los térm~nos resultantes para demos· trar la desigualdad de la media aritméticageométrica
/A~
8.4.:1. Teorema. Existen las funciones C: R ~ R y S: R ~ R tales que i C"(x) = C(x) y S"(x) = -S(x) para toda x E R; ii C(O) = 1, C'(O) = O y S(O) = O, S'(O) = I.:
(*) Demostrar asimismo que la desigualdad en (*)se cumple si y sólo si a1 = a2 = ...
= ª·11· 10. Evaluar L'(l) utilizando la sucesión (1+1/n) y el hecho de que e= lím ((1 + l/n)n). 11. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.11. 12. Establecer las afirmaciones del teorema 8.3.12. 13. a) Demostrar que si a> O, entonces la función x t->Xª es estrictamente cre ciente de (O, ex:) a R y que lím xª =O y lím xª =ex:. x-+O+
x-+cc
b) Demostrar que si a < O, entonces la función x r> x" es estrictamente de creciente de (O, ex:) a R y que lím xª ca co y lím x" =O. x-+O+
x-x
14. Demostrar que si a> O, a* 1, entonces a1°gax = x para todax
E (O, ex:) y log ~aY) =y para toda y E R. Por lo tanto, la función x --. logª x de (O, ex:) a Res inversa de la función y ,..... aY en R. · 15. Si a > O, a 1, demostrar que la función x t> logª x es derivable en (O, x) y que D logª x = 1/(x log a) para x E (O, x). 16. Si a> O, a l, y x y y pertenecen a (O, oc), demostrar que ]og (xy) = log x + logaY· a a 17. Si a> O, a » 1, y b >O, b 1, demostrar que
I;
*
*
*
logª r
=
log b logh x log a
Demostración. Se definen de manera inductiva las sucesiones (C y (S) de funciones continuas de la siguiente manera: 11)
(1)
C1(x) := 1,
(2)
S11(x)
x
E
C,,+1(x)
(3)
:=
1
{s,,(t) dt, ()
para toda n EN, x E R. Se observa por inducción que las funciones C11 y S,, son continuas en R y, por tanto, que son integrables en cualquier intervalo acotado; en consecuencia, estas funciones están bien definidas por las fórmulas anteriores. Además, por el teore ma fundamental 7.3.3 se sigue que sil y en+ 1 son derivables en todo punto y que (4)
s;,(x)=C (x)
para
y
11
2!
+
2n
X~
4!
+(l)
"
X
(2n)!' x2.n+ l
En particular, probar que Iog10 x = (Iog e/log lO)log x = (log
X E
(0, =),
.
e)log x para JO
n EN, x ER.
Por razonamientos de inducción matemática (que se dejan al lector) se de muestra que 1
(O,oo).
{c,,(t)dt, ()
X2
para
:=
S1(x) :=x,
(
+
1)" (2n + 1) !
1 1\ ', 1•1 IN< '!ONl'.S 'l'ltlOONOMl\'11{1(
Sea A> O dada. Entonces si
<1~:
(5)
.
lxl
=s;;A y m >
X
IC (x) C,,(x)I
211
x¿,o
11
= 1 (2n)!
111
(
(2n)!
A2" <
(
(2n)!
+2
+ 2)!
(2n
A2" [ ~1+
se
2.1\,
11 /
1il·111•
+ .... +
2n)
X
q11t·
:l.111
_
(2m
2+
A
qitl' (¡H1L·slt1
'
\
'"
~!
2)11
(~)2,, 2,,
+
2n
16) L5 .
C,,(x)
x
para
E
R.
Por el teorema 8.2.2 se sigue que Ces continua en R y, como E N, que C(O) = 1. Si x ~A y m ;,: n > 2A, por (2) se sigue que
n
e (O) "
= J para toda
o
Si se usa (5) y el corolario 7.2.6 a), se concluye que
s
"
¡\2n (x)I ~ --
(2n)!
(
para
x E R.
C'(x) = lím c,;(x) = lím (S,, 1 (x)) = -S(x)
Puesto que A >O es un valor cualesquiera, se tiene para
para toda
x E R.
l'or (6) y (7)
C:"(x)
=
(S(x))'
=
C(x)
y
S"(x)
x ER.
para
X E
(C(x))'
=
l'or
=
S(O) =O,
=
-S(x)
S'(O) = C(O) = l.
tanto, los enunciados i y ii están demostrados.
Q.E.D.
8.4.2 Corolario. Si C, S son las funciones del teorema 8.4.1, entonces iii C'(x) = S(x) y S'(x) = C(x) para x E R. Además, estas funciones tienen derivadas de todos los órdenes. Demostración. Las fórmulas iii se establecieron en (6) y (7). La existencia de las derivadas de orden superior se deduce por inducción matemática. o.r.n,
[-A, A J.
R, de donde
E
+ 2S(x)(C(x)) =O
Se deduce por tanto, que f (x) es una constante para toda x +O= 1, se concluye que f(x) = 1 para toda x E R.
. , Puesto que c,;(x) = S,, _ 1 (x) paran > 1, por lo anterior se sigue que la suce sion (C,;) co~~erg_e uniformemente en [-A, A]. En consecuencia, por el teorema 8.2.3, la función limite Ces derivable en [-A, A] y
C'(x) = -S(x)
= C(x)
f'(x) = 2C(x)(S(x))
16 ) -A 15 '
Por el teorema 8.2.2 se sigue que Ses continua en R y, comos (O)= o para toda n 11 EN, que S(O) = 0.
(6)
S'(x)
(/)
Demostración. Seaf(x) := (C(x))2 + (S(x))2 para x
~e donde se sigue que la sucesión (S11) converge uniformemente en [-A, A]. Se de fine S: R -> R por S(x) := lírn S,,(x)
similur, basado en el hecho de que s,;(x) = C,lx), se demuestra en R y que
8.4.3 Corolario.Las funciones S y C satisfacen la identidad de Pitágoras iv (C(x))2 + (S(x))2 = 1 para x E R.
S,,.(x) - S,.(x) = ['{C,,,(t) - Cn(t)} dt.
ISm(x) -
Ses derivable
C'(O)
11
:= lírn
1azo11a111il'lllo
11 /
para tocia x E R. Además se tiene
2"/(2n)!) Como lím (A =O, la sucesión (C,,) converge uniformemente en el interva lo [-A,A], donde A> O es un valor cualesquiera. Esto significa en particular que (C (x)) converge para toda x E R. Se define C: R-> R por
C(x)
1111 •111t·
'AS
E
para
x
E
R.
R. Pero como f(O) = 1 Q.E.D.
En seguida se establece la unicidad de las funciones C y S. 8.4.4 Teorema. Las funciones C y S que satisfacen las propiedades i y ii del teorema 8.4.l son únicas. Demostración. Sean C1 y C2 dos funciones de R a R que satisfacen Cj'(x) = C(x) para toda x E R y C(O) = 1, C'.(O) =O paraj = 1, 2. Si se hace D := C 1 C2, enionces D "(x) = D(x) Jara x E R ~ D(O) = O y D(k)(O) = O para toda k EN. Sea ahora x E R un valor cualesquiera, y sea lx el intervalo con puntos termi nales O, X. Puesto que D = C¡ c2 y T := S¡ - s2 =e; e; son continuas en IX, existe K > O tal que iD(t)I :s;; K y 1 T(t) ~ K para toda t E lx. Al aplicar el teorema de Taylor 6.4.1 a Den lx y se usa el hecho de que D(O) =O, D(kl(O) =O para k EN, se deduce que para toda n EN existe un punto c,, E lx tal que
Sil< 'tl,Slt>Nl(S 1H~1·111'1(
JJ8
D(x)
=
D'(O)
+ --x
D(O)
_ v< >( e,,) n!
D<"1>(0)
+
( n - 1) !
/)(")(
11
x"
u!
('")
il• 1•"
111·rn·1·11111
1;( 1) p.11
.
:.t•
111111·11111
a toda
lltlllllllllMI
dud11n: q11u /i(.t) ,,. O par:1
IHll
11•1
1\'•
lod:1 .1·
r U, l'or 111
111111<>,
x e:: U.
./(1) 0.11.11,
S\'. derivarán a continuación algunas de las propiedades básicas
de las l'unci«
1w'. 1·osc110 y seno.
n
11
-
+
ll
11\',llllll'llil~I~•
'111111
X
· = +"'(c ) . En cualquiera
Entonces • , DC11l(cn ) = -+D(c ) , o b'1en, D(11)( e,, ) 11 se tiene
1'
11
8.4.7 Teorema. La función C es par y S es impar en el sentido de que
de estos casor1 \'1 1,
Klxl"
ID(x)I ~ --. n!
Pero co~o lím (l~l"(n!) =O, se concluye que D(x) =O. Puesto que x e Res un valen cualesquiera, se infiere que C1(x) C/x) =o para toda x E R. Con un razonamiento similar se demuestra que si S y S son dos funciones en R---t R tales ~ue s;'(x) = -Sj(x) para toda X E R y S¡(O) ~O, S~(O) = 1para)=1, 2, 1 entonces se tiene S/x) = Si(x) para toda x E R. Q.E.o. Aho;a que s~ ha establecido la existencia y la unicidad de las funciones S, se dara a las mismas sus nombres comunes.
,, C(-x) = C(x) y S(x) = S(x) para x E R. y E R,. entonces se tienen las "fórmulas de adición" vi C(x +y)= C(x)C(y) S(x)S(y), S(x +y)= S(x)C(y) + C(x)S(y).
Demostración. v Si cp(x) := C(x) para x E R, entonces mediante un cálculo ::r .ícmuestra que cp"(x) = cp(x) para x E R. Además, cp(O) = 1 y cp'(O) =O de modo que
+oo,
El intervalo de convergencia es el intervalo abierto (-R, R). Se justifica a continuación el término "radio de convergencia".
donde a11 y e pertenecen a R con n = O, 1, 2, ....
L: anx"
x" /n!,
n=O
respectivamente. Por tanto, el conjunto en el que una serie de potencias converge puede ser pequeño, mediano o grande. Sin embargo, un subconjunto cualesquiera de 1( no puede ser el conjunto exacto en el que una serie de potencias converge, romo se demostrará a continuación. Si (b11) es una sucesión acotada de números reales no negativos, entonces se define el límite superior de (b,,) como el ínfimo de los números v tales que b11 ~ ,, para toda n EN lo suficientemente grande. Este ínfimo se encuentra determinado de manera única y se denota por lím sup (b,,). Lo único que se debe saber es i que si v > lím sup (b,,), entonces b11 ~ v para toda n EN lo suficientemente grande, y ii que si w < lím sup (b,,), entonces w ~ b11 para un número infinito den EN.
¡¡
n=O
{x
{O},
9.4.7 Definición. Se dice que una serie de funciones reales I(f.) es una se rie de potencias en la proximidad de x = c si la función f. tiene la f~rma .
00
L
x",
n=O
11=0
.
(2)
ce
L
",
i llNI '11 INl(H
n 111vcrgcn para x en los conjuntos
E D.
. ~.4.6 CriterioM ele Weierstrass. Sea (M,.) una sucesión de números reate» positivos tales que 1 f,,(x)I ~~,,para x E D, n EN. Si la serie I(Mn) es converr:c11/1•, entonces I (!,,) converge uniformemente en D. Demostración. Si m
L; n!x
111
+anxn
+
Aun cuando las funciones que aparecen en (2) están definidas en la totalidad d~ R, no debe.rá esperarse que la serie (2) sea convergente para toda x en R. Por ejemplo, med1~nte la aplicación del criterio del cociente 9.2.5 es posible demos trar que las senes
9.4.9 Teorema de CauchyHadamard, Si R es el radio de convergencia de la serie de potencias :E(a,,x11), entonces la serie es absolutamente convergente si lxl < R y es divergente si lxl >R. Demostración. Sólo se tratará el caso en que O < R < + co, dejando como ejercicios los casos en que R = O y R == + oo. Si O < lxl < R, entonces existe un número positivo c < 1 tal que lxl < cR. Por lo tanto, p < c/lxl, de donde se sigue que sin es lo suficientemente grande, entonces ja11¡1111 ~ c/lxl Esto es equivalente a decir que (3) para toda n lo suficientemente grande. Puesto que c < 1, la convergencia absoluta de I(a11x11) se sigue por el criterio de comparación 9.2. l.
370
SHIUl·.S INl.'INI
Sl•IUl·.S
!'/\',
Si [xi> R = l/p, entonces existe un número infi11i111 di; 11 < N p;ir;1 las q1111 ru tiene la11¡1/n > 1/lx!. Por lo tanto, la,,x"I > 1 para un número infinito
LXII,
'°' -x" n l
L.,,
.
'
l "-xri L.,, 2 n
,
Puesto que lím (n11") = l, todas estas series de potencias tienen radio de convergencia ig11ul a l. La primera serie de potencias no converge en ninguno de los puntos x = 1 y x = + 1: la segunda serie converge en x 1 pero diverge en x = + 1, y la tercera serie de potenchu converge tanto en x 1 como en x = + 1. (Encontrar una serie de potencias con R = 1 que converge en x = + 1 pero diverge en x 1.)
=
=
=
Es un ejercicio demostrar que el radio de convergencia de la serie L(a,/:") también está dado por
(4)
lím
la11I ) ( la11+1I '
,l'/I
lll', l:lJNl 'l()Nl'.S
l>t:mosfrndón. Si ¡x01 < R, entonces el resultado anterior afirma que ~(a onvng~ uniformemente en cualquier vecindad cerrada y acotada de x0 conte~1da 1 ru ( u,/?). Entonces la continuidad en x0 se sigue por el teorema 9.4.2, Y la ínte i·.1 ación término por término se justifica por el teorema 9.4.3. O.E.o. 11~11)
Se demuestra ahora que una serie de potencias se puede derivar té.rmino por
termino. A diferencia de la situación para series generales, no es necesario suponer que la serie derivada sea uniformemente convergente. En consecuencia, este resul lado es más sólido que el teorema 9.4.4. 9.4.12 Teorema de derivación. Una serie de potenciasse puede derivar término por término dentro del intervalo de convergencia. De hecho, si
f(x)
'E (anxn), 00
=
entonces f'(x)
=
'E
(nanxn-l)
para lxl
n=l
'11=0
Ambas series tienen el mismo radio de convergencia. Demostración. Puesto que lím (n1fn) = 1, la sucesión (\na,i\11") está acotada si y sólo si la sucesión (la,.11/11) está acotada. Además, se puede ver de inmediato que
siempre que el límite exista. Con frecuencia resulta más conveniente emplear (4) que la definición 9.4.8. El razonamiento usado en la demostración del teorema de CauchyHadamard produce la convergencia uniforme de la serie de potencias en cualquier intervalo fijo cerrado y acotado en el intervalo de convergencia (-R, R).
Por ¡0 tanto el radio de convergencia de las dos series es el mismo, por lo que la serie derivada formalmente es uniformemente convergente en todo intervalo ce rrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia. Entonces es posible aplicar el teorema 9.4.4 para concluir que la serie derivada formalmente converge a la derivada de la serie dada. Q.E.D.
9.4.10 Teorema. Sea R el radio de convergencia de L(a11x11) y sea K un intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia(R, R). Entonces in serie de potencias converge uniformemente en K.
Se debe notar que el teorema no hace ninguna afirmación acerca de los puntos termi nales del intervalo de convergencia. Si una serie es convergente en uno de los pu?tos terminales entonces la serie derivada puede ser convergente o no en este punto. Por ejem
Demostración. La hipótesis sobre K ~ (-R, R) indica que existe una constan te positiva c < 1 tal que lxl < cR para toda x E K. (¿Por qué?) Por el razonamiento de 9.4.9 se infiere que paran suficientemente grande, la estimación (3) es válida para toda x E K. Puesto que c < 1, la convergencia uniforme de L(a11x11) en K es consecuencia directa del criterioM de Weierstrass con M11 := e", Q.E.D. 9.4.11 Teorema. El límite de una serie de potencias es continuo en el intervalo de convergencia. Una serie de potencias se puede integrar término por término en cualquier intervalo cerrado y acotado contenido en el intervalo de convergencia.
plo, la serie la serie
f:
n=O derivada
(x11/n2) con~erge en ambos puntos terminales x = 1 y x =+l. Sin embargo, dada por "¿_
(x" - 1 /n) converge en x
= 1 pero
d'rverge en x =
+1 ·
n=\
Mediante la aplicación repetida del resultado anterior:x,se concluye que si k es cualquier número natural, entonces la serie de potencias var k veces término por término para obtener
oo
(5)
"
n!
e: (n-k)!a,,x
n=k
n-k
.
L:
n
=o
(a11xn) se puede deri
.172
Sl•IHl',S
INl•'INI
l/\'l
s11,1u1\S
Además, esta serie converge absolutamente aj'(kl(,1) p:11.1 111 U y co11v1·1¡•.1· 11111 formemente en cualquier intervalo cerrado y acotado en el intervalo ch; 1,;011v1·1'¡•,1•11 cía. Al sustituir x O en (5), se obtiene la importante fórmula =
k!ak.
9.4.13 Teorema de unicidad. Si L(a11x11) y L(b11x11) convergen en algún tervalo (r, r), r > O, a la misma función f, entonces a11 = b11
para toda
n EN.
Si una función f tiene derivadas de todos los órdenes en un punto e de R, entonces se pueden calcular los coeficientes de Taylor a = ¡(11l(c)/n! paran EN y obtener así una serie de potencias con estos coeficientes'.1Sin embargo, no se cum ple necesariamente que la serie de potencias resultante converge a la función f en un intervalo en una proximidad de c. (Ver el ejercicio 9.4.12 para un ejemplo.) La cuestión de la convergencia se resuelve por medio del término del residuo R 11 del teorema de Taylor 6.4.1. Se escribirá
(6)
E
n=O
f<"l~c) (x - e)" n.
para lx el < R si y sólo si la sucesión (R,/x)) de los residuos converge a O para toda x en algún intervalo {x: jx el< R}. En este caso se dice que la serie de potencias (6) es la expansión de Taylor de f en e. Se observa que los polinomios de Taylor de f estudiados en la sección 6.4 no son sino las sumas parciales de la expansión de Taylor (6) de f.
