Física - Uma Abordagem Estratégica - Vol4 - 2ª Ed 2009

VOLUME

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RELATIVIDADE FÍSICA QUÂNTICA

RAND ALL D . KNIG HT

Sobre o A Auto r utor Randy Knight leciona Física básica há 25 anos na Ohio State University, EUA, e na Califórnia

Polytechnic University, onde atualmente é professor de física. O professor Knight bacharelouse em Física pela Washington University, em Saint Louis, e doutorou-se em Física pela University of Califórnia, Berkeley. Fez pós-doutorado no Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics, antes de trabalhar na Ohio State University. Foi aí que ele começou a pesquisar sobre o ensino da física, o que, muitos anos depois, o levou a escrever este livro. Os interesses de pesquisa do professor Knight situam-se na área de laser e espectroscopia, com cerca de 25 artigos de pesquisa publicados. Ele também dirige o programa de estudos ambientais da Cal Poly, onde, além de física introdutória, leciona tópicos relacionados a energia, oceanografia e meio ambiente. Quando não está em sala de aula ou na frente de um computador, o professor Knight está fazendo longas caminhadas, remando em um caiaque, tocando piano ou usufruindo seu tempo com a esposa Sally e seus sete gatos.

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Knight, Radall. Física 4 [recurso eletrônico] : uma abordagem estratégica / Randall Knight ; tradução Clóvis Belbute Peres, Ana Rita de Avila Belbute Peres. – 2. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2009. Editado também como livro impresso em 2009. ISBN 978-85-7780-597-6 1. Física. 2. Relatividade. 3. Física quântica. I. Título. CDU 530.145 Catalogação na publicação: Renata de Souza Borges CRB-10/1922

RANDAL L D. KNIGHT

Tradução:

Clovis Belbute Peres Doutor em Ciências pela UFRGS

Ana Rita de Ávila Belbute Peres Bacharel em Tradução pela UFRGS Revisão técnica:

Trieste Freire Ricci Doutor em Ciências pela UFRGS Professor Adjunto do Instituto de Física da UFRGS

Versão impressa desta obra: 2009

2009

Obra srcinalmente publicada sob o título Physics for Scientists and Engineers, 2nd Edition. ISBN 0805327363 Authorized translation from the English language edition, entitled PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ND EDITION by KNIGHT, RANDALL D., published Pearson Education,Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2008. All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education,Inc. Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda, a Division of Artmed Editora SA, Copyright © 2009 Tradução autorizada a partir do srcinal em língua inglesa da obra intitulada PHYSICS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS: A STRATEGIC APPROACH WITH MODERN PHYSICS, 2ª EDIÇÃO, de autoria de KNIGHT, RANDALL D., publicado por Pearson Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley, Copyright © 2008. Todos os direitos reservados. Este livro não poderá ser reproduzido nem em parte nem na íntegra, nem ter partes ou sua íntegra armazenado em qualquer meio, seja mecânico ou eletrônico, inclusive reprográﬁco, sem permissão da Pearson Education,Inc. A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda., uma divisão da Artmed Editora SA, Copyright © 2009 Capa: Rogério Grilho, arte sobre capa srcinal Leitura ﬁnal: Andrea Czarnobay Perrot Supervisão editorial: Denise Weber Nowaczyk Editoração eletrônica: Techbooks

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à ARTMED® EDITORA S.A. ® (BOOKMAN® COMPANHIA EDITORA é uma divisão da ARTMED EDITORA S. A.) Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana 90040-340 – Porto Alegre – RS Fone: (51) 3027-7000 Fax: (51) 3027-7070 É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte, sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora. SÃO PAULO Av. Angélica, 1.091 – Higienópolis 01227-100 – São Paulo – SP Fone: (11) 3665-1100 Fax: (11) 3667-1333 SAC 0800 703-3444 IMPRESSO NO BRASIL PRINTED IN BRAZIL

Pr efácio essor Pre fácio para o Prof Professor Em 2003, publicamos Physics for Scientists and Engineers: A Strategic Approach . Foi o primeiro livro didático abrangente concebido com base na pesquisa sobre como os estudantes podem aprender física de maneira mais significativa. Os desenvolvimentos e testes que possibilitaram a publicação deste livro foram financiados pela National Science Foundation. Essa primeira edição tornou-se rapidamente o livro didático de física mais adotado em mais de 30 anos, obtendo reconhecimento crítico geral de professores e de estudantes. Esta segunda edição, agora traduzida para o português com o título Física: uma abordagem estratégica, foi escrita com base nas técnicas de ensino introduzidas na primeira edição e também no feedback de milhares de usuários com o objetivo de proporcionar um aprendizado ainda melhor para o estudante.

Os objetivos Meus principais objetivos ao escrever o Física: uma abordagem estratégica foram: ■ ■ ■

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Produzir um livro que fosse mais focado e coerente, e menos enciclopédico. Trazer resultados-chave da pesquisa em ensino de física para a sala de aula de uma maneira que permitisse aos professores adotar uma gama de estilos didáticos. Oferecer um equilíbrio entre o raciocínio quantitativo e a compreensão dos conceitos, com especial atenção aos conceitos que costumam causar dificuldades aos estudantes. Desenvolver de maneira sistemática as habilidades dos estudantes na resolução de problemas. Promover um ambiente de aprendizagem ativa.

Estes objetivos e os princípios que os embasam são discutidos detalhadamente em meu pequeno livro Five Easy Lessons: Strategies for Successful Physics Teaching (Addison-Wesley, 2002). Se for de seu interesse (ISBN 0-8053-8702-1), entre em contato com a editora srcinal, Addison-Wesley.

A organização da obra Todo o conteúdo desta obra está distribuído em quatro volumes. O Volume 1 trata das Leis de Newton, das Leis de Conservação e de algumas aplicações da Mecânica Newtoniana, como: Rotação de um Corpo Rígido, A Teoria de Newton da Gravitação e Oscilações. O Volume 2 abrange Fluidos, Elasticidade, Termodinâmica, Ondas e Óptica. O Volume 3 abrange todo o conteúdo sobre Eletricidade e Magnetismo. O Volume 4 trata da Relatividade, da Mecânica Quântica e da Física Atômica e Nuclear. Cada tópico é autoconsistente, e a seqüência dos capítulos pode ser rearranjada para se adequar à preferência do professor ou da universidade. Dessa forma, quase toda Mecânica Newtoniana se encontra no Volume 1, permitindo queestrutura os professores das da diversas universidades brasileiras possam ter maior flexibilidade na curricular disciplina. As razões para a organização adotada: a termodinâmica foi colocada antes do estudo

das ondas por ser uma continuação das idéias da mecânica. A idéia-chave na termodinâmica é a de energia, e passar direto da mecânica para a termodinâmica promove um desenvolvimento ininterrupto dessa idéia importante. Além disso, o estudo das ondas introduz os estudantes a funções de duas variáveis, e a matemática envolvida nos fenômenos ondulatórios é mais afim com a eletricidade e com o magnetismo do que com a

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Prefácio para o Professor

mecânica. Portanto, ir de ondas para campos, e de campos para a física quântica, permite uma transição gradual de idéias e habilidades. O propósito de incluir a óptica junto aos fenômenos ondulatórios é oferecer uma apresentação coerente da física ondulatória, um dos dois pilares da física clássica. A óptica, como é apresentada nos cursos introdutórios de física, não faz uso das propriedades de campos eletromagnéticos. Existe pouca razão, além da tradição histórica, em deixar a óptica para depois da eletricidade e do magnetismo. As dificuldades documentadas dos estudantes com a óptica são dificuldades com fenômenos ondulatórios, e não com a eletricidade e o magnetismo. Todavia, os capítulos de óptica podem ser facilmente postergados para depois da Parte VI por professores que prefiram tal seqüência de conteúdo.

O que há de novo na segunda edição Esta segunda edição reafirma os propósitos e os objetivos da primeira edição. Ao mesmo tempo, o feedback que recebemos a partir dos desempenhos dos estudantes em testes, enviados pelos professores, resultou em inúmeras alterações e melhorias no texto, nas figuras e nos problemas de final de capítulo. Estas incluem: ■ ■

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Uma apresentação mais “enxuta” do conteúdo. Encurtamos cada capítulo em uma página tornando a linguagem mais sintética e reduzindo o material supérfluo. Questões conceituais. Por solicitação do público em geral, a parte final de cada capítulo agora inclui uma seção de questões conceituais semelhantes às do Student Workbook (Manual de Exercícios do Estudante). Desenhos à lápis. Cada capítulo contém vários esboços feitos à mão, em exemploschave resolvidos, com a finalidade de mostrar aos estudantes os tipos de desenhos que eles deveriam fazer em suas próprias resoluções de problemas. Problemas novos e revisados ao final do capítulo. Os problemas foram revisados com o objetivo de incorporar o inédito número de dados e feedback proveniente de mais TM de 100 mil estudantes que trabalharam com estes problemas em Mastering Physics . Mais de 20% dos problemas de final de capítulo são novos ou foram revisados significativamente, incluindo um número maior de problemas que requerem o cálculo.

As características pedagógicas O Prefácio para o estudante mostra como essas características foram concebidas para auxiliar seus estudantes.

O Student Workbook* Um material adicional ao livro Física: Uma Abordagem Estratégica é o Student Workbook (Livro de Exercícios do Estudante). Esta obra permite vencer o espaço entre o livro e os problemas para casa dando aos estudantes a oportunidade de aprender e de praticar suas habilidades antes de usá-las nos problemas quantitativos de final de capítulo, de forma muito parecida como um músico desenvolve sua técnica separadamente das peças que apresenta ao público. Os exercícios do Student Workbook, ajustados a cada seção do livro, concentram-se no desenvolvimento de ferramentas específicas, que vão desde a identificação das forças e do traçado de diagramas de corpo livre à interpretação de funçõesOs deexercícios onda. do Workbook, que geralmente são de caráter qualitativo e/ou gráfico, estão embasados na literatura técnica da educação em ensino de física. Os exercícios tratam de tópicos conhecidos por causarem dificuldades aos estudantes e fazem uso de técnicas que se mostraram eficientes na superação de tais dificuldades. Os exercícios do Workbook podem ser usados em sala de aula como parte da estratégia de ensino e aprendizagem ativos, em seções de argüição oral ou como uma tarefa de casa para os estudantes.

* Disponível apenas no mercado norte-americano.


CD-ROM para o estudante Um CD-ROM contendo inúmeros exercícios interativos e animações em Java é uma excelente ferramenta de aprendizado. Ele está encartado no Volume 1. Caso você não tenha comprado o Volume 1 e queira receber o CD, basta preencher a Carta-resposta nas páginas finais deste volume e enviar para a Bookman Editora.

Suplementos para o professor Os professores que adotarem a obra e desejarem acesso ao material disponível para o mercado brasileiro devem entrar na área do professor no site da Bookman editora (www.bookman.com.br). Lá, encontrarão versões em word e pdf do Instructor Solutions (em inglês), contendo as soluções dos exercícios, além do Test Bank, um banco de exercícios (em inglês) diferentes dos propostos no livro. Em português, lâminas de PowerPoint contendo as figuras e as tabelas do texto, excelente recurso e de fácil uso na sala de aula. Os demais recursos listados a seguir estão disponíveis nos locais indicados em cada item. ■

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O Instructor Gui de for Physics for Scientists and Engineers contém comentários detalhados e sugestões de idéias para o ensino de cada capítulo, uma revisão extensa do que se aprendeu da pesquisa em ensino de física e linhas-mestras para o uso de técnicas de aprendizagem ativa em sua sala de aula. O Instructor Solutions Manual, Capítulos 1-19 (ISBN 0-321-51621-4/978-0-32151621-3) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51657-5/978-0-321-51 657-2), escritos pelo autor e pelo professores Scott Nutter (Nouthern Kentucky University) e Larry Smith (Snow College), traz soluções completas de todos os problemas de final de capítulo. As soluções seguem os quatro passos do procedimento Modelo/Visualização/ Solução/Avaliação usado nas Estratégias para Resolução de Problemas e em todos os exemplos resolvidos do livro. O texto inteiro de cada solução está disponível em documento Word e em arquivo pdf, editáveis, no Media Manager CD-ROM para uso próprio ou para seu website protegido por senha. O Instructo r Resource Center online (www.aw-bc.com/irc) oferece atualizações para arquivos do Media manager CD-ROMs. Para obter um nome de usuário e uma senha, contate a Pearson Addison-Wesley. O Mastering Physi csTM (www.masteringphysics.com) é o mais amplamente usado e educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de avaliação disponível. Ele foi concebido para atribuir notas, avaliar e acompanhar o progresso de cada estudante através de uma variedade de problemas extensivamente pré-testados. Ícones distribuídos através do livro indicam que o Mastering PhysicsTM disponibiliza tutoriais para todos os Boxes Táticos e todas as Estratégias para Resolução de Problemas, bem como para todos os problemas de final de capítulo, itens do Test Bank e do Reading Quizzes. O Mastering PhysicsTM oferece aos professores maneiras rápidas e efetivas de propor tarefas para casa de amplo alcance online com a duração e o nível de dificuldade adequados. Os poderosos diagnósticos após a atribuição de notas permitem ao professor verificar o progresso de sua classe como um todo ou identificar rapidamente áreas de dificuldades para estudantes individuais. O ActivPhysics OnL ineTM (acessado através da área Self Study em www.masteringphysics.com) disponibiliza uma livraria com mais de 420 applets provados e testados do ActivPhysics. Além disso, ele disponibiliza um conjunto altamente respeitado de tutoriais baseados em applets, desenvolvidos pelos professores pioneiros em 

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educação Van Heuvelen Paul D Alessandris. Os ícones de ActivPhysics , que aparecem Alan ao longo do livro, edirecionam os estudantes para exercícios interativos específicos que complementam a discussão apresentada no livro. Os exercícios online foram concebidos para encorajar os estudantes a confrontar concepções alternativas, raciocinar qualitativamente sobre os processos físicos, realizar experimentos qualitativos e aprender a pensar criticamente. Eles cobrem todos os tópicos, desde a mecânica à eletricidade e ao magnetismo, da óptica à física moderna. Os livros de exercícios que acompanham a altamente aclamada ActivPhysics OnLine ajudam os estudantes a operar com conceitos complexos e a entendê-los

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mais claramente. Mais de 280 applets da livraria do ActivPhysics OnLine também estão disponíveis nos Media Manager CD-ROMs do professor. O Printed Test Bank (ISBN 0-321-51622-2/978-0-321-51622-0) e a plataforma Computerized Test Bank (incluído com o Media Manager CD-ROMs ), preparado pelo Dr. Peter W. Murphy, contém mais de 1.500 problemas de alta qualidade, com uma variedade de questões para casa do tipo múltipla escolha, falso-verdadeiro, respostas curtas. Na versão para computador, mais da metade das questões têm valores numéricos que podem ser fornecidos aleatoriamente a cada estudante. O Transparency Acetates (ISBN 0-321-51623-0/978-0-321-51623-7) disponibiliza mais de 200 figuras-chave do Physics for Scientists and Engineers para uso em sala de aula.

Suplementos para o estudante* ■

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Os Student Solutions Manuals Chapters 1-19 (ISBN 0-321-51354-1/978-0-32151354-0) e Capítulos 20-43 (ISBN 0-321-51356-8/978-0-321- 51356-4), escritos pelo autor e pelos professores Scott Nutter (Northern Kentucky University) e Larry Smith (Snow College), fornecem soluções detalhadas de mais da metade dos problemas de final de capítulo com numeração ímpar. As soluções seguem o procedimento das quatro etapas Modelo/Visualização/Resolução/Avaliação usado nas Estratégias para Resolução de Problemas e nos exemplos resolvidos no livro. TM MasteringPh ysics (www.masteringphysics.com ) é o mais amplamente usado e educacionalmente comprovado livro de exercícios de física, tutorial e sistema de avaliação disponível. Ele é baseado em anos de pesquisa sobre como os estudantes trabalham nos problemas de física e onde precisamente eles precisam de ajuda. Estudos revelam que os estudantes que usam o MasteringPhysics TM melhoram significativamente suas notas finais em comparação com os livros de exercícios escritos à mão. O MasteringPhysicsTM consegue tal melhora dando aos estudantes feedbacks instantâneos e específicos para suas respostas erradas, apresentando subproblemas mais simples sob requisição quando eles forem incapazes de ir além e atribuindo notas parciais pelos métodos que eles usaram. Esta orientação socrática e individualizada 24/7 é recomendada aos seus colegas por nove entre dez estudantes como sendo a maneira de estudar mais efetiva e que ecomomiza tempo. Pearson Tutor S ervices (www.pearsontutorservices.com). A assinatura do MasteringPhysics de cada estudante inclui um acesso complementar aos Pearson Tutor Services, fornecido pela Smarthinking, Inc. Fornecendo seu MasteringPhysics ID e a sua senha, o estudante estará ligado aos altamente qualificados e-structorsTM, que disponibilizam orientação online interativa adicional acerca dos principais conceitos da física. Existem algumas limitações mas oferece a possibilidade de alterações. TM

ActivPhysics OnLine (acessado por www.masteringphysics.com) disponibiliza aos estudantes uma suíte altamente recomendada de tutoriais autodidáticos baseado em applets (veja mais acima). Os ícones do ActivPhysics ao longo do livro direcionam os estudantes para exercícios específicos que complementam a discussão levada à cabo no texto. Os seguintes livros de exercícios constituem uma gama de problemastutoriais concebidos para usar as simulações do ActivPhysics OnLine , ajudando os estudantes a operar com conceitos complexos e a compreendê-los mais claramente: ActivPhysics OnLine Workbook 1: Mechanics  Thermal Physics  Oscillations & Waves (ISBN 0-8053  9060  X) ActivPhysics OnLine Workbook 2: Electricity & Magnetism  Optics  Modern Physics (ISBN 0-8053  9061  8)

Agradecimentos Tive como base conversas e, especialmente, publicações escritas de muitos membros da comunidade de pesquisadores em ensino de física. Aqueles cuja influência posso reconhecer incluem Arnold Arons, Uri Ganiel, Ibrahim Halloun, Richard Hake, Ken

* Os materiais impressos citados estão disponíveis apenas para o mercado norte-americano. Os interessados nos materiais on-line (em inglês) devem acessar os endereços mencionados.


Heller, David Hestenes, Leonard Jossem, Jill Larkin, Priscilla Laws, John Mallinckrodt, Kandiah Manivannan e os membros do grupo de pesquisa em ensino de física da University of Washington, David Mattzer, Edward “Joe” Redish, Fred Reif, Jeffery Saul, Rachel Scherr, Bruce Sherwood, Josip Slisko, David Sokoloff, Ronald Thornton, Sheila Tobias e Alan Van Heuvelen. John Rigden, fundador e diretor do Introductory University Physics Project, deu o impulso que me pôs neste caminho. Os primeiros desenvolvimentos de materiais foram patrocinados pela National Science Foundation como parte do projeto Physics for the Year 2000; meu agradecido reconhecimento pelo apoio dado.

Agradeço também a Larry Smith e a Scott Nutter pela difícil tarefa de redação do Instructor Solutions Manuals; a Jim Andrews e a Rebecca Sabinovsky pela redação das respostas para os livros de exercícios; a Wayne Anderson, Jim Andrews, Dave Ettestad, Stuart Field, Robert Glosser e Charlie Hibbard por suas contribuições aos problemas de final de capítulo; e a meu colega Matt Moelter por muitas contribuições e sugestões valiosas. Eu queria agradecer especialmente a meu editor Adam Black, à editora de desenvolvimento Alice Houston, à editora de projetos Martha Steele e a toda a equipe administradora da Addison-Wesley por seu entusiasmo e pelo árduo trabalho realizado neste projeto. A supervisora de produção Nancy Tabor, Jared Sterzer e a equipe da WestWords Inc. e o pesquisador fotográfico Brian Donnely têm grandes méritos por tornar realidade este projeto complexo. Além dos revisores e dos responsáveis pelas aplicações de testes em sala de aula, listados abaixo, que forneceram um inestimável feedback, sou particularmente grato a Charlie Hibbard e a Peter W. Murphy pelo escrutínio detalhado de cada palavra e de cada figura deste livro. Finalmente, serei eternamente grato à minha esposa Sally, por seu amor, encorajamento e paciência, e aos meus vários gatos (e especialmente à memória de Spike, minha companhia infalível de redação), por suas habilidades inatas em manter meu teclado e minha impressora cheios de pêlos e por sempre sentarem bem no meio das pilhas de páginas de provas cuidadosamente empilhadas.

Revisores e aplicadores de testes em sala de aula Gary B. Adams, Arizona State University Ed Adelson, Ohio State University Kyle Altmann, Elon University Wayne R. Anderson, Sacramento City College James H. Andrews, Youngstown State University Kevin Ankoviak, Las Positas College David Balogh, Fresno City College Dewayne Beery,Buffalo State College Joseph Bellina, Saint Mary’s College James R. Benbrook, University of Houston David Besson, University of Kansas Randy Bohn, University of Toledo Richard A. Bone, Florida International University Gregory Boutis, York College Art Braundmeier, University of Southern Illinois, Edwardsville Carl Bromberg, Michigan State University Meade Brooks, Collin College Douglas Brown, Cabrillo College Ronald Brown, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Mike Broyles, Collin County Community College Debra Burris, University of Central Arkansas James Carolan, University of British Columbia Michael Chapman, Georgia Tech University Norbert Chencinski, College of Staten Island Kristi Concannon, King’s College Sean Cordry, Northwestern College of Iowa Robert L. Corey, South Dakota School of Mines Michael Crescimanno, Youngstown State University Dennis Crossley, University of Wisconsin–Sheboygan

Wei Cui, Purdue University Robert J. Culbertson, Arizona State University Danielle Dalafave, The College of New Jersey Purna C. Das, Purdue University North Central Chad Davies, Gordon College William DeGraffenreid,California State University–Sacramento

Dwain Desbien, Estrella Mountain Community College John F. Devlin, University of Michigan, Dearborn John DiBartolo, Polytechnic University Alex Dickison, Seminole Community College Chaden Djalali, University of South Carolina Margaret Dobrowolska, University of Notre Dame Sandra Doty, Denison University Miles J. Dresser, Washington State University Charlotte Elster, Ohio University Robert J. Endorf, University of Cincinnati Tilahun Eneyew,Embry-Riddle Aeronautical University F. Paul Esposito,University of Cincinnati John Evans, Lee University Harold T. Evensen, University of Wisconsin–Platteville Michael R. Falvo, University of North Carolina Abbas Faridi, Orange Coast College Nail Fazleev, University of Texas–Arlington Stuart Field, Colorado State University Daniel Finley, University of New Mexico Jane D. Flood, Muhlenberg College Michael Franklin, Northwestern Michigan College Jonathan Friedman, Amherst College Thomas Furtak, Colorado School of Mines Alina Gabryszewska-Kukawa, Delta State University

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Lev Gasparov, University of North Florida Richard Gass, University of Cincinnati J. David Gavenda, University of Texas, Austin Stuart Gazes, University of Chicago Katherine M. Gietzen, Southwest Missouri State University Robert Glosser, University of Texas, Dallas William Golightly,University of California, Berkeley Paul Gresser, University of Maryland C. Frank Griffin, University of Akron John B. Gruber, San Jose State University Stephen Haas, University of Southern California John Hamilton, University of Hawaii at Hilo Jason Harlow, University of Toronto Randy Harris, University of California, Davis

Gary Morris, Rice University Michael A. Morrison, University of Oklahoma Richard Mowat, North Carolina State University Eric Murray, Georgia Institute of Technology Taha Mzoughi, Mississippi State University Scott Nutter, Northern Kentucky University Craig Ogilvie, Iowa State University Benedict Y. Oh,University of Wisconsin Martin Okafor, Georgia Perimeter College Halina Opyrchal, New Jersey Institute of Technology Yibin Pan, University of Wisconsin-Madison Georgia Papaefthymiou, Villanova University Peggy Perozzo, Mary Baldwin College Brian K. Pickett, Purdue University, Calumet

American University Nathan Harshman, J. E. Hasbun, University of West Georgia Nicole Herbots, Arizona State University Jim Hetrick, University of Michigan–Dearborn Scott Hildreth, Chabot College David Hobbs, South Plains College Laurent Hodges, Iowa State University Mark Hollabaugh, Normandale Community College John L. Hubisz, North Carolina State University Shane Hutson, Vanderbilt University George Igo, University of California, Los Angeles David C. Ingram, Ohio University Bob Jacobsen, University of California, Berkeley Rong-Sheng Jin, Florida Institute of Technology Marty Johnston, University of St. Thomas Stanley T. Jones, University of Alabama Darrell Judge, University of Southern California Pawan Kahol, Missouri State University Teruki Kamon, Texas A&M University Richard Karas, California State University, San Marcos Deborah Katz, U.S. Naval Academy Miron Kaufman, Cleveland State University Katherine Keilty, Kingwood College Roman Kezerashvili, New York City College of Technology Peter Kjeer, Bethany Lutheran College M. Kotlarchyk, Rochester Institute of Technology Fred Krauss, Delta College Cagliyan Kurdak, University of Michigan Fred Kuttner, University of California, Santa Cruz H. Sarma Lakkaraju, San Jose State University Darrell R. Lamm, Georgia Institute of Technology Robert LaMontagne, Providence College Eric T. Lane, University of Tennessee–Chattanooga Alessandra Lanzara, University of California, Berkeley Lee H. LaRue, Paris Junior College Sen-Ben Liao, Massachusetts Institute of Technology Dean Livelybrooks, University of Oregon Chun-Min Lo, University of South Florida Olga Lobban, Saint Mary’s University Ramon Lopez, Florida Institute of Technology Vaman M. Naik,University of Michigan, Dearborn Kevin Mackay, Grove City College Carl Maes, University of Arizona

Rutgers University Joe DalePifer, Pleticha, Gordon College Marie Plumb, Jamestown Community College Robert Pompi, SUNY-Binghamton David Potter, Austin Community College–Rio Grande Campus Chandra Prayaga, University of West Florida Didarul Qadir, Central Michigan University Steve Quon, Ventura College Michael Read, College of the Siskiyous Lawrence Rees, Brigham Young University Richard J. Reimann, Boise State University Michael Rodman, Spokane Falls Community College Sharon Rosell, Central Washington University Anthony Russo, Okaloosa-Walton Community College Freddie Salsbury, Wake Forest University Otto F. Sankey,Arizona State University Jeff Sanny, Loyola Marymount University Rachel E. Scherr, University of Maryland Carl Schneider, U. S. Naval Academy Bruce Schumm, University of California, Santa Cruz Bartlett M. Sheinberg, Houston Community College Douglas Sherman, San Jose State University Elizabeth H. Simmons, Boston University Marlina Slamet, Sacred Heart University Alan Slavin, Trent College Larry Smith, Snow College William S. Smith, Boise State University Paul Sokol, Pennsylvania State University LTC Bryndol Sones, United States Military Academy Chris Sorensen, Kansas State University Anna and Ivan Stern, AW Tutor Center Gay B. Stewart, University of Arkansas Michael Strauss, University of Oklahoma Chin-Che Tin, Auburn University Christos Valiotis,Antelope Valley College Andrew Vanture,Everett Community College Arthur Viescas, Pennsylvania State University Ernst D. Von Meerwall,University of Akron Chris Vuille, Embry-Riddle Aeronautical University Jerry Wagner, Rochester Institute of Technology Robert Webb, Texas A&M University Zodiac Webster,California State University, San Bernardino Robert Weidman, Michigan Technical University

Slippery Rock Rizwan Mahmood, Missouri Mani Manivannan, State University University Richard McCorkle, University of Rhode Island James McDonald, University of Hartford James McGuire, Tulane University Stephen R. McNeil, Brigham Young University–Idaho Theresa Moreau, Amherst College

Tulane University FredAllen Weitfeldt, Jeff Winger, Mississippi State University Carey Witkov, Broward Community College Ronald Zammit, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Darin T. Zimmerman, Pennsylvania State University, Altoona Fredy Zypman, Yeshiva University

Pr efácio tee Pre fácio para o Estudan Estudant De mim para você A coisa mais incomprenssível sobre o universo é que ele é compreensível. —Albert Einstein No dia em que fui à aula de física, estava morta. —Sylvia Plath, The Bell Jar Vamos ter uma pequena conversa antes de começar. Uma conversa unilateral, é verdade, pois você não pode responder, mas OK. Eu venho conversando com seus colegas estudantes por anos a fio, de modo que tenho uma boa idéia do que se passa em sua mente.

Qual é sua reação ao se mencionar a física? Medo ou abominação? Incerteza? Entusiasmo? Ou tudo que foi mencionado? Vamos admitir, a física tem uma imagem meio problemática no campus. Provavelmente você já ouviu que ela é uma disciplina difícil, talvez até mesmo impossível de ser compreendida a menos que você seja um Einstein. O que você tem escutado por aí, as suas experiências com outras disciplinas e muitos outros fatores criam suas expectativas sobre como vai ser este curso. É verdade que existem muitas novas idéias a serem aprendidas na física e que este curso, como os cursos superiores em geral, terá um ritmo muito mais rápido do que o dos cursos de ciências que você teve no Ensino Médio. Acho honesto dizer que será um curso intenso. Mas poderemos evitar muitos problemas e dificuldades potenciais se deixarmos claro, desde o início, do que tratará o curso e o que se espera de você e de mim! O que é a física, afinal? A física constitui uma maneira de pensar sobre os aspectos físicos da natureza. A física não é melhor do que as artes ou a biologia, a poesia ou a religião, que também são modos de pensar a natureza; ela é, simplesmente, diferente. Um dos aspectos que será salientado neste curso é que a física é uma empreitada humana. As idéias apresentadas neste livro não foram descobertas em uma caverna ou transmitidas a nós por alienígenas; elas foram descobertas e desenvolvidas por pessoas reais, engajadas em uma luta extenuante com assuntos reais. Eu espero conseguir transmitir um pouco da história e dos processos através dos quais viemos a aceitar os princípios que constituem as fundações da ciência e da engenharia de hoje. Você pode estar surpreso em ouvir que a física não trata de “fatos”. Oh, isso não significa que os fatos não sejam importantes, e sim, que a física foca mais a descoberta de relações entre os fatos e os padrões existentes na natureza do que o aprender fatos por seu próprio interesse. Conseqüentemente, não há muito para memorizar quando se estuda física. Há algumas como definições e equações por aprender , mas muito menos do que nos outros cursos. Em vez disso, nossa ênfase estará na reflexão e no raciocínio. Este é um aspecto importante de suas expectativas sobre o curso. E talvez o que seja o mais importante de tudo: a física não é matemática! A física é muito mais ampla. Iremos examinar os padrões e as relações da natureza, desenvolver uma lógica que relacione diferentes idéias e buscar as razões pelas quais as coisas ocor

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rem do modo que vemos. fazer isso, iremosque destacar importância qualitativo, pictórico e gráficoAo e também daquele se valea de analogias.do E,raciocínio sim, usaremos a matemática, mas ela será apenas uma ferramenta dentre outras. Muitas frustrações serão evitadas se você estiver consciente, desde o início, dessa distinção entre física e matemática. Boa parte dos estudantes, eu sei, gostaria de encontrar uma fórmula e nela inserir números ou seja, resolver um problema de matemática. Talvez isso funcione em cursos de ciência universitários avançados, mas não é isso que 

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Prefácio para o Estudante

este curso espera de você. Certamente realizaremos muitos cálculos, todavia os números específicos para serem usados geralmente só surgirão como o último, e menos importante, passo da análise. (a) Padrão de difração de raios X

A física diz respeito à identificação de padrões. Por exemplo, a fotografia superior desta página é um padrão de difração de raios X que mostra como um feixe focado de raios X se espalha após atravessar um cristal. A fotografia inferi or mostra o que acontece quando um feixe focado de elétrons incide no mesmo cristal. O que as similaridades óbvias nas duas fotos nos dizem a respeito da natureza da luz e da matéria?

Quando estiver estudando, às vezes você ficará perplexo, intrigado e confuso. Isso é perfeitamente normal e esperado. Cometer erros é absolutamente OK se você estiver desejando aprender com a experiência. Ninguém nasce sabendo como fazer física mais (b) Padrão de difração de elétrons

do quefísica como tocar piano oudaarremessar de com basquete numa A habilidade em fazer vem da prática, repetição ebolas da luta as idéias atécesta. que você as “domine” e consiga aplicá-las por si mesmo a novas situações. Não existe maneira de aprender sem esforço, pelo menos para um bom aprendizado, de modo que se espera que você sinta dificuldades em determinados momentos futuros. Mas também se espera que haja alguns momentos de excitação com a alegria da descoberta. Haverá instantes em que os pedaços subitamente se ajustam aos lugares certos e você terá certeza de ter compreendido uma idéia poderosa. Haverá ocasiões em que você se surpreenderá resolvendo com sucesso um problema difícil que você achava que fosse incapaz de resolver. Minha esperança, como autor, é de que a excitação e o senso de aventura acabem por superar as dificuldades e as frustrações.

Obtendo o melhor de seu curso Muitos estudantes, eu suspeito, gostariam de conhecer qual é a “melhor” maneira de estudar este curso. Não existe tal maneira. As pessoas são diferentes, e o que funciona para um ler o texto é de estudante é menos eficiente para outro. Mas o que eu desejo destacar é que importância vital. O tempo em sala de aula será usado para superar dificuldades e desenvolver as ferramentas para usar o conhecimento adquirido, porém seu professor não deverá usar o tempo em sala de aula para, simplesmente, repetir a informação que se encontra no texto. O conhecimento básico para este curso está descrito nas páginas seguintes; a expectativa número um é a de que você leia atentamente o livro para encontrar este conhecimento e aprenda a utilizá-lo. A despeito de não existir uma melhor maneira de estudar, eu lhe sugiro uma maneira que tem sido bem – sucedida com muitos estudantes. Ela consiste nas quatro seguintes etapas:

1. Leia cada capítulo antes de discuti-lo em sala de aula. Não tenho como expressar

quão importante é esta etapa. Sua participação nas aulas será muito mais efetiva se você estiver preparado. Quando estiver lendo um capítulo pela primeira vez, concentre-se no aprendizado do novo vocabulário, das novas definições e da nova notação. Há uma lista de termos e notações no final de cada capítulo. Estude-a! Você não compreenderá o que está sendo discutido e as idéias utilizadas se não souber o que significam os termos e os símbolos empregados. 2. Participe ativamente das aulas. Faça anotações, faça perguntas, tente responder às questões propostas e participe ativamente das discussões em grupos. Existe a mais ampla evidência científica de que a participação ativa é muito mais efetiva no aprendizado científico do que assistir passivamente às aulas. 3. Após as aulas, faça uma releitura do capítulo correspondente. Nesta sua segunda leitura, preste muita atenção nos detalhes e nos exemplos resolvidos. Procure descobrir a lógica trás adefórmula cada exemplo (eu procurei destacar isso para mais claro), e não,por apenas usada. Quando terminar a leitura, faça torná-lo os exercícios do Student Workbook de cada seção. 4. Finalmente, aplique o que aprendeu nos problemas para casa no final de cada capítulo. Eu recomendo fortemente que você forme um grupo de estudos com dois ou três colegas de turma. Existe boa evidência de que alunos que estudam regularmente em um grupo saem-se melhor do que aqueles estudantes individualistas que tentam resolver tudo sozinhos.

Prefácio para o Estudante

xiii

Alguém mencionou um livro de exercícios? O acompanhamento no Student Workbook constitui uma parte vital do curso. Suas questões e seus exercícios lhe exigirão que raciocine qualitativamente, que utilize a informação gráfica e que formule explicações. Espera-se destes exercícios que você aprenda o que significam os conceitos e que você pratique habilidades de raciocínio apropriadas para cada capítulo. Você, então, terá adquirido o conhecimento básico e a confiança de que necessita antes de se voltar para os problemas para casa de final de capítulo. Nos esportes e na música, você jamais pensaria em se apresentar publicamente sem ter praticado; logo, por que deveria tentar fazer diferentemente no caso da física? O livro de exercícios é onde você praticará e trabalhará as habilidades básicas. Muitos dos estudantes, eu sei, serão tentados a ir diretamente para os problemas de casa e, então, se porão a procurar, através do texto, uma fórmula que lhes pareça que funcione. Essa abordagem não terá sucesso neste curso, e é garantido que, neste caso, eu os frustrarei e os desencorajarei. Muitos poucos problemas para casa são do tipo “ligue e prossiga”, em que o estudante simplesmente insere números em uma fórmula. Para trabalhar com sucesso os problemas para casa, você precisará de uma estratégia melhor  ou a que foi delineada acima ou uma própria  que o ajude a aprender os conceitos e as relações entre as idéias.

Uma orientação tradicional no ensino superior é que o aluno estude duas horas fora de aula para cada hora gasta em sala de aula, e este livro foi concebido sob tal expectativa. É claro, duas horas em média. Certos capítulos são mais fáceis e neles você irá mais rapidamente. Outros provavelmente exigirão muito mais do que duas horas de estudo para cada hora em aula.

Obtendo o melhor de seu livro-texto Seu livro tem várias características planejadas para ajudá -lo a aprender os conceitos da física e a resolver problemas de forma mais eficiente . ■

Os BOXES TÁTICOSapresentam procedimentos passo a passo para desenvolver habilidades específicas, como a interpretação de gráficos ou o traçado de diagramas especiais. Os Boxes Táticos são explicitamente ilustrados nos exemplos resolvidos que o seguem, e estes são, com freqüência, os pontos de partida de uma Estratégia para Resolução de Problemas completa.

BOX TÁTICO

5.3

BOX TÁTICO

Desenhando um diagrama de corpo livre

33.3

Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto de interesse. Esta etapa foi descrita já no Box Tático 5.2. Faça o desenho do sistema de coordenadas a ser usado. Use os eixos definidos em sua representação pictórica. Se eles forem inclinados, para o movimento ao longo de rampas, então os eixos correspondentes no diagrama de corpo livre também devem ser analogamente inclinados. Represente o objeto por um ponto na srcem do sistema de coordenadas. Este é o modelo de partícula. Desenhe vetores que representem cada uma das forças identificadas. Isso foi descrito no Box Tático 5.1. Certifique-se de ter denotado cada vetor força. Desenhe e denote o vetorforça resultante . Trace este vetor ao lado do diagrama, e não sobre a partícula. Ou, se for apropriado, escreva . Depois verifique se, em seu diagrama de movimento, aponta com a mesma direção e sentido do vetor aceleração . Exercícios 24–29

Calculando integrais de linha

Se for perpendicular à linha em qualquer lugar da mesma, então a integral de linha de é dada por

Se for tangente à linha de comprimento l em qualquer lugar da mesma, e tiver a mesma intensidade B em qualquer de seus pontos, então

Exercícios 23–24

xiv

Prefácio para o Estudante ■

As ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS servem para uma grande classe de problemas problemas característicos de um dado capítulo ou de um grupo de capítulos. As estratégias seguem uma abordagem consistente de quatro passos para ajudálo a adquirir confiança e proficiência na habilidade de resolver problemas: MODELO, 

VISUALIZAÇÃO, RESOLUÇÃO E AVALIAÇÃO.

EST RAT ÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS 6.2

Problemas de dinâmica

MODELO Faça hipóteses simplificadoras. VISUALIZAÇÃODesenhe uma representação pictórica .

Mostre os pontos importantes do movimento em um esboço, escolha um sistema de coordenadas, defina os símbolos e identifique o que o problema está pedindo para se determinar. Este é o processo de tradução de palavras em símbolos. Use um diagrama de movimento para determinar o vetor aceleração do objeto, .

Identifique todas as forças exercidas sobre o objeto e represente-as em um diagrama de corpo livre. É normal ir e voltar entre estas etapas enquanto você visualiza a situação. RESOLUÇÃOA representação matemática é baseada na segunda lei de Newton:

A soma vetorial das forças é determinada diretamente do diagrama de corpo livre. Dependendo do problema, Isole a aceleração e depois use a cinemática para encontrar as velocidades e as posições; ou Use a cinemática para determinar a aceleração e depois obtenha as forças desconhecidas. AVALIAÇÃOVerifique se seu resultado está

em unidades corretas, se ele é plausível e

se responde à questão.

Espelho

A onda é dividida neste ponto.

■

Espelho

Fonte

■

Divisor de feixe

O detector mede a superposição das 2 ondas que percorreram caminhos diferentes.

Parafuso de ajuste As ondas que retornam se recombinam aqui.

FIGURA com anotações que explicam

o funcionamento do interferômetro de Michelson.

■

■

■

Os EXEMPLOS resolvidos ilustram boas práticas para a resolução de problemas por meio do uso consistente da abordagem de quatro etapas para resolver problemas e, quando apropriado, dos Boxes Táticos. Os exemplos resolvidos com freqüência são muito detalhados e cuidadosamente o conduzem ao raciocínio por trás das soluções, bem como aos cálculos detalhados. Um estudo cuidadoso do raciocínio o ajudará a aplicar oseconceitos e as técnicas em novos problemas que encontrará nas tarefas para casa nas provas. NOTAS  São parágrafos que o alertarão para erros freqüentes e que dão dicas em problemas complicados. As questões do tipo PARE E PENSEao longo dos capítulos lhe permitirão rapidamente avaliar se você compreendeu a idéia principal de uma seção. Uma resposta correta lhe dará a confiança para passar à próxima seção. Uma resposta errada o alertará para a necessidade de uma releitura da seção anterior. Anotações em azul, nas figuras, o ajudarão a interpretar gráficos; a obter a equivalência entre gráficos, matemática e desenhos; a compreender conceitos difíceis por meio de analogias visuais; e a desenvolver muitas outras habilidades importantes. Esboços a lápis oferecem exemplos concretos das figuras que você deve desenhar por sua conta quando for resolver problemas.

y Antes: y0 = 5,0 m v0 = 20 m/s

5,0 m

Após: y1 = 0 m y1

0 Determinar: v1 FIGURA desenhada a lápis que mostra uma pessoa descendo

uma rampa e sua energia representada em um gráfico de barras.

Prefácio para o Estudante ■

■

■

Os objetivos de aprendizagem e as ligações que iniciam cada capítulo resumem o foco daquele capítulo e o que você precisa relembrar dos capítulos anteriores.  Olhando adiante lista conceitos-chave e habilidades que você deverá aprender no capítulo que se inicia.  Em retrospectiva destaca tópicos importantes de capítulos anteriores que você deve revisar. Resumos de capítulo esquemáticos o ajudarão a organizar o que você aprendeu em uma forma hierárquica, desde os princípios gerais (parte superior) até as aplicações (parte inferior). Representações pictóricas, gráficas, discursivas e matemáticas, dispostas lado a lado, são usadas para ajudá-lo a passar de uma dessas representações para as outras. Os resumos de final e de início das partes do livro descrevem a estrutura global do que você está aprendendo. Cada parte inicia com um resumo panorâmico dos capítulos à frente e conclui com um amplo resumo para ajudar você a relacionar os conceitos apresentados naquele conjunto de capítulos. As tabelas de ESTRUTURA DE CONHECIMENTOnos Resumos de partes, parecidas com os resumos de capítulo, o ajudarão a enxergar a floresta, e não apenas as árvores individuais. EST RUT URA DE CONHECIMENT OAs I

RESUMO O objetivo do Capítulo 28 foi compreender e aplicar a lei de Gauss.

Leis de Newton

CONCEIT OS ESSENCIAIS OBJET IVOS BÁSICOS

Partícula, aceleração, força, interação Como uma partícula responde a uma força? Como os objetos interagem?

PRINCÍPIOS GERAIS

Primeira lei de Newton

Princípios gerais Lei de Gauss

Simetria

Para qualquer superfíciefechada que encerre uma cargaQint, o fluxo elétrico resultante através da superfície é

A simetria do campo elétrico deve corresponder à simetria da distribuição de carga. Na prática, e é computável apenas quando a simetria da superfície gaussiana corresponde à simetria da distribuição de carga.

O fluxo elétrico Qint.

e

é o mesmo para qualquersuperfície fechada que encerre uma carga

Segunda lei de Newton Terceira lei de Newton

Um objeto permanecerá em repouso ou continuará movendo-se com velocidade constante (equilíbrio) se e somente seres . m res A sobre B

B sobre A

EST RAT ÉGIA BÁSICA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Use a segunda lei de Newton para cada partícula ou objeto. Use a terceira lei de Newton

Conceitos importantes

para igualar os módulos dos dois membros de cada par ação/reação.

A Carga cria o campo elétrico que é responsável pelo fluxo elétrico.

O Fluxoé a quantidade de campo elétrico A: que atravessa uma superfície de área

Qin éa somaalgébricadetodasas

Movimento linear

cargasencerradaspelagaussiana. Estaé acarga líquidaquecontribui parao fluxo. Superfíciegaussiana

Movimento em um plano

Movimento circular

Ascargasexternas àsuperfície contribuem parao campo elétrico, masnão parao fluxo.

As int egrais de superf ície fornecem o fluxo por meio do somatório dos fluxos parciais através de várias pequenas áreas da superfície:

onde é o ve tor ár e a. Par a supe r fíc ie s fe c hadas:

Um fluxo resultante de fora para dentro ou de dentro para fora indica que a superfície encerra uma carga líquida. Linhas de campo que atravessam uma superfície, mas sem produzir fluxo resultante através da mesma indicam que a superfície não encerra cargalíquida.

Duas situaç õe s impor tante s:

Se o campo elétrico é tangente à superfície em qualquer ponto da mesma, então

Cinemática do movimento linear e do movimento no plano

Cinemática circular

Aceleração uniforme:

Movimento circular uniforme:

(as

Se o campo elétrico é perpendicular à superfície em qualquer ponto da mesmae apresenta a mesma intensidadeE em cada um de seus pontos, então

constante)

Trajetórias:as mesmas equações são usadas tanto para x quanto para y. Movimento uniforme:

Aplicações

(a

0, vs

constante)

Condut ores em equilíbrio ele t rost át ico

• O campo elétrico é nulo em todos os pontos internos ao condutor. • Qualquer excesso de carga do condutor se distribui inteiramente sobre a superfície exterior. • O campo elétrico externo é perpendicular à superfície do condutor e tem módulo igual/ 0a, onde é a densidade de carga da superfície. • O campo elétrico é nulo dentro de qualquer cavidade fechada no interior de um condutor, a menos que exista uma carga líquida dentro da cavidade.

Caso geral

vs

ds/dt

declividade do gráfico da posição

as

dv/dt

declividade do gráfico da velocidade

vfs

vis

asdt

vis

area sob a curva da aceleração

Termos e notação simétrico superfície gaussiana

fluxo elétrico, vetor área,

e

integral de superfície lei de Gauss

sf

blindagem

si

vsdt

si

área sob a curva da velocidade

Agora que você já sabe mais sobre o que se espera de si, o que você espera de mim? Isso é mais sutil, pois o livro já foi escrito! Mesmo assim, ele foi organizado e preparado com base naquilo que, eu penso, meus estudantes têm esperado e desejado de um livro ao longo de meus anos de profissão. Além disso, eu listei o extenso feedback que recebi de milhares de estudantes, como você, e de seus professores, que usaram a primeira edição da obra. Você deve saber que estes materiais do curso o texto e o livro de exercícios são baseados na pesquisa extensiva sobre como os estudantes aprendem física e sobre os desafios com que se deparam. A efetividade de muitos dos exercícios foi demonstrada pela aplicação ampla de testes em sala de aula. O livro foi redigido em um estilo informal que, eu espero, você ache agradável e que o encoraje a realizar a leitura do mesmo. Fi







nalmente, esforcei-me não apenas para que a física, um corpo de conhecimento técnico, seja relevante em sua profissão, mas também para que a física constitua uma aventura excitante da mente humana. Tenho a esperança de que você se divirta durante o tempo que passarmos juntos.

Movimento circular não-uniforme:

xv

Sumário Resumido VOLUME 1 Parte I

As Leis de Newton

Parte III

Aplicações Newtonianada Mecânica

Capítulo 1

Conceitos do Movimento 2

Capítulo 2

Cinemática em uma Dimensão 34

Capítulo 12

Rotação de um Corpo Rígido 340

Capítulo 3

Vetores e Sistemas de Coordenadas 72

Capítulo 13

A Teoria de Newton da Gravitação 385

Capítulo 14

Oscilações 410

Capítulo 4

Cinemática em duas Dimensões 90

Apêndice A

Revisão Matemática A-1

Capítulo 5

Força e Movimento 126

Capítulo 6

Dinâmica I: Movimento ao Longo de uma Reta 151

Capítulo 7

A Terceira Lei de Newton 183

Capítulo 8

Dinâmica II: Movimento no Plano 210

Parte II

Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração Ímpar R-1 Créditos C-1 Índice I-1

Princípios de Conservação

Capítulo 9

Impulso e Momentum 240

Capítulo 10

Energia 267

Capítulo 11

Trabalho 302

VOLUME 2 Capítulo 15

Parte IV

Fluidos e Elasticidade 442

Máquinas Térmicas e Refrigeradores 566

Termodinâmica

Capítulo 16

Uma Descrição Macroscópica da Matéria 480

Chapter 17

Trabalho, Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica 506

Capítulo 18

Capítulo 19

A Conexão Micro/Macro 541

Parte V

Capítulo 20

Ondas e Óptica602 Ondas Progressivas

Capítulo 21

Superposição 634

Capítulo 22

Óptica Ondulatória 670

Capítulo 23

Óptica Geométrica 700

xviii

Sumário Resumido

Capítulo 24

Instrumentos Ópticos 739

Capítulo 25

Óptica Moderna e Ondas de Matéria 763

Apêndice A


Apêndice B

Tabela Periódica dos Elementos B-1

Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração Ímpar R-1 Créditos C-1 Índice I-1

VOLUME 3

Parte VI Eletricidade e Magnetismo

Capítulo 34

Indução Eletromagnética 1041

Capítulo 35

Campos Eletromagnéticos e Ondas 1084

Capítulo 36

Circuitos CA 1114

Apêndice A


Capítulo 26

Cargas Elétricas e Forças 788

Capítulo 27

O Campo Elétrico 818

Capítulo 28

Lei de Gauss 850

Capítulo 29

O Potencial Elétrico 881

Capítulo 30

Potencial e Campo 911

Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração Ímpar R-1

Capítulo 31

Corrente e Resistência 941

Créditos C-1

Capítulo 32

Fundamentos de Circuitos 967

Índice I-1

Capítulo 33

O Campo Magnético 998

VOLUME 4

Parte VII Relatividade e Física Quântica

Capítulo 43

Física Nuclear 1333

Créditos C-1

Capítulo 37

Relatividade 1142

Apêndice A


Capítulo 38

O Fim da Física Clássica 1184

Apêndice B

Tabela Periódica dos Elementos B-1

Capítulo 39

Quantização 1208

Apêndice C

Dados Atômicos e Nucleares C-1

Capítulo 40

Funções de Onda e Incerteza 1239

Capítulo 41

Mecânica Quântica Unidimensional 1262

Respostas dos Exercícios e Problemas de Numeração Ímpar R-1

Capítulo 42

Física Atômica 1300

Índice I-1

Sumário INTRODUÇÃO

A Jornada na Física xxi

VOLUME IV PARTE VII PANORAMA

Relatividade e física quântica A física contemporânea 1141

Capítulo 37 Relatividade 1142 37.1 Relatividade: Afinal, do que se trata? 1142 37.2 A relatividade de Galileu 1143 37.3 O princípio da relatividade de Einstein 1148 37.4 Eventos e medições 1151 37.5 A relatividade da simultaneidade 1154 37.6 Dilatação temporal 1156 37.7 Contração espacial 1161 37.8 As transformações de Lorentz 1164 37.9 Momentum relativístico 1169 37.10 Energia relativística 1172 RESUMO 1177 QUESTÕES E PROBLEMAS 1178 Capítulo 38 38.1 38.2 38.3 38.4

O fim da física clássica 1184 A física no século XIX 1185 Faraday 1186 Raios catódicos 1187 J. J. Thomson e a descoberta do elétron 1188

38.5 Millikan e a unidade fundamental de carga 1192 38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo 1193 38.7 Desvendando o núcleo 1198 38.8 Emissão e absorção de luz 1199 38.9 A física clássica no limite 1202 RESUMO 1203 EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 1204

Capítulo 39 Quantização 1208 39.1 O efeito fotoelétrico 1208 39.2 A explicação de Einstein 1212 39.3 Fótons 1216 39.4 Ondas de matéria e quantização da energia 1217 39.5 O modelo atômico quântico de Bohr 1221 39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr 1224 39.7 O espectro do hidrogênio 1230 RESUMO 1233 QUESTÕES E PROBLEMAS 1234 Capítulo 40 Funções de onda e incerteza 1239 40.1 Ondas, partículas e o experimento de fenda dupla 1240 40.2 Relacionando o ponto de vista ondulatório ao corpuscular 1243 40.3 A função de onda 1245 40.4 Normalização 1247 40.5 Pacotes de onda 1249 40.6 O princípio da incerteza de Heisenberg 1253 RESUMO 1256 QUESTÕES E PROBLEMAS 1257 Capítulo 41 Mecânica quântica unidimensional 1262 41.1 A equação de Schrödinger: a lei da psi 1262 41.2 Resolvendo a equação de Schrödinger 1266 41.3 Partícula em uma caixa rígida: energias e funções de onda 1268

xx

Sumário

41.4 Partícula em uma caixa rígida: interpretando a solução 1271 41.5 O princípio da correspondência 1274 41.6 Poços de potencial finitos 1276 41.7 A forma das funções de onda 1281 41.8 O oscilador harmônico quântico 1283 41.9 Mais modelos quânticos 1286 41.10 Tunelamento quantomecânico 1290 RESUMO 1295 QUESTÕES E PROBLEMAS 1296

Capítulo 42 Física atômica 1300 42.1 O átomo de hidrogênio: momentum angular e energia 1300 42.2 O átomo de hidrogênio: funções de onda e probabilidades 1304 42.3 O spin do elétron 1307 42.4 Átomos multieletrônicos 1309 42.5 A tabela periódica dos elementos 1312 42.6 Estados excitados e espectros 1316 42.7 Tempos de vida média de estados excitados 1320 42.8 Emissão estimulada e lasers 1323 RESUMO 1328 QUESTÕES E PROBLEMAS 1329

Capítulo 43 Física nuclear 1333 43.1 Estrutura nuclear 1333 43.2 Estabilidade nuclear 1337 43.3 A interação forte 1340 43.4 O modelo de camadas 1341 43.5 Radiação e radioatividade 1343 43.6 Mecanismos de decaimento 1349 43.7 Aplicações biológicas da física nuclear 1353 RESUMO 1358 QUESTÕES E PROBLEMAS 1359 PARTE VII RESUMO

Relatividade e física quântica 784 Créditos C-1 Apêndice A Revisão matemática A-1 Apêndice B Tabela periódica dos elementos B-1 Apêndice C Dados atômicos e nucleares C-1 Respostas dos exercícios e problemas de numeração ímpar R-1 Índice I-1

Introdução A Jornada na Física Alice disse ao gato Cheshire, “Gatinho Cheshire, poderia me dizer, por favor, qual o caminho para sair daqui?” “Isso depende muito do lugar aonde você deseja ir”, disse o gato. “Não me importa muito onde ...”, disse Alice. “Neste caso não importa qual o caminho que você pegue”, disse o gato. — Lewis Carrol, Alice no País das Maravilhas

Talvez você já tenha se indagado a respeito de questões, como: Por que o céu é azul? Por que o vidro é um isolante, enquanto um metal é um condutor? O que é, realmente, um átomo? Estas são questões das quais a física é feita. Os físicos tentam entender o universo em que vivemos através da observação dos fenômenos da natureza como o céu ser azul e da procura por padrões e princípios que expliquem tais fenômenos. Muitas das descobertas feitas pelos físicos, desde ondas eletromagnéticas até a energia nuclear, alteraram para sempre a maneira como vivemos e pensamos. Você está para embarcar em uma jornada para o reino da física. Trata-se de uma jornada em que você aprenderá sobre muitos fenômenos físicos e obterá as respostas para 



questões tais como as que citamos acima. Ao longo do caminho, você também aprenderá como usar a física para analisar e resolver muitos problemas práticos. Enquanto prossegue, você vai conhecer os métodos com os quais os físicos chegam a compreender as leis da natureza. As idéias e as teorias dos físicos não são arbitrárias; elas são firmemente alicerçadas em experimentos e medições. Quando você terminar de estudar este texto, será capaz de reconhecer as evidências sobre as quais está baseado nosso presente conhecimento sobre o universo.

xxii

Introdução

Por qual caminho devemos seguir? Aqui, no começo da jornada, somos muito parecidos com Alice no país das maravilhas por termos de decidir qual caminho seguir. A física é um imenso corpo de conhecimento, e, sem objetivos específicos, não importaria que assuntos estudássemos. Todavia, diferentemente de Alice, nós temos de fato alguns destinos particulares que gostaríamos de visitar.

A física que constitui o alicerce para toda a ciência e a engenharia modernas pode ser dividida em três grandes categorias: ■ ■ ■

Um microscópio de varredura por tunelamento nos permite “ver” os átomos individuais de uma superfície. Um de nossos objetivos é compreender como uma imagem dessas é obtida.

Partículas e energia Campos e ondas A estrutura atômica da matéria

Uma partícula, no uso sentido em de quepartícula usaremos termo,como é umaosidealização de um objeto físico. Faremos da idéia paraeste entender objetos se movem e como interagem uns com os outros. Uma das mais importantes propriedades de uma partícula ou de uma coleção de partículas é a energia. Estudaremos a energia por seu valor na compreensão de processos físicos e por causa de sua importância prática em uma sociedade tecnológica. Partículas são objetos discretos e localizados. Embora muitos fenômenos possam ser compreendidos em termos de partículas e de suas interações, as interações de ação a distância da gravidade, da eletricidade e do magnetismo são mais bem-compreendidas em termos de campos, tais como o campo gravitacional e o campo elétrico. Em vez de serem discretos, os campos espalham-se continuamente através do espaço. Boa parte da segunda metade deste livro se concentrará na compreensão dos campos e das interações entre campos e partículas. Certamente uma das mais importantes descobertas dos últimos 500 anos é que a matéria é constituída por átomos. Os átomos e suas propriedades são descritos pela física quântica, porém não podemos saltar diretamente para este assunto e esperar que ele faça algum sentido. Para chegar ao nosso destino, vamos ter de estudar muitos outros assuntos ao longo do caminho como ter de passar pelas Montanhas Rochosas se deseja ir de carro de Nova York a São Francisco. Todo nosso conhecimento a respeito de partículas e campos estará em ação quando, no fim de nossa jornada, estivermos estudando a estrutura atômica da matéria. 

A rota a seguir Aqui, no início, podemos ter uma panorâmica da rota a seguir. Aonde nossa jornada nos levará? O que veremos ao longo do caminho? topo

res

res

fundo

As Partes I e II, as Leis de Newton e os Princípios de conservação, constituem a base do que chamaremos de mecânica clássica. A mecânica clássica é o estudo do movimento. (Ela é chamada de clássica para que possamos distingui-la da teoria moderna do movimento em nível atômico, que é chamada de mecânica quântica.) Estas duas primeiras partes estabelecem a linguagem e os conceitos básicos do movimento. A Parte I examinará o movimento em termos de partículas e de forças. Usaremos esses conceitos para analisar o movimento de qualquer coisa, desde velocistas até satélites em órbita. Na Parte II, introduziremos as idéias de momentum e energia. Esses conceitos especialmente o de energia nos darão novas perspectivas acerca do movimento e ampliarão nossas habilidades de analisar movimentos. 



Introdução

xxiii

A Parte III , Aplicações da mecânica newtoniana , examinará quatro importantes aplicações da mecânica clássica: a teoria de Newton da gravitação, o movimento de rotação, os movimentos oscilatórios e o movimento de fluidos. Apenas as oscilações constituem um pré-requisito para os capítulos posteriores. A Parte IV, Termodinâmica, estende as idéias de partículas e de energia a sistemas tais como líquidos e gases que contêm um enorme número de partículas. Aqui examinaremos as relações entre o comportamento microscópico de um grande número de átomos e as proprieda-

Os átomos são mantidos juntos por meio de fracas ligações moleculares, mas podem deslizar uns sobre os outros.

macroscópicas des dedas volumes de matéria. Você constatará que algumas propriedades dos gases que você conhece da química, como a lei dos gases ideais, são conseqüências diretas da estrutura atômica subjacente do gás. Também estenderemos o conceito de energia e aprofundaremos o estudo de como a energia é transferida e utilizada.

As ondas são de natureza onipresente, sejam elas oscilações em larga escala como as ondas oceânicas, o movimento menos óbvio das ondas sonoras ou as sutis ondulações das ondas luminosas e das ondas de matéria que nos levarão ao coração da estrutura atômica da matéria. Na Parte V, Ondas e Óptica, enfatizaremos a unidade da física ondulatória e verificaremos que muitos fenômenos ondulatórios diferentes podem ser analisados com os mesmos conceitos e a mesma linguagem matemática. É aqui que começaremos a acumular evidências de que a teoria da mecânica clássica é inadequada para explicar o comportamento observado dos átomos, e terminaremos esta seção com alguns enigmas que parecem desafiar nossa compreensão. Terminal positivo

U

o d n ta n e m u A

Fluxo de íons

A Parte VI, Eletricidade e Magnetismo, é devotada à força eletromagnética , uma das mais importantes da natureza. Essencialmente, a força eletromagnética é a “cola” que mantêm os átomos juntos. Ela é também a força que faz de nossa época a “era eletrônica”. Iniciaremos esta parte da jornada com observações simples a respeito da eletricidade estática. Passo a passo, seremos levados às idéias básicas subjacentes aos circuitos elétricos, ao magnetismo e, por fim, à descoberta das ondas eletromagnéticas.

Terminal negativo

A Parte VII é sobre Relatividade e Física Quântica . Iniciaremos explorando o estranho A escada rolante de cargas as “eleva” do mundo da teoria da relatividade de Einstein, um terminal negativo para o positivo. A carga mundo em que o espaço e o tempo não são o q adquire energia U  qVbat. que parecem ser. Depois entraremos no domínio microscópico dos átomos, onde o comportamento da luz e da matéria é completamente estranho frente ao que nosso senso comum nos diz ser possível. Embora a matemática da teoria quântica esteja muito além do nível deste livro, e o tempo esteja acabando, você verificará que a teoria quântica dos átomos e dos núcleos explica muito do que você aprendeu, simplesmente, como regras da química. Não visitaremos toda a física em nossa jornada. Não há tempo suficiente. Muitos tópicos entusiasmantes, indo desde os quarks até os buracos negros, terão de permanecer inexplorados para nós. Mas esta jornada particular não precisa ser a última. Quando você terminar este texto, terá a base e a experiência para explorar novos assuntos em cursos ainda mais avançados ou por própria conta.

Líquido

Rarefação

Compressão

Alto-falante

som

Moléculas Moléculas individuais oscilam de um lado para o outro com deslocamentos D. Enquanto fazem isso, as compressões se propagam para frente com velocidade vsom. Uma vez que as compressões correspondem a regiões de pressão mais alta, pode-se conceber uma onda sonora como uma onda de pressão.

Este desenho de um átomo precisaria ter 10 m de diâmetro a fim de estar na mesma escala que o ponto que representa o núcleo. Átomo

Núcleo Núcleons (prótons e nêutrons)

Relatividade e VII Física Quântica PARTE

Esta seqüência de três imagens mostra um gás com alguns milhares de átomos de rubídio condensandose em um único estado quântico, conhecido como condensado de Bose-Einstein. Esse fenômeno foi previsto por Einstein em 1925, mas só foi observado em 1995, quando os físicos dominaram o uso de lasers para o resfriamento de átomos a temperaturas abaixo de 200 nanokelvin.

PANORAMA

A física contemporânea Nossa jornada pela física está chegando ao fim. Tudo começou há aproximadamente 350 anos com a descoberta, por Newton, das leis do movimento. A Parte VI nos levou até o final do século XIX, há pouco mais de 100 anos. Pelo caminho, você aprendeu sobre o movimento de partículas, a conservação da energia, a física das ondas e as interações eletromagnéticas que mantêm os átomos unidos e produzem ondas luminosas. Agora, podemos afirmar que estamos muito mais confiantes para começar a última etapa da nossa jornada.

A mecânica de Newton e o eletromagnetismo de Maxwell foram os dois pilares da ciência ao final do século XIX e serviram de base para a engenharia e para as ciências aplicadas no século XX. Apesar do sucesso dessas teorias, uma série de descobertas começou a ocorrer por volta de 1900, estendendo-se até as primeiras décadas do século XX, alterando profundamente a nossa compreensão sobre o universo em seu nível mais fundamental. ■

■

A teoria da relatividade de Einstein forçou uma revisão dos conceitos de espaço e tempo. Nossa exploração dessas idéias fascinantes culmina na talvez mais famosa equação da física: E  mc2, obtida por Einstein. Experimentos revelaram que a distinção clássica entre partículas e ondas inexiste em nível atômico. Às vezes, a luz se comporta como uma partícula, enquanto os elétrons, e até mesmo átomos inteiros, se comportam como ondas. Precisaremos de uma nova teoria da luz e da matéria  a física quântica  para explicar esses fenômenos.

Essas duas teorias compõem a base da física praticada atualmente e já causam impacto significativo na engenharia do século XXI. A teoria completa da física quântica, como desenvolvida na década de 1920, descreve as partículas atômicas em termos de um conceito totalmente novo, chamado função de onda. Uma das tarefas mais importantes na Parte VII será aprender o que é a função de onda, quais leis governam seu comportamento e como relacionar funções de onda com dados experimentais. Nossa ênfase será nos modelos unidimensionais, que, apesar de imperfeitos, são adequados para que compreendamos os aspectos essenciais de microscópios de tunelamento, de vários dispositivos semicondutores, do decaimento radioativo e de outras aplicações. Completaremos nosso estudo da física quântica com uma introdução à física atômica e à física nuclear. Você aprenderá a srcem do modelo de camadas eletrônicas usado na química, como os átomos emitem e absorvem luz, o que forma o núcleo atômico e por que certos núcleos sofrem decaimento radioativo. Por mais que pareça estranho e misterioso, com suas funções de onda e probabilidades o mundo quântico nos fornece previsões mais definitivas e precisas do que qualquer outra teoria física jamais forneceu. A perspectiva contemporânea da física quântica será a conclusão perfeita para nossa jornada no mundo da física.

37 Relatividade Estas são as ferramentas fundamentais para aprendermos sobre o espaço e o tempo.

O espaço e o tempo parecem ser conceitos simples. Você consegue medir distâncias

por meio de uma régua ou de uma trena. Com um cronômetro é possível registrar o tempo de ocorrência de eventos. Nada poderia ser mais simples. Isso é o que todos acreditavam até que, em 1905, um jovem cientista desconhecido 

Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 37 é compreender como a teoria da relatividade de Einstein mudou nossos conceitos sobre o espaço e o tempo. Neste capítulo, você aprenderá a: ■ ■

■ ■ ■



Usar o princípio da relatividade. Compreender como a dilatação temporal e a contração espacial mudam nossa concepção acerca do que são o espaço e o tempo. Usar as transformações de Lorentz para posições e velocidades. Calcular a quantidade de momentum linear e de energia. Compreender como massa e energia são equivalentes.

Em retrospectiva

Os tópicos apresentados neste capítulo dependem da compreensão do movimento relativo na mecânica Newtoniana. Revise: ■

Seção 4.4 Referenciais inerciais e transformações de Galileu.

teve a coragem de sugerir que essa concepção simples de espaço e de tempo estava em conflito com outros princípios da física. No século que se seguiu, a teoria da relatividade de Einstein alterou radicalmente nossa compreensão de alguns dos conceitos mais fundamentais da física. Apesar de sua reputação esotérica, a relatividade tem conseqüências reais para a tecnologia moderna. Os satélites do sistema de posicionamento global (GPS) dependem da relatividade, bem como os sistemas de navegação usados por companhias aéreas. Os reatores nucleares fazem uso da famosa equação de Einstein, E  mc2, para gerar 20% da eletricidade usada nos Estados Unidos. A aniquilação de matéria em tomografia por emissão de pósitrons (PET) provê aos cientistas uma nova forma de monitorar a atividade cerebral. A teoria da relatividade é fascinante, surpreendente e desafiadora. E também é vital para a compreensão do universo em que vivemos.

37.1 Relatividade: afinal, do que se trata? O que passa em sua cabeça quando você escuta a expressão “teoria da relatividade”? Um Einstein de cabeleira branca? A equação E  mc ²? Buracos negros? Viagens no tempo? É provável que você tenha ouvido que, por serrealmente tão complicada e abstrata, para contar nos dedos quantas pessoas, no mundo todo, entendem a teoria dá da relatividade. Não há dúvida de que existe certa mística associada à relatividade, uma aura estranha e exótica. A boa notícia é que você é capaz de compreender a relatividade. A teoria especial da relatividade de Einstein, a parte da relatividade que iremos estudar aqui, não é, de forma alguma, matematicamente difícil. O desafio é conceitual, pois a relatividade questiona pressupostos sobre a natureza do espaço e do tempo que são fortemente aceitos por nós. Na verdade, a relatividade é isso: espaço e tempo.

CAPÍTULO 37

De certa forma, a relatividade não traz nada novo. Algumas das idéias sobre a relatividade fazem parte da mecânica newtoniana. Você já foi apresentado a esse assunto no Capítulo 4, onde foi possível aprender sobre referenciais e transformações de Galileu. Einstein, no entanto, pensava que a relatividade deveria aplicar-se a todas as áreas da física, e não somente à mecânica. Como você pode perceber, a dificuldade é que alguns aspectos da relatividade parecem ser incompatíveis com as leis do eletromagnetismo, especialmente as leis que governam a propagação de ondas luminosas. Alguns cientistas de menor importância provavelmente concluíram que a relatividade, simplesmente, não se aplicava ao eletromagnetismo. A genialidade de Einstein está em sua capacidade de perceber que a incompatibilidade surge dos nossos pressupostos acerca do espaço e do tempo, pressupostos que ninguém jamais havia questionado, por parecerem óbvios demais. Em vez de abandonar os conceitos da relatividade, Einstein mudou nossa compreensão acerca do espaço e do tempo. Felizmente, você não precisa ser um gênio para seguir o mesmo caminho que alguém já trilhou. Contudo temos de ter muito cuidado com a lógica e a precisão. É preciso que se diga precisamente como é que conhecemos as coisas no mundo da física e, então, que se arque com as conseqüências lógicas. O desafio está em permanecer nessa trilha e não deixar que antigos pressupostos  aqueles já consolidados em nossas mentes  nos desviem do caminho.

O que tem de especial na relatividade especial? O primeiro artigo de Einstein so bre a relatividade, em 1905, abord ou exclusivamente os referenciais inerciais, aqueles referenciais que se movem com velocidade constante uns em relação aos outros. Dez anos mais tarde, Einstein publicou uma teoria da relatividade mais abrangente, que levava em consideração o movimento acelerado e sua relação com a gravidade. Por ter um objetivo mais geral, essa segunda teoria é chamada derelatividade geral.A relatividade geral é a teoria que descreve os buracos negros, a curvatura do espaço-tempo e a evolução do universo. Trata-se de uma teoria fascinante, todavia dotada de um conteúdo matemático maior e, portanto, fora do objetivo deste livro.

O movimento com velocidade constante é um “caso especial” de movimento  qual seja, um movimento com aceleração nula. A primeira teoria da relatividade de Einstein foi denominada relatividade especial . Ela foi denominada especial por ser um caso restrito da teoria geral, e não, uma teoria excepcional ou diferente no conclusões sentido usual em que empregamos a palavra especial. A relatividade especial, com suas sobre a dilatação temporal e a contração espacial, é o que iremos estudar neste capítulo.

37.2 A relatividade de Galileu Se quisermos apreciar e compreender o que há de novo na teoria de Einstein precisamos, antes, ter uma compreensão sólida acerca da relatividade de Galileu. Assim, começaremos com os conceitos da relatividade presentes na mecânica newtoniana.

Referenciais Suponha que você e eu estejamos trafegando em uma rodovia no mesmo sentido, e que seu carro ultrapasse o meu. Meu velocímetro marca 88 km/h, e o seu, 100 km/h. Será que 100 km/h é a sua velocidade “verdadeira”? Certamente ela é a sua velocidade em relação a alguém parado no acostamento, entretanto a sua velocidade em relação a mim é de apenas 12 km/h. E em relação a um motorista que se aproxime em sentido contrário a 100 km/h, o valor de sua velocidade é 200 km/h. Nenhum objeto possui uma velocidade “verdadeira”. A definição de velocidade, v  x/ t, considera a existência de um sistema de coordenadas em relação ao qual, durante certo intervalo de tempo t, o deslocamento x é medido. O máximo que conseguimos fazer é especificar a velocidade de um objeto relativamente, ou em relação, a um sistema de coordenadas usado para medi-la. Vamos definir um referencial como um sistema de coordenadas em que observadores, dispondo de réguas, de cronômetros ou de qualquer outro equipamento necessário, medem a posição e o tempo de objetos em movimento. Três idéias estão implícitas em nossa definição de referencial: ■

Todo referencial estende-se infinitamente em todas as direções.

■

Relatividade

1143

Albert Einstein (1879-1955) foi um dos pensadores mais influentes da história.

1144

Física: Uma Abordagem Estratégica ■ ■

Os observadores estão em repouso em relação ao seu referencial. O número de observadores e a qualidade do equipamento usado são suficientes para medir as posições e as velocidades com qualquer nível de precisão estabelecido.

As duas primeiras idéias são de especial importância. Geralmente é conveniente que se mencione “o referencial do laboratório” ou “o referencial do foguete”. Essas são formas reduzidas que, de fato, significam “um referencial que se estende infinitamente em todas as direções, em relação ao qual o laboratório (ou o foguete) e um grupo de observadores encontram-se em repouso”. NOTA  Um referencial não é a mesma coisa que “ponto de vista”, ou seja, cada

pessoa ou cada observador não tem seu próprio referencial. Todos os observadores que estejam em repouso, uns com relação aos outros, pertencem ao mesmo referencial. Os eixos de S e S têm a mesma orientação. 



O referencial S move-se com velocidade v em relação ao referencial S. O movimento relativo ocorre ao longo dos eixos xex . 

S





As srcens de S e S coincidem no instante t  0. Essa é a nossa definição de t  0.



A FIGURA 37.1mostra dois referenciais chamados S e S. Os eixos de coordenadas de S são x, y e z; os de S são x, y e z. O referencial S move-se com velocidadev em relação a S ou, o que é equivalente, S move-se com velocidadev em relação a S. Não é relevante se algum deles está “em repouso”. Note que o instante zero, quando os observadores começam a cronometrar o tempo, é aquele instante em que coincidem as srcens de S e de S. Restringiremos nossa atenção aosreferenciais inerciais, supondo que a velocidade relativa v seja constante. Do Capítulo 5, você deve se lembrar de que um referencial inercial é aquele em que é válida a primeira lei de Newton, a lei da inércia. Particularmente, um re sobre a qual não são exercidas ferencial inercial é aquele em que uma partícula isolada forças  permanece em repouso ou se move em linha reta com velocidade constante. Qualquer referencial que se mova com uma velocidade constante em relação a um referencial inercial também constitui, por sua vez, um referencial inercial. Em contrapartida, qualquer referencial acelerado em relação a um referencial inercial não é um referencial inercial. Restringir o estudo aos referenciais que se movem com velocidade constante  sem aceleração  é o motivo do emprego do termo “especial” na teoria da relatividade especial. NOTA  Todo referencial inercial é uma idealização. Um referencial inercial verda-

O referencial S move-se com velocidade v em relação ao referencial S . 

FIGURA 37.1Os

referenciais-padrão S e S.

deiro teria de flutuar no espaço, muito distante de qualquer influência gravitacional. Na prática, um laboratório fixo na superfície da Terra é o que mais se aproxima de um referencial inercial, uma vez que as acelerações associadas à rotação terrestre e ao seu movimento em torno do Sol são muito pequenas para influenciar a maioria dos experimentos. 

PARE E PENSE 37.1 Entre os itens abaixo, identifique qual deles corresponde a um referencial inercial (ou a uma boa aproximação).



No instante t, a srcem de S moveu-se uma distância vt para a direita. Assim,x  x  vt. 

Bomba

a. O seu quarto de dormir. b. Um carro que desce uma ribanceira. c. Um trem que se move de modo uniforme em um trilho horizontal. d. Um foguete durante o lançamento. e. Uma montanha-russa que passa pelo topo de uma subida. f. Um pára-quedista em queda com a velocidade terminal.

As transformações de Galileu Suponha que uma bomba exploda no instante t. Observadores no referencial S deter-

As srcens coincidem em t  0.

As distâncias perpendiculares ao movimento não são afetadas. Assim, y  y e z  z. 

minam que a explosão ocorreu na posição x. De maneira similar, os observadores em S determinam que a explosão ocorreu em x com relação ao seu referencial. Qual é a relação entre x e x? A FIGURA 37.2mostra a explosão e os dois referenciais. Observando a figura, você pode perceber que x  x  vt; portanto



FIGURA 37.2A

posição da explosão de uma bomba é medida nos referenciais S e S.

(37.1)

CAPÍTULO 37

Essas equações, já apresentadas no Capítulo 4, são as transformações de Galileu para posições. Se você conhece a posição medida pelos observadores em um referencial inercial, você pode calcular a posição correspondente que seria medida em qualquer outro referencial inercial. Agora suponha que os observadores em ambos os referenciais acompanhem o movimento de um objeto medindo sua posição em diferentes instantes de tempo (FIGURA 37.3). Os observadores em S constatam que a velocidade do objeto é . Durante o mesmo intervalo t, os observadores em S  medem a velocidade como .  Neste capítulo, usaremos a letra v para representar a velocidade de um referencial em relação a outro. e serão usados para representar as velocidades dos objetos em relação, respectivamente, a S e a S. Essa notação difere daquela utilizada no Capítulo 4, onde V representava a velocidade relativa. 

■

Relatividade

1145

A velocidade do objeto medida no referencial S é

NOTA

Podemos determinar a relação entre e obtendo as derivadas da Equação 37.1 em relação ao tempo e usando a definição ux  dx/dt:

Medida em relação ao referencial S , a velocidade é 

FIGURA 37.3A velocidade de um objeto

A equação para uz é semelhante a esta. O resultado final é

em movimento é medida nos referencias S e S.

(37.2) As Equações 37.2 são as transformações de Galileu para velocidades . Se você conhece a velocidade de uma partícula medida em relação a um determinado referencial inercial, pode usar as equações 37.2 para determinar a velocidade que seria medida para esta partícula em qualquer outro referencial inercial. EXEMPLO 37.1A velocidade

do som

Um avião voa a uma velocidade de 200 m/s em relação ao solo. Uma onda sonora 1 se aproxima do avião pela frente, e outra onda sonora 2, pela traseira. Ambas propagam-se a 340 m/s em relação ao solo. Qual é a velocidade de cada onda em relação ao avião? MODELO Suponha que a Terra (referencial S) e o avião (referencial S) sejam referenciais inerciais. O referencial S, em relação ao qual o avião está em repouso, move-se com uma velocidade v  200 m/s relativa ao referencial S. VISUALIZAÇÃOA FIGURA 37.4mostra o avião e as ondas sonoras. 

A onda 2 propaga-se a uma velocidade u2  340 m/s em relação ao referencial S.

O referencial S do avião move-se com uma velocidade v  200 m/s relativa ao referencial S do solo. A onda 1 propaga-se a uma velocidade u1  340 m/s em relação ao referencial S.

FIGURA 37.4Os observadores dentro do avião medem velocidades

diferentes daquelas obtidas pelos observadores no solo.

RESOLUÇÃO A velocidade de uma onda mecânica, como uma onda sonora ou uma onda em uma corda, é a sua velocidade em relação ao meio em que ela se propaga. Assim, a velocidade do som é a veloci-

dade de propagação de uma onda sonora no ar medida com o uso de um referencial em relação ao qual o ar esteja parado. Este é o referencial S, em relação ao qual a onda 1 propaga-se com velocidade u1   340 m/s, e a onda 2, com velocidadeu1   340 m/s. Observe que as transformações de Galileu relacionamvelocidades, com seus sinais algébricos apropriados, e não, apenas valores de rapidez (os módulos das velocidades envolvidas). O avião move-se para a direita junto com o referencial S, a uma velocidade v. Podemos usar as transformações de Galileu para velocidades e obter as velocidades de duas ondas sonoras em relação ao referencial S: u1  u1  v   340 m/s  200 m/s   540 m/s u2  u2  v  340 m/s  200 m/s  140 AVALIAÇÃO Isso

m/s

não nos surpreende. Quando você está dirigindo a uma velocidade de 80 km/h, e um carro vem em sentido oposto a 88 km/h, ele se aproxima de você a uma velocidade de 168 km/h. Outro carro que esteja atrás do seu, a 88 km/h, parecerá estar ganhando de você em apenas 8 km/h. As velocidades das ondas sonoras se comportam da mesma maneira. Observe que uma onda mecânica parece ser estacionária para uma pessoa que se move com a mesma velocidade da onda. Para um surfista, por exemplo, a crista de uma onda do mar permanece em repouso sob seus pés.

1146

Física: Uma Abordagem Estratégica

PARE E PENSE 37.2 Ondas chegam à costa com uma velocidade de 10 m/s. Um barco parte da costa em direção ao alto mar a 6 m/s. Qual é a velocidade das ondas em relação ao referencial do barco?

a. 16 m/s

b. 10 m/s

c. 6 m/s

d. 4 m/s

O princípio da relatividade de Galileu Observadores nos dois referenciais medem a mesma força.

Força Aceleração Observadores nos dois referenciais medem a mesma aceleração.

Observadores que usam os referenciais S e S  obtêm valores diferentes para a posição e para a velocidade. E quanto à força exercida sobre a partícula da FIGURA 37.5e à sua aceleração? A intensidade da força pode ser medida por meio de um dinamômetro. Observadores em ambos os referenciais, S e S , fazem a mesma leitura do dinamômetro (supondo-se que ele seja dotado de um mostrador digital luminoso visível a todos os observadores). Assim, ambos concluem que a força é a mesma, ou seja, F  F. Podemos comparar as acelerações medidas nos dois referenciais obtendo a derivada temporal da equação de transformação de velocidades, u  u  v. (Para simplificar, consideramos que as velocidades e as acelerações estejam todas ao longo do eixo x.) A velocidade relativa v entre os dois referenciais é constante, com dv/dt  0; logo,

FIGURA 37.5Observadores fixos nos dois

referenciais testam a segunda lei de Newton medindo a força exercida sobre uma partícula e sua aceleração.

(37.3) Observadores nos referenciais S e S obtêm diferentes valores para a posição e para a velocidade de um objeto, porém eles concordam quanto ao valor da aceleração. Se F  ma em relação ao referencial S, então F  ma também em relação ao referencial S. Em outras palavras, se a segunda lei de Newton é válida em relação a um referencial inercial, então ela é válida em relação a qualquer outro referencial inercial. Uma vez que outras leis da mecânica, tais como os princípios de conservação, advêm das leis de Newton do movimento, podemos reescrever a conclusão acima como o principio da relatividade de Galileu: PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEU As leis da mecânica são as mesmas em relação

a todos os referencias inerciais. Colisão observada no referencial S ,

, ,

, ,



Colisão observada no referencial S

,

,

,

,

O princípio da relatividade de Galileu é fácil de ser descrito, mas para entendê-lo devemos compreender o significado da expressão “as mesmas” no enunciado acima. Como um exemplo específico, considere o princípio de conservação do momentum. A FIGURA 37.6Amostra duas partículas prestes a colidir. O momentum total em relação ao referencial S, no qual a partícula 2 encontra-se em repouso, é Pi  9,0 kg m/s. Por ser um sistema isolado, o princípio de conservação do momentum nos diz que, após a colisão, o momentum será Pf  9,0 kg m/s. Na FIGURA 37.6Bfoi utilizada a transformação de velocidades para as mesmas partículas no referencial S, no qual a partícula 1 está em repouso. O momentum inicial em S é Pi   18 kgm/s. Logo, não é o valor do momentum que é o mesmo em todos os referenciais inerciais. O princípio da relatividade de Galileu nos diz que é o princípio de conservação do momentum que é o mesmo em todos os referenciais inerciais. Se Pf  Pi no referencial S, então deve ser verdadeiro que Pf  Pi no referencial S. Conseqüentemente, pode-se concluir que Pf será igual a 18 kgm/s após a colisão em relação a S.

Usando a relatividade de Galileu O princípio da relatividade está relacionado com as leis da mecânica, e não, com os FIGURA 37.6O momentum total medido em dois referenciais.

valores que são necessários para satisfazer tais leis. Se há conservação de momentum em um referencial inercial, o mesmo irá ocorrer em todos os referenciais inerciais. No entanto, pode ser que um problema seja mais facilmente resolvido em um referencial do que em outro.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1147

As colisões elásticas são um bom exemplo do uso de referenciais. No Capítulo 10, você aprendeu como calcular o resultado de uma colisão perfeitamente elástica entre duas partículas em relação ao referencial no qual a partícula 2 está inicialmente em repouso. Podemos usar essa informação juntamente com as transformações de Galileu para resolver problemas de colisão elástica em qualquer referencial inercial. BOX TÁTICO

37.1

Analisando colisões elásticas

Transforme as velocidades iniciais das partículas 1 e 2 no referencial S para o referencial S, no qual a partícula 2 está em repouso. O resultado da colisão em S é dado por

Transforme as duas velocidades finais no referencial S de volta para o referencial S. Exercícios 4–5

Estas referências são do Student Workbook, disponível, em inglês, apenas no mercado norte-americano.

EXEMPLO 37.2Uma colisão elástica

Uma bola de 300g, movendo-se para a direita a 2,0 m/s, sofre uma colisão perfeitamente elástica com uma bola de 100g que se move para a esquerda a 4,0 m/s. Quais são a direção, o sentido e o módulo da velocidade de cada bola após a colisão? MODELO As velocidades são medidas em relação ao referencial do laboratório, que chamamos de referencial S. VISUALIZAÇÃOA FIGURA 37.7amostra as duas bolas e o referencial S , no qual a bola 2 encontra-se em repouso. RESOLUÇÃO As três etapas apresentadas no Box Tático estão ilustradas na FIGURA 37.7b. São dados u1i e u2i.. As transformações de Galileu dessas velocidades para o referencial S, usando v   4,0 m/s, são u1i  u1i  v  (2,0 m/s)  (  u2i  u2i  v  (

,

,



O referencial S move-se junto com a partícula 2.

,

A colisão é analisada em relação ao referencial S. Transforme as velocidades para o referencial S , em relação ao qual a partícula 2 está em repouso. 

,

4,0 m/s)  6,0 m/s

,

4,0 m/s)  ( 4,0 m/s)  0 m/s

A bola de 100g está em repouso em relação ao referencial S , como esperado. As velocidades após a colisão são

, Analise a colisão em relação ao referencial S . 

,

A análise da colisão já foi realizada, todavia ainda não terminamos o exercício porque estas são as velocidades pós-colisão em relação ao referencial S. Outra aplicação das transformações de Galileu fornece as velocidades pós-colisão em relação ao referencial S: u1f  u1f  v  (3,0 m/s)  (  4,0 m/s)   1,0 m/s u2f  u2i  v  (9,0 m/s)  ( 4,0 m/s)  5,0

Transforme a velocidade pós-colisão de volta para o referencial S. ,

referenciais são usados para resolver um problema deDiferentes colisão elástica. FIGURA 37.7

m/s

A bola de 300g ricocheteia para a esquerda com uma velocidade de 1,0 m/s, enquanto a bola de 100g é lançada para a direita com 5,0 m/s.

AVALIAÇÃO É

fácil verificar que o momentum é conservado: Pf  P i cálculos apresentados neste exemplo foram fáceis. O detalhe importante, que merece uma reflexão mais cuidadosa, é a lógica empregada e a razão por que a empregamos.  0,20 kgm/s. Os

1148


37.3 O princípio da relatividade de Einstein O século XIX foi a era da óptica e do eletromagnetismo. Em 1801, Thomas Young demonstrou que a luz é uma onda, e por volta da metade do século os cientistas já haviam desenvolvido técnicas para medir a velocidade da luz. Faraday descobriu a indução eletromagnética em 1831, desencadeando uma seqüência de eventos que culminaram, em 1862, com a conclusão de Maxwell de que a luz é uma onda eletromagnética. Se a luz é uma onda, qual é o meio em que ela se propaga? Essa talvez tenha sido a questão mais importante da segunda metade do século XIX. O meio no qual se supunha que as ondas luminosas se propagavam foi chamado de éter (ou éter luminífero). Experimentos realizados para se obter a velocidade da luz supostamente mediam sua velocidade através do éter. Mas afinal, o que é o éter? Quais são suas propriedades? Podemos coletar um pote cheio de éter para estudo? Apesar da significância dessas perguntas, os esforços feitos para detectar o éter ou medir suas propriedades não produziam resultados. A teoria de Maxwell do eletromagnetismo não colaborou muito. O aspecto mais importante dessa teoria foi prever que as ondas luminosas se propagam com a velocidade

Antes de Einstein, pensava-se que a luz se propagasse com uma velocidade c em relação ao referencial do éter.

Se tal hipótese fosse verdadeira, a luz certamente viajaria com outro valor de velocidade em relação a um referencial que se movesse através do éter.

FIGURA 37.8É como se a velocidade da luz devesse ser diferente de c em um sistema de referência em movimento através do éter.

Essa é uma previsão bem específica que não dá margem a muitas interpretações. A dificuldade aqui foi com a implicação de que as leis de Maxwell do eletromagnetismo seriam válidas somente no referencial do éter. Afinal de contas, como mostra a FIGURA 37.8 , a velocidade da luz deveria certamente ser diferente de c (maior ou menor) em um referencial que se movesse através do éter, assim como a velocidade do som também é diferente para alguém que se move através do ar. Ao final do século XIX, pairava uma sensação de que a teoria de Maxwell não obedecia ao princípio da relatividade clássica. Havia somente um referencial, o referencial do éter, em relação ao qual as leis do eletromagnetismo pareciam ser válidas. Para piorar ainda mais a situação, o fato de que ninguém havia sido capaz de detectar o éter significava que nenhum observador poderia identificar o referencial em relação ao qual as equações Maxwell Foi emdemeio a esse“funcionavam”. cenário confuso que o jovem Albert Einstein deixou sua marca. Ainda adolescente, Einstein já se perguntava como uma onda luminosa se pareceria para uma pessoa que “surfasse” essa onda, movendo-se paralelamente a ela com a mesma velocidade da onda. Isso é possível para uma onda na água ou para uma onda sonora, mas as ondas luminosas pareciam apresentar uma dificuldade lógica. Uma onda eletromagnética se sustenta porque um campo magnético variável induz um campo elétrico, e um campo elétrico variável induz um campo magnético. Todavia, para alguém que se move junto com a onda, os campos não são variáveis. Neste caso, como poderia existir uma onda eletromagnética se propagando? Vários anos de reflexão sobre a relação entre o eletromagnetismo e os referenciais levaram Einstein a concluir que todas as leis da física, e não apenas as leis da mecânica, obedeceriam ao princípio da relatividade. Em outras palavras, o princípio da relatividade é o postulado fundamental do universo físico. Podemos, então, retirar a restrição do princípio da relatividade de Galileu e definir um princípio análogo muito mais geral: PRINCÍPIO DA RELATIVIDADE Todas as leis da física são iguais em relação a qualquer referencial inercial.

Todos os resultados da teoria da relatividade de Einstein baseiam-se nesse postulado simples.

A constância do módulo da velocidade da luz Se as equações de Maxwell do eletromagnetismo são leis da física, e há muitas razões para se acreditar que realmente o sejam, então, de acordo com o princípio da relatividade, as equações de Maxwell devem ser verdadeiras em qualquer referencial inercial.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1149

Embora aparentemente trivial isso equivale a dizer que a lei de conservação do momentum é verdadeira em qualquer referencial inercial. Contudo, siga a lógica: 1. As equações de Maxwell são verdadeiras em todos os referenciais inerciais. 2. As equações de Maxwell prevêem que as ondas eletromagnéticas, inclusive a luz, se propagam com a velocidade c  3,00  108 m/s. 3. Portanto, a luz se propaga com a velocidade c em relação a todos os referenciais

inerciais. A FIGURA 37.9mostra as implicações dessa conclusão. Todos os observadores, não importa como cada um se mova em relação aos outros, percebem que todas as ondas luminosas, independentemente de suas fontes, se propagam em relação aos seus respectivos referenciais com a mesma velocidade c. Se a velocidade de Cathy, que se aproxima v  0,9 c, Cathy, em seu referencial, irá observar que a luz de Bill epor se afasta de Amy, fordela emitida Bill aproxima-se a uma velocidade de módulo c, e não, c  v  1,9c. A luz que partiu de Amy, com uma velocidade c, atinge Cathy com uma velocidade c em relação a Cathy, e não, c  v  0,1c, como esperaríamos em um primeiro momento. Embora essa previsão seja contra o senso comum, há forte evidência experimental em seu favor. Experimentos em laboratório são difíceis, pois mesmo a maior velocidade obtida em laboratório é insignificante em comparação com c. Contudo, na década de 1930, os físicos R. J. Kennedy e E. M. Thorndike perceberam que podiam usar a própria Terra como laboratório. A velocidade da Terra ao girar em torno do Sol é de aproximadamente 30.000 m/s. A velocidade relativa da Terra em janeiro difere em 60.000 m/s de sua velocidade em julho, quando se move em sentido oposto. Kennedy e Thorndike usaram um interferômetro altamente sensível e estável para demonstrar que os valores numéricos da velocidade da luz em janeiro e julho diferem em menos de 2 m/s. Em experimentos mais recentes foram usadas partículas elementares chamadas mésons , que decaem em fótons de alta energia. Os mésons , criados em um acelerador de partículas, movem-se através do laboratório a 99,975% da velocidade da luz, ou v  0,99975c, enquanto emitem fótons com velocidade c no referencial de mésons . Como mostra a FIGURA 37.10, esperar-se-ia que os fótons se movessem através do laboratório com uma velocidade c  v  1,99975c. Em vez disso, a velocidade medida para os fótons no laboratório, levando em conta o erro experimental, foi de 3,00  108 m/s. Resumindo, qualquer experimento realizado para comparar o valor da velocidade da luz em relação a diferentes referenciais revela que a luz se propaga com 3,00  108 m/s em relação a qualquer referencial inercial, independentemente de como os referenciais se movem uns em relação aos outros.

Esta onda luminosa se afasta de Amy a uma velocidade c relativa a Amy e aproxima-se de Cathy com uma velocidade c em relação a Cathy. ,

Esta onda luminosa se afasta de Bill com uma velocidade c relativa a Bill e se aproxima de Cathy com uma velocidade c em relação a Cathy.

FIGURA 37.9A luz se propaga com

velocidade c em relação a todos os referenciais inerciais, independentemente de como eles se movam em relação à fonte de luz.

Um fóton é emitido com uma velocidade em relação ao méson . Quando medida, areferencial velocidade fóton em relação dodo laboratório tambémao éc. Referencial do méson

Como é possível? Se você é uma daquelas pessoas que acha impossível acreditar nisso, não está sozinho. Suponha que eu esteja dirigindo a uma velocidade de 30 m/s e, ao passar por você, lance uma bola para a frente com 50 m/s. Certamente você veria a bola mover-se a uma velocidade de 80 m/s em relação a você e ao solo. O que dizemos aqui em relação à luz equivale a dizer que a bola se moveria a 50 m/s relativamente ao meu carro e, ao mesmo tempo, a 50 m/s relativamente ao chão, embora o carro esteja se movendo a 30 m/s. Parece ser logicamente impossível. Você deve estar pensando que se trata de um mero problema semântico. Se usarmos nossas definições e utilizarmos as palavras corretamente, todo esse mistério e confusão serão esclarecidos. Ou, talvez, a dificuldade advenha da confusão entre o que “vemos” e o que “realmente ocorre”. Em outras palavras, uma análise mais detalhada do que realmente ocorre mostraria que a luz “realmente” se propaga com diferentes velocidades em diferentes referenciais. Na verdade, o que realmente ocorre é que a luz se propaga a 3,00  108 m/s em relação a qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade com que os referenciais se movam uns com relação aos outros. Não se trata de um truque. Nesse caso só há uma maneira de escaparmos das contradições lógicas.

Referencial do laboratório

,

FIGURA 37.10Experimentos demonstram

que os fótons se movem através do laboratório com uma velocidade c, e não, 1,99975c, como se poderia esperar.

A definição de velocidade é u  x/t, ou seja, a razão entre uma distância percorrida e o intervalo de tempo no qual essa distância ocorre. Suponha que você e eu estejamos efetuando medições de certo objeto em movimento, mas com você em movimento relativamente a mim. Talvez eu esteja parado em uma esquina, você passe de

1150

Física: Uma Abordagem Estratégica carro e nós dois tentamos medir a velocidade de uma bicicleta. Suponha, ainda, que nós combinemos previamente que iremos medir a velocidade da bicicleta no percurso entre uma árvore e um poste, conforme mostra FaIGURA 37.11 . O x que você mede difere do x que eu meço porque o seu movimento é relativo ao meu; logo, a velocidade da bicicleta u, em relação ao seu referencial, será diferente da velocidade u medida em relação ao meu referencial. Mais uma vez nos deparamos com as transformações de Galileu.

Em

Em x



e x não são iguais.

A árvore e o poste movem-se para a esquerda no referencial S . 

Em Medições realizadas no referencial S, em relação ao qual a árvore e o poste estão em repouso. A velocidade da bicicleta é u  x/t.

Em 

Medições realizadas no referencial S , que se move para a direita em relação ao referencial S. A velocidade da bicicleta é u  x /t. 



FIGURA 37.11Medindo a velocidade de um objeto utilizando a definição básica u  x/t.

Agora vamos repetir as medições, mas desta vez mediremos a velocidade de uma onda luminosa que percorre a distância entre a mesma árvore e o mesmo poste. Seu x novamente vai ser diferente do meu x, embora a diferença seja bem pequena, a menos que seu carro esteja se movendo bem acima do limite de velocidade permitido. A conclusão óbvia é de que a velocidade que você mediu para a luz, u, difere da velocidade da luz medida por mim, u. Mas isso não ocorre. As observações mostraram que, para uma onda luminosa, obteremos os mesmos valores: u  u. A única maneira de isso ser verdadeiro é se o t que transcorre para você não for o mesmo t transcorrido para mim. Se o tempo decorrido para a luz percorrer a distância da árvore até o poste, em relação ao seu referencial, que a partir de agora chamaremos de t, for diferente do tempo t transcorrido para a luz se mover da árvore até o poste em relação ao meu referencial, então poderemos obter x/t  x/t. Isto é, u  u, embora você esteja em movimento em relação a mim. Desde o início deste livro temos afirmado que tempo é simplesmente tempo. Ele flui como um rio. Todos os observadores e todos os referenciais simplesmente usam o tempo. Suponha, por exemplo, que a árvore e o poste tivessem relógios bem grandes. Seríamos capazes de observar o mesmo intervalo de tempo t que a luz precisa para ir da árvore para o poste, não é mesmo? Talvez não. É verdade que x  x. É possível demonstrar experimentalmen te  u para ondas luminosas. Algo deve estar errado com as hipóteses que fizemos que u da acerca natureza do tempo. O princípio da relatividade não nos deixa outra saída senão reexaminar nossa compreensão sobre o tempo.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1151

37.4 Eventos e medições Questionar algumas de nossas pressuposições básicas sobre o espaço e o tempo requer extremo cuidado. Temos de estar certos de que nenhuma hipótese será ignorada em nossa análise. Nosso objetivo é descrever o movimento de uma partícula de forma clara e precisa, utilizando o menor número de hipóteses.

Eventos A entidade fundamental da relatividade é denominada evento. Um evento é uma ocorrência física em um ponto definido do espaço e em um instante definido de tempo. Uma bomba que explode é um exemplo de evento. Uma colisão entre duas partículas é também um evento. Uma onda luminosa que chega a um detector é um evento. EventosApodem serde observados e medidos por observadores usam diferentes referenciais. explosão uma bomba é tão visível para você, queque está passando em seu carro, quanto para mim, parado numa esquina de rua. Podemos quantificar onde e quando um evento ocorre utilizando quatro números: as coordenadas ( x, y, z) e o instante de tempo t. Esses quatro números, ilustrados na FIGURA 37.12 , são chamados de coordenadas espaço-temporais do evento. As coordenadas espaciais de um evento, medidas em relação aos referenciais S e S, podem diferir entre si. Agora também parece que os instantes de tempo, medidos em S e S, podem ser diferentes. Logo, as coordenadas espaço-temporais de um evento medidas por observadores fixos no referencial S são ( x, y, z, t), enquanto as de um mesmo evento, medidas por observadores fixos no referencial S , são (x, y, z, t). O movimento de uma partícula pode ser descrito como uma seqüência de dois ou mais eventos. Introduzimos essa idéia na seção anterior quando combinamos medir a velocidade de uma bicicleta e de uma onda luminosa através da comparação da passagem de um objeto por uma árvore (primeiro evento) com a passagem de um objeto por um poste (segundo evento).

evento possui coordenadas espaço-temporais x, y, z, t) em relação ao referencial S e diferentes (Um coordenadas espaço-temporais (x , y , z , t ) em relação ao referencial S . 









FIGURA 37.12A localização e o instante de

ocorrência de um evento são descritos por suas coordenadas espaço-temporais.

Medições Um evento é o que “realmente acontece”. Mas como aprendemos sobre um evento? Isto é, como os observadores fixos em um referencial determinam as coordenas espaçotemporais de um evento? Esse é o problema associado à medição. Definimos um referencial como um sistema de coordenadas em relação ao qual os observadores podem fazer medições de tempo e de posição. É um bom começo, mas agora precisamos ser mais precisos ao definir como essas medições serão realizadas. Imagine que um referencial seja formado por uma rede cúbica de réguas e de relógios como mostrado na FIGURA 37.13. Para cada intersecção existe um relógio, e todos eles estão sincronizados. Mais adiante discutiremos como sincronizar os relógios, mas, por ora, vamos admitir que isso possa ser feito. Com as réguas e os relógios em posição, podemos empregar um esquema de medição em duas etapas: ■ ■

As coordenadas (x, y, z) de um evento são determinadas pela intersecção das réguas mais próximas ao evento. O instante t do evento é o tempo marcado no relógio mais próximo ao evento.

As coordenadas espaço-temporais deste evento são medidas por meio da intersecção mais próxima de réguas e pelo relógio mais próximo.

Relógios sincronizados Réguas

Referencial S 

O referencial S tem suas próprias réguas e seus próprios relógios.

Se preferir, você pode imaginar que cada evento seja acompanhado por um flash de luz que ilumina o mostrador do relógio mais próximo, tornando possível sua leitura. Vários aspectos devem sem observados: 1. Os relógios e as réguas em cada referencial são imaginários; assim, eles não têm

dificuldade em passar um através do outro.

2. As medições da posição e do tempo, efetuadas em relação a um referencial, de-

vem ser efetuadas com os relógios e com as réguas daquele referencial. 3. Não existe nada de especial no fato de as réguas medirem 1m e de os relógios

estarem a 1m de distância um do outro. O espaçamento da rede pode ser alterado a fim de se obter o nível de precisão desejado nas medições.



Referencial S

FIGURA 37.13As coordenadas espaço-

temporais de um evento são medidas em uma grade formada por réguas e relógios.

1152


4. Admitamos que os observadores fixos em cada referencial tenham assistentes

sentados junto a cada relógio, marcando a posição e o instante de ocorrência dos eventos próximos a eles. 5. Talvez o detalhe mais importante seja: t é o instante em que o evento realmente ocorre, e não, o instante em que o observador vê o evento ou recebe informações sobre o mesmo. 6. Todos os observadores fixos em um referencial concordam acerca das coordenadas espaço-temporais de um evento. Em outras palavras,cada evento possui um único conjunto de coordenadas espaço-temporais em relação a cada referencial . PARE E PENSE 37.3 Um carpinteiro está trabalhando em uma casa a duas quadras da sua. Você observa que existe um pequeno atraso entre o momento que você vê o carpinteiro martelar o prego e o instante em que você ouve a batida. Em que momento ocorre o evento “martelo bate no prego”?

a. No instante em que você escuta o som da martelada b. No instante em que você vê o martelo bater no prego c. Pouco antes de você ver o martelo bater no prego d. Pouco depois de você ver o martelo bater no prego

Sincronização de relógios

Este relógio foi pré-ajustado para 1,00 µs, o tempo que leva para a luz percorrer 300 m. Relógio fixo na srcem

Uma luz pisca na srcem e o relógio posicionado na srcem começa a marcar o tempo, iniciando em t  0 s.

É importante que todos os relógios de um referencial estejam sincronizados. Isso significa que todos os relógios daquele referencial fornecerão a mesma leitura em um determinado instante de tempo. Para isso, precisamos de um método de sincronização . Uma idéia possível é nomear o relógio fixo na srcem de relógio-mestre. Poderemos, então, percorrer toda a rede e ajustar todos os relógios pelo relógio-mestre e, finalmente, levar o relógio-mestre de volta para a srcem. Esse seria um método perfeito de sincronização na mecânica newtoniana, em que o tempo transcorre suavemente, de forma igual para todos. Mas estamos reexaminando a natureza do tempo, considerando a possibilidade de que o tempo seja diferente em referenciais que se movem relativamente entre si. Uma vez que o relógio-mestre está em movimento, não podemos considerar que ele mediria o tempo da mesma forma que um relógio estacionário. Precisamos de um método de sincronização em que não exista a necessidade de mover relógios. Felizmente, é fácil desenvolver tal método. Cada relógio está posicionado na intersecção das réguas; assim, ao olhar para as réguas, um assistente sabe, ou consegue calcular, a distância exata de cada relógio em relação à srcem. Uma vez que a distancia é obtida, o assistente é capaz de calcular quanto tempo uma onda luminosa leva para percorrer a distância entre a srcem e cada relógio. Por exemplo, a luz levará 1,00 s para atingir um relógio a 300 m da srcem.  Na maioria dos problemas de relatividade é importante que se saiba que a velocidade da luz é c  300 m/s. 

NOTA Frente de onda

O relógio começa a marcar o tempo quando a onda luminosa chega ao mesmo. Ele, então, estará sincronizado com o relógio fixo na srcem.

FIGURA 37.14Sincronização de relógios.

A fim de sincronizar os relógios, os assistentes começam ajustando cada relógio para levar em conta o tempo de propagação da luz a partir da srcem, mas eles ainda não acionam os relógios. A seguir, como mostra a FIGURA 37.14 , uma luz pisca na origem e, simultaneamente, o relógio na srcem começa a marcar o tempo, iniciando em  t 0 s. A onda luminosa se espalha em todas as direções com a velocidade c. Um detector de luz em cada relógio reconhece a chegada da onda luminosa e, prontamente, aciona o relógio. O relógio já havia sido ajustado previamente com o tempo de propagação da luz. Assim, todos os relógios estarão sincronizados após a passagem da onda luminosa por eles.

Este relógio foi pré-ajustado para 1,00s, o tempo que leva para a luz percorrer 300 m.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1153

Eventos e observações Mencionamos anteriormente que t é o instante de tempo em que o evento realmente ocorre. Esse é um aspecto importante, que demandará futuras discussões. Ondas luminosas levam algum tempo para se propagar. Mensagens, sejam elas transmitidas por pulsos de luz, por telefone, por correspondência ou a cavalo, levam tempo para chegar ao destino. Um observador observará um evento, como a explosão de uma bomba, por exemplo, somente um pouco depois, quando as ondas luminosas chegarem aos seus olhos. Mas nosso interesse está concentrado no evento em si, e não, na observação feita por quem o observou. O instante de tempo em que o observador vê o evento, ou é informado do mesmo, não é o instante em que ele realmente ocorreu. Suponha que, em t  0, uma bomba explode na posição dada por x  300 m. O flash de luz proveniente da bomba alcançará o observador na srcem em t1  1,0 s. O som  2 da explosão chegará a um observador que nãoembora viu a explosão em tpossa 0,88 Nenhum desses tempos é o instante tevento da explosão, o observador usars.velocidades de onda conhecidas para determinar tevento. Neste exemplo, as coordenadas espaçotemporais do evento  a explosão  são (300m, 0m, 0m, 0s).

EXEMPLO 37.3Obtendo o tempo de ocorrência de um

evento Um observador A, fixo no referencial S, está posicionado na srcem e olhando no sentido positivo do eixox. Outro observador B, posicionado em x  900m, olha no sentido negativo do eixox. Uma bomba explode em algum ponto entre A e B. O observador B vê um flash de luz no instante t  3,0 s. O observador A vê o flash de luz em t  4,0 s. Quais são as coordenadas espaço-temporais da explosão? MODELO Observadores A e B estão fixos no mesmo referencial e ambos possuem relógios sincronizados. VISUALIZAÇÃOA FIGURA 37.15mostra os dois observadores e a explosão que ocorre em uma posição desconhecidax. RESOLUÇÃOOs dois observadores visualizam os flashes de luz em dois instantes distintos, mas o evento foi um só. A luz viaja a 300 m/ s, de

A luz é recebida em 3,0 s e em 4,0 s, respectivamente; portanto, ela foi emitida pela explosão em t  2,0 s. As coordenadas espaçotemporais são (600 m, 0 m, 0 m, 2,0s). A frente de onda chega a A no instante t = 4,0 µs. A

A frente de onda chega a B no instante t = 3,0 µs. B

Explosão na posição x e no instante t. x 0m

900 m

modo que oAtempo adicional de 1,0s( xnecessário para a luz chegar ao FIGURA 37.15A onda luminosa chega aos observadores em observador implica que a distância  0m) é 300 m maior do que instantes diferentes. Nenhum desses tempos é o tempo em que a distância (900m  x), ou seja, (x  0 m)  (900 m  x)  300 m

o evento realmente ocorreu.

Essa equação de fácil resolução fornece x  600 m como a coorde- AVALIAÇÃO Embora os observadores vejam a explosão em instantes nada da posição da explosão. A luz leva 1,0s para percorrer 300 m distintos, eles concordam que a explosão de fato ocorreu em t  até o observador B e 2,0s para percorrer 600 m até o observador A. 2,0 s.

Simultaneidade Dois eventos 1 e 2 que ocorrem em diferentes posiçõesx1 e x2, mas no mesmo instantet1  t2 medidos em algum referencial, são ditossimultâneos naquele referencial. A simultaneidade é determinada inquirindo-se quando o evento realmente ocorreu, e não, quando foi visto ou observado. Em geral, eventos simultâneosnão são vistos ao mesmo tempo devido à diferença dos tempos de propagação da luz entre os locais dos eventos e o observador. EXEMPLO 37.4As explosões foram simultâneas?

RESOLUÇÃO A observadoravê duas explosões diferentes, mas as per-

Uma observadora no referencial S se posiciona na srcem, olhando no cepções dos eventos não são os eventos em si. Quando a explosão sentido positivodo eixo x. Em t  3,0 s, ela vê a bomba 1 explodir realmente ocorreu? Usando o fato de que a luz se propaga a 300 em x  600 m. Pouco tempo depois, em t  5 s, ela vê a bomba 2 m/s, pode-se verificar que a bomba 1 explodiu emt1 1,0 s e que explodir em x  1200 m. As duas explosões ocorreram simultanea- a bomba 2 também explodiu em t2  1,0 s. Portanto, os eventos foram simultâneos. mente? Em caso contrário, qual das bombas explodiu primeiro? MODELO A luz proveniente de ambas as explosões se propaga a 300 m/ s em direção à observadora.

1154


PARE E PENSE 37.4 Uma árvore e um poste estão a 3000m de distância um do outro. Repentinamente, ambos são atingidos por raios. Mark, que se encontra parado a meio caminho entre a árvore e o poste, vê os dois raios no mesmo instante de tempo. Nancy está em repouso embaixo da árvore. Defina o evento 1 como “o raio atinge a arvore” e o evento 2 como “o raio atinge o poste”. Para Nancy, o evento 1 ocorreu antes, depois ou ao mesmo tempo que o evento 2?

37.5 A relatividade da simultaneidade “As bombas deixarão marcas queimadas onde explodirem no solo.”

Luz sinalizadora Sensor luminoso

Agora que já estabelecemos uma forma de medir o tempo de um evento em relação a um referencial, começaremos a investigar a natureza do tempo. O seguinte “experimento mental” é bastante semelhante ao sugerido por Einstein. A FIGURA 37.16mostra um vagão comprimido que se move para a direita a uma velocidade v que pode ser uma fração considerável da velocidade da luz. Uma bomba é amarrada a cada extremidade do vagão, logo acima do chão. Cada bomba tem poder suficiente para deixar uma marca de queimado no chão, no local da explosão. Ryan está fixo no solo, olhando o vagão passar. Peggy está parada exatamente no centro do vagão, com uma caixa especial aos seus pés. A caixa tem dois detectores de luz, voltados para sentidos opostos, e uma luz sinalizadora na tampa. A caixa funciona da seguinte maneira: 1. Se o detector da direita receber um flash de luz antes do detector da esquerda,

uma luz verde acenderá na tampa da caixa. 2. Se o detector da esquerda receber um flash de luz antes do detector da direita,

ou se os dois flashes chegarem simultaneamente, uma luz vermelha acenderá na tampa da caixa. FIGURA 37.16Um vagão ferroviário

deslocando-se para a direita com velocidade v.

As bombas explodem no momento em que o vagão está passando por Ryan, que vê, simultaneamente, os dois flashes de luz oriundos da explosão. Ryan, então, mede as distâncias entre as duas marcas deixadas pela explosão e descobre que estava posicionado exatamente na metade da distância entre as duas marcas. Sabendo que a luz percorre distâncias iguais em intervalos de tempo iguais, ele conclui que as duas explosões ocorreram simultaneamente em relação ao seu referencial, fixo no solo. Uma vez que Ryan estava posicionado a meia distância entre as duas extremidades do vagão, ele estava na posição diretamente à frente de Peggy no momento da explosão. A FIGURA 37.17amostra a seqüência de eventos registrados no referencial de Ryan. A luz se propaga a uma velocidade c em relação a todos os referenciais. Independentemente do movimento das bombas, as frentes de onda luminosas são esferas centradas nas marcas deixadas no solo. Ryan determina que a onda luminosa proveniente da direita chega a Peggy e à caixa antes da onda luminosa proveniente da esquerda. Logo, de acordo com Ryan, a luz sinalizadora que irá acender na tampa da caixa é a verde. O que acontece em relação ao referencial de Peggy, um referencial que se move para a direita a uma velocidadev relativa ao solo? AFIGURA 37.17bmostra que Peggy vê Ryan se movendo para a esquerda com velocidadev. A luz se propaga a uma velocidadec em relação a todos os referenciais inerciais, de modo que as frentes de onda luminosas são esferas centradas nas extremidades do vagão. Se as explosões foram simultâneas, como determinado por Ryan, as duas ondas luminosas chegam simultaneamente a Peggy e à caixa. Logo, de acordo com Peggy, é a luz sinalizadora vermelha que acende na tampa da caixa. A luz deve ser verde ou vermelha. Não pode ser ambas! Mais tarde, quando o vagão já estiver parado, Ryan e Peggy podem examinar a caixa. A lâmpada que estará acesa seráparadoxo. verde ou vermelha. Ryanque nãoambos, pode ver umaecor e Peggy outra. Deparamo-nos um É impossível Peggy Ryan, estejam certos. Mas quem com está errado e por quê? O que sabemos com absoluta certeza? 1. Ryan detectou os flashes simultaneamente. 2. Ryan estava a meia distância entre os dois artefatos quando eles explodiram. 3. A luz ocasionada pelas duas explosões se aproximou de Ryan com os mesmos

valores de velocidade.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1155

A conclusão de que as explosões foram simultâneas no referencial de Ryan é indiscutível. A luz é verde. Os eventos no referencial de Ryan As explosões são simultâneas. As marcas da explosão estão a iguais distâncias de Ryan.

