FINALLógica Matemática - Ronaldo Barbosa Alvim

Lógica Matemática

PROF. RONALDO BARBOSA ALVIM

LÓGICA MATEMÁTICA

VITÓRIA 2009

CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica T ecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática

Governo Federal Ministro de Educação

Fernando Haddad

CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo Diretor Geral

Jadir José Péla

Diretor de Ensino

Dênio Rebello Arantes

Coordenadora do CEAD – Centro de Educação a Distância

Yvina Pavan Baldo

Coordenadoras Coordenadoras da UAB – Universidade Aberta do Brasil

Yvina Pavan Baldo Maria das Graças Zamborlini

Designer Instrucional

Jonathan Toczek Souza

Curso de Licenciatura em Informática Coordenação de Curso

Giovany Frossard Teixeira

Professor Especialista/Autor

Ronaldo Barbosa Alvim

DIREITOS RESERVADOS CEFET-ES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo Av. Vitória – Jucutuquara – Vitória – ES - CEP - (27) 3331.2139 Créditos de autoria da editoração Capa: Leonardo Tavares Pereira Projeto gráfico: Danielli Veiga Carneiro Iconografia: Moreno Cunha Editoração eletrônica: [Nome de quem editou ou do próprio professor] Revisão de texto:

Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva

COPYRIGHT – É proibida a reprodução, reprodução, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorização escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais.

S 5 9 3


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S i m õ e s

Lógica Matemática

Governo Federal Ministro de Educação

Fernando Haddad

CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo Diretor Geral

Jadir José Péla

Diretor de Ensino

Dênio Rebello Arantes

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Yvina Pavan Baldo

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Yvina Pavan Baldo Maria das Graças Zamborlini

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Giovany Frossard Teixeira

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Ilioni Augusta da Costa Maria Madalena Covre da Silva

COPYRIGHT – É proibida a reprodução, reprodução, mesmo que parcial, por qualquer meio, sem autorização escrita dos autores e do detentor dos direitos autorais.

S 5 9 3


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S i m õ e s

Lógica Matemática

Olá, Aluno(a)!

É um prazer tê-lo conosco. O Cefetes oferece a você, em parceria com as Prefeituras P refeituras e com o Governo Federal, o Curso de Licenciatura em Informática, na modalidade à distância. distância. Apesar de este curso ser ofertado ofertado à distância, distância, esperamos que haja proximidade entre nós, pois, hoje, graças aos recursos da tecnologia da informação (e-mails, chat, videoconferênca, etc.), podemos manter uma comunicação efetiva. É importante que você conheça toda toda a equipe envolvida neste curso: coordenadores, professores especialistas, tutores à distância e tutores presenciais. Assim, quando precisar de algum tipo tipo de ajuda, saberá a quem recorrer. Na EaD - Educação a Distância - você é o grande responsável responsável pelo sucesso da aprendizagem. Por isso é necessário que se organize para os estudos e para a realização de todas as atividades, nos prazos estabelecidos, conforme orientação dos Professores Especialistas e Tutores. Fique atento às orientações de estudo que se encontram encontram no Manual do Aluno! A EaD, pela sua característica de amplitude amplitude e pelo uso de tecnologias tecnologias modernas, representa uma nova forma forma de aprender, aprender, respeitando, sempre, o seu tempo. Desejamos a você sucesso e dedicação!

Equipe do CEFETES


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Lógica Matemática

ICONOGRAFIA

Veja, abaixo, alguns símbolos utilizados neste material para guiá-lo em seus estudos.

Fala do professor.

Conceitos importantes. Fique atento!

Atividades que devem ser elaboradas por você, após a leitura dos textos.

Indicação de Materiais complementares, referentes ao conteúdo estudado.

Destaque de algo importante, referente ao conteúdo apresentado. Atenção!

Reflexão, Curiosidade ou outros conceitos referente ao conteúdo apresentado.

Espaço reservado para as anotações que você julgar necessárias.

CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática

Olá! Meu nome é Ronaldo Barbosa Alvim, responsável pela disciplina Matemática I. Atuo como professor do CEFETES na unidade de Cachoeiro de Itapemirim. Sou graduado em Matemática (2000) pela UFF, Especialista em Matemática e Estatística (2001) pela UFLA e Mestre em Modelagem Computacional (2004) pela UERJ. Minhas áreas de interesse são: Modelagem Matemática, Cálculo Numérico, Problemas Inversos, Probabilidade e Estatística. Esta disciplina tem o intuito de preparar um aluno que compreenda e use o discurso matemático e mergulhe nas estratégias de demonstração para alguns teoremas. Como conseqüência desse saber matemático você vai obter um rigor lógico maior em seu raciocínio, aprimorando e incrementando seus textos científicos. A lógica Matemática não tem fim, em compreender e produzir a própria matemática, mas esta presente e é aplicável a diversas áreas do nosso próprio cotidiano. Os alicerces da Lógica foram lançados pelo grego Aristóteles, em sua obra Organon, mais continua sendo desenvolvida como toda matemática até o dia de hoje. O objetivo deste material é auxiliá-lo no estudo da disciplina de Lógica Matemática, por meio de dicas e sugestões que destacam os pontos mais importantes a serem estudados. Aqui você encontrará conceitos com os quais trabalharemos ao longo de todo o Curso, o que não dispensa a utilização do livro-texto - referência para a confecção deste trabalho, que traz diversos exemplos adicionais e um aprofundamento maior em vários aspectos. Há, no site do autor, um simulador de sistemas operacionais que pode ser utilizado para uma melhor compreensão de processos, gerência de processador e gerência de memória. É importante esclarecer que, além do livro-texto, outros livros foram consultados para complementar alguns conceitos, a fim de facilitar o seu entendimento. Comentários de natureza histórica estão presentes ao longo de todo o material, situando você no tempo e conhecendo os grandes matemáticos que deixaram contribuições marcantes em nossa evolução. Em geral, para ser bem sucedido neste curso, é importante que se façam os exercícios e se estude regularmente, evitando-se, dessa forma, o acúmulo de conteúdo. Sempre costumo dizer aos meus alunos que estudar é semelhante a regar uma planta: se você passar um mês sem regá-la, não adiantará depois despejar 10 litros de água sobre ela, pois a água não será absorvida. Por outro lado, se você a regar regularmente, a planta se desenvolverá muito bem. O mesmo se aplica aos seus estudos, certo!? Assim, desejo-lhe bastante sucesso!!! Prof. Ronaldo Barbosa Alvim


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Lógica Matemática

Sumário

1. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS..............................................................................................................................9

1.1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO .............................................................................................................................................9 1.2. VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES............................................................................................................................10 1.3. PROPOSIÇÕES SIMPLES E PROPOSIÇÕES COMPOSTAS...........................................................................................................10 1.4. CONECTIVOS...............................................................................................................................................................11 1.5. TABELA VERDADE.......................................................................................................................................................11 1.6. NOTAÇÃO...................................................................................................................................................................13 2. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES................................................................................................16

2.1. NEGAÇÃO...................................................................................................................................................................16 EXEMPLOS:.......................................................................................................................................................................16 2.2. CONJUNÇÃO................................................................................................................................................................17 2.3. DISJUNÇÃO.................................................................................................................................................................18 2.4. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA................................................................................................................................................19 2.5. CONDICIONAL.............................................................................................................................................................21 2.6. BICONDICIONAL...........................................................................................................................................................23 3. CONSTRUÇÕES DE TABELAS – VERDADE........................................................................................................27

3.1. TABELA VERDADE DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA..........................................................................................................27 3.2. NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA VERDADE...............................................................................................................27 3.3. O USO DO PARÊNTESIS..................................................................................................................................................29 3.4. O PROBLEMA DE POST.................................................................................................................................................30 4. TAUTOLOGIAS, CONTRADIÇÕES E CONTIGÊNCIAS....................................................................................34

4.1. TAUTOLOGIA..............................................................................................................................................................34 4.2. PRINCIPIO DA SUBSTITUIÇÃO PARA AS TAUTOLOGIAS..........................................................................................................35 4.3. CONTRADIÇÃO............................................................................................................................................................35 4.4. CONTINGÊNCIA............................................................................................................................................................36 5. IMPLICAÇÃO LÓGICA............................................................................................................................................38

5.1. DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA...............................................................................................................................38 5.2. PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA...........................................................................................................................39 5.3. TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA..............................................................................................................................42 6. EQUIVALÊNCIA LÓGICA.......................................................................................................................................43

6.1. DEFINIÇÃO DE EQUIVALÊNCIA LÓGICA...........................................................................................................................43 6.2. PROPRIEDADES DA EQUIVALÊNCIA LÓGICA......................................................................................................................44 6.3. TAUTOLOGIAS E EQUIVALÊNCIA LÓGICA.........................................................................................................................47 6.4. PROPOSIÇÕES ASSOCIADAS A UMA CONDICIONAL...............................................................................................................47 6.5. NEGAÇÃO CONJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES....................................................................................................................48 6.6. NEGAÇÃO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIÇÕES......................................................................................................................48 7. ALGEBRA DAS PROPOSIÇÕES..............................................................................................................................52

7.1. PROPRIEDADE DA CONJUNÇÃO.......................................................................................................................................52 7.2. PROPRIEDADE DA DISJUNÇÃO........................................................................................................................................53 7.3. PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO..............................................................................................................54 7.4. NEGAÇÃO DA CONDICIONAL..........................................................................................................................................56 7.5. NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL.......................................................................................................................................57 8. MÉTODO DEDUTIVO...............................................................................................................................................59

8.1. MOTIVAÇÃO...............................................................................................................................................................60


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Lógica Matemática 8.2. R EDUÇÃO DO NÚMERO DE CONECTIVOS...........................................................................................................................60 8.3. FORMA NORMAL DAS PROPOSIÇÕES.................................................................................................................................61 8.4. FORMA NORMAL CONJUNTIVA........................................................................................................................................61 8.5. FORMA NORMAL DISJUNTIVA.........................................................................................................................................62 8.6. PRINCIPIO DE DUALIDADE..............................................................................................................................................63 9. ARGUMENTO E REGRAS DE INFERÊNCIA.......................................................................................................64

9.1. DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO...........................................................................................................................................64 9.2. VALIDADE DE UM ARGUMENTO......................................................................................................................................65 9.3. CRITÉRIO DE VALIDADE DE UM ARGUMENTO....................................................................................................................65 9.4. CONDICIONAL ASSOCIADO A UM ARGUMENTO...................................................................................................................66 9.5. ARGUMENTOS VÁLIDOS FUNDAMENTAIS...........................................................................................................................67

9.5.1. Adição.............................................................................................................................................................67 9.5.2. Simplificação..................................................................................................................................................67 9.5.3. Conjunção.......................................................................................................................................................67 9.5.4. Absorção.........................................................................................................................................................67 9.5.5. Modus Ponens (MP).......................................................................................................................................67 9.5.6. Modus Tollens (MT).......................................................................................................................................67 9.5.7. Silogismo Disjuntivo (SD)..............................................................................................................................68 9.5.8. Silogismo Hipotético (SH)..............................................................................................................................68 9.5.9. Dilema Construtivo (DC)...............................................................................................................................68 9.5.10. Dilema Destrutivo (DD)...............................................................................................................................68

9.6. R EGRAS

DE INFERÊNCIA...............................................................................................................................................68

9.6.1. Regra da Adição (AD)....................................................................................................................................69 9.6.2. Regra da Simplificação (SIMP)......................................................................................................................69 9.6.3. Regra da Conjunção (CONJ).........................................................................................................................69 9.6.4. Regra da Absorção (ABS)...............................................................................................................................69 9.6.5. Regra Modus Ponens (MP)............................................................................................................................70 9.6.6. Regra Modus Tollens (MT).............................................................................................................................70 9.6.7. Regra do Silogismo Disjuntivo (SD)...............................................................................................................70 9.6.8. Regra do Silogismo Hipotético (SH)..............................................................................................................70 9.6.9. Regra do Dilema Construtivo (DC)................................................................................................................70 9.6.10. Regra do Dilema Destrutivo (DD):..............................................................................................................71

9.7. EXEMPLOS DO USO DAS REGRAS DE INFERÊNCIA................................................................................................................71

10. VALIDADE................................................................................................................................................................ .73

10.1. VALIDADE MEDIANTE TABELAS -VERDADES...................................................................................................................73

10.1.1. Motivação.....................................................................................................................................................73 10.1.2. Prova de não-validade..................................................................................................................................74

10.2. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA................................................................................................................74 10.3. VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERÊNCIA E EQUIVALÊNCIA.........................................................................................76

10.3.1. Regra de Substituição...................................................................................................................................76 10.3.2. Equivalências Notáveis.................................................................................................................................76 10.3.3. Inconsistência ..............................................................................................................................................82

11. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL E DEMONSTRAÇÃO INDIRETA........................................................85

11.1. DEMONSTRAÇÃO CONDICIONAL...................................................................................................................................85 11.2. DEMONSTRAÇÃO I NDIRETA..........................................................................................................................................86 12. SENTENÇAS ABERTAS..........................................................................................................................................88

12.1. SENTENÇAS ABERTAS COM UMA VARIÁVEL.....................................................................................................................88 12.2. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM UMA VARIÁVEL..............................................................................88 12.3. SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁVEIS......................................................................................................................89 12.4. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM DUAS VARIÁVEIS............................................................................89 12.5. SENTENÇAS ABERTAS COM N VARIÁVEIS.......................................................................................................................90 12.6. CONJUNTO-VERDADE DE UMA SENTENÇA ABERTA COM N VARIÁVEIS..................................................................................90 13. OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE SENTENÇAS ABERTAS..............................................................................92


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Lógica Matemática 13.1. CONJUNÇÃO..............................................................................................................................................................92 13.2. DISJUNÇÃO...............................................................................................................................................................93 13.3. NEGAÇÃO.................................................................................................................................................................94 13.4. CONDICIONAL...........................................................................................................................................................95 13.5. BICONDICIONAL.........................................................................................................................................................95 13.6. ÁLGEBRA DAS SENTENÇAS ABERTAS............................................................................................................................96 14. QUANTIFICADORES...............................................................................................................................................98

14.1. QUANTIFICADOR U NIVERSAL.......................................................................................................................................99 14.2. QUANTIFICADOR EXISTENCIAL.....................................................................................................................................99 14.3. VARIÁVEL APARENTE E VARIÁVEL LIVRE.......................................................................................................................99 14.4. QUANTIFICADOR DE EXISTÊNCIA E U NICIDADE.............................................................................................................100 14.5. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADOR ..........................................................................................................100 14.6. CONTRA-EXEMPLO...................................................................................................................................................101 15. QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIÁVEL................................103

15.1. QUANTIFICAÇÃO PARCIAL.........................................................................................................................................103 15.2. QUANTIFICAÇÃO MÚLTIPLA......................................................................................................................................103 15.3. COMUTATIVIDADE DOS QUANTIFICADORES...................................................................................................................103 15.4. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COM QUANTIFICADORES.......................................................................................................103


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Lógica Matemática

PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

Prezado aluno, Nesta primeira aula você entrará em contato pela primeira vez com termos que estarão presentes em todo o curso de lógica matemática, como o dispositivo da tabela verdade, onde sua construção será abordada com maior profundidade no terceiro capítulo. Por isso conceitos aparecerão sem exemplos e aplicações sofisticados, pois trataremos os detalhes separadamente nos capítulos posteriores. Bom estudo!

1.1.

