viii
ÍNDICE G E N E R A L
3.2.1 3.2.2
Descubrimiento del efecto Compton Teoría cuántica del efecto Compton
72 74
Espectroscopia y modelos atómicos 83 4.1 Espectroscopia 83 4.1.1 Espectros atómicos 83 4.1.2 Espectro atómico de emisión 86 4.1.3 Espectro atómico de absorción 87 4.1.4 Series espectrales del átomo de hidrógeno 88 4.2 Modelos atómicos 91 4.2.1 Historia del átomo 91 4.2.2 Modelo atómico de Thomson 93 4.2.3 Modelo atómico de Rutherford 95 4.2.4 Modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno . . . . 99 4.3 Experimento de Franck-Hertz 104 4.4 Principio de correspondencia de Bohr 109
u E d ei E d< D
F IV b d< te s< di lo
Rayos X 5.1 Descubrimiento y propiedades de los rayos X 5.2 Emisión y espectro de rayos X 5.3 Determinación de la carga nuclear 5.4 Absorción de rayos X
113
Propiedades ondulatorias de la materia 6.1 Ondas de materia 6.1.1 Postulado de De Broglie 6.1.2 Ondas de materia 6.2 Experimento de Davisson-Germer 6.3 Principios de incertidumbre de Heisenberg 6.3.1 Partícula y paquete de onda 6.3.2 Principio de incertidumbre Ax Ap ^ \h 6.3.3 Principio de incertidumbre energía-tiempo
127 127 127 129 132 137 137 140 141
113 114 120 121
x
Mecánica cuántica ondulatoria 145 7.1 Mecánica Cuántica Ondulatoria 146 7.1.1 Interpretación estadística de la función de onda . 146 7.1.2 Ecuación de Schródinger 149 7.2 Operadores Mecanocuánticos 151 7.2.1 Valor esperado de una variable dinámica 153 7.2.2 "Deducción" de la ecuación de Schródinger . . . . 155 7.3 Aplicaciones de la ecuación de Schródinger 157 7.3.1 Escalón de potencial 157
ÍNDICE GENERAL
7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.3.5
Caja de potencial unidimensional Caja de potencial tridimensional Potencial de fuerzas centrales Barrera de potencial
ix
164 168 171 173
8
Oscilador armónico 8.1 Oscilador armónico clásico 8.2 Oscilador armónico cuántico 8.2.1 Solución de la ecuación de Schródinger 8.2.2 Energía de un oscilador armónico cuántico 8.2.3 Densidad de probabilidad
9
Teoría cuántica de los átomos hidrogenoides 189 9.1 Descripción cuántica de los átomos hidrogenoides 190 9.1.1 Solución de la ecuación de Schródinger 190 9.1.2 Energía de un átomo hidrogenoide 195 9.1.3 Función de onda para átomos hidrogenoides . . . . 196 9.1.4 Números cuánticos 197 9.1.5 Densidad de probabilidad radial 199
10 Momentos angulares 10.1 Momento angular orbital 10.1.1 Operador de momento angular orbital 10.1.2 Cuantización del espacio 10.1.3 Reglas de selección 10.2 Efecto Zeeman 10.3 Momento angular de spín 10.4 Momento angular total
177 177 180 180 183 185
205 205 205 206 211 212 218 221
11 Elementos de l a física nuclear 227 11.1 Conceptos básicos 227 11.1.1 Componentes del núcleo 227 11.1.2 Unidad de masa atómica 230 11.1.3 Fuerza nuclear y energía de enlace 231 11.2 Radiactividad natural 234 11.2.1 Descubrimiento de la radiactividad natural . . . .234 11.2.2 Isótopos y estabilidad isotópica 235 11.2.3 Determinación de la masa isotópica y abundancia . 238 11.2.4 Vida media y vida promedio 243 11.2.5 Series radiactivas 248 11.3 Radiactividad artificial 251 11.3.1 Reacciones nucleares 251 11.3.2 Descubrimiento de radiactividad artificial 254
ÍNDICE GENERAL
X
11.4 Fisión y fusión nuclear 11.4.1 Fisión nuclear 11.4.2 Fusión nuclear
257 257 261
12 Elementos de la física del estado sólido 12.1 Qué es el estado sólido 12.1.1 Sólidos cristalinos 12.2 Elementos de cristalografía 12.2.1 Caracterización cristalina 12.2.2 Sistemas cristalinos 12.2.3 Direcciones y planos cristalográficos 12.3 Difracción de rayos X en los cristales 12.4 Imperfecciones cristalinas 12.5 Tipos de fuerzas que se presentan en los cristales 12.5.1 Enlace iónico 12.5.2 Enlace covalente 12.5.3 Enlace de Van der Waals 12.5.4 Enlace metálico 12.6 Propiedades eléctricas de los sólidos 12.6.1 Conductividad eléctrica en los metales 12.7 Comportamiento de los electrones en los cristales 12.8 Vibraciones de la red cristalina 12.8.1 Modelo de la cadena monoatómica 12.8.2 Modelo de la cadena biatómica 12.8.3 Fonones
269 269 270 272 272 274 278 282 288 289 290 292 293 294 294 295 300 309 310 312 315
Apéndices
Índice í.i
1.2
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
1.8
A Transformaciones de Lorentz
317
B
U n a nota sobre ecuaciones diferenciales
321
C
Solución de la ecuación diferencial de Hermite
325
D
Solución de l a ecuación para átomos hidrogenoides
329
E
Demostración de la expresión F ( E ) Kronig-Penney
F
Tabla periódica de los elementos
343
G
Constantes físicas
347
1.15 1.16
349
1.17
Bibliografía
para el modelo de 339
1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14
Indice de Figuras 1.1
1.2
1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17
Dos marcos de referencia inerciales 5 y S'. S' se mueve hacia la derecha en dirección x, con velocidad relativa constante u Dos barcos van a recorrer la misma distancia en un río cuya corriente tiene una velocidad u con respecto a la orilla Ilustración para el movimiento de los dos barcos Esquema del interferómetro utilizado por Michelson y Morley Reloj de luz Recorrido de la luz cuando el reloj está en movimiento . U n reloj de luz moviéndose paralelamente a su longitud, mostrado en tres instantes diferentes. La señal emitida por el reloj se produce cada vez que la luz llega al espejo de la izquierda Mesón moviéndose con respecto a un observador en la tierra. Visto desde el marco de referencia de la tierra. . . Misma situación anterior (mismo fenómeno físico) descrita ahora desde el sistema de referencia del mesón. . . En el instante en que las naves se cruzan, para el observador, se encienden simultáneamente dos luces Para el observador B no hay simultaneidad. La simultaneidad resulta relativa al marco de referencia Sincronización de relojes Posición de los relojes que se van a observar Posición de los relojes cuando la nave avanza en un tiempo A i Relojes en movimiento vistos por el observador en la nave. Colisión inelástica observada desde dos sistemas de referencia con movimiento relativo Dependencia con respecto a la velocidad de la cantidad de movimiento y la masa relativista xi
3
8 9 10 13 14
15 18 18 19 19 22 24 25 25 27 30
ÍNDICE DE FIGURAS
Xll
1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 2.1
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
Velocidad de una partícula cargada en función del voltaje acelerador Variación de la energía cinética con la velocidad Representación gráfica de las relaciones entre E , EQ, K yp División de una partícula inicialmente en reposo Colisión frontal de dos partículas Problema 3 Cubo moviéndose respecto a el observador S. Problema 4. Representación de una onda electromagnética donde E es el campo eléctrico, B es el campo magnético y ñ es la dirección de propagación Espectro de la radiación electromagnética (figura no hecha a escala) Resistencia de una estufa eléctrica Curvas típicas de la radiación térmica Esquema de un reflector perfecto y un cuerpo negro. . . Curvas del espectro de la radiación del cuerpo negro. . . Resultado teórico de Wien y curva experimental para la radiación del cuerpo negro Curva teórica de Rayleigh-Jeans y curva experimental para la radiación del cuerpo negro Resultados teóricos y curva experimental para la radiación del cuerpo negro Energía promedio en función de la frecuencia para un oscilador Representación de la energía de un oscilador Representación esquemática del efecto fotoeléctrico. . . . Esquema del arreglo experimental para observar un efecto fotoeléctrico Fotocorriente en función del voltaje acelerador Dependencia del contravoltaje con la frecuencia para d i ferentes materiales Lámina de potasio irradiada por una fuente de luz. . . . Esquema del dispositivo experimental para observar el efecto Compton Corrimiento de Compton para diferentes ángulos de dispersión Esquema de la colisión entre un fotón y un electrón. . . . Diagrama vectorial para el análisis de la conservación de la cantidad de movimiento
30 33 34 35 38 41 41
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10
43 44 46 47 48 49 50 51 52
4.11
4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18
Líneas de Esquema Esquema Espectro Espectro Esquema Modelo Esquema persión < Modelo Tray atómicoEsquema sada por deii Dispar" Esqu Niveles i Nivele» drógena. Diagrama Sistema tro de Dia de Hefio masa
54 56 62 63 64
ción dd
65 69
6.1
72
6.2
73 74
6.3
75
6.4 6.5
Esqaesflt
sadac..
Patín
ÍNDICE D E FIGURAS
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11
4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18
xiii
Líneas de Fraunhofer en el espectro solar . 84 Esquema de la detección de un espectro de línea 86 Esquema de un espectro de bandas 86 Espectro de emisión 87 Espectro de absorción 88 Esquema de la serie de Balmer para el átomo de hidrógeno. 89 Modelo atómico propuesto por J.J.Thomson 93 Esquema del arreglo experimental para observar la dispersión de partículas a 94 Modelo atómico propuesto por Rutherford 95 Trayectoria de una partícula a dispersada por un núcleo atómico 97 Esquema de las trayectorias de una partícula a dispersada por un núcleo atómico para diferentes parámetros de impacto 98 Dispersión de una partícula a por un núcleo cuando el parámetro de impacto es cero (incidencia frontal) 98 Esquema de un átomo de hidrógeno(Z=l) 100 Niveles de energía y algunas energías importantes 101 Niveles de energía y series espectrales del átomo de h i drógeno 103 Diagrama del experimento de Pranck-Hertz 104 Sistema de dos partículas que giran alrededor de su centro de masa (CM) 106 Diagrama de algunos niveles de energía para los átomos de Helio ionizado e hidrógeno, sin tener en cuenta la masa nuclear 108
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Esquema de un tubo de rayos X 115 Espectro de rayos X 115 Capas electrónicas de un átomo de varios electrones. . . 118 Esquema de la emisión de rayos X característicos 119 Variación de la intensidad de un haz de rayos X en función del espesor del material que atraviesa 122
6.1
Esquema del dispositivo experimental para observar la difracción de electrones 133 Corriente eléctrica producida por los electrones dispersados 134 Patrón de difracción producido por electrones de alta energía que pasan a través de una lámina metálica. . . . 135 Difracción sobre los planos de un cristal 136 Esquema de una onda plana 138
6.2 6.3 6.4 6.5
xiv
ÍNDICE D E FIGURAS
6.6
Construcción de paquetes de onda
7.1 7.2 7.3 7.4
Aspecto de la función de onda 146 Norma al cuadrado de la función de onda 147 Esquema de una función de onda y su partícula asociada. 148 Ejemplos gráficos de funciones matemáticas que no son funciones de onda adecuadas para resolver problemas mecanocuánticos 149 Escalón de potencial 157 Diagrama de energías involucradas en el problema de una partícula que incide sobre un escalón de potencial con E < V 158 Escalón de potencial con E < V 161 Diagrama de energías en el problema de una partícula que incide sobre un escalón de potencial con E > V • • • 161 Escalón de potencial con E > V 163 Caja de potencial unidimensional de ancho a 164 Niveles de energía de una partícula en una caja de potencial unidimensional 166 Funciones de onda y densidades de probabilidad para una partícula en una caja de potencial unidimensional. . 167 Caja de potencial en tres dimensiones 168 Niveles de energía y estados degenerados para una partícula en una caja de potencial tridimensional de lados iguales . 170 Curva de energía potencial en función de la distancia radial r para fuerzas centrales conservativas 171 Potencial de fuerzas centrales 172 Barrera de potencial de ancho a y altura V 173 Barrera de potencial con E
7.5 7.6
139
0
7.7 7.8
0
0
7.9 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 8.1
8.2 8.3
8.4 8.5
0
0
0
Esquema de una partícula que realiza un movimiento armónico simple de amplitud A bajo la acción de la fuerza recuperadora F 178 Curva de la energía potencial del oscilador armónico en función de la posición de la partícula 179 Funciones de onda del oscilador armónico para n = 0 hasta n = 5. Las lineas punteadas son los límites clásicos de oscilación 183 Diagrama de energías para el oscilador armónico cuántico. 184 Energía potencial y algunos niveles de energía para el oscilador armónico 185
ÍNDICE D E FIGURAS
8.6 8.7
9.1 9.2 9.3 9.4
9.5
10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
11.1 11.2 11.3 11.4
XV
Distribución de la densidades de probabilidad cuántica y clásica de un oscilador armónico con n = 1 186 Densidades de probabilidad del oscilador armónico clásico y cuántico para n=2, 3 y 10. ± i es la amplitud de la oscilación clásica 186 Esquema de un átomo hidrogenoide cuyo núcleo tiene una carga eléctrica +Ze 190 Coordenadas esféricas y las correspondientes ecuaciones de transformación 191 Diagrama de los valores de los números cuánticos para n = 2 198 Densidad de probabilidad radial en función de la distancia n = 1, 2 y 3 (Z = 1). Las líneas punteadas corresponden al radio calculado apartir del modelo atómico de Bohr. La unidad de la escala vertical es arbitraria. . . 200 Función de onda radial en función de la distancia n = 1, 2 y 3 (Z = 1). Las líneas punteadas corresponden en cada caso al radio de Bohr correspondiente. La escala vertical es arbitraria 201 Vectores de posición, cantidad de movimiento y momento angular de una partícula en movimiento 205 Diagrama vectorial de la cuantización del espacio para 1 = 2 209 Transiciones permitidas entre estados con valores de momento angular orbital mostrados 212 Momento angular orbital y momento magnético orbital del electrón en un átomo 213 Precesión del momento angular orbital alrededor de la dirección del campo magnético B 215 Esquema de transiciones típicas debidas al efecto Zeeman.217 Posibles orientaciones del spín del electrón en el espacio. 219 Posibles orientaciones relativas de los vectores L y S para formar el vector J 221 Esquema y ecuación de la transmutación de nitrógeno en oxígeno 228 Esquema y reacción de la obtención de un neutrón. . . .229 Curva de energía de enlace por nucleón en función del número de masa 233 Gráfica de N en función de Z para los núcleos. La gráfica se aleja de la recta Z = N para Z > 20 237
xvi
ÍNDICE D E FIGURAS
11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 11.11 11.12 11.13 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13
12.14 12.15 12.16 12.17
12.18 12.19
Esquema del espectrógrafo de masa de Aston y de un espectro de masa Espectrómetro de masa de Dempster Comportamiento de la desintegración radiactiva en el tiempo Serie radiactiva de tres elementos Esquemas de las desintegraciones de las cuatro series radiactivas Esquema de las deformaciones sucesivas de un núcleo al aumentar su energía de excitación Energía potencial del núcleo en función de la distancia entre sus fragmentos de fisión Esquema de una reacción en cadena Esquemas de los ciclos
238 239 243 246
12.20 12.21 12.22 12.23 12.24
249 258 259 260 263
Sólido bidimensional 270 Cristal en dos dimensiones y su celda unitaria. E l área sombreada contiene todas las características del cristal. . 273 Definición de los vectores base 273 Vectores unitarios, magnitudes y ángulos en una celda unitaria general 274 Sistema cúbico con sus tres estructuras 275 Sistema cristalino tetragonal 275 Sistema ortorrómbico 276 Sistema monoclínico 276 Sistema triclínico 277 Sistema trigonal 277 Sistema hexagonal 277 Sistema de referencia arbitrario en un cristal cúbico simple. 279 Las líneas punteadas son todas paralelas y unen siempre la diagonal principal de los cubos, independientemente del origen del sistema de referencia 280 Un plano cristalino cualquiera, y los vectores a, b y c. . . 280 Plano cristalino en un cristal cúbico 281 Algunos planos cristalinos y sus índices de Miller en estructuras cúbicas 282 Dispersión de una onda electromagnética por un átomo cuya distribución electrónica se supone uniforme y constante 282 Familia de planos cristalinos en un cristal cúbico simple. En el detalle la celda unitaria 283 Dispersión de rayos X por una capa de átomos en una cierta familia de planos en un cristal 283
12.25 12.26 12.27 12.28 12.29 12.30 12.31 12.32 12.33 12.34 12.35
12.36
12.37 12.38
12.39
12.40 12.41 12.42
ÍNDICE DE FIGURAS
XVll
12.20 Esquema de un espectrómetro de rayos X 284 12.21 Espectro característico de rayos X 285 12.22 Conjunto de planos cristalinos diferentes que intervienen en la difracción de Bragg 285 12.23 Patrón de difracción del oro (Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia) 286 12.24 Patrón de difracción de rayos X de Y S ^ S b O g , indicando algunos planos reflectores. Grupo de Física de Nuevos Materiales, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia 286 12.25 Difracción de una muestra cristalina 287 12.26 Diversos tipos de defectos puntuales 288 12.27 Dislocaciones 289 12.28 Estructura cúbica centrada en las caras del NaCl 290 12.29 Curva de energía potencial para un sistema cristalino estable 291 12.30 Enlace covalente 292 12.31 Estructura cristalina del diamante 293 12.32 Movimiento de una partícula en un gas sin excitación externa 295 12.33 A l aplicar un campo eléctrico, los electrones aunque se dispersen logran un desplazamiento neto 296 12.34 Potencial cristalino periódico unidimensional en el modelo de Kronig-Penney. 301 12.35 Aspecto general de la función F ( E ) . Se muestran los límites + 1 y —1 impuestos por la ecuación (12.26) y los valores de E con sentido físico 303 12.36 Bandas de energía en el modelo de Kronig-Penney cuando V = 8eV, b = 0.05 a y c = a (a es el radio de Bohr) 303 12.37 Bandas de energía electrónicas 304 12.38 (a) Banda de energía continua para una partícula libre; (b) dependencia de la energía con la cantidad de movimiento en el modelo de Kronig-Penney y las bandas permitidas y prohibidas así como su ancho energético. . . 305 12.39 Posibles configuraciones en las bandas de energía electrónicas. B C = banda de conducción; B V = banda de valencia 306 12.40 Brecha de energía prohibida 306 12.41 Brecha de energía para materiales semiconductores. . . . 307 12.42 Mecanismo para la fotoconducción en materiales semiconductores 308 0
Q
0
0
XV111
INDICE D E FIGURAS
12.43 Banda de conducción semillena para materiales conductores 308 12.44 Recubrimiento de las bandas de valencia y de conducción. 309 12.45 Todos los átomos del plano sombreado de la derecha tienen la misma coordenada y, y su desplazamiento respecto al punto de equilibrio está dado por U . Todo el plano sombreado de la izquierda tiene una elongación f/„_ -310 12.46 Cadena monoatómica lineal. Las masas sombreadas representan las posiciones de equilibrio. La constante de red es a, y la constante de acoplamiento es /3 311 12.47 Frecuencias permitidas en la red cristalina en función de k 312 12.48 Vibraciones en un cristal cúbico centrado en el cuerpo. Los planos con átomos • tienen menor densidad que los planos con átomos 0 313 12.49 Modelo mecánico para una cadena biatómica con constante de red a y constante de acoplamiento /3 313 12.50 Oscilaciones acústicas y ópticas en un sólido cúbico centrado en el cuerpo 314 n
2
A.l
Expansión de una esfera de luz vista por dos observadores inerciales OyO'
318
Indice 2.1
Principal*!
4.1
Series espd
7.1
Algunos « j
8.1
Polinomio cilador ao]
9.1 9.2
Polinonñaj currencia.. Números fl
10.1 10.2
Estados éi Estados ét
11.1 11.2
Ejemplo £ Distribacü paridad «1 Masas ¿so* y sus coni Períodos 4 sus pro
11.3 11.4 11.5 12.1 12.2
Sistemas y Algunas p
F.l F.l F.2
Tabla peni Tabla peñ Estructura
G.l
Algunas a
'
Indice de Tablas 2.1
Principales fuentes de radiación electromagnética
4.1
Series espectrales del átomo de hidrógeno
7.1
Algunos operadores mecanocuánticos
153
8.1
Polinomios de Hermite y funciones de onda para el oscilador armónico con n = 0,1,2 y 3
182
9.2
Polinomios de Legendre, Laguerre y sus fórmulas de recurrencia Números cuánticos y sus posibles valores
195 197
10.1 10.2
Estados de momento angular orbital del electrón Estados de momento angular orbital
222 223
11.1 11.2
Ejemplo de algunos núcleos Distribución de los isótopos estables de acuerdo con la paridad de Z, N y A Masas isotópicas calculadas mediante la ecuación (11.13) y sus correspondientes masas medidas Períodos de semidesintegración de las series radiactiva y sus productos finales Elementos radiactivos presentes en la naturaleza. . Se transforman en un elemento estable
230
9.1
11.3 11.4 11.5
. . . .
45 90
237 242 248 250
12.1 12.2
Sistemas y estructuras cristalinas Algunas propiedades de los metales
278 299
F.l F.l F. 2
Tabla periódica de los elementos Tabla periódica de los elementos (continuación) Estructura electrónica de los elementos
344 345 346
G. l
Algunas constantes físicas
347
xix
Prólogo a la tercera edición La necesidad de contar con un texto guía para algunas de las materias que dicta el Departamento de Física de la Universidad Nacional de Colombia para las facultades de Ciencias e Ingeniería, ha justificado la tercera edición del texto "Introducción a la física moderna", cuya primera entrega data ya de más de quince años. Otro aspecto, no menos importante, es la adopción de herramientas y formatos que permita el acceso no sólo al ejemplar en papel sino a los modernos formatos en hipertexto para la consulta remota de los estudiantes. Con lo anterior en mente se resolvió realizar la revisión total del texto y la dispendiosa labor de trascribirlo empleando el poderoso procesador de texto científico IATJTX. En consecuencia, la totalidad de las gráficas se rehicieron y varias partes del texto se modificaron buscando mayor claridad para la presentación de los conceptos de la física moderna. Se mantuvo la distribución por capítulos de las anteriores ediciones y en algunos apartes se aprovechó la oportunidad para poner a tono con desarrollos recientes algunas de las instancias en las cuales los elementos que se introducen con la "física moderna", pueden llegar a convertirse en asuntos de la vida cotidiana con los desarrollos de dispositivos de alta tecnología. Es necesario, en este punto, agradecer la colaboración recibida para la concreción de éste texto. En primer lugar, al Departamento de Física y a la Facultad de Ciencias de la Sede de Bogotá de la Universidad Nacional de Colombia por el respaldo incondicional que proporcionan a éste tipo de actividades. U N I B I B L O S , la unidad de publicaciones de nuestra Universidad, siempre estuvo pendiente del desarrollo del proyecto editorial. Ornar Ortiz y Marta Licelis Guerra con diligencia levantaron la versión en WF$i. A todos ellos muchas gracias.
xxi
XXII
P R O L O G O A LA T E R C E R A E D I C I O N
A pesar de las lecturas cuidadosas que se hicieron en el proceso editorial algunos errores pueden haber quedado en la versión final. Desde luego, la responsabilidad al respecto, es nuestra.
Introdin Los Autores Bogotá, febrero de 2003
A finales del siglo comportamiento de I bre. Sólo quedaba»^ se podría superar al4 proporcionaran : Esa convicción físicas tan clara ducir casi la tot sino también el uso< tes. En efecto, el la utilización de la i entendimiento de electricidad ya se X I X así como pe La ciencia estatal posible la predic por el estudio de i Urano. Poco tiempo^ La mecánica < merced al entenc leyes f u n d a m é n t a l o I No es de ey partir de la última < inexplicables por l novedosas que los entre otros, se me siglo X X se logró • hechos. Como se verá, de la ciencia. La clásica". En cont portamiento de la i "física moderna" en el presente libro.
Introducción A finales del siglo X I X se tenía el convencimiento casi total de que el comportamiento de la naturaleza era plenamente entendido por el hombre. Sólo quedaban algunos cabos sueltos, pero se presumía que esto se podría superar al efectuar mediciones experimentales cuidadosas que proporcionaran resultados más precisos. Esa convicción no era de manera alguna gratuita. Existían teorías físicas tan claramente formuladas que era posible no solamente reproducir casi la totalidad de los fenómenos de la materia y la radiación, sino también el uso de aplicaciones tecnológicas realmente impresionantes. En efecto, el auge de la revolución industrial se logró debido a la utilización de la máquina de vapor, lo cual se consiguió gracias al entendimiento de teorías como la termodinámica y la mecánica. La electricidad ya se empleaba en el alumbrado público a finales del siglo X I X así como pequeños generadores electromagnéticos. La ciencia estaba tan orgullosa de su adelanto, que por ejemplo, fue posible la predicción de la existencia del planeta Neptuno solamente por el estudio de ciertas anomalías en el movimiento orbital del planeta Urano. Poco tiempo después fue posible su observación directa. La mecánica celeste fue la disciplina científica que permitió tal éxito, merced al entendimiento cabal de la cinemática y de la dinámica cuyas leyes fundamentales fueron formuladas por Newton dos siglos antes. No es de extrañar, por tanto, la reacción y la sorpresa cuando a partir de la última década del siglo X I X se principiaron a observar hechos inexplicables por las teorías existentes. Fue necesario sugerir ideas tan novedosas que los conceptos de espacio, tiempo, energía y trayectoria, entre otros, se modificaron drásticamente y sólo hasta los años 20 del siglo X X se logró consolidar un cuerpo teórico estable para explicar tales hechos. Como se verá, 1900 fue el año que marcó un hito en la historia de la ciencia. La física de antes de ese año se ha denominado "física clásica". En contraposición, a las teorías que pretenden explicar el comportamiento de la naturaleza a partir de ese momento se las ha llamado "física moderna". Esta última parte es el tema de lo que estudiaremos en el presente libro. xxiii
Capítulo 1
Teoría de la relatividad especial E l nacimiento de la teoría de la r e l a t i v i d a d especial t u v o su origen en los experimentos realizados para determinar la naturaleza de la luz. A l p r i n c i p i o se pensó que esta teoría podía ser una parte de l a Teoría Electromagnética y fue E i n s t e i n quien se dio cuenta de que en realidad su teoría era mucho más general: agrupa el c o m p o r t a m i e n t o de todos los fenómenos naturales. L a razón por la cual históricamente existe u n a asociación entre l a r e l a t i v i d a d y las propiedades de l a luz es que los efectos relativistas sólo se pueden observar cuando los objetos se mueven a grandes velocidades y en el siglo X I X lo único conocido que se movía con suficiente rapidez y además tenía propiedades que podían ser examinadas, era l a luz. A l p r i n c i p i o de este siglo, los fenómenos relativistas eran desconocidos y fue solamente a través del c o m p o r t a m i e n t o de l a luz como se o b t u v i e r o n los primeros indicios de que algo no era correcto acerca de las nociones de espacio y t i e m p o . Hoy en día los efectos relativistas son observables con electrones, protones y otras partículas que pueden alcanzar grandes velocidades en los aceleradores de partículas. E n esta parte veremos cómo a l cambiar el concepto de espacio y de t i e m p o , h u b o necesidad de cambiar también otros conceptos físicos, ya que estas dos variables intervienen en la medición de cualquier propiedad física de u n evento. 1
1
P o r evento se debe entender u n acontecimiento que paxa s u especificación es
necesario establecer dónde y cuando
ocurre.
1
2
C A P Í T U L O 1. T E O R Í A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
1.1 1.1.1
Relatividad M a r c o s d e r e f e r e n c i a inercíales y m e c á n i c a clásica
P r i m e r o que todo, recordemos que cuando hablamos de m o v i m i e n t o queremos decir m o v i m i e n t o con respecto a algo. Este algo, l l a m a d o marco de referencia puede ser u n árbol, u n camino, el sol, u n sistema de ejes, etc., pero en cada caso es necesario especificarlo. L a p r i m e r a ley de N e w t o n para el m o v i m i e n t o establece que t o d o cuerpo conserva su estado de movimiento uniforme rectilíneo o de reposo siempre que sobre él no actúen fuerzas. Esta ley se conoce como ley de inercia. Para verificarla es necesario escoger u n marco de referencia con respecto a l cual se van a realizar las medidas correspondientes y tener los instrumentos adecuados para efectuarlas, como u n reloj y u n a regla. U n a vez eliminadas todas las fuerzas que puedan actuar sobre el cuerpo, podremos comprobar que se mueve en línea recta recorriendo distancias iguales en intervalos de t i e m p o iguales. Pero si no se escoge el marco de referencia adecuado, es m u y posible que no se verifique la ley de inercia. Por ejemplo, si escogemos u n marco de referencia fijo a u n observador que se está meciendo en u n columpio, éste verá que el objeto no se mueve con velocidad constante como se esperaba y, por lo t a n t o , para él no se cumple la ley de inercia. Entonces, podríamos decir que para ciertos observadores la p r i m e r a ley de N e w t o n no es válida. N e w t o n aseguraba que existían ciertos marcos de referencia en los cuales se cumple la ley de inercia y u n marco de referencia con esta propiedad se llamó marco de o sistema inercial de referencia. L a segunda ley de N e w t o n establece que la aceleración de u n objeto y la fuerza neta que actúa sobre él están relacionados p o r medio de su masa, siendo la expresión: F = ma. Nuevamente, esta ley no es válida para cualquier observador. E l observador del c o l u m p i o verá que el m o v i m i e n t o del objeto es acelerado (o desacelerado) sin que exista una fuerza responsable para ello; en cambio, para u n observador en u n sistema de referencia inercial la ley siempre se cumple. 2
Entonces, de acuerdo con N e w t o n , hay u n número i n f i n i t o de marcos de referencia inerciales a p a r t i r de los cuales se puede estudiar el m u n d o mecánico con la ayuda de sus dos leyes. Es decir, todos los marcos de referencia inerciales que se muevan con velocidad constante los unos respecto a los otros. E l paso siguiente es encontrar u n a manera de relacionar los resul2
E n caso en que l a m a s a s e a constante. Recuérdese que l a segunda ley se define
por medio de l a expresión F
ext
partícula.
— ¿f¡ p, c o n p l a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o lineal de l a
1.1.
RELATIVIDAD
3
tados de mediciones obtenidos, para el mismo fenómeno físico, p o r dos observadores inerciales, que se muevan con velocidad constante relativa. U n evento físico es algo que ocurre en u n p u n t o del espacio y en u n instante determinado. Se describe mediante sus coordenadas con respecto a u n sistema de ejes, en este caso el marco de referencia, que fija su posición en el espacio y el t i e m p o en que t u v o lugar. L a posición dependerá del marco de referencia del observador como veremos a continuación. Sean dos sistemas de ejes de coordenadas rectangulares S y 5', S' en m o v i m i e n t o con respecto a S, con velocidad constante u en dirección x (fig. 1.1).
F I G U R A 1.1. Dos marcos de referencia inerciales S y S'. S' se mueve hacia la derecha en dirección x, con velocidad relativa constante u. E n el instante t = t' = 0 los orígenes coinciden. Después de u n intervalo de t i e m p o t = t', ocurre u n evento físico que en el sistema S estará descrito p o r las coordenadas x,y,z,t y en el sistema S' por las coordenadas x',y',z',t'. De acuerdo con la figura 1.1, la relación entre las coordenadas de posición y t i e m p o , para velocidades pequeñas, es: x — ut y z t
(1.1)
L a expresión t = t' recoge la concepción absoluta del t i e m p o que i n t r o d u j o N e w t o n en su formulación de l a mecánica. Además, no existe, por ahora, ningún argumento para suponer que el flujo t e m p o r a l varié a causa de los movimientos relativos.
4
CAPÍTULO 1.
TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Estas ecuaciones se conocen con el nombre de transformaciones de Galileo. Nótese que sólo cambia la coordenada en l a dirección del m o v i miento relativo de los sistemas de referencia. De acuerdo con estas transformaciones, el espacio y el t i e m p o son nociones completamente distintas que nunca se confunden y no influyen sobre el comportamiento de los objetos materiales. Para N e w t o n y la dinámica newtoniana, el espacio y el t i e m p o son absolutos; es decir, su propiedades no dependen de ninguna manera del observador o de su estado de movimiento. Estos criterios son i n t u i t i v a mente ciertos ya que no hay razón alguna para creer que el mecanismo de u n reloj o la l o n g i t u d de una regla se pueden afectar p o r observaciones hechas desde dos marcos de referencia inerciales en m o v i m i e n t o relativo constante uno respecto a l otro. Las transformaciones de Galileo nos p e r m i t e n , además, hallar la velocidad de un objeto en movimiento dentro de u n marco de referencia inercial, en función de su velocidad vista desde o t r o marco de referencia, también inercial. Las componentes de la velocidad están dadas p o r las relaciones: 3
dx ~dl Vi, = I
<- > l
2
dz * d-t
V
=
y las componentes de la velocidad en el sistema p r i m a d o serán: ,
dx'
= , •
d .
^r{x — d t
dy'
dy
.
ut)=v -u x
(1-3)
= d * = dt = dz
1
dz
Estas son las ecuaciones de transformación para l a velocidad. E l resultado para la componente x de la velocidad se conoce como la regla clásica de adición de
velocidades.
A l derivar respecto a l t i e m p o las ecuaciones (1.3) obtendremos las 3
Veáse l a figura 1.1
1.1.
RELATIVIDAD
5
ecuaciones de transformación para la aceleración: a' = x
a
x
(1.4)
a' = a y
a' = z
y
c
z
lo cual nos dice que la aceleración de u n objeto es la m i s m a en cualquier marco de referencia inercial y como l a masa del objeto es constante, el p r o d u c t o m a también lo será. Por lo tanto, si F = m a es u n a ley f u n d a m e n t a l de l a naturaleza que puede ser usada por cualquier observador inercial, t o d a fuerza que c u m p l a la relación anterior será l a m i s m a en cualquier marco de referencia inercial. Entonces, la segunda ley de Newt o n es invariante bajo transformaciones de Galileo, lo cual significa que la dependencia funcional de las ecuaciones que describen u n fenómeno físico serán las mismas para todos los observadores inerciales que hayan u t i l i z a d o dichas transformaciones para comparar sus observaciones. Est o es, si se necesitan espacios, tiempos, velocidades, etc., para describir u n fenómeno físico, las mediciones de u n observador inercial estarán en completo acuerdo con las de otro cuando use las transformaciones adecuadas; en este caso las de Galileo. Además, las leyes de conservación de energía mecánica, cantidad de m o v i m i e n t o y momento angular son consecuencia de las leyes de Newt o n . Entonces, podemos decir que las leyes de la mecánica clásica y, en general, de t o d a l a física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial. Esto se conoce con el nombre de principio clásico de relatividad. Como bien se sabe, las leyes de N e w t o n , las transformaciones de Galileo y en general t o d a la mecánica clásica proporcionan u n a excelente descripción del m o v i m i e n t o de los objetos. Científicos e ingenieros las h a n u t i l i z a d o durante siglos en u n sin número de situaciones. Pero a finales del siglo X I X , cuando los estudios de l a luz y del electromagnetismo se desarrollaron, se comenzó a notar hechos contradictorios que i m p l i c a b a n que algo no estaba correctamente establecido en los conceptos físicos del momento, como veremos a continuación. 1.1.2
L u z , éter y e l e c t r o m a g n e t i s m o
D u r a n t e el siglo X I X , muchos físicos creían, para entender las ondas de luz, que el universo estaba lleno de u n a substancia llamada éter. Las razones fundamentales para creer en su existencia fueron las siguientes: a) Siendo la luz u n a onda, necesitaría de u n medio en el cual se p r o p a gara, como lo necesitan las ondas de sonido y de agua.
6
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
b) E l éter en reposo definía el marco de referencia con respecto a l cual la velocidad de la luz es aproximadamente 3 x 10 m/s (c). 8
L a segunda razón significa que si u n observador se encuentra en m o v i m i e n t o con respecto a l éter, medirá u n a velocidad de l a luz mayor o menor que c según la dirección de su m o v i m i e n t o (ver ecuación (1-3)), como ocurre con las demás ondas. Como las razones anteriores eran t a n obvias nadie se preocupó por t r a t a r de medir alguna p r o p i e d a d física de este éter. Por o t r o lado, en la segunda m i t a d del siglo X I X M a x w e l l había desarrollado completamente su teoría electromagnética en la que lograba unificar en u n a sola teoría, l a electrodinámica, las teorías eléctricas y magnéticas que se habían venido estableciendo en los dos siglos a n teriores. L a electrodinámica queda fundamentada en u n c o n j u n t o de ecuaciones llamadas ecuaciones de M a x w e l l , las cuales en u n a región del espacio libre de cargas eléctricas y de corrientes eléctricas se expresan en su forma diferencial, de la siguiente manera: V • É = 0 V x É = . V - B = 0
d
B (1-5)
t
d
V x B = /z„ e
0
—
E
donde: E = Campo eléctrico B = Campo magnético £ = Constante de p e r m i t i v i d a d del vacío u-o = Constante de permeabilidad del vacío 0
A p a r t i r de estas ecuaciones se obtiene la ecuación de propagación de la onda electromagnética en el vacío: V £ = /i e |^£ 2
0
0
(1.6)
donde l a constante es precisamente igual a l inverso del cuadrado de la velocidad de la luz: l¿o£o = \Si la ecuación (1.6) es correcta, significa u n a de dos cosas:
1.1.
7
RELATIVIDAD
a) que l a velocidad de la luz es igual para cualquier observador. b) que l a ecuación de onda sólo es válida en u n marco de referencia especial y, por lo t a n t o , no es invariante b a j o transformaciones de Galileo. Esto se puede verificar notando que a l pasar de u n marco a o t r o con velocidad relativa u, cuando se realiza la operación con el laplaciano V aparece u n término adicional p r o p o r c i o n a l a u . 2
4
L a situación a que se enfrenta la física a l final del siglo pasado es la siguiente: las leyes de l a mecánica son invariantes bajo transformaciones de Galileo pero las ecuaciones de M a x w e l l no lo son. Entonces, hay tres posibles explicaciones para esta situación: a) E l p r i n c i p i o de r e l a t i v i d a d (clásico) es válido para la mecánica, pero no lo es para la teoría electromagnética; b) las ecuaciones de M a x w e l l no son correctas; c) existe u n sólo p r i n c i p i o de r e l a t i v i d a d para la mecánica y el electromagnetismo. ( E n este caso, las leyes de N e w t o n no serían correctas). L a única f o r m a de decidir cuál de las tres posibilidades es la correcta, es realizar los experimentos necesarios. Se trató, en p r i m e r lugar, de medir alguna p r o p i e d a d física del éter. U n efecto conocido como aberración de la luz, fue i m p o r t a n t e en la investigación que se llevaría a cabo sobre el éter. E n este efecto, interpretado de acuerdo con la teoría o n d u l a t o r i a de la luz, el éter era estacionario y a l moverse la t i e r r a a través de él debe crear u n viento de éter de la m i s m a manera que lo hace u n carro que se desplaza sobre u n a carretera en u n día sin viento. E n 1887 los físicos Michelson y M o r l e y realizaron u n experimento cuyo o b j e t i v o era t r a t a r de detectar el viento de éter. Observando efectos de interferencia de luz esperaban poder medir la velocidad de este viento, o lo que es igual, la velocidad de la t i e r r a respecto a l éter. Antes de hablar del experimento veamos u n ejemplo similar que ayudará a entender el problema. Dos barcos, A y B, van a recorrer la m i s m a distancia con igual velocidad v en u n río cuya corriente tiene u n a velocidad ü con respecto a l a orilla. U n o lo hará perpendicularmente a la corriente y el o t r o lo Q2 g 4
E s t o se ve más fácil a l escribir (1.6) e n u n a dimensión.
E n efecto,
——r- = ox ¿
a E 2
/íoEó » ,„
y recordando que x' = x — ut, l a transformación (1.1).
8
C A P I T U L O 1. T E O R I A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
hará paralelamente a ella. L a distancia que v a n a recorrer es dos veces el ancho del río (fig. 1.2) y queremos determinar el t i e m p o que gastarán cada uno para hacer su recorrido completo.
a. Banal a. V i s t a l a t e r a l . FIGURA
1.3.
A h o r a veamos que debe vencer el efecto* j o y p a r a que atra* dirección río arriba velocidad efectiva. b. V i s t a superior.
F I G U R A 1.2. Dos barcos van a recorrer la misma distancia en un río cuya corriente tiene una velocidad u con respecto a la orilla.
E l t i e m p o gastado en el recorrido completo será en ambos casos: ^total — t\d& + t g r e
r e s o
— v
L
r e
v
r e s o
t o t a l
tu =
L v + u
+
2L/v v—u
1—
(1.8)
(u/y)
2
=¡
-
donde Vi
ti
Los resultados a n t ferentes para recorra 1 en condiciones dife
L | regreso
ida
E l t i e m p o gastado
Si cambiamos los 1 dad de l a corriente la del viento de éter* ; luz tenemos el ex Para llevarlo a muestra en l a figura i n c i d i r u n rayo de luxi vide en dos rayos p« sobre u n espejo (B y i párente. Allí son mi 5
D e esta m a n e r a se |
6
O , s i se prefiere, l a '
1.1.
9
RELATIVIDAD
b. B a r c o A .
a. B a r c o B .
F I G U R A 1.3. Ilustración para el movimiento de los dos barcos.
A h o r a veamos que pasa con el barco A. Tanto a la ida como al regreso debe vencer el efecto de la corriente que t r a t a de arrastrarlo río abaj o y p a r a que atraviese perpendicularmente el río deberá orientarse en dirección río a r r i b a (figura 1.3b.). Entonces, atravesará el río con u n a velocidad efectiva, t a n t o a la ida como a l regreso, igual a: 5
v' = yv
2
— u
2
= vi/l—
(u/v)
2
E l t i e m p o gastado en el recorrido perpendicular al río, t , será: ±
t± — ¿ida "f~
regreso
2L
2L/v
v
- W)
(1.9)
y/i v2 Los resultados anteriores muestran que los barcos necesitan tiempos d i ferentes para recorrer l a m i s m a distancia con la m i s m a velocidad pero en condiciones diferentes (¿Cuál es mayor?). Si cambiamos los barcos por rayos de luz, el río por el éter, la velocidad de l a corriente del río por la velocidad de l a t i e r r a que es también la del viento de éter y l a velocidad de los barcos por l a velocidad de la luz tenemos el experimento realizado por Michelson y Morley. 6
Para llevarlo a cabo u t i l i z a r o n u n interferómetro, cuyo esquema se muestra en la figura 1.4, y el procedimiento fue el siguiente. Se hace i n c i d i r u n rayo de luz sobre u n espejo semitransparente ( A ) que lo d i vide en dos rayos perpendiculares entre sí que a su vez inciden cada uno sobre u n espejo (B y C) donde son reflejados hacia el espejo semitransparente. Allí son nuevamente divididos y una parte llega a l telescopio 5
D e esta m a n e r a se g a r a n t i z a que el barco A regrese al m i s m o p u n t o de salida.
6
0 , si se prefiere, l a velocidad de l a T i e r r a respecto al éter.
10
C A P I T U L O 1. T E O R I A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
de observación. Uno de los rayos v i a j a paralelamente a l viento de éter; el o t r o lo hace perpendicularmente. B v éter
?
> —
I C
Los cálculos de ^ de franja, k> < permitía ver u n debido a vibra mármol que flotah»| Tomando todas! zaron su experi: No p u d i e r o n ot interferencia. Pe r e p i t i e r o n seis embargo, el resv. posición de las la velocidad del con otros e x p e r i Una explicado» j
n
Ocular F I G U R A 1.4. Esquema del interferómetro utilizado por Michelson y Morley. Como vimos en el ejemplo de los barcos, los tiempos gastados por cada uno en recorrer la m i s m a distancia no son los mismos y, por consiguiente, los rayos de luz llegarán desfasados a l telescopio donde se observará u n patrón de interferencia. E n la práctica la luz diverge a l v i a j a r entre los espejos, de manera que recorre simultáneamente muchos caminos que difieren u n poco en l o n g i t u d ; por esto en el telescopio se ven franjas claras y obscuras en forma alternada, en lugar de u n a mancha clara u obscura según se tenga interferencia constructiva o destructiva respectivamente. Como la velocidad de la luz es mucho mayor que la velocidad del viento de éter, el i n s t r u m e n t o debe ser m u y sensible para poder captar los efectos debidos a l a pequeña diferencia de tiempos entre los recorridos. Además, con u n a sola medida no es posible determinar si los efectos observados se deben a l viento de éter, a que los espejos no son perfectamente perpendiculares entre sí o a que l a distancia entre ellos no es exactamente la misma. Para obviar lo anterior se hace girar 90° el interferómetro, intercambiando la posición de los brazos con respecto a l a dirección del viento de éter. A l efectuar el giro se observará u n corrimiento en la posición de la franjas de interferencia con respecto a su posición inicial.
que l a velocidad de ] diente del estado dei sible para los físicos \ todas imposibles de] descartadas. U n a de ellas y F i t z g e r a l d sug se contraían en l a i el caso del interfe en la cantidad ne recorridos y, por l o l Como no se podía < esta explicación. E n v i s t a de qne i surgió la posibilidafH de referencia con Por o t r a parte, b a j o transformacio velocidad de la luz Entonces los existentes para solí teoría electroma único que lograron F i n a l m e n t e en soluciona el proble invariancia' de las
1.1.
RELATIVIDAD
11
Los cálculos teóricos indican que se debe observar u n corrimiento de ^ de franja, lo cual era posible con el i n s t r u m e n t o utilizado ya que permitía ver u n corrimiento de hasta ^ de franja. Para evitar efectos debido a vibraciones, el interferómetro se encontraba sobre una losa de mármol que flotaba en u n recipiente con mercurio. Tomando todas las precauciones posibles, Michelson y M o r l e y realizaron su experimento en j u l i o de 1887, y los resultados fueron negativos. N o p u d i e r o n observar u n corrimiento en la posición de las franjas de interferencia. Pensando que no era el momento del año adecuado lo r e p i t i e r o n seis meses después y a diferentes alturas sobre la tierra. Sin embargo, el resultado siempre fue el mismo: no había corrimiento en l a posición de las franjas de interferencia y p o r lo t a n t o no se p u d o medir la velocidad d e l viento de éter. N i siquiera detectarlo. L o mismo ocurrió con otros experimentos ideados con el mismo fin. U n a explicación posible a l resultado negativo del experimento fue que la velocidad de l a luz es la m i s m a en cualquier dirección, independiente d e l estado de m o v i m i e n t o del observador, pero esto no era a d m i sible p a r a los físicos de la época. Surgieron muchas otras explicaciones, todas imposibles de comprobar experimentalmente, p o r lo que fueron descartadas. U n a de ellas tendría sentido 18 años más tarde. Los físicos Lorentz y Fitzgerald sugirieron que los objetos en m o v i m i e n t o a través del éter se contraían en la dirección de su movimiento, en u n factor t a l que en el caso d e l interferómetro la distancia entre los espejos A y C se reducía en l a cantidad necesaria para eliminar la diferencia de tiempos en los recorridos y, p o r lo t a n t o , el corrimiento de las franjas de interferencia. Como no se podía demostrar experimentalmente, tampoco fue aceptada esta explicación. E n vista de que no se pudo medir alguna propiedad física del éter surgió l a p o s i b i l i d a d de que no existiera. De ser así desaparecía el marco de referencia con respecto a l cual el valor de la luz es c. Por o t r a parte, la teoría electromagnética no resultaba invariante b a j o transformaciones de Galileo y además indicaba que en el vacío, la velocidad de l a luz también es c. Entonces los físicos de la época t r a t a r o n de modificar las teorías existentes para solucionar el problema de la i n c o m p a t i b i l i d a d entre l a teoría electromagnética y el p r i n c i p i o clásico de r e l a t i v i d a d ; pero, lo único que lograron fue complicar todavía más el problema. F i n a l m e n t e en 1905, A l b e r t Einstein enuncia una nueva teoría que soluciona el p r o b l e m a de l a existencia o no existencia del éter y l a no invariancia' de las ecuaciones de M a x w e l l .
12
1.2
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Postulados de la teoría de la relatividad especial
E n 1905 A . E i n s t e i n enuncia su teoría de la r e l a t i v i d a d especial en la cual regresa a la antigua idea que el espacio es vacío (no existe el éter) y f o r m u l a dos postulados: 1.
2.
L a s leyes de la física son las mismas en cualquier marco de referencia inercial (Principio de Relatividad). L a velocidad de l a luz en el vacío tiene el mismo valor c en cualquier marco de referencia inercial (Principio
de la
constan-
cia de la velocidad de la luz) Los postulados de E i n s t e i n son mucho más generales que el p r i n c i p i o de r e l a t i v i d a d clásico porque abarcan t o d a la física. Veamos su significado. E l p r i m e r postulado, lo mismo que el postulado clásico, i m p l i c a que el m o v i m i e n t o en línea recta y a velocidad constante sólo es observable si se compara con algo; en otras palabras, no existe u n marco de referencia absoluto con respecto a l cual se pueden comparar todos los movimientos. Entonces, cualquier sistema de referencia inercial es bueno para describir cualquier fenómeno físico. Incluso, los fenómenos electromagnéticos. E l segundo postulado contradice las transformaciones de Galileo y confirma los resultados experimentales de Michelson y M o r l e y : si la velocidad de la luz es constante, no hay diferencia de t i e m p o entre los dos recorridos de la luz y no puede haber corrimiento de las franjas de interferencia a l girar el interferómetro. Además, también nos dice que la velocidad de la luz es independiente del m o v i m i e n t o de la fuente o del observador. Estos postulados, que conducen a ciertos efectos de los cuales hablaremos a continuación, hacen que las transformaciones de Galileo no sean válidas en este caso, así como tampoco las leyes de N e w t o n . Deberemos encontrar u n nuevo conjunto de ecuaciones de transformación que dej e n invariante l a velocidad de la luz y también u n a nueva mecánica que resulte consistente con lo anterior.
1.3 1.3.1
Cinemática relativista Dilatación d e l t i e m p o
E l p r i m e r efecto debido a los postulados de la r e l a t i v i d a d especial, concretamente a l segundo, es la llamada dilatación del tiempo, lo que significa que u n reloj en reposo con respecto a u n observador inercial mide
1.3.
13
CINEMÁTICA R E L A T I V I S T A
intervalos de t i e m p o mayores que o t r o reloj en movimiento uniforme con respecto a l m i s m o observador y para el mismo evento físico. E n otras palabras, relojes en m o v i m i e n t o andan más despacio. Para demostrarlo construimos u n reloj especial: en cada extremo de una b a r r a de l o n g i t u d Lo colocamos sendos espejos y hacemos que u n haz de luz v i a j e entre ellos (figura 1.5a.). Cada vez que la luz haga u n recorrido completo de i d a y vuelta entre los espejos, el reloj emitirá u n a señal y el intervalo de t i e m p o entre dos señales consecutivas, que también es el t i e m p o necesario para que la luz efectúe su recorrido completo entre los espejos, está dado por la relación: Aío = ^
Ai = 0
T"
(1.10)
c
A
At
7\
k.L-
u
a. E n reposo c o n respec-
b.
to a l observador.
vador e n tres instantes.
u
E n m o v i m i e n t o c o n respecto al obser-
F I G U R A 1.5. Reloj de luz.
A h o r a consideremos el mismo reloj en m o v i m i e n t o uniforme con u n a velocidad relativa u con respecto a nosotros (figura 1.5b.). Nuevamente queremos determinar el intervalo de t i e m p o entre dos señales consecutivas, pero ahora para esta nueva condición. Supongamos que es igual a u n a cantidad A i . De este t i e m p o la luz gastará la m i t a d para llegar al espejo superior y el resto para regresar a l espejo inferior y e m i t i r la señal. Pero mientras la luz v i a j a de u n espejo a o t r o , el reloj (barra y espejos) se ha desplazado hacia la derecha y por consiguiente la luz deberá recorrer u n a mayor distancia que cuando el reloj se encontraba en reposo con respecto a nosotros (figura 1.6). Entonces, si durante el
14
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
intervalo de t i e m p o A i el reloj se h a desplazado u n a distancia tiAí, p o r el teorema de Pitágoras se cumple que: ^cAí)
= L§+QuAt)
de donde: 2L /c 0
Ai =
(1.11)
Pero el numerador de l a ecuación anterior es precisamente el intervalo de t i e m p o entre dos señales consecutivas cuando el reloj se encuentra en reposo con respecto a nosotros. Entonces: Ai =
Ain
y/1
(1.12)
-U / 2
C2
Como el denominador de l a ecuación anterior es menor que l a u n i d a d ,
.iuAí.
F I G U R A 1.6. Recorrido de la luz cuando el reloj está en movimiento
A i es mayor que A í o . Por lo tanto, el reloj anda más despacio cuando está en m o v i m i e n t o con respecto a nosotros. E l intervalo de t i e m p o medido p o r u n reloj que se encuentra en reposo con respecto a l marco de referencia (en este caso el observador o nosotros), A í o , se l l a m a tiempo propio. Es i m p o r t a n t e notar tres cosas respecto a l resultado anterior: 1. Hemos utilizado el segundo postulado de l a r e l a t i v i d a d especial cuando consideramos que l a velocidad de l a luz es c estando el reloj en reposo o en m o v i m i e n t o con respecto a l observador. 2. L a velocidad relativa u del reloj con respecto a l observador es del mismo orden de m a g n i t u d que l a velocidad de l a luz, pero nunca
1.3.
CINEMÁTICA R E L A T I V I S T A
15
igual a e l l a . Si u es mucho menor que c (caso clásico), no existe el efecto de la dilatación del t i e m p o , ya que u/c tiende a cero. 7
3. E l t i e m p o no es absoluto.
1.3.2
Contracción de l a l o n g i t u d
O t r o efecto debido a los postulados de la r e l a t i v i d a d especial es la l l a m a d a contracción de la longitud o contracción de Lorentz-Fitzgerald lo que significa que las dimensiones de los objetos paralelas a l a dirección del m o v i m i e n t o relativo se contraen. Para demostrar la contracción de Lorentz-Fitzgerald vamos a usar el reloj de luz construido para observar la dilatación del t i e m p o , pero ahora se moverá paralelamente a la l o n g i t u d de la barra. Nuevamente consideraremos tres posiciones diferentes a medida que se desplaza hacia la derecha (figura 1.7). Recuérdese que la b a r r a tiene u n a l o n g i t u d
I
F I G U R A 1.7. U n reloj de luz moviéndose paralelamente a su longitud, mostrado en tres instantes diferentes. La señal emitida por el reloj se produce cada vez que la luz llega al espejo de la izquierda.
Lo cuando se encuentra en reposo con respecto a nosotros. Sean L su l o n g i t u d observada cuando se encuentra en movimiento y A i el intervalo de t i e m p o d u r a n t e el cual se la observa. L l a m a n d o A í i el intervalo de t i e m p o necesario para que la luz llegue a l espejo de la derecha y A¿2 el 7
E s t e hecho se explicará m a s adelante
16
C A P I T U L O 1. T E O R I A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
intervalo de t i e m p o necesario para que regrese a l espejo de la izquierda, se tendrá que: A i = A í i + A í . 2
De la figura 1.7 se tiene que las distancias recorridas por la luz en los intervalos de t i e m p o considerados se pueden expresar de la siguiente manera: d i = c A í i = uAti
+ L
di = cAÍ2 = L —
uAti
L a medición de se encuentra afe
cAí = u(Aíi - A í ) + 2L
uAt
y combinando estos resultados se obtiene: c A t = — A i + 2L c recorrido completo es: 2L/c
(1.14)
1 — u /c 2
E j e m p l o 1.1.
(1.13)
Entonces, el intervalo de t i e m p o necesario para que la luz efectúe u n
Ai =
que realizan dichasj
Entre las partículas i partículas se crean que llegan a ella pi cantidades detectabl segundos después de ¡ la velocidad de 0,! Si calculamos la vida, a la velocidad <
2
2
m a g n i t u d de la vele menor no se percibe« espacio no es absor De lo expuesto ei de la teoría especial i
De las ecuaciones anteriores se tiene que d\ di y d\ d<¿ son respectivamente iguales a:
c(Aíi - A i ) =
En forma análoga pos, p a r a la m e d i d o » ^ lado de la relatividad*
2
Pero, A i es también el intervalo de t i e m p o observado entre dos señales consecutivas del reloj cuando está en m o v i m i e n t o (ecuación (1.12)). Reemplazando la expresión para A i y haciendo las simplificaciones necesarias, el valor de la l o n g i t u d observada de la b a r r a del reloj es:
L = 0.! Lo cual no concuerda i fj, comienza a existir a i L a explicación a < po y en la contracción < En su propio mam» entonces para un ol que, para él, el mesón j Por lo tanto: Aí^
L =
L ^l-u /c 0
2
2
(1.15)
Como el factor que m u l t i p l i c a a Lo menor que la u n i d a d , L es menor Lo- Así, la l o n g i t u d de la b a r r a se ha contraído a l estar en m o v i m i e n t o con respecto a nosotros. Observen que la contracción tiene lugar sólo en la dirección del movimiento. L a l o n g i t u d de u n objeto en reposo con respecto a u n observador, LQ , se l l a m a longitud propia. e s
Durante
este intervalo t
En su propio marco de) ve que la tierra se le •
1.3.
17
CINEMÁTICA R E L A T I V I S T A
E n f o r m a análoga a lo anotado para el caso de la medición de tiempos, para la medición de longitudes se t u v o en cuenta el segundo postulado de la r e l a t i v i d a d especial; que la velocidad relativa u es del orden de m a g n i t u d de la velocidad de l a luz pero no igual a ella y cuando es mucho menor no se percibe el fenómeno de la contracción; y que, finalmente, el espacio no es absoluto. De lo expuesto en los numerales 1.3.1 y 1.3.2 vemos, como resultado de l a teoría especial de la relatividad que: L a medición de longitudes o intervalos de tiempo de eventos físicos se encuentra afectada por el movimiento relativo de los observadores que realizan dichas medidas. E j e m p l o 1.1. Entre las partículas de alta energía existe una llamada mesón \i. Estas partículas se crean en la alta atmósfera por acción de los rayos cósmicos que llegan a ella procedentes del espacio y alcanzan el nivel del mar en cantidades detectables. E l mesón \x se desintegra en un electrón 2 x 1 0 segundos después de ser creada (tiempo de vida o vida media) y viaja a la velocidad de 0,998c.
- 6
Si calculamos la distancia que puede recorrer vida, a la velocidad de 0,998c, se obtiene:
durante
su tiempo
de
L = 0.998 x 3 x 10 — x 2 x 1 0 ~ s = 6 0 0 m s 8
6
Lo cual no concuerda con lo observado en la realidad porque el mesón ¡j, comienza a existir a una altura diez veces mayor. La explicación a esta paradoja se encuentra en la dilatación del tiempo y en la contracción de la longitud. Veamos que ocurre. En su propio marco de referencia inercial, la partícula vive 2 x 1 0 ~ s; entonces para un observador en la tierra este tiempo es mayor puesto que, para él, el mesón /¿ se encuentra en movimiento. Por lo tanto: 6
At
t¡erra
=
2
Durante
este intervalo
= 31.7 x 1 0 - a 6
A t m e s á a
^/l-u /c
2
de tiempo la partícula recorre L = itAí
íierra
una distancia
de:
= 9500 m
En su propio marco de referencia el mesón u-, mientras vive 2 x 1 0 s , ve que la tierra se le acerca a una velocidad de 0,998c; y durante este _ 6
18
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
^^^^^
m í
t¡<
F I G U R A 1.8. Mesón ¡j, moviéndose con respecto a un observador en la tierra. Visto desde el marco de referencia de la tierra.
tiempo
recorre
una
distancia: = 600 m
L ' = uAt
mesón
tierra
F I G U R A 1.9. Misma situación anterior (mismo fenómeno físico) descrita ahora desde el sistema de referencia del mesón.
Pero para el observador lo tanto él mide:
en la tierra esta distancia
L
=
V 2
Entonces, los dos puntos de vista conducen al mismo resultado tiende por qué se detecta el mesón / i al nivel del mar.
1.3.3
por
= 9500m
^/1-U /C 2
está contraída y
y se en•
R e l a t i v i d a d de l a s i m u l t a n e i d a d de eventos
O t r a consecuencia de los postulados de la r e l a t i v i d a d especial es el que dos eventos que son simultáneos en u n marco de referencia inercial pueden no serlo en otro y viceversa.
1.3.
CINEMÁTICA
RELATIVISTA
19
Consideremos el siguiente ejemplo: E j e m p l o 1.2. Nos encontramos en una nave espacial y en un momento dado dos naves idénticas a la nuestra se cruzan frente a nosotros (ñgura 1.10). Las dos naves se mueven a la misma velocidad relativa uniforme (respecto a nosotros) y en el instante del cruce encendemos una señal luminosa en los extremos de las naves.
i: F I G U R A 1.10. En el instante en que las naves se cruzan, para el observador, se encienden simultáneamente dos luces
P a r a nosotros las luces se encienden simultáneamente; ¿pero los observadores en las naves también ¡o verán así? Supongamos que cada observador se encuentra en el centro de su nave y veamos qué pasa según el punto de vista de cada uno. Para el observador A, mientras la luz de las señales se propaga hacia él, su nave se está desplazando hacia el punto 2. Por consiguiente, primero verá la señal luminosa del punto 2 y luego la del punto 1. Para el observador B ocurre algo similar: su nave se desplaza hacia la el punto 1 por lo cual verá primero esta señal luminosa y luego la del punto 2 (ñgura 1.11).
F I G U R A 1.11. Para el observador B no hay simultaneidad. La simultaneidad resulta relativa al marco de referencia.
20
CAPÍTULO 1.
TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Entonces, para los observadores A y B no hay simultaneidad de eventos, aunque para nosotros sí la haya. ¿ Cuál es la respuesta correcta? Las tres lo son, de acuerdo con cada observador. La simultaneidad de eventos también es relativa al marco de referencia inercial escogido. •
1.4
Transformaciones de Lorentz
Después de haber observado las consecuencias que los postulados de la teoría de la r e l a t i v i d a d especial tienen sobre medidas de t i e m p o y de l o n gitudes, es claro que las transformaciones de Galileo ya no son adecuadas y necesitamos nuevas ecuaciones de transformación que mantengan la velocidad de la luz constante. L o anterior i m p l i c a , n i más n i menos, que tendremos que modificar también las expresiones de la leyes físicas que no sean invariantes bajo ellas. U n hecho que no se puede olvidar es que las transformaciones de Galileo y las leyes de N e w t o n son válidas cuando los objetos gobernados por estas leyes se mueven a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Sólo fallan cuando la velocidad de los objetos es m u y grande o comparable con la velocidad de la luz. Entonces, basta m u l t i p l i c a r las transformaciones de Galileo por algún factor para obtener unas nuevas transformaciones adecuadas al problem a e imponerle al factor l a condición que para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, sea igual a la u n i d a d . Esto hace que las nuevas ecuaciones de transformación sean generales y se puedan aplicar en cualquier caso. Las transformaciones, que por razones históricas se d e n o m i n a r o n transformaciones de Lorentz (recuerden una de las posibles explicaciones a los resultados negativos en el experimento de Michelson y M o r ley), tienen l a siguiente forma para la m i s m a situación descrita en el caso de las ecuaciones de Galileo (figura 1.1): 8
,
=
x-ut
,
,
=
t
,
y/l-U /c 2
2
=
t-xu/c
2
y/l - U /C 2
2
'
Las variables no primadas en función de las primadas se d e n o m i n a n transformaciones inversas de Lorentz. Para obtenerlas basta cambiar las coordenadas primadas por no primadas, las coordenadas no primadas E n el apéndice A se e n c u e n t r a s u derivación
1.4.
21
TRANSFORMACIONES D E LORENTZ
por p r i m a d a s y u p o r — u: x =
x' + ut'
, v/l-n /c 2
,
.
t' + x'u/c
; y = y': z = z':t=
V
2
,
1
2
-
' = " /c 2
(1.17) 2
Estas transformaciones nos muestran que el espacio y el t i e m p o no son independientes como lo consideraban N e w t o n y Galileo. Nuevamente, sólo cambia la coordenada en la dirección del movimiento. A l derivar con respecto a l t i e m p o las ecuaciones 1.16, se obtienen las ecuaciones de transformación para las componentes de la velocidad: 1 - vu
c
x
V
=
=
1 -
¿
(1.19)
v u/c x
2
Vl-u /c l-v u/c V
x
2
2
¿
Las ecuaciones de transformación inversa se obtienen de la m i s m a f o r m a como se obtienen las de coordenadas. Si u
Sincronización d e r e l o j e s
E n general se necesita más de u n reloj para efectuar mediciones de t i e m pos. Supongamos que o c u r r e n dos eventos en diferentes lugares y tenemos dos relojes que registran el momento en que tienen lugar. Para que los resultados de l a medición se puedan comparar, es indispensable que los relojes comiencen a funcionar a l mismo t i e m p o y marchen exactamente igual. Esto es, deben estar sincronizados. Para sincronizar los relojes colocamos u n a señal luminosa en el p u n t o medio entre ellos y si tienen u n mecanismo que los pone en m a r cha cuando les llega l a señal de luz, lo harán simultáneamente (figura 1.12a.). Suponemos que estos relojes no se atrasan n i adelantan. Relojes sincronizados en u n marco de referencia con respecto a l cual están en reposo lo seguirán estando a medida que pasa el t i e m p o ; pero, esto no significa que para o t r o observador inercial también estén sincronizados. Veamos que ocurre en este caso.
22
C A P I T U L O 1. T E O R I A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
1.4.
de donde: í=0
t = o
t = t
Pero sabemos que: (l-w /c )" ;esto« anterior solamente
t = t
2
"Ln
*
2
1 / 2
At a. D o s relojes e n
b. D o s relojes e n m o v i m i e n t o c o n respecto a l
reposo
observador, m o s t r a d o en tres instantes dife-
pecto
con al
res-
obser-
rentes.
vador.
F I G U R A 1.12. Sincronización de relojes.
Consideremos ahora dos relojes con las anteriores características separados una cierta distancia y en m o v i m i e n t o uniforme con respecto a nosotros. E n u n momento dado se prende u n a señal de luz en el p u n t o medio entre los dos relojes y los observaremos cuando les llegue la luz y comiencen a funcionar (figura 1.12b.). Sea L l a separación observada entre los relojes y A í i y A í los intervalos de t i e m p o que necesita la luz para llegar a cada r e l o j . E l intervalo de t i e m p o que transcurre entre el instante en que comienza a funcionar el reloj A y el instante en que lo hace B será igual a A i = A í — A í i . De la figura 1.12b. se tiene que las distancias d\ d que recorre la luz en los intervalos de t i e m p o A í i y A í se pueden expresar como: 2
2
2
2
di = c A í i = ^ L — uAti
do =
^ L -
cAt
2
uAt
2
Procediendo en forma análoga a l caso de la contracción de la l o n g i t u d , de la suma y de l a resta de las distancias anteriores se obtiene: c(Aíi + A í ) = 2
LuAt
m o v
=
L a cantidad L ( l — u ^ cuando están en rep t i e m p o entre dos reposo) es: 2
Por consiguiente, reposo con respecto m o v i m i e n t o uniforme i Nótese que cua indicando u n t i e m p o i esta diferencia de desplacen con resp el reloj A) siempre delante en la c a n t i d a d ] De esta manera, r e l a t i v i s t a cuyos re
1.
Relojes en ¡
2.
Objetos en miento, en d |
3.
U n reloj que] cantidad Lo» cuando están <
1.4.
23
TRANSFORMACIONES D E LORENTZ
y cAt = u(Ati
+ Aí ) 2
de donde: A
í
» ^ ^ 1 — u l&
(1.21)
¿
Pero sabemos que relojes en movimiento andan más despacio en el factor ( 1 — u / c ) / ; esto es, para relojes en movimiento el intervalo de t i e m p o anterior solamente será de : 2
2
- 1
2
Aí
m o v
= Aí(l - n / c ) 2
2
1 / 2
= ^ ( 1 - u /c )2
2
(1-22)
1/2
L a cantidad L ( l — u /c ) / no es más que la distancia entre los relojes cuando están en reposo con respecto a nosotros; entonces el intervalo de t i e m p o entre dos relojes en m o v i m i e n t o separados una distancia Lo (en reposo) es: 2
2 -1 2
Aí
m o v
= ^
(1.23)
Por consiguiente, relojes que h a n sido sincronizados cuando están en reposo con respecto a l observador ya no lo estarán si se encuentran en m o v i m i e n t o uniforme con respecto a l mismo observador. Nótese que cuando el reloj B comienza a funcionar, el reloj A estará indicando u n t i e m p o mayor en la cantidad dada por la ecuación (1.23); esta diferencia de tiempos se mantendrá a medida que los relojes se desplacen con respecto a l observador: el reloj que persigue (en este caso el reloj ^4) siempre indicará u n t i e m p o mayor que el que se encuentra delante en l a cantidad LQU/C . 2
De esta manera, terminamos la parte correspondiente a la cinemática r e l a t i v i s t a cuyos resultados podemos resumir de l a siguiente manera:
1. 2.
Relojes en m o v i m i e n t o se atrasan en el factor: \/l —
u /c . 2
2
Objetos en m o v i m i e n t o se contraen en la dirección de su m o v i m i e n t o , en el factor \/l — \P-fc . 2
3.
U n r e l o j que persigue a o t r o indicará u n t i e m p o mayor en la c a n t i d a d L o ' u / c donde Lo es l a distancia que separa los relojes 2
cuando están en reposo con respecto a l observador.
24
CAPÍTULO 1.
TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
E j e m p l o 1.3. Una nave de 100 m de longitud en reposo, se mueve a una velocidad de 4c/5 con respecto a un observador en tierra. En la nave se colocan dos relojes sincronizados (D y E ) y en la tierra otros tres, (A, B, C) también sincronizados e igualmente espaciados entre sí como se muestra en la ñgura 1.13. Cuando el Reloj D pasa frente al reloj B ambos indican t = 0 (origen de los tiempos). Hallar los tiempos indicados por los relojes cada vez que dos de ellos se cruzan.
u
i i i i t = o
F I G U R A 1.13. Posición de los relojes que se van a observar.
Como los relojes A, B y C están sincronizados, A y C también están indicando t = 0. E l reloj E persigue al reloj D; por lo tanto indicará un tiempo mayor que el reloj D en la cantidad: Lu 80 -\- = — s c c Los tiempos indicados por los 5 relojes cuando D pasa frente a B por el observador en tierra) son entonces: 0
ÍE
= t
D
L
(vistos
80 ts = — S c La nave sigue avanzando y el reloj D pasa frente al reloj C, el reloj E pasa frente al reloj B (ñgura 1.14). Para esto la nave ha recorrido una distancia igual a su longitud contraída:
S
tA = ts = te = ¿D = 0
L = L s/l
- u /c
0
y para ello transcurre
2
un intervalo
de
2
= 60m
tiempo
L 75 At = - = —s u c Los relojes
en tierra estarán t
A
= t
B
indicando: = t
A 75 = 0+ Ai = — s N
c
1.4.
25
TRANSFORMACIONES D E LORENTZ
F I G U R A 1.14. Posición de los relojes cuando la nave avanza en un tiempo A i .
Pero
en la nave los relojes
tierra)
en la cantidad
tiempo
transcurrido
en tierra
andan más despacio
\(l—u /c ) 2
(para el observador
= |. Por consiguiente
2
según los relojes
en
el intervalo
de la nave visto por el
de
observador
es: At
= AttierraVl-Üt/c
nave
45
=
2
~S
c y los relojes
de la nave „
tD = V-\
mostrarán: 45 c
Agrupando
los resultados
siguientes
respuestas:
45
S e
E
=
obtenidos,
E pasa frente a A:
t
E pasa frente a B:
t
D pasa frente a C:
t
E
E
ÍD
1
80 c
45
=
S
c
el observador
125 c
en tierra
= 80/es = 125/cs
tA =
=
75/es
45/cs
te =
75/es
=
t
B
obtuvo
las
0s
F I G U R A 1.15. Relojes en movimiento vistos por el observador en la nave.
26
CAPÍTULO 1.
TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
En forma, análoga se resuelve el problema desde el punto de vista de un observador en la nave: él y su nave estarán en reposo con respecto a la tierra y ésta se moverá hacia la izquierda.(el origen de los tiempos no cambia) ¡Hágalo! Los resultados para el observador en la nave son los siguientes: C pasa trente aD:
te = 7 5 / c s
A pasa frente aE:
t
B pasa frente aE:
ts = 7 5 / c s
A
= Qs
tu tE
=
45/ca
=
80/cs
tE = 125/'es
Comparando los resultados de los dos observadores las respuestas las mismas! Entonces, de este ejemplo se puede concluir que: E l tiempo
indicado
por
relojes
será el mismo
para cualquier
del marco
referencia.
de
en el instante en que se observador
inercial,
En la ñgura 1.15 se muestran los pasos necesarios puestas del segundo caso considerado.
1.5
son
cruzan
independiente
para llegar a las
res•
Dinámica relativista
Acabamos de ver en el numeral anterior cómo fue necesario reemplazar las transformaciones de Galileo por unas transformaciones nuevas, debido a las consecuencias de los postulados de la r e l a t i v i d a d especial de Einstein. A h o r a debemos considerar los procesos dinámicos y encontrar cómo se deben modificar las expresiones de las leyes correspondientes para que sean invariantes bajo transformaciones de Lorentz, es decir, para que resulten consistentes con la r e l a t i v i d a d especial. L a dinámica busca explicar las causas del movimiento y para ello necesita definir ciertas cantidades como fuerza, energía y cantidad de m o v i m i e n t o , entre otras, que p e r m i t a n establecer relaciones que muestran qué hace, por ejemplo, que u n objeto m a t e r i a l alcance una velocidad determinada. Las variables dinámicas tienen la característica de ser una combinación de distintas variables cinemáticas y ya se vio el efecto que sobre ellas tiene l a r e l a t i v i d a d especial. Entonces, es necesario volver a definir las variables dinámicas de manera que sean invariantes b a j o t r a n s f o r m a ciones de Lorentz para lograr una formulación que satisfaga los postulados de la r e l a t i v i d a d especial. 1.5.1
C a n t i d a d de m o v i m i e n t o relativista
L a cantidad de movimiento lineal, p = m v , es una cantidad definida en la mecánica clásica que se conserva en sistemas aislados. Entonces, es
1.5.
27
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
necesaxio que en r e l a t i v i d a d también lo haga en las m i s m a circunstancias. Esto nos lleva a imponerle a la expresión relativista correspondiente dos condiciones:
1. Debe conservarse de la m i s m a manera que lo hace clásicamente.
2. L a nueva expresión debe ser t a l , que para velocidades pequeñas comparadas con l a velocidad de la luz, reproduzca la expresión clásica.
L a f o r m a de averiguar si cierta cantidad física se conserva es considerar, por ejemplo, u n proceso de colisión entre dos objetos, ya que podemos comparar las cantidades antes y después del choque para ver si camb i a r o n o no. Consideremos u n a colisión totalmente inelástica entre dos partículas idénticas Ay B que en reposo con respecto a l observador tienen l a m i s m a masa, y se mueven u n a hacia l a o t r a con la m i s m a velocidad. L a colisión tiene lugar en u n marco de referencia inercial S' en m o v i m i e n t o relativo con velocidad constante u con respecto a o t r o marco de referencia inercial S, desde donde observaremos también la colisión (figura 1.16a.). P a r a simplificar los desarrollos matemáticos, la velocidad de las partículas y la velocidad relativa del sistema S" serán iguales(u = v ' ) .
S' u —v A
A
, ,B antes después
a. V i s t a por u n observador en S'.
b. V i s t a por u n observador en S.
F I G U R A 1 . 1 6 . Colisión inelástica observada desde dos sistemas de referencia con movimiento relativo.
28
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Para el observador en el sistema S' se cumple l a conservación de l a cantidad de movimiento: m'v' + m ' ( - v ' ) = 0 A l observar l a m i s m a colisión desde el marco de referencia 5 , no podemos asegurar que las masas de las partículas en m o v i m i e n t o siguen siendo las mismas y a que sus velocidades son diferentes. Entonces, sean m y M las masas de las partículas en m o v i m i e n t o y mo l a masa de l a partícula en reposo (figura 1.16b.). L a partícula A se mueve con u n a velocidad v y l a partícula resultante después de l a colisión se moverá con l a velocidad v'. L a conservación de l a cantidad de m o v i m i e n t o requiere que se c u m p l a : mv = M v '
(1.24)
donde, de acuerdo con las transformaciones para velocidades: v' + v
2v'
= 1 + /2/ 2 = 1
V
v
+
c
v
,2/ 2 c
(
L
2
5
)
N o t e n que cuando v
m + m = M 0
y dividiendo la ecuación (1.24) por l a ecuación (1.26) se obtiene:
expresión que p e r m i t e encontrar cómo depende l a masa de l a partícula A de su velocidad v cuando se exprese v' en función de v. De la ecuación (1.25) se obtiene una ecuación de segundo grado para v ' cuya solución es:
2 v' =
(l ± y/l - v / c ) 2
2
(1.28)
Puesto que v ' debe ser igual a v / 2 cuando las velocidades involucradas son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, el signo apropiado en l a ecuación (1.28) es el signo negativo. Entonces: 9
2
v' = ^ ( l - y/l - v / c ) 2
9
Parav«c;
(l_£)
1 / 2
=i -
i £
2
(1.29)
1.5.
29
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
Reemplazando este resultado en la ecuación (1-27): c /v{í 2
m = v
- c
2
- y/1 - v / c ) 2
2
y/l-v /c )
/ v { l -
2
2
obteniéndose finalmente para la masa: m =
2
(1.30)
=
y/l-v /c
2
Lo cual se i n t e r p r e t a como: U n objeto al moverse con respecto a u n observador aumenta su masa en una cantidad que depende de s u velocidad. E l resultado anterior es u n a consecuencia de exigir la conservación de l a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o en la teoría de la r e l a t i v i d a d especial. L a masa m se d e n o m i n a masa relativista
y l a masa mo masa en reposo.
Nótese
que es l a masa en reposo (mo), y no l a masa relativista ( m ) , la que es u n invariante r e l a t i v i s t a . Además, la velocidad relativa entre los sistemas de referencia ya no aparece, sólo queda la velocidad del objeto con al marco de referencia
respecto
al cual se realizan
las
relación
mediciones.
Como se mencionó anteriormente, si l a velocidad del objeto es pequeña comparada con la velocidad de la luz, la ecuación (1.30) conduce al resultado clásico m = mo , y si la velocidad del objeto fuera igual a la velocidad de la luz, la masa sería i n f i n i t a . Esta es una de la razones por l a cual decimos que ningún objeto m a t e r i a l puede moverse a la velocidad de la l u z , ya que es físicamente imposible hacer que alcance esta velocidad. Por consiguiente, c es u n a velocidad límite en la naturaleza. De acuerdo con el resultado obtenido para la masa, la expresión clásica de l a cantidad de m o v i m i e n t o será válida si se reemplaza en ella la masa p o r la masa relativista. Esto es:
p = rov =
7n^7?
(L31)
donde v es la velocidad del objeto. Como la c a n t i d a d de m o v i m i e n t o es u n a cantidad vectorial, sus componentes con respecto a u n sistema de ejes x, y, z serán: m
=
P
0
V
j
y/1 - V / c mo v 2
2
y
Py
y/l-M ¡C mo M 2
2
Z
Pz
y/1
-
V
2
/ C
2
30
C A P Í T U L O 1. T E O R Í A D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
F I G U R A 1.17. Dependencia con respecto a la velocidad de la cantidad de movimiento y la masa relativista.
donde v =v +v 2
2
2
(1.33)
+ 2 V
E n la figura 1.17 se puede observar cómo dependen la cantidad de m o v i m i e n t o y la masa relativista con la velocidad y cómo lo hacen las correspondiente cantidades clásicas. E l que u n a partícula m a t e r i a l no pueda alcanzar la velocidad de la luz se demostró experimentalmente, acelerando u n a partícula cargada mediante u n a diferencia de potencial V, lo cual hace que adquiera u n a energía cinética K = e • V = ^ m o v . Los resultados m o s t r a r o n que u n a vez alcanzado cierto voltaje, la velocidad de la partícula ya no depende del la diferencia de potencial (figura 1.18). 2
V (Volt)
F I G U R A 1.18. Velocidad de una partícula cargada en función del voltaje acelerador
Con lo explicado es fácil entender ahora porqué la curva experimental se aleja de la recta que predice l a teoría clásica. Sólo coinciden para valores pequeños del voltaje acelerador, lo cual es equivalente a pequeñas
1.5.
31
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
velocidades. L a razón es que a medida que la partícula adquiere energía, aumenta su velocidad y por consiguiente se incrementa su masa. 1.5.2
Energía R e l a t i v i s t a
Como es de esperarse, l a ecuación para la energía cinética no puede ser la m i s m a expresión clásica | m v . A h o r a procederemos a derivar su expresión relativista así como la de la energía t o t a l . 2
E n mecánica clásica definimos l a energía cinética K de una partícula, como el t r a b a j o hecho por u n a fuerza externa para aumentar su velocidad desde cero hasta u n determinado valor final v. Esto es: V
K
(1.34)
= j' F-dl
donde F • di es el t r a b a j o hecho por la fuerza para desplazar la partícula una distancia di. L a m i s m a definición nos sirve para hallar la energía cinética r e l a t i vista, siempre y cuando usemos la expresión relativista para la fuerza, l a que se obtiene fácilmente a p a r t i r de la expresión general de l a segunda ley de N e w t o n : .
d ._ FcUs
=
d .
