GEOESTADÍSTICA(ESTIMACIÓN)-PARTIIB (INTERCADE)

92 183

Perf Pe rforació oración n de relleno para Estim Estimar ar Re Reservas servas 10 1.0 0.1 0.01 0.001 0.0001 Au ppm

60 50 40 30 20 10 0 ERR %

MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

184

Prácti rácticas cas en en Repo Report rte es Técnico - Económic conómicos os


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93 185

Buenas Práctic Prácticas as en en los l os Reportes: 

Describir el estilo estilo



Incluir protocolos de muestreo, preparación de las muestras y métodos de análisis.



Indicar la densidad del muestreo y su distribución.



Describir claramente los métodos de estimación de Recursos y Reservas.



Indicar cómo afecta afecta la variación de cut-offs cut-offs en la estimación de Recursos y Reservas.



Describir claramente los estudios técnico-económicos técnico-económicos que sustentan la conversión de Recursos en Reservas.

la naturaleza de la mineralización. mineralización.


186

Buenas Prácti Prácti cas:



Indicar el tratamiento tratamiento de altos erráticos y mostrar cómo afectan afectan las estimaciones de Recursos/Reservas.



Los reportes de Reservas deberán deberán estar acompañados acompañados de pruebas pruebas de recuperación metalúrgica; así como de los precios de los metales y sus tendencias tendencias de de variación. variación.



Se debe especificar especificar los factores de dilución. dilución.



Especificar los factores o ratios de “stripping” o soterramiento. soterramiento.



Referirse a las Reservas Reservas y Recursos como estimaciones no como cálculos.


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94 187

Discusión


188

Bolsa de Valores de Lima (BVL):



Para la BVL existen cinco categorías aceptadas de mineral: • Reserva Probada. • Reserva Probable. • Recurso Medido. • Recurso Indicado. • Recurso Inferido.



Las Personas Calificadas que realizan la estimación o que la refrendan, deben reunir las siguientes características: • Ingeniero de Minas o Ingeniero Geólogo, registrado y habilitado, es decir miembro activo del Colegio de Ingenieros del Perú (CIP). • Mínimo de cinco años de experiencia en el tipo de yacimiento o mina.


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95 189

Fuentes principales de los errores de Esti mación:

V

La Estimación de Recursos se basa en análisis de muestras ue re resentan tan sólo un diferencial de volumen comparados con los volúmenes de dv los paneles o bloques de estimación.  La cuantificación adecuada de este y otros errores; así como del riesgo y la incertidumbre, sólo es posible con el apoyo de la Geoestadística.  La calidad de la data. Cuidado al mezclar manzanas con naranjas.  Desde el inicio de la exploración se debe: • Monitorear la desviación de los taladros. • a la Geometalurgia). • Establecer mediciones sistemáticas de la densidad.  Los sistemas de QA/QC deben ser principalmente enfocados al muestreo primario, fuente principal de los errores. 


190

Los errores del muestreo: ESTRUCTURA GENERAL DE LOS ERRORES DE MUESTREO % Error relativo

Actividad

Muestreo

100 a 1,000

Transporte y almacenamiento

1 a 100

Preparación reducción

10 a 100

mecánica,

Preparación química (digestión y disolución)

5 a 20

Análisis químico

0.1 a 5

Sesgo %

Fase

1000

50

0.1 a 1

Compilado a partir de: Gy (1999:10); Gy & Francois Bongarson (1999) y Paski (2006)

Muestreo primario

Muestreo secundario Análisis químico

Según: Gy (1999:10)

Tomado de Canch aya (2010) MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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96 191

Modelo Geológic o de bloques Tomado de Canchaya (2009)

Este

Norte

Cota

% Zn

Alt

Lit

655600

8834567

4509

0.52

4

12

655675

8835772

4484

1.23

4

12

655750

8836977

4459

2.01

4

12

655825

8838182

4434

0.56

4

12

655900

8839387

4409

1.08

2

12

655975

8840592

4384

3.45

2

12

656050

8841797

4359

0.87

4

13

Litología, Tipo de alterac., , Ag.


192

Modelo Geológic o de bloques Tomado de Canchaya (2009)

Base de datos tr adicion al Este

Norte

Cota

% Zn

Alt

Lit

655600

8834567

4509

0.52

4

12

655675

8835772

4484

1.23

4

12

655750

8836977

4459

2.01

4

12

655825

8838182

4434

0.56

4

12

655900

8839387

4409

1.08

2

12

655975

8840592

4384

3.45

2

12

656050

8841797

4359

0.87

4

13

Litología, RQD, Tipo de alterac., %Zn, g/t Ag, MPa, %ARCs , %sid, granulom. , %Rec., etc.