Conceito de Proposição

O conceito de proposição é simples, pois consiste numa sentença que expressa um sentido completo, sempre afirmando fatos ou na expressão de juízos em relação a um determinado objeto de estudo. A língua portuguesa nos oferece sentenças interrogativas, exclamativas, imperativas e declarativas. Sendo esta última a de grande interesse da lógica matemática, pois a elas podemos atribuir um valor lógico (verdadeiro ou falso), ou seja, as proposições são exclusivamente declarativas. Veja algumas sentenças declarativas:

Aristóteles (384-322 a.c)

a) O Céu é azul. (verdadeiro) b) O som é uma onda mecânica. (verdadeiro) c) A luz é uma onda longitudinal. (falso) Dois axiomas são utilizados como base de toda lógica matemática, em função disto que a lógica matemática é conhecida como lógica bivalente, vejamos abaixo o texto destes princípios criados por Aristóteles:


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Lógica Matemática Principio da Não Contradição:

“Uma proposição não pode ser verdadeira ou falsa ao mesmo tempo” Principio do Terceiro Excluído:

Toda a proposição ou é verdadeira ou falsa, ou seja, devemos sempre verificar sempre uma destas hipóteses, e nunca uma terceira. Aristóteles também enunciou o principio da identidade Principio da Identidade:

Todo objeto é idêntico a si mesmo.

1.2.

Valores Lógicos das Proposições Para provarmos se uma nova sentença é verdadeira ou falsa utilizamos pequenas sentenças que consideramos verdadeiras, os axiomas. Quando concluímos que esta nova sentença é verdadeira temos o que chamamos em matemática de Teorema, que podem ser utilizados na demonstração de novos teoremas. Se conseguimos, pois nem sempre é uma tarefa simples, determinar a veracidade de uma sentença, existirá uma outra única sentença que determina sua negação, ou seja, possui o seu valor lógico invertido.

1.3.

Proposições Simples e Proposições compostas A proposição simples (atômica) é formada de uma única proposição e a proposição composta (molecular) por mais de uma proposição. É comum representarmos as proposições simples por letras minúsculas (a,b,c,...) e as proposições por letras maiúsculas (A, B, C, D,...), em ambos os casos chamamos estas de letras proposicionais. Veja o exemplo: p : o número π é um número irracional. Q : Antônio é magro e Francisco é inteligente.


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Lógica Matemática

1.4.

Conectivos Os conectivos mais utilizados pela lógica matemática são: “e” – conectivo da conjunção (símbolo “∧” , “&”, ou “.”) “ou” – conectivo da disjunção (símbolo “∨”) “não” – conectivo da negação (símbolo “¬” ou “~”)

Gottlob Frege (1848-1925)

“se ... então” – conectivo da condicional (símbolo “→” ou “⊃ ”) “... se e somente se ...” – conectivo da bicondicional (símbolo “↔”) A função de um conectivo é criar proposições novas relacionando proposições menores, ou seja, criar proposições compostas. Veja os exemplos abaixo: Q : Estudar lógica matemática é fantástico e Aristóteles era um gênio.

Charles Sanders Peirce (1839-1914)

P : A Física é bela ou a Matemática é sensual. R : Se estudo lógica todos os dias, então sou muito feliz. Q : A sentença x é ímpar se, e somente se x2 é ímpar.

1.5.

Tabela Verdade A tabela verdade é um dispositivo prático que permite avaliarmos com rapidez o valor lógico de uma sentença composta, pois o valor lógico desta sentença esta intrinsecamente ligado ao valor lógico das proposições que a compõem. Tem origem no trabalho de 1880 de Gottlob Frege (1848-1925) e Charles Peirce (1839-1914) e seu formato atual nos trabalhos de 1922 de Emil Post (1897-1954) e Ludwig Wittgenstein (1889-1951). No capítulo 3 de nosso curso trataremos detalhadamente a construção da tabela verdade. Nesta tabela é listado todos os valores lógicos das proposições simples que constituem a proposição composta. Veja por exemplo uma proposição composta de duas sentenças


Emil Post (1897 - 1954)

Ludwig Wittgenstein (1889-1951)

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Lógica Matemática

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Usando conceitos simples de combinatória a tabela esta pronta com 4 linhas pois pelo principio fundamental da contagem temos duas decisões, com duas possibilidades Logo, 2 X 2 = 4 possibilidades Já uma proposição formada de três sentenças possuí 8 possibilidades de valor lógico pelo PFC (Principio Fundamental da Contagem), temos: 2

X2X2=8


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Lógica Matemática

1.6.Notação p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

É

F F F comum em lógica matemática utilizarmos uma notação própria para simbolizar o valor lógico de uma proposição. Se q é uma proposição simples e verdadeira podemos dizer que V(q) = V, e q fosse uma proposição de valor lógico falso, poderíamos simbolizar pela notação V(q) = F . Veja as proposições do exemplo: p : Plutão não é um Planeta q : Kepler foi um grande astrônomo


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Lógica Matemática r : No movimento retilíneo uniforme a velocidade é crescente Logo, temos: V(p) = V, V(q) = V , V (r) = F

[1]CASTRUCCI, B. Introdução a Lógica Matemática. GEEM, 1982. [2]MENDELSON, E. Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento . McGraw Hill, 1977. [3]SHOENFIELD, J.R, Mathematical Logic. A K Peters , 2001.

Atividades

1. Colocar na forma simbólica os enunciados abaixo. a) b) c) d) e) f)

Maria é bonita e elegante Maria é bonita mas não é elegante Não é verdade que Maria não é bonita ou elegante Maria não é bonita nem elegante Se Maria é bonita, então é elegante Maria é bonita se e somente se não for elegante

2. Colocar em linguagem natural as proposições abaixo, onde p é a proposição “está quente”, q é a proposição “está úmido” e r é a proposição “está chovendo”

a) b) c) d) e) f)

p ∧q ¬ (p ∨q) p ∨q → r p → q ∨r (p → q) → r p → ( q → r)

3. Determinar o valor lógico das seguintes proposições simples a) b) c) d)

O numero 23 é primo. O produto de dois números ímpares é impar. Tegucigalpa é a capital da Nicarágua. Uruguai ganhou a Copa do Mundo de Futebol em 1930.


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Lógica Matemática e) f)

A baleia é o maior peixe que existe. O morcego é um pássaro.

4. Se p é a proposição “João é gaúcho” e q é a proposição “Jaime é paulista”, traduza para a linguagem corrente as proposições:

a) b) c) d) e) f)

p ∧¬ q ¬p ¬ p ∧¬ q p →¬ q p ↔ ¬ q ¬ q →p

5. Escrever na forma simbólica, indicando as proposições simples: a) Ou a noticia foi publicada, ou, se o Sr. Wilson não foi detido, o cofre foi aberto. b) Se o Sr. Wilson não estava dormindo, então, se já passava de meia noite, o alarme não foi desligado. c) Se um crime foi cometido, então as jóias desapareceram se e somente se ou a polícia não foi chamada ou o Sr. Wilson não estava presente. d) Se a carta não foi enviada então, ou os irmãos não se encontraram ou o Sr. Wilson mentiu ou a Sra. Wilson deixou a cidade. e) A Sra. Wilson mentiu unicamente no caso de o Sr. Wilson ter saído da cidade ou o corpo não ter sido encontrado. f) Se o Sr. Wilson leu o diário então é falso que se o mordomo confessou então a bomba foi desativada. g) Um crime foi cometido se e somente se ou as jóias desapareceram ou se a policia não foi chamada, então o Sr. Wilson estava presente.

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CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo CITAÇÃO – Um exemplo de citação, tabulado em 4 centimentros, espaçamento simples, tamanho 10

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Lógica Matemática

Operações Lógicas sobre Proposições

Prezado aluno, Neste segundo capítulo iniciaremos a manipulação das principais operações lógicas, com o auxílio das tabelas verdades. Inicialmente no primeiro contato com estas tabelas temos a falsa impressão que é necessário decorá-las para compreensão do conteúdo, mas veremos ao longo deste e dos próximos capítulos, e até o uso das tabelas verdades é desnecessário, embora elas constituem uma importante ferramenta para o aprendizado da lógica, se realmente compreendidas e não simplesmente decoradas. Bom estudo!

2.1.

Negação Uma negação é verdadeira se a sentença negada é falsa e será falsa se a sentença negada é verdadeira. Como já dito no capítulo anterior, os símbolos utilizados para a negação são “¬” ou “~” (lê-se não p). Veja a tabela mostrando a negação de uma sentença que aqui chamamos de p

p

¬ p

V

F

F

V

Exemplos:

a) p : Os cães têm bico ~p : Os cães não tem bico b) q : O professor é São Paulino ~q : O professor não é São Paulino CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática

2.2.

Conjunção Temos uma conjunção verdadeira quando simultaneamente as proposições que compõem forem verdadeiras e será falsa quando existir pelo menos uma componente falsa. O símbolo da conjunção é o “∧”. Veja a tabela abaixo de uma conjunção formada de duas proposições simples. p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Figura 2-2: Tabela da Conjunção

Exemplo:

p : Aristóteles foi um dos criadores da Lógica Matemática. q : René Descartes foi o pai da Geometria Analítica. p ∧ q : Aristóteles foi um dos criadores da Lógica Matemática e René Descartes foi o pai da Geometria Analítica. Resolução:

René Descartes (1596-1650)

V(p) = V, V(q) = V , logo, V(p∧q) = V


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Lógica Matemática

2.3.

p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Disjunção Uma disjunção é verdadeira quando pelo menos uma de suas proposições componentes é verdadeira e será falsa apenas quando todas as proposições componentes são simultaneamente falsas.

Exemplo:

a)

p : Obama é o presidente da Índia q : O número Pi é um número racional p ∨q : Obama é o presidente da Índia ou o número Pi é um número racional.

Resolução: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(p∨q) = F

b)

p : 1024 é igual a 32. q : 187 é um número primo. p ∨ q : primo.

1024 é igual a 32 ou 187 é um número


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Lógica Matemática

Resolução: V(p) = V, V(q) = F, logo, V(p∨q) = V c)

p : Albert Einstein formulou a teoria da relatividade q:

3 é uma fração própria. 5

Albert Einstein (1879-1955)

p ∨ q : Albert Einstein formulou a teoria da relatividade ou

3 é uma fração própria. 5 Resolução:

V(p) = V, V(q) = V, logo, V(p∨q) = V

2.4.

Disjunção Exclusiva Olhe as duas proposições abaixo p : O professor é Matemática ou Físico q : O professor será Italiano ou Brasileiro Embora as ambas utilizem o conectivo “ou”, na proposição p, o professor pode possuir as duas formações, chamamos esse tipo de disjunção de disjunção inclusiva. Na proposição q o professor não pode assumir simultaneamente os dois resultados, pois ele nasceu na Itália, ou nasceu no Brasil, não é possível ter nascido em dois lugares. Na lógica chamamos essa disjunção de disjunção exclusiva. Utilizamos um pequena diferença no símbolo da disjunção exclusiva em relação ao já apresentado símbolo da disjunção inclusiva. Veja: Disjunção inclusiva: p∨q Disjunção exclusiva : p v q A tabela que define a disjunção exclusiva será apresentada abaixo, perceba a diferença em relação a apresentada na seção anterior.


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Lógica Matemática


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Lógica Matemática

p

q

pv q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Perceba que a grande diferença está na primeira linha da tabela, onde a idéia das duas proposições simples serem verdadeiras não existe, por isso é tratada com valor lógico falso.

2.5.

Condicional Uma implicação será falsa se a proposição antecedente p

q

p→q

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F F V for falsa e a proposição conseqüente for verdadeira, em qualquer outra situação a solução será verdadeira. Veja na tabela abaixo a representação do uso do condicional para duas proposições simples


21

Lógica Matemática

Exemplos a) p : Zico foi um grande matemático brasileiro q : Isaac Newton era Inglês. p → q : Se Zico foi um grande matemático brasileiro então Isaac Newton era Inglês. Resolução: V(p) = F, V(q) = V, logo, V(p→q) = F b) p : Gauss foi o matemático criador dos números complexos. q : Maradona era atleta do time de natação da Argentina. p → q : Se Gauss foi o matemático criador dos números complexos então Maradona era atleta do time de natação da Argentina. Resolução: V(p) = V, V(q) = F, logo, V(p→q) = V c) p : Zero não é um número par q : Zero Fatorial (0!) é igual a 0. p → q : Se Zero não é um número par então Zero fatorial (0!) é igual a 0. Resolução: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(p→q) = V


22

Lógica Matemática

2.6.

Bicondicional p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F F V Temos uma bi-implicação verdadeira quando suas proposições componentes possuem todas o mesmo valor lógico, quando alguma apresenta valor lógico diferenciado a bicondicional será falsa. Veja a tabela para uma situação de bicondicional formada com duas proposições simples:

Exemplos a) p : Num triângulo podem-se traçar três diagonais. q : 27 é um número primo. p ↔ q : Num triângulo podem-se traçar três diagonais se e somente se 27 é um número primo. Resolução: V(p) = F, V(q) = F, logo, V(p↔q) = V CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

Leonardo Da Vinci (1452-1519)

23

Lógica Matemática b) p : Argentina fica na Europa. q : Lula é o presidente do Brasil. p ↔ q : Argentina fica na Europa se e somente se Lula é o presidente do Brasil. Resolução: V(p) = F, V(q) = V, logo, V(p↔q) = F c) p : − 4 é igual a 2i. q : Leonardo da Vinci projetou o Pára-Quedas.

Galileu Galilei (1564-1642)

p ↔ q : − 4 é igual a 2i se e somente se Leonardo da Vinci projetou o Pára-Quedas. Resolução: V(p) = V, V(q) = V, logo, V(p↔q) = V

. Lógica Matemática é um assunto novo para a grande maioria dos alunos, então é comum surgir dúvidas durante a leitura e principalmente nos exercícios, mas lembre-se que ter dúvidas é fator comum no processo de quem esta aprendendo. Releia a aula até atingir os objetivos destacados no inicio do capítulo. Na próxima aula você aprenderá construir as tabelas-verdade para proposições mais sofisticadas utilizando os conectivos assimilados nesta aula. Até lá amigos. [1]CASTRUCCI, B. Introdução a Lógica Matemática. GEEM, 1982. [2]MENDELSON, E. Álgebra Booleana e Circuitos de Chaveamento . McGraw Hill, 1977.


24

ICONOGRAFIA – Mais exemplos da utilização da iconografia;

Lógica Matemática __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


25

Lógica Matemática

Atividades

1. Considere as sentenças: p : 11 > 5 q : 3 < 19 r : 7 > 13 s: 12 > 23 Dê o valor lógico das sentenças: a) p→q b) p→r c) p→s d) r →q e) r →s f) p↔q g) p↔r h) r ↔s 2. Simbolize as proposições abaixo, usando as letras minúsculas dos nomes próprios abaixo para representar as proposições simples: a) “Se Newton ficar zangado, então Galileu revisará e Einstein ficará surpreso” b) “Se Newton ficar zangado e Galileu revisar, então, Einstein ficará surpreso” 3. Seja as sentenças: p : Pitágoras era Chileno q : 3 é um número Natural Atribua o valor lógico de: a) p∧q b) p∨q c) p→q d) p↔q 4. Determine quais das frases listadas abaixo constituem uma proposição a) Mandiocas são saudáveis b) Não mate! c) Qual o valor deste carro? d) A Lua é o satélite natural da Terra e) O numero de Euler (e = 2,718...) é um número irracional f) Ronaldo é professor g) Todos os São Paulinos são felizes h) Quantas provas você fez? i) Que carro caro! j) Qual o nome de sua fazenda?


