< r >= : dt m
(124)
52 S¼ a calcul¼ am viteza de varia¸tie a lui < px > Z Z d d @ < px >= i~ dv = i~ dt dt @x
@ @ dv + @x @t
Z
@ @ dv @t @x
Folosindu-ne, din nou, de ecua¸tia Schrödinger ¸si de forma sa complex conjugat¼ a, ob¸tinem Z Z @ ~2 2 @ ~2 2 d < px >= r +V dv + r +V dv = dt @x 2m 2m @x Z Z ~2 @ @ @ 2@ 2 = r (r ) dv (V ) V dv: 2m @x @x @x @x Vom folosi cea de a doua identitate Green Z Z 2 2 [f (r g) g(r f )]dv = [f rg V
grf ]ds
S
prima integral¼ a se anuleaz¼ a pe suprafa¸ta de la in…nit unde func¸tia la zero, iar cea de a doua integral¼ a ne d¼ a Z Z @V @ @ @V (V ) V dv = dv = @x @x @x @x astfel încât
d < px >= dt sau, în cazul tridimensional
tinde
@V @x
d < p >= hrV i : (125) dt Vedem imediat c¼ a dac¼ a ‡uctua¸tiile sunt neglijabile m¼ arimile < p >, < r > ¸si h rV i reprezint¼ a tocmai vectorii de pozi¸tie r , impuls p, ¸si for¸ta¼ F din mecanica clasic¼ a, iar expresiile (124) ¸si (125) trec în analogul lor clasic p dr = dt m
¸si
dp = dt
rV:
2.9 Ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a. St¼ ari sta¸tionare Am v¼ azut c¼ a ecua¸tia Schrödinger (110) con¸tine derivate par¸tiale de ordinul întâi în raport cu timpul ¸si de ordinul al doilea în raport cu coordonatele
53 x, y, z. De asemenea ea depinde explicit de poten¸tialul V (r; t), de…nit de la un sistem …zic la altul. În plus, rezolvarea sa trebuie s¼ a ¸tin¼ a seama atât de constrângeri de ordin matematic, dar ¸si de ordin …zic (de exemplu, solu¸tia s¼ a …e integrabil¼ a în modul p¼ atrat). Din toate aceste motive a‡area unei solu¸tii analitice a ecua¸tiei Schrödinger constituie o problem¼ a foarte di…cil¼ a, adesea de nerezolvat! În decursul timpului s-au inventat diverse metode de rezolvare aproximativ¼ a a acestei ecua¸tii, iar în ultimul timp se apeleaz¼ a tot mai des la rezolv¼ ari numerice, pro…tându-se de puterea de calcul tot mai mare. Desigur, mecanica cuantic¼ a n-ar … avut un succes atât de r¼ asun¼ ator dac¼ a nu s-ar … g¼ asit solu¸tii analitice în cazul câtorva sisteme …zice interesante. O tehnic¼ a standard folosit¼ a la rezolvarea ecua¸tiilor cu derivate par¸tiale const¼ a în scrierea solu¸tiei ca un produs de func¸tii dintre care cel pu¸tin una, dac¼ a nu …ecare, s¼ a depind¼ a de o singur¼ a variabil¼ a. De exemplu, în cazul ecua¸tiei Schrödinger unidimensionale @ (x; t) ~2 @ 2 (x; t) + V (x; t) (x; t) = i~ 2 2m @x @t încerc¼ am scrierea func¸tiei de und¼ a sub forma (x; t) = (x)'(t):
(126)
S¼ a not¼ am c¼ a acest lucru este posibil întotdeauna, cu condi¸tia ca energia poten¸tial¼a s¼a nu depind¼a explicit de t Adic¼ a V (x; t) V (x): Într-adev¼ ar, introducând forma (126) în ecua¸tia Schrödinger, ob¸tinem ~2 @ 2 (x)'(t) @ (x)'(t) + V (x) (x)'(t) = i~ : 2 2m @x @t Dar
@ 2 (x)'(t) @ 2 (x) d2 (x) = '(t) = '(t) ; @x2 @x2 dx2 unde s-a trecut de la @ 2 =@x2 la d2 =dx2 deoarece (x) nu depinde decât de x. Similar @ (x)'(t) @'(t) d'(t) = (x) = (x) : @t @t dt Atunci, avem ~2 d2 (x) d'(t) '(t) + V (x) (x)'(t) = i~ (x) : 2m dx2 dt
(127)
În situa¸tiile, adic¼ a pentru valorile x sau t, în care (x) sau '(t) se anuleaz¼ a, se vede c¼ a rela¸tia (127) este identic nul¼ a. Limitându-ne numai la domeniile
54 în x ¸si t pentru care (x)'(t) este diferit de zero, s¼ a împ¼ ar¸tim rela¸tia (127) cu acest produs, ob¸tinând 1 (x)
~2 d2 (x) 1 d'(t) : + V (x) (x) = i~ 2 2m dx '(t) dt
(128)
Întrucât energia poten¸tial¼a nu depinde de t, în membrul stâng al rela¸tiei (128) se a‡a¼ o func¸tie ce poate depinde numai de x, iar în membrul drept o func¸tie de t. Cum acest lucru se întâmpl¼ a pentru orice alegere arbitrar¼ a a variabilelor x ¸si t (exceptând desigur solu¸tiile ecua¸tiilor (x) = 0 ¸si '(t) = 0) …ecare membru nu poate … decât o constant¼ a. S¼ a not¼ am cu G aceast¼ a constant¼ a comun¼ a. Atunci ~2 d2 (x) + V (x) (x) = G 2m dx2
1 (x)
(129)
¸si i~
1 d'(t) = G: '(t) dt
(130)
G este constanta de separare. Vedem, deci, c¼ a în locul unei singure ecua¸tii cu derivate par¸tiale pentru o func¸tie de dou¼ a variabile independente, x, ¸si t, se ob¸tine o pereche de ecua¸tii diferen¸tiale ordinare, câte una pentru …ecare coordonat¼ a. Aceste dou¼ a ecua¸tii sunt cuplate în sensul c¼ a amândou¼ a con¸tin aceea¸si constant¼ a de separare, G. Ecua¸tia (130) se poate rezolva imediat, rescriind-o sub forma iG d'(t) = '(t): (131) dt ~ Pân¼ a la un factor multiplicativ, solu¸tia (131) este '(t) = e
i Gt ~
:
Reamintindu-ne c¼ a pentru particula liber¼ a am scris func¸tia de und¼ a sub forma i
(x; t) = e ~ (px
Et)
i
= e ~ px e
i Et ~
= (t)'(x)
se vede imediat c¼ a G joac¼ a rolul energiei E. Trecând atunci la ecua¸tia (129), avem ~2 d2 (x) + V (x) (x) = E (x); 2m dx2
(132)
func¸tia de und¼ a total¼ a …ind (x; t) = (x)e
i Et ~
:
(133)
55 i
În particular, dac¼ a V (x) = V0 (particula liber¼ a) putem veri…ca c¼ a (x) = e ~ px este o solu¸tie a ecua¸tiei (132) conducând la binecunoscuta rela¸tie E=
p2 + V0 : 2m
Ecua¸tia (132) ne conduce, deci, la energia E a sistemului. Ea se nume¸ste ecua¸tia Scrödinger independent¼ a de timp (atemporal¼ a). S¼ a observ¼ am c¼ a ea se mai poate scrie sub forma (134)
H (x) = E (x) 2
2
~ d +V (x) ¸si nu depinde de t. Astfel scris¼ a ecua¸tia Schrödinger unde H = 2m dx2 atemporal¼ a este o ecua¸tie cu func¸tii ¸si valori proprii. În general, putem avea mai multe valori proprii E ¸si pentru …ecare valoare proprie una sau mai multe func¸tii proprii. Dac¼ a H nu depinde de timp ¸si dac¼ a înmul¸tim ambii i Et ~ , egalitatea (134) membri ai rela¸tiei (134) cu func¸tia temporal¼ a '(t) = e se p¼ astreaz¼ a i i H (x)e ~ Et = E (x)e ~ Et ;
sau H (x; t) = E (x; t):
(135)
De¸si, din punct de vedere matematic ecua¸tia (135) nu este diferit¼ a de ecua¸tia (134), din punct de vedere …zic ea ne aduce ni¸ste clari…c¼ ari esen¸tiale. Întradev¼ ar, am ar¼ atat c¼ a dac¼ a func¸tia de und¼ a a unui sistem este func¸tie proprie pentru un operator liniar ¸si hermitic ce corespunde unei m¼ arimi dinamice, atunci orice m¼ asur¼ a efectuat¼ a asupra sistemului conduce la o valoare bine precizat¼ a a acelei m¼ arimi. În cazul nostru o-peratorul hamiltonian este asociat energiei particulei ¸si, deci, o m¼ asurare efectuat¼ a asupra energiei sistemului ne va da valoarea bine de…nit¼ a E. Merit¼ a s¼ a reamintim faptul c¼ a rela¸tia (135) este valabil¼ a numai dac¼ a operatorul H nu depinde explicit de timp – în caz contrar ac¸tiunea lui H asupra func¸tiei de und¼ a nu ne d¼ a E (x; t) ci d (x;t) a hamiltonianul nu depinde explicit de timp sistemul se i~ dt . Deci, dac¼ a‡a¼ într-o stare de energie E bine precizat¼ a. Recunoa¸stem aici aceea¸si lege de conservare a energiei valabil¼ a ¸si în mecanica clasic¼ a. Aceste st¼ ari de energie bine determinat¼ a se numesc ¸si st¼ari sta¸tionare. S¼ a calcul¼ am densitatea de probabilitate într-un astfel de caz P (x; t)dx = j (x; t)j2 dx =
i
i Et ~
(x) (x)dx = j (x)j2 dx (136) ¸si nu depinde de t. Cu alte cuvinte, probabilitatea de a a‡a particula într-o anumit¼ a pozi¸tie între x ¸si x + dx depinde numai de x, nu ¸si de timpul la care (x)e ~ Et (x)e
dx =
56 se execut¼ a procesul m¼ asur¼ arii. Vedem, deci, c¼ a denumirea de stare sta¸tionar¼ a este cât se poate de adecvat¼ a. Tot ceea ce a fost discutat pân¼ a acum în leg¼ atur¼ a cu mi¸scarea unidimensional¼ a, se poate transpune ¸si în cazul mi¸sc¼ arii în spa¸tiul tridimensional. Astfel, (r;t) =
(r)'(t)
'(t) = e
i Et ~
;
iar H(r; i~r) (r) = E (r) sau
~2 2 r (r) + V (r) (r) = E (r) (137) 2m este ecua¸tia cu func¸tii ¸si valori proprii a energiei. De remarcat c¼ a ecua¸tia (137) continu¼ a s¼ a r¼ amân¼ a o ecua¸tie cu derivate par¸tiale (@ 2 =@x2 ; @ 2 =@y 2 ; @ 2 =@z 2 ) dar, pentru anumite forme particulare ale lui V (r) ¸si func¸tia (r) se poate scrie ca un produs de func¸tii numai de o singur¼ a variabil¼ a.
2.10 Cuanti…carea energiei Pân¼ a acum nu am spus în nici un fel cum poate … rezolvat¼ a ecua¸tia Schrödinger independent¼ a de timp. Vom discuta acest lucru în cele ce urmeaz¼ a ¸si vom vedea cum apare cuanti…carea energiei în mod natural atunci când se rezolv¼ a ecua¸tia Schrödinger. În leg¼ atur¼ a cu ecua¸tia Schrödinger dependent¼ a de timp am stabilit ni¸ste criterii, atât matematice cât ¸si …zice, pe care trebuie s¼ a le îndeplineasc¼ a func¸tia de und¼ a (r;t) - în cazul unidimensional. Acelea¸si criterii, tot în cazul unidimensional (dar extinderea la cazul tridimensional se poate face în mod automat, necomportând nici o discu¸tie suplimentar¼ a) se aplic¼ a ¸si func¸tiei de und¼ a (x) sau derivatei sale d (x)=dx (x) trebuie s¼ a …e …nit¼ a (mai precis integrabil¼ a în modul p¼ atrat). (x) trebuie s¼ a …e univalent¼ a. (x) trebuie s¼ a …e continu¼ a.
d (x) dx d (x) dx d (x) dx
trebuie s¼ a …e …nit¼ a.
trebuie s¼ a …e univalent¼ a. trebuie s¼ a …e continu¼ a.
57 În Fig.2.2 prezent¼ am cazuri în care una din cele trei condi¸tii nu este îndeplinit¼ a
Fig.2.2 Trebuie s¼ a subliniem faptul c¼ a dintre toate solu¸tiile posibile ale ecua¸tiei dife-ren¸tiale trebuie s¼ a le alegem numai pe acelea care îndeplinesc cerin¸tele de mai sus. De multe ori solu¸tiile acceptabile …zic, adic¼ a …nite sau univalente, nici nu exist¼ a pentru orice valoare a parametrului E (sau al altor variabile dinamice) fapt ce conduce la cuanti…carea energiei (sau a momentului cinetic, de exemplu). Este un fapt demn de men¸tionat c¼ a nu exist¼ a o singur¼ a ecua¸tie Schrödinger independent¼ a de timp ci, pentru …ecare sistem …zic, câte o ecua¸tie Schrödinger determinat¼ a de forma concret¼ a a poten¸tialului V (x). În mod riguros nu putem analiza solu¸tiile ecua¸tiei Schrödinger pân¼ a nu cunoa¸stem exact poten¸tialul V (x). Totu¸si, se poate face o analiz¼ a calitativ¼ a foarte instructiv¼ a considerând un poten¸tial V (x) tipic, cum ar … acela dintre doi atomi identici lega¸ti într-o molecul¼ a biatomic¼ a. (Fig.2.3)
58
Fig.2.3
Fig.2.4 În acest caz coordonata x reprezint¼ a distan¸ta între centrele celor doi atomi, iar minimul lui V (x) are loc la distan¸ta de echilibru, acolo unde for¸ta care ac¸tioneaz¼ a asupra …ec¼ arui atom F = dV (x)=dx se anuleaz¼ a. La distan¸te mai mici decât cea de echilibru apare o for¸ta¼ de repulsie care împiedic¼ a
59 atomii s¼ a se apropie foarte mult unul de altul. Invers, în cazul cre¸sterii distan¸tei de separare fa¸ta¼ de valoarea de echilibru apare o for¸ta¼ atractiv¼ a care îns¼ a scade la zero dac¼ a se dep¼ a¸se¸ste distan¸ta de disociere întrucât molecula se rupe iar atomii nu mai interac¸tioneaz¼ a. Cum în ecua¸tia Schrödinger energia E ocup¼ a o pozi¸tie crucial¼ a, nu putem face o discu¸tie a solu¸tiilor dac¼ a nu ne …x¼ am valoarea energiei totale (bine determinate) E în raport cu energia poten¸tial¼ a V (x). Vom analiza cazul din Fig.2.4. Cu alegerea f¼ acut¼ a, sistemul de atomi este legat, distan¸ta de separare putând lua valori între x0 ¸si x00 . S¼ a rescriem ecua¸tia Schrödinger sub forma 2m d2 (x) = 2 [V (x) 2 dx ~
E] (x)
(138)
unde 2m > 0. Ecua¸tia (138) ne d¼ a valoarea derivatei de ordinul al doilea ~2 în func¸tie de diferen¸ta V (x) E ¸si de valoarea lui (x). Dup¼ a cum se ¸stie, analiza gra…cului lui (x) se poate face în func¸tie de semnul derivatei 2 de ordinul al doilea ¸si anume: dac¼ a ddx2 > 0 func¸tia este concav¼ a iar dac¼ a d2 d2 < 0 func¸tia este convex¼ a (concav¼ a în jos). Semnul lui dx2 va depinde dx2 atât de semnul lui V (x) E cât ¸si de semnul lui (x). Ecua¸tia Schrödinger independent¼ a de timp nu mai con¸tine num¼ arul imaginar i ¸si întotdeauna putem g¼ asi solu¸tii ale ei care s¼ a …e func¸tii reale. Semnul lui V (x) E este pozitiv pentru x < x0 ¸si x > x00 ¸si negativ pentru x0 < x < x00 . În func¸tie ¸si de semnul lui (x) putem avea ¸sase variante care sunt reprezentate în Fig.2.5.
Fig.2.5
60 Pentru o anumit¼ a form¼ a a energiei poten¸tiale V (x), ecua¸tia diferen¸tial¼ a 2 2 ne d¼ a o rela¸tie între d =dx ¸si care determin¼ a comportarea general¼a a lui . Dac¼ a …x¼ am o anumit¼ a valoare a lui ¸si a derivatei sale d =dx pentru o anumit¼ a valoare a lui x atunci comportarea particular¼a (speci…c¼ a) a lui este determinat¼ a pentru orice valoare a lui x. În Fig.2.6 sunt prezentate comport¼ arile func¸tiei pentru trei alegeri ale lui ¸si d =dx într-un anumit punct x0 din regiunea a doua (x0 < x0 < x00 ).
