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INDICE
)J((J siglo veintiuno editores, sa de cv CERRO DEL AGUA 2
siglo veintiuno de españa editores, sa CIPl.AZA S. MADRID 33, ESPAÑA
siglo veintiuno argentina editores, sa siglo veintiuno de colombia, ltda AV. 3". 17-73 PRIMER PISO, BOGOTÁ, O.E. COlOMBIA
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Prefacio Introducción
1.
LA PR EH ISTORIA
IX
1 4
Introducción. 4.-Matemáticas de ta · prehistoria, 4.-Relacioncs numéricas, 5.-Formación del número en el hombre primitivo. 6.-Agrupam iento de los números, 9.-Sistemas de numeración. 10.-El número y los animales, 12.-0peraciones con números naturales. 14.-Resumen, 16_.-Hibliografía, 17.-Ejercicios, 18. 2.
LA CIYll.IZACION HAHIL(JNICA
19
Introducción. 19.-0rigen. 19.-Fuentes, 20.-Sistema de numeración. 21.-Aritmética babilónica. 23.-Algebra babilónica, 26.-Gcometría babilónica. 29.-Plimpton 322, 31.-lnterpretación de la tablilla. 33.-Resumen, 34.-Bibliografía, 36.-Ejercicios, 37.
3. primero edición en español, 1985 segundo edición en español, 1986 CS:siglo xxi de españa editores, s.a. en coedición con siglo xxi editores, s.a . de c .v . (méxico) ISBN 968-23-1361-9 (obra completo) ISBN 968-23-1362-7 {tomo 1) primero edición en francés. 1973 ©éditions du renouveau pédogogié¡ue, montr éal título original: histoire des mathématiques 1 derechos reservados conforme a lo ley impreso y hecho en méxico / printed and mode in mexico
LA CIV l l.IZACION ECilrCIA
39
Origen. 39.-Fuentes. 39 .-Sistemas de nu meración, 42.-Aritmética egipcia. 44.-Algebra egipcia, Só.-Geometría y trigonometría egipcias. 58 .-Resumen, 60.-Bibliografía, 61.-Ejercicios, 62. 4.
EL NACIMIENTO DE LAS MATEMATICAS GRIEGAS
Introducción. 64 .- Influencias anteriores y fuentes, 66.-Sistemas Je numeración, 68.-EI primer matemático griego, 70.-EI paJre Je las matcmüticas griegas, 72.-La aritmética pitagórica. 73.-La música pitagórica, 76.-Teoría pitagórica de las proporciones, 77.-EI descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, 78.-La geometría pitagórica, 79.-EI álgebra pilag<írica, 79.-De Pitágoras a Platón. 82.-Resumen, 89.-Bihliograjia, 90.-'-Ejercicios, 91.
64
Indice
VI
5.
DE PL.\TON A EUCLIDES
Indice
92
223.-Gerberto , 224.-Yías culturales de traducción abiertas a Europa, 225.-Los traductores latinos, 226.-Fibonacci, 230.-El nacimiento de las universidades europeas. 234.-Jordanus Nemorarius, 235 .-Campanus de Novara. 237.-Los fi. Iósofos escolásticos. 239.-Brawardine. 240.-0resmc . 242.-Resumen, 248.-Bibliografía, 249 .-Ejercicios, 250.
Platón, 92 .-Eudoxo, 96.-Menecmo , 99 .-Dinóstrato , 100.-Autólico, 102.-Aristóteles, 102.-Euclides y la Escuela de Alejandría , 103.-Análisis de los Elemencos, 106.-0tras obras de Euclides, 126.-Resumen, 127 .-Bibliografía, 128.-Ejercicios, 129. 6.
ARQUIMEDES Y LOS MAESTROS DE LA ESCUELA DE ALEJANDRIA
131
--
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10.
LAS CIVILIZACIONES CHINA E INDIA
170
Introducción , 170. La civilización china
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170
180
Les .Julvasütras , 181.-Los Siddh
LAS MATEMATICAS DEL ISLAM
194
Introducción, 194.-Al-JwarizmL 196.-Tabit ibn Qurra , 202.-Abü-l-Wafü, 205.-Al-Karhi, 205 .--0tros sabios del Islam, 206.-Umar Jayyam, 208.-Nasir al-Din, 211.-AI-Kasi, 211.-Resumen, 212.-Bibliografia, 213.-Ejercicios, 214.
9.
LAS MATEMATICAS DE LA EUROPA MEDIEVAL: 5CXl-14lXl
Las matemáticas bizantinas, 216.--0ccidente después del Imperio Romano, 218.-Boecio, 219.-Casiodoro, 221.-Isidoro de Sevilla, 221.-Beda el Venerable, 222 .-Alcuino.
252
11 .
EL COMIENZO DE LAS MATEMATICAS MODERNAS
289
Introducción, 289.-Viete, 291.-Stevin, 298.-Napier, 301 .-Bürgi. 308.-Kepler, 309.-Galileo, 311.-Cavalieri, 313 .-Resumen, 317 .-Bibliografía, 318 .-Ejercicios, 320.
El I Q ing, 170.-Sistemas de numeración, 172.-El ?hou bei, 174.-Matemática en nueve secciones, 175.-Algunos matemáticos chinos, 178. La civilización de la India
EL RE NACIMIENTO EUROPEO
Introducción, 252 .-Invención de la imprenta, 253.-La imprenta y las matemáticas, 254.-Nicolás de Cusa, 255.-Regiomon ta no, 256.-Nicolás Chuquet, 260 .-Luca Pacioli, 262 .-Leonardo da Vinci, 263 .-Alemania durante el Renacimiento , 264.-Cardano, 266.-Tartaglia y la historia de la re· solución de la cúbica, 271 .-Bombelli, 272 .-Recorde, 274.-El desarrollo de la trigonometría durante el Renacimiento, 275 .-Copérnico, 276.-Rhaeticus, 278.-La geometría en el siglo xv1, 279.-Las geometrías no euclídeas, 279.-La geometría proyectiva, 280.-La geometría descriptiva, 282.-Resumen, 285 .-Bibliografía, 285 .-Ejercicios, 287 .
Arquímedes, 131.-El sistema de numeración de Arquímedes, 134 .-EI Método, 135.-Eratóstenes, 139.-Nicomedes, 140.-Apolonio, 141.-Trigonometría griega y matemáticas aplicadas , 147 .-Aristarco de Samos, 148 .-Hiparco, 148 .-Menelao, 150.-Tolomeo, 152.-Herón, 154.-Diofanto, 156.-Pappus, 162.-Los comentaristas , 163.-Fin de las matemáticas griegas, 164.-Resumen, 165 .-Bibliografía, 166.-Ejercicios, 169. 7.
VII
216
TEMAS DE TRABAJOS
321
INDICE ALFABETICO
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PREFACIO
Esta obra procede de los textos utilizados en 1971-1972 con dos grupos sucesivos de estudiantes de matemáticas de las especialidades de Matemáticas y Enseñanza de las Matemáticas, en la Universidad de Quebec, en Trois-Rivieres. Se trataba de iniciar a estos estudiantes en la historia de las matemáticas, desde la prehistoria a los comienzos del siglo xvn*. Un estudio sobre la evolución histórica de la pedagogía de las matemáticas muestra que la historia de las matemáticas puede ser una fuente, casi inagotable, de la que el profesor beberá a placer para garantizar una enseñanza mejor. Además, recurrir a Ja historia es adquirir nuevas y atractivas perspectivas que nos ilustren sobre la naturaleza altamente abstracta de las matemáticas. Por esto, nos ha parecido oportuno presentar aquí un manual, más que un tratado, ae historia de las matemáticas, con el fin de exponer, sobre todo, las nociones históricas comúnmente aceptadas por los historiadores, y facilitar, en lo posible, su lectura. La obra se divide en once capítulos, cuyo contenido se presenta en orden cronológico; cada capítulo termina con un resumer., una bibliografía y ejercicios. En el resumen se encontrarán los puntos importantes que destacan en el capítulo, así como ias principales ideas en él tratadas. La bibliografía de cada capítulo presenta obras de consulta y artículos de revistas especializadas, de las que hemos indicado las páginas que hacen referencia directa al contenido del capítulo. Los ejercicios son de dos tipos: cuestiones que pretenden descubrir en el lector la habilidad de expresar con sus propias palabras las ideas fundamentales del capítulo, y cuestiones que requieren la demos-
• El torno 11 abarca el período que se extiende desde el comienzo del siglo XVII hasta las grandes escuelas del pensamiento del siglo xx.
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1\ INTRODUCCION
Jean-Paul Collette
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tración de ciertos teoremas mencionados en el capítulo o la aplicación de conceptos ya estudiados a situaciones concretas. Se encontrará también al final de esta obra una lista de temas de trabajo y un índice alfabético de nombres y conceptos. Al estudiante que sigue un curso de historia de las matemáticas, los temas de trabajos deberían permitirle tomar contacto con el campo de !a investigación en historia de las matemáticas. Al profesor de matemáticas y al lector, le ofrecerán la posibilidad de aumentar sus conocimientos sobre temas específicos y así perfeccionar su formación his.tórica. Además, el desarrollo de los temas propuestos puede ilustrar al profesor e incitarle a recurrir a la historia para enseñar los conceptos matemáticos correspondientes. Agradecemos a las autoridades de la Universidad de Quebec en Trois-Rivieres el habernos permitido experimentar con este material. Este agradecimiento va dirigido muy especialmente al director del departamento de matemáticas y a nuestros estudiantes quienes, con sus numerosas sugerencias, nos permitieron corregir los errores y puntos débiles puestos de manifiesto en la práctica. Aceptamos, no obstante, la responsabilidad de los errores y puntos débiles que puedan aún encontrarse en la obra.
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1 ¿Sintió siempre el hombre curiosidad por su pasado? Sin duda, a nivel individual, la memoria, la noción del tiempo, el deseo de medir este tiempo son cualidades específicamente humanas. Además. cada uno de nosotros, desde su infancia, trata de crearse una historia, de reconstruir su pasado y el de sus allegados. Vive en un planeta viajero, donde encuentra tradiciones, técnicas, recetas. Su herencia se confunde con las costumbres, las leyes y el medio modelado por sus antepasados. Hay que recordar que el sentido de las cosas se nos escapa, que desborda sin cesar el presente. La comprensión de un fenómeno no puede ser completa sin una vuelta a los orígenes, a las ideas iniciales. Así el historiador se esfuerza por captar, en toda su complejidad cambiante, el pasado del hombre y de las sociedades humanas. La exploración del pasado, utilizando métodos críticos y medios técnicos perfeccionados, permite emprender la síntesis de las actividades humanas correspondientes a un período de unos 5 000 1 años. Esta síntesis histórica comienza muy lentamente con la aparición de los primeros documentos (piedras, suelos, utensilios, papiros, tablillas de arcilla, juncos, etc.). Al principio, íntimamente ligada a las circunstancias generaies de la evoiución, la historia de las ciencias nace con las primeras actividades de carácter científico .. Después, en etapas suc~sivas, se desarrolla de forma autónoma, manteniendo interrelaciones continuas con las circunstancias generales de la evolución. Gracias al trabajo incesante de numerosos historiadores, la historia de las matemáticas, verdadero esqueleto de la historia de las ciencias, ha adquirido carta de ciudadanía en la historia. 1 Seguimos en esta obra las normas de la Asociación Métrica Canadicme: espacios para separar los grupos de tres cifras, coma decimal en vez de punto decimal.
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La prehistoria
LA PREHISTORIA
INTRODUCCIÓN
El hombre no ha utilizado siempre la misma técnica para hacer balance de su pasado. El bagaje histórico de las sociedade~ y de las familias ha variado en el tiempo y en el espacio. La riqueza histórica de la que hace alarde una civilización toma diversas formas seglin el lugar, el tiempo, la grandeza o decadencia de la época. Y si, para el hombre de las primeras civilizaciones, esta riqueza histórica reviste la .forma del «mito», ¿cómo deberemos clasificar los distintos testimonios legados por la prehistoria? El principio de la aventura del hombre sobre la tierra se pierde en la noche de los tiempos; hay que evaluarlo en más de un millón de años. Con la prehistoria nos encontramos en la fáse de las conjeturas. Existen demasiados pocos documentos para demostrar o invalidar éste o aquel aserto. Todo lo más, podemos intentar esclarecer, gracias a los datos de la arqueología y la antropología, las primeras actividaes manifiestas del hombre prehistórico.
MATEMÁTICAS DE LA PREHISTORIA
¿En qué momento, comenzó la humanidad a pensar en términos de relaciones numéricas y geométricas? La tradición pretnde que la ciencia matemática empezó en Grecia, hacia el siglo v a. C., para no dejar a las civilizaciones anteriores más que parcelas cuyo contenido matemático es a la vez deslavazado y concreto. Los documentos históricos que poseemos actualmente nos permiten suponer la existencia de relaciones numéricas y geométricas muy anteriores al nacimiento de las grandes civilizaciones antiguas. Nada, en los hechos actuales, nos impide establecer el nacimiento de ciertas relaciones matemáticas en los primeros tiempos de la humanidad.
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Si el origen del hombre sigue siendo todavía enigmático desde distintos puntos de vista, es sin embargo casi seguro que, hacia el año 40 000 a.C. (hombre de Neandertal), el hombre comenzó a pensar. Desde este momento, el hombre de la prehistoria adquiere conciencia del medio en el que vive y tiene que procurar, con toda urgencia, su supervivencia. Las numerosas excavaciones arqueológicas realizadas en depósitos y sedimentos neolíticos revelan ya la existencia de una industria perfeccionada y actividades sociales propias de una sociedad en marcha. Dos elementos matemáticos importantes surgen en esta sociedad prehistórica: 1) un lenguaje articulado en el que hay un sistema de números; 2) utensilios y construcciones en los que intervienen relaciones espaciales.
RELACIONES NUMÉRICAS
Existen algunos factores que pueden persuadirnos de que el hombre primitivo poseía una cierta idea del concepto de número. Por ejemplo, numerosas tribus primitivas que viven actualmente en Australia y Polinesia poseen un sistema de números, más o menos elaborado. Estas tribus, que viven en la edad de piedra (varias de ellas no poseen ni agricultura, ni utensilios perfeccionado~ <::CJ!Tlo el arco y la flecha), consiguen contar y utilizar un lenguaje de tipo descriptivo . Boyer 1 menciona el descubrimiento, en Checoslovaqui::i . de !.!!: hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el que aparece una sucesión de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco. Este hueso fue descubierto en sedimentos que datan de hace aproximadamente 30 000 años. Gracias a los trabajos de antropólogos y etnólogos, podemos intentar reconstruir el proceso natural que el hombre primitivo ha podido utilizar para enumerar objetos concretos o para tratar de hacer balance de los elementos contados, evitando el empleo de un
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Carl B. Boyer. A hisrory of mathematics, Nueva York . Wiley. 1968. p. 4.
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Jean-Paul Col/elle
dogmatismo improvisado, incompatible, por añadidura, con el estado actual de la historia.
FORMACIÓN DEL NÚMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO
Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunicación verbal, el hombre primitivo podía observar en la naturaleza fenómenos cuantitativos: un árbol y un bosque, una piedra y un montón de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Esta distinción entre la unidad y la pluralidad, la estableció, sin duda, muy pronto. Igualmente, la noción de par --dos pies, dos manos, dos ojos, etc.~ debió llamar su atención. Es fácil imaginar que estas primeras observaciones le condujeron a la noción de «correspondencia biunívoca», primera etapa de la numeración. El objeto observado es el centro, el blanco de la atención visual del hombre primitivo, y la desaparición de este objeto lleva consigo la pérdida inevitable del estímulo, la ausencia del número. El recuerdo2 de un objeto hace referencia a la forma de una imagen y no a la idea del número. A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primitivo extrae gradualmente la idea de comparación y asocia, a cada objeto observe1.do, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede así utilizar Ja «correspondencia biunívoca» para asociar a una colección de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta colección de signos puede ser muy variada según las tribus o pueblos primitivos: una tribu (o incluso un individuo) utilizará rayas hechas en la madera, en un hueso o en la arena; otra recurrirá a un montón de guijarros o incluso a cocos; y otra preferirá los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza; etc. La enumeración de un grupo de objetos observados deja paso a la numeración con la aparición de un lenguaje articulado (escrito o hablado). Esta transición corresponde probablemente al cambio de vida del hombre primitivo que se convierte en productor, comer2 Darwin decía que la memoria y la imaginación son dos componentes esenciales del razonamiento matemático y que los animales superiores (primates) habían ad uirido estos dos elementos necesarios.
La prehistoria
7
ciante, en vez de simple proveedor de alimento. El comerciante necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos y debe poseer un sistema de números para contar. El productor evalúa la cantidad de objetos producidos, el número de corderos criados, las pérdidas por robo, y todo esto presupone el conocimiento de un sistema de numeración adecuado al tipo de vida del hombre primitivo. La numeración presenta también variantes según las tribus , debido, sobre todo, a dos factores: 1) el lenguaje de la tribu determina las palabras de carácter numérico; 2) el medio en el que la tribu evoluciona determina el tipo de individuo y las necesidades específicas. Por ejemplo, los aptiguos sumerios utilizaban las palabras «hombre» , «mujer» y «varios», en lugar de «uno», «dos» y «tres», respectivamente. Así el hombre simboliza el número l. Por matrimonio, él y su mujer representaban el número dos. Todo lo que sobrepasase numéricamente el dos estaba simbolizado por «varios». Los pigmeos de Africa utilizan el sistema repetitivo siguiente: a , oa, ua, oa-0a; para los números uno, dos, tres y cuatro, respectivamente . Las tribus kamilarai de Australia utilizan también un sistema repetitivo: uno se dice «mal»; dos se dice «bulan»; tres es «guliba»; cuatro corresponde a «bulan bulan»; etc. No obstante, la sustitución de los objetos por palabras del lenguaje no significa aún que el concepto de número esté en el pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo, que asocia a tres vacas tres palabras distintas, no puede, sin las palabras , pensar en el número tres. Además, experiencias etnográficas efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesión ordenada de palabras numéricas no lleva necesariamente consigo la comprensión del concepto de número cardinaP. Sin embargo , la ausencia de palabras numéricas no impide
J The Natio n~I Counci l of Teache rs of Mathe matics, Historica/ tapies for the mathematics classroom , )Jsl yearbook, Washington , N.C.T.M., 1969, p. 21.
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tampoco, gracias a la utilización de la correspondencia biunívoca 4 , la posibilidad de contar. Eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener más que el elemento numérico al que corresponde en el proceso de numeración, equivale de hecho a exigir que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se adquiere sino progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importantes: el número cardinal, que proporciona la expresión cuantitativa, y el número ordinal, que pone de manifiesto Ja existencia de un primer elemento seguido de un segundo y de un tercero, etc. El hombre primitivo piensa en un número cuando capta bien las rdaciones siguientes: 1) la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempeña ningún papel en la numeración; 2) el orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el número cardinal; 3) el último elemento contado corresponde de hecho, en la medida en que sólo sea necesario el resultado de Ja cuenta, al número cardinal de Ja colección .
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Por consiguiente, el paso difícil de dar consiste e n reconocer al último elemento contado como aquel que expresa «cuántos elementos contiene el conjunto que se quiere contar». ¿A qué nivel las tribus de hombres prehistóricos cumplieron las condiciones antes citadas? Esta pregunta permanecerá probablemente sin respuesta debido a la ausencia casi total de documentos relativos a este tipo de cuestiones. Sin embargo, se pueden observar, entre las tribus primi, tivas actuales, numerosas dificultades a Ja hora de contar. Un antropólogo inglés, Francis Galton (citado por Struik5), narra sus observaciones referentes a una tribu bantú del Africa sudecuatorial (los damara), con estas significativas palabras:
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4 Christoph J. Scriba, Tire concept of number: a chapter in the history of mathematics wich applicacions of interese to ceachers, Mannheim/Zurich, Bibliographisches lnstitut, 1968, p. 6. 5 Dirk J. Struik, «Stone Age mathematics», Scientific America1 , 179, diciembre de 1948, p. 46.
La prehistoria
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Cuando se les pregunta a cuántos días de viaje puede estar un lugar, su ignorancia de toda idea numérica resulta muy molesta. En la práctica, al Í margen de lo que pueda poseer su lenguaje, no usan ningún número mayor \ de tres. Cuando desean expresar cuatro, recurren a sus dedos, que son para ' ellos unos instrumentos de cálculo tan formidable corno lo es para un escolar inglés la regla. Después de cinco se desconciertan, porque no les queda una mano libre para coger los dedos requeridos para las unidades. Sin embargo, rara vez pierden un buey; la forma en que descubren la .. pérdida de uno no es por el número menor de cabezas de ganado, sino por la ausencia de una cara que conocen.
Este testimonio, entre tantos otros, ilustra bien la dificultad inhe-, rente al proceso de enumeración y destaca también un ~lemento importante, susceptible de prolongar la numeración de una colección de objetos. Se trata, evidentemente, de la noción de «agrupamiento» o de «base» que permite, agrupando los objetos por conjuntos, conseguir aumentar considerablemente el número de objetos contados.
AGRUPAMIENTO DE LOS N Ú ME ROS
Si los signos para representar los números precedieron cronológicamente a las palabras, el agrupamiento de los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenció sin duda, de manera directa, la base del sistema de numeración elegido. Parece que las tribus más primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos , después de cuatro en cuatro y de seis en seis. Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede así implicar agrupamientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y fácilmente accesibles , sino también de favorecer, por la «disposición» de los dedos, una distinción entre número cardinal y número ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupamientos fueron también utilizados por ciertas tribus primitivas, especialme nte los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho.
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Jean-Pauf Cn/fe11e
S!ruik 1' cita una investigación emprendida por la Universidad de Stanford sobre 307 sistemas de numeración que se encuentran en las tribus primitivas americanas. De estos sistemas, 146 pertenecen a los agrupamientos de diez, 106 a los agrupamientos de cinco '! diez, 81 son binarios, 35 so.n de base veinte y de base cinco y veinte, 15 pertenecen a los agrupamientos de cuatro, 3 son agrupamientos de tres y uno solo corresponde a la base ocho. Una vez comprendida perfectamente la noción de agrupamiento, es natural que el hombre primitivo asigne entonces un símbolo particular al agrupamiento utilizado. Está ahora en posesión de los elementos que podrá combinar para inventar su sistema de numeración.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
La necesidad de un sistema de numeración proviene de la naturaleza de las actividades propias de un pueblo primitivo. Las tribus que poseían grandes rebaños domesticados o que practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar números grandes y favoreciese la invención de un calendario . ¿Cuáles son los procedimientos utilizados durante la prehistoria (o que tienen en ella su erigen) y que dieron lugar a los diferentes sistemas de numeración ? Un primer procedimiento consiste en prolongar el agrupamiento añadiendo unidad ·a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como agrupamiento, utilizará los dedos (uno a uno) de su mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible extensión consistiría en utilizar los dedos de los pies . Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el lenguaje, puesto que requiere la creación de nuevas palabras. Otro procedimiento, L1ucho más eficaz, consiste en utiliza r e l principio de la «repeticicin» en la numeración de los ohj e tos co ntados . Por ejemplo, en bz.se tres, los pigmeos de Africa emple a n e! sistema repetitivo siguiente:
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La prehisloria
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Ai hombre primitivo, que utiliza una mano·de cinco dedos como base, le es suficiente añadir la otra mano para contar hasta diez; después, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte, y así sucesivamente. Una variante consiste en utilizar los diez dedos como base y proceder así de la misma forma que antes. Este procedimiento está catalogado como «sistema aditivo no posicional»; su principal defecto es que utiliza un gran número de símbolos . El tercer método, muy poco empleado durante la prehistoria, se basa esencialmente en el principo de la posición. Cualquier símbolo posee el valor indicado por la posición que ocupa en la sucesión de símbolos que representa un número u otro . El ejemplo por excelencia de este tipo de sistema, llamado «sistema posicional», es nuestro sistema decimal. Tendremos ocasión de analizar más detenidamente el sistema posicional cuando abordemos el estudio de las civilizaciones antiguas. El desarrollo de los sistemas de numeración de la época prehistórica no fue, probablemente, más allá del tipo aditivo no posicional. No obstante, esto no impidió a los ho mb res primitivos e stablecer los primeros ele mentos de una aritmética práctica y d e una geometría orie ntada a la medició n de áreas y volúme nes. Con la aparición d e l comercio, la industria y la agricul tura," el hombre primitivo debe no solamente saber contar, sino ta mbién ser capaz ele hacer un balance de sus acti vidades comerciales. Los métodos primitivos varían enormeme nte cuando se trata de registrar las diversas formas de actividad econó mica: marcas e n la madera, nudos en una cue rd a , grupos de gui ja rros o de cocos . rayas en papiros o e n tablill as de arcilla, e tc. Y hacer e l ba la nce implicaba necesariam e nte conocer las reglas eleme ntal es de cá lculo numé rico . No e ra cuestión en aqu e lla época de utili zar números q ue no fuesen los natmales . Los números enteros. racionales , irracio nales, complejos, por no citar más que é stos, son invenciones ele nuestra era.
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EL NÚMERO Y LOS ANIMALES !¡.·
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El hombre posee, incluso en los niveles más elementales de su desarrollo, un tipo de facultad que le permite tener el sentido del número. Este sentido del número le confiere, entre otras cosas, la posibilidad de advertir que algo ha cambiado en unr> pequeña colección cuando un objeto ha sido retirado o añadido sin que él ' haya tenido conocimiento previo de ello. Si bien el hecho de contar se revela como una acción reservada en gran parte al hombre, sin embargo no se puede ignorar que algunas especies animales parecen poseer un senrido rudimentario del número similar al nue<;tro. A la pregunta: «¿Existe en los animales el sentido del número?», hay que responder sí, afirman personas competentes en este c<:- mpo, aunque este sí esté reservado sobre todo a los pájaros, a ciertas clases de inse'.:tos y algunos animales como las ratas y las focas. Además, los trabajos del profesor Otto Koehler, de la Universidad de Friburgo, sobre los pájaros, apoyan la tesis de que los animales pueden aprender a contar, en el sentido literal del término, darse cuenta de las diferencias entre colecciones de distinto número de puntos, y llegar a razones sobre la base de diferencias cuantitativas. Si algunas ardillas y loros han podido, como lo han demostrado las películas de Koehler, aprender a contar, es razonable suponer que otros animales como el perro, la foca, la rata, pueden también, probablemente, aprender a contar. Sin embargo, este sentido del número, como mínimo exclusivo de ciertas categorías de animales, parece ser una facl1ltad de la que los pájaros están mejor dotados. Numerosos hechos observables apoyan esta afirmación. Supongamos que un nido contiene cuatro huevos; se puede retirar uno de ellos sin que esto perturbe a la hembra, pero si se quitan dos, abandonará en general el nido, como si pudiese, por algún procedimiento, distinguir dos de tres. Experiencias realizadas con un ruiseñor demostraron que podía contar hasta tres. Todos los días, se le llevaban, de uno en uno, tres gusanos para la comida; tomaba uno, iixi a comerlo a otro lugar, volvía por el segundo y repetía la misma estratagema con el tercero. Pero, después de haber comido el tercer gusano, no regresaba, como si supiese ri ue era el último. Más sorpreridente aún es el caso de la avispa solitaria. Después Je haber puestt) sus huevos en celdillas individuales, la hembra lleva
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La prehistoria
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a cada uno una provisión de orugas vivas que el joven vástago comerá cuando salga del huevo. El número de víctimas es sumamente constante: en algunas especies de avispas es de cinco, en otras de doce y en otras hasta de veinticuatro. Pero el caso más asombroso es el de una especie, la Genus Eumenus, variedad en la que el macho es más pequeño que la hembra. De manera misteriosa, la madre sabe de antemano si el huevo producirá una larva hembra o una larva macho y proporciona a cada uno el alimento que necesita: cinco orugas al macho y diez a la hembra, todo ello sin cambios en el tamaño o en el tipo de las presas. Sin embargo, la acción, regular y cíclica, nos autoriza a pensar que está en relación con una función vital del insecto, probablemente de naturaleza inconsciente. El ejemplo de la corneja es aún más revelador. Se cuenta que un castellano había decidido matar una corneja que había fijado su domicilio en la torre de observación de su castillo. Lo había intentado varias veces, pero siempre, cuando el hombre se aproximaba, dejaba su nido y se dirigía a un árbol vecino fuera del alcance del fusil asesino. El castellano, decidido a terminar de una vez para siempre, optó por una artimaña. Una mañana se presentó en la torre con un amigo. Los dos hombres entraron y poco tiempo después salió sólo el castellano . La corneja esperó pacientemente la salida del segundo hombre . En los días que siguieron, la experiencia se repitió con tres e incluso con cuatro personas. Siempre al acecho, la corneja volvía a la torre una vez que había salido el último hombre. Por último, se enviaron cinco hombres; como en ocasiones anteriores, cuatro salieron de la torre, uno después de otro, mientras que el quinto esperaba tranquilamente en el interior. Esta vez, la corneja, incapaz de distinguir entre cuatro y cinco, cayó en la trampa y volvió a su nido sin saber que el quinto hombre la aguardaba con el fusil apuntando a su nido. Es fácil adivinar la suerte que corrió la pobre corneja. Estos hechos demuestran que ciertos animales pueden contar y ponen, sin eluda, de manifiesto un sentido del número parecido al nuestro. Además, experiencias hechas con animales nos autorizan a decir que éstos tienen, a veces, actividades que reflejan aspectos netamente matemáticos.
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Jean-Paul Colle11t·
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
La adición comienza con muy pocos símbolos distintos y los números empleados se escriben casi siempre como suma de dos números inferiores. Por ejemplo, el número cinco podía escribirse así: 1 + 4, 2 + 3, 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 1 + 1, etc. Si la base del sistema es cinco, un símbolo especial designa generalmente al número cinco (suele ocurrir lo mismo con el número que corresponde a la base empleada). Por consiguiente, la adición se hace por descompo·sición y los cálculos son con frecuencia largos y penosos. La sustracción proviene de la costumbre de ciertas tribus de escribir el número 6, por ejemplo, como 7 - 1. La diferencia 3 - 3 se descarta, puesto que el número cero no se había inventado y todas las sumas o diferencias negativas son desconocidas. La multiplicación se introdujo probablemente en ciertos pueblos primitivos por medio del desdoblamiento. Desdoblando el número 10 como sigue:
+
10
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X
5
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X
(2
+ 2 + 1)
o de manera equivalente, se conseguían multiplicar los números y registrar los resultados en forma de tablas numéricas . La división fue una operación demasiado.difícil, desde un punto de vista práctico, para los pueblos primitivos. Parece que las fracciones hacen su aparición con el advenimiento de las civilizaciones babilónica y egipcia. La adquisición de los rudimentos del cálculo aritmético da lugar a la medición de longitudes, áreas y volúmenes. Las unidades de medición se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo humano: el dedo, el pie, el pulgar, la mano, el antebrazo . Los volúmenes se miden con ayuda de cestos o de conchas de tamaño «Standard». La construcción de las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que garantizan Ja existencia de líneas y ángulos rectos . La geometría que se utiliza es empírica y está esencialmente dirigida a un fin utilitario o ritual. La justificación de las reglas utilizadas y de las convenciones elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogidos sobre esta época. La geometría aparece también en las pinturas y motivos dibuja dos por estos pueblos primitivos. Una gran riqueza de figuras
Lu prehistoria
15
geométricas se encuentra en vasos, cestos, muros de cavernas. Son abundantes los ejemplos de semejanza y de distintas formas de simetría en las decoraciones del Neolítico. La imaginación geométrica de estos pueblos es de una riqueza difícil de sospechar. Hay que mencionar también que el desarrollo de las matemáticas estuvo en esta época muy influenciado por la astronomía. Los pueblos primitivos poseían ciertos conocimientos relativos al sol, la luna y las estrellas. Además, un pueblo agrícola debía llevar la cuenta de los días y de las noches, así como de las disti ntas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos un calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegetación y poseer unidades de tiempo útiles y convenientes . Por último, es indispensable subrayar la influencia de la religión sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en el de las acciones diarias del hombre primitivo. Incluso si la civilización se estableció sobre un soporte religioso inherente a prácticas rituales, . se debe, no obstante, considerar cuál fue el papel de la práctica religiosa del hombre primitivo en su concepción del número. En un artícuio aparecido en 1962, Seidenberg7 pretende demostrar, con pruebas que lo apoyan, que el origen ritual de la cuenta se impone por hechos observables y evidentes. Partiendo de la hipótesis de que una sucesión definida de palabras acompañada de una actividad familiar en la que estas palabras son empleadas constituyen los elementos esenciales para contar, emprende la demostración de la siguiente conjetura: a) los nombres de los participantes en un ritual, o las palabras que los anuncian, eran de carácter numérico . Así, la «Seriación» es el ritual y la «cuenta» es el mito. La intención del mito es decir o interpretar la significación del ritual; b) cuentas elevadas pudieron producirse a partir de largas procesiones de participantes. La base utilizada correspondería al número de personas en un ritual fundament al y Ja necesidad de uti lizar números altos provendría de la continua repetición de este ritual de base .
7 A. Seidenberg, «The ritual o rigin of counting•>. Archive for History of E.rnct Scil'nces. 1. 1962 , p. S.
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Jcan-Paul Col/elle
La prehistoria
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Se propone también explicar los hechos antes mencionados utilizando el testimonio de la historia y demostrar que estos elementos estuvieron presentes. Como conclusión, el autor, que considera el mito como la forma de las palabras asociadas al rito, pretende que el hecho de contar era con frecuencia el elemento central de un ritual y que se contaban los participantes en el mismo. Esto le hace sugerir la hipótesis de que la cuenta fue inventada como un medio de llamar a escena a los participantes en un ritual. ¿Desarrolló el hombre primitivo el concepto de número partiendo de necesidades prácticas y utilitarias, o de las diversas influencias ejercidas por fa religión o la magia? Nadie lo sabe con seguridad. Sin embargo, es muy probable que el desarrollo de las matemáticas pudiese haber estado influenciado, en sus orígenes, por las prácticas religiosas; en particular, el concepto de número y la geometría 8 del hombre primitivo reflejan aspectos ligados al ámbito religioso .
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Las civilizacion es de la época neolítica o prehistórica, caracterizadas por la caza y una agricultura y un comercio rudimentarios, manifestaron interés por el número y la geo.metría empírica . Este comier:w de las 1úatemáticas fue originado pnr las necesidades de su vida social y econó 1.ni c: 1, y estuvo influenciado taribén por la religión y la magia. Les homb res primitivos desarrollaron sistemas de numeración (de tipo aditivo no posici o nalí <¡ue les permitían efectuar cálculos con números naturales (adición , sustrn;;ción,
~ A. Se idenbe:·g . «The ritual origin of geometrro , Archive far History of Exact Scienccs. 1, 1962. pp . 489-527.
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multiplicación) . La geometría empírica del hombre primitivo se reduce a algunas reglas para medir longitudes y volúmenes. Los dibujos de rico colorido contienen figuras geométricas en las que predomina la simetría. La ; mayoría de los pueblos primitivos inventaron un calendario lunar.
BIBLIOGRAFÍA
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Jean-Pau/ Coi/elle
2.
LA CIVILIZACION BABILONICA
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EJERCICIOS
l. ¿Qué elementos de carácter matemático surgen en las sociedades prehis-
tóricas? " 2. Citar algunos de los factores que ponen de manifiesto que el hombre primitivo poseía una idea más o menos clara del concepto de número. 3. ¿Cuáles son las razones de orden histórico que justifican la siguiente afirmación: la enumeración precede a la numeración en la adquisición gradual del concepto de número? 4. La noción de correspondencia biunívoca, ¿garantiza la existencia del número ordinal? 5. ¿Se puede afirmar que históricamente el número cardinal precede al número ordinal? 6. ¿Cuáles son los factores que pudieron originar la diversidad de los agrupamientos numéricos observados en las culturas primitivas? 7. Dar' algunos ejemplos de las bases utilizadas por los hombres primitivos. ¿Existen vestigios de las bases veinte y doce en nuestra lengua? 8. Caracterizar la aportación de los pueblos prehistóricos a la ciencia matemática. Proporcionar datos que apoyen las afirmaciones.
INTRODUCCIÓN
¿En qué momento termina la Edad de Piedra (prehistoria) y comienza la Edad de los Metales? Es ésta una pregunta cuyas diversas respuestas están ligadas con más frecuencia a preocupaciones de tipo geográfico, cultural y económico. Parece cierto que el Neolítico se prolonga más en Europa y termina antes en algunas zonas de Asia y Africa. Si convenimos en hacer coincidir el nacimiento de las civilizaciones antiguas con el advenimiento de la Edad de los Metales, las primeras sociedades organizadas se formaron en las orillas de los grandes ríos, como el Nilo, el ·Eufrates, el Tigris y los principales ríos de la India y de la China. Encontraremos en el mapa los focos más importantes que dierori lugar a las civilizaciones babilónica y egipcia . El balance cronológico de las civilizaciones de los valles del Indo y del Changijiang (Yangtsé) (ríos que nacen en el Tíbet y se dirigen respectivamente hacia el norte de la India y hacia el este de China) se apoya en crónicas cuya veracidad se pone en duda con frecuencia. Por el contrario, las informaciones procedentes de los habitantes del valle del Nilo y del «Creciente Fértil» ofrecen, en las fuentes recogidas hasta ahora, una mayor objetividad y una interpretación más acertada de las actividades matemáticas de estos ~ueblos.
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ORIGEN
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La civilización babilónica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia en un período que comienza hacia el 5000 a.C. y termina en los primeros tiempos del cristianismo. Uno después de otro, estos pueblos -sumerios, acadios, caldeos, asirios,
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babilonios y otros- contribuyeron a establecer las características de la civilización babilónica. Más exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural del «Creciente Fértil» entre los años 2000 y 550 a.C.; incluso i:lespués de la toma de Babilonia por el conquistador persa Ciro, en el año 538 a.C., la evolución de las matemáticas babilónicas continuó durante la llamada época «seléucida», cuyo fin coincide aproximadamente con el nacimiento de Cristo.
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El conocimiento actual de las matemáticas babilónicas procede de las excavaciones arqueológicas emprendidas a partir de mediados del siglo XIX, con el fin de extraer documentos de todo tipo susceptibles de revelar los elementos más importantes que caracterizaron a esta gran civilización prehelénica. Se han recogido ya, en los distintos emplazamientos arqueológicos de Mesopotamia, casi medio millón de tablillas de arcilla, de las cuales más de 300 conciernen esencialmente al ámbito matemático. Diversas colecciones de estas tablillas han sido adquiridas por los museos de París, Berlín y Londres, entre otros; mientras que numerosas colecciones se encuentran en las universidades de, por ejemplo, Columbia, Yale y Pensilvania . Las dimensiones de estas tablillas varían generalmente entre 12 y 450 cm 2• Cada tabÍilla de arcilla, después de haber sido impresa con un estilete (escritura cuneiforme), tenía que ser cocida para que endureciese. Esto explica la abundancia de documentos babilónicos conservados, mientras que la naturaleza de otros, como el papiro egipcio o el bambú chino, los hace fácilmente perecederos. A pesar del gran número de documentos escritos obtenidos en las excavaciones que comenzaron en el siglo pasado, habrá que esperar las contribuciones esenciales del francés Thureau-Dangin y del alemán Otto Neugebauer, hacia mediados del siglo XX, para apreciar verdaderamente los conocimientos matemáticos de los habitantes del «Creciente Fértil». Esta larga espera se debió a las dificultades encontradas para descifrar estos textos de escritura cuneiforme. Gracias a los esfuerzos de Grotefend y Rawlinson, se pudo analizar estos textos y descubrir una parte de los conocimientos de los pueblos de Mesopotamia.
La civilización babilónica
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Entre estas tablillas de arcilla, encontramos textos matemáticos procedentes del último período sumerio (hacia el año 2100 a.C.); un número mayor de ellos pertenecen a la primera dinastía babilónica (época del rey Hammurabi), y por último, muchos de ellos pueden situarse entre el año 600 a.C. y el 300 d.C. (del imperio de Nabucodonosor al imperio seléucida). Los textos matemáticos consisten esencialmente en tabillas que contienen series de números, relaciones geométricas y listas de problemas. En particular, las tablillas contienen multiplicaciones, números y sus inversos, cuadrados y cubos, y también algunas relaciones númericas en términos de exponentes. El contenido matemático revelado por estos textos es lo suficientemente variado como para que sea útil exponer sus distintos componentes .
SISTEMA DE NUMERACIÓN
En Mesopotamia, las primeras formas de escritura aparecen hacia el tercer milenio a .C. y se caracterizan por la utilización de símbolos estilizados para representar las cosas. Gradualmente, estas fo rmas se combinan y reducen para obtener una escritura más cómoda 1• Paralelamente, el estilete cilíndrico empleado al principio cambia de forma y pasa a ser triangular (escritura cuneiforme) . El símbolo
r2 representa la unidad y se repite hast a nueve veces para representar el número 9. El símbolo
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representa el número 10 y se repite combinándolo con la unidad para representar los números del 11 al 59. A partir del 60, se utiliz
1
Car! 8, Boyer. A history of mathemalics, Nueva York, Wiley. 1968. pp, 27-28.
2 Un clavo. generalmente en posición vertical, designa la unidad. y una espiga la
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Lu civilización babilónica
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23
En el momento de la conquista de Alejandro Magno, el mismo número tenía una representación simbólica más adecuada:
las mismas combinacione5 de dos signos, teniendo en cuenta, sin embargo, que entra en juego el principio de la posición 3 • Los viejos textos babilónicos (hacia el año 1700 a.C.) no revelan la presencia de un símbolo específico para el cero; no obstante, los babilónicos empleaban un espacio blanco más o menos destacado. Así, el conj'unto
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para indicar el sitio del cero. Por otra parte, incluso en esta época (primeros siglos antes de C. ), rara vez se emplea este último símbolo al final de la representación numérica. A pesar de todo, hay que admitir que este sistema mixto (base 10 y base 60) fue el primer sistema posicional entre los antiguos; su origen parece proceder de las unidades de medida 4 • La representación numérica de los números se ve facilitada (considerados los sistemas más antiguos o contemporáneos), en la medida en que el contexto está claramente definido. Por ejemplo , el número 7424 en base 60 se representa como sigue :
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o, mejor, 1 + ~: (en base 60), bastaba entonces con utilizar la expresión simbólica
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que significaba menos uno. El principio de la posición, o del valor según el lugar del símbolo, favorecía a los babilonios, contrariamente a Jo que ocurría, como veremos en el próximo capítulo, con los egipcios, a Ja hora de escribir fracciones. Si el escriba babilónico deseaba escribir Ja fracción
ó 2 . 60 2 + 3 . 60 + 44
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Algunas veces, en textos que datan de la primera dinastía babilónica, observamos la utilización del principio de la sustracción en la escritura de números. Así, el número 29 podía representarse como 30 - 1, empleando un signo de sustracción de la forma
puede significar el número 11, el número 11 · 60, el número 11 · 60 2 , etc. Sin embargo , en la época seléucida, ciertos textos utilizan el símbolo
= 2,3,44
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en donde los espacios han sido sustituidos por ~
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Sin embargo, esta expresión, puesto que en general no hay cero, puede prestarse a confusión (aunque no para el escriba), ya que . 3o o ' + (.,¡_w , etc. E s as1, como 1os b a bºJ . pue d e s1g01 1car 1 + 6o 1 omos 60 11
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podían, igual que nosotros, sumar y multiplicar números con Ja misma facilidad con que hoy nos permite hacerlo el sistema decimal.
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mente. 4 Véa se B. L. Van der Waerden, Science awakening, Nueva York, Wiley, 1963 . pp. 40-41.
ARITMÉTICA BABILÓNICA
La multiplicación se efectúa por referencia a tablas de multiplicación (construidas probablemente en un principio por adiciones sucesivas). Presentamos aquí el prototipo de una tabla de multiplicación babilónica.
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no es ambigua y corresponde efectivamente al número 126. Sin embargo, se encuentran numerosos ejemplos en la escritura babilónica en los que el escriba se preocupa poco de separar bien los múltiplos de 60 de las unidades, puesto que, en principio, el espacio vacío significa de hecho el lugar del punto sexagesimal; de ahí la necesidad de un contexto bien definido. La utilización de tablas de inversos (valores de~ para diferentes valores de n, todo ello expresado en el sistema sexagesimal) permitía reducir la operación de división a una operación de multiplicación. No obstante, cuando se analizan las tablas de multiplicación , sorprende observar la ausencia de ciertos números. Por ejemplo, en base 60, uno espera encontrar una colccc:ón de tablas de multiplicación que incluya todos los valores de 2 a 59 y los múltiplos de l a 59. Sin embargo, la verdad es otra. Si el valor elegido es s con 1 < s ~ 59, la tabla de multiplicación proporciona los valores 1 · s, 2 · s, .. ., 19 · s,20 · s,40 · s,50 · s,yesoestodo. La multiplicación 47 · s sería de hecho la suma de 40 · s y 7 · s. Sin embargo, el valor elegidos, con l < s ~ 59, excluye por ejemplo los números 11, 13, 14. 17, 19, etc. ¿, Por qué? Porque estos nt"imerus no pueden tener un desarrollo finito tn base 60 . Consideremos el número inverso del número 8. Se encuentra . 60 7 30 1 . ' 11 no corno O . ;7 ,3()·, , es d· cc1r + --¡;¡¡,= 8, mientras que e 1 numero
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La civilización babilónica
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e: Utiliz;1111'JS en este capítulo la convención sugerida por Neugcbauer: el punto cnr,1a. «:», sustituye a la coma decimal , y la coma. "·"· señala una serie numéri·
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posee inverso en base 60, puesto que no tiene desarrollo finito en esta base. De hecho, un número regular, en el sentido babilónico del término, es «Un número cuyos factores son potencias de los divisores primos de 60», es decir que bes regular si b = 2"' · 3" · 51' don de m, n y p son enteros positivos, incluyendo el cero. Observemos que tenemos también, en nuestro sistema decimal, inversos de de. (11 · 6, 1 1 . r·mito sarro l! o 111 9, .. .1. De hecho, esto explica la existencia de las tablas de inversos. Si se desea dividir 47 por 8, se busca primero el inverso de 8 que es 7 ,30, después se utiliza una tabla de multiplicación en la que s = 7 ,30 y se efectúa la siguiente operación : 40 · 7 ,30 + 7 · 7 ,30, resultados que se encuentran en la tabla elegida . Cuando quieren efectuar divisiones, por ejemplo 35 + 14, los babilonios utilizan aproximaciones obtenidas, al parecer, por interpolación . En particular, hay un texto en el que se da la aproximación siguiente: 5~ = O; 1, 1, 1. Parece como si los babilonios no se hubiesen preocupado de distinguir entre desarrollo infinito periódico y desarrollo infinito no periódico . En ciertos textos, se observa la presencia de relaciones exponenciales en términos de potencias sucesivas de un número dado. Algunas tablas contienen, para las bases 9, 16, 100 y 225, las diez primeras potencias . Estas tablas permitían encontrar solución a problemas del tipo: ¿a qué potencia hay que elevar un cierto número (base) para obtener otro dado? No debe verse en este tipo de problema la función logarítmica tal como la concebimos actualmente . Sin embargo, puede extrañarnos encontrar tan pronto, en la evolución de las matemáticas , relaciones exponenciales de este tipo. Los babilonios aplicaron sus conocimientos aritméticos a esferas de actividad como el comercio (ventas, compras, facturaciones, recibos, anticipos), los contratos, el cálculo de intereses simples y compuestos, los sistemas de pesos y medidas, el calendario, .etc.
La civiliz
27
resolver ecuaciones cuadráticas (por compleción del cuadrado o por sustitución), algunas ecuaciones cúbicas y bicuadráticas. Por ejemplo, un problema consiste en «conocer la longitud del lado de un cuadrado cuya área menos el lado es igual a 870". Esto equivale a resolver la ecuación x 2 - x = 870. ¿Cómo solucionaban este problema? Se toma la mitad de 1, que es 0;30 (en base 60) y se multiplica 0;30 por 0;30, lo que da 0;15; se suma este resultado a 14,30 (14,30 + 0;15) = 14,30;15, ya que 0;15 significa 0.15); pero 14,30;15 es el cuadrado de 29;30. Por último, se suma 0;30 a 29;30 y el resultado es 30, el lado del cuadrado. Muchos problemas contenidos en los textos babilónicos eran del tipo x 3 + x 2 = b, cuya solución se basaba en la utilización de una tabla, que se ha encontrado, en la que se daban las combinaciones de la forma n 3 + n 2 para 1 < n < 30. Los babilonios podían resolver sistemas de ecuaciones de varios tipos, con dos incógnitas, que incluían generalmente una ecuación lineal y una ecuación de segundo grado. Por ejemplo, los datos de un problema son los siguientes: «He sumado el área de mis dos cuadrados, lo que me da 21, 15 y el lado de uno es más pequeño que el lado del otro .» Estos datos corresponden a las ecuaciones: x2
+ y2 = 21,15, (1) y
La solución babilónica es la siguiente : la sustitución de (11) en (1) da 36.r~ x 2 + --:¡¡¡-
= 4Rs
en base 1O)
y
7
x=2
La solución negativa no existe, ya que se utilizaba la fórmula X=
El álgebra babilónica es retórica, es decir, los problemas algebraicos se enuncian y solucionan sin utilizar de manera sistemática notaciones algebraicas o simbólicas (como hoy). Los babilonios podían
(
de donde x2 = ~ 4
ÁLGEBRA BABILÓNICA
= %x . (II)
Y(I)2 + q + I
para la raíz de la ecuación x 2 - px = q. Si la ecuación es x 2 +px=q, entonces, la fórmula es análoga salvo la adición de un signo menos
28
.¡,
Jean-Pau/ Col/elle
~
ll !I
delante de~. En la colección de la Universidad de Y ale, se ha encontrado el enunciadó de un problema que engloba los tipos de ecuaciones siguientes:
#,.,_
.t
xy
mx2 -Y-
y
rv 2 +~ +b =Ü
cuya solución lleva a una ecuación de 6º, pero cuadrática en x 3 • Las excavaciones de Susa (Irán) revelaron, en particular, un problema que conduce a una ecuación de grado 8, cuadrática en x 4 • Neugebauer encontró en la colección del Louvrc --en una tablilla que data del imperio de Nabucodonosor- dos series interesantes:
-¡ .
=a
·~
3
i
·~
'i J
1
1
1fA
+
2
+ 2 2 + ... +
29
= 29 +
+
32
+ ... +
= !l(t) + lü(t)] 55 =
29
-
1,
y
j h~· '*j
11
:;1
+
22
102
385.
Sería, quizá, lícito preguntarse si los babilonios conocían ciertas series elementales, en este caso
·~··.!~··
±/
;j
.~~
=
s"+I -
1
s - 1
i::::U
± j2 =
n(n + 1) (2n + 1)
~·
6
1
y por último
~
Los babilonios emplearon un procedimiento muy eficaz para evaluar la raíz cuadrada . Sea x = \[b: la raíz buscada, y sea b 1 una aproximación de esta . raíz. Supongamos que a 1 es otra aproxima-
.~ ·.~ '.~
·g
± j2 = lt + } · ni [r=±j¡.
i=1
1
ción, tal que a 1 = -/;-. Si b 1 es demasiado pequeño, entonces, evi' dentemente a 1 es demasiado grande . Elijamos entonces la media
11
·~
·~
2
;b
.·~
aritmética b = ª 1
.~
a 2 = :, será demasiado pequeño. Luego, será suficiente tomar la
',;
·v
1
•
Si b 2 es demasiado grande, entonces
media aritmética b 3 = •i;b, . Este procedimiento se continúa indefinidamente. En una de las tablillas de Yale, se tiene
La civiliwció11 babilónica
En las transformaciones algebraicas, los babilonios manipularon' las ecuaciones con una habilidad realmente sorprendente. Asumiendo de manera tácita las propiedades conmutativa y distributiva,· . consiguieron obtener relaciones algebraicas tales como
(a + b) 2
= a2 + 2ab + b2
y
(a + b) (a - b)
= a2
-
b2
Según Neugebauer6, en los problemas algebraicos, la relación algebraica es lo que interesa, incluso si con frecuencia la solución de los problemas aporta un resultado práctico aplicable a la geometría o a otro campo. Además, hay que observar que los problemas pueden clasificarse en dos grupos: un primer grupo contiene la formulación del problema así como la elaboración, paso a paso, de la solución; el segundo grupo clasifica los problemas, generalmente, del más sencillo al más complejo, con vistas a mostrar el método de transformación que permite pasar de formas complejas a formas más sencillas con el fin de llegar a soluciones exactas. Finalmenté, parece, a partir de los ejemplos conocidos, que el método general predomina sobre el resultado numérico . Teniendo en cuenta las colecciones de tablillas conocidas actualmente, hay que admitir que el álgebra babilónica se desarrolló .! enormemente debido a la importancia que , en los problemas, los~r babilonios daban a la solución aritmética.
GEOMETRÍA BABILÓNICA
El estudio de los textos que tienen relacióri con la geometría, revela que la geometría babilónica está íntimamente ligada a las mediciones prácticas. Tratan, sobre todo, de la medición de figuras planas.salvo algunos indicios de problemas referentes a sólidos. . , Los babilonios determinan, generalmente, la circunferencia d..;. un círculo multiplicando su diámetro por 3; esto equivale a decir que :re = 3 . Sin embargo, un arqueólogo francés desenterró en Súsa_ ;:.¡J
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+ 60 +
51
60'
10
+ 6()3 = 1,414213.
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Otto Neugebauer. The exact sciences in Antiquity, 2.ª ed., Nueva York, !969:P,¡
42 .
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Jean-P1111/ Colle11e
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una tablilla en la que, mediante algunos cálculos, se llega a un valor de TC igual a 3*. No obstante, Neugebauer insiste en que es demasiado pronto para generalizar o aceptar de entrada este último valor. Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y la de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros se calculan multiplicando el área de la base por la altura. El volumen de un tronco de cono. del que se conocen la altura h y el perímetro de las bases by a, se calcula con la fórmula V=
t h (b
2
+ a 2 ), donde /2 =
== ~~. Esta fórmula aproximada no da nunca la respuesta exacta; ocurre lo mismo cuando se calcula el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada, mediante Ja relación V = h((a~hl 1 + ~ (a - b)), donde a es la base inferior, b la base superior y h la altura 7 • Los geómetras babilónicos están familiarizados con el teorema de Pitágoras y comprenden su principio general. Conocen también el teorema (atribuido a Tales de Mileto) según el cual el ángulo inscrito en un semicírculo es recto .. Además, saben que «los lados correspondientes de dos triángulos rectos semejantes son proporcionales» y que «la perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes». He aquí un problema de geometría citado por Thureau-Dangin 8 • «(Sea) un palo 30', es decir un bastón. La parte superior ha descendido 6', ¿cuánto se ha separado abajo?» (30' = ~, 9" = ~). Esta es la solución del geómetra babilónico: «Eleva 30' al cuadrado, te dará 15'. Resta 6' de 30' (obtendrás 24'). Eleva 24' al cuadrado, encontrarás 9'36". Resta 9'36" de 15', obtendrás 5'24". ¿De qué mimero es cuadrado 5'24"? Es 18" al cuadrado. En el suelo, se ha separado 18".» Según Eves9 , la característica principal de la geometría babilónica es ser algebraica y los problemas que implican una terminología geométrica son con frecuencia difíciles.
7
La
fó~mula exa~ta
V = h ¡~ -2 ~ 9
puede reconstruirse para obtener la relación general
. , que es una tórmula exacta. + 3l.i!!..!.El:j 2
F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques baby/onie11s, Leiden, Brill, 1938. Howard Eves, An i111roduc1ion to the history of mathematics, 3." ed .. Nueva York, Holt, Rinehart and Winston, 1969, p . 31.
La civilización babilónica
31
PLIMPTON 322
En 1945, O. Neugebauer y A. J. Sachs publicaban Mathematical cuneiform texts donde, por primera vez, el contenido de la tablilla Plimpton 322 era descifrado y analizado. Esta tablilla lleva' el número 322 del catálogo de la colección Plirnpton de la Universidad Columbia. Está escrita en la vieja escritura cuneiforme que data del período 1900-1600 a.C. Faltan algunas secciones de la tablilla, pero, verdaderamente, esto no ha impedido la reconstrucción completa a partir del contenido conservado intacto. Así, la tablilla consta de tres columnas completas y una parte de la cu arta columna, que ha podido ser completada posteriormente. He aquí la reproducción, publicada por Neugebauer y Sachs, de las cuatro columnas de la tablilla: IV
[1,59,0]15 [ 1,56,56]58, 14,50,6, 15 r1.55,1141, 15,33,45 [ 1,]5[3, 1J0,29,32,52,16 [ l ,]48,54, l ,40 [ l ,]47 ,6,41,40 [ 1, ]43, 11,56,28,26,40 ! 1, ]41,33 ,59'.3 ,45 [ 1,)38,33,36,36 1,35, 10,2,28.27,24,26,40 1,33,45 1,29,21,54,2,15 [ l ,]27 ,0,3,45 1,25,48,51,35,6,40 [ 1,]23, 13,46,40
\
111
11
1,59 56,7 1'16,41 3,31,49 1,5 5, 19 38, l l 13, 19 9, 1 1,22,41 45 27,59 7' 12, 1 29,31 56
2,49 3, 12, 1 1,50,49 5,9,! 1,37 8 ,1 59,1 20,49 12,49 2 , 16, l 1,J5 48 ,49 4,49 53,49 53
1 2 -3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Los números entre corchetes, así como los cero$, fueron añad idos por Neugebauer, allí donde se necesitaban en la columna IV. La primera columna enumera las líneas. Las co lumnas 11 y 111 no parecen, a primera vista, tener ninguna relación entre sí. Pero un análisis más detallado muestra que corresponden a la hipotenusa y a un lado de un triángulo rectángulo. Así, cuando se ca lculan los cuadrados de los números de la columna ll y se resta de cada uno e l
Jean·l'aul Colleue
~-¡; ·
cuadrado del número correspondiente de la columna III, se obtiene un cuadrado. Sin embargo, hay cuatro excepciones a esta regla: en la línea 2, columna IJ, encontramos 3,12,1, mientras-que el número debería ser 1,20,25. Este error sigue siendo aún inexplicable. Por el contrario, en la línea 9, columna m, se tiene 9,1, en vez de 8,1, 19 que podría ser simplemente un error del copista. · En la línea 13, columna m, el número 7,12,1, debería ser reemplazado por su raíz cuadrada , 2,41. Por último, en la línea 15, columna n, encontramos 53 en vez de 1,46, que es el doble. Si llamamos e a los números de la columna II y b a los de la columna m, se obtiene así la relación de Pitágoras c 2 = b2 + a 2 , donde a se calcula a partir de c 2 - b 2 . Se pueden escribir las columnas III y Il con notación decimal y añadir otra columna con los valores de a calculados : V
a
i
1
¡. 1
!
¡! ¡: 1
:..;;:~
~·
1 -
120 3 456 4 800 13 500 72 360 2 700 960 600 6 480 60 2 400 240 2 700 90
III
b 119 3 367 4 601 12 709 65 319 2 291 799 481 4 961 45 1 679 161 1 771 56
.13
Si ahora consideramos el cociente;, tenemos entonces, para la línea 1 de la tablilla , el cociente g~ ó ~~;,lo que equivale a 0;59,30 , o casi al valor l. Por tanto, el primer triángulo rectángulo está muy cerca de ser un semicuadrado. De manera similar, se observa, en la línea quince, que los ángulos del triángulo están próximos a 30º y 60º. Además el decrecimiento regular de los números de la columna IV nos sugiere que las dimensiones angulares de los triángulos varían regularmente entre 45º y 30º.
INTERPRETACIÓN DE LA TABLILLA
Según Neugebauer 10 , el decrecimiento casi lineal de los valores ;;
II
e 169 4 825 6 649 18 541 97 481 3 541 1 249 769 8 161 75 2 929 289 3 229 106
La civilización babilónica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Si ahora formamos el cociente ; ; (cosecante) , obtenemos los números que figuran en la columna IV . Así , el contenido de la tablilla corresponde a una lista de valores de ;: , by e para ternas pitagóricas. Es razonable suponer que los valores de a fueron compilados en la parte que falta de Ja tablilla. Por lo menos, se puede afirmar que fueron calculados de manera explícita.
de la columna m, así como el del cociente; nos incita a creer que a los autores de esta tablilla les preocupaba no solamente la determina· ción de las ternas pitagóricas (a, b, e) , sino también la del cociente ~. Tratemos ahora de explicar el porqué de estos valores . Sabemos que las ternas pitagóricas vienen dadas por las relaciones paramétricas,
a = 2pq, b = p2
- q2'
e=
p2 + q2 ,
donde p y q son enteros cualesquiera, no simultáneamente impares y p > q. De donde , se obtiene : s._ u
con
= p!+q! = ..J!_ + 2pq 2q
p y q inversos de p
...!/..._
2p
= _!_2 (p
. -q
+ qp-)
y q respectivamente.
Esto prueba que el cociente ~ puede expresarse como una sum a finita de fraccione s sexagesimales , si p y q son números regulares. y solamente en ese caso . Esta afirmación es corroborada por el cálculo de los valores p y q para cada terna de tabla. Además , los valores calculados para p y q son no solamente números regulares . sino que se encuentran, con excepción del valor p = 2,5 , ejemplo canónico bien conocido , en las tablas tipo de inversos. Neugebauer
'º
Otto Neugebaucr . ob . cit. . p . 38.
A .
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1
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1 1 f
Jean-l'aul Cull<'rre
34
La civilización babilónica
se inclina a suponer que la fórmula fundamental para la construcción de ternas pitagóricas era conocida por los babilonios. La interpretación de Neugebauer de los hechos observados en el contenido de la tablilla Plimpton 322 es puesta en duda por Bruins 11 , que considera que la _teoría avanzada por Neugebauer y Sachs no concuerda con los conocimientos matemáticos de los babilonios. No nos corresponde discutir el mérito de una u otra de las conjeturas propuestas; sin embargo la conjetura de Neugebauer nos parece más realista, mientras que la de Bruins exige manipulaciones algebraicas un poco complicadas con las que no obstante se consigue explicar, desde un punto de vista diametralmente opuesto, aspectos oscuros de la tabla. Por último, el contenido de esta tablilla, centrada sobre todo en las ternas pitagóricas, parece indicar, con la presencia de la columna IV, que estas ternas servían de base para la construcción de tablas trigonométricas.
'!.
35
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En álgebra, los babilonios podían resolver las ecuaciones siguientes:
~:
"'" ii:~ ·(~
ti':··
Ecuaciones con una incógnita
~-
1) ax = b . 2) X= a 3) x2 + ax= e 4) x 2 - ax =e 5) x2 = b 6) X (x + J) = b 7) ax2 + bx =e 8) ax2 - bx =e
~
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~-
t~
.,..~;.. i~" ~·
;~~
~'-
~''"
~-
Sistemas de ecuaciones con varias incógnitas
X+ y= X - y= X+ y= X - y= X+ y=
a, b, a, b, a, ax+ y+ cz = d,
RESUMEN
g('.·
xy = b xy =a x2+y2=b x2+y2=a x 2 -y2=b mx + ny + pz = h, rx + sy + qz =O
~:;,
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~::-
t,é._,,:¡, ~,,.,.~ ,_
..
Además, utilizaban las fórmulas:
(a
Las matemáticas babilónicas se basan en un sistema de numeración posicional mixto (bases 10 y 60) por el que los babilonios
+ b)2
= a2 + 2ab + b2 ,
no:~.:-
(a
+ b) (a - b)
= a2 -
~--
b2 .
~ -,
¡;' ; ~-
Se conocían algunas series:
l) llegaron a ser hábiles calculadores (gran número de tablas numéricas); 2) consiguieron resolver un conjunto variado de ecuaciones algebraicas; 3) desarrollaron algunos elementos de geometría y teoría de números.
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±p = j•I
a+ a+ d +a+ 2d
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nln+l)(n+2) 6
+ ... +a+ (n - l)d
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En geometría, estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras. el área del triángulo y del trapecio, el área del círculo con TC = 3, los volúmenes del prisma y del cilindro, el teorema de Tales. Poseían evidentemente un calendario y la astronomía era muy popular. Por último, disponían de tablas que daban los valores de la cosecante B para 31º,;; 8,;; 45º y probablemente para otros valores diferentes de A.
11 E . M. Bruins, «Pythagorean triads in Babylonian mathematics», The Mathematical Gazeue, 41, 1967, p. 25 .
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i
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~:·
+ 2 + 4 + 2" + (2" - 1)
± j = [1· + l ~·
No vemos, sin embargo, en ninguna parte, la más mínima preocupación por justificar y probar las reglas utilizadas y raras veces podemos, en la resolución de los problemas. darnos cuenta de las razones que permiten franquear cada etapa. Los conocimientos se aplican a problemas de interés compuesto, de excavación y de construcción, así como a la obtención de resultados prácticos para las actividades corrientes.
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l. ¿Cuáles son las principales características del sistema de numeración , babilónico? Explicar los números siguientes: 128 - 6 424 - 0, 125 - 0,003, en escritura babilónica. 2. Comprobar que el número 0;0,44,26,40 es e l inverso de 81. 3. En el conjunto de 11úmeros n, tales que 1 ~ n ~ 18, ¿cuáles son los números a) que poseen un inverso cuyo desarrollo se xagesimal es finito? b) que poseen un inverso cuyo desarrollo decimal es finito? 4. Resolver estos problemas babilónicos: a) «He sumado el área y losldel lado de m i -:uadrado y me h· d d 0·3'\ 0 ' - ' 3 encontrar el lado». d
~ . J
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2
(Indicacron :~ == 0 ;40(óo¡) b) «He sumado la superficie y el lado de mi cuadrado, lo que me ha dado 0;45. Encon!rar el lado». c) «He sumado siete veces el lado de mi cuadrado y once veces Ja superficie.' lo que me dado 6; 15. Encontrar el lado del cuadrado». 5. Comprobar que los parametros p == 9 y q == 4 llevan a Jos valores de la línea 5 en la tablilla Plimpton 322. 6. Verificar la solución babilónica de la ecuación x 2 - x == 870, tal como se presenta en este capítulo .
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Jean-Paul Colletre
7. Resolver: x" + a2x 4 = b2 donde a = 20,0 b = 14,48,53,20 Indicación: x4 = 11 ,51,6,40 y X = 40 8. Utilizando el algoritmo babilónico para la extracción de la raíz cuadra· da, ¿puede calcularse la V'f. con 6 decimales? . Comparar la respuesta obtenida con la de los babilonios. 9. Verificar: Si (;)' = 1;33,45 y b = 45, e= 1,15, entonces (a, b, e) constituye una terna pitagórica. 10. ¿Cuáles son las principales contribuciones matemáticas de los pueblos de Mesopotamia?
3. ·. LA CIVILIZACION EGIPCIA .; . '/!; ,_._;
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ORIGEN. .;:
La civilización egipcia nació probablemente de un gran número de pequeñas comunidades urbanas y rurales que se unieron progresivamente en dos reinos, el Alto y el Bajo Egipto. El primer rey que, según parece, reunió el Alto y el Bajo Egipto fue Menes. De Menes · a Alejandro Magno, época que comienza hacia el año 3100 a.C. y termina con la conquista griega de Alejandría en el 322 a.C. , se suceden distintos imperios y períodos intermedios. Egipto fue considerado durante mucho tiempo, debido al clima muy seco de la región y al culto que los egipcios profesaban a sus muertos, como el campo .por , excelencia . de . las excavaciones históricas .. Por esto, Egipto está lleno de construcciones de todo tipo (templos, pirámides, obeliscos, etc.) ,y contiene numerosos papiros y objetos que el clima favorable ha conservado muy bien .
~t~· ir·.,.,.~.,..... if!~:~;: IÉ'·?I~:.
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... FUENTES ''··: .. .
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Fue la expedición de Napoleón a Egipto la que confirió el impulso suficiente al estudio científico de la civilización egipcia. Acompañado de un equipo de sabios e investigadores, Bonaparte se encuentra en el · origen de Ja egiptología. Fueron .soldados franceses los que llevaron a cabo el más importante de los descubrimientos: excavando fortificaciones cerca de Rosetta, al este de Alejandría, extrajeron una piedra de bas:11to negro en la que había una inscripción en tres lenguas: griet;o, demótico y jeroglífico. La piedra de Rosetta revelaba a los investigadores la traducción griega de un texto en escritura jeroglífica y en la vieja escritura popular egipcia (demótico). Se poseía la llave para descifrar los jeroglíficos, pero ¿cómo había que utilizarla?
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J ean- Paul Collette
El francés Jean-Franc;ois Champollion y el inglés Thomas Young, para no nombrar más que a los principales, consiguieron hacer rápidos progresos en el desciframiento de los jeroglíficos, o grabados sagrados, gracias a un trabajo constante, minucioso y con frecuencia muy penoso, debido a las incómodas posiciones en las que debían permanecer para conseguir leer bien las inscripciones. Las inscripciones que se encuentran en tumbas y monumentos egipcios, por su carácter con frecuencia de origen religioso, ceremonial o incluso familiar, no representan sin embargo las mejores fuentes de información sobre los conocimientos matemáticos de los pueblos del valle del Nilo 1• Igualmente, en lo concerniente al calendario egipcio, los conocimientos matemáticos que se pueden deducir de él son muy limitados, ya que se refieren sobre todo al arte de contar y medir. Afortunadamente, el clima seco de Egipto favoreció la conservación de algunos papiros, el más antiguo de los cuales es aproximadamente del año 1800 a.C. Los principales documentos con que se cuenta en la actualidad son: 1) El papiro de Rlzind: rollo de papiro (0,33 >< 5,48 m) conservado en el British Museum, algunos fragmentos del cual ~e encuentran en el museo de Brooklyn. Este papiro, comprado en 1858 en Luxor por un joven abogado escocés llamado Henry Rhind, escrito por el escriba Ahmes hacia el año 1650 a.C. y exhumado en Tebas en 1855, constituye una fuente importante de la que obtenemos el conjunto de conocimientos matemáticos egipcios. Contiene 85 problemas redactados en escritura hierática, colección que debía servir de manual práctico para los no iniciados. Este texto, según Ahmes, es una copia de un texto más antiguo (2000-1800), algunos de cuyos elementos proceden quizá de períodos aún más antiguos. El título del papiro es más bien ingenuo: «Directrices para obtener un conocimiento de todas las cosas, inherentes a' todo lo que existe, conocimiento de todos los secretos ... ». Las cinco partes del manual de Ahmes se refieren respectivame_nte a la artimética, la estereome-
1 El Nilo tra venerado por los antiguos egipcios con el nombre de «Hapi», genio de las aguas . ~ .e le representaba como un hombre desnudo con cinturón de correas y una mata de papiros en la cabeza.