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97 193

Modelo Geo-metalúr gico de bloques Tomado de Canchaya (2009) Base de datos tr adicional Este

Norte

Cota

655600

8834567

4509

% Zn

Alt

0.52

Lit

4

12

. 655750

8836977

4459

2.01

4

12

655825

8838182

4434

0.56

4

12

655900

8839387

4409

1.08

2

12

655975

8840592

4384

3.45

2

12

656050

8841797

4359

0.87

4

13

Litología, RQD, Ti po de alterac., %Zn, g/t Ag, MPa, %ARCs, %sid, granulom., % Rec., etc.

Base de datos Geometalúrgic a Este

Norte

Cota

% Zn

Alt

Lit

MPa

.

%ARCs

%sid

.

.

RQD

%Rec .

655675

8835772

4484

1.23

4

12

56

2.3

2.33

35

72.2

655750

8836977

4459

2.01

4

12

124

7.6

1.02

56

82.0

655825

8838182

4434

0.56

4

12

156

0.6

0.98

87

83.5

655900

8839387

4409

1.08

2

12

250

0.5

0.33

78

85.6

655975

8840592

4384

3.45

2

12

200

2.3

0.45

67

83.1

656050

8841797

4359

0.87

4

13

49

0.25

2.25

80

84.9


194

Referencias bibliográficas 

Can ch ay a S. (2008) El Modelo Geometalúrgico.- XIV Congreso Peruano de Geología y XIII Congreso Latinoamericano de Geolo ía 29Set-3Oct Lima 6 .



Canchaya S. (2010) QA/QC ¿Realidad o fantasía?.- XV Congreso Peruano de Geología; 27Set-1Oct Cuzco, 4p.



Mc Kay B. & Lamber t I. & Mis kelly N. (2008) International Harmonization of Classification and Reporting of Mineral Resources.- AusIMM Bull.; 12p.



USBM/USGS (1980) Principles of a Resource/Reserve Classification for Minerals.- U.S. Geol. Survey Circular 831; 8p.



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98 195

Coeficientes de similitud más frecuentes

al cuadrado

Distancia euclidiana

n

Distancia

−

(Xik - X jk)2

k 1

dij =

n

2

k =1

Distancia Euclidiana estandarizada StEd ij

=

n

∑ k =1

euclidiana normalizada

∑= n

=

CTd ij

Donde: sdk es la desviación estándar de todos los elementos de k

2 ⎡ ( X ik − X jk ) ⎤ ⎢ ⎥ ⎢⎣ k sd ⎦⎥

n

∑

jk ⎥ ⎢ X ik − X ⎢ SS i SS j ⎦⎥ k =1 ⎣

2

on e:

SS x =

n

∑= ( X ) xk

2

x 1 n

MMd ij

Distancia métrica Manhattan

= ∑ X ik − X jk k =1


196

…más parámetro s de similitud

Distancia promedio

n ⎜ X ik − X jk ⎞⎟ ⎟ ⎜∑ k =1 ⎠ Ad ij = ⎝

r ij =

Coeficiente de correlación lineal

Distancia chicuadrado

2

CSd ij

=

n

∑= k 1

n

cov ij si s j

( X ik − X jk ) 2 n

∑= X lk l 1

n

∑= X − X ik

Distancia diferencia de carácter medio

MCDd ij

=

jk

k 1

n n

Distancia CHORD

SEd ij

= ∑ ( X ik − X jk ) 2 k =1



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99 197

Tipos o formas de agrupamiento Métodos de partición.- Particiones matemáticas son ubicadas en regiones dispersas subdividiendo el espacio de la variable en clases discretas. No es muy usado porque se aplica iterativamente y por ello consume mucho tiempo de procesamiento. 

Mét od os d el o ri gen ar bi tr ar io.- Se establecen previamente un grupo de puntos arbitrarios de partida que vienen a ser los centroides, a partir de ellos se generan los “clusters” y se reca cu an os respec vos expan os. 


197

198

…Tipos o formas de agrupamiento Pro ced im ien to s d e s im il ar id ad m ut ua.- Se parte de una matriz n x n entre todos los pares; luego se re-calcula en forma iterativa la similaridad entre la columnas . 

jer árq ui co .- Junta las observaciones más símiles y luego las conecta a las siguientes similares y así sucesivamente. Se parte de una matriz de similitudes n x n de todas las variables; luego se recalcula matrices con las más altas similitudes y así sucesivamente hasta llegar a una matriz 2 x 2. Es el más empleado en Geología y Paleontología (Taxonomía numérica).  Ag ru pam ien to



198

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100 199

Principales formas de enlace entre Grupos o “ Clusters” 

Enlace simple.- Se conecta grupos en base la más alta similitud entre objetos y decreciendo. Este método tiene la desventaja que los objetos que se asocian al final tienen mayor influencia que los que se asocian al inicio.