¿¡.(Peta,)
=
^ (
M
. 0
V
)
_ =
M
0 «
donde mo es l a masa clásica, considerada constante en la expresión a n terior. L a fuerza r e l a t i v i s t a también será la derivada con respecto a l t i e m p o de la cantidad de m o v i m i e n t o , pero ahora relativista: d ,_ F
-
i
=
dt -
{p l)
.
d . =
J
dv
t
dm Tt ' -dT
M =
m
+ /
donde m es la masa relativista que depende de la velocidad. Entonces, en u n a dimensión, tendremos l a siguiente expresión para l a energía cinética: V
K =
j
V
V
Fdx
=
j
V
j {™)dx t
jd(mv)
V
= j d(mv)v = j(v c¿m 2
4- m v dv)
^
(1.35)
32
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
expresión en l a cual t a n t o m como v son variables. Estas cantidades están relacionadas la u n a con la o t r a a través de la definición de la masa relativista: m = m o / ( \ / l — v / c ) . Elevando a l cuadrado esta expresión y diferenciándola se obtiene: 2
2
m v d\i + \j dm = c dm 2
(1.36)
2
que es precisamente el factor que se encuentra debajo del signo de integración en la ecuación (1.35). Por consiguiente: m K = j
c dm 2
= c j
dm = me
2
(1.37)
- mc
2
0
2
mo A l reemplazar m en función de mo obtenemos o t r a expresión para la energía cinética relativista: m )c
K = (m-
0
(1.38)
2
L a ecuación (1.37) muestra la relación que existe entre la energía cinética y la variación de la masa de u n a partícula debido a l cambio en su velocidad. Además, muestra que la r e l a t i v i d a d especial le asigna u n a energía a la masa. L a cantidad m o c que no depende de la velocidad de la partícula se denomina energía de reposo, Eo, y es la energía que tiene una partícula por el sólo hecho de tener una masa diferente de cero. Clásicamente esta energía se considera nula. Así mismo, m e representa la energía que tiene la partícula cuando está en m o v i m i e n t o y se l l a m a energía total relativista, E. Por lo t a n t o la ecuación (1.37) también se puede escribir como: 2
2
(1.39)
E = E + K 0
L a expresión relativista para la energía cinética es m u y diferente a l a correspondiente expresión clásica, pero para velocidades pequeñas comparadas con l a velocidad de l a luz se reduce a ella. Escribiendo l a ecuación (1.38) en l a siguiente forma: K = mc 0
cuando v / c 2
2
[{l-v /c )- l -l 2
2
l 2
es m u y pequeño comparado con l a u n i d a d se puede ex-
2
p a n d i r (1 — v / c ) 2
2
- 1
/
2
en serie de potencias del factor v / c 2
2
utilizando
1.5.
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
33
el teorema b i n o m i a l : K = mpc
1 / v 1 + x i-ñ i
2
+
De la serie sólo se conservan los dos primeros términos .ya que los demás son despreciables comparados con la u n i d a d . Así, se reproduce la expresión clásica, K = \ . E n la figura 1.19 se puede observar l a variación de la energía cinética r e l a t i v i s t a y clásica en función de la velocidad. 2
F I G U R A 1.19. Variación de la energía cinética con la velocidad.
Es i m p o r t a n t e notar dos cosas acerca de la expresión relativista de la energía cinética: 1. Cuando v —> c la energía tiende a i n f i n i t o , lo cual significa que se necesitaría hacer u n a cantidad i n f i n i t a de t r a b a j o para acelerar la partícula hasta alcanzar la velocidad de la luz!. Nuevamente encontramos que l a velocidad de la luz es la máxima velocidad en la naturaleza y que objetos que tienen masa en reposo no nula nunca podrán moverse a esa velocidad. 2. E n segundo lugar, no se puede usar en r e l a t i v i d a d la expresión clásica para la energía cinética reemplazando l a masa en reposo p o r la masa relativista. No siempre se puede reemplazar solamente la masa clásica p o r la relativista cuando se generaliza u n a fórmula clásica a u n a relativista. Muchas veces necesitamos una expresión relativista que relacione energía t o t a l y cantidad de m o v i m i e n t o de u n a partícula. C o m b i n a n d o las ecuaciones de energía t o t a l y cantidad de movimiento para eliminar entre ellas la velocidad, obtenemos: E
2
= (m c ) 0
2 2
+
(pc)
2
(1.40)
34
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
F I G U R A 1.20. Representación gráfica de las relaciones entre E, E , K y p. Q
L a ecuación anterior tiene la forma de la expresión del teorema de Pitágoras; entonces, u n a manera fácil para recordar las fórmulas deducidas en este numeral es u t i l i z a r los lados de u n triángulo rectángulo para representarlas como se muestra en la figura 1.20. 1.5.3
E q u i v a l e n c i a masa-energía
L a más conocida de las predicciones de la teoría de la r e l a t i v i d a d especial, y también la más espectacular, es la que dice que la masa es u n a forma de energía. Este resultado aparece por p r i m e r a vez en el numeral anterior. U n a manera sencilla de ver la equivalencia masa-energía es considerar nuevamente u n a colisión inelástica, en la cual sabemos que se conserva la cantidad de movimiento y la energía t o t a l , pero no la energía cinética. Supongamos que una partícula en reposo de masa Mo se divide en dos partículas idénticas de masas en reposo m o . Clásicamente se cumple que Mo = 2mo por el p r i n c i p i o de conservación de masa; pero como ya sabemos, las leyes clásicas son aproximaciones de las correspondientes leyes relativistas y es m u y posible que ahora esta igualdad no se c u m p l a , más aún teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía. E l proceso anterior ocurre realmente en l a naturaleza. Por ejemplo, la partícula llamada mesón JC se divide espontáneamente en dos partículas idénticas llamadas mesones ir, en más o menos 1 0 ~ segundos. L a ecuación del proceso es: 1 0
1 0
/C°->7r
0
+ 7r°
(1.41)
Veamos qué ocurre desde el p u n t o de vista relativista. Las masas en reposo de las partículas involucradas en el proceso son Mo y mo- Después 1 0
L a desintegración de u n a partícula en dos partes también es u n proceso de colisión
inelástica
1.5.
35
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
de la división, las partículas finales se encuentran en movimiento, con igual velocidad pero en sentido opuesto, y sus masas serán relativistas (figura 1.21). D u r a n t e el proceso de división se conserva la cantidad de
F I G U R A 1.21. División de una partícula inicialmente en reposo.
m o v i m i e n t o y la energía t o t a l del sistema. Entonces, por conservación de energía t o t a l : Cantes
(1-42)
^después
=
De acuerdo con l a figura 1.21, las energías totales antes y después de l a división son: Cantes
rp
-^después
o ^
=
M C 0
moc + moc [ 2
2
(1.43)
2
y i - v
2
/ c
= - 1 2
lo cual conduce a l siguiente resultado:
Entonces, ¡las masas en reposo i n i c i a l y final del sistema no son las mismas!. Antes de l a división l a masa era mayor; esto es, durante el proceso se perdió masa. Y a que la masa no puede desaparecer o aparecer porque sí, algo más se transformó. E n este caso particular cambió la energía cinética: inicialmente era nula y a l final tiene u n valor diferente de cero. Por consiguiente, l a masa se transformó en energía cinética. Pueden comp r o b a r l o a l calcular los cambios de energía cinética (AK = K¡ — í Q ) y de masa ( A M = MQ — 2mo); encontrarán que AK = AMc . E n general l a masa se puede transformar en cualquier o t r a m a n i festación de energía y viceversa. Esta clase de situaciones llevó a Einst e i n a concluir que la masa es o t r a forma de energía; esto es, existe u n a equivalencia entre la masa y la energía. 2
36
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Observen que l a conservación de energía t o t a l i m p l i c a l a conservación de l a masa relativista. Clásicamente teníamos dos leyes de conservación: u n a para la energía y o t r a para l a masa. A h o r a , en l a teoría de l a r e l a t i v i d a d especial estas dos leyes se transforman en u n a sola y se l l a m a ley de conservación de masa-energía cuya expresión matemática es l a conocida ecuación: E = mc
(1.45)
2
L a relación anterior i m p l i c a que l a masa se puede expresar en unidades de energía d i v i d i d a p o r c . Es común en física atómica expresar l a masa en unidades de eV/c (electrónvoltio/c ). Por ejemplo, las masas en reposo del electrón, protón y neutrón respectivamente s o n :
donde h es u n a igual a 6.627 x 10" Puesto que el ecuaciones para la 1.31) nos dicen que i infinitas. Por lo ta la partícula conside energía t o t a l y cantic la velocidad p o r lo Reemplazando m « ;
2
2
2
1 1
m ( e ) = 0.511
MeV
resultado que h a sido I cantidad de movimie
0
m {p) 0
= 938.256
m ( n ) = 939.550
MeV
MeV
0
L o anterior no quiere decir que l a energía y l a masa son cantidades numéricamente iguales, sino que son cantidades físicamente equivalentes. E n l a física clásica también tenemos analogías de este t i p o . Por ejemplo, la correspondencia que existe entre l a a l t u r a de u n a columna de m e r c u r i o y l a presión atmosférica. 1.5.4
Partículas d e m a s a e n r e p o s o c e r o
Terminaremos este primer capítulo hablando brevemente de ciertas partículas que no tienen masa en reposo que se d e n o m i n a r o n fotones. E n los primeros años d e l siglo X X se observó que algunos experimentos en los cuales intervenía l a luz conducían a resultados que sólo eran explicables si se consideraba l a luz formada p o r unas partículas especiales que se llamaron fotones. Los fenómenos como l a Radiación del cuerpo Negro, el Efecto Fotoeléctrico y el Efecto C o m p t o n , de los cuales hablaremos en los próximos capítulos, mostraron que l a energía de u n fotón en u n haz de luz de frecuencia v es: E = hu ' E l prefijo M e g a significa 1 0
6
(1.46)
Además de los fotones propiedad de no tener : también se mueven a k postuladas p o r W . P a u l de conservación de energ detectar y esto se logró j E j e m p l o 1.4.
Dos partículas que viaja inelástica frontal. Una se y tienen la misma masa en términos de mo y c, de b) valor clásico de la can en reposo; ye) energía c En la ñgura 1.22 se mu Como la colisión es movimiento y la energía son:
m v 0A
1 2
A
L a s actuales discusiones
asignan a los neutrinos u n a
( c o m p a r a d a , por ejemplo, c o
1.5.
37
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
donde h es u n a constante, llamada constante de Planck, cuyo valor es igual a 6.627 x 1 0 " J-s. Puesto que el fotón es luz, se mueve a la velocidad de la luz las ecuaciones para la cantidad de m o v i m i e n t o y masa relativista (1.30 y 1.31) nos dicen que mo debe ser nula porque de lo contrario py m serían infinitas. Por lo tanto, estas ecuaciones no se pueden u t i l i z a r cuando la partícula considerada es u n fotón. Pero en la ecuación que relaciona energía t o t a l y cantidad de movimiento (1.40) no aparece explícitamente la velocidad p o r lo cual se puede usar con fotones. 3 4
Reemplazando mo = 0 en la ecuación mencionada se obtiene: (1.47)
E = pc
resultado que ha sido comprobado experimentalmente. Entonces, l a cantidad de m o v i m i e n t o de u n fotón se puede escribir como:
P
= *
= ^c
c
(1.48)
Además de los fotones existen otras partículas que tienen la m i s m a propiedad de no tener masa en r e p o s o . Son llamadas neutrinos y también se mueven a l a velocidad de la luz. Estas partículas fueron postuladas p o r W . P a u l i para explicar u n a aparente violación de la ley de conservación de energía en reacciones nucleares. Son m u y difíciles de detectar y esto se logró por p r i m e r a vez en 1956. 12
E j e m p l o 1.4. Dos partículas que viajan a gran velocidad van a realizar una colisión inelástica frontal. Una se mueve a una velocidad de 0,8c y la otra a 0,6c y tienen la misma masa en reposo, mo. Hallar las siguientes cantidades en términos de mo y c, después de la colisión: a) cantidad de movimiento; b) valor clásico de la cantidad de movimiento; c) energía total; d) masa en reposo; ye) energía cinética. En la fígura 1.22 se muestra el proceso de colisión. Como la colisión es inelástica, en ella se conservan la cantidad de movimiento y la energía total. Entonces las ecuaciones de conservación son: m y QA
A
V T ^ T ? 1 2
m v 0B
B
^ 1 - |/c2 V
_
M
o c
v
^
c
V i - v^/c
2
L a s actuales discusiones a c e r c a de las partículas elementales y l a cosmología le
asignan a los neutrinos u n a m a s a en reposo no nula, a u n cuando de m u y poco valor ( c o m p a r a d a , por ejemplo, con l a m a s a en reposo del electrón).
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
m c 0A
m c
2
0B
x/1 - v y c donde:
m
QA
= m
y/l - \ % / c
2
= mo; M
0B
2
= Mo; v
oc
A
2
_
Mc
~~ y/l
-v%/c
oc
2
2
= 0.8 c; v
B
= 0.6 c.
después
antes
F I G U R A 1.22. Colisión frontal de dos partículas.
a) De la ecuación
(1.49), la cantidad
de movimiento
después
de la
colisión es igual a: P = b) La cantidad p = p
A
0.8 cmo , = y/1 - 0.64
+p
de movimiento B
0.6 cmo 7 / — T^ 0 y/1 - 0.36 12 m
clásica es:
— mo v
= mo v
A
c
= mo(0.8c — 0.6 c) = 0.2 mo c
s
c) De la ecuación (1.50), Ja energía total después de la colisión „ E =
mnc
moc 35 = -\ = — mn c y/1 - 0.64 V I - 0.36 12 2
2
es:
9
d) Para determinar la masa en reposo después de la colisión, primero debemos encontrar su velocidad. De las ecuaciones (1.49) y (1.50) y las partes a) y b) tenemos que: E
Mc
p
M
oc
c
35 moc
v
7m c
2
o c
2
v
c
2
0
c
= 5c
de donde: c V
c
=
5
Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones (1.49) o (1.50), se obtiene para la masa en reposo después de la colisión: Mo =
mo
1.5.
39
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
e) La energía cinética después de la colisión se obtiene directamente a partir de su defínición y de los resultados anteriores: K = E - E
= E - Mc
0
0
=
2
(1.51)
mc 0
2
• E j e m p l o 1.5. L a vida media de un mesón \i en reposo es de 2.3 x 1 0 ~ s. Una medida de su tiempo de vida en el laboratorio da como resultado 6.9 x 1 0 s. a) ¿Cuál es la velocidad del mesón u- en el laboratorio?, b) Si la masa en reposo del mesón es igual a 207 m (m = masa en reposo del electrón), ¿cuál es su masa cuando se mueve a la velocidad calculada en la parte a)?, c) ¿Cuál es la cantidad de movimiento y la energía cinética del mesón ? 6
- 6
e
e
a) Los datos suministrados en el enunciado del problema son el tiempo propio de la partícula y el tiempo observado cuando está en movimiento con respecto al observador. Entonces, de la expresión para la dilatación del tiempo se tiene que su velocidad es: v = ~ \jAt Ai
2
b) Conocida
su velocidad,
= 0.942c
- At
2
su masa relativista
m m = — - = = = 0
m At — — = ozl m 0
e
yJ\-M ¡C 2
es:
At
2
0
Como pueden observar, no es indispensable conocer la velocidad de la partícula (en este caso particular) nar su masa relativista. c) La cantidad
de movimiento
explícitamente para determi-
y la energía cinética son
respectiva-
mente: p = —, y/l - v / c 2
= —
K = m c - m c 2
0
= 1.6 x 10 Aí
2
2
Kq — m/s
0
= (621 - 2 0 7 ) m c = 414 m c = 212 x 10 eV e
2
e
2
6
•
40
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
Preguntas 1. ¿Puede u n a partícula moverse a través de u n medio con u n a velocidad mayor que la de la luz en ese medio? E x p l i q u e . 2 . ¿Dos observadores, uno en el Polo Norte y el o t r o en el Polo Sur, estarán de acuerdo con respecto a la dirección hacia a r r i b a y hacia abajo? ¿Con cuál definición de estos términos estarán de acuerdo? 3. U n evento A precede a otro evento B en el mismo sistema de referencia inercial. E n o t r o sistema de referencia inercial: ¿A precederá a B1 ¿El intervalo de t i e m p o entre los eventos será el mismo? Explique sus respuestas. 4. De acuerdo con la teoría de l a r e l a t i v i d a d especial, ¿ t o d o es relat i v o o hay cosas invariantes p e r m i t i d a s p o r esta teoría? Esto es, ¿existen hechos que serán los mismos para cualquier observador inercial? 5. ¿Se puede sustituir simplemente mo por m en u n a ecuación clásica para obtener l a correspondiente ecuación relativista? Dé ejemplos. 6. ¿Es correcta la expresión F = ma en relatividad? Si no lo es, ¿en qué se diferencia de l a expresión clásica? 7. ¿Es correcto que u n a partícula que tiene energía, también debe tener cantidad de movimiento? ¿Qué pasa si su masa en reposo es nula? 8. Si los fotones tienen u n a velocidad c en u n marco de referencia inercial, ¿se puede hallar o t r o marco de referencia inercial en el cual estarán en reposo? 9. E x p l i q u e la diferencia entre masa variable en física clásica y la variación de masa en r e l a t i v i d a d . 10. U n a u n i d a d que se emplea en la r e l a t i v i d a d para la cantidad de m o v i m i e n t o lineal es MeV/c. Explique por qué y exprese lMeV/c en el sistema internacional de unidades.
Problemas 1. L a l o n g i t u d medida de una nave en m o v i m i e n t o es igual a la m i t a d de su l o n g i t u d propia, a) ¿Cuál es la velocidad de la nave relativa a u n observador en la tierra? b) ¿Cuál es la dilatación de la u n i d a d de t i e m p o de l a nave? R / : a ) = ( - s / 3 / 2 ) c ; b ) 2 í . 0
1.5.
DINÁMICA R E L A T I V I S T A
41
2. U n reloj que se mueve a l a velocidad c/2 indica t' = 0 cuando el reloj del observador en reposo i n d i c a t = 0. Usando las transformaciones de Lorentz, encuentre el t i e m p o indicado p o r el reloj en reposo cuando el reloj en m o v i m i e n t o indica t = 10 s. R / : 2 0 / \ / 3
i t=o i
F I G U R A 1.23. Problema 3.
3. U n a nave que en reposo mide 100 m , se mueve con respecto a la t i e r r a con u n a velocidad de 3 c / 5 . E n l a nave hay dos relojes sincronizados, como lo muestra la figura. U n observador en la t i e r r a también tiene u n reloj y en el momento que la parte delantera de l a nave cruza frente a él, t a n t o el reloj en la nave como el del observador i n d i c a n t = t = 0. B
c
a) E n el instante t = 0, ¿Qué t i e m p o marca el reloj que se encuent r a en la parte trasera de la nave? b) ¿Cuánto t i e m p o se requiere para que la parte trasera de la nave pase frente al observador? c) E n ese instante, ¿qué t i e m p o indicarán lo relojes en la nave?
..
/
•
F I G U R A 1.24. Cubo moviéndose respecto a el observador S. Problema 4.
4. U n cubo de lados a, 6, c, volumen Vó, masa en reposo mo, y densidad p = m o / V ó , se mueve hacia la derecha con velocidad v 0
42
CAPÍTULO 1. TEORÍA D E L A R E L A T I V I D A D E S P E C I A L
(ver figura 1.24). Para el observador en el sistema S, ¿cuáles son: a) el volumen; b) la masa; c) la densidad y d) la densidad si v < c. del cubo? R / : a) V y/l - v / c ; b) m /y/l - v / c ; c) Pbíl-v /^)- ;^^. 0
2
2
2
2
0
2
1
5. ¿Cuál es la velocidad de u n electrón cuya energía cinética es igual a su energía en reposo? R / : A / 3 - . 6. Dos partículas A y B, de masa en reposo mo y Mo respectivamente, se mueven con velocidades v = 3 c / 5 y v = 4 c / 5 en sentidos opuestos para realizar una colisión frontal completamente 9 inelástica. Exprese Mo en función de mo. R / : J ^ o B
A
m
7. U n a partícula de masa en reposo mo se mueve con velocidad de 0,6 c y va a realizar una colisión inelástica con o t r a partícula idéntica que se encuentra en reposo, a) ¿Cuál es la masa en reposo de la partícula resultante? b) ¿Cuál es su velocidad? v
R / : a) 2.1 m ; b ) | . 0
8. Dos partículas iguales de masa en reposo mo se mueven con velocidad de 0,6 c en sentidos opuestos para realizar u n a colisión f r o n t a l inelástica. L a partícula resultante tiene u n a masa en reposo M o Exprese Mo en función de mo- R / : 2.5mo9. U n mesón ir en reposo decae en u n n e u t r i n o (v) y u n mesón ¡i. Encuentre la energía cinética del neutrino y del mesón /¿. Masas en reposo de las partículas: m = 273 m ; m = 207 m ; mo = 0 ( m es l a masa en reposo del electrón) R / : = 4.07 MeV y K„ = 29.64 MeV. 0 7 r
e
e
0fi
e
v
Capítulo 2
Radiación del cuerpo negro 2.1
Espectro de la radiación electromagnética
Entre 1850 y 1870 J.Maxwell desarrolló la teoría electromagnética la que condujo a la predicción y posterior descubrimiento de las llamadas ondas electromagnéticas. A la emisión de esta clase de ondas se le da el nombre de radiación electromagnética. Una onda electromagnética se caracteriza por las vibraciones de su campo eléctrico E y su campo magnético B, que oscilan en planos mutuamente perpendiculares. La dirección de propagación, y por lo tanto su velocidad de propagación, es perpendicular a las direcciones de los dos campos, tal como se ilustra en la figura 2.1. É
ñ
t
2.1. Representación de una onda electromagnética donde É es el campo eléctrico, B es el campo magnético y ñ es la dirección de propagación.
FIGURA
Una característica espacial de la onda electromagnética es su longitud de onda A y su frecuencia de oscilación v. Como para las demás ondas, el producto de su frecuencia por su longitud de onda es igual a su velocidad de propagación, que para la onda electromagnética en el vacío es: \v = c 43
(2.1)
44
CAPÍTULO 2.
RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
donde c tiene el valor de 3 x 10 ™, lo que corresponde, nuevamente, a la velocidad de la luz en el vacío. Si se supone una onda electromagnética viajando en el vacío en la dirección x, se puede recurrir a la siguiente expresión general: 8
É
=
sen (kx
ÉQ
—
ujt +
(2.2)
4>)
con k = 2n/\, LÜ = Inu y <> / un ángulo de fase arbitrario. ÉQ representa la amplitud. Por consiguiente, la relación entre frecuencia y longitud de onda es inversa: a mayor frecuencia menor longitud de onda y viceversa. La longitud de onda (o frecuencia) de una onda electromagnética puede tomar cualquier valor dentro de un rango dado. A l conjunto de posibles valores de la longitud de onda (o frecuencia) llamamos espectro de la radiación electromagnética (figura 2.2). Con el nombre de espectro designamos, en general, la distribución de valores que puede tomar cualquier cantidad física.
is de radio microondas.
-v(s-l)
¡
< - A (m)
1
,3
_
FIGURA
1 0
0
io-
2
l
infrarrojo
ultravioleta.
¡
ícr
1 A - » 0 (m)
i
io-
4
8
!
rayos gamma
\v —> oo (s~l)
¡
1 1
1 1
rayos X
1 0
-io
1
lO"
1 2
2.2. Espectro de la radiación electromagnética (figura no hecha a escala).
Las ondas electromagnéticas más conocidas son las que ocupan una región muy pequeña del espectro, denominada región visible, que corresponde a las frecuencias (o longitudes de onda) que puede resolver el ojo humano y que llamamos colores. E l rango de valores de la longitud de onda en esta región va desde 7 x 1 0 m (rojo) hasta 4 x 1 0 m (violeta). Cuando vemos un arco iris estamos observando la parte visible del espectro electromagnético. A ambos lados de la región visible del espectro se encuentran otras regiones. A medida que la longitud de onda disminuye (A —> 0) encontramos primero la región ultravioleta, luego la región de los rayos X y finalmente la región de los rayos gama (7) cuya longitud de onda es del orden de 1 0 m. - 7
- 1 2
- 7
45
2.2. RADIACIÓN TÉRMICA
A la izquierda de la región visible (A —>• oo) se encuentra primero la región del infrarrojo, que se divide en tres subregiones: infrarrojo cercano, mediano y lejano; luego está la región de las microondas y al final del espectro está la región de las ondas de radio cuyas longitudes de onda son del orden de 10 m. En la figura 2.2 se muestran estas regiones o bandas como también suelen llamarse. En el espectro de las ondas electromagnéticas no es posible separar una región de otra. Por ejemplo, en el arco iris no podemos decir exactamente en qué punto termina un color y comienza el siguiente. Un espectro con esta característica se denomina espectro continuo; todos los valores de la cantidad física que se emplea para describir el espectro son posibles. Cada una de las regiones antes mencionadas tiene diferente origen y aplicabilidad. De acuerdo con la fuente que produce la radiación electromagnética, ésta tendrá una longitud de onda que se localizará en alguna de las regiones del espectro. 3
TABLA
ondas de radio
ti
2.1. Principales fuentes de radiación electromagnética microondas
infrarrojo
visible y U V
rayos X
rayos 7
transiciones
transiciones
cargas
electrónicas
electrónicas
bruscamente
de-
en
en
saccleradas.
(ra-
una cavidad.
moléculas
átomos.
osciladores
(klystron)
radiación
eléctricos
magnetrón
moléculas y átomos
osciladores d e electrones dentro
de
emitida
por
eléctricas
transiciones e n el núcleo 0
atómico
radiación
diación de frena-
tida
do).
atómicos.
emi-
p o r núcleos
transiciones electrónicas profundas.
En la tabla 2.1 se encuentran las principales fuentes de radiación electromagnética y la región en la cual se encontrará la radiación correspondiente. Finalmente, para terminar este breve repaso sobre la radiación electromagnética, hay que recordar que una onda electromagnética transporta energía y una medida de ésta es el denominado vector de Poynting. Además, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional a la amplitud de oscilación, como en cualquier movimiento ondulatorio.
2.2
Radiación térmica
E l análisis de la radiación térmica es uno de los temas importantes en la física ya que su estudio crítico llevó a la necesidad de postular nuevos
46
CAPITULO 2. RADIACION DEL CUERPO NEGRO
2-1
conceptos que a su vez abrieron el camino hacia la física moderna. Para comprender esta radiación se va a utilizar un ejemplo claro y sencillo. Consideremos una estufa eléctrica común: una resistencia por la que pasa una corriente cuya intensidad aumenta según la posición del interruptor (bajo, medio y alto). Sabemos que al pasar corriente por la resistencia se disipa en ella energía en forma de calor figura(2.3).
alto
En el primer pa»< pero esto se debe a i en la región del i i A l gráficar la cia para cada temf mostradas en la fig el color más intenso: experimento sólo instrumento adecuad»^ cuencias presentes, figura. Se puede concluir, ratura diferente de OJ se denomina radiaciómi Intensidad
FIGURA
2.3. Resistencia de una estufa eléctrica.
Cuando el interruptor se coloca en bajo, después de cierto tiempo se puede notar fácilmente que la resistencia se ha calentado; es decir, se encuentra a una temperatura que llamaremos T¡,. A l pasar el interruptor a la segunda posición (medio), se aumenta la corriente que pasa por la resistencia y se disipa más calor que en el caso anterior. Además, la resistencia toma un color rojizo. Entonces, la resistencia se encuentra a una temperatura T , T > T&, y hay emisión de luz en el rango visible. A l pasar a la última posición (alto), la corriente en la resistencia es todavía mayor y, por lo tanto, también lo es la cantidad de calor disipado. Ahora la resistencia se encuentra a una temperatura T , T > T > T j , y toma un color rojo amarillento que significa que la luz emitida es de mayor frecuencia que en los casos anteriores. Si la resistencia permitiera el paso de una corriente todavía mayor, sin quemarse, observaríamos que además de la disipación de calor la resistencia tomaría un color azuloso tendiendo a blanco. Resumiendo los resultados obtenidos en nuestro experimento, vemos que al aumentar la intensidad de la corriente que pasa por la resistencia aumenta la temperatura de la misma y la frecuencia de la luz a la cual se emite radiación. En realidad se esta emitiendo radiación cuya distribución es continua. La manifestación de lo "caliente" que se pone la resistencia de la estufa, es una clara demostración de emisión en el infrarrojo. También se encontrará emisión por encima del visible. Esto es, al calentar un cuerpo hay emisión de radiación electromagnética cuya frecuencia aumenta al aumentar la temperatura. m
FIGURA 2 . 4 - 1
m
a
a
m
2.3
Radiación
Durante la segunda radiación emitida por i de objetos que tienen b | cuando se encuentran i material que los cor la radiación térmica < El hombre puede ellos luz blanca, reflej blanca (radiación ele todas las frecuencias Entonces, un objeto se sobre él; se verá verde < a ese color; y cuando 1
1
C e r o grados K e l v i n o
2.3.
47
RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
En el primer paso de nuestro experimento no se ve emisión de luz: pero esto se debe a que la frecuencia de la radiación emitida se encuentra en la región del infrarrojo y no la podemos ver (pero si detectar). A l gráficar la intensidad de la luz emitida en función de la frecuencia para cada temperatura considerada, se obtienen curvas como las mostradas en la figura 2.4. Como el ojo humano discrimina solamente el color más intenso presente en una radiación de varios colores, en el experimento sólo vemos un color a una temperatura dada; pero con el instrumento adecuado se la puede descomponer en las diferentes frecuencias presentes, obteniéndose las curvas continuas mostradas en la figura. Se puede concluir, entonces, que los cuerpos materiales a una temperatura diferente de OK emiten ondas electromagnéticas. Tal emisión se denomina radiación térmica. 1
, Intensidad
v FIGURA
2.3
2.4. Curvas típicas de la radiación térmica.
Radiación del cuerpo negro
Durante la segunda mitad del siglo X I X , se estudió extensamente la radiación emitida por cuerpos calientes y para ello se utilizó cierta clase de objetos que tienen la propiedad de emitir la misma radiación térmica cuando se encuentran a la misma temperatura, independientemente del material que los compone. A estos objetos se llamó cuerpos negros y a la radiación térmica que emiten, radiación del cuerpo negro. El hombre puede ver el color de los objetos porque al incidir sobre ellos luz blanca, reflejan luz de cierta frecuencia. Recuerden que la luz blanca (radiación electromagnética visible) está compuesta por luz de todas las frecuencias posibles que van desde el rojo hasta el violeta. Entonces, un objeto se verá blanco cuando refleja toda la luz que incide sobre él; se verá verde cuando refleja luz cuya frecuencia corresponde a ese color; y cuando absorbe toda la luz que incide sobre él se verá ' C e r o grados K e l v i n o a l cero absoluto de l a t e m p e r a t u r a .
48
CAPÍTULO 2.
RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
negro. Un objeto que absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él es un "cuerpo negro". Así como un objeto blanco es un reflector perfecto de luz, un cuerpo negro es un absorbedor perfecto; pero también puede ser un emisor perfecto. Si en un cubo de cartulina blanca hacemos un pequeño orificio, éste se verá negro debido a que la radiación electromagnética que entra por él no puede volver a salir; pero el resto del cubo refleja toda la radiación que incide sobre él. Por lo tanto, tenemos al mismo tiempo un absorbedor perfecto (el pequeño orificio) y un reflector perfecto (el resto del cubo de cartulina) (figura 2.5a.).
h/ • *Z
a.
,„A
\
Absorbedor per-
fecto(pequeño
b.
A l incidir
radiación
orifi-
electromagnética el cuerpo
cio), reflector perfec-
se c o m p o r t a como u n cuer-
to(el resto del cubo
po negro.
c. C a l e n t a m i e n t o del cuerpo anterior.
de c a r t u l i n a ) .
FIGURA
2.5. Esquema de un reflector perfecto y un cuerpo negro.
Ahora consideremos un material cualquiera dentro del cual hay una cavidad conectada al exterior mediante un pequeño orificio, sobre el cual incide un haz de luz (figura 2.5b.). A l entrar la radiación en la cavidad, choca contra su pared y es en parte absorbido por la pared y en parte reflejado hacia otro punto de la cavidad donde nuevamente es en parte absorbido y en parte reflejado. Este proceso se repite hasta que toda la radiación es absorbida por el material. Entonces, el orificio se verá negro porque por el no sale radiación electromagnética, y por consiguiente, se comporta como un cuerpo negro. A l calentar este mismo material (figura 2.5c), la cavidad emitirá radiación electromagnética que saldrá por el orificio. Como este se comporta como un cuerpo negro la radiación que sale por él se denomina radiación del cuerpo negro. Necesariamente la cantidad de energía emitida en forma de radiación
49
2.3. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
electromagnética será igual a la cantidad de energía suministrada al calentar el material. En estas condiciones el sistema está en equilibrio térmico y la radiación emitida sólo dependerá de la temperatura del material. A l gráficar la densidad de energía (energía por unidad de volumen), g(v), en función de la frecuencia se obtienen las curvas típicas de la radiación térmica (figura 2.6).
Noten que a medida que aumenta la temperatura del cuerpo, el máximo de la densidad de energía va siendo mayor, tanto en el valor de la densidad de energía emitida, como en el valor de la frecuencia a la que ocurre el máximo. De los resultados experimentales se dedujeron tres leyes empíricas, que son las siguientes:
a) L e y de S t e f a n - B o l t z m a n n En 1878 J.Stefan y L.E. Boltzmann, a partir de las curvas experimentales del espectro de la radiación del cuerpo negro, establecieron la siguiente fórmula para calcular teóricamente la energía total radiada por un cuerpo negro,que se encuentra a la temperatura absoluta T , por unidad de área y tiempo: R=^-
A-t
= aT
A v
(2.3) '
donde o es la constante de Stefan-Boltzmann y su valor es igual a 5,67 x 1 0 Wtt/(m K ). La energía total radiada por unidad de área y tiempo para cada temperatura es simplemente el área debajo de las curvas correspondientes en la figura 2.6. Esta energía se denomina ra- 8
2
4
50
CAPÍTULO 2. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
diancia y su relación con la densidad de energía es: oo R
= l f
(2.4)
Q(v)dv o
b ) L e y d e l d e s p l a z a m i e n t o de W i e n Como se puede observar en la figura 2.6, a medida que aumenta la temperatura absoluta del cuerpo negro, el máximo de densidad de energía se va corriendo hacia frecuencias mayores. Esto es, la frecuencia para la cual la densidad de energía radiada es máxima, v , es proporcional a la temperatura absoluta T. Este resultado se conoce como la Ley del desplazamiento de Wien y generalmente se expresa en la siguiente forma: míx
^m& T = constante x
(2.5)
El valor de la constante se determina experimentalmente y es igual a 0,2898 x 10" mK. 2
c ) L e y de W i e n En 1893 W. Wien estableció la siguiente relación para calcular la densidad de energía radiada por un cuerpo negro en función de la frecuencia y a una temperatura dada: (2.6) donde c\ c% son dos constantes arbitrarias que se ajustan de tal manera que la curva teórica y la curva experimental coincidan lo mejor posible.
a. T o d o el rango de frecuencias.
FIGURA
b. B a j a s frecuencias.
2.7. Resultado teórico de Wien y curva experimental para la radiación del cuerpo negro.
2.3. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
51
Esta fórmula funciona bastante bien para frecuencias grandes; pero para frecuencias pequeñas la curva teórica se aleja de la curva experimental (figura 2.7b.). Como ya se dijo, las tres leyes anteriores fueron deducidas empíricamente aunque para la última se utilizaron algunos elementos de la termodinámica. Pero en 1899 por primera vez se trató de deducir las leyes que rigen el comportamiento de la radiación del cuerpo negro, a partir de las leyes físicas establecidas. d ) L e y de R a y l e i g h - J e a n s Para deducir la ley que rige el comportamiento de la radiación del cuerpo negro, J.W. Rayleigh y J.H. Jeans partieron de las siguientes consideraciones: 1. La física clásica debe poder describir teóricamente la distribución espectral emitida por un cuerpo negro. 2. E l cuerpo negro y la radiación que emite deben estar en equilibrio térmico. 3. A l calentar un cuerpo negro, los electrones de los átomos que lo constituyen, oscilan alrededor de su posición de equilibrio y, de acuerdo con la teoría electromagnética, estas cargas en movimiento emiten radiación electromagnética de igual frecuencia a la frecuencia de oscilación.
/ C u r v a teórica de Rayleigh-Jeans
FIGURA
2.8. Curva teórica de Rayleigh-Jeans y curva experimental para la radiación del cuerpo negro.
La ley clásica de la equiparticion de la energía dice que la energía promedio, e, de cada uno de estos osciladores, mencionados en el aparte 3, que se encuentran en equilibrio térmico dentro del cuerpo negro a una temperatura T , es igual a:
52
CAPÍTULO 2.
RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
e= kT
(2.7)
B
donde k es la constante de Boltzmann cuyo valor es 1.38xl0~ JK~ y T la temperatura absoluta del cuerpo negro. Haciendo un desarrollo matemático y teórico riguroso y teniendo en cuenta la equiparticion de la energía, Rayleigh y Jeans encontraron la siguiente relación para la densidad de energía radiada por un cuerpo negro: 23
B
(2.8)
Q{v) = %k Tv c B
l
2
ó
Como podemos ver fácilmente, la fórmula anterior conduce a un resultado absurdo para frecuencias grandes. Si la densidad de energía radiada fuera proporcional al cuadrado de la frecuencia a grandes valores de ésta, la densidad de energía sería gigantesca, lo que contradice la realidad, puesto que para v —> oo, se tiene g(u) —> 0. El resultado anterior se llama catástrofe del ultravioleta. Catástrofe, porque es físicamente imposible producir energías muy grandes a partir de un cuerpo negro, y del ultravioleta porque la ley de Rayleigh-Jeans falla en esa región del espectro electromagnético.
a. T o d o el rango de frecuencias. L a r e -
b.
gión 1 corresponde a b a j a s frecuencias,
cias.
P a r a b a j a s frecuen-
l a región 2 a l ultravioleta, y l a región 3 a altas frecuencias.
FIGURA
2.9. Resultados teóricos y curva experimental para la radiación del cuerpo negro.
Como lo muestra la figura 2.8, la curva teórica y la curva experimental sólo coinciden para valores pequeños de la frecuencia; por lo tanto sólo es válida para frecuencias pequeñas.
53
2.4. TEORÍA CUÁNTICA D E LA RADIACIÓN D E L CUERPO NEGRO
En la figura 2.9 se encuentran resumidos en forma gráfica los resultados teóricos que se tenían a fines del siglo X I X para la radiación del cuerpo negro.
2.4
Teoría cuántica de la radiación del cuerpo negro
En 1900 Max Planck solucionó la discrepancia que se presentaba entre la teoría y los resultados experimentales para la radiación del cuerpo negro. Para ello introdujo en la física un concepto completamente d i ferente; acepta la hipótesis de Rayleigh-Jeans de que los electrones se comportan como osciladores armónicos, pero no acepta el principio de la equiparticion de la energía para éstos osciladores, en términos de la temperatura. El nuevo concepto introducido por Planck consta de dos postulados: 1. La energía de un oscilador debe ser siempre un múltiplo entero de una mínima cantidad de energía e : 0
e = ne
n — 0, 1, 2 , . . .
0
2. Para osciladores de diferentes frecuencias e debe ser proporcional a la frecuencia de la radiación que emiten o absorben. 0
A partir de sus planteamientos Planck obtiene que la energía promedio de un oscilador está dada por la fórmula: (2.9)
e =
y la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro por la expresión: 8 7T v
e
0
2
=
—
e
e
0
/
k
B
T
_
( -
l
2
1 0
)
Comparando esta fórmula con la fórmula de la ley de Wien (que es la que más se aproxima a los resultados experimentales), sólo difieren en el factor —1 en el denominador. Si escogemos el valor de e /k T de manera que sea igual al argumento de la función exponencial en la fórmula de Wien, esto es civjT = e /k T, entonces: 0
0
B
B
e = hv Q
(2.11)
donde h es una constante, llamada constante de Planck, cuyo valor es 6,63 x 10~ J s . 34
54
CAPÍTULO 2. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
2.4. TEORÍA CUJÍ
Este resultado permite entender que la radiación emitida por un cuerpo negro a una temperatura T esta conformada por la emisión y absorción de energía de un ensamble grande de osciladores armónicos con frecuencias de oscilación que van desde valores muy pequeños (u —>• 0 ) hasta valores muy grandes. Cada oscilador posee una energía proporcional a su frecuencia de oscilación, el mínimo de^energía es hu y valores mayores sólo pueden ser múltiplos enteros (nhu) de este valor. A l reemplazar e por su expresión en la fórmula de Planck, la densidad de energía toma la forma:
de donde:
Como A u = c, teñe
0
8nh C
3
f>hv/k T B
_
(2.12)
l
La fórmula de Planck para la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro predice correctamente los resultados experimentales. Reproduce la ley de Rayleigh-Jeans para frecuencias pequeñas y la de Wien para frecuencias grandes. También puede reproducir las leyes de Stefan-Boltzmann y del desplazamiento de Wien. A l reemplazar e por hu en la ecuación ( 2 . 1 1 ) y considerando frecuencias pequeñas, se obtiene nuevamente la expresión clásica para la energía promedio de un oscilador. En la figura 2 . 1 0 se puede observar el comportamiento de la energía promedio en función de la frecuencia, desde el punto de vista clásico y de acuerdo con la teoría de Planck. 0
Clásico
Planck
V
FIGURA 2 . 1 0 .
Energía promedio en función de la frecuencia para un oscilador.
En ocasiones se necesita la densidad de energía para la radiación del cuerpo negro en función de la longitud de onda y no de la frecuencia. Para obtenerla se procede de la siguiente manera. Por definición: g{X)d X =
-g(u)du
y entonces:
(2.13)
Debe notarse que. no esto en la expresión factor adicional: c/A . La gran difere cuántico de Planck se encuentra en la Clásicamente un valor cero, mientras valores. En el primer posibles. En el algunos valores. Este Como consec éste solamente puede cantidad de energía denominada quan fotón. Aunque la energía hay una cantidad cualquier frecuencia, un cuerpo negro sea Volviendo a la ver un gráfico de eQa cada valor posible de podremos ver la los valores son de Planck) existe cuentran igualmente un estado energética conjunto de líneas se número entero n qae llama número cuá 1
2.4. TEORÍA CUÁNTICA D E LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
55
de donde: g(X) = Como A v — c, tenemos que: dv ~dX
c
(2.14)
y entonces: Q(X) = Q (¡V
(2.15)
Debe notarse que, no se puede hacer simplemente v = c/A, y reemplazar esto en la expresión para g(v) porque al cambiar de variable aparece un factor adicional: c/A . La gran diferencia entre los desarrollos clásico de Rayleigh-Jeans y cuántico de Planck para el problema de la radiación del cuerpo negro, se encuentra en la forma de considerar la energía de los osciladores. Clásicamente un oscilador puede tener cualquier energía a partir de un valor cero, mientras que de acuerdo con Planck sólo puede tener ciertos valores. En el primer caso la energía es continua: todos los valores son posibles. En el segundo caso, la energía es discreta: sólo son posibles algunos valores. Este resultado se denomina cuantización de la energía. Como consecuencia de la cuantización de la energía del oscilador, éste solamente puede emitir o absorber múltiplos enteros de la pequeña cantidad de energía h v, lo que representa una unidad básica de energía denominada quantum de energía, o paquete de energía o simplemente fotón. Aunque la energía de un oscilador es cuantizada, en el cuerpo negro hay una cantidad muy grande de osciladores que pueden oscilar con cualquier frecuencia. De ahí que el espectro de la radiación emitida por un cuerpo negro sea un espectro continuo. Volviendo a la energía de un oscilador, en la figura 2.11 se puede ver un gráfico de ella para los casos clásico y cuántico. A l representar cada valor posible de la energía mediante una línea, en el caso clásico no podremos ver la separación entre una línea y la siguiente ya que todos los valores son posibles (figura 2.11a.); en el caso cuántico (oscilador de Planck) existe una separación definida entre ellas y además, se encuentran igualmente espaciadas (figura 2.11b.). Cada línea representa un estado energético o nivel de energía permitido para el oscilador y el conjunto de líneas se denomina un diagrama de niveles de energía. E l número entero n que especifica la energía de un nivel determinado se llama número cuántico. 2
56
CAPÍTULO 2. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
e = n (hu) n
a. Clásico. FIGURA
n = 0, 1, 2,...
b. Cuántico.
2.11. Representación de la energía de un oscilador.
E l resultado obtenido en este numeral no tiene equivalente en la física clásica. Ahora, un oscilador (de Planck) que oscila con una frecuencia dada puede tener diferentes energías a partir de una energía mínima, pero siempre múltiplos enteros de la cantidad h i>. Hoy en día expresamos los postulados de Planck de la siguiente manera: 1. U n oscilador o cualquier sistema similar tiene un conjunto discreto de posibles valores para la energía. Valores de energía intermedios respecto a los permitidos, nunca ocurren. La energía está dada por la relación: e = n(hu) n
n = 0, 1, 2 , . . .
2. La emisión o absorción de radiación por un oscilador está asociada con transiciones o saltos entre niveles permitidos de energía. La cantidad de energía emitida o absorbida será un múltiplo entero de h u, donde v es la frecuencia de oscilación y, por consiguiente, la frecuencia de la radiación emitida. El postulado de Planck para la cuantización de la energía abrió la puerta a la física moderna, en particular a una teoría desarrollada 25 años más tarde: la mecánica cuántica. Además, sirvió para explicar otros resultados experimentales que no concordaban con lo predicho por la física clásica, como se verá en los próximos capítulos.
57
2.4. TEORÍA CUÁNTICA DE L A RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
Ejemplo 2.1. En nuestro mundo macroscópico es imposible percibir la cuantización de la energía. Veamos por qué. Consideremos un sistema formado por una masa y un resorte que oscilan armónicamente con una frecuencia de 0 . 5 s . Si la energía de este sistema está cuantizada, la energía de cada nivel permitido es E — nh v; y la diferencia de energía entre dos niveles consecutivos, n + 1 y n, será igual a: -1
n
E = E
n+1
- E = (n + l)hv - nhv = hv n
= 6.63 x 1 ( T
34
= 3.31 x 10~
34
x 0.5
Jss~
l
J
Esta cantidad de energía es demasiado pequeña para que podamos tectarla.
de•
Ejemplo 2.2.
a) ¿En cuánto disminuirá la masa del sol durante un año, a causa de la radiación electromagnética que emite? b) Suponiendo que la radiación del sol es constante, ¿cuánto tardará la masa del sol en reducirse a la mitad?
tiempo
La temperatura de la superficie del sol es de 5800 K; su masa de 1,97 x 10 kg y su radio de 6,95 x 10 m. 30
8
Solución a) E l sol puede considerarse bajo ciertas circunstancias como un cuerpo negro. Entonces de acuerdo con la ley de Stefan-Boltzmann de energía emitida por el sol es: E =
la cantidad
AtaT
4
donde A es el área de la superficie solar (4n R ) considerado (laño = 3,156 x 10 s). 2
7
y t el
tiempo
58
2.4. TEORIA C ü J
CAPITULO 2. RADIACION DEL CUERPO NEGRO
Pero sabemos por la teoría de la relatividad especial, que esta cantidad de energía es equivalente a cierta cantidad de masa: E/c . Por consiguiente, la cantidad de masa que pierde el sol al estar emitiendo energía será: 2
AtaT 5 c 4
m =
—
¿
Reemplazando los datos y efectuando los cálculos tes: m = 1.4 x 10
correspondien-
1. Demuestre que ¡ la fórmula de P l cuerpo negro Jeans. Muestre tambi a la ley de W i 2. A partir de la demuestre que laí
Kg
17
Problemas
b) A partir de la ley de Stefan-Boltzmann, también podemos encontrar cuánto tiempo se necesita para que la masa del sol se reduzca a la mitad.
Ayuda: usar el i
E l cambio en la masa es: Am = M
2
M =
2
A este cambio de masa le corresponde entonces: t
E
\M
un energía E =
Ame ; 2
Ame
2
AaT
A
AO-T*
Reemplazando datos y efectuando los cálculos t = 7.21 x
3. A partir de la demuestre que t a l energía es má
correspondientes:
I0 años 12
Preguntas 1. Muestre que la constante de Planck tiene unidades de momento angular. 2. ¿Cuál debería ser el valor de la constante de Planck para que se pudiera observar en nuestro mundo los efectos cuánticos? 3. ¿Qué es y qué dice la ley de la equiparticion de la energía? 4. Cuando un cuerpo se enfría, ¿qué ocurre con la longitud de onda correspondiente a la máxima energía emitida? 5. De acuerdo con los postulados de Planck, cuando un oscilador armónico emite o absorbe energía ¿qué ocurre?
donde x = hc/(X.i Muestre que si z •
Ayuda: el má primera derivada. cifras decimales:
4
4. Una superficie temperatura de térmica de 4 x superficie si fuera i de esta superfic misma temper 5. Se aumenta la i 3000 K. a) ¿Ci varió la longitud < R/: a) 81 veces:
59
2.4. TEORÍA CUÁNTICA DE L A RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
Problemas 1. Demuestre que para valores pequeños de la frecuencia (hu -C k T) la fórmula de Planck para la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro conduce a la expresión correspondiente de RayleighJeans. B
Muestre también que para valores grandes de la frecuencia conduce a la ley de Wien. 2. A partir de la fórmula de Planck para la densidad de energía, demuestre que la constante de Stefan-Boltzmann es igual a: 27T M 5
a = 15c h 2
B
3
Ayuda: usar el cambio de variable x = hu/k T B
y el resultado:
oo
3. A partir de la fórmula de Planck para la densidad de energía, demuestre que la longitud de onda para la cual la densidad de energía es máxima, está dada por la solución de la ecuación: l - - = e~ 5
x
donde x = hc/(Xk T). E l valor de x se determina gráficamente. Muestre que si x = 4.9651, la ley del desplazamiento de Wien es: B
A
m á x
T = 0.2898 x 10~ müT 2
Ayuda: el máximo de una función se obtiene igualando a cero su primera derivada. Consulte en una tabla los valores, con cuatro cifras decimales por lo menos, de las constantes involucradas. 4. Una superficie metálica de 10 cm de área, se encuentra a una temperatura de 2500 K y emite durante un minuto una energía térmica de 4 x 10 J . Encuentre: a) la energía emitida por la superficie si fuera un cuerpo negro, y b) la razón de la radiancia de esta superficie a la de un cuerpo negro de igual área y a la misma temperatura. R/: a) 1,33 x 1 0 J ; b) 30.2%. 2
4
5
5. Se aumenta la temperatura de un cuerpo negro desde 1000 K hasta 3000 K. a) ¿Cuántas veces aumentó su radiancia? b) ¿En cuánto varió la longitud de onda a la cual la energía emitida es máxima? R / : a) 81 veces; b) AA = 1.93/im.
60
CAPÍTULO 2. RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO
6. La potencia de la radiación de un cuerpo negro es de 10 kW. E n cuentre el área de la superficie de este cuerpo, si la longitud de onda a la cual la densidad de energía es máxima es de 7 x 10~ c m . R/: 6cm . 5
2
7. La temperatura de un cuerpo negro es de 2900 K. A l enfriarlo, la longitud de onda a la cual la densidad de energía radiada es máxima cambia en 9 x 10~ m. ¿Cuál es la temperatura final del cuerpo? R/:290iif. 6
8. Una esfera ennegrecida que está a una temperatura de 27°C, se enfría hasta alcanzar una temperatura de 20 °C. ¿En cuánto variará la longitud de onda a la cual la densidad de energía es máxima? R/: AA = 0,23/im. 9. Si solamente el 5% de la energía disipada por un bombillo es irradiada en forma de luz visible, ¿cuántos fotones por segundo son emitidos por un bombillo de 100 Wl Suponga que la longitud de onda de la luz es de 5600Á. R/: 14 x 10 . 18
Capítulo 3
Propiedades corpusculares de l a radiación 3.1 3.1.1
Efecto fotoeléctrico D e s c u b r i m i e n t o d e l efecto fotoeléctrico
Este, uno de los fenómenos más interesantes, y en cierta forma sencillo, es u n a manifestación del carácter corpuscular de la radiación electromagnética que se presenta cuando hay interacción entre la radiación y la materia. E l efecto fotoeléctrico fue descubierto por H . Hertz (el mismo que demostró l a existencia de las ondas electromagnéticas diferentes de l a luz visible), en el año de 1887 cuando realizaba ciertos experimentos con descargas eléctricas entre esferas conductoras para p r o d u c i r radiación electromagnética. Cuando dos esferas conductoras se cargan eléctricamente mediante u n a fuente de voltaje, se observa cierta distribución de carga alrededor de ellas (figura 3.1a.) de manera que a l irlas acercando u n a a la o t r a en u n m o m e n t o dado salta u n a chispa entre ellas. Es decir hay u n a emisión de radiación electromagnética con la consecuente descarga de las esferas (figura 3.1b.). D u r a n t e uno de estos experimentos, p o r accidente, una de las esferas fue i l u m i n a d a con luz u l t r a v i o l e t a y con gran sorpresa Hertz observó que l a chispa entre las esferas se producía con mayor facilidad (figura 3 . 1 c ) . Este efecto, indeseado para los experimentos que conducía Hertz en ese m o m e n t o , le impedía l a detección de las ondas electromagnéticas producidas. N o era necesario acercar t a n t o las esferas para que ocurriera la descarga eléctrica. Algún t i e m p o después se demostró que la luz facilitaba la descarga de las esferas haciendo que fueran emitidos electrones por la superficie conductora sobre l a cual incidía. 61
62
C A P Í T U L O 3. P R O P I E D A D E S C O R P U S C U L A R E S D E L A R A D I A C I Ó N
luz u l t r a v i o l e t a
a.
C-
F I G U R A 3.1. Representación esquemática del efecto fotoeléctrico.
L a emisión de electrones por efecto de l a radiación electromagnética sobre la m a t e r i a se denomina efecto fotoeléctrico y los electrones emitidos de esta manera se l l a m a n fotoelectrones. Se necesitó casi veinte años para recolectar una gran cantidad de resultados experimentales, que recopilaran completamente y sin n i n g u n a explicación teórica las características fundamentales de este efecto.
3.1.2
R e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a l e s d e l efecto fotoeléctrico
E n l a figura 3.2 se encuentra u n esquema del dispositivo experimental para el estudio del efecto fotoeléctrico. D e n t r o de u n recipiente de v i d r i o en el cual se ha hecho el vacío, se colocan u n a placa metálica M y u n a segunda placa C que hará de colector de partículas cargadas. Cuando u n haz monocromático de radiación electromagnética incide sobre l a placa M se produce desprendimiento de electrones de ella. Si existe u n a diferencia de p o t e n c i a l V entre el colector C y la placa M, siendo positivo el colector, los electrones serán acelerados hacia él y en el galvanómetro G se registrará el paso de u n a corriente, llamada fotocorriente (i). Pero si se aplica u n voltaje negativo a l colector, lo cual se consigue al conmutar el i n t e r r u p t o r que invierte la p o l a r i d a d de los electrodos, los fotoelectrones serán repelidos y únicamente llegarán a él aquellos cuya energía cinética sea mayor que eV. Y el galvanómetro registrará el paso de corriente. L a dirección de la fotocorriente, (i) en la figura 3.2, sigue la convención del movimiento de las cargas positivas. A u m e n t a n d o negativamente el potencial acelerador, llegará u n momento en que para
3.1. E F E C T O F O T O E L É C T R I C O
63
u n v o l t a j e —V los fotoelectrones ya no podrán alcanzar el colector y la fotocorriente será nula. Este voltaje se denomina contravoltaje o voltaje de frenado. 0
—
—
-AWvVW H ' h — F I G U R A 3.2. Esquema del arreglo experimental para observar un efecto fotoeléctrico.
C o n el arreglo experimental mostrado en l a figura 3.2 se pudo establecer una serie de hechos que veremos a continuación. a) De acuerdo con la clase de m a t e r i a l u t i l i z a d o para la placa M existe u n a frecuencia mínima i> de la radiación incidente, l l a m a da frecuencia umbral, para que se produzca el desprendimiento de electrones de esta placa. Dependiendo del m a t e r i a l de la placa M se necesitará que la radiación incidente tenga u n a frecuencia mínima p a r a que en el galvanómetro se observe el paso de corriente, hecho que i n d i c a que tiene lugar el efecto fotoeléctrico. Si la radiación incidente tiene u n a frecuencia menor que la frecuencia u m b r a l p a r a el m a t e r i a l dado, no habrá efecto fotoeléctrico. 0
A l graficar l a fotocorriente en función del voltaje acelerador (positivo o negativo) se obtienen las gráficas mostradas en la figura 3.3a. y 3.3b.. E n el p r i m e r caso la frecuencia de la radiación i n cidente se mantiene constante y se varía su intensidad I . E n el segundo caso, la intensidad de la radiación es constante y se varía su frecuencia. De estas gráficas se establecieron los siguientes hechos: b) A l incrementar el valor del potencial acelerador V, llega u n m o mento en que la fotocorriente alcanza u n valor constante que no
64
C A P Í T U L O 3. P R O P I E D A D E S C O R P U S C U L A R E S D E L A R A D I A C I Ó N
1
h
u II I
3
> I
2
I
> h l>2 >
V
a. Radiación incidente de frecuencia constante y diferentes intensidades I.
02
f1
'01
V
b. Radiación incidente de diferentes frecuencias pero igual intensidad.
F I G U R A 3.3. Fotocorriente en función del voltaje acelerador.
depende del potencial acelerador. Esta corriente es l a corriente de saturación para una intensidad dada de l a radiación incidente (figura 3.3a. y 3.3b.). c) L a fotocorriente de saturación es proporcional a l a intensidad de la radiación incidente; a mayor intensidad, mayor fotocorriente. E l contravoltaje, por o t r a parte, permanece constante, resultado que muestra que no depende de la intensidad de la radiación (figura 3.3a.). d) E l contravoltaje depende de la frecuencia de la radiación incidente: a mayor frecuencia, mayor es el contravoltaje necesario para que la fotocorriente sea n u l a (figura 3.3b.). A l graficar los contravoltajes en función de la frecuencia de la radiación incidente, para u n m a t e r i a l dado, se obtiene una línea recta. A l repetir el experimento para diferentes materiales de l a placa M se obtiene u n a serie de líneas rectas (figura 3.4), todas con la misma pendiente. L a ecuación de estas líneas es, por lo t a n t o : Vq I = a v + b
(3.1)
donde a es l a pendiente de las rectas y 6 u n parámetro que depende de cada m a t e r i a l como se puede ver de l a gráfica. E l p u n t o de corte de cada recta con el eje h o r i z o n t a l es el valor de la frecuencia u m b r a l para cada m a t e r i a l .
3.1.
65
EFECTO FOTOELÉCTRICO
F I G U R A 3.4. Dependencia del contravoltaje con la frecuencia para diferentes materiales.
Pero | V 1 es también la medida de la máxima energía cinética de los fotoelectrones emitidos puesto que, para este p o t e n c i a l el campo eléctrico entre los electrodos del t u b o es t a l que la fuerza que actúa sobre ellos ya no p e r m i t e que lleguen a l colector. 0
M u l t i p l i c a n d o la ecuación (3.1) p o r la carga del electrón obtenemos una ecuación para la energía cinética máxima de los fotoelectrones emitidos p o r u n m a t e r i a l M cuando sobre él incide u n a radiación electromagnética de frecuencia v, v > u : 0
K
mAx
= ^mv
2
= e\V \ Av + B 0
(3.2)
e) E l resultado obtenido en la ecuación (3.2) muestra que l a energía cinética máxima de los fotoelectrones no depende de l a intensidad de la radiación incidente.
3.1.3
Explicación clásica d e l efecto fotoeléctrico
Antes de ver qué puede o no puede explicar la física clásica, debemos f o r m u l a r u n modelo que muestre cómo es l a interacción de u n campo electromagnético con u n material. T a l modelo nos permitirá discernir de acuerdo con l a física clásica cuál es el mecanismo de l a interacción entre radiación electromagnética (que no es más que la manifestación o n d u l a t o r i a de u n campo eléctrico y u n campo magnético perpendiculares entre sí que oscilan) con las partículas cargadas del m a t e r i a l , en este caso electrones.
66
C A P Í T U L O 3. P R O P I E D A D E S C O R P U S C U L A R E S D E L A R A D I A C I Ó N
L a teoría ondulatoria requiere que el vector campo eléctrico de la radiación electromagnética aumente en a m p l i t u d a medida que aumenta la intensidad de la radiación y la relación entre estas cantidades es: /cx|4,|
(3.3)
2
donde E es la a m p l i t u d del campo eléctrico oscilante. L a experiencia diaria nos enseña que los electrones no se escapan del m a t e r i a l que los contiene. Esto es, si salen de él es porque o b t u v i e r o n , de alguna manera, la energía suficiente para hacerlo. Veamos que ocurre. A l i n c i d i r radiación electromagnética sobre u n electrón, la teoría electromagnética predice una interacción electrostática entre la carga del electrón y el campo oscilante, la cual se manifiesta por u n a fuerza que hace oscilar a l electrón alrededor de su posición de equilibrio, con u n a a m p l i t u d p r o p o r c i o n a l a la a m p l i t u d de la oscilación de la radiación incidente. 0
De esta manera el electrón adquiere la energía necesaria para liberarse. Si A es la a m p l i t u d de oscilación del electrón, entonces: e
A
e
oc | É | oc I ' 0
1
2
(3.4)
Como l a energía de u n oscilador es p r o p o r c i o n a l a l cuadrado de la a m p l i t u d de oscilación, tenemos que de acuerdo con la teoría clásica: K oc I
(3.5)
C o n lo expuesto anteriormente, podemos comprobar si los resultados experimentales confirman o no las predicciones de la física clásica. Inmediatamente vemos que l a física clásica no puede explicar los resultados d) y e) ya que clásicamente la energía cinética de los fotoelectrones depende de la intensidad de la radiación incidente y no de la frecuencia de l a misma. Los resultados b) y c) tampoco pueden ser explicados clásicamente. L a fotocorriente es una medida del número de fotoelectrones que por u n i d a d de t i e m p o llegan a l colector. Los resultados empíricos resumidos en c) muestran que la fotocorriente es p r o p o r c i o n a l a la intensidad de la radiación incidente, mientras que clásicamente el efecto de la intensidad de la radiación que incide sobre la placa metálica se manifiesta sobre la energía cinética de los fotoelectrones emitidos pero no sobre el número de ellos. E l mismo argumento puede emplearse para l a saturación de la fotocorriente (resultado 6), puesto que para voltajes aceleradores suficientemente grandes, el número de electrones eyectados p o r l a placa p o r u n i d a d de t i e m p o es constante para u n a intensidad dada de la radiación.
3.1.
67
EFECTO FOTOELÉCTRICO
E x p e r i m e n t a l m e n t e se evidencia, entonces, una relación entre el número de fotoelectrones con l a intensidad de l a radiación utilizada. E l resultado a) t a m p o c o tiene explicación clásica. Si la frecuencia de la radiación es pequeña, pero su a m p l i t u d de oscilación grande, después de u n t i e m p o determinado el electrón habrá a d q u i r i d o suficiente energía para liberarse. Por lo t a n t o , clásicamente el efecto fotoeléctrico puede o c u r r i r para cualquier frecuencia de la radiación incidente, siempre y cuando l a intensidad de l a m i s m a sea suficientemente grande. Finalmente, hay o t r o resultado experimental que no puede explicar la física clásica cual es l a emisión instantánea de fotoelectrones a l i n c i d i r radiación electromagnética sobre el material. Clásicamente debe transc u r r i r cierto intervalo de t i e m p o , medible, entre el instante en que incide la radiación sobre el m a t e r i a l y la emisión por éste de fotoelectrones. Debieron pasar casi 20 años antes que se pudiera explicar adecuadamente los resultados experimentales anteriores.
3.1.4
Explicación cuántica d e l efecto fotoeléctrico
E n 1905 A . E i n s t e i n logra explicar correctamente los resultados experimentales del efecto fotoeléctrico, a l proponer u n a idea completamente revolucionaria, pero sencilla, de cuál debe ser el c o m p o r t a m i e n t o de l a radiación electromagnética. E i n s t e i n adopta la hipótesis de Planck, enunciada para la radiación del cuerpo negro, y la generaliza a t o d a la radiación electromagnética. Supone que una radiación electromagnética de frecuencia v está constituida por pequeños paquetes de energía cada uno de los cuales porta un cuanto de energía (fotón) cuyo valor es proporcional a la frecuencia de la radiación. Por consiguiente, en el efecto fotoeléctrico tenemos u n proceso de colisión inelástica entre dos partículas, u n fotón y u n electrón, en el cual el fotón cede t o d a su energía a l electrón. Recuérdese que el electrón está ligado a l m a t e r i a l . Si el electrón absorbe u n fotón de energía hu, para poder desprenderse del m a t e r i a l debe superar u n a cierta cantidad de energía que lo mantiene ligado a él, denominada función de trabajo . Esta cantidad es p r o p i a de cada m a t e r i a l . Entonces, por simples argumentos de conservación de la energía, la máxima energía cinética que puede tener u n electrón a l salir del m a t e r i a l será: 0
K
mix
= hv-
0
(3.6)
C o m p a r a n d o las ecuaciones 3.2 y 3.6 se observa que la constante A es igual a la constante de Planck y la constante B es igual a la función
68
C A P Í T U L O 3. P R O P I E D A D E S C O R P U S C U L A R E S D E L A R A D I A C I Ó N
de t r a b a j o del material. A u n q u e la constante de Planck aparece p o r p r i m e r a vez para la radiación del cuerpo negro, es mediante u n experimento de efecto fotoeléctrico que se determina su valor. C o n la hipótesis cuántica para la radiación electromagnética se asegura que la intensidad de la radiación será mayor cuanto mayor sea el número de fotones por unidad de volumen que contenga. Así se entiende por qué. cuando la intensidad de la radiación a u m e n t a , es mayor la emisión de fotoelectrones y por lo t a n t o , l a corriente fotoeléctrica (resultado c). Cuando p o r efecto de intercambios energéticos entre u n fotón y u n electrón ligado a l material, éste logra desprenderse de la superficie pero queda en reposo (energía cinética nula), el fotón le habrá suministrado una cantidad de energía igual a l a función de t r a b a j o del m a t e r i a l . Por consiguiente, el fotón tenía una energía mínima: hv
0
= (j)
0
donde u se debe haber reconocido como la frecuencia a). 0
(3.7) umbral (resultado
Esta hipótesis también explica la no existencia de u n intervalo de t i e m p o entre la llegada de l a radiación sobre el m a t e r i a l y la emisión de fotoelectrones, ya que el proceso es simplemente u n a colisión entre dos partículas como ya habíamos dicho: el fotón choca c o n t r a el electrón y lo saca del material, siempre y cuando su energía sea suficiente para que se produzca su emisión. L a generalización de los postulados de Planck a t o d a l a radiación electromagnética hecha por Einstein logró explicar correctamente los resultados experimentales del efecto fotoeléctrico y sentó las bases f u n damentales de la física moderna: La radiación electromagnética manifiesta propiedades corpusculares en donde la energía está cuantizada. Cada cuanto de energía se llama fotón y porta una cantidad de energía igual a hu donde v es la frecuencia del campo electromagnético oscilante. E j e m p l o 3.1. Una lámina de potasio se encuentra a 3 m de un fuente de luz cuya potencia es de 1 W . Si suponemos que un electrón del metal puede tomar su energía de un área circular alrededor de él, de 0.5 x 1 0 ~ m de radio (radio atómico), desde el punto de vista clásico ¿cuánto tiempo necesitará para absorber la energía suficiente que le permita liberarse? Para sacar un electrón del potasio se necesita una cantidad de energía igual a 1.8 eV. 1 0
3.1.
69
EFECTO FOTOELÉCTRICO
F I G U R A 3.5. Lámina de potasio irradiada por una fuente de luz.
Solución La fuente irradia uniformemente intensidad
en todas direcciones sobre el frente
y la energía que emite se
esférico de la onda.
Por consiguiente,
de la radiación que incide sobre la lámina de potasio _ potencia
de la fuente
_
área
P¡ 2
esférica que rodea a la fuente. de donde el electrón toma la
= I x área que rodea al electrón = Inr
e
la
es:
An R
donde el área considerada es la superficie La potencia que llega a la superficie energía que necesita para liberarse es: P
distribuye
=
2
AR
2
Conocida la cantidad de energía por unidad de tiempo que llega al electrón y la cantidad de energía que debe acumular para liberarse (E), el tiempo que necesitará para ello será: _
Reemplazando
E_ _
AER
Pe
PfT
datos y efectuando
2
2
las operaciones
se
obtiene:
t « 67 minutos
Ejemplo
3.2.
E l contravoltaje en un efecto fotoeléctrico, para una superficie iluminada con luz de longitud de onda de 4910 Á, es de 0.71 V. Cuando se cambia
70
C A P Í T U L O 3.
PROPIEDADES CORPUSCULARES
DE LA RADIACIÓN
pasa a 1.43 V. ¿Cuál es la nueva
la luz incidente el contravoltaje de onda de la luz incidente?
longitud
Solución La relación entre el contravoltaje IT/
I
y la longitud
A
k C
IT/
de onda en cada caso es: I
k C
e | V
A
\ — ~ A A¡ siendo la función de trabajo la misma en ambos casos. De este par ecuaciones se obtiene que: oi
0
{
de
«(|V„|-|V.|)=»c(i-i) de
donde:
1
e (| V
0
/
|-
¡V
0 ¿
|) +
/ÍC/A,
La constante he es aproximadamente igual 12430 eV-Á. Debe recordarse que para el electrón, su energía en electrón-voltios es numéricamente igual al potencial que lo acelera (definición de la unidad de electrónvoltio). Reemplazando datos y efectuando las operaciones necesarias el resultado es: X = 3823 i f
• 3.1.5
N o t a s adicionales sobre el efecto fotoeléctrico
E n el desarrollo anteriormente realizado sobre el efecto fotoeléctrico hay algunas consideraciones de orden teórico y experimental que es necesario aclarar. Debido a la complejidad del tema, aquí solamente daremos u n a idea general acerca de ellas. a) Energía necesaria
para liberar un electrón del
material
Como es bien sabido, todos los materiales están constituidos de átomos y dependiendo del t i p o que tengan se caracteriza el m a t e r i a l . Por ejemplo, el cobre está formado por átomos de cobre que se encuentran colocados en sitios m u y precisos en el m e t a l , formando lo que se denomina una estructura cristalina. Teniendo
3.1. E F E C T O F O T O E L É C T R I C O
71
en cuenta que los electrones están ligados a los núcleos atómicos, examinaremos el proceso para que uno de ellos se libere del material. Cuando u n fotón incide sobre el material, le cede a u n electrón la energía necesaria para vencer la atracción que sobre él ejerce el núcleo y además, salir a la superficie del m a t e r i a l a través de los demás átomos distribuidos espacialmente en él. L a p r i m e r a energía se l l a m a energía de ionización y la segunda es propiamente la función de trabajo. Cuando el m a t e r i a l es conductor de la corriente eléctrica, existe u n a gran cantidad de electrones m u y débilmente ligados a los núcleos atómicos y por ello son buenos conductores. Si este es el caso, el fotón incidente cede energía a l menos en cantidad igual a la función de t r a b a j o . Esta última consideración fue la desarrollada en el t e x t o . b) Potencial
de
contacto
C u a n d o dos materiales se j u n t a n o se ponen en contacto el uno cerca a l o t r o , se establece una diferencia de potencial entre ellos l l a m a d a potencial de contacto, cuyo valor puede estar comprendido entre cero y diez voltios aproximadamente. U n a característica fundamental de t o d o m a t e r i a l es la llamada energía de Fermi. Cuando dos materiales de diferente energía de F e r m i están próximos se crea u n potencial de contacto. Si no se tiene en cuenta este potencial se estará introduciendo u n error sistemático en la medición de la energía máxima de los fotoelectrones. Sin embargo, cuando los materiales de los electrodos (placa M y C en la figura 3.2) son de la m i s m a substancia, obviamente tendrán la m i s m a energía de f e r m i y no habrá potencial de contacto. Esta suposición se t u v o en cuenta implícitamente a través de t o d o el desarrollo en el texto. c)
Fotocorriente L a fotocorriente p r o d u c i d a en u n efecto fotoeléctrico es del orden de 1 0 v 4 , lo cual es u n a cantidad m u y pequeña y p o r lo t a n t o difícil de m e d i r desde el p u n t o de vista experimental. Entonces, se introduce u n amplificador de corrientes que p e r m i t e hacer m e d i ciones proporcionales a u n factor de 10 , por ejemplo. E n la figura 3.2 estamos suponiendo que en el galvanómetro hay u n a m p l i f i cador de corriente. _ 1 0
6
72
CAPITULO 3. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACION
3.2
Efecto Compton
3.2.1
D e s c u b r i m i e n t o d e l efecto C o m p t o n
A pesar del éxito de la teoría corpuscular de la radiación para explicar el efecto fotoeléctrico, todavía se d u d a b a de su generalidad como para ser considerada como u n a descripción cierta para las ondas electromagnéticas. Además, entre los científicos que no la aceptaban del t o d o se encontraba Planck, su iniciador. E n 1923 A . H . C o m p t o n observó u n nuevo fenómeno que v i n o a ser la prueba definitiva para la confirmación experimental de l a naturaleza corpuscular de la radiación electromagnética; por ello se conoce como efecto Compton.
~~ ^
* \r
Rayo X dispersado^-»
x
\
Fuente de rayos X Colimador
F I G U R A 3.7. Corrimient
F I G U R A 3.6. Esquema del dispositivo experimental para observar el efecto Compton.
E l experimento realizado por C o m p t o n fue el siguiente: hizo i n c i d i r u n haz de rayos X monocromáticos (radiación electromagnética de gran energía y u n a sola frecuencia) sobre u n blanco de grafito donde era dispersado por él a diferentes ángulos con respecto a su dirección incidente (figura 3.6) . D e l experimento se o b t u v i e r o n los siguientes resultados: 1
a) A pesar de que el haz incidente era monocromático, el haz dispersado presenta dos longitudes de onda (o frecuencias): l a o r i g i n a l ( A ) y o t r a mayor (A) en la cantidad A A = A — A , l l a m a d a corrimiento de Compton. 0
0
E 1 colimador, en la figura 3.6, garantiza la selección de la dirección del haz de rayos X incidente en el blanco. 1
3.2. EFECTO COMPTON
73
intensidad relativa
A
0
A
F I G U R A 3.7. Corrimiento de Compton para diferentes ángulos de dispersión.
b) E l corrimiento de C o m p t o n , A A , crece hasta u n valor máximo para luego d i s m i n u i r a medida que el ángulo de dispersión ( en la figura 3.6) aumenta. Es decir, la l o n g i t u d de onda de l a onda dispersada depende del ángulo de dispersión. Este resultado se cumple para cualquier m a t e r i a l dispersor. Esto es, la l o n g i t u d de onda de l a onda dispersada no depende del m a t e r i a l usado como blanco. Los resultados anteriores se encuentran representados en la figura 3.7. L a presencia de la segunda l o n g i t u d de onda, mayor que la i n i c i a l , en el haz de rayos X dispersados, no se puede explicar a p a r t i r de l a teoría clásica. E n el n u m e r a l anterior vimos que u n modelo que de la interacción radiación-materia es poner a oscilar los electrones del m a t e r i a l con la
74
C A P Í T U L O 3. P R O P I E D A D E S C O R P U S C U L A R E S D E L A R A D I A C I Ó N
m i s m a frecuencia de la radiación y u n a a m p l i t u d p r o p o r c i o n a l a l a a m p l i t u d de la radiación incidente. Como l a partícula que oscila tiene carga eléctrica, la teoría electromagnética nos dice que debe e m i t i r radiación electromagnética de i g u a l frecuencia a la de su oscilación. Por consiguiente, la l o n g i t u d de onda (o la frecuencia) del haz dispersado por el m a t e r i a l debe ser la m i s m a que la del haz incidente, y no mayor como se observa en el efecto C o m p t o n .
3.2.2
Teoría cuántica del efecto C o m p t o n
Desde el p u n t o de vista de la teoría corpuscular de la radiación electromagnética, los rayos X son fotones de energía hv y cantidad de m o v i miento hu/c. Por lo tanto, a l incidir los fotones sobre el m a t e r i a l blanco se realizan colisiones entre estos y los electrones. Como consecuencia el fotón cede parte de su energía y emerge con una energía menor, o sea, una l o n g i t u d de onda mayor. (¿Qué clase de colisión t u v o lugar?) Como la l o n g i t u d de onda del fotón dispersado no depende del m a terial utilizado como blanco, C o m p t o n supuso que la colisión tenía lugar entre u n fotón y u n solo electrón libre y en reposo. Esta suposición es aceptable porque la energía de u n fotón de rayos X es considerablemente mayor que la energía que mantiene unido u n electrón a l m a t e r i a l .
hu \/\/\^r hv /c 0
r
0
m p= 0 0
P 5
¿0
E = E + K a
F I G U R A 3.8. Esquema de la colisión entre un fotón y un electrón. hv y hv son respectivamente la energía inicial y final del fotón; m es la masa en reposo del electrón, p su cantidad de movimiento y K su energía cinética; 9 y representan los ángulos de dispersión, para el electrón y el fotón, respectivamente. 0
0
Consideremos entonces u n a colisión entre u n fotón y u n electrón libre inicialmente en reposo. Nuestro o b j e t i v o es obtener u n a expresión que
3.2. EFECTO COMPTON
p e r m i t a calcular teóricamente el corrimiento de C o m p t o n y así comprobar si l a hipótesis cuántica de l a radiación electromagnética es correcta, al confrontar lo que predice la teoría cuántica con los resultados experimentales. E n l a figura 3.8 se encuentra el diagrama correspondiente. Por las leyes de conservación de la cantidad de movimiento y la energía t o t a l , tenemos que:
53 = ^ c c hv + m c 0
0
2
+ ^
(3.8)
(3.9)
= hv + m c
2
donde v es la frecuencia de los rayos X incidentes y v l a frecuencia de los rayos X dispersados; m es la masa en reposo del electrón y m su masa relativista después de la colisión, durante la cual adquirió u n a velocidad v. E n l a figura 3.9 se encuentra el diagrama vectorial para la conservación de l a cantidad de m o v i m i e n t o (ecuación (3.8)). 0
0
F I G U R A 3.9. Diagrama vectorial para el análisis de la conservación de la cantidad de movimiento.
De acuerdo con el diagrama de la figura 3.9, y considerando el triángulo OAB
tenemos que: ( ^ O ) , (hv) — + c c
/ N2 (mv)=-
hv hv
2
2
2
n
0
2
cos^
(3.10)
eos <¡>
(3.11)
c e
2
o, lo que es lo mismo: mVc
2
= hv 2
20
+ hv 2
2
- 2h v v 2
0
Elevando a l cuadrado l a ecuación (3.9): m V = h v\ h v 2
2
2
- 2h v v 2
0
+ my
+ 2hm c (v 0
2
0
- v)
(3.12)
76
CAPÍTULO 3. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACIÓN
Restando de la ecuación (3.12), l a ecuación (3.11) es más fácil:
m V
(1- — J= c
m
y
- eos 0) + 2hm c {u
- 2h v v(l 2
0
o
2
0
- v)
(3.13)
,
Pero el término de la izquierda de la ecuación anterior no es más que ( m c ) ; entonces: 0
2
2
c(u
0
— v) = —— v v(\ eos 0) m c 0
0
o su equivalente: - - — = — (i -cos^) v u mc 0
(3.14)
0
Como cjv = A y c/v — A„, la ecuación anterior es también: 0
AA = A - A
0
= —(l-cos) mc
(3.15)
0
L a cantidad h/m c, que tiene dimensiones de l o n g i t u d , es u n a constante denominada longitud de onda de Compton, A , que para el electrón es igual a 0.02424 Á. 0
c
L a ecuación (3.15) p e r m i t e calcular teóricamente el corrimiento de C o m p t o n y muestra que efectivamente A A depende solamente del ángulo de dispersión (j>. Además, muestra que el corrimiento de C o m p t o n a u menta con el ángulo de dispersión hasta alcanzar u n máximo valor para
hv -hv 0
= K
(3.16)
Esto es, la energía p e r d i d a por el fotón durante la colisión se transforma en energía cinética del electrón. E n 1927 se comprobó experimentalmente el valor de la energía c i nética del electrón en m o v i m i e n t o p o r efecto C o m p t o n , el cual se había deducido teóricamente usando la expresión (3.16). Los resultados anteriores que explican correctamente los resultados experimentales del efecto C o m p t o n , y a su vez son u n a comprobación de la naturaleza corpuscular de l a radiación electromagnética, no dicen,
77
3.2. EFECTO COMPTON
sin embargo, p o r qué se detecta en el haz dispersado la l o n g i t u d de onda del haz incidente. E n términos sencillos, la explicación es l a siguiente: si el fotón choca contra u n electrón m u y ligado a l núcleo éste ya no es libre y el p r o ceso de colisión ocurre más bien con el átomo. Pero en este caso l a masa involucrada es mucho más grande y el corrimiento de C o m p t o n es prácticamente nulo; por lo t a n t o el fotón dispersado emerge con la mism a l o n g i t u d de onda que antes de la colisión. E l proceso en el cual los fotones son dispersados sin que se altere su l o n g i t u d de onda se conoce como dispersión de Thomson, quien desarrolló la teoría clásica de la dispersión de los rayos X por átomos y donde se presenta este hecho. L a dispersión de T h o m s o n es u n caso en que la teoría clásica y la teoría cuántica conducen a l mismo resultado.
E j e m p l o 3.3. Cuando un fotón de longitud de onda A = 0.024 Á incide sobre blanco, el fotón dispersado se detecta para un ángulo de dispersión 60°. Encuentre: 0
a) La longitud
de onda del fotón
b) La energía cinética del
un de
dispersado.
electrón.
c) Si el blanco es un átomo de carbono, corrimiento de Compton.
( C ; m = 2 x 10 1 2
6
- 2 6
kg), el
Solución a) De la ecuación
(3.15) tenemos
que:
A A = 0 . 0 2 4 1 ( 1 - eos 60°) = 0.012 i y la longitud
de onda del fotón dispersado
será:
A = A A + A = 0.012 Á + 0.024 A = 0.036 i 0
b) La energía relación:
cinética
adquirida
K — h(u — v) = he 0
por el electrón
está dada por
JL _ I
A- A
A ~ A 0
K = 0.172 x 10" eV
he
( AA ) 0
0
la
r
78
CAPÍTULO 3. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE LA RADIACIÓN
c) Si el blanco es un átomo de carbono, la longitud
de onda de
Comp-
6.63 x 1CT
h mc c
y el corrimiento
9. Cuando se dice i afirmando que:
ton en este caso es:
2 x 10Compton
34
J-s
x 3 x 10
2 6
8
Kg-m/s
= 11.04 x 1 0 "
1 7
(a) Contiene un |
m
(b) V i a j a con (c) Su l o n g i t u d <
será igual a:
(d) Su frecuenc A A = A / ( 1 - eos60°) = \ > = 5.52 x 10~ Á c
Comparando los resultados rrimiento de Compton para lo tanto, en general, cuando átomos podemos considerar
7
c
obtenidos en las partes a) ye), el coesta última es 10 veces menor. Por el proceso tiene lugar entre fotones y nulo el corrimiento de Compton.
