1
INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA GUIÓN HISTÓRICO La palabra estadística procede del vocablo “estado” pues era función principal de los gobiernos establecer de los estados establecer registros de población, nacimientos, defunciones, etc. Hoy en día la mayoría de las personas entienden por estadística al conjunto de datos, tablas, gráficos, que suelen publicar en los periódicos.
VARIABLE Característica que puede tomar diferentes valores. Generalmente se simbolizan con las últimas letras del alfabeto X, Y, Z, etc. Si la variable toma solamente un valor, se llama constante. Una variable que teóricamente puede tomar cualquier valor entre dos valores dados, se llama variable continua, si no es así se llama variable discreta. Como ejemplo de variables continuas podemos mencionar la duración de los productos industriales, el peso, la talla, etc. Para discretas, el número de televisores en colores que se venden en un tiempo determinado; el número de construcciones escolares hechas en 1977; el número de cesáreas practicadas en el hospital de maternidad durante un tiempo determinado, etc. Una regla práctica para distinguir una variable discreta de una continua es: si son el resultado de medir, son variables continuas y si son el resultado de contar, son discretas.
Variable estadística: es el conjunto de valores que puede tomar el carácter estadístico cuantitativo (pues el cualitativo tiene «Modalidades»). Pueden ser: va-
riables independientes, variables dependientes La clasificación más importante de las variables es la siguiente:
Variables dependientes: Como su palabra lo dice, son características de la realidad que se ven determinadas o que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables independientes.
2
Variables independientes: Los cambios en los valores de este tipo de variables determinan cambios en los valores de otra (variable dependiente).
Así en el ejemplo de años de educación y salario, suponemos que al aumentar los años de educación correlativamente aumentan los salarios de las personas, de modo que “años de educación” es la variable independiente o explicativa, ya que ella me está explicando en cierta medida el cambio en el “salario” de las personas, el cual sería la variable dependiente.
CAUSA
EFECTO
Más años de educación
Gano un mejor salario
Variable Discreta: puede tomar un número finito de valores. Ejemplo: Número de hijos, número de pupitres de una aula.
Variable Continua: puede tomar todos los valores posibles dentro de un intervalo. Ejemplo: temperatura, altura.
Carácter estadístico: es la propiedad que permite clasificar a los individuos, puede haber de dos tipos:
Cuantitativos: son aquellos que se puede medir. Ejemplo: Número de hijos, altura, temperatura.
Cualitativos: son aquellos que no se pueden medir. Ejemplo: profesión, color de ojos, estado civil.
POBLACIÓN Conjunto complejo de individuos, objetos, o medidas que poseen alguna característica común observable. Ejemplo: Alumnos matriculados en el INS
MUESTRA
3
Es un subconjunto subconjunto o parte de la población, población, que lleva implícita implícita todas las caractecaracterísticas del universo. Ejemplo: Alumnos del primer año sección «C».
PARÁMETRO Cualquier característica de una población que sea medible por ejemplo, el salario de todos los obreros de la industria manufacturera; la proporción de personas que mueren de cáncer, etc.
ESTADÍSTICO Medida resultante del análisis de una muestra. Por ejemplo, el salario promedio de los obreros de la industria manufacturera, calculado a partir de una muestra; la proporción de personas que mueren de cáncer, calculada a partir de una muestra tomada de la población de personas que fallecen.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La estadística descriptiva estudia el mundo real; narra una realidad; trata con datos numéricos concretos que sirven de base al proceso estadístico de descripción; para esto se vale de la recolección, presentación, tabulación y análisis de estos datos. De acuerdo a lo anterior, quiere decir que hablar de estadística descriptiva nos estamos refiriendo refiriendo al análisis de un fenómeno fenómeno colectivo. colectivo. Es decir, que al calcular los valores del fenómeno o variable variable en estudio: estudio: medidas de tendencia tendencia central, medidas de dispersión, etc., estas medidas describen el fenómeno completamente.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL La estadística inferencial, toma como base la realidad existente, a través de una parte de la población (muestra), para poder predecir o estimar lo que está ocurriendo en toda la población. Esta es la parte de la estadística más interesante, ya que con el auxilio de la teoría de la probabilidad, se desarrollan una cantidad de modelos matemáticos, cuyo papel es fotografiar la realidad y luego a través de
4
ellos, poder hacer estimaciones y proyecciones, de gran utilidad para los investigadores, para la toma de decisiones en cualquier actividad del hombre, que sea susceptible de observarse y medirse. Se dice inferencial, porque a través de una pequeña parte representativa del universo se infiere lo que está ocurriendo. La mayor importancia de la inferencia estadística, además de la señalada, radica en la economía de tiempo, tiempo, dinero y trabajo en cualquier tipo tipo de estudio. Imagínese Imagínese usted el tiempo, el costo y el trabajo que se llevaría un médico investigador al querer estudiar la relación entre el consumo de cigarrillos y las enfermedades del corazón, investigando todos los fumadores de un país.
