Fisica-[Riassunto]

  Appunti delle lezioni  (integrazioni in Wikipedia, dispense)                                                     Prof.  Piero Galeotti  Anno Accademico 2006/2007   

MECCANICA    Grandezze Fondamentali: grandezze basilari che si possono usare per descrivere il mondo fisico. Quando si  guarda il mondo, si osserva che esso occupa spazio, dentro i quale si trova la materia ed entrambi esistono  entro  qualcosa    che  è  chiamato  tempo.  L’osservazione  del  mondo  si  può  svolgere  facendo    riferimento,  appunto, allo spazio, alla materia e al tempo.  Lunghezza: descrive lo spazio – Massa e carica elettrica: descrivono la materia – Tempo: tempo (o intervallo  di  t)  .  Tutte  le  altre  grandezze  dette  derivate,  si  possono  descrivere  per  mezzo  di  un  appropriata  combinazione delle grandezze fondamentali.  S.I. (Sistema Internazionale): nel 1960 una commissione internazionale definì un’ insieme di campioni per le  quantità fondamentali. È un sistema adottato in maniera universale da tutti gli scienziati del mondo.                                                                           

Grandezze scalari e vettoriali:  Scalari: Grandezza fisica che può essere descritta da un valore numerico con associata un’appropriata unità  di misura.  Vettoriali: Grandezza fisica che per essere descritta richiede che siano specificati sia un valore numerico con  associate le  opportune unità di misura (detto modulo del vettore), sia  una direzione ed  un verso cioè  una  direzione  orientata.  e,  quando  necessario,  dal  cosiddetto punto di applicazione.    Modulo: lunghezza del segmento  Direzione:  Angolo  rispetto  al  sistema  di  riferimento  preso, descritto da un immaginaria retta su cui giace  il modulo.  Verso: “punta della freccia” del modulo.  Punto  d’applicazione:  punto  di  inizio  del  segmento,  ovvero  il  punto  che  precede  tutti  gli  altri  punti  del  segmento.    Prodotto scalare: (da come risultato un numero con la sua relativa unità  di  misura).  Il  prodotto  scalare  di  due  vettori  a  e  b  del  piano,  applicati  sullo stesso punto, è definito come 

dove |a| e |b| sono le lunghezze di a e b, e θ è l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come a·b. ‐ se θ = 0 i vettori sono paralleli ed a∙b = |a|∙|b|;  ‐ se θ = 90° i vettori sono ortogonali ed a∙b = 0;  ‐ se θ = 180° i vettori sono paralleli ma orientati in senso opposto,                         ed a∙b = ‐ |a|∙|b|.  ‐ Se a e b sono versori, cioè vettori di lunghezza 1, il loro prodotto scalare è semplicemente il coseno  dell'angolo compreso.  Il prodotto scalare di un vettore a con se stesso a∙a = |a|2 è il quadrato della lunghezza |a| del vettore.    Prodotto  Vettoriale:  (da  come  risultato  una  grandezza  scalare)  Il  prodotto  vettoriale,  tra  due  generici  vettori  a  e  b,  è  definito  come  il  vettore ortogonale sia ad a che a b tale che:      dove θ è la misura dell'angolo tra a e b (dove 0° ≤ θ ≤ 180°), mentre n è  il versore (un vettore di modulo unitario) che determina la direzione del  prodotto vettoriale (ed è, come specificato più sopra, ortogonale sia ad  a che a b).  Il  problema  riguardo  alla  definizione  del  versore  n  è  che  vi  sono  due  versori perpendicolari sia ad a che a b, uno di verso opposto all'altro in  quanto, se n è perpendicolare ad a ed a b, allora lo sarà anche il versore  −n.  Convenzionalmente si sceglie n in modo tale che i vettori a, b ed a × b siano orientati secondo un sistema  destrogiro  se  il  sistema  di  assi  coordinati  (i,  j,  k).  Un  modo  semplice  per  determinare  la  direzione  del  prodotto vettore è la «regola della mano destra». In un sistema destrogiro si punta il pollice nella direzione  del primo vettore, l'indice in quella del secondo, il medio dà la direzione del prodotto vettore. In un sistema  di riferimento sinistrogiro basta invertire il verso del prodotto vettore, ovvero usare la mano sinistra.  Poiché il prodotto vettore dipende dalla scelta del sistema di coordinate, o più propriamente perché in una  formalizzazione  rigorosa  il  prodotto  vettoriale  tra  due  vettori  non  appartiene  allo  spazio  di  partenza,  ci  si 

riferisce ad esso come uno pseudovettore. Sono ad esempio degli pseudovettori (detti anche vettori assiali)  il momento angolare, la velocità angolare, il campo magnetico.  Il modulo del prodotto vettore è l'area del parallelogramma individuato dai due vettori a e b ed è pari a        infatti, b sen θ è la misura dell'altezza se si fissa a come base, e viceversa a sen θ è la misura dell'altezza se  si fissa b come base.  Velocità:  In  fisica,  la  velocità  è  definita  come  la  derivata  della  posizione  nel  tempo,  ovvero  il  tasso  di  cambiamento dello spazio in funzione del tempo. Quando non specificato per velocità si intende la velocità  istantanea. La velocità è sempre uno spazio diviso un tempo, quindi nel SI si misura in metri al secondo. La  variazione della velocità è l'accelerazione.  Velocità media: rapporto tra lo spostamento e la durata dell'intervallo di tempo impiegato a percorrerlo:     

 

dove  è  lo  spostamento,  e  sono  i  vettori  posizione  e  Δt  =  t2  −  t1  è  l'intervallo  di  tempo impiegato ad effettuare lo spostamento;    Velocità istantanea:  si ottiene rendendo piccolo a piacere il tempo nella velocità media. In pratica si va a  definire la velocità per un certo istante piuttosto che in un certo intervallo, definendo la velocità istantanea  come il limite per la variazione di tempo tendente a zero del rapporto che definisce la velocità media:   

  ove 

è  il  vettore  posizione.  Lo  strumento  matematico  per  effettuare  tale  operazione  è  la  derivata  del 

vettore posizione 

rispetto al tempo t. Per cui: 

  Scomponendo il vettore posizione nei suoi componenti otteniamo (nel caso ad esempio di due dimensioni):      Poiché la velocità è un vettore, essa ha una direzione che è quella del vettore posizione quando effettuiamo  ; cioè sempre tangente alla traiettoria nel punto e all'istante considerato. Va sottolineato  il limite che la definizione fornisce la velocità istantanea, calcolata per l’intervallo di tempo infinitesimo nel quale si  percorre uno spazio pure infinitesimo. Essa è valida per qualsiasi tipo di moto, sia esso uniforme o meno.    Accelerazione:  rappresenta la variazione di velocità nell'unità di tempo. Essendo la velocità una grandezza  vettoriale,  anche  l'accelerazione  risulta  essere  una  grandezza  vettoriale.  L'accelerazione può essere allora scritta come: 

Accelerazione media: rapporto tra la variazione di velocità tempo Δt

e l'intervallo finito di

Accelerazione istantanea: limite per l'intervallo di tempo tendente a zero del rapporto che definisce l'accelerazione media, ovvero derivata della velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda della posizione rispetto al tempo:

dove è il vettore spostamento. 2 L'accelerazione si esprime, nel SI, in m/s . Sovente è anche espressa in g, dove un g rappresenta l'accelerazione gravitazionale terrestre che è pari a circa 9.81 m/s2. Nel caso di moto rettilineo (monodimensionale), anche il vettore accelerazione è monodimensionale. Nel caso di moto circolare uniforme, il vettore accelerazione è radiale, ovvero perpendicolare alla traiettoria circolare. Moto rettilineo uniforme: un corpo si muove ad una velocità (vettoriale) costante, ossia di moto rettilineo uniforme quando si muove in una certa direzione orientata percorrendo spazi uguali per tempi uguali. Δx V=costante, ne segue che a=0 Vx= Δt E per lo spazio percorso: s=s0 + V*t In  pratica,  facendo  riferimento  alla  simbologia  utilizzata  per  la  velocità  e  la  legge  oraria  del  moto,  l'equazioni si possono riscrivere come:    se si misura lo spazio a partire da un'origine O, tale che il punto materiale per tempo t=0 sia già a distanza  x0, lo spostamento è x‐x0.  Nel caso di moto rettilineo uniforme con x=0 per t=0 l'equazione :   

(x=spazio) Moto rettilineo uniformemente accelerato: moto in cui la velocità non rimane costante, ma è l’accelerazione ad essere invariate nel tempo. a=costante (positiva o negativa)

V=V0+a*t s= s0 + V0 * t + ½ at2  Se : t= (V‐ V0)/a                   si ottiene che(sostituendo t nella formula precedente  di s):   s= s0+ V0 (V‐ V0)/a + ½ a (V‐ V0)2/a2= 

V 2 − V02 2a Altre espressioni per descrivere il moto uniformemente accelerato sono: = s0 +

V= V0 + 2as a=

s=

V 2 − V02 2a

V 2 − V02 2s

Moto circolare uniforme: consiste in un moto , di un punto materiale, lungo una circonferenza.  Il  moto  circolare  assume  importanza  per  il  fatto  che  la  velocità  e  l'accelerazione  variano  in  funzione  del  cambiamento  di  direzione  del  moto.  Tale  cambiamento  si  può  misurare  comodamente  usando  le  misure  angolari per cui le formule del moto, introdotte con il moto rettilineo, vanno riviste e rielaborate con misure  angolari. 

La  retta  passante  per  il  centro  della  circonferenza  e  perpendicolare  alla  stessa  prende  il  nome  di  asse  di  rotazione. Per semplificare l'analisi di questo tipo di moto, infatti, consideriamo che l'osservatore si ponga  sull'asse di rotazione. Ciò è possibile per l'isotropia e omogeneità dello spazio.  Il  sistema  più  comodo  per  analizzare  un  moto  circolare  fa  uso  delle  coordinate  polari.  Infatti  nel  caso  particolare  di  movimento  che  avviene  su  di  una  circonferenza  di  raggio  R,  il  moto  in  coordinate  polari  diventa:      mentre in coordinate cartesiane si ha:      che soddisfano la seguente identità (in ogni istante di tempo):      Nel  moto  circolare  si  possono  definire  due  diverse  tipologie  di  velocità,  la  velocità  angolare  e  la  velocità  tangenziale.Per  descriverle  consideriamo  nello  spazio  tridimensionale, il vettore infinitesimo  dove  è  un  versore  disposto lungo l'asse di rotazione e dθ la  variazione  infinitesima  della  variabile  angolare  θ.  Sia  ora  il  vettore  posizione  del  punto  P,  allora  lo  del  punto  spostamento  lineare  P  sull'arco  di  circonferenza  percorso  nel  tempo  dt  sarà  legata  allo  spostamento  angolare 

dal prodotto vettoriale:  . 

La  velocità  angolare  è  definita  come  la  derivata,  rispetto  al  tempo,  del  vettore 

indicata  con 

     

e  comunemente 

  ed  è  una  misura  della  velocità  di  variazione  dell'angolo  formato  dal 

vettore  posizione,  si  misura  in  radianti  al  secondo:  spostamento angolare.  

ed  ha  la  stessa  direzione  del  vettore 

La  velocità  lineare  (o  tangenziale)  si  ottiene  derivando  rispetto  al  tempo  il  vettore  posizione 

:    

ed  è  legata  alla  velocità  angolare  dalla  seguente  relazione  (per  approfondire  si  veda  anche derivata di un vettore): 

  Si nota che la costanza della velocità angolare implica la costanza del modulo della velocità. 