As frentes de onda são esferas centradas nas marcas porque a velocidade de propagação de ambas as ondas luminosas é c. Peggy está se movendo para a direita As ondas chegam simultaneamente a Ryan. A onda proveniente da direita já passou por Peggy e já foi detectada. A onda proveniente da esquerda ainda não chegou a ela. Os eventos no referencial de Peggy As explosões ocorrem nas extremidades do vagão.

As frentes de onda são esferas centradas nas extremidades do vagão porque a velocidade de ambas as ondas luminosas é c.

As ondas chegam à Peggy e aos detectores simultaneamente.

FIGURA 37.17Explosão de artefatos vista em dois referenciais diferentes.

Peggy, no entanto, elaborou uma hipótese. Uma hipótese bastante simples, daquelas que parecem tão óbvias que você provavelmente nem notaria, embora não deixe de ser uma hipótese. Peggy considera que as explosões foram simultâneas. E quanto a Ryan? Ele acha que as explosões foram simultâneas? A resposta é afirmativa, mas vejamos o seguinte. Chamemos o referencial de Ryan de S, o evento da explosão direita de D e o evento da explosão da esquerda de E. Ryan registrou que tD  tE no referencial S, entretanto Peggy tem de usar um conjunto diferente de relógios, fixos em seu referencial S , a fim de medir os tempos tD e tE em que as explosões ocorreram. O fato de que tD  tE no referencial S não nos autoriza a concluir que tD  tE no referencial S. De fato, a bomba da direita deve ter explodido antes da bomba da esquerda em relação ao referencial S. A Figura 37.17b, que mostra essa hipótese sobre simultaneidade, estava incorreta. A FIGURA 37.18mostra a situação registrada no referencial de Peggy, em que a bomba da direita explodiu primeiro. A onda proveniente da direita chega primeiro até Peggy e à caixa, exatamente como Ryan havia concluído, e a luz verde acende na tampa da caixa. Uma das conclusões mais desconcertantes da relatividade é a de que dois eventos que ocorrem simultaneamente em um referencial S não são simultâneos em qualquer outro referencial S em movimento relativo a S. Chamamos esta conclusão de relatividade da simultaneidade.

A bomba da direita explode primeiro.

A bomba da esquerda explode depois.

A onda luminosa proveniente da direita chega primeiro a Peggy.

As ondas chegam simultaneamente até Ryan. A onda da esquerda ainda não chegou até Peggy.

FIGURA 37.18A verdadeira seqüência de

eventos no referencial de Peggy.

1156


As duas bombas realmente explodiram no mesmo instante de tempo no referencial de Ryan. E a bomba da direita realmente explodiu primeiro no referencial de Peggy. O momento em que eles vêem os flashes não é o que importa. Nossa conclusão refere-se aos tempos em que as explosões realmente ocorrem. O paradoxo de Peggy e Ryan contém a essência da relatividade e merece uma reflexão. Primeiramente, reveja a lógica até você se certificar de que existe um paradoxo, uma impossibilidade lógica. Então, se convença de que a única maneira de resolver o paradoxo é desistir da hipótese de que as explosões são simultâneas no referencial de Peggy. Se você compreender o paradoxo e sua solução, terá dado um grande passo para entender o que, afinal, é a relatividade. PARE E PENSE 37.5 Uma árvore e um poste distam 3000m um do outro. Cada um é atingido por um raio. Mark, parado na metade da distância entre o poste e a árvore, vê os raios chegarem no mesmo instante de tempo. Nancy dirige seu foguete a uma velocidade v  0,5c no sentido árvore-poste. O raio atinge a árvore no momento em que Nancy passa por ela. Defina evento 1 como o “raio atinge a árvore” e evento 2 como o “raio atinge o poste”. Para Nancy, o evento 1 ocorre antes, depois ou ao mesmo tempo que o evento 2?

37.6 Dilatação temporal O princípio da relatividade nos levou à conclusão lógica de que o tempo não é o mesmo em relação a dois referenciais que se movem um em relação ao outro. Nossa análise até aqui tem sido basicamente qualitativa. É hora de começarmos a desenvolver algumas ferramentas quantitativas que permitam comparações entre as medições feitas em um referencial e as efetuadas em outro. A FIGURA 37.19amostra um relógio especial chamado de relógio de luz. O relógio de luz é uma caixa dotada de uma fonte luminosa na base e de um espelho no topo, separados por uma distância h. A fonte luminosa emite um pulso de luz muito curto que se propaga até o espelho e é refletido de volta para um detector de luz localizado ao lado da fonte luminosa. Cada vez que o detector recebe um pulso o relógio produz um “tique” e, imediatamente, faz com que a fonte luminosa emita seu próximo pulso.

17.1

Relógio de luz Espelho Mostrador do tempo

Fonte de luz

Detector de luz

O relógio está em repouso em relação ao referencial S O referencial S é o referencial de repouso do relógio. 

FIGURA 37.19Os “tiques” de um relógio de

luz podem ser medido por observadores fixos em dois referenciais diferentes.



Nosso objetivo é comparar duas medições do intervalo entre dois “tiques” do relógio: uma obtida pelo observador posicionado ao lado do relógio e a outra obtida pelo observador que se move em relação ao relógio. Para sermos mais específicos, a FIGURA 37.19bmostra o relógio em repouso no referencial S , chamado, portanto, de referencial de repouso do relógio. O referencial S  move-se para a direita com velocidade v relativa ao referencial S. A relatividade requer que meçamos eventos, de modo que vamos definir o evento 1

como sendo a emissão do pulso de luz e o evento 2 como a detecção desse pulso. Os observadores fixos em ambos os referenciais conseguem medir onde e quando esses eventos ocorrem em relação ao seu referencial. No referencial S, o intervalo de tempo t  t2  t1 corresponde a um “tique” do relógio. Da mesma forma, um “tique” no referencial S corresponde a t  t2  t1. Para termos certeza de que realmente entendemos o resultado da relatividade, vamos inicialmente fazer uma análise clássica. No referencial S , o referencial de repouso do relógio, a luz se propaga em linha reta para cima e para baixo, percorrendo uma distância total 2h com velocidade c. O intervalo de tempo é t  2h/c. A FIGURA 37.20ailustra o funcionamento do relógio de luz como observado em relação ao referencial S. O relógio se move para a direita com velocidade v em relação a S; 



t) em logo, o espelho percorreA vdistância ( t) durante o tempopela ( luz que oesse pulsointervalo de luz vai luminosa até o espelho. percorrida durante é da uluzfonte (t), onde uluz é a velocidade da luz em relação ao referencial S. A partir da adição de vetores da FIGURA 37.20bé possível observar que a velocidade em relação ao referencial S  é uluz 2 2 ½  (c  v ) . (Lembre-se: essa é uma análise clássica, em que a velocidade da luz depende do movimento do referencial em relação à fonte luminosa.)

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

O teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo na Figura 37.20a é

1157

Espelho no momento em que a luz é detectada

Espelho no momento em que a luz é emitida Espelho

O caminho percorrido pela luz em relação ao referencial S

(37.4) luz

O termo ( vt)2 aparece nos dois lados da equação, cancelando-se. Isolando t, obtemos t  2h/c, idêntico a t. Em outras palavras, uma análise clássica mostra que os “tiques” do relógio estão sincronizados em ambos os referenciais S e S. Isso não nos surpreende. Há somente um tipo de tempo na física clássica, medido igualmente por todos os observadores, independentemente de seus movimentos. O princípio da relatividade muda De apenas umcom aspecto dessa análise, mas essaamudança tem conseqüências profundas. acordo o princípio da relatividade, luz se propaga com a mesma velocidade em relação a todos os referenciais. No referencial S, o referencial de repouso do relógio, a luz simplesmente percorre uma linha reta para cima e para baixo. O tempo de um “tique”,

Emissão

Detecção

O relógio percorre uma distância vt.

Velocidade da luz no relógio éa luz velocidade da luz no referencial S.

(37.5)

permanece o mesmo da análise clássica. Velocidade do relógio relativa ao referencial S A FIGURA 37.21mostra o relógio de luz tal como observado em relação ao referencial S. A diferença em relação à figura 37.20a éque, agora, a luz se propagaao longo da hipotenu- FIGURA 37.20Análise clássica do relógio sa com uma velocidadec. Podemos, novamente, usar o teorema de Pitágoraspara escrever de luz. (37.6) Isolando t, obtemos

A velocidade da luz é a mesma em relação a ambos os referenciais. Espelho

(37.7) O intervalo de tempo entre dois “tiques” em relação ao referencial S não é o mesmo em relação ao referencial S. É útil definir   v/c, ou seja, a velocidade como uma fração da velocidade da luz. Por exemplo, um referencial que se mova com v  2,4  108 m/s corresponde a   0,80. Em função de , a Equação 37.7 torna-se (37.8) 2

2 ½

2 ½

A expressão (1  v /c )  (1   ) ocorre com freqüência na relatividade. O valor da expressão é 1 quando v  0 e decresce gradativamente a 0 quando v → c (ou  → 1). A raiz quadrada será um número imaginário se v  c, o que tornaria t imaginário na Equação 37.8. Os intervalos de tempo certamente têm de ser números reais, o que sugere que v  c não é fisicamente possível. Uma das previsões da teoria da relatividade, da qual você certamente já deve ter ouvido falar, nos diz que nada se move mais rapidamente do que a luz. Agora você já pode começar a perceber por quê. Examinaremos essa questão com mais detalhe na Seção 37.9. Enquanto isso, consideraremos que v seja menor que c.  NOTA 

Tempo própri o O referencial S tem uma característica importante. Ele é o único referencial inercial em relação ao qual o relógio está em repouso. Conseqüentemente, ele é o único referencial inercial em que os tempos de ocorrência de ambos os eventos  a emissão e a detecção da luz  são medidas pelo mesmo relógio. Perceba que, no referencial de repouso do relógio, Figura 37.19, o pulso de luz inicia e termina na mesma posição, podendo ser medido por um único relógio. Na Figura 37.21, a emissão e a detecção ocorrem em diferentes posições no referencial S e devem ser medidas por relógios diferentes.

Caminho percorrido pela luz em relação ao referencial S

Emissão

Detecção

O relógio percorre uma distância vt.

FIGURA 37.21Análise do relógio de luz

quando se considera que a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais.

1158


O intervalo de tempo entre dois eventos que ocorrem na mesma posição é denominado tempo próprio . Existe apenas um referencial inercial em que se mede o tempo próprio, e isso é feito por um único relógio presente na posição de ambos os eventos. Com relação a um referencial inercial que se mova com velocidade v  c em relação ao referencial do tempo próprio, deve-se usar dois relógios para medir o intervalo de tempo, pois os dois eventos ocorrem em posições diferentes. O intervalo de tempo entre os dois eventos, com relação a esse referencial, é (dilatação temporal)

(37.9)

O “encompridamento” tempo mostrado 37.9 é deno-que dilatação temporaldo minado . Aintervalo dilataçãodetemporal, às vezes,naéEquação descrita dizendo-se “relógios em movimento andam mais devagar”. No entanto, essa não é uma afirmação precisa, por sugerir que alguns referenciais “realmente” estejam em movimento enquanto outros estão “realmente” em repouso. O aspecto principal da relatividade é que todos os referenciais inerciais são igualmente válidos e tudo o que sabemos a respeito dos referenciais é como eles se movem uns em relação aos outros. Uma descrição melhor da dilatação temporal é que o intervalo de tempo entre dois “tiques” é o mais curto possível no referencial em que o relógio encontra-se em repouso. O intervalo de tempo entre dois “tiques” é mais longo (i.e., o relógio “anda mais devagar”) quando ele é medido em relação a qualquer referencial em que o relógio esteja em movimento. A Equação 37.9 foi derivada usando-se um relógio de luz, pois o funcionamento de um relógio de luz é mais fácil de analisar. Mas a conclusão refere-se ao tempo propriamente dito. Qualquer relógio, independentemente de seu mecanismo de funcionamento, comporta-se da mesma maneira.  NOTA 

EXEMPLO 37.5Do Sol a

Saturno

Saturno dista 1,43  1012 m do Sol. Um foguete viaja em linha reta

guete diz que é o Sol que passa pelo foguete) e que “o foguete e Saturno coincidem” seja o evento 2.

do Sol a Saturno com uma velocidade constante de 0,9 c relativa ao VISUALIZAÇÃOA FIGURA 37.22ilustra os dois eventos como observaSistema Solar. Quanto tempo levará para o foguete realizar o percurso dos em relação aos dois referenciais. Note que, com relação a S, os em relação a um observador que está na Terra? E em relação a um dois eventos ocorrem namesma posição, a posição do foguete, e, conastronauta que está no foguete? seqüentemente, podem ser medidos porum único relógio. MODELO Vamos definir que o Sistema Solar esteja em repouso em RESOLUÇÃO O intervalo de tempo medido no referencial do Sistema relação ao referencial S e que e o foguete esteja em repouso com rela- Solar, incluindo a Terra, é, simplesmente, ção ao referencial S que se move com velocidadev  0,9c relativamente a S. Os problemas de relatividade devem se basear em eventos . Considere que “o foguete e o Sol coincidem” seja o evento 1 (o observador na Terra diz que o foguete passa pelo Sol; o astronauta no fo- A relatividade não abandonou a definição básica v  x/t, embora tenhamos de ter certeza de que x e t são medidos com relação ao A viagem do foguete em A viagem do foguete em mesmo referencial e correspondem aos mesmos dois eventos. relação ao referencial S relação ao referencial S O que ocorre em relação ao referencial do foguete? Os dois eventos ocorrem namesma posição em S e podem ser medidos porum reEvento 1 Evento 1 lógio, localizado na srcem. Logo, o tempo medido pelos astronautas é o tempo próprio  entre os dois eventos. Podemos usar a Equação 37.9 com   0,9 para obter 

AVALIAÇÃO O intervalo de tempo entre esses dois O tempo decorrido entre esses dois evento é t.

Evento 2

O tempo decorrido entre esses dois eventos é o tempo próprio .

Evento 2

FIGURA 37.22Representação pictórica da viagem do foguete, tal

como observada em relação aos referenciais S e S .

eventos, medido pelos astronautas, corresponde a menos da metade do intervalo de tempo medido pelos observadores na Terra. A diferença não tem nenhuma relação com o momento em que os astrônomos na Terra vêem o foguete passar pelo Sol e por Saturno. t é o intervalo de tempo entre o instante em que o foguete realmente passa pelo Sol, medido por um relógio fixo no Sol, e o instante em que o foguete passa por Saturno, medido por um relógio sincronizado em Saturno. O intervalo decorrido entre ver os eventos a partir da Terra, levando-se em conta os tempos de propagação da luz, seria um pouco diferente de 5300 s. Os intervalos t e  são diferentes porque o tempo transcorre diferentemente em relação a dois referenciais em movimento, um em relação ao outro.

CAPÍTULO 37

PARE E PENSE 37.6

■

Relatividade

1159

Molly voa em seu foguete e passa por Nick a uma velocidade constante

v. Molly e Nick medem o tempo decorrido para o foguete, do nariz até a cauda, passar

por Nick. Qual das sentenças abaixo é verdadeira? a. Ambos, Molly e Nick, medem o mesmo tempo. b. Molly mede um intervalo de tempo mais curto que Nick. c. Nick mede um intervalo de tempo mais curto que Molly.

Evidência experimental Existem evidências que corroborem a estranha idéia de que relógios em movimento relativo marquem horários diferentes? De fato existem, e são muitas. Em um experimento realizado em 1971, um relógio atômico foi colocado em um avião a jato e enviado para uma viagem ao redor do mundo, enquanto um relógio idêntico permaneceu no laboratório. Tratou-se de um experimento difícil, pois a velocidade do relógio no avião era muito baixa comparada a c. Além disso, medir pequenas diferenças entre intervalos de tempo estava no limite de precisão dos relógios atômicos da época. O experimento era mais complexo do que aquele que analisamos anteriormente porque o relógio tinha aceleração ao moverse ao redor da Terra. Contudo, ao retornar, o relógio “viajante” estava atrasado 200 ns em relação ao relógio do laboratório, exatamente o valor previsto pela relatividade. Estudos mais detalhados têm sido feitos envolvendo partículas instáveis chamadas múons, que são criadas na alta atmosfera, a uma altura em torno de 60 km, quando raios cósmicos de alta energia colidem com moléculas do ar. Experimentos realizados em laboratório revelaram que múons estacionários decaem com uma meia-vida de 1,5 s, isto é, a metade dos múons decai em 1,5 s, enquanto a metade dos que restaram decairá no próximo 1,5 s e assim por diante. Os decaimentos podem ser usados como um relógio. Os múons movem-se pela atmosfera a uma velocidade bem próxima da velocidade da luz. O tempo necessário para alcançar o solo, admitindo-se que v c, é t (60.000 m)/(3  108 m/s)  200 s. Esse valor corresponde a 133 meias-vidas, portanto a fração 133 40 40 de múons que chega ao solo deveria ser  10 , ou seja, apenas 1 em 10 múons deveria chegar ao solo. Todavia, de fato, os experimentos revelaram que aproximada







mente 1 em cada 10 múons chegava ao solo,39um resultado experimental que difere de nossa previsão inicial por um fator igual a 10 . Essa discrepância deve-se à dilatação temporal. Na FIGURA 37.23 , os dois eventos  “um múon é criado” e “um múon chega ao solo”  ocorrem em dois lugares diferentes no referencial da Terra. Esses dois eventos, no entanto, ocorrem na mesma posição em relação ao referencial do múon. (O múon é como o foguete do Exemplo 37.5.) Logo, o relógio interno do múon mede o tempo próprio. O intervalo de tempo dilatado, t  200 s no referencial da Terra, corresponde ao tempo próprio  5 s no referencial do múon. De outra forma, o tempo decorrido entre a criação na alta atmosfera e a chegada do múon ao solo é de apenas 5 s no referencial do múon. Esse valor corresponde a 3,3 meias-vidas, de modo que a fração de múons que chega ao solo é 3,3  0,1 ou 1 entre 10. Não fosse pela dilatação temporal, não detectaríamos múons no solo. Os detalhes estão além do objetivo deste livro, todavia vários aceleradores de partículas de alta energia  usados para estudar quarks e outras partículas elementares  já foram planejados e construídos, em todo o mundo, com base na teoria da relatividade de Einstein. O fato de funcionarem exatamente da maneira como planejado constitui uma prova inegável da realidade da dilatação temporal. 

O paradoxo dos gêmeos Um dos paradoxos mais conhecidos da relatividade é o paradoxo dos gêmeos. George e Helen são gêmeos. Ao completarem 25 anos, Helen parte em uma viagem intergaláctica até uma estrela distante. Para sermos mais específicos, vamos imaginar que a nave de Helen acelere quase instantaneamente para uma velocidade de 0,95c, e que ela viaje para uma estrela que dista 9,5 anos-luz (9,5 a.l.) da Terra. Chegando lá, Helen descobre que os planetas que circundam a estrela são habitados por terríveis alienígenas. Imediatamente, ela dá meia volta e retorna para casa a 0,95 c.

Um múon percorre 450 m em 1,5 µs. Não detectaríamos múons no solo se a meia-vida de um múon em movimento fosse de 1,5 µs 

Múon é criado

Devido à dilatação temporal, a meia-vida de um múon em alta velocidade com relação ao referencial da Terra é longa o suficiente para que 1 a cada 10 múons chegue ao solo. Múon alcança o solo.

FIGURA 37.23Não fosse pela dilatação

temporal, não detectaríamos múons no solo.

1160


Um ano-luz, abreviado a.l., é a distância percorrida pela luz durante um ano. Um ano-luz é muito maior que o diâmetro do Sistema Solar. A distância entre duas estrelas vizinhas é, tipicamente, de alguns anos-luz. Para nosso propósito aqui, vamos escrever a velocidade da luz como c  1 a.l./ano, ou seja, a luz viaja 1 ano-luz por ano. Esse valor para c nos permite determinar, de acordo com George e todos os outros habitantes da Terra, quanto tempo Helen levará para ir e voltar. A distância total é de 19 a.l. e, devido a sua rápida aceleração e ao fato de que ela retornou imediatamente, Helen viaja basicamente todo o percurso a uma velocidade v  0,95 a.l./ano. Logo, a duração de sua viagem, de acordo com George, é (37.10) O sistema de posicionamento global (GPS), que permite a localização em qualquer lugar do mundo com precisão de alguns metros, emprega um conjunto de satélites em órbita. Por estarem em movimento, os relógios atômicos dos satélites medem o tempo diferentemente dos relógios fixos na Terra. Para determinar uma posição precisa, o programa do receptor do GPS deve corrigir cuidadosamente os efeitos da dilatação temporal.

Helen se move em relação a mim com 0,95c. Os relógios dela andam mais devagar do que os meus e, quando retornar, ela estará mais jovem do que eu.

, , a.l. George se move em relação a mim com 0,95c. Os relógios dele andam mais devagar do que os meus e, quando eu retornar, ele estará mais jovem do que eu.

FIGURA 37.24O paradoxo dos gêmeos.

George terá 45 anos quando sua irmã Helen voltar cheia de aventuras para contar. Enquanto Helen está fora, George tem aulas de física e começa a estudar a teoria da relatividade de Einstein. George percebe que a dilatação temporal fará com que o relógio de Helen “ande” mais devagar do que seu relógio, que se encontra em repouso em relaçãoele. a O coração dela  um relógio  irá bater menos vezes e o ponteiro dos minutos de seu relógio irá girar um número menor de vezes. Em outras palavras, ela envelhece mais devagar do que se irmão. Embora sejam gêmeos,ao regressar Helen será mais nova que George. Não é difícil calcular a idade de Helen. Basta identificar seu relógio como aquele que mede o tempo próprio , uma vez que está sempre com ela durante a viagem. Da Equação 37.9, temos, (37.11) George terá recentemente celebrado seu 45° aniversário quando der as boas-vindas à sua irmã gêmea de 31 anos e 3 meses. Tudo isso parece muito estranho, pois vai contra o senso comum que temos da noção de tempo, mas não se trata de um paradoxo. Não há inconsistência lógica neste resultado. Então por que ele é chamado de “paradoxo dos gêmeos”? Leia o que segue. Sabendo que teria tempo de sobra em sua viagem, Helen levou muitos livros de física para ler. À medida que aprende sobre a relatividade, ela começa a pensar em George e em todos os amigos que ficaram na Terra. Em relação a ela, todos estão se afastando a 0,95c. Mais tarde, eles estarão se aproximando dela a 0,95 c. A dilatação temporal fará com que os relógios deles andem mais devagar do que os relógios de Helen, que estão em repouso em relação a ela. Em outras palavras, como ilustrado na FIGURA 37.24 , Helen conclui que as pessoas na Terra envelhecem mais devagar do que ela e que ela será mais velha do que eles ao retornar à Terra. Finalmente chega o grande dia. Helen aterrissa na Terra e desce de sua nave. George acha que sua irmã está bem mais nova do que ele, enquanto Helen espera que George esteja bem mais novo do que ela. Eis aqui o paradoxo. É logicamente impossível que cada um deles seja mais novo do que o outro no momento em que se reencontram. Onde, então, está a falha de nosso raciocínio? Parece que nos deparamos com uma situação simétrica  Helen move-se relativamente a George, e este se move em relação a Helen  todavia o raciocínio baseado na simetria nos leva a um impasse. Será que as situações são realmente simétricas? George leva sua vida normalmente, dia após dia, sem notar nada de estranho. Helen, por sua vez, passa por três períodos distintos desde o momento em que o motor da nave é ligado, seu corpo é pressionado contra o assento e as partículas de poeira que flutuavam livremente dentro da nave, ou seja, no referencial da nave, deixam de estar em repouso ou deslocando-se em linha reta com uma velocidade constante. Em outras palavras, George permanece o tempo todo fixo em não Helen. A situação não é simétrica. um O mesmo referencial inercial, mas princípio da relatividade se aplica somente a referenciais inerciais. Nossa discussão sobre dilatação temporal foi destinada a referenciais inerciais. Nesse caso, a análise de George e seus cálculos estão corretos, enquanto a análise e os cálculos de Helen não estão corretos, pois ela estava tentando aplicar um resultado do referencial inercial a um referencial não-inercial. Ao retornar, Helen tem idade menor do que George. Isso parece estranho, mas não se trata de um paradoxo; é uma conseqüência do fato de que o tempo transcorre diferentemente em relação a dois referenciais que se movem relativamente um ao outro.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1161

37.7 Contração espacial Já vimos que a relatividade nos faz repensar nossas idéias acerca do tempo. Agora vamos voltar nossa atenção para os conceitos de espaço e de distância. Você está lembrado do foguete que viajou do Sol até Saturno no Exemplo 37.5? A FIGURA 37.25amostra o foguete movendo-se através do referencial S do Sistema Solar com velocidade v. Definimos L  x  xSaturno  xSol como a distância entre o Sol e Saturno medida em relação ao referencial S ou, de maneira mais geral, como o comprimento do intervalo espacial entre dois pontos. A velocidade do foguete é v  L/t, onde t é o tempo medido em relação ao referencial S para a viagem do Sol a Saturno. Referencial S: o Sistema Solar está estacionário.



Referencial S : e foguete está parado.

O foguete percorre uma distância L durante o tempo t. Essa é a distância entre o Sol e Saturno medida com relação a S.

xSol

17.2



Saturno percorre uma distância L durante o tempo t = . Essa é a distância entre o Sol e Saturno medida em relação a S . 



xSaturno

FIGURA 37.25L e L’ são as distâncias entre o Sol e Saturno nos referenciais S e S’,

respectivamente.

A FIGURA 37.25bmostra o que ocorre no referencial S, em relação ao qual o foguete está em repouso. O Sol e Saturno se movem para a esquerda com velocidade v  L / t, onde t é o tempo, medido no referencial S, para Saturno percorrer a distância L. A velocidade v é a velocidade relativa entre S e S e tem o mesmo módulo em relação aos observadores fixos em ambos os referenciais. Logo, (37.12) O intervalo de tempo t medido no referencial S  é o tempo próprio , pois ambos os eventos ocorrem na mesma posição em relação ao referencial S , e pode ser medido por um único relógio. Podemos usar a dilatação temporal, Equação 37.9, para relacionar o  medido pelos astronautas com o t medido pelos cientistas na Terra. A Equação 37.12 torna-se, então, (37.13) Cancelando t, obtém-se a distância L em relação ao referencial S: (37.14) Para nossa surpresa, a distância entre dois objetos, em relação ao referencial S , não é a mesma distância entre os mesmos dois objetos em relação ao referencial S. O referencial S, em relação ao qual a distância é L, apresenta uma diferença fundaúnico referencial inercial em que os objetos estão em repouso. Os observamental. Ele no é oreferencial dores fixos S têm todo o tempo do mundo para medir L, pois os dois objetos não vão a lugar algum. A distânciaL entre dois objetos, ou entre dois pontos de um objeto, distânmedida em relação ao referencial em que os objetos estão parados, é denominada cia própria . Somente em um referencial inercial podemos medir a distância própria. O Acelerador Linear de Stanford (SLAC) é um acelerador de elétrons com um Podemos usar a distância própria l para escrever a Equação 37.14 na forma

(37.15)

comprimento de aproximadamente 3,2 km. No referencial dos elétrons, o comprimento do acelerador é menor do que 1 m.

1162


O “encurtamento” da distância entre dois objetos, medido por um observador que se move em relação aos objetos, é denominado contração espacial. Embora tenhamos derivado a contração espacial para a distância entre dois objetos, o conceito se aplica perfeitamente bem a qualquer objeto físico que se estenda entre dois pontos ao longo dos eixos x e x. O comprimento de um objeto é máximo com relação ao referencial em que o objeto se encontra em repouso. O comprimento do objeto é menor (i.e., o comprimento está contraído) quando é medido em relação a qualquer referencial em que o objeto esteja em movimento. EXEMPLO 37.6A distância do Sol até Saturno No Exemplo 37.5, um foguete viaja em linha reta do Sol até Saturno com velocidade constante de 0,9 c relativamente ao Sistema Solar. A distância Saturno-Sol é de 1,43  10 12 m. Qual é a distância entre o Sol e Saturno medida em relação ao referencial do foguete?

RESOLUÇÃO Podemos usar

a Equação 37.15 para obter a distância medida em relação ao referencial S  do foguete:

ao menos aproximadamente, encontram-se AVALIAÇÃO A distância Sol-Saturno medida pelos astronautas corresem repouso no referencial do Sistema Solar, S. Logo, a distância for- ponde a menos da metade da distância medida pelos observadores fixos na Terra. L e  são diferentes porque o espaço é diferente em necida é a distância própria . relação a dois referenciais que se movem um em relação ao outro. MODELO Saturno e o Sol,

A conclusão de que o espaço é diferente em relação a referenciais que se movem um em relação ao outro é uma conseqüência direta do fato de que o tempo é diferente neste caso. Observadores fixos em ambos os referenciais concordam em relação à velocidade relativa v, resultando na Equação 37.12: v  L / t  L/ t. Já aprendemos que t  t por causa da dilatação temporal. Logo, L tem de ser menor do que L. Esta é a única maneira de os observadores fixos nos dois referenciais conciliarem suas medidas. Para ser mais específico, os experimentos realizados na Terra, apresentados nos Exemplos 37.5 e 37.6, concluem que o foguete leva 5300 s para percorrer a distância de 1,43  10 12 m entre o Sol e Saturno. A velocidade do foguete é v  L/t  2,7  108 m/s  0,9c. Os astronautas do foguete concluem que Saturno leva somente 2310 s para 12 chegar até eles depois deque já terem passado Sol. 0,62 Todavia não conflito porque eles também descobrem a distância é depelo apenas  10 m.existe Assim, a velocidade de Saturno em relação a eles é v  L/ t  0,62  1012 m)/(2310s)  2,7  108 m/s  0,9c.

Outro paradoxo? Sua régua é mais curta que a minha. Ocorreu contração espacial porque você está se movendo relativamente a mim.

Réguas

Não pode ser. A sua régua é que sofreu contração espacial. Ela é a régua mais curta.

FIGURA 37.26Carmem e Dan medem o

comprimento de suas réguas ao mesmo tempo em que se movem um em relação ao outro.

Carmem e Dan estão em um laboratório de física preparando-se para realizar um projeto que lhes garantirá um bônus na nota. Cada um seleciona uma régua. Eles colocam suas réguas lado a lado e verificam que elas têm exatamente o mesmo comprimento. Então os dois saem do laboratório e passam um pelo outro correndo, em sentidos opostos, com uma velocidade relativa v  0,9c. A FIGURA 37.26mostra o experimento e uma parte do que eles conversam. A régua de Dan não pode ser simultaneamente mais longa e mais curta do que a régua de Carmem. Será que temos aqui outro paradoxo? Não! O que a relatividade nos permite comparar são eventos iguais quando registrados em relação a dois referenciais diferentes. Você se lembra do caso de Peggy e Ryan no trem? Naquele caso realmente havia um paradoxo. A luz sinalizadora da caixa fica verde (um único evento) ou não; e Peggy e Ryan têm de concordar. Mas os eventos pelos quais Dan mede o comprimento (em seu referencial) da régua de Carmem não são os mesmos eventos pelos quais Carmem mede o comprimento (em seu referencial) da régua de Dan. Não há conflito entre as medições de Dan e Carmem. Em relação ao referencial de Dan, a régua de Carmem sofreu uma contração espacial e mede menos de 1m de comprimento. Em relação ao referencial de Carmem, foi a régua de Dan que sofreu uma contração espacial e mede menos de 1m de comprimento. Se esse não fosse o caso, se ambos concordassem que uma das réguas é menor do que a outra, teríamos certeza sobre qual referencial está “realmente” em movimento e qual está “realmente” em repouso. Entretanto o princípio da relatividade não nos permite tal distinção. Cada

CAPÍTULO 37

qual se move em relação ao outro, portanto cada qual deve obter a mesma medida para o comprimento da régua do outro.

■

Relatividade

1163

Medições feitas no sistema xy

O intervalo espaço-temporal Esqueça a relatividade por um instante e pense na geometria tradicional. A FIGURA 37.27 ilustra dois sistemas de coordenadas tradicionais. Eles são idênticos, exceto pelo fato de que um gira em relação ao outro. Utilizando o sistema xy, um aluno associa ao ponto 1 as coordenadas (x1, y1), e ao ponto 2, (x2, y2). Outro aluno, usando o sistema x y, mede (x1, y1) e (x2, y2), respectivamente. Os alunos logo percebem que não existe concordância entre as medidas, ou seja, x1  x1 e assim por diante. Mesmo os intervalos são diferentes: x  x e y  y. Cada um dos sistemas de coordenadas é perfeitamente válido, portanto não há razão para se

Os valores das coordenadas e dos intervalos são diferentes.

A distância d é a mesma.

dar Mas preferência ou algo a outro; porém,docada fornecepossam diferentes medidas.Sim, existe. será quea um existe a respeito queum os alunos concordar? A distância d entre os pontos 1 e 2 independe das coordenadas. Podemos expressar isso matematicamente como 2

2

2

2

d  (x)  (y)  (x)  (y) 2

2

2

2

(37.16)

2

A grandeza (x)  (y)  (x)  (y) é chamada de invariante na geometria, pois tem o mesmo valor em qualquer sistema cartesiano de coordenadas. De volta à relatividade, indagamos: será que existe um invariante nas coordenadas espaço-temporais, alguma grandeza que possua o mesmo valor em todos os referenciais inerciais? Sim, existe; e para obtê-la voltaremos ao relógio de luz da Figura 37.21. A FIGURA 37.28mostra o relógio de luz como visto com relação aos referenciais S  e S. A velocidade da luz é igual em ambos os referenciais, embora eles se movam um em relação ao outro e também em relação ao relógio. Note que a altura h do relógio é a mesma em ambos os referenciais. Logo,



Medições feitas no sistema x y



FIGURA 37.27A distância d é a mesma em

ambos os sistemas de coordenadas.

Caminho percorrido h é a mesma em pela luz em S ambos os referenciais. Espelho Espelho em S em S 

(37.17) O fator é cancelado, o que nos permite escrever 2 2 2 2 2 2 c (t)  (x)  c (t)  (x)





Caminho percorrido pela luz em S 

(37.18)

Vamos definir ointervalo espaço-temporal s entre dois eventos como Emissão 2

2

2

s  c (t)  (x)

2



Detecção em S



Detecção em S

(37.19)

O que mostramos com a Equação 37.18 é que o intervalo espaço-temporal s tem o mesmo valor em relação a todos os referenciais inerciais, ou seja, o intervalo espaçotemporal entre dois eventos quaisquer é um invariante. Trata-se de um valor sobre o qual todos os observadores, usando seus referenciais, concordam.

FIGURA 37.28O relógio de luz visto pelos

observadores dos referenciais S e S.

onde usamos c  300 m/s para obter ct  600 m. O intervalo espaço-temporal tem o mesmo valor no referencial S. Logo, Uma bomba explode na srcem de um referencial inercial. Após 2,0 2 2 2 2 2 s, uma segunda bomba explode a uma distancia de 300 m da srcem. s  270.000 m  c (t)  (x) 2 Astronautas que passam em um foguete medem a distância entre as 2 2  c (t)  (200 m) explosões como sendo 200 m. De acordo com os astronautas, quanto Trata-se de uma equação de fácil resolução, que nos fornece t  tempo decorreu entre as duas explosões? 1,85 s. MODELO As coordenadas espaço-temporais dos dois eventos são medidas em relação a dois referenciais inerciais diferentes. Vamos AVALIAÇÃO Os dois eventos estão mais próximos um do outro em relachamá-los de referencial do solo, S, e referencial do foguete, S. O ção ao referencial do foguete, tanto no espaço quanto no tempo. intervalo espaço-temporal entre esses dois eventos é o mesmo em ambos os referenciais. RESOLUÇÃO O intervalo espaço-temporal (ou melhor, o seu quadrado) no referencial S é EXEMPLO 37.7Usando o intervalo espaço-temporal

2

2

2

2

s  c (t)  (x)  (600

m)2  (300 m)2  270.000 m2

1164


De acordo com a cultura popular, o legado de Einstein foi a descoberta de que “tudo é relativo”. Mas não é bem assim. Intervalos de tempo e intervalos espaciais são relativos, tais como os intervalosx e y da analogia puramente geométrica que nos serviu de exemplo no início deste capítulo. No entanto, algumas coisasnão são relativas. O intervalo espaçotemporal s entre dois eventos, por exemplo, não é relativo. Trata-se de um número bemdefinido, sobre o qual concordam os observadores fixos em todoe qualquer referencial. PARE E PENSE 37.7 Beth e Charles estão em repouso relativo. Anjay passa correndo por eles com uma velocidade v, carregando consigo uma haste paralela ao seu movimento. Anjay, Beth e Charles, cada qual, medem o compri-

mento da haste no instante em que Anjay passa por Beth. Ordene em seqüência decrescente os comprimentos LA, LB e LC.

37.8 As transformações de Lorentz A transformação de Galileu x  x  vt da relatividade clássica nos permite calcular a posição x de um evento em relação ao referencial S se soubermos sua posição x no referencial S. A relatividade clássica, é claro, considera que t  t. Será que existe uma transformação semelhante que nos permita calcular as coordenadas espaço-temporais (x, t) de um evento no referencial S se soubermos os valores ( x, t) no referencial S? Tal transformação teria de satisfazer a três condições: 1. Concordar com as transformações de Galileu no limite de baixas velocidades, v c. 2. Transformar não apenas as coordenadas espaciais, mas também a coordenada

temporal. 3. Assegurar que a velocidade da luz seja a mesma em todos os referenciais. Um evento possui coordenadas espaço-temporais (x, t) no referencial S, e coordenadas (x, t) no referencial S.

Evento

Continuaremos a usar referenciais com a orientação padrão mostrados na FIGURA 37.29 .O movimento é paralelo aos eixos x e x e, por definição, t  0 e t 0 no instante em que as srcens S e S  coincidem. A condição para que a nova transformação concorde com a transformação de Galileu quando v c sugere que a transformação seja da forma x   ( x  vt) e x   ( x  vt)

(37.20)

onde  é uma função adimensional da velocidade que satisfaz à condição  → 1 quando v → 0. Para determinar , consideremos os dois seguintes eventos: As srcens coincidem em t  t  0. 

FIGURA 37.29As coordenadas espaço-

temporais de um evento medidas em relação aos sistemas de referência S e S´.

Evento 1: Um flash de luz é emitido da srcem de ambos os referenciais ( x  x  0) no instante que eles coincidem (t  t  0). Evento 2: A luz chega até um detector. As coordenadas espaço-temporais deste evento são (x, t) em relação ao referencial S e ( x, t) em relação ao referencial S . A luz se propaga com uma velocidade c em relação a ambos os referenciais; logo, as posições do evento 2 são x  ct em S e x  ct em S. Substituindo essas expressões para x e xna Equação 37.20, obtemos

ct  (ct  vt)  (c  v)t ct  (ct vt)  (c  v)t

(37.21)

Dividindo a primeira equação por c, isolamos t; substituindo este resultado na segunda equação, obtemos:

CAPÍTULO 37

Com isso, t é cancelado, e ficamos com

Logo, o  que “funciona” na transformação proposta na Equação 37.20 é (37.22) Podemos verificar que  → 1 quando v → 0, como esperado. A transformação entre t e t é obtida da condição de que x  x quando se usa a Equação 37.20 para transformar uma posição relativa a S em uma posição relativa a S e, então, de volta para umaproblema posição permitirá relativa a que S. Os detalhes são deixados como exercício para casa. Um próximo você demonstre que as medições de y e z, quando essas distâncias são perpendiculares ao movimento relativo, não são afetadas pelo movimento. Tacitamente, admitimos essa condição em nossa análise do relógio de luz. O conjunto completo de equações é chamado de transformações de Lorentz. Elas são dadas por:

(37.23)

As transformações de Lorentz relacionam as coordenadas espaço-temporais de um mesmo evento. Compare as equações acima com as transformações de Galileu dadas pelas Equações 37.1.  Essas transformações foram assim denominadas em homenagem ao físico holandês H. A. Lorentz, o primeiro a derivá-las antes de Einstein. Lorentz chegou perto de descobrir a relatividade especial, mas não percebeu que nossos conceitos de espaço e tempo teriam de ser revistos antes que essas equações pudessem ser adequadamente interpretadas. 

NOTA

Usando a relatividade A relatividade está estruturada em função de eventos; portanto, a solução dos problemas de relatividade passa por sua interpretação em função de eventos específicos. ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS 37.1

Relatividade

MODELO Esquematize

o problema em função de eventos, ou seja, coisas que acontecem em um lugar e um instante específicos. VISUALIZAÇÃODefina os referenciais por meio de uma representação ■ ■ ■

pictórica.

Faça um esboço dos referenciais, mostrando o movimento de umem relação ao outro. Indique os eventos. Identifique os objetos que estão em movimento em relação aos referenciais. Identifique qualquer intervalo de tempo próprio e de espaço próprio. Eles devem ser medidos em relação ao referencial em que o objeto está em repouso.

RESOLUÇÃOA representação matemática é baseada nas transformações de Lorentz, toda-

via nem todo problema requer todas as equações de transformação. ■ ■

Problemas que envolvam intervalos de tempo geralmente podem ser resolvidos através do uso da dilatação temporal: t  . Problemas que envolvam distâncias geralmente podem ser resolvidos através da contração espacial: L  /.

AVALIAÇÃOOs resultados são consistentes com a

relatividade de Galileu quando v

c?

■

Relatividade

1165

1166


EXEMPLO 37.8De

RESOLUÇÃO a. As duas marcas de queimado indicam a Ryan que volta ao problema de Ryan e Peggy a distância entre as explosões é L  600m. A luz se propaga com Peggy está parada no centro de um vagão longo e plano com uma c  300 m/s, e as marcas estão a 300 m de Ryan, de cada lado, bomba fixa em cada extremidade do mesmo. O vagão passa por Ryan, de maneira que ele consegue determinar que cada explosão ocorque está parado no solo, com uma velocidade v  0,8c. Ele vê os flareu 1,0 s antes de ele ver o flash . Mas esse é o instante de temshes provenientes da explosão da bomba simultaneamente 1,0 s após po em que Peggy passou por ele, portanto Ryan conclui que as Peggy ter passado por ele. Mais tarde, Ryan vê marcas queimadas no explosões ocorreram simultaneamente e que ocorreram quando trilho a 300 m de ambos os lados do local onde ele estava parado. Peggy passava por ele. As coordenadas espaço-temporais dos a. De acordo com Ryan, qual é a distância entre os locais das duas dois eventos no referencial S são x(D, tD)  (300 m, 0 s) e (xE, tE) explosões e quando elas ocorreram em relação ao instante em que  ( 300 m, 0 s). Peggy passa por ele? b. Com base em nossa análise quali tativa feita na Seção 37.5, já b. De acordo com Peggy, qual é distância entre os locais das duas sabemos que as explosões não são simultâneas no referencial explosões e quando elas ocorreram em relação ao instante em que de Peggy. O evento D ocorre antes do evento E em S, porém Ryan passa por ela? MODELO Vamos

definir a explosão que ocorre à direita de Ryan, o sentido em que Peggy se move, como o evento D, e a explosão à sua esquerda, como o evento E. VISUALIZAÇÃO Peggy e Ryan estão fixos em referenciais inerciais. Como mostra a FIGURA 37.30, o referencial de Peggy, S, move-se com velocidade v  0,8c em relação ao referencial S de Ryan. Os referenciais são definidos de modo que Peggy e Ryan estejam situados nas srcens. O instante em que eles se cruzam, por definição, é t  t  0 s. Os dois eventos estão ilustrados no referencial de Ryan. Peggy passa por Ryan em t t 0 

Referencial S





não sabemos como esses tempos se relacionam com o tempo em que Ryan passa por Peggy. Podemos agora usar as transformações de Lorentz para relacionar as coordenadas espaçotemporais desses eventos, medidas por Ryan, às coordenadas espaço-temporais obtidas por Peggy. Usando v  0,8 c, obtemos  com o valor

Para o evento E, as transformações de Lorentz são xE  1,667 (( 300 tE  1,667

m)  (0,8c)(0 s))   500m

((0 s)  (0,8c) ( 300 m)/c2)  1,33 s

E para o evento D, xD  1,667 ((300 m)  (0,8c)(0 s))  500m tD  1,667

Evento E

Evento D

Referencial S

(xE , tE)



(– 300 m, 0 s)

(xD , tD)



(300 m, 0 s)

((0 s)  (0,8c) (300 m)/c2)   1,33 s

De acordo com Peggy, as duas explosões ocorrem a 1000 m uma da outra. Além disso, a primeira explosão, à direita, ocorre 1,33 s antes de Ryan passar por Peggy emt  0, e a segunda, à esquerda, ocorre 1,33s após Ryan passar. AVALIAÇÃO Eventos que são simultâneos no referencial S não são simultâneos no referencial S. Os resultados das transformações de Lorentz corroboram nossa análise qualitativa feita anteriormente.

FIGURA 37.30Representação pictórica dos referenciais e dos

eventos.

Vale a pena discutirmos a respeito do Exemplo 37.8. Uma vez que Ryan move-se com uma velocidade v  0,8c  240 m/ s em relação à Peggy, ele percorre 320 m durante o 1,33 s entre a primeira explosão e o instante em que passa por Peggy e, então, mais 320 m antes da segunda explosão. Juntando todas essas informações, a FIGURA 37.31 mostra a seqüência de eventos medidos no referencial de Peggy. As bombas definem as extremidades do vagão, portanto a distância de 1000 m entre as explosões, no referencial de Peggy, é o comprimento L do vagão medido em relação ao referencial S. O vagão encontra-se em repouso com relação ao referencialS, portanto o comprimento L é o comprimento próprio:   1000 m. Ryan mede o comprimento de um objeto em movimento; logo, ele deve medir o comprimento do vagão contraído para

E, de fato, essa é exatamente a distância que Ryan obteve ao medir a distância entre as duas marcas de queimado.

CAPÍTULO 37

Finalmente, podemos calcular o intervalo espaço-temporal s entre os dois eventos. De acordo com Ryan,

■

Relatividade

,

1167

Evento D

Peggy obtém o intervalo espaço-temporal como

Os cálculos de Peggy e de Ryan para o intervalo espaço-temporal estão em concordância, o que mostra que s é, de fato, um invariante. Note, porém, que s é um número imaginário. Ryan passa por

Comprimento Já introduzimos a idéia de contração espacial, todavia não definimos precisamente o que queremos dizer por comprimento de um objeto em movimento. O comprimento de um objeto em repouso é claro, pois temos todo o tempo necessário para medi-lo com uma régua, uma trena ou com qualquer outro instrumento. Mas como podemos obter precisamente o comprimento de um objeto em movimento? Uma definição razoável do comprimento de um objeto é a distância L  x  xD  xE entre suas extremidades direita e esquerda quando as posições xD e xE são medidas ao mesmo tempo. Em outras palavras, comprimento é a distância ocupada pelo objeto em um instante de tempo. Medir o comprimento de um objeto requer medições simultâneas de duas posições (i.e., são necessários dois eventos); neste caso, o resultado não será obtido até que as informações das duas medições, separadas espacialmente, sejam confrontadas. A FIGURA 37.32mostra um objeto que se move em relação ao referencial S com uma velocidade v; portanto, o comprimento dele em relação ao referencial S  é seu comprimento próprio , ou seja, x´  xD  xE   em relação ao referencial S´. No instante t, um observador (e seu assistente) fixo no referencial S efetua medições simultâneas das posições xD e xE das extremidades do objeto. A diferença x  xD  xE é o comprimento do objeto no referencial S. As transformações de Lorentz para xD e xE são

Peggy em t ,

Evento E





t



0.

FIGURA 37.31A seqüência de eventos

como observada no referencial de Peggy.

O objeto encontra-se em repouso no referencial S . Seu comprimento é L  , que pode ser medido a qualquer instante. 



(37.24) onde é importante observar que t é o mesmo em ambas equações porque as medições são simultâneas. Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos Devido ao objeto estar em movimento no referencial S, a fim de que possamos encontrar seu comprimento L no referencial S devemos efetuar medições simultâneas de suas extremidades.

Isolando L, obtemos, em concordância com a Equação 37.15, (37.25) Essa análise atingiu dois objetivos. Em primeiro lugar, ela nos forneceu uma definição precisa de comprimento; agora estamos mais seguros quanto ao nosso resultado para a contração espacial. Segundo, ela nos permitiu uma boa prática do raciocínio relativístico através do uso das transformações de Lorentz.  A contração espacial não mostra como o objeto deve parecer. A aparência visual é determinada pelas ondas luminosas que chegam simultaneamente ao olho. Essas ondas foram emitidas por diferentes pontos do objeto em tempos diferentes (i.e., não simultaneamente) porque tiveram de percorrer distâncias diferentes até chegarem ao olho. A análise necessária para determinar a aparência visual de um objeto é muito mais complexa. Comprimento e contração espacial estão relacionados apenas ao comprimento real do objeto em um instante de tempo. 

NOTA

FIGURA 37.32O comprimento de um

objeto é a distância entre medições posições de suas extremidades.

simultâneas das

1168


A aproximação binomial Você já teve contato com a aproximação binomial em capítulos anteriores e também nas suas aulas de cálculo. A aproximação binomial é útil quando desejamos calcular uma expressão relativística no caso de uma velocidade não-relativística, v c. Devido ao fato de que v2/c2 1, neste caso podemos escrever

A aproximação binomial Se x

1, então (1  x)n



1  nx

(37.26)

O exemplo a seguir ilustra o uso da aproximação binominal. O valor da contração espacial é ônibus escolar encolhido Um ônibus escolar de 8,0 m de comprimento passa a 30 m/s. Qual é o valor de sua contração espacial? MODELO O ônibus escolar está em repouso em relação a um referencial inercial S, e em movimento com velocidade v  30 m/s com relação ao referencial S fixo no solo. O comprimento dado, 8,0 m, é o onde 1 fm  1 fentômetro  10 15 m. comprimento próprio medido no referencial S. AVALIAÇÃO O ônibus “encolhe” pouco mais do que o diâmetro do núRESOLUÇÃO No referencial S, o ônibus escolar tem seu comprimento cleo de um átomo. Não nos surpreende que não percebamos a contracontraído para ção espacial no dia-a-dia. Se você tivesse tentado calcular exatamente esse número, sua calculadora teria indicado   L  0, pois a diferença entre  e L só é percebida na 14ª casa decimal. Uma calculadora A velocidade do ônibus v é muito menor do que c; logo, podemos científica determina números com 10 ou 12 casas decimais, mas não é usar a aproximação binomial para escrever suficiente para mostrar a diferença. A aproximação binomial fornece uma ferramenta valiosa para encontrarmos diferenças muito pequenas entre números que são quase idênticos. EXEMPLO 37.9O



As transformações de Lorentz para velocidades Velocidade do referencial S relativamente ao referencial S 

u no referencial S

A FIGURA 37.33mostra um objeto que se move em relação a ambos os referenciais S e S. Observadores fixos no referencial S determinam que a velocidade do objeto é u, enquanto observadores fixos no referencial S medem uma velocidade u. Para simplificar, consideremos que o objeto se move paralelamente aos eixos x e x. A transformação de Galileu para velocidade, u  u  v, foi obtida através da derivada temporal da transformação de posição. Podemos fazer o mesmo com a transformação de Lorentz se usarmos a derivada com relação ao tempo em cada referencial. A velocidade u em relação ao referencial S é (37.27)

Velocidade do referencial S relativamente ao referencial S 



onde usamos as transformações de Lorentz para a posição x e para o tempo t. Diferenciando, obtemos



u no referencial S

(37.28) Porém dx/dt é u, a velocidade do objeto no referencial S, de modo que

FIGURA 37.33A velocidade de um objeto

em movimento vale u em relação ao referencial S e u’ em relação a S’.

(37.29) Você pode ver que a equação 37.29 reduz-se à transformação de Galileu u  u  v quando v c, como esperado.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1169

As transformações de S para S são encontradas invertendo-se o sinal de v. Assim, (37.30) As Equações 37.30 são as equações das transformações de Lorentz para velocidade.  É importante que se faça com cuidado a distinção entre v, a velocidade relativa entre dois referenciais, e u e u, as velocidades de um objeto medidas com relação a dois referenciais diferentes. 

NOTA

EXEMPLO 37.10

Umpela projétil muito Um foguete passa Terra com umarápido velocidade 0,90c. Ao passar pela Terra, o foguete lança um projétil para a frente com 0,95 c em relação ao foguete. Qual é a velocidade do projétil em relação à Terra? MODELO O foguete e a Terra são dois referenciais inerciais. Definimos a Terra como o referencial S e o foguete como o referencial.SA velocidade do referencial S em relação ao referencial S é v  0,90c. A velocidade do projétil com relação ao referencial S é u  0,95c. RESOLUÇÃO Podemos usar as transformações de Lorentz para velocidades para obter

A velocidade do projétil em relação à Terra corresponde a 99,7% da velocidade da luz. Os cálculos relativísticos ficam muito mais fáceis de efetuar quando as velocidades são especificadas como uma fração de c.  NOTA 

AVALIAÇÃO Na

mecânica newtoniana, as transformações de Galileu para velocidades resultaria em u  1,85c. Aqui, apesar das altas velocidades do foguete em relação à Terra e do projétil em relação ao foguete, a velocidade do projétil em relação à Terra é menor do que c. Isso constitui uma evidência de que as velocidades dos objetos não podem exceder a velocidade da luz.

Suponha que o foguete no Exemplo 37.10 lançasse um raio laser para a frente ao passar pela Terra com velocidade v. O raio laser afasta-se do foguete com uma velocidade u  c em relação ao referencial S  do foguete. Qual é a velocidade do raio laser em relação ao referencial S da Terra? De acordo com as transformações de Lorentz para velocidades, ela deve ser (37.31) A luz se propaga com uma velocidade c em relação a ambos os referenciais S e S. Essa conseqüência importante do princípio da relatividade está “incorporada” nas transformações de Lorentz.

37.9 Momentum relativístico Na mecânica newtoniana, o momentum total de um sistema é uma grandeza conservada. Como já vimos, a lei de conservação do momentum, Pf  Pi, é verdadeira em relação a todos os referenciais inerciais se as velocidades das partículas em referenciais diferentes estiverem relacionadas pelas transformações de Galileu para velocidades. A dificuldade, é claro, reside no fato de que as transformações de Galileu não são consistentes com o princípio da relatividade. Elas constituem uma aproximação razoável quando todas as velocidades são bem menores do que c, mas falham tremendamente à medida que as velocidades se aproximam de c. Não é difícil mostrar que Pf  Pi se as velocidades das partículas no referencial S  estiverem relacionadas às velocidades das partículas noduas referencial S através das transformações de Lorentz. Existem possibilidades: 1. O chamado princípio de conservação do momentum não é, de fato, uma lei da

física. Ele é quase verdadeiro para baixas velocidades, todavia falha quando as velocidades se aproximam da velocidade da luz. 2. O princípio de conservação do momentum é uma lei da física, entretanto a expressão p  mu não é a equação correta para calcular o momentum quando a velocidade da partícula torna-se uma fração significativa de c.

1170


A conservação do momentum é um aspecto tão central e importante da mecânica que parece improvável que não seja válida na relatividade. No caso de um movimento unidimensional, o momentum clássico é dado pela relação p  mu  m(x/ t), onde t é o intervalo de tempo decorrido para percorrer a distância x. Isso parece bem claro no pensamento newtoniano, todavia já aprendemos que observadores fixos em referenciais diferentes discordam com relação ao intervalo de tempo necessário. Então, que t devemos usar? Uma possibilidade é usar o tempo medido em relação à partícula. Este é o tempo próprio , pois a partícula está em repouso em relação ao seu próprio referencial e necessita de um relógio apenas. Com isso em mente, vamos redefinir o momentum de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade u  x/ t como (37.32) Podemos relacionar essa nova expressão para p com a conhecida expressão newtoniana usando o resultado da dilatação temporal   (1  u2/c2)1/2 t para relacionar o intervalo de tempo próprio medido pela partícula com o intervalo de tempo t, mais prático de ser medido pelos observadores no referencial S. Com essa substituição, a Equação 37.32 torna-se (37.33) É possível ver que a Equação 37.33 se reduz à expressão clássica p  mu quando a velocidade da partícula é u c. Essa é uma condição importante, mas para que a equação 37.33 seja a expressão “correta” para p, o momentum P deve ser conservado quando as velocidades de um sistema de partículas forem transformadas pelas equações das transformações de Lorentz para velocidades. A prova é bastante longa e tediosa, portanto consideraremos, sem apresentar uma prova, que o momentum definido pela Equação 37.33 transforma-se corretamente. A lei de conservação do momentum ainda será válida em relação a todos os referenciais se o momentum de cada partícula for calculado por meio da Equação 37.33. O fator que multiplica “mu” na Equação 37.33 se parece muito com o fator  contido nas equações das transformações de Lorentz para x e t, todavia existe uma diferença fundamental. O v contido nas equações das transformações de Lorentz é a velocidade de um referencial. Por sua vez, a velocidade u contida na Equação 37.33 é a velocidade com a

qual uma partícula se move em relação a um referencial. Com essa distinção em mente, vamos definir a grandeza (37.34) onde o subscrito p indica que se trata de  para uma partícula, e não, para um referencial. No referencial S, em relação ao qual a partícula se move com velocidade u, a expressão correspondente pode ser representada por p. Com essa definição de p, o momentum de uma partícula é p  pmu

EXEMPLO 37.11Momentum de uma partícula subatômica

Em um acelerador de partículas, elétrons atingem uma velocidade de 0,999c relativamente ao laboratório. A colisão de um elétron com um alvo produz um múon que se move para a frente com uma velocidade igual a 0,95c em relação ao laboratório. A massa do múon vale 1,90  10 28 kg. Qual é o momentum do múon em relação ao referencial do laboratório e em relação ao referencial do feixe de elétrons? MODELO Definimos o laboratório como o referencial S. O referencial S do feixe de elétrons (i.e., um referencial em que os elétrons estão em repouso) move-se no sentido dos elétrons comv  0,999c. A velocidade do múon no referencial S éu  0,95c. 

RESOLUÇÃO O

(37.35)

fator p para os múons no referencial do laboratório é

Logo, o momentum do múon em relação ao laboratório é

O momentum relativístico é 3,2 vezes maior do que o momentum newtoniano, mu. Para determinar o momentum em relação ao refe-

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1171

rencial do feixe de elétrons, devemos primeiramente usar a equação O momentum do múon em relação ao referencial do feixe de elétrons de transformação da velocidade para obter a velocidade do múon em é relação ao referencial S:

Com relação ao referencial do laboratório, os elétrons mais rápidos superam os múons mais lentos. Assim, a velocidade do múon em relação ao referencial do feixe de elétrons é negativa. O fatorp para o múon no referencial S é

AVALIAÇÃO Da perspectiva do

laboratório, o múon move-se um pouco mais devagar do que o feixe de elétrons. Mas em relação aos elétrons, descobrimos que o múon move-se mais rapidamente do que em relação ao laboratório, embora em sentido oposto.

O limite cósmico de velocidade A FIGURA 37.34aé um gráfico momentum versus velocidade. Para uma partícula newtoO momentum relativístico tende a  quando u c. niana, com p  mu, o momentum é diretamente proporcional à velocidade. A expressão relativística para o momentum concorda com a expressão newtoniana se u c, mas p tende a  quando u → c. As implicações desse gráfico ficam claras quando relacionamos o momentum à força. Considere uma partícula sujeita a uma força constante, como no caso de um foguete Momentum que nunca fica sem combustível. Se F for constante, a partir da equação F  dp/dt newtoniano podemos ver que o momentum é dado por p  Ft. Se a física newtoniana fosse correta, uma partícula se moveria cada vez mais rapidamente, e sua velocidade u  p/m  (F/m) , A expressão do momentum t aumentaria sem limite. Mas o resultado relativístico, ilustrado na FIGURA 37.34b , mostra newtoniano é válida quando que o módulo da velocidade da partícula se aproxima assintoticamente do valor da veu c. locidade da luz (u → c) quando p tende a . Assim, a relatividade fornece um resultado totalmente diferente daquele dado pela mecânica newtoniana. Velocidade A velocidade c é um “limite cósmico de velocidade” para partículas materiais. Uma fornewtoniana ça não pode acelerar uma partícula até uma velocidade maior do que c porque o momentum da partícula torna-se infinitamente maior à medida que o módulo da velocidade tendec.a A velocidade de O esforço necessário para cada incremento adicional da velocidade torna-se cada vez maior uma partícula não até que nenhuma quantidade de trabalho sejacapaz de aumentar ainda mais avelocidade. pode exceder c. Na verdade, em um nível mais básico, o valor c constitui um limite de velocidade para qualquer influência causal. Se eu jogar uma pedra e quebrar uma vidraça, o fato de eu ter atirado a pedra é a causa da quebra da vidraça, e a pedra é a influência causal. Se FIGURA 37.34A velocidade da partícula não eu emitir um raio laser em direção a um detector de luz acoplado a uma bomba, a onda pode alcançar a velocidade da luz. luminosa será a influência causal que produz a explosão. A influência causal pode ser qualquer tipo de partícula, de onda ou qualquer informação que se mova de A para B, permitindo que A seja a causa de B. Para dois eventos não-relacionados uma bomba que explode em Tóquio e um balão que estoura em Paris, a relatividade da simultaneidade nos diz que os dois eventos podem ser simultâneos em relação a um referencial, mas não em relação aos outros. Em um determinado referencial a bomba pode explodir antes que o balão exploda, mas em algum outro referencial o balão pode explodir primeiro. Essas possibilidades violam o senso coAdmite-se que uma influência mum da percepção do tempo, mas não estão em conflito com o princípio da relatividade. causal vá de A até B com Para dois eventos relacionados de forma causal  A causa B , seria um absurdo se velocidade u  c. um observador fixo em algum referencial constatasse que B ocorre antes de A. Nenhum observador, usando qualquer referencial e sem que importe como esteja se movendo, constatará que você nasceu antes de sua mãe. Se A causa B, então tA  tB deve ser verdatodos os referenciais. deiro em relação Suponha que aexista algum tipo de influência causal que possa se mover com uma velocidade u  c. A FIGURA 37.35mostra um referencial S em que o evento A localiza-se na srcem ( xA  0). A influência causal mais rápida do que a luz  talvez algum tipo de “raio Z” ainda por ser descoberto  deixa A no instante tA  0 e desloca-se até o ponto em que causará o evento B, chegando a xB no instante tB  xB/u. Como os eventos A e B aparecem no referencial S que se move a uma velocidade ordinária v  c relativamente ao referencial S? Podemos usar as transformações de Lorentz para descobrir isso.

A influência causal chega no instante tB  xB/u.

FIGURA 37.35Admita que uma influência

causal possa ir de A até B com uma velocidade u  c.

1172


É fácil notar que xA 0 e tA  0, pois xA  0 e tA  0, ou seja, as srcens de S e S  coincidem no instante em que a influência causal sai da posição do evento A. Mais interessante ainda é o tempo que a influência leva para chegar até B em relação ao referencial S . A transformação de Lorentz para o evento B é 

(37.36) onde primeiro colocamos em evidência tB e, depois, utilizamos o fato de que u  xB/tB em relação ao referencial S. Estamos admitindo que u  c, portanto consideramos u  c onde   1 é uma constante. Assim, vu/c2  v/c. Agora, siga a lógica: 2

1. Se v  c/, o que é possível porque   1, então vu/c  1. 2. Se vu/c2 1, então o termo (1  vu/c2) será negativo, e tB  0. 3. Se tB  0, o evento B ocorrerá antes do evento A em relação ao referencial S.

Em outras palavras, se uma influência causal pode se mover com velocidade maior do que c, haverá referenciais em que o efeito ocorre antes da causa. Entretanto sabemos que isso não pode ocorrer, portanto nossa hipótese de que u  c deve ser errônea. Nenhum efeito causal, de nenhum tipo  partícula, onda ou os raios Z-ainda-não-descobertos  podem se mover com velocidade maior do que c.

A existência de um limite cósmico de velocidade é uma das conseqüências mais interessantes da relatividade. A “dobra espacial” das histórias de ficção científica, em que uma espaçonave repentinamente é impulsionada a velocidades maiores do que a da luz, é, simplesmente, incompatível na teoria da relatividade. Viagens super rápidas às estrelas ainda vão permanecer no âmbito da ficção científica a menos que futuras descobertas científicas encontrem falhas na teoria de Einsteine abram novas portas para teorias nunca antessonhadas. É difícil afirmar queuma teoria jamais será ultrapassada,todavia atualmente não existe uma única evidência, por menor que seja,que vá contra a teoria da relatividade especial.

37.10 Energia relativística A energia é o tópico final deste capitulo sobre relatividade. Espaço, tempo, velocidade e momentum são transformados pela relatividade, portanto parece inevitável que também precisemos de uma nova concepção da energia. Na mecânica newtoniana, a energia cinética de uma partícula, K  mu2, pode ser escrita em função do seu momentum p  mu como K  p2/ 2 m. Isso sugere que a expressão relativística para a energia de uma partícula envolva o quadrado de p, bem como a massa da partícula. Também esperamos que a energia se conserve na relatividade; assim, um ponto de partida razoável é a grandeza que descobrimos ser a mesma em todos os referenciais inerciais: o intervalo espaço-temporal s. Uma partícula de massa m move-se ao longo de uma distância x durante um intervalo de tempo t medido em relação ao referencial S. O intervalo espaço-temporal é 2 2 2 s  c (t)  (x)  invariante Podemos transformar a expressão acima em uma expressão que envolva o momentum multiplicando-a por (m/)2, onde  é o tempo próprio (i.e., o tempo medido em relação a um referencial fixo na partícula). Fazendo isso, obtemos (37.37) p  m(x/) da Equação 37.32. ondeComo usamos t, o intervalo de tempo medido com relação ao referencial S, relaciona-se com o tempo próprio pelo resultado da dilatação temporal, t  p, a Equação 37.37 assume a forma (pmc)2  p2  invariante

Finalmente, por razões que ficarão mais claras logo a seguir, multiplicamos esta expressão por c2 para obter 2 2 (pmc2)invariante  (pc)  (37.38)

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1173

Dizer que o lado direito é um invariante significa que a equação tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Podemos facilmente determinar a constante avaliando-a em relação ao referencial no qual a partícula está em repouso. Com relação a esse referencial, onde p  0 e p  1, obtemos (pmc2)2  (pc)2  (mc2)2

(37.39)

Vamos refletir um pouco sobre tudo isso antes de prosseguirmos. O intervalo espaçotemporal s tem o mesmo valor em todos osreferenciais inerciais.Em outras palavras,c2(t)2 2 2 2 2  (x)  c (t)  (x) . A Equação 37.39 foi derivada a partir da definição de intervalo espaço-temporal; logo, a grandezamc2 também é um invariante, assumindo o mesmo valor em relação a todos os referenciais inerciais. Em outras palavras, se observadores fixos nos referenciais S e S efetuarem medições dessa partícula demassam, eles constatarão que (pmc2)2  (pc)2  (pmc2)2  (pc)2

(37.40)

Observadores fixos em referenciais diferentes medem diferentes valores para o momentum, todavia eles concordam que o momentum é uma grandeza conservada. As Equações 37.39 e 37.40 sugerem que a grandeza pmc2 também corresponde a uma propriedade importante da partícula, uma propriedade que muda com p da maneira certa para satisfazer à Equação 37.39. Mas que propriedade é essa? A primeira pista vem da verificação das unidades. O fatorp é adimensional, ec é uma velocidade, de modo quepmc2 tem a mesma unidade da expressão clássica mv2  uma 2 pmc se comporta unidade de energia. Como segunda pista, vamos examinar como o termo no limite de baixas velocidades,u c. Usando a aproximação binomial parap, obtemos (37.41) O segundo termo, mu2, é a expressão da energia cinética K para baixas velocidades. Trata-se de uma energia associada ao movimento. Entretanto o primeiro termo sugere que o conceito de energia é mais complexo do que pensávamos. Parece que existe uma energia inerente associada à massa. Tendo issoEcomo possibilidade sujeita à verificação experimental, vamos definir a energia total de uma partícula como 2

E  pmc  E0  K  energia de repouso  energia cinética

(37.42)

Essa energia total consiste em uma energia de repouso E0  mc

2

(37.43)

e uma expressão relativística para a energia cinética 2

K  (p  1 )mc  (p  1)E0

(37.44)

2

Essa expressão para a energia cinética reduz-se a mu quando u c; todavia, de acordo com a FIGURA 37.36 , ela difere significantemente do valor clássico para velocidades muito altas. A Equação 37.43 é a famosa expressão E  mc2 de Einstein, talvez a mais famosa equação de toda a física. Antes de discutirmos o seu significado, precisamos mencionar alguns pontos que ficaram pendentes. Primeiro, note que o lado direito da Equação 37.39 é o quadrado da energia de repouso E0. Logo, podemos escrever uma versão final daquela equação: 2

2

2

E  (pc)  E0

(37.45)

A grandeza E0 é um invariante, tendo o mesmo valor mc2 em relação a todos os referenciais inerciais. Em segundo lugar, note que podemos escrever

A energia cinética relativística tende a  quando u c.

Energia cinética newtoniana , , A expressão para a energia cinética newtoniana é válida c. quando u

FIGURA 37.36Energia cinética relativística.

1174


Mas pmc2 é a energia total, E, e u/c  p, onde p, como em p, indica que estamos nos referindo ao movimento de uma partícula em relação ao referencial usado, e não, ao movimento de dois referenciais um em relação ao outro. Portanto, (37.46)

pc  pE

A FIGUR A 37.37mostra o triângulo velocidade-energia-momentum, um modo conveniente de memorizar as relações entre essas três grandezas. Velocidade,u

Energia, E

Momentum, p

FIGURA 37.37O triângulo velocidade-energia-momentum.

EXEMPLO 37.12Energia cinética e energia total

Calcule a energia de repouso e a energia cinética (a) de uma bola de 100g que se move a 100 m/s e (b) de um elétron que se move a 0,999c. MODELO A bola, para a qual u c, é uma partícula clássica. Não precisamos usar a expressão relativística para calcular sua energia cinética. Já o elétron é altamente relativístico. RESOLUÇÃO a. Para a bola, comm  0,100 kg,

b. Para o elétron, começamos pelocálculo do fator

Então, usando

31

me  9,11  10

kg, obtemos

AVALIAÇÃO A energia cinética da bola tem um valor típico. Sua ener-

giapara de repouso, outro lado, é um número grande. Já o elétronpor relativístico, a energia cinéticaincrivelmente é mais importante do que a energia de repouso.

PARE E PENSE 37.8 Um elétron se move em um laboratório com 99% da velocidade da luz. O referencial do laboratório é S, e o do elétron é S . Em que referencial a massa de repouso do elétron é maior?

a. Em S, o referencial do laboratório. b. Em S, o referencial do elétron. c. Tem o mesmo valor em ambos os referenciais.

Equivalência massa-energia Agora estamos prontos para explorar o significado da famosa equação de Einstein E  2

FIGURA 37.38A colisão inelástica entre

duas bolas de argila realmente parece não conservar a energia total E.

mc . A FIGURA 37.38mostra duas bolas de argila de mesma massa e mesma energia cinética que se aproximam uma da outra. As bolas colidem entre si em uma colisão perfeitamente inelástica, formando uma grande bola de argila em repouso. Na mecânica newtoniana, diríamos que a energia inicial 2K é dissipada e se transforma em uma quantidade igual de energia térmica, aumentando a temperatura da bola maior formada. Contudo, a Equação 37.42, E  E0  K, não nos diz nada acerca da energia térmica. A energia total

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1175

antes da colisão é Ei  2mc2  2K, com o fator 2 aparecendo porque existem duas massas. Parece que a energia total após a colisão, quando a argila está em repouso, deve ser 2mc2, entretanto com este valor a energia total não se conserva. Existe grande evidência experimental de que energia é conservada, portanto deve haver algum problema com nosso raciocínio. A equação da conservação de energia é 2

2

Ef  Mc  Ei  2mc  2K

(37.47)

onde M é a massa de argila após a colisão. Isso exige que (37.48) Em outras palavras, amassa não é conservada. Após a colisão, a massa de argila é maior do que a massa de argila anterior à colisão. A energia total pode ser conservada apenas se a energia cinética for transformada em uma quantidade “equivalente” de massa. O aumento de massa em uma colisão entre duas bolas de argila é incrivelmente pequeno, muito além da capacidade de qualquer cientista detectá-lo. Então, como saberemos se essa idéia maluca é verdadeira? A FIGURA 37.39mostra um experimento já realizado inúmeras vezes, nos últimos 50 anos, em aceleradores de partícula por todo o mundo. Um elétron que foi acelerado até u c é direcionado para um alvo. Quando o elétron de alta energia colide com um átomo do alvo, ele pode facilmente expulsar um elétron do átomo. Assim, esperaríamos ver dois elétrons saindo do alvo: o elétron que colidiu e o elétron que foi ejetado. Em vez disso, quatro partículas emergem do alvo: três elétrons e um pósitron. O pósitron, ou elétron positivo, é a antipartícula associada ao elétron, idêntico a um elétron em todos os aspectos exceto por sua carga, q   e. Em notação de reações química, a colisão é representada por 







e (rápido)  e (em repouso) → e





e





e



As trajetórias de partículas elementares em uma câmara de bolhas revelam a criação de um par elétron-pósitron. Em presença de um campo magnético, o elétron, negativamente carregado, e o pósitron, com carga oposta, efetuam movimentos espiralados em sentidos opostos.

Elétron com alta velocidade



e

Foram criados um elétron e um pósitron, aparentemente, do nada. A massa 2me anterior à colisão tornou-se a massa 4 me após a colisão. (Note que a carga foi conservada na colisão.) Embora a massa tenha aumentado, ela não apareceu realmente “do nada”. Ocorreu uma colisão inelástica, tal qual a colisão entre as bolas de argila, pois a energia cinética após a colisão é menor do que antes da mesma. Na verdade, se você medir as energias antes e depois da colisão, verificará que a redução de energia cinética é exatamente igual à energia equivalente da massa das duas partículas que foram criadas: K  2mec2. Assim, as novas partículas foram criadas a partir da energia! Partículas podem ser criadas a partir de energia e podem se transformar em energia. A FIGURA 37.40ilustra um elétron que colide com um pósitron, sua colega antipartícula. Quando uma partícula e sua antipartícula se encontram, se aniquilam. A massa desaparece e a energia equivalente a ela é transformada em dois fótons de luz altamente energéticos. A conservação do momentum exige dois fótons, em vez de um, e determina que os dois fótons tenham a mesma energia e que sejam emitidos em sentidos opostos. Se o elétron e o pósitron são lentos de forma a que K mc2, então E1 E0  mc2. Neste caso, a conservação da energia requer que

Elétron alvo e– Alvo fino

Par elétron-pósitron criado.

FIGURA 37.39Uma colisão inelástica entre

elétrons pode criar um par elétron-pósitron.

Um elétron e um pósitron se encontram.



Ef  2Efóton  Ei  2mec

2

Eles se aniquilam.

(37.49)

No Capítulo 25, você aprendeu que a energia de um fóton de luz é Efóton  hc/, onde h é a constante de Planck. (Os fótons e suas propriedades serão discutidos novamente no Capítulo 39.) Assim, o comprimento de onda do fóton emitido é

Fóton

Fóton

A energia equivalente à massa é transformada em fótons de radiação gama.

FIGURA 37.40Aniquilação de um par

(37.50) Este é um comprimento de onda extremamente pequeno, menor do que o comprimento de onda de raios X. Nessa faixa de comprimentos de onda, os fótons são chamados de raios gama. E de fato, a emissão de raios gama de 0,0024 nm é observada em vários expe-

elétron-pósitron.

1176


A aniquilação pósitron-elétron (em uma tomografia por emissão de pósitrons) fornece uma avaliação não-invasiva do cérebro.

rimentos nos quais pósitrons colidem com elétrons e se aniquilam mutuamente. Recentemente, com o advento dos telescópios de raios gama instalados em satélites, os ast rônomos detectaram fótons de 0,0024 nm oriundos de vários lugares do universo, especialmente de centros galácticos uma evidência de que os pósitrons são abundantes no universo. A aniquilação elétron-pósitron é também a base do procedimento médico conhecido como tomografia por emissão de pósitron (PET scan). O paciente ingere uma pequena quantidade de uma substância radioativa que decai por emissão de pósitrons. A substância é absorvida por certos tecidos do corpo, especialmente aqueles de alta taxa metabólica. À medida que a substância decai, os pósitrons emitidos colidem imediatamente com elétrons, aniquilando-se e gerando dois raios gama que se movem em sentidos opostos. Os raios gama, que facilmente escapam do organismo, são detectados, e suas trajetórias são traçadas retroativamente ao ponto de onde se srcinaram dentro do corpo. A superposição de muitas dessas trajetórias mostra claramente o tecido do qual a emissão do pósitron se srcinou. Os resultados geralmente são fotografias em “cores falsas” em que as áreas mais vermelhas indicam regiões de onde provém uma alta emissão de pósitrons.

Conservação da energia A criação e a aniquilação de partículas dotadas de massa, um processo estritamente proibido na mecânica newtoniana, é uma prova real de que nem a massa e nem a definição newtoniana de energia é conservada. Mesmo assim, a energia total  a energia cinética mais a energia equivalente à massa  permanece como uma grandeza conservada. LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA TOTAL A energia E  ΣEi de um conservada, onde Ei  (p)imic2 é a energia total da partícula i.

sistema isolado é

Massa e energia não são a mesma coisa, mas, de acordo com os últimos exemplos que vimos, elas são equivalentes, pois a massa pode ser transformada em energia e a energia pode ser transformada em massa, desde que a energia total seja conservada. Provavelmente, a aplicação mais conhecida da conservação da energia total seja a fissão nuclear. O isótopo de 236U, contendo 236 prótons e nêutrons, não existe na natureza, mas pode ser criado quando um núcleo de 235U absorve um nêutron, aumentando sua massa atômica de 235 para 236. O núcleo de 236U rapidamente se fragmenta em dois núcleos menores e em vários nêutrons extras, em um processo denominado fissão nuclear. O núcleo pode se fragmentar de diversas formas, uma das quais é n  235U → 236U → 144Ba  89Kr  3n A massa dos reagentes é 0,185 u maior do que a massa dos produtos.

Ba e Kr são os símbolos atômicos para o bário e o criptônio, respectivamente. Essa reação parece uma reação química comum, até você verificar as massas. As massas de isótopos atômicos são conhecidas com grande precisão devido a muitas décadas de estudos com a utilização de aparelhos denominados espectrômetros de massa. Somando as massas em ambos os lados, verificamos que a massa dos produtos da reação é 0,185 u menor do que a soma da massa do nêutron inicial com a do 235U  você deve estar lembrado de que 1 u  1,66  10 27 kg é a unidade de massa atômica. Em quilogramas, a perda de massa é de 3,07  10 28 kg. A massa foi perdida, todavia a energia equivalente à massa, não. A ilustração da FIGURA 37.41mostra que a massa foi convertida em energia cinética, fazendo com que os dois núcleos e os três nêutrons fossem ejetados com altas velocidades. A energia cinética é facilmente calculada: K  mperdidac2  2,8  10 11 J. Trata-se de uma quantidade muito pequena de energia, mas essa é a quantidade de energia liberada em uma única reação de fissão. O número de núcleos de uma amostra 





A massa de 0,185 u foi convertida em energia.

FIGURA 37.41Na fissão nuclear, a energia

equivalente à massa perdida é convertida em energia cinética.

macroscópica de urânio é da ordem de NA, o número de Avogadro. Desse modo, a energia total liberada se todos os núcleos sofrerem fissão será enorme. Essa energia, claro, é a base para os reatores nucleares e para as armas nucleares. Iniciamos este capítulo com a expectativa de que a relatividade mudaria nossa noção básica do espaço e do tempo. Terminamos descobrindo que a relatividade muda a nossa compreensão acerca da massa e da energia. O mais interessante disso tudo é que cada uma dessas idéias tem srcem em uma única e simples sentença: as leis da física são as mesmas em relação a todos os referenciais inerciais.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

1177

RESUMO O objetivo do Capítulo 37 foi compreender como a teoria da relatividade de Einstein muda nossos conceitos acerca do espaço e do tempo.

Princípios gerais Princípio da relatividade Todas as leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referência. • O módulo da velocidade da luz,c, é igual em relação a todos os sistemas de referência inerciais. • Nenhuma partícula ou influência causal pode deslocar-se com uma velocidade maior do que c.

Conceitos importantes Espaço

Tempo

As medições espaciais dependem do movimento do experimentador em relação aos eventos. O comprimento de um objeto é a diferença entre as medidas simultâneas das posições de suas duas extremidades.

As medições de tempo dependem do movimento do experimentador em relação aos eventos. Eventos que são simultâneos em um sistema de referência S não o são no sistema de referência Sque se move em relação a S.

O tempo próprio é o comprimento de um objeto medido em relação a um sistema de referência no qual o objeto esteja em repouso. O comprimento de um objeto em um referencial no qual o objeto se move com velocidade v é

O tempo próprio é o intervalo de tempo entre dois eventos medido no sistema de referência em que os eventos ocorrem na mesma posição. O intervalo de tempo entre os eventos medido em um referencial que se move com velocidade relativa v é

Este resultado é conhecido como contração do comprimento .

Este resultado é conhecido comodilatação temporal .

Momentum

Energia

O princípio de conservação do momentum é válido em relação a todos os sistemas de referência inerciais se o momentum de uma partícula de velocidade v é dado por p =

O princípio de conservação da energia é válido em todos os sistemas de referência inerciais se a energia de uma partícula com velocidade u é

pmu, onde

Energia de repousoE0  mc2 Energia cinética

O momentum tende a quando u → c.

Invariantes são grandezas que têm o mesmo valor em relação a todos os

Equivalência massa-energia

sistemas de referência inerciais.

Uma massa m pode ser transformada em uma energia E = mc .

2

Intervalo espaço-temporal: Energia de repouso de uma partícula:

Uma energia pode ser transformada em uma massa

Aplicações Um evento ocorre em um lugar do espaço e em um instante de tempo específicos. As coordenadas espaço-temporais são (x,t) no referencial S e (x,t) no referencial S.

Um sistema de referência é um sistema de coordenadas dotado de réguas e cronômetros para medir eventos. Cada experimentador encontra-se em repouso em relação a todos os outros que compartilham do mesmo sistema de referência.

As transformações de Lorentz relacionam as coordenadas espaço-temporais e as velocidades relativas aos sistemas de referência S e S . Evento

no S no S



Movimento no S no S 

onde u e u são os componentes da velocidade em x e x.

1178


Termos e notação relatividade especial sistema de referência sistema de referência inercial princípio da relatividade galileana éter princípio da relatividade evento

coordenadas espaço-temporais (x, y, z, t) sincronizado simultâneo relatividade da simultaneidade relógio de luz referencial em repouso

tempo próprio, dilatação temporal ano-luz comprimento próprio, contração do comprimento invariante intervalo espaço-temporal, s

transformações de Lorentz influência causal energia total, E energia de repouso,E0 princípio de conservação da energia total fissão nuclear

Problemas indicados pelo ícone relevante de capítulos anteriores.

Para a tarefa de casa indicada no MasteringPhysics, acessar www.masteringphysics.com

integram o material

A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão de | (fácil) a ||| (desafiador).

QUESTÕES

CONCEITU

mostra duas bolas. Quais são o módulo e a orienta1. A FIGURA Q37.1 ção da velocidade de cada bola (a) em relação ao referencial que se move junto com a bola 1 e (b) em relação ao referencial que se move junto com a bola 2? FIGURA Q37.1 2. Os adolescentes Sam e Tom estão

,

,

jogando o “jogo do medroso” em seus foguetes. Como ilustra a FIGURA Q37.2, um observador que

Raio laser

Terra se encontra na Terra constata que os adolescentes se aproximam um FIGURA Q37.2 do outro a 0,95c. Sam emite um raio laser em direção a Tom. a. Qual é a velocidade do raio laser em relação a Sam? b. Qual é a velocidade do raio laser em relação a Tom? 3. Uma bomba A encontra-se a 300 m de você. Outra bomba B está a 600 m de você, na mesma direção e no mesmo sentido da primeira. Você vê ambas as bombas explodirem ao mesmo tempo. Defina o evento 1 como sendo “a explosão da bomba A” e o evento 2 como “a explosão da bomba B”. O evento 1 ocorre antes, depois ou simultaneamente ao evento 2? Explique. 4. Duas bombas A e B estão separadas por uma distância de 600 m. Você se encontra parado exatamente a meio caminho entre as bombas. Seu colega de laboratório está a 300 m do outro lado da bomba A. Você vê dois flashes de luz provenientes das explosões no mesmo instante de tempo. Defina como evento 1 “a explosão da bomba A” e como evento 2 “a explosão da bomba B”. Com base nas medições de seu colega de laboratório, o evento 1 ocorre antes, depois ou simultaneamente ao evento 2? Explique. 5. A FIGURA Q37.5mostra Peggy em pé no centro de um vagão que passa por Ryan, que está fixo no solo. Bombas acoFIGURA Q37.5 pladas às extremidades do vagão explodem. Pouco tempo depois, os flashes provenientes das explosões chegam simultaneamente até Peggy.

AIS

a. Em relação ao referencial de Peggy as explosões foram simultâneas? Em caso negativo, qual delas explodiu primeiro para Peggy? Explique. b. As explosões foram simultâneas em relação ao referencial de Ryan? Em caso negativo, qual delas explodiu primeiro para Ryan? Explique. 6. A FIGURA Q37.6mostra um foguete que se move da esquerda para a direita. No momento em que o foguete se encontra exatamente na metade da distância entre duas árvores, um raio as atinge simultaneamente relaçãovê aosimultaneamente referencial do foguete). a. O piloto(em do foguete os flashes deluz emitidos? Em caso negativo, qual dos flashes ele vê primeiro? Explique. b. Um estudante está sentado no chão exatamente na metade da distância entre as árvores quando o foguete passa acima de sua cabeça. De acordo com o estudante, os raios atingem as árvores simultaneamente? Em caso negativo, qual das árvores é atingida primeiro? Explique.

FIGURA Q37.6 7. Uma amiga sua viaja de Los Angeles a Nova York. Ela possui um

cronômetro bastante preciso com o qual pode medir o tempo de vôo. Você e seu colega de laboratório, que estão no solo, também medem o tempo de vôo. a. Identifique os dois eventos associados a esta medição. b. Quem, se for o caso, mede o tempo próprio transcorrido? c. Quem, se for o caso, registra o menor tempo de vôo? 8. Quando a régua ilustrada na FIGURA Q37.8passa por você, você mede simulRégua taneamente as posições de ambas extre- FIGURA Q37.8 midades e determina queL < 1 m.

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

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a. Para um observador fixo no referencial S’, o referencial da régua, 10. Uma partícula A tem a metade da massa e o dobro da velocidade de você faz as duas medições simultaneamente? Explique. outra partícula B. O momentum pA é menor, maior ou igual a pB? b. Os observadores em relação ao referencial S’ podem explicar por Explique. que você obteve uma medida inferior a 1m? 11. Um evento A ocorre nas coordenadas espaço-temporais (300m, 2 s). 9. Um trem de 100 m de comprimento dirige-se para um túnel de 80 m de comprimento. Caso o trem se mova suficientemente rápido, é a. Um evento B ocorre nas coordenadas espaço-temporais (1200m, possível que, de acordo com os observadores no solo, todo o com6 s). É possível que A seja a causa de B? Explique. primento do trem fique dentro do túnel em um dado instante de b. Um evento C ocorre nas coordenadas espaço-temporais (2400 m, tempo? Explique. 8 s). É possível que A seja a causa de C? Explique.

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 600 m. Uma bomba 1 explode na origem, e outra bomba 2 explode emx 900 m. Os flashes emitidos em ambas as explosões chegam a Boris em t 3,0 ms. Em que instante explodiu cada bomba? 1. | Em t  1,0 s, uma bomba explode na posição dada porx  10 m no referencial S. Quatro segundos mais tarde, uma segunda bomba 11. || Bianca encontra-se paradaem x  600 m. Uma bomba 1, localizada na srcem, e outra bomba 2, em x  900 m, explodem simulexplode em x  20 m. Um referencial S move-se na direçãox a 5,0 taneamente. Bianca vê o flash proveniente da primeira explosão no m/s. Quais são as posições e os tempos correspondentes aos dois instante t  3,0 ms. Em que instante Bianca vê o flash proveniente eventos no referencial S? da segunda explosão? 2. || Uma bomba explode em t  1,0 s em relação ao referencial S. 12. || Você está parado na posiçãox  9,0 km. Um raio 1 atinge o ponto Uma segunda bomba explode na mesma posição emt  3,0 s. Em x  0 km, e outro raio 2 atinge o ponto x  12,0 km. Você vê os dois relação ao referencial S, que se move na direçãox com velocidade flashes ao mesmo tempo. Sua assistente está parada em x  3,0 km. v, a primeira explosão é detectada na posição x  4,0 m, e a segunEla também vê os flashes ao mesmo tempo? Em caso negativo, qual da, em x  – 4,0 m. deles ela vê primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois? a. Qual é a velocidade do referencial S em relação ao referencial S? 13. || Você está parado emx  9,0 km e sua assistente está parada em x b. Qual é a posição das duas explosões em relação ao referencial S?  3,0 km. O raio 1 atinge o pontox  0 km e o raio 2 atinge o pon3. | Uma corredora cruza a linha de chegada. O barulho da torcida to x  12,0 km. Você enxerga o raio 1 no instantet  5,0 ms. De que está à sua frente a atinge com uma velocidade de 360 m/s. O acordo com a sua assistente, os raios chegaram simultaneamente? barulho da torcida que está às suas costas chega à corredora a 330 Em caso negativo, qual deles chegou primeiro e qual foi a diferença m/s. Quais são a velocidade do som e a velocidade da corredora?

Exercícios

10. || Bóris está parado em x





Seção 37.2 A relatividade de Galileu

4. | No beisebol, um arremessador consegue lançar uma bola com a

velocidade de 40 m/s. Ele se encontra na carroceria de uma picape que se distancia de você e lança a bola em sua direção. A bola se aproxima a 10 m/s. Qual é a velocidade do veículo? 5. || Um entregador de jornal pedala sua bicicleta a 5,0 m/s. Ele joga o jornal a uma velocidade de 8,0 m/s. Qual será a velocidade do jornal em relação ao solo se o entregador jogar o jornal (a) para a frente, (b) para trás e (c) para o lado? Seção 37.3 O princípio da relatividade de Einstein 6. | Uma espaçonave alienígena forade controle move-sede encontro



tempo os dois? 14. ||deJosé estáentre olhando para o leste. Um raio 1 atinge uma árvore a 300 m de onde José está parado. Outro raio 2 atinge um celeiro a 900 m de José, na mesma direção da árvore. José enxerga o raio que caiu na árvore 1,0 s antes do raio que atingiu o celeiro. De acordo com José, os raios ocorreram simultaneamente? Em caso negativo, qual deles ocorreu primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois? 15. | Você está voando no seu foguete pessoal a 0,9 c, indo da Estrela A para a Estrela B. A distância entre as estrelas, medida no referencial das estrelas, é de 1,0 ano-luz. Ambas as estrelas explodem simultaneamente em relação ao referencial do seu foguete, no instante em que sua espaçonave se encontra exatamente a meia distância entre elas. Você enxerga simultaneamente os flashes emitidos na explosão? Em caso negativo, qual deles você vê primeiro e qual é a diferença de tempo entre os dois?

a uma estrela com uma velocidade de 1,0  108 m/s. Com que velocidade relativa à espaçonave a estrela se aproxima? 8 7. | Uma espaçonave passa pela Terra a 2,0  10 m/s. Logo após passar pela Terra, um raio laser é emitido da traseira da espaçonave. Com que velocidade o raio laser se aproxima Terra? Seção 37.6 Dilatação temporal 8 8. | Um pósitron se move no sentido positivo de x a 2,0  10 m/s e colide com um elétron em repouso. O pósitron e o elétron se aniqui- 16. || Observadores posicionados na Terra constatam que um raio cósmico percorre 60 km através da atmosfera terrestre em 400 s. lam, produzindo dois fótons de raios gama. O fóton 1 se move no Quanto tempo dura o percurso de acordo com o raio cósmico? sentido positivo de x, e o fóton 2, no sentido oposto de x. Qual é a ||

velocidade de cada fóton? Seção 37.4 Eventos e medições Seção 37.5 A relatividade da simultaneidade 9. | Você é incumbido de sincronizar os relógios fixos em um referencial. Para tanto, você emitirá um pulso de luz da srcem em t  0 s. Para qual horário um relógio localizado emx(,y,z)(30 m, 40 m, 0

m) deve ser pré-ajustado?

c, um relógio 17. mento Com marca que velocidade, como fração da de freqüência em movio tempo com a metade de outro relógio

idêntico, porém em repouso? 18. | Um astronauta viaja para um sistema estelar a uma distância de 4,5 anos-luz a uma velocidade de 0,9c. Considere que o tempo ne-

cessário para acelerar e desacelerar seja desprezível. a. Qual á a duração da viagem de acordo com o Controle da Missão na Terra? b. Qual á a duração da viagem de acordo com o astronauta?

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c. Quanto tempo transcorre entre o lançamento e a chegada da pri- 31. || Quando um foguete passa pela Terra com velocidade de 0,8c, um meira mensagem de rádio do astronauta, informando que ele cheprojétil é lançado de sua extremidade traseira, no sentido oposto ao gou ao destino? do movimento do foguete. A velocidade de lançamento do projétil || 19. a. Com que velocidade um foguete deve se mover durante uma com relação ao foguete é de 0,9c. Qual é a velocidade do projétil viagem de ida e volta a uma estrela distante de modo que ele em relação à Terra? envelheça 10 anos enquanto os Controladores da Missão na 32. || Em um experimento de laboratório, um elétron é lançado para a Terra envelhecem 120 anos? esquerda a 0,9c. Qual é a velocidade do elétron em relação a um b. De acordo com o Controle da Missão, qual é a distância até a próton que se move para a direita a 0,9c? estrela longínqua? 33. || Um quasar distante afasta-se da Terra com uma velocidade de 0,8c. Uma galáxia próxima à Terra, e na mesma linha de visão, 20. || Você atravessa os Estados Unidos de avião e percorre 5.000 km a 250 m/s. Dois dias depois, você retorna mantendo a mesma veafasta-se de nosso planeta a 0,2c.Qual é a velocidade de afastamenlocidade. to do quasar medida por astrônomos que estão na outra galáxia? a. Você envelheceu mais ou menos que seus amigos que não viajab. ram? Em caso positivo, quanto? Dica:Use a aproximação binomial. 21. || De acordo com observadores da Terra, com que velocidade, em m/s, um relógio em movimento atrasaria 1,0 ns durante 1,0 dia? Dica: Use a aproximação binomial. Seção 37.7 Contração espacial 22. | Com que velocidade, como fraçãode c, um bastão em movimento

terá 60% do comprimento de um bastão idêntico em repouso?

Seção 37.9 Momentum relativístico 34. || Um próton é acelerado até0,999c.

a. Qual é o momentum do próton? b. Por qual fator o momentum do próton excede o seu momentum newtoniano? 35. | Uma partícula de 1,0 g possui um momentumde 400.000 kgm/s. Qual é a velocidade da partícula? 36. || Para que valor de velocidade o momentum da partícula é duas vezes maior do que seu valor newtoniano? a ? 37. || Qual é a velocidade de uma partícula cujo momentum é igualmc

23. | Jill afirma que seu novo foguete tem 100 m de comprimento.

Quando o foguete passa sobre sua casa, você mede seu comprimen- Seção 37.10 Energia relativística to e obtém apenas 80 m. Jill pode ser “acusada” de exceder o limite 38. || Quanto valem as energias cinética, de repouso e total de uma parde velocidade de 0,5c? tícula de 1,0 g que se move com uma velocidade de 0,8 c? 24. || Um múon percorre 60km através daatmosfera a uma velocidade de 39. | Um hambúrguer, com todos os ingredientes que o compõem, tem 0,9997c. De acordo com o múon, qual é a espessura da atmosfera? uma massa de 200 g. A energia nutricional do hambúrguer (480 25. || Um cubo em repouso nolaboratório tem densidade de 2.000 kg/ calorias) é 2MJ. m3. Qual será a densidade do cubo medida por um observador no a. Qual é a energia de massa do hambúrguer? laboratório quando o cubo se mover pelo laboratório a 90% da veb. Por qual fator a energia de massa excede a energia nutricional? locidade da luz em uma direção perpendicular a uma das faces? 40. | Com que velocidade um elétron deve semover de modo que sua | 26. Uma Nossa galáxia, aque Viacruza Láctea, tem 100.000 anos-luz de diâmetro. energia total seja 10% maior do que sua energia de repouso? espaçonave a galáxia mede seu tamanho como sen41. || Para que velocidade a energia cinética de uma partícula é duas do somente 1,0 ano-luz. vezes maior do que sua energia de repouso? a. Qual é a velocidade da espaçonave em relação à nossa galáxia? 42. || Para que velocidade a energia total deuma partícula é duas vezes b. Quanto tempo a espaçonave leva para cruzar a galáxia, medido maior do que sua energia de repouso? em relação ao referencial da galáxia? 27. | Um cabelo humano tem diâmetro de aproximadamente 50 mm. Movendo-se a que velocidade, em m/s, um metro padrão estaria Problemas encolhido para o equivalente a um fio de cabelo”? Dica: Use a aproximação binomial. 43. | Uma bola de 50 g, movendo-se para a direita a 4,0 m/s, colide com uma bola de 100 g que também se move para a direita, porém a 2,0 m/s. A colisão é perfeitamente elástica. Use o referencial e o resultaSeção 37.8 As transformações de Lorentz do obtido no Capítulo 10 para colisões perfeitamente elásticas a fim 28. | Um evento tem coordenadas espaço-temporais x(,t)  (1.200 m, 2,0 de determinar o módulo e a orientação da velocidade de cada bola ms) no referencialS. Quais são as coordenadas espaço-temporais do após a colisão. evento (a) no referencial S que se move no sentido positivo dex a 0,8c 44. | Uma bola de 300 gmove-se para a direita a 2,0 m/s quando colide e (b) no referencial S que se move no sentido negativo dex a 0,8c? com uma bola de 100 g que se move para a esquerda a 8,0 m/s, em 29. || Um foguete semove sobre o eixo x a 0,6c em relação à Terra. Um uma colisão perfeitamente elástica. Use o referencial e o resultado cientista que se encontra no foguete observa uma colisão entre dois obtido no Capítulo 10 para colisões perfeitamente elásticas a fim cometas e determina que as coordenadas espaço-temporais da colide determinar o módulo e a orientação da velocidade de cada bola são são (x, t )  (3,0  1010 m, 200 s). Quais são as coordenadas após a colisão. 45. || Uma bola de bilhar colide com outra, de mesma massa, em uma da Terra, colisãouma emárvore relação ao referencial da Terra? 30. ||espaço-temporais No referencial da localiza-se na srcem, e um colisão perfeitamente elástica. Após a colisão, a primeira bola poste, em x  30 km. Um raio atinge a árvore e o poste no instante desloca-se para a esquerda a 2,0 m/s, e a segunda, para a direita a t  10s. Os raios são observados por um foguete que se move na 4,0 m/s. Use o referencial e o resultado obtido no Capítulo 10 para direção x a 0,5c. colisões perfeitamente elásticas a fim de determinar o módulo e a. Quais são as coordenadas espaço-temporais desses dois eventos orientação da velocidade de cada bola antes da colisão. em relação ao referencial do foguete? 46. | Uma granada de 9,0 kg move-se para a direita a 100 m/s quando b. Os eventos são simultâneos em relação ao referencial do fogueexplode repentinamente e se divide em dois fragmentos, sendo um te? Em caso negativo, qual deles ocorre primeiro? deles duas vezes mais pesado do que o outro. Medições efetuadas

CAPÍTULO 37

■

Relatividade

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revelam que são liberados 900 J de energia na explosão e que o a. Com relação à Terra, qual deve ser a velocidade do foguete? fragmento mais pesado move-se à frente do mais leve. Calcule a b. Qual é a quantidade de energia necessária para acelerar o foguete velocidade de cada fragmento em relação ao solo analisando a exaté essa velocidade? plosão em relação ao referencial (a) da Terra e (b) da granada. (c) É c. Compare essa quantidade de energia à energia total usada pelos mais fácil resolver o problema em um desses referenciais? Estados Unidos durante o ano de 2005 (aproximadamente 1,0 47. || O diâmetro do Sistema Solar é de 10 horas-luz. Medições reali1020 J). zadas na Terra revelam que uma espaçonave cruza o Sistema Solar 55. | Um foguete viajando a 0,5c dirige-se à estrela mais próxima, Alfa Centauri, que está a 4,25 anos-luz da Terra. O foguete retornará à Terem 15 horas. De acordo com os passageiros da espaçonave, quanto ra imediatamente após chegar à Alfa Centauri. Qual é a distância que o tempo, em horas, ela leva para fazer o percurso? Dica: c  1 hora-luz por hora. foguete percorrerá e quanto tempo levará essa jornada de acordo com (a) terráqueos em suas casas e (b) a tripulação do foguete? (c) Quais 48. || Um vagão de um trem bala, com 30 m de comprimento, trafega de Los Angeles para Nova York a 0,5c quando uma luz pisca no das respostas estão corretas, as respostas do item a ou as do item b? centro do vagão. Quando a luz atinge a frente do vagão, ela imedia- 56. || A estrela Delta torna-se uma supernova. Um anomais tarde, e a 2 tamente faz soar umfazsino. a luz atinge a traseira do vagão, anos-luz de distância medidos da porestrela astrônomos galáxia, ela imediatamente soarQuando uma sirene. Épsilon explode. A explosão Delta da ocorre em xD aestrela 0 e tD a. Para os passageiros sentados no vagão, o soar do sino e da sirene  0. As explosões são observadas por três espaçonaves que cruzam são eventos simultâneos? Em caso negativo, qual deles ocorre a galáxia, indo de Delta para Épsilon, com velocidades v1  0,3c, v2 primeiro e qual é a diferença de tempo entre eles?  0,5c e v3  0,7c. b. Para um ciclista esperando para cruzar os trilhos, o soar do sino e a. Quais são os tempos das duas explosões medidos pelos cientistas da sirene são eventos simultâneos? Em caso negativo, qual deles em cada uma das três espaçonaves? ocorre primeiro e qual é a diferença de tempo entre eles? b. Em alguma das espaçonaves se acredita que as explosões foram 49. || A estrela Alfa torna-se uma supernova. Dez anos mais tarde, e a simultâneas? Em caso afirmativo, em qual delas? 100 anos-luz, segundo medições de astrônomos na galáxia, a estrela c. Em alguma das espaçonaves se acredita que a Épsilon explodiu Beta explode. antes do que a Delta? Em caso afirmativo, em qual delas? d. As suas respostas para os itens a e b violam o conceito de casuaa. É possível que a explosão de Alfa seja, de alguma forma, responsável pela explosão de Beta? Explique. lidade? Explique. b. Uma espaçonave alienígena que passa pela galáxia descobre que 57. || Dois foguetes se aproximam um do outro. Cada um move-se a a distância entre as duas explosões é de 120 anos-luz. De acordo 0,75c em relação ao referencial da Terra. Qual é a velocidade de um com os alienígenas, qual é o tempo transcorrido entre as duas foguete em relação ao outro? explosões? 58. || Um foguete passa pela Terra e lança um projétil a uma velocidade 50. || Em relação ao referencial S, dois eventos ocorrem no mesmo de 0,95c. Um cientista na Terra mede a velocidade do projétil como ponto do espaço separados por um intervalo de tempo de 10 s. A 0,90c. Qual é a velocidade do foguete? distância entre os dois eventos é de 2400 m, medida em relação ao 59. || Qual é a diferença de potencial a que um elétron em repouso deve referencial S. ser submetido a fim de adquirir uma velocidade de 0,99 c? a. Qual é o intervalo de tempo entre os eventos em relação ao referencial S? b. Qual é a velocidade de S em relação a S? 51. ||| Uma espaçonave viaja para um planeta a 10 anos-luz de distância. Os exploradores lá permanecem por 1 ano, depois retornam à mesma velocidade da ida e chegam à Terra 26 anos após a saída. Admita que os tempos necessários para acelerar e desacelerar a espaçonave sejam desprezíveis. a. Qual é a velocidade da espaçonave? b. Quanto tempo transcorreu de acordo com os cronômetros dos astronautas? 52. || Na Seção 37.6, vimos que os múons podem atingir o solo por causa da dilatação temporal. Mas como é vista a situação em relação ao referencial do múon, em relação ao qual sua meia-vida é de apenas 1,5s? Como é possível a um múon viajar 60 km e chegar à superfície da Terra antes de sofrer um decaimento? Resolva esse aparente paradoxo. Seja o mais quantitativo possível em sua resposta. 53. || O Acelerador Linear de Stanford (SLAC) acelera elétrons até uma velocidade v  0,99999997c em um tubo retilíneo de 3,2 km de comprimento. Se os elétrons percorrem o comprimento do tubo com a velocidade máxima (o que realmente não ocorre, pois eles estão acelerando), qual é o comprimento do tubo medido em relação ao referencial dos elétrons? 54. || Na tentativa de reduzir os tempos extraordinariamente longos para chegar a estrelas distantes, alguns cientistas sugeriram que a viagem fosse feita com uma velocidade próxima à da luz. Suponha que você decida visitar a estrela vermelha gigante Betelgeuse, que está a 430 anos-luz da Terra, e queira que seu foguete de 20.000 kg mova-se tão rapidamente que você envelheça apenas 20 anos durante a viagem.

60. || Qual é a velocidade de um próton após ser acelerado, desde o 6

repouso, sob uma diferença de potencial de 50  10 V?

61. || A meia-vida de um múonem repouso é de 1,5s. Múons acele-

rados até velocidades muito altas e mantidos em um anel de armazenamento possuem meias-vidas de 7,5 s. a. Qual é a velocidade dos múons no anel de armazenamento? b. Qual é a energia total de um múon no anel de armazenamento? A massa de um múon é 207 vezes maior do que a massa de um elétron. 62. || O material de uma erupção solar, viajando a 0,9c, atinge um foguete que se afasta do Sol a 0,8 c. De acordo com a tripulação a bordo, com que velocidade o material se aproxima do foguete? 63. || Neste capítulo, considerou-se que comprimentos perpendiculares à direção do movimento não são afetados pelo movimento, ou seja, o movimento na direção x não causa contração espacial ao longo dos eixos y e z. Para descobrir se isso é realmente verdadeiro, considere dois bocais de tinta spray acoplados a bastões perpendiculares ao eixo x. Sabemos que, quando ambos os bastões estão em repouso, ambos os bocais estão exatamente 1 m acima da base do bastão. Um bastão é colocado em repouso Bocal da Bocal da no referencial S, com sua base tinta vermelha tinta azul sobre o eixo x; e o outro é posicionado em repouso no referencial S, com sua base sobre o eixo x. Como ilustrado na FIGURA P37.63 , os bastões pas, , sam um pelo outro e cada qual em S em emite um jato de tinta que pinta uma linha ao longo do outro. FIGURA P37.63

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Daremos uma prova por contradição. Admita que objetos perpenb. Que fração da energia de repouso corresponde a esta energia? diculares ao movimentosejam contraídos. Um cientista fixo no re- 75. || Um elétron que se move para a direita com velocidade de 0,9c ferencial S observa que o bocal S, ao passar por ele, encontra-se a colide com um pósitron que se move para a esquerda a 0,9 c. As menos de 1 m acima do eixox. O princípio da relatividade diz que duas partículas se aniquilam, produzindo dois fótons de raios gama. um experimento realizado em dois referenciais inerciais diferentes Qual é o comprimento de onda dos dois fótons? – – terá o mesmo resultado. 76. || A Seção 37.10 apresenta a colisão inelástica e (rápido)  e (em a. Usando essa linha de raciocínio, mostre que você obterá uma repouso) → e–  e–  e–  e . contradição lógica, correspondente a duas situações mutuamente a. Qual é a energia cinética limiar do elétron rápido, ou seja, qual é incompatíveis. o mínimo de energia cinética que um elétron deve ter para que o b. A partir deste resultado contraditório, o que você pode concluir? processo ocorra? 64. | Derive as transformações de Lorentz para t e t’. b. Qual é a velocidade de um elétron com energia cinética limiar? Dica: Veja o comentário que segue a Equação 37.22. 65. || a. Derive a equação de transformação para as velocidades uy e Problemas desafiadores  y u . Admita os referenciais estejam orientados padrão, comque o movimento paralelo aos eixos x e x’. na forma 77. Dois foguetes, A e B, aproximam-se da Terra em sentidos opostos, b. Um foguete passa pela Terra a 0,8c. Ao passar, o foguete lança cada qual a 0,8c. Cada foguete tem 100 m de comprimento, medium projétil a 0,6c, perpendicularmente à direção do movimendos em um referencial no qual ele se encontra em repouso. Qual é o to da espaçonave. Qual é a velocidade do projétil em relação comprimento do foguete A medido pela tripulação do foguete B? ao referencial da Terra? 78. Dois foguetes medem 100 m em um referencial no qual se en66. | Qual é o momentum de uma partícula com velocidade de0,95c e contram em repouso. O foguete Órion, que desloca-se a 0,8c em energia total de 2,0 10 –10? relação à Terra, está para alcançar o foguete Sírius, que se move 67. || Qual é o momentum de uma partícula cuja energia total é quatro com uma velocidade de meros 0,6c. De acordo com a tripulação do vezes maior do que sua energia de repouso? Sua resposta deve ser Sírius, quanto tempo será necessário para que o Órion os ultrapasexpressa como um múltiplo demc. se completamente, ou seja, qual será o tempo transcorrido desde o 68. || a. Qual é o momentum e qual éa energia total de umpróton com instante em que o nariz de Órion está emparelhado com a traseira velocidade de 0,99c? do foguete Sírius até o instante em que a traseira do foguete Órion b. Qual é o momentum do próton em relação a um referencial está emparelhada com o nariz do Sírius? diferente, no qual E’ = 5,0  10 –10 J? 79. Alguns aceleradores de partículas permitem que prótons (p) e an69. || Para que valor de velocidade a energiacinética de uma partícula tiprótons (p–) circulem com velocidades de módulos iguais e sentié duas vezes maior do que seu valor newtoniano? dos opostos em um dispositivo chamado anel de armazenamento. 70. || Qual é a velocidade de um elétron cuja energia total é igual à Os feixes formados por essas partículas se cruzam em vários ponmassa de repouso de um próton? tos, causando colisões p  p–. Em uma dessas colisões, o resulta71. || Uma usina nuclear típica gera eletricidade a uma taxa de 1.000 do da reação é p  p– → e  e–    , onde  representa um MW. A eficiência ao transformar energia térmica em energia elétrifóton de raio gama com alta energia. O elétron e o pósitron são 









ca é 1/3, e a usina opera com capacidade máxima durante 80% do ejetados da colisão com velocidade de módulo igual a 0,9999995c ano. (As usinas nucleares não operam por um período equivalente a e os comprimentos de onda dos fótons de raios gama são identifica20% do ano para manutenção e reabastecimento.) dos como sendo 1,0  10–6 nm. Quais eram as velocidades do a. Qual é a quantidade de energia térmica que a usina gera durante próton e do antipróton antes da colisão? um ano? 80. Os foguetes dos Godos e 1.000 m no referencial b. Qual é a massa de urânio transformada em energia durante um Canhão dos Godos. dos Hunos medem, cada um, ano? de laser 1.000 m em um referencial 26 72. || O Sol irradia energia a uma taxa de 3,8  10 W. A fonte dessa Godos em relação ao qual eles esteenergia é a fusão, uma reação nuclear em que massa é transformada jam em repouso. Os foguetes em energia. A massa do Sol é igual a 2,0 1030 kg. Hunos passam um pelo outro, pratia. Quanto o Sol perde de massa por ano? camente se tocando, ambos b. Essa massa perdida pelo Sol equivale a quanto por cento da mas1.000 m no referencial movendo-se com velocidades dos Hunos. sa total do Sol? de 0,8c. Os Hunos dispõem de c. Estime o tempo de vida do Sol. FIGURA PD37.80 um canhão a laser na traseira 73. || O elemento radioativo rádio (Ra) decai por meio de um processo de seu foguete. O canhão dispara raios laser mortais em um ângulo conhecido como decaimento alfa, em que o núcleo emite um núcleo reto ao movimento do foguete. O capitão do foguete Huno quer de hélio. (Quando a radioatividade foi descoberta, esses núcleos de mandar uma mensagem de ameaça aos Godos. Para tanto, ele prehélio ejetados em altas velocidades foram denominados partículas tende “disparar um raio na proa do foguete”. O capitão diz ao seu alfa, muito antes de ser estabelecida a identidade das partículas.) A primeiro imediato: “o foguete dos Godos tem contração espacial de reação correspondente é 226Ra → 222Rn  4He, onde Rn é o elemento 600m. Dispare o laser no instante em que o nariz de nosso foguete radônio. Os valores precisos das massas atômicas dos três elementos passar pela cauda do foguete deles. O raio laser passará a 400 m da são 226,025 u, 222,017 u e 4,003 u. Qual é a quantidade de energia proa do foguete Godo”. Contudo, as coisas são um pouco diferentes liberada em cada decaimento? (A energia liberada nos decaimentos no referencial dos Godos. O capitão Godo raciocina da seguinte faz com que o lixo nuclear seja considerado “quente”.) maneira: “o foguete Huno está espacialmente contraído em 600 m, 74. II A reação nuclear que energiza o Sol é afusão de quatro prótons 400 m mais curto, portanto, do que nosso foguete. Se eles lançarem em um núcleo de hélio. O processo envolve várias etapas, mas a o raio laser quando o nariz do foguete deles estiver passando pela reação resumida é simples: 4p → 4He  energia. A massa de um cauda de nosso foguete, o raio letal atingirá nossa lateral”. núcleo de hélio é igual a 6,64  10 –27 kg. O imediato Huno executa a ordem de seu capitão. O foguete a. Qual é a quantidade de energia liberada em cada reação de fusão? Godo é atingido ou não? Resolva este paradoxo. Mostre que, quan-

CAPÍTULO 37

do a situação é analisada de forma correta, os Godos e os Hunos concordam quanto a seus resultados. Sua análise deve incluir cálculos quantitativos e explicações escritas. 81. Um atleta de salto com vara, bastante ágil, mora próximo a uma fazenda. Certo dia, enquanto treinava, o atleta reparou em um celeiro de 10 m de comprimento com as portas da frente e dos fundos abertas. Ele decide correr e passar por dentro do celeiro a uma velocidade de 0,866c, carregando consigo uma vara de 16 m. Ao avistar o atleta correndo em direção ao celeiro, o fazendeiro diz: “Aha! A vara está contraída espacialmente, medindo 8,0 m. Haverá um pequeno intervalo de tempo em que a vara caberá completamente no interior do celeiro. Se eu for rápido, poderei fechar as duas portas simultaneamente enquanto o atleta ainda estiver lá dentro”. O atleta vê ofazendeiro fazendeiroé parado do está celeiro e diz para sicontraído mesmo: “esse maluco.aoO lado celeiro espacialmente e mede somente 5,0 m. A vara de 16 m não cabe em um celeiro de 5,0 m. Se o fazendeiro fechar as portas quando a extremidade da

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Relatividade

1183

vara chegar na porta dos fundos, a porta da frente quebrará a vara e um pedaço dela de 11,0 m ficará do lado de fora do celeiro”.O fazendeiro conseguirá fechar as portas sem quebrar a vara? Mostre que, quando a situação é analisada de forma correta, o fazendeiro e o atleta concordam em seus resultados. Sua análise deve conter cálculos quantitativos e explicações escritas. É obvio que o atleta não pode parar instantaneamente, portanto você deve admitir que as portas sejam finas como papel de modo que o atleta possa atravessá-las com a vara sem reduzir sua velocidade.

