Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
MEHANIKA I ELEMENTI KONSTRUKCIJA (2+1) • Predavanja: prof prof.. dr. sc. GO GORA RAN N TURKAL TURKALJ, J, dipl. dipl. ing. ing. • Vježbe: asist. Edin Merdanović, dipl. ing.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Literatura: • Brnić, J.: Statika , Sveučilište u Rijeci, Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka, 2004. • Brnić, J., Turk rkaalj, G. G.: Nauka o čvrstoći I , Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka, 2004. • Brnić, J.: Mehanika i elementi konstrukcija , Školska knjiga, Zagreb, 1993. • Bee Beer, F. P., P., John ohnston, on, E. E. R. Jr.: r.: Vector Mechanics for Engineers: E ngineers: Statics , McGraw-Hill, New York, 1988. • Nash, W.: Strength of Materials , McGraw-Hill, New York, 1998. • Gere, J. M.: Mechanics of Materials , Brooks/Cole–Thomson Learning, Belmont, CA, 2004.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
VRSTA AKTIVNOSTI
Pohađanje nastave
ECTSi
1
Laboratorijske vježbe
0.5
Kontrolne zadaće
1.5
Završni ispit
1
UKUPNO
4
ISHODI UČENJA
1-9
SPECIFIČNA AKTIVNOST
Prisutnost studenata. 80 % = 1 bod 81-85 % = 2 boda 86-90 % = 3 boda 91-95 % = 4 boda 96-100 % = 5 bodova
METODA PROCJENJIVANJA
BODOVI MAX.
Evidencija prisutnosti na predavanjima i vježbama.
5
Bodovi se dodjeljuju do djeljuju Izrada 3 laboratorijske temeljem aktivnosti na vježbama. Student 6, 8, 9 vježbe. 5 vj. × 5 bova = 15 bodova mora sakupiti minimalno 10 bodova. 2 kontrolne zadaće. Na Svaki zadatak nosi 5 1-6 svakoj zadaći student bodova. rješava 5 zadatka. Svaki zadatak nosi 5 ispit. Student bodova. Student mora 7-9 Pismeni sakupiti minimalno 15 rješava 6 zadatka. bodova.
15
50 30 100
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
UVOD 1. Zadatak, uloga i podjela mehanike Mehanika: grč. mehane = str stroj, naprava ime mehanika koristi se tek od Galilea (1564-1642) W. J. M. Rankin: znanost o mir iroova vannju, gi giba bannju i si sillama Matemati atičk čkii princ principi ipi prir prirod odne ne filo filozo zofi fije je (1687 Sir Isa saaac Newt wtoon: Matem 1687))
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Podj Podjel elaa meha mehani nike ke:: prema pre ma sta stanj njuu mi miro rovan vanja ja:: statika kinematika dinamika prema pre ma svo svojst jstvim vimaa tij tijel ela: a: meha mehani nika ka krut krutih ih ili ili nede nedefo form rmab abililni nihh tije tijela la meha mehani nika ka čvrs čvrsti tihh ili ili defo deform rmab abililni nihh tije tijela la meha mehani nika ka flui fluida da (pli (plino nova va i teku tekući ćina na)) prema pre ma me metod todam amaa rj rješ ešava avanj nja: a: eksperimental eksperimentalna na mehanika mehanika analiti analitička čka mehani mehanika ka numerič numerička ka mehanik mehanikaa grafostatika
MEHANIKA KONTINUUMA
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
prema pre ma pri primj mjen eni:i: statika statika konstruk konstrukcij cijaa stabiln stabilnost ost konstruk konstrukcij cijaa dina dinami mika ka stroj strojev evaa i kons konstr truk ukccija ija (teo (teori rija ja vibr vibrac acij ija) a) meha mehani nika ka loma loma meha ehanika tla tla i sti stijen jena
KONTI NTINUUM UUM = NE NEPR PREK EKIN INUTA UTA SR SRED EDIN INA A Podje Podjela la kontin kontinuu uuma ma:: fluidi: idel idelan anii ili ili nevi nevisk skoz ozni ni flui fluidd real realnni ili ili visk viskoozni zni fluid luid tijela: idel idelan anoo ili ili apso apsolu lutn tnoo kruto ruto tije tijelo lo real realnno ili ili čvrs čvrsto to tije tijelo lo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Mehani hanika ka čvrs čvrsttih ili ili def deform ormabiln ilnih tij tijela: la: teorija elastičnosti teorija plastičnosti teorija viskoelastičnosti teorija viskoplastičnosti REOLOŠKI MODELI
REOLOGIJA σ
= E ε
σ
σ
linearno-elastična opruga
σ
≤ σ T
σ
σ
frikcijski model (Saint-Venantov model) model)
σ
= η
dε dt
σ
linearni viskozni prigušivač
