Geometría y Topografia

Geometría por Coordenadas 1. Elementos de Geometría Analítica. Introducción. En la actualidad, el uso de las coordenadas cartesianas para los cálculos topográficos es una necesidad imprescindible para cualquier topógrafo y en especial en el ámbito de la ingeniería agrícola. En el pasado, eran admisibles otras técnicas aproximadas para realizar replanteos en terrenos y obras, porque también las técnicas de levantamiento no eran de relativa alta precisión, o no existian los recursos tecnológicos de calculadoras programables u otros. En la actualidad, con el uso de teodolitos digitales y distanciómetros, o con Estaciones Totales incluso de obras, se manejan precisiones comparativamente elevadas y además por la rapidez y confiabilidad de la técnica, nuestras operaciones de campo tendrán alta confiabilidad. Sin embargo, también trabajando con baja precisión como con un GPS navegador, el dominio de la Geometría Analítica es fundamental, porque nos permitirá trabajar eficientemente con imágenes Google o del SGM o cualquier otra, para realizar los informes técnicos de manejo de suelos, riego, drenaje o cualquier otro vinculado con la profesión agronómica. 1. 1. Proyecciones de un segmento Si tenemos el segmento M1M2, trazamos por el origen una línea paralela u al eje Ox. Designamos con el ángulo en que hay que hacer girar la línea u para que ésta tenga la dirección el segmento M1M2 . Si el ángulo lo tomamos como está convenido en trigonometría, este ángulo se llama ángulo polar del segmento M1M2. Es evidente que  Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola

1 Ing.Agr.Michel Koolhaas, M.Sc. Prof.Adjunto.

representa el ángulo polar del punto M2 en el sistema polar de coordenadas, que tiene el polo en el punto M1 y cuyo eje polar la semirrecta u; la longitud d del segmento considerado representa en este sistema el radio polar del punto M2. Los números X,Y son las coordenadas cartesianas del punto M2 y por tanto se cumple

X = d cos ; Y = d sen  Esta es la relación biunívoca entre coordenadas polares y cartesianas, tal cual se expresa en la geometría analítica y de acuerdo a la convención matemática de medida angular en sentido antihorario. Veremos más adelante que en la práctica topográfica se utiliza otra convención de medir el ángulo en sentido horario con referencia al Norte geográfico, magnético, arbitrario o de cuadrícula.XA = d x sin YA = d x cos Esta es la convención de los topógrafos de medir los ángulos en el sentido de las agujas del reloj. Por lo tanto, si el ángulo es un valor azimutal , = Az tendremos XA = d x sin Az YA = d x cos Az O en el sistema Norte , Este EA = d x sin Az NA = d x cos Az 1. 2. Distancia entre puntos Uno de los problemas elementales que más frecuentemente se suele resolver en geometría analítica es el de la determinación de la distancia entre dos puntos dados Cualquiera que sea la posición de los puntos M1(x1 , y1) y M2 (x2 , y2) en el plano, la distancia d entre ellos se determina por la fórmula Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


d = ( x2 – x1 )2 + (y2 – y1)2 Designemos con la letra N el punto intersección de las rectas M 1Q1 y M2P2 , como el triángulo M1M2N es rectángulo, según el teorema de Pitágoras, tenemos d = M1N 2 + M2 N 2 Pero es evidente que las longitudes de los catetos M1N y M2N coinciden con los valores absolutos de las proyecciones X, Y del segmento M1M2 sobre los ejes coordenados y por tanto d = X 2+ Y 2 Por ejemplo, sean los puntos 1 ( 2100.26 / 1998.98) y 2 ( 2013.32 / 2194.13) la distancia entre los mismos será igual a Dis 1-2 = (2100.26 – 2013.32)2 + ( 1998.98 – 2194.13)2 = 213.64 m

