(f(x, y, z) = xyz Les fonctions de la forme ( jc, y, z) h» i//(x, y, z) = F((p(x, y, z),
F(x + y + f( x , y), xyf(x, y)) = Constante Exemple 2.3
àf df y - ó i - Xá-y=° Le système caractéristique de (60 est donné par :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
dx _ dy y x 0=
(Si)
(Si)
On voit directement que ( jc, y, z) h-> 0(x, y,z) = z est une intégrale première. Par ailleurs : 0 = xdx + ydy = d{x2 + y2) Autrement dit, ( jc, y, z) i-> >(jc, y, z) = jc2 + y2 est également une intégrale première. Toutes les solutions sont donc définies implicitement sous la forme ( jc,
y) i-> F(x2 + î/ 2, / ( jc, y)) = Constante
ce qui conduit à : f(x, y) = g(x2 + y2) Les solutions sont les surfaces de révolution d’axe (O; 2). 25
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Chapitre 2 • Équations aux dérivées partielles du premier ordre
2 .2 .2
C o u rb e s c a ra c té ris tiq u e s
D éfinition 2.5
u,v, wétant trois fonctions, supposées de classe C 1 dans un ouvert de R 3, on appelle courbes caractéristiques de l’équation aux dérivées partielles du premier ordre df Qf u(x, y, f(x,y)) — + v(x, y, f(x, y)) — = w(x, y, f(x, )) (S) ox
les solutions de son système caractéristique dx u(x, y,
dy dz z) v(x, y, z)w(x, y, z)
(S)
Th é o rèm e 2.9. D ’après la proposition 2.6, une infinité de surfaces solutions passe
par chaque courbe caractéristique. D éfinition 2.6
Avec les hypothèses et notations de la définition précédente, une courbe est dite caractéristique en aucun point, s’il n’existe aucun point M de N e où le vecteur tangent soit colinéaire au vecteur de composantes (u(M), u(M), u>(M)). D éfinition 2.7
On appelle pied de la caractéristique passant par le point de coordonnées (je, y) le point d’intersection de la caractéristique et de la ligne sur laquelle les conditions initiales sont données (en général l’axe des abscisses).
2 .2 .3
P ro b lè m e d e C a u c h y
D éfinition 2.8 m, v, wétant trois fonctions, supposées analytiques dans un ouvert de R 3, /o une fonction également analytique définie sur une courbe régulière No donnée sous forme paramétrique t h* (xo(t), y oit)), on appelle problème de Cauchy le système suivant :
u(x, y, f(x, y))
+ v(x, y, f(x, y)) - f w(x, y, f(x, y)) ox oy = fait) sur fixait),yoit))
(2.13)
Il s’agit donc d’une équation aux dérivées partielles assortie d’une condition aux limites donnée sur une courbe. 26
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2.2. Équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre
Il s’agit ici de généraliser aux équations aux dérivées partielles du premier ordre les résultats existants pour le problème de Cauchy relatif à une équation différentielle : si l’on dispose d’une fonction /0 donnée le long d’une courbe paramétrée, peut-on obtenir la solution au voisinage de celle-ci ? Et, si oui, peut-on ainsi, de proche en proche, obtenir la solution dans un domaine plus grand ? Les hypothèses d’analycité conduisent à chercher la solution sous la forme d’un développement en série autour de la courbe N0 où / est connue. Une condition néces saire pour obtenir une telle forme de solution est de pouvoir faire un développement limité à l’ordre 1 : qr df l J \ f(x 0 + dx, i/o + dy) = fo(xo, i/o) + dx ~^(xo, i/o) + dy ~ ^ (xo, i/o) + o i -yjdx2 + dy2J
ce qui suppose donc que l’on connaisse les dérivées partielles d’ordre 1. Cette condi tion va faire apparaître des contraintes sur la courbe N0. La courbe N0 étant régulière, on peut définir une tangente en tout point, et donc supposer que /0 est donnée en fonction de l’abscisse curviligne s (qui rend le vecteur tangent ïts) unitaire). On suppose que, en tout point de N q, la valeur de / est donnée :
f(x0(s), y0(s)) = fo(s) Cette donnée permet d’obtenir également la valeur de la dérivée tangentielle de / :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
dfo _ d f dxp | d f dyp ds dx ds dy âs
(2.14)
La condition aux limites donne donc une première équation linéaire sur les déri vées partielles du premier ordre. Il reste à déterminer si l’équation aux dérivées partielles écrite sur N qpermet d’ob tenir une deuxième équation indépendante. Comme, par hypothèse :
df
df
u(x0, yo, f{x 0, I/o)) ^ + v(xo, i/o. f(x 0, i/o)) ^
= w(x0, I/o, f(x 0, I/o))
on a donc le système matriciel suivant :
'u(x0, yo, f(x 0 , yo)) v(xo, yo, f(x 0 , I/o))' (d f) dx âxo dyo df ' ds ds > dyJ
'w(xo, yo, f(x 0 , yo))" <
dfo ds
> 27
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Chapitre 2 • Équations aux dérivées partielles du premier ordre
Sous réserve que le déterminant de ce système ne s’annule pas, i.e. u(XQ, i/o, f(x 0, i/o)) v(x0, i/o, /(*0, i/o)) *0 dxp dyp ds ds
(2.15)
ri -f ri -f on peut donc obtenir, le long de No, rr- et — , ce qui permet, grâce aux formules de dx dy Taylor à l’ordre 1, d’obtenir un développement limité de la solution / au voisinage de la courbe. La condition à respecter est donc que le déterminant (2.15) ne s’annule pas sur No, ce qui s’interprète en disant que No ne doit pas être la projection dans le plan (x, y) d’une courbe caractéristique. Il se trouve que cette condition est suffisante pour construire une solution analy tique autour de la courbe donnée : par un raisonnement analogue, on construit les dérivées partielles d’ordre supérieur, puis on arrive à montrer que le rayon de conver gence de la série entière est strictement positif, d’où le théorème suivant (voir par exemple [5] pour une démonstration complète). Théorème 2.10. Théorème de Cauchy-Kowalewski
u, v, w étant trois fonctions analytiques dans un ouvert de R 3, on considère l’équa tion aux dérivées partielles : Qn
Qn
u(x, y, f(x, y)) ^ + v(x, y, f(x, y))
= w(x, y, f(x, y))
(fi)
Alors, la donnée d }une condition initiale analytique sur une courbe régulière No, qui n'est caractéristique en aucun point, définit une unique solution analytique de (£), appelée solution du problème de Cauchy relatif à la courbe No.
Remarque 2 3 Ce théorème donne un résultat local d’existence et d’unicité de la solution analytique autour de la courbe de condition initiale. Il ne donne pas a priori d’information sur la taille du domaine d’existence de la solution. De même des solutions non-analytiques sont susceptibles de coexister.
2 .2 .4
M é th o d e d es c a ra c té ris tiq u e s
On vient de voir qu’un problème de Cauchy est bien posé si la condition limite n’est pas donnée le long d’une caractéristique. Cela est dû à une propriété importante des caractéristiques qui conduit à une méthode d’étude des équations aux dérivées par tielles. Considérons donc un problème de Cauchy bien posé, où la courbe de condition limite No n’est pas une caractéristique, et déterminons comment construire la courbe 28
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2.2. Équations aux dérivées partielles linéaires du premier ordre
caractéristique qui passe par le point (*0. i/o) de N0 correspondant à l’abscisse curvi ligne sq (voir la figure 2.2).