Se si  esegue  il prodotto scalare dei due vettori 

e 

si ottiene  zero  per ogni istante di  tempo t, e 

.  questo dimostra che la velocità tangenziale è sempre ortogonale al raggio vettore                  Accelerazione:  Derivando  rispetto  al  tempo  l'espressione  del  vettore  velocità  tangenziale  otteniamo  l'accelerazione;  che  ha  una  componente  parallela  alla  velocità (responsabile della variazione del  modulo  di  questa)  ed  una  normale  (o  radiale):  si  tratta  rispettivamente  dell'accelerazione  tangenziale  e  dell'accelerazione centripeta:   

La prima frazione si chiama accelerazione angolare di solito indicata con

oppure

, si misura in

, fornisce la variazione della velocità angolare ed ha stessa direzione di questa. Sviluppando la relazione precedente otteniamo: dove si vede chiaramente la componente tangenziale che rappresenta la variazione del modulo della velocità lineare e la componente normale o centripeta che rappresenta la variazione della direzione della velocità lineare, diretta sempre verso il centro della circonferenza. Pertanto possiamo concludere che l'accelerazione ha un componente radiale di modulo

e una tangenziale di modulo . Se il moto circolare è uniforme significa che è costante il vettore velocità angolare, cioè si ha velocità lineare  costante in modulo. Integrando la  tra i due tempi t0 e t iniziale e finale corrispondenti ad  un angolo iniziale θ0 e θ:  θ(t) = θ0 + ωt  essendo ω la velocità angolare costante.  Ne consegue (dalle equazioni viste alla sezione precedente) che la velocità tangenziale ha modulo costante  pari a:   

e dal momento che essa vettorialmente varia solo in direzione, l'accelerazione ha solo componente radiale  (accelerazione centripeta):        Poiché il raggio è costante in una circonferenza, il moto circolare è uniforme se W è costante. In questo tipo  di moto di definisce il Periodo T [s], e la frequenza = 

1  [Hz].  T

Moto  di  un  proiettile:  è  un  tipo  di  moto  bi‐dimensionale,  con  accelerazione  costante  (data  dalla  forza  di  gravità).  L’effetto della resistenza dell’aria deve essere trascurabile.  La  traiettoria  di  un  proiettile  è  una  parabola.  Il  vettore  posizione è descritto da:  

r = Vi * t +

1 g * t 2     dove  ri=  0              a=g  (accelerazione  2

gravitazionale = 9,81 m/s2)  Il moto di un proiettile è la sovrapposizione di due moti:  ‐ Un moto uniforme nella direzione orizzontale con  velocità costante.  ‐ Un moto in caduta libera nella direzione verticale    Le leggi della cinematica che esprimono la posizione del proiettile nel piano al tempo t con  g:  accelerazione  di  gravità  vo:  velocità  iniziale,  α: angolo formato dalla bocca da fuoco col terreno (alzo)  sono espresse dalle seguenti formule: 

 

risolvendo la prima rispetto alla t e sostituendo nella seconda si ottiene 

  intersecando con l'asse delle x, cioè sostituendo y=0 nella precedente si ottiene la gittata 

  L'accelerazione  di  gravità  è  l'accelerazione  che  un  corpo  subisce  quando  è  lasciato  libero  di  muoversi  in  campo gravitazionale.  L'accelerazione  di  gravità  prodotta  dal  campo  gravitazionale  terrestre,  spesso  abbreviata  col  simbolo  g  è  usata  come  unità  di  misura  non‐SI  ed  è  stata  posta  uguale  al  valore  convenzionale  di  9,80665  m/s2  dalla  terza CGPM, nel 1901.  Il simbolo è scritto g minuscolo per distinguerlo dalla costante gravitazionale G che compare nelle equazioni  di Newton.  Il  valore  convenzionale  di  g  è  un  valore  medio  assunto  convenzionalmente  che  approssima  il  valore  dell'accelerazione di gravità prodotta al livello del mare ad una latitudine di 45,5° dalla Terra su un grave  lasciato  in  caduta  libera.  Tale  valore  viene  a  volte  rappresentato  con  g0  quando  g  viene  invece  usato  per  rappresentare l'effettiva accelerazione di gravità locale.  ag=9.81 m/s2 

Leggi di Newton   

Prima legge di Newton(principio d’inerzia): “in assenza di forze esterne, un corpo in quiete rimane  in  quiete,  ed  un  corpo  in  moto  persevera  nello  stato  di  moto  con  velocità  costante(cioè  moto  rettilineo  uniforme)”  Quando su di un corpo non agisce nessuna forza la sua accelerazione è nulla. La tendenza di un corpo ad  opporsi ad ogni tentativo di modificare la sua velocità è chiamata Inerzia.  Un sistema di riferimento inerziale è un sistema sistema che non possiede accelerazione.  Massa: è quella proprietà di un corpo che specifica quant’è grande l’inerzia che il corpo possiede e l’unità di  misura  è  il  [Kg].  La  massa  è  perciò  una  proprietà  intrinseca  di  un  corpo  ed  è  indipendente  da  ciò  che  la  circonda e dal metodo adoperato per misurarla. La massa è una quantità scalare (massa e peso sono due  quantità distinte) 

La  seconda  legge  di  Newton(principio  di  proporzionalità):  Partendo  dalla  prima  legge  di  Newton,  e  esercitando  una  forza  sul  corpo,  otteniamo  che  l’accelerazione  di  un  corpo  è  direttamente  proporzionale alla forza risultante agente su di esso ed inversamente proporzionale alla sua massa:  ΣF = m * a   L’unità  di  forza  ne  S.I.,  definito  come  la  forza  che  agendo  su  un  corpo  di  massa  1  [Kg],  produce  un’accelerazione di 1 m/s2.  1[N]= 1[Kg]*1 m/s2  Forza: è una spinta o una trazione che agisce su un corpo nella relazione descritta dalla seconda legge di  Newton. Si può definire come un’agente che imprime una ad una massa m un’accelerazione a. Sono vettori  che modificano lo stato di quiete o di moto  di un corpo. Quindi producono un’accelerazione , anche se non  sono a contatto del corpo su cui agiscono.  Forza di gravità: il peso di un corpo, definito come un’intensità di Fg, è :  Fg=m * g  Perciò il peso non è una proprietà intrinseca di un corpo, perché dato che g diminuisce con l’aumentare della  distanza dal centro della terra, maggiore distanza, rileva un peso minore   Esempio:  una  pila  di  1000[Kg]  di  mattoni  utilizzati  per  la  costruzione  dell’Empire  State  Building,  perdeva  circa 1 [N] di peso una volta sollevato in cima rispetto al marciapiede.   La velocità di un oggetto che venga lanciato verticalmente verso l’alto diminuisce gradualmente in modulo  fino a diventare zero nel punto piu alto della sua traiettoria , dal punto piu alto la velocità cambia verso e  riprende a crescere in modulo.  Siccome c’è una variazione di velocità, e quindi un’accelerazione, si conclude che su di esso agisca una forza  peso di gravità. Fp= m * g  La terza legge di Newton (principio d’azione‐reazione):   ctioni contrariam semper et aeqalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper  esse æqualis et in partes contrarias dirigi. (cit.)  Se due corpi interagiscono tra di loro, la forza F12 esercitata dal corpo 1 sul corpo 2 è uguale in intensità ed  opposta alla forza  F21 esercitata dal corpo 2 sul corpo 1  F12=‐F21  F12+F21=0   

Forza  D’attrito:  è  responsabile  del  rallentamento  di  un  corpo che scivola su di un piano scabro.  E’ una forza dissipativa che si esercita tra due superfici a  contatto  tra  loro  e  si  oppone  al  loro  moto  relativo.  La  forza  d'attrito  che  si  manifesta  tra  superfici  in  quiete  tra  loro è detta di attrito statico, tra superfici in moto relativo  si parla invece di attrito dinamico.  Si esercita tra le superfici di corpi solidi in mutuo contatto  ed è espresso dalla formula:   dove Fr è la forza di attrito radente, μr il  coefficiente  di  attrito    e  la  componente  perpendicolare al piano di appoggio della risultante delle  forze agenti sul corpo(N). Per un corpo appoggiato su un  piano orizzontale  è semplicemente uguale a Fp , forza  peso del corpo(mg); per un corpo appoggiato su un piano  inclinato  di  un  angolo  α  rispetto  all'orizzontale  risulta   

invece 

                        Condizioni d’equilibrio: Valgono sempre per  1) Un corpo sospeso (in tensione)  2) Per un corpo appoggiato su di un piano orizzontale  3) Oppure appoggiato su un piano inclinato (se il corpo non si muove la forza d’attrito è detta statica)    Quantità di moto: detta anche momento lineare o semplicemente momento, è una grandezza vettoriale che  misura la capacità di un corpo di modificare il movimento di altri corpi con cui interagisce dinamicamente. È  una  grandezza  utile  quando  vengono  trattati  urti  e  reazioni.  Un  punto  materiale  di  massa  m  che  si  sposta  con  velocità  vettoriale  v  ha  una  quantità  di  moto  p  pari  al  prodotto della sua massa per la sua velocità. Cioè: 

Il vettore risultante ha, quindi, modulo pari al prodotto di massa per il modulo del vettore velocità, e direzione e verso del vettore velocità. Forza Centripeta: è la forza che è necessaria per far muovere un copo su una circonferenza a velocità costante. È diretta radialmente ed orientata verso il centro della circonferenza. Per  poter  mantenere  un  corpo  di  massa  m  su  una  traiettoria  circolare di raggio r con una velocità tangenziale vt occorre una  forza centripeta pari a   

ovvero    essendo ω la velocità angolare.  La forza centripeta è la forza per effetto della quale i corpi sono attratti, o sono spinti, o comunque tendono  verso un qualche punto come verso un centro. Di questo genere è la gravità, per effetto della quale i corpi  tendono  verso  il  centro  della  terra,  …  e  quella  forza,  qualunque  essa  sia,  per  effetto  della  quale  i  pianeti  sono  continuamente  deviati  dai  moti  rettilinei  e  sono  costretti  a  ruotare  secondo  linee  curve.[…]  Tentano  tutti di allontanarsi dai centri delle orbite; e se non vi fosse una qualche forza contraria a quella tendenza,  per  effetto  della  quale  sono  frenati  e  trattenuti  nelle  orbite  …  se  ne  andrebbero  via  con  moto  rettilineo  uniforme.  Forza  Centrifuga:  è  la  reazione  alla  forza  centripeta.  Non  agisce  sullo  stesso  corpo  della  forza  centripeta.  Cioè  se  si  legasse  un  sasso  ad  un  filo  e  si  facesse  ruotare  il  sasso  su  una  circonferenza  ad  una  velocità  costante,  la  forza  centripeta  agirebbe  sul  sasso,  quella  centrifuga  agirebbe    sullo  spago.  (vedi  immagine  dopo).  Lavoro:  il  lavoro  di  una  forza  costante  lungo  un  percorso  rettilineo  è  definito  come  il  prodotto  scalare  del vettore forza per il vettore spostamento  :  dove L è il lavoro e α l'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento. Lavoro con forza e traiettoria costante Il lavoro può essere sia positivo che negativo, il segno dipende dall'angolo α compreso tra il vettore forza ed il vettore spostamento . ovvero se cosα > 0. Un lavoro positivo è definito Il lavoro svolto dalla forza è positivo se motore, uno negativo, invece, resistenza. Il termine utilizzato in fisica differisce dalla definizione usuale di lavoro, che è decisamente antropomorfa. Infatti si compie un lavoro se si ha uno spostamento e se questo spostamento non è chiuso (cioè ritorna al punto di partenza). Ad esempio se si spinge contro un muro, naturalmente il muro non si sposta e, quindi, non si ha lavoro. Casi particolari Quando la forza ha la stessa direzione dello spostamento, il prodotto scalare equivale al prodotto aritmetico dei moduli dei due vettori: . Anche nel caso di forza parallela ma opposta allo spostamento, l'espressione del lavoro si riduce al prodotto aritmetico dei moduli, ma con segno opposto: . Quando forza e spostamento sono perpendicolari, il lavoro è nullo: . Il lavoro si calcola in Joule :                         1[J]=1[N] * 1[m]   

   

Lavoro fatto da una molla:    Fm=‐Kx    Dove x è il valore dello spostamento della molla da suo stato di equilibrio iniziale (posizione d’equilibrio), K è  una costante positiva chiamata costante elastica.  Questo rapporto è noto come legge di Hooke ed è valida nei limiti dei piccoli spostamenti. Il valore di k da un  indice di rigidità della molla.    Energia  cinetica:  è  l'energia  che  un  corpo  possiede  in  virtù  del  suo  movimento.  Tale  concetto  formalizza  l'idea che un corpo in moto è in grado di compiere lavoro in quanto esso è in moto.  L'energia cinetica di un punto materiale può essere espressa matematicamente dal semiprodotto della sua massa per il quadrato del modulo della sua velocità. In coordinate cartesiane si esprime di consueto come:

L'energia  cinetica  di  un  corpo  morto  massa  m  è  il  lavoro  necessario  per  portarlo  da  una  velocità  iniziale  nulla ad una velocità finale v. Questa definizione può essere formalizzata grazie a quello che storicamente  prende il nome di teorema delle forze vive, oggi più noto come teorema dell'energia cinetica. Ne vediamo  ora una rapida dimostrazione, rimandando per approfondimenti alla voce specifica.  Consideriamo un punto materiale di massa m. Sia F una forza agente su di esso. Vale il secondo principio  della dinamica:    ovvero:    Consideriamo ora:    Il primo membro di questa equazione prende il nome di potenza della forza  .  Consideriamo ora l'integrale dell'espressione precedente da un tempo iniziale ti ad un tempo finale tf. Si ha: 