10. ¿Cuál es l a diré con la máxima fotón incidente?
5
•
11. ¿Esperaría usted blancos cuyos j o número atór (bajo [alto] n i al p r i n c i p i o [fináis l
Preguntas 1. ¿Por qué la fotocorriente es p r o p o r c i o n a l a la intensidad de la radiación electromagnética aún desde el p u n t o de vista clásico? 2. E n el efecto fotoeléctrico, a l incidir radiación electromagnética sobre u n electrón ¿con qué frecuencia oscilará? 3. ¿Que representa la función de trabajo? 4. ¿Es posible que p o r medio de u n efecto fotoeléctrico u n electrón quede en reposo sobre la superficie del metal? E x p l i q u e . 5. ¿ C ó m o es la relación entre l a frecuencia u m b r a l y la función de trabajo? ¿Cree usted que se está haciendo u n a pregunta lógica y bien relacionada? 6. Según l a teoría cuántica del efecto fotoeléctrico, cómo se explica: a) la frecuencia u m b r a l ; b) l a independencia de l a máxima energía cinética respecto a la intensidad de la radiación incidente; c) l a intensidad de la radiación incidente. 7. Si el electrón no estuviese ligado a l m a t e r i a l , ¿se daría el efecto fotoeléctrico? E x p l i q u e . 8. Según la teoría cuántica de la radiación electromagnética, ¿ c ó m o es u n a luz más o menos intensa?
12. ¿Por qué en el del blanco? Ri
Problemas 1. Determine: a) la< m o v i m i e n t o de 0.016 Á. R / : a) 1 . 2. E l u m b r a l fotc Encuentre: (a) E l t r a b a j o (b) la máxima de l o n g i t u d (c) la energía < R / : a) 4.52 eV: b»! 3. A l producirse < sultó ser de 0.8 V . (a) L a l o n g i t u d < (b) L a l o n g i t u d i efecto fot del p l a t i n o »
1
79
3.2. EFECTO COMPTON
9. Cuando se dice que una radiación es altamente energética, se está afirmando que: (a) Contiene u n gran número de fotones p o r unidad de volumen. (b) V i a j a con mayor velocidad que la de la luz. (c) Su l o n g i t u d de onda es grande. (d) Su frecuencia es m u y grande. 10. ¿Cuál es la dirección de u n electrón dispersado por efecto C o m p t o n con l a máxima energía cinética, comparada con la dirección del fotón incidente? 11. ¿Esperaría usted observar efecto C o m p t o n más fácilmente con blancos cuyos átomos tienen a) alto número atómico? o b) baj o número atómico? (bajo [alto] número atómico significa que los átomos se encuentran al p r i n c i p i o [final] de la t a b l a periódica ) . 12. ¿Por qué en el efecto C o m p t o n , A A es independiente del m a t e r i a l del blanco? E x p l i q u e .
Problemas 1. Determine: a) la energía; b) la masa relativista y c) la cantidad de m o v i m i e n t o de u n fotón, sabiendo que su l o n g i t u d de onda es de 0.016 Á. R / a) 1.24 x 1 0 " J ; b) 1.3 x 1 0 " kg; c) 4 x 1 0 " k g - m / s . :
1 3
30
2 2
2. E l u m b r a l fotoeléctrico característico de cierto m e t a l es de 2750 Á. Encuentre: (a) E l t r a b a j o necesario para extraer u n electrón del metal; (b) la máxima velocidad de los fotoelectrones liberados por luz de l o n g i t u d de onda de 1800 Á; (c) l a energía cinética máxima de los fotoelectrones. R / : a) 4.52 eV; b) 9.15 x Wm/s;
c) 2.38 eV.
3. A l producirse efecto fotoeléctrico con p l a t i n o , el contravoltaje resultó ser de 0.8 V. Encuentre: (a) L a l o n g i t u d de onda de la radiación utilizada. (b) L a l o n g i t u d de onda máxima con la cual se puede conseguir efecto fotoeléctrico con este material. L a función de t r a b a j o del p l a t i n o es de 5.3 eV.
80
CAPÍTULO 3. PROPIEDADES CORPUSCULARES DE L A RADIACIÓN
R / : a) 2038 Á; b) 2345 Á. 4. Fotones de 4.9 eV de energía liberan electrones de u n m e t a l realizando u n t r a b a j o de 4.5 eV. Encuentre l a máxima cantidad de m o v i m i e n t o que se t r a n s m i t e a l a superficie del m e t a l cada vez que se desprende u n electrón. R / : 3.41 x 1 0 ~ k g - m / s . 25
5. L a l o n g i t u d de onda u m b r a l para la emisión fotoeléctrica en tungsteno es de 2300 Á . ¿Cuál debe ser la l o n g i t u d de onda de l a r a diación incidente para que los fotoelectrones tengan u n a energía cinética máxima de 1.5 eV? R / : 1801 Á. 6. Cuando se i l u m i n a u n a superficie metálica con radiación de diferentes longitudes de onda, los contravoltajes de los fotoelectrones emitidos son los siguientes: A(10- m)
3.66
4.05
4.36
4.92
5.46
5.79
1 Vq | (volt)
1.48
1.15
0.93
0.62
0.36
0.24
7
Haga u n a gráfica del voltaje en función de la frecuencia y a p a r t i r de ella encuentre: (a) L a frecuencia u m b r a l ; (b) l a función de t r a b a j o del material; (c) la razón h/e; (d) el valor de la constante de Planck. 7. U n a celda fotoeléctrica tiene el cátodo de wolframio (placa M en la figura 3.2) y el colector de plata, de manera que entre ellos existe u n potencial de contacto de 0.6 V. Si la celda fotoeléctrica se i l u m i n a con radiación de l o n g i t u d de onda igual a 2.3 x 1 0 " m : 7
(a) ¿Qué contravoltaje habrá que aplicar entre los electrodos para que la fotocorriente sea nula? (b) ¿Cuál será l a velocidad de los fotoelectrones emitidos si entre los electrodos no se aplica una diferencia de p o t e n c i a l externa? (c) Si entre los electrodos se aplica u n contravoltaje de 1 V, ¿qué l o n g i t u d de onda debe tener la radiación incidente para que comience a producirse efecto fotoeléctrico? L a función de t r a b a j o del wolframio es 4.5 eV. Ayuda:
consulte el numeral 3.1.5.
R / : a) 1.5 V ; b) 7.26 x 10 f; 5
c) 2537Á.
3.2. EFECTO COMPTON
SI
8. U n rayo X de l o n g i t u d de onda de 0.708 Á experimenta dispersión de C o m p t o n en parafina. ¿Cuál será l a l o n g i t u d de onda del rayo X dispersado cuando el ángulo de dispersión es de: a) 90° y b) 180°? R / : a) 0.732 A ; b) 0.756 Á. 9. ¿Cuál es l a l o n g i t u d de onda de u n rayo X que incide sobre grafito, si después de ser dispersado con u n ángulo de 60° la l o n g i t u d de onda del rayo resultó ser de 2.54 x 1 0 10.
- 9
cm? R / : 0.242 Á.
(a) M u e s t r e que la energía cinética del electrón dispersado en u n efecto C o m p t o n , en función de la energía de l a radiación i n c i dente y de su ángulo de dispersión, está dada p o r l a expresión: — eos )
a(l
K = hv
0
1 + a(l — eos 4>)
donde: hv
0
a =
mc 0
2
(b) Muestre que el máximo valor de l a energía cinética es: 2a Kmáx =
hu
1 + 2a
0
11. U n fotón que tiene u n a energía de 10 éV realiza u n a colisión con u n electrón en reposo y es dispersado con u n ángulo de 60°. 4
Encuentre: a) la l o n g i t u d de onda, frecuencia y energía del fotón dispersado y b) la energía cinética, cantidad de m o v i m i e n t o y d i rección del electrón después de la colisión. R / : a) 1255 Á; 2.39 x 1 0 s - ; 9 . 9 0 5 x l 0 eV; b) 95 eV; 5 . 2 5 5 x l 0 ~ k g - m / s ; 60° 3 1 ' 3.6". 18
1
3
24
12. M u e s t r e que: (a)
" hv
0
hv
1 + a ( l - eos 4>)
(b) cot 9 = (1 + a ) t a n ( ^ E n ambos casos, a =
hv /m c 0
0
2
Capítulo 4
Espectroscopia y modelos atómicos 4.1
Espectroscopia
U n o de los métodos de identificación más poderoso que existe para los elementos y compuestos de la naturaleza, es su análisis espectroscópico. E n general, cuando u n a substancia se somete a condiciones tales que la energía t o t a l del sistema se incrementa, luego de cierto t i e m p o posterior a l a extinción de la perturbación externa, el sistema regresa a su condición i n i c i a l , emitiendo esta energía extra en forma de radiación electromagnética. Cada sistema lo hace de manera diferente y el análisis del espectro de esta radiación conforma la ciencia de la espectroscopia.
4.1.1
E s p e c t r o s atómicos
Como es b i e n sabido, a l hacer pasar u n rayo de sol a través de u n prisma de v i d r i o l a luz es descompuesta en las diferentes longitudes de onda (o colores) que la forman. L a imagen que vemos recibe el nombre de arco iris. De esta manera obtenemos el espectro solar (en su parte visible), el cual se conoce desde que el hombre existe y comenzó a ser estudiado desde la época de N e w t o n . E n 1802 el físico W . W o l l a s t o n estudió este espectro con más atención y para ello construyó u n aparato llamado espectrógrafo. C o n este aparato, basado en el principio mencionado antes, observó que en el espectro solar aparecían unas líneas oscuras m u y nítidas que a simple vista no son observables, y a las que no prestó mayor atención suponiendo que se debían a imperfecciones en el m a t e r i a l del prisma que había utilizado para descomponer la luz solar. 83
84
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
Por su lado, en 1814, J . Fraunhofer también estudiaba el espectro solar y especialmente l a presencia de estas líneas oscuras. N o las p u d o explicar, pero llegó a la conclusión que f o r m a b a n parte de la naturaleza de la luz solar. Entonces, se dedicó a contarlas, ubicar su posición dentro del espectro solar y darle u n nombre a las ocho líneas más i m p o r t a n t e s . Hoy se conocen con el nombre de líneas de Fraunhofer y todavía se las identifica con l a nomenclatura dada por él: las letras de A hasta K. U n a de estas líneas es doble y se l l a m a línea D (figura 4.1). Fraunhofer también estudió el espectro de l a luz e m i t i d a por la l l a m a de u n reverbero de alcohol a l que se adicionó sal común y encontró que en él aparecía u n a línea doble m u y intensa de color a m a r i l l o , que ocupaba l a m i s m a posición en el espectro que l a línea D del espectro solar. Algún t i e m p o después realizó las primeras medidas de la l o n g i t u d de onda correspondiente a estas líneas según su ubicación en el espectro. Pero no v i o la relación que existe entre la línea D del espectro solar y las líneas amarillas del espectro de l a l l a m a del reverbero de alcohol con sal común.
H
G
4000 violeta
F
1
1
I |
azul
E
5000 I |
D
1
I verde
C
'6000 I
1
I
| amarillo | n a r a n j a |
B
A
7000
X
A
rojo
F I G U R A 4 . 1 . Líneas de Fraunhofer en el espectro solar.
D u r a n t e los primeros cincuenta años del siglo pasado se t o m a r o n los espectros de la luz e m i t i d a por los elementos conocidos hasta entonces, observándose que la posición de las líneas en cada espectro era diferente. E n otras palabras, cada elemento tiene su propio espectro. S i n embargo, los investigadores de l a época no entendieron el significado físico de este hecho aunque ya se había establecido que la doble línea a m a r i l l a (del espectro de la l l a m a de alcohol con sal) aparecía siempre que la substancia de la cual se t o m a b a el espectro contenía sodio. Finalmente en 1856, G. K i r c h h o f f mostró la i m p o r t a n c i a de los espectros propios a cada elemento y p u d o explicar las líneas de Fraunhofer en el espectro solar. Para ello enunció dos leyes generales de carácter empírico. L a p r i m e r a ley se refiere a la emisión y absorción de radiación elec-
4.1.
ESPECTROSCOPIA
85
tromagnética: • U n a substancia que emite radiación de u n a d e t e r m i n a d a l o n g i t u d de onda (línea en el espectro correspondiente) debe, a la m i s m a t e m p e r a t u r a , absorber radiación de igual l o n g i t u d de onda. L a segunda ley se refiere a los espectros: • Todo elemento tiene su propio espectro que p e r m i t e identificarlo. E l espectro de u n elemento es su t a r j e t a de identidad y ninguna línea que pertenezca a u n elemento determinado (ubicación dentro del espectro electromagnético) aparecerá en el espectro de cualquier o t r o elemento. Este hecho permitió descubrir nuevos elementos e identificar la composición química de cualquier substancia, ya que bastaba comparar su espectro con los espectros patrón de los elementos conocidos para saber que contenía. K i r c h h o f f también propuso la teoría de que el sol estaba rodeado p o r capas gaseosas que actúan como pantalla, que absorbe algunas longitudes de onda de l a radiación electromagnética e m i t i d a por su superficie caliente. Entonces, en la radiación que llega a la T i e r r a , f a l t a n estas longitudes de onda, y son las que corresponden a las líneas oscuras del espectro solar. L a línea D indica la presencia de sodio gaseoso en las capas externas del sol, hecho que fue confirmado por el astrónomo P. Janssen en 1868. L a obtención y estudio de los espectros de los elementos se denomina espectroscopia y se basa esencialmente en la siguiente idea: todo ente en la naturaleza siempre t r a t a de estar en su estado de menor energía posible, lo cual se cumple también para los átomos. Entonces, si mediante u n procedimiento adecuado se hace que u n átomo adquiera u n exceso de energía, después de u n t i e m p o prudencial regresará a su estado de menor energía e m i t i e n d o el exceso en forma de radiación electromagnética. A l hacer pasar esta radiación a través de u n prisma de v i d r i o será separada en las diferentes longitudes de onda presentes y a l colocar u n dispositivo adecuado detrás del p r i s m a se podrá observar el espectro obtenido. E l conjunto de p r i s m a y dispositivo que p e r m i t e obtener el espectro constituye lo que llamamos u n espectrógrafo. Desde 1870 se u t i l i z a n placas fotográficas sobre las cuales queda impresa la luz que le llegue, separada en sus diferentes componentes, resultando una serie de líneas, cada u n a correspondiente a u n a l o n g i t u d de onda presente en l a radiación (figura 4.2). Por esto los espectros de los elementos se l l a m a n de línea y son espectros discretos porque en la radiación e m i t i d a por los átomos sólo están presentes algunas longitudes de onda.
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
86
Los siguientes métodos son los más comunes para s u m i n i s t r a r el exceso de energía a los átomos o moléculas de u n a substancia: a) por absorción de radiación electromagnética; b) por transformación de energía cinética en colisiones inelásticas entre electrones y átomos; c) por excitación térmica, calentando la substancia.
prisma
placa fotográfica
F I G U R A 4.2. Esquema de la detección de un espectro de línea.
Dependiendo de la radiación que se estudie, los espectros atómicos pueden ser de emisión o
absorción.
F I G U R A 4.3. Esquema de un espectro de bandas.
Cuando l a fuente de la radiación está constituida por moléculas, el espectro correspondiente no presenta líneas bien definidas sino bandas más o menos anchas de diferentes intensidades que también corresponden a ciertas longitudes de onda (figura 4.3). E n este caso el espectro se denomina espectro de bandas. 4.1.2
E s p e c t r o atómico d e emisión
E l espectro atómico de emisión se obtiene a p a r t i r de la radiación e m i t i d a directamente por los átomos de l a substancia que tengan u n exceso de
4.1.
ESPECTROSCOPIA
87
energía.
a. E s q u e m a de l a fuente de radiación
b. E s q u e m a de u n espectro de
p a r a obtener u n espectro atómico de
emisión.
emisión.
F I G U R A 4.4.
E s p e c t r o de emisión.
Cuando la substancia es u n gas, el exceso de energía se suministra h a ciendo pasar u n a corriente eléctrica a través de él (figura 4.4a.) para p r o d u c i r colisiones inelásticas entre los electrones de la corriente y los átomos del gas. E n el proceso los electrones ceden su energía a los átomos. E l gas de l a substancia se encuentra a b a j a presión de manera que sus átomos están m u y separados entre sí, lo cual garantiza que la colisión tiene lugar entre u n electrón y u n sólo átomo. E n el caso de una substancia sólida, el exceso de energía se suministra por excitación térmica lo cual se logra haciendo pasar u n arco eléctrico (chispa) entre dos electrodos, uno de los cuales contiene polvo de la substancia que se quiere analizar. E n l a fotografía de la radiación e m i t i d a se observa una serie de líneas negras (parte impresa de la película en blanco y negro) sobre u n fondo claro (parte no impresa de la película) (figura 4.4b.). L a cámara fotográfica tiene i n c l u i d a u n a escala que p e r m i t e ubicar l a posición de la línea, l a cual corresponde a u n a l o n g i t u d de onda determinada. E x i s t e n tablas en las cuales se encuentra la equivalencia entre l a posición de la línea y su correspondiente l o n g i t u d de onda. 4.1.3
E s p e c t r o atómico de absorción
E n este caso se coloca detrás de la muestra, generalmente gaseosa o líquida, u n a fuente de radiación electromagnética de amplio espectro
88
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
continuo. A l incidir la radiación sobre l a muestra, ésta absorbe algunas longitudes de onda y el resto de la radiación atraviesa la muestra sin interact u a r con ella (figura 4.5a.).
a. E s q u e m a de l a fuente de radiación
b. E s q u e m a de u n espectro de
p a r a obtener u n espectro atómico de
absorción.
absorción.
F I G U R A 4.5. Espectro de absorción.
E n la fotografía del espectro electromagnética se observa u n a serie de líneas blancas (parte no impresa de la película) sobre fondo oscuro (parte impresa) que corresponde a l espectro continuo que se utilizó (figura 4.5b.). Las líneas blancas corresponden a las longitudes de onda que fueron absorbidas por l a sustancia. A l comparar u n espectro de emisión y u n espectro de absorción para el m i s m o elemento, las líneas oscuras del de emisión coinciden con las líneas blancas del absorción. E n otras palabras, las longitudes de onda emitidas en el p r i m e r caso son las que f a l t a n en el segundo. L a espectroscopia se desarrolló y aplicó casi u n siglo antes de que existiera u n a teoría o u n modelo para describir y explicar adecuadamente el carácter atómico de la materia. 4.1.4
Series e s p e c t r a l e s d e l átomo de hidrógeno
C o n el desarrollo de la espectroscopia, a finales del siglo X I X se había acumulado u n a gran cantidad de datos obtenidos del estudio de los espectros atómicos de casi todos los elementos conocidos entonces. Inicialmente se pensó que la gran cantidad de líneas que aparecen en u n espectro atómico se encontraban distribuidas a l azar. Sin e m -
4.1.
89
ESPECTROSCOPÍA
bargo, en el año de 1883 se observó que a medida que l a l o n g i t u d de onda correspondiente a cada línea se va haciendo menor, su intensidad disminuye y las líneas se van acercando entre sí hasta que es imposible ver la separación entre ellas. A l conjunto de líneas se denominó serie espectral. U n o de los espectros más estudiados en la región visible del espectro electromagnético era el del hidrógeno, p o r ser u n espectro relativamente sencillo, a l que sus 14 líneas ya habían sido medidas con cierta precisión desde el comienzo del siglo X I X . E n el año de 1885, J . Balmer dedujo una fórmula matemática e m pírica que permitía calcular teóricamente la l o n g i t u d de onda correspondiente a cada línea de la serie espectral del hidrógeno (en l a región visible), serie espectral que luego tomaría su nombre. E s t a fórmula era: . 3647 n . A= — — - A n —4 2
n = 3, 4, . . .
(4.1)
2
donde n es el número entero que identifica cada línea de la serie: I , 2°, etc., y que se conocen generalmente como líneas H [n = 3), H (n = 4), H (n = 5), etc. (figura 4.6). o
a
a
7
n = 3
H
a
6564.6
n = 4
H
0
n = 5
H
i
y
4862.7 4341.7 A(A)
3647 (Violeta)
F I G U R A 4.6. Esquema de la serie de Balmer para el átomo de hidrógeno.
E n 1890, J . R y d b e r g propuso que l a fórmula anterior se escribiera de la siguiente manera: 71 = 3 , 4 , . . .
(4.2)
donde R es u n a constante que se determina experimentalmente. Desde entonces se denomina constante de R y d b e r g y su valor es 1.09677 x 1 0 m . L a fórmula (4.2) reproduce bastante bien los valores experimentales. R y d b e r g también sugirió que si se cambiaba el número 2 en la ecuación (4.2) por 1 ó 3, se obtendrían otras series espectrales para el átomo de hidrógeno, pero imposibles de observar experimentalmente en ese momento. H
7
_ 1
90
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P Í A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
Con el t i e m p o las técnicas espectroscópicas se fueron mejorando y se p u d i e r o n observar otras series, t a l como lo había predicho R y d b e r g . Las nuevas series se encuentran en las regiones u l t r a v i o l e t a (una) e i n f r a r r o j o (cuatro) del espectro electromagnético. L a l o n g i t u d de onda de cada línea de estas nuevas series se calcula teóricamente a p a r t i r de la fórmula de R y d b e r g cuya expresión general tiene la forma: 1 n?
1_ n
n
> riy
2
(4.3)
2
donde n = 1, 2, . . . , 6 corresponde a cada u n a de las seis series conocidas y ra , n > n corresponde a la I , 2 , etc., líneas de la serie considerada. x
2
2
l 5
o
o
Los espectros de los demás elementos también presentan series espectrales y existen fórmulas que p e r m i t e n calcular algunas de las longitudes de onda de las líneas correspondientes, pero no son sencillas como en el caso del átomo de hidrógeno. E n la tabla 4.1 se encuentran las series espectrales del átomo de hidrógeno, su localización en el espectro electromagnético, el nombre de la serie (que es el de su descubridor), el año en que se observó p o r p r i m e r a vez, y los valores correspondientes de n± y n para cada caso. De la última serie solamente se ha p o d i d o detectar la p r i m e r a línea. 2
T A B L A 4 . 1 . Series espectrales del átomo de hidrógeno. Región del espectro
Descubridor
Año
Til
n
Ultravioleta Visible Infrarrojo Infrarrojo Infrarrojo Infrarrojo
Lyman Balmer Paschen Brackett Pfund Humphrey
1916 1885 1908 1922 1927 1952
1 2 3 4
2, 3, . . . 3, 4, . . .
5 6
2
4, 5, 6, 7,
5, 6, 7, 8,
... ... ... ...
A l perfeccionarse los instrumentos que p e r m i t e n observar y m e d i r líneas espectrales, se vio que las líneas del hidrógeno son realmente dos líneas m u y cercanas entre sí; este hecho también se observó en los espectros de los elementos alcalinos: L i , Na, K, Rb, Cs y Fe. A h o r a se conoce que todos los espectros atómicos presentan esta división de líneas que puede ser en dos (dobletes), tres (tripletes), o más líneas. E n general todas las líneas tienen el mismo número de componentes en u n a serie espectral dada y esta división se denomina estructura fina del espectro, fenómeno del que volveremos a hablar más delante.
4.2.
4.2 4.2.1
M O D E L O S ATÓMICOS
91
Modelos atómicos Historia del átomo
L a h i s t o r i a del átomo tiene orígenes m u y remotos. E l concepto de átomo como u n i d a d fundamental e indivisible de la m a t e r i a fue form u l a d o p o r los griegos hace unos 2500 años. Sin embargo, este concepto era p u r a m e n t e filosófico y no existía entonces evidencia experimental que sustentara t a l afirmación. Hace solamente unos 300 años que la hipótesis atómica se transformó en u n a verdadera teoría científica cuando, a mediados del siglo X V I I , R. Boyle i n t r o d u j o el concepto de elemento químico, t a l como se entiende hoy día. A finales del siglo X V I I I se tiene la p r i m e r a evidencia de la existencia de los átomos cuando J . Berzelius enuncia su ley empírica de las proporciones definidas en combinaciones químicas. E n 1803 aparece l a p r i m e r a teoría atómica enunciada por J . D a l t o n , cuyos puntos fundamentales fueron los siguientes: 1. Todos los elementos están constituidos por pequeñas partículas llamadas átomos. 2. Todos los átomos de u n mismo elemento poseen propiedades idénticas, en p a r t i c u l a r su peso. 3. Los átomos son las unidades de los cambios químicos, los cuales i m p l i c a n u n a combinación o una nueva distribución de átomos. Estos no se crean, destruyen o cambian. 4. Cuando los átomos se combinan lo hacen en relaciones fijas de números enteros formando partículas compuestas llamadas moléculas. L a teoría de D a l t o n explica la ley de proporciones definidas si se acepta que cada elemento está compuesto de átomos de peso definido y si las combinaciones químicas ocurren entre átomos individuales. También i m p l i c a l a conservación de masa. E n 1833 M . Faraday demuestra la existencia de partículas con carga eléctrica en sus experimentos de electrólisis. Midió cuanta electricidad se necesitaba para liberar por medio de corriente u n gramo de substancia y halló que la cantidad de electricidad estaba relacionada con el peso atómico de la substancia y sobre todo, con el número de átomos que libera. Esto mostraba l a existencia de una u n i d a d fundamental de carga eléctrica asociada a cada átomo. A p a r t i r de 1859 se estudió detalladamente el paso de corriente eléctrica a través de gases, descubriéndose la existencia de partículas con carga eléctrica negativa que se llamaron rayos catódicos.
92
CAPÍTULO 4.
ESPECTROSCOPÍA Y M O D E L O S ATÓMICOS
E n 1897 J . J . T h o m s o n midió la relación entre l a carga y l a masa de estas partículas mostrando que no eran átomos con carga eléctrica como se creía, sino más bien u n fragmento presente en todos los átomos. Por medio de otros experimentos se encontró que la masa de estas partículas con carga negativa era aproximadamente 1/1836 veces la masa del átomo de hidrógeno (considerado entonces la partícula más pequeña) y se la denominó electrón. Su carga es la u n i d a d fundamental de carga eléctrica. D u r a n t e los últimos años del siglo X I X se descubrieron dos fenómenos importantes relacionados con átomos. E n p r i m e r lugar, los átomos de u n mismo elemento pueden tener diferentes masas y, sin embargo, sus propiedades químicas siguen siendo iguales. Por ejemplo, el elemento neón es una mezcla de átomos de neón con número atómico 20, 21 y 22 (consulte una tabla periódica). Átomos con las mismas propiedades químicas pero diferentes masas son denominados isótopos. O t r o descubrimiento fundamental realizado por l a época referida fue la de los rayos X. Estos se estudiarán en el siguiente capítulo. E n segundo lugar, en 1896 se descubrió que algunos elementos pasados (últimos de l a T a b l a Periódica) liberan espontáneamente partículas y se transforman en otros elementos. Este proceso se llama radiactividad y los elementos, radiactivos. Las partículas emitidas pueden ser de tres clases: a) partículas positivas llamadas partículas a; b) partículas negativas llamadas partículas fi, que son electrones con grandes energías; y c) partículas o radiación 7 , que son fotones m u y energéticos. Hoy sabemos que las partículas a son núcleos de átomos de helio, de masa aproximadamente 7400 veces mayor que l a del electrón y carga eléctrica positiva dos veces mayor que la del mismo. Después de estos descubrimientos quedó descartada la idea de D a l t o n que los átomos son indestructible y no cambian. Además, se estableció que u n átomo es eléctricamente neutro. L a mayor parte de su masa tiene carga positiva y solamente una pequeñísima parte de la m i s m a tiene carga negativa. E l resultado anterior llevó a preguntar cómo es la estructura i n t e r n a del átomo. Esto es, cuántos electrones hay en u n átomo p a r t i c u l a r y cómo están distribuidas en él las cargas positivas y negativas. L a p r i m e r a pregunta se respondió m u y p r o n t o mediante e x p e r i m e n tos de dispersión de rayos X , que mostraron que el número de electrones en los átomos ligeros (primeros de la tabla periódica), con excepción del átomo de hidrógeno que sólo tiene uno, era aproximadamente igual a l a m i t a d de su peso atómico. Para t r a t a r de responder a la segunda pregunta, la e s t r u c t u r a atómica se idearon varios modelos entre los cuales se destacaron tres que fueron los modelos de T h o m s o n , el de R u t h e r f o r d y el de Bohr. A continuación
4.2.
M O D E L O S ATÓMICOS
93
hablaremos de ellos. 4.2.2
M o d e l o atómico de T h o m s o n
E n 1898, J . J . T h o m s o n propuso el siguientes modelo para la distribución de carga en u n átomo. Los electrones se encuentran sumergidos dentro de u n a esfera de materia de carga positiva, uniformemente d i s t r i b u i d a en ella (figura 4.7). Necesariamente la cantidad de carga positiva era igual a la cantidad de carga negativa para que el átomo fuera eléctricamente neutro.
a.
E s q u e m a del átomo
de T h o m s o n .
b. C o m p o r t a m i e n t o del c a m p o eléctrico creado por u n átomo de T h o m son e n función de l a distancia. R es el radio de la esfera de m a t e r i a .
F I G U R A 4.7. Modelo atómico propuesto por J.J.Thomson.
Los electrones ocupaban ciertas posiciones de equilibrio dentro de la esfera de materia, de manera que las fuerzas electrostáticas estaban equilibradas y el sistema, como u n todo, era estable. Además, podían oscilar alrededor de su posición de equilibrio y e m i t i r radiación electromagnética, de acuerdo con lo visto en el capitulo 2. Este modelo podía explicar los siguientes hechos: • L a existencia de los espectros atómicos aunque no la presencia de una frecuencia límite (clásicamente no existe este límite) n i el carácter discreto de la radiación e m i t i d a por u n átomo. • Algunos fenómenos eléctricos como l a conductividad y polarización eléctrica. • Las reacciones químicas b a j o el supuesto de intercambio de electrones.
94
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P Í A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
• L a periodicidad observada en las propiedades químicas de los elementos. Pero cuando surge una nueva teoría (o modelo físico) antes de aceptar su validez es necesario comprobarla experimentalmente. A pesar de que ésta propuesta era atractiva por lo que explicaba, pasaron varios años antes que se realizaran los experimentos correspondientes. Para ello E. R u t h e r f o r d sugirió u n experimento en el cual se observa el c o m p o r t a m i e n t o de partículas a que realizan colisiones con átomos de u n a lámina m u y delgada de oro. Como estas partículas no las podemos ver, detrás de la lámina se colocó u n a pantalla de sulfuro de zinc, que p e r m i t e detectar las partículas a desviadas a l atravesar la lámina, p o r los destellos de luz que se producen cuando hacen impacto sobre la p a n t a l l a (figura 4.8). partículas a dispersadas
pantalla de sulfuro de Zinc
fuente de partículas a
de u n campo ele del modelo de T I y debió ser desc fenómenos. 4.2.3
Modelo
A raíz de los re partículas a, E. cual el átomo está se encuentra conc masa y, a cierta < en cantidad t a l que 1 A l estar concei se crea a su alredc manera que si l a ; la fuerza eléctrica de i de su dirección inc con ángulos pequeño» i Además, este mentales obtenidos
colimadores lámina de oro
TTO F I G U R A 4.8. Esquema del arreglo experimental para observar la dispersión de partículas a.
De acuerdo con el modelo atómico de T h o m s o n , las partículas a serán desviadas con respecto a su trayectoria incidente solamente si atraviesan el átomo. Fuera de este, el efecto del campo eléctrico es m u y débil como se observa en la figura 4.7b., ya que la carga positiva del átomo está d i s t r i b u i d a uniformemente dentro del volumen de materia; el campo eléctrico en u n punto dado dentro de él es débil y su efecto sobre las partículas a será desviarlas u n poco con respecto a su dirección incidente. E l experimento fue realizado por H . Geiger y E. M a r s d e n en 1911. L a mayoría de las partículas se c o m p o r t a b a n como lo predecía el modelo de T h o m s o n , es decir, no eran desviadas o lo eran con ángulos pequeños respecto a su dirección incidente. Pero algunas partículas a eran desviadas con ángulos m u y grandes y una de cada 10000 era devuelta p o r donde venía! L a única explicación posible a este resultado es l a presencia
a.
EsqneM
de R u t h e r
FIGURA
4.9.
C o n este nuevo modelo de partículas a se ob' Todos los núcleo»
4.2.
M O D E L O S ATÓMICOS
95
de u n campo eléctrico m u y fuerte, el cual no se puede justificar a p a r t i r del modelo de T h o m s o n . Por consiguiente, este modelo no era adecuado y debió ser descartado a pesar de que podía explicar bastante bien otros fenómenos. 4.2.3
M o d e l o atómico de R u t h e r f o r d
A raíz de los resultados obtenidos en el experimento de dispersión de partículas a , E. R u t h e r f o r d propone u n nuevo modelo atómico en el cual el átomo está formado por u n pequeño núcleo de m a t e r i a donde se encuentra concentrada t o d a su carga positiva y la mayor parte de su masa y, a cierta distancia de él, se encuentran distribuidos los electrones en cantidad t a l que la carga neta del átomo es nula (figura 4.9a.). A l estar concentrada t o d a la carga positiva en u n pequeño v o l u m e n se crea a su alrededor u n campo eléctrico m u y fuerte (figura 4.9b.) de manera que si la partícula a (cuya carga es positiva) pasa en su vecindad la fuerza eléctrica de repulsión que actúa sobre ella hará que se desvíe de su dirección incidente con ángulos grandes si pasa cerca a l núcleo y con ángulos pequeños si pasa u n poco más lejos. Además, este modelo explica correctamente los resultados experimentales obtenidos p o r Geiger y Marsden.
a.
E s q u e m a del átomo
de R u t h e r f o r d .
b. C o m p o r t a m i e n t o del c a m p o eléctrico creado por el núcleo atómico en función de l a distancia. R es l a d i s t a n c i a límite del átomo.
F I G U R A 4.9. Modelo atómico propuesto por Rutherford.
C o n este nuevo modelo y los resultados experimentales de la dispersión de partículas a se o b t u v o nueva información acerca de los átomos: • Todos los núcleos de los átomos de u n elemento dado tienen la
CAPÍTULO 4.
96
ESPECTROSCOPÍA Y M O D E L O S ATÓMICOS
m i s m a carga eléctrica. • L a carga nuclear es u n múltiplo entero del valor de la carga del electrón. • L a carga nuclear de u n átomo es igual a l número atómico químico, el cual determina su posición en la t a b l a periódica. Las cargas positivas del núcleo se l l a m a n protones y la carga t o t a l del núcleo es Ze, donde Z es el número de cargas positivas en él, l l a m a d o número atómico. Este número también nos dice cuántos electrones hay en el átomo. E l modelo atómico de R u t h e r f o r d que parecía correcto resultó no serlo. De acuerdo con la mecánica clásica, el sistema electrón-núcleo sólo será estable si los electrones giran alrededor del núcleo describiendo órbitas circulares (o elípticas) como lo hacen los planetas alrededor del sol. Pero este hecho presenta u n grave p r o b l e m a desde el p u n t o de vista de la teoría electromagnética. A l ser los electrones cargas eléctricas en m o v i m i e n t o acelerado deben e m i t i r radiación electromagnética, es decir, energía. Entonces, durante su movimiento, los electrones van p e r d i e n do continuamente energía, su trayectoria circular se va t r a n s f o r m a n d o en u n a espiral y finalmente llegan a l núcleo haciendo que el átomo se desintegre. Esto no ocurre en la naturaleza. Además, el espectro de la radiación e m i t i d a p o r u n átomo, con las consideraciones indicadas, sería u n espectro continuo y no u n espectro discreto como lo muestra la espectroscopia. Por consiguiente, el modelo atómico de R u t h e r f o r d no explica l a estab i l i d a d de la materia n i l a existencia de los espectros atómicos discretos a pesar de haber establecido la existencia del núcleo atómico, paso m u y i m p o r t a n t e en el entendimiento de la materia. Nuevamente encontramos que la física clásica no puede explicar fenómenos que tienen lugar en el m u n d o atómico. 4.2.3.1
Teoría de l a dispersión d e l a s partículas a
A pesar de que el modelo atómico de R u t h e r f o r d no era del t o d o correcto, la teoría para la dispersión de partículas a basada en este modelo sigue siendo válida hoy día. R u t h e r f o r d desarrolló esta teoría para demostrar la b o n d a d de su modelo atómico y para ello hizo las siguientes suposiciones: • Tanto el núcleo como la partícula a son t a n pequeñas que se pueden considerar como cuerpos puntuales.
4.2.
M O D E L O S ATÓMICOS
97
• E n el proceso de l a dispersión de partículas a por el núcleo sólo interviene l a fuerza electrostática de repulsión. • E l núcleo es t a n pesado comparado con la partícula a que se le puede considerar en reposo durante l a interacción. De l a segunda suposición se puede deducir l a forma de l a trayectoria seguida p o r u n a partícula a que se acerca a u n núcleo. L a fuerza de repulsión entre las dos partículas es inversamente p r o porcional a l cuadrado de la distancia que las separa. Entonces, la trayect o r i a seguida por la partícula a, a medida que se acerca a l núcleo, será una hipérbola en cuyo foco se encuentra el núcleo (figura 4 . 1 0 ) .
FIGURA
4 . 1 0 . Trayectoria de una partícula a dispersada por un núcleo atómico.
Las asíntotas incidente y de dispersión forman u n ángulo llamado ángulo de dispersión, que es el ángulo que se desvía la partícula a con respecto a su dirección incidente. Si no existiera la fuerza eléctrica de repulsión entre las dos partículas, la partícula a pasaría a cierta distancia del núcleo l l a m a d a parámetro de impacto, b (figura 4 . 1 0 ) . E n t r e el ángulo de dispersión y el parámetro de i m p a c t o existe u n a relación inversa. A menor parámetro de i m p a c t o , mayor ángulo de dispersión. E n t r e más cerca a l núcleo pase l a partícula a, mayor será la desviación que experimenta (figura 4 . 1 1 ) . L a relación entre el ángulo de dispersión y el parámetro de i m p a c t o es: cot
\1)
=
° Ze
(4.4) 2
donde K es la energía cinética de l a partícula a y Z el número atómico del núcleo considerado.
98
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
F I G U R A 4 . 1 1 . Esquema de las trayectorias de una partícula a. dispersada por un núcleo atómico para diferentes parámetros de impacto.
La teoría de dispersión de partículas a permitió calcular p o r p r i m e r a vez la dimensión aproximada de u n núcleo atómico. Cuando el parámetro de impacto es nulo (incidencia frontal) la partícula a se acercará hasta cierta distancia r del núcleo antes de ser reflejada. E n el instante de máximo acercamiento su energía cinética K se convierte en energía potencial eléctrica V y por la conservación de energía se tiene que K es igual V. 0
a Q, a
F I G U R A 4.12.
N K
Dispersión de una partícula a por un núcleo cuando el parámetro de impacto es cero (incidencia frontal).
Entonces: K
=
de donde:
Las
cargas eléctricas de la partícula a y del núcleo son respectivamente
4.2.
99
M O D E L O S ATÓMICOS
2e y Ze\r consiguiente: = 2 x 9 x 10 ^ s
= 4.6 x Í O
- 2 8
-^
(4.6)
y la dimensión del núcleo atómico debe ser menor o del mismo orden de m a g n i t u d que r . 0
4.2.4
M o d e l o de B o h r p a r a e l á t o m o de hidrógeno
E n el año 1913, N . B o h r , quien t r a b a j a b a con R u t h e r f o r d , se encontraba buscando u n a explicación al porqué el modelo de atómico de R u t h e r f o r d fallaba desde el p u n t o de vista clásico, cuando t u v o o p o r t u n i d a d de leer la teoría de Planck para l a radiación del cuerpo negro. Observó que si usaba el segundo postulado de Planck: " u n oscilador sólo emite energía cuando pasa de u n estado de mayor energía a o t r o de menor energía" y consideraba que la frecuencia del m o v i m i e n t o circular del electrón alrededor del núcleo era análoga a la frecuencia del oscilador de Planck, podría tener la solución del problema. E l átomo sólo emite radiación electromagnética cuando uno de sus electrones pasa de u n estado de mayor energía a o t r o de menor energía. Entonces, a p a r t i r del modelo atómico de R u t h e r f o r d y siguiendo el razonamiento anterior formuló para su modelo atómico los siguientes postulados: I . E l átomo de hidrógeno está constituido por u n núcleo con carga + Ze y u n electrón ligado a él mediante fuerzas electrostáticas. I I . Existe, para el átomo, u n conjunto discreto de estados energéticos en los cuales el electrón puede moverse sin e m i t i r radiación electromagnética. Estos estados se denominan estados estacionarios y en ellos la energía es constante. I I I . E n los estados estacionarios el momento angular del electrón ( L ) es i g u a l a u n múltiplo entero n de la constante de Planck h d i v i d i d a p o r 27r: n
=
1,2,
...
(4.7)
Así, el electrón solamente puede ubicarse en ciertas órbitas cuyos radios están determinados p o r la condición anterior; esto es : n = 1, 2, . . .
(4.8)
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
100
I V . Cuando u n electrón realiza u n a transición de u n estado estacionario de energía E a o t r o de energía E¡ emite (o absorbe) radiación elec{
tromagnética de frecuencia v dada por la relación:
F I G U R A 4 . 1 3 . Esquema de un átomo de hidrógeno(Z=l).
Consideremos u n electrón que gira alrededor de u n núcleo de carga
+Ze.
E l electrón se encuentra en la enésima órbita p e r m i t i d a , de radio
r
n
(figura 4 . 1 3 ) , y la órbita es estable cuando la fuerza centrípeta es i g u a l a l a fuerza eléctrica. Esto es: —
= 7
^
(4-10)
7
De las ecuaciones ( 4 . 7 ) y ( 4 . 1 0 ) se obtienen las siguientes expresiones para la velocidad y el radio de las órbitas p e r m i t i d a s del electrón: / v = [ -
Ze
^
2
1/2
(4.11)
y por consiguiente: Ane h n
an
mZe
Z
0
2
2
2
a
2
n = l , 2, . . .
(4.12)
donde a se denomina radio de B o h r (radio de l a p r i m e r a órbita: n = 1 ) 0
y su valor es de 0 . 5 3 Á para el átomo de hidrógeno. L a energía t o t a l del electrón es igual a la suma de su energía cinética y su energía potencial eléctrica; entonces: E = K + V = -mv 2
2
-
47T£ r 0
n
Reemplazando en esta ecuación la velocidad y el r a d i o p o r sus expresiones encontradas anteriormente, se obtiene:
^ - a S i ^ i ^ - l ^
» - l , ¡ > , -
( « 3 )
4.2.
101
M O D E L O S ATÓMICOS
ecuación que p e r m i t e calcular la energía del electrón en cualquiera de las órbitas permitidas. Nótese que se ha considerado el núcleo en reposo en el origen del sistema de coordenadas. Entonces, la energía anterior es también la energía de cualquiera de los estados energéticos p e r m i t i d o s del átomo. De l a ecuación (4.13) vemos inmediatamente que la energía del electrón, y p o r lo t a n t o del átomo, está cuantizada siendo n el número cuántico correspondiente. E l signo negativo nos indica que el electrón está ligado a l núcleo. N o tiene suficiente energía para escapar de la atracción que el núcleo ejerce sobre él. Por consiguiente, si queremos q u i t a r l e su electrón a l átomo, deberemos suministrar cierta cantidad de energía. Cuando el número cuántico n es i n f i n i t o la energía t o t a l del electrón es nula. A p a r t i r de ese momento queda libre de las fuerzas que actúan sobre él y podrá moverse libremente con cualquier energía. Cuando el número cuántico es igual a la u n i d a d , el átomo se encuentra en su estado de menor energía denominado estado base o fundamental. Para el átomo de hidrógeno l a energía de este estado es: E,
=
me Se ,/! 2
(4.14)
-13.6eV 2
y, por consiguiente, la ecuación (4.13) también se puede escribir como: = = - 1 3 . 6 —
n = l , 2, . . .
(4.15)
A los niveles de energía correspondientes a n = 2, 3, . . . se les l l a m a estados excitados. E n l a figura 4.14 se muestra u n diagrama de niveles de energía con algunas definiciones de energías importantes. £oo
n = k
E
n = 1
E
t
t
=
0
Estado excitado
Estado base o fundamental
F I G U R A 4 . 1 4 . Niveles de energía y algunas energías importantes.
L a diferencia de energía entre el estado excitado con n = 0 0 y el estado base, E — E es la energía que se debe suministrar a u n átomo para x
u
102
CAPÍTULO 4.
E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S ATÓMICOS
poder separar de él u n electrón. Esta energía se denomina energía de ionización. Pero si el átomo se encuentra en u n estado excitado con n — k la energía necesaria para quitarle u n electrón es E — E , denominada energía de enlace. x
k
Finalmente, la diferencia de energía entre u n estado excitado y el estado base, E — E , se denomina energía de excitación y es l a energía que se debe suministrar a l átomo para que u n electrón que se encuentra en el estado base salte a l estado excitado con n = k. Como ya conocemos la expresión para calcular la energía de cualquier estado energético del átomo de hidrógeno, veamos qué resultado obtenemos para la frecuencia de la radiación e m i t i d a p o r él cuando su electrón pasa de u n estado de mayor energía a o t r o de menor energía. E n otras palabras, la frecuencia de la radiación e m i t i d a cuando el electrón salta de una órbita mayor a o t r a menor: r (n¿) > r (n ). k
x
f
De acuerdo con el último postulado de B o h r (ecuación (4.9)), la frecuencia de la radiación e m i t i d a será: (4.16) Si expresamos la frecuencia en función de la l o n g i t u d de onda la relación anterior se transforma en: (4.17) Como habrán observado, la ecuación anterior tiene la m i s m a forma de la ecuación de R y d b e r g usada en espectroscopia para calcular la l o n g i t u d de onda de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno. A l reemplazar las constantes por sus valores y Z p o r la u n i d a d , se obtiene con buena aproximación el valor de la constante de R y d b e r g , la cual se determinó experimentalmente, como ya se dijo. Podemos concluir que el modelo atómico de B o h r puede explicar la presencia de líneas en el espectro atómico del átomo de hidrógeno. Cada línea corresponde a u n a transición electrónica desde u n nivel energético hasta o t r o de menor energía. E n la figura 4.15 se encuentra u n diagrama de niveles de energía y las series espectrales del átomo de hidrógeno. A pesar del éxito que t u v o este modelo, n i éste n i su generalización, p u d i e r o n explicar los espectros de átomos con más de u n electrón. T a m poco se p u d o calcular la energía de los niveles correspondientes. Los cálculos teóricos no daban los valores experimentales . 1
:
L a s energías de ionización se d e t e r m i n a n experimentalmente.
4.2.
M O D E L O S ATÓMICOS
103
F I G U R A 4 . 1 5 . Niveles de energía y series espectrales del átomo de hidrógeno.
Sin embargo, el modelo atómico de B o h r se puede utilizar sin problema para describir átomos que por alguna causa h a n p e r d i d o todos sus electrones salvo uno, con lo cual se asemejan a u n átomo de hidrógeno que tiene en el núcleo u n a carga +Ze en lugar de + e . Estos átomos se denominan átomos hidrogenoides. Por ejemplo, el helio u n a vez ionizado (He ) es u n átomo de helio que ha p e r d i d o uno de sus dos electrones. E l l i t i o dos veces ionizado {Li ) es u n átomo de l i t i o que ha p e r d i d o dos de sus tres electrones. +
++
De lo expuesto en esta sección hay que notar dos cosas respecto a l modelo de Bohr: a) B o h r utilizó l a física clásica para describir la estructura atómica en términos de u n modelo de partículas que es sencillo y fácil de visualizar y a l mismo t i e m p o , introduce aspectos cuánticos para dar u n a descripción adecuada de los aspectos atómicos. A l hacer esto último, introduce u n nuevo concepto físico para las partículas: bajo determinadas condiciones su energía es cuantizada, hecho que solamente existía para los fotones.
b) E l modelo presenta u n a incongruencia lógica a l postular electrones en m o v i m i e n t o que no emiten radiación, contradiciendo la teoría electromagnética, pero a l mismo t i e m p o l a u t i l i z a a l plantear l a
104
C A P Í T U L O 4.
ESPECTROSCOPIA Y MODELOS ATÓMICOS
condición de órbita estable.
A pesar de estas fallas, fue u n paso fundamental en la búsqueda de l a teoría adecuada para describir la naturaleza de los átomos.
4.3
Experimento de Pranck-Hertz
E n 1914, J . Franck y G. Hertz realizaron u n experimento cuyo o b j e t i v o era p r o b a r la existencia de los niveles de energía postulados por B o h r . Este experimento se basó en que si estos niveles existen, los átomos sólo se pueden excitar cuando la energía que se suministre sea precisamente igual a la diferencia de energía entre dos niveles energéticos del átomo considerado, uno de ellos el estado base si el átomo no se encontraba ya en u n estado de mayor energía. E n el experimento u t i l i z a r o n electrones acelerados p o r u n a diferencia de potencial para excitar átomos de mercurio gaseoso a b a j a presión.
a. Arreglo experimental p a r a
b.
observar l a existencia de nive-
rriente
Variación de l a co-
les discretos de energía e n los
voltaje acelerador.
átomos.
separación
en función del entre
La picos
consecutivos p a r a el c a so del mercurio es del orden de 4.9 V.
F I G U R A 4 . 1 6 . Diagrama del experimento de Franck-Hertz.
Si los electrones incidentes tienen la energía crítica para excitar los átomos, a l chocar con ellos transfieren parte o t o d a su energía cinética a los electrones atómicos que a su vez pasan a u n nivel de mayor energía
4.3.
EXPERIMENTO DE FRANCK-HERTZ
10-5
(colisión inelástica). E n caso contrario, sólo realizan colisiones elásticas con los átomos y no hay transferencia de energía. E n l a figura 4.16a. se muestra u n esquema del dispositivo experime ntal. Después de chocar con los átomos del gas, los electrones deben atravesar u n a región donde existe u n potencial retardador V entre el ánodo y el colector. Por lo tanto, los electrones que lleguen a l ánodo con u n a energía cinética menor que eV no podrán alcanzar el colector y se observará una disminución de la corriente en el amperímetro (^4). Los electrones que c u m p l e n l a condición anterior son aquellos que realizaron colisiones inelásticas con los átomo del gas. r
r
Los resultados experimentales mostraron que cada vez que los electrones incidentes alcanzaban u n a energía cinética del orden de 4.9 eV la corriente disminuía drásticamente (figura 4.16b.). L a explicación a este fenómeno es la siguiente. Cuando u n electrón alcanza u n a energía de 4.9 eV y realiza una colisión inelástica con u n átomo de mercurio, le cede t o d a su energía y no puede llegar a l colector lo cual se registra en el amperímetro por una disminución de corriente. A l seguir aumentando el voltaje acelerador, los electrones alcanzan una energía de 9.8 eV y entonces pueden realizar dos colisiones inelásticas sucesivas quedando a l final sin energía y nuevamente la corriente dism i n u y e (segundo pico de la gráfica). E l tercer pico corresponde a tres colisiones sucesivas. Después de cada colisión los átomos que h a n sido excitados regresan a su estado base emitiendo radiación electromagnética. U n fotón de 4.9 eV de energía tiene una l o n g i t u d de onda de 2536 Á y se sabía que ésta es precisamente a la l o n g i t u d de onda de la p r i m e r a línea del espectro atómico del mercurio y, por lo t a n t o , la diferencia de energía entre el estado base y el p r i m e r nivel excitado del átomo. Entonces, para comprobar este resultado G. Hertz tomó el espectro de emisión de átomos de m e r c u r i o excitados mediante el procedimiento anterior y encontró que en él aparecía u n a línea solamente cuando los electrones alcanzaban u n a energía de 4.9 eV o múltiplos enteros de esta cantidad. Así quedó comprobado experimentalmente la existencia de los niveles de energía en los átomos. E j e m p l o 4.1. En la deducción de las fórmulas para el átomo de hidrógeno hemos considerado el núcleo en reposo. En realidad, tanto el núcleo como el electrón giran alrededor del centro de masa del sistema. Entonces veamos cómo se modifícan los resultados de la sección 4.2.4 cuando se tiene en cuenta la masa nuclear. Sean M y m respectivamente las masa del núcleo y del electrón, p y
106
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
q sus distancias al centro de masa y r la distancia núcleo-electrón (radio de la enésima órbita permitida). Las dos partículas giran con la misma velocidad angular ui alrededor del centro de masa (CM), de manera que las velocidades lineales de las partículas son: v = ojp y v = üjq (figura 4.17). n
N
e
i l F I G U R A 4 . 1 7 . Sistema de dos partículas que giran alrededor de su centro d e masa (CM).
En el centro
de masas del sistema mq = Mp
de
se cumple r
que:
= p + q
n
donde:
De acuerdo con el segundo postulado de Bohr mento angular total del sistema debe satisfacer L = mv q + Mv p e
N
La condición de órbita estable Ze
2
= (mq
(ecuación ( 4 . 8 ) ) , el la condición: = nh
+ Mp )u
2
2
(4.19)
es: mv
2
mquj
(4.20)
2
Reemplazando en las ecuaciones ( 4 . 1 9 ) y ( 4 . 2 0 ) p y q por sus y haciendo: Mm/(M + m) = m', se obtiene: m'ojr
2
= nh
mo-
m'u) r 2
n
=
expresiones
Ze
2
(4-21)
ATre rl 0
donde m' es la masa reducida del sistema. La energía total del enésimo estado estacionario
del átomo
es:
4.3.
107
(4.21) se obtiene para la velocidad angular y el radio
De las ecuaciones de la enésima
EXPERIMENTO D E FRANCK-HERTZ
órbita: Ze
2
r
4TTE nhr 0
n
4ne n h 0
=
2
2
m'Ze
n
2
en la ecuación (4.22), conduce al siguiente
lo cual, reemplazado
para la energía total del
resultado
sistema: m'Z e 2
,
A
i n A
.
8e h n 2
2
2
donde n es el número cuántico que toma los valores 1 , 2 , . . . Así, se obtienen las mismas expresiones para el radio y la energía de las órbitas permitidas (que es la misma energía del electrón y del átomo) pero con m' en lugar de m. En el átomo de hidrógeno la masa del núcleo es 1836 veces la masa del electrón; entonces, la razón de la masa reducida a la masa del electrón es:
!^ m
=
_ J L _ M + m
=
™
T
=
1836 + 1
0.99945
(4.25) v
'
Por lo tanto, m' es menor que m y la energía también será menor, lo cual conduce a un corrimiento de los niveles de energía y en la posición de las líneas espectrales correspondientes. E l valor de la constante de Rydberg también se modifica. De ahí que se acostumbra a designar con R el valor de la constante cuando no se tiene en cuenta la masa nuclear, y con R cuando se tiene en cuenta. Este último valor coincide con el valor experimental. La relación entre los dos valores para el átomo de hidrógeno es la siguiente: x
H
I
me
4
me
4
= 0.99945 x 1.09737 x l O ' m "
1
= 1.09677 x l O ' m "
1
Una consecuencia de introducir el concepto de masa reducida fue el descubrimiento del deuterio, hidrógeno cuya masa atómica es el doble de la masa del hidrógeno común. Debido a su mayor masa las líneas de su espectro atómico se encuentran corridas hacia longitudes de onda menores, comparadas con las del hidrógeno común. Por ejemplo, la línea H de la serie de Balmer para el deuterio tiene una longitud de onda de 6592.9 Ámientras que la del hidrógeno es de 6564.6^4. • a
108
C A P Í T U L O 4. E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S A T Ó M I C O S
E j e m p l o 4.2. Como ya se vio, el modelo atómico de Bohr se puede aplicar a átomos hidrogenoides de la misma manera que lo hacemos con el átomo de hidrógeno. Es decir, los átomos hidrogenoides se comportan en forma análoga al átomo de hidrógeno excepto que tienen masa y carga nuclear mayores. Para átomos hidrogenoides la energía de los estados estacionarios y la longitud de onda de la radiación emitida en una transición electrónica están dadas por las relaciones: E
n
=
m'Z e 2
4
'8e h n 2
2
2
m'Z e 2
A
4
8e h c 2
3
n¡ > n
ni
donde ahora el número atómico Z es diferente masa reducida del átomo considerado.
de la unidad y m' es la
De las ecuaciones anteriores vemos que la energía y, por consiguiente la frecuencia de la radiación emitida en una transición electrónica, aumenta en el factor Z comparada con la del hidrógeno. Las líneas espectrales de los átomos hidrogenoides se encontrarán corridas hacia la región del ultravioleta del espectro electromagnético, con respecto a la posición de las mismas líneas en el espectro del hidrógeno. 2
He+ --n
=
H
3•
-1.59 eV
-2.17eV
-3.39 eV
n
= 3
-6.04 eV
-13.6eV
E
n
,=
Z*EJn
E¡ = - 1 3 . 6 e y n =
1
2
;
Z = 2
-54.4 eV
F I G U R A 4 . 1 8 . Diagrama de algunos niveles de energía para los átomos de Helio ionizado e hidrógeno, sin tener en cuenta la masa nuclear.
4.4.
PRINCIPIO D E CORRESPONDENCIA D E BOHR
109
En la figura 4.18 se muestran algunos niveles de energía para el átomo de hidrógeno y para el átomo de helio ionizado (He ) sin tener en cuenta la masa nuclear. +
Como se observa en la figura 4.18, al no tener en cuenta la masa nuclear, las energías de las transiciones d e n = 6 a n = 4 y n = 4 a n = 2 en el helio ionizado son iguales a las de las transiciones de n = 3 a n = 2 y n = 2 a n = l en el hidrógeno. Pero al tener en cuenta la masa nuclear, las energías y por tanto las frecuencias de las radiaciones emitidas en las transiciones anteriores serán ligeramente diferentes. De la ecuación para la energía (ecuación (4.24)), se tiene que la relación entre las frecuencias es: m.
La masa del núcleo de helio es aproximadamente que la del núcleo de hidrógeno; entonces: m'
He+
m'
H
cuatro veces
mayor
_ 4 M m / ( 4 M + m) _ 4 ( M + m) ~~~
Mm/(M
4(1836 + 1) 4 x 1836 + 1
+ m)
4M + m
0.99986
Finalmente: v(He ) +
= 0.99986 u(H)
• 4.4
Principio de correspondencia de Bohr
Para aclarar el sentido físico de los números cuánticos grandes y la relación que existe en este caso entre las teorías clásica y cuántica, B o h r enunció el siguiente p r i n c i p i o : Las predicciones que hace l a teoría cuántica p a r a el c o m p o r t a m i e n t o de u n sistema físico deben corresponder a las predicciones de l a física clásica para valores grandes de los números cuánticos que especifican el sistema. Veamos u n ejemplo. De acuerdo con la teoría electromagnética, cuando una carga eléctrica se encuentra en m o v i m i e n t o circular emite energía
110
CAPÍTULO 4.
E S P E C T R O S C O P I A Y M O D E L O S ATÓMICOS
4.4.
en forma de radiación electromagnética de frecuencia igual a la de su m o v i m i e n t o circular. Para u n electrón que se encuentra en la enésima órbita p e r m i t i d a su velocidad lineal v es igual a uir . Reemplazando v y r„ p o r su expresiones (ecuaciones (4.11) y (4.12)) y despejando la frecuencia se obtiene:
Pl
6. E n el modelo energía pote que su energía <
n
Z e*m
Zem
2
órbita
2
4e /i n 2
3
4
(4.27)
8s h 2
3
3
Este es el resultado clásico. Desde el p u n t o de v i s t a cuántico, cuando el electrón del átomo de hidrógeno hace u n a transición desde el nivel n + 1 a l nivel n , l a frecuencia de la radiación e m i t i d a es: Z ém
1
2
1
3
(n + 1 )
8e\h
3
2n + 1
Z e*m 2
8e\K?
n ( n + 1) 2
Cuando n es m u y grande: 2n + 1 m 2n y n + 1 ±2 n ; entonces: Zem 2
^trans
4
8e h 20
7. ¿Por qué el n i modelo atómico* cuantización de 1 8. ¿Puede u n su energía de 9. ¿Es diferente la < 10. Teniendo en significado físico I número cuántico 1
Problemas (4.28)
3
Por consiguiente el resultado clásico y el resultado cuántico son iguales. Es equivalente usar la fórmula clásica o la cuántica para calcular la frecuencia de la radiación cuando el número cuántico es grande. Aquí aparece nuevamente que la física clásica es un caso aproximado de una teoría más general, en este caso la física cuántica.
1.
(a) E n u n átc tribuida den de lA. una dista para el efectos de (b) E n el átomo < t r a conc 6.9 x 1 0 " la superficie 1 resultado : i
Preguntas 1. ¿Por qué fue la serie de Balmer, y no la de L y m a n o Paschen, la p r i m e r a en ser detectada?
R / : a) 5.68 x 1
2. Cuando en l a ecuación de R y d b e r g para calcular longitudes de onda se hace n igual a infinito, ¿qué se obtiene?
2. Si la distancia de 1 contra u n núcleo 1 cinética en MeV
2
3. ¿Qué parte de la teoría atómica de D a l t o n quedó intacta? 4. E n el experimento de dispersión de partículas a, ¿tienen los electrones de los átomos alguna influencia sobre la trayectoria de la partícula? 5. De las siguientes variables que intervienen en la dispersión de partículas a: parámetro de i m p a c t o y ángulo de dispersión, ¿cuál es medible en el laboratorio? E x p l i q u e su respuesta.
3. Muestre que la hidrógeno se p i 4. U n haz de electi ¿A qué diferencia < que los átomos de I durante el proc 1.88 V.
4.4.
PRINCIPIO D E CORRESPONDENCIA D E BOHR
111
6. E n el modelo atómico de B o h r para el átomo de hidrógeno, l a energía potencial del electrón es negativa y mayor en m a g n i t u d que su energía cinética. ¿Qué i m p l i c a esto? 7. ¿Por qué el número cuántico n no puede ser cero en el caso del modelo atómico de Bohr? Compare este hecho con el caso de l a cuantización de Planck. 8. ¿Puede u n átomo de hidrógeno absorber u n a energía mayor que su energía de ionización? E x p l i q u e su respuesta. 9. ¿Es diferente la energía de ionización del He
+
a la del hidrógeno?
10. Teniendo en cuenta el principio de correspondencia de Bohr, ¿qué significado físico tienen las órbitas de B o h r cuando el valor del número cuántico n es m u y grande?
Problemas 1.
(a) E n u n átomo de T h o m s o n la carga positiva se encuentra dist r i b u i d a uniformemente dentro de u n a esfera de radio del orden de 1Á. Calcule l a intensidad del campo eléctrico: i) a una distancia r / 2 del centro; y i i ) en la superficie de la esfera, para el átomo de oro (Z = 79). No tome en cuenta posibles efectos debido a los electrones. (b) E n el átomo de R u t h e r f o r d t o d a la carga positiva se encuent r a concentrada en u n núcleo cuyo radio es del orden de 6.9 x 1 0 m . Calcule la intensidad del campo eléctrico en la superficie del núcleo para el átomo de oro. Compare su resultado con el del p u n t o a). _ 1 5
R / : a) 5.68 x 1 0
12
£ ; 1.13 x 1 0
13
£ ; b) 2.39 x 1 0
21
g
2. Si l a distancia de máximo acercamiento de u n a partícula a d i r i g i d a contra u n núcleo de oro es de 3 x 1 0 ~ m , ¿cuál es la energía cinética en MeV de la partícula a? R / : 0.75 MeV. 1 3
3. M u e s t r e que la energía de los niveles energéticos en el átomo de hidrógeno se puede expresar como: E = —hcR /n . n
H
2
4. U n haz de electrones incide sobre u n a muestra de hidrógeno gaseoso. ¿A qué diferencia de potencial se deben acelerar los electrones para que los átomos de hidrógeno, a l regresar a su estado base, e m i t a n durante el proceso la p r i m e r a línea de la serie de Balmer? R / : 1.88V.
112
CAPÍTULO 4.
ESPECTROSCOPÍA Y M O D E L O S ATÓMICOS
5. L a radiación e m i t i d a por u n t u b o de descarga lleno de hidrógeno, incide normalmente sobre u n a red de difracción cuya constante es igual a 2.5 x 10~ cm. ¿A qué transición del electrón en el átomo de hidrógeno le corresponde l a raya espectral que se observa, en el 5to orden de difracción b a j o u n ángulo de 41 ? R / : de n = 3 a n = 2. 4
o
Ayuda: U n a vez determinada la energía de la radiación, haga u n diagrama de niveles de energía para el hidrógeno y compare con su resultado. Ecuación de Bragg: 2dsen(6) = n\. 6. ¿Qué variación experimenta la energía cinética del electrón en el átomo de hidrógeno cuando éste emite u n fotón de l o n g i t u d de onda de 4860 Á ? R / : 2.55 eV. 7. Para el átomo de helio ionizado (He ), encuentre: a) el radio de la p r i m e r a órbita de B o h r y b) la energía de ionización. R / : a) 2.65 x 1 0 - m ; b) 54.4 eV. +
n
8. A p l i q u e la teoría de B o h r a u n átomo muónico formado por u n núcleo de carga + e y u n muón u- (m^ = 2 0 7 m ; q^ = —e) que gira alrededor de él. Calcule: a) el radio de la p r i m e r a órbita de Bohr; b) la energía de ionización; c) l a l o n g i t u d de onda del fotón más energético que puede e m i t i r el átomo. R / : a) a / 2 0 7 = 2.5 x 1 0 - m ; b) 201E = 2.82 x 10 eV; c) 4.4 Á. e
0
1 3
H
3
Capítulo 5
Rayos X Sin lugar a dudas, l a parte del espectro electromagnético denominado rayos X es u n a de las herramientas mas usadas comúnmente por el h o m bre contemporáneo en diversidad de aplicaciones. Como ejemplo de la aplicabilidad de los rayos X podemos citar los siguientes casos: en la conservación de alimentos, en la metalurgia, en la medicina con todas sus variantes, en l a determinación de fallas estructurales, en la identificación de elementos en compuestos químicos, en la determinación de estructuras en muestras sólidas y, hasta como detectores de metales. E n este capítulo nos dedicaremos a las propiedades físicas de t a l radiación, t a n útil a la h u m a n i d a d .
5.1
Descubrimiento y propiedades de los rayos X
E n el año de 1895, W . Róntgen se encontraba estudiando ciertos efectos con descargas eléctricas a través de gases y para ello u t i l i z a b a u n t u b o de rayos catódicos, a l cual aplicaba voltajes m u y grandes (del orden de kilovoltios). E n uno de esos experimentos cubrió el t u b o con c a r t u l i n a negra, obscureció el cuarto donde t r a b a j a b a y cuando hizo pasar u n a descarga eléctrica p o r el t u b o observó cerca a l t u b o u n débil resplandor. Como sabía que los rayos catódicos sólo pueden v i a j a r u n a pequeña distancia en el aire, a l buscar lo qué resplandecía en l a obscuridad encontró cerca a l t u b o de rayos catódicos u n a muestra de sal de bario. Este hecho le llamó t a n t o l a atención que abandonó sus trabajos sobre descargas eléctricas en gases y se dedicó a investigar sus causas. U n a vez realizados los experimentos correspondientes, observó que la fluorescencia de la sal de bario (y de otras sales) ocurría siempre cuando la colocaba frente a l p u n t o donde el haz de rayos catódicos chocaba con113
114
C A P Í T U L O 5.
RAYOS X
t r a l a pared de v i d r i o del t u b o . De este resultado concluyó que en dicho p u n t o debía salir una radiación de naturaleza desconocida cuyo efecto sobre ciertas sustancias se manifiesta p o r su fluorescencia. Además, observó que el papel, l a madera y otras sustancias que son opacas a la r a diación visible y ultravioleta (no la dejan pasar) resultaron transparente a esta nueva radiación que denominó rayos X. Luego procedió a establecer algunas propiedades de los rayos X , encontrando lo siguiente: a) velan placas fotográficas; b) descargan objetos cargados eléctricamente e ionizan gases; c) pueden penetrar considerables distancias dentro de materiales cuando estos son de b a j o número atómico, pero materiales de alto número atómico son relativamente opacos a ellos; d) se propagan en línea recta; e) no son desviados p o r campos eléctricos o magnéticos, i n d i c a n d o esto que no tienen carga eléctrica. E n 1899 se t u v o la p r i m e r a evidencia de que los rayos X se d i f r a c t a n , lo cual indicaba que podían ser radiación electromagnética y se estimó que su l o n g i t u d de onda sería del orden de 1 0 metros. E n 1906, C. G. B a r k l a demostró que los rayos X podían ser polarizados, o t r a c u a l i d a d p r o p i a de las ondas electromagnéticas. - 1 0
Finalmente, en 1912 se demostró que los rayos X pueden ser difractados por cristales , confirmando esto que son u n a radiación electromagnética de l o n g i t u d de onda mucho menor que la luz visible. Además, como ya se vio en los efectos Fotoeléctrico y C o m p t o n , presentan t a m bién u n a naturaleza corpuscular. 1
5.2
Emisión y espectro de rayos X
Los rayos X son emitidos cuando u n haz de electrones, de g r a n energía cinética choca contra u n m a t e r i a l metálico que sirve de blanco (figura 5.1). A l calentar el cátodo C se emiten electrones que son acelerados por la gran diferencia de potencial que existe entre el cátodo y el ánodo A adquiriendo así una gran energía cinética. E l ánodo esta constituido por u n m a t e r i a l de alto p u n t o de fusión. L a emisión de rayos X depende del m a t e r i a l u t i l i z a d o como blanco y del voltaje acelerador. P a r a que haya emisión de rayos X es necesario ' E s t e t e m a se t r a t a en el capítulo 12.
5.2.
115
E M I S I Ó N Y ESPECTRO D E RAYOS X
F I G U R A 5 . 1 . Esquema de un tubo de rayos X .
aplicar u n v o l t a j e acelerador mínimo que a su vez va a depender del m a t e r i a l del blanco. Si el voltaje que acelera los electrones que inciden sobre este blanco no es suficiente, no habrá emisión de rayos X . A l graficar l a intensidad de la radiación en función de su l o n g i t u d de onda, se obtienen curvas como las mostradas en la figura 5.2.
hasta 37.2
V = 35kV
0.2
0.4
0.6
0.8
-M^)
0.2
0.4
0.6
0.8
a. E s p e c t r o continuo de rayos
b.
E s p e c t r o característico
X del elemento wolframio.
de
rayos X
del elemento
molibdeno ( M o ) y el c o n tinuo del wolframio
para
el m i s m o potencial acelerador.
F I G U R A 5.2. Espectro de rayos X.
Los resultados experimentales m o s t r a r o n lo siguiente: a) U n a vez alcanzado el voltaje mínimo p a r a que haya emisión de rayos X , l a l o n g i t u d de onda de la radiación e m i t i d a puede t o m a r
116
C A P Í T U L O 5.
cualquier valor a p a r t i r de u n a l o n g i t u d de onda mínima (figura 5.2a.). Esto es, para u n valor dado del voltaje acelerador los rayos X presentan u n espectro continuo. b) A l aumentar el voltaje acelerador, el valor mínimo de la l o n g i t u d de onda de la radiación e m i t i d a se hace menor y l a intensidad, en general, del espectro e m i t i d o , aumenta (figura 5.2a.). c) Ademas de la radiación anterior, puede aparecer u n a radiación m u y intensa que consta de algunas longitudes de onda solamente. E n la gráfica de intensidad en función de la l o n g i t u d de onda aparecen unos picos para las longitudes de onda correspondientes (figur a 5.2b.). Esta radiación depende solamente del m a t e r i a l u t i l i z a d o como blanco. Para u n potencial acelerador dado, en u n m a t e r i a l se presentará esta radiación mientras que para o t r o no aparecerá. Entonces, superpuesto a l espectro continuo aparece o t r o , d e n o m i nado espectro característico. Para entender la presencia de dos clases de espectros para esta radiación electromagnética, veamos qué ocurre cuando los electrones de gran energía cinética chocan contra el m a t e r i a l que sirve de blanco. a) Espectro
5.2-
RAYOS X
continuo
L a mayor parte de los electrones incidentes pierden t o d a su energía cinética de dos maneras: en colisiones sucesivas con partículas del m a t e r i a l que sirve como blanco, o en una sola colisión con él. E n el primer caso, van cediendo poco a poco su energía a las partículas con las cuales chocan y esto se manifiesta por u n aumento de la t e m p e r a t u r a del m a t e r i a l (transformación de energía cinética en calor). De ahí l a necesidad de utilizar materiales con alto p u n t o de fusión. E n el segundo caso, los electrones son desacelerados (o frenados) bruscamente a l chocar contra el blanco. Pero, de acuerdo con la teoría electromagnética, t o d a carga eléctrica acelerada (o desacelerada) emite radiación electromagnética. Por lo t a n t o , durante el proceso de colisión t o d a l a energía cinética de u n electrón es transformada en energía de u n fotón. A l salir del cátodo, los electrones tienen diferentes energías cinéticas iniciales; entonces los fotones resultantes también tendrán diferentes energías y el espectro es continuo. Los rayos X emitidos en esta form a se conocen también con el nombre de radiación de frenado. L o que no puede explicar la teoría electromagnética es la presencia de u n a l o n g i t u d de onda mínima en el espectro continuo. Clásicamente
no existe límite i i por la carga eléctrica a la radiación electr electrón choca contzmi se t r a n s f o r m a en más energía que la < máxima y p o r cor cumple que:
de donde:
para el p o t e n c i a l L a expresión a n t resultados experime b) Espectro
caracte
Para entender la er mero se deben hacer atómica del m a t e r i a l i E n los átomos, km < alrededor del núcleo ] gía d e t e r m i n a d a y número cuántico que < t o m a r los valores ente Las capas electr según el valor de n . L a i a n — 1; la capa L a n electrones se van > quede llena, luego en l a j Por ejemplo los 29 < 2 en la capa K, 8 en Ia< Los electrones pv encuentren las condic 2
A l g u n o s autores, c u a n d » !
a u n a analogía de u n "efees» | trones y se p r o d u c e n fotc p l a n t e a e n ( 5 . 1 ) es u n a i colisión.
5.2.
117
EMISIÓN Y ESPECTRO D E RAYOS X
no existe límite inferior para la l o n g i t u d de onda de la radiación e m i t i d a por la carga eléctrica acelerada. Pero desde el p u n t o de vista cuántico de la radiación electromagnética la explicación es la siguiente. Cuando u n electrón choca c o n t r a el blanco tiene u n a energía cinética máxima que se t r a n s f o r m a en energía de u n fotón. Como este fotón no puede tener más energía que l a que tenía el electrón, entonces su energía también es máxima y p o r consiguiente, su l o n g i t u d de onda es mínima. Esto es, se cumple que: K = eV = hu
mtx
(5.1)
= h—
de donde:
m í n
_ he _ 12430 eVk
_ 12430
^
~ eV ~
~ ~V~
'
eV
(
(
j
para el p o t e n c i a l acelerador V en electrón-voltios. L a expresión anterior fue encontrada en forma empírica, a p a r t i r de resultados experimentales, por W . Duane y F . L . H u n t en 1915. 2
b) Espectro
característico
Para entender la emisión del espectro característico de los rayos X p r i mero se deben hacer algunas consideraciones acerca de la estructura atómica del m a t e r i a l del blanco. E n los átomos, los electrones se encuentran distribuidos en capas alrededor del núcleo llamadas capas electrónicas, cada u n a con u n a energía d e t e r m i n a d a y u n a capacidad máxima de 2 n electrones, n es el número cuántico que determina la energía de la capa electrónica y puede t o m a r los valores enteros 1 , 2 , . . . , etc. Las capas electrónicas se designan con las letras K, L , M, . . . , etc., según el valor de n. L a capa K, la más cercana a l núcleo, corresponde a n = 1; l a capa L a n = 2; l a capa M a n = 3, etc. (figura 5.3a.). Los electrones se van distribuyendo en ellas primero en la capa K hasta que quede llena, luego en la L y así sucesivamente. Por ejemplo los 29 electrones del átomo de cobre se d i s t r i b u y e n así: 2 en la capa K, 8 en la capa L , 18 en la capa M y 1 en la capa N. Los electrones pueden saltar de u n a capa a o t r a siempre y cuando encuentren las condiciones energéticas apropiadas. Necesariamente el 2
2
A l g u n o s autores, c u a n d o interpretan los resultados de l a ecuación (5.2), r e c u r r e n
a u n a analogía de u n "efecto fotoeléctrico i n v e r s o " , dado que a h o r a se absorben electrones y se p r o d u c e n fotones. S i n embargo, el proceso es más complicado y lo que se plantea e n (5.1) es u n a expresión p a r a l a conservación de l a energía e n el proceso de colisión.
118
C A P Í T U L O 5.
RAYOS X
electrón que hace la transición debe liberar el exceso de energía que tiene y lo hace emitiendo radiación electromagnética de energía igual a l a diferencia de energía que hay entre las capas en que ocurrió la transición. Entonces, electrones que llegan a l a capa K procedentes de las demás capas, originan la emisión de radiación electromagnética de ciertas longitudes de onda solamente. A l conjunto de estas longitudes de onda se l l a m a serie K.
•
;
\) \
/ i
\ a.
\
+Ze C
1
•
•
-•-
L • l ,-"M / ' N
i
E s q u e m a de las c a -
pas electrónicas en u n átomo
•n = 3
!
/
•
•n = 4 ,
-n = 2
y
/
NM-
de varios
K-
K
a
b.
K
s
•re =
K
1
y
D i a g r a m a de transiciones entre c a -
p a s electrónicas,
elec-
trones.
F I G U R A 5.3. Capas electrónicas de un átomo de varios electrones.
Cada l o n g i t u d de onda a su vez también tiene u n nombre: si la transición tiene lugar entre las capas K y L se l l a m a línea K ; si es entre las capas K y M se l l a m a línea K , etc. a
0
Si los electrones llegan a la capa L originan l a serie L compuesta de las líneas L , L , etc. E n la figura 5.3b. se encuentra u n d i a g r a m a que muestra las transiciones electrónicas entre capas con sus respectivos nombres. a
0
E n cuanto a la energía para remover u n electrón de u n átomo, si se encuentra en u n a capa exterior (lejos del núcleo) se necesitan unos 100 eV. Pero si es u n electrón interior (capas K o L ) se requieren energías del orden de 10 eV o más. Por consiguiente, las energías involucradas en las transiciones entre capas electrónicas son m u y grandes. A h o r a volvamos al espectro característico de rayos X . 4
De todos los electrones que inciden sobre el blanco unos cuantos solamente llegan a realizar colisiones con los electrones atómicos. Si u n electrón incidente choca con u n electrón atómico, debido a la gran energía que tiene el p r i m e r o , puede desalojar a l segundo de su corres-
5.2.
119
EMISIÓN Y ESPECTRO D E RAYOS X
pondiente capa electrónica dejando u n a vacancia en ella. Esto puede o c u r r i r aún en l a capa K donde los electrones atómicos se encuentran fuertemente ligados a l núcleo.
incidente
y
s e
y
x e
y
v e
F I G U R A 5.4. Esquema de la emisión de rayos X característicos.
I n m e d i a t a m e n t e después de quedar libre u n puesto en la capa electrónica, u n electrón atómico de o t r a capa superior (de mayor energía) pasará a ocupar el lugar y en el proceso liberará su exceso de energía en f o r m a de radiación electromagnética. Como l a diferencia de energía entre capas electrónicas es u n a cant i d a d fija y p r o p i a a los átomos de cada elemento, la radiación e m i t i d a tendrá u n a sola l o n g i t u d de onda característica del elemento considerado. E n l a gráfica de intensidad en función de la l o n g i t u d de onda aparecerá u n pico. E l electrón atómico que dio lugar a la emisión de radiación a l cambiar de capa electrónica, también dejó u n a vacancia que a su vez será llenada p o r o t r o electrón atómico que también emitirá radiación de una sola l o n g i t u d de onda y así sucesivamente. Este es el mecanismo responsable del espectro característico de rayos X y, p o r consiguiente, este espectro sólo depende del m a t e r i a l u t i l i z a d o como blanco. C l a r o está que el espectro se podrá observar siempre y cuando la energía del electrón incidente sea suficiente para desalojar u n electrón atómico de su respectiva capa. E n la figura 5.4 se presenta en forma gráfica la emisión de u n rayo X característico. E j e m p l o 5.1. ¿Cuál es la longitud de onda límite de la región del espectro continuo de rayos X, sabiendo que si el voltaje aplicado al tubo disminuye en 23 kV, la longitud de onda buscada se hace dos veces mayor?
120
C A P Í T U L O 5.
RAYOS X
Solución Sean Aj 7 A las longitudes de onda mínimas. De acuerdo con la ecuación (5.2) se tiene que: 2
.
he
A i
=
17
he y
A
A
1 7
=
eV
eV
x
2
donde: A
2
= 2\,
y
D e la razón entre las longitudes ±
Ai
de
= 2=
V = VI - 23 x 10 y 3
2
de onda tenemos
que:
F l
V i - 23 x 10 V 3
donde: Vi = 46 x 10 V 3
Conocido el voltaje aplicado al tubo de rayos X, la longitud mínima para este espectro de rayos X es: 12430 (eV A) A
5.3
l
~
46xl03eV
de onda
^ ~
U
-
¿
7
A
Determinación de la carga nuclear
A l estudiar los espectros característicos de rayos X para diferentes elementos se encontró que la l o n g i t u d de onda de las líneas K varían regularmente a l pasar de u n elemento a o t r o . Esta regularidad en los espectros característicos fue observada p o r H . Moseley en 1913, quien luego de medir las longitudes de onda correspondientes a las líneas K (la p r i m e r a de la serie K) para diferentes elementos, encontró que existía u n a relación sencilla entre la l o n g i t u d de onda de la línea y el número atómico del elemento correspondiente. Esta relación se expresa de la siguiente manera: a
v
112
= A{Z - b)
(5.3)
5.4.