Veamos un segundo ejemplo, sean los puntos 4 ( 1134.26 / -3998.98) y 5 ( 4013.32 / -3456.13) la distancia entre los mismos será igual a Dis 4-5 = (1134.26 + 4013.32)2 + ( -3998.98 + 3456.13)2 = 5176.12 m Finalmente sean dos puntos de coordenadas UTM , 23 (543345, 6123456) y 28 (345235, 6234567), la distancia entre los mismos será igual a Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


Dis 23-28 = (543345 - 345235)2 + ( 6123456 - 6234567)2 = 227141,424 o sea 227km141m Recuerde que la distancia es la misma cualquiera sea el orden que se tomen las coordenadas, verifique esto especialmente en el segundo caso que tenemos coordenadas negativas, verifique que algebraicamente Dis 4-5 = Dis 5-4 1. 3. Orientación de un segmento La orientación del segmento AB se deduce de las coordenadas ; en efecto tg= XBA/YBA por lo tanto el ángulo = tg –1 XBA/YBA  Dependiendo de la situación de los puntos, la orientación (Azimut) se deducirá con +/- 180 o sustrayendo de 360º el ángulo obtenido, o será tal cual resulta de la operación señalada, si estuviese en el primer cuadrante.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


1. 4. Polares de un punto1 En el curso nosotros vamos a obtener siempre las coordenadas a través de las polares por azimut, porque es una metodología de trabajo más adaptada a las condiciones de disponibilidad de herramientas de cálculo ( calculadoras programables, hojas de cálculo, etc,) disponibles normalmente para un ingeniero agrónomo. X1 = DIST1 x sin AZ1 Y1 = DIST1 x cos AZ1 X2 = DIST2 x sin AZ2 Y2 = DIST2 x cos AZ2 Por tanto, las coordenadas cartesianas de los puntos 1 y 2 relevados desde una estación A, serán las obtenidas de acuerdo con las operaciones algebraicas anteriores, de cn (coseno) y sin(seno)del ángulo horizontal llamado Azimut por la correspondiente distancia a los mismos. El eje de referencia Oy conviene llamarlo eje de las coordenadas

cartesianas Norte o coordenadas Y, y el eje perpendicular Ox o eje de abcisas conviene llamarlo eje de las coordenadas Este o coordenadas X. Entonces la regla general dice que el producto de el coseno de los azimut por la distancia nos da siempre las Las imágenes se han tomado de los manuales de programas para máquinas Hewlett&Packard del Ing.Agrim.Héctor Acevedo Richero Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola 1


coordenadas Norte, y el producto de el seno de los valores azimutales por la distancia nos dará siempre las coordenadas Este.Todas estas coordenadas son coordenadas parciales o coordenadas desde la estación de relevamiento. Es decir, que si el punto A del ejemplo tuviera coordenadas A( 1000,2000) las coordenadas totales de los puntos 1 y 2, serían igual a la suma algebraica de las coordenadas parciales + las coordenadas del punto estación = coordenadas totales de los puntos relevados. Así : X1 = DIST1 x sin AZ1 +1000 Y1 = DIST1 x cos AZ1 + 2000 X2 = DIST2 x sin AZ2 +1000 Y2 = DIST2 x cos AZ2 +2000 1. 5. Polares con ángulo interno a derechas. El trabajo a través de las polares de los puntos por ángulo, (polar por ángulo) es una rutina de trabajo topográfico común en la agrimensura con disponibilidad de herramientas de cálculo. Esencialmente, la diferencia consiste en colocar cero en la lectura atrás del goniómetro(teodolito) en la estación, y por lo tanto, en el campo se levantan siempre ángulos a derechas. En el programa electrónico en la Estación Total, en la colectora o en la calculadora programable, se procesa para pasar a azimutes y obtener las cartesianas de los puntos relevados, a través de las fórmulas ya conocidas. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola

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Es decir, que de acuerdo con el esquema de arriba, en el campo se miden los ángulos a derechas ANG1 y ANG2 , para luego deducir (calcular) los Azimut de la alineación A-1 (AZ1) y el Azimut de la alineación A-2 ( AZ2). En las Figuras de abajo se indican las fórmulas y sendos ejemplos demostrativos de los cálculos. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola

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1. 6. Azimut y distancia Esto en esencia es lo expuesto en el item 1. 3 con las fórmulas genéricas correspondientes. Recordar que la orientación establecida través del Azimut saliendo de un punto es siempre el arco tangente (TAN –1 ) de E/N o X / Y según el sistema coordenado que utilice. 1. 7. Intersección de circunferencias. Este caso de intersección es de una importancia práctica fundamental, porque se aplica en el campo frecuentemente en la práctica topográfica, conociendo dos puntos de un proyecto o una mensura previa. Por otra parte, la buena comprensión de la intersección de circunferencias en el espacio, es la base del posicionamiento de un GPS, como verá más adelante al finalizar el curso. Para una buena comprensión del tema es importante recordar claramente el teorema del coseno. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


El objetivo es que deseamos retomar datos o replantear algo, con relación al viejo sistema, ya sea de un trabajo nuestro previo o de otro profesional. Es también una herramienta importante para el replanteo de puntos, es decir, saber ubicar el taquímetro en un sistema coordenado conocido para poder replantear determinadas coordenadas requeridas para cierto proyecto.

Basados en este concepto, se realiza la resección o intersección inversa, conociendo las coordenadas de 1 y 2, con la medición de distancias y ángulos a cada uno de los puntos, determinamos la posición del punto incógnita 3 .Bases teóricas del procedimiento 2 La base teórica del procedimiento es el teorema del coseno, en efecto en el campo tomamos dos distancias a los puntos de coordenadas conocidas 1 y 2, que son los radios de sendas circunferencias R1 y R2 , desde el punto cuyas coordenadas queremos hallar. De acuerdo con la nomenclatura establecida en la imagen anterior, aplicando el teorema del coseno tenemos: Apuntes Elementos de Trigonometría. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola 2


R2 2 = R1 2 + S2 - 2 R1 S cn  Multiplicando la expresión por (-1) tendremos: -R2 2 = -R1 2 - S2 + 2 R1 S cn  reordenando la expresión R1 2 + S2 -R2 2 = 2 R1 S cn  despejando R1 2 + S2 - R2 2 / 2 R1 S = cn  De donde finalmente , resulta cn –1 = (R1 2 + S2 - R2 2 ) / 2 R1 S Más adelante comprenderá cabalmente el estudiante, al estudiar el tema de orientaciones y poligonales, la importancia del concepto azimut. Lo importante en este momento, es entender el meollo del problema que se ubica en determinar el ángulo con el cual podremos calcular el Azimut AZ de una alineación y por ende las coordenadas del extremo de la misma, en este caso el punto 3.El Azimut partiendo desde 1 hacia 3, será AZ1 = AZ +/- según sea la solución positiva o negativa la buscada. La convención de positiva o negativa es si está a derecha o a la izquierda del sentido ordinal de los puntos. Obviamente, de acuerdo con la figura de arriba, la opción negativa está por encima de la recta que una los puntos 1 y 2, y la positiva está por debajo por estar a derechas. Realizaremos un ejemplo práctico para entender la técnica.

Ejemplo de Aplicación a Resolver Como ejemplo a resolver, verifique las dos soluciones posibles de una resección realizada a los dos puntos 1 ( 531,25 / 467,20 ) R1 = 185,00 2 ( 213,21 / 339,87 ) R2 = 210,00 Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


Para resolver el problema, realice un croquis de ubicación de los respectivos puntos, para visualizar la situación. Solución + 3 X3 =349,17 Y3 = 499,92 AZ 1 = 280º 11´13” Solución - 3 (4) X3 =422,05 Y3 = 317,86 AZ1 = 216º 10´29” Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