  Il primo membro rappresenta per definizione il lavoro della forza sul punto materiale. Il secondo membro si  può invece esprimere come segue: 

Ricordando che 

 

  la precendente diventa: 

    Derivando il seguente prodotto scalare si ottiene invece:   

che sostituita alla precedente permette di ottenere 

  ovvero la variazione di energia cinetica di un punto  materiale tra un istante iniziale  e uno finale  è uguale  all'integrale della potenza delle forze agenti sul corpo tra tali istanti, che prende il nome di lavoro ed è stato  indicato con L.    L'energia è definita come la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro.  L'unità di misura derivata del Sistema Internazionale, per l'energia e il lavoro è il joule (simbolo: J), chiamata  così  in  onore  di  James  Prescott  Joule  e  dei  suoi  esperimenti  sull'equivalente  meccanico  del  calore.  1  joule  esprime l'energia usata (o il lavoro effettuato) per imprimere ad una massa di 1 kg una forza di 1 newton,  cioè un'accelerazione di 1 m × s ‐2. 1 joule equivale quindi a 1 newton metro, e in termini di unità base SI, 1 J  è pari a 1 kg × m2 × s‐2 (in unità CGS l'unità base è l'erg ovvero 1 g × cm2 × s‐2).  L'energia  permette  anche  di  fare  altre  previsioni.  Infatti,  grazie  alla  legge  di  conservazione  dell'energia  valida per sistemi chiusi, si può determinare lo stato cinetico di un sistema sottoposto ad una sollecitazione  quantificabile. Ad esempio si può prevedere quanto velocemente si muoverà un determinato corpo a riposo,  se  una  determinata  quantità  di  calore  viene  completamente  trasformata  in  movimento  di  quel  corpo.  Similarmente, sarà possibile anche prevedere quanto calore si può ottenere spezzando determinati legami  chimici.    La potenza è definita come il lavoro (L) compiuto nell'unità di tempo (t):    In  base  al  principio  di  eguaglianza  tra  lavoro  ed  energia,  la  potenza  misura  anche  la  quantità  di  energia  scambiata nell'unità di tempo, in un qualunque processo di trasformazione, meccanico, elettrico, termico o  chimico che sia.  Nel caso di energia meccanica (lavoro), la potenza corrisponde anche al prodotto della forza per la velocità  del punto di applicazione e, nel caso di moti rotatori, al prodotto della coppia per la velocità angolare.  All'inverso,  l'energia  trasformata  durante  un  processo,  si  ottiene  dalla  potenza  sviluppata  moltiplicandola  per la sua durata. Nel sistema internazionale di unità di misura (SI) la potenza si misura coerentemente in  watt (W), come rapporto tra unità di energia in Joule (J) e unità di tempo in secondi (s):        Nel sistema britannico si usano i cavalli‐vapore:                     1HP=746W  ESEMPI:  un  maratoneta,  alla  fine  di  una  gara  di  maratona,  avrà  consumato  certamente  più  energia  (più  calorie,  se  vogliamo)  rispetto  ad  un  centometrista,  dopo  i  suoi  dieci  secondi  di  gara.  Ma  certamente  la  potenza che deve sviluppare il centometrista è enormemente superiore a quella del maratoneta.  Allo  stesso  modo  una  lampadina  da  100  watt  consuma  un  decimo  di  una  stufetta  (o  di  un  altro  elettrodomestico)  da 1000 watt, ma, se utilizziamo la stufetta per un'ora  e lasciamo accesa la lampadina  per 24 ore, alla fine la stufetta avrà consumato solo un chilowattora mentre la lampadina avrà consumato  ben 2,4 chilowattora. (Il chilowattora è un modo, tollerato, per misurare l'energia. Corrisponde alla potenza  di 1000 watt sviluppata continuativamente per un'ora).  Ovviamente all'azienda elettrica si pagano i chilowattora, che misurano l'energia consumata. Ma la stessa  azienda elettrica fa pagare anche una quota base, proporzionale alla potenza impegnata (chilowatt), cioè al  numero  massimo  di  stufette  da  1000  watt  che  si  possono  accendere  contemporaneamente  senza  far  "scattare" il contatore. Infatti, si capisce anche intuitivamente, per sviluppare potenze più alte ci vogliono  linee elettriche più robuste, come muscoli robusti servono al centometrista per il suo scatto.       

Energia  Potenziale:  è  una  funzione  scalare  dello  spazio  (delle  coordinate  nel  sistema  di  riferimento  considerato) e rappresenta la capacità di compiere lavoro che il corpo possiede in virtù della sua posizione  all'interno di un campo di forze conservative.  In un campo di forze conservative se il corpo si sposta da un punto A (definito da un vettore posizione rA) ad un punto B (definito da rB), le forze del campo compiono su di esso un lavoro definito da . Tale lavoro non dipende dal particolare percorso seguito ma solo dalla posizione di A e B.  L'energia  potenziale  è  definita  a  meno  di  una  costante  additiva.  In  altri  termini  è  possibile  fissare  arbitrariamente il livello zero dell'energia potenziale in corrispondenza di particolari posizioni r; questo non  dà  luogo  ad  alcuna  ambiguità,  poiché  il  lavoro  è  definito  in  termini  di  variazioni  di  energia  potenziale  (la  quale dipende solo dalla posizione r) e la forza come gradiente.    Forze conservative, che ammettono una funzione di energia potenziale:  1)la forza di gravità ammette un'energia potenziale gravitazionale.   Un corpo di massa m, in prossimità della superficie terrestre, posto ad un'altezza h rispetto ad una quota di  riferimento  scelta  arbitrariamente,  ha  un'energia  potenziale  U(h)  =  mgh  essendo g (9,81 m/s²) l'accelerazione di gravità.  Se la distanza di un corpo di massa m dalla superficie terrestre (o di qualunque altro corpo celeste) è tale da  non poter  trascurare le variazioni  della  forza gravitazionale con la distanza, allora l'energia potenziale  ad    una  distanza  r  dal  centro  del  corpo  celeste  è  definita  da  dove G è la costante di gravitazione universale e M la massa della terra o del corpo celeste. In quest'ultima il  livello  di  zero  di  U  è  posto  a  distanza  infinita  dal  corpo  celeste;  di  conseguenza  i  valori  di  U  sono  sempre  negativi.  2)la forza di Coulomb ammette un'energia potenziale elettrica; una carica q posta a distanza r dalla carica Q  ,  essendo  εo  la  costante  generatrice  del  campo,  possiede  un'energia  potenziale  dielettrica del vuoto. Nello studio dei fenomeni elettrici è tuttavia di uso più frequente il potenziale elettrico,    definito come energia potenziale per unità di carica elettrica:  3)la forza elastica ammette un'energia potenziale elastica se segue la legge di Hooke F = − kx (essendo k la  costante  elastica  della  molla  e  x  l'allungamento  o  accorciamento).  In  tale  caso  l'energia  potenziale  è      Con il termine energia meccanica si intende la somma di energia cinetica ed energia potenziale attinenti allo  stesso sistema.  In  un  campo  conservativo,  in  presenza  di  sole  forze  conservative,  vale  il  principio  che  "durante  la  trasformazione, le energie parziali si trasformano, mentre l'energia meccanica si conserva. Per esempio, un  corpo in un campo gravitazionale, che è un campo conservativo quando è situato in una certa posizione è  dotato di (sola) energia potenziale gravitazionale. Se lo lasciamo libero, in assenza di forze dissipative come  l'attrito  con  l'aria,  l'energia  potenziale  iniziale,  a  mano  a  mano  che  cade,  si  trasforma  in  energia  cinetica  (cresce la velocità) mentre la somma delle due energie rimane la stessa. Il campo conservativo equivale al  principio  di  conservazione  dell'energia:  le  variazioni  di  energia  potenziale  equivalgono  alle  variazioni  di  energia cinetica, cambiata di segno:  ΔK = − ΔU  ovvero 

che può essere scritta come 

 

 

Ogni membro della precedente esprime l'energia meccanica totale del sistema e, in quanto nota, costituisce  una costante. Pertanto si può scrivere 

che nel caso generale diventa 

 

  La costante è un'energia, ed è quelle che è comunemente nota come energia meccanica. In definitiva:    Alla  fine  della  caduta,  quando  il  corpo  urta  il  pavimento  ed  è  di  nuovo  fermo,  l'energia  cinetica  è  nuovamente  nulla,  e  poiché  anche  l'energia  potenziale  è  diminuita,  concludiamo  che  in  questo  evento  l'energia  meccanica  si  sia  trasformata  in  qualcos'altro,  poiché  consideriamo  la  conservazione  dell'energia  totale un principio. Nel caso specifico, diciamo che l'energia meccanica si è trasformata in energia termica, e  se  misuriamo  la  temperatura  del  sistema  corpo  +  pavimento  ci  aspettiamo  di  osservare  una  variazione  di  temperatura.  Insieme  alla  conservazione  della  quantità  di  moto  e  alla  conservazione  del  momento  angolare,  la  conservazione  dell'energia  è  uno  dei  principi  fondamentali  della  fisica  classica.  In  meccanica  razionale,  l'energia  meccanica  è  uno  degli  integrali  del  moto,  e  la  conservazione  dell'energia  meccanica  è  una  conseguenza dell'omogeneità del tempo.    Non  sempre  le  forze  che  agiscono  su  un  sistema  sono  conservative,  e  non  sempre  l'energia  meccanica,  dunque,  si  conserva.  Siano  allora  FC  e  FNC  rispettivamente  la  somma  di  tutte  le  forze  conservative  e  non  conservative. Il lavoro da esse compiuto è allora:    Per  il  teorema  dell'energia  cinetica,  il  lavoro  corrisponde  alla  variazione  totale  di  energia  cinetica  del  sistema:  L = ΔK  mentre,  essendo  FC  forze  conservative,  è  possibile  ad  esse  associare  una  funzione  potenziale  U  tale  che  il  lavoro di tali forze possa essere espresso come:  L = − ΔU  In questo modo, sostituendo nell'espressione del lavoro, si ha:    Ora a primo membro si riconosce la variazione di energia meccanica del sistema, essendo Emecc = K + U. In  definitiva si ha dunque che:    che  prova  che  le  variazioni  di  energia  meccanica  di  un  sistema  sono  dovute  esclusivamente  al  lavoro  compiuto dalle forze non conservative sul sistema.  Un esempio di forza non conservativa, preso dall'esperienza di tutti i giorni, è la forza d'attrito. Sebbene in  natura  non  esistano  forze  non  conservative  (a  livello  microscopico),  la  forza  d'attrito  è  considerata  non  conservativa,  in  primo  luogo  perché  essa,  in  generale,  non  è  costante,  perlomeno  in  direzione  e  verso;  in  secondo  luogo  perché  gli  effetti  che  essa  produce  (generalmente  surriscaldamento  delle  parti  a  contatto)  non sono conteggiati nel computo dell'energia meccanica.                 