9.4.14 Ejemplos. a) Sif(x) :=sen x,x
E R, se tiene/<211l(x) = (1)" senx y ¡c211 = (1)" cos x paran EN, x E R. Al hacer la evaluación en e= O se obtienen· los coeficientes de Taylor a211=Oya211+1 = (l)11/(2n + 1) !paran EN. Puesto que [sen xi~ 1 y leos xi ~ 1 para toda x, se sigue que IR11(x)I ~ lx["/n! paran EN y x E R. Puesto que lím (R11(x)) =O para toda x E R, se obtiene la expansión de Taylor +
1l(x)
00
sen x
=
L n=O
( i)" (211
+ 1) !
x2n+l
para toda
n=O
x
Al aplicar el teorema 9.4.12 se obtiene la expansión de Taylor
E R.
para toda
x
E
R.
b) Si g(x) := eX, x E R, entonces g<11>(x) = ex para toda n EN y, en consecuen cia, los coeficientes de Taylor están dados por a11 = 1/n! para n EN. Para x E R dada se tiene [RnCx)[ ~ e!x 1x[ "/n! y, por lo tanto, (R11(x)) tiende a O cuando n=+ co, Se obtiene así la expansión de Taylor
ex
(7)
Serie de Taylor
=
2n
---x (211) 1
¡_,
.l'/.1
INC"IONl.'.S
1
111
Demostración. Las observaciones precedentes demuestran que n!a11 = ¡<11l(O) = nsb¿ para toda n EN. o.u.n,
f(x)
w. ¡o'\
.;. (l)" COS X=
=
J
1
I:
1
00
=
n=O
-xn
n!
para toda
X E
R.
Se puede obtener la expansión de Taylor en una e E R cualesquiera mediante el recurso de sustituir x por x - e en (7) y observar que
ex= e" ·ex-e=
e"
oc
l
n=O
n.
'E t(x
e(=
oo e" }: 1(x e( n=O n.
para x
E
R.
Ejercidos de la sección 9.4 l. Explicar la convergencia y la convergencia uniforme de la serie 'f.(f,), donde
f,,(x) está dada por: a) (x2 + n2t1, e) sen (x/n 2), e) x"(x"+lt1,x~O,
b) (nxt2, x *O,
d) (x" + 1)1, x ~ O, f) (l)"(n+xt1,x~O.
2. Si L(a,,) es una serie absolutamente convergente, entonces la serie 'f.(a11 sen nx) es absoluta y uniformemente convergente. 3. Sea (e ) una sucesión decreciente de números positivos. Si 'f.(c,, sen nx) es uniformemente convergente, entonces Iím (nc11) = O. 4. Analizar los casos R =O, R = + oo en el teorema de CauchyHadamard 9.4.9. 5. Demostrar que el radio de convergencia R de la serie de potencias :E(a,,x") está dado por lím (!a11j/a11+11) siempre que este límite exista. Dar un ejemplo de una serie de potencias en que este límite no existe. 6. Determinar el radio de convergencia de las series L(a,,x"), donde a,, está dada por a) 1/n", b) nª/n!, c) n"/n!, d) (log nt1, n ~ 2, e) (n!)2/(2n)1, f) n-b. 7. Si a = 1 cuando n es el cuadrado de un número natural y a,, = O en caso contrario encontrar el radio de convergencia de l:(a11x11). Si b11 = 1 cuando n = m! par; m EN y b,, ==O en caso contrario, encontrar el radio de convergencia
J74
Sl!Hll~S
INl·INI
IA'
10. Seaf(x) = L(anx") para lxl 11111 l11d:1 rj · J<, dl'111u·il1111 que an = O para toda n impar. 11. Demostrar que sif está definida para lxl < r y si existe una constante JJ 1111 q11n l/(n)(x)J ~ B para toda Jx! < r y n EN, entonces la expansión de la scl'it· dt
/
LA rfOPOLOGIA DE R
1
Taylor
oo
JM(O)
I: ---x" n!
11=0
converge af(x) para !xJ < r. 12. ~roba~· por in~ucción que la funció~ dada por f(x) := e-l/x2 para x =F o, /(O) - º: tiene derivadas de todos los ordenes en cada punto y que todas eslaN derivadas asu~en el valor cero en x = O. Por tanto, esta función no está dada por su expansión de Taylor en la proximidad de x =O. 13. Dar un ejemplo de una función que es igual a su expansión de la serie de ~~ylor en la proximidad de x = O para x ;?o O, pero que no es igual a su expan sien para x < O. 14. Usar la forma de Lagrange del residuo para justificar la expansión binomial general 00
(l
+
X) m =
L ( i;: ) X "
o~X <
para
l.
n=O
!xi < 1, entonces
15. (Serie geométrica) Demostrar directamente que si l
I: 1·11.
=
1-x
n= O
lx! < 1, entonces
16. Demostrar integrando la serie para 1/(1 + x) que si
log ( 1
17. Demostrar que si ix,.
+ x)
00
L
=
< 1, entonces x =
(l)"+l i
x ".
1) I: ---x2,,+1. ce
(
11
n=o2n+l 18. Demostrar que si lxl
< 1, entonces Arcsen x =
E
1 . 3 ... ( 2 n - l)
11=<1
19. Encontrar la expansión de una serie para
x 211 +
2n+I
2·4··'·2n
fax«:2 dt para x E R.
fo°'(l
20. Si.ª~ R Y lkl _<:•a la integral F(a, k) := k2(sen x)2)-1¡2 dx se le llama la mtegral elíptica del primer tipo. Demostrar que 00
F ( ~ , k·)- - -71' 2
L
2 n=O
(1·3···(2n1))2 2 · 4 · · · 2n
k2"
para
lkl <
l.
'
En la mayor parte de este texto únicamente se han considerado funciones que están definidas en intervalos. De hecho, en el caso de ciertos resultados importan tes relativos a funciones continuas, también se estableció el supuesto de que los intervalos eran cerrados y estaban acotados. Se examinarán ahora las funciones defi nidas en conjuntos más generales, con el fin de establecer algunas importantes propiedades de las funciones continuas en un contexto más general. Por ejemplo, en la sección 5.3 se demostró que una función que es continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza un valor máximo. Sin embargo, se verá que la hipótesis de que el conjunto es un intervalo no es esencial y que es posible pasarla por alto en el contexto apropiado. En la sección 10.1 se definen las nociones de conjunto abierto y de conjunto cerrado. El estudio de los conjuntos abiertos y los conceptos que se pueden definir en términos de dichos conjuntos constituyen el estudio de la topología puntocon junto, por lo que en realidad se analizan ciertos aspectos de la topología de R. (El campo de las matemáticas llamado "topología" es muy abstracto y rebasa con mucho el estudio de la recta real, aun cuando las ideas clave se encontrarán en el análisis real. De hecho, es el estudio de las funciones continuas en R el que motivó muchos de los conceptos abstractos desarrollados en la topología.) La noción de conjunto compacto se define en la sección 10.2 en términos de coberturas abiertas. En el análisis avanzado, la compacidad es un concepto muy poderoso de uso generalizado. Los subconjuntos compactos de R están caracteri zados en su totalidad por el teorema de HeineBorel, por lo que el potencial com pleto de la idea no es tan evidente como lo sería en contextos más generales. No obstante, cuando en la sección 10.3 se establezcan las propiedades básicas de las funciones continuas en conjuntos compactos, el lector deberá empezar a apreciar la manera en que se usan los razonamientos basados en la compacidad. En la sección 10.4 se abordan las características esenciales de distancia en la recta real y se introduce una generalización de la distancia llamada "métrica". La ampliamente usada desigualdad del triángulo es la propiedad clave en este concep to general de distancia. Se presentan ejemplos y se indica la manera en que los teore mas relativos a la recta real se pueden ampliar al contexto de un espacio métrico. Las ideas discutidas en este capítulo son un tanto más abstractas que las de capítulos anteriores; sin embargo, la abstracción con frecuencia desemboca en conocimientos más profundos y refinados. En este caso, lleva a un contexto más general para el estudio del análisis.
376
1.A 'l'Ol'Ol.()C:IA
t ON 11 IN'I OS Allll•ll'I
1>I!11
SECCIÓN 10.1 Conjuntos abiertos y cerrados en U Hay tipos especiales de conjuntos que desempeñan un papel destacado t·11 l'I análisis; éstos son los conjuntos abiertos y cerrados en R. A fin de agilizar e] t:st 11 dio, resulta conveniente contar con una noción ampliada de vecindad ele un punto,
OS V !'l·HHAl)OS
vn
l·.N 11
1 :.11 el kll¡•ulljr común, lus vocablos "abierto" y "cerrado" son an:ónimos cua~do se icau a puerta», ventanas y mentes. Sin embargo, no lo son cuando se a~llcan a subconjuntos 1111¡ •k u. Por ejemplo, se observó ya que los conjuntos 0 y R son tanto abierto: como cerrados ,.11 u. (Quizás el lector se sienta aliviado al saber que no hay otros subconjuntos e~ R que_ ll'ngan ambas propiedades.)Además, hay muchos subconjuntos deR que ,no son abiertos ni cerrados; de hecho, la mayoría de los subconjuntos de R poseen este carácter neutro.
10.1.1 Definición. Una vecindad de un punto x E Res cualquier conjunto \1 que contiene una vecindade V/x) := (x e, x +e) de x para alguna e> O. Aun cuando se requiere que una vecindade de un punto sea simétrica respcc to de dicho punto, la idea de una vecindad (general) relaja esta característica partl cular, aunque con frecuencia sirve al mismo propósito.
El siguiente resultado básico describe la manera en que los c~njuntos abiertos se relacionan con las operaciones de unión e intersección de conjuntos en R.
10.1.2 Definición. i Un subconjunto G de R es abierto en R si para cada .r E G existe una vecindad V de x tal que V s; G. ii Un subconjunto F de Res cerrado en R sí el complemento (} (F) = R\F es abierto en R. Para demostrar que un conjunto G \: R es abierto, basta probar que cada punto de G tiene una vecindade contenida en G. De hecho, G es abierto si y sólo si para cada x E G existe Ex> O tal que (x - ex, x + e) está contenido en G. Para demostrar que un conjunto F ~ R es cerrado, basta probar que cada punto y e: F tiene una vecindade disjunta de F. De hecho, Fes cerrado si y sólo si para cada y e; F existe t:Y > O tal que F n (y - t:Y, y + ey) = 0.
es un conjunto abierto.
10.1.3 Ejemplos. a) El conjunto R = (oo, oo) es abierto. Para cualquier x E R se puede tomar e:= 1. b) El conjunto G := {x ER: O< x < 1} es abierto. Para cualquier x E G se puede tomar ex como el menor de los números x, 1x. Se le deja al lector demostrar que si [u x[ < ex entonces u E G. c) Cualquier intervalo abierto I :=(a, b) es un conjunto abierto. De hecho, si x E J, se puede tomar ex como el menor de los números x - a, b - x. Entonces el lector puede demostrar que (x - ex, x + e) \: J. De manera similar, (oo, b) y (a, oo) son conjuntos abiertos. d) El conjunto l := [O, 1] no es abierto. Esto se sigue porque toda vecindad de O E 1contiene puntos que no pertene cen al. e) El conjunto I es cerrado. Para ver esto, se hace y ~ I; entonces y < O ó bien y > 1. Si y < O, se toma e := [y [, y si y > 1, se toma ey :=y - l. Se le deja al lector demostrar que en ambo~ casos se tiene I n (y - e , y + e ) = 0. f) El conjunto H :;; {x: OYE; x < 1} no es abierto ni cerrado. (¿Por qué?) g) El conjunto vacío 0 es abierto en R. De hecho, el conjunto vacío no contiene puntos en absoluto, por lo que el requisito de la definición 10.1.2 ise satisface. El conjunto vacío también es cerra do ya que su complemento Res abierto, como se vio en el ejemplo a).
10.1.4 Propiedades de los conjuntos abiertos. a) L~ unión ~e una colección cualesquiera de subconjuntos abiertos en R es un con1u~to abier~o. b) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos en R Demostración. a) Sea {G¡._: f.. EA} una familia de conjuntos en 1!- ~~~son abiertos, y sea G su unión. Considérese un elemento x E G; por la defm1c1~n de unión, x debe pertenecer a G ¡._0 para alguna A.0 E A. Puesto que G ¡._0 es abierto, existe una vecindad V de x tal que V G¡._0. Pero G¡._0 s; G, por lo que V~ G. Puesto quex es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un conjunto
s
abierto en R. b) Supóngase que G¡ y G2 son abiertos y sea G := G1.n Para demostrar que G es un conjunto abierto se considera una x E G cualquiera; enton~es x E G_1 Y x E 2. Puesto que G1 es abierto, existe e1 >O ~al que(~ el' x + e1) esta contenido en G De manera similar, puesto que G 2 es abierto, existe e2 > O tal que (x - e2, x 1. + 8 ) está contenido en G Si se toma ahora e como el menor de e1 y e2, entonces 2• la v~cindade U := (x e, :X+ e) satisface tanto U\: G 1 como U ~ G2· Por tanto, x E u\: G. Puesto que x es un elemento cualesquiera de G, se concluye que Ges un
º2·
c
conjunto abierto en R. . Aplicando un razonamiento inductivo (cu~? des~rrollo sel~ deja al l~ctor) se sigue que la intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es •
Q.E.D.
abierta.
Las propiedades correspondientes para conjuntos c~rrados se establecerán mediante el uso de las identidades de De Morgan para conjuntos y sus componen tes. (Ver el teorema 1.1.6.) · 10.1.5 Propiedades de los conjuntos cerrados. a) La i~tersección de una colección cualesquiera de conjuntos cerrados en Res un conjunto cerrado. b) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados en Res un conjunto cerrado.
Demostración. F :=
n
AEA
a) Si {F¡._: A. E A} es una familia de conjuntos cerrados en R Y
F )..• entonces í! (F) =
LJ AEA
í!( F>.) es la unión de los conjuntos abiertos.
1,/\
'l'()I'(
)1 ( )(
( 'I )N l l 1 N'I ( )lJ /\ 11111.inl IN \' ( 'hH 1(/\1
¡f¡\ lll\ 11
Por tanto, -é? (F) es abierto por el teorema 10.1.4 a) y, por cousiguicurc,
/i ~1111111
conjunto cerrado. b) Supóngase que los conjuntos F1, F2, ... , F,, son cerrados en R y sea tt: F1 U F2 U · · · U F11• Por la identidad de De Morgan, el complemento de f' c~IA dado por
é?(F)
=
é?(F¡) n ...
n é?(F,J.
Puesto que cada -é? (F¡) es abierto, por el teorema 10. 1.4 b) se sigue que -é? (F) es abierto. Por tanto, Fes un conjunto cerrado. o.u.o. Las restricciones de finitud en 10.1.4 b) y 10.1.5 b) no se pueden eliminar. Considérense los siguientes ejemplos.
H).1.6 Ejemplos. a) Sea G11 := (O, 1 + 1/n) para n EN. Entonces, por el ejemplo 10.1.3 e), Gn, es abierto para cada n EN. Sin embargo, la intersección
n 00
G :=
n=l
¡()~
l'/1)
1\N 11
, \/,.· 1•111lo11111111, se elche tener qut.:x" E (i (//);pero esto contradice el supuesto d<· q11t.: x11 L J' para toda ti EN. Se concluye por lo tanto que x E F. ii => i. Supóngase, por el contrario, que F no es cerrado, por lo que G := -é? (F) 11<> es 1111 conjunto abierto, Entonces existe un punto y0 E G tal q~e para cada n E,N existe un número Yn E -é? (G) = F tal que IY,, y01 < l/n. Se sigue que Yo:= lím (yJ y, puesto que y11 E F para toda n EN, la hipótesis ii implica ~u~ Yo .E F, hecho qu<.: contradice el supuesto de que y0 E G -é? =(F). Por tanto, la h1potes'.s el.e que~ 110 es un conjunto cerrado implica que ii no es verdadera. Por consiguiente, u implica i, como se quería demostrar. Q.E.D. El resultado siguiente guarda una estrecha relación con el teorema anterior. Establece que un conjunto F es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación. Recuérdese por la sección 4.1 que un punto x es un punto de acumu lación de un conjunto F si toda vecindade de x contiene un punto de F diferente de x. Puesto que por el teorema 4.1.2 cada punto de acumulación de un conjunto Fes el límite de una sucesión de puntos de F, el resultado se sigue de inmediato del teorema 10.1.7 anterior. Se ofrece una segunda demostración en la que sólo se usan las definiciones pertinentes.
G11 es el intervalo (O, l], el cual no es abierto. Por tanto la intersección '
de un número indefinido de conjuntos abiertos en R no es necesariamente un conjunto abierto.
UF
HU.8 Teorema. Un subconjunto de Res cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos de acumulación.
00
b) SeaF11:=[l/n,l],nEN.TodoF .
n
escerrado,perolauniónF:=
n=l
n
es
el conjunto (O, 1], que no es cerrado. Por tanto, la unión de un número indefinido de conjuntos abiertos en R no es necesariamente un conjunto cerrado.
Caracterización de conjuntos cerrados Se presentará ahora una caracterización de los subconjuntos cerrados en R en términos de sucesiones. Como se verá, los conjuntos cerrados son precisamente los conjuntos F que contienen los límites de todas las sucesiones convergentes cuyos elementos se toman de F. HU.7 Caracterizacíón de Ros conjuntos cerrados. Sea F ~ R; entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. i F es un subconjunto cerrado de R. ii Si X= (x es cualquier sucesión convergente de elementos de F, entonces lím X pertenece a F. 11)
Demostración. i => ii. Sea X= (x,,) una sucesión de elementos de F y sea x : = lím X; se quiere demostrar que x E F. Supóngase, por el contrario, que x ~ F; es decir, que x E -é? (F), el complemento de F. Puesto que -éf (F) es abierto y x E ~ (F), se sigue que existe una vecindade de x tal que Ve está contenida en -éf (F ). Puesto que x = lím (x,,), se sigue que existe un número natural K = K(e) tal que xK
Demostración. Sea F un conjunto cerrado en R y sea x un punto de acumula ción de F; se probará que x E F. De no ser así, entonces x pertenece al conjunto abierto -é? (F). Por lo tanto, existe una vecindade de X tal que VE -é? (F ). Por consiguiente VE n F = 0, lo cual contradice el supuesto de que x es un punto de
vs
e
acumulación de F. Recíprocamente, sea F un subconjunto de R que contiene a todos sus puntos de acumulación; se demostrará que ,ef (F) es un conjunto abierto. Porque si Y E -é? (F), entonces y no es un punto de acumulación de F. Se sigue que existe una vecindade Ve de y que no contiene un punto de F (con la posible excepción de y). Pero como y E -é? (F ), se sigue que VE ~ -é? (F ). Puesto que y es un elemento cualesquiera de -é? (F), se deduce que para todo punto en y existe una vecindade que se encuentra contenida en su totalidad en -é? (F ). Pero esto significa que -é? (F) es un conjunto abierto en R. Por lo tanto, Fes un conjunto cerrado en R. Q.E.D.