Figure 2.2- Propagation de la donnée initiale le long de la caractéristique
Cette courbe caractéristique C, dont une représentation paramétrique est donnée par t l-> (*c(0, yc(t), Zcit)) est solution de :
r dx • ^
= u(xc(t), yc(i), Zcit)) = v(xc(t), yc(t), Zc(t))
(2.16)
dzc — = w(xc(t), yc(t), Zcit)) avec : *c(0) = X0, yc(0) = i/o, Zc(0) = fo(s0)
(2.17)
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On voit que la courbe caractéristique est solution d’un système d’équations différen tielles ordinaires. La courbe caractéristique étant tracée sur la surface solution, zc(t) est la valeur de la fonction cherchée au point (xc(t), yc(t)) : Zcit)
= f{xcit), yc(t))
Il est donc « relativement simple » d’obtenir la solution de l’équation aux dérivées partielles le long d’une caractéristique.
Remarque 2.4 i. Comme annoncé par le théorème de Cauchy-Kowalewski, la solution obtenue par la mé thode des caractéristiques est locale autour de la courbe de condition initiale, on est sûr de son existence que sur un intervalle t 6 [0, t/[ qui peut être très petit. En particulier, elle n’est plus valable dès que deux courbes caractéristiques se coupent, comme par exemple dans l’équation de Burgers présentée à la section 7.1.3. 29
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Chapitre 2 • Équations aux dérivées partielles du premier ordre
U. On comprend ici d’une autre manière pourquoi donner une condition limite le long d’une caractéristique ne permet pas de « propager » la solution hors de la caractéristique : cette dernière bénéficie en effet d’une forme « d’autonomie » (l’évolution le long de la caracté ristique peut être calculée indépendamment du reste du domaine).
Exercices m
Une équation du premier ordre
Résoudre l’équation aux dérivées partielles du premier ordre dans R 2 : (fil)
H H Un problème de Cauchy Résoudre le problème de Cauchy pour (jc,
e R+ x R :
df
y TX - X d-y f i s , 0)
= 0 =
fis)
où / est une fonction donnée.
30
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Corrigés
Corrigés
Q | i. Vl " f 2= 0 définit les deux solutions : h » +1 et /2 : ii. Dans le domaine où |/| < 1 : le système caractéristique de (£j) est donné par : ( dy = 0 J dz i z
i-> -1 .
(Si)
Vl - z2
La première ligne donne directement l’intégrale première
iY
(3.34)
L si (£/) est hyperbolique, (fi/) devienne : ^ = C h
est nulle en dehors de son support (pour éliminer les termes de bord), on obtient : (4.4) Après un changement de variables classique u = x + et, v = x - et, et le changement de fonction inconnue obtenu en posant f(u, v) = f(x, t) et dA, au lieu d’étudier la fonction / , on peut aussi choisir d’étudier la forme linéaire Tf : (0 ): tp > 0 =$ (T, >0 (T , tp) = 0. Fondamentalement, on a supp(^) fi supp(r) = 0 => 0. On parle bien du support de ) = 0 Démonstration. Afin de simplifier la démonstration, on se place sur R, le cas général s’obtient en utilisant des multientiers. On note Ke l’ensemble des points dont la distance à supp(7) est inférieure ou égale à s, et on choisit n suffisamment grand pour que supp(r) c K\ c Ki c iî. On peut construire (par régularisation de la fonction indicatrice) "une fonction ipn telle que , x 1 , supp„ if, ) où le terme de gauche est nul, car la fonction est nulle sur K\ qui contient strictement supp(T) ; pour le terme de droite, on utilise le fait que la distribution est d’ordre fini, et on développe les dérivées avec la formule de Leibniz : (R), on peut supposer supp(0) c [k\,k2\, on a en particulier dA-[mk^ { T r< ) = 0, puisque supp(d'V) c supp(0). Par suite : supp(0)fisupp(5Q'T) = 0. Le complémentaire de supp(T) est donc inclus dans le complémentaire de supp(<9°T). ■ ' h T * 0 dans 2), alors || ^'W l^ —■* 0). On voit au passage que Vp\ est une d d’ordre 1. 2. En prenant quelques précautions pour intégrer par parties, on obtient : )' = -i{x + (a) = 2n(ôa, € S, on a : (t)dt R , et celui de droite de la variable t uniquement ; il existe donc une constante À telle que : e
Il apparaît que la fonction (u, v) h-> /(« , v) = ft (u) + / 2(0) est solution, puisque par exemple
car les dérivées de
56
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4.2. Espace des fonctions tests
test du type de
Tf \ (/>h-»
f (¡>dA G R
(4.6)
qui appartient au dual de C f, espace que l’on peut munir d’une topologie, et dans lequel on peut faire de l’approximation. On présente au chapitre 8, l’usage de sousespaces de distributions particulièrement adaptés pour la recherche de solutions de certains problèmes aux frontières.
4.2 Espace
des fonctions tests
Dans tout ce chapitre, on se place dans R rf, ramené au système de coordonnées Hi la norme eucli(jq, . . . , Xd). Pour x = { x \,...,x d) e R^, on note \x\
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
dienne du vecteur. La topologie de l’espace des distributions est assez complexe, en particulier cet espace est non métrisable. L’exposé qui suit est simplifié et se base sur des caractéri sations séquentielles qui, dans ce cas précis, définissent une topologie équivalente.
Notation S o it
Q un
ou vert d e
Rd. O n
d é s ig n e par
C™(Q) o u D(Q) l ’e n se m b le d e s D(Q) in siste sur
à su p p ort1- co m p a c t à valeu rs d ans R (o u C ). L a n o ta tio n
fo n c tio n s
C°°(Q)
l ’u tilisa tio n d e la
n o tio n d e c o n v e r g e n c e d o n n é e à la d éfin itio n 4 .1 .
Proposition 4.1. D(Q) est un espace vectoriel pour Vaddition et la multiplication
par un scalaire. f. La notion de support est definie en C.8 page 227.
57
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Chapitre 4 • Distributions
Démonstration. La stabilité des fonctions infiniment dérivables par addition et mul tiplication par un scalaire est connue. De plus : g )e
V(/,
D(Q)2 , supp(/ +
qui est compact.
■
Prouvons de plus que cet espace n’est pas réduit à la fonction nulle. Soit *o € O et fonction C°° à support égal à
(x» B o r) c
fixa ,r(x )
Î e
Q une boule contenue dans Q ; on peut construire (xo. r) '• B
--2-l.v-.rol2
sj |x - x0| C r
(4.7)
0 ailleurs
À titre d’exemple, le tracé de telles fonctions dans les cas des dimensions 1 et 2 est donné sur les figures 4.1 et 4.2.
Figure 4.2 - ^ 0,i sur R 2
Figure 4.1- ^0,i sur R
Notation L’écriture des équations en dimension supérieure à 1 est grandement simplifiée par l’utilisa tion des multientiers pour transcrire les polynômes et les dérivations partielles. Un multientier est un élément de ; pour tout multientier a = {a\.......ac/) e Nrf, tout x ~ ( x \ , . . . , xti) e Q et tout <\>e 2)(Q), on note : m
= |> 1=1
dM
, 1=1
f K ' On rappelle que par convention —- = (p et donc d°
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4.2. Espace des fonctions tests
Définition 4.1 C on ve rge n ce d a n s £>(Î2)
On dit qu’une suite et seulement si il existe un compact (autrement dit Vp, supp(^) c V a = (a, . . . ,
p)eni d’éléments de £>(0) converge vers
- 0
(4.8)
Il s’agit donc d’une convergence uniforme sur la fonction et toutes ses dérivées partielles, sous la condition d’un support commun. C’est une convergence très stricte. Remarque 4.1
Pour le lecteur non familier de ces concepts, il faut noter que la notion de convergence dans ?)(Î2) n’est pas associée à une norme mais à une famille de semi-normes. La construction topologique de D(iï) est traitée dans de nombreux ouvrages comme [17,18].