Fig.2.6 Alegerea f¼ acut¼ a este (x0 ) > 0, atunci între x0 ¸si x00 func¸tia este convex¼ a ¸si se va îndrepta în jos pân¼ a când x = x00 . Pentru x > x00 ¸si V (x) E > (x00 ) 0; func¸tia trebuie s¼ a devin¼ a concav¼ a. În func¸tie de derivata d dx putem distinge trei cazuri. Un caz ar … acela în care concavitatea este su…cient de mare încât s¼ a opreasc¼ a descre¸sterea lui (x) înainte ca ea s¼ a se anuleze ¸si apoi s¼ a creasc¼ a valoarea lui (x) nem¼ arginit. O astfel de solu¸tie nu va … …nit¼ a pentru x ! 1 ¸si, deci, nu poate … acceptat¼ a …zic (vezi curba 1). Un alt caz ar … acela în care datorit¼ a pantei mari a lui (x0 ), concavitatea nu este su…cient de mare pentru ca func¸tia s¼ a creasc¼ a înainte ca ea s¼ a se anuleze. În momentul anul¼ arii, îns¼ a, schimb¼ a semnul ¸si func¸tia devine convex¼ a, având drept rezultat ca ea va tinde spre 1 când x ! 1 (vezi curba 2). S ¸i acest rezultat este inacceptabil …zic. Ar mai putea … o ultim¼ a variant¼ a, aceea în care pentru o concavitate anume potrivit¼ a func¸tia s¼ a tind¼ a asimptotic spre
61 zero (vezi curba 3). O astfel de solu¸tie se comport¼ a bine la x ! 1 ¸si poate … acceptat¼ a. Este clar îns¼ a c¼ a astfel de solu¸tii vor depinde de alegerile speciale (x0 ) ale pantelor în punctul x0 , adic¼ a de d dx . Cum se va comporta func¸tia (x) în zona x < x0 ? O analiz¼ a similar¼ a ne arat¼ a c¼ a nu am avea în general solu¸tii …nite decât dac¼ a, iar¼ a¸si, alegem special valoarea derivatei în x0 . Nimic nu ne indrept¼ a¸te¸ste, în general, s¼ a credem c¼ a cele dou¼ a alegeri ale derivatei în x0 vor coincide. Am putea considera în x0 , s¼ a zicem, o derivat¼ a la dreapta ¸si una la stânga, d (x) a în x0 . Altfel diferite între ele, dar atunci func¸tia dx nu ar mai … continu¼ spus, în general, nu vom avea solu¸tii acceptabile …zic. Este îns¼ a posibil ca în mod special, ¸si anume pentru anumite valori ale energiei E, s¼ a se poat¼ a alege o derivat¼ a unic¼ a în x0 astfel încât func¸tia s¼ a …e …nit¼ a atât pentru x ! 1 cât ¸si pentru x ! 0. Pentru anumite forme ale poten¸tialului V (x) este posibil s¼ a nu se g¼ aseasc¼ a decât o singur¼a valoare E pentru care ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a are solu¸tie. Spunem atunci c¼ a admite o singur¼ a valoare proprie ¸si o singur¼ a func¸tie proprie. Un exemplu notabil în acest sens îl constituie deuteronul, adic¼ a starea legat¼ a dintre un proton ¸si un neutron ce constituie nucleul de deuteriu. În alte cazuri se pot g¼ asi mai multe valori permise ale energiei, E1 ; E2 ; E3 ; ::: în num¼ ar …nit sau in…nit, dar num¼ arabil, pentru care avem solu¸tii acceptabile …zic 1 ; 2 ; 3 ; ::. S¼ a ne reamintim c¼ a ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a (137) se poate scrie sub forma H =E unde
~2 d2 + V (x) 2m dx2 este operatorul hamiltonian asociat energiei totale. Pentru valorile proprii E1 ; E2 ; E3 ; :: putem scrie H=
H
i (x)
= Ei i (x):
(139)
pentru …ecare Ei , func¸tia de und¼ a va … i (x; t)
=
i (x)e
i Et ~ i
(140)
¸si se vede imediat c¼ a Hi
i (x; t)
= Ei
i (x; t);
(141)
adic¼ a func¸tia de und¼a i este func¸tie proprie pentru operatorul energie. Cum am mai discutat, atunci sistemul se va g¼ asi în starea cu energia Ei bine determinat¼ a, orice m¼ asurare efectuat¼ a asupra sistemului va da cu certitudine valoarea Ei . Pe de alt¼ a parte, principiul superpozi¸tiei ne permite s¼ a construim
62 func¸tii de und¼ a care sunt combina¸tii liniare de alte func¸tii de und¼ a. De exemplu, s¼ a consider¼ am func¸tiile de und¼ a i (x; t)
=
i (x)e
j (x; t)
=
j (x)e
¸si
i Et ~ i
i E t ~ j
:
Fie (x; t) = ci
i (x; t)
+ cj
(142)
j (x; t);
se veri…c¼ a i~
@ @ (x; t) = ci i (x) i~ e @t @t = ci Ei i (x)e
i Et ~ i
i Et ~ i
+ cj
+ cj Ej
j (x)
j (x)e
i~
i E t ~ j
@ e @t
i E t ~ j
= (143)
:
Dar H (x; t) = ci H
i (x)e
= ci Ei i (x)e
i Et ~ i i Et ~ i
+ cj H + cj Ej
j (x)e j (x)e
i E t ~ j
=
i E t ~ j
:
(144)
Comparând (143) cu (143) vedem c¼ a (x; t) este ¸si ea o func¸tie de und¼ a. Îns¼ a, H (x; t) = ci Ei i (x; t) + cj Ej j (x; t) 6= E (x; t); (145) adic¼ a nu este func¸tie proprie pentru H. În acest caz nu mai putem spune c¼ a sistemul se a‡a¼ precis în starea cu Ei , sau cu Ej sau, poate, starea cu Ei + Ej , etc. S¼ a calcul¼ am valoarea medie a energiei, adic¼ a Z (x; t)H (x; t)dx Z i i i i = (ci i (x)e ~ Ei t + cj j (x)e ~ Ej t )H(ci i (x)e ~ Ei t + cj j (x)e ~ Ej t )dx Z Z i 2 2 = jci j j i (x)j Ei dx + ci cj i (x)Ej j (x)e ~ (Ej Ei )t dx + (146) Z Z i 2 (Ej Ei )t ~ + cj ci Ei j (x) i (x)e dx + jcj j2 Ej j (x) dx: Vom demonstra mai târziu c¼ a func¸tiile proprii ce corespund unor valori proprii distincte sunt ortogonale; adic¼ a, dac¼ a Ei 6= Ej , atunci Z Z (147) i (x) j (x)dx = j (x) i (x)dx = 0
63 iar
Z
j i (x)j2 dx = 1
(148)
printr-o normare corespunz¼ atoare. Atunci < E >= jci j2 Ei + jcj j2 Ej : Dac¼ a vrem ca ¸si func¸tia
(149)
(x; t) s¼ a …e normat¼ a, atunci avem rela¸tia jci j2 + jcj j2 = 1:
(150)
Putem interpreta coe…cien¸tii jci j2 ¸si jcj j2 ca probabilit¼ a¸tile de a g¼ asi una din valorile Ei sau Ej . Analiza prezentat¼ a mai înainte se poate generaliza u¸sor. Se poate demonstra c¼ a solu¸tiile func¸tii proprii ale unui operator hermitic formeaz¼ a un sistem complet; altfel spus, orice func¸tie cu propriet¼ a¸ti ”rezonabile” (¸si func¸tiile de und¼ a au astfel de propriet¼ a¸ti) se poate dezvolta dup¼ a setul complet de func¸tii proprii X ak (t) k (x): (151) (x; t) = k
Atunci, valoarea medie a energiei va … X < E >= Ek jak (t)j2 :
(152)
k
În exemplul anterior am considerat doar doi coe…cien¸ti ak (t) diferi¸ti de zero, i i ¸si anume: ai (t) = ci e ~ Ei t ¸si aj (t) = cj e ~ Ej t : F¼ ar¼ a a cunoa¸ste exact energia poten¸tial¼ a V (x) nu putem cunoa¸ste valorile numerice ale energiei Ei . Se poate face îns¼ a o leg¼ atur¼ a calitativ¼ a între ordonarea valorilor proprii ale energiei E1 < E2 < E3 ::: ¸si num¼ arul de noduri (zerouri) ale func¸tiilor proprii 1 (x); 2 (x); 3 (x); ::. În Fig.2.7 sunt prezentate trei astfel de func¸tii, toate trecând prin acela¸si punct (x0 ; i (x0 )), dar având pante diferite în x0 : Dup¼ a cum se poate vede în …gur¼ a d
3 (x)
dx
>
d
2 (x)
dx
>
d
1 (x)
dx
(153)
;
iar varia¸tia pantei în punctul x0 se va a‡a în aceea¸si rela¸tie de inegalitate, ¸si anume d2 3 (x) d2 2 (x) d2 1 (x) > > : (154) dx2 dx2 dx2 Folosind îns¼ a ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a, observ¼ am c¼ a jV (x0 )
E3 j > jV (x0 )
E2 j > jV (x0 )
E1 j :
(155)
64 Deoarece x0 se a‡a¼ în regiunea în care V (x0 ) E3 > E2 > E1 :
E) < 0, rezult¼ a (156)
În …gur¼ a se vede c¼ a 1 (x) nu are nici un zero, 2 (x) intersecteaz¼ a o singur¼ a dat¼ a axa Ox, iar 3 (x) are dou¼ a intersec¸tii cu Ox: Cu cât func¸tia de und¼ a oscileaz¼ a mai mult, cu atât corespunde unei valori mai mari a energiei.
Fig.2.7 S¼ a revenim la poten¸tialul V (x) prezentat în Fig.2.2 ¸si s¼ a consider¼ am cazul în care energia E este mai mare decât valoarea limit¼ a Vl a poten¸tialului la distan¸te mari (Vl = lim V (x)). Deci, x!1
E > Vl :
(157)
În acest caz sistemul nu mai este legat (clasic distan¸ta x de separare poate avea orice valoare mai mare decât x0 ). Din punctul de vedere al ecua¸tiei Schrödinger atemporale exist¼ a acum doar dou¼ a regiuni pe axa Ox: x < x0 0 ¸si x > x . În a doua regiune V (x) E este negativ pentru orice valoare a lui x. Func¸tia de und¼ a (x) va … convex¼ a dac¼ a (x) este pozitiv ¸si concav¼ a dac¼ a (x) este negativ. În ambele cazuri (x) tinde s¼ a se îndrepte spre axa Ox ¸si, deci, ea va oscila în jurul acestei axe. Pentru x ! 1 func¸tia (x) va … …nit¼ a. În zona cu x mic, x < x0 , avem acum posibilitatea s¼ a alegem convenabil panta ddx în a¸sa fel încât func¸tia s¼ a se îndrepte asimptotic c¼ atre Ox. Cu alte cuvinte putem g¼ asi func¸tii proprii acceptabile …zic pentru orice valoare a lui E > Vl . Spectrul energiei nu mai este discret ci continuu.
65 În concluzie se poate a…rma c¼ a Atunci când rela¸tia dintre energia total¼a a unei particule s¸i energia sa poten¸tial¼a este astfel încât în interpretarea ei clasic¼a particula ar … constrâns¼a s¼a r¼amân¼a într-o zon¼a limitat¼a din spa¸tiu, teoria Schrödinger prezice c¼a energia total¼a va … cuanti…cat¼a. Când rela¸tia este astfel încât particula nu este constrâns¼a s¼a r¼amân¼a într-o zon¼a limitat¼a din spa¸tiu, teoria cuantic¼a prezice c¼a energia total¼a poate avea orice valoare. Succint, putem zice în acest fel: spectrul energetic al sistemelor legate este discret iar spectrul energetic al sistemelor nelegate este continuu. (vezi Fig.2.8).
Fig.2.8 S¼ a consider¼ am din nou cazul prezentat în (142) (x; t) = c1
1 (x; t)
+ c2
2 (x; t)
= c1
1 (x)e
¸si s¼ a calcul¼ am densitatea de probabilitate h ih i i = c1 1 (x)e ~ E1 t + c2 2 (x)e ~ E2 t c1
i E t ~ 1
1 (x)e
+ c2
i E t ~ 1
2 (x)e
+ c2
i E t ~ 2
2 (x)e
(158)
i E t ~ 2
i
(159)
sau = jc1 j2 j
+c1 c2
2 1 (x)j 1 (x)
+ jc2 j2 j
2 (x)e
2 2 (x)j + c2 c1 i (E2 E1 )t ~
:
2 (x)
1 (x)e
i (E2 ~
E1 )t
+ (160)
66 Dependen¸ta de timp dispare în primii doi termeni dar se men¸tine în urm¼ atorii doi. Vedem c¼ a ultimii termeni oscileaz¼ a cu o aceea¸si frecven¸ta¼ =
E2
E1 h
:
(161)
S¼ a consider¼ am cazul unui atom de hidrogen în care electronul se a‡a¼ în starea cea mai coborât¼ a, E1 ; numit¼ a starea fundamental¼a. În acest caz func¸tia de i und¼ a este = e ~ E1 t iar probabilitatea de localizare este j j2 = j j2 ; independent¼ a de timp. Dac¼ a probabilitatea de localizare este independent¼ a de timp, tot a¸sa va … ¸si distribu¸tia de sarcin¼ a. Dar, chiar în electromagnetismul clasic, o distribu¸tie static¼ a de sarcin¼ a nu emite radia¸tie electromagnetic¼ a. Vedem, deci, c¼ a teoria Schrödinger explic¼ a paradoxul teoriei cuantice vechi privind stabilitatea atomilor în starea fundamental¼ a. Atomii excita¸ti emit, îns¼ a, radia¸tii ¸si în cele din urm¼ a se reîntorc pe starea fundamental¼ a. S¼ a consider¼ am cazul unui electron a‡at pe punctul de a efectua o tranzi¸tiei dintr-o stare excitat¼ a, E2 , pe starea fundamental¼ a E1 . Tranzi¸tia dureaz¼ a un timp extrem de scurt, t. În acest interval de timp o m¼ asurare a energiei nu ne poate da un rezultat cu o precizie mai bun¼ a decât E1
~ 2 t
;
(162)
rezultând din rela¸tia Heisenberg aplicat¼ a m¼ arimilor conjugate E ¸si t. t …ind foarte mic, E este de ordinul diferen¸tei E2 E1 . Starea sistemului trebuie descris¼ a atunci cu ajutorul expresiei (158) care conduce la densitatea de probabilitate (160). Aceasta din urm¼ a, îns¼ a, implic¼ a existen¸ta unei distribu¸tii de sarcin¼ a oscilante cu frecven¸ta = (E2 E1 )=h ¸si, în consecin¸ta¼, va emite radia¸tie cu aceea¸si frecven¸ta¼. Se explic¼ a, astfel, unul din postulatele lui Bohr. Desigur, în starea fundamental¼ a t este practic in…nit ¸si E poate … zero, adic¼ a energia E1 este bine determinat¼ a. Se poate ar¼ ata c¼ a teoria Schrödinger nu prezice corect numai frecven¸tele radia¸tiilor emise ci ¸si probabilit¼at¸ile de tranzi¸tie (pe unitatea de timp).
2.11 Spa¸tiul Hilbert. Nota¸tia Dirac Vom încheia aceast¼ a parte cu o nota¸tie util¼ a ce se datore¸ste lui Dirac.
67 Am v¼ azut c¼ a densitatea de probabilitate trebuie s¼ a satisfac¼ a rela¸tia 2
j j =
Z1
dx = 1
1
iar valoarea medie a energiei sau, mai general, a unei observabile A este < A >=
Z1
A dx
1
unde A este operatorul asociat observabilei. Dirac consider¼ a c¼ a func¸tiile de und¼ a apar¸tin unui spa¸tiu vectorial, normat, in…nit dimensional ¸si separabil numit spa¸tiu Hilbert. Datorit¼ a importan¸tei sale în …zic¼ a, propriet¼ a¸tile matematice ale spa¸tiului Hilbert au fost studiate îndelung ¸si în detaliu. Vom enumera mai jos, succint, câteva propriet¼ a¸ti ale acestui spa¸tiu, care intr¼ a de altfel în de…ni¸tia sa. i) Spa¸ tiu vectorial. Orice combina¸tie liniar¼ a (cu coe…cien¸ti de regul¼ a complec¸si) a mai multor func¸tii ce apar¸tin spa¸tiului Hilbert H apar¸tine ¸si lui H: ii) Normat. Se introduce o rela¸tie binar¼ a între oricare dou¼ a func¸tii din H, numit¼ a produs scalar, cu proprietatea <
1
j
2
>=<
2
j
>
(163)
2 (x)dx:
(164)
1
¸si …ind de…nit¼ a prin expresia h
1
j
2i
Z1
1 (x)
1
Se vede imediat c¼ a densitatea de probabilitate este produsul scalar dintre func¸tia de und¼ a (vector din H) cu ea îns¼ a¸si, numit¼ a ¸si norma vectorului (func¸tiei de und¼ a) 2
j j =
Z1
dx =<
j
>:
(165)
1
Norma are urm¼ atoarea proprietate important¼ a h
j
i 1 0;
(166)
68 unde h
j
i=0
(167)
dac¼ a ¸si numai dac¼ a = 0: De men¸tionat c¼ a rela¸tia (167) se refer¼ a numai la norm¼ a (produsul scalar al unui vector cu el însu¸si) nu ¸si la produsul scalar al unui vector cu alt vector. Este posibil ca produsul scalar s¼ a …e zero f¼ ar¼ a ca nici una din func¸tiile distincte 1 ¸si 2 s¼ a …e nule. În acest caz se zice c¼ a func¸tiile 1 ¸si 2 sunt ortogonale. iii) In…nit dimensional ¸ si separabil. În spa¸tiul Hilbert se poate introduce o baz¼ a in…nit¼ a, adic¼ a o mul¸time in…nit¼ a de func¸tii liniar independente astfel încât orice func¸tie din spa¸tiu s¼ a se poat¼ a scrie ca o serie convergent¼ a de func¸tiile de baz¼ a X = cn n : (168)
Observa¸tie: func¸tiile n pot forma o mul¸time num¼ arabil¼ a (adic¼ a n 2 N, num¼ ar natural) sau nu. În cel de al doilea caz este mai convenabil s¼ a scriem func¸tiile de baz¼ a nu cu indicii n ci în func¸tie de un parametru (real) ce variaz¼ a continuu, . Cazul general este acela în care se întâlnesc ambele variante ¸si atunci real¸tia (5.148) trebuie scris¼ a sub forma =
1 X
cn
n (x)
+
n=1
Z
c( ) ( ; x)d ;
(169)
cn sau c( ) …ind, în general, numere complexe. Nota¸tia Dirac este urm¼ atoarea: produsul scalar h 1 j 2 i este considerat ca produsul dintre un vector ket j 2 i ¸si un vector bra h 1 j. (Denumirile provin din descompunerea cuvântului engezesc bracket parantez¼ a). Cu aceast¼ a nota¸tie rela¸tia (169) se poate scrie j i=
1 X n=1
cn j
ni
+
Z
c( ) j ( )i d :
(170)
Se poate demonstra c¼ a func¸tiile de baz¼ a pot … alese ortonormate, adic¼ a h n j m i = nm ¸si atunci cn = h
n
j i
iar
c( ) = h ( ) j i :
Se veri…c¼ a faptul c¼ a h j i = 1 este echivalent cu Z X j n i h n j + j ( )i h ( )j d = 1; n
(171)
(172)
69 numit¼ a rela¸tia de închidere.