La cil'i/ización egipcia
41
tría, la geometría, el cálculo de pirámides y un conjunto de problemas prácticos. 2) El papiro de Moscú: rollo de papiro (0,07 x 5,48 m) comprado en Egipto en 1893 y conservado en el museo de artes de Moscú (también llamado papiro Golenisheff). Escrito hacia el año 1850 a.C. por un escriba desconocido, contiene 25 problemas relacionados con la vida práctica y se parece al de Ahmes, salvo en dos problemas de particular significación. El papiro de Moscú es, junto con el de Ahmes, una de nuestras principales fuentes de información . 3) El rollo de cuero de las matemáticas egipcias: rollo de cuero (0,25 x 5,18 m) comprado con el papiro Rhind y conservado en el British Museum desde 1864. En 1927 se consiguió, no sin dificultad, desenrollar este documento de cuero y encontrar en él una colección, por duplicado, de 26 sumas escritas en forma de fracciones unitarias. Todo parece indicar que este rollo era una copia sacada de un manual, copia que servía de guía práctica o tabla para un futuro trabajo. Según Gillings 2 esta tabla arroja mucha luz sobre el aspecto mecánico contenido en las principales fuentes de las matemáticas egipcias, de la aritmética, además de proporcionar una justificación de la supuesta existencia de tablas tipo de fracciones. 4) Los papiros de Kahun, Berlín, Reisner, Akhmfn y algunos otros completan, en algunos puntos particulares, los conocimientos matemáticos que se derivan de los tres anteriores. Al principio, los egipcios escribía r: sobre piedra, ladrillo o piezas de barro. Las inscripciones de cifras más antiguas aparecen, en escritura jeroglífica, en una maza real que data del año 3100 a.C., momento en el que Menes unificaba el Bajo y el Alto Egipto. Los símbolos utilizados enumeraban grandes cifras asociadas a las guerras. Después, gradualmente, en el curso de los siglos, los egipcios adoptaron para sus escrituras un documento más flexible, el papiro . El papiro procede de una planta acuática de Egipto que se parece al junco de nuestros pantanos, pero de mayor tamaño. Cortando esta planta en tiras finas, colocándolas una al lado de otra
2 R. J. Gillings. Mathematics in the time of Pharaohs. Cambridge (Massachus<:tts). MIT Prcss. 1972, p. 91.
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Jea11-l'aul Colle11e
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43
La civilización egipcia
y recubriéndolas con otra capa de estas tiras colocada de través, se obtenía, después de un proceso de secado, un soporte sobre el oue se podía escribir. Generalmente, el papiro era de forma rectangular y no cuadrada. Después de haber escrito en el papiro, se enrollaba, en vez de plegarlo como nuestros libros actuales. La escritura jeroglífica aparece, en general, en tumbas, monumentos y piedras, mientras que la escritura hierática (de forma cursiva), que se adaptaba mejor a la escritura manual, predomina en los papiros.
Por ejemplo, 12_105
=
r1
f f e>
ll I
1'
o más exactamente
•,•,• 6
f f 11
A veces se invierte el orden de los símbolos, a veces la representación es vertical en lugar de horizontal. Para representar ~as fracciones unitarias (numerador uno), los egipcios colocaban encima del SISTEMAS DE NUMERACIÓN
número un símbolo de forma oval. Por ejemplo, la fraq::ión tapare-
-
(dedo apuntando) (renacuajo) (hombre asombrado)
/'?
"1 2.
100 000 -
~
1000000 -
C>
() . .
Sistema hierático · (sagrado)
a
l!ll ,
ll 11 ,
lo j((roglífico o
es sustituido simplemente por J.Jn punto • . Así* 1
1.
Tri aparece en la forma
_La nu~cración en este sistema es también decimal, pero el principio de repetición del_sistema jeroglífico es sustituido -por la introducci(>n de signos especiales. Estos signos representan los números de 1 10, así como las po~encias de diez. Por ejemplo, la expresión mientras que !jeroglífica del , número treinta y ocho es n n íl 'su notación hierática es más sencilla 1::: ; \ , donde el signo::: (8) se coloca~ Ja izquierda eh vez de a la derecha, ya que los egipcios escriben de derecha a izquierda. Para ser exactos deberíamos escribir 111 l n n (1 mejor que n n ri que corresponde a nuestra representación usual de izquierda a derecha. Para representar las fracciones en el sistema hierático, el símbo-
10 000-
~
o
ce en la forma 1111 y la fracción
Realmente, no se puede hablar de un único sistema de numeración, puesto que, de hecho, encontramos dos: el sistema jeroglífico, que utiliza jeroglíficos, y el sistema hierático, o sistema de los sacerdotes, que utiliza símbolos cursivos y que, en el siglo VIII a. C., desembocará en el sistema demótico o sistema del pueblo, cursivo y de forma abreviada. El cuadro de la página 44 presenta los símbolos empleados de 1 a 9 000 en los dos sistemas de numeración. Los símbolos siguientes eran utilizados también en la escritura jeroglífica:
•
aparece en la forma ~ y 20 se convierte en 1'.- Generalmente, los egipcios utilizaban signos específicos para fracciones particulares
Sistema jeroglífico
como~ y{. En general, trabajaban con fracciones unitarias y cual-
Este sistema de numeración es un sistema de base diez, no posicional, en el que el principio aditivo determina la disposición de los símbolos_ La utilización de este principio permite expresar cualquier número, cada símbolo se repite el número de veces necesario.
quier fracción de la forma ~ se expresa como una suma de fracciones unitarias. Las operaciones usuales se efectúan, casi en su totalidad, con la ayuda del principio de adición o por desdoblamiento.
l~
i
~
Jean-Paul Col/eue
46
La civilización egipcia
Ejemplo 2. Ahmes afirma que + equivale a ¿Cómo llega a este resultado? Si desdoblamos no Jo conseguimos. Por otro lado, si, en vez de desdoblar, descomponemos en tercios:
t
2
1
+ .!.7
' 1
28
+
).
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1
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l 104+u;+13,
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1
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t
. l 5 1 1 1 1 E¡emp o 4. 13 = ¡ + u; + 52 + 13 · ¿Cómo podemos obtener este resultado? 5 2 t . d o e1 equ1va ·1 ente d e 2 , es re13 = 02 + 13 + 13 y, conoc1en 0 lativamente fácil encontrar la solución. . 2 1 1 1 . 1mente aprecia• Parece que 1as f racc1ones 3, 3, 2• ¡eran especia das por los egipcios, quizá debido a su continua presencia en la vida diaria. Por desdoblamiento, se obtienen dos secuencias de fraccio2 1 1 1 1 1 l l 1 l ' ne~ «naturales»: 3, 3, 6· 12• 24, etc., y 2• ¡, s• 16· 32, etc. As1, el egipcio tratará de utilizar estas dos secuencias para reducir las
~-
~
;,
=104+52+3
cr? , en escritura je-
!
¡!
=104+52+
4
.¡ ll
I \
=u+u+13" 1 1 1 1 =52+52+u;+13, 1 1 1 1 1 =104+104+52+u+13,
.!.
i.
!
1
1
3 La fracción ~ se representa por un símbolo específico: roglífica y } , en escritura hierática.
1
13:;::13+13,
1 [ 1 1 11 =28+ 28+14+7
:::: __.!_
1
~ Ah i i . 1 a 13 z . . l o J. E¡emp mes a f.irma que 8i + 52 + 104 es 1gua ¿Cómo podemos llegar a este resultado? Por desdoblamientos sucesivos.
=14+14+7 1 1 1 1 =2R+zg+14+7
~
¡~
2
Así: 7 1
1
5=15+ 15+15+5 1 1 =15+3.
¿ ..
¡
.,i
'i
y
:... ·;
:1
J¡
5=15+15+15
t, t. t
¡
l ¡¡
1
Pero
y descasos, de que se prefiera utilizar las f~acciones naturales doblarlas sucesivamente. Consideremos ,algunos ejemplos de re· ducción de fracciones.
7
1
5=5+5
empieza con una tabla que expresa~. den = 3 a n = 101, como suma de fracciones unitarias. Evidentemente, con estas tablas las operaciones se efectuaban de forma muy sencilla, aunque laboriosa, pero el problema difícil radica esencialmente en la construcción de tablas que reduzcan toda fracción a fracciones unitarias,. Cómo conseguían los egipcios, de manera general, reducir las fracciones a fracciones unitarias, no lo sabemos muy bien. Ahmes, (:n su papiro, utiliza unas veces una serie de transformaciones y otras otra .distint.a. Sin embargo, Neugebauer . .¡. . . . sugirió que la elección de la secu,e ncia depende, en la mayoría de los
l:::: ..!.
i.
-fs t
cultades para la aplicación de estas operaciones a las fracciones. En efecto, reducían todas las fracciones (excepto quizá la fracción J) a sumas de fracciones unitarias a fin de simplificar las operaciones. Esta reducción fue posible gracias a la construcción de tablas que contenían fracciones del tipo~ (cualquier otra forma no es esencial en virtud del principio de desdoblamiento). El papiro de Ahmes
Ejemplo .1. Ah mes transforma ~, -y obtiene 218 : :+ ¿Cómo lo consigue? 2 2 1 . 1 Desdoblemos 7, tenemos 7 = 7 + ::¡ . 1 1 1 Desdoblemos 7, .tenemos 14 + 14 . 1 1 1 Desdoblemos 14, tenemos 28 + 28.
47
-·-··-
·f·!
/
; 1
le<;t; .. Pau/ Col/elle
48
i
fracciones a fracciones unitarias. Volviendo a la reducció11 de (ejemplo 2), los egipcios pudieron, por tanto, darse cuenta de que el desdoblamiento era ineficaz, pero que la reducción mediante la fracción daba la respuesta buscada. Así tomando de±, lo que da 1 2 d ., siga . . do 15, basta con tomar 13 e 51 para que 1a re d ucc1on sien equivalente. Resumiendo, si se quiere representar~ en la forma + ~. se elige de modo que resulte naturalmente (mediante la es decir utilización de fracciones naturales) de
t
i
*
* 1 ¡
i,
1
p
ii 1·
y la fracción ~ toma entonces la forma
t = (1 + t) . t'
1
1
11 ~ l 1
}
!
¡::-: ~ ~
1
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·~ 1
'' ~'
1 = 3.
.1·. 1
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1
.'~
' ...:
1
5
la 2. a línea que
2
3 ..!.
3-}
t de 5 es 3-}
..!.3 de 5 es 1l3
3 1
1 d 5 . por u'l limo Is e es 31
.
l ·'·
.
'tl
"
:~
t de la fracción , es esto. Esta regla se aplica a cualquier fracción impar. El escriba sabía que esta regla podía también ser aplicada a cada fracción «par», pero poseía ya una regla simplificada pará el caso de las fracciones pares. Por esto, raras veces se encuentra la aplicación de la primera regla a las fracciones pares, puesto que la regla simplificada se reduce a sumar al denominador su mitad, cálculo más sencillo que el realizado si se aplica la primera regla. En el ejemplo 2, en vez de desdoblar, se descompone en tercios. Esto equivale a calcular el tercio de una fracción, pero generalmente el escriba calcula primero los dos tercios y después no tiene más que dividir por 2 para obtener el producto de un tercio. Consideremos algunos ejemplos prácticos sacados del papiro Rhind:
Problema 25 1
3 de 3
=1
Solución
~~~
2
por consiguiente 5
1
¡:; 1
= 3 + Is
lt] ..!.3
i/ 3
1de 3 para llegar al resultado deseado .
+ Problema 32
2
t de 1 + 3 + 4 = 2 + 36 1
~
1
Se observa, en la solución del problema, que el autor calcula primero los ~ de 3 y después
J-~
J¡•· ,..
t de una fracción impar. Si se te dice:
«¿Qué es -j de ?» Haces 2 veces su denominador, y 6 veces su denominador ;
i a fracciones unitarias es la siguiente:
La l.ª línea significa que todo es 5;
.
Calcular
"t·
Hay que entender que, con la ayuda del simbolismo actual, la interpretación precedente hace comprensible el proceso, pero no corresponde al modo operatorio real del egipcio. La reducción efectuada por Ahmes de
,~:j
•:.
=Is'
!
~
1
5'
1
~
! 1
1
=3
49
La civilización egipcia
En esta reducción se observa el uso de la fracción] en la),
~ línea.
Esta fracción~ ·se utiliza tanto .co~o operador en las multiplicaciones y divisione-s que nos incÚa a pensar que los egipcios debían hacer uso de tablas de _la fracción lcon la misma frecuencia con la que necesitamos hacer cálculos mentales. · Además, ·el problema· 61B del papiro Rhind estipula claramente la regla egipcia para calcular los dos . tercios de cualquier fracción unitaria impar (denominador impar): .,,
1
1
1
Solución 1 + ..!.3 + ..!.4 1 2
3
-32 + lf--61 + -181 J + -6¡
¡
3
2
2 l6l + 61 +181 3+
2
2
1
1
3
3+3+18
2 3
1 + 18
l. 3
1
1
2 +
1 36
La civilización egipcia
Jean-Paul Collelle
50
Ejemplo 5.
Es importante señalar que la solución del escriba es mucho más corta y que las etapas intermedias desaparecen como pone de manifiesto la solución real de! autor:
1
1+1.+1. 3 4
2 3
1 + 18
l
1
.
t de } == ?
t·
Solución: Según la regla de
23 de .31. ==. .!6 + .l... · 18
1
Ejemplo 6.
1
2 + 36
3
51
±de i == ?
Solución:Según la regla de } 1
1
3 de 5
= 201
l 60 •
+
Problema 33
t de 16 + 56 + .
¡
·
1 679
+
t t == ?
_!_. _ ? 776 -
Ejemplo 7. . de
·
Solución:Según la regla simplificada.
Solución
16 + 56 + 1
2
2
l 679 l
10 + 3 + 84
3
l + 776 . 1 .. 1 + 1 358 + 4 074
2
1
1 4+8 l
3 de 8 ==
+
l 1 164
= 12.
La solución del problema 33 no consta más que de dos líneas y proporciona de forma inmediata el producto de
+
1 679
+
t por 16 +
1 56
En el ejemplo 7, puede aplicarse también la reglad~ la fracción
+
y tenemos:
l 776.
Está claro que Ja multiplicación de fracciones unitarias por
t, o
2
. .
.
l
1
3 de 8 == 16 + 48 ' l = 12.
por}, se realiza atendiendo al denominador de la fracción unitaria. .
1
t
·2
·Regla de _la fracción 3 - - - - - - - - · - - . El egipcio puede por tanto, utilizando las reglas enunciadas más arriba, así como el desdoblamiento, aplicar las dos secuencias de
Los dos t.ercios de cu~lquier fracción impar (o par) son iguaie¡: ·. a 2 veces el denominador de la fracción más 6 veces el denominador de la fracción.
•
2
1
l
l
l
1
l
l
l
l
fracc10nes «naturales»: 3, 3, 6, 12, 24, etc., y 2• ¡, 8· 16· 32, etc.
t. 1. ~...., 1 ~ 1 a partir de las reglas conocidas, relacionadas con la fracción t. y el empleo del desdoblaLa reducción de las fracciones
A partir de la precedente, se deduce muy fácilmente la regla para 3 .
miento planteó serios problemas a los egipcios. Sin embargo, Gi-
~-------- Regla de la fracción } - - - - -
n = 101, con n impar, los escribas pudieron tener en cuenta los siguientes preceptos:
1
llings4 opina que, en la elaboración de la tabla de ~. de n == 3 a
El tercio de cualquier fracción impar (o par) es igual a 4 veces el denominador de Ja fracción más 12 veces el denominador de la fracción. ·
~ R. J. Gillings, ob. cit., p. 52.
¡L. ~--
.........
52
Jean-Paul Collet11'
1) De todas las igualdades posibles, se aceptan aquéllas que poseen el menor número de fracciones, pero ninguna fracción debe tener un denominador mayor de 1 000. 2) Se prefiere una igualdad de dos términos a una de tres, y una igualdad de tres términos a una de cuatro; de más de cuatro términos es inadmisible. 3) Las fracciones unitarias se colocan p.or orden decreciente sin que se repitan nunca . 4) La primera fracción es la menor posible, pero se aceptará una fracción ligeramente superior si esto permite reducir considerablemente la última fracción . 5) Las fracciones pares se prefieren, en general, a las impares. Ilustremos la aplicación de estos principios mediante la división 2 + 45. En el plano teórico, son posibles 1 967 descomposiciones en sumas de cuatro fracciones como máximo, de las que 7 tienen 2 términos, 134 tienen 3 y 1 826 tienen 4. En virtud del precepto 2 el escriba debería preferir una de las 7 igualdades que tit;nen 2 términos, que son:
53
í...11 t:ivitilación egipcia
=? 49 = 1 · ~ .
Solución: 2 +
..-
. Ahora bien l1 -- 28 1
1
e)
__!_ 35
_J_
f)
36
a) 24 + 360 b)
__!_ 25
c)
1
+
225 1
g)
27+125 1
d) -.10
1 1
45
+
17 . .l-..L,l. + .!. . .!. 7 28 7 4 7 1
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1
2 + 49 Ejemplo 9. 2 + 31
=
__!_ 63 1
?
1 1 2 + 31 =31+31
1
1
45
1
1
1
1
1
=
1 124
1 90 '
[
1
l
1
1
+ 155 + 124 + 1
ción 4\ se repite. En virtud de los principios 1 y 5, e), e), y b) son rechazadas, ya que 35 > 27 >25 y también porque contienen solamente números impa res. El precepto 4 elimina a) debido a la fracción 3 ~0 y por comparación con las últimas fracciones de d) y f). La elección entre d) y f) no es fácil y, generalmente, en estas situaciones reñidas, el fallo del escriba es, al parecer, flexible. Por ciertas razones no evidentes, la igualdad elegida es d). De donde
1
+155+155+155 , 1
1 155 1 20 .
+ 155 + 155 +
1
L
1
=124+124+62+155+155+
1
1
= 3o +
+ 196 .
= 28
Solución:
+ 9o
2 + 45
1
=62+62+31,
Según el precepto 5, g) debe ser eliminada, puesto que la frac-
;>:l
1
De donde
=
';:;
,... , ,
=196 + 28.
+ 60
+
-.-
+ 41 , ( e1emplo . 1)
y
1
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Ejemplo 8. 2 + 49
1 124 1
1
+ 155 + 1
l
1 62
1
+ 155 +
[
l
2 + 31 =20+124+155 De donde: La reducción de las fracciones de la forma~. donde n es un número primo, es más difícil ya que las descomposiciones en sumas de 2 ó 3 términos son poco frecuentes. La multiplicación y la división se efectúan también con fracciones unitarias. En particular, en la división , el método de desdoblamiento se invierte y es el divisor el que debe ser doblado sucesivamente.
1 _.,..
1 .......
í....,, ................................................... ..............
-.
1 + 21 + 41 ),• 21 + 14 =
Ejemplo JO. Solución:
l/2 1
?
Ejemplo 12.. 9 + 13. Solución:
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55
La civiliwción egipcia
Jean-J\iu/ Col/e11e
54
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De donde:
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Cuando el escriba ha obtenido en la segunda línea el valor
Ejemplo 11. 1 +
t + t X -Í6 + 1: 2
sabe ya que debe obtener otro valor igual a
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1
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De donde:
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EjeinpJO!JJ.' 100 ;+ ; 7 '+
se deduce que el pt oducto buscado es un octavo del . producto ante rior.
1
t para tener el valor 9. 1
Por tanto, busca una fracción cuyo producto por 13 sea 3. Encuen-
Solución: Puesto que 1
8t,
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1 .
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56
lean- l'aul Colle11e
4
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+1- 8
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La civilización egipcia
2 3
4
2
1
+ 1
i
+
+j+3+6· +u
+ '-- 12l3
9~4
pero 8 veces el divisor es 63, de donde Por tanto:
-'tJ veces el divisor es±. lo que falta para tener 100.
100
7
1
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1
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1
1
7 + 2 + 4 + 8 = 12 + 3 + 42 + 126 '
donde 2
63
1
= 42 +
+ 1 = 24, se asigna un primer valor ax y se comprueba Sea x = 7, entonces 7 + ~ = 8, solución falsa: sin embargo
el caso de x si vale.
+f--
57
X 8 = 24, de donde la solución será 3 x 7 = 21. En general, los egipcios no resolvían la ecuación cuadrática; esto, no obstante, no elimina la posibilidad de resolver ciertas ecuaciones de segundo grado '(se han encontrado en los papiros de Kahun y Berlín tipos de problemas solucionados que engloban dos ecuaciones simultáneas, una de las cúales es una ecuación cuadrática). Los egipcios utilizan muy poco el simbolismo en su álgebra. En el papiro Rhind encontramos símbolos para la adición (un par de piernas andando en la dirección de la escritura), para la sustracción (un par de piernas invertidas), una tímida aproximación al simbolismo para el signo de igualdad y la incógnita «aha». Los egipcios manipulan con éxito las progresiones aritméticas y quizá las geométricas. (El problema 79 del papiro Rhind es la única ilustración conocida de una progresión geométrica. ) He aquí un ejemplo de un problema de progresión aritmética (problema 40) :
3
1 126
En estas multiplicaciones y divisiones de fracciones, el escriba debe frecuentemente dar muestra de ingeniosidad, pero siempre, en la manipulación de sus tablas de fracciones unitarias, da muestra de una verdadera competencia y de una habilidad poco corriente. ~
t
El origen de muchos de los 110 problemas contenidos en los papiros Rhind y de Moscú está estrechamente relacionado con la vida cotidiana . Algunos conciernen al reparto de hogazas de panes , grano o animales; otros se refieren a la fermentación del pan y de la cerveza; otros a la comida de los animales y al almacenamiento de los productos alimenticios. Estos problemas se resuelven generalmente con la sola ayuda de la artimética, o utilizandc· ecuaciones lineales de la forma x + ax = b, o x + ax + ex = b. La incógr,1ta «X» se llama «ah a» o « h». Generalmente, la solución de una ecuación lineal provit11.:: de la aplicación del método llamado de «falsa posición». Por ejemplo. en
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"I ~.
'
h
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Tomando Sf como diferencia y 1 como primer término, la primera aproximación resulta ser:
[
1,
ÁLGEBRA EGIPCIA
'~
[
Distribuir 100 hogazas de pan entre 5 personas , de manera que del total de las tres primeras sea igual al total de las dos últimas. ¿Cuál es la diferencia?
'.
¡
[
6-i.1
1 12, 172, 23 ( cuya suma es 60) ;
debemos , pues, sumar los~ de 60, 40, a 60. Sumemos a cada término los
i de él ; tenemos entonces 2 r.11 + 6, 1) 1 1 13-, l"fi 20, 29-j;, 383, cuya sum a es 100.
Muchos de los problemas contenidos en los principales papiros conciernen a la geometría (hay 26 problemas geométricos en los papiros de Ahmes y Moscú) .
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Los geómetras egipcios parecen estar en condiciones de comprender la semejanza y la proporcionalidad. En el siglo XIII a.C., dos figuras similares, aunque de dimensiones diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitación donae se encuentra la tumba de Seti l. La perla de la geometría egipcia es, indiscutiblemente, el siguiente enunciado que se encuentra en el papiro de Moscú, comprado al egiptólogo Golenischeff en 1912 (problema 14):
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA EGIPCIAS
La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los papiros hacen referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes. El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Los egipcios parecen acostumbrados a transformaciones que comprenden la semejanza de rectángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles. Calculan también el volumen de cilindros y prismas, pero desconocen el teorema de Pitágoras en su formulación general. El área de un círculo se obtiene aplicando un cuadrado cuyo
unidades. Area del cuadrado Area del octógono
el cuadrado de '.l que es 4, sumar 16, 8 y 4 para obtener 28 ; calcular 6 que es 2, multiplicar 28 por 2 que da 56; véis, es 56.
D
triángulos. - 18. = 63 (lo que es casi el área de un cuadrado de lado 8) . Puesto que el área del octógono difiere poco de la del círculo inscrito
donde
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=
i 1
lt 1
t de
Es evidente que el escritor conocía la fórmula siguiente V = }{a 2 + + b2 + ab], volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. ¿Cómo fue descubierta? Se han dado varias explicaciones, pero es difícil, incluso hoy, saber el método empleado por los egipcios. Los papiros existentes nos proporcionan poca información sobre la geometría y las propiedades matemáticas de la pir,imide de base cuadrada. Se sabe con certeza que los autores de estos documentos históricos egipcios sabían calcular la pendiente de los lados de una pirámide y su volumen. Los problemas 56, 57, 58, 59 y 60 del papiro Rhind se refieren al cálculo de la «seqt» de diversas pirámides rectas. La palabra «seqt» designaba la razón entre la base horizontal de la pirámide y su altura. Por ejemplo, el problema 56 trata del cálculo de la «seqt» de una pirámide cuya altura es de 250 codos y cuya base es de 360. El codo es una unidad de longitud que vale aproximadamente 20,6 po y tiene generalmente 7 manos (2,94 po); q1da mano tiene 4 dedos (0,75 po). La solución del escriba es como sigue:
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2 [9161 r.2
11 •
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= 81. = Area del cuadrado - Areas de cada uno de los
en este cuadrado' el área del círculo será igual a (%d)2 ' o [ 1;
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Si se os dice: una pirámide truncada de h = 6 y de base 4 y 2; debéis tomar el cuadrado de 4 que es 16, después doblar 4 para obtener 8, tomar
lado es igual a% de la longitud del diámetro. Así, el valor de ;rr es 3~. Varias interpretaciones tratan de explicar el origen de este valor de ;rr. He aquí una que parece satisfacer a distintos historiadores: 3 3 3 A partir de un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, se construye un octógono de tal manera que el área de cada uno de los triángulos isósceles de las esquinas sea 4-i
59
La civilización egipcia
Jean-Paul Col/eue
58
rr2 = ;rrr'
1
ó 3-6 .
Los egipcios utilizaban una regla relativa a la circunferencia: la razón entre el área de un círculo y su circunferencia es la misma que entre el área del cuadrado circunscrito al círculo y su perímetro. Según Boyer5 esta relación tiene una significación matemática mucho mayor que la aproximación de ;rr.
-i de 360: 180. Divide 180 por 250: -i + t +
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codos. Pero un codo equivale a 7 manos, 1 . ¡·1ca 7 por 21 + 51 + 5o E ntonces mu1hp .
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~ Carl B. Boyer. A history of mathematics, Nueva York, Wilcy, 1968, p. 19.
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Jean-Paul Collet1e
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5 + 25 manos.
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El valor de la «seqt» era importante para los constructores de pirámides, ya que debían mantener constante la «seqt» de los sucesivos bloques de piedra. Podemos considerar que las «seqt» calculadas en los problemas de pirámides contenidos en los papiros de Rhind y Moscú son las cotangentes del ángulo de la pendiente de las caras de las pirámides. En particular, la solución del problema 56, expuesto más arriba, corresponde a un ángulo de 54º 14'.
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RESUMEN
Las matem
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dad de calcular los de cualquier número, entero o fraccionario . Además, el desarrollo y el tratamiento de las fracciones a un nivel alto permite comprender mejor el arte del cálculo aritmético. La construcción de la tabla de las fracciones~. den = 3 a n = 101 con n impar, supone un trabajo considerable si se tiene en cuenta que las descomposiciones en fracciones unitarias de la tabla son generalmente las más sencillas que pueden obtenerse. El sistema de numeración hierático, no posicional, que encontramos en los papiros, sir1e de vehículo transmisor de los conocimientos matemáticos de los egipci'.:is. Por otro lado, en los muros, los templos, las vasijas, se
La civilización egipcia
61
utilizan elementos de un sistema de numeración jeroglífico, aditivo y no posicional. En álgebra, los egipcios utilizan con soltura la conmutatividad y la distributividad, y están familiarizados con el inverso de un número. Sobre todo, pueden resolver ecuaciones lineales sencillas por el método de la «falsa posición» . Comprendían bien la progresión aritmética y la geométrica pudo ser objeto de sus preocupaciones matemáticas. En geometría, podían calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios. Conocían también las fórmulas para calcular volúmenes de cilin-
1 ¡
j
1 ·
dros y prismas rectos. Poseían una buena aproximación de n (3i). La semejanza y la proporcionalidad no parecen serles desconocidas. Conocían la fórmula del volumen del tronco de pirámide de base cuadrada. La construcción de las pirámides fue, para ellos, la ocasión de utilizar el equivalente de nuestra cotangente.
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Jean-Pau/ Col/e11e
62
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La ci1•ilización egipcia
63
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3. Expresar 1 ~3 como suma de dos fracciones unitarias distintas . 4. Efectuar, utilizando el método egipcio, las siguientes divisiones :
Gillings, R. J., «"Think-of-a-number" problems 28 and 29 of the Rhind mathematical papyrus», The Mathematics Teacher, 54, 1961, pp. 97-100. Guggenbuhl, Laura, «The New York fragments of the Rhind mathematical papyrus», The Mathematic:s Teacher, 51, 1964, pp. 406-10. Karpinsky, Louis C., «Algebraica! developrrient among the Egyptians and Babylonians», The American Mathematica/ Monthly, 24, 1917, f P· 257-65. Miller, G. A., «A few theorems relating to the Rhind mathematical papyrus», The American Mathematica/ Month/y, 38, 1931, pp. 194-97. Millcr, G. A., «The mathematical handbook of Ahmes», School Science and Mathematics, 5, 1905, pp. 567-74. National Council of Teachers of Mathematics (The), Historia/ topics for the mathematics c/a.ssroom. Jlst yearbook, Washington (D .C.), N.C.T.M., 1969, pp. 38-40, 95-96, 169-70, 237. Neugebauer, Otto, The exact sciences in Antiquity, 2." ed., Nueva York, Dover, 1969, pp. 21-23, 71-96. Newman, J. R., «The Rhind papyrus», en The wor/d of mathemctics, J . R. Newman, comp., vol. l. Nueva York, Simon and Schuster, 1956, pp. 170-78. Struik, Dirk J., A concise history of mathematics, 3.ª ed., Nueva York, Dover, 1967, pp. 20-25. Van der Waerden, B. L., Science awakening, Nueva York, John Wiley & Sons, 1963, pp. 15-36. Wheeler, N. F., «Pyramids and their purpose», Antiquity, 9, 1935, pp. 5-21, 161-89, 292-304.
a) b) c) d)
121 + 16 1 043 + 26 2 + 51 12 + 13
5 . ¿ C ua') '
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6. Efectuar, utilizando el método egipcio, las siguientes multiplicaciones: a) 48 X 57 b) 37 X 25 2
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C) 3X7Xi6
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7. Aplicar el método egipcio para
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a) Calcular la «seqt» de una pirámide de 8 codos de altura y 12 de base. b) La «seqt» de una pirámide es de 5 manos y 1 dedo, y la base de 140 codos. ¿Cuál es su altura? c) Resolver la ecuación x + -} x = 16 mediante la regla de la falsa posición.
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8. ¿Cuáles son las principales contribuciones de la civilización egipcia al campo de las matemáticas? 9. Comparar las contribuciones babilónicas y egipcias al campo de las matemáticas e indicar los parecidos y las diferencias.
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EJERCICIOS
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l. Expresar los números siguientes: 128 - 2 634 - 0,25 -
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a) en escritura jeroglífica, b) en escritura hierática.
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2. Comprobar, a la manera egipcia, las igualdades:
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a) l _ l +..l. 9 - 6 18 2 1 1 1 b) 17 = IT +SI+ 68 2
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4.
EL NACIMIENTO DE LAS MATEMATICAS GRIEGAS
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INTRODUCCIÓN
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La actividad intelectual de los pueblos prehelénicos pierde intensidad y vigor debido a los numerosos cambios de orden económico y político que tienen lugar al final del segundo milenio a.C. En una atmósfera turbulenta, en la que las migraciones son frecuentes y las guerras abundan, la edad de bronce deja paso a la de hierro . Durante este período fértil en revoluciones, que termina hacia el 80() a.C.,
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t:I 11acimien10 Je las matemálicas griegas
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2 000 años, en Creta y en el mundo egeo, una notable continuidad. Esta civilización alcanza su apogeo entre los siglos XVI y xv a.C., coincidiendo con la preponderancia de los reyes minoicos en Cnosos, la construcción de grandes palacios y la expansión marítima y comercial, al mismo tiempo que, en el continente, comienza la civilización micénica o aquea (antepasado lejano de la civilización europea). La cultura egea (producto de la cultura minoica y la cultura micénica) parece haber nacido del contacto entre los autóctonos, dolicocéfalos morenos de raza mediterránea (con elementos emparentados con los hititas) por una parte, y, por otra, los invasores aqueos y jónicos, braquicéfalos rubios, pastores nómadas, llegados de la región del Danubio, que se ins~alaron hacia el siglo XVII a.C. en Creta, imponiendo en todas partes el dialecto helénico. Hacia el siglo XIII a. C., los dorios que procedían del Norte y habían conservado en su hábitat las costumbres primitivas de los helenos, se instalan en el Peloponeso enire el a11o 1200 y el 1100 a.C. Con dios se extiende por todo el mundo griego la industria del hierro. En el litoral del Asia Menor y en las islas, los eolios y los jonios, expulsados del continente, mantienen sin embargo la civilización de la época micénica. En el siglo Vlll a.C., con Homero y la civilización homérica, sustituimos la leyenda por la epopeya y la historia: es entonces cuando empieza la historia de Grecia. . Pequeúa península montaúosa, con una gran extensión de costas y un cinturón de islas, situada en el corazón del Mediterráneo oriental, entre Asia, Europa y Africa del Norte, Grecia debe sin duda en parte a sus circunstancias geográficas su individualidad propia y la originalidad de una cultura tan diversificada como los cantones en los que se divide. Las colonias que los griegos se vieron obligados a crear muy pronto, desde el litoral asiático del mar Egco hasta Sicilia, en la Italia meridional, e incluso en Marsella, ejercieron en el desarrollo de su vida intelectual una acción preponderante. Es a esta situación geográfica a la que Grecia debe su apertura a las civilizaciones egipcia, babilónica, fenicia, cretense, etc., en la,s que se desarrolló a partir del tercer milenio a.C. una prodigiosa civilización prehelénica, y de las que recibió, en la época egea, su cultura. La raza helena, surgida probablemente de la fusión de las poblaciones egeas con los invasores aqueos llegados de Europa central al final de la Edad de Bronce, es una raza extraordinaria-
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t:l 1111ci111iento de las matemáticas griegas
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mente dotada: curiosa, inteligente, intuitiva y artista, sensible sobre todo a la invisible realidad de las formas inteligibles en la naturaleza, el arte y las costumbres y las leyes. Esta raza de hombres dedicados a la búsqueda de la verdad en todas sus formas, fomentó una atmósfera de racionalismo en la que, desde el siglo VI a.C., los hombres se preocuparon no sólo de investigar el «cómo», sino sobre todo ele establecer el «porqué». Así, las matemáticas prehelénicas estudiadas por el filósofo griego se convierten en una ciencia deductiva cuyas características y resultados no dejan de asombrar al hombre de ciencia que trata de penetrar en sus secretos .
INFLUENCIAS ANTERIORES Y FUENTES
El mundo griego, cuyo centro estaba situado entre el mar Egeo y el mar Jónico, comprendía numerosas poblaciones diseminadas por las costas del mar Negro, así como colonias distribuidas alrededor del mar Mediterráneo. Estas colonias jónicas, situadas cerca de los focos de las culturas egipcia y babilónica, estaban comunicadas por barco con los antiguos centros de cultura de los que recibían directamente los conocimientos matemáticos y astronómicos. La historia más antigua de las matemáticas griegas fue escrita, en el siglo IV a.C., por un discípulo de Aristóteles, Eudemo. Un breve extracto de esta obra perdida aparece en el Comentario sobre el libro I de los Elementos de Euclides, escrito por Proclo en el siglo VI cl .C. Gracias a él, podemos saber, entre otras cosas, que el fundador de las matemátricas griegas, y más exactamente el fundador de la geometría griega, fue Tales de Mileto quien al parecer adquirió sus conocimientos en el curso de viajes efectuados a Egipto y los introdujo en Grecia durante el siglo VI. Eudemo habla de Tales como de alguien que inventó varias cosas y mostró a sus sucesores la vía para establecer los principios de algunas de ellas, unas universales y otras referidas a algo c:mcreto. En este fragmento conservado por Proclo, se menciona también el nombre de Pitágoras, qne vivió en el siglo VI, como el de aquél que transformó, estudian-:lo sus principios de una manera más atractiva y examinando sus teoremas bajo el prisma de la inteligencia, la filosofía (geometría) en una doctrina liberal, accesible a
todos. Fue, según Eudemo, el inventor de la teoría ele los números irracionales y el que construyó .los cinco sólidos regulares. En base a este breve testimonio, nos vemos obligados a admitir la influencia egipcia e incluso babilónica en el origen de las matemáticas griegas; si bien los griegos, al mismo tiempo que tomaron prestados de las civilizaciones anteriores ciertos conocimientos matemáticos y astronómicos, transformaron esta herencia cultural en una ciencia deductiva (al menos a partir de Pitágoras) en la que las nociones de demostración , teorema, definición y axioma sustituyeron al carácter empírico y particular de las matemáticas prehelénicas. ¿De qué manera tomó forma la ciencia deductiva de los griegos y por qué éstos rechazaron el aspecto empírico de las cuestiones y no aceptaron más que el rigor matemático basado en un conocimient.o teórico antes que práctico? Numerosas explicaciones han sido elaboradas con objeto de responder a estas dos cuestiones fundamentales, sin conseguir, no obstante, elucidarlas, debido principalmente a la ausencia casi total de datos históricos pertinentes. Sin embargo, la explicación dada por Szabo es esclarecedora desde distintos puntos de vista'. Los datos históricos sobre los que deseamos establecer una base sólida para el estudio de las matemáticas griegas son muy diferentes de los utilizados en el caso de las matemáticas babilónicas. Rara vez se duda de la autenticidad de una tablilla de arcilla; en cambio los textos griegos son con frecuencia copias de copias, a través de las cuales debemos buscar el verdadero pensamiento del autor original. Además, muy pocos textos originales (escritos en griego) nos han llegado intactos y por regla general conocemos los textos matemáticos griegos a través de comentarios muy posteriores de autores griegos cuya objetividad e interpretación deben ser puestas en entredicho. Por otra parte, varios textos de autores griegos fueron traducidos al árabe y luego al latín, al inglés y al francés. Actualmente podemos utilizarlos en nuestra investigación gracias a los trabajos de J. L. Heiberg, Sir Thomas L. Heath, Paul Tannery y otros numerosos historiadores de las matemáticas.
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Arpad Szabo, «The transformation of mathematics in lo deductive science and the beginnings of its foundation on definitions and axioms», Scripta hfo1i1ematica, 27. 1902, pp. 27-48A, 113-119. 1
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El 11aci1niento de lus matemáticas griegas
Entre los numerosos sistemas de numeración griegos, dos fueron los más utilizados: el sistema «ático» o «herodiano» (del nombre del gramático Herodio, siglo II d.C.), utilizando frecuentemente en las inscripciones atenienses, y el sistema «jónico» o alfabético. Los dos sistemas emplean la base diez y utilizan esencialmente los enteros. El sistema ático es un sistema aditivo de base diez cuyo origen se remonta, al parecer, al siglo VI a.C. En este sistema, los signos no son símbolos numéricos en el verdadero sentido del término: excepto el signo vertical que representa la unidad, los signos proceden de las primeras letras de palabras griegas que designan algunos números. En particular, los números de uno a cuatro se representan en este sistema por la serie siguiente:
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El número cinco . está representado por el signo 1 (primera l~tra de la palabra «penta»), 10 por 6 (de «déka»), 100 por H (de «hekatón»), 1 000 por X (de «chílioi») y 10 000 por (de <
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p = L = T = y=
100 200 300 . 400 <1> = 500 X= 600 \JI = 700 Q = 800 ">-\= 900
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sistema ático hacia el siglo III a.c. Los griegos tomaron prestado su alfabeto de los fenicios, que utilizaban 22 letras, todas consonantes. Los griegos añadieron vocales a estas consonantes con el fin de poder expresar tres conjuntos de nueve números: las unidades 1, 2, 3, . .. , 9, las decenas 10, 20, 30, ... , 90, y las centenas 100, 200, 300, ... , 900. Los símbolos de este sistema son los siguientes:
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El sistema ático se parece mucho al sistema romano, salvo en lo referente a la forma de los símbolos utilizados. El sistema jónico es también un sistema aditivo de ·base 'ctiez, empleado desde el siglo v a.C., que sustituyó,' probablemente al
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Para distinguir los símbolos que representaban un número de los que representaban una letra, se introdujeron en los textos numerosos signos, entre otros: . , - , , , ' , etc. Una vez introducidas en Grecia las letras minúsculas, se estableció la siguiente correspondencia:
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La barra horizontal situada encima de la letra fue, de los signos introducidos para distinguir la letra y el número correspondiente, sin duda, el más ortodoxo. Así, el número diez se ,,representa por
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El nacimiento de las matemáticas griegas
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«i». Los griegos empleaban las nueve primeras letras del alfabeto precedidas de un acento para los nueve múltiplos de mil; así, el número 1 000 se representaría por «,a» o « 1 a» y de manera análoga los otros ocho múltiplos. Con este sistema, cualquier número inferior a 10 000 se escribía como máximo con cuatro símbolos: Cuando los griegos deseaban expresar números superiores a 10 000, utilizaban el principio de multiplicación que consistía en colocar encima, o a la derecha, del símbolo M, y separados por un punto del resto del número, los símbolos de 1 a 9 999.
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atribuyen descubrimientos matemáticos, precisos; por primera vez en la historia de las matemáticas alguien adquiere fama como matemático. En geometría, se le atribuyen generalmente las proposiciones siguientes:
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1) Cualquier diámetro biseca un círculo. 2) Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. 3) Los ángulos verticales formados por dos rectas que se cortan son iguales.
Así, 20 000 = ~. 54 351 234 = M,wJ.t: · a{3y<5. El mismo principio podía aplicarse a potencias enteras de miríadas. Estas notaciones, utilizadas por los griegos para los enteros, satisfacían sus necesidades, pero, por otro lado, los puntos débiles del sistema se ponían claramente de manifiesto a la hora de escribir fracciones. Igual que los egipcios, los griegos sin.tieron la tentación de empicar abundanternente las fracciones unitarias. La notación habitual para un submúltiplo de un entero cualquiera consistía en escribir, con el fin de distinguir bien el entero de la fracción, el entero con un acento. Por ejemplo se escribía así: «y'» y «Xt: 1 » representa-
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4) Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un taco de uno son iguales respectivamente a dos ángulos y un lado de otro, entonces los triángulos son semejantes.
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A veces, se le atribuye también el teorema: «el ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto» . Otros dos resultados se asocian a los trabajos de Tales : el método para medir la distancia de la orilla a un barco que se encuentra en el mar y el procedimiento para calcular la altura de una pirámide con la ayuda de un bastón vertical (por triángulos se me jan tes) .
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El historiador Heródoto (ca. 484-ca. 420 ::!.C.) relata la predicción por Tales de un eclipse de sol ocurrido en el año 585 a .C. Sin embargo, hoy nos inclinamos a reducir la predicción de Tales a la de la pérdida experimentada por la luz del día en el transcurso del año . Numerosas leyendas rodean la vida de Tales y, lo menos que de ellas se puede decir, es que son muy expresivas y bien recibidas . Un día que conducía una caravana, un mulo cargado de sal cayó al agua al pasar un vado. Al salir del agua, el mulo sintió que su carga era más ligera. Así, en el vado siguiente, se tiró voluntariamente al agua para experimentar una vez más una disminución de la carga. Para curarle de este vicio, Tales hizo que le cargasen de esponjas. Cuando el mulo quiso satisfacer su pequeño capricho, tuvo una mala idea, ya que, su carga, en vez, de aligerarse, se convirtió en un peso aplastante .
ba 215 • xe' podía representar también el número 20}, pero con frecuencia el contexto permitía identificar bien el número. Entre los matemáticos de la Escuela de Alejandría, la utilización de frácciones ordinarias, así como la de fracciones sexagesimales en astronomía y trigonometría (una secuela de las influencias babilónicas), se hizo habitual.
EL PRIMER MATEMÁTICO GRIEGO
Tales de Mileto (ca . 624-ca . 548 a .C.), estadista, comerciante, ingeniero, astrónomo, filósofo y matemático , es uno de los sie íe Sabios de la Antigüedad . Parece que fue comerciante durante la primera época de su vida; adquirió así una fortuna considerable que le permitió dedicar el resto de su vida a estudiar y a viajar. Pasó algún tiempo en Egipto, y este contacto con los egipcios le familiarizó con las matemáticas y la astronomía egipcias. De vuelta a Mileto, las múltiples facetas de su talento le hicieron famoso en toda Grecia. Tales de Mileto es el primer hombre que se conoce al que se le
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Se cuenta también la siguiente historia: irritado por las observaciones de algunos de sus conciudadanos sobre su sabiduría, que no le. había proporcionado riqueza, quiso demostrar que podía, fácil y rápidamente, hacerse rico; consiguió, en el momento en que juzgó que la cosecha de aceitunas sería muy abundante, hacerse con el control absoluto de los lagares de aceitunas de su país, y, así, pudo impone r el precio que quiso a los que tenían que utilizar sus prensas;
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de esta manera hizo fortuna en una sola temporada. Después, una vez probado su punto de vista, abandonó sus negocios y volvió a sus ocupaciones de orden filosófico y matemático. Al parecer, combinó un raro sentido del humor con un conocimiento profundo de la naturaleza humana. «Conócete a tí mismo» fue su máxima. Preguntado sobre la conducta de una vida justa y buena, contestó: «Abstenerse de hacer lo que criticamos en los demás.» A una pregunta sobre lo más extraño que hubiese visto nunca, respondió: «Un tirano entrado en años.» Cuando se le preguntó que es lo que aceptaría a cambio de algunos de sus descubrimientos en astronomía, respondió: «Me sentiría suficientemente recompensado si, cuando relataseis estos descubrimientos a otros, no pretendieseis que son vuestros, sino que dijeseis que son míos.» Es razonable afirmar que Tales de Mileto facilitó el camino a sus sucesores al abrir la puerta de la organización racional de las matemáticas. Sin embargo, la ausencia de documentos históricos pertinentes y la inverosimilitud de ciertos hechos relatados por los comentaristas griegos nos obligan a ser cautos al hablar de la contribución real del fundador de la geometría griega.
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El nacimiento de las matemáticas griegas
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de Italia decidió asestar un gran golpe a los pitagóricos destruyendo los edificios en los que se encontraba la escuela, asegurándose además de que la sociedad se dispersara definitivamente. Según una crónica, Pitágoras se exilió a Metaponto, donde murió a una edad avanzada. La secta, a pesar de esta dispersión forzosa, continuó durante más de dos siglos los trabajos emprendidos con anterioridad. Pitágoras, sigue siendo una figura muy oscura y controvertida ; ello es debido a distintos factores: no existe ningún documento de esta época; en la Antigüedad se escribieron distintas biografías de Pitágoras, pero ninguna nos ha llegado intacta; po r último, el carácter secreto y comunitario de la escuela pitagórica contribuye, en gran parte, a ocultar los descubrimientos del maestro. El conocimiento y la propiedad eran bienes c() nunes y la atribución de descubrimientos a un miembro de la secta estaba fuera de lugar, ya que, durante la Antigüedad, la costumbre establecía que todo fuese atribuido al maestro. La filosofía pitagórica se basaba en la afirmación tácita de que el número entero era la causa de las distintas cu alidades de los elementos del universo. «Todo es número», he aquí la divisa de la escuela pitagórica. Su doctrina proclamaba que la elevación del alma y su unión con Dios se conseguirían por medio de las matemáticas y que Dios había ordenado el universo gracias a los números. Dios es la unidad, el mundo, la pluralidad que contiene los elementos contrarios. La armonía restaura la unidad con las partes y las moldea en el cosmos. La armonía es divina, consiste en relaciones numéricas. El que llega a comprender la armonía en términos de números se vuelve divino e inmortal. Esta doctrina condujo a los pitagóricos a estudiar con exaltación las propiedades de los números, la aritmética considerada desde el punto de vista de la teoría de números, la geometría , la música y la astronomía, todo lo cual constituía lo esencial del programa de formación de un futuro discípulo de Pitágoras .
L.\ ARITMÉTICA PITAGÓRICA
Los griegos antiguos distinguían el estudio de las relaciones abstractas existentes entre los números del cálculo práctico con números .
Jean-P1111/ Cvlleue
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El primero se conocía con el ncmbre de «aritmética», mientras que . el cálculo recibía el nombre de «logística». Es interesante señalar que esta división se mantuvo ha3t.3 finales del siglo xv de nuestra era ·y que la aritmética actual se refiere a la logística griega, mientras que nuestra teoría de números corresponde más bien a la aritmética de los griegos. Las consideraciones sobre e 1 1úmero par y el número impar, que encontramos en el libro IX de. los Elementos de Euclides, pueden remontarse hasta la primera e~.c:Jela pitagórica. Nicómaco de Gerasa (neopitagórico, originario de Judea, que, al parecer, vivió en el siglo 11 de nuestra era) enuncio, en su Introducción aritmética, las definiciones pitagóricas de los números pares e impares. El número par es el que puede dividirse en dos partes iguales, mientras que el número impar es el que no puede dividirse en dos partes iguales. Pitágoras, o más bien los :Jitagóricos, estudiaron los números, clasificándolos según propiedarles bien definidas. Así, descubrieron probablemente los números amistosos, perfectos, abundantes, deficientes, además de iniciar el camino para el estudio de los números figurados . «Dos números son amisro.;os si cada uno es la suma de los divisores propios del otro.» Por ejemplo, 284 y 220 son números .., amistosos ya que la suma de los divisores propios de 284 (J, 2, 4, 71, 142) es igual a 220, y la de los divisores propios de 220, que son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, es 284 . Esto:> pares de números amistosos desempeñaron un papel importante en la magia, la bruje ría, la astrología y el cálculo de horóscopos . «Un número es perfecto si es la suma de sus divisores propios , deficiente si es mayor que esta suma, y abundante si esta suma es mayor que el número.» Ni cómaco da cuatro números perfectos en su tratado: 6, 28, 496, 8 128, y proporciona una regla general rel ativa a los números perfectos en términos de números primos: «Si la suma
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estos números es abundante y comienza generalmente con los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales:
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Numerosos e ínteresa nt es teoremas rel ativos a propiedades ma ravillosas de estos números figurados, pueden ser demostrados utilizando únicamente diagramas de puntos. Por ejemplo, para obtener el resultado: «todo número cuadrado es la suma de dos mímeros triangulares sucesivos», basta con traza r los diagramas siguientes:
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y así sucesivamente. Establecida la forma ge neral de estos números, se puede, evi dentemente, expresar también en lenguaje algebraico ios teoremas
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La indiferencia por el tema de las estrechas relaciones existentes en la Antigüedad entre la música y las matemáticas es, incluso en el mundo de la música, poco y pocas veces apreciaca. Esta estrecha unión se inició muy pronto en las culturas caldea, egipcia, babilónica y china; pero fueron los pitagóricos los que con las cuerdas vibrantes unieron irrevocablemente la música y las matemáticas. La forma más sencilla de la doctrina pitagórica que asociaba la música a los números puede ser descrita como sigue: si se fija uno de los extremos de una cuerda tensa y se hace vibrar, emitirá un sonido de un tono. Si se hace vibrar la mitad de la cue1da, el tomo aumentará un
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octavo. Si vibran los dos t~rcios de la cuerda, el tono estará por encima del que produjo la cuerda entera. Estos resultados (y los intermedios) fueron utilizados por los pitagóricos para construir escalas. Poco a poéo, la relación entre la porción vibrante de una cuerda y la cuerda entera fue expresándose en término:; de razones. Por ejemplo, 2:3 (la quinta) era más armoniosa que 8:9 (la separación entera). Según Pitágcras, los sonidos arrroniosos son producidos por razones expres2u 1s como números en teros y, cuanto más sencilla es la razón, esto es, cuanto más pequeños son los números que la expresan, mejor es la armo-
El nacimiento de las matemáticas griegas
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nía. Así, Ja octava, la quinta y la cuarta fueron consideradas, desde el punto de vista de Ja música, superiores a otros intervalos. Los pitagóricos, al imaginar el mito de la «música de las esferas», extrapolaron sus conocimientos musicales al campo de la astronomía. Creían que Jos cuerpos que se movían en el espacio emitían sonidos de una frecuencia que el oído humano no podía captar, y que, cuanto más rápidas eran las rotaciones más alto era el sonido emitido. La astronomía griega del siglo VI a.C. sostenía que los planetas se movían tanto más rápidamente cuanto mayor era su distancia de la tierra. Además, las distancias entre los planetas y las razones entre las velocidades orbitales de los planetas ( referidas a la tierra) debían estar armónicamente determinadas, es decir, expresadas por razones de números enteros. Por último, los sonidos emitidos por los planetas se armonizaban entre sí. Por todo ello, los pitagóricos fueron los primeros que instituyeron la música como disciplina matemática, una de las siete disciplinas esenciales para la formación del joven griego que entraba en la escuela.
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TEORIA PITAGÓRICA DE LAS PROPORCIONES
No se puede fijar con exactitud la fecha en que surge la teoría griega de las proporciones, anterior al descubrimiento de la inconmensurabilidad de las líneas correspondientes a cantidades irracionales, pero su origen se remonta ciertamente a la época de los pitagóricos . Esta teoría numérica de las proporciones, que comienza con Pitágoras , era aplicable únicamente a magnitudes conmensurables. En el libro VII de los Elementos de Euclides encontramos, en la definición 20: «Los números son proporcionales si el primero es el mismo múltiplo, o la misma parte, o las mismas partes del segundo que el tercero del cuarto.» La definición enunciada es probablemente la de Pitágoras. Por su parte, Nicómaco enumera las diversas razones numéricas: razones múltiples (doble, triple y razones submúltiplo), razones muy particulares (el antecedente contiene al consecuente y un a parte más), razones epímeras (el antecedente contiene al consecuente y a algunas de sus partes), etc. Sin embargo, mucho más importante es la técnica de las proporciones. En el libro VII de Euclides, encontramos numerosas proposiciones relativas a las proporciones , por ejemplo:
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2 Los tres poliedros -tetraedro, cubo y dodecaedro-- son generalmente atribuidos a los pitagóricos, mientras que los otros dos se dice que fueron construidos por Tect eto.
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Los griegos (exceptuando a Diofanto), preocupados sobre todo por la representación de los números por medio de cantidades geométricas y1 desprovistos de una notación algebraica adecuada, tuvieron que Ínventar procesos geométricos ingeniosos para llegar a solucionar problemas algebraicos. Consiguieron, no sólo demostrar algu-
El tratamiento de las magnitudes inconmensurablés constituyó uno Je los grandes triunfos de la matemática griega. El descubrimiento de estas cantidades irracionales se atribuye a los pitagóricos. Probablemente, se dieron cuenta de que no era posible medir la diagonal ele un cuadrado con su lacio. Sea la relación m 2 = 2n 2 , donde 1.n y n no son conmensurables; si m = 2r; entonces 4r2 = n 2 y entonces n es a la vez par e impar. Esta prueba indirecta (reducción al absurdo) ele Aristóteles echó por tierra. al menos en gran parte, la teoría de las ¡m1porciones de los pitagóricos. ya que ésta se basaba en la conrnenJ / ,:,~/y 1¡ ,_
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EL ÁLGEBRA PITAGÓRICA
EL DESCURRIMIENTO DE LAS MAGNITUDES INCONMENSURABLES
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En geometría, se atribuye generalmente a los pitagóricos la demostración de la proposición 47 del libro I de Euclides, cuyo enunciado es el siguiente: «En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados». Esta relación geométrica está también ligada a la fórmula pitagórica para encontrar dos números cuadrados cuya suma sea un cuadrado (ternas pitagóricas que eran ya conocidas por los babilonios). Se atribuye también a Pitágoras 2 la construcción de las «figuras cósmicas» o sólidos regulares. Estos sólidos son el tetraedro, el hexaedro o cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. «Un poliedro es regular si sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos poliédricos son todos iguales.» De esta definición se deduce que únicamente los poliedros antes mencionados son poliedros regulares. El tetraedro tiene cuatro caras triangulares, el cubo seis caras cuadradas, el octaedro ocho caras triangulares, el dodecaedro doce pentagonales, y por último, el icosaedro está limitado por 20 caras triangulares.
Esta teoría de las proporciones será sustituida por la de Eudoxo para evitar la dificultad debida a Jos irracionales. Otra teoría aritmética que se atribuye a los primeros pitagóricos es la de las medias. Los pitagóricos distingu ieron tres: la media . aritmética, la media geométrica y Ja media armónica. Se dice que, tomándola prestada de Jos babilonios, introdujeron en Gre.cia la proporción más perfec-
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LA GEOMETRÍA PITAGÓRICA
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Dividamos el cuadrado a+b en dos rectángulos y dos cuadrados de áreas respectivas ab, ab, a 2 y b 2 , como en la figura que aparece más arriba. Es geométricamente evidente que el cuadrado de e + bes igual a la suma de las áreas ab, ab, a 2 , b 2 , de donde (a + b ) 2 -"""' a2 + 2ab + b 2 . La proposi .: ión 7 se refiere a la demostración geométrica de la identidad (a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 , mientras que la proposición 5 es equivalente al resultado: (a + b)(a - b) = a 2 - b 2 • Por lo que se refiere a la resolución de las ecuaciones cuadráticas, los griegos utilizaron principalmente dos métodos: el método de las proporciones (basado en su técnica) y el método de la aplicación de las áreas . La idea de esta última consiste en llevar sobre una recta (como base), con un ángulo dado, un paralelogramo que debe ser igual (en superficie) a cualquier figura rectilínea dada. En los problemas más difíciles, el paralelogramo utilizado puede sobresalir de la base, o ser inferior a la línea dada para .un paralelogramo semejante .
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La línea AB y el paralelogramo ADEB están construidos sobre AB. Si C no está en B, entonces consideremos CEFB, un paralelogramo semejante a ADEB. Si C coincide ~on B, entonces el paralelogramo ADEC se lleva sobre el segmento AB (fig. 2). Y si C se encuentra en la prolongación de AB, el paralelogramo ADEB se lleva sobre AB con un excedente expresado por el paralelogramo
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La proposición 29 del libro VI enuncia la siguiente construcción: «Sobre una recta dada, llevar un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada y que excede en una figura paralelográmica semejante a la dada.» Esta construcción equivale a resolver la ecuación: .r2 ax - b 2 = O. Los tres ejemplos ilustrados por las figuras 1, 2 y 3 corresponden de hecho a la solución algebraica de la ecuación general de segundo grado con raíces reales.
DE PITÁGORAS A PLATÓN
No poseemos ningún texto matemático ni documento científico que, de manera objetiva, dé testimonio de las realizaciones matemáticas del período que va de Pitágoras a Platón . Sin embargo, el Comentario de Proclo proporciona algunos detalles sobre los trabajos de matemáticos de esta época. Después de hablar de Pitágoras Proclo continúa diciendo: "naxágoras de Clazómenas estudió numerosas cuestiones geométricas, así como Enópides de Quíos, que era un poco más joven que este último ... . Después de ellos, Hipócrates de Quíos, el descubridor de la cuadratura de las lúnulas , y Teodoro de Cirene, llegaron a ser reputados geómetras; en efecto, Hipócrates fue la primera persona de la que se cuenta que compiló efectivamente los Elementos. Platón, que los sucede inmediatamente, hizo d;ir, gracias al celo por sus estudios, un gran paso hacia delante a las matem<íticas en general y a la geometría en particular; en efecto, todo el mundo sabe que trató muchos \emas matemáticos en sus escritos y que no desperdici;iba nunca la ocasión de despertar el entusiasmo por las matemátic as en aquellos que hahían elegido la filosofía. Al mismo tiempo vivían tamhién Leodamas Je Tasos, Arquitas de Tarento y Teeteto de Atenas, y gracias a ellos, el número de teoremas aumentó y se dio un paso más hacia el reagrupamiento científico de estos teoremas.
Según Heath', este comentario se proponía sobre todo plasmar los progresos realizados en los Elementos más que en la evolución de la geometría. Por consiguiente, lm nombres de Demócrito, Hipias de Elis, 3
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Antifón el Sofista, Brisón y algunos otros no son mencionados porque sus trabajos influenciaron muy poco la realización de los Elementos.
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Anaxágoras (ca. 500-428 a.C.) nacido en Clazómenas, era más bien físico que m::itemático, pero su curiosidad le llevó a la solución de problemas matemáticos. Encarcelado por sus ideas sobre astronomía, parece que intentó resolver la cuadratura del círculo durante su cautividad. Su alumno Pericles, gracias a su influencia, obtuvo su libertad y Anaxágoras se marchó de Atenas para siempre. En astronomía, Anaxágoras pensaba que la luna recibía su luz del sol, y dio explicaciones suficientes sobre los fenómenos de los eclipses lunares y solares. Enópides de Quíos, más joven que Anaxágoras, fue antes que nada un astrónomo cuyos trabajos geométricos parecen haber sido reallzados con el fin de proporcionar elementos para la solución de problemas astronómicos. Proclo atribuía a Enópides la proposición 12 del libro I: «Trazar una perpendicular a una recta dada desde un punto que no esté en esta recta», y Eudemo, citado por Proclo, le , atribuía también el descubrimiento del problema relativo a la proposición 23 del libro 1: «Sobre una recta dada y en un punto dado de esta recta, construir un ángulo igual a un ángulo dado.» Demócrito (ca. 460-370 a .C .), nacido en Abdera, es conocido sobre todo por su teoría materialista de los átomos, aunque parece que trató todos los temas de estudio de su época. Se cuenta que viajó mucho (a Atenas, Egipto, Mesopotamia y probablemente la India y Etiopía) y que era indiferente a los honores que le prodigaban. Demócrito esc~ibió varias obras matemáticas, todas ellas desaparecidas; sólo conocemos algunos títulos: Números, Sobre la geometría, Sobre las tangentes, Sobre los irracionales. Escribió también sobre ética y poesía. Su dc:>ctrira física del atomismo sirvió de base a sus concepciones matemáticas. Todos los fenómenos deben ser explicados, según Demócrito, en términos de átomos infinitamente pequeños y de distintos tamaños, que se mueven en el espacio vacío. La creación del universo es el resultado de una ordenación y de una coagulación
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de átonos que poseen un cierto parecido. Esta teoría de los átomos duros e impenetrables había sido propuesta con anterioridad por Leucipo; además numerosos autores le han acusado de plagiar, entre otros, a Pitágoras y Anaxágoras. Los problemas matemáticos que interesan a Demócrito presentaban dificultades, en cierta medida, de naturaleza infinitesimal. Parece que el precursor del atomismo moderno concebía un sólido como una suma de un número infinito de capas planas paralelas unas a otras, infinitamente delgadas e infinitamente próximas. Esta última idea fue utilizada por Arquímedes en su Tratado del método. Esta concepción infinitesimal pudo servir a Demócrito para descubrir que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que tiene la misma base y la misma altura. Sin embargo, según Arquímedes, Demócrito fue el primero que, aunque sin demostrarlo rigurosamente, enunció este resultado.
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Hipias de E/is, el célebre sofista, nació hacia el año 460 a.C. y fue probablemente contemporáneo de Sócrates. El único descubrimiento que se admite corno suyo es el de la «Cuadratriz», curva especial utilizada para resolver el problema de la trisección de un ángulo y para tratar de solucionar la cuadratura del círculo. Hipias de Elis (el nombre de Hipias es muy frecuente en Grecia) se vanagloriaba de haber ganado mucho más dinero que los otros dos sofistas del mismo nombre, de poseer uP.a memoria extraordinaria y de haber adquirido considerables conocimientos, aJemás de ser un técnico de talento. Estas informaciones sobre Hipias de Elis se encuentran en los diálogos de Platón, en particular er. el Hipias menor, el Hipias mayor y el Protágoras (nombre de otro sofista). Digamos algo sobre los sofistas, término griego que, en un principio, significaba filósofo y sabio y, más específicamente, hombre experto en un arte o en una disciplina que se propone enseñar a los demás . Pero, en el seno de una democracia en la que el arte de la oratoria terminaba, tarde o temprano, por predominar sqbre las otras y por prescindir incluso de la verdad, esta antigua «sofística» se transformó m•1y pronto en una «retórica», agente de persuasión, como dice Platón, capaz de convencer a la multitud, mediante la palabra y el halago, más eficazmente que el experto que sabe de lo que trata. Finalmente la sofística, movida, como dice Platón, no por el amor a la 'verdad, sino por el amor al éxito y al lucro y convertida
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en un arte de prestidigitación; se reduce al arte de parecer sabio sin serlo. De hecho, Jos sofistas eran docentes profesionales que percibían emolumentos por sus funciones de preceptores y tambi¿n por el arte de mostrar la belleza en todo. Sin er.ibargo, a pesar de lo pertinente de las críticas hechas a los sofistas (Platón es muy severo con ellos), éstos poseían, en general, una excelente formación que les permitía aportar contribuciones válidas al campo del conocimiento.
Hipócrates de Quíos (distinto de Hipócrates de Cos, el célebrn médico y fundador de la medicina) se marchó muy pronto, hacia e l año 430 a .C., de su isla natal, Quíos, y se instaló en Atenas. ¿Por qué fue a Atenas y qué le hizo quedarse allí? Numerosas historias, todas ellas verosímiles, explican esta situación; sin embargo, lo importante es que consiguió llegar a ser un matemático de talento . Su fama en geometría se debe a las siguientes razones:
1) Al parecer, fue el primero en recopilar un libro Je los Elementos. 2) Intentando establecer la cuadratura del círculo, demostró la cuadratura de ciertas clases de lúnulas. 3) Fue el primero que observó que el problema de la duplicació n del cubo se reduce al problema de encontrar dos medias proporcionales en proporción continua entre dos rectas dadas, lo que más tarde llevó a la resolución de la duplicaci ó n en términos de medias proporcionales. Conservamos, con exclusión de cualquier otro documento, un fragmento (procedente de Eudemo) que describe una parte de los trabajos de Hipócrates sobre la cuadratura de las lúnulas. Una lúnula es una figura limitada por dos arcos circulares de radios distintos. En los Comentarios de Simplicio, excelente comentarista de Aristóteles, del siglo VI d .C., podemos, po r lo que se refiere a este fragmento copiado por Simplicio, distinguir entre el texto original y los comentarios. El primer teorema afirma que «la razón entre segmentos circulares semejantes es la misma que la razón entre los cuadrados de sus bases». Este teorema representa la primera cuadratura de una superficie curvilínea, efectuada rigurosamente en la historia de las
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bien, en el primer caso nos quedamos con el triángulo ABC (fig. 2), y en el segundo caso, con Ja lúnula de Ja figura 3. Por tanto, el área del triángulo ABC es igual al área de la lúnula de Ja figura 3. Así se consigue la cuadratura de la lúnula. La segunda cuadratura de Hipócrates se refiere a una lúnula cuya circunferencia exterior es mayor que el semicírculo (está circunscrita a un trapecio), mientras que la tercera corresponde a una lúnula cuya circunferencia exterior es menor que el semicírculo. La cuarta se refiere a la unión de una lúnula y un círculo. Según Boyer\ las cuadraturas de Hipócrates son significativas, sobre todo, como indicios del nivel matemático alcanzado en esta época por los griegos. En particular, eran capaces de transformar un rectángulo de lados a y b en un cuadrado, calculando la media geométrica de a y b. Para los griegos, era natural tratar de ge neralizar este problema e introducir dos medias entre las medidas a y b. Así, dados dos segmentos de rectas a y b, intentaban construir. otros dos segmentos x e y, tales que-'; = ; = En este tipo de problema, Hipócrates pudo ver la relación que le permitió reducir la duplicación del cubo a una búsqueda de medias. En efecto, si b =Za, Ja propor-
matemáticas. Los egipcios, según ciertos autores, calcularon el área de un semicilindro y de un hemisferio de forma empírica . B
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La demostración de Hi.pócrates es Ja siguiente. Se traza un semicírculo sobre Ja diagonal AC del cuadrado ABCD y, sobre el extremo opuesto a B, se lleva el radio que traza el arco A C. Los segmentos circulares AB y AC son semejantes y puesto que las figuras semejantes son entre ellas como Jos cuadrados de sus bases, tenemos: segmento A B _ A B 2 segnento AC - AC2
Teodoro de Cirene, es considerado por Proclo como un geómetra célebre, profesor de Platón, quien habla de él en su diálogo Teeteto y
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menciona que Teodoro explicaba, con iiguras que representaban raíces, que 0, \15, ... , yT7 no eran conmensurables con la unidad. No se sabe como probaba Teodoro Ja i!lCOnmensuralibilidad de 0, \15 . ... , yT7 con 1, pero parece que no utilizó un método general. Teodoro destacó, no sólo en geometría, sino también en astronomía, en aritmética y en música.
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A Teeteto de Atenas, se le conoce, como al anterior, por el
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diálogo de Platón que lleva su nombre. Combatió en las filas atenienses nacía el año 369 a.C., y Platón cuenta que fue llevado a
Pero AC es la diagonal del cuadrado; por consiguiente, Ja razón~<~ es igual at. de donde el segmento A Ces la suma de lossegmentosABy BC. Además, si del semicírculo ABC se quitan los segmentos AB y BC. o el segmento AC, se quita, de hecho, la misma área. Ahora
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su casa herido y enfermo de disentería, lo que le causaría la muerte. El diálogo dedicado a la memoria del joven héroe relata una conversación entre Sócrates, Teodoro y Teeteto, cuando Teeteto era todavía joven, aunque el diálogo fue escrito probablemente treinta años después. Teeteto conocía los trabajos de Teodoro sobre los irracionales \13, y'S, ... , y17 y, a partir de ahí, concibió, dice, la idea de generalizar todas estas cantidades irracionales en una teoría. Clasificó todos los segmentos que dan lugar a cuadrados conmensurables, distinguiendo los conmensurables de los inconmensurables. Es razonable afirmar que los fundamentos de la teoría de los irracionales contenidos en el libro X de Euclides proceden de Teeteto, cuya contribución al libro XIII en 10 referente a la construcción de los cinco poliedros regulares fue muy importante.
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él nacimiento de las matemáticas griegas
paralelas, suma de los ángulos de un triángulo, áreas poligonales, teorema de Pitágoras, polígonos regulares, teoría pitagórica de las proporciones; 2) el desarrollo de la teoría de números tal y como se expone en el libro VII de los Elementos; 3) la determin~ión, a partir de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates como base geométrica, de áreas de círculos; 4) la duplicación del cubo, la trisección de un ángulo; 5) la formulación del problema de los irracionales; 6) la validez de los métodos infinitesimales a partir de los trabajos de Demócrito y de los sofistas.