σ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorij orijaa elas lastičn tičnos osti ti (elastomehanika elastomehanika):): razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovana djel jelovan ovanje jem m vanj vanjsk skoog optere tereććenja enja na čvrs čvrsto to tije tijelo lo u elastičnom području problemi se rješavaju egzaktno jednadžbe
→
parc parcija ijaln lnee dife diferen renci cija jaln lnee
Nauka o čvrstoći (Ot Otpo porn rnoost ma mate teri rija jala la)) raspo raspodj djel elii defo deform rmac acij ijee i napr naprez ezan anja ja
→
pretpostavke o
deformacija i neprezanje međusobno su vezani, ali ne ovise o vremenu line linear arna na i neli neline near arna na teor teorij ijaa
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
linea linearn rnaa teori teorija ja elast elastič ično nosti sti:: mal alii po poma macci i def efor orma maccij ijee liline near arno no el elas asti tiča čann (Hookeov Hookeov)) ma mate teri rija jall
σ E
E =
1
ε 0
σ = const. ε
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
neli neline near arna na teori teorija ja elast elastič ično nosti sti:: veliki (konačni konačni)) pomaci pri deformiranju tijela (geometrijska nelinearnost)) nelinearnost neliline ne near arno no el elas asti tiča čann ma mate teri rija jall (mate materija rijalna lna nel nelinea inearno rnost st)) σ
E t 1
E t =
ε 0
dσ dε
≠ const.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorij orijaa plas lastičn tičnos osti ti (plastomehanika plastomehanika):): razmatra tra pomake, deforma rmaciju i napre prezanja uzrokovan vana djelo elovan vanjem vanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u pla plast stič ično nom m po podr dručj učjuu, tj. u pod područj ručjuu tra trajnih jnih (nepovratnih nepovratnih,, plastičnih plastičnih)) defo deform rmac acija ija σ
σ T
0
T
trajna deformacija
ε
T – gran granic icaa teče tečennja, ja, gran granic icaa plas plasti tičn čnoosti sti
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Teorije viskoelastičnosti i viskoplastičnosti viskoplastičnosti:: uspostavljaju zakone nastanka i razvoja deformacije kontinuuma ovisne o tij tijek ekuu vr vrem emen enaa, a uzrokovan vane term ermičk ičkim, kemijsk ijskim im i drugim utjecajima puzanje porast deformacije pri konstantnom naprezanju ili opterećenju relaksacija smanj smanjen enje je napr naprez ezan anja ja pri kons konstan tantno tnojj defo deform rmac aciji iji →
→
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
MEHANIKA I ELEMENTI KONSTRUKCIJA
Mehanika krutih tijela
Mehanika čvrstih tijela
STATIKA
NAUKA O ČVRSTOĆI
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
STATIKA
• sla slagan ganje sila sila i svo svođen đenje sust sustaava sila na najjednostavniji oblik • određivanje uvjeta ravnoteže sustava sila koji djeluje na kruto tijelo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
NAUKA O ČVRSTOĆI
• stva stvarranje raču računnskih skih meto etoda za procjenu čvrstoće čvrstoće,, krutosti i stabilnosti konstrukcije • prou prouča čava vanj njee proc proces esaa defo deform rmir iran anja ja i razaranja tijala te utvrđivanje ovisnosti između: • opterećenja • deformacije • naprezanja
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
2. Newtonovi zakoni tem te mel eljn jnii za zako koni ni meh ehan anik ikee 1. Newtonov zakon: Svaka materijalna točka (tijelo tijelo)) ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok sustav sila koji djeluje na nju (njega njega)) ne promjeni to stanje. (zakon inercije) inercije)
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
2. Newtonov zakon: Brzina promjene količine gibanja materijalne točke (tijela) po intenzitetu, pravcu i smj smjeru jednaka je sili koja na nju djeluje. d
dt dm dt dm dt
( m v ) = F
v
+m
dv dt
= F
= 0,
dv dt
=a
m a = F
Ubrzanje je proporcionalno sili što djeluj Ubrzanje je luje na mate aterijaln jalnuu točku čku (tijelo), a zbiva se u smj smjeru djelovanja sil sile.
