VISCOSIDAD EN FLUIDOS NEWTONIANOS COMPRESIBLES. T.J. Link, A.G. Magnoni, P. G. Galván Los experimentos que se exponen en el presente informe tuvieron como objetivo la obtención del valor de la constante de elasticidad de un resorte mediante tres métodos distintos, y la obtención del c oeficiente de viscosidad de varios fluidos distintos. Las mediciones tuvieron como objeto, durante todo el experimento, la observación de movimientos oscilatorios simples para la constante constante de elasticidad, elasticidad, y movimientos movimientos oscilatorios subamortiguados subamortiguados para el coeficiente de viscosidad. Para la primera parte se obtuvieron series de pares F(x) que fueron sometidas a ajustes lineales, y series F(t) a partir de las cuales se r ealizaron ajustes sinusoidales y cuadráticos a partir de los cuales se obtuvo el coeficiente de elasticidad
. Para la
segunda parte del experimento se obtuvieron series de pares F(t) y se realizaron ajustes sinusoidales que suministraron los parámetros necesarios para hallar la viscosidad de cada fluido.
I. INTRODUCCIÓN Una
de
las
principales
este
El marco teórico que se utilizó para este experimento
experimento fue poder observar y analizar el movimiento
incluyó la Ley de Elasticidad de Hooke y las ecuaciones
oscilatorio
mejor
diferenciales del movimiento oscilatorio que surgen de
entendimiento del mismo, ya que es un fenómeno que
combinar Hooke con la segunda ley de Newton, y la
aparece en la realidad de nuestra vida cotidiana a
ecuación de la fuerza disipativa para flujos laminares.
diferencia del movimiento oscilatorio simple, cuya
Durante la primera parte del experimento se observó una
amplitud permanece constante en el tiempo. Además, Además, fue
masa considerada puntual atada a un resorte, primero en
una motivación poder estudiar una de las propiedades
equilibrio y luego en movimiento. Durante esta primera
físicas más importantes de los fluidos: la viscosidad; y
parte se consideró despreciable el rozamiento con el aire.
verificar si ésta es afectada por las condiciones en las que
Utilizando la ecuación de Hooke
se encuentra el fluido. El experimento incluyó la
introduciendo introduciendo los valores de la fuerza aplicada a la masa y
determinación de coeficientes de elasticidad y viscosidad
el valor de estiramiento del resorte, se puede obtener el
mediante la observación y análisis de fenómenos simples
coeficiente de elasticidad k . Además, combinando la
como el movimiento oscilatorio de una masa atada a un
ecuación de Hooke y la segunda Ley de Newton
subamortiguado
resorte (figura 1).
motivaciones
y
tener
un
de
se ,
obtiene
la
, e
ecuación
diferencial
cuya solución se expresa como
, movimiento oscilatorio,
donde A es la amplitud del
resultado
en
la
ecuación
de
Hooke
obtenemos
la fase inicial, C la solución .
particular (que coincide con el punto de equilibrio del sistema) y
, donde T es el período del
movimiento. A partir de esta última igualdad se puede despejar m obteniendo
lo que permite hallar
el coeficiente k introduciendo los valores de la masa y el período del movimiento oscilatorio que está realizando dicha masa. En la segunda parte del experimento, se observó el movimiento de una masa considerada puntual atada a un resorte y sumergida en un fluido. Se utilizaron la segunda Ley de Newton, la ley de Hooke, y la ecuación de la
(suponiendo que el fluido es de flujo laminar), donde , siendo R el radio ya que se trabajó con masas esféricas, y el coeficiente de fuerza disipativa
viscosidad. Se observa en esta última ecuación que la
FIGURA 1. DCL para una masa puntual atada a un resorte.
fuerza disipativa será directamente proporcional a la velocidad de la masa inmersa en el fluido. Combinando las tres ecuaciones se obtiene la siguiente ecuación
,
II. DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO Para las distintas mediciones realizadas en este
experimento se utilizaron dos tipos de sensores, uno que
renombrando los parámetros. Esta es una ecuación
mide la fuerza aplicada en el extremo del mismo
diferencial homogénea para la cual se propone la solución
devolviendo valores de F en función del tiempo y uno de
.