121
ABSORCIÓN D E RAYOS X
donde Z es el número atómico del elemento que se u t i l i z a como blanco. A y b dos constantes cuyos valores dependen de la transición observada. E l factor Z — b representa la carga neta, o efectiva, del núcleo que actúa sobre el electrón atómico que realiza la transición y b se denomina constante de apantallamiento. Para las series K y L , que son las más comunes, los valores de la constante b son respectivamente: 6,-1
b = 7.4
(5.4)
L
y los valores teóricos de la constante A para las líneas K de cada serie) son:
a
A
Ka
= 4.97 x 10 s ~ 7
A
1/2
La
y L
= 2.14 x 10 s ~ 7
1/2
a
(primeras
(5.5)
valores que coinciden bastante bien con los correspondientes valores experimentales. Para otras líneas de las series K y L los valores anteriores son u n poco diferentes. A l granear y/v en función de número atómico se obtiene u n a línea rect a , gráfica que se denominó diagrama de Moseley y, que en ese momento, fue de gran u t i l i d a d para verificar el ordenamiento de los elementos en la t a b l a periódica. Se estableció l a equivalencia entre el número atómico Z y la posición del elemento correspondiente en la t a b l a periódica y se p r e d i j o l a existencia de los elementos con Z igual a 43, 6 1 , 72 y 75, desconocidos entonces. También se mostró que había que invertir el orden de los elementos níquel (Ni) y cobalto (Co) en la t a b l a periódica porque estaban ubicados de acuerdo con sus pesos atómicos (58.71 y 58.94 respectivamente) y no p o r sus números atómicos (28 y 27 respectivamente) como debía ser.
5.4
Absorción de rayos X
Cuando u n haz de rayos X atraviesa u n m a t e r i a l , los fotones del haz i n teractúan con los átomos del m a t e r i a l produciendo efectos fotoeléctricos y C o m p t o n (como se vio en el capítulo anterior), con el resultado de que parte de los fotones incidentes desaparecen, los demás son dispersados y la intensidad del haz cuando emerge del m a t e r i a l es menor. A l graficar l a intensidad del haz que emerge del m a t e r i a l en función del espesor que atraviesa, se encontró que la intensidad del haz decae exponencialmente (figura 5.5). Esto es, la intensidad de los rayos X que atraviesa u n m a t e r i a l obedece a la ley de atenuación exponencial:
I = l e-» 0
x
(5.6)
donde I es la intensidad del haz incidente; I es l a intensidad del haz emergente después de atravesar el material; ¡j, es una constante p r o p i a a Q
122
C A P Í T U L O 5.
RAYOS X
cada material que depende de la energía del haz de rayos X y se l l a m a coeficiente de absorción; x es el espesor del m a t e r i a l .
F I G U R A 5.5. Variación de la intensidad de un haz de rayos X en función del espesor del material que atraviesa.
L a absorción de rayos X p o r u n determinado m a t e r i a l es p r o p o r c i o n a l a la densidad del mismo e independiente de su estado físico o químico. Esto se encuentra expresado en la relación: (5.7)
H = pp m
donde p es la densidad del material y p, es el factor de p r o p o r c i o n a l i d a d denominado coeficiente de absorción másico. Este coeficiente también depende de la energía de los rayos X . E n ocasiones se necesita saber cuál es el espesor de u n m a t e r i a l determ i n a d o que reduce la intensidad del haz incidente a l a m i t a d de su valor ( / = ^o/2). Este espesor, denominado capa hemirreductora, se obtiene de la siguiente manera: Llamando x el espesor de la capa hemirreductora, de la ecuación (5.6) se tiene que: m
1/2
l = \h =
her^
12
de donde:
Xi/2
=
In2
=
ln2
(5-8)
E j e m p l o 5.2. L a longitud Á.
de onda de un haz de rayos X de cierta intensidad
es de 0.2
ABSORCIÓN D E RAYOS X
123
a) ¿Cuántas veces se hará menor su intensidad través de una capa de hierro de 0.24 mm de
después de pasar a espesor?
5.4.
b) ¿Cuál será el espesor de la capa hemirreductora del hierro para estos rayos X? E l coeñciente de absorción másico para esta longitud de onda es de 1.1 m /kg y la densidad del hierro es 7.9g/cm . 2
3
Solución a) Si la intensidad de los rayos X es I , después de atravesar la capa de hierro la intensidad I será n veces menor e igual a I /n. 0
0
De acuerdo con la ley de atenuación
exponencial
se tiene que:
n de donde se obtiene
que:
n = e>
lx
Reemplazando
datos, sin olvidar
unifícar unidades,
se
obtiene:
n = 8 b) Utilizando
directamente X1/2
la ecuación =
(5.8):
= 0.08 mm
• Preguntas 1. ¿ C ó m o se produce el espectro continuo de rayos X? ¿De qué depende? 2. ¿ C ó m o se produce el espectro característico de rayos X? ¿De qué depende? 3. ¿Cuál es l a condición fundamental para que aparezca el espectro característico de rayos X? E x p l i q u e . 4. ¿Puede la física clásica explicar la presencia de u n a l o n g i t u d de onda mínima en el espectro continuo de rayos X? E x p l i q u e .
124
C A P Í T U L O 5. R A Y O S X
5. A p a r t i r de condiciones energéticas solamente, diga cómo será el valor de la constante A en la ecuación de Moseley para u n a t r a n sición Kp comparada con su valor para la transición K . a
6. Explique cómo se reduce la intensidad de u n haz de rayos X mediante la utilización de u n material. 7. ¿Cuáles son las unidades del coeficiente de absorción y del coeficiente de absorción másico? 8. ¿El coeficiente de absorción de u n m a t e r i a l para los rayos X es u n a constante propia de éste? Explique. 9. De lo expuesto en este capítulo, ¿puede usted decir cómo depende la intensidad de u n haz de rayos X del número atómico del m a t e r i a l que atraviesa?
Problemas 1. E n t r e los electrodos de u n t u b o de rayos X se aplica u n a diferencia de potencial de 60 kV. Si la l o n g i t u d de onda mínima de los rayos X emitidos es de 0.206 Á, encuentre el valor de la constante de Planck. 2. E n u n t u b o de rayos X los electrones son acelerados mediante u n a diferencia de potencial de 50 kV. Encuentre la l o n g i t u d de onda mínima de los rayos X emitidos, si solamente la m i t a d de la energía de cada electrón se convierte en u n fotón. R / 0.497 Á . :
3. Si la línea K de u n elemento tiene u n a l o n g i t u d de onda de 3.50 Á, ¿cuál es este elemento? (Consulte una t a b l a periódica para identificar su símbolo). R / : Z — 20 a
4. Los rayos X provenientes de u n t u b o con blanco de cobalto (Z = 27) presentan tres picos en el espectro característico correspondientes a líneas K . U n a m u y intensa de l o n g i t u d de onda de 1.785 Á, proveniente del cobalto, y otras dos más débiles, de l o n gitudes de onda de 2.285 y 1.537 Á provenientes de dos elementos desconocidos presentes en el blanco. a
A p a r t i r de la ley de Moseley y sin u t i l i z a r explícitamente el valor de la constante A, encuentre el número atómico de los dos elementos e identifíquelos. R / : 24 y 29. 5. Calcule el espesor de l a capa hemirreductora del a l u m i n i o para rayos X de cierta l o n g i t u d de onda, sabiendo que el coeficiente
125
5.4. A B S O R C I Ó N D E R A Y O S X
de absorción másico del a l u m i n i o para esa l o n g i t u d de onda es de 5.3m /kg. 2
L a densidad del a l u m i n i o es 2 . 6 g / c m . R / : 0 . 0 5 m m . 3
6. E l coeficiente de absorción de cierto m a t e r i a l para rayos X de l o n g i t u d de onda de 1 Á es de 3 c m de 2 Á es de 15 c m " . 1
_ 1
y para u n a l o n g i t u d de onda
Si el haz de rayos X , que contiene i n t e n -
sidades iguales de las dos radiaciones anteriores, incide sobre el m a t e r i a l considerado, ¿para qué espesor de éste la razón de las dos intensidades t r a n s m i t i d a s , J T I / /
2 )
será de 4 a 3? R / : 0.024cm.
Capítulo 6
Propiedades ondulatorias de la materia 6.1
Ondas de materia
Las teorías atómicas desarrolladas durante los primeros 15 años del siglo X X sirvieron de guía en el estudio de los fenómenos atómicos. Sin embargo, estas teorías tienen sus limitaciones y algunos aspectos no son satisfactorios desde el punto de vista teórico. E l hecho que describan adecuadamente el átomo de hidrógeno y los átomos hidrogenoides es casi una casualidad y hasta Bohr consideró su teoría como un paso i n termedio en la búsqueda de una teoría más coherente. La teoría atómica de Bohr es incompleta porque no describe en modo alguno el paso de un estado cuántico a otro y, además, contiene una i n congruencia lógica desde el punto de vista de la teoría electromagnética. Aún durante su período de mayor éxito, esta teoría no se consideró como una expresión más o menos acabada y definitiva del átomo, sino más bien como un modelo útil e indispensable para llegar a las modificaciones necesarias de las teorías clásicas para poderlas aplicar, luego, al mundo microscópico. La solución al problema se logró entre 1924 y 1927 cuando, por caminos diferentes, pero matemáticamente equivalentes, se desarrolló una nueva teoría, llamada mecánica cuántica. Uno de los principios físicos que contribuyó al desarrollo de esta nueva teoría fue el postulado de L. De Broglie sobre aspectos ondulatorios de la materia, enunciado en 1924. 6.1.1
P o s t u l a d o de D e B r o g l i e
Volvamos unos siglos atrás en la historia de la física. Las teorías acerca de la luz son un ejemplo de cómo dos teorías contradictorias, ambas 127
128
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA M A T E R I A
sugeridas por resultados experimentales o evidencias de la vida diaria, pueden contribuir al avance del conocimiento. Como ya deben haber recordado, las dos teorías acerca de la luz son la corpuscular y la ondulatoria. La teoría corpuscular de la luz es la más antigua y se basó en dos hechos conocidos y simples: su propagación en línea recta y su reflexión. Durante el siglo X V I I se descubrieron los fenómenos de difracción e i n terferencia que no se pueden explicar corpuscularmente. Pero, a pesar de esto, los investigadores de la época defendieron durante bastante tiempo la teoría corpuscular incluyendo a Newton que estaba familiarizado con fenómenos de interferencia . A principios del siglo X I X , A. Fresnel y T. Young realizaron los primeros experimentos de interferencia y difracción los cuales dieron paso a la nueva teoría para la luz: la teoría ondulatoria. Esta teoría puede explicar los fenómenos de interferencia, difracción, refracción, reflexión y propagación en línea recta. 1
Con los adelantos teóricos que proporcionó la visión ondulatoria de la luz queda establecido el modelo ondulatorio. Con el transcurso de los años siguientes, se encontraron, otros resultados que reforzaron la visión ondulatoria de la luz. Uno de ellos la polarización de la luz visible y otro, el más espectacular, la formulación de la teoría electromagnética, establecida por Maxwell en los años 50 y 60 del mencionado siglo, con lo cual se le da sustento teórico a las ondas electromagnéticas. Pero, al mismo tiempo, en el campo de la física experimental comenzaron a aparecer resultados que no son explicables a partir de la teoría ondulatoria (efecto Fotoeléctrico, radiación del Cuerpo Negro, etc.) y como vimos en los capítulos anteriores hubo necesidad de volver al modelo corpuscular de la luz para explicarlos. Así las cosas, uno de los problemas cruciales de los físicos al principio del siglo X X era saber si la luz es un fenómeno ondulatorio o si es un fenómeno corpuscular y puesto que se necesita de las dos teorías, se decidió aceptar su doble naturaleza. Recuérdese que no podemos ver simultáneamente los dos aspectos: en un caso observaremos su naturaleza ondulatoria, en otro su naturaleza corpuscular. En esta época L. De Broglie reanudó sus estudios de física, interrumpidos por la Primera Guerra Mundial, y dos hechos le llamaron la atención: a) la definición de la energía de la partícula de luz (fotón) en la cual aparece una variable propia de ondas como es la frecuencia y b) P o r ejemplo, los conocidos anillos de Newton deben su nombre al eminente físico inglés. 1
6.1. ONDAS D E MATERIA
129
la presencia de números enteros para definir el movimiento de los electrones en el átomo. Estos dos hechos lo llevaron a hacer los siguientes razonamientos: a) Una teoría corpuscular no contiene elementos que permitan definir una frecuencia. Entonces, De Broglie sugiere que deben existir ondas de alguna clase asociadas a los fotones que permiten explicar los fenómenos de interferencia y difracción que se observan. b) En la explicación de algunos fenómenos ondulatorios, en especial la interferencia y la difracción, aparecen de manera espontánea los números enteros. Así, De Broglie sugiere que a los electrones también se les asocie una propiedad ondulatoria. Además, pensaba que, si la radiación electromagnética se presenta bajo dos formas, ¿por qué no lo haría la materia? Estos razonamientos lo llevaron a formular lo que conocemos con el nombre de Postulado de De Broglie: Es necesario tanto para la materia como para la radiación, en particular la luz, introducir simultáneamente el concepto de partícula y el concepto de onda. Como no pueden ser independientes debe existir un paralelismo entre el movimiento de la partícula y la propagación de la onda asociada que gobierna su movimiento. En su tesis de doctorado De Broglie establece esta correspondencia y el resultado se publica en 1924. 6.1.2
O n d a s de m a t e r i a
Para introducir el concepto de onda en la teoría de la materia podemos visualizar el problema de la siguiente manera: una partícula con carga eléctrica crea a su alrededor un campo eléctrico que se propaga en el espacio mediante ondas llamadas ondas electromagnéticas. En forma análoga, podemos imaginar que una partícula en movimiento crea a su alrededor un campo que llamaremos campo material y que también se propagará mediante ondas que llamaremos ondas de materia. En el primer caso las ondas se describen por medio de una función matemática llamada función de onda. En el segundo caso también usaremos una función de onda; pero a diferencia de las ondas electromagnéticas, las ondas materiales se interpretan de una manera muy diferente como veremos en el próximo capítulo.
130
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE L A MATERIA
Consideremos una partícula material, por ejemplo un electrón, que se mueve libremente con velocidad constante v. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad su energía y cantidad de movimiento son: h, = me
p = mv
m
A / 1 - v /c s
2
Si se asocia una onda a esta partícula, es de esperar que se mueva en la misma dirección de la partícula. Representemos esta onda por un función matemática de la forma: tp(x,t)
(6.1)
= Aé^ -^ 3
donde A es la amplitud constante de la onda, k su vector de onda paralelo a la dirección de propagación y w su frecuencia angular. Esta no es más que la expresión general de la función que en física clásica describe el movimiento ondulatorio .La magnitud del vector de onda y la frecuencia angular están dados por las relaciones: 2
k= — A
u =
2-KV
(6.2)
donde A y v son la longitud de onda y la frecuencia del movimiento ondulatorio, respectivamente. La onda descrita por la ecuación (6.1) es una onda plana: los planos de fase constante ( k - x — ut), se propagan con una velocidad denominada velocidad de fase definida mediante la relación: v, = |
(6.3)
Podríamos pensar que la velocidad de fase es entonces igual a la velocidad de la partícula. Sin embargo toda señal o energía transportada por una onda se propaga en el espacio con la velocidad denominada velocidad de grupo, y no con la velocidad de fase. Por lo tanto, si imaginamos la partícula como una cantidad de energía localizada en cierto volumen finito podemos suponer que su velocidad será igual a la velocidad de grupo de la onda asociada, siendo esta última definida mediante la relación:
Todavía debemos hacer otra suposición acerca de la dependencia que debe existir entre las variables propias de un movimiento ondulatorio (k, w) y las variables de una partícula (p, E ) . Esto es, necesitamos conocer cómo la onda gobierna el movimiento de la partícula. e = cos0 + tsen0 2
ie
131
6.1. ONDAS DE MATERIA
Supongamos que la relación E = hv es válida para toda clase de partículas. Por consiguiente: E = hv = h^ = hu = , ° 2TT y/i m
c2 v 2
/c
(6.5) 2
A partir de la ecuación anterior, podemos encontrar la velocidad de grupo de la onda asociada a la partícula en movimiento: duj _ duj dv _ m v / dk 'a\'dk ~hr \ 0
Vg
=
=
=:
v \~ dk 2
3 / 2
dsi
Como hemos supuesto que la velocidad de grupo es igual a la velocidad de la partícula, la ecuación anterior se transforma en:
dfc =
T( -?)" 1
S/a
( 6
'
6 )
Integrando este resultado entre los límites 0 yfcpara el vector de onda y entre 0 y v para la velocidad de la partícula: k=
m
o
V
=h P
hy/1 ~ V /C 2
2
(6.7)
Reemplazando el vector de onda por su expresión en función de la longitud de onda, el resultadofinales:
A=P
(6.8)
Esta fue la relación propuesta por De Broglie para calcular la longitud de onda asociada a una partícula en movimiento y el desarrollo presentado aquí fue el que hizo De Broglie en su trabajo original. La ecuación (6.8) es válida tanto para partículas materiales como para fotones. La longitud de onda de la onda asociada a una partícula en movimiento se denomina longitud de onda de De Broglie y la onda correspondiente onda de materia u onda de De Broglie. Nótese que estas ondas existen solamente si la partícula está en movimiento. E j e m p l o 6.1. ¿Cuál es la longitud de onda de un partícula de polvo de radio r = 10~ cm y densidad p = 10 g/cm , que se mueve con una velocidad de 1 cm/s? y ¿Cuál es la de un electrón cuya energía cinética es de 10eV? 4
3
132
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA M A T E R I A
Solución Como la velocidad de la partícula de polvo es muy pequeña comparada con la de la luz podemos calcular su cantidad de movimiento a partir de la expresión clásica. Esto es: 4
p = m„v = - 7 r r p v ^ 4 x 10~ 3 3
Q CTÍt u
s
y ¡a longitud de onda de De Broglie será entonces: h
6.63 x 10- erg s
p
4 x 10
27
-11
1.6 x 1CT cm 16
g cm/s
Esta cantidad es muy pequeña comparada con cualquier cantidad física de nuestro mundo cotidiano a pesar de haber considerado una cantidad de movimiento mucho menor que la de partículas estudiadas clásicamente. Por consiguiente, la investigación de una partícula macroscópica en movimiento no sirve para probar la validez del postulado de De Broglie porque el resultado es una cantidad difícil de medir experimentalmente. En el caso del electrón, cuya energía cinética es de 10 eV = 1.6 x 10~ erg, nuevamente la velocidad de la partícula es pequeña comparada con la velocidad de la luz y podemos usar la expresión clásica para determinar su cantidad de movimiento:
6.2.
En 1925 Dav los cuales trataban < incidía sobre un que utilizaban se óxido), lo calenta cristalina haciendo i A l reanudar sns < rentes a los que i podía identificarse < con experimentos En 1926, G.P. pasar un haz de ele También observó un ] Estos resultados i de materia o, en ot corpúsculos materiale».
n
p = (2mK)
= (2 x 9.1 x 10 g x 1.6 x 10"
1 / 2
28
11
erg) 1/2
= 1.7 x 1Q- g cm/s I9
y la longitud de onda de De Broglie será igual a: A = - = 3.9 x 10" cm P 8
Siendo todavía una cantidad muy pequeña, es del orden de magnitud de la distancia interatómica en un cristal lo cual sugiere la posibilidad de observar efectos de difracción en la dispersión de un haz de electrones por un cristal. •
6.2
Experimento de Davisson-Germer
Aproximadamente dos años después de que De Broglie enunciara su postulado se logró su verificación experimental. Los experimentos correspondientes fueron realizados por C. J Davisson y L.H. Germer en 1925 y por G.P. Thomson en 1926.
FIGURA
6.1. Esquema dd<
El experimento de Da^ trones de baja energía dispersado (figura 6.1). por un filamento y luego i V. E l número de electi do, es medido por m i un potencial retardador. V. Esto se hace con el i perdido poca o ninguna i
6.2. EXPERIMENTO D E DAVISSON-GERMER
IS
En 1925 Davisson y Germer iniciaron una serie de experimenta en los cuales trataban de medir ciertos efectos cuando un haz de electrones incidía sobre un bloque de níquel. Debido a un accidente el bloque que utilizaban se oxidó. Para limpiarlo (remover la capa superficial de óxido), lo calentaron a altas temperaturas lo cual alteró su estructura cristalina haciendo que se transformara en un gran monocristal. A l reanudar sus experimentos los resultados fueron totalmente diferentes a los que habían obtenido inicialmente. Mostraban ahora algo que podía identificarse como un patrón de difracción, hecho que se confirmó con experimentos posteriores. En 1926, G.P. Thomson realizó otro experimento en el cual hacía pasar un haz de electrones a través de una lámina metálica muy delgada. También observó un patrón de difracción. Estos resultados mostraron sin lugar a dudas la existencia de la ondas de materia o, en otras palabras, el comportamiento ondulatorio de los corpúsculos materiales.
O
O
O
O
o
o
o
FIGURA 6 . 1 . E s q u e m a del dispositivo experimental para observar l a difracción de electrones.
E l experimento de Davisson y Germer fue el siguiente: un haz de electrones de baja energía incide sobre un monocristal de níquel donde es dispersado (figura 6.1). Los electrones provienen de un cátodo calentado por un filamento y luego son acelerados por una diferencia de potencial V. E l número de electrones dispersados por el cristal, en un ángulo dado, es medido por un detector adecuado, después de haber atravesado un potencial retardador, V , un poco menor que el potencial acelerador V. Esto se hace con el objeto de medir solamente los electrones que han perdido poca o ninguna energía en la colisión con el cristal. r
134
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA
Electrones con poca energía pueden perderla fácilmente al penetrar en el cristal. Entonces los electrones observados en el detector serán solamente aquellos que han sido dispersados mediante colisiones elásticas por la superficie del cristal. Los resultados experimentales mostraron lo siguiente: 1. A l graficar la corriente eléctrica producida por los electrones dispersados en función de su energía cinética, se presenta un máximo cuando dicha energía es de 54 eV; es decir, para un potencial acelerador de 54 voltios. Para energías mayores la corriente disminuye o sea que el número de electrones dispersados va siendo menor (figura 6.2a.).
FIGURA 6 . 2 . Corriente eléctrica producida por los electrones dispersados.
2. A l graficar la corriente eléctrica en función del ángulo formado entre el haz incidente y el haz dispersado, cf>, se presenta un máximo para el ángulo de 50° (figura 6.2b.). Estos resultados se pueden explicar como consecuencia de una interferencia constructiva de ondas asociadas a los electrones que son dispersados por los átomos de la superficie cristalina. No es la interferencia entre ondas de dos o más electrones, sino la interferencia constructiva entre diferentes partes de la onda asociada a un sólo electrón que han sido dispersadas desde varias regiones del cristal. Esto se demostró haciendo incidir los electrones sobre el cristal prácticamente de uno en uno, obteniéndose el mismo patrón de difracción.
6.2. EXPERIMENTO DE DAVISSON-GERMER
135
FIGURA 6.3. Patrón de difracción producido por electrones de alta energía que pasan a través de u n a lámina metálica.
En el experimento de G.P. Thomson se colocó una placa fotográfica detrás de la lámina metálica para detectar los electrones dispersados al pasar a través de ella (figura 6.3). La fotografía mostró claramente los típicos anillos de difracción y los ángulos de dispersión (0 en la figura 6.3) verifican la ley de Bragg para la difracción . El resultado obtenido por Davisson y Germer se puede usar para comprobar teóricamente el postulado de De Broglie. La longitud de onda de De Broglie para un electrón de 54 eV de energía cinética es: 3
A
=
( 2 ^
=
1
-
6 7 Á
La separación entre los planos atómicos del cristal de níquel usado por Davisson y Germer era de 0.91 Á; en el experimento el ángulo (f> fue de 50° y debido a la simetría con respecto a la perpendicular a los planos atómicos (figura 6.4) se tiene que + 28 — 180°. Por lo tanto: 9 = 65°. Suponiendo que el máximo número de electrones dispersados corresponde al primer orden de difracción, esto es n = 1, y reemplazando en la ecuación de Bragg los valores del ángulo y la distancia interplanar se obtiene: 4
A = 2 x 0.91 x sen 65° = 1.65 Á Los conceptos sobre la difracción en cristales se amplían en el capítulo correspondiente al estado sólido, capítulo 12. Ecuación de Bragg, 2dsen# = nX. 3
136
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS D E L A M A T E R I A
6.3. PRINÍ
miento se tiene que:
y la longitud de onda ¡
P ¿ Cuál será la expresión j FIGURA 6.4. Difracción sobre los planos de un cristal.
El valor teórico y el valor obtenido a partir de los resultados experimentales coinciden dentro del límite de exactitud que pueden dar los datos experimentales. Para voltajes aceleradores más grandes se ha podido observar un segundo máximo en la corriente eléctrica producida por los electrones dispersados, el cual corresponde al segundo orden de difracción. El hecho de que a las partículas materiales se les pueda asociar ondas se ha demostrado también con átomos, moléculas y partículas sin carga eléctrica como los neutrones. De esta manera quedó plenamente establecida la existencia de las ondas materiales. En otros términos, se establece que la materia también tiene una doble naturaleza como la tiene la radiación electromagnética. Ejemplo 6.2. Deducir la expresión para la longitud de onda de De Broglie de un electrón que se mueve con una velocidad del orden de magnitud de la velocidad de la luz, en función del potencial acelerador V. Solución Al ser acelerado por la diferencia de potencial V, el electrón adquiere una energía cinética igual a eV. Entonces su energía total y cantidad de movimiento son: E = E + K = E + eV 0
0
Reemplazando la energía total en la ecuación para la cantidad de movi-
6.3
Principios
6.3.1
Partícula y
Una de las consecuenc cuántica y que pueden i uso del postulado de Del enunciados por W. Hei¡ Aun cuando rigurc de la descripción matei tra en el comportamiento! Cuando una partícula J el punto de vista clásico el postulado de De Brc material ondulatorio que si su velocidad está perfe cantidad de movimiento y solamente un valor: A = i La precisión en la lor presentar la característica < Esto es, una onda plana es 1 torio monocromático (con', Ahora bien, una onda ; par todo el espacio porque i 6.5). Si suponemos que el to por una perturbación certeza de su localización pv Entonces, el hecho de que ai certeza hace que la posibilida sea nula, pues, en primera •
6.3. PRINCIPIOS D E INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
137
miento se tiene que:
y la. longitud de onda para este electrón es: h p
h {2m eVyi 0
1 + 2
¿Cuál será la expresión para el caso no
6.3 6.3.1
-1/2
eV 2m c 0
2
)
relativista?
•
Principios de incertidumbre de Heisenberg Partícula y paquete de o n d a
Una de las consecuencias más sorprendentes que se derivan de la física cuántica y que pueden ser interpretadas en términos sencillos, haciendo uso del postulado de De Broglie, son los principios de incertidumbre enunciados por W. Heisenberg. A u n cuando rigurosamente estos principios resultan espontáneamente de la descripción matemática de la teoría cuántica, el fondo físico se centra en el comportamiento ondulatorio de las partículas. Cuando una partícula material se mueve con una velocidad v, desde el punto de vista clásico tiene una cantidad de movimiento p = mv y el postulado de De Broglie le asigna una longitud de onda A al campo material ondulatorio que acompaña su movimiento, de tal manera que si su velocidad está perfectamente determinada (lo cual implica que su cantidad de movimiento también lo está) la longitud de onda tiene uno y solamente un valor: A = h/p. La precisión en la longitud de onda hace que la única manera de representar la característica ondulatoria sea por medio de una onda plana. Esto es, una onda plana es la mejor descripción del movimiento ondulatorio monocromático (con longitud de onda constante de valor único). Ahora bien, una onda plana tiene la propiedad fundamental de ocupar todo el espacio porque su extensión espacial no es acotada (figura 6.5). Si suponemos que el movimiento de la partícula puede ser descrito por una perturbación que ocupa todo el espacio, no se va a tener certeza de su localización puesto que está distribuida dentro de la onda. Entonces, el hecho de que su cantidad de movimiento es conocida con certeza hace que la posibilidad de determinar la posición de la partícula sea nula, pues, en primera instancia, puede estar situada en cualquier
138
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS D E L A M A T E R I A
FIGURA 6.5. Esquema de una onda plana.
parte dentro de esa onda plana que se extiende en todo el espacio y, la incertidumbre sobre su posición será total. Esta introducción nos permite entender la esencia del primer principio de incertidumbre de Heisenberg: Es imposible medir exactamente en forma simultánea la posición y la cantidad de movimiento de una partícula. La expresión matemática de este principio, la cual derivaremos más adelante, es la siguiente: AxAp ^-ñ
1
x
1 AyAp Z-ñ y
1 AzAp^-h
(6.9)
donde Ax, por ejemplo, es la incertidumbre en la posición de la partícula a lo largo del eje x; Ap es la incertidumbre en la medición de su cantidad de movimiento en dirección x; etc. Es forzoso enfatizar que las medidas deben ser hechas simultáneamente. Veamos ahora cómo, cuando se gana en conocimiento sobre la posición de la partícula, se pierde precisión en la medida de su cantidad de movimiento. Una manera de reducir la extensión espacial del movimiento ondulatorio que describe una partícula es, por ejemplo, superponer varias ondas planas con diferentes longitudes de onda para formar lo que se denomina un paquete de ondas. Si se hace la superposición de tal manera que la propagación ondulatoria del campo material ocupe una región finita del espacio, obtendríamos una situación como la mostrada en la figura 6.6. x
6.3. PRINCIPIOS D E INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
139
x(m)
a. k = 1 2 m ' , Ak/2 = lm'\2 0
1
A x = 1.36 m
x(m) i
-2
i
i
-1 x=0
i
i
i
i
i
i
i
i
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
b. k = 12m-\ = 4 m 0
_ I
, N=
Ax = 1.36 ra
I
-2
I
I
I
-lz = 0 1
I
I
I
I
I
I
I
I
2
3
4
5
6
7
8
9
I
I
i
10 11
I
I
12 13 14
c. fe = 1 2 m - \2 = 4 m - \6 0
FIGURA
6.6. Construcción de paquetes de onda.
Teniendo en cuenta que la longitud de onda y la magnitud del vector de onda están relacionadas por k = 2ir/\, es completamente análogo hacer la superposición con diferentes vectores de onda k. En la figura 6.6a. se han superpuesto dos ondas planas con vectores de onda de 11 y 13 m . Es decir, se ha adoptado un desarrollo alrededor de k = 12 m " con AA; = 2 m " . Como se aprecia en la figura, la extensión del paquete es de 3.12 m, bastante más estrecho que el de infinito mostrado esquemáticamente en la figura 6.5. - 1
0
1
l S
En la figura 6.6b. se desarrolla alrededor de k = 12 m 0
- 1
pero em-
P a r a n ondas con separación constante en fe: fe = [fei + fc2 + • • • + fen]/"> Ak = k —fel. 5
n
0
140
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE L A M A T E R I A
pleando en este caso 8 ondas con una separación constante entre ellas de k tal que Ak/2 — 4 m . Ahora el ancho del paquete es de 1.36m y el máximo del mismo se repite periódicamente cada 5.5 m aproximadamente. Esto debe ser comparado con el caso anterior en donde la periodicidad del máximo del paquete es la del ancho del mismo. En la figura 6.6c. se emplearon 16 ondas con el mismo intervalo AA; del caso 6.6b. Como se aprecia en la figura, el ancho del paquete es el mismo (ni k , ni AA; se modificaron), pero el máximo del paquete se repite ahora cada 12.6 m aproximadamente y en la región intermedia de las oscilaciones son bien pequeñas comparadas con las del paquete así construido. Generalizando, si se toma los mismos A; y AA; pero se incrementa el número de ondas empleado en la expansión, cada vez estarán más alejados entre sí dos paquetes sucesivos hasta que en el límite sólo se obtendría un paquete en todo el espacio. Como una consecuencia de lo descrito anteriormente, cada vez que perfeccionamos la manera de situar la partícula en el espacio (por medio de un paquete de ondas), perdemos la posibilidad de conocer con exact i t u d su cantidad de movimiento dado que A ya no es única. _ 1
0
0
6.3.2
P r i n c i p i o de i n c e r t i d u m b r e Ax Ap ^ x
La expresión matemática de una onda plana monocromática de amplitud igual a la unidad, es: (6.10)
bA)
donde r es el vector posición y A; el vector de onda que tiene como dirección la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. En una dimensión la ecuación anterior toma la forma: (6.11)
x
u}t)
Para formar el paquete de ondas debemos sumar cierto número de ondas planas. Llamando ^Sf(x,t) al paquete de ondas que va a representar el campo material ondulatorio del movimiento de la partícula, su expresión matemática es: N ( M ) = Y,
~
eÍ(kxjX
Ulit)
(- ) 6 12
donde j es un índice mudo para contar las ondas planas usadas (N en total) para la superposición; k . = 2it/\j y u¡ = 2-KVj puesto que para cada j existe una frecuencia Uj. x
6.3. PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
141
E l análisis de Fourier para este tipo de movimiento proporciona las siguientes expresiones:
AxAk ^^
(6.13a)
Av A i ^ 4
(6.13b)
x
donde Ax es el ancho del paquete y AA^ el rango de los vectores de onda (magnitudes) utilizados en su construcción. Como Ak = A(27r/A), la ecuación (6.13a) nos permite escribir: x
A A(^)=AX(2,,A(Í) I I
pero A(h/X)
>
S
= Ap y h/2n es h; entonces: x
(6.14)
AxA >^H Px
6.3.3
P r i n c i p i o de i n c e r t i d u m b r e energía-tiempo
Un grupo o paquete de ondas que tiene una extensión finita en el espacio, tiene también una duración finita al pasar por un punto de observación. Nótese que el paquete de ondas se mueve con la partícula, con una velocidad de grupo numéricamente igual a la velocidad de la misma, ya que: _ duj _ d(Hcj) _ dE _ d ( p \ p _ dk d(hk) dp dp \2m J m 2
9
como se vio en el numeral 6.1.1 del presente capítulo. Lo anterior significa que cualquier ente físico (bus, barra de medición, paquete de ondas, etc.) con una extensión finita dada, gasta un tiempo determinado para que esa extensión pase por un punto de observación. Ahora bien, para obtener este tiempo el paquete de ondas debe tener un rango de frecuencias Av y la ecuación (6.13b) nos da esa relación con A i el tiempo que dura pasando el paquete de ondas. Como AE = hAv, se tiene que: AEAt^^h
(6.15)
En general, AE es la incertidumbre en nuestro conocimiento de la energía total E del sistema y A i el intervalo de tiempo característico de la rata de cambio en el sistema.
142
CAPITULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE L A MATERIA
Ejemplo 6.3. En un experimento se midió la velocidad de un proyectil de 100 g de masa y la velocidad de un electrón. Las velocidades resultaron ser iguales con una incertidumbre del 0.01%. Si esta velocidad es de 400 m/s, ¿con qué precisión se puede localizar la posición de cada partícula si se mide simultáneamente con la velocidad en el mismo experimento?
6.3. PRTX<
2. ¿Cuáles serían. cual la cor 3. ¿El electrón 4. Considerando d i fundamenta 5. ¿La longitud dei ser menor que la* ¿Existe alguna i
Solución
a) La cantidad de movimiento del electrón es de: p = m\i = 3.64 x 10- kg — s
6. ¿Cuál es el corpuscular de 1 y materia?
Si la incertidumbre en su velocidad es de 0.01 % v, la incertidumbre en su cantidad de movimiento será de:
7. Dé un ejemplo < que se está
77?
2S
Víí
Ap = m A v = 3.64 x I0~ kg
— s
32
Problemas
y la incertidumbre en su posición será de: Ax >
h 4irAp
1. a)¿Cuál es la tiene una (m = 6 x l 0 * f | i R/: a) 0.08 A: b)i
= 1.44 mm
2 4
b) Procediendo en forma análoga al caso anterior, tenemos para el proyectil: Til
p = 40kg— s
Til
Ap = 4 x 10~ A;o — s 3
3. Realizando un cristal cuya i el primer m i ¿Cuál es la
y la incertidumbre en su posición será de: Ax >
h AnAp
1.32 x n r
3 2
m
¿ Qué puede concluir de este ejemplo con respecto a las en las posiciones de las partículas?
2. ¿A qué velockfadl cinética sea igual a 5200 Á? I
incertidumbres •
Preguntas 1. ¿Por qué no podemos observar en nuestra vida cotidiana la naturaleza ondulatoria de la materia?
4. Una partícula 200 voltios t: masa de esta electrón. R/: 1. 5. Demuestre que! es aproxima entonces la ii igual a su vele
143
6.3. PRINCIPIOS DE INCERTIDUMBRE DE HEISENBERG
2. ¿Cuáles serían las diferencias entre nuestro universo y uno en el cual la constante de Planck fuera 1 erg s? 3. ¿El electrón es una onda o una partícula? 4. Considerando el fotón como una partícula; ¿en qué se diferencia fundamentalmente de un electrón? 5. ¿La longitud de onda de la onda asociada a una partícula puede ser menor que la dimensión lineal de la misma? ¿Puede ser mayor? ¿Existe alguna relación entre estas cantidades? 6. ¿Cuál es el proceso físico que revela la naturaleza ondulatoria o corpuscular de los elementos fundamentales del universo, radiación y materia? 7. Dé un ejemplo de cómo el proceso de medida perturba el sistema que se está midiendo.
Problemas 1. a)¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie de un electrón que tiene una velocidad de 9 x 10 m/s? b)¿Cuál es la de la tierra (m = 6 x 10 kg) si su velocidad alrededor del sol es de 3 x 10 m/s? R / : a) 0.08 A; b) 3.68 x 1 0 - m . 7
24
4
63
2. ¿A qué velocidad debe moverse un electrón para que su energía cinética sea igual a la energía de un fotón de longitud de onda igual a 5200 A? R/: 9.16 x 10 m/s. 5
3. Realizando un experimento de difracción de electrones con un cristal cuya distancia interplanar d es de 10~ cm, se encontró que el primer máximo de difracción se obtiene para un ángulo de 30°. ¿Cuál es la velocidad de los electrones? R/: 7.28 x 10 m/s. 8
6
4. Una partícula cargada que ha sido acelerada por un potencial de 200 voltios tiene una longitud de onda de 0.0202 A. Encuentre la masa de esta partícula si su carga es numéricamente igual a la del electrón. R/: 1.68 x 10~ kg. 27
5. Demuestre que si la incertidumbre en la posición de una partícula es aproximadamente igual a su longitud de onda de De Broglie, entonces la incertidumbre en su velocidad es aproximadamente igual a su velocidad.
144
CAPÍTULO 6. PROPIEDADES ONDULATORIAS DE L A MATERIA
6. Un microscopio que usa fotones para iluminar, se utiliza para localizar un electrón en un átomo con una precisión de 0.1 Á. ¿Cuál es la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón? R/: 0.527 x 10~ kg-m/s. 23
7. La incertidumbre en la posición de un electrón es de 0.5 Á, que corresponde al valor del radio de la primera órbita de Bohr en el átomo de hidrógeno. ¿Cuál es la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón? R/: 1.05 x 10~ kg • m/s.
Capítulo
24
8. Comparar las incertidumbres en la velocidad de un electrón y de un protón, limitados a moverse en una caja de 10 Á de ancho. R / : A v = 1836 A v . e
p
9. Demuestre que para una partícula libre (no actúan fuerzas sobre ella) la relación de incertidumbre Ax Ap ^ h/2 puede escribirse como:
Mecáni ondulat
x
AA Ax
A — 2
4TT
10. Si AA/A = 10~ para un fotón, ¿cuál es el valor, medido simultáneamente, de Aa; para: a) un rayo gama de longitud de onda de 5 x 1 0 Á; b) un rayo X de longitud de onda de 5 Á; c) un rayo de luz de longitud de onda dé 5000 Á? R / : a) 398 Á; b) 398 x 1 0 - m ; c) 0.398 m. 7
-4
6
Desde los albores del necesidad de reinte portamiento de la entre otros, para exp* lado de De Broglie respecto a la radiacio» aportes tan grandes y conocimiento científico resultados experimer bles desde el punto de de carácter más o permitiese, si era el natural. Existía plena con" el micromundo, por lo como el inicio de la los valores numéricos < son muy pequeños y cero la constante nat" reproducir el conocii dominio atómico es p~ especie capaz de poner capaz también de de La teoría que logra mo las suposiciones t en 1926 bajo dos form mecánica cuántica ma'
Capítulo 7
Mecánica cuántica ondulatoria Desde los albores del siglo X X se da en la historia de l a h u m a n i d a d l a necesidad de reinterpretar teóricamente y en forma estructurada el comp o r t a m i e n t o de l a naturaleza. Los esfuerzos de Planck, B o h r y E i n s t e i n , entre otros, para explicar algunos resultados experimentales y el p o s t u lado de De Broglie para simetrizar el c o m p o r t a m i e n t o de las partículas respecto a l a radiación así lo muestran. Sin embargo, a pesar de los aportes t a n grandes y significativos l a característica del adelanto en el conocimiento científico se puede resumir de la siguiente manera: algunos resultados experimentales (conocimiento empírico) resultaban inexplicables desde el p u n t o de vista clásico y se pretendía lograr explicaciones de carácter más o menos inmediato, pero sin fundamento teórico que permitiese, si era el caso, predecir algunos aspectos del c o m p o r t a m i e n t o natural. Existía plena conciencia de que el d o m i n i o de estos fenómenos era el m i c r o m u n d o , p o r lo cual esta época se puede denominar propiamente como el inicio de la física moderna. Estaba establecido claramente que los valores numéricos de las variables que intervienen en estos procesos son m u y pequeños y que, por consiguiente, cuando se hace tender a cero l a constante n a t u r a l h, que rige los procesos atómicos, se debería r e p r o d u c i r el conocimiento clásico de la naturaleza. Sin embargo, el d o m i n i o atómico es parte constituyente del universo y el hombre como especie capaz de poner a su disposición las fuerzas naturales, debe ser capaz también de describir y explicar estos fenómenos. L a teoría que logra enmarcar t a n t o los resultados experimentales como las suposiciones teóricas es la mecánica cuántica, l a cual aparece en 1926 b a j o dos formulaciones aparentemente distintas: u n a llamada mecánica cuántica matricial establecida por el g r u p o de física de Gótin145
146
C A P Í T U L O 7.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
gen cuyos artífices fueron principalmente W . Heisenberg, P. Jordán y M . B o r n ; y l a o t r a , la mecánica cuántica ondulatoria, formulada p o r el físico E. Schródinger. A finales de 1926 el propio Schródinger demuestra que las dos formulaciones son estrictamente equivalentes, quedando así establecida la mecánica cuántica. 1
7.1 7.1.1
Mecánica Cuántica Ondulatoria Interpretación estadística d e l a función d e o n d a
E l postulado de De Broglie, que le asigna u n a l o n g i t u d de onda a l campo m a t e r i a l ondulatorio que acompaña el m o v i m i e n t o de u n a partícula, y la existencia de los principios de incertidumbre de Heisenberg hacen que el concepto de trayectoria no tenga significado preciso dentro de l a descripción del m o v i m i e n t o de las partículas en el m u n d o microscópico. L o anterior nos obliga a buscar u n a nueva manera de describir el comp o r t a m i e n t o de u n determinado proceso físico donde se pueda obtener, por ejemplo, la reproducción de mediciones experimentales.
X
F I G U R A 7.1. Aspecto de la función de onda.
Esto se logra mediante el concepto de función de onda: ip(r,t), una expresión matemática (en general compleja) dependiente de las coordinadas de posición y del t i e m p o , que describe la a m p l i t u d del campo m a t e r i a l ondulatorio asociado a l a partícula que se encuentra en el p u n t o f del espacio y en el t i e m p o t. E n otras palabras, l a función de onda nos servirá para describir el sistema dinámico que se está observando y por lo t a n t o contiene t o d a la información acerca del c o m p o r t a m i e n t o de la partícula asociada. Aquí sólo consideraremos el caso independiente del t i e m p o , también denominado u n estado estacionario. Así, l a función de onda independiente del t i e m p o , (p(f), se interpreta de l a siguiente manera: 1
E n el presente texto nos dedicaremos a l estudio introductorio de l a mecánica
cuántica ondulatoria.
7.1.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
L a c a n t i d a d | tp( r) j d r 2
3
147
= 9?* ( f ) y>{ f) d r es l a p r o b a b i l i d a d á& z
encontrar l a partícula en u n elemento de v o l u m e n d r, 3
que e s t á '
ubicado p o r u n vector de posición f e n el espacio. L a función f*(f) es la conjugada compleja de la función (p(r). E l p r o d u c t o de las dos funciones
A
B
C
D
E
F
G
H
I
F I G U R A 7 . 2 . Norma al cuadrado de la función de onda.
Veamos u n ejemplo gráfico para discutir u n poco más el concepto de función de onda. Supongamos que el sistema físico que vamos a describir es u n a partícula que se mueve en dirección x y que la función de onda que representa el campo m a t e r i a l ondulatorio es una expresión matemática real cuya representación gráfica tiene l a forma mostrada en l a figura 7 . 1 . Entonces, el cuadrado de l a función de onda, | tp(x) | , tendrá la forma mostrada en l a figura 7 . 2 . De acuerdo con l a definición de la cantidad | (p(x) | l a figura 7.2 muestra que es más probable encontrar la partícula ( p r o b a b i l i d a d diferente de cero) en los puntos A , C, E, G, e I siendo el p u n t o E el que posee mayor probabilidad relativa. E n los puntos B , D , F y H l a p r o b a b i l i d a d de encontrar l a partícula es nula. A l a izquierda del p u n t o A y a la derecha del p u n t o I l a p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula va disminuyendo y más allá de estos dos puntos nunca l a encontraremos. Puesto que el m o v i m i e n t o de u n a partícula está relacionado con l a propagación de u n a onda, estas dos entidades deben estar asociadas en el espacio; esto es, l a partícula estará en u n p u n t o del espacio donde l a a m p l i t u d de l a onda tiene u n valor apreciable (figura 7 . 3 ) . Como la función de onda se va a usar para calcular probabilidades, su expresión matemática deberá c u m p l i r ciertos requisitos para ser u n a función adecuada. 2
2
148
C A P I T U L O 7. M E C A N I C A C U A N T I C A O N D U L A T O R I A
7.1.
F I G U R A 7.3. Esquema de una función de onda y su partícula asociada.
c) Si l a función valuadas, de encontrar Además, la ] d i d o entre 0 y debe entender 1 valor de la pr algunas func continuas.
Los requisitos que debe satisfacer son los siguientes: a) ip( f) en general debe ser u n a función matemática compleja. b )
y su derivada deben ser
finitas;
esto es,
cuando
I r I - > oo,
debe c u m p l i r la condición l l a m a d a de
J T.E.
j
F I G U R A 7.4.
normalización:
\
3
T.E.
donde <¿'V es el elemento de v o l u m e n y T.E.
significa t o d o
el espacio.
Las razones por las cuales la función de onda debe c u m p l i r los requisitos anteriores son, entre otras: a) A l ser ip(r) u n a función compleja, no se tratará de darle u n a existencia física t a l como la tiene por ejemplo u n a onda en el agua. Las cantidades complejas no se pueden medir con instrumentos. L a función de onda es solamente u n ente matemático que tiene sentido dentro del contexto de la mecánica cuántica o n d u l a t o r i a , pero contiene t o d a la información acerca de la partícula asociada. b) E n los "bordes" del espacio no se deben encontrar partículas. L a partícula descrita por la función de onda debe estar dentro de cierto volumen finito en el espacio considerado y l a p r o b a b i l i d a d de encontrarla fuera de él debe ser nula. Además, u n a función que tiende a i n f i n i t o cuando r tiende a i n f i n i t o conduciría a u n valor i n f i n i t o de la probabilidad, lo cual no tiene sentido.
Ejemplo*i
de onda ade
d) Esta condición J ció f i n i t o coi él es máximanormalización a infinito. 7.1.2
Ecuación
Para obtener t o d a l a : es necesario conocer del campo material matemático que de sultado dará la a m i f del espacio. U n a onda es u n a | de u n lugar a o t r o óeii superficie del agua produce u n a p e r t u r l a o t r o . E n el caso de l a l es u n a perturbación u n p u n t o del espacio . m a t e r i a l , será una
7.1.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
149
c) Si la función de onda y su derivada no fueran continuas y u n i valuadas, podrían existir dos o más valores para la p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula en u n p u n t o determinado del espacio. Además, l a p r o b a b i l i d a d puede tener solamente u n valor comprend i d o entre 0 y 1, siendo este último el máximo posible. Aquí se debe entender la operación derivar como la medida del cambio en el valor de la p r o b a b i l i d a d . E n la figura 7.4 se muestra gráficamente algunas funciones matemáticas que no son finitas, univaluadas o continuas. /(*)
/(*)
/(*)
F I G U R A 7.4. Ejemplos gráficos de funciones matemáticas que no son funciones de onda adecuadas para resolver problemas mecanocuánticos.
d) E s t a condición simplemente garantiza que a l recorrer t o d o el espacio f i n i t o considerado, l a p r o b a b i l i d a d de encontrar l a partícula en él es máxima. Como | (p( r ) | es siempre positiva, l a condición de normalización requiere que
7.1.2
Ecuación d e Schródinger
Para obtener t o d a la información posible acerca de u n sistema físico es necesario conocer explícitamente la a m p l i t u d de la onda m a t e r i a l (o del campo m a t e r i a l ondulatorio). Para ello se necesita usar el lenguaje matemático que describe ondas y resolver la ecuación de onda cuyo resultado dará la a m p l i t u d de l a onda para todo t i e m p o y en cada p u n t o f del espacio. U n a onda es u n a perturbación que se mueve o propaga en el t i e m p o de u n lugar a o t r o del espacio. Por ejemplo u n a perturbación sobre l a superficie del agua produce las ondas que todos conocemos; el sonido produce u n a perturbación del aire que a l propagarse lo lleva de u n lugar a o t r o . E n el caso de la luz, que no necesita de u n medio para propagarse, es u n a perturbación del campo electromagnético la que se propaga de u n p u n t o del espacio a o t r o . Y , en analogía con este caso, para la onda m a t e r i a l , será u n a perturbación del campo m a t e r i a l la que se propaga.
150
C A P Í T U L O 7. M E C Á N I C A C U Á N T I C A O N D U L A T O R I A
E l estado dinámico de u n sistema físico se determina a p a r t i r de las fuerzas que actúan sobre él. Si es conservativo, estas fuerzas se obtienen a p a r t i r de l a derivada de la energía potencial. Por ejemplo, para u n a partícula que se mueve b a j o l a acción de u n campo conservativo de fuerzas V(r), (nótese que este campo no depende del t i e m p o ) , es posible obtener la fuerza que actúa sobre l a partícula gracias a la conocida expresión F = -V(r) Además, l a dinámica del sistema, en este caso de la partícula, se puede establecer a través de l a segunda ley de N e w t o n : dr ma = m-— dt 2
= -VV{r)
(7.1)
2
lo cual plantea u n a ecuación diferencial o r d i n a r i a de segundo orden que, en p r i n c i p i o , se puede resolver si se cuenta con dos condiciones iniciales (o de frontera), por ejemplo f(t = 0) y v(t = 0). De esta forma se puede tener información de la manera como l a partícula evoluciona y predecir su estado de m o v i m i e n t o ( f ( í ) ; v ( t ) ) para todo tiempo. Por o t r a parte siendo el sistema conservativo, como se d i j o con a n t e r i o r i d a d , la energía mecánica es u n a constante de m o v i m i e n t o . Esto es, E = ^cinética + ^potencial = cte, u n valor independiente del t i e m p o . E n la mecánica cuántica para estudiar sistemas dinámicos vamos a seguir u n procedimiento parecido a l anterior. L a f o r m a como varía la función de onda <¿>(r) de acuerdo con l a energía p o t e n c i a l V(r) del campo de fuerzas dentro del cual se mueve u n sistema de energía t o t a l E, se obtiene a l resolver la ecuación de onda que en este caso se l l a m a Ecuación de Schródinger y cuya forma independiente del t i e m p o es: 2
- ^
V V ( r) + V(r)ip(r)=E
(7.2)
donde V es el operador laplaciano (segunda derivada con respecto a las coordenadas de posición), h l a constante de Planck, m la masa del sistema y V(r) su energía potencial. L a ecuación de Schródinger desempeña en mecánica cuántica el m i s mo papel dinámico que desempeña la segunda ley de N e w t o n en l a física clásica. Además, muestra que el cambio en l a función de onda está determinado por la energía potencial y el valor de la energía t o t a l E del sistema. 2
2
E n el caso dependiente
del tiempo, l a ecuación de Schródinger t o m a l a expresión:
V * ( r , i) + V ( f ) \ t ( r , t) = ih§¡ 2
del tiempo.
* ( f , i) con * ( f , t) l a función de onda
dependiente \
7.2.
OPERADORES MECANOCUÁNTICOS
151
Como a cada sistema dinámico le corresponde u n a energía potencial, la ecuación de Schródinger tiene diferentes soluciones (p(r) para cada sistema. Pero desde el p u n t o de vista matemático sólo es posible encont r a r funciones de onda continuas y normalizables que sean solución de la ecuación de Schródinger cuando la energía t o t a l del sistema es igual a ciertos valores E\, i?2>- • •; valores que se interpretan como las energías de los estados estacionarios del sistema si éste se encuentra acotado . 3
De esta manera aparece la cuantización de la energía como u n a consecuencia del c o m p o r t a m i e n t o d u a l onda-partícula que presenta la m a teria. D u r a n t e el desarrollo de este capítulo y de los siguientes, aparecerá la condición física que hace que la energía de u n sistema sea cuantizada. E n coordenadas rectangulares, la ecuación de Schródinger es: h
2
d
d
2
d
2
2m \_dx
2
2
dy
tp(x, y, z) + V(x, y, z) tp(x, y,z) = E tp(x, y, z)
dz
2
2
Si el p r o b l e m a es unidimensional: h
2
d (fi(x) 2
T r /
,
, .
„
. .
L a ecuación (7.2) se acostumbra escribir en una forma más compacta: H
(7.3)
donde: á = - ^ V es l l a m a d o operador sistema.
7.2
hamiltoniano
2
+ F(r)
o simplemente el hamiltoniano
(7.4) del
Operadores Mecano cuánticos
U n operador O es en general cualquier expresión que a l actuar sobre u n a función cambia su valor debido a operaciones matemáticas contenidas en ella. Estas operaciones son m u l t i p l i c a r , derivar o integrar, por ejemplo. E n mecánica cuántica el operador debe satisfacer la llamada ecuación de valores propios cuya expresión es: Of = af 3
(7.5)
C u a n d o el m o v i m i e n t o -de"1a partícula no se restringe a u n a región finita del
espacio, l a función de o n d a no es normalizable, n i l a energía total resulta c u a n t i z a d a .
152
C A P Í T U L O 7.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
donde Ó es el operador, / la función que llamamos función propia y a una constante que resulta a l operar con O sobre la función y se denomina valor propio. Pero cualquier función matemática no puede ser u n a función adecuada para que se c u m p l a l a ecuación de valores propios y p o r consiguiente deberá satisfacer l a siguiente condición: U n a función / es función p r o p i a del operador Ó si a l operar con él sobre ella se obtiene nuevamente la misma función m u l t i p l i c a d a por u n a constante. Veamos u n ejemplo. Sean l a función e y el operador d/dx. Entonces al operar con el operador p r i m e r a derivada sobre la función exponencial se obtiene: 2 1
d(e ) , , ' = 2(e ) dx 2x
v
n
2 x x 2 x
E l resultado es la m i s m a función m u l t i p l i c a d a por la constante 2; esto es, la función e es función propia del operador p r i m e r a derivada con valor p r o p i o 2. E n general el conjunto de funciones e , n = 1 , 2 , . . . son funciones propias del operador p r i m e r a derivada con valores propios 1,2,... 2x
nx
L a función sen 3a; es función p r o p i a del operador segunda derivada con valor p r o p i o —9. Pero esta función no es función p r o p i a del operador p r i m e r a derivada. Compruébelo. L a ecuación de Schródinger en su f o r m a compacta, ecuación (7.3), también es u n a ecuación de valores propios donde
A u n q u e en la mecánica cuántica la función de onda es en general u n a función c o m p l e j a , el valor propio del operador mecanocuántico es siempre real. L a mecánica cuántica tiene varios postulados fundamentales de-llos cuales usaremos dos. E l primero de ellos se refiere a los operadores mecanocuánticos y dice: 4
C u a l q u i e r variable dinámica que describe el m o v i m i e n t o de u n sistema físico se representa p o r u n operador mecanocuántico. 4
V e a s e l a página 148 p a r a las condiciones de l a función de onda.
7.2.
153
OPERADORES MECANOCUÁNTICOS
Esto es, a cada variable dinámica clásica le corresponde u n operador en mecánica cuántica que debe satisfacer u n a ecuación de valores p r o pios. Esta afirmación es una de las bases fundamentales de la mecánica cuántica. E n la t a b l a 7.1 se encuentran las variables dinámicas clásicas y los operadores mecanocuánticos correspondientes. E l símbolo V es el operador gradiente. 5
T A B L A 7.1. Algunos operadores mecanocuánticos.
Variable
Clásica
Operador mecanocuántico
Posición
f
r = r
Cantidad de movimiento
P
p = —iñW
Energía cinética
PL
Energía total
7.2.1
V a l o r e s p e r a d o de u n a v a r i a b l e dinámica
D a d o el carácter estadístico de la función de onda que representa el estado de u n sistema, el valor esperado de u n a variable física O, representa el promedio de u n a serie de mediciones del observable correspondiente, y se define por la relación: (O)
= j
(7.6)
donde O es el operador correspondiente a la variable O y la función
(P»> = j 6
VO*))
E l gradiente es u n operador vectorial: V = « ,
í , son vectores unitarios en dirección x, y, z.
+ u
y
+ ü
z
d
x
donde ¿ , u
v
y
154
C A P Í T U L O 7. M E C Á N I C A C U Á N T I C A O N D U L A T O R I A
E n cambio, para el valor esperado de la posición, que es u n a c a n t i d a d algebraica, no i m p o r t a el orden de los términos:
(x)
= j
= jx\ \dx
E n cuanto al valor de la medición de u n a variable dinámica, el segundo postulado fundamental de l a mecánica cuántica afirma que: E l único resultado posible de l a medición de u n a variable dinámica es uno de los valores propios del operador correspondiente. I n mediatamente después de l a medición de u n a variable dinámica, la función de onda debí- ser u n a función de onda p r o p i a del operador y el valor p r o p i o correspondiente debe ser igual a l valor medido de l a variable.
E j e m p l o 7.1. Consideremos una partícula libre que se mueve en dirección +x entre los puntos x = 0 y x = a. ¿Cuáles son los valores esperados de su posición y cantidad de movimiento? Solución: En el capítulo 6 se vio que la función de onda que mejor describe partícula que se mueve libremente es una onda plana de la forma:
una
ikx
donde A es su amplitud yk su vector de onda. Como se puede fácilmente, esta función de onda es una función propia de los cantidad de movimiento y posición.
comprobar operadores
En primer lugar, debemos normalizar la función de onda; esto es encontrar el valor de A que haga que se cumpla la condición de normalización. Entonces: a
a
a
dx
0
7.2.
de
OPERADORES
155
MECANOCUÁNTICOS
donde:
Ahora podemos proceder a encontrar los valores esperados y la cantidad de movimiento de la partícula libre: a
(x)
a
= ^
= Iip*(x)x
=
de la posición
— í xdx
=
aj
—
f^a; )
a \2
a
2
)
Je~ xé dx ikx
kx
1 =
2
Q
a
a
a
= - [ - (-i hk)e dx a J o e ikx
2
= — ídx a J
ikx
= hk
L a cantidad de movimiento de una partícula libre es constante y su energía total igual a E = p /2m. Entonces los resultados obtenidos son: 2
a) (x)
1 = a
. , , > .2TT b) (p) = hk = h— = p = A
V2mE
de los cuales concluimos que a) si se mide la posición de la partícula es más probable encontrarla a mitad de camino entre el origen y su posición final y b) el valor esperado de su cantidad de movimiento coincide con el valor de la cantidad de movimiento preciso de una partícula libre, y que se caracteriza por una onda plana de acuerdo con el desarrollo del ejemplo. •
7.2.2
"Deducción"
d e l a ecuación d e Schródinger
Sobre una partícula libre no actúan fuerzas. Así, es una partícula que se mueve en u n a región del espacio t a l que el potencial V(r) = 0 y, de acuerdo con l a p r i m e r a ley de N e w t o n , su cantidad de movimiento es constante y su energía t o t a l será solamente cinética: E — K = p /2m. 2
De acuerdo con el postulado de De Broglie, al ser la cantidad de mov i m i e n t o constante, también lo es su l o n g i t u d de onda y por consiguiente
156
C A P Í T U L O 7. M E C Á N I C A C U Á N T I C A O N D U L A T O R I A
la función matemática que describe este m o v i m i e n t o es u n a o n d a plana. Vamos a suponer que su a m p l i t u d es igual a la u n i d a d . Entonces:
donde
k
~
h
y
\%\-1*1-
A
Aplicando el operador gradiente a la función a n t e r i o r : V( r) =
«r = V e - " = ik e i £
dr
r
l
6
(7.7)
= ik
U
M u l t i p l i c a n d o a ambos lados de la ecuación (7.7) por el factor —ih: -ihVy(r)
= hk(p(f)
(7.8)
= pp{r)
Este resultado muestra que la cantidad de m o v i m i e n t o p es el valor propio del operador — ¿ W , con función p r o p i a e ' . lk T
Esto es, hemos
comprobado que a la variable clásica cantidad de m o v i m i e n t o lineal, p, le corresponde el operador mecanocuántico — ¿ W . Aplicando nuevamente el operador gradiente a la ecuación (7.7): V p v V ( f ) ] = V(ike )
=
ij¿f
-k
o sea: V
2
M u l t i p l i c a n d o el resultado anterior a ambos lados por ^
i?.
/ -*\
,
Pero ti ÍC 2
2m ü
6
r
Tí
2
2
Y y
(7.9)
=-k
2
1
es el vector unitario en dirección r.
2m
—h /2m: 2
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
157
entonces: VV(r) = üWr)
(7.10)
Esta última expresión no es más que la ecuación de Schródinger, ecuación (7.2), en la cual la energía V(r) es nula. Además, se comprobó que a la energía cinética (energía t o t a l de la partícula libre) le corresponde el operador mecanocuántico (—h /2m)W . 2
7.3
2
Aplicaciones de la ecuación de Schródinger
E n ésta parte se encontrará la solución de la ecuación de Schródinger para varias formas de energía potencial y se obtendrá la función de onda así como t o d a la información posible acerca del sistema para cada potencial considerado. E n los casos más sencillos se hará el desarrollo matemático completo; en los demás se dará la solución en forma gráfica. Todos los caso serán unidimensionales con excepción de uno que se hará en tres dimensiones. L a ecuación de Schródinger unidimensional es una ecuaíción diferencial o r d i n a r i a de segundo orden cuyas soluciones ya se conocen. Por lo t a n t o usaremos estos conocimientos que se encuentran resumidos en el apéndice B . 7.3.1
Escalón de p o t e n c i a l
V(x)
= V
0
/ potencial real /
V(x)
=
0^'
x
x = Q
a. Escalón de potencial.
b. S i s t e m a físico real.
F I G U R A 7 . 5 . Escalón de potencial.
Como su nombre lo indica, la gráfica de esta energía potencial en función de x, tiene l a forma de u n escalón (figura 7.5a.). A u n q u e en la realidad no existe, es u n a aproximación de u n a situación real, fácil de manejar desde
158
C A P I T U L O 7.
MECANICA CUANTICA ONDULATORIA
el p u n t o de vista matemático. Corresponde, por ejemplo, a l modelo de la energía potencial de partículas cargadas que se mueven dentro de dos conductores que tienen diferente potencial eléctrico (figura7.5b.). U n a partícula de masa m y energía t o t a l E v i a j a en dirección +x hacia u n a región del espacio donde l a energía potencial V(x) cambia bruscamente de u n valor cero a u n valor constante V . De acuerdo con la mecánica clásica la partícula se moverá libremente hasta llegar a l p u n t o donde cambia el valor de la energía potencial. Sea este p u n t o x = 0. 0
De este p u n t o en adelante sobre la partícula actúa u n a fuerza F = —dV/dx en dirección —x y su m o v i m i e n t o dependerá de su energía t o t a l E. Es decir, si E es mayor o menor que V . Esto también es cierto en la física clásica. 0
Entonces veamos como es el movimiento de la partícula desde el p u n t o de vista clásico como del mecanocuántico, de acuerdo con su energía t o t a l cuyo valor puede ser mayor o menor que V . 0
a) E < V
0
V(x)
V(x)
= 0
I
las soluciones de las dat
= V
a
II x = 0
FIGURA
7.6. Diagrama de energías involucradas en el problema de una partícula que incide sobre un escalón de potencial con E
E n la figura 7.6 se muestra el diagrama de las energías para este caso. L a mecánica clásica predice que l a partícula será devuelta en el p u n t o x = 0 porque no tiene suficiente energía t o t a l para contrarrestar el efecto de la fuerza que actúa sobre ella. Más aún, en x = 0 la partícula tendrá que reflejarse luego de u n choque elástico contra la "pared" del potencial. Así, se tendrá que el cuerpo ha cambiado p p o r — p luego de la interacción. Desde el p u n t o de vista de la mecánica cuántica, debemos resolver la ecuación de Schródinger escrita de la siguiente manera: d íp(x) 2
2m „ r
,. T
. .
que es la m i s m a ecuación (7.2) en u n a dimensión e igualada a cero.
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
159
E n el p r o b l e m a aparecen dos regiones: una donde la energía potencial es nula y la o t r a donde tiene u n valor constante diferente de cero y, por consiguiente, habrá u n a ecuación para cada región. Las identificaremos con los números I y I I respectivamente. Sea
= 0
J
—
i
(x<0)
(V -E)
= 0
II
(x>0)
Las ecuaciones se deben resolver p o r separado y las funciones de onda y sus derivadas deben ser continuas en el punto\ = 0. Llamando:
las soluciones de las dos ecuaciones diferenciales (ver apéndice B ) son: ¥>,(s) = Ae
ikix
{x < 0)
+ Be~
iklX
(7.11)
= Ce
k2X
(x > 0)
+ De~
k2X
donde A, B, C y D son constantes que se determinan a p a r t i r de las condiciones que debe c u m p l i r una función de onda y las condiciones iniciales del sistema. Debe notarse que las funciones matemáticas en l a región I son imaginarias y en le región I I son reales. Como la función de onda debe ser finita en cualquier parte del espacio la constante C debe ser nula porque la función e no tiende a cero cuando x tiende a i n f i n i t o . k2X
E n el p u n t o x = 0, las soluciones deben ser tales que
= 0) =
ip\(x)\
=
ip' (x)\ n
Las condiciones anteriores conducen a dos ecuaciones que p e r m i t e n establecer la relación que existe entre las constantes A, B y D. E l resultado es: A + B = D
A-B
=
^ D
160
C A P Í T U L O 7. M E C Á N I C A C U Á N T I C A O N D U L A T O R I A
Expresando A y B en función de D para tener
finalmente
u n a sola
constante:
Reemplazando 4 y B en la ecuación (7.11), l a función de onda que describe el m o v i m i e n t o de una partícula que incide sobre u n escalón de potencial con E < V es: 0
(7.12)
x>0
k2X
E l resultado obtenido muestra lo siguiente: 1. E n l a región 7 se tiene una onda plana que v i a j a en dirección x o t r a onda plana que v i a j a en dirección —x. Esto es, el m o v i m i e n t o de l a partícula en l a región 7 es descrito por una onda estacionaria. 2. E n l a región 77 el m o v i m i e n t o de la partícula es descrito p o r u n a función exponencial decreciente. L a interpretación física del resultado anterior es la siguiente: a l i n cidir la partícula sobre el escalón de potencial es devuelta o reflejada (función e~ en la onda de la región 7 ) , t a l como lo predice la física clásica. Pero durante el proceso existe la posibilidad de que pase a la región 77, siendo ésta región clásicamente p r o h i b i d a (existencia de u n a función de onda en l a región 77). Esta penetración es t a l que l a p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula allí decrece exponencialmente con la distancia. lklX
E n la figura 7.7 se muestran en forma gráfica los resultados obtenidos, así como la función de onda y la densidad de p r o b a b i l i d a d . L a presencia de la partícula en la región p r o h i b i d a por la física clásica no es evidente como se puede ver con el siguiente razonamiento: en la región 77 la función de onda tiende rápidamente a cero para x mucho mayor que 1/k y la p r o b a b i l i d a d de encontrarla allí es apreciable solamente en l a vecindad de x = 0. Por ejemplo, para x = l/k la p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula en l a región 77 es p r o p o r c i o n a l a: 2
2
\
= 0.13
y si V — E es del orden de 4 e V , u n electrón alcanzaría a recorrer u n a distancia: 0
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
V{x)
/
V(x)
= 0
161
= V
0
atenuación exponencial
\/\/\r onda incidente y reflejada
x = 0
a. R e s u l t a d o mecanocuántico.
b. Función de onda.
M*)|
c. D e n s i d a d de probabilidad.
F I G U R A 7.7.
Escalón d e p o t e n c i a l c o n E
Q
que es del orden de m a g n i t u d de las dimensiones atómicas. Pero clásicamente la cantidad 2m(V — E ) es t a n grande comparada con h que simplemente no se puede observar la distancia recorrida p o r el electrón en l a región I I . Por consiguiente la física clásica no puede predecir este fenómeno que en física atómica puede ser m u y i m p o r t a n t e como veremos más adelante. 0
2
b) E > V
0
V(x) = V
0
I
II
V(x) = 0 i = 0
F I G U R A 7.8. Diagrama de energías en el problema de una partícula que incide sobre un escalón de potencial con E > V 0
162
C A P Í T U L O 7.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
E n la figura 7.8 se muestra el diagrama de las energías correspondientes. L a mecánica clásica predice que a l llegar la partícula a l p u n t o x = 0, el efecto de la fuerza en dirección —x que actúa sobre ella frena su m o v i m i e n t o y pasa a l a región I I con menor velocidad. Veamos el t r a t a m i e n t o de la mecánica cuántica. L a ecuación de Schródinger para cada región es: 2m
y"(x)
+
tfAx)
+
—
= 0
E
^ { E -
(x<0)
V )
= 0
(x>0)
Llamando: K
^
=
h
2
. ¡2m{E V h
=
¿
V) 0
2
las soluciones de las ecuaciones son:
ikíX
(x < 0)
+ Be~
ikíX
(7.13) ip (x) IX
= Cé
k2X
{x > 0)
+ De~
ik2X
E n este caso t a n t o en la región I como en la J7, las funciones matemáticas son imaginarias; y representan ondas planas que v i a j a n en dirección ± x. Pero u n a onda que v i a j a en dirección —x en l a región I I no es solución del problema porque i m p l i c a l a existencia de u n obstáculo en el i n f i n i t o que la reflejó. Entonces D debe ser igual a cero. Para hallar las constantes A y B en función de C procedemos como en el caso anterior, exigiendo l a continuidad de las funciones y sus derivadas en el p u n t o x = 0. E l resultado es el siguiente: 7
A + B = C
A-B
=
^-C
de donde:
Reemplazando las expresiones para las constantes en l a ecuación (7.13), la f o r m a matemática de la función de onda que describe el m o v i m i e n t o 7
O b s e r v e n l a diferencia e n el exponente de l a función de o n d a p a r a l a región
con respecto a l caso a ) .
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
163
de la partícula que incide sobre u n escalón de potencial con E > V es: 0
fC A ip{x)
= <
k\ 1 + 2 V" ' * i 2
e
C i f c i x
f _ k > _ + l
1
e
i
k
l
X
(7.15) x > 0
QQ—iklX
L a interpretación física del resultado anterior es l a siguiente: a l llegar la partícula a l escalón de potencial pasa a l a región I I con menor energía cinética, k es menor que k , pero existe la posibilidad de que se devuelva p o r donde venía (existencia de una onda que v i a j a en dirección —x en la región I ) . Este resultado no lo puede predecir la física clásica. 2
1
E n l a figura 7.9 se encuentran las soluciones gráficas así como la función de onda y l a densidad de p r o b a b i l i d a d .
'\/\/\¿r V(x)
V(x)
= V
0
= 0 onda incidente y reflejada
x == 0
onda transmitida
b. Función de onda.
a. R e s u l t a d o mecanocuántico.
c. D e n s i d a d de P r o b a b i l i d a d .
F I G U R A 7.9. Escalón de potencial con E > V
0
A diferencia del caso anterior (E < V ), ahora podemos decir como es el m o v i m i e n t o de l a partícula a l pasar de la región / a la región I I . Las cantidades k y k son las cantidades de m o v i m i e n t o divididas p o r ñ en las regiones I y I I respectivamente. L a energía t o t a l E de la partícula es l a suma de su energía cinética y su energía potencial; 0
x
2
164
API
C A P I T U L O 7. M E C A N I C A C U A N T I C A O N D U L A T O R I A
7.3.
entonces en l a región I es igual a ( l / 2 ) r r a ; como debe ser para u n a partícula libre y en la región I I es {\/2)mvl + V . Por consiguiente:
Sea u n a partícula libremente dentro d e i partícula llega a las F = -dV(x)/dx qoei p o r t a que t a n grande i de p o t e n c i a l . Esto es, i que se encuentra, de los metales: puede»i pueden salir p o r sí
2
0
2mE 2
2mE
rrn
Pi
mv,
H
2m (1
T r x
„
h
r r
V
0
=
mv
2
h
Como k es menor que ki, p es menor que p y l a velocidad de la partícula es menor en l a región I I que en l a región I . ¿Por qué no podemos decir algo acerca de la velocidad de la partícula en la región I I cuando su energía t o t a l es menor que su energía potencial? 2
2
x
Finalmente, debe notarse que la función de onda que describe el mov i m i e n t o de la partícula está compuesta por ondas planas. Esto se debe a que siendo constante l a energía t o t a l de l a partícula así como también su energía potencial, su cantidad de m o v i m i e n t o es constante y bien det e r m i n a d a en cada región considerada. A u n a cantidad de m o v i m i e n t o bien determinada le corresponde u n a l o n g i t u d de onda bien determinada lo cual es propio solamente de las ondas planas. 7.3.2
De acuerdo con ] nunca estará en las pondientes serán nulas; restringido a la región es:
cuyas soluciones son ] las ondas p l a n a s : 8
C a j a de potencial unidimensional donde A y B son cor V(x)
A l exigir l a continu x = a se tiene que: ipu(x
= 0)
=
Oy
III
II
lo cual conduce a los siguia ya que A + 0 = 0. Esto s i g problema. Entonces: F I G U R A 7 . 1 0 . Caja de potencial unidimensional de ancho a
E l caso más sencillo de pozos de potencial es el pozo de paredes infinitas o caja de potencial (figura 7.10). Su descripción matemática es: oo V(x)
= {O oo
x < 0 O^x x > a
/ < a
Por la segunda condición de B no puede ser cero por
ka =4
I I I I I
8
Recuérdese que e
ie
= cos0-i|
solución de l a ecuación, como se |
7.3. A P L I C A C I O N E S D E L A E C U A C I Ó N D E S C H R Ó D I N G E R
165
Sea u n a partícula de masa m con energía t o t a l E que puede moverse libremente dentro de u n a caja de p o t e n c i a l de ancho a. Cuando la partícula llega a las paredes de la caja, sobre ella actúa una fuerza F
que invierte la dirección de su m o v i m i e n t o y no i m -
= —dV(x)/dx
p o r t a que t a n grande sea su energía t o t a l , nuncajjodrá salir de l a caja de p o t e n c i a l . E s t o es, su m o v i m i e n t o está restringido
a l espacio en el
que se encuentra. A l g o similar ocurre con los electrones libres dentro de los metales: pueden moverse libremente dentro del m e t a l pero no se pueden salir p o r sí solos. De acuerdo con las condiciones iniciales del problema la partícula nunca estará en las regiones I y I I I .
Las funciones de onda corres-
pondientes serán nulas y su movimiento, como ya se d i j o , se encuentra restringido a l a región I I . L a ecuación de Schródinger para esta región es: ,/ . .
2mE
, ,
n
cuyas soluciones son funciones sinusoidales que es o t r a forma de expresar las ondas p l a n a s :
8
cp (x) n
(7-16)
= Acos kx + Bsenkx
donde A y B son constantes y k = ^/2mE/h
2
= p/h.
A l exigir l a c o n t i n u i d a d de la función de onda en los puntos x = 0 y x = a se tiene que:
= 0) = 0 ;
ip (x n
= a) =
= a) = 0
lo cual conduce a los siguientes resultados: l a constante A es igual a cero ya que ^4 + 0 = 0. Esto significa que l a función coseno no es solución del problema. Entonces: ip (x) n
= Bsenkx
(7-17)
Por la segunda condición de continuidad, B sen ka = 0. Pero la constante B no puede ser cero porque no tendríamos función de onda, p o r lo cual sólo queda la p o s i b i l i d a d de que sen kx sea nula en el p u n t o x = a. Esto se cumple cuando: ka = nn 8
Recuérdese que e
ie
n = 1, 2, . . .
(7.18)
= cos & + ¿sen8. P o r o t r a parte (ver apéndice B ) (7.16) es
solución de l a ecuación, como se puede comprobar por sustitución directa.
166
C A P I T U L O 7.
7.3.
MECANICA CUANTICA ONDULATORIA
Por consiguiente, para cada valor posible de n habrá u n a función de onda que es solución de la ecuación de Schródinger: (p„(x) = i? sen
TITVX
n = 1, 2, . . .
(7.19)
Del resultado obtenido en l a ecuación (7.18) se obtienen la expresiones para calcular la energía t o t a l E y l a cantidad de m o v i m i e n t o p de la partícula. E n efecto: 2mE h
n = 1, 2,
h
2
n TX h
nh
2ma
8ma
2
2
2
2
2
=
L a cuantización de ecuajción de Schródinger] vimiento de u n a partíc Para completar l a : valor de l a constante B i (ecuación (7.19)). Para < resultado es:
(7.20)
9
Pn
m o v i m i e n t o de una pa mecánica cuántica, los <
a
2
N o t e n que para cada valor del número entero n hay u n valor determinado para la energía y la cantidad de movimiento. Las expresiones de estas cantidades s o n : E„
APLICACIC
nivh
2
2
nh 2a
de donde:
1, 2,
n
L a forma final de la i
n = 1, 2, .
Este resultado dice que l a energía t o t a l y la cantidad de m o v i m i e n t o de una partícula en u n a caja de potencial se encuentran cuantizadas. El número entero n se denomina número cuántico y cada valor posible de la energía corresponde a u n nivel de energía ¿Por qué no puede ser cero el número entero n? E n la figura 7.11 se muestra el diagrama de niveles de energía para este caso. n = 4
E
= 16 E
n = 3
E
=
^E,
n = 2
E
=
iEi
n =
E
=
1
4
3
2
l
l
8mo
x = 0
F I G U R A 7 . 1 1 . Niveles de energía de una partícula en una caja de potencial unidimensional.
L a exclusión del valor cero como posible valor para la energía y la l i m i tación de sus posibles valores a u n conjunto discreto de valores cuando el 9
R e c u e r d e n que h —
2tc
a/2
s
FIGURA
7 . 1 2 . Funciones
partícula en
E n l a figura 7.12 se ciones de onda y las tres primeros valores del
dej
7.3.
167
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
m o v i m i e n t o de u n a partícula es restringido, son resultados propios de l a mecánica cuántica, los cuales no tienen equivalente en mecánica clásica. L a cuantización de la energía aparece siempre que se resuelve la ecuación de Schródinger para energías potenciales que restringen ét movimiento de u n a partícula a una región finita del espacio. Para completar la solución del caso considerado, falta determinar el valor de l a constante B que aparece en la expresión de la función de onda (ecuación (7.19)). Para ello se u t i l i z a la condición de normalización. E l resultado es: a
a
rnrx 1 —dx = B - a 2
2
1 = J\
= B
n
2
j
sen
2
2
de donde: B =
(7.21)
\la
L a f o r m a final de la expresión matemática de la función de onda es: n
A
i
r
x
(7.22)
n
=
3
n
=
2
[
NV
I
\
n 0
a/2
1
= x — &
x = 0
\
a/2
F I G U R A 7.12. Funciones de onda y densidades de probabilidad para una partícula en una caja de potencial unidimensional.
E n l a figura 7.12 se encuentra la representación gráfica de las f u n ciones de onda y las respectivas densidades de p r o b a b i l i d a d para los tres primeros valores del número cuántico.
168
C A P Í T U L O 7. M E C Á N I C A C U Á N T I C A O N D U L A T O R I A
De la figura se observa que la p r o b a b i l i d a d de encontrar l a partícula en algún lugar dentro de la caja de potencial puede ser m u y diferente según el valor del número cuántico n. Por ejemplo para n = 1, |
2
2
7.3.3
2
C a j a de potencial tridimensional
Resolver el problema de u n a partícula que se mueve dentro de u n a caja de potencial en tres dimensiones se hace sin mayor d i f i c u l t a d a l tener en cuenta los resultados anteriores. Consideremos una partícula con energía t o t a l E se mueve dentro de u n a caja de potencial tridimensional de lados a, b, y c (figura 7.13). z.
c
F I G U R A 7 . 1 3 . Caja de potencial en tres dimensiones
L a correspondiente ecuación de Schródinger para el p r o b l e m a se escribe como: v v ( z , y, z) + —^r
0
Para hallar la solución de la ecuación anterior es necesario separarla en tres ecuaciones, cada u n a de ellas dependiente de u n a sola variable. E l procedimiento, denominado método de separación de variables, consiste
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
169
en suponer que l a función de onda es igual a l p r o d u c t o de tres funciones, cada u n a dependiendo de u n a sola variable:
(7.23)
= X(x)Y(y)Z(z)
T o m a n d o las segundas derivadas parciales de la nueva función: &
2
2
• '
X 2
= 1 2 ^ 1 ; dy
^ dy
2
dV_ dz
2
x
y
d
2
Z dz
2
2
Reemplazando el resultado anterior en la ecuación de Schródinger, y d i v i d i e n d o t o d o por l a función XYZ se obtiene: 1
1 d
d
2
1 d
2
X d x ^
X
+
2mE
2
Y d y ^
Y
+
Z d z ^
Z
- ~ - i r
( 7
'
2 4 )
N o t e n que cada uno de los términos de la izquierda de l a ecuación depende solamente de u n a variable y el término de la derecha es u n a constante. Para que l a igualdad de la ecuación (7.24) sea válida, cada uno de los términos de l a izquierda de la ecuación debe ser a su vez igual a u n a constante: I d 2L X d x
I d
2
1
2
x— * '
h *«
Id
2
2
Y —
2
Y dy * 2
h ^
7 —
2
Zdz *~ 2
b >
2
donde se debe c u m p l i r que: K + K + K =
-^-
2
(7-25)
Como habrán notado, a l separar variables aparecen tres ecuaciones diferenciales del m i s m o t i p o del caso de la caja de potencial en u n a d i m e n sión. Por consiguiente ya conocemos las soluciones de las tres ecuaciones: X(x)
= B
senk x
Y(y)
= Csenk y
Z(z)
= D
x
(7.26)
y
senk x z
y la función de onda para este p r o b l e m a tiene la forma:— ip(x,y,z)
= A senk x x
senk y y
senk z z
donde A es el p r o d u c t o de las constantes individuales B, C y D.