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Arquitas de Tarento, pitagórico, amigo de Platón al que libró de Dionisio, tirano de Siracusa, vivió en la primera mitad del siglo IV. Estadista y filósofo, fue general de las fuerzas de su ciudad durante siete años, aunque el mandato estipulado por la ley ·era sólo de un año. Arquitas continuó la tradición pitagórica al situar la aritmética por encima de la geometría; al mismo tiempo demostró gran entusiasmo por los números, desprovistos en parte del carácter religioso y místico que Pitágoras había querido darles. Se dice que escribió el primer tratado sistemático de mecánica basado en principios matemáticos. Arquitas contribuyó de forma original al avance de las matemáticas griegas. Con una ingeniosa construcción espacial, obtuvo, a partir de la intersección de tres superficies construidas en el espacio de tres dimensiones, la duplicación del cubo. Desarrolló teoremas sobre las proporcionalidades numéricas y sobre desigualdades relativas a las tres medias, todo ello aplicado a su teoría de la música. El libro VIII de los Elementos, que trata de la teoría aritmética de las proporciones continuas y de los números semejantes (números planos, cuadrados, cúbicos) procede en esencia de sus trabajos.
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En el período que separa a Pitágoras de Platón, se pueden distinguir seis problemas importantes tratados por los griegos:
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RESUMEN
Tales de Mileto aprovechó los conocimientos adquiridos por las civilizaciones anteriores y proporcionó los rudimentc~ para una nueva geometría. Con los pitagóricos, la geometría se convirtió en una ciencia con entidad propia, constituida por principios y definiciones sobre los que iniciaron la construcción de un sistema lógico. Los pitagóricos inventaron: l) la teoría de números; 2) el método de aplicación de las áreas; 3) una teoría de las proporciones aplicable a las magnitudes conmensurables; 4) tres de los cinco sólidos regulares. Descubrieron también la existencia de magnitudes inconmensurables e instituyeron la música como ciencia matemática . Después de Pitágoras, los trabajos matem áticos se orientaron en gran medida hacia la construcción de los Elementos de Euclides. En particular, Hipócrates de Quíos parece haber sido el primero que recopiló un libro de los Elem entos. A él se deben además las primeras cuadraturas de figuras curvilíneas . Las cuadraturas de Hipócrates son importantes sobre todo porque ponen de manifiesto el alto nivel matemático alcanzado por los griegos en esta época. Teodoro de Cirene y Teeteto llevaron a cabo el estudio de los irracionales, mientras que Arquitas obtuvo una solución del problema de la duplicación del cubo y elaboró el libro lil de los Elementos.
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EJERCICIOS
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1. ¿En qué se diferencian las fuentes de la civilización griega de las de la civilización babilónica? 2. Expresar los números: 24 - 628 - 2 493 - 12 028 a) en el sistema ático; b) en el sistema jónico. 3. ¿Cuáles seon las principales características de la filosofía pitagórica del número? 4. Demostrar que 1 184 y 1 210 son números amistosos. 5. Demostrar, a partir del número perfecto 496, que la suma de los inversos de todos los divisores de un número perfecto es 2. ' 6. Determinar los 21 números abundantes menores que 100. ¿Qué suposición puede hacerse teniendo en cuenta la naturaleza de los números hallados? ¿Satisface el número 945 esta hipótesis? 7. Un número oblongo es un número representado por una forma rectangular en la que el número de columnas es superior al número de líneas de una unidad. Demostrar geométricamente que la suma de los n primeros enteros positivos pares es un número oblongo. 8. Demostrar que si tres números a, b, c, en este orden, están en progresión aritmética y A, B y C son los inversos respectivamente, entonces B es la media armónica de A y C. 9. Demostrar geométricamente que 8 veces un número triangular más 1 es un número cuadrado. 10. Demostrar que no existe ningún triángulo isósceles rectángulo cuyos lados sean enteros positivos. 11. Demostrar que si p es un número primo, entonces yp es irracional. 12. Demostrar que log 102 es irracional. 13. Demostrar geométricamente que un número oblongo \!S la suma de dos números triangulares iguales. 14. Demostrar que si a, by c, en este orden, están en progresión armónica,
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Platón tenía veinte años cuando conoció a Sócrates, maestro entre los maestros, que tuvo una influencia decisiva en su vocación filosófica e incluso en su vida. Nacido en Atenas, hacia el año 427 a .C. -época de la muerte de Pericles, el gran legislador-, en el seno de una familia rica y noble, se le llamó Platón por sus anchas espaldas y recibió una esmerada educación. Cuando, después de haber vivido ocho años en la intimidad de Sócrates, éste fue condenado por sus conciudadanos a beber la cicuta (hacia el año 399) 1, primero se retiró a Mégara, y después emprendió largos viajes por Oriente, Egipto y la Magna Grecia. Volvió a Atenas en el año 377, después de ser librado de la esclavitud por uno de sus amigos, y fundó una escuela de filosofía, la Academia, que era a la vez un lugar de paseo y de reunión, biblioteca y alojamiento. Platón enseñó ininterrumpidamente en la Academia durante cuarenta años, y sólo su muerte, ocurrida en el año 348 a.C., le separó de ella; pero su tradición y su espíritu se mantuvieron continuamente hasta el siglo VI d.C.' La obra de Platón ha llegado a nosotros casi en su totalidad: 43 escritos, de los que 30 son de una autenticidad indudable. Steele2 dice que existen al menos 121 pasajes, repartidos en 25 diálogos, en los que Platón se refiere a las matemáticas: los diálogos citados con más frecuencia a este respecto son La República, Fedón, Timeo,
La influencia de Sócrates en el desarrollo de las matemátiaS más bien desdeñable. Sin embargo, su alumno Platón inspi · todo el siglo IV, ya que los grandes matemáticos de esta époc~ e!. asociados a su Academia, que se constituirá en el centro y la giita las actividades matemáticas hasta la aparición de la Escuetil Alejandría. Parece ser que la conversión de Platón a las matero ,,,.•. cas provino de su amistad con Arquitas de Tarento, el éélebij matemático de la Magna Grecia. '~~>· Los principales pasajes matemáticos de Platón están dispersos! sus diálogos y tratan aspectos tan variados como la teorfa .1~ números, las figuras cósmicas (llamadas también figuras platónic.ls>i la estereometría, los fundamentos matemáticos y la axiomática/!.: El Timeo contiene las ideas de Platón sobre los poliedros reguli-: ! res: He aquí, para empezar, la forma que aparece primero y que es ponu,. constitución la más pequeña: tiene como elemento el triángulo cuya hipotc•}' nusa tiene una longitud doble que la de su lado más pequeño. Dos1 triángulos de este tipo yuxtapuestos por sus hipotenusas, y tres de estas:: figuras reunidas de forma que las hipotenusas y los lados pequeños concu· i. rran en un punto como en un centro, forman, a partir de seis triángulos" elementales, un triángulo equilátero único3 . Si se reúnen cuatro de estris .,' triángulos equiláteros, se forma, con cada grupo de tres ángulos planos, un ángulo sólido que da lugar al ángulo plano más obtuso4 ; con cuatro de estos ángulos así formados se constituye la primera forma sólida, que tiene la.,; propiedad de dividir la esfera en la que está inscrita en partes iguales y·"'i' semejantes5 • La segunda está constituida por los mismos triángulos elemen: 3
La figura geométrica obtenida es:
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1 La acusación que el demandante se comprometía a probar incluía dos delitos: Sócrates era culpable de no creer en los dioses reconocidos en la ciuddd y de pervertir a la juventud. Pena pedida : la muerte.
2 Domhna !I A. Steele, «A mathematical reappraisal of the Corpus Pla tonicum»,
Scrip111 M111hem a1ica, 7, 1942, p. 174.
4 El ángulo sólido limitado por tres ángulos de 60" equivale. aquí a 2 rectos y 2 rectos equivalen al límite del ángulo más obtuso; se confunde entonces con la recta. 5 El tetraedro regular: tiene cuatro caras triangulares equiláteras y cuatro vértices que reúnen cada uno tres ángulos de 60º. Como todos los sólidos regulares es inscriptible en la esfera.
sola ayuda de la regla o del compás, ya que permiten asegurar la simetría de las configuraciones, mientras que la introducción de instrumentos distintos de la regla o del compás no garantiza la simetría de las figuras construidas. Se atribuye también a Platón la introducción del método analítico (el análisis) en la demostración matemática; discutió también los fundamentos de las matemáticas, clarificando ciertas definiciones y reorganizando los postulados. En geometría, puso de ma'!ifiesto el hecho de que el razonamiento no se refiere a las figuras visibles y concretas, sino a las ideas que ellas representan. En aritmética, distinguió no solamente entre números pares e impares, sino también entre par x par, impar x impar y par x impar. Aunque no exista unanimidad sobre el papel de Platón en la historia de las matemáticas, no es por ello menos cierto que pocos se niegan a admitir el impacto provocado por el célebre alumno de Sócrates en el desarrollo de las matemáticas de su tiempo. Proclo, en su balance sobre Jos progresos de 106 Elementos en el periodo que va de Platón a Euclides, afirma lo siguiente: «Más jóvenes que Leodamas, Neóclides y su alumno León añadieron varia,s cosas a lo que se conocía antes de su época, de tal forma que León estuvo en condiciones de establecer una colección de Elementos mejor estructurada, teniendo en cuenta el número de proposiciones probadas y su utilidad; además inventó los diorismas, cuyo objeto es determinar cuándo el problema es susceptible de ser resuelto y cuándo es imposible». No sabemos nada más sobre Neóclides y León, salvo que sus contribuciones representan un paso adelante en el establecimiento de la terminología de los matemáticas. El resumen de Proclo continúa como sigue: «Eudoxo de Cnido, más joven que León, que estuvo asociado a la escuela de Platón, fue el primero en aumentar el número de teoremas generales; añadió también tres proporciones a las tres conocidas con anterioridad y multiplicó Jos teoremas sobre las secciones, cuyo origen se remonta a Platón, aplicando el método analítico a estos teoremas. · »Amintas de Heraclea, uno de los amigos de Platón, Menecmo, alumno de Eudoxo que estudió también con Platón, y Dinóstrato, su hermano, hicieron toda la geometría aún más perfecta ... »
tales, que se unen en ocho triángulDs equiláteros para formar con cuatro ángulos planos un ángulo sólido; se forman seis de estos ángulos, y as{ queda terminado el segundo cuerpo6 • El tercero es el resultado de la reunión de ciento veinte elementos; está formado por doce ángulos sólidos, delimitados cada uno por cinco planos que son triángulos equiláteros, y tiene veinte bases que son triángulos equiláteros7 • Y el primer elemento terminó su tarea una vez engendrados estos cuerpos; y correspondió al triángulo isósceles engendrar el cuarto: triángulos de este tipo, reunidos de cuatro en cuatro, de manera que los vértices de sus ángulos rectos coincidan en un centro8 , constituyendo un cuadrilátero equilátero: seis de estas figuras consiguen formar ocho ángulos sólidos, compuesto cada uno por tres ángulos planos rectos; la figura así constituida fue la del cubo, que tiene por base seis superficies cuadrangulares equiláteras 9 • Quedaba aún una combinéción, la quinta, que el dios utilizó en el diseño del universo10 •
Platón aplica así los sólidos regulares a la explicación de los fenómenos científicos. En el Parménides, se encuentra la proposición: «Si a > b, entonces ~:: < .P>. En el Timeo, partiendo de los números, Platón observa que, entre dos números planos, una media es suficiente, mientras que para unir dos números sólidos son necesarias dos medias. Esto equivale a decir: entre a 2 y b 2 , ab es una media geométrica, mientras que, entre a 3 y b3 , a2 b y ab2 son dos medias 3
2
a ab geométricas tales que -;;r¡; = --¡;;--. Numerosos pasajes de La República nos inducen a pensar que Platón podría haber sido el que distinguió claramente la aritmética (en el sentido de la teoría de números) de la logística (o arte de contar). Para Platón, las únicas construcciones válidas en geometría son aquéllas efectuadas con la 1
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El cx:taedro regular: 8 caras, 6 vértices que reúnen 4 ángulos de f:JJ'. El icosaedro regular: 20 caras, 12 vértices que reúnen cada uno 5 ángulos de 60º.
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De Platón a Euclides
Jean-Paul Colletre
94
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Eudoxo de Cnido (ca. 408-ca. 355 a.C.), famoso matemático y geómetra, fue también médico, geógrafo, astrónomo, orador y filósofo. Estudió matemáticas con Aquitas en Tarento y medicina con Filistio en Sicilia. A los veintitrés años fue a Atenas para estudiar filosofía y retórica. Volvió a Cnido, después empredió un viaje de casi dos años por Egipto, donde se dice que asimiló la astronomía egipcia e hizo observaciones astronómicas. Cuando volvió a Atenas, hacia el año 365, acompañado de sus alumnos, poseía ya una respetable reputación. Platón y Eudoxo se encontraron con frecuencia en debates, intercambiando ideas sobre distintos temas en una atmósfera de respeto mutuo. Nuestras fuentes de información sobre los trabajos de Eudoxo son más bien pobres y poco seguras. Sin embargo, aun sin tener la certeza objetiva, dada la escasez de documentos originales, se aceptan las contribuciones atribuidas a Eudoxo por los comentaristas. Proclo afüma que Eudoxo aumentó el número de teoremas generales de geometría . ¿Es lícito atribuir a Eudoxo las proposiciones del libro v de los Elementos sobre las magnitudes generales y sus relaciones, aplicadas tanto a los segmentos de recta como a las áreas, a los ángulos, etc.? Podemos únicamente suponerlo, igual que cuando Proclo dice que Eudoxo añadió tres proporciones a las tres ya conocidas y que, aplicando el método analítico, multiplicó los teoremas sobre las secciones. La «Sección» se define gener almente como la división de una línea recta en razones extrema y media (sección áurea) 11 , y encontramos la aplicación de la sección áurea especialmente en el libro Xlll, proposiciones 1 a 6. Sería por tanto posible que Eudoxo hubiese contribuido a establecer algunos de los teoremas sobre la sección contenidos en los Elementos. Pero las dos contribuciones más importantes de Eudoxo, que le hicieron famoso y sobrepasan todo lo que había hecho antes, son: V
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2) el método exhaustivo.
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De Platón a Euclides
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El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables debió causar un escándalo entre los griegos puesto que anulaba todos los esfuerzos anteriores por enunciar una teoría de las proporciones compatible con las magnitudes generales. Dos cantidades, por ejemplo la diagonal y el lado de un cuadrado, son inconmensurables si no existe una razón, entre dos números enteros, que tenga en ellas una medida común . ¿Cómo comparar entonces las razones de cantidades inconmensurables? La respuesta la dará Eudoxo con una teoría aplicable tanto a las magnitudes conmensurables como a las inconmensurables. Precedida por las cuatro definiciones sobre la naturaleza de las razones y sobre las magnitudes entre las que existe una razón, la célebre formulación de Eudoxo sobre la igualdad de las razones está dada en Ja definición 5 del libro v de los Elementos de Euclides: La razón entre magnitudes es la misma, entre la primera y la segunda y entre la tercera y la cuarta, si, de todo equimúltiplo de la primera y de la tercera, y de todo equimúltiplo de la segunda y de la cuarta, los primero' equimúltiplos son mayores, iguales, o más pequeños que los últimos equii:núltiplos considerados en el orden correspondiente .
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Así f = ':: si, dados a y b enteros , siempre que ax < bz, am < bn. o si ax = bz, am = bn, o si ax > bz, am > bn. Esta definición tiene la ventaja de ser aplicable, no sólo a números, sino también a elementos geométricos, ya que Ja razón entre esferas puede ser igual a la razón entre cubos. Es interesante señalar que esta definición corresponde en esencia a Ja noción de «Cortadura» de Dedekind , que no sería enunciada hasta el siglo XIX. La proposición 2 del libro XII de los Elementos afirma que «los círculos son entre ellos como los cuadrados de sus diámetros». La demostración que sigue a este enunciado utiliza íntegramente un a prueba indirecta, basada en el hecho de que es posible inscribir y circunscribir a los círculos polígonos, cuyo número de lados puede aumentar tantas veces como se quiera, de tal forma que habrá siempre una diferencia determinada entre el área del polígono y el área del círculo. Los predecesores del célebre Eudoxo trataron, al parecer, de
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Jean-P1111/ Colle11e
comparar configuraciones curvilíneas con configuraciones rectilí:1eas. sugiriendo para ello la inscripción y circunscripción de figuras cctilíneas al interior y al exterior de las figuras curvilíneas y aumentando indefinidamente el número de líneas poligonales. Sin emhargo. a pesar de los trabajos de Hipócrates de Quíos sobre la ;uadratura de las lúnulas, basados fundamentalmente en el conteni:lo de la proposicion 2 citada más arriba, nadie, antes de Eudoxo, pudo elaborar una argumentación lógica válida que, además, es inherente al concepto de límite desconocido en esta época. Según Arquímedes, fue Eudoxo el que formuló el lema (lema de Arquímedes), llamado también axioma de la continuidad, sobre el que se basa el método exhaustivo (expresión moderna del método de Eudoxo) cuyo enunciado es: «Dadas dos magnitudes entre las que existe una razón, se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que exceda a la otra». Utilizando este axioma, se llega, paso a paso, gracias al método de reducción al absurdo, a demostrar la siguiente proposición que es la piedra angular del método exhaustivo: «Si de cualquier magnitud se sustrae una parte superior o igual a su mitad, y si del resto se sustrae una parte superior o igual a su mitady y si se continúa este procedimiento de subdivisión, quedará una magnitud más pequeña que cualquier magnitud dada de la misma especie». Esta proposición es equivalente al enunciado !.~ G (1 - rt = O, donde Ges la magnitud inicial, r la razón tal que+ ~ r < l y n el número de subdivisiones efectuadas. Los griegos utilizaron este método exhaustivo, equivalente a nuestra integración moderna de las áreas, para demostrar teoremas sobre las áreas y los volúmenes de figuras curvilíneas. Eudoxo es el primer matemático conocido que empleó un algoritmo eficaz en el cálculo integral. Eudoxo. considerado en ocasiones como el padre de la astronomía científica, elaboró, para explicar los movimientos aparentes del sol, la luna y los cinco planetas conocidos en su época, una elegante hipótesis sobre las esferas concéntricas. En esta hipótesis, los movimientos descritos son movimientos circulares uniformes. La influencia de Eudoxo se dejó sentir no sólo por sus trabajos, sino también a través de sus alumnos, entre los que los hermanos Menecmo y Dinóstrato fueron probablemente los más eminentes.
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Menecmo, alumno de Eudoxo, adquirió renombre como astrónomo y como geómetra. Según Proclo, aumentó el número de esferas en la teorías planetarias de Eudoxo y Calipo. Escribió obras sobre geometría (discusión de los fundamentos de la geometría), sobre el significado de la palabra elemento y sobre la diferencia entre los teoremas y los problemas. Se cuenta que el gran conquistador griego Alejandro Magno le preguntó un día si existía un atajo que llevase a la geometría y le contestó: «Üh rey, existen, para los viajeros que recorren el país, caminos reales y caminos para las gentes del pueblo, pero en geometría no existe más que una vía.» (La misma anécdota se cuenta también con Euclides y Tolomeo como protagonistas.) La contribución más importante de Menecmo fue el descubrimiento de las «secciones cónicas», lo que le permitió resolver el problema de los oráculos de Delos. En efecto, si Hipócrates redujo el problema de la duplicación del cubo al de la búsqueda de dos medias proporcionales entre dos rectas a y b, es decir ~ = = Menecmo descubrió las propiedades de Ja parábola y de la hipérbola que corresponden, en coordenadas cartesianas, a las relaciones que resultan de la proporción continua: x 2 = ay, y2 = bx, xy = ab . No sabemos cómo, partiendo del método de o btención de las secciones cónicas, obtuvo Menecmo las ecuaciones xy = ab (hipérbola) e y2 = bx (parábola) necesarias para la resolución de la duplicación del cubo. La obtención de las secciones cónicas se consigue efectuando cortes perpendiculares a la recta generatriz en un cono circular recto. Menecmo descubrió que, si el ángulo del vértice del cono es recto, al cortar el cono con un plano perpendicular a la generatriz, la curva intersección es una parábola . Si el ángulo es agudo . la curva intersección es una elipse. Probablemente , encontró distintas propiedades de las secciones cónicas, incluidas las asíntotas de la hipérbola. pero no existe ningún documento que lo atestigüe. La solución analítica de la duplicación del cubo es sencill a: para realizar la duplicación de un cubo de lado a, basta con localizar en un cono circular recto dos parábolas. una de lat11s rectum a y la o tra de 2a; después, por traslación y rotación, se sitúan los vértices en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano; el punto de int ersec-
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ción de las dos curvas satisface la proporción continua~ = ; = -f;;, es decir x = a.¡yl, y = affe son las coordenadas del punto de intersección. Se consigue así resolver el problema con la ayuda de una hipérbcla rectangular (xy = a2 ) y una parábola (/ = Íx). Menecmo no inventó los términos parábola, hipérbola y elipse, que fueron introducidos por primera vez, en el estudio de las cónicas, por Apolonio, perteneciente a la Escuela de Alejandría .
Dinóstrato, hermano de Menecmo, fue tambien matemático. Mientras que Menecmo resolvió el problema de la duplicación del cubo, él utilizó con éxito la «cuadratriz» (fue probablemente el primero que la ut.ilizó en la resolución de la cuadratura del círculo) . Pappus describe la construcción de esta curva como sigue:
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den con CD en el mismo instante. Estas dos rectas móviles se en un punto que describe la curva BFG. Si CFE es una dada de la recta rotatriz y F el punto de intersección, entonca; acuerdo con la definición, BC será la perpendicular FL como el entero BED es el arco ED. El teorema de Dinóstrato afirma que «el lado del cuadrado d media proporcional entre el segmento CG y el arco BED», ya~. · BD BA , do m . dº1rect
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Conocida la circunferencia ¿cómo c0nsigue Dinóstrato el del círculo? Aparentemente conocía la proposición, demostrada Arquímedes algunos siglos después: «el área de un círculo es iguaJ., la de un triángulo cuya base es igual a la circunferencia y cuya alt es igual al radio», o alguna otra equivalente. Dado G, punto de intersección de la cuadratriz con CD, . puede trazar, mediante una construcción geométrica, un segmentQ de recta igual en longitud al arco BED. Dibujando un rectángul~ cuya longitud sea dos veces la longitud de BW y cuya anchura se\ igual a esta longitud, se tendrá un rectángulo de la misma área c¡uast el círculo cuya radio es la longitud de BED. A partir de este"· rectángulo, se puede construir un cuadrado cuyo lado sea la medí( geométrica de los lados del rectángulo. .'.¡~ La cuadratriz de Hipias sirve también para efectuar la trisección _J; de un ángulo; para ello basta con dividir FL en partes que estén e1t¡;i la razón 1:2 y comparar entonces Ja razón de los ángulos y la razón ~ 1:2. -
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Aristóteles, la continuidad es física, y es percibida po r los sentidos . Además, la continuidad no se concibe sin un nexo íntimo entre sus elementos . Aristóteles niega la existencia real del infinito, pero acepta el infinito potencial. Para él, la subdivisión co ntinua de una cantidad es limitada, de tal manera que lo ilimitado existe potencialmente pero, de hecho, no se alcanza nunca. Por último, por sus fundamentos de lógica y por sus frecuentes alusiones a conceptos y teoremas matemáticos que se encuentran en sus voluminosos trabajos, puede considerarse que Aristóteles contribuyó al desarrollo de las matemáticas.
AUTÓLICO
El lugar ocupado en la historia de las matemáticas por Autólico de Pítane es importante, no por su contribución original pero poco profunda, sino porque su tratado Sobre las esferas en movimiento nos ha llegado íntegramente. Este pequeño tratado, muy utilizado por los astrónomos antiguos, pone de manifiesto que la geometría griega había alcanzado un nivel que calificaremos de clásico. En efecto, en esta obra de astronomía, escrita probablemente en los años 320 o 310 a.C., los teoremas están claramente enunciados y demostrados. Además, Autólico utiliza con frecuencia teoremas que no demuestra, lo que indica que eran bien conocidos en su época. En general, podemos concluir, gracias a éste y a otro tratado de Autólico titulado Sobre el orto y el ocaso de las estrellas, conservado también en su wtalidad, que en esta época existía en Grecia una tradición bien implantada de manuales de geometría.
EUCLIDES Y LA ESCUELA DE ALEJANDRfA 12
El rey Filipo de Macedonia , aprovechando las numerosas querellas existentes entre las distintas ciudades de Grecia y su incapacidad para, a pesar de las advertencias de Demóstenes , percibir claramen- · te el peligro que las amenazaba, venció a los atenienses y conquistó Grecia en el año 338 a .C. Dos años después , Alejandro Magno sucedía a su padre Filipo. Al frente de un poderoso ejército conquistaría casi todo el mundo civilizado conocido en la época. Hasta el año 331, Alejandro entró en Egipto y decidió fundar Alejandría, el más magnífico de los focos cosmopolitas de cultura jamás conseguido, que atrajo a los más grandes sabios de todos los rincones del mundo. La antigua ciudad de Alejandría se erigió cerca de la desembocadura del Nilo, en un lugar admirablemente propicio para la expansión de la influencia helénica por todo el mundo, así corno para que el antiguo país de los faraones recobrase su grandeza y su gloria . Se dice que la elección·del lugar, los planos de la nueva ciudad y la política de colonización fueron dirigidos personalmente r o r el ambicioso Alejandro, y que la construcción de la ciud ad fue confiada al eminente arquitecto griego Dinócrates. En poco tiempo y graci as sobre todo a su localización privilegiada en la intersección natural de las más importantes rutas comerciales, Ale jandría se convirtió en el verdadero centro mundial de la cultura.
ARISTÓTELES
Aristóteles, contemporáneo de Autólico, fue alumno de Platón y preceptor de Alejandro Magno. Es ante todo un filósofo y un biólogo, pero está también al corriente de las actividades matemáticas de su época. Estableció distinciones esclarecedoras entre los axiomas, las definiciones, las hipótesis y los postulados. Para Aristóteles, un axioma es una noción común y universal, evidente por sí misma, que todo el mundo debe conocer. Por ejemplo: «Si de cantidades iguales se sustraen cantidades iguales, los restos son iguales» es para él un axioma. Un postulado es una suposición que, aunque restringida a un tema dado de una rama particular, difiere de un axioma en que no es evidente. En cuanto a las definiciones, Aristóteles nos enseña que no dicen nada sobre la existencia o no existencia de la cosa definida; deben ser comprensibles. Igual que Platón, Aristóteles afirma que los geómetras no basan sus conclusiones en una línea partícula~, que representa lo que constituye el objeto de sus estudios; argumentan sobre lo que representa y la figura no es más que una simple ilustración. Aristóteles expuso también en su Física nociones tan sutiles como las de continuidad, infinito, divisibilidad y movimiento . En
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12 R. E. Langer, «Alexandria, shrinc of mathematics», Tire A merican Mathematica/ Monrhly. 48, 1941, pp . 109-25.
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La muerte de Alejandro, ocurrida en el año 323 a .C., sembró la confusión entre sus generales pero, después de algunos titubeos, el imperio se escindió en tres países distintos y, en el año 306, la parte egipcia del artiguo imperio macedonio tuvo un nuevo dueño en la persona de Tolomeo 1, quien, habiendo elegido Alejandría como capital y encantado por la cultura griega, creía firmemente en la posibilidad de establecer un «museo» (las e::::ue la s griegas de tipo comunitario . como las de Tales y Pitágoras, dedicadas en el caso de los pitagóricos al culto de las Musas, se conocen generalmente con el nombre de museos). Hacia el año 300 a .C., se hizo rt::ilidad el Museo aiejandrino; Tolomeo incorporó al mismo salas de lectura, laboratorios, jardines, museos y lugares de descanso . En el mismo complejo arquitectónico se instaló una inmensa bólioteca, destinada a conservar los documentos originales y facilitar al público el acceso a la consulta directa de unos 600 000 papiros que trataban de todos los temas conocidos en la época. Este complejo cultural permitía a los mejores intelectuales, poetas, filósofos, gramáticos, matemáticos, astrónomos, geógrafos, médicos, historiadores , artistas, copistas, etc., propagar el conocimiento y favorecer los motores de la actividad intelectual creadora tan bien inicidada por los griegos. Euclides, fundador de la escuela de matemáticas de la Universidad de Alejandría, recibió probablemente su formación matemática en a!Academia platónica de Atenas; desgraciadamente conocemos muy pocos de talles sobre su vida y su personalidad, incluso la fecha y el lugar de su nacimiento son desconocidos. Euclides escribió numerosas obras: los Elementos en trece libros, los Datos, la División de las figuras, los Fenómenos y la Optica, todos los cuales han llegado hasta nosotros. Otras obras como una Catóptrica (geometría de los rayos reflejados), una Introducción armoniosa, un fragmento de Sobre lo ligero y lo pesado, han llegado también hasta nosotros y, aunque llevan su nombre, su autenticidad es dudosa . Se conoce una versión árabe de su tratado sobre la División de las figuras y Pappus habla de tres obras sobre los Porismas, los Lugares en la superficie, y cuatro libros sobre las Cónicas; estos últimos sin embargo se han peraido todos . Aunque Euclides haya sido el autor de por lo menos diez obras distintas, lo cie:·to es que su reputación se debe fundamentalrr.~ nte a
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sus Elementos. Es evidente que este extraordinari.o tratado superó . completamente y de forma inmediata a todos los Elementos anterio- ; res y, desde la aparición de sus trece libros y durante los siglos que nos separan de él, su influencia se dejó sentir a través de miles de ; ediciones, la primera de las cu ales data de 1482 . Durante dos ~ milenios, este monumental tratado fue, exceptuando la Biblia, el · más utilizado y estudiado; los Elementos, además de ejercer una enorme influencia en el pensamiento científico, determinaron toda la enseñanza de la geometría hasta nuestros días. Contrariamente a las ideas m ás exte ndidas al respecto, los
Elementos no está n consagrados exclusivamente a la geometría, sino que contienen ideas sobre la teoría de números y el á lgebra ciernen· tal tratada geométricamente. En conjunto, los Elementos son el resultado de la recopilación y la order ación sistemática de los 1: trabajos anteriores en una sucesión lógica de 465 proposiciones,• acompañadas de axiomas , postulados y definiciones . Después de haber citado a algunos matemáticos del siglo IV, -;¡, Proclo escribe: «Euclides no es mucho más jo ven que éstos. Al reunir los Elementos, coordinó mucho de Eudoxo, perfeccionó mucho de Teeteto y evocó en irrefutables demostraciones lo que sus predecesores habían demostrado de manera despreocupada. Ade- . más, este hombre vivió en tiempos del primer T olomeo ; ya que Arquímedes, que es posterior al primer Tolomeo, menciona a Euclides[ ... ]. Euclides es, pues, más reciente que Jos discípulos de Platón, pero más a ntiguo que Arquímedes y que Eratóstenes -es· tos últimos son contemporáneos, tal y como dice Eratóstenes en alguna parte- y pertenecía al sistema platónico, además de ser un adepto de la filosofía de Platón; ésta es además la razón por la que presentó la constitución de las figuras platónicas como el resultado de su enseñanza de los Elementos. Pappus cuenta que Euclides enseñó matemáticas en Alejandría -esta afirmació n y la de Proclo sobre Arquímedes sitúan a Euclides hacia el 300 a.C.- , que era escrupulosamente honrado, y que su modestia y su sentido común iban a la par con su interés por el de ú:rrollo de las matemáticas. Por último, Estobeo relata que alguien que empezaba a estudiar geometría bajo Ja dirección de Euclides le había preguntado después de haber aprendido el primer teorema: «¿Qué recibiré por aprender estas cosas?» . Eucl ides orde·
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n<'> entonces a su esclavo: «Dale tres monedas, puesto que necesita obkner un bencfic.:io de lo quc aprende». Todo lo que sabemos sobre la vida de Euclides de Alejandría (y no de Euclides de Mégara que aparece al principio del Teeteto de Platón) se basa en estos pobres testimonios. El filósofo fue confundido durante mucho tiempo con el matemático, pero esta confusión se corrigió a partir del siglo xv .
18. Las figuras rectilíneas son las que están contenidas entre dos líneas rectas, las figuras trilaterales las contenidas entre tres, las cuadrilaterales las contenidas entre cuatro y las multilaterales las contenidas entre más de cuatro . 23 . Las paralelas son rectas situadas en el mismo plano que al ser prolongadas a un lado y a otro no se encuentran en ninguno de los dos.
107
Los cinco postulados son: 1. Trazar una línea recta desde cualquier punto a una recta cualquiera. 2. Originar por continuidad una recta finita en una recta . 3. Describir un círculo desde un punto cualquiera y con una distancia cualquiera. 4. Que todos los ángulos rectos son iguales entre sí. 5. Que, si una recta que cae sobre otras dos, hace que los ángulos interiores del mismo lado sean más pequeños que dos rectos, estas rectas, prolongadas indefinidamente, se encontrarán del lado en que los ángulos son menores que dos rectos.
ANÁLISIS DE LOS ELEMENTOS
Libro l. El libro I empieza presentando 23 definiciones seguidas de 5 postulados y 5 nociones comunes . Las principales definiciones son: 1. Un punto es lo que no tiene partes . 2. Una línea es una longitud sin anchura. 3. Los extremos de las líneas son puntos. 4 . La línea recta es una línea que está igualmente situada entre sus puntos . 5. Una superficie es lo que tiene únicamente longitud y anchura. 8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se tocan en un plano y que no están situadas sobre una misma línea
Las cinco nociones comunes reconocidas como auténticas son : l. Las cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre
sí.
recta. 10. Si una recta levantada sobre otra determina dos ángulos . adyacentes iguales, cada uno de estos ángulos iguales es recto ; y la "recta situada encima se dice perpendicular a aquella sobre la que se encuentra . 11 . Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto . 12. Un ángulo agudo es un ángulo menor que un ángulo recto. 13. Un límite es lo que es el extremo de algo. 14. Una figura es lo que está comprendido entre uno o varios
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2 . Si iguales son sumados a iguales , los totales son iguales. 3. Si iguales son sustraídos de iguales, los restos son iguales. 4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. 5. El todo es mayor que las partes . A esta introducción siguen 48 proposiciones que pueden clasificarse en tres grupos: Primer grupo: 26 proposiciones relativas a propiedades de los triángulos, que comprenden los tres teoremas de igualdad, relaciones entre los elementos de un triángulo, algunas construcciones geométricas como la bisectriz de un ángulo, el punto medio de un segmento, la perpendicular a una recta. Segundo grupo : de la 27 a la 32, que contiene la teoría de las paralelas y la demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos ~
límites. 15. Un círculo .':S una figura plana, limitada por una sola línea tal que todas las rectas que caen sobre ella desde uno de los puntos interiores de la figura son iguales entre sí. · 17. El diámetro del círculo es una recta trazada a través del centro y limitada a ambos lados por la circunferencia del círculo . Esta recta divide al círculo en dos partes iguales .
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Tercer grupo: de la 33 a la 48, que se refieren a los paralelogramos, los triángulos y los cuadrados, prestando especial atención a las relaciones de áreas. La proposición 47 es el teorema de Pitágoras con una demostración universalmente atribuida a Euclides, mientras que la proposición 48 es Ja recíproca de Ja 47.
Jean-Paul Collette
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Libro 11. E ' libro 11 comprende dos definiciones y catorce proposiciones . Definicione:· l. Se dice que cualquier paralelogramo rectángulo está contenido por las dos rectas que forman el ángulo recto. 2. En cva!quier paralelogramo, cualquiera de Jos paralelogramos descritos alrededor del diámetro con sus dos complementos se llamará gnomón.
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Proposiciones. Las proposiciones del libro JI tratan de la transformación de las üeas así como del álgebra geométrica de la escuela pitagórica . Es en este libro donde se encuentra el equivalente geométrico de ciertas identidades algebraicas y la proposición 1 que corresponde a la ley de la distributividad de la multiplicación respecto de la adición. Generalmente, se supone que los dos primeros libros de los Elementos proceden en gran parte de los trabajos de los pitagóricos. He aquí algu;ws proposiciones de estos libros .
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Proposición 11.: Sobre una recta dada y finita construir un triángulos equilátero.
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Proposición 1.6: Si, en un triángulo, dos ángulos son iguales, los lados opuestos a los ángulos iguales serán también iguales . Sea ABC un triángulo cuyo ángulo ABC es igual al ángulo ACB.
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Afirmo que el lado AB es también igual al lado AC. Ya que, si AB es distinto de AC, uno de los dos es mayor que el otro. Sea AB el mayor; y restemos del mayor, AB, DB igual al más pequeño, AC; unamos D con C. Entonces, puesto que DB es igual a AC y BC es común, los lados DB y BC son iguales a los lados AC y CB respectivamente; y el ángulo DBC es igual al ángulo ACB; además la base DC es igual a la
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Sea AB la recta dada y finita. Se trata de construir un triángulo equilátero sobre AB. Con el centro en A y la distancia AB se describe el círculo BCD [postulado 3].
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Con el centro en B y la distancia BA se describe el círculo ACE [postulado 3], y desde el punto e, punto de intersección de los círculos, a los puntos A y B se trazan las rectas CA y CB [postulado
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De Platón a Euclides
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base AB, y el triángulo ÍJBC será igual al triángulo ACB, es decir el triángulo más pequeño será igual al más grande: lo que es absurdo. Luego AB no es distinto de AC; es igual a AC. Esto era lo que había que demostrar. Encontramos aquí, por primera vez en los Elementos, el método de reducción al absurdo frecuentemente utilizado por los griegos. Proposición I.9: Dividir un ángulo rectilíneo en dos partes iguales. Sea BAC un ángulo rectilíneo dado. A
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igual al ángulo interior opuesto y situado del mismo lado, y los ángulos interiores situados del mismo lado iguales a dos rectos. Sea la recta EF, que corta a las rectas paralelas AB y CD . .
Tratamos de dividirlo en dos partes iguales. Sea D un punto elegido arbitrariamente en AB; sea AE igual a AD sobre AC [1,3]. Unir D con E y construir sobre DE el triángulo equilátero DEF; unir A con F. Afirmo que el ángulo BAC está dividido en dos partes iguales por la recta AF. Ya que, por ser AD igual a AE y AF común, Jos lados DA y AF son iguales a los lados EA y AF respectivamente. Y la base DF es igual a la base EF; además el ángulo DAF es igual al ángulo EAF [I.8]. Luego el ángulo rectilíneo BAC ha sido dividido en dos partes iguales por la recta AF. Esto era lo que había que hacer. Proposición 1.29: Una recta que cae sobre dos rectas paralelas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, el ángulo exterior
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Afirmo que hace que Jos ángulos alternos AGH y GHD sean iguales, el ángulo exterior EGB igual al ángulo interior opuesto y situado del mismo lado, GHD, y los ángulos interiores situados del mismo lado, BGH y GHD, iguales a dos rectos. Ya que, si el ángulo AGH es distinto del ángulo GHD, uno de Jos dos es mayor. Sea el ángulo AGH el mayor. Sumemos el ángulo BGH a cada uno de ellos; entonces Jos ángulos AGH y BGH son mayores que los ángulos BGH y GHD. Pero Jos ángulos AGH y BGH son iguales a dos ángulos rectos [I.13]. Entonces los ángulos BGH y GHD son menores que dos rectos. Pero las rectas que hacen que los ángulos sean menores que dos rectos, si se prolongan indefinidamente, se cortan [postulado 5]. Entonces, si AB y CD se prolongan indefinidamente, se encontrarán; pero no lo hacen porque son, por hipótesis, paralelas. Entonces el ángulo AGH no es distinto del ángulo GHD; es igual a él. . Además, el ángulo GHD es igual al ángulo EGB [I.15]. Entonces el ángulo EGB es _también igual al ángulo GHD [noción común l]. Sumemos el ángulo BGH a cada uno de ellos; entonces los ángulos EGB y BGH son iguales a Jos ángulos BGH y GHD [noción común 2].
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Jean-Paul Collette
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Pero los ángulos EGB y BGH son iguales a dos ángulos rectos; [l,13] luego los ángulos BGH y GHD son también iguales a dos ángulos recios. Esto era lo que había que demostrar.
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En esta última proposición, Euclides apela, por primera vez, al postulado de las paralelas que fue objeto de una intensa actividad matemática centrada en la demostración del quinto postulado a partir ele los cuatro primeros. La incapacidad de demosrrar el postulado de las paralelas o la independencia de los cinco postulados de Euclides indujo a los matemáticos Gauss, Bolyai y Lobatchevski a franquear el muro de la geometría no euclídea.
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Proposición 11.11: Cortar una recta dada, de manera que el rectángulo comprendido entre Ja recta entera y uno de los seg¡nentos sea igual al cuadrado del otro segmento 13 •
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Sea AB la recta dada: . hay que cortar AB, de forma que el rectángulo comprendido entre la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del otro segmento.
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Describamos el cuadrado ABDC sobre la recta AB [I,46]. Co~: mos AC en su punto medio, E, y unamos B con E; prolonguem CA hasta F e igualemos EF a BE; describamos el cuadrado 'Fl sobre AF y prolonguemos GH hasta K. ,,, Afirmo que AB se ha cortado en H de tal manera que e{ rectángulo contenido por AB y BH es igual al cuadrado de AH. Ya que, puesto que la recta AC se ha cortado en su punto medió: E y FA representa su prolongación hasta F, el rectángulo limitadJ por CF y FA, unido al cuadrado sobre AE, es igual al cuadradq sobre EF [II.6). Pero EF es igual a EB; entonces el rectángulo determinado por CF y FA, unido al cuadrado sobre AE es igual al cuadrado sobre., EB. : Pero los cuadrados sobre BA y AE son iguales a l cuadrado sobré EB, ya que el ángulo en A es recto [I,47] . , Entonc~s el rectángulo limitado por CF y FA, unido al cuadrado ; sobre AE, es igual a los cuadrados sobre BA y AE. ,, Restemos el cuadrado de lado AE de cada uno de ellos; entonces . el rectángulo limitado por CF y FA es igual al cuadrado sobre AB. Ahora el rectángulo de lados CF y FA es FK, puesto que AF es igual a FG; y el cuadrado sobre A¡¡ es AD; además FK es igual a · AD. , Restemos AK de cada uno; entonces FH es igual a HD . Y HD es"~ el rectángulo de lados AB y BH, puesto que AB es igual a BD; y FH es el cuadrado sobre AH: entonces el rectángulo limitado por AB y BH es igual al cuadrado sobre HA. Luego, la recta dada AB ha quedado cortada en H de tal mar:iera que el rectángulo limitado por AB y BH es igual al cuadrado sobre HA. Esto era lo que había que hacer. Tenemos aquí el primer ejemplo de una ecuación de segundo grado resuelta geométricamente. Si AB = a y AH = x, la ecuación . algebraica es:
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+ a2 = O.
Las proposiciones 12 y 13 establecen la generalización del teorema de Pitágoras, que corresponde a la que hoy llamamos «ley de los cosenos». ij
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Jean-Paul Culleue
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Tracemos la recta (cuerda) AC, y sea D su punto medio: Desde D tracemos DB, de manera que forme ángulo recto con AC, y prolonguemos BD hasta E: Fes el punto medio de BE. Afirmo que Fes el centro del círculo ABC. Supongamos que no es así, que G es el centro del círculo, y tracemos GA, GD y GC. Entonces, puesto que AD es igual a DC y DG es común, los lados AD y DG son iguales respectivamente a los lados CD y DG; y la base GA es igual , por tratarse de dos radios, a la base GB; además, el ángulo ADG es igual al ángulo GDC [1.8]. Pero cuando una recta levantada sobre otra hace que dos ángulos adyacentes sean iguales entre sí, cada uno de estos ángulos es recto [I, def. 10]. Así el ángulo GDC es recto. Pero el ángulo FDC también es recto. Así, el ángulo mayor, FDC, es igual al más pequeño, GDC: lo que es imposible. Luego G no es el centro del círculo ABC. De manera análoga, se demuestra que cualquier otro punto que no sea F no es el centro. Por tanto , el punto Fes el centro del círculo ABC. Esto era lo que había que hacer.
Lihro l!I. El libro m contiene 11 definiciones relativas al círculo y J7 proposiciones sobre el círculo, las cuerdas, las tangentes, las construcciones sobre el círculo y la medición de ángulos asociados. He aquí algunas definiciones y proposiciones.
Definiciones I. Son círculos iguales aquéllos cuyos diámetros son iguales, o aquéllos cuyos radios son iguales. 2. Una recta toca 14 a un círculo si, al encontrar al círculo y ser prolongada, no lo corta. 6. Un segmento de círculo es la figura comprendida entre una recta y una circunferencia de círculo. 7. El ángulo del segmento es el comprendido por una recta 15 y por una circunferencia de círculo. 10. Un sector de círculo es una figura que, construido un ángulo en el centro del círculo, está comprendida por las rectas que determinan el ángulo y por la circunferencia que encierran. Proposición I: Encontrar el centro de un círculo dado. Sea ABC el círculo dado ; se trata de encontrar el centro del círculo ABC. B
Porisma: De ahí se desprende que, si en un círculo una recta corta a otra en dos partes iguales formando ángulos iguales, el centro del círculo se encuenta sobre la secante.
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Proposición 17: Desde un punto dado, trazar un recta que toque a un círculo dado. Sea A el punto dado y CDE el círculo. Se trata de trazar desde A una recta que toque al círculo CDE (véase figura en p. siguiente). Situemos B en el centro del círculo [mJ] , unamos A con B y tracemos, con AB como radio, el círculo FAG. Desde D, tracemos DF, de manera que forme ángulo recto con AB y unamos B con F y C con A. Afirmo que A C ha sido trazado desde el punto A y toca al círculo CDE. Ya que, por ser Bel centro de los círculos CDE y FAG, BA es igual a BF, y BD es igual a BC.
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Es la definición de tangente a un círculo. Se habla de recta en un círculo y no de cuerda ; la palabra cuerda procede del
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Así, los lados AB y BC son iguales respectivamente a los lados BF y BD:
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--determinan un ángulo común, el ángulo en B; -además, la base DF es igual a la base AC y el triángulo DBF es igual al triángulo CBA, y los ángulos distintos del ángulo en B son también iguales [I.4].
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Ahora BC es un radio: y la recta que forma ángulo recto con el diámetro de un círculo. toca al círculo en uno de sus extremos [III.
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Libro V. El libro V contiene 18 definiciones sobre la teoría de fa! proporciones de Eudoxo, así como 25 proposiciones que tratan deL estudio, generalizado al caso de que las magnitudes comparada~ puedan no ser conmensurables , de las proporciones. Se encuentranl cri este libro, cuyo nivel es elevado si se compara con el de IÓSi anteriores, las leyes de distributividad, a la izquierda y a la derecha~~ de la multiplicación respecto de la adición, la asocia ti vid ad de ·la ._ multiplicación y las propiedades generales de las proporciones y de~~ las razones. He aquí algunas definiciones y proposiciones. >l¡Ít
Definiciones l. Una magnitud es una porción de otra, la más pequeña de I~ más grande, si mide a la más grande. '1 3. Una razón es una relación entre d.o s magnitudes homogéneas, -~ según la cantidad. ·
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4. Se dice que existe una razón entre magnitudes si, al ser,,,': multiplicadas, pueden sobrepasarse mutuamente 16 • • ·"' 5. La definición 5 sería la célebre formulaci ón de Eudoxo sobre la igualdad de las razones. 6. Se dice que las magnitudes que están en la misma razón son · proporcionales. 1: ·tt.
Proposición 1: Si existe un número cualquiera de magnitudes cualesquiera, equimúltiplos respectivos de magnitudes cualesquiera, iguales en número, entonces, cualquiera que sea el múltiplo, la suma de los equimúltiplos es igual al múltiplo de estr ~ magnitudes .
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Así A.C toca al círculo CDE. Luego, desde un punto dado A, se ha trazado Ja recta AC que toca al círculo CDE. Esto era Jo que había que demostrar.
Libro IV. En el libro IV aparecen 7 definiciones de figuras poligonales, inscritas o circunscritas, gue incluyen figuras rectilíneas y el círculo, y 16 proposiciones relativas a las figuras inscritas en un círculo, o circunscritas a un círculo. El material contenido en Jos libros III y IV concierne a la geometría del círculo y se suele atribuir a Hipócrates de Quíos .
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Sea un número cualquiera de magnitudes cualesquiera, AB y CD, equimúltiplos respectivos de magnitudes cualesquiera E y F, iguales en número:
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La cuarta definición análoga al lema de Arquímedes.
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Afirmo que, cualquiera que sea el múltiplo que AB es de E, AB y CD ser;ín este mismo múltiplo de E y F. Ya que, por ser AB el mismo múltiplo de E que CD es de F, hay tantas magnitudes iguales a E en AB como en CD iguales a F. Dividamos AB en magnitudes AG y GB iguales a E, y CD en magnitudes CH y H D iguales a F. Entonces la multitud de las magnitudes AG y GB será igual a la de las magnitudes CH y HD. Ahora, puesto que AG es igual a E, y CH a F, AG es igual a E, y A G y CH igual a E y F. Por la misma razón, GB es igual a E, y GB y HD a E y F. Así, hay tantas magnitudes en AB, cada una igual a E, como en A B y CD, cada una igual respectivamente a E y F. Por tanto, cualquiera que sea el múltiplo que AB es de E, AB y CD serán este mismo múltiplo de E y F. Esto era lo que había que demostrar. Esta primera proposición del libro v, escrita de forma poco inteligible para mentes no iniciadas, puede reducirse simplemente a esto: Si ma, mb, me, etc., son equimúltiplos de las magnitudes a, b, e, etc .. entonces,
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Supongamos que la razón enfre las magnitudes A y Bes la misma que entre una tercera magnitud C y una cuarta D; y sean los equimúltiplos E y F, de A y F, y G y H, de By D. Afirmo que E es a G como Fes a H. Ya que, si tomamos los equimúltiplos K yL, de E y F, y M y N, de G y H, puesto que E es el mismo múltiplo de A que Fes de C, y que los equimúltiplos K y L de E y F están próximos, K es el mismo múltiplo de A que L de C [v,3]. Por la misma razón, Mes el mismo múltiplo de B que N es de D, y como A es a B, también Ces a D, y, de A y C, los equimúltiplos K y L han sido calculados, y, de By D, los equimúltiplos M y N, asf, si K excede a M, L excede también a N, si es igual también lo es, y si es menor también. K y L son equimúltiplos de E y F, e igualmente M y N son equimúltiplos de G y H: por tanto, E es a G como Fes a H. Esto era lo que había que demostrar. Esta proposición, por muy poco esclarecedora que sea, muestra que, si a, b, e y d son proporcionales, entonces maesa nb como me es a nd, o
+ ... + mp + ... +e+ .. . + p + ... ),
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donde ma significa el emésimo múltiplo de a. La proposición 2 equivale a demostrar la distributividad a la izquierda de la multiplicación respecto de la adición, es decir, a demostrar que
+ na + pa + ... + za + ... = (m + n + p + ... + z + ... )a. ma
Proposición 4: Sí una primera magnitud es a una segunda como una tercera a una cuarta, la razón de cualquier equimúltiplo de la primera y de la tercera a cualquier equimúltiplo de la segunda y de la cuarta respectivamente, en este orden, será la misma.
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Libro VI. El objeto del libro VI es la aplicación de las teorías del libro va la geometría plana. Contiene 4 definiciones, una d:". ellas la de la sección áurea, y 33 proposiciones relativas a teoremas sobre las razones, y otras proposiciones sobre triángulos semejantes, paralelogramos y otros polígonos.
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Proposición 1: Propuestos dos números distintos y sustraf· manera continua el menor del mayor, si el resto no mide al qu~ ·e antes que él más que si se ha tomado la unidad , los núm nt propuestos son primos entre sí. , Ya que, al ser el menor de los dos números distintos AB y sustraído de manera continua del mayor, supongamos que el r1' no mide nunca al que está antes que él, hasta que el resto es de unidad. A H F
Los tres libros siguientes, en este caso los libros, VII, VIII y IX, están dedicados a la teoría de números.
Libro VIJ. El libro VII comienza presentando una serie de 22 definiciones que incluyen las definiciones de la unidad, del número, del múltiplo, de los números pares e impares, de ' número par por número par, de número par por número impar, de número impar por número impar, de número primo, de números primos entre sí, de número compuesto, de número plano, de número sólido, de número cuadrado, de número cúbico, de número perfecto, etc. Entre las 39 proposiciones contenidas en este libro, las 19 primeras se refieren a la teoría de las razones y proporciones -paralelamente a las del libro V- tratándose esta vez de razones de números enteros únicamente. Se habla también del m.c.d . o máximo común divisor, y las dos primeras proposiciones constituyen el «algoritmo de Euclides», utilizado en teoría de números para calcular el máximo común divisor de dos números. De la proposición 21 a la 26, Euclides estudia los números primos entre sí; siguen después los núrr:cros primos absolutos y el estudio del mínimo común múltiple. He aquí algunas definiciones y proposiciones . Definiciones
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2. El número es una multitud compuesta de unidades.
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Según lo~ críticos más serios, el libro v. con la doctrina de las cantidades proporcionales, constituye la parte más sólidamente establecida cie todo el contenido de los Elementos, además de presentar una originalidad que tiene algo de prodigiosa.
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mientras que la proposición 6 corresponde a la proposic,ón 2, donde la sustracción sustituye a la adición.
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1. La unidad es aquello según lo cual se dice -:iue cada una de las cosas existentes es una.
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Afirmo que AB y CD son primos entre sí, es decir, unidad sola mide AB y CD. Si AB y CD no son primos entre sí, existen húmeros que los miden. Supongamos que un número los mide, que E es este número y que CD, que mide BF, deja FA, menor que él; que AF, que mide ,, · DG, deja CG, menor que él, y que GC, que mide FH, deja una , unidad HA . Puesto que entonces E mide CD, y CD mide BF, E mide también BF.
Pero mide también BA entero, y también medirá el resto AF; pero AF mide DG y además E mide también DG, pero mide DC entero, y por tanto medirá el resto CG. Pero CG mide FH: luego E mide también FH, pero mide también FA entero , así medirá el resto, la unidad AH, lo que es '
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imposible_ Por tanto, no hay ningún número que mida los números AB y CD; luego son primos entre sí [VII, definición 12]. Esto era lo que había que demostrar.
El procedimiento utilizado por Euclides en esta proposición lleva hoy en día el nombre de algoritmo de Euclides. Este algoritmo desempeña un papel primordial en teoría de números. Se puede resumir como sigue: de dos números a y b, si a es el mayor, se resta b de a. El resto es c. De los dos números b y e, se resta el menor del mayor. Se continúa así hasta que los dos números sean iguales o hasta que la última sustracción dé un resto nulo. Ejemplo. Aplicar el algoritmo de Euclides a los dos números 76 084 y 63 020. Solución 76 084 = 63 020 . 1 + 13 064 63 020 = 13 064 . 4 + 10 764 13 064 = 10 764 . 1 + 2 300 10 764 = 2 300 . 4 + 1 564 4 300 = 1 564 . 1 + 736 1 564 = 736 . 2 + 92 736 = 92. 8 El algoritmo de Euclides se utiliza también en la segunda proposición para calcular la mayor de las medidas comunes de dos números.
Proposición 2: Dados dos números que no son primos entre sí, encontrar la mayor de las medidas comunes. La demostración realizada por Euclides de esta proposición corresponde, si se hace abstracción del soporte geométrico, a nuestro método para calcular el m.c.d. Resumiendo, se trata de demostrar que el último resto no nulo divide a los dos números dados, y después que todo divisor de estos dos números divide también al último resto no nulo. Si consideramos de nuevo el ejemplo expuesto más arriba, obsetvamos que el máximo común divisor de 76 084 y de 63 020 es 92. Así, el algoritmo de Euclides nos proporciona un método simple y eficaz para la determinación del m.c.d. de dos números. La proposición 3 contiene un método para determinar el m.c.d. de tres números, método que puede generalizarse, como supone
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De Piarán a Euclides
Euclides de manera tácita. en la proposición 33, al caso de varios números.
Libro VIII. El libro VIII comprende 27 proposiciones relativas a los números en proporciones continuas (progresión geométrica), a propiedades sencillas de los cuadrados y de los cubos, y termina con una proposición que afirma que «la razón entre números sólidos semejantes es la razón de un número cúbico a otro número cúbico», todo ello sin que exista el menor rastro de definición. Libro IX. El libro IX, último libro sobre la teoría de números expuesta por Euclides en sus Elementos, contiene 36 proposiciones, algunas de ellas sobre el número par y el número impar; otras, como las dos siguientes, son muy conocidas. Proposición 20: Los números primos son más numerosos que cualquier multitud propuesta de números primos. Proposición 36: Si, a partir de la unidad, tantos números como se quiera son sucesivamente proporcionales en razón doble, hasta que su suma sea un número primo, y si esta suma, multiplicada por el último, produce un número, el producto será un número perfecto. He aquí A, By C, los números primos asignados. A--
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Afirmo que existen más números primos que A, B y" C. Ya que, sea DE el menor número medido por A, By C; añadamos la unidad DFa DE. Entonces EF es un número primo o no es un número primo. Primero, supongamos que es primo: entonces el número primo A, B, C, EF sobrepasa a los números primos A, B y C. Después, supongamos que EF no es primo: entonces es medido por números primos [vu,31].
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Jean-Pau/ Col/eue IJe l'llllri11 a Euclides
Supongamos que es medido por el número primo G. Afirmo que G difiere de los números A, B y C. Ya que, si es posible, supongámoslo. Ahora, A, By C miden DE; entonces G mide también DE. Pero mide también EF; además, por ser G un número medirá el resto, la unidad DF: lo que es absurdo. Entonces G difiere de cada uno de los números A, B y C. Y por hipótesis es primo. Luego los números primos A, B, C y G son más numerosos que los números A, By C. Esto era lo que había que demostrar. La proposición 36, en notación moderna, se expresa así: «Si Sn = 1 + 2 +2 2 + ... +2"- 1 = 2n - 1 es un número primo, entonces 2"- 1(2" - 1) es un número perfecto.» Los griegos conocían los cuatro primeros números perfectos 17 : 6, 28, 496 y 8 128. Hoy sabemos que todos los números perfectos pares son del tipo formulado por Euclides, pero la existencia de números perfectos impares continúa siendo uno de los numerosos problemas no resueltos, puesto que no se conoce ningún número perfecto impar y no se sabe si existen. Sin embargo, en el siglo XVIJJ Euler demostró que todo número perfecto par es de la forma expuesta por Euclides. Libro X. El libro X es, de todos los libros de los Elementos, el más voluminoso; contiene 4 definiciones sobre las magnitudes conmensurables e inconmensurables y 115 proposiciones sobre los números irracionales en las que sólo intervienen raíces cuadradas. Varios historiadores opinan que es el libro más notable de los Elementos. En él encontramos una clasificación sistemática de los segmentos de líneas inconmensurables de la forma a ± yb, \Ía ± Vb. Va ± Vb, V Va± Vb, donde a y b con conmensurables si son de la misma naturaleza . En particular, la proposición 1 es la base del método exhaustivo utilizado en el libro XII, y Euclides da las fórmulas para obtener todas las ternas primitivas pitagóricas como a = 2uv, b = u 2 - v 2 , e= u 2 + v 2 , donde u y v son primos entre sí, con u > v y (a, b, e) es una terna. Los . libros XI-XIII se refieren específicamente a la geometría
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Un número perfecto es un número igual a sus partes (libro
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definición 22).
sólida en tres dimensiones cuyo contenido corresponde a lo que Se~ expone en un primer curso de geometría en el espacio. •' ·~ Libro XI. El libro XI contiene 39 proposiciones, precedidas por 28' definiciones que incluyen las definiciones de sólido, inclinación d~. ~';.. planos, planos paralelos, figuras sólidas semejantes, ángulo sólido, " pirámide, prisma, cilindro, esfera, cono, octaedro, icosaedro, docte'.L caedro y Clibo. Libro XII. Las 18 proposiciones del libro XII tratan de la medición de figuras por el método exhaustivo, y la proposición 2 afirma que ~ «las áreas de los círculos son entre sí como los cuadrados de sus diámetros» . El testimonio de Arquímedes ofrece razones para atribuir todo este libro, al menos en su primera redacción, a la escuela de Eudoxo de Cnido . Libro XIII. El último libro, el libro XIII, se ocupa de la construcción de los poliedros regulares, estudiando 18 proposiciones que tratan también de las propiedades de estas figuras cósmicas. En. varias ediciones de Euclides, el estudio de estos poliedros regulares se lleva a cabo en otros dos libros numerados XIV y XV. Una parte del primero fue probablemente escrita en el siglo VI de nuestra era, mientras que el último puede ser atribuido a Hipsicles de Alejandría, que vivió en el siglo 11 a.C. El objeto dé los Elementos es deducir las 465 proposiciones a partir de los cuatro axiomas y de los cinco postulados enunciados al comienzo del libro l. La presentación del contenido se hace de lo sencillo y conocido a lo comp?ejo y desconocido. Sin embargo, la · estructura lógica de esta monumental obra pedagógica se ve perjudicada por algunas afirmaciones tácitas que resisten mal la crítica. Pueden señalarse, entre otras, ias dificultades inherentes a la aplicación del primer axioma, así como la ambigüedad del segundo. La proposición 1,21 supone que una línea situada en el mismo plano de un triángulo y que pasa entre dos vértices de éste, corta necesariamente a uno de los otros dos lados. Ahora sabemos que es preferible utilizar el axioma Moritz Pash (1843-1930) 18 • Igualmente, las definiIM Axioma de Pash: considerar en un plano Jr un triángulo ABC y una recta L. Si la recta L corta a uno de los lados de ABC y no pasa por uno de sus vértices. entonc~s la recta L corta a l menos uno de los otros dos lados del triángulo ABC.
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Jean-Pau/ Col/e11e
cioncs preliminares de Euclides son susceptibles de crítica. En particular, sus definiciones del punto y de Ja recta son circulares y hubiera sido mejor incluirlas en un conjunto de términos primitivos que no existe en Ja literatura matemática de Ja época, ya que, para los griegos, el concepto matemático es una situación física idealizada del mundo que Jos rodea. El punto es Ja idea correspondiente a una partícula muy pequeña, Ja recta es Ja idea correspondiente a una banda muy estrecha, y la diferencia entre el polígono inscrito en el círculo y Ja circunferencia no desaparecerá porque no es una diferencia aritmética. A pesar de Ja imprecisión de Jos términos, ciertas imperfecciones de Ja estructura lógica, Ja ambigüedad de algunas afirmaciones tácitas y algunos errores encubiertos en el texto, Jos Elementos constituyen una obra excelente cuya influencia fue tal, que habría que esperar a Jos matemáticos del siglo XIX para ver aparecer una prolongación lógica de su contenido geométrico.
OTRAS OBRAS DE EUCLIDES
Entre otras obras atribuidas a Euclides, Jos Datos consisten en proposiciones presentadas de Ja siguiente forma: dadas o determinadas ciertas magnitudes, otras también Jo están. Por ejemplo: «Si una magnitud A y la razón ~ están determinadas, entonces B está también determinada»; «Si A + B y ~ están determinadas, entonces A y B también lo están». Los Datos comienzan presentando 15 definiciones; comprenden además 95 proposiciones sobre reglas o fórmulas algebraicas, sobre ecuaciones cuadráticas y lineales y sobre la geometría del círculo y la aritmética de las razones. La división de las figuras, de Ja que se conserva una versión árabe (el original se ha perdido), comprende una colección de 36 proposiciones relativas a Ja división de figuras planas, entre ellas el trapecio, el triángulo y el paralelogramo. El tipo de problema tratado se reduce a dividir, mediante una línea orientada o por un punto dado, una figura rectilínea en dos partes que estén en una razón dada. Por ejemplo, se pide que se construya una recta paralela a la base de un triángulo que divida a éste en dos partes iguales, o que se divida, mediante una línea paralela a las bases, un trapecio en dos partes iguales.
!Je l'/(/f<Íll a Euclides
127
Otras dos obras de Euclides con las que contamos son los Fenómenos y la Optica, que tratan de las matemáticm: aplicadas respectivamente a la astronomía elemental y a la perspectiva. Podemos afirmar, sin temor a equivocarnos. que el conjunto de las matemáticas elementales, en el estado en que se encontraban en la época de Platón, está, en esencia, enteramente contenido en la obra de Euclides, quien preparó así el camino a un nuevo y brillante periodo que comienza con la llegada de los maestros de la Escuela de Alejandría.
RESUMEN Los trabajos matemáticos de Platón tratan de distintos temas y están dispersos en algunos de sus diálogos. Sin embargo, el contenido de estos trabajos es poco importante para la evolución de las matemáticas griegas. si se compara con la influencia y la inspiración suscitadas por su Academia y el impacto que tuvo sobre el pensamiento matemático griego. El escándalo ocasionado por el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables se esfuma ante la nueva teoría de las proporciones de Eudoxo , quien p'r oporciona también el método exhaustivo que será muy empleado por sus sucesores, y 'en particular por Euclides y Arquímedes. Menecmo, alumno de Eudoxo. contribuyó de forma especial, con su descubrimiento de las secciones cónicas a partir de un cono circular recto, cortado por un plano perpendicular a la recta generatriz . a alejar las fronteras de la geometría. ' Aristóteles, el célebre alumno ele Platón, enunció distinciones esclarecedoras entre las nociones de axioma, definición, postulado e hipótesis. Analizó brillantemente la continuidad física, el infinito en potencia, la divisibilidad infinita que no se alcanza nunca, así como el movimiento en el sentido físico del término. Su contribución a la lógica filosófica servirá de soporte y de impulso inicial a los trabajos subsiguientes que conducirán a la lógica matemática . La monumental obra de Euclides comprende numerosos trabajos que tocan casi todos los campos de las matemáticas de su tiempo. Famoso por sus Elementos, influenció durante siglos a los matemáticos por la original contribución y la síntesis que tan bien realizó.
~
128
Jean-Pau/ Colleue
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EJERCICIOS l. ¿Cu::íles son las contribuciones mate máticas de Pla tón y su papel en la
evolución de las matemáticas grie gas? . 2. ¿Con qué co ntrib uye Eudoxo de C nido a aument a r el pat rimonio de"las
m atemáticas griegas? 3. ¿De qué manera el tratado de A utó lico de Píta ne tit ulado Sobre las esferas en m o1•imie11ro nos informa so bre el estado de las matemáticas griegas de su é poca? 4. ¿Cuáles son las dificultades o las a mbigüedades inhe rentes a la aplicación de los postulados 1, 2 y 5? · 5. ¿Cuándo a parece por primera vez la utilizació n del mé todo de reducción a l absurdo en los Elemenros de Euclides')
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Jean-J'au/ Colle1te
(1 .
ARQUIMEDES Y LOS MAESTROS U!.: LA DE ALEJANDRIA
t::>~vLLn.
6. Calcular, utilizando el algoritmo de euclides, el m.c.d. de los pares de números:
a) 456 y 759 b) 5 913 y 7 592 c) 28 434 y 33 228
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7. Calcular, empleando el método de Euclides, los números perfectos 5 • 6.ºy7.º. .• 8. ¿Cuál fue el papel de Euclides en la evolución de las matemáticas griegas? 9. ¿Cómo llegaron los que inventaron las geometrías no euclideas ·a establecer geometrías distintas de la de Euclides? . ..• 10. Platón, en su Teeteto, afirma que Teodoro demostró la irracionalid~~ ·:~ de "\/3. ¿Sería capaz el lector de hacerlo de forma rigurosa? ., ,_;K
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.\IWUfMEDES
Arquímedes (ca. 287-212 a.C.), oriundo de la gran ciudad griega de Siracusa; era hijo de Fidias, un astrónomo poco conocido; mantenía lazos, si no de parentesco, al menos de amistad, con el rey Hierón de Siracusa. En una crónica se dice que estuvó en Egipto, y wncretamente en la universidad de Alejandría; de hecho, parece que estudió con los sucesores de Euclides. Es probable que, durante rsta estancia en Egipto, conociese a Conón de Samos (uno de los ,uccsores de Euclides), al que reconoce su valor como matemático, ;isí corno a Eratóstenes, bibliotecario de Ja universidad y célebre ¡:cógrafo. Los dos mantenían lazos de amistad con Arquímedes, quien les comunicó, así como a Dositeo (alumno de Conón), varios de sus descubrimientos matemáticos durante el período transcurrido entre su vuelta a su ciudad natal y su muerte, que tuvo Jugar durante el sitio de Siracusa por el general romano Marcelo, en el año 212 ;1 ( •.
Los historiadores romanos cuentan numerosos hechos y gestas ;1tribuidos a Arquímedes; todos estos relatos legendarios parecen impregnados del deseo de rendir homenaje al célebre matemático, oq~ullo de Siracusa. Se cuenta que, durante el sitio (entre los años 214-212), Arquímedes inventó numerosas e ingeniosas máquinas para mantener a distancia a los romanos que trataban de invadir la <1utbd: catapultas de alcance variable, una máquina que incendiaba !"' barcos romanos, pértigas móviles que proyectaban masas considerables sobre los barcos situados demasiado cerca de los muros de L1 ciudad, etc. Marcelo, desesperado por la resistencia viva y rncarn1zada de los siracusanos, transformó, según se dice, el sitio en hloquco y, aprovechando un momento de descuido, mientras que la '1udad celebraba la fiesta de Diana (diosa de la caza), penetró en la
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ciudad que fue tornada y saqueada. Marcelo había mandadn respetar la vida de Arquímedes. pero sus órdenes fueron mal ejecutadas y Arquímedes murió a manos de un soldado romano, en circunstancias que son objetos de especulaciones, todas ellas verosímiles. Numerosas anécdotas, algunas sabrosas, que relatan hechos o leyendas -historias difíciles de verificar--\- hacen referencia a rasgos de la personalidad de Arquímedes o a diversas facetas de su genial inteligencia . Mencionemos, entre otras, la historia de la corona del rey Hierón, quien, sospechando que el orfebre había sustituido hábilmente una parte del oro por plata, pidió enseguida a su amigo Arquímedes que resolviese el problema sin estropear esa pieza tan bien esculpida. Arquímedes resolvió el problema descubriendo la primera ley de la hidrostática y se cuenta que fue en esta ocasión cuando pronunció la célebre palabra « Eureka, eureka», para testi" moniar su descubrimiento. En otra ocasión, estudiaba las palancas y encontró una aplicación, al menos original, de la ley general de las palancas, al decir: «Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo». Se cuenta que sus serv.i dores tenían que recordarle constantemente que debía comer y beber, ya que podía trabajar día y nnche sin descanso en la resolución de problemas de geometría y mecáni" ca . Arquímedes trazaba: figuras geométricas en la ceniza de la leña consumida y sobre su cuerpo untado de aceite, después de tomar un baño de aceite, como era costumbre en la época. Se dice que había pedido que se grabase sobre su tumba una esfera inscrita en un cilindro como recuerdo de su descubrimiento de la relación entre estas dos figuras matemáticas, y esto fue hecho, puesto que Cicerón 1 encontró, gracias a esta original inscripción, su monumento abandonado y oculto entre zarzas y espinos. Buena parte de los temas tratados por Arquímedes representan una contribución original a las matemáticas de su época. Sus trabajos, que versan a la vez sobre geometría plana y geometría en el espacio,. aritmética , mecánica, hidrostática y astronomía, están siempre orientados hacia el descubrimiento de nuevos conocimien-'. tos y cor.tienen material nuevo, resultado de aproximaciones origi-· nales y personales. No trata tampoco de destacar en detrimento de'.