Fazendeiro Vara de 16 m

FIGURA PD37.81

,

Celeiro de 10 m

RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE

Pare e Pense 37.1: a,ecf. Estes são referenciais que se movem com ve-

não é o instante em que ele realmente aconteceu. Uma vez que todos os observadores no referencial concordam quanto às coordenadas espaçotemporais de um evento, a posição particular de Nancy em seu referenPare e Pense 37.2: u’ a. = u – v = –10 m/s – 6 m/s = –16 m/s. A velocial não pode afetar a ordem dos eventos. Se Nancy estivesse passando cidade é de 16 m/s. por Mark no instante em que o raio ocorreu no referencial de Mark, Pare e Pense 37.3: Mesmo c. a luz gasta um pequeno tempo de percur- então Nancy seria equivalente a Peggy. O evento 2, tal como a explosão so. O evento é a batida do martelo no prego, e não, você enxergando o de uma bomba na parte dianteira do vagão de Peggy, ocorre primeiro no referencial de Nancy. martelo bater no prego. locidades constantes, ou bem próximo disso. Os outros estão acelerados.

Pare e Pense 37.4: Ao mesmo tempo. Mark está a meio caminho entre a árvore e o poste, de modo que o fato de ele ver os raios ao mesmo tempo significa que eles ocorreram ao mesmo tempo. É verdade que Nancy vê o evento 1 ocorrer antes do evento 2, mas os eventos real-

Pare e Pense 37.6: c. Nick mede o tempo próprio porque seu relógio

mente ocorreram antes que visse. Mark e Nancy referencial, pois ambos estãoela emosrepouso um em relaçãocompartilham ao outro; ade-do mais, todos os observadores em um referencial, após terem ajustados seus relógios de maneira a levar em conta os atrasos, concordam quanto às coordenadas espaço-temporais do evento.

Pare e Pense 37.7: LA > LB  LC. Anjay mede o comprimento próprio

Pare e Pense 37.5: Após. Este é o mesmo caso de Peggy e Ryan. No

está presente tanto no evento em que “o nariz passa por Nick” quanto no evento em que “a cauda passa por Nick”. O tempo próprio é o menor intervalo de tempo medido entre dois eventos. do poste, pois este está em repouso em seu referencial. O comprimento próprio é o maior comprimento medido. Bete e Charles talvez vejam o poste de forma diferente, mas eles compartilham o mesmo referencial e suas medidas do comprimento estão em concordância.

Pare e Pense 37.8: A c. energia de repousoE0 é invariante, seu valor é referencial de Mark, bem como no de Ryan, os eventos são simultâneos. o mesmo em relação a todos os referenciais inerciais. Assim, m = E0/c2 Nancy vê o evento 1 primeiro, mas o momento em que o evento é visto independe da velocidade.

38 O Fim da Física Clássica As pesquisas sobre a luz emitida por tubos de descarga de gás contribuíram para o fim da física clássica.



Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 38 é compreender como ocorreu a descoberta das propriedades atômicas e como essas descobertas revelaram a necessidade de uma nova teoria da luz e da matéria. Neste capítulo, você aprenderá sobre: ■ ■

■ ■



Como o elétron foi descoberto e como sua carga foi medida. Como o núcleo foi descoberto e como suas propriedades foram identificadas. Como utilizar o modelo nuclear do átomo de Rutherford. Como os átomos emitem e absorvem luz.

Em retrospectiva

O material apresentado neste capítulo depende da compreensão de vários conceitos da física clássica. Revise: ■ ■ ■ ■

Seção 16.2 Massas atômicas e número de massa. Seções 22.3 e 25.1 Redes de difração e espectroscopia. Seções 29.2 e 29.6 Potencial elétrico e energia potencial. Seção 33.7 Partículas carregadas em presença de campos magnéticos

Com exceção da relatividade e de uma breve introdução à física quântica apresenta-

da no Capítulo 25, tudo o que estudamos até agora já era conhecido por volta de 1900. A mecânica newtoniana, a termodinâmica e a teoria de Maxwell do eletromagnetismo formam o que chamamos de física clássica. É um imenso conjunto de conhecimento com grande poder explanatório. Ao final do século XIX, muitos dos cientistas acreditavam que podiam usar essas teorias para explicar qualquer fenômeno. Alguns estudiosos até chegavam a pensar que não havia mais nada a ser descoberto. No entanto, por volta de 1900, em um intervalo de poucos anos os estudos sobre a estrutura da matéria culminaram em surpreendentes descobertas que estavam em desacordo com a física clássica. Descobertas para as quais não se dispunha de explicações e que eram fruto de investigações tão simples quanto medir o espectro da luz emitida por tubos de descarga em gás. Não tardou para que as leis da física clássica caíssem por terra ao serem aplicadas a sistemas atômicos. No início do século XX, os físicos tiveram de reexaminar suas hipóteses mais básicas sobre a natureza da matéria e da luz.

Temos dois objetivos a alcançar neste capítulo. O primeiro é aprender como os cientistas doépoca, séculoMichael XIX e do inicio já doobservava século XXque descobriram as propriedades atômicas. Em sua Faraday “falar de átomos” era fácil, mas compreendê-los era outra história. Nosso segundo objetivo é perceber que muitas das descobertas recentes relacionadas às propriedades atômicas não estão em consonância com a física clássica. Antes de entrarmos na física quântica, é importante que saibamos em que a física clássica falhou e por que uma nova teoria da luz e da matéria se tornou necessária.

CAPÍTULO 38

■

O Fim da Física Clássica

1185

38.1 A física no século XIX Os questionamentos dos cientistas do século XIX relacionavam-se a três assuntos principais: matéria, eletricidade e luz.

Matéria A idéia de que a matéria consiste de pequenas partículas indivisíveis remonta a Leucipo e a seu aluno Demócrito, na Grécia Antiga, por volta de 440  420 a.C. Essas partículas foram chamadas de átomos, palavra grega que significa “não-divisível”. O atomismo não foi amplamente aceito, em parte pela falta de evidência associada à existência dos átomos. Todavia as idéias atomísticas conseguiram sobreviver na obscuridade durante a Idade Média. Somente na época de Newton, com o surgimento de uma concepção mecanicista do mundo, o interesse pelos cresceu. Newton observou que a lei dosátomos gases de Boyle  segundo a qual pV permanece constante em um processo isotérmico  podia ser explicada se o gás fosse composto de partículas. Em 1738, Daniel Bernoulli amadureceu a idéia de que gases são compostos por partículas minúsculas, similares a átomos, em movimento aleatóri o. Contudo, as evidências acerca da existência de átomos eram muito incipientes para que as idéias de Bernoulli fossem consideradas mais do que uma curiosidade. Esse cenário começou a mudar no inicio do século XIX. O químico inglês John Dalton preconizava que muito do que então se sabia sobre as reações químicas poderia ser explicado se a matéria de um elemento químico em particular consistisse de átomos idênticos e indestrutíveis. Dalton tentou determinar as massas relativas dos átomos de diferentes elementos  a única característica de seu trabalho que mais se aproximou de um estudo cientifico, em vez de mera especulação. As idéias de Dalton foram ampliadas pelo químico italiano Amedeo Avogadro, que postulou que os átomos poderiam se ligar uns aos outros para formar entidades mais complexas, as quais ele chamou de moléculas, e que volumes iguais de gases a uma mesma temperatura contêm um mesmo numero de moléculas. As evidências tornaram-se mais fortes com o surgimento da termodinâmica e da teoria cinética dos gases, desenvolvidas em meados do século XIX. Pequenos desvios da lei dos gases ideais em altas pressões, que poderiam ser compreendidos com a hipótese de que os átomos começavam a ficar mais próximos um dos outros nesta situação, levaram a uma estimativa aproximada dos tamanhos atômicos. Por volta de 1890, a existência de átomos com diâmetros em torno de 10–10 m começou a ser amplamente aceita.

Eletricidade Desde a antiguidade já se sabia que esfregar âmbar em pele de carneiro gerava eletricidade estática. Mas a descoberta de correntes elétricas, por volta de 1800, despertou novos e interessantes questionamentos, como por exemplo: a “substância elétrica” é um fluido contínuo ou consiste de partículas granulares de eletricidade? Não havia evidência direta, mas o fluxo de corrente sugeria alguma forma de fluido. Essas suposições corroboravam a crença então vigente de que o calor também seria um fluido chamado calórico. Passados menos de dois meses da invenção da pilha elétrica por Volta, em 1800, descobriu-se que uma corrente elétrica, ao atravessar a água, a decompõe em hidrogênio e oxigênio em um processo chamado eletrólise . O experimento básico, realizado hoje em dia em aulas de química, está ilustrado na FIGURA 38.1. Os terminais positivo e negativo de uma bateria são ligados a duas peças metálicas denominadas eletrodos. O eletrodo negativo é chamado de cátodo, e o positivo, de ânodo. Bolhas de gás, então, surgem nos eletrodos  de hidrogênio em uma placa e de oxigênio na outra  e podem ser coletadas em tubos. Hoje o resultado desse experimento nos surpreende mais,vez, todavia bre-se de em que,dia, na época em que o experimento foinão realizado pela primeira a águalemera considerada como um dos elementos básicos da natureza. A decomposição da água forçou os cientistas a reconsiderarem a questão dos constituintes básicos da matéria. Além disso, os efeitos da nova descoberta sugeriam uma conexão, nunca antes suspeitada, entre a eletricidade e a matéria.

Cátodo

Ânodo

Corrente

FIGURA 38.1Uma corrente elétrica

através da água decompõe o liquido em hidrogênio e oxigênio.

1186

Física: Uma Abordagem Estratégica Tela

Luz A pergunta “o que é a luz?” motivou debates por muito tempo. Como já sabemos, Newton era favorável a uma teoria corpuscular segundo a qual corpúsculos de luz se moveriam em linhas retas. Newton baseava-se principalmente nas sombras geradas pela luz solar, em contraste com a difração das ondas da água ao passar por barreiras. A visão de Newton predominou durante todo o século XIX. Tudo começou a mudar rapidamente na virada do século XIX. Em 1801, o lingüista, médico e cientista inglês Thomas Young demonstrou a interferência da luz em sua famosa experiência da dupla fenda, ilustrada na FIGURA 38.2. Em 1818, o físico francês Augustin Fresnel deu uma base matemática mais rigorosa para o modelo ondulatório da luz. A teoria de Fresnel previa um punhado de efeitos da difração que ainda não haviam sido observados. De inicio, tais efeitos receberam muitas críticas por contrariarem o senso

Fenda dupla

Feixe de laser incidente

FIGURA 38.2A experiência da dupla fenda

de Young mostrou que a luz é uma onda.

comum. A subseqüente lo ondulatório da luz. comprovação experimental da teoria de Fresnel validou o mode-

38.2 Faraday As três linhas de questionamento  matéria, eletricidade e luz  vieram a convergir em 1801 na pessoa de Michael Faraday, um dos maiores gênios da historia da ciência. Faraday conduziu três investigações de particular interesse para o nosso estudo.

Condução elétrica em líquidos Outros cientistas já haviam começado a estudar a eletrólise, mas foram os cálculos sistemáticos e minuciosos de Faraday que revelaram as leis que governam a eletrólise. Faraday mostrou que é mais fácil entender a eletrólise se nos basearmos em uma teoria atômica da matéria. Ele descobriu que existe uma carga associada a cada átomo presente na solução. Atualmente essas cargas são chamadas íons positivos e negativos. As descobertas de Faraday implicavam que

Nas células de combustível, que fornecerão energia para os carros em um futuro próximo, oxigênio e hidrogênio são combinados para produzir água e corrente elétrica. Trata-se do processo inverso à eletrólise ilustrada na Figura 38.1. Brilho do cátodo

Cátodo

Brilho colorido do gás

Ânodo

1. 2. 3. 4.

Os átomos existem. De alguma forma, cargas elétricas estão associadas a átomos. Há dois tipos diferentes de carga, a positiva e a negativa. A eletricidade é “granulada”, e não, um fluido contínuo, ou seja, a eletricidade existe em quantidades discretas, múltiplas de uma unidade básica de carga.

Condução elétrica em gases Faraday também investigou se as correntes elétricas seriam capazes de atravessar o ar. Ele fixou eletrodos metálicos no interior de um tubo de vidro lacrado, baixou a pressão utilizando uma bomba a vácuo rudimentar e conectou um gerador eletrostático aos eletrodos. Quando o gerador foi ligado, o gás dentro do tubo começou a brilhar em um tom de roxo vívido. O dispositivo de Faraday, chamado de tubo de descarga de gás, está ilustrado na FIGURA 38.3. As investigações de Faraday mostraram que 1. A corrente flui através de um tubo de gás a baixa pressão, na forma de uma des-

carga elétrica. 2. A cor da luz emitida pela descarga depende do tipo de gás no tubo. 3. Independentemente do tipo de gás, existe um brilho constante em volta do eletro-

do negativo (i.e., o cátodo), chamado de brilho catódico. FIGURA 38.3O tubo de descarga em gás

de Faraday.

em dia, sabemos queestá a luz roxa emitida é característica do nitrogênio, o principalHoje componente do ar. Você mais acostumado com a cor laranja-avermelhada dos tubos de descarga de neônio usados em letreiros luminosos, porém o neônio só foi descoberto bem mais tarde. Contudo, as investigações de Faraday mostraram que existe uma conexão inesperada entre a cor da luz e o tipo de átomos no tubo.

CAPÍTULO 38

Campos eletromagnéticos Talvez uma das contribuições mais importantes de Faraday para a física tenha sido no âmbito do magnetismo e da luz. Lembre-se de que foi Faraday quem introduziu o conceito de campo elétrico e campo magnético. Embora esses campos tenham sido inicialmente idealizados como uma forma simples de visualizar processos elétricos e magnéticos, em estudos posteriores sobre indução eletromagnética Faraday mostrou que eles realmente existem e possuem propriedades reais. Essas pesquisas abriram caminho para a descoberta, 30 anos mais tarde, de que a luz é uma onda eletromagnética. Os estudos de Faraday representaram um grande avanço para a descoberta de evidências reais quanto à existência dos átomos. Faraday, ao mesmo tempo, comprovou que os átomos estão associados à eletricidade e que diferentes cores de luz estão associadas a diferentes tipos de átomos, preparando o caminho para a descoberta de que a luz está associada à eletricidade Matéria, eletricidadeeeao luzmagnetismo.  três idéias anteriormente consideradas estanques  estavam inter-relacionadas. Ainda assim, Faraday percebeu que nada mais havia feito do que “arranhar a superfície” e que ainda seria necessária muita pesquisa até se dispor de uma compreensão plena dos átomos.

■


1187

Embora não saibamos nada sobre o que é um átomo, ainda assim não podemos resistir a formar uma idéia acerca de uma pequena partícula que o represente mentalmente; e embora sejamos tão ignorantes, se não mais, a respeito da eletricidade, assim como incapazes de dizer se ela é formada de um tipo ou de tipos de matéria particulares, ou se é mero movimento de matéria comum, ou algum terceiro tipo de energia ou agente, ainda assim existe uma imensidade de fatos que nos justificam crer que os átomos constituintes da matéria são, de alguma maneira, dotados ou associados com poderes elétricos aos quais eles suasafinidades qualidades proeminentes, entredevem elas suas químicas mútuas...e

Michael Faraday

38.3 Raios catódicos A invenção do tubo de descarga de gás, por Faraday, teve duas grandes repercussões. Um conjunto de pesquisas, que logo será abordado na Seção 38.8, levou ao desenvolvimento da espectroscopia e, conseqüentemente, da física quântica. Outro conjunto de investigações resultou na descoberta do elétron. Na década de 1850 houve um grande avanço tecnológico com o aprimoramento das bombas a vácuo. Nessa década, o cientista alemão Julius Plücker começou a estudar os tubos de descarga de gás de Faraday utilizando gases a baixas pressões. Plücker observou dois aspectos importantes: 1. À medida que a pressão era reduzida, o brilho colorido do gás diminuía e o brilho

catódico se tornava mais alongado. 2. Se a brilho catódico se estendia até a parede de vidro do tubo, o vidro emitia um

brilho esverdeado no local.

Alguns anos mais tarde, um aluno de Plücker descobriu que, quando um objeto sólido é colocado dentro do tubo, produz uma sombra na parede do tubo, como ilustrado na FIGURA 38.4. Essa descoberta sugeria que, de alguma forma, o cátodo emite raios que se movem em linhas retas, mas que são facilmente bloqueados por objetos sólidos. Esses raios invisíveis, que ao se chocarem com o vidro produzem um efeito brilhante, foram denominados raios catódicos. Esse nome ainda é empregado atualmente para designar o tubo de raios catódicos que compõe o tubo de imagem de muitos televisores e monitores de computador. Todavia, dar um nome aos raios nada fez no sentido de explicá-los. Mas afinal, o que eram esses raios?

Tubos de Cro okes O estudo mais sistemático sobre os novos raios catódicos foi desenvolvido durante a década de 1870 pelo cientista inglês Sir William Crookes. Ele desenvolveu um conjunto de tubos de vidro (FIGURA 38.5) que podia ser utilizado para estudos minuciosos dos raios catódicos. Suas principais inovações consistiram em alongar o tubo, introduzir um colimador para a passagem dos raios e obter pressões ainda mais baixas. O resultado obtido foi local um feixe raios catódicos um pequeno ponto brilhante no ondebem-definido o raio atingiade a extremidade finalque doformava tubo. Atualmente chamamos essa invenção de tubo de Crookes. Os trabalhos realizados por Crookes e outros cientistas mostraram que: 1. Existe uma corrente elétrica no tubo quando os raios catódicos são emitidos. 2. Os raios são desviados por um campo magnético comose fossem cargas negativas. 3. Cátodos metálicos produzem raios catódicos. Além disso, as propriedades dos

raios independem do metal do qual é feito o cátodo.

Objeto sólido

Sombra do objeto Brilho catódico

Cátodo

O tubo de vidro brilha com cor verde

FIGURA 38.4Um objeto sólido colocado

na região do brilho catódico produz uma sombra.

Orifício colimador

Extremidade Feixe de do tubo raios catódicos

Cátodo Ânodo

Mancha verde

FIGURA 38.5O tubo de Crookes.

1188


4. Os raios podem exercer forças sobre objetos e transferir energia para eles. Por

exemplo, uma folha metálica fina, colocada no caminho de feixe de raios catódicos, brilha com uma coloração vermelho escuro. Os experimentos de Crookes suscitaram mais questões do que respostas. Será que os raios catódicos são formados por algum tipo de partícula? Ou de onda? Seriam os próprios raios os portadores da corrente elétrica ou alguma outra coisa é emitida toda vez que existe corrente? Essa última questão merece especial atenção, pois ela sugere que os raios catódicos talvez sejam uma entidade fundamental , e não, uma parte do elemento do qual são emitidos. Hoje em dia, embora as respostas para tais questões possam ser encontradas em livros, é importante que você perceba a dificuldade que elas representavam na época e como as evidências experimentais foram usadas para respondê-las. Crookes sugeriu que as moléculas do gás colidiam com o cátodo, de alguma forma adquiriam carga negativa (ou seja, tornavam-se íons negativos) e, então, eram rebatidas em altas velocidades ao serem repelidas pelo cátodo negativo. Essas “moléculas carregadas” percorriam linhas retas carregando consigo energia e momentum, podiam ser desviadas por um campo magnético e causavam um brilho no tubo, ou fluorescência, no local em que se chocavam com a parede do mesmo. A teoria de Crookes previu, é claro, que os íons negativos também deveriam ser desviados por um campo elétrico. Crookes tentou demonstrar essa deflexão colocando eletrodos dentro de um tubo de gás e gerando um campo elétrico em seu interior, mas seus esforços foram inconclusivos. Apesar de toda a dificuldade, o modelo de Crookes parecia explicar as observações. No entanto, Crookes e sua teoria foram atacados imediatamente. Os críticos observaram que raios catódicos poderiam percorrer um tubo de 90 cm de comprimento em linha reta sem sofrer desvios perceptíveis. Mas o livre caminho médio de moléculas, devido às colisões com outras moléculas, é de apenas 6 mm na pressão usada em um tubo de Crookes. De modo algum moléculas poderiam percorrer em linhas retas distâncias 150 vezes maiores do que seu livre caminho médio! Mais tarde, descobriu-se que os raios catódicos poderiam até mesmo atravessar chapas de metal muito finas (com 2 m de espessura), algo que nenhuma partícula do tamanho de um átomo poderia fazer. A teoria de Crookes, embora parecesse adequada na época em que foi proposta, tornou-se amplamente inconsistente com observações subseqüentes. Mas se os raios catódicos não eram partículas, o que seriam então? Uma teoria alternativa postulava que os raios catódicos eram ondas eletromagnéticas. Afinal a luz se propaga em linha reta, produz sombras, carrega energia e momentum e pode, sob certas circunstâncias, fazer com que alguns materiais brilhem. Já era sabido que materiais, quando aquecidos, também emitem luz  o que chamamos de incandescência ; logo, parecia plausível que o cátodo emitisse ondas. Um longo percurso através do gás não representava problema algum e, além disso, já se sabia por volta de 1890 que ondas de rádio podiam atravessar chapas metálicas finas. O grande obstáculo para a teoria das ondas era quanto aos desvios sofridos pelos raios catódicos em presença de um campo magnético. Naquela época, a teoria das ondas eletromagnéticas era muito recente e muitas das características dessas ondas ainda eram desconhecidas. A luz visível não era desviada por um campo magnético, mas não era difícil conjecturar que isso pudesse ocorrer com algum outro tipo de onda eletromagnética. A controvérsia entre partículas e ondas foi intensa. Cientistas britânicos, em geral, favoreciam as partículas, mas seus colegas do continente davam preferência às ondas. Essas controvérsias fazem parte da ciência, pois estimulam as mentes mais brilhantes a elaborar novas idéias e novos experimentos. 

38.4 J. J. Thomson e a descoberta do elétron

Pouco depois que Wilhelm Röntgen descobriu os raios X em 1895, o jovem físico inglês J.J. Thomson começou a utilizá-los para estudar a condução elétrica em gases. Thomson observou que os raios X podiam descarregar um eletroscópio e concluiu que eles talvez ionizassem as moléculas do ar, tornando-o condutor. Essa simples observação teve profunda significância. Até aquela época, a única forma de ionização conhecida era o aparecimento de íons positivos e negativos em soluções, onde, por exemplo, uma molécula de NaCl dividia-se em dois “pedaços” menores e carre-

CAPÍTULO 38

■


1189

gados. Embora o processo que havia por trás dessa experiência ainda fosse desconhecido, o fato de que dois átomos podiam adquirir carga a partir da divisão de uma molécula não alterava em nada a idéia de que os átomoseram indivisíveis. Após observar que até mesmo os gases monoatômicos, como o hélio, por exemplo, podiam ser ionizados por raios X, Thomson percebeu queo átomo provavelmente possuía constituintes dotados de carga elétrica que podiam ser separados!Essa constituiu a primeira evidência direta de que o átomo é uma estrutura complexa, e não uma unidade fundamental, indivisível da matéria.

Thomson também conduziu experimentos para investigar a natureza dos raios catódicos. Um de seus principais objetivos foi comprovar, de uma vez por todas, que os raios catódicos eram partículas carregadas. Utilizando tubos de Crookes como o ilustrado na FIGURA 38.6a , outros cientistas já haviam medido a corrente elétrica correspondente a um feixe de raios catódicos. Embora a presença dos raios parecesse demonstrar que se tratasse de partículas carregadas, os precursores do modelo ondulatório argumentavam que a corrente poderia ser um evento em separado e independente que, por acaso, também percorreria a mesma trajetória em linha reta juntamente com os raios catódicos.

Orifício colimador

Raios catódicos Cátodo Eletrodo Trajetória em campo de alta intensidade

coletor Trajetória em campo de média intensidade

Thomson percebeu que podia usar a deflexão magnética dosraios catódicos para resolFIGURA 38.6b ver esse impasse. Construiu um tubo modificado, ilustrado na , em que o eletrodo coletor foi posicionado fora do centro em uma das extremidades do tubo. Sem a presença de um campo magnético, os raios catódicos se chocavam com o centro, na extremidade do tubo, produzindo um ponto esverdeado no vidro. Sob essas circunstâncias, não era possível identificar qualquer tipo de corrente no eletrodo. Thomson, então, colocou o tubo em presença de um campo magnético com a finalidade de desviar os raios catódicos para um dos Cátodo Trajetória lados do tubo. Determinou a trajetória dosraios orientando-se pela localização do ponto ver- Existe uma corrente apenas sem a de à medida que este se movia na extremidade do tubo. No exato momento em que o campo quando o raio catódico atinge presença o eletrodo coletor. estava com intensidade suficiente para defletir os raios catódicos em direção ao eletrodo de campo coletor, a corrente era detectada. Utilizando um campo ainda mais intenso e desviando os FIGURA 38.6Experimentos para medir raios catódicos completamente para ooutro lado do eletrodo, cessava a corrente. Esta foi a primeira demonstração conclusiva de que os raios catódicos realmente são a corrente elétrica em tubo de raios constituídos por partículas carregadas negativamente. Mas então por que eles não eram catódicos.

desviados por um campo elétrico? Os primeiros esforços de Thomson para desviar os raios catódicos por meio de um campo elétrico apresentaram os mesmos resultados inconclusivos que outros cientistas já haviam encontrado. Porém, sua experiência em ionização gases de raios X lhecatódicos, revelou onde estava a dificuldade. Thomson se deude conta depor quemeio as partículas doslogo raios movendo-se em altas velocidades, provavelmente colidiam com algumas poucas moléculas de gás que restavam no tubo com energia suficiente para ionizá-las ao dividi-las em partículas carregadas. O campo elétrico gerado por essas cargas, então, neutralizava o campo produzido pelos eletrodos e, assim, não ocorria desvio. Felizmente, a tecnologia do vácuo melhorava cada vez mais. Utilizando as técnicas mais sofisticadas de sua época, Thomson conseguiu baixar a pressão a um nível tal que a ionização do gás deixaria de interferir. E então, como esperado, os raios catódicos foram desviados por um campo elétrico! O experimento de Thomson representou uma vitória decisiva para o modelo de partícula carregada, mas não dava qualquer indicação da natureza das partículas. O que seriam essas partículas?

O experimento de Thomson com campos cruzados Thomson mediu a deflexão de raios catódicos para campos elétricos de diferentes intensiq/m, quandades. A deflexão magnética depende tanto da razão carga-massa da partícula, to de sua velocidade. Medir a razão carga-massa e, assim, aprender um pouco mais sobre as partículas exige meios para se determinar suas velocidades. Para tal objetivo, Thomson desenvolveu um experimento que faz seu nome ser lembrado até hoje.

Thomson construiu um tubo que continha eletrodos metálicos paralelos, como ilustrado na FIGURA 38.7a, e o posicionou entre os pólos de um ímã. A FIGURA 38.7bmostra que os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si, produzindo, assim, o que se tornou conhecido como experimento com campos cruzados. O campo magnétic o, sendo perpendicular à velocidade da partícula carregada , exerce sobre a mesma uma força magnética cujo módulo é dado por FB  qvB

(38.1)

J. J. Thomson.

1190


Por si só, o campo magnético tende a fazer com que a partícula carregada negativa descreva um longo arco circular ascendente. Ela não chega a descrever um circulo completo porque a velocidade é grande e o campo magnético é limitado espacialmente. Como já estudado no Capítulo 33, o raio do arco é dado por (38.2) Eletrodos

Campo magnético

Mancha esverdeada em presença de apenas

A mancha esverdeada não sofre desvio em presença de e

A partícula carregada se move em linha reta quando as forças elétrica e magnética se equilibram.

FIGURA 38.7O experimento de Thomson

com campos cruzados para medir a velocidade dos raios catódicos. A foto mostra o tubo srcinal e as bobinas usadas para produzir o campo magnético.

O resultado é um desvio do feixe para cima. Trata-se de um problema geométrico simples determinar o raio de curvatura r a partir do desvio medido. A inovação de Thomson foi criar um campo elétrico entre eletrodos de placas paralelas que exercia uma força orientada para baixo sobre as cargas negativas, empurrando-as de volta para o centro do tubo. O módulo da força elétrica sobre cada partícula é F  qE (38.3) E Thomson ajustou a intensidade do campo elétrico até que o feixe de raios catódicos, em presença dos campos elétrico e magnético, não sofresse deflexão e incidisse exatamente no centro do tubo. Nenhum desvio ocorre quando forças elétricas e magnéticas se equilibram, como mostra a FIGURA 38.7c. Neste caso, os vetores força apontam em sentidos opostos, e seus módulos são iguais se FB  qvB  FE  qE Note que a carga q é cancelada. Ajustando os valores de E e B, uma partícula carregada atravessará campos mutuamente perpendiculares sem sofrer deflexão quando sua velocidade tiver módulo igual a (38.4) Equilibrando as forças elétrica e magnética, Thomson conseguiu determinar a velocidade das partículas carregadas do feixe. Conhecendo v, ele pôde aplicar a Equação 38.2 para determinar a razão carga-massa: (38.5) Thomson descobriu que a razão carga-massa dos raios catódicos é q/m 1  1011 C/kg. Isso parece totalmente impreciso em comparação ao valor atual de 1,76  1011 C/ kg, mas temos de considerar as limitações experimentais da época e o fato de que, antes de Thomson, ninguém tinha qualquer idéia de qual fosse esse valor. 

EXEMPLO 38.1Um experimento com campos

perpendiculares Um elétron é lançado entre duas placas paralelas com 3,0 cm de comprimento e distantes 5,0 mm uma da outra. Uma diferença de potencial V é aplicada entre as placas, produzindo um campo elétrico entre as mesmas. Um campo magnético de 3,0 cm de largura e intensidade de 1,0 mT é sobreposto aos eletrodos, perpendicular ao campo elétrico. Quando V  0 V, o elétron sofre um desvio de 2,0 mm ao passar entre as placas. Que valor de V permitirá que o elétron passe por entre as placas sem sofrer desvio algum? MODELO Admita que os campos sejam uniformes entre os eletrodos e nulos fora dos mesmos. VISUALIZAÇÃOA FIGURA 38.8mostra um elétron que passa pelo campo

, Arco circular

Centro do círculo

V  0 V. A curvatura foi exagera- FIGURA 38.8A trajetória do elétron do Exemplo 38.1. magnético entre as placas quando da para tornar a visualização mais clara. RESOLUÇÃO Podemos obter o campo elétrico de que precisamos e, conseqüentemente, V se soubermos qual é a velocidade do elétron. onde y é o desvio do elétron devido ao campo magnético. FacilmenPodemos determinar essa velocidade a partir do raio da curvatura do te isolamos o raio do arco: arco circular descrito por ele em presença de um campo magnético. A Figura 38.8 mostra um triângulo retângulo de hipotenusa r e largura L. Usando o teorema de Pitágoras, podemos escrever

(r  y)2  L2  r2

CAPÍTULO 38

A velocidade de um elétron que se move ao longo de um arco com este raio é obtida a partir da Equação 38.2:


1191

O campo elétrico de um capacitor de placas paralelas com espaçamento d é E  V/d. Portanto, a diferença de potencial necessária é V 

Assim, o campo elétrico que permite ao elétron passar sem sofrer desvio é

■

Ed  (40.000 V/m) (0,0050 m) 200 V

AVALIAÇÃO Uma pequena diferença de potencial é suficiente para con-

trabalançar a força magnética.

E  vB  40.000 V/m

O elétron Apesar do sucessojádecitados, suas descobertas, Thomson não encerrou pesquisas. Além dos experimentos ele decidiu medir a razão q/m parasuas diferentes materiais metálicos usados como cátodo. E obteve sempre o mesmo resultado. Todos os metais emitiam os mesmos raios catódicos. Thomson, então, comparou seu resultado com o valor da razão carga-massa do íon hidrogênio, conhecido a partir da eletrólise, de 1  108 C/kg. Tal valor era quase 1000 vezes menor do que o valor dessa mesma razão para os raios catódicos. A descoberta indicava que os raios catódicos têm carga muito maior ou massa muito menor do que a do íon hidrogênio ou, ainda, uma combinação de ambas as possibilidades. Os experimentos de eletrólise sugeriam a existência de uma unidade de carga básica, de modo que era tentador crer que os raios catódicos e o íon hidrogênio tivessem a mesma carga. Contudo os raios catódicos eram tão diferentes do íon hidrogênio que essa hipótese não poderia ser justificada sem outra evidência. Para encontrar essa evidência adicional, Thomson voltou sua atenção para experimentos anteriores que já haviam demonstrado a capacidade dos raios catódicos de atravessar chapas metálicas finas, ao contrário dos átomos, que não possuíam tal capacidade. Isso só poderá ser verdade, argumentou Thomson, se os raios catódicos forem muito menores e, conseqüentemente, dotados de massa muito inferior à dos átomos. Em um artigo publicado em 1897, Thomson juntou todas as evidências de que dispunha para anunciar a descoberta de que os raios catódicos são partículas carregadas negativamente, com uma massa muito inferior à dos átomos ( 0,1%) e idênticos entre si, mesmo quando produzidos por elementos diferentes. Em outras palavras, Thomson havia descoberto uma partícula subatômica, um dos constituintes dos quais os átomos são formados. Em reconhecimento ao papel que essa partícula desempenha na eletricidade, foi-lhe dado o nome de elétron. As experiências de Thomson e de outros cientistas nos anos que se seguiram mostraram que partículas negativas emitidas por fios de metal aquecidos (um processo descoberto por Thomas Edison ao desenvolver a lâmpada elétrica) apresentavam a mesma razão q/m; que um tipo de decaimento radioativo (atualmente chamado radiação beta) consistia de partículas dotadas da mesma razão q/m; e que certas alterações do espectro atômicos, produzidas por um campo magnético, podiam ser compreendidas se os átomos contivessem um constituinte carregado com a mesma razão q/m. Por volta de 1900, os elétrons já eram reconhecidos como peças importantes na constituição dos átomos. Thomson ganhou o Premio Nobel de 1906. 



PARE E PENSE 38.1 Em que observação Thomson se baseou para concluir que os raios catódicos são constituintes fundamentais dos átomos?

a. carga negativa. b. Eles Eles possuem são sempre iguais, independentemente do material do cátodo. c. Sua massa é muito inferior à do hidrogênio. d. Eles atravessam folhas metálicas muito finas.

1192


38.5 Millikan e a unidade fundamental de carga

Placas paralelas

Gotas de óleo Pulverizador

Luz

Ocular

Baterias A força elétrica orientada para cima sobre uma gota carregada negativamente equilibra a força gravitacional orientada para baixo.

FIGURA 38.9O aparato utilizado por Millikan

Thomson mediu a razão carga-massa do elétron e inferiu que a massa do elétron deveria ser muito menor do que a massa do átomo. Certamente seria bem melhor se a carga q fosse medida diretamente. Isso foi realizado em 1906 pelo cientista norte-americano Robert Millikan. A FIGURA 38.9ilustra a experiência de Millikan, atualmente chamada de experimento da gota de óleo. Com um pulverizador, Millikan borrifou gotas de óleo e observou que algumas delas tornavam-se carregadas devido à fricção ocorrida no interior do pulverizador. As gotas carregadas caíam lentamente na região entre um par de placas paralelas horizontais, depois de atravessarem um pequeno orifício localizado na placa superior. Millikan verocular. as gotas que caíam incidindoum luz campo sobre elas e observando os reflexos por meio podia de uma Ele, então, estabelecia elétrico entre as placas aplicando uma voltagem entre as mesmas. Qualquer gota permanecerá suspensa entre as placas, sem se mover para cima ou para baixo, se o campo elétrico exercer uma força orientada para cima sobre a gota carregada de modo a equilibrar exatamente a força gravitacional orientada para baixo. As forças se equilibram quando (38.6)

mgota g  qgotaE

e, assim, a carga da gota é

no experimento da gota de óleo para medir a unidade fundamental de carga.

(38.7) Observe que m e q são, respectivamente, a massa e a carga da gota de óleo, e não, de um elétron. Mas, uma vez que a gota é carregada pela aquisição (ou perda) de elétrons, sua carga deve ter alguma relação com a carga do elétron. A intensidade do campo E pode ser determinada com precisão a partir da diferença de potencial aplicada às placas. Logo, o fator limitante para medir qgota era a capacidade de Millikan em determinar a massa dessas gotas minúsculas. Idealmente, a massa poderia ser encontrada medindo-se o diâmetro de uma gota e utilizando-se a densidade do óleo, já conhecida. Contudo, as gotas eram muito pequenas ( 1 m) para que seus diâmetros pudessem ser medidas com precisão apenas por observação através da ocular. Em vez disso, Millikan desenvolveu um método bastante engenhoso para obter o tamanho das gotas. Objetos tão pequenos não estão em queda livre no ar. As forças de resistência do ar são relativamente tão intensas que as gotas caem com uma velocidade muito pequena, porém constante. O movimento de uma esfera em um meio viscoso é um problema que já havia sido resolvido no século XIX. Já se sabia que a velocidade terminal da esfera depende de seu raio e da viscosidade do ar. Assim, em vez de segurar as gotas paradas, Millikan usou o campo elétrico para movê-las lentamente para cima e para baixo ao longo de uma distância conhecida. Medindo o tempo com um cronômetro, ele poderia, dessa forma, determinar as velocidades das gotas; e, usando a viscosidade do ar, já conhecida, calcular os raios, as massas e, finalmente, os valores das cargas. Embora o procedimento fosse um tanto “braçal”, Millikan conseguiu medir a carga de uma gota com uma precisão de 0,1% (uma parte em mil). Millikan observou centenas de gotas, algumas durante muitas horas, sob uma variedade de condições. Observou que algumas delas eram positivamente carregadas, enquanto outras eram negativamente carregadas, mas todas possuíam cargas que eram múltiplos inteiros de um valor de carga mínima . Millikan concluiu que “todas as cargas elétricas encontradas nos íons tinham o mesmo valor absoluto ou eram um múltiplo inteiro daquele valor”. Esse valor, a unidade fundamental de carga, que atualmente chamamos de e, é igual a 

e  1,60  1019 C

Podemos, então, combinar o valor obtido de e com a razão carga-massa e/m para descobrir a massa do elétron: melet  9,11  1031 kg

CAPÍTULO 38

■


1193

Os experimentos de Thomson, Millikan e outros cientistas forneceram evidências indiscutíveis de que a carga elétrica existe em unidades discretas e de que todas as cargas encontradas na natureza são múltiplas de uma unidade de carga fundamental que chamamos de e. EXEMPLO 38.2Suspendendo uma

gota de óleo

O óleo tem uma densidade de 860 kg/m3. Uma gota de óleo com 1,0 m de diâmetro adquire 10 elétrons extras ao ser borrifada. Que diferença de potencial, entre duas placas paralelas distantes 1,0 cm uma da outra, fará com que a gota fique suspensa no ar? MODELO Considere um campo elétrico E  V/d entre as placas. RESOLUÇÃO O valor da carga na gota éq  10e. A massa da carga gota está relacionada à sua densidade  e ao seu volume V por

onde o raio da gota é R  5,0  10 7 m. O campo elétrico que suspende essa gota em oposição à força da gravidade é 

Para estabelecer esse campo elétrico entre duas placas que distam d 0,010 m, é preciso uma diferença de potencial V 

Ed  27,6 V

AVALIAÇÃO De um ponto de vista experimental, trata-se de uma dife-

rença de potencial bastante conveniente.

38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo Por volta de 1900, já havia um consenso de que os átomos não são indivisíveis, e sim, formados por partículas carregadas. Também já se sabia que os tamanhos atômicos são da ordem de 10 10 m, todavia os elétrons, comuns a todos os átomos, são muito menores do que isso e possuem uma massa muito menor do que a do menor dos átomos. Como eles “se ajustam” em átomos maiores? Qual é a carga positiva do átomo? Onde estão localizadas as cargas dentro dos átomos? 

Foi Thomson quem propôs o primeiro modelo atômico. Devido ao tamanho minúsculo e à leveza do elétron em relação ao átomo, parece razoável que se pense que a parte carregada positivamente ocupe quase todo o restante do espaço. Thomson sugeriu que o átomo consistisse de uma “nuvem” esférica de carga positiva, com diâmetro

As partículas alfa emitem pequenas cintilações ao se chocarem com o anteparo.

10

Esfera de carga negativa

em torno deequilibraria 10 m, onde os elétrons negativos menores estariam incrustados. A carga positiva exatamente a carga negativa e, portanto, o átomo não possuía carga líquida. A FIGURA 38.10mostra claramente porque o modelo atômico de Thomson tornou-se conhecido como o “modelo do pudim de ameixas” ou “modelo do bolo de passas”.

Thomson não conseguiu fazer nenhuma previsão que viabilizasse um teste de seu modelo, que não resistiu ao teste do tempo. Hoje em dia, o modelo atômico de Thomson desperta a atenção apenas por nos lembrar de que os atuais modelos atômicos de forma nenhuma são óbvios. Ao longo dos tempos, os avanços científicos têm se deparado com muitos deslizes e impasses. Um dos alunos de Thomson foi um neozelandês chamado Ernest Rutherford. Enquanto Thomson e Rutherford estudavam os efeitos da ionização dos raios X, em 1896, o físico francês Antoine Henri Becquerel anunciou a descoberta de um novo tipo de “raios”, até então desconhecido, emitido por cristais de urânio. Esses raios, semelhantemente aos raios X, podiam velar um filme, atravessar objetos e ionizar o ar; e eram emitidos continuamente pelo urânio sem nada “causar” a ele. Estamos falando da descoberta da radioatividade, um tópico que estudaremos no Capítulo 43. Com os raios X recém celebrando seu primeiro aniversário e os raios catódicos ainda envoltos em mistério, não foi possível saber se todos esses tipos de raios eram completamente diferentes uns dos outros ou se eram meras variações de um mesmo tipo. Rutherford imediatamente começou a estudar os novos raios e logo descobriu que todo cristal de urânio emitia pelo menos dois tipos diferentes de raios. Os do primeiro tipo, que ele denominou raios alfa, eram facilmente absorvidos por um simples pedaço de papel; os do segundo, os raios beta, podiam atravessar pedaços de metal com até uma polegada de espessura. Como dissemos, Thomson logo descobriu que os raios beta apresentavam a mesma razão carga-massa dos raios catódicos. Os raios beta seriam elétrons em alta velocidade emitidos pelo cristal de urânio. Usando técnicas similares, Rutherford mostrou que os

FIGURA 38.10O modelo atômico “pudim

de ameixas” de Thomson.

1194


raios alfa são partículas positivamente carregadas, e por volta de 1906 ele já havia medido a razão carga-massa dessas partículas como

onde mH é a massa de um átomo de hidrogênio. Esse valor indicava tratar-se de uma única molécula ionizada de hidrogênio, H 2 (q  e, m  2mH) ou de um átomo duplamente ionizado de hélio, He (q  2e, m  4mH). Em um experimento engenhoso, Rutherford vedou um tubo de vidro contendo uma amostra de rádio  um emissor de radiação alfa. Os raios alfa não podiam atravessar o vidro, assim as partículas ficaram retidas no interior do tubo. Muitos dias depois, usando eletrodos para produzir uma descarga, Rutherford observou o espectro de luz emitido. Descobriu comprimentos de onda característicos do hélio, mas nada quanto aos do hidrogênio. Os raios alfa (ou partículas alfa, como são chamados atualmente) consistem de átomos de Hélio duplamente ionizados (núcleos de Hélio “nus”) emitidos a altas velocidades ( 3  107 m/s) a partir da amostra. 





A conclusão de que os átomos não são indivisíveis e possuem uma estrutura interna já havia sido um choque. Agora, com a descoberta da radioatividade, parecia que alguns átomos nem mesmo são estáveis, podendo “cuspir” vários tipos de partículas carregadas! A partir da simples idéia de átomo de Demócrito os físicos haviam trilhado um longo caminho.

A primeira experiência de física nuclear As partículas alfa emitem pequenas cintilações ao se chocarem com o anteparo. Blocos de chumbo Pequeno desvio

Fonte radioativa de partículas alfa

Grande desvio Lâmina Anteparo de ouro de sulfeto de zinco

FIGURA 38.11A experiência de Rutherford:

lançar partículas alfa em alta velocidade de encontro a uma fina lâmina de ouro.

Não demorou muito para Rutherford perceber que podia usar essas partículas de alta velocidade para investigar outros átomos. Em 1909, ele e seus alunos Hans Geiger e Ernest Marsden realizaram o experimento ilustrado na FIGURA 38.11, em que partículas alfas eram lançadas contra lâminas de ouro muito finas. Algumas delas atravessavam a lâmina, mas o feixe de partículas espalhava-se um pouco. Isso não constituiu surpresa. A partícula alfa possui uma carga e, ao atravessar a lâmina de ouro, sofre influência das forças exercidas pelas cargas positivas e negativas dos átomos. De acordo com o modelo do “pudim de ameixas” de Thomson, era esperado que as forças exercidas pelas cargas atômicas positivas sobre a partícula alfa eram, grosso modo, canceladas pelas forças exercidas pelas cargas negativas dos elétrons, fazendo com que as partículas alfa sofressemSeguindo apenas um pequeno de desvio. E essa foi realmente a constatação a sugestão Rutherford, Geiger e Marsden montaraminicial. o aparato para verificar se algumas poucas partículas alfa seriam defletidas em ângulos consideráveis. Os cientistas não precisaram de muitos dias para obter a resposta. Algumas partículas alfa eram realmente desviadas em grandes ângulos, e algumas delas eram até mesmo refletidas quase diretamente de volta para a fonte! Como seria possível explicar esse resultado? A FIGURA 38.12amostra que, de acordo com o modelo de Thomson, a partícula alfa não sofreria uma grande deflexão ao atravessar o átomo. Mas se o átomo tivesse uma parte central pequena e positivamente carregada, como ilustra a FIGURA 38.12b, algumas delas poderiam chegar muito perto do centro do átomo. Uma vez que as forças elétricas variam com o inverso do quadrado da distância, a imensa força produzida pela grande aproximação pode fazer com que as partículas sejam espalhadas em ângulos consideráveis ou refletidas de volta para a fonte. Era isso o que Geiger e Marsden estavam observando.

Alfa

A partícula alfa é minimamente desviada por um átomo de Thomson, pois as forças das cargas positivas e negativas espalhadas praticamente se cancelam.

Alfa

Se o átomo contivesse um núcleo positivo e de grande massa específica, algumas partículas alfa chegariam muito perto do núcleo e sofreriam, assim, uma força repulsiva muito intensa.

FIGURA 38.12As partículas alfa interagem com núcleos concentrados e positivos de maneira

diferente de como interagem com a carga espalhada do modelo de Thomson.

CAPÍTULO 38


■

A descoberta do espalhamento de partículas alfa em grandes ângulos levou Rutherford a conceber um modelo atômico em que elétrons negativos orbitariam um núcleo incrivelmente pequeno, de massa relativamente grande e positivamente carregado, muito semelhante a um sistema solar em miniatura. Esse é o modelo nuclear do átomo. Observe que a maior parte do átomo é espaço vazio  vácuo!

1195

19.1

EXEMPLO 38.3Uma experiência de física nuclear

RESOLUÇÃO Neste caso, não estamos interessados no tempo de dura-

Uma partícula alfa é lançada horizontalmente com uma velocidade de 2,0  107 m/s em direção ao centro do núcleo de um átomo de ouro. Qual é a menor distância rmin a que a partícula pode se aproximar do núcleo? MODELO Em interações elétricas, a energia é conservada. Considere que o núcleo do ouro, dotado de uma massa muito maior do que a da partícula alfa, não se mova. Lembre-se de que o campo elétrico e o potencial externo produzidos por uma esfera carregada podem ser determinados considerando-se a carga total como uma carga puntiforme localizada no centro da distribuição. VISUALIZAÇÃOA FIGURA 38.13é uma ilustração do movimento de entrada e de saída ao longo de uma mesma linha reta.

sistema somente energia potencial. A conservação de energia, Kf  Uf possui  Ki  Ui, equivale aqui a

qa = 2 e

onde q é a carga da partícula alfa. O núcleo de ouro foi considerado como uma carga puntiforme qAu. A massa m é a da partícula alfa. A solução para rmin é

qAu = 79e

Núcleo do ouro vi

Antes:

ção da colisão e tampouco nos detalhes da trajetória. Assim, é mais apropriado utilizarmos a conservação de energia em vez das leis de Newton. Inicialmente, quando a partícula alfa ainda está muito distante, o sistema possui apenas energia cinética. Na aproximação máxima, pouco antes de ela ser refletida, as cargas estão em repouso e o

A partícula alfa é um núcleo de hélio, portanto m  4 u  6,64  10 27 kg e q  2e  3,20  10 19 C. O número atômico do ouro é 79, logo qAu  79e  1,26  10 17 C. Podemos, então, calcular 





ri

rmin  2,7  1014 m Isso corresponde a aproximadamente 1/10.000 do tamanho do átomo!

vf = 0

Após

Quando a partícula  se aproxima ao máximo do núcleo, sua velocidade é nula.

AVALIAÇÃO Neste exemplo, os elétrons do átomo foram ignorados.

rmin

FIGURA 38.13Ilustração de uma partícula alfa antes e após a

colisão com um núcleo.

Na verdade, eles não interferem em nada na trajetória da partícula alfa. A partícula alfa é muito pesada se comparada ao elétron. Além disso, os elétrons estão espalhados a uma distancia significativa em comparação ao tamanho do núcleo. A partícula alfa empurra facilmente os elétrons sem que haja nenhuma alteração perceptível em sua velocidade.

Rutherford prosseguiu observando minuciosamente o espalhamento de partículas alfa em diferentes ângulos. Com base nesses experimentos, deduziu que o diâmetro do núcleo atômico é 1  10 14 m  10 fm (1 fm  1 fentômetro  10 15 m), sendo um pouco maior para elementos com maior número atômico e massa atômica. 





Você pode achar estranho que o modelo atômico de Rutherford, com sua analogia ao Sistema Solar, não tenha sido a escolha de Thomson. Mas temos de ter em mente que os cientistas da época não concebiam que a matéria pudesse ter a densidade de altíssimo valor correspondente a um núcleo tão pequeno. E tampouco entendiam o que manteria o núcleo coeso e por que as cargas positivas não seriam repelidas umas pelas outras. O modelo de Thomson, em que a carga positiva está espalhada e equilibrada pelos elétrons negativos, realmente fazia mais sentido na época. Somente muitas décadas mais tarde os cientistas começaram a compreender as forças de coesão nuclear, mas as descobertas de Rutherford mostrando a existência de um núcleo muito pequeno eram incontestáveis.

PARE E PENSE 38.2 Sabendo-se que a partícula alfa possui uma carga positiva, em que orientação a partícula alfa da figura será desviada em presença do campo magnético representado ao lado?

a. Para cima

b. Para baixo

c. Para dentro da página

d. Para fora da página

Há dois ou três dias, lembro-me bem, Geiger veio até mim bastante entusiasmado e disse: “conseguimos fazer com que algumas partículas alfa fossem completamente refletidas”. Foi a coisa mais incrível que já aconteceu em toda a minha vida. É como se você lançasse um projétil de 35 cm contra um pedaço de papel de seda e ele ricocheteasse e o atingisse... Foi então que concebi a idéia de um átomo com um centro minúsculo e massivo, dotado de carga.

Ernest Rutherford

1196


O elétron-volt

O elétron chega aqui com K 1 eV

O elétron inicia em repouso



O joule é uma unidade apropriada em mecânica e termodinâmica, quando estamos trabalhando com objetos macroscópicos, mas trata-se de uma unidade praticamente inútil para as necessidades da física atômica. Seria útil ter uma unidade de energia mais adequada para eventos atômicos e nucleares. A FIGURA 38.14mostra um elétron acelerado (no vácuo). Ele inicia em repouso e depois cruza um capacitor de placas paralelas sob uma diferença de potencial de 1,0 V. Qual é a energia cinética do elétron ao chegar à placa positiva? Da conservação da energia, sabemos que Kf  qVf  Ki  qVi, onde U  qV é a energia potencial elétrica. Ki  0 porque o elétron parte do repouso e a carga do elétron é q   e. Portanto, Kf   q(Vf  Vi)   qV  eV  (1,60  1019 C) (1,0 V) 



,

1,60  10 19 J Vamos definir uma nova unidade de energia, denominada elétron-volt, como 1 elétron-volt  1eV

FIGURA 38.14Um elétron acelerado por

uma diferença de potencial de 1 V adquire 1 eV de energia cinética.



19

1,60  10

J

Com essa definição, a energia cinética obtida pelo elétron no nosso exemplo é Kf  1eV

Em outras palavras, 1 elétron-volt é a energia cinética obtida por um elétron (ou próton) acelerado por uma diferença de potencial de 1 volt. NOTA  O símbolo eV usa a letra “e” minúscula, mas a letra “V” em maiúsculo. 3 6 9 Unidades como keV (10 eV), MeV (10 eV) e GeV (10 eV) são comumente usadas. 

O elétron-volt é uma unidade que pode trazer problemas. Uma das dificuldades é o seu nome incomum, que pouco se assemelha ao de outras unidades como, por exemplo, “metro” ou “segundo”. Outra dificuldade bem mais significativa é que o nome elétronvolt sugere uma relação com volt. Mas volts são unidades de potencial elétrico, enquanto  com um nome um tanto quanto estranho  é uma unidade de eneressa nova unidade que gia! É importante saibamos distinguir o potencial V, medido em volts, da energia, que pode ser medida tanto em joule quanto em elétron-volt. Agora você já pode usar elétron-volts em todos os cálculos previamente realizados em joules, da mesma forma como a unidade de pressão pascal é convertida para atmosfera e vice-versa.  Não se esqueça de que o elétron-volt é uma unidade de energia, que pode ser convertida para joule, e não, uma unidade de potencial. O potencial é sempre medido em volt. O SI, contudo, admite o joule como unidade de energia. Será bastante útil expressar a energia em eV, mas você deve converter essa energia para joule antes de efetuar a maioria dos cálculos. 

NOTA

EXEMPLO 38.4A velocidade de uma partícula alfa

Agora, podemos determinar a velocidade:

As partículas alfa são geralmente caracterizadas por sua energia cinética em MeV. Qual é a velocidade de uma partícula alfa de 8,3 MeV? RESOLUÇÃO Partículas alfa são núcleos de hélio, com m  4 u  6,64 –27  10 kg. A energia cinética dessa partícula alfa é de 8,3  106 eV. Inicialmente, convertemos a energia para joules: Essa é a velocidade da partícula alfa do Exemplo 38.3.

CAPÍTULO 38

EXEMPLO 38.5Energia de um elétron

■


1197

Fazendo a conversão para elétron-volt, obtemos

Em um modelo atômico simples do hidrogênio, o elétron orbita o próton a 2,19  106 m/s em um círculo com raio de 5,29  10 11 m. Qual é a energia do átomo, em eV? MODELO O elétron possui uma energia cinética, e o sistema elétron  próton, uma energia potencial elétrica. RESOLUÇÃO A energia potencial é a de duas cargas puntiformes, com qpróton  e, enquanto qelet  e. Logo, 

AVALIAÇÃO A energia negativa reflete o fato de que o elétron está li-

gado ao próton. Você teria deadicionar energia a fim de remover o elétron.

Usando o modelo nuclear O modelo nuclear do átomo facilita a compreensão e a visualização dos processos de ionização. Uma vez que os elétrons orbitam um núcleo positivo, um fóton de raio X ou uma partícula em rápido movimento, como outro elétron, por exemplo, pode expulsar do átomo um dos elétrons em órbita, criando um íon positivo. A saída de um elétron gera um íon de carga única, com q  e. A saída de dois elétrons cria um íon duplamente carregado, com q  2e. Esse é o caso do Lítio (número atômico 3) na FIGURA 38.15. O núcleo tem carga 3e.

Li neutro

Li



u

mavezcarregado

Li



FIGURA 38.15Diferentes estágios de ionização de um átomo de lítio com

duplamente carregado Z

3.

O modelo nuclear também nos permite entender por que, durante as reações químicas ou quando um objeto é eletrizado por atrito, os elétrons são facilmente transferidos, e os prótons, não. Estes estão fortemente ligados ao núcleo e “blindados” pelos elétrons, porém os elétrons mais externos podem escapar facilmente. O modelo nuclear de Rutherford tem o poder explanatório que faltava ao modelo de Thomson. EXEMPLO 38.6A energia

de ionização do hidrogênio

Qual é a energia mínima necessária para ionizar um átomo de hidrogênio? O elétron órbita o próton a 2,19  106 m/s em um círculo com raio 5,29  10 11 m. 

RESOLUÇÃO No Exemplo 38.5, verificamos que a energia do átomo é

Ei   13,6 eV. Ionizar um átomo significa remover dele um elétron e mandá-lo para bem longe. Quando r → , a energia potencial torna-se nula. Além disso, ao utilizarmos a menor energia possível para

ionizar o átomo, faremos com que o elétron, quando estiver bem longe, esteja se movendo bem próximo do repouso. Assim, a energia do átomo após a ionização é Ef  Kf  Uf  0  0  0 eV (13,6 eV a mais que Ei). Logo, a energia mínima necessária para ionizar um átomo de hidrogênio é 13,6 e V  chamada de energia de ionização 18 do átomo. Se o elétron recebe  13,6 eV (2,17  10 ) de energia de um fóton, em uma colisão com um elétron ou, ainda, por outros meios, ele será ejetado do átomo, deixando para trás um íon H .

PARE E PENSE 38.3 O carbono é o sexto elemento da tabela periódica. Qual é a quantidade de elétrons contida em um íon C ? 





1198


38.7 Desvendando o núcleo No Capítulo 43 discutiremos a física nuclear mais detalhadamente, todavia um breve panorama do núcleo seria útil nesse momento. As massas relativas de muitos dos elementos foram obtidas a partir de resultados de experimentos químicos realizados em meados do século XIX. Em 1872, ao organizar os elementos em ordem crescente de massa e observar regularidades recorrentes em suas propriedades químicas, o químico russo Dmitri Mendeleev propôs a tabela periódica de elementos. Mas o que ele tinha em mente ao estabelecer que o hidrogênio corresponda ao número atômico 1, o hélio ao número 2, o lítio ao 3 e assim por diante? Não demorou muito para que fosse descoberto que o hidrogênio só pode ser ionizado uma única vez, produzindo o H . Uma ionização dupla, H , nunca foi observada. O hélio, por outro lado, pode ser ionizado uma ou duas vezes, gerando o He e o He , respectivamente, enquanto o He nunca foi observado. Após Thomson ter descoberto o elétron e Millikan ter estabelecido a unidade fundamental de carga, parece óbvio que o átomo de hidrogênio possui um elétron apenas e uma unidade de carga positiva somente; que o hélio tem dois elétrons e duas unidades de carga positiva e assim sucessivamente. Logo, o número atômico de um elemento  que é sempre um número inteiro  descreve o número de elétrons (de um átomo neutro) e o número de unidades de carga positiva contidas em seu núcleo. O número atômico é representado por Z; assim, o hidrogênio corresponde a Z  1, o hélio a Z  2 e o lítio a Z  3. Os elementos estão dispostos na tabela periódica por ordem crescente de número atômico. A descoberta do núcleo por Rutherford rapidamente levou à conclusão de que a carga positiva está associada a uma partícula subatômica positiva chamada de próton. A carga do próton é e, de valor absoluto igual ao da carga do elétron, mas de sinal contrário. Sabendo-se que praticamente toda a massa atômica está contida no núcleo, concluise que o próton é muito mais massivo que o elétron. De acordo com o modelo nuclear de Rutherford, átomos com número atômico Z consistem em Z elétrons negativos, com uma carga total igual a Ze em órbita ao redor de um núcleo relativamente pesado que contém prótons, com uma carga total Ze. Por um bom tempo, o átomo de Rutherford foi suficiente para explicar a tabela periódica. 









Mas havia um problema. O hélio, com número atômico 2, contém duas vezes mais 

elétrons do que o hidrogênio. O lítio, 3,écontém elétrons. Mas com base em experiência químicas, já se sabia que oZhélio quatrotrês vezes mais pesado do que o hidrogênio, e o lítio, sete vezes mais pesado do que o hidrogênio. Se um núcleo contémZ prótons para equilibrar os Z elétrons em órbita, e se praticamente toda a massa atômica está contida no núcleo, então o helio deveria ser apenas duas vezes mais pesado do que o hidrogênio, e o lítio, três vezes mais pesado. O núcleo deve conter alguma outra coisa que torna a massa dos átomos maior do que a prevista pelo nosso modelo nuclear simples.

O nêutron Corrente iônica

Íons com diferentes razões carga-massa são detectados a voltagens distintas.

Voltagem aceleradora FIGURA 38.16O espectro de massa do

neônio.

Por volta de 1910, Thomson e seu aluno Francis Aston desenvolveram um dispositivo chamado espectrômetro de massa para medir a razão carga-massa de íons atômicos. (O espectrômetro de massa foi assunto do problema 64 proposto no Capítulo 33.) Aston começou a coletar dados e logo descobriu que muitos elementos eram compostos de átomos com massas diferentes! Ao neônio, por exemplo, havia sido atribuída uma massa atômica 20, todavia Aston descobriu, como mostra a FIGURA 38.16, que 91% dos átomos de neônio têm m  20 u, 9% deles têm m  22 u e uma pequena porcentagem tem m  21 u. Foi observado que o cloro é uma mistura de 75% de átomos de cloro com m  35 u e 25% de átomos de cloro com m  37 u, ambos de número atômico Z  17. Essas dificuldades não foram superadas até a descoberta, em 1932, de uma terceira partícula subatômica. Essa partícula possui, basicamente, a mesma massa de um próton, contudo não possui carga elétrica. Ela foi denominada nêutron . Os nêutrons residem no núcleo junto com os prótons; eles contribuem para a massa, mas não para a carga do átomo. Como você constatará no Capítulo 43, os nêutrons ajudam a fornecer a “cola” que mantém os núcleos coesos. O nêutron era o elo que faltava para explicar por que átomos de um mesmo elemento podem ter massas diferentes. Sabemos agora que cada átomo com número atômico Z

CAPÍTULO 38

■


1199

tem um núcleo contendo Z prótons com carga Ze. Além disso, como ilustra a FIGURA 38.17, o núcleo contém N nêutrons. Diferentes números de nêutrons podem ser associados a um mesmo número Z de prótons, gerando uma série de núcleos com o mesmo valor de Z (i.e., todos são o mesmo elemento químico), mas com massas diferentes. Os núcleos dessa série são chamados de isótopos. Próton O comportamento químico é determinado pelos elétrons em órbita. Todos os isótopos de um elemento têm o mesmo número Z de elétrons em órbita (se os átomos Nêutron forem eletricamente neutros), bem como as mesmas propriedades químicas. Além disso, o comportamento macroscópico que dependa da massa, tal como a difusão de um gás, pode favorecer um isótopo em detrimento de outro. O número de massa de um átomo, A, é definido como A  Z  N. Ele é igual ao número total de prótons e de nêutrons de um núcleo. O número de massa, que é adimensional, não é a mesma grandeza que a massa atômica m. Por definição, A é um número 38.17O núcleo de um átomo inteiro. Devido ao fato de que as massas dos prótons e dos nêutrons são 1 u, o número FIGURA contém prótons e nêutrons. de massa A é aproximadamente igual à massa do átomo quando expressa em unidades de massa atômica. 

A

A notação utilizada para representar um isótopo é Z, onde o número de massa A é um sobrescrito anteposto ao símbolo. O número de prótons Z não é especificado por um número, mas, o que é equivalente, pelo símbolo químico daquele elemento. O isótopo mais comum do neônio tem Z  10 prótons e N  10 nêutrons e, portanto, um número 20 22 de massa A  20, sendo representado como Ne. O isótopo Ne do neônio possui Z  10 prótons (o que faz dele o neônio) eN  12 nêutrons. O hélio tem dois isótopos, ilus3 trados na FIGURA 38.18. O raro He tem uma abundância de apenas 0,0001%, mas pode ser isolado e tem importantes aplicações na pesquisa cientifica.

PARE E PENSE 38.4 O carbono é o sexto elemento da tabela periódica. Quantos prótons e quantos nêutrons existem em um núcleo do isótopo 14C?

0,0001% de abundância

99,9999% de abundância 3

FIGURA 38.18Dois isótopos do hélio. O He

tem uma abundância de apenas 0,0001%.

38.8 Emissão e absorção de luz Enquanto alguns cientistas investigavam a estrutura da matéria, outros se ocupavam em pesquisar a maneira como a matéria emite e absorve a luz. Suas descobertas também contribuíram para as discussões acerca da estrutura atômica. O padrão característico de comprimentos de onda emitidos por uma fonte luminosa é chamado de espectro. A FIGURA 38.19amostra como se mede um espectro. Ao final do século XIX, os cientistas já haviam descoberto dois tipos distintos de espectros: ■

■

Objetos quentes, emissores de luz própria, tais como o Sol ou uma lâmpada incandescente, possuem espectros contínuos, semelhantes a um arco-íris, emitindo luz em todos os comprimentos de onda possíveis. A FIGURA 38.19bilustra um espectro contínuo. Por outro lado, a luz emitida por um dos tubos de descarga de gás usados por Faraday contém certos comprimentos de onda discretos e individuais. Esse tipo de espectro é denominado espectro discreto. Cada comprimento de onda de um espectro discreto é chamado de linha espectral devido à sua aparência nas fotografias, como mostra a FIGURA 38.19c.

Espectro contínuo e radiação de corpo negro Quando está fria, a lava vulcânica é preta; todavia, quando aquecida a altas temperaturas, ela se torna vermelha, e quando atinge temperaturas muito altas, ela é amarela. Um fio de tungstênio, de cor cinza escuro à temperatura ambiente, emite uma luz branca e brilhante quando aquecido pela passagem de uma corrente  transformando -se no filamento brilhante que vemos nas lâmpadas incandescentes. Esta emissão de ondas eletromagnéticas dependente de temperatura foi denominada radiação térmica no Capítulo 17, em que foi estudada como um dos mecanismos de transferência de calor.

Medindo um espectro de emissão

Filme ou fotodetector Tubo de descarga de gás Lente Fenda Rede de difração Lâmpada incandescente

Violeta Azul Verde Amarelo Laranja Vermelho Espectro de emissão do neônio

FIGURA 38.19Um espectrômetro de rede

usado para estudar a emissão de luz.

1200


Lembre-se de que a energia térmica Q irradiada por um objeto de área A, à temperatura absoluta T, durante um intervalo de tempo t, é dada por (38.8) onde   5,67  10 8 W/m2 K 4 é a constante de Stefan-Boltzmann. Observe a forte dependência da temperatura, que aparece elevada à quarta potência. O parâmetro e contido na equação 38.8 é a emissividade da superfície, uma medida de sua efetividade em irradiar. O valor de e varia de 0 até 1. Um objeto que seja um absorsor perfeito  e, conseqüentemente, um emissor perfeito , com e  1, é chamado de corpo negro. A radiação térmica emitida por um corpo negro é chamada radiação de corpo negro. Um pedaço de carvão constitui uma excelente aproximação de um corpo 

A lava negra brilha quando está quente.

Objetos a uma temperatura maior emitem com maior intensidade e apresentam um pico em comprimentos de onda mais curtos.

negro. Nosso principal interesse no Capítulo 17 foi obter a quantidade de energia irradiada. Agora, desejamos examinar o espectro dessa radiação. Se medirmos o espectro de um corpo negro a três temperaturas, 3500 K, 4500 K e 5500 K, obteremos os resultados apresentados na FIGURA 38.20. Os espectros apresentam quatro importantes características: ■

e d a d i s n e t

Todos os corpos negros emitem exatamente o mesmo espectro às mesmas temperaturas. O espectro depende apenas da temperatura do objeto, e não, do material do qual ele é feito.

n I

■

O aumento da temperatura causa um aumento da intensidade em todos os comprimentos de onda. Aumentar a temperatura do objeto faz com que ele emita mais radiação ao longo de todo o espectro.

■

FIGURA 38.20Espectros de radiação de

corpo negro.

O aumento da temperatura faz com que o pico de intensidade do espectro desloquese para comprimentos de ondas mais curtos. Quanto maior for a temperatura, menor será o comprimento de onda do pico do espectro.

Comprimento de onda (nm) ■

O arco-íris visível que observamos corresponde apenas a uma pequena porção do espectro contínuo do corpo negro. A maior parte da emissão ocorre no infravermelho; objetos muito quentes também irradiam no ultravioleta.

O comprimento de onda correspondente ao pico do gráfico da intensidade é dado por (38.9) onde T deve estar em kelvin. A Equação 38.9 é conhecida como Lei de Wien. EXEMPLO 38.7Encontrando os comprimentos de ondas

dos picos Quais são os comprimentos de onda de pico e as regiões espectrais correspondentes à radiação térmica do Sol  uma bola de gás que brilha a uma temperatura superficial de 5800 K  e da Terra, cuja temperatura média de superfície é de 15° C? MODELO O Sol e a Terra são boas aproximações de corpos negros. RESOLUÇÃO No caso do Sol, o comprimento de onda associado ao pico de intensidade é dado pela Lei de Wien:

onde convertemos a temperatura da superfície para kelvin antes de efetuar os cálculos. Esse comprimento de onda está na região do infravermelho, o que não nos surpreende, pois não “vemos” a Terra brilhar. AVALIAÇÃO A diferença entre esses dois comprimentos de onda é bas-

tante significativa para que possamos explicar o efeito estufa da Terra. A maior parte da energia proveniente do Sol  o seu espectro é bastante similar ao representado pela curva mais alta da Figura 38.20  chega a nós como luz visível. A atmosfera da Terra é transparente aos comprimentos de onda visíveis; logo, essa energia atinge o solo e é absorvida. A Terra, por sua vez, deve devolver para o espaço uma mesma quantidade de energia, mas o faz sob a forma de radiação infravermelha de longo comprimento de onda. Tais comprimentos de Ele está bem no centro do espectro visível. No caso da Terra, o com- onda são fortemente absorvidos por certos gases da atmosfera. Assim, primento de onda de pico é

a atmosfera atua como um cobertor que mantém a superfície da Terra mais aquecida.

CAPÍTULO 38

Que todos os corpos negros emitam o mesmo espectro à mesma temperatura foi uma descoberta inesperada. Mas por quê? Parecia que uma combinação da termodinâmica com a nova teoria de Maxwell das ondas eletromagnéticas devesse fornecer uma explicação convincente. Contudo, a maioria dos grandes cientistas do final do século XIX tentou e não conseguiu encontrar uma justificativa teórica para as curvas apresentadas na Figura 38.20.

luz branca passa através uma amostra de gás. Na ausência gás, a luz branca apareceria no filme como um de espectro contínuo, do tipo arco-íris.do Em presença do gás, um comprimento de onda que tenha sido absorvido pelo gás não reage com o filme, deixando uma linha negra correspondente àquele comprimento de onda. A FIGURA 38.21b mostra, para o caso do vapor de sódio, que apenas certos comprimentos de onda são absorvidos. Embora os espectros de emissão e de absorção de um gás sejam ambos discretos, temos de considerar que existe uma diferença significativa: cada comprimento de onda absorvido pelo gás é também emitido por ele, mas nem todo o comprimento de onda emitido é absorvido. A Figura 38.21b mostra que os comprimentos de onda do espectro de absorção formam um subconjunto dos comprimentos de onda do espectro de emissão. Todos os comprimentos de onda de absorção são observados no espectro de emissão, mas para um bom número de comprimentos de onda de emissão não ocorre absorção.

Mas o que faz com que os átomos emitam e absorvam a luz? Por que existem espectros discretos? Por que cada elemento emite um espectro diferente dos demais? Os físicos do século XIX se depararam com todas essas questões e não conseguiram respondê-las. Essa incapacidade de chegar a uma resposta fez com que os cientistas, a contra gosto, concluíssem que a física clássica era, simplesmente, incapaz de fornecer uma compreensão dos átomos. O único sinal encorajador veio de uma fonte um tanto quanto improvável. Enquanto o espectro de outros átomos apresentava dezenas, e até mesmo centenas, de comprimentos de onda, o espectro de emissão do hidrogênio, ilustrado na FIGURA 38.22, era simples e regular. Se algum espectro pudesse ser compreendido, não poderia ser outro senão o espectro do primeiro elemento da tabela periódica. A grande descoberta só ocorreu em 1885, não pelo trabalho de um cientista reconhecido e estabelecido, mas de um professor de uma escola secundária, o suíço Johann Balmer. Ele descobriu que o comprimento das linhas espectrais do hidrogênio poderia ser representado pela seguinte fórmula simples (38.10)

Filme ou fotodetector Recipiente de vidro contendo uma amostra de gás Luz branca Espectros de absorção e de emissão do sódio Absorção

Emissão

Ultravioleta

Evidências experimentais posteriores, obtidas com o desenvolvimento da espectroscopia nas regiões ultravioleta e infravermelha do espectro, comprovaram que o resultado de Balmer poderia ser generalizado para (38.11)

Atualmente, nos referimos à Equação 38.11 como a fórmula de Balmer , embora ele tenha concluído somente a versão srcinal, a Equação 38.10, correspondente a m  2. Com exceção de medições muito precisas, a fórmula de Balmer descreve acuradamente todos os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio. A fórmula de Balmer constitui o que denominamos conhecimento empírico. Trata-se de uma representação matemática precisa, obtida empiricamente  isto é, por meio de evidência experimental , que não se baseia em princípios ou leis da física. A fórmula de Balmer foi útil, mas ninguém era capaz de derivá-la a partir da mecânica newtoniana

Visível

FIGURA 38.21Medindo o espectro de

absorção.

As linhas espectrais se estendem até o limite da série, de 364,7 nm. Espectro de emissão do hidrogênio.

5 , 6 5 6

3 , 6 8 4

2 , 4 3 4

3 , 0 1 4

FIGURA 38.22Espectro de emissão do

hidrogênio. Para maiores detalhes sobre avida de Balmer, você deve consultar a Seção 25.1 desteivro. l

1201

Medindo um espectro de absorção

Espectros discretos Um espectro de emissão discreto de um gás quente e com baixa densidade, como o espectro do neônio mostrado na Figura 38.19c, apresenta contrastes marcantes em relação ao espectro contínuo de corpo negro produzido por um sólido incandescente. Os cientistas não tardaram a descobrir que os gases não só emitem, mas também absorvem comprimentos de onda discretos. A FIGURA 38.21amostra um experimento de absorção em que a


■

1202


ou da teoria eletromagnética. Mesmo assim, todos concordavam que a fórmula, sendo tão simples, deveria ter uma explicação simples. Trinta longos anos se passaram para que essa explicação fosse encontrada. PARE E PENSE 38.5 Estes espectros são de um mesmo elemento. Qual deles é um espectro de emissão e qual é o de absorção?

38.9 A física clássica no limite No início do século XIX, poucos cientistas acreditavam que a matéria fosse formada por átomos. Ao final do século, já havia evidências substanciais não só da existência dos átomos, mas também da existência de partículas subatômicas carregadas. As pesquisas sobre a estrutura atômica culminaram no modelo nuclear de Rutherford. O modelo atômico nuclear de Rutherford corroborou as evidências experimentais sobre a estrutura dos átomos, mas falhou em explicar dois aspectos fundamentais. De acordo com a teoria de Maxwell da eletricidade e do magnetismo, os elétrons em órbita em um átomo de Rutherford deveriam se comportar como pequenas antenas, irradiando ondas eletromagnéticas. Isso parece encorajador, pois sabemos que os átomos podem emitir luz. Mas foi fácil demonstrar que um átomo de Rutherford irradiaria em um espectro contínuo, semelhante ao arco-íris. Uma das falhas do modelo de Rutherford foi sua incapacidade de prever a natureza discreta dos espectros de emissão e absorção. Elétron Núcleo

De acordo com a física clássica, o elétron descreveria um movimento em espiral ao encontro do núcleo enquanto emitiria energia em forma de onda eletromagnética.

FIGURA 38.23O destino de um átomo de

Rutherford.

Alem disso, os átomos perderiam medida irradiavam FIGURAcontinuamente 38.23 ondas eletromagnéticas. Como ilustra aenergia , isso faria àcom que osque elétrons espiralassem de encontro ao núcleo! Cálculos demonstraram que um átomo de Rutherford poderia durar em torno de um microssegundo. Em outras palavras, a mecânica clássica newtoniana e o eletromagnetismo prevêem que um átomo, cujos elétrons orbitam um núcleo, seria altamente instável e, imediatamente, se autodestruiria. Mas isso certamente não ocorre. Os experimentos realizados nos últimos anos do século XIX foram impressionantes, e não pairava nenhuma dúvida sobre a existência dos elétrons, sobre a existência de um núcleo pequeno e positivamente carregado e sobre o espectro discreto e único emitido por cada átomo. Mas o referencial teórico que forneceria uma perfeita compreensão dessas observações ainda estava longe de ser obtido. Na virada do século, os físicos ainda não conseguiam explicar a estrutura dos átomos, a estabilidade da matéria, os espectros discretos ou a radiação de corpo negro e também não sabiam explicar a srcem dos raios X e da radioatividade. No entanto, poucos físicos estavam dispostos a abandonar as teorias da física clássica  reconhecidas e bem-sucedidas há muito tempo. Muitos consideravam esses “problemas” com os átomos como anomalias insignificantes que logo seriam resolvidas. Mas não resta dúvida de que a física clássica já havia chegado ao seu limite e de que uma nova geração de físicos brilhantes, e com novas idéias, estava prestes a surgir. Entre esses umacadêmico modesto jovem queonamelhor épocaemprego vivia na que cidade de Berna, Suíça.cientistas Com um estava currículo mediano, encontrara foranao de auxiliar em uma repartição, examinando solicitações de patentes. Recém-casado com uma colega estudante  o casamento ocorrera, em parte, devido ao fato de a moça estar grávida , ele precisava do emprego. Seu nome era Albert Einstein.

CAPÍTULO 38

■


1203

RESUMO O objetivo do Capítulo 38 foi compreender como os cientistas descobriram as propriedades dos átomos e como tais descobertas levaram à necessidade de uma nova teoria da luz e da matéria.

Conceitos importantes/experimentos Os cientistas do século XIX concentraram-se na compreensão da matéria, da eletricidade e da luz. A invenção do tubo de descarga, por Faraday, proveu duas avenidas de pesquisas.

Raios catódicos e estrutura atômica

Espectros atômicos e a natureza da luz

Thomson descobriu que os raios catódicos são partículas suba-

Os espectros emitidos pela descarga em um gás contido em um tubo são formados por comprimentos de onda discretos.

tômicas negativamente carregadas. Elas logo foram denominadas elétrons. Os elétrons são • Constituintes dos átomos. • As unidades fundamentais de carga negativa. Rutherforddescobriu o núcleo atômico. Seu modelo nuclear do

átomo propõe

• Cada elemento tem um único espectro. • Cada linha espectral no espectro de absorção de um elemento está presente em seu espectro de emissão, mas nem todas as linhas de emissão são vistas no espectro de absorção. Absorção

• Um núcleo denso, muito pequeno e positivamente carregado. • Elétrons negativos em órbita do núcleo. Mais tarde, reconheceu-se que isótopos diferentes contêm diferentes números de nêutrons em um núcleo com o mesmo número de prótons.

Emissão

Balmer descobriu que os comprimentos de onda do espectro de

emissão do hidrogênio são dados por

O fim da física clássica . . .

Os espectros atômicos foram relacionados à estrutura atômica, mas ninguém conseguia entender como. A física clássica não podia explicar • A estabilidade da matéria. • Os espectros atômicos discretos. • O espectro contínuo da radiação de corpo negro.

Aplicações O experimento de Millikan com gotas de óleo permite medir a unidade fundamental de carga: e = 1,60  10-19 C

Termos e notação eletrólise tubo de descarga de gás brilho do cátodo raios catódicos tubo de Crookes

experimento de campos cruzados

partícula subatômica

elétron experimento de Millikan com gotas de óleo radioatividade raios alfa raios beta núcleo

Um elétron-volt(1 eV) é a energia que um elétron ou próton (carga e) adquire ao ser acelerado sob uma diferença de potencial de 1 V: 1 eV = 1,60  10–19 J

modelo nuclear do átomo elétron-volt, eV número atômico,Z próton espectrômetro de massa nêutron isótopo

número de massa, A espectro contínuo espectro discreto linha espectral radiação de corpo negro lei de Wien fórmula de Balmer

1204




integram o material


QUESTÕES

CONCEITU

1. a. Faça um resumo das evidências experimentaisanteriores à pes-

quisa de Thomson através das quais você pode concluir que os raios catódicos são formados por algum tipo de partícula. b. Faça um resumo das evidências experimentais anteriores à pesquisa de Thomson através das quais você pode concluir que os raios catódicos são formados por algum tipo de onda. 2. Thomson observou o desvio dos raios catódicos em presença de campos elétricos e magnéticos, mas não observou desvio algum devido à gravidade. Por que não? 3. Qual foi a significância do experimento de Thomson, em que um eletrodo posicionado fora do centro do tubo foi utilizado para coletar a carga desviada por um campo magnético? 4. Que evidência nos revela que um dos elétrons de um átomo de ferro é idêntico a um dos elétrons de um átomo de cobre? 5. a. Descreva a evidência experimental através da qual concluímos que o núcleo não é formado apenas por prótons. b. Não é fácil isolar ou controlar um nêutron porque ele não possui carga elétrica que permita sua manipulação. Que evidência possibilitou aos cientistas determinar que um nêutron possui uma massa quase idêntica à de um próton? 6. Rutherford estudou as partículas alfa usando a técnica dos campos perpendiculares inventada por Thomson para estudar os raios ca-

AIS

tódicos. Admitindo-se que valfa vraio catódico (o que é verdadeiro), o desvio de uma partícula alfa por um campo magnético será maior, menor ou igual ao desvio de um raio catódico pelo mesmo campo? Explique. 7. Uma vez que Thomson mostrou que os átomos eram compostos por elétrons negativos muito leves e por uma carga positiva de maior massa, por que os físicos não pensaram imediatamente em um modelo semelhante ao Sistema Solar, com elétrons orbitando um núcleo positivo? Por que os físicos se opuseram a esse modelo em 1900? 8. Explique por que a observação de partículas alfa espalhadas em ângulos muito grandes levou Rutherford a rejeitar o modelo atômico de Thomson e a propor um modelo nuclear. 9. Identifique o elemento, o isótopo e o estado de carga de cada átomo da FIGURA Q38.9. Responda usando símbolos tais como 4He ou 8 Be–. 



FIGURA Q38.9

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Exercícios Seção 38.3Raios catódicos

Seção 38.5 Millikan e a unidade fundamental de carga 4. | Uma gota de óleo de 0,80 m de diâmetro é observada na região

dos em forma de placas paralelas com 2,5 cm de comprimento que distam 5,0 mm um do outro. Um campo magnético de 2,0 mT e 2,5 cm de largura é perpendicular ao campo elétrico entre as placas. Se a diferença de potencial entre as placas for de 600 V, o elétron passará entre os eletrodos sem ser desviado. a. Qual é a velocidade do elétron? b. Se a diferença de potencial entre as placas for reduzida a zero,

entre dois eletrodos paralelos e distantes 11 mm entre si. Se o eletrodo superior for 20 V mais positivo do que o eletrodo inferior, a gota permanecerá suspensa, sem se mover. A densidade do óleo é de 885 kg/m3. a. Qual é a massa da gota? b. Qual é a carga da gota? c. A gota possui um excesso ou uma deficiência de elétrons? Em que quantidade? 5. || Uma gota de óleo com 15 elétrons em excesso é observada na região entre dois eletrodos paralelos distantes 12 mm entre si. Se o eletrodo superior for 25 V mais positivo do que o eletrodo inferior, a gota permanecerá suspensa, sem se mover. A densidade do óleo é

qual será o raio de curvatura do elétron no campo magnético?

860 kg/mque, . Qual é o raio da gota? hipotético que utiliza gotas de 6. |deSuponha em um experimento

Seção 38.4 J.J Thomson e a descoberta do elétron 1. | Em um tubo de Crookes, a corrente é igual a 10 nA. Quantos

elétrons colidem com a superfície do tubo a cada segundo? 2. || Um elétron de um feixe de raios catódicos passa por entre eletro-

3. | Elétrons passam entre eletrodos

paralelos com uma velocidade , de 5,0  10 6 m/s, como ilustra a FIGURA EX38.3. Que intensidade , e que orientação do campo magFIGURA EX38.3 nético permitirão que os elétrons passem sem sofrer desvio? Suponha que o campo magnético esteja confinado à região entre os eletrodos.

3

óleo, você tenha obtido os seguintes valores de carga para as gotas: 3,99 10 –19 C, 6,65  10 –19 C, 2,66  10 –19 C, 10,64  10 –19 C e 9,31  10 –19 C. Qual é o maior valor da unidade fundamental de carga consistente com suas medidas?

CAPÍTULO 38

■


1205

Seção 38.6 Rutherford e a descoberta do núcleo

Seção 38.8 A emissão e a absorção da luz

Seção 38.7 Desvendando o núcleo

19. | A Figura 38.22 identificou os comprimentos de onda de quatro

7. | Determine:

a. A velocidade de um elétron de 100 eV. b. A velocidade de um nêutron de 5 MeV. c. O tipo específico de partícula que possui 2,09 MeV de energia cinética quando se move a uma velocidade de 1,0 10 7 m/s. 8. | Determine: a. A velocidade de um próton de 6 MeV. b. A velocidade de átomo de hélio de 20 MeV. c. O tipo específico de partícula que possui 1,14 KeV de energia cinética quando se move a uma velocidade de 2,0 10 7 m/s. ||

9. do): Expresse em eV (ou em keV ou em MeV, se for mais apropria-

a. A energia cinética de um elétron que se move com uma velocidade de 5,0  10 6 m/s. b. A energia potencial de um elétron e de um próton distantes 0,10 nm um do outro. c. A energia cinética de um próton que, tendo partido do repouso, atravessou uma região onde existe uma diferença de potencial de 5.000 V. 10. || Expresse em eV (ou em keV ou em MeV, se for mais apropriado): a. A energia cinética de um ion Li que, tendo partido do repouso, acelerou através de uma diferença de potencial de 5.000 V. b. A energia potencial de dois prótons distantes 10 fm um do outro. c. A energia cinética de uma bola de 200 g, que foi solta de uma altura de 1,0 m, exatamente antes do impacto com o solo. 11. || Um capacitor de placas paralelas separadas por 1,0 mm é carregado a 75 V. Com que energia cinética, em eV, um próton deverá ser lançado a partir da placa negativa a fim de que possa apenas tocar a placa positiva? 12. || Um próton é lançado com 520 eV de energia com uma orientação radial que aponta para fora da superfície de uma esfera de vidro de 1,0 mm de diâmetro e que foi carregada com 0,20 nC. Qual é a energia cinética do próton, em eV, quando ele estiver a 2,0 mm da superfície? 13. | Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem nos seguintes átomos ou íons: (a) 9Be, (b) 14N e (c) 13C ? 14. | Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem nos seguintes átomos ou íons: (a) 10B, (b) 13N e (c) 17O ? 15. | Escreva o símbolo de umátomo ou íon com: a. quatro elétrons, quatro prótons e seis nêutrons. b. quatro elétrons, seis prótons e cinco nêutrons. 16. | Escreva o símbolo de umátomo ou íon com: a. um elétron, um próton e dois nêutrons. b. sete elétrons, oito prótons e dez nêutrons. 197 17. | Considere o isótopo Au do ouro. a. Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem em um átomo neutro desse isótopo? b. O núcleo do ouro tem um diâmetro de 14,0 fm. Qual é a densidade de matéria neste núcleo? 

linhas do espectro do hidrogênio. a. Determine os valores den e m da fórmula de Balmer correspondentes a esses comprimentos de onda. b. Faça uma previsão do comprimento de onda correspondente à quinta linha do espectro. 20. | A Figura 38.22 identificou os comprimentos de onda de quatro linhas do espectro do hidrogênio. a. Determine os valores den e m da fórmula de Balmer correspondentes a esses comprimentos de onda. b. A Figura 38.22 ilustra uma característica denominada limite da série, embora não tenha sido apresentada nenhuma linha espectral associada a esse limite. Determine qual é o comprimento de onda do limite da série. | 21. Os comprimentos de onda do espectro do hidrogênio correspondentes a m = 1 formam uma série de linhas espectrais denominada série de Lyman. Calcule o comprimento de onda correspondente às quatro primeiras linhas da série de Lyman. 22. | Dois dos comprimentos de onda emitidos por umátomo de hidrogênio são iguais a 102,6 nm e 1876 nm. a. Quais são os valores de m e n correspondentes a cada um desses comprimentos de onda? b. Para cada um desses comprimentos de onda, a luz correspondente é infravermelha, visível ou ultravioleta? 23. | Qual é a temperatura, em °C, deum corpo negrocujo espectro de emissão tem um pico em (a) 300 nm? e em (b) 3,00m? 24. || Uma esfera de metal de 2,0 cm de diâmetro brilha em tom avermelhado, mas seu espectro de emissão tem um máximo no comprimento de onda infravermelho de 2,0 m. Que valor de potência é irradiada pela esfera? 25. || Um cubo de cerâmica de 3,0 cm de lado irradia calor a uma taxa de 630 W. Em que comprimento de onda, em m, localiza-se o máximo do espectro de emissão?

Problemas 26. || Qual é a energia total, em MeV , de

a. Um próton que se move a 99% da velocidade da luz? b. Um elétron que se move a 99% da velocidade da luz? Dica: Este problema requer o uso da relatividade. 27. || Qual é a velocidade, como uma fração dec, de a. Um próton com energia total de 500 GeV? b. Um elétron com energia total de 2,0 GeV? Dica: Este problema requer o uso da relatividade. 28. || No Capítulo 37, você aprendeu que a toda massa corresponde uma quantidade equivalente de energia. Quais são as energias equivalentes, em MeV, às massas de repouso de um elétron e de um próton? 29. || Na teoria da relatividade, o fator  aparece em diversas expressões. Um valor = 1,01 implica que a relatividade altera os valores newtonianos correspondentes em cerca de1% e que os efeitos relativísticos não podem ser ignorados. A que valor de energia cinética, 3 em MeV, corresponde o fator  = 1,01 no caso de (a) um elétron, (b) c. A densidade do chumbo 11.400 kg/mno. item Quantas um próton e (c) uma partícula alfa? densidade é maior do queé de aquela obtida b? vezes essa 235 236 144 89 207 30. || O processo de fissão n + U → U → Ba + Kr + 3n con18. | Considere o isótopo Pb do chumbo. verte 0,185 u de massa em energia cinética dos produtos da fissão. a. Quantos elétrons, prótons e nêutrons existem em um átomo neuQual é a energia cinética total, em MeV? tro desse isótopo? b. O núcleo de chumbo tem um diâmetro de 14,2 fm. Qual é o po- 31. || Um elétron de um feixe de raios catódicos passa entre dois longos eletrodos em forma de placas paralelas, distantes 5,0 mm um tencial elétrico e qual é a intensidade do campo elétrico na superdo outro. Um campo magnético de 1,0 mT e com 2,5 cm de largura fície de um núcleo de chumbo? é perpendicular ao campo elétrico entre as placas. Quando a dife







1206


rença de potencial entre as placas for de 150 V, o elétron passará pelos eletrodos sem ser desviado. Se a diferença de potencial entre as placas for nula, segundo que ângulo o elétron será desviado ao passar pelo campo magnético? 32. || Os dois eletrodos em forma de placas paralelas, ilustrados na FIGURA P38.32, possuem 5,0 cm de comprimento e distam 1,0 cm. Por um dos lados das placas, um próton penetra na região entre os eletrodos a meia distancia dos mesmos. Uma diferença de potencial V  500 V entre os eletrodos desvia o próton e faz com que ele se choque com a outra extremidade do eletrodo inferior. Quais são a intensidade e a orientação de um campo magnético que permitirão que o próton atravesse a região entre as placas sem sofrer desvio algum quando existir uma diferença de potencial de 500 V entre elas? Considere que tantoàoregião campoentre elétrico quanto o campo magnético estejam confinados os eletrodos.

ximadamente 8  10 –15 m. A densidade do alumínio sólido é de 2.700 kg/m3. a. Qual é a densidade média de um átomo de alumínio? b. A sua resposta para o item anterior foi similar, porém maior do que a densidade do alumínio sólido. Isso sugere que existem espaços vazios entre os átomos do alumínio sólido; ou seja, que eles não estão “espremidos”. Qual é o volume médio por átomo do alumínio sólido? Se o volume é o de uma esfera, qual é o raio correspondente? O que você pode concluir acerca do espaçamento médio entre os átomos em comparação com o tamanho dos átomos? Dica: O volume por átomo não é a mesma coisa que o volume de um átomo. c. Qual a densidade dodo núcleo alumínio? qual fator a densidadeé nuclear é maior que ade densidade do Por alumínio sólido? 39. | A razão carga-massa de um núcleo, em unidade de e/u, é q/m =

,

Z/A. Um núcleo de hidrogênio, por exemplo, corresponde a q/m = 1/1 = 1. a. Faça um gráfico da razão carga-massaversus número de prótons Trajetória quandoV  500V Z para núcleos com Z = 5, 10, 15, 20,...., 90. Para A, use as massas atômicas médias fornecidas no Apêndice B. Represente cada FIGURA P38.32 um dos 18 núcleos com um ponto, mas não conecte os pontos para formar uma curva. 33. || Uma partícula carregada atravessa um campo magnético e um b. Descreva qualquer tendência que você percebe em seu gráfico. campo elétrico, perpendiculares entre si e com intensidades de c. O que acontece aos núcleos que gera essa tendência? 187.500 V/m e de 0,127 T, respectivamente, sem ser desviada. De40. || Se o núcleo tem diâmetro de alguns fm, a distância entre os cenpois, a partícula deixa o campo elétrico, mas continua em presentros de dois prótons deve ser de 2 fm. ça do campo magnético. Ela, então, descreve um semicírculo com a. Calcule a força elétrica repulsiva entre dois prótons que distam 25,05 cm de diâmetro. Qual é a razão carga-massa da partícula? 2,0 fm entre si. Você consegue identificar de que partícula se trata? b. Calcule a força gravitacional atrativa entre dois prótons que dis34. || Em um dos seus experimentos, Thom son colocou uma folha tam 2,0 fm entre si. É possível que a gravidade seja a força que metálica fina perpendicularmente a um feixe de elétrons e mediu mantém o núcleo coeso? o aumento da temperatura ocorrido. Considere um tubo de raios c. As suas respostas aos itens a e b sugerem que deve haver alguma catódicos em que os elétrons são acelerados sob uma diferença outra força que une o núcleo e que faz com que os prótons não de potencial de 2.000 V e, depois, colidem com a folha de cobre ,



de 10 mg.

a. Quantos elétrons colidem com a folha de metal durante 10 s se a temperatura da folha aumenta em 6° C? Suponha que não ocorra perda de energia por irradiação ou por outros meios. b. Qual é a corrente correspondente ao feixe de elétrons? 35. || Um átomo de lítio neutro possui três elétrons. No Capítulo 42, você verá que dois desses elétrons formam um “caroço interno”, enquanto o terceiro – o elétron de valência – gira em torno do núcleo em uma órbita de raio muito maior. Sob a perspectiva do elétron de valência, ele orbita uma esfera de carga líquida total igual a +1 e (ou seja, os três prótons do núcleo e os dois elétrons que formam o caroço interno). A energia necessária para ionizar o átomo de lítio é de 5,14 eV. De acordo com o modelo nuclear de Rutherford, quanto valem o raio orbital e a velocidade do elétron de valência? Dica: Considere a energia necessária para remover o elétron e a força necessária para dar ao elétron uma órbita circular. –10 36. || O diâmetro de umátomo é igual a 1,2 10 m, e o diâmetro de seu núcleo, 1,0  10–14 m. Que porcentagem do volume do átomo é ocupada por matéria e qual porcentagem corresponde a espaço vazio? 37. || Balmer descobriu a fórmula famosa que leva seu nome através da observação e de tentativa e erro. Verifique se você é capaz de descobrir a fórmula para cada uma das séries de comprimentos de onda. Cada fórmula envolve um inteiron, mas, como na fórmula de Balmer, n pode não começar com o valor 1. a. 125,00; 31,25; 13,89; 7,81; e 5,00nm. b. 375.900; 1.575; 2.400; 3.375; e 4.500nm 38. || O diâmetro de um átomo de alumínio é aproximadamente 1,2 10 –10 m. O diâmetro do núcleo de um átomo de alumínio é apro-

se empurrem para fora. Com base nas discussões deste capítulo sobre o átomo e o núcleo, que características dessa força você poderia deduzir? 41. || Em uma colisão frontal, a menor distância do centro de um núcleo que é atingido por uma partícula alfa de 6,24 MeV é igual a 6,00 fm. Este núcleo pertence ao átomo de qual elemento? Suponha que o núcleo permaneça em repouso. 42. || Através de qual diferença de potencial deveríamos acelerar uma partícula alfa, a partir do repouso, de modo que ela consiga apenas tocar a superfície de um núcleo de235U com diâmetro de 15 fm? 16 43. || O núcleo O do oxigênio tem um raio de 3,0 fm. a. Com que valor de velocidade um próton deve ser lançado em direção a um núcleo de oxigênio para que ele atinja o ponto de retorno a 1,0 fm da superfície? Considere que o núcleo permaneça em repouso. b. Qual é a energia cinética do próton, em MeV? 44. || Para dar inicio a uma reação nuclear, um físico nuclear experimental quer lançar um próton em direção a um núcleo de 12C. O próton deve colidir com o núcleo com uma energia cinética de 3,00 MeV. O raio nuclear é igual a 2,75 fm, e você pode considerar que o núcleo se mantém em repouso durante a colisão. a. Com que valor de velocidade o próton deve ser lançado em direção ao alvo? b. Qual diferença de potencial deve acelerar o próton, a partir do repouso, para que ele adquira tal velocidade? 137 45. || O isótopo Cs do césio, com Z = 55, é radioativo e decai por meio de decaimento beta. Em um laboratório, uma partícula beta com 300 keV de energia cinética é observada. O núcleo de um áto-

CAPÍTULO 38

mo de 137Cs possui um diâmetro de 12,4 fm. Com que energia cinética a partícula beta foi ejetada do núcleo de 137Cs? Problemas desafiadores 197

46. Uma partícula alfa se aproxima de um núcleo de Au com uma velocidade de 1,50 107 m/s. A FIGURA PD38.46mostra que a par-

tícula alfa é desviada em 49° com uma velocidade mais baixa, de 1,49  107 m/s. Em que direção e sentido ocorre o recuo do núcleo de 197Au, e com que valor de velocidade?

■


1207

Escreva uma expressão para a carga da gota em função do campo, E0, e do peso da gota, mg. b. O campo E0 é facilmente determinado conhecendo-se a distância entre as placas e a diferença de potencial aplicada entre elas. O maior desafio é determinar a massa de uma gota microscópica. Considere uma massa m em queda em um meio viscoso onde ela experimenta uma força de atrito ou arrasto. Para partículas muito pequenas, a força de atrito é dada por atrito F = – bv, onde b é uma constante e v é a velocidade da gota. O sinal negativo indica que o vetor da força de atrito aponta para cima enquanto a gota caiv ( negativa). A gota em queda logo atinge uma velocidade constante, chamada de velocidade terminal. Escreva uma expressão para a velocidade terminal, vterm, em função de m, g e b. c. Sabe-se objeto esférico de raio r, movendo-se lenta-, mente noque ar,um experimenta uma força de atrito onde  é a viscosidade do ar. Use essa equação e a resposta ao item b para mostrar que uma gota esférica de densidade, em queda com uma velocidade terminal vterm, deve possuir um raio dado por

Núcleo Au

FIGURA PD38.46 47. Em suas primeiras tentativas de compreender o átomo de hidro-

gênio, os físicos aplicaram as leis da física clássica. Considere um elétron de massa m e carga – e em uma órbita circular de raior em torno de um próton de cargae. a. Use a física newtoniana para demonstrar que a energia total do a. O óleo tem uma densidade de 860 kg/m 3. Uma gota de óleo é átomo é mantida suspensa entre duas placas distantes 1,0 cm uma da oub. Mostre que a energia potencial é igual a –2 multiplicado pela tra. A diferença de potencial entre elas é de 1.177 V. Quando a teorema energia cinética do elétron. Este resultado é denominado voltagem é removida, a gota cai e logo adquire uma velocidade virial. constante. O cronômetro indica que a gota desce 3,00 mm duranc. A energia mínima necessária para ionizar um átomo de hidrogête 7,33 s. A viscosidade do ar é igual a 1,83  10 –5 kg/ms. Qual é nio (i.e., para remover seu elétron) foi determinada experimena carga da gota? talmente como sendo 13,6 eV. Com base nessa informação, qual b. Quantas unidades de carga elétrica fundamental possui a gota? é a velocidade do elétron e qual é o raio de sua órbita? 49. Em um modelo clássico do átomo, um elétron orbitando com a 48. Considere uma gota de óleo de massa m e carga q. Desejamos determinar adecarga gota com basePara no simplificar, experimentoconsidere de Millikan. Teremos seguirdavários passos. que a carga seja positiva e que o campo elétrico entre as placas aponte para cima. a. Um campo elétrico é estabelecido aplicando-se uma diferença de potencial entre as placas. Sabe-se que um campo de intensidade E0 fará com que a gota fique suspensa, sem qualquer movimento.

f deveria emitirvista ondas de freqüência ffreqüência , pois a órbita do elétron, deeletromagnéticas lado, se parece com um dipolo elétrico oscilante. a. Com que valor de raio, em nm, o elétron que orbita o próton em um átomo de hidrogênio emitiria luz de comprimento de onda igual a 600 nm? b. Qual seria a energia mecânica total desse átomo?


Pare e Pense 38.1: b. Essa observação significa que os elétrons são

Pare e Pense 38.4: 6 prótons e 8 nêutrons. O número de prótons é

todos iguais.

igual ao número atômico, que, neste caso, é 6. Temos, então, 14 – 6 = 8 nêutrons.

Pare e Pense 38.2: A b.partir da regra da mão direita, com apontando

para a direita e , para fora da página.

Pare e Pense 38.5: a corresponde à emissão e b, à absorção. Todos ++

Pare e Pense 38.3: 4 O carbono neutro tem seis elétrons. No C faltam .

dois elétrons.

os comprimentos de onda do espectro de absorção estão presentes no espectro de emissão, mas nem todos os comprimentos de onda do espectro de emissão estão presentes no espectro de absorção.

39 Quantização Imagem de um “curral quântico”, formado por 60 átomos de ferro, obtida por um microscópio de tunelamento.



Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 39 é propiciar uma compreensão da quantização da energia para a luz e para a matéria. Neste capítulo, você aprenderá a ■ ■ ■

■

■



Compreender o efeito fotoelétrico em termos de quanta de luz. Utilizar o conceito de fóton. Compreender como a noção de ondas de matéria, de de Broglie, levou à quantização da energia. Utilizar o modelo de quantização de Bohr para átomos (modelo atômico de Bohr). Calcular as energias e os comprimentos de onda para o hidrogênio e íons hidrogenóides.

Em retrospectiva

Muitas das idéias deste capítulo já foram introduzidas no Capítulo 25, que é pré-requisito essencial para este capítulo. Revise: ■ ■ ■

Seções 22.2, 22.3, e 22.6 Interferência e interferômetros Capítulo 25 Fótons, ondas de matéria e quantização Seção 38.6 Elétron-volts e o modelo nuclear de Rutherford para o átomo

A imagem mostrada aqui, denominada “curral quântico”, foi obtida por meio de um

microscópio de tunelamento, um dispositivo cujo funcionamento estudaremos no Capítulo 41. A imagem representa a densidade eletrônica na vizinhança de um círculo formado por 60 átomos de ferro que foram cuidadosamente depositados em uma superfície de carbono. Porém não é o círculo de elétrons ao redor dos átomos de ferro o que mais impressiona. Note as perturbações em forma de anéis circulares no centro do curral. O que se observa é uma onda estacionária eletrônica, muito semelhante a uma onda estacionária formada em um tambor em vibração. Do Capítulo 25, recorde-se que a distinção clássica entre partículas e ondas, apesar de útil no caso de sistemas macroscópicos, não existe no mundo microscópico dos elétrons e átomos. Matéria e luz exibem características tanto de partículas quanto de ondas. Essa nova dualidade onda-partícula desafia nosso senso comum. Contudo, modernos dispositivos de engenharia, tais como lasers de poço quântico, fazem uso explícito da dualidade onda-partícula. Este capítulo explorará duas idéias importantes: a proposta da natureza corpuscular da luz, por Einstein, e o desenvolvimento de um modelo quântico do átomo, por Bohr. Começaremos a conceber e a descrever a matéria e a luz em termos de um modelo quântico em vez de um modelo clássico. Além disso, as idéias deste capítulo serão nossos últimos passos antes de introduzirmos a mecânica quântica, no Capítulo 40.

39.1 O efeito fotoelétrico Em 1886, Heinrich Hertz foi o primeiro a demonstrar que ondas eletromagnéticas podem ser geradas artificialmente. Ao comprovar as previsões da teoria eletromagnética de Maxwell, Hertz assentou os últimos blocos da física clássica. Contudo, em uma dessas ironias sempre presentes na história, Hertz descobriu acidentalmente o fenômeno

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1209

que iria dar início à revolução quântica. No curso de suas investigações, ele notou que um eletroscópio negativamente carregado podia ser descarregado através da incidência de luz ultravioleta. A observação de Hertz chamou a atenção de J.J. Thomson, que concluiu que a luz ultravioleta causava a emissão de cargas negativas pelo eletrodo, desta forma restaurando a neutralidade elétrica do eletroscópio. Em 1899, Thomson demonstrou que as cargas emitidas eram elétrons. A emissão de elétrons por uma substância devido à incidência de luz em sua superfície tornou-se conhecida como efeito fotoelétrico. Os elétrons emi- A luz ultravioleta faz o cátodo tidos eram freqüentemente chamados de fotoelétrons a fim de indicar sua srcem, mas metálico emitir elétrons. Esse é eram idênticos, em todos os aspectos, a todos os outros elétrons. o efeito fotoelétrico. Os fotoelétrons Embora essa descoberta pareça ser uma nota de rodapé na história da ciência, ela Luz formam uma rapidamente se tornou um, ou talvez, o evento-chave que abriu a porta para idéias novas. corrente entre o Estudaremos o efeito fotoelétrico em detalhe. Nossos objetivos são estudar como a física cátodo e o ânodo. clássica foi incapaz de explicar os detalhes desse experimento simples e tomar consciênAmperícia do conceito novo e impressionante introduzido por Einstein. metro Cátodo

Características do efeito fotoelétrico Não foi a descoberta do efeito fotoelétrico em si que significou o golpe fatal na física clássica. O golpe se srcinou de características específicas do efeito fotoelétrico descobertas, por volta de 1900, por um dos estudantes de Hertz, Phillip Lenard. Lenard construiu um tubo de vidro, representado na FIGURA 39.1, dotado de dois eletrodos opostos e uma janela. Após remover o ar do tubo a fim de facilitar a movimentação dos elétrons entre os eletrodos, ele iluminou o eletrodo através da janela. Lenard descobriu que uma corrente de sentido anti-horário (elétrons fluindo em sentido horário) se formava sempre que o cátodo era iluminado por luz ultravioleta. Não existem nós neste circuito, de modo que a corrente deve ser a mesma em todo o percurso. No espaço entre o cátodo e o ânodo, a corrente consiste de elétrons que se movem livremente através do espaço (ou seja, não em um fio) à mesma taxa (mesmo número de elétrons por segundo) que a corrente do fio. Não surge corrente se os eletrodos são mantidos no escuro, portanto os elétrons não partem do cátodo espontaneamente. Ao contrário, a iluminação causa a ejeção de elétrons, a partir do cátodo, a uma taxa constante.

A diferença de potencial pode ser alterada ou invertida.

Ânodo

A corrente pode ser medida enquanto a diferença de potencial, a freqüência da luz e a intensidade luminosa são variadas.

FIGURA 39.1Dispositivo experimental de

Lenard para estudar o efeito fotoelétrico.

Independentemente da intensidade da luz, não existe corrente se f  f0.

V

Lenard usou uma bateria para estabelecer uma diferença de potencial ajustável entre os eletrodos. Ele pôde, então, estudar como a corrente I variava em função da diferença de potencial, da freqüência e da intensidade da luz. Lenard fez as seguintes observações.

1. A corrente I é diretamente proporcional à intensidade luminosa. Se a intensidade dobrar, a corrente também dobrará de valor. 2. A corrente surge assim que a luz incide, sem qualquer retardo. Para Lenard, isso significava que a corrente surgia durante o intervalo de 0,1 s de resposta do equipamento. Experimentos posteriores demonstraram que a corrente surge em menos de 1 ns. 3. Fotoelétrons são emitidos apenas se a freqüência da luz exceder uma freqüência limiar f0. Isso é ilustrado no gráfico da FIGURA 39.2. 4. O valor da freqüência limiar f0 depende do tipo de metal que constitui o cátodo. 5. Se a diferença de potencial V for positiva (ânodo positivo com relação ao cátodo), a corrente não variará com o aumento de V. Se V tornar-se negativa (ânodo negativo com relação ao cátodo) pela inversão da bateria, a corrente decresce até atingir o valor nulo em um determinado valor de voltagem V  – Vcorte. O valor de Vcorte é denominado potencial de corte. Esse comportamento está ilustrado na FIGURA 39.3. 6. O valor de Vcorte é o mesmo para intensidades luminosas fracas ou fortes. Luz mais intensa gera corrente maior, como mostra a Figura 39.3; todavia, em ambos os casos a corrente cessa quando V  – Vcorte. 

 Definimos Vcorte como um número positivo . A diferença de potencial que pára os elétrons é V  – Vcorte, com um sinal negativo explícito. 

NOTA

Freqüência limiar Independentemente da intensidade luminosa, existe corrente quando f  f0. FIGURA 39.2A corrente fotoelétrica em

função da freqüência luminosa f.

Luz mais intensa gera corrente mais intensa. Nenhuma corrente flui se Vcorte.

Luz intensa Luz fraca

V corte

A corrente independe de V quando V  0. O potencial de corte é o mesmo para luz fraca ou forte. FIGURA 39.3A corrente fotoelétrica em

função do potencial da bateria.

1210


A energia mínima necessária para remover uma gota de água da piscina é mgh.

Água

Para remover essa gota é necessário mais energia do que a energia mínima.

Adicionando mais energia à água e gerando ondas, pode-se causar liberação de algumas gotas mais energéticas. FIGURA 39.4 Analogia com uma piscina

para os elétrons em um metal. TABELA 39.1A função-trabalho

para alguns elementos

Elemento

E0(eV)

Potássio Sódio Alumínio Tungstênio Cobre Ferro

2,30 2,75 4,28 4,55 4,65 4,70 5,10

Ouro

Cátodo Ânodo os fotoelétrons deixam o cátodo em todas as direções. Poucos deles chegam ao ânodo. V  0:

A interpretação clássica do efeito fotoelétrico A mera existência do efeito fotoelétrico não constitui uma dificuldade para a física clássica. Você aprendeu no Capítulo 26 que os elétrons são os portadores de carga nos metais e que eles se movem livremente nestes materiais como se formassem um “mar” de partículas negativamente carregadas. Os elétrons estão ligados ao metal e não são espontaneamente liberados de um eletrodo à temperatura ambiente. Porém um pedaço de metal aquecido a temperaturas suficientemente altas emite elétrons, em um processo denominado emissão térmica. O tubo de elétrons dos antigos televisores ou monitores de computador utilizam a emissão térmica a partir de um filamento de tungstênio aquecido. Uma analogia útil, ilustrada na FIGURA 39.4, envolve a água de uma piscina. Moléculas de água não saltam espontaneamente para fora da piscina se a água está calma. Para remover uma molécula de água você precisa realizar trabalho a fim de levantá-la, contra a força gravitacional, atéde a borda piscina. Uma energia mínima é necessária para extrairmos uma molécula água: da aquela necessária para elevar uma molécula que está bem na superfície. Remover uma molécula do meio da água requer mais do que essa energia mínima. Pessoas brincando na piscina adicionam energia à água, gerando ondas. Se a energia adicionada dessa maneira for suficiente, uma pequena fração das moléculas de água poderá ganhar energia suficiente para se chocar com a borda e sair da piscina. Analogamente, é necessário uma energia mínima para liberar um elétron de um me-

tal. Para extrair um elétron, você precisa exercer uma força sobre ele (ou seja, realizar trabalho sobre o elétron) até que sua velocidade seja suficientemente grande para que ele escape. A energia mínima E0 necessária para liberar um elétron é denominada fun-

ção-trabalho do metal. Alguns elétrons, à semelhança das moléculas mais profundas da

água, podem necessitar de mais energia do que E0 para escapar, mas todos os elétrons precisarão ao menos de E0. Metais diferentes possuem diferentes funções-trabalho; a Tabela 39.1 fornece uma pequena lista. Note que as funções-trabalho são dadas em elétron-volts. Aquecer um metal, de maneira análoga à geração de ondas em uma piscina, aumenta a energia térmica dos elétrons. Em temperaturas suficientemente altas, a energia cinética de uma pequena percentagem dos elétrons pode exceder o valor da função-trabalho. Esses elétrons podem, então, “sair da piscina” e deixar o metal. Na prática, são poucos os elementos, como o tungstênio, para os quais a emissão térmica torna-se significativa antes de o metal se fundir! Admita que possamos elevar a temperatura apenas dos elétrons, e não, da rede cristalina. Um possível modo de conseguir isso é iluminar a superfície metálica. Como as ondas eletromagnétic as são absorvidas pelos elétrons de condução, e não, pelos íons positivos, a onda luminosa aquece apenas os elétrons. Após algum tempo transcorrido, os elétrons transferirão energia para a rede cristalina; entretanto, se a luz for suficientemente intensa, a temperatura eletrônica pode se tornar substancialmente maior do que a temperatura do metal. Em 1900, era plausível pensar que uma luz intensa causasse a emissão térmica dos elétrons sem fundir o metal.

O potencial de corte V  0:

um ânodo positivo atrai todos os fotoelétrons para si.

Os fotoelétrons deixam o cátodo com uma energia cinética. Dentro do metal, um elétron com energia Eelétron perde energia E ao escapar, ou seja, emerge como um fotoelétron com energia cinética . A energia da função-trabalho, E0, é a energia mínima necessária para remover um elétron; logo, a energia cinética máxima de um fotoelétron é (39.1) Após deixarem o cátodo, os fotoelétrons se movem em todas as direções. Alguns chegam ao ânodo, gerando uma corrente mensurável, mas muitos não conseguem fazêlo. A FIGURA 39.5mostra que:

V  0

: um ânodo negativo repele os elétrons. Apenas os mais rápidos conseguem chegar ao ânodo. FIGURA 39.5A corrente fotoelétrica

depende do potencial do ânodo.

■

Um ânodo positivo atraitodos os fotoelétrons para si. Uma vez que todos os fotoelétrons consigam atingir o ânodo, um aumento em V não gerará qualquer aumento na corrente I. Eis a razão para as linhas horizontais no lado direito do gráfico da Figura 39.3.

CAPÍTULO 39

■

■

Quantização

1211

Um ânodo negativo repele os elétrons. Contudo, os fotoelétrons que partem do cátodo com energia cinética suficientemente grande conseguem atingir o ânodo. A corrente diminui uniformemente à medida que a voltagem se torna mais e mais negativa, até atingir o potencial de corte, quando todos os elétrons retornam e a corrente cessa. Esse é o comportamento observado à esquerda da Figura 39.3.

Consideremos o cátodo como o zero da energia potencial, conforme ilustrado pela com energia cinética Ki possui uma energia total inicial FIGURA 39.6. Um elétron emitido pelo cátodo

Antes: Ki Ui

Cátodo

Após: Kf Uf

Ânodo

Quando o elétron atinge o ânodo, que está a um potencial V com relação ao cátodo, ele possui energia potencial igual a

Da conservação de energia,

e energia total final igual a

A energia cinética é transformada em potencial à medida que o elétron move-se do cátodo para o ânodo.

a energia cinética final do elétron é

FIGURA 39.6A energia é conservada.