Il faut bien noter que les fonctions de D sont très pratiques à utiliser : en tant que fonctions continues sur des compacts, elles sont bornées et appartiennent donc à tous les espaces Lp pour 1 < p
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
>
€ R+*
(4-9)
Chaque
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Chapitre 4 • Distributions
Figure 4.3- É l é m e n t s d ’ u n e a p p r o x i m a t i o n de l ’ i d e n t i t é
Figure 4.4- R é g u l a r i s a t i o n d e l ’in d ic a t r ic e d e [ - 1 , 1 ]
Démonstration. Soit / une fonction continue à support compact (/ - / *
/(*)“ f
J r cI
f ( x - y
J ^ ( / W - f(x -
I
c i l Alors :
(4.10)
(f(x) —f ( x — y))>e(
JB(e)
où s est choisi tel que B(x, e) + K cQ .f étant continue sur le compact donc uniformément continue et le terme en I/O ) - f ( x - y ) \ peut être rendu aussi petit que voulu en ajustant s (indépendamment de x). ■ Rem arque 4.2
Il est à noter que la convergence uniforme dans la preuve précédente implique toutes les autres formes de convergence. Par ailleurs, ce résultat s’étend aux espaces Ck(£l) avec convergence uniforme sur toutes les dérivées. En utilisant les résultats de densité donnés en annexe C, on en déduit que T> est dense dans les espaces de Lebesgue pour 1 < oo. On dit que
4.3 Espace
des distributions
Définition 4.2
On appelle distribution sur fi toute forme linéaire T continue sur D(O), on note : T ! (j) G !D(i2) h » T((p) = {T, (p) G IR Les « crochets » sont en effet une notation classique en dualité. 60
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4.3. Espace des distributions
Remarque 4.3 i. La linéarité signifie que pour (фу, фг) e D(Q)2 et a € R : (T, фу + афг) = (T, фу) + a(T , фг) ii. La continuité (séquentielle) signifie que pour toute suite (4>p)pen convergeant vers é € £>(Q) : (T ,tp)-> (T ,t) iii. La linéarité implique que la continuité en 0 est équivalente à la continuité dans tout £)(£2).
Notation On désigne par D'(iï) l’ensemble des distributions sur D{iï). Proposition 4.3. ТУ(Q) est un espace vectoriel : pour (Ту, T2) e D'(£ï) et a € C, (aT\ + T2) € D'(D.) au sens suivant : У ф е D(Q) (aTy + T2, ф) = a(Tx, ф) + (T2, Ф) (4.11) Proposition 4.4. Une forme linéaire T sur D(£ï) est une distribution si et seule ment si pour tout compact K c Î2, 3 m^ e N c/ 3 Ck > 0 tels que : i \ \ПФ)\ = К Т , Ф ) \< ск 2 P 'V l b
Уф € D(Q) avec supp(^) c K
(4.12)
Si dans la définition on peut utiliser le même entier m (indépendamment de K) on dit alors que la distribution est d’ordre m.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Démonstration. Une forme linéaire qui vérifie l’équation (4.12) est clairement conti nue sur D, c’est donc une distribution. Réciproquement, il faut prouver qu’une forme linéaire T continue sur £> véri fie (4.12). On raisonne par l’absurbe : on suppose qu’il existe un compact K de Î2 tel que pour tout entier m et toute constante C > 0, il existe une fonction
(4.13)
On choisit C = m = N, et comme d’après l’inégalité précédente
(4.14)
On en déduit que VN, |(T,
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Chapitre 4 • Distributions
Contrairement à D(Q), on munit D'(Q) d’une topologie très faible (de manière à ce qu’il soit « facile » de converger dans £)'). D éfinition 4.3
On dit qu’une suite de distributions (Tp)p€^ une distribution T si :
converge dans 2)'(Q) vers D (Q ) , (Tp,cf>)->(T,
V0 e
La convergence est dite faible. P roposition 4.5. Si (TpipeN est une suite de distributions et si, pour tout
fo n c ti -
L}ocune fonction localement intégrable. L ’application T f : (p e T)(Q.) i-> (Tf,
f
(4.16)
Jn
est une distribution d ’ordre 0. ii. Soit f e L)oc, g e L)oc alors T f = Tg & f = g PP
(4.17)
autrement dit Ljgc(Lî) peut être injecté dans D '(fï). Démonstration. On a |/0 | < |/| ||0||l" et f est intégrable sur le compact K = supp(0) donc
MX
l/l«7dj ||0||lc°(îî)
ce qui, cumulé à l’évidente linéarité, prouve que T f est une distribution d’ordre 0 (pas de dérivation dans la majoration). 62
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4.3. Espace des distributions
On suppose que / est telle que 7 / = 0. Soit xo e O et 0 tel que 2r) c O, on noteX b(xo,i ) la fonction indicatrice de B ( x q , On pose / = ) e ¿'(O ). On utilise l’approximation de l’identité (pE définie à l’équation (4.9) avec et on pose (pStX : y h*
f(y)
JB (xo ,r )
JÇ1
Par ailleurs, f *
Remarque 4 A
Une conséquence de ce théorème est la confusion fréquente entre une fonction / et sa distri bution associée Tf. Il n’en reste pas moins qu’il est incorrect de parler de la valeur d’une distribution en un point : une distribution n’a de valeur qu’appliquée à une fonction test. Même dans les cas où la distribution peut être associée à une fonction, l’association n’a de sens que presque partout. Exemple 4.1
i.
La distribution de Diracf ô e £)'(1R) est une distribution qui n’est pas associable à une fonction : (ô, (/>) = 0(0). Par ailleurs, |0(O)| < | | 0 | | e t donc la distribution de Dirac est d’ordre 0. ii. La distribution de Dirac en ;co : ôXQ£ D'(Q) \
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Pour tout T e D '(iî), on introduit la distribution conjuguée T par : <î,0> = <7\0>
(4.18)
Remarque 4.5 T est réelle si et seulement si T - T. f. Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984), physicien et mathématicien britannique, considéré comme un des « pères » de la mécanique quantique. Il reçut, conjointement avec Erwin Schrôdinger, le prix Nobel de physique en 1933. $. Oliver Heaviside (1850-1925), physicien britannique, a bien sûr introduit la fonction de Heaviside (aussi appelée échelon unité ou marche), utilisée communément dans l’étude de systèmes en automa tique, mais également reformulé et simplifié les équations de Maxwell.
