Análisis Matricial de Estructuras
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Depto. de Ingeniería en Obras Civiles
GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA O GENERACIÓN DIRECTA.
Realizado por:
Sergio Currilen. Diego Valdivieso.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 0
Análisis Matricial de Estructuras
Algoritmo Método de Rigidez Directa
i) Reducción de la Estructura. ii) Determinación de los Grados de Libertad. iii) Determinación de los Grados de Libertad Independientes de la estructura, mediante la aplicación de compatibilidades geométricas. iv) Matriz de Transformación de grados de libertad dependientes a independientes [ T ]. v) Momentos de Empotramiento Empotramiento Perfecto (Estructura A y Estructura B). vi) Deformación Unitaria de cada Grado de Libertad Independiente de la estructura, (r i=1; r j =0 para todo “ i ” distinto de “ j ”). A continuación se presentan las deformaciones bases para el método, dado una barra AEI de longitud conocida L, y que es sometida a giros, desplazamiento vertical y desplazamiento horizontal.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 1
Análisis Matricial de Estructuras
vii) Obtención de los coeficientes de la matriz de rigidez para luego obtener la matriz de rigidez referida a los grados de libertad independientes [ K q ]. viii) Vector de fuerzas externas { R }, y determinación de { Q }. ix) Ley de Hooke Matricial [Kq]*{q}={Q}, y obtención de giros y desplazamientos. x) Calculo de Esfuerzos, despiece y diagramas.
Nota: Recordar que Kij es el esfuerzo provocado en el GDLI j al deformar unitariamente el GDLI i.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 2
Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio N°1
Para la estructura que se muestra a continuación, se pide determinar la matriz de rigidez referida a los grados de libertad independientes de la estructura (Kq); sin embargo se debe considerar en los cálculos de cada coeficiente el grado de libertad diagonal dado, y que se muestra en la figura.
AE= 10 EI
Solución: a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de movimientos en los nudos.
b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura. Las compatibilidades son del tipo: Para la barra EI -
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 3
Análisis Matricial de Estructuras
-
Para la barra infinitamente rígida
Las compatibilidades para este caso estructural: cos α= 3/5; sen α= 4/5
Entonces se obtiene finalmente la matriz de compatibilidades entre grados de libertad que resulta del análisis de { r } = [ T ]*{ q }
r 1
r
r
1
0
0 r 1
2
0 1 2 T 0 1 0
0
3
2
r 2 5 r 0 3 1 r 4
c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de rigidez, para los siguientes casos Caso 1: r1=1, ri=0
(1)
*
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 4
Análisis Matricial de Estructuras
Caso 2: r3=1, ri=0
+(1)*
=>
=>
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 5
Análisis Matricial de Estructuras
Caso 3: r4=1, ri=0
(
+ (1)*
d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos.
[ ]
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 6
Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio N°2
Para las figuras que se muestran, determinar: i. ii.
Matriz de rigidez relacionada a los grados de libertad independientes de la figura 1. Rigidez del resorte helicoidal que se muestra en la figura 2, que resulta de reducir los elementos de la figura 1.
Figura1.
Figura 2.
Solución a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de movimientos en los nudos.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 7
Análisis Matricial de Estructuras
b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura. Las compatibilidades son del tipo: Para la barra EI -
Para la barra infinitamente rígida
Finalmente se tienen las siguientes compatibilidades:
De la últimas dos compatibilidades resultaría:
Así la matriz de compatibilidad será:
r 2
r
4
0 1 L 1 0 T 0 1 0 1 0 0 0 1
r
5
r
1
1
r 2 0 r 3 0 r 0 4 1 r 5 2 r 6 L
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 8
Análisis Matricial de Estructuras
c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de rigidez, para los siguientes casos Caso 1: r2=1, ri=0
Detalle de la deformada:
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 9
Análisis Matricial de Estructuras
√
Caso 2: r4=1, ri=0
+(-1)*
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 10
Análisis Matricial de Estructuras
+(1)*
+ (-1)*
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 11
Análisis Matricial de Estructuras
√ √ √ [ ] √ (√ ) (√ ) [ ] √ ( √ ) ( √ ) √ √ √ √ [ ] √ Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 12
Análisis Matricial de Estructuras
Caso 3: r5=1, ri=0
(
+(1)*
+(2)*
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 13
Análisis Matricial de Estructuras
√ √ √ √ √ √
d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos.
