Guia Para Estudio de Exani II

1#Sucesiones Alfanumericas y De Figuras Sucesiones Alfanumericas SUCESIONES ALFANUMERICAS ALFANUMERICAS Y DE FIGURAS son patrones de figuras o números que siguen un orden lógico, se utilizan mucho en los exámenes de CI y habilidad matemática, el propósito es desarrollar y ejercitar la inteligencia.

ejemplo:

que numero continua a la siguiente serie?

1,0,2, -1,3,

la respuesta sería -2 pues siguiendo el orden lógico de la secuencia es así:

1 menos 1 es igual a 0, más 2 es igual a 2, menos 3 es igual a -1, más 4 es igual a 3 entonces podemos deducir que el siguiente numero es -2 pues vemos que se le suman o restan números de manera ascendente por lo que seguiría restarle -5 al 3 que nos dios antes, por eso la repuesta es -2 lo mismo pasa con las figuras: que figura sigue a la secuencia? Triangulo, cuadrado, pentagono,.. pentagono,.. la figura seria un hexagono pues si miras la relacion que existe entre las figuras te das cuenta que va en orden ascendente por sus lados.

EJERCICIOS

6; 7; 19; 142;..... A) 1 376

01. ¿Qué número sigue?

03. ¿Qué letra sigue?

B) 284

4; 11; 30; 85;......

A; C; F; K;...... K;......

C) 143

A) 97

A) R

D) 1 467

B) 95

B) T

E) 482

C) 100

C) S

D) 248

D) U

Calcular el número que sigue en:

E) 87

E) Y

2; 4; 24; 432;....... 432;.......

04. Qué número sigue en:

A) 32 823

02. Halle el término que sigue en:

15; 19; 28; 44;......

B) 864

1; 2; 3; 6; 6; 12; 10;.........

A) 45

C) 1 728

A) 15

B) 80

D) 8 721

B) 17

C) 69

E) 23 328

C) 20

D) 52

D) 24

E) 70

E) 36

Qué número sigue en: 9; 8; 7; 13; 12; 11; 17; 16; 15;......

05. Hallar el número que sigue en:

A) 15

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B) 16

D) 20

C) 19

E) 2144

2#Planteamiento y Resolucion De Problemas Razonamiento Logico Matematico RAZONAMIENTO RAZONAMIENTO LOGICO MATEMATICO 1.1 RECONOCIMIENTO DE PATRONES EN SERIES ALFANUMERICAS Y DE FIGURAS

son patrones de figuras o números que siguen un orden lógico, se utilizan mucho en los exámenes de CI y habilidad matemática, el propósito es desarrollar y ejercitar la inteligencia.

ejemplo: que numero continua a la siguiente serie? 1,0,2, -1,3,

la respuesta sería -2 pues siguiendo el orden lógico de la secuencia es así:

1 menos 1 es igual a 0, más 2 es igual a 2, menos 3 es igual a -1, más 4 es igual a 3 entonces podemos deducir que el siguiente numero es -2 pues vemos que se le suman o restan números de manera ascendente por lo que seguiría restarle -5 al 3 que nos dios antes, por eso la repuesta es -2 .

lo mismo pasa con las figuras: que figura sigue a la secuencia?

Triangulo, cuadrado, pentagono,.. pentagono,..

la figura seria un hexagono pues si miras la relacion que existe entre las figuras te das cuenta que va en orden ascendente por sus lados. 1.2 RECONOCIMENTO DE ERRORES EN ELL PATRON DE UNA SERIE El reconocer errores de estos patrones seria x ejemplo que pusieran en el examen 10 -30-40-50-60 etc. entonces el error es el 30 puesto que rompe con el patrón de 10 en 10. 2.1 PLANTEAMIENTO PLANTEAMIENTO ALGEBRAICO DE PROBLEMAS A PARTIR DE UNA DESCRIPCION descripción verbal: un número mas el doble de ese número es igual a doce

lenjuage algebráico: x + 2x = 12

respuesta:











3#Percepcion Espacial PERCEPCION ESPACIAL CUANDO alguien ve algún objeto no solamente percibe su tamaño, su forma, su color, sino que es capaz también de determinar su posición con respecto a otros objetos. Este hecho constituye la percepción espacial. La posibilidad de la percepción espacial implica varios factores que se pueden dividir en dos grandes grandes categorías: monoculares monoculares y binoculares. binoculares. Los primeros primeros son los que que funcionan solamente con un solo ojo, mientras que los factores binoculares son los que operan con los d os ojos al mismo tiempo. Factores monoculares. Los siguientes factores son los que se perciben con la ayuda de cada ojo separadamente: superposición, brillantez, paralaje, elevación, color y distinción de contornos. Veamos brevemente cada uno de estos factores. La superposición es la obstrucción parcial de un objeto por otro, dando la impresión de que e l objeto parcialmente está en una posición más lejana. Así, en la figura 63 el cuadrado oscuro está superpuesto al cuadrado blanco. La i mpresión que se lleva uno es que el cuadrado oscuro está más cerca del observador que el cuadrado blanco. El cerebro determina que el objeto que está parcialmente cubierto está detrás del objeto que cubre. Este es un factor que ayuda a determinar posiciones relativas de cuerpos. La brillantez de un objeto es una sensación subjetiva que está relacionada con la intensidad de la radiación que llega a los ojos. Así, si un objeto emite luz con mucha intensidad lo percibimos en forma muy brillante. La brillantez es un factor que ayuda a determinar posiciones de objetos; mientras más brillante se vea un objeto nos parecerá que está más cerca de nosotros.

Figura 63. El cuadrado oscuro cubre parte del otro cuadrado. Decimos que el cuadrado oscuro está más cerca de nosotros. El paralaje es el cambio de posición relativa de un objeto con respecto a otro. Por ejemplo, cuando una persona se mueve en un sentido, el observador tiene la impresión de que los objetos cercanos se mueven en el...

__________ _______________ _________ ________ _________ __________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ __________ __________ __________ _________ ________ _________ _______ __

Percepcion Espacial Percepción Espacial

objetos.

objeto parcialmente está en una

Percepción espacial es determinar la

Disparidad retiniana

posición más lejana.

posición de un objeto con respecto a

Permite calcular la profundidad. Como

Perspectiva lineal

otro. Implica varios factores que se

los ojos están separados separados entre sí unos unos 6

Cuando existen líneas paralelas en

pueden dividir en dos grandes

o 7 centímetros, cada ojo tiene una

perspectiva lineal, cuanto más lejanas

categorías: monoculares y binoculares.

visión del mundo ligeramente ligeramente diferente

están, mayor es su convergencia, hasta

Los primeros son los que funcionan

del otro. La fusión de ambas imágenes

que a una distancia infinita se

solamente con un solo ojo, mientras

crea la percepción de profundidad.

encuentran en el llamado "punto de

que los factores binoculares son los que

Cuando no se produce la fusión de

fuga". Las líneas paralelas al mirarse a

operan con los dos ojos al mismo

ambas imágenes (debido a la fatiga, a

la distancia parece que se unen. La

tiempo.

una intoxicación o a la debilidad de los

representación gráfica de profundidad

Binoculares

músculos de los ojos) se produce el

por perspectiva lineal es muy conocida

Convergencia

fenómeno de "ver doble" (visión de

por los diseñadores.

Vemos un solo solo objeto a pesar de tener 2

cada ojo por separado).

Tamaño relativo

ojos. Esto es porque los ojos se

Monoculares

Los objetos que presentan un tamaño











pequeña; y, viceversa, si el objeto tiene

Sombreado

clave para percibir profundidad. La

un mayor tamaño relativo, parece más

La relación de un objeto con su fuente

combinación de luces y sombras

próximo.

de luz y la sombra que genera sirve de

produce la percepción del tamaño y la...

4# Interpretación de códigos y símbolos











Inferencias Logicas RAZONAMIENTO LOGICO Inferencia Una inferencia es una evaluación que realiza la mente entre expresiones bien formadas de un lenguaje (EBF) que, al ser relacionadas intelectualmente intelectualmente como abstracción, permiten trazar una línea lógica de condición o implicación lógica entre las di ferentes EBF. De esta forma, partiendo de la verdad o falsedad posible (como hipótesis) o conocida (como argumento) de alguna o algunas de ellas, puede deducirse la verdad o falsedad de alguna o algunas de las otras EBF.