2.12 Postulatele mecanicii cuantice În cadrul …zicii sistemelor clasice – sisteme c¼ arora li se pot aplica conceptele clasice – se consider¼ a c¼ a opera¸tia de observare nu perturb¼ a în mod semni…cativ mi¸scarea acestora. Mai precis, se consider¼ a c¼ a orice perturba¸tie provocat¼ a de procesul de m¼ asurare poate … corectat¼ a, în principiu, exact. Cel mai simplu proces de observare const¼ a în a privi un obiect. Astfel, obiectul trebuie iluminat, adic¼ a înseamn¼ a a-l ”bombarda” cu fotoni. Dac¼ a dorim s¼ a determin¼ am cu precizie pozi¸tia unui obiect, lungimea de und¼ a a luminii trebuie s¼ a …e su…cient de mic¼ a, frecven¸ta su…cient de mare ¸si, în consecin¸ta¼, impulsul fotonilor p = ~k = h 1 peste o anumit¼ a limit¼ a. O ”lovitur¼ a” cu un astfel de foton poate perturba apreciabil sistemul studiat dac¼ a acesta este su…cient de mic. A¸sa cum a…rm¼ a Dirac, exist¼ a o limit¼ aa acuit¼ a¸tii puterii noastre de observa¸tie ¸si a micimii perturba¸tiei ce înso¸te¸ste aceast¼ a observa¸tie – o limit¼ a inerent¼ a naturii lucrurilor ¸si care nu poate … niciodat¼ a dep¼ a¸sit¼ a prin îmbun¼ at¼ a¸tirea tehnicii de observare. Dac¼ a sistemul este su…cient de mare încât aceste perturba¸tii inevitabile s¼ a poat¼ a … neglijate, se aplic¼ a teoria …zicii clasice, sistemul …ind descris de legile …zicii clasice. Pe de alt¼ a parte, dac¼ a sistemul este astfel încât aceste perturba¸tii sunt apreciabile, atunci el este ”microscopic” în sens absolut ¸si, pentru a-l descrie, este nevoie de o nou¼ a teorie –teoria cuantic¼ a. Întrucât opera¸tiile de observare in‡uen¸teaz¼ a sistemul …zic analizat, ne a¸stept¼ am ca acest fapt s¼ a apar¼ a explicit în teorie. Aceste opera¸tii au dou¼ a propriet¼ a¸ti importante: 1) Fiec¼ arui tip de observa¸tie (de exemplu: m¼ asurarea energiei, a impulsului sau a pozi¸tiei) îi corespunde un set de numere (valori) - adic¼ a tocmai rezultatele posibile ale observa¸tiei (m¼ asur¼ arii). Aceste valori pot forma un spectru continuu, discret sau mixt. 2) Fie dou¼ a tipuri de observa¸tii O1 ¸si O2 (O1 ar putea …m¼ asurarea pozi¸tiei iar O2 m¼ asurarea impulsului). S¼ a not¼ am prin O1 O2 efectuarea celor dou¼ a m¼ asur¼ ari în ordinea O2 apoi O1 . Atunci O2 O1 va însemna efectuarea acelora¸si dou¼ a tipuri de m¼ asur¼ ari, dar în ordine inversat¼ a. Deoarece …ecare observa¸tie poate perturba ¸si, deci, afecta rezultatul celeilalte, cele dou¼ a proceduri vor da rezultate …nale diferite. Simbolic, acest lucru se poate scrie ca O1 O2
O2 O1 6= 0:
(173)
70 Valoarea acestei expresii trebuie legat¼ a de m¼ arimea perturba¸tiilor inevitabile. În acest¼ a etap¼ a ¸si cu aceast¼ a interpretare trebuie introdus¼ a în teorie o nou¼ a constant¼ a care s¼ a conduc¼ a la o în¸telegere cantitativ¼ a, nu numai calitativ¼ a, a no¸tiunii de ”microscopic” (microparticul¼ a). Teoria cuantic¼ a ne indic¼ a în mod clar c¼ a acest rol trebuie s¼ a …e jucat de constanta lui Planck. În teoria cuantic¼ a modern¼ a, rela¸tia de mai sus este exprimat¼ a cantitativ prin rela¸tiile de nedeterminare ale lui Heisenberg. Revenind la un sistem clasic, s¼ a zicem un punct material (sau particul¼ a clasic¼ a) se poate face o observare simultan¼ a a pozi¸tiei ¸si a vitezei (deci a impulsului) ¸si, mai departe, a energiei totale. De asemenea, se poate observa momentul cinetic –legat ¸si de pozi¸tie ¸si de vitez¼ a. Este clar, deci, c¼ a toate m¼ arimile m¼ asurabile, care vor avea anumite valori, determin¼ a starea sistemului. În esen¸ta¼, legile mecanicii clasice ne spun c¼ a starea sistemului este cunoscut¼ a dac¼ a se cunoa¸ste func¸tia r(t). În cazul sistemelor cuantice aceast¼ a abordare nu mai este posibil¼ a. Întradev¼ ar, cunoa¸sterea cu precizie a func¸tiei r(t) ar însemna c¼ a la orice moment ). de timp s¼ a cunoa¸stem ¸si impulsul (m dr dt Pentru a de…ni starea unui sistem cuantic trebuie s¼ a analiz¼ am, în primul rând, care m¼ arimi …zice pot … m¼ asurate simultan. Suntem astfel condu¸si la no¸tiunea de sistem maximal de observabile compatibile, starea sistemului la un moment dat …ind indicat¼ a de valorile m¼ asur¼ arii tuturor acestor observabile din sistem. Aceasta ar … o descriere complet¼ a a sistemului cuantic. În cazul în care doar anumite observabile din setul maximal sunt m¼ asurate, vom avea desigur o descriere incomplet¼ a ¸si, în acest caz, ideea de probabilitate apare ca inevitabil¼ a. Totu¸si, ideea de probabilitate ar trebui s¼ a apar¼ a în teorie chiar dac¼ a am avea o cunoa¸stere complet¼ a (în sens cuantic) a sistemului. Într-adev¼ ar, cunoa¸sterea complet¼ a este doar o cunoa¸stere a observabilelor care se pot m¼ asura simultan. Despre celelalte observabile nu putem face decât a…rma¸tii probabilistice. O cunoa¸stere exact¼ a a valorii unei astfel de observabile ar însemna perturbarea inevitabil¼ a a sistemului ¸si, deci, schimbarea st¼ arii acestuia.
Postulatele mecanicii cuantice Observabilele unui sistem reprezint¼ a m¼ arimi care, în principiu, pot … m¼ asurate convenabil ¸si reproductibil. În …zica clasic¼ a (macroscopic¼ a) observabilele sistemului corespund unor func¸tii de variabilele de baz¼ a. Valorile m¼ asurate pentru o observabil¼ a dinamic¼ a sunt valori numerice.
71 În mecanica cuantic¼ a apar aspecte calitativ noi. Toate aceste aspecte pot … luate în considerare prin formularea - ¸si acceptarea - unui set de postulate. Primul postulat al mecanicii cuantice: Fiec¼ arei observabile …zice A a unui sistem cuantic îi corespunde, în spa¸tiul Hilbert, un operator hermitic b Diferitele valori proprii ale operatorului hermitic se reg¼ A: asesc în valorile m¼ asurabile ale observabilei …zice pe care o reprezint¼ a. Observa¸tie: în mecanica cuantic¼ a observabilele dinamice sunt asociate cu operatori care ac¸tioneaz¼ a asupra st¼ arii sistemului …zic studiat. Folosirea operatorilor hermitici este legat¼ a de faptul c¼ a valorile proprii ale operatorului respectiv trebuie s¼ a …e reale, putând … astfel identi…cate cu valorile care pot … m¼ asurate. Dac¼ a j i este o func¸tie de und¼ a sau un vector în spa¸tiul Hilbert, este necesar ca bj i = h j A bj i : h jA (174)
b reprezint¼ Mai restrictiv, dac¼ a operatorul A a o observabil¼ a …zic¼ a, oricare ar … j i ¸si j'i trebuie s¼ a existe rela¸tia bj i = h j A b j'i : h'j A
(175)
Rela¸tiile (174) ¸si (175) au consecin¸te foarte importante. În primul rând, b sunt reale. Într-adev¼ valorile proprii ale observabilei A ar, …e ecua¸tia cu valori ¸si func¸tii proprii b j'n i = an j'n i : A (176)
Multiplicând rela¸tia precedent¼ a cu h'n j (în sensul produsului scalar) se ob¸tine b j'n i = an h'n j 'n i; h'n j A
(177)
unde primul membru este real, iar h'n j 'n i este tot real. Rezult¼ a, deci, c¼ a an este real¼ a. În al doilea rând, vectorii proprii ai unei observabile ce corespund unor valori proprii diferite sunt ortogonali. Fie a1 6= a2 dou¼ a valori proprii ale lui b A. Atunci b j 1 i = a1 j 1 i A
¸si
sau
bj A b
2i
= a2 j
2i ;
h
2j A j
1i
= a1 h
2j
1i
(178)
h
1j A j
b
2i
= a2 h
1j
2 i:
(179)
¸si
72 Dar
b
2i
= a2 h
1j
b
2i
=h
b
h
1j A j
h
1j A j
2i
= a2 h
2j
1 i:
= a1 h
2j
1 i:
b Pe de alt¼ a parte, datorit¼ a hermiticit¼ a¸tii lui A, 2j A j
1i
F¼ acând diferen¸ta rela¸tiilor (178) ¸si (179) se ob¸tine a2 h
2j
1i
Cum a1 6= a2 , rezult¼ a
a1 h
2j
1i
h
=0 2j
sau 1i
(a2
a1 ) h
2j
1i
= 0: (180)
= 0;
adic¼ a vectorii proprii sunt ortogonali. În plus fa¸ta¼ de condi¸tia (175), pentru ca un operator hermitic s¼ a reprezinte o observabil¼ a …zic¼ a trebuie ca func¸tiile sale proprii s¼ a formeze un set complet. Astfel, oricare ar …vectorul de stare j (x)i el se poate exprima sub forma unei b (observabil¼ combina¸tii liniare de vectori proprii j n (x)i ai operatorului A aa sistemului). X F (an ) j n (x)i (181) j (x)i = n
sau
h (x)j =
X n
F (an ) h
n (x)j ;
unde F (an ) sunt coe…cien¸ti reali. Dac¼ a valorile proprii an apar¸tin spectrului discret, atunci se poate scrie simpli…cat Fn = F (an ): Dac¼ a, în schimb, an apar¸tin spectrului continuu, rela¸tia (181) se va scrie Z j (x)i = j (a; x)i F (a)da: (182) Se poate demonstra, ca o teorem¼ a, c¼ a dac¼ a mul¸timea vectorilor proprii ai unui operator hermitic este …nit¼ a, atunci vectorii proprii formeaz¼ a un set complet. În cel¼ alalt caz, de¸si o astfel de teorem¼ a nu poate … demonstrat¼ a, se constat¼ a c¼ a pentru to¸ti operatorii interesan¸ti din punct de vedere …zic setul vectorilor proprii este complet. O problem¼ a nesolu¸tionat¼ a înc¼ a se refer¼ a la modul în care construim operatorii hermitici asocia¸ti observabilelor …zice. Al doilea postulat al mecanicii cuantice: Orice m¼ arime …zic¼ a clasic¼ a poate … considerat¼ a ca …ind construit¼ a cu ajutorul variabilelor conjugate canonic iar operatorul corespunz¼ ator unor astfel de observabile dinamice se
73 ob¸tine prin înlocuirea variabilelor canonice clasice cu operatorii corespunz¼ atori. Pentru toate perechile de operatori ai conjugatelor canonice de baz¼ a exist¼ a regulile de comutare Heisenberg: [b qi ; qbj ] = 0;
[pbi ; pbj ] = 0;
[pbi ; qbj ] =
i~
(183) ij :
Observa¸tie: dac¼ a pentru descrierea sistemului …zic cuantic nu avem variabile care s¼ a aib¼ a un corespondent clasic, atunci în locul celui de al doilea postulat se folosesc propriet¼ a¸tile de simetrie ¸si regulile de comutare aplicabile operatorilor corespunz¼ atori. Regulile Heisenberg de comutare constituie axioma de cuanti…care, valabil¼ a pentru un sistem …zic cu un num¼ ar …nit de grade de libertate. Descrierea sistemului cuantic în func¸tie de pbi ¸si qbi este complet¼ a. Orice operator care comut¼ a cu toate coordonatele qbi ¸si cu toate impulsurile pbi este un multiplu al operatorului unitate. Dac¼ a operatorii pbi ; ¸shi qbj satisfac rela¸tiile de comutare [pbi ; qbj ] = i~ ij ; iar i 0 0 0 b0 b b b q ¸si q satisfac rela¸tiile p ; q = i~ ij atunci cele dou¼ a seturi de operatori i
j
i
j
sunt legate prin rela¸tia
b qbi U b qbi0 = U
1
¸si
b pbi U b pb0i = U
1
(184)
;
b este un operator unitar. unde U Ca exemplu, s¼ a de…nim operatorul moment cinetic în mecanica cuantic¼ a. În mecanica clasic¼ a momentul cinetic al unei particule se de…ne¸ste prin l=r
p
sau lx = ypz
zpy ; ly = zpx
xpz ; lz = xpy
ypx :
Vom de…ni atunci componentele momentului cinetic în mecanica cuantic¼ a astfel @ @ b z lx = ybpbz zbpby = i~ y @z @y b ly = zbpbx
b lz = x bpby
x bpbz =
ybpbx =
@ @x
x
@ @y
y
i~ z
i~ x
@ @z
@ @x
(185)
:
74 Observa¸tie. Dac¼ a am vrea s¼ a construim un operator asociat m¼ arimii clasice xpx (nu este cazul momentului cinetic), întrucât operatorii x b ¸si pbx nu comut¼ a, pentru a ob¸tine un operator hermitic va trebui s¼ a consider¼ am forma simetrizat¼ a i~ @ @ 1 (b xpbx pbx x b) = x x : 2 2 @x @x
Descrierea st¼ arii unui sistem cuantic Este bine ¸stiut c¼ a starea unui sistem clasic poate … caracterizat¼ a complet prin coordonatele generalizate qi ¸si impulsurile conjugate canonic cu ele pi , la un moment dat. În cazul unui sistem cuantic o astfel de descriere nu mai este posibil¼ a. Principiul de nedeterminare al lui Heisenberg a…rm¼ a c¼ a este imposibil¼ a m¼ asurarea simultan¼ a, cu precizie, atât a impulsurilor generalizate cât ¸si a coordonatelor generalizate. Cum ar putea … speci…cat¼ a starea unui sistem cuantic? Înainte de a r¼ aspunde la întrebare s¼ a analiz¼ am o form¼ a general¼ a prin care poate … descris¼ a starea dinamic¼ a a unui sistem, …e el clasic sau cuantic. Astfel, s¼ a consider¼ am un ansamblu (A) format dintr-un num¼ ar foarte mare de sisteme identice pe care le vom caracteriza statistic. Pentru un sistem oarecare din ansamblu m¼ asur¼ am una din variabilele sale dinamice (coordonat¼ a, component¼ a a impusului, energia cinetic¼ a, etc.). Dup¼ a efectuarea m¼ asur¼ arii, sistemul nu se reinclude în ansamblu întrucât a fost perturbat prin m¼ asurare. Prin repetarea m¼ asur¼ arilor se ob¸tine un bilan¸t al rezultatelor ce se poate exprima printr-o func¸tie de distribu¸tie. Dou¼ a ansambluri sunt identice dac¼ a bilan¸turile rezultatelor m¼ asur¼ arii sunt acelea¸si. Fie ansamblul (A); dac¼ a (A) = (A1 ) + (A2 ), atunci (A) este un amestec (alt-fel exprimat, (A) este un amestec dac¼ a se poate descompune în dou¼ a subansamble de…nite (A1 ) ¸si (A2 )). Dac¼ a (A1 ) (A2 ), rezult¼ a c¼ a (A) este un ansamblu pur. Orice descompunere a ansamblului pur conduce la ansambluri identice ¸si, obligatoriu, identice cu ansamblul de la care s-a plecat. Toate sistemele unui ansamblu pur sunt în aceea¸si stare dinamic¼ a. Pentru a realiza un ansamblu pur de sisteme clasice este necesar ¸si su…cient ca toate sistemele s¼ a aib¼ a acela¸si set (pi ; qi ). Deci, într-un ansamblu pur de sisteme clasice orice variabil¼ a dinamic¼ a este bine de…nit¼ a. Deoarece variabila dinamic¼ a este o func¸tie de pi ¸si de qi , ea are o valoare unic¼ a.