 

LIQUIDI    Il  liquido,  uno  degli  stati  della  materia,  è  un  fluido  il  cui  volume  è  costante  a  temperatura  e  pressione  costanti e la cui forma è solitamente quella del contenitore che il liquido stesso riempie.  La comprimibilità dei liquidi è in genere molto bassa, e trascurabile se confrontata a quella dei gas, quindi i  liquidi  sono  considerati  incomprimibili.  Generalmente,  una  sostanza  allo  stato  liquido  è  meno  densa  che  allo  stato  solido,  ma  un'importante  eccezione  è  costituita  dall'acqua.  Le  molecole  o  atomi  che  costituiscono  il  liquido  interagiscono  fra  loro,  sebbene  non  fortemente  come  nel  solido. Non sono fra loro in posizioni fisse ma "scorrono" gli uni sugli altri, sebbene si ipotizzi l'esistenza di  cluster o gabbie relativamente stabili, in liquidi dai forti legami intermolecolari come l'acqua.     Pressione: la sola forza che i fluidi possono esercitare su un corpo immerso in un fluido è quella che tende a  comprimere l’oggetto immerso. La pressione è una grandezza fisica, definita come il rapporto tra la forza  agente  normalmente  su  una  superficie  e  la  superficie  stessa.  Il  suo  opposto  (una  pressione  con  verso  opposto) è la tensione meccanica.                F è la forza e S la superficie o area  La pressione si misura in Pascal [Pa] che equivale a 1 newton al metro quadrato o kg∙s−2∙m−1.  Altre unità di misura della pressione sono:  ‐ L’atmosfera:  1 [Atm] = 101 325 [Pa]  (1,013 * 10‐5)  ‐ Il Torr:  1[Torr]= 1/760 [Atm] =   133 [Pa]  ‐ Il bar e millibar:       1 [millibar] = 102 [Pa]  La legge di Stevino è uno dei principi fondamentali della statica dei fluidi. Venne enunciata da Simon Stevin  (1548‐1620) nel suo trattato del 1586 De Beghinselen des Waterwichts dedicato all'idrostatica. Afferma che  la pressione esercitata da una colonna di fluido di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la  parte in alto nella colonnina aperta, a contatto con l'ambiente esterno) e densità costante δ è direttamente  proporzionale a h,    essendo  l'accelerazione  di  gravità  g  =  9.8  m/sec²;  se  la  superficie  della  colonna  di  liquido  è  esposta  alla  pressione atmosferica PA allora la legge viene così modificata:    essendo PA = 101325 Pascal la pressione atmosferica standard.  La legge di Stevino deriva direttamente dall'equazione del moto di un fluido ideale:    dove  rappresenta la forza di volume agente sul fluido, p è la pressione e ρ la densità. Nel caso di un  , quindi:  fluido fermo, la condizione di equilibrio è tradotta in    Questa equazione significa che nel caso statico le forze di volume devono uguagliare le forze di superficie. Se  le forze cui è soggetto il fluido sono conservative allora la precedente equazione diventa:    dove U = ρgz + cost è l'energia potenziale dovuta alla forza di volume. L'equazione indica tra l'altro, che le  superfici equipotenziali nel caso di fluido ideale sono anche superfici isobare. Supponendo che il fluido sia  incomprimibile (come nel caso dei liquidi):   

che integrata tra due quote 

e 

: 

  p2 − p1 = ρg(z2 − z1)    che è appunto la legge di Stevino.    Principi di Pascal: una variazione di pressione applicata ad un fluido viene trasmessa invariata ad ogni punto  del fluido ed alle pareti del contenitore.   P = P + рgh     (р=costante di densità specifica)  La pressione P ad una data profondità h dalla superficie libera a contatto con l’atmosfera è maggiore della  pressione atmosferica della quantità рgh.  Vedi legge di Stevino: le forze verticali sono in equilibrio se :  F1 + mg = F2 ossia se p1S + mg = p2S [sapendo che :m=pS(y2‐y1)] => p1S + pS(y2‐y1)g = p2S quindi:   p2‐p1 = pg(y2‐y1)          La  legge  di  Pascal  vale  anche  per  i  gas  e  può  essere  enunciata  in  un  modo  più  generale:             "la  pressione  esercitata  sulla  superficie  di  un  fluido  si  trasmette  inalterata  su  tutte  le  superfici  a            contatto  con  il  fluido".    Chiariamo  meglio  quanto  asserito  con  l'esempio  del  torchio idraulico.    Consideriamo  il  recipiente  mostrato  in  sezione  in  cui  è  contenuto  un  liquido  (di  solito  olio)  ed  in  cui  sono   presenti  due  pistoni  di  superficie  diversa  :                Sia      la  superficie  del  primo  pistone  e      quella  del  secondo.  Sul  primo  pistone  venga  esercitata   (dall'alto  in  basso)  una  forza     .  A  causa  di  questa  forza,  il  secondo  pistone  risente  della     forza   (dal  basso  in  alto).  Applichiamo  la  legge  di  Pascal.  Secondo  questa  legge  la  pressione  si  esercita  in  maniera  uguale  su  tutte   le  superficie  a  contatto  con  il  liquido.  Per  questo  motivo,  la  pressione  che  esercita  il  primo  pistone  e  che   vale  :          è  la 

stessa 

esercitata 

(dal 

basso 

verso 

l'alto) 

sul 

secondo 

pistone 

. 

         Da  queste  formule  siamo  in  grado  di  ricavare  la  forza  incognita   formule)           Consideriamo 

  : 

che  vale  (confrontando  le  due   : 

   il 

caso 

concreto 

in 

cui 

si 

abbia 

.  : 

         (usiamo  Sostituendo 

qui  nella 

per  formula 

comodità  precedente 

  centimetri).  infine  : 

i  risulta 

.           Questo  risultato  può  essere  compreso  in  maniera  intuitiva  con  la  seguente  osservazione.  La 

pressione 

su  

  

vale 

.  

         Siccome  questa  pressione  si  trasmette  inalterata  sulla  superficie  quadrato  di   sarà          

: 

compare  una  forza   F  =  2N  .  Poiché  

,  avremo  che  su  ogni  centimetro   ,  la  forza  complessiva  su  

   :  

 

Abbiamo  ricavato  il  sorprendente  risultato  che  con  una  piccola  forza  

   si  ottiene  una  grande  

forza   .La  legge  di  Pascal  può  quindi  essere  sfruttata  nelle  applicazioni  di  ingegneria  per  sollevare  con  piccoli sforzi  grandi  pesi.  Innumerevoli  sono  i  congegni  che  sfruttano  questo  principio.  Fra  i  tanti  :  il  crick  idraulico, i  freni  delle  auto,  presse  ed  elevatori  ecc.  ecc.  Da  quanto  mostrato  (la  possibilità  di  ricavare  grandi  forze  con  piccoli  sforzi)  sembrerebbe  che  si  possa   guadagnare  energia.  Purtroppo,  le  cose  non  stanno  così  ed  il  principio  di  conservazione  dell'energia  non viene violato.     Principio d’Archimede: Il principio di Archimede è un teorema riguardante l'interazione dei fluidi con i corpi  che  vi  sono  immersi.  È così detto in onore di Archimede di Siracusa, matematico e fisico greco, vissuto nel III secolo a.C. che lo  enunciò  nella  sua  opera  Sui  corpi  galleggianti  (nell'opera  di  Archimede  si  trattava  però  di  un  teorema,  dedotto da un semplice postulato oggi dimenticato).  « Un  corpo  immerso  (totalmente  o  parzialmente)  in  un  fluido  riceve  una  spinta  (detta  forza  di  galleggiamento)  verticale  pari  al  peso  di  una  massa  di  fluido  di  forma  e  volume  uguale  a  quella  della  parte  immersa  del  corpo.  Il  punto  di  applicazione  della  forza  di  Archimede,  detto  centro  di  spinta,  si  trova sulla stessa linea di gradiente della pressione su cui sarebbe il centro di massa della porzione di  fluido che si trovasse ad occupare lo spazio in realtà occupato dalla parte immersa del corpo. »  Tale  forza  è  detta  forza  di  Archimede  o  spinta  di  Archimede  o  ancora  spinta  idrostatica  (nonostante  non  riguardi solo i corpi immersi in acqua, ma in qualunque altro fluido – liquido o gas).  Una formulazione più semplice del principio è la seguente:    « Un  corpo  riceve  dal  basso  verso  l'alto  una  spinta  pari  al  peso  del  volume  di  liquido  spostato »  La  spinta  si  applica  al  baricentro  del  corpo  immerso  ed  è  diretta,  secondo  l'equazione  fondamentale  dell'idrostatica,  verso  il  piano  dei  carichi  idrostatici  (o  piano  a  pressione  relativa  nulla),  che  nella  maggioranza dei casi coincide con il pelo libero del liquido, ed è quindi diretta verso l'alto.  Archimede  inventò  la  bilancia  idrostatica,  utilizzata  per  misurare  il  peso  specifico  dei  liquidi.  Sulla  base  di  quelle rilevazioni, affermò:    « Qualsiasi solido più leggero (n.d.T.: con peso specifico minore) di un fluido, se collocato nel fluido, si  immergerà in misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato » 

 

« Un solido più pesante di un fluido, se collocato in esso, discenderà in fondo al fluido e se si peserà il  solido nel fluido, risulterà più leggero del suo vero peso, e la differenza di peso sarà uguale al peso del  fluido spostato »  Il principio è quindi un caso particolare dell'equazione fondamentale dell'idrostatica, che vale finché il fluido  può essere trattato come un materiale continuo, e questo avviene solo fintanto che le dimensioni dei corpi  immersi sono abbastanza grandi rispetto alle dimensioni delle molecole del fluido.  Da un punto di vista matematico, la forza di Archimede può essere espressa nel modo seguente:    essendo  ρflu  la  densità  del  fluido,  g  l'accelerazione  di  gravità  e  V  il  volume  spostato  (che  in  questo  caso  è  uguale al volume del corpo). Allo stesso modo, il peso del corpo è dato da    essendo ρsol la densità media del solido immerso.  La spinta è indipendente dalla profondità alla quale si trova il corpo.  La  densità  relativa  (del  corpo  immerso  nel  fluido  rispetto  alla  densità  del  fluido)  è  facilmente  calcolabile  senza misurare alcun volume:  Densità relativa = {Peso del corpo nello spazio vuoto} / {Peso del corpo nello spazio vuoto ‐ Peso della parte  immersa nel fluido}.  Il peso di un corpo immerso (parzialmente o totalmente) non è quello totale misurabile fuori dal liquido, ma  il  peso  del  volume  di  fluido  spostato  dalla  parte  immersa.  Questa  quantità  riduce  il  peso  del  corpo  (parte  immersa e non nel fluido) quando si trova appeso ad un filo nello spazio vuoto.  Corpo immerso in un liquido   Possono darsi tre casi (illustrati da sinistra a destra in figura):  Il corpo tende a cadere fino a raggiungere il fondo se la forza  di Archimede è minore del peso, FA < Fp, ovvero se ρflu < ρsol.  Il  corpo  si  trova  in  una  situazione  di  equilibrio  se  la  forza  di  Archimede  è  uguale  al  peso,  FA  =  Fp,  ovvero  se  ρflu  =  ρsol.  Questo  significa  che  se  il  corpo  era  in  quiete  rimarrà  in  quiete, mentre se era in moto si muoverà di moto decelerato  fino a fermarsi per effetto dell'attrito.  Il corpo tende a risalire fino alla superficie dove galleggia se  la forza di Archimede è maggiore del peso, FA > Fp, ovvero se  ρflu > ρsol.  In questo caso il volume immerso Vi sarà tale da spostare un  volume di fluido che equilibri il peso del corpo, ovvero:    da cui si deriva la formula del galleggiamento: 

  La  frazione  di  volume  immerso  è  quindi  uguale  al  rapporto  tra le densità del corpo e del liquido. Nel caso di un iceberg  che  galleggia  nel  mare,  la  densità  del  ghiaccio  è  circa  917  kg/m³,  mentre  la  densità  dell'acqua  salata  è  circa  1025  kg/m³;  in  base  alla  formula  precedente,  la  percentuale  di  volume immerso è quindi del 89,3%.   

  Esempi e applicazioni del principio di Archimede  

Un  fluido  può  essere  inteso  sia  come  liquido  che  come  gas:  una  nave  galleggia  sull'acqua,  ma  anche  una  mongolfiera che sale verso l'alto è soggetta allo stesso principio. Una nave, anche se di ferro, essendo vuota  (o meglio, piena d'aria), occupa un volume complessivo di materia (aria, ferro, plastica, legno e quant'altro  compone una nave) che ha un certo peso; siccome lo stesso volume di sola acqua ha un peso maggiore, la  spinta verso l'alto ricevuta dalla nave ne permette il galleggiamento; analogamente, una mongolfiera piena  di aria calda o di elio, entrambi più leggeri dell'aria, risulta più leggera di quanto pesa il volume di aria che  sposta, e quindi viene spinta verso l'alto.  Un  sommergibile  in  emersione  ha  una  densità  media  minore  di  quella  dell'acqua.  Per  potersi  immergere  deve aumentare la sua densità fino ad un valore maggiore di quello dell'acqua allagando alcuni comparti  interni.  Per  stabilizzarsi  ad  una  certa  profondità  deve  espellere  una  parte  di  quest'acqua  in  modo  da  raggiungere una densità pari a quella dell'acqua.  Diverse specie di pesci possono controllare in modo analogo il loro assetto subacqueo attraverso la vescica  natatoria,  che  contiene  aria.  Comprimendo  la  vescica  con  l'azione  dei  muscoli  riducono  il  loro  volume  e  quindi  la  spinta  di  Archimede  e  possono  scendere;  rilasciando  i  muscoli  la  vescica  si  espande  e  possono  invece risalire fino in superficie.  Liquidi ideali: Alcuni liquidi hanno coefficiente di viscosità molto basso e coefficiente di comprimibilità molto  alto, a tutti gli effetti si può considerare il fluido come ideale inteso come quel fluido che ha massa costante  e coefficiente di viscosità nullo.  Conseguenza più notevole è che per un fluido ideale non esistono sforzi di taglio poiché questi dipendono  direttamente dal coefficiente di viscosità. In un fluido ideale gli sforzi si riducono solo a pressioni cioè a sforzi  normali: 

  Vale  inoltre  il  Teorema  di  Pascal:  in  un  fluido  ideale  la  pressione  in  un  punto  è  indipendentemente  dall'orientazione della superficie su cui agisce. Utilizzando le relazioni di Cauchy infatti si può vedere che:  − p = σxx = σyy = σzz    Equazione di continuità: Si può definire un'equazione di continuità anche in fluidodinamica. Essa, in pratica,  diventa  una  legge  di  conservazione  della  massa.  Si  consideri  un  volume  di  controllo  elementare  fisso  nel  tempo  dV  =  dx  dy  dz  delimitato  da  facce  parallele  agli  assi  coordinati.  Il  principio  di  conservazione  della  massa  esprime  il  fatto  che  il  flusso  netto  di  massa  attraverso  la  superficie  di  controllo  nell'  intervallo  di  tempo  dt  è  pari  alla  variazione  di  massa  all'interno  dello  stesso  elemento.  Essendo  il  volume  di  controllo  infinitamente piccolo ed assumendo che le variabili varino con continuità nello spazio e nel tempo, la massa  del volume di controllo può essere espressa con dm = ρdV dove ρ è la densità del fluido.    che per un fluido incomprimibile diventa:      Teorema di Bernoulli: L'equazione di Bernoulli, citata in seguito, è il cuore di tutta l'idrodinamica. Essa altro  non  è  che  una  formulazione  matematica  della  legge  di  conservazione  dell'energia  totale,  che  sfrutta  parametri  quali  l'altezza  di  partenza  e  di  arrivo  del  flusso  d'acqua,  la  velocità  di  partenza  e  di  arrivo,  la  pressione  di  partenza  e  di  arrivo,  la  densità  e  l'accelerazione  di  gravità.  Queste  grandezze  sono  poste  in  relazione tramite l'equazione di primo grado    dove  C1,C2 sono le velocità in due punti differenti del flusso;  h1,h2 sono le due altezze prese in considerazione;  P1,P2 sono le pressioni esercitate in due differenti punti del flusso;  d è la densità e g l'accelerazione di gravità (due costanti). 