(7.27)
170
C A P I T U L O 7.
MECANICA CUANTICA ONDULATORIA
7.3.
E n forma análoga a l caso unidimensional en los bordes de la caja la función de onda debe ser cero, lo cual conduce al siguiente resultado para k , k y k : x
y
z
k
n, = 1. 2,
n 7r
=
y
a
2
k. =
~b~
2
3
(7.28)
1, 2,
n
n rc
n
3
= 1, 2,
A l reemplazar las expresiones anteriores en la ecuación (7.25), se obtiene la expresión para la energía t o t a l de la partícula. U n caso i m p o r t a n t e aparece cuando la caja de potencial es u n cubo: a = b = c. Las energías permitidas y la función de onda son entonces: /j 7T 2
h
2
2
+ nl) = ^ — 8ma
E=l^{n\+n 2ma
22 2
t
2
, . . n^x (f(x, y, z) = A sen
sen
n ny 2
sen
(7.29)
APLICAC
el número i tienen la sciones de onda. 2
Y Cuando se presenta i la partícula (en general i de funciones de onda, g, i degeneración del siste lo anterior. 7.3.4
P o t e n c i a l del
Los potenciales que tienen l a forma most potenciales son los de general, u n electrón en V(r)
n wz 3
donde: n
x
= 1, 2, . . .
n = 1, 2, ..
I
3
=
1,2,.
= n + n\ n 2
2
E
140,
x
2
2
g 6
14^
(1,2,3); (3,2,1); (3,1,2)
12^!
(2,3,1); (2,1,3); (1,3,2) (2,2,2)
1
(3,1,1); (1,3,1); (1,1,3)
3
9E
(2,2,1); (2,1,2); (1,2,2)
6E 3E
(2,1,1); (1,2,1); (1,1,2)
X
1
(1,1,1)
1
3Ei
33
combinaciones de n , n , n
11^!
8mo
n
2
^
3 1
F I G U R A 7.14. Niveles de energía y estados degenerados para una partícula en una caja de potencial tridimensional de lados iguales
Este resultado significa que todos los estados de energías correspondientes a los números cuánticos n , n y n que conducen a l m i s m o valor para 2
3
0
M
F I G U R A 7.15. Curva dt<
paial
N3
2
x
-V
Como se puede obs la distancia r a d i a l r . disminuye rápidamente^ presencia de u n a gran : potencial pasa por U B • negativo indicando ¡ tiende a cero cuando r i Consideremos el i el p u n t o de vista el
7.3. APLICACIONES
DE LA ECUACIÓN
DE
SCHRÓDINGER
el número i tienen la misma energía E y están descritos ciones de onda. 2
por varias
171 fun-
Cuando se presenta este hecho se dice que los estados energéticos de la partícula (en general del sistema físico) son degenerados y el número de funciones de onda, g, que le corresponde a cada estado es el grado de degeneración del sistema. E n la figura 7.14 se encuentra esquematizado lo anterior. 7.3.4
P o t e n c i a l de fuerzas centrales
Los potenciales que son originados p o r fuerzas centrales conservativas tienen la forma mostrada en la figura 7.15. Ejemplos de ésta clase de potenciales son los de una molécula diatómica y el que experimenta, en general, u n electrón en u n átomo. V(r)
F I G U R A 7.15. Curva de energía potencial en función de la distancia radial r para fuerzas centrales conservativas.
Como se puede observar de l a curva de energía potencial en función de la distancia r a d i a l r , para valores pequeños de r la energía potencial disminuye rápidamente a p a r t i r de u n valor m u y grande, indicando la presencia de u n a gran fuerza de repulsión. A medida que r aumenta el potencial pasa p o r u n valor mínimo y luego va siendo cada vez menos negativo indicando ahora la presencia de fuerzas atractivas. Finalmente, tiende a cero cuando r tiende a i n f i n i t o . Consideremos el movimiento de una partícula en este potencial desde el p u n t o de vista clásico, para los caso en que su energía t o t a l es a) E , x
172
C A P Í T U L O 7.
b) E
y c)
2
7.3.
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
APLI(
1. Para energías i tizados.
-Vo (ver figura 7.15).
a) Su m o v i m i e n t o es restringido o acotado y sólo podrá moverse ent r e los puntos A y B. Es decir, orbitará alrededor del centro de fuerzas en una órbita (cerrada o no) con máximo acercamiento a una distancia r y máximo alejamiento en r . A
2. Para energías E l espectro de *
B
b) Su m o v i m i e n t o es restringido solamente hacia la izquierda y si se aproxima desde r = oo hacia el punto C, actuará sobre ella en dicho p u n t o una gran fuerza de repulsión que l a devolverá por donde v i n o hacia el infinito. E l p u n t o C se l l a m a punto clásico de retorno.
E l modelo mecanc las dos energías cor f o r m a de l a función
c) Con esta energía l a partícula permanecerá en el p u n t o M d e n o m i nado punto de equilibrio del sistema. Si l a partícula es el electrón en el átomo de hidrógeno, por ejemplo, entonces r es el radio de su órbita circular.
7.3.5
B a r r e r a de i
0
Si por algún mecanismo una partícula de energía E adquiere energía hasta alcanzar el valor E se alejará del centro de fuerza; pero si tenía u n a energía E y l a pierde para quedar con u n a energía E , permanecerá en ese nivel de energía a menos que se le proporcione u n a mínima cantidad de energía indicada en la figura 7.15 por E . x
2
2
x
d
V(r)
V(r)
FIGURA E > 0
E>0
E n l a figura 7.17 se expresión matemática
V(r) = 0
E < 0
E<0
Punción de onda p a r a estados
b. Pozo de potencial rectangular:
acotados y no acotados correspon-
modelo mecanocuántico de l a c u r -
dientes a l a energía potencial de
v a de potencial m o s t r a d a en a ) .
a.
fuerzas centrales.
F I G U R A 7 . 1 6 . Potencial de fuerzas centrales.
Desde el p u n t o de vista mecanocuántico l a descripción anterior es válida, pero hay dos resultados más:
7.17.
| oo
L a barrera de potencial * física nuclear. Cuando i barrera de potencial de atravesar l a barrera y que se conoce como efe nuclear corresponde, espontánea de partículas i E n l a figura 7.18 se i gráfica.
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
173
1. P a r a energías negativas (E ^ 0 ) , los estados energéticos son cuantizados.
2. P a r a energías positivas (E > 0), todas las energías son posibles. E l espectro de energías es continuo.
E l modelo mecanocuántico de este potencial y la forma de la onda para las dos energías consideradas se muestra en l a figura 7.16. N o t e n la f o r m a de l a función alrededor de los puntos A y B.
7.3.5
B a r r e r a de potencial
V(x)
V(x)
= 0
= V
0
V{x)
x = 0
= 0
x = a
F I G U R A 7 . 1 7 . Barrera de potencial de ancho a y altura V
g
E n l a figura 7.17 se muestra la forma de una barrera de potencial. L a expresión matemática de este potencial es:
V
0 < x ^ a
0
x < 0, x > a
0
L a barrera de potencial es el modelo de u n efecto m u y i m p o r t a n t e en física nuclear. Cuando u n a partícula de energía t o t a l E incide sobre u n a barrera de potencial de a l t u r a V t a l que V > E, l a partícula puede atravesar l a barrera y aparecer al o t r o lado de la misma. Este efecto que se conoce como efecto túnel, no ocurre en física clásica y en la física nuclear corresponde, entre otros, a u n modelo que explica la emisión espontánea de partículas a. 0
0
E n l a figura 7.18 se encuentra el resultado mecanocuántico en forma gráfica.
174
C A P Í T U L O 7.
V(x)
MECÁNICA CUÁNTICA ONDULATORIA
=v
0
r.xi
V[x)=(l
=o
a. R e s u l t a d o mecanocuántico.
b. F o r m a de l a función de o n d a .
barrera de potencial energía de la partícula a i
radio del núcleo i parte repulsiva (de Coulomb) del potencial -atracción nuclear
AAAAAA/M c. D e n s i d a d de p r o b a b i l i d a d .
E
d.
C u r v a de energía p o t e n -
cial de u n a partícula a ligad a a l núcleo. F I G U R A 7 . 1 8 . B a r r e r a de potencial c o n E
Preguntas 1. ¿ C ó m o se expresa la relación fundamental entre propiedades de la función de onda y el comportamiento de la partícula asociada? 2. ¿En qué forma entra el postulado de De Broglie en l a teoría de Schródinger? 3. ¿Cuál es la razón fundamental para que en la mecánica cuántica los resultados estén dados en términos de probabilidades? 4. ¿Cuál es el efecto sobre los niveles de energía de u n a partícula en una caja de potencial unidimensional cuando el ancho de ésta: a) se hace menor y b) se hace mayor? 5. Si en el escalón de potencial con E < V , en el p u n t o x = 0 el potencial fuera i n f i n i t o , ¿cuál sería la diferencia en la f o r m a de la función de onda en la región x > 0? 0
7.3.
APLICACIONES D E L A ECUACIÓN D E SCHRÓDINGER
175
6. Si en l a caja de potencial unidimensional las paredes no fueran infinitas sino de a l t u r a V , ¿cuál sería la diferencia en la forma de la función de onda en las regiones fuera de la caja (E < V )1 Q
Q
7. ¿Cuál es la condición fundamental para que la energía mecanocuántica de una partícula sea cuantizada? 8. ¿De qué depende principalmente la forma de la función de onda que satisface la ecuación de Schródinger?
Problemas 1. Muestre que si (p(x) es u n a función compleja, el p r o d u c t o ip* (x) (p(x) es real positivo o cero. 2. Normalice la función:
= Ae-
e- */
l
¿/3
a2x2 2
-
2
oo <
x ^ oo
oo
Ayuda:
si una función F(x)
es par, f
oo
F(x) dx = 2 f F(x)
-oo
R/: ( a / v ^ )
dx
0
1 / 2
3. U t i l i z a n d o la función de onda de la partícula en u n a caja de potencial unidimensional, encuentre los valores esperados < x > y < E > para el estado base del sistema. ¿Qué concluye de sus resultados? R / : < x > = a / 2 ; < E >= h/Sma . 2
4. Demuestre que l a razón AE/E entre dos niveles de energía adyacentes de u n a partícula en u n a caja de potencial unidimensional está dada por: n
AE
_ 2n + 1
~E~
~
n
2
5. U n a propiedad i m p o r t a n t e de las funciones de onda es que deben ser ortogonales entre sí, lo cual se escribe: j
r°n
dV = 0
n ^ m
n , m = números enteros
donde dV es el elemento de volumen. Demuestre que ésto se cumple para las funciones de onda de una partícula en u n a caja de potencial unidimensional. Ayuda:
2 sen A sen B = eos (A — B) — cos(^4 + B)
176
C A P Í T U L O 7.
MECANICA CUANTICA ONDULATORIA
6. U n haz de partículas con energía E incide desde la izquierda sobre el potencial mostrado en la figura 7.19a. (a) Escriba las ecuaciones de Schródinger y su solución para cada región (no t r a t e de hallar las expresiones matemáticas de las constantes). (b) Haga u n diagrama de l a función de onda y su densidad de
Capítulo 8
probabilidad. (c) Explique el significado físico del resultado obtenido. 7. U n a partícula con energía E se mueve dentro del p o t e n c i a l mostrado en la figura 7.19b. Haga u n esquema de la forma de la función de onda, utilizando los resultados expuestos en los diferentes casos tratados en este capítulo. No trate de resolverlo matemáticamente; sólo de la solución en forma gráfica.
V(x)
V(x)
V[x)
=
= V
2
= V,
0
a. P r o b l e m a 6.
FIGURA 7.19.
b. P r o b l e m a 7.
Potencial.
Oscilador E n el capítulo anterior ¡ discontinuas de la constantes a ambos siguiente se estudiarán < posición siendo el p r i E l oscilador armonio»! délo de t o d o ente físico < posición de equilibrio, son las vibraciones de i de átomos en redes cr sólidos pueden ser expl conforman los sólidos.
8.1
Oscilador
Comenzaremos por records de u n oscilador armónico clásica. Sea u n a partícula de n b a j o la acción de una fuea plazamiento que experi L a m a g n i t u d de la fui
donde k es l a constante de i De acuerdo con la segua
Capítulo 8
Oscilador armónico E n el capítulo anterior se habló de energías potenciales que son funciones discontinuas de la posición (con excepción de u n caso) y con valores constantes a ambos lados de l a discontinuidad. E n este capítulo y el siguiente se estudiarán dos potenciales que son funciones continuas de la posición siendo el p r i m e r o de ellos el potencial de u n oscilador armónico. E l oscilador armónico simple es i m p o r t a n t e en física porque es el modelo de t o d o ente físico que realiza pequeñas oscilaciones alrededor de su posición de equilibrio. Dos ejemplos entre muchos, de este m o v i m i e n t o , son las vibraciones de átomos en moléculas diatómicas, y las oscilaciones de átomos en redes cristalinas. Además, las propiedades térmicas de los sólidos pueden ser explicadas a p a r t i r de oscilaciones de los átomos que conforman los sólidos.
8.1
Oscilador armónico clásico
Comenzaremos por recordar brevemente las propiedades y características de u n oscilador armónico simple desde el p u n t o de v i s t a de l a física clásica. Sea u n a partícula de masa m que se mueve a lo largo de u n a recta b a j o l a acción de u n a fuerza recuperadora que es p r o p o r c i o n a l a l desplazamiento que experimenta, (fig.8.1). L a m a g n i t u d de la fuerza recuperadora está dada p o r la expresión: F = -kx
(8.1)
donde k es la constante de recuperación. De acuerdo con la segunda ley de N e w t o n se tiene que: dx 2
F = ma = m 177
= —kx
(8.2)
178
C A P Í T U L O 8. O S C I L A D O R A R M Ó N I C O
F = •x
H
-kx m
X
x
F I G U R A 8 . 1 . Esquema de una partícula que realiza un movimiento armónico simple de amplitud A bajo la acción de la fuerza recuperadora F.
Relación que se puede escribir como:
cfx 2
donde u
2
+ LÜ X = 2
0
(8.3)
— k/m.
D e l apéndice B encontramos que l a solución de la ecuación diferencial ( 8 . 3 ) es de la forma:
x
= Bé
wt
+
Ce~
iut
= D cos(wí) + E sen(wí)
(8.4)
donde o; = 2n v = y/k/m es la frecuenciar-angular del m o v i m i e n t o y las constantes D y E se determinan a p a r t i r de las condiciones iniciales del problema. \ Suponiendo que en el instante t = 0 la partícula se encuentra en reposo el p u n t o x = A (fig 8 . 1 ) , se obtiene que las constantes D y E son: D = A y E = 0. Por consiguiente las ecuaciones que describen la posición y la velocidad de l a partícula en el t i e m p o son:
x =
Acos{ujt) (8.5)
—AUJ
v = sen(o;í) donde A es la a m p l i t u d del movimiento. L a energía potencial de la partícula se obtiene a p a r t i r del t r a b a j o que es necesario efectuar para moverla desde x = 0 hasta u n p u n t o x en
8.1.
OSCILADOR A R M Ó N I C O CLÁSICO
179
contra de la fuerza recuperadora. Esto es: X V(x)
=
-jo
Fdx
xX x dx o = - kx
(8.6)
= - mcu x
2
2
2
L a curva de la energía potencial en función de la posición se muestra en la fig. 8.2.
L a energía t o t a l de l a partícula en movimiento armónico simple es: 1 O 1 9 E = K + V = - mv + - kx 2
2
Reemplazando en esta ecuación los resultados obtenidos para las variables v y x: sen (wí) + \kA
E=\ oj 2
2
2
2
cos {wt) 2
(8.7) =
-kA = -mu A 2 2 Este resultado muestra que la energía t o t a l del oscilador armónico simple es constante y a su vez determina l a a m p l i t u d de oscilación. X
2
2
2
180
8.2
C A P I T U L O 8. O S C I L A D O R A R M O N I C O
8.2.
Oscilador armónico cuántico
L a ecuación diferenc
Solución d e l a ecuación d e S c h r o d i n g e r L a ecuación de Schrodinger unidimensional, independiente del t i e m p o para el oscilador armónico tiene l a forma:
2m
[E - \ )
ip(x) = 0
2
(8.8)
Donde ip(x) es la función de onda del sistema que describe el comport a m i e n t o de la partícula que está oscilando alrededor de su posición de equilibrio; f"(x) es su segunda derivada con respecto a la coordenada x. Encontrar la solución de ésta ecuación no es t a n fácil como en los casos tratados anteriormente. Es u n a ecuación diferencial cuya solución matemática ya se conoce. Los pasos a seguir para resolverla son los siguientes: 1. Expresar la ecuación en forma adimensional. 2. Determinar el c o m p o r t a m i e n t o asintótico de la función tp(x) cuando x tiende a oo. 3. M u l t i p l i c a r esta solución asintótica por o t r a función que d e t e r m i nará el c o m p o r t a m i e n t o de tp(x) para x
finito.
donde
L a solución de esta i
Para determinar el valar ñera. D e r i v a n d o dos el resultado en l a valores grandes de la Pero de acuerdo e n onda, la exponencial consiguiente la función
4. Resolver la ecuación diferencial para la nueva función de onda p o r medio del método de series de potencias y 5. Determinar la condición que hace que l a solución anterior sea u n a función de onda adecuada para el problema considerado. Sin entrar en detalles vamos a seguir estos pasos y encontrar la solución de la ecuación (8.8). Sea £ = a x la nueva variable sin dimensión, donde a es u n parámetro que definiremos más adelante. A l realizar el cambio de variable de a; a £, la ecuación (8.8) se transforma en:
de
+
2
2mE Ha 2
2
mk
(p(x) = 0
H a
4
2
4
=
km
X =
2mE ha 2
llamando: a
Nótese que esta s o l u d ó » variable £. E l siguiente paso es para valores pequeños función anterior (ecu determinar. Sea esta
2
2E_
Esta ecuación diferencial, < m i t e , se resuelve por el * L a solución de l a ecuadóai
8.2.
OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
181
L a ecuación diferencial se convierte finalmente en: ^ + ( A - í V ( í )
= 0
(8.9)
donde (p(£), solución de la ecuación, es la nueva función de onda que debe ser finita, continua y univaluada en el intervalo — oo < £ < oo. A h o r a veamos el c o m p o r t a m i e n t o de l a función oo. E n la ecuación (8.9), cuando xi es m u y grande el factor A
r
^P--e
(8.io)
= o
d
L a solución de esta ecuación es de la forma:
Para determinar el valor de la constante ¡3 se procede de la siguiente m a nera. Derivando dos veces la función (p con respecto a £; sustituyendo el resultado en l a ecuación (8.10) y haciendo las aproximaciones para valores grandes de la variable £ se obtiene que /3 = ± 1 / 2 . Pero de acuerdo con los requisitos que debe c u m p l i r una función de onda, l a exponencial con (3 = + 1 / 2 no es solución del problema. Por consiguiente la función de onda asintótica tiene la forma: x
(8.ii)
Ve At) = e-?
12
Nótese que esta solución es válida solamente para valores grandes de la variable £. E l siguiente paso es encontrar la solución que también sea válida para valores pequeños de la variable £. Esto se logra m u l t i p l i c a n d o l a función anterior (ecuación (8.11)) por o t r a función cuya forma se deberá determinar. Sea esta función H(£). Entonces:
f(0
= ¥>«,(£) H(0
= e~?l H{0
(8.12)
2
Derivando (8.12) dos veces con respecto a £ y reemplazando el resultado en la ecuación (8.9) se obtiene: + ^ - l ) * ( f l = 0
(8.13)
Esta ecuación diferencial, conocida como ecuación diferencial de Herm i t e , se resuelve p o r el método de series de potencias . L a serie o b t e n i d a 1
solución de l a ecuación se encuentra en el apéndice C .
8.2.
d. n = 3
183
OSCILADOR ARMONICO CUANTICO
e. n
—4
f. n = 5
F I G U R A 8.3. Funciones de onda del oscilador armónico para n = 0 hasta n = 5. Las lineas punteadas son los límites clásicos de oscilación
1. P a r a x = 0. Cuando n = 0 la función de onda es nula solamente para x —> ± o o . 2. Para n = 1 la función de onda es nula en x = O.Este p u n t o se denomina nodo. 3. Para n = 2 la función de onda es nula en ¿ ( a - v / ^ ) - Esto significa que tiene dos nodos. - 1
4. Para n ~ 3, tiene 3 nodos; para n = 4 tiene 4 y así sucesivamente. Esto es, el número de nodos de la función de onda es igual a l número cuántico del entero n correspondiente. 5. Desde el p u n t o de vista cuántico la partícula puede oscilar más allá del límite clásico de oscilación (líneas punteadas en las gráficas de la figura 8.3) 8.2.2
Energía de u n o s c i l a d o r armónico cuántico
L a condición que determina el grado de los polinomios de H e r m i t e , ecuación (8.14), también p e r m i t e determinar los posibles valores de l a
184
C A P Í T U L O 8. O S C I L A D O R A R M Ó N I C O
energía del oscilador armónico cuántico puesto que A = Por consiguiente: E
n
= ^ (2n + 1) hu = (n + 0
ñu = (n +
2E/(hw).
hu
(8.17)
donde u es la frecuencia de oscilación de la partícula y n es el número cuántico que especifica los niveles de energía del oscilador. Nótese que este resultado difiere en u n factor de ( 1 / 2 ) hu con respecto a la expresión para la energía formulada por Planck para el mismo caso. Pero este factor no influye en los resultados porque en general se calculan diferencias de energía entre niveles energéticos y entonces el factor desaparece. Para Planck la energía de cada estado es proporcional n(hu) y desde el p u n t o de vista cuántico es ( n + 1/2) hu. Pero a l calcular la diferencia de energía entre dos estados consecutivos AE = hu en ambos casos. Nuevamente se ha encontrado la cuantización de la energía resultado esperado porque el movimiento de la partícula es restringido en f o r m a análoga a como lo es cuando u n electrón gira alrededor de u n núcleo o una partícula se mueve dentro de u n a caja de potencial. n = 3
E
3
=
7E
n = 2
E
2
=
5E
n = 1
E
= 3£
n = 0
E
=
1
0
0
Q
0
1 , -hu
F I G U R A 8.4. Diagrama de energías para el oscilador armónico cuántico.
A diferencia del caso clásico, el oscilador armónico cuántico tiene u n a energía mínima diferente de cero (caso n = 0): o = \ » = \ u
E
(8.18)
Esta mínima energía se denomina energía de punto cero y es c o m p a t i b l e con el p r i n c i p i o de incertidumbre como veremos a continuación. Desde el p u n t o de vista clásico, cuando la partícula está en reposo en su posición de equilibrio (x = 0) su energía t o t a l y cantidad de m o v i miento son nulas y entonces conocemos simultáneamente con e x a c t i t u d su posición y cantidad de movimiento. Pero desde el p u n t o de vista de la mecánica cuántica, lo anterior contradice el principio de incertidumbre
8.2.
185
OSCILADORARMÓNICO CUÁNTICO
posición-cantidad de movimiento y, por consiguiente, el p r i m e r nivel de energía del oscilador cuántico, E , corresponde a la mínima energía del sistema que es compatible con los principios de ijieerijdumbre. 0
8.2.3
Densidad de probabilidad
E n la figura 8.5 se muestra el diagrama de la energía potencial de u n oscilador armónico y algunos niveles de energía. A h o r a , consideremos u n a partícula con energía t o t a l E que está l i m i t a d a a moverse entre los puntos —A y +A dentro de este potencial. x
V(x)
F I G U R A 8 . 5 . Energía potencial y algunos niveles de energía para el oscilador armónico.
L a densidad de p r o b a b i l i d a d clásica de encontrar la partícula en u n p u n t o situado entre x y x + dx, para —A ^ x ^ +A, está dada por la relación : 2
Pe™» = —
(8-19)
donde v es la velocidad de la partícula. Por ser u n sistema conservativo, la energía t o t a l de la partícula en el p u n t o A es la m i s m a que en cualquier p u n t o de su recorrido entre —A y +A. Esto es: 1 o jo ^ - mu A = - mv
9
2
2
+ - mu x
y su velocidad será: v = wVA
2
(8.20)
- x
2
Por consiguiente la densidad de p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula con energía E
l
entre x y x + dx es:
íi(¿'-s )•PclAsicaW = S 0 a
2
1 / 2
-A^x^+A \x\>A
L a p r o b a b i l i d a d de encontrar l a partícula en algún lugar entre -A
inversamente proporcional a s u velocidad v.
(8.^1) y +A
es
186
C A P I T U L O 8.
OSCILADOR ARMONICO
Desde el p u n t o de vista cuántico la densidad de p r o b a b i l i d a d de encont r a r la partícula con energía E entre x y x + dx es: x
2(T
P^ cÁx) ntí
= \vÁx)\ =
1 •>
3
^ x V "
2
e -
a
x
(8.22)
71
máximos para x = p o s i b i l i d a d de er m o v i m i e n t o . Esta energía del oscilador. E n la figura 8.7 t e clásica y cuántica. < observa que a me probabilístico del probabilístico del concuerda con el pr
Preguntas F I G U R A 8.6. Distribución de la densidades de probabilidad cuántica y clásica de un oscilador armónico con n = 1.
E n la figura 8.6 se muestran las curvas de p r o b a b i l i d a d , clásica y cuántica, en función de la posición de la partícula cuando ésta se encuentra en el nivel de energía con n = 1.
1. P a r a describir armónico usamos! ción. ¿Desde d i Explique. 2. Clásicamente ca se encontrará puede encont 3. ¿En qué condic los resultados -
b.
a. n = 2
n=3
.clásica cuántica
-A
mi\N\MM
A
c. n = 1 0
F I G U R A 8.7. Densidades de probabilidad del oscilador armónico clásico y cuántico para n = 2 , 3 y 10. ± A es la amplitud de la oscilación clásica
Comparando las curvas de densidades de p r o b a b i l i d a d , en el caso clásico es máxima en los puntos —A y +A (límite del m o v i m i e n t o clásico), y la partícula nunca se encontrará más allá de estos puntos. E n cambio, desde el p u n t o de vista cuántico, la densidad de p r o b a b i l i d a d tiene dos
4. Clásicamente un < se encuentra en oscilador armót de menor energía. 1 5. ¿Qué ocurre con cilador cuántico i kl 6. Desde el p u n t o de se encuentra la ¿ C ó m o puede es
Problemas
1. Realice las opera p a r t i r de la ecuació«| . , Ayuda:
d du d , — = \ dx dx du
8.2.
OSCILADOR ARMÓNICO CUÁNTICO
187
máximos para x = ± ( ñ / m o z ) i ' ' (puntos ±B en la gráfica) y existe l a p o s i b i l i d a d de encontrar la partícula fuera de los límites clásicos d e l m o v i m i e n t o . Esta diferencia se hace notoria para el estado de menor energía del oscilador. 2
E n l a figura 8.7 se muestran las curvas de densidad de p r o b a b i l i d a d , clásica y cuántica, del oscilador armónico para n = 2, 3 y 10. E n ellas se observa que a medida que crece el número cuántico n el c o m p o r t a m i e n t o probabilístico del oscilador cuántico se va acercando a l c o m p o r t a m i e n t o probabilístico del oscilador clásico (líneas punteadas). Este resultado concuerda con el p r i n c i p i o de correspondencia de B o h r .
Preguntas 1. Para describir clásicamente el c o m p o r t a m i e n t o de u n oscilador armónico usamos u n a ecuación de fuerza que es función de la posición. ¿Desde el p u n t o de vista cuántico podemos hacer lo mismo? Explique. 2. Clásicamente una partícula que oscila entre dos puntos límites n u n ca se encontrará fuera de ellos. ¿Desde el p u n t o de vista cuántico, puede encontrarse más allá de estos puntos? Explique. 3. ¿En qué condiciones los resultados mecanocuánticos coinciden con los resultados clásicos para el oscilador armónico? 4. Clásicamente u n oscilador armónico tiene su menor energía cuando se encuentra en reposo en su posición de equilibrio. ¿Para u n oscilador armónico cuántico que también se encuentra en su estado de menor energía, lo anterior es cierto? E x p l i q u e . 5. ¿Qué ocurre con la separación entre niveles de energía de u n oscilador cuántico cuando se disminuye su constante de recuperación kl 6. Desde el p u n t o de vista cuántico hay lugares en los cuales nunca se encuentra l a partícula oscilante(ver gráficas para el oscilador). ¿ C ó m o puede explicar este resultado?
Problemas 1. Realice las operaciones necesarias para obtener la ecuación (8.9) a p a r t i r de l a ecuación (8.8). d
du d
188
C A P Í T U L O 8. O S C I L A D O R A R M O N I C O
2. Muestre que la constante ¡3 de la ecuación (8.11) es igual a ± 1 / 2 . 3. Realice las operaciones necesarias para obtener la ecuación (8.13). 4. Compruebe que la función de onda del oscilador armónico para n = 2,
5. Muestre que ^ ( x ) ! tiene dos máximos en x = ± l / a . encuentre los máximos de la función. 2
Esto es,
6. Calcule el p u n t o cero de la energía y el espaciamiento entre los niveles de energía de: a) u n oscilador cuya frecuencia es de 400 Hz\ b) u n a molécula de CO en la cual los átomos oscilan con u n a frecuencia de 6.5 x 1 0 Hz. R / : a) 8.28 x 10~ eV 1.65 x 1 0 " eV; b) 1.347 x 10 éV, 2.694 x 10 eV. 16
13
2
1 2
2
del oscilador
2
armónico con n = 0 y 1. Explique sus respuestas. ''
hum
2wm'
2
Teoría ci átomos
2
7. Calcule los valores esperados ,y H
Capítulo
huí
3/iwm
3H
' ~2~' 2 ^ m '
2
"ihw ' ~2~'
8. Para el oscilador armónico clásico la p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula en algún p u n t o a lo largo del eje a; entre — A y A es: OO
1 =
j
J\
P(x) dx =
j^
C o n l a aparición de p a r a estudiar y de aplicarlo a los átomos J los mismos resultados * son predecibles, y Bohr. Mediante la me de los átomos ya que 1 sistema describirán:
dx
donde A es la a m p l i t u d del movimiento. Muestre que el valor de la constante B es
1. Las funciones de ] estructura atómica^ lo hacen las órbita»!
UI/TT.
Ayudas: Si la función f(x)
es función par:
2. E l m o m e n t o J
f(x)dx
= 2I
-oo
mente en l a teoría i
f(x)dx
0
3. Cuándo son posib cual t a m p o c o se
m
dx =
/
2o
xe 2a
l-3-5---(2a-l)
_22 r
x
r
x
J
dx = -
2a+ly.2
y/2 2r
A/7T
r > 0, a = 1 , 2 , . . .
Además de los puntos , t r a r o n la existencia de < guiar intrínseco denor el surgimiento de una nn E n éste capítulo sólo , verán en el capítulo 10.
Capítulo 9
Teoría cuántica de los átomos hidrogenoides C o n la aparición de la mecánica cuántica se tiene u n nuevo método para estudiar y describir la naturaleza y, por lo tanto, a los átomos. A l aplicarlo a los átomos hidrogenoides en particular, se deberá encontrar los mismos resultados obtenidos anteriormente y algunos nuevos que no son predecibles, y menos explicables, a p a r t i r de l a teoría atómica de Bohr. Mediante la mecánica cuántica se podrán conocer nuevas propiedades de los átomos ya que las funciones de onda propias del hamiltoniano del sistema describirán: 1. Las funciones de probabilidad que darán las figuras detalladas de l a estructura atómica sin violar el principio de incertidumbre, como lo hacen las órbitas exactas de la teoría de Bohr. 2. E l momento angular del átomo, el cual no es predicho correctamente en la teoría de Bohr. 3. Cuándo son posibles las transiciones electrónicas en los átomos, lo cual t a m p o c o se puede predecir a p a r t i r de la teoría de B o h r Además de los puntos anteriores, ciertos resultados experimentales most r a r o n l a existencia de otras propiedades del electrón: su momento a n gular intrínseco denominado spin, que para su explicación era necesario el surgimiento de u n a nueva teoría. E n éste capítulo sólo hablaremos del primer punto; los demás se verán en el capítulo 10. 189
190
C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
9.1 9.1.1
Descripción cuántica de los átomos hidrogenoides Solución d e l a ecuación d e S c h r o d i n g e r
Como se sabe, u n átomo hidrogenoide consta de u n núcleo de carga positiva Ze y u n electrón. Cuando Z = 1 tenemos el átomo de hidrógeno. \
/ /
\
/
'
M
Z
e
\
±
CM
TA
'
'
Tm'e
r
7
\ \
F I G U R A 9 . 1 . Esquema de un átomo hidrogenoide cuyo núcleo tiene una carga eléctrica +Ze
T a n t o el núcleo como el electrón se encuentran en m o v i m i e n t o alrededor del centro de masa del sistema núcleo-electrón. Si M y m son las masas del núcleo y del electrón, respectivamente, y r es la distancia entre las dos partículas, la energía cinética y la energía potencial del átomo son: v » = £n 2M 2
K
v = 7T 2m 2
*
K
V{r)
Ze = - ^ 4ire r 2
(9.1)
0
Si comparamos las masas de las partículas, M es mucho mayor que m ( 1 8 3 6 veces más en el caso de hidrógeno), de manera que la energía cinética del electrón es mucho mayor que la del núcleo que, entonces, se puede considerar en reposo. Teniendo en cuenta esta aproximación, la energía t o t a l del sistema núcleo-electrón es: E = K
n
+ K
e
+ V = K
e
+ V = ^ + V(r) ¿m
(9.2)
E l tomar a l núcleo en reposo p e r m i t e colocarlo en el origen del sistema de coordenadas y a l electrón a u n a distancia (x,y,z) del origen como se muestra en la figura 9 . 2 . Para obtener el h a m i l t o n i a n o del sistema núcleo-electrón basta reemplazar las cantidades dinámicas de la ecuación ( 9 . 2 ) (caso clásico) p o r sus operadores mecanocuánticos correspondientes. Teniendo en cuenta que la cantidad de m o v i m i e n t o es u n a cantidad vectorial y por lo t a n t o tiene tres componentes con respecto a l sistema de coordenadas rectangulares, se obtiene: H=-—V
2
+ V(x,y,z)
(9.3)
9.1.
DESCRIPCIÓN C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S HIDROGENOIDES
x,y,z)
r = \/x
2
+ y + z 2
< # < tt
0
191
2
x = r sen 6 eos (f>
0<^><27T
y = r sen 8 sen 0
O^r^oo
z = r eos 0
d V = r dr 2
0
= eos"
1
sen6d6d • = tan"
1
-
F I G U R A 9 . 2 . Coordenadas esféricas y las correspondientes ecuaciones de transformación
donde „2 V =
d 2
9
&
2
1 dx
1 dy
2
d z
2
2
L a ecuación de Schrodinger para u n átomo hidrogenoide es entonces: h
2
_
¿m donde ip(x,y,z)
V ^ ( a ; , y , 2 ) + V(x,y,z)ip(x,y,z)
=
2
Ei¡>(x,y,z)
es la función de onda p r o p i a que describe el compor-
t a m i e n t o del electrón en el átomo. Por razones de simetría es más fácil resolver la ecuación anterior en coordenadas esféricas, debido a que la energía potencial eléctrica del sist e m a tiene simétrica esférica. A l cambiar de las variables rectangulares (x, y, z) a variables esféricas ( r , 9, (¡>) la ecuación de Schrodinger t o m a l a forma: l_d_( r dr 2
dp\
d
2
V
dr)
+
í
JUp
r sen0d0 \ 2
+r^senf9 oeq> +nS 2
2
¿
^ - W V
= 0
(9.4)
2
donde tp — ip(r,9,) es la función de onda en términos de las nuevas variables. A l escribir esta función de onda como u n p r o d u c t o de tres funciones , 1
cada una dependiente de u n a sola variable: V
(r 0,^)=i?(r)e(fl)^) J
' E s decir, empleando el método de separación de variables, capítulo séptimo.
\
(9.5) introducido en el
192
9.1.
C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E L O S Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
la ecuación (9.4) se puede separar en tres ecuaciones diferenciales independientes, simplificándose los desarrollos matemáticos .
DESCI
derecha del signo obtiene:
Las derivadas parciales de la función de onda con respecto a cada variable son, por ejemplo: Rdr dtp dr
dr
„
d e
x
de
ee
d
(9.6)
dd>
2
2
Reemplazando resultados del t i p o (9.6) en la ecuación (9.4), d i v i d i e n d o por el p r o d u c t o R 0 $ y m u l t i p l i c a n d o por r sen (j) se obtiene: 2
2
sen e d 2
R
,dR
dr
sen9 +
d
(
d@
n
- ^ d e l
s
e
n
j e
9
1 <9 $ 2
+ d
$
2mr sen 6> -„ \ h 2
2
. . V(r) o
2
2
R
sene
,dR
~dr
+
d
(
-e-de{
Nuevamente, esta i% son iguales a la m i n — l Esta constante sel de ciertas condicioi ecuación diferencial i
2
E s t a ecuación se puede escribir de t a l manera que u n lado de ella dependa de las variables r , 9, mientras que el o t r o lado dependa de f o r m a exclusiva de (j>. Pasando a l lado derecho del signo igual la p a r t e dependiente de la variable , se obtiene: sen e d
\ J
d®
V
Rdr 1
a
sen06d#l C o m o las tres eci] puede reemplazar la final de cada u n a de <
n
s
e
n
e
-de
2mr sen 6> 2
+
2
T r /
[E-V{r)]
„
=
1 d
$
2
$d
2
E s t a igualdad es verdadera si ambos lados de la ecuación son iguales a la m i s m a constante que llamamos m]. Así, en el proceso de separación se h a n obtenido dos ecuaciones diferenciales que son:
sen e d 2
R
d~r
1
d $
?
d^
señé» d
,dR +
2
2
(
(9.7)
= — m.
d@
n
-^deV™ M e
+
2 m r sen 0 „ ^ [E-V(r)}=m 2
2
,
r
2
,„ (9.8)
sene d8 l_ d_ r
2
dr
dR dr
H
E l paso siguiente es encontrar las expresio: la función de onda, sa hidrogenoides. L a más sencilla de conoce puesto que tiene en el apéndice B . Entoi =
At
L a ecuación (9.8) también se puede separar en dos ecuaciones, cada una función de u n a sola variable. Dividiéndola por sen e y pasando a la 2
donde N es u n a consta
9.1.
DESCRIPCIÓN CUÁNTICA D E LOS ÁTOMOS HIDROGENOIDES
193
derecha del signo igual los términos que dependen de la variable 0, se obtiene: 1
d
,dR
m?
1
sen 0
d
(
sen06d0\
2
d
n
89
Nuevamente, esta igualdad es verdadera si ambos lados de l a ecuación son iguales a la m i s m a constante. E s t a constante se expresa como í{i+l), forma que se obtiene a p a r t i r de ciertas condiciones matemáticas que debe c u m p l i r la solución de l a ecuación diferencial en 0. Entonces las siguientes dos ecuaciones son: 1_ d_
,dR
+ ^-[E-V{r)]=e(£ h
Rdr
+ l)
(9.9)
2
1
sen0
sen 0 6 «90
m, sen 0
09
(9.10)
2
Como las tres ecuaciones dependen cada una de u n a sola variable se puede reemplazar l a derivada parcial por la derivada t o t a l y l a forma final de cada u n a de ellas es: d$ 2
1
d (
2
d
n
sen 0 d9 \ I dR r
2
dr
dr
+
m]
fíll¡
\ 2m
(9.11)
+ m $ = 0
dft
sen
E +
6 = 0
Ze
2
4ne
0
(9.12)
2
ü = 0
r
(9.13)
E l paso siguiente es hallar las soluciones de las tres ecuaciones. Esto es, encontrar las expresiones matemáticas de R(r), 6 ( 0 ) y (<¿>) que f o r m a n la función de onda, solución de la ecuación de Schrodinger para átomos hidrogenoides. L a más sencilla de resolver es la ecuación (9.11) cuya solución ya se conoce puesto que tiene l a m i s m a forma de las ecuaciones contempladas en el apéndice B . Entonces: = i 4 c o s ( m ^ ) + J5sen(m. ¿) = N <(
donde N es u n a constante de normalización.
e™ * 1
(9.14)
1 9 4 C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E L O S Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
Para que <&{(f>) sea solución aceptable del p r o b l e m a debe ser univaluada. Esto significa que: $() = <£>($ + 2ix). Por lo t a n t o :
9.1. D E S C R I P C I Ó N
Pr (coa d) y LI'$(P) guerre respectivamente; Estos polinomios se PI(X)
de donde:
=
{ \ - T
Í
\
donde Pj(x) y Lj(x) guerre respectivamente.
g27r im(
E n l a t a b l a 9.1 se recurrencia.
Lo cual es equivalente a:
2
cos(27rm¿) + i sen(2nm£)
= 1
T A B L A 9 . 1 . Polinomios i
Esta igualdad es verdadera siempre que m sea u n número entero posil
t i v o , negativo o cero. Es decir: m
t
Lege-
= 0, ± 1 , ± 2 , •••
= 1
Po(x)
Las soluciones de las otras dos ecuaciones diferenciales no son t a n sencillas de obtener y el desarrollo matemático correspondiente es largo. E n el apéndice D se presenta en forma detallada la manera de resolverlas y en especial, las condiciones que deben satisfacer los números enteros m y los dos nuevos números que aparecen a l resolver las ecuaciones diferenciales en 9 y r: i y n . \ A continuación se presentan los resultados para cada u n a de las f u n ciones con los correspondientes factores de normalización:
=
X
1
P (x)
(3X 2
2
t
(5X -
Ps(x)
3
P (x)
=
k
im¿(¡>
m
0
e
2TT
©1.^(0) =
l{2í +
\){l-\\)\
= 0, ± 1 , ± 2 ,
Poicos
2{t+\m \)\
1
2" k\*
(9.15)
...,±i
9.1.2
9)
t
i = 0, 1, 2, . . . , n - 1
(9.16)
Energía d e
L a solución de la parte (9.17)) conduce inme electrón en el á t o m o : 3
2m
Hn
n = 1, 2, donde:
(9.17)
2
p = ¡3 r n
fi
n
=
2mZe
2Z
4ire h n
na
2
0
2
8mE
n
2ra
E s t a a p a r i e n c i a de l a '
Ver, por ejemplo, M .
Gaita,
biblos, 2002.
0 3
Recuérdese que el o n g e a
9.1.
D E S C R I P C I Ó N C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S HIDROGENOIDES
195
PP* (eos 6) y L^+t (p) son los polinomios asociados de Legendre y L a guerre respectivamente; a es el radio de Bohr. 0
Estos polinomios se obtienen a p a r t i r de las relaciones: PÍ(x)
= (1 - x>Y"—P (x) dx .
Lí(x)
k
d? (-iy—L (x) dx
=
k
j
j
donde Pj{x) y Lj(x) son los polinomios ordinarios de Legendre y L a guerre respectivamente. E n l a t a b l a 9.1 se encuentran algunos polinomios y sus fórmulas de recurrencia. T A B L A 9 . 1 . Polinomios de Legendre, Laguerre y sus fórmulas de recurrencia.
Laguerre
Legendre P (x) 0
= 1
P j (x) =
X
L (x)
= 1 —x
L (x)
= 2-4x
L (x)
= 6 - 18x + 9a; -
L (x)
=
1
2
/
2
a
= 1
0
P (z) = l ( 3 x - 1 ) P (x)
L (x)
2
= ^ ( 5 x - 3a;)
k
9.1.2
2
2
3
3
+ x
x
3
e ^¡-(x e- ) x
h
x
Energía d e u n átomo h i d r o g e n o i d e
L a solución de la parte r a d i a l de la ecuación de Schrodinger (ecuación (9.17)) conduce inmediatamente a la expresión para la energía t o t a l del electrón en el á t o m o : 3
E
H2
2m
8* "
^
( 2m\4n£ h n 2
m
Z
e
2
0
X
2
2 /
mZ e
mZ e 2
2
i
32ne ñ n 2
2
2
2
'
4
n = l , 2, . . .
8e h n 20
2
(9.18)
2
E s t a a p a r i e n c i a de l a fórmula de recurrencia se d e n o m i n a Fórmula de R o d r i g u e s .
V e r , por ejemplo, M . García, Elementos
de Matemáticas
Aplicadas,
capítulo 4, U n i -
biblos, 2002. 3
Recuérdese que el origen del sistema de referencia está en el núcleo del átomo.
196
C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E L O S Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
9.1.
Este resultado es igual a l que se obtuvo cuando se usó la teoría atómica de B o h r para describir átomos hidrogenoides: la energía solamente depende del número entero n. Para Z = 1 esta energía es nuevamente igual a — 1 3 . 6 / n eV. 7
< P 3
DESCRTPC
' ' 1
± 1
~
8 1 ^
1
2
V3,2,0 9.1.3
Función de o n d a p a r a á t o m o s h i d r o g e n o i d e ^
De acuerdo con los resultados obtenidos (ecuaciones(9.15),(9.16) y (9.17)). la función de onda que describe el comportamiento del electrón en átomos hidrogenoides dependerá de los tres números cuánticos n, l y m :
V3,2,±l
—
m ¿
ttmt
t¡rn t
L a función de onda está normalizada de manera que se cumple: OO
7T
27T
///' 0
sen9d6d
) \r dr 2
(9.20)
0 0
donde cada m i e m b r o de la función se normalizó separadamente. A continuación se encuentran las funciones de onda para los tres primeros valores de n .
(-
9.1.4
V
—
(9.19) n
— 81V*
e
donde R ¿(r) es la parte r a d i a l de la función y el p r o d u c t o 6 ( 0 ) ¿ (). que se acostumbra a escribir como Y (6, ). Las funciones Y , (9, <¡>) reciben el nombre de armónicos esféricos.
( ¡
Números
Los números enteros m,4 de las ecuaciones (9.151,1 p r i n c i p a l (n), o r b i t a l ( I del electrón en el E n la t a b l a 9.2 se TABLA
9.2J
Número i Princ
J_fZ_\-Zr/a Vñ \ a J
Ma
0
0
f2,0,0
= — L _ ( - X ' ~ 4y/2lr \ a J
3 / 2
/
2
1 « 4v 2^ \ a J /
:
1 <¿>2,1,±1
f
W \a
0
/ Z V
0
0
0
¥>2,1,0
8VTT \ o /
2
e
íZr\_
Zr/2ao
V o a
^
1. Para cada valor m
,
2. P a r a cada valor
)
0
/
De l a definición de
(2 - — \-Zr/2a a ) \
3. Para cada valor i para l a energía
±i*
s e n 9 e
E l p u n t o 3 se d e m u e s t a j funciones de onda; e i
/
1 ^3,0,0
a
81V3TT ( o o )
0
n-l
a
n-1
2
i=0 1 ¥>3,1,0
=
V
«o )
V Oo /
lo cual es u n a prog términos es constante («
9.1.
9.1.4
DESCRIPCIÓN CUÁNTICA DE LOS ÁTOMOS HIDROGENOIDES
¥>3,1,±1
=
^3,2,0
—
<¿>3,2,±I
—
V3,2,±2
—
197
N ú m e r o s cuánticos
Los números enteros n , i y m que aparecen a l determinar las soluciones de las ecuaciones (9.15), (9.16) y (9.17), son llamados números cuánticos p r i n c i p a l ( n ) , o r b i t a l (¿) y magnético (m ), y caracterizan el movimiento del electrón en el átomo. e
t
E n la t a b l a 9.2 se encuentran los posibles valores de estos números. T A B L A 9.2. Números cuánticos y sus posibles valores. Número cuántico
Símbolo
Principal
n
Orbital
i
Magnético
Posibles valores 1,2,... 0, 1, 2, o, ± 1 ,
n - 1 ±2,...,±e
De la definición de cada uno de los números cuánticos se observa que: 1. P a r a cada valor de n hay n posibles valores de i. 2. P a r a cada valor de i hay 21 + 1 posibles valores de m . e
3. P a r a cada valor de n hay n funciones de onda con el mismo valor 2
p a r a l a energía t o t a l del electrón. E l p u n t o 3 se demuestra de la siguiente manera. Sea N el número de funciones de onda; entonces: n—1 AT = ^ m
n—1 <
= ^ 2 £ + l = l + 2 + 3 + 5 + --- + 2 ( n - l ) + l
lo cual es u n a progresión aritmética en l a que l a diferencia entre los términos es constante (en nuestro casi es igual a dos) y la suma de los
198
C A P Í T U L O 9.
T E O R Í A C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S HIDROGENOIDES
términos es igual a: n / 2 (primer término + enésimo término) donde n es el número de términos que tiene la serie. Por consiguiente: n-l
N = V] 21 + 1 = ^ [ 1 + 2 ( n - 1) + 1] = n 1=0
2
Este resultado muestra que cada nivel de energía en el átomo es n veces degenerado, excepto el estado base. Cuando n = 1, i = 0 y m = 0, la función de onda es
t
0
F I G U R A 9.3. Diagrama de los valores de los números cuánticos para n = 2.
o sea, cuatro funciones de onda para el mismo número cuántico n y por consiguiente u n mismo valor de la energía t o t a l del nivel energético correspondiente. Los tres números cuánticos, dos de los cuales no son predecibles a p a r t i r de la teoría atómica de B o h r , tiene u n significado físico. 1. E l número cuántico p r i n c i p a l (n) describe la cuantización de la energía en forma análoga a como lo hace en la teoría de B o h r . 2. E l número cuántico o r b i t a l (i) determina la m a g n i t u d del m o m e n t o angular del electrón. 3. E l número cuántico magnético (m ) determina la dirección del m o e
mento angular en el espacio.
4
Como el número cuántico o r b i t a l sólo puede tomar valores enteros el momento angular también es cuantizado, resultado que concuerda con el correspondiente postulado de Bohr. E n el próximo capítulo se verá la relación que existe entre el m o m e n t o angular y los números cuánticos o r b i t a l y magnético. 4
Recuérdese que el momento angular es u n a c a n t i d a d vectorial, de m a n e r a que
p a r a describirla es necesario especificar s u m a g n i t u d , dirección y sentido.
9.1.
9.1.5
D E S C R I P C I Ó N C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
199
D e n s i d a d de probabilidad radial
E n el modelo atómico de B o h r para el átomo de hidrógeno, el electrón describe una trayectoria circular alrededor del núcleo, de radio igual a a n /Z, donde a es el radio de B o h r o radio de la p r i m e r a órbita p e r m i t i d a ( n = 1, Z = 1). Esto significa que el electrón describe órbitas de radios exactos lo cual contradice el p r i n c i p i o de incertidumbre de Heisenberg. 0
2
0
A l considerar el problema desde el p u n t o de vista cuántico ya no se presenta esta contradicción puesto que ya no existen valores exactos para la posición del electrón, sino probabilidades de encontrarlo en algún lugar del espacio en la vecindad del núcleo. Además, la densidad de p r o b a b i l i d a d | (p( r , 0, (f>) | varía de u n p u n t o a otro del espacio como veremos a continuación. L a p r o b a b i l i d a d de encontrar al electrón en u n elemento de volumen dV es \. A l integrar sobre t o d o el rango de valores para los ángulos 0 y se obtiene la p r o b a b i l i d a d de encontrar al electrón a una distancia del núcleo comprendida entre r y r + dr: 2
2
Jj 7T
P A) n
r dr
=
27T
IVn.í.m^
\r dr
sen0d0d
2
o o
7T 2TT
RnAr)
' ^ \\Y '
(0A)
\r dr
limi
2
senOdOdj
V
o o
j j\Y , 7T
= \R Ar) n
\r dr 2
27T
t nt
| sen0d0d<¿> 2
o o
Las integrales sobre los ángulos 0 y 4> iguales a la u n i d a d ya que la función Y está normalizada. Entonces, la p r o b a b i l i d a d de encontrar al electrón a una distancia comprendida entre r y r + dr es: s
o
n
(tJnf
P Ar)dr n
= r \R Ar)\dr 2
n
(9.21)
donde l a cantidad r \ (r)\ se denomina densidad de probabilidad radial. E n l a figura 9.4 se encuentran las gráficas de densidad de probab i l i d a d r a d i a l en función de l a distancia r al núcleo para ra = 1,2 y 3 ( Z = 1). Las gráficas de densidad de p r o b a b i l i d a d r a d i a l muestran que el electrón se puede encontrar en cualquier parte del átomo en la vecindad del 2
n(
200
C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
núcleo, aunque la p r o b a b i l i d a d de encontrarlo en esos lugares no es la misma. Por ejemplo, de acuerdo con el modelo atómico de B o h r , cuando n — 2 el electrón se encuentra a u n a distancia de 4 a del núcleo (alrededor de 2.12 Á ) ; mientras que desde el p u n t o de vista cuántico y considerando solamente el caso i = 0, el electrón se puede encontrar en cualquier p a r t e comprendida entre r = 0 y r = 8 Á aproximadamente, exceptuando los puntos para los cuales la p r o b a b i l i d a d es nula. Pero como se observa de la gráfica, es más probable encontrarlo en r = 2.12 Á. 0
a. n = l
b. n = 2
c. n = 3
F I G U R A 9.4. Densidad de probabilidad radial en función de la distancia n = 1 , 2 y 3 (Z = 1 ) . Las líneas punteadas corresponden al radio calculado apartir del modelo atómico de Bohr. La unidad de la escala vertical es arbitraria.
Si pudiéramos ver u n electrón, observaríamos que es más frecuente encontrarlo en ciertos lugares que en otros y debido a este hecho se acost u m b r a a hablar de u n a nube electrónica cuya densidad de carga está determinada p o r la p r o b a b i l i d a d de encontrar a l electrón allí: la densidad será t a n t o mayor cuanto más grande sea la p r o b a b i l i d a d . De ahí que en lugar de hablar de órbitas electrónicas se utilice el término orbital que se refiere a l patrón trazado por el electrón durante su m o v i m i e n t o alrededor del núcleo.
9.1.
DESCRIPCIÓN C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S HIDROGENOIDES
8
201
12
Oí
a. n = l
b. n = 2
c. n = 3
F I G U R A 9.5. Función de onda radial en función de la distancia n — 1, 2 y 3 (Z = 1). Las líneas punteadas corresponden en cada caso al radio de Bohr correspondiente. La escala vertical es arbitraria.
E n la figura 9.5 se encuentran las gráficas de l a función de onda r a d i a l en función de la distancia r para n = 1,2 y 3 (Z = 1). E j e m p l o 9.1. ¿Cuál es el valor más probable del radio de la órbita del electrón en un átomo de hidrógeno que se encuentra en su estado base? E l radio más probable es aquel para el cual ¡a densidad de probabilidad radial es máxima y el máximo de una función se encuentra igualando a cero su primer derivada. Entonces para n = 1, l = 0:
de
donde:
al expresión
V
«o/
en la cual sólo puede ser cero el paréntesis.
Por
consiguiente:
202
C A P Í T U L O 9. T E O R Í A C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
resultado que concuerda atómico de Bohr.
con el valor
calculado
a partir
del
modelo •
9.1.
DESCÍ
3. Demuestre que 1 malizadas. P a r a l sulte la tabla 9 J _ | 4. Demuestre que! (9.12).
Preguntas 1. ¿En qué forma se afectarían los resultados mecanocuánticos obtenidos para átomos hidrogenoides si se hubiera tenido en cuenta la masa del núcleo? 2. ¿Se podría resolver la ecuación de Schrodinger para átomos h i d r o genoides expresada en coordenadas rectangulares con el método de separación de variables?
5. Demuestre que 1 6. Demuestre que ] (9.14). 7. L a p r o b a b i l i d a d i de onda radial < el núcleo es:
3. ¿En cuáles ecuaciones importantes de la física también aparece el operador laplaciano? 4. ¿Por qué a l resolver la ecuación de Schrodinger aparecen tres números cuánticos y no dos, cinco o cualquier o t r a cantidad? 5. Explique por qué la función de onda $(^6) debe ser univaluada y por consiguiente, m u n número entero. t
6. ¿Cuál es la diferencia entre el potencial de Coulomb y los p o t e n -
(a) Calcule la ¡ hidrógeno c del núcleo. (b) C a l c ú l e l a ] que 2 a . D e l trarse a esa < 0
ciales estudiados en el capítulo séptimo? 7. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el radio del átomo de hidrógeno predicho por la teoría de B o h r y el que se obtiene a p a r t i r de la mecánica cuántica?
E l valor medio d e l está dado por la<
8. ¿Para los átomos hidrogenoides, en cuanto a los valores energéticos, a p o r t a algo nuevo la teoría cuántica respecto al modelo atómico de Bohr?
(a) Calcule r
9. ¿Por qué los niveles excitados del átomo de hidrógeno son degenerados, mientras que el estado base no lo es? E x p l i q u e .
(b) Compare* tenidos;
Problemas 1. L a función de onda para el átomo de hidrógeno depende de los tres números cuánticos. Si n = 4, demuestre explícitamente que habrá 16 funciones de onda que describen el mismo nivel de energía. 2. Normalice la función de onda $() = Ne ^. el valor de la constante N. imi
Esto es, encuentre
9.1.
D E S C R I P C I Ó N C U Á N T I C A D E LOS Á T O M O S H I D R O G E N O I D E S
3. Demuestre que las funciones de onda i? (?") y ©2,o(0) están n o r lj0
malizadas. Para hallar la expresión de las funciones anteriores consulte la t a b l a 9.1. 4. Demuestre que la función de 0 , o ( # ) onda es solución de la ecuación (9.12). 2
5. Demuestre que la función R (r) 1<0
es solución de la ecuación (9.13).
6. Demuestre que la función de onda <¿>i ,o es solución de la ecuación (9.14). i0
7. L a p r o b a b i l i d a d de encontrar u n electrón atómico, cuya función de onda r a d i a l es i? ,¿, fuera de una esfera de radio r centrada en n
0
el núcleo es: oo
(a) Calcule la p r o b a b i l i d a d de encontrar al electrón del átomo de hidrógeno en su estado base, a una distancia mayor que a
0
del núcleo. (b) Calcule la p r o b a b i l i d a d de encontrarlo a una distancia mayor que 2a . De acuerdo con la física clásica nunca podrá encon0
trarse a esa distancia del núcleo. R / : 24% 8. E l valor medio de la distancia r a d i a l , f , en los átomos hidrogenoides está dado p o r la expresión:
(a) Calcule r para los estados energéticos con n = 1, 2 y 3. (b) Compare estos valores con los correspondientes resultados obtenidos mediante la fórmula de B o h r para el radio electrónico.
Capítulo 10
Momentos angulares 10.1
Momento angular orbital
10.1.1
O p e r a d o r de m o m e n t o angular orbital
E n mecánica clásica, el momento angular de una partícula en m o v i m i e n to no rectilíneo es la cantidad vectorial L dada por la relación: L = f x p
(10.1)
donde r es el vector de posición de la partícula con respecto a l origen del sistema de coordenadas y p es su cantidad de m o v i m i e n t o lineal (figura 10.1).
x F I G U R A 1 0 . 1 . Vectores de posición, cantidad de movimiento y momento angular de una partícula en movimiento.
De acuerdo con l a definición del p r o d u c t o vectorial, el momento angular 205
206
C A P I T U L O 10. M O M E N T O S A N G U L A R E S
L es u n vector perpendicular a l plano formado p o r los vectores de posición y cantidad de m o v i m i e n t o y su m a g n i t u d es igual a \f | \ 9
Los operadores L . ción de onda para átí
donde 9 es el ángulo formado por los vectores f y p. E n coordenadas rectangulares: L=y]Ll
(10.2)
+ L \ Ll
aplicando el operador.
donde: L =yp -zp x
z
L
y
y
=
zp -xp x
z
L
z
=
L (p (r,e,(j))
(10.3)
xp
y
Para discutir el momento angular cuánticamente, construimos sus operadores correspondientes reemplazando las cantidades de m o v i m i e n t o de las ecuaciones (10.2) y (10.3) por sus respectivos operadores mecano-
z
-ti
=
n}í¡me
puesto que R (r)
y
$
e **^
nt
( 0 ) es igual a
m <
im
cuánticos (ver capítulo 7) obteniendo: L
T
d
= —ih
L (p ,i, ,{r,e,) z
d
oz
ni
T
dy
L„ = -ih
8
\
x
d_ dy
=
m
— oz
dx L , = —ih
n
8
(10.4)
dx
Para el operador L se i 2
Debido a que en todo sistema físico aislado esféricamente simétrico el
L (p {r,9,(l)) 2
momento angular es una constante de movimiento, esto es, se conserva,
=
nittm(
es más conveniente t r a b a j a r las expresiones anteriores en coordenadas esféricas:
(
2
=
como la segunda deri\
d_ — eos ó —— + cot 6 sen ¡ otí d
L„ = ih
l
d d sen é — + cot 6 eos ó od o4>
-h
2
1
d
(
a
3
(10.5) L ) 2
=
- I
í2 1
i
+ sen
n t mt
2
6 d (f)
2
Además, debe recordarse que el único resultado posible de la m e d i -
Pero la función 0
ción de u n a variable dinámica es uno de los valores propios del opera-
encuentra en el parént
dor mecanocuántico correspondiente(segundo postulado de la mecánica
del capítulo 9 su solución\
< m /
(5)i
cuántica). L
10.1.2
n¡e m(
=
h'í
Cuantización d e l e s p a c i o
Veamos ahora cuál es el efecto de los operadores de momento angular sobre las funciones de onda propias que describen cualquier átomo
Las ecuaciones (10.6) y (1
hidrogenoide.
L
z
y L
2
sobre la función i
10.1.
Los operadores L
z
MOMENTO ANGULAR ORBITAL
y L
207
conducen a resultados interesantes. L a fun-
2
ción de onda para átomos hidrogenoides tiene la forma: V»,/,
m i
( r , e , c¡>) = R , (r)
®e,
aplicando el operador L
n t
z
mt
(0) $ {) m(
sobre ella: d
L ) n
z
c
=
puesto que R (r) n¡(
n
na
:m(
t
m <
(0)
y 0 ¿ , ( 0 ) no son funciones de la variable . Como m <
71
mi
L )
-i hm R {r))
=
nit mt
2
t
ttmi
n
mi
= S m ^ , (
Para el operador L
L p (r,e,
$
es i g u a l a e" '*, entonces:
& (4>)
z
d
—
= -ihR {r)& (0)
-ih—(p ,t
n¡lim(
)
2
(
m
(
( r , ^ )
(10.6)
se obtiene el siguiente resultado:
=
( s ^ ¿ ^ l
-h R (r) 2
1
n
n
9
1
S
e
,
9
^
n
1
+
d
2
sen 9 d(j) 2
2
como l a segunda derivada de 3> (<¿>) es igual a —m $(4>) m<
L
(r,0,)
nil
= -ñ
2
R , (r)$ ()
2
n t
sen 9 o 9 \ 9
mt
)
m JE ^ Í9) serí9 Q
(
Pero la función 0 ¿ , , ( 0 ) es solución de la ecuación diferencial que se m(
encuentra en el paréntesis cuadrado; como vimos en la ecuación (9.10) del capítulo 9 su solución es —£(£ + l ) 0 L V n , , m ( r , 9, ) = h í(í e
t
2
+ l)R (r) n¡t
=
í > m (
, ( 0 ) . Entonces:
0,,
m (
(9) $
(<¿)
m/
ti>l(l+l)
(r,9,)
nit>mt
(10-7)
Las ecuaciones (10.6) y (10.7) muestran que el efecto de los operadores L
z
y L
2
sobre l a función de onda que describe átomos hidrogenoides es
208
CAPITULO 10. MOMENTOS ANGULARES
10.L
m u l t i p l i c a r l a por una constante que no es más que el valor p r o p i o del operador correspondiente. Por consiguiente, teniendo en cuenta el segundo postulado de la mecánica cuántica, podemos afirmar que la m a g n i t u d del vector m o m e n to angular de electrón en átomos hidrogenoides, así como su componente con respecto a u n eje z a r b i t r a r i o , son: m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ,
L , = mh t
L = ^i(i
t
±i
i = 0, 1, 2, . . . , n - 1
+ l)h
(10.8) (10.9)
Hemos encontrado la cuantización del momento angular t a l como lo había predicho B o h r aunque el valor de la m a g n i t u d no sea el m i s m o . A l momento angular L se acostumbra a denominarlo momento angular orbital. Así como el número cuántico p r i n c i p a l (n) determina los posibles estados energéticos del átomo, los números cuánticos o r b i t a l (i) y m a g nético (m ) determinan los posibles estados de momento angular y los posibles valores de la componente z del vector momento angular respectivamente. e
A l aplicar los operadores L y L sobre la función de onda de los átomos hidrogenoides, no se reproduce nuevamente l a función original. Es decir, la función de onda f , i , m ( r , 6 , ) no es función p r o p i a de los operadores anteriores. Esto es u n a consecuencia del p r i n c i p i o de i n c e r t i d u m b r e de Heisenberg: las tres componentes del momento angular o r b i t a l están relacionadas entre sí (ver ejemplo 1) de manera que si L tiene u n valor bien definido (como acabamos de v e r ) , las otras dos componentes no pueden tenerlo. x
n
y
t
F I G U R A 10.2. Diae
lo cual se encuentra L a dirección del eje z A las posibles o: to a l eje z se deno: d e t e r m i n a d a p o r el n' Para deducir la genoide cuyo potencial cualquier potencial d i a l r. Es decir, para
z
Las propiedades del momento angular o r b i t a l se pueden representar en u n diagrama vectorial. Los números cuánticos están relacionados entre sí de la siguiente manera: n = 1, 2,
t = 0, 1 , 2,
1
n
m = 0, ± 1 , t
Las componentes del sí de la siguiente ma
±e
por lo t a n t o , para el conjunto de estados que tienen el mismo valor para el número cuántico i, la m a g n i t u d del vector momento angular o r b i t a l es igual a [i(l + l)] h y su componente z puede tomar los valores enteros comprendidos entre -ih y ih, esto es, habrá 2£+1 posibles orientaciones del vector L en el espacio, u n a por cada valor de m¿. Veamos u n ejemplo: sea £ = 2. Los posibles valores de m son ± 2 , ± 1 y 0 y: l/2
E j e m p l o 10.1.
L
x
L — L L y
v
x
=
ihL
z
Entonces, no es posible < cisión las tres compone las componentes, usua Las
ecuaciones
anteric
t
L = ^ 2 ( 2 + i)h
= Vüh
L
z
= -2h,
-h, o, h, 2h
L
x
L
y
=
ih 2
x
10.1.
209
MOMENTO ANGULAR ORBITAL
z s
-2h
\
i -2h
^ ' ' \ L \ L = y/Eh
F I G U R A 10.2. Diagrama vectorial de la cuantización del espacio para 1 = 2
lo cual se encuentra representado en la figura 10.2. L a dirección del eje z en el espacio es a r b i t r a r i a . A las posibles orientaciones del vector momento angular con respecto a l eje z se denomina cuantización del espacio, orientación que está determinada por el número cuántico magnético. Para deducir la cuantización del espacio utilizamos u n átomo h i d r o genoide cuyo potencial es de la forma —Ze /r, pero esto se cumple para cualquier potencial cuya forma dependa solamente de la coordenada r a d i a l r . Es decir, para cualquier potencial con simetría esférica. 2
E j e m p l o 10.1. Las componentes sí de la siguiente
L
x
L
y
—L L y
x
del momento angular orbital están relacionadas manera(operadores correspondientes):
= iHL
z
L L y
z
— L Ly — ihL z
L L
x
z
x
—L L X
entre
— ih~L
Z
y
Entonces, no es posible determinar simultáneamente con la misma precisión las tres componentes. En cambio se puede determinar L y una de las componentes, usualmente L por la forma sencilla de su expresión. 2
z
Las
ecuaciones
anteriores
se obtienen
de la siguiente
)(•
d
manera:
x
d_ dz
)
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
210 Respetando
L L x
y
el orden de los términos al efectuar
=
d
ih 2
2
(
d_\
d_ (
se
obtiene:
d_
d~z[ dx)
y
los productos
dy\dx
Z
Z
d
(
0
\
(
d
-yd-z{Xdz)+Zdy-{XdzJ\
=
r
ih 2
2
(dz
d
'dz
d
2
^ \dzdx
d
d
2
dy dx
dzdx
dy
dx
'dx d d \ d d y I^+ x - ^ | +z [ — — + x dy dz dz dz dz 2
2
dydz
2
d d i h y^+ yz ^— dx dzdx 2
=
2
d
d
~ d ¿
dydz
x
y
,
d
2
dydx
2
2
Procediendo
z
2
2
+
z
x
(10.10)
de igual manera para el producto
L L y
x
=
i h yz 2
2
d
2
dxd
z
+ x— dy Como las funciones se cumple
-
L L y
x
se
obtiene:
d
2
xy
dz
2
— z dx
dy
d
2
h xz
(10.11)
dzdy
a las cuales se aplican estos operadores
son
continuas,
que: d
d
dzdx
dydz
d
2
2
dxd
y
Al efectuar fínal es:
dydx
dxdz
x
L
y
—L L y
x
— ih -iñ\-
dzdy
(10.10) y (10.11) el
la resta entre las ecuaciones
L
2
oy
y
—
=
resultado
ihL,
dx
Trabajando de la misma forma se obtienen las otras dos ecuaciones las componentes del momento angular orbital.
para •
10.1. MOMENTO ANGULAR ORBITAL
10.1.3
211
R e g l a s d e selección
E l último postulado de B o h r predecía cuál debía ser la energía del fotón e m i t i d o (o absorbido) en u n a transición electrónica entre dos niveles energéticos de átomos hidrogenoides, pero no podía discernir cuáles de esas transiciones eran más probables. Desde el p u n t o de vista de la mecánica cuántica, el hecho de que cada nivel de energía de los átomos hidrogenoides (con excepción del estado base) está formado por varios estados de momento angular o r b i t a l p e r m i t e determinar las posibles transiciones de u n estado de energía a otro. Como el fotón e m i t i d o (o absorbido) durante una transición electrónica tiene u n momento angular, el átomo debe cambiar su propio momento angular para compensar el que es llevado (o adquirido) por el fotón a l ser e m i t i d o (o absorbido) ya que el momento angular total del sistema átomo-fotón debe conservarse. L a conservación del momento angular o r b i t a l impone dos condiciones denominadas reglas de selección que indicarán qué transiciones son perm i t i d a s entre dos niveles energéticos del átomo, el inicial determinado por los números cuánticos n¿, £ , m . y el final por los números cuánticos {
M
= ¿i-
£ = ±l }
(
A m = m . - m (
(
(
/
= 0, ± 1
(10.12)
E n l a figura 10.3 se muestran algunas transiciones electrónicas p e r m i t i das entre estados con los valores para la cantidad de momento angular o r b i t a l . Como notarán, cada estado se ha representado por medio de letras y números; esto se debe a que cada nivel de energía puede tener n d i ferentes estados de momento angular o r b i t a l , todos con la m i s m a energía E\a diferenciarlos se les denomina ns, nd, ... etc., donde la letra n se refiere a l nivel de energía y las letras s, p, d, f, g etc. corresponden a los valores del número cuántico i : 0, 1, 2, . . . respectivamente. Este código se originó a p a r t i r de la clasificación empírica de los espectros atómicos en las series llamadas principal, difusa y fundamental. Esta clasificación se llevó a cabo antes de que se desarrollaran los modelos atómicos y se sigue utilizando hoy día. Así, u n estado s es aquel que no tiene m o m e n t o angular o r b i t a l ; u n estado p es aquel que tiene u n m o m e n t o angular o r b i t a l con número cuántico o r b i t a l igual a 1; y así sucesivamente. Observen que las transiciones entre estados de momento angular o r b i t a l sólo ocurren entre columnas adyacentes, de acuerdo con la figura 10.3.
212
C A P Í T U L O 10. M O M E N T O S A N G U L A R E S
n = oo
t = 0
e= i
t= 1
¿= 3
¿=
4...
ls
F I G U R A 10.3. Transiciones permitidas entre estados con valores de momento angular orbital mostrados.
10.2
Efecto Zeeman
L a cuantización del espacio se manifiesta claramente cuando se observa el espectro de emisión de u n átomo que se encuentra en presencia de u n campo magnético externo suficientemente fuerte. Cada línea del espectro se divide en tres componentes entre las cuales el espaciamiento es el mismo para todos los átomos y p r o p o r c i o n a l a l a m a g n i t u d del campo magnético aplicado. E l efecto fue observado p o r p r i m e r a vez en 1896 p o r el físico P. Zeeman(basándose en unas experiencias realizadas p o r Faraday en 1862) y el conjunto de las tres líneas se denominó triplete de Lorentz quien desarrolló l a teoría de este efecto. Veamos en que consiste. D e acuerdo con l a teoría clásica, u n electrón que gira alrededor del núcleo con u n a velocidad angular w = 2itv da lugar a u n a espira de corriente (de igual radio a su órbita) cuya m a g n i t u d está dada por l a relación:
Como l a espira de corriente es m u y pequeña, equivale a su vez a u n
10.2. EFECTO ZEEMAN
213
d i p o l o magnético de momento magnético igual a l a corriente p o r el área de la espira. Por consiguiente, el momento magnético del electrón en el átomo estará dado p o r l a relación: M
(
= i x A = ^ wr = 27T
(10.13)
2
2
También sabemos que el electrón, por estar girando alrededor del núcleo, tiene u n momento angular o r b i t a l L = m ajr ; entonces : e
2
1
(10.14)
1
1
M
t
F I G U R A 10.4. Momento angular orbital y momento magnético orbital del electrón en un átomo.
E s t a es l a relación entre las magnitudes de los vectores momento angular o r b i t a l y m o m e n t o magnético. Pero t a n t o el momento angular o r b i t a l como el m o m e n t o magnético son vectores cuyas direcciones dependen de la dirección del m o v i m i e n t o del electrón en el primer caso y del sentido de l a corriente en el segundo, siendo ésta opuesta a l a dirección del m o v i m i e n t o del electrón (figura 10.4). Entonces, el momento magnético o r b i t a l , como lo llamaremos, tiene dirección opuesta a l momento angular o r b i t a l ; esto es: M
e
= —£—L 2m
(10.15)
e
Este resultado, a pesar de haber utilizado l a electrodinámica clásica p a r a deducirlo, sigue siendo válido en mecánica cuántica para u n m o v i m i e n t o *No confundir m
e
m a s a del electrón con m
t
número cuántico magnético.
214
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
a r b i t r a r i o con momento angular o r b i t a l L ya que la razón M /L es independiente de la física utilizada para determinarla: e y m son constantes universales. t
e
De acuerdo con lo anterior, l a componente z del m o m e n t o magnético o r b i t a l es: 6 = ~ - — L 2m
M
tz
e = --—m h=-id m 2m
z
e
e
B
(10.16)
e
e
donde fi = eh/2m = 9.27 x 1 0 " Jm /Wb se denomina magnetón de Bohr y es l a cantidad mínima de magnetismo que puede crear el movimiento del electrón alrededor del núcleo. B
24
e
2
Cuando se coloca u n dipolo magnético dentro de u n a campo magnético externo de intensidad B, adquiere u n a energía E = —M -B. Esto significa que a l colocar u n átomo hidrogenoide en u n campo magnético, su electrón (que se c o m p o r t a como u n dipolo magnético) adquiere u n a energía adicional igual a: 2
E
= -M
B
B=
t
— L 2m
B
t
(10.17)
B
e
v
;
y a l mismo t i e m p o experimenta u n torque dado por la relación: T = MtXB
=
— L x B 2m e
y
(10.18) '
que tiende a alinear el momento magnético o r b i t a l (y por lo t a n t o el momento angular o r b i t a l ) en la dirección del campo magnético. E l efecto de este torque es hacer girar el momento angular o r b i t a l alrededor de la dirección del campo magnético B, describiendo u n cono como se muestra en la figura 10.5. Si suponemos, de manera a r b i t r a r i a , que la dirección del campo m a g nético coincide con el eje z, la energía adicional que adquiere el electrón atómico es: 3
E
Bz
= -M B lz
(10.19)
= u. B mt B
y nuevamente aparece l a cuantización de la energía: E puede t o m a r solamente 2£+l valores diferentes, correspondientes a las 2Í + 1 posibles orientaciones del momento angular o r b i t a l con respecto a la dirección del campo magnético B. Noten que la separación entre los niveles energéticos es constante e igual a fi B. B
B
2
E n general:
E
B
=
—M • B =
— Mi?cosí) =
-M B Z
donde M
es el m o m e n t o
magnético y B el c a m p o magnético externo aplicado. 3
E n el momento en que se establece el c a m p o magnético B se tiene u n a dirección
espacial bien específica. con t a l dirección.
H a c e m o s que el "eje z" del sistema de referencia c o i n c i d a
10.2.
215
EFECTO ZEEMAN
F I G U R A 10.5. Precesión del momento angular orbital alrededor de la dirección del campo magnético B
Entonces, la energía del electrón de u n átomo hidrogenoide que se encuentra dentro de u n campo magnético externo es: E = E
n
donde E
n
+ E
Bz
—E
n
(10.20)
+ nB m B
t
es su energía en ausencia de campo magnético externo.
Del resultado anterior observamos que cada nivel de energía con números cuánticos n , l se separa en 11 + 1 niveles en presencia de u n campo magnético externo. Además, noten que ahora la energía t o t a l del electrón depende de los tres números cuánticos. D e b i d o a las reglas de selección, no todas las transiciones electrónicas son posibles entre los diferentes niveles que existen cuando u n átomo hidrogenoide se encuentra dentro de u n campo magnético. Consideremos u n a transición electrónica entre u n estado de energía E
ni
y otro E , nf
E
para los cuales se cumple A ¿ = ± 1.
> E,
ni
nf
E n ausencia de campo magnético, la energía del fotón e m i t i d o es: hv
0
= E
ni
(10.21)
- E
n¡
E n presencia de u n campo magnético B, paralelo a l eje z, tenemos que: E¡ = E
ni
+ fi B B
m«
E¡ = E
nf
+ fi B B
m
tf
216
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
y l a energía del fotón e m i t i d o es: hu = E i - E i = {E
nt
- E
= hu +
n f
) + ¡J, B{m B
-
H
(10.22)
m) tf
(10.23)
u. BAm
0
B
t
Pero solamente son p e r m i t i d a s las transiciones que c u m p l a n l a condición A m , = 0, ± 1 . Por consiguiente, en presencia de u n campo magnético externo, la transición original de frecuencia u se transforma en tres transiciones cuyas frecuencias son: 0
"a
/i
B
B
v
0
+
HB B
(10.24)
Consideremos los casos con número cuántico o r b i t a l 0, 1 y 2. Estados energéticos con l = 0 (estados s), no son afectados por la presencia de u n campo magnético externo porque el número cuántico magnético es cero. Estados con i = 1 (estados p), se separan en tres estados igualmente espaciados que corresponden a los tres posibles valores d e m , : — 1, 0, + 1 . Entonces, u n a transición p —> s en presencia de campo magnético externo se transforma en tres transiciones: una de m = 0 a m = 0 con la frecuencia original y dos más que corresponden a las transiciones de m = ± l a m = 0 con u n a diferencia de frecuencia de: ti
ti
t¡
y
Ai/ = ±
= 1.4 x 1 0
h
10
xBs~
E n l a figura 10.6a. se encuentra el esquema de l a transición p —> s. Estados con í = 2 (estados d ) , se separan en cinco estados que corresponden a los valores de m = ± 2, ± 1 , 0 / L a transición p —> d tiene nueve posibilidades de acuerdo con la regla de selección Am = 0, ± 1; pero, transiciones con igual Am tienen también la m i s m a energía y, por consiguiente, la m i s m a línea espectral en el espectro correspondiente. L a diferencia de frecuencia de las tres transiciones sigue siendo ±¡j, B/h. E n la figura 10.6b. se encuentra el esquema de la transición p —¥ d en presencia de campo magnético externo y en la figura 10.6c. se muestra el espectro correspondiente. t
t
t
B
Los resultados experimentales observados en el efecto Zeeman sólo son explicables a p a r t i r de la cuantización del espacio. Si el m o m e n to angular o r b i t a l pudiese tener cualquier orientación en el espacio, en presencia de u n campo magnético externo lo suficientemente fuerte los
10.2.
21Í
EFECTO ZEEMAN
estados de m o m e n t o angular se dividirían en u n a cantidad m u y grandes de ellos y no en 11 + 1, con el resultado que en el espectro correspondiente se observaría u n a serie de bandas más o menos anchas y no líneas bien definidas como es el caso.
í 0
B
ext
B
c
x
t
¿ 0
m
'
+1 0 1
B ,«=0 de
hu + p, B 0
B
m -4-2 -4-1 0 - -1 - -2 t
hu + 0
hv
0
hv
fi B B
h v
a
0
hu 0
p, B
• hu
B
0
-1 0 + 1 -1
0
+1
—
i¿bB
•+1 • 0 • -1
a. Transición p —t s s i n y c o n c a m -
b. Transición d —> p s i n y c o n c a m p o
po magnético.
magnético.
B„, = 0
v
B,„ = 0
Va
H
r—
h
o
u
"o
T~
h
c. E s p e c t r o atómico s i n y c o n c a m p o magnético.
F I G U R A 10.6. Esquema de transiciones típicas debidas al efecto Zeeman.
E j e m p l o 10.2. Se coloca una muestra
de hidrógeno
dad igual a 0.3 Wb/m .