Caracterización de conjuntos abiertos La idea de conjunto abierto en R es una generalización de la noción de inter valo abierto. El hecho de que esta generalización no lleve a conjuntos demasiado peculiares que sean abiertos se pone de manifiesto en el resultado siguiente.
HU.9 Teorema. Un subconjunto de Res abierto si y sólo si es la unión de un número contable de intervalos abiertos disjuntos en R.
380
1,A 'l'Ol'Oi,()(IÍA
t 't lNH 11\i'l't IS A1111<1(1't
lll! /I
*
Demostracíon, Supóngase que G 0 es un conjunto uhicrto cu U. 1'¡¡1'11 l11d11 x E G, sea Ax:= {a E R: (a, x] ~ G} y sea Ex:= {b E R: [x, b) ~ G}. Puesto que U es abierto, se sigue que Ax y B¿ son conjuntos no vacíos. (¿Por qué?) Si el conjunto Ax tiene una cota inferior, se hace ax := inf Ax; si Ax no tiene una cota inferior, 1m hace ªx := +o». Obsérvese que en cualquiera de los dos casos ªx É G. Si el ccnjuntu Bx tiene una cota superior, se hace bx := sup Bx; si Bx no tiene una cota superior, .~e· hace bx := zo, Obsérvese que en cualquiera de los dos casos bx e: G. Se define ahora Ix := (ax, b); evidentemente, Ix es un intervalo abierto que contiene~· Se afirma que lx ~ G. Para ver esto, sea y E Ix y supóngase que y < x. Por la definición de ax se sigue que existe a' E Ax con a'
E
Ges un valor cualesquiera, se concluye que
U
1111m·iú11
l111·1111.~ll'llct.:i(111
IH 1
IS Y< 'P.lrnA1 H )S l'N N
de un ejemplo mucho más interesante llamado el conjun
to lle Cantor.
E! conjunto die Cantor El conjunto de Cantor, el cual se denotará por F, es un ejemplo muy interesan te de un conjunto (un tanto complicado) que es diferente a cualquiera de los con juntos que se han visto hasta este punto. Revela lo inadecuada que puede resultar la intuición en ocasiones al intentar describir subconjuntos de R. El conjunto de Cantor F se puede describir eliminando una sucesión de inter valos abiertos del intervalo unitario cerrado I :==[O, 1 ]. Se elimina primero la terce ra parte abierta de en medio ( i, del para obtener el conjunto
n
Ix ~ G. Por
xEG
otra parte, puesto que para toda x E G existe un intervalo abierto Ix con x E Ix ~ G, se tiene asimismo que G ~ .
íl xEG
I". Se concluye, por lo tanto, que G =
n =
LJ Ix. xEG
Se afirma que si X, y EG y X* y, entonces IX = I y, o bien, IX I y 0. Para demostrar esto, supóngase que z E Ix n IY, de donde se sigue que ax < z < bY y a < z < bx. (¿Por qué?) Se probará que ax = ªy· De no ser así, por la propiedad de tricotomía se sigue que i aX < ay, o bien, ii ay < aX . Si se cumple el caso i, entonces ªY Eix =(ax, b) ~ G, lo cual contradice el hecho de que a e: G. De manera similar, SI se cumple el caso ii, entonces ªx EIY =(ay, by)~ G, loycual contradice el hecho de que ax É G. Por lo tanto, se debe tener ªx = ay y un razonamiento similar implica que bx =by. Se concluye, por lo tanto, que silx n IY 0, entonces/x = IY. Aún queda por demostrar que la colección de intervalos diferentes {Ix: x E G} es contable. Para ello, se enumera el conjunto Q de los números racionales Q = {r1, "» ... , r11, ••• }(ver el teorema 2.7.13). Por el teorema de densidad 2.5.5 se sigue que todo intervalo Ix contiene números racionales; se selecciona el número racio nal de Ix que tiene el menor índice n en esta enumeración de Q. Es decir, se elige rn(x) E Q tal que I,.n(x) = Ix y n(x) es el menor índice n tal que I,11 = Ix. Por tanto, el conjunto de intervalos diferentes Ix x E G, se pone en correspondencia con un subconjunto de N. En consecuencia, 'este conjunto de intervalos diferentes es con table. Q.E.D.
*
Después se elimina la tercera parte abierta de en medio de cada uno de los dos intervalos cerrados en F1 para obtener el conjunto
Se ve que F7 es la unión de 22 = 4 intervalos cerrados, cada uno de los cuales es de la forma [k/32, (k + 1)/32]. Después se elimina las terceras partes abiertas de enmedio de cada uno de estos conjuntos para obtener F3' que es la unión de 23 == 8 intervalos cerrados. Se continúa de esta manera. En general, si se ha construido F11 y está formado por la unión de 211 intervalos de la forma [k/3", (k + l)/Y'], entonces el conjunto Fll + l se obtiene al eliminar la tercera parte de en medio de cada uno de los intervalos. El conjunto de Cantor Fes lo que queda después de que este proce dimiento se ha llevado a cabo para toda n E N. (Ver la figura 1 O. l. L) lOJ .. 10 Definición. El conjunto de Cantor Fes la intersección ele los con juntos F 11' n EN ' obtenido por la eliminación sucesiva de la tercera parte de en ~ medio, empezando con l = [O, 1].
o
Se deja como ejercicio demostrar que la representación de G como una unión disjunta de intervalos abiertos se encuentra determinada de manera única. Nota. Del teorema anterior no se sigue que un subconjunto de R es cerrado si y sólo si es la intersección de una colección contable de intervalos cerrados (¿por qué no?). De hecho, hay conjuntos cerrados en R que no se pueden expresar como la intersección de una colección contable de intervalos cerrados en R. Un con junto que consta ele dos puntos es un ejemplo. (¿Por qué?) Se describe a conti
FIGURA 10.1.l Contrucción del conjunto de Cantor.
1
3H2
LA 'I '( H '
f /\
I JI 1, u
Puesto que es la intersección de conjuntos cerrados, el pn•pin /,. ex un cnil,lllll to cerrado por 10.1.5 a). Se mencionan a continuación algunas ele las prnpit.:d11d1•t1 de F que lo hacen ser un conjunto tan interesante. 1) La longitud total de los intervalos eliminados es l. Se observa que la primera tercera parte de en medio tiene longitud 1/3, la.~ (111~1 terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes cuya suma es 2/32, l11N cuatro terceras partes de en medio siguientes tienen longitudes cuya suma es 22 ;J·1, y así sucesivamente. La longitud total L de los intervalos eliminados está dacia poi
Al usar la fórmula para la suma ele una serie geométrica se obtiene l
1
L=
3
1
2
=
l.
3
11,
X=
L
n=l
a
3:
= ( ª1ª2 ·''
;\J 111,l(l'O.'\
,\H_I
V ( 'P.IU(I\ 1 )(IS HN 11
1; pn( 1j~111plo, ~ = ( l 00 · · ·)3 = (022 · · ·)3. Si se elige la expansión sin dígitos 1 para estos puntos, entonces F consta de todas las x E I que tienen expansiones ternarias sin dígitos 1; es decir, a,, es O 2 para toda n EN. Se define ahora un mapeo cp de F en I de la siguiente manera: tll¡•,ilm:
ó
para
x
E
F.
Es decir, cp((a1a2 • • ·)3) = (b1b2 · · ·)2, donde b11 = a,/2 para toda n E Ny (b1b2 · · ') denota la representación binaria de un número. Es posible verificar que se define así un mapeo que lleva a F en I; se concluye que F tiene un número incontable de puntos. (Ver la sección 2.7.)
Ejercicios de la sección JO.]. E (O, 1 ), sea ex como en el ejemplo 10.1.3 b). Demostrar que si u - x, < entonces u E (O, 1). 2. Demostrar que los intervalos (a, oo) y (oc, a) son conjuntos abiertos y que los intervalos [b, oc) y (oc, b] son conjuntos cerrados. 3. Desarrollar el razonamiento de inducción matemática de la demostración del inciso b) de las propiedades de los conjuntos abiertos 10.1.4.
1. Si x Ex,
Por tanto F es un subconjunto del intervalo unitario I, cuyo complemento en J tiene longitud total 1. Obsérvese asimismo que la longitud total de los intervalos que forman F,, es (2/3) que tiene límite O cuando n-> oo, Puesto que F ~Fil para toda n EN, se ve que si es válido decir que F tiene "longitud", debe tener longitud O. 2) El conjunto F no contiene ningún intervalo abierto no vacío como subconjunto. De hecho, si F contiene un intervalo abierto no vacío I := (a, b), entonces como J ~Fil para toda n E N, se debe tener O< b - a :o.:; (2/3)" para toda n EN. Por lo tanto, b - a =O, de donde I es vacío, que es una contradicción. 3) El conjunto de Cantor F contiene un número infinito (incluso incontable) de puntos. El conjunto de Cantor contiene todos los puntos terminales de los intervalos abiertos eliminados y todos ellos son puntos de la forma 2k/3", donde k =O, 1, ... , n para toda 11 E N. Existe un número infinito de puntos de esta forma. El conjunto de Cantor en realidad contiene muchos más puntos que los de la forma 2k¡J"; de hecho, Fes un conjunto incontable. Se presenta el razonamiento en términos generales. Se observa que toda x E I se puede escribir como una ex pansión ternaria (base 3) ,,
( ON.11 IN'!'()S
«, ·'' )3
donde cada an es O, 1 ó 2. (Ver la explicación del final de la sección 2.6.) De hecho, cada x que está a uno de los intervalos abiertos eliminados tiene a11 = 1 para alguna n; por ejemplo, todo punto de G, D tiene a1 = 1. Los puntos terminales de los intervalos eliminados tienen dos expansiones ternarias posibles, una que no tiene
n 00
4. Demostrar que (O, 1] = (O, 1 + 1/n), como se afirmó en el ejemplo 10.1.6 a). n=l 5. Demostrar que el conjunto N de los números naturales es un conjunto cerrado. 6. Demostrar que A := { l/11: n EN} no es un conjunto cerrado, pero que A U {O} es un conjunto cerrado. 7. Demostrar que el conjunto Q de los números racionales no es ni abierto ni cerrado. 8. Demostrar que si Ges un conjunto abierto y Fes un conjunto cerrado, enton ces G\F es un conjunto abierto y F\G es un conjunto cerrado. 9. Se dice que un punto x E Res un punto interior de A<::;:; R cuando existe una vecindad V de x tal que V <;;:;A. Demostrar que un conjunto A<::;:; Res abierto si y sólo si todo punto de A es un punto interior de A. 10. Se dice que un punto x E R es un punto frontera de A <::;:; R cuando toda vecindad V de x contiene puntos de A y puntos de ef (A). Demostrar que un conjunto A y su complemento ef (A) tienen exactamente el mismo número de puntos frontera. 11. Demostrar que un conjunto G <::;:; Res abierto si y sólo si no contiene a ningu no de sus puntos frontera. 12. Demostrar que un conjunto F <::;:; R es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos frontera. 13. Si A <::;:; R, sea Aº la unión de todos los conjuntos abiertos que están conteni dos en A; al conjunto Aº se le llama el interior de A. Demostrar que Aº es un conjun. 1 abierto, que es el mayor conjunto abierto contenido en A y que un punto z pertenece a Aº si y sólo si z es un punto interior de A.
1AT
N
~ 'C\NfüN'J't)~
14. Empleando la notación del ejercicio anterior, se1111 A, JI 1'1>11j111110~ e11U,111 mostrar que Aº i;;:; A, (Aº)º =Aºy que (A n B)º ==Aº f1 H'. n'emoslrar 11sl11d11 mo queA º U Bº i;;:; (A U B)° y dar un ejemplo para probar que la i1H:ii1Hl(\11 puede ser propia. 15. Si A i;;:; R, sea A- la intersección de todos los conjuntos cerrados que cn11(k nen aA; al conjunto A- se le llama la cerradura de A. Demostrar que A- es 1111 conjunto cerrado, que es el menor conjunto cerrado que contiene aA y qtH.: 1111. punto w pertenece a A- si y sólo si tu es un punto interior, o bien, un punto frontera de A. 16. Empleando la notación del ejercicio anterior, sean A, B conjuntos en R. De mostrar que se tiene A i;;:; A-, (Af =A y que (A u Bf =A- U B-. Demostrar que (A n Bf i;;:; A- n B- y dar un ejemplo para probar que la inclusión puede ser propia. 17. Dar un ejemplo de un conjunto A i;;:; R tal que Aº= 0 y A-= R. 18. Demostrar que si F i;;:; Res un conjunto cerrado no vacío que está acotado por arriba, entonces sup F pertenece a F. 19. Si Ges un conjunto abierto y x E G, demostrar que los conjuntos Ax y Bx de la demostración del teorema 10.1.9 no son vacíos. 20. Si el conjunto Ax de la demostración del teorema 10.1.9 tiene una cota infe rior, demostrar que ªx := inf Ax no pertenece a G. 21. Si en la notación empleada en la demostración del teorema 10.. l.9 se tieneª"'
SECCIÓN 10.2 Conjuntos compactos En análisis avanzado y topología, la noción de conjunto "compacto" es de enorme importancia. Esto es menos cierto en R porque el teorema de HeineBorel proporciona una caracterización muy simple de los conjuntos compactos en R. No obstante, la definición y las técnicas usadas en relación con la compacidad son de suma importancia, y la recta real ofrece un sitio adecuado para ver la idea de compacidad por primera vez. La definición de compacidad hace uso de la noción de cubierta abierta, la cual se define a continuación. 10.2.1 Definición. Sea A un subconjunto de R. Una cubierta abierta de A es una colección .§ = { G "} de conjuntos abiertos en R cuya unión contiene a A; es decir,
< 'OMl'i\(TOS
;11 , ~·· L':·: 111111 .ruhcnlccción de conjuntos de.§ tal que la unión de los conjuntos . 9'' uuubicn contiene a A, entonces a .§' se le llama subcubíerta de .§. si . tJ' consta de un número finito de conjuntos, entonces a .§' se le llama subcubierta flnita de .§. Puede haber varias cubiertas abiertas diferentes para un conjunto dado. Por ejemplo, si A := [1, =), entonces el lector puede verificar que las siguientes colec ciones de conjuntos son todas cubiertas abiertas de A: ,¡..
~) :=
.§1
:=
.Y'2 :=
{(0,co)},
+ 1): r E Q, r > O}, {(n 1, n + 1): n EN}, { (
r - 1, r
.§3 == {(O,n): ~ ==
n EN},
{(O, n): n EN, n ;;:.. 23}.
Se observa que .§2 es una subcubierta de .§71, y que ~ es una subcubierta de .§.3. Desde luego, es posible describir muchas otras cubiertas abiertas de A. JL0.2.2 Definición. Se dice que un subconjunto K de Res compacto si toda cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita. En otras palabras, un conjunto K es compacto si, siempre que esté contenido en la unión de una colección.§= {G } de conjuntos abiertos en R, entonces está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .§. Es muy importante observar que para aplicar la definición a fin de demostrar que K es compacto, se debe examinar una colección cualesquiera de conjuntos abiertos cuya unión contenga a K, y probar que K está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de la colección dada. Es decir, se debe demostrar que cualquier cubierta abierta de K tiene una subcubierta finita. Por otra parte, para probar que un conjunto H no es compacto, basta presentar una colección particular .§de conjuntos abiertos cuya unión contiene a H, pero tal que la unión de cualquier número finito de conjuntos de.§ no contenga a H. Es decir, H no es compacto si existe alguna cubierta abierta de H que no tiene ninguna subcubierta finita. C(
rn.2.3 Ejemplos. a) Sea K := {x¡, X2, .•• 'xn} un subconjunto finito de R. Si= .§ {G"} es cualquier cubierta abierta de K, entonces cada X; está contenida en algún conjunto G u; de .§. Entonces la unión de los conjuntos de la colección {Gal' Ga2, ... , G,,n} contiene a K, por lo que es una subcubierta finita de .Y'. Puesto que.§ es una colección cualesquiera, se sigue que el conjunto finito K es compacto. b) Sea H := [O, co). Para probar que H no es compacto, se presentará una cubierta abierta que no tiene ninguna subcubierta finita. Si se hace Gn := (1, n) 00
O'
para cada n EN, entonces
n t; n~I U
G,,, por lo que.§':=
{Gn: n EN} es una
3Hf1
1.A '1'01'01(HllA1111
cubierta abierta de H. Sin embargo, si { G11
I'
finita de .#,y si se hace m := sup {n1, n2,
I/
('ONlllN'IWl('OMl'A(
G,,2' ... , G,,k¡ ex cualquier ~uhrnkt•t•l1111 ... ,
u¡ G,,. Por tanto, .§ := { G,,: n
E
N} es una cubierta abierta do
J. Si {G,, P G112, ... , Gn,} es cualquier subcolección finita de.#,. y si se haces: sup {np n2, ... , n,.}, entonces G,.I
u
G,,2
u ... u c .. ,=
es= (l/s, 1).
Puesto que 1/s está en J pero no en G,., se ve que la unión no contiene a J. Por lo tanto, J no es compacto. Ahora se quiere describir todos los subconjuntos compactos de R. Se estable cerá primero mediante razonamientos bastante directos que cualquier conjunto compacto en R debe ser tanto cerrado como acotado. Después se demostrará que estas propiedades en realidad caracterizan a los conjuntos compactos en R. Este es el contenido del teorema de HeineBorel.