Surge así lo que conocemos como postulado1 o transformada de una expresión original conforme a reglas previamente establecidas,2 que puede enmarcarse en uno o varios contextos referenciales diversos,3 obteniéndose en cada uno de ellos un significado como valor de verdad de equivalente.4 5 6 Es la operación lógica utilizada en los motores de inferencia de los Sistemas Expertos. Inferencia lógica En la lógica tradicional En la lógica tradicional, llamada aristotélica, la forma esencial de inferencia es una forma de razonamiento deductivo. No obstante se reconocían algunas inferencias directas o inmediatas.

INFERENCIAS INMEDIATAS Las inferencias inmediatas pueden ser por conversión, equivalencia, subalternación, obversión, reciproca y contraposición. Por conversión: Por conversión se cambia el sujeto de la premisa o proposición por el predicado de la conclusión y el predicado de la premisa por el sujeto de la conclusión. Ejemplos: P: Los feos son marcianos, C: Los marcianos son feos. P: Ningún metal es metaloide, C: Ningún metaloide es metal. P: Algunos estudiantes son empleados, C: Algunos empleados son estudiantes. Por contraposición: Permite permutar los términos de cualquier Proposición, pero con la condición de anteponer una negativa a cada una de las Proposiciones. Ejemplos: Todo español es europeo, Ningún no europeo e s español. Algunos americanos americanos no son brasileños, Algunos Algunos no brasileños brasileños son americanos. americanos.











Matemáticas













#Números naturales, enteros, fracciones, aritmética y exponentes 1 Núm Númer ero o nat natur ural al N. N.--

Son So n los los nú núme mero ross que que ut utililiz izam amos os pa para ra co cont ntar ar 1, 2, 3, 4, 5, et etc. c.

2 Número entero Z.-

Se llama así al conjunto de números naturales positivo positivos, s, negativo negativoss y el cero.

Z = {… … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … … } FRACCIONES ALGEBRAICAS Una fracción algebraica es el cociente de dos polinom polinomios ios y se representa por:

Fracciones algebraicas equivalentes

4. , aquí el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar factorizar ya que es un trinomio cuadrado perfecto.

Dos fracciones algebraica algebraicass son equivalentes, y lo representamos por:

5. , aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual binomios conjugados

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x). Por ejemplo: son fracciones algebraicas equivalentes porque: (x + 2) · (x − 2) = x2 − 4 Es decir si tenemos una fracción algebraica y multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante resultante es equivalente a la dada. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el denominado denominadorr por uno o más factores comunes a ambos. Se obtiene así otra fracción equivalente. Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, , Para poder simplificar simplificar una fracción el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la primera operación operación ha de ser la de factorizarlos. Por ejemplo: Simplificar

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.











#LENGUAJE ALGEBRAICO LENGUAJE ALGEBRAICO” El lenguaje algebraico es el empleado en la rama de la matemática: el álgebra, en la cual utilizamo utilizamoss el lenguaje común para ayudar a entendernos; es decir a partir del lenguaje común se emplea el algebraico .Un ejemplo simple podría ser 1x, se leería como una equis o solo equis, porque x es la literal y 1 es el coeficiente. Al conjunto de una literal y un coeficiente con un exponente entero positivo, se le conoce como monomio, cuando existe un conjunto de monomios, separados por un signo de más o de menos se denomina polinomios y de ahí se derivan los binomios, que serian dos monomios separados por el signo. X+2x, trinomios, de tres monomios x + x+ 3x El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración. Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente: Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como constantes, constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X, Y, Z se utilizan como las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica. PALABRAS CLAVES PARA ENTENDER EL LENGUAJE ALGEBRAICO. Algunas palabras que indican suma son: Aumentar mayor que

más incrementar

más grande que

Algunas palabras que indican sustracción son:

la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera. a-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera. el producto de dos números cualesquiera.

Resta menos menor que diferencia disminuir perder

ab = el producto de dos números cualesquiera.

Algunas palabras que indican multiplicación son:

el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)

Producto veces triple triple multiplicado doble cuádruple cuádruple Algunas palabras que indican división son: Cociente mitad dividido dividido entre tercera razón Operaciones con Lenguaje Algebraico un número cualquiera se puede denominar denominar con cualquier letra letra del

a/b= el cociente de dos números cualesquiera. la semisuma de dos números cualesquiera. ((a+b))/2= la semisuma de dos números cualesquiera. el semiproducto de dos números cualesquier cualesquiera. a.