Promedio no pesado o “ centroide” .- Corrige lo anterior ponderando cada cluster en forma proporcional al su número de objetos.

.. Los grupos son combinados iterativamente de manera que en cada paso se minimice la suma de los cuadrados entre los grupos . Es el de más amplio uso.


199

200

Dendograma paso a paso



200

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101 201

Matriz de similitudes 

Vamos a usar el método mas difundido: El de agrupamiento jerárquico.

 Se

parte de una matriz de similitudes n x n con todos los pares de observaciones seleccionados .

 Luego

se extrae de dicha matriz los pares con las mas altas similitudes y se re-calcula una nueva matriz promediando las similitudes de las observaciones restantes.

 Se

repite el procedimiento anterior hasta que la matriz de similitud se reduzca a una de 2 x 2.


201

202

… Matriz de simili tud

 Partimos

de una matriz: n x m m muestras analizadas

por n elementos).  Luego

se calcula el parámetro de similitud: en este

caso vamos a usar el coeficiente de correlación entre cada par de elementos n.  Los

resultados se constituyen en una matriz n x n

denominada Matriz de Similitud.



202

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102 203

Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma

Cu Pb H g As Mo Zn

1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32

0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11

0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00

As Zn Pb Hg Mo 1.0

0.5

0.0


204

Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Mo Zn

Cu Pb 1.00 0.07 0.07 1.00 0.38 0.23 0.78 -0.08 -0.06 0.14 0.32 -0.11

Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 0.42 -0.16 0.21 1.00 -1.00 0.20 0.42 -0.14 0.14 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00

Cu/As Pb Cu/As Pb Zn Hg/Mo

1.00 -0.11 0.26 0.20

Zn Hg/Mo

-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11

Cu As Zn Pb Hg Mo 1.0

0.5

0.0

0.20 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11



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103 205


Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32

Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11

Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00

Cu/As Pb Cu/As Pb Zn Hg/Mo

Cu As Pb Hg Mo 1.0

Zn Hg/Mo

0.5

0.0

1.00 -0.11 0.26 0.20 -0.11 1.00 -0.11 0.27 0.26 -0.11 1.00 -0.11 0.20 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11

(0.16+0.06)/2 = -0.11


206


Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 -0.06 0.32

Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 0.14 -0.11

Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 0.23 0.14 0.08 -0.11 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00

Cu/As Pb . Pb -0.11 Zn 0.26 Hg/Mo 0.20

Zn Hg/Mo

Cu As n Pb Hg Mo 1.0

- . . . 1.00 -0.11 0.27 -0.11 1.00 -0.11 0.27 -0.11 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11

0.5

0.0

(0.32+0.20)/2 = 0.26 (0.16+0.06)/2 = -0.11



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104 207

Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu H g As Mo Zn

Cu Pb 1.00 0.07 . . 0.38 0.23 0.78 -0.08 -0.06 0.14 0.32 -0.11

Hg As Mo Zn 0.38 -0.78 -0.06 0.32 . . - . 0.14 1.00 0.21 -0.42 -0.16 0.21 1.00 0.14 0.20 0.42 -0.14 1.00 -0.06 -0.16 0.20 -0.06 1.00

Cu/As Pb Cu As Pb Zn Hg/Mo

1.00 -0.11 0.26 0.20


Zn Hg/Mo

-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11

0.5

0.20 0.27 -0.11 1.00

(0.21+0.14)/2 = 0.18

(0.07+0.14)/2 = -0.11

(0.16+0.06)/2 = -0.11

0.0

0.40/2

(0.38+0.06)/2 = 0.22 (0.32+0.20)/2 = 0.26


208

Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb Hg Mo Zn

Cu 1.00 0.07 0.38 . -0.06 0.32

Pb Hg As 0.07 0.38 0.78 1.00 0.23 -0.14 0.23 1.00 0.21 - . . . 0.08 0.42 -0.14 -0.11 -0.16 0.20