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llis otros y en las introducciones a sus libros pone de manifiesto su sencillez, su modestia y su preocupación por la verdad, así como las dificultades afrontadas en ocasiones para resolver éste o aquel problema. , Arquímedes escribió más de diez obras que, según la crítica actual, se clasifican en el orden siguiente:
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1. Primer libro de los equilibrios, que trata de los centros de gravedad, los paralelogramos y los triángulos. · 2. Cuadratura de la parábola, que incluye un prefacio dirigido a Dositeo y trata de la cuadratura de cualquier segmento parabólico, problema para el que ofrece dos soluciones, una mecánica y otra geométrica. · 3. Segundo libro de los equilibrios, que trata de los centros de gravedad de los segmentos de parábola. 4. Sobre la esfera y el cilindro 1 y 11. Los principales resultados contenidos en estas dos obras son:
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a) la superficie de una esfera es cuatro veces la del gran círculo; b) la superficie de un segmento de esfera es igual a un círculo de radio igual a un segmento de recta trazado desde el vértice del segmento al punto sobre la circunferencia de la base; c) si un cilindro está circunscrito a una esfera y su altura es igual al diámetro de la esfera, entonces, 1) el volumen y 2) la superficie (con las bases) del cilindro son una vez y media el volumen y la superficie respectivamente de la esfera. 5. Sobre las espirales, que concierne a la espiral de Arquímedes (f = r8) y el estudio de las tangentes y de las áreas barridas por el radio vector. 6. Sobre los conoides y los esferoides, que trata de los volúmenes barridos por las elipses y parábolas que giran alrededor de un eje de simetría y por las hipérbolas que giran alrededor de un eje transversal. 7. Medida del círculo, breve tratado que está compuesto por tres proposiciones; la primera demuestra la equivalencia de los problemas de la cuadratura y la rectificación; la segunda prueba que el
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1 Marco Tulio Ciccr<'n (106-43 a.C.). ora
del cuadrado circunscrito si la longitud de la ciFcuncírculo es los ferencia es 3 veces el diámetro más un séptimo; por último, la última proposición afirma que el perímetro del círculo es menor que los
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Jcan-Pa,1/ Col/ene
del diámetro, puesto que es superior a los 3 ~<: de este diámetro_ 8. Arenario, que contiene un sistema de numeración ne números grandes, concebido en un principio para que Arquímedes pudiese escribir un número superior al número de granos de arena necesarios para llenar todo el universo. 9. Los cuerpos flotantes, libros l y 11, que trata del equilibrio de un segmento de paraboloide de revolución que flota en un líquido, del principio hidrostático de Arquímedes, etc. 10. Tratado del método, en donde Arquímedes revela a Eratóstenes algunos de sus métodos de investigación, utilizados para descubrir varios de sus teoremas.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DE ARQUfMEDES
Concebido con el fin de prolongar más allá de la miríada la representación de los números, este sistema utilizaba al principio una miríada, o 10 000, como unidad de primer orden y obtenía, por extensión de la miríada, el número 100 000 000 ó (10 000)2. Después, partiendo de la miríada de miríada como unidad de segundo orden, alcanza por extensión (100 000 000) 2 ; una vez más este número se convierte por extensión en unidad de tercer orden para obtener ( 100 000 000) 3 . Después podemos obtener el orden 1 000 000 000-ésimo que termina, por extensión, en el número (100 000 000) tO
o que llamaremos N. En notación moderna N = (10 8 ) 10' y Arquímedes utilizaba este ' número como el último término del primer período que empieza naturalmente con 1. A continuación, utilizaba N como unidad del segundo período y, por extensión, el segundo período empieza por N y termina por 100 000 000 N para el primer orden, el segundo orden termina con (100 000 000) 2 N y el 100 000 000-ésimo orden del segundo período termina con el número (100 000 000) HKHXKHJOO N ó N 2 . Si se toma N 2 como unidad de primer orden del tercer período, se puede, por extensión, llegar hasta el 100 000 000-ésimo orden del período número 100 000 000, ó N 10'. : La magnitud de este sistema es enorme, si se considera que el último número del prim~r período puede representarse en nuestro sistema decimal por 1 seguido de 800 000 000 de ceros. Una vez estahlecido este sistema y evaluada aproximadamente la dimen-
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sión del universo y la de un grano de arena, Arquímedes afirmó que el número de granos era menor Je 10 51 , referido al universo considerado en la época.
EL MÉTODO
El manuscrito del Método de Arquímedes se encontró en 1906, en un pergamino de Constantinopla cuyo texto religioso ocultaba el texto del célebre siracusano. En esta obra cuenta cómo descubrió ciertos teoremas relativos a la curvatura y a la cuadratura, insistiendo en la veracidad de los teoremas y las demostraciones rigurosas por métodos geométricos irrefutables que deben realizarse antes de aceptar definitivamente la prueba de estos teoremas. En otros términos, los procedimientos mecánicos sirven para explorar los teoremas y no para probarlos. Así, el método mecánico empleado para descubrir teoremas no proporciona las pruebas de los mismos, pruebas en las que se utiliza con frecuencia el método exhaustivo. Las características importantes de este método exhaustivo son esen- · cialmente las siguientes: Sea X una figura plana o un sólido cuya área o volu~en se busca. El método consiste en pesar elementos infinitesimales de X comparándolos con los elementos correspondientes de una figura Y de la que se conocen el área, o el volumen, y el centro de gravedad. Para conseguir el equilibrio mecánico, las figuras se disponen de tal forma que un diámetro o un eje común se encuentra sobre una misma recta. Entonces, si los elementos infinitesimales son secciones de figuras obtenidas mediante planos paralelos, perpendiculares al ej e común, que cortan a las figuras, los centros de gravedad de todos los elementos están en algún punto de este eje. Eje que se convierte en el brazo de una balanza. Estos elementos se ven entonces como líneas rectas (figuras planas) o áreas planas {sólidos). El propósito de Arquímedes consiste en balancear los elementos de X, aplicándolos todos en un único punto de la palanca, mientras que los elementos de Y permanecen en su sitio. Y, puesto que el centro de gravedad de Y, así como su área o su volumen, son conocidos, imagina Y como una masa que actúa sobre su centro de gravedad y, por tanto, si X e Y están situados en sus puntos respectivos, conocemos las distancias de los dos centros de gravedad
-
-- -· --------------__,.-
1ri¡uimedi's
Jean-Pau/ Colll'f!<'
136
y los maesi ros de la l:·scue/a de Alejandría
Ahora, por la propiedad de la parábola «probada en un lcma» 2,
al punto de aplicación de la palanca (punto del que está suspendid.1 la palanca) y también el área y el volumen de Y. Así, se calcula el área o el volumen de X. Este método tiene la ventaja de que elimina la integración en el cálculo del área o del volumen de una figura geométrica. Ilustremos este método con un ejemplo.
MO
O? =
CA OA ,
MO
·
se6mento ABC es* del triángulo ABC.» F M
.
(Euclides VI, 2).
MO
HK
a) Todas las rectas como MO entre FA y AC, situadas en el interior del triángulo AFC. b) Todas las rectas situadas en H iguales a las rectas que como PO están situadas entre la curva y AC.
E T
~e
G ;,¡
A
Demostración
Y, puesto que e l triángulo CFA está constituido por fodas las paralelas como MO, y el segmento CBA está constituido por todas las rectas como PO bajo la curva limitada por AC, se desprende que el triángulo ABC está en equilibrio alrededor de K con el segmento CBA situado con su centro de gravedad en H . Dividir KC en W de manera que CK = 3 KW, entonces W es e l centro de gravedad del triángulo ACF4. Además
1
Desde A, trazar AKFparalela a DBE; saliendo de Cla tangente a la parábola encuentra DBE en E y AKF en F. Trazar: CB y prolongar hasta K y después hasta H, de tal manera que sea KH = CK. Considerar CH como el brazo de la balanza y K su punto medio. Sea MO una recta paralela a ED que corta a CF, CK y AC en M, N y O respectivamente, y a la curva en P. Puesto que CE es una tangente a la parábola y CD es la semiordenada, entonces EB =' BD (esto se demuestra, según Arquímedes, en los elementos de las Cónicas de Aristeo y Euclides). Puesto que FA y MO son paralelas a ED, se deduce que FK = KA y MN = NO (se deduce de la misma propiedad que antes) .
t..ACF _ segmentoABC -
HK _
l
KW -
l
Además 1
segmento ABC = 3
~
ACF,
pero AFC 2 3 4
i',, .<: .~-
::i.
·i
....\.
·~t~
·'é. ·.;¡.,...,;.ifl".- -.
---~~=."-' ~"',.º."'""''==·.-~·-""-'· --
llK KN
gravedad de MO, se tiene re == KN; se desprende que TG en H y MO en N están en equilibrio alrededor de K3. De manera similar para cualquier otra recta paralela a DE que corte el arco de la parábola, las partes interceptadas entre FC y AC, con su punto medio sobre KC y una longitud igual a la ordenada entre la curva y AC y con su centro de gravedad en H, estarán en equilibrio alrededor de K. Además K es el centro de gravedad de todo el sistema, que comprende:
«Sea A BC un segmento de parábola limitado por la recta A C y la parábola ABC, y sea Del punto medio de AC. Trazar la recta DBE paralela al eje de la parábola y unir A con By B con C. Entonces, el
KI
CK
de donde O? = KN =
Medir TG igual a OP y colocarlo en su centro de gravedad en H, ele manera que sea TH == HG; entonces, puesto que N es el centro de
Proposición 1 del libro del método
¡H
137
=
4
~
ABC,
Cf. proposición 5 en Cuadratura de la parábola. Cf. Primer libro de los equilibrios, proposiciones 6 y 7. Cf. Primer libro de los equilibrios, proposición 15.
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138
Arquímedes y los maestros di· la Escuela de Alejandría
139
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segmento ABC
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«Ahora bien, lo enunciado no está realmente demostrado por el argumento utilizado; pero este argumento nos ha proporcionado un indicio de que la conclusión es verdadera. Entonces, viendo que el teorema no está demostrado, pero sospechando sin embargo que la conclusión es verdadera, debemos recurrir a la demostración geométrica que yo mismo he descubierto y que ya he publicado5 .» Encontramos también una demostración geométrica rigurosa de la cuadratura de la parábola (más exactamente de un segmento · de parábola) en la Cuadratura de la parábola6 , proposiciones 16 y 17. Sin embargo, en las siete últimas proposiciones de esta misma obra, Arquímedes realiza una demostración diferente de la cuadratura, basada sobre todo en la existencia de una serie infinita de áreas, cada una de ellas cuatro veces mayor que la siguiente, y cuya : suma es inferior al área del segmento de parábola. El método utilizado en esta demostración es el exhaustivo y no el de la suma infi-1.
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nita de áreas de la forma A + + ¡} + ... + + ... , que es evidentemente igual a A. -~ ·: : Los trabajos de Arquímedes son obras maestras desde el punto 1 .~ de vista de la exposición matemática y se parecen mucho a los; artículos de las revistas modernas. Con una presentación cuidada y' · j¡, un estilo conciso, los textos del más grande de los matemáticos de la Antigüedad pocas veces carecen de rigor y su contenido es a la vez'; -~~ original y rebuscado. En resumen, las principales contribuciones de Arquímedes se refieren a la teoría de las palancas, establecida sobre principios de' -¡I estática, al estudio de los centros de gravedad de figuras planas y <_'{fJ..• sólidos y a su equilibrio físico, al estudio de la hidrostática, por ejemplo, a las propiedades de los líquidos y al equilibrio de los cuerpos en ellos sumergidos, al estudio de la representación de lo(i
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5 Sir Thomas L. Heath, comp., íñe works of Arcl1imedes, with the method of, Archimedes, Nueva York, Dover, 1953, pp. 17-18. ·· 6 El término parábola no pertenece al lenguaje de Arquímedes, quien utilizaba ta·' expresión «sección de un cono recto».
grandes números, a la aproximación ;e por un polígono inscrito de noventa y seis lados, al estudio de la espiral aritmética y de las tangentes a esta espiral, a la cuadratura de los segmentos de curvas (origen del cálculo diferencial e integral), al estudio de figuras sólidas como el conoide y el esferoide, al estudio de las estrechas r{'.laciones entre la esfera y el cilindro (parece manifestar cierta preferencia por este estudio), a la aplicación de la geometría algebraica griega a la resolucióri de sus problemas (en particular Sobre la esfera y el cilindro), al estudio de los sistemas de ecuaciones (en particular el «problema de los bueyes» que comprende ocho incógnitas y cuya resolución es el primer ejemplo de la ecuación de Pell).
ERATÓSTENES
Mientras que el gran Arquímedes estudiaba matemáticas e investigaba en su ciudad natal de Siracusa, una personalidad «fascinante»7 · había entrado a formar parte del personal del Museo de Alejandría. Se trataba de Eratóstenes, un matemático de talento, pero también un genio universal que consiguió una reputación como poeta, historiador, geógrafo, matemático, astrónomo y atleta. Eratóstenes (ca. 276-ca. 194 a. C.) había nacido en Cirene, ciudad de la costa sur del Mediterráneo. Pasó varios años de su juventud en Atenas, y más tarde, invitado por Tolomeo 111 de Egipto, se convirtió en preceptor de su hijo y bibliotecario jefe de la Universidad de Alejandría a los cuarenta años. Se dice que fue siempre un segundo violín y quizá sea esta Ja razón por la que sus amigos le llamaban «Beta». Los estudiantes de la Universidad de Alejandría le llamaban también «Pentathlos»: el campeón en las cínco disciplinas deportivas. Eratóstenes destacó en varias actividades, pero su más valiosa contribución científica corresponde a sus mediciones para evaluar el perímetro de la tierra. Sus trabajos de cronología permitieron también hacer una distinción entre leyendas y hechos reales y, a partir de la caída de Troya, fechar los acontecimientos sobre la base exclusiva de documentos auténticos, mientras que antes esto se
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140
Arquímedes y los mae.Hros de la Eff11eia de Alejandría
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141
AB es una regla; Des, igual que E, una clavija.
conseguía vinculando los acontecimientos históricos a generaciones sucesivas, a reinados, o a las Olimpiadas. La medición que efectuó de la tierra (otros antes que él habían dado valores muy poco precisos, del orden de 300 000 estadios) fue obtenida a partir de la distancia, medida en estadios (aproximadamente la décima parte de una milla), entre Asuán y Alejandría. Una vez calculada una distancia de 5 000 estadios, estableció la relación siguiente: en el solsticio de verano el sol está exactamente en el cenit de Asuán, mientras que forma un ángulo que es 510 de cuatro ángulos rectos con el cenit de Alejandría. Obtuvo, como perímetro de la tierra, 50 X 5 000 = 250 000 estadios, valor cuyo orden de magnitud es correcto (circunferencia de la tierra= 246 620 estadios). La solución mecánica de la duplicación del cubo por Eratóstenes, grabada en las piedras del templo del dios-rey Tolomeo, equivale a determinar dos medias proporcionales a partir de la media: geométrica proporcional, así como todas las proporcionalidades a partir de la igualdad; todo ello aparece en las obras de Teón de Alejandría y Pappus. ·En teoría de números, se menciona a Eratóstenes cuando se estudian los números primos, debido a su «Criba», método que permite extraer los números primos de una sucesión ilimitada de números impares. Basta con tomar el número 3 y tachar todos sus múltiplos, luego extraer el 5 y tachar sus múltiplos, etc.; por iteración, se obtienen, uno a uno, tantos números primos como se desee.
Cuando el lápiz se desplaza girando alrededor de D y se dirige hacia la derecha siguiendo la clavija E sobre AB mientras que desciende siguiendo la clavija D, dibuja la concoide MOP.
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En un siglo de existencia Alejandría conoció varios sucesores al trono de su fundador, todos los cuales se revelaron como hombres de Estado competentes y liberales. El reino de Egipto conoce una nueva prosperidad, Alejandría crece de día en día y esta metrópoli alberga una población de casi un millón de personas. Los miembros de la Universidad viven en la ciudad cuyas anchas y rectas calles favorecen los desplazamientos rápidos y directos. En esta ciudad cosmopolita se encuentran columnas de piedra blanca, estatuas griegas y obeliscos egipcios, teatros, hipódromos, parques adornados con flores, mercados, baños públicos, un foro y un inmenso gimnasio.
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En la ciudad real, zona elegante de la ciudad, se encuentran los palacios de los sucesores de Tolomeo l, el mausoleo de Alejandro Magno, las tumbas de los reyes, los archivos nacionales, un teatro y un anfiteatro, muchos templos pequeños y exquisitos, el gran templo del dios Poseidón. Y, cerca del puerto, unidos por una cadena de columnas, edificios de una blancura inmaculada albergan la Gran Biblioteca y el Museo . Es aquí, en este maravilloso entorno, donde vivían los sabios de Alejandría. Comían juntos en salas especialmente preparadas para ello y, durante las comidas, los alumnos y el maestro discutían. Apolonio de Perga (ca. 262-ca. 200 a.C.) llegó a Alejandría en su juventud para estudiar con los sucesores de Euclides y permaneció allí durante mucho tiempo antes de visitar Pérgamo (Asia Menor) donde se acababan de fundar una universidad y una biblioteca como las de Alejandría, ciudad a la que volvió luego para no abandonarla hasta su muerte, que se produjo entre los años 200 y 190 a. C. Aunque Apolonio fue un astrónomo de talento y escribió sobre una gran variedad de temas matemáticos, su fama procede esencialmente de sus Secciones cónicas en donde el método utilizado está mucho más próximo a los métodos de la geometría analítica actual que a los puramente geométricos. En los ocho libros que constituyen este trabajo y que contienen 400 proposiciones, el «gran geómetra», como le llamaban sus contemporáneos, estudia ampliamente estas curvas, superando así claramente todos los trabajns de Menecmo, Aristeo y Euclides sobre este tema. Los cuatro primeros libros, los únicos cuyo texto griego ha llegado hasta nosotros, representan el conjunto de la teoría de las cónicas elaborada por sus precursores y al mismo tiempo aportan generalizaciones importantes. Los cuatro últimos contienen sobre todo investigaciones originales del autor y son de carácter y de aspecto matemático más avanzado. El quinto trata de las normales a las cónicas y determina su envolvente. El sexto considera la igualdad (congruencia) y la semejanza de estas curvas. El séptimo contiene teoremas de limitaciones que engloban los diámetros conjugados. El octavo no ha llegado hasta nosotros, pero la introducción de Apolonio al tratado nos informa de que contenía problemas con un número finito de soluciones determinadas sobre las cónicas. Los predecesores de Apolonio obtenían las secciones cónicas,
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elipse, parábola e hipérbola mediante secciones de conos circulares rectos de tres tipos distintos, según que el ángulo del vértice fuese agudo, recto u obtuso. Apolonio demuestra que no es neces.ario tomar secciones perpendiculares a un elemento del cono. Basta con variar, a partir de un cono ordinario, la inclinación de los planos que to cortan. Además Apolonio llegó a obtener resultados generales sobre las cónicas utilizando no sólo el cono circular recto, sino también el cono oblicuo o el cono circular escaleno. Si los comentaristas dicen la verdad, se puede afirmar que Apolonio fue el primer geómetra que demostró que las propiedades de las cónicas son las mismas tanto si proceden de conos oblicuos como ·si proceden de conos rectos. Por último, a él se debe la superposición de dos conos, el vértice de uno apoyado sobre el vértice del otro de tal manera que sus ejes coincidan. Parece ser que, por sugerencia de Arquímedes, Apolonio introdujo las palabras elipse e hipérbola para designar estas curvas, mientras que Arquímedes utilizaba el término parábola para designar la sección de un cono de ángulo recto en el vértice. Estos tres términos no fueron inventados por Apolonio, sino tomados por él de los pitagóricos que los utilizaban en la resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de áreas. Los pitagóricos, al aplicar un rectángulo a un segmento de manera que los extremos del segmento y la base del rectángulo coincidiesen, distinguían tres casos, el caso de la elipse, el de la parábola y el de la hipérbola, según que la base aplicada fuese más corta que el segmento, que coincidiese con él, o que fuese mayor. Apolonio obtiene las tres cónicas y sus propiedades fundamentales generando un doble cono (dos conos, uno sobre otro, cuyos vértices coinciden), generalmente oblicuo, mediante un círculo y un punto, que no está en el plano del círculo, unidos por una recta que parte del punto y gira tocando cada uno de los puntos del círculo . Define el eje del cono como la recta trazada desde el vértice del cono al centro del círculo. Así, SO es el eje del cono oblicuo (escaleno). Sea ASB un triángulo y DC la base de una sección, en ángulo recto con AB. Entonces, si FE es el eje de la sección y GG' cualquier cuerda de la sección paralela a DC que corta al eje FE en M, A polonio demostró que M es el punto medio de GG'.
144
Jean-Pa11/ Collette
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Así,· el cuadrado sobre la ordenada GM (GM 2 ) es igual al rectángulo aplicado a FR cuya longitud es la abscisa FM'I . 2) El diámetro FE corta a las dos semirrectas SA y SB; así se tiene la elipse. 3) La prolongación del diámetro FE corta a SA y a la prolongación, más allá de S, de SB; así se tiene la hipérbola. El tratado de las Secciones cónicas de Apolonio contiene una gran cantidad de materia -un tratamiento usual y partes muy específicas- cuyo contenido denso y diversificado es de difícil asimilación sin una preparación adecuada y una buena dosis de paciente labor. Este tratado, difícil de leer debido al gran número de complejas proposiciones y al contenido mucho más diversificado y especializado de lo que es habitual en nuestros cursos modernos, no por ello deja de presentar analogías, en lo referente al estudio de las_ có nica s, con los Elementos de Euclides . Precisemos que es evidente que elementos tales como la excentricidad y la directriz no aparecen en las Cónicas de Apolonio y, si eran conocidas de la época, habría que buscarlas en las otras obras del gran geómetra, de las que escasos originales han llegado hasta nosotros. La mayor parte de las obras de Apolonio son citadas por Pappus de Alejandría (fines del siglo III d.C.), que expone brevemente su contenido. Son: Sobre las secciones proporciona/es (181 proposiciones), De spatii sectione (124 proposiciones), Sobre las secciones determinadas (83 proposiciones), Contactos (124 proposiciones), Inclinaciones (125 proposiciones) y Lugares planos (147 proposicio9 Apolonio llama abscisa al segmento de recta FM y ordenada al segmento CM. Generalmente, las ordenadas no son perpendiculares al diámetro.
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Jea11 -}'a1•I Collcr1c
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Gergonne. La quinta obra trata del problema de construir una recta entre dos lugares dados que pase por un punto dado. El último libro contiene numerosos teoremas sobre lugares geométricos en el pla-
ncs). Sólo nos ha llegado la primera ohra: fue traducida del árabe al latín por el astrónomo Halley, amigo de Newton, en 17()3_ Se refiere al siguiente problema: Trazar, por un punto dado O, una recta que intercepte do:; segmentos AA' y CC', sobre dos rectas dadas y a partir de dos puntos
no.
Con el último de los tres grandes matemáticos del siglo 111 a.C. finaliza la edad de oro de las matemáticas griegas. En efecto, la era de los buenos gobiernos con preocupaciones de orden intelectual, que se inició con el fundador de Alejandría y continuó con los tres primeros Tolomeos, cambia de rostro con la llegada, hacia el final de la vida de Apolonio, de Tolomeo IV, quien, con su comportamiento bufo y homicida (asesinó a su propia madre, a su mujer, a su hermano y a sus amigos), ocasionó la decadencia progresiva del alto nivel social que había conocido Alejandría. Afortunadamente, en el Museo la decadencia se produjo de forma gradual, ya que incluso los tiranos que se sucedieron en el trono de Egipto consideraban la Universidad de Alejandría como un homenaje a su persona y a sus ambiciones tiránicas.
dados, que estén en una razón dada ~~: = k, donde k es una constante.
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TRIGONOMETR(A GRIEGA Y MATEMÁTICAS APLICADAS
La trigonometría se remonta a tiempos muy lejanos en la historia de las matemáticas; en efecto, los egipcios y los babilonios estudiaron algunos problemas que implicaban elementos de trigonometría. En la construcción de sus pirámides -<:asi todas las caras inclinadas de las pirámides forman un ángulo de 52º con la horizontal- los antiguos egipcios utilizaban prácticamente el equivalente de la función cotangente. Los babilonios estaban probable mente familiarizados con la utilización de la cosecante , ya que en la tablilla Plimpton 322 aparece una tabla de cosecantes. Los astrónomos babilónicos de los siglos v y IV a .C. habían acumulado una cantidad considerable de datos astronómicos y astrológicos que iban a permitir a los matemáticos griegos constituir gradualme nte la trigonometría ea un cuerpo de doctrina. En los griegos, observamos por primera vez un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos (o arcos) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que subtienden. Las propiedades de las cuerdas como medida de los ángulos inscritos y de los ángulos centrales en los círculos eran conocidas en la época de Hipócratcs
La segunda obra trata de un problema análogo al anterior, salvo que los segmentüs forman un rectángulo, es decir AA' · CC' = k, donde k es una constante. Pappus resume así el tercer libro : Cortar una recta indefinida en un punto de tal manera que el c:iadrado cohstruido sobre una de estas rectas así cortada hasta puntos dados sobre esta recta, o el rectángulo encerrado por las rectas cortadas, esté en una razón dada con el cuadrado de una de las rectas, con el rectángulo determinado por una de ellas y otra dada, o por el rectángulo encerrado por las rectas cortadas a uno u otro lado de los puntos dados.
El tratado Contactos estudia el problema de la construcción de un círculo tangente a tres círculos dados que pueden degew.!rar independientemente en líne: s rectas o en puntos. Este proble ma, conocido hoy como el «problema de Apolonio», atrajo a numerosos matemáticos, entre ellos a Viete, Euler, Newton, Descartes y
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y parece qu,e Eudoxo utilizó razones y medidas de ángulos en la determinación de las dimensiones de la tierra y de las distancias relativas del Sol y de la Luna. En Euclides encontramos pocas referencias a la trigonometría, salvo algunas leyes y fórmulas trigonométricas. En Arquímedes, el teorema de la cuerda quebrada -trazadas dos cuerdas A B y BC en un círculo , la perpendicular KM, trazada desde el pun~o medio, K, del arco ABC a la cuerda mayor (en este caso BC), divide a la línea quebrada en dos seg-
1
mentos tales que AB + BM = MCo MC = (CB + BA)--
ARISTARCO DE SAMOS
Aristarco de Samos (ca. 310-230 a.C.), nacido en la isla de Samos, fue el primero en afirmar, adelantándose así a Copérnico en 17 siglos, que la tierra y los planetas giraban alrededor del Sol. En una pequeña obra titulada Sobre las dimensiones y las distancias del Sol y de la Luna, Aristarco establece algunas razones trigonométricas y las presenta en 18 proposiciones. Por ejemplo, la proposición 7 afirma: «La distancia del Sol a la tierra es más de dieciocho veces pero menos de veinte veces, mayor que la distancia de la Luna a la tierra .» Esto equivale a decir que la razón entre las distancias de la Luna y del Sol es igual a sen 3º, o más bien~·
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Hiparco ele Nicea (ca . 180-ca. 125 a .C.), a quien los gri<;!gos llamaron el padre de la astronomía, vivió en Rodas y se asoci (:• a la
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lJnivcrsidad de Alejandría durante los ailos 161-126. Teón de Alejandría (hacia 365 d. C.) pretende que Hiparco escribió un tratado en 12 libros sobre el cálculo de las cuerdas en un círculo , pero no se conserva ni rastro de esta obra. Hiparco es importante en astronomía por las mejoras que introdujo en los instrumentos y en las técnicas de observación . Generalmente. se le atribuye el descubrimiento de la precesión de los equinoccios, la determinación de la inclinación de la eclíptica y mediciones de los paralajes y las irregularidad<;s del movimiento de la Luna. Los matemáticos le consideran el fundador de la trigonometría o, al menos, el padre de esta nueva rama de las matem;íticas griegas. Se piensa que, con su tabla de cuerdas, influenció en la utilización sistemática, herencia de los babilonios, del círculo de 360º y sus divisiones, si no la introdujo él mismo. Esta tabla de cuerdas, probablemente calculada al modo ele Clauclio Tolomeo (hacia el siglo 11 d.C.), anuncia las tablas de senos. Se le atribuyen también la invención de un sistema de referencias en términos de longitud y latitud, una concepción de las trayectorias del Sol y de la Luna como órbitas excéntricas, así como una contribución importante a la teoría ele los eclipses. La vida en Alejandría, durante la estancia de Hiparco en la Universidad, se degradaba de día en día y la atmósfera de agitación y turbulencia resultaba inquietante, cuando no insoportable para los habitantes, y en particular para los sabios. La degradación de la realeza hizo posible que el asesinato se convirtiese en moneda corriente. La autoridad engendraba antes miedo y perturbaciones que un clima sereno en el que el trabajo creador pudiese desarrollarse y progresar libremente. La vida social cambiaba, las distinciones de clase se acentuaban muy rápidamente y las costumbres corrompidas de los privilegiados y los ricos (ricos y amigos de los reyes crueles e inhumanos) se ponían de manifiesto en los vestidos extravagantes, las joyas superfluas y la utilización inco ngruente de cosméticos . La clase pobre, incapaz de sobrevivir por sí misma, ponía de manifiesto su existencia inhumana con el robo y el pillaje. Así, toda esta sociedad, en otro tiempo orgullo e ideal ele Alejandro Magno, decaía peligrosamente al dejar paso el desarrollo cultural a la decadencia moral. Afortunadamente, la dinastía ele los Tolomeos, con su última representante, Cleopatra, fin aliza con un rayo de esperanza y una vuelta parcial a un ambiente más pacífico . Cleopatra, embarcada en
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Arquimi•des y los macstro.1 de la Escuela de Alrjandria
Jea11 ·Paul Collem·
triángulo esférico; también desarrolló buen número de teoremas sobre trigonometría esférica. La única obra que ha llegado hasta nosotros --otras son mencionadas por los comentaristas- es Sphoerica, que trata de las figuras esfericas. Define el triángulo esférico como el espacio, sobre la superficie de una esfera, comprendido entre arcos de grandes círculos, y estos arcos, menores que la mitad de !a circunferencia, son los lados del triángulo. El libro I comprende teoremas de congruencia y teoremas sobre triángulos isósceles. Además, en él encontramos el teorema que afirma: «La suma de los ángulos en un triángulo esférico es mayor de 180º». El libro 11 aplica la geometría esférica a la astronomía. El libro 111 contiene la trigonometría esférica conocida en su tiempo, en gran parte deducida del «teorema de Menelao», que puede enunciarse como sigue: «El producto de tres razones de segmentos consecutivos de los lados de un triángulo, determinados por cualquier línea transversal, es igual a la unidad». He aquí el triángulo A BC y, partiendo de D, la transversal que lo corta en E y F. Tracemos, desde A, B y C, las perpendiculares AG, BH y C/ a la línea FD.
una lucha por el poder con su h~rmano, obligada a convencer a César, nuevo dueiio romano que llega a Alejandría, de que le adjudique el trono, consigue ganar para su causa al gran conquistador romano. Sin embargo, la población de Alejandría veía con malos ojos la prefencia en Egipto de César, quien, acantonaéo en la ciudad con una pequeña guarnición, decidió alejarse precipitadamente de esta población hostil, aunque no sin antes prender fuego a la ciudad. Desgraciadamente, en esta noche devastadora se quemaron casi medio millón de manuscritos, fuentes inestimables que había costado más de tres siglos reunir y que de~aparecieron para siempre. Poco después, Cleopatra, a la muerte de su hermano, se convirtió en la única dueña de Egipto. Resuelta, íntegra, ambicio:;a e inteligente, se mostró capaz de administrar y animar la tarea ·emprendida. Decidió restaurar la Gran Biblioteca y esrnblecer de nuevo el Museo que los sabios habían abandonado bajo el reinado de sus crueles predecesores. Un afortunado cúmulo de circunstancias le permitió recuperar la biblioteca de Pérgamo (más de 200 000 manuscritos) y así sacar adelante la Gran Biblioteca que continuó con el empuje inicial, aunque con fines más modestos. Por último, aumentó su protección a los sabios, restableciendo su dignidad de antaño; viajó mucho, reclutando personal competente y suscitando así la confianza y el respeto hacia la Universidad. Con la muerte de Cleopatra, en el año 31 a.C., finaliza su dinastía y Egipto se convierte en una provincia del Imperio romano. Las estructuras políticas romanas restauraron la paz y el orden en la ciudad y una nueva era de prosperidad comenzó. Los romanos continuaron la obra de Cleopatra en lo referente al Museo y a la Biblioteca, y la Universidad de Alejandría se fue pareciendo cada vez más a nuestras universidades, tanto desde el punto de vista de la estructura como del funcionamiento.
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C
Por triángulos semejantes, AD
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CE EB
C/
BF
BH
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de donde, multiplicando, MENELAO
AD
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Menelao ele Alejandría (ca. 100 d.C.), estudiante y después miembro de la Universidad hasta que fue llamado a Roma como astrónomo, escribió, St:gún Teón, seis libros, hoy desaparcidos, sobre las Cuerdas en un drcuio. Parece haber sido el pri'Tlero en definir el
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y se obtiene así una formulación equivalente
AD · CE· BF = CD · BE· AF.
·~::-
Jean-Paul Collettc
152
Para un triángulo esférico, el teorema se reduce a la siguiente igualdad: sen AD · sen CE · sen BH
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En efecto, si ABCD es un cuadrilátero convexo e inscrito, entonces
· sen BE · sen AF.
AB · CD+ BC · DA
Partiendo de este teorema y utilizando triángulos particulares y distintas transversales, se puede deducir una buena parte de la trigonometría esférica.
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3+
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es decir, 3,14166. Para el cálculo de cuerdas, Tolomeo utilizaba, entre otras, una proposición de naturaleza geométrica a la que se dá el nombre de «teorema de Tolomeo»~ «La suma delos productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales.» >' ·
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Claudio Tolomeo (ca. 85-ca. 165 d.C.)-sin ningún parentesco con la dinastía de los Tolomeos- fue miembro de la Universidad de Alejandría desde el año 125 al 160 e hizo observaciones de naturaleza astronómica. Es el autor de una obra de trece libros, que recibe generalmente el nombre de Almagesto --de magiste (la mayor) al que los árabes añadieron el artículo al- y ha desempeñado en astronomía el mismo papel que los Elementos de Euclides en matemáticas. Esta Síntesis matemática influyó en la trigonometría de toda la Antigüedad, y todas las tablas astronómicas aparecidas hasta el siglo XII se basan fundamentalmente en el Almagesto. Los fundamentos matemáticos de la obra se encuentran en el. libro I y su contenido trigonométrico no fue mejorado hasta finales de la Edad Media. El Almagesto de Tolomeo soportó los estragos del tiempo y se conservan no sólo las tablas trigonométricas, sirio también la explicación de los métodos utilizados para su construcción. Tolomeo dividió el círculo en 360º y el diámetro en 120 partes, y luego cada parte en minutos, segundos y terceros, según el sistema sex_agesimal de los babilonios. Admitía que la razón entre la circunferencia de un círculo y el diámetro era 3º8'30", así
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Arquimedes y los maestros de la Escuela de Alejandría
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Este teorema de Tolomeo lleva a la fórmula: sen (a ± /3)
= sen a cos f3 ±
cos a sen
f3
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y a la fórmula análoga para· el coseno de una suma o una diferencia de ángulos. Hay que recordar que los griegos no conocían las razones trigonométricas y que utilizaron, como más tarde hicieron los hin-_ dúes y los árabes, líneas trigonométricas en forma de cuerdas de arco de círculo . Tolomeo llegaba a expresar de manera aproximada, asociándoles valores numéricos, las longitudes de estas cuerdas y, puesto que tenía que utilizar con frecuencia fracciones, era natural que emplease el sistema sexagesimal, mucho mejor adaptado a las fracciones que el de _los _griegos , . Nuestras identidades trigonométricas usuales se convierten en el lenguaje del Almagesto en cuerdas de arco: cucrd~ 2A · A d (IRU"-2A) sen A = _ 120 y _cos_ =_cuer a . 120 .. Pudo así, dotaqo .de un buen sistema de medidas, del teorema de Tolomeo y de la fórmula equivalente a sen ~ = y(l - cos a/2), calcular pór interpolación las cuerdas de ángulos con una precisión del orden d~ cinco cifras significativás ..La tabla de cuerdas de a 180º, que formaparte integrante del contenido del libro I, era astrónomos. El libro entonces un instrumento indispensable para Jos . -
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154
Jcan-Pa11/ Collelle
11 trata de los fenómenos que dependen de la esfericidad de la tierra, mientras que los tres siguientes desarrollan el sistema geocéntrico de la astronomía por los epiciclos_ Los libros VII y VIII constituyen un catálogo de 1028 estrellas fijas, mientras que el resto de este monumental tratado se consagra a los planetas_ El Almagesto fue el tratado clásico por excelencia de astronomía hasta la época de Copérnico y Kcpler _ Tolomeo escribió también sobre otros temas, entre ellos, la geografía (biblia de los geógrafos de su tiempo), las proyecciones ortográficas y estereográficas de mapas, la óptica y la música; intentó también demostrar el postulado de las paralelas. Aunque los romanos eran pacíficos y no hicieron nada por perturbar el funcionamiento de la Universidad de Alejandría, no es por ello menos cierto que, poco inclinados al estudio de las ciencias puras, manifestaron una cierta indiferencia por las actividades de los sabios de Alejandría. Poco a poco, los emperadores prefieren invitar a poetas, músicos y filósofos a que se unan a la población intelectual de Alejandría, antes que procurar el progreso de las ciencias. El actor, el bailarín y el filósofo son las personas invitadas y agasajadas; los sabios en cambio son relegados. Algunos de ellos honran aún por momentos la ciencia matemática griega: Herón, Diofanto y Pappus son los principales maestros de esta ciencia que decae de día en día.
HERÓN
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Herón de Alejandría vivió probablemente entre los años 75 y 150 d.C. (estas dos fechas son respectivamente el límite inferior y el límite superior de su actividad científica), y sus trabajos, variados y numerosos, adquieren la forma de una enciclopedia de las matemáticas y de la física. Estos trabajos pueden dividirse en dos grupos: el primero, de naturaleza geométrica, trata principalmente de problemas de medidas; el segundo está centrado sobre todo en la mecánica como descripción de aparatos mecánicos ingeniosos_ Herón se interesa por la medición en todas sus formas, en el campo de la óptica, la mecánica e incluso la geodesia. El principal de sus tratados sobre la medición, titulado Las métricas, contiene no sólo una colección de ejemplos de medidas y
,.\rc¡11l111t·dcs _\' los maestros ,Jt- la Esc11c/u de Alej1111dria
155
fórmulas, como otras de sus obras, sino también las bases teóricas de las fórmulas utilizadas. El libro 1 de esta obra, que se compone de tres, se ocupa del cálculo de las áreas de distintas figuras, como cuadrados, rectángulos, triángulos, polígonos regulares, segmentos de esfera, cilindros y segmentos parabólicos. En este libro, se encuentra la aplicación de la conocida fórmula : A
= Vs(s -
a) (s - b) (s - e), dondes
=
a+~+c
que lleva el nombre de Herón, aunque, como ahora se sabe, procede de Arquímedes. El libro 11 trata de la medición de volúmenes de figuras sólidas como el cono, la esfera, el toro, los cinco sólidos regulares, el cilindro,, el paralelepípedo, la pirámide y el tronco de pirámide y de cono. Por último, el contenido del libro 111 se refiere a la división de figuras, áreas y volúmenes, en una razón dada. En la obra Las neumáticas aparece una descripción de unas cien máquinas mecánicas y juguetes, entre ellos un sifón, un artefacto para proyectar fuego, un dispositivo para abrir las puertas de un templo por medio del fuego de los altares y un órgano hidráulico. En varias de sus obras Herón se ocupa de la construcción y utilización de instrumentos de medición, como por ejemplo el reloj de agua, la dioptra, el odómetro, y máquinas neunáticas, automáticas, de guerra, para levantar cargas, etc. Inventó un tipo primitivo de máquina de vapor y fue el precursor del termómetro. Todas estas ingeniosas máquinas fueron concebidas o realizadas partiendo de las propiedades de los fluidos y de las leyes físicas de las máquinas sencillas. No podemos dejar de sorprendernos ante esta tendencia a las matemáticas aplicadas, ya que la tradición griega se orienta más bien hacia una ciencia matemática pura, estudiada por sí misma, en la que la búsqueda de la verdad es lo único que debe contar y predominar sobre las aplicaciones, que fueron, por ejemplo en el caso de Arquímedes, un objeto de diversión. ¿Debemos pensar que en esta época las consideraciones teóricas puestas de relieve por los matemáticos que se suceden de Eudoxo a Apolonio terminan de manera abrupta para dejar paso a las matemáticas aplicadas (la trigonometría se incorpora a la astronomía como aplicación de las mediciones de la geometría elemental)? ¿Encuentra este movimien-
1can -/'1111/ ( 'o//c•lf c
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to hacia la aplicación su razón de ser en las dificultades sufridas por la geometría algebraica: notación algebraica inexistente o, al menos, muy imperfecta, indiferencia de los romanos hacia las ciencias puras, etc.? Hay un hecho irrefutable: las matemáticas griegas no avanzan más y pic~rden la vitalidad que les era propia, transformándose en una forma cuya expresión difiere radicalmente de la de los siglos anteriores. Esta nueva expresión se concreta sobre todo en los trabajos de Diofanto.
DlOFANTO
Diofanto de Alejandría vivió, según Bombelli, durante el reinado de Antonino Pío (ca. 150 d.C.); según Heath, Teón de Alejandría -padre de Hipatia (la primera matemática que se conoce) y comentarista del siglo IV-- cita a Diofanto y, además, una carta de Psellus indica que un libro escrito en el siglo III por Anatolio de Alejandría fue dedicado a Diofanto, lo que le sitúa a mediados de ese siglo. La Antología griega contiene, en forma de epigrama, un rompecabezas algebraico de los siglos v o VI, donde se describe someramente la vida de Diofanto, que al parecer terminó cuando éste contaba ochenta y cuatro ailos 1º. Sus trabajos difieren en esencia de lo que hoy es el álgebr<: y también de la geometría algebraica griega. De las obras que de éi se conocen, la principal es la Aritmética en trece volúmenes, de los que sólo los seis primeros han llegado hasta nosotros. La dedicatoria de la Aritmética, dirigida a Dionisia (obispo de Alej3ndría hacia el año 247), empieza así: Conociendo, honorable Dionisia, cómo te ejercitas en el conocimiento del estudio de los problemas numéricos, empecé por una explicación de la 10 «Tran~eúnte, e~ta
es la tumba de Diofanto: es él quien con esta sorprendente dist'r ibución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó la sexta parte; después, durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primez bozo. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, uno1 vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole, durante cuatro años. De todo esto, deduce su edad.» (Pierre Dedron y Jean Itard, Mathématiques et mathématiciens, París, Magnard, 1959, pp. 117-18.)
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naturaleza y del poder de los nümeros , comenzando por los fundamentos en los que se basan los ternas tratados . Estt> puede parecer, a primera vista, muy difícil, porque no es en absoluto conocido todavía. Los principiantes son propicios a desanimarse fácilmente. Pero a tí te será fácil entender el tema gracias a tu entusiasmo y a mis explicaciones [ ... J
La Aritmética comprende 189 problemas con sus soluciones. La casi totalidad de los problemas del libro 1 se reducen a ecuaciones determinadas del tipo ax = b o ax 2 = b, con sólo una solución positiva. En los otros cinco libros , encontramos esencialmente ecuaciones indeterminadas -llamadas ecuaciones diofánticas en teoría de números- que posee11 generalmente un número infinito de soluciones, aunque Diofanto suele quedar satisfecho con una. La Aritmética de Diofanto representa sobre todo una nueva rama de las matemáticas griegas, tanlo a nivel de contenido -se parece al álgebra babilónica pero se diferencia de ella en el «significado» del número 11 - como en el plano de los nuevos enfoques: divor,c io con los métodos geométricos griegos. Si se acepta el marco histórico de evolución del álgebra, que pasa de la fase retórica, en la que todo se escribe, a la fase sincopada, en la que aparecen algunas abreviaturas, para, por último, desembocar en la fase simbólica, la Aritmética debe situarse en la segunda categoría. En los seis volúmenes de la Aritmética que han llegado hasta nosotros, se observa una utilización sistemática de las abreviaturas para las potencias de números así como para las relaciones y las operaciones. Así, aparecen abreviaturas para la incógnita, sus potencias hasta la sexta, las operaciones de adición y sustracción, y los inversos. La unidad es M, la incógnita es r, su cuadrado se representa por f...T, su cubo por KT, la cuarta potencia por f.,. r f... y la quinta por f...KT, y el cubo-cubo por KTK. Diofanto conoce, evidentemente, las leyes de los exponentes positivos y negativos. La adición se confunde con la simple yuxtaposición de símbolos, mientras que para la sustracción se utiliza el símbolo ,+.. , que recuerda a una V invertida y
11 La matemáticas babilónicas comprenden generalmente una solución aproximada de las ecuaciones determinadas, mientras que Diofanto se ocupa generalmente de la solución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas.
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JeaT1-Paul
158
Problema 1: Dividir un número dado en dos partes, cuya diferencia sea dada . Sean 100 el número y 40 la diferencia. •
bisecada por un ángulo, situada delante del númcro 12 • Por ejemplo x3 = 5x 2 + 8x - 1 corresponde a
Solución: El menor de los números buscados es x. Además,
KTan1 .+.. ~Tdvta,
2x + 40
lo que se lee: incógnita al cubo unidad unidad 1,
X
+
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Arqt1i111Ni<'s y /0.1· 11w1·.11rns de la Escuela di• Ah·jaT1dria
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incógnita 8 - incógnita cuadrado 5,
=
100
=.30
Los números buscados son 70 y 30. Problema 19: Encontrar cuatro números de manera que la suma de tres de ellos exceda al cuarto en un número dado . Condición necesaria: la mitad de la suma de las cuatro diferencias dadas debe ser mayor que cada una de ellas. Sean las diferencias 20, 30, 40 y 50.
en donde los coeficientes numéricos se sitúan después del número y los términos negativos y positivos se agrupan separadamente . No existe ninguna base que permita establecer postulados, ni se buscan todas las posibles soluciones. A pesar de que aparezcan el símbolo de la sustracción, una solución negativa es impensable para Diofanto. La tendencia hacia un método general se manifiesta a veces y puede resumirse así: si dos incógnitas deben satisfacer dos condiciones, entonces, se eligen las dos incógnitas de manera que una condición sea satisfecha; el problema se reduce así a satisfacer una sola condición. Para evitar ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, Diofanto prefiere operar sucesivamente con estas condiciones, a fin de reducirlo todo a una sola incógnita. Además, Diofanto resulta muy difícil de entender para un matemático moderno ya que, incluso después de haber estudiado un gran número de soluciones diofánticas, con frecuencia nos quedamos asombrados ante un nuevo problema, sobré todo al examinar la solución propuesta. En suma, la carencia de métodos generales y la aplicación repetida de medios ingeniosos, específicos de cada problema, resumen hien las características de su tratamiento heurístico. El libro de la Aritmética comienza con una dedicatoria a la que siguen las definiciones del cuadrado, del cubo, del cuaéradocuadrado, del cuadrado-cubo, y del cubo-cubo, acompañadas de los símbolos correspondientes y de discusiones sobre el símbolo de menos, la ley de los signos y la presentación general del tratado. El libro 1 termina con treinta y nueve problemas. He aquí algunos de ellos.
Solución : 2x es la suma de los números buscados . Así , los números son X -
Además 4x - 70
15,
X -
= 2x y x =
20,
X -
25 y X
-
10.
35; los números son 20, 15, 10 y 25.
Problema 39: Dados dos números, encontrar otro tal que las sumas de los distintos pares, multiplicadas por el tercer número, proporcionen tres números en progresión aritmética . Números dados: 3 y 5, número buscado: x.
Solución: Los tres productos son 3x + 15, 5x + 15 y 8x. Ahora, 3x + 1. í 5 d~be ser el término medio, o el menor de los tres , y 5x + 15 el mayor o el término medio. a) 5x + 15 es el ·mayor, 3x + 15 el menor. Así, 5x b) 5x
+ 15 + 3x + 15 = 2 · 8x y x = · 14" _
+ 15 es el mayor y 3x + 15 el término medio. Así, (5x + 15) - (3x + 15) = 3x + 15 - 8x y x = 1.¡ _
+ 15 el menor. Así, + 3x + 15 = 2(5x + 15) y x =
c) 8x es el mayor, 3x Sx
15.
Los otros cinco libros tratan esencialmente de ecuaciones indeterminadas de segundo grado y, algunas veces, de grado superior, con dos o tres incógnitas. He aquí algunos problemas.
Diofanto no utiliza ningún simbolismo para la operación de multiplicación, puesto que todos sus coeficientes son números bien definidos. 12
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Arquimcdes y los maestros di• la Escuela de Alejallilria
16 1
Problema 20, libro 11: Encontrar dos números de manera que el cuadrado de uno sumado al otro dé un cuadrado.
manera que cuadraG'J.
Solución: Sean x y 2x + 1 que, por su forma, satisfacen una condición. La otra condición es:
Sea¡ la fracción dada.
4x 2 + Sx + 1 == cuadrado == (2x - 2) 2 , 3 19 A s1, x == 03 , y 1os numeros son 13 y 13.
Solución: Así, cada parte = <:4 + un cuadrado y la suma de los tres
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Problema 1, libro VI: Encontrar un (racional) triángulo rectángulo cuya hipotenusa menos cada uno de los lados sea un cubo. Formemos el triángulo con x y 3.
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Problema 20, libro V: Dividir una fracción dada en tres partes de
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queda dividido entonces en
+ 4 == un cuadrado
7 y 13. 8 Los lados de los dos cubos son entonces 13
¡
Ahora tenemos que dividir ~! en tres cuadrados, lo que es fácil.
+ 3.
Solución: Sean 2x y 3x los lados. Esto da l 9x3 = x, y x es irracional. Tenemos por tanto que buscar dos cubos cuya diferencia al cuadrado sea a la diferencia de sus lacios como un cuadrado a un cuadrado. Sean (z + 1) 3 y z 3 estos cubos; la diferencia de sus lados es un cuadrado, 1. Así 3z 2 + 3z + 1 = cuadrado = (1 - 2z)2, y z = 7. Empecemos de nuevo, sean los lados 7x y 8x, así 169x3 = x y 1 X= 13·
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Solución: Suponer que el primero de los números buscados más el segundo es igual a x 2 + 3, el segundo + el tercero== x 2 + 2x + 4, la suma de los tres = x 2 + 4x + 7. Así, el tercero = 4x + 4, el segundo = x 2 - 2x, el primero = 2x
Problema 11, libro IV: Encontrar dos cubos de manera que su diferencia sea igual a la diferencia de sus lados.
cualquiera de ellas menos el cubo de su suma sea un
= ¡ = la suma de tres cuadrados
Problema 9, libro fil: Dado un número, encontrar otros tres de manera que la suma de dos cualesquiera de ellos menos el número dado sea un cuadrado, y que sea también un cuadrado la suma de los tres menos el número dado. Sea 3 el número dado.
Por último, el primero + el tercero - 3 = 6x = 64. Así, X = 10, 23, 80 y 44 r~S una solución.
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Solución: Así, la hipotenusa= x2 + 9, el lado perpendicular= 6x, la base= x 2 - 9. Además, x 2 + 9 - (x 2 - 9) = 18 debería ser un cubo, pero no lo es. Ahora, 18 = 2 · 3 2 ; así, debemos sustituir 3 por m, donde 2m 2 es un cubo; y m = 2. Formamos así un triángulo rectángulo, x , 2; más exactamente x 2 + 4, 4x, x 2 - 4; una condición queda satisfecha . La otra es x 2 - 4x + 4 = un cubo . Así (x - 2) 2 es un cubo, donde x - 2 es un cubo == 8; además x = 10, y el triángulo es 40, 96, 104. , Diofanto escribió también Sobre los números poligonales, de l que se conser va un fragmento , y Los porismas, que se ha perdido, pero del que se puede decir que en él se encontraba una colecció n definida de proposiciones sobre las propiedades de ciertos números , su divisibilidad en un cierto número de cuadrados, etc. En la Aritmética menciona algunas veces estos tratados. Parece razonable considerar la Aritmética de Diofanto como una compilación de problemas -análoga a la de Euclides en sus Elementos- realizada por uría persona competente en la materia , que asimiló lo mejor, estructurando el conjunto en un o rden lógico e
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inteligente . No cabe duda de que Diofanto contribuyó de manera original a la ciencia matemática griega, a la que aportó nuevos problemas y modos de tratamiento de los mismos, así como algunos métodos generales.
PAPPUS
Pappus de Alej<1ndría vivió en las postrimerías del siglo 111 y principios del IV, ya que en su comentario sobre el Almagesto cuenta que observó un eclipse de sol en el año 320. Su obra principal es la Colección matemática, de la que conservamos una parte del libro 11 y los siguientes hasta el VIII, último de la colección . Numerosas razones hacen que esta obra sea particularmente importante. Es uno de los mejores testigos de las matemáticas griegas, que conocemos en gran parte gracias a ella. Además, la Colección comprende, entre otras cosas, pruebas suplementarias y lemas sobre proposiciones contenidas en Euclides, Arquímedes, Apolonio y Claudio Tolomeo. Por último, Pappus incluyó en su Colección nuevos descubrimientos y generalizaciones que no existían en trabajos anteriores, así como comentarios históricos. Por ejemplo, formuló en forma de lemas explicaciones o suplementos de los trabajos de los grandes geómetras, lo que nos ha permitido conocer en parte el contenido de obras desaparecidas escritas por Euclides y Apolonio . En los dos primeros libros de la Colección, de los que se ha perdido la mayor parte, parece que se encontraba un método desarrollado por Apolonio sobre la escriiura y el cálculo de los grandes números. El libro lII trata de las medias proporcionales, proponiendo como ejemplo tipo el problema de intercalar dos medias proporcional~s entre dos segmentos de recta dados; de las desigualdades en un triángulo, y también de una nueva construcción de los cinco sólidos regulares inscritos en una esfera dada . El libro IV ofrece una extensión del teorema de Pitágoras, un tipo de espiral sobre la esfera, caso en el que Pappus calculó el área limitada por la espiral y un arco de círculo (tomado de Arquímedes). Demostró también que una «neusis» (intercalación) puede reducirse a una intersección de dos cónicas. En el libro v se encuentran sobre todo los trabajos de Zen0doro sohre la isoperimetría o comparación de áreas de figuras cuyos
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perímetros son iguales, así como volúmenes de sólidos limitados por áreas iguales . Mencionemos también la presencia de una interesante exposición sobre las matemáticas utilizadas por las abejas en la construcción de las celdillas de miel. El libro VI trata esencialmente sobre astronomía y presenta los tratados que debían ser estudiados como introducción al Almagesto de Tolomeo. En el plano histórico, el libro VII es particularmente importante, ya que proporciona una idea general de los trabajos que constituyen El tesoro del análisis, colección que, después de los Elementos de Euclides, tenía como objetivo proporcionar el material indispensable al matemático profesional. Los doce tratados son los Datos, los Porismas y los Lugares en la superficie de Euclides, las Secciones cónicas de Apolonio y otras seis obras suyas, los Lugares sólidos de Aristeo y Sobre las medias proporciona/es de Eratóstenes. Como complemento, se encuentra una proposición sobre el volumen de un sólido de revolución que es, en esencia, el teorema conocido con el nombre de «teorema de Pappus-Guldin». El libro Vlll está ampliamente consagrado a la mecánica y, en particular, contiene una construcción de una cónica que pasa por cinco puntos. Pappus escribió también comentarios sobre los Elementos y los Datos de Euclides, así como sobre el Almagesto y el Planisferio de Claudio Tolomeo. Podemos ciertamente afirmar, igual que hace H. E ves, que la Colección matemática de Pappus puede ser considerada como el «réquiem de la geometría griega», al tiempo que inaugura la era de los comentaristas .
LOS COMENTARISTAS
Después de Pappus, cesa ·el progreso de las matemáticas griegas y, en recuerdo de lo por ellas conseguido, algunos escritores menores y algunos comentaristas expondrán parcialmente lo que debe ser considerado ya como la tradición. Entre los principales podemos mencionar a Teón de Alejandría y su hija Hipatía, Proclo, Simplicio y Eutoquio . Teón de Alejandría vivió hacia el año 365. Fue un matemático más bien mediocre que escribió un comentario en once libros sobre
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el Almagesto de Tolomeo e hizo una revisión de los Elen1entos de Euclides que sirvió de base a las ediciones modernas de esta obra. Hipatía, hija de Tcón, fue una matemáticau conocida, además de destacar en medicina y filosofía. Se cuenta que escribió comentarios sobre la Aritrnétirn de Diofanto y las Secciones cónicas de A polonio. Proclo vivió durante el siglo v y es a este filósofo neoplatónico a quien debemos el Comentario sobre el libro l de los Elementos de Euclides, escrito a partir de textos disponibles en esa época, como la Historia de la geometría de Eudemo, en cuatro libros, y la Teoría de las ciencias matemáticas de Gémino . Además, los comentarios de Proclo sobre la República de Platón contienen partes interesantes para la historia de las matemáticas. Proclo estudió en AlejP.ndría, se convirtió en la cabeza dirigente de la escuela de Atenas y murió en el año 485, a los 75 años . Simplicio, comentarista de Aristóteles, que vivió a comienzos del siglo VI y estudió en Alejandría y en Atenas, nos ha dejado apreciaciones sobre el libro I de los Elementos. E11toq11io escribió comentarios sobre las obras Sobre la esfera y el cilindro, Medida dd círculo y el Libro de los equilibrios de Arquímedes y también sobre las Secciones cónicas de Apolonio.
FIN DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS
Con el dominio de los romanos sobre el gobierno de Alejandría y el empuje cada vez mayor del cristianismo en todo el imperio, sobre todo en tiempos del emperador Constantino, los papeles se invierten. Los cristianos, antes perseguidos y obligados a practicar en secreto la nueva religión, en la época de Constantino persiguen a su vez a los paganos. El Museo de Alejandría, bajo la jurisdicción de un patriarca cristiano, debe elegir: o los sabios se convierten o permanecen fieles a su religión. En un último intento de salvaguardar su libertad religiosa , los sabios se refugiaron en el templo de Serapis, que alhergaba buena parte de la biblioteca, con el fin de defenderse de las medidas disciplinarias que habían llegado a ser
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intolerables. Los cristianos, fanáticos y furiosos, sitiaron el templo y. cuando la resistencia fue vencida, decidieron destruir enteramente su contenido. Perecieron más de 300 000 ma nuscritos y esta s<.:gunda catástrofe puso fin definitivamente a la gran ambición del conquistador macedonio. La vida del Musco continuó, pero los sabios que habían manifestado su creatividad eri Alejandría cedieron su sitio a los teólogos pedantes y a los comentaristas. Hipatía, que fue probablemente el último sabio matemático de Alejandría, pereció de una manera atroz, debido a su negativa a convertirse a la religión cristiana y permaneció fid hasta el fin a sus dioses griegos. Fue decapitada y cortada en trozos que, según se cuenta, fueron esparcidos por las calles de Alejandría . Los edificio~; del Musco permanecieron vacíos y cayeron en ruinas . Sin emlnrgo, la biblioteca de Cleopatra continuó propo;-cionando copias de manuscritos. Pero, cuando los mahometanos tomaron Alejandría, hacia el año 64ü, la biblioteca estaba cerrada desde hacía tiempo. El gobernador árabe, perplejo ante este montón de manuscritos cubiertos de polvo, recibió, desgraciada mente , la orden de destruirlos todos: o bien los manuscritos contenía n textos co ntrarios al Corán, y debían ser destruidos, o bien no hablaban de él, y debían ser igualr.iente destruidos. La destrucción era pues la única solt;ción práctica p;ira gentes ignorantes . Paralelamente, Ja escuela de Atenas corrió la misma suerte , a no ser por el hecho de que cerró sus puertas a partir de l año 529, como consecucn.:i<• de un decreto del emperador Justiniano. Finaliza así la larga y gloriosa histori a de las matemáticas griegas, y habrá que es~"erar al siglo XVII para conocer un período tan creador y fecundo, f!n el que 13s matemáticas serán una vez más objeto de conocimiento y de intensos estudios.
RESUMEN
.Arquímedes fue probablemente el más ilustre de los rmHemáticos griegos . Sus trabajos ~ncierran a la vez un co ntenido original y rebuscado. T ocó las principales ramas de las matemáticas griegas, rc.:estructu r:rndo algunas con
166
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la aportación de teoremas nuevos, desarrollando partes inexploradas por sus predecesores e innovando sobre varios temas teóricos o prácticos. Con A polonio, las secciones cónicas se convierten en un tema matemático complejo que comprende una teoría de cónicas tan elaborada que habrá que esperar a que las investigaciones matemáticas del siglo XVII hagan posible un desarrollo en profundidad, lo que se consigue gracias a la aparición del álgebra, instrumento inexistente en la época del gran geóme' tra. La trigonometría griega se convierte en un cuerpo de doctrina en el momento en el que las especulaciones teóricas de los griegos son relegadas a un segundo pl.mo en favor de una matemática más orientada hacia las aplicaciones. Así, la trigonometría experimenta un desarrollo prodigioso con Aristarco y sus razones trigonométricas, con Hiparco y su t:ibla de las cuerdas de arco de círculos, utilizando las divisiones del círculo en 360º, con Menelao y las bases de la trigonometría esférica, con T o lomeo y su obra clásica, el Almagesto. La ap.licación de fórmulas matemáticas y un elaborado estudio de las mediciones constituyeron la obra de Herón. Por último, Diofanto se ocupó detenidamente de un álgebra sincopada en la que la teoría de Lis ecuaciones desempeña un papel preponderante.
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EJ ERC ICIOS
:/ l. ¿Cuáles fueron las contribuciones de Arquímedes a la invención de l cá lculo diferencial e integral? Juslificar la respuesta . . ,/2. ¿ Oué innovaciones, en relación con sus predecesores, introd ujo A rq uímedes?
3. ¿ Po r qué Arquímedes no uriliza el mérodo de las palancas para demos'rrar rigurosame nre los teo remas? 4. ¿Cuá l fue e l papel de E ratóstenes e n la historia de las ma te má ticas ? 5. ¿Oué innovaciones, en relación con sus predecesores, introdujo Apolonio en el estudio de las secciones cónicas') 6. ¿En qué aspecto son comparables las Secciones cónicas de A polonio a los Elementos de Euclides? Jusrificar la respuesta. 7. ¿Por q ué es considerado Claudio To lo meo un mate mático iluslre de la l! ni ver~idad de Aleja ndría? 8. ¿Cómo se puede explicar la te nde ncia , después de la muerte d e Apo lonio, de los ma temá licos griegos a la aplicació n de las ma temálicas a las c iencias·)
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....-· 9. Caracterizar el á lgebra de Diofanlo en re lación con la geometría algebraica griega de sus predecesores. 10. ¿Pue de afirmarse que en ocasiones D iofanto manifiesla le ndencias a desarrollar mé todos generales? Justificar la respuesta. ' 11 . ¿Oué ulilidad tie ne para el histo riado r la Colecu 5n matemática del come nta rista Pappus?
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LAS CIVlLIZACIONES CHINA E INDIA
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el famoso «Pa Kua» (ocho' trigramas), formado por combinaciones variadas (permutaciones) de líneas rectas y dispuestas en un círculo como muestra la figura. Estas líneas están construidas a partir de dos formas primarias: una línea continua llamada «yang-xio», que simboliza el principio masculino, y otra línea dividida en dos partes llamada «ying-xio», que simboliza a la mujer o principio negativo. La combinación de todos los pares de trigramas engendra 64 hcxagramas conocidos por el nombre de ((Kua».
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INTRODUCCIÓN
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Las civilizaciones de China y la India, originadas en los valles dcI ·. : J~. Changjiang (Yangtsé) y del Indo, son probablemente tan antiguas tJ ; como las de Persia y Egipto, pero las crónicas por las que hemos1 ':l : llegado a su conocimiento son, cuando menos, de objetividad ];,;J, histórica dudosa, sobre todo en lo referente a la civilización china, Parece por lo general aceptable fechar los primeros documentos históricos de estas civilizaciones a partir del siglo m a.C., aunque evitando un excesivo optimismo sobre la exactitud de esta localiza~ ción: · .t
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La tradición remonta al tercer milenio a.C. el establecimiento de'los primeros emperadores de China.- Los expertos en temas chinos coinciden generalmente en afirmar que el primer emperador, Fuxi: vivió entre los años 2852 y 2738, y que bajo su reinado, se efeeti.ta- ) ron núínerosas observaciones astronómicas. · > · ·.. , ·· " . i: ' )R; •• · -.· : · <
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Las obras atribuidas a Confucio se denominan los Cinco cánones. Entre ellas se eucuentra el I Qing, traducido generalmente como Libro de las permutaciones (cambios). ¡• La estructura original del documento chino más antiguo en el que aparecen huellas de elementos matemáticos está constituida por. 1,
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Aunque no exista ninguna prueba histórica que permita considerar el Pa Kua como un conjunto de símbolqs numéricos originados en un sistema de .· base dos, sin embargo se puede vislumbrar fácilmente la existencia de una serie de númerós .bien ordenados si se atribuye al yang el valor 1 y al ying el valor cero. Así, si partimos de la base y seguimos el sentido de las agujas del reloj, obtenemos la serie 000,001,)01, 011, 111, 110, .010, 100, que corresponde a la serie .numéiica .O, t', 5, 3, 7;;6, 2, 4, Lós Pa Ku;:i°poseían :díversas propicdadés y se utilizaban con fines ,adiviriatorfos. En éfecto, la palabrá «!>;'(cambio) significa que todo el libro se basa en él Pa Kua, que simboliza los ocho elementos fundamentales del universo, y
1 Los ocho trigrainas iridican las direcciones celestes corit~dás a partir del Nórté y en el sentido contrario a las agujas del reloj .
Las ci1•ilizaciones china e india
Jean-Paul Col/e//<'
172
cada uno de los 64 hexagramas simboliza uno o varios fenómenos del universo natural o humano. También se encuentran los Pa Kua en los compases utilizados por los adivinos de cada ciudad o pueblo de China, así como en las vasijas, talismanes del Tíbet o numerosos objetos de uso cotidiano. Además de demostrar un cierto interés por las permutaciones, el l Qing contiene también cuadrados mágicos, de los cuales el «lo shu», reconocido como el ejemplo más antiguo, presenta una configuración cuadrada de 9 casillas de números indicado:.; por nudos en cuerdas. Los núme:-os en dicha configuración son impares o pares. He aquí el «lo shu» , tal como aparece en el Libro de las permutaciones.
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En un principio, los chinos utilizaron dos sistemas de notación, uno de tipo multiplicativo por grupos y el otro parecido a un sistema ·:!~
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posicional. En el sistema multiplicativo de base diez, se utilizaban símbolos distintos para las potencias de diez, y en su forma escrita, los símbolos numéricos en posiciones impares (de izquierda a derecha o de abajo arriba) se multiplicaban por el siguiente. He aquí los símbolos principales de dicho sistema.
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Si queremos representar en horizontal el número 5 625, tendremos la configuración numérica siguiente:
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Utilizando estos dieciocho símbolos .alternativamente en posición de derechR a izquierda, se puede representar cualquier núme- .:~~ ro, por grande que sea. El número 54 878; por ejemplo, se represen- ··~~ . :i taría así:
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175
Lus civilizaciones china e india
letin-Paul Collette
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su contenido matemático es netamente superior al del J Qing. Las palabras «Zhou bei» parecen referirse al uso del gnomon en astronomía y «Suang Qing» significa «aritmética clásica». Presentado en forma de diálogos, el Zhou bei trata de cálculos astronómicos y contiene propiedades del triángulo rectángulo así como aplicaciones de las fracciones. En un diálogo entre un príncipe y su ministro, este último cuenta que el arte de los números proviene del círculo y del cuadrado; el cuadrado se relaciona con la tierra, mientras que elcírculo pertenece al cielo. Parece que la geometría china, como la egipcia, tiene su origen en las mediciones y según Boyer2 es esencialmente un ejercicio dentro del campo de la aritmética o del álgebra. El Zhou bei contiene también una presentación sin prueba del teorema de Pitágoras, ilustrado por el siguiente diagrama:
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Igual que en' los babilonios, el símbolo'del ceró aparece bastante tarde. Este sistema de base 10 permitió l,l los chinos utilizar desde muy antiguo el equivalente del ábaco eil cuantp instrumento de cálculo rápido, como atestiguan los admin.istradores que transportaban en su saca barras numéricas hechas de bambú, marfil o hierro con el fin de utilizarlas instrumento de cálculo. Para hacer cálculos utilizaban un conjunto de barras pintado de rojo y otro de negro, para distinguir los números positivos de los negativos. Sin embargo, los chinos no aceptaron el concepto de número negativo como posible solución de una ecuación.
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Este ·diagrama sirve para el triplete pitagórico (3 :· 4, 5). Sin embargo, puede ser utilizado para todos los ffipletes que verifiquen la relación c2 = a 2 + b2 y sigue siendo válido.
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El documento clásicó más antiguo. _d e 'contenidÓ' matemático es el )~~ Zhou bei Suan Qing, de origen y autor prácticamente desconocidos. :~ Algunos afirman que esta obra es un testimonio de las matemáticas ;~1 que se conocían en el siglo XII a.C., mientras que otros prefieren V,~ situarlo algunos siglos antes de la era cristiana, pero, en todo caso, ·~*;
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MATEMÁTICA EN NUEVE SECCIONES .
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El Zhui Zha~g Sua~ ~hu. o El arte matemático en nueve secciones, el más importante clásicb chino de las matemáticas sin duda, aunque tercero por orden cronológico, fue probablemente el libro matemá-
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Carl B. Boyer, A history of mathematics, Nueva York, Wiley, 1968, p. 218.
17ó
Jean-!'1111/ Colle11e
tico que tuvo más influencia en China. Tampoco en este caso se conocen con certeza el autor y la fecha de aparición, probablemente a causa del edicto del emperador, que, en el año 213 a.C. ordenó quemar todos los libros existentes. Esta es la razón de que los textos que han llegado hasta nosotros sean probablemente copias de los originales escritas de memoria. En resumen, todas las hipótesis son aceptables: de esto se desprende la enorme dificultad de precisar de forma rigurosa el origen de estas obras. Este libro contiene aproximadamente 250 problemas sobre agrimensura, agricultura, pertenencia de bienes, contribución, cálculo de longitudes y superficies, solución de ecuaciones y propiedades de los triángulos rectángulos. En particular, en la sección 1 se pueden encontrar resultados exactos en el campo del área del triángulo, del rectángulo y del trapecio, mezclados con fórmulas falsas para el área del círculo y la longitud de la circunferencia en la que se considera :re igual a 3.