63
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Chapitre 4 • Distributions
D éfinition 4.5
Une distribution est dite p o sitive si et seulement si : M
(4.19)
D éfinition 4.6
On appelle su p p o rt d ’u n e distribu tion le complémentaire du plus grand ouvert O tel que supp
vaut 0 en 0 mais (6',
L ’ensemble des distributions à support compact ¿7(0) est le dual des fonctions C°°(0) = £(Î2) (muni de la convergence uniforme sur toutes les dérivées). On a £>(Q) c S(O) et fi'(O) c D'(O ) D ém o n stra tio n , admise
■
Proposition 4.8. Les distributions à support compact sont toutes d ’ordre fini. D ém o n stra tio n . Soit T une distribution à support compact et K un compact de Í2
contenant strictement supp(T). On peut construire (par exemple en régularisant la fonction indicatrice de supp (T)) une fonction / égale à 1 sur supp(T) infiniment dérivable à support dans K. Pour
\(T,tp)\
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4.3. Espace des distributions
On peut alors développer la dérivée en utilisant la formule de Leibniz, et on obtient une nouvelle majoration de la forme :
où C dépend de C et des
||d e / ||z , « , / ?
désignant un multientier inférieur à a J
w
On peut alors préciser le résultat précédent. Proposition 4.9. Soit T e fî'(iî), d ’ordre p.
Si
Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
On écrit alors {T,
|
Z-i nP+i-fi {Ka
P n
La majoration étant valable pour tous les n suffisamment grands, on obtient le résultat. ■ 1'. Dans le cas p = 1, on a :
y , W(f
© 65
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Chapitre 4 • Distributions
4.4 D érivation
d ’une distribution
D éfinition 4.7
Soit T
e
dT dxj
D'(TÏ).Pour tout
jde {1, ...,
dT dxj’
dxj
(4.20)
et donc, par récurrence, pour tout multientier a = ( a i , , a(/) : (ÔaT,ip) = (-l)W
(4.21)
Cette définition a évidemment un sens : D est stable par dérivation, la convergence dans D implique celle de toutes les fonctions dérivées, et le support d’une fonction est réduit par dérivation. De plus, il est clair que si T est une distribution d’ordre fini kf, alors daT est une distribution d’ordre (k+ |a|). P ro p o sitio n 4.10.
(7^)
j,j est une suite de D'(L Ï) convergeant vers T alors :
dT_ dxj
dxj
Démonstration. Soit
(4.22)
e D(Tï). Par suite :
Exemple 4.2 On a H' =ô. En effet : soit
(H’,
p ) = -f (4.23) = - [0]o+°° =
Exemple 4.3 Dérivation usuelle
Soit / une fonction de classe C1 sur R. On va voir que la formule de dérivation des distributions est cohérente avec l’intégration par parties. La dérivée de la distribution Tf associée à / est la distribution associée à sa dérivée : / e C'(R)
=»
66
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4.4. Dérivation d’une distribution
En effet, soit
f f
JR
La dérivation au sens des distributions permet de définir la dérivée d’une distri bution associée à une fonction discontinue (le résultat de cette dérivation est une distribution).
Notation Soit / une fonction présentant une discontinuité en un point *oOn introduit la notation « saut » par : !/!(*>) = /(* o )-/(* « ) Le saut est donc nul partout où une fonction est continue.
Exemple 4.4 Dérivation d ’une distribution associée à une fonction discontinue Soit / e Cj^(R), de classe C1 par morceaux, présentant une unique discontinuité en un point *o- Si on suppose, en outre, que / ' e L)oc{R), alors : (Tf y = Tf + im *o)ôxo En effet, soit 0 e £>(R), on sépare R en des domaines où les fonctions sont suffisamment régulières pour une intégration par parties : <(77)',0> = -<77,0'>
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(4.24)
= (Tf + U¥so)ôXa,
Exemple 4.5 Considérons le milieu bidimensionnel de R2 constitué de deux domaines homogènes R x R+ et R x R , et étudions l’équation de conservation de la chaleur donnée au sens des distributions : div(g) = s (4.25) 67
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Chapitre 4 • Distributions
Autrement dit, pour cpdans £>(R2) :
(s,
R2
= I J
rxr-
div(q)
= - J*q grad(
R
RxR+
R
On a séparé le domaine d’intégration de manière à intégrer par parties sur des sousdomaines où q était suffisamment régulier. Si on choisit une fonction (pà support dans R x R" ou (exclusif) dans R x R+, on retrouve l’équation div(#) = s au sens classique. Par contre, sur la ligne de discontinuité, on obtient : I[q,jl(y = 0) = o ce qui signifie que le saut de flux normal de chaleur doit être nul (résultat classique en physique). Écrire une loi de conservation au sens des distributions permet donc la prise en compte des cas continus et discontinus. Proposition 4.11. Pour tout T € D'(Q,) et tout multientier a :
supp(ô“T ) c supp(T)
Démonstration. Soit >€ 0(i2) tel que supp(0) n supp(r) = 0 (donc (T, (p) = 0). Alors : (daT,
4.5 O pérations 4.5.1
P ro d u it p a r u n e fo n c tio n in fin im e n t d é riv a b le
S’il n’est malheureusement pas possible de définir le produit de deux distributions, on peut néanmoins définir le produit d’une distribution par une fonction infiniment dérivable.
68
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4.5. Opérations
Définition 4.8
Soit i// g C°°(i2), et T
G
D'(Ç£). On définit la distribution i//T par : V0
g
£ > (ü )
=
:
Remarque 4.6
Comme if/cp g £ ) ( £ 2 ) , l’expression a bien un sens. Par ailleurs, il faut vérifier que \j/T est bien une distribution. La linéarité est évidente. Pour la continuité : soit (^p) N -> 0 dans £)(Î2), on a (if/T,
0
et concernant une dérivée première (les suivantes s’en déduisent), en omettant l’indice L°°(K) sur les normes pour raccourcir l’expression : 9{
d
^
.
+ 4’l,d7J
d
La convergence au sens de On a alors :
d\p dxj
(Q) de la suite D (pT,
n
permet de conclure.
ip
P ro p o sitio n 4.12.
0
ip€ C°°(iî),
et eT £)'(£!) :
supp(0T) c supp(L) fl supp(^)
(4.26)
Démonstration. Soit (p6 D(Q), tel que : supp(>) n (supp(r) fl supp(i^)) = 0 Alors : {(//T,
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
4 .5 .2
T ra n s la tio n e t s y m é trie
Notation Pour tout h de O, et tout >i, : x
h +ü ,h»
- h)
(4.27)
Définition 4.9
Pour tout h de Q, on désigne par 7), la translatée de la distribution T de définie pour tout
(4.28)
© 69
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Chapitre 4 • Distributions
Notation Pour toute fonction / définie sur par / la symétrisée de / , définie pour tout
Cl(ouvert supposé symétrique par rap xde
m = /(-* )
(4.29)
D éfinition 4.10
On désigne par V(Ci)par :
f la symétrisée de la distribution T €
définie pour tout é d (4 .30)
Remarque 4 .7
(0/0 = ($)-/! Remarque 4.8
Ces formules sont l’analogue des formules de changements de variables dans une intégration : si u est un C1 difféormorphisme de Cl dans Q, pour x g ü on pose x = u~l(x) et pour / g L)oc(ÇÏ) on définit / = / o u g L\oc(Cl), pour 0 g D(Q) ona0 = 0 o u e !D(Ù) et
dAx où on reconnaît notamment l’intervention de la valeur absolue du jacobien du changement de variables. De même, pour un changement de variables dont le jacobien est C°°, on peut associer à T g D \Q ) la distribution f g D'(Cï ) telle que : <7\0> = <7\ det
h
Typiquement, on peut parler de dilatation de distribution (voir le chapitre sur les transforma tions intégrales), de distribution en coordonnées polaires ...