É bene ricordare, tuttavia, che tale equazione deve sottostare a delle ipotesi: ci si deve trovare, infatti, nelle  situazioni di flusso inviscido, stazionario, irrotazionale ed incomprimibile.  Teorema:  Siano h1 e h2 le altezze dei centri delle 2 sezioni S1 e S2 Consideriamo la porzione di fluido compresa tra S1 e  S2 e supponiamo le pareti rigide. Dopo un intervallo di tempo Δt il fluido si sposta. Poiché il sistema è da  ritenersi  conservativo,  vale  il  principio  di  conservazione  dell’energia  meccanica  che  è  =  al  teorema  dell’energia cinetica quando nel sistema agiscono forze conservative,quindi tutte le forze che agiscono sul  fluido devono uguagliare la variazione dell’energia cinetica nello spostamento del fluido. In corrispondenza  di S1 vi è la pressione dinamica p1, quindi agisce una forza F1 di modulo p1* S1 mentre in corrispondenza  della S2 vi è la pressione p2  quindi agisce una forza F2 di modulo p2* S2 esercitata dal fluido spostato. Ma  la forza da considerare è F ’ 2 che per reazione il fluido situato a valle esercita la quale ha anch’essa modulo  p2* S2 x il terzo principio della dinamica. In Δt il punto di applicazione della forza F1 si sposta nel tratto l1  nella stessa direzione e verso della forza è il lavoro compiuto è L1= p1 S1 l1. La forza di reazione si sposta nel  tratto l2 e poiché lo spostamento è nella stessa direzione della forza ma ha verso opposto il lavoro L2= ‐ p2  S2 l2. I 2 volumi S1*l1 e S2* l2 che attraversano le 2 sezioni sono uguali. X la costanza della portata. Bisogna  ora considerare il lavoro connesso con le forze di gravità e si ipotizza che la massa di fluido compresa tra i  piani x e y rimanga ferma e si ha solo il trasferimento del volume S1 * l1= S2 * l2 da h1 a h2. Poiché la massa  in tale volume è m = ρ * S1 * l1  = ρ * S2 * l2  allora il lavoro delle forze di gravità è   L3= m g (h1 –h2)=  ρ * S1 * l1 * g (h1‐h2) quindi il lavoro complessivo di tutte le forze è   p1 S1 l1 ‐  p2 S2 l2 + ρ * S1 * l1 * g (h1‐h2). Rimane solo da variazione di energia cinetica che è = a ½ m (v22  – v12) cioè K=½ ρ * S1 * l1 (v22 – v12). Eguagliando il lavoro totale con K e dividendo per S1 l1 = S2 l2 si ha   P1 – p2 + ρ g (h1‐h2) = ½  ρ  (v22 – v12) ovvero  P1+ ρ g h1 + ½  ρ v12 = p2 + ρ g h2 + ½  ρ v22 ma siccome le  due sezioni sono state date in modo arbitrario si può dire   P + ρ g h + ½  ρ v2= costante dove p e  v sono la pressione dinamica e la velocità in corrispondenza della  sezione e h l’altezza rispetto ad un piano qualunque. Quindi per un fluido in moto stazionario in un condotto  è costante in ciascuna sezione del condotto, la somma della pressione dinamica, cinetica e di gravità.                                                      

TERMODINAMICA    Calore: è il trasferimento di energia da un corpo ad un altro dovuto a una differenza di temperatura tra i  due  corpi.  È  energia  interna  (energia  potenziale  +  energia  cinetica  delle  molecole)  che  si  trasmette  da  un  corpo a temperatura maggiore ad un corpo con temperatura minore.  Si  può  prendere  come  corpo  di  riferimento  una  massa  di  acqua  e  definire  il  calore  assorbito  o  ceduto  come:    dove  è la temperatura iniziale dell'acqua,  quella finale e  , detto calore specifico, assume un valore  arbitrario nel caso dell'acqua. La notazione c è utilizzata in alcuni manuali di fisica, mentre in quelli di livello  universitario  è  più  frequente  trovare  la  notazione  cx  per  indicare  che  si  tratta  del  calore  specifico  della  trasformazione, completamente distinto dai calori specifici (massici o molari, a pressione o volume costante)  del fluido coinvolto.  Quando la massa  è misurata in grammi e la temperatura  in gradi centigradi il calore specifico  viene  viene misurato in calorie, come se fosse una nuova grandezza fondamentale.  posto pari a 1 e il calore  In quanto energia, il calore si misura nel Sistema Internazionale in joule. Nella pratica viene tuttavia ancora  spesso usata come unità di misura la caloria[cal].  Calore  specifico:  o  capacità  termica  massica.  È  una  proprietà  di  una  data  sostanza  ed  è  la  quantità  di  energia termica  espressa in Kcal, necessaria per innalzare  di 1° [C] la temperatura della massa di 1 Kg della  sostanza.  Alcune equivalenze:  1 cal = 4,186 J  1 Joule = 0,2388 cal  Si definisce capacità termica di un corpo il rapporto fra il calore fornitogli e l'aumento di temperatura che ne  è derivato. L'unità di misura nel Sistema Internazionale è J/K.  La capacità termica è proporzionale alla quantità di materia:    dove m è la massa e c il calore specifico per unità di massa e C la capacità termica.  Quando si misura la quantità di materia in termini di moli, si ha:    dove cm è il calore specifico molare ed n è il numero di moli.  In  termodinamica  la  capacità  termica  a  volume  costante  è  definita  come  la  derivata  parziale  dell'energia  interna  rispetto  alla  temperatura,  a  pressione  costante  invece  come  la  derivata  parziale  dell'entalpia  rispetto alla temperatura: per un solido o un liquido queste due quantità sono sostanzialmente uguali. Per  un gas invece la differenza, pari al lavoro di espansione, è significativa ed è quindi opportuno specificare le  condizioni del sistema.  L'energia  interna,  simbolo  U,  è  una  funzione  di  stato  ed  esprime  l'energia  totale  di  un  sistema  materiale,  energia  totale  intesa  come  somma  dei  contributi  di  energia  traslazionale,  rotazionale,  vibrazionale  delle  molecole che lo compongono, più il contributo dell'energia dovuto agli elettroni e dell'energia al punto zero  (energia fondamentale posseduta a 0 K): si misura in Joule (SI) o in Kcal.  Per la prima legge della termodinamica, per un sistema chiuso:  (5a) 

 

(5b)    dove Q ed L rappresentano rispettivamente calore assorbito dal sistema e lavoro fatto dal sistema.             

L'equivalente  meccanico  del  calore  fu  un  concetto  fisico  che  svolse  un  ruolo  importante  nello  sviluppo  della  legge  di  conservazione  dell'energia  e  per  la  termodinamica  del  XIX  secolo.  Il  fisico  inglese  James  Prescott  Joule,  tramite  una  famosa  esperienza  (1850)  con  uno  strumento  denominato  "mulinello  di  Joule",  effettuò  una  misura  precisa  dell'equivalente  meccanico  della  caloria,  ottenendo  un  valore  molto  preciso  per  quei  tempi  (anche  grazie  all'ottima  lavorazione  dello  strumento  effettuata dal meccanico aiutante di Joule).  Per  mezzo  di  tale  esperimento  Joule  determinò  un  valore  dell'equivalente  meccanico  del  calore  pari  a  4.18  J/cal,  valore  di  straordinaria  precisione per i tempi.  In seguito, tramite altre e più sofisticate esperienze di elettromagnetismo, si pervenne al valore di 4.1855  J/cal.  Il primo principio della termodinamica (anche detto, per estensione, Legge di conservazione dell'energia) è  un assunto fondamentale da cui si diparte gran parte della teoria della termodinamica.  Il  cardine  del  primo  principio,  nonché  dell'intera  termodinamica,  è  l'equivalenza  di  calore  e  lavoro.  Tale  equivalenza fu dimostrata da Joule attraverso il noto esperimento nel quale trasferiva energia meccanica al  sistema lasciando cadere un peso accoppiato meccanicamente ad un'elica, immersa in un liquido contenuto  in  un  recipiente  adiabatico,  per  mezzo  di  una  corda.  Risultato  dell'esperienza  fu  l'aumento  della  temperatura del liquido.  Per poter definire il primo principio, in termini di bilancio energetico, c'è bisogno di due postulati essenziali: - L'energia non si genera. (ΔEG = 0) - L'energia non si distrugge. (ΔED = 0) Quanto postulato, determina che: ‐ Per un sistema isolato (ovvero senza flussi di energia che vengono dall'esterno) l'energia è costante. L'universo è considerato un sistema isolato. È utile definire, istante per istante, attraverso quali modalità è possibile scambiare energia con il sistema considerato, a tal proposito parleremo di: Flusso convettivo: Se il tipo di scambio energetico è dovuto alla variazione della massa del sistema considerato a cui è associata un'energia (ad esempio se spingo 1 kg di acqua ad una certa velocità "w" in una caldaia, questa massa avrà un'energia cinetica, oppure se la lascio cadere del fluido da una certa altezza ci sarà un contributo di energia potenziale). Calore: Se la causa della variazione di energia del sistema dipenda da una variazione di temperatura. Chiameremo tale scambio energetico "Potenza Termica" (energia termica fornita al sistema nell'unità di tempo) indicandola con . L'unità di misura nel SI è, in questo caso, il Watt (W). Lavoro: Se la causa della variazione energetica è diversa da tutte quelle sopra evidenziate. Chiameremo tale scambio energetico "Potenza Meccanica" e la indicheremo con . Anche in questo caso l'unità di misura è il Watt (W). Premesso ciò, possiamo dire che per un volume interessato da più contributi per ogni tipologia di scambio energetico, il bilancio di energia si può scrivere come:

rappresenta  la  variazione  totale  dell'energia  all'interno  del  sistema,  i  termini  e  Dove  rappresentano i flussi di calore e lavoro totali (entranti ed uscenti dal sistema) mentre gli altri due addendi 