10.2.4 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R, entonces K es cerrado y acotado. Demostración. Se demostrará primero que K está acotado. Para toda m EN, sea H111 := (-m, m). Puesto que cada Hm es abierto y como K C
LJ
H,,, = R, se ve
m=l
que la colección {H111: m EN} es una cubierta abierta de K. Puesto que K es com pacto, esta colección tiene una subcubierta finita, por lo que existe ME N tal que M
K~
UHm=HM=(-M,M). m=I
Por lo tanto, K está acotado, ya que está contenido en el intervalo acotado (-M, M). Se demuestra ahora que K es cerrado, probando que su complemento ef (K) es abierto. Para ello, sea u E ef (K) un punto cualesquiera y para toda n E N se hace G11 :={y ER: jy-uj :¡¡; l/n}. Es un ejercicio demostrar que cad~ conjunto G11 es abierto y que R\{u} = G11• Puesto que u e K, se tiene K C G11• Puesto
l}1
11
que K es compacto, existe m EN tal que
U
e,.= e,,..
1'=1
00
n==
\11/
m
K ~
nk}, entonces
Evidentemente, esta unión no contiene a H =[O, oo). Por tanto, ninguna subcolccclón finita de .§conseguirá que su unión contenga a H y, por lo tanto, H no es cornpactn e) SeaJ :=(O, 1). Si se hace G11 := (l/n, 1) para cada n EN, entonces se ve dt• inmediato que J =
I'();,
LJ
n== 1
/\partir de este hecho se sigue que K n (u -1/m, u+ l/m) = 0, por lo que (u 1 [m, u + 1 ¡m) ef (K). Pero como u era un punto cualesquiera en ef (K), se infiere que ef (K) es abierto. Q.E.D.
e
Se demuestra a continuación que las condiciones del teorema 10.2.4 son tanto necesarias como suficientes para que un subconjunto de R sea compacto.
10.2.5 Teorema de HeineBorel, Un subconjunto K de Res compacto si y sólo si es cerrado y acotado. Demostración. En el teorema 10.2.4 se demostró que un conjunto compacto en R debe ser cerrado y acotado. Para establecer el recíproco, suponer que K es cerrado y acotado, y sea.§ = { G } una cubierta abierta de K. Se desea demostrar que K debe estar contenido en Jaªunión de alguna subcolección finita de .#. La demostración se hará por contradicción. Se supone que: (*)
K no está contenido en la unión de ningún número finito de conjuntos en .§.
Por hipótesis, K está acotado, por lo que existe r >O tal que K C [-r, r]. Se hace J1 := [-r, r] y se biseca !1 en dos subintervalos cerrados 1; := [-r, O] e I{' :=[O, r]. Al menos uno de los dos subconjuntos K n I; y K n 1{' debe ser no vacío y poseer la propiedad de que no esté contenido en la unión de cualquier número finito de conjuntos en .§. [Porque si los dos conjuntos K n 1; y K n I{' están conten}dos en la unión de algún número finito de conjuntos en ..§, entonces K = (K n 11) U (K n I') está contenido en Ja unión de algún número finito de conjuntos en .#, lo cual contradice el supuesto (*).] Si el conjunto K n 1; no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .#, se hace /2:=1;; en caso contra rio K n !"tiene esta propiedad y se hace 12=1;. ' Ahor~ se biseca J en dos subintervalos cerrados 1; e I ~'. Si el conjunto K n 1; es no vacío y no está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en .#, se hace J :=!';en caso contrarioK n 1;' tiene esta propiedad y se se hace !3:=1;'. Al continuar el proceso se obtiene una sucesión anidada de intervalos (In). Por la propiedad de los intervalos anidados 2.6.1, existe un punto z que pertenece a todos los l n' n EN. Puesto que todo intervalo I n contiene puntos de K, el punto z debe ser un punto de acumulación de K. Además, como se supuso que K es cerra do, por el teorema 10.l.8 se sigue que z EK. Por lo tanto, existe un conjunto G,_ en .§ con z E G,_. Puesto que G,., es un conjunto abierto, existe e > O tal que
(z - e ,» + s) ~ GA.
.IHH
l,A 'l'Ol'(ll,O(lf/\
1)11, 11
111 li'lr 'ICINll,~l
Por otra parte, puesto que los intervalos 111 se obtienen prn lil:it'l'ciom:s rcpvl ldwi !111 I1 = [-r, r], la longitud de In es r¡2n-2• Se sigue que si 11 es lo suficit:11le1111·11111 grande para que r¡2n-2
'..!. 3.
l'1N1t•11111r
l'ri.:su11tar
1111)
f 'UN'l lN!IAS
1111a cubierta abierta ele N que 110 1u11µ.n 11i11gu1111 .•:t1hn1hic1l11 una cubierta abierta del conjunto { 1/11:11 EN} que no lu11µ.M
ll1iiln
1d11¡•,11·
na subcubierta finita. 4. Usar la definición 10.2.2 para, demostrar que si Fes un subconjunto cerrado de un conjunto compacto K en R, entonces Fes compacto. 5. Usar la definición 10.2.2 para, demostrar que si K1 y K2 son conjuntos coiu pactos en R, entonces su unión K1 U K2 es compacta. 6. Usar el teorema de HeineBorel para demostrar la siguiente versión del tcorc ma de BolzanoWeierstrass: Todo subconjunto infinito acotado de R tiene 1111 punto de acumulación en R. (Obsérvese que si un conjunto no tiene pu11111s 111' acumulación, entonces es cerrado por el teorema 10.1.8.) 7. Encontrar una colec~ión infinita {K,,: n EN} de conjuntos compactos c11 (i
Observación, En el ejemplo 10.2.3 b) se vio que el conjunto cerrado H :=¡o, co) no es compacto; obsérvese que H no está acotado. Asimismo, en el ejemplo 10.2.3 e) se vio que el conjunto acotado J :« (O, 1) no es compacto; obsérvese qut: 1 no es cerrado. Por tanto, no es posible omitir ninguna de las dos hipótesis del Teorema de HeineBorcl.
U
tales que la unión K no sea compacta. 1 n 8. Demostrar que la intersecciónde una colección cualesquiera de eoilj\111101. compactos en Res compacta. 9. Sea {K11: n EN} una sucesión de conjuntos compactos no vacíos en U 11!1 q11t• K 1:J K2:J · · · :J Kn :J · · · . Demostrar que existe al menos un punto. • U ce
Los teoremas de HeineBorel y de BolzanoWeierstrass 3.4.7 se pueden com binar para obtener una caracterización en términos de sucesiones de los subconjuntos de R.
n
tal que X E K n para toda n EN , es decir ' la intersección 11=1 K11 es no v11d11. 10. Sea K un conjunto compacto en R. Demostrar que inf K y sup K existen y pertenecen a K. 11. Sea K compacto en R y sea e E R. Demostrar que existe un punto a en K. tal que c a',::: inf {le xj: x E K}. 12. Sea K compacto en R y sea e E R. Demostrar que existe un punto b en K tal que [e bj = sup {]c x,: x E K}. 13. Usar la noción de compacidad para dar otra demostración del ejercicio 5.3.15. 14. Si K1 y K2 son conjuntos compactos disjuntos, demostrar que existe k; E K1 tul que O< 1k1 k21:;; inf {!x1 x21: X¡ EK¡}. 15. Dar un ejemplo de dos conjuntos cerrados disjuntos F1, F2 tales que O = inf {;x1 xz!: x1 E KJ
JW.2.6 Teorema. Un subconjunto K de R es compacto si y sólo si toda sucesión en K tiene una subsucesián que converge a un punto en K.
1
Demostración. Supóngase que K es compacto y sea (x ) una sucesión con x E K para toda n EN. Por el teorema de HeineBorel, el conj~'nto K está acotado, d~ donde la sucesión (x está acotada; por el teorema de BolzanoWeierstrass 3.4.7, existe una subsucesión (x11k) que converge. Dado que K es un conjunto cerrado (por el teorema de HeineBorel), el límite x = lím (xnk) está en K. Por tanto, toda sucesión en K tiene una subsucesión que converge a un punto de K. Para establecer el recíproco, se probará que siK no es cerrado o no está acota do, entonces debe existir una sucesión en K que no tiene ninguna subsucesión que converge a un punto de K. Primero, si K no es cerrado, entonces existe un punto de acumulación e de K que no pertenece a K. Puesto que e es un punto de acumula ción de K, existe una sucesión (x ) con x 11 E K y x n =F e para n E N tal que lím ('x 11 ) =c. Entonces toda subsucesión de (xn) también converge a e y como e e K, no existe ninguna subsucesión que converge a un punto de K. , Segundo, si K no está acotado, entonces existe una sucesión (x11) en K tal que fxnl > n para toda n EN. (¿Por qué?) Entonces ninguna subsucesión de (xn) deja de estar acotada, de donde ninguna subsucesión de ella puede converger a un punto deK. Q.E.D. 11)
.,,
11
Ejercicios de la sección 10.2 l. Presentar una cubierta abierta del intervalo (1, 2) que no tenga ninguna subcubierta finita.
SECCIÓN rn.3 Funcíones continuas •
En esta sección se examinará la manera en que el concepto de continuidad de funciones se puede relacionar con las ideas topológicas de conjuntos abiertos y conjuntos compactos. Se establecerán en este contexto algunas de las propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos presentadas en la sección 5.3. Entre otras cosas, estas nuevas argumentaciones demostrarán que el concepto de continuidad y muchas de sus importantes propiedades se pueden llevar a un nivel más alto de abstracción. Esto se estudiará brevemente en la siguiente sección relativa a los espacios métricos.
Continuidad En la sección 5.1 se examinó la continuidad en un punto; es decir, la continui dad "local" de funciones. A continuación se analizará principalmente la conti
3\IU
l./\ 'J'Ol'()l,()(11/\
lll(
u
11 IN< 'I< IN11'! 1 '< HI 1lt111/\'•
nuidad "global" en el sentido de que se supondrá que las funciones son rn111 im111r1 en la totalidad de sus dominios. En la sección 5.1 se definió la continuidad de una función f: A r+ }( i.;11 1111 punto e E A. La definición 5.1.1 establece que/ es continua en c si para toda vccln dad-e Vt:(f (c)) de f (c) ex~ste una vecindado V0(c) tal que si x E V0(c) nA, c111011 Vif(c)). ~e quiere reformular esta condición de continuidad en un punto en termmos ele vecmdades generales. (Recuérdese por 10.1.1 que una vecindad de un punto e es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de e parn alguna e >O.)
=t»:
. 10.3.1 Lema. Una función f: A -+ R es continua en el punto e de A si y sólo si para toda vecindadU de f(c), existe una vecindad V de e tal que si x E V n A, entonces f (x) E U. Demostracíon, Supóngase que f satisface la condición enunciada. Entonces dada e> O,, se ?ace U= Vi/ (c)) y después se obtiene una vecindad V para la cual x E V n A i~di~a que f(x) E U. Si se elige > O tal que V0(c) k V, entonces x E Va(c) n A indica que f (x) E U; por lo tanto, fes continua en c de acuerdo con la definición 5.1.1.
o
Recíprocamente, si fes continua en e en el sentido de la definición 5.1.1, e~tonces, como cualGuie~ vecindad U de /(c) contiene una vecindade V//(c)), se sigue que al tomar la vecindadS V= Vo(c) de e de la definición 5.1.1 se satisface la condición del lema. Q.E.D.
u
. Cabe hacer not~r que el enunciado de que x E V n A indica que /(x) E es eqmvalen~e al enu.ncrndo de que f(V A) k U; es decir, que la imagen directa de V nA esta contenida en U. Y por la definición de imagen inversa, esto es Jo mismo ~ue V n A k ¡-1(U). (Ver la sección 1.2 para las definiciones de imagen directa e mversa) Usando esta observación se obtiene una condición para que una función sea continua en su dominio en términos de conjuntos abiertos. En cursos más avan zados de topología el inciso b) del siguiente resultado con frecuencia se toma como definición de continuidad (global).
n
. , 10.3.2 T~o~ema de continuidad global. Sea A ~ R y sea f: A -. R una functon con dominio A. Entonces los siguientes enunciados son equivalentes: a) fes continua en todo punto de A. b) Para todo conjunto abierto Gen R, existe un conjunto abierto H en R tal que H n A = ¡1(G). Demost~ación. ~) :::::} b). Supóngase que fes continua en todo punto de A, y sea G un con1~mto abierto en R dado. Sic pertenece a/1(G), entoncesf(c) E G, y como~ es. abierto, Ges.una vecindad def(c). Por lo tanto, por el lema anterior, de la continuidad de f se sigue que existe un conjunto abierto V(c) tal que x E V(c)
\IJI
. 1,:11 1:1 1111:1J',i.:11 . . ¡· 1 (( •') . •sL' i111plirn quv f ( 1) 1 <,";es decir, V(c) está <:011fe111dn 111vt·1.~;i selecciona \/(e) para cada e en f 1 (G), y sea l/ la u11i611 de Indos cslos <:t111j1111los ll(c). Por las propiedades de los conjuntos abiertos 10.1.4, el conjunto 11 es ahiello y se tiene H n A ¡-1(G). Por tanto, a) implica b ). b) ~a). Sea c un punto cualquiera de A, y sea G una vecindad abierta de f(c). Entonces la condición b) implica que existe un conjunto abierto H en R tal que// n A= ¡-i(G). Puesto que/(c) E G, se sigue que c EH, de donde Hes una vecindad de e. Si x EH n A, entonces f (e) E G y, por lo tanto, fes continua en c. Con esto se demuestra que b) implica a). O.E.O.
=
En el caso en que A = R, el resultado anterior se simplifica en cierta medida.
10.3.3 Corolario. Una función f: R-+ Res continua si y sólo si ¡1(G) es abierta en R siempre que G sea abierto. Se debe subrayar el hecho de que el teorema de continuidad global 10.3.2 no establece que sif es una función continua, entonces la imagen directaf(G) de un conjunto abierto es necesariamente abierto. En general, una función continua no enviará conjuntos abiertos a conjuntos abiertos. Por ejemplo, considérese la fun ción continu~ f: R + R definida por
f(x) := x2 + 1,
XER.
Si Ges el conjunto abierto G := (1, 1), entonces la imagen directa bajo = [1, 2), que no es abierto en R. Ver los ejercicios para más ejemplos .
f esf(G)
Preservación de la compacidad En la sección 5.3 se demostró que una función continua pasa un intervalo cerrado y acotado [a, b] a un intervalo cerrado y acotado [m, M], donde m y M son los valores mínimo y máximo de f en [a, b ], respectivamente. Por el teorema de HeineBorel, éstos son subconjuntos compactos de R, por lo anP pi 'eorema 5.3.8 es un caso especial del siguiente teorema m&~
10.3.4 Preservación de la compacidad. Si K es un subconjunto compacto de R y si f: K-+ R es una función continua en K, entonces f (K) es compacto. Demostración. Sea .§;; { G1.} una cubierta abierta del conjunto f (K). Se debe demostrar que .§tiene una subcubierta finita. Puesto que f(K) k U Gt., se sigue que K k U ¡1(G1 Por el teorema 10.3.2, para cada G1. se puede encontrar un conjunto abierto H1. tal que Hx_ n K = ¡-1(G').). Entonces la colecci~n {H1.}. es una cubierta abierta del conjunto K. Puesto que K es compacto, esta cubierta abierta de K contiene una subcubierta finita {H1.l' H1.2, ••. , H x.n}. Se tiene entonces
J
.l')).
l./\
'1'(11'()1
( H I[/, 1 JI•
u ¡ (GA.) u"
JI
l'llN('l
t'()N'l'INlli\S
1'11
n
=
1
i=I
HA; Í1
K ~ K.
lf(x)
i=I
f(udl
< ie
y
lf(u) - f(udl <~E.
n
De esta relación se sigue que
U GA.;
;:;;)
f(K). Por tanto, se ha encontrado u11n
subcubierta finita ele .:#. Puestd qhe .§' es una cubierta abierta arbitraria ele f(l\ ), se concluye que f(K) es compacto. o.u.n.
ll0.3.5 Algunas aplicaciones. Se indicará a continuación cómo aplicar 111 noción de compacidad (y el teorema de HeineBorel) para obtener otras dernostra ciones de algunos resultados importantes que se probaron usando el teorema do BolzanoWeierstrass. De hecho, estos teoremas conservan su validez si los inter valos se reemplazan por conjuntos compactos no vacíos cualesquiera en R . A) El teorema de acotabilidad 5.3.2 es una consecuencia inmediata del teore ma.10.3.4 y del teorema de HeineBorel 10.2.5. De hecho, si K ~Res compacto Y si f: K-> R es una función continua en K, entonces f(K) es compacto y, en consecuencia, está acotado. B) El teorema del máximomínimo 5.3.4 también es una consecuencia inme diata del teorema 10.3.4 y del teorema de HeineBorel. Como se hizo anteriormen te, se encuentra que f(K) es compacto y, por tanto, está acotado en R, por lo que s* := s~p f(K_) ~x.iste. Si f(K) es un conjunto finito, entonces s* Ef(K). Si f(K) es un conjunto infinito, entonces s* es un punto de acumulación de/(K) [ver el ejercicio 1.0.2.6). Puesto quef(K) es un conjunto cerrado, por el teorema de HeineBorel, se sigue por el teorema 10.l.8 que s* E f(K). Se concluye que s* = f(x*) para alguna x* EK. C) También se puede dar una demostración del teorema de continuidad uni forme 5 .4.3 basada en la noción de compacidad. Para ello, sea K ~ R compacto y sea f: K-> R una función continua en K. Entonces, dada E > O y u E K, existe un número := ó{!e, u)> O tal que six EKy lxu¡ <ºu' entonces lf(x)-f(u)I < ie. Para . cada u EK, sea. ,, Gu :=(u - H5u , u+ !8)u ' de tal modo que G u es abierto· ' se considera la colección .§': = { G u: u E K}. Puesto que u E Gu para u E K, es un
ou
hecho trivial que K ~
U
ueK
Se tiene por lo tanto lf(x) - f(u)I < e. Se ha demostrado que si e> O, entonces existe c5(e) > O tal que si x, u son puntos cualesquiera de K con lx ul < c5(e), entonces lf(x)- f(u)I <~Puesto que e > O es un valor cualesquiera, con esto se demuestra que fes umformemente continua en K, como se afirmó. Se concluye esta sección ampliando el teorema de la inversa continua 5.5.5 a funciones cuyos dominios son, en lugar de intervalos en R, subconjuntos compac tos de R.