(39.2) O elétron acelera caso V seja positiva, e desacelera caso V seja negativa, mas ainda assim o elétron atingirá o ânodo se Ki for suficientemente grande. Um elétron com energia cinética inicial Ki parará exatamente ao alcançar o ânodo se

a diferença de potencial for A diferença de potencial que faz com que os elétrons mais rápidos, aqueles com K  Kmax, retornem ao cátodo, cessando a corrente, é igual a

Por definição, a diferença de potencial que faz cessar a corrente é Vcorte é o potencial de corte. O potencial de corte é igual a

onde 17.3

(39.3) Portanto, o potencial de corte determina a energia cinética máxima dos fotoelétrons. EXEMPLO 39.1O efeito fotoelétrico clássico

A energia cinética máxima quando ele deixa o cátodo é Um experimento de efeito fotoelétrico é realizado com um cátodo de alumínio. Um determinado elétron dentro do cátodo possui uma velocidade de 1,5  106 m/s. Se a diferença de potencial entre o ânodo e o onde E0  4,28 eV é a função-trabalho do alumínio. Portanto a enercátodo for de – 2,00 V, qual será a mais alta velocidade com que esse gia cinética no ânodo, dada pela Equação 39.2, é elétron atingirá o ânodo? MODELO A energia é conservada. Note que o elétron perde 2,00 eV de energia ao se mover através da diferença de potencial de –2,00 V, o que nos permite calcular a energia RESOLUÇÃO Se o elétron escapa com a máxima energia cinética possível, sua energia ao chegar no ânodo é dada pela Equação 39.2 com cinética final em eV sem ter que convertê-la para joules. Contudo, devemos converterKf para joules a fim de encontrar a velocidade final: A energia cinética inicial do elétron é

1212


Os limites da interpretação clássica Uma análise clássica baseada na emissão térmica de elétrons por um metal explica as observações 1 e 5 listadas antes. Porém nada nessa explicação sugere que deveria existir uma freqüência de limiar, como aquela encontrada por Lenard. Se uma luz de baixa intensidade e com freqüência levemente superior a f0 pode gerar uma corrente, por que não poderia ocorrer o mesmo com uma luz de intensidade alta e freqüência um pouco inferior a f0? E quanto à observação de Lenard sobre a instantaneidade da corrente? Se os fotoelétrons se srcinam da emissão térmica, deveria haver um intervalo de tempo para que a luz pudesse elevar a temperatura dos elétrons até que eles pudessem escapar. De fato, cálculos bastantes simples demonstram que deveríamos ter de esperar vários minutos até que a carga começasse a fluir! Mas a evidência experimental estava em radical discordância com isso.luz mais intensa deveria aquecer os elétrons a temperaturas mais altas. Finalmente, Isso elevaria a energia cinética máxima dos fotoelétrons e aumentaria o potencial de corte Vcorte. Contudo, Lenard descobriu que o potencial de corte é independente da intensidade luminosa. Embora a simples presença dos fotoelétrons não seja surpreendente, a física clássica era incapaz de explicar o seu comportamento observado. A freqüência de limiar e a instantaneidade da corrente pareciam especialmente anômalas.

39.2 A explicação de Einstein Albert Einstein, cuja fotografia aparece na FIGURA 39.7, era um jovem de 26 anos pouco conhecido em 1905. Tinha recentemente obtido seu doutorado em física pelo Instituto Politécnico de Zurique, Suíça. Apesar do reconhecido brilhantismo matemático, seu histórico acadêmico era medíocre. Ao invés de seguir carreira acadêmica, Einstein aceitou um emprego no Escritório de Patentes de Berna. Foi uma escolha fortuita, que lhe provinha com o tempo necessário para pensar sobre a física de modo único. Em 1905, Einstein publicou seu artigo inicial sobre a teoria da relatividade, o assunto pelo qual é mais conhecido pelo público em geral. Ele também publicou outro artigo neste ano, sobre a natureza da luz, e é neste segundo trabalho que repousa nosso interesse agora. Nele, Einstein propõe uma idéia ousada, mas extremamente simples, para explicar os dados de Lenard sobre o efeito fotoelétrico.

FIGURA 39.7 O jovem Einstein.

Alguns anos antes, em 1900, o físico alemão Max Planck havia tentado entender em detalhes o espectro de corpo negro da luz emitida por um objeto incandescente. No capítulo anterior, aprendemos que esse problema resistia a uma análise clássica e que Planck encontrara um modo de calcular perfeitamente o espectro se incorporasse uma hipótese pouco usual. Os átomos em um sólido vibram ao redor de uma posição de equilíbrio com freqüência f. No Capítulo 14 você aprendeu que a energia de um oscilador harmônico depende de sua amplitude e pode assumir qualquer valor. A fim de deduzir o espectro corretamente, contudo, Planck teve de supor que os átomos oscilantes não tivessem a liberdade de possuir qualquer valor de energia. A energia dos átomos que vibrassem com uma freqüência f tinha de assumir um dos valores específicos E  0, hf , 2 hf, 3 hf,..., onde h é uma constante, ou seja, as energias vibracionais seriam quantizadas. Planck determinou o valor da constante h comparando seus cálculos com os resulta-

dos experimentais. Atualmente ela é conhecida como a constante de Planck. Seu valor é –34

h  6,63  10

J s  4,14  10–15 eV

O primeiro valor, em unidades do SI, é apropriado para a maioria dos cálculos, mas você notará que o segundo é útil quando as energias estão expressas em eV.

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1213

Einstein foi o primeiro a considerar seriamente a idéia de quantização de Planck. Ele foi ainda mais longe e sugeriu que a própria radiação eletromagnética fosse quantizada! Ou seja, a luz não seria uma onda continua, e sim, incidiria em pequenos pacotes ou feixes de energia. Einstein denominou cada pacote de energia de quantum de luz e postulou que a energia de um quantum de luz é diretamente proporcional à freqüência luminosa. Dessa forma, cada quantum de luz possui uma energia igual a E  hf

(39.4)

onde h é a constante de Planck e f é a freqüência da luz. A idéia de quanta de luz é sutil, portanto vamos fazer uma analogia com as gotas da chuva. Embora concebamos a água como um fluido, como, por exemplo, a água em um copo, a chuva consiste de água que cai em pacotes chamados de gotas de chuva. As gotas de chuva são os análogos dos quanta de luz. Uma chuva torrencial traz uma corrente de gotas, mas em uma chuva fraca as gotas são poucas. A diferença entre chuva “fraca” e “forte” reside na taxa com que as gotas de chuva caem. Uma chuva intensa produz um ruído continuo no telhado, impossibilitando o discernimento individual das gotas; durante uma chuva fraca, todavia, elas podem ser distinguidas facilmente.

Analogamente, quando a luz é intensa, muitos quanta de luz se deslocam por segundo, enquanto que luz de baixa intensidade é formada por poucos quanta por segundo. Da mesma forma como as gotas aparecem em diferentes tamanhos, as de maiores massas tendo as maiores energias cinéticas, os quanta de freqüências mais altas possuem maiores energias. Embora essa analogia não seja perfeita, ela fornece uma imagem útil dos quanta de luz em incidência sobre uma superfície.

Para a maioria das fontes de luz, os quanta não são mais distinguíveis do que as gotas individuais durante uma chuva torrencial.

Um quantum de luz possui uma energia de um quantum de luz Qual é a energia de um quantum de luz com comprimento de onda de 500 nm? RESOLUÇÃOA luz de comprimento de onda igual a 500 nm possui uma AVALIAÇÃO Uma vez que 500 nm é um comprimento de onda típico da freqüência luz visível (percebida como luz verde), você pode notar que o elétronvolt é uma unidade de energia mais apropriada, neste caso, do que o joule. EXEMPLO 39.2A energia

Os postulados de Einstein Einstein enunciou três postulados sobre os quanta de luz e suas interações com a matéria:

1. A luz de freqüência f consiste em quanta discretos, cada qual com energia E  hf. Cada fóton viaja à velocidade da luz, c. 2.

Os quanta de luz são emitidos ou absorvidos integralmente. Uma substância pode emitir 1, 2 ou 3 quanta, mas não 1,5 quantum. Analogamente, um elétron de um metal não pode absorver meio quantum, e sim, apenas um número inteiro deles.

3. Um quantum de luz, quando absorvido pelo metal, transfere a totalidade de sua energia a um único elétron. Esses três postulados – que a luz incide em porções, que as porções não podem ser divididas e que a energia de uma porção é entregue a um elétron apenas NOTA 

– são cruciais a compreensão das novas idéias que clássica, srcinaramsegundo a física quântica. Eles estão para em total oposição aos conceitos da física a qual a energia pode ser continuamente subdividida e compartilhada; portanto, merecem atenção especial. 

1214

Física: Uma Abordagem Estratégica Vamos entender como os postulados de Einstein foram aplicados ao efeito fotoelétrico. Se Einstein estiver correto, a luz com freqüência f que ilumina o metal é uma torrente de quanta de luz, cada um com energia hf. Cada quantum é absorvido por um elétron, cedendo ao elétron uma energia Eelétron  hf. Isso gera várias conclusões interessantes:

Um quantum de luz com energia E0.

1. Um elétron que recém absorveu um quantum de luz possui Eelétron  hf. (A energia térmica do elétron à temperatura ambiente é tão menor do que hf que podemos desconsiderá-la.) A FIGURA 39.8indica que esse elétron pode escapar do metal, tornando-se um fotoelétron, se (39.5)

Função-trabalho E0

Em outras palavras, existe uma freqüência de limiar Um elétron absorveu completamente a energia de um quantum de luz e escapou.

FIGURA 39.8A criação de um fotoelétron.

(39.6) para a ejeção de fotoelétrons. Se f for menor que f0, mesmo por uma pequena diferença, nenhum elétron terá energia suficiente para escapar, independentemente de quão intensa seja a iluminação. Todavia, mesmo uma luz fraca com transferirá energia suficiente para que alguns elétrons escapem, pois cada quantum de luz transfere toda a sua energia para um único elétron. Esse comportamento limiar é exatamente o que foi observado por Lenard. A freqüência de limiar é diretamente proporcional à função-trabalho. Metais com função-trabalho elevada, tais como o ferro, o cobre e o ouro, exibem o efeito fotoelétrico somente quando iluminados com luz ultravioleta de alta freqüência. Para metais com valores de E0 menores, como o sódio e o potássio, a fotoemissão ocorre para freqüências mais baixas, no visível.  NOTA 

2. Uma iluminação mais intensa transfere maior quantidade de quanta de luz para a superfície. Esses quanta ejetam um número maior de fotoelétrons e geram correntes mais intensas, exatamente conforme observado. Hádiferentes uma distribuição energias cinéticas, pois diferentes 3. de energiasdepara escapar, mas a energia cinéticafotoelétrons máxima é necessitam (39.7) Pedra

Água

Classicamente, a energia da pedra é dividida entre todas as moléculas da água. Uma pedrinha causa apenas ondas pequenas.

Como se pode notar na Equação 39.3, o potencial de corte Vcorte é diretamente proporcional a Kmax. A teoria de Einstein prevê que o potencial de corte está relacionado com a freqüência luminosa através de (39.8) O potencial de corte não depende da intensidade da luz. Tanto iluminações fracas quanto intensas apresentarão o mesmo potencial de corte, conforme Lenard observara, mas sem a explicação anterior. 4. Se cada quantum de luz transfere sua energia hf para apenas um elétron, esse elétron imediatamente adquire energia para escapar. A corrente deve, então, ser instantânea, sem retardos, exatamente como observado por Lenard. Novamente, através da analogia da piscina, a FIGURA 39.9ilustra uma pedrinha lançada à água. A pedrinha aumenta a energia da água, mas tal acréscimo é dividido entre to-

Se a pedra pudesse transferir toda a sua energia para uma gota, a gota poderia facilmente escapar da piscina. FIGURA 39.9Uma pedra transfere energia

para a água.

das moléculas da água piscina. aumento para de energia da água suficiente para gerarasapenas marolas, nemda perto de serOsuficiente lançar água paraé fora da piscina. Admita, porém, que toda a energia da pedra pudesse ser transferida para uma gota de água que não precisasse reparti-la. A gota de água obteria facilmente a energia para sair da piscina. A hipótese de Einstein de que um quantum de luz transfere toda a sua energia para um único elétron é equivalente à pedra que transfere toda a sua energia para uma única gota de água.

CAPÍTULO 39

Quantização

■

1215

Uma previsão A hipótese de Einstein explica não apenas as observações de Lenard, mas faz uma nova previsão. De acordo com a Equação 39.8, o potencial de corte deveria ser uma função linear crescente da freqüência luminosa f. Podemos reescrever a Equação 39.8 em termos da freqüência de limiar f0  E0/h como (39.9) Um gráfico do potencial de corte Vcorte versus freqüência da luz f deveria partir do zero, em f  f0, e aumentar linearmente com declividade h/e. De fato, a declividade do gráfico fornece um método de mensuração da constante de Planck. Lenard não havia medido o potencial de corte para diferentes freqüências, de modo que Einstein propôs isto como uma previsão não-testada de sua teotia. Robert Millikan, já então bem-conhecido por seu experimento da gota de óleo para medir e, aceitou o desafio. Alguns dos dados de Millikan para um cátodo de césio estão reproduzidos na FIGURA 39.10 . Como podemos notar, as previsões de Einstein sobre a existência de uma relação linear entre f e Vcorte foram confirmadas. Millikan mediu a declividade de seu gráfico e a multiplicou por e (cujo valor ele havia medido alguns anos antes com o experimento da gota de óleo) a fim de determinar h. O valor obtido concordava com o valor que Planck determinara em 1900 em um experimento totalmente distinto. Os quanta de luz, gostassem os físicos ou não, eram reais. EXEMPLO 39.3A freqüência de limiar do efeito

fotoelétrico Quais são as freqüências limiares e os comprimentos de onda de fotoemissão para o sódio e para o alumínio? RESOLUÇÃO A Tabela 39.1 fornece a função-trabalho do sódio como E0  2,75 eV. A do alumínio éE0  4,28 eV. Podemos usar a Equação 39.6, com h expresso em eV, e calcular

Vcorte

Declividade  4,12410

15

V/Hz

, FIGURA 39.10Um gráfico dos dados de

Millikan para o potencial de corte em função da freqüência luminosa.

Essas freqüências podem ser convertidas para comprimentos de onda via resultando em

AVALIAÇÃO O efeito

fotoelétrico pode ser observado com sódio para Isso inclui a luz visível azul e a violeta, mas não inclui o vermelho, o laranja, o amarelo ou o verde. O alumínio, com maior função-trabalho, necessita travioleta,  < 290 nm. de comprimentos de onda situados no ul-

Como K  ½ mv2, onde m é a massa do elétron, e não, a massa de um máxima dos fotoelétrons Qual é a máxima velocidade dos fotoelétrons se o sódio for iluminado átomo de sódio, a velocidade máxima para um fotoelétron que sai do cátodo é com luz de 300 nm? RESOLUÇÃO A freqüência da luz é portanto cada quantum de luz possui energia hf  4,14 eV. A energia cinética máxima dos fotoelétrons é Observe que tivemos de converterKmax para a unidade do SI, o joule, antes de calcular a velocidade em m/s. EXEMPLO 39.4Velocidade

PARE E PENSE 39.1 A função-trabalho de um metal A é 3,0 eV. Os metais B e C possuem funções-trabalho de 4,0 eV e 5,0 e V, respectivamente. Luz ultravioleta ilumina os três metais, gerando fotoelétrons. Ordene em seqüência decrescente os potenciais de corte

de A, B e C.

1216


39.3 Fótons

Oscilação do campo eletromagnético

FIGURA 39.11Um pacote de ondas tem

propriedades ondulatórias e corpusculares.

Ao contrário do que muitos pensam, Einstein recebeu o prêmio Nobel em 1921 não pela teoria da relatividade, mas pela explicação do efeito fotoelétrico. Embora Planck tenha sugerido inicialmente, foi Einstein quem mostrou de forma convincente que a energia é quantizada e que a luz, apesar de exibir interferência, comporta-se como se fosse formada por pacotes de energia. Tais unidades fundamentais de energia luminosa foram denominadas, mais tarde, fótons. Mas o que são exatamente os fótons? Embora eles possuam características de partículas, os fótons claramente não se ajustam à idéia clássica associada a uma partícula. Ao incidir em um aparato de fenda dupla de Young, uma partícula clássica atravessaria um orifício ou outro. Neste caso, se a luz fosse constituída de partículas clássicas, veríamos dois pontos brilhantes na tela. Em vez disso, observamos franjas de interferência no experimento de fenda dupla. No Capítulo 25, observamos que o padrão de interferência pode ser construído fóton a fóton quando a intensidade da luz é muito baixa. Esse comportamento indica que o fóton deve, de algum modo, passar por ambas as fendas e interferir consigo mesmo! Os fótons parecem revelar, ao mesmo tempo, comportamento ondulatório e comportamento corpuscular. Às vezes visualizamos os fótons como pacotes de ondas. A onda eletromagnética mostrada na FIGURA 39.11possui comprimento de onda e freqüência definidos, mas ela é discreta e localizada. Todavia ela não pode ser exatamente um fóton, pois neste caso um pacote de ondas demoraria um tempo finito para ser absorvido ou emitido. Em vez disso, fótons são emitidos ou absorvidos instantaneamente; não existe qualquer instante de tempo correspondente a uma “meia absorção”. A idéia do pacote de ondas, apesar de útil, ainda é muito clássica para representar um fóton. Em resumo, não existe um modelo mental “verdadeiro” do fóton. Analogias com gotas de chuva ou com pacotes de onda são úteis, mas nenhuma delas é perfeitamente precisa. Podemos detectar fótons, medir suas propriedades ou utilizá-los na prática, mas sua natureza permanece um mistério. Parafraseando Gertrude Stein, diríamos: “Um fóton é um fóton é um fóton”.

A taxa de emissão de fótons Na analogia com gotas de chuva, a luz consiste de uma enxurrada de fótons. No caso de luz monocromática de freqüência f, N fótons possuem energia total Eluz  Nhf. Normalmente estamos mais interessados na potência luminosa ou na taxa (em joules por segundo) segundo a qual a energia luminosa é transmitida. A potência é igual a (39.10) onde R  dN/dt é a taxa segundo a qual os fótons incidem ou, equivalentemente, o número de fótons por segundo.

EXEMPLO 39.5A taxa de emissão de fótons

Fotodetectores de silício podem ser ativados por fótons com energias tão baixas quanto 1,1 eV, o que corresponde a comprimentos de onda no infravermelho. O chip sensível à luz de uma câmera digital pode detectar o sinal infravermelho gerado por um controle remoto. Pressione um botão de seu controle remoto, mire em sua câmera digital e tire uma foto. A fotografia revelará claramente o infravermelho emitido pelo controle remoto, embora o sinal seja invisível a olho nu.

por um laser

O feixe luminoso de 1,0 mW de um laser de hélio-neônio (   633 nm) ilumina uma tela. Quantos fótons atingem a tela por segundo? RESOLUÇÃO A potência do feixe de luz, ou energia transmitida por segundo, é P  1,0 mW  0,0010 J/s. Trata-se de um valor realista. A freqüência da luz é igual a O número de fótons que atingem a tela por segundo, ou seja,taxa a de emissão dos fótons, é

AVALIAÇÃOIsso é um monte

de fótons por segundo. Por isso não os notamos individualmente!

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1217

Fotodetectores Os fotodetectores modernos são descendentes do efeito fotoelétrico. Eles variam desde simples “olhos elétricos” até complexos conjuntos de detectores em câmeras de vídeo. A maioria dos detectores utiliza fotodiodos, nos quais os fotoelétrons são emitidos internamente por um semicondutor. Ainda assim, esses dispositivos possuem uma freqüência de corte, um potencial de corte e outras características do efeito fotoelétrico. Níveis de iluminação muito baixos podem ser detectados fóton a fóton através de um aparelho denominado tubo fotomultiplicador (PMT, do inglês photomultiplier tube). A FIGURA 39.12amostra que um PMT consiste de um cátodo, um ânodo e um número de eletrodos intermediários, selados em um tubo de vidro sem ar. O cátodo é recoberto com um material de baixa função-trabalho, o que lhe permite responder à grande maioria dos comprimentos de onda visíveis. O cátodo é mantido em uma voltagem relativamente alta, e o ânodo, essencialmente, a zero volt. Potenciais continuamente decrescentes são aplicados aos eletrodos intermediários. Um fóton de luz ejeta um fotoelétron do cátodo. O campo elétrico entre o cátodo e o primeiro eletrodo acelera esse elétron através de uma diferença de potencial de 300V, fazendo-o chegar ao eletrodo em alta velocidade. Quando o elétron veloz colide com a superfície de um metal, ele retira do material dois ou três outros elétrons, ditos elétrons secundários. Os elétrons secundários oriundos do primeiro eletrodo são acelerados até o segundo eletrodo, onde liberam mais elétrons, que se deslocam até o terceiro eletrodo, onde liberam outros elétrons, e assim por diante. Forma-se uma reação em cadeia de multiplicação de elétrons – 1, 2, 4, 8, 16,... – à medida que eles se movem do cátodo para o ânodo. Em um PMT típico, um único elétron emitido pelo cátodo gera 106 ou 107 outros elétrons, que acabam por chegar ao ânodo. Os elétrons são coletados pelo ânodo e passam por um resistor. Como são cargas condutoras negativas, podemos dizer que uma corrente positiva flui pelo resistor em sentido contrário. Isso cria uma voltagem negativa no resistor, durante o tempo que dura a passagem da corrente. A FIGURA 39.12b, reprodução de uma medição real, mostra um pulso gerado por um único fóton. A escala horizontal é de 0,2 ns/divisão, e a vertical, de 20 milivolts (mV)/divisão. Você pode verificar que a largura do pulso é de 0,3 ns e que a altura (medida para baixo a partir da base) é de 120 mV  0,12V. Não se trata de uma voltagem grande, mas ela é facilmente mensurável com a eletrônica 



moderna. A duração do pulso, de 0,3 ns, não é indicação da duração de um fóton. A absorção do fóton é instantânea, mas como a cascata de elétrons cresce em número, a repulsão elétron-elétron faz com que o feixe de elétrons se espalhe um pouco. A largura do pulso é uma característica do PMT, e não, do fóton.  NOTA



PARE E PENSE 39.2 A intensidade de um feixe de luz aumenta, mas a freqüência permanece constante. Qual ou quais das seguintes afirmações são verdadeiras? a. Os fótons viajam mais rapidamente. b. Cada fóton tem maior energia. c. Os fótons são maiores. d. Há mais fótons por segundo.

39.4 Ondas de matéria e quantização da energia Em 1924, Louis-Victor de Broglie era um estudante francês de doutorado. Aos 19 anos, Einstein havia abalado o mundo da física ao esmaecer a distinção entre uma partícula e uma onda. Ao refletir sobre o assunto, parecia a de Broglie que a natureza deveria possuir alguma forma de simetria. Se ondas luminosas revelavam comportamento corpus-

Um tubo fotomultiplicador Voltagens dos eletrodos Elétrons Cátodo I

te n e rr o C

Fóton Tubo a vácuo

Ânodo O feixe de elétrons aumenta após cada colisão com um eletrodo.

Sinal de saída produzido por um único fóton

) v i d / V m 0 2 ( a d í a s e d m e g a lt o V

Voltagem da fonte: 3000V Tempo de subida: 150 ps Tempo de descida: 360 ps Largura do pulso: 300 ps Tempo (0,2 ns/div)

FIGURA 39.12Um tubo fotomultiplicador

pode detectar fótons individuais.

1218


cular, por que partículas materiais não poderiam apresentar comportamento ondulatório? Em outras palavras, existiriam ondas de matéria? Sem evidência experimental para prosseguir, de Broglie raciocinou por meio de analogias, usando a equação de Einstein para o fóton e idéias oriundas da teoria da relatividade. Não precisamos nos preocupar com os detalhes, mas eles levaram de Broglie a postular que, se uma partícula material com momentum tivesse comportamento ondulatório, seu comprimento de onda deveria ser dado por (39.11) onde h é a constante de Planck. Esse comprimento de onda é denominado comprimento de onda de de Broglie . EXEMPLO 39.6O

comprimento de onda de de Broglie de um elétron

Qual é o comprimento de onda de de Broglie de um elétron com 1,0 eV? –19 RESOLUÇÃO Um elétron com 1,0 eV 1,6  10 J de energia cinética possui uma velocidade

Apesar de veloz para os padrões macroscópicos, trata-se de um elétron lento, pois ele ganha velocidade através de um potencial de apenas 1,0 V. Seu comprimento de onda de de Broglie é

AVALIAÇÃOO comprimento de onda do elétron é pequeno, mas é maior

do que o comprimento de onda dos raios X e do que o espaçamento entre os átomos de um cristal, aproximadamente.

O que significa associar um comprimento de onda à matéria – um elétron, um próton ou uma bola de beisebol? Essas ondas obedeceriam ao princípio da superposição? Elas exibiriam interferência e difração? Essas questões foram examinadas no Capítulo 25, onde verificamos que a matériade fato exibe interferência. AFIGURA 39.13, por exemplo, mostra um padrão de intensidade obtido pela passagem de elétrons de 50 keV através de duas fendas separadas por 1,0m. Vê-se claramente um padrão de interferência de fenda dupla, e o espaçamento entre as franjas corresponde ao predito para um comprimento de onda dado pela fórmula de de Broglie. O feixe de elétrons é de baixa intensidade, com um elétron atravessando o aparelho de cada vez, o que aparentemente significa que, de alguma forma, cada elétron passa por ambas as fendas e interfere consigo mesmo!

FIGURA 39.13Um padrão de interferência

de fenda dupla gerado por elétrons.

Os elétrons são partículas subatômicas fundamentais. Talvez partículas subatômicas possuam comportamento ondulatório. E quanto aos átomos, formados por muitas partículas fundamentais? Surpreendentemente, pesquisas realizadas durante os anos 1980 demonstraram que átomos, e até mesmo moléculas, podem produzir padrões de interferência. A FIGURA 39.14 representa, esquematicamente, um interferômetro atômico. Você

aprendeu no Capítulo 22 que um interferômetro, como o de Michelson, funciona pela di-

A onda atômica é dividida em A por difração através de uma onda luminosa estacionária. Espelho Onda luminosa estacionária

Detector

Átomos

Laser Divisor de feixe Partes da onda viajam por diferentes caminhos FIGURA 39.14Um interferômetro atômico.

As ondas são recombinadas em D

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1219

visão de uma frente de onda em duas ondas, que seguem caminhos distintos e depois são recombinadas. No caso de ondas luminosas, a divisão é feita pelo envio da luz através de uma rede de difração de fendas periódicas . Em um interferômetro atômico, a onda de matéria associada ao átomo é dividida pelo envio do átomo através das modulações periódicas de intensidade de uma onda luminosa estacionária. Na figura, note que um laser cria três ondas luminosas estacionárias paralelas, cada qual com nodos separados por uma distância /2. O comprimento de onda é definido de maneira que as ondas luminosas exerçam pequenas forças sobre um átomo que atravesse o feixe de laser. Como a intensidade ao longo da onda estacionária alterna entre máximos, nos antinodos, e zeros, nos nodos, um átomo que cruze o laser experimentará uma força periódica. Enquanto um átomo, comportando-se como partícula, fosse desviado por tal força periódica, uma onda seria difratada. Após ser difratado pela primeira onda estacionária em A, o átomo desloca-se, de alguma maneira, na direção de ambos os pontos B e C. A segunda onda estacionária difrata as ondas atômicas novamente nos pontos B e C, direcionando-as para D, onde, em uma terceira difração, elas são recombinadas após percorrerem caminhos distintos. Dependendo das fases das ondas ao se recombinarem, o detector registrará átomos (interferência construtiva) ou não (interferência destrutiva). A alteração de um dos caminhos através, por exemplo, da aplicação de um campo elétrico na região próxima a B, e não, na região próxima a C, muda as fases das ondas atômicas e produz franjas de interferência no detector. O interferômetro atômico é fascinante, pois ele inverte completamente tudo o que aprendemos sobre interferência e difração. Os cientistas que estudaram a natureza da luz no século XIX faziam incidir luz (uma onda) sobre uma rede de difração (estrutura periódica de matéria) e constatavam que a luz era difratada. Atualmente, podemos lançar átomos (matéria) sobre uma onda estacionária (estrutura periódica de luz) e constatar que os átomos são difratados. Os papéis da luz e da matéria foram invertidos!

Quantização da energia De Broglie concebia uma onda de matéria como uma onda progressiva. Admita, porém, que uma “partícula” de matéria fosse confinada a uma pequena região do espaço e não pudesse deixá-la. Como se manifestariam as propriedades ondulatórias da matéria? Esse é o problema da “partícula em uma caixa” que estudamos no Capítulo 25. Resumiremos nosso estudo anterior. A FIGURA 39.15representa uma partícula de massa que ricocheteia entre os extremos de uma caixa de comprimento L. Entre os extremos, a partícula move-se com velocidade v. Chamaremos isso de caixa unidimensional; sua largura é irrelevante. Uma onda que se reflete entre dois extremos fixos gera uma onda estacionária. No Capítulo 21, você aprendeu que uma onda estacionária de comprimento L deve possuir um comprimento de onda dado por (39.12) Se a partícula confinada possui propriedades ondulatórias, ela deve satisfazer tanto à Equação 39.12 quantoà relação de de Broglie , ou seja, uma partícula confinada em uma caixa deve obedecer à relação

Isto só pode ser verdadeiro se o módulo da velocidade da partícula for dado por (39.13) Em outras palavras, a partícula não pode deslocar-se dentro da caixa com uma rapidez qualquer. Em vez disso, ela pode ter somente os valores de velocidade dados pela Equação 39.13, para os quais o comprimento de onda de de Broglie gera uma onda estacionária na caixa.

Ondas de matéria se deslocam em ambos os sentidos. FIGURA 39.15Uma partícula em uma caixa

gera uma onda de de Broglie estacionária enquanto se desloca e se reflete nos extremos.

1220


Portanto a energia da partícula, puramente cinética, é igual a (39.14) A hipótese de de Broglie sobre o comportamento ondulatório da matéria nos leva à fantástica conclusão de que a energia de uma partícula confinada é quantizada. A energia da partícula na caixa pode ser ou ou porém não pode assumir valores intermediários. Os valores possíveis para a energia da partícula são denominados níveis de energia, e o inteiro n que os caracteriza é denominado número quântico. O número quântico pode ser encontrado contando-se os antinodos, como você aprendeu no caso das ondas estacionárias em umaé corda. A onda estacionária da Figura 39.15 corresponde a n portanto sua energia E3. Podemos reescrever a Equação 39.14 na forma usual



3,

(39.15) onde (39.16) é o quantum fundamental de energia de uma partícula confinada em uma caixa unidimensional. Ela é análoga à freqüência fundamental f1 de uma onda estacionária em uma corda. EXEMPLO 39.7Os níveis de

energia de uma gotícula de óleo

Qual é a quantidade fundamental de energia para uma gotícula de óleo usada por Millikan com 1,0 m de diâmetro, quando confinada em uma caixa de comprimento 10 m? A densidade do óleo é de 900 kg/m3. 

V, onde opossui RESOLUÇÃO A massa umagota gotícula volume é igual a estimativa mostra quedeuma de 1,0émm dediâmetro massa

. Uma rápida O comprimento de confinamento éL  1,0  10–5. Da Equação 39.16, o quantum fundamental de energia é

AVALIAÇÃO Essa quantidade de energia é tão diminuta que não há esperança de distinguirmos entre E1, ou 4E1, ou 9E1. Para quaisquer partículas macroscópicas, mesmo as menores, as energias permitidas parecem formar um contínuo. Nessas situações, não observaremos a

quantização.

EXEMPLO 39.8Os níveis de energia de u m elétron

Quais são as três primeiras energias permitidas para um elétron confinado em uma caixa unidimensional de 0,10 m de comprimento, o tamanho aproximado de um átomo? RESOLUÇÃO Podemos usar a Equação 39.16, com melétron  9,11  10–31 kg e L  1,0  10–10 m para determinar que o quantum de energia fundamental é igual a E1  6,0  10 –18 J  38 eV. Portanto, as três

primeiras energias permitidas para um elétron em uma caixa de 0,10 nm de comprimento são

Aprendemos que o confinamento de uma partícula gera uma onda estacionária de de Broglie e que uma onda estacionária possui apenas determinados comprimentos de onda discretos. Portanto, descobrimos que uma partícula confinada pode assumir apenas certos níveis de energia discretos, ou seja, o confinamento de uma partícula conduz

CAPÍTULO 39

■

Quantização

diretamente à quantização de sua energia. Embora uma partícula em uma caixa não constitua um modelo realista do átomo, trata-se de um exemplo simples e ilustrativo. Um elétron confinado em um átomo real deve corresponder a uma onda estacionária tridimensional bem mais complexa, mas, tal como uma partícula em uma caixa, ele possuirá energias quantizadas. Ademais, esperamos que a diferença típica entre os níveis de energia seja de alguns elétron-volts. Esse é um resultado intrigante. Descobrimos que fótons de luz visível ou ultravioleta possuem energias de alguns elétron-volts. Também sabemos que os átomos emitem comprimentos de onda discretos no visível e no ultravioleta. Agora, vemos que o espaçamento entre os níveis de energia de um elétron confinado em um átomo é da ordem de alguns elétron-volts. Haverá alguma conexão entre esses fenômenos? Exploraremos esse tópico na próxima seção. PARE E PENSE 39.3 Qual é o número quântico desta partícula confinada em uma caixa?

39.5 O modelo atômico quântico de Bohr O elétron de Thomson e o núcleo de Rutherford indicaram que o átomo possuía algum tipo de estrutura. O desafio do início do século XX era deduzir, a partir das evidências experimentais, a estrutura correta. A dificuldade não pode ser exagerada. As evidências sobre átomos, tais como as observações dos espectros atômicos, eram indiretas, e os equipamentos de medição, muito rudimentares. Usando as observações como guias, os físicos tentavam construir um modelo de átomo que pudesse explicar os vários experimentos. O modelo nuclear de Rutherford era o mais bem-sucedido, mas não explicava por que átomos são estáveis e seus espectros são discretos. A peça do quebra-cabeça que permaneceu sem ser notada por alguns anos era o conceito de quanta de luz, introduzido por Einstein em 1905. Se a luz existe em pacotes de energia discretos, que atualmente denominamos fótons, e se átomos emitem e absorvem luz, o que podemos afirmar sobre a estrutura desses átomos? Essa foi a questão proposta por Niels Bohr. Bohr, cuja fotografia quando jovem aparece na FIGURA 39.16, nasceu, foi educado e passou a maior parte da vida na Dinamarca. Posteriormente, ele fundou um instituto em Copenhague que, por muitas décadas, foi o grande centro de desenvolvimento da física quântica. Embora poucas descobertas estejam associadas ao nome de Bohr, ele foi a força intelectual direcionadora dos desenvolvimentos em mecânica quântica e o mentor de muitos jovens físicos que reformularam a física nas décadas de 1920 e 1930. Após obter seu doutorado em física em 1911, Bohr viajou para a Inglaterra e trabalhou no laboratório de Rutherford. No ano anterior, Rutherford acabara de finalizar o desenvolvimento de seu modelo atômico nuclear. O modelo de Rutherford certamente possui um cerne de verdade, mas Bohr queria entender como um modelo do tipo sistema solar poderia ser estável, em vez de irradiar toda sua energia. Ele logo reconheceu que os quanta de Einstein trariam profundas implicações para a estrutura dos átomos. Em 1913, Bohr propôs um modelo radicalmente novo de átomo, no qual ele adicionava a quantização ao modelo nuclear de Rutherford. As hipóteses básicas do modelo atômico de Bohr são as seguintes:

1. Um átomo consiste de elétrons negativos em órbita em torno de um núcleo positivo e muito pequeno, como no modelo de Rutherford. 2. Os átomos existem apenas em certos estados estacionários. Cada estado estacionário corresponde a um conjunto especifico de órbitas eletrônicas ao redor do núcleo. Estes estados são distintos e podem ser numerados por n  1, 2, 3, 4..., onde n é o número quântico.

18.1

FIGURA 39.16Niels Bohr.

1221

1222


3. Cada estado estacionário possui uma energia discreta e bem-definida En, ou seja, as energias atômicas são quantizadas. Os estados estacionários de um átomo são numerados em ordem de energia crescente: E1 < E2 < E3, E4 <.... 4. O estado de energia mais baixo do átomo, de energia E1, é estável e pode existir indefinidamente. Ele é denominado estado fundamental do átomo. Outros estados estacionários com energias E2, E3, E4...... são denominados estados excitados do átomo. 5. Um átomo pode “saltar” de um estado estacionário para outro através da emissão ou absorção de um fóton de freqüência (39.17)

Emissão e absorção de luz Elétron no estado Órbitas permitidas excitado

O elétron salta para um estado estacionário de energia mais baixo e emite um fóton.

Fóton incidente

O elétron absorve o fóton e salta para um estado estacionário de energia mais alto.

Excitação colisional Partícula incidente

Ei e Ef são, respectivamenonde h é a constante de Planck e te, as energias dos estados inicial e final. Este salto é chamado de transição ou, às vezes, de salto quântico. A FIGURA 39.17atraz uma visão esquemática da emissão e absorção de fótons em um átomo com estados estacionários. 6. Um átomo pode mudar de um estado de menor energia para um de maior energia pela absorção de uma energia em uma colisão inelástica com um elétron ou com outro átomo. Este processo, denominado excitação colisional, é ilustrado na FIGURA 39.17b. 7. Átomos tendem ao estado fundamental. Em um estado excitado e deixado por sua conta, um átomo saltará para estados de energias cada vez mais baixos, até atingir o estado fundamental.

O modelo de Bohr foi construído a partir do de Rutherford, mas adicionou duas idéias novas que se srcinaram da noção dequanta, de Einstein. A primeira delas, expressa no item 2, afirma que apenas algumas órbitas são “permitidas” oupodem existir. A segunda, expressa na hipótese 5, afirma queo átomo pode saltar de um estado para outro pela emissão ou absorção de fótons com a freqüência exata paraque a energia seja conservada . De acordo com Einstein, um fóton de freqüência f possui energia Efóton  hf. Se um átomo saltar de um estado inicial de energiaEi para um estado final de energiamais baixo Ef, a energia será conservada se o átomo emitir um fóton com Efóton   Eátomo. A fim de carregar a quantidade de energia correta, esse fóton deve possuir a freqüência dada exatamente pela equação 39.17. Analogamente, um átomo pode saltar para um estado de energia mais alto, para o que necessita de energia adicional, através da absorção de um fóton de freqüência Efóton  Eátomo/h. A energia total do sistema átomo + luz é conservada.

Quando um átomo é excitado para um nível mais alto pela absorção de um fóton, o fóton desaparece. Portanto a conservação da energia requer Efóton  Eátomo. Quando um átomo é excitado para um nível mais alto através da colisão com uma partícula, como por exemplo um elétron ou outro átomo, essa partícula ainda existirá após a colisão e possuirá uma determinada energia. Portanto, neste caso, a conservação da energia se traduz em uma condição menos estrita: Epartícula  Eátomo.  NOTA 

A partícula perde energia

Na colisão, a partícula transfere energia para o átomo, excitando-o.

FIGURA 39.17Um átomo pode mudar

de estado estacionário pela emissão ou absorção de um fóton ou por colisões.

As implicações do modelo de Bohr são profundas. Em especial:

1. A matéria é estável. Não existem estados de energia mais baixos se um átomo se encontra em seu estado fundamental. Ele pode permanecer neste estado indefinidamente. 2. Os átomos emitem e absorvem um espectro discreto. Somente os fótons cujas freqüências correspondam aos intervalos de energia entre os estados estacionários podem ser absorvidos ou emitidos. Fótons de outras freqüências não podem ser absorvidos ou emitidos semser violar a conservação de energia. 3. Espectros de emissão podem produzidos por colisões . Em um tubo de descarga de gás, os elétrons portadores de corrente que se movem através do tubo colidem ocasionalmente com os átomos. Uma colisão transfere energia para um átomo e pode conduzi-lo a um estado excitado. Uma vez no estado excitado, ao retornar a estados de energia mais baixos, o átomo emite um fóton de luz – espectro de emissão discreto. 4. Os comprimentos de onda de absorção formam um subconjunto dos comprimentos de onda do espectro de emissão.Lembre-se de que todas as linhas obser-

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1223

vadas em um espectro de absorção estão também presentes em emissão, mas muitas linhas de emissão não estão presentes em absorção. De acordo com o modelo de Bohr, a maioria dos átomos passa a maior parte do tempo no estado mais baixo de energia, o estado fundamentaln  1. Portanto, o espectro de absorção consiste apenas das transições 1→ 2, 1 → 3,... nas quais o átomo salta den  1 para valores mais altos de n através da absorção de um fóton. Transições tais como → 2 3 não são observadas pois quase não existem átomos emn  2 a qualquer instante. Em contrapartida, os átomos que foram excitados para o estadon  3 por colisões podem emitir fótons que correspondem às transições 3→ 1 e 3 → 2. Portanto, o comprimento de onda correspondente aEátomo  E3 – E1 é visto tanto em emissão quanto em absorção, mas transições comEátomo  E3 – E2 ocorrem apenas em emissão. 5. Cada elemento da tabela periódica possui um espectro próprio. As energias dos estados estacionários são as energias dos elétrons em órbita. O átomo não possui outra forma de energia. Elementos diferentes, com diferentes números de elétrons, possuem órbitas estáveis distintas e, conseqüentemente, distintos estados estacionários. Estados com diferentes energias emitem ou absorvem fótons de comprimentos de onda diferentes. EXEMPLO 39.9O

comprimento de onda de um fóton emitido

Um átomo possui estados estacionários com energias Ej  4,00 eV e Ek  6,00 eV. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido em um salto quântico do estado k para o estado j?

A freqüência do fóton é

O comprimento de onda desse fóton é

MODELO Para que a energia seja conservada, o fóton emitido deve pos-

suir exatamente a energia perdida pelo átomo em seu salto quântico. RESOLUÇÃO O átomo pode saltar de um estado de energia mais alto para um estado de energia mais baixo através da emissão de um fóton. AVALIAÇÃOUm comprimento de onda de 621 nm pertence à luz visível. A variação de energia do átomo é igual a Eátomo  – 2,00 eV, de modo que a energia do fóton deve ser igual aEfóton  2,00 eV.

Diagramas deníveis níveis de energia de energia, tal como o da FIGURA 39.18 Um diagrama de , é uma representação pictórica útil das energias dos estados estacionários. Um diagrama de níveis de energia é mais próximo de um desenho do que de um gráfico. O eixo vertical representa a energia, mas o eixo horizontal não representa uma escala.Pense nele como a representação deuma escada em que as energias são os degraus. O degrau mais baixo, com energiaE1, é o estado fundamental. Degraus mais altos são identificados por seusnúmeros quânticos,n  2, 3, 4,... Aumento de energia

Estas são as energias permitidas. O átomo não pode assumir energias entre esses valores.

Estados excitados Estas são transições do espectro de absorção.

Nessas transições, a partir de n 4, fótons são 

emitidos. Estado fundamental

FIGURA 39.18Um diagrama de níveis de energia.

Os diagramas de níveis de energia são especialmente úteis para mostrar as transições, ou saltos quânticos, nos quais um fóton de luz é emitido ou absorvido. Por exemplo, a Figura 39.18 representa transições para cima nas quais um fóton é absorvido por um átomo

1224


srcinalmente no estado fundamental (n  1); ela também mostra transições para baixo, nas quais um fóton é emitido a partir de um estado excitado, correspondentena 4. EXEMPLO 39.10Emissão e absorção

RESOLUÇÃO Esse átomo absorverá fótons nas transições 1 → 2 e 1 → Um átomo possui estados estacionários com energias E1  0,00 eV, 3, com E1 → 2  3,00 eV e E1 → 3  5,00 eV. Usando as relações e determinamos os comprimentos de onda do E2  3,00 eV e E3  5,00 eV. Quais comprimentos de onda são obserespectro de absorção como vados no espectro de absorção e de emissão desse átomo? MODELO Um fóton é emitido quando um átomo sofre um salto quântico de um nível de energia mais alto para outro, mais baixo. Um fóton é absorvido em um salto quântico de um nível de energia mais baixo para outro, mais alto. Porém a maioria dos átomos encontra-se no estado fundamental, n  1, de modo que os únicos saltos quânticos

observados na absorção partem do estadon  1. VISUALIZAÇÃO A FIGURA 39.19representa um diagrama de níveis de energia para o átomo. , ,

O espectro de emissão também apresentará os comprimentos de onda 414 nm e 248 nm oriundos das transições 2 → 1 e 3 → 1, dos estados excitados 2 e 3 para o estado fundamental. Adicionalmente, o espectro de emissão apresentará o salto quântico 3 → 2 com E3 → 2  –2,00 eV, que não é observado em emissão porque existem poucos átomos no estadon = 2 no caso da absorção. No Exemplo 39.9, aprendemos que uma transição de 2,00 eV corresponde a um comprimento de onda de 621 nm. Então, os comprimentos de onda do espectro de emissão são

, As transições de absorção As transições de emissão devem partir de n 1. podem partir e terminar em qualquer estado. 

FIGURA 39.19Diagrama de níveis de energia de um átomo.

PARE E PENSE 39.4 Um fóton com um comprimento de onda de 414 nm possui energia Efóton  3,00 eV. Você espera observar uma linha espectral com   414 nm no espectro de emissão do átomo representado por este diagrama de níveis de energia? Em caso afirmativo, qual ou quais transições emitirão fótons? Você espera observar uma linha espectral com   414 nm no espectro de absorção? Em caso afirmativo, qual ou quais transições absorverão o fóton?

, ,

, ,

39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr A hipótese de Bohr era uma idéia nova e audaciosa, mas ainda havia uma enorme pedra no caminho: o que seriam os estados estacionários de um átomo? No modelo de Bohr tudo se apoiava na existência de estados estacionários, na existência de apenas algumas órbitas permitidas. Nada na física clássica, porém, fornecia uma razão para a existência de tais órbitas. Ademais, o modelo de Bohr descrevia apenas as conseqüências da existência de estados estacionários, mas não, como encontrá-los. Se tais estados realmente existissem, teríamos de avançar para além da física clássica para encontrá-los. A fim de atacar o problema, Bohr analisou o átomo de hidrogênio. Com apenas um elétron, o átomo de hidrogênio era já conhecido como o mais simples dos átomos. Aprendemos nos Capítulos 25 e 38 que Balmer descobrira uma fórmula relativamente simples que fornecia os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio. Qualquer modelo bem-sucedido de um átomo teria de poder derivar a fórmula de Balmer para o átomo de hidrogênio.

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1225

O artigo de Bohr seguiu uma linha de raciocínio tortuosa, o que não surpreende, pois havia pouco em que se apoiar na época. Nosso objetivo aqui é apresentar uma explanação clara das idéias, e não, um estudo histórico do método de Bohr, portanto seguiremos uma linha de análise que utiliza as ondas de matéria de de Broglie. Tais ondas não foram propostas antes de 1924, 11 anos após o artigo de Bohr, mas olhando em retrospectiva, notamos que o tratamento do elétron como uma onda torna mais direta uma análise do átomo de hidrogênio. Embora nossa rota seja diferente daquela seguida por Bohr, atingiremos o mesmo objetivo e ainda estaremos em melhor posição para compreender os trabalhos que se seguiram ao dele. NOTA  A análise de Bohr do átomo de hidrogênio é também chamada de átomo de Bohr e se aplica exclusivamente ao átomo de hidrogênio. É importante não confundila com os postulados mais gerais do modelo atômico de Bohr. Aqueles postulados,

que estudamos na Seção 39.5, aplicam-se a todos os átomos. A fim de tornar clara a distinção mencionada, chamaremos a análise de Bohr do átomo de hidrogênio de átomo de hidrogênio de Bohr. 

Os estados estacionários do átomo de hidrogênio A FIGURA 39.20representa um átomo de hidrogênio de Rutherford, com um único elétron em órbita em torno de um núcleo constituído por um único próton. Consideraremos que a órbita é circular, de raio r, e que a velocidade é v. Além disso, para simplificar a análise, admitiremos que o próton permaneça estacionário enquanto o elétron orbita. Essa hipótese é razoável, pois a massa do próton é aproximadamente 1800 vezes maior que a do elétron. Portanto, a energia do átomo é dada pela soma de sua energia cinética com sua energia potencial devido à interação elétron-próton, isto é, (39.18)

FIGURA 39.20Um átomo de hidrogênio

de Rutherford. O tamanho do núcleo está exagerado.

onde utilizamos qelétron = – e e qpróton = + e. NOTA  m é a massa do elétron, e não, do átomo inteiro.

elétron



O elétron, como já antecipamos, possui propriedades corpusculares e ondulatórias. Primeiro, tratemos o elétron como uma partícula carregada. O próton exerce uma força elétrica coulombiana sobre o elétron: (39.19) Essa força imprime ao elétron uma aceleração elétron elétron/m que aponta para o centro em todos os instantes. Ela é a aceleração centrípeta, que mantém a partícula em uma órbita circular. A aceleração centrípeta de uma partícula que se move com velocidade v em uma órbita circular de raio r deve se igualar a v2/r, de modo que (39.20) Rearranjando os termos, obtemos (39.21) A Equação 39.21 é uma restrição ao movimento. A velocidade v e o raio r devem obedecer à Equação 39.21 a fim de que o elétron se mova em uma órbita circular. Essa restrição não é exclusiva dos átomos. Descobrimos uma relação similar entre v e r em nosso estudo de órbitas de satélites. Agora tratemos o elétron como uma onda de de Broglie. Na Seção 39.4, aprendemos que uma partícula confinada em uma caixa unidimensional gera uma onda estacionária ao refletir-se nas extremidades. Lembre-se de que uma onda estacionária consiste de

1226

Física: Uma Abordagem Estratégica Onda estacionária eletrônica Órbita clássica

Próton

FIGURA 39.21Uma onda estacionária eletrônica, correspondente a n  10, ao

duas ondas progressivas que se movem em sentidos opostos. Quando a distância percorrida na viagem de ida e volta se iguala ao número de comprimentos de onda (2 L  n), as duas ondas opostas interferem construtivamente, formando a onda estacionária. Admita que, ao invés de se propagar para a frente e para trás em uma dimensão, nossa partícula ondulatória se desloque sobre a circunferência de um círculo. À semelhança da partícula em uma caixa, nossa partícula gerará uma onda estacionária se houver ondas viajando em ambos os sentidos e se a distância de ida e volta for igual a um múltiplo inteiro de comprimentos de onda. Essa é a idéia que pretendemos transplantar do estudo de uma partícula confinada em uma caixa. Por exemplo, a FIGURA 39.21mostra uma onda estacionária com n  10 comprimentos de onda ao longo de um círculo. A condição matemática para uma onda estacionária circular é encontrada substituindo-se a distância de ida e volta em uma caixa, 2 L, pela distância, 2r, ao longo de uma circunferência. Portanto, uma onda estacionária circular ocorrerá quando (39.22)

redor da circunferência da órbita.

Contudo, o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula deve ser igual a Então, a condição de onda estacionária para uma onda de de Broglie é

Esta condição será válida apenas se a velocidade do elétron for dada por (39.23) A grandeza h/2 ocorre com freqüência tão grande na física quântica que é costume dar-lhe designação especial. Definimos a quantidade , pronunciada “h barra”, como

Utilizando essa definição, podemos escrever a Equação 39.23 como (39.24) Analogamente à Equação 39.21, essa fornece outra relação entre v e r. Essa restrição surge do tratamento do elétron como uma onda. Se o elétron pode se comportar como partícula e como onda, ambas as Equações 39.21 e 39.24 são restrições a serem obedecidas, ou seja, v2 na restrição oriunda da análise corpuscular, Equação 39.21, deve ser igual a v2 na restrição oriunda da análise ondulatória, Equação 39.24, de modo que

Podemos resolver essa equação e encontrar o raio r como (39.25) onde adicionamos o subscrito n ao raio para indicar que ele depende do inteiro n. O lado direito da Equação 39.25, exceto por n2, é apenas uma coleção de constantes. Agrupando-as, definimos o raio de Bohr aB

CAPÍTULO 39

Usando essa definição, a Equação 39.25 para o raio da órbita eletrônica torna-se (39.26) Os primeiros valores permitidos de rn são

Acabamos de descobrir os estados estacionários! Ou seja, um átomo de hidrogênio somente pode

existir se o raio de uma órbita eletrônica assumir um dos valores dados pela Equação 39.26. Órbitas com raios de valores intermediários, tais como r  0,100

nm, não podem existir, pois o elétron não poderia gerar uma onda estacionária ao longo da circunferência. As órbitas possíveis sãoquantizadas, sendo permitidas apenas algumas. O passo crucial que levou à Equação 39.26 foi a exigência de que o elétron deve possuir propriedades ondulatórias, além das corpusculares. Essa exigência levou às órbitas quantizadas, ou ao que Bohr denominou como estados estacionários. Assim, o inteiro n é o número quântico que identifica os vários estados estacionários.

Os níveis de energia do átomo de hidrogênio A partir de agora nosso progresso será mais rápido. Conhecendo os raios possíveis, podemos retornar à Equação 39.23 e determinar que as possíveis velocidades para o elétron são

(39.27) onde

é o módulo da velocidade do elétron na órbita com

n  1. A velocidade decresce à medida que n aumenta.

Finalmente, podemos determinar as energias dos estados estacionários. Combinando a Equação 39.18, para a energia, com as Equações 39.26 e 39.27, para r e v, obtemos (39.28) Você pode demonstrar que essa expressão complicada pode ser reescrita como (39.29) Vamos definir

Podemos, então, escrever os níveis de energia dos estados estacionários do átomo de hidrogênio como (39.30) Depois de muita matemática, convém revermos até onde avançamos e o quanto aprendemos. A Tabela 39.2 explicita os valores de rn, vn e En correspondentes aos números quânticos n de 1 a 5. De fato, determinamos os estados estacionários do átomo de hidrogênio. Cada estado, caracterizado pelo número quântico n, possui raio, velocidade e energia únicos. Essas quantidades estão representadas graficamente na FIGURA 39.22, na qual as órbitas estão desenhadas em escala. Observe que o diâmetro atômico aumenta rapidamente com n. Simultaneamente, a velocidade do elétron decresce.

■

Quantização

1227

1228


, , TABELA 39.2Raios, velocidades e energias dos primeiros

,

cinco estados do átomo de hidrogênio de Bohr

, , , , ,

n

rn(nm)

vn(m/s)

En(eV)

1 2 3 4 5

0,053 0,212 0,476 0,846 1,322

2,19  106 1,09  106 0,73  106 0,55  106 0,44  106

–13,60 –3,40 –1,51 –0,85 –0,54

FIGURA 39.22Os quatro primeiros estados estacionários

ou órbitas permitidas do átomo de hidrogênio de Bohr, desenhados em escala.

EXEMPLO 39.11Os estados estacionários do átomo de

hidrogênio

que não é um inteiro; portanto, o elétronnão pode ter essa velocidade. Todavia, se v  3,65  105 m/s,

Em um átomo de hidrogênio, o elétron pode possuir velocidade igual a 3,60  105 m/s? Em caso afirmativo, quais são a energia e o raio de sua órbita? O elétron pode possuir uma velocidade de 3,65  105 m/s? n  6. Um eléRESOLUÇÃO A fim de estar em um estado estacionário, o elétron deve Esta é a velocidade de um elétron no estado excitado tron nesse estado possui energia possuir a velocidade

onde n é um inteiro. Uma velocidade de 3,60 105 m/s corresponde- e o raio de sua órbita é igual a ria a um número quântico

Energia de ligação e energia de ionização É importante compreender por que as energias dos estados estacionários são negativas. A energia potencial de duas partículas carregadas é e o zero da energia potencial ocorre em r  , quando as partículas estão infinitamente separadas. O estado correspondente ao zero de energia total ocorre quando o elétron está em repouso ( K  0) e infinitamente distante do próton ( U  0). Essa situação, característica de duas “partículas livres”, ocorre no limite para o qual e Um elétron e um próton ligados em um átomo possuem menos energia do que quando as duas partículas estão livres. Sabemos disso porque precisamos realizar trabalho (ou seja, adicionar energia) a fim de separar o elétron do próton. Se o átomo ligado possui menos energia do que as duas partículas livres, e se a energia total de duas partículas livres é nula, então o átomo deve possuir uma energia negativa. Portanto, é a energia de ligação do elétron no estado estacionário n. No estado fundamental, para o qual E1  – 13,60 eV, teríamos de adicionar 13,60 eV ao elétron para liberá-lo do próton e para que ele atingisse o estado de energia nula associado a duas partículas livres. Podemos dizer que, no estado fundamental, o elétron está “ligado por 13,60 eV”. Em uma órbita correspondente a n  3, mais distante do próton e na qual a velocidade é menor, o elétron está ligado por 1,51 eV apenas. Essa é a quantidade de energia que devemos suprir para remover o elétron da órbita+ correspondente a n  3. A remoção completa do elétron gera um íon positivo, H no caso do átomo de hidrogênio. (O fato de que H+ é um próton não altera o fato de que ele também é um íon.) Uma vez que quase todos os átomos estão em seus estados fundamentais, a energia de ligação do estado fundamental é denominada energia de ionização do átomo. A análise de

CAPÍTULO 39

Bohr prevê que a energia de ionização do hidrogênio é igual a 13,60 eV. A FIGURA 39.23 ilustra as idéias de energia de ligação e de energia de ionização. Podemos testar essa previsão lançando um feixe de elétrons sobre átomos de hidrogênio. Um elétron incidente é capaz de remover um elétron atômico se a energia cinética K do elétron incidente for maior do que a energia de ionização do átomo. Esse experimento é de fácil realização e mostra que a energia de ionização do hidrogênio é, de fato, 13,60 eV.

■

Quantização

1229

A energia de ligação é a energia necessária para remover um elétron de sua órbita.

Quantização do momentum angular O momentum angular de uma partícula em movimento circular, seja ela um planeta ou um elétron, é igual a A energia de ionização é a energia

L  mvr

Você deve se lembrar de que o momentum angular é conservado nesse movimento orbital porque a força direcionada para o centro não exerce torque sobre a partícula. Bohr utilizou explicitamente a conservação da energia em sua análise do átomo de hidrogênio, mas que papel desempenha o momentum angular? A exigência de que uma onda de de Broglie para um elétron forme uma onda estacionária ao longo da circunferência foi dada, na Equação 39.22, por

Podemos reescrevê-la como (39.31) Porém, mvr é o momentum angular L de uma partícula em uma órbita circular. Portanto, o momentum angular de um elétron em órbita não pode assumir qualquer valor. Ele deve satisfazer à relação (39.32) Ou seja, o momentum angular também é quantizado! O momentum angular do elétron deve ser um múltiplo inteiro da constante de Planck . A quantização do momentum angular é uma conseqüência direta da natureza ondulatória do elétron. Descobriremos mais adiante que a quantização do momentum angular é fundamental no comportamento de átomos mais complexos, conduzindo à noção de camadas eletrônicas, um tópico que você provavelmente já estudou em química. PARE E PENSE 39.5

Qual é o número quântico deste átomo de hidrogênio?

necessária gerar um íon da remoçãopara de um elétron do através estado fundamental. FIGURA 39.23Energia de ligação e energia

de ionização.

1230


39.7 O espectro do hidrogênio Nossa análise do átomo de hidrogênio revelou a existência de estados estacionários, mas como podemos ter certeza de que os resultados fazem sentido? A evidência experimental mais importante sobre o átomo de hidrogênio é seu espectro, portanto o teste primário do átomo de hidrogênio de Bohr é se ele prevê corretamente tal espectro.

O diagrama de níveis de energia do hidrogênio Muitos níveis de energia amontoados. Limite de ionização. emissão

, ,

A FIGURA 39.24é um diagrama de níveis de energia para o átomo de hidrogênio. Anteriormente observamos que as energias são como os degraus em uma escada. O degrau mais baixo corresponde ao estado fundamental, com E1  –13,60 eV. O mais alto, com E  0 eV, corresponde a um íon hidrogênio no limite n → . Esse último degrau é denominado limite ionização Em princípio, existe um número infinitomais de degraus, somente n estão alguns de poucos, mais. baixos, estão representados. Os valores altos de mas todos

amontoados logo abaixo do limite de ionização, com n  . absorção

Estado fundamental

O espectro de emissão ,

De acordo com a quinta hipótese do modelo atômico de Bohr, a freqüência do fóton emitido em uma transição n → m é (39.33)

FIGURA 39.24O diagrama de níveis de

energia de um átomo de hidrogênio.

Podemos usar a Equação 39.29 para as energias fóton emitido será

para prever que a freqüência do

(39.34)

2

2

m > 1/n . A freqüência é uminteressados número positivo, pois m < n, ou Estamos mais no comprimento de seja, onda1/do que na freqüência, pois os

comprimentos de onda são as quantidades medidas experimentalmente. O comprimento de onda do fóton emitido em um salto quântico n → m é (39.35) Essa expressão parece horrenda, mas note que o numerador é, simplesmente, um conjunto de constantes. O valor do numerador, que podemos designar por 0, é

Com essa definição, nossa previsão para os comprimentos de onda do espectro de emissão do hidrogênio assume a forma

(39.36) Essa expressão parece familiar. Trata-se da fórmula de Balmer obtida no Capítulo 38! Contudo, com uma sutil diferença: a análise de Bohr do átomo de hidrogênio previu 0 

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1231

91,12 nm, enquanto Balmer descobriu experimentalmente que 0 91,18 nm. Será que Bohr chegou tão perto de prever a fórmula de Balmer corretamente, mas falhou? Na verdade, o problema está em nossa hipótese de que o próton permaneça em repouso enquanto o elétron orbita ao seu redor. De fato, ambas as partículas giram em torno de um centro de massa comum, de maneira análoga à rotação de um haltere com uma extremidade leve e outra muito pesada. O centro de massa está muito próximo do próton, cuja massa é muito maior que a do elétron, entretanto o próton não está em repouso. A boa notícia é que análises mais avançadas incluem o movimento do próton. Este movimento altera a energia dos estados estacionários minimamente – cerca de 1 parte em 2000 –, mas isso é exatamente o necessário para resultar em um valor revisado: 

0



Limite de ionização

91,18 nm quando o movimento nuclear é considerado

Funciona! Diferentemente de todos os modelos atômicos anteriores, o átomo de hidrogênio de Bohr prevê corretamente o espectro discreto do átomo de hidrogênio. A FIGURA 39.25ilustra as transições da série de Balmer e da série de Lyman em um diagrama de níveis de energia. Somente a série de Balmer, com transições para o estado m 2, fornece comprimentos de onda no visível; essa foi a série inicialmente analisada por Balmer. A série de Lyman, terminando no estado fundamental, correspondente a m 1, pertence à região ultravioleta do espectro e só foi estudada mais tarde. Essas séries, assim como outras situadas no infravermelho, são observadas em um tubo de descarga quando as colisões com elétrons excitam os átomos, a partir do estado fundamental, para outros estados excitados n. Esses átomos, então, decaem, emitindo fótons. Somente a série de Lyman é observada no espectro de absorção, pois, conforme notamos previamente, quase todos os átomos em um gás em equilíbrio encontram-se no estado fundamental. 

Série de Balmer visível Série de Lyman



ultravioleta Estado fundamental

FIGURA 39.25Transições que produzem

a série de Balmer e a série de Lyman do espectro do hidrogênio.

EXEMPLO 39.12Absorção pelo hidrogênio Sempre que os astrônomos observam uma galáxia distante, eles verificam que sua luz é fortemente absorvida no comprimento de onda correspondente à transição 1 → 2 da série de Lyman do hidrogênio. Essa absorção indica que o espaço interestelar é preenchido com vas- AVALIAÇÃO Esse comprimento de onda situa-se no ultravioleta distantas nuvens de hidrogênio, remanescentes do Big Bang. Qual é o com- te. Astrônomos posicionados no solo não conseguem observar essa primento de onda da absorção 1 → 2 do hidrogênio? região do espectro porque os comprimentos de onda são fortemente absorvidos pela atmosfera. Contudo, através de telescópios espaciais, RESOLUÇÃO A Equação 39.36 fornece o espectro de absorção do hidrogênio se fizermos m 1. A absorção detectada pelos astrônomos usados em larga escala primeiramente em 1970, os astrônomos deprovém da transição do estado fundamental (m 1) para o primeiro tectam a absorção em 121,6 nm em quase todas as direções em que estado excitado (n 2) do hidrogênio. O comprimento de onda cor- eles observam. 





respondente é

Íons hidrogenóides Um íon dotado de um único elétron em órbita de Z prótons de um núcleo é chamado de íon hidrogenóide. Z é o número atômico e descreve o número de prótons no núcleo. O + ++ He , com um elétron em órbita de um núcleo com Z 2, e o Li , com um elétron e um +91 núcleo com Z 3, são íons hidrogenóides. Da mesma forma, classificamos o U , com um único elétron em órbita de um núcleo de urânio com Z 92. Todo íon hidrogenóide é, simplesmente, uma variação do átomo de hidrogênio de Bohr. A única diferença entre um íon hidrogenóide e o hidrogênio neutro é que a energia potencial , em vez disso, torna-se O hidrogênio pode ser visto como o caso correspondente a Z 1. Se repetirmos a análise das seções anteriores com essa única modificação, encontraremos: 







(39.37)

1232


Quando a carga nuclear aumenta, o elétron passa a se mover em órbitas de menor diâmetro e maior velocidade. A energia de ionização aumenta significativamente, e o espectro desloca-se para comprimentos de onda mais curtos. A Tabela 39.3 compara o diâmetro atômico no estado fundamental 2 r1, a energia de ionização |E1| e o primeiro comprimento de onda 3 → 2 da série de Balmer para o hidrogênio e para os dois primeiros íons hidrogenóides. TABELA 39.3Comparação entre íons hidrogenóides com Z  1, 2, e 3

Í on H (Z 1 ) He (Z 2 ) Li (Z 3 ) 



Diâmetro2 r1 0,106nm 0,053nm 0,035nm

Energia de ionização 13,6eV 54,4eV 125,1eV

Comprimento de onda para 3 → 2 656nm 164nm 73nm

Sucessos e falhas A análise de Bohr do átomo de hidrogênio parecia ser um sucesso retumbante. Introduzindo as idéias de Einstein sobre os quanta de luz, Bohr conseguiu obter um primeiro entendimento a respeito dos espectros discretos e deduzir a fórmula de Balmer para os comprimentos de onda do espectro do hidrogênio. O átomo de hidrogênio de Bohr, diferentemente do modelo de Rutherford, é estável. Certamente havia mérito na idéia de estados estacionários. Contudo, Bohr falhou seriamente em explicar os espectros de todos os outros átomos neutros. O método não funcionava sequer para o hélio, o segundo elemento da tabela periódica e com apenas dois elétrons. Algo inerente às hipóteses de Bohr parecia funcionar muito bem para o hidrogênio e não funcionar nos casos envolvendo dois ou mais elétrons. É importante fazer uma distinção entre o modelo atômico de Bohr, descrito na Seção 39.5, e o modelo do átomo de hidrogênio de Bohr. O modelo atômico de Bohr considera que existam estados estacionários, mas não indica como encontrá-los. Encontramos os estados estacionários de um átomo de hidrogênio exigindo que um número inteiro de ondas de de Broglie ajustem-se à circunferência da órbita, formando ondas estacionárias. A dificuldade na extensão dessa idéia para átomos mais complexos não se srcina do modelo de Bohr, mas do método utilizado para encontrar os estados estacionários. O modelo atômico de Bohr continua válido, e continuaremos a utilizá-lo, mas o procedimento de ajuste das ondas estacionárias é simplório demais para funcionar em átomos mais complexos. Necessitamos de um procedimento melhor. Einstein, de Broglie e Bohr conduziram a física por mares nunca antes navegados. O sucesso desses pioneiros deixou claro que o mundo microscópico da luz e dos átomos é governado pela quantização, pelo caráter discreto e pelo esmaecimento da distinção entre partículas e ondas. Embora Bohr estivesse no caminho correto, sua incapacidade em estender o seu modelo do átomo de hidrogênio a átomos mais complexos também mostrou claramente que a teoria correta e completa ainda era desconhecida. A teoria de Bohr tornou-se o que hoje denominamos “semiclássica”, um híbrido da mecânica newtoniana clássica com as novas idéias dos quanta. Faltava ainda uma teoria sobre o movimento e a dinâmica em um universo quantizado – uma mecânica quântica.

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1233

RESUMO O objetivo do Capítulo 39 foi compreender a quantização da energia para a luz e para a matéria.

Princípios gerais A luz possui propriedades corpusculares

A matéria possui propriedades ondulatórias

• A energia de uma onda de luz vem em pacotes discretos chama-

• O comprimento de onda de de Broglie de uma “partícula” de massa m é .

dos de quanta de luz ou fótons. • Para luz de freqüênciaf, a energia de cada fóton é E  hf, onde h é a constante de Planck. • Para uma onda de luz que transfere potênciaP, a taxa de fótons R é tal que P  Rhf. • Fótons são “corpúsculos”, mas não são partículas clássicas.

• A natureza ondulatória da matéria é observada nos padrões de interferência de elétrons, nêutrons e átomos inteiros. • Quando uma partícula está confinada, ela gera uma onda de de Broglie estacionária. O fato de a onda estacionária só ter determinados comprimentos de onda permitidos conduz à conclusão de que uma partícula confinada assume apenas algumas energias permitidas, ou seja, a energia está quantizada.

Conceitos importantes Modelo de Einstein para a luz • A luz consiste de quanta de energia com E  hf. • Os quanta são emitidos ou absorvidos integralmente. • Quando um quantum de luz é absorvido, ele transfere toda a sua energia para um único elétron.

Modelo atômico de Bohr • Um átomo pode existir somente em determinados estados estacionários. As energias permitidas são quantizadas. O estado n possui energia En. • Um átomo pode saltar de um estado estacionário para outro através da emissão ou absorção de um fóton com Efóton  hf  Eátomo. • Os átomos podem ser excitados por colisões inelásticas. • Os átomos tendem ao estado fundamental n  1. Na maior parte do tempo, a maioria dos átomos está no estado fundamental.

Emissão

Absorção

Aplicações Efeito fotoelétrico

O átomo de hidrogênio de Bohr

A luz pode ejetar elétrons de um metal apenas se onde E0 é a funçãotrabalho do metal. O potencial de corte que freia até o repouso até mesmo os elétrons mais rápidos é igual a

Os estados estacionários são encontrados exigindo-se que um número inteiro de comprimentos de onda de de Broglie se ajuste à circunferência da órbita eletrônica: Isso leva à quantização da energia, com

corte

Partícula em uma caixa

Uma partícula confinada a uma caixa unidimensional de comprimento L gera ondas estacionárias de de Broglie. As energias permitidas são

onde aB  0,0529nm é o raio de Bohr. O átomo de hidrogênio de Bohr prevê com sucesso a fórmula de Balmer para o espectro do hidrogênio. O momentum angular também é quantizado, com

1234


Termos e notação efeito fotoelétrico freqüência de limiar,ƒ0 potencial de corte, Vcorte emissão térmica função-trabalho, E0 constante de Planck, ou quantum de luz fóton

pacote de onda onda de matéria comprimento de onda de de Broglie quantização nível de energia número quântico,n


quantum fundamental de energia, E1 modelo atômico de Bohr estado estacionário estado fundamental estado excitado transição salto quântico

excitação colisional diagramas de níveis de energia raio de Bohr,aB energia de ligação energia de ionização, E| 1| limite de ionização íon hidrogenóide


integram o material

A dificuldade de um problema é indicada por símbolos que vão de | (fácil) a||| (desafiador).

QUESTÕES CONCEITUAIS 1. a. Podemos descarregar um eletroscópio carregado negativamente fazendo incidir nele luz ultravioleta.. Como isto ocorre? b. Talvez tenha lhe ocorrido que uma luz ultravioleta, incidindo sobre um eletroscópio descarregado, faria com que ele se tornasse carregado positivamente, pois são emitidos fotoelétrons. Na verdade, a luz ultravioleta não exerce nenhum efeito perceptível em um eletroscópio descarregado. Por que não? 2. a. Explique por que os gráficos da Figura 39.3 são horizontais para V > 0.

maiores, menores ou iguais à velocidade com que os fotoelétrons são emitidos pelo metal 2? Explique. 7. Um elétron 1 é acelerado a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial de 100 V. Outro elétron 2 é acelerado desde o repouso por meio de uma diferença de potencial de 200 V. Após a aceleração, qual dos dois elétrons terá maior comprimento de onda de de Broglie? Explique. 8. Um elétron e um próton são acelerados a partir do repouso por meio de uma diferença de potencial de 100 V. Após a aceleração, qual das

b. rentes Explique por que fotoelétrons são de ejetados difepartículas terá maior comprimento de onda de de Broglie? Explienergias cinéticas, em vez todos do elescátodo terem com a mesma que. energia cinética. 9. Imagine que a caixa horizontal da Figura 39.15, de fato, esteja c. Explique o raciocínio em que nos baseamos para afirmar que o orientada verticalmente. Imagine também que a caixa esteja em uma estrela de nêutron onde o campo gravitacional é tão intenso potencial de corte Vcorte determina a energia cinética máxima dos elétrons. que a partícula na caixa reduz a velocidade significativamente, qua3. Como seria o gráfico da Figura 39.2 se a física clássica fornecesse se parando, antes de colidir com o topo da caixa. Faça um esboço a descrição correta para o efeito fotoelétrico? Desenhe o gráfico e qualitativo da onda estacionária de de Broglie correspondente a n  3 para uma partícula nesta caixa. explique seu raciocínio. Admita que a intensidade da luz permanece constante enquanto a freqüência e o comprimento de onda variam. Dica: Os nós não estão separados de maneira uniforme. 10. Se um elétron se encontra em umestado estacionário de um átomo, 4. Como seria o gráfico da Figura 39.3se a física clássica fornecesse a o elétron está em repouso? Em caso negativo, o que significa o terdescrição correta do efeito fotoelétrico? Desenhe o gráfico e explique seu raciocínio. Inclua as curvas para luz fraca e luz intensa. mo estado estacionário ? 5. A FIGURA Q39.5mostra o gráfico da corrente versus diferença de 11. A FIGURA Q39.11mostra o diagrama de níveis de energia de um potencial em um experimento de efeito fotoelétrico com um metal elemento X. desconhecido. Se a física clássica fornecesse a descrição correta a. Qual é a energia de ionização do elemento X? para o efeito fotoelétrico, qual seria a aparência do gráfico caso: b. Um átomo no estado fundamental absorve um fóton e, depois, a. A luz fosse substituída por outra de mesma intensidade, mas com emite um fóton com comprimento de onda de 1240 nm. Que conmenor comprimento de onda? Esboce o gráfico. clusões você pode tirar acerca da energia do fóton absorvido? b. O metal fosse substituído por outro com menor função-trabalho? c. Um átomo no estado fundamental colide com um elétron e emite Esboce o gráfico. um fóton com comprimento de onda de 1240 nm. Que conclusão você obtém acerca da energia cinética inicial do elétron? , ,

FIGURA Q39.5

6. Um metal 1 possui maior função-trabalho que outro metal 2. Ambos são iluminados com a mesma luz ultravioleta de curto comprimento de onda. Os fotoelétrons emitidos pelo metal 1 têm velocidades

,

FIGURA Q39.11

,

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1235

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Exercícios Seção 39.1 O efeito fotoelétrico Seção 39.2 A explicação de Einstein 1. | Quantos fotoelétrons são ejetados por segundo no experimento representado pelo gráfico daFIGURA EX39.1?

Uma lâmpada de 100 W emite aproximadamente 5 W de luz visível. (Os outros 95 W são emitidos como radia ção infravermelha ou perdidos em forma de calor para o ambiente.) O comprimento de onda médio da luz visível está em torno de 600 nm; portanto, para simplificar, admita que toda a luz tenha este comprimento de onda.

13. |

a. Qual é a freqüência da luz emitida? b. Quantos fótons de luz visível a lâmpada emite por segundo?

Seção 39.4 Ondas de matéria e quantização da energia FIGURA EX39.1

2. | Quais dos metais apresentados na Tabela 39.1 exibem o efeito fotoelétrico para (a) luz com  = 400 nm e (b) luz com = 250 nm? 3. | Fotoelétrons são observados quando um metal é iluminado por luz de comprimento de onda inferior a 388 nm. Qual é a funçãotrabalho do metal? 4. || Em um experimento do efeito fotoelétrico, elétrons emergem de uma superfície de tungstênio com energia cinética máxima de 1,30 eV. Qual é o comprimento de onda da luz? 5. | Você precisa confeccionar um fotodetector capaz de responder a todo o espectro visível da luz. Qual é a máxima função-trabalho possível para o cátodo? 6. | Use dados de Millikan sobre o efeito fotoelétrico, na Figura 39.10, para determinar: a. A função-trabalho do césio, em eV. b. Um valor experimental para a constante de Planck. 7. | Em um experimento de efeito fotoelétrico determina-se um potencial de corte de 1,93 V quando é utilizada luz de 200 nm para iluminar cátodo. a. De queometal é feito o cátodo? b. Qual será o potencial de corte se a intensidade da luz for duplicada?

Seção 39.3 Fótons

Qual é a velocidade associada a um elétron cujo comprimento de onda de de Broglie é de (a) 1,0 pm, (b) 1, 0 nm, (c) 1,0m e (d) 1,0 mm?

14. ||

15. || Através de que diferença de potencial um elétron deve ser acelerado desde o repouso para atingir um comprimento de onda de de Broglie de 500 nm? 16. || O diâmetro de um núcleo é cerca de 10 fm. Qual é a energia cinética, em MeV, de um próton com comprimento de onda de de Broglie igual a 10 fm? 17. | Qual é o número quântico de umelétron confinado em uma caixa unidimensional com 3,0 nm de comprimento se o comprimento de onda de de Broglie do elétron é de 1,0 nm? 18. | O diâmetro de um núcleo é cerca de 10 fm. Um modelo simples do núcleo considera que os prótons e os nêutrons estejam confinados em uma caixa unidimensional com 10 fm de comprimento. Quais são os primeiros três níveis de energia para um próton nesta caixa, em MeV? 19. || Qual é o comprimento de uma caixa unidimensional em que um elétron no estado n  1 possui a mesma energia que um próton de comprimento de onda igual a 600 nm? Seção 39.5 O modelo atômico quântico de Bohr 20. | A FIGURA EX39.20é um diagrama de níveis de energia para um simples átomo. Quais são os comprimentos de onda que aparecem no (a) espectro de emissão desse átomo e (b) em seu espectro de absorção?

8. | a. Determine a energia, em eV, de um fóton de comprimento de onda de 700 nm. , b. Determine o comprimento de onda de um fóton de raio X com 5,0 keV. , 9. | Qual é o comprimento de onda, emnm, de um fóton com energia , de (a) 0,30 eV, (b) 3,0 eV e (c) 30 eV? Para cada caso, o comFIGURA EX39.20 primento de onda correspondente é de luz visível, ultravioleta ou 21. || Um elétron com 2,00eV de energia cinética colide como átomo infravermelha? apresentado na FIGURA EX39.20 . 10. | Qual é a energia, em eV, de (a) um fóton de radiofreqüência 100 a. O elétron é capaz de levar o átomo a um estado excitado? MHz, (b) um fóton de luz visível com comprimento de onda de 500 b. Se a sua resposta para o item a for positiva, qual será a energia nm e (c) um fóton de raio X com comprimento de onda de 0,10 nm? cinética do elétron após a colisão? 11. | Uma estação de rádio FM transmite com potência de 10 kW e || As energias permitidas de um simples átomo são 0,00 eV, 4,00 22. freqüência de 101 MHz. eV e 6,00 eV. a. Quantos fótons a antena emite por segundo? b. magnética A transmissão deveria ser considerada uma onda eletroou como formada por fótonscomo discretos? Explique. 12. | Um laser de luz vermelho de comprimento de onda de 650 nm e um laser de luz azul com comprimento de onda de 450 nm emitem feixes com a mesma potência luminosa. Como se comparam as taxas de emissão de fótons dos dois lasers? Responda obtendo a relação Rverm/Razul.

a. Desenhe de níveis de número energia quântico. do átomo. Identifique cada nívelo diagrama por sua energia e seu b. Quais são os comprimentos de onda que aparecem no espectro de emissão? c. Quais são os comprimentos de onda que aparecem no espectro de absorção?

1236


23. || As energia permitidas para um simples átomo são 0,00 eV , 4,00 c. A velocidade máxima com que um fotoelétron será ejetado se a 6  10 eV e 6,00 eV. Um elétron, movendo-se com velocidade 1,30 luz possuir comprimento de onda de 220 nm. d. O potencial de corte se o comprimento de onda for igual a 220 nm. m/s, colide com o átomo. O elétron é capaz de excitar o átomo para ||| o estado estacionário correspondente a n  2? E para o estado esta- 38. A energia cinética máxima dos fotoelétrons é de 2,8 eV. Quancionário n  3? Explique. do o comprimento de onda da luz é aumentado em 50%, a energia máxima decresce para 1,1eV. Quais são (a) a função-trabalho do cátodo e (b) o comprimento de onda inicial da luz? Seção 39.6 O átomo de hidrogênio de Bohr 39. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o potencial de corte 24. | Por meio de cálculos, mostre que o raio de Bohr é igual a 0,0529 para um comprimento de onda de 400 nm corresponde a 25,7% do nm e que a energia do estado fundamental do hidrogênio é de potencial de corte para um comprimento de onda de 300 nm. De –13,60 eV. que metal é feito o cátodo? 25. || a. Para que número quântico do átomo de hidrogênio a órbita 40. || O gráfico da FIGURA P39.40foi obtido em um experimento do eletrônica correspondente está mais próxima de 100 nm de efeito fotoelétrico. diâmetro? b. Qual é a velocidade do elétron e sua energia neste estado? a. (emdaeV) do cátodo? b. Qual é ao função-trabalho valor experimental constante de Planck obtido a par26. || a. Calcule o comprimento de onda de de Broglie do elétron nos tir desses dados? estados do átomo de hidrogênio correspondentes na  1, 2 e 3. Use as informações fornecidas na Tabela 39.2. b. Mostre numericamente que a circunferência da órbita corres, pondente a cada um desses estados estacionários é exatamente , igual a n comprimentos de onda de de Broglie. 27. | Qual é a quantidade de energia necessária para ionizar um átomo de hidrogênio que se encontra no primeiro estado excitado? 28. | Através de cálculos, mostre que os primeiros três estados do átoF IG U R A P 3 9 . 4 0 FIGURA P39.41 mo de hidrogênio têm momenta angulares , 2 e 3 , respectivamente. 41. || A FIGURA P39.41mostra o potencial de corte versus a freqüência 29. | Mostre que a constante de Planck tem unidade de momentum da luz para o catodo metálico usado em um experimento de efeito angular. fotoelétrico, Suponha que esse cátodo seja iluminado com 10 W de luz de 300 nm e que a eficiência de conversão de fótons em fotoSeção 39.7 O espectro do hidrogênio elétrons seja de 10%. | a. Qual é a correnteI quando o ânodo é positivo? 30. Determine os comprimentos de onda de todos os fótons que pob. Desenhe um gráfico que mostre a correnteI versus a diferença de dem ser emitidos a partir do estado n  4 do átomo de hidrogênio. potencial ∆V para valores de diferença de potencial entre –3 V a 31. | Qual é o terceiro comprimento de onda mais longo do espectro de 3 V. Indique a escala numérica para cada um dos eixos. absorção do hidrogênio? 32. | No espectro de absorção do átomo de hidrogênio, é observada a 42. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o potencial de corte foi medido para diferentes comprimentos de onda de luz incidente. linha espectral de comprimento de onda igual a 656,5 nm? Em caso Analise os dados apresentados na tabela e determine: afirmativo ou negativo, explique por quê. a. O metal utilizado para confeccionar o cátodo. 33. || Determine o raio da órbita do elétron, a velocidade do elétron e b. Um valor experimental para a constante de Planck. Você deve a energia do átomo para os três primeiros estados estacionários do + usar todos os dados fornecidos a fim de obter esse valor. He . 43. || Na teoria da relatividade de Einstein, a relação entre o momentum e a energia ( nm) Vcorte (volts) Problemas é E2 – (pc)2  E02, onde, neste contexto, 500 0,19 2 E0  mc é a energia de repouso em vez 450 0,48 34. || Para que comprimento de onda de luz umlaser de 100 mW libera da função-trabalho. 400 0,83 2,50  1017 fótons por segundo? a. O fóton é uma partícula sem massa. 350 1,28 35. || Um laser de rubi emite um intenso pulso de luz quedura somente Qual é o momentum p do fóton em 300 1,89 10 ns. A luz tem um comprimento de onda de 690 nm e cada pulso função de sua energiaE? 250 2,74 possui uma energia de 500 mJ. b. Einstein também afirmava que a enera. Quantos fótons são emitidos em cada pulso? gia de um fóton está relacionada à sua freqüência porE = hƒ. Use b. Qual é a taxa de emissão de fótons, em fótons por segundo, duesta equação e o resultado obtido no item a para escrever uma rante os 10 ns em que o laser está “ligado”? expressão para o comprimento de onda de um fóton em função 36. || Em um experimento de efeito fotoelétrico, o comprimento de de seu momentump. onda da luz que incide sobre o cátodo de alumínio é reduzido de c. Seu resultado para o item b é válido para uma “onda com ca250 nm para 200 nm. Que diferença podemos observar no potencial de corte? racterísticastambém corpusculares”. Suponha que com essa expressão pudesse ser válida que paravocê umapensou “partícula 37 || Cátodos de potássio e de ourosão usados em umexperimento de características ondulatórias”. Qual é a sua expressão para  se efeito fotoelétrico. Para cada um desses cátodos, determine: você substituir p pela expressão da mecânica clássica para o moa. A freqüência de limiar. mentum de uma partícula de massam? Essa expressão lhe parece b. O comprimento de onda limiar. familiar? corte

corte

CAPÍTULO 39

■

Quantização

1237

c. Indique se cada um dos comprimentos de onda do item b corresponde à luz ultravioleta, visível ou infravermelha. d. Um elétron com uma velocidade de 1,4 106 m/s colide com um átomo do elemento X. Logo a seguir, o átomo emite um fóton de 1240 nm. Qual é a velocidade do elétron após a colisão? Admita a. Qual era a velocidade dos elétrons? (Trata-se de uma velocidade que, devido ao átomo ter massa muito maior que a do elétron, o suficientemente alta para justificar o emprego da relatividade; torecuo do átomo é desprezível. davia, para simplificar, efetue um cálculo não-relativístico.) Dica: A energia do fótonnão é a energia transferida para o átomo b. A Figura 39.13 foi aumentada significativamente. Qual é a disdurante a colisão. tância real, no detector, entre as franjas brilhantes adjacentes? 52. || Partindo da Equação 39.28, derive a equação 39.29. 45. || O padrão de interferência de nêutrons da FIGURA P39.45foi obti- 53. || Qual é a energia de um átomo de hidrogênio com 5,18 nm de do quando nêutrons com uma velocidade de 200 m/s foram lançadiâmetro? dos através de duas fendas distantes 0,10mm uma da outra. 54. || Calcule todos os comprimentos de onda de luzvisível do espectro O padrão de interferência eletrônica da Figura 39.13 f oi obtido quando dois elétrons com 50 keV de energia cinética foram lançados através de duas fendas distantes 1,0 m entre si. As franjas foram gravadas por um detector posicionado 1,0 m atrás das fendas.

44. ||

a. em eV, nêutrons? de emissão do átomo de hidrogênio. b. Qual era ao energia, comprimento dedos onda de de Broglie dos nêutrons? Dica: Existem infinitos comprimentos de onda no espectro, de c. O padrão foi registrado por meio de um detector de nêutrons que modo que você precisará desenvolver uma estratégia para esse promede a intensidade em diferentes posições. Observe a escala blema em vez de recorrer um processo de tentativa e erro. 55. || Um átomo de hidrogênio no estado fundamental absorve um fó100 m da figura. Ao fazer medições apropriadas diretamente na figura, determine a que distância o detector estava atrás das ton de 13,06 eV. Imediatamente após a absorção, o átomo sofre um fendas. salto quântico correspondente a n  2. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido neste salto quântico? 56. || a. Que comprimento de onda emite umátomo de hidrogênio durante uma transição 200 → 199? b. Qual é a diferença entre os comprimentos de ondas emitidos em uma transição 199→ 2 e em outra transição 200→ 2? 57. || a. Calcule o raio da órbita e a velocidade de um elétron corresFIGURA P39.45 pondentes aos estados n  99 e n  100 do hidrogênio. b. Determine a freqüência orbital do elétron em cada um desses 46. || Em um tubo de raios catódicos, o feixe de elétrons é acelerado estados. por meio de uma diferença de potencial de 250 V. Os elétrons, enc. Calcule a freqüência de um fóton emitido durante uma transitão, atravessam um pequeno orifício circular e são observados em ção 100 → 99. um anteparo. Você observa que o ponto brilhante central do anted. Compare a freqüência do fóton obtida no item c com a média paro é a base de um cone com o vértice no orifício. A linha mais de suas duas freqüências orbitais do item b. Por qual porcentaexterna do cone faz um ângulo de 0,50° com a direção srcinal do gem eles diferem? feixe de elétrons. Qual é o diâmetro do orifício? n o r t u ê n o d e d a d i s n e t n I

47. || Um elétron confinado em uma caixa unidimensional é observado, em diferentes instantes de tempo, dotado de energias iguais a 12 eV, 27 eV e 48 eV. Qual é o comprimento da caixa? 48. ||| Um elétron confinado em uma caixa unidimensional emite um fóton de 200 mm durante um salto quântico de n  2 para n  1. Qual é o comprimento da caixa? 49. ||| Um próton confinado em uma caixa unidimensional emite um fóton de raio gama de 2,0 MeV durante um salto quântico de n2 para n  1. Qual é o comprimento da caixa? 50. || O espectro de absorção de um átomo consiste de comprimentos de onda iguais a 200 nm, 300 nm e 500 nm. a. Desenhe o diagrama dos níveis de energia desse átomo. b. Que comprimentos de onda são observados no espectro de emissão do átomo? 51. || Os três primeiros níveis de energia de , um elemento X fictício são apresentados na FIGURA P39.51. , a. Qual é a energia de ionização do ele, mento X? b. Que comprimentos de onda são observados absorção do elemento no X?espectro Expressedesuas respostas em nm.

,

FIGURA P39.51

de níveis de energia, similar ao da Figura 58. || Desenhe um diagrama 39.24, para o íon He+. Em seu diagrama: a. Indique os primeiros cinco níveis de energia e identifique cada um deles pelos correspondentes valores den e En. b. Indique o limite de ionização. c. Indique todas as transições de emissão possíveis que comecem no nível de energian  4. d. Calcule o comprimentos de onda (em nm) correspondente a cada uma das transições do item c, mostrando-os junto às flechas indicativas. 59. || Quais são os comprimentos de onda correspondentes às transições 3 → 2, 4 → 2 e 5 → 2 do íon hidrogenóide O+7? Em que faixa do espectro eles se encontram? 60. || Dois átomos de hidrogênio colidemfrontalmente. A colisão leva os dois átomos ao repouso. Imediatamente após a colisão, ambos os átomos emitem um fóton de 121,6 nm. Qual era a velocidade de cada átomo no instante que antecedeu a colisão? 61. || Um feixe de elétrons incide em átomos de gás hidrogênio. a. Para que valor mínimo de velocidade o elétron irá causar a emissão de luz de 656 nm, gerada na transição 3→ 2 do hidrogênio? b. Através de que diferença de potencial o elétron deve ser acelerado a fim de atingir tal velocidade?

1238


c. Qual será a distância entre B e C se a segunda onda estacionária estiver a 10 cm da primeira? 62. O tubo fotomultiplicador (PMT) da Figura 39.12a consiste de um d. Devido à interferência observada envolvendo os dois caminhos, cátodo, sobre o qual incide o fóton; um ânodo, onde os elétrons são cada átomo, individualmente, aparenta estar em ambos os poncoletados; e vários eletrodos intermediários, denominados dinodos. tos, B e C. Com palavras próprias, descreva o que esse experiO tubo ilustrado na figura possui nove dinodos, mas considere um mento demonstra acerca da natureza da matéria. PMT com N dinodos. O cátodo, quando atingido por um fóton, ejeta 65. Considere um átomo de hidrogênio no estado estacionário n. um único fotoelétron. O elétron é acelerado para o primeiro dinodo, a. Mostre que o período orbital do elétron é T  n3T1 e encontre um onde causa (em média) ejeção de  elétrons secundários. A granvalor numérico paraT1. deza  é chamada de coeficiente de emissão secundária. Cada um b. Em média, um átomo permanece no estado n  2 por 1,6 ns desses elétrons causa, em média, ejeção de  elétrons pelo segundo antes de sofrer um salto quântico para o estado n  1. Quantas dinodo, e cada um desses elétrons, por sua vez, produz ejeção de  revoluções o elétron efetua, em média, antes do salto quântico? elétrons pelo terceiro dinodo e assim sucessivamente, até que um 66. Considere um elétron em movimento ciclotrônico em presença de pulso grande de elétrons seja coletado pelo ânodo. a. Escreva uma expressão em função de e N para o número médio um campodeve magnético. De acordoem com Bohr, de o momentum angular do elétron estar quantizado unidades . de elétrons que chega ao ânodo depois de um único fóton chocara. Mostre que os raios permitidos para a órbita do elétron são dados se com o cátodo. Isso é chamado de ganho do PMT. por , onde n = 1, 2, 3,...... b. O gráfico da Figura 39.12 mostra o pulso de voltagem gerado b. Calcule os quatro primeiro raios permitidos em presença de um quando uma corrente de elétrons flui por um resistor de 50 . A campo magnético de 1,0 T. referência do pulso é zero volts e a escala de voltagem é de 20 c. Encontre uma expressão para os níveis de energia permitidos En mV por divisão. Qual é acorrente máxima desse pulso? em função de e da freqüência ciclotrônicaƒcic. c. Uma vez que I  dQ/dt, a quantidade de carga liberada em um 67. O múon é uma partícula subatômica com carga igual à de um elétron, pulso de corrente é Este valor pode ser interpretado mas dotado de massa 207 vezes maior: Os físicos congeometricamente como a área abaixo da curvaI versus t. A área sideram os múons como “elétrons pesados”. O múon, contudo, não do pulso pode ser aproximada razoavelmente bem pelo produto é uma partícula estável; ele decai em um elétron e dois neutrinos, de sua altura por sua largura a meia altura. Estime o número de tendo meia-vida de 1,5 s. Múons srcinados de raios cósmicos são, elétrons do pulso de corrente mostrado na Figura 39.12b. às vezes, “capturados” pelos núcleos de átomos de um sólido. Um d. O PMT que produziu esse pulso contém 14 dinodos. Compamúon capturado orbita esse núcleo, como se fosse um elétron, até rando suas respostas aos itens a e c, determine o coeficiente de decair. Uma vez que um múon capturado freqüentemente ocupa uma emissão secundária desse TFM. órbita excitada (n > 1), sua presença pode ser detectada pela observa63. Luz ultravioleta de comprimento de onda igual a 70,0 nm ilumina ção dos fótons emitidos em transições tais como 2 → 1 e 3 → 1. um gás de átomos de hidrogênio no estado fundamental. Alguns Considere um múon capturado por um núcleo de carbonoZ( = desses átomos são ionizados pela luz. Qual é a energia cinética dos 6). Por causa de sua grande massa, o múon orbita inteiramente no elétrons liberados no processo? interior da nuvem eletrônica e não é afetado pelos elétrons. Dessa

Problemas desafiadores

No experimento do interferômetro átomos Figuraum 39.14, 64. nicas de resfriamento a laser foram de usadas paradaresfriar vaportéc 1,0 diluído de átomos de sódio até uma temperatura de 0,0010 K mK. Os átomos ultra-resfriados passam por uma série de aberturas colimadoras até formar o feixe atômico que entra pela esquerda da figura. As ondas de luz estacionárias foram criadas a partir de um feixe de elétrons de comprimentos de onda iguais a 590 nm. a. Qual é a velocidade rmsvrms de um átomo de sódio (A  23) em um gás mantido à temperatura de1,0 mK? b. Considerando o feixe de laser como uma rede de difração, calcule o ângulo de difração de primeira ordem de um átomo de sódio se movendo com a velocidade rms do item a.

forma, o múon “sente” a carga total nuclearZe e se comporta como um elétron em um íon hidrogenóide. a. Qual é o raio orbital e a velocidade de um múon no estado fundamental n = 1? Note que a massa de um múon difere da massa de um elétron. b. Qual é o comprimento de onda associado à transição 2 → 1 do múon? c. O fóton emitido na transição 2 → 1 está na faixa do infravermelho, do visível, do ultravioleta ou de raios X? d. Quantas órbitas o múon completará durante 1,5s? Esse número é suficientemente grande para que o modelo de Bohr “faça sentido”, apesar de o múon não ser estável?


Pare e Pense 39.1: VA > VB > VC. Para um dado comprimento de onda de luz, os elétrons são ejetados com maior energia cinética pelos metais com menor função-trabalho, pois é necessária uma energia menor para remover um elétron. Elétrons mais rápidos necessitam de uma voltagem

Pare e Pense 39.4: Não na absorção. Na emissão correspondente à transição de n = 2 para n = 1. A energia do fóton deve coincidir com a diferença de energia entre os dois níveis de energia envolvidos. A absorção advém do estado fundamental, emE1 = 0,00 eV. Não há nível de

mais negativa para serem parados. Pare e Pense 39.2: d. Os fótons se movem sempre com a velocidadec. A energia do fóton depende apenas da freqüência da luz, e não, de sua intensidade.

energia de 3,00 eV para o qual o átomo possa saltar. Pare e Pense 39.5: n = 3. Cada antinodo corresponde à metade de um comprimento de onda; logo, essa onda estacionária possui três comprimentos de onda completos ao longo de uma circunferência.

Pare e Pense 39.3: n = 4. Existem quatro antinodos.

Funções de Onda e Incerteza

40

Imagem de uma superfície de grafite, commicroscópio resolução atômica obtida por um de tunelamento. As saliências hexagonais indicam as localizações mais prováveis dos elétrons.



Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 40 é introduzir a descrição da matéria em termos de funções de onda e aprender a interpretá-la. Neste capítulo, você aprenderá a: ■

Nos dois capítulos anteriores, você aprendeu que a mecânica clássica e o eletromag-

netismo foram incapazes de explicar o novo fenômeno associado à luz, aos elétrons e aos átomos. As teorias científicas que triunfaram nos séculos XVIII e XIX falharam ao tentar explicar os fenômenos envolvendo os menores constituintes da matéria. Muitos cientistas se recusaram a aceitar essas limitações e afirmaram que seria só uma questão de tempo até alguém descobrir como aplicar as idéias clássicas aos átomos. Suas esperanças, contudo, nunca se tornaram realidade. Ao mesmo tempo em que a física clássica atingia seu limite, as novas idéias lançadas por Einstein, Bohr e de Broglie começavam a apontar na direção de uma nova teoria para a luz e a matéria. A mecânica quântica, como ficou conhecida essa teoria, só alcançou sua forma completa em meados de 1920, porém, desde então, tem provado ser a teoria física mais bem-sucedida já criada. Este capítulo e o seguinte introduzirão as idéias básicas da mecânica quântica em uma dimensão. Embora a teoria completa esteja além do objetivo deste livro, podemos explorar ao máximo a mecânica quântica de modo a aprender como ela soluciona problemas sobre as estruturas atômica e nuclear. Nosso objetivo neste capítulo é introduzir o conceito de função de onda. A função de onda, que reconcilia os aspectos ondulatório e corpuscular da matéria, caracteriza as partículas microscópicas em função da probabilidade de elas serem encontradas em vários pontos do espaço. A imagem de grafite ilustrada acima, obtida com um microscópio de tunelamento, mostra que os lugares mais prováveis onde os elétrons podem ser encontrados situam-se ao longo das estruturas anelares criadas por ligações carbono-carbono.

■ ■

■



Relacionar a descrição ondulatória e a descrição corpuscular da matéria. Usar idéias básicas de probabilidade. Usar a função de onda para calcular as probabilidades de detectar uma partícula. Tomar consciência das limitações impostas pelo princípio da incerteza de Heisenberg.

Em retrospectiva

As idéias desenvolvidas neste capítulo dependem amplamente da compreensão do experimento de interferência de fenda dupla com a luz e com a matéria. Revise: ■

■ ■

Seções 21.8 e 22.2 Interferência, batimentos e experimento de fenda dupla Seções 25.3 e 39.3 Fótons Seções 25.4 e 39.4 Ondas de matéria, comprimento de onda de de Broglie e dualidade ondapartícula


1240

40.1 Ondas, partículas e o experimento de fenda dupla Franjas de interferência em um experimento óptico de interferência de fenda dupla.

Talvez você esteja surpreso por abordarmos a mecânica quântica de forma tão lenta. Por que não colocar tudo no papel e, simplesmente, começar a usá-la? Há duas razões para isso: primeiro porque a mecânica quântica explica fenômenos microscópicos que não podemos sentir ou experimentar diretamente. Antes de tudo, é importante aprender como se comportam a luz e os átomos. De outra forma, como você saberia se a mecânica quântica realmente explica alguma coisa? Segundo, os conceitos que você vai utilizar na mecânica quântica são muito abstratos. Antes de nos lançarmos na realização de cálculos, precisamos estabelecer uma conexão entre a teoria e o experimento. Para realizarmos tal conexão, teremos de relembrar o experimento de interferência de fenda dupla – uma experiência vai ao cerne da onda-partícula. A sig-a nificância do experimento de fendaque dupla se baseia nodualidade fato de que tanto a luz quanto matéria exibem o mesmo padrão de interferência. Independentemente do que passa pelas fendas – se elétrons, fótons ou nêutrons –, o detector registrará eventos associados a partículas, ou seja, ele registrará um conjunto discreto de pontos. Nossa compreensão sobre como a interferência funciona está baseada em propriedades das ondas. Nosso objetivo é obter a relação entre a descrição ondulatória e a descrição corpuscular da interferência.

Interferência – uma análise sob o ponto de vista ondulatório Frentes de onda se aproximando

Fenda dupla

Anteparo As cristas se sobrepõem

Amplitude de onda ao longo do anteparo

Franjas de interferência

A interferência da luz pode ser analisada a partir de dois pontos de vista: o ondulatório ou o corpuscular (fótons). Começaremos pelo ponto de vista ondulatório. A FIGURA 40.1 mostra ondas de luz que passam por duas fendas. A distância entre as fendas é d. Você deve estar lembrado de que as linhas em um diagrama de frentes de onda representam cristas de ondas que distam um comprimento de onda umas das outras. As franjas brilhantes de interferência construtiva ocorrem onde duas cristas (máximos) ou dois vales (mínimos) se superpõem. Os gráficos, alinhados verticalmente, mostram o resultado do experimento. Nos Capítulos 21 e 22, você estudou a interferência e o experimento da fenda dupla. As duas ondas que partem das fendas em dados direção correspondentes a deslocamentos do meio porao anteparo são ondas progressivas

onde aé a amplitude de cada onda, é o número de onda e r1 e r2 são as distâncias entre cada fenda e o anteparo. O “deslocamento” correspondente a uma onda luminosa não é um deslocamento material, como no caso de uma onda na água, por exemplo, e sim, uma variação do campo eletromagnético. De acordo com o princípio da superposição, essas duas ondas se adicionam no ponto do anteparo onde elas se encontram, formando uma onda correspondente ao deslocamento total D  D1 + D2. Anteriormente (ver Equação 22.12), obtivemos a amplitude da superposição (40.1)

Posições de chegada dos fótons

FIGURA 40.1O experimento de fenda dupla

com luz.

onde x é a coordenada horizontal sobre o anteparo, medida a partir da posição x  0 localizada no centro. A função A(x), o gráfico superior da Figura 40.1, é chamada de função amplitude e descreve a amplitude A de uma onda luminosa em função da posição x sobre o anteparo. A função amplitude atinge valores máximos onde as duas cristas das ondas individuais se superpõem, adicionando-se construtivamente e formando uma onda maior, de amplitude 2a. A(x) é nula nos pontos em que as duas ondas individuais estão fora de fase e interferem destrutivamente. Se você realizar o experimento de fenda dupla no laboratório, observará a intensidade da luz no anteparo, e não, a sua amplitude, ou seja, I  A2, onde o símbolo  significa

CAPÍTULO 40

■


1241

“proporcional a”. Usando a Equação 40.1 para a amplitude em cada ponto, obtemos a intensidade I(x) em função da posição x no anteparo como (40.2) onde C é uma constante de proporcionalidade. O gráfico inferior da Figura 40.1 representa a intensidade em função da posição ao longo do anteparo. Este gráfico mostra as franjas de interferência brilhantes e escuras alternadas que você vê no laboratório. Em outras palavras, a intensidade da onda é a realidade experimental que você observa e mede.

Probabilidade Antes de começarmos a discutir a respeito dos fótons, precisamos introduzir algumas idéias sobre probabilidade. Imagine que você jogue dardos com os olhos vendados. A FIGURA 40.2mostra como o alvo poderia estar após os primeiros 100 lançamentos. Com base nesta informação, e considerando que todos os dardos atinjam o alvo, você seria capaz de prever onde acertaria o seu 101 o lançamento? Não. A posição de qualquer dardo individual é imprevisível. Não importa o quanto você se esforce para reproduzir seu lançamento anterior, você não acertará o dardo seguinte no mesmo lugar. No entanto, há um padrão geral no posicionamento dos dardos. Mesmo estando com os olhos vendados, você tem uma percepção global da localização do centro do alvo, de modo que há maior probabilidade de que cada dardo incida próximo ao centro do alvo do que próximo às bordas.

45 na região A

Embora não seja possível prever onde cada dardo individual incidirá, podemos usar a informação da Figura 40.2 para determinar aprobabilidade de que, no próximo lançamento, o dardo incidirá na região A, B ou C. Uma vez que 45 dos 100 lançamentos incidiram na região A, podemos dizer que achance de acertar a região A é de 45 em 100, ou 45%.

Mas pense bem, 100 lançamentos não é um numero muito grande. Se você lançar o dardo outras cem vezes, talvez apenas em 43 delas acertará a região A. Em outros 100 lançamentos, talvez 48. Imagine que o número total de lançamentos, Ntot, torne-se extremamente grande. A probabilidade de que um lançamento em particular incida na região

FIGURA 40.2Cem lançamentos de dardos

A é definida por

em um alvo.

(40.3) Em outras palavras, a probabilidade de que o resultado seja A é igual à fração dos resultados A obtidos em um número muito grande de tentativas. De maneira análoga, PB  NB/Ntot e PC  NC/Ntot à medida que Ntot → . Podemos expressar probabilidades tanto em forma de frações decimais quanto em percentagem. Neste exemplo, PA 45%, PB 35% e PC 20%. Usamos o símbolo (aproximadamente), em vez do símbolo  (igual), porque um total de 100 lançamentos não é suficiente para determinar as probabilidades com grande precisão. Qual é a probabilidade de um dardo acertar a região A ou a região B? O número de dardos que acerta a região A ou B é NA ou B  NA + NB; logo, podemos usar a definição de probabilidade para obter 







(40.4) Ou seja, a probabilidade de que um resultado seja A ou B é a soma de PA e PB. Essa conclusão importante é uma propriedade geral das probabilidades. Cada dardo acerta algum lugar do alvo. Conseqüentemente, a probabilidade de um dardo acertar em A ou B ou C deve ser 100%. E, de fato, Palgum lugar  PA ou B ou C  PA + PB + PC  0,45 + 0,35  0,20  1,00

Outra importante propriedade das probabilidades é: a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser igual a 1 .

34 na região B 20 na região C

1242


Suponha que exaustivas tentativas tenham estabelecido que a probabilidade de um dardo acertar a região A é PA. Se você jogar N dardos, quantos deles você espera que acertem em A? Este valor, chamado de valor esperado, é NA esperado  NPA

(40.5)

O valor esperado é a melhor previsão possível para o resultado de um experimento.

Se PA  0,45, sua melhor previsão é de que 27 em 60 lançamentos (45% de 60) acertarão A. É claro que prever 27 é uma coisa, e realmente acertar 27, é outra. Você poderia prever 30 caras em 60 vezes que você jogasse uma moeda, todavia não seria surpresa se obtivesse 28 ou 31. De forma análoga, o número de dardos que incidirá na região A pode ser 24 ou 29 em vez de 27. Em geral, a concordância entre os valores reais e os esperados aumentará à medida que mais dardos forem lançados. PARE E PENSE 40.1 Suponha que você jogue um dado 30 vezes. Qual é o número esperado dos algarismos 1 e 6?

Interferência – uma análise sob o ponto de vista de fótons

O número de fótons nesta faixa estreita, quando ela está na posição x, é N(com  x centrado em x).

Eixo x Posição N(com  x centrado em x1) 12 

x N(com  x centrado em x2) 3 

Eixo

x

Prob(com  x centrado Prob(com  x centrado em x1) em x2)

FIGURA 40.3Uma faixa de largura x centrada na posição x.

Agora vamos dar uma olhada nos resultados do experimento de fenda dupla sob uma perspectiva corpuscular. As evidências experimentais nos ensinaram que o padrão de interferência é formado fóton a fóton. A ilustração inferior da Figura 40.1 mostra o padrão apresentado por um detector após a chegada de algumas dúzias de fótons. Sem dúvida, trata-se de um padrão de interferência de fenda dupla, mas que foi construído como uma foto de jornal, por meio da deposição de pontos em algumas áreas, e não, em outras. A posição de chegada de um fóton particular é imprevisível, ou seja, a forma como o experimento foi conduzido ou elaborado não nos permite prever exatamente onde o ponto produzido por um fóton individual aparecerá no detector. Mesmo assim, ainda há um padrão geral claramente definido. Existem algumas posições em que o fóton tem maior probabilidade de ser detectado, e outras posições nas quais é menos provável que o fóton seja encontrado. Se registrarmos as posições de milhares de fótons, poderemos determinar a probabilidade de um fóton qualquer ser detectado em uma determinada localização. Se 50 entre 50.000 fótons atingirem uma pequena área do anteparo, então cada fóton tem uma probabilidade de 50/50.000  0,001  0,1% de ser detectado nesse local. A probabilidade será nula nos mínimos de interferência, pois nenhum fóton chega a tais pontos. Analogamente, a probabilidade será máxima nos máximos de interferência e terá um valor intermediário nos lados das franjas de interferência. A FIGURA 40.3amostra uma faixa estreita com largura x e altura H. (Admita que x seja muito pequeno em comparação com a distancia entre as franjas. Dessa maneira, a intensidade da luz sobre x será muito próxima de uma constante.) Pense nessa faixa como um detector bem estreito que pode registrar e contar os fótons que ali chegam. Suponha que a faixa estreita tenha sido colocada na posição x. Usaremos a notação N(com x centrado em x) para indicar o numero de fótons que chegam ao detector nessa posição. O valor de N(com x centrado em x) varia de região para região. Caso x esteja próximo do centro, N(com x centrado em x) será um valor grande; se x estiver em uma franja escura, N(com x centrado em x) será pequeno. Suponha que Ntot fótons sejam lançados em direção às fendas. A probabilidade de um fóton qualquer atingir a faixa na posição x é (40.6) Conforme ilustrado pela FIGURA 40.3b, a Equação 40.6 é um método empírico para determinar a probabilidade de os fótons atingirem um determinado local do detector.

CAPÍTULO 40

■

De forma alternativa, podemos calcular as probabilidades a partir de uma teoria. Nesse caso, o valor esperado para o numero de fótons que incidem em uma faixa estreita na posição x é N(com x centrado em x)  N  Prob(com x centrado em x)

(40.7)

Não podemos prever o que fará cada fóton em particular, mas podemos prever a fração de fótons que deveria incidir nessa pequena região do espaço. Prob(com x centrado em x) é a probabilidade de que isso aconteça.

40.2 Relacionando o ponto de vista ondulatório ao corpuscular

O modelo ondulatório da luz descreve o padrão de interferência em termos da intensidade de onda I(x), que é uma função contínua. O modelo corpuscular descreve o padrão de inx centrado em x) de detectar um fóton. terferência em termos da probabilidade Prob(com Esses dois modelos são muito diferentes; mesmo assim, a Figura 40.1 mostra uma correlação clara entre aintensidade de onda e a probabilidade de detecção de fótons, ou seja, os fótons possuem maior probabilidade de serem detectados nas regiões onde a intensidade da onda é maior, e menor probabilidade de detecção onde a intensidade da onda é baixa.

A intensidade de uma onda é I  P/A, a razão entre a potência luminosa (joules por segundo) e a área A sobre a qual a luz incide. A faixa estreita da Figura 40.3a tem área A  Hx. Se a intensidade da luz na posição x for I(x), a quantidade de energia luminosa que incidirá nessa faixa estreita, a cada segundo, será E(com x centrado em x)  I(x)A  Hx

(40.8)

A notação E (com x centrado em x) refere-se à energia depositada nessa faixa estreita centrada na posição x. Do ponto de vista corpuscular, a energia E deve-se à chegada de N fótons, cada qual com energia dada por hf. O número de fótons que incidem na faixa a cada segundo é (40.9) Podemos, então, empregar a definição de probabilidade – Equação 40.6 – para escrever a probabilidade de um fóton incidir na faixa estreita x centrada na posição x na forma (40.10) A Equação 40.10 é um elo fundamental entre o modelo ondulatório e o modelo corpuscular de fótons. Finalmente, lembre-s e de que a intensidade da luz I(x) é proporcional a | A(x)|2, o quadrado da função amplitude. Conseqüentemente, (40.11) onde as constantes da Equação 40.10 foram incorporadas à constante de proporcionalidade não-especificada da Equação 40.11. Em outras palavras, a probabilidade de detectarmos um fóton em um ponto particular é diretamente proporcional ao quadrado da função amplitude da onda luminosa naquele ponto. Se a amplitude da onda no ponto A for duas vezes maior do

que no ponto B, será quatro vezes mais provável que um fóton atinja uma faixa estreita localizada em A do que uma faixa de mesma largura localizada em B.

A Equação 40.11 é a conexão entre a perspectiva corpuscular e a perspectiva ondulatória. Ela relaciona a probabilidade de observarmos um evento de natureza corpuscular – a chegada de um próton – à amplitude de uma onda clássica contínua. Esta conexão será a base para interpretarmos os resultados de cálculos em física quântica.  NOTA 


1243

1244


Densidade de probabilidade Precisamos de mais uma definição. Lembre-se de que a massa de um fio ou de uma corda de comprimento L pode ser expressa em termos da densidade linear de massa  como m  L. De forma análoga, a carga ao longo do comprimento L de um fio pode ser expressa em função da densidade de carga linear  como Q  L. Se o comprimento fosse muito pequeno – e neste caso o denotaríamos por x – e se a densidade variasse de ponto para ponto, poderíamos ter escrito massa(no comprimento x centrado em x)  (x) x carga(no comprimento x centrado em x)  (x) x onde (x) e (x) são as densidades lineares na posição x. Ao escrevermos a massa e a carga dessa forma, separamos os papéis exercidos pela densidade e pelo pequeno comA densidade linear de massa em x é µ(x).

x. primento A Equação 40.11 parece similar. Usando as densidades de carga e de massa como analogias, como mostra a FIGURA 40.4, podemos definir a densidade de probabilidade P(x) tal que

Prob(com x centrado em x)  P(x)x

eixo x

(40.12)

Em uma dimensão, a densidade de probabilidade tem unidade de m –1 no SI. Logo, a densidade de probabilidade multiplicada pelo comprimento, como na Equação 40.12, resulta em uma probabilidade adimensional.

A massa deste pequeno segmento de corda é massa(com x centrado em x)  µ(x) x A densidade de probabilidade em x é P(x). eixo x A probabilidade de um fóton atingir este pequeno segmento do anteparo é Prob(com x centrado em x)  P(x)x

NOTA  P(x) não é uma probabilidade, assim como a densidade linear de massa  não é, sozinha, uma massa. Você deve multiplicar a densidade de probabilidade por um comprimento, como mostra a Equação 40.12, a fim de obter a probabilidade real. 

Ao comparar a Equação 40.12 com a Equação 40.11, você percebe que a densidade de probabilidade do fóton é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude da onda luminosa. P(x)  |A(x)|2

FIGURA 40.4A densidade de probabilidade

é análoga à densidade linear de massa.