¿Cuál es la separación entre las líneas
2
debido Á?
al efecto
en un campo magnético
Zeeman de una línea de longitud
de
intensi-
espectrales
de onda igual a 4500
C A P I T U L O 10. M O M E N T O S A N G U L A R E S
218
valores de m orientaciones del
Solución
s
De acuerdo con la teoría del efecto Zeeman, la diferencia entre las líneas espectrales debido a dicho efecto es: Av = 1.4 x 1 0
x 0.3 s -
10
1
= 0.42 x 1 0
10
de
frecuencia
s'
1
De la relación A = c/v se tiene que:
A p a r t i r de d a b a i se encontró que el tener u n valor: s = número cuántico valores de la magnitaá^ z son:
A Av = — Av V c c
AA =
2
2
donde el signo negativo solamente indica la relación inversa que entre la frecuencia y la longitud de onda. Reemplazando datos:
existe
A A = 2.83 x 1 0 ~ I 2
• 10.3
A diferencia del del electrón sólo ti< n i t u d es constante {
Momento angular de spin
Como ya se había mencionado en el capítulo 4, u n estudio más detallado de los espectros hidrogenoides mostró que las líneas eran realmente dos líneas m u y cercanas entre sí, fenómeno que se denominó estructura fina del espectro. Esto indicaba u n a división de los correspondientes estados energéticos del átomo. L a pareja de líneas llamada doblete, parecía i n dicar la existencia de o t r o número cuántico que solo podía tomar dos valores. E n 1925 S. G o u d s m i t h y G. Uhlenbeck sugirieron que el electrón, además de su masa y carga, tenía o t r a propiedad que l l a m a r o n spin: u n momento angular intrínseco característico de cada partícula. Debido a que el electrón posee carga eléctrica, el momento angular de spin, que se designa con l a letra 5, debe tener asociado u n m o m e n t o magnético M y la relación entre el momento angular de spin y el m o mento magnético de spin deberá ser de la m i s m a forma que la que existe entre el momento angular o r b i t a l L y el momento magnético o r b i t a l M . Experimentalmente se demostró que esta relación es: s
e
(10.25)
M.
E n forma análoga a l momento angular o r b i t a l , el momento angular de spin S y su componente z, S , tienen asociados u n número cuántico que designamos con las letras s y m respectivamente. Los posibles z
s
F I G U R A 10.7. P o s i b k n
L a comprobación es espacio fue realizada p o r ! de que se postulara su i en presencia de u n haz de átomos en dos —z, correspondientes a Se acostumbra a hacia abajo" (!) a m, = electrón sea paralelo o A l ser definido el c i de exclusión con el cual
10.3. MOMENTO ANGULAR DE SPÍN
219
valores de m estarán comprendidos entre — s y s y habrá 2s + 1 posibles orientaciones del vector momento angular de spin en el espacio. s
A p a r t i r de datos espectrales y de l a teoría desarrollada por P. D i r a c se encontró que el número cuántico de spin para el electrón sólo podía tener u n valor: s = 1/2. Por consiguiente, los posibles valores del número cuántico magnético de spin m son —1/2 y 1/2 solamente. Los valores de la m a g n i t u d del momento angular de spin y de su componente z son: a
S = ^ (s s
S
z
=m K s
+ 1)H = i V2H
(10.26)
= ± \h
A diferencia del momento angular o r b i t a l , el momento angular de spin del electrón sólo tiene dos orientaciones posibles en el espacio y su magn i t u d es constante (figura 10.7).
F I G U R A 10.7. Posibles orientaciones del spin del electrón en el espacio.
L a comprobación experimental de la doble orientación del spin en el espacio fue realizada por O. Stern y W . Gerlach en 1921, esto es, antes de que se postulara su existencia. Este experimento mostró claramente, en presencia de u n campo magnético paralelo a l eje 2, la división de u n haz de átomos en dos haces: uno en dirección +z y o t r o en dirección —z, correspondientes a las dos orientaciones de spin. Se acostumbra a llamar "spin hacia a r r i b a " (|) a m = 1/2 y "spin hacia abajo" (4.) a m = - 1 / 2 ; aunque en ningún momento el spin del electrón sea paralelo o antiparalelo a la dirección del eje z. s
s
A l ser definido el cuarto número cuántico, P a u l i enuncia su principio de exclusión con el cual se puede explicar en forma simple y completa
220
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
la distribución de los electrones en los átomos de más de u n electrón : 4
E n u n átomo no pueden existir dos electrones con el m i s m o conj u n t o de números cuánticos n , £, m , , m .
Por lo menos uno de
s
ellos debe ser diferente. E j e m p l o 10.3. Un haz de electrones 1.2 Wb/m .
entra en un campo magnético
¿Cuál es la diferencia
2
hacia arriba y electrones
de intensidad
de energía entre electrones
con spin hacia abajo en este
con
B = spin
campo?
Solución Supongamos momento
que el campo magnético
magnético
es paralelo
M
de spin y su componente
=
s
al eje z. Entonces
z son
el
respectivamente:
-—S m e
M La
energía
magnético
adicional
2e mh =
z
s
que adquiere
el electrón
-2fi m B
s
debido
a su
momento
de spin es: E
= -M B
Bz
puesto
2e „ S =
=
Sz
= 2[i Bm
Sz
B
=
s
±¡x B B
que m = ± 1/2.
La diferencia
s
de energía entre electrones E —E
B+
Reemplazando
— E_ B
=
datos, el resultado
ií B b
con spin opuesto - i-fji B) B
=
es:
2fi B B
es:
£ = 2.3x 1 0 "
2 3
J
• 4
L a distribución electrónica de todos los elementos se e n c u e n t r a e n el apéndice F .
10.4. MOMENTO ANGULAR TOTAL
10.4
221
Momento angular total
E n las secciones anteriores vimos que el electrón en el átomo tiene u n m o m e n t o angular o r b i t a l y u n momento angular de spin (lo cual es cierto par cualquier átomo). Entonces, tiene u n momento angular t o t a l dado p o r la suma vectorial: J = L + 5
(10.27)
y, como t o d o momento angular, es cuantizado. Los números cuánticos de m o m e n t o angular t o t a l y su componente z son j y rrij respectivamente y su m a g n i t u d y componente z son: J =
+ i)H
J =m h
(10.28)
m, = - j ,
(10.29)
z
3
donde: j=£
+ s = l ± l
E l momento angular t o t a l del electrón tiene dos valores por cada valor del número cuántico o r b i t a l , excepto para i = 0 (estados s) donde solo tiene el valor 1 / 2 . E n la figura 10.8 se muestran las posibles orientaciones de los vectores L y S para formar el vector J . J = L+ S
F I G U R A 10.8. Posibles orientaciones relativas de los vectores Ly S para formar el vector J .
Las transiciones electrónicas entre estados de momento angular t o t a l deben c u m p l i r las reglas de selección: A j = 0, ± 1
Amj = 0, ± 1
(10.30)
E n presencia de u n campo magnético externo, el momento angular t o t a l conduce a o t r a división de los niveles de energía del átomo y de las correspondientes líneas espectrales en cuatro o más componentes denominado efecto Zeeman
anómalo.
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
222
L a doble orientación del spin del electrón con respecto a l momento angular o r b i t a l (ecuación (10.29)) p e r m i t e explicar, sin entrar en detalles, el desdoblamiento de los niveles de energía o presencia de dobletes en los espectros atómicos (exceptuando el estado s). Este efecto es una consecuencia de l a interacción de naturaleza magnética que se presenta entre el momento angular o r b i t a l y el momento angular de spin del electrón, denominada interacción spin-órbita. E l resultado de esta interacción es proporcionarle a l electrón u n a energía adicional (que no se debe a la presencia de u n campo magnético externo) que es proporcional a l p r o d u c t o escalar S • L : E = E
+ E =E
n
SL
(10.31)
+ bS-L
n
donde E es la energía del electrón cuando no hay interacción spinórbita. L a constante b se obtiene a p a r t i r de consideraciones clásicas del movimiento del electrón alrededor del núcleo y está dada por l a relación: n
•
2
A
h?nt{l+
!
Z
1
|
£
l)(2í
J
U0.32)
+ l)
donde n, í son los números cuánticos p r i n c i p a l y o r b i t a l respectivamente y a = e / ( 4 7 T £ ñ c ) = 1/137 es la llamada constante de estructura fina de los espectros atómicos. 0
2
Los efectos mencionados en este texto que d a n lugar a la división de líneas espectrales en los espectros atómicos son solamente algunos de ellos, los demás están fuera del alcance de este curso. Para t e r m i n a r , veamos cómo es la nomenclatura de los estados de m o mento angular o r b i t a l del electrón teniendo en cuenta el número cuántico j y cómo se modifica esta nomenclatura para átomos con más de u n electrón. Es costumbre agregar a los estados de momento angular o r b i t a l del electrón (s, p, d, / , . . . ) u n subíndice con el valor del número cuántico j como se muestra en la t a b l a 10.1. T A B L A 10.1. E s t a d o s d e m o m e n t o a n g u l a r o r b i t a l d e l electrón
l
0
j Símbolo
1/2
1/2
3/2
3/2
5/2
5/2
7/2
•Sl/2
Pl/2
í>3/2
CÍ3/2
¿5/2
h/2
/r/2
2
1
3
Cuando el átomo tiene varios electrones los vectores de momento angular o r b i t a l y de spin, L y S, serán la suma vectorial de los momentos
10.4. MOMENTO ANGULAR TOTAL
223
angulares de todos los electrones presentes en el átomo: k
k
(10.33) í=i
donde A; es el número de electrones que hay en el átomo. Los estados de momento angular o r b i t a l se designan ahora con letras mayúsculas: T A B L A 10.2. Estados de momento angular orbital. 0 S
L Símbolo
1 P
2 D
3 F
4 G
5 H
Antes y después de la letra correspondiente del momento angular o r b i t a l se colocan u n superíndice y u n subíndice respectivamente. E l superíndice indica l a multiplicidad del estado, esto es, las diferentes orientaciones posibles de los vectores L y S (y por lo t a n t o J) en el átomo. Esta m u l t i p l i c i d a d es igual a 2 5 + 1. E l subíndice indica el valor del momento angular t o t a l J . L o anterior se representa por medio del símbolo: Lj
2s+1
Por ejemplo: el símbolo P 2
3 / 2
(10.34)
representa una configuración electrónica
en la cual:
Preguntas 1. Comparando las expresiones para el momento angular o r b i t a l de B o h r y la que se obtiene a p a r t i r de la mecánica cuántica ¿cuál da u n valor mayor? 2. Si el número cuántico p r i n c i p a l es m u y grande y el número cuántico o r b i t a l correspondiente tiene su máximo valor, ¿cuál es la razón del momento angular de B o h r a l momento angular mecanocuántico? Este resultado está de acuerdo con u n principio. ¿Cuál es? 3. E x p l i q u e en sus propias palabra qué se entiende por cuantización del espacio. 4. ¿Cuál es l a razón p o r l a cual no todas las transiciones electrónicas son posibles en u n átomo?
224
CAPÍTULO 10. MOMENTOS ANGULARES
5. ¿Cuáles son las diferencias entre el número cuántico de spin y los números cuánticos p r i n c i p a l , o r b i t a l y magnético? 6. ¿En qué se diferencia el número cuántico j de los números cuánticos n , £, m,? 7. L a división de líneas espectrales en varias componentes se debe, entre otros, a l efecto Zeeman y a la interacción spin-órbita. ¿Qué causa la aparición de estos fenómenos? ¿Es la m i s m a en ambos casos? 8. Para u n átomo en su estado base no se observa estructura fina en su espectro. ¿Por qué? 9. ¿Qué se entiende p o r m u l t i p l i c i d a d de estados en u n átomo? 10. Cuando en u n átomo de varios electrones el momento angular de spin es cero, ¿cuáles son los posibles valores del número cuántico de momento angular total?
Problemas 1. Exprese los operadores L
x
y L en y
coordenadas esféricas.
Ayuda: d_ da Obtendrá dos ecuaciones entre las cuales puede eliminar sucesivamente d/dx y d/dy para llegar a l resultado pedido. 2. A p a r t i r de las ecuaciones para los operadores de m o m e n t o angular o r b i t a l en coordenadas esféricas (ecuación (10.5)) obtenga la expresión para L . Recuerde que debe respetar el orden de los productos. 2
3. Demuestre que las funciones armónicas esféricas: y
2 i 0
= A(3 eos e-1) 2
y
2 > 1
= B sen 9
son funciones propias de los operadores L
z
cos9e
h
y L . 2
4. U t i l i z a n d o las ecuaciones del ejemplo 1, demuestre que:
10.4.
225
MOMENTO ANGULAR TOTAL
5. Encuentre la corriente equivalente a l m o v i m i e n t o del electrón en las dos primeras órbitas de B o h r y calcule el momento de dipolo magnético o r b i t a l del electrón en cada caso. R / : 1.05 x 10~ A; 1.31 x 1 0 - A; 9.26 x l O " A - m ; 1.55 x l O " A - m\ 3
4
2 4
2
2 3
6. E l valor de e/m se puede hallar experimentalmente observando el efecto Zeeman. Calcule este valor si l a separación entre líneas espectrales en presencia de u n campo magnético de 0.45 Wb/m es de 0.629 x 1 0 s - . R / : 1.755 x 1 0 C/Kg. e
2
1 0
1
n
7. D i b u j e los niveles de energía para los estados 4 / y 3<¿ del hidrógeno en presencia de campo magnético y muestre que en la transición 4 / - » 3d el número de líneas espectrales es tres. 8. Usando l a ley del coseno, muestre que el ángulo 8 formado p o r los vectores L y S está dado por la expresión: +
cosO =
-£(£+!)-s(s
2[s(s + l ) ] ' 1
9.
+ l) + l)] '
2
1
2
(a) Muestre que l a diferencia de energía entre los niveles energéticos debidos a la interacción spin-órbita es: AE
= E (t)
LS
~ E (l)
LS
=
LS
bh (2£ + l) 2
2
(b) Reemplazando b por su expresión calcule AE¡ para los estados con n = 100, £ = 1 y n = 2, £= 1. ¿Qué concluye de sus resultados? a = 5.328 x l O " = ( 1 / 1 3 7 ) S
5
2
2
10. Encuentre los valores L , S y J que corresponden a los siguientes estados y diga cuáles tienen J = L + S y cuáles J = L — S '1/2
3
P
2
D.
2
3/2
4p
5/2
F
5
5
5/2
Capítulo 11
Elementos de la física nuclear Hasta el m o m e n t o hemos considerado el núcleo del átomo como una partícula m u y pequeña, de carga eléctrica positiva, en la cual se halla concentrada casi t o d a la masa del átomo. Las propiedades principales (excepto la masa) de los átomos, moléculas y la m a t e r i a en general, se deben a los electrones y no a l comp o r t a m i e n t o del núcleo. Pero éste en sí también es m u y i m p o r t a n t e : varios de los fenómenos naturales que se descubrieron a finales del siglo 19 y d u r a n t e los primeros 40 años del siglo X X se deben a procesos que ocurren en el interior, del núcleo. L a explicación, estudio y consecuencias de estas propiedades es el p r o b l e m a central de la física nuclear.
11.1 11.1.1
Conceptos básicos C o m p o n e n t e s d e l núcleo
E n este n u m e r a l comenzaremos por ver algunos conceptos y definiciones de l a física nuclear, que nos proporcionarán el vocabulario y la herram i e n t a necesarios para entender los desarrollos posteriores. Como se vio a l estudiar los modelos atómicos, el átomo se compone de u n núcleo con carga positiva y electrones en m o v i m i e n t o alrededor de él. Siendo el átomo eléctricamente neutro, el número de cargas positivas en el núcleo es igual a l número de electrones presentes en el átomo, cantidad que se denomina número atómico, Z. L a partícula de carga positiva que forma el núcleo del átomo de hidrógeno se llamó protón y se supuso que los núcleos de los demás elementos químicos estaban constituidos p o r protones. E l tercer elemento de la t a b l a tiene tres 227
228
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
protones, y así sucesivamente. E n general la carga del núcleo es igual a +Ze donde e es la carga del electrón y Z es el número atómico. L a confirmación experimental de la presencia de protones en el núcleo fue realizada por E. R u t h e r f o r d en 1919, cuando por p r i m e r a vez logró transformar u n núcleo de nitrógeno en u n núcleo de oxígeno (proceso llamado transmutación, largamente buscado p o r los antiguos alquimistas). Para ello bombardeó nitrógeno con partículas a. E n el momento de la explosión del núcleo de nitrógeno se emite u n protón (figura 11.1).
+
O—
emisión de átoi de explicar si la i el mismo C h a d i son explicables parecida a la del ] con la.que buscab»l Su masa es u n p o n í
C o n la demosti forma parte del n i E l número de ne figura 11.2 se ma cual se puede o b t
P He
2
FIGURA
4
+
N
7
14
.O
1
11.1. Esquema y ecuación de la transmutación de nitrógeno en oxígeno.
A l determinar las masas de los núcleos conocidos se presentó u n p r o blema. A medida que aumenta el número atómico l a masa nuclear no es precisamente la masa correspondiente a Z protones, sino mayor. Por ejemplo la masa del núcleo de helio, que tiene dos protones, es cuatro veces mayor que l a de u n solo protón. Entonces se supuso que debía exist i r o t r a partícula sin carga eléctrica y con la m i s m a masa del protón, lo cual solucionaba el problema de las masas nucleares siempre y cuando se pudiera comprobar su existencia por medio de algún experimento. E n 1920 R u t h e r f o r d realizó los primeros experimentos encaminados a descubrir la nueva partícula, pero sus resultados fueron negativos y los trabajos se suspendieron. E n 1930 W . Bothe y H . Becker observaron que a l bombardear berilio con partículas a la reacción producía una radiación m u y penetrante, que inicialmente se pensó eran fotones de alta energía (rayos 7). A l año siguiente F . Joliot e I . Curie observaron el mismo efecto y demostraron que la radiación podía ser detectada por su acción sobre substancias hidrogenadas, de las cuales expulsaba protones con grandes energías. E n el mismo año (1931) J . C h a d w i c h demostró que cuando la radiación incidía sobre substancias como helio, berilio y carbono se producía la
a
FIGURA
11.2.
T a n t o a los neutr genérico de nucleones.¡ U n núcleo se designa i
donde X es el sí (número de protones o < su número de masa atómica del elemento. L o anterior se ene t a b l a 11.1. E n cuanto a la fo tados experimentales ]
11.1.
229
C O N C E P T O S BÁSICOS
emisión de átomos que tenían grandes velocidades, resultado imposible de explicar si la radiación en cuestión eran rayos 7. Finalmente en 1932 el m i s m o C h a d w i c h encontró la respuesta: los resultados anteriores sólo son explicables si la radiación estaba formada por partículas de masa parecida a l a del protón y sin carga eléctrica. Esta partícula se identificó con la.que buscaba R u t h e r f o r d en 1920 y se le dio el nombre de neutrón. Su masa es u n poco mayor que la del protón: m
p
= 1.6725 x 1 0 "
g
24
m
n
= 1.6748 x 1 0 "
g
24
C o n la demostración experimental de la existencia del neutrón y que éste f o r m a parte del núcleo, se solucionó el problema de las masas nucleares. E l número de neutrones en u n núcleo se designa con la letra N. E n la figura 11.2 se muestra el esquema y l a reacción del proceso mediante el cual se puede obtener u n neutrón.
He
2
4
+
—•
Be
4
9
6
C
1 2
+
n
0
l
F I G U R A 11.2. Esquema y reacción de la obtención de un neutrón.
T a n t o a los neutrones como a los protones se les ha dado el nombre genérico de nucleones, indicando que son los constituyentes del núcleo. U n núcleo se designa mediante el símbolo: X
Z
A
(11.1)
donde X es el símbolo químico del elemento, Z su número atómico (número de protones o electrones presentes en el átomo) y A — Z + N su número de masa que es el número entero más cercano a la masa atómica del elemento. L o anterior se encuentra esquematizado con algunos ejemplos en l a t a b l a 11.1. E n cuanto a la forma del núcleo, suponemos que es esférica y resultados experimentales h a n mostrado que el radio nuclear es directamente
230
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
proporcional a la raíz cúbica de su número de masa correspondiente: (11.2)
R = RoA
1/3
donde R es igual a 1.2 x 1 0 con A mayor que 10. 0
T A B L A 11.1. Núcleo
- 1 5
m para todos los núcleos de los elementos
E j e m p l o d e a l g u n o s núcleos.
Diagrama del
Electrones
Neutrones
Protones
átomo
®
Hidrógeno
Deuterio
iH*
Tritio
,H
Helio
11.1.2
®
3
ninguno
•
O
•
O O
• •
He
2
•
4
o
o
• • • ••
U n i d a d de m a s a atómica
Las masas involucradas en la física nuclear son m u y pequeñas y el gramo no es u n a unidad de masa conveniente en este caso. E n su lugar se usa la llamada unidad de masa atómica, urna, que es igual a u n doceavo de la masa del átomo de carbono 12, unidad que incluye los electrones del átomo. Esto es : 1
luma
= ^(masa del átomo
6
C ) 1 2
E n términos de gramos el valor de una urna es: 1 urna = 1.6604 x 10~
24
g
(11.3)
De acuerdo con la relación de equivalencia masa-energía, E = m c , la energía correspondiente a una u n i d a d de masa atómica es: 2
luma 1
= 931.4
También se a c o s t u m b r a a u s a r el O
16
MeV c
(11.4)
2
p a r a determinar l a u n i d a d de m a s a atómica,
de ahí l a necesidad de definir con e x a c t i t u d l a u n i d a d de m a s a c o n l a c u a l se v a a trabajar.
11.1.
O t r a cantidad de Avogadro, en M gramos expresada en
231
C O N C E P T O S BÁSICOS
que usaremos con frecuencia en este capítulo es el número N , que es el número de átomos (o moléculas) que hay de cualquier sustancia de masa atómica (o molecular) M gramos: A
Mg A
M
a t 6 m ¡ c a
Mg M x 1.6604 x 1 0 "
(g)
24
g
= 6.0226 x 1 0 átomos(o moléculas) 23
Así, el número de átomos N que hay en una cantidad W gramos de u n a substancia de masa atómica M será: W
Na
N = — — ^ átomos M 11.1.3
(11.5)
F u e r z a n u c l e a r y energía d e e n l a c e
A l considerar las partículas que componen el núcleo atómico, se observan dos hechos: a) Las partículas tienen prácticamente la m i s m a masa y b) T i e n e n cargas positivas o neutras. E l segundo p u n t o nos indica que no podemos a t r i b u i r la estabilidad del núcleo a fuerzas electrostáticas. Más bien parecería que las fuerzas de repulsión eléctrica entre los protones harían que el núcleo se desintegrara. Puesto que esto no ocurre, debe existir una fuerza de atracción diferente a l a fuerza eléctrica que mantiene unidos los protones y los neutrones. Esta fuerza de atracción se denomina fuerza nuclear. Es m u y fuerte y de corto alcance, lo cual significa que sólo se puede apreciar cuando las partículas interactuantes están m u y cerca unas de otras. Para los núcleos esta distancia es del orden de 1 0 " m o menos. A distancias mayores es despreciable como lo confirma la interacción electromagnética que gobierna l a dispersión de nucleones y la agrupación de átomos en moléculas. Además, se ha observado que la fuerza nuclear actúa solamente entre protones y neutrones: esto es, sólo nucleones. 15
E n f o r m a análoga a l átomo, el núcleo también tiene momento angular, momento de d i p o l o magnético, spin y estados energéticos entre los cuales pueden o c u r r i r transiciones y presenta una fuerte interacción spin-órbita. Cuando se quieren separar los componentes de u n núcleo, por ejemp l o sacar u n protón o u n neutrón, es necesario suministrarle cierta cant i d a d de energía llamada energía de enlace o ligadura. A l u n i r los componentes de u n núcleo se libera la m i s m a cantidad de energía.
232
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
Podemos obtener u n a idea de la m a g n i t u d de las interacciones n u cleares calculando la energía de enlace de u n núcleo de deuterio (1H ). Este núcleo está formado por u n protón y u n neutrón y su masa es de 2.014102 urna. L a suma de las masas individuales es mayor que l a masa del núcleo formado por ellas en l a cantidad: 2
Am = m + m p
— m
n
= 0.002388 urna
d e u t e r i o
7
Hé
^6
que de acuerdo con el p r i n c i p i o de equivalencia masa-energía corresponde a una energía:
¡5
Li
6
E = 931.4 x 0.002388 = 2.224 MeV 3 Pero esta energía es la que se necesita para separar el protón o el neutrón del núcleo de deuterio, como también la que se libera cuando se j u n t a n el protón y el neutrón para formar dicho núcleo, ya que la energía t o t a l del sistema se conserva. Comparando la energía anterior con la energía necesaria para liberar al electrón del átomo de hidrógeno (13.6 eV), podemos concluir que la interacción nuclear es del orden de 10 veces más fuerte que la interacción electromagnética. 6
He
3
2 • 1
El
40
F I G U R A 11.3. Curva i
E n general, para u n núcleo de masa M formado p o r A nucleones de los cuales Z son protones y N son neutrones, la energía de enlace es: nucl
E
en
= {Zm
p
+ Nm -
(11.6)
M )c
n
nucl
2
donde m y m son las masas del protón y del neutrón respectivamente. L a masa del núcleo se obtiene a p a r t i r de la masa del átomo restándole la masa de los electrones que tenga; esto es: M = M — Zm . Entonces la ecuación anterior también se puede escribir como: p
n
nucl
E
en
= [Z(m
p
e
+ m ) + Nm e
e
1
E
en
= {Zm
H
+ Nm -
931.4(Z m
H
entonces:
M)c
n
2
+ Nm n
También nos muí formar uno más aumenta la energía l i b e r a energía. proceso nuclear y su
2
Pero m + m es la masa del átomo de hidrógeno (iH ); p
más estable el del
Más adelante
M]c
n
para núcleos cuyo nú
M)MeV
(11.7)
E n la segunda ecuación todas las masas deben expresarse en urna. L a energía de enlace p o r nucleón, E /A, es u n a buena indicación de la estabilidad de u n núcleo, ya que cuanto mayor sea, más difícil será de separar u n neutrón o u n protón de él. en
E n la figura 11.3 se muestra cómo varía la energía de enlace p o r nucleón en función del número de masa. Como se puede ver, es máxima
Es de notar que postulada p o r E i procesos son u n a coi E j e m p l o 11.1. Cuando un neutrón lea uranio 235 ( U ) esa entre ellas neutrones, ceso y en una de ellas cerio (nsCe ), un núek trones de alta energía), 92
140
235
11.1.
C O N C E P T O S BÁSICOS
233
para núcleos cuyo número de masa se encuentra entre 50 y 60, siendo el más estable el del hierro 56 ( Fe ). 2e
56
También nos muestra que cuando dos núcleos livianos se unen para formar uno más pesado, o uno pesado se divide en dos más livianos, aumenta l a energía de enlace del p r o d u c t o final y por consiguiente se l i b e r a energía. Más adelante hablaremos nuevamente de l a energía liberada en u n proceso nuclear y su relación con la energía de enlace. Es de notar que en el mundo nuclear la equivalencia masa-energía postulada por E i n s t e i n juega u n papel fundamental. A su vez estos procesos son u n a confirmación de su veracidad. E j e m p l o 11.1. Cuando un neutrón lento (de poca energía) incide sobre un núcleo de uranio 235 (92U ) este se divide en dos núcleos y alguna partículas, entre ellas neutrones. Existen varias reacciones típicas para este proceso y en una de ellas el núcleo de uranio se divide en un núcleo de cerio (saCe ), un núcleo de circonio ( Zr ), seis partículas ¡3~ (electrones de alta energía) y dos neutrones. Las masas de las partículas que 235
140
w
9i
234
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
intervienen en este proceso U = 235.0439 urna n=
(llamado fisión nuclear) Ce = 139.9054 urna
1.0087 urna
Las masas inicial y final del proceso
son las
siguientes:
Zr = 93.9036 urna
e = 0.0033 urna son:
M, = U + n = 236.0526 urna M
f
= Zr + Ce + 6 e + 2n = 235.8296 urna
Nuevamente la masa final es menor que la masa inicial y por consiguiente también lo es la energía; es decir, en el proceso se liberó energía que para el caso considerado es del orden de 207 Me V. La energía de enlace por nucleón para los núcleos uranio, circonio y cerio son respectivamente 7.6, 8.69, y 8.38 MeV, siendo mayor para los núcleos producto como los muestra la gráfica de la figura 11.3 •
11.2
Radiactividad natural
L a emisión de partículas o radiación electromagnética de a l t a frecuencia por u n núcleo en forma espontánea se denomina radiactividad y el núcleo correspondiente es u n núcleo radiactivo. 11.2.1
D e s c u b r i m i e n t o de l a r a d i a c t i v i d a d n a t u r a l
E n 1896 A . Bequerel descubrió en forma accidental la r a d i a c t i v i d a d nat u r a l . Había dejado una sal de uranio sobre u n a placa fotográfica que una vez revelada mostró claramente la imagen de los cristales de la sal. Esto indicó que la sal de uranio emitía naturalmente cierta radiación. Después de este descubrimiento algunos físicos se dedicaron a est u d i a r las sales de uranio siendo los más célebres los esposos Pierre y M a r i e Curie, quienes p r o n t o notaron que minerales que contenían sales de uranio eran más radiactivos que la sal pura. E n 1898 t r a t a n d o u n a gran cantidad de plechbenda (mineral de uranio) encontraron dos nuevos elementos radiactivos: el polonio (Po) y el radio (Ra), ambos con u n poder radiante superior a l del uranio. Luego se descubrió el t o r i o (Th), el radón (Rn) y el actinio (Ac) así como los elementos llamados productos, en los cuales se t r a n s f o r m a n los anteriores. Estos elementos se clasificaron en tres familias o series radiactivas: la del uranio, la del torio y la del actinio. Existe u n a cuarta serie radiactiva, la del neptunio (Np), que se obtiene en el laboratorio artificialmente, debido a que este elemento ya no se encuentra en su forma n a t u r a l .
11.2.
235
RADIACTIVIDAD NATURAL
E n la naturaleza se encuentran catorce elemeritos radiactivos de los cuales once se transforman en u n elemento estáfele (no emite radiación) y los tres restantes d a n origen a las series radiactivas mencionadas, de las cuales volveremos a hablar más adelante. 11.2.2
Isótopos y e s t a b i l i d a d isotópica
A l comienzo del siglo X X cuando se desarrollaron los métodos para l a determinación de las masas atómicas se descubrió que no todos los átomos de u n mismo elemento tienen la m i s m a masa. Las diferentes variedades del m i s m o elemento reciben el nombre de isótopos lo que significa que ocupan el m i s m o lugar en l a t a b l a periódica, tienen propiedades químicas idénticas pero son físicamente diferentes. Esto es, tienen igual Z y diferente A. U n isótopo naturalmente radiactivo emite una partícula a o u n a partícula ¡3~. Algunas veces puede e m i t i r al mismo t i e m p o rayos j . 2
Cuando u n núcleo atómico emite u n a partícula a, el átomo se transf o r m a en o t r o debido a que su masa atómica disminuye en cuatro u n i dades y su número atómico en dos. E l esquema de la desintegración es el siguiente: -> _ y -
X
Z
z
A
2
A
4
+ He' 2
(11.8)
Por ejemplo, el radio {fia) con número atómico Z = 88 y número de masa A = 226, conocido emisor de partículas a, se transforma en radón (Rn) con número atómico Z = 86 y número de masa A = 222. L a transformación nuclear es evidente porque el radio, que es u n sólido, se encuentra en el mismo g r u p o químico del bario, mientras que el radón es uno de los gases nobles. E n este caso es fácil separar el p r o d u c t o de su antecesor i n m e d i a t o en el sentido de que son dos elementos completamente diferentes. Cuando hay emisión de partículas el número atómico del nuevo elemento es Z +1 y su masa nuclear permanece igual, porque la masa de u n electrón es despreciable comparada con la masa del núcleo. Cuando las masas de dos elementos son las mismas los núcleos se denominan isóbaros. E l esquema de l a desintegración es el siguiente: X
Z
A
^
z
+
1
Y
A
+ _ e°
(11.9)
x
N o todos los isótopos son radiactivos y algunos elementos no radiactivos poseen isótopos que si lo son. Por ejemplo, el cloro (Cl), tiene nueve isótopos de los cuales dos son estables y existen en la naturaleza y los 2
Partícula a:
núcleo de helio; Z = 2 y A = 4, partícula 0~:
energía; Z = 1 y A = 0, partícula 7 o también rayo 7:
electrón de gran
fotón de alta frecuencia.
236
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
siete restantes son radiactivos. Los isótopos estables del cloro son los de número de masa 35 y 37. E l hidrógeno tiene tres isótopos de número con masa 1, 2 y 3. Los dos últimos se l l a m a n deuterio y t r i t i o . E l t r i t i o es u n elemento radiactivo que ya no se encuentra en la naturaleza. L a mayoría de los elementos naturales son una mezcla de isótopos, algunos de los cuales son radiactivos. También existen núcleos que tienen igual número de neutrones pero diferente número atómico y por lo t a n t o diferente número de masa. Se les denomina isótonos y necesariamente pertenecen a elementos diferentes. E j e m p l o 11.2. Consideremos la desintegración del uranio 238 en torio 230. E l esquema de la desintegración es el siguiente: U™
92
^
9 0
Th™
->
9 1
¿V
3 4
^
9 2
f/
2 3 4
-^
9 0
Th
230
E l uranio 238 y el uranio 234 (ambos con Z = 92) serán idénticos en sus propiedades químicas. Su mezcla constituye un solo elemento y es imposible separarlos por métodos químicos. Entonces son isótopos del elemento uranio. E l torio 234 y el torio 230 también son isótopos del elemento torio. Además, en la naturaleza se encuentra el torio con A = 232 y Z = 90; así éste también es un isótopo del mismo elemento torio. •
Como se vio, no todas las combinaciones de protones y neutrones f o r m a n núcleos estables. E n general, los núcleos livianos (A < 20) tienen aproximadamente el mismo número de protones que de neutrones (Z = N ) , mientras que los núcleos pesados presentan más neutrones que protones. E n el p r i m e r caso la experiencia muestra que tales núcleos son estables. E n forma análoga a los átomos, los núcleos tienden a estar en u n estado de mínima energía. Esto es, tener una máxima energía de enlace. Pero la repulsión electrostática entre protones se va haciendo cada vez más grande a medida que el número de éstos aumenta y así se necesita u n exceso de neutrones para que se produzca la fuerza nuclear suficiente p a r a mantener unidas las partículas. Por ésto los núcleos con Z > 20, se van alejando de la recta Z = N y van siendo cada vez menos estables a medida que Z crece (figura 11.4). Debido a que l a repulsión coulombiana entre protones es apreciable en t o d o el núcleo, existe u n límite para el cual los neutrones ya no pueden hacer que sea estable. Este límite se presenta para el b i s m u t o (Z — 83, A = 209), que es el isótopo estable más pesado. Todos los núcleos con Z > 83 y A > 209 son inestables o radiactivos.
11.2.
RADIACTIVIDAD NATURAL
237
F I G U R A 1 1 . 4 . Gráfica de N en función de Z para los núcleos. La gráfica se aleja de la recta Z = N para Z > 20.
Además de lo expuesto, influyen otros factores como la p a r i d a d de los números atómico y de neutrones (Z y N). Por ejemplo, u n núcleo con Z y N par o i m p a r es generalmente estable; y los núcleos con Z ó N iguales a 2 , 8 , 2 0 , 2 8 , 5 0 , 8 2 y 1 2 6 son excepcionalmente estables, como también los son los llamados gases nobles: helio ( He ), neón ( i V e ) , argón ( Ar ), kriptón ( Kr ) y xenón ( X e ) . Estas reglas y otras que existen para determinar l a estabilidad de u n núcleo son empíricas; todas se obtuvieron a p a r t i r de resultados experimentales. 2
5 4
1 0
i
2 0
18
36
36
84
1 3 2
E n l a t a b l a 1 1 . 2 se encuentra la distribución de los isótopos estables de acuerdo con l a p a r i d a d de sus nucleones.
T A B L A 1 1 . 2 . Distribución de los isótopos estables de acuerdo con la paridad de Z, N y A. impar impar par par A impar par impar par Z N
par
impar
impar
par
casos
166
8
53
57
238
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
11.2.3
Determinación de l a m a s a isotópica y a b u n d a n c i a
Como ya se d i j o , el método químico no es adecuado para determinar la masa de isótopos. Por tanto se debe hacer a p a r t i r de métodos físicos. Para ello se ideó u n instrumento denominado espectrógrafo de masa. que como su nombre lo indica, proporciona u n espectro de líneas en el cual cada una corresponde a una masa dada. E l p r i m e r o fue diseñado p o r F . A s t o r en 1919 y permitió determinar masas isotópicas con una precisión de 1/1000. E n la figura 11.5 se encuentra u n esquema de este instrumento.
-*~ — 'B
l i l i
F I G U R A 11.5. Esquema del espectrógrafo de masa de Aston y de un espectro de m a s a .
U n a fuente emite iones positivos de u n elemento determinado, los cuales son separados de acuerdo con sus velocidades mediante u n campo eléct r i c o . Luego, el haz dispersado atraviesa u n campo magnético donde los iones son nuevamente deflectados en u n a cantidad inversamente p r o p o r cional a su velocidad describiendo u n a trayectoria curva. Esto hace que todos los iones con igual q/m lleguen a l mismo p u n t o de observación, generalmente u n a placa fotográfica. A l revelar la placa fotográfica en los sitios donde incidieron los iones aparecen líneas. C o n este i n s t r u mento A s t o n encontró los dos isótopos del neón y los dos isótopos no radiactivos del cloro. 3
Además de la masa isotópica es i m p o r t a n t e conocer la proporción relativa en que se encuentra este en u n elemento. Esto es, su abundancia relativa. Para ello se u t i l i z a u n instrumento denominado espectrómetro de masa (figura 11.6), diseñado por A . J . Dempster casi a l m i s m o t i e m p o que el espectrógrafo de masa de A s t o n . Este instrumento no puede m e d i r con precisión masas isotópicas. Su nombre se debe a que mide corrientes iónicas en lugar de obtener registros en placas fotográficas. E n forma esquemática, el instrumento funciona de la siguiente manera: una vez que los iones emitidos por la fuente apropiada son acelerados 3
C o n s u l t e e n cualquier libro de física general los efectos de c a m p o s electro-
magnéticos sobre cargas en movimiento.
11.2. R A D I A C T I V I D A D N A T U R A L
239
por u n a diferencia de potencial, entran a u n campo magnético que hace que describan u n a trayectoria circular definida por la relación:
m v
= qv B
(11.10)
donde r es el radio de la t r a y e c t o r i a , m la masa del i o n , q su carga, v 4
su velocidad y B el campo magnético. fuente de iones
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
F I G U R A 11.6. Espectrómetro de masa de Dempster.
Como el radio del círculo debe tener u n valor determinado para que u n ion dado llegue a l detector, sólo los que tengan la relación q/m adecuada lo harán y podrán ser medidos. Los iones con otras masas llegarán a l detector cuando sean acelerados p o r u n a diferencia de potencial adecuada. L a corriente resultante es p r o p o r c i o n a l a l número de iones positivos que llegan a l detector por u n i d a d de t i e m p o y como cada potencial acelerador es p r o p o r c i o n a l a u n a masa (K = mv /2 = qV) se puede graficar la corriente en función de la masa de los iones. 2
C o n el t i e m p o los espectrómetros de masa se h a n modificado de t a l f o r m a que hoy día los hay especialmente diseñados para buscar isótopos raros y medir simultáneamente sus masas y abundancia con gran precisión.
4
La
ecuación (11.10) representa, simplemente, l a trayectoria circular de u n a
partícula c a r g a d a en u n a región con u n c a m p o magnético perpendicular al vector
v.
240
C A P I T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A N U C L E A R
E j e m p l o 11.3.
donde Am incluye su expresión es la
En un espectrómetro de masa se acelera un ion de carga e a través de una diferencia de potencial de 1000 V. Luego el ion atraviesa una región donde el campo magnético tiene una intensidad de O.lWb/m describiendo una trayectoria circular de radio igual a 25.75cm. ¿Cuál es la masa de este ion y su número de masa?
A m = aA-
bA*
2
Al ser acelerado por una diferencia una energía cinética igual a:
de potencial
K=-mv 2 una trayectoria
circular
las dos expresiones
2 3
determinada
por la relación:
qv B anteriores,
Reemplazando
datos y efectuando
cZ A~ ' : tones, que es : en u n volume»< 2
se obtiene para la masa:
1 3
d\Z
q(Br)
2
m =
a A: efecto de ' enlace es pr nucleones, ya < bA ' : efecto tensión sup y l a energía
H
mv
Combinando
adquiere
= qV
2
y describe
V, el ion
donde cada uno de
2V
número de p r
operaciones,
el resultado
es:
efecto
F(A):
trones y n i m = 5.3045 x 1 0 " s = 31.9471 urna 2 5
Como el número de masa es el número entero más cercano a la masa atómica del elemento, entonces el número de masa de este ion es 32 y corresponde a un ion de azufre. •
Las constantes a. ?». c,{ terminan combinandnl difieren según las C o n los siguientes a = 16.9 x 1 0
Sería m u y útil tener u n a fórmula matemática que p e r m i t i e r a calcular teóricamente la masa de los isótopos pero la física no ha progresado todavía lo suficiente en este campo para obtenerla. Sin embargo en 1935 V o n Weizsácker encontró u n a relación semiempírica para calcular masas, teniendo en cuenta u n a serie de efectos que tienen lugar dentro de los núcleos. L a masa de u n isótopo es igual a l a suma de las masas de los nucleones que lo componen menos una cantidad de masa correspondiente a la energía que se libera a l u n i r las partículas (ecuación (11.7)): M(Z,
A) = Zm
H
+
(A-Z)m -
d =
H
tima 10LSJ
la ecuación (11.11) M(Z,
A) = [991. + 101J
donde:
E,
n
F{A) Z(m
- 3
- m „ ) + Am
n
-
Am
(11.11)
= { 0
11.2.
241
RADIACTIVIDAD NATURAL
donde A m incluye ciertos efectos que tienen lugar dentro del núcleo y su expresión es l a siguiente: Am
= aA-bA
-cZ A~
2/3
2
- d(z
1/3
A'
(11.12)
- F(A)
1
donde cada uno de los términos corresponde a los siguientes efectos: a A: efecto de volumen. Expresa el hecho de que la energía de enlace es p r o p o r c i o n a l a l volumen del núcleo o a l número t o t a l de nucleones, ya que es la m i s m a para cada partícula. bA : efecto de superficie. L a superficie del núcleo presenta u n a tensión superficial (similar a lo que ocurre en u n a gota de líquido) y l a energía en l a superficie es p r o p o r c i o n a l a l área de la misma. 2/3
cZ A~ : efecto debido a la repulsión electrostática entre protones, que es igual a la energía potencial de Z protones agrupados en u n v o l u m e n esférico de radio R = RA . 2
1/3
0
d {^Z — i A*j
1/3
efecto debido a la f a l t a de simetría entre el
A" : 1
número de protones y neutrones. efecto debido a la p a r i d a d del número de protones, neu-
F(Á):
trones y número de masa. Las constantes a, b, c, d y u n a que aparece en el término F(A) se det e r m i n a n combinando la teoría y resultados experimentales. Sus valores difieren según las aproximaciones que se hayan hecho para calcularlas. Con los siguientes valores para las constantes: a = 16.9 x 10~ urna
b = 19.11 x 1CT urna
c = 0.762 x 1 0 "
3
3
d = 101.6 x 1 0 " urna
e = 41.8 x K T
3
3
3
urna
urna
la ecuación (11.11) t o m a la forma: M(Z,
A) = [991.75 A - 0.84 Z + 1 9 . 1 1 , 4 + 101.6 (z-^A^J
A'
1
2/3
+ 0.762
+ F(A)\ 1 0
- 3
donde: para Z y N pares
'-41.8A~
3/4
F(A)
= <0 k
+41.8A~
para A i m p a r 3 / 4
para Z y N impares
uma
Z A~ 2
1/3
(11.13)
242
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
T A B L A 1 1 . 3 . Masas isotópicas calculadas mediante la ecuación ( 1 1 . 1 3 ) y sus correspondientes masas medidas. Número
Elemento
atómico
Número masa
Masa calculada
medida
6
12
12.0017
12.0000
Carbono
Masa
Nitrógeno
7
14
14.0110
14.0030
Sodio
11
23
22.9893
22.9897
Hierro
26
56
Molibdeno
42
98
55.9363 97.9044
55.9393 97.9054
Plata
47
107
106.9042
106.9045
Esta fórmula reproduce bastante bien los valores de las masas isotópicas para A > 10 como se puede observar en la tabla 11.3. Además, también puede explicar las reglas empíricas de la estabilidad nuclear. E n general u n átomo, o mejor su núcleo, será estable si su masa M(Z,A) es menor o igual a la suma de las masas de sus nucleones. Si es mayor emitirá una de las partículas que lo constituye para reducir su masa. Este criterio para determinar la estabilidad nuclear y otros que se obtienen de l a ecuación de masa (que están fuera del alcance del curso), p e r m i t e n predecir con cierta exactitud cuándo u n núcleo es estable o no. Puede haber emisión de: u n protón si:
M(Z,A)
u n neutrón si:
M{Z,
A) > M(Z, A - 1) + m
una partícula a si:
M(Z,
A) > M{Z
una partícula j3~ si:
M{Z,A)
> M{Z
> M(Z
- l , A - l ) + m
p
n
- 2, A - 4) + m
a
+
l,A)+m
e
E j e m p l o 11.4. Encontrar masa
consiguiente la
de
dado.
Cuando por
el número atómico del núcleo más estable para un número el núcleo es estable,
su energía de enlace es máxima.
el máximo valor de Z para un A dado estará
condición: dE
en
dZ
d(Amc ) 2
dZ
= 0
Por
determinado
243
11.2. R A D I A C T I V I D A D N A T U R A L
donde: Am = aAEfectuando
bA '
-cZ A~
2 3
2
las operaciones,
*
Zmá
2A-'{d
- y ) A
- d (z
x/3
el resultado
es:
+ cA '*)
2
2
- 1
-
F(A)
(c/d)A '
1+
2 3
Pero c/d = 7.5 x 10~~ , lo cual es pequeño comparado con la unidad. Entonces, para átomos livianos (A pequeño) la cantidad entre paréntesis se puede aproximar a la unidad y: 3
Z
- ±
con A = 10 : [c/d)A
Por ejemplo,
= 0.03 y (1 + 0 . 0 3 ) "
2/3
1
= 0.97.
Entonces: z
máx
ya que el número atómico
11.2.4
= Y
x
°-
97
= 4
8 5
=
es un número entero.
5
•
V i d a media y vida promedio
F I G U R A 11.7. Comportamiento de la desintegración radiactiva en el tiempo
Se ha observado que todos los procesos radiactivos siguen una ley exponencial. Si N es el número inicial de núcleos radiactivos presentes en una muestra, el número N de núcleos radiactivos que quedan después de u n t i e m p o í está dada por la siguiente expresión: 0
N =
N e' 0
xt
(11.14)
244
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
donde A es una constante característica del elemento radiactivo d e n o m i nada constante de desintegración. E n la figura 1 1 . 7 se muestra l a gráfica de N en función del t i e m p o . Para cada elemento radiactivo existe u n intervalo de t i e m p o d e n o m i nado período de semidesintegración o vida media, Tm, durante el cual el número de núcleos presentes a l comienzo del intervalo se reduce a la m i t a d . Si inicialmente había N núcleos (N átomos), después de u n período quedarán N /2 núcleos; después de dos períodos quedarán ÍVQ/4: y así sucesivamente. De l a ecuación ( 1 1 . 1 4 ) se obtiene u n a expresión que p e r m i t e calcular el período de desintegración. Cuando t es igual a l período Tm, el número de núcleos radiactivos presentes en la muestra se ha reducido a l a m i t a d (N /2). Reemplazando estos datos en l a ecuación ( 1 1 . 1 4 ) y despejando Tm: 0
0
0
0
ln2 —
m
Tm=
0.693 —
=
(11.15)
Los períodos de desintegración, o v i d a media, de los elementos radiactivos tienen u n rango de valores m u y grande que va desde millones de años, como en el caso del isótopo del vanadio V ( 4 x 1 0 años), hasta valores del orden de fracciones de segundos como en el caso del isótopo del helio He , que tiene u n período del orden de 1 0 ~ segundos. L a velocidad con la cual se desintegran los núcleos radiactivos se obtiene derivando la ecuación ( 1 1 . 1 4 ) : 1 4
50
2 1
5
(
^- = -\N e0
x
t
(11.16)
= -\N
y el valor absoluto \dN/dt\e denomina actividad, a , de la substancia radiactiva. L a actividad se expresa en unidades llamadas curie, Ci, y se define como la cantidad de cualquier substancia radiactiva que decrece a razón de 3 . 7 x 1 0 núcleos por segundo. Es aproximadamente igual a la a c t i v i d a d de u n gramo de radio (Ra). c
1 0
L a v i d a real de u n núcleo radiactivo puede ser cualquiera, desde cero hasta u n valor infinito. N o podemos predecir cuándo se va a desintegrar. Así, le asignamos u n t i e m p o promedio de v i d a denominado vida promedio cuya expresión es: t
P
=
\)
Comparando las ecuaciones ( 1 1 . 1 5 ) y ( 1 1 . 1 7 ) , encontramos que l a relación entre la v i d a media de u n núcleo y su v i d a promedio es: Tm
= 0.693 t
p
(11.18)
245
11.2. R A D I A C T I V I D A D N A T U R A L
C u a n d o u n a substancia radiactiva da lugar a una serie radiactiva, es decir, u n núcleo se desintegra en o t r o que a su vez también se desintegra y así sucesivamente, podemos hallar el número de núcleos presentes en cualquier instante p a r a cada uno de los elementos que se forman. Consideremos el caso sencillo en que una substancia radiactiva A se desintegra en o t r a substancia radiactiva B que a su vez se desintegra en u n a tercera substancia C estable. Inicialmente en la muestra radiactiva sólo hay núcleos de l a substancia A. L a velocidad a la cual se desintegra l a substancia A es: = ~ AN X
(11.19)
= -X N e-^
a
A
0A
at donde X
A
es su constante de desintegración y N
el número de núcleos
0A
(o átomos) de A presentes inicialmente en la substancia. t i e m p o se habrán formado N
B
= N
- N
0A
A
A l mismo
núcleos de la substancia B.
Pero ésta, a m e d i d a que crece con u n a velocidad igual a \N , A
con u n a velocidad X N B
donde A
B
decrece
es su constante de desintegración.
s
Por t a n t o , la velocidad real con la cual se desintegra la substancia B será la diferencia entre su velocidad de formación y su velocidad de desintegración: dN
B
= KN
(11.20)
- \N
A
di
B
y la velocidad de formación de la tercera substancia, que es estable, es: dN
c
(11.21)
—XN B
dt
B
Para obtener el número de núcleos de cada substancia, presentes en u n momento dado, debemos integrar las ecuaciones (11.19) a (11.21) teniendo en cuenta que N
0B
N
= N e'
N
= N
A
B
0A
c
son nulos. E l resultado es el siguiente:
oc
(11.22a)
XAt
0A
A
Ab —
N
y N
= N (i
.
{e'
XAt
1
A
+ —*V
0A
(11.22b)
- e-^ )
A
\ — A.4 B
e- *< x
Á
B
- T-^V A
A
e~ A x
(H.22c)
J
L a substancia C aumentará continuamente hasta que después de u n t i e m p o suficientemente largo, comparado con los períodos de las substancias A y B, el número de núcleos de C será igual a l número de núcleos de A presentes inicialmente.
246
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
a.
Decaimiento de l a substancia
A(T
m
b. Analogía hidrodinámi-
= 2h), creación y decaimien-
to de l a substancia B(T
c a p a r a el m i s m o caso,
= 5h), y
m
creación de l a substancia estable C.
F I G U R A 11.8. Serie radiactiva de tres elementos.
E n l a figura 11.8 se puede observar cómo varía en el t i e m p o el número de núcleos de las tres substancias del ejemplo. Las gráficas se calcularon con T
mA
= 2h y T
= 5 h. Además se muestra una analogía hidrodinámica
mg
en l a cual el área de los orificios de salida de los tanques es p r o p o r c i o n a l a l a constante de desintegración. E n general si la substancia radiactiva da origen a una serie de muchos elementos, las velocidades de desintegración están dadas p o r ecuaciones diferenciales similares a las ecuaciones (11.19) a (11.21). S i n embargo, mientras más ecuaciones diferenciales haya, más difícil es encontrar las soluciones. Cuando u n elemento de v i d a media larga se desintegra en o t r o elemento radiactivo de v i d a media corta, después de u n t i e m p o suficientemente grande l a relación entre las velocidades de desintegración de los dos elementos se hace constante. Este equilibrio se denomina secular
o
equilibrio
radiactivo.
L a ecuación que satisface esta condición se obtiene de las ecuaciones (11.22a) y (11.22b) para
< < A . Para u n t i e m p o grande, e ~ B
despreciable comparado con e
N
B
= ^ N Á B
0
A
_ A y l í
y A — A,, = \.
Entonces:
B
e - ^ = ^N Á
A
B
=
^ N i m A
A
A f l t
es
11.2.
247
RADIACTIVIDAD NATURAL
de donde: N Tm A
(11.23)
= N Tm
B
B
A
Esta ecuación es m u y útil para calcular períodos que son m u y grandes o m u y pequeños de substancias radiactivas, cantidades imposibles de medir experimentalmente. Por ejemplo, en el m i n e r a l de uranio, donde ya se ha establecido el equilibrio radiactivo, existe u n átomo de radio 226 p o r cada 2.8 x 10 átomos de uranio 238. E l período del radio se determinó experimentalmente y es de 1620 años, mientras que el del uranio 238 es m u y grande y no es posible determinarlo. Entonces, con estos datos y la ecuación (11.23) es m u y fácil obtener el período del uranio 238. 6
E j e m p l o 11.5.
a) ¿Cuántos átomos de Pa 233 (protactinio) si se tiene un millón de átomos?
se desintegran
b) ¿Cuál es la masa de este elemento cuya actividad E l período
en un día
es igual a
unCi?
del Pa 233 es de 27 días.
Solución a) E l número de átomos desintegrados, N', después de un tiempo t es igual al número inicial de átomos N menos los que no se han desintegrado, N: 0
N' = N -N Efectuando
- e~ )
= N (l
0
xt
0
las operaciones
donde A =
^
con los datos dados, el resultado
N' = 1 0 ( 1 - e 6
_ l n 2 / 2 7
es:
) = 25345
b) Sabemos que la actividad de una substancia radiactiva y el número de átomos presentes en cierta cantidad W g de la misma están dados por las ecuaciones (11.16) y (11.5): a
c
=
\
=
N l - ^ L Tm
N =
W ^ M
donde M es la masa atómica de la substancia y que para efectos de cálculos podemos hacer igual (numéricamente) a su número
248
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
de masa. Reemplazando N en la ecuación despejando W:
para
la actividad
y
W = o , A . NAn2 T
m
La actividad de un Ci es igual a la desintegración de 3.7 x 1 0 átomos por segundo: el período de Pa 233 es de 27 días= 2.33 x 10 s. Entonces:
10
6
„
11.2.5
3.7 x 1 0
r
W
=
10
x 233 x 2.33 x 10
6.02xl(P3xln2
6
t
=
4
8
n
X
*
1 0
Series radiactivas
C o n lo explicado en los numerales anteriores ahora se puede entender los diagramas que representan las series radiactivas (figura 11.9). Cada serie está formada por una sucesión de elementos radiactivos que proceden de u n núcleo inicial y el p r o d u c t o final es estable. Se encontró que el número de masa de cada m i e m b r o de las series se puede expresar mediante las fórmulas 4 n , 4n + 1, 4 n + 2 y 4 n + 3 donde n es u n número comprendido entre 51 y 59. Fue precisamente el hecho de que la serie con 4 n + 1 no se encontró en la naturaleza lo que llevó a descubrirla experimentalmente, correspondiendo a la serie del neptunio. Las series radiactivas t o m a n su nombre del elemento i n i c i a l o uno cercano a él, como es el caso de la serie del actinio. También se conocen como series 4 n , 4 n + 1, 4 n + 2 y 4 n + 3. E n la t a b l a 11.4 se encuentran los períodos de los elementos iniciales así como el elemento estable final para cada serie. T A B L A 11.4. Períodos de semidesintegración de las series radiactiva y sus productos finales Nombre Torio
Serie
Núcleo inicial
4n
90T/Í
Uranio
4n + 1 4n + 2
93ÍVp
Actinio
4n + 3
Neptunio
2 3 2
237
TT238
92^ rr232 90 <->
Período (años) 1.39 x 1 0
P r o d u c t o final estable 10
2.20 x 10
6
4.51 x 10
9
7.10 x 1 0
10
pí,206
Ph
2m
11.2.
FIGURA 11.9.
RADIACTIVIDAD NATURAL
249
E s q u e m a s de l a s d e s i n t e g r a c i o n e s de l a s c u a t r o s e r i e s r a d i a c t i v a s .
250
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
Los elementos radiactivos que se encuentran en la naturaleza (except u a n d o los tres que dan origen a las series) se encuentran en la t a b l a
Con estas cribirán:
11.5. T A B L A 11.5.
E l e m e n t o s radiactivos presentes en l a naturaleza. Se t r a n s f o r m a n en u n elemento estable.
Nombre Potasio (K ) Vanadio (V ) Rubidio {Rb ) Indio ( / n ) Lantanio (La ) Neodimio {Nd ) 40
50
87
1 1 5
13S
144
Samario ( S m ) Lutecio (Lu ) Renio ( i ? 2 ) 1 4 7
176
187
Período (años)
Radiación Observada
1.2 x 10 1 x 10
0-,7 7
9
6
6 x 10 6 x 10 1 x 10 1.5 x 1 0 1.4 x 10 7.5 x 1 0
10
14
11
4 x 10
15
11
10
P~ P~ P~ a a
r,7
En este caso la do el plomo 206 juntos el uranio 1 uranio más el n día, debe ser i g u a l d i c i a muestra La concent, muestra se det< se despeja el tiempo se enfrió y el uranio una roca). Entoi
12
Además de los elementos naturalmente radiactivos antes mencionados, existe o t r o más que se forma continuamente y en cantidades medibles por la acción de los rayos cósmicos sobre la atmósfera. Es el carbono 14 ( C ) producido por la acción de neutrones sobre el nitrógeno atmosférico y luego se transforma emitiendo u n a partícula ¡3~. Su período es de 5730 años. 1 4
E n el ejemplo 11.7 se discutirá el empleo del carbono 14 como u n medio bastante aproximado en la determinación de edades arqueológicas. E j e m p l o 11.6. L a edad de la tierra se puede medir a partir de la concentración 238 y plomo 206 que se encuentre en una muestra dada.
11.3
Cuando u n núcleo < él, el proceso se d e i 11.3.1
de
uranio
En una serie radiactiva las constantes de desintegración de los diferentes miembros que la componen varían mucho en orden de magnitud, lo cual permite hacer aproximaciones en cálculos matemáticos. En el caso de la serie del uranio, esta comienza con uranio 238 cuyo período es del orden de 109 años y su constante de desintegración es la más pequeña comparada con las de los demás miembros con excepción del plomo 206 que es estable. Entonces, después de 109 años podemos suponer que los únicos elementos presentes en la muestra cuya edad se quiere determinar serán uranio 238 y plomo 206. En términos de la analogía de los tanques de agua, todos los tanques intermedios están vacíos y sirvieron únicamente de conexión entre el primero y el último.
Radiac
Reaccioi
Cuando dos núcleos o c u r r i r que las partí u n a reacción nuclear < para formar u n a m o l Las reacciones nuc t i l nuclear ( m ¡ ) , que u n núcleo que sirve dé] se produce l a misma (Mf) que puede estar < L a reacción se de si l a reacción es:
11.3.
Con estas aproximaciones cribirán: N
u
(11.22a) y (11.22b) se es-
las ecuaciones
= N e0U
251
RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL
N
Xut
=
Pb
N {l-e~ ) QV
Xvt
En este caso la substancia radiactiva se desintegra en otra estable. Siendo el plomo 206 el elemento ñnal de la serie, siempre se encontrarán juntos el uranio 238 y el plomo 206; por tanto el número de átomos de uranio más el número de átomos de plomo presentes en la muestra hoy día, debe ser igual al número inicial de átomos de uranio presentes en dicha muestra cuando se formó; es decir, al formarse la tierra. La concentración de átomos de uranio y plomo presentes en una muestra se determina experimentalmente y de las ecuaciones anteriores se despeja el tiempo t, que será el tiempo transcurrido desde que la tierra se enfrió y el uranio quedó atrapado dentro de la muestra (generalmente una roca). Entonces: HNpt
+
Nu/Nu)
• 11.3
Radiactividad artificial
C u a n d o u n núcleo emite radiación debido a causas externas o ajenas a él, el proceso se denomina radiactividad artificial. 11.3.1
Reacciones nucleares
Cuando dos núcleos llegan a quedar m u y cerca el uno del otro puede o c u r r i r que las partículas que los componen se j u n t e n . Esto da lugar a u n a reacción nuclear en forma similar a como el agrupamiento de átomos, p a r a formar u n a molécula, da lugar a una reacción química. Las reacciones nucleares tienen lugar cuando se hace i n c i d i r u n proyect i l nuclear ( m ¡ ) , que puede ser u n protón, neutrón o partícula a, sobre u n núcleo que sirve de blanco (Mi). E n l a mayoría de las reacciones se produce la m i s m a partícula proyectil u o t r a (m ) y u n nuevo núcleo (M ) que puede estar en su estado base o en u n estado excitado. L a reacción se designa con el símbolo M^m-i, m )M¡. Por ejemplo, si l a reacción es: f
f
f
7
iV
1 4
+
2
He
A
-> O 8
1 7
+
1
H
1
252
C A P I T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A N U C L E A R
en forma abreviada se escribirá: 7N
14
(a,
p) 0 s
17
Cuando la energía de las partículas que intervienen en la reacción no es m u y grande, esta tiene lugar en dos etapas: p r i m e r o se forma u n núcleo intermedio que luego se desintegra, o decae, emitiendo la partícula proyectil u otra y transformándose en u n nuevo núcleo. E l ejemplo anterior se escribe entonces: N
7
U
donde el símbolo [
+ He' - > [ F ] * - > O 2
9
1 8
8
Cualquiera sea d i es equivalente a < Pero u n a en las energías < U n a manera Q de u n a rea ecuación (11.25) enlace. Conside
+, H
1 7
l
]* significa que este núcleo es inestable.
Las reacciones nucleares son esencialmente procesos de choques en los cuales se deben conservar entre otros, la energía t o t a l , la cantidad de movimiento, el número de nucleones (masa) y la carga. Se usan métodos clásicos o relativistas, según el caso, para calcularlas. Consideremos la conservación de energía t o t a l para el caso de u n a reacción nuclear: m-i + M ¡ —> M¡ + m . Suponiendo que el núcleo i n i c i a l está en reposo, la ecuación de conservación de energía t o t a l conduce a l siguiente resultado:
E n esta reacción 1 Las energías del
f
AK
= K -K f
+ m¡)] c
= [(M¡ + mi) - (M
i
f
2
(11.24)
donde K es la energía cinética de la partícula proyectil, K¡ es la suma de las energías cinéticas de las partículas después de la reacción. Las masas en la ecuación anterior son masas en reposo. {
E l cambio en la energía cinética del sistema durante la reacción n u clear se denomina el Q de la reacción. Entonces: Q = [(M +m )-(M i
i
+
f
m )]c f
2
= 931.3[(M¿ + m ) - (M¡ + m )] ¿
f
MeV
Por consiguiente l a ^
(11.25)
E n la segunda ecuación las masas se deben expresar en urna. E l Q de u n a reacción nuclear puede ser positivo o negativo. Si es positivo en l a reacción nuclear se libera energía en u n a cantidad igual a Q y el proceso puede o c u r r i r en forma espontánea. Es u n a reacción exotérmica. Si el Q de u n a reacción nuclear es negativo, es necesario suministrar energía a l sistema para que ella se lleve a cabo. L a reacción no tiene lugar espontáneamente. Es una reacción endotérmica. E n este caso la partícula proyectil debe tener u n a energía cinética mínima, llamada energía umbral que está dada por la siguiente expresión si no se tienen en cuenta efectos relativistas (caso más común): (11.26)
L a energía de enlace 4 E L Reemplazando en l a i energías de enlace y 1 es: Q = 931.4(9 m
H
= E
- E
S
=
i
en
+9i
en
Entonces, la difere la reacción nuclear y'. es precisamente i g u a l ; E n ocasiones l a el Q de la reacción;
O t r a consecuencia del ] d a d de postular la vado que en las tra
11.3.
253
RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL
Cualquiera sea el signo de Q, de acuerdo con la relación de masa-energía, es equivalente a u n a variación de masa del sistema, en este caso núcleos. Pero u n a variación en las masas nucleares también i m p l i c a u n cambio en las energías de enlace de los núcleos (ecuación 11.7). U n a manera clara y sencilla de ver la relación que existe entre el Q de u n a reacción nuclear y la energía de enlace es reemplazar en la ecuación (11.25) las masas de los núcleos en función de sus energías de enlace. Consideremos nuevamente la reacción:
+
N
7
14
He
2
4
->
O
8
+
11
H
x
E n esta reacción hay tres núcleos: A/" , He 14
1
y O
4
1 7
que es el núcleo
final.
Las energías de enlace de los núcleos iniciales son: E (N)
= 931.4[7m„ + 7m
E {N)
= 9 3 1 . 4 [ 2 r o 4- 2 m „ — M ]
en
- M]
n
w
He
MeV
N
MeV
He
Por consiguiente la energía de enlace del sistema antes de la reacción es: E\
= 931.4[9m + 9 m H
n
- ( M + m¡)] ¿
MeV
L a energía de enlace del núcleo final (y después de la reacción) es: E{
n
= 931.4[8 m
H
+ 9m
n
- M] f
MeV
Reemplazando en la ecuación (11.25) M + m¡ y m¡ en función de las energías de enlace y teniendo en cuenta que m¡ es igual a m el resultado es: {
H
Q = 9 3 1 . 4 ( 9 m + 9 m ) - E\ - 9 3 1 . 4 ( 8 m + 9 m ) + E{ n
H
= E L- E l =
B
H
n
- 931.4m
H
AE
en
Entonces, l a diferencia entre l a energía de enlace del sistema después de la reacción nuclear y la energía de enlace del sistema antes de la reacción es precisamente igual a la energía liberada o absorbida durante l a misma. E n ocasiones la ecuación que describe una reacción nuclear incluye el Q de la reacción; esto es: M
i
+ m ^,M¡+m i
¡
+ Q
(11.27)
O t r a consecuencia del p r i n c i p i o de equivalencia masa-energía fue la necesidad de postular l a existencia de u n a nueva partícula. Se había observado que en las transformaciones nucleares con emisión de partículas,
254
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
el balance energético de la reacción no era correcto. Como el Q de u n a reacción se supone igual para todos los núcleos de u n mismo elemento se sospechó que debía existir otra partícula en el núcleo que a l ser e m i t i d a por este, se llevaba la cantidad de energía faltante. Además debía tener una masa nula y carga cero ya que el balance de carga era correcto. L a existencia de esta partícula ya había sido postulada p o r W . P a u l i en 1931. y E. Fermi. quien l a llamó neutrino (v), formuló en 1934 u n a teoría para la desintegración f}~ basada en ella. Debido a sus propiedades es m u y difícil observarla, y durante muchos años se trató de demostrar su existencia experimentalmente. Finalmente en 1956 F . Reines y C. L . Cowan pudieron detectarla. Para t e r m i n a r este numeral, a continuación se encuentran las formas de las ecuaciones de las reacciones nucleares de t i p o (a, p), (p, n) y (n, a) respectivamente:
X + Hé
-»>
[ C Y
-)•
X+H
->
[ C Y
-+
->
[
->
z
A
Z
A
2
1
1
X+N
Z
A
0
1
Z+2
A+4
Z+1
A+1
C Y
Z
A+1
z
+
í
Y
A
+
3
+ H 1
l
(11.28)
Y+n
z+1
A
0
l
. Y ~ + He
z 2
A
3
2
4
donde X, Y y C son respectivamente el núcleo blanco, el núcleo p r o d u c t o y el núcleo compuesto inestable.
11.3.2
D e s c u b r i m i e n t o de r a d i a c t i v i d a d artificial
E n 1934 Frederic e Irene Joliot-Curie observaron que el boro y el a l u m i n i o a l ser bombardeados con partículas a emitían u n a radiación, aún después de haber retirado la fuente de partículas a. Además observaron que la intensidad de la radiación decrecía exponencialmente con el t i e m p o en forma similar a como lo hace la r a d i a c t i v i d a d n a t u r a l . E n experimentos posteriores se demostró que las partículas emitidas tenían la m i s m a masa y carga del electrón pero esta última era de signo p o s i t i vo. A esta nueva partícula se la llamó positrón y se designa con la l e t r a P+ ó ° . i e
Las reacciones nucleares de los dos procesos que p e r m i t i e r o n el des-
11.3.
255
RADIACTIVIDAD ARTIFICIAL
c u b r i m i e n t o de los positrones son las siguientes: B
b
10
+ He - > [ J V ] - ^ , V 2
4
r
14
7
6
Al
13
27
+ He - > [ P ] - ^ 2
4
1 5
3 1
1
C
1 4
5t
1
+ e°
1 3
P i
5
+o n
1 3
+ v
l
+ n
M
0
1
+x e° + t/
3 0
Los núcleos i V y P son radiactivos, con tiempos de v i d a media de 10 y 2.5 minutos respectivamente. Los núcleos C y Si son estables. Se demostró químicamente que el boro se había convertido en u n isótopo r a diactivo del nitrógeno y el aluminio en u n isótopo radiactivo del fósforo, isótopos que no existen en l a naturaleza. Por consiguiente, son a r t i ficiales. Con lo anterior se estableció, mediante métodos químicos, l a transmutación de u n elemento en o t r o y quedó demostrado que los p r o ductos de algunas transformaciones nucleares inducidas artificialmente son radiactivos. Generalmente los núcleos formados p o r reacciones (a, n) son inestables y decaen emitiendo u n positrón y, a veces, rayos gama ( 7 ) . Los isótopos radiactivos artificiales se ubican en l a t a b l a periódica encima o debajo del isótopo estable correspondiente. T i e n e n u n exceso de neutrones o u n a escasez de ellos para ser estables. 1 3
3 0
1 3
30
Entonces, para lograr el equilibrio, ya que tienen una deficiencia o u n exceso de protones, tienden en el p r i m e r caso a aumentar su carga nuclear e m i t i e n d o u n electrón, mientras que en el segundo caso tienden a d i s m i n u i r l a emitiendo u n positrón. U n núcleo con exceso de carga también puede d i s m i n u i r l a capturando u n electrón o r b i t a l , proceso denominado captura electrónica en el cual el protón se transforma en u n neutrón y se emite u n neutrino. Estos tres tipos de desintegración nuclear son transformaciones isobáricas y a que solo cambia l a carga del núcleo. Las reacciones nucleares correspondientes son las siguientes: emisión :
Z
emisión:
Z
c a p t u r a electrónica :
X
A
X
z
X
A
A
-* +i z
Y
A
+ _ i e°
Y
A
+
+
1
e°
(11.29)
+ _ i e° —> -i Y Z
A
Hoy día existen isótopos radiactivos (artificiales) para todos los elementos conocidos. E n 1934 E. Fermi sugirió bombardear elementos pesados con neutrones para obtener nuevos elementos de mayor carga nuclear. Tales
256
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
elementos se denominaron transuránidos, uranio en la t a b l a periódica.
por encontrarse más allá del
Estos experimentos inicialmente no p r o d u j e r o n resultados hasta que en 1939 se descubrió la fisión nuclear, de la cual hablaremos más adelante, proceso que condujo finalmente a la obtención de los elementos transuránidos. Estos elementos son difíciles de obtener y en el caso de los de número de masa mayor que 101, sus tiempos de v i d a media son m u y cortos. E j e m p l o 11.7. Los isótopos radiactivos carbono 14 y tritio se encuentran entre la radiactividad natural y la radiactividad artificial. Esto se debe a que son naturalmente radiactivos porque existen en la naturaleza y artificialmente radiactivos porque no se encontrarían en ella, si no fueran creados constantemente en la atmósfera por la acción de neutrones sobre el nitrógeno atmosférico, donde existe un equilibrio entre su producción y su desintegración. Todo ser viviente contiene una pequeña cantidad de carbono 14, además de carbono normal (C ), que asimila del aire que respira y esta cantidad está en equilibrio con el carbono 14 de la atmósfera. Pero cuando muere, la asimilación de carbono 14 cesa y se rompe el equilibrio. De ahí que cualquier materia orgánica muerta contenga menos carbono 14 que la materia viva. Por tanto, midiendo la cantidad de carbono 14 presente en una de muestra material orgánico se puede determinar el tiempo transcurrido desde que ocurrió su muerte. 12
E l carbono 14 es el reloj radiactivo uranio 238 lo es para geólogos.
de los antropólogos
así como
el
Veamos un caso concreto. E l carbono 14 encontrado en un gramo de ceniza de una hoguera en un antiguo poblado tiene una actividad de 21.5 x 10~ desintegraciones por segundo. Si se sabe que por cada átomo de carbono 12 hay 1.3 x 10~ átomos de carbono 14 en todo ser vivo, ¿cuál es la edad del poblado? 2
12
De acuerdo con la ley de desintegración, el tiempo transcurrido desde que se quemó la madera hasta nuestros días estará dado por la relación:
donde N = a / A = a Tm/ l n 2 es el número actual de átomos de C . E l número de átomos de carbono 14 presentes en un gramo de materia de un árbol vivo será igual a 1.3 x 10~ veces el número de átomos de carbono 12 en la misma cantidad, esto es: c
1 4
c
12
N
0
=
1.3 x 10-1-12 Na 12
257
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
Llevando estos resultados a la ecuación para el tiempo y sabiendo que Tm = 5730 años = 1.81 x 10 s, la edad del poblado es aproximadamente igual a: 11
t = 1238 años
• 11.4
Fisión y fusión nuclear
O t r o año i m p o r t a n t e en la física fue 1939, cuando se descubrió uno de los dos procesos más importantes de la física nuclear: la fisión nuclear. E l segundo proceso es la fusión nuclear, predicho en 1932 y confirmado experimentalmente en 1952. 11.4.1
Fisión n u c l e a r
E n 1939 los físicos O. H a h n y F . Strassman, estudiando reacciones n u cleares producidas cuando neutrones lentos (de poca energía cinética) inciden sobre núcleos de uranio 235, descubrieron que algunos núcleos productos de la reacción m o s t r a b a n propiedades químicas del bario. I n vestigaciones posteriores m o s t r a r o n la presencia de otros isótopos r a diactivos con números atómicos comprendidos entre 35 y 57, esto es, situados hacia la m i t a d de l a t a b l a periódica. Este resultado fue interpretado p o r L . M e i t n e r y O. Frisch como los dos fragmentos casi iguales en que se dividió el núcleo de uranio p o r efecto de la colisión con el neutrón incidente. E l proceso se denominó fisión nuclear. A diferencia de la r a d i a c t i v i d a d n a t u r a l y artificial, donde el núcleo emite u n a pequeña parte de sus componentes, en la fisión nuclear el núcleo se divide en dos nuevos núcleos y libera algunos neutrones. L a fisión como proceso n a t u r a l es m u y rara, creyéndose que el uranio 238 se fisiona espontáneamente con una v i d a media del orden de 1 0 años, algo imposible de observar experimentalmente. Por consiguiente, p a r a obtener l a fisión de u n núcleo hay que hacerlo artificialmente y el método usual consiste en excitar el núcleo, suministrándole la energía necesaria para que el proceso tenga lugar. Esta energía se s u m i n i s t r a mediante u n proceso de colisión y es del orden de 4 a 6 MeV. L a reacción nuclear de la fisión del uranio 235 es la siguiente: 16
92
C/
235
+
0
n -> [ L / 1
92
236
] * -»• F + F + x o n + Q l
2
1
258
C A P I T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A N U C L E A R
donde el p r o d u c t o intermedio es m u y inestable y s es el número de neutrones liberados durante la reacción. Los fragmentos F y F no son determinados en forma única; existen varias combinaciones posibles de fragmentos y cierto número de neutrones liberados. U n a reacción típica es la siguiente: t
9 2
C/
2 3 5
+
0
n
2
->
[ U }'
1
92
236
5 4
Xe
+3s S r
1 4 0
9 4
+ 2n 0
1
+ Q
Los fragmentos son inestables y se desintegran de la siguiente manera:
5 4
Xe
1 4 0
-> /?-
5 5
CV
4 0
3&Sr
-+
5 6
5a
^ a-
1 4 0
/?-
5 7
>•
La
40
-»• C e /?-
1 4 0
5 8
1 4 0
Zr
94
p-
Los elementos finales de las series son estables y durante el proceso se e m i t e n seis electrones. Cuando se quiere desintegrar u n núcleo de uranio 238, el neutrón incidente debe tener una gran energía cinética. E l c o m p o r t a m i e n t o diferente se debe a l a estructura de los núcleos, concretamente a la p a r i d a d del número de nucleones. También se puede lograr la fisión nuclear haciendo que el núcleo absorba rayos 7 de energía mayor o igual a la energía mínima necesaria para iniciar el proceso. E n este caso se denomina fotofisión. E l mecanismo de la fisión de u n núcleo se puede explicar fácilmente a p a r t i r de u n modelo denominado modelo de la gota líquida, en el cual el núcleo tiene forma esférica cuando está en su estado de menor energía.
A, Z
Se c o m p o r t a < tensión superficial < en forma análoga a 1 moléculas. A l efectuarse la< núcleo adquiere u n < ponentes alrededor 1 Para oscilaciones grese a su forma aumentar la energía« núcleo y la sepa sión electrostática 1 f o r m a similar a la más energía a l nt ya no puede cont dos núcleos en for el exceso de energía; el caso de la gota grande entonces se 1 E l comporta la distancia, entre fisión, tiene l a forma i
A, Z FIGURA
11.11.
Mientras l a separació»! d , l a tensión supe mayor que d la fuerza* nuclear y los frag c o m p o r t a como u n a encuentra en su energía de enlace es E la mecánica cv. 0
0
FIGURA
1 1 . 1 0 . E s q u e m a d e l a s d e f o r m a c i o n e s s u c e s i v a s d e u n núcleo a l a u m e n t a r s u energía d e excitación.
Ene
u
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
259
Se c o m p o r t a como u n a gota de líquido en el sentido de que existe una tensión superficial que retiene los nucleones dentro del volumen esférico en f o r m a análoga a como lo hace en la gota de agua que retiene sus moléculas. A l efectuarse la colisión entre u n núcleo y u n a partícula proyectil, el núcleo adquiere u n exceso de energía cuyo efecto es hacer oscilar sus componentes alrededor de la forma esférica, deformándolo (figura 11.10b.). Para oscilaciones pequeñas la tensión superficial hace que el núcleo regrese a su f o r m a esférica después de liberar el exceso de energía. A l aumentar la energía de excitación también aumenta l a deformación del núcleo y l a separación entre los protones. Entonces la fuerza de r e p u l sión electrostática comienza a ser i m p o r t a n t e y el núcleo presentará u n a forma s i m i l a r a la mostrada en l a figura 11.10c. A l suministrar todavía más energía a l núcleo la deformación es t a l que la tensión superficial ya no puede contrarrestar el efecto de la fuerza de repulsión entre los dos núcleos en formación y el núcleo original se rompe en dos liberando el exceso de energía y alguna partículas (figura l l . l O d . y l l . l O e . ) . E n el caso de la gota de agua, habrán notado que cuando se vuelve m u y grande entonces se divide en dos gotas más pequeñas. E l c o m p o r t a m i e n t o de la energía potencial del núcleo en función de la distancia, entre los fragmentos que se f o r m a n durante el proceso de fisión, tiene la forma mostrada en la figura 11.11.
F I G U R A 11.11. Energía potencial del núcleo en función de la distancia entre sus fragmentos de fisión.
M i e n t r a s la separación entre los fragmentos es menor que cierta distancia d , l a tensión superficial hace que no puedan separarse; pero cuando es mayor que d la fuerza electrostática de repulsión es mayor que l a fuerza nuclear y los fragmentos se separan. Entonces, la tensión superficial se c o m p o r t a como u n a barrera de potencial para el núcleo. Si el núcleo se encuentra en su estado base (E ), no puede haber fisión puesto que la energía de enlace es máxima. Si se excita el núcleo hasta una energía Ei, l a mecánica cuántica nos dice que existe l a p o s i b i l i d a d de que el 0
0
0
260
C A P I T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A N U C L E A R
núcleo atraviese l a barrera de potencial y o c u r r a la fisión espontánea del mismo. Para el caso nuclear la p r o b a b i l i d a d es m u y pequeña. Finalmente, si se excita el núcleo hasta una energía E , el núcleo puede pasar la barrera y se presenta el proceso de fisión. L a energía necesaria para ello será E — E , y en el caso del uranio 235 es del orden de 6 MeV. 2
2
0
E n el ejemplo 11.1 vimos que la energía liberada es del orden de 207 MeV. Parte de ella corresponde a la energía cinética de los neutrones, fragmentos radiactivos primarios y sus productos de desintegración. Además durante la reacción algunos fotones y neutrinos se escapan del material. L a energía restante se libera en f o r m a de calor y es del orden de 185 MeV, que es una cantidad considerable.
número de estas en cadena diver b o m b a atómica. Pero si se lice cada vez una controlada (figura La primera i el 2 de septiembre < Después del reacciones n u c l e a r » <
E l p l u t o n i o 239 (J 24.4 x 10 años. E a e í liberar energía, se i en uranio 235. E n para p r o d u c i r energíaj 3
11.4.2 Neutrones
O
Fragmentos Núcleo
fisionable
a. Divergente.
b. Controlada. F I G U R A 11.12. Esquema de una reacción en cadena.