H).3.6 Teorema. Si K es un subconjunto compacto de R y f: K _. R es una función inyectiva y continua, entonces ¡1 es continua en f(K). Demostración, Como K es compacto, entonces el teorema 10.3.4 implica que la imagen f(K) es compacta. Puesto que fes inyectiva por hipótesis, la función inversa ¡1 está definida de f(K) a K. Sea (Y,) cualquier sucesión convergente en f(K) y sea y0 = lím (y n). Para establecer la continuidad de ¡1 se demostrará que la sucesión (f1(y )) converge a ¡-1(y0). Sea x := ll(y ) y, por el método de contradicción, supóngase que (xn) no 11 ,, "(')tl converge ax0 := ¡1(y 0). Entonces existe una E> O y una su b sucesión xk a que lx' x i ? E para toda k. Puesto que K es compacto, se concluye por el teorema 10.2.6 ~ue existe una subsucesión (x ;) de la sucesión (x~) que converge a un punto x* deK. Puesto que [x" -x 1? E, se tienex* x0.Ahora bien, como/es continua, se tiene lim (f(x")) = /(x~•). Asimismo, como la subsucesión (y;) de (y,,) que 1subsucesión corresponde a la (x ~) de (xn) debe converger al mismo límite que
*
(y,,), se tiene lím (f(x~))
=
lím
(y~)= Yo= f(xo)·
G . Puesto que K es compacto existe un número finito u
'
·
de conjuntos, digamos Gup ... , G uM cuya unión contiene a K. Se define ahora
o(e) == finf{o,, 1 , ...
,ou }, .\1
de donde 8( E) > O. Ahora bien, si x, u E K y lx ul < o( e), entonces existe alguna uk con k = 1, ... , M tal que x E G,,k; por lo tanto, lx ukl < ! 8uk· Puesto que se tiene 8(e) ~ ~Ouk' se sigue que
Se concluye, por lo tanto, que /(x*) = f (x0). Sin embargo, como fes inyectiva, esto implica que x* = x0, lo cual constituye una contradicción. Se concluye, por tan to, que ¡1 pasa sucesiones convergentes en f (K) a sucesiones convergentes en K y, en consecuencia, ¡1 es continua. Q.E.D.
Ejercidos elle la sección .HU 1. Sea que f: R-> Resté definida por f(x) := x2, x E R. a) Demostrar que la imagen inversaf1(1) de un intervalo abierto I :=(a, b) es un intervalo abier to, la unión de dos intervalos abiertos, o bien, el conjunto vacío, dependiendo
3\)4
LATOl'Ol.OOIA
2.
3. 4.
5. 6. 7. 8. 9. 1 O.
JIJ.'.I
llH N
de a y b. b) Demostrar que sil es un intervalo abierto que contiene u O, c11ICl11 ces la imagen directa f(I) no es abierta. Sea que f: R--+ Resté definida por f(x) := 1/(1 + x2), x E R. a) Encontrar 11n intervalo abierto (a, b) cuya imagen directa bajof no sea abierta. b) Demos· trar que la imagen directa del intervalo cerrado [O, oo] no es cerrada. Sea I := [1, oo] y sea f(x) = ~para x E J. Para toda vecindade G = (t:, + e) de O, presentar un conjunto abierto H tal que H n I = ¡1(G). Sea que h: R--+ Resté definida por h(x) := 1 si O ~ x ~ 1, h(x) :=O en caso contrario. Encontrar un conjunto abierto G tal que h-1(G) sea no abierto y un conjunto cerrado F tal que h-1(F) sea no cerrado. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) < a} es abierto en R para toda a E R. Demostrar que si f: R--+ Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) ~ a} es cerrado en R para toda a E R. Demostrar que sif: R--> Res una función continua, entonces el conjunto {x E R: f(x) = k} es cerrado en R para toda k E R. Dar un ejemplo de una funciónf: R--> R tal que el conjunto {x E R: f(x) = 1} no es ni abierto ni cerrado en R. Demostrar quef: R--> Res una función continua si y sólo si para todo conjun to cerrado F en R. la imagen inversa ¡-1(F) es cerrada. Sea l := [a, b] y sean f: l t R y g: I > R funciones continuas en /. Demostrar que el conjunto {x El: f(x) = g(x)} es cerrado en R.
SECCIÓN HJJ,4 Espacios métricos Este libro se ha dedicado al estudio cuidadoso del sistema de los números reales y de diferentes procesos de límites que se pueden definir para funciones de una variable real. Uno de los temas centrales fue el estudio de las funciones conti nuas. En este punto, con una sólida comprensión del análisis en la recta real, se puede iniciar el estudio de espacios más generales y los conceptos de límites rela cionados. Es posible generalizar los conceptos fundamentales del análisis real de varias maneras diferentes, pero una de las más provechosas es en el contexto de los espacios métricos, donde métrico es una abstracción de una función de distancia. En esta sección se introducirá la idea de espacio métrico para indicar a conti nuación la manera en que ciertas áreas de la teoría desarrollada en este libro se pueden ampliar a este nuevo contexto. Se analizarán los conceptos de vecindad de un punto, de conjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones y de continuidad de funciones definidas en espacios métricos. La finalidad de esta bre ve explicación no es desarrollar la teoría de los espacios métricos con gran profun didad, sino poner de manifiesto la manera en que las ideas y las técnicas claves del análisis real se pueden ubicar en un marco más abstracto y general. El lector debe rá observar cómo los resultados básicos del análisis en la recta real sirven para motivar y encauzar el estudio del análisis en contextos más generales. . La generalización puede cumplir dos importantes objetivos. Uno es que los teoremas derivados en contextos generales con frecuencia se pueden aplicar en
muchos c11~0¡.i paniculares sin necesidad de una demostración separada para cada caso especial. El segundo objetivo es que al eliminar las características no esenci~ les, y en ocasiones distrayentes, de las situaciones particulares, con frecuencia resulta posible la comprensión de la significación real de un concepto o teorema.
Métricos En la recta real, los conceptos de límites se definieron en términos de la dis tancia lx-y 1 entre dos puntos x, y en R, y muchos teoremas se demostraron usando la función del valor absoluto. En realidad, un estudio atento revela que sólo se requirieron unas cuantas propiedades claves del valor absoluto para probar mu chos resultados fundamentales, y resulta que estas propiedades se pueden extractar y aplicar para definir funciones de distancia más generales llamadas "métricos". Hl.4.1 Deñnlción. Un métrico en un conjunto Ses una función d: S x S ~ R que satisface las siguientes propiedades: a) d(x, y);;.: O para toda x, y ES ipositividady; b) d(x, y) = O si y sólo si x =y (precisión); e) d(x, y)= d(y, x) para toda x, y ES (simetría); d) d(x, y)~ d(x, z) + d(z, y) para toda x, y, z ER (desigualdad del triángulo). Un espacio métrico (S, d) es un conjunto S junto con un métrico den S. Se consideran varios ejemplos de espacios métricos.
rn.4l.2 Ejem¡plos. a) El métrico familiar en R está definido por
d(x, y)
:=
lx yl
para
x, y
E
R.
La desigualdad del triángulo parad se sigue de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto ya que se tiene
d(x,y)=\x
- yl
=
\(x - z) + (z - y)\
,¡¡;; lx z]
+
[z yl
=
d(x, z) + d(z, y),
para todax, y, z E R. b) La función de distancia en el plano obtenida a partir del teorema de Pitágoras ofrece un ejemplo de un métrico en R2• Es decir, se define el métrico den R2 de la manera siguiente: si P1 := (xl' y1) y P 2 := (x2, y2) son puntos en R2, entonces
e) Es posible definir varios métricos diferentes en el mismo conjunto. En R2 también se puede definir el métrico d 1 de la siguiente manera:
l./\ 'i'OJ'()J
d 1 ( p 1' p 2) = 1 X l
0( HA 1 ll 11
X2
1 'd'A! 'U
Otro métrico más en R2 es d,,, definido por
V,( X o)
La com.pro?a.ción de que d, Y d00 satisfacen las propiedades de un métrico se deja como e1erc1c10. · . . d) Sea que C [O, 1] denote el conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo [O, 1]. Para f, gen C[O, 1 ], se define E
[0,1]}.
Entonces .se puede verificar que d,,, es un métrico en C[O, 1 J. Este métrico es la norma uniforme de/ g, según se definió en la sección 8.1; es decir, d""(f, g) l/f - g/l, donde 1 11.1 denota la norma uniforme de f en el conjunto [O, 1]. e) Se considera nuevamente C[O, 1], pero ahora se define un métrico diferen te d1 por
=
I, g
E
C[O, IJ.
Es posibl~ u.sar las propiedades de la integral para demostrar que éste es en reali dad un metnco en C[O, 1]. Los detalles se dejan como ejercicio. f) Sea S un conjunto no vacío. Para s, t e S se define
d(s,t):=O :=
l
si
s
si
s =I=
1\111 l'IW
= t,
t.
Es u~ ejercicio demo~trar quedes un métrico en S. Este métrico se llama el métri co discreto en el conjunto S. .·~abe hace1r notar que si (S, d) es un espacio métrico y si T ~ S, entonces d' definido por d (x, Y) := d(x, Y) para toda x, y e T produce un métrico en T, el cual se denota g~ner~l~ente por d. Con base en lo anterior, se dice que (T, d) también es un espac;o .metnco. Por ~jemplo, el métrico den R definido por el valor absolu to es .un metnco en el conjunto Q de los números racionales y por tanto (Q d) también es un espacio métrico. ' ' '
Vecindades y convergencia . La noción básica necesaria para introducir los conceptos de límites es la de vecmdad, la cual se define en espacios métricos de la siguiente manera.
:=
\1)/
< 1:l
IO.•l .. 1 lh·hukiún. Sea (S, d) un espacio métrico. vecindad r de un punto x0 en Ses el conjunto
I + 1 Y¡ - Y z l.
d~(f,g) :=sup{lf(x)g(x)l:x
1:,
Entonces
para e>
O la
{X E S: d ( X o , X) < S} .
Una vecindad de x0 es cualquier conjunto U que contiene una vecindade de x0 para alguna e > O. Cualquier noción definida en términos de vecindades se puede definir y anali zar ahora en el contexto de los espacios métricos mediante la modificación ade cuada de la terminología. Se considera primero la convergencia de sucesiones. Una sucesión en un espacio métrico (S, d) es una función X: N---> S con domi nio N y codominio en S, y se usa la notación usual para sucesiones; se escribe X:= (xn') pero ahora x,, e S para toda n e N. Al sustituir el valor absoluto de la defini ción convergencia de sucesiones por un métrico, se llega a la noción de convergen cia en un espacio métrico.
10.4.4 Definición. Sea (x,.) una sucesión en el espacio métrico (S, d ). Se dice que la sucesión (x,,) converge ax en S si para cualquier e > O existe K EN tal que x11 e Vs(x) para toda n ;;o K. Obsérvese que como x11 e V/x) si y sólo si d(x11, x) < e, una sucesión (x,.) converge ax si y sólo si para cualquier e> O existe Ktal que d(x11, x) < s para toda n ;;o K. En otras palabras, una sucesión (x,.) en (S, d) converge ax si y sólo si J¡¡ sucesión de números reales (d(x11, x)) converge a O. 10.4.5 Ejemplos. a) Considérese R2 con el métrico d definido en el ejemplo 10.4.2 b). Si Pn = (xn' yn) e R2 para toda n eN, entonces se afirma que la sucesión (P11) converge a P = (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si las sucesiones de números reales (x,.) y (y11) convergen ax y y, respectivamente. Primero, se observa que la desigualdad lx11 xi ~ (d(P11, P) implica que si (/'11) converge a P con respecto al métrico d, entonces la sucesión (x11) converge ¡¡ x; la convergencia de (y11) se sigue con un razonamiento similar. El recíproco se sigue de la desigualdad d(P11, P) ~ lx" xj + ly11 y¡, la cual se verifica con facilidad. Se dejan los detalles al lector. b) Sea d"' el métrico en C[O, 1] definido en el ejemplo 10.4.2 d). Entonces una sucesión ( en C[O, 1] converge a f con respecto a este métrico si y sólo si (!,.)converge uniformemente a/en el conjunto [O, J.]. Esta condición se estableció en el lema 8.1.8 en la explicación de la norma uniforme.
t; )
Sucesiones de Cauchy La noción de sucesión de Cauchy es un concepto importante en los espacios métricos. La definición se formula como se anticiparía, con el métrico sustituyen do al valor absoluto.
J')H
11.:ll'/\I ·1rnl M1t 1'1(1( 'Wi
LA 'l'OPOl ,rnll/\ 1)lt11
10.4.6 Definición. Sea (S, d) un espacio métrico. S1· dice que una NtlCl'~lii'•ll (xn) en Ses una sucesión de Cauchy si para toda e >O existe JI EN tal que i/(111, x111) < e para toda n, m ;;,, H. El teorema de convergencia de Cauchy 3.5.4 para sucesiones en R estahloco que una sucesión en Res una sucesión de Cauchy si y sólo si converge a un punto de R. Este teorema no se cumple para espacios métricos en general, como lo rcvc lan los ejemplos que siguen. Los espacios métricos para los cuales las sucesiones de Cauchy son convergentes poseen una importancia especial. 10.4.7 Definición. Se dice que un espacio métrico (S, d) es completo si toda sucesión de Cauchy en S converge a un punto de S. En la sección 2.4 la propiedad de completidad de R .se estableció en términos de las propiedades de orden imponiendo el requisito de que todo subconjunto no vacío de R que esté acotado por arriba tenga un supremo en R. La convergencia de las sucesiones de Cauchy se deduce como un teorema._ De hecho, es posible inver tir los papeles de estas propiedadesfundamentales deR: la propiedad de completidad de R se puede enunciar en términos de sucesiones de Cauchy como en 10.4.7, y la propiedad del supremo se puede deducir entonces como un teorema. Puesto que muchos espacios métricos no tienen una estructura de orden apropiada, el concep to de completidad se debe describir en términos del métrico, y las sucesiones de Cauchy ofrecen el medio natural para ello. 10.4.8 Ejemplos. a) El espacio métrico (Q, d) de los números racionales con el métrico definido por la función del valor absoluto no es completo. Por ejemplo, si (x11) es una sucesión de números racionales que converge a -Ji, entonces es una sucesión de Cauchy en Q, pero no converge a un punto de Q. Por lo tanto, ( Q, d) no es un espacio métrico completo. b) El espacio C[O, 1] con el métrico d¿ definido en 10.4.2 d) es completo. Para probar esta afirmación, supóngase que (!,.) es una sucesión de Cauchy en C[O, 1] con respecto al métrico d,,,. Entonces, dada e > O, existe H tal que
_l 1+1 2 2 n
1
FIGURA 10.4.1 La sucesión(!.).
Para probar esta a~irmación.basta pres~~tar una ~~~e:iió~i::tec;~~~~a 1~~r~~ tenga límite en el espacio. Se define la sucesión (!.) d g figura 10.4.1): para Ü ~X< 1/2 fn(x) := 1 para 1/2 < X ~ 1/2 + ljn := 1 + n/2 nx
:=o
para 1/2
+
ljn
l.
~
., ) ntualmente a la función discontinua Obsérvese que la sucesión (!" converge p~ 2 < < 1 Por tanto fe: C[O, 1 ]; de f(x) := 1 para O ~ x ~ 1/2 Y f(x) :=O para / x - · __. ' 0 hecho, no hay ninguna función g E C[O, 1] tal que d¡(f", g) .
Conjuntos abiertos y continuidad
.
,
Una vez definida la noción de vecindad, las ~efiniciones de conJunto abierto y conjunto cerrado se escriben igual que para conjuntos en R.
:~: ~~jt~~t~
. 10 4 9 Definición. Sea (S, d) un espacio métrico. Se dice ~ue un subc?i~u~t~ (#)
para toda x E [O, 1] y toda n, m ;;,, H. Por tanto, para toda x, la sucesión ( f,,(x)) es una sucesión de Cauchy en R y, por consiguiente, converge en R. Se define f como el límite puntual de la sucesión; es decir,f(x) := lím (J,,(x)) para toda x E [O, 1 ]. Por (#) se sigue que para toda x E [O, 1] y toda n ;;,, H se tiene Jf,,(x) f (x)i ~ e. En consecuencia, la sucesión ( !,.) converge uniformemente a f en [O, l]. Puesto que el límite uniforme de funciones continuas también es continuo (por 8.2.2), la fun ción f está en C[O, I]. Por lo tanto, el espacio métrico (C[O, 1 ], d
Gd de s1~~ unUcocnjGun~e a~~:rqt:=~~ ~u~~o; :s~:~1~~~t~~~::~~:;0 en ex ta que _ · . . s S si el complement~0s~¡yes1~i~ c;~~~;~~::~e~~~~~io~es e intersecciones de c~n Los teoremas ·. · · · m liar sin dificultad a espacios juntos abiertos y conjuntos cer:a~,os ses~~~~:; ~ét~cos de las demostraciones de métricos. De hecho, la transpos1c10n a ~odificaciones· simplemente se sustituyen esos teoremas se hace con muy pocas . . 'v ( ) S . d ( + e) en R con vecindadese e x en · las vecinda ese x - e, x d . . dad de funciones que mapean un Se examina ahora el concepto ~ co~tt1~U1 (S d ) Obsérvese que la definí . , · (S d ) en otro espacio me neo 2, 2 · . espacio rnetnco 1' 1 . R modifica al reemplazar las vecin . , n 5 1 1 de continuidad para funciones en se ClO · · . , . dades en R con vecindades en los espac10s métncos
11\ '101'(>1!HIÍ/\111'
tll)(J
¡1,~W/\( 'l(l~i Mll,'t'ltl<
/1
10.4.10 Definición. Sean (SJ, d1) y (S2, d2) cspack», 11wl 111·11.~ y sl':i f: \ • S, una función de S1 a S2. Se dice que la función/ es continua e11 el pu1110 r: de .'1 :il para toda vecindade Ve(f(c)) def(c) existe una vecindadé V8(c) ele e tal <¡LI\:. :ii 1 E V8(c), entonces f(x) E Vif(c)). La formulación e-8 de la continuidad se puede establecer de la siguiente mu nera: f: S1> S2 es continua en c si y sólo si para toda e > 0 existe Ó > 0 tal que d¡(x, c) < 8 implica que d2(f (x), f(c)) < e. 1
El teorema de continuidad global se puede establecer para espacios métricos mediante la modificación apropiada de la argumentación para funciones en R.