Cu/As

Pb

Mo Zn -0.06 0.32 0.08 -0.11 0.42 -0.16 - . . 1.00 -0.06 -0.06 1.00

Zn H g/Mo

Cu/As 1.00 -0.11 0.26 Pb -0.11 1.00 -0.11 n . - . . Hg/Mo 0.20 0.27 -0.11


0.20 0.27 - . 1.00 (0.07+0.14)/2 = -0.11

Cu/As/Zn

Hg/Mo/Pb

Cu/As/Zn

1.00

-0.11

Hg/Mo/Pb

-0.11

1.00

0.5

0.0

0.40/2 0.38+0.06 /2 = 0.22

(0.21+0.14)/2 = 0.18

(0.32+0.20)/2 = 0.26 (0.16+0.06)/2 = -0.11



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105 209

Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma Cu Pb H g As Zn

Cu 1.00 0.07 0.38 0.78 - . 0.32

Pb 0.07 1.00 0.23 -0.08 . -0.11

Hg As 0.38 0.78 0.23 -0.21 1.00 0.14 0.21 1.00 . - . -0.16 0.20

Cu/As Pb Cu/As 1.00 Pb -0.11 Zn 0.26 Hg/Mo 0.20

Mo Zn -0.06 0.32 0.08 -0.11 -0.42 -0.16 0.14 0.20 . - . -0.06 1.00

Cu As Zn Pb Mo 1.0

Zn Hg/Mo

-0.11 0.26 1.00 -0.11 -0.11 1.00 0.27 -0.11

0.20 0.27 -0.11 1.00

0.0

0.40/2 (0.38+0.06)/2 = 0.22 (0.21+0.14)/2 = 0.18

(0.32+0.20)/2 = 0.26

(0.07+0.14)/2 = -0.11

Cu/As/Zn

0.5

(0.16+0.06)/2 = -0.11

Hg/Mo/Pb

Cu/As/Zn

1.00

-0.11

Hg/Mo/Pb

-0.11

1.00


210

Otro ejemplo: Análisis modal granulométrico de una grauwaca Muestra

Poros

Cuarzo

Fragmentos Feldespato líticos

A

0.24

1.78

0.69

3.32

B

0.48

2.07

2.41

4.78

C

0.76

4.05

1.20

3.21

D

0.23

2.98

0.85

2.06

E

0.04

3.33

3.39

2.63

F

1.98

0.98

2.01

2.02

Análisis modal realizado en secciones delgadas con microscopio óptico



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106 211

Otro ejemplo: Cálculo de matrices de similitud y ploteo del dendograma A

B

C

0.911 0.767

D

E

0.704

0.440

-0.107 0.168 -0.719

D

0.665

-0.767

C

1.00

-0.388

B

-0.388

1.00

A

1.00

B

0.911

1.00

C

0.767

0.539

0.539 0.499 0.570 1.00 0.991 0.587

D

0.704

0.499

0.991

1.00

E

0.440

0.570

0.587

0.665

F

-0.107

0.168 -0.719 -0.767

F

F E

A .

.

- .

.


212


B

C

D

A

1.00 0.911 0.767

B

.

1.00

E

0.704

F

F

0.440 -0.107

E

C

0.767

0.539

0.539 0.499 0.570 0.168 1.00 0.991 0.587 -0.719

D

0.704

0.499

0.991

1.00

-0.767

C

E

0.440

0.570

0.587

0.665 0.665 1.00

-0.388

B

F

-0.107

1.00

A

0.168 -0.719 -0.767 -0.388

AB

CD

E

F

AB

1.00 . 0.394 .

0.505 .

0.031 .

CD

0.394

1.00

0.626

-0.743

E

0.505

0.626

1.00

-0.388

F

0.031 -0.743 -0.388

1.00

D

0.5

1.0

.

.

0.0

-0.5

= .

(0.719+0.767)/2 = -0.743



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107


B

C

D

E

F

0.911 0.767

0.704

0.440

-0.107

0.570

F

A

1.00

B

0.911

1.00

0.539

0.499

C

0.767

0.539

1.00

0.991 0.587

0.168 -0.719

D

0.704

0.499 0.991

1.00

0.665

-0.767

C

E

0.440

0.570

0.665

1.00

-0.388

B

F

-0.107

0.168

-0.388

1.00

0.587

-0.719 -0.767

CD

AB

E

AB

1.00

CD

0.394 1.00 .

AB

.

0.0

-0.5

(0.719+0.767)/2 = -0.743

1.00 F

0.450 0.031

CDE 0.450 F

0.5

(0.587+0.665)/2 = 0.626

- .

CDE

1.00

A

0.626 -0.743

.