X^2-3Y Suma: el resultado de una suma. Diferencia: el resultado de una una resta. Producto: el resultado de una multiplicac multiplicación. ión. Cociente: el resultado de una división.

5a+√3

TRIN TR INO OMI MIO. O. Es un polinomio con tres términos: la suma de tres monomios. a + b -12

^2+ +〖24ab〗^ +〖16 16b b〗^2 〖9a〗^2 TRIN TR INO OMI MIO O CU CUAD ADRA RADO DO PE PERF RFEC ECTO TO..

Cuadrado: el resultado de multiplicar a un número por sí mismo. Surge de elevar al cuadrado dos términos Cubo: el resultado de multiplicar a un numero por si mismo tres veces.

〖(3a+4b) 〗^2

Potencia: resultado de elevar a una potencia. POLINOMIO. Reciproco: es el resultado de dividir uno entre la cantidad dada. Tamb Ta mbié ién n ha hay y qu que e re reco cord rdar ar::

Se llama polinomio al conjunto monomios que se encuentran afectados por la suma y la resta (separados por dichos signos).

Aumentado: significa sumar a la cantidad lo que se indica. Disminuido: significa restar a la cantidad lo que se especifica.

15x x〗^4-2y+3 〖15

-1/2 x^5-2/3 x^4+3x

Semi: significa la mitad GRADO DE UN POLINOMIO.

Doble: significa multiplicar por dos Triple: significa multiplicar por tres Ejemplos: (x+y)^2………………………………..El cuadro de la suma de dos números. (x-y)^3…………………………..El cubo de la diferencia de dos números. (x+y)/(x-y)… …El cociente de la suma de dos números entre su diferencia.

El grado de un polinomio lo indica el monomio de mayor grado. Se determina sumando los exponentes del monomio. 〖4x〗^3-2x+1

grado 3 1/2 x^4 z^2- 〖5x〗^3 z^4+3/5 〖yz〗^2 grado 7

x^4+7……………..La cuarta potencia de un número aumentado en 7 unidades.

ORDEN DE UN POLINOMIO.

(2x+1)^5……..La quinta potencia de la suma del doble de un número más uno.

Se dice que un polinomio esta ordenado cuando se coloca en forma decreciente(respecto de sus letras)

1/x^2……….............El ……….............Elreciprocodecuadradode unnúmero. (a+m)^2=7……………….El cuadrado de la suma de dos números es igual a 7. ((x+y)/(x.y))^3=8…………….El cubo del cociente de la suma de dos números entre su producto es igual a 8.

-〖3a〗^4 ^4+ +〖2a〗^3+1/2 a^2-1 POLINOMIO COMPLETO. Un polinomio se dice completo cuando tiene en forma ordenada todas sus letras.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS. 〖4x〗^3 ^3--〖2x〗^2+1/4 x+3

Son expresiones algebraicas enteras, las expresiones en las cuales las letras no se encuentran afectadas por raíces, ni como divisores.

〖3x〗^5-1/2 x^4+ 〖6x〗^3

MONIMIO.

2xy y〗^2+4/3 x^2 y+ 〖7z〗^2 〖2x











Productos notables y factorizacion Productos Notables: Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre dos o más polinomios que poseen

características especiales o expresiones particulares, cumplen ciertas reglas fijas; es decir, el su resultado puede se escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación.

1. Cuadrado de una suma de dos términos o cantidades.

(a − b )3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(a + b )2

• Binomio de Newton:

= a 2 + 2ab + b 2

Elevar un binomio a una potencia entera y positiva. Siendo el binomio a + b, la multiplicación nos da:

2. Cuadrado de una diferencia de dos términos o cantidades 222 (a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

(a + b ) = a + 2ab + b

3. Producto de una suma de dos términos por su diferencia. 332 (a + b )(a − b ) = a 2 − b 2 4. Producto de dos binomios que tienen un término en común.