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Problema 36 (sección I): dado un campo en forma de segmento
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circular, de base 782 y altura 139, hallar:.;el ~rea. ·.;·
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Problema I5 (sección IV): dado un campo cuadrado de 567752f, ¿r.uál es la longitud de dicho campo?
la regla de los chinos consiste en escribir la matriz y operar de la forma siguiente:
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Los numerosos problemas numéricos siguientes recurren a operaciones aritméticas fundamentales y, llegado el caso, se enuncia una «regla» estipulando cómo se ha de operar. Es muy corriente la utilización de las fracciones y algunos problemas recurren a técnicas de cálculo relativamente complejas. Veamos algunos ejemplos:
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En la sección VII se utiliza la regla de la «posición falsa» y se encuentra un esbozo del método de las matrices en la resolución de ecuaciones lineales simultáneas, tratadas en la sección VIII. El problema 1 de Ja sección Vlll equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por un método matricial, típico de las matemáticas chinas. Dado el siguiente sistema:
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El problema 1 del capítulo I, en particular, trata de la determinación del área de un campo cuyas dimensiones vienen expresadas por números enteros.
Problema 11 (sección IV): dado un campo de anchura 1
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Las civilizaciones china e india
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Por tanto, la última matriz nos proporciona las ecuaciones simplificadas 36z = 99; Sy + z = 24; y 3x + 2y + z = 39, a partir de las cuales se determinan fácilmente x,.y, z. A este primer problema Je siguen un grupo de problemas parecidos que tratan todos de sistemas lineales. En particular, el problema 3 trata de un sistema en el que se recurre a la utilización de los números negativos. Los chinos, al utilizar más palabras que símbolos, designan el núm~rn positivo como «cheng» y el número negativo como «fu». Además, en las operaciones aritméticas con el ábaco, el cheng está representado por el color rojo, mientras que el negro indica el número negativo. Las Nueve secciones;contienen también problemas que llevan a la resolución de las ecuaciones de Ja forma x 2 = a; x 3 = b; x 2 + y2 = c2 e y - x = k. En particular, el problema 20 de la sección IX lleva a la ecuación x 2 + 34x - 71 000 = O, de cuyas
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soluciones sólo se acepta x = 25J, puesto que lo que se busca es una longitud_
ALGUNOS MATEMÁTICOS CHINOS
Durante los primeros siglos de la era cnsttana, que siguen a la destrucción por el fuego de todos los libros existentes, se observa cierta actividad matemática, a pesar de la ausencia de documentos escritos: algunos sabios chinos escriben comentarios sobre los clásicos conocidos, aunque añadiendo muy poco. En el siglo 111 de nuestra era, Liu Hui, un comentarista importante de las Nueve secciones, encontró una aproximación a JT igual a 3,14159 considerando un polígono de 172 lados 3 • En su breve reconstrucción del gran clásico chino, se encuentran numerosos problemas que tratan de las mediciones, incluida la determinación exacta del volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. Hacia finales del siglo IV. Qu Chong Shih (430-501) y su hijo consiguen un resultado extraordinario para dicha época sobre el valor de JT, dándole el valor 3, 1415927 como límite superior y 3, 1415926 como límite inferior, resultado que no fue mejorado hasta el siglo XV. Es cierto que numerosos matemáticos chinos continua-' ron progresando en las matemáticas del siglo v al XIV, pero parece ser que las innovacion~s tecnológicas -t. ~~nta y pói .-a (siglo v111), mapas náuticos y brújula (siglo XI)- preva lecieron sobre los resultados matemáticos obtenidos, puesto que hay que esperar hasta finales del siglo XII para encontrar algunos matemáticos conocidos que se dedicasen a la materia con verdadero entusiasmo . El último y más importante de los matemáticos del período Song, Zhou Jijie (hacia 1280-1303) enseñó matemáticas durante veinte años, según parece, y se le atribuyen dos obras sobre matemáticas . El texto principal, titulado Espejos preciosos de los cuatro elementos, marca un hito en el álgebra china, pues se ocupa detenidamente de las ecuaciones simultáneas y de las ecuaciones elevadas a potencias tan altas como la decimocuarta. El método de resolución llamado «fan fa» es el equivalente al
método de Horner, que vivió medio milenio más tarde . Este método fue utilizado por varios matemáticos chinos, lo que permite afirmar que el método de Horner fue descubierto por los chinos varios siglos antes. También se pueden encontrar en los Espeios preciosos sumas de series, como: 12 + 22
+ 32 + ... + n1 = " (n + 1) (2n + l )/6 . 1 + 8 + 30 + 80 + ... + r12 (n + 1) (n + 2)/6 = == n(n + 1) (n + 2) (n + 3) (4n + 1)/120
Finalmente, en las primeras páginas de los Espejos preciosos encontramos un diagrama del triángulo aritmético llamado errónea-
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~\~ !rJ"\>-+.t\ 1\~1i.~\~~\~\\'._~\~~ El «triángulo de Pascal» en una obra china de Zhou Jiiic (1303).
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Carl B. Boyer,' ob. cit., p. 224.
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mente «tri;íngulo dt: Pascal»~. La disposición del triángulo es tal que los coeficientes del binomio est;-1n dispuestos hasta la octava potencia y el autor pretende que este ordenamiento proview~ de un vie_jo método para calcular las potencias, de la octava hacia ¿¡bajo. Las contribuciones matemáticas de los chinos están, pues, lejos de ser nulas, a pesar de la escasez de documentos y la imposibilidad de evaluar exactamente las iníluencias exteriores que recibieron antes del siglo xv de nuestra era . Se sabe que los chinos estaban en contacto con los indios y los griegos; por tanto, probablemente pudieron conocer las contribuciones de las civilizaciones egipcia y babilónica. Sin embargo, es probable que, a partir del siglo XV, la influencia exterior aplastara, por así decirlo, las matemáticas propiamente chinas. Además, en el terreno de las matemáticas, los chinos influyeron ciertamente mucho en la civilización japonesa, desde su nacimiento hasta el siglo VI de nuestra era, en el que al parecer los japoneses poseían ya un sistema decimal de numeración propio, un sistema rudimentario de medidas y un calendario.
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gradualmente, se desarrolla una litnatura culta en la que se componen e n lengua sánscrita, los tcxt<>s sagrados del hinduismo . En el siglo V a.C., Buda recorre el territorio de la India con el fin de enseñar allí los principios de su religión. Pero el budismo fue méls tarde eliminado de la India, porque no respctaha la estructura rigurosa del sistema de las castas. En el siglo IV a. C., la l ndia fue dominada sucesivamente por varios pueblos. Más tarde, a partir del siglo 111 d .C., reinaron en el país emperadores de origen indio (dinastía Gupta). Pero, a partir del siglo V, la India volvería a conocer la ocupación extranjera hasta principios del siglo XV. La caída del Imperio romano, situada generalmente en el arfo 476 d.C., marca el nacimiento de uno de los dos Áryabha ta, autor de una obra india sobre las matemáticas. Por otra parte, conocemos algunos textos indios, cuyo origen, aunque incierto, se remonta probablemente a antes de la era cristiana. Además la construcci ó n de los templos y la determinación de los altares religiosos exigían tales conocimientos matemáticos que es inimaginable que las primeras actividades indias en el campo de las matemáticas no empezase n hasta principios de la era cristiana .
LA CIVILIZACIÓN DE LA INDIA
Las excavaciones arqueológicas llevadas a cabo en las minas de la antigua ciudad de Mohenjo-Daro revelaron la existencia de una civilización contemporánea a los constructores de pirámides, cuya cultura era probablemente tan rica y diversificada como la de las civilizaciones del valle del Nilo y Mesopotamia . Sin embargo, 12 escasez de documentos referentes a esta antigua civilización oriental nos obliga a la prudencia al tratar de determinar la contribución matemática del pueblo indio en el tiempo en que los ingenieros egipcios erigieron las majestuosas tumbas de los faraones. Hacia el tercer milenio a.C., los arios invaden la India y consiguen dominar al pueblo indio imponiendo el sistema de las castas5 ;
LOSSULVASÜTRAS
El conjunto de conocimientos requeridos para e rigir lo~ templos y altares se encuentra eo los Sulvasütras6 o reglas ele las cuerdas . «Sulva» se refiere a las cuerd:ls utilizadas para efectuar mediciones y «Sütra» significa conjunto de reglas. Está totalmente escrito en \'erso; se conocen tres versiones que probablemente daten de la época de Pitágoras. La versión más conocida es la de Apasta mba -las ot;·as d.os son de Baudhayamc: y Katyaya na- en la que se encuentran reglas de construcción de ángulos rectos por medio de
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Este diagrama aparec10, según parece, en los trabajos de los matemá1icos chinos desde {inales del siglo XllL
Casta: clase que forma una de las divisiones jerárquicas de la sociedad y cuya ·institución, en su origen, permitió establecer. según parece, una demarcación entre 5
los conquistadores arios venidos de las llanuras de: Asia ce ntral y las poblaciones aboríger.es locales.
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El término Sulvasütras fue dado como complemt:n to a los Ka/pasútras que trataban de la construcción de altares destinados a lüs sacrificios re ligioso•:.
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tripletes de cuerdas cuyas longitudes forman tripletes pitagóricos. Apastamba enuncia también que «la diagonal de un rectángulo produce la suma de lo que producen por separado el lado más largo y el más corto», lo que corresponde al enunciado general del teorema de Pitágoras. Sabe construir también un cuadrado de área igual a la de un rectángulo y este tipo de problema se pa!ece a los que encontramos en la geometría algebraica del libro 11 de los Elementos de Euclides. Los problemas que tratan de la equivalente de cuadrados y rectángulos se refieren evidentemente a la comtrucción de altares de dimensiones determinadas de antemano. Así, por medio del teorema de Pitágoras, los indios podían construir un cuadrado igual ¡i la suma de otros dos, un rectángulo igual a un cuadrado dad,~, o un cuadrado igual a la diferencia de dos cuadrados. En algunas construcciones prácticas muy específicas, se debía realizar, aunque fuese de forma imperfecta, la «Cuadratura del círculo», y, en consecuencia, se pueden observar en los Sulvasütras algunas tentativas de solucionar el célebre problema de los oráculos de Delos. Según Kaye 7 , lbs indios de la época de los Sulvasütras, se interesaron por el teorema de Pitágoras en la medida en que les era muy útil para sus necesidades, pero su comprensión del concepto de número irracional se encontraba aún en estado embrionario. Sin duda alguna, los matemáticos indios posteriores a los Sulvasütras no hacen ninguna alusión al contenido matemático de éstos últimos y ni siquiera utilizan los pocos resultados fragmentarios obtenidos por los constructores de altares y templos sagrados de la antigua India. Es muy probable que haya un lapso de tiempo considerable entre el período de los Sulvasütras y los primeros desarrollos posteriores de la matemática india, influenciada por los conceptos astronómicos de los pueblos occidentales. En el momento en que el rey Gupta, de origen indio, funda su · dinastía, se asiste a un renacimiento de la cultura sánscrita y la India se convierte en un foco cultural, en el que el arte, la medicina y el conocimiento en general gozan de una popularidad cada vez mayor. Así como los Sulvasütras contiene matemáticas aplicadas esencial-
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mcntc al terreno religioso, los Siddhiintas, que les succlkn. contienen matemátrcas que tienen como principal objeto la astronomía.
LOS SIDDHÁNTAS
Hacia el siglo IV d.C. aparecen en la literatura sánscrita los Siddhiintas o sistemas astronómicos, al parecer corno producto del renacimiento iniciado al final del siglo 11 . bajo la dinastía de los Gupta. Conocemos cinco versiones distintas de los Siddhiintas -Paulisha, Sürya, Vasisishta, Paitamaha y Romanka- y entre ellas la única que parece estar completa es la del Sürya Siddhiinta o Sistema del sol, escrito aproximadamente en el ailo 400 d.C. El contenido astronómico de los Siddhántas es de origen netamente griego, pero aparecen en ellos muchas antiguas creencias hindúes. Además, las matemáticas contenidas en los Siddhiintas, que son trigonometría esencialmente, tienen un origen desconocido aún y sigue siendo un punto controvertido si hubo influencias externas sobre las matemáticas indias o si, por el contrario, su origen es verdaderamente indio, sin influencias importantes de las matemáticas griegas, babi lónicas y chinas. Mientras que la trigonometría de Claudia Tolomeo se basaba esencialmente en la relación funcional entre las cuerdas de un círculo y el ángulo en el centro que subtiende cada una de las cue1das, la trigonometría de los Siddhantas adopta un punto de vista diferente. En efecto, se modifica la correspondencia entre la cuerda y el ángulo en el centro para convertirse e n una relación fu ncional entre una semicuerda y el serniángulo en el centro que subtiende esta scrnicuerda. Esto es, de hecho , el equivalente a la función seno considerada como razón y es la mayor contribución de los Siddhantas a la historia ele las matemáticas. A partir del siglo VI, podemos conocer los nombres ele los matemáticos indios que contribuyeron al avance de la trigonometría, el álgebra y la teoría de las ecuaciones con los trabajos que han llegado hasta nosotros, mientras que a algunos de sus predecesores sólo les conocemos por un pequeño número de fragmentos muy poco elaborados.
/sis, 2, 1914, p. 329.
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ÁRYAílHATA
El más antiguo y, probablemente el más importante fue Aryabhata 8 , que escribió en el año 499, una obra dedicada formalmente a las matemáticas, titulada Aryabhatiya. Parece que vivía en la ciudad de Kusumaputra -la actual ciudad de Patna- junto al Ganges, y la obra en verso que nos ha legado trata de astronomía y matemáticas y está escrita en sánscrito. Dividido en cuatro partes: «Armonías celestes», «Elementos de cálculo», «Del tiempo y su medición» y «Las esferas», este librito descriptivo tiene por objeto proporcionar las reglas de cálculo usuales en astronomía y en las matemáticas de la medición, todo ello presentado sin ninguna metodología, constituyendo así un resumen de los trabajos anteriores. El contenido matemático de esta obra del siglo VI se puede resumir de la siguiente forma: reglas para hallar las raíces cuadradas y las raíces cúbicas; reglas de medición (bastantes de ellas falsas); elementos de geometría expresados en fórmulas (verdaderas en el caso del área del triángulo, del círculo con :re= 3,1416 y del trapecio, y falsas en el caso del volumen de la pirámide, la esfera y el área de cualquier figura plana: producto de dos lados); reglas arbitrarias en lo que respecta a las progresiones aritméticas, en términos de la suma, del número de términos y de la diferencia entre los términos; problemas de interés compuesto en función de progresiones geométricas; identidades algebraicas sencillas. He aquí la regla segunda de las progresiones aritméticas tal como la presenta el Áryabhatiya.Multiplicar la suma de la progresión por ocho veces la diferencia común. sumarle el cuadrado de la diferencia entre el doble del primer término y la diferencia común, efectuar la raíz cuadrada del resultado, restarle .el primer término multiplicado por dos, dividir por la diferencia común, añadirle uno y dividir por dos . El resultado será el número de términos9
8 Algunos autores, como Eves, Struik y íloyer afirman la existencia de dos matemáticos llamados Áryabhata; en todo caso, parece difícil poder distinguirlos a partir de los documentos que actualmente tenemos. 9 Traducción de un texto citado en The Áryabhatiya of Áryabhata, W. E. Clark.
comp., 1930, p. 28.
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india
185
La segunda parte del libro de Aryabhata trata de la medición del tiempo y de la trigonometría esférica. En esta parte es donde encontramos la frase: «De posición en posición, cada uno es 10 veces superior al anterior», lo que nos incita a creer que el autor pensaba en .términos del «Valor según la posición», componente esencial de nuestro sistema posicional. El desarrollo de nuestro sistema posicional parece haber pasado por un proceso similar al que encontramos en Grecia. Al principio, se pueden encontrar inscripciones en forma de rayas verticales dispuestas en grupos --en las ruinas de la antigua ciudad de Mohenjo-Da m-; después, en la época del gran rey budista Asoka (siglo 111 a.C.) se utiliza un sistema de numeración repetitivo incluyendo nuevos símbolos para los números 4, 10, 20 y 100. Las dos notaciones principales utilizadas durante este período son la karoshti y la brahml. Esta última muestra formas susceptibles de derivar hacia nuestro actual sistema; mientras que la otra fue gradualmente reemplazada por la notación brahml. Así, se puede afirmar razonablemen te que la notación brahml contiene los gérmenes de un desarrollo ulterior cuyo resultado final correspoonde a nuestra dotación actual. Quedan, sin embargo, aún ciertas lagunas en lo referente al paso de la notación brahml a nuestra notación actual. ¿Cuándo y cómo se produjo la reducción a nueve símbolos? Esta es una pregunta que suscita numerosas hipótesis. Por otra parte, la aparición del símbolo para el cero, hacia el año 876 d.C., ¿está relacion ada con la reducción a nueve símbolos (hacia e l siglo, VII) o es un resultado marginal, de origen incierto?'º· Las respuestas a estas cuestiones no son e n absoluto satisfactorias y tendrían que ser más elaboradas_ Lo mismo ocurre con el papel que pueden desem peiiar los nueve primeros símbolos en la expresión de los múltiplos correspondientes. No se encuentra en Aryabhata ningún símbolo para el cero y su notación es deficiente desde distintos puntos de vista. Sin embargo, hay que admitir que los astrónomos indios escribían en verso y que la naturaleza rítmica de la escritura ocasionaba muchos problemas 1
iO La historia del cero se complica tanto más cuanto que aparece, de forma independiente, en la civilización de los mayas en un siste ma de numeración mixto posicional , de hases veinte y cinco, en el que la unid ad es el punto, cinco se representa por una raya ho rizontal y el sím bolo • ~ .. re presenta el cero, todo esto ' en notación vertical.
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186
los senos de los ángulos (cuerdas) de Oº a 90º en intervalos de 3f. El radio utilizado por Aryabhata es 3 438 y la circunferencia corresponde a 60 x 360 = 21 600. En la trigonometría de Aryabhata se encuentra también el valor ViO como valor estimado de 1r. Jº Para el seno de 3¡ encontramos en los Siddhiintas y el Aryabha-
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bráhmi (siglo 111 a.C.)
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Los otros valores, múltiplos de
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También en esta tabla se encuentran los valores equivalentes a - cos O desde O = 3i° hasta () = 90º. Es difícil minimizar la utilidad y precisión de los instrumentos trigonométricos de los hindúes en los cálculos astronómicos, aunque nos sea difícil compr_ender cómo pudieron llegar a estos resultados y cómo desarrollaron esta fórrndla de recurrencia. Sin embargo, el hecho es que su trigonometría posee la suficiente precisión para sus necesidades prácticas en materia de astronomía.
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árabe oriental (Turquía, Egipto, Arabia)
árabe occidental (gobar) (siglo X)
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3%°, se obtienen mediante una fórmula de recurrencia: sea el enésimo seno «S,.» para 1 s n s 24 y «5,.» la suma de los n primeros senos, entonces:
hindú (siglo V d.C.)
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187
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lograba memorizar una tabla completa del seno expresada en verso, como la que se encuentra en el Áryabhatiya, en el que se dan
Genealogía cte nuestro sistema de numeración
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JtH5Jo?t3 A. Dürcr (XVI· sitclc)
europeo (siglo xv)
BRAHMAGUPTA
Brahmagupta fue el más grande de los matemáticos hindúes del siglo VII; vivió en Ujjain, centro de astronomía situado en la India central. Hacia el año 628, escribió una obra de astronomía titulada Brahmasphutasiddhanta o Sistema revisado de Brahma, que comprende 21 capítulos, algunos de los cuales tratan esencialmente de matemáticas. Puede sorprender que el contenido matemático de sus obras sea muy diferente del de las de su predecesor, quien vivió en Patna, en la India oriental. Efectivamente, menciona dos valores de re --el valor práctico 3 y el preciso VIO-, pero no habla del de Aryabhata. En su trigonometría utiliza un radio de 3 270 en lugar del de 3 438 de Aryabhata. Además, en geometría mezcla, al igual que su predecesor, resultados verosímiles con otros erróneos.
[T2345b7890] actual
a aquéllos que expresaban los números con !lombres susceptibles de ejercer el papel de rimas. De esta forma, los astrónomos indios sustituyeron hacia el siglo IX los números por nombres --el 1 se convirtió en «luna», el 2 en «Ojos», el 3 en «fuego» o «hermano», etc.con el fin de que estos nombres pudiesen integrarse en el interior de los versos. Por ejemplo, el número 212 se transforma en «ojos-luna~ alas» y cuando se utiliza el cero, se le sustituye por el término «agujero». Con esta sustitución de la naturaleza rítmica, el astrónomo
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el primero en hallar una solución genaal a la ecuación diofantica ax + hy = e, en la que a, h y e son enteros . Se obtiene una solución entera de esta ecuación si el máximo común divisor dé a y /J divide también a c. Brahmagupta sabía que cuando a y b son primos entre sí, rndas las soluciones vienen dadas por x = r - mb; y = s - ma en las quemes cualquier entero. Además, halló todas las soluciones enteras de la ecuación diofántica, mientras que Diofanto frecuentemente se conformaba con hallar una solución. Por último, estudió también la ecuación de Pell, y2 = ax2 + 1, en la que a es un entero de raíz cuadrada irracional, cuya teoría completa no quedará terminada hasta los estudios de Lagrange en el siglo XVIII.
t:ntre sus m:ís valiosas contribuciones. ha de mencionarse su gencraliz;ición lk la fórmula de Herón parn el <Írea de u11 cuadri!:ítero, soluciones génerales de las écu;icioncs cuadráticas incluyendo raíces negativas y positivas, la aritmética de los números negativos y del cero, y la solución general de una ecuación diofántica lineal ax +.by = e en la que a, b y e son enteros, incluyendo todas las soluciones enteras. La generalización de la fórmula de Herón expresada en la forma A = y(s - a) (s - b) (s - e) (s - d), en la que a, b, e, d son los lados y s es el scmiperímetro, sólo es válida para un cuadrilátero cíclico, pero parece que los comentaristas posteriores a Brahmagupta se dieron cuenta de esta limitación 11 • En la geometría algebraica griega se encuentra el equivalente de ciertas relaciones numéricas que incluyen números negativos como (a + b) x (a - b), (- b) x ( + b), etc., pero la importante contribución de los indios consistió en convertir estas reglas geométricas en reglas numéricas en las que la cantidad negativa es considerada como un número y en las que el cero también es un número . Sin embargo, Brahmagupta, en su aritmética, encuentra dificultades que no logra dilucidar claramente cuando afirma:
BHÁSKARA
Después de Brahmagupta, la India conoció algunos matemáticos como Mahavíra (siglo 1X) 12 , que escribió principalmente sobre matemáticas elementales, pero el más famoso de todos ellos fue un matemático de talento, Bhaskara, cuyas actividades matemáticas se sitúan en el siglo XII. Ultimo de la serie de matemáticos indios del período medieval, Bhaskara superó, con sus obras, las contribucione<; matemáticas anteriores y llenó algunas lagunas que en ellas se encontraban, en particular en las contribuciones de Brahmagupta. En su tratado principal, Lilavatti -nombre de su hija que, según la leyenda, perdió la ocasión de casarse a causa de una predicción astrológica de su padre- compiló algunos problemas de Brahmagupta así como de algunos otros, añadiendo un contenido originat y personal. En otra obra titulada Vijaganita, se encuentra, en parU1cular, el primer enunciado de que un número diferente de cero dividido por cero da un cociente infinito 13 , pero algo más tarde
Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es positivo. Cero dividido por cero no es nada. Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por positivo es negativo . Positivo o negativo dividido por cero es una fracción en relación con el denominador.
El álgebra de Brahmagupta está escrita en una forma sincopada; tanto las operaciones elementales como los términos «incógnita», «entero», «segunda incógnita», por citar sólo algunos, se expresan mediante abreviaturas obtenidas generalmente a pa1 tir de las primeras sílabas de ciertas palabras como producto, irracional , número absoluto, etc. En particular, la incógnita viene expresada por Ja abreviatura «ya» proveniente de la palabra «yavattavat», que sign!fica «tanto como». En el análisis indeterminado, Brahmagupta fue probablemente
12 Este autor escribió una obra titulada Ganita-Fara-Sangraha, que contiene este enunciado : «Un número multiplicado por cero es cero; este número queda igual si se le divide, se le suma o se le resta cero». 13 Un estudio de los móviles condujo a Aristóteles a la conclusión de q_ ue, para una fuerza dada, la velocidad, en cualquier caso, era invers ~ mente proporcional a la densidad del medio ambiente. Después se hizo la siguiente pregunta: «¿Cuál sería la velocidad de un cuerpo en el vacío?» . Respondió demostrando que no existe ninguna relación de Ocon ningún número. Pero la aritmética griega no contiene reglas sobre el
11 La fórmula para un cuadrilátero cualquiera es A 2 = [(s - a) (s -- b) (s - e) (s - d)J - abcd cos 2 a, donde a es la semisuma de dos ángulos opuestos en el cuadrilútero.
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Bhaskara admite que O = a, indicando mediante esta afirmación que su comprensión de la aritmética del ce10 no era del todo perfecta. Encontramos, tratados en sus dos obras, los temas mate!Tláticos preferidos por los indios: las ecuaciones lineales y cuadráucas, determinadas o indeterminadas; las medidas; las progresiones aritméticas y geométricas; los números irracionales; las triadas pitagóricas y numerosos problemas de naturaleza geométrica y algebraica. El análisis indeterminado ocupa un importante lugar en los problemas tratado por Bhaskara: en concreto, halló soluciones particulares de la ecuación x 2 = 1 + py2 (estudiada por Brah111agupta) para p = 8, 11, 32, 61 y 67. Por ejemplo, cuando ~·.~ = 1 + 61y 2 , encuentra la solución x = 1 776 319 049 e y = 22 615 390, resultados que exigen largos cálculos que serían fáciles de realizar con la ayuda de una calculadora electrónica. En general, Bhaskara no distingue entre resultados exactos y estimados y ello nos impide pronunciarnos con objetividad sobre la exactitud de las matemáticas indias. Por otra parte, Bhaskara acusó enérgicamente a sus predecesores de haber utilizado las fórmulas falsas de Brahmagupta para el área y las diagonales de un cuadrilátero cualquiera. Sin . embargo, no se dio cuenta de que dichas fórmulas eran exactas para todos los cuadriláteros cíclicos.
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11:s: una buena aproximación de n, la utilización práctica de los números •1..:gativos, el estudio de los cuadrados mágicos, el desarrollo de un método matricial eficaz para resolver sistemas de ecuaciones, la primera aproximación al método de Horner, el desarrollo del binomio, ilustrado por el triángulo de Pascal, y la utilización de ciertas series . Las matemáticas indias, cultivadas sobre todo por los sacerdotes, se caracterizan por el desarrollo del cálculo numérico y algebraico, una trigonometría basada en la función seno, una alternancia de enunciados verdaderos y falsos en lo relativo al álgebra y sobre todo, a la geometría, una geometría poco desarrollada, salvo quizá en el estudio de los cuadriláteros y sus propiedades, un análisis indeterminado c¡ue supera netamente al de Diofanto y al de Hipa tía en dificultades y en generalidades, y un sistema de numeración -notación bráhmi-, fuente de la que surgirá, con las contribuciones de los árabes, nuestro sistema decimal.
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RESUMEN
Las fuentes históricas son escasas en lo referente a las matemáticas chinas. Los chinos poseían dos sistemas de numeración, uno de ellos emparentado con un sistema posicional. Las operaciones aritméticas se efectuaban mediante barras numéricas: el «suanpan» -máquina de calcular con bolas-constituyó un invento muy importante utilizado desde el siglo XII de nuestra era. Las matemáticas chinas encierran resultados interesantes e innovado-
cero y este pasaje de Aristóteles parece haber sido omitido por los historiadores de las matemáticas hasta el momento en que Boyer escribió un comentario sobre el mismo. Cf. Car! B. Boyer, A history of mathematics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1968, p. 244 (véase la cita al pie de esta página).
Ak
192
Jea11-1'11u/ Col/c:11c
/ .11s núliz11cio11cs china e india
Rornig, 11. G . , «Early histury of division hy zcro», The American Mathematica/ Momhly, 31, 1924, pp. 387-89.
J•J.\
8. ¿Cómo concebían los indios el l'Úmero cero en las operaciones aritm( ticas? 9. ¿Se puede afirmar que los indios nos legaron nuestro sistema de numeración? Justificar la respuesta. 10. ¿Cuál fue la importante modificación aportada por los indios a la geometría algebraica de los griegos? 11 . Los trabajos de Diofanro sobre el ánalisis indeterminado, ¿fueron continuados por los indios? Justificar la respuesta aportando eje mplos que la apoyen. 12. ¿Cuáles son los principales inconvenientes que pueden encontrarse e n la presentación de los enunciados matemáticos de los indios? 13. ¿Cuáles fueron las contribuciones más notables de las matemáticas indias?
Singh, A. N., «Ün the use •>f series in Hindu mathematics», Osiris, l, 1936_ pp. 606-28. Smith, David E., flistory of mathematics, Nueva York, Dover, 1958, vol. 1, pp. 96-IOI, 138-64; vol. 11, pp. 65-71. Smith, David E., Numhcr stories of long ago, Washington D.C., N.C.T.M., 1919, pp. 33-40. Struik, Dirk J., A concise history of mathematics, 3.ª ed., Nueva York, Dover, 1967, pp. 69-72. Struik, Dirk J., «Ün ancient Chinese mathematics», The Mathematics Teacher, 56, 1963, pp. 424-32. Uvanovic, D., «The Indian prelude to European mathematics», Osiris, l, 1936, pp. 652-57. Van der Waerden, B. L., Science awakening, Nueva York, John Wiley & Sons, 1963, pp. 51-57.
EJERCICIOS
1. Dilucidar la regla que permite transformar el sistema Jx
2x
+ 2y + z = 39 _ 3 +2 Y +3 z - 34
. en las ecuaciones · 1·f· d s1mp 1 1ca as
x+ y+ z= 26
36z
= 99
5y + z = 24 3x + 2y + z
= 39
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2. Resolver poi el método chino los sistemas siguientes: a) 4x + y + z = 40 x + y + 2z = 20 2x + 3y + Z = 30
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b) 2i: - 3y - z = 4 3x + y + 5z = 20 X + 2y + 2z = 6
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3. ¿Cuáles son los grandes clásicos de las matemáticas en la China antigua? Describir el contenido de cada uno de ellos. 4. ¿Cuáles fueron las contribuciones más destacadas de las matemáticas chinas?
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5. ¿Cuáles son los clásicos matemáticos de la India antigua? Describir el contenido y el origen de cada uno de ellos. 6. Describir las principales características de la trigonometría india en relación con la trigonometría de Tolomeo.
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7_ Demostrar la segunda regla de Áryabhata de las progresiones 11ritméticas para hallar el número de términos, dado el primer término, la diferencia (razón) y la suma de términos.
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8.
LAS MATEMATICAS DEL ISLAM
INTRODUCCIÓN
Arabia fue en gran parte, desde tiempo inmemorial, una tierra de nómadas, un territorio en el que se habían establecido los pueblos semíticos. Antes del siglo VII d.C., vivían en el desierto de Arabia pueblos herederos de una larga tradición y sólo ~-ª Meca y Medina eran ciudades Dorecientes, situadas en las rutas de las caravanas. La Meca, además de ser un centro comercial, era también una ciudad de peregrinación. Los peregrinos, llegados de los co11fines del Indo y de toda la costa meridional del Mediterráneo, visitaban sus santuarios, el más célebre de los cuales era la Ka'aba, pequeño templo cuadrado con.s truido con piedras negras cuya piedra angular era un meteorito considerado como el dios protector de todas las tribus de Arabia. Fue en esta ciudad de peregrinación, protegida de los asaltantes por una ·tribu nómada iletrada, los beduinos, donde, hacia el año 570 d.C., vino al mundo Mahoma, el fundador del Islam 1• La primera parte de su vida fue la de un ciudadano medio que vive en una ciudad de 25 000 habitantes. A los 40 años empezó a predicar, primero a un pequeño grupo de fieles, después a la población en general, sentando así las bases de la religión islámica. Pero, ante la hostilidad de los ricos comerciantes de La Meca, tuvo que huir a Medina, y esta huida (hégira), en el año 622, marcó el comienzo de la era musulmana. La entusiástica acogida de los ciudadanos de Medina contribuyó al éxito de la nueva religión, y la
' Islam: Religión fundada en el siglo v11 por Mahoma, que se extendió en poco tiempo por toda Arabia. Los principales dogmas del Islam, brevemente expuestos en el Corán, son: la creencia en un Dios único y en una vida futura, en la resurrección y en el juicio final. E! culto obliga a la profesión de fe, la oración, la limosna legal o impuesto religioso, el ayuno del Ramadán y la peregrinación a La Meca.
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Las marcmáticas del Islam
195
potencia militar de los árabes, bajo la bandera del profeta Mahoma, iba a conquistar territorios que se extenderían por el este hasta la India, a través de Persia y Mesopotamia, y por el oeste hasta Africa del norte y España. En el año 629, Mahoma entró triunfalmente en La Meca y decidió hacerla su capital, donde, desde ese mom~nto, y debido a su afinidad con la religión musulmana, vivirían bajo su protección los ciudadanos cristianos y judíos. En el año 632, en el momento en que se preparaba la invasión del Imperio bizantino, murió a consecuencia de unas fiebres. Su muerte no afectó a las conquistas de los árabes y, sucesivamente, Damasco, Jerusalén, Mesopotamia, Alejandría, etc., cayeron en manos de los conquitadores musulmanes. Sin embargo, hacia el año 750, el imperio sufrió una .escisión y los árabes de Marruecos se separaron de los árabes del Este, dirigidos por el califa al-Mansur, que estableció su capital en Bagdad. La unidad de la civilización islámica se basaba mucho en la religión de Mahoma y en las actividades económicas que en una hegemonía política real. No obstante, esta debilidad política no impidió a los árabes dominar grandes territorios durante siglos y tomar el relevo de la Escuela de Alejandría, mientras que el Occidente atravesaba siglos oscuros y poco propicios a la evolución de las matemáticas . En los primeros tiempos de las conquistas musulmanas, el vencedor ejercía, todo lo más, una dominación política, puesto que poseía una cultura rudimentaria, netamente inferior a la de los países conquistados 2 • Los árabes, poco interesados al principio por los asuntos intelectuales, durante el primer siglo de las conquistas musulmanas y bajo la égida de los primeros califas, despiertan gradualmente a la cultura y se muestran cada vez más ávidos de conocimientos. Durante el primer período, del año 650 al 750, se atraen sabios a Bagclacl y hacia el siglo VIII comienza, bajo el patrocinio de los califas, la traducción de los textos griegos. Entre los primeros textos traducidos al árabe, encontramos una versión de los Siddhiintas, rrocedentes de la 1ndia, la obra ele astrología
2 Esta conquista musulmana corresponde, guardando las proporciones. a la de Grecia por Roma, en 1:1 que el pueblo conquistado impuso su cultura al pud,lo
ruina no.
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Tetrabiblos de To lomeo y fragmentos de los Elementos de Euclides\ Durante el califato de al-Mamün, a principios del siglo IX, los árabes continuaron de manera apasionada la traducción de los célebres textos griegos e indios, entre ellos el Almagesto de Tolomeo y los Elememos de Euclides. Hay que señalar aquí que los textos griegos los obtenían directamente del Imperio bizantino como consecuencia de los tratados firmados entre las dos potencias y que la traducción de estos manuscritos griegos era realizada generalmente por sabios sirios cristianos invitados a la corte de Bagdad. Entre los sabios miembros de la «Casa de la Sabiduría», fundada por al-Mamün figuraba el astrónomo y matemático al-Jwarizm14 cuya fama se debe sobre todo a una obra de álgebra y a su aritmética.
AL-JWÁRIZMÍ
Al-Jwarizml era originario de Jwarizm o Jorezm, la actual ciudad de Ji va, que forma rarte de la república socialista soviética de Uzbekistán. No se dispone de ninguna información precisa sobre la vida de este sabio. Se sabe solamente que trabajó en la biblioteca de al-Mamün poco desrués de la época en que Carlomagno reinaba en Occidente. En su obra de aritmética, cuyo título en latín es De numero lndorum (el original árabe no ha llegado hasta nosotros), al-Jwarizmi presenta diversas reglas para el cálculo numérico, basadas en los algoritmos irdios además de exponer detalladamente el sistema de numeración utilizado por los indios. Según Boyer5 , la aritmética de al-Jwarizml fue escrita a partir de la traducción árabe de los textos de Brahrnagupta, y los autores de traducciones subsiguientes, que aparecen en Europa a finales de la Edad Media, no solamente no tuvieron en cuenta las contribuciones indias, sino que atribuyeron al autor árabe la paternidad de la numeración utilizada .
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Esta nueva notación se cünvirtió en la de al-Jwárizmi, cuyo nombre , después de algunas modificaciones, se transformó en «algoritmo», término que hoy designa una regla particular o un procedimiento sistemático de cálculo. Con frecuencia, en las aritméticas de los autores árabes, se encuentran ciertos procedimientos como la «regla oel nueve», la «regla de la falsa posición» (utilizada ya por los egipcios), la «regla de la doble falsa posición»" y la «regla de tres» cuyo origen se remonta a los matemáticos indios, y en particular a Brahmagupta y 13haskara. La obra principal de al-Jwárizmi es llistib al-S1abr wa 'lmuqqtibala, que significa «ciencia de la transposición y la reducción», donde el término «al-yabr» se convirtió en «á lgebra », sinónimo de la ciencia de las ecuaciones. De ella se conocen hoy sólo dos versiones, una latina y otra árabe, pero la traducción latina, titulada Liber algebrae et almuchabala, omite una parte considerable del texto árabe, en particular el prefacio árabe en el que el autor alaba a grandes rasgos al profeta Mahoma y al «comendador de los creyentes », el califa al-Mámün. En las primeras páginas de su á lgebra, al-Jwarizmi escribe que fue su califa quie n le alentó a hacer un corto tratado sobre la utilización de las reglas de compleción y reducción en el cálculo, limitado a lo más fácil y más utilizado en aritmética. No se puede dar con certeza la significación exacta de las palabras «al-yabr» y «al-muqqtibala », pero , de acuerdo con la naturaleza de las operaciones efectuadas en el texto de al-Jwarizmi, podemos tratar de proporcionar una interpretación verosímil. El término «a f-)labr » correspondería así a la operación algebraica consistente en pasar, en una ecuación, un término negativo de un miembro a otro, de manera que en uno y otro miembro no haya más
6
Históricamente, la doble 'falsa posición puede representarse simbólicamente
por , =
3 Durante el califato de al -Mansur se traduce al árabe la versión de Brahmagupta
de los Siddhiintas, y, entre los años 786 y 808, bajo el patrocinio del califa que le sucede, liarün al-Rasid (Aarón el Justo), se traducen numerosos textos griegos. 4 Más exactamente, Abü Abd Allah Muhamrnad ibn Müsa al-Jwarizrni. ' C. B. 13oycr. A hisrory of mathemarics, Nueva York, Wiley, 1968. p. 251.
x.,f(x,) - x,f(x 2 ) f(x,) - f(x2)
donde res la raíz buscada, pero el origen no puede precisarse con certeza. Esta regla es equivalente a nuestra regla de aproximación, consistente en estimar la raíz de un polinomio cuando x, y x 2 son valores próximos a la raíz r.
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J can-l''ilil Collet1c
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-
6x + 4 = 4x 2
-
2x
+8
se convierte en:
6x2 + 4 + 2x 3x2 + 2 + x x2
= 4x2 + 6x + = 2x2 + 3x + = 2x + 2,
8, por al-yabr 4, por al-hatt1 por al-muqqiibala.
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La traducción del Algebra de al-Jwarizmi empieza por 11na breve introducción sobre el principio del valor de los números, y después resuelve seis tipos de ecuaciones: ax2 = bx, ax 2 = e, bx = e, ax 2 + bx = e, ax 2 + e = bx, ax 2 = bx + e, constituidas por raíces (x), cuadrados (x2 ) y números (a, b, e). Abü Kamil 8 (ca. 900) consideraba que estas tres cantidades eran lo primero que los estu,diantes debían comprender en álgebra. Al-Jwarizmi expone en seis capítulos, en la primera mitad de stÍ Algebra, los seis tipos de ecuaciones. En el capítulo I, se ocupa de los cuadrados iguales a raíces, lo que corresponde, en notación mo~ derna, a la ecuación ax2 = bx. En todos los casos tratados, la raíz nula (x = O) es descartada. El capítulo 11 se ocupa de los cuadrados > iguales a números, es decir, de ecuaciones del tipo ax 2 = e, y el ca~ pítulo 111 de las ecuaciones que engloban igualdades de raíces y nú; meros, el caso bx = e; cada capítulo consta de tres partes corres~ pondientes a los casos en que el coeficiente del término variable :. es mayor, menor o igual a uno. Los otros tres capítulos se refieren a las ecuaciones del tipo ax 2 + bx = e, ax2 + e = bx y bx + e = ai;, En el capítulo IV encontramos los tres ejemplos siguientes: x 2 + lüx = 39, 2x 2 + lOx = 48 y ;' + x = 28. Se observa la inexistencia de raíz negativa para uno de los casos presentados en este capítulo. q
1
1'19
del Islam
El capítulo V presenta un interés particular, aunque en él no aparezca más que un ejemplo, x 2 + 21 = lOx, puesto que, además dc dar las dos raíces positivas 3 y 7, obtenidas mediante la fórmula x == 5 ± Y25 - 21, el autor llama la atención sobre la cantidad que se encuentra bajo el radical -lo que nosotros llamamos discriminante- que debe ser positiva. Por último, en el capítulo VI, el único ejemplo utilizado, 3x - 4 = x 2 , se soluciona meticulosamcnte mediante la compleción del cuadrado9 , con el fin de obte-
que términos postttvos. La palabra «muqqiibala» se refiere .;obre todo a la reducción de las ecuaciones, es decir, a la anulacion de términos semejantes en los miembros de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación:
6x 2
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1 Al-hntt representa la operación consistente en clividir los dos miembros de una ecuación por un mismo número. ..:' 8 Abü Kiimil (el calculador egipcio) perfeccionó el álgebra de al-Jwiirizmi; ¡f escribiendo una obra más completa que su predecesor y ejerció una gran influencia ~~:. sohrt: ;d·Karhí (sucesor de Abü-1-Wafii) y sobre Leonardo de Pisa. q ·:(
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12.
ner la solución x = 3 + + 4 , prescindiendo una vez más de la raíz negativa . El contenido de estos seis primeros capítulos cubre de manera sistemática la teoría de las ecuaciones lineales y de segundo grado, pero sólo en lo referente a las raíces positivas. Desprovisto de justificaciones lógicas, el contenido algebraico de esta obra se parece mucho al álgebra babilónica y a la de los indios medievales, si en el caso de éstos últimos se hace abstracción del reconocimiento de dos raíces reales para la ecuación de segundo grado y de la utilización de una notación sincopada, mientras que el álgebra de al-Jwarizmi admite en ocasiones la existencia de dos raíces y utiliza únicamente un álgebra retórica . Más bien nos inclinaríamos a ver en las matemáticas babilónicas una fuente determinante en la que habría bebido el álgebra de al-Jwarizmi. Sin embargo esta influencia no es ciertamente única, puesto que se encuentra también, en. el texto que sigue a los seis capítulos, una frase en la que el autor juzga necesario demostrar geométricamente la veracidad de los problemas tratados antes con la ayuda de números. ¿Induce esto a pensar que 1 ~., influencia griega se impuso tambié n en el álgebra de los árabes, al meno:; en lo relativo al aspecto geométrico del álgebra? Lo menos que puede decirse es que las demostraciones geométricas de pn?blemas tratados con operaciones aritméticas, al mismo tiempo que conservan un carácter propio del espíritu práctico de los matemáticos árabes, ponen de manifiesto la influencia helénica. Al analizar el proceder de la geometría algebraica griega, dos hechos parecen claros: en primer lugar, no se trata de resolver una
9 Si el coeficiente de x 2 no es igual a uno , el autor indica entonces que, antes de efectuar la compleción del cuadrado, hay que dividir este coeficiente por é l mismo para hacerlo igual a uno .
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ecuación algdiraica, sino de satisfacer una condición geométrica; en segundo lugar, la solución griega se aplica a líneas y áreas únicamente y no a cualquier cantidad numérica. Por el contrari'J, los matemáticos árabes tratan directamente el problema algebraico --utilización de las operaciones aritméticas y de los algoritmos algebraicosy la geometría clarifica y concreta los procesos algebraicos. Eiemplo 1: Consideremos, a título de ejemplo, la solución geométrica de al-Jwarizmi a la ecuación x 2 + IOx = 39. Trazar un cuadrado de lado x y completar con cuatro rectángulos de dim1~nsiones 2~ y x y cuatro cuadrados de área igual a.6i.
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del Islam
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Formemos un rectángulo de lados x y 10, de área, por tanto, !Ox, que comprenda el cuadrado x 2 y un área JKBD igual a 21.
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drado grande es 8 tonces x == 3.
(\164 ==
8), de donde 8 - /2f + 2}]
= 3~
En-
Ejemplo 2: Consideremos otro ejemplo, x 2 + 21 == IOx -perteneciente al capítulo V-, que requiere una demostración geométrica ·· más elaborada que la del ejemplo anterior.
D
H
F
La medida 2f de los cuatro rectángulos corresponde a del coeficiente de x. Sumando el área de los cuatro cuadrados rayados (25) y el área de los cuatro rectángulos con el área del cuadrado central (39) se obtiene 25 + 39 = 64. Por tanto, el lado del cua-
B
G
E
Prolonguemos LH hasta F, de manera que LF = LB. Dibujemos el cuadrado HMGF. Por consiguiente, el área IKLH es igual al área de GMDE y el cuadrado LBEFes igual a 25. Puesto que la escuadra LHMGED es igual a KBDI, su valor será 21. Entonces el cuadrado HMGF es igual a 4 y HF es 2. De donde LH es igual a 5 - 2 = 3. Otra figura corresponde a la solución x = 5 + 2 = 7. La comparación entre las demostraciones geométricas de los árabes y las que aparecen en los Elementos de Euclides pone de manifiesto que el álgebra árabe posee rasgos en común con la geometría griega. Es probable que este eclecticismo que se obserya en las matemáticas árabes sea el fruto de las diversas influencias de las que se sirvieron los árabes, según sus gustos e intereses. La segunda parte del álgebra de al-Jwárizmi se ocupa de diversos asuntos; citemos entre otros, reglas de operaciones concernientes a expresiones de la forma (a + b) (a - b), (a + b) (a - e), etc., demostraciones geométricas suplementarias de algunas ecuaciones algebraicas tratadas en los primeros capítulos, una variedad de problemas que explican algunas aplicaciones de distintos tipos de ecuaciones y algunos problemas tomados directamente de los griegos o de otros autores. Tradicionalmente se considera el Algebra de al-Jwárizmi como el primer libro de álgebra -la Aritmética de Diofanto se ocupa sobre
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todo del análisis indeterminado--, pero recientemente se ha publicado un manuscrito de Abd al-Hamid ibn Turq, fragmento de una obra de álgebra publicada durante el mismo período y titulada Necesidades lógicas en las ecuaciones mixtas, cuyo parecido es lo suficientemente grande como para poner en duda la paternidad del primer texto de álgebra. Este descubrimiento presenta la ventaja de resaltar la idea de que el álgebra árabe de principios del siglo IX es menos recien te de lo que hasta ahora se pensaba. Si los árabes podían escribir tratados convencionales de álgebra cuyo contenido respetaba un orden de exposición bien estructurado, hay necesariamente que admitir que el álgebra de la época había sobrepasado el estado embrionario de formación. Parece evidente que el tratado de álgebra de al-Jwarizmi -sin perjuicio del manuscrito de Hamid ibn Turq- puede ser ccnsiderado como la mejor exposición elemental de álgebra hasta la llegada de los tiempos modernos y por ello gozó de un privilegio análogo al de los Elementos de Euclides. En cambio, la ausencia de una notación simbólica adecuada le impidió desempeñar un papel verdaderamente eficaz en la evolución del álgebra y habrá que esperar al siglo XVI para ver aparecer este complemento indispensable que, en manos de Descartes y Fermat, permitirá realizar la fusión de la geometría y el álgebra.
TÁBIT IBN QURRA
La segunda mitad del siglo IX cuenta con un sabio de primera línea en la persona de Tabit ibn Ourra 111 (ca. 826-901), cuya reputación se debe a su talento de traductor. Fundó una escuela de traductores. Hay que agradecerle el que preservase así gran cantidad de textos griegos, entre otros obras de Euclides, Arquímedes y Apolonio: conocemos los libros v. VI y VII de las Cónicas a través de sus traducciones de Tolomeo y de Eutoquio 11 • También, con el fin de presentar una traducción lo más fiel posible, revisó con cuidado la
º Más exactamente,
1
Abü-1-Hasan Tabit ibn Ourra ibn Marwan al-Harriini. Los libros de Diofanto y Pappus no se conoccr
11111/emátirns del Islam
20."\
traducción árabe de los Elementos de Euclides 12 • Hahiemlo asimilado a fondo el contenido de los clásicos que traducía, sugirió modificaciones e incluso generalizaciones. Famoso como médico, filósofo, lingüista y matemático, escribió también sobre la astronomía, las cónicas, el álgebra, los cuadrados m;ígicos y los números amistosos. En geometría nos dejó una generalización del teorema de Pitágoras: A
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/)
F
e
F
Si desde el vértice A de un triángulo .-1 BC se trazan dos rectas AD y AL' que forman con la base BC los ángulos ADB y AED, iguales al ángulo BAC, entonces la suma de los cuadrados sobre lo~ lados AB y AC es igual al rectángulo (BE+ CD) multiplicado por . HC. Si el ángulo BAC es obtuso, entonces E y /)se permutan. En resumen, basta con demostrar que: (AB) 2
+ (AC) 2
=
BC(BD + CE).
Tabit no hace más que enunciar el teorema sin demostrarlo, pero se puede dar una demostración basada en la utilización de triángulos semejantes. Sus trabajos sobre los números a,nistosos son originales. Nos ha dejado entre otras, una fórmula notable: «Si a y b son dos números primos y si a= 3 · 2" - 1, b = 3 · 2" - 1 - 1 y e= 3 2 • 22" - 1 - l, entonces 2"ab y 2"c son números amistosos», ya qul'. cada unó es igual a la suma de los divisores propios dd otro.
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Parece que fue de esta traducción de Tühil ih11 Ourra de la que Geranio de
!1wna tradujo al latín los L'lementos de Fuclidcs.
Je1111-J>a11/ Col!.:11e
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Además de realizar la cuadratura de ciertas parábolas, así como de algunos paraboloides , demostró la ley de las palancas y trabajó sobre un teorema de transversales en trigonometría esférica. Escribió más de 150 obras en árabe sobre lógica, matemáticas, astronomía y medicina, y 15 obras en siriaco, además de llevar a cabo 15 traducciones de los clásicos griegos. Aunque la unidad árabe estaba basada en una creencia común (el Islam), en el imperio musulmán convivían pueblos de orígenes étnicos diferentes y el encuentro de estas culturas difícilmente podía favorecer la uniformidad de la ciencia. Por tanto, no es extraño constatar que, sobre todo a partir del siglo X, algunos sabios árabes utilizan símbolos de numeración indios, mientras que otros prefieren una traducción árabe del alfabeto griego. Al final, prevalece el sistema de numeración indio, sin que ello signifique la uniformidad de los caracteres utilizados, y aparecen numerosas variantes, sobre todo entre las formas empleadas por los árabes orientales y los occidentales. Gradualmente, las distintas variantes se modifican poco a poco y, probablemente, la forma utilizada por los musulmanes de la parte occidental del imperio termina por imponerse. Nuestro sistema actual proviene de estos símbolos indoárabes modernizados. La diferencia de opiniones sobre el sistema de numeración empleado que se observa entre los sabios del Islam, se encuentra también, por analogía, cuando se estudia el caso de la trigonometría. Se sabe que, por una parte, los griegos utilizaban una geometría de las cuerdas como la contenida en el Almagesto y que, por otra, los indios habían construido tablas de senos. Una vez más, los árabes prefirieron adoptar las tablas de senos procedentes de las matemáticas indias y, en general, la trigonometría árabe se construyó sobre la función seno. Ya en el siglo IX, al-Jwarizml empleaba tablas de senos y cotangentes, y Tabit ibn Qurra empleaba también tablas de senos. Al-Battani (ca. 850-929), conocido en Europa con el nombre de Albategnius, en una obra titulada Sobre el movimiento de fas estrellas, utiliza mucho el seno y da una tabla de tangentes y cotangentes de todos los grados de O a 90, fórmulas trigonométricas rnmo als.:n (90º- A)!
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del Islam
211~
ABÜ-L-WArÁ
Abü-1-Wafüu (940-998), oriundo de una provincia del nordeste del Irán (Persia) y perteneciente a una familia de sabios, se hizo célebre en astronomía y en matemáticas en la segunda mitad del siglo X. En su époc::t, era bien conocida la función tangente, lo que, en particular, permitía expresar de manera más sencilla la anterior fórmula trigonométrica por a = b tg A. Sistematizó toda la trigonometría conocida en un sistema deductivo en el que, por ejemplo, se demuestran claramente todos los teoremas sobre las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad. Dedujo la ley de los senos para los triángulos esféricos. Introdujo el equivalente de la secante y de la cosecante y utilizó las seis funciones trigonométricas y las relaciones entre ellas, aunque esta utilización de las seis funciones no parece haberse propagado durante la época medieval. Construyó también una tabla de senos para ángulos que difieren entre sí 15' con una aproximación equivalente a ocho decimales. Completó las tablas de Tolomeo con una tabla de tangentes. Abü:l-Wafü se interesó también por el álgebra, ya que tradujo del griego la gran obra clásica de Diofanto, la Aritmética, y comentó el Afgebra de al-Jwarizml. Parece que comentó también la obrn de Euclides y Diofanto, pero sus comentarios se perdieron. Su sucesor utilizó su traducción de Diofanto, sin ocuparse sin embargo del análisis diofántico de manera sistemática.
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AL-KARHi
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Al-Karhl1 4 (ca. 1020), sucesor de Abü-1-Wafa, estuvo muy influenciado por Abü Kamil, el segundo gran algebrista árabe. Aunque continuó la tradición árabe al dar demostraciones geométricas relativas a las ecuaciones cuadráticas, siguió sin embargo a Diofanto, sin limitarse ---<:orno al-Jwarizml- a las ecuaciones de segundo grado. En particular, se atribuyen a este sabio las primeras soluciones numéricas, en términos de raíces positivas únicamente, de las ecua-
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h = sen A , en la que aparecen las funciones seno y seno del ángulo complementario y en donde se presenta la ley de los cosenos aplicada al triángulo esférico.
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13 Más exactamente, Abu-1-Wafá Mubammad ibn Muhammad ibn Yahya ibn !smail ibn al-Abbas al-Buzgani. 14 Más exactamente, Abu Bakr Mubammad ibn al-Hassan al-llasib al-Karhi.
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ciones de la forma ax 2" + bx" = c. Al enfocar la resolución de este tipo de ecuaciones abandonó la restricción de Diofanto, que no tenía en cuenta más que los números racionales. Se considera que fue el primer árabe que enunció y probó teoremas de la teoría de números sobre la suma de cuadrados y de cubos para los /1 primeros números naturales. Por último, fue uno de los pocos matemáticos árabes que utilizó un álgebra sincopada rudimentaria.
OTROS SABIOS DEL ISLAM
Según ciertos historiadores de las matemáticas, más de 500 sabios del Islam contribuyeron a la evolución de la astronomía y de la ciencia matemática. Evidentemente, no se puede pasar revista a las contribuciones de cada uno, pero lo menos que podemos hacer es detenernos en algunos nombres, con la esperanza de no olvidar a aquellos que más contribuyeron a hacer avanzar las matemáticas. A partir del siglo XI, la ciencia musulmana experimenta un gran impulso y muchos sabios árabes merecen ser citados por sus trabajos.
lbn Slnii (980-1037), conocido en Occidente con el nombre de Avicena, fue un sabio de vanguardia cuyos enciclopédicos conocimientos se extendían a todas las ciencias; sin embargo, las matemá- · ticas sólo desempeñaron un papel secundario en su vida . Tradujo a Euclides y explicó la prueba del nueve, además de aplicar las matemáticas a la física y a Ja astronomía. Ejerció una gran influencia sobre la filosofía occidental de la Edad Media. Al-Birün/15 (973-1048) es un sabio universal, nacido en Jiva
~orno al-Jwarizml. Estuvo en la India y aprovechó este viaje para escribir una obra importante titulada Tarlh al-f-Iind. En este • libro realiza una amplia descripción geográfica de la India, sus · creencias religiosas y los conocimientos científicos del pueblo hindú. Describe con detalle los Siddhiintas y el principio posicional de numeración; y presenta textualmente pasajes de ._\. l'< M;ís exactamente, Abü Rayhan Mubamma
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distintos autores, entre otros Brahmagupta y Aryahhata . En geometría, demuestra de manera original la fórmula de Herón relativa al área de un triángulo y nos cuenta que Arquímedes conocía esta fórmula. Demuestra además la fórmula de Brahmagupta, S = V<.P - a) (p - b) (p - e) (p - d), que da el área de un cuadrilátero inscriptible e insiste en el hecho de que no es aplicable más que a un cuadrilátero cíclico. Al-Blrünl reduce el problema de inscribir un nonágono regular a la resolución de la ecuación x 3 = l + 3x, dando como solución aproximada de la misma, en fracciones sexagesimales, 11, 52, 15, 17, 13 -equivalente a 1,8798352468-, con una precisión de al menos seis cifras significativas, utilizando para ello la fórmula trigonométrica relativa al cos ~O. Por último, hace una tabla de cuerdas para todos los múltiplo·s de 3º, cuya construcción se basa en el teorema de la cuerda rota -la primera demostración se debe a Arquímedes- y en un segundo teorema de la cuerda rota, permitiéndole estos dos teoremas evaluar las cuerdas de 72º, 6º y 3º. Al-Blrünl escribió también un tratado completo sobre el conocimiento de las sombras proyectadas por un gnomon. En esta obra afirma que entre los orientales es costumbre utilizar un gnomon cuya longitud equivalga a la de una mano, ya que ésta es la medida de muchos objetos corrientes como la estaca, la regla, el cuchillo, etc. Una cuerda equivale al ancho de tres manos de cuatro dedos. Por ello, estas unidades convencionales era<. accesibles a todos y cuenta que, para estos pueblos , la longitud del gnomon era 12. Puede ocurrir también que un hombre utilice su propio cuerpo como gnomon y mida su sombra con sus pies, considerados como la séptima parte de su altura (el gnomon es entonces igual a 7). Presenta muchos otros ejemplos en su tratado y menciona que poca gente es capaz de reconocer el inconveniente de utilizar un radio distinto de uno. Sin embargo, Abü-1-Wafa y al-Blrünl terminaron con la atribución de distintos valores a la longitud del radio, suponiendo que éste debía ser igual a uno. La adopción de esta medida influyó muy poco en sus contemporáneos y sus sucesores y fue ignorada durante toda la Edad Media. Ilm-al-f-Iaytam 16 (ca. 965-1039), el Alhazén de los occidentales, 11'
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fue uno de los grandes médicos y matemáticos árabes. Se conocen más de ' 92 títulos de sus obras, 25 de las cuales tratan de matcmáticas 17 • En su tratado más importante, Los tesoros de la óptica, no se limita a comentar a Tolomco y Euclides, sino que, inspirándose en los trabajos de Tolornco sobre la reflexión y refracción de los rayos luminosos, hace una contribución original al sustituir los rayos visuaks de los ópticos griegos, que parten del ojo, por los rayos luminoso~ que van del objeto hacia el ojo. Entre las cuestiones tratadas están la estructura y el funcionamiento del ojo, el aumento aparente de la dimensión de la luna cerca del horizonte, la estimación de la altura de la atmósfera partiendo de la observación de que los rayos del sol permanecen visibles hasta el momento en que el sol está situado a 19º por debajo del horizonte, etc. Un problema de óptica geométrica lleva su nombre: «Dado un espejo circular, encontrar un punto del mismo que tenga la propiedad de reflejar hacia un observador un rayo luminoso que parte de un<.: fuente neta» . Sus trabajos influyeron especialmente en los sabios medievales, sobre todo de Europa .
UMAR JAYYÁM
Umar .Jayyam 18 (ca. 1050-ca. 1122) es al mismo tiempo un gran poeta iraní ~onocido por los occidentales-, un algebrista y el reformador del antiguo calendario persa. Nació en Nisapür (Irán), hijo de un fabricante de tiendas, abandonó muy pronto el oficio de su padre para dedicarse a las matemáticas y a la poesía. Es el autor de los célebres cuartetos reunidos en un libro titulado Rubii'iyyiit. Escribió un álgebra que, al incluir ecuaciones de tercer grado, sobrepasa a la de al-Jwarizmi. Por lo que respecta a las ecuaciones cuadráticas, asume la tradición árabe y da demostraciones aritméticas y geométricas; rechaza también las soluciones negativas. En cuanto a las ecuaciones cúbicas, creía erróneamente que sólo las soluciones geométricas eran posibles (Cardano dará, en el siglo XVI, una solución algebraica a la ecuación cúbica). 11 Pierre DcJron y Jean ltard, Math ém atiq11es et mathématiCiens, París, l\fag~ard. 1959. pp. 123-25. '·' ~1 :ís cxaclam e nte. Abü-1-fath Uma r ibn !bra him al-Jayyami Giyat al-Din .
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El proceso implícito en la utilización de cónicas que se cortan para resolver ecuaciones cúbicas fue expuesto por Mcnccmo, Arquímedes y Alhazén. Sin embargo, el mérito de Umar Jayyam consiste en haber generalizado el método para hacerlo aplicable a tod as las ecuaciones de tercer grado (raíces positivas únicamente). Al constatar la imposibilidad de resolver la ecuación cúbica con regla y compás, afirma que la solución exige el empico de las secciones cónicas. El procedimiento de Umar Jayyüm para resolver la ccuación cúbica· es de difícil aplicación y exige cuando menos una manipulación tortuosa y molesta. Se puede, sin embargo, resumir s u método como sigue: «Dada una ecuación cúbica, sustituir x2 po r 2my para obtene r una nueva ecuación correspondiente a un a hipérbola; después trazar la hipérbola y la parábola x2 = 2my en un mismo sistema de ejes; las raíces de la ecuación cúbica se obtiene n como intersecciones». Evidentemente, distintos pares de có nicas pueden ser utilizados para resolver la ecuación cúbica. Lo que hacía difícil el método de Umar Jayyam era la presencia de muchos elementos que no había asimilado bien, entre otros la raíz negati"'.a, la expresión general de una cónica en términos de parámetros . los coeficientes ;negativos, el conocimiento de todas las intersecciones de cónicas, cte. Sin embargo, a pesar de estas enormes dificultades para la resolcuión de la ecuación cúbica, U mar Jayyam consigue dar un paso adelante hacia la fusión eventual de la geometría y el álgebra. Además, escrihió 19 que el álgebra correspo ndía a hechos geométricos que son probados por las proposiCioncs 5 y 6 del libro II de los Elementos, incluso si la geometría y e l á lgebra difieren en apariencia, y que el álgebra no debía ser concebida como un «truco» para obtener incógnitas. Dice también en su Algebra que ha llegado a obtener una regla capaz de expresar las potencias enteras de un binomio, pero hasta ahora no ha sido posible encontrar indicio alguno de este descubrimiento. De ser cierto, se habría al menos adelantado a Pascal en e l desarrollo del binomio (a + b )" para las potencias' e nte ras hasta la n. U mar .Jayyam se interesó también por el problema suscitado por el postul ado de las paralelas de Euclides, lo mismo que hicie ro n 19
Ali R. An11r-Moez, «A p aper of Ornar Khayyam ». Scripta Marh em111ica. 26 .
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como se desee». En otros términos, una razón puede ser expresada mediante números, con una precisión tan grande como se quiera. Este punto de vista específico preconizado por Umar Jayyam muestra, sin duda, una amplitud de miras respecto al concepto de número, que es razonable afirmar que se encontraba en e l camino hacia el concepto de número real, definido mucho más tarde, en el siglo XIX, gracias a los trabajos de Dedekind y Cantor. Cuando muere Umar Jayyam en el año 1122, Ja ciencia árabe se encuentra en decadencia, debido probablemente a las excesivas discordancias en los planos político y religioso. Sin embargo, del siglo XIII al XV, algunos matemáticos árabes consiguen destacar; entre ellos, podemos mencionar a Naslr al-Din al-Tusl y al- Kasl.
muchos matemáticos árabes. Estas tentativas de los árabes para probar el quinto postulado de Euclides comenzaron con al-Haytam, cuyo planteami 1~nto fue criticado por U mar Jayyám, ya que contenía la idea de movi •niento que había sido rechazada por Aristóteles. En esencia, la den¡ostración de al-Haytam supone que el lugar de un punto móvil eqwdistante de una línea dada es necesariamente una línea paralela a ella. Hoy, esta afirmación se considera con frecuencia como la definición intuitiva de dos paralelas. En sus Comentarios
sobre las dificultades de los postulados de los Elementos de Euclides, U mar Jayyam inicia su argumentación con un cuadrilátero que tiene dos lados semejantes y perpendiculares a la base (este tipo de cuadrilátero recibe generalmente el nombre de «cuadrilátero de Saccheri» 2º). Se pregunta cuál es la naturaleza de los dos ángulos superiores del cuadrilátero, que son necesariamente iguales . Elimina, en virtud de la convergencia de dos líneas que implica una intersección común, la posibilidad de que los ángulos superiores sean agudos u obtusos y no considera más que la posibilidad de que sean ángulos rectos. Así, al tratar de relacionar el postulado de las paralelas con el cuarto postulado de Euclides (todos los ángulos rectos son iguales) mediante 4 principios y 8 proposiciones, Umar Jayyiim desarrolló una argumentación que, por primera vez en la historia de las matemáticas, condujo a las hipótesis dc.;l úngulo agudo, d.;l ángulo obtuso y del án6ulo recto. Estas tres hipótesis, ampliamente estudiadas por Saccheri, conducen respectivamente a la geometría no euclídea de Bolyai-Lobatchevski, a Ja geometría de Riemann y a la geometría euchdea. Encontramos también en sus Comentarios una exposición crítica de la teoría de las proporciones de los Elementos de Euclides, donde, más o menos satisfecho con la formulación de Euclides~ obre la igualdad de dos razones, la sustituye por una igualdad que recurre a algo similar a un procedimiento límite. Así, según el gran poeta persa, «dos razones son iguales si pueden ser expresadas mediante la razón de números enteros, con un nivel de precisión tan grande
NASlR AL-DÍN
Nasír al-Din al-Tüsl (1201-1274), astrónomo al servicio del nieto del gran conquistador Gengis Jan, sus contribuciones fueron sobre todo importantes en trigonometría y astronomía. A él se debe Ja primera exposición sistemática, en un cuerpo de doctrina independiente de la astronomía, sobre trigonometría plana y esférica. Con este tratado hizo de la trigonometría, hasta entonces al servicio de Ja astronomía, una rama particular de las matemáticas. En este libro encontramos las seis funciones trigonométricas y las distintas reglas utilizadas para resolver Jos problemas de los triángulos planos y esféricos. Sin embargo, este trabajo original y sistemático tuvo poca influencia y fu e muy poco conocido por los sabios europeos. Naslr al-Din continuó Jos esfuerzos de Umar Jayyam para demostrar el postulado de las paralelas y sus contribuciones, relacionadas con el estudio del problema suscitado por la veracidad de este postulado, fueron traducidas y publicadas en el siglo XVII por John Wallis. Las semejanzas que se observan entre el estudio de Saccheri y el de Naslr al-Din permiten suponer que el primero partió de los trabajos del segundo para elaborar su defensa de Euclides. (
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AL-KAS! 20
Girolamo Sacchcri (1667-1733) fue un jesuita italiano que enseñó matemáticas en la universidad de Pavía_ En una obra escrita para defender a Euclides y demostrar el postulado de las pHalelas, introdujo un cuadrilátero especial que le permitía llevar a cabo tal demostración.
A principios del siglo xv, al-Kasl se une al grupo de astrónomos que trabajan en el observatorio de Samarcanda, bajo la dirección del
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Jcan -l'u11/ Coll<'.lle
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príncipe Ulugh Bcg. Escritor fecundo, al-Kasi cuenta en su haber con numerosas obras sobre matemáticas y astronomía, unas en persa y otras en árabe. Creía ser el inventor de las fracciones decimales -aunque tuvo precursores en este campo-, pero su contribución más importante, por lo que a la historia de las fracciones decimales se refiere, es haber sido probablemente el primero en sugerir, aun utilizado fracciones sexagesimales, que las decimales son también adecuadas para problemas que exigen una estimación muy precisa. Con su método consigue la proeza de extraer la raíz sexta del número sexagesimal 34, 59, 1, 7, 14, 54, 23, 3, 47, 37, 40, recorriendo para ello las mismas etapas que en el método de Horner. Su estimación del número :re no fue mejorada hasta finales del siglo XVI. Por último, encontramos también en los trabajos de al-Kasi la forma del triángulo de Pascal relativa al desarrollo binominal en potencias enteras. Haciá el año 1436, cuando muere al-Kasí, la cohesión cultural del imperio musulmán experimenta una clara regresión y su desintegración política se acentúa progresivamente, como si se presintiese la toma de Constantinopla por los turcos en 1453. Afortunadamente, el fin de la civilización islámica, por lo que a las matemáticas se refiere, se produce en el momento en que Occidente, y más exactamente Italia, cuenta con hombres capaces de aceptar y comprender el legado intelectual que Arabia se dispone a transmitir. Los árabes no sólo transmitieron, a través de los siglos, las contribuciones matemáticas griegas e indias para hacerlas llegar a !Os matemáticos occidentales a partir de los siglos XI y XII; sino que participaron también activamente, con sus contribuciones matemáticas, en el enriquecimiento dr:'. la herencia griega e india.
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ticas de origen griego e indio que llegaron hasta ellos. Probablemente. la traducción árabe de numerosos textns griegos e indios salvó una buena parte de la herencia matemática de estas dos grandes civilizaciones. Las contribuciones de los árabes en el campo de las matemáticas comprenden numerosos temas que gravitan sobre la trigonometría y el ;ilgebra. Contribuyeron de manera original a la teoría de las ecuaciones. al desarrollo de la trigonometría plana y esférica, al estudio del postulado de las paralelas, al desarrollo de nuestro sistema decimal y a la generalización del binomio .