26

Lógica Matemática

Construções de Tabelas – Verdade

Prezado aluno, Em vários livros de lógica matemática fica a impressão que devemos decorar algumas tabelas verdades, ou pelo menos as mais básicas, embora isso não é necessário e passa bem distante do real objetivo do aprendizado de lógica matemática. Podemos expressar qualquer formulação lógica através de diagramas de conjuntos como faremos ao longo desta aula. Sendo assim a construção da tabela verdade um dispositivo facilitador da análise do valor lógico da sentença, mas relacionado a um significado ou propriedade. Bom estudo!

3.1.

Tabela Verdade de uma proposição composta

No capítulo anterior você aprendeu de forma isolada as principais operações lógicas : negação, conjunção, disjunção inclusiva, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. Podemos agora criar relações entre estas operações criando assim proposições lógicas compostas, que também poderão ser representadas por tabelas verdades, no intuito de avaliar o valor lógico deste sentença, ou seja, verdadeiro ou falso.

3.2.

Número de linhas de uma tabela Verdade

O número de linhas de uma tabela verdade esta diretamente relacionada ao número de proposições simples que compõem a proposição composta, ou seja, se nossa proposição composta possui n proposição simples, logo, tem 2n linhas em nossa tabela verdade. De forma resumida é interessante estabelecermos alguns passos para obter sucesso na construção de uma tabela verdade: 1° Passo: Estimar o número de linhas da tabela que será construída; 2° Passo: Analisar a precedência dos conectivos lógicos, observando sua disposição na expressão; 3° Passo: Aplicar as operações lógicas de acordo com sua respectiva definição. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

27

F I G

Lógica Matemática Vamos construir a tabela verdade da expressão ¬ (¬ p∨q) Esta tabela possui 4 linhas, pois apresenta duas proposições simples envolvidas na construção da proposição composta, logo, 22 = 4. Primeiramente construiremos a tabela com os valores lógicos apenas das proposições simples: p e q. p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Agora vamos construir a coluna da negação de p (¬ p), que possui o valor lógico invertido da coluna de p p

q

¬ p

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Na expressão ¬ p e q são conectados pela conjunção, que será a próxima coluna a ser incluída p

q

¬ p

(¬ p∨q)

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V


28

Lógica Matemática

Para concluir nossa tabela basta construir a coluna que será a negação da última coluna construída (¬ p∨q) ou seja, ¬(¬ p∨q) p

q

¬ p

( ¬ p ∨ q )

¬ ( ¬ p ∨ q )

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

3.3.

O uso do parêntesis

O uso dos parêntesis esta associado a eliminação de possíveis ambigüidades que uma proposição pode oferecer, mas se sua presença efetivamente em nada contribui para eliminar ambigüidade sua escrita deve ser suprimida. A expressão p∨q∧r pode gerar outras expressões distintas com valores lógicos diferentes (p∨q)∧r e (p∨q)∧r Temos algumas convenções, mundialmente utilizadas que devem ser respeitadas como a ordem de precedência, onde observamos a negação como conectivo mais fraco e a bicondicional como conectivo mais forte. Veja 1-


29

Lógica Matemática 2 - ou 34-

A outra convenção seria o uso repetitivo de um mesmo símbolo, onde devemos suprimir os parêntesis e realizar associações pela esquerda Por exemplo a expressão (¬(¬(p∨q))∧(¬q)) poderia ser representada simplesmente por

¬¬(p∨q)∧¬q

3.4.

O problema de Post

Ao longo desta aula ficou claro que é possível construir a tabela verdade de uma fórmula desde que conheçamos o valor lógico das proposições que a compõem. Mas seria possível reverter o processo?

Emil Leon Post (1897 - 1954)

Ou seja, a partir de uma tabela verdade, determinar a fórmula que lhe da origem. Este problema foi proposto pelo brilhante matemático Emil Leon Post, que pode ser solucionado criando-se uma FNC ou FDC da tabela oferecida. Veja a solução por FND: 1º Passo: Observe todas as linhas da tabela que possuem V na última

coluna;

2º Passo: Construa para cada uma destas linhas uma conjunção

correspondente;

3º Passo: Efetue uma disjunção das conjunções, obtendo assim uma

FND relacionada a esta tabela verdade. Exemplo: Dada a tabela V

V

V

( p ∧ q )


30

Lógica Matemática V

F

F

F

V

F

F

F

V

(¬ p∧ ¬q )

Logo, a formula obtida em FND é (p∧q)∨(¬ p∧¬q) Veja agora a solução por FNC: 1º Passo: Observe todas as linhas da tabela que possuem F na última

coluna;

2º Passo: Construa para cada uma destas linhas uma disjunção

correspondente;

3º Passo: Efetue uma conjunção das disjunções, obtendo assim uma

FNC relacionada a esta tabela verdade V

V

V

V

F

F

( ¬ p ∨ q )

F

V

F

( p ∨ ¬ q )

F

F

V

Logo, a formula obtida em FNC é (¬ p∨q)∧(p∨¬q)


31

Lógica Matemática

Atividades

1. Sabendo-se que VL (p) = VL (r) = V e VL (q) = VL (s) = F determine o valor lógico de:

a) b) c) d) e) f) g) h)

p ∧q ↔ r ∧¬ s (p ↔ q) → ( s ↔ r) (¬ p → q) → ( s → r) (p ∧q) ∨s → (p → s) (q ∧r) ∧s → ( p ↔ s) p →¬ q ↔ (p ∨r) ∧s (p ∧q) ∧(r ∧s) → p ∨s (¬ p ∨s) ∨( ¬s ∧r)

2. Construa a Tabela Verdade das seguintes proposições

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m)

(p →¬ p) →¬ p p ∧q → p ∨q p → (q → p) (p → q) → p ∧q q ↔ ¬ q ∧ p (p ↔ ¬ q) ↔ q → p (p ↔ ¬ q) →¬ p ∧q p ∧r → q ∨¬ r ((p ∧q) → r) →¬ q p → r ↔ q ∨¬ r p → (p →¬ r) ↔ q ∨r (p ∧q → r) ∨(¬ p ↔ q ∨¬ r) p ∧q → (r ∨s) ∧t

3. Sabendo−se que as proposições p e q são V e que r e s são F, dê o valor lógico das expressões a) p ∧q → r e) (q → s) → r i) (r → s) ∧(p ∧q)

b) r ∨s → q f) q → (s → r) j) (p ∧¬ q) ∨r

c) q ↔ p ∧s g) r → p ∧q k) ((r → p) ∨(s → q))

d) p →¬ (r ∧s) h) (q ∨r) ∧(p∨s) l) (s ↔ r) ↔ (p ↔ q)

4. Sabe−se que uma fórmula tem 5 proposições simples e 6 conectivos; quantas linhas e colunas sua Tabela Verdade tem ?

5. Sem construir, diga quantas linhas e colunas tem a Tabela Verdade da expressão


32

Lógica Matemática p →¬ q ↔ ( p ∨r ) ∧s __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


33

Lógica Matemática

Tautologias, Contradições e Contigências

Prezado aluno, Neste capítulo vamos diferenciar as formas Tautologia, Contradição e Contigência. A palavra tautologia foi usada na Grécia antiga para descrever um enunciado que era verdadeiro meramente pelo fato de dizer a mesma coisa duas vezes, um significado pejorativo que ainda é usado para tautologias retóricas. Entre 1800 e 1940, a palavra ganhou novo significado na lógica, e é corriqueiramente usada para denotar um certo tipo de fórmula proposicional, sem as conotações pejorativas que possuía anteriormente. Durante a década de 30, a formalização da semântica da lógica proposicional em termos de valores verdade foi desenvolvida. O termo tautologia começou a ser aplicado a fórmulas proposicionais que são verdadeiras independente da verdade ou falsidade de suas variáveis proposicionais. Alguns livros sobre lógica (tais como Symbolic Logic de Lewis e Langford, 1932) usaram o termo para todas as proposições(em toda a lógica formal) que são universalmente válidas. É comum em publicações após esta (tais como Kleene 1967 e Ederton 2002) usar o termo tautologia para referir-se a uma fórmula proposicional logicamente válida, mas manter a distinção entre tautologia e logicamente válida no contexto da lógica de primeira ordem. Bom estudo!

4.1.

Tautologia

Temos uma tautologia quando a proposição composta apresenta valor lógico verdadeiro independente do valor lógico das proposições simples que a compõem. É comum utilizarmos as expressões proposições tautológicas ou proposições logicamente verdadeiras, no lugar de tautologia. Vamos construir a tabela verdade da expressão (p∧q)→ p p

q

p∧q

(p∧q)→ p

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V


34

Lógica Matemática F

F

F

V

Facilmente observa-se pela tabela acima que a expressão (p∧q)→ p é uma tautologia pois sua última coluna apresentou valor verdadeiro para todas as linhas independente dos valores atribuídos as proposições simples que a compõem.

4.2. Principio da substituição para as tautologias Se P (p,q,r) é uma tautologia então P (p’,q’,r’) também será uma tautologia independente das proposições simples p’,q’,r’.

4.3.

Contradição

Temos uma contradição quando a proposição composta apresenta valor lógico falso independe do valor lógico apresentado pelas proposições simples que a compõem. As expressões proposições contraválidas ou proposições logicamente falsas, são normalmente utilizados no lugar de contradição. O principio da substituição visto para as tautologias é valido para as contradições, ou seja, se P (p,q,r) é uma contradição então P (p’,q’,r’) também será uma contradição independente das proposições simples p’,q’,r’. Vamos construir a tabela da expressão p↔¬ p p

¬ p

p↔¬ p

V

F

F

F

V

F

Perceba como a última coluna da tabela que apresenta os valores lógicos da expressão e toda formada por F, independente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, ou seja, p↔¬ p é uma contradição.


35

Lógica Matemática

4.4.

Contingência

Temos uma contingência quando a expressão a ser avaliada, apresenta valores lógicos verdadeiro e falso, não necessariamente na mesma quantidade, mas com pelo menos uma vez com cada um dos símbolos (V ou F). Resumidamente podemos dizer que temos uma contingência quando a expressão não é uma Tautologia ou Contradição. Vamos construir a tabela da expressão p∨q→ p p

q

p∨q

p∨q→ p

V

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

É comum utilizarmos as expressões proposições contingentes ou proposições indeterminadas no lugar de contingência.


36

Lógica Matemática Atividades

1- Verificar se são tautologias, contradições ou contingências as expressões abaixo: α) β) χ) δ) ε) φ) γ) η) ι) ϕ) κ) λ) µ) ν) ο) π) θ)

[p → ( p → q )] → q p → [ ( p → q ) → q] (p ∧q) ∧(p →¬ q) p → [¬ p → (q ∨¬ q)] (p → p) → (q ∧¬ q) [p → (q → r)] → [(p → q) → (p → r)] [p → (q → p)] → [(q → q) →¬ (r → r)] {[(p → q) ∧(r → s)] ∧(p ∨r)} → (q ∨s) {[(p → q) ∧(r → s)] ∧(q ∨s)} → (p ∨r) p → (¬ p → q) ¬ p ∨q → (p → q) p → (q → (q → p)) ((p → q) ↔ q) → p p ∨¬ q → (p →¬ q) ¬ p ∨¬ q → (p → q) p → (p ∨q) ∨r p ∧q → (p ↔ q ∨r)

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


37

Lógica Matemática

Implicação Lógica

Prezado aluno, Este e o próximo capítulo, que falam respectivamente sobre Implicação Lógica e equivalência lógica possuem uma relação muito próxima que será apresentada nas próximas páginas. Concentre-se pois estes capítulos contém ingredientes essenciais na aprendizagem da lógica matemática. Bom estudo!

5.1.

Definição de Implicação Lógica

Utilizamos a notação “⇒” para representar uma implicação lógica CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

38

Lógica Matemática Uma inferência lógica, ou, simplesmente uma inferência, é uma tautologia da forma p → q; a proposição p é chamada antecedente, e q, conseqüente da implicação. As inferências lógicas, ou regras de inferência, são representadas por p ⇒ q. Da definição decorre imediatamente que p ⇒ q, se e somente se, o conseqüente q assumir o valor lógico V, sempre que o antecedente p assumir esse valor. De fato, para que a condicional seja verdadeira, essa condição é necessária, pois, se o conseqüente for falso com o antecedente verdadeiro, a condicional não é verdadeira. Por outro lado, a condição também é suficiente, pois, quando o antecedente é falso, a condicional é verdadeira, não importando o valor lógico do conseqüente. As regras de inferência são, na verdade, formas válidas de raciocínio, isto é, são formas que nos permitem concluir o conseqüente, uma vez que consideremos o antecedente verdadeiro; em termos textuais, costumamos utilizar o termo “logo” (ou seus sinônimos: portanto, em conseqüência, etc) para caracterizar as Regras de Inferência; a expressão p ⇒ q pode então ser lida: p; logo, q.

5.2.

Propriedades da implicação lógica

A implicação lógica é transitiva e reflexiva

Propriedade Reflexiva

P(p,q,r) ⇒P(p,q,r) Propriedade Transitiva

P(p,q,r) ⇒Q(p,q,r) e Q(p,q,r) ⇒ R(p,q,r), logo, P(p,q,r) ⇒R(p,q,r)

Algumas implicações geram regras interessantes, chamadas regras de inferência. Listamos abaixo

algumas das regras de inferência mais importantes da Lógica; da mesma forma que no caso das eqüivalências, cada uma delas pode ser provada, bastando para isso construir a Tabela Verdade da condicional correspondente; se a condicional for tautológica, será uma inferência. Vejamos algumas destas regras abaixo: Regra da Adição

p⇒ p∨q e q⇒ p∨q Exemplo: “Vou ao cinema; logo vou ao cinema ou ao teatro” Regra da Simplificação

p∧q⇒ p e p∧q⇒q CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

39

Lógica Matemática Exemplo: “Fui ao cinema e ao teatro; logo fui ao cinema” Regra do Silogismo Disjuntivo

(p ∨q) ∧¬ p ⇒ q Exemplo: “Ou trabalho ou estudo; não trabalho; logo, estudo” Regra Modus Ponens

A expressão Modus Ponens vem do latim que tem como significado “modo de afirmar”, comumente abreviada por MP. (p→q)∧ p⇒q Exemplo 1:

Se chover fico em casa. Choveu. Então fico em casa Exemplo 2:

“Se ganhar na Loteria, fico rico; ganhei na Loteria; logo, fiquei rico” Regra Modus Tollens

A expressão Modus Tollens, é também retirada do latim que significa “modo de negar”, no meio acadêmico é a expressão formal para a conhecida prova indireta. A estrutura da regra de Modus Tollens tem-se duas premissas, sendo a primeira a condicional e a segunda a negação da segunda proposição. (p→q)∧¬q⇒¬ p Exemplo 1:

Se existe fogo aqui, então aqui há também oxigênio. Não há oxigênio aqui. Então aqui não há fogo. Exemplo 2:

“Se ganhar na Loteria, fico rico; não fiquei rico; logo não ganhei na Loteria” CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

40

Lógica Matemática

Regra da Atenuação

p → q ⇒ p → q ∨r

Exemplo: “Se eu ganhar na Loteria, fico rico; logo, se eu ganhar na Loteria, fico rico e vou viajar” Regra da Retorsão

¬ p →p ⇒p

Exemplo: “Se eu não trabalhar, trabalho; logo, trabalho”. Regra da Simplificação Disjuntiva

(p ∨q) ∧(p ∨¬ q) ⇒ p

Exemplo: “Ou estudo ou trabalho; ou estudo ou não trabalho; logo, estudo” Regra da Absorção

p → q ⇒ p → (p ∧q)

Exemplo: “Se trabalho, ganho dinheiro; logo, se trabalho, trabalho e ganho dinheiro” Regra do Silogismo Hipotético (ou Condicional)

(p → q) ∧(q → r) ⇒ p → r

Exemplo: “Se trabalho, ganho dinheiro, e, se ganho dinheiro, vou viajar; logo, se trabalho, vou viajar” Regra do Silogismo Conjuntivo (ou Incompatibilidade)

¬ (p ∧q) ∧q ⇒¬ p

Exemplo: “É falso que eu estudo e trabalho; eu trabalho; logo, não estudo” Dilema Construtivo

(p → q) ∧(r → s) ∧(p ∨r) ⇒ q ∨s Exemplo: “Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou vou à festa ou fico vendo televisão; logo, ou fico cansado ou durmo” Dilema Destrutivo

(p → q) ∧(r → s) ∧(¬ q ∨¬ s) ⇒¬ p ∨¬ r Exemplo: “Se vou à festa, fico cansado; se vejo televisão, durmo; ou não fico cansado ou não vou dormir; logo, ou não vou à festa ou não vejo televisão”


41

Lógica Matemática Regra da Inconsistência (de uma contradição se conclui qualquer proposição)

(p ∧¬ p) ⇒ q

Exemplo: “O avião está voando; o avião não está voando; logo, eu sou o Rei da Inglaterra”

5.3.