(40.13)

Ao contrário da probabilidade, a densidade de probabilidade independe da largura x, dependendo apenas da posição x. Embora inspirados no experimento de fenda dupla, nada em nossa análise depende da geometria da fenda dupla. Conseqüentemente, a Equação 40.13 é completamente geral. Ela significa que, para qualquer experimento em que haja detecção de fótons, a densidade de probabilidade de detecção de um fóton é diretamente proporcional ao quadrado da amplitude da onda eletromagnética correspondente. Agora temos uma

conexão explicita entre as propriedades corpuscular e ondulatória da luz. a densidade de probabilidade Logo, a densidade de probabilidadeP(x)  Prob(com x centrado em Em um experimento, 6000 de 600.000 fótons são detectados em uma x)/x correspondente a essa posição é faixa com 1,0 mm de largura, centrada na posição x  50 cm. Qual é a densidade de probabilidade emx  50 cm? RESOLUÇÃO A probabilidade de um fóton atingir essa faixa é EXEMPLO 40.1Calculando

PARE E PENSE 40.2

A figura mostra fótons detectados em um experimento óptico. Ordene, em seqüência decrescente, os valores da função amplitude da onda eletromagnética ao quadrado correspondentes às posições A, B, C e D.

CAPÍTULO 40

■


1245

40.3 A função de onda Agora, estudaremos a interferência envolvendo matéria. Elétrons que passam através de um anteparo com uma fenda dupla geram os mesmos padrões de interferência obtidos com fótons. O padrão é construído elétron a elétron, todavia não é possível prever onde um elétron especifico será detectado. No entanto, se medirmos as posições individuais de vários elétrons, poderemos estabelecer a probabilidade de um elétron atingir uma faixa estreita de largura x. Para a luz, é possível relacionar a densidade de probabilidade para fótons, P(x), com a amplitude de uma onda eletromagnética. Porém no caso de elétrons não existe uma onda análoga à onda eletromagnética para o caso da luz. Então, como determinaremos a densidade de probabilidade para elétrons? Chegamos a um ponto em que teremos de dar um salto para além da física clássica. Vamos supor que exista algum tipo de função contínua ondulatória para a matéria que desempenhe um papel análogo àquele exercido pela amplitude eletromagnética A(x) para a luz. Chamaremos essa função de função de onda  (x), onde  é a letra grega minúscula psi. A função de onda é uma função de posição, e é por esse motivo que a denotamos por (x). Para relacionar a função de onda ao mundo real das medidas experimentais, interpretaremos (x) em termos da probabilidade de detectar uma partícula na posição x. Se uma partícula de matéria, um elétron, por exemplo, for descrita pela função de onda (x), então a probabilidade Prob(com x centrado em x) de encontrarmos uma partícula em uma região estreita de largura x centrada na posição x é Prob(com x centrado em x)  | (x)|2 x  P(x) x

Elétrons geram franjas de interferência após passarem por uma fenda dupla.

(40.14)

Ou seja, a densidade de probabilidade P(x) de encontrar a partícula é P (x )  |  (x )| 2

(40.15)

Com as Equações 40.14 e 40.15 definimos a função de onda (x) para desempenhar, no caso de partículas materiais, o mesmo papel que a função amplitude A(x) desempenha no caso de fótons. A única diferença é que P(x)  |(x)|2 vale para partículas, enquanto a Equação 40.13 para fótons é P(x) |A(x)|2. A diferença deve-se ao fato de que a amplitude do campo eletromagnético A(x) foi definida previamente por meio das leis da eletricidade e do magnetismo. A grandeza |A(x)|2 é proporcional à densidade de probabilidade para encontrar um fóton, mas não é de fato a densidade de probabilidade. Por outro lado, não temos uma definição prévia para a função de onda (x). Assim, estamos livres para definir (x) de modo que |(x)|2 seja exatamente a densidade de probabilidade. Esta é a razão pela qual usamos  em vez de  na Equação 40.15. A FIGURA 40.5mostra o experimento de fenda dupla realizado com elétrons. Desta vez trabalharemos em ordem inversa. A partir da observação da distribuição dos elétrons, que representa a probabilidade de incidência dos elétrons em uma região particular, podemos deduzir que |(x)|2 possui máximos e zeros alternados. A função de onda oscilatória (x) é a raiz quadrada de |(x)|2 obtida em cada ponto. Observe a analogia com a função amplitude A(x) da Figura 40.1.

Elétrons

Comprimento de onda de de Broglie

Fenda dupla

2  |(x)| é determinada unicamente pelos dados, mas a função de onda (x ) não é única. A função de onda alternativa ’(x)  –(x) – uma versão de cabeça para

NOTA

baixo do gráfico da Figura 40.5 – seria igualmente aceitável.



A FIGURA 40.6aconstitui um exemplo diferente de função de onda. Após elevar a função de onda ao quadrado em cada ponto, como mostra a FIGURA 40.6b, notamos que ela representa uma partícula que tem maior probabilidade de ser detectada nas proximidades de x  – b ou x  +b. Estes são os pontos onde se situam os máximos de |(x)|2. A probabilidade de uma partícula ser encontrada exatamente no centro é nula. É mais provável que detectemos uma partícula em algumas regiões do que em outras, mas não podemos prever sua localização exata.  Uma das dificuldades para aprender a usar o conceito de função de onda reside no fato de que não há “algo” em oscilação. Não há uma perturbação associada a algum meio físico. A função de onda (x) é, simplesmente, uma função ondulatória (i.e., que oscila entre valores positivos e negativos) que pode ser usada para fazer previsões probabilísticas a respeito de partículas atômicas. 

Posições de incidência de elétrons no detector

Franjas de interferência

NOTA

Função de onda do elétron

FIGURA 40.5O experimento da fenda dupla

realizado com elétrons.

1246


Um pouco de metodologia científica A Equação 40.14 define a função de onda (x) de uma partícula em termos da probabilidade de encontrarmos a partícula em diferentes posições x. Todavia, na verdade, nosso interesse vai além de uma mera caracterização de dados experimentais. Gostaríamos de desenvolver uma nova teoria da matéria. Mas o que é uma teoria? Embora este não seja um livro sobre metodologia científica, podemos dizer a grosso modo que uma teoria física precisa ter dois ingredientes básicos:

(a) Função de onda

1. Um descritor, uma grandeza matemática usada para descrever nossa compreensão (b) Densidade de probabilidade

A partícula tem a maior probabilidade de ser detectada onde é um máximo.

A partícula tem probabilidade nula de ser detectada onde

FIGURA 40.6O quadrado da função de

onda é a densidade de probabilidade de detectar o elétron para diferentes valores da posição x.

acerca de um objeto físico. 2. Uma ou mais leis que governam o comportamento do descritor.

Por exemplo, a mecânica newtoniana é uma teoria do movimento. O descritor primário x(t) adepartícula na mecânica newtoniana a posição uma partícula como do A tempo. Esse descritor expressa o que ésabemos sobre em todos os função instantes. posição é governada pelas leis de Newton. Essas leis, especialmente a segunda, são enunciados matemáticos sobre como o descritor varia em resposta às forças. Se obtivermos uma previsão de x(t) para o caso de um conjunto de forças já conhecido, acreditamos que um experimento efetuado no instante t encontrará a partícula exatamente onde foi previsto que ela esteja. A teoria de Newton do movimento considera que a posição de uma partícula seja definida em cada instante de tempo. A dificuldade enfrentada pelos físicos no inicio do século XX foi a descoberta de que a posição de uma partícula de tamanho atômico não é bem-definida. Em um experimento de fenda dupla, para que se obtenha um padrão de interferência cada elétron deve, de alguma forma, passar através de ambas as fendas. Ele simplesmente não possui uma posição bem-definida quando interage com as fendas. Mas se a função posição x(t) não é um descritor válido para a matéria em nível atômico, qual será? Afirmamos que a função de onda (x) é o descritor de uma partícula na mecânica quântica. Em outras palavras, a função de onda nos informa tudo o que podemos saber sobre a partícula. Na mecânica quântica, a função de onda (x) desempenha o mesmo papel crucial que a função posição x(t) desempenha na mecânica clássica. Não saberemos se essa hipótese tem algum mérito até que nos certifiquemos de que ela leva a previsões que possam ser confirmadas. E antes de seguir em frente, precisamos aprender qual é a “lei da psi”. Que nova lei da física determina a função de onda (x) para uma dada situação? Responderemos a essa pergunta no próximo capítulo. À medida que avançarmos, pode ser que você ache que estamos, simplesmente, “inventando” idéias. De fato, você está parcialmente certo. Os inventores de novas teorias utilizam conhecimentos prévios como guia, mas em determinado momento esses cientistas têm de fazer algumas “conjecturas” inspiradas acerca de como a nova teoria deve ser. Tanto Newton quanto Einstein fizeram suas apostas, e os inventores da mecânica quântica, também. Podemos tentar fazer com que novas idéias sejam plausíveis, mas, ao final, uma nova teoria nada mais é que uma nova hipótese ousada que deve ser confrontada com a realidade experimental. A teoria da função de onda da mecânica quântica passou no único teste que importa em ciência - ela funciona! PARE E PENSE 40.3 Esta é a função de onda de um nêutron. Em que valor de x há maior probabilidade de encontramos o nêutron?

CAPÍTULO 40

■


1247

40.4 Normalização Em nossa discussão sobre probabilidade foi possível concluir que um dardo tem de atingir algum lugar da parede. O enunciado matemático dessa idéia é a exigência de que PA + P B + P C  1, ou seja, a soma das probabilidades de todos os resultados mutuamente exclusivos deve ser igual a 1. De forma análoga, um fóton ou um elétron tem de atingir o detector em algum lugar após ter passado por um aparato experimental. Conseqüentemente, a probabilidade de ele ser detectado em alguma posição é de 100%. Fazendo uso dessa exigência, considere um experimento em que um elétron seja detectado no eixo x. De acordo com a FIGURA 40.7, podemos dividir a região compreendida entre as posições xE e xD em N faixas estreitas adjacentes, cada qual de largura x. A probabilidade de que um elétron qualquer atinja a faixa estreita i centrada na posição xi é dada por

N faixas estreitas de largura x

Prob(com x centrado em xi)  P(xi) x 2

onde P(xi)  |(xi)| é a densidade de probabilidade em xi. A probabilidade de um elétron incidir na faixa centrada em x1 ou x2 ou x3 ou... é igual à soma

(40.16)

eixo x A probabilidade de que uma partícula incida na faixa i é Prob(com x centrado em xi)  P(xi) x. FIGURA 40.7 Dividindo

o detector inteiro em várias faixas estreitas de largura x. Ou seja, a probabilidade de que um elétron atinja algum lugar entre xE e xD é a soma das probabilidade de que ele atinja cada uma dessas faixas estreitas . Se as faixas se tornarem cada vez mais estreitas, então x → dx e a soma se tornará uma integral. A probabilidade de encontrar as partículas dentro do intervalo xE  x  xD é Prob(no intervalo xE  x  xD) 

(40.17)

A FIGURA 40.8amostra que podemos interpretar Prob(no intervalo xE  x área situada abaixo da curva da densidade de probabilidade entre xE e xD.



x D) como a

NOTA  A integral da Equação 40.17 será necessária quando a densidade de proba-

bilidade for variável no intervalo entre xE e xD. Em intervalos suficientemente pequenos, nos quais P(x) for constante, a expressão Prob(com x centrado em x)  P(x) x ainda será válida e mais fácil de ser utilizada.  Agora consideremos que o detector seja infinitamente grande de modo que a probabilidade dos elétrons o atingirem em algum lugar seja de 100%. O enunciado de que o elétron tem de chegar em algum lugar no eixo x é expresso de forma matemática como

A área abaixo da curva entre xE e x é a probabilidade de encontrar a D partícula entre xE e xD.

A área total abaixo da curva deve ser igual a 1.

(40.18) A Equação 40.18 é denominada condição de normalização . Qualquer função de onda (x) deve satisfazer a essa condição, do contrário não teríamos como interpretar 2  (x) como uma densidade de probabilidade. Como ilustra a FIGURA 40.8b, a Equação 40.18 significa que a área total abaixo da curva da densidade de probabilidade deve ser

área abaixo da curva da densidade de probabilidade é uma probabilidade.

igual a 1. NOTA  A condição de normalização é a integral do

FIGURA 40.8 A

quadrado da função de onda.

Não dispomos de qualquer informação acerca de qual deva ser o valor da integral de (x). 

1248


EXEMPLO 40.2Normalizando

e interpretando uma função

b. A função de onda é

de onda A FIGURA 40.9mostra a função de onda de uma partícula confinada à região delimitada porx  0 nm e x  L  1,0 nm. Fora dessa região, a função de onda é nula. a. Determine o valor da constante c. b. Desenhe o gráfico da densidade de probabilidade P(x) correspondente. c. Trace uma figura com pontos que indique onde as primeiras 40 ou 50 partículas podem ser encontradas. d. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula em uma região com largura x  0,01 nm centrada nas posições x1  0,05 nm, x2  0,50 nm e x3  0,95 nm.

Logo, a densidade de probabilidade é

A densidade de probabilidade está representada no gráfico da FIGURA 40.10a.

, ,

FIGURA 40.9A função de onda do exemplo 40.2. Anteparo

MODELO A probabilidade de encontrar a partícula é determinada

pela densidade de probabilidade P(x). VISUALIZAÇÃOA função de onda é ilustrada na Figura 40.9. RESOLUÇÃO a. A função de onda é  (x)  c(1 – x/L) entre 0 e L e nula fora desse intervalo. Trata-se de uma função que decresce linearmente de   c, em x  0, para   0 em x  L. A constante c corresponde à altura dessa função de onda. A partícula tem de estar na região 0  x  L com probabilidade 1; somente um valor de c fará com que isso ocorra. Podemos determinar c usando a Equação 40.18, a condição de normalização. Uma vez que fora do intervalo entre 0 e L a função de onda é nula, os limites de integração são 0 e L. Assim,

FIGURA 40.10A densidade de probabilidade P(x) e as posições

das partículas detectadas.

c. As partículas têm maior probabilidade de detecção na borda esquerda do intervalo, onde a densidade de probabilidade P(x) é máxima. A probabilidade decresce gradativamente ao longo do intervalo, tornando-se nula em x  1,0 nm. A FIGURA 40.10b ilustra como um grupo de partículas descritas por essa função de onda pode aparecer no detector. d. P(x) é praticamente constante ao longo do pequeno intervalo x  0,01 nm. Podemos, então, usar Prob(com x centrado em x)  P(x) x   (x)2 x

A solução para c é

para calcular a probabilidade de encontrar a partícula em uma região de largura x centrada na posição x. Precisamos avaliar  ( x)2 nas três posições x1  0,05 nm, x2  0,50 nm e x3  0,95 nm. Obtemos, então, Prob(com 0,01nm com centro emx1  0,05 nm)

c 

Observe a unidade pouco usual de c. Embora essa unidade não pertença ao SI, podemos calcular probabilidades com precisão desde que x esteja expresso em nm. Uma constante multiplicativa como c geralmente é chamada de constante de normalização.

Prob(com 0,01nm com centro emx2  0,50 nm)

Prob(com 0,01nm com centro emx3



0,95 nm)



2

(1  x1/L) x

0,0270  2.70%

c 

2

2

2

(1 – x2/L) x

0,0075  0.75% 2

2

c (1 – x3/L) x 0,008%

 0,00008 

CAPÍTULO 40

EXEMPLO 40.3A

probabilidade de encontrar uma partícula

Uma determinada partícula é descrita pela função de onda

onde L  1 nm a. Determine o valor da constante c. b. Desenhe os gráficos de  ( x) e da densidade de probabilidade P(x). c. Calcule a probabilidade de encontrar uma partícula na região x  1 nm. MODELO A probabilidade de encontrar a partícula é determinada pela

densidade de probabilidade P(x).

,

,

,

■


1249

A função de onda é a exponencial (x)  ce – x/L, que se estende desde x  0 até x + . A Equação 40.18, a condição de normalização, assume a forma RESOLUÇÃO a.

Podemos resolver esta equação e obter a constante de normalização c:

b. A densidade de probabilidade é P(x)   (x)2  (2,00 nm –1)e – 2x/(1,0nm) A função de onda e a densidade de probabilidade estão representadas no gráfico daFIGURA 40.11. c. A probabilidade de encontrar a partícula na região x  1 nm é igual à área sombreada abaixo da curva de densidade de probabilidade da Figura 40.11. Devemos usar a Equação 40.17 e integrála a fim obter um valor numérico. A probabilidade é

A área abaixo da curva é Prob(x  1 nm).

FIGURA 40.11A função de onda e a densidade de probabilidade

do Exemplo 40.3.

AVALIAÇÃOHá 13,5% de chance de encontrarmos a par tícula além de 1 nm e, conseqüentemente, 86,5% de chance de encontrarmos a partícula no intervalo 0  x  1 nm. Neste caso, não podemos fazer uma pre -

visão exata da posição da partícula como fazemos na física clássica.

PARE E PENSE 40.4

O valor da constante a é –1

a. a  2,0 nm b. a  1,0 nm –1 c. a  0,5 nm –1 d. a  2,0 nm–½ e. a  1,0 nm –½ f. a  0,5 nm –½

40.5 Pacotes de onda As idéias de partícula e de onda da física clássica são mutuamente exclusivas. Um objeto pode ser uma ou outra, mas não ambas. Esses modelos clássicos não são capazes de descrever a dualidade onda-partícula observada ao nível atômico. Um modelo alternativo, com características tanto de onda quanto de partícula, é denominado pacote de onda.

1250

Física: Uma Abordagem Estratégica Um pacote de onda pode representar tanto uma partícula material (função de onda ) quanto um fóton (campo eletromagnético E).

ou

O pacote de onda oscila, o que é uma característica das ondas.

Duração do pacote de onda t O pacote de onda é localizado, o que é uma característica das partículas.

FIGURA 40.12Gráfico-história de um pacote de onda de duração ∆t.

Deslocamento

Duração t

Observe a onda ilustrada naFIGURA 40.12. Diferentemente das ondas senoidais consideradas anteriormente, que se estendem através do tempo e do espaço, essa onda é “aglomerada” ou localizada. A localização é uma característica corpuscular. As oscilações são capacote de onda. racterísticas das ondas. A esse tipo de onda localizada dá-se o nome de

Um pacote de onda move-se com velocidade constante v, tal qual um fóton de uma onda luminosa ou um elétron em uma região livre de forças. Um pacote de onda tem comprimento de onda; logo, sofrerá interferência e difração. Mas por ser localizado, um pacote de onda tem a capacidade de deixar um “ponto” marcado ao atingir um detector. Podemos visualizar a onda luminosa como um grande número desses pacotes de onda que se movem juntos. De forma similar, podemos pensar em um feixe de elétrons como uma série de pacotes de ondas espalhados ao longo de uma linha. Os pacotes de onda não constituem um modelo perfeito de fótons ou elétrons (é preciso um tratamento completo da física quântica para chegarmos a uma descrição mais precisa), mas fornecem um modo de conceber fótons e elétrons que é bastante útil em diversas circunstâncias. Talvez você tenha notado que o pacote de onda da Figura 40.12 é bastante semelhante a um ciclo de um padrão de batimentos. Você deve estar lembrado de que os batimentos ocorrem quando duas ondas de freqüências ƒ1 e ƒ2 são superpostas e as duas freqüências são similares, ƒ1 ƒ2. A FIGURA 40.13, que foi copiada do Capítulo 21, onde aprendemos sobre batimentos, mostra que o padrão alto, baixo, alto, baixo,... dos batimentos corresponde a uma série de pacotes de onda. No Capitulo 21, a freqüência de batimentos (número de pulsos por segundo) foi obtida como ƒbatimento  ƒ1 – ƒ2  ƒ (40.19) onde ƒ é a faixa de freqüências superpostas para formar o pacote de onda. A Figura 40.13 define t como a duração de cada batimento ou de cada pacote de onda. Esse intervalo de tempo é equivalente ao período Tbatimento do batimento. Uma vez que o período e a freqüência são inversos, a duração t é igual a 

baixo alto baixo alto baixo alto

FIGURA 40.13Os batimentos constituem

uma série de pacotes de onda.

Podemos reescrever esta equação como  ƒ t  1 (40.20) A Equação 40.20 não traz nenhuma novidade, simplesmente escrevemos o que já sabíamos. A Equação 40.20 é uma combinação de três elementos: a relação ƒ  1/ T entre período e freqüência, a expressão de Tbatimento como t e o conhecimento específico de que a freqüência de batimentos ƒbatimento é a diferença ƒ entre as duas freqüências que contribuem para o pacote de onda. À medida que a diferença entre as freqüências diminui, a duração de cada batimento aumenta. As ondas a serem adicionadas variam em freqüência desde até

As ondas estão todas em fase neste instante de tempo.

ia c n ê ü q e rf a d to n e m u A

FIGURA 40.14Um único pacote de onda

é composto pela superposição de várias ondas de comprimentos de onda e freqüências semelhantes.

A superposição das várias ondas em um intervalo de freqüências gera um pacote de ondas.

CAPÍTULO 40

■


1251

Quando duas freqüências são superpostas para gerar batimentos, os pacotes de ondas se repetem indefinidamente. Um tratamento mais avançado para as ondas, chamado de análise de Fourier, revela que um único pacote de onda, que não se repete, pode ser criado por meio da superposição de várias ondas de freqüência muito parecida. A FIGURA 40.14 ilustra essa idéia. Em certo instante de tempo, todas as ondas interferem construtivamente para produzir a amplitude máxima do pacote de onda. Em outros instantes de tempo, entretanto, as ondas individuais estão fora de fase e sua superposição tende a zero.

Suponha que um único pacote de onda não-repetido, de duração t, seja criado pela superposição de várias ondas cujas freqüências se situem em um intervalo ƒ de freqüências. Não provaremos aqui, mas a análise de Fourier mostra que, para qualquer pacote de onda, vale a relação

∆ƒ∆t



(40.21)

1

A relação entre ƒ e t para um pacote de onda não é tão precisa quanto para batimentos, dada pela Equação 40.20. Há duas razões para isso: 1. Pacotes de onda assumem diversas formas. A relação exata entre ƒ e t depende

do particular formato do pacote de onda.

t e de ƒ para um pacote de onda qualquer. A grandeza t é “a duração aproximada do pacote de onda”, enquanto ƒ é a “faixa de freqüências superpostas aproximada necessária para produzir o pacote de onda”. Para nossos propósitos, não necessitamos de uma precisão maior.

2. Ainda não fornecemos uma definição precisa de

A Equação 40.21 constitui um resultado puramente clássico válido para qualquer tipo de onda. Ele nos fornece a faixa de freqüências que temos de superpor a fim de obter um pacote de onda de duração t. Além disso, a Equação 40.21 nos diz que um pacote de onda obtido a partir da superposição de ondas de diferentes freqüências não pode ser arbitrariamente curto, mas deve ter duração de um intervalo de tempo t 1/ƒ. 

EXEMPLO 40.4Criando

VISUALIZAÇÃOA FIGURA 40.15ilustra o pulso.

pulsos de radiofreqüência

Uma estação de rádio de ondas curtas transmite a uma freqüência de 10,000 MHz. Que faixa de freqüências de onda deve ser superposta a fim de transmitir um pulso de onda de rádio com a duração de 0,800 s? MODELO Um

pulso de ondas de rádio é um pacote de ondas eletromagnéticas; logo, ele deve satisfazer à relação ∆ƒ∆t 1. 

RESOLUÇÃO O período de uma oscilação de 10.000 MHz é de 0,100 s. Um pulso com a duração de 0,800s possui 8 oscilações da onda.

Embora a estação de rádio transmita a uma freqüência nominal de 10,000 MHz, esse pulso não é uma oscilação de 10,000 MHz pura. Em vez disso, o pulso foi criado pela superposição de varias ondas cujas freqüências se situam em um intervalo

,

Essa faixa de freqüências tem seu centro na freqüência de transmissão de 10,000MHz, portanto as freqüências que devem ser sobrepostas para gerar o pulso se localizam no intervalo 9,375 MHz  ƒ  10,625 MHz ,

FIGURA 40.15Um pulso de ondas de rádio.

Largura de banda Pulsos de curta duração, como o apresentado no Exemplo 40.4, são usados para transmitir informação digital. Sinais digitais são enviados através de linhas telefônicas como breves pulsos elétricos; através de satélites, por meio de breves pulsos de rádio, como apresentado no exemplo; ou através de fibras óticas, como breves pulsos de laser. Independentemente do tipo de onda e do meio através do qual ela se propague, qualquer pulso de onda deve obedecer à relação fundamental ƒt 1. 

1252


Enviar dados a uma alta taxa de transferência (i.e., a vários pulsos por segundo) requer que a duração do pulso seja menor. Mas um pulso de curta duração só pode ser criado pela superposição de uma faixa maior de freqüências. Assim, o meio pelo qual um pulso de curta duração se propagará deve ser fisicamente capaz de transmitir todas as freqüências contidas na faixa de freqüências. A faixa de freqüências que pode ser transmitida através de um meio é chamada de largura de banda ƒB do meio. O pulso mais curto possível que pode ser transmitido através de um meio é (40.22) Um pulso mais curto que este exigiria uma faixa de freqüências maior do que o meio poderia comportar. O conceito de largura de banda é extremamente importante na comunicação digital. Uma largura de banda maior permite a transmissão de pulsos mais curtos e, conseqüente, uma maior taxa de transmissão de dados. Uma linha telefônica padrão não tem uma largura de banda muito larga, razão pela qual o modem usado está limitado a enviar dados a uma taxa de aproximadamente 50.000 pulsos por segundo. Um pulso de 0,80 s não poderia ser enviado pela linha telefônica simplesmente porque a linha não transmite a faixa de freqüências correspondente necessária. A fibra ótica é um meio cuja banda é larga. Uma fibra tem, tipicamente, banda de largura ƒB > 1GHz e, conseqüentemente, pode transmitir pulsos de laser com duração 9 t < 1 ns. Assim, uma fibra ótica pode transmitir mais de 10 pulsos por segundo, razão pela qual as redes de fibra ótica são a espinha dorsal da Internet.

Incerteza Há outra maneira de interpretar a relação ƒt 1. Suponha que você deseje determinar quando um pacote de onda atinge um ponto específico do espaço, como um detector, por exemplo. Você poderia dizer em qual instante de tempo o pacote de onda será detectado? Talvez quando a parte frontal do pacote atingir o instrumento? Ou quando a amplitude máxima o atingir? Ou, ainda, quando a parte traseira do pacote atingir o detector? Como 

t, preciso um pacote de onda uma largura temporal, há um instante definido, que caracterize sua possui chegada. Tudo o que podemosnão dizer é que ele atinge o alvoeem algum intervalo de tempo t. Não temos certeza do exato instante em que ele chegará. De forma análoga, suponha que você desejasse saber a freqüência das oscilações de um pacote de onda. Não há um valor preciso deƒ, pois o pacote de onda é formado por váƒ. Podemos apenas rias ondas cujas freqüências se situam em uma faixa de freqüências certeza da freqüência exata. afirmar que a freqüência pertence a essa faixa. Não temos

A relação tempo-frequência ƒt 1 significa que nossa incerteza acerca do tempo de chegada do pacote de onda está relacionada à nossa incerteza sobre a freqüência do pacote. Quanto mais precisamente for nosso conhecimento sobre uma grandeza, menos preciso será nosso conhecimento acerca da outra. A Figura 40.16 mostra dois pacotes de onda distintos. O pacote de onda da FIGURA 40.16aé muito estreito e, conseqüentemente, bem localizado no tempo. À medida que ele se move, podemos saber quase precisamente o instante especifico de sua chegada. Entretanto, uma larga faixa de freqüências ƒ é necessária para produzir um pacote de onda com um t muito pequeno. O preço a pagar para obtermos uma grande confiança sobre o tempo é uma incerteza ƒ muito grande acerca da freqüência desse pacote de onda. A FIGURA 40.16bilustra uma situação oposta. O pacote de onda oscila muitas vezes e a freqüência dessas oscilações é bem clara. Sabemos bem qual é a freqüência, com um mínimo de incerteza ƒ. Mas esse pacote de onda tem uma duração tão grande que há uma grande incerteza t quanto ao instante de sua chegada. Na prática, a relação ƒt 1 constitui, de fato, um limite inferior. Limitações técnicas podem gerar incertezas ainda maiores em ƒ e t. Conseqüentemente, é melhor escrevermos 

Este pacote de onda tem uma grande incerteza  f em freqüência.



Este pacote de onda tem uma pequena incerteza f em freqüência.

FIGURA 40.16Dois pacotes de onda com diferentes t.

1

ƒ

 t 

(40.23)

Uma vez que ondas são espalhadas, não faz sentido especificar, simultaneamente, a freqüência e o tempo de chegada exatos. Trata-se de uma característica de todas as ondas.

CAPÍTULO 40

■


1253

PARE E PENSE 40.5 Qual é a banda mínima de um meio para que se possa transmitir através dele um pulso de 100 ns?

a. 1 MHz

b. 10 MHz

c. 100 MHz

d. 1.000MHz

40.6 O princípio da incerteza de Heisenberg Se a matéria possui aspectos ondulatórios e um comprimento de onda de de Broglie, então a expressão ƒt  1 deve ser, de alguma forma, válida para ela. Mas como? E quais são as implicações? Considere uma partícula que se mova com velocidade vx ao longo do eixo x com

17.6, 17.7

comprimento de onda de de Broglie   h/px. A Figura 40.12 mostrou o gráfico-história ( versus t) de um pacote de onda que pode representar a partícula quando esta passa por um ponto do eixo x. Seria mais útil obtermos um gráfico-instantâneo ( versus x) do pacote de onda que se desloca ao longo do eixo x. O intervalo de tempo t é a duração do pacote de onda quando a partícula passa por um ponto no espaço. Durante esse intervalo, o pacote move-se para a frente (40.24) onde px  mvx é o componente x do momentum da partícula. A grandeza x, mostrada na FIGURA 40.17, é o comprimento ou a extensão espacial do pacote de onda. Podemos, então, escrever a duração do pacote de onda em função de seu comprimento como ou

(40.25) Você deve estar lembrado de que qualquer onda com oscilações senoidais deve satisfazer à condição ƒ  v. Para uma partícula material, para a qual  é o comprimento de onda de de Broglie, a freqüência ƒ é Pacote de ondas de largura ∆x

FIGURA 40.17Um gráfico-instantâneo de

Uma pequena faixa de freqüências ƒ está relacionada a um pequeno intervalo de momenta px pela relação (40.26) onde consideramos que ƒ ƒ e px px (uma hipótese plausível) e tratamos os pequenos intervalos ƒ e px como se fossem diferenciais dƒ e dpx. Multiplicando essas expressões para t e para ƒ, obtemos (40.27) Uma vez que ƒt  1 vale para qualquer onda, um último rearranjo da Equação 40.27 mostra que uma onda de matéria deve satisfazer à condição (princípio da incerteza de Heisenberg)

(40.28)

Esta relação entre a posição e o momentum de uma partícula foi proposta por Werner Heisenberg, criador de uma das primeiras teorias quânticas bem-sucedidas. Os físicos costumam chamar essa desigualdade de princípio da incerteza.

um pacote de onda.

1254


Em algumas versões do princípio da incerteza, o lado direito é, muitas vezes, escrito como h/2, tal como aparece neste texto, mas em alguns casos temos somente h ou outros fatores adicionais envolvendo π. O número específico não é de especial importância, pois depende exatamente de como x e px são definidos. O aspecto relevante aqui é que o produto de x por px para uma partícula não pode ser significativamente menor que a constante h de Planck. Uma relação similar para y e py também vale ao longo do eixo y.  NOTA 

O que ele significa? O princípio da incerteza de Heisenberg é um enunciado sobre nosso conhecimento acerca das propriedades de uma partícula. Se quisermos saber onde a partícula está localizada, medimos sua posição x. Essa medida não é absolutamente perfeita, mas carrega uma 

x. De forma análoga, se quisermos saber quão rapidamente se move uma incerteza partícula, temos de medir sua velocidade vx ou, equivalentemente, seu momentum px. Essa medida também carrega incertezas. As incertezas estão associadas às medidas experimentais, mas procedimentos e técnicas melhores podem reduzir essas incertezas. A física newtoniana não impõe limites ao tamanho dessas incertezas. Uma partícula newtoniana, a qualquer instante de tempo, tem uma posição exata x e um momentum exato px e, com um pouco de dedicação, poderemos medir tanto x quanto px com tamanha precisão que o produto xpx → 0. Não há limites inerentes sobre o que sabemos sobre uma partícula clássica ou newtoniana. Heisenberg, entretanto, enunciou com srcinalidade e confiança que nosso conhecimento tem limitações reais. Não importa quão esperto você seja ou quão bem-realizado seja seu experimento, você não pode medir x e px simultaneamente com precisão arbitrariamente boa. Qualquer medição que você faça estará limitada pela condição xpx  h/2. Nosso conhecimento sobre uma partícula é intrinsecamenteincerto. Por quê? Por causa da natureza ondulatória da matéria. A “partícula” está espalhada no espaço; simplesmente não existe um valor preciso para sua posição x. De forma similar, a relação de de Broglie entre momentum e comprimento de onda implica que não podemos saber qual é exatamente o momentum de um pacote de onda, da mesma forma como não conhecemos precisamente seu comprimento de onda ou sua freqüência. Nossa crença de que a posição e o momentum possuem valores precisos está atrelada ao nosso conceito clássico de partícula. À medida que revisamos nosso entendimento sobre o que realmente são as partículas atômicas, teremos também de rever nossos antigos conceitos sobre posição e momentum.

EXEMPLO 40.5A incerteza de uma partícula de poeira

o quanto nos esforcemos para fazer com que a partícula esteja em

Uma partícula de poeira com 1,0 m de diâmetro (m 10 –15 kg) repouso, nossa incerteza sobre o momentum da partícula serápx está confinada em uma caixa de 10 m de comprimento. Podemos h/(2 x)  h/2L. Consideramos aqui a medida mais precisa possível, afirmar, com certeza, que a partícula encontra-se em repouso? Em de modo que  no princípio da incerteza de Heisenberg torna-se . caso negativo, em que faixa de valores é mais provável que meçamos Conseqüentemente, a faixa de valores possíveis para a velocidade é a velocidade da partícula? MODELO Toda a matéria está sujeita ao princípio da incerteza de Heisenberg. vx  0 m/s se RESOLUÇÃO Se soubermoscom certeza que a partícula está em repou- Essa faixa de velocidades possíveis estará centrada em so, então px  0 sem qualquer incerteza, ou seja, px  0. Todavia, de tivermos feito o possível para deixar a partícula em repouso. Assim, acordo com o princípio de Heisenberg, a incerteza que temos acerca tudo que podemos saber com certeza é que a velocidade da partícula da posição da partícula teria de ser x → . Em outras palavras, não situa-se no intervalo –1,5 10 –14 m/s  v  1,5  10 –14 m/s. saberíamos absolutamente nada sobre a posição da partícula – que poderia estar em qualquer lugar! Mas este não é o caso. Sabemos que AVALIAÇÃO Por razões práticas, você pode considerar satisfatória esta a partícula está em algum lugar dentro da caixa; logo, nossa incerte- definição de “em repouso”. Afinal, uma partícula com uma velocida





–14

za sobre sua posição é, no máximo, x  L  10 m. Com um x finito, a incerteza px não pode ser nula. Não podemos saber com certeza se a partícula está em repouso dentro da caixa. Não importa

10

de de 1,5  10 m/s precisaria de 6  10 s para mover-se apenas 1 mm. Isto equivale, mais ou menos, a 2000 anos! Ainda assim, não podemos ter certeza se a partícula está “realmente” em repouso.

CAPÍTULO 40

EXEMPLO 40.6A incerteza de um elétron

Que faixa de velocidades pode ter um elétron se ele estiver confinado a uma região com 0,10 nm de comprimento, o tamanho aproximado de um átomo? MODELO Os elétrons estão sujeitos ao princípio da incerteza de Heisenberg. RESOLUÇÃO A análise é a mesma efetuada no Exemplo 40.5. Se soubermos que a posição do elétron está localizada no intervalo x 0,1 nm, então o máximo que podemos saber sobre sua velocidade é que ela se encontra na faixa de valores 

Uma vez que a velocidade média é nula, tudo o que podemos dizer é que a velocidade do elétron está na faixa de valores –2 106 m/s  v  2  106 m/s. É simplesmente impossível conhecer a velocidade desse elétron com maior precisão do que isso. AVALIAÇÃO Diferentemente da situação apresentada no Exemplo 40.5, em que v era tão pequeno que não haveria nenhuma conseqüência prática, aqui nossa incerteza acerca da velocidade do elétron é enorme – o equivalente a cerca de 1% da velocidade da luz!

Novamente, verificamos que mesmo os menores objetos macroscópicos se comportam como partículas clássicas newtonianas. Talvez uma partícula de 1 m seja um tanto difusa e possua uma velocidade incerta, mas mesmo os melhores instrumentos de hoje não conseguiriam detectar o comportamento ondulatório associado a tal objeto. Em contrapartida, os efeitos do princípio da incerteza são estupendos sobre as partículas de tamanho da ordem da escala atômica. Não conseguimos determinar a velocidade de um elétron em um recipiente de dimensões atômicas com precisão menor do que 1% da velocidade da luz. PARE E PENSE 40.6

Qual das partículas, A ou B, você pode localizar com maior precisão?

■


1255

1256


RESUMO O objetivo do Capítulo 40 foi introduzir a descrição da matéria em termos de uma função de onda e aprender a interpretá-la

Princípios gerais Funções de onda e densidade de probabilidade Não podemos prever a trajetória exata de uma partícula atômica como um elétron, por exemplo. O melhor que podemos fazer é prever a probabilidadede que a partícula seja encontrada em uma dada região do espaço. A probabilidade é determinada pela função de onda (x) da partícula. • (x) é uma função ondulatória contínua. • A probabilidade de uma partícula ser encontrada em um intervalo estreitox centrado em uma posição x é

Prob(com x centrado em x)   (x)2 x • |(x)|2 é a densidade de probabilidade P(x). • Para que a interpretação probabilística de  (x) faça sentido, a função de onda deve satisfazer ac ondição de normalização :

E

D

Ou seja, é certo que a partícula encontre-se em algum ponto do eixo x. • Para um intervalo extenso, área sob a curva em

Princípio da incerteza de Heisenberg Uma partícula com características ondulatórias não possui um valor preciso de posição x ou um valor preciso para o momentumpx. Ambos são incertos. A incerteza da posição, x, e a incerteza do momentum, px, estão relacionadas porxpx  h/2. Quanto mais você tenta obter o valor de um deles com precisão, menos preciso torna-se o valor do outro.

Comprimentox do pacote de onda

Conceitos importantes A probabilidadede uma partícula ser encontrada em uma região A é

Se a probabilidade é conhecida, o número esperado de resultados A em N tentativas é NA  NPA.

Um pacote de ondade duração t pode ser criado pela superposição de várias ondas de freqüências situadas em uma faixa de freqüências ƒ. Elas são relacionadas através de

ƒ

 t

Região A



ou

1 Duração do pacote de onda t

Termos e notação mecânica quântica densidade de probabilidade, P(x) pacote de onda

probabilidade função de onda, (x) largura de banda,ƒB

valor esperado condição de normalização princípio da incerteza

CAPÍTULO 40


■



1257

integram o material


QUESTÕES CONCEITUAIS 1. A FIGURA Q40.1mostra a densidade de probabilidade para fótons

que são detectados sobre o eixox. a. Onde é mais provável que um fóton seja encontrado: emx  0 m ou em x  1 m? Explique. b. Um milhão de fótons são detectados. Qual é o número esperado de fótons em um intervalo de 1mm centrado emx  0,25 m e em x  0,75 m?

a. Para qual(is) valor(es) dex a densidade de probabilidade do elétron é máxima? Explique b. Você pode afirmar em qual(is) valor(es) de x a função de onda  (x) do elétron é mais positiva? Em caso afirmativo, onde? Em caso negativo, por que não?

FIGURA Q40.4 5. Qual é o valor da constantea da FIGURA Q40.5 ?

FIGURA Q40.1

,

,

,

2. Qual é a diferença entre probabilidade e densidade de probabilidade? 3. Para a função de onda do elétron mostrada na FIGURA Q40.3, em

qual(is) posição(ões) há maior probabilidade de que o elétron seja encontrado?

FIGURA Q40.5 6. A FIGURA Q40.6mostra pacotes de onda para as partículas 1, 2 e 3.

Para qual dessas partículas conhecemos a velocidade com maior precisão? Explique.

FIGURA Q40.3 4. A FIGURA Q40.4ilustra um padrão de pontos que representa os elé-

trons que atingem um detector.

Partícula 1

Partícula 2

Partícula 3

FIGURA Q40.6

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Exercícios Seção 40.1 Ondas, partículas e o experimento de fenda dupla 1. | Um dado experimento tem quatro resultados possíveis, denomi-

nados A, B, C e D. A probabilidade de A é PA  40% e a de B, PB  30%. O resultado C é duas vezes mais provável que o resultado D. Quais são as probabilidades P e P ? C D 2. || Suponha que você jogue três moedas para cima. Ao caírem no chão, cada uma delas mostrará cara ou coroa. a. Faça uma tabela listando todos os resultados possíveis desse experimento. Identifique as moedas pelas letras A, B ou C. b. Qual é a probabilidade de obter duas caras e uma coroa? Explique.

3. | Suponha que você escolha uma carta qualquer de um baralho de

52 cartas. a. Qual é a probabilidade de você obter um ás? b. Qual é a probabilidade de você obter uma carta do naipe espadas? 4. | Você recebe 1 carta de cada um de 1000 baralhos. Qual é o número de cartas com figuras (valete, rei ou rainha) que você espera receber?

5. || Construa uma tabela que liste todos os resultados possíveis do

lançamento de dois dados. Identifique os dados pelas letras A e B. Qual é a probabilidade de obter (a) um 7, (b) um duplo qualquer e (c) um 6 ou um 8? Você pode expressar as probabilidades em frações como, por exemplo, 3/36.

1258


Seção 40.2 Relacionando o ponto de vista ondulatório ao corpuscular

c. Qual é a probabilidade de o elétron estar localizado entre x  1,0 nm e x  2,0 nm?

6. | Em um experimento, 2000 fótons são detectados em uma faixa

com 0,10 mm de largura onde a amplitude da onda eletromagnética é de 10 V/m. Quantos fótons são detectados em uma região próxima, com 0,10 mm de largura, onde a amplitude é 30 V/m? 7. || Em um experimento, 6000 fótons são detectados em uma faixa com 0,10 mm de largura onde a amplitude da onda eletromagnética F I G U R A E X 4 0 . 14 F I G U R A E X 4 0 . 15 é de 200 V/m. Qual é a amplitude da onda em uma região próxima, 2 com 0,20 mm de largura, onde 3000 fótons foram detectados? || 15. A FIGURA EX40.15é um gráfico de  (x) de um nêutron. 10 8. || 1,0  10 fótons atravessam um aparato experimental. Quantos a. Qual é o valor dea? fótons chegam a uma faixa com 10 mm de largura onde a densidade b. Desenhe um gráfico da função de onda  (x). (Há mais de uma de probabilidade é igual a 20 m – 1? resposta aceitável). 9. | Quando 5  1012 fótons atravessam um aparato experimental, 2,0 c. Qual é a probabilidade do nêutron estar localizado em uma re9  10 deles incidem em uma faixa com 0,10 mm de largura. Qual é gião com x  2 fm? a densidade de probabilidade no ponto central da faixa? 16. || A FIGURA EX 40.16mostra a função de onda de um elétron. a. Qual é o valor dec? Seção 40.3 A função de onda b. Desenhe um gráfico de (x)2. c. Qual é a probabilidade de o elétron estar localizado entre x  10. | Quais é a unidade de ? Explique. –1,0 nm e x  1,0 nm? 11. || A FIGURA EX40.11 representa a densidade de probabilidade , de um elétron que atravessa um aparato experimental. Se 1,0  106 elétrons são usados, qual é o número esperado de elétrons que incidem em uma faixa com 0,010 FIGURA EX40.11 mm de largura centrada (a) em x  0,000 mm e (b) em x  2,000 mm? 12. || Em um experimento de interferência com elétrons, vocêconstata F I G U R A E X 4 0 . 16 F I G U R A E X 4 0 . 17 que a franja mais intensa está centrada em x  7,0 cm. Há franjas ligeiramente mais fracas centradas em x  6,0 cm e em x  8,0 cm, 17. || A FIGURA EX40.17mostra a função de onda de um nêutron. franjas ainda mais fracas centradas em x  4,0 cm e x  10,0 cm e a. Qual é o valor dec? duas franjas muito fracas centradas em x  1,0 cm e x  13,0 cm. b. Desenhe um gráfico de (x)2. x x Nenhum elétron é detectado em < 0 cm ou >214 cm. c. Qual é a probabilidade de o nêutron estar localizado entre x  a. Desenhe um gráfico que represente  (x) correspondente a –1,0 nm e x  1,0 nm? esses elétrons. b. Desenhe um possível gráfico de (x). Seção 40.4 Pacotes de onda c. Existem outros possíveis gráficos de  (x)? | || 13. A FIGURA EX40.13representa a densidade de probabilidade de um 18. Qual é a largura de banda mínima necessária para transmitir um pulso que consiste de 100 ciclos de uma oscilação de 1,00 MHz? elétron que atravessa um aparato experimental. Qual é a probabili19. || Um amplificador deradiofreqüência amplifica sinais nafaixa de dade desse elétron incidir em uma faixa com 0,010 mm de largura freqüências entre 80 MHz e 120 MHz. Qual é a menor duração de centrada em (a) x  0,000 mm, (b) x  0,500 mm, (c) x  1,000 um pulso de radiofreqüência que pode ser amplificado sem que haja mm e (d) x  2,000 mm? distorção? 20. | Duas ondas sonoras de 498Hz e 502 Hz são superpostas quando a , temperatura do ar é tal que a velocidade do som vale 340 m/s. Qual é o comprimentox de um pacote de onda? 21. || Um pulso de laser de comprimento de onda igual a 1,5 m é transmitido por meio de uma fibra ótica com largura de banda de FIGURA EX40.13 2,0 GHz. Quantas oscilações há no pulso de laser de mínima duração que pode ser transmitido pela fibra? Seção 40.4 Normalização 2

14. || A FIGURA EX40.14é um gráfico de (x) de um elétron.

a. Qual é o valor dea? b. Desenhe um gráfico da função de onda  (x). (Há mais de uma resposta aceitável.)

Seção 40.4 O princípio da incerteza de Heisenberg 22. || Qual é a incerteza na posição, em nm, de5 um elétron cuja veloci5

dade está entre 3,48  10 m/s e 3,58  10 m/s?

CAPÍTULO 40

■


1259

23. || Andréa, cuja massa é igual a 50 Kg, considera-se em repouso

na faixa –3,0 cm  x  +3,0 cm. Desenhe o gráfico de uma denem seu quarto, onde faz seu tema de física. Será que ela pode ter sidade de probabilidade consistente com esses dados. (Pode haver certeza de que está em repouso? Em caso negativo, qual é a faixa de mais de uma resposta aceitável.) 2 velocidades mais provável para a velocidade de Andréa? 33. || A FIGURA P40.33representa  (x) para os elétrons usados em 24. || Uma barreira sólida e finasituada no planoxy possui um orifício um experimento. com 10 m de diâmetro. Um elétron que se move na direçãoz com a. A função de onda de um desses elétrons é normalizada? Explivx  0 m/s atravessa o orifício. Logo após, a velocidade vx ainda que. será nula? Em caso negativo, em que faixa de velocidades é mais b. Desenhe um gráfico de  (x) que cubra esse mesmo intervalo. provável que se encontrevx? Defina uma escala numérica para cada um dos eixos. (Pode haver 25. || Um próton está confinado em um núcleo atômico de 4,0 fm de mais de uma resposta aceitável.) diâmetro. Use um modelo unidimensional para estimar a mínima c. Qual é a probabilidade de que um elétron seja detectado em uma faixa de velocidades que você pode obter para o próton no núcleo. região com 0,0010 cm de largura centrada em x  0,00 cm? E centrada em x  0,50 cm? E em x  0,999 cm? 4

Problemas

d. dir Se 10 elétrons são detectados, esperados na faixa compreendida entrequantos –0,30 deles cm xsão  0,30 cm? inci-

26. || Uma esfera de 1,0mm de diâmetro oscila entre duas paredes lo-

calizadas em x  0 mm e em x  100 mm. As colisões são perfeitamente elásticas e a esfera repete o movimento indefinidamente sem perder velocidade. Em um instante de tempo qualquer, qual é a probabilidade de o centro da esfera estar a. Exatamente em x  50,0 mm? F IGU R A P 4 0 .33 F IG U R A P 4 0 . 3 4 b. Entre x  49,0 mm e x  51,0 mm? c. Em x  75 mm? 34. || A FIGURA P40.34mostra a função de onda de uma partícula con27. || Uma antena de radar emite ondas eletromagnéticas com período finada entre x  0 nm e x  1,0 nm. A função de onda é nula fora de 0,100 ns. Que intervalo de freqüências seria utilizado na superdessa região. posição das ondas a fim de gerar um pulso de radar com 1,0 ns de a. Determine o valor da constante c definida na figura. duração? b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade P(x)   28. || Pulsos de ultra-som de freqüência 1,000 MHz são transmitidos (x)2. pela água, onde a velocidade do som é de 1500 m/s. O comprimenc. Desenhe um diagrama de pontos que mostre onde as primeiras to espacial de cada pulso é de 12 mm. 40 ou 50 partículas poderiam ser encontradas. a. Quantos ciclos completos estão contidos em um pulso? d. Calcule a probabilidade de uma partícula ser encontrada na faixa b. Que intervalo de freqüências deve ser usado na superposição a 0,0 nm  x  0,3 nm. fim de gerar cada pulso? 35. || A FIGURA P40.35mostra a função de onda de uma partícula confi29. || A FIGURA P40.29 mostra um nada entre x  – 4,0 nm e x  4,0 nm. A função de onda é nula fora trem de pulsos.Seu período éT  dessa região. 2t, onde t é a duração de cada a. Determine o valor da constante c definida na figura. Período T  2t pulso. Qual é a máxima taxa de b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade P(x)   transmissão de pulsos (pulsos por FIGURA P40.29 (x)2. segundo) através de um sistema c. Desenhe um diagrama de pontos que mostre onde as primeiras eletrônico com largura de banda de 200 kHz? (Esta é a largura de 40 ou 50 partículas poderiam ser encontradas. banda destinada a toda estação de rádio FM.) d. Calcule a probabilidade de uma partícula ser encontrada na faixa 30. || Considere um experimento de difração de fenda única usando –2,0 nm  x  2,0 nm. elétrons. (A difração de fenda única é descrita na Seção 22.4). Usando a Figura 40.5 como modelo, desenhe a. Um diagrama de pontos que mostre as posições de incidência dos primeiros 40 ou 50 elétrons. b. Um gráfico de (x)2 dos elétrons sobre a tela do detector. c. Um gráfico de  (x) dos elétrons. Tenha em mente que , por possuir caráter ondulatório, oscila entre valores positivos e negativos. 31. || Um experimentodetecta elétrons uniformemente distribuídos em uma faixa 0 cm  x  2 cm sem que nenhum outro elétron incida F IGU R A P 4 0 .35 F IG U R A P 4 0 . 3 6 fora dessa faixa. 2 a. Desenhe um gráfico de  (x) para esses elétrons. 36. || A FIGURA P40.36mostra a densidade de probabilidade para enb. Qual é a probabilidade de que um elétron incida na faixa compreendida entre 0,79 e 0,81 cm? c. Se 106 elétrons são detectados, quantos deles incidem na faixa compreendida entre 0,79 e 0,81 cm? d. Qual é o valor da densidade de probabilidade emx  0,80 cm? 32. || Em um experimento com 10.000elétrons que incidem simetricamente de ambos os lados de x  0, 5000 elétrons são detectados na faixa –1,0 cm  x  +1,0 cm, 7500 deles são detectados na faixa –2,0 cm  x  +2,0 cm e todos os 10.000 elétrons são detectados

contrar uma partícula na posiçãox. a. Determine o valor da constante a definida na figura. b. Para qual valor de x há maior probabilidade de a partícula ser encontrada? Explique. c. Baseado na sua resposta ao item b, para que faixa de posições você tem 75% de chance de encontrar a partícula? d. Interprete sua resposta para o item c desenhando um gráfico da densidade de probabilidade e sombreando a região apropriada.

1260


Um elétron confinado a x  0 nm tem função de onda normalizada

c. Determine valores de a e b. d. Qual é a probabilidade de que a partícula seja encontrada à esquerda da srcem? 42. || Um pulso de luz gerado pela superposição de várias ondas com freqüências compreendidas na faixa ƒ0 – 1/2ƒ  ƒ  ƒ0 + 1/2ƒ, onde ƒ0  c/ é denominada freqüência central do pulso. A teconde x está em nm. nologia do laser é capaz de gerar um pulso de luz com um coma. Qual é a probabilidade de encontrar o elétron em uma região com primento de onda de 600 nm e duração de apenas 6,0 fs (1 fs  1 largura de 0,010 nm centrada emx  1,0 nm? femtosegundo  10 –15 s), b. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron no intervalo 0,50 a. Qual é a freqüência central desse pulso de luz? nm  x  1,50 nm? b. Quantos ciclos ou oscilações completas da onda luminosa ocor|| 38. Uma dada partícula é descrita pela função de onda rem durante o pulso de 6,0 fs? c. Qual é a faixa de freqüências que deve ser superposta a fim de

37. ||

onde L  2,0 mm. a. Desenhe os gráficos da função de onda e da densidade de probabilidade em função dex. b. Determine a constante de normalizaçãoc. c. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula a uma distância máxima da srcem de 1,0 mm. d. Interprete sua resposta para o item b sombreando a região que representa essa probabilidade no gráfico apropriado para o item a. 39. || Considere a função deonda de um elétron

onde x está em cm. a. Determine a constante de normalização c. b. Desenhe um gráfico de (x) correspondente ao intervalo –2 cm  x  2 cm. Escolha escalas numéricas para ambos os eixos. c. Desenhe um gráfico de (x) 2 correspondente ao intervalo –2 

x

2 cm.são Escolha escalasquantos numéricas. d. cm Se 104 elétrons detectados, deles possivelmente são encontrados no intervalo 0,00 cm x  0,50 cm? 40. || Considere a função deonda de um elétron

a. Determine a constante de normalização c. A resposta deve ser expressa em função de L. b. Desenhe um gráfico de (x) correspondente ao intervalo –L  x  2L. c. Desenhe um gráfico de  (x) 2 correspondente ao intervalo –L  x  2L. d. Qual é a probabilidade de encontrar esse elétron no intervalo 0 x  L/3? 41. || A densidade de probabilidade de encontrar uma partícula na posição x é

e nula em qualquer outro lugar. a. Você aprenderá no Capítulo 41 que a função de onda deve ser contínua. Considerando que seja este o caso, o que você pode concluir a respeito da relação entre a e b? b. Desenhe um gráfico da densidade de probabilidade correspondente ao intervalo –2 mm x  2 mm.

gerar éesse pulso? d. Qual o comprimento espacial do pulso de laser enquanto ele se move através do espaço? e. Desenhe um gráfico-instantâneo desse pacote de onda. 43. ||| Qual é a menor caixa unidimensional em que podemosconfinar um elétron se quisermos saber com certeza que a sua velocidade não ultrapassará 10 m/s? 44. || Uma pequena partícula de poSuperfície sem atrito eira com massa de 1,0  10 –13 g caiu em um poço conforme ilus, trado na FIGURA P40.44e parece estar em repouso. De acordo com o princípio da incerteza, a partícula teria energia suficiente para FIGURA P40.44 sair do poço? Em caso negativo, qual é o poço mais profundo, e dessa mesma largura, do qual a partícula teria boa chance de escapar? 45. || Os físicos usam feixes de laser para gerar uma armadilha atômica, com a qual átomos são confinados em uma região esférica com 1 mm de diâmetro. Os cientistas resfriaram átomos na armadilha atômica a uma temperatura de aproximadamente 1 nK, o que é extremamente próximo do zero absoluto, mas seria interessante saber se essa temperatura é próxima a algum limite estabelecido pela física quântica. Podemos explorar esse problema usando um modelo unidimensional de um átomo de sódio, como uma caixa de 1,0 mm de comprimento. a. Estime a menor faixa de velocidades com as quais você poderá detectar um átomo de sódio nesta caixa. b. Mesmo que façamos o possível para deixar um grupo de átomos de sódio em repouso, os átomos individuais terão velocidades dentro da faixa que você determinou no item a. Uma vez que existe uma distribuição de velocidades, suponha que estimemos que a raiz quadrática média da velocidade, vrms, dos átomos presos na armadilha é igual à metade do valor que você obteve no item a. Use este valor de vrms para estimar a temperatura dos átomos quando eles tiverem sido resfriados até o limite estabelecido pelo princípio da incerteza. 46. || No Capítulo 38 você aprendeu que, exceto para o hidrogênio, a massa de um núcleo com numero atômico Z é maior que a massa de Z prótons. Sabe-se que a massa adicional deve-se aos nêutrons. Contudo, antes da descoberta dos nêutrons, pensava-se que um núcleo de número de massa A poderia conter A prótons e (A – Z) elétrons. Esse núcleo teria a massa de A prótons, mas sua carga líquida seria apenas Ze. a. Sabe-se que o diâmetro de um núcleo é de aproximadamente 10 fm. Considere o núcleo como uma caixa unidimensional e determine a faixa mínima de velocidades para um elétron nesta caixa. b. Quais as implicações de sua resposta quanto à possibilidade de o núcleo conter elétrons? Explique.

CAPÍTULO 40

47. || a. Partindo da expressão ƒt 1 para um pacote de onda, obtenha uma expressão para o produto Et no caso de um fóton. 

■


1261

d seria preciso posicionar o detector para observar o aumento de

diâmetro? b. Interprete a expressão obtida. O que ela diz? 49. A função de onda de uma partícula é c. O modelo de Bohr de quantização atômica considera que um átomo em um estado excitado pode transitar para um estado de menor energia por meio da emissão de um fóton. O modelo de Bohr não menciona quanto tempo dura tal processo. No Capíonde b é uma constante positiva. Determine a probabilidade de que tulo 42 você aprenderá que o tempo durante o qual um átomo a partícula esteja localizada no intervalo – b  x  b. permanece no estado excitado, antes de emitir um fóton, é im50. A função de onda de uma partícula é previsível, porém otempo de vida médio t de vários átomos pode ser determinado. Pode-se conceber t como a incerteza acerca do tempo durante o qual o átomo permanece no estado excitado. Um valor típico ét 10 ns. Considere, então, um 

átomo que, ao um passar para um estado dede menor energia, um fóton com comprimento de onda 500 nm. Qual emite éa incerteza na energia do fóton? Expresse sua resposta em eV. d. Qual é a incerteza percentualE/E na energia do fóton?

Problemas desafiadores Partícula de

48. A FIGURA PD40.48mostra partí1,0 m culas de poeira com 1,0 m de –15 diâmetro (m  1,0  10 kg) em Orifício de uma câmara de vácuo. As partícu1,0 m las de poeira são soltas, a partir do repouso, sobre um orifício de 1,0 m de diâmetro (de tamanho Círculo de detecção suficiente para que as partículas FIGURA PD40.48 o atravessem), caem através do mesmo e atingem um detector situado a uma distância d.

e nula em qualquer outro lugar. a. Você aprenderá no Capítulo 41 que a função de onda deve ser contínua. Admitindo que este seja o caso, o que você pode concluir sobre a relação entre b e c? b. Desenhe um gráfico da função de onda, e outro, da densidade de probabilidade, correspondentes ao intervalo –2 mm x  2 mm.

c. Qual é a probabilidade de que a partícula seja encontrada à direita da srcem? 51. Considere a função de onda de um elétron

a. Se as partículas fossem inteiramente clássicas, cairiam todas em um mesmo círculo com 1,0 m de diâmetro. Mas os efeitos quânticos impedem que isso ocorra. Se d  1,0 m, em quanto o diâmetro do círculo no qual a maioria das partículas cai supera o valor clássico? Esse aumento do diâmetro pode ser detectado? b. Os efeitos quânticos seriam observados se o diâmetro do círculo de detecção aumentasse em 10%, para 1,1 m. A que distância

onde x está em nm. a. Determine a constante de normalização c. b. Desenhe um gráfico de (x) correspondente ao intervalo –5 nm  x  5 nm. Escolha escalas numéricas para ambos os eixos. c. Desenhe um gráfico de (x)2 correspondente ao intervalo –5 nm  x  5 nm. Indique as escalas numéricas. d. Se 106 elétrons são detectados, quantos deles são detectados no intervalo –1 nm x  1 nm?


Pare e Pense 40.1: 10. A probabilidade de sair o algarismo 1 é P1



1/6. Analogamente, P6  1/6. A probabilidade de sair 1 ou 6 é P1 ou 6 1/6 +1/6  1/3. Logo, o número esperado é 30(1/3)  10.

deve ser igual a 1.

Pare e Pense 40.5: b.

. A banda é

2

Pare e Pense 40.2: A > B D > C. A ( x) é proporcional à densi

Pare e Pense 40.4: A b.área

dade de pontos. xc. A probabilidade é máxima no ponto onde o quaPare e Pense 40.3: drado de  (x) é máximo.

Pare e Pense 40.6: A. O pacote de onda A tem a menor extensão espa-

cial x. O comprimento de onda é irrelevante.

41 Mecânica Quântica Quântica Unidimensional

Um exemplo de engenharia atômica. Trintacolocados e cinco átomos de xenônio foram em posições específicas por meio da ponta de prova de um microscópio eletrônico de varredura.



Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 41 é propiciar a compreensão e a aplicação das idéias essenciais da mecânica quântica. Neste capítulo, você aprenderá a: ■

■ ■

■ ■



Empregar estratégias para determinar e interpretar funções de onda. Fazer esboços de funções de onda específicas. Usar funções de energia potencial para criar modelos quantomecânicos. Compreender e usar modelos quantomecânicos importantes. Calcular a probabilidade de tunelamento em mecânica quântica.

Em retrospectiva

A mecânica quântica será desenvolvida em torno de duas idéias fundamentais: diagramas de energia e funções de onda. É importante que você faça uma revisão dos diagramas de energia apresentados no Capítulo 10. Revise: ■ ■ ■

Seção 10.7 Diagramas de energia Seções 39.4 e 39.5 Ondas de matéria e modelo quântico de Bohr Seções 40.3 e 40.4 Funções de onda e normalização

A mecânica quântica não é mais uma disciplina exclusiva dos físicos. Ela é aferramenta fundamental no projeto de dispositivos semicondutores como os lasers de diodo. Classes inteiras de dispositivos, denominadosdispositivos quânticos,foram projetadas e criadas com base nos níveis de energia quânticos. Veremos exemplos disso neste capítulo. nanoestruturas – peNas fronteiras da engenharia estão os projetos e a fabricação de quenas máquinas ou outros dispositivos com tamanhos de apenas algumas centenas de nanômetros. Muitos cientistas e engenheiros sonham com um futuro próximo em que as nanoestruturas serão construídas átomo por átomo, literalmente. Em dispositivos com tais dimensões, os efeitos quânticos serão importantes. A foto mostrada aqui – de uma estrutura criada pelos cientistas do laboratório daIBM através da manipulação de átomos dexenônio sobre uma superfície metálica –constitui um primeiro exemplo de “engenharia atômica”.

Nosso objetivo nesse capítulo é introduzir as idéias fundamentais da mecânica quântica. Apesar de o mundo real ser tridimensional, limitaremos nosso estudo à mecânica quântica em uma dimensão. Isso permitirá que nos concentremos nos conceitos fundamentais da física quântica, sem nos preocuparmos excessivamente com as complicações matemáticas. Discutiremos alguns aspectos presentes na descoberta e na utilização de funções de onda e, em seguida, apresentaremos várias aplicações da mecânica quântica. Concluiremos o capítulo com o estudo de um fenômeno quântico chamado tunelamento quântico, um dos fenômenos mais surpreendentes da física quântica.

41.1 A equação de Schrödinger: a lei da psi No inverno de 1925, pouco antes do Natal, o físico austríaco ErwinSchrödinger pegou alguns livros e viajou para uma cabana nos Alpes Suíços. Ele tinha ouvido falar recentemente sobre a sugestão feita por de Broglie, em 1924, de que a matéria apresenta características ondulatórias. Schrödinger buscava livrar-se de distrações para refletir sobre o assunto. Antes do fim da viagem, ele havia descoberto a lei fundamental da mecânica quântica. O objetivo de Schrödinger era prever o resultado de experimentos atômicos, algo que até então escapara à física clássica. A equação matemática que ele desenvolveu é atualmente chamada de equação de Schrödinger. Ela é a lei base da mecânica quântica, tal

CAPÍTULO 41

■

Mecânica Quântica Unidimensional

como as leis de Newton o são para a mecânica clássica. Poderíamos chamá-la de lei de Schrödinger, mas, por tradição, ela é chamada, simplesmente, de equação de Schrödinger.

No Capítulo 40 você aprendeu que uma partícula material é caracterizada na física quântica por sua função de onda (x). Se você conhece a função de onda da partícula, é capaz de prever a probabilidade de detectar a partícula em uma dada região do espaço. Tudo bem, mas o Capítulo 40 não forneceu qualquer método para a determinação de uma função de onda. A equação de Schrödinger é a peça final do quebra-cabeça. Ela é a equação usada para determinar a função de onda (x) ao longo do eixo x. Considere uma partícula atômica de massa m e energia mecânica E cuja interação com o ambiente possa ser caracterizada por uma função energia potencial U(x). A equação de Schrödinger para a função de onda dessa partícula é (a equação de Schrödinger)

(41.1)

Trata-se de uma equação diferencial cuja solução é a função de onda (x) que procuramos. Nosso objetivo é aprender o que essa equação significa e como usá-la.

Justificando a equação de Schrödinger A equação de Schrödinger não pode ser derivada ou provada. Ela não constitui o subproduto de alguma teoria anterior. Seu sucesso depende de sua capacidade de explicar os vários fenômenos que permaneciam refratários à física clássica e de fazer novas previsões, que foram subseqüentemente verificadas. Apesar de a equação de Schrödinger não poder ser derivada, existe para ela um argumento de plausibilidade. De Broglie postulara uma natureza ondulatória para a matéria, na qual uma partícula de massa m, velocidade v e momentum p  mv possuía um comprimento de onda associado dado por (41.2) O objetivo de Schrödinger era descobrir a equação de onda cuja solução seria uma função de onda com o comprimento de onda proposto por de Broglie. Uma função oscilatória com características ondulatórias e com um comprimento de onda  é (41.3) onde 0 é a amplitude da função de onda. Tomando a derivada segunda de (x), obtemos

Podemos usar a definição de (x), a partir da Equação 41.3, para escrever a derivada segunda como (41.4) A Equação 41.4 relaciona o comprimento de onda  com a função de onda (x) e sua derivada segunda. NOTA



Tais manipulações não são específicas da mecânica quântica. A Equação

41.4, conhecida para ondas clássicas, aplica-se igualmente bem a ondas sonoras e a  ondas em uma corda. O insight de Schrödinger consistiu em identificar  com o comprimento de onda de de Broglie de uma partícula. Podemos escrever o comprimento de onda de de Broglie em função da energia cinética K da partícula como (41.5)

Erwin Schrödinger

1263

1264


Note que o comprimento de onda de de Broglie aumenta com a diminuição da energia cinética da partícula. Essa observação terá papel fundamental no que segue. Elevando ao quadrado essa expressão para e substituindo na Equação 41.4, obtemos

(41.6) onde A Equação 41.6 é uma equação diferencial para a função (x). A solução dessa equação é a função ondulatória senoidal dada pela Equação 41.3, onde  é o comprimento de onda de de Broglie para uma partícula com energia cinética K. Nossa derivação da Equação 41.6 considera que a energia cinética K da partícula seja constante. O diagrama de energia da FIGURA 41.1anos lembra que a energia cinética da partícula permanece a mesma enquanto ele se move ao longo do eixo x apenas se a U for constante. Neste caso, o comprimento de onda de de Broglie é o energia potencial mesmo em todas as posições.

Energia

A energia cinética K  E  U é constante. Energia total

A energia cinética decresce Energia com o aumento de x. Energia total

Energia potencial

O comprimento de onda de de Broglie é constante.

A energia potencial U(x) é uma função da posição. O comprimento de onda de de Broglie aumenta enquanto K diminui.

FIGURA 41.1O comprimento de onda de de Broglie varia com a energia cinética da partícula.

Diferentemente, a FIGURA 41.1bmostra o diagrama de energia para uma partícula cuja energia cinética não é constante. Tal partícula acelera ou desacelera à medida que se move ao longo do eixo x, transformando energia potencial em cinética e vice-versa. Conseqüentemente, seu comprimento de onda de de Broglie varia com sua posição. Considere que a energia potencial – gravitacional, elétrica ou de outro tipo – de uma partícula seja descrita pela função U(x) ou U(y), ou seja, a energia potencial é uma função de posição ao longo do eixo de movimento. Por exemplo, a energia potencial gravitacional perto da superfície da Terra é dada pela função Se E for a energia mecânica total da partícula, sua energia cinética na posição x é (41.7) Usando essa expressão para K na Equação 41.6, ela se transforma em

Esta é a Equação 41.1, a equação de Schrödinger para a função de onda da partícula, (x). Isso não constitui uma derivação da equação de Schrödinger. Apenas apresentamos um argumento de plausibilidade, baseado na hipótese de de Broglie sobre as ondas de matéria, mas somente as evidências experimentais demonstrarão o mérito dessa equação.  NOTA 

CAPÍTULO 41

■


PARE E PENSE 41.1 Três ondas de de Broglie são mostradas para partículas de mesma massa. Ordene em seqüência decrescente os módulos dessas velocidades.

Modelos quantomecânicos Em nosso estudo da mecânica newtoniana, você aprendeu importância dos modelos. A fim de compreender o movimento de um objeto, propomosa hipóteses simplificadoras: que o objeto pode ser representado por uma partícula, que o atrito pode ser descrito de forma simples, que a resistência do ar pode ser desprezada, entre outras. Os modelos nos permitem entender as principais características do movimento de um objeto sem nos perdermos em detalhes. O mesmo vale na mecânica quântica. A descrição exata de um átomo ou de um sólido é extremamente complexa. A única esperança de podermos usar efetivamente a mecânica quântica em tal descrição é propor um número de hipóteses simplificadoras – ou seja, criar um modelo quantomecânico da situação. A maior parte desse capítulo é dedicada à construção e à utilização de modelos quantomecânicos. O teste do sucesso de um modelo é sua concordância com os resultados experimentais. Experimentos em laboratório não podem medir (x) e raramente medem probabilidades diretamente. Portanto, será importante relacionar nossos modelos a grandezas mensuráveis, tais como comprimentos de onda, cargas, correntes, tempos e temperaturas.

Há uma grande diferença entre modelos na mecânica clássica e na mecânica quântica. Os modelos clássicos são descritos em termos de forças, e as leis de Newton relacionam força e movimento. A equação de Schrödinger para a função de onda é escrita em termos de energias. Conseqüentemente, na mecânica quântica a modelagem envolve a obtenção da função energia potencial U(x) que descreve a interação da partícula com sua vizinhança. A FIGURA 41.2nos lembra como devemos interpretar um diagrama de energia. Usaremos diagramas de energia extensivamente neste e nos capítulos subseqüentes a fim de descrever modelos na mecânica quântica. Uma revisão da Seção 10.7, onde os diagramas de energia são introduzidos, é altamente recomendável. A curva de energia potencial U(x) é uma função de posição.

Energia

Linha de energia total

x  xE é uma

região proibida pela física clássica.

x  xD é uma

região proibida pela física clássica.

A energia cinética éKEU Energia potencial neste ponto xE

Ponto de velocidade máxima Pontos de retorno

FIGURA 41.2Interpretando um diagrama de energia.

xD

20.1

1265

1266


41.2 Resolvendo a equação de Schrödinger A equação de Schrödinger é uma equação diferencial de segunda ordem, isto é, uma equação diferencial para (x) que envolve sua derivada segunda. Contudo, este livro não parte do pressuposto de que você saiba resolver equações diferenciais. À semelhança de nosso procedimento para as leis de Newton, nos restringiremos àquelas situações em que as habilidades envolvidas são aquelas desenvolvidas em um curso de cálculo. A solução de uma equação algébrica é um número. Por exemplo, x  3 é a solução da equação 2x  6. Diferentemente, a solução de uma equação diferencial é uma função. Você já se deparou com essa idéia na seção anterior, onde a Equação 41.6 foi construída para que (x)  0 sen(2 x/) fosse uma de suas soluções. A equação de Schrödinger não pode ser resolvida até que a energia potencial U(x) seja especificada. Diferentes energias potenciais geram diferentes funções de onda, do mesmo modo que diferentes forças levam a diferentes trajetórias na mecânica clássica. Depois da especificação de U(x), a solução da equação diferencial é a função (x). Normalmente descreveremos a solução por um gráfico (x) versus x.

Restrições e condições de contorno Nem todas as funções (x) são soluções aceitáveis da equação de Schrödinger. Algumas podem satisfazer à equação de Schrödinger, mas não possuir um significado físico. Anteriormente nos deparamos com soluções de equações algébricas que possuíam restrições. Por razões físicas, exigiremos que as massas sejam grandezas positivas, que as posições sejam números reais e assim por diante. As soluções matemáticas que não obedecerem a esses requisitos serão rejeitadas como não-físicas. Uma vez que desejamos interpretar como uma densidade de probabilidade, devemos exigir que a função(x) seja tal que possibilite essa interpretação. As condições, condições de contorno. Nos ou restrições, acerca das soluções possíveis são chamadas de próximos exemplos você verá como as condições de contorno nos ajudam a escolher a solução correta (x). As principais condições a que a função de onda deve obedecer são:

1. (x) é uma função contínua. 2. (x)  0 se x pertence a uma região onde é fisicamente impossível que a partícula → 0 quando x →  e x → . 3. seja (x) localizada. 4. (x) é uma função normalizada.

A última condição não é, estritamente falando, uma condição de contorno, e sim uma condição auxiliar exigida a fim de obtermos uma interpretação útil. A condição de contorno 3 é necessária para garantir que a integral de normalização seja convergente. Uma vez estabelecidas as condições de contorno, existem várias abordagens para solucionar a equação de Schrödinger: usar técnicas gerais para equações diferenciais de segunda ordem, resolver a equação numericamente em um computador ou adivinhar a solução.

Cursos mais avançados usam as duas primeiras abordagens amplamente. Nós não pressupomos que o estudante tenha conhecimento prévio sobre equações diferenciais, portanto você não será obrigado a usar as primeiras abordagens. A terceira, embora pareça um engodo, é amplamente utilizada em situações nas quais argumentos físicos simples nos permitem inferir a forma funcional da função de onda. Os próximos exemplos ilustrarão essa abordagem. Uma equação algébrica quadrática possuiduas soluções diferentes. Analogamente, uma 1(x) e 2(x). equação diferencial de segunda ordem possui duas soluções independentes Usamos aqui o termo “independentes” para significar que2(x) não é apenas um múltiplo de 1(x), tal como 31(x), mas que 1(x) e 2(x) são funções totalmente diferentes. Suponha que  (x) e  (x) sejam duas soluções independentes da equação de 1 2 Schrödinger. Um teorema que você verá em seu curso de equações diferenciais garante que a solução geral dessa equação pode ser escrita como

(41.8) onde A e B são constantes cujos valores devem ser determinados pelas condições de contorno. A Equação 41.8 é um enunciado poderoso, que fará mais sentido após sua aplicação nos exemplos a seguir. O ponto principal é que se pudermos encontrar duas

CAPÍTULO 41

■


soluções independentes 1( x) e 2( x) por tentativa e erro (adivinhação), então a Equação 41.8 fornecerá a solução geral para a equação de Schrödinger.

Quantização Já afirmamos que a equação de Schrödinger é a lei básica da mecânica quântica. Todavia, E até então, nada mencionamos sobre a quantização. Apesar de a energia total da partícula aparecer na equação de Schrödinger, ela é tratada como uma constante não-especificada. Porém veremos que não existem soluções aceitáveis para a maioria dos valores de E, ou seja, funções (x) que satisfaçam à equação de Schrödinger e às condições de contorno. Soluções aceitáveis existem apenas para certos valores discretos de E. As energias para as quais existem soluções são as energias quantizadas do sistema. Portanto, como você verá, a equação de Schrödinger possui a quantização como uma característica intrínseca.

Resolução de problemas de mecânica quântica Nossa estratégia para resolução de problemas de mecânica clássica baseava-se na identificação e na utilização de forças. Na mecânica quântica, estamos interessados em energias em vez de forças. O estágio crítico na resolução de um problema de mecânica quântica é a determinação da função energia potencial U(x) da partícula. Identificar as interações que resultam na energia potencial constitui a física do problema. Uma vez que a função energia potencial seja conhecida, determinar a função de onda é “mera matemática”. ESTRATÉGIA PARA RESOLUÇÃO DE

PROBLEMAS 41.1

Problemas de mecânica quântica

MODELO Determine

a função energia potencial que descreve as interações da partícula. Proponha hipóteses simplificadoras. VISUALIZAÇÃOA curva de energia potencial é uma representação pictórica. ■ ■ ■

Desenhe a curva de energia potencial. Identifique as informações conhecidas. Estabeleça as condições de contorno a que a função de onda deve satisfazer. representação matemática usada.

SOLUÇÃO A equação de Schrödinger é a ■ ■ ■ ■ ■

Utilize as condições de contorno. Normalize a função de onda. Desenhe os gráficos de (x) e |(x)|2. Determine os níveis de energia permitidos. Calcule as probabilidades, os comprimentos de onda e outras quantidades específicas.

AVALIAÇÃOVerifique se os resultados

possuem as unidades corretas, se eles são plausíveis e se respondem à questão proposta. As soluções da equação de Schrödinger são os estados estacionários do sistema. Bohr havia postulado a existência de estados estacionários, mas não sabia como determiná-los. Agora, possuímos uma estratégia para descobri-los. A idéia de Bohr sobre transições ou saltos quânticos entre estados estacionários permanece de grande importância na mecânica quântica de Schrödinger. O sistema pode i(xda saltaroutro, de umcaracterizado estado estacionário, caracterizado ) e emissão energia E para por função de onda f(por x) efunção energiadeEfonda , através oui, absorção de um fóton de freqüência

Portanto, as soluções da equação de Schrödinger nos permitirão prever os espectros de emissão e absorção de um sistema quântico. Tais predições servirão como teste de validade da teoria de Schrödinger.

1267


1268

41.3 Partícula em uma caixa rígida: energias e funções de onda

Paredes perfeitamente rígidas

FIGURA 41.3Uma partícula em uma caixa

rígida de comprimento L.

20.2

A FIGURA 41.3mostra uma partícula de massa m confinada em uma caixa unidimensional rígida de comprimento L. Consideramos aqui que as paredes da caixa sejam perfeitamente rígidas e que a partícula sofra reflexões perfeitamente elásticas em ambas. Esse problema é conhecido como “partícula em uma caixa”. A partícula vai e vem entre as paredes da caixa. Não há restrições quanto à velocidade ou à energia cinética de uma partícula clássica. Diferentemente, uma partícula com características ondulatórias e com comprimento de onda de de Broglie gera uma onda estacionária ao se refletir nas paredes. Nos Capítulos 25 e 39, descobrimos que uma onda estacionária de de Broglie conduz automaticamente à quantização. Apenas certas energias discretas são permitidas. Porém nossa sobre uma onda de Broglie estacionária era apenas isso, uma hipótese sem hipótese justificativa real, pois nãodepossuíamos, então, uma teoria sobre como uma partícula com características ondulatórias deve se comportar. Revisitaremos este problema (partícula em uma caixa) sob a nova perspectiva da mecânica quântica. As questões principais a serem respondidas neste caso e em quaisquer outros problemas quantomecânicos são: ■ ■ ■

Quais são os estados de energia permitidos para a partícula? Qual é a função de onda associada a cada energia? Em qual parte da caixa é maior a probabilidade de encontrar a partícula?

Podemos usar a Estratégia para Resolução de Problemas 41.1 para responder a essas questões.

Modelo: identifique a função energia potencial O termo caixa rígida significa que as paredes são tão fortes que podem confinar a partícula independentemente de quão rapidamente ela se mova. Ademais, as paredes são tão inflexíveis que não cedem ou flexionam quando a partícula ricocheteia. Nenhum recipiente normal possui tais qualidades, o que torna a caixa rígida um modelo para a situação em aque a partícula encontre fortemente Nossa primeira tarefa é caracterizar caixa rígida emsetermos de uma função confinada. energia potencial. Estabeleçamos um eixo de coordenadas em que as extremidades da caixa se localizem em x  0 e x  L. A caixa rígida possui três características importantes: 1. A partícula pode se mover livremente entre 0 e L com velocidade constante e,

portanto, com energia cinética constante. 2. Independentemente de quanta energia cinética a partícula possua, os pontos de retorno localizam-se em x  0 e x  L. 3. As regiões x < 0 e x > L são proibidas. A partícula não pode sair da caixa.

A função energia potencial que descreve uma partícula nesta situação é A energia potencial torna-se infinita neste ponto.

Energia total da partícula

Região proibida

Região proibida

(41.9) Dentro da caixa, a partícula possui apenas energia cinética. As barreiras infinitas de energia potencial impedem que a partícula atinja as regiões x < 0 e x > L, independentemente de quanta energia cinética ela possua. Essa é a energia potencial para a qual pretendemos resolver a equação de Schrödinger.

Visualização: estabeleça as condições de contorno Fora da caixa

0 dentro da caixa U

Fora da caixa

FIGURA 41.4Diagrama de energia de

uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L.

A FIGURA 41.4é o diagrama de energia de uma partícula em um caixa rígida. Você pode notar que, dentro da caixa, U  0 e E  K. As setas voltadas para cima, acompanhadas pelo símbolo , indicam que a energia potencial torna-se infinitamente grande nas paredes da caixa (em x  0 e x  L). A FIGURA 41.4não é o desenho da caixa. Trata-se de uma representação gráfica da energia cinética e da energia potencial da partícula.  NOTA 

CAPÍTULO 41

■


1269

Em seguida necessitamos estabelecer as condiçõesde contorno a que a soluçãodeve satisfazer. Como é fisicamente impossível para a partícula estar fora da caixa, exigimos que

(41.10) Ou seja, a probabilidade de encontrarmos a partícula fora da caixa é igual a zero. Mais ainda, a função de onda deve ser uma função contínua , isto é, ela não pode conter saltos em quaisquer pontos. A solução deve ser nula fora da caixa, portanto a condição de continuidade exige que a função de onda dentro da caixa obedeça às duas condições (41.11) Em outras palavras, a FIGURA 41.5mostra que a função de onda oscilatória dentro da caixa deve tender a zero nas extremidades a fim de garantir a continuidade com a função de onda fora da caixa. Tal requerimento equivale a dizer que uma onda estacionária em uma corda deve apresentar um nó em cada extremidade da corda.

1. Dentro da caixa,  oscila de alguma maneira, ainda a ser determinada. 2.   0 fora da caixa.

Resolução I: determine as funções de onda Para todos os pontos do interior da caixa, a energia potencial é igual a U(x)  0. Portanto, dentro da caixa a equação de Schrödinger assume a forma (41.12) Dois aspectos merecem atenção na solução dessa equação:

3. A continuidade de  requer que (em x  L)  0

FIGURA 41.5Aplicação das condições de

1. Para que valores de E a Equação 41.12 possui soluções com significado físico? 2. Quais são as soluções (x) para os valores de E?

Começaremos simplificando a notação, definindo 2  2mE2. A Equação 41.12, então, torna-se (41.13) Vamos resolver esta equação diferencial por adivinhação! Você consegue imaginar uma função cuja derivada segunda seja uma constante negativa multiplicada pela própria função? As duas únicas funções que satisfazem a essa condição são (41.14) Ambas são soluções da Equação 41.13 porque

Ademais, elas são soluções independentes, pois 2(x) não é um múltiplo ou um rearranjo de 1(x). Conseqüentemente, de acordo com a Equação 41.8, a solução geral da equação de Schrödinger para a partícula em uma caixa rígida é (41.15) onde (41.16) As constantesA e B devem ser determinadas através da utilização das condições de contorno da Equação 41.11. Primeiro, a função de onda deve tender a zero em x  0, ou seja,

(41.17)

contorno para a função de onda de uma partícula em uma caixa.

1270


Essas condições de contorno só podem ser satisfeitas se B  0. O termo cosx pode satisfazer matematicamente à equação, mas não possui significado físico para este problema, pois não satisfaz às condições de contorno. A solução dotada de significado físico é

A função de onda também deve tender a zero em x  L, ou seja, (41.18) Essa condição poderia ser satisfeita se A  0. Entretanto, neste caso, não teríamos uma função de onda! Felizmente essa não é a única possibilidade. A condição de contorno também é satisfeita se L  0, o que requer que (41.19) Note que n inicia em 1, e não, em 0. O valor n  0 geraria   0 e tornaria   0 em todo o espaço, o que não representa uma solução fisicamente aceitável. Assim, as soluções da equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa rígida são (41.20) Encontramos toda uma família de soluções, cada qual correspondendo a um valor diferente do inteiro n. Essas funções de onda representam os estados estacionários da partícula na caixa. A constante A ainda precisa ser determinada.

Resolução II: determine as energias permitidas A Equação 41.16 definiu . A Equação 41.19 estabeleceu as restrições sobre os possíveis valores de : (41.22) onde o valor de  e o da energia associada ao inteiro n foram rotulados por, respectivamente, n e En. Podemos isolar En elevando ao quadrado ambos os lados: (41.22)

Energia

As energias permitidas aumentam com o quadrado do número quântico.

onde, no último passo, utilizamos a definição   h/2. Para uma partícula em uma caixa, essas energias são os únicos valores de E para os quais existem soluções da equação de Schrödinger com significado físico.

Descobrimos que a energia da partícula é quantizada! É útil escrever as energias dos estados estacionários como (41.23)

A energia E1 do estado fundamental é maior do que 0.

FIGURA 41.6Diagrama de níveis de energia

para uma partícula em uma caixa.

onde En é a energia do estado estacionário correspondente ao numero quântico n. A energia mais baixa E1  h2/8mL2 é a energia do estado com n  1 ou estado fundamental. As energias permitidas são mostradas no diagrama de níveis de energia da FIGURA 41.6. Do Capítulo 39, lembre-se de que um diagrama de níveis de energia não é um gráfico (o eixo horizontal nada representa), e sim, uma “escada” de energias permitidas. A Equação 41.22 é idêntica à da energia encontrada no Capítulo 39, obtida através da exigência de que as ondas de de Broglie para uma partícula em uma caixa formem uma onda estacionária. Agora, contudo, possuímos uma teoria que não apenas nos fornece as energias, mas também as funções de onda.

CAPÍTULO 41

■


1271

EXEMPLO 41.1Um elétron em uma caixa

Um elétron está confinado em uma caixa rígida. Qual é o tamanho da caixa se a diferença entre as energias do primeiro e do segundo O comprimento da caixa para o qualE  3,0 eV é estados é igual a 3,0 eV? MODELO Considere o elétron como uma partícula em uma caixa rígida unidimensional de comprimentoL. RESOLUÇÃO Os dois primeiros estados quânticos, com n  1 e n  2, possuem energiasE1 e E2  4 E1. A diferença entre as energias desses AVALIAÇÃO A expressão para E1 está em unidades do SI, portanto as energias são dadas em J, e não, em eV. estados é

Resolução III: normalize as funções de onda Podemos determinar a constante A pela exigência de que as funções de onda sejam normalizadas. A condição de normalização, que obtivemos no Capítulo 40, é

Essa é a expressão matemática do fato de que a partícula deve estar em alguma posição ao longo do eixo x. Os limites de integração se estendem desde , mas precisamos integrar apenas de 0 a L, pois a função de onda é nula fora da caixa. Portanto, (41.24) ou (41.25) Usamos um subscrito n em An porque a constante de normalização pode ser diferente para cada função de onda da família. Trata-se de uma integral conhecida. Deixaremos para você, como tarefa, mostrar que o valor da integral, para um valor qualquer de n, é (41.26) Agora possuímos a solução completa do problema. A função de onda normalizada para a partícula no estado quântico n é (41.27)

41.4 Partícula em uma caixa rígida: interpretando a solução Nossa solução do problema quantomecânico de uma partícula em uma caixa nos mostra que: 2

A partícula deve possuir energia En  n E1, onde n  1, 2, 3,... é um número quântico. é a energia do estado fundamental, correspondente a n  1. 2. A função de onda para a partícula no estado quântico n é 1.

Esses são os estados estacionários do sistema.

1272


3. A densidade de probabilidade de encontrar a partícula em uma posição x dentro

da caixa é (41.28)

FIGURA 41.7Funções de onda e densidades de probabilidade para uma partícula em uma

caixa rígida de comprimento L. Eixo x para a função de onda 3(x).

Energias permitidas

Funções de onda

FIGURA 41.8Forma alternativa de

representar o diagrama de energia potencial, as energias e as funções de onda. EXEMPLO 41.2Níveis de

Uma representação gráfica deixará nossos resultados mais claros. A FIGURA 41.7mostra a função de onda (x) e as densidades de probabilidade correspondentes aos estados quânticos n  1, 2 e 3. Note que as funções de onda tendem a zero nos extremos e se juntam de forma contínua com   0 fora da caixa. As funções de onda (x) para uma partícula em uma caixa rígida são análogas às ondas estacionárias em uma corda cujas duas extremidades estão fixas. Você pode notar que  (x) possui ( n – 1) nós (zeros), excluídos os extremos, e n antinodos (máximos e mínimos). Este é um resultado geral para qualquer função de onda, não apenas para uma n

partícula em uma A FIGURA 41.8caixa indicarígida. outra forma em que as energias e funções de onda podem ser representadas graficamente na mecânica quântica. Primeiramente, o gráfico mostra a função energia potencial U(x)da partícula. Em segundo lugar, as energias permitidas são representadas por linhas horizontais (linhas de energia total). Essas linhas são identificadas com os números quânticos n e com as energias En. Em terceiro lugar – e requerendo um pouco mais de cuidado –, temos as funções de onda para cada n desenhadas como se a linha de energia fosse o zero do eixo y. Dito de outra maneira, o gráfico de n(x) é desenhado sobre a linha de energia En. Isso permite que energias e funções de onda sejam desenhadas simultaneamente, mas não significa que 2 está “acima” de 1. Ambas oscilam de forma senoidal ao redor de zero, como mostra a Figura 41.7.

energia e saltos quânticos

Um dispositivo semicondutor conhecido comopoço quântico é projetado para “prender” elétrons em uma região de largura igual a 1,0 nm. Considere este como um problema unidimensional. a. Quais são as energias dos três primeiros estados quânticos? b. Que comprimentos de ondaestes elétrons podemabsorver? MODELO Considere um elétron em um poço quântico como uma partícula confinada em uma caixa rígida de comprimentoL  1,0 nm. VISUALIZAÇÃO A FIGURA 41.9representa os três primeiros níveis de energia e as transições através das quais um elétron no estado fundamental pode absorver um fóton.

Energia ,

,

,

FIGURA 41.9Níveis de energia e saltos quânticos para um elétron

em um dispositivo do tipo poço quântico.

CAPÍTULO 41

■


1273

RESOLUÇÃO a. A massa da partícula é

As energias permitidas, em J e em eV, são

b. Um elétron passa a maior parte do tempo no estado fundamental n1. De acordo com o modelo de estados estacionários de Bohr, o elétron pode absorver um fóton e sofrer uma transição, ou salto quântico, para n  2 ou n  3 se a luz possuir freqüência Os comprimentos de onda, dados por são

AVALIAÇÃO Na prática, muitas complicações normalmente fazem com que a transição não seja observada, mas os poços quânticos de fato exibem forte absorção e emissão no comprimento de onda . Neste exemplo, que é típico de dispositivos do tipo poço quântico, o comprimento de onda localiza-se na porção infravermelha do espectro de radiação. Tais dispositivos são utilizados na construção dos lasers de semicondutores usados em reprodutores de CD

e em impressoras a laser.

Os comprimentos de onda emitidos ou absorvidos por um sistema quântico são determinados pela diferença entre duas energias permitidas envolvidas no processo. Saltos quânticos envolvem dois estados estacionários.  NOTA 

Movimento de ponto-zero O estado de mais baixa energia do Exemplo 41.2, chamado de estado fundamental, possui Não existe estado estacionário com E  0 . Diferentemente de uma partícula clássica, uma partícula quântica em uma caixa não pode estar em repouso! Independentemente de quanto a energia tenha sido reduzida, como, por exemplo, através de resfriamento que tende ao zero absoluto, a partícula não pode apresentar energia menor do que O movimento da partícula associado à energia , chamado de movimento de ponto-zero, é uma conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg. Como a partícula encontra-se em alguma lugar dentro da caixa, a incerteza de sua posição é Se a partícula estivesse em repouso, sua velocidade e seu momentum seriam exatamente iguais a zero, sem qualquer incerteza: Com isso, violaria o princípio de incerteza de Heisenberg. Uma das conclusões do princípio de incerteza é de que uma partícula confinada não pode estar em repouso . Apesar das incertezas da posição e da velocidade da partícula, sua energia em cada estado pode ser calculada com grande precisão. Tal distinção entre energias precisas e velocidades e posições incertas parece estranha, mas aparece graças à nossa velha amiga onda estacionária. A fim de formar um estado estacionário, as ondas de de Broglie devem dar srcem a ondas estacionárias. Apenas para freqüências muito específicas, e, portanto, para energias muito específicas é que podemos obter um padrão de ondas estacionárias. EXEMPLO 41.3Energias nucleares

Prótons e nêutrons se ligam fortemente no núcleo de um átomo. Se usarmos o modelo unidimensional de um núcleo, quais serão os primeiros três níveis de energia para um nêutron em um núcleo de 10 fm de diâmetro (1 fm 10–15 m)? MODELO Considere que o núcleo seja uma caixa unidimensional de comprimento L  10 fm e que o nêutron esteja confinado na caixa. 

RESOLUÇÃO Para L de energia são



10 fm e m



mn

–27



1,67

10

kg, os níveis

AVALIAÇÃO Um

elétron confinado em um espaço do tamanho de um átomo possui energia de alguns poucos eV. Um nêutron confinado em um espaço do tamanho de um núcleo possui energia de alguns poucos milhões de eV.

1274


EXEMPLO 41.4As

probabilidades de localização de uma partícula

b. Para uma pequena largura x, a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo x centrado em x é

Uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L encontra-se no estado fundamental. a. Onde existe maior probabilidade de encontrar a partícula? b. Quais são as probabilidades de encontrar a partícula em uma região de largura 0,01L centrada em x 0,00L, 0,25L e 0,50L? c. Qual é a probabilidade de encontrar a partícula na metade central da caixa? MODELO As funções de onda para uma partícula em uma caixa rígida já foram determinadas. VISUALIZAÇÃO A FIGURA 41.10mostra a densidade de probabilidade associada ao estado fundamental.

O intervalo é suficientemente pequeno para que essa aproximação seja válida. As probabilidades procuradas são, portanto,



Prob(com 0,01L centrado em x



0,00L)



0,000



0,0%

Prob(com 0,01L centrado em x



0,25L)



0,010



1,0%







Prob(com 0,01L centrado em x 0,50L) 0,020 2,0% c. A metade central da caixa estende-se desde x L/4 até x 3L/4. A probabilidade de que a partícula esteja neste intervalo é igual à área sob a curva de densidade de probabilidade: 

Probabilidade máxima



A probabilidade de estar na metade central da caixa é igual à área sob a curva entre L/4 e 3L/4.

FIGURA 41.10Densidade de probabilidade para uma partícula no

estado fundamental.

AVALIAÇÃO Se a partícula em uma caixa estiver no estado fundamental n 1, a probabilidade de encontrá-la na metade central da caixa é de 

RESOLUÇÃO a.

A maior probabilidade de encontrar a partícula ocorre no ponto onde a densidade de probabilidade P(x) é máxima. Pode-se ver, da Figura 41.10, que o ponto de probabilidade máxima para n 1 ocorre em x L/2. 

81,8%. A probabilidade é maior do que 50% porque, como podemos observar na Figura 41.10, a densidade de probabilidade P1(x)é maior no centro do que nas extremidades da caixa.



A apresentação do problema da partícula em uma caixa foi bastante longa. Ela, porém, foi importante a fim de explorar o método de solução de maneira completa. Exemplos futuros serão menos detalhados porque muitas questões não precisarão ser rediscutidas. PARE E PENSE 41.2 Uma partícula em uma caixa rígida no estado estacionário ser encontrada com maior probabilidade

n



2 pode

a. No centro da caixa. b. A um terço de qualquer dos extremos. c. A um quarto de qualquer dos extremos. d. É igualmente provável encontrá-la em qualquer ponto da caixa.

41.5 O princípio da correspondência

Suponha que confinemos um elétron em uma caixa microscópica e que, depois, aumentemos progressivamente as dimensões da caixa. O que iniciou como uma situação quantomecânica deve, quando a caixa tornar-se macroscópica, acabar tornando-se uma situação da física clássica. Analogamente, uma situação inicialmente clássica, tal como duas partículas carregadas, cada qual orbitando ao redor da outra, exibirá um comportamento quântico à medida que as dimensões da órbita forem progressivamente reduzidas.

CAPÍTULO 41

■


1275

Esses exemplos sugerem que devem existir tamanhos ou energias intermediárias para os quais a solução da mecânica quântica corresponde, de alguma maneira, à solução da mecânica clássica. Niels Bohr propôs a idéia de que o comportamento médio de um sistema quântico deve tender ao comportamento clássico no limite de números quânticos muito grandes – ou seja, quando Como o raio do átomo de hidrogênio é igual a o átomo se torna um objeto macroscópico à medida que n torna-se muito grande. A idéia de Bohr, de que o mundo quântico deve transformar-se, de maneira suave, no mundo clássico no limite de grandes números quânticos, é atualmente conhecida como princípio da correspondência. Nosso conhecimento sobre a mecânica quântica de uma partícula em uma caixa é dado pela densidade de probabilidade (41.29) Com qual quantidade clássica estará relacionada esta probabilidade à medida que Curiosamente, podemos definir uma densidade de probabilidade clássica Toda partícula clássica segue uma trajetória bem-determinada, mas vamos admitir, por ora, que observemos a partícula em instantes aleatórios. Por exemplo, admitamos que a caixa contendo a partícula possua uma janela transparente. A janela normalmente está fechada, mas, em certos instantes aleatórios, selecionados através de um gerador de números aleatórios, a janela se abre por um breve intervalo t durante o qual podemos medir a posição da partícula. Ao abrir a janela, qual é a probabilidade de que a partícula esteja localizada em um intervalo estreito x centrado na posição x? A probabilidade de encontrar a partícula clássica em um pequeno intervalo x é igual à fração do tempo que ela leva para cruzar x, ou seja, é mais provável encontrar a partícula em intervalos x onde é maior seu tempo de travessia do que naqueles intervalos em que ela gasta menos tempo. Se a partícula retorna a um dos extremos da caixa após um período T, o tempo de percurso entre os extremos é igual a Ao se mover entre os extremos, a partícula percorre o intervalo x centrado na posição x em um tempo t. Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula dentro desse intervalo é Probclass(com x centrado em x)



fração do tempo gasto em

(41.31)



Partícula em uma caixa vazia

Diagrama de movimento

(41.30)

v(x) é a velocidade da parO tempo necessário para atravessar é x onde tícula na posição x. Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x centrado na posição x é

Probclass(com x centrado em x)

Velocidade uniforme

A probabilidade de encontrar a partícula em x é uma fração do tempo que ela gasta em x. Velocidade não-uniforme

No Capítulo 40, você aprendeu que a probabilidade está relacionada à densidade de probabilidade através de Probclass(com x centrado em x)



Partícula presa a uma mola

Pclass(x) x

Então a densidade de probabilidade clássica de que uma partícula seja encontrada na posição x é dada por

Diagrama de movimento

(41.32) onde a velocidade v(x) é expressa por uma função de x. Classicamente, uma partícula possui maior probabilidade de ser encontrada onde ela se move mais lentamente e menor probabilidade onde ela se move mais rapidamente. NOTA  Em nossa derivação da Equação 41.32, a única hipótese feita sobre o movi-

mento da partícula foi de que ele seja periódico. A expressão obtida é a densidade de probabilidade clássica para qualquer movimento periódico.  A FIGURA 41.11arepresenta o diagrama de movimento de uma partícula clássica em uma caixa rígida de comprimento L. A velocidade da partícula é uma constante

A probabilidade de encontrar a partícula é maior onde ela se move lentamente...

FIGURA 41.11 A

... e menor onde ela se move rapidamente

densidade de probabilidade clássica é indicada pela densidade de pontos em um diagrama de movimento.

1276


durante o movimento entre os extremos. A partícula percorre a distância 2L em um período Conseqüentemente, a densidade de probabilidade clássica para uma partícula em uma caixa é (41.33) A densidade Pclass(x) é independente de x, ou seja, a probabilidade de encontrar a partícula é a mesma em qualquer posição na caixa. Diferentemente, a FIGURA 41.11brepresenta uma partícula com velocidade não-uniforme. Uma massa presa a uma mola tem sua velocidade reduzida à medida que se aproxima dos pontos de retorno; daí ela despender mais tempo junto aos extremos do que no meio da caixa. Portanto, neste caso, a densidade de probabilidade clássica para a partícula é máxima nos extremos e mínima no centro. Voltaremos a essa densidade de probabilidade mais adiante neste capítulo. EXEMPLO 41.5A probabilidade clássica de localizar uma

partícula Uma partícula clássica se encontra em uma caixa rígida de 10 cm de comprimento. Qual é a probabilidade de, em um dado instante aleatório de tempo, localizarmos a partícula em um intervalo de 1 mm de largura no centro da caixa? RESOLUÇÃO A densidade de probabilidade para a partícula é igual a

A probabilidade de a partícula ser encontrada em um intervalo de largura x  1,0 mm  0,10 cm é igual a Prob(em x centrado em x  5 cm)

–1



P(x)x  (0,10 cm )(0,10 cm)



0,010  1,0%

AVALIAÇÃO A

probabilidade clássica é igual a 1,0% porque 1,0 mm equivale a 1% de 10 cm, o comprimento da caixa.

A FIGURA 41.12representa as densidades de probabilidade quântica e clássica para os estados quânticos correspondentes a n  1 e n  20 de uma partícula em uma caixa rígida. Note que: ■ ■ ■

A densidade de probabilidade quântica oscila entre o mínimo 0 e o máximo 2/L, ou seja, naoredor densidadededeprobabilidade probabilidadequântica clássicae1/L. Para 1, asda densidades clássica são muito diferentes. O estado fundamental do sistema quântico é completamente não-clássico. Para n  20, o comportamento médio de uma partícula quântica se parece muito com o de uma partícula clássica. As densidades de probabilidade clássica e quântica são muito diferentes. Pquant para n  1

Em média,

a densidade de probabilidade quântica é igual à correspondente clássica. Pquant para n 

20

Pclass

FIGURA 41.12As densidades de probabilidade clássica e quântica para uma partícula em uma

caixa.

À medida que n aumenta, cresce o número de oscilações e, conseqüentemente, a probabilidade de encontrarmos a partícula em um intervalo (x) torna-se igual entre a partícula (x) seja suficientemente grande para conter clássicaoscilações e a quântica, desde de queonda. o intervalo várias da função De acordo com a predição de Bohr, a solução quantomecânica “corresponde” à solução clássica no limite

41.6 Poços de potencial finitos A Figura 41.4, o diagrama de energia potencial de uma partícula em uma caixa rígida, é um exemplo de umpoço de potencial, assim denominado porque a forma do gráfico lem-

CAPÍTULO 41

■


1277

infinito. Não há possibibra a de um poço. A caixa rígida equivale a um poço de potencial lidade de escape para uma partícula enclausurada por essas paredes infinitamente altas.

Nenhuma caixa, porém, é infinitamente forte. Um modelo mais realista de partícula confinada é o de um poço finito, como o da FIGURA 41.13a. Uma partícula com energia total E < U0 está confinada no interior do poço, refletindo-se entre os extremos localizados em x  0 e x  L. As regiões x < 0 e x > L são regiões classicamente proibidas para uma partícula com E < U0. Mas a partícula escapará do poço se, de alguma maneira, obtiver energia E > U0.

U

0 no interior do poço U0

é a profundidade do poço de energia potencial. A energia da partícula é E  U0.

Lembre-se de que o zeroda escala de energia é arbitrário. AFigura 41.13a defineU  0 como a energia potencial no interior do poço. AFIGURA 41.13breposiciona o zero de energia no nível dos “platôs de energia” em ambosos lados do poço. As Figuras 41.13a e41.13b re- Região presentam o mesmo poço de potencial.Ambos possuem larguraL e profundidadeU0, assim classicamente como as mesmas funções de onda e as mesmas energias permitidas (relativas à escolha deproibida E  0). Qual deles usaremos será apenas uma questão de conveniência. Não fizemos qualquer menção à força responsável por esse poço de potencial. Um

elétron confinado em um semicondutor por forças elétricas possui uma energia potencial que pode ser modelada por um poço de potencial finito. O mesmo vale para um próton confinado ao núcleo pela força nuclear. A equação de Schrödinger depende da forma da função energia potencial, e não, de sua causa. Portanto, qualquer situação em que uma partícula esteja confinada pode ser modelada por um poço de potencial finito.

U

0 no interior da caixa Pontos de retorno

U

0 no exterior do poço O zero da escala de energia foi mudado, mas esse poço ainda possui largura L e profundidade U0.

Embora seja possível resolver de forma exata a equação de Schrödinger para o poço de potencial finito, o resultado é complicado e pouco esclarecedor. Por isso, apresentaremos os resultados de cálculos numéricos. A derivação das funções de onda e dos níveis de energia não são tão importantes quanto a compreensão e a interpretação dos resultados.

Nosso primeiro exemplo será o de um elétron em um poço de potencial de 2,0 nm de largura e de profundidade igual a U0  1,0 eV. Tais parâmetros são razoáveis para um elétron em um semicondutor. A FIGURA 41.14aé uma representação gráfica dos níveis de energia e das funções de onda permitidos. Em comparação, a FIGURA 41.14bmostra os três primeiros níveis de energia e funções de onda para uma caixa rígida (U 0 → ) com os mesmos 2 nm de largura.

Região classicamente proibida

U   U0

no interior da caixa

FIGURA 41.13Um poço de potencial finito Poço de potencial finito

, , A função de onda estende-se para dentro da região classicamente proibida. ,

Partícula em uma caixa rígida

de largura L e profundidade U0.

A função de onda é nula nos extremos da caixa. ,

, ,

,

,

FIGURA 41.14Níveis de energia e funções de onda no caso de um poço de potencial finito.

Para comparação, são mostrados também os níveis de energia e as funções de onda para uma caixa rígida de mesma largura.

A solução quantomecânica para uma partícula em um poço de potencial finito possui algumas propriedades importantes: ■ ■

A energia da partícula é quantizada. A partícula, neste caso, deve estar em um dos estados estacionários correspondentes aos números quânticos n  1,2,3,.... Existe apenas um número finito de estados ligados – quatro no caso de nosso exemplo, embora esse número varie em outros exemplos. Essas funções de onda represen-

20.3

1278


■

■

tam elétrons confinados, ou ligados, ao poço de potencial. Não há estados estacionários para E > U0, pois tais partículas não permaneceriam no poço. As funções de onda são qualitativamente semelhantes àquelas de uma partícula em uma caixa rígida, todavia as energias são um pouco menores. Isso se deve ao fato de as funções de onda serem um pouco mais espalhadas. Uma onda de de Broglie com comprimento de onda ligeiramente maior corresponde a uma velocidade menor, daí sua energia ser menor. O mais interessante, talvez, seja a extensão da função de onda na Figura 41.14a para dentro da região classicamente proibida. É como se, em uma partida de tênis, a bola penetrasse parcialmente o encordoamento da raquete com a qual colide, sem rompêlo, antes de ser rebatida.

EXEMPLO 41.6Espectro de absorção de um elétron

Que comprimentos de onda de luz são absorvidos por um semicondutor no qual há elétrons confinados em uma região de largura 2,0 nm e com profundidade de energia potencial igual a 1,0 eV? MODELO O elétron se encontra em um poço de potencial finito cujas energias e funções de onda foram representadas na Figura 41.14a. RESOLUÇÃO Como a maioria dos elétrons encontra-se no estado fundamental n 1, as transições de absorção são 1 → 2, 1 → 3, e 1 → 4.

Os comprimentos de onda de absorção

são

Para este exemplo, encontramos



AVALIAÇÃO Todas essas

transições correspondem a comprimentos de onda na região do infravermelho.

PARE E PENSE 41.3 Esta é a função de onda de uma partícula em um poço de potencial finito. Qual é o número quântico da partícula?

A região das classicamente A extensão funções de ondaproibida de uma partícula para dentro da região classicamente proibida é uma importante diferença entre as físicas clássica e quântica. Examinemos mais atentamente a função de onda na região da Figura 41.13a. Na região classicamente proibida, a energia potencial é U0; portanto, a equação de Schrödinger para assume a forma

Estamos considerando que a partícula esteja confinada, com E menor que U0, de modo que E – U0 é uma quantidade negativa. Isso será útil para efetuar a seguinte troca de ordem na equação e reescrevê-la (41.34) onde (41.35) é uma constante positiva. Como tarefa de casa, você deve mostrar que  está expresso em metros. A equação de Schrödinger na forma da Equação 41.34 pode ser resolvida por adivinhação. Basta pensarmos em duas funções cujas derivadas segundas sejam iguais a elas mesmas multiplicadas por uma constante positiva. Tais funções, como você mesmo pode verificar facilmente, são e . De acordo com a Equação 41.8, a solução geral da equação de Schrödinger para é (41.36)

CAPÍTULO 41

■


1279

Uma exigência para a função de onda é que quando . A função diverge quando , de modo que a única maneira de satisfazer à exigência é fazendo A  0. Daí obtemos (41.37) Esta é uma função que decresce exponencialmente. Note que todas as funções de onda da Figura 41.14a apresentam essa diminuição exponencial para x > L. A função de onda também deve ser contínua. Admita que uma função de onda no interior do poço de potencial ( ) possua o valor borda quando na fronteira clássica em x  L . Devido à continuidade, a função de onda da Equação 41.37 deve possuir o mesmo valor em x  L, ou seja, (41.38) A condição de contorno em x  L é suficiente para determinar o valor da constante B como (41.39) Substituindo o resultado da Equação 41.39 para B na Equação 41.37, obtemos a função de onda na região classicamente proibida de um poço de potencial finito: (41.40) Em outras palavras, a função de onda oscila até atingir o ponto de retorno clássico em x  L; a partir daí, ela diminui exponencialmente dentro da região classicamente proibida. Uma análise similar pode ser feita para

A FIGURA 41.15representa a função de onda na região classicamente proibida. Você pode observar que a função de onda em diminuiu para o valor

A função de onda é oscilatória dentro do poço de potencial As funções de onda se ajustam em x  L

Embora uma diminuição exponencial não possua um extremo final bem-definido, o parâmetro  mede “o quanto” a função de onda se estende além do ponto de retorno clássico antes que a probabilidade de encontrar a partícula tenha diminuído para um valor muito próximo de zero. Essa distância é denominada comprimento de penetração:

borda

borda

Comprimento de penetração  ,

borda

(41.41) Na posição x  L, uma partícula clássica inverteria o sentido de seu movimento, porém partículas atômicas não são clássicas. Devido à dualidade onda-partícula, uma partícula atômica é “difusa”, sem limites bem-definidos. Assim, uma partícula atômica pode se estender em um comprimento aproximado de para dentro da região classicamente proibida.

O comprimento de penetração é muitíssimo pequeno no caso de massas macroscópicas, mas pode ser significativo no caso de partículas atômicas. Note que o comprimento de penetração depende inversamente da grandeza a distância em energia entre o nível de energia considerado e o topo do poço de potencial. Você pode observar na Figura 41.14a que  é muito maior para o estado n  4, que está mais próximo do topo do poço de potencial, do que para o estado n  1.

Região classicamente proibida Ponto de retorno Função de onda que diminui clássico exponencialmente na região classicamente proibida.

FIGURA 41.15A função de onda na região

classicamente proibida.

 Ao usar a Equação 41.41, você deve usar as unidades do SI, J s para  e J para energias. O comprimento de penetração  será dado, então, em metros. 

NOTA

EXEMPLO 41.7Comprimento de penetração de um elétron

RESOLUÇÃOO estado fundamental possui

. Analogamente, para o estado n Um elétron encontra-se confinado em uma região de largura 2,0 nm e com profundidade de potencial igual a 1,0 eV. Qual é o comprimento  4. Podemos utilizar a Equação 41.41 para calcular de penetração na região classicamente proibida para um elétron nos estados n  1 e n  4? MODELO O elétron encontra-se em um poço de potencial finito cujas energias e funções de onda estão representadas na Figura 41.14a. AVALIAÇÃO Esses valores são consistentes com aqueles mostrados na Figura 41.14a.

1280


Dispositivos de poço de potencial quântico Na Parte VI desenvolvemos um modelo de condutividade elétrica em que os elétrons de valência de um metal constituem um “mar” de elétrons fracamente ligados. A velocidade típica de um elétron é a velocidade rms

onde kb é a constante de Boltzmann. Portanto, à temperatura ambiente, em que , o comprimento de onda de de Broglie típico de um elétron de condução é

Existe uma gama de comprimentos de onda, pois os elétrons possuem uma gama de velocidades, mas o valor mostrado é um valor típico. Agora você deve estar notando que os efeitos ondulatórios são significativos apenas quando as dimensões das estruturas físicas são comparáveis a ou menores que o comprimento de onda. Eis por que a difração e a interferência da luz são difíceis de observar e por que a natureza ondulatória da matéria torna-se importante apenas em escalas microscópicas. Como o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons de condução é de poucos nm, os efeitos quânticos são desprezíveis em dispositivos eletrônicos com mais de 100 nm. Em dispositivos macroscópicos, os elétrons podem ser considerados partículas clássicas, fato que utilizamos na análise da corrente elétrica feita no Capítulo 31. Todavia, dispositivos menores do que 100 nm exibem efeitos quânticos. Alguns dispositivos semicondutores, tais como os lasers semicondutores usados em fibras óticas, incorporam características com dimensões de poucos nm. Nestes dispositivos, os efeitos quânticos têm papel importante. A FIGURA 41.16ailustra como é confeccionado um laser de diodo semicondutor. Embora os princípios operacionais dos diodos estejam fora do objetivo deste livro, podemos notar na figura que uma corrente atravessa o dispositivo da esquerda para a direita. No centro existe uma finíssima camada do semicondutor arseneto de gálio (GaAs). Essa

Laser de poço quântico

Corrente

Luz do laser

Contato metálico

,

, , ,

FIGURA 41.16Um laser de diodo

semicondutor com um único poço quântico.

camada é que cercada, ambos os lados, por camadas de arseneto de Os gálio-alumínio (GaAlAs) estão,depor sua vez, embebidas pela estrutura do diodo. elétrons da camada central de GaAs começam a emitir a luz laser quando a corrente no diodo excede um determinado valor de corrente limiar (ou corrente de corte). Em um curso de física do estado sólido ou de engenharia dos materiais você aprenderá que a energia potencial de um elétron é ligeiramente menor no GaAs do que no GaAlAs. Isso torna a camada de GaAs um poço de potencial para elétrons; as “paredes” de alta energia potencial são criadas pelas camadas de GaAlAs. Os elétrons ficam confinados na camada de GaAs. Tal dispositivo é denominado laser de poço quântico . A FIGURA 41.16bmostra um dispositivo de poço quântico com uma camada de 1,0 nm de largura de GaAs na qual a energia potencial do elétron é 0,300 eV menor do que nas camadas envoltórias de GaAlAs. A solução numérica da equação de Schrödinger mostra que este poço de potencial possui um único estado quântico, correspondente a n 1, com Cada elétron confinado nesse poço quântico tem a mesma energia – um resultado bastante não-clássico! O fato de as energias dos elétrons serem tão bem-definidas, em contraste com a gama de energias eletrônicas nos materiais macroscópicos, é o que torna esse dispositivo tão útil. Da densidade de probabilidade , você pode notar que a probabilidade de encontrar elétrons é maior no centro da camada do que nos extremos desta. Essa concentração de elétrons facilita o início da operação do laser. 