[ ]
Ahora se procede a calcular la rigidez del resorte helicoidal, este último representa la rigidez al giro en las barras EI diagonales, más la rigidez al giro de la barra AEI vertical.
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 14
Análisis Matricial de Estructuras
Si se analiza la deformada debido al giro en el nudo central, tenemos lo siguiente: Entonces si se suman las rigideces al giro de cada barra tenemos:
√
Entonces la rigidez del resorte helicoidal que resulto de la reducción de la estructura es:
√
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 15
Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio Nº3
Encontrar la rigidez del resorte si se sabe que el desplazamiento horizontal en A es 0.05 m. EI=1250 T*m2 AE= 10EI k
10 T
60º
20 T
EI
45º
A
AEI
AEI
3
3
4
Solución i)
Grados de Libertad. r 3 r 1 r 4
r 2
4GDL 1 Compatibilidad => 3GDLI ii)
Compatibilidad geométrica y Matriz de Transformación.
=> r 3= - r 4 r1 r2 r4
1 0 T 0
0
0 r
1 0
1
0
0
1 r4
0
r2 r3
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 16
Análisis Matricial de Estructuras
iii)
Deformadas de los grados independientes.
Deformada 1. r 1=1, y r 2=r 3=r 4=0.
*(1)
*(1)
*(1)
Deformada 2. r 2 = 1, y r 1=r 3=r 4=0.
√
√
*(1)*cos(45)
√
*(1)*cos(45)
*(1)
√
*(1)
*(1)
*(1)
*(1)
*(1)
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 17
*(1)
Análisis Matricial de Estructuras
√ (√ ) √ Deformada 3. r 3= -1 , r 4 = 1. y r 1=r 2=0.
Para simplificar el análisis, se presenta por partes: Para el resorte:
√
60º
√
*cos15
15º
√ √ √ *cos15
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 18
*cos(15)sen(30)
*cos(15)cos(30)
Análisis Matricial de Estructuras
Para barra vertical.
Para barra horizontal.
*(1)
*(1)
*(1)
*(1)
*(1)
Para barra diagonal.
√ *(
√ *(
*(1)
)
√ *(
)
√ *(
)*sen(45)
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 19
)*cos(45)
Análisis Matricial de Estructuras
√ iv)
Matriz de Rigidez de GDLI .
Ordenando los coeficientes encontrados: r1
r2
714.29 K q
v)
r4
153.06
357.14
357.14 3559.46
153.06
91.02
r2
91.02
6944.51 5 K
r4
Vectores de F. externas y vector de desplazamientos.
q
r 1 r 2
r 1
como r 4=0,05
q
r
R
0 0 10
r
2
0.05
3
0
pero {Q}=[T]T*{R} =>
Q
20 vi)
r
0
30
Ley de Hooke Matricial.
{Q}= [Kq]*{q} r 1 = 0,012 rad r 2 = -0,0025 ra k = 1260,68 T/m
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 20
Análisis Matricial de Estructuras
Ejercicio Nº4
Determine la matriz de rigidez de la siguiente estructura y calcule ∆ TA. Además calcule esfuerzos en las barras. AEI
EI=1000 T*m2 AE=10EI
20 T 2 10 T A AEI
2 [m] 2 i)
2
3
Grados de libertad.
r 5 r 3 2
r 1
r 4
C
ii)
GDL=5 Compatibilidades=2. GDLI=3
r 2 1
Compatibilidades geométricas y matriz [T].
2r 1 = r 5 – r 4
=>
r 4 = r 5 - 2r 1
2r 1 = r 2 – r 3
=>
r 2 = r 3 - 2r 1
r 1 r 3 r 5
1
T
2 0 2 0
r 0 r 0 r 1 r 1 r
0 0 1 1 0 0
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 21
Análisis Matricial de Estructuras
iii)
Deformaciones de los grados de libertad independientes.