10.4.11 Teorema de continuidad global. Si (Sl' dJ) y (S2, d2) son espacios métricos, una funcion] : S1> S2 es continua en S1 si y sólo si ¡-1(G) es abierto en S1 siempre que G sea abierto en S2. La noción de compacidad se amplía de inmediato a los espacios métricos. Se dice que un espacio métrico (S, d) es compacto si toda cubierta abierta de S tiene una subcubierta finita. Entonces al modificar la demostración de 10.3.4 se obtiene el siguiente resultado.
10.4.12 Preservación de la compacidad. Si (S, d) es un espacio métrico compacto y f: S-> Res una función continua, entonces f(S) es compacta en R. Por tanto, las importantes propiedades de las funciones continuas
dadas en
10.3.5 se siguen de inmediato. El teorema de acotabilidad, el teorema del máxi momínimo y el teorema de la continuidad uniforme para funciones continuas con valores reales en un espacio métrico compacto se establecen mediante la modifica ción apropiada de la terminología de las demostraciones dadas en 10.3.5.
Ejercicios de la sección 10.4 l. Demostrar que las funciones d, y d.¿ definidas en 10.4.2 e) son métricos en R2. 2. Demostrar que las funciones d ¿ y d1 definidas en 10.4.2 d, e) son métricos en
C[O, 1]. 3. Verificar que el métrico discreto en un conjunto S según se definió en 10.4.2 f) es un métrico. 4. Si P11 := (x11, Y,,) E R2 y d ¿ es el métrico de 10.4.2 e), demostrar que (P,.) converge a P := (x, y) con respecto a este métrico si y sólo si (x,,) y (Y,,) conver gen ax y y, respectivamente. 5. Verificar la conclusión del ejercicio 4 si d.¿ se sustituye con d.. 6. Sea S un conjunto no vacío y sea del métrico discreto definido en 10.4.2 f). Demostrar que en el espacio métrico (S, d) una sucesión (x11) en S converge a x si y sólo si existe una K EN tal que x,, = x para toda n ;:¡;, K. 7. Demostrar que si des el métrico discreto en un conjunto S, entonces todo subconjunto de Ses a la vez abierto y cerrado en (S, d). 8. Sean P := (x, y) y O:= (O, O) enR2• Trazar los siguientes conjuntos en el plano: a) {PE R2: i1(0, P) ~ l}. b) {PE R2: d,)O, P).:; l}.
1111 rrn1j1111lo
q111.: cu cualquier
11()1
espacio métrico una vecindade de un punto es abierto. 1 O. Demostrar el teorema 10.4.11. 11. Demostrar el teorema 10.4.12. . , 12. Si (S, d) es un espacio métrico, se dice que un subcon1du(nto A)~ SBe}s~acot~da~ siexistex ESyunnúmeroB>OtalqueA~{xES: x,x0 ~ · emosr que si A e~ un subconjunto compacto de S, entonces A es cerrado Y acotado. 'J.
l •c•nH•:.litii
'WI
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J\PI :NIJICE 1
LÓGICA Y DEMOSTRACIONES
Las ciencias naturales se ocupan del registro de hechos y de la organización de los mismos en un cuerpo coherente del saber que haga posible la comprensión de la naturaleza. Originalmente, las ciencias se restringían en gran medida a la observa ción, al acopio de información y a su clasificación. Esta clasificación llevó de manera gradual a la formación de diferentes "teorías" que ayudaban a los investi gadores a recordar los hechos individuales así como a poder explicar, y en ocasio nes predecir, los fenómenos naturales. La meta final de la mayoría de los cientí ficos es poder organizar su ciencia en una colección coherente de principios y teorías generales para que estos principios les permitan tanto la comprensión de la naturaleza como su aplicación para hacer predicciones del resultado de futuros experimentos. Así, su intención es estar en posición de desarrollar un sistema de principios generales (o axiomas) para la ciencia que los ocupa les permita deducir los hechos y consecuencias particulares a partir de estas leyes generales. Las matemáticas son diferentes a otras ciencias: por su naturaleza intrínseca es una ciencia deductiva. Esto no quiere decir que los matemáticos no reúnan he chos y hagan observaciones relacionadas con sus investigaciones. En realidad, muchos matemáticos dedican gran parte de su tiempo a la realización de cálculos de casos especiales de fenómenos que estudian con la esperanza de descubrir "prin cipios unificadores". (El gran Gauss llevó a cabo una vasta cantidad de cálculos y estudió muchos datos numéricos antes de poder hacer una conjetura respecto de la distribución de los números primos.) Sin embargo, incluso después de formular estos principios y conjeturas, el trabajo se encuentra lejos de haber concluido, pues los matemáticos no están satisfechos hasta que las conjeturas se han derivado (es decir, probado) de los axiomas de las matemáticas, de las definiciones de los tér minos y de los resultados (o teoremas) ya demostrados. Así, un enunciado mate mático no es un teorema hasta que se ha derivado cuidadosamente de axiomas, definiciones y teoremas demostrados con anterioridad. Cabe dedicar algunas palabras a los axiomas (es decir, postulados, hipótesis, etc.) de las matemáticas. Hay pocos axiomas que se apliquen a las matemáticas en su totalidad, los "axiomas de la teoría de conjuntos", y hay axiomas específicos dentro de las diferentes ramas de las matemáticas. En ocasiones estos axiomas se enuncian formalmente y en ocasiones se encuentran incorporados en definiciones. Por ejemplo, en el capítulo dos de este libro se presentó una lista de propiedades que se supuso posee el sistema de los números reales; en realidad son un conjunto de axiomas. Como otro ejemplo, la definición de "grupo" en el álgebra abstracta
i\l'l•NI
4()(1
111 1
es básicamente un conjunto de axiomas que se suponv pw.LT 1111 c1111j1111l11 d1· 1 h mentos, y el estudio de Ja teoría de grupos es una invcstigacion de l;1s L'Oll:\L'1'1w11 cias de estos axiomas. Los alumnos que estudian análisis real por primera vez por lo general 110 n11·1111111 con gran experiencia en la comprensión (por no mencionar la consuuccióu) d1• demostraciones. De hecho, uno de los principales objetivos de este curso (y de l'Sil' libro) es ayudar al lector a obtener experiencia en el pensamiento crítico qui; sl' emplea en este proceso deductivo. El objetivo de este apéndice es ayudar al lector a conocer más a fondo las técnicas de la demostración.
·, .. l: proposición denotada por entonces su ncgacmn es a
noP l.
que es verdadlera cua~?º:ee;
común para a negac10n
es falsa cuando pes verdadera. (Una notación reflexionar un poco se llega a que
f:s sa_, ~)Al · p
= no(noP).
(Este es el "principio de.!~ doble negación".) niunción es la proposición denota Si p y Q son propos1c10nes, entonces su co "
PyQ
Todas las demostraciones y razonamientos matemáticos se basan en proposi ciones, que son enunciados declarativos o cadenas de símbolos inteligibles que su pueden calificar como verdaderos o falsos. No es necesario saber si una proposi ción dada es en realidad verdadera o falsa, pero debe ser lo uno o lo otro y no puede ser ambas cosas a la vez. (Este es el "principio del medio excluido".) Por ejemplo, el enunciado "Los pollos son bonitos" constituye una cuestión de opi nión y no una proposición en el sentido de la lógica. Considérense los siguientes enunciados: • Llovió en Kuala Lumpur el 2 de junio de· 1988. • Thomas Jefferson era más bajo de estatura que John Adams. • Los números primos gemelos son infinitos. • Este enunciado es falso. Los tres primeros son proposiciones: el primero es verdadero, el segundo es falso y el tercero es verdadero o falso, pero no estamos seguros cuál es el caso en este momento. El cuarto enunciado no es una proposición; no puede ser verdadero ni falso porque lleva a conclusiones contradictorias. Algunas proposiciones (como "1+1:::: 2") siempre son verdaderas; se llaman tautologías. Algunas proposiciones (como "2 = 3") siempre son falsas; sella man contradicciones o falacias. Algunas proposiciones (como "x2:::: 1") a veces son verdaderas y a veces son falsas (e.g., verdadera cuando x:::: 1 y falsa cuando x = 3). Desde luego, para que la proposición sea totalmente clara es necesario que. se haya establecido el contexto adecuado y que se haya definido adecuadamente el significado de los signos (e.g., en los ejemplos anteriores es necesario saber que nos referimos a la aritmética de enteros). Se dice que dos proposiciones P y Q son equivalentes lógicos si Pes verda dera estrictamente cuando Q es verdadera (y, por tanto, P es falsa estrictamente cuando Q es falsa). En este caso se acostumbra escribir P Q. Por ejemplo, se escribe
=
= (x es el dieciseisavo
l"• 111.:1 p1l1p11siciún,
da por
Proposiciones y sus combinaciones
(x es Abraham Lincoln)
S1 l '
presidente de los Estados U nidos).
Existen varias maneras diferentes de formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones dadas usando conectivos lógicos.
p o Q son verdaderas y es falsa en los demás que es verdadera cuando tanto com . . , d p y Q es p !\ Q.) Resulta evi casos. (Una notación común para la conjunción e dente que
(P y Q)
= (Q y P).
. ., d p Q s la proposición denotada por De manera similar, la d1syunc1on e y e
PoQ d 1 oposiciones p y Q es verdadera y es que es verdadera cuando al menos una e as pr 1 1 el "o" se denota por "y/o" falsa cuando ambas so? falsa.s. En do~~men~~~d:~:r:s cuanto tanto p como Q son para aclarar que esta d1syunc1ón también ed~ ., d p y Q es P V Q). También verdaderas. (Una notación común para la isyuncion e es evidente que
(P o Q) A fin de contrastar . . , "2 la propos1c10n < 3" es verdadera Reflexionando ción se relacionan
= (Q o P).
. . di f las conjuntivas, obsérvese que las propos1c10nes isyun IVaS y . . , "2 < ,,/2 ó .J2 < .J2 y ./2 < 3,, es falsa, pero la propos1c10n t: . d nte i ual a 1 4142 .. ·). (ya que "2 es aproxima ¡"me . ~n la co~junción y la disyun un poco se descubre que a negaci ' por las leyes de De Morgan: no (P y Q) =(no P) o (no Q), no (P 0 Q) =(no P)
y (no Q).
La primera equivalencia se puede ilustrar considerando las proposiciones
P: X
= 2,
Q: y
E A.
. ( 0 (y EA) son verdaderas, 2) La proposición (P y Q) es .verdadera si ta~to l~ ;rop~~:iones (x = 2) y (y E A) es
y la proposi~ión es fals~ ": al me(;ys uQn)aes~erdadera si al menos una de las propo
*
falsa; es decir, la propos1c1on no siciones (x 2) Y (y (;!:A) se cumple.
l.IHlll'A
Al'Í1.NllH 'I'
408
1101)
Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllínois,
Implicaciones Una manera muy importante de formar una nueva proposición a partir de posiciones dadas es la implicación (o condicional), denotada por (P => Q),
y 1>1'.MOS'l'HA('IONl1.S
(si P entonces Q)
o
fHll
(P implica Q).
En este caso a P se le llama la hipótesis y a Q se le llama la conclusión de In implicación. Para ayudar a comprender los valores de verdad de la implicación, considérese la proposición Si hoy me saco la lotería, entonces le compraré un automóvil a Sam. Resulta claro que esta proposición es falsa si me saco la lotería y no le compro un automóvil a Sam. ¿Qué pasa si no me saco la lotería hoy? Bajo estas circunstan cias, no he hecho ninguna promesa acerca de comprarle a alguien un automóvil, y como la condición de sacarse la lotería no se realiza, el hecho de no comprarle un automóvil a Sam no se deberá considerar como la ruptura de una promesa. Por tanto, la implicación se considera verdadera si la hipótesis no se satisface. En los razonamientos matemáticos, las implicaciones son motivo de gran in terés cuando la hipótesis es verdadera, pero no lo son tanto cuando la hipótesis es falsa. El procedimiento aceptado es tomar la proposición P => Q como falsa úni camente cuando P es verdadera y Q es falsa; en los casos restantes la proposi ción P => Q es verdadera. (Por consiguiente, si Pes falsa, entonces se conviene en tomar la proposición P => Q como verdadera sin importar si Q es verdadera o falsa. Esto puede parecerle extraño al lector, pero resulta ser conveniente en la práctica y consecuente con las demás reglas de la lógica.) Se observa que la definición de P => Q es lógicamente equivalente a no (P y (no Q)), ya que esta proposición sólo es falsa cuando P es verdadera y Q es falsa, y es verdadera en los casos restantes. De la primera ley de De Morgan y del principio de la doble negación se sigue asimismo que P => Q es un equivalente lógico de la proposición (noP) o Q, ya que esta proposición es verdadera a menos que tanto no P como Q sean falsas; es decir, a menos que P sea verdadera y Q sea falsa.
Contraposítívo y recíproco Como ejercicio, el lector deberá demostrar que la implicación P => Q es equi valente lógico de la implicación (no Q) =>(no P), la cual se llama el contra positivo de la implicación P => Q. Por ejemplo, si P => Q es la implicación
. · (no Q) => (no P) es la implicación entonces el contrapos1tivo Si no estoy en lllinois, entonces no estoy en Chicago. . . rcibe después de reflexionar un La equivalencia de estas dos pr~po~~c~~~~ s:np;casiones es más sencillo estable 1::ui~alente' ~~~~Í lógico. (Este hecho se explicará con
~~~~:;~:i~~t:~~~:~~:~
mayor detalle má_s adl~lan~~) p => Q entonces también se puede formar la propo Si se da una imp icacron , sición
Q=>P, la cual se llama el recíproco de p => Q. El lector deber~ ~star atento para no co~~:~ dir el recíproco de una implicación con su con~tr~pos~t~~'/q~i~~~e~~~~r;¡: de la dif tes Mientras que el contraposi rvo e ., ~~~~;:ció1ne~:~a, ~l recíproco no lo es. Por ejemplo, el recíproco de la proposic10n Si estoy en Chicago, entonces estoy en lllinois, es la proposición Si estoy en lllinois, entonces estoy en Chicago. Puesto que es posible estar en Illinois ~uera de Chicago, es evidente que estas dos proposiciones no son equivalentes lógicos. · , Es la Hay una última manera de formar proposiciones que se mencionara. doble implicación (o la bicondicional), que se denota por p <=> Q
0
psi y sólo si Q,
y que se define por
(P :::> Q) y (Q => P). p Q es verdadera precisamente cuando Es un ejercicio directo demostrar que <=> p y Q son ambas verdaderas o ambas falsas.
4HI
1111
/\1'11,Nl )1( 'JI,
entero? ¿Una función? ¿Una matriz? ¿Un subgrupo de u11 ¡•,r11pu d:1du? ¡,1 .;( sf111lh1 lo 1 denota un número natural? ¿La función identidad'! ¿La matriz identidad? ¡,l •'.I subgrupo trivial de un grupo? Con frecuencia quienes participan en una discusión conocen bien el contexto, pero siempre es una buena idea establecerlo desde un principio. Por ejemplo, en muchas proposiciones matemáticas intervienen una o más variables cuyos valores por lo general afectan la veracidad o falsedad de las mismas, por lo que siempre s0 debería aclarar cuáles son los posibles valores de las Variables. Con mucha frecuencia las proposiciones matemáticas incluyen expresiones como "para todo", "para cualquier", "para alguna", "existe", "hay", etc. Por ejem plo, se pueden tener las proposiciones Para todo entero x, x2 = 1 y
Existe un entero x tal que x2 = 1. Evidentemente, la primera proposición es falsa, como se constata al tomar x = 3; sin embargo, la segunda proposición es verdadera, ya que se puede tomar x = 1 ó x = 1. Si se ha establecido el contexto de que se habla de enteros, entonces las pro posiciones anteriores se pueden abreviar sin problemas como Para toda
x, x2 = 1
y Existe x tal que x2
= 1.
La primera proposición incluye el cuantífícador universal "para toda", y está haciendo una afirmación (en este caso falsa) acerca de todos los enteros. La segun da proposición incluye el cuantificador existencíal "existe", y está haciendo una afirmación (en este caso verdadera) acerca de al menos un entero. Estos dos cuantificadores ocurren con tanta frecuencia que los matemáticos acostumbran usar el símbolo V para representar el cuantificador universal y el símbolo 3 para representar el cuantificador existencial. Es decir, se tiene
V
denota
"para toda",
3
denota
"existe".
Aun cuando en este libro no se usan estos símbolos, es importante que el lector sepa cómo leer las fórmulas en que aparezcan. Por ejemplo, la proposición
('lfx) (3y)(x +v
= O)
(entendida para enteros) se puede leer Para todo entero x, existe un entero y tal que x +y = O.
lk muriera similar, la proposición (3y)(Vx)(x +y = O)
ll
se puede. leer como Existe un entero y tal que para todo entero x, x + y = O. Estas dos proposiciones son muy diferentes; por ejemplo,_ l~_Primera es ve:da dera y la segunda es falsa. La moraleja es que el orden d~, apancion de los dos tipo~ diferentes de cuantificadores es muy importante. Tamb1en se debe_ subra~ar que si en una expresión matemática con cuantificadores intevienen vanas vanables, se debe suponer que los valores de las variables posteriores dependen de l~s valo:es de las variables mencionadas antes. Así, en la proposición (verdadera) t. antenor, el valor de y depende del valor de x; en este caso, si x = 2, entonces Y = 2, en tanto que si x = 3, entonces y= 3. Es importante que el lector sepa cómo negar una proposición que incluye cuantificadores. En principio, el método es simple. . a) Para demostrar que es falso que todo elemento x .de un con1unto.clado p~ see cierta propiedad ff', basta presentar un solo crnrnft~aie.]ema:fo (es decir, un ele mento particular del conjunto que no posee esta propiedad); Y . b) Para demostrar que es falso que existe un elemento Y. en "" conjunto dad~ que satisface cierta propiedad :Y', es necesario probar que mngun elemento Y del conjunto tiene esa propiedad. ., Por Jo tanto, en el proceso de formar una negación
:Y
:Y
pasa a ser
(3x) no
no (3y) ,'Y
pasa a ser
(Vy) no§.
no (Vx) y de manera similar,
Cuando interviene 1 varios cuantificadores, estos cambios se usan repetidamente. Así, la negación de la proposición (verdadera) i dada anteriormente pasa a ser de manera sucesiva no (Vx) (3y) (x +y= O), (3x) no (3y) (x +y= (3x)
O),
(Vy) no (x +y= O),
(3x) (Vy) (x +y
* O).