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RESUMEN
Las matematicas del Islam asimilaron los descubrimientos griegos e indios, prescindiendo de algunos aspectos demasiado teóricos para desarrollar rnn preferencia temas más conformes con su enfoque práctico. Los ár;1bes tuvieron el mérito imperecedero de haber sabido conservar para la humanidad preciosos documentos . Reunieron con sumo cuidado las obras matemá-
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Nasir al-Din d..:mostró que la suma de dos <:11adrados impar..:s 11<1 p11<:.l-ser un cuadrado. Demostrar este resultado, empleando las prnpit·dadc·, de los cuadrados de los números pares e impares. 10. ¡,Cuál fue la mayor de las contribuciones de Nasir al-Din en el campo de la trigonometría árabe? 11. ¿Por qué Umar Jayyam merece ser considerado como uno de lo~ grandes matemáticos árabes del mundo medieval? 12. ¡,Qué contribuciones notables en el campo de las matemáticas debemos a la civiliz;1ción islúmica'I Precisar con ejemplos. l)_
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t EJERCICIOS ·,;:
1. ¿Qué significación plausible se puede atribuir a los términos« 1/-yabr» y «al-muqqábala»? 2. ¿Cuál fue la influencia de las civilizaciones anteriores en el álgebra árabe? 3. ¿Cuál es la carem,:ia más importante del álgebra de al-JwarizmI? 4. ¿Cuál fue el importante papel desempeñado por Tabit ibn Ourra en la conservación de los textos griegos e indios? 5 . Resolver, como lo haría al-JwarizmI, la ecuación x 2 + 12x = 64. 6. Comprobar la fórmula de Tabit ibn Qurra para encontrar números amistosos cuando n = 2 y n = 4. 7. ¿Cuál fue la contribución árabe a la formación de nuestro sistema de numeración? 8. Calcular, ut ilizando la regla de la doble falsa posición, la raíz de x 3 - 36x + 72 = O que está entre 2 y 3, :on una precisión de tres decimales.
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LAS MATEMATICAS DE LA EUROPA MEDIEVAL: 500-1400
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nivel elemental y consisten más en comentarios sobre los antiguos clásicos que en una aportación original e inventiva a la ciencia matemática. Entre los principales matemáticos bizantinos podemos mencionar Eutoquio, Simplicio, Isidoro de Mileto , Antemio de Tralles , Juan Filopón, Miguel Psellos, Jorge Paquímero, Má Yimo Planudes y Manuel Moscopoulos.
LAS MATEMÁTICAS BIZANTINAS
La historia política de Europa háce coincidir el comienzo de la Edad Media con la caída del Imperio Romano de Occidente, en el año 476, y marca su final con la caída de Constantinopla en mano de los turcos, en 1453. Sin embargo, esta división cronológica, basada en dos hechos políticos importantes, no justifica plenamente el carácter propio de este período de la historia de las matemáticas, que marca la transición entre la civilización griega y el resurgir de las matemáticas de Occidente. Hemos visto ya las diferentes fases que condujeron a las matemáticas griegas a un estadio de desarrollo superior a todo lo realizado anterior o paralelamente, y a partir del cual se orientaron hacia el campo de las aplicaciones prácticas. Después, bajo la presión de las dominaciones extranjeras, las principales escuelas griegas, la Escuela de Atenas y la Universidad de Alejandría, decayeron y sólo un fino hilo científico atravesó el período vacío del Imperio bizantino para desembocar en el siglo XIV en un nuevo comienzo de las matemáticas europeas. En el aúo 324 el emperador Constantino decidió hacer de Bizancio la capital del lmperio romano de Oriente. Esta ciudad griega, edificada sobre el Bósforo en el siglo VII a .C., tomó entonces el nombre de Constantinopla y siguió siendo la capital del Imperio bizantino hasta el final de la Edad Media . La unidad del Imperio bizantino se basaba en el helenismo, que marcó con una hue lla imborrable sus diversas provincias desde la época romana. De esta forma, el Imperio bizantino preservará, en cierta manera, los tesoros de la antigüedad griega hasta el momento en que la Europa Occidental esté en condiciones de asegurar el relevo . Las principales contribuciones matemát:cas bi za ntinas se sitúan principalmente a
Isidoro de Mi/eta fue uno de los últimos directores de la Academia de Platón en Atenas. En la época de Proclo, la Academia se convirtió en un centro de cultura neoplatónica y en el aúo 529 tuvo que cerrar sus puertas, como consecuencia de un decreto de Justiniano, quien no podía aceptar la presencia de un foco cultural de paganismo en el seno de la ortodoxia cristiana. Sin embargo, los sabios de la Academia, obligados a dispersarse, lograron reagruparse parcialmente en Persia y llegaron a constituir una especie de Academia en el exilio. Isidoro dio a conocer los comentarios de Eutoquio y mediante sus escritos suscitó un nuevo interés por los trabajos matemáticos de Arquímedes y Apolonio. Antonio de Tralles, algo mayor que Eutoquio, puesto que este último le dedicó sus comentarios sobre las Cónicas de A polonio, fue el arquitecto de Santa Sofía de Constantinopla. Es célebre tanto por su obra arq uitectónica (que será continuada por Isidoro de Mi leto ) como po r su obra sobre los Espejos ardientes en la que se descri ben las propiedades del foco de la pará bola. Juan Filopón, que vivió en Alejandría a comienzos del siglo VI, fue un físico de talento, a algunos de cuyos trabajos puede asignárseles la etiqueta de «matemáticas aplicadas». Escribió un comentario sobre la Introducción aritmética de Nicómaco .
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Quinientos años después de Filopón, Miguel Psellos, filósofo en Atenas y Constantinopla, mantuvo la popularidad del t ratado de Nicómaco al escribir él también un comentario sobre dicha obra aritmética. Se le atribuye un tratado elemental sobie el q11adriviu111 -aritmética, música, geometría y astronomía- , cuya traducción latina fue editada varias veces durante el siglo XV I. Parece que existe una carta de Psellos que aporta algunas observaciones a la Aritméti-
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;¡u(/{frivíwn-- se ensellaron en el sistema de educación medieval con
ca de Diofanto. En el campo de la lógica, reanudó el estudio de los silogismos de A.ristóteles y examinó cuidadosamente las diversas formas posibks de éstos. También dedicó su atención a la sustitución de los té1 minos en las proposiciones y al simbolismo lógico.
:dg11nas variantes adaptadas al ideal cristiano . Sirvi\~ndnse libremente de los trabajos de Euclides, Nicómaco y l 1ll111m'o. estos primaos autores lati1ws. entre los que se puede 1111:11cion;1r a Boecio, Casiodoro, lsidorn 1k Sevilla, BcJa el Vcnaa bk y Alcuino. ejercieron una gran influencia sobre la enseñanza de las ,·natcm;íticas en las escuelas medievales hasta finales del siglo X.
Jorge Paquímero (1242-1310) escribió, dos siglos después de Psellos, un resumen del quadrivium y un comentario sobre la Aritmética de Diofanto. Máximo !'/anudes, contemporáneo de Paquímero, fue ~r.ibaja clor en Venecia del emperador Andrónico 11 hacia 1297. facribió una obra sobre la numeración india que se introdujo en el Imperio bizantino hacia el siglo XIII, aproximadamente en la misma época en que se impuso en Occidente. También hizo, como Paquímero, un comentario se bre la Aritmética de Diofanto.
nrn:cro Ancius Manlius Severinus 13oetius (ca . 480-524) nació en Roma hacia el afio 480. Su padre fue cónsul en el año 487. También él fue cónsul en el año 510 y tuvo dos hijos que llegaron juntos al consulado en el año 522. Parece que fue un notable hombre de Estado, de integridad irreproclrnble. Recibió del rey Teodorico muchas tareas importantes en el Estado, pero, caído en desgracia ror razones de orden político o religioso, el filósofo cristiano Boecio fue condenado a muerte en el año 524, después de una larga detención. Durante su estancia en la prisión escribió su célebre ensayo filosófico titulado De consolatione philosophiae, en el que trata de la responsabilidad moral a la luz de la filosofía de Platón y Aristóteles. Sentía nostalgia de la ciencia griega y tradujo al latín varias obras antiguas a la<; que aríadió comentarios o compilaciones 1• Autor de obras para cada una de las ramas del quadrivium, escribió también sobre filosofía, teología y música. Sus dos libros De inslitutione arithmetica /ibri duo son una remodelación de la Introducción aritmética de Nicómaco. En el prefacio de dicha obra, informa al lector de que ha condensado libremente el original ·de Nicómaco y lo ha desarrollado en ciertos momentos. Sin embargo, los desarrollos presentados corresponden más a explicaciones de ciertos pasajes, a ejemplos adicionales para ilustrar un determinado punto, o a tablas, que a ampliaciones o enriquecimientos del tratado original de Nicómaco.
Manuel Moscopoulos fue discípulo y amigo de Planudes. Expuso un método de formación de cuadrados mágicos dedicado al geómetra Nicolás Rhabdas. Este último comentó la exposición de Planudes sobre la nume:ración y realizó una exposición del sistema numérico basada en la utdización de los dedos de la mano.
OCCIDENTE DE~IPUÉS DEL IMPERIO ROMANO
Cuando las grandes invasiones dislocaron el Imperio romano de Occidente e instalaron un rey ostrogodo en lugar del emperador, Occidente quedó prácticamente desconectado del Imperio romano de Oriente y, por este mismo hecho, desligado de la ciencia helénica. Sólo subsistieron las tradiciones transmitidas en latín por autores que vivieron durante los siglos V y VI. Estos au!cres latinos escribieron textos de naturaleza matemática basados en algunós clásicos griegos, en particular en las obras de Nicómaco de Gerasa y sus comentaristas, insistiendo sobre todo en el misticismo de los números y el arte de contar. El contenido de estos primeros textos matemáticos latinos formaba parte del quadrivium, aspecto esencial de la formación que se Jaba en las escuelas. Provenientes de la educación griega, las siete artes liberales ~I rrii·ium, que ~omprendía b gramática, la lógica y la retórica. v el
i Tradujo al latín el Orgarwn (textos de lógica) de Aristóteles y la /nJroducción a las caiegorías de Porfirio. añadiéndole comentarios, y comentó también obras de Ciccrún. el célebre abogado romano .
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El contenido matemático de su Aritmética trata de los divc!rsos métodos de clasificación de los números y las propiedades numéricas de las diferentes clasificaciones obtenidas, así como de una interpretación mística d~ los números escriturarios. En particular, se pueden encontrar descritas diversas relaciones numéricas, tales como las relaciones múltiples, superparticulares, superpacientes, de los números figurados planos y sólidos y de las medias: aritmética, geométrica, armónica y otras. Como Nicómaco, no proporcion;i reglas de cálculo, sólo expone las operaciones y no se encuentran en lugar alguno aplicaciones prácticas de los números a la vida corriente: en esto su exposición muestra sus antecedentes griegos. Su Aritmética fue, indiscutiblemente, la única fuente verdadera a la que recurrió toda la enseñanza de las matemáticas en el mundo medieval durante más de mil años. Escrita a principios del siglo VI -Boecio debía contar entonces veinte años- esta obra fue copiada, condensada, escrita y copiada de nuevo y sirvió de texto de referencia para los trabajos de aritmética de numerosos autores latinos de los siglos posteriores. Incluso se tiene conocimiento de una edición completa de la Aritmética de Boecio aparecida en el año 1521 en París. Su De lnstitutione musicae en cinco libros, que trata de la música teórica basada en relaciones y medias, es unJ compilación ele los trabajos anteriores de Euclides, Nicómaco y Tolomeo. Su Astronomía proviene del Almagesto de Tolomeo, mientras que su Geometría es una traducción de algunos pasajes de los cuatro primeros libros de los Elementos de Euclides. Su manual de Geometría contiene exclusivamente enunciados (definiciones, postulados, axiomas, proposiciones) sin ninguna referencia a demostraciones. Parece que las obras matemáticas de Boecio, muy utilizadas en las escuelas monásticas medievales, fueron alteradas por ulteriores modificaciones consistentes en inserciones de nuevos elementos, lo que hace que hoy sea difícil establecer lo que ha de atribuirse a este autor latino, el que m;ís influyó en las matemáticas del mundo medieval. El contenido matemático de los tratados de Boecio puede situarse en un nivel elemental, aun cuando sea superior al que se encuentra en los demt,s autores de los siglos v y VI.
Las 1111um11í1icas de la l:.11ropa mt•dic1·11/: 500-1.JOO
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CASIO DORO
Casiodoro o Casiodorus Senator, discípulo de Boecio, nació prohablemente hacia el año 490 en la ciudad de Esquilache, en Calabria, y fue alternativamente cuestor y cónsul. Murió a edad avanzada en un convento que él mismo había fundado. Su obra titulada De Arithmetica es en suma un resumen · muy elemental de la Aritmética de 13oecio, que sirvió como manual en las escuelas al comienzo de la Edad Media y como fuente de referencia para otras obras de nivel inferior. En su obra, recurre a las Sagradas Escrituras para demostrar que Dios creó el Universo ' basándose en los conceptos de número, medida y peso, y utiliza este punto como razón suficiente para estudiar la aritmética. Al final de su tratado, rinde homenaje a Nicómaco y Boecio, y termina dando una interpretación, a la vez ingenua y piadosa, de los siete primeros números naturales. Fue también un polígrafo que escribió una Historia gothorum, y una enciclopedia de las siete artes liberales. Fundó un monasterio e impuso a los monjes la copia de manuscritos, costumbre que persistiría durante mucho tiempo en los conventos del período medieval y tuvo de esta forma una importante influencia tn las tradiciones científicas.
ISIDORO DE SEVILLA
lsidorus Hispalensis o Isidoro de Sevilla, obispo de Sevilla hacia el año 600, fue un erudito considerado por sus contemporáneos como el sabio más eminente de su tiempo. Compiló una enciclopedia en veinte libros que, a pesar de no tener mucha originalidad, estuvo muy en boga a causa de sus numerosas ediciones y se siguió citando hasta el siglo XIII. En sus Etimologías, uno de los veinte libros de su enciclopedia, hizo un resumen de la Aritmética de Boecio, poniendo de rel ieve una mística del número que raya en el ridículo desde el punto de vista de un lector moderno. Encontró de esta forma una significación mística para todos los números del 1 al 20, salvo para el número 17, así como para los números 24, 30 , 40, 46, 50 y 60. Por ejemplo,
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considera que la libra es un peso perfecto -su libra corresponde a 12 onzas- pues tiene el mismo número de onzas que el número de meses de un año. Puesto que Dios efectuó 22 acciones en la creación del mundo, considera esto como una razón adecuada para explicar que hay 22 generaciones a partir del primer hombre, Adán, hasta Jacob, que pueden contarse 22 libros del Antiguo Testamento hasta Ester, cte. Podemos hacernos una idea ele la importancia vital que atribuía al número, cuando afirma que, si se suprime el número de todo lo existente, tocias las cosas perecerán. Por otra parte, estas consideraciones místicas forman parte de las creencias de la época y no debemos extrañarnos demasiado. Sin embargo, este período especialmente sombrío de la ciencia medieval no debe tomarse cumo una constante común a toda la Edad Media, pues habrá a;ortunadamente siglos más ilustrados que compensen esta etapa gris de la historia de las matemáticas.
,\LCUINO
Alrnino de York (ca_ 735-804) nació probablemente en el año de la muerte de Beda, en el condado de York (Inglaterra). Sucedió a su maestro Ecberto a la cabeza de la escuela de York. El mismo habla de la enseilanza de su maestro en York, en los siguientes términos: El sabio Ecbcrto hacia beber a los espíritus sedientos en todas las fuentes de Ja ciencia. A uno~ les enseñaba las reglas de la gramática: para otros hacía !luir las aguas de la retórica . Formaba a éstos en los conflictos de los tribunales y a aquéllos en los cantos de las Aónides. Además les enseñaba a tocar la flauta de Castalia, a pisar con pie lírico las cimas del Parnaso. También explicaba la armonía ~el ciclo, los penosos eclipses del sol y de la luna, las cinco zonas dd polo, las siete estrellas errantes, las leyes de los astros, su orto y su ocaso, los violentos movimientos del mar , los te mblores de tierra, la naturaleza del hombre, de los rebaños, de los pájaros y los an imales feroces, las diversas combinaciones de los números y sus variadas formas. Enseñaba a calcular de forma segura el retorno solemne de la Pascu<,. y, sobre todo, descubría los misterios de las Sagradas Escrituras: había sabido abrir el abismo de la antigua ley2.
13ED,\ El. VENERAOLE
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Encontramos en este breve pasaje el resumen de la enseñanza medieval impartida en los claustros a los futuros sacerdotes durante el siglo VIII. Con ocasión de un viaje a Italia, Alcuino fue presentado a Carlomagno, emperador de Occidente; más tarde desempeñó un papel importante en la reorganizació n de la enseñanza intentada por Carlomagno. Es célebre en la histo ria de las matemáticas por su obra para la juventud, titulada Propositiones ad awendos j11ve11 cs, cuya autenticidad, por otra parte, no está asegurada. Es un conjunto de proposiciones, unas de aritmética y otras de geometría y agrimensura, que constituyen unos de los ejemplos más antiguos de «pasatiempos matemáticos». Alcuino explica el papel del núm.ero 6 en la creación del mundo por el hecho de que el número 6 es un número perfecto y hace lo mismo con e l segundo origen de la raza humana, a partir del arca de Noé, demostrando de esa forma que nacemos del número deficiente 8
El monje benedictino Beda el Venerable (ca. 673-735) pasó sasi toda su vida en su condado natal de Northumberland (Inglateíra); llegó a ser uno de los más grandes sabios de su tiempo. Citado constantemente como una autoridad por los escritores de los siglos siguientes, conocía el griego, cosa muy rara entonces para un occidental -Boecio también estaba familiarizado con el griego- y sus numerosos trabajos científicos comprenden, en particular, un tratado sobre el calendario eclesiástico y una obra sobre el tema de la representación de los números por medio de los dedos. Se encuentra en su De temporis ratione, sobre el cálculo práctico, un método para determinar la fecha de la fiesta de Pascua. En Alemania, en el siglo IX, Rabano Mauro (784-856) continuó los trabajos de astronomía y matemáticas del benedictino inglés y escribió un manual más completo sobre el cálculo práctico, en el que se encuentra un método para calcular la fecha de Pascua, directrices para el cálculo numérico con los dedos, y así como instrucciones para la utilización de los números romanos y de los datos astronómicos.
2 Pierre Dcdron y lean ltard, Ma1hé111a1iq11es et m athématiciens. París. Magnard. 1959. pp. 132-33 .
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El anibiente matemático de Europa occidental cambia con las contribuciones dei que se convertirá en el papa Silvestre II. En efecto, Gerberto, el futuro papa Silvestre II, inaugura un segundo período medieval en el que los matemáticos de Europa entrarán en contacto con los textos árabes y en el que las universidades se convertirán en focos culturales susceptibles de mantener y promover el interés por la ciencia matemática.
GERBERTO
Gerberto (ca. 940-1003) nació en Francia y fue probablemente uno de los primeros cristianos que estudió en las escuelas árabes de España hacia los años 967-970. Fue sucesivamente preceptor y consejero del emperador alemán Otón III. Arzobispo de Reims, y más tarde de Rávena, fue elevado al papado en el año 999 y murió en el 1003. Desde el año 972 al 982 fue director de la escuela diocesana de Reims, lo que le permitió enseñar el quadrivium y, en particular, introducir el uso de los números indoarábigos en Europa. Sin embargo, es difícil explicar cómo entró en contacto con el sistema de numera.:ión indoarábigo y cuál es la relación entre dicho sistema de numeración y el cálculo mediante fichas marcadas o ápices que presenta aproximadamente las mismas facilidades operatorias que la aritmética de posición y que fue utilizado por los «abacistas» durante los siglos XI y XII 3 • De hecho la introducción del sistema de numera.jón indoarábiga en Europa es tan obscura como la invención de estt: sistema, acaecida casi seis siglos antes. Además, la adopción de este nuevo sistema por los «algoristas» -por opc;;;ición a los «abacistas» que utilizaban el método de los ápices- no tuvo por qué realizarse inmediatamente: habrá que esperar al siglo XIII para que el sistema indoarábigo esté definitivamente introducido en Europa. 3 Parece que Gerberto construyó un ábaco en el que reemplazó en cada columna el número de fichas que contenía por un sólo ápice que llevaba en el reverso la indicación del número de fichas sustituidas. De esta forma, introdujo por vez primera en Europa los números arábigos y la numeración indoarábiga que había aprendido durante su estancia en las escuelas árabes. Hacia el año 980 escribió un tratado sobre el ábaco --que sirvió de modelo a los «abacistas»--- que nos enseña algo sobre la forma en que efectuaban en esa época las operaciones de multiplicación y división.
l .11s n111tt'máric11s de la !:.11ropa n1t·dic1·11/: 500-1.JOO
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Europa, antes de Gerberto y en vida de éste, no poseía los elementos esenciales para poder desarrollar bien las matemáticas. La actitud cristiana ante este conjunto de conocimientos de los pueblos antiguos seguía siendo escéptica y se parecía curiosamente al comportamiento de los árabes en relación al contenido científico de la biblioteca de Alejandría. «La investigación científica resulta superflua», escribe Tertuliano, «puesto que hemos recibido el Evangelio de Jesucristo». Además, los sabios latinos apenas podían apreciar en su justo valor las contribuciones matemáticas de los árabes, aun en la época de Gerberto, que corresponde a un período muy fértil para los sabios del Islam. Por otra parte, habrá que esperar al comienzo del siglo XII para asistir, afortunadamente, a un cambio de actitud de los sabios europeos, parecido al de los árabes en el siglo IX.
VÍAS CULTURALES DE TRADUCCIÓN ABIERTAS A EUROPA
Así como los árabes pudieron traspasar la barrera lingüística de la civilización griega en el siglo IX, los sabios europeos debían descubrir los misterios de la lengua árabe si querían apreciar y absorber la cultura científica del Islam. En el siglo XII se admitía la necesidad de conocer a fondo la lengua árabe y el sabio europeo no podía esperar grandes cosas si no lograba traspasar esta barrera lingüística, obstáculo que le impedía estar verdaderamente a la· altura de la situación y que le colocaba a merced de traductores poco versados en la ciencia matemática. En el siglo XII los sabios de la Europa occidental comprendieron la necesidad de entrar en contacto directo con la civilización islámica a fin de desarrollar sus conocimientos matemáticos y científicos. Este contacto directo fue facilitado en gran medida por las traducciones latinas (obra de autores cristianos que circulaban por los centros de cultura árabe situados en Italia, Sicilia y España). De esta forma los trabajos compilados en Bagdad circulaban en las escuelas árabes de Granada, Córdoba y otras ciudades de España , y estas obras en lengua árabe eran traducidas por sabios cristianos que viajaban a dichos centros culturale:;. Por otra parte, este puente cultural entre Oriente y Occidente que era España en la época de las Cruzadas contribuyó en gran
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medida a dar a conocer los textos matemático~ de los sabios del Islam, sin ser. no obstante. la única vía intelectual accesib:e a los sabios europeos. En efecto, la privilegiada posición geográfica de Sicilia y la historia política de esta isla hicieron de ella un pu;lt.1 de convergencia de las culturas oriental y occidental. Colonia griega en sus orígenes, Sicilia se convirtió muy pronto en posesión romana. y más tarde mantuvo estrechas relaciones con Constantinopla después de la caída del Imperio romano de Occidente. Dominada por los árabes durante cincuenta ailos en el siglo IX, Sicilia volvió a ser colonia griega y finalmente cayó bajo la dominación tolerante de los normandos. Cuando su primera capital, Mesina, fue conquistada en el año 1060, los normandos encontraron en Sicilia una población profundamente marcada por las culturas griega, latina y árabe. Los nuevos conquistadores se mostraron al menos tolerantes y aceptaron a esta población cosmopolita y políglota en la que las culturas griegas, latina y árabe coexistían en buena armonía. Esta diversidad de razas y lenguas encontraba en la población siciliana durante la ocupación normanda abrió otro camino a la penetración en Europa de la ciencia antigua. Además, Sicilia ofrecía la ocasión de traducir, a partir de los originales griegos, los textos de ciencia y matemáticas que los griegos y los romanos habían introducido en dicha isla en el curso de los siglos. Por último, en la corte de los normandos también se podía tener acceso a las obras de los árabes y parece razonable pensar que se realizaron allí traducciones latinas procedentes de textos árabes. De esta forma, Espaúa y Sicilia fueron las dos principales vías de traducción en el siglo XII.
LOS TRADUCTORES LATINOS
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Adelardo de B1th (ca. 1075-1160) parece que tuvo contactos más estrechos con !:t cultura árabe que los otros traductores latinos. De origen inglés, v .ajó mucho por los centros culturales de la época y, al contrario que los demás, no formó parte del grupo de tradu{"tores que trabajaban en España. No se sabe exactamente cómo estableció contacto Adel a rdo de Bath con la cultura árabe, pero parece que fue a través de España. Son tres las traducciones latinas más importantes de Adelardo de Bath: una traducción de las tablas de astronomía de al-Jwarizml, una traducción de los quince libros
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- Eu.:lides escrihó sólo 13- de los Elementos de Euclides y una traducción del griego al latín del Almagesto de Tolomco. En esta traducción latina de los Elementos de Euclides se inspirará. en el siglo siguiente, Campano de Novara. Con esta traducción de los F!cmentos, Occidente se enfrenta por primera vez a un exposición matemática que posee una estructura lógica bien determinada . El problema suscitado por la presencia de numerosas versiones de los Elementos de Euclides ha sido estudiado por varios historiadores con el fin de esclarecer dos puntos principales: qué queda de todas las traducciones del texto griego hasta el siglo XII y cuál es el número de traducciones de la versión úrabe de los Elementos y cu;íles son completas. Según M . Clagett~ no se ha podido descubrir ninguna traducción completa hecha a partir del texto original griego, pero existen sin duda al menos cuatro fragmentos parciales de traducciones latinas provenientes del texto griego. La traducción de Adclardo de Bath existe, según Clagett, en tres versiones principales: la versión 1 es una traducción literal, la primera traducción completa de los Elementos en latín; la versión 11 difiere casi por cumplcto de la versión 1 y es un resumen, mientras que la versión 111 es una paráfrasis en la que las proposiciones están extraídas de la versión i:, pero en la que las pruebas se dan de forma completa y formal siguiendo la forma de exposición de la versión l. Debe resaltarse que el texto de Campano de Novara del siglo XIII es más una paráfrasis y un comentario que una nueva traducción latina del texto :nahe de los Elementos. La escuela de traductores fundada en Toledo en el siglo XII descmpciió un papel de primer orden en la transmisión de los conocimientos árabes a los sabios europeos. La ciudad de Toledo, dominada por los <írabes durante varios siglos antes de caer en manos de los cristianos, era un lugar propicio para la comunicación de los conocimientos_ En efecto, las bibliotecas de esta ciudad contenían una extensa colección de manuscritos islúmicos y la población cosmopolita, formada princiralmente por úrabes, cristianos y judíos. bastantes de lo~ rnales hahlahan el :trabe, constituía un medio favorable a los interc1111hios de informa4 Marshall Clagctt. «The medieval Lati11 tra11 sbti<>11 s frum thc Arahic ,,f thc Ekmcnts of Eudid, with spccial cmphasis in thc ,·crsin11s uf ,\,kl;i1d ní IL1th ·· /\i.'. ~ 1. 1'1)6, p. 17.
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sorda, fue un gran políglota formado en el ambiente científico de la
ciones entre estas personas ele diferente origen étnico Citemos algunos nombres de traductores cuyo carácter cosmopol ita n~sulta evidente: Gerardo de Cremona, Roberto de Chester, Platón de Tívoli y Juan de Sevilla.
España árabe, aunque compuso todas sus obras científicas en hebreo. Estas comprenden textos de astronomía y una obra de geometría. Esta última, traducida al latín por Platón de Tívoli, presenta numerosos rasgos comunes con las Métricas de Herón. Está dividida en cuatro capítulos y en ellos se encuentran expuestos definiciones, pm:rnlados y axiomas del libro I de los Elementos, ejemplos numéricos del álgebra geométrica griega, enunciados de teoremas sobre la igualdad de las figuras planas, el cálculÓ de áreas, la resolución de ecuaciones de segundo grado por el método de al-Jwarizmi, la división de las superficies tratada desde una concepción análoga a la de las Métricas y la medición de los sólidos. Durante el siglo XII, un judío llamado Abraham ibn Ezra (ca. 1090-1167) escribió dos tratados originales de
Geranio de Crrnwna (1114-1187), el más fecundo traductor del siglo XII, residió en Esp<¡ila con el fin de aprende1 ta lengua árabe para lograr comprender los trabajos de Claudia Tolomeo, pero, una vez allí, consagró ti resto de su vida a traducir textos árabes. Conocemos 87 traducciones suyas. Entre ellas puede mencionarse la traducción latina de una versión revisada de Tabit ibn Qurra de los Elementos de Euclides, obra muy superior a la de Addardo de Bath. Parece que en el año 1175 tradujo el Almagesto, versión a partir de la cual se llegaron a conocer en Europa gran parte de los trabajos de Tolomeo. También tradujo tratados de Arquímedes, Apolonio y al-Jwarizml (el Algebra), por no citar sino sus principales trabajos. Roberto de Chester vivió en España en donde fue en 1143 arcediano en Pamplona. Su traducción popular del Algebra de al-Jwarizml, la primera traducción del tratado del célebre algebrista árabe, fechada en el año 1145, señala el comienzo del álgebra europea. Se harían luego otras traducciones latinas del Algebra del al-Jwarizml, como las de Platón de Tívo/i, quien también tradujo numerosas obras de astronomía, y Juan de Sevilla, judío converso autor de traduccione:; de obras de astronomía y filosofía y de una obra de aritmética v medicina. Por la elección de las obras traducidas, no podemos dejar de resaltar el interés de los traductores por el álgebra y la trigonometría árabes. En cambio la geometría griega, de un nivel superior a las matemáticas del Islam, no parece atraer la atención de los sabios europeos y hay pocas obras matemáticas de esta época que traten del estudio de la geometría, salvo algunos raros tratados, uno de los cuales parece que fue escrito por un judío originario de Cataluiia que ostentaba el título hebreo de Nasi, príncipe, y el título árabe de Sahib al-Surta, jefe de la guardia. Sáhib al-Sima', generalmente conocido por el nombre de Sc ;Ja' /l.1;'1s exactamente I< abi Ahraham har-lliyya ha -Na,i.
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Alejandro de Vi!ledieu, franciscano francés, describe en un poema titulado Carmen de algorismo las operaciones elementales con enteros, utilizando los números indoaníbigos y tratando al cero como un número. Juan de Ha/ifax (ca. 1200-1256), conocido también por el nombre de Sacrobosco, fue un profesor inglés. En una obra titulada Algorismus vulgaris, trata el cálculo en forma práctica utilizando también el sistema indoarábigo.
Fll.lONACCI
Leonardo de Pisa (ca. 1180-1250), más conocido por el nombre de
Fibonacci, o «hijo de Bonaccio», mercader italiano, nació en Pisa,
1
centro comercial donde su padre ejercía funciones relacionadas directamente con el comercio. Su padre, enviado en misión a Bugía como gerente de una empresa, le llamó a su lado hacia 1192, con el fin de iniciarle en los negocios y métodos comerciales, y en particu~ lar en los cálculos. La naturaleza de las ocupaciones del padre despertó en el hijo un interés, que estaba llamado a desarrollarse, por las matemáticas. Estudió bajo la dirección de un maestro árabe ·, y recorrió Egipto, Siria, Grecia y Sicilia. En el curso de sus viajes se persuadió de que los métodos indios de cálculo -nuestra aritmética de posición-- eran, con mucho, los mejores. Así, compuso en 1202, algún tiempo después de volver a su ciudad de origen, una obra que se hizo célebre, el Liber abaci. Este título es engañoso. En efecto, significa Libro del ábaco,_ ~: mientras que su contenido se ocupa esencialmente de métodos ;: algebraicos y problemas en los que se pone de relieve el uso de los .·~· números indoarábigos. Al principio de dicha obra, Fibonacci expone su idea de que la aritmética y la geometría están estrechamente relacionadas y se : refuerzan mutuamente. Esta óptica corresponde, evidentemente, a la que al-Jwarizml enunciaba ya en su /\lgehra y que la tradición latina igualmente aceptaba. Sin embargo, el objeto del Liber abad correspond~ más al estudio de los números que al de la geometría. Dividido en quince capítulos, el Liber abaci insiste, desde las primeras páginas, en los nueve símbolos indios de numeración, así
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en el signo ccrn, cuyu !\\)f11bre proc..:de de ::c¡J/zirum. fnrma latina del árab..: sifr. Así, a lo largo de toda la expl)Sición. se ilustra y se utiliza con frccu..:ncia la notación de posición indoaráhiga. y esta rrcfcrcncia del :tutor p•.Jr el sistema de numeración indoar:íbiga Jcscmpei1ó sin duda un pa: :..J clave en el proceso de su transmisión. Sin embargo. esta cxposicit.in, como hemos visto ya, fue precedida por las d..:scripciones análogas. aunque n.1ás elementales, de Sacrnboscn y Alejandro de Vilkdi..:u. descripciones que conocieron una popularidad mayor que la de Fibonacci. El capítulo I trata lk la numeración posicional, así como del cálculo digital expuesto por Ikda el Venerable. Los cuatro capítulos siguientes tratan de las operaciones elementales con números enteros, así como de las pruebas del 9, 7 u 11, la descomposición de los números en factores primos y su carácter de divisibilidad por 2, 3, 4, ··-· 13. También se expone en ellos una aritmética de las monedas corrientes. Los capítulos 6 y 7 se refieren fundamentalmente a las fracciones. Fibonacci utiliza en ellos tres clases de fracciones: comunes. sexagesimafcs y unitarias, pero ignora por completo las fraccion..:s decimales, principal ventaja de la notación posicional. Además, el texto abunda en ejemplos de toda clase relativos a.1 uso de las fraccicrnes comunes y unitarias. Por ejemplo, en lugar de escribir la ex-
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presión fraccionaria 24 1~ corno hacemos nosotros, Fihonacci escribe
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24 y en lugar de 11 %prefiere utilizar una yuxtaposición de
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fracciones unitarias y enteros escribiendo ~ 11. Tambien se encuentran tablas de conversión de fracciones comunes a fraccione·s . . A si, 1a f racc1on . , ---¡o¡¡, Yx . 1o se expresa como 100 ' i 11rntanas. por eiemp 50
1 y liKI 99 1 Ad emas , por cierta · i :¡1 2· aparece como 251 51 41 2. sut1·1 eza en su ., uen 'el e a expresar 1a suma d!3dl~ notac1on, e 5 ¡y e 10 9 como 216~¡ 9 IO en 1
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Los capítulos 8 y 9, 10 y 11, tratan respccti·1amente de aplicacÍllncs comerciales, problemas de sociedades, problemas de cambio y análisis indeterminado de primer grado. Los últimos capítulos tratan de los problemas de la falsa posi-
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ción, simple y doble (capítulos 12 y 13), los cálculos a efectuar con radicales cuadrados y et':bicos (capítulo 14), los problemas numéricos de geometría y la rt solución de ecuaciones de segundo grado, siguiendo los métodos de al-Jwarizml. El problema del Lihe1 ahaci, que sin duda inspiró a la mayoría de los. matemáticos de estos siglos, es el siguiente: «¿Cuántas parejas de conejos obtendremos al final de un cierto año, si, empezando con una pareja, cada pareja produce cada mes una nueva pareja que puGde reproducirse al segundo mes de existencia?» Este célebre problema dio lugar a la «sucesión de Fibonacci» 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . .. , un ... , en la que un= un-1 + u,,_2, es decir, q tle cada uno de los términos de la sucesión, empezando por el 2, e:; la suma de los dos térmi110s sucesivos que le preceden. Esta sucesión particular posee numerosds propiedades; entre otras:
un y ¡jn+ 1 son primos entre sí, lim (U111U11 + 1) = (\15 - 1)/2 (sección áurea), U,,+¡ . u11-I =:=u;.+ (-1)" con n ~ 2, etc.
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Leonardo de Pisa fue sin ninguna duda el matemático más original y hábil de toda la época medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para ser bien comprendidos por sus contemporáneos . Así, a pesar de una reedición en 1228, su Liber abaci se utilizó muy poco en las escuelas y no se imprimió hasta el siglo XIX. Su obra de geometría titulada Practica geometriae, aparecida en 1220, está concebida con el mismo espíritu que las Métricas de Herón y su contenido parece basarse en una versión árabe desaparecida de la División de las figuras de Euclides. Contiene, entre otras cosas, definiciones y un índice de las unidades de medida utilizadas en Pisa, la construcción de una media proporcional con ayuda de la regla y el compás, la demostración del teorema de Pitágoras mediante triángulos semejantes, la división de figuras, la extracción de raíces cúbicas, problemas de duplicación del cubo y problemas geométricos resueltos siguiendo la tendencia babilónica y árabe . Otra obra de Fibonacci se titula Flor de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría. El autor justifica este título diciendo que «muchas de estas cuestiones, aunque espinosas ,
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se exponen tk una forma florida, y, así como las plantas, al tener sus raíces en b tierra, surgen y muestran sus flores, así también de estas cuestiones se deducen muchas otras». Entre los quince problemas tratados en est:.i obra, trece se reducen a ecuaciones determinadas o indeterminadas de primer grado . Los otros dos fueron propuestos al autor por Juan de Palermo, fil{>sofo y miembro de la corte del emperador Federico 11, con ocasión de un torneo organizado por el emperador y al que fue invitado Fibonacci . El primer problema comprende la solución estimada de la ecuación cúbica x 1 + 2x 2 + IOx = 20, presentada sin discusión. Para resolver esta ecuación Fibonacci hubo de probar la imposibilidad de obtener raíces de la forma a + VE o Va + VE, en la que a y b son números racionales . Después expresó de forma aproximada, en forma de fracción sexagesimal, la raíz positiva con una aproximación de nueve decimales . Sin embargo, no sabemos cómo llegó a expresar esta raíz positiva, pues no hace ninguna referencia al método util izado . El segundo problema se refiere al reparto de una suma de dinero entre tres personas siguiendo reglas bien definidas. En 1225, Leonardo de Pisa publicó no sólo la Flor, sino también el Liber quadratorum o Libro de los números cuadrados, una brillante obra sobre el análisis indeterminado . He aquí el prefacio en la traducción de Ver Eecke 6 : Cuando, oh mi señor Federico, muy glorioso príncipe, el maestro Dominico me llevó a Pisa, a los pies de Vuestra Excelencia , el maestro Juan de Palermo, a! encontrarme, me propuso la cuestión, qúe pertenece tanto a la geometría como al número, de encontrar un número cuadrado perfecto, que aumentado o disminuido en cinco, dé origen a otro número cuadrado perfecto. Después de reflexionar acerca de la solución que ya había hallado de dicha cuestión, me dí cuenta de que dicha solución tenía su origen en las cosas múltiples que se presentan en los números cuadrados perfectos y entre dichos números. Recogí el tema, me propuse componer la presente obra y quise titular El libro de los números cuadrados. Por ello , suplico vuestra indulgencia en caso de que contenga algo no del todo exacto o necesario, puesto que corresponde a la divinidad, más que a la humanidad , recordar todo y no equivocarse en nada y nadie está libre de falta ni de descuido .
ó Leonardo de Pisa, Livre des nombres carrés, traducido por primera vez del latín medieval al francés por Paul Ver Eecke, Brujas, 1952.
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La cuestión principal tratada en esta ohra, qui: contiene 20 proposicitrnes. se refiere a la resolución del sistema general de ecuaciones: >
tienden a modificar el estatuto de las arte~ liberales. La diakctica o h)gica se vuelve tan importante que tiende a eclipsar a las demás artes. Por otra parte, puede constatarse también un nuevo interés por las ciencias, aunque sin embargo no se puede observar el mismo interés por parte de Jos estudiantes, que sobre todo aspiraban a terminar sus estudios universitarios en posesión del contenido ofrecido por el triviwn. El círculo de los «filósofos del emperador», relacionado con las universidades, será fecundo, además, en lo concerniente a las 111atcmáticas posteriores a la época medieval. Aunque es cierto que las universidades dedicaban a las matemáticas una parte muy exigua de sus actividades, también es cierto que la mayoría de los matemáticos de los siglos siguientes frecuentan los ambientes universitarios, 111icntras que sus predecesores latinos vivían más bien en círculos centrados casi exclusivamente en los negocios .
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+a =y > > .e - a = z-
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en el que las soluciones han de ser números racionales. En particular, el problema enunciado en el prefacio se trata ele forma completa y va acompañado de una solución expresada en la forma 1~ 3. Finalmente, Leonardo de Pisa utiliza a menudo en su libro las identidades:
(a2
+
b2) (c2
+
d2)
2 .1~
(ac + bd) 2 + (be - ad) 2 = (ad + bc)2 + (ac - bd) 2
ya conocidas por Diofanto y los árabes. También conocemos de Fibonacci una Epístola Leonardi ad magistrum Theodorum Philosophum domini lmperatoris, en la que se encuentran problemas de análisis indeterminado de primer grado.
JOIWANUS NEMORARIUS
Según George Sarton, eminente historiador de las ciencias, Jordanus Nemorarius nació en la segunda mitad del siglo XII en Westfalia, profesó en París en 1220, fue elevado a la dignidad de general de los dominicos en 1222 y murió en 1237 cuando volvía ele Tierra Santa. Otros historiadores, en particular, Joseph Hoffmann, rechazan esta identificación con Jordanus ele Sajonia sin dar, por otra parte, ninguna alternativa digna ele tener en cuenta. Podemos considerar a Jordanus Nemorarius como el fundador de la escuela medieval de mecánica, desempeñando así un papel de capital importancia en dicha ciencia. Sus trabajos sobre las palancas y el plano inclinado le llevaron al enunciado de la primera fórmula exacta del plano inclinado .
EL NACIMIENTO DE LAS UNIVERSIDADES EUROPEAS
El advenimi.::nto de las universidades, a finales del siglo XII y en el curso del XIII favorecerá, al menos en teoría, el desarrollo de las matemáticas y su difusión entre un mayor número d .~ pe rsonas. Al • principio, el programa de las universidades se basa ese ncialmente en las siete arté:S liberales, abandonando el quadrivi11m en gran parte en beneficio del trivi11m. Las siguientes instituciones universitarias reciben su carta de fundación hacia el siglo XIII: París ( 1200), Oxford (1214), Cambridge (1231), Paclua (1222), cte. La aritmética que se enseñaba en Oxford al principio correspondía al contenido matemático que se encuentra en los textos de Boecio, Cas10doro e Isidoro de Sevilla. Se estudiaban en particular las propiedades de los números: relaciones, proporciones, fraccio~ nes y números poligonales. No se pone de manifiesto preocupación alguna por el cálqilo práctico. Una situación análoga se daba en Cambridge y probablemente en las demás universidades del continente europeo. Con el nacimiento de las universidades podemos constatar una revolución intelectual cuyas principales características
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en la que Fes la fuerza, W el plano y 8 el ángulo de inclinación. Escribió numerosas obras sobre aritmética, geometría, astrono11-·ía y mecánica . Su Arithmetica decem libris demonstrata es un tr•ttado de aritmética teórica, al estilo de las obras de Euclides y de
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los libros de Nicómaco y 13occio. Este libro sirvió de base parn !qs comentarios de moda en la Universidad de París hasta el siglo XVI y fue de hecho editado pcr Jacques Lcfevre d'Etaples en 1496 y 1.503. En él se encuentran proposiciones teóricas tales como «todo múltiplo de un número perfecto o abundante es abundante», «todo divisor de un número r erfecto es deficiente»' «el producto de dos números consecutivos no es ni un cuadrado perfecto, ni un cubo» y la proposición falsa «todos los números abundantes son pares», etc. El uso de letras en lugar de números fue una de las innovaciones importantes de la Arithmetica, puesto que permitió en lo sucesivo enunciar teoremas generales de álgebra, al introducir la noción de «parámetro». Esta innovación venía a colmar las lagunas observadas en los textos de Euclides y de al-Jwarizml en particular. Euclides representaba los números por segmentos de rectas en sus teoremas aritméticos que encontramos en los libros VII al IX, y las letras utilizadas estaban unidas a los segmentos. Por otra parte, las demostraciones geométricas del Algebra de al-JwarizmI utilizaban diagramas letrados, pero todos los coeficientes que aparecían en las ecuaciones algebraicas eran números específicos representados por cifras o escritos literalmente. Sin embargo, la idea de «parámetro», que se encuentra quizás por primera vez en las obras medievales, no fue adoptada inmediatamente por los sucesores de Jordanus Nemorarius, quienes parecieron preferir los puntos de vista algebraico:; expresados en otro de sus libros, titulado De numeris datis . De numeris datis es una especie de tratado de álgebra, o más concretamente una cokcción de reglas algebraicas , inspirada en los Datis de Euclides. Está dividido en cuatro libros y contiene 115 problemas, unos abstractos y otros numéricos, cuyas ecuaciones son generalmente de prime> y segundo grado. Los números están escritos en caracteres comvnes. Aunque muchos de los problemas de Jordanus Nemorarius corresponden a los de Fibonacci, su tratamiento del álgebra se distingue del de éste por el método de resolución de los problemas . Hace todos sus razonamientos por medio de símbolos de letras, pero no llega a desarrollar un cálculo algebraico. La cuestión princip1l consiste en encontrar, dado un número, otros números que sati:;fagan ciertas condiciones, o en mostrar que un número que satisfac.~ ·mas restricciones concretas está nece:;ariamcnte determinado. Un ejemplo típico aparece en !a tercera proposición del libro J: «Si un número dado se divide en dos de form;1 que
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d producto de estos dos esté dado también, cada uno de los dos números es necesariamente conocido.» La regla fue expresada de la forma siguiente por Jordanus Ncmorarius: «Divídase un número dado abe en ah y e, y sea del producto dado de ab por e. Supongamos también que el producto de abe por·sí mismo sea e. Tomemos el cuádruplo de d . es decir f, que restado de e dé como resultado g; éste será el cuadrado de la diferencia entre ah y c. Extraigamos la raíz cuadrada de g y llamémosla h; h será la diferencia entre ab y c. Puesto que h viene dado, e y ah están determinados.» Resaltemos que Jordanus Nemorarius confunde a veces, en la utilización de las letras, al igual que Euclides, la utilización de dos letras para designar un número con la utilización de una sola letra en otras ocasiones. Así, sigue a Euclides cuando subdivid~ ae en dos partes, ab y be, pero al mismo tiempo utiliza a y b, puntos extremos del segmento ab, mientras que representa be sólo con la letra e. Además se le atribuye el hecho de haber sido el primero en enunciar la regla equivalente a la solución general de la ecuación cuadrática . Un poco más tarde proporcionará un ejemplo en apoyo de dicha regla, expresado en números romanos: dividir el número X en dos partes cuyo producto sea XXI. Las soluciones obtenidas , III y VII, fueron deducidas de su fórmula general. También se le atribuye un Algorismus (o Algorithmus) demonsrratus que constituye una exposición de reglas aritméticas inspiradas, una vez más, en Euclides y Boecio y en las características algebraicas que se encuentran en las obras de los árabes. Además, este libro estuvo de moda durante, al menos, tres siglos.
CAMPANUS DE NOVARA
Campano da Novara o Campanus de Novara, capellán de Urbano IV, papa de 1261 a 1264, es célebre por su traducción latina -un clásico de la época- de los Elementos de Euclides a partir de diversas fuentes árabes y de la versión latina de Adelardo de Bath. La traducción se imprimió en 1482 y se convirtió er. el primer texto impreso de los Elementos. Jordanus Nemorarius y Campanus de Novara discutieron sobre el ángulo de contacto (ángulo formado por un arco de círculo y la tangente en un punto extremo). que fue
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ohjcto de animadas discusiones al final del período medieval. Campanus de Novara demostró también la inconsistencia del mi::todo exhaustivo aplicado a la comparación entre el ángulo de contacto y el ángulo rectilíneo entre dos semirrectas. Concluyó de esta forma que esta proposición del libro x no puede aplicarse nada más que a magnitudes de la misma naturaleza y que, en consecuencia, los ángulos de contacto difieren ck los úngulos rectilíneos. Al final del libro IV de su traducción de los f;/e111e11tos, Campanus de Novara describe una trisección del ángulo idéntica, salvo por las letras utilizadas, a la de Jordanus Nemorarius en De triangulis1 . Jordanus utilizaba letras grccoárabes, mientras que Campanus empleaba letras latinas. Tanto la trisección de Campanus como la de Jordanus difieren de las realizadas en la Antigüedad.
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los :lrabes progresar más que los europeos en la co mprensión de las matem<íticas de Arquímedes. La importancia de la traducción de Moerbeke es tanto mayor cuanto que antes de 1269 solamente eran e, mocidos por los europeos los tratados Medida del círculo y Sohre Ja esfera y el cilindro (parcialmente); en consecuencia. reveló al mundo la mayor parte de la obra de Arquímedes. Aunque su traducción tuvo poco éxito durante !os dos siglos siguientes, permititi al menos revelar la obra de Arquímedes y fue, por otra parte, en la que Leonardo da Vinci y los sabios del Renacimiento se basaron para estudiar a Arquímedes. Finalmente, la versión de Moerbeke fue editada e impresa por primera vez en el siglo XVI.
LOS FILOSOFOS ESCOLÁSTICOS
El siglo XII fue, sin discusión, la época de las traducciones latinas a partir de textos árabes. Sin embargo, en el siglo XIII estas traducciones aparecen junto a otras latinas procedentes generalmente de textos griegos. En particular, la mayoría de los textos griegos de Arquímedes no se conocieron en la Edad Media hasta el momento en que, en 1269, Guillermo de Moerbeke (ca. 1215-1286) publicó una traducción latina de las principales obras científicas y matemáticas del eminente siracusano. Guillermo de Moerbeke era un flamenco que estuvP en contacto con Tomás de Aquino, el célebre filó-;ofo escolástico del siglo XIII. Parece que a instancias de este último tradujo la Fisirn de Aristóteles. A Roger Bacon (1214- ' 1294), sabio que se inkresó por las matemáticas pt)r carambola, no le apn:ciaba demasiado, pues k consideraba un desconocedor de las ciencias escritas en lengua griega. Con pocos conocimientos de matemáticas, este anciano arzobispo de Corinto t1 aducía literalmente del griego al latín. lo que no es muy útil desde el punto de vista matemático, pero es esencial para reconstruir el texto griego original. Su traducción comprendía fragmentos de la obra de Arquímedes ignorados por los árabes, tales como los tratados Sobre las espirales, Cuadratura de la parábola y Sobre los conoides y los esferoides. Sin embargo, esto n'.) impidió a 7 De triángu/is es una .obra de geometría que trata del triángulo plan.1 la división de las áreas, los arcos dd círculo y las cuerdas, los polígonos in~:critos y c11cunscritos en el círculo. la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo.
Influida desde el siglo IX al siglo XII por el agustinismo~ y por la penetración del pensamiento aristotélico en la enseñanza católica, la escolástica -método de especulación teológica y filosófica que aspira, con la ayuda de los conceptos filosóficos, a la comprensión racional y la sistematización de las verdades reveladas- asistió en el siglo XIII a un verdadero renacimiento de la filosofía antigua, impregnada de un espíritu cristiano . La adaptación del aristotelismo a la exposición del dogma en las doctrinas de A verroes y Avicena amenazaba, sin embargo, la pureza de la fe . Grandes filósofos dominicos como Alberto Magno y Tomás de Aquino, restablecieron el ctptilibrio, aunque soportaron un ataque concertado por parte de los doctores franciscanos, imbuidos de agustinismo. A partir del siglo XIV, el abuso de la dialéctica y de las abstracciones vacías lanzó a unos hacia el misticismo y a otros hacia el estudio de las ciencias de la naturaleza. Las traducciones latinas de la Física de Aristóteles y de los trabajos sobre la mecánica de Arquímedes, unidas a la tendencia de ciertos filósofos al estudio de la ciencia en general, pusieron de moda, en el siglo XIV, el estudio del cambio en general y del movimiento, principalmente en las universidades. En particular , los filósofos escolásticos de Oxford dedujeron una fórmula literal de la s Doctrina conforme al espíritu
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tasa uniforme tk camb io que lleva el nombre de «regla de Merton». Aplicada al fcnórncn ,) de la distancia recorrida en un tiempo dado, la regla se convierte ~sencialmente en lo siguiente:
proponer una variante a la ley del movimiento de Aristóteles - v = k FIR, en la que ves la velocidad, k una constante de proporcional idad, F la fuerza y R la resistencia del medio- con el fin de eliminar el absurdo de dicha ley cuando la resistencia es mayor que la fuerza, lo que implica, según la ley, una velocidad no nula . Así, para duplicar la velocidad es suficiente, según Brawardine, tomar el cuadrado de la relación FI R, para triplicarla habría que tomar el cubo, y así indefinidamente según esta ley; de ahí, en notación moderna, v,, = log (FIR)", donde 110 = log (FIR) es la velocidad inicia!. Brawardine escribió también una Aritmética y una Geometría, influido en esto por sus predecesores I3oecio, Campanus de Novara e incluso Aristóteles y Euclides. Se interesó en particular por el estudio del ángulo de contacto y de los polígonos estrellados'º· Los conceptos matemáticos que dieron lugar al cálculo diferencial e integral fueron también objeto de preocupación del antiguo procurador de Oxford. En efecto, demostró , principalmente en su Geometrica speculativa y su Tractatus de continuo, :¡ue las magnitudes continuas están compuestas por un número infinito de elementos continuos -no divisibles- de la misma especie. En el siglo XIV, los partidarios de la doctrina de los indivisibles interpretaban la cuestión desde distintos puntos de vista : unos admitían la existencia de átomos físicos, otros daban una interpretación en términos de puntos geométricos; unos co'rlcebían un núme ro finito de puntos, otros un número infinito; unos afirmaban la existencia de indivi sibles contiguos, otros la de indivisibles se parados . Además , Brawa rdine afirmaba que una razón irracional no debía representarse po r un número. Expuso también sus puntos de vista sobre la noción de infinito , especificando que el infinito actual es una cantidad sin límite, mientras que el infinito potencial es una cantidad peque ña que es susceptible de ser aumentada.
Si un cuerpo se mueve _con un movimiento uniformemente acelerado, la distancia recorrida será la misma que la recorrida por un móvil quC' se mueve, durante el mi·;mo tiempo, uniformemente a una velocidad igual a la del primer cuerpo cuando éste. ha dejado pasar la mitad del tiempo.
Esta regla equivale de hecho a calcular la velocidad media de la inicial y la final. Esta ley, válida para un movimiento uniformemente acelerado, también podía aplicarse a otros fenómenos físicos . Entre los físicos del siglo XIV se encuentran un grupo de profesores de universidad y eclesiásticos que se dedicaron sobre todo, en lo referente al aspecto matemático, al estudio cuantitativo de la variación y su representación gráfica. Pese al azote de la peste bubónica que mató a más de un tercio de la población europea y a las numerosas dificultades de orden político y económico ocasionadas por la guerra de los Cien Años, el siglo XIV conoció prestigiosos nombres, tales como Tomás Brawardine y Nicolás de Oresme.
BRAWARDINE
Tomas Brawardine (ca. 1290-1349), filósofo, teólogo y matemático, fue probablemente el más eminente matemático inglés del siglo XIV. Denominado también «Doctor profundus» por su erudición, fue procurador del colegio Merton antes de ser nombrado arzobispo de Canterbury, puesto que ocupó hasta su muene en 1349. Escribió numerosos libros que tratan de temas matemáticos. En su Tractatus de proportionibus (1328), desarrolla la teoría de las proporcicnes doble, triple, cuádruple o, más generalmente, lo que podemos llamar énuple9 a partir de la teoría de Boecio. Aunque su argumentación no contiene ningún simbolismo, equivale sin embargo a decir que las «cantidades» varían con la segunda, tercera o enésima potencia. Partiendo de esta teoría, Brawardine ¡>Ue¿e
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9 Su teoría de las propor 2iones comprende también una argumentación análoga par;1 el caso de las cantidades que varían con la segunda, tercera o enésima raíz .
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desarrolla la teoría de las proporciones de Brawardine, con el fin de sentar una base matemática para el tratamiento de las proporciones utilizadas por este último. Distingue tres clases de razones: razones racionales, razones irracionales pero conmensurables a razones racionales, razones irracionales e inconmensurables a al menos una o, eventualmente, a varias razones racionales . Este último tipo de razón -o proporción- es estudiadado por Oresme por medio de proposiciones que niegan la o las posibles relaciones entre la proporción (f( y la proporción 2 : 1, por ejemplo. La ausencia de una terminología, de símbolos y de reglas flexibles y adecuadas, k impidió manejar eficazmente los exponentes irracionales . Sin embargo, parece, según E. Grand' 1 , que Oresme llegó al concepto de exponente irracional, creyendo firmemente que las proporciones irracionales podían realmente existir sin que él fuera capaz de escribir una sola.
Ejemplo !: Relación racional que es conmensurable a otra relación
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Nicolás de Orcsme (ca. 1323-1382) nació en Norrnandía y v1v10 durante casi quince ailos en el cokgio de Navarra (que ocupaha el emplazamiento actual de la Escuela Politécnica de París), sucesivamente como estudiante, profesor y después gran maestro a partir de 1356 . Obispo de Lisieux en 1377, murió el 11 de julio de 1382. Es célebre en matemáticas por varias razones: se deben a él reglas equivalentes a nuestras leyes sobre los exponentes, notaciones particulares de potencias fraccionarias o irracionales, la representación gráfit2a de variaciones, la primera aproximación probable a la doctrina 'de los .indivisibles de Cavalieri, algunas reglas para la suma de series infinitas y algunas leyes particulares para la determinación de la convergencia y divergencia de ciertas series infinitas. En su Algori:mws proportionwn, impreso en Berlín en 1868, nos presenta la primera exposición sistemática conocida de reglas operacionales para L1 multiplicación y la división de razones con exponentes enteros o fraccionarios. Esta obra comprende tres partes, precedidas por un prefacio dedicado a Felipe de Vitry, obispo de Meaux de 1351 a 1361, compositor y amigo de Petrarca. La primera parte contiene una serie de reglas de operación sobre los exponentes, sin ninguna base teórica y las otras dos tratan ele la aplicación de dichas reglas a diversos problemas físicos. La exposición de la primera parte empieza de la siguiente for• • . j se escn.be como 2•1 un tercio ma: « u na m1tac como 31 y "LOS terc10s
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como y así sucesivamente. El número que está encima de la barra se llama numerador, y el que está debajo de la barra denom;nador. Una razón doble se escribe como 2'', una razón triple como 3p y así
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sucesivamente. Una relación sesquiáltera --es decir~- se escribe ,. r L . , .,,4 Cl2 i . 1 ., como 1 2 ... ». a expres1on V:¿ 2 tiene a notac1on en su texto
éjemplo 2: Relación irracional conmensurable a una relación ra. . 14¡ 1º (2 1.::!'J c1onaL Las relaciones \[ y ¡J están relacionadas en la propor.
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crón 3 puesto que (¡ = (-=¡) . Se puede mtrodum aquí una variante en la que las dos relaciones sean irracionales y conmensura-
1 . 1 . ''""' 1 2''' u 1 • 41 2'' :z, o variantes como 4,, 2· 4 , 4 2· etc. ( )resme sigue a menudo la costumbre medieval de verbalizar por entero la expresión matemática y no es extraiio constatar la presencia de la forma verbal y de la forma aritmética yuxtapuestas en el mismo texto. Las reglas estudiadas por Oresme en esta primera parte tratan de la multipiicació11 y división de dos proporciones racionales, y de una proporción ir rncional y otra racional, ilustradas por ejemplos con-
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Edward Grand. «Nicolc Oresrne and his De proportionibus proportio1111m ». 1960, p. 303.
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tan exponentes irracionales. As1 (-¡-) 9 ,.~ proporción 2 a 1, puesto que (-¡-)
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Es interesante destacar, en De proportionibus, la décima conclusión .del capítulo 3, el último capítulo dedicado a las matemáticas, en la que Oresme demuestra que es improbable que, dadas dos proporciones, éstas sean conmensurables entre sí y que es mucho mayor la probabilidad de constatar la inconmensurabilidad de esas dos proporciones. Después utilizará este resultado matemático para atacar los argumentos de los astrólogos que proclamaban la posibilidad de hacer predicciones astrológicas a partir de datos celestes exactos y numerosos. Utiliz.ando dos argumentaciones, una de naturaleza física (movimientos celestes) y Ja otra de naturaleza matemática, respondía a Jos astrólogos que era grande Ja probabilidad de que dos proporciones de velocidades, tiempos o distancias fuesen inconmensurables, puesto que existen muchas más proporciones irracionales que racionales. La influencia ejercida por De proportionibus proportionwn en las actividades de los filósofos escolásticos de los siglos XV y XVI no es aún del todo conocida. De todas formas, es razonable afirmar que el tratamiento exponencial de las proporciones se estudió en los trabajos del siglo XVI. Además, Ja argumentación de Oresme para refutar las predicciones astrológicas del tiempo contiene un pensamiento probabilístico próximo al que prevaleció durante el siglo XIV y más tarde. Más aún, su exposición sobre los exponentes irracionales tuvo probablemente consecuencias en las principales corrientes del pensamiento matemático de los siglos siguientes. En resumen, esta obra, producida por una de las mentes más despiertas del mundo medieval, plantea numerosas preguntas a las que sería I• •uy útil responder para comprender mejor el pensamiento matemático de este período y las consecuencias que de él se derivan. El estudio de la cuantificación de las «cualidades» o de las forÍnas variables emprendido principalmente por los filósofos escolásticos de Oxford condujo a éstos últimos a enunciar Ja regla de Merton. Extentida a otras formas o cualidades-, la cuantificación se desarrolla progresivamente en la época de Oresme y se refiere tanto
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a fenómenos físicos, tales como la velocidad, la variación de la temperatura, la variación de la intensid ad luminosa. C1)fl10 a otros fenómenos de diversa índole. Además, el estudio cuantitativo de la variación lleva a los filósofos del siglo XIV a su clasificación según que la tasa de variación o de cambio sea o no uniforme, después según que la tasa de cambio de la tasa de variación de una cualidad sea o no uniforme, y así sucesivamente. Partiendo de estas cosas conocidas, Oresme tuvo la brillante idea de trazar el gráfico de las variaciones observadas , para así facilitar la comprensión de la variación. «Todo objeto mensurable», escribió Oresme, «puede imaginarse como una cantidad continua». Consecuentemente , trazó el diagrama de la velocidad en función del tiempo para un móvil animado por una aceleración uniforme. El gráfico obtenido tiene dos dimensiones: la longitud en sentido horizontal y la latitud en sentido vertical. La intensidad de la velocidad viene indicada por segmentos de rectas dispuestas en sentido vertical y apoyadas en la horizontal, en los puntos correspondientes al tiempo regi st rado . Si el movimiento uniformemente acelerado parte del reposo (velocidad inicial nula), el gráfico obtenido será un segmento oblicuo en el eje de las longitudes y la altura máxima, en relación a la horizontal , de dicho segmento proporcionará la velocidad final del movimiento .
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Por otra parte, la suma total de los segmentos verticale~ (velocidad) representará, según OresmP. , la distancia total recorrida. Así, el área del triángulo de la figura está asociad.a a la distancia recorrida.
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Adem:is, Orcsmc proporcionó mediante este diagr
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En Oresme y sus contemporáneos, la representación gráfica es rnás bien escasa y su estudio es más cualitativo que cuantitativo. Sin embargo, la noción de gráfico, como elemento descriptivo de una cualidad, facilita la comprensión, y el estudio de la variación de los fenómenos constituyó un tema de moda al que los matemáticos de los dos siglos siguientes dedicaron una particular atención . Los filósofos del siglo XIV se dedicaron también a la utilización de las series infinitas en la resolución de problemas. En efecto, los escolásticos estudiaron el concepto de infinito, infinito potencial e infinito actual, a menudo implícito en los problemas de latitud de formas. En particular Calculator o, más exactamente, Ricardo Suiseth (ca . 1350) -resolvió un problema de latitud de forma cuya solución verbal equivale a decir que la suma de la serie infinita 1
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2+4+8+ .. . +-¡,;-+ .. . es 2. Oresme utilizó el procedimiento gráfico para demostrar más fácilmente dicho resultado, mientras que Calculator dio una argumentación verbal larga y tortuosa. Por otra parte, Oresmc logró demostrar otros resultados tales como que la suma de !....:..]_+~+~+'~+ 4
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es En particular, Oresme declaró que las siguientes series son convergentes y dio su suma : " ( 1 - -1)'' + .. . = a 1) + 11- 1 - -n1)+ - 1 - -n1)' + ... +-· " n n tJ
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Numerosos matemáticos se ocuparán, durante los dos siglos siguientes, de estudiar este tipo de problemas que hace surgir series infinitas. Oresme fue el primer matemático que demostró que la
s{~ rie armónica 12 es divergente, agrupando el primer término~ en el 1 ~ La serie armónica está constituida por la serie de términos
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primer grupo, los dos términos siguientes} en el segundo grupo, los cuatro siguientes en el tercero y así sucesivamente, conteniendo el emésimo grupo 2111 - 1 términos. «Por tanto, es evidente», resalta , «que existe un número infinito de grupos y que para cada uno de los grupos . la suma de los términos es al menos t». También proporcionó una regla para deterrr.inar la convergencia de una saie y hallar su suma. Oresme escribió varias obras más, entre las cuales puede mencionarse un Tratado sobre la esfera, un Tratado del cielo y del mundo, traducciones francesas de Aristóteles y Petrarca, y las Quaestiones, que comprenden, entre otras cosas, series infinitas, nociones de conmensurabilidad e inconmensurabilidad, una geometría de las cualidades y un estudio de los ángulos.
RESUMEN
La contribució n del lmper~ o bizantino a l ca mpo de las matemáticas consiste en haber conservado los textos matemáticos escritos en griego y haber comentado los clásicos antiguos. -Los primeros autores latinos se basaron libremente en las obras ele Euclides, Nicómaco y Tolomeo y sus obras influyeron notablemente en la enseñanza de las matemáticas en las escuelas medievales hasta finales del siglo x . Entre estos primeros autores latinos, Boecio fue indiscutiblemente el que más influyó en el pensamiento matemático de los primeros siglos de la Edad Media. En el siglo X, los números indoarábigos son introducidos en Europa por Gerberto, que fue el maestro de los «abacistas». Durante el mismo período, los matemáticos europeos entran en contacto con los textos árabes y se asiste a la fundación de las primeras universidades. En los siglos XI y XII, los traductores latinos comienzan a traducir numerosos textos matemáticos escritos en lengua árabe, empleando las dos vías principales de traducción representadas por España y Sicilia. Los principales temas matemáticos que interesan a los traductores latinos son el álgebra y la t!igonometría árabes. La geometría griega, de un nivel superior a las matemáticas del lslam, no parece atraer la atención de los sabios de Europa. El primer sabio europe•) que contribuyó considerablemente y de forma original al campo de las matemáticas fue Leonardo de Pisa, conocido bajó
/.as m atemáticas de la Ltiropa medieval: 500-/.JOO
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el nombre de Fibonaccí. Su Liber abaci trata sobre todo de los métodos
algebraicos y de problemas en los que se acentúa e l empleo de los números indoarábigos. En particular, enunció un problema céle bre que dio lugar a la «Sucesión de Fibonacci» . A pesar de la originalidad y el evidente valor de sus trabajos, influyó poco en las matemáticas de su tiempo. Jordanus Nemorarius puede ser considerado como el fundado r de la escue la medieval de mecánica e introdujo el empleo de le tras en lugar de los símbolos numéricos. Los filósofos escolásticos se inclinan po r el estudio del movimiento y del cambio en general y sus trabajos científicos, desde el siglo XII al XIV, se refie ren al estudio cuantitativo de la variación y su representación grá fica. Thomas Brawardine, eminente matemático inglé s del siglo XIV, desarrolló una teoría de las proporciones-que engloba el concepto de variación expresado en términos de la potencian o de la raíz enésima. No fue ajeno a las cuestiones de los conceptos matemáticos de continuidad e infinito que se debatieron durante el siglo XIV. Nicolás de Oresme es célebre en matemá ticas por varias razones : proporcionó reglas equivalentes a nuestras leyes sobre los exponentes, notaciones específicas para las potencias fra ccio na rias e irracionales, una re presentación gráfica de la va riación, una pr ime ra aproximació n p robable a la teoría de los indivisi bles de Cavalieri y a lguna s reglas sobre la suma de series infin itas y sobre la determinació n de la convergencia y dive rge ncia de cie rtas series.
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EJERCICIOS
L ¿En qué contribuyeron los sabios del Imperio bizantino a la historia de las matemáticas? 2. Describir la enseñanza de las matemáticas en Europa antes del nacimiento de las universidades. 3. Los sabios latinos del siglo XII extraen sus conocimientos matemáticos de diversas fuentes. ¿Cuáles fueron dichas fuentes y de qué forma accedieron a ellas? 4. ¿Sobre qué temas matemáticos versan las traducciones de los siglos XII
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y x111·1 ¿Se.: puede explicar la ausencia casi total ele la geometría griega en estas traducciones? Distinguir entre «algoristas» y «abacistas». Describir el contenido matemático del Liber abaci de Lc,mardo de Pisa . ¿Cuáles son sus carencias principales? _ Enumerar algunas propiedades de las «sucesiones de Fihonacci». · ¿Cuál es el contenido de las matemáticas que se enseñaban en las universidades a principios del siglo x111? A partir de mediados del siglo XIII, los principales matemáticos surgen de diferente forma en comparación con los siglos precedentes. Precisar esta afirmación. ¿Por quién y en qué obra son empicadas por primera vez letras en lugar de números? ¿Es siempre pertinente esta utilización? ¿En qué año se imprimieron por primera vez los Elementos de Euclides y a partir de qué celebre traducción latina? ¿Quién fue el primer autor latino que dio a conocer las obras matemáticas de Arquímedes a los matemáticos europeos y cuáles fueron éstas? ¿Qué consecuencias tienen en los medios universitarios del siglo XIV las traducciones latinas de la Física de Aristóteles? ¿Cómo interpretaban los partidarios de la doctrina de los indivisibles en el siglo XIV el problema de las magnitudes continuas divisibles en un número infinito de elementos? Describir las contribuciones matemáticas ele Brawardine. ¿Cuáles fueron las contribuciones más relevantes de Nicolás de Oresme al campo de las matemáticas?
JO.
EL RENACIMIENTO EUROPEO
El Renacimiento europeo
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fundamente debilitada en su potencial humano, renace a la vida y se recupera del choque físico y moral ocasionado por esta hecatombe.