4 .5 .3
C o n v o lu tio n
D éfinition 4.11 C o n vo lu tio n d ’une d istrib u tio n et d ’une fonction
Soit T e D'(Cl) (respectivement &’), et
- (f>
P ro p o sitio n 4.13.
d(T * ) dT d(b * 0 = T * —— et T * (f) G £(fi). dxj OXj dxj ii. supp(r * 0) c supp(T) + supp(0). .
70
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< P x) -
(T ,
4.5. Opérations
iii. T * (0 * if/) = (7* * 0) * 0 = (T * 0) * 0. iv. Pour 0 donné dans D(fï), la fonction de £>'(Î2) dans est injective et continue. v.
qui à T associe T * 0
T donné, la fonction de D(fï) dans fî(iî) qui à 0 associe T * 0 est injective et continue.
Démonstration. Pour simplifier, on ne considère ici que le cas unidimensionnel, Î2 = R et on pose : f(x) = (T * 0)(x). On a alors nx+ h )-f(x) = i
^_u+/o) _
=
D ’après les propriétés de 0,
------- h-------W
^ , ,A
-------------- h------------- ft-iO
Par continuité de
T, on peut passer à la limite dans le crochet : lim 0
f(x + h )-f{x ) = f ( x ) = (T,
Pour l’autre égalité, il suffit de remarquer que
■
Définition 4.12 Convolution de deux d istrib u tio n s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Soit T et S deux distributions dont au moins une est à support compact, on définit la convolution de T et S comme étant la seule distribution vérifiant : V
( T * S ) * T * (S *< p(4.32)
Remarque 4.9
Cette définition donne bien une unique distribution grâce à l’injectivité de la convolution entre une distribution et une fonction. P roposition 4.14. Soient port compact. Alors : i.
T, S , Utrois distributions dont deux au mo
T * S —S * T. 71
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Chapitre 4 • Distributions
d( T*S) dT dS — -------= — *S = T * — . uXj uXj uXj Ui. supp(r * S) c supp(T) + supp(S). ..
h-
iv. T * (S * U) = ( r * S) * £/ = T * (5 * £/). Proposition 4.15. É lém ent neutre p o u r la convolution
VT 6 £>'(R) : T *ô = T
(4.33)
Remarque 4 . 10 Ce résultat (cas particulier de la translation, prouvé plus bas) couplé à la propriété 4.5, montre que l’approximation de l’identité
Remarque 4.7 7 On peut étendre la définition de la convolution à des cas où aucune distribution n’est à support compact : il faut pour cela que les distributions aient des « supports convolutifs » : étant donné (U, V) e ©'(JR/7)2, on dit que U et V sont à supports convolutifs si, lorsque x e supp(U) et y e supp(V) sont tels que (x + y) parcourt un ensemble borné de R^, alors, x et y parcourent tous les deux des ensembles bornés. Un cas d’application classique concerne les fonctions et distributions « causales » (définies sur R et à support dans R+), que l’on note D+(R) et £>+(R). Toutes les propriétés précédentes restent vraies pour des distributions à supports convolutifs.
Remarque 4.12 On peut définir les deux algèbres de convolution (¿/(R/7)» +, *,.) et (i)+(R), +, *,.). Proposition 4.16. Translation et convolution
V(h,il/) e R x £>(R) : iffh = ôh *i/t V(/i, T) € R x £>'(R) : Th = ôh * T D ém onstration .
Translation d'une fonction i// : V0 G £)(R) : (ôh * ^)(x) = C ô T , fix) = (Ôh, fi-x) = (S, (fi-x)-h) = (5, fi-x+h) = f i ( x - h - 0) = fi(x)h 72
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4.6. Distributions tempérées
Translation d ’une distribution : soit T une distribution et 0 e D. (Ôh * T) * (j) = T * (ôh *
(T,(
=(
T
4.6 D istributions
< {T , px+h) = (T,
,(
-h)=
tempérées
Pour certaines applications (transformations de Fourier notamment), les distribu tions sont définies de façon un peu trop générale. On utilise alors un sous-ensemble des distributions appelé ensemble des distributions tempérées. Ce sous-ensemble est également défini par dualité (d’un ensemble é>(IR^) dit de Schwartz, plus grand que 2)(R^)). Définition 4.13
On définit é>(]Rrf) comme l ’espace des fonctions à décroissance rapide, c’est-àdire des fonctions dont toutes les dérivées multipliées par des polynômes arbi traires tendent vers 0 à l’infini : aet/3 étant des multientiers de IN(/, S ( R d) = \ u e C ° ° ( R d) / V k e t l , sup ( xeRd, |or|<*,
|/
J l
(4.35)
Remarque 4.13 En pratique, il s’agit le plus souvent de fonctions avec une exponentielle négative en facteur, typiquement x e ~ M. Bien sûr, les fonctions de S sont bornées et ont toutes leurs puissances intégrables (S c Lp pour 1 < p
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Remarque 4.14
S est un espace vectoriel stable par dérivation et par multiplication par une fonction polyno miale. Définition 4.14
On parle de convergence dans vS(R^) pour des suites de fonctions dont toutes les dérivées pondérées par n’importe quel polynôme convergent uniformément : une suite tend vers (p dans S si et seulement si, pour tous multientiers a = ( a i ,...,
a d),/3 = i(f, . . . ,
\\xaA
¡5d)d
e :
(4.36)
73
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Chapitre 4 • Distributions
D éfinition 4.1 5
Le dual de ¿»(R^) est l’ensemble des distributions tempérées. La conver gence utilisée est la convergence faible (la même que sur tD'(Rrf)). P ro p o sitio n 4.1 7. Les distributions à support compact sont toutes tempérées.
D (Rd)c
S(Rd)c
£(Rd)et
S'(Rd) c
P ro p o sitio n 4.1 8. Les fonctions L ^fR ^) à croissance modérée (majorées par une
fonction polynomiale), s'identifient à des distributions tempérées. Démonstration. Pour / à croissance modérée, il existe C et iV > 0 tels que pour tout x de ( R d) : )< C( 1 + \ x \ f \f(x Pour f £
Rd) :
IljRrf f
f< pdA <
'R '' JR
(l + \ x \ f \f\dA
qui est bien définie. La linéarité et la continuité s’obtiennent de manière classique. Exemple 4.6
Le Dirac (distribution à support compact) et l’échelon de Heaviside (identifiable à une fonction à croissance modérée) sont des distributions tempérées.
74
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c &
Exercices
C T I Prim itive d ’une d istrib u tio n
1. Trouver les distributions T e 2 )'(R) telles que T' = 0. 2. Soit S € 2)'(R), trouver une primitive T € 2 )'(R) :
=
3. Soit S € 2 )'(R) une distribution telle que S * ait du sens (typiquement une distribution causale). Montrer que S * est une primitive de S € 2 )'(R).
CB V ale u r principale de
£
Cet exercice a pour objectif d’étudier la distribution associée à la fonction r n 4, qui n’est pas localement intégrable sur R. La définition requiert donc un peu de précaution :
1. Vérifier que cette définition a du sens et que
.v
€ 2 )'(R).
2. Trouver une primitive (au sens des distributions) de x On pourra à chaque question vérifier que Vp\ est une distribution d’ordre 1. .v
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C B
M ultiplication par une fon ction
1. Soit a € C°°(R, R) et T € 2)' (R). (a) On définit a T par e 2)(R), (aT, (p) = {T, a
xT =1 dans 2)'(R).