La última proposición se puede expresar en palabras como: Existe un entero x tal que para toda y, x +y
* O.
412
1 t H 11( 'A V 1 >l\Mo:.i
HA< 'l
1111
· Demostraciones directas
(Esta proposición es, desde luego, falsa.) De manera similar, la negación de la proposición (falsa)¡¡ dada antcriorml'llft• pasa a ser de manera sucesiva no (3y) ('t/x) (x +v
= O),
(\fy) no ('t/x) (x +v= O),
Sean P y Q proposiciones. Al afirmar que la hipótesis P de la implicación P =>
Q implica la conclusión Q (o queP => Q es un teorema) se afirma que siempre que la hipótesis P es verdadera, entonces Q es verdadera. La construcción de una demostracióndirecta de P => Q requiere la construc ción de una cadena de proposiciones Rl' R2, ... , R,, tal que
(V'y) (3x) no (x +y= O), (\fy) (3x) (x +y
=F
O).
La última proposición se puede expresar en palabras como: Para todo entero y, existe un entero x tal que x +y =F O.
*
Obsérvese que esta proposición es verdadera y que el valor (o los valores) dex que hace x +y O depende de y, en general. De manera similar, la proposición Para toda 8
> O, el
intervalo ( ó, ó)
contiene un punto que pertenece al conjunto A. se puede considerar que incluye la negación Existe
ó > O tal que el intervalo
(-8, ó) no contiene ningún punto de A. La primera proposición se puede simbolizar como
('t/8 > 0)(3y
E
A)(y
E
(-8, 8)),
Y su negación se puede simbolizar como (38 > O)('v'y
E
(La ley del silogismo establece que si R1 => R2 y R2 => R3 son verdaderas, entonces R1 => R3 es verdadera.) Esta construcción no suele ser una tarea sencilla; puede requerir intuición y considerable esfuerzo. Con frecuencia también requiere experiencia y suerte. Al construir una demostración directa, con frecuencia se trabaja hacia adelan te a partir de P y hacia atrás a partir de Q. Nos interesan las consecuencias lógicas deP; es decir, las proposiciones Q1, ... , Qk tales que P => Qi' Y también se podrían examinar las proposiciones Pl' ... , P,. tales que P1 => Q. Si se puede trabajar hacia adelante a partir de P y hacia atrás a partir de Q de tal modo que la cadena "se co necte" en alguno de los pasos intermedios, entonces se tiene una demostración. Con frecuencia en el proceso de intentar establecer P => Q uno se encuentra con que se debe fortalecer la hipótesis (es decir, agregar hipótesis a P) o debilitar la conclu sión (es decir, reemplazar a Q por una consecuencia que no sea equivalente a Q). La mayoría de los estudiantes están familiarizados con las demostraciones "directas" del tipo descrito arriba, pero daremos aquí un ejemplo elemental. De mostremos el siguiente teorema.
Teorema l. El cuadrado de un entero impar también es un entero impar. Si se hace que n simbolice un entero, entonces la hipótesis es:
P: n es un entero impar. La conclusión del teorema es:
A)(y 9! ( B, 8))
o como
Q: n2 es un entero impar. Se necesita la definición de entero impar, por lo que se introduce la proposición
(38
> O)(A n (-8,B)
= 0).
Es firm~ opinión de los autores que, si bien el uso de este tipo de simbología con frecuen~ra ~esulta conveni~nte, no es un sustituto de la reflexión. De hecho, los lector~~ ?~dmanamen~e deb.eran razonar por sí mismos cuál es la negación de una propo~1c1on Y n~ confiar a ciegas en la simbología. Aun cuando una notación y sim b~Iogia convementes con frecuencia pueden ser un útil auxiliar para el razona miento, nunca pueden ser un sustituto adecuado del pensamiento y la comprensión.
R1: n = 2k + 1 para algún entero k. Se tiene entonces P => R 1. Se quiere deducir la proposición n2 = 2m + 1 para algún entero m, ya que ésta implicaría Q. Se puede obtener esta proposición usando álgebra
+ 1)2
R2: n2
=
(2k
R3: n2
=
2(2k2 + 2k) +l.
=
4k2
+ 4k + 1,
111'•
ti 14
Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces m es un entero y se h11 dt·duddn 1:1 prop0Mi1 ·io11 R4: n2 = 2m + 1 Se tiene, por tanto, P => R1 => R2 => R3 => R4 => Q y el teorema se 1!;1 demostrado. Desde luego, esta es una manera complicada de presentar una demostración. Normalmente, la lógica formal se omite y el razonamiento se da en un estilo más literario con enunciados en lenguaje común. La demostración anterior se puede reescribir en un estilo más satisfactorio de la siguiente manera. Demostración del teorema 1. Si n es un entero impar, entonces n = 2k + 1 para algún entero k. Entonces el cuadrado de n está dado por n2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) +l. Si se hace m = 2k2 + 2k, entonces mes un entero y n2 = 2m +l. Por lo tanto, n.2 es un entero impar. o.E.D. Por cierto, las letras "Q.E.D." se refieren a quod erat demonstrandum, sión en latín que significa "lo que se quería demostrar".
expre
Demustración. Si a= O es falso, entonces como a > O se debe tener a> O. En este caso, si se escoge s0 = ia, entonces se tiene f0 > O y f0 < a, de donde la hipótesis O ,s; a < e para toda f > O es falsa. Q.E.D. Se presenta ahora un ejemplo más de una demostración por el contrapositivo. Teorema 4, Si m, n son números naturales tales que m
+ n ~ 20, entonces m
~ 10, o bien, n ~ 10. Demostración. Si la conclusión es falsa, entonces se cumplen las dos des igualdades m < 10 y n < 10. (Recuérdese la ley de De Morgan.) Entonces al sumarlas se obtiene m + n < 10 + 10 = 20, por lo que la hipótesis es falsa. Q.E.D.
ii Demostracíón por contradiccíón. Este método de dem~s~r~ción h~ce uso del hecho de que si Ces una contradicción (es decir, una proposicion que siempre es falsa, tal como "I =O"), entonces las dos proposiciones (P y (no Q))
=> C,
p =>Q
son equivalentes lógicos. Por tanto, P => Q se establece demostrando que la propo sición (P y (no Q)) implica una contradicción.
Demostraciones indirectas Hay básicamente dos tipos de demostración indirecta: i las demostraciones por el contrapositivo y ii las demostraciones por contradicción. Ambos se inician con el supuesto de que la conclusión Q es falsa, en otras palabras, que la proposi ción "no Q" es verdadera. i Demostraciones por el contraposítívo. En lugar de demostrar P => Q, se puede probar su contrapositivo, que es su equivalente lógico: no Q :=:> no P. Con sidérese el siguiente teorema.
Teorema 5. Sea a> O un número real. Si a> O, entonces l/a >O. Demostración. Se supone que la proposición a > O es verdadera Y que la proposición l/a >O es falsa. Por lo tanto, l/a ,s; O. Pero como a> O es verdadera, por las propiedades de orden deR se deduce que.~(1/a) ,s; º:Puesto que 1 a(l/a!, se deduce que 1 ~ O. Sin embargo, esta conclusión contradice el resultado conocí
=
do d e que 1
Q.E.D.
> O.
Teorema 2. Si n es un entero y n2 es par, entonces n es par. La negación de "Q: n es par" es la proposición "no Q: n es impar". La hipóte sis "P: n2 es par" tiene una negación similar, por lo que el contrapositivo es la implicación: Si n es impar, entonces n2 es impar. Pero este es precisamente el teorema 1, el cual se demostró arriba. Por lo tanto, esto proporciona una demostra ción del teorema 2.
Hay varias demostraciones clásicas por contradicción (conocidas tam?!én como reductio ad absurdumi en la literatura matemática. Una es la demostración de que no hay ningún número racional r que satis;aga :2 ~~·(Este es e~ teore~a ~.1.7 en el texto.) Otra es la demostración del caracter rnflmt~ de los numero~ pnmos, la cual se encuentra en los Elementos de Euclides. Recuerdese que un numero,n~tu ral pes primo si sus únicos divisores son 1 y p. Se supon?rán los resultados básicos de que todo número primo es mayor que 1 y que todo numero natural mayor que 1
La demostración por el contrapositivo suele ser conveniente cuando el cuan tificador universal está presente, ya que la forma contrapositiva incluirá entonces el cuantificador existencial. El siguiente teorema es un ejemplo de esta situación.
es primo o divisible por un número primo. Teorema 6. (Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 20.) Hay una infinitud de números primos.
Teorema 3. Sea a ~ O un número real. Si para toda E> O se tiene O ,,;;; a entonces a = O.
< E,
Demostración. Si se supone, por contradicción que los números primos son finitos, entonces se puede suponer que S = {pl'... , p1 es el conjunto de todos los
J
números primos. Se hace m =p. . . . el . . 1 y se hace q m + 1 e pi/, producto P·1 para toda i vem · , . . "• cons1gu1ente q no es núme . E ' os que (J 110 está en ..S y que P
=
=
=
!{ECOMENDACIONES PARA EJERCICIOS SELECCIONADOS
Q.E.D.
Lector: No recurra a estas sugerencias a menos que se encuentre atorado. Sin em bargo, después de reflexionar un poco en un problema, en ocasiones una pequeña sugerencia es' todo lo que se necesita para desatar una idea. En muchos de los ejercicios se piden demostraciones y con frecuencia no hay un solo enfoque que sea correcto, así es que aun cuando el lector tenga un razonamiento totalmente diferente, éste puede ser correcto. Pocas de las siguientes sugerencias están com pletas, aunque se ofrecen mayores detalles para el material de los primeros capítulos.
SECCIÓN 1.1
e
e
4. A n B A por definición. Si A B, entonces X E A implica que X E B, de donde x E A n B de tal manera que A ~A n B ~A. Por tanto, si A ~ B, entoncesA =A n B. Recíprocamente, si A =A n B, entonces r s A implica que XEA n B, de dondex E B, por lo quex E B. Por tanto, siA =A n B, entonces A CB. 5. 6. El conjunto Des la unión de {x: x EA y x 9E B} y {x: x 9EA y x E B}. 10. Six E En (U Aj), entoncesx E E y X E u Aj' Por lo tanto, X E E y X E Aj para al menos una}. Esto significa que x EE n Aj para al menos una), de modo que E n (UA ¡) C U(E n A)· La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar. 13. Si x it n{Aj: j EJ}, entonces existe k E J tal que x it Ak. (¿Por qué?) Por lo tanto,x E (Ak) y, en consecuencía.x e U{ (A);J El}. Por lo tanto, (nA) C U (A¡). La demostración de la inclusión en el otro sentido es similar.
SECCIÓN 1.2 l. No. Por ejemplo, tanto (O, 1) como (O, 1) pertenecen a C. 3. E\F = {x: 1 ~ x < O},f(E)\f(F) es el conjunto vacío, y f(E\F) ={y: O< y~ 1}. 4. Si y E f(E n F), entonces existe X EE n F tal que y = f (x), Puesto que X E E implica que y E f(E) y x E F implica que y E f(F), se tiene y E f(E) n f(F). Con esto se demuestra que f (E n F) C f (E) n f (F). 7. Una biyección es la función lineal que mapea a a O y b a 1, a saber, f(x) := (x
-a)/(b-a).
·
ltl\('!IMl'NIJAI
10. Si (b, a) y (b, a') perteucccn a/ 1, ¡;11fo11<:cs (11, h) y (11'. li) pcrlc:1wn11111 f. Si/ es inyectiva, entonces a= a' y, por tanto, f 1es1111a f11ndó11. 12. Sea f(x) := 2x y g(x) := 3x. (Hay muchas más.)
' IONHN IAI ' (A 1'11 l«'H'IO! /,Jll fll'í'IOl'l/\1111~.
12. a) Conm utativa, no asociativa, sin idéntico. l3. a) No distributiva.
15. yectiva. Si f(x1) = f(x2), entonces x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2• Por tamo, fes i11
SECCIÓN 2.2 SECCIÓN 1.3 l. La afirmación se cumple paran= 1porque1/(1·2):;;
1/(1+1).
Si se cumple
. . ue a+ e< b +c. Si a= b, entonces a ) Si a< b entonces 2.2.6 a) implica q ,,:;:: b +e Si e< d entonces l. a + e = b ; c. Por tanto, si a ~ b, en~o~~e~:n~eca-: e < + d. '
b
2.2.6 a) implica que b +,e<~+ ' 2 2 1 ii se deduce que (bd + ac)-(ad Puesto que b-a y dcestan en 'por ..
para n = k, entonces se deduce para n :;; k + 1, ya que
~
k+l
+
1 (k+l)(k+2)
se termina probando que (l)k+l
5. Si a
k+2
3. La igualdad se cumple paran"' 1porque12 = (1)2
U2 . La demostración
k(k+1) +(-l)k+2(k+l)2=(-l)k+2(k+l)(k+2).
2
2
5. Si 52k 1 es divisible entre 8, entonces se deduce que 52(k+ 1)1 = (52k 1) + 24 · S2k también es divisible entre 8. 7. Si k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 es divisible entre 9, entonces (k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 + 9(k2 + 3k + 3) también es divisible entre 9. 9. La suma és igual a n/(2n + 1).
a2 + b2 >O. . < a2 < ab < bz. Entonces, 7· que Si O< a < b, por el ejercici~ 2.~.6 se s1gu: ~ 0< .Jib < ..Jb2 b. . 2,., 14 a) se infiere que a 1 por el ejemp o ·~· ' { R· 1 < x 4}, c). x ~ica. ue O< c2
vk + 1/../K+I:;; (v'kVk+f + 1)/Vk+l > (k + 1)/.Jk+f
=
Yk+f
SECCIÓN 2.1
c2+···+c2. 1 n que ck }. 0 p~ra toda k implica que (c1 + · · · +en
SECCIÓN 2.3 l.a ) S 1a~, . > O entonces !al= a= v r> ar; si a< O' entonces
9. Sis := r + ~E Q, entonces ~:;; s - r E Q, que es una contradicción. Si t := r4 e Q y r =!= O, entonces~:;; t/r E Q, que es una contradicción. 11. Se toma x =-y:;: .../2.
/al"' -a= R.
a2 ~ o para toda a E R. . , . r b) - a b . Demostrar después que ( a 3· b) Probar primero que a b ~ O _si y solo si a -
+ b)2=(a+b)2siysólos1 1. Se multiplican por 1/b ambos miembros de ub = b. Se usan (M2), (M4) y (M3) en el primer miembro y (M4) en el segundo miembro. 3. a) Se suma 5 a ambos miembros de 2x + 5 = 8 y se usan (A2), (A4) y (A3) para obtener 2x = 3. Después se multiplican ambos miembros por 1/2. e) Se escribe x2 - 2x = x(x - 2) = O y se aplica el teorema 2.1.6 e). Alternati vamente, obsérvese que x = O satisface la ecuación, y si x =l O, entonces al multiplicar por 1/x se obtiene x = 2. 4. a) -(a+ b) = (-1)(a + b) = (-l)a + (-l)b =(-a)+ (-b). 7. Obsérvese que si q E Z y si 3q2 es par, entonces q2 es par, de donde q es par. Por tanto, si (pjq)2 = 6, entonces se deduce que pes par, por ejemplo,p = 2m, de donde 2m2 :;; 3q2, por lo que q también es par.
=
ª
11. Si n0 > 1, sea S1 := {n EN: n -n0 + 1 ES}. Se aplica 1.3.2 al conjunto S1• 13. Paran:;; 5 se tiene 7 ~ 23. Si k ~ 5 y 2k-3 ~ 2k-2, entonces 2(k + 1)3 = (2k-3) + 2 ~ 2k2:;; 2(k+ 1)2.
15.
* O, entonces 2.2.5 a) implica que a' > o·, P""'º que b' "' O, se sigue
3. + be) , (b - a)( d - e) está '~P. .
+ k+ 1.
5. a) {x E R: 2 ~ x ~ 912} '
ab
=ah.
e) {x
E
R: x <
O}
·
8. a) {(x, y): y= x o y= x}. Si ~O v > O, se obtiene el segmento de recta b) Considerar cuatro casos: I x ;,, O btiene el segmento de recta que queune (o , 1) Y (1 • O) · S1 x ~ O, .Y ~ • se 0 une (1, O) Y (O, 1), Y así suces1va;e;tye.8 Para la unión, sea 10. Para la intersección, sea y el menor e . de ey 8.
y el mayor
SECCIÓN 2.4 l.
. x~ >o ' , . ero es una cota inferior. Para cua 1 qu~er C ualquier numero negativo oc , s por 1o que x no es cota superior de Sr . el número mayor x + 1 esta en 1' O es una cota inferior de Si· S1 t d uPuesto que O~ x para o a x Es . 1' entonces . /2 ES y v/2 < v. p or o 1 v >O, entonces v no es cota inferior de S1 ya que u i tanto, inf S1 = O.
ur«
'OMl'NI >A< 'ION11.:j l'AltA 111111(< 'lt 'lt 1 "ti 1 1
1
1 11111\11111
3. Puesto que 1/n ~ 1 para toda 11 EN, 1 l.lS l'Uill llllJl('l 1411 do s,I' l'l'l'O l 1111 miembro de S3, de donde 1 = sup Sy (Ver el ejercido 2.'1.6.). 5. Si S está acotado por abajo, entonces S' := {s: s ES} c:;lá acotado por 11n 1 ba, por lo que u := sup S' existe. Si v ~ s para todas ES, entonces 11 ;. .1· para todas ES, por lo que -v ~ u y, por tanto, v ~ -u. En consecuencia, inf S =-u. 6. Sea u E S una cota superior de S. Si v es otra cota superior de S, entonces u ,~ v. Poftanto, u sup S. 8. Sea u := sup S. Puesto que u es una cota superior de S, también lo es u + l /11 para toda n EN. Puesto que u es el supremo de S. y u - 1/n < u, entonces existe s0 ES con u -1/n < s0, de donde u -1/n no es cota superior de S. 10. Puesto que sup S es cota superior de S, es cota superior de S0 y, por tanto, sup S0 ~ supS. 11. Considerar dos casos. Si u > s", entonces u= sup (SU {u}). Si u< s", entonces existes ES tal que u < s ~ s", por lo que s* = sup (S U {u}).