Tautologias e implicação lógica

Os símbolos → e ⇒ embora parecidos tem significados diferentes, o primeiro representa uma relação enquanto o segundo representa uma operação lógica. Veremos abaixo um teorema que envolve os dois símbolos P(p,q,r,...)⇒Q(p,q,r,...) Se e somente a condicional P(p,q,r,...)→Q(p,q,r,...) é tautológica. Regra do Silogismo Hipotético

(p→q)∧(q→r)⇒ p→r Principio da Inconsistência

De uma contradição p ∧ ~ p se deduz qualquer proposição q

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

42

Lógica Matemática

Equivalência Lógica

Prezado aluno, Veremos neste capítulo que duas proposições são equivalentes, quando possuem a mesma tabe tabela la verd verdad ade, e, logo logo se duas duas prop propos osiç içõe õess poss possue uem m a mesm mesmaa tabe tabela la verd verdad ade, e, são são equiva equivalen lentes tes e que todas as tautol tautologi ogias as e contrad contradiçõ ições es são equival equivalent entes es entre entre si. A maioria das leis da lógica apresentadas neste capítulo pode ser demonstrada mostrando por tabela verdade, que a bicondicional correspondente correspondente é uma Tautologia. Bom estudo!

6.1. 6.1.

Defi Defini niçã çãoo de de Equ Equiv ival alên ênci ciaa Lóg Lógic icaa

Podemos expressar uma proposição de formas diferentes, dizemos que estas diferentes formas de expressar são logicamente equivalentes. Veja o exemplo: “Ronaldo é professor e adora pedalar” podemos negar esta expressão de diferentes formas como: “Não é verdade que Ronaldo é professor e adora pedalar” “Ronaldo não é professor ou não gosta de pedalar” As duas formas de negar que acabamos de ver, são logicamente equi equiva vale lent ntes es.. Port Portan anto to duas duas prop propos osiç içõe õess são são cham chamad adas as de CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica T ecnológica do Espírito Santo

43

Lógica Matemática logicamente logicamente equivalentes equivalentes se em todos os casos possíveis possíveis apresentam apresentam os mesmos valores lógicos. É com comum util utiliz izar armo moss a sim simbolo bologi giaa abai abaixo xo para para prop propos osiç içõe õess logicamente equivalentes: p ⇔ q

6.2. 6.2.

Prop Propri ried edad ades es da da Equ Equiv ival alên ênci ciaa Lóg Lógic icaa

Utilizamos as propriedades de equivalência lógica abaixo, com o intuito de reescrever proposições de forma diferente mas que sejam equivalentes a proposição original. Propriedade Reflexiva: p

⇔

p

Propriedade Simétrica:

Se p ⇔ q então

q

⇔

p

Propriedade Transitiva:

Se

p

⇔

q

e

q

⇔

r

então

p

⇔

r

Vemos agora uma das principais leis da lógica, expressando o conceito de equivalência lógica, que utilizamos a todo momento para escrever proposições de formas diferentes, porém com o mesmo valor lógico. Leis da Comutatividade

Dadas duas proposições quaisquer, p e q, temos te mos p ∧q ⇔ q ∧ p p ∨q ⇔ q ∨ p Exemplo: “Fui ao teatro ou ao cinema” eqüivale a “Fui “Fui ao cinema ou ao teatro” Leis da Associatividade

Dadas três proposições proposições quaisquer, p, q e r, temos temos (p ∧q) ∧r ⇔ p ∧(q ∧r) (p ∨q) ∨r ⇔ p ∨(q ∨r) Leis da Distributividade

p ∧(q ∨r) ⇔ (p ∧q) ∨(p ∧r) CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica T ecnológica do Espírito Santo

44

Lógica Matemática p ∨(q ∧r) ⇔ (p ∨q) ∧(p ∨r) Leis de De Morgan

¬ (p ∧q) ⇔ ¬ p ∨¬ q ¬ (p ∨q) ⇔ ¬ p ∧¬ q Exemplo: “É falso que João tenha ido ao cinema e ao teatro” equivale a “Ou João não foi ao cinema ou não foi ao teatro” Leis da Idempotência

Para qualquer proposição p, temos p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p Lei da Dupla Negação

¬ (¬ p) ⇔ p Veja a tabela abaixo:

p

~ p

~ ~ p

V

F

V

F

V

F

Lei da Condicional

p → q ⇔ ¬ p ∨q

Exemplo: “Se continuar chovendo, o rio vai transbordar” equivale a “Ou pára de chover ou o rio vai transbordar” Lei da Bicondicional

p ↔ q ⇔ (p → q) ∧(q → p) p ↔ q ⇔ (p ∧q) ∨( ¬ p ∧¬ q) Exemplo: “Um numero é divisível por 10 se e somente se terminar por zero” equivale a “Se um numero terminar por zero, então é múltiplo de 10, e, se for múltiplo de 10, então termina por zero”; também equivale a “Ou o número é múltiplo de 10 e termina em zero, ou não é múltiplo de 10 e não termina em zero” Lei da Contraposição

p → q ⇔ ¬ q → ¬ p

Exemplo: “Se João estudar, será aprovado” equivale a “Se João não estudar, não será aprovado” CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica T ecnológica do Espírito Santo

45

Lógica Matemática Lei da Absorção

p → p ∧q ⇔ p → q p

q

p ∧ q

p → p ∧ q

p → q

V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

Lei de Clavius

¬ p →p ⇔ p Veja a tabela verdade abaixo p

~ p

~ p p

V

F

V

F

V

F

Lei da Refutação por Absurdo

(p → q) ∧(p →¬ q) ⇔ ¬ p Lei do Dilema

(p → q) ∧(¬ p → q) ⇔ q Exemplo: “Se eu for aprovado, vou viajar, e, se não for, também vou” equivale a “vou viajar” Lei da Demonstração por Absurdo (onde F é uma contradição)

p ∧¬ q → F ⇔ p → q


46

Lógica Matemática Lei de Exportação - Importação

p → (q → r) ⇔ p ∧q → r

O conceito de equivalência nos permite mostrar ainda que são suficientes as operações de negação e uma das duas, conjunção ou disjunção, para representar qualquer expressão proposicional. Para isso, necessitamos das seguintes equivalências:

a) Eliminando o bicondicional: p ↔ q ⇔ (p ∧q) ∨( ¬ p ∧¬ q) p → q ⇔ ¬ p ∨q b) Eliminando o condicional: p ∨q c) Escrevendo a disjunção em termos de conjunção: ⇔ ¬ (¬ p ∧¬ q) d) Escrevendo a conjunção em termos de disjunção: ⇔ ¬ (¬ p ∨¬ q)

p ∧q

Veja o seguinte exemplo: escrever a proposição (p ↔ q) → ¬ p em termos de negação e disjunção: Eliminando o condicional: ¬ (p ↔ q) ∨¬ p Eliminando o bicondicional: ¬ [ (p ∧q) ∨( ¬ p ∧¬ q) ] ∨¬ p Escrevendo a conjunção em termos de disjunção: ¬ [ ¬ (¬ p ∨¬ q) ∨¬ (p ∨q) ] ∨¬ p

6.3.

Tautologias e Equivalência Lógica

Lembre-se que na abertura deste capítulo antecipamos que toda tautologia é uma equivalência lógica

6.4.

Proposições associadas a uma condicional

Existem três proposições que possuem p e q condicionais associadas a p → q , que são a) Proposição Recíproca p → q : q → p

b) Proposição Contrária p → q :~ p →~ q

c) Proposição Contrapositiva p → q :~ q →~ p


47

Lógica Matemática

6.5.

Negação conjunta de duas proposições

Denominamos de negação conjunta de duas proposições a expressão

~ p ∧ ~ q Que pode também ser representada por p ↓ q ⇔ ~ p ∧ ~ q

6.6.

p

q

p ↓ q

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Negação disjunta de duas proposições

Denominamos de negação disjunta de duas proposições a expressão

~ p∨ ~ q Que pode também ser representada por p ↑ q ⇔ ~ p∨ ~ q

p

q

p ↑ q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

Nas últimas tabelas utilizamos dois novos símbolos, conhecidos na lógica matemática com conectivos de Scheffer. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

48

Lógica Matemática

Atividades

1- Em cada caso, dizer qual equivalência ou inferência foi aplicada

a) (p → q) ⇒ (p → q) ∨(q → r) b) (p ∧q) → (r ∧s ∧¬ q) ⇔ ¬ (p ∧q) ∨(r ∧s ∧¬ q) c) (p → q) ∨[ ¬ q ∧(q → s)] ⇔ [(p → q) ∨¬ q] ∧[(p → q) ∨(q → s)] d) (p → q) → r ⇔ ¬ r →¬ (p → q) e) (p → q) → r ⇔ (¬ q →¬ p) → r f) (q ∨s → r ∧t) ⇔ ¬ (r ∧t) →¬ (q ∨s) g) (q ∨s → r ∧t) ∧(q ∨s) ⇒ r ∧t h) (r → s ∧t) ∧(t ∨q → p) ∧(r ∨t ∨q) ⇒ (s ∧t) ∨ p i) [(p ↔ q) ∨(r ∧s)] ∧[(p ↔ q) ∨¬ (r ∧s)] ⇒ p ↔ q j) [(p ↔ q) ∨(s → q) ] ∧[(p ↔ q) ∨¬ (s → q)] ⇒ p ↔ q k) [(s → q) ∨(t → r)] ∧(p ∨r) ⇒ (s → q) ∨(t → r) l) [r ∧s → q] ∧[q → t ∧r] ⇒ r ∧s → t ∧r m) p ∧r → s ∨t ⇒ p ∧r → [(p ∧r) ∧(s ∨t)] 2- Para cada expressão abaixo, construa a Tabela Verdade e diga se é uma tautologia, uma contradição ou uma contingência; se for uma tautologia, diga se é também uma equivalência lógica, uma implicação lógica, ou nenhuma das duas.

a) b) c) d) e) f) g) h)

[p → (p → q)] → q (p ∧q) ∧(p →¬ q) p → [(p → q) → q] (p → q) ↔ (¬ p →¬ q) p ↔ [p ∧(p∨q)] (p → q) ↔ [(p ∨q) ↔ q] (p ∨q) ∧¬ p → (q → p) (p ∨(q →¬ r)) ∧(¬ p ↔ ¬ q)

3- Aplique à expressão dada, a equivalência ou inferência indicada; CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

49

Lógica Matemática

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

¬ [(p → q) ∨( p ∧q)] De Morgan (p ↔ q) ∧(¬ p → q) Simplificação (p ∧q) → (r ∧s ∧¬ q) Condicional [(p ↔ q) ∨(r ∧s)] ∧[(p ↔ q) ∨¬ (r ∧s)] Simplificação Disjuntiva (r ∧t → s ∨q) ∧¬ (s ∨q) Modus Tollens p ∧s → (r ∧t → q) Exportação−Importação (p ↔ q ∧s) ∧[(r → t) ∨(r ∧t)] Distributividade q ∧(s ∨t) → (s ↔ p) Contraposição (r ∧s → q) ∧(q ∨t → s) ∧[(r ∧s) ∨(q ∨t)] Dilema construtivo (r ∨s) ↔ (s → q) Bicondicional p → ( r ∨s) Adição (p ∧s → r) ∧(r → q ∧t) Silogismo Hipotético

4- Em cada caso, completar a frase, mediante o uso da equivalência ou regra de inferência indicada: a) “Ganho dinheiro se e somente se trabalhar” eqüivale a ... (Bicondicional) b)“Ou não fico jogando ou me atraso” eqüivale a ... (Condicional) c)“Ou saio ou me divirto. Não saí. Logo ...” (Silogismo Disjuntivo) d)“Se eu sair, chego tarde, e, se ficar vendo televisão, me divirto. Ou saio ou fico vendo televisão. Logo, ...” (Dilema Construtivo) e)“Se eu sair, chego tarde. Logo, ...” (Absorção) f) “Se eu sair, então, se for à praia, chego tarde” eqüivale a ... (Exportação−Importação)

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


50

Lógica Matemática


51

Lógica Matemática

Algebra das proposições

7.1.

Propriedade da Conjunção

a) Propriedade Idempotente p ∧ p ⇔ p

p

p ∧ p

p ∧ p ↔ p

V

V

V

F

F

V

b) Propriedade Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p

p

q

p ∧q

q ∧ p

p ∧q ↔ q ∧ p

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

c) Propriedade Associativa

( p ∧ q ) ∧ r ⇔ p ∧ ( q ∧ r )

p

q

r

p ∧q

(p ∧q) ∧r

q ∧r

p ∧(q ∧r)

(p ∧q) ∧r ↔ p ∧(q ∧r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

V

V

F

F

V

F

V


52

Lógica Matemática

F

V

F

F

F

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

V

d) Propriedade da Identidade p ∧ l ⇔ p e

p ∧ z ⇔ z

p ∧t ↔ p

p

t

c

p ∧t

p ∧c

V

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

7.2.

p ∧c ↔ c

Propriedade da Disjunção

a) Propriedade Idempotente p ∨ p

⇔

p

p

p p

V

V

V

F

F

V

p p

p

b) Propriedade Comutativa p ∨ q

⇔

q ∨ p

p

q

p q

q p

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V


p q

q p

53

Lógica Matemática

c) Propriedade Associativa

( p ∨ q ) ∨ r ⇔ p ∨ ( q ∨ r ) p

q

r

p q

(p q) r

q r

p (q r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

V

(p q) r

p (q r)

d) Propriedade da Identidade p ∨ l ⇔ l e p ∨ z ⇔ p

p t

p

p

t

c

p t

p c

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

7.3.

p c

c

Propriedades da Conjunção e da disjunção

a) Propriedade Distributiva (i) p ∧ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) p

q

r

q r

p (q r)

p q

p r

(p q) (p r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V


54

Lógica Matemática V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

F

(ii) p ∨ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r ) p

q

r

q r

p (q r)

p q

p r

(p q) (p r)

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

F

F

F

F

F

F

b) Propriedade da Absorção (i) p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p p

q

p q

p (p q)

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V


p (p q)

p

55

Lógica Matemática (ii) p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p p

q

p q

p (p q)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

p (p q)

p

c) Regras De Morgan (i)

~ ( p ∧ q ) ⇔ ~ p∨ ~ q

p

q

p q

~ (p q)

~p

~q

~p ~q

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

(ii)

~ ( p ∨ q ) ⇔ ~ p ∧ ~ q

p

q

V

V

V

7.4.