4. Montrer que xô' = - ô 5. En utilisant les propositions 4.8 et 4.9 montrer que toute distribution à support concentré en {0} est une combinaison linéaire de dérivées de la distribution de Dirac. 75
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Chapitre 4 • Distributions
[litffl) É q u a tio n s d ifférentielles et fo n ctio n s de Green
Soit a une constante réelle strictement positive. On considère l’équation (4.37) au sens des distributions (4.37) 1. On considère le changement de distribution inconnue S = (a) Quelle est l’équation satisfaite par S ? (b) On suppose que S est une distribution causale. Calculer H* ^ et en déduire une solution particulière T de l’équation (4.37). (c) Quelle est la solution U de l’équation ^ distribution de Dirac au point b ?
+ aU
désigne la
2. On considère l’équation au sens des distributions £(G) teur différentiel linéaire à coefficients constants. Soit G € D '(R ) une solution.
où X est un opéra
(a) Soit / une distribution telle que S
ait un sens. Calculer £(S).
(b) En déduire une solution particulière de l’équation ^ + (4teS) Équation différentielle avec d isco n tin u ité s
Soit une poutre horizontale de longueur 3£ reposant sur deux appuis simples, chargée en £ avec F \ = - F { y, et en 2£ avec F 2 = - F { y ■
y
On désigne par T l’effort tranchant et M le moment fléchissant. L’équilibre de la poutre se traduit au sens des distributions par les relations suivantes (Sx désigne la distribution de Dirac au point x) :
et M(£) =
)=0
1. Exprimer T et M en fonction de la distribution d’Heaviside H. 2. Tracer les graphes des fonctions T et M sur [0, 3£] (on prendra F 2 = 2Fi).
76
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Corrigés
Pour aller plus loin Un exercice supplémentaire et son corrigé sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
Corrigés E iil
1. Soit
= ( T ', < p ) = -(T
On commence par chercher à quelle condition une fonction de D(R) peut être la dérivée d’une fonction de D(R). Autrement dit, à quelle condition, pour une fonction 6 £)(R) donnée, existet-il une fonction (p e D (R) telle que ip? Comme les fonctions sont à support compact, elles sont nulles pour des e R suffisamment grands (en valeur absolue). On peut écrire )= et la condition est qu’il faut que L tpdA = 0 pour que
€ D (R) avec I ipdA = 0 Jr
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Soit alors 0 € 0 (R ) telle que On peut écrire ; # = Par suite :
fR 6 =
1, et (P 6 0 (R ).
(fR @dA) 6 + ip avec ip € ®(R) et
(T, 0 ) = |JT OdAj (T, 6) + (T, iP) =
ipdA = 0.
9), 0)
La distribution T s’identifie à la constante (T, 9). 2. On a ( T , (p') = - ( S , (p) T est donc connue sur les fonctions à intégrale nulle : (T,ip) = (S 77
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Chapitre 4 • Distributions
Par suite : ( T , 0 ) = (T,t//) + (T, ( T , 0 ) = (S,
f
t
■oo
La primitive est donc connue à une constante arbitraire (T, 3. On a (S* en traitement du signal. m
près.
H )'= S * H ' = S * ô = S. Pour cette raison, H est appelé int
1. Il convient tout d’abord de s’assurer que cette définition a un sens. La fonction xi -> \étant impaire, il est intéressant d’introdu de
Or, comme
■
CX
'/
(p'(x)= J0
On a montré l’absolue convergence (au sens de Riemann) de l’intégrale. La linéarité de Vp\ est évidente. A La continuité sur 2)(R) s’obtient grâce à la dernière inégalité (si (
= - 2 lim fI
On a |0'(e)ln(£)| < |ln(e)e|||0',||^<» -> 0. 78
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Corrigés
On utilise la parité de 0
l'pour intégrer sur {|x| > e) D (]e, k] U [-jfc, -e[
(Vp\,
ln
0
0,r(x) ln \x\dx = -
jln \x\dx
= -< ln |.|,0 ,) =
On a utilisé la parité de xln |x| et l’absolue intégrabilité (au sens de Riem du logarithme sur tout compact. La valeur principale est la dérivée au sens des distributions du logarithme. Le logarithme étant une fonction localement intégrable sur R, il définit une distri bution d’ordre 0 et donc sa dérivée est une distribution d’ordre 1. f ü
1-
Soit a
€
C°°(R, R) et
e£ T >'(R).
(a) Voir le cours, section 4.5.1. (b) ((aT)',
a(p') = - ( T , (or0)' - a'
= {aT)' =
- ( T , (a
a ') =
\ a
a '{x)T + a{x)T'
2. On cherche à résoudre l’équation
xT -0 dans D '(R ).
(a) Soit 0 € £)(R) tel que <£(0) = 0, on veut montrer que 3 0 - Xip. On a
e 0 (R ) tel que
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Sous cette forme il apparaît clairement que tp est bien C°° et à support com pact supp($) c supp 0 donc
x(p)= 0
(b) Soit 0 \ e 2)(R) tel que tf>i(0) = 1 donnée a priori, et
»
V 0 avec 0(0) = 0,
€ £>(R).
On pose :
ip) = (T,0o) + (T, 01 MO) =
0 X)(ô,
Il suffit alors de poser (T, 0 \) = c. 79
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Chapitre 4 • Distributions
3. D ’après l ’exercice précédent ( xVp\,4>)= V X question précédent assure que les solutions sont définies à un Dirac près, on a donc T -Vp\_+cô.
, =
x
4.
(xô',0) = ( donc xô' = -ô.
ô', x0 ) = -(6 , (x0)') =
5. Soit T une distribution dont le support est le compact (0), d ’après la proposi tion 4.8 elle est donc d ’ordre fini p. Soit 0 € iD(R) valant 1 au voisinage de 0, en utilisant un développant de Taylor à l’ordre p (avec reste intégral), toute fonction 0 e £)(R ) se m et sous la form e :
0W = E
-, a
* {x) + \r(x) x—iœ
où r€ 0 ( R ) est nulle en 0 ainsi que ses p prem ières dérivées. D ’après la pro position 4.9 on sait que (T, r) =0 et donc ^0 )
<7\0> = E < r ’ a^p
= V (-1 a^p
En posant ca = ( -1
f(T ,M - x)){ô(a\
a\
)a(0T , 0 0 ) on obtient T - £ £ =0 ca6(a).
1. (a)
T =
e~atS,% = e~at^ - ae~a,S donc f - = ea,ô = ô.
(b) La convolution entre distributions causales est bien définie, on a H*
dS__dH_ * S —ô * S — S dt dt
or §■ = ôdonc H*<§ = H*Ô = H , puis On a donc, finalement : T = e~atH. La convolution des distributions fonctionne pour des distributions à sup port convolutif, c’est pour cela que la solution de l’équation homogène Ce~at (qui n’est pas causale) n’apparaît pas dans les calculs. (c) Cette équation est obtenue à partir de la première en utilisant le produit de convolution par ôb : c
,
r
c
ôb=
\d t
)
ôb* o
(dT.
dt
Par suite la solution est : U = T b =ôb * T = e~a(,- b)H(t - b)
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,
/c
_
— ôb* I —— i- aT I = ---
Corrigés
2. (a) £(S) = £ ( G * f ) = £ (G ).* f = 6 * f = f . (b) On aV = T * f = e~a,H * f.