75 Într-un ansamblu pur de sisteme cuantice o variabil¼ a dinamic¼ a nu este bine determinat¼ a. Atunci când se fac m¼ asur¼ ari pe sistemele componente ale ansamblului, nu se ob¸tine o valoare unic¼ a ci o distribu¸tie de valori. În acest caz nedeterminarea este de natur¼ a pur cuantic¼ a. Pentru a speci…ca starea unui sistem cuantic la un moment dat se introduce un nou postulat. Al treilea postulat al mecanicii cuantice: Fiecare stare …zic¼ a posibil¼ a a unui sistem este caracterizat¼ a printr-un vector j (x)i din spa¸tiul Hilbert asupra c¼ aruia ac¸tioneaz¼ a operatorii variabilelor corespunz¼ atoare. Deci, postulatul al treilea introduce m¼ arimea matematic¼ a asupra c¼ areia ac¸tioneaz¼ a operatorii corespunz¼ atori variabilelor dinamice ¸si arat¼ a cum poate … determinat un vector de stare. Acest vector de stare trebuie s¼ a exprime ¸si evolu¸tia în timp a sistemului, adic¼ a s¼ a …e o func¸tie de t, j (x; t)i. b atunci Dac¼ a vectorul de stare este vector propriu al observabilei A, bj i = a j i : A
b pe ansamblul statistic ne va Am v¼ azut c¼ a în acest caz orice m¼ asurare a lui A b atunci da valoarea numeric¼ a a. Dac¼ a j i nu este un vector propriu al lui A b el se poate descompune dup¼ a sistemul complet de vectori proprii ai lui A, j'n i : X j i= cn j'n i unde cn = h'n j i; (186) n
o stare a sistemului …zic …ind o suprapunere liniar¼ a a st¼ arilor proprii ale unei obser-vabile speci…cate. Acesta este principiul suprapunerii. S¼ a admitem c¼ a starea sistemului este descris¼ a de un vector propriu al b Atunci, în urma unei m¼ unei observabile A. asur¼ ari se ob¸tine o valoare bine determinat¼ a a observabilei respective. În general, m¼ asurarea altei observb nu ne va da o valoare bine determinat¼ abile, s¼ a zicem B, a decât în cazul în b care vectorul de stare este vector propriu ¸si pentru B. Rezult¼ a deci c¼ a dou¼ a observabile pot … m¼ asurate simultan numai dac¼ a au vectori proprii comuni. Dar b j'n i = an j'n i ; A b j'n i = bn j'n i ; B
¸si se veri…c¼ a imediat rela¸tia i h i h bB b j'n i = 0 =) A; bB b = 0: A;
(187)
(5.168)
Deci, condi¸tia necesar¼ a ¸si su…cient¼ a ca dou¼ a sau mai multe observabile ale unui sistem cuantic s¼ a …e m¼ asurate simultan este ca operatorii corespunz¼ atori s¼ a comute.
76
M¼ asurarea maximal¼ a Suntem în m¼ asur¼ a acum s¼ a r¼ aspundem la o întrebare esen¸tial¼ a: Care este informa¸tia maxim¼ a care se poate ob¸tine despre sistemul cuantic? Pentru un sistem cuantic exist¼ a un num¼ ar maxim de operatori care comut¼ a ¸si va exista, deci, un num¼ ar maxim de m¼ asur¼ ari compatibile. M¼ asurarea simultan¼ a a tuturor observabilelor compatibile, efectuat¼ a la un moment dat, poart¼ a numele de m¼asurare maximal¼a. Deci, un sistem cuantic este descris complet prin m¼ asurarea valorilor proprii ale tuturor observabilelor compatibile care duc la seria maximal¼ a, iar starea este caracterizat¼ a prin vectorul propriu comun. În acest sens, este foarte convenabil de a indica aceste valori în scrierea vectorului propriu comun. Convenim nota¸tia E jai ; bj ; ::; ck i (188) j i ai ;bj ;::;ck cu propriet¼ a¸tile
b jai ; bj ; ::; ck i = ai jai ; bj ; ::; ck i ; A b jai ; bj ; ::; ck i = bj jai ; bj ; ::; ck i B
(189)
b jai ; bj ; ::; ck i = ck jai ; bj ; ::; ck i : C
Atunci, o stare arbitrar¼ a a sistemului poate … exprimat¼ a ca o suprapunere liniar¼ a X j i= cai ;bj ;::;ck jai ; bj ; ::; ck i ; (190) (ai ;bj ;::;ck )
sumarea f¼ acându-se dup¼ a toate valorile posibile ale setului notat prin (ai ; bj ; ::; ck ): Postulatul al patrulea: Singurul rezultat al unei m¼ asur¼ ari precise a variabilei dinamice A este una din valorile proprii an a operatorului hermitic b asociat cu A. A b atunci la Dac¼ a îns¼ a func¸tia de und¼ a nu este o func¸tie proprie a lui A, m¼ asurarea lui A pot … ob¸tinute oricare din rezultatele a1 ; a2 ; :::; an;::.. .Este imposibil s¼ a se prezic¼ a ce rezultat se va ob¸tine la o m¼ asurare. Totu¸si, se poate calcula probabilitatea de a ob¸tine un anumit rezultat an : Postulatul al cincilea: Dac¼ a se efectueaz¼ a o serie de m¼ asur¼ ari ale variabilei dinamice A pe un ansamblu de sisteme descrise de func¸tia de und¼ a , valoarea medie a acestei variabile dinamice este hAi =
h jAj i : h j i
(191)
77 Dac¼ a func¸tia j i este normat¼ a la unitate avem hAi = h j A j i : Trebuie s¼ a subiliniem c¼ a hAi nu reprezint¼ a media distribu¸tiei statistice clasice a variabilei dinamice A pe sistemele care sunt m¼ asurate. Fiecare sistem din ansamblul statistic este identic ¸si este în aceea¸ si stare descris¼ a de func¸tia de und¼ a j i. Valoarea lui A ob¸tinut¼ a într-un experiment pe un singur sistem este inerent imprevizibil¼ a (exceptând cazul în care j i este o func¸tie proprie b a lui A). Deoarece j i con¸tine informa¸tia posibil¼ a maxim¼ a despre sistem, nu exist¼ a nici o posibilitate de a preciza înc¼ a mai mult starea într-un mod care s¼ a permit¼ a ca valoarea lui A s¼ a …e prezis¼ a. Dac¼ a unele m¼ asur¼ ari pot … repetate imediat, cum se întâmpl¼ a atunci când se m¼ asoar¼ a componenta momentului magnetic al unui atom pe o anumit¼ a direc¸tie cu un sistem în cascad¼ a de dou¼ a aparate Stern-Gerlach, rezultatul celei de a doua m¼ asur¼ ari poate … prezis cu certitudine. Deducem astfel c¼ a dup¼ a prima m¼ asurare starea sistemului este b apar¸tinând valorii proprii an . În acest descris¼ a de func¸tia proprie j'n i a lui A caz, procesul de m¼ asurare are un efect de ”…ltrare”astfel încât indiferent de starea în care se g¼ asea sistemul înaintea m¼ asur¼ arii, el se va g¼ asi într-o stare proprie a m¼ arimii m¼ asurate imediat dup¼ a aceea. Tindând ¸ cont de faptul c¼ a vectorul de stare j i se poate dezvolta dup¼ a b exist¼ vectorii proprii j'n i ai operatorului A, a rela¸tia P b j 'j > b j P cj 'j > ci cj < ' i j A ci 'i j A i;j i j P P = = P hAi = ci cj < ' i j 'j > < ci 'i j cj 'j > i;j i j P P ci cj aj ij j ci j2 ai i;j i = P = P : (192) ci cj ij j ci j2 <
P
i;j
i
Dac¼ a j i este normat¼ a, ob¸tinem
hAi =
X i
j ci j2 ai ;
(193)
adic¼ a valoarea medie < A > este o sum¼ a ponderat¼ a a valorilor individuale ai cu factorii de pondere j ci j2 . Prin de…ni¸tie, ace¸sti factori j ci j2 reprezint¼ a probabilitatea g¼ asirii valorii ai la o m¼ asurare a sistemului a‡at în starea descris¼ a de j i. Pi =j ci j2 =j< 'i j
>j2 :
(194)
78 Coe…cien¸tii ci =< 'i j > se numesc amplitudini de probabilitate. Evident, exist¼ a rela¸tia X X Pi = j< 'i j >j2 = 1: i
i
Dac¼ a o scriem sub forma X X j< 'i j >j2 = < 'i j i
i
> < 'i j
>=
X
<
i
observ¼ am c¼ a valoarea medie a operatorului
P i
j 'i >< 'i j
>;
j 'i >
stare j i. Deci, el este operatorul unitate X j 'i >
(195)
i
Diferitele reprezent¼ ari ¸si leg¼ atura dintre ele Am v¼ azut c¼ a o func¸tie de stare j i se poate dezvolta dup¼ a func¸tiile proprii b ale unui operator hermitic A asociat unei observabile …zice X j i= ca0 ja0 i : (196) a0
Func¸tia de stare j i este complet ¸si unic determinat¼ a de coe…cien¸tii ca0 ai dezvolt¼ arii dup¼ a setul complet de vectori proprii jai. Evident ca = ha j i ¸si rela¸tia (196) devine j i=
X a0
ha0 j i ja0 i
X
(a0 ) ja0 i :
a0
(197)
prin extensie de limbaj zicem c¼ a (a) este func¸tia de stare în reprezentarea a. Aceea¸si stare poate … speci…cat¼ a în reprezentarea b, astfel X '(b) hb j i ; j i= '(b0 ) jb0 i : (198) b0
79 Expresiile (197) ¸si (198) reprezentând aceea¸si stare j i ; între func¸tiile (a) ¸si '(b) trebuie s¼ a existe o leg¼ atur¼ a: X X '(b) = hb ji = hbj (a0 ) ja0 i = hb ja0 i (a0 ): (199) a0
a0
Zicem c¼ a hb ja0 i sunt coe…cien¸tii Fourier ai transform¼arii Fourier generalizate, care sunt de fapt da¸ti de produsele scalare dintre vectorii de baz¼ a ai celor dou¼ a reprezent¼ ari. Observa¸tie: hb ja0 i reprezint¼ a amplitudinea probabilit¼ a¸tii de a g¼ asi sis0 temul în starea j b > dac¼ a el e descris prin func¸tia de stare ja i (vezi (194)). În general, trecerea de la o baz¼ a jai la o baz¼ a jbi se face cu ajutorul unui operator unitar jbi = U jai (200) (Un operator unitar U este un operator liniar cu proprietatea h
1
U
j
= h jU j i
oricare ar … vectorii j i ¸si j i din spa¸tiul Hilbert; evident U 1 U = U U 1 = I). b în reprezentarea jai sunt nuElementele de matrice ale operatorului A merele b ja00 i ; ha0 j A (201) iar în reprezentarea jbi sunt
b jb00 i : hb0 j A
dar, ¸tinând cont de (195), b jb00 i = hb0 j hb0 j A =
X
X
a0 ;a00
a0
(202)
bj ja0 i ha0 j A D
X a00
ja00 i ha00 j b00 >=
E b j a00 ha00 j b00 i : hb0 ja0 i a0 j A
(203)
b într-o reprezentare se ob¸tin din cele Deci, elementele matricei operatorului A dintr-o alt¼ a reprezentare printr-o transformare Fourier dubl¼ a.
Cazul spectrului continuu. Am ar¼ atat c¼ a vectorii proprii asocia¸ti valorilor proprii distincte ale unui operator hermitic sunt ortonorma¸ti, adic¼ a < ai j aj >=
ij :
(204)
80 Evident simbolul Kronecker ij = (1 dac¼ a i = j ¸si 0 dac¼ a i 6= j) se refer¼ a la situa¸tia în care valorile proprii ai , aj apar¸tin spectrului discret. În cazul spectrului continuu, dezvoltarea (196) se va scrie Z j >= c(a) j c > da , c(a) =< a j > (205) iar rela¸tia de ortonormare trebuie scris¼ a sub forma < a j a0 >= (a Într-adev¼ ar, dac¼ a
a0 ):
(206)
este una din st¼ arile proprii j a0 >, atunci Z 0 j a >= < a0 j a >j a > da
¸si deci (206) este satisf¼ acut¼ a.
CAPITOLUL 3
Probleme unidimensionale 3.1 Particula liber¼ a S¼ a rezolv¼ am acum ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a. Vom începe prin a discuta cazul cel mai simplu, ¸si anume, acela în care poten¸tialul V (x) = V0 , adic¼ a este constant. Clasic, for¸ta care ac¸tioneaz¼ a asupra particulei F (x) = dV =dx se anuleaz¼ a. Din acest motiv se zice c¼ a avem de-a face cu cazul particulei libere. F¼ ar¼ a a pierde din generalitate putem considera V0 = 0. Într-adev¼ ar, ad¼ augarea unei constante la energia poten¸tial¼ a deplaseaz¼ a doar valorile proprii ale energiei cu aceea¸si valoare V0 , dar nu in‡uen¸teaz¼ a func¸tiile proprii. S¼ a rezolv¼ am, deci, ecua¸tia Schrödinger atemporal¼ a ~2 d2 (x) = E (x): 2m dx2
(207)
1=2
Vom nota k = 2mE . Veri…c¼ am imediat c¼ a dou¼ a solu¸tii liniar indepen~2 dente ale ecua¸tiei (5.188) sunt exp(ikx)
¸si
exp( ikx);
(208)
81 sau, echivalent, putem considera solu¸tiile reale sin(kx)
¸si
(209)
cos(kx):
Solu¸tia general¼a a ecua¸tiei (207) este, deci, combina¸tia liniar¼ a (x) = Aeikx + Be
ikx
(210)
;
unde A ¸si B sunt constante arbitrare. S¼ a nu uit¼ am, îns¼ a, c¼ a dintre toate solu¸tiile acceptabile din punct de vedere matematic trebuie s¼ a le re¸tinem numai pe acelea care au ¸si sens …zic. Una dintre cerin¸te este aceea ca func¸tia s¼ a nu devin¼ a in…nit¼ a la +1 sau la 1 (sau la amândou¼ a capetele). Acest lucru se poate întâmpla numai dac¼ a m¼ arimea k este pur real¼ a (nu are parte imaginar¼ a). În acest caz E=
~2 k 2 =) E 2m
(211)
0:
(Sau E V0 ; dac¼ a V0 n-ar … fost ales egal cu zero). Deoarece nu apare nici o restric¸tie asupra lui E (exeptând, …re¸ste, E 0) spectrul energetic al lui E va … continuu (pe toat¼ a semiaxa real¼ a E 2 2 2 [0; +1)): Cum E = ~2mk , …ecare valoare proprie a energiei este dublu degenerat¼ a, în¸telegând prin aceasta a exist¼ a dou¼ a func¸tii proprii: una cu q q c¼ 2mE k = + 2mE iar alta cu k = . S¼ a not¼ am p = ~k. Atunci solu¸tiile ~2 ~2 ecua¸tiei Schrödinger se pot scrie sub forma k (x)
= C exp( ikx) = C exp( ipx=~):
3.1.1 Interpretarea …zic¼ a a solu¸tiilor particulei libere. Solu¸tia general¼ a a ecua¸tiei Schrödinger dependent¼ a de timp pentru particula liber¼ a este (x; t) = (Aeikx + Be
ikx
)e
iEt=~
= Aei(kx
!t)
+ Be
i(kx+!t)
;
(212)
unde ! = E=}. Pentru a interpreta …zic func¸tia de und¼ a s¼ a consider¼ am câteva cazuri particulare. Dac¼ a B = 0, func¸tia de und¼ a rezultant¼ a este unda plan¼ a (x; t) = Aei(kx
!t)
:
(213)
82 Aceast¼ a und¼ a este asociat¼ a unei particule libere de mas¼ a m, mi¸ scându-se de-a lungul axei x în sensul ei pozitiv, cu un impuls bine de…nit de m¼ arime 2 2 p2 p = ~k ¸si energie corespunz¼ atoare E = 2m = ~2mk : Unda plan¼ a are pulsa¸tia 2 ! = E=~ = ~k ¸si k = ~p = 2 , unde este lungimea de und¼ a de Broglie 2m a particulei. Aceasta reprezint¼a o vibra¸tie deplasându-se în sensul pozitiv al ~k axei x cu viteza de faz¼a vf = !k = 2m : Densitatea de probabilitate corespunz¼ atoare undei plane este P = j (x; t)j2 = jAj2 :
(214)
Aceast¼ a densitate de probabilitate nu este numai independent¼ a de timp (starea sta¸tionar¼ a), ci ¸si de variabila x, astfel încât pozi¸tia particulei pe axa x este complet necunoscut¼a ; rezultatul este în concordan¸ta¼ cu rela¸tia Heisenberg de nedeterminare x ! 1:
p = 0 =)
(215)
Un alt caz particular al ecua¸tiei Schrödinger se ob¸tine pentru A = 0. Aceasta conduce la unda plan¼ a (x; t) = Be
i(kx+!t)
(216)
:
care corespunde unei oscila¸tii de num¼ ar de und¼ a k = p=~ ¸si pulsa¸tie ! = 2 E=~ = ~k =2m, propagându-se în direc¸tia negativ¼a a lui x cu viteza de faz¼ a vf = !=k = ~k=2m, descriind mi¸scarea unei particule libere în sensul negativ al axei x, dar a c¼ arei pozi¸tie pe aceast¼ a ax¼ a este complet necunoscut¼ a. Putem analiza ¸si cazurile A = B sau A = B. În primul caz, se adun¼ a dou¼ a unde plane ce se propag¼ a în sensuri opuse, cu amplitudini egale (x; t) = A(eikx + e
ikx
)e
i!t
= Ce
i!t
cos kx;
(217)
cu C = 2A: Un rezultat similar se ob¸tine pentru A = B. În aceste cazuri, densitatea de probabilitate este P = j (x; t)j2 = 4 jAj2 cos2 kx
(218)
care corespunde unor zone de probabilitate maxim¼ a alternând cu zone de probabilitate zero. Avem de-a face cu o und¼a sta¸tionar¼a. De¸si, acum, densitatea de probabilitate nu mai este constant¼ a ci modulat¼ a cu factorul cos2 kx, tot nu se poate vorbi de o localizare a particulei, ea putându-se g¼ asi oriunde a, pe axa real¼ a, dar în …ecare element de lungime 2 cu probabilitate variabil¼ vezi Fig.3.1.