y
posición que mide la distancia entre el sensor y el objeto
reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene que
estudiado, emitiendo una onda de sonido que sale del
, expresión que servirá solamente , ya que corresponde al caso de un cuando
sensor, rebota en el objeto y vuelve, devolviendo valores
diferencial
Derivando
dos
o
veces
esta
solución
movimiento subamortiguado, que es el tipo de oscilación que se estudió en este experimento.
Por lo tanto,
,
es
Si
Los datos medidos por ambos sensores fueron interpretados con el programa MPLI , que devolvió distintas series de valores, cuyos análisis estadísticos
con
.
Entonces, la solución real para esta ecuación diferencial
.
de X en función del tiempo.
se
reemplaza
este
correspondientes serán comentados en la siguiente sección de este informe. Para el obtener el coeficiente de elasticidad, se realizaron tres métodos de medición, para los cuales se utilizó tanto el sensor de fuerza como el de posición
(figura 2). El primer método se denomina estático , y consistió en medir la fuerza elástica que aplica un resorte en equilibrio a una masa colgada del mismo, y simultáneamente, la posición de dicha masa con respecto a un punto de referencia determinado (el sensor de posición). Se realizó este método con ocho masas distintas y se obtuvieron ocho series de pares F(x). El segundo método se denomina dinámico y consistió en medir la fuerza elástica que aplica el resorte en movimiento a una masa durante varios períodos de oscilación. Este método se realizó con diez masas distintas y dio como resultado diez sieres de pares F(t). El tercer método también se denomina dinámico y consiste en una combinación del método
estático
y
dinámico,
es
decir,
se
mide
simultáneamente la fuerza aplicada por el resorte a una
FIGURA 2. Esquema de la masa atada al resorte y los sensores de fuerza y de posición.
masa y la posición de la misma con respecto al sensor de posición, pero con el resorte realizando oscilaciones. Este método se realizó con tres masas distintas, y se obtuvieron tres series de pares F(x). Para obtener el coeficiente de viscocidad se utilizó un único método que consistió en medir la fuerza aplicada por un resorte a una masa que oscilaba sumergida en un fluido determinado (figura 3). Este método involucró el sensor de fuerza y se realizó con tres fluidos distintos (dos tipos de aceites, y agua), cada uno con dos recipientes diferentes (uno angosto y otro ancho), y con cinco masas distintas para cada fluido. Además, se realizó el método utilizando el aire, también con cinco masas distintas. Es
FIGURA 3. Esquema de la masa atada al resorte, el sensor de
decir, se obtuvieron 35 series de pares F(t), cinco para
fuerza y el fluido en el cual oscilará la masa.
cada tipo de fluido. Todos los datos obtenidos durante las distintas mediciones, fueron luego volcados en el programa Origin para realizar sus respectivos análisis estadísticos, a describir en la siguiente sección.
III. RESULTADOS Y DISCUSIONES Durante
el
análisis
de
la
primera
parte
del
experimento, a partir de las ocho series de pares F(x) del método estático se extrajo el valor medio de cada serie,
que representa a la fuerza
elástica según lo previamente expuesto en la introducción teórica (figura 8). A partir de esos ajustes se obtuvieron 5 valores de
y de para cada fluido, a partir de los cuales
con su respectiva incerteza, para realizar un ajuste lineal
pudo constatarse, según la ecuación expuesta en la
con en base a esos ocho valores. De esta manera, se
introducción teórica, que al calcularse
obtuvo una recta cuya pendiente es el valor de k (figura
a partir de los datos experimentales, el valor es muy cercano al de
4). Para el análisis de este método se despreció la masa
obtenido para el aire, lo que explica la recurrente
del resorte ya que la misma forma parte de la ordenada al
depreciación en la física de la fuerza disipativa del aire.
origen de la recta y no modifica la pendiente, es decir, el valor de k.