5/3
On a :
T
4/3
—---- F\ô\ - F262e = 0 dx T = F\Hi + F2Ü2t + A
dM 0 +T=0 dx -1/: M = - F i H,Oc - C) - F2H2e(x - 2€) - Ax + B M(0) = M(3£) = 0 8 = 0 ,^ = - ^
1
0
-1
^
Figure 4.5- E f f o r t e t m o m e n t l e
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
lo n g d e la p o u t r e
81
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T r a n s f o r m a t io n s f INTÉGRALES Ce chapitre a pour objectif de présenter des techniques de calculs qui consistent à transformer la fonction inconnue f d ’une EDP en une nouvelle fonction F via une association de la forme : f » F
fQ K(X, x )f(x )d x
:X h
(5.1)
où K(X, x) est appelé noyau de la transformation. Un des intérêts de ce type de transformation peut être de diagonaliser un opérateur différentiel (le laplacien pour la transformée de Fourier, la dérivation en temps pour la transformée de Laplace) et de remplacer des opérations différentielles par des opérations algébriques (produits par des polynômes). Le lecteur pourra trouver plus de précisions dans [6] et des résultats plus poussés dans [1].
5.1 T ransformation
Fourier
de
La transformée de Fourier est définie comme étant à valeurs dans C (même pour des fonctions à valeur dans IR), on considérera donc par défaut des fonctions de à valeurs dans C.
5.1.1
T ra n s fo rm é e d e F o u rie r d ’u n e fo n c tio n in té g ra b le
Soit
u€¿'(R ^). On pose* : Û(co) = ( T ( u))(oj) =
Étant donné que De plus : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
u(coeRd (5.2)
f
JRd \e~,Xül\= 1, la définition a bien un sens.
(5.3) Ainsi, ||m||l ~ < N |¿ i. Proposition 5.1. L ’application :
T : Û -> L°° fl C° U
h->
ü
(5.4)
est linéaire et continue. d t. x ' ù) = ^
x¡ù)i est le produit scalaire euclidien.
/=1 83
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
On peut même préciser Vespace d yarrivée avec la propriété suivante (RiemannLebesgue) : \u( cj)\ — >0 (5.5) \c o \
—*+oo
Démonstration. Pour la démonstration, on travaille dans D{Rd), puis on utilise la
densité de D(]R
f
g - e - *
lUk J ! dxk
\ m
\
<
1 II d v —> 0 N I IIdxk L\ N-H+oo
Par densité, pour Compte tenu de :
u Ù{üj)
eL 1, il existe v dans D ( R d) arbitrairement proche.
(Û(CO) - û(ùj)) + v(üj)
=
on a : |Û ( a > ) | <
dv
U-
H
:
N I dxk que l’on peut rendre aussi petit que souhaité pour \a>\ suffisamment grand. D éfinition 5.1 C o-tran sform ation
On définit la co-transformation T par : f '■C —> Ù
(5.6)
fRrl Û(co)e+iwxdAOJ
P ro p o sitio n 5.2. Translation et symétrie
i.
Translation : pour
h
ii. Déphasage : pour
eR d
he Rd:
:f h{x) = f ( x - h), T(fh) = < F (e~‘
iii. Dilatation : pour a e R : T { f{ax)) = ¿¡!F(/)(^). iv. Symétrie : f(x) = f( - x) , T(u) = f( ü) . t( ï ï) = T(u),
= T(ü).
P ro p o sitio n 5.3. Formule d ’échange
Soient u et v dans O . Alors : I ûvdA = I , uvdA J JlR<' 84
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(5.7)
5.1. Transformation de Fourier
Démonstration. fRj û udA = fR(/ u(x)e lXÜJdAxviojjdA^. O r: \u(x)e~'xt°v((o)\ < |m(jc)d(û>)| Comme (x, a») i-> u(x)v(a>) est intégrable sur (R^)2, on peut appliquer le théorème de Fubini et intégrer dans l’ordre de son choix : f
f
JRd J R*
u(x)e IXÙ>dAxv((o)dA,w >
=
f
f
v(co)e ,XÙ>dAU)u(x)dAx
JR d JR d
= f
vudA
I
■
JR
J Rd
ûvdA
(5.8)
= f uûdA JR*
Proposition 5.4. Dérivation de la transform ée de Fourier d ’une fonction
Si (XjU) G Ll(Rd), alors û est dérivable par rapport à ojj et : dû - — = - i x jU
(5.9)
d ù )j
Démonstration. On veut dériver fRll u(x)e~a wdAx par rapport à (Oj. Pour appliquer le corollaire du théorème de convergence dominée de Lebesgue, il faut regarder si la dérivée partielle est intégrable, ce qui est bien le cas, puisque : âu(x)e~ixùJ - |xj-m(x)| dojj On peut donc permuter intégration et dérivation :
u(x)e
dA}
Jdù)j ~ JiRrf Î ‘
du(x)e~ix<0 ■ LR d
dA, = - i I Xju(x)e ,xtodAx J Rd
d it)j
Proposition 5.5. Généralisation aux dérivées d ’ordre supérieur
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
d
Pour tout multientier a = (ai, . . . , aj) de f îd tel que |or| - ^ a, < k et /=1 (xau) = x“1... xa/u (x) € L{(Rd), alors, û e C k et : âMT(u ) = (-i)MT (xau) d(oa
(5.10)
Proposition 5.6. Transformée de Fourier d ’une dérivée
> , 'du Si u € Cl fl U et - — dxj
G
, Ll, alors :
(OjÛ e L°
et
du uo ¡u = - — dxi
(5.11)
85
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Démonstration. Il s’agit d’une intégration par parties : 7T= OXj
f
J Rrf
= [u{x)e-'™}X ^ l -
ÔXj
1
iX j^ -c o
f
j Rrl
u(x)(-iùjj )e~ix'0JdXx
Pour conclure, il faut montrer que le terme entre crochets est nul, on va donc montrer que u(x) 0. Xj~>± oo
u étant C 1 : CXj du u(x) —u(xi , . . . f 0, . . . , X(i) + I (-^î »• • • i yjj • • • >Xd)dÀyj J o ayj du Comme - — € L1, sa limite quand xj —> +oo existe. dxj u admet donc une limite en ±oo, et, comme u e L1, cette limite doit être nulle. du Par suite, u -> 0, le terme entre crochets est nul et donc : - — = iojjù(oj) *,—>±00
m
dX j
Proposition 5.7. Généralisation d
Si u e Ck, alors, pour tout multientier /3 de f id tel que |/?| = 1=1
ù /r(u )e L °°
et
imù fr{u ) =
(5-12)
Théorème 5.8. (Dirichlet) Inversion de la transformée de Fourier
Si f et f sont dans Ü , alors : f = T ~ lf =
1
rf
(5.13)
(2n )d
Démonstration. Ce résultat sera démontré dans
Étant donné que 0 6 L1, si f = g alors f - g = 0 e t f - g = 0. La transformée de Fourier est donc injective dans Lx. Proposifion 5.10. Transformée de Fourier et convolution
La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions f et g de Lx{R rf) est égale au produit des deux transformées de Fourier f*~g = f 9 86
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(5.14)
5.1. Transformation de Fourier
Démonstration. Soit ( / , g)
L'(Rd)2. En reprenant la démonstation de l’inégalité de Young (C.17), on voit que la quantité ( x , y) h-» f(x - y)g(y) est intégrable sur (R.d)2, propriété inchangée par la multiplication par une exponentielle complexe, on peut donc appliquer le théorème de Fubini dans l’expression suivante :
f*g=
f
€
e~,XÙ>
JW
=
f
e -* “
JW
=
f
f
f(x - y)g(y)dAtJdAx
JW f
e-i(x-^ f(x -y )g (y )d A xdAtJ
JW
e~"JW
JW
f
e~'ZÜ>f(z)dAzg(y)dAy = fg
JW
5.1.2 T ra n s fo rm a tio n s u r les fo n c tio n s à d é c ro is s a n c e ra p id e On voit que Ü donne un cadre général pour définir les calculs, mais pose problême, puisqu'il n'est pas stable par transformée de Fourier. On préfère travailler sur d'autres espaces, « plus petits » (mais qui héritent de toutes les propriétés précé: dentes). Théorème 5.11. La transformée de Fourier est un automorphisme de S(Rd). Démonstration. Voir l’exercice corrigé 5.1.