~p

~p q

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

p

q

Negação da Condicional

Como vimos em capítulos anteriores

p

→

q

⇔

~

p ∨ q

, obtemos

~ ( p → q ) ⇔ ~ ( ~ p ∨ q ) ⇔ ~~ p ∧ ~ q que nos leva a concluir que CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

56

Lógica Matemática

~ ( p → q ) ⇔ p ∧ ~ q

7.5.

Negação da Bicondicional

Como vimos em capítulos anteriores p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p ) , obtemos p ↔ q ⇔ ( ~ p ∨ q ) ∧ ( ~ q ∨ p ) , que nos leva a concluir que

~ ( p ↔ q ) ⇔ ~ ( ~ p ∨ q ) ∨ ~ ( ~ q ∨ p) ~ ( p ↔ q) ⇔ ( ~~ p ∧ ~ q ) ∨ ( ~~ q ∧ ~ p) Finalmente, temos

~ ( p ↔ q ) ⇔ ( p ∧ ~ q ) ∨ ( ~ p ∧ q) A bicondicional p ↔ q possui as propriedades comutativa e associativa, mas não possui a propriedade da idempotente, pois são distintas as tabelas verdades das proposições p e p ↔ p .

Atividades

1. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições a) ~p ∨(q ∨ p) b) ~p ∧(q ∧ p) c) ~p ∨(q ∧ p) d) ~p ∧(q ∨ p) e) ~p → (q ∧ p) f) p → (~q ∨ p) g) p → (~q → p) h) (p → q) ∧(~p → q) i) (p → q) ∨(~p → q) j) (p ↔ q) ∧(~q → p) k) ~(p ∧q) → ~(p ∨q) l) ~(p ∧q) ↔ ~(p ∨q) m) ~p ↔ (p → (q ∧~p)) o) p → ~(p → ~(q → ~p)). p) ~(~p ↔ q).


57

Lógica Matemática 2. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições a) ~(p ∧q) b) ~p ∨~q. Que conclusão pode-se tirar a respeito das duas proposições. 3. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições a) ~(p ∨q) b) ~p ∧~q. Que conclusão pode-se tirar a respeito das duas proposições. 4. A partir das conclusões tiradas nos exercícios 2 e 3, negue as proposições: a) Julieta é bonita e Julieta é estudiosa. b) Julieta é bonita ou Julieta é estudiosa. c) Julieta não é bonita e Julieta não é estudiosa. d) Julieta não é bonita ou Julieta não é estudiosa. e) Julieta não é bonita ou Julieta é estudiosa. f) Julieta é bonita e Julieta não é estudiosa. g) Julieta é bonita ou Julieta não é estudiosa. 5. Construa as tabelas verdade das seguintes proposições. a) ~(~p → q) ∨(r ∧s). b)~(p∧q)→~(r ∨q). c) ~(p ∧q) → ~((p ∨~r) ∧(~q ∧s)). d) ~(p ∧q) ↔ ~((p ∨~r) ∧(~q ∨s)). 6. Considere as proposições p, q, r, s tais que V(p) = V(s) = F e V(q) = V(r) = V. Determine o valor lógico das seguintes proposições compostas: a) ~p↔(q∨ p) b) ~(p ∧q) → ~(p ∨~r) c) ~(p ∨q) ↔ ((p ∧~r) → (~q ∧s)). 7. Considere as proposições p: A lua tem luz própria; q: O Ifes ministra curso superior; r: Pedro Álvares Cabral descobriu o Brasil; s: Santos Dumont inventou a lâmpada. Determine o valor lógico das proposições: a) (p ∨q) → (r ∧s). b) (p → q) ∨(r ∨s). c) ~(p ∨q) ↔ ((p ∧~r) → (~q ∧s)). d) ~(p ∧q) → ~(p ∨~r) ∧(~q ∧s) e) ~(s ∨q) → ~(p ∧~r). 8. Escreva as proposições sob forma simbólica, construa a tabela verdade e, a partir do resultado encontrado decida o que Antônio deve fazer. a) Antônio irá passear se e somente se Carlos for jogar futebol e Marina for assistir televisão. b) Marina irá assistir televisão se Luis ou Paula trouxer um filme romântico. c) Paulo irá trazer o filme, mas Carlos não vai jogar futebol.


58

Lógica Matemática __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Método Dedutivo

Prezado aluno, Em nosso estudo de implicações e equivalências lógicas, utilizamos o dispositivo das tabelas-verdades, mas temos uma outra alternativa de trabalho o conhecido método dedutivo. O método dedutivo surgiu na Grécia antiga, com o silogismo do filósofo Aristóteles. Entretanto, é importante frisar que a dedução (e, conseqüentemente, o método dedutivo) não oferece conhecimento novo, uma vez que sempre conduz à particularidade de uma lei geral previamente conhecida. A dedução apenas organiza e especifica o conhecimento que já se possui. Ela tem como ponto de partida o plano do inteligível (ou seja: da verdade geral, já estabelecida) e converge para um ponto interior deste plano. O método dedutivo se tornou popular principalmente com as publicações das obras de Sir Arthur Conan Doyle, criador do célebre Sherlock Holmes. Doyle demonstrou que toda dedução lógica, uma vez explicada, torna-se "infantil", pois a conclusão provoca espanto e admiração apenas enquanto os passos de seu desenvolvimento investigativo ainda são desconhecidos. Bom estudo!


59

Lógica Matemática

8.1.

Motivação

Neste capítulo demonstraremos nossas equivalências e implicações lógicas utilizando o método dedutivo, considerada uma ferramenta muito mais sofisticada se comparada com as tabelas-verdade. Basicamente o método consiste em substituir proposições simples verdadeiras (p,q,r e t) por proposições compostas tautológicas (P,Q,R e T) e a proposição simples falsa (c) por uma proposição composta contraditória (C).

8.2.

Redução do número de conectivos

Arthur Conan Doyle (1859 - 1930)

Pelo princípio da substituição, toda fórmula proposicional é logicamente a uma fórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∨ , apenas. p ∧ q ⇔ ~ ( ~ p∨ ~ q ) p

→

q

⇔

~

p ∨ q

p ↔ q ⇔ ~ ( ~ p∨ ~ q ) ∨ ~ ( p ∨ q )

Pelo princípio da substituição, toda fórmula proposicional é logicamente a uma fórmula na qual figuram os conectivos ¬ e ∧ , apenas. p ∨ q ⇔ ~ ( ~ p ∧ ~ q ) p → q ⇔ ~ ( p ∧ ~ q ) p ↔ q ⇔ ~ ( p ∧ ~ q ) ∨ ~ ( q ∧ ~ p )

Pelo princípio da substituição, toda fórmula proposicional é logicamente a uma fórmula na qual figuram os conectivos ¬ e → , apenas. p ∨ q

⇔

~

p

→

q

p ∧ q ⇔ ~ ( p →~ q ) p ↔ q ⇔ ~ [ ( p → q ) →~ ( q → p ) ]


60

Lógica Matemática

8.3.

Forma normal das proposições

Dizemos que uma proposição está na forma normal se e somente, quando muito, esta apresenta os conectivos: ~, ∧e ∨. Sempre podemos reescrever uma proposição na forma normal por uma outra equivalente, eliminando os conectivos, → e ↔, caso existam. Existem dois tipos de FN, as conhecidas FNC (Forma Normal Conjuntiva) e FND (Forma Normal Disjuntiva).

8.4.

Forma normal conjuntiva

Na forma normal disjuntiva (FND), os únicos conectivos proposicionais que uma fórmula na FNC pode conter são os operadores e, ou e não. O operador não pode ser usado apenas como parte de um literal, e portanto ele pode aparecer apenas na frente de variáveis proposicionais. Portanto podemos organizar as características da FNC da seguinte forma: a)

Contém quando muito os conectivos : ~, ∨e ∧;

b) Não há repetição do conectivo não (~) assim (~~), incidindo apenas sobre variáveis proposicionais; c)

E ∨, não tem alcance sobre ∧.

Por exemplo, todas as fórmulas seguintes estão na FNC p ∧ q

~ p ∧ ( q ∨ r ) ( p ∨ q ) ∧ ( ~ q ∨ r ∨ ~ t ) ∧ ( t ∨ ~ k ) ( ~ q ∨ r )

Toda fórmula proposicional pode ser convertida para uma fórmula equivalente que está na FNC. Essa transformação é baseada em regras sobre equivalências lógicas: Lei da Dupla Negação, Leis de De Morgan, e a Distributividade.


61

Lógica Matemática Uma vez que todas as fórmulas lógicas clássicas podem ser convertidas em fórmulas equivalentes na forma normal conjuntiva, muitas demonstrações são baseadas na suposição de que todas as fórmulas estão na FNC. Contudo, em alguns casos, essa conversão para FNC pode levar a uma explosão exponencial da fórmula. Por exemplo, traduzindo a seguinte fórmula que não está na FNC para FNC, obtemos uma fórmula com 2 n cláusulas.

Nunca se esqueça:

É tautológica toda a proposição cujos elementos da sua FNC encerram, cada um deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos elementos são todos tautológicos.

8.5.

Forma normal disjuntiva

Uma fórmula lógica é considerada uma FND se, e somente se, fôr uma disjunção de uma ou mais conjunções de um ou mais literais. Como na forma normal conjuntiva (FNC), os únicos operadores proposicionais na FND são e, ou e não. O operador não pode ser usado apenas como parte de um literal, o qual significa que pode apenas preceder uma variável proposicional. Portanto podemos organizar as características da FNC da seguinte forma: a)

Contém quando muito os conectivos : ~, ∨e ∧;

b) Não há repetição do conectivo não (~) assim (~~), incidindo apenas sobre variáveis proposicionais, logo não tendo alcance sobre ∧ e ∨; c)

E ∧, não tem alcance sobre ∨.

A conversão de uma fórmula para FND envolve o uso de equivalências lógicas, tais como eliminação de duplo negativo, Leis de De Morgan, e a distributividade. Note que todas as fórmulas lógicas podem ser convertidas em forma normal disjuntiva. Contudo, em alguns casos, essa conversão para FND pode levar para uma explosão exponencial da fórmula. Por exemplo, na FND, fórmulas lógicas das seguintes formas têm 2n termos.


62

Lógica Matemática Nunca se esqueça:

É Contraválida toda a proposição cujos elementos da sua FND encerram, cada um deles, uma proposição e a sua negação, isto é, cujos elementos são todos contraválidos.

8.6.

Principio de dualidade

Em proposições que utilizam exclusivamente os conectivos : ~, ∨ e ∧, podemos gerar uma nova proposição denominada dual, ao trocar o conectivo ∨ por ∧ou vice-versa. Logo, o principio da dualidade afirma que se temos duas proposições equivalentes P e Q, que utilizam exclusivamente os conectivos : ~, ∨e ∧, serão também equivalentes suas duais P 1 e Q1.

Atividades

1. Demonstre as equivalências e implicações a) p à q ⇔ (p ∧~q) à c b) p à q ⇔ (p ∨q) à q c) (p à q) ∧(p à ~q) ⇔ ~p d) (p ∧q) à r ⇔ p à (q à r) e) (p à r) ∧(q à r) ⇔ (p ∨q) à r f) (p à q) ∨(p à r) ⇔ (p à q) ∨r

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


63

Lógica Matemática

Argumento e regras de inferência

Chegamos num capítulo fantástico. Nele aprenderemos como se estrutura um argumento, quais as relações entre as premissas e a conclusão conhecerão também argumentos básicos que nos auxiliam nas demonstrações de argumentos mais sofisticados. Você conhecerá as regras básicas de inferência, uma alternativa as tabelas-verdades para a validação de argumentos. Bom estudo!

9.1.

Definição de argumento

Um argumento é, citando a esquete de Monty Python, "uma série conectada de afirmações para estabelecer uma proposição definida". Existem muitos tipos de argumentos; nós iremos discutir o argumento dedutivo. Argumentos dedutivos são geralmente vistos como os mais precisos e mais persuasivos; eles provêm prova conclusiva para suas conclusões, e são ou válidos ou inválidos. Argumentos dedutivos têm três estágios: premissas, inferência, e conclusão. Chamamos de Silogismo o argumento que consiste de duas premissas e uma única conclusão. Este caso especial foi formulado num tratado chamado Primeiros Analíticos, do grande sábio Aristóteles.


64

Lógica Matemática

9.2.

Validade de um argumento

Dizemos que um argumento é valido, se e somente se, sua conclusão for verdadeira, onde todas suas premissas também são verdadeiras Tais propriedades são validas e aplicáveis a qualquer argumento: a) A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento não valido é chamado de sofisma ou falácia

b) As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo menos, admitidas como verdadeiras. Lembre-se que lógica preocupa-se apenas com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade de premissas ou conclusões. c) A validade do argumento está atrelada exclusivamente na relação premissa e conclusão, ou seja, quando afirmamos que um argumento é válido se torna impossível obtermos uma conclusão falsa a partir de premissas verdadeiras.

9.3.

Critério de Validade de um argumento

Muitas vezes precisamos avaliar um argumento de forma mais aprofundada, mas nos deparamos com a seguinte pergunta: O que significa dizer que um argumento é válido? Somos tentados, em primeiro momento, a dizer que um argumento é válido se a conclusão é conseqüência lógica das premissas. No entanto, essa definição é inadequada, pois apenas substitui o conceito de validade pelo de conseqüência lógica. Considere agora um argumento parecido com o primeiro exemplo da lista da seção anterior. Todo homem é mentiroso. Sócrates é homem. Logo, Sócrates é mentiroso. Nosso primeiro impulso é considerar o argumento acima como inválido pois contém uma premissa que é simplesmente falsa (não é verdade que todo homem seja mentiroso). No entanto, o que aconteceria se admitíssemos que as premissas são ambas verdadeiras, isto é, que todos os homens são mentirosos e que Sócrates é homem? Nesse caso, somos forçados a admitir que Sócrates é mentiroso.


65

Lógica Matemática É precisamente esse raciocínio que nos leva à noção de argumento válido ou de conseqüência lógica. Repare que ambos os argumentos sobre Sócrates tem a mesma forma lógica expressa por: Todo h é m. s é h. Logo, s é m. Sendo que estamos substituindo cada sentença por uma letra, ou seja, fazemos as seguintes substituições: h: classe dos homens. m: classe dos mentirosos. s: refere-se a um homem. (é um objeto de uma classe) Qualquer argumento que tenha essa forma é válido, independentemente do que sejam as classes h e m e o objeto s. Pois se todos os objetos de classe h são objetos da classe m e se s é um objeto de h, então sabemos que s é um objeto de m também. Somos, assim, levados à seguinte definição de argumento válido: Um argumento é válido se toda situação que torne as premissas verdadeiras torne também a conclusão verdadeira. Ou, de outro modo, um argumento é válido se não existe situação que torne as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

9.4.