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
3. Newtonov zakon: Dvije materijalne točke djeluju jedna na drugu silama istih int intenz enzitet itetaa i prav pravaaca, ca, a supr suprootnih smj smjero erova. va. (zakon akcije i reakcije) reakcije ) m1
m1
m2
F
F
m2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
3. Koordinatni sustavi Des Descart cartes esov ov (Cartesiev Cartesiev)) pravo ravoku kutn tnii koor koordi dinnatni atni susta ustavv: z
N ( x , y , z) z
y y
x
x
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Cilin Cilindri dričn čnii koordi koordina natn tnii sust sustav av:: z
N(r ,ϕ , z ) z r
x
ϕ
y
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Sfer Sferni ni koor koordi dina natn tnii sus sustav: tav: z
N( ρ , ϕ ,ψ )
y =
ρ ψ
x
ϕ
x = ρ cos ϕ cosψ
y
sin ϕ cosψ
z = ρ sinψ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Pola Polarn rnii koor koordi dina natn tnii sust sustav av:: y x = r cos ϕ
N( r ,ϕ )
y = r sin ϕ
r
z = 0
ϕ
x
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
4. Operacije s vektorima Vektor: z
az
a
ax
ay
y
x
a = ax + a y + a z = a x i + a y j + a z k
ax ax a = a = {a } = ay = ay az az
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Inte Intenz nzit itet et vekt vektora ora:: a = a = ax2 + a y2 + az2
Tran Transp sponi oniran ranii vekt vektor: or: T
a } = a = { ax
ay
az }
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Jedi Jedini ničn čnii vekt vektor: or: 2
2
2
a = a = a x + a y + az = 1
j = j = 1,
( x, y, z ) ⇒
1 i = { i } = 0 , 0
i = i = 1,
k = k = 1
i ⊥ j ⊥ k
0 j = { j } = 1 , k 0
0 = { k } = 0 1
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Zbraj Zbrajan anje je vekt vektora ora:: cx ax + bx a + b = c ili { a } + { b } = { c } ⇒ { c } = cy = a y + by c a + b z z z
b
c
c
b
a
Pravilo trokuta
a
Pravilo paralelograma
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Oduz Oduzim iman anje je vekt vektora ora:: d x ax − bx a − b = d ili { a } − { b } = { d } ⇒ { d } = d y = a y − by d z az − bz
a
b
d
−b
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Ska Skalarn larnii produ rodukt kt (en (engl. gl. do dott pro rodu duct ct,, in inne nerr pr prod oduc uctt):
b
(
)
a ⋅ b = a , b = a b cosθ
θ
a
b cosθ
T
{a } { b } = ax bx + ay by + az bz
VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI
a ⋅b = b ⋅ a
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Vekt Vektors orski ki prod produk uktt (eng (engl.l. cr cros osss pr prod oduc uctt):
c
a × b = a, b = c ,
b
θ
c = c = a b sin θ
cx aybz − azby c = { c } = cy = azbx − axbz cz ax by − aybx
a
−c
i
j
k
a × b = ax
ay
az = ( aybz − azby ) i + ( a zbx − a xbz ) j + ( a xby − a ybx ) k
bx
by
bz
NE VR VRIJ IJED EDII ZAKON KOMUTATIVNOSTI
b × a = − a × b = −c
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Mješ Mješovi oviti ti produkt produkti:i: Skalarno-vektorski produkt:
a ×b ⋅ c = V
ax
ay
az
a × b ⋅ c = bx
by
bz
cx
cy
cz
c
b
a
Vektorsko-vektorski produkt:
(
)
(
a × b × c = b ⋅( a ⋅ c ) − c ⋅ a ⋅ b
)
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Tenzor nzorsski ili dijadski prod rodukt (eng engl. ten enssor pro rodduct, oute ou terr pr prod oduc uctt):
a ⊗b = T
axbx ili { a } { b } = [ T ] = a ybx azbx T
T –
ax by
ax bz
ayby
a ybz
azby
azbz
tenzor dr drug ugog ogaa re reda da
NE VR VRIJ IJED EDII ZAKON KOMUTATIVNOSTI
(
b ⊗ a = a ⊗b
b ⊗a = T
T
)
T
axbx T T ili { b } { a } = [ T ] = ax by ax bz
aybx
azbx
ayby
azby
aybz
azbz
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
5. Aksiomi statike Aksiom I: Slobodno je tijelo pod djelovanjem dviju sila u ravnoteži onda ako te dvije sile leže na istom pravcu i istog su intenziteta, ali suprotnoga smjera.