ESCALAS DE MEDIDA Las escalas de medida constituyen una metodología o convención para medir distintas magnitudes. Las escalas de medida, se dividen en cuatro: Nominal, Ordinal, De Intervalo y de Razón. Las operaciones matemáticas aplicadas a la estadística, dependen del nivel de medición. Estos niveles de medición generan datos, los cuales pueden ser: a) Cualit Cualitati ativos vos o no métri métricos cos,, y b) Cuanti Cuantitat tativo ivoss o métric métricos. os. Los no métricos pueden ser: atributos, características y propiedades categóricas que se usan para identificar y describir a un conjunto de cosas o sujetos. Las métricas, se usan para medir o determinar las posibles diferencias en el desempeño de los sujetos, en cantidad y grado. Las cantidades medidas métricamente acusan la cantidad y distancia relativa; mientras que las variables medidas en escalas no métricas, no señalan distancias relativas. Los datos no métricos, se miden en escalas de medición Nominal y Ordinal; y los datos métricos se miden miden en escalas de Intervalo y de Razón.. Razón..
5
En la siguiente figura, se resume la naturaleza den los distintos datos: Escala Nominal
Cualitativas no métricas
Escala Ordinal
Datos Escala de I nterva ntervalo lo Cuantitaivas métricos Escala de Razón
ESCALA NOMINAL Consiste en asignar números a los objetos, sujetos u observaciones para su clasificación. Los datos que contienen, sólo son frecuencias de ocurrencia en cada clase
6
o categoría de la variable sujeta a estudio. Sólo son indicadores de presencia o ausencia de las características en estudio. Cuando se hace uso de la escala nominal para describir alguna propiedad de los objetos no se tiene en cuenta la magnitud con que dicha propiedad es poseída por cada una de las categorías. Por ejemplo utilizaremos una escala nominal al clasificar un grupo de personas de acuerdo a la variable sexo en: masculino y femenino, o de acuerdo a la religión a que pertenece en: católico, evangélico, mormón, testigos de Jehová, otras.
ESCALA ORDINAL Estas escalas de medida tienen las características de la escala nominal, más un indicador de orden. Con la escala ordinal, al tener en cuenta la magnitud con que es poseída la caracterís característica tica objeto de medida, medida, se incremen incrementa ta el análisis análisis de dicha característica poblacional. Por lo tanto al usar escalas ordinales, no sólo nos interesa saber si dos sujetos – en relación con un atributo – son o no idénticos, sino conocer si uno es inferior o superior que el otro. Por ejemplo, utilizamos una escala ordinal al clasificar a un grupo de personas de acuerdo a la variable nivel socioeconómico en: alto, medio-alto, medio, medio-medio y bajo.
ESCALA DE INTERVALO Estas escalas tienen las características de las anteriores, y además las distancias relativas; por tanto no sólo interesa conocer si un elemento es superior, igual o inferior a otro en relación con una propiedad, sino también en qué medida; es decir, que la distancia entre 40 y 50, es la misma que entre 80 y 90. Esta escala requiere la medida de la diferencia diferencia entre entre pares de elementos; elementos; es decir, decir, requier requiere e información sobre la amplitud de la diferencia entre elementos, lo cual se consigue mediante el establecimiento de una unidad común de medición. Por ejemplo, es posible que el sujeto A es 10 libras más pesado que el sujeto B. De este modo se puede tomar medidas de las posiciones relativas de los elementos dentro de la
7
escala y efectuar operaciones matemáticas con las diferencias obtenidas. Todas las variables continuas se pueden medir en escalas de intervalo, por ejemplo: calificaciones, pesos, ingresos, etc.