Condicional associado a um argumento

Na Lógica Simbólica, a estrutura que melhor representa um argumento, é a operação de condicionamento: um argumento é, portanto, uma condicional da forma P 1 ∧ P 2 ∧ ... ∧ P n → Q

A validade do argumento depende exclusivamente do relacionamento lógico entre as premissas e a conclusão; isto é, não é ocupação da Lógica verificar se as premissas são verdadeiras. O objetivo da Lógica é verificar se, , o argumento é estruturado de forma tal que, independentemente dos valores lógicos das proposições simples envolvidas, a veracidade das premissas implica na veracidade da conclusão. Em termos lógicos, isso significa dizer que se um argumento é válido, então a condicional que o representa é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições componentes. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

66

Lógica Matemática Em outras palavras, se um argumento é válido, a condicional que o representa é uma tautologia.

9.5.

Argumentos válidos fundamentais 9.5.1.

Adição

9.5.2.

Simplificação

9.5.3.

Conjunção

9.5.4.

Absorção

9.5.5.

Modus Ponens (MP)

9.5.6.

Modus Tollens (MT)

p⊢p∨q; p⊢q∨ p

p∧q⊢p; p∧q⊢q;

p¸q⊢p∧q; p¸q⊢q∧ p;

p→q⊢p→(p∧q)

p→q¸p⊢q

p→q¸ q⊢∼p ∼


67

Lógica Matemática 9.5.7.

Silogismo Disjuntivo (SD)

9.5.8.

Silogismo Hipotético (SH)

9.5.9.

Dilema Construtivo (DC)

9.5.10.

Dilema Destrutivo (DD)

p∨q¸ p⊢q; ∼

p∨q¸ q⊢p. ∼

p→q¸q→r⊢p→r

p→q¸r→s¸p∨r⊢q∨s

p→q¸r→s¸ q∨ s⊢∼p∨ r ∼

9.6.

∼

∼

Regras de inferência

Uma propriedade desejável de uma regra de inferência é que esta seja efetiva, isto é, existe um procedimento efetivo para determinar se uma dada fórmula é inferível de um dado conjunto de fórmulas. Regras de inferência têm as seguintes características: a)

Se a Hipótese for verdadeira, então a Conclusão é verdadeira

b) Verificação de tipos é baseada em inferência. Se E1 e E2 tem certos tipos, então E3 tem um certo tipo. c) Regras de inferência são uma notação compacta para comandos de implementação. d) Inicia-se com um sistema simplificado de regras ao qual adiciona-se novas características gradualmente e)

As premissas são regras sem hipóteses

Uma regra de inferência não precisa preservar qualquer propriedade semântica como verdadeira, já que não existe nenhuma regra que garanta que uma caracterização lógica sintática tenha uma semântica. Uma regra pode preservar, por exemplo, a propriedade da conjunção CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

68

Lógica Matemática de uma sub-fórmula da uma fórmula mais extensa do conjunto de premissas. Os dez argumentos listados na seção anterior são utilizados para realizar as etapas envolvidas em uma demonstração ou dedução, ou seja, utilizamos os argumentos para realização de inferências. È comum representarmos estas regras de inferência colocando as premissas sobre, e a conclusão sob o traço horizontal, como você verá em todas as regras abaixo:

(i)

p p ∨ q

(ii)

p q ∨ p

(i)

p ∧ q p

(ii)

p ∧ q q

9.6.1.

Regra da Adição (AD)

9.6.2.

Regra da Simplificação (SIMP)

9.6.3.

Regra da Conjunção (CONJ)

9.6.4.

Regra da Absorção (ABS)

p (i) q p ∧ q p (ii) q q ∧ p

p → q p → ( p ∧ q )


69


Regra Modus Ponens (MP)

9.6.6.

Regra Modus Tollens (MT)

9.6.7.

Regra do Silogismo Disjuntivo (SD)

9.6.8.

Regra do Silogismo Hipotético (SH)

9.6.9.

Regra do Dilema Construtivo (DC)

p → q p q

p → q ~q ~ p

p ∨ q (i) ~ p q p ∨ q (ii) ~ q p

p → q q → r p → r

p → q r → s p ∨ r q ∨ s


70


Regra do Dilema Destrutivo (DD):

p → q r → s ~ q ∨ ~ s ~ p∨ ~ r

9.7.

Exemplos do uso das regras de inferência

1º Exemplo - O Sr. Silva foi obrigado a comparecer no Tribunal, porque foi acusado de

cometer uma infracção de trânsito que, na verdade, não cometera. O juiz perguntou-lhe se ele se considerava inocente ou culpado. Dilema: Ou se considera inocente ou culpado. Se se proclama culpado, deverá pagar multa por uma infracção que não cometeu. Se se declara inocente, precisará de passar o dia no tribunal. Logo, ou paga a multa ou passa o dia no tribunal. 2º Exemplo - Deverá o aluno pagar ao seu mestre? Vamos a tribunal, propôs o mestre, e, se eu perder, não pagas as lições. Dilema posto pelo aluno de retórica: Ou ganho ou perco a causa. Se ganhar, não pago as lições (porque é essa a decisão do Tribunal). Se perder, não pago as lições (porque é esse o nosso acordo) Logo, não pago. E o professor retorquiu com este dilema: Ou ganho ou perco a causa. Se ganhares, pagar-me-ás (porque é esse o nosso contrato) Se perderes, pagar-me-ás (porque é essa a decisão do tribunal). Logo, tereis que pagar-me. 3º Exemplo - Defesa aristotélica da Filosofia Dilema:

Ou a filosofa vale ou não vale a pena. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

71

Lógica Matemática

Se vale a pena tereis que filosofar. Se não vale, tereis igualmente que filosofar. Logo, tereis sempre que filosofar. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


72

Lógica Matemática

Validade

Prezado aluno, A validade de um argumento pode ser avaliada de duas formas, por tabelas verdades ou regras de inferência. Inicialmente é natural acharmos as tabelas verdades uma forma mais agradável, pois estamos às utilizando por alguns capítulos, mais a avaliação da validade por regras de inferência constitui um método matematicamente elegante. Bom estudo!

10.1. Validade mediante Tabelas-Verdades Na prática o procedimento se torna muito simples basta procurarmos na tabela já construída quais linhas que possuem as colunas das premissas todas verdadeiras, está pela definição de validade tem que apresentar a coluna da conclusão também verdadeira, para o argumento ser válido. 10.1.1.

Motivação

Exemplos: Teste se é valido o argumento: p∨q, ¬ p

q

p

q

p∨q

¬ p

V

V

V

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

O Argumento é válido, ou seja, na linha 3 onde todas as premissas são verdadeiras temos uma conclusão também verdadeira. Esse exemplo simples mostra como que a única linha que importa é a linha que possui todas as premissas verdadeiras, quando testamos a validade de um argumento através de tabelas-verdades. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

73

Lógica Matemática Vamos testar mais um argumento juntos

p→q, q

p

p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

O argumento acima não é válido, pois na terceira linha temos todas as premissas verdadeiras, mas uma conclusão falsa. 10.1.2.

Prova de não-validade

Até agora para verificar se um argumento era um sofisma (argumento não válido), procedíamos da mesma forma de quando procuramos provar sua validade, ou seja, construindo a tabela verdade por completo. A idéia dessa seção é quando possível encontrar as atribuições dos valores lógicos sem a construção total da tabela. Um argumento é inválido quando: • existe pelo menos um conjunto de valores para as proposições simples que tornam as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

10.2. Validade mediante regras de inferência Como vimos na seção anterior avaliar a validade de um argumento através de tabelas verdade, não é um tarefa tão complexa, principalmente quando manipulamos um número pequeno de premissas. Quando o número de premissas aumenta, torna-se inviável, provarmos a validade de um argumento com o uso de tabelas verdade. Veja, se temos 7 premissas envolvidas no argumento nossa tabela terá 27 linhas, ou seja, 128 linhas em sua construção, ou seja, nada funcional. Uma alternativa é verificar a validade através das regras de inferência, já listadas em capítulos anteriores. CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática Exemplo: Vamos demonstrar a validade do argumento abaixo (p → q) ∧ p → q que nada mais é do que a regra de inferência conhecida por Modus Ponens. Enumerando as proposições do conjunto P, temos: (1) (2)

p →q p

Como sabemos que p → q é equivalente a ¬ p ∨ q (Lei da Condicional), incluímos em P a proposição: (3)

¬ p ∨q

A conjunção das expressões (2) e (3) produz a expressão (4)

p ∧( ¬ p ∨q)

também incluída em P. Utilizando a Lei de Distributividade nesta expressão obtemos (5)

( p ∧¬ p ) ∨( p ∧q )

Mas p ∧ ¬ p é equivalente a F, uma contradição, e F ∨ ( p ∧ q ) é equivalente a p ∧q; logo, podemos incluir em P a expressão (6)

p ∧q

Finalmente, pela Regra da Simplificação, p ∧q ⇒ q, o que nos permite incluir em P a expressão (7)

q

o que completa a demonstração.


75

Lógica Matemática

10.3. Validade mediante regras de inferência e equivalência 10.3.1.

Regra de Substituição

Quando tentamos provar a validade de alguns argumentos utilizando regras de inferência, nos deparamos com situações as regras de inferência por si só são insuficientes para demonstração da validade do argumento, então é comum lançarmos das regras de equivalência para trocar a proposição ou partes dela por proposições equivalentes, esse artifício adicional é conhecido como regra da substituição. 10.3.2.

Equivalências Notáveis

Com o intuito de ajudar na utilização da “Regra de substituição” apresentada acima vamos listar dez regras de equivalência: a) Idempotência (ID):

(i)

p

⇔

p ∧ p

;

(ii) p ⇔ p ∨ p b) Comutação (COM):

(i) p ∧ q ⇔ q ∧ p (ii)

p ∨ q

⇔

q∨ p

c) Associação (ASSOC): (i) p ∧ ( q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q ) ∧ r

(ii) p ∨ ( q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q ) ∨ r d) Distribuição (DIST) (ι) p ∧ ( q ∨ r )

⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r )

(ιι) p ∨ ( q ∧ r )

⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r )

e) Dupla Negação (DN) p

⇔

~~

p

f) De Morgan (DM)


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Lógica Matemática (i) ~ ( p ∧ q ) ⇔ ~ p ∨ ~ q (ii) ~ ( p ∨ q ) ⇔ ~ p ∧ ~ q g) Condicional (COND) p

→

q

⇔

~

p ∨ q

h) Bicondicional (BICOND)

(i)

p ↔ q ⇔ ( p → q ) ∧ ( q → p )

(ii)

p ↔ q ⇔ ( p ∧ q ) ∨ ( ~ p ∧ ~ q )

i) Contraposição (CP)

p → q ⇔ ~ q →~ p j) Exportação-Importação (EI)

p ∧ q → r ⇔ p → ( q → r )

Veja abaixo alguns exemplos de argumentos validados sem o uso de tabelas verdades

a)

p→ ~q, q, ~p→ r ∧s

1 p→ ~q 2 q 3 ~p→ r ∧s _________ 4 ~ ~q → ~p 5 ~~q 6 ~p 7 r^s

b)

I  r ∧s

(1) CP (2) DN (4,5) MP (3,6) MP

p → q, ~p → ~~r, ~q I  r

1 p→ q 2 ~p → ~~r 3 ~q _______________ 4 ~p (1,3) MT 5 ~~r (2,4) MP 6 r (5) DN


77

Lógica Matemática c)

p → ~r, q → r, q

I  ~p

1 p → ~r 2 q → r 3 q _________________ 4 ~~r →~p (1) CP 5 r (2,3) MP 6 ~~r (5) DN 7 ~p (4,6) MP

d)

~ p→ ~q, ~q → ~r, r

1 2 3

~p → ~q ~q → ~r r ________________ ~ p → ~r (1,2) SH ~~p (3,4) MT p (5) DN

4 5 6

e) 1 2 3

I  p

~p v q, ~p → r, ~r I  q

4 5 6

~p v q ~p → r ~r _______________ pvr (2) COND p (3,4) SD q (1,5) SD

f)

r → p v q , ~~r, ~q

1 2 3

r → p v q ~~ r ~q ________________ ~r v (p v q) pvq p

4 5 6

I  p

(1) COND (2,4) SD (3,5) SD

g) ~ p ∨ q 1 ~q 2 ~ (q ∧ r ) → p 3 _______________________________ p → q 4 1 EL CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

78

Lógica Matemática

~ p ~~ (q ∧ r ) q ∧ r

5 6 7 8

r

2 e 4 MT 3 e 5 MT 6 EL 7S

h) p 1 ~ q →~ p 2 _________________________________ q 3 1 e 2 MT ∨ ~ q s 4 3 Ad i) ~ p → q 1 q → r 2 ~ r 3 _________________________________ ~ p → r 4 1 e 2 SI p 5 3 e 4 MT j) p → q 1 ~q 2 ~ p → r 3 ____________________________________ ~p 4 1 e 2 MT r 5 3 e 4 MP ~~ r 6 5 EL k) ~ p →~ q 1 q 2 _________________________ p 3 1 e 2 MP l) p ∨ q 1 ~q 2 p → r ∧ s 3 ___________________________ p 4 1 e 2 SD r ∧ s 5 3 e 4 MP s ∧ r 6 5 EL m)

(r ∧ ~t) → ~s p → s p ∧q ____________________________ 4. ~(r ∧~t) v ~s (1) COND

1. 2. 3.


79

Lógica Matemática 5. p 6. s 7. ~~s 8. ~(r ∧~t) n)

(3) SIMP (2,5) MP (6) DN (14,7) DN

(r ∧s) v p q → ~p t → ~p q ∨t ~q ∨~p (2) ________________________________ (2) CP 6. p → ~q (3,6,5) DD 7. ~t ∨~p 8. (~q ∨~p) ^ (~t ∨~p) (7,5) AD (8) DIST 9. ~p ∧(~q ∨~t) 10. ~p (16) SIMP (1,10) SD 11. r ∧s

1. 2. 3. 4. 5.

o) ~p ∨~q ~r → p r → ~s 4. s _____________________________ 5. ~~s (4) DN 6. ~r (3,5) MT 7. p (2,6) MP 8. ~~p (7) DN 9. ~q (1,8) SD

1. 2. 3.

p)

p → q ∨r 2. ~~p 3. ~r __________________________ (1,2) MP 4. (q ∨r) 5. ~r ∨q (5) COND 6. r → q 7. q (4,3) SD

1.

q)

r → p ∧~q r ∨~s s 4. ~~s 5. r 6. p ∧~q 7. ~q ∧p

1. 2. 3.