Física nuclear O núcleo de um átomo consiste na união incrivelmente densa de prótons e de nêutrons. Os prótons, positivamente carregados, exercem intensa força elétrica repulsiva uns sobre os outros. Pode-se, então, indagar como o núcleo consegue sobrepujar essa iminente explosão. Durante a década de 1930, os físicos descobriram que os prótons e os nêutrons também exercem uma força atrativa entre si. Uma das forças fundamentais na natureza, essa força foi denominada interação forte. É ela que mantém o núcleo coeso.

CAPÍTULO 41

■


1281

A principal característica da interação forte, além de sua intensidade, é o seu curto alcance. A interação forte, atrativa, entre dois núcleons (um núcleon pode ser tanto um próton quanto um nêutron; a interação forte não os distingue) decresce a zero se eles são separados por mais de 2 fm. Isso é muito diferente da natureza de longo alcance da força elétrica. Um modelo razoável do núcleo pode ser formulado considerando-se prótons e nêutrons como partículas confinadas em um poço de potencial criado pela interação forte. A FIGURA 41.17mostra a energia potencial de um nêutron ao longo de um eixo x que passa pelo centro do núcleo. Note que o zero da energia foi escolhido de forma que um nêutron “livre”, isto é, fora do núcleo, possua E 0. Portanto, a energia potencial no interior do núcleo é igual a –50 MeV. O diâmetro de 8,0 fm é adequado para um núcleo com número de massa igual a tal como o argônio ou o potássio. Núcleos mais leves são menores; os mais pesados, um pouco maiores. (O diagrama de energia potencial para um próton é semelhante, mas um pouco mais complexo, devido à energia potencial elétrica.) 

A solução numérica da equação de Schrödinger produz os quatro estados estacionários representados na Figura 41.17. As funções de onda foram omitidas, mas são praticamente idênticas àquelas da Figura 41.14a. O ponto mais importante é que as energias permitidas diferem entre si por milhões de elétron-volts! São energias enormes quando comparadas àquelas dos elétrons em um átomo ou em um semicondutor. Lembre-se de que as energias de uma partícula em uma caixa rígida, , são proporcionais a Nossos exemplos anteriores, com caixas da ordem de nanômetros, correspondiam a energias na escala de eV. Quando o tamanho da caixa é reduzido a fentômetros, as energias deslocam-se para a escala de MeV. O decaimento radioativo nuclear geralmente produz um nêutron em um estado excitado. A Figura 41.17, por exemplo, mostra um nêutron que ficou em um estado n  3 devido a um decaimento anterior. Agora esse nêutron pode sofrer um salto quântico para o estado fundamental n  1 através da emissão de um fóton com energia

e comprimento de onda

Esse fóton é 10 7 vezes mais energético, e seu comprimento de onda é 10 7 vezes mais curto do que o dos fótons de luz visível! Fótons tão energéticos assim são chamados de raios gama. A emissão de raios gama é, na realidade, o principal processo de decaimento radioativo dos elementos. Nosso modelo unidimensional não fornece resultados precisos para os níveis de energia ou para as energias dos raios gama emitidos por um núcleo particular. Contudo, o modelo oferece um cenário razoável para a compreensão da estrutura de níveis em núcleos e prediz, corretamente, que os núcleos podem emitir fótons com energias de milhões de elétron-volts. Esse modelo, quando estendido para três dimensões, torna-se a base do modelo de camadas para os núcleos, no qual prótons e nêutrons são agrupados em várias camadas em analogia com as camadas eletrônicas de um átomo, vistas na química. Você aprenderá mais sobre física nuclear e sobre o modelo de camadas no Capítulo 43. 



41.7 A forma das funções de onda

Funções de onda de estados ligados são ondas de de Broglie estacionárias. Além das condições de contorno, dois outros fatores determinam a forma das funções de onda: 1.

O comprimento de onda de de Broglie é inversamente proporcional à velocidade da partícula. Portanto, o espaçamento entre os nodos é menor (comprimentos de onda menores) onde a energia cinética for maior e é maior (comprimentos de onda maiores) onde as energias cinéticas forem menores.

Um decaimento radioativo deixou o nêutron em um estado excitado n  3. O nêutron salta para o estado fundamental n  1, emitindo um fóton de raio gama. Níveis de energia para um nêutron em um núcleo

, , , , O diâmetro do núcleo é de 8 fm.

,

Emissão de raio gama

FIGURA 41.17Existem quatro níveis de

energia permitidos para um nêutron neste poço de potencial nuclear.

1282


2. Uma partícula clássica tem maior probabilidade de ser encontrada onde se move

mais lentamente. Na mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula aumenta com o aumento da amplitude da função de onda. Portanto, a amplitude da função de onda é maior onde a energia cinética for menor e é menor onde a energia cinética for maior. Podemos usar essa informação para fazer esboços de funções de onda correspondentes às diferentes energias permitidas em um poço de potencial. BOX TÁTICO

41.1

Desenhando funções de onda

Esboce o gráfico da energia potencial U(x). Represente as energias permitidas E por linhas horizontais. Localize os pontos de retorno clássicos. Desenhe a função de onda como uma função contínua e oscilatória entre os pontos de retorno. Para o estado quântico n, a função de onda possui n antinodos e (n – 1) nós (excluindo-se os extremos). Use comprimentos de onda maiores (maiores espaços entre os nós) e amplitudes maiores em regiões onde a energia cinética for menor. Use comprimentos de onda menores (menores espaços entre nós) e amplitudes menores em regiões onde a energia cinética for maior. Desenhe a função de onda se anulando nos extremos, ou “paredes”, de um poço de potencial infinito. Faça com que a função de onda diminua exponencialmente no interior de uma região classicamente proibida, onde O comprimento de penetração  aumenta à medida queE se aproxima do topo do poço de potencial. Exercíci os 10–13

VISUALIZAÇÃOOs passos delineados no Box Tático 41.1 foram seguiEXEMPLO 41.8Esboçando funções de onda A FIGURA 41.18representa um poço de potencial e as energias permi- dos no esboço das funções de onda mostradas na FIGURA 41.19.

tidas para os estados quânticos n  1 e n  4. Esboce as funções de onda para estes estados.

Comprimentos de onda menores e amplitudes menores onde K for maior.

Comprimentos de onda maiores e amplitudes maiores onde K for menor.

u(x) 4 antinodos para n  4

E4   0 em uma parede infinitamente alta.

Localize os pontos de retorno.

E1 x

FIGURA 41.18Um poço de potencial. 1 antinodo para n  1

Decaimento exponencial no interior da região classicamente proibida.

FIGURA 41.19Funções de onda correspondentes aos estados n 

1 e n  4.

CAPÍTULO 41

■


1283

PARE E PENSE 41.4 Qual das energias potenciais é adequada à função de onda correspondente a n  4 representada ao lado?

41.8 O oscilador harmônico quântico O movimento harmônico simples é extremamente importante na física clássica, onde serve como protótipo de oscilações mais complexas. Como esperado, um oscilador microscópico – o oscilador harmônico quântico – é igualmente importante como modelo de oscilações em nível atômico. A característica que define o movimento harmônico simples é a existência de uma força restauradora linear: F  –kx, onde k é a constante de uma mola. A correspondente função energia potencial, conforme visto no Capítulo 10, é dada por (41.42) onde consideramos que a posição de equilíbrio seja xe  0. A energia potencial de um oscilador harmônico é mostrada na FIGURA 41.20. Trata-se de um poço de energia potencial com lados curvos. Uma partícula clássica de massa m oscila com freqüência angular

Energia

(41.43) entre os dois pontos de retorno onde a linha de energia cruza a curva de energia potencial parabólica. Conforme você aprendeu, essa descrição clássica falha se m representa uma partícula atômica, como um elétron ou um átomo. Neste caso, precisamos resolver a equação de Schrödinger para determinar as funções de onda. A equação de Schrödinger para um oscilador harmônico quântico é (41.44) onde usamos Sem dedução, apresentaremos as funções de onda correspondentes aos primeiros três estados

(41.45) onde (41.46)

E


D

Pontos de retorno clássicos


FIGURA 41.20A energia potencial de um

oscilador harmônico.

1284

Física: Uma Abordagem Estratégica A constante b possui dimensão de comprimento. Deixaremos para você, como tarefa, demonstrar que b é o ponto de retorno clássico de um oscilador no estado fundamental n 1. A1, A2 e A3 são constantes de normalização. Por exemplo, A1 pode ser determinada impondo-se a condição 

(41.47) A finalização do cálculo ficará como tarefa. Os estados estacionários de um oscilador harmônico quântico existem apenas para certos níveis discretos de energias, os estados quânticos do oscilador. As energias permitidas são dadas pela equação simples (41.48) onde  é a freqüência angular clássica, Equação 41.43, e n é o número quântico. A energia do estado fundamental do oscilador harmônico quântico é Uma massa atômica ligada a uma mola não pode ser levada ao repouso, uma conseqüência do princípio da incerteza.  NOTA



A FIGURA 41.21mostra os três primeiros níveis de energia e as funções de onda de um oscilador harmônico quântico. Note que os níveis são igualmente espaçados por Esse resultado difere daquele encontrado para uma partícula em uma caixa, onde os níveis de energia se afastam gradualmente. Note também que as funções de onda, analogamente àquelas do poço de potencial finito, estendem-se além dos pontos de retorno clássicos e invadem a região classicamente proibida. Energia

Os níveis deespaçados energia são igualmente

Ponto de retorno clássico para n  1

Ponto de retorno clássico

FIGURA 41.22As densidades de

probabilidade clássica e quântica para o estado n  11 do oscilador harmônico quântico.

FIGURA 41.21Os três primeiros níveis de energia e as correspondentes funções de onda de

um oscilador harmônico quântico.

A FIGURA 41.22representa as densidades de probabilidade para o estado correspondente a n  11 de um oscilador harmônico quântico. Note que o espaçamento entre os nós aumenta à medida que a partícula se afasta do ponto de equilíbrio x  0. Isso é consistente com o item 3 do Box Tático 41.1. A partícula desacelera à medida que se afasta da srcem, o que aumenta seu comprimento de onda de de Broglie e a probabilidade de encontrá-la. A Seção 41.5 introduziu a densidade de probabilidade clássica , e lá se notou que a probabilidade de encontrar uma partícula clássica é maior onde ela se movimenta

CAPÍTULO 41

■


1285

mais vagarosamente. A Figura 41.22 mostra para uma partícula clássica com a mesma energia total do estado quântico n  11. Pode-se observar que, em média, a densidade de probabilidade quântica se assemelha à densidade de probabilidade clássica. Isso é o que esperaríamos a partir do princípio da correspondência. O fóton emitido possui energia Logo, oscilante Ao saltar de um dado nível para o próximo nível mais abaixo, um elétron em um poço de potencial do tipo oscilador harmônico emite luz de comprimento de onda igual a 600 nm. Quanto vale a constante O comprimento de onda da luz é então a freqüência ande mola da força restauradora? gular clássica do elétron em oscilação é MODELO O elétron constitui um oscilador harmônico quântico. RESOLUÇÃO Um fóton é emitido quando o elétron sofre uma transição quântica Podemos usar a Equação 41.48 para os níveis de energia e determinar a energia perdida pelo elétron como A freqüência angular do elétron é relacionada à constante da mola da força restauradora por EXEMPLO 41.9Emissão de luz por um elétron

A relação vale para todas as transições, independentemente do valor de n, pois os níveis de energia do oscilador harmônico quântico são igualmente espaçados. Precisamos distinguir as oscilações harmônicas eletrônicas das oscilações associadas às ondas luminosas, razão para a existência do subscrito e em

Portanto,

Vibrações moleculares Já utilizamos de muitas maneiras o fato de que os átomos formem moléculas por meio de ligações do tipo mola. Temos sempre admitido que as ligações podem ser modeladas por molas clássicas. O modelo clássico é aceitável para certos fins, mas falha em explicar importantes características das vibrações moleculares. O oscilador harmônico quântico gera um modelo de ligação molecular mais adequado. A FIGURA 41.23representa a energia potencial entre dois átomos conectados por uma

Ligação

ligação molecular. Os átomos vizinhos se atraem através de forças de polarização, à semelhança da atração de pequenos papéis por um bastão eletrizado. Se os átomos se aproximarem muito uns dos outros, uma força repulsiva entre as nuvens eletrônicas os afastará. A separação de equilíbrio, para a qual as forças repulsiva e atrativa se igualam, é dada por r0, e dois átomos clássicos estariam em repouso nessa posição. Partículas quânticas, no entanE  0. Consequentemente, to, mesmo no estado de energia mais baixo possível, possuem a molécula vibra, com os dois átomos oscilando ao longo do eixo da ligação. O símbolo representaa energia com a qual a molécula sedissocia e os dois átomos seguem seus caminhos em separado. A dissociação pode ocorrer a temperaturas muito altas ou após a molécula ter absorvido um fóton dealta energia (ultravioleta, por exemplo); todavia, em condições normais, uma molécula possui energia Em outras palavras, a , molécula se encontra em um nível de energia próximo ao fundo dopoço de potencial. A parte mais funda

Você pode notar que a parte mais funda do poço de potencial é quase uma parabólica. Por isso, podemos considerar a ligação molecular como um oscilador harmônico quântico. A energia associada com uma vibração molecular é quantizada e pode assumir somente os valores dados por (41.49) onde  é a freqüência angular na qual os átomos vibrariam se a ligação fosse efetivada através de uma mola clássica. A curva de energia potencial molecular não é exatamente a de um oscilador harmônico, daí o símbolo . Mas o modelo é bastante adequado para valores pequenos do número quântico n. Os níveis de energia calculados pela Equação 41.49 são chamados de níveis de energia vibracional da molécula. Os primeiros estão representados na Figura 41.23. À temperatura ambiente, a maioria das moléculas encontra-se no estado vibracional fundamental, correspondente a n  1. Seus movimentos vibracionais podem ser excita

Níveis de energia permitidos A transição é responsável pela absorção no infravermelho.

, , Separação de equilíbrio do poço de potencial é quase uma parabólica.

FIGURA 41.23A energia potencial de uma

ligação molecular e algumas das energia permitidas.

1286


Transmissão (%)

Transição de uma ligação C–CH3

dos através da absorção de fótons com freqüência Essa freqüência localiza-se na região infravermelha do espectro de radiação, e essas transições vibracionais geram o espectro infravermelho de absorção que caracteriza e individualiza cada molécula. A FIGURA 41.24, por exemplo, representa o espectro infravermelho de absorção da acetona. O eixo vertical indica a percentagem da intensidade da luz que atravessa a amostra. Para a maioria dos comprimentos de onda, a amostra é praticamente transparente (transmissão 100%), mas existem duas características relevantes de absorção. A transmissão cai para 75% em e para meros 7% em A absorção em 3,3 m deve-se à transição de n  1 para n  2 dos estados de vibração da ligação carbono-metila, C–CH3. A absorção em 5,8 m deve-se à transição 1 → 2 dos estados de vibração da ligação dupla carbono-oxigênio, CO. Espectros de absorção são conhecidos para milhares de moléculas; os químicos utilizam rotineiramente a espectroscopia de absorção para identificar os compostos químicos de uma amostra. Uma ligação especifica possui o mesmo comprimento de onda de absorção independentemente da molécula em que está presente; com isso, a presença de um determinado comprimento de onda de absorção constitui uma “assinatura” da presença da ligação correspondente na molécula. 



Transição de uma ligação CO

FIGURA 41.24O espectro de absorção da

acetona.

PARE E PENSE 41.5 Qual das densidades de probabilidade mostradas abaixo representa um oscilador harmônico com

41.9 Mais modelos quânticos Nesta seção, trataremos de mais dois exemplos de modelos quantomecânicos.

Uma partícula em um capacitor

Elétron ejetado da placa esquerda

Ponto de retorno

Placa esquerda

Placa direita

Muitos dispositivos semicondutores são projetados para confinar elétrons em uma camada de apenas alguns nanômetros de largura. Se uma diferença de potencial for aplicada através da camada, os elétrons se comportarão como se estivessem confinados em um capacitor microscópico. A FIGURA 41.25arepresenta duas placas de um capacitor separadas por uma distância L. A placa esquerda é positiva, portanto o campo elétrico aponta para a direita e possui intensidade Devido à sua carga negativa, um elétron lançado a partir da placa esquerda é desacelerado por uma força retardadora. Ele atingirá a placa da direita se possuir suficiente energia cinética. De outro modo, atingirá um ponto de retorno e, em seguida, retornará à placa positiva. Essa análise clássica é um modelo válido de um capacitor macroscópico. Porém, quando L torna-se suficientemente pequeno, comparável ao comprimento de onda de de Broglie de um elétron, as propriedades ondulatórias do elétron não podem ser ignoradas. Precisamos de um modelo quantomecânico. Estabeleçamos um sistema de coordenadas em que x  0 para a placa esquerda e x  L para a placa direita. Definamos o potencial elétrico como nulo na posição da placa positiva. O potencial diminui no sentido de orientação do campo, de modo que o potencial no interior do capacitor (ver Seção 29.5) é dado por

Energia potencial linearmente crescente

O elétron, com carga q  – e, possui energia potencial (41.50)

FIGURA 41.25Um elétron em um capacitor.

CAPÍTULO 41

■


Essa energia potencial aumenta linearmente com x na região 0  x  L. Se admitirmos que as placas do capacitor atuam como as paredes de uma caixa rígida, então em x  0 e x  L. A FIGURA 41.25bilustra a função energia potencial do elétron. Ela é composta por um potencial do tipo partícula em uma caixa rígida mais uma “rampa ascendente” devido ao campo elétrico. A figura também mostra a linha de energia total E de um elétron no capacitor. A energia é puramente cinética em x  0, quando K  E, e é convertida em energia potencial à medida que o elétron avança para a direita. O ponto de retorno ocorre onde a linha de energia E cruza a curva de energia potencial U(x). Se o elétron fosse uma partícula clássica, ele deveria inverter seu movimento nessa posição.  A mesma forma de energia potencial aparece no caso de uma bola microscópica que ricocheteia entre um piso, localizado em y  0, e um teto, em y  L. 

NOTA

É fisicamente impossível para o elétron sair do capacitor, portanto a função de onda deve tender a zero para x  0 e x  L. A continuidade de  requer as mesmas condições de contorno presentes no caso de uma partícula em uma caixa rígida; em x  0 e em x  L. As funções de onda dentro do capacitor são muito complexas para serem descobertas por adivinhação, por isso decidimos resolver a equação de Schrödinger numericamente e apresentar os resultados graficamente. A FIGURA 41.26mostra as funções de onda e as densidades de probabilidade para os primeiros cinco estados quânticos de um elétron confinado em uma camada de 5,0 nm de largura submetida a uma diferença de potencial de 0,80V. Cada energia permitida é representada por uma linha horizontal, com os valores numéricos das energias indicados à direita. As energias variam de E1  0,23 eV até E5  0,81 eV. Um elétrondeve possuir uma das energias permitidas ilustradas na figura. Ele não pode ter E  0,30 eV nesse capacitor, pois nenhuma onda de de Broglie com essa energia satisfaz às condições de contorno necessárias.

,

,

,

, , ,

,

, Região proibida

, Ponto de retorno clássico para um elétron com E  0,41 eV ,

,

FIGURA 41.26Níveis de energia, funções de onda e densidades de probabilidade para um

elétron em um capacitor com 5,0 nm de largura submetido a uma diferença de potencial de 0,80 V.

Lembre-se de que cada função de onda e cada densidade de probabilidade é desenhada como se sua linha de energia correspondesse a y  0.  NOTA 

Podemos fazer algumas observações sobre as soluções da equação de Schrödinger: 1. As energias En tornam-se mais próximas à medida que n aumenta. Tal comportamento é o oposto daquele de uma partícula em uma caixa, para a qual os níveis En se tornam mais espaçados à medida que n aumenta.

1287


1288

2. O espaçamento entre os nós da função de onda não é constante, mas aumenta para

a direita. Isso ocorre porque, na parte direita do capacitor, um elétron possui menos energia cinética e, daí, menor velocidade, tendo, portanto, um comprimento de onda de de Broglie maior. 3. A altura da densidade de probabilidade aumenta para a direita, ou seja, temos maior chance de encontrar um elétron na parte direita do capacitor do que na esquerda. Isso também faz sentido de um ponto de vista clássico, pois o elétron se move mais lentamente na parte direita, despendendo aí mais tempo do que na parte esquerda do capacitor. 4. O elétron penetra além do ponto de retorno clássico, entrando na região classicamente proibida. EXEMPLO 41.10O espectro de emissão de um elétron em

um capacitor

Quais são os comprimentos de onda dos fótons emitidos por elétrons no estado n  4 da Figura 41.26?

As energias associadas aos saltos quânticos, que podem ser determinadas a partir da Figura 41.26a, são e Portanto,

RESOLUÇÃO A emissão de um fóton ocorre quando elétrons sofrem os saltos quânticos 4 → 3, 4 → 2 e 4 → 1. Em cada caso, a freqüência do , e o comprimento de onda correspondente é fóton emitido é AVALIAÇÃO Nesse dispositivo, os elétrons no estado n  4

emitem luz com três comprimentos de onda diferentes, todos no infravermelho.

A ligação covalente Modelo unidimensional simples de um átomo de hidrogênio ,

Você provavelmente se lembra, das aulas de química, que a ligação molecular covalente, presente entre dois átomos que formam uma molécula de H2 ou de O2, é uma ligação em que os elétrons são compartilhados pelos dois átomos. A física básica da ligação covalente pode ser entendida através de um modelo quantomecânico unidimensional. A molécula mais simples, o íon de hidrogênio molecular H 2 , consiste de dois prótons e um elétron. Embora pareça surpreendente que tal sistema seja estável, os dois pró

tons formam uma ligação molecular com um elétron. Esta é a mais simples das ligações covalentes. Como podemos modelar o íon H2 ? De início, a FIGURA 41.27aapresenta um modelo unidimensional de um átomo de hidrogênio no qual a energia potencial coulombiana do elétron, com sua dependência do tipo 1/ r, foi modelada como um poço de potencial finito com largura igual a 0,10 nm e profundidade de 24,2 eV. Você aprendeu no Capítulo 39 que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio de Bohr gira ao redor de um próton em uma órbita de raio (o raio de Bohr) e energia E1  –13,6 eV. Uma solução numérica da equação de Schrödinger mostra que a energia do estado fundamental desse poço de potencial finito é E1  –13,6 eV. Tal modelo do átomo de hidrogênio é bastante simplificado, mas apresenta os valores corretos de tamanho e de energia do estado fundamental. Podemos modelar o H2 aproximando esses dois poços de potencial. O comprimento de ligação molecular do H2 é conhecido como 0,12 nm, de modo que a FIGURA 41.27b representa dois poços de potencial cujos centros distam 0,12 nm entre si. Trata-se de um modelo de H2 , e não, de uma molécula de H2 completa, pois a energia potencial corresponde à energia de um elétron. (A modelagem de H2 é ainda mais complexa porque a repulsão entre os dois elétrons também deve ser considerada.) A FIGURA 41.28representa as energias, funções de onda e densidades de probabilidade permitidas para um elétron com essa energia potencial. A função de onda com n  1 

,

,

Próton

Modelo da molécula de H2 considerada como um elétron ligado a dois prótons separados por 0,12 nm , ,









, , FIGURA 41.27Uma molécula pode ser

considerada como dois poços de potencial muito próximos, cada qual representando um átomo.



apresenta uma alta probabilidade de o elétron ser encontrado dentro da região classicamente proibida entre os dois prótons, ou seja, nesse estado quântico, o elétron é “compartilhado” pelos prótons e passa a maior parte de seu tempo entre eles. Em contrapartida, um elétron no nível de energia n  2 possui probabilidade muito pequena de ser encontrado entre os dois prótons porque a função de onda correspondente a n  2 possui um nó a meia distância dos prótons. A densidade de probabilidade indica que um elétron com n  2 é “possuído” por um ou outro próton, e não, compartilhado.

CAPÍTULO 41

Orbital ligante

■


Orbital antiligante

, , ,

, O elétron pertence a um próton ou ao outro.

O elétron é compartilhado pelos prótons.

, , ,

, 

FIGURA 41.28As funções de onda e as densidades de probabilidade do elétron em H 2 .

A fim de aprender mais sobre essas funções de onda, precisamos calcular a energia total da molécula: Emol  Ep p  Eelet. As energias para n  1 e n  2, mostradas na Figura 41.28, são as energias Eelet do elétron. Por sua vez os prótons repelem-se mutuamente e possuem energia potencial elétrica Ep p. Não é difícil descobrir que Ep p  12,0 eV para dois prótons separados por 0,12 nm. Portanto, 





A energia molecular para n  1 é menor que zero, indicando que se trata de um estado ligado. A função de onda para n  1 é chamada de orbital molecular ligante. Apesar de os prótons se repelirem, o elétron compartilhado provê a “cola” necessária para manter o sistema coeso. A energia molecular para n  2 é positiva, portanto o estado associado a este número quântico não é um estado ligado. O sistema seria mais estável na forma de um átomo de hidrogênio e de um próton distante. A função de onda para n  2 é chamada de orbital molecular antiligante. Ambas as energias, Eelet e Ep p, dependem da separação entre os prótons, que admitimos ser de 0,12 nm neste cálculo. Se fôssemos esboçar o gráfico de Emol para valores diferentes de separação entre os prótons, obteríamos uma curva semelhante à da energia molecular de ligação da Figura 41.23. Uma ligação molecular possui uma energia mínima devido à inter-relação entre Eelet e Ep p. Embora as funções de onda moleculares reais sejam mais complexas do que nosso modelo unidimensional, a função de onda com n  1 apresentada ilustra as idéias essenciais de uma ligação covalente. Note que uma molécula “clássica” não pode formar uma ligação covalente, pois o elétron não poderia existir na região classicamente proi



bida. As ligações podem ser compreendidas contexto da mecânica quântica. De fato,covalentes a explicação das ligações molecularesapenas foi umnodos primeiros sucessos da mecânica quântica.

1289

1290


41.10 Tunelamento quantomecânico 20.4

A FIGURA 41.29amostra uma bola rolando em direção a uma barreira. Com suficiente energia cinética, uma bola é capaz de transpor a barreira, diminuindo sua velocidade durante a subida e aumentando-a ao descer pelo outro lado da elevação. Uma bola com energia insuficiente se elevaria até certa altura, e, após inverter o sentido de movimento, desceria a rampa.

Uma bola com essa energia desacelera durante a subida, mas consegue transpor a barreira. A bola possui energia cinética K

Uma bola com essa energia inverte seu movimento no ponto de retorno.

Ponto de retorno

FIGURA 41.29Aqui a barreira representa uma barreira de energia para uma bola que rola.

Podemos pensar na barreira como uma “barreira energética” de altura , uma bola que se aproxima da barreira pela esquerda com Como ilustrado na FIGURA 41.29b energia E > U0 é capaz de transpor a barreira de energia (ou seja, de transpor a barreira análoga), mas uma bola com E < U0 se refletirá na barreira ao atingir o ponto de retorno. De acordo com as leis da física clássica, uma bola com energia E < U0 que incide pela esquerda em uma barreira energética jamais será encontrada do lado direito da barreira.

A Figura 41.29b não é uma “foto” da barreira energética. Quando dizemos que uma bola com energia E > U0 pode “transpor” a barreira, não devemos pensar NOTA 

que a bola é lançada de uma elevação superior. A bola mantém-se sobre o solo todo o tempo, conforme ilustra a Figura 41.29a; a Figura 41.29b descreve as energias cinética e potencial da bola enquanto ela rola. Uma energia total maior significa uma energia cinética inicial maior, e não, uma maior elevação.  A partícula se aproxima pela esquerda com energia E  U0.

 decai exponencialmente

na região classicamente proibida.

A partícula emerge com o mesmo comprimento de onda de de Broglie após o tunelamento através da barreira energética. FIGURA 41.30Uma partícula quântica é

capaz de penetrar uma barreira energética.

A FIGURA 41.30mostra a situação anterior sob a perspectiva da mecânica quântica. Já vimos que as partículas quânticas podem penetrar em regiões classicamente proibidas de barreiras energéticas, onde a função de onda diminui exponencialmente. Agora imagine que a barreira seja bastante estreita. Embora a função de onda decresça dentro da barreira, a partir do ponto de retorno clássico, ela não terá se anulado quando atingir o outro lado da barreira, ou seja, há alguma probabilidade de que a partícula quântica atravesse a barreira e apareça do outro lado! No contexto da Figura 41.29a, veríamos a bola atingir o ponto de retorno e, em vez de inverter seu movimento e descer, ela tunelaria através da colina e emergiria do outro lado. Embora isso seja estritamente proibido do ponto de vista clássico, é um comportamento aparentemente aceitável para partículas quânticas. O processo é chamado de tunelamento quantomecânico. O processo de tunelamento através de uma barreira de energia potencial é uma das previsões mais estranhas e inesperadas da mecânica quântica. Ainda assim, ele ocorre. Mais ainda, você verá que esse processo possui muitas aplicações práticas. A expressão “tunelamento” é usada como uma metáfora. Se uma partícula clássica realmente sofresse tunelamento, deveria despender energia e emergiria do outro lado com energia menor. O tunelamento quântico, no entanto, não demanda qualquer gasto energético. A linha de energia total possui a mesma altura em ambos os lados da barreira. Uma partícula que tunela através de uma barreira emerge do outro lado sem perda de energia. Daí o comprimento de onda de de Broglie ser o mesmo em ambos os lados da barreira de potencial da Figura 41.30.  NOTA 

CAPÍTULO 41

■


A fim de simplificar nossa análise, a FIGURA 41.31representa uma barreira de energia idealizada, de altura U0 e largura w. Fizemos a superposição da função de onda sobre o diagrama da barreira para que pudéssemos visualizar como a função de onda se alinha com a energia potencial. A função de onda à esquerda da barreira é oscilatória, senoidal e possui amplitude AE. A função de onda no interior da barreira é a exponencial decrescente dada pela Equação 41.40:

1291

A barreira possui largura w. Barreira de energia

Amplitude AD

(41.51) Tunelamento

onde admitimos que borda  AE. O comprimento de penetração  foi dado na Equação 41.41 como

Amplitude AE

FIGURA 41.31 Tunelamento através de uma

barreira energética idealizada. NOTA  Ao calcular os valores de , você deve usar unidades do SI. Energias devem estar em J, e  em J.s. Neste caso, o comprimento de penetração  será obtido em

metros.



A função de onda diminui exponencialmente no interior da barreira, mas, antes de cair a zero, emerge no lado direito (x > w) como uma onda oscilatória de amplitude AD dentro(em x  w)  AEe–w/



(41.52)

A probabilidade de encontrar a partícula no lado esquerdo da barreira é proporcional a 2 2 |AE| , e a probabilidade de encontrá-la no lado direito, é igual a | AD| . Portanto, a probabilidade de uma partícula que se aproxima de uma barreira pela esquerda ser encontrada à direita da barreira é igual a (41.53) Essa é a probabilidade de a partícula tunelar a barreira de energia. Nossa análise não foi rigorosa. Por exemplo, admitimos que as funções de onda, à esquerda e à direita, atingem seu máximo quando encontram a barreira em x  0 ou x  w. Não há justificativa para tal. Outras liberalidades foram utilizadas e serão facilmente detectadas por especialistas, mas – felizmente – elas não modificam os resultados significativamente. A Equação 41.53 é perfeitamente adequada para a maioria das aplicações envolvendo tunelamento. Por ser uma função exponencial, a probabilidade de tunelamento é fortemente dependente dos parâmetros w e . A probabilidade de tunelamento pode ser substancialmente reduzida por meio de um pequeno aumento da largura da barreira. O parâmetro , que mede a distância que a partícula pode penetrar, depende da massa da partícula e de U0 – E. Uma partícula com E ligeiramente menor do que U0 apresentará um grande valor de  e, portanto, uma probabilidade de tunelamento maior do que a de uma partícula idêntica com menor energia.

EXEMPLO 41.11Tunelamento de

elétrons

a. Determine a probabilidade de um elétron tunelar através de uma barreira energética de 1,0 nm de largura se a energia do elétron for 1,0 eV menor do que a altura da barreira. b. Determine aprobabilidade de tunelamento se alargura da barreira do item a for aumentada para 3,0 nm. c. Determine a probabilidade de tunelamento se o elétron do item a for substituído por um próton com a mesma energia.

RESOLUÇÃO a. Um elétron com energia de 0,10 eV abaixo da altu-

ra da barreira possui tanto seu comprimento de penetração é igual a

Por-

Continua

1292


A probabilidade de esse elétron tunelar através de uma barreira de largura w  1,0 nm é

c. A massa de um próton é muitomaior do que ade um elétron. Portanto, um próton com possui Sua probabilidade de tunelamento através de uma barreira de 1,0 nm de largura é

b. A alteração da largura paraw  3,0 nm não tem efeito sobre. A nova probabilidade de tunelamento é

Aumentar a largura por um fator de 3 reduz a probabilidade de tunelamento por um fator de 660!

Na prática, a probabilidade de um próton tunelar essa barreira é nula. AVALIAÇÃO Como a probabilidade de tunelamento de um próton através de uma barreira de 1 nm é de apenas 10 –64, você pode entender por que objetos macroscópicos “nunca” tunelam através de distâncias macroscópicas.

O tunelamento quântico parece tão obscuro que é difícil imaginar aplicações práticas para ele. Surpreendentemente, existem várias. Discutiremos aqui duas delas: o microscópio de tunelamento e o diodo túnel.

O microscópio de tunelamento A difração limita a resolução de um microscópio óptico a objetos maiores do que o comprimento de onda da luz visível – aproximadamente 500 nm. Isso é mais do que 1.000 vezes o tamanho de um átomo; portanto, não podemos ter esperanças de observar átomos ou moléculas via microscopia ótica. Os microscópios eletrônicos são também limitados, neste caso pelo comprimento de onda de de Broglie dos elétrons usados. Sua resolução é muito maior do que a dos microscópios ópticos, mas ainda insuficiente para que possamos observar átomos individualmente. A situação mudou radicalmente em 1981, com a invenção do microscópio de tunelamento (STM, do inglês scanning tunneling microscope ). O STM permitiu aos cientistas “examinar” superfícies átomo a átomo, literalmente. A FIGURA 41.32reproduz duas imagens obtidas com o STM. Em uma delas você pode identificar átomos de carbono individualmente na superfície do grafite. A outra é uma imagem menos ampliada de uma superfície de silício. Essas imagens são estupendas, porém como foram obtidas?

Átomos de carbono na superfície do grafite

A superfície do silício

FIGURA 41.32Duas imagens obtidas com um microscópio de tunelamento.

A FIGURA 41.33amostra como funciona um microscópio de tunelamento. Uma sonda condutora dotada de uma ponta muito fina, com largura de apenas alguns poucos átomos, é posicionada a poucas dezenas de nanômetros da superfície. A confecção da ponta e o controle do espaçamento entre ela e a superfície constit uem desafios técnicos, mas os cientistas aprenderam a dominá-los. Uma vez posicionada, a sonda varre a superfície.

Quando analisamos o efeito fotoelétrico, aprendemos que elétrons estão presos nos metais por uma quantidade de energia denominada de função-trabalho E 0. Um valor típico da função-trabalho é de 4 ou 5 eV. Essa energia deve ser fornecida – por um fóton

CAPÍTULO 41


■

1293

ou de algum outro modo – a fim de que um elétron seja removido do metal, ou seja, a energia de um elétron em um metal é E0 menor do que sua energia fora do metal. Esse fato é a base do diagrama de energia potencial daF IGURA 41.33b . A fina camada de ar entre a amostra e a ponta da sonda constitui uma barreira de energia. A energia de um 4. Uma imagem mostra a elétron no metal da amostra ou da sonda é menor que a energia de um elétron no ar por4 corrente em função da eV, isto é, a função-trabalho. A absorção de um fóton com Efóton > 4 eV faria o elétron posição da ponta da transpor a barreira, deixando a amostra e chegando à sonda. Isso seria o efeito fotoelétri- sonda, revelando o perfil da superfície. co. De forma alternativa, elétrons podemtunelar a barreira se esta for suficientemente esSistema de 3. A corrente é treita. Isso gera umacorrente de tunelamentono sentido da amostra para a sonda. imagem Durante a operação do equipamento, a corrente de tunelamento é registrada à medida monitorada à medida a sonda é movique a ponta da sonda varre a superfície. Você já aprendeu que a corrente de tunelamento que mentada para a frente Monitoramento é extremamente sensível à largura da barreira. Quando a ponta passa pela posição de e para trás, varrendo da corrente um átomo, a largura da camada diminui em 0,1 nm, e a corrente aumenta. A largura é toda a amostra. Ponta da maior quando a ponta encontra-se entre átomos, momento em que a corrente diminui. Os sonda STM atuais são capazes de detectar variações da largura da camada de ar tão pequenas 



quanto 0,001 nm, ou cerca de 1% do diâmetro de um átomo! Imagens semelhantes às da Figura 41.32 são geradas por um computador a partir da medição da corrente em cada posição da sonda. O STM revolucionou a ciência e a engenharia dos objetos microscópicos. Os STMs agora são utilizados para estudar como superfícies são corroídas e oxidadas, um tópico importante em engenharia, e como moléculas biológicas são estruturadas. Eis mais um exemplo de como a mecânica quântica trabalha para você!

Camada de ar ,

Amostra

O diodo túnel ressonante O laser de diodo estudado na Seção 41.6 possui uma camada fina de GaAs envolvida por camadas largas de GaAlAs. Como a energia potencial de um elétron no GaAs é 0,3 eV menor que a de um elétron no GaAlAs, essa estrutura constitui um poço quântico no qual os elétrons são confinados em um único nível de energia. Suponha que você confeccione um dispositivo no qual a camada fina de GaAs é envolvida por camadas ainda mais finas de GaAlAs, com apenas alguns poucos nanômetros de largura. A FIGURA 41.34arepresenta o diagrama de energia potencial para um elétron em um dispositivo como esse. Uma vez que as camadas de GaAlAs são muito finas, um elétron dentro do poço quântico é capaz de tunelar para o exterior. 

Inversamente, um elétron proveniente do exterior e que incide sobre a barreira de GaAlAs pode ser capaz de penetrar dentro do poço quântico. Contudo, o tunelamento para dentro do poço é bloqueado pelo descasamento das energias. Dentro do poço, um elétron deve estar em uma das energias permitidas. Normalmente, existe um único estado permitido no poço, com Elétrons do exterior possuem energia térmica

1. A amostra pode ser considerada como um conjunto de caroços iônicos positivos imersos em um “mar” de elétrons.

2. Uma pequena voltagem positiva faz os elétrons tunelarem através da fina camada de ar entre a ponta da sonda e a amostra.

Nível de energia para um elétron da sonda ou da amostra.

Amostra

Camada de ar

Ponta da sonda

à temperatura ambiente. O tunelamento pode parecer um fenômeno estranho, todavia a FIGURA 41.33Um microscópio de conservação da energia deve ser satisfeita. Ao se aproximar da barreira com , tunelamento. um elétron não pode tunelar para o interior do poço a menos que lá exista um estado quântico permitido com essa energia. Elétrons aproximam-se pelo exterior com energia Eterm.

Uma diferença de potencial faz com que a energia potencial aumente com a distância. Elétrons

O tunelamento pára quando as energias deixam de ser iguais.

Eterm

, Eterm

Energia Eterm

, Nível de energia E1 do poço quântico

Corrente de tunelamento A energia do poço quântico se iguala à energia do elétron, o que permite que os elétrons tunelem.

FIGURA 41.34Energia potencial de um elétron em um diodo túnel ressonante.

1294


, Corrente de tunelamento para 0,25 V

, , ,

,,,,, FIGURA 41.35Medidas experimentais da

curva característica corrente-voltagem de um diodo túnel.

A FIGURA 41.34bilustra o efeito da aplicação de uma diferença de potencial V ao longo das três camadas do dispositivo. A diferença de potencial aumenta, atingindo um valor Vres para o qual a energia do nível permitido dentro do poço quântico se iguala à do elétron que dela se aproxima pela direita. Obtemos, desta forma, uma ressonância, em analogia com a situação em que uma freqüência externa é igual à freqüência natural de um oscilador. Uma vez que as energias sejam iguais, os elétrons provenientes da direita podem facilmente tunelar para o interior do poço quântico. A seguir, eles tunelam através da barreira oposta e emergem à esquerda com energia cinética , ou seja, haverá uma corrente através do dispositivo quando a diferença de potencial aplicada nele for Vres. Tal dispositivo é denominado diodo túnel ressonante. Uma voltagem muito alta destrói a ressonância. Na FIGURA 41.34c, nota-se que um valor alto de V reduz muito a energia do nível do poço quântico, impedindo, pelo descasamento das energias, que os elétrons incidentes pela esquerda tunelem. A carga flui em um diodo túnel apenas para uma faixa estreita de voltagens próximas a Vres. A FIGURA 41.35é um gráfico experimental voltagem-corrente de um dispositivo com um poço quântico de 4 nm de GaAs envolto por barreiras de 10 nm de GaAlAs. Há uma faixa estreita de voltagens, ao redor de 0,25 volts, para os quais a corrente aumenta por um fator de 10. Esse valor é Vres, e a corrente se deve aos elétrons que tunelam através do diodo. A corrente despenca para zero quando o potencial atinge V  0,40 V. (O aumento da corrente para V  0,7 V é parte do comportamento normal do diodo. Um diodo túnel não operaria a voltagens tão altas.) A habilidade de mudar tão bruscamente a corrente por meio de uma pequena variação da voltagem torna o diodo túnel um dispositivo muito especial em circuitos digitais de computadores. Esses diodos também podem ser utilizados em osciladores ultra-rápidos, capazes de gerar voltagens oscilatórias com freqüências de até 500 GHz. PARE E PENSE 41.6 Uma partícula com energia E se aproxima de uma barreira de energia de altura U0 > E. Se U0 diminui lentamente, a probabilidade da partícula ser refletida pela barreira

a. Aumenta b. Diminui c. Não é alterada

CAPÍTULO 41

■


1295

RESUMO O objetivo do Capítulo 41 foi compreender e aplicar as idéias fundamentais da mecânica quântica.

Princípios gerais Equação de Schrödinger (“a lei de psi”)

Essa equação determina a função de onda(x) e, através dela, as probabilidades de encontrar uma partícula de massa m sujeita a uma energia potencial U(x). Condições de contorno

Formas das funções de onda

• (x) é uma função contínua. • (x) → 0 quando x → . • (x)  0 em uma região onde é fisi-

• A função de onda oscila em uma região situada entre os pontos de retorno clássicos. • O estado n possui n antinodos. • O espaçamento entre os nós e a amplitude aumentam à medida que a energia cinéticaK diminui. • (x) diminui exponencialmente em uma região classicamente proibida.

camente impossível uma partícula ser encontrada. • (x) é normalizada.

Modelos quantomecânicosão s caracterizados pela função energia potencial U(x) da partícula.

• Existem soluções para a função de onda apenas para determinados valores de E. Logo, a energia é quantizada. • Fótons são emitidos ou absorvidos durante saltos quânticos.

Conceitos importantes Tunelamento quantomecânico

Uma função de onda pode penetrar uma região classicamente proibida na qual a função de onda tem a forma e onde o comprimento de penetração é dado por

A probabilidade de tunelamento através de uma barreira de largura w é

O princípio da correspondência afirma que o mundo quântico se ajusta continuamente ao mundo clássico no caso de números quânticos grandes. Isso pode ser observado se comparamos à densidade de probabilidade clássica

Esta expressão para Pclass significa que a probabilidade de encontrar uma partícula clássica é maior em uma região na qual ela se move mais lentamente.

Aplicações Partícula em uma caixa rígida: Oscilador harmônico quântico:

Outras aplicações foram estudadas através de soluções numéricas da equação de Schrödinger.

1296


Termos e notação equação de Schrödinger modelo quantomecânico condições de contorno movimento de ponto-zero princípio da correspondência poço de potencial regiões classicamente proibidas

estado ligado comprimento de penetração, laser de poço quântico raios gama oscilador harmônico quântico níveis de energia vibracionais ligação covalente molecular


orbital molecular ligante orbital molecular antiligante tunelamento quantomecânico microscópio de tunelamento (STM) diodo túnel ressonante


integram o material


QUESTÕES

CONCEITU

1. O princípio da correspondência afirma que o comportamento médio

de um sistema quântico deve se assemelhar à correspondente solução newtoniana no limite em que os números quânticos se tornam muito grandes. O que significa “comportamentomédio” de um sistema quântico? 2. Uma partícula se encontra no estado quântico n  5 de um poço de potencial. Quantos picos existem na densidade de probabilidade 3. Qual é o número quântico da partícula da FIGURA Q41.3 ? Como

AIS

a. O que ocorre com o espaçamento entre os nós da função de onda quando aumenta? Por quê? b. O que ocorre com a altura dos antinodos da função de onda quando aumenta? Por quê? c. Esboce um gráfico razoavelmente preciso da função de onda n 8 de um oscilador harmônico quântico. 6. A FIGURA Q41.6mostra duas funções de onda possíveis para um elétron em uma molécula triatômica linear. Qual delas corresponde a um orbital ligante, e qual a um orbital antiligante?

você obteve sua resposta?

FIGURA Q41.3 4. Ordene em seqüência decrescente os comprimentos de penetração de a a c das funções de onda correspondentes aos três níveis de energia mostrados naFIGURA Q41.4.

FIGURA Q41.4

FIGURA Q41.6 7. Quatro partículas quânticas, cada uma com energia E, se aproximam das barreiras de energia potencial apresentadas na FIGURA Q41.7da esquerda para a direita. Ordene em seqüência decrescente as probabilidades de tunelamento de (Ptúnel)a a (Ptúnel)d.

Barreira a

5. Considere um oscilador harmônico quântico.

Barreira b

Barreirac

, Barreirad

FIGURA Q41.7

EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Exercícios Seções 41.3–4 Uma partícula em uma caixa rígida 1. || Em uma caixa rígida, um elétron absorve luz. O comprimento

de onda mais longo do espectro de absorção é de 600 nm. Qual é o comprimento da caixa?

2. | Em uma caixa rígida, os elétrons emitem fótons de comprimento

de onda de 1484 nm durante a transição 3→ 2. a. Qual é o tipo de fótons emitidos – infravermelho, visível ou ultravioleta? b. Qual é o comprimento da caixa em que os elétrons estão confinados?

CAPÍTULO 41

3. | A FIGURA EX41.3mostra a função de onda de um elétron em uma

caixa rígida. A energia do elétron é de 6,0 eV. Qual é o comprimento da caixa?

F I G U R AE X 41 . 3

■


1297

b. Esboce as funções de onda correspondentes a n  3 e n  6. Desenhe-as como funções oscilatórias ao redor de uma linha de energia apropriada.

FIGURA EX41.4

4. | A FIGURA EX41.4mostra a função de onda de um elétron em uma

caixa rígida. A energia do elétron é de 12,0 eV. Qual é a energia do estado fundamental do elétron?

F I G U R A E X 41 . 13

F I G U R A E X 41 . 14

14. | Esboce as funções deonda correspondentes an  1 e n  7 para a energia potencial representada na FIGURA EX41.14 .

Seção 41.6 Poços de potencial finitos 5. | Mostre que a unidade do comprimento de penetração  é o m. cor6. | a. Esboce os gráficos da densidade de probabilidade

respondentes aos quatro estados do poço de potencial finito da Figura 41.4a. Posicione um gráfico abaixo do outro (verticalmente), de maneira semelhante aos gráficos de da Figura 41.4a. b. Qual é a probabilidade de uma partícula no estado n  2 do poço de potencial finito ser encontrada no centro do poço? Explique. c. A sua resposta para o item b é consistente com o que você sabe sobre ondas? Explique. 7. | Para uma partícula em um poçode potencial finito de larguraL e profundidade U0, qual é a razão entre a probabilidade Prob(para x centrado em x  L  ) e a probabilidade Prob(para x centrado em x  L)? 8. | Um poço de potencial finito tem profundidade U 0  2,00 eV. Qual é o comprimento de penetração de um elétron com energia de (a) 0,50 eV, (b) 1,00 eV e (c) 1,50 eV? 9. || Em um poço de potencial finito, um elétron apresenta um com-

primento de penetração de 1,0 nm em uma região classicamente proibida. Em quanto a energia do elétron é menor do que U0? 10. | Um átomo de hélio seencontra em um poçode potencial finito. A energia do átomo é 1,0 eV menor do queU0. Qual é o comprimento de penetração do átomo na região classicamente proibida?

Seção 41.8 O oscilador harmônico quântico 15. | Ao sofrer um salto quântico 3 → 2 em um poço de potencial har-

mônico, um elétron emite um fóton com um comprimento de onda de 300 nm. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido em um salto quântico 3 → 1? 16. || Um elétron se encontra confinado em um poço depotencial harmônico para o qual a constante da mola é igual a 2,0 N/m. a. Quais são os primeiros três níveis de energia do elétron? b. Qual é o comprimento de onda do fóton emitido quando o elétron efetua um salto quântico 3 → 1? 17. | Um elétron que está confinado em um poço de potencial harmônico emite um fóton de 1200 nm ao sofrer um salto quântico → 3 2. Qual é a constante de mola do poço de potencial? 18. | Um elétron é confinado em um poço de potencial harmônico correspondente a uma constante de mola de 12,0 N/m. Qual é o comprimento de onda luminosa mais longo que o elétron pode absorver? 19. | Sabe-se que dois níveis de energia adjacentes de um elétron em um poço de potencial harmônico correspondem a 2,0 eV e 2,8 eV. Qual é a constante de mola do poço de potencial? Seção 41.10 Tunelamento quantomecânico 20. || Qual é a probabilidade de um elétron tunelar através de uma ca-

Seção 41.7 A forma das funções de onda 11. | Esboce a função de onda correspondente a n potencial representada na FIGURA EX41.11 .



6 para a energia

mada de ar com espessura de 0,45 mn, a partir do metal do qual é feita a sonda de um microscópio de tunelamento, se a funçãotrabalho correspondente é de 4,0 eV? 21. || Um elétron se aproxima de uma barreira de energia potencial com 5,0 eV de altura. Qual será a energia do elétron se sua probabilidade de tunelamento for de (a) 10%, (b) 1,0% e (c) 0,10%?

Problemas F I G U R A E X 41 . 11

F I G U R A E X 41 . 1 2

12. | Esboce a função de onda correspondente a n



8 para a energia

22. || Uma gota de água com diâmetro de 2,0 m se move com uma velocidade de 1,0 m/s no interior de uma caixa com 20 m de

comprimento. a. Estime o número quântico da partícula.

FIGURA EX41.12 representada . b. Use princípioé necessária da correspondência para determinar se a mecâ- da 13. |potencial O gráfico da FIGURAnaEX41.13 mostra a função energia potencial nica oquântica para a compreensão do movimento U(x) de uma partícula. A solução da equação de Schrödinger deterpartícula ou se é “seguro” usar a física clássica neste caso. mina que o nível correspondente an  3 possui E3  0,5 eV e que 23. ||Suponha que e sejam, ambas, soluções da equação o nível correspondenten  6 possui E6  2,0 eV. de Schrödinger para uma mesma energia potencialU(x). Prove que

a. Refaça essa figura adicionando as linhas de energia para os estados correspondentes a n  3 e n  6.

a superposição da mesma equação de Schrödinger.

também é uma solução

1298


24. || Na Figura 41.26a, um átomo de hidrogênio é considerado como

a. Esboce os correspondentes gráficos de Identifique os pontos correspondentes a x  0 e x  L. b. Onde, em função deL, estão as posições onde há maior probabilidade de a partícula ser encontrada? c. Onde, em função deL, estão as posições em que há menor probabilidade de a partícula ser encontrada? d. Examine seus gráficos de e determine se a probabilidade de encontrar a partícula no terço esquerdo da caixa é menor, igual ou maior do que 1/3. Explique seu raciocínio. a. Desenhe o gráfico U(x) versus x. Centralize seu gráfico em x  0. e. Calcule a probabilidade de a partícula ser encontrada no terço b. Apesar da divergência emx  0, a equação de Schrödinger pode esquerdo da caixa. ser resolvida para um elétron neste potencial obtendo-se os ní30. || Para o laser depoço quântico da Figura41.16, estime a probabiliveis de energia e as funções de onda. Trace uma linha horizontal dade de um elétron ser encontrado em uma das camadas do GaAlAs que cruze o gráfico do item a aproximadamente a um terço da altura, de cima para baixo. Identifique essa linha por E2. Depois, vezum daexperimento camada do GaAs. Explique seu || Em em física nuclear, um raciocínio. próton é lançado em di31. em sobre essa linha, esboce um gráfico plausível da função de onda reção a um núcleo Z  13 com o diâmetro e os níveis de energia aprecorrespondente a n  2. sentados na Figura 41.17. O núcleo, que estava inicialmente em seu c. Refaça seu gráfico do item a e adicione uma linha horizontal a estado fundamental, emite um raio gama com comprimento de onda –4 dois terços da altura, de baixo para cima. Indique essa linha por 1,73  10 nm. Qual era a velocidademínima inicial do próton? E3. Então, sobre essa linha, esboce um gráfico plausível da funDica: Não despreze a colisão próton-núcleo. ção de onda correspondente an  3 32. | Use os dados da Figura 41.23 para calcular os primeiros três ní25. || a. Deriveuma expressão para o comprimento de onda da veis de energia vibracional de uma ligação dupla entre carbono e luz emitida por uma partícula em uma caixa rígida durante um oxigênio na molécula CO. salto quântico de n  2 para n  1. 33. | Verifique que a função de onda n 1, , do oscilador harb. Qual é o comprimento de uma caixa rígida na qual um elétron, mônico quântico realmente é a solução da equação de Schrödinao sofrer uma transição 2 → 1, emite luz com um comprimenger, ou seja, mostre que os lados direito e esquerdo da equação de to de onda de 694 nm? Este é o comprimento de onda de um Schrödinger são iguais se você usar a função de onda1(x). laser de rubi. 34. | Mostre que a constante b usada nas funções de onda do oscilador 26. || Considere um átomo de hidrogênio como sendo um elétron em harmônico quântico (a) possui unidades de comprimento e (b) é o uma caixa rígida de comprimento 0,100 nm, cerca do dobro do raio ponto de retorno clássico de um oscilador no estado fundamental n de Bohr.  1. a. Quais são os quatro níveis de energia mais baixos do elétron? 35. || a. Det ermina a constante de normalização A1 para a função de b. Calcule todos os comprimentos de onda que seriam observados onda no estado fundamental de um oscilador harmônico quânno espectro de emissão desse átomo devido a saltos quânticos entico correspondente a n  1. Sua resposta será em função de b. um poço de potencial finito de bordas retangulares. Um modelo mais realista de um átomo de hidrogênio, embora ainda unidimensional, seria a energia potencial eletrostática do sistema unidimensional elétron  próton:

tre esses quatro níveis de energia. Para identificar cada transição, use um subscrito no comprimento de onda, como em . c. Esses comprimentos de onda estão em que porção do espectro: infravermelho, visível ou ultravioleta? d. Os estados estacionários do átomo de hidrogênio de Bohr possuem energias negativas. Já os estados estacionários deste modelo atômico possuem energias positivas. Trata-se de uma diferença significativa? Explique. e. Compare esse modelo atômico ao modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Em que aspectos os dois átomos são semelhantes? Além dos sinais algébricos das energias dos níveis, em que outros aspectos eles diferem? 27. || Mostre que a constante de normalização An para as funções de onda de uma partícula em uma caixa rígida possui o valor dado pela Equação 41.26. 28. || Uma partícula confinada em uma caixa rígida unidimensional com 10 fm de comprimento possui um nível de energia En  32,9 MeV e um nível de energia adjacenteEn 1  51,4 MeV. a. Determine os valores de n e de n  1. b. Desenhe um diagrama de níveis de energia indicando todos os níveis de energia de 1 a n  1. Denote cada nível e escreva a energia ao lado de cada um. c. Esboce a função de ondan  1 do nível de energian  1. d. Qual é o comprimento de onda de um fóton emitido na transição n  1 → n? Compare-o com um comprimento de onda típico da luz visível. e. Qual é a massa da partícula? É possível determiná-la? 29. || Considere uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L. Para cada um dos estados correspondentes a n  1, n  2 e n  3: 

b. Obtenha uma expressão para a probabilidade de um oscilador harmônico quântico, no estado fundamental correspondente a n  1, ser encontrado na região classicamente proibida. c. (Opcional) Use um programa de integração numérica para avaliar sua expressão para a probabilidade requerida no item b. Dica: Simplifique a integral efetuando a troca de variável de x para u  x/b, o que tornará o cálculo mais simples.

36. || a. Derive uma expressão paraa densidade de probabilidade clássica Pclass(x) para um oscilador harmônico simples com amplitude A. b. Represente graficamente sua expressão na região entre x  –A e x  A.

c. Interprete seu gráfico. Por que ele tem esta forma? 37. || a. Derive uma expressão paraa densidade de probabilidade clássica Pclass(y) de uma bola que quica entre o solo e uma alturah.

As colisões com o solo são perfeitamente elásticas. b. Represente graficamente sua expressão na região entrey  0 e y  h. c. Interprete seu gráfico. Por que ele tem esta forma? 38. || A Figura 41.17 mostrou que um raio nuclear típico vale 4,0 nm.

você verá que aéEenergia típica de um nêutron ligado aNoumCapítulo poço de43, potencial nuclear n  –20 MeV. A fim de descobrir quão imprecisa é a definição da extensão de um núcleo, estime o comprimento de penetração na região classicamente proibida como uma fração do raio do núcleo. 39. || Mesmo os espelhos mais finamente polidos apresentam superfícies não-uniformes quando observados em uma escala de 100 nm. Quando dois metais muito polidos são colocados em contato, a distância real entre as superfícies varia desde 0, com alguns pontos de contato efetivo, até 100 nm. A distância média entre as superfí

CAPÍTULO 41

cies é 50 nm. A função-trabalho do alumínio vale 4.3 eV. Qual é a probabilidade de um elétron tunelar entre duas peças de alumínio que distem 50 nm uma da outra? Expresse sua resposta como uma potência de 10. 40. ||| A energia de um próton está 1,0 MeV abaixo do topo de uma barreira de energia com 10 fm de largura. Qual é a probabilidade do próton tunelar através da barreira? 

■


1299

de elétrons se movem através dessa rede. A FIGURA PD41.44é um modelo unidimensional de uma rede cristalina. Os íons possuem massa m e carga e, com separação de equilíbrio b. a. Suponha que a carga central seja deslocada ligeiramente de sua posição de equilíbrio, enquanto as outras permanecem fixas. Mostre que a força elétrica resultante exercida sobre a carga central é dada, aproximadamente, por

Problemas desafiadores 41. Considere uma partícula em uma caixa rígida de comprimento L, com paredes localizadas em x  – L/2 e x  L/2. a. Qual é a função de onda para x < –L/2 e para x > L/2? Expli-

Em outras palavras,a carga experimenta umaforça restauradora linear. b. Suponha que este cristal seja composto de íons de alumínio com uma distância de equilíbrio de 0,30 nm. Quais são as energias dos quatro estados vibracionais mais baixos dos íons? c. Qual é o comprimento de onda dos fótons emitidos durante os saltos quânticos entre níveis de energia adjacentes ? Esse comprimento de onda está em que porção do espectro: infravermelha, visível ou ultravioleta?

que. b. Escreva a equação de Schrödinger na região L–/2  x  L/2 para uma partícula de energiaE. c. Escreva uma solução geral da equação de Schrödinger na região –L/2  x  L/2. d. Quais são as condições de contorno a que esta função de onda deve satisfazer? e. Aplique as condições de contorno e determine os níveis de energia permitidos. Note que existem duas maneiras distintas de satisfazer às condições de contorno, cada qual fornecendo um FIGURA PD41.44 conjunto diferente de funções de onda e de níveis de energia. f. Compare seus resultados com os resultados para a caixa rígida 45. a. Qual é a probabilidade de um elétron tunelar através de uma caque foram obtidos neste capítulo. Em que aspectos eles se paremada de ar com 0,50 nm, a partir de um metal e em direção à cem e em que aspectos diferem? Existe alguma diferença fisicasonda de um microscópio de tunelamento, se a função trabalho mente significativa? for de 4,0 eV? 42. Um elétron típico de um fragmento de sódio metálico possui enerb. A sonda passa sobre um átomo que tem 0,050 nm de “altura”. gia –E0 comparada a um elétron livre, onde E0 é a função-trabalho Em quanto aumenta a corrente de tunelamento? do sódio, igual a 2,7 eV. c. Se uma variação de corrente de 10% for detectável com confiana. A que distância exterior à superfície do metal a densidade de proça, qual é a menor alteração da altura que um microscópio de babilidade do elétron equivale a 10% de seu valor na superfície? tunelamento é capaz de detectar? b. Como se compara essa distância ao tamanho de um átomo? 46. Bolas de tênis quevelocidade se movemsuficientemente a mais de 100 mph rebatidas por 43. Uma partícula de massam tem a função de onda raquetes. A uma alta,são contudo, a bola quando se encontra em um nível de energia permitido com E  0. arrebenta o encordoamento da raquete e prossegue em movimento. a. Desenhe o gráfico versus x. A raquete constitui uma barreira de energia potencial cuja altura é b. Em que valor ou valores de x é mais provável encontrar a partíigual à energia da bola mais lenta que arrebenta o encordoamencula? to. Suponha que uma bola de 100 g, movendo-se a 200 mph, seja c. Determine e represente graficamente a função energia potencial suficiente para arrebentar um encordoamento com 2,0 mm de esU(x). pessura. Estime a probabilidade de uma bola a 120 mph tunelar 44. Na maioria dos metais, os íons atômicos formam uma estrutura reatravés da raquete sem arrebentá-la. Expresse sua resposta como gular denominadarede cristalina . Os elétrons de condução do mar uma potência de 10, e não, como uma potência dee.

RESPOSTAS DAS QUESTÕES DO TIPO PARE E PENSE vb > vc. O comprimento de onda de de Broglie é ; logo, as partículas mais lentas possuem os comprimentos de onda mais longos. A amplitude da onda não é relevante. Pare e Pense 41:2: O c. estado n  2 tem um nó no meio da caixa. Os antinodos estão centralizados nas metades direita e esquerda da caixa. va Pare e Pense 41.1:



Pare e Pense 41.3: n  4. Há quatro antinodos e três nós (excluindo-se

as extremidades). Pare e Pense 41.4: d.Na

direita, a função de onda torna-se nula de forma abrupta, indicando uma parede de energia potencial infinitamente alta. A diminuição exponencial observada na esquerda revela que a pare-

de esquerda de energia potencialnão é infinitamente alta. Tanto a distância entre os nós quanto a amplitude aumentam gradualmente da direita para a esquerda, indicando uma diminuição gradual da energia cinética e, conseqüentemente, um aumento gradual da energia potencial.

Pare e Pense 41.5: c. ; logo, é a energia do estado correspondente an  3. Tal estado possui três antinodos. Pare e Pense 41.6: b. A probabilidade de tunelamento através da barreira aumenta à medida que diminui a diferença entre E e U0. Se

a probabilidade de tunelamento aumentar, a probabilidade de reflexão diminuirá.

42 FísicaAtômica Os raios laser figuram entre as aplicações quantomecânicas mais importantes dos das propriedades átomos e da luz.



Olhando adiante

O objetivo do Capítulo 42 é compreender a estrutura e as propriedades dos átomos. Neste capítulo, você aprenderá a: ■

■ ■

■ ■



Utilizar um modelo quantomecânico do átomo de hidrogênio. Compreender o conceito de spin do elétron. Aplicar a teoria quântica de Schrödinger a átomos multieletrônicos. Interpretar os espectros atômicos. Compreender o funcionamento dos lasers.

Em retrospectiva

O conteúdo deste capítulo depende da compreensão do modelo de quantização atômica de Bohr e da mecânica quântica unidimensional. Revise: ■

■ ■

Seções 39.5 e 39.7 O modelo de quantização de Bohr e o átomo de hidrogênio Seções 40.3 e 40.4 Interpretando e usando as funções de onda Seções 41.1 e 41.2 Os conceitos básicos da mecânica quântica

A descoberta da estrutura dos átomos é um assunto que voltaremos a abordar conti-

nuamente. O primeiro modelo atômico que estudamos, o modelo do tipo sistema solar, de Rutherford, era totalmente clássico. Esse modelo incorporou a descoberta de Rutherford acerca da existência de um núcleo muito pequeno, mas não era nada consistente com as evidências experimentais sobre os átomos. Ele não explicava o espectro discreto e nem mesmo esclarecia por que os átomos são estáveis! O modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio foi um grande avanço. O conceito de estados estacionários forneceu meios para a compreensão da estabilidade dos átomos bem como dos saltos quânticos que srcinam o espectro discreto. A derivação da fórmula de Balmer para o espectro de hidrogênio, feita por Bohr, indicou que ele estava trilhando o caminho certo. Mesmo assim, como já observamos, o modelo de Bohr não foi bem-sucedido para outros átomos além do hidrogênio. Chega, então, a vez de Schrödinger. Será que a teoria de Schrödinger para a mecânica quântica explica melhor a estrutura atômica do que os outros modelos? A resposta, provavelmente você já imagina, é um categórico sim. Este capítulo traz um panorama sobre a mecânica quântica e sobre como ela finalmente nos forneceu uma compreensão da estrutura atômica e das propriedades atômicas.

42.1 O átomo de hidrogênio: momentum angular e energia Vamos começar com um modelo da mecânica quântica para o átomo do hidrogênio. A FIGURA 42.1mostra um elétron a uma distância r de um próton. O próton tem massa muito maior do que a do elétron; logo, consideraremos que o próton permanece em repouso na srcem.

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1301

No Capítulo 41 você já aprendeu que o procedimento para a resolução de problemas de mecânica quântica consiste de duas etapas básicas:

1. Especificar a função energia potencial. 2. Resolver a equação de Schrödinger para obter as funções de onda, os níveis de energia permitidos e outras propriedades quânticas. A primeira etapa é fácil. O próton e o elétron são partículas carregadas com q  ± e; assim, a energia potencial de um átomo de hidrogênio em função da distância r do elétron é

Próton

Elétron

(42.1) A dificuldade surge na segunda etapa. A equação de Schrödinger do Capítulo 41 destina-se a problemas unidimensionais. Os átomos são tridimensionais, e a equação tridimensional de Schrödinger é uma equação diferencial parcial cuja solução está além do objetivo deste livro. Conseqüentemente, apresentaremos os resultados sem derivação ou prova. A boa noticia é que você já aprendeu o suficiente sobre mecânica quântica para interpretar e usar os resultados.

Os estados estacionários do hidrogênio Em uma dimensão, a quantização de energia surge como uma conseqüência das condições de contorno impostas sobre a função de onda, ou seja, as soluções para a equação de Schrödinger satisfazem às condições de contorno somente para certas energias discretas, caracterizadas pelo número quântico n. Em três dimensões, a função de onda deve satisfazer a três condições de contorno diferentes. Conseqüentemente, as soluções para as equações de Schrödinger tridimensionais envolvem três números quânticos e três parâmetros quantizados. As soluções da equação de Schrödinger para a energia potencial do átomo de hidrogênio existem apenas se três condições forem satisfeitas:

1. A energia do átomo deve assumir um dos valores dados por (42.2) onde é o raio de Bohr. O número inteiro n é chamado de número quântico principal. Essas energias são as mesmas energias fornecidas pelo modelo atômico de Bohr do hidrogênio. 2. O momentum angular L da órbita do elétron deve assumir um dos valores dados por (42.3) O inteiro l é chamado de número quântico orbital. 3. O componente z do momentum angular, Lz, deve assumir um dos valores dados por (42.4) O inteiro m é chamado de número quântico magnético. Em outras palavras, cada estado estacionário do átomo de hidrogênio é caracterizado por três números quânticos (n, l, m). Cada um deles está associado a uma propriedade física do átomo.  A energia de um estado estacionário depende apenas do número quântico principal n, sendo independente de l ou m. 

NOTA

FIGURA 42.1Em um átomo de hidrogênio,

o elétron se encontra a uma distância r do próton.


1302

EXEMPLO 42.1Listando

os números quânticos

Faça uma lista de todos os estados possíveis do átomo de hidrogênio que tenham energia E  –3,40 eV. RESOLUÇÃO A energia depende apenas do número quântico principal n. Os estados com E  –3,40 eV correspondem a

Um átomo com número quântico principal n  2 poderia corresponder a l  0 ou l  1, entretanto l  2 está descartado. Se l  0, o único valor possível para o número quântico magnético é m  0. Se l

TABELA 42.1Os símbolos

usados para representar o número quântico l l

Símbolo

0 1 2 3

s p d f

 1, então o átomo poderia corresponder a

m  – 1, m  0 ou m  

1. Assim, os números quânticos possíveis são n

l

m

2

0

0

2

1

1

2

1

0

2

1

–1

Estes quatro estados têm a mesma energia.

O hidrogênio é único. Para todos os outros elementos, as energias permitidas dependem tanto de n quanto de l (mas não de m). Conseqüentemente, é importante que os estados estacionários sejam identificados por seus valores de n e l. As letras minúsculas que aparecem na Tabela 42.1 são geralmente usadas para representar os vários valores do número quântico l. Estes símbolos se srcinam da notação espectroscópica utilizada antes do aparecimento da mecânica quântica, quando algumas linhas espectrais eram identificadas pelos nomes sharp, principal, etc. Utilizando estes símbolos, designamos o estado fundamental do átomo de hidrogênio correspondente a n  1 e l  0 de estado 1s. O estado 3d corresponde a n  3 e l  2. No Exemplo 42.1, encontramos um estado 2 s (com l  0) e três estados 2p (com l  1), todos com a mesma energia.

O momentum angular é quantizado O vetor momentum angular  tem uma inclinação em relação ao eixo z idêntica à inclinação xy.órbita em relaçãodo aoplano planoda

Se o átomo de hidrogênio fosse clássico, a órbita do elétron seria uma elipse, como a órbita de um planeta do sistema solar. O plano da órbita poderia não coincidir com o plano xy. A FIGURA 42.2mostra uma órbita clássica inclinada a um ângulo θ abaixo do plano xy. No Capítulo 12 introduzimos o vetor momentum angular . Será útil chamar de momentum angular orbital de modo a distingui-lo, mais tarde, do momentum angular de spin. A Figura 42.2 serve para você se lembrar de que o vetor é perpendicular ao plano da órbita do elétron. O vetor momentum angular tem um componente z, Lz  Lcosθ, ao longo do eixo z. Classicamente, L e Lz podem assumir quaisquer valores. Na mecânica quântica não é assim. As condições quânticas 2 e 3 nos dizem que o momentum angular orbital do elétron é quantizado. Seu módulo deve assumir um dos valores discretos dados por

Núcleo Elétron

Órbita elíptica clássica

FIGURA 42.2Momentum angular de uma

órbita elíptica.

onde l é um número inteiro. Simultaneamente, o componente z, Lz, deve assumir um dos valores dados por onde m é um número inteiro que assume valores entre – l e l. Nenhum outro valor de L ou Lz permite que a função de onda satisfaça às condições de contorno. A quantização do momentum angular impõe restrições à forma e à orientação da órbita do elétron. Para que você possa visualizar isso, considere um átomo de hidrogênio com número quântico orbital l  2. Neste estado, o módulo do momentum angular do elétron deve ser O vetor momentum angular deve apontar em uma direção tal que onde m é um dos cinco números inteiros situados no intervalo –2  m  2. A combinação dessas duas condições permite que aponte apenas em certas orientações no espaço, como mostra a FIGURA 42.3. Trata-se de uma ilustração um tanto incomum, e a compreensão dela requer um pouco de reflexão. Suponha que m  0, de modo que Lz  0. Sem um componente z, o vetor momentum angular deve estar em algum lugar do plano xy. Ademais, como o comprimento de deve ser igual a 2,45, a ponta de deve situar-se no círculo indicado por m  0. Os valores de correspondem a órbitas clássicas em um plano vertical. Analogamente, m  2 obriga a situar-se em um cone cuja altura é 2  e cujo lado tem comprimento igual a 2,45. Esses valores de correspondem a órbitas clássicas le-

CAPÍTULO 42

vemente inclinadas em relação ao plano xy. Note que não pode apontar diretamente na direção do eixo z. O maior valor possível para quando m  l, é Porém, como obtemos (Lz)max  L. O vetor momentum angular deve possuir um componente x ou y, ou ambos. Ou seja, a órbita clássica correspondente não pode situar-se no plano xy. Um vetor momentum angular inclinado de um ângulo  em relação ao eixo z corresponde a uma órbita inclinada de um ângulo  para fora do plano xy. A quantização do momentum angular restringe os planos orbitais a apenas alguns valores de ângulos de inclinação. Para um estado quântico dado por (n, l, m), o ângulo de inclinação do vetor momentum angular é

■

Física Atômica

1303

Se m 2, situa-se em algum lugar na superfície deste cone com Lz 2 



(42.5) Os ângulos 22, 21 e 20 estão indicados na FIGURA 42.3. Planos orbitais com outros ângulos de inclinação não são permitidos, pois não satisfariam às condições de quantização para o momentum angular. Se m 0, situa-se em algum lugar deste disco sobre o plano xy. A órbita clássica associada ao elétron estaria em um plano vertical. 

EXEMPLO 42.2O

ângulo do vetor momentum angular

Qual é o ângulo entre e o eixo z para um átomo de hidrogênio no estado estacionário ( n, l, m)  (4,2,1)? RESOLUÇÃO O ângulo 21 e m  1; logo,

está indicado na Figura 42.3. O estado (4,2,1) corresponde a l  2

FIGURA 42.3As cinco orientações possíveis

do vetor momentum angular para l  2. Todos os vetores momentum angular possuem comprimento

AVALIAÇÃO Este

estado quântico corresponde a uma órbita clássica inclinada em 65,9° em relação ao plano xy.

 l  0, não possui NOTA O estado fundamental do hidrogênio, correspondente um momentum angular. Uma partícula clássica não pode estar ema órbita sem possuir

algum momentum angular, no entanto uma partícula quântica aparentemente não sofre essa restrição. Examinaremos este assunto na próxima seção. 

Os níveis de energia do átomo de hidrogênio A energia do átomo de hidrogênio é quantizada. Somente aqueles valores de energia dados pela Equação 42.2 permitem que a função de onda satisfaça às condições de contorno. As energias permitidas para o hidrogênio dependem apenas do número quântico principal n, mas para os outros átomos elas dependem tanto de n quanto de l. Antecipando o uso de ambos os números quânticos, a FIGURA 42.4mostra um diagrama dos níveis de energia do átomo de hidrogênio, em que as linhas são caracterizadas por n, e as colunas, por l. A coluna da esquerda contém todos os estados s, correspondentes a l  0; a coluna seguinte, os estados p, correspondentes a l  1; e assim sucessivamente. Uma vez que a condição quântica dada pela Equação 42.3 requer que n  l, os estados s começam com n  1, os estados p com n  2 e os estados d com n  3, ou seja, o estado d com nível de energia mais baixo é 3d, pois l  2 não é permitido para os estados correspondentes a n  1 ou n  2. No caso do hidrogênio, onde os níveis de energia não dependem de l, o diagrama de níveis de energia mostra que os estados 3s, 3p e 3d possuemcada a mesma 42.4 apresenta níveis de energia para valor energia. de l, masAháFigura um número infinito desomente níveis, os n→primeiros , aglomerados abaixo de E  0. A linha pontilhada em E  0 representa o limite de ionização do átomo, a energia de um átomo de hidrogênio do qual um elétron foi infinitamente afastado para formar um íon H . O estado mais baixo de energia, o estado 1 s, com E1  – 13,60 eV, é o estado fundamental do hidrogênio. O valor E1  13,60 eV é a energia de ionização, a mínima energia necessária para se formar um íon hidrogênio, removendo-se o elétron que estava no estado fundamental. Todos os estados correspondentes a n > 1 são estados excitados. 

Número quântico l Símbolo Limite de ionização , , ,

Estado fundamental , FIGURA 42.4Diagrama dos níveis de

energia do átomo de hidrogênio.

1304


PARE E PENSE 42.1

Quais são os números quânticos n e l para um átomo de hidrogênio com

42.2 O átomo de hidrogênio: funções de onda e probabilidades Você aprendeu no Capitulo 41 que a probabilidade de encontrar uma partícula em um pequeno intervalo de largura x centrado na posição x é dada por Prob(com x centrado em x)   (x)2 x  P(x) x onde P(x)(x)2 é a densidade de probabilidade. Essa interpretação de  (x)2 como uma densidade de probabilidade reside no âmago da mecânica quântica. Contudo, P(x) foi determinada no caso de uma função de onda unidimensional. Uma vez que, agora, estamos lidando com um átomo tridimensional, temos de considerar a probabilidade de encontrar uma partícula em um volume de espaço pequeno, V, centrado na posição descrita pelas três coordenadas (x, y, z). Essa probabilidade é dada por Prob(com V centrado em x, y, z)   (x, y, z)2 V A cor avermelhada desta nebulosa se deve à emissão de luz pelos átomos de hidrogênio. Excitados pela intensa luz ultravioleta oriunda da estrela ao centro, os átomos emitem luz vermelha (  656 nm) gerada na transição 3 → 2, a qual faz parte das linhas espectrais da série de Balmer emitidas pelo hidrogênio.

(42.6)

Ainda podemos interpretar  (x, y, z)2 como uma densidade de probabilidade. Na mecânica quântica unidimensional, poderíamos simplesmente representar P(x) versus x em um gráfico. Já representar a densidade de probabilidade de uma função de onda tridimensional é um desafio bem maior. Uma das maneiras, apresentada na FIGURA 42.5, é usar sombras mais intensas para indicar as regiões onde é maior a densidade de probabilidade, ou seja, nas regiões onde o sombreamento é mais escuro, a amplitude de  é maior e é mais provável que os elétrons sejam encontrados. A figura mostra as densidades de probabilidade dos estados do hidrogênio 1 s, 2s e 2p. Como você pode perceber, a densidade de probabilidade em três dimensões cria o que geralmente chamamos de nuvem eletrônica em torno do núcleo. Um elétronprobabilino estado 1s tem maior dade de ser encontrado na srcem.

Um elétron no de estado 2s tem maior probabilidade ser encontrado tanto na srcem quanto em uma camada esférica que a circunda.

A probabilidade encontrar elétrons algumas p é maiordeem direções do que em outras.

FIGURA 42.5As densidades de probabilidade de um elétron nos estados 1s, 2s e 2p do

hidrogênio.

Essas figuras contêm muita informação. Note, por exemplo, como os elétrons p possuem propriedades direcionais. Essas propriedades direcionais permitem que os elétrons p “alcancem” átomos vizinhos, formando com eles ligações moleculares. A mecânica quântica além de nosso objetivo neste livro, mas as figuras das nuvens eletrônicasdas dosligações elétronsestá p revelam indícios de como podem ser formadas as ligações atômicas.

Funções de onda radiais Representações como as da Figura 42.5 nos permitem “visualizar” as nuvens de elétrons; contudo, são difíceis de ser utilizadas. Geralmente, o que desejamos saber é, simplesmente, a probabilidade de encontrar um elétron a certa distância do núcleo. Isto é, qual é a probabilidade de localizar um elétron em um pequeno intervalo de distâncias r com centro a uma distância r?

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1305

Felizmente, as soluções da equação tridimensional de Schrödinger podem ser escritas de forma a priorizar a distância radial r entre o elétron e o próton. A porção da função de onda que depende somente de r é chamada de função de onda radial. Essas funções, que dependem dos números quânticos n e l, são designadas por Rnl(r). As três primeiras funções de onda radiais são

(42.7)

onde aB é o raio de Bohr. As funções de onda radiais podem parecer misteriosas, pois ainda não mostramos de onde surgem, mas, essencialmente, elas são equivalentes às funções de onda unidimensionais  (x) que você encontrou no Capítulo 41. Na verdade, essas funções de onda radiais são matematicamente similares às funções de onda unidimensionais do oscilador harmônico simples. Uma diferença importante, contudo, é que r varia desde 0 até . Para funções de onda unidimensionais, x varia desde – até . A FIGURA 42.6representa as funções de onda radiais para os estados 1 s e 2s. Observe que a função de onda radial não se anula em r  0, a posição do núcleo. Isso talvez o surpreenda, mas é consistente com o que se pode observar na Figura 42.5, onde os elétrons 1s e 2s apresentam grande probabilidade de serem encontrados na srcem. Podemos entender um pouco mais as funções de onda do estado s considerando o momentum angular. Uma partícula clássica, para a qual L  mvr, só pode assumir o valor L  0 se o raio de sua órbita reduzir-se a zero. Isso é impossível para uma partícula clássica, mas o momentum angular zero é possível para partículas quânticas, pois o princípio da incerteza implica que uma partícula quântica não esteja localizada em um único ponto. As funções de onda do estado s da Figura 42.6, com seus valores máximos em r  0, são análogos quânticos de uma partícula clássica em órbita com r  0. Nosso objetivo ao introduzirmos as funções de onda radiais foi determinar a probabilidade de encontrar o elétron a uma dada distância do núcleo. A FIGURA 42.7mostra uma camada esférica de raio r e espessura r centrada no núcleo. A probabilidade de encontrar o elétron a uma distância r do núcleo é equivalente à probabilidade de o elétron estar localizado em algum lugar desta camada. O volume de uma camada esférica fina é a área de sua superfície multiplicada por sua espessura r. A área da superfície de uma esfera é 4r2; logo, o volume dessa camada fina é 2

V  4 r r

Função de onda radial 1s Função de onda radial 2s

FIGURA 42.6As funções de onda radiais 1s

e 2s do hidrogênio.

Área da superfície 4r2

Espessura r

(42.8)

Podemos afirmar, mesmo sem provas, que a probabilidade de encontramos um elétron nesta camada esférica é Prob(com r centrado em r)  Rnl(r)2V  4 r2Rnl(r)2 r  Pr(r)r

(42.9)

onde

FIGURA 42.7A densidade de probabilidade 2

Pr(r)  4 r Rnl(r) 2

(42.10)

é denominada densidade de probabilidade radial para o estado nl. A densidade de probabilidade radial determina a probabilidade relativa de encontrar um elétron a uma distancia r do núcleo. O fator volumétrico 4r2 reflete o fato de que há mais espaço em uma camada com r maior e de que este espaço adicional aumenta a probabilidade de encontrar um elétron a essa distância. A probabilidade de encontrar um elétron entre rmin e rmax é (42.11)

radial fornece a probabilidade de encontrar o elétron em uma camada esférica de espessura r e raio r.

1306


, , ,

, , ,

, ,, FIGURA 42.8As densidades de

probabilidade radial para n  1, 2 e 3. A órbita circular possui o maior momentum angular. O elétron mantém-se a uma distância constante do núcleo. Ambas as órbitas têm a mesma energia total E.

O elétron deve estar em algum lugar entre r  0 e r  ; logo, a integral de Pr(r) entre 0 e  deve ser igual a 1. Esta condição de normalização foi usada para determinar as constantes que antecedem as exponenciais das funções de onda radiais dadas pelas Equações 42.7. A FIGURA 42.8mostra as densidades de probabilidade radiais para os estados n  1, 2 e 3 do átomo de hidrogênio. Os gráficos foram elaborados em uma mesma escala para que você possa compará-los uns com os outros. A escala horizontal está em unidades de raio de Bohr aB. Note que os estados 1s, 2p e 3 d, com máximos em aB, 4aB e 9 aB, respectivamente, seguem o padrão rpico  n2aB. Estas distâncias são exatamente os raios das órbitas do modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. Nós simplesmente ajustamos uma onda unidimensional de de Broglie a um círculo com este raio. Obtemos, então, uma função de onda tridimensional para a qual o elétron tem maior probabilidade de estar a esta distância do núcleo, embora possa ser localizado em outros valores de r. A situação física é muito diferente na mecânica quântica, mas é importante que percebamos que vários aspectos do átomo de Bohr podem ser reproduzidos. Por que é justamente o estado 3d que concorda com o átomo de Bohr, e não, os estados 3s ou 3 p? Todos os estados correspondentes a um mesmo valor de n formam um conjunto de “órbitas” de mesma energia. Na FIGURA 42.9, o estado l  n – 1 tem o maior momentum angular do grupo. Conseqüentemente, o estado com l máximo corresponde a uma órbita clássica circular e coincide com as órbitas circulares do átomo de Bohr. Note que as densidades de probabilidade radial para os estados 2 p e 3 d possuem um único pico, que corresponde a uma órbita clássica a uma distância constante. Estados de menor l correspondem a órbitas elípticas. Observando a Figura 42.8 é possível perceber que a densidade de probabilidade radial de um elétron 3 s tem um pico próximo ao núcleo. O elétron 3s também tem boa chance de ser encontrado mais distante do núcleo do que um elétron 3 d. Isso sugere a existência de uma órbita que alterna entre uma posição mais próxima do núcleo e outra mais distante, mantendo a mesma energia. Esta distinção entre órbitas circulares e elípticas vai ser importante quando discutirmos os níveis de energia de átomos multieletrônicos.  Na mecânica quântica, nada está realmente em órbita. Contudo, as densidades de probabilidade para o elétron estar ou não estar a uma dada distância do núcleo imitam certos aspectos das órbitas clássicas e fornecem analogias úteis. 

NOTA Em comparação à órbita circular, a órbita elíptica possui menor momentum angular. O elétron tanto se afasta quanto se aproxima do núcleo. FIGURA 42.9Órbitas circulares têm maior

momentum angular.

Observando a Figura 42.8, você pode notar que a distância mais provável entre um elétron n  1 e o núcleo é, aproximadamente, aB. A distância mais provável para encontrar um elétron n  2 está entre 3 a B e 7 a B. Um elétron n  3 tem mais chance de ser encontrado entre, aproximadamente, 8 aB e 15 aB. Em outras palavras, as densidades de probabilidade radiais fornecem a impressão clara de que a cada valor de n está associado um intervalo bem-definido de raios onde há maior probabilidade de um elétron ser encontrado. Esta é a base do modelo de camadas do átomo usado na química. Contudo, resta uma questão intrigante. Na Figura 42.5, a esfera difusa que representa o estado fundamental 1s é mais densa no centro, onde há maior probabilidade de o elétron ser encontrado. Esta densidade máxima em r  0 concorda com a função de onda radial 1s da Figura 42.6, com máximo em r  0, mas parece não concordar em nada com o gráfico de 1s da Figura 42.8, que possui valor zero no núcleo e mostra um pico em r  aB. A resolução desse quebra-cabeça requer que façamos a distinção entre a densidade 2 de probabilidade  (x, y, z) e a densidade de probabilidade radial Pr(r). A função de onda 1s e, portanto, a densidade de probabilidade 1s, realmente tem um pico no núcleo. 2 Mas (x, y, z) é a probabilidade de o elétron ser localizado em um pequeno volume V, como uma pequena caixa com ladosx, y e z, enquanto Pr(r) é a probabilidade de 2 o elétron umaem camada esférica dequalquer espessura r. Acorrespondente densidade de probabilidade r  0 do (x, y, zestar ) é em menor que em ponto ar  aB. Mas  o volume conjunto detodos os pontos com r ≅ aB (i.e., o volume da camada esférica em

r  aB) é tão grande que a densidade de probabilidade radial Pr possui um máximo a essa distância.

Para usar uma analogia mecânica, considere uma bola difusa e mais densa no centro. Apesar de a densidade decrescer a partir do centro, uma camada esférica com raio r pode ter mais massa que uma camada um pouco mais interna e de mesma espessura simplesmente porque a mais externa possui maior volume.

CAPÍTULO 42

EXEMPLO 42.3Probabilidade

máxima

■

Física Atômica

1307

O valor mais provável de r ocorre no ponto onde a derivada de

Mostre que um elétron no estado 2p tem maior probabilidade de ser encontrado em r  4aB. RESOLUÇÃO Podemos usar a função de onda radial 2 p da Equação 42.7 para escrever a densidade de probabilidade radial,

onde C  (24aB5)– 1 é uma constante. Essa expressão para Pr(r) é representada no gráfico da Figura 42.8.

Pr(r) é nula:

Essa expressão será nula somente se r  4 aB; logo, Pr(r) é máximo em r  4aB. Um elétron no estado 2p é mais provável de ser encontrado a essa distância do núcleo.

PARE E PENSE 42.2 Quantos máximos há no gráfico da densidade de probabilidade radial para o estado 4s do hidrogênio?

Um elétron em órbita equivale a uma corrente circular.

42.3 O spin do elétron Recapitulando o que vimos no Capitulo 33, você deve estar lembrado de que um elétron em órbita ao redor de um núcleo gera um momento magnético A FIGURA 42.10serve para você recordar que o momento magnético, tal qual a agulha de uma bússola, possui pólos norte e sul. Conseqüentemente, em um campo magnético externo um momento magnético experimentará forças e torques. No início da década de 1920, os físicos alemães Otto Stern e Walter Gerlach desenvolveram uma técnica para medir os momentos magnéticos dos átomos. O aparato utilizado, ilustrado na FIGURA 42.11, prepara um feixe atômico ao evaporar átomos através de um orifício de um “forno”. Esses átomos, deslocando-se no vácuo, atravessam um campo magnético não-uniforme . O campo é mais forte na parte de cima do ímã e mais fraco na de baixo. Placa coletora

Uma corrente circular gera um momento magnético com pólos magnéticos norte e sul. FIGURA 42.10Um elétron em órbita gera

um momento magnético.

Átomos com pólos norte para cima são desviados para cima.

Ímã

Colimador Aumento de B Forno

Um feixe atômico colimado atravessa um campo magnético não-uniforme. Átomos com pólos sul para cima são desviados para baixo. FIGURA 42.11O experimento de Stern-Gerlach.

Todo momentum magnético experimenta uma força resultante não-nula em presença de um campo magnético não-uniforme, pois o campo exerce forças de diferentes intensidades sobre os pólos norte e sul do momentum. Um átomo cujo vetor momentum magnético seja inclinado para cima experimenta, em seu pólo norte, uma força orientada para cima que é maior do que a força orientada para baixo sobre seu pólo sul. Conforme ilustra a figura, o átomo é desviado para cima ao passar pelo ímã. Um

1308

Física: Uma Abordagem Estratégica Placa coletora

Sem campo magnético: não ocorre deflexão; todos os átomos atingem o centro.

Átomos clássicos: Lz assume valores em um intervalo contínuo; logo, há uma gama contínua de desvios.

Átomos quânticos com l 1: há três valores possíveis de Lz e, conseqüentemente, três grupos de átomos. 

FIGURA 42.12Distribuição de átomos na

placa coletora.

momentum magnético inclinado para baixo experimenta uma força resultante orientada para baixo, sentido em que é desviado. Um momentum magnético perpendicular ao campo não experimenta qualquer força resultante e passa pelo ímã sem sofrer desvio. Em resumo, o desvio de um átomo ao passar pelo ímã é proporcional a o componente z de seu momentum magnético. Não é difícil demonstrar, embora não apresentemos a prova, que o momento magnético de um átomo de hidrogênio é proporcional ao momentum angular orbital de seu elétron, Uma vez que o desvio de um átomo depende de z, medir os desvios produzidos em um campo não-uniforme fornece informações a respeito dos valores de Lz dos átomos que formam o feixe atômico. Os átomos são coletados em uma placa posicionada na extremidade final do aparato, e, dessa forma, se realizam as medições. Após o experimento prosseguir por muitas horas, a placa coletora é removida e examinada para que se saiba como os átomos foram desviados. Com o ímã desligado, os átomos passam sem sofrer desvios e se concentram no centro da placa, formando uma linha estreita, conforme ilustrado na FIGURA 42.12a. Se os elétrons em órbita fossem partículas clássicas, eles deveriam mostrar um espectro contínuo de momentum angular. Com o ímã ligado, esperaríamos observar uma série contínua de desvios verticais, como ilustra a FIGURA 42.12b. Porém se o momentum angular é quantizad o, como Bohr sugerira anos antes, os átomos serão defletidos para posições discretas da placa coletora. Por exemplo, um átomo no estado l  1 possui três valores distintos de Lz, correspondentes aos números quânticos m  –1, 0, 1, o que leva à previsão de três grupos distintos de átomos na tela, como mostrado na FIGURA 42.12c. Deve sempre existir um número ímpar de grupos, pois existem 2 l  1 valores de Lz. Em 1927, com o advento da nova teoria quântica de Schrödinger, a técnica de SternGerlach foi usada para medir o momentum magnético dos átomos de hidrogênio. O estado fundamental do hidrogênio é o 1s, com l  0; portanto, os átomos não deveriam possuir momenta magnéticos e não deveriam sofrer quaisquer desvios. Contrariamente ao esperado, o experimento produziu a distribuição bimodal mostrada na FIGURA 42.13. Como os átomos de hidrogênio eram desviados, eles deveriam possuir um momentum magnético. Contudo, qual é a srcem desse momentum se l  0? Ainda mais estranho era o aparecimento de dois grupos, ao invés de um número ímpar deles. A deflexão 

Centro da placa

FIGURA 42.13O resultado do experimento

de Stern-Gerlach para átomos de hidrogênio.

m varia é proporcional a Lz, e , onde emse intervalosdeinteiros desde – l até ldois . Os resultados experimentais fariam sentido apenas modo que m assumiria valores possíveis, e Na teoria de Shrödinger, porém, os números quânticos l e m devem ser inteiros. Logo foi sugerida uma explicação para tais observações, que foi confirmada: o elétron possui um momentum magnético intrínseco. O elétron já possuía uma característica gravitacional intrínseca, sua massa me, e uma característica elétrica intrínseca, sua carga qe  e. Tais características definem apenas parcialmente o que é o elétron. Portanto, é plausível que um elétron também possua uma característica magnética intrínseca, descrita por um momentum magnético intrínseco Um elétron clássico, considerado como uma pequena bola carregada, poderia girar em torno de seu próprio eixo enquanto orbita o núcleo. Essa bola de carga giratória teria um momentum magnético associado ao seu momentum angular. O momentum magnético intrínseco do elétron é a causa do desvio anômalo observado no experimento de Stern-Gerlach. Se um elétron possui um momentum magnético intrínseco, ele deve possuir também um momentum angular intrínseco. Tal momentum angular é chamado de spin do elétron e é denotado por O resultado do experimento de Stern-Gerlach revela que o componente z do momentum angular de spin é

(42.12) A grandeza ms é chamada de número quântico de spin. O componente z do vetor momentum angular de spin é determinado pela orientação do elétron. O estado , com , é chamado de estado de spin up (para cima), e o estado é chamado de spin down (para baixo). É conveniente visualizar um pequeno vetor de momentum angular que possa ser desenhado como para um estado , e como para um estado . Usaremos essa notação na próxima

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1309

seção. Uma vez que o elétron possui spin up ou spin down, o átomo de hidrogênio no experimento de Stern-Gerlach será defletido para cima ou para baixo, respectivamente, dando srcem aos dois grupos de átomos vistos na Figura 42.13. Nenhum átomo possui , portanto não existem átomos no centro (que não foram desviados).  O átomo possui um momentum angular de spin além do momentum angular orbital que seus elétrons possuem. Apenas nos estados s, para os quais l  0, é que podemos observar os efeitos ”puros” devido ao spin. 

NOTA

O momentum angular de spin S satisfaz a uma equação análoga à Equação 42.3 para L. (42.13) onde sé um número quântico com valor único . S representa o momentum angular intrínseco do elétron. Devido ao valor único de s, os físicos normalmente dizem que o elétron possui “spin um meio”. A FIGURA 42.14, que deve ser comparada à Figura 42.3, mostra que os termos “spin up” e “spin down” se referem a Sz, e não, ao momentum angular de spin total. Analogamente a não pode apontar na direção do eixo z.  O termo “spin” deve ser usado com cautela. Embora uma partícula clássica carregada possa gerar um momentum magnético ao girar, o elétron definitivamente não é uma partícula clássica. Ele não gira em nenhuma das acepções do termo. Simplesmente ele possui um momentum magnético intrínseco, da mesma forma como possui uma carga e uma massa intrínsecas. Tal momentum magnético faz com que o elétron pareça girar. Trata-se de uma figura de linguagem conveniente, mas não de um fato real. O elétron possui um spin, mas não gira. 

Para um estado spin up, situa-se em algum lugar da superfície deste cone.

NOTA

O spin do elétron possui outras implicações importantes para a estrutura atômica. As soluções da equação de Schrödinger podem ser descritas por três números quânticos n, l e m, todavia o experimento de Stern-Gerlach sugere que essa não é a descrição completa de um átomo. Saber que um átomo no estado fundamental possui números quânticos n  1, l  0 e m  0 não é suficiente para prever o desvio que ele sofrerá, para cima ou quântico para baixo, emmum campo magnético não-uniforme. Precisamos adicionar o número spin, s, para completar a descrição. (Rigorosamente, deveríamos também adicionar o número quântico s, mas este não traz nenhuma informação adicional, uma vez que seu valor é sempre o mesmo.) Assim, necessitamos apenas de quatro números quânticos (n, l, m, ms) para caracterizar os estados estacionários de um átomo. A orientação do spin não afeta a energia do átomo; logo um elétron no estado fundamental de um átomo de hidrogênio pode estar tanto no estado spin up como no estado spin down . O fato de ster um valor único tem implicações interessantes. O princípio da correspondência significa que uma partícula quântica começa a “se comportar” de forma clássica no limite de números quânticos grandes. Porém s não pode se tornar grande! O spin do elétron é uma propriedade quântica intrínseca dele, sem análogo clássico.

PARE E PENSE 42.3 O vetor momentum angular de spin pode estar situado no plano xy? Em caso positivo ou negativo, explique.

42.4 Átomos multieletrônicos A solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio concorda com a evidência experimental, mas o mesmo ocorria também com o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. O verdadeiro teste para a teoria de Schrödinger reside na descrição de átomos com muitos elétrons. Um átomo multieletrônico neutro consiste de Z elétrons ao redor de um núcleo dotado de Z prótons e carga Ze. O número atômico Z representa a ordem na qual os elementos estão listados na tabela periódica. O hidrogênio corresponde a Z  1, o hélio a Z  2, o lítio a Z  3, etc.

O módulo de é

Para um estado spin down, situa-se em algum lugar da superfície deste cone. FIGURA 42.14O momentum angular de

spin possui duas orientações possíveis.

1310


A função energia potencial de um átomo multieletrônico srcina-se da interação de Z elétrons com o núcleo e dos Z elétrons entre si. A interação elétron-elétron torna a

descrição da estrutura atômica um problema mais complexo que seu equivalente para o sistema solar, contribuindo para a derrocada do modelo de Bohr. Os planetas do sistema solar exercem forças gravitacionais mútuas, mas como suas massas são muito menores do que a massa do Sol, as forças entre os planetas são insignificantes, exceto no caso dos cálculos mais precisos. O mesmo não ocorre com os átomos. A carga do elétron é igual à de um próton, portanto a repulsão elétron-elétron é tão importante para a estrutura atômica quanto a atração elétron-próton. O valor da energia potencial oriunda das interações elétron-elétron flutua rapidamente enquanto os elétrons se movem e variam as distâncias entre eles. Em vez de estudarmos essa interação detalhadamente, podemos considerar que cada elétron se move em presença de um potencial médio gerado por todos os outros elétrons, ou seja, o elétron i possui energia potencial

Limite de ionização

ia rg e n e e d to n e m u A

(42.14) onde o primeiro termo representa a interação do elétron com os Z prótons do núcleo, e Uelet a energia potencial média associada a todos os outros elétrons. Uma vez que cada

Átomo multieletrônico

Hidrogênio

FIGURA 42.15Diagrama de níveis de

energia para elétrons em um átomo multieletrônico. Um elétron com alto valor de l corresponde a uma órbita circular. Ele permanece fora do “caroço” formado pelos elétrons mais internos e sente uma carga líquida igual a +e, comportando-se, portanto, como um elétron de um átomo de hidrogênio. Elétrons internos

Estado com alto valor de l Um elétron com baixo valor de l corresponde a uma órbita elíptica. Ele penetra o “caroço” formado pelos elétrons mais internos e interage fortemente com o núcleo. A força elétronnúcleo é atrativa, o que reduz a energia do elétron.

Estado com baixo valor de l

FIGURA 42.16Orbitais com alto e baixo

valor de l em um átomo multieletrônico.

elétron é considerado independentemente dos outros, essa abordagem é denominada de aproximação de partícula independente (IPA, do inglêsindependent particle approximation). Essa aproximação permite que a equação de Schrödinger seja transformada em Z equações separadas, uma para cada elétron. A consequência mais importante da IPA é que cada elétron pode ser descrito por uma função de onda com os mesmos quatro números quânticos n, l, m, m s usados para descrever o único elétron do átomo de hidrogênio . Ainda podemos utilizar apenas n e l para caracterizar o elétron, semelhantemente ao que utilizávamos para o hidrogênio, pois os números quânticos m e ms não afetam a energia do elétron. Uma grande diferença na descrição da energia dos elétrons em um átomo multieletrônico é que ela depende de n e de l. Enquanto os estados 2 s e 2p do hidrogênio possuem a mesma energia, elas serão diferentes no caso de um átomo multieletrônico. A diferença advém da interação elétron-elétron, que inexiste no caso do átomo de hidrogênio A queFIGURA possui42.15 apenas um um elétron. mostra diagrama de níveis de energia para os elétrons de um átomo multieletrônico. As energias do átomo de hidrogênio são mostradas à direita da figura. A comparação é bastante interessante. Os estados de um átomo multieletrônico que correspondem a baixos valores de l possuem energias significativamente mais baixas do que aquelas dos estados correspondentes do hidrogênio. Para cada valor de n, a energia aumenta até o estado de máximo l, que possui energia muito próxima daquela de um estado com mesmo n do hidrogênio. É possível compreender este padrão? Sim, podemos. Lembre-se de que os estados com baixo valor de l correspondem a órbitas elípticas clássicas, e aqueles com valores altos de l, a órbitas circulares. À exceção dos menores valores de n, um elétron em uma órbita circular passa a maior parte de seu tempo fora da nuvem formada pelos elétrons restantes. Isso é ilustrado pela FIGURA 42.16. O elétron externo orbita um “caroço” com carga constituída pela carga de Z prótons e de (Z – 1) elétrons, uma região com carga líquida qliq  e. Dessa maneira, o elétron externo “sente” como se estivesse orbitando um próton. Em um estado de máximo valor de l, um elétron é praticamente indistinguível de um elétron em um átomo de hidrogênio; sua energia é muito próxima daquela correspondente no caso do hidrogênio. Os estados de baixos valores del correspondem a órbitas elípticas. Um elétron com baixo valor de l penetra a nuvem e se aproxima do núcleo, não mais blindado pelos outros elétrons. A interação entre esse elétron com os Z prótons do núcleo é muito mais forte do que a interação que ele sentiria no caso de um núcleo de hidrogênio com um único próton. Essa interação reduz sua energia em comparação com o estado correspondente do hidrogênio. Conforme observamos anteriormente, um elétron quântico, de fato, não se encontra em uma órbita. Contudo a densidade de probabilidade associada a um elétron 3s possui picos internos que não estão presentes na densidade de probabilidade de um elétron 3d, conforme podemos notar na Figura 42.8. Portanto, um elétron com baixo valor de l realmente possui maior chance de ser encontrado a pequenas distâncias r do núcleo, onde a interação com Z prótons é forte, enquanto elétrons com alto valor de l são encontrados mais freqüentemente a distâncias maiores do núcleo.

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1311

O princípio de exclusão de Pauli Por definição, o estado fundamental de um sistema quântico é o estado de energia mais baixa. Qual é o estado fundamental de um átomo com Z elétrons e Z prótons? O estado 1s é o de menor energia na aproximação de partícula independente; esperar-se-ia que o estado fundamental correspondesse a todos os Z elétrons no estado 1s. Contudo, essa idéia não é consistente com a evidência experimental. Em 1925, o jovem físico austríaco Wolfgang Pauli formulou a hipótese de que dois elétrons de um sistema quântico não podem ocupar um mesmo estado quântico. Em outras palavras, não pode haver dois elétrons com o mesmo conjunto de números quânticos (n, l, m, m s). Se um elétron ocupa um dado estado, ele exclui todos os outros de estar nesse estado. Tal enunciado, chamado de princípio da exclusão de Pauli , mostrou-se uma verdade extremamente profunda acerca da natureza da

Estado fundamental do He As linhas horizontais representam as energias permitidas. Cada círculo representa um elétron naquele nível de energia. Estado excitado do He

A flecha indica se o

elétron possui spin da exclusão não se aplica ao hidrogênio, que possui um único elétron. up ou spin No caso do hélio, porém, temos de garantir que os dois elétrons estejam em estados down quânticos diferentes. Isso não é difícil. Para um estado 1 s, correspondente a l  0, o único valor possível para o número quântico magnético é m  0. Porém, há dois possíveis valores para ms, 1/2 e 1/2. Se um primeiro elétron estiver no estado 1s de spin up FIGURA 42.17O estado fundamental e o (1, 0, 0, 1/2), um segundo elétron 1 s pode ser adicionado ao átomo, desde que esteja primeiro estado excitado do hélio. no estado de spin down (1, 0, 0, 1/2). Isso é mostrado esquematicamente na FIGURA 42.17a, em que os pontos representam elétrons nos degraus da “escada energética” e as flechas representam estados de spin up ou spin down. O princípio da exclusão de Pauli não impede que os dois elétrons do hélio ocupem o mesmo estado 1s, desde que possuam valores opostos de ms, de modo que podemos deduzir que este seja o estado fundamental. Uma lista com os estados energéticos ocupados de um átomo é denominada configuração eletrônica. A configuração eletrônica do estado fundamental do hélio é escrita como 1 s2, onde o sobrescrito 2 indica a existência Estado fundamental do Li de dois elétrons no nível de energia 1 s. Um estado excitado do átomo de hélio pode possuir a configuração eletrônica 1s2s. Tal estado é ilustrado na FIGURA 42.17b. Neste caso, como os dois elétrons possuem valores diferentes de n, não há restrições sobre os valores de ms.

matéria. O princípio

Os estados (1, 0, 0, 1/2) e (1, 0, 0, 1/2) são os únicos dois estados com n  1. O estado fundamental do hélio possui um elétron em cada um desses estados, de onde concluímos que todos os estados correspondentes a n  1 estão ocupados. 2 Conseqüentemente, a configuração eletrônica 1 s é chamada de camada fechada . Uma vez que os momentos magnéticos dos dois elétrons possuem sentidos opostos, podemos concluir que o hélio não possui momento magnético líquido e que não será defletido pelo aparelho de Stern-Gerlach. Essa previsão, de fato, é confirmada experimentalmente. O próximo elemento, o lítio, possui Z  3 elétrons.Os dois primeiros podem ocupar os estados 1 s, com valores opostos de ms, mas e quanto ao terceiro elétron? A ca2 mada 1s está fechada, e não há estados quânticos adicionais correspondentes a n  1. A única opção para o terceiro elétron é o próximo nível de energia, correspondente a n  2. Os estados 2 s e 2 p possuem a mesma energia no átomo de hidrogênio, mas não em um átomo multieletrônico. Conforme a Figura 42.15, um estado de mais baixo valor de l possui energia menor do que um estado de alto valor de l e mesmo n. O estado 2s do lítio possui energia menor do que o estado 2 p, portanto o terceiro elétron do estado fundamental do lítio ocupará o estado 2 s. Isso requer que l  0 e m  0 para o terceiro elétron, mas o valor de ms não é relevante porque há somente um elétron em 2s. A FIGURA 42.18amostra a configuração eletrônica com o elétron 2s com spin up, mas ele poderia muito bem estar com spin down. A configuração eletrônica do estado fun2 damental do lítio é escrita como 1 s 2s. Ela indica a presença de dois elétrons 1 s e de um único elétron 2s.

A FIGURA 42.19arepresenta as densidades de probabilidade de elétrons no estado fundamental 1s22s do lítio. Observe a camada 2 s ao redor do caroço mais interno 1 s2. Para fins de comparação, a FIGURA 42.19bmostra o primeiro estado excitado do lítio, no qual o elétron 2s foi excitado para o nível de energia 2p. Isso gera a configuração eletrônica 1s22p, também mostrada na FIGURA 42.18b.

Estado excitado do Li

FIGURA 42.18O estado fundamental e o

primeiro estado excitado do lítio. Estado fundamental do Li 1s22s

Estado excitado do Li 1s22p

Caroço central formado por dois elétrons 1s

FIGURA 42.19Nuvens eletrônicas

correspondentes às configurações eletrônicas 1s22s e 1s22p do lítio.

1312


A equação de Schrödinger prediz de forma precisa as energias das configurações1s22s e 1s22p do lítio, mas não fornece informação sobre quais estados os elétrons ocupam de fato. O spin do elétron e o princípio da exclusão de Pauli são as peças finais do quebracabeça. Incorporados à teoria de Schrödinger, a fase inicial da mecânica quântica estava completa. Os físicos finalmente possuíam uma teoria bem-sucedida sobre a estrutura atômica.

42.5 A tabela periódica dos elementos Durante o século XIX, cientistas descobriam novos elementos e estudavam suas propriedades químicas. Na década de 1860, muitos químicos começaram a perceber uma regularidade recorrente nas propriedades químicas dos elementos. Por exemplo, existem semelhanças óbvias entre os metais alcalinos lítio, sódio, potássio e césio. Contudo, tentativas de organização com base nessa regularidade eram frustradas pelo número de elementos que ainda não haviam sido descobertos. O químico russo Dimitri Mendeléev foi o primeiro a propor, em 1867, uma organização periódica dos elementos. Ele o fez apontando para “vazios” onde existiriam, de acordo com sua hipótese, elementos ainda por serem descobertos. Ele pôde, assim, prever as propriedades esperadas dos elementos que ainda seriam descobertos. A subseqüente descoberta desses elementos validou o esquema organizacional de Mendeléev, esquema que mais tarde tornou-se conhecido como a tabela periódica dos elementos. A FIGURA 42.20representa a tabela periódica moderna. Uma versão maior encontrase no Apêndice B. A importância da tabela periódica em física advém da indicação que ela traz de uma regularidade ou periodicidade intrínseco à estrutura dos átomos. Qualquer teoria atômica bem-sucedida deve explicar a regularidade encontrada na tabela periódica.

Período

Elementos de transição

Lantanídeos Actinídeos

Elementos de transição interna

FIGURA 42.20A moderna tabela periódica dos elementos, mostrando o número atômico Z de cada um deles.

CAPÍTULO 42

Física Atômica

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1313

As primeiras duas linhas A mecânica quântica explica a estrutura da tabela periódica. Precisamos de três idéias básicas para sua compreensão:

1. Os níveis de energia de um átomo são determinados resolvendo-se a equação de Schrödinger para átomos multieletrônicos. A Figura 42.15, muito importante para se compreender a tabela periódica, mostrou que a energia depende dos números quânticos n e l. 2. Para cada valor l do número quântico orbital, existem 2l1 valores possíveis do número quântico magnético m, e para cada um desses, dois estados possíveis do número quântico de spin ms. Portanto, cada nível de energia na Figura 42.15 representa 2(2l  1) estados diferentes. Cada um deles possui a mesma energia. 3. O estado fundamental de um átomo é sua configuração eletrônica de mais baixa energia, consistente com o princípio da exclusão de Pauli. Usamos as idéias na seção anterior para tratar os elementos hélio ( Z  2) e lítio (Z  3). O berílio, com quatro elétrons, é o nosso próximo alvo. Seus dois primeiros elétrons ocupam os estados 1s, formando uma camada fechada, e o terceiro ocupa o 2 s. Há espaço no 2s para um quarto elétron desde de que seu spin seja oposto ao do primeiro elétron 2s. Portanto o terceiro e o quarto elétrons ocupam os estados (2, 0, 0, 1/2) e (2, 0, 0, 1/2). Existem apenas dois estados 2s possíveis. Todos os estados com os mesmos valores de n e l são denominados subcamadas; logo, o quarto elétron completa a subcamada 2s. (Diz-se que os dois elétrons externos compõem uma subcamada, pois eles preenchem apenas os estados 2s. Ainda há lugar para os elétrons 2p.) O estado fundamental do berílio, mostrado na FIGURA 42.21, é dado por 1s22s2. Os princípios podem ser aplicados para os outros elementos. Existem 2 l  1 valores de m associados a cada valor de l, e cada um desses pode ter Isso corresponde a 2(2l  1) estados quânticos distintos para cada subcamada nl . A Tabela 42.2 lista o número de estados em cada subcamada. 2

2

O boro (1 s 2s 2p) inaugura a subcamada 2 p. Os estados 2 p que ainda permanecem vagos são preenchidos à medida que avançamos pela segunda linha da tabela periódica. Os elementos da segunda linha são mostrados na FIGURA 42.22. No caso do 2

2

6



s 2s 2pfechada. n possui neônio ), que possui seis elétrons , a camada 2 está completa, outro caso de(1 camada A segunda linha da2 ptabela periódica oito elementos, pois os dois elétrons 2 s mais os seis elétrons 2 p são necessários para preencher a camada n  2.

FIGURA 42.22Preenchendo a subcamada 2p com elementos que vão do boro ao neônio.

Elementos com Z > 10 A terceira linha da tabela periódica é similar à segunda. Os dois estados 3 s são sucessivamenterepresentam preenchidososnodois sódio e no que magnésio. duas colunas à esquerdas. da tabela periódica elétrons podem As preencher uma subcamada A seguir, os seis estados 3 p são preenchidos, um a um, desde o alumínio até o argônio. As seis colunas da direita representam os seis elétrons da subcamada p. O argônio (Z  18, 1s22s22p63s23p6) é outro gás inerte, embora isso surpreenda, uma vez que a subcamada 3d ainda está aberta.

Estado fundamental do Be

FIGURA 42.21O estado fundamental do

berílio.