ESCALAS DE RAZÓN O ESCALAS DE PROPORCIÓN Esta escala constituye el nivel más alto de medición; contiene las características de una escala de intervalo, con la ventaja adicional de poseer el cero absoluto; es decir, casos que en verdad se da una situación de cero como ausencia total de una característica; por ejemplo en las variables: peso, talla, número de personas con SIDA en una zona determinada, se da el cero absoluto, ya que su peso de cero, realmente significa total ausencia de esta característica; lo mismo sucede con la talla y el número de personas con SIDA. Sin una variable permite o se da el cero absoluto, esto permite determinar la proporción o razón conocida de dos valores de la escala. Por esta propiedad de la escala, se puede establecer razones tales como se dan en la variable peso, en la cual se dice que un peso de 80 libras es el doble que uno de 40 libras, o un peso de 60 libras, es 3 veces mayor que uno de 20 libras. Contrario a ésto, las variables inteligencia y temperatura, entre otras, son ejemplos ejemplos que utilizan utilizan escalas de intervalo, intervalo, debido a que el punto cero es arbitrario; tomando el caso de la temperatura, se puede decir que el cero no representa la ausencia de calor (recuerde que hay temperaturas bajo cero); sin embargo, embargo, la distancia distancia entre cualesquiera cualesquiera dos puntos de la escala es igual, igual, o sea, que el cambio de temperatura entre 38 y 39 grados centígrados es igual al cambio de entre 40 y 41 grados centígrado. Puede notarse, entonces, que en esta escala la temperatura, no se puede obtener razones o proporciones; es decir no se puede decir que 30°C sea el doble de 15°C. La siguiente figura presenta un resumen de las cuatro escalas de medida:
8
Nominal
Asigna casos a categorías
Ordinal
Permite ordenar los datos por rangos
De Interv Intervalo alo
Ubica los datos en una escala numérica continua, en la cual los intervalos entre los puntos son iguales.
De Razón
Es igual que la de intervalo, pero tiene un cero absoluto.
Datos
CONJUNCIÓN DE LAS ESCALAS DE MEDIDA De acuerdo a lo descrito sobre las características de los cuatro tipos de escalas, se pueden representar con la siguiente figura:
ESCALA DE RAZÓN RAZÓN ESCALA DE INTERVALO ESCALA ORDINAL ESCALA NOMINAL
EJERCICIOS RESUELTOS RESUELTOS
9
1)
Suponga que usted desea ser accionista de una fábrica de camisas para hombres adultos, cuyo mercado sea el área centroamericana. La fábrica está en proceso de montarse, y se están haciendo los estudios de factibilidad; entre otros problemas, está el determinar las cantidades adecuadas de producción de camisas para hombres adultos de acuerdo con las diversas medidas. Se pregunta:
a) ¿Cuál es es la variable variable importante importante a estudiar estudiar?? b) ¿Cuál ¿Cuál sería sería su su poblaci población? ón? c) ¿Será esta población población finita finita o infinita infinita?? d) Para bajar los costos costos de esta investigac investigación ión qué decisión decisión tomaría tomaría e) ¿Será la la variable variable a estudiar estudiar continua continua o discre discreta? ta? f) ¿En qué qué caso caso estarí estaría a manejan manejando do paráme parámetro tros? s? g) ¿En qué caso caso estaría estaría manejando manejando estadís estadístico ticos? s? 2) Indique si los enunciados siguientes representan una constante o una variable? a) El número número de personas que asisten asisten a los cines ocho domingos domingos consecut consecutivos ivos b) La edad edad mínima mínima para para votar por por primera primera vez vez c) La edad de los graduados graduados en en medicina medicina de una determi determinada nada universid universidad. ad. d) Las calificacio calificaciones nes obtenidas obtenidas en matemáticas, matemáticas, por un grupo de estudiantes. estudiantes. e) El número número de de días del del mes mes de febrer febrero. o. 3) De los siguientes enunciados, ¿cuál necesita el empleo de la estadística descriptiva y cuál el de la inferencial estadística? a)
Un profesor-investigador estudia el efecto que provoca el método de enseñanza personalizada sobre el rendimiento de los estudiantes.
b)
Un médico-investigador estudia la relación entre el consumo de alcohol y las enfermedades del hígado.
c) Un economista economista registr registra a el crecimient crecimiento o de la industria de la construcci construcción ón en un país determinado. d) El entrenador entrenador de un equipo equipo de fútbol, fútbol, desea desea establecer establecer el promedi promedio o de goles de su equipo en un tiempo determinado.
10
e) Usted Usted desea conocer conocer la la tasa de analfabet analfabetismo ismo de su país 4) Indique si las siguientes variables son continuas o discretas. a) El número número de billetes billetes de $5 que que circulan circulan en el país. país. b) El peso de los jugadore jugadoress de un equipo equipo de basketbol basketbol.. c) El tiempo tiempo que tarda tarda en resolver resolver un examen examen de matemá matemática. tica. d) El número número de temblores temblores que ha registrado el el sismógrafo durante 1977. e) El coeficiente coeficiente de inteligencia inteligencia de los niños en edad escolar. escolar.