1. 8 Traslación y Rotación El caso de traslación y rotación de cartas en base a coordenadas cartesianas, es una operación frecuente en el trabajo topográfico con el uso de los GPS, el apoyo de campo del relevamiento topográfico convencional y la necesidad cada vez más frecuente de georeferenciar los planos para recibir el apoyo directo de información del GPS. Como es nuestro criterio de enseñanza, aprendamos la teoría con la práctica de resolución de casos o problemas concretos.Caso 1 Tenemos una operación de relevamiento topográfico con Estación Total para resolver los perfiles de los ejes longitudinales de canales de drenaje de un campo con problemas de excesos hídricos. Dicho relevamiento está apoyado con levantamiento en móvil de GPS en el sistema UTM. Como el técnico trabaja con un programa de curvas de nivel automático y para evitar complicaciones, el debe en principio incorporar los móviles GPS en el dibujo del levantamiento convencional con EDM para facilitar su trabajo de diseño y proyecto de estructuras. De esta forma, su levantamiento de móviles GPS lo debe traer a coordenadas

relativas de valores pequeños en pocos miles. En el programa LIContour o el de TopoCalc (eventualmente Surfer), el realizará sus perfiles para calcular los volúmenes de tierra, y una vez finalizado todo el proceso, preparará el dibujo para el informe final, trasladando recién allí su dibujo total y completo al sistema UTM. Pongamos números concretos y reales al ejemplo. Sean dos estaciones del Taquímetro STA1 y STA128 cuyas coordenadas cartesianas arbitrarias son las indicadas en la tabla abajo y a su vez las coordenadas UTM obtenidas con un GPS PromarkX en DIF1 son Coor. Y Coor.X Coor. Este Coor. Norte STA 1 3000.00 3000.00 422195 6343796 STA 128 3457.03 2968.97 422649 6343850 El Az 1-128 debe darle el siguiente resultado 93º 53´03´´ Por otra parte el Az 1-128 UTM en cambio le dará 83º13´01´´, lo cual le asegura que usted deberá rotar el dibujo en UTM por el ángulo –10º40´02´´ (-10.6672 en sistema decimal). Quiere decir en otras palabras, que el levantamiento convencional está rotado hacia el Oeste del Polo Norte de la cuadrícula UTM, y por tanto si hacemos centro en STA1 y con el comando Rotate del CAD giramos todos los puntos picados –10º40´02´´ habremos colocado el archivo de puntos de coordenadas arbitrarias con el sistema de ejes coordenados de base en idénticas condiciones que el sistema UTM. Recuerde que en el sistema CAD por defecto los ángulos se miden igual que en el círculo trigonométrico (convención matemática) en sentido antihorario, por ello que, para rotar los puntos picados hacia el Este introducimos el signo negativo porque debemos girar a derechas o en sentido horario. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


En efecto, arctg 3000-2968.97 / 3000-3457.03 arctg – 14.73 Los datos de móvil GPS en el sistema UTM son levantados en un archivo DXF que deberemos trasladarlo hacia el sistema arbitrario. Bastará únicamente conseguir un único