E l hecho de que por u n neutrón absorbido por el núcleo son emitidos dos o más de ellos, p e r m i t e la existencia de u n proceso denominado reacción en cadena. Si se arreglan las cosas de t a l manera que después de la fisión dos o más neutrones emitidos produzcan nuevas fisiones, el
Fusión
E l proceso de fusión livianos realizan una< sado. Debido a la fue núcleos, sus energías < suficiente para que l a i electrostática aume tiene lugar entre n i E n el proceso de i u n i r dos núcleos livi* es menor que la masa i Si las condiciones es suficiente para u n a sucesivamente hasta una explosión nuclear i proceso se presenta monuclear. Para que tenga dosel muy elevada, creánde ción ya que ningún rna^ temperaturas. \
261
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
número de estas crece en forma exponencial resultando una reacción en cadena divergente (figura 11.12a.). Este proceso se presenta en u n a b o m b a atómica. Pero si se p e r m i t e que solamente u n neutrón liberado p o r fisión realice cada vez u n a nueva fisión, el resultado es una reacción en cadena controlada (figura 11.12b.). Esto es lo que ocurre en u n reactor nuclear. L a p r i m e r a reacción en cadena controlada fue obtenida por E. Fermi el 2 de septiembre de 1942, con una potencia de medio watio. Después del descubrimiento de la fisión nuclear, se encontraron dos reacciones nucleares que d a n origen a los elementos transuránidos:
Pu
94
239
e°
E l p l u t o n i o 239 (Pu ) también es radiactivo y su v i d a media es de 24.4 x 10 años. Este es u n núcleo fisionable m u y útil porque además de liberar energía, se desintegra emitiendo una partícula a y se transforma en uranio 235. E n otras palabras, combustible (uranio 238) se u t i l i z a para p r o d u c i r energía y más combustible (uranio 235). 239
3
11.4.2
Fusión n u c l e a r
E l proceso de fusión nuclear es el efecto inverso de la fisión: dos núcleos livianos realizan u n a colisión y se unen para formar u n núcleo más pesado. Debido a la fuerza de repulsión electrostática que existe entre los núcleos, sus energías cinéticas deben ser tales que puedan acercarse lo suficiente para que la fuerza nuclear los una. Como la fuerza de repulsión electrostática aumenta con el número atómico, la fusión nuclear sólo tiene lugar entre núcleos livianos. E n el proceso de fusión nuclear también se libera energía ya que a l u n i r dos núcleos livianos para formar uno más pesado la masa resultante es menor que la masa inicial del sistema. Si las condiciones son apropiadas, la energía liberada en la fusión es suficiente para u n i r otros dos núcleos y liberar más energía, y así sucesivamente hasta tener u n a reacción en cadena que se convierte en u n a explosión nuclear de mayor energía que en el caso de la fisión. Este proceso se presenta en l a b o m b a de hidrógeno, también llamada termonuclear. Para que tenga lugar la fusión nuclear se requiere u n a t e m p e r a t u r a m u y elevada, creándose el problema del recipiente para contener la reacción ya que ningún m a t e r i a l conocido en la t i e r r a puede soportar tales temperaturas.
262
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
Este ha sido hasta el momento, uno de los obstáculos que h a n i m p e dido la construcción de reactores de fusión nuclear. La reacción de fusión más simple es la captura de u n neutrón por u n protón para formar deuterio dH ): 2
+„ n ->! H
,H
1
l
+ 2.226 MeV
2
E x i s t e n dos reacciones de fusión que liberan mucha energía y son las que tienen lugar cuando el deuterio reacciona con t r i t i o y helio 3: H
X
Z
{d, n) H e 2
y
4
2
H e {d, n) H e 3
2
4
pero desde el p u n t o de vista práctico no son útiles porque n i el helio 3 n i el t r i t i o son elementos que se obtienen fácilmente. E n cambio, l a reacción entre dos núcleos de deuterio es más i m p o r tante aunque no produzca t a n t a energía. Esta reacción ocurre de dos maneras, más o menos con la m i s m a p r o b a b i l i d a d : H+
H
2
2
1
í ^
^
2
+
1
° " \^ rle + H +4.2MeV n
l
+
x
3
3
2
1
M
e
V
X
Debido a la abundancia del deuterio (se obtiene del agua) se cree que u n a vez superado el problema de la reacción de fusión en cadena controlada, se reemplazará la fisión por la fusión que en promedio produce más energía y a menor costo. Aunque es difícil obtener la fusión nuclear en el l a b o r a t o r i o , las fuentes de energía del sol y las estrellas son precisamente reacciones de fusión. L a astrofísica muestra que la partícula más abundante en el sol o las estrellas es el núcleo del átomo de hidrógeno, o sea, el protón. C o n ella existen dos reacciones de fusión denominadas ciclo de Bethe o del carbono y ciclo de Critchfield o protón-protón. Las reacciones del ciclo del carbono son las siguientes: 6
C
1 2
+! H
-»• N
1
N
7
6
C
N
7
14
1 3
N
15
13
6
C
+x H
-> N
+! H
-)•
1
7
1
8
7
13
7
0
1
+i H
5
1
^
+ Q 1 3
0
7
iV
-)• C
+
1
e° + v
+ Q
M
8
6
+
1 5
+ Q
1 5
1 2
+
+
+ 1
2
e° + u
He
4
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
263
b. Protón-protón.
F I G U R A 1 1 . 1 3 . E s q u e m a s de los ciclos.
Sumando estas ecuaciones, cancelando los núcleos que aparecen a ambos lados y calculando el Q t o t a l de la reacción, el resultado final es: ->• H e + 2 ( e ° ) + 2v + 2 6 . 7 M e V
4UH )
2
1
4
+ 1
E l esquema de este ciclo se muestra en la figura 11.13a. Las reacciones del ciclo protón-protón son las siguientes: +i H
rf
1
jií 2
2
+
He + 3
1
2
+
-> ,H
1
2
e° + v + Q
+ 1
-> He + Q
H
2
1
3
H e - > H e + 2{ H ) 3
2
4
1
1
+ Q
264
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
L a tercera reacción sólo tiene lugar cuando las dos anteriores se h a n p r o d u c i d o dos veces. Sumando estas ecuaciones, cancelando núcleos iguales y calculando el Q t o t a l de la reacción, el resultado final es: ->• , H e + 2 ( e ° ) + 2u+
A^H )
4
1
26.7 MeV
+ 1
E l esquema de este ciclo se muestra en la figura 11.13b. E n los dos ciclos se libera la m i s m a cantidad de energía, pero el t i e m p o necesario para que se realice cada ciclo es diferente. Para el ciclo del carbono se necesitan 6 x 10 años y para el del protón-protón 3 x 10 años. 6
9
Reacciones de fusión auto-abastecedoras, como son las anteriores, pueden llevarse a cabo solamente en condiciones extremas de t e m p e r a t u r a y presión, para garantizar que los núcleos participantes tengan suficiente energía para reaccionar. Estas condiciones se encuentran sólo en el centro de las estrellas. E n el sol, cuya t e m p e r a t u r a a p r o x i m a d a es de 2 x 10 K el ciclo más probable es el del protón-protón. E n general el ciclo del carbono es más eficiente a altas temperaturas, mientras que el del protón-protón lo es a bajas temperaturas, pero todavía m u y altas respecto a nuestra escala. 9
E j e m p l o 11.8. En uno de los procesos nucleares de fusión que ocurren en las estrellas tres átomos de helio 4 se fusionan para dar uno de carbono 12. Si la potencia generada en esta reacción es de 3 x 1 0 W, ¿cuál fue la masa de helio que se transformó en carbono 12? 23
La reacción considerada es de:
es: 3 ( H e ) —> C 2
4
6
1 2
y el Q de esta
reacción
Q = 931.4(3 x 4.0026 - 12.0000) = 7.264 MeV Entonces, tres átomos de helio 4 al fusionarse en carbono 12 liberan 7.264 MeV. La potencia generada en el proceso considerado fue 3 x 1 0 Wtt lo cual equivale a una energía de 1.875 x 1 0 MeV que es también el Q de la reacción total. Entonces: 23
36
QUM
=
NxQ
donde N es el número total de átomos de helio y Q la energía por un átomo, esto es, el valor anteriormente calculado dividido De lo expuesto tenemos: Q 3xl.875 xl0 N = -^r = Q 7.264 AT
t
3 6
i2 8 x 1 0
35
átomos
liberada por 3.
265
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
Esta
cantidad
de átomos corresponde J ^ N
a
Nuevamente
=
a una masa:
g x l 0 - X 4 6.02 x 10 3 2
hemos hecho numéricamente
y
igual la masa atómica al nú-
mero de masa (A).
•
Preguntas 1. ¿Qué es el numero atómico y el número de masa de u n núcleo? 2. Describa las diferentes radiaciones que se conocen. 3. ¿Qué clase de fuerza es l a fuerza nuclear? 4. ¿Qué se entiende por r a d i a c t i v i d a d natural? 5. D i g a qué es u n isótopo, u n isóbaro, u n isótono. Dé ejemplos. 6. ¿Qué clase de partículas emite u n elemento naturalmente radiactivo? 7. ¿Qué p r i n c i p i o relativista es fundamental en física nuclear? 8. E x p l i q u e brevemente cuándo u n isótopo es estable. 9. E x p l i q u e qué es la v i d a media y la v i d a promedio de u n elemento radiactivo. 10. ¿Qué se entiende por a c t i v i d a d de u n a substancia radiactiva? 11. ¿Qué se debe conservar en una reacción nuclear? 12. E x p l i q u e qué significa u n Q de reacción: a) mayor que cero y b) menor que cero. 13. Si el Q de u n a reacción nuclear es cero, ¿qué clase de colisión t u v o lugar entre las partículas blanco y proyectil? 14. ¿Qué se entiende por r a d i a c t i v i d a d artificial? 15. E x p l i q u e brevemente el mecanismo de la fisión nuclear. 16. ¿Cuáles son las propiedades importantes de l a fisión nuclear? 17. E x p l i q u e qué es u n a reacción en cadena: a)controlada y b) divergente.
266
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A N U C L E A R
18. ¿Qué se entiende por fusión nuclear? 19. ¿Qué condiciones se deben presentar para que tenga lugar u n proceso de fusión nuclear?
6. Demuestre i de u n a : radiactiva A , i
20. ¿En dónde se producen naturalmente los procesos de fusión n u clear? donde \
Problemas
x.
7. C o m p a r a n d o < de las re
1. E n u n isótopo de radón el número de átomos disminuye en u n 20% en u n día. ¿Cuál es su constante de desintegración? R:2.58 x
8. Complete 1 3
2. Si dos miligramos de polonio 218 (Tm = 3.05 min) se desintegran durante media hora, ¿qué cantidad de plomo 214, también radiactivo ( T m = 2 6 . 8 m i n ) , habrá en la muestra? R: 0.509mg. 3. E l t i e m p o de v i d a media del cesio 141 es de 33 días. Cuál es: (a) L a actividad de 1 mg de este isótopo en desintegraciones por segundo y en C¿. (b) E l t i e m p o necesario para que 1 mg se reduzca a 0.5 x 10~ g. 6
(c) L a a c t i v i d a d después de este t i e m p o en desintegraciones por segundo y en Ci R: a)1.037 x 1 0 d/s, 28 Ci; b) 252.2 días; c)5.19 x 1 0 d / s , 14 C i 12
(a) ¿Cuánto uranio 238 había inicialmente en la muestra? (b) Si se hubiese recogido todo el helio que resulta de la desintegración de la cantidad inicial de uranio, durante el t i e m p o anterior, ¿cuál sería su masa y v o l u m e n a condiciones normales de temperatura y presión? (a condiciones normales, 22.4Z contienen Na átomos). R: a) 54.36 g; b) 3.2 1, 0.577 g. 5. Efectúe las operaciones necesarias para obtener las ecuaciones (11.22b) y (11.22c) a p a r t i r de las ecuaciones (11.20) y (11.21). en la ecuación (11.20) agrupe términos de igual subíndice
y m u l t i p l i q u e por e
2 7
?(P, Q I ; ; * ' *
Para los n i atómico le n R:
Na \
11
2
9. B o m b a r d el isótopo emitiendo actividad del
9
4. U n a muestra de uranio contiene 20 g de uranio 238 después de desintegrarse durante u n t i e m p o igual a una v i d a promedio.
Ayuda:
A' (n.<
A f l í
a ambos lados de la igualdad.
(a) E s c r i b a ' (b) ¿Cuál. (c) ¿Cuál es i R: b )
1 2
M^ : 4
10. Cuál es la (a) (b)
3
L¿ -h fP^ 7
Be +
i
9
1
R: a) 17.34 Mt 11. E l isótopo h e ü s j protones. (a) Escriba la4 (b) Encuentre i
267
11.4. F I S I Ó N Y F U S I Ó N N U C L E A R
6. Demuestre que el t i e m p o necesario para que el número de átomos de una substancia radiactiva B, creada a p a r t i r de o t r a substancia radiactiva A, sea máximo es:
donde X
y A
A
son las respectivas constantes de desintegración.
B
7. C o m p a r a n d o con las ecuaciones (11.28) encuentre las ecuaciones de las reacciones (a, n ) , (p, a) y ( n , p). 8. Complete las siguientes reacciones nucleares: Al (n,
a) ?
Ni (p,
n)?
13
27
2S
5S
?(p, a ) „ i V a
n) ?
N (a,
7
14
9
2 2
F
2 9
1 9
P ( 7 , n) ?
1 S
(n, ?) C 6
2 5
1 4
CIÍ (7, ?) Cu 6 3
3 1
2 9
Mn
5 3
(?, n)
Cu™
6 2
29
2 6
->
Fe
2 8
5 5
M
5 8
+?
Para los núcleos p r o d u c t o consulte la t a b l a de isótopos (el número atómico le indicará de qué elementos se t r a t a ) . R: i V a n
2 4
,
9
F
1 7
, P °, 1 5
3
2 9
Cn
B 8
, a
1
i/ , 3
Mg \n\
12
2
9. Bombardeando el isótopo sodio 23 con deuterio, se transforma en el isótopo radiactivo 24 que se desintegra en u n elemento estable e m i t i e n d o una partícula /?". Después de u n día se observa que la a c t i v i d a d del sodio 24 pasa de 170 d/s a 5 6 d / s . (a) E s c r i b a las ecuaciones de las dos reacciones. (b) ¿Cuál es el elemento estable final? (c) ¿Cuál es el t i e m p o de semidesintegración del sodio 24? R: b )
1 2
Mg
2 4
; C) 15 horas.
10. Cuál es la energía liberada en las siguientes reacciones? (a) Li 3
-> H e + H e . 2
7
(b) ^ e ^ í / "
2
R: a) 17.34 MeV;
4
-> b) 4.36
2
4
B + n\
b
10
0
MeV.
11. E l isótopo helio 3 se obtiene bombardeando núcleos de t i t r i o con protones. (a) Escriba la ecuación de la reacción nuclear. (b) Encuentre el Q de l a reacción.
268
C A P Í T U L O 11. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA N U C L E A R
(c) ¿Cuál es la mínima energía que debe tener el proyectil p a r a que se realice esta reacción? R: b ) - 0 . 7 6 4 M e F : c)
1.02MeV.
12. L a reacción de desintegración del deuterio con rayos 7 es la siguiente: !^
2
+ 7->
iií
1
4-on
1
Si l a energía del rayo 7 es de 2.66 MeV y la del protón e m i t i d o es de 0.22 MeV, ¿cuál es la energía cinética del neutrón? Ayuda:
comience por calcular el Q de la reacción. R: 0.22
MeV.
Capítulo 12
Elementos de la física del estado sólido 12.1
Qué es el estado sólido
L o que actualmente conocemos como física del estado sólido es u n a de las varias ramas de la física moderna que más ha aportado t a n t o a l conocimiento científico de la materia como a su aplicación tecnológica con resultados verdaderamente asombrosos. E l ejemplo más sencillo pero más diciente es, sin lugar a dudas, la electrónica y sus avances espectaculares. Sin embargo esta disciplina científico-teórica, descansa fundamentalmente en l a aplicación de las propiedades de dispositivos semiconductores (transistores, diodos, circuitos integrados, etc.). Es claro que la utilización inteligente y recursiva de los semiconductores no sería posible si no se entendieran los procesos físicos de conducción de corriente, por ejemplo, que ocurren en ellos. Estos procesos h a n sido claramente determinados por una especialización del estado sólido: l a física de semiconductores. E l rango de estudio del estado sólido va mucho más allá de l a parte especial de los semiconductores. E n general todas aquellas substancias que posean u n v o l u m e n definido y presenten características de rigidez y elasticidad deben ser definidas como sólidas y esto es precisamente lo que el estado sólido debe estudiar. Sin embargo, u n a definición t a n a m p l i a no p e r m i t e encarar u n estudio sistemático n i apropiado del tema. Es necesario d e l i m i t a r algunas características que p e r m i t a n agrupar los sólidos respecto a propiedades específicas para empezar a entender y explicar su comportamiento. 269
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
270
12.1.1
Sólidos c r i s t a l i n o s
U n a p r i m e r a característica que debe ser aclarada es la siguiente: ¿ c ó m o es la estructura de los sólidos? O lo que es lo mismo: ¿de qué manera están conformados los cuerpos sólidos? Actualmente conocemos que la materia está conformada por átomos. L a distribución espacial de los átomos dentro de los cuerpos sólidos conducirá a que se haga u n a distinción fundamental dentro del estado sólido. Existen substancias en donde los átomos que las f o r m a n ocupan sitios espaciados regularmente, de t a l manera que se puede pensar que existe u n v o l u m e n elemental de geometría sencilla y bien determinada, que a l ser repetido dentro del m a t e r i a l lo reproduce en su t o t a l i d a d . Es como si el sólido fuese u n volumen conformado de ladrillos idénticos. Las substancias que obedecen l a condición anterior se d e n o m i n a n sólidos cristalinos, y deben caracterizarse por u n a perfecta (o casi perfecta) p e r i o d i c i d a d en su estructura espacial. L a regularidad de la distribución de los átomos dentro del cristal proporciona u n a visión conceptual simple, facilitándose así el entendimiento de los procesos físicos que ocurren en ellos.
o •o •o •o o o o o
oo o
E n lo que resta i los sólidos cristalinaM Algunos datos los materiales sólido*! U n o de los pr farmacéutico en l a
o
O
los sólidos cr conducir adeci electrones m u y responder sin mv Esta caract trones débilmente! ción térmica y pr reflectora. Las mayor extensión Los sólidos t a n disímiles y estos más elaborad*. 1 determinar el me Los diversos enla leculares. E n u n : que logran mante clasificación general t
1
E n contraposición con los sólidos cristalinos existe o t r a clase de sólidos con respecto a su estructura, que se denominan "sólidos amorfos". Estos últimos también poseerán volúmenes definidos y características de rigidez, pero l a distribución geométrica espacial de los átomos, o sus constituyentes, no es regular ni periódica. E n l a figura 1 2 . 1 con u n ejemplo bidimensional se ilustra los dos tipos de sólidos definidos según su estructura espacial.
Desde el siglo V l l l | E l famoso físico el cristal de carbor repetición de esferas noción de lo que E n el siglo X V m | clasificar los distintos 1 de A . Bravais, clasií D u r a n t e el siglo ] elásticas de los solio Hooke y T . Young. A ) concepciones teóricas! difractar los rayos A' tales de W . Friedrich T 1 que los átomos en u n i una simetría m u y de rayos X.
L a p r i m e r a división p e r m i t e realizar clasificaciones aún más p r o f u n das y precisas. De acuerdo con la capacidad de conducir o no l a corriente eléctrica, los sólidos cristalinos se pueden d i v i d i r en dos grandes grupos:
A principios de 191 Bragg, se comienzan a t la difracción de ravos
o
• • • o
o
a. C r i s t a l i n o
o» o
0
• o 9
o
o b. A m o r f o
F I G U R A 1 2 . 1 . Sólido bidimensional.
12.1.
Q U É ES E L E S T A D O S Ó L I D O
271
los sólidos cristalinos metálicos y los no metálicos. L a posibilidad de conducir adecuadamente la corriente eléctrica se debe a la presencia de electrones m u y débilmente ligados a los átomos del cristal que pueden responder sin mucha resistencia a u n estímulo eléctrico externo. Esta característica de los sólidos cristalinos metálicos (poseer electrones débilmente ligados) es responsable también de su buena conducción térmica y propiedades ópticas especiales como su buena capacidad reflectora. Las propiedades eléctricas de los sólidos se estudiarán con mayor extensión en numerales posteriores. Los sólidos cristalinos no metálicos presentan características físicas t a n disímiles y amplias, que es necesario efectuar u n a clasificación de estos más elaborada. U n a clasificación bastante espontánea, se logra a l determinar el mecanismo físico que mantiene unidos los átomos a l cristal. Los diversos enlaces d a n lugar a los cristales iónicos, covalentes y moleculares. E n u n numeral posterior se tratarán los distintos mecanismos que logran mantener de u n a manera estable u n a estructura sólida y la clasificación general dada anteriormente quedará claramente establecida. E n lo que resta del presente capítulo, nos limitaremos a l estudio de los sólidos cristalinos exclusivamente. Algunos datos históricos interesantes en el desarrollo del estudio de los materiales sólidos son los siguientes: U n o de los primeros dibujos de u n cristal aparece en u n recuento farmacéutico en la C h i n a en el siglo X I A . C . Desde el siglo V I I I se ha conservado u n cristal de cuarzo en el Japón. E l famoso físico C. Huygens presenta u n modelo geométrico para el cristal de carbonato de calcio en el año 1760, el cual consta de u n a repetición de esferas dispuestas regularmente a u n cuando no tiene u n a noción de lo que actualmente llamamos átomos. E n el siglo X V I I I gracias a l esfuerzo de los mineralogistas se logran clasificar los distintos tipos de cristales, debido principalmente a l t r a b a j o de A . Bravais, clasificación que actualmente se mantiene. D u r a n t e el siglo X I X se sistematizan los estudios sobre las constantes elásticas de los sólidos, complementando los trabajos iniciados por R. Hooke y T . Y o u n g . A principios del siglo X X , con l a revolución en las concepciones teóricas sobre el comportamiento de la naturaleza se logra difractar los rayos X por medio de cristales en los trabajos experimentales de W . Friedrich y P. K n i p p i n g , los cuales demuestran no solamente que los átomos en u n cristal se hallan regularmente espaciados teniendo u n a simetría m u y definida, sino también el carácter ondulatorio de los rayos X. A principios de 1913 gracias a los trabajos de W . L . Bragg y W . H . Bragg, se comienzan a determinar estructuras cristalinas por medio de la difracción de rayos X. Luego con la ayuda del formalismo de la
272
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
mecánica cuántica se logran entender fenómenos de conducción eléctrica, propiedades mecánicas, térmicas y magnéticas en los sólidos. E n 1949 se logra, con base en cristales semiconductores, fabricar el p r i m e r transistor de j u n t u r a . E n la década de los 50 se inicia la revolución tecnológica con base en el anterior dispositivo. E n la década de los 60, gracias a los circuitos integrados se producen los llamados computadores de segunda generación. E n las décadas de los 70 y 80, se inician extensas investigaciones sobre materiales amorfos, especialmente semiconductores. También en estás décadas, las celdas solares construidas con elementos semiconductores p r i n c i p i a n a ser consideradas como fuente alterna de energía, en lugar de los combustibles fósiles. A p a r t i r de 1986 se encuentran los primeros superconductores de a l t a t e m p e r a t u r a crítica , lo que m o t i v a u n a gran a c t i v i d a d de investigación básica que se mantiene hasta ahora, dadas las posibles aplicaciones tecnológicas. E n el cierre del siglo X X y el inicio del siglo X X I la investigación en el estado sólido marca una preponderancia hacia las nanoestructuras, dispositivos ópticos y electrónicos con tamaño de unos pocos radios atómicos. Los resultados de tales esfuerzos no tardarán en hacerse comunes en la v i d a cotidiana. 1
12.2 12.2.1
Elementos de cristalografía Caracterización c r i s t a l i n a
Como se acaba de afirmar en el numeral anterior, u n sólido cristalino perfecto se concibe por medio de u n a estricta p e r i o d i c i d a d en su estruct u r a . Esta propiedad permitirá hacer algunas definiciones que arrojarán una caracterización adecuada de lo que es u n cristal. Así como una pared sólida se logra conformar a p a r t i r de una u n i d a d fundamental, el ladrillo, u n sólido cristalino se logra también p o r l a repetición en todas direcciones de la u n i d a d más pequeña posible que posea las características del cristal. Esta u n i d a d en cristalografía se denomina "celda unitaria". E n l a figura 12.2 se muestra u n cristal b i d i mensional y su celda u n i t a r i a . ¿ C ó m o se puede caracterizar más rigurosamente esa celda u n i t a r i a ? Esta pregunta puede complementarse con la que sigue a u n cuando, aparentemente, no tenga relación: si estoy en algún sitio dentro del cristal, 1
T e m p e r a t u r a a l a c u a l u n material p a s a de ser u n conductor n o r m a l a otro (el
superconductor) que conduce corriente eléctrica s i n resistencia. A l g u n o s compuestos de I t r i o , B a r i o , Oxigeno y C o b r e poseen t e m p e r a t u r a c r i t i c a T
c
~ 90 K .
12.2.
ELEMENTOS D E CRISTALOGRAFÍA
273
¿ c ó m o hago para ubicarme en otro completamente equivalente al anterior?
-o—o—9—9—9—9
F I G U R A 1 2 . 3 . Definición de los vectores base.
Tomemos u n caso en tres dimensiones y t a l como se aprecia en la figura 1 2 . 3 , definamos tres vectores a lo largo de las aristas de l a celda u n i t a r i a . Estos vectores a, b y c definen las características de l a celda u n i t a r i a , independientemente del origen que se haya t o m a d o dentro de la estruct u r a cristalina. Además si n n y n representan números enteros, el vector: u
T
3
2
= na x
+ nb 2
(12-1)
+ nc 3
estará representando o t r o p u n t o dentro de esa red cristalina con características netamente idénticas al tomado como p u n t o de referencia u origen. Por tanto, a l tener completamente establecida la celda u n i t a r i a con sus vectores base, y a l t o m a r todos los posibles valores enteros n n , n , l 5
2
3
274
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
se habrá generado todo el cristal. Es por esto por lo que se exige que u n verdadero cristal sea invariante (que ninguna de las propiedades físicas del material cambie) cuando se efectúan operaciones de translación descritas por la ecuación (12.1). A l determinar clara y unívocamente los vectores a, b, c, así como los ángulos que forman entre sí los vectores, queda completamente establecida la característica de l a celda unitaria del cristal. 12.2.2
Sistemas cristalinos
Se puede creer que, dado que sólo se exige u n a estructura periódica para la definición de u n cristal, existen muchas clases de estructuras c r i s t a l i nas. Sin embargo, en el siglo X I X el físico teórico francés A u g u s t o B r a vais demostró que solamente 14 estructuras cristalinas tridimensionales son posibles, y que estas estructuras pueden clasificarse en 7 sistemas cristalinos. L a demostración efectuada por Bravais se basó en el estudio de las posibles simetrías que cumplirían las estructuras. E n la actualidad la 14 estructuras cristalinas posibles se denominan "redes de Bravais".
F I G U R A 12.4. Vectores unitarios, magnitudes y ángulos en una celda unitaria general.
Antes de describir los 7 sistemas cristalinos que conforman las 14 redes de Bravais, analicemos la figura 12.4 donde se definen precisamente los vectores de la celda u n i t a r i a , sus magnitudes y los ángulos que f o r m a n entre sí las aristas. Según el numeral anterior esto es lo que define unívocamente l a celda u n i t a r i a de u n cristal. Si llamamos \a\ a, |6| = b, etc., las magnitudes de los vectores base, encontramos los siguientes sistemas cristalinos: a ) S i s t e m a cúbico Presenta tres estructuras llamadas simple, centrada en el cuerpo, y cent r a d a en las caras. a = b= c
a = /8 = 7 = 90'
12.2.
275
ELEMENTOS D E CRISTALOGRAFÍA
>a. Simple
b. Centrada en el caerpo
t—>
c Centrada en las caras
F I G U R A 12.5. Sistema cúbico con sus tres estructuras.
b) Sistema tetragonal Presenta dos estructuras llamadas tetragonal simple y tetragonal cent r a d o en el cuerpo. a = b^c
a = /3 = -y = 90°.
> v a. Simple
b. Centrado en el cuerpo
F I G U R A 12.6. Sistema cristalino tetragonal.
c) S i s t e m a ortorrómbico Presenta u n t o t a l de cuatro estructuras: simple, centrada en las bases, centrada en el cuerpo y centrada en las caras. a^byéc
a
= /3 = 7 = 90°
276
C A P Í T U L O 12.
E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
! iSupfc
b. Centrada en tas bases
F I G U R A 12.7.
c. Centrada en el cuerpo
d. Centrada en las caras
S i s t e m a ortorrómbico.
d ) S i s t e m a monoclínico Tiene dos estructuras:
\>
simple y centrada en las bases.
V
jt
\>
\k
*c a. Simple F I G U R A 12.8.
b. Centrada en las bases
S i s t e m a monoclínico.
e ) S i s t e m a triclínico Tiene solamente una estructura simple.
f) S i s t e m a t r i g o n a l Presenta una sola estructura. a = b— c
a = 0 = 7 yé 90°
12.2.
ELEMENTOS DE CRISTALOGRAFÍA
fr
*
*--v
^ \
i\ \ i \\ \
\
\ \
277
\ \
\
\
-\-> .» a. Simple
F I G U R A 12.9. Sistema triclínico.
/
i i K
I / N V
\
1
>
/ 1
/
F I G U R A 12.10. Sistema trigonal.
g) S i s t e m a h e x a g o n a l
F I G U R A 12.11. Sistema hexagonal.
Presenta u n a sola estructura. a = b^c
a
= p = 90°
7 = 120°
E n la t a b l a 12.1 se presenta u n resumen de los sistemas cristalinos t e niendo en cuenta l a convención adoptada en la figura 12.4; y además en algunos casos t i p o de cristales que se encuentran en la naturaleza.
278
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O
SÓLIDO
fijando
T A B L A 1 2 . 1 . Sistemas v estructuras cristalinas. Sistemas Cristalinos
. , Tipos de estructuras m
Características de , ,. . , la celda unitaria
Ejemplos de cristales naturales
1. Simpie Cúbico
2. cenrrada en el cuerpo
a=b=c a = 0 = = 90°
Cobre, hierro, plata, cloruro de sodio.
a= a=$ =
Bióxido de estaño(S 0 ) sulfato de níquel hidratado
7
la pe
números n , , # i j ;
oro,
tendrá su e: sean números
3 centrada en Las caras
1. Simple Tetragonal
2. centrada en el cuerpo
c
7=
n
90°
2
(NiSO* • 6¿Y 0) 2
1. Simple 2. centrada en la base Ortorrómbico
3. centrada en las caras
a¿b¿c Azufre, nitrato de potasio a = /3 = 7 = 90° (KNOi), galio
4. centrada en el cuerpo
1. Simple Monoclínico
2. centrada en la base
a¿b¿c a = 0 = 90° ¿
Sulfato de calcio hidrata-
7
(CaSo
do
• 2H 0),
4
ferricianuro
2
de
potasio
(K Fe{CN) ) 9
6
FIGURA Triclínico
1. Simple
Trigonal
1. Simple
Hexagonal
1. Simple
<*^#7t¿90°
a = 6= c a =
p=
7 5¿ 90°
CuSO, • 5 i í 0 , 2
Hielo, cuarzo, arsénico
K Cr 0 2
2
7
antimonio,
o= 6= c ft
= 0 =90°,
7= 7 sistemas
12.2.3
12.12.
Cadmio, magnesio, zinc
120°
L o fundamental translación de que se tome. Por t una dirección de Para aclarar siguiente ejemplo: escogido, la posic cubo vendría dado i
14 estructuras
Direcciones y planos
cristalográficos
Por simplicidad en la discusión que sigue vamos a suponer u n cristal cúbico de t a l manera que los vectores a, b, c de la celda u n i t a r i a se encuentran a lo largo de los ejes x, y, z respectivamente. T a l situación está representada en la figura 12.12. Es bien sabido ya que el vector descrito por la ecuación (12.1) está
A h o r a bien: obs la celda u n i t a r i a , dientemente del < pre está marcando < cubo de l a celda i vectores dados por Es decir, u n conji unitaria tomada ralizado para cuale qué?)
279
12.2. E L E M E N T O S D E C R I S T A L O G R A F Í A
fijando l a posición de u n átomo dentro del cristal siempre y cuando los números n , , n y n sean enteros. Es decir el vector: 2
3
T = ni¿í + n b + n c 2
3
tendrá su extremo siempre en u n átomo, cuando el conjunto { n sean números enteros.
1 ;
n ,n } 2
3
x F I G U R A 12.12. Sistema de referencia arbitrario en un cristal cúbico simple.
L o f u n d a m e n t a l en lo que se ha discutido, es que las operaciones de translación descritas p o r l a ecuación (12.1) son independientes del origen que se tome. Por t a n t o , el conjunto de números enteros n , , n , n definen u n a dirección dentro del cristal. Para aclarar mejor las afirmaciones anteriores, podemos recurrir a l siguiente ejemplo: de acuerdo con l a figura 12.12 y respecto a l origen escogido, l a posición del átomo situado sobre la diagonal p r i n c i p a l del cubo vendría dado por: 2
3^,!,! = l a + 1 6 + l e
3
(12.2)
A h o r a bien: observemos la figura 12.13 en donde tenemos no solamente la celda u n i t a r i a , sino varias de estas. Se puede apreciar que independientemente del origen del sistema de referencia l a ecuación (12.2) siempre está marcando el átomo que queda sobre la diagonal p r i n c i p a l del cubo de la celda u n i t a r i a . E n otras palabras, l a t r i p l a [1,1,1] proporciona vectores dados por la ecuación (12.2) o de igual m a g n i t u d y paralelos. Es decir, u n conjunto de rectas paralelas independientemente de la celda u n i t a r i a t o m a d a como referencia. E l análisis anterior, puede ser generalizado para cualquier sistema cristalino sin ninguna dificultad. (¿Por qué?)
280
C A P Í T U L O 12.
FIGURA
E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
1 2 . 1 3 . L a s líneas p u n t e a d a s s o n t o d a s p a r a l e l a s y u n e n s i e m p r e l a
d i a g o n a l p r i n c i p a l de los c u b o s , i n d e p e n d i e n t e m e n t e d e l o r i g e n d e l s i s t e m a de referencia.
Para la identificación y ubicación de los planos cristalinos se emplean los llamados índices de M i l l e r , los cuales se denotan por tres números entre paréntesis: (h, k, l). E n la figura 1 2 . 1 4 tenemos u n plano situado en el espacio que intercepta los ejes coordenados del sistema de referencia en los puntos x , y y z . También se muestran los vectores o, b y c de l a celda u n i t a r i a . 0
0
0
y
X F I G U R A 1 2 . 1 4 . U n p l a n o c r i s t a l i n o c u a l q u i e r a , y l o s v e c t o r e s a, b y c.
Para determinar los índices de M i l l e r que caracterizan el plano en consideración, procedemos de la siguiente manera: a) Hallamos los puntos de corte x , y o, z . 0
Q
b) Encontramos las relaciones x /a, y /b y z /c; en donde las letras a, b, c son las magnitudes de los respectivos vectores. 0
0
0
12.2.
ELEMENTOS DECRISTALOGRAFÍA
281
c) Tomamos los inversos de los tres números anteriores, es decir: a/x . 0
b/y y c/z . 0
0
d) Reducimos l a t r i p l a anterior e su mínimo común denominador; multiplicamos los inversos (paso c) por este número, y los números que resultan son los 3 índices de M i l l e r (h, k, l).
X F I G U R A 1 2 . 1 5 . P l a n o c r i s t a l i n o e n u n c r i s t a l cúbico.
Generalmente las mediciones cristalográficas se hacen en términos de las magnitudes de a, b y c y por tanto basta tomar los inversos de las cantidades x , y , z en el patrón. Como ejemplo supongamos que queremos determinar los índices de M i l l e r del plano que se muestra en la figura 12.15 dentro de una est r u c t u r a cúbica (|a| = b = c). Las intersecciones del plano con los ejes coordenados son: 0
0
0
o ~ 3
x
yo
=
2
z = 2 0
Según los pasos anteriores a seguir tenemos: a) Puntos de corte: (3, 2, 2). b) Inversos: ( 1 / 3 , 1/2, 1/2). c) Mínimo común denominador: 6. d) índices de M i l l e r : ( 6 / 3 , 6/2, 6/2) = (2, 3, 3). E n la figura 12.16 se muestran los planos cristalinos (con sus respectivos índices de M i l l e r ) más comunes en las estructuras cúbicas. Para finalizar hay que anotar que si algún número es negativo en los índices este se reconoce por la r a y i t a que se pone sobre él. Por ejemplo (T, 2, 3) quiere decir que el p r i m e r índice de M i l l e r es negativo.
282
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
a. (1,0,0)
b.
FIGURA 12.16.
12.3
1.1.01
c. (1,1,1)
d. (2,1,1)
e. ( 1 , 1 , 0 )
.Algunos planos cristalinos y sus índices de Miller en estructuras cúbicas.
Difracción de rayos X en los cristales
U n a de las herramientas más poderosas para determinar experimentalmente las estructuras cristalinas, es l a difracción de los rayos X cuando éstos interactúan con la distribución periódica de los átomos dentro de u n cristal. Cabe anotar que históricamente, una de las pruebas irrefutables de la característica ondulatoria de los rayos X, fue lograr difractar esta radiación por medio de u n monocristal de cloruro de sodio, experimento realizado por el físico Von Laue en el año de 1912. U n a de las explicaciones más rigurosas y a la vez más simple de la difracción de rayos X por cristales, fue dada por Bragg en 1913, conocida actualmente como la "condición de Bragg'''', que ahora entraremos a explicar. O n d a incidente O n d a dispersada
F I G U R A 12.17. Dispersión de una onda electromagnética por un átomo cuya distribución electrónica se supone uniforme y constante. Sabemos que los átomos son capaces de dispersar radiación electromagnética por medio de los electrones que los constituyen. L a figura 12.17 muestra u n caso general de dispersión, en donde p o r simplicidad se supone que los electrones que tiene este átomo poseen u n a carga continua y fija, uniformemente d i s t r i b u i d a en el v o l u m e n atómico. Según la figura 12.17, la dispersión de la radiación se da en todas diré-
12.3. D I F R A C C I Ó N D E R A Y O S X E N L O S C R I S T A L E S
283
cciones (forma en realidad una onda esférica), y como en u n cristal real la radiación no interactúa con u n sólo átomo sino con muchos, existirán algunas direcciones especiales donde l a radiación dispersada interferirá constructivamente y en otras en donde la interferencia será destructiva, dando lugar en t o t a l a u n patrón de difracción usual como si se tratase de la interacción de u n m o v i m i e n t o ondulatorio con una rejilla difractora. T a l como se vio en el numeral anterior, en una estructura c r i s t a l i na se pueden definir unos planos cristalográficos (caracterizados por los índices de M i l l e r ) los cuales tendrán u n número particular de átomos por u n i d a d de superficie. E n l a figura 12.18 se representa en u n cristal cúbico simple u n a f a m i l i a de planos cristalinos equivalentes, con u n espaciamiento interplanar igual a d. E n el caso de la estructura cúbica simple coincide con la arista del cubo de la celda unitaria, y se le l l a m a usualmente constante de red.
F I G U R A 12.18. Familia de planos cristalinos en un cristal cúbico simple. En el detalle la celda unitaria. Para la construcción de la condición de Bragg en la dispersión de los rayos X p o r u n cristal, tomemos l a dispersión por dos átomos localizados en planos sucesivos, t a l como se ve en la figura 12.19.
dsenfl
i.
dsené)
d
1
F I G U R A 12.19. Dispersión de rayos X por una capa de átomos en una cierta familia de planos en un cristal.
284
iza-
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
A l fijar nuestra atención en los rayos marcados como 1 y 2 en la figura, podemos asegurar que una vez hayan sido "reflejados" p o r el plano cristalino interferirán uno con o t r o . E n el patrón de difracción que se obtiene a l realizar el experimento, los puntos que se observan experimentalmente son únicamente aquellos en donde se presentó i n terferencia constructiva. Ahora bien, para que se dé interferencia de refuerzo (constructiva, entre los rayos 1 y 2 luego de su dispersión por el conjunto de átomos, se debe cumplir que l a diferencia de caminos entre los dos movimientos ondulatorios sea un múltiplo entero de la l o n g i t u d de onda de l a radiación incidente. Así, según la gráfica y la aseveración anterior, se debe cumplir que: 2dsen 6 = nX
la radiación lie obtener u n h a z : puede ser u n placa fotográfica.
(12.3)
donde n = 1, 2, . . . , recibe el nombre de orden de
FiGcmal
difracción.
L a ecuación (12.3) es conocida como condición de Bragg, la cual p r o porciona las posibles direcciones en las cuales se puede dar interferencia constructiva en u n experimento de difracción. También se puede apreciar de la ecuación (12.3) que A es proporcional a d: la longitud de onda de la radiación debe ser del mismo orden de magnitud que la constante de la red.
Cuando la muesti»^ cristalinos que i ver en la figura se puede ver que \ mostrados y por l o l serán distintas.
E n el capítulo 5 ya vimos cómo se producen los rayos X y cuáles son sus características físicas. E n la figura 12.20 se encuentra u n esquema de u n espectrómetro de rayos X para el estudio de las estructuras cristalinas. etector
FIGURA
F I G U R A 1 2 . 2 0 . Esquema de un espectrómetro de rayos X.
Como la radiación de rayos X debe ser monocromática (de u n a sola frecuencia), del espectro general del ánodo deberá emplearse únicamente el espectro característico (por ejemplo líneas K mostradas en la figura 12.21) lo cual puede lograrse empleando u n gran blindaje de p l o m o para amortiguar la t o t a l i d a d del resto de espectro; o por medio de filtros ( o t r o cristal por ejemplo) para que únicamente las componentes específicas de a
12.22.
Cada uno de los < como u n p u n t o ( s i (si se u t i l i z a c o m o < L a intensidad i son proporcionalesa la densidad sur 12.23 se muestran i de oro, usando una hora. Ta
12.3.
D I F R A C C I Ó N D E R A Y O S X E N LOS C R I S T A L E S
285
la radiación lleguen al colimador, el cual no es más que una rendija para obtener u n haz m u y delgado de radiación. E l detector de la figura 12.20 puede ser u n contador, u n a cámara de ionización, o lo más usual, una placa fotográfica.
A^
Aa
A
F I G U R A 12.21. Espectro característico de rayos X.
Cuando la muestra que se u t i l i z a es u n cristal, el número de planos cristalinos que intervienen en la difracción es apreciable, lo cual se puede ver en la figura 12.22, al t o m a r dos dimensiones solamente. También se puede ver que las distancias interplanares son diferentes en los casos mostrados y por lo tanto las contribuciones de la ecuación (12.3) también serán distintas.
d,
F I G U R A 12.22. Conjunto de planos cristalinos diferentes que intervienen en la difracción de Bragg.
Cada uno de los conjuntos de planos cristalinos interviene en el espectro como u n p u n t o (si el detector es u n a placa fotográfica) o como u n pico (si se u t i l i z a como detector u n contador proporcional, por ejemplo). L a intensidad de los puntos, o la a l t u r a de los picos (que en realidad son proporcionales a la intensidad de la radiación detectada), depende de la densidad superficial de átomos por plano cristalográfico. E n la figura 12.23 se muestran los resultados obtenidos a l difractar u n m o n o c r i s t a l de oro, usando como detector una película, luego de u n a exposición de una hora. También se indican algunos de los planos cristalográficos.
286
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
E n la figura 12.24 se presenta el resultado cuando se u t i l i z a u n detector proporcional. E n los picos se anota los planos responsables de la difracción.
4,2,2
M '
*
1
* —
\ » _ 2,0,2
4,2,2
_
*2,0,2
/ #
*
2,2,4 0,2,2*
1,1,3
F I G U R A 12.23. Patrón de difracción del oro (Departamento de Física Universidad Nacional de Colombia).
4000,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
r
26 (grados) F I G U R A 12.24. Patrón de difracción de rayos X de Y S r SbC>6, indicando algunos planos reflectores. Grupo de Física de Nuevos Materiales, Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia. 2
Una de las aplicaciones más útiles de los rayos X es su poder p a r a la identificación de materiales. Cada substancia cristalina se caracteriza por su celda u n i t a r i a , l a constante de red (o las magnitudes) de los
287
12.3. D I F R A C C I Ó N D E R A Y O S X E N LOS C R I S T A L E S
vectores a, b, c si es cualquiera de las estructuras dadas en la t a b l a 12.1 y los átomos que la componen, los cuales se d i s t r i b u y e n en los planos cristalinos según hemos visto anteriormente.
haz monocromático de rayos X
pulverizada
a.
E s q u e m a de u n a cámara de polvo p a r a
difractar rayos X.
^ |
b.
Patrón
de
difracción de u n a muestra
cristali-
n a pulverizada.
F I G U R A 1 2 . 2 5 . Difracción d e u n a m u e s t r a c r i s t a l i n a .
Para el proceso de identificación se u t i l i z a el método de la cámara de polvo, el cual consiste en u n capilar en donde la muestra cristalina se introduce pulverizada, y a u n a cierta distancia, se coloca u n a película fotográfica que rodea la muestra, figura 12.25a. Como la muestra está pulverizada, lo cual es similar a tener una gran cantidad de cristalitos orientados perfectamente a l azar, se producen todas las difracciones posibles debidas a todas las familias de planos cristalinos. Los resultados experimentales que se obtienen se pueden apreciar en la figura 12.25b. E l número de líneas, la intensidad relativa entre ellas, así como el espaciamiento entre las líneas (círculos en este caso) p r o p o r ciona l a suficiente información para lograr la identificación del material. De hecho, hay unas tablas internacionales que p e r m i t e n hacer t a l p r o ceso. Es de notar que cada una de las líneas del patrón de difracción de la figura 12.25b. está cumpliendo completamente con la condición de Bragg, ecuación (12.3).
288
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
12.4
Imperfecciones cristalinas
E n los cristales reales por lo general no se presentan l a estricta period i c i d a d y perfección repetitiva de la celda u n i t a r i a . Sin embargo, desde el p u n t o de vista práctico, si se tiene u n cristal en donde el número de "problemitas" que hacen perder la perfección cristalina es menor que 1 0 cm~ , se puede considerar como u n a perfecta estructura cristalina. Los motivos que causan la pérdida de la periodicidad genéricamente se han llamado "imperfecciones cristalinas" las cuales j u e g a n u n papel i m p o r t a n t e en las propiedades de los materiales. Las imperfecciones cristalinas se h a n d i v i d i d o en dos especies: defectos puntuales y dislocaciones. E n la figura 12.26 se muestran gráficamente las subdivisiones de los defectos puntuales que son las vacancias, impurezas substitucionales, impurezas intersticiales. 1 5
3
o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o
O
O O O O O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
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O
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O
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O
•
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O O O O O
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O
O O O O O
O
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O
O
O
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O
O
O
O
a. V a c a n c i a .
b.
Impureza
substitu-
c.
Impureza
intersticial.
d.
Impureza
intersticial,
cional.
F I G U R A 1 2 . 2 6 . D i v e r s o s t i p o s de defectos p u n t u a l e s .
E n t r e los defectos puntuales más comunes está la vacancia, que como su nombre lo indica, es la falta de u n átomo en u n sitio del cristal en donde debería encontrarse. Este t i p o de defectos aumenta dramáticamente con la t e m p e r a t u r a , pues a l a d q u i r i r suficiente energía térmica, las v i braciones que pueden realizar los átomos llegan a ser t a n amplias para que logren vencer la energía de enlace del cristal y abandonen el sitio cristalino. O t r o t i p o de defectos puntuales son las impurezas substitucionales, lo cual no es o t r a cosa que la substitución de u n átomo diferente en u n sitio cristalino lo cual influye marcadamente en las propiedades del cristal. T a l vez el mejor ejemplo sean los llamados semiconductores extrínsecos donde u n cristal de silicio, por ejemplo, se dopa con a l u m i n i o , de t a l manera que los átomos de a l u m i n i o se acomodan en sitios donde deberían estar los átomos de silicio, obteniéndose u n semiconductor extrínseco t i p o P. E n cuanto a las impurezas intersticiales (como se observa en las fi-
12.5. T I P O S D E F U E R Z A S Q U E SE P R E S E N T A N E N LOS C R I S T A L E S
289
guras 12.26c. y 12.26d.), pueden ser de dos tipos si lo que ocupa el sitio intersticial es de la m i s m a clase o no de los átomos que constituyen el cristal. U n ejemplo de este t i p o de impurezas son los llamados "centros de color", responsables de algunas propiedades ópticas de los materiales. E n cuanto a la dislocaciones, que tienen grandes repercusiones en las propiedades mecánicas de los materiales, tales como d u c t i l i d a d , m a leabilidad, plasticidad, etc., se s u b d i v i d e n en dos tipos: dislocación de arista y dislocación helicoidal. E n la p r i m e r a de las mencionadas, (dislocación de arista), es como si u n plano cristalino se perdiera (figura 12.27a.). ya que en la parte superior tenemos siete átomos mientras que en el inferior solamente seis, p o r ejemplo. L a dislocación helicoidal (figura 12.27b.), se puede entender como si a u n cristal perfecto se le hiciese u n corte y por uno de los lados se intentase a t o r n i l l a r l o . Por lo general estos tipos de dislocaciones o c u r r e n simultáneamente.
FIGURA 12.27. Dislocaciones.
12.5
Tipos de fuerzas que se presentan en los cristales
T a l como se había expresado en la introducción del presente capítulo, los sólidos cristalinos presentan una gran variedad de propiedades que se h a n estudiado experimentalmente, y se h a n encontrado razones teóricas p a r a explicar su comportamiento. Muchas de las cualidades más protuberantes que presentan los sólidos
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
290
se deben al t i p o de fuerzas internas en ellos, que logran que los materiales posean una estructura estable. Las interacciones entre los átomos, iones, moléculas, electrones, etc., que suceden dentro de u n cristal son responsables de las características cristalinas y reciben el nombre genérico de 'enlaces cristalinos". En este numeral estudiaremos, sin entrar en detalles teóricos complicados, los enlaces iónicos, covaientes. de Van Der Waals y metálicos, los cuales son los más comunes en la naturaleza. 12.5.1
E n l a c e iónico
12.5.
TIPOS 1
U n o de los cloruro de sodio (J Na con u n ion como se puede ver < +
E n la config deben interactuar i cial que a l final el i bie. L a figura 12_2Si de iones dentro de 1 V(r)
Como es bien sabido, u n i o n es u n átomo que ha p e r d i d o o ganado uno o varios electrones en sus capas más externas. Si el átomo gana u n electrón, la carga electrónica se aumenta en u n a u n i d a d , y se dice que es u n i o n negativo. Si el átomo admite más de u n electrón, se habrá formado u n i o n tantas veces negativo como electrones "extraños" haya alojado en su capa externa. Por el contrario, si el átomo pierde electrones, la carga t o t a l atómica es positiva, y se forma u n i o n positivo, o tantas veces positivo como electrones de l a capa más externa haya cedido este átomo. Algunos ejemplos de iones son: Fe , +2
Fe , +3
0~ , 2
L i , Cl~, C T , Cl~\
H ,Na+, +
3
+
+3
FIGURA 1 2 . 2 9 . Currai
Así entendidas las características fundamentales de u n i o n , es claro que u n cristal iónico, o una estructura cristalina cuyo enlace es iónico, estará compuesto por iones distribuidos periódicamente en el espacio. L a interacción preponderante en u n cristal iónico es, entonces, la fuerza electrostática entre las cargas eléctricas de los iones a las distancias dadas p o r las constantes de red del cristal. #
Q
r
0
p--r\--#--r\--p
E n los cristales: ligados que ante u n < t i v o son pobres con
>_~_- r +
O'
-O'
Na # +
Cl- O
F I G U R A 1 2 . 2 8 . Estructura cúbica centrada en las caras del
De la gráfica se puede^ le corresponde el Esto significa qoet cristal es precisa ble. H a c i a l a izqu a u n valor nulo, p a r a l cada vez más pe siva. P a r a valores de 1 está t o m a n d o en disminuye con l a >
NaCl.
Solamente c u a n d » | la llamada "condn electrones), ya que i alguna energía cinét las fuerzas de atra iónicos en general
12.5.
T I P O S D E F U E R Z A S Q U E SE P R E S E N T A N E N L O S C R I S T A L E S
291
Uno de los casos más conocidos, y u n ejemplo claro, es el cristal de cloruro de sodio (NaCl) en donde se repiten alternativamente u n i o n Na con u n i o n Cl~ en u n a estructura cúbica centrada en las caras, como se puede ver en la figura 1 2 . 2 8 . E n l a configuración estable cristalina, u n par de iones Cl~ y Na deben interactuar de t a l manera que exista u n mínimo de energía p o t e n cial que a l final el cristal tenga, en promedio, una situación que no cambie. L a figura 1 2 . 2 9 muestra cómo es el potencial de u n par cualquiera de iones dentro de la estructura cristalina. +
+
F I G U R A 1 2 . 2 9 . Curva de energía potencial para un sistema cristalino estable
De la gráfica se puede ver el sitio en donde la energía potencial es mínima, le corresponde el valor r ; es decir, el de la constante de la red. Esto significa que cuando l a separación entre los componentes de u n cristal es precisamente ésta, l a situación cristalina es la más estable posible. Hacia la izquierda (r < r ) la energía potencial aumenta llegando a u n valor nulo, para luego volverse positiva a medida que r se vuelve cada vez más pequeño. Este resultado nos indica que es u n a zona r e p u l siva. P a r a valores de r > r el c o m p o r t a m i e n t o de l a energía potencial está t o m a n d o en cuenta el hecho de que la atracción entre dos cuerpos disminuye con la distancia. E n los cristales iónicos no existen electrones libres (o t a n débilmente ligados que ante u n estímulo débil respondan fácilmente), y p o r t a l mot i v o son pobres conductores de la electricidad, así como del calor. Solamente cuando se someten a temperaturas m u y altas se presenta la l l a m a d a "conducción iónica" (por medio de los iones y no de los electrones), ya que t a n t o los iones positivos como los negativos adquieren alguna energía cinética debido a l a energía térmica suministrada. Como las fuerzas de atracción electrostática son bastante grandes, los cristales iónicos en general son duros y con u n alto p u n t o de fusión. 0
0
0
292
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F Í S I C A D E L E S T A D O S Ó L I D O
12.5.2
12.5. T I F O »
E n l a c e covalente
U n o de los enlaces más fuertes y que tiene su explicación en la teoría cuántica, es el enlace covalente. Este enlace resulta cuando u n par de átomos por ejemplo, comporten dos electrones para formar u n sistema de mayor estabilidad. E n general, los espines de los electrones que se comparten se encuentran orientados antiparalelamente. Este enlace también se llama "enlace de valencia" ejemplo se verá por qué.
sus esquinas. I el centro. E n l a i diamante como covalente.
y en el siguiente
E l cloro atómico (Cl) es poco estable y rápidamente se c o m b i n a para formar la molécula de cloro (Cl ), que es más estable que el cloro atómico. E l cloro tiene siete electrones en su capa más externa, entonces, al combinarse con otro cloro atómico, lo hace compartiendo u n electrón de cada átomo como se puede ver en la figura 12.30a. 2
Cl + Cl -> C 7 o ° ° o Cl o + OO
o ° ° o Cl o OO
H + H -»
2
.o c i 0
° c io
o O Oj o o
u
0
o
u
0
O H
+
H
2
a.
O H-
electrones compartidos
•H
O O
H
mante.
electrones compartidos
a. Cl
Distrib
de los cari
FIGURA i
b. H
2
2
F I G U R A 12.30. Enlace covalente.
O t r o ejemplo, más sencillo, para entender la parte final de este numeral, es la formación de la molécula de hidrógeno. E n la figura 12.30b. se ve que l a estabilidad del H se logra cuando los electrones (uno de cada hidrógeno) se sitúa entre los núcleos y están compartidos. L a mayor p r o b a b i l i d a d de encontrar los electrones en el H siempre será en la línea que une los dos núcleos. Así que el hecho de estar los electrones entre los núcleos no solamente repercute en que la repulsión entre los protones disminuya, sino que, además, las direcciones en donde van a permanecer esos electrones son fijas y siempre a lo largo de la línea que une los núcleos. 2
2
Debido a l rigor de l a distribución electrónica en los sólidos covalentes, sus cualidades son de extrema rigidez, dureza y pobre conducción eléctrica. Además, casi todos los cristales covalentes son transparentes. E n el estado sólido el cristal covalente típico es el diamante, el cual cristaliza en una estructura cúbica centrada en las caras pero desplazada de t a l manera que se f o r m a n tetraedros con átomos de carbono en
Otros ejemplos, ríales semiconduc estudiados y, por verdaderamente
12.5.3
Enlace
Cuando en los sitias i o iones, se dice q a e i gracias a que existe» 1 varían como l / r . T
Todos los gases; lares, también lo respectivamente), aa característica es u n i d a d ya que al a t a oscilar, y con poca, j de oscilación sea l o ! p o r las fuerzas de
12.5. T I P O S D E F U E R Z A S Q U E SE P R E S E N T A N E N L O S C R I S T A L E S
293
sus esquinas, las cuales comparten electrones con u n átomo situado en el centro. E n la figura 1 2 . 3 1 se puede ver la estructura cristalina del diamante como también el tetraedro elemental donde se da el enlace covalente.
a.
Distribución geométrica
de los carbonos en el d i a -
b. E n l a c e covalente
c.
tetraédrico.
del tetrae-
mante.
Detalle
dro.
F I G U R A 1 2 . 3 1 . Estructura cristalina del diamante.
O t r o s ejemplos, abundantes, por demás, en el estado sólido son los m a t e riales semiconductores, entre los cuales el silicio ha sido uno de los más estudiados y, p o r consiguiente, empleado en aplicaciones tecnológicas verdaderamente sorprendentes.
12.5.3
E n l a c e de V a n der W a a l s
Cuando en los sitios cristalinos se ubican moléculas en vez de átomos o iones, se dice que se tiene u n cristal molecular. Estos son posibles gracias a que existen fuerzas de atracción de m u y corto alcance, que varían como 1 / r . Estas fuerzas son llamadas de " V a n der Waals". 7
Todos los gases nobles a l solidificar cristalizan como sólidos moleculares, también lo hacen el CH y el C0 (metano y dióxido de carbono respectivamente), así como otros compuestos orgánicos. Su p r i n c i p a l característica es u n bajo p u n t o de fusión, lo cual se entiende con facili d a d ya que a l absorber calor, los constituyentes del cristal p r i n c i p i a n a oscilar, y con poca energía térmica se puede hacer que la a m p l i t u d de oscilación sea lo suficientemente grande como para no quedar ligados por las fuerzas de corto alcance de V a n der Walls. 4
2
294
12.5.4
E n l a c e metálico
E x i s t e n ciertos átomos que en su estructura atómica, en las últimas capas, poseen electrones débilmente ligados. E l cobre, p o r ejemplo, tiene la siguiente estructura electrónica": U
1
2s 2p 3 s 3p 2
6
2
6
Wte
1
E l electrón solitario de l a subcapa 4s puede con bastante facilidad liberarse del átomo de cobre. E n el sodio también hay u n electrón en u n a subcapa s, esta vez l a 3s. L o mismo ocurre con l a plata, el hierro, el a l u m i n i o , el oro, etc. Se puede generalizar, entonces, afirmando que los átomos de los m a teriales que llamamos "metales" se caracterizan por tener electrones pobremente atados a l conjunto atómico. Cuando muchos de esos átomos se acercan para formar u n a estruct u r a cristalina, todos esos electrones que pueden escapar con facilidad de sus respectivos átomos son responsables de que el cristal adquiera una configuración estable. E n efecto, estos electrones se d i s t r i b u y e n p o r t o d o el espacio cristalino formando u n a especie de gas de electrones que se pueden mover con mucha facilidad (como las partículas en u n gas). E n otras palabras, esos electrones actúan como u n "pegante" ya que su carga negativa d i s t r i b u i d a a lo largo del volumen del cristal disminuye la fuerza de repulsión de los iones que se ubican en los sitios c r i s t a l i nos. Pero atención: en los cristales iónicos se presentan iones positivos y negativos alternadamente en el cristal. E n los metales, lo que tenemos es l a distribución de u n solo t i p o de i o n en donde las repulsiones electrostáticas son completamente superadas p o r todos los electrones que forman el "gas". Esta diferencia es i m p o r t a n t e : precisamente l a casi ausencia de ligazón de los electrones que conforman el "gas", es la razón de que los metales respondan t a n bien a campos eléctricos ( m u y buenos conductores eléctricos) y a gradientes de temperaturas (excelentes conductores de calor). De manera análoga, también puede ser explicada l a no transparencia de los metales a l a luz visible.
12.6
12JS.
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
se emplea mientras que l a ] evitar que se Estos últimos: E n el presentei pueden clasific mulados eléct esas mismas pr 12.6.1
Conc
Según lo visto i do p o r electrones* cristalina y que < los iones positrow» afirma también electrones" que campo eléctrico i los mecanismos d e i caso metálico y. bien. De los cursos > queda establecida en movimiento. L a l adoptadas, será las cargas. E n el electrón particularaplicado a l m a t Cualquier al azar, haciendo sea nulo. L o antt trón p a r t i c u l a r es d i movimientos s i
Propiedades eléctricas de los sólidos
Y a es u n hecho de la v i d a cotidiana el saber qué materiales son utilizables para l a conducción eléctrica y cuáles son más apropiados en l a construcción de dispositivos aislantes, etc. Por ejemplo, el alambre de cobre 2
E n el capítulo 10, sección 10.1.3, se explicó qué significan las letras s, p y d. E l
supraíndice en c a d a u n a de estas letras i n d i c a el número de electrones e n c a d a u n o de los correspondientes estados de momento angular.
FIGURA 12.32. Me
12.6. P R O P I E D A D E S E L É C T R I C A S D E LOS SÓLIDOS
295
se emplea fundamentalmente para la conducción de corriente eléctrica mientras que l a porcelana, o mica, o algunos plásticos, son puestos para evitar que se presenten accidentes en la manipulación de la electricidad. Estos últimos son aislantes. E n el presente numeral trataremos de manera general cómo los sólidos pueden clasificarse en relación con una respuesta cuando han sido estimulados eléctricamente de alguna manera, y cómo pueden explicarse esas mismas propiedades. 12.6.1
C o n d u c t i v i d a d eléctrica e n l o s m e t a l e s
Según lo visto en u n numeral anterior el enlace metálico está conformado p o r electrones esencialmente libres que deambulan por la estructura cristalina y que en promedio establecen u n equilibrio electrostático con los iones positivos que se fijan en los puntos reticulares del cristal. Se afirma también que estos electrones conforman u n a especie de "gas de electrones" que responden con bastante facilidad cuando se aplica u n campo eléctrico en el m e t a l a l cual se encuentran ligados. Estudiaremos los mecanismos de conducción según una descripción clásica que para el caso metálico y, desde el p u n t o de vista macroscópico, funciona bastante bien. De los cursos de física general se conoce que u n a corriente eléctrica queda establecida cuando partículas eléctricamente cargadas se ponen en movimiento. L a dirección de l a corriente, según las convenciones adoptadas, será paralela o antiparalela a la dirección del m o v i m i e n t o de las cargas. E n el gas de electrones en el metal, fijemos la atención en u n electrón p a r t i c u l a r , suponiendo que no haya u n campo eléctrico externo aplicado a l m a t e r i a l . Cualquier partícula que constituya u n gas se mueve perfectamente al azar, haciendo que su desplazamiento neto o desplazamiento efectivo sea nulo. L o anterior puede verse en la figura 12.32 en donde el electrón p a r t i c u l a r es el sombreado. Los otros electrones estarán realizando movimientos similares.
F I G U R A 1 2 . 3 2 . Movimiento de una partícula en un gas sin excitación externa.
296
1AS.
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
Estas trayectorias "azarosas" se deben a las múltiples y continuas dispersiones que sufre el electrón, ya sea con los otros electrones del gas o bien con la red cristalina. E l hecho de que el desplazamiento neto sea nulo hace entonces que obviamente no haya una corriente eléctrica que pueda ser medida macroscópicamente. A l aplicar una diferencia de potencial en el metal aparecerá una corriente que se puede explicar de l a siguiente manera y con ayuda de l a figura 12.33. U n a vez se haya aplicado el campo eléctrico, cada electrón estará sujeto a u n a fuerza cuya m a g n i t u d y dirección están bien establecidas. E l electrón podrá ahora sufrir las dispersiones explicadas anteriormente, pero cada vez que salga de u n proceso de dispersión particular su trayectoria estará s u b o r d i n a d a a la fuerza sentida p o r l a partícula debido a l campo externo. E n últimas, esto ocasionará que el electrón logre tener u n desplazamiento neto en l a u n i d a d de t i e m p o , es decir, se ha establecido u n a corriente eléctrica.
electrones
O-
desplazamiento neto
F I G U R A 1 2 . 3 3 . A l aplicar un campo eléctrico, los electrones aunque se dispersen logran un desplazamiento neto.
U n a manera precisa de medir los efectos de la aplicación de u n a diferencia de potencial en u n m e t a l es a través de la ley de O h m : (12.4) en donde / es la corriente que circula cuando la diferencia de p o t e n c i a l eléctrico V se aplica. R es u n a medida macroscópica de la facilidad con que fluye la corriente / , y se l l a m a resistencia eléctrica. Si el m a t e r i a l que estamos analizando posee las siguientes d i m e n siones: A sección transversal y L l o n g i t u d , podemos escribir las siguientes relaciones: J=
I_
-r
A
E "
=
V L
R -
L
e
~A
t i v i d a d g, l a ley i
la cual es perfi material bajo ohm m " en el -1
1
Hasta el m< y reescribirla macroscópicos, caracterizan la Analicemos l a
L a anterior electrón debe ser t a 4 debida a las múlt tro en la figura 13 acelere como lo la fuerza eléctrica, y l el electrón en su porciona u n a sit denomina aveces significado de t a l
metal
—V-
Si definirnos l a i
Veamos qué Mientras mayor : bable será que s u f n i algún elemento de l a l la velocidad del Podemos ahora i entre colisión y col Llamemos T ese tie trón sufre muchas presentará mayor contrario m u y de v a ( menor oposición p a n q proporcional a 1 / T . anterior:
(12.5)
donde J es l a densidad promedio de corriente (corriente por u n i d a d de área); E es el campo eléctrico dentro del m a t e r i a l , el cual hemos supuesto constante y homogéneo (¿por qué?); y g es la resistividad del m a t e r i a l .
para que l a unidades! debe ser igual a — r oposición a l móvil
12.6.
PROPIEDADES ELÉCTRICAS D E LOS SÓLIDOS
Si definimos l a conductividad
297
eléctrica a como el inverso de l a resis-
t i v i d a d g, la ley de O h m (ecuación (12.4)) se convierte en: (12.6)
J = aE
la cual es perfectamente independiente de las dimensiones (tamaño) del m a t e r i a l b a j o estudio. L a c o n d u c t i v i d a d eléctrica a tiene unidades de ohm' m en el sistema internacional de unidades. Hasta el momento lo que hemos hecho ha sido tomar l a ley de O h m y reescribirla adecuadamente, pero siempre recurriendo a parámetros macroscópicos, s i n entrar a analizar los mecanismos microscópicos que caracterizan l a conducción eléctrica. Analicemos la situación de u n electrón particular: 1
_ 1
-^electrón
-^eléctrica + -^colisiones
(12.7)
L a anterior ecuación nos dice que la fuerza t o t a l que actúa sobre el electrón debe ser la que suministra el campo eléctrico, más u n a fuerza debida a las múltiples dispersiones que sufre el electrón, t a l como se ilustró en la figura 12.33. E l término de colisiones impide que la partícula acelere como lo haría en el caso de que estuviese sometida únicamente a la fuerza eléctrica, y es ocasionada p o r el medio que tiene que atravesar el electrón en su camino. E n este sentido el término de colisiones proporciona u n a situación m u y parecida a una fricción, y p o r t a l razón se denomina aveces "fuerza de fricción". Sin embargo, debe entenderse el significado de t a l término de acuerdo con las explicaciones anteriores. Veamos qué factores pueden intervenir en el término de colisiones. Mientras mayor sea la velocidad que el electrón alcance, t a n t o más p r o bable será que sufra una dispersión bien sea p o r o t r o electrón o p o r algún elemento de la red cristalina. Por tanto F es p r o p o r c i o n a l a la velocidad del electrón, que llamaremos v. c o l i s i o n
Podemos ahora t o m a r u n promedio estadístico del t i e m p o que pasa entre colisión y colisión del electrón a l cual le estamos siguiendo la pista. Llamemos r ese tiempo de colisión y analicemos lo siguiente: si el electrón sufre muchas dispersiones por u n i d a d de t i e m p o ( r pequeño) se presentará mayor resistencia al m o v i m i e n t o de l a partícula. Si por el contrario m u y de vez en cuando el electrón se dispersa ( T grande) habrá menor oposición para el movimiento del electrón. Por lo tanto, FcoUsión es p r o p o r c i o n a l a 1 / r . Entonces, de acuerdo con lo expuesto en el párrafo anterior: ^colisión OC (12.8) r p a r a que l a unidades sean correctas, l a constante de p r o p o r c i o n a l i d a d debe ser igual a - m , donde el signo está dando el criterio físico de u n a oposición a l m o v i m i e n t o de la partícula.
298
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
L a ecuación (12.7) adquiere entonces la siguiente forma: dv „ ra— = -eE dt
dispersiones ] desplazamiento i
mv
(12.9)
t
donde m es la masa del electrón. ( E n realidad la masa de la ecuación anterior no es la masa del electrón común, sino una "masa efectiva"" m* que se caracteriza como l a inercia que presenta el electrón en el tránsito por la red cristalina. Sin embargo en este momento no es m u y i m p o r tante t a l distinción y en muchos casos m y m ' n o varían drásticamente). Como es bien sabido, en u n medio en donde se presenta fricción, u n a partícula sujeta a una fuerza no incrementa indefinidamente su velocidad, sino que a p a r t i r de una cierta velocidad t e r m i n a l v , se mueve con velocidad constante. E n este caso t a l velocidad se l l a m a "velocidad de arrastre" (velocidad con la cual el campo eléctrico logra arrastrar a los electrones por entre la red cristalina) y se cumple, en ese caso, que dv /dt = 0; y por lo t a n t o la ecuación (12.9) se convierte en mv ¡T = —eE de donde: a
por u n i d a d de 1 Se puede promedio ( v ) < T . Lo anterior! puede entender* sufra alguna i
donde Z es el < tante para c a d a i La conductividad*
a
a
v
n
=
-eEr
(12.10)
m
E n la t a b l a
3
12.2 i
U n a vez obtenida la velocidad de arrastre, podemos calcular la densidad de corriente en el metal: -eNv
J =
Metal
(12.11)
a
Litio Sodio Potasio Cobre Plata Oro
donde N es el número de electrones por u n i d a d de v o l u m e n , es decir, —eN es la carga eléctrica por u n i d a d de volumen que se t r a n s p o r t a con una velocidad v . Por t a n t o se puede escribir: a
J = -eNv
a
=
-eN
-eEr m
e NrE 2
m
(12.12)
y debido a la ley de O h m podemos concluir que: e Nr 2
o =
m
L a resistividad o < (12.13)
es decir, se ha encontrado u n a expresión para l a c o n d u c t i v i d a d en términos de la densidad de electrones y el t i e m p o de colisión r , a p a r t i r de consideraciones microscópicas, ya que se le siguió la pista a u n electrón particular. L a ecuación (12.13) nos dice que a es p r o p o r c i o n a l a N lo cual es consistente, ya que si hay u n mayor número de portadores de carga, habrá mayor corriente, y que a es p r o p o r c i o n a l a r , lo cual también es correcto ya que si r tiende a cero quiere decir que el número de
Para finalizar el p r o depende de la t e m p e conductores y met i m p o r t a n t e que pe las propiedades eléct 3
T o m a d o de A . Orna»
12.6.
299
P R O P I E D A D E S E L É C T R I C A S D E L O S SÓLIDOS
dispersiones por u n i d a d de t i e m p o tiende a i n f i n i t o y el electrón no tiene desplazamiento neto; y si r tiende a infinito el número de dispersiones por u n i d a d de t i e m p o tiende a cero. Se puede pensar que los electrones se mueven con una velocidad promedio ( v ) entre los choques que se suceden con u n t i e m p o de colisión r . L o anterior nos p e r m i t e definir u n "camino libre medio", el cual se puede entender como el espacio que puede recorrer u n electrón sin que sufra alguna dispersión. Así podemos escribir: (12.14)
1= ( v ) t
donde l es el camino libre medio el cual representa u n parámetro i m p o r tante para cada material. L a c o n d u c t i v i d a d en términos de l a anterior variable se escribe como: o = ^ \)
E n l a t a b l a 12.2 aparecen a, r , l, N para algunos metales. 3
T A B L A 12.2. Algunas propiedades de los metales. N(m~ )
Metal Litio Sodio Potasio Cobre Plata Oro
r(s)
3
1.07 x 10 2.11 x 10 1.30 x 10 5.88 x 10 6.21 x 10 4.55 x 10
4.6 x 1 0 2.5 x 1 0
7
7
1.3 8.45 5.85 5.90
7
7
7
7
x x x x
0.9 x 10- 14 3.1 x 10" 14 4.3 x 10" 14 2.7 x 10" 14 4.1 x 10- 14 2.9 x 10" 14
28
28
10 10 10 10
28
28
28
28
i(A) 110 350 370 420 570 410
L a resistividad g del m a t e r i a l en particular será dada por:
l Mv)_ =
ti
a
e Nl 2
=
jn_ e Nr 2
K
'
Para finalizar el presente n u m e r a l pondremos de presente que a (ó g) depende de l a t e m p e r a t u r a , y que la dependencia de a con T para semiconductores y metales, por ejemplo, son drásticamente distintas, cosa i m p o r t a n t e que p e r m i t e diagnosticar y caracterizar experimentalmente las propiedades eléctricas de este par de materiales. 3
T o m a d o de A . O r n a r - E l e m e n t a r y Solid State P h y s i c s - A d i s s o n Wesley, 1975.
300
12.7
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S Ó L I D O
12.7.
Comportamiento de los electrones en los cristales
Como se dijo a l principio del presente capítulo, u n a estructura c r i s t a l i na está caracterizada por u n a celda u n i t a r i a en donde se encuentra el m o t i v o del cristal, y u n a r e d cristalina en la cual, las operaciones de translación dados por la ecuación (12.1), dejan cualquier situación física netamente indistinguible de la original. Tales operaciones de traslación se representan por medio de T = n a + n b + n c , donde a, b, c son los vectores base de la celda u n i t a r i a y n n , n números enteros. x
n
2
3
De u n a manera completamente general podemos afirmar que todas las interacciones posibles en u n cristal pueden ser representadas p o r u n a energía potencial V(r) (la forma explícita de V(r), por el momento, no nos i m p o r t a ) . Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, la calidad de sólido crist a l i n o debe ser representada por medio de la siguiente relación: V(f+T )
=
n
O t r a manera < t u d i o teórico d e l
la función de < cristal. Se s i es u n a onda
3
2
l 5
cea
(12.17)
V(r)
es decir, l a energía potencial de u n electrón en u n a estructura c r i s t a l i na posee la misma periodicidad del cristal, lo que hace posible que u n electrón situado en r o en f + T experimente exactamente las mismas interacciones. Es decir, los puntos del espacio marcados con f o r + T son físicamente indistinguibles para u n corpúsculo físico (electrón, etc.) dentro de u n a estructura cristalina. ¿Qué incidencias tiene esta p e r i o d i c i d a d sobre las características físicas?
es decir, U debe i Para ver l a i (12.17) sobre; veamos el sig de L . K r o n i g y W . l energía electrói E l modelo Penney", está < poder del potendÉl| sional, b es el cristalina.
n
n
Si la situación, luego de una operación de translación, es i n d i s t i n guible de la original, la p r o b a b i l i d a d de encontrar la partícula debe ser idéntica en ambos puntos del espacio. Esto es, la función de onda que describe el movimiento de campo material que acompaña a l m o v i m i e n t o del electrón debe satisfacer: Mf+T„)| Por lo t a n t o tp(f + T ) n
a
(12.18)
= M f ;
y (p(f) deben diferir solo en u n factor de fase.
Formalmente puede ser demostrado que el factor es e ' , lk Tn
establecido, de esta manera, el teorema de
ik Tn
quedando
Bloch:
e -
(12.19)
donde k es el vector de onda asociado a l a partícula mediante la relación de De Broglie p =
hk.
F I G U R A 12.34. Pe
Se t r a t a ahora de : Afortunadamente los ejemplos desa proporcionará los Definiendo las sie
12.7.
C O M P O R T A M I E N T O D E LOS E L E C T R O N E S E N L O S C R I S T A L E S
301
O t r a manera de establecer el teorema Bloch (fundamental en el est u d i o teórico de los sólidos cristalinos) es la siguiente. Sea: ip(f)
(12.20)
= e U{r) iLf
la función de onda que contiene t o d a la información de u n electrón en u n cristal. Se supone que la función de onda para el electrón en u n sólido es u n a onda plana (e ) tkr
m o d u l a d a p o r u n a función U(r) U(r
+ f) n
t a l que: (12.21)
= U(r)
es decir, U debe tener l a m i s m a periodicidad del cristal. Para ver l a incidencia tanto del teorema de B l o c h como de la relación ( 1 2 . 1 7 ) sobre alguna variable física i m p o r t a n t e (la energía por ejemplo), veamos el siguiente modelo unidimensional de u n cristal, ideado p o r R. de L . K r o n i g y W . G. Penney el cual nos lleva a l concepto de bandas de energía electrónicas. E l modelo propuesto, que recibe el nombre de "modelo de KronigPenney", está esquematizado en la figura 1 2 . 3 4 , donde V representa el poder del p o t e n c i a l generado p o r u n átomo dentro del cristal u n i d i m e n sional, b es el alcance y b + c es la constante de red de la e s t r u c t u r a cristalina. 0
V(x) *
X
F I G U R A 1 2 . 3 4 . Potencial cristalino periódico unidimensional en el modelo de Kronig-Penney.
Se t r a t a ahora de resolver la ecuación de Schródinger con este potencial. A f o r t u n a d a m e n t e se puede hallar una solución analítica con base en los ejemplos desarrollados en el capítulo 7 y el teorema de B l o c h que proporcionará los valores propios de la energía del problema. Definiendo las siguientes cantidades:
302
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
12.7. C O M :
las funciones de onda en la región libre de potencial y dentro de las barreras vendrán dadas por:
ip(x)
=
' Ae
3x
Ce
, a x
si b < x < 0
- Be~
5x
+ De~
si 0 < x < c
iax
varían de manera.! restringido a una i U n a anotación i
(12.23)
tamente de unos ] atómico. Las ese rango deter
lo cual nos lleva a la siguiente condición (para su derivación, consulte el apéndice E ) : 2
2
2ap
senh (¡3b) sen (ac)cosh (/3b) eos (ac)
(12.24)
=
P
2
2ap
los niveles
energé F(E]
donde a = b+c. L a parte de la derecha viene a ser u n a función explícita de l a energía a través de a y ¡3, involucradas en las funciones hiperbólicas y sinusoidales indicadas, como también lo es el factor del lado izquierdo de la ecuación (12.24). L o anterior nos p e r m i t e escribir formalmente: F(E)
energía es u n nr última explicación <
P - a
eos (A: a) =
mente, ya que l a <
a
senh (Pb) sen (ac) + cosh (Pb) eos (ac)
(12.25)
L o i m p o r t a n t e de l a ecuación anterior es que a pesar de que E puede t o m a r cualquier valor, solamente aquellos que c u m p l a n l a condición — 1 ^ F(E) ^ 1 tendrán sentido físico, ya que la solución del p r o b l e m a está condicionada por la relación:
+i
-i
F I G U R A 12.35. A
+ 1 y — 1 impuestos ] F(E)
= eos k a
(12.26)
Aquellos valores de la energía que caen dentro de las condiciones exigidas por las ecuaciones (12.24) y (12.26) son los que formarán las d e n o m i nadas bandas de energía electrónicas. E n la figura 12.35 se bosqueja la forma general de la relación F(E). Es i m p o r t a n t e notar que aparecen alternadamente regiones de energía t a n t o permitidas (con sentido físico) como prohibidas (aquellos valores de E que no cumplen la condición (12.26)).
F(E)
+1
E n l a figura 12.36 se muestra el resultado de calcular F(E) con los siguientes valores: V — 8eV, b = 0.05 a y c = a (a es el radio de Bohr). 0
0
0
0
Se puede apreciar la existencia de cinco bandas p e r m i t i d a s de energía, la p r i m e r a de las cuales es bastante estrecha, ya que solo tiene más o menos 0.05 eV, mientras que la última banda es l a más ancha, con una extensión de 4.25 eV. L a parte final de la gráfica F(E) aumenta en valor absoluto. Desde el p u n t o de vista físico este c o m p o r t a m i e n t o no es i m p o r t a n t e ya que solo nos interesa el estudio de estados energéticos ligados (E < V ) puesto que si E ^ V los posibles valores energéticos 0
0
F I G U R A 12.36. Ba
8eV. i = l
E n la figura 12.37 energía electrónicas.
12.7.
C O M P O R T A M I E N T O D E LOS E L E C T R O N E S E N LOS C R I S T A L E S
303
varían de manera continua ya que el m o v i m i e n t o de la partícula no está restringido a u n a región finita del espacio. Una anotación m u y i m p o r t a n t e es que ya no se puede hablar estrictamente de unos niveles discretos y muy bien definidos como en el caso atómico. Las bandas de energía permitidas tienen u n ancho dado, y en ese rango determinado se puede afirmar que la energía varía continuamente, ya que l a cantidad de valores posibles de energía por intervalo de energía es u n número enorme (del orden del número de Avogadro). Esta última explicación es la que p e r m i t e afirmar que en los sólidos cristalinos los niveles energéticos están distribuidos en bandas casi continuas. F(E),
I Valores de E con sentido físico
F I G U R A 12.35. Aspecto general de la función F(E). Se muestran los límites + 1 y —1 impuestos por la ecuación (12.26) y los valores de E con sentido físico.