(3) DN (2,4) SD (1,5) MP (6) COM


80

Lógica Matemática r) ~(p ∧ q) ~q → r ~p → r s → ~r _____________________ 5. ~(p ∧ q) ∨~s (1) AD (1,5) SD 6. ~s

1. 2. 3. 4.

s) | ~(r ∨ s) 1 p ∧~q 2 p à ~r 3 q ∨~s ----------------------------------4 p (1) SIMP 5 ~q (1) SIMP 6 ~r (2,4)MP 7 ~s (3,5)SD 8 ~r ∧~s (6,7)CONJ 9 ~(r ∨s) (8)DM

t) 1 ~s à ~(p ∨~t) | r ∧q 2 t à q ∧r 3 ~s ---------------------------------------4 ~(p ∨~t) (3,1) MP 5 ~p ∧~~t (4)DM 6 ~p ∧t (5)DN 7 t (6)SIMP 8 q ∧r (7,2)MP 9 r ∧q (8)COMUT

u) 1 ~p à q | s 2 r à q 3 r ∨~p 4 ~q ∨s --------------------------5 6 7 8

v) 1 t à p ∧s | ~t 2 q à ~p 3 r à ~s 4 r ∨q --------------------------------------5 q ∨r (4)COMUT 6 ~p ∨~s (2,3,5)DC 7 ~(p ∧s) (6)DM 8 ~t (7,1)MT

w) | ~p 1 r à ~p 2 (r ∧s) ∨t 3 t à q ∨u 4 ~q ∧~u ---------------------------------5 ~(q ∨u) (4)DM 6 ~t (5,3)MT 7 r ∧s (6,2)SD 8 r (7)SIMP 9 ~p (8,1)MP

x) | r ∧q 1 p ∨q 2 s à q ∧r 3 pàs 4 qàs ----------------------------------------5 q ∨ p (1)COM 6 ~~q ∨ p (5)DN 7 ~q à p (6)COND 8 ~q à s (7,4)SH 9 ~q à (q ∧r) (8,2)SH 10 ~~q ∨(q ∧r) (9)COND 11 q ∨(q ∧r) (10)DN


81

Lógica Matemática 12 13 14 15

(q ∨q) ∧(q ∨r) (11)DIST q ∨q (12)SIMP q (13)ID

y) ~(p ~r), p q, r→s, q s → t s ├− s t (1) ~ (p ~r) (2) p q (3) r → s (4) q s → t s -------------------s t (5) ~ p r DM(1) (6) r SIMP(5) (7) s MP (3,6) (8) ~ p SIMP (5) (9) q SD(2,8) (10) q s CONJ (9,7) (11) t s MP (4,10) (12) s t COM(11) z) p → q, q → r ├− ~ p r (1) p → q (2) q → r -----------~ p r (3) p → r (4) ~ p r

SH(1,2) COND(3)

10.3.3.

Inconsistência

Quando temos duas proposições que não podem ser simultaneamente verdadeiras, a nomeamos como inconsistentes, logo formando um conjunto de proposições inconsistentes. Logo um argumento é inconsistente quando suas premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras.


82

Lógica Matemática


83

Lógica Matemática

Atividades

1- Testar a validade do argumento: p→q,¬ p

¬q

2- Verificar se é válido o argumento: Se 2 não é primo, então, 3 não é impar. Mas, 2 é primo. Logo, 3 é impar. 3- Verifique se é válido o seguinte silogismo: Se uma mulher é feia, ela é infeliz Se uma mulher é infeliz, ela não casa. Logo, mulheres feias não casam. 4- Verificar se é válido o argumento: Se 13 é primo, então, 13 não divide 91. 13 divide 91. Logo, 13 não é primo. 5- Teste a validade do argumento abaixo: Se Catarina se retira do concurso, então Carla será nomeada ou Edgar ficará desapontado. Carla não será nomeada. Portanto, se Catarina se retira do concurso, então Edgar ficará desapontado. 6- Teste a validade do argumento: Se trabalho, não posso estudar. Trabalho ou serei aprovado em Lógica Matemática. Trabalhei. Logo, fui reprovado em Lógica Matemática. 7- Se Ronaldo comer camarão, ele ficará feliz. Ronaldo comeu camarão. Podemos concluir que Ronaldo está feliz. 8- Verifique se os conjuntos de proposições abaixo são consistentes ou inconsistentes a)

b)

c)

d)

¬ ( p ∨¬ q) p ∨¬ r q → r ¬ p ∨¬ q p ∧s ¬ s ∨r r → r ∧q q →p ¬ (p ∨r) q ∨r p ∨¬ q ¬ (q → r)


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Lógica Matemática

Demonstração Condicional e demonstração indireta

Prezado aluno, Neste capítulo veremos as três formas de demonstração em matemática a demonstração Condicional, também conhecida como direta e a demonstração indireta, também conhecida como redução ao absurdo ou método da contradição e por último veremos o método da indução infinita. Bom estudo!

11.1. Demonstração Condicional Grande parte das proposições que manipulamos em matemática é da forma p ⇒ q ou p ⇔ q , ou seja, implicações e bicondicionais. Sabendo que a bicondicional p ⇔ q é equivalente à ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p ) , vamos considerar apenas o caso das implicações. Veja o exemplo abaixo: Se n é impar então n2 é impar. Perceba que este teorema tem o formato p ⇒ q onde p: n é impar e q: n2 é impar. A proposição p chamamos de hipótese e q é a conclusão ou tese. Podemos numerar em três os casos onde a proposição p ⇒ q será verdadeira, quando: a)

p e q são ambas verdadeiras;

b)

p é falsa e q é verdadeira;

c)

p e q são falsas.

A proposição p é falsa, independente do valor-verdade de q, a proposição p ⇒ q será verdadeira. Logo nos concentraremos apenas na situação que p é verdadeira. Neste caso, p ⇒ q será verdadeira apenas quando q for verdadeira. Concluímos com o exemplo acima que para demonstrar que p ⇒ q é verdadeira, basta assumir que p é verdadeira e, sob esta condição, mostrar que q é verdadeira.


85

Lógica Matemática

11.2. Demonstração Indireta A demonstração indireta é também conhecida como método da contradição ou método da redução ao absurdo ( do latim, reductio ad absurdum) que possui como base a idéia que a implicação p ⇒ q é falsa somente no caso em que p é verdadeira e q é falsa. O método da redução ao absurdo é uma ferramenta fantástica nas demonstrações, embora gera uma sensação maior de insegurança se comparado a demonstração condicional onde era claro onde deveríamos iniciar e encerrar a demonstração e agora não conhecemos antecipadamente qual é nossa contradição. Vamos utilizar como exemplo uma demonstração presente nos Primeiros Analíticos, que é uma das obras do Organum, do sábio Aristóteles. Se x ∈ R é um número real tal que x 2 = 2, então x não é racional. Sabemos que um número real r ∈ R é denominado racional se pode a ser escrito na forma x = , onde a e b são inteiros. b A hipótese p é x 2 = 2 A conclusão q é x não é racional. Vamos iniciar considerando que p ∧ ( ~ q ) , ou seja vamos tomar que a x 2 = 2 e que existam inteiros a e b, tal que x = . A idéia central b desta forma de demonstração é incluir informações conhecidas para encontrarmos a contradição. Sempre trabalhamos com frações irredutíveis, ou seja, quando o numerador e o denominador são números primos entre si logo o m.d.c(a,b)=1. Então vamos supor que os divisores de a e b foram simplificados. a2 Então ficamos com a expressão x = 2 = 2 que nos oferece que b 2 2 a = 2b , nos levando a concluir que a 2 é par, logo a é par, ou seja, a = 2t, para algum inteiro t. 2

Vamos agora usar a 2 = ( 2t ) 2 = 4t 2 = 2b 2 , logo b 2 = 2t 2 . Observe que mais uma vez tomar b 2 par implica b é par. Finalizamos lembrando que iniciamos a demonstração aceitando a e b primos entre si, ou a e b possuem apenas o divisor universal “1”, em CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

86

Lógica Matemática comum, embora acabamos de concluir que a e b são pares, logo divisíveis por 2. Chegamos a contradição e a demonstração do teorema.

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


87

Lógica Matemática

Sentenças abertas

Prezado aluno, Neste capítulo veremos as três formas de demonstração em matemática a demonstração Condicional, também conhecida como direta e a demonstração indireta, também conhecida como redução ao absurdo ou método da contradição e por último veremos o método da indução infinita. Bom estudo!

12.1. Sentenças abertas com uma variável Denominamos sentença aberta de uma variável no conjunto S, a expressão f(x) em que f(s) é falsa ou verdadeira para todo s que pertença a S. Ou, seja, sempre que substituímos um elemento do conjunto S em f(x), ela se transforma em uma sentença aberta, onde podemos avaliar que esta é verdadeira ou falsa. É comum quando f(s) é verdadeira, dizermos que s verifica ou satisfaz f(x). Exemplos: a)

X é um primo de Germain;

b)

X é divisor de 7;

c)

X é um número perfeito;

d)

X é um número irracional.

12.2. Conjunto-Verdade de uma sentença aberta com uma variável Chamamos de conjunto verdade, o conjunto dos elementos de S, que tornam f(x) verdadeira. Que simbolizamos por CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

88

Lógica Matemática V f = { x / x ∈ A ∧ f ( x)}

12.3.

Sentença aberta com duas variáveis

Chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto a ou apenas sentença aberta em A, uma expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo a ∈ A. O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo ou apenas universo (ou ainda domínio) da variável x. Qualquer elemento a ∈ A diz-se um valor da variável x. Se a ∈ A é tal que p(a) é uma proposição verdadeira (V), diz-se que a satisfaz ou verifica p(x). Uma sentença aberta com uma variável em A também se chama função proposicional com uma variável em A ou simplesmente função proposicional em A (ou ainda condição em A). Exemplos: São sentenças abertas em N = {1, 2, 3, ..., n, ... } (conjunto dos números naturais) as seguintes expressões: a) x + 1 > 8 b) x + 5 = 9 c) x2 - 5x + 6 = 0 d) x é primo e) x é divisor de 10 f) x é múltiplo de 3

12.4. Conjunto-Verdade de uma sentença aberta com duas variáveis Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x, y) em A x B, o conjunto de todos os elementos (a, b) ∈ A x B tais que p(a, b) é uma proposição verdadeira (V). Este conjunto representa-se por Vp. Portanto, simbolicamente temos:

Vp = { (x, y) | x ∈ A ∧y∈ B∧ p(x, y) é V}

Ou seja,


89

Lógica Matemática Vp = { (x, y) ∈ A x B | p(x, y) }

O conjunto-verdade Vp de uma sentença aberta p(x, y) em A x B é sempre um subconjunto do conjunto A x B (Vp∈ A x B).

12.5. Sentenças Abertas com n variáveis Consideremos os n conjuntos A1, A2, . . . , An e o seu produto cartesiano A1 x A2 x . . . x An.

Definição:

Chama-se sentença aberta com n variáveis em A1 x A2 x . . . x An uma expressão p(x1, x2, ..., xn) tal que p(a1, a2, ..., an) é falsa (F) ou verdadeira (V) para toda n-upla (a1, a2, ..., an) ∈ A1 x A2 x . . . x An.

12.6. Conjunto-Verdade de uma sentença aberta com n variáveis Chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x1, x2, ..., xn) em A1 x A2 x . . . x An o conjunto de todas as n-uplas (a1, a2, ..., an) ∈ A1 x A2 x . . . x An tais que p(a1, a2, ..., an) é uma proposição verdadeira (V). Portanto, simbolicamente temos:

Vp = { (x1, x2, ..., xn) | x1 ∈ A1 ∧x2∈ A2∧ ... ∧xn∈ An ∧ p(x1, x2, ..., xn) }

Ou seja,

Vp = {(x1, x2, ..., xn) ∈ A1 x A2 ∧... ∧x An | p(x1, x2, ..., xn) } CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

90

Lógica Matemática

Atividades

1) Determinar o conjunto-verdade em Z de cada uma das seguintes sentenças abertas. a) x2 - 9 = 0 b) 3x2 - 12 = 0 c) x2 - x - 12 = 0 d) x2 <= 3 e) 2x2 + 5x = 0

2) Determinar o conjunto verdade da sentença aberta "x + y > 5" em A x B, sendo A = { 1, 3, 4 } e B = { 2, 3, 5 }

3) Dados os conjuntos A = { 2, 3, 5 } e B = { 3, 6, 8, 11 }, determinar o conjunto verdade da sentença aberta "x | y" (x divide y) em A x B.

4) Determinar o conjunto verdade da sentença aberta "x + 3y = 12" em N x N.

5) Determinar o conjunto verdade da sentença aberta "mdc(x, y) = 1"em A x A, sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6 }. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________


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Lógica Matemática

Operações Lógicas sobre sentenças abertas

111

Prezado aluno, Veremos neste capítulo como as operações lógicas apresentadas no capítulo 2 são aplicáveis a sentenças abertas. Bom estudo!

13.1. Conjunção Consideremos as sentenças abertas:


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Lógica Matemática "x é médico", "x é professor" o universo da variável x em cada uma delas é o conjunto H dos seres humanos. Ligando pelos conectivos ^ obtemos uma nova sentença aberta em H: "x é médico ^ x é professor" A conjunção das duas sentenças abertas em R : "x > 2", "x < 8" é a sentença aberta em R : "x > 2 ^ x < 8" O conjunto verdade Vp ^ q da sentença aberta p(x) ^ q(x) em A é a interseção ( ) dos conjuntos verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) e q(x) em A. Temos, pois, simbolicamente: Vp ^ q = Vp ∩ Vq = { x ∈ A | p(x) } ∩ { x ∈ A | q(x) } Exemplificando: Sejam as sentenças abertas em Z: p(x): x2 + x - 2 = 0 q(x): x2 - 4 = 0 Temos: Vp ^ q = Vp ∩ Vq = { x ∈ Z | x2 + x - 2 = 0 } ∩ { x ∈ Z | x2 - 4 = 0 } = { -2, 1 } ∩ { -2, 2 } = { -2 }

13.2. Disjunção Consideremos ainda as sentenças abertas: "x é médico", "x é professor" o universo da variável x em cada uma delas é o conjunto H dos seres humanos. Ligando pelos conectivos v obtemos uma nova sentença aberta em H: "x é médico v x é professor" A conjunção das duas sentenças abertas em R : "x > 2", "x < 8" é a sentença aberta em R : "x > 2 v x < 8" O conjunto verdade Vp v q da sentença aberta p(x) v q(x) em A é a união ( ) dos conjuntos


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Lógica Matemática verdade Vp e Vq das sentenças abertas p(x) e q(x) em A. Temos, pois, simbolicamente: Vp v q = Vp ∪ Vq = { x ∈ A | p(x) } ∪ { x ∈ A | q(x) } Exemplificando: Sejam as sentenças abertas em Z: p(x): x2 + x - 2 = 0 q(x): x2 - 4 = 0 Temos: Vp v q = Vp ∪ Vq = { x ∈ Z | x2 + x - 2 = 0 } ∪ { x ∈ Z | x2 - 4 = 0 } = { -2, 1 } ∪ { -2, 2 } = { -2, 1, 2 }

13.3. Negação Consideremos no universo H dos seres humanos a sentença aberta: "x tem menos de 21 anos" Antepondo a esta sentença aberta o conectivo ~ (não é verdade que), obtemos a nova sentença aberta em H: " ~ x tem menos de 21 anos" É logicamente equivalente à sentença aberta em H: "x tem 21 anos v x tem mais de 21 anos" Portanto, o conjunto verdade V~p da sentença aberta ~p(x) em A é o complemento em relação a A do conjunto-verdade Vp da sentença aberta p(x) em A. Temos, pois, simbolicamente: V~p = CA Vp = CA { x ∈ A | p(x) } Exemplificando, seja A o conjunto dos números naturais divisíveis por 5, isto é, A = {5k | k N } = { 5, 10, 15, 20, ... }. Para a sentença aberta em A: p(x): x termina por 5 temos: V~p = CA Vp = CA { x ∈ A | x termina por 5 } = { x ∈ A | x termina por 0 }