punto , por ejemplo el STA1 para copiar todo el archivo y MOVER del sistema UTM hacia el sistema arbitrario Por lo tanto el primer paso antes de trasladar los puntos a las coordenadas UTM es rotar el conjunto de puntos picados para hacerlos coincidir con los azimutes de los puntos relevados con la orientación del Norte de la cuadrícula UTM como explicamos anteriormente. Recién después de rotar el conjunto de puntos podemos trasladar el conjunto y habremos georeferenciado nuestro conjunto de puntos de coordenadas arbitrarias a coordenadas UTM. Como ejemplo adicional, a la explicación dada anteriormente, usted puede intentar georeferenciar la foto aérea en blanco y negro del año 1966 llamada Estancia Rosa Blanca. La información de medidas y coordenadas UTM usted las puede obtener del dibujo en CAD del mismo nombre. Por tanto con esos dos archivos y el programa IntelliCAD 4 u otro, usted podrá realizar dicha actividad práctica. No se olvide en primer término de escalar la foto, comparando medidas de la foto con los puntos homólogos del terreno identificados en el plano realizado por relevamiento taquimétrico con estación total, y llevar la foto a tamaño natural o escala 1:1.- Tenga bien presente que la imagen fotográfica es una proyección cónica y nunca la va a hacer coincidir con la carta topográfica correspondiente realizada por relevamiento topográfico directo. Usted podrá ver las diferencias de la foto con el plano o proyección ortogonal del terreno colocando la imagen por debajo del plano. Como la proyección cónica tiene deformaciones debidas básicamente a las diferencias de relieve la foto tiene diferentes escalas, usted deberá asumir un factor de escala de compromiso de las diferentes medidas que realice y en consecuencia escalará la misma para compararlo con el plano o carta topográfica.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola




2. Aplicaciones de la geometría analítica a la práctica de la Topografía. En realidad las aplicaciones más comunes en la práctica profesional de la ingeniería agrícola ya están mencionadas y explicitadas anteriormente, pero mencionaremos aquí tres aplicaciones específicas de la geometría para dejarlas más aclaradas que en la descripción básica de elementos de geometría. 2.1 Resolución de un perfil longitudinal por relevamiento taquimétrico. 2.2 Replanteo de puntos por coordenadas. 2.3 Replanteo de una alineación recta con puntos extremos no entervisibles. 2.1 Resolución de un perfil longitudinal por relevamiento taquimétrico. Supongamos que tengo la información de un relevamiento planialtimétrico con las coordenadas N,E,Z de los puntos del terreno, tomados de la lectura de una carta topográfica en CAD, que usted realizó o se la pasa un colega agrimensor. A los efectos de confeccionar el perfil gráfico debo estructurar una planilla como la mostrada abajo, donde figure la distancia progresiva o acumulada a partir de un origen para luego proceder a la representación gráfica Progresiva N E Z 1 0+00 504.290 448.020 9.018 2 0+10 503.610 458.120 8.743 3 0+26 502.090 473.470 7.728 4 0+42 501.460 490.280 6.644 5 0+56 501.570 503.630 5.672 6 0+66 501.650 514.330 5.059 7 0+95 499.820 543.020 3.741 8 1+21 498.990 568.610 2.967 9 1+30 499.050 577.950 2.604 10 1+56 498.610 603.900 1.719 11 1+70 498.050 617.970 1.487 12 2+38 496.025 685.770 1.076 13 2+75 495.050 723.300 1.306 14 2+93 494.720 740.720 2.069

Porqué la progresiva en el punto 4 es 42 metros o 0+42? Esto es así, porque la distancia d = N 2 + E 2 = (504.29-501.46)2 + (448.02-490.28)2 = 42.35 m y como redondeamos al metro, el resultado será 42 metros. Así sucesivamente se calculan las distancias en función de las coordenadas de los puntos que resultan ubicados en el centro

de la alineación donde se está estudiando un perfil longitudinal. la distancia d 1-14 = 2+93 porque Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


d = N 2 + E 2 = (504.29-494.72)2 + (448.02-740.72)2 = 292.86 m y como redondeamos al metro, el resultado será 293 metros. En conclusión: la planilla de información para realizar el trabajo de dibujo en el computador la obtenemos del análisis del problema a resolver en una carta planialtimétrica digitalizada en un CAD, en ella trazamos la alineación que nos proponemos estudiar y resolver la problemática planteada, para obtener la serie de coordenadas N,E,Z o x,y,z. Luego la más básica de las fórmulas de geometría analítica la aplicamos una y otra vez para armar el perfil longitudinal buscado. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


