EL CÁLCULO DIFERENCIAL Y LA GEOLOGIA
¿Qué es una integral? La integración es integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución
Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (para atarla). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales. Cojamos un caso practico. Calcular el área bajo la curva de raíz de x. En primera instancia podemos ir calculando el área de los pequeños rectángulos verdes que tenemos, sumarlos todos y obtener un área aproximada. También podemos calcular mucho mas fácilmente el área bajo la curva con la integral de raíz de x, en este caso de 0 a 1. En ambos casos obtenemos aproximadamente el mismo área, pero mucho mas fácil con integración
Hay muchas maneras de definir formalmente una integral, no todas equivalentes. Se establecen diferencias para poder abordar casos especiales que no pueden ser integrables con otras definiciones, pero también en ocasiones por razones pedagógicas. Las definiciones más utilizadas de la integral son las integrales de Riemann y las integrales de Lebesgue. •
INTEGRAL DE RIEMANN
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INTEGRAL DE LEBESGUE
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INTEGRAL DE SUPERFICIE
1-LA INTEGRAL DE RIEMANN: No está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemann puede integrar fácilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo las cuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones. En este caso puede haber distintos tipos de integral dependiendo los intervalos que cojamos. Cada intervalo lo etiquetamos con un numero en particular. Con cada intervalo hallado, teniendo su área y altura el valor de la función que le corresponde, calculamos el sumatorio de todos ellos Cuanto mas pequeño sea el intervalo que calculamos mas fiable será el valor que obtenemos del área bajo la función
2- INTEGRAL DE LEBESGUE La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada. Como expresa Folland: "Para calcular la integral de Riemann de f , se particiona el dominio [a, b] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está particionando es el recorrido de f ". En este caso, los intervalos son con respecto al eje Y, es decir la imagen.
3-INTEGRALES DE SUPERFICIE La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie. Una integral de superficie es una integral definida calculada sobre una superficie (que puede ser un conjunto curvado en el espacio; se puede entender como la integral doble análoga a la integral de línea. La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral de superficie es la suma ponderada de los valores del campo en todos los puntos de la superficie. Esto se puede conseguir a base de dividir la superficie en elementos de superficie, los cuales proporcionan la partición para los sumatorios de Riemann. La definición de las integrales de superficie descansa en la división de la superficie en pequeños elementos de superficie.
TALUDES: Obras de ingeniería que adaptan el terreno según nuestras necesidades. Consiste en igualar el terreno seccionando parte de la montaña o, todo lo contrario, añadiéndole material. Se hace necesario el cálculo de áreas y volúmenes con integrales. Debemos saber la cantidad de tierra exacta que debemos trabajar, ya sea poniendo o quitando, para ajustarnos al proyecto. Por ejemplo en el desmonte, en una carretera o camino, necesitamos conocer el área total sobre la que vamos a trabajar, y el volumen de tierra que precisamos eliminar para conseguir que sea la opción más segura y económica posible. Para poder realizar, tenemos el perfil de la zona de trabajo, en este caso la montaña monte que queremos seccionar, sabiendo ya por donde cortar solo nos falta obtener el área del terreno que nos sobra.
TERRAPLÉN Y DESMONTE
MUROS La construcción de muros, diques de contención, etc. muchas veces se hace básica en cualquier obra de ingeniería relacionada estrechamente con el terreno para lo que tenemos que tener en cuenta que la fuerza que va a soporta no va a estar localizada en un solo punto, si no que va a estar distribuida por lo que tendremos que utilizar el cálculo diferencia para calcularla y construir la estructura garantizando su estabilidad.
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En el diseño de un muro también tenemos que tener en cuenta el material que va a soportar y la forma más económica y a la vez más segura.
Por ejemplo, un problema típico de esfuerzos diferenciales que podemos encontrarnos en la construcción de cualquier muro, en el que tenemos que tener en cuenta el material en el que trabajamos •
El peso específico en un suelo está dado por :
Donde z es la profundidad en metros y peso es el peso específico en KN/m3. Si la primera capa que cumple esta propiedad tiene una profundidad de 25m. Encontrar el esfuerzo total promedio de la misma. Solución: •
LLANURAS DE INUNDACIÓN En geología, y en cualquier otro tipo de ingeniería que requiera de la construcción de estructuras cercana al lecho de los ríos, es primordial conocer la llanura de inundación de este.
Este factor se debe de tener muy en cuenta a la hora de realizar cualquier tipo de construcción cercana a los ríos, ya que en épocas de lluvias, o por crecidas repentinas, estas zonas son las más propensas a ser inundadas en primera instancia cuando el rio se desborda o
EMBALSES En los embalses es primordial calcular y determinar con exactitud la zona en la que se va a construir. A parte de saber bien la zona más adecuada para su construcción.
También, el volumen total de agua que puede soportar la presa. Es primordial que todo se haga a la perfección y se tenga buen dominio de estas técnicas, ya que el más mínimo cambio o error puede producir una catástrofe, no solo destrozando la presa sino provocando una inundación de todo lo que esté por debajo de esta, ya sea carreteras, pueblos, cultivos o ciudades.
Se hace primordial conocer la topografía de la zona y para ello tenemos los mapas topográficos que analizaremos en profundidad
FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS Cuando se va a diseñar canales, compuertas, barcos, submarinos y otros, es necesario estudiar las fuerzas que se originan por la acción de la presión sobre superficies sumergidas. Para que queden completamente determinadas estas fuerzas es necesario especificar la magnitud, dirección y sentido así como su línea de acción de la fuerza resultante. Se analizará las fuerzas debidas a la presión sobre superficies planas y curvas, sumergidas en líquidos
Por ejemplo, las Fuerzas Hidrostáticas sobre una superficie plana horizontal sumergida en un fluido estático incompresible Sabemos que :
Las presas están sometidas a fuerzas distribuidas, por lo que utilizaremos la integración para calcular la fuerza resultante y su punto de aplicación.
CANTERAS Una cantera es una explotación minera, generalmente a cielo abierto, en la que se obtienen rocas industriales, ornamentales o áridos. Las principales rocas obtenidas son: mármoles, granitos, calizas y pizarras.
Previsión de la superficie de suelo que vamos a utilizar. La cantidad de material que removeremos, el que produzcamos o dónde vamos a colocar el sobrante
Debemos tener muy en cuenta la topografía del terreno, para saber aprovechar todas las ventajas que nos aporte y salvar los inconvenientes. Además en la construcción de este tipo de obras, que implican una modificación del paisaje tan grande, debemos intentar reducir el impacto ambiental lo máximo posible.
El cálculo diferencial puede estar relacionado con la geología de manera directa, creando estructuras que por ejemplo sirvan para calcular el aforo del caudal en conducciones abiertas La medición del caudal de una acequia puede hacerse mediante diversos modos. A veces no es fácil conocer la sección (en ríos, por ejemplo) o la velocidad. El sistema que implicaría integración sería mediante vertederos.
Un vertedero es un hueco situado en el borde superior de una placa metálica o de madera. Esta placa se coloca en la acequia en sentido perpendicular a la corriente, de tal modo que toda el agua que circula por la acequia, pasa necesariamente por el vertedero.
Vertedero con escotadura triangular
Como ya hemos visto, la integración se hace necesaria en multitud de situaciones que nos iremos encontrando. Sin embargo, hemos de aclarar que el uso del cálculo diferencial como tal, ha quedado desfasado por la tecnología. En la mayoría de ejemplos expuestos anteriormente son programas informáticos quien realizarían todos los cálculos.