=
SECCIÓN 2.5 l. El número O es cota inferior del conjunto, y si y > O, entonces existe una n EN tal que O < l/n 2, entonces t3 > 2 por lo que t ~ T. Por tanto, y:= sup T existe. Si y 3 < 2, se escoge l/n < (2 y3)/(3y 2 + 3y + 1) y se demuestra que (y+ 1/n)3 < 2, que es una contradicción, y así suce sivamente.
lll'.( 'OMl·'.NDAl'H)NJl.S
t•AltA 11.Jtl.lH 1( ll ..
, , ,
SECCIÓN 2.6
¡
1 b']si sólosia',.;;a:S;;b~b'. l. Obsérvese que [a, b] ~ [ a ' . S Ses cota superior de S, entonces 3. Puesto que inf S es cota su[ pebn1orneton~e:u~es cota inferior de S y b es cou s e I . Además, si S ~ a, , e - s d [ b1 :J l superior de S, de don e a, 1. s·2 5 3 b) se sigue que existen EN con 1/n 5. Si x > O, entoncespor el coro ano .. o entonces por la ' K ara mnguna n E · ' 7 Six,.;;O,entoncesxé nP 'tenENconxé(n,oo). . . d d de Arquímedes se deduce que exis x x propte a 5 11. 1 .25137·. ·137· .. == 31253/2497 .
SECCIÓN 2.7 3. a) Hay seis inyecciones d~ S etndT.seis elementos debe pertenecer a uno de Cada miembro del subcon3un o e . . . del palomar dos de los seis 5. . erados Por el pnncipio , los cinco con3untos enum . . . to y la suma de esos dos elemen elementos deben parar en el mismo con3un ' tos es 10. . . . 27 6 n ejemplo. Otro es el cambio definido La biyección del e1erc1c10 N. • ~~{l} 7. por f(n) = n + 1 que mapea en . 9. Sea A":= {n} para toda n EN.
SECCIÓN 3.1 2
o
2
o.
b) 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5.
l. a) O ' ' ' ' c) 1 2 3, 5, 4. 3. a) 1, 4, 13, 40, 121. _ 2 '= 2;(n + l) < 2¡n. Dada 5. b) Obsérvese que 2n/(n + 1)) ~/(n + 1) < 1¡./ñ.
e> O, seaK ~ 2/e.
6. a) 1;.fn+7 < 1/~·
e n 7 Considerar ((l)n). 9: Escoger E >o t~l que X - e> o). Si (2n)11" = 1 + k", demostrar que k;,,,,;; 2(211 13. Usar el razonamiento ~e 3.1.1 e . l)/n(n _ 1)
< 4/(n 1).
SECCIÓN 3.2 , ( )_ b) Divergencia. l. a) 1un xn - 1 · 3. Considerar ((1)"). n última instancia x O por lo que . · lím (x ) x O, entonces e n 5. S1zn.X11Y11Y n Yn 2nfxn. 7. No está acotada. .. (l + l/n)n el exponente varía. . En (3) el exponente k es f1JO, pero en 9· 211nb 11. Demostrar que b ,,,;; z n ~ ' ·
=
=
*
*
422
IU1.COMl\NDA('IONl·:S
13.
l'AltA l'. .IHH• 'I( 'H >N M 1 11 1 11H11\l ll 11•
a) (1/n).
15. a) Converge a O. 17. b) (n).
b) Diverge.
SECCIÓN 3.3 l. Demostrar por inducción que O ,,,;;; x11 :os; 2 paran ;;;,, 2 y que (x,,) es monótona. De hecho, (x,,) es decreciente, porque si x1 < x2, entonces se tendría (x1 1)2 < x1x2 - 2x1 + 1 = O. Puesto que x := lím (x,,) debe satisfacer x = 2 1/x, se tiene x =l. 3. Demostrar que la sucesión es monótona. La raíz positiva de la ecuación z2 z -a= O es z* = (1 + ./1 + 4a)/2. Demostrar que si O< z1 < z", entonces zlz1 a < O, y la sucesión (z11) se incrementa a z*. Si z" < Zp entonces la sucesión se decrementa a z*. 5. Demostrar que (S11) es decreciente y que está acotada, y que (t11) es creciente y está acotada. Asimismo, t,, :os; x11 :os; s11 para n EN. 8. Demostrar que Yn + 1 -yn >O y que Yn < n/(n + 1) < 1 para toda n. 10. a) e. d) Obsérvese que 11/n = (1+1/(n 1))1. 12. Obsérvese que O :os; s,, - -J5,,;;;; (s; 5)/JS,,;;;; (s;- 5)/2.
SECCIÓN 3.4 2. Si xn := c1í11, entonces x211 = -JX;. 5. Si (x11) no converge a O, entonces existe e0 > O y una subsucesión (x,,k) con x"k > e0 para toda k EN. 6. a) l. d) Obsérvese que (n + 2)/n = [(n + 2)/(n + 1)] · [(n + 1)/n]. 8. Demostrar que lím ((l)"x,,) =O. 11. Escoger n1;;;,, 1 para quex,,1;;;,: s- l, después escoger n2 > n1 para quexn2 > s 1/2 y, en general, escoger nk > nk- l para que Xnk > s - 1/k.
'l(>Nl'S l'AllA 1111\IH RI'.( 'OMl'.Nll A( "
1(
u,,,'''''
. > N entonces o < X < y n' •, 7. ·1) Existe N., tal que st n l' O e~iste e > o· Y una subsuces1on ~) Sea O < < M. Si (y") no convergl~a ( , /Y ) existe K tal que si k > 9.
=,
= ~.
SECCION 4.1 d \ 2 I] < 3\x1\. Por tanto, .1 I] < 1 entonces lx + 1) < 3, de don e x - S ) l. a 1,x ' 1'<1/2 lx1\ < 1/6 asegura que 12x - 1 < 1'. 7· d) Si \x1\ < l, entonces \x2 + x + ~ 0 existe 0 >o tal que si O <\y Si lím /(y)= L, entonces para cualquier e ·- - por lo que y= x + 3. y-->c 'f( )L\
o:=
;: Tomar e¡'K. 2 s: >O demostrar que \..fi - -JC \, ,; ; (1/../C)\x 9. Si O, tomar e . ie , 11. a) Considerar x,, := l/n. · _1 . e) Considerar x11 := l/n Y Y11 ;- (f/(n.))2_ 1 pero lím f(x) no existe. 13. Si f(x) := sgn(x), entonces ~l.Po x - ' x-->O
e=
o:=
e\.
SECCIÓN 4.2 l. a) 10 e) 1/12 d l denominador por ..Jf + 2x + .J1"+3x. s \f (x) (x) _O\ ,,,;;; Af\g(x) O\ para x e 3. Multiplicar el numera or Y e 5. Si \f(x)i.:; M para x E Y.s(c), entonce g V 0(c). _ (! + )(x) _ f(x). 9. a) Obsérvese que g(x) g) · x2 (x) := 1/x para x >O. b) No; por ejemplo. tomar f(x .Yg 11. a) El límite no existe. b) O
SECCIÓN 3.5 3. a) Obsérvese que (1)11(1)"+1 = 2 para toda n EN. 6. Sea u:= sup {xn: n EN}. Si e> O, seaHtal que z, -e
SECCIÓN 3.6 3. Obsérvese que x11 - O < e si y sólo si x11 > l/e. 5. No. Como en el ejemplo 3.4.5 e), existe una subsucesión (nk) tal que nk sen (nk) > nk/2, y existe una subsucesión (mk) tal que mk sen (mk) < -md2.
SECCIÓN 4.3 < l/a y en consecuencia, f(x) > .0 < 1/az entonces x ' 3. Dada a > O, si < x ' ales uiera lím f(x) = r:t:J, a. Puesto que a es un valor cu q ' x-->O < /( 1)· se tiene por tanto . < x < a/(a 1), entonces a x x ' S. a) S1 a> 1 Y 1
que }~ + x/(x - 1) = oo~ ces a< 2 ..JX y, por tanto, «< (x + 2)/Ji· e) Si a> 0 y 0 < x < 4/a ento(~)/x ~e donde el límite por la derecha e) Six>O,entoncesl/"Jx< x+ ' es+ ce, g) l. 7. Usar el teorema 4.3.11.
e
RE(.;OMl\NDACIONrnl
l'ARA
Rl\C'()MJ'Nl>A( 'lt lNJl.S 1'/\l{A 1\.11'.lH • l r:.• 1 OS. SJll . , • JIC( 'IONADOS
1\.11\l{( 'I( '11 l:I M ,1 l'I 1 111111\I ti Hl
º·
7. En el intervalo [0.7390, 7391]. f(O) _ 1 f(7r:/2) > l, se sigue que x0 9. Puesto que f(n/4) < 1, en tanto que . y · d d-8 y (x) e I en la 'O /2) Si cos x > x2 entonces existe una vecm a o o e \ , 7r: • o es un punto mínimo absoluto de f. cual f(x) = cos x, .de don ~ X(o~º1) bajo fes [O 1), por lo que la imagen de 12. Obsérvese que la imagen e , '. un intervalo abierto puede no ser un intervalo abierto.
9. Existe a > O tal que ,xf(x) -L < 1 siempre que ) 11•. l'or tanto, f( 1) (L + 1)/x para x > a. 13. No. Si h(x) := f(x) g(x), entonces x-+o:> lím h(x) =O y se tiene que f(x)/g(x) 1 + h(x)/g(x)-> l.
d
=
i!:
SECCIÓN 5.1
~~nsiderar g(x) :::;: 1/x para x enl :::;: (O, 1).
4. a) Continua si e i= O, ±1, ±2, .... e) Continua si sen e-:/= O, l. 5. Sí. Definir /(2) := lím /(x) = 5.
SECCIÓN 5.4
x-+2
7. Sea e:= f(c)/2 y sea 8> O tal que si x-c < 8, entonces f(x) /(e) /(e) e = /(c)/2 >O. 9. b) Sea /(x) := 1 para x ~O, /(x) := 1 para x
l. Puesto que 1/x1/u = (u-x)/xu, se deduce que 1/x1/u ""'(1/a2)xu para x, u en [a, oo], 2 2) ,,,:: 2 ara x u en R. 4· ~ie~o::r;~t~~:~~o+d~ ~(~0 0~~; e~A.:ieiJostra; que .f(x)g(x) f(u)g(u) 6. f( ) M ( )- f(u) para toda x, u en A. ""'M f(x) u + .g x ntonces Jf(x) f(u) O tal que sr )x ", u¡< (), u E Alaeunión de un número finito de está acotado, entonces esta contem o en .
+:
~d
intervalos de longitud 8. . está acotada en R Puesto que f 14 Puesto que f está acotada en [O, p], se sigue . . J Demostrar . . J ·- [1 p + ll es uniformemente contmua en . es contínua en . ' ' . ntinua en R. ahora que esto imf p(ll)'ca :u(:)f !s ;;~!º;~::1:n:;uca~dad se cumple en x = 1/2. 18. Demostrar que . 2 x - 11 ~ Por tanto, se debe tomar n ~ 250.
x-+O
SECCIÓN 5.2 3. Sea f la función discontinua de Dirichlet [ejemplo 5.1.5 g)] y sea g(x) := 1 f(x). 5. La función g no es continua en 1 = f (O). 7. Sea /(x) .= 1 si x es racional y f(x) := 1 si x es irracional. 9. Demostrar que un número real cualesquiera es el límite de una sucesión de números de la forma m/2", donde me Z, ne N. 11. Si h(x) := f(x)- g(x), entonces hes continua y S {x e R: h(x) ~O}. 13. Demostrar primero que /(O)= O y (por inducción) que f (x) =ex para x e N y, en consecuencia, también para x e Z. Probar después que f (x) = ex para x e Q. Por último, si x e: Q, sea x = lím (r11) para alguna sucesión en Q. 15. Si f(x) ~ g(x), entonces de ambas expresiones se obtiene h(x) /(x); y si /(x) ""' g(x), entonces h(x) = g(x) en ambos casos.
SECCIÓN 5.5
s:
Sixe[ab],entoncesf(a)~f(x). . (x): ( b)} Si f es dreciente en [a, b], entonces )in¿+ f (x) == inf {f x . x e a, . . f {f(y)-f(x)· x
=
=
ll.
La función ¡no es continua en x = l.
SECCIÓN 6.1
SECCIÓN 5.3 l. Aplicar el teorema de acotabilidad 5.3.2 a 1// o bien el teorema del máximo mínimo 5.3.4 para concluir que inf /(/)>O. 3. Construir una sucesión (x11) en I con lím (f (xn)) = O y aplicar el teorema de BolzanoWeierstrass a (x11). (Alternativamente, demostrar que si el valor mí nimo de f en I es diferente de O, entonces ocurre una contradicción.) 5. En los intervalos [1.035, 1.040] y [7.026, 7.025].
I
l. b) g '(X )
::;:
lí
111~10
e) h'(x)::;: h1Í!J10
•
1( +1
h
1) ,
X h X
= /1hm _,O
~(v'x+h ./X)=
X
l+ h) _- _:2.z
(X
X
1
1~Í!I10
4. Obsérvese que .f(x)/x ""' x parax ER .
JX+h
+ ¡;
1
= 2/;
RH('OMl!NJli\( 'IONl!S
l'i\HA llJl(I{(
'l('I(
I' tJI J 1tell11 IAI
tt I~
5. a) f:(x) = (1 x2)/(1 + x2)2. e) h (x).~ m~xk-1(cosxk)(senxk)"'-1. 6. ~)aff~(nc)1~n/ es continua paran~ 2 y es derivable para a > 3. 8. x - parax>O,f(x)==Oparal
11. a) f'(x) = 2/(2x + 3). 12. r >l.
SECCIÓN
b) g'(x) = 6(L(x2))2/x.
l. a) Cr~c~ente en ~3/2, oo). e) Creciente en (oo, 1] y [1, oo). 2. a) M~x~mo relativo en x = 1; máximo relativo en x == 1 c) Máximo relativo en x = 2/3. · 3. a)) ~~n~mos relativos en x = ± 1; máximos relativos en x =O ±4 e ( mimos relativos en x = 2, 3; máximo relativo en x = 2' . 4 · x = 1/n)(a + ... +a ). · 1· 6 s· " 9. f'C~!~ y' )existe e en (x, y) tal que [sen x - sen y j :::; kos e/ Jy xj. 11. P . nst ¡O para x > 1 . or ejemp o, f(x) ::::; v x. · 14. Aplicar el teorema de Darboux 6.2.12. 16. b) Si b i=- O, entonces para n suficientemente grande si x > t existe una x > t 1 ' ~ n, en onces 1 20. e) Aplicar el t~~re~aªd qDue Eb> if(n + 1) f(n)! = lf'(x,,)/ ~ lb//2. e ar oux a los resultados de a) y b).
SECCIÓN 6.3 l. A = B [ Jí_giJ(x)/g(x)]=O
=
· ª
8. a) O 9. a) 1 10. a) 1
o
b) O b) 1 b) 1
c) O e) e3
c)(O,/
*O
·
d) O d) 0 d) 0
'/
SECCIÓN
=
9. 11. 13. 14. 16. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
6.2
4. O)bsérvese que f'(O) o; pero que f'(x) no existe si x 6 1 b) 1 e) O d) 1/3 7. a) 1 b) co e) d) 0
l(l'f 1111'\ 11 l
6.4
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l 1 11 l l 1' I'/\ lll\ Jl.l hlH '!( 'IOS Sl<.I .1\( '('ION/\ 1 >OS
U,,(x) r .1·11 "/11 ! • O cuando ti > oo Con 11 = 4, log 1.5 = 0.40; con n = 7, log 1.5 = 0.405. e= 2.718 281 8 con n = 11 a) No b) No e) No d) Mínimo relativo Considerar f (x) := x x en a = O. Puesto que f(2) O, hay una solución de valor de x4 es aproximadamente 2.094 5515. r1 = 1.452 626 88 y r2 = 1.164 035 14 r = 1.324 717 96 r1 == 0.158 594 34 y r, = 3.146 193 22 r1 0.5 y r2 = 0.809 016 99 r = O. 739 085 13
f
6. Rz(0.2) < 0.0005 y Rz(l) < 0.0625 . 7. Rz(x) = (1/6)(10/27)(1 + c)-B/3x3 < (5/81)x3, donde O< e< x
en [2.0, 2.2]. El
=
SECCIÓN
7.1
l. Demostrar que siP es cualquier partición de [a, b], entoncesL(P; f) = U(P; f) c(b-a). 2. Considerar Pe:= (O,!, e,~ +e, 1). 5. Demostrar que L(P11; f) = (11/n)2/4 y U(P,,; f) = (1 + l/n)2/4. 7. Dada e> O, escoger e E (a, b) en la proximidad de a. Si Qe es una partición de [e, b] tal que U(Qe;f)-L(Qe;f) O para alguna e El, usar el teorema 4.2.9 para encontrar una parti ción P 0 de I tal que L(P0; f) > O. 11. Evidentemente, L(P; h) = O para toda P. Si e > O, construir una partición Pe tal que U(Pe; h) < e. 13. Considerar el ejemplo 7.1.7 d). 15. Dada e > O, encerrar cada discontinuidad en K intervalos disjuntos [a k' bd con longitud total< e/4My con índices tales que bk < ak+ 1, k = 1, ... , K. En cada uno de los conjuntos [a, a1], [bk, a k + 1], [bK, b] la función es uniforme mente continua. 17. Examinar la demostración de 7.1.12. 19. a) Con la notación de 7.1.2, se tiene !mk¡, !m;¡, :m¡'I ~¡¡¡¡¡.Por tanto, O~ L(P';f)-L(P;f) = (m~-mk)(z-xk-1) + (mt-mk)(xk-z) ~ 2i!fi:(xk -xk-1) ~ 2llfil · llPll·