2.2 Replanteo de puntos por coordenadas. Este es el caso típico de replanteo de puntos por ejemplo, del eje de un terraplén para un embalse agrícola, o sea el punto de partida para replantear una obra de movimiento de suelos para generar un embalse. Puede ser también la situación, de replanteo de puntos de arranque de canales de riego, de terrazas, y hay un gran número de situaciones que requieren la mecánica o rutina de trabajo que vamos a enseñar. Supongamos que tengo la información de coordenadas de cinco puntos provenientes del plano o carta de un proyecto de Obra A los efectos didácticos asumimos que tengo el punto1 y 2 plenamente identificados con sendos mojones en el campo, estaciono el teodolito o la estación total en el punto 1y bisecto el punto 2 para colocar el círculo del goniómetro en 0º. El problema planteado es de replantear o ubicar en el campo donde están los puntos 3, 4 y 5, para lo cual debemos hallar las coordenadas polares de dichos puntos visados desde el punto 1 donde estacioné

el goniómetro, teodolito o estación total. Es decir, en otras palabras, debo hallar los valores angulares medidos a partir del punto 2 y las distancias 1_ 3 , 1 _4 y 1_5 o radios polares que me permitirán replantear los respectivos puntos. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola




Los valores angulares resultaran de la diferencia de acimutes Az 1-3 - Az 1-0 = Ang 1-3 y así sucesivamente Las distancias o radios polares de replanteo se calculan fácilmente por la consabida fórmula de distancia entre puntos d = N 2 + E 2 o ( x2 + y2 ) Por lo tanto, las coordenadas polares de replanteo de los puntos 3, 4 y 5 son las siguientes 3 Ang = 15º 36’ 16’’ // 4 Ang = 322º 23’ 16’’ // 5 Ang = 264º 04’ 40’’ H = 51,74 m H = 68,33 m H = 47,51 m En efecto, analicemos en detalle el primer caso, coordenadas polares del punto 3 . Primero debemos tener el Azimut 1 – 2 que es el punto de partida o referencia Azimut 1 – 2 Arc tg ( 530,66 – 592,02) / (73,17 – 88,53) 75º56’46’’ Azimut 1 – 3 Arc tg (530,66 – 582,38) / (73,17 – 71,77) 88º26’58’’+180º91º33’02’’ Por tanto el ángulo polar de replanteo es 91º33’02’’- 75º56’46’’ = 15º 36’16’’ 2.3 Replanteo de una alineación recta con puntos extremos no entervisibles. Veamos un ejemplo de relativa frecuencia en el trabajo agropecuario y que no necesita de la presencia de un agrimensor. Supongamos que tenemos dos puntos mojonados que son el límite de una propiedad, pero no son intervisibles entre sí por obstáculos como arbustos, árboles, y tenemos la necesidad de marcar la línea recta que une estos puntos para materializarla con un alambrado de ley, uno de cinco hilos o con un tejido olímpico. Si los

puntos fuesen intervisibles entre sí es una solución elemental y obvia, pero no es el caso. Este ejemplo que voy a realizar lo he vivido en la práctica profesional varias veces, con separación en el tiempo de alrededor de 30 años, por lo cual realizaré el ejemplo con dos tecnologías diferentes, una actual con la estación total y otra ultrapasada pero igual vigente o válida con la cinta métrica y un teodolito. Veamos primero la situación a resolver con la Estación Total, o con un teodolito y un EDM. Ejemplo 1.Sean dos puntos mojonados A y B de coordenadas x,y , A (4887.29 / 5196.97) y B (5544.91 / 5243.67 ) Entre los puntos A y B no hay visibilidad, por lo que no es posible ubicar un teodolito sobre cualquiera de los puntos, alinearse y replantear puntos intermedios que definen la Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