TABELA 42.2Número de estados em cada

subcamada de um átomo Subcamada

Número de estados

l

s p

0 1

2 6

d f

2 3

10 14

1314


A quarta linha marca o início da complicação na tabela periódica. Você poderia esperar que o fechamento da subcamada 3p no argônio fosse seguida pelo preenchimento sucessivo da subcamada 3d, iniciando pelo potássio (Z  19). Porém, se você observar a Figura 42.15, onde as energias dos diferentes estados nl são mostradas, verá que o estado 3d possui energia ligeiramente superior à do estado 4s. Como o estado fundamental é o estado de menor energia consistente com o princípio da exclusão de Pauli, o potássio preenche o estado 4 s antes de preencher o 3d. Portanto, a configuração do estado fundamental do potássio é 1 s22s22p63s23p64s em vez da configuração 1s22s22p63s23p63d esperada. Podemos notar o inicio da competição entre o aumento de n e o decréscimo de l. As características fortemente elípticas da órbita associada ao estado 4 s levam-na tão próxima ao núcleo que sua energia se torna menor que a do estado 3d, de órbita mais circular. O estado 4p, contudo, inverte essa tendência e faz retornar o padrão “esperado”. Encontramos, portanto E4s  E3d  E4p

de modo que os estados para os elementos da quarta fila são preenchidos nessa ordem: 4s, 3d e, finalmente, 4p. Como não havia qualquer estado d anteriormente, a subcamada 3d “quebra” a tabela periódica para formar um grupo de elementos de transição com 10 elementos de largura. A maioria dos metais é composta por elementos de transição, e suas propriedades metálicas são determinadas pela subcamada d parcialmente preenchida. A subcamada 3d fecha com o zinco, Z  30; os próximos seis elementos preenchem a subcamada 4 p sucessivamente até chegarmos ao criptônio, com Z  36. A complexidade aumenta a partir da sexta fila, mas as idéias envolvidas são semelhantes. A subcamada l  3 (elétrons f) torna-se viável quando n  4, mas os estados 5 s, 5p e 6s ainda possuem energia menor que o 4f. Não é energeticamente favorável adicionar um elétron 4f antes do bário (Z  56), que fecha a subcamada 6s [e do lantânio (Z  57) que adiciona um elétron 5f]. Imediatamente após o lantânio, você deve descer na tabela para chegar aos lantanídeos, que preenchem os estados 4f. A subcamada 4f torna-se completa com o lutécio (Z  71). Do háfnio, Z 72, até o mercúrio, Z  80, completa-se a subcamada 5d dos elementos de transição; segue-se a isso o preenchimento da subcamada 6 p pelos seis últimos elementos da sexta fila, do tálio ao radônio. O radônio, o último gás inerte, tem Z  86 elétrons e configuração eletrônica do estado fundamental dada por 1s22s22p63s23p64s23d104p65s24d105p66s24f145d106p6 Essa expressão assusta, mas já pode ser compreendida! EXEMPLO 42.4O

estado fundamental do arsênio

Preveja a configuração eletrônica do estado fundamental do arsênio. RESOLUÇÃO A tabela periódica mostra que o arsênio possui Z  33, portanto precisamos identificar os estados dos 33 elétrons. O arsênio está na quarta fila, após o primeiro grupo de elementos de transição. Primeiramente, o argônio ( Z  18) completa a subcamada 3 p; depois, o cálcio (Z  20) completa a subcamada 4 s. Os próximos 10 elementos, até o zinco (Z  30), completam a subcamada 3d. A subcamada 4p começa a ser preenchida com o gálio (Z  31); o arsênio é o terceiro elemento dessa seqüência, portanto terá três elétrons 4 p. Com isso, a configuração eletrônica do arsênio resulta em 1s22s22p63s23p64s23d104p3

A tabela periódica inteira é bem-explicada pela mecânica quântica. A FIGURA 42.23 resume os resultados, mostrando as subcamadas à medida que são preenchidas. É importante notar a significância do spin do elétron. Embora a introdução do spin e do momento magnético do elétron tenha parecido uma manobra obscura e desnecessária, descobrimos que o número quântico magnético de spin, ms, é absolutamente essencial para a compreensão da tabela periódica.

CAPÍTULO 42

FIGURA 42.23Resumo da ordem na qual as subcamadas são preenchidas na tabela periódica.

Energias de ionização A energia de ionização é a menor energia necessária para remover um elétron do estado fundamental de um átomo, gerando um íon positivo. A energia de ionização do hidrogênio é de 13,60 eV porque sua energia do estado fundamental é E1  –13,60 eV. AFIGURA 42.24 mostra as energias de ionização dos primeiros 60 elementos da tabela periódica. Energia de ionização (eV)

FIGURA 42.24Energias de ionização dos elementos até Z  60.

A energia de ionização é diferente para cada elemento, mas existe um padrão claro em seus valores. As energias de ionização são de 5 eV para os metais alcalinos, na parte esquerda da tabela periódica, e aumentam gradualmente até 15 eV para os gases inertes, antes de voltar bruscamente aos 5 eV. A teoria quântica consegue explicar esse padrão na energia de ionização? Sim, consegue. Os gases inertes (hélio, neônio, argônio,...) na coluna mais à direita da tabela periódica possuem camadas fechadas. Uma camada fechada é uma estrutura muito estável, razão pela qual esses elementos são quimicamente não-reativos (ou seja, inertes). Precisamos de uma grande quantidade de energia para remover um elétron de uma camada fechada; portanto os gases inertes possuem as energias de ionização mais altas. Os metais alcalinos, na coluna mais à esquerda da tabela periódica, possuem um único elétron s fora de uma camada fechada. Esse elétron é facilmente removido, o que torna esses elementos altamente reativos e com baixas energias de ionização. Entre os extremos da tabela periódica localizam-se elementos como o berílio (1 s22s2), com uma subcamada 2s fechada. Você pode notar, da Figura 42.24, que devido à subcamada fechada, o berílio possui energia de ionização mais alta que aquela de seus vizinhos, o lítio (1s22s) e o boro (1 s22s22p). Porém, a subcamada fechada não é tão fortemente ligada quanto uma camada fechada, portanto a energia de ionização do berílio ainda é muito menor que aquela do hélio ou do neônio. 



■

Física Atômica

1315

1316


Em suma, você pode notar que as idéias básicas de camada e subcamada, que se originam a partir dos níveis de energia da equação de Schrödinger e do princípio da exclusão de Pauli, fornecem uma boa compreensão das características associadas às energias de ionização dos elementos. PARE E PENSE 42.4 A configuração eletrônica 1s22s22p43s corresponde a um estado fundamental ou a um estado excitado?

a. Estado fundamental b. Estado excitado c. Impossível responder sem saber de qual elemento se trata.

42.6 Estados excitados e espectros

Os pontos de luz são emitidos por dois átomos de berílio confinados em um dispositivo denominado armadilha de íons. Cada íon, excitado por radiação ultravioleta invisível, emite cerca de 106 fótons de luz visível por segundo. 18.2

Energia (eV) Limite de ionização 5,14 eV , ,

,

,

,

,

,

, Primeiro estado excitado

,

As energias para cada nível estão em eV. ,

Estado fundamental com E 0 

Níveis 1s, 2s e 2p preenchidos

FIGURA 42.25O estado fundamental

[Ne]3s do átomo de sódio e alguns estados excitados.

A tabela periódica organiza as informações sobre os estados fundamentais dos elementos. Esses estados são os mais importantes quimicamente porque a maioria dos átomos passa a maior parte do tempo no estado fundamental. Idéias como as de valência, ligação, reatividade, entre outras, são conseqüências das estruturas atômicas em seus estados fundamentais. A tabela periódica, porém, nada indica sobre os estados excitados dos átomos. Os estados excitados constituem a peça crucial na compreensão dos espectros atômicos, tópico que abordaremos as seguir. O sódio ( Z  11) é o átomo multieletrônico que utilizaremos como modelo. Sua configuração eletrônica no estado fundamental é dada por 1 s22s22p63s. Os primeiros 10 elétrons preenchem completamente as camadas n  1 e n  2, criando com isso um “ caroço” semelhante ao neônio, enquanto o elétron 3 s é um elétron de valência. Costuma-se representar essa configuração como [Ne]3s, ou, de forma ainda mais simples, 3 s. Os estados excitados do sódio são produzidos elevando-se o elétron de valência a níveis de energias mais altas. Os elétrons do caroço de neônio não são afetados. Dessa maneira, os estados excitados podem ser denotados por [Ne] nl, ou simplesmente, nl. A Figura 42.25 mostra, em um diagrama de níveis de energia, o estado fundamental e alguns estados excitados do sódio. Note que os estados 1 s, 2s e 2p do caroço de neônio não estão ilustrados no diagrama. Esses estados estão preenchidos e não se modificam, de modo que apenas os estados acessíveis ao elétron de valência estão representados. A FIGURA 42.25traz uma novidade: o zero de energia foi alterado para o estado fundamental. Conforme salientamos inúmeras vezes, o zero de energia pode ser escolhido onde for mais conveniente em cada situação. Quando resolvemos a equação de Schrödinger, foi mais conveniente associar o zero de energia à energia de um elétron infinitamente distante. Na análise dos espectros, contudo, é mais conveniente associar o estado fundamental a E  0. Com essa escolha, as energias dos estados excitados indicam o quanto suas energias estão acima da energia do estado fundamental. O limite de ionização ocorre quando atingimos a energia de ionização do átomo, que, no caso do sódio, equivale a 5,14 eV. O primeiro nível de energia acima de 3s é 3 p, portanto o primeiro estado excitado do sódio é escrito como1 s22s22p63p ou [Ne]3 p ou, mais simplesmente, 3 p. O elétron de valência é excitado, enquanto os do caroço não são afetados. Seguem-se, em ordem crescente de energia, os estados [Ne]4 s, [Ne]3d, e [Ne]4p. Note que a ordem dos estados excitados (3p4s3d4p) é exatamente aquela que explica a quarta linha da tabela periódica. Outros átomos com um único elétron de valência possuem diagramas de energia similares ao do sódio. A situação se complica quando existe mais de um elétron de valência, estudo que deixamos para cursos mais avançados. O que devemos lembrar é que a mecânica quântica fornece o arcabouço para a classificação e compreensão das muitas interações que ocorrem nos átomos. Você pode utilizar a informação mostrada em um diagrama de níveis sem ter de entender precisamente por que cada nível possui determinada energia.

Excitação por absorção Deixado por conta própria, um átomo permanecerá em seu estado de energia mais baixa. Como, então, ele pode atingir um estado excitado? Tal processo é denominado exci-

CAPÍTULO 42

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Física Atômica

1317

tação , e ocorre através de dois mecanismos básicos: absorção e colisão. Iniciaremos

estudando a excitação por absorção. Um dos postulados básicos do modelo simplificado de Bohr é o de que um átomo pode saltar de um estado estacionário, de energia E1, para outro, de energia E2, pela absorção de um fóton de freqüência (42.15) Como estamos interessados em espectros atômicos, é mais útil escrever a Equação 42.15 em função do comprimento de onda:

(42.16) A expressão final, em que aparece o valor hc  1240 eV nm, fornece os comprimentos de onda em nanômetros se Eátomo for dado em elétron-volts. Os saltos quânticos postulados por Bohr permanecem como parte integral de nossas interpretações de resultados com a mecânica quântica. Ao absorver um fóton, um átomo salta de seu estado fundamental para um estado excitado. Contudo, uma análise cuidadosa de como os elétrons de um átomo interagem com uma onda luminosa mostra que nem todas as transições imagináveis podem ocorrer. As transições permitidas são aquelas que satisfazem a uma ou mais regras de seleção. A única regra de seleção que nos interessará aqui é a que determina que uma transição (seja ela absorção ou emissão) de um estado em que o elétron de valência possui número quântico orbital l1 para outro, com número quântico orbital l2, somente será permitida se (regra de seleção para emissão ou absorção)

(42.17)

Ou seja, o número quântico orbital do elétron deve variar em apenas uma unidade. Assim, um átomo em um estado s (l  0) pode absorver um fóton e ser excitado para um estado p ( l  1), mas não para outro estado s ou para um estado d. Um átomo em um estado p (l 1) pode emitir um fóton ao baixar para um estado s de mais baixa energia ou para um estado d de mais baixa energia, mas não para outro estado p. EXEMPLO 42.5Absorção

pelo hidrogênio

Qual é o maior comprimento de onda do espectro de absorção do hidrogênio? Qual é a transição associada? RESOLUÇÃO O maior comprimento de onda corresponde à menor variação de energia Eátomo. Como o átomo está inicialmente em seu estado fundamental, 1s, a menor transição energética ocorre, via absorção, para o primeiro estado excitado com n  2. A variação de energia correspondente é

O comprimento de onda da transição é

Esse comprimento de onda situa-se no ultravioleta. Por causa da regra de seleção, a transição é e não,

Eátomo

EXEMPLO 42.6Absorção pelo sódio

O comprimento de onda correspondente é

Qual é o maior comprimento de onda do espectro de absorção do sódio? Qual é a transição associada? RESOLUÇÃO O estado fundamental do sódio é [Ne]3 s. O estado excitado mais baixo é o 3 p. A transição é permitida (l  1); logo, ela corresponderá ao maior comprimento de onda. Você pode notar na Figura 42.25 que, para essa transição, Eátomo  2,104 eV.

AVALIAÇÃO Esse comprimento de onda (cor amarela) é uma caracte-

rística evidente no espectro do sódio. Como o estado fundamental corresponde a l  0, a absorção deve ser para um estado p. Os estados s e d do sódio n ão podem ser excitados por absorção.

1318


Excitação por colisão Um elétron que se move a 1,0  106 m/s possui energia cinética de 2,85 eV. Se ele colidir com um átomo de sódio no estado fundamental, parte da energia do elétron pode ser usada para excitar o átomo para seu estado 3p. Esse processo é denominado excitação por colisão de um átomo. A excitação por colisão difere da excitação por absorção em um aspecto fundamental. Na absorção, o fóton desaparece. Conseqüentemente, toda a energia do f óton deve ser transferida para o átomo. A conservação da energia requer que Efóton  Eátomo. Em vez disso, um elétron ainda está presente após a excitação por colisão, e pode levar consigo parte de sua energia cinética inicial, ou seja, o elétron não tem de transferir toda sua energia para o átomo. Se o elétron possui uma energia cinética de incidência igual a 2,85 eV, ele pode transferir apenas 2,10 eV para o átomo de sódio, excitando-o O fóton desaparece. conservação da energia exige queA Efóton  E2 – E1.

Fóton Absorção

para o estado de 0,75 eV. 3p, e sair da colisão com uma velocidade de 5,1



5

10 m/s e uma energia

Para excitar um átomo, basta que a energia incidente do elétron (ou de qualquer outra partícula) exceda Eátomo, ou seja, Epartícula  Eátomo. Existe um limite inferior de energia para excitar o átomo, mas não há um limite superior para isso. É tudo uma questão de conservação de energia. A FIGURA 42.26ilustra essa idéia. A excitação por colisão com elétrons é o método de excitação predominante nas descargas elétricas em lâmpadas fluorescentes, iluminação pública e letreiros de neônio. Um gás é colocado em um tubo, com pressão reduzida ( 1 mm Hg), e uma voltagem alta ( 1000 V) é aplicada aos extremos do tubo a fim de ionizar o gás, gerando uma corrente em que ambos, íons e elétrons, são os portadores de carga. O livre caminho médio dos elétrons entre colisões é suficientemente grande para que eles adquiram vários eV de energia cinética ao acelerarem no campo elétrico. A energia é transferida aos átomos do gás nas colisões. O processo não ocorre à pressão atmosférica, pois o livre caminho médio entre colisões é muito curto para que os elétrons adquiram energia suficiente para excitar os átomos do gás. 



Partícula Excitação por colisão A partícula leva consigo parte da energia srcinal. A conservação da energia exige que Epartícula   E2 – E1.

 Diferentemente da absorção de fótons, não existem regras de seleção para a excitação por colisão. O átomo poderá ser excitado para qualquer estado desde que a partícula incidente possua energia suficiente. 

NOTA FIGURA 42.26Excitação por absorção de

um fóton e por colisão com um elétron.

EXEMPLO 42.7Excitação

do hidrogênio

Um elétron que se move a 2,0  106m/s pode provocar a emissão da linha vermelha (  656 nm) tão evidente da série de Balmer? MODELO O elétron deve ter energia suficiente para excitar o estado de mais alta energia correspondente à transição. RESOLUÇÃO A energia do elétron é Ela é significativamente maior do que 1,89 eV, a energia de um fóton de comprimento de onda igual a 656 nm. Porém não devemos confundir a energia do fóton com a energia de excitação. A linha vermelha da sé-

rie de Balmer é emitida no salto quântico de n  3 para n  2, correspondente a Eátomo  1,89 eV. A fim de gerar essa emissão, o elétron deve excitar um átomo de seu estado fundamental, correspondente a n  1, para o nível n  3. A energia de excitação necessária é

O elétron não possui energia suficiente para excitar o átomo até o estado a partir do qual a emissão ocorreria.

Espectros de emissão A absorção de luz é um processo importante, mas é a sua emissão que mais nos chama a atenção. A maioria das informações sensoriais que percebemos ocorre através da luz. A apreciação da luz e das cores embasou a arte e a estética desde a préhistória. Com a exceção pequena dos raios cósmicos, toda a nossa compreensão do cosmos deriva de processos envolvendo a emissão de luz visível e de outras radiações eletromagnéticas.

A descoberta dos espectros de emissão discretos ajudou na queda da física clássica, e sua compreensão tornou-se um dos maiores triunfos da mecânica quântica. Os espectros de emissão são mais do que curiosidades científicas. Atualmente, muitas fontes

CAPÍTULO 42

artificiais de luz, desde lâmpadas fluorescentes até LEDs e lasers, são aplicações dos espectros de emissão. A compreensão da emissão se baseia nas três idéias ilustradas na FIGURA 42.27. Uma vez determinados os níveis de energia de um átomo, através da solução da equação de Schrödinger, podemos imediatamente prever seu espectro de emissão. De outro modo, podemos usar as medições do espectro de emissão para determinar os níveis de energia de um átomo. A FIGURA 42.28amostra algumas das transições e dos comprimentos de onda observados no espectro de emissão do sódio. Esse diagrama ressalta que cada comprimento de onda corresponde a um salto quântico entre dois níveis de energia bem-definidos. Note que a regra de seleção é obedecida pelo espectro do sódio. De um nível 5p pode haver saltos quânticos para os níveis 3s, 4s ou 3d, mas não, para 3p ou 4p. A FIGURA 42.28bmostra o espectro de emissão do sódio registrado por um espectrômetro. (Muitas das linhas vistas nesse espectro têm srcem em estados mais excitados, que não são vistos no diagrama mais limitado da Figura 42.28a.) Comparando o espectro ao diagrama de níveis de energia, você pode identificar que as linhas espectrais em 589 nm, 330 nm, 286 nm, e 268 nm formam uma série de linhas oriundas de todas as possíveis transições np → 3s. Elas formam a característica do espectro do sódio. A característica visual mais óbvia na emissão do sódio é sua luz amarela viva, produzida pela emissão em 589 nm. Em química, essa é a base para o teste da chama, utilizado para acusar a presença de sódio: uma amostra é colocada na chama de um bico de Bunsen; a presença de um brilho amarelo vivo indica a existência do elemento. A emissão em 589 nm também aparece no brilho amarelo-rosado das lâmpadas de vapor de sódio responsáveis pela iluminação de ruas. Essas lâmpadas operam através de uma descarga elétrica no vapor de sódio. A maioria das lâmpadas de vapor de sódio opera a pressões altas para gerar mais luz. A alta pressão, porém, gera moléculas de Na2, que emitem a porção rosada da luz. Algumas cidades próximas de observatórios astronômicos usam lâmpadas de sódio a baixas pressões, que emitem uma luz característica em 589 nm. O brilho das cidades é um grande problema para os astrônomos, mas o padrão característico de 589 nm pode ser facilmente removido por meio de um filtro de sódio. A luz que entra pelo telescópio passa por um recipiente que contém vapor de sódio, e os átomos deste elemento absorvem a linha indesejada de 589 nm, deixando intactos os outros comprimentos de onda!

■

Física Atômica

1319

O átomo é excitado do estado fundamental para um estado excitado, seja por absorção ou por colisão. O átomo possui níveis de energia discretos O átomo excitado emite um fóton durante um salto quântico para um nível mais baixo. Mais de uma transição pode ser possível.

Estado fundamental

FIGURA 42.27Produção de um espectro de

emissão.

Energia (eV)

Comprimentos de onda em nm

Contudo, essede belo truque nãopressão funciona para os outros de onda emitidos por lâmpadas sódio a alta e por outras fontescomprimentos de luz.

A cor dos sólidos Vale a pena concluir essa seção com algumas observações a respeito da cor apresentada pelos sólidos. Do colorido multivariado dos vitrais às cores vivas das plantas e obras de arte ou à profunda luminescência dos rubis, a maioria das cores que percebemos diariamente têm srcem em sólidos, e não, em átomos livres. Os princípios são os mesmos, mas, no caso dos sólidos, os detalhes são diferentes. Um átomo excitado em um gás pouco pode fazer além de liberar sua energia através da emissão de um fóton. A única outra opção, rara no caso de átomos de gases, é colidir com outro átomo e transformar sua energia em energia cinética de recuo. Em sólidos, porém, cada átomo está constantemente em contato íntimo com seus vizinhos. Embora um átomo excitado pertencente a um sólido possa emitir um fóton, é mais provável que sua energia seja liberada por meio de interações com os átomos vizinhos, na forma de energia térmica do sólido. Um processo no qual o átomo relaxa sem emitir radiação é denominado transição não-radiativa. É o que acontece com os pigmentos, como os contidos em pinturas, plantas e tintas. As moléculas do pigmento absorvem apenas determinados comprimentos de onda da luz. A estrutura de níveis de uma molécula é complexa, e a absorção envolve “bandas” de comprimento de onda, e não, linhas espectrais discretas. Em vez de re-irradiar a energia pela emissão de um fóton, o que faria um átomo livre, a molécula do pigmento sofre uma transição não-radiativa e converte sua energia em aumento de energia térmica. Eis por que, sob o Sol, os objetos mais escuros se tornam mais quentes do que os objetos mais claros.

FIGURA 42.28Espectro de emissão do

sódio.

1320


As cores de um vitral se devem à absorção seletiva da luz. Muitos níveis excitados Transição não-radiativa Absorção em   600nm Emissão em 690 nm Estado fundamental dos átomos de cromo FIGURA 42.29Absorção e emissão em um

cristal de rubi.

Quando a luz atinge um objeto, ela pode ser absorvida ou refletida por ele. Se todos os comprimentos de onda forem refletidos, o objeto é percebido como branco. Qualquer comprimento de onda absorvido pelo pigmento é removido da luz refletida. Um pigmento com propriedades de absorver o azul converte a energia de fótons com comprimentos de onda azul em energia térmica, enquanto fótons com outros comprimentos de onda são refletidos sem modificação. Um pigmento que absorva no azul refletirá o vermelho e o amarelo, gerando a percepção de que o objeto é de cor laranja! Alguns sólidos, porém, são um pouco diferentes. A cor de muitos minerais e cristais se deve a átomos de impurezas. Por exemplo, a pedra preciosa rubi é um cristal de óxido de alumínio simples e comum, chamado corindo (ou coríndon), mas que possui átomos de cromo na concentração aproximada de uma parte em mil. O corindo puro é transparente, portanto a cor de um rubi advém de suas impurezas, os átomos de cromo. A FIGURA 42.29ilustra o que acontece quando um rubi é iluminado por luz branca. Os átomos de cromo possuem um grupo de estados excitados que absorvem todos os comprimentos de onda inferiores a 600 nm – ou seja, toda luz, exceto laranja e vermelho. Diferentemente dos pigmentos de um vidro vermelho, que convertem toda a energia absorvida em energia térmica, os átomos de cromo dissipam apenas uma pequena fração como calor ao sofrerem uma transição não-radiativa para outro estado excitado. Desse último estado, eles emitem um fóton com (vermelho escuro) quando retornam ao estado fundamental. O efeito líquido é que fótons com comprimentos de onda curtos, em vez de serem completamente absorvidos, são re-irradiados como fótons de comprimentos de onda mais longos. Essa é a razão pela qual os rubis brilham em cores tão intensas, enquanto o vidro vermelho emite uma cor vermelha sem grande atrativo. As cores dos outros minerais e pedras preciosas se devem a átomos de impurezas diferentes, mas o princípio é o mesmo. PARE E PENSE 42.5 Tomando por base o átomo hipotético da figura, qual é a energia Efóton do fóton de maior comprimento de onda emitido por átomos no estado 5p?

Energia (eV)

a. 1,0 eV b. 2,0 eV c. 3,0 eV d. 4,0 eV

42.7 Tempos de vida média de estados excitados A excitação de um átomo, por absorção ou colisão, o deixa em um estado excitado. Desse estado ele salta novamente para um nível de energia mais baixa pela emissão de um fóton. Quanto dura este processo? De fato, há duas questões presentes aqui. Primeiro, por quanto tempo um átomo permanece no estado excitado, antes de sofrer um salto quântico para um estado de energia inferior? Segundo, quanto dura a transição durante o salto quântico? Nossa melhor compreensão da física quântica dos átomos diz que os saltos quânticos são instantâneos. A emissão ou absorção de um fóton é um evento do tipo tudo ou nada, de forma que não há um momento em que o fóton foi “emitido pela metade”. A afirmação de que os saltos quânticos são instantâneos tem perturbado muitos físicos, mas testes cuidadosos nunca revelaram qualquer evidência de que os saltos ocorressem durante algum intervalo de tempo mensurável.

CAPÍTULO 42

Com relação ao tempo gasto em um estado excitado aguardando o salto quântico, a situação é diferente. A FIGURA 42.30apresenta os intervalos de tempo em que átomos de xenônio duplamente ionizados, Xe , permanecem em um dado estado excitado. Nesse experimento, um pulso de elétrons foi utilizado para excitar os átomos. O número de átomos no estado excitado foi monitorado pela detecção – um a um! – dos fótons emitidos à medida que os átomos excitados saltavam de volta para o estado fundamental. O número de fótons emitidos em um tempo t é diretamente proporcional ao número de átomos no estado excitado que existe naquele instante. Conforme indica a figura, o número de átomos no estado excitado decresce exponencialmente com o tempo, tendo praticamente todos decaído após 25 ms de sua criação. A Figura 42.30 tem duas implicações importantes. Primeiro, os átomos ficam algum tempo no estado excitado antes de sofrer em um salto quântico que os leve a um estado de menor energia. Segundo, o intervalo de tempo em que permanecem em um estado excitado não é constante, mas varia de átomo para átomo. Se cada íon excitado de xenônio ficasse por 5 ms no estado excitado, não detectaríamos fótons nos primeiros 5 ms, veríamos um pico ao final dos 5 ms, quando todos decairiam e, finalmente, nenhum fóton após esse tempo. Diferentemente, os dados mostram que existe uma gama de tempos de permanência no estado excitado. Alguns sofrem o salto quântico e emitem um fóton após 1 ms, outros após 5 ms ou 10 ms e uns poucos esperam mais de 20 ou 25 ms antes de sofrer a transição. Considere um experimento no qual N0 átomos excitados são criados no instante t  0. Conforme mostra a curva na Figura 42.30, o número de átomos excitados sobreviventes no instante t é bem-descrito pela função exponencial (42.18) 

dos átomos srcinais continuam no onde  é o instante em que estado excitado. Portanto, 63,2% dos átomos, quase dois terços deles, já emitiram um fóton e saltaram para um estado de energia mais baixa antes do instante . O intervalo de tempo  é denominado tempo de vida média do estado excitado. Da Figura 42.30 concluímos que o tempo de vida desse estado do Xe é 4 ms, pois esse é o instante no qual a curva já decaiu para 36,8% de seu valor inicial. O tempo de vida média do Xe é anormalmente longo, razão por que o estado foi estudado. Os tempos de vida média de estados excitados são, tipicamente, da ordem de

Física Atômica

■

1321

Número de fótons (milhares) A linha continua é um “ajuste” dos dados do tipo relaxação exponencial.

FIGURA 42.30Dados experimentais da

taxa de excitado emissãodo deXe fótons estado . a partir de um 







alguns estados nanosegundos. A Tabela 42.3que trazseja valores medidos tempos de vida no média de alguns excitados. Qualquer o valor de , odos número de átomos estado excitado diminui exponencialmente. Por quê?

A equação de relaxação A mecânica quântica trata de probabilidades. Não podemos dizer exatamente onde um elétron está localizado, mas podemos usar a mecânica quântica para calcular a probabilidade de que o elétron seja localizado em um pequeno intervalo x centrado na posição x. Semelhantemente, não podemos afirmar quando um elétron excitado sofrerá um salto quântico e emitirá um fóton. Contudo, podemos usar a mecânica quântica para determinar a probabilidade de que o elétron sofra um salto quântico durante um intervalo t que inicia no instante t. Vamos admitir que a probabilidade de que um átomo excitado emita um fóton durante um intervalo t seja independente de quanto ele já esperou no estado excitado. Por exemplo, um átomo excitado recentemente pode ter 10% de probabilidade de emitir um fóton no intervalo de 1 ns entre 0 ns e 1 ns. Se ele sobreviver até t  7 ns, consideraremos que a probabilidade de ele emitir um fóton no intervalo de 1 ns entre os instantes 7 ns e 8 ns ainda será igual a 10%. Tal hipótese, que pode ser justificada em uma análise detalhada, é semelhante àquela

presente no50%. lançamento uma amoeda. probabilidade de obter cara sete no primeiro lançamento é de Se vocêdelançar moedaAsete vezes seguidas e obtiver caras, a probabilidade de obter cara em um oitavo lançamento ainda será de 50%. É pouco provável que você obtenha sete caras seguidas, mas tal ocorrência não tem influência sobre o oitavo lançamento. Do mesmo modo, pode ser improvável que um átomo excitado permaneça assim por 7 ns, mas tal ocorrência não afeta a probabilidade de emissão de um fóton no próximo 1 ns. Se t for pequeno, a probabilidade de emissão de um fóton durante o intervalo t será diretamente proporcional a t, ou seja, se a probabilidade de emissão em 1 ns é de

TABELA 42.3Alguns tempos de vida de

estados excitados Tempo de vida Átomo Hidrogênio Sódio Neônio Potássio

Estado 2p 3p 3p 4p

média (ns) 1,6 17 20 26

1322


1%, será de 2% em 2 ns e de 0,5% em 0,5 ns. (Essa suposição falha se 1 for muito grande. Se a probabilidade for de 70% em 20 ns, não podemos dizer que a probabilidade será de 140% em 40 ns, pois uma probabilidade maior do que 1 não faz sentido.) Estar emos interessados no limite t → dt para que o conceito seja válido e possamos escrever Prob(emissão durante

t,

a partir de t)  rt

(42.19)

onde r é denominado taxa de relaxação, pois o número de átomos excitados decai (diminui) com o tempo. Trata-se de uma probabilidade por segundo, com unidade de s –1, sendo, portanto uma taxa. Por exemplo, se um átomo tem 5% de probabilidade de emitir um fóton em um intervalo de 2 ns, a taxa de relaxação é igual a

NOTA  A Equação 42.19 é a análoga direta de Prob(encontrar em x centrado em –1 x)  Px, onde P, que possui unidade de m , é a densidade de probabilidade.  Nexc

átomos estão em um estado excitado.

A FIGURA 42.31representa Nexc átomos em um estado excitado. Durante um intervalo pequeno t, o número desses átomos que, esperamos, sofram saltos quânticos e emitam um fóton é Nexc multiplicado pela probabilidade de relaxação, ou seja, número de fótons em t no tempo t  Nexc  Prob(emissão em t centrado em t) 

O número de fótons emitidos durante t é rNexct. Cada fóton emitido representa a perda de 1 átomo excitado. Portanto, Nexc  rNexct.

rNexct

 rN

FIGURA 42.31O número de átomos

que emitem fótons no intervalo t é diretamente proporcional ao número de átomos que estão excitados.

(42.20)

Agora, a variação em Nexc é igual ao negativo da Equação 42.20. Por exemplo, suponha que 1.000 átomos excitados estejam presentes no instante t e que cada um deles tenha uma probabilidade igual a 5% de emitir um fóton no próximo 1 ns. Em média, o número de fótons emitidos durante o próximo 1 ns será igual a 1000  0,05  50. Em conseqüência, o número de átomos excitados varia em Nexc  50, onde o sinal negativo indica diminuição. Portanto, a variação do número de átomos no estado excitado é Nexc (durante t a partir de t) Nexc  Prob(decaimento durante t a partir de t) t

(42.21)

exc

Agora considere que

Neste caso,

, e a Equação 42.21 torna-se (42.22)

A Equação 42.22 envolve uma taxa, pois descreve a taxa na qual a população de estados excitados varia. Se r for grande, a população diminuirá a uma taxa rápida e terá vida curta. Diferentemente, um pequeno valor de r indica que a população diminuirá lentamente e viverá por um longo tempo. A equação é semelhante à equação diferencial de circuitos RC, tratados no Capítulo 32. Primeiro, reescrevemos a Equação 42.22 na forma:

Depois, integramos ambos os lados desde t  0, quando a população inicial de estados excitados é N0, até um instante qualquer t, quando a população é igual a Nexc, ou seja, (42.23) Ambas são integrais bem-conhecidas, resultando em

Podemos encontrar o número de átomos excitados em um instante t encontrando a exponencial de ambos os lados da equação e multiplicando o resultado por N0. Disso resulta (42.24)

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1323

Note que Nexc  N0 em t  0, como esperado. A Equação 42.24, a equação de relaxação, mostra que a população de estados excitados decai exponencialmente com o tempo, em concordância com os dados apresentados na Figura 42.30. É mais conveniente escrever a Equação 42.24 como (42.25) onde tempo de vida média do estado excitado

(42.26)

Essa é a definição de tempo de média quemédia usamos Equação descrever os resultados experimentais. O vida tempo de vida é onainverso da 42.18 taxa depara relaxação r. EXEMPLO 42.8O

tempo de vida média de um estado excitado do mercúrio

O átomo de mercúrio possui dois elétrons de valência. Um deles está sempre no estado 6s, o outro em um estado correspondente aos números quânticos n e l. Um dos estados excitados do mercúrio é designado como 6s6p. A taxa de relaxação desse estado é de 7,7  108 s –1. a. Qual é o tempo de vida média desse estado? b. Se 1,0  1010 átomos de mercúrio são criados no estado 6 s6p em t  0, quantos fótons serão emitidos durante o primeiro 1,0 ns posterior?

RESOLUÇÃO a. O tempo de vida média é igual

b. Se existem N0  1010 átomos excitados em t  0, o número remanescente deles em t  1,0 ns é Esse resultado indica que 5,37  109 átomos sofrem um salto quântico no primeiro 1,0 ns. Cada átomo emite um fóton, de modo que o número de fótons emitidos durante o primeiro 1,0 ns é igual a 5,37  10 9

As taxas de relaxação r para estados excitados podem ser calculadas através da mecânica quântica e comparadas com os tempos de vida média dos estados excitados, medidos experimentalmente. A concordância é bastante boa, fornecendo outra validação da descrição quantomecânica dos átomos. PARE E PENSE 42.6 No instante t  0, cria-se um número idêntico de átomos A excitados e de átomos B excitados. A taxa de relaxação dos átomos B é o dobro daquela dos átomos A: rB  2rA. No instante (ou seja, depois de transcorrido um tempo de vida média dos átomos A), a razão NB/NA entre o número de átomos B excitados e o de átomos A excitados é

a.  2

b. 2

c. 1

d. ½

e.



a

½

42.8 Emissão estimulada e lasers Aprendemos que um átomo pode saltar de um estado de energia mais baixa E1 a outro de energia mais alta E2 pela absorção de um fóton. A FIGURA 42.32ailustra o processo de absorção básico, com um fóton de freqüência f  Eátomo/h desaparecendo quando o átomo salta do nível 1 ao nível 2. Uma vez no nível 2, como ilustra a FIGURA 42.32b, o átomo pode emitir um fóton com a mesma. freqüência, retornando ao nível 1. Essa transição é emissão espontânea denominada Em 1917, quatro anos após a proposta de Bohr dos estados atômicos estacionários, mas antes dos trabalhos de de Broglie e de Schrödinger, Einstein estava intrigado com o seguinte problema: como átomos quânticos atingem o equilíbrio termodinâmico em presença de radiação eletromagnética? Einstein descobriu que absorção e emissão espontânea não eram suficientes para levar um grupo de átomos ao equilíbrio termodinâmico.

18.3


1324

Absorção

Fóton

Emissão espontânea

Fóton

Emissão estimulada

Fóton

Dois fótons idênticos

FIGURA 42.32Os três tipos de transições

radiativas.

Para sanar essa dificuldade, Einstein propôs um terceiro mecanismo de interação entre os átomos e a luz. A parte esquerda da FIGURA 42.32crepresenta um fóton com frequência f  Eátomo/h que se aproxima de um átomo excitado. Como um fóton pode induzir a transição de absorção 1 → 2, Einstein propôs que o mesmo fóton seria capaz de induzir a transição 2 → 1. Essa seria uma transição de absorção inversa. Para sofrer uma absorção inversa, porém, o átomo deveria emitir um fóton de freqüência f  Eátomo/h. O resultado final, ilustrado na Figura 42.32c, seria um átomo no nível 1 mais dois fótons! Uma vez que o primeiro fóton induziu o átomo a emitir o segundo fóton, o processo é chamado de emissão estimulada. A emissão estimulada somente ocorrerá se a frequência do primeiro fóton for exatamente igual à diferença de energia E2 – E1 do átomo. Essa é precisamente a mesma condição a que a absorção deve satisfazer. O interessante é que o fóton emitido é idêntico ao fóton incidente. Isso significa que os dois fótons que deixam o átomo possuem exatamente a mesma freqüência, o mesmo comprimento de onda, se deslocam no mesmo sentido e estão em fase um com o outro. Em outras palavras, a emissão estimulada produz um segundo fóton que é um clone perfeito do primeiro. A emissão estimulada não possui importância prática na maioria das situações. Tipicamente, os átomos permanecem apenas alguns nanosegundos em um estado excitado antes de sofrer emissão espontânea. Seria necessário submeter o átomo a uma radiação luminosa de intensidade muito grande para que a emissão estimulada ocorresse antes da espontânea. A intensidade das fontes de luz normais torna a emissão estimulada um efeito de importância menor; daí terem decorrido muitos anos antes que as previsões de Einstein fossem confirmadas. Ninguém duvidava de Einstein, pois ele demonstrou claramente a necessidade do efeito para que as equações de conservação de energia estivessem corretas, porém o efeito era análogo ao produzido por centavos no fechamento do balanço de um milionário. Finalmente, em 1960, surgiu uma invenção revolucionária que usava o efeito explicitamente: o laser.

Lasers

átomos no nível 2. Fótons de energia podem induzir esses átomos a sofrerem emissão estimulada. N2

Efóton  E2  E1

Nível 2 Emissão estimulada

Absorção

Nível 1 átomos no nível 1. Esses átomos pod em absorver fótons de energia Efóton  E2  E1. N1

FIGURA 42.33 Níveis de energia 1 e 2 com

populações N1 e N2.

A palavra laser é uma sigla em inglês para luz amplificada pela emissão estimulada de radiação (em inglês, light amplification by stimulated emission of radiation). O primeiro laser, um laser de rubi, foi confeccionado em 1960, e muitos outros tipos apareceram em poucos meses. O propulsor da maior parte da pesquisa inicial foi o físico norte-americano Charles Townes. Ele recebeu o prêmio Nobel em 1964 pela invenção do maser, um dispositivo anterior que utilizava microondas, e pelo trabalho teórico que levou ao desenvolvimento do laser. Atualmente, lasers são utilizados como fonte de luz em comunicação via fibra ótica, em medições de distâncias astronômicas, em reprodução de CDs e em cirurgias oftalmológicas delicadas. O que é um laser, porém? Basicamente, trata-se de um dispositivo que produz um feixe de luz altamente coerente e praticamente monocromá tico (uma cor) como resultado da emissão estimulada. Luz coerente significa luz em que todas as ondas eletromagnéticas possuem mesma fase, mesmo sentido e mesma amplitude. É a coerência de um feixe de laser que permite que ele seja focalizado, ou rapidamente modulado, para uso em comunicações. Vamos examinar rapidamente como funciona um laser. A FIGURA 42.33representa um sistema de átomos que possui um nível de energia menor, E1, e um maior, E2. Suponha que existam N1 átomos no nível 1, e N2 no nível 2. Deixados por conta, todos os átomos ocupariam o nível 1 devido à emissão espontânea 2 → 1. Para evitar essa situação, imaginemos que algum tipo de mecanismo de excitação, talvez uma descarga elétrica, produza continuamente novos átomos excitados no nível 2. Suponha também que um fóton de freqüência f  (E  E )/h incida sobre o grupo 2 de átomos. Como a freqüência está ajustada corretamente, ele1 pode ser absorvido por um dos átomos no nível 1. Outra possibilidade é que ele cause a emissão estimulada de um dos átomos que se encontram no nível 2. Normalmente, de modo que a absorção supera a emissão estimulada. Os poucos fótons que fossem gerados pela emissão estimulada seriam absorvidos pelo vasto grupo de átomos no estado 1. Se conseguíssemos, de alguma forma, excitar cada átomo para o nível 2, tornando N1  0, a situação seria diferente. Neste caso, nosso fóton incidente, ao encontrar o primei-

CAPÍTULO 42

■

Física Atômica

1325

ro átomo, produziria uma emissão estimulada. Onde havia um fóton com freqüência f, agora existiriam dois. Estes incidiriam sobre outros átomos excitados, gerando emissão estimulada e quatro fótons. Como ilustra a FIGURA 42.34, ocorreria uma reação em cadeia de emissões estimuladas até que cada um dos N2 átomos previamente excitados tivessem emitido um fóton de freqüência f.

Fóton incidente

Produção de muitos fótons idênticos

Charles Townes Estágio1

Estágio2

Estágio3

FIGURA 42.34A emissão estimulada gera uma reação em cadeia de fótons emitidos a partir

de átomos excitados.

Na emissão estimulada, cada fóton emitido é idêntico ao fóton incidente. A reação em cadeia ilustrada na Figura 42.34 gerará não apenas N2 fótons de freqüência f, mas N2 fótons idênticos, todos se propagando no mesmo sentido e com a mesma fase. Se N2 for um número grande, como ocorre em dispositivos reais, o fóton inicial será amplificado, dando srcem a um pulso de luz coerente gigantesco! Uma coleção de átomos em um estado excitado é denominada amplificador ótico. Como mostra a FIGURA 42.35, a emissão estimulada é sustentada colocando-se o meio que gera o laser – isto é, a amostra de átomos que emite a luz – em uma cavidade óptica formada por dois espelhos posicionados face a face. Um dos espelhos transmite luz par-

As ondas que se propagam em sentido inverso interagem repetidamente com os átomos, aumentando o nível de intensidade luminosa. Meio do laser

Refletor Átomos excitados total

Refletor Feixe parcial de laser

de laser Fenômeno laser ocorrendo cialmente de que o feixe em uma 42.35 cavidade. Emboraa fim a Figura 42.34 ilustre bem apossa reaçãoemergir. em cadeia, não é necessário que cada áto- FIGURA mo esteja no nível 2 para que a amplificação ocorra. Apenas necessitamos de que N2  N1 para que a emissão estimulada supere a absorção. Tal situação é denominada inversão de A ação do laser ocorre população. O processo de obtenção da população invertida é conhecido por bombeamento se N2  N1, condição Níveis excitados conhecida (pumping, em inglês) e nós o estudaremos em dois exemplos específicos. O bombeamento é como inversão de população. a parte tecnicamente difícil do projeto e da construção de um laser, pois os mecanismos norTransição mais de excitação não produzem inversões de população. De fato, é possível que os lasers não-radiativa tivessem sido descobertos bem antes de 1960 se fosse fácil inverter populações.

O laser de rubi O primeiro laser desenvolvido foi o de rubi. A FIGURA 42.36ailustra a estrutura de níveis dos átomos de cromo, responsáveis pelas propriedades ópticas do rubi. Normalmente, o número de átomos no estado fundamental E1 supera enormemente o número de átomos no estado excitado de energia E2, ou seja, N2 N1 Sob tais circunstancias, a luz de 690 nm é absorvida, ao invés de amplificada. Admita, porém, que possamos rapidamente excitar mais da metade dos átomos de cromo para o nível E2. Neste caso, teremos uma inversão de população (N2  N1) entre os níveis E1 e E2. Podemos atingir nosso objetivo por meio do bombeamento ótico do rubi com um pulso usada muitoéintenso decom luz branca produzido uma lâmpada flash. A intensa. lâmpadaNo de flash parecida a de uma câmera por fotográfica, porémdebem mais arranjo da FIGURA 42.36b, uma lâmpada de flash com forma helicoidal circunda uma barra de rubi que possui espelhos colados em ambas as faces extremas. A lâmpada é acionada pela descarga de um capacitor de alta voltagem, gerando um intenso pulso de luz de alguns microssegundos de duração. A luz intensa excita quase todos os átomos de cromo do estado fundamental para os níveis de energia mais altos. De lá, eles rapidamente ( 10 –8 s) decaem de modo não-radioativo para o nível 2. Uma vez que N2  N1, conseguimos uma inversão de população. 

Bombeamento óptico

Emissão laser em 690 nm Estado fundamental

Espelho

Lâmpada de flash

Barra de rubi Capacitor de armazenamento de energia

Espelho parcial

Laser gerado

Fonte de energia FIGURA 42.36Um laser de rubi alimentado

por uma lâmpada de flash.

1326


Depois que um fóton dá início ao pulso de laser, a intensidade da luz aumenta rapidamente, gerando um pulso de luz de curta duração, mas incrivelmente intenso. Um pulso de laser típico dura 10 ns e libera 1 J de energia. Isso corresponde a uma potência de pico de

Cem megawatts de potência luminosa! Isso é mais do que a potencia elétrica usada por uma pequena cidade. A diferença, obviamente, reside na duração: a cidade consome essa potência continuamente, enquanto o pulso de laser dura apenas 10 ns. O laser não pode ser disparado novamente até que o capacitor seja recarregado, e a barra, resfriada. A taxa de disparo típica é de poucos pulsos por segundo, de modo que o laser “fica ligado” Os apenas alguns bilionésimos de segundo cada lasers segundo. lasers de rubi foram substituídos poremoutros pulsados que, por várias razões práticas, são mais fáceis de operar. Contudo, todos funcionam baseados na mesma idéia básica: rápido bombeamento óptico para estados de maior energia, relaxação nãoradiativa para o nível 2, com a formação de inversão de população, e incidência de um rápido e intenso pulso ótico.

O laser de hélio-neônio

Mistura de He/Ne

Refletor total

Feixe de laser Refletor parcial

Tubo de descarga

Eletrodo

Fonte de energia

Transferência de excitação Inversão de população Excitação eletrônica

Hélio

Emissão laser em 632,8 nm

Emissão espontânea rápida Estado Neônio fundamental

FIGURA 42.37Um laser de HeNe.

O laser vermelho comumente usado em palestras, laboratórios e leitoras de código de barras em supermercados é um laser de hélio-neônio, geralmente chamado de laser HeNe. Sua luz, de 632,8 nm, é contínua, isto é, não-pulsada. O meio de um laser HeNe consiste de uma mistura de dois gases, com 90% hélio e 10% de neônio. A FIGURA 42.37arepresenta esquematicamente o dispositivo. Os gases são confinados em um tubo de vidro e uma descarga elétrica é aplicada ao tubo. Dois espelhos são colados nas extremidades do tubo, sendo um deles totalmente refletor, e outro que transmite apenas 2% da luz a fim de permitir a emissão do feixe de laser. Os átomos que geram o fenômeno laser são os átomos de neônio, mas o método de bombeamento envolve os átomos de hélio. Os elétrons da descarga elétrica excitam os átomos de hélio, por colisões, para o estado 1s2s. Esse estado possui uma baixa taxa de 





relaxação (ou seja,deum elevado de estados vida média). Portanto possível gerar umaespontânea grande população átomos de tempo hélio em excitados (masé não uma inversão). A energia do estado 1s2s é de 20,6 eV. Curiosamente, um estado excitado de neônio, o estado 5 s, também possui uma energia de 20,6 eV. Se um átomo de hélio no estado excitado 1 s2s colidir com um átomo de neônio no estado fundamental, o que ocorre freqüentemente, a energia de excitação poderá ser transferida de um átomo para o outro! Na forma de uma reação química, podemos descrever o processo como

onde o asterisco indica que o átomo encontra-se em um estado excitado. Esse processo, denominado transferência de excitação, é muito eficiente para o estado 5s, pois o processo é ressonante – um perfeito casamento de energias. Portanto, a excitação por colisão do hélio, em dois estágios, seguida da transferência de excitação entre o hélio e o neônio, bombeia os átomos de neônio para o estado excitado 5 s. Isso é ilustrado na FIGURA 42.37b .

O nível de energia 5s no neônio está 1,95 eV acima do estado 3 p. O estado 3p está quase vazio, por não ser eficientemente populado através da descarga elétrica e porque sofre uma rápida emissão espontânea para os estados 3 s. Portanto o grande número de 

átomos bombeados 5 s gera uma população invertida com respeito ao estado 3p inferior. Essaspara são oasestado condições necessárias para a ação do laser. Como o estado inferior na transição laser está normalmente não-populado, basta uma pequena fração de átomos de neônio no estado 5 s para que obtenhamos uma inversão de população. Com isso, mesmo um bombeamento modesto é suficiente para gerar a inversão e iniciar a operação do laser. Ademais, um laser HeNe pode manter a inversão continuamente e, assim, sustentar o processo de emissão laser. A descarga elétrica gera continuamente os átomos excitados no estado 5s via transferência de excitação, enquan-

CAPÍTULO 42

to a relaxação espontânea rápida mantém a população do nível inferior suficientemente baixa para sustentar a inversão. Um laser de hélio-neônio típico gera uma potência de 1 mW  10 –3 J/s em 632,8 nm para um feixe de 1 mm de diâmetro. Isso corresponde à emissão de 3,2  1015 fótons por segundo. Outros lasers operam continuamente com base em princípios semelhantes, mas geram potências mais elevadas. Um laser de argônio, largamente utilizado em pesquisa cientifica, pode gerar até 20 W de potência em comprimentos de onda azul e verde. O laser de dióxido de carbono produz uma potência de saída acima de 1.000 W no comprimento de onda do infravermelho igual a 10,6 m. Ele é usado em aplicações industriais de corte e de solda. EXEMPLO 42.9Um

laser ultravioleta

Um laser ultravioleta gera um pulso de luz de 10 MW com duração de 5,0 ns em 355 nm. Quantos fótons são emitidos em cada pulso? RESOLUÇÃO A energia de cada pulso de luz é a potência multiplicada pela duração:

Cada fóton do pulso possui uma energia

Como Epulso  NEfóton, o número de fótons emitidos é igual a

■

Física Atômica

1327

1328


RESUMO O objetivo do Capítulo 42 foi compreender a estrutura e as propriedades dos átomos.

Conceitos importantes O átomo de hidrogênio

Átomos multieletrônicos

A equação tridimensional de Schrödinger terá soluções estacionárias para a energia potencial do átomo de hidrogênio somente se três condições forem satisfeitas:

A energia potencial é do tipo elétron-núcleo mais elétron-elétron. Na aproximação de partícula in-

n  1, 2, 3,... • Energia En  – 13,60 eV/n2 • Momentum angular • Componente z do momentum angular

cada elétron é descrito pelos mesmos dependente, números quânticos (n, l, m, ms) usados para o átomo de hidrogênio. A energia de um estado depende de n e l. Para cada n, a energia aumenta à medida que l aumenta.

Cada estado é caracterizado pelos números quânticos (n, l, m ), mas a energia depende somente de n. A probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno intervalo r com centro a uma distância r é Prob(com r centrado em r)  Pr(r)r onde babilidade radial.

Caroço • Estados com alto valor de l correspondem a órbitas circulares e situam-se fora do caroço central. • Estados com baixo valor de l correspondem a órbitas Órbita Órbita de elípticas e penetram o caro- de l alto l baixo ço central, interagindo mais fortemente com o núcleo. Essa interação baixa a energia do átomo.

,

é a densidade de pro-

O gráfico de Pr(r) sugere que os elétrons são arranjados em camadas.

Spin do elétron

O elétron possui um momentum angular angular intrínsecode spin e momento como se estivesse girando. O momentum tem um magnético módulo fixo onde s  ½. O componentez é onde ms  ±1/2. Esses dois estados são chamados, respectivamente, despin upe spin down. Cada estado atômico é caracterizado de forma completa pelos quatro números quânticosn,(l, m, ms).

O princípio de exclusão de Pauli determina que cada estado quântico não pode ser ocupado por mais de um elétron. A tabela periódica dos elementos é baseada no fato de que o estado fundamental é a configuração eletrônica de mais baixa energia compatível com o princípio de Pauli.

Aplicações Espectros atômicos são gerados por uma excita-

ção seguida de um salto quântico com a emissão de um fóton. • Excitação por absorção ou por colisão • Regra de seleção para um salto quântico

Excitação Emissão

Tempos de vida média de estados excitados

A população de estados excitados diminui exponencialmente quando onde é o tempo de vida média e r é a taxa de relaxação. Não é possível prever quando um átomo em particular sofrerá relaxação, mas a probabilidade correspondente é dada por Prob(durante t a partir de t)  rt A emissão estimuladade um estado excitado pode ser causada por um fóton de energia Efóton  E2 – E1. O fenômeno laser pode ocorrer se N2  N1, uma condição que é denominada inversão de população.

CAPÍTULO 42

Física Atômica

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Termos e notação número quântico principal, n número quântico orbital, l número quântico magnético, m energia de ionização nuvem eletrônica função de onda radial, Rnl (r) densidade de probabilidade radial, Pr (r) modelo de camadas

spin número quântico de spin, ms

subcamada excitação transição permitida regra de seleção excitação por colisão transição não-radiativa tempo de vida média,  taxa de relaxação, r emissão espontânea

spin-up spin-down

aproximação de partícula independente (IPA) princípio de exclusão de Pauli configuração eletrônica camada fechada

emissão estimulada laser coerente cavidade óptica inversão de população bombeamento transferência de excitação



integram o material


QUESTÕES

CONCEITU

AIS

1. Considere os dois estados 5d e 4f do átomo de hidrogênio. Qual deles possui maior energia? Explique 2. Qual é a diferença entre a densidade de probabilidade e a densidade de probabilidade radial ? 3. Qual é a diferença entre l e L? 4. Qual é a diferença entre s e S? 5. A FIGURA Q42.5mostra o resultado de um experimento de Stern-Gerlach realizado

7. O que é a energia de ionização de um átomo? Em outras palavras, se você sabe quanto vale a energia de ionização de um átomo, o que você sabe realmente acerca desse átomo? 8. A Figura 42.4 mostra que a energia de ionização do cádmio ( Z  48) é maior do que a energia de ionização de seus vizinhos. Por que isso ocorre? 9. Um tubo de descarga de neônio emite um espectro brilhante laranjaavermelhado, mas um tubo de vidro com neônio é completamente

com de um elemento X. diferena. Osátomos picos representam valores Linha central tes do momentum angular do átomo ou valores diferentes do componente z de seu momentum angular? Explique. b. Que número quântico caracteriza o momentum angular desses átomos? 6. Cada uma das configurações mostradas na FIGURA Q42.6representa uma configuNúmero de átomos ração eletrônica possível de um elemenFIGURA Q42.5 to? Em caso afirmativo, (i) identifique o elemento e (ii) determine se ele está no estado fundamental ou no estado excitado. Em caso negativo, explique por que não.

transparente. Por que o neônio tubo enão os comprimentos de onda correspondentes aono laranja ao absorve vermelho? 10. A função de onda 1 s do átomo de hidrogênio tem um máximo em r  0. Todavia a densidade de probabilidade radial 1s, mostrada na Figura 42.8, possui pico em r  aB e é nula em r  0. Explique esse paradoxo. 11. Em um átomo multieletrônico, para cada valor de n (2s, 3s, 4s, etc), o estado correspondente ao valor mais baixo de l é significativamente menos energético do que o estado do hidrogênio correspondente ao mesmo valor de n. Porém o estado com valor de l mais alto para cada n (2p, 3d, 4f, etc) é praticamente igual em energia ao estado do hidrogênio com o mesmo valor de n. Explique 12. Na FIGURA Q42.12, um fóton com energia 2,0 eV incide em um átomo no estado p. A transição que o átomo sofre é por absorção, é estimulada ou nenhuma das duas? Explique.

a r o t le o c a c a l P

,

Estado s Estado p

,

Fóton

FIGURA Q42.6 FIGURA Q42.12

,

Estado s

1330


EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Exercícios Seções 42.1–2 O átomo de hidrogênio 1. | Qual é o momentum angular de um átomo de hidrogênio (a) no estado 4p e (b) no estado 5 f? Expresse sua resposta como um múltiplo de . 2. | Liste os números quânticos, excluindo o de spin, de (a) todos os estados 3p possíveis e (b) de todos os estados 3d possíveis. 3. | Um átomo de hidrogênio tem momentum angular orbital de 3,65 –34  10 Js. a. Qual é a letra ( s, p, d ou f) que descreve esse elétron? b. Qual é a menor energia possível para o átomo? Explique. 4. | Qual é o máximo momentum angular L possível (como um múltiplo de ) para um átomo de hidrogênio com energia de –0,544 eV? 5. | Determine E e L (como múltiplos de ) de um átomo de hidrogênio no estado 6f. Seção 42.3 O spin do elétron 6. || Quando todos os números quânticos são levados em conta, quantos estados quânticos diferentes existem para um átomo de hidrogênio com n  1? Com n  2? Com n  3? Liste os números quânticos correspondentes a cada estado. 7. | Quantas linhas de átomos você esperaria encontrar na placa coletora de um aparelho de Stern-Gerlach se o experimento fosse realizado com (a) lítio e com (b) berílio? Explique. Seção 42.4 Átomos multieletrônicos Seção 42.5 A tabela periódica dos elementos Faça umadeprevisão configurações eletrônicas dos estados fun8. damentais Mg, Sr das e Ba. 9. || Faça uma previsão das configurações eletrônicas dos estados fundamentais de P, As e Sb. 10. | Identifique o elemento correspondente a cada uma das configurações eletrônicas listadas abaixo. A seguir, determine se a configuração considerada corresponde ao estado fundamental ou a um estado excitado. a. 1 s22s22p5 b. 1s22s22p63s23p64s23d104p 11. | Identifique o elemento correspondente a cada uma das configurações eletrônicas listadas abaixo. A seguir, determine se a configuração considerada corresponde ao estado fundamental ou a um estado excitado. a. 1 s22s22p53d b. 1s22s22p63s23p64s23d6 |

Seção 42.6 Estados excitados e espectros 12. | Demonstre que hc  1.240 eV nm. 13. | Qual é a configuração eletrônica do segundo estado excitado do 14. |lítio? Um elétron, partindo do repouso, acelera ao longo de uma diferença de potencial de 12,5 V e colide com um átomo de hidrogênio, excitando o átomo para o nível de energia permitido mais alto. Liste todas as transições possíveis por salto quântico, pelas quais o átomo excitado poderia emitir um fóton, e determine o comprimento de onda (em nm) de cada um desses fótons.

15. | a. A transição 4 p → 4s é permitida para o sódio? Em caso afirmativo, qual é o comprimento de onda (em nm) emitido? Em caso negativo, explique por que não. b. A transição 3d → 4s é permitida para o sódio? Em caso afirmativo, qual é o comprimento de onda (em nm)? Em caso negativo, explique por que não. Seção 42.7 Tempos de vida média e esta dos excitados 16. || Um átomo em um estado excitado tem 1,0% de chance de emitir um fóton em 0,10 ns. Qual é o tempo de vida do correspondente estado excitado? 17. | Um estado excitado de um átomo possui um tempo de vida média de 25 ns. Qual é a probabilidade de esse átomo excitado emitir um fóton durante um intervalo de 0,50 ns? 18. | Um número de átomos de sódio igual a 1,0  106 é excitado para o estado 3p em t  0 s. Quantos deles permanecem no estado 3 p nos instantes (a) t  10 ns, (b) t  30 ns e (c) t  100 ns? 19. || Um número de átomos igual a 1,0  106 é excitado para um nível de energia superior em t  0 s. Ao final de 20 ns, 90% deles saltaram para o estado fundamental. a. Quantos fótons foram emitidos? b. Qual é o tempo de vida média do estado excitado? 20. || São excitados simultaneamente para os estados 3p e 4 p, respectivamente, 1,0  108 átomos de sódio e 1,0  108 átomos de potássio. Quantos átomos de potássio permanecem no estado 4p quando 80% dos átomos de sódio excitados tiverem relaxado?

Seção 42.8 Emissão estimulada e lasers 21. | Um laser de hélio-neônio de 1,0 mW emite um feixe de luz visível com um de onda de 633 nm. Quantos fótons são emitidos por comprimento segundo? 22. | Um laser de dióxido de carbono emite 5,0  1022 fótons/s no comprimento de onda infravermelho de 10,6 m. Qual é a potência do laser? 23. | Um laser emite 1,0  1019 fótons por segundo a partir de um estado excitado com energia E2  1,17 eV. A energia do nível mais baixo é E1  0 eV. a. Qual é o comprimento de onda da luz do laser? b. Qual é a potência do laser?

Problemas 24. || a. Elabore um diagrama semelhante ao da Figura 42.3 para mostrar todas as orientações possíveis do vetor momentum angular para o caso l  3. Identifique cada com o valor apropriado de m. b. Qual é o ângulo mínimo entre e o eixo x? || 25. Existem partículas subatômicas cujo spin é caracterizado por s  1 em vez de s  ½, como no caso dos elétrons. Essas partículas são conhecidas como tendo spinum igual a um.de ) do momentum angua. Qual é o módulo (como múltiplo lar de spin S para uma partícula de spin igual a um? b. Quais são os valores possíveis do número quântico de spin? c. Desenhe um diagrama vetorial semelhante ao da Figura 42.14 para mostrar as possíveis orientações de . 26. || Um átomo de hidrogênio está em um estado correspondente a l  2. Quais são os valores (a) mínimos (como múltiplos de ) e (b) máximos da expressão (Lx2  Ly2)1/2?

CAPÍTULO 42

27. | Um átomo de hidrogênio, em seu quarto estado excitado, emite um fóton com um comprimento de onda de 1282 nm. Qual é o maior momentum angular orbital possível do átomo (como um múltiplo de ) após a emissão? 28. | Calcule (a) a função de onda radial e (b) a densidade de probabilidade radial em r  ½ aB para um elétron no estado 1 s do hidrogênio. Expresse a resposta em função de aB. 29. || Para um elétron no estado 1s do hidrogênio, qual é a probabilidade de estar em uma camada esférica com 0,010 aB de espessura, a uma distância (a) ½ aB, (b) aB e (c) 2aB do próton? 30. || Prove que a constante de normalização da função de onda radial 1sdo átomo de hidrogênio é dada pela Equação 42.7. Dica: Uma integral definida bastante útil neste caso é

■

Física Atômica

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mentos de onda: 310,0 nm, 354,3 nm, 826,7 nm e 1240,0 nm. Desenhe um diagrama de níveis de energia com o menor número possível de níveis e que seja consistente com dados experimentais. Identifique cada nível por um valor apropriado do número quântico l. Dica: Não se esqueça da regra de seleção para l. 41. || A FIGURA P42.41mostra os pri- Energia (eV) , meiros níveis de energia do átomo , , de lítio. Desenhe uma tabela que , mostre todas as transições permitidas do espectro de emissão. Para cada transição, indique: , a. O comprimento de onda correspondente, em nm. A energia de cada

31. || Prove que a constante de normalização da função de onda radial 2pdo átomo de hidrogênio é como dado pela Equação 42.7. Dica: Ver a dica do Problema 30. 32. || Prove que a densidade de probabilidade radial possui um pico em r  aB para o estado 1 s do hidrogênio. 33. || a. Calcule e represente graficamente a função de onda radial R2p(r) do hidrogênio no intervalo 0  r  8 aB. b. Determine o valor de r (em função de a B) para o qual R2p(r) apresenta um máximo. c. O Exemplo 42.3 e a Figura 42.8 mostram que a densidade de probabilidade radial para o estado 2p possui um máximo em r  4aB. Explique por que existe uma diferença em relação à sua resposta ao item b. 34. || Em geral, um átomo pode possuir um momentum angular orbital bem como um momentum angular de spin. O momentum angular Esta grandeza é quantizada da total é definido como mesmaquântico forma que e , ou seja, onde j ézodenúmero de momentum angular total. O componente é onde mj assume valores inteiros desde j até j. Considere um átomo de hidrogênio em um estado p, correspondente a l  1. a. Lz tem três valores possíveis e Sz, dois. Liste todas as combinações possíveis de Lz e Sz. Para cada uma, calcule Jz e determine o número quântico mj. Apresente os resultados em uma tabela. b. O número de valores de Jz obtido no item a é grande demais para um único valor de j, mas você deve ser capaz de dividir os valores de Jz em dois grupos que correspondam a dois valores de j. Quais são os valores permitidos de j? Explique. Em um átomo clássico não haveria restrições acerca de como os dois momenta angulares e podem ser combinados. Na mecânica quântica é diferente. Agora você já sabe que existem somente duas maneiras permitidas de somar esses dois momenta angulares. 35. | Desenhe uma série de figuras semelhantes à Figura 42.22 para o estado fundamental dos elementos K, Ti, Fe, Ge e Br. 36. || Desenhe uma série de figuras semelhantes à Figura 42.22 para o estado fundamental dos elementos Ca, V, Ni, As e Kr. 37 || a. Para um átomo de sódio no estado 6 s, quais são as transições possíveis para níveis inferiores? 38. | A transição 5 d → 3 p do espectro de emissão do sódio tem um comprimento de onda de 499 nm. Qual é a energia do estado 5 d? 39. | Um átomo de sódio emite um fóton com comprimento de onda igual a 818 nm logo após colidir com um elétron. Qual é a velocidade mínima do elétron antes da colisão? 40. || Sabe-se que a energia de ionização de um átomo é de 5,5 eV. O espectro de emissão desse átomo contém apenas os seguintes compri-

nível está em eV. b. fravermelha, Se a transição está na invisível ou parte ultravio, leta do espectro. c. Se a transição poderia ou não FIGURA P42.41 ser observada no espectro de absorção do lítio. 42. || A FIGURA P42.42mostra alguns níveis de energia do átomo de mercúrio. a. Desenhe uma tabela que mostre todas as transições permitidas do espectro de emissão. Para cada transição, indique o comprimento de onda do fóton correspondente, em nm. b. Qual é a velocidade mínima que o elétron deve ter para excitar a linha de emissão azul, de comprimento de onda 492 nm, do espectro do Hg? Energia (eV) ,

, ,

,

, ,

A energia de cada nível está em eV.

FIGURA P42.42

,

43. || Suponha que você coloque cinco elétrons em uma caixa rígida de 0,50 nm de largura (i.e., em um poço de potencial infinito). a. Use um diagrama de níveis de energia para mostrar a configuração eletrônica do estado fundamental. b. Qual é a energia do estado fundamental? 44. || Três elétrons se encontram confinados em uma caixa rígida unidimensional (i.e., em um poço de potencial infinito) de comprimento igual a 0,5 nm. Dois deles estão no estado n  1, e o terceiro, no estado n  6. A regra de seleção para uma caixa rígida permite apenas as transições nas quais n é um número ímpar. a. Desenhe o diagrama de níveis de energia correspondente. No diagrama, indique quais são os níveis preenchidos e todas as transições nas quais podem ser emitidos fótons. b. riam Quaissersão todos os emitidos porcomprimentos esse sistema?de onda possíveis que pode45. || a. Qual é a taxa de relaxação do estado 2p do hidrogênio? b. Durante que intervalo de tempo uma amostra de átomos hidrogênio no estado 2p relaxará 10%? 46. || Um átomo de hidrogênio está no estado 2p. Quanto tempo deve transcorrer para que existe 1% de chance de que esse átomo sofra um salto quântico para o estado fundamental?

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47. ||| Em determinado estado excitado, um átomo tem 1,0 % de chance de emitir um fóton em 0,20 ns. Quanto tempo levará para que 25% de uma amostra desses átomos excitados relaxe? 48. || a. Obtenha uma expressão em função de  para a meia-vida t1/2 de uma amostra de átomos excitados. A meia-vida é o tempo no qual metade dos átomos excitados devem sofrer saltos quânticos e emitir fótons. b. Qual é a meia-vida do estado 3p do sódio? 49. || Uma descarga elétrica em um tubo que contém neônio mantém uma população constante de 1,0  109 desses átomos em um estado excitado para o qual   20 ns. Quantos fótons por segundo são emitidos pelos átomos neste estado? 50. || Um laser de rubi emite um pulso de luz de 100 MW e 10 ns de duração um comprimento de ondaade átomos de cromoem sofrem emissão estimulada fim690 de nm. gerarQuantos esse pulso?

Problemas desafiadores 51.

Dois níveis de energia excitados são separados por uma diferença de energia muito pequena E. Uma vez que átomos em tais níveis sofrem saltos quânticos para o estado fundamental, os fótons que eles emitem possuem comprimentos de onda  quase idênticos. a. Mostre que os comprimentos de onda diferem por

b. Na série de Lyman do hidrogênio, qual é a diferença de comprimento de onda entre fótons emitidos em transições de n  20 para n  1 e fótons emitidos em transições de n  21 para n  1? 52. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron 1s do hidrogênio a uma distância r  1/2aB do próton? 53. Qual é a probabilidade de encontrar um elétron 1s do hidrogênio a uma distância r  1/2aB do próton? 54. Prove que a distância mais provável (em relação ao próton) para encontrar um elétron no estado 2 s do hidrogênio é 5,236 aB. 55. Determine a distância, em função de aB, entre os dois picos da densidade de probabilidade radial do estado 2 s do hidrogênio. 56. Suponha que você disponha de uma máquina que lhe forneça balas quando você pressiona um botão. Em oitenta por cento das vezes, você aperta o botão e recebe duas balas. Em vinte por cento delas, você recebe 10 balas ao pressionar o botão. O número médio de balas recebidas a cada vez que o botão é pressionado é Nmed  2  0,80  10  0,20  3,6, ou seja, pressionar o botão 10 vezes lhe garantirá, em média, 36 balas. Matematicamente, o valor médio quando as probabilidades diferem é Nmed  (Ni  Probabilidade

de i). Podemos fazer a mesma coisa na mecânica quântica, com a diferença de que essa soma corresponde a uma integral. Em uma grande amostra de átomos de hidrogênio, se você medir a distância de um elétron em relação ao próton, obterá vários valores, como indicado pela densidade de probabilidade radial. Mas o valor médio de r será dado por

Calcule o valor médio de r em função de aB para elétrons nos estados 1s e 2p do hidrogênio. 57. Em 1997, Steven Chu, Claude Cohen-Tannoudji e William Phillips ganharam o Prêmio Nobel de Física pelo desenvolvimento de técnicas para desacelerar, parar ou “aprisionar” átomos por meio de laser. Para entender como isso funciona, considere um feixe de átomos de rubídio (massa de 1,4  10 –25 kg) que se movem a 500 m/s após serem evaporados em um forno. Um feixe de raios laser de 780 nm é direcionado de encontro aos átomos. Esse é o comprimento de onda da transição 5 s → 5p do rubídio, sendo 5s o estado fundamental. Os fótons do feixe de raio laser são, então, facilmente absorvidos pelos átomos. Após um tempo médio de 15 ns, um átomo excitado emite espontaneamente um fóton de comprimento de onda igual a 780 nm e retorna ao estado fundamental. a. A relação energia-momentum-massa da teoria da relatividade de Einstein é E2  p2c2  m2c4. Um fóton é desprovido de massa; logo, seu momentum é p  Efóton/c. Considere que os átomos se movam no sentido positivo do eixo x, e o feixe de laser, no sentido negativo. Qual é o momentum inicial de um átomo recémsaído do forno? Qual é o momentum de um fóton de luz? b. O momentum total do sistema átomo  fóton deve ser conservado no processo de absorção. Em conseqüência, quantos fótons devem ser absorvidos para levar o átomo ao repouso? Também ocorre conservação de momentum nos processos de emissão. Contudo, os fótons emitidos espontaneamente são lançados em direções aleatórias. Medindo-se seus recuos durante vários ciclos de absorção/emissão, o recuo resultante será nulo e poderá ser ignorado.  NOTA 

c. Admita que o feixe de laser seja tão intenso que um átomo no estado fundamental absorva um fóton instantaneamente. Quanto tempo é necessário para deter os átomos? d. Use a segunda lei de Newton na forma F  p /t para calcular a força que os fótons exercem sobre os átomos. A partir daí, calcule a aceleração dos átomos freados. e. Qual é a distância que o feixe de átomos percorre até parar?


Pare e Pense 42.1: n  3, l  1, ou um estado 3p. Pare e Pense 42.2: 4. Você pode observar na Figura 42.8 que o estado ns possui n máximos. ms  ± ½, que o componente z, Sz não Pare ser e Pense pode nulo. 42.3: Não. Como

Pare e Pense 42.4: b. O átomo teria menos energia se o elétron 3 s estivesse no estado 2p

Pare e Pense 42.5: c. A emissão é um salto quântico para um estado de energia mais baixa. A transição 5p → 4p não é permitida porque l  0 viola a regra de seleção. A transição de mais baixa energia permitida é 5p → 3d, com Efóton  Eátomo  3,0 e ev. Pare e Pense 42.6: e. Como rB  2rA, a razão é e –2/ e –1  e –1  ½.

43 Física Nuclear Uma emulsão fotográfica registra os movimentos das partículas alfa emitidas por uma pequena quantidade de rádio.



Olhando adiante

■

Interpretar a estrutura básica do núcleo. Entender como o núcleo é mantido coeso por uma interação forte. Compreender por que alguns núcleos são instáveis e sofrem decaimento radioativo. Calcular a meia-vida de um decaimento radioativo. Aplicar a física nuclear na biologia e na medicina.

O objetivo do Capítulo 43 é ajudá-lo a compreender a física do núcleo e apresentar-lhe algumas aplicações da física nuclear. Neste capítulo, você aprenderá a:

■ ■

■ ■



Em retrospectiva

O conteúdo deste capítulo depende da compreensão da estrutura atômica básica e dos níveis de energia quantizados em poços de potencial. Revise: ■ ■

Seções 38.6 e 38.7 O modelo de Rutherford Seção 41.6 Poço de potencial finito

O núcleo do átomo é algo que está muito distante de nossa experiência do dia-a-dia. Por isso ficamos surpresos ao ver como a física nuclear tornou-se parte de nossa tecnologia moderna e do vocabulário contemporâneo: energia nuclear, armas nucleares, medicina nuclear, lixo nuclear, fissão e fusão nucleares. A descoberta do núcleo atômico por Rutherford marcou o início da física nuclear. Outros físicos logo projetaram experimentos para sondar o núcleo e, assim, compreender as propriedades da matéria nuclear. Neste capítulo final vamos explorar a física do núcleo e algumas aplicações da física nuclear.

43.1 Estrutura nuclear A década de 1890 foi a época dos raios misteriosos. Os raios catódicos começaram a ser estudados em vários laboratórios e, em 1895, Röntgen descobriu os raios X. Em 1896, após tomar descoberta de Röntgen, cientistafluorescentes francês A. H.após Becquerel indagou se conhecimento certos cristais da minerais, conhecidos por oficarem exposição ao Sol, emitiriam raios X. Becquerel colocou um filme dentro de um envelope opaco, posicionou um cristal acima do envelope e o expôs ao Sol. Para sua felicidade, o cristal impressionou a película fotográfica. Becquerel pensou ter descoberto a emissão de raios X por cristais, mas sua alegria durou pouco. Logo ele percebeu que o filme fotográfico era igualmente impressionado quando guardado junto com os cristais no fundo de uma gaveta. Outros experimentos revelaram que o cristal, um mineral que contém urânio, emite um tipo de raio ainda des-

1334


Esta ilustração de um átomo precisaria ter 10 m de diâmetro se fosse desenhada na mesma escala do ponto que representa o núcleo.

conhecido. Em vez de encontrar raios X, Becquerel havia descoberto o que mais tarde denominou-se radioatividade. Não demorou muito para que Ernest Rutherford levasse adiante as investigações e encontrasse não apenas um, mas três tipos distintos de raios que eram emitidos por cristais que continham urânio. Sem saber exatamente o que eram esses raios, Rutherford decidiu nomeá-los com base em seu poder de penetração na matéria e de ionização do ar. Os primeiros, que causavam maior ionização e que tinham menor poder de penetração, foram chamados de raios alfa. Os segundos, com penetração e ionização intermediárias, foram denominados raios beta, enquanto os terceiros, com o mais baixo poder de ionização, porém com o maior poder de penetração, tornaram-se conhecidos como raios gama. Alguns anos mais tarde, Rutherford mostrou que os raios alfa são constituídos por núcleos de hélio emitidos do cristal com altas velocidades. Em 1909, Rutherford usou raios gama como projéteis para investigar a estrutura do átomo. Esse experimento, como já vimos no Capítulo 38, levou Rutherford a concluir que os átomos possuem, em seu centro, um núcleo muito pequeno e denso. A descoberta do núcleo por Rutherford esclareceu em muito a estrutura atômica, todavia gerou novas linhas de pesquisa científica. Entre os questionamentos surgidos se destacam: ■

Átomo

■ ■

De que se constitui a matéria nuclear? Quais são suas propriedades? O que mantém o núcleo coeso? Por que a força eletrostática repulsiva não causa sua desintegração? Qual é a relação entre o núcleo e a radioatividade?

Essas questões foram o começo da física nuclear, o estudo das propriedades do núcleo atômico.

Núcleo

Núcleons O núcleo é um pequeno “grão” no centro de um átomo relativamente imenso. Como –14 mostra a FIGURA 43.1, o diâmetro nuclear, de aproximadamente 10 m, equivale a 1/10.000 do diâmetro do átomo. O que chamamos de matéria é, em sua vasta maioria,

Núcleons (prótons e nêutrons) O núcleo tem uma extensão espacial relativamente bem-definida. O núcleo é um pequeno grão no centro de um átomo. FIGURA 43.1

TABELA 43.1

Prótons e nêutrons Pró t o n

Número Carga q Spin s Massa, emu

Z e

1,00728

N ê u t ro n

N 0

1,00866

espaço No vazio! Capítulo 38 você aprendeu que o núcleo é composto por dois tipos de partículas: prótons e nêutrons. Conjuntamente, eles são conhecidos como núcleons. O papel dos nêutrons, que certamente não é manter os elétrons em órbita, é um assunto importante a ser tratado neste capítulo. A Tabela 43.1 resume as propriedades básicas de prótons e nêutrons. Como você pode perceber, os prótons e os nêutrons são praticamente idênticos; o próton, porém, tem uma unidade de carga fundamental e, enquanto o nêutron é eletricamente neutro. O nêutron possui uma massa um pouco maior que a do próton, mas a diferença é muita pequena – em torno de 0,1%. Note que o próton e o nêutron, analogamente ao elétron, possuem um momentum angular intrínseco e um momento magnético correspondente ao número quântico de spin . Conseqüentemente, os prótons e nêutrons obedecem ao princípio de exclusão de Pauli. O número de prótons, Z, é o número atômico do elemento. Na verdade, um elemento é identificado pelo número de prótons em seu núcleo, e não, pelo número de elétrons em órbita. Elétrons são facilmente adicionados a e removidos dos átomos, formando íons positivos e negativos, mas, quando isso ocorre, o elemento não muda. O número de massa A é definido como A  Z  N, onde N é o número de nêutrons. O número de massa é o número total de núcleons existentes em um núcleo. NOTA  O número de massa, que é adimensional, não é a mesma coisa que a massa

atômica m. Mais tarde daremos uma olhada nas massas atômicas reais.



Isótopos e isóbaros No início do século XX descobriu-se que nem todos os átomos de um mesmo elemento (com o mesmo Z) possuem a mesma massa. Núcleos com o mesmo número Z de prótons (ou seja, de um mesmo elemento químico) podem perfeitamente conter diferentes números de nêutrons e, portanto, diferentes valores de A. Os átomos de um elemento com diferentes valores de A são chamados de isótopos do elemento.

CAPÍTULO 43

O comportamento químico é determinado pelos elétrons em órbita. Todos os isótopos de um elemento possuem o mesmo número de elétrons em órbita (se os átomos estiverem eletricamente neutros) e, portanto, as mesmas propriedades químicas. Contudo, diferentes isótopos de um mesmo elemento podem diferir quanto às propriedades nucleares. A notação utilizada para identificar os isótopos é AZ, onde o número de massa A é indicado sobrescrito antes do símbolo. O número de prótons Z não é especificado por um número, mas, o que é equivalente, por um símbolo associado ao elemento químico. Assim, o carbono ordinário, que tem seis prótons e seis nêutrons no núcleo, é descrito como 12C e pronunciado “carbono doze”. A forma radioativa do carbono utilizada na datação arqueológica é o 14C – que possui seis prótons, o que o torna carbono, porém oito nêutrons. Mais de 3000 isótopos são conhecidos. A maioria é radioativa, o que significa que o núcleo não é estável – após certo período de tempo fragmenta-se ou emite algum tipo de partícula subatômica, na tentativa de atingir um estado mais estável. Muitos desses isótopos radioativos são criados por reações nucleares em laboratório e sua existência é muita curta. Somente 266 isótopos são estáveis (i.e., não-radioativos) e ocorrem na natureza. Começaremos a explorar a estabilidade nuclear na seção seguinte. Os núcleos que ocorrem na natureza incluem os 266 isótopos estáveis e alguns isótopos radioativos que, por terem meias-vidas muito longas, medidas em bilhões de anos, também ocorrem naturalmente. O exemplo mais conhecido de um isótopo radioativo de ocorrência natural é o do isótopo de urânio 238U. Para cada elemento, a fração com que cada um de seus isótopos ocorre na natureza é denominada abundância natural desse isótopo. Embora existam muitos isótopos radioativos do iodo, esse elemento ocorre de for127 ma natural apenas como I. Neste caso, dizemos que a abundância natural do 127I é de 100%. Muitos elementos possuem isótopos com múltipla ocorrência na natureza. A abundância natural do 14N é de 99,6%, ou seja, 996 entre 1000 átomos de nitrogênio que ocorrem naturalmente são do isótopo 14N. Os outros 4 de 100 átomos de nitrogênio encontrados na natureza são do isótopo 15N, com um nêutron a mais. Núcleos com o mesmo valor de A (o mesmo número de massa), mas diferentes valores de Z e N, são chamados de isóbaros. Os três núcleos 14C, 14N e 14O, por exemplo, são isóbaros com A  14. Somente o 14N é estável; os outros são radioativos.

Massa atômica No Capítulo 16, você viu que as massas atômicas são especificadas em unidades de 12 massa atômica u, definida de tal maneira que a massa atômica do isótopo C seja exatamente igual a 12 u. A conversão para unidades do SI é 1 u  1,6605  10– 27 kg Uma forma alternativa é usar a equação de Einstein, E0  mc2, para expressar as massas em função de sua energia equivalente. A energia equivalente a 1 u de massa é – 27

E0  (1,6605  10 

kg) (2,9979  108 m/s) 2

(43.1)

1,4924  10 – 10 J  931,49 MeV

Portanto, a unidade de massa atômica pode ser escrita como 1 u  931,49 MeV/c2 Pode parecer estranho, mas a unidade MeV/c2 é uma unidade de massa. NOTA



Estamos usando dígitos do que o usual, muitos cálculos em física nuclear envolvem massasmais muito próximas, que devempois ser estimadas com quatro ou cinco algarismos significativos a fim de que suas diferenças possam ser evidenciadas.  Quando a água congela e se formam os cristais de neve, a fração de moléculas contendo 18O é maior no caso de neve que se forma a temperaturas atmosféricas mais elevadas. A neve acumulada por mais de dezenas de milhares de anos formou uma espessa camada de gelo na Groenlândia. Uma mostra desse gelo fornece um registro da compo-

à o ã ç a l re

) m e % ( a O i 8 d 1 e é d m o ã ç a ri a V

■

Física Nuclear

1335

, ,

, , Anos anteriores

Quando a água congela, formando cristais de neve, a fração de moléculas que contém 18O é maior para a neve que se forma a temperaturas atmosféricas mais altas. A neve acumulada por dezenas e centenas de anos formou uma espessa calota de gelo sobre a Groenlândia. Uma amostra de núcleo de gelo recolhida deste gelo constitui um registro da composição isotrópica da neve que caiu durante este período de tempo. No gráfico, números maiores correspondem a temperaturas médias mais elevadas. Tendências gerais, tais o aumento dagelo, temperatura finalcomo da última idade do são vistasno claramente.

1336


TABELA 43.2Algumas massas atômicas Par tí cu la

Elétron Próton Nêutron Hidrogênio Deutério Hélio

Massa 2 Sí mb ol o Mass a (u(MeV/c ) )

e p n 1 H 2 H 4 He

0,00055 1,00728 1,00866 1,00783 2,01410 4,00260

0,51 938,28 939,57 938,79 1876,12 3728,40

sição isotópica da neve que caiu durante esse período. Os números maiores no gráfico correspondem a temperaturas médias mais altas. Tendências gerais, como o aumento da temperatura no final da última era glacial, são nitidamente perceptíveis no gráfico. A Tabela 43.2 mostra as massas atômicas do elétron, dos núcleons e de três elementos leves importantes. O Apêndice C fornece uma lista mais completa. Observe que a massa de um átomo de hidrogênio é a soma das massas de um próton e de um elétron. Um cálculo rápido mostra que a massa de um átomo de hélio (2 prótons, 2 nêutrons e 2 elétrons) é 0,03038 u menor do que a soma das massas de seus constituintes. A diferença se deve à energia de ligação do núcleo, um tópico que estudaremos na Seção 43.2. O isótopo 2H é um átomo de hidrogênio em que o núcleo não se constitui de um simples próton, mas de um próton e de um nêutron. Embora o isótopo seja uma forma do hidrogênio, ele é chamado de deutério. A abundância natural do deutério é de 0,015% ou, aproximadamente, de 1 em cada 6.700 átomos de hidrogênio. Água composta por deutério (às vezes escrita D 2O em vez de H 2O) é chamada de água pesada.  Não deixe que o nome deutério o induza a pensar que se trata de um elemento diferente. O deutério é apenas um isótopo do hidrogênio, cujo comportamento químico é exatamente igual ao do hidrogênio ordinário. 

NOTA

A massa atômica química apresentada na tabela periódica dos elementos é a média ponderada das massas atômicas de todos os isótopos desse elemento que ocorrem naturalmente. O cloro, por exemplo, tem dois isótopos: o 35Cl, com m  34,97 u e abun-

dância de 75,8%, e o 37Cl, com 36,97 u e abundância de 24,2%. A média ponderada pela abundância vale 0,758  34,97  0,242  36,97  35,45. Este é o valor apresentado na tabela periódica, e o valor correto para a maioria dos cálculos, mas não é a massa de nenhum isótopo do cloro em particular.  As massas atômicas do próton e do nêutron são ambas 1 u. Conseqüentemente, o valor do número de massa A é igual, aproximadamente, à massa atômica expressa em u. A aproximação m A u é suficiente em muitos contextos como, por exemplo, quando se calcula as massas dos átomos na teoria cinética dos gases. Em física nuclear, no entanto, geralmente necessitamos de valores mais precisos de massas, apresentados na Tabela 43.2 ou no Apêndice C. 

NOTA





Tamanho nuclear e densidade Diferentemente da nuvem eletrônica do átomo, que é bastante difusa, o núcleo tem uma extensão muito bem-definida. Experimentalmente, o raio de um núcleo com número de massa A é dado por r  r0A

1/3

(43.2) –15

onde r0  1,2 fm. Lembre-se de que 1 fm  1 fentômetro  10 m. De acordo com a FIGURA 43.2, o raio é proporcional a A1/3. Conseqüentemente, o volume do núcleo (proporcional a r3) é diretamente proporcional a A, o número de núcleons. Um núcleo contendo o dobro de núcleons ocupará o dobro do volume. Essa descoberta tem três implicações: ■

r é proporcional a A1/3 ■ ■

V é proporcional a A

Número de massa A

FIGURA 43.2Raio nuclear e volume nuclear

em função de A.

Os núcleons são incompressíveis. Adicionar mais núcleons a um núcleo não comprime os núcleons mais internos para um menor volume. Os núcleons se encontram em formação bastante compacta, como no desenho da Figura 43.1, A matéria nuclear possui uma densidade constante.

NaConsidere verdade, podemos Equaçãode43.2 paraAestimar a densidade da matéria nuclear. um núcleousar coma número massa . Sua massa, com precisão de aproximadamente 1%, corresponde a A unidades de massa atômica. Logo, (43.3)

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

1337

Como A se cancela em todos os termos, todos os núcleos possuem essa densidade . 4 Trata-se de um valor de densidade espantosamente grande, em torno de 10 vezes maior que a densidade dos líquidos ou sólidos conhecidos. A matéria não poderia ter uma densidade tão grande – e essa foi uma das primeiras objeções ao modelo atômico de Rutherford. Embora não tenhamos contato direto com a matéria nuclear, essa é, de fato, sua densidade.

A FIGURA 43.3mostra os perfis de densidade de três núcleos. A densidade é constante até próximo da borda, analogamente ao que ocorre com uma gota de um líquido incompressível. De fato, um dos modelos bem-sucedidos na descrição de várias propriedades nucleares é o chamado modelo da gota líquida. Observe que a variação dos raios nucleares, desde o pequeno hélio até o grande urânio, não atinge um fator igual a 4. O fato de o 56Fe ser um átomo típico no centro da tabela periódica é a base para nossa afirmação inicial de que o diâmetro nuclear mede em torno de 10–14 m, ou 10 fm.

Imagine que o núcleo seja uma gota de um dado líquido. A densidade é constante até próximo da borda da gota. Núcleo de 4He

6 PARE E PENSE 43.1 Três elétrons orbitam um átomo neutro de Li. Quantos elétrons orbitam um átomo neutro de 7Li?

,

Núcleo de 56Fe

Núcleo de 238U

Todos os núcleos possuem a mesma densidade até próximo da “borda”.

43.2 Estabilidade nuclear , , , Menos de 10% dos núcleos conhecidos são estáveis (i.e., não-radioativos). Como os núcleos são caracterizados por dois números independentes N e Z, é conveniente descrevê- FIGURA 43.3 Perfis de densidade de três los em um gráfico do número de nêutrons N versus o número de prótons Z. A FIGURA núcleos. 43.4 apresenta um exemplo desse gráfico. Os núcleos estáveis são representados pelos losangos azuis, e os núcleos instáveis, ou radioativos, pelos pontos cinza.

Bismuto, Z  83 Isótopo estável

Os núcleos instáveis situam-se à esquerda e à direita da linha de estabilidade.

Isótopo instável N

s n o rt u ê n e d ro e m ú N

Os núcleos estáveis se agrupam muito próximos à linha de estabilidade.

Linha onde N 

Z

Linha de estabilidade

A linha de estabilidade segue a linha N  Z para Z  16.

Número de prótons Z

Núcleos estáveis e instáveis representados em um gráfico do tipo número de versus número de prótons Z.

FIGURA 43.4

nêutrons N

Com base neste gráfico, podemos fazer inúmeras observações. ■ ■ ■ ■ ■

Os núcleos estáveis se agrupam bem próximos à curva chamada de linha de estabilidade. Não existem núcleos estáveis com Z  83 (Bismuto). Núcleos instáveis estão agrupados em bandas situadas à esquerda e à direita da linha de estabilidade. Os elementos mais leves, com Z  16, são estáveis quando N Z. Elementos como 4 He, 12C e 16C possuem o mesmo número de prótons e de nêutrons. À medida que Z aumenta, o número de nêutrons necessários para haver estabilidade aumenta bem mais do que o número de prótons. A razão N/Z vale 1,2 quando Z  40, mas aumenta para 1,5 quando Z  80. 



1338


Essas observações – especialmente a de que N Z para valores de Z mais baixos e de que N  Z para Z maiores – requerem uma explicação. O modelo nuclear da mecânica quântica, que estudaremos na Seção 43.4, fornecerá as respostas que buscamos. 

PARE E PENSE 43.2 Os isóbaros correspondentes a um valor específico de A são encontrados no gráfico da Figura 43.4 ao longo de a . Uma linha vertical. b. Uma linha horizontal c. Uma linha diagonal que d. Uma linha diagonal que se se estende para cima e estende para cima e para a para a esquerda. direita.

Energia de ligação A energia de ligação é a energia necessária para separar um núcleo em núcleons individuais.

Energia

Núcleo

Núcleos eparado

FIGURA 43.5A energia de ligação nuclear.

19.2

Um núcleo é um sistema ligado, isto é, você teria de fornecer energia para dispersar os núcleons, quebrando as ligações nucleares entre eles. A FIGURA 43.5ilustra esquematicamente essa idéia. Você aprendeu algo semelhante na física atômica. Os níveis de energia do átomo de hidrogênio são números negativos porque o sistema ligado é menos energético do que um próton e um elétron livres. A energia que você deve fornecer a um átomo para remover dele um elétron é denominada energia de ionização. De maneira muito similar, a energia necessária para separar um núcleo em prótons e nêutrons individuais é denominada energia de ligação. Enquanto as energias de ionização dos átomos são de apenas alguns eV, as energias de ligação dos núcleos podem atingir dezenas ou até mesmo centenas de MeV – energias tão altas que as massas equivalentes não são desprezíveis. Considere um núcleo de massa mnuc. Experimentalmente, sabe-se que mnuc é menor que a massa total Zmp  Nmn dos Z prótons e dos N nêutrons que formam o núcleo, onde mp e mn são, respectivamente, as massas de um próton e de um nêutron, isto é, a energia equivalente mnucc2 do núcleo é menor do que a energia equivalente (Zmp  Nmp)c2 dos núcleons individuais que o formam. A energia de ligação B de núcleo (não do átomo correspondente como um todo) é definida como 2 B  (Zmp  Nmn – mnuc ) c

(43.4)

Esta é a energia necessária para separar o núcleo. A dificuldade prática é que, no laboratório, os cientistas utilizam espectroscopia de massa para medir massas atômicas , e não, massas nucleares. A massa atômica, matom é igual à mnuc mais a massa Zme dos elétrons em órbita. (Rigorosamente, deveríamos incluir a energia de ligação dos elétrons, mas ela é, aproximadamente, 10 6 vezes menor do que as energias de ligação nucleares e, portanto, pode ser desprezada em todos os cálculos que não exijam maior precisão.) Felizmente, podemos passar da massa nuclear para a massa atômica usando o simples truque de adicionar e subtrair a massa de Z elétrons. Começamos escrevendo a Equação 43.4 na forma equivalente 2

B  (Zmp  Zme  Nmn – mnuc – Zme) c

(43.5)

onde mnuc  Zme  matom é a massa atômica; Zmp  Zme  Z(mp  me)  ZmH e mH é a massa de um átomo de hidrogênio. Finalmente, usamos o fator de conversão 1 u  931,49 MeV/c2 para escrever c2  931,49 MeV/u. A energia de ligação é, então, B  (ZmH  Nmn – mátomo)  (931,49 MeV/u)

(energia de ligação) onde todas as três massas estão em unidades de massa atômica.

(43.6)

CAPÍTULO 43

EXEMPLO 43.1A

energia de ligação do ferro

Qual é a energia de ligação do núcleo de 56Fe? 56 RESOLUÇÃO O isótopo Fe tem Z  26 e N  30. A massa atômica de 56 Fe, fornecida no Apêndice C, é de 55,9349 u. A diferença de massa entre o núcleo de 56Fe e seus constituintes é B  26(1,0078 u)  30(1,0087 u) – (55,9349 u)



0,529 u

energia de ligação é extremamente grande, equivalente a mais da metade da massa de um próton ou de um nêutron.

Máximo de 8,8 MeV por núcleon

FIGURA 43.6A curva da energia de ligação.

A FIGURA 43.6é o gráfico da energia de ligação por núcleon versus o número de massa A. A linha que liga os pontos é geralmente denominada curva de energia de ligação e apresenta três características importantes:

■

Na curva de energia de ligação existem picos em A  4, 12 e 16. O pico em A  4, correspondente ao 4He, é mais pronunciado. Como você pode perceber, esses picos, que representam núcleos mais fortemente ligados, devem-se à existência de camadas fechadas, de forma análoga ao que ocorre no gráfico das energias de ionização atômica (ver Figura 42.24), que apresenta picos correspondentes a camadas eletrônicas fechadas. A energia de ligação por núcleon torna-se aproximadamente constante e igual a 8 MeV por núcleon para A > 20. Isso sugere que, à medida que o núcleo aumenta, haverá um certo momento em que as ligações nucleares se tornarão saturadas. Cada núcleon interage apenas com seu vizinho mais próximo, aquele com quem ele tem contato direto. Esse fato, por sua vez, sugere que a força nuclear é de curto 

alcance. ■

A curva possui um pico largo em A



1339

B  (0,529 u)  (931,49 MeV/u)  493 MeV AVALIAÇÃO Essa

Número de massa A

■

Física Nuclear

onde, da Tabela 43.2, 1,0078 u é a massa do átomo de hidrogênio. Logo, a energia de ligação do 56Fe é

A energia de ligação nuclear aumenta à medida que o valor de A aumenta devido às ligações nucleares. Uma medida mais útil em comparação entre núcleos é a grandeza B/A, denominada energia de ligação por núcleon. O ferro, com B  493 MeV e A  56, corresponde a 8,80 MeV por núcleon. Essa é a quantidade de energia que, em média, seria necessária para remover um núcleon deste núcleo. Núcleos correspondentes a maiores valores de B/A são mais coesos do que núcleos com menores valores de B/A. n elo c ú n r o p ) V e M m e( ãço a g li e d ai g re n E

■

60. Isso é importante para que possamos

compreender a radioatividade. Em de principio, mais pesados poderiam tornar-se mais estáveis (mais energia ligação núcleos por núcleon) quando quebrados em pedaços menores. Núcleos mais leves poderiam ficar mais estáveis através de sua fusão para formar núcleos maiores. Nem sempre existe um mecanismo para que ocorram tais transformações nucleares, mas se houver um mecanismo, ele será favorecido energeticamente.

1340


43.3 A interação forte A descoberta de Rutherford do núcleo atômico não foi aceita imediatamente por todos os cientistas. A principal objeção feita por eles foi a de que os núcleos explodiriam, com seus prótons saindo em altas velocidades por causa das forças eletrostáticas extremamente fortes existentes entre eles a uma distância de alguns fentômetros. Logo ficou claro que uma força da natureza até então desconhecida operava no interior dos núcleos, mantendo-os coesos. Essa nova força tinha de ser mais forte do que a força repulsiva eletrostática. Devido a essa característica, ela foi denominada interação forte . A interação forte possui quatro características importantes: 1. Trata-se de uma força atrativa entre quaisquer dois núcleons. 2. Ela não é exercida sobre os elétrons. 3. Trata-se de uma força de curto alcance exercida em distâncias nucleares. 4. No alcance em que é exercida, ela é mais forte do que a força eletrostática que

tende a afastar dois prótons.

A interação forte atrativa é igual para quaisquer dois núcleons.

Dois prótons também estão sujeitos a uma pequena força eletrostática repulsiva.

O fato de a interação forte ser de curto alcance, em contraste com as forças elétrica, magnética e gravitacional – que são de longo alcance, ou seja, do tipo 1/ r2 –, é aparente, pois não temos evidencias de forças nucleares fora do núcleo. A FIGURA 43.7resume as três interações que ocorrem no interior de um núcleo. Se a interação forte entre dois prótons tem a mesma intensidade que a força entre dois nêutrons ou entre um próton e um nêutron é uma questão importante que só pode ser respondida experimentalmente. O principal meio de investigação da interação forte consiste em acelerar um próton até uma velocidade muita alta, usando um cíclotron ou algum outro acelerador de partículas, e, então, analisar o espalhamento do próton nos diversos materiais usados como alvo. A conclusão resultante de muitas décadas de pesquisa é a de que a interação forte entre dois núcleons independe do fato de eles serem prótons ou nêutrons. A carga é a base para a existência de interações eletromagnéticas, mas ela não é relevante para a interação forte. No que diz respeito às forças nucleares, prótons e nêutrons são idênticos.

FIGURA 43.7A interação forte é igual entre

Energia potencial

quaisquer dois núcleons.

Infelizmente não existe uma fórmula simples para se calcular a interação forte ou a energia potencial de dois núcleons que interagem entre si através da interação forte. A FIGURA 43.8 é um diagrama de energia potencial determinado experimentalmente para dois núcleons que interagem a uma distância r entre os centros. A energia potencial mínima que ocorre em r 1 fm corresponde a um ponto de equilíbrio estável. Lembre-se de que a força é igual ao negativo da declividade do gráfico da energia potencial. A declividade acentuada para r  1 fm representa uma interação fortemente repulsiva, isto é, os “caroços” dos núcleons se repelem quando estão muito próximos. A força é atrativa para r  1 fm, quando a declividade é positiva, e mais forte onde a declividade for mais acentuada, em r 1,5 fm. Para r  1,5 fm, o módulo da força diminui bruscamente e torna-se nulo para r  3 fm, ou seja, a interação forte representada por essa energia potencial é efetivamente exercida apenas quando as distâncias são muito curtas. Observe como é pequena a energia eletrostática de dois prótons em comparação à energia potencial devido à interação forte. Ao redor de r 1,0 fm, que corresponde ao ponto de equilíbrio estável, o módulo da energia potencial nuclear é 100 vezes maior do que a energia potencial eletrostática. Mas por que o núcleo possui nêutrons, afinal? A resposta para essa questão, mencionada anteriormente, está relacionada ao curto alcance da interação forte. Por todo

Energia potencial de dois núcleos Energia potencial eletrostática de dois prótons

A interação forte desaparece em r



3 fm.

A força máxima ocorre em r 1,5 fm, onde a declividade é máxima. 

Ponto de equilíbrio estável

FIGURA 43.8Diagrama de energia potencial

para dois núcleons que interagem um com o outro por meio da interação forte.









ocurto núcleo, os prótons exercem eletrostáticas repulsivas entreexercida si, mas,apenas devidopor ao alcance da interação forte,forças um próton sente a força repulsiva aqueles poucos prótons com os quais ele tem contato direto. Embora a interação forte no seu máximo seja maior do que a força eletrostática, não haveria ligação nuclear atrativa suficiente para que um núcleo constituído somente de prótons fosse estável. Por participarem da interação forte e não exercerem forças eletrostáticas repulsivas, os nêutrons constituem a “cola” adicional que mantém o núcleo coeso . Em núcleos pequenos,

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

1341

em que a maior parte dos núcleons está em contato, um nêutron por próton é suficiente para garantir a estabilidade. Assim, núcleos pequenos possuem N Z. Mas em núcleos maiores, as forças repulsivas aumentam mais rapidamente do que a energia de ligação e, conseqüentemente, mais nêutrons são necessários para manter a estabilidade, o que faz com que os núcleos mais pesados tenham N  Z. 

43.4 O modelo de camadas A Figura 43.8 mostra a energia potencial de dois núcleos que interagem um com o outro. Para resolver a equação de Schrödinger para o núcleo, teríamos de conhecer a energia potencial total de todos os pares de núcleons que interagem no interior do núcleo, incluindo a interação forte e a força eletrostática – um problema um tanto quanto complexo. No caso de átomos multieletrônicos, nos deparamos com o mesmo problema. Calcular a energia potencial exata de um átomo é tarefa bastante complexa. Para simplificar, usamos um modelo atômico em que cada elétron se move independentemente dos demais, com uma energia potencial média que se deve ao núcleo e a todos os outros elétrons. Embora não seja perfeito, esse modelo prevê corretamente as camadas eletrônicas e explica a tabela periódica dos elementos. O modelo de camadas nucleares, que usa átomos multieletrônicos como analogia, foi proposto em 1949 por Maria Goeppert-Mayer. O modelo considera que cada núcleon se move independentemente dos demais, com uma energia potencial média devido à interação forte com todos os outros núcleons. Para os prótons, temos de incluir também a energia potencial eletrostática devido às interações repulsivas com os outros prótons. A FIGURA 43.9mostra a energia potencial média de um nêutron e de um próton. Aqui, r representa a distância a partir do centro do núcleo, como na Figura 43.8, e não, a distância núcleon-núcleon. Em geral, as interações de um núcleon com seus vizinhos independem de sua posição dentro do núcleo, o que explica a energia potencial constante no interior do núcleo. É possível perceber que, em boa aproximação, um núcleon se comporta como uma partícula em um poço de potencial finito, um problema de mecânica quântica que você aprendeu a resolver no Capítulo 41.

nêutron

O potencial eletrostático decresce suavemente

próton

Poço de energia potencial finito

A energia potencial média de um nêutron deve-se à interação forte.

A energia potencial média de um próton se deve à interação forte e à força elétrica. Essa profundidade do poço de potencial é para Z 30. 

FIGURA 43.9Energia potencial média de um nêutron e de um próton.

Três observações importantes: 1. A profundidade do poço de potencial para o nêutron é de 50 MeV para todos os núcleos. O raio do poço de potencial é o raio nuclear R  r0A1/3. 2. Para os prótons, a energia potencial eletrostática positiva “eleva” o poço de po

tencial. Para elementos muito leves, esse aumento é quase nulo; e para elementos muito pesados, é uma fração significativa da profundidade do poço. A energia potencial apresentada na figura seria apropriada para um núcleo com Z 30. 3. Fora do núcleo, onde a interação forte desaparece, a energia potencial de um próton é e se deve à interação eletrostática com os outros (Z – 1) prótons existentes no núcleo. Essa energia potencial positiva diminui suavemente com a distância. 

Maria Goeppert-Mayer mostra seu Prêmio Nobel.

1342


A tarefa da mecânica quântica é calcular os níveis de energia e as funções de onda dos núcleons nos poços de potencial. Quando os níveis de energia são encontrados, construímos o estado nuclear colocando todos os núcleons nos níveis mais baixos de energia compatíveis com o princípio de Pauli, exatamente como fizemos para os átomos. Da mesma forma que afeta os elétrons, o princípio de Pauli afeta também os núcleons, pois eles são partículas de spin 1/2. Cada nível de energia pode conter certo número de partículas com spin up e com spin down, dependendo dos números quânticos. Núcleons adicionais devem ocupar níveis mais altos de energia. A distância radial do nêutron é medida à esquerda.

Quando o valor de Z é baixo, a energia potencial do próton é quase idêntica à energia potencial do nêutron.

nêutrons Estes são os três primeiros níveis de energia permitidos. Eles estão separados por muitos MeV.

prótons Estes são os números máximos de núcleons permitidos pelo princípio de Pauli.

FIGURA 43.10Os três níveis de energia

mais baixos de núcleos com baixo Z. Os níveis de energia do nêutron estão à esquerda, e os do próton, à direita.

Núcleos com baixo valor de Z Como exemplo, vamos considerar os níveis de energia de núcleos com baixos valores de Z ( Z  8). Uma vez que esses núcleos possuem tão poucos prótons, podemos usar uma aproximação queem despreze a energia potencialpotencial eletrostática decorrente da repulsão próton, levando conta apenas a energia nuclear, que é muito maior.prótonNeste caso, os poços de potencial e os níveis de energia para prótons e nêutrons são idênticos. A FIGURA 43.10mostra os três níveis de energia mais baixos e o número máximo de núcleons permitidos pelo princípio de Pauli. Os valores de energia variam de núcleo para núcleo, mas a distância entre os níveis é de muitos MeV. É comum desenhar-se diagramas para a energia potencial e para os níveis de energia de prótons e nêutrons lado a lado. Observe que o eixo radial para o poço de potencial do próton aponta para a direita, enquanto o do nêutron aponta para a esquerda. Vamos aplicar este modelo para o isóbaro A  12. Lembre-se de que um isóbaro é uma serie de núcleos com mesmo número total de nêutrons e prótons. A FIGURA 43.11 ilustra os diagramas de níveis de energia de 12B, 12C e 12N. Primeiro vamos voltar nossa atenção para o 12C, um núcleo com seis prótons e seis nêutrons. Percebemos que exatamente seis prótons são permitidos nos níveis de energia n  1 e n  2. O mesmo ocorre para os seis nêutrons. Logo, o 12C tem uma camada fechada de prótons, n  2, e uma camada fechada de nêutrons, n  2. Prótons e nêutrons são partículas diferentes uma da outra. O princípio de Pauli não será violado se um próton e um nêutron tiverem os mesmos números quânticos.  NOTA 

Um núcleo de 12B poderia baixar sua energia se um nêutron pudesse se transformar em um próton.

nêutrons

prótons

nêutrons

prótons

nêutrons

prótons

FIGURA 43.11O isótopo A  12 deve conter 12 núcleons nos níveis de energia mais baixos

disponíveis.

O 12N tem sete prótons e cinco nêutrons. O sexto próton preenche a camada n  2 para prótons; o sétimo próton, por sua vez, tem de ocupar o nível de energia n  3. A camada n  2 para nêutrons tem uma vaga, pois há somente cinco nêutrons presentes. Com o 12B ocorre exatamente o oposto: o sétimo nêutron ocupa o nível de energia n  3. 12

12

Observando diagramas, mais energiaos – muitos MeVéapossível mais doperceber que o 12C.que os núcleos B e N possuem muito Em átomos, os elétrons dos níveis de energia mais altos relaxam para níveis mais baixos através da emissão de um fóton durante um salto quântico. O mesmo não pode ocorrer para os núcleons, pois o núcleon de mais alta energia de 12B é um nêutron, enquanto o nível vazio de menor energia é o de um próton. Entretanto poderia ocorrer um processo análogo se, de alguma forma, um nêutron pudesse tornar-se um próton. E é exatamente isso que acontece! Estudaremos os detalhes na Seção 43.6. Tanto o 12B quanto o 12N decaem para o 12C em um processo conhecido como decaimento beta.

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

1343

O 12C é apenas um dos três núcleos de baixo Z cujas camadas de prótons e nêutrons são fechadas. Os outros dois são o 4He (em que ambas as camadas correspondentes a n  1 estão preenchidas porque Z  2 e N  2) e o 16O (em que ambas as camadas correspondentes a n  3 estão preenchidas porque Z  8 e N  8). Se a analogia com camadas fechadas eletrônicas for válida, esses núcleos deveriam ser mais fortemente ligados do que núcleos com valores de A semelhantes . Realmente, já observamos que a curva da energia de ligação (Figura 43.6) tem picos em A  4, 12 e 16. O modelo nuclear de camadas explica satisfatoriamente esses picos. Infelizmente, o modelo logo se torna mais complexo à medida que vamos além de n  3. Núcleos mais pesados possuem camadas fechadas, todavia isso não se reflete na curva de energia de ligação.

Núcleos com alto valor de Z Podemos usar o modelo de camadas para dar uma explicação qualitativa para mais uma observação, embora os detalhes ultrapassem o objetivo deste texto. A FIGURA 43.12ilustra os poços de potencial dos nêutrons e dos prótons de um núcleo com alto valor de Z. Em um núcleo que contém muitos prótons, a energia potencial eletrostática eleva o poço de potencial do próton mais do que o do nêutron. Prótons e nêutrons ficam, assim, com diferentes níveis de energia. Quando um núcleo é “construído” através da adição de prótons e nêutrons, os poços de energia dos prótons e dos nêutrons devem ser preenchidos aproximadamente até a mesma altura. Se houvesse nêutrons em níveis de energia acima dos níveis vazios dos prótons, o núcleo reduziria sua energia por meio do decaimento beta, transformando, assim, um nêutron em um próton. De maneira similar, o decaimento beta transformaria um próton em um nêutron se houvesse um nível de energia vazio do nêutron abaixo de um nível cheio do próton. O resultado final do decaimento

prótons nêutrons

beta é manter os níveis preenchidos em ambos os lados com alturas aproximadamente iguais.

Uma vez que o poço de energia potencial do nêutron possui energias mais baixas,

Os nêutrons e prótons preenchem os níveis de energia até a mesma altura. Para que isso ocorra, são necessários mais nêutrons que prótons.

mais estados quânticos estão disponíveis para os nêutrons do que para os prótons. Conseqüentemente, um núcleo com alto valor de Z conterá mais nêutrons do que prótons. Essa conclusão é consistente com o que observamos na Figura 43.3, em que N  Z para

FIGURA 43.12Em um núcleo com alto

núcleos pesados.

são deslocados para cima.

valor de Z, os níveis de energia dos prótons

Radiação e radioatividade Em 1896, Becquerel percebeu que cristais de urânio emitiam “raios”. Essa descoberta desencadeou uma série de pesquisas. Na França, Marie Curie e Pierre Curie se juntaram a Becquerel e concentraram esforços para isolar o elemento ou os elementos responsáveis por essa radiação. Durante a pesquisa, eles descobriram o elemento rádio. Na Inglaterra, J.J. Thomson e seu aluno Ernest Rutherford trabalharam na identificação desses raios, até então desconhecidos. Usando combinações de campos elétricos e magnéticos, de modo muito semelhante àquele usado por Thomson em suas pesquisas sobre os raios catódicos, eles identificaram três tipos de radiação. A Figura 43.13 mostra o procedimento experimental básico usado e a Tabela 43.3 resume os resultados. As partículas alfa são desviadas minimamente; elas são positivas e relativamente pesadas.

Marie Curie Os raios gama não são desviados; logo, não possuem carga.

Fonte radioativa

Blindagem de chumbo

Campo magnético

As partículas Beta sofrem desvios significativos em direção oposta. Elas são negativas e leves.

FIGURA 43.13Identificação da radiação através de seu desvio em um campo magnético.


1344

TABELA 43.3Os três tipos de radiação R ad i aç ã o

Alfa,  Beta,  Gama, 

Rastro ionizado Elétron ejetado ou

I d e n t i fi c aç ão

Núcleo de 4He Elétron Fótondealtaenergia

C ar ga 2e

–e 0

B l i n d ad ap o r

Folha de papel Folha de alumínio de alguns mm Muitoscmdechumbo

Em poucos anos, à medida que Rutherford e outros cientistas revelavam a estrutura básica do átomo, tornou-se claro que essas emissões de radiação provinham do núcleo atômico. Hoje, definimos radioatividade ou decaimento radioativo como a emissão espontânea de partículas ou de fótons de alta energia por núcleos instáveis, quando estes relaxam desde estados de alta energia para estados de baixa energia. A radioatividade não tem nenhuma relação com os elétrons de valência em órbita. NOTA  O termo “radiação” significa que algo é irradiado para fora, srcinando-se da palavra “radial”. As ondas eletromagnéticas são geralmente chamadas de “radiação eletromagnética”. As ondas infravermelhas emitidas por um objeto quente são denominadas “radiação térmica”. Não nos surpreende que esses novos “raios” também tenham sido chamados de radiação. Infelizmente, o público em geral começou a associar a palavra “radiação” com radiação nuclear, algo muito temido por todos. No entanto é importante que você esteja atento quando for utilizar o termo, para não passar a impressão errada ao seu ouvinte ou ao seu leitor. 

Radiação ionizante

FIGURA 43.14As partículas alfa e beta

deixam rastros ionizados quando atravessam a matéria. Este é o princípio de funcionamento de uma câmara de bolhas de hidrogênio.

As ondas eletromagnéticas, desde as microondas até a radiação ultravioleta, são absorvidas pela matéria. A energia absorvida aumenta a energia térmica de um objeto e sua temperatura, razão pela qual os objetos aquecem quando expostos ao Sol. Em contraste com as energias dos fótons da luz visível, de alguns poucos eV, as energias das partículas alfa, beta e dos fótons de raios gama, oriundos do decaimento nuclear, variam entre 0,1 e 10 MeV, um fator aproximadamente 106 vezes maior. Essas energias são muito mais altas do que as energias de ionização dos átomos e das moléculas. Além de, simplesmente, ser absorvida e aumentar a energia térmica de um objeto, a radiação nuclear ioniza a matéria e rompe as ligações moleculares. A radiação nuclear (bem como os raios X, que se comportam de maneira muito semelhante na matéria) é chamada de radiação ionizante. Quando atravessa a matéria, uma partícula alfa ou beta gera um rastro ionizado, como mostra a FIGURA 43.14a. Sabendo-se que a energia de ionização de um átomo é de 10 eV, uma partícula com 1 MeV de energia cinética pode ionizar 100.000 átomos ou moléculas antes de parar por completo. Os elétrons, com massa pequena, são “chutados” para os lados, entretanto os íons positivos com massas bem maiores quase não se movem e, conseqüentemente, formam o rastro. Esse comportamento constitui o princípio de funcionamento de uma câmara de ionização e de uma câmara de bolhas de hidrogênio , onde gotas de água microscópicas ou bolhas de gás hidrogênio coalescem em torno dos íons positivos, deixando visível um rastro. A FIGURA 43.14aé uma foto de rastros ionizados produzidos por partículas de alta energia em uma câmara de bolhas. A curvatura das trajetórias se deve à presença de um campo magnético. A ionização também constitui o princípio de funcionamento de um contador Geiger, um dos mais conhecidos detectores de radiação nuclear. A FIGURA 43.15ilustra o funcionamento do contador Geiger. É importante lembrar que o contador detecta apenas radia

1. Elétrons ejetados causam uma reação em cadeia de ionização do gás.

Ponto de ionização Elétrons ejetados

Molécula de gás

Milhares de elétrons chegam ao fio, dando srcem a uma corrente elétrica. Um pico de voltagem negativa no fio ocasiona um “clique” do contador Geiger.

Janela delgada

ção ionizante.

A radiação ionizante danifica materiais. Os íons produzidos desencadeiam reações que não molecular, ocorreriamespecialmente em outra situação. A quebra de ligações grandes. moleculares altera oquímicas funcionamento em moléculas biológicas É através desses mecanismos – ionização e quebra de ligações – que a radiação pode causar mutações e tumores. Estudaremos as implicações biológicas da radiação na Seção 43.7

Radiação

Rastro formado por Gás neônio centenas de íons ou argônio



Fio metálico rígido central

FIGURA 43.15Um contador Geiger.