Respuestas: Ejercicio N°1: a) La medida medida del cuello de de los hombres hombres adultos adultos.. b) La medida del cuello de los hombres hombres adultos del área centroamericana. centroamericana. c) Es població población n finita, finita, aunque sea grande. grande. d) Hacer Hacer el estudio utilizand utilizando o las técnicas técnicas del muestreo muestreo.. e) La vari variabl able e es conti continua nua.. f) Las medida medidass serían serían parámetros parámetros en el caso de trabajar trabajar con toda toda la población. g) En el caso caso de trabaja trabajarr a base de de muestre muestreo. o. Ejercicio N° 2: a) Varia ariabl ble. e. b) Co Cons nsta tant nte. e. c) Varia ariabl ble. e. d) Varia ariabl ble. e. e) Co Cons nsta tant nte. e. Ejercicio N° 3: a) Infer Inferenc encia ia estadíst estadística ica.. b) Infer Inferenc encia ia estadísti estadística. ca. c) Infer Inferenc encia ia estad estadíst ística ica.. d) Estadí Estadísti stica ca descripti descriptiva. va.
11
e) Infer Inferenc encia ia estadíst estadística ica.. Ejercicio N° 4: a) Disc Discre reta ta.. b) Co Cont ntin inua ua.. c) Conti ontinu nua. a. d) Disc Discre reta ta.. e) Co Cont ntin inua ua.. 6) ¿Qué escala escala de medida medida se ha usado usado cuando el atributo “profesiones académicas”, se clasifica clasifica de la siguiente manera? Economistas, ingenieros, ingenieros, médicos, psicólogos, sociólogos, otros. Respuesta: Respuesta: Escala nominal. 7) ¿Qué escala de medida se ha usado cuando la situación socio-económica se clasifica así?: Exelente, muy buena, Buena, regular y Mala. Respuesta: Respuesta: Escala ordinal. 8) ¿Qué escala de medida se ha usado cuando los ingresos de cinco personas se presenta así? : nombres
Ingresos
Pedro Martínez
$ 80 800
German Mira
$ 1200
Jorge Villamariona
$ 1600
Oscar Morales Daniel
$ 2000
Rivas
$ 2400
Respuesta Respuesta : Escala de intervalo. 9) Si se tiene dos sacos de naranjas: el primer saco pesa 75 kilogramos y el segundo pesa 25 kilogramos, kilogramos, nos interesa saber en qué proporción proporción están los pesos de ambos sacos de naranja; de acuerdo a esta situación, ¿qué escala de medida estaría manejando? : Respuesta Respuesta : Escala de razón.
12
10) A continuación se presenta el siguiente evento: se aplica un examen de admisión a un grupo de 80 personas. Primera situación: se da como tiempo máximo para resolver el examen 60 minutos. Los resultados se presentan así: los que terminaron el examen en el tiempo establecido y los que no lo terminaron en ese tiempo. Segunda situación: se clasifica a las personas jerarquizándolas de acuerdo a quien terminó primero, quién el segundo y sucesivamente otros. Tercera situación: Después de calificar el examen, las personas se clasificaron por los puntajes obtenidos, por ejemplo uno de ellos obtuvo 100 puntos, otro 80 puntos, etc. Cuarta situación: se clasifica a las personas de acuerdo al tiempo que tardan en resolver el examen; por ejemplo los que tardaron 15 minutos, los que tardaron 30 minutos, otros que lo hicieron en 45 minutos; es decir, los primeros emplearon un cuarto de tiempo establecido (60/15=4); los segundos el doble de tiempo que los primeros (30/15=2), etc. Determinar las escalas de medidas usadas en las cuatro situaciones. Respuesta Respuesta :
Primera situación : Segunda si situación:
Escala nominal
Escala or ordinal
Tercera situación:Escala de intervalo Cuarta situación: Escala de razón
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1-
Establezca la diferencia entre estadística descriptiva y estadística inferencial. Ponga ejemplos:
R/ La diferencia fundamental estriba en que la descriptiva describe la característica principal de los datos reunidos, mientras que la inferencial, extrae conclusiones útiles sobre la totalidad de las observaciones posibles en la información recabada. Ejemplo: Un maestro desea analizar el rendimiento escolar de los alumnos de su curso (Descriptiva). El Ministerio de Educación desea conocer como anda la enseñanza de matemática moderna en los novenos grados gr ados del sistema educativo del país (inferencial)
13
2-
Comente la siguiente aseveración: “La estadística se ocupa siempre de los fenómenos colectivos y nunca de una observación individual”.