83
Fig.3.1
3 1.2 ”Normarea”func¸tiei de und¼ a a particulei libere Deoarece integrala I=
Z1
Aeikx + Be
ikx 2
dx
(219)
1
este in…nit¼ a pentru orice A 6= 0 ¸si B 6= 0, func¸tia de und¼ a a particulei libere nu poate satisface condi¸tia de normare Z1
j (x)j2 dx = 1:
1
Am v¼ azut c¼ a func¸tii de und¼ a de acest tip - unde plane - reprezint¼ a un sistem …zic idealizat - particula liber¼ a cu impulsul bine precizat - adic¼ a cu p = 0. Mai realist este s¼ a reprezent¼ am particulele sub forma unor pachete de und¼ a, de extensie …nit¼ a x, dar în acest caz impulsul nu mai poate … m¼ asurat cu o precizie absolut¼ a ( p = 0). O alt¼ a cale de a norma astfel de func¸tii de und¼ a este de a introduce particula într-o cutie (în cazul nostru, o cutie ”unidimensional¼ a”de lungime L) pe pere¸tii c¼ areia func¸tia de und¼ a trebuie s¼ a satisfac¼ a condi¸tii la limit¼ a, adic¼ a s¼ a impunem ca (220) k (x + L) = k (x):
84 Atunci, rezult¼ a c¼ a parametrul k poate lua numai valori discrete k=
2 n, L
(221)
n = 0; 1; 2; :::
Spectrul valorilor proprii ale energiei devine, ¸si el, discret 2 2 ~2 2 ~2 k 2 = n; 2m mL2
En =
…ecare valoare proprie …ind dublu degenerat¼ a. Dac¼ a L cre¸ste, distan¸ta dintre nivelele energetice succesive scade, astfel încât, pentru o cutie macroscopic¼ a, spectrul este practic continuu. Acum, func¸tiile proprii ale impulsului pot … normate, impunând ca în cutia de latur¼ a L, L Z2 j k (x)j2 dx = 1; L 2
astfel încât jCj2 = L
1
¸si func¸tiile proprii normate devin k (x)
1 = p exp(ikx): L
(222)
Observ¼ am c¼ a aceste func¸tii sunt chiar ortonormate, deoarece L
Z2
L
k0 (x)
k (x)dx
=L
L 2
1
Z2
exp[i(k
k 0 )x]dx =
kk0 :
(223)
L 2
Dac¼ a L devine foarte mare, k devine foarte mic sau, pentru a avea valori rezonabile ale lui k, n trebuie s¼ a devin¼ a foarte mare. În acest ultim caz, unei varia¸tii dn –care, de¸si nu poate … mai mic¼ a decât unitatea, este totu¸si in…nit mic¼ a în compara¸tie cu n –îi corespunde o varia¸tie dk = Atunci
1 P
2 dn: L
(224)
se transform¼ a în integrala
n= 1
Z1 1
L dn = 2
Z1 1
dk
(225)
85 ¸si rela¸tia de închidere ia forma Z1
Z1
1 k (x ) k (x)dk = 2 0
1
exp[ik(x
x0 )]dk = (x
x0 ):
(226)
1
Transformata Fourier a acestei ultime rela¸tii devine Z1
exp[i(k
k 0 )x]dx = (k
k 0 ):
(227)
1
¸si, deci, dac¼ a alegen func¸tiile proprii ale impulsului de forma k
1 = p exp(ikx) 2
(228)
atunci ele sunt ortonormate pe întreaga ax¼ a, x în raport cu func¸tia a lui Dirac Z1 (x) k (x)dx = (k k 0 ): (229) k0 1
3.2 Bariera de poten¸tial. Efectul tunel Vom analiza bariera de poten¸tial dreptunghiular¼ a, pentru care poten¸tialul este discontinuu în dou¼ a puncte, de exemplu în x = 0 ¸si x = a, Fig.3.2.
Fig.3.2
V (x) = V0 ; dac¼ a0
86 V (x) = 0; dac¼ a x < 0 sau x > a Din punct de vedere clasic, o particul¼ a cu energia E care se a‡a¼ în regiunea x < 0, incident¼ a dinspre stânga pe bariera de poten¸tial se va re‡ecta pe aceast¼ a barier¼ a în cazul în care E < V0 sau poate depa¸si bariera …ind transmis¼ a în regiunea x > 0, dac¼ a E > V0 : Cuantic, exist¼ a o probabilitate diferit¼ a de zero ca particula s¼ a …e re‡ectat¼ a sau ca particula s¼ a …e transmis¼ a atât în cazul E < V0 cât ¸si în cazul E > V0 . Contrar situa¸tiei clasice, particula cu E < V0 poate trece dincolo de barier¼ a ¸si s¼ a se g¼ aseasc¼ a în regiunea x > a, inaccesibil¼ a din punct de vedere clasic. Acest fenomen se nume¸ste efectul tunel ¸si are foarte multe aplica¸tii în …zica modern¼ a (de exemplu, dioda tunel sau microscopul cu scanare la rezolu¸tie atomic¼ a). Primul caz pe care îl rezolv¼ am este ecua¸tia st¼ arilor sta¸tionare pentru E < V0 , în regiunile x < 0; 0 < x < a; ¸si x > 0, adic¼ a d2 (x) + k12 (x) = 0 ; dx2 d2 (x) dx2
k22 (x) = 0 ;
x < 0¸si k12 =
pentru
pentru 0 < x < a¸si k22 =
d2 (x) + k12 (x) = 0 ; pentru dx2 Solu¸tiile generale ale ecua¸tiilor de mai sus sunt (x) = Aeik1 x + Be (x) = F e
k2 x
ik1 x
+ Gek2 x
(x) = Ceik1 x + De
;
2m (V0 }2
;
E)
x > a:
pentru x < 0
pentru 0 < x < a
;
ik1 x
2mE }2
(230)
pentru x > a:
Deoarece am presupus c¼ a particula sose¸ste dinspre stânga barierei de poten¸tial, la dreapta barierei poate exista numai unda transmis¼ a a¸sa încât D = 0. Not¼ am faptul c¼ a G 6= 0, chiar dac¼ a acest coe…cient multiplic¼ a o func¸tie exponen¸tial¼ a cresc¼ atoare deoarece solu¸tia exponen¸tial¼ a este limitat¼ a la un interval …nit [0; a] ¸si este normat¼ a în acest interval. Din condi¸tiile de continuitate ale func¸tiei (x) ¸si ale derivatei sale în punctele x = 0 ¸si x = a se ob¸tine sistemul de patru ecua¸tii liniare cu coe…cien¸tii A; B; C; F ¸si G: A+B =F +G ik1 (A
B) = k2 ( F + G)
(231)
87 Fe k2 F e
k2 a k2 a
+ Gek2 a = Ceik1 a + k2 Gek2 a = ik1 Ceik1 a
Sistemul de ecua¸tii (231) poate … rezolvat exprimând constantele B; C; F ¸si G în func¸tie de A, coe…cient ce determin¼ a amplitudinea undei care descrie particula incident¼ a. Din rela¸tiile (230) ale func¸tiilor de und¼ a din cele trei regiuni considerate se poate în¸telege cu u¸surin¸ta¼ semni…ca¸tia …zic¼ a a diferi¸tilor termeni. Astfel, Aeik1 x reprezint¼ a unda incident¼ a; Be ik1 x reprezint¼ a unda re‡ectat¼ a din regiunea x < 0. Spre deosebire de treapta de poten¸tial (pentru E < V0 ), rezolvând sistemul (231) se ob¸tine B B < A A, adic¼ a amplitudinea undei re‡ectate este diferit¼ a de cea a undei incidente iar unda în regiunea x < 0 nu este o und¼ a sta¸tionar¼ a; F e k2 x ¸si Gek2 x din regiunea 0 < x < a sunt undele exponen¸tiale cunoscute în cazurile în care vectorul de und¼ a este imaginar; ik1 x Ce descrie unda transmis¼ a dincolo de bariera de poten¸tial; este termenul cel mai interesant, neavând analog casic. Coe…cientul de transmisie este dat de rela¸tia C C jCj2 T = 2 = AA jAj
Prin rezolvarea sistemului de ecua¸tii (231) se ob¸tine jCj2 T = = jAj2
1 1+
(
ek2 a
e
k2a
16 VE
1
E V0
0
2
)
=
1 1+
sinh2 k2 a 4 VE 1 VE 0
(232)
0
Expresia coe…cientului de transmisie dat¼ a de rela¸tia (232) se simpli…c¼ a foarte mult în cazul particular al unei bariere înalte (E=V0 << 1) ¸si foarte largi (k2 a >> 1). Aceast¼ a ultim¼ a condi¸tie implic¼ a faptul c¼ a l¼ argimea barierei trebuie s¼ a …e mult mai mare decât lungimea de und¼ a de Broglie asociat¼ a 2k a particulei. În acest caz sinh2 k2 a cosh2 k2 a = e 22 ¸si T p
2m(V0 E)
16
E V0
1
E V0
e
2k2 a
(233)
Cum k2 = , din rela¸tia (233) se poate veri…ca faptul c¼ a T ! 0 ¸si } , deci, ajungem la limita clasic¼ a pentru: } ! 0 sau V0 ! 1 sau a ! 1. Subliniem de asemenea ¸si observa¸tia c¼ a, în timp ce din punct de vedere clasic T = 1 pentru orice valoare E > V0 , cuantic valoarea T = 1 se ob¸tine ca o limit¼ a asimptotic¼ a pentru E=V0 ! 1: Deci, cuantic, ¸si în cazul E > V0 exist¼ a o probabilitate diferit¼ a de zero ca particula s¼ a …e re‡ectat¼ a.
88 Analiza f¼ acut¼ a mai sus pentru bariera de poten¸tial simetric¼ a se poate utiliza ¸si în cazul poten¸tialelor mai complicate, ca cele din …gurile de mai jos (Fig.3.3 A ¸si B).
Fig.3.3 În cazul (A), calculele sunt similare celor efectuate în cazul barierei simetrice ¸si conduc, în situa¸tia mai interesant¼ a (bariera larg¼ a) la o expresie simpl¼ a a coe…cientului de transmisie de forma p 2a (234) T ke } 2m(V0 E) ; unde k este o func¸tie care depinde de parametrii a; E; V0 ¸si V1 indica¸ti în …gur¼ a. În multe cazuri, k se poate aproxima cu o constant¼ a (deoarece dependen¸ta de coe…cien¸tii de mai sus nu este foarte puternic¼ a) care, de cele mai multe ori, este egala cu unitatea. Spre deosebire de bariera simetric¼ a (V0 = V1 ), în acest caz energia cinetic¼ a a particulei în x = a, atunci când a dep¼ a¸sit bariera, este diferit¼ a de energia cientic¼ a cu care a ajuns la barier¼ a în x = 0: În …gura (B) este reprezentat¼ a o barier¼ a de poten¸tial V (x) de form¼ a arbitrar¼ a. În general, pentru un poten¸tial de aceast¼ a form¼ a, nu se poate g¼ asi o solu¸tie exact¼ a a ecua¸tiei st¼ arilor sta¸tionare. De cele mai multe ori bariera de poten¸tial este mult mai larg¼ a decât lungimea de und¼ a de Broglie asociat¼ a particulei ¸si se pot utiliza metode aproximative pentru rezolvarea ecua¸tiei Schr½odinger.
89 O astfel de metod¼ a care permite g¼ asirea solu¸tiei ecua¸tiei st¼ arilor sta¸tionare folose¸ste expresia coe…cientului tunel (234). Procedeul const¼ a în aproximarea curbei care descrie poten¸tialul V (x) cu mai multe bariere dreptunghiulare în regiunea cuprins¼ a între abscisele x1 ¸si x2 în care dreapta orizontal¼ a corespunz¼ atoare energiei E a particulei incidente intersecteaz¼ a bariera de poten¸tial (vezi …gura (B)). Dac¼ a dx este l¼ argimea unei astfel de bariere dreptunghiulare ¸si V (x) este în¼ al¸timea ei, coe…cientul de transmisie poate … aproximat cu T
k0 e
x R2
x1
2 }
p
2m(V (x) E)dx
:
(235)
3.3 Groapa de poten¸tial dreptunghiular¼ a in…nit¼ a
Fig.3.4 a a ¸si x > 2 2 a a V (x) = 0; pentru
90 energia cinetic¼ a (ciocniri elastice). Pentru particula clasic¼ a, este posibil¼ a orice valoare E …nit¼ a a energiei. Din punct de vedere cuantic se poate a…rma c¼ a în orice punct din afara regiunii [ a=2; a=2] densitatea de probabilitate trebuie s¼ a …e nul¼ a ¸si, deci, în orice punct din aceast¼ a regiune este nul¼ a ¸si func¸tia de und¼ a ( acest rezultat important poate … demonstrat rezolvând exact problema unei gropi de poten¸tial de în¼ al¸time …nit¼ a ¸si f¼ acând apoi s¼ a tind¼ a la in…nit în¼ al¸timea gropii). Deci, ¸si în cazul cuantic, particula r¼ amâne în interiorul gropii. Acest fapt are, ca o consecin¸ta¼ direct¼ a, rezultatul c¼ a numai anumite valori discrete ale energiei E sunt permise, adic¼ a sunt solu¸tii ale ecua¸tiei st¼ arilor sta¸tionare. Ecua¸tia st¼ arilor sta¸tionare care trebuie rezolvat¼ a în intervalul a=2 < x < a=2 este simpl¼ a, V (x) …ind nul în interiorul gropii de poten¸tial. d2 (x) + k 2 (x) = 0 ; dx2
unde k 2 =
(x) = Aeikx + Be Exprimând func¸tiile Aeikx ¸si Be
ikx
ikx
(236) (237)
în termeni de sinus ¸si cosinus, ob¸tinem:
(x) = A(cos kx + i sin kx) + B(cos kx = (A + B) cos kx + i(A
2mE }2
i sin kx) =
B) sin kx = A0 sin kx + B 0 cos kx
(238)
unde am notat A0 = i(A B) ¸si B 0 = (A + B). Pe pere¸tii gropii de poten¸tial solu¸tia (237) trebuie s¼ a se racordeze continuu cu solu¸tia (x) = 0 din afara gropii, adic¼ a trebuie s¼ a se veri…ce condi¸tiile (x =
a=2) = 0 ) A0 sin( ka=2) + B 0 cos(ka=2) = =
A0 sin(ka=2) + B 0 cos(ka=2) = 0
(x = a=2) = 0 ) A0 sin(ka=2) + B 0 cos(ka=2) = 0
Subliniem faptul c¼ a, în punctele în care poten¸tialul este in…nit (x = prima derivat¼ a a func¸tiei proprii (x) nu este continu¼ a. Din rela¸tiile (238) ¸si (239) rezult¼ a
(239) (5.221) a=2),
2B 0 cos(ka=2) = 0
(240)
2A0 sin(ka=2) = 0
(241)
¸si În afara solu¸tiei banale A0 = B 0 = 0 care nu are semni…ca¸tie …zic¼ a deoarece corespunde unei func¸tii (x) identic nul¼ a, condi¸tiile (5.221) ¸si (240) sunt satisf¼ acute pentru A0 = 0 si cos(ka=2) = 0 )
3 5 ka = ; ; ; :: 2 2 2 2
91 ) k = kn =
n ; a
cu n întreg, impar
sau pentru B 0 = 0 si sin(ka=2) = 0 )
ka = 2( ); 4( ); ::: 2 2 2
sau
n ; cu n întreg, par. a Astfel, func¸tiile proprii (237) se pot împ¼ ar¸ti în dou¼ a clase: 1) func¸tiile proprii pare, adic¼ a (x) = ( x) k = kn =
(x) = B 0 cos(kn x);
cu kn = n =a
2)func¸tii proprii impare, adic¼ a (x) = (x) = A0 sin(kn x);
¸si n = 1; 3; 5; :::
(242)
( x)
cu kn = n =a ¸si n = 2; 4; 6:::
(243)
Nu exist¼ a solu¸tie pentru n = 0;deoarece aceasta ar corespunde func¸tiei (x) = 0 ¸si, deci, unei densit¼ a¸ti de probabilitate nul¼ a în timp ce noi ¸stim c¼ a particula trebuie s¼ a se a‡e în interiorul gropii. Constantele A0 ¸si B 0 din ecua¸tiile (241) ¸si (242) se determin¼ a utilizând condi¸tia de normare Za=2
j (x)j2 dx = 1;
a=2
rezultând
r
2 : (244) a În …gura de mai jos sunt reprezentate schematic func¸tiile proprii 1 (x); 2 (x); 3 (x); pentru n = 1; n = 2; n = 3: Se poate observa simetria func¸tiilor proprii fa¸ta¼ de punctul de simetrie x = 0 al poten¸tialului. 0
0
A =B =
Fig.3.5
92 Valorile energiei E rezultate din ecua¸tia st¼ arilor sta¸tionare sunt cuanti…cate, …ind cuanti…cate valorile posibile ale vectorului de und¼ a k: En =
}2 n (}kn )2 = 2m 2m a
2
=
}2 2 2 n; 2ma2
(245)
n se nume¸ste num¼ ar cuantic. În Fig.3.6 sunt reprezentate nivelele de energie permise pentru câteva valori ale lui n:
Fig.3.6 2 2
} Valoarea proprie cea mai mic¼ a posibil¼ a a hamiltonianului este E1 = 2ma 2. Este important s¼ a observ¼ am faptul c¼ a nu exist¼ a o valoare proprie pentru a a E = 0, adic¼ a particula a‡at¼ a în regiunea ; nu poate avea energia nul¼ a. 2 2 Acest lucru este o consecin¸ta¼ direct¼ a a principiului de nedeterminare; de fapt, dac¼ a particula nu poate ie¸si din groapa de poten¸tial, ea trebuie s¼ a se g¼ aseasc¼ a a a ; , adic¼ a coordonata sa este cunoscut¼ a cu într-un punct din intervalul 2 2 imprecizia x = a: Acest lucru implic¼ a existen¸ta unei limite cu care se poate cunoa¸ste impulsul particulei:
p x
h)
p
h= x
h=a:
Dac¼ a ar exista o stare cu E = 0, impulsul particulei în aceast¼ a stare ar trebui s¼ a …e bine de…nit ¸si egal cu zero ¸si incertitudinea p în determinarea impulsului ar trebui s¼ a …e, de asemenea, egal¼ a cu zero. Acest rezultat este în contradic¸tie cu principiul de nedeterminare ¸si semni…c¼ a faptul c¼ a, din punct de vedere cuantic, particula nu se poate a‡a în repaus în interiorul gropii de poten¸tial.. Diferen¸ta de energie dintre dou¼ a nivele succesive este E = En+1
En =
}2 2 (n + 1)2 2ma2
n2 = (2n + 1)
}2 2 : 2ma2
(246)
93 Se observ¼ a c¼ a E cre¸ste liniar cu n ¸si descre¸ste cu a; la limita a ! 1; E ! 0, adic¼ a energia nu mai este cuanti…cat¼ a ¸si toate valorile En devin posibile. De fapt, a ! 1 are semni…ca¸tia unei gropi de poten¸tial in…nit larg¼ a ¸si corespunde cazului unei particule libere pentru care spectrul valorilor proprii ale hamiltonianului este un spectru continuu. În …ne, func¸tiile de und¼ a corespunz¼ atoare func¸tiilor proprii ale operatorului hamiltonian vor avea forma n (x; t)
pentru n par (n > 0) ¸si
a 2
n (x; t)
pentru n impar ¸si
a 2
= A0 sin(kn x)e
a 2
} 2 n2 t 2ma2
i
} 2 n2 t 2ma2
a 2
= B 0 cos(kn x)e
a 2 n (x; t)
pentru x <
i
=0
¸si x > a2 :