rappresentano masse che entrano ed escono dal sistema apportando o asportando energia sottoforma di  cinetica ( ), potenziale (gz) ed interna specifica per ogni massa (u).  Per un sistema chiuso, ovvero che non può scambiare nessuna massa con l'esterno, gli ultimi due addendi  ovviamente sono nulli, per cui la relazione sarà:    Facendo  riferimento  all'energia  per  una  trasformazione  completa,  e  non  alla  potenza,  e  considerando  EVC  come energia interna del volume considerato (EVC = U) il bilancio energetico si può scrivere come:    Cioè,  la  variazione  di  energia  interna  U  di  un  qualsiasi  sistema  termodinamico  (un  uomo,  un  reattore  chimico, un pianeta) corrisponde alla differenza delle quantità di calore Q e lavoro L forniti al sistema. Q ed  L  sono  considerati  riferiti  al  sistema,  vale  a  dire:  L  positivo  quando  è  ceduto  dal  sistema  all'ambiente,  Q  positivo quando è ceduto dall'ambiente al sistema.  Il primo principio può essere scritto in forma differenziale:    Dove  d  è  un  differenziale  esatto  mentre,  dato  che  le  variazioni  infinitesime  di  calore  e  lavoro  esprimono  differenziali non esatti, le indicheremo con il simbolo δ. Q ed L, infatti, non sono funzioni di stato, in quanto  dipendenti dal particolare percorso compiuto nel corso della trasformazione.  La  prima  legge  della  termodinamica  definisce  l'energia  interna  come  funzione  di  stato,  ovvero  una  caratteristica  termodinamica  atta  ad  identificare  lo  stato  energetico  del  sistema  in  esame.  Più  semplicemente, assegnate le coordinate termodinamiche di pressione, massa e temperatura si è raggiunto  tale stato: U rappresenta quindi una funzione di stato.  Esempio: Si consideri 1 Kg di Azoto (N2) 100°C ed 2 Atm (373,16 K e 202650 Pa) che vogliamo portare fino a  200°C  e  6  Atm  fornendo  sia  calore  (trasferimento  da  una  sorgente  più  calda)  che  lavoro  (compressione  attraverso un pistone) al sistema. Si potrebbero individuare in questo modo infiniti valori possibili per Q ed L,  e  cioè  tutti  quelli  che  hanno  come  differenza  Δ  U*  uguale  (considerando  livello  energetico  zero  quello  iniziale).  Per  trasformazione  termodinamica  si  intende  quel  processo  tramite  il  quale  un  sistema  termodinamico  passa da uno stato di equilibrio ad un altro.  Un  sistema  termodinamico  si  trova  in  linea  di  massima  in  uno  stato  di  equilibrio  quando  le  variabili  principali, ovvero pressione, volume e temperatura del sistema, non subiscono nessuna ulteriore variazione.  In termodinamica una trasformazione isocora è una variazione dello stato di un sistema durante la quale il  volume rimane costante.  La  trasformazione  isocora  di  un  gas  perfetto  è  descritta  dalla  seconda  legge  di  Gay‐Lussac  che,  in  un  diagramma pressione‐volume, è rappresentata da un segmento parallelo all'asse delle pressioni.  In  termodinamica  una  trasformazione  isobara  è  una  trasformazione  termodinamica  dello  stato  di  un  sistema fisico durante la quale la pressione rimane costante.  In termodinamica una trasformazione isoterma è una variazione dello stato di un sistema fisico durante la  quale la temperatura rimane costante.  La  trasformazione  isoterma  di  un  gas  perfetto  è  descritta  dalla  legge  di  Boyle  che,  in  un  diagramma  pressione‐volume, è rappresentata da un ramo di iperbole equilatera.  In termodinamica una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica nel corso della quale  un sistema fisico non scambia calore con l'ambiente esterno.    In  termodinamica  l'entropia  è  una  funzione  di  stato  che  si  introduce  insieme  al  secondo  principio  della  termodinamica e che viene interpretata come una misura del disordine di un sistema fisico o più in generale  dell'universo. In base a questa definizione si può dire, in forma non rigorosa ma esplicativa, che quando un  sistema passa da uno stato ordinato ad uno disordinato la sua entropia aumenta.  Nel Sistema Internazionale si misura in joule su kelvin (J/K). La variazione della funzione di stato entropia S  venne introdotta nel 1864 da Rudolf Clausius nell'ambito della termodinamica come 

dove ΔQrev è la quantità di calore assorbito o ceduto in maniera reversibile e isoterma dal sistema a temperatura T. In forma differenziale, la legge si presenta così:

È importante notare come, mentre δQrev non è un differenziale esatto, dividerlo per la temperatura T lo rende tale: è dunque il fattore d'integrazione. Occorre sottolineare che dS è un differenziale esatto solo se è valido il secondo principio della termodinamica. In una delle sue diverse formulazioni, il secondo principio della termodinamica afferma che in un sistema isolato l'entropia può solo aumentare, o al limite rimanere costante per trasformazioni termodinamiche reversibili.     Seconda legge della termodinamica: Il secondo principio della termodinamica, è legato alla termodinamica  classica. Esso si fonda sull'introduzione di una nuova funzione di stato, l'entropia, e di due postulati che ne  regolano le caratteristiche.Il secondo principio è fondamentale, in quanto stabilisce il verso delle interazioni  termodinamiche,  ovvero  chiarisce  il  perché  una  trasformazione  avviene  spontaneamente  in  un  modo  piuttosto che in un altro; basti pensare al calore che fluisce naturalmente da una sorgente più calda ad una  più  fredda:  il  contrario  è  impossibile.  Impossibilità,  questa,  non  deducibile  affatto  dal  1°  principio  della  termodinamica. Esistono molte formulazioni equivalenti di questo principio. Quelle che storicamente si sono  rivelate più importanti sono:  ‐ Nella formulazione di Clausius, si afferma che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo. ‐ Nella formulazione di Kelvin-Planck, si afferma che è impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato preveda che tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea sia interamente trasformato in lavoro. Non è possibile - nemmeno in linea di principio - realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%. Nella fisica moderna però la formulazione più ampiamente usata è quella che si basa sulla funzione entropia: In un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo. Questo principio ha avuto, da un punto di vista storico, un impatto notevole. Infatti implicitamente sancisce l'impossibilità di realizzare il moto perpetuo cosiddetto di seconda specie e tramite la non reversibilità dei processi termodinamici definisce una freccia del tempo. I due principi della termodinamica macroscopica valgono anche nei sistemi aperti, e vengono generalizzati tramite l'energia.

                     

 

GAS    In fisica e in termodinamica si usa generalmente l'approssimazione detta dei gas perfetti: il gas cioè viene  considerato costituito da atomi puntiformi, che si muovono liberi da forze di attrazione o repulsione fra loro  e le pareti del contenitore: questa approssimazione conduce a formulare la legge nota come equazione di  stato  dei  gas  perfetti,  che  descrive,  in  condizioni  di  equilibrio  termodinamico,  la  relazione  fra  pressione,  volume e temperatura del gas:    dove P è la pressione, V il volume occupato dal gas, n il numero di moli del gas, R la costante universale dei  gas perfetti e T è la temperatura. Per esempio, una mole di gas perfetto occupa 22,4 litri a temperatura di  0ºC e pressione di 1 atmosfera.  Da questa legge ne discendono poi altre due:  La legge di Boyle  Per una certa massa di gas a temperatura costante, il prodotto del volume del gas V per la sua pressione P è  costante.    Cioè  per  una  certa  massa  di  gas  a  temperatura  costante,  le  pressioni  sono  inversamente  proporzionali  ai  volumi. La figura geometrica che ha per equazione l'espressione è una iperbole equilatera. La legge di Boyle  è  una  legge  limite  vale  cioè  con  buona  approssimazione  ma  non  in  modo  assoluto  per  tutti  i  gas.  Un  gas  perfetto o gas ideale che segua perfettamente la legge di Boyle non esiste. Le deviazioni dal comportamento  dei gas reali sono assai piccole per un gas che si trovi a bassa pressione e ad una temperatura lontana da  quella  di  liquefazione.  La  trasformazione  isoterma  è  quindi  una  variazione  del  volume  e  della  pressione  mantenendo costante la temperatura.  La prima legge di Gay Lussac  Un  gas  perfetto  che  alla  temperatura  di  0°C  occupa  un  volume  V°  e  che  viene  riscaldato  mantenendo  costante la pressione occupa alla temperatura t un volume Vt espresso dalla legge    in  cui  V0  è  il  volume  occupato  dal  gas  a  0°C  e  α0  è  pari  a  1/273,15.  La  temperatura  è  espressa  in  gradi  Celsius. La trasformazione isobara è una variazione del volume e della temperatura a pressione costante. In  un  diagramma  pressione‐volume  è  rappresentata  da  un  segmento  parallelo  all'asse  dei  volumi.  Quindi  la  variazione di volume che subisce un gas per la variazione di temperatura di ogni grado centigrado ammonta  a 1/273 del volume che il gas occupa a 0 centigradi.  La seconda legge di Gay Lussac  La relazione che intercorre tra pressione‐volume e quella tra temperatura e volume, permette di ricavare la  relazione tra la pressione di un gas e la temperatura quando si operi a volume costante. Un gas perfetto che  alla temperatura di 0°C ha una pressione p°  e che viene  scaldato mantenendo costante il volume si  trova  ,alla temperatura t,a una pressione pt espressa dalla legge:    Oltre  alle  leggi  summenzionate,  per  i  gas  perfetti  vale  anche  la  legge  di  Avogadro:  a  pari  condizioni  di  temperatura e pressione, se due gas occupano lo stesso volume allora hanno lo stesso numero di molecole.  Una mole di gas (n = 1, N = NA) alla temperatura T = 0 oC e alla pressione p = pn = 1 atm occupa V = 22,4 litri,  da cui R = 0,082 litri∙atm/K.  Nel S.I. si ha R = 8,31 Pa∙m3/K.   Essendo  V  =  m/r  e  posto  nR  =  k,  l’equazione  di  stato  di  un  plasma  (ossia  di  un  gas  perfetto  ionizzato)  k generalmente viene scritta nella forma:  p = ρT μm H ‐27 dove mH = 1,67∙10  kg è la massa dell’atomo di idrogeno e m   è il peso molecolare medio delle particelle che costituiscono il plasma. 

Per esempio se si tratta di puro idrogeno ionizzato si ha m = 0,5 in quanto una particella "media" ha massa  media  tra  quella  del  protone  (che  possiamo  assumere  uguale  a  1)  e  quella  dell'elettrone  che  possiamo  considerare nulla.    La trasformazione isocora di un gas perfetto è descritta dalla seconda legge di Gay‐Lussac:    che, in un diagramma pressione‐volume, è rappresentata da un segmento parallelo all'asse della pressione.  Se  ora  si  considera  una  trasformazione  isocora  reversibile  finita  di  un  gas  perfetto  tra  due  stati  alle  temperature  T1  e  T2,  e  supponendo  che  in  questo  intervallo  di  temperatura  il  calore  molare  cv  si  possa  considerare costante, dalla definizione δQ = ncvdT si ottiene dal primo principio della termodinamica:  Qisoc = ΔU = ncv(T2 − T1)  e quindi anche Lisoc =  Infatti per quanto riguarda il lavoro: dL = pdV essendo  0  Dalla definizione entropia:  ,  nel caso di una trasformazione isocora di un gas perfetto si ottiene: 

  da cui si vede che l'entropia di un'isocora aumenta per un riscaldamento o aumento di pressione.  La trasformazione isobara di un gas perfetto è descritta dalla prima legge di Gay‐Lussac:    che, in un diagramma pressione‐volume, è rappresentata da un segmento parallelo all'asse dei volumi.  La trasformazione isoterma di un gas perfetto è descritta dalla legge di Boyle:    che, in un diagramma pressione‐volume, è rappresentata da un'iperbole equilatera.  Nel  caso  di  una  trasformazione  adiabatica  di  un  gas  ideale  δQ  =  0,  si  ha  dal  primo  principio  della  termodinamica:    Utilizzando l'equazione di stato dei gas ideale: 

 

e integrando si ottiene:     cvlnT + RlnV = cost                             

     