F 2
F 1
F1 = F 2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Aksiom II: Djelovanje sustava sila na tijelo ne mijenja se dodavanjem ili oduz duzim imaanjem jedn ednog ili ili više ura uravnotež teženih enih sust sustaava sila sila..
F 1
F 2
F
F
F 3
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
F 2
F 1
F 3
F 3
F 3
A
B
F 4
Sila je klizeći vektor! vektor! Pomicanjem sile po pravcu ne narušava narušava se njezino djelovanje na kruto tijelo! tijelo!
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Čvrsto (deformabilno deformabilno)) tijelo:
F
F A
B
l1
F
F A
B
l2
Pri razmatranju razmatranju procesa deformiranja tijela, potrebno je poznavati položaj hvatišt hvatištaa sila sil a!
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Aksiom III: Rezultanta dviju sila koje djeluju u nekoj točki tijela određena je po intenzitetu, intenzitetu, pravcu i smjeru prema pra pravil viluu par parale alelog logram ramaa ili pr prav avilu ilu tr trok okut utaa. Pravilo paralelograma
Pravilo trokuta
F 2
F 2
F R
F R
F 2
F 1
F 1
FR = F1 + F 2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Aksiom IV: Dva tijela djeluju jedan na drugoga silama istih intenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova (treći ( treći Newtonow zakon). zakon).
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
6. Osnovni pojmovi statike Slobo Slobodn dnoo tije tijelo lo z w
ϕ z u
x
Apsolut olutno no kru kruto tij tijelo Ravnoteža
ϕ y ϕ x
v
y
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Sila = mehaničko djelovanje jednog tijela na drugo smjer
F intenzitet (N)
pravac
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Pros Prostor torni ni sluč slučaj aj:: z
F = Fx + Fy + Fz = Fx i + Fy j + Fz k
F z
γ α
F β
F x F cosα F = { F } = F y = F cos β F z F cos γ
F y
F x
y
x
Intenzi Intenzitet tet sile: sile: 2
F= F=
( F cos α )
2
2
Fx + Fy + Fz 2
2
+ ( F cos β ) + ( F cos γ )
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Ravn Ravnin insk skii sluč slučaj aj:: y
F y
β
F
F = Fx + Fy = Fx i + Fy j
α
x
F x
F x F cos α F cos α = = F F F β α c o s s i n y
F = { F } =
Intenzi Intenzitet tet sile: sile: F=
2
Fx + Fy
2
=
cos α ) ( F co
2
+ ( F sin α )
sin 2 α + cos 2 α = 1
2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Sus Sustav tav sila ila
F 2
F 1
F 3
F n
F i
( F ,F ,F ,
1
2
3
…
)
, Fn
RAVNINSKI PROSTORNI
• • • •
kolinearni konkurentni paralelni opći (proizvoljni proizvoljni))
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Ekvivalentni sustav tav sila
(
, Fn ) ≈ S 1, S 2 , S 3 ,
F1 , F 2 , F3 ,
…
(
…
)
n≠m
, S m ,
Rezultanta susta ustavva sila ila
( F ,F ,F ,
1
2
3
, Fn ) ≈ FR
…
FR = R i=n
FR x =
∑ F
ix
i =1 i= n
FR = FR = R
FR y =
∑ F
iy
i =1 i=n
FR z =
∑ F
iz
i =1
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Sila svoji ojim djelov lovanjem jem na tijelo uzrok rokuje njegovu ovu: TRANSLACIJU ROTACIJU
mome mo ment nt sil sile: e:
• za toč očkku • za os
spre sp regg si sila la
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Moment sile za točku n M O = r × F = r , F
F
F O
F
F
B
F
M O = M O = r F sin α
M O (Nm)
α
O
h
r
F r sin α = h
A
F
M O = F h
(R)
F
M O = 2 ∆ OAB
O
Smjer vektora momenta
– po poll mome moment ntaa
“PRAVILO DESNE RUKE”
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
r = xi + y j + z k
F = Fx i + Fy j + Fz k
F
z
A
F O
M
i F M O = r × F = x Fx
r O
x
k
y