INVENCIÓN DE LA IMPRENTA
INTRODUCCIÓN
La época devastadora de la peste negra, que redujo en más de un tercio la población europea, se sitúa hacia mediados del siglo XIV. Esta catástrofe internacional, además de ser el origen de un debilitamiento tanto en el plano moral como en el intelectual, perturbó inevitablemente a los habitantes de Europa. Además, los países -Francia e Inglaterra- en los que encontramos los matemáticos más importantes del siglo XIV, no pudieron, debido a las grandes guerras que sufrieron (guerra de los Cien Años y guerra de las Dos Rosas), recuperar la ventaja que tenían sobre los otros países europeos antes de este cataclismo. Afortunadamente, el relevo estará asegurado en el siglo XV por las universidades italianas, germánicas y polacas; así, los prometedores comienzos de los filósofos escolásticos de Oxford y París no correrán el riesgo de caer en el olvido. El desmoronamiento del imperio bizantino 'se consuma con la caída de Constantinopla, tomada por los turcos musulmanes en 1453. Esta fecha, memordble para la historia política, deja también su huella en los acontecimientos políticos que tienen relación con la historia de las matemáticas. La toma de Constantinopla por los turcos provocó la emigración hacia Italia de muchos refugiados bizantinos que llevaron consigo manuscritos originales de la civilización griega prácticamente desconocidos para los sabios europeos. Además, ciertos historiadores consideran este acontecimiento político como una ruptura definitiva con un medio rico en documentos clásicos de la gran época griega, que constituía una fuente fecunda y, al parecer, inagotable. A partir de este acontecimiento, a mediados del siglo XV, la actividad matemática de Europa inicia de nuevo su ascenso hacia cotas hasta entonces desconocidas. Europa, pro-
Durante la Edad Media y los primeros siglos de la Edad Moderna, la tradición escrita se transmitía por medio de manuscritos. La producción de 111anm.critos constituía una verdadera industria y el oficio de copista s~ practicaba a una escala que sobrepasaba claramente el estadio de simple artesano. En el siglo XV, la invención de la imprenta por Gutenberg y sus colaboradores suscitó, naturalmente, un entusiasmo inequívoco, pero provocó también una resistencia obstinada, que llegó incluso hasta la hostilidad, en algunos medios próximos a la fabricación comercial de manuscritos. No hay que extrañarse, contrariamente a ciertas ideas muy difundidas, al constatar que la invención de la imprenta no fue tan repentina como algunos quieren creer y que la eficacia de este nuevo procedimiento se puso de manifiesto de forma gradual. Durante cerca de un siglo, los impresores lucharon ferozmente por asegurarse el mercado del libro, sin perjudicar por ello a los copistas, que continuaron durante mucho tiempo ejerciendo su oficio. En los primeros tiempos de la imprenta, se asistió a una práctica retrógrada que consistía en copiar a mano los libros recién impresos, actividad que encontramos todavía hoy en algunos países. Sin embargo, las prensas de la imprenta penetran poco a poco en los principales centros culturales de Europa y los impresores tratan de satisfacer a un público cada vez más numeroso publicando libros que respondan ante todo al interés general. El impresor es un hombre de negocios que pretende ganar dinero y cuya preocupación más importante consiste en responder a la demanda del público. Los primeros libros impresos en estas prensas responden más a las ideas de la época y a las referencias populares que a las necesidades de una minoría de intelectuales y sabios. La creación, a partir del siglo XIII, de las universidades, provoca una demanda acuciante de copias de un mismo manuscrito, que las industrias de copistas se apresuran a satisfacer perfeccionando nuevos métodos para acelerar la producción de un número elevado de
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ejemplares. Sarton' menciona que, hacia 1464, un tal Vespasiano contrató a cuarenta y cinco copistas para producir doscientos manuscritos en menos de dos años, con el fin de abastecer la biblioteca de San Lorenzo. Sin embargo, la imprenta podía, en menos tiempo, proporcionar un número mayor de ejemplares; esta competencia desigual terminaría por descartar la producción masiva de manuscritos. A finales del siglo XV, la difusión de libros impresos aumenta considerablemente y las prensas de Venecia producen por sí solas más libros que todos los copistas de Europa reunidos. La invención de la imprenta contribuyó a unificar los conocimientos, eliminando el gran inconveniente de las divergencias entre copistas al reproducir un manuscrito. Así, el poseedor de un manuscrito era grneralmente incapaz de determinar la autenticidad de su copia, debido a las variantes introducidas por el copista_ El nuevo procedimiento hacía posible la publicación de copias idénticas y conformes al texto original. Sin embargo, en los primeros tiempos de la imp;"enta, los impresores, por afán de perfección, se permitían introducir \ariantes y añadiduras que son la alegría de los bibliófilos y la dese:;peración de los sabios_ Esta anomalía continuó hasta el siglo XIX; afortunadamente, en nuestra época, la unificación de los conocimientos, al menos por lo que respecta a la reproducción de un texto original, es un hecho.
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Novara ilustran el esplendor de las matemáticas griegas; Apolonio no será editado hasta 1537 y el primer tratado de Arquímedes lo será en 1543. Los mátemáticos creadores del siglo XV no podían esperar mucho de la impresión de los grandes clásicos griegos, ya que éstos, salvo algunos pasajes de los Elementos de E!Jclides, presentaban tales dificultades que únicamente los mejor entrenados podían aspirar a descifrar el aspccto alta111c11tt' cso!t~rico de los tt·xtos 1k Euclides, Arquímedes, Apulonio, ele. Se prdcd~1 t:studiar las trn · ducciones latinas del álgebra y la aritm~tira úrahcs, que se adecuaban mejor por su naturaleza y su forma a las preocupaciones de los sabios occidentales, mientras que la kctu1a de 1111 tratado de Arquímedes era, cuando menos, difícil y poco habitual. La actividad matcmütica del siglo XV cs!<Í 11111y re11trali1ada t'll la principales ciudades de Italia , y en las ciudades de Nurcmberg, Viena y Praga en Europa central, aunque hay sin embargo una excepción, la de Nicolás Chuquet, un parisino. El primer matemático del Renacimiento, más exactamente el que se encuentra en la línea de demarcación emre el mundo medieval y los tiempos modernos, es el cardenal Nicolás de Cusa.
NICOLÁS DE CUSA LA IMPRENTA Y LAS MATEMÁTICAS
El descubrimiento de los clásicos griegos, desconocid-:>S para los sabios occidentales, no causó una impresión inmediata sobre estos últimos, que prefirieron, desde los primeros tiempos de la imprenta, pedir traducciones latinas de textos árabes cuyo contenido algebraico les interesaba más y estaba más de acuerdo con su formación matemática. En efecto, la literatura científica antigua, salvo los trabajos de medicina de Hipócrates y Galeno, tiene poco interés tanto para el impresor como para el intelectual europeo. Dos ediciones de Euclides a partir de la traducción latina de Campano de
' George Sarton, «The scientific literature transmitted through the incunabula». Q,iris. 5. 1938, p. 57.
Nicolás de Cusa (1401-1464), nacido en Cusa, ciudad de Renania de la que tomó su nombre, era hijo de un hombre que vivía pobremente de los productos de la pesca. Tuvo rápidamente acceso al capelo cardenalicio y fue gobernador de Roma en 1448. Se distinguió como hombre de la Iglesia, al tiempo que consagraba, por gustp al parecer, algunos momentos de su vida al campo de las matemáticas. Sin embargo, no tuvo mucho éxito en '.natemáticas y sus contribuciones se reducen al estudio del área del círculo y a la búsqueda de una aproximación de n por medio de construcciones poligonales. Nicolás de Oresme sostenía que todo lo mensurable podía ser representado por una latitud (recta vertic,11 u horizontal). Opiniones similares son expresadas por Nicolás de Cusa, que veía el punto flaco de la ciencia escolástica en la incapacidad de «medir». Ademús. puesto que en el plano etimológico, el término mens (facultad
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intelecutal, inteligencia) estaba según él ligado a mensura (medida, medición), el conocimiento debía estar fundado en la medida. Su doctrina filosófica de la «unidad de los contrarios» le condujo a ercer que los máximos y los mínimos están relacionados y que así, el círculo, el polígono con mayor número de lados, debía ser conciliable con el triángulo, el polígono con menor número de lados. Esta conciliación de figuras geométricas le hizo creer que, por una ingeniosa construcción de polígonos inscritos y circunscritos que respetasen una especie de medida, podía llegar a determinar la cuadratura del círculo. Consiguió determinar como valor aproximado den 3,142337 ... Esta cuadratura del círculo tendría repercusiones, no tanto como contribución matemática válida, sino más bíen por los esfuerzos que hicieron sus contemporáneos para criticar sus errores.
REGIOMONTANO
Johan Müller. (1436-1476), más conocido como Regiomontano, nombre latino de su ciudad natal en Fraconia (Konisberg: montaña del rey), fue probablemente el matemático más influyente del siglo XV. Estudió en las universidades de Leipzig y Viena, donde Georg Peurbach fue uno de sus maestros, y allí cobró afición por las matemáticas y la astronomía. Después acompañó a Roma al cardenal Bessarion; adquirió un profundo conocimiento de la lengua griega y Se inició en las diferentes tendencias del pensamiento científico y filosófico de la época. Su asociación con el cardenal Bessarion, un bizantino que recibió el capelo cardenalicio como recompensa a sus esfuerzos en favor de la unión de las Iglesias griega y latina, Je llevó probablemente a adquirir, traducir y publicar numerosos clásicos griegos. Después de haber viajado y estudiado en Italia, Regiomontano volvió a Alemania y, hacia 1471, estableció una imprenta y un observatorio en Ja ciudad de Nuremberg. Esperaba poder así imprimir traducciones de Arquímedes, Apolonio, Herón, Clau·iio Tolomeo y muchos otros auto;es griegos, pero interrumpió su trabajo de impresión para responder a la invitación del papa Sixto IV de ir a Roma para participar en la reforma del calendario. Poco después de su llegada a Roma, en 1475, murió, de manera misteriosa, a los
cuarenta años de edad, retardando así el desarrollo de las matemáticas que hubiera podido ser acelerado gracias a los muchos libros que tenía la intención de imprimir. En efecto, su muerte prematura le impidió proporcionar a sus contemporáneos traducciones latinas del Almagesto, la Música, la Optica y la Geografía de Claudio Tolomeo, la Esférica de Mcnelao y Teodosio, las Secciones cónicas de Apolonio, las Neumáticas de Herón, las Cuestiones mecánicas de Aristóteles, etc. Regiomontano no se limitó a este trabajo de traducción, ya que escribió un número no menos considerable de obras, algunas de las cuales se imprimieron. Continuó el Epítome, compendio del Almagesto que Peurbach no tuvo tiempo de terminar, en el que hizo hincapié en las partes matemáticas que eran con frecu~ncia omitidas en los comentarios relativos a la astronomía descriptiva elemental. Ilustró con sus escritos casi todas las ramas de las matemáticas. En particular, comentó los libros de Arquímedes de los que no se había ocupado Eutoquio --el cual escribió comentarios sobre las obras de Arquímedes Sobre la esfera y el cilindro, Medida del círculo, y los Libros de los equilibrios- y refutó la supuesta cuadratura del cardenal de Cusa, mostrándose muy severo con él. En el plano matemático, Regiomontano debe en parte su celebridad a su obra De triangulis omnimodis, una exposición sistemática de los métodos de resolución de triángulos, que marca el renacimiento de la trigonometría. Las obras de astronomía de este período iban siempre acompañadas de tablas de funciones trigonométricas; en particular los trabajos de Peurbach incluían una nueva tabla de senos. Sin embargo, en todos los casos, la trigonometría estaba al servicio de la astronomía y durante mucho tiempo fue éste el único papel que quiso atribuírsele. En efecto, en la India medieval , donde nace --en términos de razón- la función seno, el interés por esta función es debido únicamente a su papel en los sistemas astronómicos. El mismo fenóm-eno se da entre los árabes, para los que la trigonometría no existe por sí misma, salvo en el Tratado sobre el cuadrilátero de Nasir al-Din. En Europa, en el siglo XII, la traducción de textos :írabes comprendía algunas parcelas de la trigonometría islámica, pero, durante siglos, las contribuciones latinas al campo de las matemáticas se reducen más bien a imitaciones de las matemáticas de la civilización islámica. Además, con la Practica geometriae de Leonardo de Pisa y las obras de Brawardine, la
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Europa de la Edad Media proporciona ya elementos fundamentales de la trigonometría, procedentes de fuentes árabes. Por último, en la época en que Regiomontano comienza su De triangulis, podemos con razón afimar que los matemáticos europeos se habían hecho con la supremacía en este campo. Aún más, parece que el célebre ciudadano de Konisberg conocía el tratado de Nasír al-Din, y es fácil suponer que fue este tratado el que le llevó a erigir la trigonometría en disciplina independiente de la astronomía. De Triangulis omnimodis consta de cinco libros: los dos primeros tratan esencialmente de trigonometría plana, mientras que los tres últimos lo hacen de trigonometría esférica. El libro 1. escrito hacia 1464, empieza por las nociones fundamentales, procedentes en gran ' parte de los Elementos de Euclides, las magnitudes y las ra"zones. Siguen después más de cincuenta proposiciones relatÍ'vas a la resolución de triángulos mediante las propiedades de los triángulos rectángulos. El libro 11 contiene un enunciado conciso y una demostración del teorema del seno e incluye además muchos problemas sobre la determinación, en ciertas condiciones, de los lados, ángulos y áreas de triángulos planos. He aquí algunos de estos problemas.
Problema l: Si se conocen la base de un triángulo y d ángulo opuesto, y también la altura sobre la base o el área, entonces pueden determinarse los lados. Problema 2: Dados un lado, la altura sobre ese lado y la razón de los otros dos lados, determinar el triángulo. ¡•.
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Problema 3: Determinar un triángulo si se conocen la diferencia de dos lados, la altura sobre el tercero y la diferencia de los segmentos en los que que la altura divide al tercer lado. Entre las novedades que presenta esta obra, podemos destacar la utilización de las «fórmulas de áreas», escritas de forma retórica. Sin embargo, la ausencia de la función tangente -Regiomontano emplea el seno y el· coseno--- constituye un impedimento difícil de superar en :;u De triangulis, aunque supla esta carencia incluyéndola en otro tratado de trigonometría titulado Tabulae directionum, donde utiliía el término numerus para las entradas en la tabla de las tangentes.
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La muerte repentina de Regiomontano impidió la publicación de sus dos tratados de trigonometría y sin duda el retraso en la publicación de sus obras trigonométricas debilitó considerablemente su influencia. Tabulae directionum fue publicada en 1490, mientras que De triangulis no apareció hasta 1533 y 1561. El estudio general de los triángulos llevó a Regiomontano a C\msiderar problemas de construcciones geométricas un poco al estilo de la División de las figuras de Euclides. En los problemas citados más arriba, por ejemplo en el problema 2, se observa un enfoque de este tipo de problema muy distinto de las antiguas costumbres. En vez de tratar con cantidades generales --<:omo hace Euclides-, Regiomontano da a las rectas valores numéricos específicos, incluso cuando quiere generalizar su método. Esta manera de proceder le permitió utilizar los métodos algorítmicos desarrollados por los algebristas árabes. Así, en el problema de construcción (problema 2), uno de los lados que se desconocen puede ser expresado como una raíz de una ecuación cuadrática con coeficientes numéricos, y esta raíz puede ser construida (segmento) por métodos conocidos de Euclides o frecuentes en el álgebra de alJwarizml. El álgebra de Regiomontano, como la de los árabes, es retórica, aunque conocía bien la AriLmética de Diofanto, en la que se observa la presencia de elementos compatibles con un álgebra sincopada . Esperaba sin embargo traducir al latín ia ohra griega de Diofanto , pero el destino decidió otra cosa y Europa entró en contacto con los procedimientos usuales del álgebra a través de la obra de alJ wiirizml. La profunda atracción que sentía por el conocimiento de los grandes clásicos y su marcada afición por las ciencias hacían de Regiomontano un hombre capaz de grandes cosas. ¿Qué más se podía exigir a un hombre de ciencia que poseía una buena biblioteca, una imprenta, un observatorio y un gran amor por el conocimiento? Regiomontano tenía los medios para reformar a la vez la trigonometría y la astronomía, y habría podido, de manera más directa, sin pasar por los meandros que representaban la tradición , las universidades, las actividades comerciales y el contacto con otros sabios, dar a conocer el álgebra a sus contemporáneos. Su muerte prematura truncó sus legítimas ambiciones y la astronomía y las matcm;íticas perdie ron así a uno de sus más ilustres servido res . Sin
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embargo, un matemático francés va a destacar en el campo del álgebra y de los números, y su obra puede ser comparada al Líber abaci de Fibonacci.
NICOLAS CHUQUET
Nicolás Chuquet vivió, según parece, en la segunda mitad del siglo xv; está considerado como el más brillante de los mátemáticos franceses de este siglo. Nacido en París y doctor en medicina, vivió y ejerció la medicina en Lyon. En 1484, escribió su célebre obra Tripartición en la ciencia de los números, que no fue publicada hasta el siglo XIX. He aquí el principio: Este libr9, en honor de la gloriosa y sagrada Trinidad, se divide en tres partes. La primera trata de los números en cuanto que se pueden enumerar, sumar, restar, multiplicar y partir, y también de sus proporciones, progresiones y otras propiedades. La segunda trata de las raíces de los números y la tercera es el libro de los primos o de la regla de los primos [ ... ]2
La primera parte de su libro se ocupa esencialmente de las operaciones aritméticas usuales con números racionales, incluyendo también una explicación de los números indoarábigos. Chuquet dice sobre estos símbolos que la «décima figura no tiene un valor, o no significa un valor, y por ello se llama cero, o nada, o figura sin valor». El conjunto es esencialmente retórico, utilizándose los térm inos «más», «menos», «mult iplicar por» y «partir por» para indicar las cuatro operaciones fundamentales. En ocasiones, las operaciones más y menos se abrevian, según la costumbre, por p y iñ respectivamente. En la segunda parte, las operaciones tienen por objeto los números irracionales y, respecto a las raíces de los números, Chuquet se aproxima al álgebra sincopada al expresar V14=\1180 como R 2 · 14 · iñ R 2 · 180. La tercera parte de esta obra, con mucho la más importante, se refiere al álgebra o a la regla de la incógnita. Durante los siglos XV y Citado por Pierre Dedron y lean ltard, Mathéma1iq11cs el m atlzématiciens, París, Magnard. 1959, p. 155. 2
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XVI, se utilizaban distintos nombres para designar a la incógnita: res (latín), chose (francés), cosa (italiano), coss (aicmán). Por su parte, Chuquet designaba por la palabra premier esta incógnita y el cuadrado por la palabra champs, y así el cubo era wbiez y la cuarta potencia champs de champ. Para los múltiplos de estas potencias, Chuquet inventó ui:ia notación exponencial muy sugestiva. Así, 7x, 13x2 y 15x3 aparecen en la Tripartición como 7 1 , 13 2 y 15 3 • Además , los exponentes negativos y el cero siguen al mismo esquema: 8x0 se convierte en 8° y l lx- 1 corresponde a 11 1"', mientras ~ue lJx- 2 se escribe 13 2"'. Chuquet estaba familiarizado con las leyes de los exponentes, ya que escribe que 72 1 dividido por 9 3 es 9 2"', es decir, 2 en notación moderna. Para las raíces emplea el 72x -;- 9x 3 = símbolo R . Por ejemplo, la ecuación v'4x2 + 4x + 2x + 1 = 100 aparece como R 2 4 2 p 4 1 p 2 1 p 1 igual a 100. La segunda mitad de la tercera parte de la Tripartición está consagrada a la resolución de ecuaciones. Algunos de los problemas tratados por Chuquet aparecen en trabajos anteriores, pero introduce un elemento nuevo al escribir: «4 1 igual a m 2º>>, es decir 4x = - 2, ya que parece que fue el primero que expresó aisladamente un número negativo en una ecuación algebraica. Generalmente, rechaza el número cero como raíz de una ecuación, salvo en una ocasión en que observa que el número buscado es cero . Al estudiar las ecuaciones de la forma
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en donde los coeficientes y las potencias son enteros positivos específicos, encontró, en algunos casos, soluciones imaginarias; añadía entonces la frase : «Tal número es inencontrable». La obra de Chuquet, a pesar de la imposibilidad de determinar la influencia exterior que efectivamente ejerció, es una obra de vanguardia y se sitúa al nivel del Líber abaci de Fibonacci. Además, no podemos conocer los textos anteriores que probablemente influyeron en el autor de la Tripartición y dete rminar así cuál fue la contribución original de Chuquet. Por último, la Tripartición, aunque poco conocida en su época (no se imprimió hasta 1880), era no obstante conocida por algunos matemáticos de la época y, al menos un autor, Etienne de la Roche, publicó en Lyon en 1520 y 1583 una obra cuyo contenido es en gran parte una copia de la Tripartición. Aunque al parecer el primer texto de álgebra del Renacimiento
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fue el de Chuquet, la obra de álgebra mfis conocida de esta época fue publicada en Italia por Pacioli diez años después de la redacción de la Tripartición.
LUCA PACIOLI
Luca Pacioli (1445-1514) nació en el seno de una familia pobre en Borgo San Sepolcro, en la provincia de Umbría. Pacioli, llamado también Luca de Burgo, fue muy joven maestro de Venecia. Después ingresó en la orden religiosa de San Francisco y en 1475 fue nombrado profesor de matemáticas en Perusa. A continuación viajó con frecuencia de una ciudad a otra, pasando temporadas en Florencia, Pisa y Bolonia. Murió hacia 1514 en la Ciudad Eterna. En 1494 publicó Summa de artihmetica, geometría, proportioni et proportionalita, una compilación impresionante de los trabajos anteriores, así como de los conocimientos aritméticos, algebraicos, geométricos (elementales) y comerciales de su tiempo. Esta suma matemática, terminada hacia 1487 y escrita en la lengua del pueblo, ejerció a pesar de su falta de originalidad, una influencia considerable: trad icionalmente, en la relación histórica de las obras de álgebra, se citaba el Liber abaci de 1202, y se pasaba directamente a la Summa de Pacioli de 1494 sin mencionar los trabajos intermedios. De hecho, es esencialmente una adaptación de las obras de Leonardo de Pisa, bastante comparable al trabajo de Chuquet. La publicación de la Swnma de Pacioli fue posible gracias a una generación de algebristas que comienza con la traducción latina del Algebra de al-Jwarizml, a partir de 1464, si no antes, ya que el autor afirma que su manuscrito fue escrito a prtir de los trabajos de numerosos predecesores que vivieron de principios de! siglo XIV en adelante. Además, en matemáticas, el Renacimiento se caracteriza sobre todo por el nacimiento del álgebra europea y cor :-:::sponde de. hecho a la prolongación de la tradición medieval. La parte aritmética de la Summa trata esencialmente de las reglas de multiplicación y extracción de raíces cuadradas. La aritmé.tica comercial recibe un tratamiento muy elaborado, ya que era importame en aquella época en Italia -la primera Aritmética impresa, de autor desconocido, que aparece en Treviso en 1478, irá seguida de otras muchas en los años sucesivos- y numerosos
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c¡emplos concretan la aplicación de las operaciones aritméticas fundamentales al comercio en general. La parte algebraica comprende la solución general de las ecuaciones lineales y cuadráticas, sin utilizar una notación exponencial análoga a la de Chuquet. Por el contrario, encontramos numerosas abreviaturas que acortan la distancia de este álgebra a una simbolización muy similar al álgebra sincopada. En particular, Pacioli nota por p y m las operaciones de adición y sustracción -muy empleadas en Italia en aquel momento-- y empica co, ce y ae por cosa (incógnita), censo (cuadrado de la incógnita) y aequalis (igual), respectivamente. La potencia cuarta de la incógnita se representa, naturalmente, por cece (cuadrado-cuadrado). La parte geométrica que aparece en la Summa es poco importante y algunos de sus problemas en los que se utilizan valores numéricos específicos, nos recuerdan a los de Regiomontano. El aspecto comercial de esta obra fue muy apreciado y su éxito valió a Pacioli el título de padre de la contabilidad. Según Boyer', Pacioli es el primer matemático del que tenemos un retrato auténtico. En 1509, publicando una pobre edición de Euclides y una obra titulada De divina proportione, trató de exponer sus trabajos de geometría. Leonardo da Vinci, de quien Pacioli era amigo, dibujó para esta obra magníficas figuras de polígonos regulares, de sólidos y de la razón conocida más tarde como «Secci0n <Í1irea».
LEONARDO DA VINC!
Le c· nardo da Vinci (1452-1519), pintor, escultor, ingeniero, arquitecto y hombre de ciencia italiano, era hijo de Ser Piero , notario de la sei1oría de Florencia. Leonardo, paralelamente a la realización de sus trabajos en campos tan variados como la ingeniería, la arquitectura, la pintura y escultura, llevó a cabo un trabajo de investigación e información para dotar a su doctrina de una base teórica. Tenía la intención de publicar sucesivamente tratados dedicados a la perspectiva, a la anatomía y la mecánica, que desgraciadamente no
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Carl B. l3oycr, A history of 111athenwtics, Nueva York, Wiley, 1968. p . .\07.
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llegaron a ver la luz. Su obra fue ignorada hasta que se publicaron sus manuscritos que incluyen numerosos dibujos de una precisión científica y una potencia visionaria inigualadas. En sus notas manuscritas, encontramos cuadraturas de lúnulas que le exigieron mucho tiempo y mucho trabajo, inscripciones de polígonos regulares, tram.formaciones de sólidos -paralelepípedos rectángulos de bases cuadradas- en sólidos de igual volumen, tentativas que resultaron insatisfactorias de elucidar el problema d,' ((IS espejos esféricos, un estudio de los centros de gravedéid que influy6 en sus tr;1bajos de pintura, y curvas de curvatura dohle. Desgraciadamente, su espíritu inquieto le impidió detenerse S' tficientemente en las actividades matemáticas propias de su época para obtener resultados apreciables . Sin embargo, alcanzó la fama en matemáticas por sus aplicaciones de las matemáticas a las ciencias y por la teoría de las perspectivas. Leonardo da Vinci fue un genio de carácter audaz y original, un hombre de acción que adoraba la contemplación, pero no parece haber tenido una relación estrecha con la tendencia matemática de su época.
ALEMANIA DURANTE EL RENACIMIENTO
Italia fue indiscutiblemente una de las principales vías por las que la ciencia árabe penetró en Europa. Por otra parte, en otras zonas de Europa, a pesar de la posición privilegiada de Italia, se progresaba con igual éxito, como hemos visto en el caso de Regiomontano y Chuquct. En Alemania, fueron tantas las obras de álgebra que se imprimieron que, durante un cierto tiempo, la palabra germánica Coss (incógnita) se impuso en otras partes de Europa; el álgebra se llamó incluso durante una época «arte cósico». Además, los símbolos germánicos + y - pa ra la adición y la sustracción provocaron el abandono de los símbolos italianos p y m . En 1489, antes ele la publicación de la Summa, un profesor alemán de Leipzig, Johann Widman, pubicó una aritmética comercial titulada Rechenung auff al/en Kauffmanschafft, q ue es el más antiguo de los libros impresos donde por primera ve2. aparecen los símbolos + y - . En esta aritmética comercial, e~. tos símbolos se utilizaban para indicar ci exceso y la deficiencia en las medidas de almacén; más tarde se
¡.,-¡ Ut·nucinlicnto
y
265
t'lU-0/Jt' O
rL
convertir~1n en los símbolos habituales para las operaciones aritméti-
cas de la adición y la sustracción . Entre las numerosas álgebras germánicas. la del célebre Rcchc11111ei.\·tcr1 alcm;ín Adam Riese \1492-1559) ucupaha un lugar importante debido a la eficacia y a la precisión de sus métodos. Titulada Die Cos (la incógnita), y escrita en 1524, forma parte de los numerosos libros de artimética que hicieron célebre a Riese, hasta el punto que aún hoy se utiliza la expresión «nach (según) Adam Riese» como tributo a la precisión de los procedimientos aritméticos . En Alemania, durante la primera mitad del siglo XVI, aparecen muchas obras de álgebra, las más importantes de las cuales son Die Coss (1525) de Christoph Rudoljf (ca. 1500-ca. 1545), Rechmmg ( 1527) de Apiano ( 1495-1552), y Arithmetica integra ( 1544) del célebre matemático Michael Stifel (ca. 1487-1567) . En Die Coss encontramos por primera vez en un libro impreso la utilización de fracciones decimales, así como el símbolo moderno para las raíces . En el libro de Apiano, obra de aritmética comercial, el triángulo de Pascal aparece impreso en primera página casi un siglo antes del nacimiento de Blaise Pascal. El tercer libro, la A-rithmetica integra de Stifel, es el más importante de los libros alemanes de álgebra impresos durante el siglo XVI. Además de contener el triángulo de Pascal, se ocupa de manera significativa de los números negativos, los radicales y las potencias. Stifel, al utilizar coeficientes negativos e n las ecuaciones, puede reducir muchas ecuaciones cuadr;;.ticas a una forma única, pero se cree en la obligación de explicar, siguiendo una regla especial, cuándo debe empicarse el + y cuándo el - . Aunque no admite los números negativos como raíz de una ecuación, difunde el uso de los signos - y + en detrimento de la notación italiana . Conocía bien las propiedades de los números negativos, aunque los llamó numeri absurdi. Además, llamó la atención sobre las relaciones entre las progresiones aritméticas y geométricas, como Chuquct lo había hecho con las potencias de cero a veinte de dos. Sti-
1.
±
2- 2 = fcl añadió a la tabla de Chuquet las relaciones: 2 - 1 = 3 y 2- = (aunque sin notación exponencial). Para las potencias
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-L -\ 1
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..., Rechcnmeister: Palabra alemana, formaua por Rech en, que significa cálculo, y Mcistcr. maestro. 4
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)1•1111 - /'aul ( o l/,·t11•
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de la incógnita: Stifrl utilizaba en su :ílgebra abreviaturas de las palabras alemanas coss, ze11s11s. c11h11s y zcnzizens11s. pero en un tratado posterior propuso la utilización Je una letra sencilla para l;i incógnita y la repetición de esta letra para las potencias de la incógnita, lo que hará el inglés Harriot en el siglo XVII. La Arirhmetica integra fue un tratado compkto ele úlgebra hasta el año 1544, pero al año siguiente esta álgebra qu edó en cierto modo anticuada como consecuencia de la publicación Je una obra que contenía la resolución de ecuaciones cúbicas y hicuadráticas . En efecto, la solución de la ecuación cúbica y de la bic uadrática fue probablemente el más espectacular d e los resultados m atemáticos obtenidos por los matemáticos italianos del sig lo XVI.
H.0111, ·111ll<' flftJ c' l lrO/ l('O
2t•7
l iirolamo Carda no . milanés. fue un matem ático y medico de gran rcputa cilln . Se obse rva una cstrai\a desigualdad en sus cost umbres, y su vida se vio diversificad;i por va rias aventuras sobre !:is qut: él mismo l'Scribil'I co n una se ncillez y una libertad que no es frec uente e nt re los litnato' y de cuy•1 re l:1to en es!L: lugar me dispe nsarán los curiosos. Poco antes de su muerte le vi en Rom a vestido de una mane ra muy diferente a la del restn del mundo, ll:1bk a menudo con él. y me sorprendió mucho. al refle xionar sobre el prestigio de este homhre famoso po r sus escritos. no cncontrar nada en su pe rsona que respondiese a la estima de que gozaba en el mu ndo . Esto me hizo admi ra r m;ís el incomparable _juicio de Julio Césa r Scaligcro . quien . tras ejercitar su genio divino en e xam ina r la ohra de C'ardano /)e suhtilitafl'. observó la desigualdad que muestra este escritnr que en algunos momentos p:1 rece elevarse po r encima de la natu raleza humana . y e n otros razona peor quc un niño. Se dcdicó inte nsamente al estudio de la aritmética. cam po e n el que hizo muchos descubrimientos. Conve nció a varios de la veracidad de la astrología Jud icial , prediciendo algunas veces cosas con más seguridad y ve rdad de las que debe esperarse de los conocimientos de este arte . Pero c:1yó en una gra n locura y e n una horri ble im piedad cuando se le ocurrió someter a las leyes quiméricas de los astros al verdadero Señor de éstos. hacie ndo el horóscopo de nuestro Salv;i"dor Jesucristo . Por último. murió en Ro ma el 2 1 de sept iembre, a los scsen t
CARDANO
Girolamo Cardano (1501-1576) nació e n Pavía en 1501. Su padre, Fa cio Cardano , era juriscons ulto. C ursó e studios p rime ro en su ciudad n atal y despué s en Padua, do nde o btuvo el título de d octo r en medicina en 1524. Comenzó una vida profesion a • ~ urbulenta pra cticando la medicina y ejerciendo también sus dotes como profesor de matemáticas y a s trólogo. Residió en Escocia ca si un año . en calidad de médico del arzobispo de Sa n Andrés y, en s u viaje de vue lta , hizo en Londres el horóscopo d el re y E dua rdo VI. Predijo que el jove n rey , debilitado por un sarampi ó n a l que se guiría una viruela, gozaría d e una vida mucho más larga que la media, pero Eduardo V I murió ese mismo ario , lo que invalidó su predicción. De vuelta a Pavía, Cardano obtuvo una cátedra en la Universidad d e Bolonia, pero , acusado de prácticas d e magia , fue e nca rce lado en octubre de 1570 y só lo fue liberado ba jo la promesa de n o volver a e nseñar en los E s ta dos Pontific ios . Se estableció en Roma e n 1571 y, por sus mé ritos como médico, obtuvo de l p a p a una p e nsión qu e disfrutó has ta s u mue rte ocurrida e n 1576. El historiador francés Jacques de Thou hace de é l e l siguiente elogio 5 :
C mbno d ice de s í mismo : « He e scrito rn <Ís de lo que he le ído, he e nsc{iado a los o tros m ás de lo q ue lll C ha n enseriad o », Su obra esc rita es efect ivame nte conside rab l<'. y la edición a pa recida en Lyon e n l
' Traducció n fra ncesa d e Ant o inc Tcissic r, ed ición de 17 1.5.
. '·
2(1~
Jc1111 · l'mil ( ·ol/1·u,·
obstante, la lectura de su gran tratado de álgehra resul!a aburrida para el que la aborda hoy. La ecuación cúbica se estudia con det1llc, caso por caso, según que los términos de los distintos grados aparezcan en un mismo lado, o en los dos lados de la igualdad, ya que los coeficientes de !
(u - v) 3 + 3uv(u - v)
= u3
-
v3,
y que
3uv entonces, a partir de x 3 + 6x
=
6,
= 20, se obtiene
(u -· v) 3 + 3uv(u - v)
=
20
de donde 11 3 -
v3
=
20.
Eliminando v, resul '. a u 6 = 2011 3 + 8 (cuadrática en u 3 )
y u3 =
\/108 +
de donde, de x = u - v y de u 3 x
-
/-.1
2(19
lfr11ac1111ic1110 <'liropt:o
Cardano añade una formulación verbal de la regla equivalentc a la solución mockrna de la ccuaciún x 1 - ¡ix = q. que es:
x = .;;/v(p/3)' + (q12y + q12 - .;;/v(p/3)' + (q12)! - q12 Después, continúa con varios casos diferentes, como por ejemplo «cubo igual a la cosa y a un número», etc. En este ejemplo. 4uc corresponde al caso r 1 = px + q, sustituye x por u + v y procede después de mant;:ra análoga a como lo hace en el ejemplo anterior. Sin embargo, la x 3 = px + q presenta una dificultat: cuando se trata del caso particular x 3 = 1.'ix + 4, ya que el resultado X=
.;;/2
+ V-
121 -
'Y2 -
v=-m
incluye la raíz cuadrada de un número negativo. Cardano había encontrado ya una dificultad análoga al plantearse el problema de dividir 10 en dos partes cuyo producto fuese 40. Las reglas usuales ele la época llevaban a los resultados 5 + Ff5 y 5 - y=J51'. Califica de «sofisticadas» estas raíces de números negativos y considera que su resultado 5 ± Y-f5 es «tan sutil como inútil», pero honra a este controvertido sabio italiano, jugador empedernido por añadidura, el haber prestado una atención especial a este resultado del que lo menos que puede decirse es que era inesperado para las ideas de la época. Cardano, a propósito de las ecuaciones bicuadráticas, menciona en su Ars magna que la solución de estas ecuaciones «Se debe a Ludovico Ferrari que la inventó a petición mía». Una vez más, caso por caso, estudia separadamente veinte ecuaciones. Consideremos, a título de ejemplo, la ecuación siguiente. Sea el cuadrado-cuadrado y el cuadrado y el número igual al lado. Entonces las etapas cubiertas por Cardano en la resolución de la ecuación x 4 + 6x 2 + 36 = 60x son, en esencia, las siguientes:
í.
t! )
1. Anadir lo suficiente al cuadrado y al número, a cada lado, para hacer del lado izquierdo de la igualdad un cuadrado perfecto, de donde
10;
x4
+ 12x2 + 36 ó (x 2 + 6) 2 .
v 1 = 20, se tiene
= \rV1os + io - -ifvTifü --=-Ti).
(
r
6
Esto resultados aparecen, en la notación de Car<.lano, corno 5p: B. rn: 15 y 5m:
& m: 15.
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/-./ /fr11acímit•t1f0 i•11ro¡11·0
2. Sumar, a cada miembro de la igualdad, t~rminos que incluyan una nueva incógnita, de manera que el término de la izquierda continúe siendo un cuadrado perfecto, así (x
2
+6+
= (6 +
y) 2
2y)x 2
=
TARTAGLIA Y LA HISTORIA DE LA RESOLUCIÓN DE LA Cl ' BICA
Nicolás Tartaglia nació en Brescia. hacia el aiio 1500, en el seno de una familia muy modesta. Huérfano a los seis años, resultó gravemente herido durante el saqueo de Brescia, tomada por los franceses en 1512. y el tartamudeo causado por un sablazo en pleno rostro k valió el apodo de Tartaglia o tartamudo. Autodidacto por necesidad, consiguió adquirir una sólida formación científica y enseñó matemática:> en numerosas ciudades italianas, entre otras Verona, Venecia y Brescia. Murió en Venecia en el mes de diciembre del año 1557. Tartaglia fue un matemático de talento, que destaco en varias ramas de las matemáticas, además de haber sido el primero en aplicar las matemáticas a la artillería. Su obra más importante es General trattato di numeri et misure, que apareció de 1556 a 1560, en la que encontramos aritmética, geometría prúctica, álgebra, una traducción italiana de Sobre la e.1jera y el cilindro de Arquímedes y un tratado de la División de las figuras que sigue la tradición de Herón y Fibonacci. Se dice de él que, desprovisto de escrúpulos, se apropiaba fácilmente de los logros científicos ajenos, citando ocasionalmente a los autores copiados. En cambio, este eclecticismo confesado pone de nuevo en circulación las ideas de los mecánicos del siglo XIII, ,;1 igual que las de Arquímedes; así pues, contribuyó· de manera importante al renacimiento de las ideas científicas. La historia del descubrimiento de la solución algebraica de la cúbica enfrentó a los dos graneles rivales italianos, Cardano y Tartaglia, en una controversia animada y sórdida, de difícil interprecación y desenlace inesperado. El primer inventor parece haber sido un profesor de matemáticas de la universidad de Bolonia , Scipione del Ferro ( 1465-1526), que resolvió algebraicamente la ecuación cúbica x 3 + px = q. No publicó su solución, pero, antes ele morir, reveló el secreto de su descubrimiento a su alumno, Antnnio Maria Fior, un matemático de poco talento. Ya fuese porque los matemáticos tuvieran acceso a las notas de Scipione del Ferro, legadas a su sucesor7, ya fuese porque
+ 60x + + 12y + 2yx2 = + 60x + y2 + 12y (trinomio en x) 6x 2
y2
3. Elegir y de forma que el trinomio en x del miembro de la derecha de la igualdad sea un cuadrado perfecto; pa·a ello, basta con igualar a cero el discriminante, antigua regla muy conocida y equivalente, en este caso, a 60 2
-
4(6
+
(y2 +
2y)
12y) =o(!)
4. Pero(!) es una ecuación cúbica de la forma
y3 + 15/ +
36y
= 450
cuya solución es, evidentemente, conocida por Carda no:
y =
V'287f + v'80449-:\-
+
V'287f - v'80449-:\-
- 5.
5. No queda más que sustituir y por un valor en la ecuación en x: (x2
+ 6 + y)2
o:= (6
+
2y)x2
+ y2 +
271
12y
y tomar la raíz cuadrada de cada miembro de la igualdad. 6. El último paso consiste en resolver la ecuación de segundo grado que resulta al extraer la raíz cuadrada. La solución de las ecuaciones de tercer y cuatro grado fue quizá la mayor contribución al álgebra desde la época de los babilonios, quienes, casi cuatro mil años antes, habían aprendido a completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. El Ars magna de Girolamo Cardano fue un estímulo extraordinario en el campo de las investigaciones algebraicas. Además, la solución de la cúbica incita a los matemáticos a prestar atención a los nuevos números: números irracionales, negativos e imaginarios. Siempre que las tres raíces de una ecuación cúbica son reales y no nulas, la fórmula de Cardano conduce inevitablemente a raíces cuadradas de un número negativo. Lo único que quedaba por hacer e.-a dedicarse a fondo al estudio del número imaginario.
Pierre Deuron y kan !taro. oh . cit.. p . 170.
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~7 ~
J,·an · /'1111/ ( ·"11,·11c
T:1rtaglia tuviese noticias del secreto revelado, este últinHl cuenta que el s:1hcr que cxi~tía una posibilidad de resolver la ecuación k hizo consagrarse a la ht',squcda de un método propio. El caso es que, ya fuera de manera independiente o a la luz de una indiscreción, aprendió, hacia 1541 . a resolver ecuaciones cúbicas. l.a noticia se difundió r:ípidamente y Fior. probablemente creyendo que era mentira, retó públicamente a Tartaglia a que resolviese treinta ecu.1ciones. Transcurrido el plazo fijado, Tartaglia había resucito todas las ecuaciones propuestas por Fior, mientras que este último no había logrado resolver una sola ele las propuestas por Tartaglia . La explicación es relativamente sencilla: Fior podía resolver un único tipo ele ecuaciones, x~ + px = q, mientras que Tartaglia podía llega r ,1 resolver al menos dos tipos distintos, uno de los cuales correspondía a la forma, desconocida para Fior, X.\+ px 2 = q. Al conocer Cardano el triunfo abrumador de Tartaglia, aprovechó rápidamente la ocasión para invitar al vencedor a su casa, prometiéndole presentarle a un mecenas que resolvería sus problemas de dinero . En marzo del año 1539, durante un encuentro en l\.1ilán, Tartaglia aceptó revelar su secreto a Cardano, quien aprovechó la ocasión para apropiarse del método y publicarlo en su Ars magna. Tras la aparición de este tratado, Tartaglia protestó con vehemencia contra el plagio de Cardano, pero Ludovico Ferrar: ( 1522-1565), alumno y secretario de Carda no, contestó acusando a T
l301\!13ELLI
Rafael Bombclli (ca. 1526-1573) fue un ingeniero de talento sobre cuya vida no se sabe nada concreto. En 1572, algunos años antes de la muerte de Cardano , publicó un Algcbra cuya contribución a la resolución de la ecL:ación cúbica fue muy importante. En este tratado aparece el primer estudio de los números imaginarios.
U
273
/fr1111rimil'f1/o c11mpco
Hemos visto que la solución algebraica de la ecuación cúbica
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x> = 15x + 4 es X=
.;y2
+ V- 12.l +
.;:¡2 -
\/-T2J-
y, sustituyendo directamente. x = 4 es una solución real positiva de la ecuación . Además Carda no había observado que cuando todos los términos de un miembro de la igualdad son de una potencia mayor que los términos del otro miembro , la ecuación tiene entonces una sola raíz positiva. Bombclli tuvo entonces la brillante idea de que los radicales podían estar ligados conw las cantidades bajo los radicales. es decir, que los radicandos eran de hecho números complejos conjugados cuya suma es el número real 4. Por tanto, la parte real de cada uno de ellos es 2. Si un número de la forma 2 - aY-f es la raíz cúbica -de 2 ó, lo que es lo mismo, de 2 - 11 Y-f, a es necesariamente igual a 1. ((2 - 1Y-f) 1 = 2 - 11 Y-f). De aquí, x = 2 + 1y'=l + 2 - 1Y-f, ó 4. ' Bombelli demostró así, con este ingenioso razonamiento, la importancia que los números imaginarios tendrían en el futuro; pero, en su época, no fue de ninguna utilidad ya que Bombelli debía, ante todo, conocer al menos una raíz y, en ese caso, la ecuación estaba resuelta. Cualquier tentativa de encontrar algebrai- . camente, mediante la regla de Cardano-Tartaglia, la raíz cúbica de los números imaginarios conduce a la cúbica, cuya solución, eff términos de una raíz, está siempre presente y se vuelve inevitablemente al punto de partida. Como esto ocurre siempre que las raíces son reales, se le llama «Caso irreducible» . De hecho, la fórmula proporciona una expresión de la incógnita, pe.ro la forma en que aparece esta incógnita no es con frecuencia de ninguna utilidad. Bombelli puso de manifiesto la existencia de estas raíces imaginarias aparentes (en el caso irreducible) e introdujo un simbolismo que recuerda al de Chuquet. En efecto, en el Algebra de 13ombelli, escrita hacia 1560 y publicada en 1572, encontramos un simbolismo relacionado con el de Chuquet. Bombelli utiliza una notación exponencial, W, para denotar 8x 2 , mientras que Chuquet lo designa por 82 . Bombelli para
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. 1.
Y-TIT
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cxpres:tr <.'! polinumio r~ + (u - 4 habría escrito 1:1 expresiún -((1 '-.'~1]1 -l. mientras que Chuquct habría utili1ado la expresiún sim-
bl"1lic:1 1-~ r1 li 1 1!1 ..t. Adem;is. el Algl'hra de Bllmhelli emrlc:t los simhollls habituales p y m para la adicilíll y la sustracción respectivamente. pero sin emhargo no se observa en esta ohra ningún símhlllo para notar la igualdad. Nuestro signo -~ aparece en una obra inglesa, escrita por Rcclln.k en 1557. anterior a Lt publicción del 1\lgl'/na de Bomhelli .
) J 1
IU:CORl>E
Rohert Rccorde (ca. 1510-1558) nació en el seno de una honrada familia de Tenhy (Pernbrokeshire, País de Gales). En 1531 obtiene su primer título universitario y en 1545 es doctor en medicina por la Universidad de Cambridge. Pocos ai1os después, recibe el título de médico del rey Eduardo VI y, más tarde, de la reina María . Se cree que Recorde murió en prisión, probablemente por razones políticas o religiosas. Su primer tratado de matemáticas, titulado Grounde of Artes, se publicó en 1541 y está escrito, como es costumbre en él, en forma de diálogos entre un maestro y un alumno. El autor pre1ende enseñar el «trabajo perfecto» y lo. práctica de la aritmética con números naturales y fracciones. Esta aritmética popular comprende el uso de las operaciones fundamentales y de algoritmos, así como aplicaciones comerciales y prácticas. He aquí algunos ejemplos sacados del tratado, dedicado a Eduardo VI, que tuvo un éxito considerable.
Problema de mezcla «Hay cuatro clases de vino de precios diferentes, uno de 6 peniques el galón, otro de 8, el tercero de 11, y el cuarto de 15 peniques el galón. De estos vinos, deseo una mezcla de 50 galones, de manera que cada galón valga 9 peniques. ¿Cuál será la proporción de cada vino en esta mezcla?»
Problema del caballo «Vendo un caballo con 4 cascos, y cada casco lleva 6 clavos, a condición de que me paguen por el primer clavo un ob, por el
\ 1
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r' /\'r./J(/I / l1J t 1•1/ff/ (tll"UjJ t ' (I
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segundo dos oh. pllr L'I tercero cua!ro oh y así s11ccsi1 alllL'lltc. dlililando cada vez el precio. Ahora pregun!o: ;.cu<'il ser:i el prl.:L"ill del c:tballo?»
i'rnh!cma de los ladri//os «lln sei'tor prororciona cierto número ele ladrillos a un albañil para que construya doce muros de manera que el primero contenga los dos tercios del número total, el segundo los dos tercios del resto y así si1ccsivamente hasta el duodécimo . Cuando el albañil huho tcrminadll, quedaba únicamente un ladrill o sin utilizar. Ahora pregunto: ¡,ndntos ladrillos se utilizaron en cada uno de los muros y ele cu<Íntos ladrillos disponía el alba1íil?»
t>atlu:waic to k11ow/edge, segunda obra de matcmúticas en la serie de textos escritos por Recorde para·los artesanos , se publicó en 1551, al mismo tiempo que una nbra de astronomíax titulada Castle of kno1dedge. El l'athewaie es, en gran parte, una traducción de las definiciones. p ost ulados, axiomas y enunciados ele teoremas ele los cuatro primeros libros de los Elementos de Euclides. Recordc , contrariamente a lo que acostumbra, no escribe esta obra de geJmetría en forma ele diálogo, como hace en otros textos de matemáticas. Al principio, Recorcle había pensado publicar cuatro partes, pero sólo se imprimieron dos libros. El libro I comprende definiciones y construcciones . El libro II contiene postulados y axiomas y el resto de los teoremas de los tres primeros libros de Euclides. Un año antes ele su muerte, Reco rde publicó una obra de álgebra· ci tulada The whetstone of witte (1557), en la que aparece por primera vez nuestro símbolo de igualdad. Sin embargo, este símbolo=, que en su álgebra es mucho más largo que el nuestro, no será empleado corrientemente hasta finales del siglo XVII.
EL DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA DURANTE EL RENACIMIENTO
Históricamente el desarrollo de las relaciones entre el álgebra, la geometría y la trigonometría fue posible gracias a la función seno y ~
F.sta obra de astronomía aprueba el sistema de Copérnico.
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J,·,111-1'011/ ( 'ol/,·r1c
al estudio hecho por os indios de las sombras proyectadas µor un gnomon. Después los :irabes elaboraron estos resultadns dentro Je un sistema de trigonomt:tría que incluía las tablas correspondiente:. No llhstante, conílictcs ideológicos entre los árabes de España y los otros musulmanes de A rabia y Persia engendraron, probablemente, ideas matemáticas diferenciadas y poco convergentes, lo que retrasó considerablemente el desarrollo de la trigonometría en Europa. Además, el notable trntaclo de trigonometría plana y esférica de Nasír al-Din influyó poco en los sabios europeos anteri c)fes a Copérnico. Por otra parte, el retraso en la publicación de lo~ libros de trigonometría de Regiomontano y de los textos árabes que proyectaba editar frenó el fecundo desarrollo que se esbozaba a mediados del siglo Xv.
Georg Pcurhach ( 1423-1461), además de construir una tabla completa de senos para intervalos de 10' con un radio de 600 000, comenzó una versión latina del Almagesto de Tolomeo que terminaría su alumno Rcgiomontano . Sin embargo, esta tabla no se publicó porque Regiomonta11(i publicó una mucho más precisa para intervalos· de un minuto con un radio de 6 000 000. Regiomontano hizo progresar enormemente la construcción ele las tablas al emplear un radio ele 10 000 000, preparando así el camino para la utilización de las fracciones decimales y el radio unidad. El alumno de Peurbach se interesó también por la unificación ele las bases de la trigonometría con el fin de conseguir una teoría útil a los astrónomos. Esto le hizo ver la utilidad de incluir una tabla ele tangentes, para cada grado de Oº a 90º, con un radio r = 100 000, a la que dio el nombre de tabula fcwnda, o tabla muy útil. El fulgurante desarrollo del álgebra en el siglo XVI oculta los progresos realizados en el campo de la trigonometría que, ciertamente, no deben ser subestimados. Paralelamente a los trabajos de Peurbach y Regiomontano, dos sabios, uno polaco y otro prusiano, ejercerán una fuerte ir.fluencia sobre los avances subsiguientes de h trigonometría.
FI
Nt•11 ;1Ci111Jt·1110 1'!trn¡J1'0
~77
;d rededor dLi sol, idea que el astrón1111w gricgn Arista reo 111> hahía umsl guid1 1 imponer. Demostró b inexactitud dd sistema de Tolomeo ,¡ue afirmaba que la tierra ocupaba el centrn dL'I mundo. El sistema de Copérnico constituye la base de toda la astronomía moderna . Copémico era hijo de un rico comerciante, funcionario municipal de Torun, vieja ciudad de la Hansa. a orillas del Vístula. Tenía diez ai'ios cuando murió su padre y fue adoptado por su tío. Copérnico estudió en la universidad de Cracovia; después, en 1496, marchó a Italia y estudió medicina en Paclua y astronomía en la Universidad de Bolonia. A los veintisiete años obtuvo una cátedra de matemáticas que abandonó en 151 O para volver a Polonia, al hacerle nombrar su tío canónigo de Frauenhurg, a orillas del Bcíltico . Allí vivió, durante casi treinta años, dedicado a múltiples actividades: la medicina, las finanzas, la política y los asuntos eclesiástirns, pero, sobre todo, la astronomía y las matemáticas . Su teoría, que atribuye tres movimientos a la tierra, se difundió poco a poco y suscitó el interés de un matemático prusiano, Rhaeticus, que trabajó dos años al lado del célebre astrónomo polaco. Rhaeticus publicó el primer tratado sobre las ideas copernicanas en 1540. Copérnico, hombre pacífico, adivinaba las tempestades que se · avecinaban y retrasó lo más posible el momento de entregar su manuscrito. Vencida su irresolución, confió su obra a Rhaeticus, quien se apresuró a enviarla a la imprenta . Pero apenas tuvo tiempo de ver publicado su trabajo porque murió el 24 de mayo de 1543, algunos días después ele recibir el primer ejemplar de De rcvolutio-
nibus orbium coelestium . Esta célebre obra de astronomía contiene evidentemente secciones que tratan de trigonometría según el método de Regiomontano . En particular, Copérnico se ocupa del teorema de Lahire 9 (16401718) . que se enuncia como sigue : Si un pequeño círculo rueda sin deslizamiento en el interior de un círculo , cuyo diámetro es el doble del primero, entonces, a) el lugar de un punto de la circunferencia del círculo pequeño es un segmento de recta -un diáme-
COPÉRNICO
Nicolás ' Copé mico (1473-1543), astrónomo polaco, revolucionará las ideas astronómicas ck la época al sostener que la tierra se mueve
9 La primera parte de este teorema aparece también en los trabajos de Cardano. Podría considerarse como una generalización del teorema de Nasir al-Din sobre el mnvimicnlo rectilíneo que resulta de la composición de dos movimientos circulares.
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nes cayeron por así decir en desuso hasta la aparición de las calculadoras modernas_
tro del círculo grande-: b) el lugar de un punto que no está en la circunferencia pero que está fijo respecto al circulo pequeño es una elipse.
Copérnico enuncia este teorema en términos de epiciclos, mientras que Lahirc lo hace en términos de «ruedecillas». Copérnico ofrece una demostración de la primera parte en su libro l!l, capítulo 4.
LA GEOMETRIA EN EL SIGLO XVI
Cuando Pappus trató de resucitar el estudio de la geometría pura, en el sentido griego del término, nadie le siguió. Los sabios de la India y China se interesaron por la geometría de la medida, y los úrabes, aunque apreciaban el razonamiento deductivo, empleaban en ocasiones argumentos geométricos en su álgebra. En Europa, antes del siglo XVI, se resolvieron algebraicamente muchos problemas geométricos y, algunas veces, la solución algebraica de una ecuación iba acompañada de demostraciones geométricas. Esta posición poco envidiable de la geometría pura se explica en parte por el considerable desarrollo del álgebra simbólica, utilizada por los matemáticos para resolver problemas de geometría. Sin embargo, era difícil esperar una continuación directa de la geometría griega, debido a su naturaleza axiomática; lo más probable era que el molde en que se hallaban encerrados los geómetras griegos se rompiera al salirse de los senderos trillados y emprender caminos diferentes y nuevos_ Las tendencias geométricas que se esbozan a finales de la Edad Media contienen los gérmenes de nuevas geometrías, centradas en la geometría proyectiva, la geometría descriptiva y las geometrías no euclídeas.
RHAETlCUS
Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576), matemático de Wittcnberg, fue discípulo de Copérnico y astrónomo famoso del siglo XVI. Conocedor de los trabajos de los matemáticos de Nuremberg, y en particular los de Regiomontano, reunió las ideas de este último, las de Copérnico y las suyas en un tratado titulado Opus palati:wm de trio.ngulis, considerado, con justicia, como la obra de trigonometría más elaborada de las existentes hasta entonces. En este libro en dos volúmenes, no trata ya las funciones trigonométricas en términos de arcos de círculos e introduce una innovación al definir por primera vez las funciones trigonométricas en términos de razón entre los lados de tJn triángulo rectángulo. Rhaeticus consagró más de doce años a la construcció11 de las tablas trigonométricas de las seis funciones básicas. Una de las tablas da el valor, en el sistema decimal, de las seis funciones trigc:10métricas para cada intervalo de diez segundos, con una precisión de diez decimales . Su tratado incluye también una tabla de senos para cada intervalo c..le 10", con una precisión de 15 decimales. Emprendió la construcción de tablas de tangentes y secantes, pero murió antes de haber podido terminarlas, lo que haría, añadiendo algunas cosas, su discípulo Valemin Otho (ca. 1550-1605) en 1596.
LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS
El origen de las geometrías no euclídeas debe buscarse en las diferentes tentativas, de Tolomeo a Saccheri, para demostrar que el postulado de las para.lelas de Euclides depende de los otros postulados o que el sistema euclídeo es inconsistente. Los distintos intentos de demostrar que el quinto postulado se deduce de los otros cuatro desembocan, en los trabajos del geómetra Saccheri, en la irrefutable demostración de que «Euclides está exento de cualquier error»_ Una única salida les queda a los geómetras: las geometrías no euclídeas, que serán la obra de los matemáticos Gauss, Bolyai, Lobatchevski, Riemann y algunos otros.
Bartholomaeus Pitiscus (1561-1613), sacerdote alemán al que gustaban mucho las matemáticas, aportará correcciones a los trabajos de Rhaeticus y Otho en una obra publicada en Francfort en 1613 con el título ThtSaurus mathematicus sive canon sinuum. Esta obra de trigonometría contiene tablas de senos y cosenos, con una precisión de 15 decimales, para intervalos de 10". Pero, con la invención de los logaritmos al año siguiente y la publicación de tablas de logaritmos, las tablas trigonométricas de los valores naturales de las seis funcio-
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LA GEOMETRÍA PIWYECTIVA
La geometría proyectiva 111 fue inventada por Gérard Désargues ( 1593-1661), pero mucho antes de que se hubiese identificado un grupo proyectivo se habían descubierto propiedades proyectivas. La más antigua de las propiedades invariantes, y también la fundamental, corresponde al «producto en diagonal de cuatro puntos colineales»_ Se desconoce su origen, pero se mencionan aplicaciones al plano de esta propiedad en la Sphoerica de Menelao. Pappus sugiere que era conocida por Euclides; evidentemente, Pappus sí la conocía. El primer autor, después de Pappus, que se interesó por este campo de la geometría fue el alemán Johannes Werner (1468-1528). Sus contribuciones a la geometría pura se encuentran en una obra escrita en latín, que consta de veintidós libros, y trata de los Elementos de las cónicas, impresa en Nuremberg en 1522. Werner, interesado sobre todo p•Jr el problema de la búsqueda de dos medias proporcionales y la duplicación del cubo, concentró sus esfuerzos en el estudio de la parábola y de la hipérbola, omitiendo el caso de la elipse. Werner determina así la parábola como una sección de un cono de ángulo recto en el vértice: a
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IU Una correcta utilización de! adjetivo «proyectiva» debe incluir toda5 las propiedades de las figuras que permanecen invariantes por cualquier transformación lineal de la recta, del plano, del espacio. ele., o por cualquier transformación oc un grupo más amplio.
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Sea ahc una sección meridiana de un cono cuyo vértice a forme un ángulo recto. El plano de la parábola, ghd, corta perpendicularmente al plano meridiano, según una línea gef. eje de la parábola. Se deduce que el eje de la parábola es paralelo a la generatriz ac del cono. Elige el plano khl, de manera que ge =-= he, ele donde:
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gf. ke . el ge gf. he2
ge =ge. gf.
En esta demostración se observa la utilización del latus rectum gf. Esta demostración poco original va seguida, un poco después en el texto, de un método ingenioso para trazar la parábola punto a punto con regla y compás 11 • Este ingenioso método recurre a las propiedades del plano tangente al cono y presupone que las tangentes a las cónicas son intersecciones de estos planos con el plano de la cónica, método que, según Coolidge, será más tarde utilizado universalmente. Werner demuestra minuciosamente que «el vértice de una parábola es el punto medio entre el pie de una ordenada sobre el eje y la intersección del eje con la tangente en el vértice de la ordenada». Procede de manera análoga para determinar la hipérbola, de la que obtiene una ecuación en forma arquimediana, y demuestra adem ás que si «dos lados de un paralelogramo están sobre las asíntotas de una parábola, y un vértice sobre la curva, el área del paralelogramo es constante». Coolidge 12_ opina que los trabajos de Werner no significaron ningún progreso real, pero suscitaron un nuevo interés por el estudio de estas curvas. Un primer paso adelante sería dado en el siglo XVII, más exactamente en 1639, por un escritor controvertido y original, Gérard Désargues. Su Broui/lon project d'une atteinte aux événements des
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11 Cf. Car! B. Boyer, A his1ory of ma1hemalics, Nueva York, Wilcy, 1968, p. 323 y Juan Lowell Coolidge, A hislory of lhe conic seclions ané quadralic surfaces, Nueva York, Dover, 1968, pp. 26-28. 12 Julian Lowell Coolidge, ob. cit., p. 28.
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recontres du cóne avec 1111 plan es una obra sohrc las secciones cónicas, y su enfoque se centra en la perspectiva_ Expresa el paralelismo en términos de elementos en el infinito, en el plano y en el espacio. Désargues desarrolla la teoría de las razones armónicas y sabe que la involución es una propiedad proyectiva. Aborda la polaridad a partir del cuadrilátero completo y desarrolla lo esencial de la teona elemental de polares respecto a una cónica. Désargues es el primer geómetra que abre el c:u!lino a la geometría proyectiva cuya primera sistematización será realizada siglo y medio más tarde por J. V. Poncelet.
contrario, en el campo técnico, por ejemplo en el dibujo arquitectór1ico, el dibujo técnico, la construcción de relojes de sol y el estudio del problema general de las sombras y de los eclipses, hubo numerosos precursores . La técnica de construcción de edificios implicaba, desde el milenio 111 a.C., la utilización de la proyección ortogonal sobre el plano horizontal, y en el siglo I d.C. el gran arquitecto romano Vitruvio emplea a la vez la proyección ortogonal sobre el plano horizontal y sobre el plano vertical (alzado), pero sin asociarlas en una misma figura. Durante la Edad Media, encontramos planos y alzados de distintas partes de edificios, pero, una vez más, estos dibujos no se aplican nunca al mismo objeto . Los pintores, dibujantes y grabadores se interesan más por la perspectiva que por la proyección ortogonal. El arquitecto florentino Filippo Rrunel!eschi ( 1377-1446) tuvo la .idea de representar objetos de tres dimensiones sobre un plano, pero el primer estudio de la perspectiva se debe a Lean Battista Alberti (1404-1472), cuyo primer manuscrito apareció en 1446, antes ele que se inventase la. imprenta. El principal problema de Alberti consiste en representar . en la figura plana un conjunto de cuadrados en el plano de base, cuyos lados son paralelos o perpendiculares a las líneas de base. He aquí la figura de Alberti correspondiente a este problema.
LA GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
La historia de la geometría descriptiva debería, según Ta ton 13 , dividirse en tres grandes capítulos: sus orígenes y su desarrollo anterior a Monge, la aportación de Monge, y los desarrollos posteriores que se limitan a algunas aportaciones técnicas. La única obra que Gaspard Monge (1746-1818) consagra a esta ciencia es el célebre tratado publicado con su nombre en 1799, titulado Géometrie descriptive. Monge insiste en la importancia de la geometría descriptiva: Este arte ti<:ne dos objetivos: El primero, representar con exactitud, en dibujos que no tienen más que dos dimensiones, objetos que tienen tres y son susceptibles de una definición rigurorn.
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La geometría descriptiva, desde un punto de vista teórico, se basa en dos proyecciones ortogonales de una misma figura del espacio. Tendremos por tanto que buscar el origen de la proyección ortogonal y el de la doble proyección. Los geómetras anteriores a Monge desdeñaron el estudio de la teoría de LL proyecciones; por el
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Supongamos que el ojo del artista está situado en un punto estacionario S, x unidades por encima del plano de base, e y
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cono de revolución con eje vertical, un diseño de una hélice circular crazada sobre un cilindro de eje vertical, una sombra de un cubo que reposa sobre el plano horizontal, dibujos de cabezas humanas con las tres proyecciones clásicas y aplicaciones muy curiosas de la geometría descriptiva a las proporciones del cuerpo humano. Los trabajos de Durero ejercieron muy poca influencia en la historia de la geometría y habrá que esperar a que aparezcan los !rabajos de Monge para encontrar una síntesis de conjunto de todos los procedimientos gráficos 15 .
RESUMEN
Las actividades ma!emáticas de los sabios latinos del Renacimiento contribuyeron de manera importante a hacer resaltar resultados fundamentales en el campo del álgebra , la trigonome!ría y la geometría. Se dispone ya de los rudimentos del álgebra simbólica, el cálculo con símbolos indoarábigos está muy extendido, las fracciones decimales se desarrollan gradualmente, la teoría de ecuaciones comprende ahora la solución general de la cúbica y de la ecuación bicuadrática, los números negativos se aceptan cada vez más, la trigonometría es una disciplina autónoma y se dispone de tablas trigonométricas muy precisas para las seis funciones . La geometría pura se desarrolla según nuevas orientaciones con el descubrimiento de los rudimentos de la geometría descriptiva y proyectiva y la continuación de algunas ideas anteriores. La invención de la imprenta ejerce ya una influencia benéfica sobre la normalización de los conocimientos y la difusión de las ideas matemáticas.
Piero della Francesca (ca. 1410-1492), que continuará el estudio de la perspectiva, expondrá dos métodos diferentes para la construcción de figuras en perspectiva, uno análogo al de Alberti y otro completamente diferente. Piero della Franccsca consiguió no sólo representar objetos que se encuentran sobre el plano de base, sino también demostrar un método para representar puntos situados por encima del plano de base. Un contemporáneo de Leonardo da Vinci, el pintor Alberto Durero (1471-1528) publicó en 1525, en Nuremberg, una obra de geometría práctica que contiene, además de numerosas construccio"nes útiles a los artistas, numerosas ideas geométricas originales 14 • En este tratado, Durero se propone ofrecer un número suficiente de definiciones y principos para que sus lectores puedan efectuar ciertas operaciones de dibujo. Le interesaban particularmente las curvas helicoidales que, proyectadas sobre un plano, perpendiculares al cilindro sobre el que se apoyan, son espirales. Mencionemos también su descripción de las tres cónicas como secciones de un
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Bidwell, Jamak y B. K. Lange, «Girolamo Cardano: a defense of his character», The Mathematics Teacher, 64, 1971 , pp . 25-31.
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El título de esta obra es: Instrucciones sobre la medición, con compás y escuadra, de lineas, superficies y cuerpos sólidos, redactadas para los aficionados. 14
Los trabajos de A. Frézier, en el siglo XVIII, contienen los elementos básicos, pero su importancia queda oculta por la intervención de otros procedimientos. 15
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EJERCICIOS
1. ¿Qué papel desempeñó la imprenta en la difusión y la normalización de los conocimientos matemáticos durante el Renacimiento? 2. Explicar por qué, cuando aparece la imprenta, los textos manuscritos de obras matemáticas griegas se imprimen relativamente tarde. 3. ¿En qué ramas de las matemáticas destacó más Regiomontano? ¿Qué aportó a lo ya existente? 4. La muerte prematura de Regiomontano frena considerablemente el desarrollo de las matemáticas de su época. Comentar esta afirmación . 5. ¿Por qué se distinguió Nicolás Chuquet en matemáticas? Precisar con ejemplos concretos. 6. ¿Por qué la Summa de arithmetica de Pacioli es tan popular en los ambientes intelectuales de principios del siglo xv1? 7. Leonardo da Yinci se distinguió en el campo de las matemáticas. Comentar esta afirmación. 8. ¿Cuáles son las contribuciones de Michael Stifel al álgebra alemana del siglo xv1? 9. Los matemáticos italianos del siglo XVI hicieron progresar la teoría de las ecuaciones. Comentar esta afirmación con ejemplos.
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EL COl'v1IF.NZU DE LAS tv1ATEMATICAS MODERNAS
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para resolver la ecuación cúbica x-~ + mx = 11. 11. Reducir, según el método de Ferrari, la ecuación bicuadrática x 4 + rnx 2 + ;, = qx a una ecuación cúbica. 12. Comprohar la afirmación de Bomhclli según la cual 4 + Y-J es una raíz cúbica de 52 + 2209. 13. Escribir con notación moderna la expresión simbólica de Chuquet 5 2 p 12 1 iñ 4; después expresarla utilizando la notación de Bombclli. 14. ¡,Cuáles fueron las contrihuciones más destacadas de Rhacticus en el campo de la trigonom.::tría? 15. ¿Cuáles fÚeron las contribuciones más importantes de los sahios del Renacimiento en los C'.lmpos
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INTRODUCCIÓN
Durante el Renacimiento europeo, los conocimientos matemáticos se aplican a campos tan diversos como la contabilidad, el arte, la cartografía, la óptica y el desarrollo
del álgebra simbólica? de la teoría de ecuaciones? de la trigonometría? de la geometría?
Francisco Maurolico (1494-1575) nació en Messina, Sicilia. Pasó toda su vida en la isla y murió en su ciudad natal en 1575. Geómetra de talento, supo, con sus traducciones latinas, despertar el interés por los trabajos de Euclides, Arquímedes, Apolonio y muchos otros. En particular, tradujo los cuatro libros de las Secciones cónicas de Apolonio y trató de reconstruir el libro v utilizando, según p a rece, comentarios de Pappus sobre los trabajos del célebre geómet ra griego. En su tratado de aritmética Aritlzmeticorum libri duo, escrito en 1557 e impreso.en Venecia en 1575, enuncia y aplica el principio de la inducción matemática. Maurolico advierte en su prólogo que, por lo que él sabe, Euclides y los otros autores griegos y latinos no se preocuparon de estudiar seriamente Jos números poligonales y poliédricos. Se atreve también a criticar a Jordanus Nemorarius por el mismo tema, afirmando que este último no hizo más que repetir lo que Euclides había escrito sobre los números. Emplea el principio de la
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inducción 1 en la demostración de proposiciones sencillas al comien1.0, y después, a lo largo de su tratado, cada vez m;ís complicadas. Con frecuencia aplica su razonamiento a los cinco primeros números y concluye que el principio se aplica también a los restantes. Por ejemplo. la proposición 15: «La suma de los 11 primeros enteros impares es igual al enésimo al cuadrado», se demuestra así:
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cerrara establecer los componentes necesarios de las matemáticas . Este período de transición. que va a proporcionar los elementos básicos de las matemáticas modernas, refleja bien el car;ícrer universal y dinámico de las contribucio nes ele estos matem;íticos tk a transición. Trataremos de exponer las contribuciones de las figuras dominantes de esta época, aun cuando sabemos muy bien que nuestra elección es relativamente arbitraria e injusta para muchos matemáticos que vivieron en los albores de las matemáticas modernas.
l'rnp. 15: l + J + 5 + 7 + ... + (2a + l) =(a+ 1) 2 . Demostración: Por la prop. 13 ---cualquier nlÍmero cuadrado más el número impar que le sigue es el cuadrado del siguiente-- el p 1·ir.1cr número cuadrado ( 1) sumado al número impar que le sigue (J) da el número cuadrado 4; y este segundo cuadrado (4) sumado al número impar (5) proporciona el tercer número cuadrado 9; y así sucesivamente para las cinco primeras sumas.