AB

D

1.0

0.031

0.031 -0.743 -0.388

F

E

F

0.394 0.505

213

0.031

1.00

-0.566

-0.566

1.00



B

C

D

E

F

0.911 0 .76 7

0.7 04

0.4 40

-0.107

0.499

0.570

0.168

0.991 0.587

-0.719

D

F

A

1.00

B

0.911

1.00

0.539

C

0.767

0.539

1.00

D

0.704

0.499 0.991

1.00

0.665

-0.767

C

E

0.440

0.570

0.587

0.665

1.00

-0.388

B

F

-0.107

0.168

-0.719

-0.767

-0.388

1.00

CD

AB

E

AB

1.00

CD

0.394 1.00 .

F

1.0

0.031

.

0. 5

0.0

-0.5

(0.587+0.665)/2 = 0.626

- .

-0.743 -0.388 AB

A

0.626 -0.743

.

0.031

E

F

0.394 0.505

214

CDE

(0.719+0.767)/2 = -0.743

1.00 F

AB

1.00

0.450 0.031

CDE

0.450

1.00

-0.566

F

0.031

-0.566

1.00

ABCDE ABCDE F

1.00

F -0.268

-0.268 1.00



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108 215

Resumen del proc edimiento 

Hemos utilizado el coeficiente de correlación lineal similitud.



Se parte de una matriz de similitudes n x n con todos los pares de observaciones seleccionados .



Luego se extrae de dicha matriz los pares con las mas altas similitudes las cuales se enlazan primero; luego similitudes de las observaciones restantes.



Se repite el procedimiento anterior hasta que la matriz de similitud se reduzca a una de 2 x 2.


215

216

Secciones Longitudinales Contorneadas Estructurales



216

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109 217

Más ejemplos de Análisis de Grupos


218

Sistemas estructurales frecuentes

Torsión de una estructur a

caballo

Sistema “ pull apart”



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110 219

Ejemplos de: SLC de contornos estructurales


219

220

Ejemplos de engrosamiento de estr ucturas

Tomado de Muñoz & Fontbote (1995) MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


220

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111 221

SLC de % Zn


221

222

SLC Especiales

Cabos (1974) MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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112 223

SLC Especiales

Lacy (1947): Vetas Mina Casapalca MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade

223

224

Análisis Discriminante



224

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113 225

Análisis discriminante 

Prácticamente es lo contrario de agrupar o formar clusters. on e an s s scr m nan e se ra a e separar grupos de datos en sub-grupos, en base a una adecuada disposición relativa de sus principales características, previamente conocidas.

 De

lo que se trata es de encontrar un eje a lo largo del cual los dos sub-grupos de datos se llegan a separar lo m s c aramen e pos e.

 A

lo largo de dicho eje se plotea, no sólo las medias de cada sub-grupo; sino además el índice de discriminación: R0


225

226

Ejemplo de análisi s discrimi nante: Grupo A Ar enas de la a

φ 0.333 0.340 0.338 0.333 0.323 0.327 0.329 0.331 0.336 0.333

Grupo B Ar enas mar adentro

CS 1.08 1.08 1.09 1.10 1.13 1.12 1.13 1.13 1.12 1.14

φ 0.339 0.346 0.350 0.352 0.341 0.347 0.337 0.343 0.340 0.346

CS 1.12 1.12 1.12 1.13 1.15 1.15 1.16 1.16 1.17 1.17



CS: Coeficiente de clasificación



φ : Diámetro promedio de los granos

Vista parcial de la data usada en el ejemplo MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


226

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114 227

Diagrama esquemático mos trando proyecciones de sobre lapamiento y discriminación Se muestra gráficamente las nubes de correlación de dos sub-grupos A y B que en sus proyecciones en los ejes Y y X se sobrelapan; mientras que en un eje “diagonal” se DISCRIMINAN bastante en. La línea de proyección se denomina: línea de la función discriminante.

227


228

Representación gráfica Gráfico de discriminación 0.355

Zona

0.350

bsands

o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325

Osands

0.320

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

Coef de selecc



228

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115 229


Zona

0.350

bsands

o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325

Osands

0.320

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

Coef de selecc

229


230


Zona

0.350

bsands

o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325

Osands

0.320

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

Coef de selecc



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116 231

Representaci ón gráfica Gráfico de discriminación 0.355

Zona

0.350

bsands

o n 0.345 a r g 0.340 e d o 0.335 ñ a 0.330 m a T 0.325

Osands

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1.10

1.15

1.20

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1.30

Coef de selecc

R A = - 346.64; RB = - 357.81; Ro = - 352.22 MSc. Samuel Canchaya Moya - [email protected] - Consultor Intercade


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GEOESTADÍSTICA(ESTIMACIÓN)-PARTIIB (INTERCADE)

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