R/ El método estadístico solo funciona con fenómenos colectivos, el dato individual, en forma aislada, no le interesa. 3- Escriba cinco ejemplos de variables continuas y cinco de variables discretas. R/ Variables continuas; notas de un examen, peso, estatura, volumen de esferas presión atmosférica. Variables discretas: número de balas disparadas varios combate, en varios combates, número de pupitres de las aulas de una escuela; clasificación de tareas escolares por el número de errores errores de ortografía, clasificación de producto por el número de defectos, clasificación de equipos de fútbol por el número de goles que llevan a su favor en una temporada determinada. 4- Escriba Escriba cinco ejemplos ejemplos de poblaciones poblaciones infinitas infinitas y cinco de poblaciones poblaciones finitas. R/ INFINITAS: A) La cantidad cantidad de arena arena que hay hay en el mar mar.. B) El numero numero de estrellas estrellas que hay hay en el cielo. cielo. C) Cantidad Cantidad de árboles árboles que hay hay en el mundo mundo D) La cantidad cantidad de agua que hay en en el mar. mar. E) Cuantas Cuantas vueltas vueltas da la hélice hélice de un ventilador ventilador por un día. FINITAS: A) El número número de alumnos alumnos en en una instituc institución. ión. B) La cantidad cantidad de autos que transitan transitan en determinada determinada ciudad. ciudad. C) La cantidad cantidad de escuelas escuelas en el departamento departamento de Cabañas. Cabañas. D) La cantidad de teléfonos públicos que hay en la ciudad. E) La cantidad cantidad de personas personas afiliadas afiliadas al al ISSS.
14
5- Defina Defina la población, identifi identifique que la unidad elemental elemental y las variables variables o caracteríscaracterísticas a ser observadas en los siguientes problemas: a) Decidir Decidir las primas del INPEP INPEP.. R/ Población: todas las primas de los asociados al INPEP. Unidad elemental: cada una de las primas. pr imas. Variables Variables o características; ingreso de los asociados. b) Determin Determinar ar la política política de la reforma reforma agraria de un gobierno. gobierno. R/ Población: todas las haciendas o propiedades del país. Unidad elemental: cada una de las haciendas o propiedades. c) Determin Determinar ar si un dado está cargado cargado (es (es decir si no es homogéne homogéneo) o) R/ Población: Todas las tiradas que se hagan del dado. Variable o característica: condición del dado, bueno o defectuoso. d) Decidir Decidir si aceptar aceptar o rechazar un pedido pedido de maquinas maquinas calculadoras. calculadoras. R/ Población: El pedido de máquinas. Unidad elemental: Cada una de las máquinas calculadora. Variable o característica: Si las calculadoras están buenas o malas. e) Decidir Decidir si la Universidad Universidad de El Salvador Salvador aumentará aumentará las cuotas de colegiatu colegiatura ra el próximo año. R/ Población: todos los estudiantes matriculados en la universidad. Unidad elemental: cada alumno de la universidad. Variable o característica; ingreso de los estudiantes matriculados en la universidad. 6- Establezca la diferencia diferencia entre parámetro y estadístico. Ponga ejemplos. R/ Si la medida estadística es calculada calculada en toda la población, ésta recibe el nombre de parámetro; es decir, el parámetro se ocupa para describir una variable o fenómeno. Si la medida estadística es calculada en una parte de la población, llamada muestra, recibe el nombre de estadístico (algunos autores le llaman estadigrafo).
15
Ejemplos: se desea conocer la proporción de paginas defectuosas que traen los libros de un lote de cincuenta libros, y al examinarlos todos ellos, resultó ser la proporción de 2%, esta medida constituye un parámetro. Si se desea conocer la proporción, antes señalada, examinando una muestra aleatoria de diez libros y la proporción resulta ser el 1.8%, esta medida constituye un estadístico. 7- Entre Entre las siguientes siguientes variables: variables: rendimi rendimiento ento académico académico y coeficiente coeficiente de inteligencia. a) La variable variable independie independiente nte es. R/ Coeficiente de inteligencia b) La variable variable dependient dependiente e es. es. R/ Rendimiento académico. 