Deformada 1. Para el grado 1. r 1=1, r 2=2, r 4=-2, r 3=r 5=0. Giro r 1=1.
√ *(
)
√
2
(+)
√ *(
√ √
)
*(
*(
*( )
Desplazamientos r 2=2, r 4=-2.
*( )
*( )
*( )
*( )*cos(45)
*( )*cos(45)
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 22
)*cos(45)
)*cos(45)
Análisis Matricial de Estructuras
√ √ √ √ ( √ ) (√ ) √ √ √ (√ ) Deformada 2. r 2=1 y r 3=1, r 1=r 4=r 5=0.
1
*(
*(sen(45))
*(cos(45))2
1
*(cos(45))
*(cos(45))2
*(cos(45))2
*(cos(45))
*(cos(45))2
√ √ √ √ (√ ) Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 23
Análisis Matricial de Estructuras
√ √ √ √ Deformada 3. r 4=1 y r 5=1, r 1=r 2=r 3=0.
*(
*(cos(45))2
1
*(cos(45))2
*(
*(cos(45)) 1
*(
*(cos(45))
*(cos(45))2
*(cos(45))2
√ √ √ √ (√ ) √ √ √ √ Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 24
Análisis Matricial de Estructuras
iv)
Matriz de Rigidez asociada a GDLI. r 1
11232.83
Kq
v)
r 3
r 5
1590.99 924.324
r 1590.99 5366.27 1502.602 r 924.324 1502.602 2477.38 r
Vector de fuerzas externas y de GDLI.
r 1
r
r 2 r 3 r 4 r 5
q
r 1 r 3 r
5
0 20
10
R
0 0
{Q}=[T]T*{R} =>
Q
10
20
20 vi)
Ley de Hooke Matricial.
{Q}=[T]T*{R} 0.00289 0.00391
0.0029 q
0.0019
{r}=[T]*{q} =>
0.0103
r
0.0019 0.0045 0.0103
Nos piden el desplazamiento total del punto A. Esto es: ∆T
r 4 r 2 ∆T =
∆T = 0,0059 m
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 25
Análisis Matricial de Estructuras
vii)
Cálculo de esfuerzos.
Como el método de rigidez directa no necesita de la determinación de la matriz [a], entonces es necesaria otra forma de cálculo de esfuerzos. Considerando: Esfuerzo (de momento, corte y/o axial) =
∑
Con: n: # de GDLI. qi: Grado de libertad independiente i. Esf i: esfuerzos de la deformada i, que se encuentra en el sentido, dirección y ubicación del esfuerzo que se desea calcular. Para la barra 1.
√ (√ ) (√ ) √ √ √ (√ ) Fx1b= r 1*
+ r 3*
+ r 5*
= 16,23 T
Fx1a= -16,23 T
(√ ) (√ ) (√ ) √ √ √ (√ ) Fy1b= r 1*
+ r 3*
+ r 5*
= 13,47 T
Fy1a= -13,47 T
M1b= r 1*
(√ ) √ √ √ (√ ) + r 3*
+ r 5*
3,78 T*m
Hacemos equilibrio para conocer el otro momento. 3,78 16,23 13,47
M1a+3,78-16,23x2+13,47x2=0 M
M1a= 1,74 T*m
16,23 13,47 Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 26
=
Análisis Matricial de Estructuras
16.23 Fx1a
13.47 Fy1a
1.74 1 16.23 13.47 3.78
M1a Fx1b Fy1b M1b
Para la barra 2.
Fx2a= r 1* + r 3*
Fx2b= 6,33 T
Fy2a= r 1*
+ r 5* = -6,33 T
+ r 3*
+ r 5*
= 6,51 T
Fy2b = -6,51 T
M2a= r 1*
+ r 3*
+ r 5*
= 10,73 T*m
Hacemos equilibrio para conocer el otro momento.
10,73
M1b 6,33
6,33 6,51
6,51
M1b+10,73-6,51*3=0 M1b= 8,8 T*m 6.33 Fx2a 6.51
10.73 2 6.33 6.51 8.8
Fy2a M2a Fx2b Fy2b M2b
Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 27