alineación recta. Por otra parte, obsérvese que aunque hubiese visibilidad, en general esos puntos están ocupados por sendos “muertos” y postes de alambrado, por lo que no será posible centrar un goniómetro arriba de dichos puntos, por lo cual en realidad sean visibles o no, la técnica que vamos a describir es la que debemos seguir en todos los casos. El operador está estacionado en el punto indicado como STA 83 con una Estación Total de coordenadas ( 5173.49 / 5057.60 ) El problema se resuelve replanteando por ejemplo dos puntos, 1 y 2 que estén sobre la alineación de AB, por lo cual lo primero a resolver es la recta que une dichos puntos. Para determinar las coordenadas de los puntos 1 y 2, para luego como vimos con el ejemplo anterior ubicar los respectivos puntos. Los puntos 1 y 2 están sobre una recta de Azimut arco tangente (TAN –1 ) de X / Y o sea (TAN –1 ) {4887.29 – 5544.91} / { 5196.97 – 5243.67} = 85º 56 Si nosotros tenemos el Az de la alineación las coordenadas parciales desde A más las coordenadas totales de A, nos darán las coordenadas respectivamente del punto 1 y 2.

Así, asumiendo que 1 y 2 estarán a 100 y 200 metros respectivamente de A, las coordenadas de 1 y 2 se calculan de la siguiente forma : Cn 85º 56 x100 + 5196.97 = 0,0708 x 100 + 5196.97 = 5204.05 (y) Sin85º 56 x 100 + 4887.29 = 0,9975 x 100 + 4887.29 = 4987.04 (x) coordenadas 1 Cn 85º 56 x200 + 5196.97 = 0,0708 x 200 + 5196.97 = 5211.13 (y) Sin85º 56 x 200 + 4887.29 = 0,9975 x 200 + 4887.29 = 5086.79 (x) coordenadas 2 Ahora el problema es similar al ejemplo del punto anterior 2.2, en el cual necesitamos saber los elementos de replanteo, es decir las polares. Es decir, tenemos que tener un ángulo de replanteo y la distancia, o sea las coordenadas polares, para replantear desde la estación 83 (STA83) visando por ejemplo el punto A , colocando el círculo de la Estación en 0º vamos a calcular las polares de replanteo de 1 y 2.Los radios polares entre el punto estación 83 y cada uno de los puntos 1 y 2 resulta del cálculo de distancia entre los mismos r1 = (5173.49 - 4987.04)2 + (5057.60 – 5204.05)2 = 237.09 m r2 = (5173.49 – 5086.79)2 + (5057.60 – 5211.08)2 = 176.28 m Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


Debemos calcular los ángulos de replanteo, partiendo desde A como referencia donde ubicaremos el 0º del teodolito, para ello los ángulos los calcularemos por diferencia de azimutes. En efecto, debemos calcular el Azimut STA – A y luego los AZ desde la STA a cada uno de los puntos, donde las diferencias nos darán los ángulos a derechas que conforman la información faltante de replanteo por coordenadas polares de los puntos 1 y 2.Entonces el Az 83-A = 295º57´52´´ El Az 83-1 = 308º08´54´´ por lo tanto, el ángulo a derechas será 12º11´02´´, de donde estacionado en el punto 83, visando a A con el círculo en cero, bisectando con el teodolito el 12º11´02´´ y con la distancia r1 , o sea 237.09 replantearemos el punto 1 . En forma similar procedemos para replantear el punto 2 con las polares, ángulo a derechas 34º32´55´´ y 176.28 m.En efecto éstas polares resultan de los siguientes cálculos, el Az 83-2 = 330º30´47´´ porque

(TAN –1 ) {5173.49 – 5086.79} / { 5057.60 – 5211.13} = - 29º 29´13´´+360 = 330º30´47´´ de donde resulta que, el ángulo a derechas de la referencia A, será igual a la diferencia de azimutes o sea 330º30´47´´ - 295º57´52´´ = 34º32´55´´ Ejemplo 2.Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