z F z
y
j
Fy
M O = ( y Fz − z Fy ) i + ( z Fx − x Fz ) j + ( x Fy − y Fx ) k
F
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Pozi Poziti tiva vann i nega negati tiva vann mome moment nt::
F
y
A
A
+
F O
(R )
F
r F
r O
y
− M O x
O
(R)
x
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Moment sile za os
u = u =1
u
M
n
M OF = r × F F u
B
F u
F
F
(Nm) = u ⋅ M O = M O cos ϕ (Nm
M u = ( M u ) u
M
F
F
F
z
ili
ϕ
F
F
M O
F
M u = u ⋅ M O = u ⋅ r × F
A
r O
u = cos α u i + cos βu j + cos γ u k
y
x
cos α u
cos βu
cos γ u
x
y
z
Fx
Fy
F z
M uF = u ⋅ r × F =
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
u ≡ x
u ≡ y
u ≡ z
αu
αu
αu
o
o
= 0 ; βu = 90 ; γ u = 90
o
o
= 90 ; β u = 0 ; γ u = 90
o
o
= 90 ; β u = 90 ; γ u = 0
M
F O
o
0
M u = M x = x
y
z = y Fz − z F y
Fx
Fy
F z
0
1
0
M u = M y = x
y
z = z Fx − x F z
Fx
Fy
F z
0
0
1
M u = M x = x
y
z = x Fy − y F x
Fx
Fy
F z
F
F
o
=M
0
F
o
F x
1
F
F
i +M
F y
F
F z
j + M k
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
B
u
F
F u
A
r
F (R)
O
h
r (R) F
(R)
F
M u = M O(R) = F(R) h
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Spre Sprega ga sila ila
≡
dvij dv ijee anti tippara rale leln lnee sililee
n M OF , F = − F a + F ( a + h )
F , F
M O M –
a
O
h–
= M = Fh
mome mo ment nt spr sprega ega (Nm) krak kr ak sp spre rega ga
F
n = n =1
h
F
(R )
M = M n
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Pozi Poziti tiva vann i nega negati tiva vann mome moment nt spre sprega ga::
F
+ M
F
− M
h
h
F
(R)
F
(R)
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Svoj Svojstv stvaa spre sprega ga sila sila:: djelo elovan vanje spre prega se ne mijenja njego egovim vim pom pomica icanjem po pravcu vcu sila sprega (II II.. ak aksi sioom st stat atik ikee); djelovanje sprega se ne mijenja njegovim pomicanjem po kraku sprega; spreg sila moguće je po volji pomicati u ravnini djelovanja sprega, ali pod uvjetom da sile u spregu ne mijenjaju svoj međusob međusobni ni položa položaj; j; spreg sila moguće je nadomjestiti drugim spregom uz uvjet da su im momenti enti i rotac tacija ija jedn ednaki: M = F h = F1 h1 = F2 h2 = ...
spr spregove gove sil sila koji djeluju u isto stoj ravni vnini možemo emo zbra brajati: ti: i=n
∑ M i =1
i
= M
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Redu Redukc kcij ijaa sile ile ≡ paralelni pomak sile u promatranu točku II.. ak II aksi sioom st staati tike ke
F
F
F
F
A
h
A
B
h
h
B
M
(R)
(R)
F
B
A
(R)
F
M = M B = F h
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Supe Superp rpoz ozic icij ijaa (zbrajanje zbrajanje)) sile i sprega
M
F
F
F
h
h A
B
A
A
F
(R)
M B
(R)
h=
M
F
M B = F h = M
F
∑ M
(R)
F
i
= M − M B = 0
B
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
7. Vrste veza, reakcije veza SLOBODNO TIJELO
MEHANIČKE VEZE
NESLOBODNO TIJELO
OSLOBAĐANJE VEZA
NESLOBODNO TIJELO
SLOBODNO TIJELO
OPTEREĆENJE VEZA = sile kojima tijelo djeluje na veze REAKCIJE VEZA = sile kojima veze djeluju na tijelo
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Vrst Vrstee veza veza:: idealna (glatka glatka)) povr površšina ina
F 2
F 1
n
F 2
F 1
F 3
F 3
n
A
A t
F N F N − normalna normalna komponenta komponenta
t
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
B
F NB
A
F NA
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
realna (hrapava hrapava)) povr površšina ina REAKCIJE OSLONCA
F 2
F 1
F 2
F 1
F 3
n
F 3
n
A