E
F I G U R A 12.36. Bandas de energía en el modelo de Kronig-Penney cuando V = 8 eV, b = 0.05 o y c = a (a es el radio de Bohr). ü
0
0
0
E n la figura 12.37 se aclara u n poco la formación de estas bandas de energía electrónicas. Sabemos que en u n átomo aislado la energía po-
304
C A P I T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A F I S I C A D E L E S T A D O S O L I D O
tencial tiene la forma mostrada en la figura 12.37a., y en la m i s m a escala podemos p i n t a r los niveles Is. 2s. 2p. 3s. . . . etc. A h o r a bien: supongamos que se unen dos átomos de los anteriores para formar u n a molécula. E l potencial se modificará según lo mostrado en l a figura 12.37b. y los niveles de energía de los átomos aislados se situarán uno m u y cerca del o t r o para formar los niveles moleculares l s , 2s, 2p, . . . etc., pero existirá un pequeño ancho en esos niveles.
a. Átomo.
b. Molécula.
12.7. C X M
Se puede• el valor que de la energía de 1 existe una sola la figura 12.38(a}¡ k para l a pa
c. Sólido.
F I G U R A 12.38. ta}]
F I G U R A 12.37. Bandas de energía electrónicas.
dependencia de la i Kronig-Penney y !
Y a cuando se h a n unido muchos átomos para formar u n sólido, como se ve en la figura 12.37c, se habrá establecido una estructura casi continua de niveles energéticos. Tales estructuras son las bandas de energía. Cada sólido cristalino posee u n a distribución energética p a r t i c u l a r en bandas de energía, así como cada átomo posee niveles energéticos particulares. E n los materiales sólidos la estructura de bandas caracteriza las p r o piedades eléctricas y ópticas más importantes como son l a conducción eléctrica y las absorciones de radiación electromagnética. Para entender mejor lo anterior veamos el siguiente ejemplo: u n a partícula libre posee u n a energía t o t a l igual a la energía cinética, cuyo valor está dado por: E
= 1L 2m
(12.27)
y que de acuerdo con la relación de De Broglie p = hk, siendo k el vector de onda, se convierte en: E
=
hk 2
2
(12.28)
2m
Por consiguiente E es p r o p o r c i o n a l a A; , lo cual muestra l a dependencia cuadrática de la energía con respecto a k. Es decir, con l a c a n t i d a d de m o v i m i e n t o de l a partícula. 2
Si volvemos al
y si tabulamos relación en té: se encuentran E n u n sólido los electrones de energía que 12.38(b). Los electrones de tal y, en general, se ver en la figura De acuerdo gía, (el número definiciones para L a última conducción", se l l a m a "banda la b a n d a de
12.7.
C O M P O R T A M I E N T O D E L O S E L E C T R O N E S E N LOS C R I S T A L E S
305
Se puede ver claramente que no existiendo ninguna restricción sobre el valor que puede t o m a r k, tampoco existirá restricción sobre el valor de la energía de la partícula. Por consiguiente, para una partícula libre existe una sola banda de energía que varía continuamente como k . E n la figura 12.38(a) se observa la dependencia de la energía con respecto a k para l a partícula libre. 2
F I G U R A 1 2 . 3 8 . (a) Banda de energía continua para una partícula libre; (b) dependencia de la energía con la cantidad de movimiento en el modelo de Kronig-Penney y las bandas permitidas y prohibidas así como su ancho energético.
Si volvemos a l modelo de Kronig-Penney, recordando que: eos (ka) = F(E)
- 1 < F(E)
^ 1
(12.29)
y si tabulamos los posibles valores de la energía satisfechos por t a l relación en términos del vector de onda k, los resultados que se obtienen se encuentran resumidos en la figura 12.38(b). E n u n sólido real las interacciones electrostáticas que se d a n entre los electrones con el núcleo y entre ellos mismos hacen que los niveles de energía que puedan ocupar sean en general del aspecto de l a figura 12.38(b). Los posibles niveles energéticos van siendo ocupados por los electrones de t a l manera que se c u m p l a el principio de exclusión de Pauli y, en general, se pueden presentar cuatro configuraciones que se pueden ver en l a figura 12.39. De acuerdo con la figura 12.39, tenemos siempre tres bandas de energía, (el número depende del cristal en p a r t i c u l a r ) , y haremos algunas definiciones para continuidad de la discusión. L a última b a n d a (de nivel energético más alto) se l l a m a "banda de conducción", mientras que la banda de energía inmediatamente inferior se l l a m a "banda de valencia". E l intervalo energético entre el tope de la b a n d a de valencia y el fondo de la banda de conducción recibe el
306
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
nombre de "brecha de energía prohibida" AE (figura 12.40). C o n estas definiciones veremos cómo las gráficas de la figura 12.39 caracterizan de una manera adecuada las propiedades eléctricas de los sólidos.
varia ( B C )
semillena ( B C )
3C
sobrepuesta ( B C )
12.7.
la BC
(banda«
antes de loe
donde k es l a < Además, l a B
crece las aumentan, y si t
F I G U R A 1 2 . 3 9 . Posibles configuraciones en las bandas de energía electrónicas. B C = banda de conducción; B V = banda de valencia.
p o r el efecto lo t a n t o , las electrones en l a ¡ E n los están c o m p t banda de con prohibida es lores típicos semiconductores.
vacía ( B C )
'.«ti*
F I G U R A 1 2 . 4 0 . Brecha de energía prohibida.
Así, los materiales aislantes tienen u n a banda de valencia completamente llena (no pueden ubicar más electrones en ella), mientras que la banda de conducción se encuentra completamente desocupada (no hay electrones situados en los niveles energéticos p e r m i t i d o s de la banda de conducción). Además, la brecha de energías prohibidas AE es bastante grande. Por consiguiente no hay electrones disponibles en la banda de conducción y así se aplique u n campo eléctrico m u y grande, no se logra l a circulación de corriente eléctrica. E n los buenos aislantes el valor de AE es del orden de 3 a 6 eV. Por ejemplo el diamante posee u n a brecha de energía de 5.3 eV. Podría pensarse que si se s u m i n i s t r a bastante energía térmica sería posible que u n electrón pudiese pasar de la BV (banda de valencia) a
F I G U R A 12.4L.1
Uno de los me la excitación téi semiconductor es i t u r a , hecho que i La explicado* < adquiere u n ele o igual a AE ent t a l m o t i v o cont en el m a t e r i a l . C u a n d o se trones pueden poder pasar a la deben ser bastante i '
4
aun . 4
Se puede presentar,^
12.7.
C O M P O R T A M I E N T O D E LOS E L E C T R O N E S E N LOS C R I S T A L E S
307
la BC (banda de conducción). Sin embargo la brecha es t a n grande que antes de lograrse t a l efecto el material ¡estaría fundido! ya que: E&k T B
E = 6eV
T « xlO
4
K
donde k es l a constante de B o l t z m a n n y T la t e m p e r a t u r a absoluta. Además, l a resistencia aumenta con la temperatura, ya que si T crece las oscilaciones de los átomos alrededor del p u n t o de equilibrio aumentan, y si existiesen electrones en la BC. éstos serían dispersados por el efecto anterior, y la corriente fluiría con mayor dificultad. Por lo t a n t o , las excitaciones térmicas no contribuyen a u n aumento de los electrones en l a BC. B
E n los materiales semiconductores las bandas de energía electrónicas están compuestas p o r u n a banda de valencia completamente llena y u n a b a n d a de conducción totalmente desocupada; pero la brecha de energía prohibida es bastante pequeña (figura 12.41). E n efecto, AE posee valores típicos entre 0.1 y 2.5 eV para u n amplio número de materiales semiconductores.
vacía ( B C ) AE
F I G U R A 1 2 . 4 1 . Brecha de energía para materiales semiconductores.
Uno de los mecanismos de conducción típicos en los semiconductores es la excitación térmica. Realmente, la mejor manera de caracterizar a u n semiconductor es p o r su aumento en la c o n d u c t i v i d a d con la t e m p e r a t u r a , hecho que solo se presenta en ellos. L a explicación es relativamente sencilla, ya que si la energía que adquiere u n electrón por efecto del aumento de la t e m p e r a t u r a es mayor o igual a AE entonces t a l electrón puede pasar de l a BV a l a BC y por t a l m o t i v o c o n t r i b u i r a la corriente eléctrica que puede estar circulando en el m a t e r i a l . Cuando se aplica u n campo eléctrico a u n semiconductor, los electrones pueden también a d q u i r i r suficiente energía del campo como para poder pasar a l a BC, pero por lo general los valores de estos campos deben ser bastante altos, y los fenómenos físicos son más complicados aún . 4
4
Se puede presentar, por ejemplo, el efecto Zenner.
308
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
E x i s t e n algunos materiales semiconductores bastante i m p o r t a n t e s llamados materiales fote-conductores" y de acuerdo con su nombre, se puede i n t u i r que cuando interactúan fotones de alguna frecuencia especial, pueden incrementar l a conducción siempre y cuando l a energía del fotón incidente (el cual será absorbido p o r el material) logre comunicarle al electrón en la banda de valencia suficiente energía como para poder llegar a la banda de conducción. E n la figura 12.42 se aprecia este efecto de fotoconducción. 11
llena mientras por electronesúltimos ele campo eléctrico, resistencia él Otra siti la figura 12.44a_ banda de coi recubren (figura
a.
F I G U R A 12.42. Mecanismo para la fotoconducción en materiales semiconductores.
Es claro de la figura 12.42 que cuanto más intensa sea l a l u z , mayor corriente circulará y se detectará por el amperímetro del circuito. Deb i d o a esta propiedad, tales materiales son ampliamente empleados como fotómetros. Obviamente la aplicación de los semiconductores cubre u n a gama muy amplia, y en las referencias bibliográficas encontrará textos y artículos dedicados exclusivamente a los temas de la aplicabilidad tecnológica de estos materiales.
semillena ( B C )
cond~ pecti
F I G U R A 12.44.
A l recubrirse las un intervalo de pletamente la de ocupar niveles conducción. Por de niveles de en un campo eléctrico de electrones. Se recubrimiento de
12.8 F I G U R A 12.43. Banda de conducción semillena para materiales conductores.
E n los materiales conductores se pueden presentar dos tipos de situaciones: en la p r i m e r a de ellas la banda de valencia está completamente
Vibra
Uno de los m o v i i t a l i n o son las v i b efectuar alrededor mente, esos puntos de l a red en donde Las oscilaciones
309
12.8. V I B R A C I O N E S D E L A R E D C R I S T A L I N A
llena mientras que l a de conducción posee niveles energéticos ocupados p o r electrones, pero no la llenan en su totalidad (figura 12.43). Estos últimos electrones se encuentran débilmente ligados y si se le aplica u n campo eléctrico, estos portadores de carga responden sin casi n i n g u n a resistencia eléctrica. O t r a situación que se puede presentar es aquella que se muestra en la figura 12.44a.. L a banda de valencia está completamente llena, la banda de conducción está completamente vacía, pero ambas bandas se recubren (figura 12.44b.).
J BC
vacía ( B C ) - llena ( B V )
a.
B a n d a s de valencia y
conducción llena y vacía res-
BV
b. R e c u b r i m i e n t o de las dos bandas.
pectivamente.
F I G U R A 12.44. Recubrimiento de las bandas de valencia y de conducción.
A l recubrirse las bandas de energía, lo que equivale a que no se presente u n intervalo de energía p r o h i b i d a AE, los electrones que llenan completamente la banda de valencia van a encontrarse con la p o s i b i l i d a d de ocupar niveles energéticos p e r m i t i d o s y desocupados en l a banda de conducción. Por consiguiente, al final, se encontrará u n mayor número de niveles de energía que de electrones, lo cual hará que en presencia de u n campo eléctrico externo presente, sin mucha resistencia, conducción de electrones. Se acostumbra a llamar a los materiales conductores por recubrimiento de bandas "semimetales".
12.8
Vibraciones de la red cristalina
U n o de los movimientos más espontáneos dentro de u n cuerpo sólido crist a l i n o son las vibraciones que los átomos que f o r m a n el cristal pueden efectuar alrededor de los puntos de equilibrio. Como ya vimos anteriormente, esos puntos de equilibrio son precisamente los puntos reticulares de la red en donde se sitúan los motivos p a r a formar u n cristal. Las oscilaciones que realiza cada elemento dentro del sólido pueden
310
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
ser efectuadas en las tres dimensiones y. en general, se clasifican como ondas longitudinales y transversales, según la dirección de propagación del m o v i m i e n t o ondulatorio colectivo. E n l a mayoría de los casos, las oscilaciones de l a r e d logran explicar las propiedades térmicas de los sólidos, ya que a l aproximar las oscilaciones (o vibraciones) generales a oscilaciones armónicas fue posible explicar el c o m p o r t a m i e n t o del calor específico de los sólidos a bajas t e m p e r a t u ras. E l transporte de calor por los materiales también se explica gracias a las vibraciones cristalinas, así como las propiedades acústicas, ya que las frecuencias de oscilación dentro de los materiales corresponden a l rango de frecuencias del sonido y del ultrasonido. E l estudio teórico de todos estos problemas enunciados puede llegar a ser m u y complejo; en lo que sigue, examinaremos casos conceptual y matemáticamente solubles utilizando aproximaciones m u y plausibles desde el p u n t o de vista físico. 12.8.1
M o d e l o de l a cadena monoatómica
Supongamos u n cristal cúbico simple en donde los átomos que f o r m a n u n plano cristalino perpendicular a l eje y, por ejemplo, oscilan todos con alguna a m p l i t u d U ; y los planos siguientes, t a n t o a l a derecha como a la izquierda, oscilan con a m p l i t u d U y Í7„_i. C l a r o está que planos más lejanos de aquel que hemos t o m a d o como n-ésimo poseerán sus propias elongaciones. L a figura 12.45 muestra la situación descrita anteriormente.
mientos en las d i plano c r i anterior hace< dentro de un como u n todo, p o r cada plano i la red cristí De esta: el cristal se i átomo se puede i de constante 3. sujetos los át E n l a figura' pare con l a figiamfl mensional y m o v i m i e n t o de m i n a d a masa. E B I marcada con la cadas con n — 1 y i
n
n+1
F I G U R A 12.46.
tan las posiciones
De acuerdo con la« fuerza a la cual estad
de acuerdo con la F I G U R A 12.45. Todos los átomos del plano sombreado de la derecha tienen la misma coordenada y, y su desplazamiento respecto al punto de equilibrio está dado por U . Todo el plano sombreado de la izquierda tiene una elongación n
Según la construcción que se ha dado a l problema, no existen desplaza-
Ya que estamos solución de la eci
12.8.
311
VIBRACIONES D E L A RED CRISTALINA
mientos relativos transversales a l a dirección y, es decir, no hay fuerzas en las direcciones x ó z que hagan que u n átomo cualquiera, dentro del plano cristalino sombreado, puedan oscilar en las direcciones x ó z. L o anterior hace entonces obvio que el m o v i m i e n t o oscilatorio de u n átomo dentro de u n plano cualquiera sea exactamente semejante a l del plano como u n todo, y p o r lo t a n t o el análisis del m o v i m i e n t o de u n átomo por
cada plano será suficiente para l a descripción de las oscilaciones de
la r e d cristalina. De esta manera se puede justificar el modelo mecánico en el cual t o d o el cristal se reemplaza p o r u n a cadena lineal monoatómica,
en donde cada
átomo se puede representar p o r u n a partícula de masa m y u n acople de constante ¡3, responsable de las oscilaciones armónicas a que estarán sujetos los átomos. E n l a figura 1 2 . 4 6 se encuentra l a simplificación de l problema (compare con l a figura anterior) donde se ha reducido a u n problema u n i d i mensional y relativamente sencillo de resolver si se adopta que solo el m o v i m i e n t o de los vecinos próximos
afecta el m o v i m i e n t o de u n a deter-
m i n a d a masa. Es decir, que el m o v i m i e n t o de l a masa a r b i t r a r i a m e n t e marcada con l a letra n es afectada solamente p o r el de las masas m a r cadas con n — 1 y n + 1 .
F I G U R A 1 2 . 4 6 . Cadena monoatómica lineal. Las masas sombreadas representan las posiciones de equilibrio. La constante de red es a, y la constante de acoplamiento es fi.
De acuerdo con l a aproximación de vecinos próximos, tendremos que l a fuerza a l a cual está sometida l a partícula n será: = f3(U
F
n
- U ) + P{U -i
n+1
n
~ U) n
n
(12.30)
de acuerdo con l a segunda ley de N e w t o n podemos escribir:
^aW
m
Ya
=
P
{
U
n
+
+
1
V"-
1
~~
2
U
n
)
( 1 2
'
3 1 )
que estamos moviéndonos dentro de aproximaciones armónicas, l a
solución de l a ecuación ( 1 2 . 3 1 ) será u n a expresión de la forma: U (t) n
= u e^ 0
u t + k n a )
(12.32)
312
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
donde OJ es la frecuencia angular del m o v i m i e n t o armónico de la partícula, k el número de onda; y, por lo t a n t o , nka está m i d i e n d o las diferencias de fase entre dos partículas consecutivas. A l reemplazar la ecuación (12.32)
centrado en d i la mantene y posee át
en l a ecuación (12.31) encontramos u n a condición que debe cumplirse a l relacionar ui con k.
E n efecto, t a l condición se l l a m a "relación
de
dispersión''' y es: •mw = 2
-ika
3ie
tka
- 2 ) = - 4 0 sen
1 2
ka
(12.33)
Es decir: 1 sen I - ka \2
w = 2 ( — m
(12.34)
L a ecuación (12.34) nos está indicando una relación m u y precisa entre l a frecuencia de oscilación UJ de la partícula, y el vector de onda k. E n efecto, cuando í; y w no poseen u n a relación lineal significa que las propagaciones de los movimientos oscilatorios tienen lugar en u n
FIGURA
12.48.
planos con átc
medio dispersivo. L a figura 12.47 muestra las frecuencias de oscilación p e r m i t i d a s en la red cristalina.
A h o r a bien, estarán oscilando^ l i b r i o , pero figura
ohtrmi
12.48 i l t
De acuerdo < u n menor n t plano que pase; ^
sea monoatómico, i
k
A l tener en
F I G U R A 1 2 . 4 7 . Frecuencias permitidas en la red cristalina en función de k.
condiciones físicas] mos u t i l i z a r el ¡ partículas cor
Como se puede apreciar, existe u n máximo de frecuencias para u n a es-
diente se encue
t r u c t u r a cristalina como la de la figura 12.47, la cual indica que para oscilaciones 2(/3/m) 2(¡3/m)
1/2
mecánicas 1 / 2
(es
decir
sonoras)
pequeñas
comparadas
con
el sólido responderá m u y fácilmente, mientras que si u> > los átomos del sólido no podrán seguir las oscilaciones y el
cristal será "opaco" a frecuencias iguales o mayores que ese límite. Valores típicos de éste tamaño para w son del orden de 1 0
15
senta frecuencias que corresponden a los denominados 12.8.2
s " , lo cual repre1
"ultrasonidos''''.
FIGURA 12.49. M
M o d e l o de l a c a d e n a biatómica
A h o r a podemos emprender u n análisis u n t a n t o más complicado. E n vez
A l suponer que laot,
de tener u n cristal cúbico simple, pasemos a estudiar u n cristal cúbico
p o r u n a sola cor
12.8.
313
VIBRACIONES D E L A RED CRISTALINA
centrado en el cuerpo. L a suposición fundamental del numeral anterior la mantenemos, es decir, que algún plano cristalino perpendicular a l eje y posee átomos que se desplazan, a l mismo t i e m p o , la m i s m a distancia.
F I G U R A 1 2 . 4 8 . Vibraciones en un cristal cúbico centrado en el cuerpo. Los planos con átomos • tienen menor densidad que los planos con átomos O.
A h o r a bien, como en el caso anterior cada uno de los planos cristalinos estarán oscilando con alguna elongación respecto a su p u n t o de equil i b r i o , pero ahora dos planos consecutivos no poseerán igual masa. L a figura 1 2 . 4 8 i l u s t r a el hecho mencionado. De acuerdo con la figura, u n plano que pase por los átomos • tendrá u n menor número de átomos por u n i d a d de área (densidad) que u n plano que pase por los átomos O . Esto hace que a u n cuando el cristal sea monoatómico, se presenten inercias distintas de plano a plano. A l tener en cuenta que a excepción de lo acabado de explicar, las condiciones físicas son idénticas a la de la cadena monoatómica, podemos u t i l i z a r el siguiente modelo llamado "cadena biatómica", ya que dos partículas consecutivas poseen diferente masa. E l esquema correspondiente se encuentra en la figura 1 2 . 4 9 . h—
a
—H ¡3
m
l
m
2
F I G U R A 1 2 . 4 9 . Modelo mecánico para una cadena biatómica con constante de red a y constante de acoplamiento /?.
A l suponer que los átomos secuencialmente espaciados están acoplados por u n a sola constante /3, se obtienen las siguientes relaciones, a l seguir
314
C A P Í T U L O 12.
E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
considerando solo interacción entre vecinos próximos: m
= 3(L
2
m
=
:
r 2 n
- i + U „-!
-
2
ftU^
+ U
2n
12.8.3
(12.35)
Cuando se mecánica ct partícula me cuantizadas. ción) u n a u(k) según manera análoga ¡ energía ñu(k) d e i
(12.36)
Los fonones del rango de las de "fonones excitar "fonones
2U ) 2n
-
2U ) 2n+1
A l tomar las siguientes expresiones como soluciones : 5
U
2n
= r/ ¿M+2nfca) oe
— TT pi[ut+{2n+l)ka]
TT la relación de dispersión es: "1 = 13
m
x
±¡3
m
2
— +— m m 1
4 sen ka 2
m
2
x
m
Foi
(12.37)
2
E l subíndice ± indica qué signo debe tomarse para u en la parte derecha de la ecuación (12.37). L a figura 12.50 muestra el c o m p o r t a m i e n t o de u en función de k. 2
Para finalizar, fotones. Los los fotones, cuantos energ encontradas en <
Preguntas rama óptica
1. ¿Qué son s ó W 2. ¿Qué t i p o de i
banda prohibida de frecuencias
rama acústica *• k
3. ¿Qué es una«| 4. Haga u n a d a q 5. E n u n cuadro i 6. ¿Qué es u n p h
F I G U R A 12.50. Oscilaciones acústicas y ópticas en un sólido cúbico centrado en el cuerpo.
L a relación u}+(k) se l l a m a "rama óptica", ya que las frecuencias de ese rango corresponden a frecuencias de la parte visible dentro del espectro electromagnético, y por esta razón algunos sólidos cristalinos absorben m u y bien radiación electromagnética. L a parte correspondiente a UJ_ (k) es llamada "rama acústica" por las razones dadas en el numeral anterior. Es de notar que gracias a la diferencia entre las masas oscilantes se presenta una banda prohibida de frecuencias. 5
E s decir, dentro de l a aproximación armónica.
7. C o n u n ejeaaj Miller. 8. ¿Cuáles son tai 9. ¿Qué relaciómi 10. Nombre a l g m 11. ¿Qué son las • 12. Enumere y d é cristales.
12.8.
12.8.3
VIBRACIONES DE L A RED CRISTALINA
315
Fonones
C u a n d o se estudió el oscilador armónico desde el p u n t o de vista de la mecánica cuántica, se concluyó que las energías que podía tomar u n a partícula moviéndose dentro de u n potencial de oscilador armónico eran cuantizadas. A h o r a bien, cada manera como oscila (modo de oscilación) u n a estructura cristalina está caracterizada por u n a frecuencia u(k) según acabamos de ver. Estas oscilaciones están cuantizadas de manera análoga a lo estudiado en el oscilador armónico. E l cuanto de energía Hui(k) de estas oscilaciones se l l a m a "fonón". Los fonones que se excitan en u n sólido poseen frecuencias dentro del rango de las frecuencias sonoras; y por eso es común el término de "fonones acústicos", a pesar de que en algunos cristales se pueden excitar "fonones ópticos". Para finalizar, se puede hacer u n paralelo entre los fonones y los fotones. Los cuantos de energía de la radiación electromagnética son los fotones, mientras que las vibraciones de las redes cristalinas poseen cuantos energéticos con la m i s m a expresión (hw(k)), pero con frecuencias encontradas en este numeral. Estos cuantos de energía son los fonones.
Preguntas 1. ¿Qué son sólidos amorfos y cristalinos? 2. ¿Qué t i p o de sólidos son la madera, el v i d r i o , el hierro? 3. ¿Qué es u n a operación de translación y qué representa? 4. Haga u n a descripción de una celda u n i t a r i a . 5. E n u n cuadro sencillo escriba los sistemas cristalinos que recuerde. 6. ¿Qué es u n plano cristalino? 7. C o n u n ejemplo sencillo ilustre el significado de los índices de Miller. 8. ¿Cuáles son las variables involucradas en la ley de Bragg? 9. ¿Qué relación sencilla deben poseer A y d en la ley de Bragg? 10. N o m b r e algunos detectores empleados en los equipos de rayos X. 11. ¿Qué son las imperfecciones puntuales en u n cristal? 12. Enumere y dé las características de las principales fuerzas en los cristales.
316
C A P Í T U L O 12. E L E M E N T O S D E L A FÍSICA D E L E S T A D O S Ó L I D O
13. ¿Cuál es la p r i n c i p a l característica del enlace covalente? 14. ¿Qué se quiere decir con u n "gas de electrones" en u n metal? 15. ¿ C ó m o se puede escribir la ley de O h m en términos del campo eléctrico y la densidad de corriente? 16. ¿Qué sentido físico tiene la velocidad de arrastre? 17. E x p l i q u e el significado del camino libre medio de u n electrón en u n metal. 18. Escriba y explique el teorema de Bloch. 19. E x p l i q u e brevemente el modelo de Kronig-Penney y sus resultados. 20. ¿Qué es u n a banda p r o h i b i d a de energía en u n sólido? 21. D i b u j e u n esquema que caracterice a u n conductor, u n semiconductor y u n aislante, según el modelo de bandas de energía electrónicas. 22. ¿Entre qué valores, más o menos, puede encontrarse u n a brecha de energía p r o h i b i d a en u n semiconductor? 23. ¿El estudio teórico de las vibraciones cristalinas qué fenómeno logró explicar? 24. Explique m u y brevemente cómo se puede adoptar el modelo de cadena monoatómica. 25. Aclare los términos dados como ramas acústica y óptica de los modos de vibración de u n a cadena biatómica.
Para l a d e r n dos postulado*« Conside eos de refer respecto a 5 < E n el emite u n pulso 1 u n a onda < A medida < verá que se < con el segundo j ambos sistemas. Para el ot
y para el o l
Como no hay z' = z. Como x' — x reemplazar x' la ecuación (A.2). de Galileo no Entonces se que sean válidas <
Apéndice A
Transformaciones de Lorentz Para la derivación de las transformaciones de Lorentz se emplearán los dos postulados de la teoría especial de la relatividad. Consideremos dos observadores colocados en los orígenes de dos m a r cos de referencia inerciales S y S", S' moviéndose hacia la derecha con respecto a S en dirección +x. E n el instante t = t' = 0 en que los orígenes 0 y 0' coinciden, se emite u n pulso luminoso y cada observador se encuentra en el foco de u n a onda esférica de luz que se expande en el espacio (figura A . l ) . A m e d i d a que el frente de onda se va expandiendo cada observador verá que se encuentra en el centro de la esfera de luz, ya que de acuerdo con el segundo postulado de la r e l a t i v i d a d la velocidad de la luz es c en ambos sistemas. Para el observador 0 la ecuación de la esfera es: x +y 2
(A.l)
+ z = ct
2
2
2
2
y p a r a el observador 0': x' + y' + z' = c t' 2
2
2
2
2
(A.2)
Como no hay m o v i m i e n t o relativo con respecto a los ejes y, z: y' = y; z' = z. Como x' = x — ut de acuerdo con las transformaciones de Galileo, a l reemplazar x' en función de x no se obtiene l a ecuación ( A . l ) a p a r t i r de la ecuación ( A . 2 ) . Se concluye, de esta manera, que las transformaciones de Galileo no reproducen la invariancia de la velocidad de la luz. Entonces se necesitarán unas nuevas ecuaciones de transformación que sean válidas en casos relativistas tales que, para velocidades pequeñas 317
318
APÉNDICE A. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
comparadas con la de la luz, reproduzcamos el caso clásico. Para ello partiremos de las transformaciones de Galileo las cuales son válidas en la mecánica newtoniana.
L a ecuacic* las ecuaciones j a n d o t':
A h o r a que t expresar las denadas p r igualarla con E l resultai se c u m p l a . E J a.
E n t = t' — 0 se emite u n
pulso luminoso.
2
A
b. t segundos después medido por 0
donde:
L a igualdad (
Z c. t' segundos después medido por 0'
F I G U R A A . l . Expansión de una esfera de luz vista por dos observadores inerciales 0 y 0'.
M u l t i p l i c a n d o las ecuaciones de transformación para x y x' p o r u n factor
E l coeficiente
de donde:
t a l que: x' = K(x-ut) siendo K y K' independientes que t y t' no serán iguales.
x = K'{x'
+ ut')
(A.3)
de x y de t. E n general debemos suponer
De acuerdo con el primer postulado de la r e l a t i v i d a d , K y K' deben ser iguales. Además, K debe ser t a l que para velocidades pequeñas comparadas con la de l a luz, su valor debe ser igual a l a u n i d a d (caso clásico). Como no hay m o v i m i e n t o relativo respecto a los ejes y, z, las coordenadas correspondientes serán iguales.
C o n los otros liado el factor para casos Para vel tivistas) coin u c
319 L a ecuación para transformar el t i e m p o la obtenemos combinando las ecuaciones ( A . 3 ) . Reemplazando x' en la ecuación para x y despej a n d o t': (A.4) A h o r a que tenemos las ecuaciones de transformación que nos p e r m i t e n expresar las observaciones de 0' en las de 0, basta reemplazar las coordenadas primadas en función de las no primadas en la ecuación ( A . 2 ) , e igualarla con la ecuación ( A . l ) . E l resultado será la expresión del factor K que hace que la igualdad se c u m p l a . E n efecto: Ax
2
+ Bxt + y + z - Dt 2
2
= x + y + z - ct
2
2
2
2
2
2
(A.5)
donde: ( 1
cK 2
D =
2
K (c -u ) 2
2
2
L a igualdad (A.5) se satisface si: A = l
B = 0
(A.7)
D = c
2
E l coeficiente D es el más fácil de t r a b a j a r . Así, K (c
-u )
K =
. •y/1
2
2
= c
2
2
de donde: (A.8)
1
-U /C 2
2
C o n los otros coeficientes se obtiene el mismo resultado. Así hemos hallado el factor que modifica las transformaciones de Lorentz, apropiadas para casos relativistas. Para velocidades pequeñas, las transformaciones de Lorentz (o relativistas) coinciden con las transformaciones de Galileo, como debe ser: u — < 1
i
2
entonces
y/1 - u /c 2
2
«1
y
K = 1
320
APÉNDICE A. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ
Reemplazando K en las ecuaciones (A.3) y ( A . 4 ) . las transformaciones de Lorentz t o m a n la forma: x
=
x — ut y/1
y =
-U /C 2
2
f =
7 yj\ /C l
X
2
U
,
e
(A.9)
2
Apén<
Una diferí L a ecuación d e ! en donde a i parcial de
Esta ecuación A es u n parái determina la i Se entiende que 1 Derivando. obtiene:
Como e
Xx
no
L a ecuación (B.2) porciona los
Llamando: p = t o m a l a forma:
De acuerdo con e l ¡
Apéndice B
U n a n o t a sobre ecuaciones diferenciales L a ecuación de Schródinger, en u n a dimensión, en los casos estudiados en donde aparecen "escalones" de potencial, es una ecuación diferencial parcial de segundo orden, cuya forma general es: F" +aF'
+bF
(B.l)
= 0
E s t a ecuación tiene u n a solución general de la forma F(x) = 6 donde A es u n parámetro que depende de las constantes a y & de la ecuación, y d e t e r m i n a l a f o r m a de cada una de las tres posibles soluciones que tiene. Se entiende que las derivadas de la función F son con respecto a x. Derivando F(x) y reemplazando el resultado en la ecuación ( B . l ) , se obtiene: Xx
e Como e
Xx
A x
( A + a A + &) = 0 2
no puede ser cero, se debe c u m p l i r que: A + aA + 6 = 0
(B.2)
2
L a ecuación (B.2) se conoce con el nombre de ecuación porciona los posibles valores de la constante A: A
l i 2
auxiliar
= ±(-a±VoJ^Ib)
y pro-
(B.3)
L l a m a n d o : p = - a / 2 y g = ( a - 4 6 ) / 2 = ( a / 4 ) - 6 , la ecuación anterior 2
2
2
t o m a l a forma: A= p±g De acuerdo con el signo de q las posibles soluciones son: 2
321
(B.4)
322
A P É N D I C E B. U N A N O T A S O B R E E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S
E n mecáni
a) Dos raíces reales diferentes: q > 0. 2
ticulares m
b) Dos raíces reales iguales: q = 0.
-
2
c) Dos raíces complejas: q < 0. 2
Como no hav
a) Dos raíces reales diferentes: q > 0 2
Si q es mayor que cero, entonces se cumple que: \i=p + qy\=p las soluciones particulares de la ecuación son de la forma: 2
p
_ {p+q)x
p^ _
e
—q donde b puede De acuerdo de l a ecuación
(p-q)x
e
L a solución general es una combinación lineal de las anteriores, t a l que: F(x)
= Ae^ > p+q
+ Bé - >
= e {Ae
p q
px
(B.5)
+ Be~ )
qx
qx
Las soluciones
b) Dos raíces reales iguales: q = 0 2
Si q es igual a cero, entonces A = A = p, y las soluciones particulares son de la forma: x
2
F,. = e
2
F =
p x
Cuando b > 0
xe
2
px
L a solución general es de la forma: F(x)
(B.6)
= {A + Bx)e
px
donde A y B son constantes.
c) Dos raíces complejas: q < 0 2
Si q es menor que cero, entonces \ = p + iq, \ = p — iq. L a solución general es: 2
F{x) Como e
± l í
+ Bé -
= Ae(
p+ig)x
p
i q ) x
= e (Ae px
iqx
+
Be~ ) iqx
(B.7)
= eos 6 ± i sen 9, la ecuación anterior también se escribe de
la forma: F(x)
= e (C px
cosqx +
Dsenqx)
(B.8)
E n estas ecuaciones las constantes A y B pueden no ser reales puros y las constantes C y D no necesariamente contienen cantidades imaginarias.
N o t e n que l a para b > 0 al
323 E n mecánica cuántica l a ecuación de Schródinger para los casos particulares mencionados a l inicio del apéndice, tiene l a forma: F" + by = 0
(B.9)
Como no hay p r i m e r a derivada de la función a = 0 y por lo tanto: p = 0
(B.10)
q = yTj, = iVb
donde 6 puede ser positivo o negativo. De acuerdo con el signo de la constante b los valores de l a constante de l a ecuación auxiliar son: A
L I 2
A
M
= ±tVo'
si
b>0
(B.ll)
= ±Vb
si
b< 0
(B.12)
Las soluciones generales de l a ecuación (B.9) son: „, F
(
. X
íAe
i V b
) = \E
[Ae
Vbx
~ + Be~ ~
b>0
+ Be~
b<0
x
n
iV
bx
Vbx
B
-
1 3
C u a n d o b > 0 l a solución también se puede escribir en l a forma: F(x)
= A eos Vbx + sen Vbx
(B.14)
N o t e n que l a solución para b < 0 corresponde a l caso a) y l a solución para b > 0 a l caso c)
Apéndice C
Solución de l a ecuación diferencial de H e r m i t e p a r a el caso del oscilador armónico cuántico L a solución asintótica de la ecuación de Schródinger para el oscilador armónico (ecuación 8.12) es: rtf) donde H(£)
= e-^HÍf)
(Cl)
es u n a función que debemos determinar a p a r t i r de su
ecuación diferencial (ecuación 8.13): í | í ) _ donde A = 2mE/{h a ) 2
2
2
f
^ í )
+
(
y a
= 2E/(hw)
4
_
A
=
1
W
Í
)
=
(C.2)
0
km/h . 2
Esta ecuación se resuelve u t i l i z a n d o el método de series de potencias, como veremos a continuación. Sea H(£)
u n a serie de l a forma: OO
#(0 =
(C-3) s=0
Las derivadas correspondientes son: OO
H'{0
= 5>
OO
st-
1
H"(0
= £ a s=2
s=l
325
3
(
S
-
1)8r
2
326
A P É N D I C E C. S O L U C I Ó N D E L A E . D . D E H E R M I T E .
Reemplazando este resultado en la ecuación (C.2) y factorizando p o t e n cias de £ se obtiene:
y esta f u n c n a ] finita,
es
tenderá a OH
5 -2KS
A l ser
l))a,]Z = 0
- l ) a , _ - (25 - ( A -
HÍO
cual se c i
s
2
Cada uno de los coeficientes de cada potencia de £ en esta serie deben ser cero para satisfacer la igualdad. De la ecuación anterior se obtiene u n a fórmula de recurrencia que permitirá calcular los coeficientes de la serie: 2s + 1 - A °s+2
—
(C.4)
s = 0, 1, 2, . . .
(s + 2)(s + l )
Este resultad»« cilador Reemplazando j
Nótese que la fórmula de recurrencia genera dos series: u n a a p a r t i r de a
0
y o t r a a p a r t i r de a . x
E n la p r i m e r a los exponentes de £ son pares y
en la segunda son impares. A h o r a debemos determinar el c o m p o r t a m i e n t o de la serie (ecuación C.3) para £ —> oo. Para ello basta considerar el límite de la razón de dos
E s t a ecuación! mite y su relación^:
términos consecutivos de la serie (ya sean de la serie par o de la i m p a r ) : lím
=
a£
s-»oo
s
1™ . S-40O
s
S
~T
( +2)(S
+ 1)
S
C y cuya fórmula <
S
Utilizando i s->oos (l + 2/s)(l + l/s)
S-HX,
2
s
función de onda ]
Pero si expandimos en serie e ^ : 2
2
'"P-mk 2 f 2
=
E
s=0
s->oo
2
s + i
e
n
es la <
Esta constante-J
si
el límite de la razón de dos términos consecutivos de esta serie es: hm
donde N
que c u m p l e n
2C 2£ s! /(s + l)! „ , . , — = h m s -» OO = lím (s + l ) s ! s->oo s + 1 2 £ /s\ 2
( s + 1 )
s
>2s
— hm s—>oo
s »
1
s
Entonces: oc
Por consiguiente, # ( £ ) se c o m p o r t a como e ^ cuando £ es m u y grande. Si reemplazamos este resultado para H(£) en la ecuación ( C l ) , que es la función de onda del oscilador armónico, vemos inmediatamente que no es la solución adecuada puesto que: 2
2
1
D e b e notarse q a e i
condición descrita i Mathematical 2
327
y esta función no es finita para £ = oo. Sin embargo si H(£) es u n a serie finita, es decir un polinomio de grado n, entonces la función de onda tenderá a cero para £ —> oo, debido a la exponencial negativa que tiene. A l ser H(£) u n p o l i n o m i o de grado s — TI. el coeficiente cual se cumple cuando en la ecuación ( C . 4 ) :
a +2 N
^s cero lo
1
A = 2n + 1
n = 0, 1. 2, . . .
(C.5)
Este resultado conduce a los posibles valores de la energía para el oscilador armónico. Reemplazando la expresión obtenida para A en l a ecuación (C.2):
£m_ ?mi = 2(
+2nm)
.
0
E s t a ecuación se conoce con el nombre de ecuación
(C 6) diferencial
de Her-
mite y su solución son los llamados polinomios de H e r m i t e dados p o r la relación : 2
ff„( )
= (-i)"eí ^e-í
í
a
(C.7)
a
y cuya fórmula de recurrencia es precisamente la ecuación (C.4). U t i l i z a n d o este resultado matemático conocido, la forma final de la función de onda para el oscilador armónico cuántico es:
n = 0,1,2,...
n
2
n
(C.8)
donde i V es l a constante de normalización. n
Esta constante se obtiene a p a r t i r de la siguiente relación matemática que c u m p l e n los polinomios de H e r m i t e : oo
e-^\H (C)\d^
=
n
(C.9)
2 n\TT1/2 n
-OO
Entonces: OO
1=
1
J
oo
WÁ0?díi
= N
2n
j
e-Z \H (0\dZ 2
n
=
2
2
D e b e notarse que en l a expresión p a r a A aparece l a energía y, por lo tanto, l a
condición descrita conlleva a l a cuantización de la energía. 2
N (2»n\^ )
M a t h e m a t i c a l H a n d b o o k , M . R . Spiegel, M c G r a w - H i l l , 1968.
328
A P É N D I C E C.
SOLUCIÓN D E L A E.D. D E H E R M I T E .
de donde: 1
N„ =
2"n!vr / 1
n = 0, 1, 2, . . .
(CIO)
2
Otras relaciones útiles para los polinomios de H e r m i t e son las siguientes: f/
B + 1
(0 = 2ÍÍT (e)-2nrí _ (e) n
H (£)=2nH _ {0 n
n
1
B
Apén
1
Soluci angul ecuaci para á Como se vio hidrogenoides ( ciones difere; la que depende veremos c ó m o :
a) Ecuación
sen# E n p r i m e r lugar en u n a forma Efectuando las
Haciendo el d_ de
dB
1
Apéndice D
Solución de las partes a n g u l a r y r a d i a l de l a ecuación de Scródinger p a r a átomos hidrogenoides Como se vio en el capítulo 9, la ecuación de Schródinger para átomos hidrogenoides (en coordenadas esféricas r, 6, (f) se separa en tres ecuaciones diferenciales ordinarias (ecuación 9.11, 9.12 y 9.13), de las cuales la que depende del ángulo (ecuación 9.11) es fácil de resolver. A h o r a veremos cómo se encuentra l a solución de las otras dos ecuaciones.
a) Ecuación en 9 d sení? dO
sen 6
d&
m, sen 0
1(1 + 1)
+
dO
0 = 0
(D.l)
2
E n p r i m e r lugar es necesario hacer u n cambio de variable para expresarla en u n a f o r m a más adecuada. Efectuando las operaciones indicadas en la ecuación ( D . l ) : de 2
d6
+ 2
cos0
de —
1(1 + 1)
+
senO de
m. sen
0 = 0 ¿
Haciendo el cambio de variable x = eos 6: d_ de d
dx d . d — — = — sen e — de dx dx d i
2
-aW
2=
d\ Te\-^ Tx) e
eos e/ i — + sen2 e -— dx dx D
0
D
2
2
329
330
APÉNDICE D. SOLUCIÓN D E LAS PARTES A N G U L A R Y R A D I A L .
la ecuación ( D . l ) se transforma en: (i - x)
2 x - — mi - i dx i
2
' dx
v
Esta es!
2
1-
— x
(D.2)
6 = 0
2
Esta ecuación tiene la forma de la ecuación diferencial cuya solución son los denominados polinomios asociados de Legendre. Para hallar su solución partimos de l a ecuación diferencial: dy (l-* ) 2
2x
dx
2
+ k(k + 1 ) / = 0
dx
(D.3)
que se < Es grado k y i Cor misma que l m f ^ 1 f
conocida con el nombre de ecuación diferencial de Legendre de grado k. Esta ecuación se resuelve p o r el método de serie de potencias . E l p o l i n o m i o de grado k, solución de esta ecuación diferencial, se obtiene a p a r t i r de l a siguiente fórmula generatriz: 1
f(x)
= P (x) k
=
d
k
k
(D.4)
- 1)*
(x
2
2 k\
k
y se conoce con el nombre de polinomios de Legendre. Derivando j veces cada término de l a ecuación (D.3) usando l a regla de L e i b n i t z para la j-ésima derivada y llamando d f /dx = g, se obtiene: 2
1
(1 - x )-fdx
g - 2x(j + l)±g dx
2
Como (D.2) son 1
+ (k-j)(k
3
- l)g = 0
+ j
L%
(D.5)
Puesto que / es solución de esta ecuación entonces d f /dx = g también lo es. Haciendo F = (1 — x) g, reemplazando en l a ecuación (D.5) las expresiones correspondientes a las derivadas de g, agrupando términos y efectuando las factorizaciones necesarias se llega a l siguiente resultado: 3
donde N Los píen ciertas]
3
j/2
^ -
x
2
y
/
d d ^ F - 2 x - F dx dx 2
+
k(k + l)
F = 0
-
(D.6)
2
J
S u derivación se encuentra en A d v a n c e d Engineering M a t h e m a t i c s , E . K r e y s z i g ,
J o h n W i l e y a n d Sons, I n c . 1964. 2
La primera togonales constante de i L a condiciái
L a regla de L e i b n i t z p a r a hallar l a enésima derivada de u n producto de funciones
1 =
es:
d dx" ^ n
d" ' dx" ^
|
n\ (dq\ 1 dx"~ \dx)
dq dx
Haciendo e l ;
2
1
\2j dx"~
lP
2
+
h
n \ m I dx"
2
dq dx m
-
+ ••• +
m
se obtiene:
donde:
m\(n — m)
m < n
331 Esta es la llamada ecuación asociada de Legendre. Su solución es: = (1 - * )
F(x)
2
J / 2
£ - f(x)
= (1 - xy^P (x)
que se conoce con el nombre de polinomios
(D.7)
= P¿(x)
k
asociados de
Legendre.
Es i m p o r t a n t e notar que j ^ k porque P (x) es u n p o l i n o m i o de grado k y si j es mayor que k su j-ésima derivada será nula. Comparando las ecuaciones (D.2) y (D.6) observamos que tienen l a m i s m a f o r m a si: k = í y j = \m \. Por tanto, la condición j ^ k hace que \m \ t lo cual l i m i t a los posibles valores de m a: k
t
t
(
m
e
= 0, ± 1 , ± 2 ,
(D.8)
±1
Como resultado de este desarrollo vemos que la solución de la ecuación (D.2) son los polinomios asociados de Legendre, esto es (con x = cos#): Q , (9)
(D.9)
= N , P^{cos9)
t mt
t mt
donde N es la constante de normalización. Los polinomios de Legendre así como los polinomios asociados c u m plen ciertas relaciones matemáticas, dos de las cuales son las siguientes: t¡m
0
s + 1
P (x)P {x)dx n
l 2n +
i
+1
I -i
n 7^ m
2
= {
m
n = m
1
2 2(n + m ) ! \P™(x)\*dx = (2n + l ) ( n - m ) !
L a p r i m e r a relación nos dice que los polinomios de Legendre son ortogonales entre sí; l a segunda nos p e r m i t e encontrar la expresión de l a constante de normalización en la ecuación ( D . 9 ) . L a condición de normalización es: IT 7T
1
7T 7T
= I \e \sen0de
=
timí
Nl J[P¡ ^(co 9)} ened9 mt
m
S
2S
o
0
Haciendo el siguiente cambio de variable: x = eos 9
9= 0
dx = — sen 9d9
x = 1
9 = ir -> x = — 1
se obtiene: _
/(2l + l ) ( l - K l ) ! 2(*+K|)!
f
(
D
D
1
,
0
1
0
)
)
I
332
A P É N D I C E D. SOLUCIÓN D E LAS PARTES A N G U L A R Y R A D I A L .
b) Ecuación radial
cuya:
1)
r
2
dr \ )
\*e r)
[ h
r
0
2
R = 0
(D.ll)
2
Efectuando las operaciones indicadas en l a ecuación ( D . l l ) : dR
2dR
dr
r dr
~2mE
1(1 + 1)
2mZé Aire rh 0
R = 0
2
Para expresarla en u n a forma más adecuada , hacemos el siguiente cambio de variable: g = /3r donde es una constante que será definida más adelante. Entonces: 3
d _ dg d _ dr d?_ dr
dg
d ( d
P
do*
= *" Pdg i~,
dg \dg)
2
2
que a l s e r i tado:
Esta presenta forma:
d
dr dg
Pero d físi la sol
2
2
y l a ecuación ( D . l l ) se convierte en l a siguiente expresión: — R+— R dg g dg 2
2mE Ph 2
2mZe
1(1 +1)
2
4TT£ pgh
2
0
donde el se escoge de diferente de i Las derivadas)
R = 0
2
Llamando: 2mZé
P ^
Airean
=
2
2
SmE ñ
2
la ecuación diferencial original t o m a l a forma: I X dg
2
í(í + l)
g dg
R = 0
(D.12)
Esta ecuación tiene l a forma de l a ecuación diferencial cuya solución son las llamadas funciones asociadas de Laguerre. Debido a que de esta ecuación se obtiene u n resultado i m p o r t a n t e vamos a discutirla en forma más extensa que en el caso anterior. Para hallar su solución primero observamos su comportamiento asintótico para g m u y grande (g - 4 oo). E n esa región l a ecuación (D.12) t o m a l a forma: dR 2
1
dg
2
3
E s decir, obtener u n a ecuación adimensional.
Reemplazando < tencias de g se < oo
k=0
que también oo
k=0
333
cuya solución es: Ae
+
el2
Be~
e/2
Pero el término que contiene l a exponencial positiva no es solución físicamente aceptable d e l problema. Por t a n t o , podemos suponer que la solución general será de la forma: (D.13)
R { Q ) = Be~^ F(g) 2
que a l ser reemplazada en l a ecuación ( D . 1 2 ) conduce a l siguiente resultado: £ - F + ( - - l \ — F dg \g J dg
+
2
A- 1
1(1 + 1)
g
g
F = 0
(D.14)
2
Esta ecuación se resuelve por el método de serie de potencias. C o m o se presenta u n a singularidad en g = 0, l a serie de potencias debe ser de l a forma: oo
F(Q)
= grY,a f k(
oo
(D.15)
= Y,«k(f ' +
k-0
k=0
donde el exponente s puede ser cualquier número real (o complejo) que se escoge de t a l manera que el p r i m e r coeficiente de l a serie (a ) sea 0
diferente de cero. Las derivadas de F(g) son:
F'(í?) = 2 > * ( s + * ) ¿ fe=0 oo
=
+ *)(S +
A-1)Í?'
k=0
Reemplazando este resultado en l a ecuación (D.14) y factorizando p o tencias de g se obtiene: J T { a_"fcLV [(s + k) n,¡ - — 1(1 + - rl)]g ±j¡p T k)(s K>!\<>+ Tk A.- —1)x+ i - 2(s r + ~~r t^c f c
s
a
s+k
k=0
+ a [\-l-(s k
+ k)}g } s+k+1
= 0
que también podemos escribir: 00
J2{a [(s k+1
+ k + l)(s + k) + 2(s + k + 1) - 1(1 + 1)]
fc=0
+ a [X-l-(s k
+ k)]}g
s+k+1
=0
334
A P É N D I C E D. SOLUCIÓN D E LAS PARTES A N G U L A R Y R A D I A L .
Los coeficientes de cada potencia de g deben ser nulos i n d i v i d u a l m e n t e . De la ecuación anterior se obtiene u n a fórmula de recurrencia que permitirá calcular los coeficientes de la serie: s + k+ 1- A (s + k + 2)(s + k + 1) -1(1
+ 1)
(D.16)
a
k
Reemplazando k por k — 1 en la ecuación anterior, podemos encontrar el valor del exponente s: a
=
k
A
s+'k-
(s + k)(s + k + l)-£(l
(D.17)
a-
+ l)
k
+ 1) - 1(1 + 1)] = (s-
a [s(s 0
A)a_x
Pero el primer coeficiente de la serie es a que debe ser diferente de cero; por t a n t o a_ es cero y se encuentra para s que es igual a i. C o n este resultado l a fórmula de recurrencia (ecuación D.16) se escribe: 0
x
k+í+l-X k+l
—
(k + £ + 2)(k + £ + í)
a-k+iQ'
fc—>00
k+i
=
ag k
lím
fe^oo
k
=
k(l+£/kk [(l 2
hm k->oo
Q
Q
2
=
1
+
e
+
ñ
g /(k k+1
Q
3
ü
+
+
+
k i
+ l)\ —— = hm — — g = g /kl k-+oo (k + 1 ) ! k
Q
k
- - -
conocida corno i tiene p o r el generatriz : 4
+ í/k + 1/fc) - 1(1 + l)/k]
+ í/k + 2/k)(l
lím ?
n e
diferencial:
X/k)g
Este mismo resultado se obtiene cuando se expande en serie e el límite de la razón de dos de sus términos consecutivos:
e
Para e n c o n t r a r !
(D.18)
-£(£+!)
E l paso siguiente es averiguar el comportamiento de la serie para g —> oo. Para ello basta evaluar la razón de dos términos consecutivos de ella: lím
Este r e s u l t a d o , ! anterior ya q o r J de átomos P-
y para k = 0 se tiene:
a
donde j j t llamaremos » resultado
+
W
+
k
(k
—— +
y se t o m a
+ ••• +
l
^ y .
hm — fc->oo
+
e
l)k\
hm =
Q =
-
k
A l reemplazar F(g) por e en l a ecuación (D.13) vemos que no es u n a solución físicamente aceptable del problema porque R(g) no tiende a cero cuando g —> oo. Por consiguiente F(g) debe ser u n p o l i n o m i o finito. e
Sea k = j el grado de este p o l i n o m i o y entonces a en la ecuación (D.18) se cumple que:
j+1
A = ¿ + j + l = n
y se conoce Derivando j i nomios de operaciones
Puesto que / < Haciendo en la ecuación
será nulo cuando
dx
2
(D.19) 4
^
'
Mathematkail
335 donde j y £ son enteros. Por consiguiente A es u n número entero que llamaremos n y deberá ser mayor o igual a £ + 1 y nunca cero. Este resultado l i m i t a los posibles valores de £ ya que £ ^ n — 1, esto es: £ = 0, 1, 2,
ra
- 1
n = l , 2, . . .
(D.20)
Este resultado, i m p o r t a n t e , hizo necesario t o d o el desarrollo matemático anterior ya que a p a r t i r de A ( = n ) obtenemos la expresión para la energía de átomos hidrogenoides. Igualmente queda determinada la constante
(D.21)
3*
4ire ñ n 0
na
2
0
Para encontrar la solución de la ecuación (D.12) partimos de la ecuación diferencial:
x
&
2
f
+
{
1
~
x
d h
)
f
+
k
x
=
0
( D
-
2 2 )
conocida como ecuación diferencial de Laguerre, cuya solución se obtiene por el método de serie de potencias y tiene la siguiente fórmula generatriz : 4
= e
= L (x)
x
^ x
y se conoce con el nombre de polinomios
de
f(x)
k
k
e -
(D.23)
x
Laguerre.
Derivando j veces l a ecuación (D.22) ( t a l como se hizo para los p o l i nomios de Legendre) y llamando d f/dx = g, después de efectuar las operaciones necesarias se obtiene el siguiente resultado: j
x
2
+
(
i
_
x
+
j
)
j
£
+
{
k
~
j ) g = 0
( D , 2 4 )
Puesto que / es solución de esta ecuación g también lo es. Haciendo G(x)
= e~ l
x 2
y reemplazando g y sus derivadas
x~ g u
l)/2
en la ecuación (D.24) se obtiene
finalmente: 1 4
j
2
- 1
Ax
2
|
fc-(j-l)/2 x
G = 0 (D.25)
4
M a t h e m a t i c a l H a n d b o o k , M . R . Spiegel, M c G r a w - H i l l , 1 9 6 8 .
336
A P É N D I C E D. SOLUCIÓN D E LAS PARTES A N G U L A R Y R A D I A L .
Esta es l a llamada ecuación asociada de Laguerre. Su solución es: G{x)
= e- / x°- -^L (x) x
2
1)/2
á
e^ x ~ Li(x)
=
k
siendo G y L' (x) las funciones
2
y polinomios
k
u
l)2
asociados de
(D.26) Laguerre.
Es i m p o r t a n t e ver que j < k proporciona las únicas soluciones posibles. v
Comparando las ecuaciones (D.12) y (D.25) vemos que tienen l a m i s m a forma si:
i
1,. ( j
2
1 k - - ( j - l )
- l ) = ^ + l )
= \ n
lo cual proporciona los valores para j y k: j = 2£+l
k = n + £
(D.27)
Así, l a solución de la ecuación (D.12) son las funciones asociadas de Laguerre con x = g. Esto es : 5
RM
=
n
N e-^ Q L^( ) ntt
2
l
e
(D.28)
donde N es la constante de normalización. Nótese que parte de la solución ya se había obtenido a l considerar el c o m p o r t a m i e n t o de R{g) para g —»• oo. n¡(
L a condición de normalización es:
/
[R , (r)} r dr n c
2
2
(D.29)
= l
Teniendo en cuenta que g = f3r y ¡3 = 2 z / ( n a ) entonces: 0
dr = —— dg 2Z A l reemplazar lo anterior en la ecuación de normalización: oo
5
oo
A 1 utilizar los polinomios asociados de Laguerre L' (x) e n l a sección 9.1.1, por c o n k
veniencia se agrega u n factor (—1)' que m u l t i p l i c a a l a j-ésima d e r i v a d a del polinomio ordinario L ( x ) . k
La integral final:
de d o n d e
337 L a integral no es fácil de resolver por lo cual sólo damos el resultado final: 2n[(n + l ) ! ]
3
( n - l - 1)! de donde:
Apéndice E
Demostración de l a expresión F ( E ) p a r a el modelo de K r o n i g - P e n n e y Las funciones de onda para el modelo unidimensional del potencial de Kronig-Penney (ecuación 12.23) vienen dadas por:
Px
iax
2
- b< x < 0
+ Be~
Px
+ De'
0
iax
donde (p (x) representa l a función de onda dentro de la barrera de p o t e n cial de a l t u r a V , ip (x) las ondas planas en la región libre de p o t e n c i a l (vea de nuevo l a figura 12.34). Además: x
0
2
2
a
_
_ 2mE ~
ñ
2
em(V -E) 0
~
p
Las condiciones de continuidad exigidas a la función de onda en x = 0 nos p e r m i t e escribir (vea el capítulo 7):.
y
ví(o) = ¿ ( o )
L o cual conduce a los siguientes resultados para las constantes: A + B = C + D ¡3A-pB
= iaC - iaD
(E.l) (E.2)
Hasta el m o m e n t o tenemos dos ecuaciones para determinar cuatro coeficientes, y al tener en cuenta el teorema de Bloch (ecuaciones 12.19 y 339
340
A P E N D I C E E.
DEMOSTRACION DE LA EXPRESION F ( E ) . .
12.20), podemos obtener un par de ecuaciones más. r
Entonces:
Teniendo! se llega« (E.3)
- ( x ) = e* U(x) z
k
en donde las funciones ¿ son las dadas por las expresiones ( E . l ) y (E.2), y U(x) deberá ser invariante bajo operaciones de translación: U[x + n(constante de red)] =
U(x)
(E.4)
donde n es u n número entero. Por t a n t o la expresión (E.3) se convierte en:
A l sumar 1 1
U(x)
e~ ip{x)
=
(E.5)
ikx
y l a condición (E.4) j u n t o con la continuidad en l a derivada nos p e r m i t e escribir:
3
e» 3e~
m
U{c)
= U(-b)
U'{c)
(E.6)
= U'{-b)
E n f o r m a explícita las ecuaciones anteriores son: -ikc[ iac
e
Ce
+
£, -i«] e
ihby -f)b
=
e
- D{a + k)e- ]
Ae
= e [A(/3
iac
Be ]ie~ [C(a pb
+
- ik)e~
ikb
pb
k)e
-
ikc
iac
- B(/3 + ik)e ]
(E.7)
pb
E l conjunto de las cuatro ecuaciones ( E . l ) , (E.2) y (E.7) p e r m i t e n en p r i m e r a instancia encontrar los valores de las constantes A, B, C y D. Para tener una solución no t r i v i a l (A = B = C = D — 0) es necesario que el determinante característico sea nulo, es decir (habiendo factorizado — 1 en l a tercera y cuarta columna):
gikb
g—0b
gifc&
{^-ik)e e-^ ikb
-(p + ik)e e<
b
g — ikc
g-ifcc giac
ikb
3b
i(a-k)e- e ikc
iac
-i(
+
a
1
0
-P
^ikb
p
6
i k b
/3b
e
- 0 b
gikb
1
Q&b
_p ikb pb 6
e
ta
k)e- eikc
iac
e-
i k c
Luego de y de func
ta
g y—ikc — t f c c g ioictc ac
i a
A l resolver< dividiendo ]
= o
iac
Sumándole a l a cuarta fila el resultado de m u l t i p l i c a r l a tercera fila por ik se obtiene: 1
Restando columna 4 < de las
e
i a c
g •—ikc — i * c o g —iac
-iae~ e ikc
que es l a >
341
Teniendo en cuenta que a = b + c, a l m u l t i p l i c a r las filas 3 y 4 por e se llega a: 1
1
l
1
P
~P
ta
—ta
l k b
= 0 e
- 0
-ika
b
_pePi>
p -(3b e
piac
^ — ika
i e~ e a
ika
Q—ictc
-i e~
iac
a
e~
ika
iac
A l sumar las columnas 1 y 2 y las columnas 3 y 4, el resultado es 1
2
p
0
1
2
ta
0 0
g—f3b
^e-^
Q — ika Q^
g ~ i k a ^giac
iae- e
¿ae- * (e
ac
p(e- e ) 0b
6
0b
ika
iac
i
g —tacj
a
i o c
-e- ' ) i a
:
Restando ahora la columna 2 d i v i d i d a p o r 2 de l a columna 1, y l a c o l u m n a 4 d i v i d i d a p o r 2 de la columna 3; y recordando las definiciones de las funciones hiperbólicas y trigonométricas se obtiene finalmente. 0
1
0
P
0
ta
-senh/36
cosh/36
cosh/36
ie~'
ka
senh/36
o —ika
sen a c
tae
cosac
— aC
sen a c
l k a
A l resolver el determinante por la cuarta fila por el método de menores d i v i d i e n d o p o r i, se obtiene el siguiente resultado: + p cosh pb[a e o s a c e ~
l k a
+ /3senh pb [ /3 sen ac e~
ika
+ a eos ac e~
ika
+ a sen ac e~
tka
- a cosh/36] + asenh /3b ]
ika" ] [ f3 cosh /3b - ¡3 eos ac e~ lka
[ /Ssenh pb - p sen ac e~
lka
] = 0
Luego de u n poco de aritmética empleando identidades trigonométricas y de funciones hiperbólicas, se llega a: cos(A;a) =
P -a 2
2
2a/3
que es l a expresión buscada.
senh pb sen ac + cosh pb eos ac
Apéndice F
T a b l a periódica de los elementos E n la página siguiente se encuentra una t a b l a periódica elemental, adapt a d a de Phys, Rev. D: Particles a n d Fields 66 81 (2002). E n ella aparece la siguiente información: N ú m e r o atómico en la parte superior izquierda de cada casilla. Este es igual a l número de protones del núcleo. Símbolo d e l e l e m e n t o en la parte superior derecha. N o m b r e d e l e l e m e n t o en la parte central. M a s a atómica en l a parte inferior. U n número entre paréntesis significa que se t r a t a de l a masa del isótopo más estable o mejor conocido. L a t a b l a F.2 muestra l a configuración electrónica de los elementos.
343
344
A P É N D I C E F . T A B L A P E R I Ó D I C A D E LOS E L E M E N T O S
TAHA]
T A B L A F . l . Tabla periódica de los elementos.
1
H
Hidrógeno
IIA
1.00794 3
L¡
4
Be
Litio
Berilio
6.941
9.012182
11 N a
12
Sodio
Magnesio
22.989770
24.3050
19
K
Mg IIIB
IVB
VB
VIB
VIIIB
r
<
20 C a
21
Calcio
Escandio
Titanio
Vanadio
Cromo
Manganeso
Hierro
Cobalto
Níquel
39.0983
40.078
44.955910
47.867
50.9415
51.9961
54.938049
55.845
58.933200
58.69340
37
38
39
40
41
42
43
Rb
Sr
22
Y
Ti
V
Mo
Mn
26
Fe
27
Co
28
Ni
Te
44 R u
45 R h
46 P d
Estroncio
Itrio
Circonio
Niobio
Molibdeno
Tecnecio
Rutenio
Rodio
Paladio
85.4678
87.62
88.90585
91.224
92.90638
95.94
(97.907215)
101.07
102.90550
106.42
55 C s
56 B a
75
76
77
78
Cesio
Bario
132.90545
137.327
87
88 R a
Fr
Francio
Radio
(223.019731)
(226.025402)
Lantanidos
Nb
25
Rubidio
57-71
Zr
23
Cr
>
Potasio
Se
24
T
VIIB
72 H f
73 T a
74
Hafnio
Tantalio
Tungsteno
W
Renio
Osmio
Iridio
Platino
178.49
180.9479
183.84
186.207
190.23
192.217
195.078
109 Mt
110
Re
Os
Ir
29
47 % Ptat» 1S7J
Pt
79 /
Om 19
104 R f
105 D b
106 S g
107 B h
108
Rutherford
Dubnium
Seaborg.
Bohrium
Hassium
Meitner.
(261.1089)
(262.1144)
(263.1186)
(262.1231)
(265.1306)
(266.1378)
(269.273)
57 L a
58 C e
59
60
61 P m
62 S m
63
64 G d
Lantano
Cerio
Praseodimio
Neodimio
Prometió
Samario
Europio
Gadolinio
138.9055
140.116
140.90765
144.24
(144.912745)
150.36
151.964
157.25
90 T h
91 P a
92
93
94 P u
95
96
Torio
Protactinic
Uranio
Neptunio
Plutonio
Americio
Curio
232.0381
231.03588
238.0289
(237.048166)
(244.064197)
(243.061372)
(247.0703469)
89-103 Actfnidos
Hs
Cm
(272J Lantanidos
1 89 Actínidos
Ac
1
Actinio | (227.027747)
Pr
Nd
U
1 1
Np
Eu
Am
65 Tfc
1S 1
Cm
1
T A B L A F . l . Tabla periódica de los elementos (continuación). VINA 2 MIA
IVA
VA
VIA
VIIA
He
Helio 4.002602
5
B
Boro
IB
IIB
6
C
7
N
8
O
9
F
Nitrógeno
Oxígeno
Flúor
10.811
12.0107
14.00674
15.9994
16.9984032
13
14
15
16
17
Al
Si
Aluminio
Silicio
P
S
Fósforo
Azufre
10
Ne
Neón
Carbono
Cl
20.1797 18
Ar
Cloro
Argón
26.981538
28.0855
30.973761
32.066
35.4527
39.948
31 G a
32
33
34
35
36 K r
Zinc
Galio
Germanio
Arsénico
Selenio
Bromo
Kriptón
63.546
65.39
69.723
72.61
74.92160
78.96
79.904
83.80
47
48 C d
49
50 S n
51
52
53
54
Cadmio
Indio
Estaño
Antimonio
107.8682
112.411
114.818
118.710
79
80
81
82
29 C u
30
Cobre
Ag
Plata
Au
Zn
Hg
In
TI
Ge
Pb
As
Sb
Se
Te
Br
1
Xe
Teluro
Yodo
121.760
127.60
126.90447
131.29
83 Bi
84
85
86 R n
Po
Xenón
At
Oro
Mercurio
Talio
Plomo
Bismuto
Polonio
Ástato
Radón
196.96655
200.59
204.3833
207.2
208.98038
(208.982415)
(209.987131)
(222.017570)
111
112
(272)
(277)
65
66
67
68
69
70
71
Tb
Dy
Ho
Er
Tm
Yb
Lu
Terbio
Disprosio
Holmio
Erbio
Tulio
Iterbio
Lutecio
158.92534
162.50
164.93032
167.26
168.93421
173.04
174.967
97
98
99
100 F m
101 Md
102 No
103 L r
Berkelio
Californio
Einstenio
Fermio
Mendelevio
Nobelio
Lawrencio
(247.070298)
(251.079579)
(252.08297)
(257.095096)
(258.098427)
(259.1011)
(262.1096)
Bk
Cf
Es
346
A P É N D I C E F. T A B L A P E R I Ó D I C A D E L O S E L E M E N T O S
T A B L A F . 2 . Estructura electrónica de los elementos. N.A.
Símbolo
1
H
2
He
X.A. is
Configuración
53
I
(Kr)4d
54
Xe
(KrHdiOSí'Sp
Ss* 5 p
10
3
Li
55
Cs
(Xe)6>
4
Be
CHe)^
56
Ba
(Xe)6s
5
B
(He)2^2p
57
La
(Xe)5d6s
6
c
(He)2í 2p>
58
Ce
( X e ) 4 / 5d6s
7
N
(He)2s 2P
59
Pr
(Xe)4/ 6s
2
8
o
(He)2s 2 p
4
9
F
(He)2s 2 p
5
10
Ne
(He)2s 2 p
6
¡
2
3
2
2
2
2
11
Na
(Ne)3s
12
Mg
(Ne)3s
13
Al
(Ne)3a 3p
2
2
14
Si
(Ne)3s 3p
2
15
P
(Ne)3s 3 p
3
16
S
(Ne)3s 3 p
4
17
Cl
(Ne)3s 3 p
6
18
Ar
(Ne)3s 3 p
6
19
K
(Ar)4s
20
Ca
(Ar)4¿
21
Se
(Ar)3d4s
2
2
2
2
2
2
2
22
Ti
(Ar)3d 4 j
2
23
V
( A r ) 3 d 4J
2
24
Cr
( A r ) 3 d 4s
25
Mu
(Ar)3d 4s
2
3
5
s
2
5
6
Apéi
2
2
3
60
Nd
(Xe)4/ 6s
2
61
Pm
(Xe)4/ 6s
2
62
Sm
(Xe)4/ 6s
4
5
6
2
Co
2
63
Eu
(Xe)4/ 6s
64
Gd
(Xe)4/ 5d6s
65
Tb
(Xe)4/ 6s
7
2
7
9
2
2
66
Dy
(Xe)4/'°6s
67
Ho
(Xe)4/
68
Er
(Xe)4/
69
Tm
(Xe)4/ 6s
2
2
2
U
6s
2
1 2
6s
2
1 3
TABLA
70
Yb
(Xe)4/ 6s
71
Lu
(Xe)4/
1 4
72
Hf
(Xe)4/
1 4
5d 6s
2
73
Ta
(Xe)4/
1 4
5d 6s 3
2
74
W
(Xe)4/
1 4
5 d 6s
2
75
Re
( X e ) 4 / 5 d 6s
2
76
Os
(Xe)4/
2
77
Ir
(Xe)4/ 5d 6i
1 4
5d6í
1 4
2
2
4
1 4
5
ód 6s 6
1 4
7
Co: Númenu Veloddai Con Con Stebm Constad de Wk
2
26
Fe
(Ar)3d«4s
2
78
Pt
(Xe)4/ 5d 6s
27
Co
(Ar)3d 4s
2
79
Au
(Xe)4/
28
Ni
(Ar)3d 4j
2
80
Hg
(Xe)4/ 5d 6s
2
29
Cu
(Ar)3d 4s
81
TI
(Xe)4/
1 4
5d
2
30
Zn
(Ar)3d
10
4s
2
82
Pb
(Xe)4/
1 4
5d 65 6p
2
31
Ga
(Ar)3d
10
4s 4p
83
Bi
(Xe)4/
1 4
5d
3
10
4s 4 p
7
8
10
2
32
Ge
(Ar)3d
33
As
(Ar)3d 4s 4p
34
Se
(Ar)3d
10
35
Br
(Ar)3d
10
36
Kr
(Ar)3d 4s 4p
37
Rb
(Kr)5s
38
Sr
(Kr)5s
39
Y
(Kr)4d5s
40
Zr
( K r ) 4 d 5s
41
Nb
42
Mo
43
Te
( K r ) 4 d 5s
44
Ru
( K r ) 4 d 5s
45
Rh
46 47
1 4
1 4
9
5d
1 4
6s
1 0
1 0
P
6J 6p
1 0
1(,
2
6s 6 p
1 0
2
P
84
Po
(Xe)4/ 5d 6s 6p
85
At
(Xe)4/
1 4
5d
1 0
6s 6p
s
4s 4p"
86
Rn
(Xe)4/
1 4
5d
1 0
6s 6 p
6
4s 4p
87
Fr
(Rn)7s
88
Ra
(Rn)7s
89
Ac
(Rn)6d7s
90
Th
(Rn)6d 7s
91
Pa
( R n ) 5 / 6d7s
2
92
U
( R n ) 5 / 6 d 7s
2
( K r ) 4 d 5s
93
Np
(Rn)5/ 6d7s
( K r ) 4 d 5s
94
Pu
( R n ) 5 / 7s
95
Am
(Rn)5/
96
Cm
( R n ) 5 / 6 d 7s
( K r ) 4 d 5s
97
Bk
( R n ) 5 / 7s
Pd
(Kr)4d
10
98
Cf
(Rn)5/
Ag
(Kr)4d
10
5s
99
Es
(Rn)5/
48
Cd
(Kr)4d
10
5s
100
Fm
(Rn)5/
101
Md
102
No
103
Lr
104
Rf
2
1 0
2
2
3
2
2
1 0
2
5
6
2
2
2
2
4
s
5
2
7
8
2
49
In
(Kr)4d
10
5s 5p
50
Sn
(Kr)4d
10
5s 5p
2
51
Sb
(Kr)4d
10
5s 5 p
3
52
Te
(Kr)4d
10
5s 5p
4
2
2
2
2
1 4
1 0
2
2
2
2
2
3
4
6
2
7
7s
2
7
9
1 0
2
2
2
7s
2
n
7s
2
1 2
7s
2
(Rn)5/
1 3
7s
2
(Rn)5/
1 4
7s
2
(Rn)5/
1 4
7s 7p?
(Rn)5/
1 4
2
6 d 7s ? 2
2
Con Constaste
4
2
2
2
G.l-
ety, Julio para
Coi Radio de Magnetos Carga dd Masa dd Masa dd Masa dd Razón de del Razón de a la na Energía d en Vol a
Apéndice G
C o n s t a n t e s físicas
T A B L A G . l . Tomado de -.Physical Review D, 66, The American Physical Society, Julio 2002. Conjunto completo de constantes recomendadas por CODATA para uso internacional, en h t t p : / / p h y s i c s . n i s t . g o v / c o n s t a n t s . Constante
Símbolo
Valor
Número de Avogadro
NA
6.02214199 x 1 0
23
Velocidad de l a luz
c
2.99792458 x 10
8
Constante de B o l t z m a n n
k
1.3806503 x 1 0 '
2 3
a
5.670400 x 10~ W/(m
B
1/mol m/s J/K
Constante de Stefan B o l t z m a n n
K*)
2
8
Constante de desplazamiento de W i e n
2.8977686 x 1 0 - m i í " 3
P e r m i t i v i d a d del vacío
e„
8.854187817... x 1 0 ~
Permeabilidad del vacío
H
4TT x l O "
0
7
12
N¡A
2
Constante gravitacional
G
6.672 x 1 0 - m / ( / c s )
Constante de P l a n c k
h
6.62606876 x 1 0 "
h
1.054571596 x 1 0 "
Constante de R y d b e r g
R„
1.09737 x l O ™ -
R a d i o de B o h r
a
0.5291772083 x 1 0 -
Magnetón de B o h r
H„
9.27401 x l O "
1 I
3
5
7
0
2 4
3 4
2
Js 3 4
J s
1
1 0
m
J/T
C a r g a del electrón
e
1.602176462 x 1 0 -
M a s a del electrón (en reposo)
m„
9.10938188 x l O "
3 1
kg
M a s a del protón (en reposo)
m„
1.67262158 x l O "
2 7
kg
M a s a del neutrón (en reposo)
m,
1.6748 x 1 0 "
2 7
e/m
1.75882 x 1 0
11
m /rric
1836.15
1 9
C
kg
Razón de l a carga a l a m a s a del electrón
c
C/kg
Razón de l a m a s a del protón a l a m a s a del electrón
p
Energía del electrón 0.510998992 MeV
en reposo V o l u m e n de u n gas ideal
22.414 x 1 0 "
a condiciones normales
3
m /mol 3
3.142592653589793238
TT
347
C /{Nm ) 2
2
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cadena bia cadena lineal i camino libre i capa her captura el catástrofe ciclo de Bethe,! ciclo de C r coeficiente de ¡ coeficiente de i 122 condición de'. conducción conductividad« configuración < constante de < constante de t constante de» constante de i constante de i constante de corriente de ¡
I n d i c e de M a t e r i a s a c t i v i d a d , 244 adición de velocidades
corrimiento de C o m p t o n , 72 cristal molecular, 293 cuantización de la energía, 55 cuantización del espacio, 209 cuerpo negro, 47
regla clásica, 4 a m p l i t u d de oscilación del electrón, 66 ángulo de dispersión, 97 átomos hidrogenoides, 103
densidad de p r o b a b i l i d a d , 147 densidad de p r o b a b i l i d a d r a d i a l ,
banda de conducción, 305 banda de valencia, 305 bandas de energía, 304 brecha de energía p r o h i b i d a , 306
199 diagrama de Moseley, 121 dislocación de arista, 289 dislocación helicoidal, 289 dispersión T h o m s o n , 77 doblete, 218
cadena biatómica, 313 cadena lineal monoatómica, 311 camino libre medio, 299 capa hemirreductora, 122 c a p t u r a electrónica, 255 catástrofe u l t r a v i o l e t a , 52 ciclo de Bethe, 262 ciclo de C r i t c h f i e l d , 262 coeficiente de absorción, 122 coeficiente de absorción másico, 122
ecuación de Schródinger independiente del t i e m p o , 150 ecuación de onda electromagnética en el vacío, 6 ecuación diferencial de H e r m i t e , 327 ecuaciones de M a x w e l l en el vacío, 6 efecto c o m p t o n , 72 efecto túnel, 173 efecto Zeeman anómalo, 221 electrón, 92 energía de Fermi, 71 energía de ionización, 71 energía de enlace, 102, 231 energía de excitación, 102 energía de ionización, 102 energía de p u n t o cero, 184 energía u m b r a l , 252
condición de Bragg, 282 conducción iónica, 291 c o n d u c t i v i d a d eléctrica, 297, 2 9 8 configuración electrónica, 346 constante de apantallamiento, 121 constante de desintegración, 244 constante de estructura fina, 222 constante de Planck, 53 constante de red, 283 constante de R y d b e r g , 89 corriente de saturación, 64 353
354
ÍNDICE DE MATERIAS
enlaces covalentes, 271 enlaces cristalinos. 290 enlaces iónicos. 271 enlaces moleculares. 271 equilibrio radiactivo. 246 espectrógrafo de masa. 238 espectrómetro de masa. 238 espectro característico, 116 espectro de bandas, 86 espectro de radiación electromagnética, 44 espectros de absorción, 86 espectros de emisión, 86 espectros discretos, 85 espectroscopia, 85 estado base, 101 estados estacionarios, 99 estados excitados, 101 estructura fina, 90, 218 éter, 5 evento físico, 3 fonones ópticos, 315 fonones acústicos, 315 fotocorriente, 62 fotoelectrones, 62 fotofisión, 258 frecuencia u m b r a l , 63 función de onda, 146 función de t r a b a j o , 67 función propia, 152 función t r a b a j o , 71 funciones asociadas de Laguerre, 332 hamiltoniano, 151 imperfecciones cristalinas, 288 índices de M i l l e r , 280 interacción spin-órbita, 222 isótopos, 92 líneas de Fraunhofer, 84 ley de O h m , 296, 297
l o n g i t u d de onda C o m p t o n , 76 l o n g i t u d de onda de De Broglie, 131 magnetón de B o h r , 214 marco de referencia, 2 marco inercial de referencia, 2 masa efectiva, 298 materiales fotoconductores, 308 modelo de l a gota líquida, 258 momento angular o r b i t a l , 208 movimiento, 2 núcleo radiactivo, 234 núcleos isóbaros, 235 núcleos isótonos, 236 número atómico, 96, 227 número cuántico, 166 número de masa, 229 nucleones, 229 onda de materia, 131 orden de difracción, 284 paquete de ondas, 138 parámetro de i m p a c t o , 97 polinomios asociados de Legendre, 330 Polinomios de H e r m i t e , 182 polinomios de Laguerre, 335 polinomios de Legendre, 330 potencial de contacto, 71 p r i m e r postulado, 152 p r i m e r a ley de N e w t o n , 2 p r i n c i p i o clásico de r e l a t i v i d a d , 5 p r i n c i p i o de exclusión de P a u l i , 220 principios de i n c e r t i d u m b r e , 137 protones, 96 p u n t o clásico de retorno, 172 p u n t o de equilibrio, 172 q u a n t u m de energía, 55
radiación de fre radiación térmica, r a d i a c t i v i d a d , 92. radiancia, 50 radio de Bohr. 1" r a m a óptica, 314 r a m a acústica. 3 rayos catódicos, rayos X , 114 reacción en reacción endot reacción exotéi redes de B r relación de resistencia ele resistividad, 296 sólidos sólidos sólidos sólidos
amorfos. criste crist cristalina» 271
segunda ley de segundo posti semimetales. 309 serie K, 118 serie e s p e c t r a l t a b l a periódica, teorema de B I transformacic transuránidos. t r i p l e t e de u n i d a d de masa. valor p r o p i o . 151 velocidad de velocidad de velocidad de velocidad de l a v i d a media. 244 v i d a promedio, voltaje de
ÍNDICE D E MATERIAS
radiación de frenado, 116 radiación térmica, 47 r a d i a c t i v i d a d , 92, 234 radiancia, 50 radio de B o h r , 100 r a m a óptica, 314 r a m a acústica, 314 rayos catódicos, 91 rayos X , 114 reacción en cadena, 260 reacción endotérmica, 252 reacción exotérmica, 252 redes de Bravais, 274 relación de dispersión, 312 resistencia eléctrica, 296 resistividad, 296 sólidos sólidos sólidos sólidos
amorfos, 270 cristalinos, 270 cristalinos metálicos, 271 cristalinos no metálicos, 271 segunda ley de N e w t o n , 2 segundo postulado, 154 semimetales, 309 serie K, 118 serie espectral, 89 t a b l a periódica, 344 teorema de B l o c h , 300 transformaciones de Galileo, 4 transuránidos, 256 t r i p l e t e de Lorentz, 212 u n i d a d de masa atómica, 230 valor p r o p i o , 152 velocidad de arrastre, 298 velocidad de fase, 130 velocidad de g r u p o , 130 velocidad de l a luz, 6 v i d a media, 244 v i d a promedio, 244 voltaje de frenado, 63
355
Este libro se termino de imprimir en marzo de 2003 en la Universidad Nacional de Colombia, UNIBIBLOS Correo electrónico: [email protected]