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Lógica Matemática

13..4. Condi 13 ondici cion onal al Consideremos as sentenças abertas em Z: "x2 - 5x + 6 = 0", "x 2 - 9 = 0" Ligando pelo conectivo → obtemos uma nova sentença aberta em Z: "x2 - 5x + 6 = 0 → x2 - 9 = 0" Por ser p(x) q(x) ~p(x) v q(x) (negação do condicional), segue-se o conjunto verdade Vp q da sentença aberta em p(x) q(x) em A coincide com o conjunto-verdade da sentença aberta ~p(x) v q(x) em A e, portanto, é a união ( ) dos conjuntos verdade V~p e Vq das sentenças abertas ~p(x) e q(x) em A. Temos, pois, simbolicamente: Vp → q = V~p ∪ Vq= CA Vp ∪ Vq Ou seja: Vp → q = CA { x ∈ A | p(x) } ∪ { x ∈ A | q(x) } Exemplificando, sejam as sentenças abertas em N: p(x): x | 12, q(x): x | 45 Temos: Vp → q = CN { x ∈ N | x | 12} ∪ { x ∈ A | x | 45} = CN { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } ∪ { 1, 3, 5, 9, 15, 45} = N - { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } ∪ { 1, 3, 5, 9, 15, 45} = N - { 2, 4, 6, 12 }

13..5. Bicon 13 icondi dici cion onal al Consideremos as sentenças abertas em Z: "x > -5", "x < 0" Ligando-as pelo conectivo ↔ obtemos uma nova sentença aberta em Z: "x > -5 ↔ x < 0" (p(x) Por ser p(x) q(x) Vp q da sentença aberta p(x) aberta em A:

q(x)) ^ ((q(x) p(x)), segue-se que o conjunto verdade q(x) em A coincide com o conjunto verdade da sentença

(p(x) → q(x)) ^ (q(x) → p(x)) e, portanto, é a interseção ( ) dos conjuntos-verdade Vp q e Vq em A: p(x) q(x) e q(x) p(x). Temos, pois, simbolicamente:


p

das sentenças abertas

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Lógica Matemática Vp↔q = Vp →q ∩ Vq → p = (V~p ∪ Vq) ∩ (V~q ∪ Vp) = (CA Vp ∪ Vq) ∩ (CA Vq ∪ Vp) Ou seja: Vp↔q = [CA { x ∈ A | p(x) } ∪ { x ∈ A | q(x) ] ∩ = [CA { x ∈ A | q(x) } ∪ { x ∈ A | p(x) ] Exemplificando, sejam as sentenças abertas em N: p(x): x | 6, q(x): x | 15 Temos: CN Vp ∪ Vq = CN { 1, 2, 3, 6 } ∪ { 1, 3, 5, 15} = N - { 2, 6 } CN Vq ∪ Vp = CN { 1, 3, 5, 15} ∪ { 1, 2, 3, 6 } = N - { 5, 15 } E, portanto: Vp↔q = [ N - {2,6} ] ∩ [ N - {5, 15} ] = N - { 2, 5, 5 , 6, 15 }

13.6. 13.6. Álge Álgebr braa das das sen senten tença çass aber aberta tass As propriedades das operações lógicas sobre proposições se transmitem automaticamente às operações lógicas sobre sentenças abertas em um mesmo conjunto. A conjunção e a disjunção continuam a ser comutativas e associativas, e cada uma delas é distributiva em e m relação à outra. Dupla negação e leis de DE MORGAN também. Temos dois tipos de condição: Universal e Impossível em sentenças abertas. Exemplo:

2x - 1 > 3 ^ x + 1 > x ⇔ x + 1 > x (condição universal) 2x - 1 > 3 ^ x + 1 = x ⇔ x + 1 = x (condição impossível)

Atividades

1. Determinar o conjunto verdade em A = { 1, 2, 3, ..., 9, 10 } de cada uma das

seguintes sentenças abertas compostas:


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Lógica Matemática a) x < 7 ^ x é ímpar b) 3 | x ^ x < 8 c) (x + 4) ∈ A ^ (x2 - 5) ∉ A 2. Determinar o conjunto verdade em A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } de cada uma das

seguintes sentenças abertas compostas: a) x2 - 3x = 0 v x 2 = x b) x é primo v (x + 5) ∈ A c) x2 >= 16 v x2 - 6x + 5 = 0 d) ~(x <= 3) e) ~(x | 12) f) ~(x2 - 3x = 0) g) x2 - 3x = 0 ↔ x2 - x = 0 h) x2 > 12 ↔ x2 - 5x + 6 = 0 i) x é par ↔ x2 < 8

3. Determinar o conjunto verdade em A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } de cada uma das

seguintes sentenças abertas compostas: a) x é par → x2- 1 = 0 b) x | 12 → x é primo c) (x + 5) ∉ A → x < 0 4. Sejam as sentenças abertas em R :

a) p(x): 2x - 3 <= 0 e q(x): x + 1 >= 0 b) p(x): 15x2 + 2x - 8 = 0 e q(x): 5x 2 + 19x + 12 = 0 c) p(x): - 4x+ 3 >= 0 e q(x): 5x + 2 > 0 Determinar Vp ^ q, Vp v q, Vp ↔ q, V~q, V~p e Vp → q

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Lógica Matemática

Quantificadores

Caro aluno, Nesta aula trabalharemos com os quantificadores, que tem como objetivo central indicar em qual universo esta atuando nossas afirmações. Estes quantificadores aparecem nos inícios de frases, e são variados como: “qualquer um”, “qualquer uma”, “nenhum” , “nenhuma”, “não existe algum”, “não existe alguma”, “para todo”, “existe um”, “existe uma”, “cada”, ... Chamamos de funções proposicionais ou sentenças abertas, sentenças que apresentam variáveis, ou seja, não são proposições, possuem seu valor lógico discutível, onde se utilizarmos quantificadores poderemos transformá-las em proposições. A lógica tradicional trata a quantificação de modo similar à linguagem natural, e também de modo menos adequado para uma analise formal. A primeira variável baseada no tratamento de quantificação foi apresentada no livro Begriffsschrift (1879) de Gottlob Frege. Para a quantificação universal de uma variável, Frege fazia uma ondulação em uma linha reta que aparece em suas fórmulas diagramáticas, escrevendo então a variável quantificada sobre a ondulação. Frege não tinha uma notação específica para quantificação existencial, usava em vez disso o equivalente de . O tratamento da quantificação de Frege foi largamente comentado até os Princípios da Matemática (1903) de Bertrand Russell. Charles Sanders Peirce e seu aluno O. H. Mitchell foram os grandes inventores do quantificador existencial assim como do quantificador universal, num trabalho concluído por Pierce (1885). Pierce e Mitchell escreveram Πx e Σx , onde agora nós escrevemos ∀x e ∃x . Esta notação pode ser encontrada nos artigos de Ernst Schroder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem, e lógicos Poloneses, apresentados na década de 50. Ela é a notação referenciada por Kurt Goedel (1930) na completude da lógica de primeira ordem, e em 1931 na incompletude da aritmética de Peano. Mais tarde, pôde ser visto o símbolo existencial de Pierce, caracterizando variáveis, cuja quantificação é determinada pela superficialidade. O aprofundamento de Pierce na quantificação influenciou Ernst Schroder, William Ernest Johnson, e toda a Europa através de Giuseppe Peano. A lógica de Pierce tem atraído a devida atenção nas décadas recentes por aqueles interessados no raciocínio heterogêneo e diagramas de inferência. Peano adotou o quantificador universal como (x). Portanto, “(x)φ” indicava que a formula φ era verdadeira para toda valoração atribuída a x. Ele foi o primeiro a empregar, em 1897, a notação (∃x) para a quantificação existencial. O Princípio Matemático de Whitehead e Russell empregou a notação de Peano, assim como Quine e Alonzo Church fizeram ao longo de suas carreiras. Gentzen introduziu o símbolo ∀ (1935) por analogia ao símbolo ∃ de Peano. O símbolo ∀ não se tornou canônico até a década de 50.


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Lógica Matemática

14.1.

Quantificador Universal

O quantificador universal é utilizado para transformar sentenças abertas em proposições, é representado pelo símbolo ∀, que podemos lê-lo de diferentes formas como : “para todo”, “qualquer que seja”, “para cada”. Exemplos: Todo mundo é forte Todas as pessoas são fortes Cada pessoa é forte Qualquer pessoa é forte.

14.2.

Quantificador Existencial

O quantificador existencial utiliza o símbolo ∃ , que pode ser lido como: “existe um”, “existe pelo menos um”, “existe” Exemplos: Alguma pessoa é inteligente Existe pessoa inteligente

14.3.

Variável aparente e variável livre

Chamamos de variável muda ou aparente, a variável a qual é possível incidir um quantificador. A variável que não se pode incidir um quantificador é denominada variável livre. Conseguimos criar expressões equivalente, trocando as variáveis aparentes da expressão por outras variáveis diferentes das que já pertencem a expressão, esse método é conhecido como “Principio da Substituição das variáveis Independentes”. Exemplo: Exemplo em que a variável “x” é uma variável livre 5x + 12 = 22 Exemplo em que a variável “x” é uma variável aparente

( ∃ x ) (5x + 12 = 22) CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática

14.4.

Quantificador de Existência e Unicidade

Existem quantificadores que afirmam apenas a existência da sentença e outros que afirmam uma existência única, ou seja, a possibilidade da existência de um único caso. O primeiro o chamamos de quantificador existencial, simbolizado por ∃ , que se lê “existe”, e o segundo de quantificador existencial de unicidade, simbolizado por ∃, que se lê “existe um”, “existe um único” ou “existe um e um só”. Exemplos: Pelo menos uma pessoa é inteligente

14.5.

Negação de proposições com quantificador

Para negarmos uma sentença quantificada com um quantificador universal devemos proceder substituindo o quantificador universal por um quantificador existencial e negando a afirmação, simbolizando teríamos: Afirmação: (∀x)(p(x)) Negação: (∃ x)(¬ p(x))

Exemplos: 1-

Afirmação: Todo São Paulino é inteligente

inteligente

Negação: Existe pelo menos um São Paulino que não é

2Afirmação: Todo aluno da Licenciatura em Informática é estudioso. Negação: Existe aluno que não é estudioso. Para negarmos um sentença quantificada com um quantificador existencial devemos proceder diferente, ou seja, substituir o quantificador existencial por um quantificador universal e negar a afirmação, de forma simbólica teríamos: Afirmação: (∃ x)(p(x)) Negação: (∀x)(¬ p(x))

Exemplos: CEFETES – Centro Federal de Educação Tecnológica do Espírito Santo

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Lógica Matemática Afirmação: Existe um Argentino que é inteligente. Negação: Todo Argentino não é inteligente. Afirmação:

14.6.

Contra-exemplo

Para se provar que uma sentença quantificada por um quantificador universal é falsa, basta apresentar que sua negação, ou seja, a que utiliza o quantificador existencial é verdadeira. Veja o exemplo: Afirmação: (∀x ∈Z+)(x2+x+41 é um número primo)

Para mostrarmos como a afirmação acima é falsa basta exemplificarmos com o quantificador existencial que sua negação é verdadeira, veja: Existe um número, o número 40, tal que 40 2+40+41= 1681 é um número composto.


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Lógica Matemática

Atividades

1- Dê a negação de cada uma das seguintes proposições compostas: a) Antenor não é paciente ou Helenice não é faladeira. b) Ronaldo não adora Lógica e pratica esportes radicais. c) Fez calor se, e somente se, o ventilador está ligado. d) Se nevou, então, fez frio.

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Lógica Matemática

Quantificação de sentenças abertas com mais de uma variável

Queridos alunos, Veremos neste capítulo como quantificar sentenças abertas com mais de uma variável. Bom estudo!

15.1. Quantificação Parcial Quando aplicamos um quantificador numa sentença aberta com mais de uma variável, encontramos uma outra sentença aberta com uma variável livre a menos. Logo ao aplicarmos de forma consecutiva quantificadores numa sentença aberta chegaremos numa proposição.

15.2. Quantificação Múltipla Toda sentença aberta precedida de quantificadores, sendo um para cada variável, torna-se uma proposição

15.3. Comutatividade dos quantificadores Quantificadores de mesma espécie podem ser comutados e quantificadores de espécies diferentes em geral não podem ser comutados

15.4. Negação de proposições com quantificadores Para negarmos proposições com mais de uma variável devemos aplicar sucessivamente regras de negação de proposições com um único quantificador.


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Lógica Matemática

Atividades

1- Sendo {1,2,3,4,5,6} o universo das variáveis x e y, determine o conjunto-verdade de cada uma das seguintes sentenças abertas: a) ( ∃ y )( 2 x + y < 8) b) ( ∀ x )( 2 x + y < 9) c) ( ∃ x )( x + 3 y < 12) d) ( ∀ y )( x + 2 y < 8) 2- Sendo {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} o universo das variáveis x e y, determine o conjunto-verdade de cada uma das seguintes abertas: a) ( ∀ y )( x + y < 12) b) ( ∃ y )( x + y < 15) c) ( ∀ x )( x + 2 y < 10) d) ( ∃ x )( x + y < 14) 3- Sendo A = {1,2,3,4} o universo das variáveis x e y, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ∃ x )( ∀ y ) ( x 2 < y + 1) b) ( ∀ x )( ∃ y ) ( x 2 + y 2 < 16) c) ( ∀ x )( ∀ y ) ( x 2 + y 2 < 12) d) ( ∀ x )( ∀ y ) ( 2 x 2 + y 2 < 8) e) ( ∃ x )( ∀ y ) ( x 2 + 2 y < 10) f) ( ∀ x )( ∃ y ) ( x 2 + 2 y < 10)


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Lógica Matemática g) ( ∃ x )( ∃ y ) ( x 2 + 2 y < 10 h) ( ∃ y )( ∀ x ) ( x 2 + y 2 < 21) 4- Sendo {1,2,3} o conjunto universo das variáveis x,y e z, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ∃ x )( ∀ y )( ∃ z ) ( x 2 + y 2 < 4 z 2 ) b) ( ∃ x )( ∃ y )( ∀ z ) ( x 2 + y 2 < 4 z 2 5- Sendo R o conjunto dos números reais, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ∀ y ∈ R )( ∃ x ∈ R )( x + y = x ) b) ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( x + y = 0) c) ( ∀ x ∈ R )( ∃ y ∈ R )( xy = 1) d) ( ∀ y ∈ R )( ∃ x ∈ R )( x < y) 6- Dê a negação de cada um dos itens do exercício anterior 7- Sendo A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das seguintes proposições: a) ( ∀ x ∈ A)( ∃ y ∈ A)( x + y < 15) b) ( ∀ x ∈ A)( ∀ y ∈ A)( x + y < 15) 8- Estabeleça a negação de cada um dos itens a seguir: a) ( ∀ x )( ∃ y ) ( p( x) ∨ q( y ) ) b) ( ∃ x )( ∀ y ) ( p( x) ∨ ~ q( y ) ) c) ( ∃ x )( ∃ y ) ( p( x) ∨ q( y ) ) d) ( ∀ x )( ∃ y )( p( x, y ) → q( y ) ) e) ( ∃ x )( ∀ y )( p( x, y ) → q( x, y ) ) f) ( ∀ x )( ∀ y ) ( p( x, y ) → q( x, y ) ) 9- Demonstre:


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FINALLógica Matemática - Ronaldo Barbosa Alvim

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