A
F µ
t
M K t
F N
µ − faktor (koeficijent ) trenja
F µ − sila trenja klizanja
0<
<1
kotrljanja janja M K − spreg trenja kotrl
F N OPTEREĆENJE OSLONCA
t
M K
F µ
A n
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Trenje klizanja:
GRANIČNI SLUČAJ
G
F
F gr
G
F µ
F N
F N
F ≤ F µ , gr
tijelo miruje (statičko trenje) trenje)
ϕ
F µ , gr
F R
FR = FN + F µ , gr ϕ − kut trenja
F > F µ , gr
tijelo klizi (kinematičko trenje) trenje)
tan ϕ =
F µ , gr F N
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
STOŽAC TRENJA
G
F gr
F gr
F µ , gr
F R
ϕ ϕ
F N
F µ , gr
F R
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Coulombovi zakoni suhog trenja: Gran Granič ična na vrij vrijed edno nost st sile sile tren trenja ja::
F µ , gr = FT =
F N
faktor statičkog trenja klizanja
−
Sila trenja ima pravac tangente u točki dodira i usmjerena je suprotno od smjera u kojem aktivne sile žele žele pokr pokren enut utii tije tijelo lo.. Inte Intenz nzit iteet sil sile tren trenja ja ne ovis ovisii o veli veliči činni dodir odirnnih povr površšina. na.
Gibanje (klizanje (klizanje):): F µ = ′ ⋅ F N ′−
faktor kinematičk og trenja kliz anja
′≤
µ
= tan ϕ
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Faktor trenja ovisi o: vrsti vrsti mate materi rija jala la dodi dodirn rnih ih ploh plohaa stupnju stupnju hrapavos hrapavosti ti vlažnosti temperaturi veli veliči čini ni norm normal alno nogg tlak tlakaa izme između đu dodi dodirn rnih ih ploh plohaa rela relati tivn vnoj oj brzi brzini ni kliz klizan anja ja (v): ′
suhe suhe kočn kočnee oblog oblogee-me meta tall npr. npr. metal-m metal-meta etall v
0
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
Trenje kotrljanja: POGONSKI (OBRTNI OBRTNI)) SPREG R
F = F µ
F O
G
R
A
F µ
F µ
M P = F R
F N
glatka podloga kotrljanje (bez klizanja) klizanja)
nema kotrljanja (klizanje klizanje))
= 0 ⇒ F µ = 0
≠ 0 ; F ≤ FT = µ F N
nema trenja kotrljanja
≠ 0 ; F > F T
M P = 0
kotrljanje & klizanje
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
R
G
G
G M K
O
h
F
F A'
A
A
F µ
F N
F N
µ
A
f
F µ
F N
F R
f − koeficijent (krak) trenja kotrljanja, (mm)
SPREG TRENJA KOTRLJANJA f FN = G
G M K = FN f
POGONSKI SPREG F = F µ
M P ≤ M K
h≈R F µ
M P = F h ≈ F R
M P > M K
tijelo miruje tijelo se kotrlja
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
uže
FB = G
B
B
B
S
F B
F B
S
B
S
A
A
A
A
S
A
G
G
G
G
G
S
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
štapovi
F 1
A
F 2
G
B
F A
F B
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
pomi pomičn čnii i nepo nepomi mičn čnii oslo oslona nacc
F 1 z
F Bz
B
A
POMIČNI OSLONAC
F A
F 2
F By
NEPOMIČNI OSLONAC
y
FB = FBy + F Bz
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
uklještenje
F 1
F Az
z
M A
F Ay
FA = FAy + F Az
y
F 2
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
radi radija jaln lnii leža ležajj presjek B-B y
B y
x
F Ay F Ax
A F 1
F 2
F Ay
z
F Ax F 3
M T
ili M m – momen momentt trenj trenjaa (Nm) (Nm)
ω –
kutn kutnaa brzin brzinaa (s (s-1):
n
M T
x
ω =
π
n
30
– broj okretaj okretajaa u minuti minuti (min-1)
z
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
radijalnoradijalno-aksijal aksijalni ni ležaj z
B
F Az
F By
F Bx F 2
M T
F 1
F Ay
F 3
F Az
F Ax
M T F Ay
F Ax x
y
A
Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultet SVEUČILIŠTE U RIJECI
kugla kuglasti sti zglo zglobb z
F Az F Ay
A F Ax x
y