Por cada valor de
obtenido, se halló el coeficiente A
según la relación entre ambos expuesta en la introducción
Luego, las diez series de pares F(t) obtenidas con el
y se realizó la propagación del error correspondiente. Así
método dinámico fueron sometidas cada una a un ajuste
se obtuvieron 35 valores de A, 5 para cada fluido. Luego
sinusoidal
se realizó un promedio pesado sobre esos 5 valores para
con
la
ecuación
deducida previamente en la introducción teórica (figura
hallar el valor de representativo de A con su respectiva
5). De esa manera se obtuvo el valor del período de cada
incerteza para cada fluido. Finalmente, con la misma
serie, que junto con las masas conformaron diez pares
relación entre A y μ se obtuvo la viscosidad de cada fluido
m(T) que fueron ajustados cuadráticamente a la ecuación
(tabla 1) y se realizó la correspondiente propagación de la
ya explicada anteriormente, para obtener el
incertezas. Observando los resultados de viscosidad obtenidos, se
valor de k con este método (figura 6).
puede notar que la viscosidad del aire es muy inferior a la En el tercer método, las tres series de pares F(x) obtenidas fueron sometidas cada una a un ajuste lineal que devolvió un valor de k para cada serie (figura 7) , y un promedio pesado definió el resultado final de k para este método.
de
cualquiera
de
los
dos
aceites,
e
inclusive
significativamente menor que la viscosidad del agua. Es notable también que los resultados variaron dependiendo del contexto en el que estaba el fluido: la viscosidad de un mismo fluido en un recipiente más angosto es mayor que
Finalmente, se realizó un promedio pesado de las tres
la de ese mismo fluido en un recipiente más ancho. Esta
k correspondientes a cada método de medición utilizado,
diferencia se encontró en todos los fluidos medidos y fue
obteniendo el valor final de Durante
el
análisis
. de
la
segunda
parte
aumentando a medida que el fluido era más viscoso, y culminó en el aceite 2, donde la viscosidad medida en el del
recipiente angosto fue de prácticamente el doble que la
experimento, se tomaron las 5 series de pares F(t) de cada
medida en el recipiente ancho. Esto sucede porque cuando
fluido y se realizaron los 35 ajustes con la función
el fluido está más comprimido tiene menos lugar en el cual expandirse durante las oscilaciones de la masa.
FIGURA 4. Ajuste lineal con los ocho valores medios de las series de pares F(x).
FIGURA 6. Ajuste cuadrático realizado para los diez pares m(T).
FIGURA 5. Ajuste sinusoidal realizado con las diez series de pares F(t).
FIGURA 7. Ajuste cuadrático realizado para los diez pares m(T).
FIGURA 8. Ajuste no-lineal realizado para los 35 pares F(t) de la segunda experiencia.
Fluido
Recipiente
Aire
-
Agua
Ancho
Agua
Angosto
Aceite 1
Ancho
Aceite 1
Angosto
Aceite 2
Ancho
Aceite 2
Angosto
Viscosidad ( μ )
TABLA 1. Valores representativos de la viscosidad para cada fluido y sus respectivas incertezas.
IV. CONCLUSIONES Una de las conclusiones más importantes de este experimento es que las propiedades físicas de un fluido (en este caso la viscosidad) se ven afectadas por el contexto en el que se encuentra el mismo. Para este experimento se utilizaron dos recipientes cilíndricos de radio relativamente pequeño, es decir, no mucho más grande que el radio de la masa esférica, y con una diferencia de alrededor de 5 cm entre ellos. Esto explica que las viscosidades de los fluidos hayan variado tanto de un tipo de recipiente al otro, ya que a esas escalas la compresión del fluido afecta mucho más al movimiento de la partícula. Como conclusión, es muy importante tomar las medidas necesarias para que el fluido no se vea afectado por el recipiente o la influencia sea mínima. Se debe elegir un recipiente significativamente mayor que la masa que se esta analizando.