3.4 Groapa de poten¸tial dreptunghiular¼ a …nit¼ a.
Fig.3.7 V (x) = V0 pentru x <
a 2
¸si x >
a 2
V (x) = 0
94 pentru a2 < x < a2 : Chiar dac¼ a nu este foarte simplu de analizat, acest poten¸tial este foarte util în cazul în care o particul¼ a se a‡a¼ sub ac¸tiunea unor for¸te care impun mi¸scarea ei într-o regiune bine de…nit¼ a. De exemplu, for¸tele care leag¼ a protonii ¸si neutronii într-un mediu sunt for¸te intense, cu raze scurte de ac¸tiune; poten¸tialul corespunz¼ ator este mult diferit de cel coulombian ¸si poate … aproximat destul de bine cu o groap¼ a de poten¸tial. Un alt caz interesant este cel al electronilor de conduc¸tie într-un metal. Electronii se pot mi¸sca liber în interiorul metalului dar, pentru a p¼ ar¼ asi metalul, trebuie s¼ a dep¼ a¸sesc¼ ao barier¼ a de poten¸tial. Poten¸tialul în care se g¼ asesc electronii poate … aproximat cu o groap¼ a dreptunghiular¼ a având în¼ al¸timea de ordinul unei zecimi de eV ¸si l¼ argimea egal¼ a cu dimensiunea metalului. Clasic, o particul¼ a cu E < V0 este constrâns¼ a s¼ a r¼ amân¼ a în interiorul gropii de poten¸tial. Cuantic îns¼ a, contrar cazului gropii in…nite, probabilitatea de a g¼ asi o particul¼ a în afara gropii, chiar ¸si pentru E < V0 , este diferit¼ a de zero. A¸sadar, trebuie s¼ a g¼ asim solu¸tii ale ecua¸tiei st¼ arilor sta¸tionare atât în interiorul cât ¸si în exteriorul gropii de poten¸tial; solu¸tii continue în punctele x = a=2 ¸si x = a=2: În intervalul [ a=2; a=2] , ecua¸tia pe care trebuie s¼ a o rezolv¼ am este (236) iar solu¸tiile sunt date de rela¸tiile (237) ¸si (238). În intervalul x < a=2 ¸si x > a=2 ecua¸tia pe care trebuie s¼ a o rezolv¼ am este: }2 d2 (x) + V0 (x) = E (x); 2m dx2
(247)
iar solu¸tiile acestei ecua¸tii vor avea forme diferite pentru E > V0 ¸si E < V0 : a) E > V0 ¸si solu¸tiile ecua¸tiei (247) sunt (x) = f
Ceik2 x + De F eik2 x + Ge
ik2 x ik2 x
pentru pentru
x< x>
a 2
a 2
(248)
unde k22 = 2m(E}2 V0 ) . A¸sadar, func¸tiile proprii pentru particula a‡at¼ a în groapa de poten¸tial …nit¼ a, în cazul E > V0 pot … scrise sub forma (x) = Ceik2 x + De (x) = Aeikx + Be
ikx
ik2 x
;
(x) = F eik2 x + Ge
pentru x <
;
a a
pentru ik2 x
;
a 2 (249)
95 cu k2 =
2mE }2
¸si k22 =
2m(E V0 ) : }2
(250)
În cazul E > V0 , clasic, particula nu r¼ amâne în interiorul gropii de poten¸tial. Cuantic, dac¼ a consider¼ am particula incident¼ a spre groap¼ a dinspre x negativ spre x pozitiv, termenul Ge ik2 x trebuie s¼ a …e zero deoarece reprezint¼ a unda a re‡ectat¼ a în semispa¸tiul x > 2 : Din condi¸tiile de continuitate ale func¸tiei (x) ¸si ale derivatei d dx(x) în x = a=2 ¸si x = a=2 se ob¸tin 4 ecua¸tii care permit exprimarea coe…cien¸tilor B; C; D ¸si F în func¸tie de amplitudinea A a undei incidente. În acest mod, ca ¸si în cazul treptei de poten¸tial se pot calcula coe…cien¸tii de re‡exie ¸si de transmisie. Oricare ar … valoarea E > V0 , exist¼ a numai o solu¸tie a ecua¸tiei st¼ arilor sta¸tionare, adic¼ a valorile proprii ale hamiltonianului sunt continue. b) E < V0 , k2 = ik1 ¸si solu¸tiile ecua¸tiei (247) sunt: (x) = Cek1 x + De (x) = Aeikx + Be
k1 x
ikx
k2 =
2mE }2
a 2
a a
pentru
;
(x) = F ek1 x + Ge cu
pentru x <
;
k1 x
;
¸si k12 =
2m(V0 E) : }2
(251)
(252)
În rela¸tiile (251), termenii exponen¸tiali care multiplic¼ a coe…cien¸tii D ¸si F tind la in…nit, respectiv pentru x ! 1 ¸si x ! 1, ¸si, deci, nu sunt normabili; rezult¼ a c¼ a D = 0 ¸si F = 0. Scriind exponen¸tialele complexe din (251) în termeni de sinus ¸si cosinus, ob¸tinem (x) = Cek1 x
pentru x <
;
(x) = A0 sin kx + B 0 cos kx ; (x) = Ge
k1 x
;
a 2
a a
Condi¸tiile de continuitate pentru (x) ¸si d dx(x) în punctele x = a=2 conduc la sistemul de patru ecua¸tii cu patru necunoscute: Ce
k1 a=2
=
k1 Ce
k1 a=2
= k(A0 cos ka=2 + B 0 sin ka=2)
A0 sin ka=2 + B 0 cos ka=2
(253)
a=2 ¸si x = (254) (255)
96 Ge
k1 a=2
= A0 sin ka=2 + B 0 cos ka=2
(256)
Gk1 e
k1 a=2
= k(A0 cos ka=2
(257)
B 0 sin ka=2):
Prin sumarea ¸si substituirea rela¸tiei (254) în (256 ¸si repetând accea¸si procedur¼ a cu (255) ¸si (257) se ob¸tine k1 a=2
2B 0 cos ka=2 = (C + G)e 2A0 sin ka=2 = ( C + G)e
(258)
k1 a=2
(259)
G)e
k1 a=2
(260)
2kB 0 sin ka=2 = k1 (C + G)e
k1 a=2
(261)
2kA0 cos ka=2 = k1 (C
:
Dac¼ a B 0 6= 0 ¸si (G + C) 6= 0, se pot împ¼ ar¸ti membru cu membru rela¸tiile (261) ¸si (258) ¸si rezult¼ a k tg (ka=2) = k1 : (262) Dac¼ a A0 6= 0 ¸si (G C) 6= 0, se pot împ¼ ar¸ti membru cu membru rela¸tiile (260) ¸si (259) ¸si ob¸tinem k ctg (ka=2) =
(263)
k1 :
Se poate veri…ca u¸sor faptul c¼ a, condi¸tiile (262) ¸si (263) nu pot … veri…cate simultan. Într-adev¼ ar, dac¼ a cele dou¼ a condi¸tii erau îndeplinite simultan, atunci 2 k[tg(ka=2)+ctg(ka=2)] = 0 )tg ka=2 = 1 ) k imaginar, în contradic¸tie cu faptul c¼ a, pentru E > 0, k este un num¼ ar real. Deci, pentru groapa de poten¸tial …nit¼ a, solu¸tiile pot … imp¼ ar¸tite în dou¼ a clase: 1) A0 = 0; 2) B 0 = 0;
si ktg (ka=2) = k1
G=C G=
si kctg (ka=2) =
C
(264) (265)
k1 :
Cu condi¸tia 1) din rela¸tia (264) rezult¼ a Ce
k1 a=2
= B 0 cos ka=2 ) C = G = B 0 ek
1 a=2
cos ka=2
¸si, deci, func¸tiile proprii corespunz¼ atoare sunt: (x) = [B 0 cos(ka=2) ek1 a=2 ]ek1 x (x) = B 0 cos kx
;
(x) = [B 0 cos(ka=2) ek1 a=2 ]e
pentru x <
;
pentru k1 x
;
a 2
a a
(266) (267) (268)
97 Func¸tiile de und¼ a din rela¸tiile (266), (267) ¸si (268) sunt func¸tii pare. Para0 metrul B se poate ob¸tine din condi¸tia de normare a func¸tiei de und¼ a în intervalul (-1; +1). Cu condi¸tia 2) din rela¸tia (265) rezult¼ a Ce
k1 a=2
=
A0 sin ka=2 )
C = G = A0 ek1 a=2 sin ka=2
iar func¸tiile proprii corespunz¼ atoare sunt (x) = [ A0 sin(ka=2) ek1 a=2 ]ek1 x
;
pentru x <
a 2
(269)
a a
;
pentru
2mE 2 2m(V0 E) 2 a + a }2 }2 2mV0 a2 = = constant: }2
(k 2 a2 + k12 a2 ) =
(272)
Deci, pentru o valoare …x¼ a V0 a poten¸tialului, suma p¼ atratelor m¼ arimilor y = ka ¸si x = ka trebuie s¼ a …e constant¼ a. Ecua¸tia (272) este ecua¸tia unui cerc în planul cu axele x = ka ¸si y = k1 a (cu k > 0 ¸si k1 > 0). Aceasta înseamn¼ a c¼ a pentru …ecare valoare k rezult¼ a în mod univoc determinat valoarea corespunz¼ atoare k1 : Pe de alt¼ a parte m¼ arimile k ¸si k1 satisfac rela¸tiile (264) sau (265. A¸sadar, solu¸tiile k ¸si k1 care le c¼ aut¼ am corespund intersec¸tiei
98 arcului de cerc dat de ecua¸tia (272) în primul cadran al planului cartezian (k > 0 ¸si k1 > 0) cu func¸tia ka tg(ka=2) = k1 a
(273)
ka ctg(ka=2) = k1 a
(274)
sau cu func¸tia Aceste intersec¸tii sunt în num¼ ar …nit ¸si corespund, alternativ, solu¸tiilor pare, respectiv solu¸tilor impare, ca în Fig.3.8.
Fig.3.8 S¼ a presupunem c¼ a l¼ argimea a gropii de poten¸tial este …x¼ a. Dac¼ a V0 scade, raza cercului scade ¸si num¼ arul de intersec¸tii, de asemenea, scade. În consecin¸ta¼, ¸si num¼ arul nivelelor energetice corespunz¼ atoare st¼ arilor legate o s¼ a 2 }2 2 2 scad¼ a. Nivelele energetice depind de produsul V0 a . Pentru 0 < V0 a < 2m exist¼ a numai un nivel energetic ¸si apar¸tine clasei de solu¸tii 1). Pentru 2 }2 2 2 < V0 a2 < 4 2m} exist¼ a dou¼ a nivele energetice apar¸tinând ambelor clase 2m de solu¸tii, ¸si a¸sa mai departe. Considera¸tiile f¼ acute în acest paragraf se pot generaliza în cazul poten¸tialelor atractive de o form¼ a mai complicat¼ a decât groapa de poten¸tial. În general, ori de câte ori exist¼ a un poten¸tial atractiv, st¼ arile propii ale operatorului hamiltonian pot … împ¼ ar¸tite în dou¼ a grupe: 1)st¼ arile proprii corespunz¼ atoare st¼arilor legate în care energia cinetic¼ aa particulelor nu este su…cient de mare pentru a învinge for¸tele atractive iar func¸tia de und¼ a este diferit¼ a de zero într-o regiune …nit¼ a din spa¸tiu ¸si egal¼ a cu zero în afara acestei regiuni;
99 2) st¼ arile proprii corespunz¼ atoare st¼arilor nelegate în care energia cinetic¼ a a particulei este destul de mare pentru a învinge for¸tele atractive ¸si func¸tia de und¼ a este de tip oscilatoriu în tot spa¸tiul. În cazul st¼ arilor legate valorile proprii sunt discrete iar în cazul st¼ arilor nelegate valorile proprii sunt continue. Aceste caracteristici generale r¼ amân valabile ¸si pentru poten¸tialele tridimensionale a¸sa cum este, de exemplu, poten¸tialul coulombian în care se a‡a¼ un electron într-un atom sau în cazul poten¸tialelor interatomice (de exemplu poten¸tialul van der Waals).
100
Fig.3.9
101
3.5 Oscilatorul armonic liniar Problema oscilatorului armonic liniar este, în fond, strâns legat¼ a de începuturile teoriei cuantice. În de…nitiv, chiar postulatul lui Planck E = nh nu reprezint¼ a altceva decât spectrul energetic discret al oscilatorului armonic care se reg¼ ase¸ste – cu o modi…care minim¼ a –¸si printr-un calcul riguros de mecanic¼ a cuantic¼ a. Energia poten¸tial¼ a ce determin¼ a for¸ta elastic¼ a este 1 V (x) = kx2 : 2 Atunci operatorul hamiltonian va … H=
~2 d2 1 + kx2 2 2m dx 2
(275)
iar ecua¸tia Schrödinger cu valori proprii pentru energie se scrie ~2 d2 (x) 1 2 + kx (x) = E (x): 2m dx2 2
(276)
Poten¸tialul armonic …ind parabolic, cu dou¼ a ramuri simetrice extinzându-se la in…nit, orice valoare proprie pozitiv¼ a, E > 0, corespunde unei st¼ ari legate. S ¸tiind c¼ a pulsa¸tia unui oscilator clasic este p (277) ! = k=m; s¼ a introducem m¼ arimea adimensional¼ a =
2E : ~!
