Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil IC-0911 a!oratorio de "ec#nica Estructural II $ro%esora: Ing& 'ndrea Ra(íre) *illal!a In%or(e 1& +rans%or(aci,n de Coordenadas Estudiantes: Richard od%re. "ontero 4heng 5i ang 5iu
Fecha de entrega: 20/09/2016
Carn:
223 2783
Informe de Laboratorio 2: Energía de Deformación Resumen En el resente in%or(e se resentan los resultados de la variaci,n de la energía de de%or(aci,n or cortante . %le;i,n so!re una viga si(le(ente ao.ada con secci,n transver transversal sal varia!le varia!le . i! =>i!!e !ele lerr 2006 2006?& ?& @o o!st o!stan ante te el Prin Conservación de la Energía ara s,lidos constituidos or (ateriales el#sticos seAala
el tra!aBo reali)ado or las %uer)as e;ternas = e? es igual a la energía de de%or(aci,n de%or(aci,n =U?
W e =U a energía de de%or(aci,n de un s,lido deende del estado general de es%uer)os& En un ele(en ele(ento to c!ic c!ico o de di(en di(ensio siones nes unita unitaria rias s co(o co(o el (ostra (ostrado do en la Figura Figura 1a 1a las de%or(aciones resentes son roducto de es%uer)os a;iales . cortantes =$oov 2000?& De esto esto la densida densidad d de energía energía de de%or(a de%or(aci,n ci,n el#stica el#stica =U o? al(acena al(acenada da or volu(en volu(en unitario se e;resa co(o: 1
U o= ( σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) 2
De la e;resi,n e;resi,n anterior se destaca
tri#ngulo de altura σ . !ase G& ' artir de esta e;resi,n integrando alrededor del volu(en del ele(ento se encuentra
U =
1 2
∭( σ ε + σ ε x x
y
y
+ σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) dxdydz
Figura 1. Estado general de es%uer)os ara un ele(ento c!ico . curva es%uer)o-de%or(aci,n Fuente: eer et al& 2010& "odi%icada or: od%re. 2016
En el an#lisis de vigas la energía de de%or(aci,n interna el#stica se uede e;resar en %unci,n de la %uer)a a;ial =$? la %uer)a cortante =*? el (o(ento %lector ="? . el (o(ento de torsi,n =+? a travs de los es%uer)os a;iales . cortantes& os es%uer)os a;iales se relacionan con la %uer)a a;ial . el (o(ento %lector (ientras
2
σ x τ xy U =∭ dxdydz +∭ dxdydz 2 E 2G L
2
L
2
L
L
2
2
P ( x ) M ( x ) V ( x ) T ( x ) U = dx + dx + α dx + dx 2 2 2 2 AE EI GA G I 0 0 0 0 p
∫
∫
∫
∫
Donde H es el %actor de %or(a ara la esti(aci,n del es%uer)o cortante ara vigas de secci,n rectangular su valor es de 8/6 (ientras
2
rinciio ara relacionar esti(ar las de%or(aciones reales = Δ? (ediante las de%or(aciones unitarias =u?
´ × ∆= 1
∑ F ∙ u
$ara una viga la de%or(aci,n vertical . la rotaci,n en un unto se esti(an considerando nica(ente %le;i,n . cortante co(o: L
L
M ( x ) m( x ) V ( x ) v ( x ) ∆ v= dx + α dx EI GA 0 0
∫
L
∫
L
M ( x ) m ( x ) V ( x ) v ( x ) θ= dx + α dx EI GA 0 0
∫
∫
Donde ( . v son las %unciones de (o(ento %lector . cortante resultantes de la alicaci,n de una carga unitaria vertical . un (o(ento unitario en el unto de an#lisis& Descripción del eercicio de programación El eBercicio de rogra(aci,n consiste en la deter(inaci,n de la energía total alicada so!re una viga si(le(ente ao.ada . la rotaci,n
Figura 2. eo(etría de la viga do!le(ente ao.ada Fuente: *illal!a 2016
Esta viga cuenta con las siguientes roiedades: 7
• • • • • •
8 %t 10 %t 18 %t . 20 %t 10 Ji/%t Io0&0316 %t 3 'o0&8 %t 2 E32&96;10 3 Ji/%t2 12;10 3Ji/%t2
os diagra(as de cortante . %le;i,n ara la viga anali)ada se (uestran en la Figura 7&
Figura !. Diagra(as de (o(ento . cortante ara viga do!le(ente ao.ada Fuente: *illal!a 2016
De estos de diagra(as se uede calcular la energía de de%or(aci,n usando las siguientes ecuaciones: L
2
L
2
M ( x ) V ( x ) U =U + U v = dx + α dx 2 2 EI GA 0 0
∫
∫
3
2
! U = 2 E
[
L / 4
∫
1
2
2
2
2 2
( x − x )
L /4
∫ 0
L
/
3 L 4
dx +
I "
0
! U v = ∙ 6 2G 5
L
A"
1
2
2
2
/
3 L 4
dx +
∫
L / 4
2 2
( x − x )
L
2 A "
∫
L
1
2
2
I "
/
2
L
∫
dx +
/
3 L 4
L
2 2
( x − x )
3 L 4
( − x ) 2
L
dx +
2 I "
L / 4
( − x ) 2
∫
L
dx
]
2
( − x ) 2
A"
dx
os orcentaBes de energía aortados or %le;i,n =U % ? . cortante =U v? est#n dados or:
U =
U v =
U U U v U
"ediante tra!aBo virtual se calcula la rotaci,n en el e;tre(o ' de la viga do!le(ente& $ara ello es necesario deter(inar los diagra(as de (o(ento . cortante de la viga roducto de una rotaci,n unitaria en dicho ao.o =Figura 3?&
Figura ". Diagra(as de (o(ento . cortante unitarios ara viga do!le(ente ao.ada
8
Fuente: *illal!a 2016
Usando la e;resi,n L
L
M ( x ) m ( x ) V ( x ) v ( x ) θ A = dx + α dx EI GA 0 0
∫
∫
En este caso la rotaci,n del e;tre(o ' estar# dada or el e%ecto del (o(ento = θ% ? . el cortante = θv?& $or tanto: L
L
M ( x ) m ( x ) V ( x ) v ( x ) θ A =θ + θv = dx + α dx EI GA 0 0
∫
2
θ =
! E
5
θv = ∙ 6
[
( ∫
L / 4
L 2
∫
1
x − x 2
[
)( )
0
L 2
− x
( ∫
L
3 L / 4
dx +
2
1
x − x
1
L
A"
dx +
L /4
L 2
− x
)( ) 1−
x L
2 I "
( )( ) ∫ /
3 L 4
2
2
L / 4
( )( ) ∫
L / 4
x L
1−
I "
0
! G
2
L
2 A "
/
3 L 4
#ódigo de programación
6
dx +
( )( ) ∫ L
dx +
L 2
2
− x
A "
1
L
dx
1
x − x
2
2
I "
3 L / 4
L
1
( ∫ L
]
)( ) 1−
x L
dx
]
Resultados de programación
$n%lisis de resultados
#onclusiones
Fuentes bibliogr%ficas >i!!eler R& =2006?& Mecánica de Materiales. ";ico D&F&: $earson Educaci,n de ";ico& $oov E& =2000?& Energía . +ra!aBo *irtual& En E& $oov Mecánica de Sólidos =#gs& 7280?& ";ico D&F&: $earson Educaci,n&