FENOMENI ONDULATORI ED ELETTROMAGNETICI    I corpi in natura possono essere conduttori, semiconduttori o isolanti; la differenza è dovuta alla frazione di  elettroni liberi di muoversi nella banda di conduzione o legati nella banda di valenza.  La  carica  elettrica  elementare  è  quella  dei  protoni  (positiva)  e  degli  elettroni  (negativa),  ma  in  realtà  la  materia  è  composta  di  quark  (particelle  con  carica  elettrica  frazionaria  che  costituiscono  i  protoni  e  i  neutroni) e di leptoni.   La  forza  elettrostatica  (attrattiva  o  repulsiva)  che  si  esercita  tra  due  cariche  elettriche  e`  stabilita  dalla  legge di Coulomb:  qq 1 q1q2   F = k 1 22 =   r 4πε r 2 simile  alla  legge  di  Newton,  ma  con  una  differenza  importante:  le  masse  sono  solo  positive,  mentre  le  cariche elettriche possono essere positive oppure negative.  La grandezza e e` detta costante dielettrica e = e0er, dove e0 = 8.86∙10‐12 C2N‐1m‐2 è la costante dielettrica del  vuoto e er > 1 è la costante dielettrica relativa al mezzo. Nel caso dell’acqua si ha er ~ 80 (molto grande), e  quindi la forza di Coulomb è molto piccola; questo è il motivo per cui l’acqua si dissocia molto facilmente  (elettrolisi).  Nel  S.I.  la  grandezza  elettrica  fondamentale  è  l`unità  di  corrente  elettrica  (ampere)  e  l’unità  di  carica  elettrica, il Coulomb [C] è una grandezza derivata da dq = i∙dt.     Il Volt [1V = 1J/1C] è l’unità di misura del potenziale elettrico.    Il lavoro fatto per spostare la carica q > 0 dal punto A al punto B non dipende dal percorso e vale:          Circuiti  elettrici:La  corrente  elettrica,  misurata  in  Ampere  [1A  =  1C/1s],  rappresenta  il  flusso  di  cariche  positive attraverso la sezione di un conduttore ai cui capi è applicata la differenza di potenziale V = VA – VB.    dq corrente i =   dt Un  condensatore  è  un  componente  dei  circuiti  in  grado  di  accumulare  su  ogni  armatura  la  carica  q.  Si  definisce capacità del condensatore il rapporto tra carica e tensione tra le armature:  q   C=   V Leggi di OHM:forniscono la relazione tra il passaggio della corrente in un conduttore e la tensione applicata  ai suoi capi. La grandezza R, misurata in [W], è detta resistenza elettrica e la grandezza r, misurata in [W  m], è detta resistività. Il suo inverso, s = 1/r, misurata in Siemens [W‐1m‐1] è detto conducibilità.  In un circuito le resistenze possono essere in serie o in parallelo. La resistenza interna r di un generatore di  tensione  (generatore  ideale)  si  può  spesso  trascurare  nel  calcolo  della  resistenza  equivalente  Req  di  un  circuito.      Poichè  la  corrente  che  attraversa  resistenze  in  serie  è  la  stessa,  la  resistenza  equivalente  è  data  da:  Req = i Ri  

V = Ri

∑

R=ρ

l S

Resistenze in parallelo hanno invece la stessa differenza di potenziale ai loro capi e la corrente si suddivide  tra  i  vari  rami  in  modo  inversamente  proporzionale  ai  valori  delle  resistenze.  In  questo  caso  la  resistenza  equivalente è data da: 

1 1 = ∑i   Req Ri

Ceq = ∑i Ci

Per i condensatori vale le regola opposta: se in parallelo la capacita` totale è:    1 1 = i e viceversa in serie:  Ceq Ci   La  capacità  di  un  condensatore  dipende  dalla  costante  dielettrica  del  mezzo  interposto  tra  le  armature  e  dalle sue caratteristiche geometriche.  q C=   V2 − V1                                             La  semplificazione  e  risoluzione  di  un  circuito  elettrico  si  ottiene  applicando  alcuni  teoremi  (per  esempio  quelli di Thevenin e di Norton).  Un circuito si può semplificare in un circuito equivalente applicando le leggi di Kirchoff:  •  prima legge (dei nodi): in un nodo la somma algebrica delle correnti è nulla,  •  seconda legge (delle maglie): in una maglia la somma algebrica delle tensioni è nulla.  Deve  valere  il  Principio  di  sovrapposizione:  se  in  una  rete  sono  presenti  piu  generatori  di  tensione,  la  corrente in un ramo è la somma delle  correnti prodotte dai singoli generatori.  La prima  legge di Kirchhoff delle correnti (LKC o LKI) afferma che, definita una superficie chiusa che  attraversi un circuito elettrico, la somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie (con segno  diverso se entranti o uscenti) è nulla. In ogni istante di tempo si ha quindi: 

∑

∑ i (t) = 0  k

σ    dove σ è la superficie che racchiude parte del circuito e ik(t) il valore della k − esima corrente (che attraversa  σ) all'istante t.  In una formulazione semplificata, e definendo una superficie che racchiuda un singolo nodo del circuito, si  può dire che in esso la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti (per la  definizione di nodo vedi la figura più sotto).  Indicando con Ie le correnti entranti e con Iu le correnti uscenti, in formula si scrive: 

  Ad esempio, prendiamo un nodo a cui giungono quattro rami del circuito e chiamiamo le correnti i1, i2, i3 ed  i4. Decido che da un solo ramo uscirà corrente (i4), quindi la formula sarà:  i1 + i2 + i3 = i4  che trasformata nella forma canonica  i1 + i2 + i3 ‐ i4 = 0  In  questo  caso  essendoci  un'unica  uscita,  i4  sarà  la  somma  di  tutte  le  altre  correnti.  La  somma  algebrica  totale sarà quindi nulla. Se risolvendo il circuito otteniamo un valore negativo di corrente questo significa  che il verso effettivo con cui la carica percorre il ramo è l'opposto di quello ipotizzato all'inizio.  Nella formulazione più semplice la seconda legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT o LKV) afferma che, in un  circuito a parametri concentrati planare, è definito il concetto di potenziale elettrico (vedi anche differenza  di potenziale o d.d.p.). Equivalentemente, la somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa (con il  segno appropriato in funzione del verso di percorrenza della maglia stessa) è pari a zero.  Se le grandezze elettriche del circuito sono rappresentate nel dominio del tempo (per esempio se è in  corrente continua) la somma va intesa come somma algebrica. Se il circuito è in corrente alternata e le  grandezze elettriche sono rappresentate da fasori la somma può essere fatta anche sui fasori corrispondenti  alle tensioni (quindi come somma vettoriale.)  Indicando con Vi le tensioni, in formula si può scrivere:  .  Una maglia (vedi figura) è un percorso chiuso di una rete elettrica che partendo da un nodo torna allo stesso  senza attraversare uno stesso ramo due volte, non è necessario che tra due nodi successivi di una maglia ci  sia un componente "effettivo" (anche perché si può sempre immaginare la presenza di un componente  circuito aperto).  Questa legge corrisponde alla legge di conservazione dell'energia per un campo conservativo, in quanto  afferma che il lavoro compiuto per far compiere ad una carica un percorso chiuso deve essere uguale a zero.  Effetto Joule: il lavoro L = q(VA‐VB) = qDV prodotto dallo spostamento di una carica elettrica tra due punti del  campo  elettrostatico  può  essere  espresso  in  termini  di  passaggio  della  corrente  elettrica  i  =  q/t  in  un  conduttore  di  resistenza  R=DV/i.  Si  ottiene  così  L  =  Ri2t  e  l’energia  termica  associata  a  questo  lavoro  Q  =  Ri2t/J (J equivalente meccanico del calore: 1 cal = 4,186 J) viene dispersa nell’ambiente sotto forma di calore.  Potenza: per definizione la potenza associata al lavoro è P = L/t = Ri2  = V2/R = Vi. Si noti che la potenza si  misura in watt (o kW) mentre il kWh è un lavoro, o l’energia utilizzata per compiere il lavoro.  Campo  magnetico:  Esempi  di  campo  magnetico  sono  quello  terrestre,  le  calamite,  i  magneti,  ecc...  Sono  sempre definiti da un polo nord e un polo sud, anche se i monopoli magnetici sono particelle previste dalla  teoria GUT, ma non scoperti.  Le linee di flusso del campo magnetico indicano la direzione del campo e il valore dell’induzione magnetica B  (da S a N).  Forze  di  Lorentz:  un  campo  magnetico  non  ha  effetto  sulle  particelle  neutre  ma  provoca  la  deviazione  di  particelle cariche la cui velocità cambia di direzione ma non di modulo. Un campo magnetico è un campo  vettoriale: associa, cioè, ad ogni punto nello spazio un vettore che può variare nel tempo. L'effetto fisico di  un campo magnetico si esplica in termini della forza di Lorentz subita da una carica elettrica in movimento  attraverso, appunto, il campo. Sorgenti del campo magnetico sono correnti elettriche.  Se la particella ha massa m, carica q e velocita` costante v, la forza di Lorentz e` data da   F = qv‫ר‬B   e non dipende da m. Tuttavia, essendo la forza centripeta:  F = m ac = m v2/R = m w2R  il raggio di curvatura R = mv/qB (costante nel tempo se B e` costante) dipende da m, nel senso che se m e`  grande la particella e` poco deviata e viceversa; inoltre la velocita` angolare w = qB/m non dipende da v.   Se e` presente anche un campo elettrico E, l’espressione piu` completa delle forze di Lorentz e` allora data  da:  F = q( E + v ∧ B)    

  Le  onde  sono  vibrazioni  (possono  essere  di  tipo  elastico,  meccanico  o  acustico)  che  si  propagano  in  un  mezzo, oppure sono onde elettromagnetiche che si propagano anche nel vuoto (oltre che in un mezzo).  Le onde possono essere longitudinali se oscillano lungo la direzione di propagazione, oppure trasversali se  oscillano in direzione perpendicolare alla loro propagazione.  I suoni sono onde longitudinali, di pressione, che si propagano in un mezzo ma non nel vuoto.  Nel  S.I.  l’intensità  di  un  suono  (che  si  misura  in  W/m2),  di  ampiezza  A  e  frequenza  n,  che  si  propaga  alla  velocità V in un mezzo di densità r, è definita da:    I = 2p2VrA2n2   Tuttavia,  poichè  i  sensi  dell’uomo  (udito  e  vista)  hanno  risposta  logaritmica  allo  stimolo  a  cui  sono  sottoposti, vengono anche usate altre unità di misura: le magnitudini in astronomia e i decibel in acustica.    L'intensità  del  suono  si  misura  in  decibel  [dB]  dalla  soglia  di  udibilità  I0  =  10‐12  W/m2.  La  relazione  tra  l'intensità di un suono I e il suo livello b in decibel e`:  I β = 10 log10 (per es. se I = 10‐4 W/m2, b = 80 dB).  I0 La soglia del dolore è ~ 1 W/m2.    I  suoni  sono  classificati  come  acuti  (alta  frequenza)  o  gravi  (bassa  frequenza).  L’orecchio  umano  ha  sensibilità in frequenza tra f ~ 40 Hz e f ~ 20 kHz.  Nelle onde (elettromagnetiche o sonore) si ha l’effetto Doppler che, nei due casi vale:  Δλ = ± v   λ c   V f = f0   V ±v   L'effetto  Doppler  è  un  cambiamento  apparente  della  frequenza  o  della  lunghezza  d'onda  di  un'onda  percepita da un osservatore che si trova in movimento rispetto alla sorgente delle onde. Per quelle onde che  si  trasmettono  in  un  mezzo,  come  le  onde  sonore,  la  velocità  dell'osservatore  e  dell'emettitore  vanno  considerate in relazione a quella del mezzo in cui sono trasmesse le onde. L'effetto Doppler totale può quindi  derivare dal moto di entrambi, ed ognuno di essi è analizzato separatamente.  È importante notare che la frequenza del suono emesso dalla sorgente non cambia nel sistema di  riferimento solidale alla sorgente. Per comprendere il fenomeno, consideriamo la seguente analogia: se  siamo fermi sulla spiaggia, vediamo arrivare le onde supponiamo ogni cinque secondi, quindi ad una  determinata frequenza; se ora entriamo in acqua e navighiamo verso il mare aperto, andiamo incontro alle  onde, quindi le incontriamo più frequentemente (la frequenza aumenta), mentre se navighiamo verso riva,  nella stessa direzione delle onde, la frequenza con cui le incontriamo diminuisce. Per fare un altro esempio:  qualcuno lancia una palla ogni secondo nella nostra direzione. Assumiamo che le palle viaggino con velocità  costante. Se colui che le lancia è fermo, riceveremo una palla ogni secondo. Ma, se si sta invece muovendo  nella nostra direzione, ne riceveremo un numero maggiore perché esse saranno meno spaziate. Al contrario,  se si sta allontanando ne riceveremo di meno. Ciò che cambia è quindi la frequenza nel sistema di  riferimento del rilevatore; come conseguenza, l'altezza del suono percepito cambia. 