(278)
S¼ a utiliz¼ am ¸si variabila adimensional¼ a (279)
= x cu =
mk ~2
1 4
m! = ~
1 2
:
(280)
102 Ecua¸tia Schrödinger se poate rescrie astfel d2 ( ) +( d 2
2
) ( ) = 0:
(281)
Avantajul unei astfel de forme const¼ a în aceea c¼ a analiza solu¸tiilor nu este legat¼ a de unit¼ a¸tile de m¼ asur¼ a folosite, cu alte cuvinte, variabila x poate … considerat¼ a mare dac¼ a este m¼ asurat¼ a în A, dar mic¼ a dac¼ a este m¼ asurat¼ a în metri. Variabila poate … mare sau mic¼ a în sens absolut. Idem, pentru perechea E ¸si . S¼ a analiz¼ am atunci comportarea lui ( ) în regiunea j j ! 1: Pentru orice valoare …nit¼ a a lui E, deci …nit, aceasta devine neglijabil¼ a în raport 2 cu ¸si rela¸tia (281) se reduce la d2 d 2
2
( ) = 0:
Func¸tiile ( )=
p
e
2
=2
;
(282)
(283)
satisfac ecua¸tia (282) pentru j j su…cient de mare ¸si orice valoare …nit¼ a a lui p. Solu¸tia acceptabil¼ a …zic, adic¼ a …nit¼ a chiar ¸si pentru = 1, este îns¼ a numai aceea în care la exponent în rela¸tia (283) re¸tinem doar semnul negativ. Vom c¼ auta pentru ecua¸tia (281) solu¸tii de forma ( )=e
2
=2
H( );
(284)
unde H( ) sunt func¸tii ce nu trebuie s¼ a contravin¼ a comport¼ arii asimptotice (283). Înlocuind în (281) expresia (283) se ob¸tine o ecua¸tie pentru H( ) de forma d2 H( ) d 2
2
dH( ) +( d
1)H( ) = 0;
(285)
numit¼ a ecua¸tia Hermite. Dac¼ a analiz¼ am expresia (275 a hamiltonianului H(x) se vede imediat c¼ a (H(x) nu trebuie confundat cu func¸tia H( )) H(x) = H( x): Atunci, ecua¸tia Schrödinger H(x) (x) = E (x)
(286)
103 se transform¼ a în H( x) ( x) = E ( x) dac¼ a facem transformarea x !
x. Dar, cu (286)
H(x) ( x) = E ( x); adic¼ a odat¼ a cu (x) ¸si ( x) este func¸tie proprie pentru H(x) cu aceea¸si valoare proprie E. Dac¼ a aceasta este nedegenerat¼ a rezult¼ a rela¸tia (287)
( x) = c (x) Schimbând din nou x !
x ob¸tinem (x) = c ( x)
sau (x) = c2 (x); adic¼ a c=
1;
( x) =
(288)
(x):
Rela¸tia (288) ne spune c¼ a func¸tiile proprii se pot împ¼ ar¸ti în dou¼ a mari categorii: pare la inversia coordonatei spa¸tiale ¸si impare la aceast¼ a inversie. 2 Cum e =2 este întotdeauna par¼ a la inversie, va trebui s¼ a discut¼ am separat func¸tiile H( ) pare sau impare. Cazul par H( ) = H( ): (289) Vom dezvolta func¸tia H( ) în seria de puteri H( ) =
1 X
ck
2k
;
k=0
co 6= 0
(290)
care con¸tine numai puteri pare în . Introducând seria în ecua¸tia (285) ob¸tinem 1 1 X X 2(k 1) 2k(2k 1)ck + ( 1 4k)ck 2k = 0 k=1
sau
1 X k=0
k=0
[2(k + 1)(2k + 1)ck+1 + (
1
4k)ck ]
2k
= 0:
(291)
104 Cum ¸sirul func¸tiilor k este liniar independent, coe…cientul …ec¼ arei puteri a lui trebuie s¼ a se anuleze separat, ob¸tinându-se astfel o rela¸tie de recuren¸t¼a ck+1 =
4k + 1 ck : 2(k + 1)(2k + 1)
(292)
co …ind diferit de zero, se pot determina to¸ti coe…cien¸tii seriei, ob¸tinându-se o solu¸tie a ecua¸tiei Hermite. Chiar dac¼ a s-a g¼ asit astfel o solu¸tie matematic¼a a ecua¸tiei Hermite, ea nu reprezint¼ a, în general. ¸si o solu¸tie acceptabil¼a …zic. Într-adev¼ ar, pentru k mari, ck+1 =ck / 1=k;
(293)
unde / are semni…ca¸tia ”se comport¼ a ca”. Dar tot a¸sa se comport¼ a seria 2p exp( 2 ) unde p este …nit. Atunci comportarea asimptotic¼ a a func¸tiei de und¼ a ( ) va … 2 ( ) / 2p exp =2 (294) j j!1
care este evident neacceptabil¼ a, tinzând spre in…nit. Singura modaliate de a evita comportarea exponen¸tial¼ a cresc¼ atoare exp( 2 ) (care anuleaz¼ a com2 portarea descresc¼ atoare a lui exp( =2)) ar … ca seria in…nit¼ a de puteri (290) s¼ a …e redus¼ a la un polinom. Acest lucru se poate întâmpla dac¼ a, de la un N încolo, to¸ti coe…cien¸tii cN +1 ar … zero. Din rela¸tia de recuren¸ta¼ (292) acest lucru are loc atunci când = 2N + 1;
N = 0; 1; 2; :::
(295)
deci, func¸tia H( ) se transform¼ a într-un polinom de gradul 2N în iar func¸tia proprie ( ) este acceptabil¼ a …zic, tinzând c¼ atre zero când j j ! 1. Cazul impar H( ) = H( ): (296) Vom dezvolta acum func¸tia H( ) dup¼ a seria de puteri H( ) =
1 X
dk
k=0
2k+1
;
do 6= 0;
(297)
ob¸tinându-se rela¸tia de recuren¸ta¼ dk+1 =
4k + 3 dk ; 2(k + 1)(2k + 3)
(298)
¸si, mutatis mutandis, ob¸tinem solu¸tii acceptabile …zic numai dac¼ a H( ) este redus¼ a la un polinom cu condi¸tia = 4N + 3;
N = 0; 1; 2; :::
(299)
105 Pentru ca rela¸tiile (295) ¸si (299) s¼ a se veri…ce simultan, valoarea lui s¼ a …e num¼ ar întreg pozitiv impar, adic¼ a = 2n + 1;
n = 0; 1; 2; :::
trebuie (300)
pentru a avea solu¸tii acceptabile …zic. Cuanti…carea valorii parametrului conduce imediat la cuanti…carea energiei En =
n+
1 2
~! =
1 2
n+
h ,
n = 0; 1; 2; :::
(301)
asem¼ an¼ ator dar nu identic, cu rezultatul stipulat de Planck în 1900. Întradev¼ ar, postulatul lui Planck era En = n~!, sau valoarea minim¼ a a energiei egal¼ a cu zero. Clasic, la energie zero, particula se a‡a¼ în vârful parabolei ce exprim¼ a poten¸tialul V (x) = 21 kx2 , ce ar presupune atât o determinare precis¼ a a pozi¸tiei cât ¸si a impulsului, fapt perfect compatibil cu …zica calsic¼ a. În teoria cuantic¼ a, îns¼ a, principiul de nedeterminare interzice acest lucru, chiar în starea fundamental¼ a energia este 12 ~!: Func¸tiile proprii vor … n(
)=e
2
=2
(302)
Hn ( );
unde func¸tiile Hn ( ) sunt polinoame de ordinul n pare sau impare ¸si satisfac ecua¸tia Hermite cu = 2n + 1, adic¼ a d2 Hn d 2
2
dHn + 2nHn = 0: d
(303)
Datorit¼ a importan¸tei lor în …zic¼ a, în general (nu numai în mecanica cuantic¼ a), propriet¼ a¸tile acestor polinoame au fost îndelung studiate. Ele se pot ob¸tine, de exemplu, cu rela¸tia 2
dn e : Hn ( ) = ( 1) e d n n
2
(304)
Primele cinci polinoame Hermite sunt H0 ( H1 ( H2 ( H3 ( H4 ( H5 (
) ) ) ) ) )
= = = = = =
1 2 4 2 2 8 3 12 16 4 48 2 + 12 32 5 160 3 + 120 :
(305)
106 Polinoamele Hermite se pot ob¸tine ¸si cu ajutorul func¸tiei generatoare G( ; s) G( ; s) = e
1 X Hn ( ) n s : = n! n=0
s2 +2s
(306)
Fiec¼ arei valori discrete En = (n + 21 )~! îi corespunde numai una dintre func¸tiile proprii …zic acceptabile n(
2 x2 =2
x) = Nn e
Hn ( x):
(307)
M¼ arimea Nn este o constant¼ a de normare ce trebuie determinat¼ a astfel încât Z1
j
2 n (x)j
dx =
jNn j2
Z1
2
e
Hn2 ( )d = 1:
(308)
1
1
F¼ acând un calcul în care se folose¸ste ¸si func¸tia generatoare de…nit¼ a anterior, se poate determina constanta de normare 1 2
p
Nn =
(309)
:
2n n!
Mai mult, func¸tiile normate 1 2
n(
x) =
p
2n n!
2 x2 =2
e
Hn ( x)
(310)
sunt chiar ortonormate, adic¼ a Z1
n (x)
m (x)dx
=
nm :
1
În multe situa¸tii în care intervine interac¸tia radia¸tiei cu oscilatorii cuantici este necesar s¼ a se calculeze m¼ arimile xnm xnm
Z1
n (x)x
m (x)dx
=
Nn Nm 2
1
Din nou, folosindu-se func¸tia generatoare 8 < 0 1 n+1 1=2 ( ) ; xnm = : 1 n 2 1=2 (2) ,
Z1
e
2
Hn ( )Hm ( )d :
(311)
1
rezult¼ a c¼ a m 6= n 1 m=n+1 m=n 1
(312)
107 Din (312) se vede imediat c¼ a valoarea medie < x >= xnn = 0: De altfel. acest rezultat este evident dac¼ a observ¼ am c¼ a produsul x j n (x)j2 este o func¸tie impar¼a de x ¸si integrala de la 1 la +1 se anuleaz¼ a.
Compara¸tia cu teoria clasic¼ a În Fig.2.18 sunt reprezentate func¸tiile proprii n (x) ale oscilatorului armonic corespunz¼ atoare celor mai joase valori proprii. În aceea¸si …gur¼ a sunt 2 reprezentate ¸si densit¼ a¸tile de probabilitate corespunz¼ atoare, j n j , împreun¼ a cu densitatea de probabilitate clasic¼ a, Pc , corespunz¼ atoare oscilatorului clasic cu aceea¸si energie En : Clasic, pozi¸tia particulei este x = x0 sin !t (x0 …ind amplitudinea oscila¸tiei), iar viteza v = !x0 cos !t ¸si energia E = 2 2 m! p x0 =2. Punctele de întoarcere, corespunzând lui E = V (x), sunt x0 = 2E=m! 2 . Probabilitatea Pc (x)dx ca la o observare întâmpl¼ atoare particula clasic¼ a s¼ a …e g¼ asit¼ a în intervalul dx este egal¼ a cu frac¸tiunea din timpul total petrecut de particul¼ a în acel interval. Dac¼ a T = 2 =! este perioada de oscila¸tie, avem dx 1 2dx : (313) = Pc (x)dx = 2 T v (x0 x2 )1=2 Era de a¸steptat ca densitatea de probabilitate clasic¼ a Pc (x) s¼ a …e maxim¼ a în vecin¼ atatea punctelor de întoarcere x0 ; acolo unde viteza particulei se anuleaz¼ a. Din Fig.2.18 se observ¼ a c¼ a pentru valori mici ale num¼ arului cuantic n, densit¼ a¸tile de probabilitate cuantic¼ a a pozi¸tiei, j n j2 , sunt foarte diferite de densit¼ a¸tile corespunz¼ atoare, Pc , pentru oscilatorul clasic. În cazul st¼ arii 2 fundamentale (n = 0) densitatea de probabilitate cuantic¼ a j 0 j este maxim¼ a în x = 0, în timp ce particula clasic¼ a se a‡a¼ un timp mai lung în punctele de cap¼ at ale mi¸sc¼ arii. Îns¼ a, pe m¼ asur¼ a ce n cre¸ste, acordul dintre densit¼ a¸tile de probabilitate clasic¼ a ¸si cuantic¼ a se îmbun¼ at¼ a¸te¸ste.
108
Fig.3.10
109
CAPITOLUL 4
Momente cinetice ¸si magnetice în mecanica cuantica¼ 4.1 Momentul cinetic orbital Din mecanica clasic¼ a se ¸stie c¼ a în cazul unui sistem izolat se pot formula trei legi de conservare: a energiei, a impulsului ¸si a momentului cinetic, ob¸tinându-se 7 integrale prime ale mi¸sc¼ arii (atât impulsul cât ¸si momentul cinetic …ind m¼ arimi vectoriale). În cazul mi¸sc¼ arii unidimensionale, îns¼ a, momentul cinetic nu este o m¼ arime …zic¼ a interesant¼ a, raportat la un punct de pe axa mi¸sc¼ arii …ind identic zero. Lucrurile se schimb¼ a radical în cazul în care mi¸scarea sistemului este tridimensional¼ a. Desigur, sunt cazuri interesante în care mi¸scarea sistemului poate … considerat¼ a unidimensional¼ a. Un exemplu îl constituie penetrarea electronilor prin bariera de poten¸tial în jonc¸tiunile tranzistoarelor. În studiul atomilor, moleculelor sau al nucleelor este îns¼ a absolut necesar s¼ a lu¼ am în considera¸tie caracterul tridimensional al mi¸sc¼ arii. Drept consecin¸ta¼, momentul cinetic devine una dintre observabilele …zice cele mai interesante.
110
Fig.5.19 Clasic, momentul cinetic al unei particule, exprimat fa¸ta¼ de originea unui anumit sistem de coordonate este m¼ arimea vectorial¼ a L de…nit¼ a prin L=r
(5.297)
p;
unde r este vectorul de pozi¸tie al particulei – relativ la origine – iar p este vectorul impuls al particulei considerate (Fig.5.19) Folosind regula general¼ a c¼ a unei observabile clasice f (r; p; t) îi asociem ^
un operator cuantic f (r; i~r;t), putem scrie - în coordonate carteziene - operatorii cuantici ai proiec¸tiilor momentului cinetic pe cele trei axe ale sistemului de coordonate Lx = Ly = Lz =
@ @z @ i~ z @x @ i~ x @y i~ y
@ @y @ x @z @ y @x
z
(5.298) :
111 În cazul sistemelor în care energia poten¸tial¼ a prezint¼ a simetrie sferic¼ a (câmp central) V (r) V (r), se dovede¸ste a … foarte convenabil¼ a exprimarea m¼ arimilor …zice în coordonate polare sferice - pe scurt, coordonate sferice - a¸sa cum sunt de…nite în Fig.5.19 x = r sin cos ' y = r sin sin ' z = r cos :
(5.299)
În aceste coordonate operatorii momentului cinetic au forma @ @ + ctg cos ' @ @' @ @ cos ' + ctg sin ' @ @'
Lx = i~ sin ' Ly = i~ Lz =
i~
(5.300)
@ : @'
Vom …, de asemenea interesa¸ti de p¼ atratul momentului cinetic L2 = L2x + L2y + L2z care, în cazul coordonatelor sferice, se scrie 2
L =
~
2
1 @ sin @
@ sin @
1 @2 + : sin2 @'2
(5.301)
Expresia lui Lz din (5.300) putea … ob¸tinut¼ a direct, ¸tinându-se cont c¼ a Lz ¸si rota¸tia de unghi ' în jurul lui z sunt m¼ arimi observabile conjugate - în sensul în care avem perechile (x; px ) sau (t; E). Atunci ['; Lz ] = i~: Prin calcul direct se poate observa c¼ a cele trei componente Lx ; Ly ; Lz nu comut¼ a unele cu altele, deci nu pot … observate simultan. Îns¼ a, …ecare în parte, comut¼ a cu L2 :Deci, [Lx ; Ly ] [Ly ; Lz ] [Lz ; Lx ] Lx ; L2
= i~Lz = i~Lx = i~Ly = Ly ; L2 = Lz ; L2 = 0:
(5.302)
112 În aceast¼ a situa¸tie o func¸tie proprie pentru una dintre componente nu va … func¸tie proprie ¸si pentru celelalte componente, dar poate … func¸tie proprie pentru L2 : Datorit¼ a expresiei matematice mai simple, s¼ a discut¼ am problema 2 cu valori ¸si func¸tii proprii pentru operatorul Lz , apoi pentru L . Fie Lz U(') = ~mU(');
(5.303)
unde valoarea proprie am scris-o ca un produs între ~ (care are dimensiuni de moment cinetic) ¸si un num¼ ar adimensional m; altfel spus mometul cinetic este m¼ asurat în unit¼ a¸ti ~, valoarea numeric¼ a …ind m. Atunci i~
@U(') = ~mU('); @'
(5.304)
cu solu¸tia imediat¼ a U(') = eim' :
(5.305)
Dac¼ a din punct de vedere matematic U(') este o solu¸tie a ecua¸tiei (5.304) pentru orice valoare a lui m, pentru ca U(') s¼ a reprezinte o stare …zic¼a trebuie ca U(') s¼ a …e univalent¼ a, adic¼ a pentru orice ' func¸tia U(') trebuie s¼ a …e egal¼ a cu U(' + 2 ). Consecin¸ta important¼ a a acestei constrângeri este c¼ a m = 0; 1; 2; ::: (5.306) În alte cuvinte valorile posibile ale proiec¸tiei momentului cinetic pe axa Oz sunt valori întregi de ~. În cazul operatorului L2 ecua¸tia cu valori proprii este L2 Y
m(
; ') = ~2 Y
m(
(5.307)
; ');
unde am ¸tinut seama c¼ a Y ( ; ') trebuie s¼ a …e func¸tie proprie ¸si pentru Lz , deci, trebuie s¼ a …e de forma Y
m(
; ') = P
m(
)eim' :
(5.308)
Simpli…când func¸tia eim' , ob¸tinem ecua¸tia diferen¸tial¼ a pentru P 1 @ sin @ P 0
sin
@ @
m2 sin2
P
m(
)=
P
m(
):
m(
) (5.309)
) trebuie s¼ a îndeplineasc¼ a ¸si condi¸tia …zic¼ a de a r¼ amâne …nit¼ a pentru : Dac¼ a introducem variabila
m(
w = cos ;
(5.310)
113 atunci
1 d = sin d
d ; dw
dP + dw
m2 1 w2
¸si d (1 dw
w2 )
(5.311)
P = 0;
(5.312)
unde P (w) trebuie s¼ a …e …nit în intervalul 1
w
(5.313)
1:
S¼ a rescriem ecua¸tia (5.312) sub forma d2 P dw2
2w dP + 1 w2 dw 1
m2 P = 0: (1 w2 )2
w2
(5.314)
Datorit¼ a importan¸tei sale în …zic¼ a, dar ¸si în matematic¼ a, ecua¸tia (5.314) cu consecin¸tele sale a f¼ acut obiectul a numeroase studii. Func¸tiile P (w) care r¼ amân …nite oriunde în intervalul [ 1; 1], deci ¸si pentru w = 1; exist¼ a numai dac¼ a = l(l + 1) (5.315) unde l = jmj + k,
k întreg pozitiv.