(a + b ) = a + 3a b + 3ab + b 44322

(a + m)(a − m) = a 2 + (m + n )a + mn 2 5. Producto de dos binomios de la forma:

3

(ax + c )(bx − d ) (a + b ) = a + 4a b + 6a b + 4ab + b (ax + c )(bx − d ) = abx 2 + (ad + bc )x + cd

3

6. Cubo de un binomio. 4 (a + b )3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Operaciones de monomios y polinomios (adición, resta, multiplicación, división)











Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen nt e n a t u r a l . e n t r e l a s v a r i a b l e s s o n e l p r o d u c t o y l a p o t e n c i a d e e x p o n e nt El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a l as variables. La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes. El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o v ariables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Operaciones con monomios Suma de Monomios nt e s . S ó l o p o d e m o s s u m a r m o n o m i o s s e m e j a nt La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un número por un monomio nt e c u y o c o e f i c i e n t e e s E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n m o n o m i o e s o t r o m o n o m i o s e m e j a nt el producto del coeficiente de monomio por el número .

Producto de monomios El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los c o e f i c i e n t es e s y c u y a p a r t e l i t e r a l s e o b t i e n e m u l t i p l i c an an d o l a s p o t e n c i a s q u e t e n g a l a m i s m a base.

Cociente de monomios El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Polinomios Un

POLINOMIO

P(x) = an x

es una expresión algebraica de la forma: n

Siendo an, an

+ an - 1

- 1

x

n - 1

+ an

- 2

x

n - 2

+ ... + a1 x

1

+ a

0

... a1 , ao números, llamados coeficientes .













Polinomio ordenado U n p o l i n o m i o e s t á o r d e n a d o s i l o s m o n o m i o s q u e l o f o r m a n e s t á n e s c r i to to s d e m a y o r a m e n o r grado.

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: Los dos polinomios tienen el mismo grado . Los coeficientes de los términos del mismo grado son i guales .

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquie ra.

Operaciones con polinomios Suma de polinomios P ar a r a s u ma m a r d os o s p ol o l i no n o m io i o s s e s um u m an a n l os o s c oe o e f ic i c i en e n te t e s d e l o s t ér é r m in i n o s d el e l m is is m o grado. La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo .

Multiplicación de polinomios Producto de un número por un polinomio E s o t r o p o l i n o m i o q u e t i e n e d e g r a d o e l m i s m o d e l p o l i n om o m i o y c o mo mo c o e f i c i e n t e s e l p r o d u c t o d e l o s c o e f i c i e n t e s d e l p o l i n o mi mi o p o r e l n ú m e r o .

Producto de un monomio por un polinomio











Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo r estamos al dividendo.

d o d e l r e s t o s e a m e n o r q u e e l g r a do do d e l R e p e t im i m o s e l p r o c e s o a n t e r i or o r h a s t a q u e e l g r a do divisor , y por tanto no se puede continuar dividiendo. Para comprobar si la operación es correcta, utilizar íamos la prueba de la división:

D = d · c + r

Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos un método más breve p a r a h a c e r l a d i v i s i ó n , l l a m a d o R E G L A D E R U F F I N I . ( x4 −3x2 +2 ) : (x −3 )

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que fa ltan

con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea. 3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor. 4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5 M u lt l t i p l ic i c a m os o s e s e c o e f i c ie i e n t e p o r e l d i vi v i s o r y l o c o l oc o c a m os o s d e b aj aj o d e l s i g u i e nt nt e término.











Suma por diferencia (a + b) · (a − b) = a 2 − b2

Binomio al cubo (a ± b)3 = a3 ± 3 · a 2 · b + 3 · a · b 2 ± b3

Factorización de un polinomio Teorema del resto El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Teorema del factor = 0.

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a)

Al valor x = a se le llama

RAÍZ

o

CERO

de P(x).

Observaciones ie n t e d e l p o l i n o m i o . 1 L o s c e r o s o r a í c e s s o n d i v i s o r e s d e l t é r m i n o i n d e p e n d ie

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x −a). 3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos

los binomios del tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan.











Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado. a2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b)2

Trinomio de segundo grado a x2 + bx +c = a · (x -x 1 ) · (x -x 2 )

Polinomio de grado superior a dos. Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. os l o s d i v i s o r e s d e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e : 1 T o m a m os

2Aplicando

±1, ±2, ±3.

el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

os p o r R u f f i n i . 3 D i v i d i m os

4Por ser la división exacta , D = d · c

5 C on o n t in i n ua u a mo m o s r ea e a l iz i z an a n do d o l as a s m is i s ma m a s o p er e r a ci c i on o n es e s a l s eg e g un u n do d o f a ct c t o r, r , y l o s n ue u e v os os obtengamos, hasta que sea de grado u no o no se pueda descomponer en factores r eales.

Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

q ue ue











Simplificación de fracciones algebraicas m e r a d or o r y e l d e n o m in i n a d or or d e l a P a r a s i m p l i f i c a r u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i ca c a s e d i v i d e e l n u me fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador D a da d a s d o s f r a cc c c i on o n e s a l g eb e b r a ic i c a s, s, r e d u uc c i r la l a s a c o mú m ú n d e no n o m in i n a do do r or . f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s e q u i v a l e n t e s c o n e l m i s m o d e n o m i n a d or

e s e n c on o n t r ar ar

dos

1 D e s co c o m po p o n e mo m o s l o s d e no n o m in i n a d or o r e s e n f a c to t o r e s p a r a h a l l a r l es e s e l m í ni n i m o c o m ún ún múltiplo, que será el común denominador. 2 D i v i d i m os o s e l c o m ú n d e n o m i na n a d o r e n t r e l o s d e n o m i na na d o r e s d e l a s f r a c c i o n e s d a d a s y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas Suma y diferencia de fracciones algebraicas Fracciones algebraicas con igual denominador L a s um u m a d e f r ac a c c io i o ne n e s a l ge g e b ra r a i ca c a s c on o n e l m is i s m o d e no no mi m i n ad a d o r e s o tr t r a f r ac a c c ió ió n a l g e b r a i c a c o n e l m i s m o d e n o m i n a d o r y c u y o n u m e r a d or or e s l a s u m a d e l o s n u m e r a d o r e s .













Binomio Diferencia al Cuadrado:El Cuadrado del primer Término, menos el Doble Producto del Primer por el segundo Término, más el Cuadrado del Segundo Término. ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 Diferencia de Cuadrados: El Cuadrado del Primer Término menos El Cuadrado del Segundo Término. ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 Producto de dos binomios que tienen un término común: El cuadrado del termino común, mas el producto de termino comun por la suma de los terminos no comúnes, mas el producto de los términos no comunes. ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab Binomio Suma al Cubo: El Cubo del Primer Término, más el triple producto del cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, más el cubo del segundo Término. ( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 = a3 + b3 + 3 ab (a + b) Binomio Diferencia al Cubo El Cubo del Primer Término, menos el triple producto del cuadrado cuadrado del primer por el segundo Término, más el triple producto del primer por el cuadrado del segundo Término, menos el cubo del segundo Término. ( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3 Suma de dos Cubos: Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la suma de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, menos el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) Diferencia de Cubos Se saca raiz cubica a cada uno de los dos terminos cubicos, para obtener un binomio (la diferencia de dos numeros), y en base a ese binomio, se utiliza la siguiente regla para obtener un trinomio: el cuadrado del primero, más el producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)











Tri T rig gonom nometría tría..











Ejercicios De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Determina los restantes elementos.











Teorema o ley del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble producto del











El radio de una circunferencia mide 25 m. Calcula el ángulo que f or o r ma m a rá r á n l as a s t an a n ge g e nt n t es e s a d ic i c ha h a c ir i r cu c u nf n f er e r en e n ci c i a , t r az az ad a d as a s p or o r l os os extremos de una cuerda de longitud 36 m.























grado ° minuto ' segundo ''

Radián: un radián se define como la medida de un ángulo central que subtiende un arco con la l a misma longitud del radio de la circunferncia. En la (Fig.2), la longitud del radio r es igual a la del arco AB; el ángulo A0B mide 1p radianes. En el sistema circular se utiliza como unidad de medida el "radián". En el sistema centesimal se considera a la circunferencia dividida en 400 partes iguales, llamadas "grados centesimales". Cada grado tiene 100 "minutos centesimales" y cada minuto tiene 100 "segundos centesimales". Equivalencia de un ángulo en el sistema sexagesimal al circular y viceversa. Para medir los ángulos, los

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