NOTA  A radiação ionizante causa danos estruturais nos materiais, mas os objetos irradiados não se tornam radioativos. A ionização desencadeia processos quími-

cos que envolvem elétrons. Um objeto torna-se radioativo apenas se seus núcleos se modificarem de alguma forma, mas isso não ocorre no caso mencionado acima. 

CAPÍTULO 43

PARE E PENSE 43.3 Uma lâmpada forte direcionada para um contador Geiger fará com que o aparelho emita “cliques”?

Decaimento nuclear e meia-vida Rutherford foi o primeiro a descobrir que o número de átomos radioativos em uma amostra diminui exponencialmente com o tempo. Esta é a dependência temporal esperada se o decaimento for um processo aleatório. Mas dizer que um processo é aleatório não significa que não exista um padrão. O lançamento de uma moeda para o alto é um processo aleatório, pois não podemos prever o que vai resultar do lançamento. Mesmo assim, se você jogar 1.000 moedas, com certeza obterá 500 caras e 500 coroas aproximadamente. Com o decaimento nuclear é semelhante. r apartícula Seja probabilidade umou núcleo sofrerdedecaimento o próximo s, emitindo uma alfa oudebeta um fóton raio gama.durante Por exemplo, r  10,010 s–1 significa que um núcleo tem 1% de chance de decair durante o próximo segundo. Note que r, chamada de taxa de decaimento, tem unidade igual a s–1, que é precisamente a unidade de uma taxa. A probabilidade de um núcleo decair durante um pequeno intervalo de tempo t é

Prob(durante t)  rt

(43.7)

–1

Um núcleo com r  0,010 s , por exemplo, tem 0,1% de chance de decair (Prob  0,001) durante um intervalo de 0,1 s. Se houver N núcleos independentes, o número esperado de núcleos que sofrerão decaimento durante t é número de decaimentos



N  probabilidade de decaimento  rN t

(43.8)

Isto equivale a dizer que se espera 500 caras quando se lança 1.000 moedas, tendo cada moeda 50% de probabilidade de dar cara. Cada decaimento reduz o número de núcleos radioativos na amostra. A variação do número de núcleos radioativos ocorrida durante t é N  –rN t

(43.9)

O sinal negativo significa que N, o número de núcleos, diminui devido aos decaimentos. Finalmente, fazendo t → dt, a Equação 43.9 assume a forma (43.10) A taxa de variação do número de núcleos radioativos depende tanto da taxa de decaimento radioativo (uma probabilidade de desintegração por segundo maior significa que ocorrem mais desintegrações por segundo) quanto do número de núcleos radioativos existentes (um número maior de núcleos significa que há mais núcleos disponíveis para decair). Uma vez que N está diminuindo, a taxa dN/dt é negativa. A Equação 43.10 é a mesma equação que foi resolvida no Capítulo 32, com símbolos diferentes, para a diminuição da voltagem em um circuito RC. Primeiro separamos as variáveis nos lados opostos da equação: (43.11) Precisamos integrar esta equação, iniciando com N  N0 núcleos em t  0. Assim, (43.12) Efetuando a integração, obtemos (43.13)

■

Física Nuclear

1345

1346


Agora podemos calcular N tomando a exponencial de ambos os lados da equação e multiplicando tudo por N0. O resultado é N  N0 e

– rt

(43.14)

A Equação 43.13 prevê que o número de núcleos radioativos diminui exponencialmente, uma previsão confirmada por inúmeros experimentos realizados durante os últimos cem anos. É importante definir a constante de tempo  como

Com essa definição, a Equação 43.13 torna-se (43.15) Número de núcleos restantes

Um aspecto importante do decaimento exponencial é que você pode escolher o instante que desejar como t  0. O número de nú cleos radioativos presentes naquele instante será N0. Se em certo instante você tiver 10.000 núcleos radioativos cuja constante de tempo é   10 min, você terá por volta de 3680 núcleos 10 minutos mais tarde. O fato de haver mais de 10.000 núcleos no momento anterior não é relevante.  NOTA 

, , ,

A meia-vida é o tempo durante o qual decai a metade dos núcleos srcinais.

A FIGURA 43.16mostra a diminuição de N com o tempo. O número de núcleos radioativos diminui de N0, em t  0 para e –1 N0  0,368 N0em . Em termos práticos, o número diminui em, aproximadamente, dois terços durante um intervalo de tempo igual a uma constante de tempo.

A constante de tempo é o instante de tempo em que o número de núcleos é e–1, ou 37% do número inicial.

FIGURA 43.16O número de átomos

radioativos diminui exponencialmente com o tempo.

A Equação 43.14 tem relevância teórica, pois com ela podemos relacionar  diretamente à probabilidade de decaimento. Mas, na prática, é muito mais fácil medir o tempo em que metade da amostra decaiu do que medir o tempo em que 36,8% decaiu. Vamos, então, definir a meia-vida t1/2 como o intervalo de tempo no qual decai a metade da amostra de átomos radioativos. A meia-vida é representada na Figura 43.16. A meia-vida pode ser facilmente relacionada à constante de tempo , pois sabemos, por definição, que

em t  t1/2.. Logo, de acordo com a Equação 43.15, temos (43.16)

Os fatores N0 se cancelam e, então, podemos tomar o logaritmo natural de ambos os lados, obtendo (43.17) Com um arranjo final, obtemos t1/2   ln2  0,693 

(43.18)

Como tarefa para casa, deixaremos para você demonstrar que a Equação 43.15 pode ser escrita em função da meia-vida na forma (43.19) Logo, N  N0/2 em t  t1/2, N  N0/4 em t  2t1/2, N  N0/8 em t  3t1/2 e assim sucessivamente. Não importa a quantidade de núcleos existentes, o número decairá pela metade durante a próxima meia-vida.  A metade dos núcleos decai durante uma meia-vida, mas não caia na armadilha de pensar que toda a quantidade de núcleos terá sofrido decaimento após duas meias-vidas. 

NOTA

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

A FIGURA 43.17ilustra graficamente a meia-vida, além de ilustrar outros dois aspectos importantes:

1347

Existem N0 núcleos em t  0 Núcleo que não sofreu decaimento

1. Ao decaírem, os núcleos não desaparecerem; eles são transformados em outro

tipo de núcleo. 2. O decaimento é um processo aleatório. Podemos prever que metade dos núcleos

Núcleo-filho

decairá durante uma meia-vida, mas não podemos prever quais serão os núcleos que decairão. Cada isótopo radioativo, como o 14C, por exemplo, tem sua própria meia-vida. Ela não muda com o tempo à medida que a amostra sofre decaimento. Se você lançar uma moeda 10 vezes e, contra todas as chances, obtiver 10 caras, talvez você pense que, no próximo lançamento, haverá maior probabilidade de obter coroa. No entanto, a probabilidade obter10cara no próximo lançamento ainda é de 50%. Após 10 meias-vidas, ainda restarãode(1/2)  1/1024 da mostra radioativa. Não há nada de especial com esses núcleos e, apesar de sua longevidade, cada núcleo restante tem exatamente 50% de chance de decair durante a próxima meia-vida.

EXEMPLO 43.2O

decaimento do iodo

FIGURA 43.17Metade dos núcleos decaem

durante cada meia-vida.

Para isolar t, primeiro escrevemos

O isótopo do iodo 131I, com uma meia-vida de oito dias, é usado na medicina nuclear. Uma amostra do isótopo 131I contendo 2,00  1012 átomos é criada em um reator nuclear. A seguir, tomamos o logaritmo de ambos os lados. Tanto os logaritmos naturais quanto os de base 10 podem ser usados. Neste caso, usaremos o logaritmo natural.

a. Quantos átomos de 131I restam 36 horas após a amostra ser entregue a um hospital? b. A radioatividade da amostra enfraquece constantemente, mas ela ainda pode ser usada desde que haja nela pelo menos 5,0  1011 átomos de 131I. Qual é o prazo máximo para a amostra tornar-se sem utilidade? 131 MODELO O número de átomos de I diminui exponencialmente. RESOLUÇÃO a. A meia-vida é t1/2  8 dias  192 horas. Após 36 horas,

Isolando t, obtemos t  2,00 t1/2  16 dias

12

 1,76  10 núcleos b. O instante posterior à criação no qual restam 5,0  10 11 átomos 131 de I é dado por

AVALIAÇÃO A amostra maisNa fraca ainda utilizável corresponde um quarto da amostra inicial. Figura 43.17 você pode observara que

uma amostra radioativa decai para um quarto de sua quantidade inicial em 2 meias-vidas.

Atividade A atividade R de uma amostra radioativa corresponde ao número de decaimentos que ocorrem por segundo. Ela é igual, simplesmente, ao valor absoluto de dN/dt, ou (43.20) onde R0  rN0 é a atividade em t  0. A atividade de uma amostra diminui exponencialmente da mesma forma que o número de núcleos restantes. No SI, a unidade da atividade é o becquerel, definido como –1

1 becquerel  1 Bq 1 decaimento/s ou 1 s Uma unidade de atividade mais antiga, mas que ainda continua a ser amplamente utilizada, é o curie . O curie foi srcinalmente definido como sendo a atividade equivalente a 1 g de rádio. Atualmente, o fator de conversão é dado por 

1 curie  1 Ci



3,7  1010 Bq

1348


Um curie é uma atividade substancial. As amostras radioativas utilizadas em experimentos laboratoriais tipicamente apresentam atividades de 1 Ci, ou, o que é equivalente, 40.000 Bq. Essas amostras podem ser manipuladas com algumas precauções. Fontes de radioatividade mais ativas exigem proteção de chumbo e cuidados especiais para evitar exposição a altos níveis de radiação. 



EXEMPLO 43.3Uma

fonte de laboratório

Então,

O isótopo 137Cs é uma fonte-padrão de raios gama. A meia-vida do 137 C é de 30 anos. a. Quantos átomos de 137Cs existem em uma fonte com atividade de 5,0 Ci?

Logo, o número de átomos de 137Cs é

b. QualOserá a atividade dessadefonteCs10diminui anos mais tarde? MODELO número de átomos exponencialmente. 137

RESOLUÇÃO a. O número de átomos pode ser obtido calculando-se N0  R0/r. A atividade, expressa em unidade do SI, é

b. A atividade diminui exponencialmente, assim como o número de núcleos radioativos. Após 10 anos, teremos

Para obter a taxa de desintegração, primeiro convertemos a meiavida para segundos:

AVALIAÇÃOEmbora N0 seja um número muito grande, trata-se de uma

fração muito pequena ( 10–10 ) de um mol. A amostra possuirá, então, aproximadamente 60 ng (nanogramas) de 137Cs. 

Datação radiométrica

A técnica conhecida como datação por carbono utiliza o decaimento radioativo do isótopo 14C, que ocorre naturalmente na natureza, para determinar a idade de fósseis e artefatos arqueológicos.

Grande parte das amostras arqueológicas e geológicas pode ser datada através da medição do decaimento de isótopos radioativos que ocorrem naturalmente na Terra. Uma vez que não temos como saber qual é o valor de N0, o número inicial de núcleos radioativos, a datação radiométrica depende do uso de proporções. A técnica de datação mais conhecida é a datação por carbono. O isótopo 14C tem meia-vida de 5730 anos; logo, o 14C presente na formação da Terra, há 4,5 bilhões de anos, já deveria ter se desintegrado por completo há muito tempo. Contudo, o 14C está presente no dióxido de carbono atmosférico. Raios cósmicos de alta energia colidem com as moléculas da atmosfera; esses raios possuem energia suficiente para produzir núcleos de 14C por meio de reações nucleares com núcleos de nitrogênio e oxigênio. A criação e a desintegração do 14C atinge um estado de equilíbrio em que a proporção 14C/12C é de 1,3  10–12, ou seja, o dióxido de carbono atmosférico contém 14C na concentração de 1,3 parte por trilhão, uma quantidade que, mesmo pequena, é facilmente mensurável por meio de técnicas químicas modernas. Todos os organismos vivos trocam constantemente dióxido de carbono com a atmosfera, de modo que a proporção 14C/12C nestes organismos também é igual a 1,3  10–12. Assim que um organismo morre, o 14C presente em seus tecidos começa a decair, só que agora ele não mais será reposto. Os objetos são datados comparando-se a proporção 14 12 C/ C com o valor de 1,3  10–12 correspondente a um ser vivo. A datação por carbono é utilizada para datar esqueletos, madeira, papel, pêlo, alimentos e tudo que for composto de matéria orgânica. A técnica tem alta precisão para idades de até 15.000 anos ou, aproximadamente, três meias-vidas do 14C. A dificuldade em medir uma proporção tão pequena e as incertezas acerca do fluxo de raios cósmicos no passado sãoobjetos fatorespodem que, combinados, reduzem a precisão da datação Mesmo assim, ser datados em até 50.000 anos com um graupor de carbono. precisão bastante razoável. Outros isótopos com meias-vidas mais longas são usados para datar amostras geológicas. A datação pelo método potássio-argônio, que utiliza o 40K, com meia-vida de 1,25 bilhão de anos, é especialmente útil na datação de rochas de srcem vulcânica.

CAPÍTULO 43

EXEMPLO 43.4Datação

por carbono

14

12

Física Nuclear

1349

Logo,

Ao escavarem um acampamento milenar de caçadores, arqueólogos encontram um pedaço de 5,0 g de carvão proveniente de uma fogueira. Após efetuaram medições na amostra, os cientistas determinam que a atividade devido ao 14C é de 0,35 Bq. Qual é a idade aproximada do acampamento? MODELO O carvão, oriundo da queima da madeira, é quase carbono puro. O número de átomos de 14C presentes na madeira diminuiu exponencialmente desde que o galho caiu da árvore. Sabendo-se que a madeira apodrece, é razoável supor que não tenha decorrido muito tempo entre o momento da queda do galho da árvore e o momento em que a madeira foi queimada pelos caçadores, RESOLUÇÃO

■



–12

A proporção C/ de C era de 1,3 o 10 o galho caiu da árvore. Primeiro temos determinar valor quando atual dessa proporção e, então, usar a meia-vida do 14C, que sabemos ser t1/2  5730 anos, para calcular o tempo decorrido necessário para atingir o valor atual da proporção. O número de núcleos de 12C na amostra é

e a proporção atual 14C/12C é N(14C)/N(12C)  0,36  10–12. Uma vez que tal proporção vem diminuindo exponencialmente com uma meiavida de 5730 anos, o tempo necessário para que a proporção atual seja atingida é obtido a partir de

Para calcular t, reescrevemos a equação na forma

Agora podemos tomar o logaritmo de ambos os lados:

Logo, a idade do acampamento de caçadores é 14

O número de núcleos de C pode ser obtido por meio da atividade, 14

N( C)  R/r, todavia precisamos determinar a taxa de decaimento 14 r do C. Após a conversão da meia-vida para segundos, t1/2  5730

AVALIAÇÃO Este é um exemplo real que ilustra como é realizada a da-

tação radiométrica.

anos  1,807  1011 s, podemos calcular

PARE E PENSE 43.4 Uma amostra possui inicialmente 1.000 átomos radioativos. Quantas meias-vidas decorrerão a fim de que 750 átomos sofram decaimento?

a. 0,25 b. 1,5 c. 2,0 d. 2,5

43.6 Mecanismos de decaimento Nesta seção estudaremos mais detalhadamente os mecanismos dos três tipos de decaimento radioativo.

19.4

Decaimento alfa Uma partícula alfa, símbolo , é um núcleo de 4He, isto é, um sistema fortemente ligado de dois prótons e dois nêutrons. Um núcleo instável que emite uma partícula alfa perderá dois prótons e dois nêutrons. Portanto, podemos representar o decaimento da seguinte forma A

XZ → A – 4 YZ – 2    energia

(43.21)

A FIGURA 43.18ilustra o processo de decaimento alfa. O núcleo X srcinal é chamado de núcleo-pai, e o núcleo Y, produto do decaimento, é o núcleo-filho. Esta reação pode ocorrer somente quando a massa do núcleo-pai for maior do que a do núcleo-filho mais a massa da partícula alfa, condição que é satisfeita por núcleos pesados com altos valores de Z, situados bem acima do máximo da curva de energia de ligação da Figura 43.6.

Núcleo-pai Antes

Depois

A partícula alfa, um núcleo rápido de hélio, leva consigo a maior parte da energia liberada durante o decaimento.

O núcleo-filho, com dois prótons e quatro núcleons a menos, pouco recua.

FIGURA 43.18Decaimento alfa.

1350


Para tais núcleos, é energeticamente favorável emitir uma partícula alfa porque o núcleofilho é mais fortemente ligado do que o núcleo-pai. Embora essa condição relacionada às massas seja baseada nas massas nucleares, podemos expressá-la – tal como fizemos com a equação da energia de ligação – em função das massas atômicas. A energia liberada em um decaimento alfa, cuja maior parte se torna a energia cinética da partícula alfa, é dada por E

EXEMPLO 43.5Decaimento



K  (mx – my – mHe)c

2

(43.22)

alfa do urânio

O isótopo de urânio 238U sofre decaimento alfa, tornando-se 234Th. As massas atômicas correspondentes são 238,0505 u para 238 o U, e 234,0436 para o 234Th. Qual é a energia cinética, em MeV, da partícula alfa? MODELO Basicamente toda a energia liberada E torna-se a energia cinética da partícula alfa. RESOLUÇÃO A massa atômica do hélio é de 4,0026 u. Logo,

Uma partícula alfa pode tunelar através da barreira coulombiana e escapar.

Barreira coulombiana

Esta é a energia cinética com a qual a partícula alfa escapa. Níveis de energia ligados

FIGURA 43.19O diagrama de energia

potencial de uma partícula alfa no núcleopai.

AVALIAÇÃO Esta que o fator c2 se

é a energia típica de uma partícula alfa. Observe cancela durante o cálculo, portanto não precisamos

avaliá-lo.

O decaimento alfa é um efeito puramente quantomecânico. A FIGURA 43.19mostra a energia potencial de uma partícula alfa, cujo núcleo de 4He é tão fortemente ligado que podemos considerá-lo como um “pacote” pré-existente dentro do núcleo-pai. Tanto a profundidade do poço de energia quanto a altura da barreira de coulombiana são duas vezes maiores que a energia do próton, pois a carga de uma partícula  é 2e. Devido à alta barreira coulombiana (o decaimento alfa ocorre somente em núcleos com alto valor de Z), pode haver um ou mais níveis de energia permitidos com E  0. Neste caso, os níveis de energia com E  0 são completamente ligados, mas uma partícula alfa em um nível de energia com E  0 pode tunelar através da barreira coulombiana e escapar do núcleo. É exatamente dessa forma que ocorre o decaimento alfa. A energia deve ser conservada, de modo que a energia cinética da partícula  que escapa corresponde à altura do nível de energia acima de E  0, ou seja, a energia potencial é transformada em energia cinética quando a partícula escapa. Observe que a largura da barreira diminui à medida que E aumenta. A probabilidade de tunelamento depende sensivelmente da largura da barreira, como você já viu quando estudamos o microscópio eletrônico de tunelamento. Assim, uma partícula alfa em um nível de alta energia deveria ter uma meia-vida mais curta e escapar com mais energia cinética. Uma análise completa ultrapassa o objetivo deste livro, mas essa previsão está em muito boa concordância com as energias e as meias-vidas medidas.

Decaimento beta O decaimento beta foi inicialmente associado à emissão de um elétron e –, a partícula beta. Mais tarde descobriu-se que alguns núcleos podem sofrer decaimento beta ao emitirem um pósitron e , a antipartícula do elétron, embora este modo de desintegração não seja tão comum. Um pósitron é idêntico a um elétron exceto pela sua carga, que é positiva. Para sermos precisos, chamaremos a emissão de um elétron de decaimento beta-menos, e a emissão de um pósitron, de decaimento beta-mais. Um exemplo típico de decaimento beta-menos ocorre com o isótopo 14C do carbono, que passa pelo processo de decaimento beta representado por 14C → 14N  e –. O carbono possui Z  6, e o nitrogênio, Z  7. Uma vez que Z aumenta em 1 no decaimento, enquanto A não se altera, podemos imaginar que um nêutron do núcleo transformou-se em um próton e um elétron, ou seja, o processo básico de decaimento beta-menos aparentemente é 

n→p





e–

(43.23)

CAPÍTULO 43

O elétron é ejetado do núcleo, mas o próton, não. Assim, o processo de decaimento ilustrado na FIGURA 43.20aé A

XZ → YZ

A

1



–

e

energia

(decaimento beta-menos)

(43.24)

Um nêutron livre é, na verdade, uma partícula instável que decai transformando-se em um próton e um elétron e apresenta uma meia-vida de, aproximadamente, 10 min. Além de conservar energia, essa desintegração é energeticamente permitida, pois mn  mp  me. Se um nêutron dentro do núcleo pode sofrer decaimento depende não só das massas do nêutron e do próton, mas, também, das massas do núcleo-pai e do núcleo-filho, pois a energia tem de ser conservada para o sistema nuclear inteiro. O decaimento beta ocorre 14

14

14

(a) Decaimento beta-menos Antes:

Física Nuclear

(b) Decaimento beta-mais Antes:

Um nêutron se transforma em um próton e um elétron. O elétron é ejetado para fora do núcleo.

Um próton se transforma em um nêutron e um pósitron. O pósitron é ejetado para fora do núcleo.

x

Depois:

O decaimento beta-mais é a conversão de um próton em um nêutron e um pósitron: p →ne 



(43.25)

O processo completo de decaimento, ilustrado na Figura 43.20, é A

XZ → AY Z– 1  e



energia

(decaimento beta-mais)

(43.26)

O decaimento beta-mais não ocorre para um próton livre porque mp  mn. Mas ele pode ocorrer no interior de um núcleo desde que haja conservação de energia para o sistema nuclear inteiro. No início de nossa discussão sobre a Figura 43.11, observamos que os núcleos 12B e 12N podem atingir um estado de baixa energia se um próton puder transformar-se em um nêutron e vice-versa. Agora podemos concluir que tal transformação pode ocorrer se as condições energéticas forem favoráveis. E, realmente, o 12B sofre decaimento betamenos para 12C, enquanto o decaimento beta-mais para 12C ocorre com o 12N. Em geral, o decaimento beta é um processo utilizado por núcleos com muitos nêutrons ou muitos prótons para que possam se aproximar da linha de estabilidade, apresentada na Figura 43.4.  O elétron emitido no decaimento beta-menos não tem nenhuma relação com os elétrons orbitais do átomo envolvido. A partícula beta é criada no interior do núcleo e é ejetada diretamente a partir do núcleo quando um nêutron se transforma em um próton e um elétron. 

NOTA

Uma terceira forma de decaimento beta ocorre em alguns núcleos que possuem muitos prótons, mas não possuem massa suficiente para um decaimento beta-mais. Neste caso, um próton “captura” um elétron da camada mais interna de elétrons em órbita (um elétron correspondente a n  1), transformando-se em um nêutron. O processo é descrito por p  n e– orbital → 

(43.27)

Essa forma de decaimento beta é chamada de captura eletrônica, abreviada por CE. O resultado, AXZ → AY Z– 1 , é o mesmo do decaimento beta-mais, mas sem a emissão do pósitron. A captura eletrônica é o único mecanismo de decaimento nuclear que envolve os elétrons orbitais.

A interação fraca

Apresentamos o decaimento beta como se fosse perfeitamente normal para um tipo de matéria transformar-se espontaneamente em outro tipo de matéria completamente diferente. Por exemplo, seria energeticamente favorável para um caminhão transformar-se em um Cadilac e um Fusca, ejetando o Fusca em alta velocidade. Contudo isso não ocorre. Se você parar para refletir, achará que o processo n → p  e– parece absurdo, não porque viole a conservação massa-energia, mas porque não temos a mínima idéia de 

1351

Depois:

14

m my. m( C)  m( N). Conapenas 12 12 podeo sofrer decaimento N porque tudo m( seC) >m(12O N); Clogo, C é estável e seuspara nêutrons não podem decair.

■

FIGURA 43.20Decaimento beta.

1352


como um nêutron pode transformar-se em um próton. O decaimento alfa pode ser um

processo estranho porque, em geral, o tunelamento vai contra nosso senso comum, entretanto ele é um processo quantomecânico perfeitamente normal. Agora estamos sugerindo que um dos blocos básicos que constitui a matéria pode, de alguma forma, tornarse outro bloco básico completamente diferente. Para piorar ainda mais a situação, experimentos realizados nos anos 1930 revelaram que parece não haver conservação de energia e de momentum no processo de decaimento beta. Em face dessas duas dificuldades, o físico italiano Enrico Fermi ousou fazer duas suposições: 1. Uma força fundamental da natureza, previamente desconhecida, é responsável

pelo decaimento beta. Essa força, que ficou conhecida como interação fraca, é capaz de transformar um nêutron em um próton e vice-versa. 2. No processo de decaimento beta uma partícula é emitida, a qual, até aquele mo-

mento da história, não havia ainda sido detectada. Essa nova partícula tem de ser eletricamente neutra de modo a conservar a carga, e deve possuir uma massa muito menor do que a de um elétron. Fermi chamou essa partícula de neutrino, que, em italiano, significa “pequeno nêutron”. A energia e o momentum são realmente conservados, mas o neutrino carrega consigo um pouco da energia e do momentum do núcleo que sofre decaimento. Mas como os experimentos de então detectavam apenas o elétron, parecia que os princípios de conservação eram violados.

O neutrino é representado pelo símbolo v, a letra grega minúscula “nu”. Os processos de decaimento beta propostos por Fermi são n→p





e– 

p →ne 

Antes

depois

Se apenas o elétron e o núcleo-filho fossem detectados, pareceria não haver conservação de energia e momentum. A energia e o momentum “perdidos” são levados pelo antineutrino não-detectado.

FIGURA 43.21Uma descrição mais precisa

do decaimento beta inclui neutrinos.



(43.28)



O símbolo representa um antineutrino, embora a razão pela qual uma das partículas é um neutrino e a outra um antineutrino não nos interesse no momento. A FIGURA 43.21 mostra que o elétron e o antineutrino (ou o pósitron e o neutrino) compartilham a energia liberada durante o decaimento. O neutrino interage com matéria de uma forma tão fraca que é capaz decriados atravessar a Terra inteira com pouquíssima chance de colisão. Milhares de neutrinos, por fusões nucleares no centro do Sol, atravessam nosso corpo a cada segundo. As interações que envolvem neutrinos são tão raras que só foi possível detectá-los em laboratório em 1956, mais de 20 anos após a proposta de Fermi. Inicialmente se pensava que o neutrino tivesse carga e massa nulas. Contudo, experimentos desenvolvidos nos últimos anos revelaram que a massa do neutrino, embora muito pequena, não é exatamente nula. A melhor evidência atual deste fato sugere que sua massa equivale a cerca de um milésimo da massa do elétron. Em experimentos ainda em andamento tenta-se determinar um valor mais preciso. O resultado terá um significado muito maior do que simplesmente o de entender o decaimento beta. Entre todas as partículas, os neutrinos são as mais numerosas do universo. É provável que se conclua que a massa do neutrino tenha relevância cosmológica na evolução do universo. EXEMPLO 43.6Decaimento

beta do 14C

Que valor de energia é liberado no decaimento beta-menos do 14C? MODELO O decaimento é representado por 14 14 RESOLUÇÃO Do Apêndice C, obtemos m( C)  14,003242 u e m( N)  14,003074 u. A diferença de massa é de apenas 0,000168 u, mas esta é a massa que é convertida em energia cinética das partículas ejetadas no processo. A energia liberada é, portanto, 2

E  (m) c – (0,000168 u)  (931,5 MeV/u)  0,156 MeV AVALIAÇÃOEssa energia é compartilhada entre o elétron e o antineutrino.

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

1353

O detector de neutrinos Super Kamiokande, no Japão, detecta neutrinos emitidos por reações de fusão nuclear no centro do Sol.

Decaimento gama O decaimento gama é o tipo de decaimento de mais fácil compreensão. Você já aprendeu que um sistema atômico pode emitir um fóton com Efóton  Eátomo quando um elétron dá um salto quântico de um nível de energia excitado para um nível de energia mais baixa. Para os núcleos, não há diferença. Um próton ou um nêutron em um estado nuclear excitado, como ilustrado na FIGURA 43.22, podem efetuar saltos quânticos para estados de baixa energia emitindo fótons de altas energias. Este é o processo de decaimento gama. O espaçamento em energia entre níveis atômicos é de apenas alguns eV. Por outro lado, as diferenças de energia entre os níveis nucleares são, tipicamente, de 1 MeV. Por 

Egama 1 MeV. Fótons com essa quantidade essa razão, os de raiodegama possuemimenso de energia têmfótons um poder penetração e liberam uma grande quantidade de energia no ponto em que são finalmente absorvidos. Os núcleos existentes na natureza geralmente se encontram em seu estado quântico fundamental e, portanto, não podem emitir fótons de raios gama. Contudo, os decaimentos alfa e beta geralmente deixam o núcleo-filho em um estado nuclear excitado. Por isso uma emissão gama geralmente acompanha uma emissão alfa ou beta. O isótopo 137Cs é um bom exemplo disso. Já vimos que o 137Cs é usado como fonte de raios gama em laboratórios. Na verdade, o 137Cs passa por um decaimento beta-menos e se transforma em 137Ba. A FIGURA 43.23ilustra todo o processo. Um núcleo 137Cs sofre decaimento beta-menos, e o elétron e o antineutrino emitidos dividem entre si a energia liberada total, que é igual a 0,51 MeV. A meia-vida desse processo é de 30 anos. Isso deixa o núcleo-filho, o 137Ba, em um estado excitado situado 0,66 MeV acima de seu estado fundamental. Em alguns segundos, o núcleo excitado de Ba decai para o estado fundamental, emitindo um fóton de raio gama de 0,66 MeV. Uma amostra de 137Cs constitui, portanto, uma fonte de raios gama, mas, de fato, os fótons são emitidos pelos núcleos de bário, e não, pelos de césio.

Nível excitado Fóton de raio gama Nível baixo O salto é acompanhado Um núcleon efetua pela emissão de um fóton um salto quântico com Efóton 1 MeV. para um nível de energia mais baixo. 

FIGURA 43.22Decaimento gama.

Decaimento beta , ,

Estado excitado

Decaimento gama

O decaimento alfa reduz o valor de A em 4, e o de Z, em 2. O decaimento beta aumenta o valor de Z em 1.

,

Estado fundamental

FIGURA 43.23O decaimento do 137Cs envolve tanto o decaimento beta quanto o gama.

Séries de decaimentos

A , sa s a m e d ro e m ú N

Um núcleo radioativo decai em um núcleo-filho. Na maioria dos casos, o núcleo-filho também é radioativo e, por sua vez, decai para produzir seu próprio núcleo-filho. O processo prossegue até produzir um núcleo-filho que seja estável. A seqüência de isótopos envolvidos, que se inicia com o isótopo instável srcinal e termina com o isótopo estável, é chamada de série de decaimentos. As séries de decaimentos são particularmente importantes no caso de núcleos muito pesados. A FIGURA 43.24mostra a série de decaimentos do 235U, um isótopo do urânio com meia-vida de 700 milhões de anos. Isto é muito tempo, mas equivale a apenas15% da idade da Terra. Assim, quase todos os núcleos de 235U (mas não todos) que estavam presentesdena235formação dacomo Terraojáisótopo decaiu.207Há muitos núcleos masestável. todos os núcleos U terminam Pb do chumbo, que instáveis, é um núcleo Observe que alguns núcleos decaem tanto por decaimento alfa quanto por decaimento beta. Logo, há uma variedade de “caminhos” para um dado decaimento, mas todos terminam no mesmo ponto.

Alguns núcleos podem sofrer tanto o decaimento  quanto o .

O 207Pb é estável.

Número atômico, Z

FIGURA 43.24A série de decaimentos do 235

U.

1354

Física: Uma Abordagem Estratégica PARE E PENSE 43.5 O isótopo 60Co do cobalto (Z  27) decai para o isótopo 60Ni do níquel (Z  28). O processo de decaimento envolvido é

a. Decaimento alfa. d. Captura de elétron.

b. Decaimento beta-menos. e. Decaimento gama.

c. Decaimento beta-mais.

43.7 Aplicações biológicas da física nuclear A física nuclear trouxe riscos e promessas à sociedade. A radiação pode causar tumores, mas também pode ser usada para curar algumas formas de câncer. Esta seção apresenta um breve estudo sobre as aplicações médicas e biológicas da física nuclear.

Dose de radiação A radiação nuclear, que é ionizante, desorganiza os mecanismos celulares, alterando e danificando as moléculas biológicas. As conseqüências dessa interferência vão desde mutações genéticas até a multiplicação celular descontrolada (i.e., tumores), levando à morte celular. As radiações beta e gama podem penetrar no corpo inteiro, danificando órgãos internos. A radiação alfa, apesar de seu menor poder de penetração, deposita toda sua energia em um volume muito pequeno e localizado. Os órgãos internos geralmente não são afetados pela radiação alfa, mas a pele é bastante suscetível, bem como os pulmões no caso em que poeira radioativa seja inalada. Os efeitos biológicos da radiação dependem de dois fatores. O primeiro – o fator físico – é o valor da energia absorvida pelo corpo. O segundo – o fator biológico – corresponde à maneira como os tecidos reagem às diferentes formas de radiação. A dose absorvida de radiação é a energia da radiação ionizante que é absorvida por um quilograma de tecido. A unidade do SI para a dose absorvida é o gray (Gy), definido como 1 gray  1 Gy

TABELA 43.4Eficácia biológica relativa da

radiação Ti p od er ad i aç ão

Raios X Raios gama Partículasbeta Partículasalfa

R BE

1 1 1-2 10-20



1,00 J/Kg de energia absorvida

A dose absorvida depende apenas da energia absorvida. Ela em nada depende do tipo de radiação envolvida ou mesmo do tipo do material absorvente. Biólogos e biofísicos descobriram que uma dose de raios gama de 1 Gy e uma dose de partículas alfa também de 1 Gy causam conseqüências biológicas diferentes. Para levar em conta tais diferenças, a eficácia biológica relativa (RBE, do inglês relative biological effectiveness) é definida como o efeito biológico causado por uma dada dose em comparação com o efeito biológico causado por uma mesma dose de raios X. A Tabela 43.4 apresenta a eficácia biológica relativa de diferentes formas de radiação. Os valores mais altos correspondem a efeitos biológicos maiores. As radiações alfa e beta correspondem a faixas de valores porque seus efeitos biológicos variam de acordo com a energia da partícula. A radiação alfa tem a maior RBE, uma vez que sua energia é depositada no menor volume. O produto entre a dose absorvida e a RBE é chamado de dose equivalente. A dose equivalente é expressa em sieverts (Sv). Para ser preciso, dose equivalente em Sv  dose absorvida em Gy  RBE Uma radiação de 1 Sv produz o mesmo dano biológico, sem que importe o tipo de radiação. Uma unidade mais antiga para expressar a dose equivalente, mas ainda bastante utilizada, é o rem, definido por 1 rem  0,010 Sv. Pequenas doses de radiação são expressas em milisievert (mSv) ou milirem (mrem).

CAPÍTULO 43

EXEMPLO 43.7Exposição

à radiação

Um técnico de laboratório de 75 kg, ao trabalhar com o isótopo radioativo 137Cs, foi exposto acidentalmente a 100 mrem. O 137Cs emite fótons de raios de gama de 0,66 MeV. Quantos desses fótons foram absorvidos pelo corpo do técnico? MODELO A dose de radiação é uma combinação da energia depositada e da eficácia biológica. Para raios gama, a RBE vale 1. Os raios gama são muito penetrantes, de modo que se trata de uma exposição de corpo inteiro. RESOLUÇÃO A dose absorvida é a dose expressa em Sv dividida pela RBE. Neste caso, como RBE  1 e 100 mrem  0,010 Sv, a dose é igual a 0,0010 Gy  0,0010 J/kg. Como se trata de uma exposição

■

Física Nuclear

1355

de corpo inteiro, a energia total depositada no corpo do técnico corresponde a 0,075 J. A energia de cada fóton absorvido é 0,66 MeV, mas este valor deve ser convertido para joules. O número de fótons correspondentes a uma energia de 0,075 J é

AVALIAÇÃO A energia depositada, de 0,075 J, é muito pequena. A ra-

diação não provoca danos por efeitos térmicos, o que exigiria bem mais energia; seus danos ocorrem por ionização.

A Tabela 43.5 fornece informações básicas sobre a exposição à radiação. Todos nós somos expostos continuamente à radiação natural devido aos raios cósmicos e aos átomos radioativos que ocorrem naturalmente (urânio e outros átomos de sua série de decaimentos) no solo, na atmosfera e, até mesmo, nos alimentos que ingerimos. Essa radiação corresponde, em média, a 300 mrem por ano, embora existam variações regionais que dependem do tipo de solo e do relevo. (Lugares mais altos sofrem maior exposição aos raios cósmicos.) Os raios X médicos variam significativamente. Nos Estados Unidos, uma pessoa recebe, em média, 60 mrem por ano devido aos vários tipos de exames médicos.Todas as outras fontes, tais como cinzas de testes nucleares atmosféricos conduzidos há décadas, operação de usinas nucleares e usos industriais da radioatividade somam menos de 10 mrem por ano. Então, uma pergunta inevitável vem à tona: quanto é uma dose segura? A resposta ainda gera controvérsias e segue sendo estudo de pesquisas correntes. Os efeitos de altas doses de radiação são facilmente observáveis. Os efeitos de pequenas doses são difíceis de distinguir de outras causas naturais e ambientais. Portanto não existe ainda uma definição clara e simples do que seja uma dose segura. Uma política prudente seria evitar

TABELA 43.5Exposição à radiação Fonte de radiação

Tomografia Origem natural (1 ano) Mamografia RaioXdotórax RaioXdentário

Exposição típica (mrem)

1000 300 80 30 3

exposição desnecessária à radiação, mas não há motivo para nos preocuparmos com casos de exposições menores que as naturais. É importante observar que os Ci absorvidos das fontes radioativas usadas em experimentos de laboratório causam exposições muito menores do que as naturais, mesmo quando usadas regularmente.

Usos medicinais da radiação Podemos fazer um bom uso da radiação para matar as células cancerígenas. Esta área da medicina é denominada terapia com radiação. Os raios gama constituem a forma mais comum de radiação, geralmente oriunda do isótopo 60Co. A FIGURA 43.25mostra os raios gama emitidos ao longo de várias direções que se intersectam no tumor. O objetivo é fornecer uma dose letal às células cancerígenas sem que haja superexposição dos tecidos vizinhos. O paciente e a fonte de radiação giram um sobre o outro sob cuidadoso controle computacional de modo que a dose adequada seja irradiada. Outros tumores são tratados por meio da implantação cirúrgica de “sementes” radioativas no interior do tumor ou próximo dele. As partículas alfa, que causam danos localizados significativos, mas que não possuem grande poder de penetração, podem ser usadas nesse tipo de tratamento. Os isótopos radioativos também são utilizados como traçadores em procedimentos diagnósticos. Essa técnica baseia-se no fato de que todos os isótopos de um elemento têm um comportamento químico idêntico. O isótopo radioativo do iodo, por exemplo, é utilizado no diagnóstico de certas doenças da tireóide. O iodo é um elemento essencial para o organismo e está concentrado na glândula tireóide. Ao suspeitar que seu paciente sofra com o mau funcionamento da glândula tireóide, o médico prescreve uma pequena dose de iodeto de sódio em que alguns átomos normais de 127I foram substituídos por átomos de 131I. (O iodeto de sódio é inofensivo, sendo solúvel em água e fácil de ingerir.) O isótopo 131I, com meia-vida de oito dias, sofre decaimento beta e, subseqüentemente, emite um fóton de raio gama que pode ser detectado.

A radiação gama é direcionada ao longo de varias direções que se intersectam no tumor.

FIGURA 43.25A terapia baseada em

radiação utiliza uma dose letal no tumor a qual não danifique os tecidos vizinhos.

1356


O iodo radioativo acumula-se no interior da glândula tireóide em algumas horas. O médico monitora as emissões dos raios gama durante os dias subseqüentes para ter certeza de que o iodo esteja sendo processado na tireóide e descobrir com que velocidade ele é eliminado pelo corpo. Outros traçadores radioativos bastante úteis na medicina são o isótopo 51Cr do cromo, que é absorvido pelas hemácias e que pode ser usado para monitorar o fluxo sanguíneo, e o isótopo 133Xe do xenônio, inalado para revelar o funcionamento dos pulmões. Os traçadores radioativos são não invasivos, isto é, o médico pode monitorar o interior do organismo sem precisar realizar uma intervenção cirúrgica.

Ressonância magnética Assim como o elétron, o próton possui momentum angular e momento magnético pró-

A terapia com radiação é uma forma de uso benéfico da física nuclear.

prios. Você pode conceber o próton comodouma agulha bússola que pode possuir uma de duas orientações possíveis. No caso próton, elasdesão chamadas de spin up (para cima) e spin down (para baixo). A agulha de uma bússola se alinha com um campo magnético externo, assumindo a posição de mais baixa energia. Girar a agulha da bússola com a mão é como fazer uma bola rolar morro acima: você está fornecendo energia, mas, quando isso deixar de ocorrer, a agulha voltará a se alinhar com o campo, tal como a bola, que novamente descerá a colina. Contudo, há uma posição de equilíbrio instável em que a agulha está contraalinhada com o campo, analogamente a uma bola no cume de uma colina. A menor interferência trará o sistema de volta à configuração estável, entretanto ele pode permanecer indefinidamente na posição de equilíbrio instável. Em presença de um campo magnético, um próton se comporta de maneira análoga, mas com uma diferença: por ter energia quantizada, o próton não pode assumir uma orientação intermediaria. Ou o spin do próton está alinhado com o campo magnético (spin up) ou anti-alinhado com ele (spin down). A FIGURA 43.26ailustra esses dois estados quânticos. Ligar o campo magnético reduzirá a energia do próton spin up e aumentará a energia de um próton anti-alinhado, spin down. Em outras palavras, um campo magnético cria uma diferença de energia entre esses estados. (a) Aumento de energia

Spin down, anti-alinhado

com o campo Fótons de radiofreqüência fazem cada próton ir e vir entre estes dois níveis de energia. Spin up, alinhado

O campo magnético está desligado. Os prótons com spin up e com spin down possuem a mesma energia.

Estes são os níveis de energia quando o campo magnético está ligado.

com o campo

Absorção

Ímã

Amostra Bobina Oscilador

Freqüência da ressonância nuclear magnética

FIGURA 43.26A ressonância nuclear magnética é possível porque, em um campo magnético,

prótons spin up e spin down possuem uma pequena diferença de energia entre si.

A diferença de energia é muito pequena, da ordem de 10 –7 eV. No entanto um fóton com energia igual a essa diferença faz um próton oscilar entre os dois estados ao ser absorvido ou emitido pelo sistema. De fato, os fótons fazem com que os spins dos prótons oscilem muito rapidamente. A freqüência do fóton, que depende da intensidade do campo magnético, é tipicamente de 100 MHz, próxima às freqüências de FM.

CAPÍTULO 43

A FIGURA 43.26bmostra como esse comportamento é colocado em uso. Uma mostra contendo prótons é colocada em um campo magnético. Uma bobina é enrolada em torno da amostra e uma fonte de freqüência variável AC faz circular uma corrente na bobina. Os prótons absorvem energia da bobina apenas quando a freqüência atinge o valor necessário para fazer os spins dos prótons trocarem de orientação. Outras freqüências não resultam em absorção de energia. A ressonância é obtida variando-se a freqüência da corrente na bobina ao longo de uma faixa de freqüências. Esta técnica de observar os giros dos núcleos em presença de um campo magnético é denominada ressonância magnética nuclear, ou rmn. (A técnica também funciona com outros núcleos além do hidrogênio.) Ela tem diversas aplicações em física, química e ciências dos materiais. Seu uso médico explora o fato de que os tecidos são formados basicamente por água, e de que dois entre três núcleos da molécula da água são prótons. O corpo humano, na verdade, é uma “amostra” de prótons, com a densidade de prótons variando de acordo com a densidade dos tecidos. O procedimento médico conhecido como imageamento por ressonância magnética (MRI, do inglês magnetic resonance imaging) ou, simplesmente, ressonância magnética expõe o paciente a um campo magnético variável no espaço. As variações do campo fazem variar a freqüência de absorção dos prótons de ponto para ponto do espaço. A partir do conhecimento da forma espacial do campo e da determinação das freqüências que são absorvidas, um sofisticado programa de computadores transforma esses dados brutos em imagens tão detalhadas quanto as mostradas na FIGURA 43.27. Um fato interessante é que, na época em que foi introduzida na medicina, a técnica ainda era chamada de ressonância magnética nuclear. Infelizmente, logo desde o inicio, os médicos perceberam que os pacientes tinham medo de se submeter ao exame devido à palavra “nuclear” usada. A alternativa foi suprimir o termo e denominar a técnica apenas como ressonância magnética ou imageamento por ressonância magnética. Realmente, a percepção do público sobre a tecnologia nuclear nem sempre é positiva, mas também é verdade que a física nuclear trouxe contribuições significativas e benéficas à sociedade.

■

Física Nuclear

1357

FIGURA 43.27A ressonância magnética

revela os órgãos internos com grande riqueza de detalhes.

1358


RESUMO O objetivo do Capítulo 43 foi compreender a física do núcleo e algumas das aplicações da física nuclear.

Princípios gerais O núcleo

Estabilidade nuclear

O núcleo é a parte central e densa de um átomo, carregada positivamente.

prótons

Z prótons: cada qual com carga

e e spin N nêutrons: cada qual de carga nula e spin O número de massa é A  Z  N. O raio nuclear é r  r0A1/3, onde r0 .2 fm. Raios típicos são de alguns fm.

nêutrons

Núcleos com baixos valores de Z podem se

mento radioativo . Núcleos estáveis estão aglomerados em torno da linha de estabilidade do gráfico de isótopos.

aproximar da Linha de estabilidade linha deestabilidade por meio do decaimento beta.

O decaimento alfa é energeticamente favorável para núcleos com altos valores deZ.

Os três mecanismos por meio dos quais um núcleo instável sofre decaimento são:

Forças nucleares A interação forte, atrativa A força elétrica, repulsiva

• É exercida entre dois núcleons quaisquer • Tem curto alcance, menor do que 3 fm • É efetiva entre os núcleons vizinhos mais próximos

Muitos núcleos não são estáveis. Um núcleo instável sofre decai-

• É exercida entre dois prótons • Tem longo alcance • É efetiva ao longo de todo o núcleo

D e c ai m e n t o P ar t í c ul a  

M e c an i s m o

núcleo de 4He e– e fóton 

γ

E n e r gi a

tunelamento alguns MeV n → p  e– 1 MeV p →ne 1 MeV saltoquântico 1 MeV 











Pe n e t r aç ã o

baixa média média alta

Conceitos importantes O modelo de camadas

Cada núcleon se move em presença de uma energia potencial média resultante de todos os outros núcleons.

Gráfico da energia de ligação Energia coulombiana

Prótons Nêutrons

Prótons e nêutrons preenchem os níveis até a mesma altura; logo, N  Z.

A energia de ligação média por núcleon tem um pico largo em A 60.

MeV por núcleon



Níveis de energia dos prótons

Níveis de energia dos nêutrons

Aplicações Decaimento radioativo

Medição de radiação

O número de núcleos que não decaíram diminui exponencialmente com o tempo t:

A atividadeR  rN de uma amostra radioativa, medida em becquerels ou curies, é o número de desintegrações que ocorrem por segundo. , ,

A constante de tempoτ é igual a 1/r, onde r é a taxa de decaimento.A meia-vida t1/2  τ ln2  0,693τ é o tempo decorrido até que metade de qualquer amostra sofra desintegração.

A dose absorvidaé medida em gray, onde 1 Gy 1,00 J/kg de energia absorvida 

A eficáciabiológicarelativa(RBE) é o efeito biológico de uma dose em relação aos efeitos biológicos causados por raios X. A dose equivalenteé medida em Sv, onde Sv  Gy  RBE. Um Sv de radiação produz o mesmo efeito biológico independentemente do tipo de radiação. A dose equivalente também é medida em rem, onde 1 rem  0, 010 Sv.

CAPÍTULO 43

■

Física Nuclear

1359

Termos e notação física nuclear núcleon número atômico, Z número de massa, A número de nêutrons, N isótopos radioativo estável abundância natural isóbaro deutério

modelo da gota líquida linha de estabilidade energia de ligação, B curva da energia de ligação interação forte modelo de camadas decaimento alfa decaimento beta decaimento gama radiação ionizante contador Geiger


série de decaimentos dose absorvida gray, Gy eficácia biológica relativa (RBE) dose equivalente sievert (Sv) rem ressonância magnética nuclear imageamento por ressonância magnética (MRI)

taxa de decaimento, r constante de tempo, τ meia-vida, t1/2 atividade, R becquerel, Bq curie, Ci núcleo-pai núcleo-filho captura de elétrons interação fraca neutrino


integram o material


QUESTÕES CONCEIT 16

18

18

18

20

1. Considere os átomos O, O, Fe, Ne e Ne. Algumas das ques-

tões abaixo podem ter mais de uma resposta. Forneça todas as respostas possíveis. a. Quais desses elementos são isótopos? b. Quais deles são isóbaros? c. Quais dos átomos possuem as mesmas propriedades químicas?

33

U AIS 32

–

d. P (Z  15) → S (Z  16)  e 6. Um determinado núcleo A decai em outro núcleo B com meia-vida de 10 s. Em t  0 s, existem 1000 núcleos A e nenhum núcleo B. Em qual tempo haverá 750 núcleos B? 7. Qual tipo de decaimento, caso exista algum, pode ocorrer para os núcleos apresentados na FIGURA Q43.7?

d. A Quais dos de átomos possuem mesmo número de nêutrons? energia ligação de um onúcleo com é maior, menor 2. a. A  200 ou igual à energia de ligação de um núcleo com A  60? Explique. b. Um núcleo com A  200 é mais coeso, menos coeso ou igualmente coeso em comparação com um núcleo com A  60? Explique. 3. a. Como sabemos que a interação forte existe? b. Como sabemos que a interação forte tem curto alcance? 4. Cada diagrama de níveis de energia ilustrado na FIGURA Q43.4representa um estado nuclear fundamental, um estado excitado ou um núcleo impossível?

Nêutrons Prótons

Nêutrons Prótons

Nêutrons Prótons

Nêutrons Prótons

Nêutrons Prótons

FIGURA Q43.7 8. A maçã A da FIGURA Q43.8recebe radiação nuclear intensa durante

uma hora. Outra maçã B não recebe radiação alguma. Ao final, qual é a diferença entre as maçãs A e B?

Nêutrons Prótons

FIGURA Q43.4 5. Os decaimentos representados abaixo são possíveis? Em caso nega-

tivo, por que não? a. 232Th (Z  90) → 236U (Z  92)   b. 238Pu (Z 94) → 236U (Z  92)   c. 11B (Z  5) → 11B (Z  5)  γ

FIGURA Q43.8 212

137

90

212

9. Os três isótopos Po, Cs e Sr decaem da seguinte forma Po → 208Po  , 137Cs → 127Ba  e –  γ e 90Sr → 90Y  e –. Qual des-

ses isótopos seria o mais útil como traçador biológico? Por quê?

1360


EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Para dados relacionados a massas atômicas, abundância isotópica, modos de decaimento radioativo e meia-vida, consulte o Apêndice C.

Seção 43.4 O modelo de camadas 20. |

Exercícios

Seção 43.1 Estrutura nuclear 3

40

Quantos prótons e quantos nêutrons existem no (a) H, (b) Ar, 40 239 (c) Ca e (d) Pu? 6 54 2. | Quantos prótons e quantos nêutrons existem no (a) Li, (b) Cr, 1.

|

(c) 54Fe e (d) 220Rn? 4 40 220 | Calcule os diâmetros nucleares do (a) He, (b) Ar e (c) Rn. | Qual é o núcleo estável que tem um diâmetro de 7,46 fm? 7 | Calcule a massa, o raio e a densidade do núcleo de (a) Li e (b) 207 Pb. Expresse todas as respostas em unidades do SI. 6. || Estime o número de prótons e o número de nêutrons presentes 3 em 1 m de ar. 7. || Qual seria a massa de uma bola de gude de 1,0 cm de diâmetro se o material tivesse densidade nuclear? 3. 4. 5.

Seção 43.2 Estabilidade nuclear Usando dados fornecidos no Apêndice C, faça sua própria tabela de núcleos estáveis e instáveis – similar à Figura 43.4 – para todos os núcleos com Z  8. Use um ponto azul ou preto para representar os isótopos estáveis, um ponto vermelho para representar os isótopos que sofreram decaimento beta menos e um ponto verde para os isótopos que sofreram decaimento beta mais ou decaimento por captura eletrônica. 9. | a. Qual é o menor valor de A para o qual existem dois núcleos estáveis? Quais são esses núcleos? b. Para que valores de A menores do que o valor determinado acima não há núcleos estáveis? 10. | Determine a energia de ligação total (em MeV) e a energia de 3 3 ligação por núcleon para o H e o He. 11. | Determine a energia de ligação total (em MeV) e a energia de 58 58 ligação por núcleon para o Fe e o Ni. 3 12. | Determine a energia de ligação por núcleon (em MeV) para o He 4 e o He. Qual é o mais coeso? 12 13. || Determine a energia de ligação por núcleon (em MeV) para o C 13 e o C. Qual é o mais coeso? 14. || Determine a energia de ligação total e a energia de ligação por 12 60 226 núcleon (em MeV) para (a) C, (b) Co e (c) Ra. 15. | Determine a massa atômica química do neônio. 16. | Determine a massa atômica química do magnésio. 8.

|

Seção 43.3 A interação forte 17. || Use o diagrama de energia potencial da Figura 43.8 para estimar a intensidade da interação forte entre dois núcleons separados por 1,5 fm. 18. || Use o diagrama de energia potencial da Figura 43.8 para esboçar o gráfico da interação forte entre dois núcleons em função da distância r entre seus centros. 19. || Qual é a razão entre a energia potencial gravitacional e a energia potencial nuclear de dois nêutrons separados por 1 ,0 fm?

21. |

a. Desenhe diagramas de níveis de energia, similares aos da Figura 43.11, para todos os núcleos com A  10 listados no Apêndice C. Mostre todos os níveis de prótons e nêutrons ocupados. b. Quais desses núcleos são estáveis? Qual é o modo de decaimento dos que são radioativos? a. Desenhe diagramas de níveis de energia, similares aos da Figura 43.11, para todos os núcleos com A  14 listados no Apêndice C. Indique todos os níveis ocupados de prótons e nêutrons. b. Quais desses núcleos são estáveis? Qual é o modo de decaimento dos que são radioativos?

Seção 43.5 Radiação e radioatividade 226

22. | O isótopo Ra do rádio tem uma meia-vida de 1.600 anos. Uma 10 determinada amostra tem uma quantidade inicial de 1,0010 áto226 mos de Ra. Quantos deles restam após (a) 200 anos, (b) 2.000 anos e (c) 20.000 anos? 109 23. | O isótopo Cd do cádmio tem uma meia-vida de 462 dias. Uma 12 determinada amostra tem uma quantidade inicial de 1,00  10 desses átomos de cádmio. Quanto deles restam após (a) 50 dias, (b) 500 dias e (c) 5.000 dias? 3 24. || O isótopo radioativo do hidrogênio H é chamado de trítio. a. Quais são o modo de decaimento e o núcleo-filho do trítio? b. Quais são a constante d e tempo e a taxa de decaimento do trítio? 10 25. | Uma amostra contém 1,0  10 átomos que decaem por emissão alfa e possuem uma meia-vida de 100 min. Quantas partículas alfa são emitidas entre t  50 min e t  200 min? 60 9 26. | A atividade de uma amostra de Co é de 3,50  10 Bq. Qual é a massa da amostra? Qual é15a meia-vida, em dias, de uma amostra radioativa que 8 contém 5,0  10 átomos e que apresenta uma atividade de 5,0  10 Bq?

27. ||

Seção 43.6 Mecanismos de decaimento nuclear Identifique o isótopo desconhecido X dos seguintes decaimentos: 230 a. Th → X   35 – b. S → X  e  40 c. X → K  e  v 24 24 – d. Na → Mg  e  → X   29. | Identifique o isótopo desconhecido X dos seguintes decaimentos: 224 a. X → Ra   207 – b. X → Pb  e  7 – c. Be  e → X  v 60 d. X → Ni  γ 30. || Qual é a quantidade de energia (em MeV) liberada no decaimen239 to alfa do Pu? 31. || Um núcleo instável sofre um decaimento alfa acompanhado da liberação de 5,52 MeV de energia. A massa combinada do núcleopai com a do núcleo-filho é de 452 u. Qual é o núcleo-pai? 32. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta 28. |



3

menos do He? A Dica: O núcleo-filho YZ – 1 é um íon positivo. As massas tabuladas são para átomos neutros. 33. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta 19 menos do O? Ver a d ica fornecida no Problema 32. 34. || Qual é a energia total (em MeV) liberada no decaimento beta de um nêutron?

CAPÍTULO 43

Seção 43.7 Aplicações biológicas da física nuclear 35. | Radiação gama de 1,5 Gy é direcionada para um tumor de 150 g

durante uma sessão de radioterapia. Qual é a quantidade de energia absorvida pelo tumor? 36. | Ao planejar um tratamento com radioterapia, um médico determina que um tumor de 100 g deve receber 0,20 J de radiação gama. Quanto vale essa dose em gray? 37. || O funcionário de um laboratório, com peso de 50 kg, é exposto a 20 mJ de radiação beta com RBE  1,5. Qual é a dose recebida, em mrem? 38. || Quantos grays de fótons de raios gama causam o mesmo dano biológico que 30 Gy de radiação alfa com RBE de 15?

Problemas 39. ||| a. Qual é o módulo da velocidade inicial de uma partícula alfa

que apenas toque levemente a superfície de um núcleo de 197 Au antes de ser repelida? Admita que o núcleo permaneça em repouso. b. Qual é a energia inicial (em MeV) da partícula alfa? Dica: A partícula alfa não é puntiforme. 40. ||| Aceleradores de partícula lançam prótons em direção a núcleosalvo a fim de que os cientistas possam estudar as reações nucleares que ocorrem. Em um experimento, um próton precisa ter 20 MeV de energia cinética ao se chocar com um núcleo de 207Pb. Com que energia cinética inicial (em MeV) o próton deve ser lançado em direção ao núcleo de chumbo? Admita que o núcleo permaneça em repouso. Dica: O próton não é puntiforme. 41. || A fonte de energia das estrelas são as reações nucleares que convertem o hidrogênio em hélio. O destino de muitas estrelas, quando grande parte do hidrogênio já foi consumida, é colapsar sob a ação gravitacional, transformando-se em uma estrela de nêutrons. A força da gravidade nestes casos é tão forte que os prótons e os elétrons 

–

se fundem em nêutrons através da reação p  e → n  v. A estrela torna-se uma esfera densa de nêutrons com a densidade da matéria nuclear. a. Suponha que o Sol colapse em uma estrela de nêutrons. Qual será o seu raio? Expresse sua resposta em km. b. Atualmente, o período de rotação do Sol é de 27 dias. Qual será o seu período de rotação após o colapso? As estrelas de nêutrons com rotação rápida emitem pulsos de ondas de rádio com a freqüência de rotação e são conhecidas como pulsares. 69 42. || O elemento gálio possui dois isótopos: o Ga, com uma massa atômica de 68,92 u, e o 71Ga, com massa atômica de 70,92 u. A tabela periódica indica que a massa atômica química do gálio é de 69,72 u. Qual é a abundância percentual do 69Ga? 43. || No Capítulo 42, você aprendeu que a energia de ligação do elétron em um átomo de hidrogênio vale 13.6 eV. a. Qual é a diminuição que ocorre na massa quando um átomo de hidrogênio é formado a partir de um próton e um elétron? Expresse sua resposta em unidade de massa atômica e em percentual da massa do átomo de hidrogênio. b. Qual é a diminuição de massa que ocorre quando um núcleo de hélio é formado a partir de dois prótons e dois nêutrons? Expresse sua resposta em unidade de massa atômica e em percentual da massa do núcleo de hélio. c. Compare suas respostas aos itens a e b. Por que ouvimos dizer que ocorre “perda” de massa em reações nucleares, mas não, em reações químicas? 44. ||| Use o gráfico da energia de ligação para estimar a energia total liberada quando um núcleo com número de massa 240 sofre fissão e se transforma em dois núcleos de número de massa 120.

■

Física Nuclear

1361

45. ||| Use o gráfico da energia de ligação para estimar a energia total

liberada quando três núcleos de 4He se fundem para formar um núcleo de 12C. 56 46. || É possível ocorrer a fissão de um núcleo de Fe em dois núcleos de 28Al? Sua resposta, que deve incluir alguns cálculos, deve se basear na curva de energia de ligação. 47. | a. Quais são os símbolos isotópicos de todos os isóbaros com A  17? b. Quais deles são núcleos estáveis? c. Para aqueles que não são estáveis, identifique o modo de descaimento e o núcleo-filho produzido. 48. | a. Quais são os símbolos isotópicos para todos os isóbaros com A  19?

b. deles são c. Quais Para aqueles quenúcleos não sãoestáveis? estáveis, identifique o modo de descaimento e o núcleo-filho produzido. 49. || Derive a Equação 43.19 a partir da Equação 43.15. 50. ||| Qual é a energia (em MeV) de uma partícula alfa que possui um comprimento de onda de de Broglie igual ao diâmetro de um núcleo de 238U? 51. || Qual é a atividade, em Bq e em Ci, de uma amostra de 2,0 mg de 3 H? 14 12 52. || Qual é a idade, em anos, de um osso para o qual a razão C/ C é 1,65  10 – 13? 137 Cs, com meia-vida 53. || A atividade de uma amostra do isótopo de 30 anos, é de 2,0  10 8 Bq. Muitos anos mais tarde, quando a amostra houver se desintegrado completamente, quantas partículas beta terão sido emitidas? 54. || Um traçador radioativo de 115 mCi é elaborado em um reator nuclear. Dezesseis horas mais tarde, quando ele é entregue a um hospital, sua atividade é de 95 mCi. O nível mais baixo de atividade ainda utilizável é de 10 mCi. a. Qual é a meia-vida do traçador? b. Após chegar ao hospital, por quanto tempo ele permanecerá utilizável? O isótopo do rádio 223Ra, que é um emissor alfa, tem meia-vida de 11,43 dias. Suponha que você disponha de um cubo de 1,0 g de 223Ra e que decida usá-lo para ferver a água do chá. Você coloca 100 mL de água a 18° C em uma vasilha bem-isolada junto com o cubo. a. Quanto tempo levará para que a água ferva? b. Este método de fervura altera a água de alguma forma? Em caso afirmativo, de que maneira? 56. || Quantas meias-vidas devem transcorrer até que (a) 90% e (b) 99% de uma amostra radioativa de átomos sofra decaimento? 57. || Uma amostra contém átomos radioativos de dois tipos, A e B. Inicialmente, existem cinco vezes mais átomos A do que átomos B. Após duas horas, as quantidades dos dois átomos são iguais. A meia-vida de A é 0,50 hora. Qual é a meia-vida de B? juntos em misturas.Supo58. || Isótopos radioativos geralmente ocorrem nha que uma amostra de 100 g contenha 131Ba, com meia-vida de 12 dias, e 47Ca, com meia-vida de 4,5 dias. Se inicialmente houver duas vezes mais átomos de cálcio do que átomos de bário, qual será a razão entre as abundâncias dos dois átomos após decorridas 2,5 semanas? 59. || A técnica conhecida como datação pelo potássio-argônio é usada para datar antigos fluxos de lava. O isótopo 40K tem uma meia-vida de 1,28 bilhão de anos e é encontrado na natureza em níveis muito pequenos. O 40K decai por emissão beta para 40Ar. O argônio é um gás e não está presente na lava, pois escapa da Terra. Com a solidificação da lava, todo o argônio produzido na desintegração do 40K fica aprisionado no material, sem poder escapar. Um geólogo lhe traz um pedaço de lava solidificada e você descobre que a razão 40 Ar/40K vale 0,12. Qual é a idade da lava solidificada trazida pelo geólogo? 55. ||

1362


235 U é de 700 milhões de anos. A Terra foi formada há aproximadamente 4,5 bilhões de anos. Que quantidade 235 de U havia a mais do que existe atualmente, quando a Terra foi formada? Expresse sua resposta usando a razão entre a quantidade que havia antes e a quantidade existente atualmente. 61. || Um paciente de 75 kg engole um emissor beta de 30 Ci que será usado como traçador. A meia-vida do isótopo é de 5,0 dias. A energia média das partículas beta vale 0,35 MeV, com RBE de 1,5. Noventa por cento das partículas beta emitidas são absorvidas pelo corpo do paciente e 10% delas escapam. Qual é a dose total (em mrem) recebida pelo paciente? 62. || Qual é a dose de radiação gama, em Gray, que deve ser absorvida por um bloco de gelo a 0° C para transformá-lo inteiramente em

60. || A meia-vida do isótopo

a. Quantos átomos de 222Rn estão presentes em 1 m 3 de ar quando a atividade atinge 4 pCi/L? b. O alcance no ar das partículas alfa é de 3 cm. Vamos considerar uma pessoa como um cilindro de 180 cm de altura, 25 cm de diâmetro e 65 kg de massa. Somente decaimentos distantes no máximo 3 cm do cilindro podem causar exposição, e somente 50% dos decaimentos ocorrem na direção da pessoa. Determine a dose em mrem por ano recebida por uma pessoa que passe um ano inteiro em uma sala onde a atividade é de 4 pCi/L. Considere uma RBE médio de 15. c. A recomendação da APA parece apropriada? Por que ou por que não? 67. Estime a distância de parada no ar de uma partícula alfa de 5,0 



0º C?X de tórax usa fótons de 10 KeV com RBE de 0,85. Uma raio 63. ||água

A por colisão. Admita quebeta-mais a partícula perde, em média, eV Um decaimento é representado porAX30 68. MeV. z → Yz 1  e  v. Uma pessoa de 60 kg recebe uma dose de 0,30 mSv de raio X que a. Determine o limiar de massa para o decaimento beta-mais, ou atinge 25% de seu corpo. Quantos fótons de raios X são absorvidos seja, a massa atômica mínima mx para que esse decaimento seja pelo corpo do paciente? energeticamente possível. Expresse sua resposta em função da 64. || A taxa com a qual um traçador radioativo se perde no corpo do massa atômica mY e da massa me do elétron. paciente é a taxa de decaimento do isótopo mais a taxa em que ele é Dica: Inicie com as massas nucleares e, depois, adicione um núexpelido pelo corpo. Experimentos médicos revelaram que os isótomero igual de elétrons a ambos os lados da reação para obter as pos estáveis de um elemento são expelidos com meia-vida de 6,0 dias. massas atômicas. Um isótopo radioativo do mesmo elemento tem meia-vida de 9,0 di as. b. O 13N pode sofrer decaimento beta-mais para 13C? Em caso afirQual é a meia-vida efetiva do isótopo no corpo do paciente? mativo, qual é a quantidade de energia liberada no decaimento? 239 65. || O isótopo Pu tem uma meia-vida de 24.000 anos e decai por 69. Todos os átomos encontrados na Terra foram criados há muito tememissão de uma partícula alfa de 5,2 MeV. O plutônio não é muito po por meio de reações de fusão nuclear em uma supernova, uma perigoso de manusear porque sua atividade é baixa e a radiação alfa estrela que explodiu. Os fragmentos arremessados pela supernova não penetra na pele. Contudo, existem certas preocupações relaciomais tarde se aglutinaram, formando gases a partir dos quais foram nadas à saúde, no caso de o plutônio ser inalado e suas partículas, formados o Sol e os planetas de nosso Sistema Solar. Os físicos mesmo que muito pequenas, se alojarem nos pulmões. Isso pode nucleares sugerem que os isótopos235U e 238U do urânio devem ter ocorrer após um incêndio ou uma explosão que espalhe o plutônio sido criados em número igual. Sabemos que, atualmente, 99,28% como poeira. Vamos determinar o nível de risco. do urânio consiste de 238U, e apenas 0,72% é 235U. Há quanto ocora. Partículas de fuligem possuem aproximadamente 1 m de diâreu nossa supernova? metro. Sabe-se que essas partículas podem se alojar no interior 70. Pode parecer estranho que no decaimento beta um próton, que é dos pulmões.239Qual é a quantidade de átomos presentes em uma positivo e repelido pelo núcleo também positivo, permaneça no núpartícula de Pu com 1 m de diâmetro? A densidade do plutôcleo, enquanto o elétron, que é negativo e atraído pelo núcleo, seja nio vale 19,800 kg/m3. ejetado. Para entender o decaimento beta, vamos analisar o decaib. Qual é a atividade, em Bq, de uma partícula com 1 m de diâmento de um nêutron em repouso em um laboratório. Vamos ignometro? rar o antineutrino e considerar o decaimento n → p  e–. A análise c. A atividade da partícula é muito pequena, mas o poder de perequer o uso das equações relativísticas da energia e do momentum, netração das partículas alfa também é muito pequeno. Todas as vistas do Capítulo 37. partículas alfa são impedidas de seguir em frente e cada uma a. Qual é a energia cinética total, em MeV, do próton e do elétron? delas deposita sua energia em seu entorno, que é uma esfera b. Escreva a equação que expressa a conservação da energia relacom 50 m de diâmetro. Qual é a dose recebida, em rem/ano, tivística para esse decaimento. A equação deve ser escrita em por essa pequena esfera de tecido dos pulmões? Use uma RBE função das três massas mn, mp e me e dos fatores de Lorentz relamédia de 15 e considere que a densidade do tecido seja a mestivísticos γp e γe. ma da água. c. Escreva a equação que expressa a conservação do momentum d. É provável que essa exposição seja significativa? Como ela se relativístico para esse decaimento. Vamos estabelecer que v recompara à exposição radioativa natural? presente o módulo da velocidade e que os sinais negativos devem ser escritos explicitamente. d. Você tem duas equações simultâneas para duas incógnitas, vp e Problemas desafiadores ve. Para facilitar a resolução do sistema de equações, demonstre 238 primeiro que γv  (γ2 – 1)1/2c. U ocorre naturalmente, em pequenos níveis, em vários 66. O isótopo 238 e. Isole vp e ve. (É mais fácil obter γp e γe primeiro e, depois, v a tipos de solo. Um dos núcleos da série de decaimentos de U é o 





222

isótopo Rn, que decai ao emitir uma partícula alfa de 5,50 MeV com t1/2  3,82 dias. O radônio consegue penetrar através do alicerce de uma casa e se misturar ao ar. A Agência de Proteção Ambiental dos EUA recomenda que os proprietários de imóveis tomem medidas para remover o radônio, mantendo ventilado o interior de sua residência caso a atividade do radônio exceda 4 pCi por litro de ar.

partir de γ.) Primeiro, obtenha uma expressão algébrica para cada uma das velocidades consideradas em função das massas. Depois, avalie cada um, escrevendo v como uma fração de c. f. Determine a energia cinética, em MeV, do próton e do elétron. Verifique se a soma das duas é consistente com a resposta ao item a.

CAPÍTULO 43

g. Agora explique por que o elétron é ejetado no decaimento beta enquanto o próton permanece no núcleo. 71. O decaimento alfa ocorre quando uma partícula alfa, por efeito túnel, atravessa uma barreira coulombiana. A FIGURA PD43.71mostra um modelo unidimensional simples do poço de energia potencial para uma partícula alfa em um núcleo com A 235. A largura do poço de energia potencial, de 15 fm, é o diâmetro do núcleo. Para deixar o modelo ainda mais simples, a barreira coulombiana será modelada como uma barreira de energia potencial retangular de 20 fm de largura e 30 MeV de altura. O objetivo desse problema é calcular a meia-vida de uma partícula alfa que esteja no nível de energia E  5,0 MeV. 

■

Física Nuclear

1363

a. Qual será a energia cinética da partícula alfa enquanto ela estiver no núcleo? Qual será a sua energia cinética após ela ter escapado do núcleo? b. Considere a partícula alfa no núcleo como uma partícula puntiforme que se move de um lado para o outro com a energia cinética que você determinou no item a. Qual é a taxa de colisão da partícula e o número de vezes que a partícula colide, por segundo, com uma das paredes da barreira de energia potencial? c. Qual é a probabilidade de tunelamento, Ptúnel? d. Mais precisamente, Ptúnel representa a probabilidade de que, em uma colisão qualquer com a parede, a partícula alfa tunele a barreira em vez de ser refletida. A probabilidade de não ocorrer o tunelamento, neste caso, é igual a 1 – Ptunel. Assim, a probabiN lidade de a com partícula estar no interior após uma alfa das ainda paredes é dada por (1 do – Pnúcleo N colisões 1– túnel) NPtúnel, onde usamos a aproximação binomial porque Ptúnel  1. A meia-vida é o tempo em que metade dos núcleos ainda não decaiu. Use essa informação para determinar (em anos) a meiavida desse núcleo.

,



FIGURA PD43.71


Isótopos diferentes de um Pare e Pense 43.1: 3.

elemento possuem diferentes números de nêutrons, mas o mesmo número de prótons. O número de elétrons em um átomo neutro é igual ao seu número de prótons. Pare e Pense 43.2: Para d. manter A constante quando N aumenta em 1, é necessário que Z diminua em 1. Pare e Pense 43.3: Não . Um contador Geiger responde somente à ra-

diação ionizante. A luz visível não é uma radiação ionizante.

Pare e Pense 43.4: Resta c. um quarto dos átomos. Isso equivale à me-

tade da metade, ou (1/2) 2.

Pare e Pense 43.5: b. Ocorrerá um aumento de Z sem que haja alteração de A quando um nêutron se transformar em um próton mais um

elétron, e o elétron for ejetado.

PARTE

VII

RESUMO

Relatividade e Física Quântica

Niels Bohr não podia estar mais certo quando disse que “quem não ficar espantado com a teoria quântica é porque não conseguiu entendê-la”. A mecânica quântica é realmente surpreendente. A previsibilidade da física newtoniana deu lugar a um mundo misterioso onde entidades físicas que deveriam ser ondas às vezes se comportam como partículas. De alguma forma, elétrons e nêutrons produzem interferência consigo mesmo. Essas descobertas contrariam totalmente nosso senso comum. De acordo com a mecânica quântica, a função de onda e as probabilidades com ela associadas são tudo que podemos saber ESTRUTURA DO CONHECIMENTO VIIRelatividade

acerca de uma partícula atômica. Essa idéia é tão perturbadora que muitos cientistas renomados relutaram em aceitá-la. Einstein estava errado ao proferir sua frase famosa “Deus não joga dados com o universo”. Por mais estranho que possa parecer, é assim que a natureza realmente é. Ao concluir nossa jornada pelo mundo da física, o conhecimento estruturado da Parte VII resume as idéias importantes da relatividade e da física quântica. Esteja você chocado ou não, essas são as teorias cientificas por trás da tecnologia emergente do século XXI.

e física quântica

CONCEITOS ESSENCIAIS OBJETIVOS BÁSICOS

Referencial, evento, átomo, fóton, quantização, função de onda, densidade de probabilidade Quais são as propriedades e as características do espaço e do tempo? O que podemos aprender sobre a luz e os átomos? Como os fenômenos atômicos e nucleares são explicados por meio de níveis de energia, funções de onda e fótons?

PRINCÍPIOS GERAIS

Princípio da Relatividade

Todas as leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.

Equação de Schrödinger Princípio da exclusão de Pauli No máximo um elétron pode ocupar um mesmo estado quântico. xp  h/2 Princípio da incerteza

RELATIVIDADEO princípio da relatividade estabelece que:

FISICA QUÂNTICASistemas quânticos são descritos por uma função

• A velocidade da luz, c, é a mesma em relação a todos os referenciais inerciais. Nenhuma partícula ou influência causal pode se mover com velocidade maior do que c. • Contração espacial: é o comprimento de um objeto em relação a um referencial em que o objeto se move com velocidade v

de onda (x). • A probabilidade de uma partícula ser encontrada em uma faixa estreita de largura x centrada na posição x é Prob(com x centrado em 2 x)  P(x) x. A densidade de probabilidade é P(x)  |(x) . • A função de onda deve ser normalizada.

onde  o comprimento próprio e   v/c. • Dilatação temporal: o intervalo de tempo próprio τ entre dois eventos é aquele medido em relação a um referencial em que os dois eventos ocorrem na mesma posição. O intervalo de tempo t em relação a um referencial que se move com velocidade relativa v é

• A função de onda pode penetrar uma região classicamente proibida com distância de penetração

• E  mc2 é a energia equivalente à massa. Massa pode transformarse em energia, e energia, em massa.

Propriedade da luz Umfótons fóton são de luz de freqüência • Os emitidos e absorvidos porenergia inteiro.Efóton ƒ possui

• Uma partícula pode tunelar uma barreira de energia de altura U0 e largura w com uma probabilidade Ptúnel  e – 2w/η

Propriedades dos núcleos 

hƒ.

Propriedades dos átomos • Níveis quantizados de energia, obtidos por meio da equação de Schrödinger, dependem dos números quânticos n e l. • Um átomo pode saltar de um estado para outro através da emissão ou da absorção de um fóton de energia Efóton  Eátomo • No estado fundamental, a configuração eletrônica é a de mais baixa energia consistente com o princípio de Pauli.

•curto O núcleo pela interação forte, uma força atrativa de alcanceé mantido entre doiscoeso núcleons. • Os núcleos são estáveis apenas se os números de prótons e de nêutrons estiverem na linha de estabilidade. • Núcleos instáveis decaem por meio de decaimento alfa, beta ou gama. O número de núcleos diminui exponencialmente com o tempo.

UM PASSO ALÉM ALÉM

A Revolução dasquânticos Telecomunicações Computadores Todos os sistemas que estudamos na Parte VII foram considerados como estando em um estado quântico único e bem-definido. Um átomo de hidrogênio, por exemplo, estava no estado 1 s ou, talvez, no estado 2 p. Mas há outra possibilidade. Alguns sistemas quânticos podem existir como uma superposição de dois ou mais estados quânticos.

Suponha que desejemos representar informações não por meio de capacitores, mas por meio de um sistema quântico que possua dois estados. Podemos dizer, então, que este sistema representa um 0 quando encontra-se no estado a, e um 1, quando no estado  b. Esse sistema quântico equivale a um bit binário qualquer desde que o sistema esteja

Levantamos possibilidade de da superposição quando examinamos o experimento daadupla fenda à luz física quântica. Observamos que um fóton, ou um elétron, deve, de certa forma, atravessar ambas as fendas e, então, interferir consigo mesmo de modo a produzir um padrão de interferência no anteparo. Suponha que um elétron que tenha passado pela fenda superior na figura esteja no estado quântico a. Já um elétron que tenha passado pela fenda inferior está no estado  b.

em um dos estados. Contudo, ao contrário do bit clássico, o sistema quântico tem a possibilidade de estar em um estado de superposição. Usando 0 ou 1, em lugar de  a e  b, poderíamos dizer que o sistema pode estar no estado    ⋅ 0   ⋅ 1. Essa unidade básica da computação quântica é chamada de qbit. À primeira vista, pode parecer que poderíamos realizar a mesma coisa com um sistema clássico ao permitir que a carga do capacitor varie, mas um capacitor parcialmente carregado ainda se encontra em um estado único e bem-definido. Em contraste, um qbit – analogamente ao elétron que atravessa ambas as fendas – encontra-se no estado 0 e no estado 1 ao mesmo tempo . Para ilustrar as possibilidades, suponha que você tenha três bits clássicos e três qbits. Os três bits podem representar oito números diferentes (de 000 a 111), mas apenas um de cada vez. Os três qbits representam todos os oito números simultaneamente. Para realizar uma operação matemática, você tem de efetuá-la oito vezes com os três bits para obter todos os resultados possíveis. Com três qbits, entretanto, você teria todos os oito resultados simultaneamente a partir de uma só operação. Em geral, calcular com n qbits fornece teoricamente uma melhoria da ordem de 2n em relação ao mesmo cálculo efetuado com n bits. Dizemos “teoricamente” porque a computação quântica se encontra ainda no estágio conceitual, tal como os computadores digitais há

O elétron que tenha atrevessado a fenda superior está no estado a.

O elétron atrás das fendas está no estado de superposição   a  b.

Elétron incidente

O elétron que tenha atrevessado a fenda inferior está no estado b.

FIGURA VII.1O elétron que emerge da dupla fenda encontra-se em

um estado de superposição.

Dizer que um elétron atravessa ambas as fendas é o mesmo que dizer que o elétron emerge da dupla fenda no estado de superposição   a 2 2  b, onde os coeficientes  e  devem satisfazer à condição     1. (Note que isso se parece com a determinação do módulo de um vetor a partir de seus componentes.) Se fôssemos detectar o elétron, 2 e 2 seriam as probabilidades de encontrar o elétron no estado a ou no estado b, respectivamente. Mas até que detectemos esse elétron, ele existe em um estado de superposição de ambos os estados a e  b. É justamente a superposição que permite ao elétron interferir consigo mesmo e produzir o padrão de interferência. Mas qual é a relação disso tudo com os computadores? Como você já sabe, tudo o que um moderno computador digital faz, desde surfar na Internet até cálculos pesados, é realizado por meio da manipulação de seqüências binárias de 0s e 1s. O conceito de computação com bits binários remonta a Charles Babbage, a meados do século XIX, mas somente na metade do século XX os cientistas e engenheiros desenvolveram a tecnologia que provê uma representação física para esse conceito. Todo bit binário é sempre um 1 ou um 0, não existe outro estado intermediário. Isso é representado em um microprocessador moderno por pequenos capacitores que estão carregados ou não-carregados.

150 anos. Que tipo de sistema quântico pode realmente ser colocado em estado de superposição adequado? Como manipularemos os qbits? Como as informações de entrada ( in) e de saída ( out) serão lidas? Que tipos de cálculos seriam significativamente mais rápidos com o uso da computação quântica? Todas essas questões estão sendo investigadas ativamente nos dias de hoje. A computação quântica ainda está engatinhando e a tecnologia para um computador quântico real ainda é desconhecida. Assim como Charles Babbage jamais poderia ter imaginado os computadores de que hoje dispomos, o uso dos computadores quânticos no futuro ainda é difícil de prever. Porém certamente existem muitos usos que algum de vocês poderá ajudar a inventar.

FIGURA VII.2Esta seqüência de íons de berílio mantidos em

uma armadilha de íons está sendo estudada como um possível computador quântico. Os estados quânticos dos íons são manipulados por meio de feixes de laser.

Créditos INTRODUÇÃO

CAPÍTULO 40

Cortesia da International Business Machine Corporation. O uso não-autorizado não é permitido.

Página 1239: Digital Instruments Inc. Página 1240: Dr. Claus Jonsson.

CAPÍTULO 41 CAPA Ilustração de Yvo Riezebos Design e foto de Bill Frymire/Masterfile.

Página 1262: IBMCorporateArchives.Página1263: Bettman/Corbis. Página 1292 L: Digital Instruments Inc. Página 1292 R: Prelim Ed., from G. Binnign and H. Rohres, Surface Science, 144, p. 321, 1984.

PARTE VII RELATIVIDA DE E FÍSIC A QUÂNTICA Página 1140: National Institute of Standards and Technology.

CAPÍTULO 37 Página 1142: John Y. Fowler. Página1143: Topham/The Image Works. Página 1160: U.S. Department of Defense Visual Information Center. Página 1161: Stanford Linear Accelerator Center. Página 1175: Science Photo Library/Photo Researchers. Página 1176: Wellcome Dept. of Cognitive Neurology/Science Photo Library/Photo Researchers.

CAPÍTULO 38 Página 1184: Car Culture/Getty Images. Página1186: DaimletChrysler. Página 1189: Science Photo Library/Photo Researchers. Página1190: Science Museum/Science and Society Picture Library. Página 1199: Gerard Herzberg/ Atomic Spectra and Atomic Structure, Prentice-Hall, 1937. Página 1200 T: Digital Vision/Getty Images. Página1200 B: Ted Kinsman/Photo Researchers.

CAPÍTULO 39 Página 1208: IBM. Página 1212: Bettman/Corbis. Página 1213: DPA/HM/ The Image Works. Página1216: Creatas/agefotostock. Página 1218: Dr. Claus Jonsson. Página 1221: Bettman/Corbis.

CAPÍTULO 42 Página 1300: RichardWainscoat/Alamy.Página1304: TomPantages. Página 1316: Courtesy National Institute of Standards and Technology. Página 1320: Archivo Iconografico, S.A./Corbis. Página 1325: Meggers Gallery/American Institute of Physics/Science Photo Library/Photo Researchers.

CAPÍTULO 43 Página 1333: C.Powell,P.Fowler&D.Perkin/PhotoResearchers. Página 1335: British Antarctic Survey/Photo Researchers. Página 1341: Bettman/Corbis. Página 1343: Hulton/Getty Images. Página 1344: Kevin Fleming/Corbis. Página 1348: Landmann Patrick/Corbis SYGMA. Página 1352: ICRR Institute for Cosmic Ray Research. Página1356: Lonnie Duka/Index Stock. Página 1357: Howard Sochurek/Corbis.

Revisão Matemática

A E C I D N Ê P A

Álgebra Usando expoentes:

Frações: Logaritmos:

A expressão ln (a  b) não pode ser simplificada.

Equações lineares:

Proporcionalidade:

Equação quadrática:

O gráfico da equação y  ax  b é uma linha reta. O coeficiente a é a declividade da reta, e b, sua intersecção com o eixo y.

Declividade

Para expressar que y é proporcional a x, escreva y  x, significando que y  ax, onde a é uma constante. A proporcionalidade é um caso especial da linearidade. O gráfico correspondente a uma relação de proporcionalidade é uma reta que passa pela srcem. Se y  x, então

A equação quadrática

altura base

intersecção com y

2

ax  bx  c  0 possui duas soluções dadas por

Geometria e trigonometria Áreas e volumes:

Retângulo

Caixa retangular

Triângulo

Cilindro circular reto

Círculo

Esfera

A-1

A E C I D N Ê P A

Comprimento de arco e ângulo:

O ângulo  em radianos é definido por   s/r. O comprimento de arco que subtende o ângulo  é s  r. 2 rad  360°

Triângulo retângulo:

Teorema de Pitágoras

Triângulo qualquer:

      180°   rad c

Lei dos cossenos

2



a

2



b

2



2ab cos 

Identidades:

Expansões e aproximações Expansão binomial: Aproximação binomial: Expansões trigonométricas:

Aproximação de pequenos ângulos:

Se 

1 rad, então sen 

tg 



 e cos



1. 



A-2



A aproximação de pequenos ângulos é excelente para   5° ( tável até  10°.

0,1 rad) e geralmente acei-

Cálculo Nas seguintes derivadas e integrais, as letras a e n representam constantes.

Derivadas

A E C I D N Ê P A

Integrais

A-3

,

s o t n e m e l E s o d a c i d ó i r e P a l e b a

,

,

,

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ão içs n a tr

,

,

T

,

lo o b ím S

cio m ô at o re m ú N

B

,

e d s to n e m le E

ac i m ô at as as M

,

,

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,

,

,

,

,

,

s eo d í an t n a L

E C I D N Ê P A

a n etr in ão isç an tr e d s to n e m el E

s eo d í n it c A

o d íro e P B-1

Dados Atômicose Nucleares Número atômico (Z)

Elemento

Símbolo

Número de massa (A)

Massa Percentual de atômica (u) abundância

Modo de decaimento

C E C I D N Ê P A

Meia-vida t 1/2

C-1

C E C I D N Ê P A

C-2

Número atômico (Z)

Elemento

Símbolo



Modo de decaimento

Meia-vida t 1/2


Elemento

Símbolo



Modo de decaimento

Meia-vida t 1/2

C E C I D N Ê P A

C-3

C E C I D N Ê P A

C-4


Elemento

Símbolo



Modo de decaimento

Meia-vida t 1/2

Respostas Respostas dos exercícios e problemas de numeração ímpar Capítulo 37

19. 21. 23.

1. 3.

25.

5.

29.

9.

31.

11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 25. 27. 29. 31. 33. 35. 37. 39. 41. 43. 45.

O raio 2, 20 s antes do raio 1 Sim 0,866c a. 0,9965c b. 59,8 anos-luz 46 m/s Sim 3 4600 kg/m 6 3,0  10 m/s 10 x  8,3  10 m, t  330 s 0,36c no sentido negativo do eixo x 0,71c 0,80c 0,707c 16 9 a. 1,8  10 J b. 9,0  10 0,943c u50 final  1,33 m/s para a direita; u100 final  3,33 m/s para a e squerda u1 inicial  4,0 m/s para a direita; u2 inicial  2,0 m/s para a esquerda

47. 49. 51. 53. 55. 57. 59. 61. 63.

11,2 h a. Não b. 67,1 anos a. 80c b. 16 anos 0,78 m a. 8,5 anos-luz, 17 anos b. 7,4 anos-luz, 15 anos c. Ambos 0,96 c 6 3,1  10 V 11 a. 0,98 c b. 8,5  10 J b. Comprimentos perpendiculares ao movimento não são afetados.

65. 67. 69.

79. 81.

35.

8,4° 7 9.58  10 C/kg, próton 6 a. 0,140 nm b. 1,34  10 m/s

37.

39. 41.

b. Diminui pouco c. O número de nêutrons aumenta mais rápido do que Z Alumínio

43. 45. 47. 49.

Capítulo 39 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. 21. 23. 27. 31.

13

6,25  10 elétrons/s 3,20 eV 1,78 eV a. Alumínio b. 1,93 V a. 4.140 nm; infravermelho b. 414 nm; visível c. 41,4 nm; ultravioleta 29 a. 1,5  10 b. Onda 14 19 a. 5,0  10 Hz b. 1  10 fótons/s 6 6,0  10 V 6 0,427 nm a. Sim b. 0,50 eV n  2: sim; n  3: não 3,40 eV 97,25 nm

33.

73. 77.

33.

25.

3,87mc 0,786c

71. 75.

2,42 m

27.

7.

1 pm 22 m 0,85c Sim 35.

Capítulo 38

18

26

a. 1,7  10 fótons b. 1,7 10 fótons/s

37.

1. 3. 5.

3

5,0  10 0,52 m

T, para fora da página c. Partícula alfa

7. 9. 11. 13.

75 eV a. 4 elétrons, 4 prótons, 5 nêutrons b. 6 elétrons, 7 prótons, 7 nêutrons c. 4 elétrons, 6 prótons, 7 nêutrons

39. 41.

15. 17.

a. 79 elétrons, 79 prótons, 118 nêutrons 13 c. 2,0  10

Sódio a. 0,24 A

43. 17

3

b. 2,29  10 kg/m

51.

c. Ambos ultravioleta

R-2

Respostas

53. 0,278 nm

39.

55. 57.

1282 nm

59.

3 → 2: 10,28 nm, 4

1/2

a 0,866 cm b.

→

2: 7,62 nm, 5

→

2: 6,80 nm; todos ultravioleta

c.

61. 63. 65. 67. 13

c. raios X

d. 7,3  10 ; sim

Capítulo 40

41.

1.

d. 3440 a. a  b b.

3. 5. 7. 9. 11. 13. 15.

b.

c. 43.

18 m

45.

b. A energia de um fóton não pode ser conhecida

47. 49. 17.

c. 0,75 1/2 a. 0,354 mm b.

19.

c. 0,25 25 ns 5 1,0  10

21.

51.

c.

23. 25.

precisamente. 50% a. b.

7

0 até 2,5  10 m/s

27. 29. 31.

5

1,0  10 pulsos/s a.

5

33.

d. 2,5  10

b. a. Sim b.

Capítulo 41 1. 3. 7. 9.

0,739 nm 0,75 nm 0,135 0,038 eV

11.

c. 35.

b. 13.

a.

Pontos de retorno

c.

37.

d. 0,125 a. 0,27%

15.

b. 31,8%

17.

150 nm 2,25 N/m

Respostas 19. 21. 25.

1,35 N/m a. 4,95 eV a.

c. b. 4,80 eV

Eixo z

c. 4,55 eV

29.

Mais provável 27.

Menos provável Prob de estar na terça parte esquerda a partir do gráfico

29. 33.

Prob calculada de estar na terça parte esquerda 31.

7

4,77  10 m/s

35.

37.

b. 2aB

a. 35.

b.

39.

463

10

43.

37.

39.

b.

41.

c. 45.

Capítulo 42 1. 3. 5. 7. 9. 11.

a. Estado excitado do Ne

13. 15. 17. 19. 21. 23. 25.

a. Sim; 2,21 m 2,0%

b. Estado fundamental do Fe

43.

a. Energia b.

Círculo de raio

R-3

R-4

45. 47. 49. 51. 53. 55. 57.

Respostas

b. 28,7 eV 1 a. 6,25  108 s b. 0,17 ns 5,7 ns 16 5,0  10 b. 0,021 nm 8,03% 4,472aB 23 28 a. pátomo  7,0  10 kg m/s; pfóton  8,5  10 kg. m/s b. 82.400 fótons c. 1,24 ms 5 2 d. 4,05  10 m/s e. 31 cm

21.

Nêutrons

14

27. 31. 33. 35.

51. 53. 55. 57. 59. 61. 63. 65.

7. 36

36

a. S e Ar 67.

11.

19.

Prótons 

80 d 228

Th 4,82 MeV 0,225 J 60 mrem

41.

3. 5.

17.

14

29.

47.

15.

Nêutrons 

25.

43. 45.

13.

Prótons

39.

1.

9.

14

23.

37.

Capítulo 43

Nêutrons

Prótons

b. o N é instável; o C sofre decaimento  ; o O sofre decaimento 

12

13

12

C: 7,68 MeV; C: 7,47 MeV; o C é mais coeso (mais fortemente ligado) 20,18 u 8000 N 38 2,3  10

69. 71.

6,0 MeV 17 17 17 17 a. N, O, F b. O 17  17 17 17 c. N decai por  para O; F decai por captura eletrônica para O 11 7,16  10 Bq ou 19,4 Ci 17 2,73  10 a. 19s b. Não 1,2 h 210 milhões de anos 70 mrem 12 3,3  10 10 7 a. 2,6  10 b. 0,024 Bq c. 1,4  10 rem/ano d. Sim, ~ 50 milhões de vezes maior do que a radioatividade natural de fundo 15 cm 6 bilhões de anos atrás 21 1 a. Kdentro  65,0 MeV; Kfora 5,0 MeV; b. 3,7  10 s 39 c. 6,6  10 d. 650 milhões de anos 

Índice A

D

Absorção de luz, 1224 de sódio, 1317

Datação pelo método do potássio-argônio, 1361 Datação por carbono, 1348-49

do hidrogênio, 1231, 1317 por excitação, 1317 Abundância natural de isótopos, 1335 Água pesada (deutério), 1336 Aniquilação elétron-pósitron (PET scan), 1176 Ano-luz, 1160 Antimatéria, 1175, 1352 Antinodos, 1272 Aproximação binomial, 1168 Aproximação de partícula independente, 1310 Atividade de amostra radioativa, 1347-48 Átomos, 1184, 1222, 1228-29. Ver também Elétrons; Física nuclear; Hidrogênio; Núcleo

Datação radiométrica, 1348-49 De Broglie, Louis-Victor, 1217-18 Decaimento. Ver também Radioatividade exponencial, 1279 nuclear, 1345-47 séries de, 1353 taxa de, 1322, 1345-47 Decaimento alfa, 1182, 1349-50, 1363 Decaimento beta, 1207, 1342, 1350-51, 1352, 1362 Decaimento gama, 1353 Densidade de probabilidade radial, 1305-07 Densidade nuclear, 1336-37 Deutério, 1336 Diagrama de níveis de energia, 1223-24 para elétrons multieletrônicos, 1310 para o átomo de hidrogênio, 1230, 1303 Dilatação temporal, 1156-60 evidência experimental da, 1159 paradoxo dos gêmeos, 1159-60 tempo próprio, 1157-59 Diodo túnel ressonante, 1293-94 Dispositivos de poço quântico, 1280 diodo túnel, 1294 lasers, 1208, 1280 Dose absorvida, 1354 Dose equivalente, 1354 Dualidade onda-partícula, 1208

B

Bernoulli, Daniel, 1185 Bohr, Niels 1221, 1232, 1275

C

Camadas atômicas fechadas, 1311, 1315-17 Campos eletromagnéticos, 1187 Captura de elétron, 1351 Cavidade óptica, 1325 Comprimento de onda de De Broglie, 1218, 1225-26, 1281-83 e equação de Schrödinger, 1263-65 Comprimento de penetração, 1279 Comprimento próprio, 1161-62 Computadores quânticos, 1365 Condições de contorno para funções de onda, 1266-69 Condições elásticas e referenciais, 1147 Condução elétrica, 1186 Configuração eletrônica, 1311 Conservação do momentum, 1169-72 Constante de Planck, 1212-13 Constante de tempo e meia-vida, 1346 Contador Geiger, 1344 Contração espacial, 1161-64, 1167 Coordenadas espaço-temporais, 1151 Cor em sólidos, 1319-20 Corrente de tunelamento, 1293 Cristais, 1335 Curva da energia de ligação, 1339

E

Edison, Thomas, 1191 Efeito fotoelétrico, 1208-12 características do, 1209 explicação de Einstein para o, 1212-15 freqüência de limiar para o, 1214, 1215 interpretação clássica do, 1210, 1212 potencial de parada, 1209, 1210-11, 1215 Eficácia biológica relativa (RBE), 1354 Einstein, Albert, 1140, 1148, 1202, 1212, 1213-14, 1216, 1323-24 Elementos, 1198, 1223, 1315-17 Ver também Tabela periódica dos elementos Elementos de transição, 1314 Eletrodos, 1185 Eletrólise, 1185, 1191 Elétron-volt, 1196-97

Elétrons, 1192-93 confinado em um capacitor, 1286 de comprimento de onda de de Broglie, 1218 descoberta do, 1188-91 elétrons secundários, 1217 energia de ligação, 1228-29 energia do, 1197, 1220 massa do, 1192-93 spin, 1307-09 Elétrons de valência, 1316 Emissão espontânea, 1323 Emissão estimulada, 1323-27 Emissão térmica, 1210 Emissão, espontânea e estimulada, 1323-24 Energia. Ver também Energia cinética; Energia potencial de fótons, 1213 de ionização, 1228-29, 1303, 1315-17 de ligação, 1228-29, 1338-39 de quanta de luz, 1213 de repouso, 1173 nuclear, 1273 quantização de, 1219-21 relativística, 1172-76 Energia cinética, relatividade da, 1173-74 Energia potencial. Ver também Diagrama de níveis de energia de átomos multieletrônicos, 1310 de núcleons, 1340-41 e interação forte, 1340-41 Energia total, 1173-74, 1176 Equação da taxa, 1322 Equação de Schrödinger condições de contorno, 1266-67 quantização na, 1267 resolução, 1266-68 Equação do decaimento, 1321-23 Equações de Maxwell, 1148 Equivalência massa-energia, 1174-76 Espectro contínuo, 1199-1201 Espectro de absorção, 1223-24, 1231, 1278, 1317 Espectro de emissão, 1222-23, 1318-19 do hidrogênio, 1230-31 Espectro discreto, 1199, 1201-02, 1222 Espectro do corpo negro 1200 Espectro do hidrogênio, 1230-32 Espectrômetro de massa, 1198-99 Estado fundamental, 1222, 1273, 1311, 1313 Estados estacionários, 1221-22, 1224 do hidrogênio, 1225-27, 1228 Estados excitados, 1222, 1316-20 tempos de vida dos, 1320-22

I-2

Índice

Estados ligados, 1277-78 Éter, 1148 Eventos, 1151-54, 1158, 1165 e observações, 1153 tempo do, 1153 Excitação, 1316-17 por colisão, 1222, 1318 Experimento da fenda dupla de Young, 1186, 1365 Experimento da gota de óleo de Millikan, 1192-93 Experimento de Stern-Gerlach, 1308-09 Experimento de Thomson (campos cruzados),

energia e, 1268-71 equação de Schrödinger, 1262-65 esboço, 1282-83 formas de, 1281-83 normalização da, 1247-49, 1271 oscilador harmônico quântico, 1283-86 partícula em uma caixa rígida, 1268-74 radial, 1304-07 Função-trabalho, 1210, 1214

1189-91 à radiação, 1354 Exposição

Gases, condução 1253 elétrica em, 1186 Gráfico-história,

F

G

H

Faraday, Michael, 1184, 1186-87 Feixe atômico, 1238, 1307 Feixes de laser, 1325, 132 Física atômica, 1300, 1328 átomo de hidrogênio, 1300-1303 átomos multieletrônicos, 1309-12 espectro de emissão, 1230-31, 1318-19 estados excitados, 1320-22 lasers, 1324-25 spin do elétron, 1307-9 tabela periódica dos elementos, 1198, 1223, 1312-16 Física clássica, 1184 limites da, 1202 Física nuclear, 1280-82, 1333-57. Ver também Núcleo aplicações biológicas, 1353-57 estrutura nuclear, 1333-34 interação forte, 1340-41 mecanismos de decaimento, 1349-53 modelo de camadas, 1341-43 primeiro experimento, 1194-95 radiação, 1343-49 ressonância magnética, 1355-57 Fissão nuclear, 1176 Fluorescência, 1188 Força nuclear, 1340 Fórmula de Balmer, 1201, 1224-25 Fotodetectores, 1216, 1217 Fotoelétrons, 1209, 1215 Fótons, 1216-17 absorção de, 1224 comprimento de onda dos, 1223 emissão de, 1224 energia dos, 1213

Hertz, Heinrich, 1208-09 Hidrogênio absorção, 1231, 1327 diagrama dos níveis de energia, 1230 energia de ionização do, 1318 espectro de emissão, 1230-31 estados estacionários do, 1225-27, 1228, 1301-02 excitação do, 1318 função de onda do, 1304-07 modelo do átomo de hidrogênio de Bohr, 1224-29 momentum angular do, 1229 níveis de energia do, 1227-28, 1303

interferência e, 1242-431242 Franjas de interferência, Freqüência de limiar no efeito fotoelétrico, 1209, 1214-15 Função de onda, 1141, 1239, 1245-46 condições de contorno, 1268-69 do átomo de hidrogênio, 1304-07

Ionização, Íons, 1197 1188-89 hidrogenóides, 1231-32 Isóbaros, 1334-35 Isótopos, 1199, 1334-35, 1355 Isótopos estáveis, 1335 Isótopos radioativos, 1355

I

Imageamento por ressonância magnética (MRI), 1355-57 Incerteza, 1252-53 Indução eletromagnética, 1187 Influência causal, 1171-72 Intensidade luminosa, 1240-41 Interação forte, 1280-82, 1340-41 Interferência análise em termos de fótons, 1242-43 luminosa, 1240-41 Interferência de fenda dupla, 1240 Interferômetro atômico, 1218-19 de Michelson, 1218-19 Intervalo espaço-temporal, 1163-69, 1173 Inversão de população, 1325

L

Largura de banda, 1251-52 Lasers, 1324-25 de diodo semicondutor, 1280 de hélio-neônio, 1326-27 de poço quântico, 1280 de rubi, 1325-26 taxa de fótons em, 1216 Lei de Boyle, 1185 Lei de Wien, 1200-1201 Ligações covalentes, 1288-89 Ligações moleculares covalentes, 1288-89 Limite de ionização, 1230 Linha de estabilidade nuclear, 1337 Linha espectral, 1199 Líquidos, condução elétrica em, 1186 Luz. Ver também Lasers absorção de, 1201 coerente, 1324 emissão de, 1199-1201 interferência de, 1240-41 modelo ondulatório da, 1243-44 ondas estacionárias de, 1219 quantum de, 1213-14 velocidade da, 1148-49

M

Massa atômica, 1335-36 equivalência energia e, 1175-76 Mecânica quântica, 1239 equação de Schrödinger, 1262-65 funções de onda, 1245-46, 1281-82 ligações covalentes, 1288-89 modelos, 1265 oscilador harmônico quântico, 1283-86 partícula em um capacitor, 1286-88 partícula em uma caixa rígida, 1268-74 poços de potencial finitos, 1276-81 princípio da correspondência, 1274-76 resolução de problemas de, 1267-68 tunelamento, 1290-94 Mecanismos de decaimento, 1349-53. Ver também Radioatividade decaimento alfa, 1182, 1349-50, 1363 decaimento beta 1207, 1342, 1350-51, 1352, 1362 decaimento gama, 1353 interação fraca, 1351-52 séries de decaimento, 1353 Meias-vidas, 1345-47, 1348-49 Microscópio de tunelamento, 1208, 1292-93 Millikan, Robert, 1192-93, 1215 Modelo atômico de Bohr, 1221-22 atômico do pudim de passas, 1193-94

Índice

de camadas, 1281, 1306, 1341-43 nuclear do átomo, 1195, 1197 ondulatório da luz, 1243-44 quantomecânico, 1265 Modelo atômico quântico de Bohr, 1221-22 estados estacionários, 1221-22 saltos quânticos, 1222 Modelo da gota líquida do núcleo, 1337 Modelo do átomo de hidrogênio de Bohr, 1224-29 energia de ionização, 1228-29 energia de ligação, 1228-29 estados estacionários, 1225-26 níveis de energia, 1227-28 angular, 1220 quantização do momentum Modelo nuclear dos átomos, 1195, 1197 Modelo ondulatório da luz, 1243-44 Modelos quantomecânicos, 1265 Momentum angular, 1229-1303, 1334 do hidrogênio, 1229, 1300-1303 quantização do, 1229, 1302-3 Momentum relativístico, 1169-72 Movimento de ponto-zero, 1273-74 MRI (imageamento por ressonância magnética), 1357 Múons, 1159, 1238

N Neutrinos, 1352 Nêutrons, 1198-99, 1280-82, 1334, 1341 Newton, Isaac, 1185, 1186 Níveis de energia, 1220, 1272, 1284, 1285-86 de núcleos de baixos valores de Z, 1342-43

do átomo de hidrogênio, 1227-28, 1303 Níveis de energia vibracionais, 1285-86 Normalização, 1247-49 Núcleo, 1198-99, 1334 descoberta do, 1193-97 energia de ligação, 1338-39 estabilidade, 1337-39 -filho, 1349-50 modelo de camadas do, 1281 núcleos com altos valores de Z, 1343 núcleos com baixos valores de Z, 1342-43 -pai, 1349-50 tamanho e densidade, 1336-37 Núcleons, 1334 energia potencial de, 1340-41 Número atômico, 1198, 1309, 1334 Número de massa, 1199, 1334 Número de nêutrons, 1334 Número quântico, 1220 de spin, 1308-09 magnético, 1301 orbital, 1301 principal, 1301 Nuvem eletrônica, 1304

O Ondas de matéria, 1217-19 Ondas luminosas estacionárias, 1219 Órbita geossíncrona, 1139 Orbital molecular antiligante, 1289 Orbital molecular ligante, 1289 Oscilador harmônico quântico, 1283-86

P Pacotes de onda, 1216, 1249-53 incerteza e, 1252-55 largura de banda dos, 1251-52 Paradoxo dos gêmeos, 1159-60 Partícula confinada em um capacitor, 1286-88 “Partícula em uma caixa”, 1268-1274 condições de contorno para, 1268-69 diagrama de níveis de energia para, 1270 energias permitidas para, 1270-71 função energia potencial para, 1268 funções de onda em, 1269-70 interpretação da solução, 1271-74 movimento de ponto-zero, 1273-74 Partículas alfa, 1194-95, 1196, 1344 Partículas beta, 1344 Partículas subatômicas, 1191 Partículas, probabilidade de localização, 1249, 1274 Poços de potencial, 1276-81 Poço de potencial finito, 1276-81. Ver também Dispositivos de poço quântico regiões classicamente proibidas, 1277-81 Pósitrons, 1175 Potencial de parada, 1209, 1210-11, 1215 Princípio da correspondência, 1274-76 Princípio da exclusão de Pauli, 1311-12, 1334, 1342 Princípio da incerteza, 1253-55, 1273-74 Princípio da incerteza de Heisenberg, 125355, 1273-74 Probabilidade, 1241-42 de detecção de fótons, 1242-43 de localização de partículas, 1249, 1274 de saltos quânticos, 1321-22 do elétron em um átomo de hidrogênio, 1304 Probabilidade de densidade, 1244 do átomo de hidrogênio, 1304 Prótons, 1198, 1280-82, 1334, 1341 Psi, lei de, 1246. Ver também Equação de Schrödinger

Pulsar, 1361

Q Quanta de luz, 1213-14 Quantização atômica, 1221-24

da energia, 1219-21 do momentum angular, 1229, 1302-03 na Equação de Schrödinger, 1267 Quantum fundamental de energia, 1220

R Radiação, 1343-49 decaimento nuclear, 1345-47 do corpo negro, 1199-1201 ionizante, 1344 usos medicinais da, 1355 Radiação térmica, 1199-1200 Radioatividade, 1193, 1334, 1343-49.Ver também Mecanismos de decaimento Raio de Bohr, 1226-27 Raios alfa, 1193-94, 1334 Raios beta, 1193-94, 1334 Raios catódicos, 1187-91 Raios gama, 1175-76, 1281, 1334 uso medicinal, 1355 Raios X ionização por, 1188-89 médicos, 1355 Rede cristalina, 1299 Referenciais, 1143-55 Referencial em repouso, 1156 Regiões classicamente proibidas, 1277-81 Regras de seleção, 1317 Relação tempo-frequência, 1251 Relatividade, 1142-43. Ver também Relatividade galileana contração espacial, 1161-64 dilatação temporal, 1156-60 dos eventos, 1151-54, 1158, 1165 energia e, 1172-76 especial, 1143 geral, 1143 influência causal, 1171-72 medições em, 1151-54 momentum e, 1169-72 princípio de Einstein da, 1142-50 simultaneidade e, 1153-56 tempo próprio, 1157-59 transformações de Lorentz, 1164-69 Relatividade galileana, 1143-47 definida, 1146 sistemas de referência, 1143-44 Relógio de luz, 1156 Ressonância magnética nuclear, 1356-57 Röntgen, Wilhelm, 1188 Rutherford, Ernest, 1139-97, 1202, 1334, 1343

S Saltos quânticos, 1222, 1272, 1316-19 Schrödinger, Erwin, 1262-63 Série de Balmer, 1231

I-3

I-4

Índice

Séries de Lyman, 1231 Simultaneidade, 1153-56 Sincronização de relógios, 1152 Sistema ligado, 1338 Sistemas de posicionamento global (GPS), 1160 Sistemas de referencial inercial, 1144, 1149, 1157-59, 1160, 1163-64 Sódio espectros de absorção e emissão do, 1201 estado excitado do, 1316 Sólidos, cor dos, 1319-20 Som, velocidade do, 1145

Temperatura e radiação de corpo negro, 1200 Tempo de eventos, 1151 medição do, 1156 relatividade e, 1150-53 Tempo de vida do estado excitado, 1321-23 Tempo próprio, 1157-59 Teorema do Virial, 1207 Teoria eletromagnética de Maxwell, 1148 Terapia por radiação, 1355 Thomson, J.J., 1188-91, 1198, 1209, 1343 Townes, Charles, 1324 Transformações de Galileu

Trem de pulsos, 1259 Tubo de Crookes, 1187-88 Tubo de raios catódicos, 1187 Tubos de descarga de gás, 1184, 1186, 1187-88 Tubos fotomultiplicadores, 1217, 1238

Subcamada, 1313-15 Superposição, computadores quânticos e, 1365

para posição, 1144 para velocidade, 1145 Transformações de Lorentz, 1164-69 aproximação binomial para, 1168 contração espacial e, 1167 para velocidades, 1168-69 Transições, 1222, 1316-20 não-radioativas, 1319-20 permitidas, 1317 vibracionais, 1286

transformações de Lorentz, 1168-69 Velocidade do som, 1145 Vibração molecular, 1285-86 Viscosidade, 1207

T Tabela periódica dos elementos, 1198, 1223, 1312-16 duas primeiras filas, 1313 elementos com Z > 10, 1313-15

V Velocidade momentum e, 1171-72 transformações de Galileu, 1145

Y Young, Thomas, 1186

RANDALL D. KNIGHT

Este livro está dividido em quatro volumes. O primeiro volume contém um CD-ROM com inúmeros exercícios interativos. Se você não comprou o volume 1, mas gostaria de ter o CD, preencha e envie esta carta-resposta para a Bookman Editora.

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO Nome completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CPF: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endereço completo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

No . . . . . . . . . . .

Apt: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bairro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

UF: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CEP:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Telefone: ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data de aniversário: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-mail: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Escola em que estuda: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cidade: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Disciplina:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Professor da disciplina: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E-mail do professor:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . * Se tiver interesse em receber informações sobre os lançamentos Bookman, por favor, assinale aqui A entrega do CD-ROM será feita pelo correio. O porte será por conta Editora.

Calor específico molar de gases Gás Gases monoatômicos

Gases diatômicos

Índices de refração Material vácuo ar água vidro diamante

Índice de refração

elétron próton nêutron

Dados úteis MT RT g G kB R NA T0  patm

Massa da Terra Raio da Terra AceleraçãodequedalivrenaTerra Constantegravitacional ConstantedeBoltzmann Constantedosgases NúmerodeAvogadro Zero absoluto ConstantedeStefan-Botzmann Atmosferapadrão

24 5,98  10 kg 6 6,37  10 m 9,80m/s 2 6,67  10 11 N m2/kg2 1,38  10 23 J/K 8,31J/molK 6,02  1023 partículas/mol 273°C 5,67  10 8 W/m2 K4 101.300Pa

vsom mp me K 0 0 e c h  aB

Velocidade dosom nonêutron) ara20°C Massadopróton (edo Massa do elétron Constante eletrostática da lei de Coulomb Permissividadeelétricadovácuo Permeabilidademagnéticadovácuo Unidadefundamentaldecarga Velocidadedaluznovácuo ConstantedePlanck ConstantedePlanckracionalizada Raio Bohr de

343 m/s 1,67 9,11 8,99 8,85 1,26 1,60 3,00 6,63 1,05 5,29

Prefixos comuns Prefixo

15

10 10

nanomicromilicentiquilomegagigatera-

10 6 10 10 3 10 2 103 106 109 1012





10 27 kg 10 31 kg 9 2 2  10 N m /C 12 2  10 C /N m2 6  10 Tm/A 19  10 C 8  10 m/s 34  10 J s 4,14 34  10 J s 6,58 11  10 m  

 

  









12 9 

Tempo

1 dia  86,400 s 1 ano  3,16  107 s

1 km  0,621 mi

1 atm  101,3 kPa  760 mm de Hg 1 atm  14,7 lb/pol2

Pressão

Rotação

1 rad  180°/  57,3° 1 rev  360°  2 rad 1 rev/s  60 rpm

Massa e energia

1 u  1,661  10 27 kg 1 cal  4,19 J 1 eV  1,60  10 19 J 

Aproximações matemáticas Aproximação binomial: (1  x)n 1  nx se x Aproximação de pequenos ângulos: sen tg

1.







 e cos



1 se  1 radiano.

Letras gregas usadas na física



eV s eV s

1 pol  2,54 cm 1 mi  1,609 km 1 m  39,37 pol 1 mph  0,447 m/s 1 m/s  2,24 mph  3,28 ft/s 1 km/h  0,278 m/s 1 m/s  3,6 km/h





16

Comprimento

Velocidade





15





Alfa Beta Gama Delta Épsilon Eta Teta Lambda

10 10

Fatores de conversão

Significado

femtopico-



       

Mu Pi Rô Sigma Tau Fi Psi Ômega

Σ

 

       

Tabela das estratég ias para resolução de problemas C A P Í T U LO

Capítulo 37 Capítulo 41

E S T R AT É G I APA R AR E SO LU Ç Ã OD EP R O B L E M AS

37.1

Relatividade

41.1

Problemas de me cânica qu ântica

P Á G I NA

1165 1267

Física - Uma Abordagem Estratégica - Vol4 - 2ª Ed 2009

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