Atunci valorile proprii ale lui L2 sunt ~2 l(l + 1);
l = 0; 1; 2; :::
(5.316)
l …ind mai mare sau egal cu jmj. Deci, pentru orice valoare l, valorile proprii posibile pentru Lz sunt ~m;
m = 0; 1; 2; :::; l;
(5.317)
în total (2l+1) valori. Func¸tiile P pe care le vom nota Plm (w) Plm (cos ) se numesc func¸tiile Legendre asociate. În cazul în care m = 0, func¸tiile Pl0 (w) se reduc la ni¸ste polinoame de grad l în w, notate simplu Pl (w) ¸si care se pot ob¸tine prin formula Pl (w) =
1 2l l!
d dw
l
(w2
1)l :
(5.318)
Primele câteva polinoame Legendre sunt prezentate mai jos P0 (w) = 1 P1 (w) = w P2 (w) = 21 (3w2
P3 (w) = 21 (5w3 3w) P4 (w) = 81 (35w4 30w2 + 3) 1) P5 (w) = 81 (63w5 70w3 + 15w):
(5.319)
114 Dup¼ a cum se vede, aceste polinoame sunt pare sau impare dup¼ a cum l este par sau impar. Func¸tiile asociate Legendre, Plm (w), se pot ob¸tine din polinoamele Legendre, Pl (w), prin formula d dw
m
w2 ) 2
Plm (w) = (1
m
(5.320)
Pl (w);
¸si sunt ele însele polinoame numai dac¼ a m este par. Dac¼ a îns¼ a ¸tinem cont c¼ a w = cos , atunci func¸tiile Plm (cos ) sunt polinoame în cos ¸si sin pentru orice m. Func¸tiile proprii ale lui L2 se pot scrie atunci Ylm ( ; ') = Nlm Plm (cos )eim' ; unde Nlm este o constant¼ a ce poate … determinat¼ a prin condi¸tia Z
2
jYlm ( ; 'j d =
Z2 Z 0
jYlm ( ; 'j2 sin d d' = 1:
(5.321)
0
Se poate ar¼ ata c¼ a func¸tiile Ylm normate, numite armonice sferice, sunt Ylm ( ; ') = im+jmj
2l + 1 (l jmj)! 4 (l + jmj)!
1=2
Plm (cos )eim' :
(5.322)
Mai mult, armonicele sferice astfel de…nite sunt chiar ortonormate, adic¼ a Z Ylm ( ; ')Yl0 m0 ( ; ') sin d d' = ll0 mm0 :
Rela¸tia de ortogonalitate de mai sus este valabil¼ a ¸si separat, adic¼ a hPl0 m0 (cos ) j Plm (cos )i = 0, D 0 E eim ' j eim' = 0;
0
l 6= l ; m 6= m
0
0
m 6= m :
Vom prezenta înc¼ a dou¼ a propriet¼ a¸ti importante ale armonicelor sferice. Una se refer¼ a la faptul c¼ a armonicele sferice formeaz¼ a un set complet, adic¼ a orice func¸tie f ( ; ') de…nit¼ a pe 0 ; 0 ' 2 se poate dezvolta într-o serie in…nit¼ a de forma f ( ; ') =
1 X l X
l=0 m= l
Blm Ylm ( ; ')
(5.324)
115 unde coe…cien¸tii numerici Blm se pot g¼ asi din rela¸tia Z Blm = Ylm ( ; ')f ( ; ') sin d d':
(5.325)
Cea de a doua proprietate important¼ a este aceea de închidere, care în acest caz se scrie X 0 0 ) (5.326) Ylm ( )Ylm ( ) = ( l;m
unde
0
( iar
) = 0;
Z
6=
0
( )d = 1:
Prezent¼ am mai jos câteva armonice sferice q q q 3 Y00 = 41 Y2; 2 = 45 sin2 e 2i' 8 q q q epi' 3 5 3 sin sin cos e Y1; 1 = Y2; 1 = 2 2 q 4 q 4 Y1;0 = 43 cos Y2;0 = 45 21 (3 cos2 1)
i'
(5.327)
4.2 Momentele magnetice
Cum putem m¼ asura momentele cinetice în mecanica cuantic¼ a? Exist¼ a procedee prin care se pot determina direct st¼ arile cuanti…cate ale momentelor cinetice (de exemplu, experien¸ta Einstein-de Haas) dar, de cele mai multe ori, determinarea se face indirect, m¼ asurându-se momentele magnetice ¸si interac¸tia lor cu câmpurile magnetice externe ¸si/sau interne. Atât experien¸ta, cât ¸si calculele teoretice –din nefericire destul de complicate –ne arat¼ a c¼ a dac¼ a în mi¸scarea lor particulele înc¼ arcate electric se a‡a¼ într-o stare a momentului cinetic diferit¼ a de zero, atunci în mod automat se face sim¸tit¼ a prezen¸ta unui moment magnetic. Putem constata acest lucru analizând, într-un model simplu (Bohr), mi¸scarea unui electron de mas¼ a m ¸si sarcin¼ a e în jurul unui nucleu. Considerând mi¸scarea uniform¼ a pe o orbit¼ a circular¼ a, intensitatea curentului electric pe orbit¼ a va … i=
e ev = : T 2 r
(5.329)
116 Din electrodinamic¼ a se ¸stie c¼ a o astfel de bucl¼ a de curent creeaz¼ a în spa¸tiu un câmp magnetic ale c¼ arui linii sunt echivalente cu acelea produse de un dipol magnetic elementar de m¼ arime l
= iA;
(5.330)
unde A este aria buclei. Momentul magnetic este orientat perpendicular pe planul orbitei, cum se vede în Fig.5.21
Fig.5.21
Din …gur¼ a se mai vede c¼ a sensul momentului magnetic l este opus sensului momentului cinetic întrucât sarcina electronului este negativ¼ a. Desigur, m¼ arimea momentului cinetic este L = mvr:
(5.331)
Introducând în (5.330) expresiile curentului ¸si ale ariei în func¸tie de raza traiectoriei ¸si de vitez¼ a avem l
= iA =
ev 2 evr r = : 2 r 2
(5.332)
Raportând (5.332) la (5.331) ob¸tinem l
L
=
evr e = : 2mvr 2m
(5.333)
117 S¼ a ¸tinem cont de rolul jucat de constanta lui Planck, ~, în …zica atomic¼ a ¸si s¼ a scriem rela¸tia anterioar¼ a sub forma gl B l = : (5.334) L ~ M¼ arimea
e~ = 0:927 10 23 A:m2 (5.335) 2m depinde numai de constantele universale e; ~; ¸si m. Ea reprezint¼ a un moment magnetic elementar, numit magneton Bohr. Factorul numeric gl este egal cu unitatea ¸si este introdus aici doar pentru a se p¼ astra unitatea de scriere în cazuri mai complicate când pot ap¼ area factori numerici diferi¸ti de 1: gl se nume¸ste factorul orbital g: Tinând ¸ cont ¸si de orientarea relativ¼ a a vectorilor l ¸si L se poate scrie rela¸tia general¼ a gl B L: (5.336) l = ~ Se observ¼ a c¼ a raportul dintre l ¸si L nu depinde de raza orbitei sau de frecven¸ta mi¸sc¼ arii orbitale. Calcule similare efectuate pentru orbite eliptice ne spun c¼ a l =L are aceea¸si valoare ca în (5.334) ¸si, deci, nu depinde de forma orbitei. Se poate ar¼ ata c¼ a acest rezultat se reg¼ ase¸ste ¸si printr-un calcul p riguros de mecanic¼ a cuantic¼ a dac¼ a m¼ arimea clasic¼ a L este înlocuit¼ a prin l(l + 1)~, iar Lz prin ml ~, adic¼ a p gl B p l(l + 1)~ = gl B l(l + 1); (5.337) l = ~ B
=
¸si
gl
B ml ~ = gl B ml : (5.338) ~ Interesul nostru este de a studia interac¸tia acestor momente magnetice cu un câmp magnetic extern de induc¸tie B. Asupra dipolului va ac¸tiona un cuplu lz
=
=
B
l
(5.339)
ce tinde s¼ a roteasc¼ a dipolul pe direc¸tia câmpului B, iar, asociat¼ a acestei tendin¸te, exist¼ a o varia¸tie a energiei poten¸tiale E=
l
B:
(5.340)
Dac¼ a nu exist¼ a un proces …zic prin care s¼ a se disipe energia poten¸tial¼ a de interac¸tie dintre l ¸si B, atunci E r¼ amâne constant¼ a. În aceste circumstan¸te nu se poate alinia dup¼ a B. Unghiul dintre ¸ s amâne constant iar l l i B r¼ efectul cuplului este doar acela de a roti pe l în jurul lui B pe pânza unui con cu unghiul la vârf 2 ca în Fig.5.22.
118
Fig.5.22 Analizând Fig.5.22 observ¼ am c¼ a vectorul cuplu , perpendicular pe B ¸si pe L d¼ a na¸stere unei varia¸tii a momentului cinetic dL = dt: M¼ arimea lui gl B este = ~ LB sin . De asemenea, dL = L sin !dt ¸si atunci !=
gl
B
~
B
sau, ¸tinând cont c¼ a rota¸tia se face în jurul lui B, frecven¸ta unghiular¼ a ! va … paralel¼ a cu B ¸si gl B != B: (5.340) ~ Acest fenomen poart¼ a numele de precesie Larmor iar frecven¸ta (pulsa¸tia) unghiular¼ a ! se nume¸ste frecven¸ta Larmor. De¸si, la prima vedere, acest fenomen pare straniu, s¼ a ne gândim c¼ a este perfect echivalent cu ”c¼ aderea” Lunii spre P¼ amânt sau ”c¼ aderea” P¼ amântului spre Soare. În ambele cazuri for¸tele sunt centrale ¸si atractive, totu¸si mi¸sc¼ arile sunt de rota¸tie în jurul centrelor de atrac¸tie ¸si nu de transla¸tie spre ele.
119 În cazul în care câmpul magnetic aplicat este uniform în spa¸tiu nu va exista o for¸ta¼ net¼ a care s¼ a imprime dipolului magnetic o mi¸scare de transla¸tie (de¸si va exista un cuplu ¸si o mi¸scare de precesie pe con). În cazul unui câmp neuniform poate ap¼ area o for¸ta¼ ce ac¸tioneaz¼ a asupra dipolului ¸si, deci, o transla¸tie a acestuia (dac¼ a este liber s¼ a se deplaseze). S¼ a consider¼ am cazul simplu, dar mult folosit în experien¸te, în care neuniformitatea se manifes¼ a numai de-a lungul lui B, direc¸tia sa …ind luat¼ a ca ax¼ a Oz.Atunci B (0; 0; B(z)) iar E=
lz B(z):
(5.341)
Aceast¼ a energie poten¸tial¼ a va depinde de valoarea lui B de-a lungul lui Oz deci va … E(z). Putem de…ni atunci o for¸ta¼ medie ce ac¸tioneaz¼ a asupra momentului magnetic l în direc¸tia z: Fz =
d E(z) = dz
lz
dB(z) : dz
(5.342)
4.3 Experien¸ta Stern-Gerlach ¸si spinul electronului În 1922 Stern ¸si Gerlach au m¼ asurat valorile posibile ale momentelor magne-tice dipolare ale atomilor de argint trimi¸tând un fascicul din ace¸sti atomi printr-un câmp magnetic neuniform. În Fig.5.23 este prezentat¼ a o schem¼ a a dispozitivului experimental.
Fig.5.23 S-a ob¸tinut un fascicul de atomi neutri prin evaporarea într-un cuptor a argintului. Fasciculul este colimat de o diafragm¼ a ¸si intr¼ a într-un magnet.
120 Sec¸tiunea transversal¼ a prin magnet ne arat¼ a c¼ a el produce un câmp ce cre¸ste în intensitate în sensul lui z, a¸sa cum este el de…nit în …gur¼ a, care este totodat¼ a ¸si sensul lui B. Cum atomii sunt în ansamblu neutri, singura for¸ta¼ a net¼ a ce ac¸tioneaz¼ a asupra lor este Fz din (5.342) care este propor¸tional¼ cu lz . Întrucât for¸ta ce ac¸tioneaz¼ a asupra …ec¼ arui atom din fascicul este propor¸tional¼ a cu valoarea lui lz , la trecerea prin câmpul magnetic …ecare atom va … deviat cu o valoare propor¸tional¼ a cu lz . Astfel fasciculul este analizat (fragmentat) în componente ce corespund diferitelor valori ale lui ti lovesc o plac¼ a metalic¼ a pe care se condenseaz¼ a lz . Atomii astfel devia¸ l¼ asând o urm¼ a vizibil¼ a. Dac¼ a vectorul moment magnetic are o m¼ arime l , atunci, în …zica clasic¼ a, componenta z, lz , a acestui vector poate avea orice valoare între si + l . l¸ Predic¸tiile mecanicii cuantice ne spun c¼ a lz poate avea numai valori discrete lz
=
gl
(5.343.a)
B ml
unde ml ia valori întregi ml =
l; l + 1; :::; 0; ::: + l
1; +l
(5.343.b)
Astfel, predic¸tia clasic¼ a este c¼ a fasciculul va … de‡ectat într-o band¼ a continu¼ a, în timp ce predic¸tia cuantic¼ a este c¼ a fasciculul va … de‡ectat ¸si despicat în câteva componente discrete.
Fig.5.24 Stern ¸si Gerlach au observat c¼ a fasciculul de atomi de argint este despicat în dou¼ a componente discrete, ca în Fig.5.24. Aceste rezultate reprezint¼ a, calitativ, o dovad¼ a experimental¼ a direct¼ a a cuanti…c¼ arii spa¸tiale a momentelor magnetice ¸si deci a momentelor cinetice. Totu¸si, rezultatele experien¸tei Stern-Gerlach nu concord¼ a cantitativ cu rela¸tiile (5.343a) ¸si (5.343b). Conform acestor rela¸tii num¼ arul valorilor posibile ale lui lz este num¼ arul valorilor posibile pentru ml care este 2l + 1. Dar cum l este întreg, acest num¼ ar va … întotdeauna impar. În plus, pentru
121 orice valoare a lui l exist¼ a întotdeauna printre valorile posibile ale lui ml ¸si valoarea zero. Astfel, faptul c¼ a fasciculul de atomi de argint este despicat numai în dou¼ a componente, ambele deviate, ne indic¼ a …e c¼ a ceva nu este în regul¼ a cu teoria Schrödinger a atomului, …e c¼ a ea este incomplet¼ a. Teoria Schrödinger de pân¼ a acum este corect¼ a, dar incomplet¼a. În 1927 Phipps ¸si Taylor au folosit tehnica Stern-Gerlach în cazul unui fascicul de atomi de hidrogen. În acest caz exist¼ a un singur electron. Vom vedea c¼ a în starea de energie cea mai joas¼ a – starea fundamental¼ a – teoria prezice c¼ a num¼ arul cuantic l are valoarea l = 0. Atunci este posibil¼ a doar valoarea ml = 0 ¸si ne a¸stept¼ am ca fasciculul s¼ a nu …e despicat. Totu¸si, Phipps ¸si Taylor au observat c¼ a fasciculul este despicat în dou¼ a componente deviate simetric. Astfel, în cadrul atomului mai trebuie s¼ a existe un moment magnetic care nu a fost luat în considera¸tie pân¼ a acum. Acest moment magnetic nu este e~ unde M este masa legat de nucleu întrucât ar trebui s¼ a …e de ordinul lui 2M protonului, dar din m¼ arimea despic¼ arii se estimeaz¼ a un moment de ordinul e~ e~ lui B = 2m , deci 2000 ori mai mare ca 2M . Împreun¼ a cu alte fapte experimentale, ast¼ azi este unanim admis c¼ a pe lâng¼ a momentul cinetic (¸si momentul magnetic) orbital, adic¼ a rezultat din mi¸scarea pe orbit¼ a în jurul nucleului, electronul posed¼ a ¸si un moment cinetic propriu S, numit spin. Ini¸tial aceast¼ a idee a p¼ arut ca …ind foarte normal¼ a, dac¼ a s-ar face o anologie cu momentul cinetic datorit mi¸sc¼ arii de revolu¸tie a P¼ amântului în jurul Soarelui ¸si cu momentul cinetic datorit rota¸tiei în jurul axei proprii. Ulterior, o astfel de imagine simpli…cat¼ a a fost abandonat¼ a întrucât venea în contradic¸tie cu teoria relativit¼ a¸tii. De¸si tot de esen¸ta¼ relativist¼ a, în momentul de fa¸ta¼ se accept¼ a c¼ a spinul electronului este o caracteristic¼ a intrinsec¼ a a sa, cum sunt de altfel ¸si sarcina e sau masa m Alteori este util s¼ a consider¼ am spinul ca a patra coordonat¼ a ( sau grad de libertate) pe lâng¼ a cele trei de pozi¸tie. Oricum am considera faptele, este clar acum c¼ a electronul, oricât de mic ar … el din punct de vedere geometric, nu mai poate … considerat un punct material. Vom presupune c¼ a S ¸si componenta Sz se pot exprima prin ni¸ste numere cuantice s ¸si ms prin rela¸tii identice cu cele din cazul momentului cinetic orbital p (5.344) S = s(s + 1)~; Sz = ms ~:
(5.345)
Presupunem, în plus, acela¸si tip de rela¸tii între momentul cinetic de spin ¸si momentul magnetic de spin ca ¸si cele dintre momentul cinetic orbital ¸si momentul magnetic orbital, s
=
gs B S; ~
(5.346)
122 sz
=
gs
(5.347)
B ms :
M¼ arimea gs este factorul g de spin. Dac¼ a accept¼ am, ca în cazul momentului cinetic orbital, c¼ a ms =
s; s + 1; ::: + s
1; +s
atunci, în cazul experien¸tei Phipps ¸si Taylor ms = iar
1 1 ; 2 2
1 s= : 2
(5.348)
(5.349)
M¼ asurându-se despicarea fasciculului, se poate evalua for¸ta Fz . M¼ asurânduse dBz =dz ¸si cunoscând valoarea lui B se poate determina experimental produsul gs ms . Phipps ¸si Taylor au g¼ asit gs ms = 1 ¸si cum ms = s, ajungem la concluzia c¼ a gs = 2: (5.350) Aceste concluzii au fost con…rmate prin multe alte experien¸te. Este interesant de notat c¼ a ideea spinului electronului este anterioar¼ a experien¸tei PhippsTaylor. Ea a fost introdus¼ a înc¼ a din 1925 de Goudsmit ¸si Uhlenbeek în studiul structurii …ne a spectrului hidrogenului, iar imaginea electronului ca un minuscul giroscop a fost discutat¼ a de Compton chiar din 1921.