  Se una sorgente in movimento sta emettendo onde con una frequenza f0, allora un osservatore stazionario  (rispetto al mezzo di trasmissione) percepirà le onde con una frequenza f data da:   

dove v è la velocità delle onde nel mezzo e vs, r è la velocità della sorgente rispetto al mezzo (considerando  solo la direzione che unisce sorgente ed osservatore), positiva se verso l'osservatore, e negativa se nella  direzione opposta).  Un'analisi simile per un osservatore in movimento e una sorgente stazionaria fornisce la frequenza  osservata (la velocità dell'osservatore è indicata come vo):    In generale, la frequenza osservata è data da:    dove vo è la velocità dell'osservatore, vs è la velocità della sorgente, vm è la velocità del mezzo, e tutte le  velocità sono positive se nella stessa direzione lungo cui si propaga l'onda, o negative se nella direzione  opposta.      Luce(e  natura  corpuscolare  di  essa)  Nel  1900  Planck  propose  che  la  radiazione  fosse  quantizzata,  ossia  composta di quanti di energia multipli di un valore minimo e0 (ossia ne0, con n > 1). La teoria di Planck sulla  radiazione permise di spiegare l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton.  Dunque  la  luce  (o  generalmente  la  radiazione)  deve  avere  anche  natura  corpuscolare,  come  proposto  da  Einstein  nel  1905,  che  introdusse  il  quanto  elementare  di  luce,  il  fotone.  Al  fotone  di  frequenza  n  viene  associata l'energia E = hn, dove la costante di Planck h vale:  h = 6.63∙10‐34 J∙s = 4,14∙10‐15 eV∙s.  L’effetto Compton descrive l'urto elastico di un fotone su un elettrone. Il fenomeno osservato per la prima  volta da Arthur Compton nel 1923, divenne ben presto uno dei capisaldi per la descrizione quantistica della  luce.  L'esperimento di Compton consisteva nell'inviare un fascio di luce su un oggetto ed osservarne la  diffusione. Il fisico statunitense osservò che i fotoni di alta energia (fra gli 0,5 ed i 3,5 MeV) che passavano  all'interno del materiale subivano una perdita di energia, ovvero viravano verso il rosso.  Questo effetto può essere spiegato semplicemente se si pensa ai fotoni come a particelle che urtano  elasticamente contro gli elettroni presenti negli atomi, cedendogli energia. Accettare questa spiegazione  vuole però dire abbandonare la teoria ondulatoria della luce descritta dalle equazioni di Maxwell in favore  di una teoria corpuscolare della luce che non dà conto degli effetti di interferenza (già ben noti all'epoca).  La soluzione del paradosso è stata l'introduzione di una teoria quantistica della luce.  OTTICA GEOMETRICA: è la branca dell'ottica che studia il comportamento della luce quando questa  interagisce solo con oggetti di dimensioni molto maggiori della sua lunghezza d'onda. Con questa  condizione, gli unici fenomeni rilevanti sono la rifrazione e la riflessione ed è possibile dare una spiegazione  approssimata, ma sufficiente in molti casi, del funzionamento di specchi, prismi, lenti e dei sistemi ottici  costruiti con essi. La rifrazione e la riflessione sono spiegati dal principio di Fermat.  La riflessione è il fenomeno per cui un raggio di luce che incide su una superficie genera un nuovo raggio che  si trova nel piano definito dal raggio incidente e dalla perpendicolare alla superficie. Il raggio riflesso forma  con la perpendicolare un angolo con la stessa ampiezza e verso opposto. Il fenomeno della riflessione si  manifesta anche abbinato alla rifrazione, al passaggio della luce da una sostanza ad un'altra. La luce riflessa  è polarizzata.  La rifrazione è il fenomeno per cui un raggio che attraversa la superficie di contatto tra due materiali diversi  viene deviato. Il raggio uscente si trova sul piano definito dal raggio entrante e dalla perpendicolare alla  superficie di contatto. Le ampiezze degli angoli formati dai due raggi rispetto alla perpendicolare alla  superficie sono collegati dalla Legge di Snell:  n1sinθ1 = n2sinθ2  Il coefficiente n (indice di rifrazione') dipende dal materiale di cui è fatto il mezzo e dalla lunghezza d'onda  della luce ed è uguale al rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e quella nel mezzo. Di conseguenza,  l'indice di rifrazione del vuoto è 1, e quello di tutte le altre sostanze è maggiore di 1. 

Il variare dell'indice di rifrazione in funzione della lunghezza d'onda provoca il fenomeno della dispersione  cromatica', cioè la separazione di un raggio di luce bianca nel suo spettro. La dispersione cromatica è  all'origine dell'arcobaleno e dell'aberrazione  cromatica.  Oltre al raggio rifratto, c'è sempre anche un  raggio riflesso. Nel caso in cui il raggio  provenga dal mezzo con indice di rifrazione  maggiore, con un angolo tale che l'angolo  uscente dovrebbe essere maggiore di 90 gradi  (θ1>arcsen(n2/n1)), il raggio rifratto non è  presente e tutta la luce viene riflessa  (riflessione totale).    Le leggi sulla riflessione e rifrazione sono  riassunte dall’equazione:  n1sin i = n2sin r  Vale il principio che il cammino ottico si può invertire. Ne seguono i concetti di riflessione totale e di angolo  limite. Le fibre ottiche ne sono un esempio.  L’indice di rifrazione diminuisce al crescere della lunghezza d’onda:  n = n(l) > 1  e vale 1 nel vuoto; la velocità della luce in un mezzo è v = c/n   La riflessione è il fenomeno, governato dalla legge della riflessione, per cui un'onda elettromagnetica che  colpisce una superficie di separazione tra due mezzi, in parte prosegue il suo percorso deviandolo al di là  della superficie, mentre in parte torna nella direzione da cui proveniva. In particolare, secondo la nota legge,  detto θi l'angolo di incidenza del raggio luminoso e detto θr l'angolo formato dal raggio riflesso con la  . Se invece si chiama θt l'angolo formato dal raggio rifratto con la  normale alla superficie, si ha che  , detti n1 e n2 gli indici di  normale alla superficie, secondo la legge di Snell si ha che  rifrazione dei mezzi.  La riflessione totale avviene se l'angolo θt raggiunge l'ampiezza di π / 2, cioè se non esiste più onda rifratta.  Questo fenomeno può avvenire nel passaggio da un mezzo più denso a uno meno denso (ovvero, n1 > n2) e  l'angolo θi tale per cui non esiste onda rifratta è detto angolo critico: 

  Quando θ > θcrit non appare alcun raggio rifratto: la luce incidente subisce una riflessione interna totale ad  opera dell'interfaccia. Si genera un'onda di superficie, o onda evanescente (leaky wave), che decade  esponenzialmente all'interno del mezzo con indice di rifrazione n2.  La formula precedente è stata ottenuta ponendo nella legge di Snell 

L'angolo di incidenza del raggio blu θ2 è maggiore dell'angolo critico: il raggio di luce viene riflesso            

perché 

. 

Un diottro è un sistema ottico costituito da due mezzi omogenei, trasparenti e con diverso indice di  rifrazione; se la superficie di separazione tra i due mezzi è una porzione di sfera, il diottro si dice sferico. Più  in generale si dice "diottrico" un sistema ottico costituito da sole superfici rifrangenti (lenti, ecc.) mentre si  dice "catottrico" un sistema ottico costituito da sole superfici riflettenti (specchi, ecc.).  Quando un sistema ottico fornisce di un punto luminoso P un immagine puntiforme P', cioè quando tutti i  raggi uscenti da P si incontrano in P', dopo aver subito rifrazioni o riflessioni imposte dal sistema ottico,  esso è detto stigmatico.  Dato un sistema ottico, la conoscenza di pochi punti, detti punti principali, permette di costruire l'immagine  di un qualsiasi oggetto. Per il diottro i punti principali sono il centro C della curvatura ed i fuochi del diottro:  il centro di curvatura C ha la proprietà che qualsiasi raggio di luce proveniente dallo spazio oggetto e  passante per C non subisce deviazioni nell'attraversare la calotta sferica;  il secondo fuoco F2 del diottro è invece il punto in cui convergono tutti i raggi luminosi provenienti dallo  spazio oggetto parallelamente all'asse ottico. Il secondo fuoco è quindi l'immagine di un punto posto  all'infinito;  il primo fuoco F1 è il punto sull'asse ottico nello spazio oggetto, la cui immagine è il punto posto all'infinito;  Le distanze focali f1 e f2 di un diottro dipendono dunque dalle sue caratteristiche. La formula che lega le  distanze focali di un diottro agli indici di rifrazione costituenti i due mezzi del diottro stesso è: ,   dove n1 e n2 sono gli indici di rifrazione assoluti per i due mezzi.    Il tipo più comune è rappresentato dalle lenti sferiche, caratterizzate dall'avere le due superfici opposte  costituite idealmente da porzioni di una sfera di dato raggio, R1 ed R2. Ciascuno di questi parametri è il  raggio di curvatura della corrispondente superficie.  Il segno di R1 determina la forma della superficie: se R1 è positivo la superficie è convessa, se negativa la  superficie è concava, se R1 è infinito la superficie ha curvatura zero, ovvero è piatta.  Lo stesso vale per la superficie opposta lungo il cammino ottico, ma con i segni invertiti.  La linea passante per i centri delle sfere ideali e generalmente passante anche per il centro geometrico della  lente è detto asse.    Le lenti sono classificate  secondo la curvatura delle due  superfici:  biconvessa o semplicemente  convessa se entrambe sono  convesse,  biconcava o concava se  entrambe sono concave,  piano‐convessa se una è piatta  e l'altra convessa,  piano‐concava se una è piatta l'altra è concava,  concavo‐convessa se sono una concava ed una convessa.  Nell'ultimo caso, se le superfici hanno uguale raggio la lente si definisce menisco, anche se il termine è a  volte usato per indicare una generica lente concavo‐convessa.  Se la lente è biconvessa o piano‐convessa un fascio di luce collimato o parallelo all'asse che attraversa la  lente viene fatto convergere (o focalizzare) su un punto dell'asse, ad una certa distanza oltre la lente nota  come distanza focale. Questo tipo di lente è detta  positiva.           

Se la lente è biconcava o piano‐concava, un fascio collimato è fatto divergere e la lente è perciò detta  negativa.  Il raggio uscente dalla lente sembra  provenire da un punto dell'asse antecedente  la lente. Anche questa distanza è chiamata  distanza focale, ma il suo valore è negativo  rispetto ad una lente convergente.    Nella lente concavo‐convessa, la  convergenza o divergenza è determinata  dalla differenza di curvatura delle due  superfici. Se i raggi sono uguali il fascio  luminoso non converge né diverge.  Il valore della distanza focale può essere  calcolato con l'equazione:          dove:  n è l'indice di rifrazione del materiale con cui è costituita la lente,  n' è l'indice di rifrazione dell'ambiente in cui la lente è immersa,  d è la distanza tra le due superfici o spessore della lente.  Se d è piccolo rispetto a R1 e R2, si ha la condizione di lente sottile e f con buona approssimazione dato da:    Il valore di f è positivo per le lenti convergenti, negativo per le divergenti e infinito per le lenti a menisco.  L'inverso della distanza focale (1/f) è detto potere diottrico, è espresso in diottrie con dimensioni metri−1.  Le lenti sono reversibili, ovvero le distanze focali sono le stesse sia che la luce le attraversi in un senso sia  nell'altro (alcune particolari proprietà come le aberrazioni non sono reversibili).  Formazione delle immagini [modifica]  Come si è detto una lente positiva o convergente focalizza un fascio collimato parallelo all'asse in un punto  focale, a distanza f dalla lente. Specularmente, una sorgente luminosa collocata nel punto focale produrrà  attraverso la lente un fascio di luce collimato.  Questi due casi sono esempio di immagini formate dalla lente. Nel primo caso un oggetto posto a distanza  infinita è focalizzato in una immagine su un piano posto alla distanza focale, chiamato piano focale. Nel  secondo caso un oggetto posto nel punto focale forma una immagine all'infinito.    Date le distanze S1 tra lente ed  oggetto e S2 tra lente e immagine,  per una lente di spessore  trascurabile vale la formula:    da cui deriva che se un oggetto è  posto a distanza S1 sull'asse della  lente positiva di focale f, su uno  schermo posto a distanza S2 si  formerà l'immagine dell'oggetto.  Questo caso, che vale per S1 > f è alla base della fotografia. L'immagine così formata è detta immagine  reale. 

  Si noti che se S1 < f, allora S2 diviene  negativo, e l'immagine si forma  apparentemente dallo stesso lato  dell'oggetto rispetto alla lente. Questo tipo  di immagine, detta immagine virtuale, non  può essere proiettata su uno schermo, ma un  osservatore vedrebbe attraverso la lente una  immagine in quella posizione.  Una lente da ingrandimento genera questo  tipo di immagine ed il fattore di  ingrandimento M è dato da:    se |M|>1 l'immagine è più grande dell'oggetto. Si noti che il segno negativo, come è sempre per le  immagini reali, indica che l'immagine è capovolta rispetto all'oggetto. Per le immagini virtuali M è positivo e  l'immagine è diritta.  Nel caso speciale in cui S1 = ∞, si ottiene S2 = f ed M = −f / ∞ = 0  Questo corrisponde ad un fascio collimato focalizzato in un punto alla distanza focale. La dimensione del  punto non è nulla nel caso reale, poiché la diffrazione impone un limite minimo alla dimensione  dell'immagine. (vedi Scattering Rayleigh)    La formula precedente può essere applicata  anche a lenti divergenti indicando la  distanza focale con segno negativo, ma  queste lenti possono dare solamente  immagini virtuali.