8- Entre Entre la variable: variable: consumo de producto producto y precio precio del mismo. mismo. a) La variable variable independie independiente nte es. R/ Precio del producto. b) La variable variable dependient dependiente e es. es. R/ Consumo del producto. 9- Entre Entre las variable variables: s: temperatu temperatura ra y dilatación. dilatación. a) La variable variable independie independiente nte es. R/ Temperatura emperatu ra b) La variable variable dependient dependiente e es. es. R/ Dilatación 10-En la siguiente hipótesis: “El aprendizaje de probabilidades es más fácil, si se usan diagramas de Venn, que cualquier otro recurso didáctico”. Escriba a la derecha de cada variable, si se trata de variables independientes, dependientes o variables intervinientes: a) Uso de de Diagramas Diagramas de Venn: Venn: R/ Variabl Variable e independi independiente ente b) Aprendizaje de probabilidades: probabilidades: R/ Variable dependiente dependiente
16
c)
Coeficiente de inteligencia de los estudiantes con quienes se hace el experimento R/ Variable interviniente
d) Habilidad del maestro que enseña probabilidades probabilidades R/ Variable Variable interviniente interviniente 11-Los números peden ser usados de, al menos, en cuatro maneras distintas a saber: a) Como rótulos, rótulos, identifi identificacio caciones nes o etiquetas. etiquetas. R/ Escala Escala nominal Como signos para indicar la población de un grado dentro de una serie. R/
b)
Escala ordinal. c) Como signos signos para indicar indicar las diferencia diferenciass entre dos o más instanci instancias as en una escala. R/ Escala de intervalos d) Como Como signos signos para indicar indicar proporc proporcion iones es entre entre dos o más instanc instancias ias en una escala. R/ Escala de razón Escriba el nombre de las escalas de medida, correspondientes a cada una de las proporciones: a, b, c y d. 12- Si
clasificamos las siguientes variables: estado civil, religión, sexo, sexo, alfabetismo,
ocupación de acuerdo a la presencia o ausencia de frecuencias en sus categorías: ¿Qué tipo de escala de medida se estaría manejando?. R/ Escala nominal. 13- Si
clasificamos las variables: nivel de ingresos, nivel de estudios, participación
política, actuación de un cantante, de acuerdo a que puedan ordenarse unos con otros, sin detallar la magnitud de las diferencias d iferencias entre sus elementos. ¿Qué tipo de escala de medida, se estarían manejando?. R/ Escala Ordinal. 14- En
el ejercicio anterior, se mencionó la variable ingreso y se pidió clasificarla
en un orden jerárquico sin detallar magnitud de diferencias. En este ejercicio se pide clasificar esta misma variable, de acuerdo a las distancias que existen entre los valores que puedan tomar el ingreso.
17
R/ En este caso, ¿Qué tipo de escala de medida se estaría usando? R/ Escala de intervalo 15- A
continuación se presenta los pesos de dos personas: Juan tiene un peso de
200 libras y Pedro uno de 100 libras. Determine la relación de los pesos entre Juan y Pedro; luego diga qué escala se ha usado en esta situación. R/ Razón de 2 a 1; escala de razón. 16-Si los candidatos en una contienda electoral se les clasifica según el grado de popularidad; ¿Qué tipo de escala se estaría manejando?. R/ Escala ordinal. 17- Si
al clasificar: objetos, atletas, estudiantes y metales, utilizamos las relaciones
del tipo: mayor, más rápido, más inteligente, más duro; ¿Qué tipo de escalas se estarían manejando?. R/ Escala Ordinal. 18- Si
en una clasificación de variables, se pueden usar las relaciones matemáticas
con signos de igualdad (=) y desigualdad (≠). ¿Qué tipo de escala usan estas relaciones?. R/ Escala nominal. 19- Si
en una clasificación de variables se mantiene una relación entre sí; es decir,
relaciones que se expresan en términos algebraicos de desigualdades : x < b; x > y; ¿A qué tipo de escala corresponde estas relaciones?. R/ Escala ordinal. 20- Si
en la clasificación de variables, se conocen las diferencias iguales entre dos
puntos a cualquier parte de la escala; por ejemplo la diferencia entre 8 metros y 4 metros; es exactamente la misma que entre 125 y 121 metros. ¿Qué escala de medida pertenece este tipo de clasificación?. R/ Escala de intervalo. 21-Si una variable se clasifica de tal suerte que se pueden establecer proporciones, por tener cero absoluto; ¿Qué tipo de escala se estaría usando?. R/ Escala de razón.