Veamos la situación similar pero resuelta en base a cinta métrica , de una manera más arcaica y en función de la herramienta de medida asequible treinta años atrás. Tengo que replantear una línea divisoria de dos padrones cuyos puntos extremos no son visibles entre si pero según plano de mensura la distancia entre mojones es de 765,45 metros y los mojones están identificados o son identificables. Por tanto para resolver el problema tengo que replantear una línea tentativa posicionado en el punto A de tal forma de pasar frente al mojón B Sea la línea tentativa la marcada en trazo discontinuo A A´, entonces debo medir la distancia A´B que es la distancia desde el mojón B y perpendicular a AA´.- Los números resultantes son AA´= 763,87 m y la distancia A´B = 26,25 m, por lo tanto el ángulo interno que debería girar a izquierdas sería el arctg 26,25/ 763,87 = 1º 58´ 05´´ Esta forma descrita considero que es la más aconsejable ya que se basa en medidas propias, de lo contrario y si quiere trabajar menos, usted se debería basar en la medida del plano del agrimensor de la escritura, y en este caso el ángulo a girar desde la posición en A sería arcsin 26,25/ 765,45 = 1º 57´ 55´´.- Como se puede comprobar la diferencia Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola


angular es de 10 segundos, la precisión angular de los teodolitos Wild T1 muy populares entre los agrimensores hasta la década del 90 era de 20 segundos, los teodolitos Kern con micrómetro óptico de la época eran de una precisión de 10 segundos, las Estaciones

Totales actuales (sigloXXI) de Obra son de 10 y las más recientes de 7 segundos. Por lo tanto, en conclusión en el ámbito rural donde la mensura legal en Uruguay es en valores coordenados enteros por lo cual usted tiene un margen de tolerancia amplio de +/0,5 metro en la determinación de un punto, esta diferencia no debería quitarle el sueño Para finalizar el proceso, usted tiene dos opciones , dependiendo si debe marcar un solo punto intermedio o más de uno para quedar suficientemente bien demarcado para el alambrador. Si se trata de un solo punto intermedio, basta girar hacia la izquierda en sentido antihorario un valor absoluto angular igual al valor hallado. De lo contrario si debe marcar más de un punto intermedio por abundancia de obstáculos, sean arbustos o zanjas, tendrá que calcular distancias C1C2 , D1D2…E1E2 para basado en sus medidas lineales, dejar marcados o replanteados en el terreno los puntos que conforman la alineación que delimita la propiedad. Así 0,0344 x ( 763,87 – 100 ) = 22,81 m C1C2 0,0344 x ( 763,87 - 200 ) = 19,38 m D1D2 0,0344 x ( 763,87 – 300 ) = 15,94 m E1E2 Por supuesto las aplicaciones de la geometría analítica no se agotan aquí, pero considero según mi experiencia que en la práctica de la Topografía Agrícola los elementos teóricos manejados son más que suficientes para resolver la mayoría de los problemas a encontrar, otras aplicaciones caen en el ámbito de las mensuras de propiedad (recurso exclusivo de Ingenieros Agrimensores) y de la práctica de construcción de carreteras, todas actividades que no son comunes a la ingeniería agrícola de suelos y aguas. A modo de conclusión, cuando ustedes trabajen o soliciten y/o contraten servicios de Topografía, deben exigir base de datos de los trabajos o que los datos básicos se mantengan en el dibujo CAD, y siempre debe aparecer en informes y dibujos de proyectos ejecutivos de obras las coordenadas de por lo menos dos puntos que me permitan situarme en el sistema coordenado del proyecto y replantear las obras allí proyectadas. Esto lo remarcamos aquí porque no es práctica común hacerlo por parte de los ingenieros

agrimensores. La exigencia de por lo menos dos puntos es un mínimo, porque es el mínimo indispensable para realizar una resección inversa para replantearse en el campo en el sistema coordenado del autor del proyecto y de los planos del mismo. Facultad de Agronomía, Departamento de Suelos y Aguas. TOPOGRAFÍA AGRICOLA Área de Ingeniería Agrícola

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Geometría y Topografia

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