VIÉTE
Franc;ois Victe ( 1540-1603), considerado como la figura dominante y central de este período, nació en F~- ntenay-le-Comte (Francia). Hijo de un fiscal, estudió en el colegio de Fontenay; en 1560, después de estudiar derecho en Poitiers, se inscribió como abogado en su ciudad natal. En 1564 abandonó esta profesión para entrar al servicio de la casa de Soubise . En su nuevo empleo, se ocupó principalmente de redactar un informe sobre los acontecimientos que tuvieron lugar durante el mandato del señor de Soubise en Lyon, así como las Memorias de la vida de lean Parthenay, señor de So11bise y una Genealogía de la casa de Parthenay-L11signan. Viete dirigió la educación de la hija de Juan y redactó para ello unos cuadernos de lecciones que con el nombre de Principios de cosmografía se imprimieron en 1637 y fueron reeditados tres veces. En 1571 lo encontramos como abogado en el Parlamento de París y en 1573 como consejero en el de Rennes. En 1576 el rey Enrique 111 le encargó misiones y traba jos especiales. Relator del Consejo de Estado desde 1580, cesó en sus funciones desde finales de 1584 hasta la primavera de 1589. Casado con Juliette Leclere, de la que tuvo una hija sin descendencia, murió en el invierno de 1603 en París . En sus momentos libres - tuvo dos períodos de relativo ocio, entre 1564 y 1568, y después durante su suspensión de 1584 a 1589puclo reflexionar sobre sus grandes descubrimientos . Sus contribuciones matemáticas tocan los campos de la aritmética, el álgebra, la trigonometría y la astronomía, sin descartar la geometría. Empezó trabajando en astronomía y en trigonometría, y con-
Concluye que la proposición 15 es vcrclaclera para cualquier número de términos por la aplicación repetida ele la proposición 13. Fcdenco Commandino (1509-1575) fue un sabio italiano que dcsrlegó una gran energía para dar a conocer los grandes clásicos griegos mediante traducciones latinas de las Secciones cónicas de Apolonio, la Colección matemática de Pappus y los Elementos de Euclides. Esta última traducción sirvió de base a otras muchas. En 1575, fecha de la muerte de Maurolico y Commandino, Europa occidental conocía la mayor parte de los trabajos matemáticos de la Antigüedad. La transición continua desde las matemáticas de la Antigüedad, la Edad Media y el Renacimiento a las matemáticas modernas de los siglos posteriores se realizará gracias a las contribuciones de numerosos matemáticos. Estas figuras que dominaron el final del siglo XVI desempeñaron un papel decisivo en la fundación de las matemáticas del mundo moderno. La creación matemática ha estado basada siempre en el deseo de los hombres de satisfacer su curiosidad intelectual. 1-fombres libres, de todas las nacionalidades y de orígenes sociales distintos, siguieron sus inclinaciones naturales, sus aptitudes y sus deseos de cono-
1 El principio de la inducción matemática fue ~studiado,· entre otros, por Levi Ben Gcrso1 (siglo x1v), Pascal, Fermat y Jacobo Bernoulli (siglo xv11); el término inducciún r·1a1cmática procede de A. De Margan (siglo x1x).
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energía y la manipulación es larga y tortuosa. Victc consigue mediante una manipulación ingeniosa de los triángulos rectángulos y de la identidad
cibió su Harmonicon coelestc durante el primer período de ocio. pero esta obra no se imprimió nunca. Sin embargo, durante este mismo período emp·~zó su Canon mathematicus seu ad trian¡::ula, cuya impresión no duró menos de ocho años y que apareció finalmente en 1579. En esta obra se observa una utilización sistemática de los nú:neros decimales, empicando algunas veces la coma y una raya vcnical para separar la parte entera de la parte decimal. Desea ardientemente promover el uso de los números decimales, ya que escribe que las fracciones sexagesima les ~ los múltiplos de sesenta deberían ser utilizados de manera esporádica o sencillamente eliminados rle las matemáticas, mientras que se debería emplear con frecuencia, si no exclusivamente, k1s múltiplos y submúltiplos de diez. Así, escribe la apotema de un polígono regular de 96 lados, inscrito en un círculo de diámetro 200 000, como 99 946 1 458.75, donde 99 946 va en negrita para indicar la parte entera. En 'JCasiones, escribe el mismo número con la eA5 ¡; 75 . , s1m . b'I' . pres1on o 1ca C99 J .:+·'6J 1~ o
., + (bd =(ad- bcf + (bd + ac) 2 ,
' (e.., (
cos nx
= cos"x
-
n(n - l) 2
t
~
n !¡
~ t·t ~1
H·, 1~'
~
y os"- 2 x scn 2 x +
.,:
1~ • §
~
n(11 - 1) (n - 2) (n - 3) ,, _ 4 4 cos x sen x - ... 3!
---'---'--'-----'~----'-
~
·~
J J '1
Encontramos también, entre las fórmulas que convierten un producto de funciones en una suma o una diferencia, la fórmula siguiente, obtenida entre otros por Victe: senx +sen y= 2sen
x+y
2
x-y
cos - - -
2
a partir de la que se deduce fácilmente
o
=
..,
- ac)- =
n(n - 1) (n- 2) cos" - 3 x sen 3 x + 3!
sen (A + B) + sen (A - B) = 2 sen A cos B sen (A + B) - sen (A - B) = 2 cos A sen B
cosec O + cotg 8 = cotg ~ cosec 8 + cotg 8
= (ad+ he)-
sen 11x = ncos"+ 1 x sen x -
sen O = sen(60º + O) - sen(60º - O) 3 ~en 4 sen 3 = sen 3
e
, +
obtener fórmulas para sen nx y cos nx equivakntes a:
la utilización de las frncciones decimales se extenderá y se facilitará gracias a una obra de Stevin que no será publicada hasta 1585. El Canon mathematicus contiene también notables contribuciones a la trigonometría. Generaliza una aproximación analítica a la trigonometría que se designa a veces por el vocablo «goniometría». Así, aplicando sistemáticamente el álgebra a la trigonometría, Victe descubre de nuevo la mayor parte de las identidades elementales y obtiene fórmulas ger.erales equivalentes a las expresiones de sen nx y cos nx en función de sen x y cos x. En particular, en el Canon encontramos las siguientes identidades:
e-
2'1.~
IJ
tg 2
y fórmulas análogas para los cosenos. Vietc obtiene también el teorema del coseno, aunque lo formula así:
Tolomeo conocía la fórmula del seno y del coseno de 20 y, a partir de las fórmulas de Tolomeo para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos, pueden obtenerse fácilmente sen 30 y cos 30. Sin embargo, para obtener, partiendo de las fórmulas de To lomeo, sen nx y cos nx en función de sen x y cos x, hay que desplegar mucha
2ab ª2 + b2 _ c2
sen (90º
+ C)
donde a, by e son los lados y C un ángulo. En su obra Variorum de
1
J_
~ ~1 ~
h1jl
1
it' ¡,
1
.:::q.¡
lrnn·l'uul Col/,·ue
rebus mathemaricis, publicada en 1593, encontramos un enunciado equivalente al de nuestro teorema de la tangent•~:
A -
a -
¡¡
tg-2-
h
2
donde A y 13 son ángulos, y a y b lados de un triángulo. Victc, al igual que su predecesor Regiomontano, considera la trigonometría como una rama independiente de las matemáticas y hace una ·~xposición de la misma análoga a la de Rhaeticus, aunque perfeccionando las tablas trigonométricas de éste. En efecto, aumenta las tablas de Rhacticus para las seis funciones trigonométricas dando valores para intervalos de un segundo con una pre.::isión de siete decimales. La obra que hizo famoso a Vicie fue sin duda su célebre tratado de álgcbn: ín artem analyticam isagoge, publicado en Tours en 1591 y más tarde en París en 1624. En esta obra nos ofrece una contribución original al álgebra simbólica que es sensibiemente análoga a nuestra concepción moderna. Aunque es cierto que sus predecesores habían adelantado ya algunos rudimentos de simbolismo que evidenciaban preocupaciones muy legítimas -basta recordar, a título de ejemplo, la expresión'tp~igual a 20, para ;;6 + 8x3 = 20, de Bombelli, los signos + y - de Johann Widmann, el signo = introducido por Recorde, el signo impreso por primera vez por Rudolff y la introducción por Jordanus Nemorarius de las letras para indicar magnitudes conocidas o no-. sin embargo, antes de Viete no parece haber modo de distinguir la cantidad desconocida de las otras cantidades. La solución elegida por Victe es a la vez sencilla y ~ficaz: las vocales representan las cantidades desconocidas mienhas que las consonantes simbolizan las cantidades conocidas. Observemos que nuestra convención moderna, debida a René Descartes (1596-1650), es contraria a la suya. La adopción por Viete de un simbolismo adecuado para identifi~ car la cantidad desconocida y la utilización de los símbolos germáni~ cos para la adición y la sustracción no son sin embargo suficientes para simbolizar completamente la ecuación cuadrática. En efecto, su álgebra es moderna en, algunos aspectos, y antigua en lo que respecta a la utilización de palabras o abreviaturas. De este modo, en vez de escribir la ecuación 3ax2 + 5bx - x 3 = C como · .,_
V
(fr las
n11111·111út1co.\· tt1 o dt•n1as
3BA 2 + SFA - A 1 = parámetros, escribe
+ h 2
A + H
tg-2-
/-. / ( 1nnio1:: 0
n,
24)
donde A es la incógnita y B, F y D
B J in A quadratus + F 5 in A - A cubus aequatur D solido ll
8 3 in A q + F 5 in A - AC aequatur D solido, donde Íll significa multiplicar' q es la abreviatura de quadratus y e significa cub11s. Aunque su álgebra sea más sincopada que simbólica, supone un avance respecto a las anteriores. Además , el simbolismo de Victe experimentará una mejora importante con la introducción de la notación AAA para A 3 , debida a Thomas Harriot (1560-1621), que había sido sugerida por Stifel en su Arithmetica íntegrü. El álgebra de Viete es notable no sólo por el grado de generalidad que alcanza, sino también por sus muchos aspectos nuevos y originales. Por ejemplo, sugirió un nuevo enfoque a la re solución de la cúbica, que es el siguiente. Reduce cualquier cúbica a la forma x 3 + 3ax = 2c ( 1), después hace xy = a - y2; por sustitución en ( l) obtiene /' + 2cy 3 = a-', ecuación bicuadrática en y3; deduce, evidentemente, que y3 e y pueden determinarse fácilmente. En su De acquationum recognitione et emendatione, publicado en París en 1615, ofrece transformaciones para aumentar o multiplicar por una constante las raíces de una ecuación , e indicaciones acerca de las r'~laciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación polinómica. Por ejemplo, se dio cuenta de que, si x 3 + ax + 3b = O posee clos raíces positivas, x 1 y x 2 , entonces a= XT + x 1x 2 +x~ y b = x 1 x~ + x 2.i::T, donde a > O y b >O. Así, en el capítulo XIV de la misma obra, encontramos cuatro teoremas que estipulan la relación general entre los coeficientes y las raíces de una ecuación; sin embargo, el rechazo sistemático de las raíces negativas e imaginarias le impidió estudiar en profundidad las funciones simé tricas 2 de las raíces de ecuaciones. 2 U na funció n simétrica de dos o más variables es una funció n que no varía cuando se permuta un par cualqu iera de sus variables. Por ejemplo . a la ecuación
c úbica
x-' + a 1x 2 + a 2x + a 3 =O
~1 2~1\l
i· r
Jr'.lll · f 'uuf ( 1•t'i1' f !<
cas de las rakes de ecuaciones, aceptando de entrada la exiqcocia de raíces negativ;!S e imaginarias. («Lo negativo en geometría si~_nifica una regresión», dice, «mientras que lo positivo con-espol'(k a un avance.»). La geometría de Victe se sitúa a un nivel equivalente al de los trabajos de Apolo11io y Pappus. Con su estudio de los tn:s problenns clásicos de la P.ntigüedad, mostró que la trisección de un ángulo y :a duplicación del cubo podían resolverse mediante una ecuación cí:bica. Además, su interpretación geométrica de las operaciones al :;cbraicas fundamentales le permitió darse cuenta de que con la re :la y el compás sólo se pueden resolver ecuaciones de primero y s;: ~undo grado. Por. último, la utilización de dos medias geométricas entre dos cantidad,;s y la trisección del ángulo sirven, entre otras cosas, para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas. En particular, gracias a la inserción de dos medias geométricas entre dos magnitudes numéricas, Vietc construyó el heptágono regular, construcción que da lugar a una ecuación cúbica del tipo x 3 = ax + a. En una de sus últimas obras, De numerosa potestatum ad exegesin rcso!utione, public:ada en París en 1600, proporciona un método de aproximaciones sucesivas de una raíz equivalente al de Horner. Por ejemplo, Viete resuelve así la ecuación x 2 + 7x = 60 750: Una primera estimación de x le lleva a tomar x 1 = 200; después sustituye x = 200 + x 2 en la ecuación de partida y tiene x~ + 407x 2 = 19 35D. Ahora toma x 2 = 40 y sustituye x 2 = 40 + x 3 en la segunda ecuación; de donde
+
487x3 = 1 470 y
X3
=
43 y
X
=
297
1; ¡, 1d,·r11.1.\
2\:¡X2
+ X~ +
fJX¡
cuadr;ítica
+
/lX2 ""
q;
c) si admitimos que x 2 es muy pequeño, podemos despreciar x~ y entonces
· - q(-x 1):>- ¡1.r 1 - - - -- - - - · 2x 1 + p
;
.. :l ,;
X> -
J~
·11 '·
d) la primera estimación, x 1 , lleva a una scr,unda estimac1on, y x = x 1 + x 2 + x 3 es una aproximación mejor, y así sucesivamente . La ventaja de esté método comist~~ en que es aplicable a cualquier ecuación polinómica. Victe utilizó su m¿todo p;ira aproximar una raíz real de la ec uación
li
x" + 6 OOOx = 19 l 246 976
'.1 \i
cuando los coeficientes son reales. Viete fue uno de los primeros, si no el primero, en poner de manifiesto las estrechas relaciones existentes entre las fórmulas trigonométricas y la resolución de ecuaciones. Así, partiendo de la ecuación irreducible x 3 + 3px + lf = () y haciendo y = mx se obtie., > ne una nueva ecuac1on, y 3 + 3prn-y + m·1q = t) , que presenta analogías con la fórmula cos
3
e-
3
1
¡cose - 4cos 30
.-%
= o.
fa1 efei: to, si y = cos 8, 3pm 2 = y m 3 q "" cos 38, se puede fácilmente determinar 38, y después en función de p, m y q. Entonces, se conoce cos e y por tanto es posible determinar x e y. Esta solución trigonométrica, sugerida por Viete, será estudiada por Girard en su lnvention nouve/le en algebre. Además, considerando los ángulos que satisfacen las condiciones, es posible encontrar las tres raíces reales de la ecuación cúbica dada . El célebre matemático francés del siglo XVI aprovechó el desafío
se le asocian las igualdades
Y '1'2'3
,~cu;11..:i1·m
0
.d +
= 3;
= ª2
ª'
si x 1 es una primera aproximación, x = x 1 + x~ es la raíz buscada; h) sustituyendo x por x 1 + x 2 en x 2 + px == q. tenemos
243.
'• + '2 + r3 = -a,, '1'2 + r1r3 + '2'3
"';11! · ·.>;, ;.< t,
;1)
por consiguiente, X2
dt' ¡,. ·
De fo rm a gennal. su 111étod1) aplicado a 1:1 .e + 1: .: = q se reduce a:
Alhat Girurd ( !595-1632), en su /11ventio11 11ou1•dle en 11!g<'/1rc ( 1629) fue el primero que estudió seriamente las funciones simétri-
.l.3
<"<'l.'l.'1' 11.:(,
= -a3
de manera que estas igualdades expresan los coeficientes de la ecuación cúbica como funciones simétricas de las ralees r 1 , r 2 y r 3 .
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.!1·1111 / '1111/ ( ·0111·111·
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lanzado por u 11 belga, A¡/riaan \11111 R 00111c11 ( 1561-1615), a todos los rnatem;íticos dL: Europa, par;1 rL'lacinnar una vo m;ís la trigonometría y el ;ílgebra. El reto del malém;ítirn belga consistía en la resolución de una ecuación de grado cuarenta y cinco de la forma: .r':; - 45x~ 3
+ 945x"11 - ... - 3 795.r.i + -t5x
=
K.
STEV!N
)
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lin 111t1tc·n11Íf11·11\·
111odontn
29()
El interés que el príncipe Mauricio de Nassau sentía por las matem;iticas y su amistad con su profesor movieron sin duda a Stevin a elaborar algunas de sus obras. A los 64 años. Stevin se casó con una joven llamada Cal harina Craey, de la que tuvo cuatro hijos, dos varones y dos hembras. Murió probablemente en la casa que, al casarse en 1612, había comprado en La 1laya . La muerte de este eminente hombre de ciencia, íntimo del príncipe. pasó casi inadvertida. y hubo que esperar hasta julio de 1846 paa que se erigiese un monumento a su memoria en su ciudad natal de ílrujas. Stevin conocía bien los trabajos matem:íticos de Euclides, Apolonio y al-Jwftrizml -a través de la traducción de R o bert Chestery estaba familiarizado con las obras de Cardano, Tartaglia y Bombelli. Ademús, en mecánica, las fuentes de Stcvin eran los trabajos de Arquímedes, Pappus, Jordanus Nemorarius~ Leonardo da Vinci y Tartaglia . Sus preocupaciones matemúticas y mecánicas hicieron de él uno de los grandes matemáticos del siglo XVI y, en mecánica, el mús importante de los sabios de todo el período que se extiende de Arquímedes a Galileo. En 1585, las prensas de Christofell Plantijn de Amberes imprimían un famoso libro de Stevin, de sólo 36 páginas, titulado De Thiende (título holandés que significa «la décima ») . Preparó una versión francesa que apareció el mismo ai1o, incluida en la Práctica de aritmética, con el título La dism e. La dis111e consta de dos partes, una sobre las cuatro definiciones y la otra sobre las cua tro operaciones fundamental es. La definición I enuncia que la «di sme» es una especie de aritmética que permite efectuar todas las c ue ntas y medidas utilizando úr.icarnente enteros. La definicir!n 11 establece que «Cualquier número que vaya el primero se dice comienzo, y su signo es (0) ». El término comienzo se refiere a la parte entera que marca el principio de la progresión decimal en la que la razón entre cada término es Tc;-. Las otras dos definiciones clasifican las posiciones decimales de
Vil:te, llamado a defender el honor de su patria, observó que la ecuación propuesta se obtiene al expresar K = sen 4500 en función de x = sen O. En poco tiempo, encontró todas las soluciones positivas -23-- pero: evidentemente, descartó toda~; las negativas. Se cue11t;1 que los conocimientos de Vii:·tc ;1somhraru11 t;:nto a Roo111L·11 que se dirigió a Francia para conocerle pnsonalmentc. Vicie no fue un matemático por vocación, pero sus numerosas y originales contribuciones al campo del ;ílgebra, la trigonometría, la teoría de ecuaciones y la geometría le c<.·nvirtieron en la figura central y dominante de este período de transición.
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1·011111 ·11.:o
Simon Stevin (1548-1620) nació en Brujas y muy pronto ejerció el oficio de cajero y contable; más tarde, le encontramos como funcionario de Hacienda de su ciudad natal. Después, emprende viajes en el curso de los cuales visita Prusia, Polonia y Suecia . Se tienen noticias de que estuvo en Leiden en 1581. Su primer libro aparece en Ambcres en 1582 y trata de las tablas de interés y de su construcción. Este libro, escrito en Holanda, incluye una exposición de los distintos tipos de interés y explica la composición de las tablas, además de proporcionar aplicaciones pdcticas. Estudiante en la Universidad de Leiden en 1583, poco después enseñará matemáticas en su Alma Mater, y el príncipe Mauricio de Nassau será uno de sus alumnos. En enero de 1593, con el apoyo de Mauricio de Nassau, obtiene el puesto de intendente general de los ejércitos holandeses, cargo que conservará hasta el final de su vida. En 1600 organiza la enseñanza de las matemáticas en la escuela de ingeniería vinculada por el príncipe a la Universidad de Leiden. Un hecho a de-;tacar es que la enseñanza en esta escuela se daba en la lengua del país, mientras que la lengua habitual en la universidad era el latín .
la progresión; Tc;-se llama «primera » y se designa por (l); ¡f;¡- recibe el nombre de «segunda » y se designa por (2); y los números rerresentados por (O), (1) y (2) se llaman «números decimales». A las tres primeras definicion es sig uen explicaciones que proporcionan ejemplos prácticos.
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«~ .~
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jt·:111. i\111! { 'ollcllt'
cjcm¡ilo, Stcvin escribe así el número OJ75: 3Ú)7 que se le.; d primeras 7 segundas 5 tercera:»>, mientras que el número t'@tXDJ07CD (8 937) se lec «8 comienzos 9 primeras 3 segundas 7 terceras» v análogamente «dichos números valen ¡fu 1 17HHI ». En la cxpÍicación~que sigue a la definición 111. dice: « ... Debemos saber que no utilizamos en La di.rn1e ningún número roto (fracciones), y también que el número de los signos, exceptuando el (O). no excede nunca a 9. Por ejemplo, no escribimos 7Ú)l20. sino 8(D2Ql, que vale lo mismo.» Puede resultar extraño ver Clímo un hombre que consigue elucidar claramente la noción de número decimal utiliza una notación tortuosa y poco eficaz. Sin embargo, este tipo de anomalía es mucho m;is frecuente de lo que se imagina y otro ejemplo claro lo proporciona Isaac Ne1vto11 ( 1642-1727) con su torre notación de los infinitésimos. La mala notaci1ín decimal de Stevin complica las cosas cnando se trata de emplearla en la notación algebraica. En efecto, expresa las diferente~ potencias de la incógnita con su notación de números decimales . Así, escribe el polinomio 2.r 2 - Sx + 3 como 20 - 5Ú) + 3@. Además se convierte en y ,JXf se expresa por Por
05CD.
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1(D.
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En la segunda rarte, expone cómo pueden ser aplicadas de manera natural las cuatro operaciones fundamentales a este nuc\o conjunto de número.>, y demuestra rigurosamente las distintas reglas aritméticas. Por último, en un apéndice, se propone demostrar en seis artículos que los cálculos y las medidas pueden simplificarse considerablemente introduciendo los números decimales. El primer artículo trata de la agrimensura, y en él llama a la unidad («vara») comienzo, a la décima parte primera y así sucesivamente. El segundo está dedicado a las medidas de tapicería, y el tercero se titula «Cuentas que sirven para medir todo tipo de toneles». Los tres últimos tratan respect ivamente de estereometría, cálculos astronómicos e intercambios monetarios. La normalización de los pesos y medidas propuesta por Stcvin no tuvo el éxito esperado. La disme fue el primer tratado dedicado de manera intencionada al estudio de los números decimales, y las ideas de Stevin constituyen la primera exposición sistemática del concepto de número d.::cirnal que tuvo la :;uficiente influencia para conseguir que su uso
I:!
cuo11(·11 ::.o
de las
1n11tc1n,itid1.\· n1od(·r-1ws
301
se extendiese considerablemente. Consiguió así lo que Victe había deseado ardientemente algunos aiios antes. Su desacertada notación será afortunadamente sustituida, a partir de 1620, por la actual, gracias a los trabajos del coinvcntor de los logaritmos, John Napicr. En 1608. aparece en Leiden el Lihro de mentas del príncipe al estilo italiano ... para el príncipe de Orange de Stevin quien cscrib1ó este libro de contabilidad a petición expresa del príncipL' Mauricio. Esta obra está en la línea de muchos textos escritos en diferentes lenguas sobre el método italiano de contabilidad, el primero de los cuales fue el De computis et scripturis, que forma parte de la S11mma de Luca Pacioli. Aunque Stevin no fue el primero que trabajó en este campo, su tratado fue adoptado y empicado en los asuntos de Estado por el príncipe, así como por Sully, ministro de Enrique IV. En álgebra, Stevin proporciona reglas rclativ::is a las ecuaciones: interpretación tanto de las raíces negativas como las raíces positivas de la ecuación obtenida al sustituir x por (-x); adición de (-b) a a, en lugar de sustracción de b de a y generalizaci ó n de esta idea con vistas a la solución de ecuaciones; existencia de al menos una raíz entre a y b si p(x) = O con p(a) >O y p(b)
NAPIER
John Napier (1550-1617) nació en el castillo de Merchiston, cerca de Edimburgo, y no se sabe prácticamente nada de los primeros años de su vi::la, a no ser que comenzó sus estudios en casa . A los trece años perdió a su madre y le enviaron a la Universidad de SaintAndrew (Escocia). Probablemente al salir de Saint-Andrew, según parece sin título universitario, pasó algún tiempo en el extranjero y volvemos a encontrarle en Gartness, parroquia de Drymen, en el
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Jca11-J'aul Coll<'H<'
Stirlingshi1e, donde su padre poseía tierras_ Se casó CO'l Elisabeth Stirling er 1572 y construyó en Gartness, dentro de una rica propiedad. una espaciosa mansión. Entre sus conocidos tenía fama de hombre q1n poderes sobrenaturales. Murió, probablemente de gota, el 4 de abril de 1617. En el siglo XVI, la guerra civil entre católicos, favorables a Francia, y protestantes, favorables a Inglaterra, asolaba Escocia. Napier era un protestante convencido y publicó en 1593 una obra de teología, A plaine discouery of the whole rcvelatwn of Saint John. sobre el Apocalipsis de San Juan, que tuvo un éxito considerable. En ella Napier defendía, entre otras cosas, que el papa de Roma era el Anticristc. Sin embargo, aunque en este libro manikstaba preocupacioner. teológicas, se interesaba también por algunos aspectos de las matemáticas. Hacia finales del siglo XVI, Napier, preocupado porque los cálculos numéricos, largos y difíciles, frenaban el progreso científico, concentró todos sus esfuerzos en el desarrollo de métodos que pudieran simplificarlos. Con este fin, escribió su Rabdología, donde describe la utilización de varillas y cuadrillos para dectuar sumas de productos parciales. Los cuadradillos de Napier son tablas de multiplicación montadas sobre varillas de sección cuadrada. Como ejemplo, efectuemos la multiplicación 2 085 x 543 con estas varillas. Elijamos cuatro varillas en cuya primera línea ap;irezcan respectivamente los números 2, O, 8 y 5, y una segunda varilla en la que estén rep1esentadas las unidades de 1 a 9 (véase fig. en p . 303). La multiplicación se hace como sigue: se suman todos los términos que e.;tán en la tercera fila, efectuando :as sumas en diagonal, lo que da 6 + O, O + 2, 4 + 1, 5; por tanto: 3
X
2 085 = 6 255.
1 1
1
De forma análoga, las filas 4 y 5 dan 8 340 y lO 425, y se tiene: 4 5
X X
2 085 = 8 340 2 085 = JO 425.
A hora basta con efectuar la suma de los tres productos rarciales
_;¡ 1 .~
/:/ co111ú·n:o dt• las 1111111·11uirio1., 1nud1·n1'1.,
teniendo en cuenta la posición tk los prnductllS. :\si. el resultado final será:
6 255 83 40 1 042 5
1 132 '-"" l. ' ~
:: .·
J.·
-l. '
()
~
5
5.'
Estas varillas se empicaron en Escocia durante más de un siglo en todos los cálculos que incluían multiplicaciones. El apéndice de la Rabdología describe un perfeccionamiento de los cuadradillos, reemplazados por laminillas perforadas que permiten efectuar rápidamente multiplicaciones de números muy grandes. Napier cuenta que, con el propósito constante de estudiar métodos abreviados de cálculo, trabajó veinte años antes de publicar su sistema de logaritmos. Convencido de que su «habilidad» y su «fuerza de voluntad» le permitirían eliminar las dificultades engendradas por estos largos y pesados cálculos, publica al fin, en 1614 . su
~!
;, ,u1- !'.1ul (
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·,,f!'1•fft'
cékhrc tratadti Mirifici lugariihmorrmr rnnonis d,·scri¡11io, en el que cxp
{ / CUJ!l/('1f ::o
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lfl t //Ollelf i¡ "¡ /.\" n11>1l n 1/(/\
Napier, para eliminar la difirnltad surgida al utilizar fra cci,111es, decide tomar C
= O, e = ln
!07
(ya que A fJ
= 10 7 ), por tanto
In y= - t + In 107 (1). 7 Ahora bien, la vclociclacl i = ",' uniforme) ' = 10 (velocidad . (
C
Napicr expone los principios de su tratado en términos geométri cos:
de donde x Además:
=
107 t ..
Ncp log x = x = !0 7 t Sea un segmento A B y una semirrecta H F. Supongamos que los puntos e e i parten simultáneamente de A y H, con la misma velocidad inicial, en dirección By F respectivamente. A
e...
y
e
JI
E
X
B
•
F
Si el punto e (en movimiento) tiene una velocidad numérica igual a la distancia y, es decir q ue la velocidad de e en A es a la velocidad de e en C como la distancia AB es a la distancia y; si, además, el punto móvil i se desplaza con una velocidad uniforme numéricamente igual a su velocidad inicial, entonces, según Napier, la longitud x es el logaritmo de y: x
=
Nep' log y.
El nomhrc de Napier se afrancesó. convirtiéndose en Néper, de donde procede d tl:rrnino «logaritmo ncperían•>». J
10 7 (In 10 7 - In y) (de la relación (1)) 10 7 ln (10 71y)
1
Nep log x = 10 7 log 11c (yll0 7 )
J
Lo que quiere decir que si las distancias x e y, en la exposición geométrica de Napier, son divididas por 10 7 , la definición de Napier lleva a un sistema de logaritmos de base lle, y no «e» como podría pensarse. Napier no concebía su sistema de logaritmos en términos de «base» y sin embargo construye las tablas a partir de multiplicaciones repetidas, equivalentes a potencias de 0,999 9999. Así, el sistema de Napier verifica la relación log m < log n si m > n, ya que, como hemos visto más arriba, utilizaba implícitamente un sistema de base lle. Además, su sistema se diferencia de los que empleamos actualmente en las propiedades fundamentales de los logaritmos. Por ejemplo, si hacemos ll
= 107 log11c (y,110 7 )
'•
¡;
1 '
r
l r
1
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11·1111.
/\111/ (
/-./ co1n11·1120
01/1'!1¡'
V 111
ti,· las
11111tcnut1101.\· 1nod~·11w,·
sucesivamente. Partiendo de un valor c..:1·,tero del seno, obtiene los otros valores del seno como sigue:
10 7 lng 11,. (v,/10 7),
seno entero, entonces
.!r de r
Y1
10 7
(
1 - 1/10 - 7 )" e Y2
10 7
(
r( 1 - 1/r)
1 - 10- 7 )"'
~ ele r ( 1 - 1/ r)
ya que
r(l - 1/r)~
n 10-1
log11..J'1;
lle = ( 1 _ 10 1)111' y, pasando a la forma exponencial, se tiene:
-J¡¡-]10'¡1110'
=
-¡{f,- (a' =y solamente si log"y
= x)
de donde
Y1
= 107
,. = 10 ()()() 000 '000 0000
1,000 0000 0000
l) l)l)l) l)l)l) '000
0,999 9999 9 999 998,000 0001
donde l /r es la razón ele la progresión geométrica. Cada valor del seno se obtiene restando del valor anterior del seno l/!011 de este mismo valor. Napier construyó otras dos tablas como ésta. La aparición del tratado en 1614 causó un impacto considerable y entre los admiradores más entusiastas de este nuevo sistema hay que señalar a Henry Briggs (1561-1630), el primer profesor saviliano 4 de geometría ele Oxford. 13riggs visitó a Napier en Edimburgo y, después de una discusión, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a cero, mientras que el logaritmo de diez debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de «base vulgar» o logaritmos de 13riggs. La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por 13riggs, puesto que Napier no poseía ya fuerzas para emprender un trabajo de esa envergadura .. Briggs comenzó con log 10 = 1, en vez de considerar las potencias de 0,999 9999 como había hecho Napier, y calculó los otros logaritmos tomando raíces sucesivas. En 1617, año de la muerte de Napier, ílriggs publicó Logarithmornm chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1 000, con una precisión de catorce decimales. En 1624, aparecen por primera vez las palabras «mantisa» y «Característica» en la Arithmetica logarithmica de Briggs y esta vez las tablas contienen los logaritmos decimales de los números de 1 a 20 000, y después de 90 000 a 100 0011, en todos los casos con catorce decimales. Pocas veces un descubrimiento se ha difundido tan rápidamente y, de 1614 a 1631, existen más de veinte obras publicadas sobre este tema.
fKíO
¡¡ 1 _
.\07
(! - 10 - 7 )n
De manera análoga se obtiene Y2· Sin embargo se observa que
~· 1'¡';' = 10 7 (1 -- 10- 7 ) 11 + 111 , de donde la suma de dos logaritmos de Napier no corresponde al logaritmo del producto y 1J2, sino al producto ~;,1;'. Ocurriría lo mismo con los logaritmos ele ur cociente, de una porenica y de una raíz. Toda la obra ele Napier constituye un intento de simplificar los cálculos trigonométricos; su tabla contiene los logaritmos del seno de Oº a 90º, con un radio ele 107 . Después de definir las progresiones aritméticas y geométricas, calcula diversas progresiones geométricas (3 tablas sucesivas) necesarias para determinar los logaritmos del seno. La idea fundamental consiste en conseguir que los términos de una progresión geométrica sean potencias enteras muy próximas de un seno dado, y para ello hay que utilizar un número cercano a uno. Napier eligió 1 - 1/10 7 o, lo que es lo mismo, 0,999 999, y para evitar las fracciones multiplica cada potencia por 10 7 . Así, si y = 10 7 (1 - 1/10 7 )", entonces el logaritmo de y es n y el de 10 7 es O, mientras que el logaritmo de 10 7 ( 1 - 10 7 ) = 999 999 es 1 y así
' El primer titular de una cátedra fundada por sir Henry Savile.
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J . .:1111 -Paul Colll'll<'
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{a, 1n11rnn.Íf:1·1 H ou1,frnws
3119
La i11vc11ciú11 ck !.is logaritmos causó un imp;1cto considerable en L1 estructura de las matcm<1ticas y multiplicú por diez los métodos de ciilculo de los astrónomos. Además. las consideraciones infinitesimales de Stevin sobre la determinación de los centros de gravedad fueron de gran utilidad para Kcplcr, autor de las célebres leyes del movimiento plane!ario.
lllJR(il
llov s;\hemos que. en Suiza y en Ll misma época, J,1bst Bürgi l i5~2-i632) cksarrolló ideas similares a los logaritmos de Napier. lnclus~1 se afirma que 13ürgi concibió la idea del logaritmo ya en 155~. pero que perdió todos sus derechos de prioridad al publicar sus resultados algunos años después del Mirijict de Napicr. De hecho. los trabajos sobre logaritmos de Bürgi se publicaron en Praga en 1620 con el título Aritlunetische 1111d gcomctrischc l'rogrPSS-
KEPLER
Talmlcn. Johann Kepler (1571-1630). astrónomo alcmún, nacido en Weil (Wurtcmherg). Fue a la escuela gramática de Wcil. después se trasladó a la pequeña localidad de Leonberg donde. a la edad de trece años, obtuvo un diploma de la escuela latina . Tras una infancia muy dura, debido a su origen modesto, en 1584 fue admitido gratuitamente en el seminario de Adelbert, donde la disciplina rigurosa y su debilidad enfermiza le dejaron en un estado lastimoso. Por el contrario, su estancia de tres años en el seminario superior ele M:wllhronn le hizo recuperar la salud. En !589, por su buen conocimiento del latín, ingresó en la Universidad de Tubinga. L1 teología ocupaba el primer lugar entre las ciencias que el joven Keplcr debía asimilar, pero el futuro astrónomo aceptó de entrada las ideas copernicanas cnscíladas por su profesor Maestlin. A los veintitrés años fue nombrado profesPr de moral y matemáticas en la escuela secundaria protestante de Graz. Hacia IWO, tiene que abandonar la escuela debido a las persecuciones religiosas y se refugia en Praga, donde se convierte en discípulo y ayudante del célebre astrónomo Tycho Brahe. En octubre de 1601 mucre Tycho Brahe y el emperador Rodo!fo II nombra a Kepler «matemático de su cristianísima majestad». En 1612 pierde a su mujer y a uno de sus hijos. Ya no se encuentra bien en Praga y acepta un puesto de profesor en Linz, donde permanecerá durante más de catorce años. Los cuatro últimos años de su vida vive en distintos lugares y sufre, como durante toda ella, desgracia tras desgracia. Murió el 15 de noviembre de 1630 en Ratisbona. Uno de sus amigos escribió: «Se ha puesto el Sol de todos los astrónomos». Kepler, además de enunciar las tres célebres leyes del movimiento planetario, hizo contribuciones originales en distintos campos de !as matemáticas .
Bürgi y Napicr proceden esencialmente de la misma manera al utilizar ambos las propiedades de las progresic.ncs geométricas y arti1'n éticas. En las tablas de Biirgi, los números en progresión aritmética están escritos en rojo, mientras que los números en progresión geométrica lo están en negro. La noción de «base» no existe en el sistema de Bürgi y log l = Oes inadmisible en el sistema de !os coinvcntorcs de los logaritmos. Los logaritmos contenidos en su~; tablas son números enteros. Las diferencias entre los dos sistemas radican en la terminología y en los valores numéricos utilizados. Hemos visto que Napier eligió al principio log 10 7 = O, mientras que Biirgi parte de log 108 =O. Además, la relación log m < !og n si m > 11 es cierta en el sistema de Napicr, mientras que en el de Bürgi se verifica log m > log 11 si m > n, lo que permite afirmar que el sistema del relojero Bürgi estaba más cerca del nuestro que el de Napicr.
John Speidell, en una obra titulada New logarithmes, publicada en Londres en ló19, r•o:ajusta los logaritmos de Napier introduciendo, a partir de las funciones trigonométricas, los logaritmos naturales (en base e). Edward Wright (1559-1615) publicó en 1616 una traducción inglesa del tratado de Napier, aparecido en 1614, en la que encontramos algunos logaritmos naturales. El primer tratado de Icgaritmos escrito en francés apareció en 1625. El inventor de la «regla de cálculo», William Ollghtred (1574-1660) enunció de forma explícita, hacia 1650, las propiedades siguientes: a) log m n
=
log m
+
log n,
h) log ',7 = log m - n, c) log xn = n log ;:.
..........-1-
---------
-·-
-··----·-------·----·---·----·-
~~~~~-~
!.
3111
Jc1111-l'c111/ Collt>m·
Por lo que respecta a las secciones cónicas. resolvió el problema de determinar el tipo de cónica. conocido un vértice, el eje que pasa por el vértice y una tangente cualquiera y su punto de contacto. A él se debe la palahra «foco» utilizada en la geometría de las cónicas, así como el «principio de continuidad». Partiendo de una sección cónica. obtenida por dos rectas que se cortan. en la que los dos focos coinciden en el punto de intersección, se pasa gradualmente por una infinidad de hipérbolas, cuando los focos se alejan cada vez más. La parábola se obtiene entonces en el momento en que uno ele los focos está, por decirlo así, en el infinito respecto al otro foco. Cuando el foco móvil pasa más allá del infinito y se aproxima al otro lado, se pasa gradualmente por una infidad de elipse~ : se alcanza el círculo cuando los d->s focos coinciden de nuevo. Esta noción de
1) Cada planeta describe una elipse, en la que uno de los focos está ocupado por el sol. 2) La recta que une el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
El ro111íen :o de las 11u1tcnuí1icas 111odernas
311
Kepler afirmaba que el área barrida por el radio vector está constituida por triángulos infinitamente pequeños, con un vértice en el sol y los otros dos sobre la órbita a una distancia infinitamente pequeña. De manera análoga calculaba el área de una elipse. La determinación del área barrida por un radio vector y de la elipse no fueron las únicas contribuciones de Kepler . al campo del cálculo diferencial e integral. En efecto, publicó en 1615 un libro titulado Nova stereometria do/iorum, que trata de la determinación del volumen de ciertos sólidos generados al girar una curva alrededor de una cuerda, de una tangente, o incluso de una recta exterior. Añadió así noventa nuevos sólidos a los propuestos por Arquímedes. En el segundo capítulo de este libro, trata el problema de la determinación del volumen de los toneles de vino y demuestra que, cerca del máximo volumen, éste varía muy lentamente. Según parece, la observación de los extraños resultados obtenidos por el método utilizado en la época para medir el volumen de vino contenido en los toneles indujo a Kepler a estudiar los métodos volumétricos. Hacia 1612, mientras Kepler estudiaba el volumen de los toneles de vino, un sabio italiano, Galileo, escrutaba el cielo con su telescopio y estudiaba el plano inclinado.
GALILEO
Un planeta P describe une elipse y la recta PS barre üeas A y B iguales en tiempos iguales .
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Galileo Galilei (1564-1642) nació en Pisa, hijo de un hidalgo florentino, pobre pero instruido, que escribió una obra sobre la historia de la música. Estudió medicina en Pisa, pero no tardó en interesarse de manera especial por las ciencias, y más exactamente por la mecánica y sus aplicaciones. Siendo aún estudiante de medicina, se dice que hizo un descubrimiento cuya exactitud histórica es muy dudosa. Se cuenta que, observando en la catedral de Pisa la oscilación de una lámpara suspendida de la bóveda, se le ocurrió que el movimiento de un péndulo es isócrono; un poco más tarde demostraría qU"e el período de un péndulo es también independiente del peso del péndulo. Galileo, que había estudiado a fondo las obras de los grandes sabios de la Antigüedad, entre otros Euclides y Arquímedes, adquirió muy pronto cierta notoriedad como matemático y así, en 1589, a
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Jcan-l'cwl Col/i-1::
El co111i.:11zo dt' las 111atrmliricns modernas
1
313
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los 25 ailos, fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa. En 159/. lo encontramos en Padua, ya que, debido a controversias locales, había dejado su cátedra de Pisa. Galileo continúa en Padua, en una cátedra análoga, sus trabajos de mecánica. Estudia los imanes y comienza a interesarse por los anteojos astronómicos. A partir de 1609, se convierte en el consejero científico del duque de Toscana, hace numerosos viajes a Roma y llega a ser miembro de la Academia de los Lincei. En esta época, inventa el anteojo que lleva su nombre y perfecciona sus observaciones astronómicas, que probablemente fueron las que hicieron suscribir de manera gradual y abierta las ideas de Copérnico. Sin embargo, tiene que ser prudente porque, en 1615, la Inquisición romana condena las ideas copernicanas y declara herejes a los que las propagan. Se r~tira entonces a una pequeña casa de campo en Arcetri, en los alrededores de Florencia, y consagra quince años de su vida a sus investigaciones sobre mecánica y astronomía. En 1632, Galileo publica su famoso Diálogo sobre los dos sistemas del mundo, en el • que las tesis copernicanas se afirman de nuevo con vigor. En 1633, Galileo comparece ante·c1 tribunal de la Inquisición que le obliga a renegar públicamente de sus doctrinas relativas al movimiento de la tierra. Aunque se quedó ciego en 1637, consagró los últimos años de su vida a un trabajo intenso para conseguir que progresasen sus concepciones científicas. Murió en su casa de campo en 1642, a la edad de 78 años. Sus conclusiones y descubrimientos científicos más importantes se encuentran en dos obras escritas en italiano, una sobre astronomía y otra sobre física. A él :' e debe la organización de la mecánica de la caída de los cuerpos y la dinámica. Fue el primero en darse cuenta de la naturaleza parabólica de la trayectoria de. un proyectil en el vacío y estudió las leyes del impulso y la resistencia de materiales . En 1632 da a conocer al mundo su primer gran tratado, Diálogo sobre los dos sistemas del mundo, el de Tolomeo y el de Copémico, obra que es un diálogo entre tres personajes: Salviati, que personifica a Galileo, Sagredo, que es un amigo de . mentalidad abierta, y Simplicio, el hombre testarudo y razonador que simboliza la escolástica y el aristotelismo. En 1638, sometido a una estrecha vigilancia como consecuencia de su condena, Galileo publica Discursos y demostraciones matemáticas relativas a dos nuevas ciencias, nueva puesta a punto de sus
ideas sobre mecánica, cuya forma es análoga a la del tratado anterior. Estas dos obras de Galileo contienen ten.as de física o de astronomía en los que se recurre a las matemáticas y, frecuentemente, a las propiedades de lo infinitamente grande y de lo infinitamente pequeño. De hecho se puede afirmar que Galileo conocía bien los trabajos de Oresme sobre la latitud de formas y en varias ocasiones, en Dos nuevas ciencias, emplea un diagrama de velocidades que es similar al gráfico triangular de Oresme y lo completa. En el diálogo de la primera jornada, Galileo elabora una larga discusión sobre el infinito, lo infinitesimal y la naturaleza del continuo. Salviati admite claramente la posibilidad del infinito actual, pero debido a las numerosas paradojas que suscita esta concepción, concluye que el infinito y la indivisibilidad son por naturaleza incomprensibles para el hombre. Un poco después, Galileo, representado por el personaje de Salviati, afirma que los atributos «mayor que», «menor que» e «igual a» no deben utilizarse para comparar cantidades infinitas entre sí, o para comparar el infinito y cantidades finitas . En la misma línea de pensamiento, hay que destacar la afirmación de Galileo de que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todos los enteros positivos pares y un subconjunto del mismo, por ejemplo el conjunto de todos los cuadrados perfectos. Sin embargo, no desarrolla esta idea y habrá que e~perar a que los trabajos de Bolzano y Cantor, en el siglo XIX, la exploten plenamente. Mientras que Galileo utiliza la sutil noción de indivisibilidad en sus explicaciones físicas, su amigo y alumno Cavalieri_ la emplea como piedra angular de un método geométrico de demostración que obtiene un éxito notable .
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CAVALIER !
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h Bonavcntura Cavalieri (1598-1647), nacido en Milán, religioso jesuita, fue uno de los mejores alumnos de Galileo. Enseñó matemáticas en Bolonia desde 1629 hasta su m~erte. Escribió obras de matemáticas, óptica y astronomía y fue en gran . parte el responsable .
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1 Jcan-l'aul Co/fr111·
31~
1
de la rápida introducción de los logaritmos en Italia. Pero debe su fama a un tratado, cuya primera versión se publicó en 1635, consagrado al método de los indivisibles. El Tratado de los indivisibles de Cavalieri es verbal y no muy claro. El autor no dice en ninguna parte de su obra qué entiende exactamente por el término «indivisible», que caracteriza a los elementos infinitesimales utilizados en su método. Para Cavalieri una superficie está constituida por un númern indefinido de rectas paralelas equidistantes y un sólido por planos paral.elos equidistantes. En el método de Cavalieri no existe ningún proceso de aproximaciones sucesivas y, contrariamente a la afirmación según la cual Cavalieri despreciaba los infinitesimales de orden superior, no omite ningún término, puesto que recurre a la .correspondencia biunívoca para asociar los elementos de dos configuraciones que quiere comparar. Podemos ilustrar el método de los indivisibles con la siguiente proposición, conocida en estereometría con el nombre de «teorema de Cavalieri».
1
Si dos sólidm tienen la misma altura y si las secciones que se obtienen por planos paralelos a las bases y a igual distancia de éstas están siempre en una razón dada, entonces los volú,m enes de los sólidos están también en la misma razón.
Entre las aplicaciones que hizo de su método, podemos destacar un teorema de naturaleza geométrica equivalente a
fº
an+I
u
x" dx
J:'/ l·onrien :. o
lÍt:
A
La demostración de Cavalieri incluye la comparación de potencias de líneas paralelas a la base de un paralelogramo con las potencias de líneas .de uno de los triángulos formados por la diagonal del paralelogramo _ Consideremos el paralelogramo ABCD, dividido en dos triángulos por la diagonal AC. Sea AE = CH; se demuestra fácilmente que el indivisible (segmento) EF, en el triángulo ADC, es igual a CH, en el triángulo ABC. Comparando uno a uno todos los indivisibles del triángulo DAC con lc1s del triángulo ABC, se comprueba que los dos triángulos son igm.les.
B
l--~-"'...-~~~~~~~~~1
D'--~~~~~~~~~~~
El paralelogramo es la suma de los indivisibles de los dos triángulos; es entonces evidente que la suma de las primeras potencias de líneas en uno de los triángulos es la mitad de las primeras potencias de líneas en todo el paralelogramo. Así
f
u
xdx
=
z ~
2
o
Cavalieri prosigue su argumentación geométrica demostrando que la razón de los cuadrados de líneas es de 3 a 1, que la de los cubos de líneas es de 4 a 1, y así sucesivamente . Concluye por analogía que la razón entre las enésimas potencias de las líneas del paralelogramo y las enésimas potencias de las líneas de uno de los triángulos es de n + 1 a l. Por ejemplo, la demostración de que el cubo de las líneas de un paralelogramo es 4 veces la suma de los cubos de línea de uno de los triángulos es la siguiente:
= --n + 1
31 5
las trulfeniáticas nu)liertw.'i
Puesto que (a
+
b) 3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 +
b3 , toma
AB =e, EF =a y FI = b,
de donde, en la figura que aparece más arriba :Lc3
=
:La3
+ 3:La2 b + 3:Lab 2 + :Lb 3
(1).
Por simetría, la relación (1) se convierte en :Lc3 = 2:La3
+ 6:La 2 b
(2).
Además, :Lc3
=
c:Lc2
=
c:L(a
+ b)2 = c:La 2 + 2c:Lab + cL.b 2
~~_;...;.-
"
,.
~
316
lra11-l'aul Colle11r
El comienzo de las mlltemáticas modt'nws
317
1
pero, por ser la razón de los cuadrados de línea de 3 a 1, podemos escribir L:c3
= }cL:c2 + '2c'r.ab + }cL:c2 (L:a2 = = tcL:c2 + 2c'r.ab
L:b 2
-<
= }cL:c2 )
(
' :::
----~V
= tL:c3 X 2(a + b) + 2L:ab = tL:c3 + 2:~0 2b + 2L:ab 2 = tL:c3 + 4;.:a 2b (por simetría).
(
!
,.
':=
I
1
r
1 \
De donde
=
afJ
\
4L:a 2 b = t:r.c3 ,
por consiguiente, L:a 2 b = _!_L:c3 12
'
sustituyendo en (2) L:c3
=
2L:a3
,.
La concepción de Cavalieri de los indivisibles provoco numerosas discusiones y las diversas críticas que suscitó su método contribuyeron de manera importante al progreso de los primeros gérmenes del cálculo diferencial e integral.
+ tL:c3,
.J
í
::::¡
,... i ::::
f
l:
de donde f
L:c3 = 4:La 3 . Cavalieri se dio cuenta de que este método podía generalizarse para todos los valores de n, pero sólo ofreció una demostración completa para el caso n == 4_ Sin embargo, los resultados de Cavalieri son de alguna forma equivalentes a la expresión '
f
a
0
an+l
x"dx=-n +1
Entre otras contribuciones notables de Cavalieri, cabe destacar una obra titulada Directori11m universa/e uranometricum, publicada en 1632, que incluye tablas del seno, de la tangente, de la secante y del inverso del seno, así como de su logaritmo con ocho decimales. Además, establece una relación entre la espiral r = a8 y la parábola x2 = ay, de manera que, por una especie de torsión, haciendo x = r e y = r8, la ordenada de la parábola se convierte en el radio vector de la espiral. La figura que aparece a continuación ilustra esta relación.
¡ RESUMEN
Las traducciones de Maurolico y Commandino facilitan el acceso a las obras antiguas de un nivel superior, poco conocidas en la época. Maurolico es uno de los precursores del principio de inducción matemática . La figura central del álgebra, y de las matemáticas en general es sin duda Frarn;ois Viete. Utiliza sistemáticamente numeros decimales y hace contri-buciones originales al campo de la trigonometría, la teoría de ecuaciones y la geometría. El grado de generalización y los numerosos a~;pectos nuevos y originales de su álgebra le hicieron famoso. Fue el primero que estableció relaciones entre la trigonometría y la teoría de ecuaciones. Stevin debe su celebridad a su tratado La disme, que ocupa de manera sistemática, aunque con una notación pobre y tortuosa, de los números decimales. Fue también célebre por sus aportaciones a la contabilidad, la trigonometría esférica, el ánalisis y otros muchos campos de las ciencias y la tecnología. Napier alcanzó la fama sobre todo por la invención de los logaritmos, aunque destacara también por el desarrollo de métodos abreviados de . cálculo distintos de los logaritmos, y por sus trabajos de tiigonometría.
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Colfrm·
¡._-¡ coolien;::o de las n1atcnuíticas
Bürgi desarrolló de manera independiente los logaritmos. pero perdió todos sus derechos de prioridad al puhlicarlos después de Napier. Las diferencias en ti e el sistema de Bürgi y el de Napier radican en la terminología y en los valores numéricos empleados. Los astrónomos Kepler, Cavalieri y Galileo hicieron contribuciones esclarecedoras al campo del cálculo diferencial e integral. y más exactamente en relación con las nociones de infinito, infihitesimal e indivisihle.
n101l1·r111n
WJ
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-
----
lt·an-!'1111/ CollcHe
.1211
TEMAS DE TRABAJOS
EJERCICIOS
1. ¿Por qué puede decirse que Viete es el defensor de los números decimales? 2. ¿Cuáles son las cont ribuciones de Viete al álgebra de su época? ¡_Es adecuada su notación? 3. ¿Qué aspectos nuevos rngiere el álgebra de Viete? 4. Verificar que, según comprobó Viete, si x 1 y x 2 son raíces positivas de xJ + ax + b = O, ent•mces a = xf + x 1x 2 +xi y b = x 1 x~ + xfx 2 , donde a> O y b >O. 5. Empleando la regla d~ Viete, resolver las ecuaciones: a) x 2 + 7x = 60 750 (tomar x 1 = 200) b) x 3 = 232x 2 + 465x + 702 (la raíz positiva está entre 200 y 300) . 6. En el sistema de Napier, ¿cuál es la relación entre log y 1 , log y 2 y:
a)~· 107
c) log (y 2 ) ""?
b) log (y 1)''
Hem0s preparado, para aquellos que quieran realizar cortas investigaciones histó ricas, una lista de temas que tratan principalmente de la evolución histórica de algunos conceptos matemáticos, o del análisis de trabajos o documentos cuyo valor histórico es indudable . Hemos creído oportuno incluir en esta lista algunos temas afines al campo de las matemáticas. Estos trabajos pueden ser emprendidos por estudiantes que toman contacto por primera vez con la historia de las matemáticas, pero algunos de ellos requieren una formación matemática de nivel universitario.
7. Efectuar con las varillas de Napier los productos
8 052
X
458
y
5 008
X
2 128 1.
LA GÉNESIS DEL CONCEPTO DE NÚMERO
8. Comparar el sistema de logaritmos de Napier con el que utilizamos actualmente. ¿Cuáles son las diferencias esenciales? 9. Aplicar el método de Cavalieri para demostrar geométricamente el equivalente de
f" 0
X
5'
¿Cómo llegaron a contar los hombres primitivos y de qué manera consiguieron expresar los resultados?
ª5+1
dx = ---5 + l
FUENTES
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Temas de trabajos
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322
FUENTES
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2,
EL ORIGEN DE NUESTRO SISTEMA DE NUMERACIÓN
Desde los hombres primitivos hasta su aceptación definitiva en el siglo XVI l.
·2~
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3.
LA HISTORIA DEL SISTEMA SEXAGESIMAL
La génesis de h numeración sumeria y las diversas aplicaciones de este sistema a la metrología y a la astronomía.
EL SISTEMA DE NU MERACIÓN DE LOS MAYAS
Origen y diferentes características del sistema d~ los sacerdotes y del sistema del pueblo .
FUENTES
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Jca11-Pa~I
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C1,!inte
LA lli\BILIDAD DL LOS PÁJAROS PARA CONTAR
Se les puede cnseiíar a contar, a reconocer diferencias significativas entre dos grupos de puntos desiguales o de filas de marcadores, etc.
Femas de trabajos
Ncwman, J. R., comp., «Thc Rhind papyrus•>, en The 1vor/d of mathematics, vol. 1, Nueva York, Simon and Schuster, 1956, pp. 170-78_ Van dcr Waerdcn, 13_ L., Scie11ce awakming, Nueva York, John Wiley and Sons. 1963, pp. 16-32.
7_
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6 _ EL PA.PIRO DE RHIND
Su contenido matemático y sus principales características.
FUENTES
Boyer, Car! B., A history of mathe111atics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1968, pp. 12-20_ Gillings, Richard J _, Mathematics in the time of Pharaohs, Cambridge (Mass.), M.I.T. Press, .1972. Gillings, Richard J., «Pre-·blems to 6 of the Rhind mathematical papyrus », The Mathematics Tea' her, 55, 1962, pp. 61-69. Gillings, Richard J.,« Think-of-a-Number. Problcms 28 and 29 of the Rhind mathematical papyrus•>, The Mathematics Teacher, 54, l 9ól, pp. 97-100. Guggenbuhl, Laura, «The New York fragments of the Rhind mathematical papyrus», The Matlwnatics Teacher, 57, 1964, pp. 406-10. · Miller, G. A., «A few theorems relating to the Rhind mathematical papyrus», The Americ:m Mathematica/ Monthly, 38, 1931, pp. 194-97. Miller, G. A., «The mathematical handbook of Ahmes», School Science and Mathematics, 5, 1905, pp. 567-74_ Neugebauer, Otto, The e,
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...........
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325
LA FRACCIÓN UNITARIA EN LAS MATEMÁTICAS EGIPCIAS
Su origen, su papel y sus aplicaciones. FUENTES
Boycr, Car! B. , A history of mathematics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1968, pp. 13-20. Carnahan, Walter H., «The unit fractions of Ancient Egypt», Schoo/ Science und Mathematics, 60, 1960, pp. 5-9. Gillings, Richard J . , Mathematics in the time of Pharohs, Cambridge (Mass.), M . I.T. Press, 1972. Gillings, Richard J., «Problems 1 to 6 of the Rhind mathematical papyrus», The Mathematics Teacher, 55, 1962, pp . 61-69_ Gillings, Richard J., «The remarkable mental arithmetic of the Egyptian scribes», The Mathematics Teacher, 59, 1966, PP- 372-81, 476-84. Van der Waerden, B. L., Science awakening, Nueva York, John Wiley & Sons, 1963, pp. 19-31.
8.
EL VOLUMEN DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
¿Cómo consiguieron los egipcios encontrar la fórmula exacta? FUENTES
Boyer, Car! B., A history of 111athematics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1968, pp. 20-21. Gillings, Richard J _, Mathematics in the time of Pharaohs, Cambridge (Mass.), M.I.T. Press, 1972, pp. 187-93. Gillings, Richard J., «The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptian Papyri», The Mathematics Teacher, 57, 1964, pp. 552-55. Van der Waerden, B. L., Science awakening, Nueva York, John Wiley & Sons. 1963, pp. 34-35.
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9.
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Li\ Ti\Bl.ILLA. BAl31LÓNIC/\ PLIMTON J22
Temas de trabajos
327
Su origen, su contenido matemático y las diversas interpretaciones sobre su importancia en las matemáticas babilónicas .
Neugebauer, Otto, The exact sciences i11 Antiqclity, 2.3 ed., Nueva York. Dover, 1969, pp. 40-45. Van der Waerdcn, B. L .. Science awakening, Nueva York, John Wiley & Sons, 1963, pp. 63-75.
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El descubrimiento de las magnitudes inconmensurables por los griegos, la original solución propuesta por Eudoxo para superar los puntos flacos de la teoría pitagórica de las proporciones.
10.
EL ALGEBRA BABILÓNICA VISTA A TRAVÉS DE LOS PROBLEMAS
Na turaleza y principales características.
EL ORIGEN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
FUENTES
Fritz, Kurt van, «The discovery or inconmensurability by Hippasus of Metapontum», Annals of Mathematics, 46, 1945, pp. 242-64. Jones, Philip S., «luationals or inconmensurables. 1: Their discovery, anda "logical" scandal », The Mathematics Teacher, 49, 1956, pp. 123-27. Jones, Philip S., «lrrationals or inconmensurables. 11 : The irrationality of v'2 and approximations to it», The Mathematics Teacher, 49, 1956, pp . 187-91. Jones, Philip S., «lrrationals or incommensurables. 111: The Greek solution», The Mathematics Teacher, 49, 1956, pp. 282-85 . Rosenfeld, L., «Le probleme logique de la définition des nom bres irrationels», /sis, 9, 1927, pp. 345-48. Rossmeissl, J . W. y F. A. Webber, «l ncommesurables and irrational numbers», en Historial topics f or the mathematics c/assroom, 31 si yearbook, The National Council of T eachers of Mathematics, Washington D .C., N.C.T.M ., 1969, pp. 70-72.
FUENTES
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12.
EL ORIGEN DE LOS NÚM E ROS COMPLEJOS
El origen histórico , las primeras manipulaciones algebraicas con números imaginarios, las primeras representaciones geométricas. FUENTES
Bachelard, Suzanne, La représentarion géométrique des quantités imaginaires au début du XIV' siécle, D-113, Pa rís, Palai:; de la Découverte. 1967.
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329
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Brun, Viggo, «Caspar Wcssel et l'introduction géométrique des nombres complcxcs». Re1·11<' d' 1-fistoire des Sciences et leurs Applications, 12, 1959, pp. 19-24. Cajori, Florian, «Historical note on the graphic representation of imaginarics hcfore thc time of Wcssel», The American Mathematical Monthly, 19, 1912, pp. 167-71 Diamond, Louis E., «lntroduction to complex numbers», The Mathematics Magazine, 30, 1957, pp. 233-49. Jones, Philip S., «Complex numbers: an example of recurring themes in the development of mathematics - I», The Mathematics Teacher, 47, 1954, pp. 106-14. Jones, Philip S .. «Compler. numbers: an example of recurring themes in the dcvelopment of mathematics - 11», The Mathematics Teacher, 47, 1954, pp. 257-63. Kcarns, D . A., «John Wallis and complex numbers», The Mathematics Teacher, 51, 1958, pp. 373-74. McClenon, R. B., «A contribution of Leibniz to the history of complex numbers», Tire American Mathematical Monthly, 30, 1923, pp . 369-74. Windrcd, G., «History of the thcory of imaginary and complcx quantities», The Mathematical Gazette, 1940, pp. 533-41.
13.
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Las primeras aplicaciones prácticas y la definición del cuerpo de los números complejos en términos de pares ordenados de números reales.
Windred, G., «History of the thcory of imaginary and complcx quantitics», The Mathematical Gazctte, 14, 1940, pp. 533-4 1.
1-l.
LAS CORTADURAS DE DEDEKIND
La creación de los números irracionales y las operaciones con números reales en términos de cortaduras.
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FUENTES
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l l l!t 1
¡
1¡ 1
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Bel!, E. T., !den of mathematics, Nueva York, Simon and Schustcr, 1965, pp. 519-22. Dedckind, Richard, Essays on the theory of numbers, Nueva York, Dover, 1963. ' Dedck ind, Richard, «Irrational numbcrs», en The world of mathematics, J. R. Newman, comp., vol. 1, Nueva York , Simon and Schuster, 1956, pp . 528-36. Roscnfeld, L., «Le problcme logique de la définition des nombres irration_nels», !sis, 9, 1927, pp. 348-52. Waisman, Friedrich, !ntroduction to mathematica! thinking, Nueva York, Frederick Ungar Publishing Co., 1951, pp. 198-208.
15.
LOS CUATERNIONES DE HAMILTON
Origen, definición y operaciones vectoriales asociadas . FUENTES
Diamond, Louis E., «lntroduction to complex numbers», The Mathematics Magazine, 30, 1957, pp. 233-49 . Jones, Philip S., «Complex numbers: an example of recurring themes in the development of mathernatics - 11», The Mathematics Teacher, 47, 1954, pp. 257-63. Jones, Philip S., «Complex numbers: an example of recurring themes in the development of mathematics - 111», The Mathematics Teacher, 41, 1954, pp. 341-45. MacDuffee, C. C., «Algebra's debt to Hamilton», Scripta Mathematica, \O, 1944, pp. 25-35.
1
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J 1't111 -Pa11/ Colll'lfc
3311
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16.
Femas de trahajos
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LOS NÚMEROS FIGURADOS PLANOS
Su origen griego, sus propiedades fundamentales y las relaciones más importantes entre estos números.
18.
LOS POLIEDROS REGULARES
Definición, descripción y propiedades de cada uno de ellos, así como su construcción.
FUENTES
[Anónimo], «Figurate numbers», en Historical tapies far tite matltematies c/assraam, 3Js1 yearbaak, The National Council of Teachers of Mathematics, Washington D .C., N.C.T.M., 1969, pp. 53-57. Beiler, Albert H , Reereations in tite tlteary of numbers: tite queen of matltematies elllertains, Nueva York, Dover, 1964, pp. 185-99. Bradfield, D. L., «Thc majesty of numbers», The Matltematies Teaelter, 60, 1967. pp . 588-92. Eves, Howard, An introduetion to tite ltistory of matltematies, 3." ed. , Nueva York, Holt, Rinehart and Winston, 1969, pp . 54-57. Heath, Sir Thomas L., A manual of Greek matltematies, Nueva York , Dover, 1963, pp. 43-50, 66-69, 507-9. Heath, Sir Thomas L., comp., Diopltantus of Alexandria, Nueva York, ' Dover, 1964, pp . 124-1 27, 245-49.
17.
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LAS LÚNULAS DE HIPÓCRATES
Origen y análisis de las diferentes lúnulas estudiadas por Hipócrates, incluyendo las demostraciones.
19.
EL MÉTODO EXHAUSTIVO
Su origen histórico, en qué se basa y distintas aplicaciones posibles al campo Je la geometría de las áreas. FUENTES
Boyer, Carl B., A histary of mathematics, Nueva York, John Wiley & Sons, 1968, PP- 71-7'.i. Dcdron, Pierre ~ .lean Itard, Mathématiques et matltématiciens, París. Magnard, 1959 , pp. 414-16.
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l<'an-f'rwl Collctte
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Tr•111f!.1
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LA DUPLICACIÓN DEL CUBO
Origen histórico, diversas tentativas de resolverlo con la regla y el compás, su resolución por distintos métodos.
22.
LA CUADRA TURA DEL CÍRCULO
Origen histórico, diversas tentativas de resolverlo con regla y compás, su resolución por distintos métodos. FUENTES
Anderson, Lee, «Duplication of the cube», en Histarieal tapies far the mathematies classroom, 3lst yearbaak, The National Council of Teachers of Mathematics, Washington D.C., N.C.T.M., 1969, pp . 197-98. Dedron, Pierre y Jean ltard, Mathématiques et mathématiciens, París, Magnard, 1959, pp. 379-93. E ves, Howard, An intraduction to the histary of mathematies, 3. ª ed., Nueva York, Holt, Rinehart and Win>ton, 1969, pp. 82-84, 95-97. Heath, Sir Thomas L., A manual af Greek mathematies, Nueva York, Dover, 1963, pp. 154-70. Klein, Felix, Famous prablems af elementary geametry, Nueva York, Dover, 1956, pp. 1-47 .
21.
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LA TRISECCIÓN DE UN ÁNGULO
Origen histórico, diversas tentativas de resolverlo con la regla y el compás, su resolución por distintos métodos.
23.
EL «ARENARJQ,, DE ARQUÍMEDES
Objetivo de esta obra, contenido matemático y principales características.
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lt·w1-l'tJ11/ Co/lc11c
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335
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26. 24.
LA CONSTRUCCIÓN DE TABLAS DE CUERDAS DE ARCO EN EL «ALMAGESTO»
EL DESCUBRIMIENTO DEL TEOREMA DEL BINOMIO
Primeros rastros y diferentes generalizaciones hasta llegar a la formulación de Newton.
¿Cómo consiguió Claudia Tolomeo construir sus tablas? FUENTES FUENTES
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25.
27.
LA RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Principales tentativas de deducir este postulado a partir de otros postulados de Euclides y los estudios que condujeron a la invención de las geometrías no euclídeas .
De las soluciones babilónicas al Liber abaci de Leonardo de Pisa.
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EL POSTULADO DE LAS PARALELAS
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28.
337
Temas de trabai.Js
LA EVOLUCIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE LAS DISTINTAS ÉPOCAS, HASTA LOS COMIENZOS DEL SIGLO XIX
30.
LA EVOLUCIÓN DE LOS DIAGRAMAS LÓGICOS
Los diagramas de Leibniz, Euler y Venn. FUENTES FUENTES
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3l. 29.
EL ORIGEN HISTORICO DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
LA INVENCIÓN DE LOS LOGARITMOS POR NAPIER Y BÜRGI FUENTES
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INDICE ALFABETICO .J
abacistas, 224, 229 ábaco, 45, 174, 177 Abd-al-Hamid ibn Turk, 202 Abül Wafa, 205, 207 Abraham ibn Ez-ra, 229 Abü Kamil, 198, 205 Adelardo de 13ath, 226 agrupamiento de cinco, 9 de cuatro, 9 de diez, 9 de dos, 9 de ocho, 9 de seis, 9 de sesenta, 9 de tres, 9 de veinte, 9 Ahmes (véase papiro) Al-Battani, 204 Al-Blrüni, 206 AI-Jwarizmi, 196-202, 204, 228, 232 Al-Karhi, 205-206 Al-Kasi, 211-212 Alberti, Leon Battista, 283, 284 Alcuino de York, 219, 223-224 Alejandro de Villedieu, véase Villedieu Alejandro Magno, 23, 39, 99, 102, 103, 142 Alejandría, 39, 103, 104, 139, 141 , 149, 164
Escuela de, 70, 93, 100, 103-106, 149, 152, 154 Museo de, 139, 147, 150, 164 álgebra árabe, 200 babilónica, 26-29, 199 egipcia, 56-57 pitagórica, 79-82 retórica, 157, 259 simbólica, 157, 279, 294 sincopada, 157, 188, 206, 259, 260, 263, 268; 295 algoristas, 224, 229 Anaxágoras de Clazomenas, 83, 84 Anaximandro , 72 ángulo de contacto , 237, 241 Antifón el Sofista, 83 Antonio de Tralles, 217 Apiano, 265 Apolonio de Perga , 100, 141-147, 162, 246, 255 problema de, 146 áreas, 11, 14, 27 de figuras curvilíneas, 97 de figuras planas, 58 del círculo, 35, 58 del trapecio , 30, 35 del triángulo, 30, 35 del triángulo isósceles, 58 Arquitas de Tarento, 82, 88, 93, 96 Aristarco de Samos, 148