18
22-¿Se podría utilizar escala de razón para clasificar la variable temperatura? Justifique su respuesta. R/ No, porque no tiene cero absoluto. 23-¿Qué tipo de escala de medición sería apropiada para medir? a) Aprobación Aprobación o reprobació reprobación n en un examen?. examen?. R/ Escala nominal nominal b) Clasificaci Clasificación ón de los maestros con respect respecto o a su aptitud profesio profesional?. nal?. R/ Escala ordinal. c) Puntajes Puntajes obtenidos obtenidos por por un grupo de niños, niños, en una prueba prueba de matemáti matemáticas, cas, con rangos de 0 a 100?. R/ Escala de intervalo. Observación: Al contestar el literal c) tome en cuenta que un puntaje de cero no implica ausencia absoluta de habilidad matemática. 24-En qué escala de medida están basadas las respuestas al siguiente cuestionario: a) ¿Cuál es es su nombre?. nombre?. R/ Escala Escala nominal. nominal. b) ¿Cuál es es ti estatura?. estatura?. R/ R/ Escala Escala de intervalo intervalo.. c) ¿Cuál es su peso?. peso?. R/ Escala Escala de interv intervalo. alo. d) ¿Cuál es es su estado estado civil?. civil?. R/ Escala Escala nominal. nominal. e) ¿Cuál es es su ocupación ocupación?. ?. R/ Escala Escala nomina nominal. l. f) ¿Cuál es es su CUM (rendim (rendimiento iento prome promedio). dio). R/ R/ Escala Escala de intervalo intervalo.. g) ¿Cómo compara compara su rendimien rendimiento to académico académico con respecto respecto al de sus compañeros?. R/ Escala de razón. 25- En
el siguiente cuadro se presenta la clasificación del nivel de ingresos, en dis-
tintas formas: Nivel de ingresos A) $840 1200
Escala $1800
B) Bajo C) Perciben bonificación
Medio
2500
$500 más ( Alto
(
)
)
No perciben bonificación
(
)
Escriba entre el paréntesis el nombre de la escala de medida correspondiente. R/ A) Escala de intervalo.
19
B) Escala ordinal. C) Escala nominal.
Distribución de frecuencias La siguiente información corresponde al peso de, en libras de un grupo de 50 estudiantes. 100 116 124 131 140
103 117 124 131 141
113 118 124 131 142
110 117 124 132 145
110 117 127 133 148
107 120 125 134 146
108 117 125 135 145
110 121 128 136 162
114 120 128 138 152
115 120 130 138 150
El conjunto de datos de esta tabla constituye una serie estadística simple. La serie no da mayor información, convertiremos la serie en agrupada (incluye clases y frecuencias). El primer paso es ordenar la serie de menor a mayor ver la tabla ordenada. 100 110 116 118 124 125 131 134 140 146 103 110 117 120 124 127 131 135 141 148 107 113 117 120 124 128 131 136 142 150 108 114 117 120 124 128 132 138 145 152 110 115 117 121 125 130 133 138 145 162 Los datos ordenados en esta forma nos dan una pequeña información: info rmación: a) conocemos rápidamente el menor y mayor valor que toman la variable: 100 y 162 respectivamente; b) el valor más frecuente es 117 y 124.
Construyendo una tabla de frecuencias con los datos ordenados. Con la siguiente fórmula se puede construir una tabla de clases y frecuencias. iC LS L i 1 De donde : iC Ancho de clase LS Límite super perior Li Límite inf erior Construyendo una tabla de clases y frecuencias. Ancho de clase: IC = 7 Libras f 100 – 106 2
20
107 – 113 6 114 – 120 11 121 – 127 8 128 – 134 9 135 – 141 6 142 – 148 5 149 – 155 2 156 - 162 1 Construya una tabla de clases y frecuencias con los datos anteriores, hacerlo con una ancho de clase de iC = 10
Continuas Frecuencias absolutas, relativas y acumuladas. Usando la tabla anterior, la frecuencia absoluta se define como el número de casos que caen dentro de la clase, así la frecuencia absoluta de la quinta clase es 9, lo que significa que hay 9 estudiantes que pesan entre 128 y 134 libras. Libras f 100 – 106 2 107 – 113 6 114 – 120 11 121 – 127 8 128 – 134 9 135 – 141 6
21
142 – 148 5 149 – 155 2 156 - 162 1
Las frecuencias relativas Se encuentran dividiendo la frecuencia absoluta entre la sumatoria de las frecuencias absolutas, multiplicadas por 100. fr
f x100 N
Por ejemplo la frecuencia relativa relativa de la primera clase es: 2
fr
fr
50
x100
4%
En la siguiente tabla se muestra las frecuencias absolutas y relativas Libras
f
fr
100 – 106 2
% 4
107 – 113 6
12
114 – 120 11
22
121 – 127 8
16
128 – 134 9
18
135 – 141 6
12
142 – 148 5
1
149 – 155 2
4
156 - 162 1
2
Las frecuencias acumuladas La construcción de las frecuencias acumuladas se obtiene sumando las frecuencias absolutas anteriores con las posteriores así: La frecuencia acumulada de la segunda clase será: 2+6=8 La frecuencia acumulada de la tercera clase será: 8 + 11 = 19 La siguiente tabla muestra las frecuencias absolutas, relativas y acumuladas Libras
f
fr %
fa
22
1. Introducción
100 – 106 2
4
2
107 – 113 6
12
8
114 – 120 11
22
19
121 – 127 8
16
27
128 – 134 9
18
36
135 – 141 6
12
42
142 – 148 5
1
47
149 – 155 2
4
49
156 - 162 1 50
2
50
Técnica de representación gráfica
La importancia de las representaciones gráficas de los cuadros estadísticos especialmente en la posibilidad de asimilar rápidamente y sin mucho esfuerzo las principales características de las series estadísticas. Decimos principales características porque para un examen exhaustivo del fenómeno que se quiere conocer, se necesita de un análisis numérico de dicho fenómeno. 1.
Graficas para variables continúas.
Las gráficas tienen por finalidad mostrar por medio de puntos, segmentos de recta, curvas, superficies, volúmenes, dibujos, etc. las distintas variaciones que acusan los fenómenos que son susceptibles de medirse o contarse.
23
Por razones metodologías vamos a dividir el estudio de las gráficas, en dos grandes ramas: para variables continuas y gráficas para par a variables discretas. Para datos que corresponden a variables continuas, estudiaremos dos tipos de gráficas: el histograma y el polígono de frecuencias. Para ambos gráficos utilizaremos un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
1. Histograma El histograma es una serie de rectángulos, de base igual al intervalo de clase y altura correspondiente a las frecuencias respectivas. Para que los rectángulos queden yuxtapuestos escribiremos, en el eje de las abscisas, los límites reales inferiores de cada clase, como se muestra en la gráfica 1.
Histograma: Distribución de frecuencias del peso de 50 personas.
24
Histograma 12
10
a i c n e u c e r F
8
6
4
2
0 9 9 3 9
6 0 1 0 0 1
3 1 1 7 0 1
0 2 1 4 1 1
7 2 1 1 2 1
4 3 1 8 2 1
1 4 1 5 3 1
8 4 1 2 4 1
5 5 1 9 4 1
2 6 1 6 5 1
9 6 1 3 6 1
Libras
Como construir un histograma utilizando el programa Excel 1)
Ordenar los datos en un sola columna (A1)
2)
Coloque en la columna (B2) los límites superiores de las clases. (nota agregar un límite superior antes de la primera y otro después de la última clase).
3)
Clic en la barra de menú Herramientas – Análisis de datos, ver figura.
25
4)
Seleccione Histograma ver la figura.
5)
Clic en Aceptar
6)
En la siguiente ventana en Rango de Entrada :, seleccione A1 hasta
A50 7)
En Rango de Clases:, seleccione B1 hasta B12
8)
Rellene Rótulos
9)
En Opciones de Salida, rellene Rango de salida, escoja G5
10)
Rellene Crear Gráfico
11)
Clic en Aceptar, ver la figura.
26
12)Aparecerá el histograma ver la figura.
Preparación del histograma: 13)
Modificar la tabla de Frecuencia, que acaba de aparecer, escriba Li-
bras en la celda G5 14)
Sustituye los límites superiores por los intervalos (en la celda G6, escriba 93-99), hasta la celda G16,(163-169, ), eliminar la celda G17
15)
En la columna de Frecuencia, escriba los valores como se indican en la figura.
27
16)
Eliminar la leyenda Frecuencia, que aparece en el gráfico. gráf ico.
17)
Dar un clic sobre el Área del gráfico, se puede observar que al eliminar la celda G17, queda vacía por lo tanto subir la selección (borde azul) hasta la celda G16 ver la figura.
Antes de subir el borde azul
18)
Después de subir el borde azul
De doble clic sobre el Área de trazado, y en la pestaña Trama, en la opción Borde, rellene Ninguno, y en la opción Área, rellene Ningu-
na dar clic en Aceptar ver la figura.
28
19) Aparecerá la siguiente pantalla ver la figura.
19)
Dar un clic derecho sobre el Área del gráfico, en el menú que aparece de clic sobre Opciones del gráfico… esto servirá para cambiar el título del eje X ver la figura.
29
20)
En la ventana de clic sobre la pestaña Títulos, en la opción Eje de
categorías (X): escriba Libras, de clic en Aceptar 21)
De doble clic sobre el eje de las “x” (Eje de categorías) del gráfico, ver la figura.
30 22)
En la ventana seleccione la pestaña Alineación, en la opción grados, escriba 90 de clic en Aceptar esto servirá para rotar los valores de las clases a 90º ver la figura
23)
De doble clic sobre cualquier barra del histograma, seleccione la pestaña Opciones, y en la opción Ancho de rango, escriba 0, de clic en
Aceptar ver la figura
31
24)Finalmente 24)Finalmente aparecerá el histograma ver la figura.