■
Remarque 5.1 D ans cet espace, toutes les h ypothèses des théorèm es (dérivabilité, m ultiplicabilité par un p olynôm e) sont autom atiquem ent vérifiées. La stabilité par m ultiplication perm et m êm e d ’obtenir une relation donnant la transform ée d ’un produit, égale au produit de convolution d es transform ées.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Notation C om m e S(Rd) est un sou s-esp ace de L^IR^) on peut appliquer le (•, -)Li) à des fonctions de S :
produit scalaire L2 (noté
f fgdA
(5.15)
v (/,< ? )
€
S(Rd)2 : (f, y )L 2
-
Théorème 5.12. Formules de Parsevafi et de P lan ch erez
Soit f et g deux fonctions de
<5-16)
f. Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755-1836), mathématicien français. Il a apporté des contribu tions à l’étude des équations différentielles linéaires, à l’intégration, et, bien sûr, aux séries de Fourier. $. Michel Plancherel (1885-1967), mathématicien suisse, spécialiste d’analyse harmonique, de physique mathématique, mais aussi algébriste.
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
et : №
=
<5 I 7 >
Démonstration. On utilise la proposition 5.3, avec g = h (que l’on peut trouver grâce à l’automorphisme), qui conduit, grâce au théorème 5.8 et à la proposition 5.2, à :
*‘ 5 7 * On a alors : < /,* )* - I f m
- / R/ t a
- fjM
, - J L
= ¿ j( /. 4 .
Remarque 5.2 L a fo rm u le p r éc éd en te m on tre q u e la tran sform ation d e F ourier e s t c o n tin u e d e
S(Rd) d an s
lu iv m êm e q u an d o n m u n it l ’e s p a c e d e la to p o lo g ie in d u ite par c e lle d e L2( R rf). C ’e st m ê m e une
isométrie (au
facteu r
1 p rès). (2 nfl1
Remarque 5.3 Il est p o s s ib le d ’u tiliser u n e
définition alternative d e la
tran sform ée d e Fourier, afin d ’o b ten ir
u n e iso m é tr ie (sa n s facteu r correcteu r), et p ou r la q u e lle la fo rm u le d ’in v er sio n est sy m étriq u e
CF'1 = f ) : ^ a lte rn a tive \
_
I
jRd o u b ien :
u{x)e~2ml0Xdx
1 (In)*2
f
u(x)e-i(0Xdx
( 5 .1 8 )
( 5 .1 9 )
T o u tefo is, c e s d éfin itio n s m o d ifie n t le s résu ltats ex ista n ts (ty p iq u e m e n t, un fa cteu r apparaît d an s la tra n sfo rm ée d ’un p rod uit d e c o n v o lu tio n ).
5 .1 .3 T r a n s fo rm é e d e F o u rie r-P la n c h e re l La densité de SÇRd) dans L2(R.d) et la continuité de T et T~i sur S(Rd) permettent de prolonger T et sur
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5.1. Transformation de Fourier
La démarche de construction de la transformée de Fourier consiste à montrer que Von peut définir une fonction f e L2 comme la limite (en norme L2) d'une suite de fonctions (fi)nen de L1 fl L2 (typiquement fn = fx[-n,n])- On montre alors que, pour tout entier naturel n} fn converge (dans L2) et on définit la transformée de Fourier de f comme la limite de cette suite, ce qui, au final, revient à définir : T ( f ) = lim
f
e~iù)'xf(x)dx
(5.20)
" - + « > J [ _ , V z]
Si f est absolument intégrable, on retrouve alors une expression qui ressemble beau coup à une intégrale de Riemann. Par abus, on s'autorise fréquemment à utiliser la notation (5.2).
5 .1 .4 T r a n s fo rm é e de F o u rie r d es d is trib u tio n s Étant donnée la propriété d'isomorphisme de la transformée de Fourier sur
Notation Pour S e S'(Rd) et 0 € 5(Rrf), on pose :
{§,) = {S,
(5.21)
Remarque SA Naturellement, si S s’identifie à une fonction / , alors : S = /. Proposition 5.1 B. T est un isomorphisme de S'. Les formules sur le déphasage, la
|
translation, la dérivation, sont encore valides sur S'.
o
| Proposition 5.14. Cas des distributions à support com pact
Si T 6
|O |
alors, f est une fonction C°° et :
i- î((o) = (T,e~i“-x)
2 ii. i
da>k
89
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Exemple 5.7 i. T(ô) = T(ô) = 1 : la transformée de Fourier transforme l’élément neutre de la convo lution en l’élément neutre de la multiplication. ii. Dans R (i.e. en dimension 1), posons : T(\) = S. Alors :
r
= T( 0) = 0 = i # ( l )
Par suite : a>S = 0 et S = cô (cf exercice 4.3). Il en résulte :
(T(l),e-x2/2) = {cô, e~x l2)= c = <1, T { e - x1'2)) = <1, V 2^-"2/2) = V2Í
f e - “ 2/2dÀ = 2 n
Jr
Ainsi* : 1) = 2nô
iii. Dans R^ : T( 1) = (2n)dô.
Remarque 5 .5 Le calcul de la transformée de Fourier d’une convolution de distributions peut poser quelques difficultés (on n’est pas assuré que la convolution de deux distributions tempérées existe, il faut un support convolutif). Quand tout est bien défini, la transformée de Fourier transforme le produit de convolution en multiplication et la multiplication en produit de convolution.
5.2 T r a n s f o r m a t io n
de
La pla c e
Le problème majeur de la transformation de Fourier est qu ’elle nefonctionne simple ment que dans S (ou S f). Si la dépendance en espace conduit souvent à des fonctions dans Sf ce n'est pas le cas du temps où on rencontre fréquemment des phénomènes à croissance exponentielle. L'idée est alors de multiplier la fonction à étudier par une exponentielle décrois sante en temps, de manière à ramener le problème dans S et pouvoir y appliquer la transformée de Fourier Si la transformée de Fourier fonctionne bien sur des grandeurs vectorielles (donc dans un espace à n dimensions)y la transformée de Laplace s'applique principale ment à des fonctions d'une variable'scalaire (le temps). D'autre part, la transformée de Laplace s'applique à des problèmes dont l'état est connu pour t < 0 (c'est l'hypothèse de causalité). t. L’utilisation d’une des définitions alternatives de la transformée de Fourier symétrique donnerait 1 au lieu de 2n.
90
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5.2. Transformation de Laplace
On considère donc systématiquement u(t) = 0 pour t < 0, et on travaille sur des fonctions, ou des distributions, dont le support est limité à gauche (D+(R) et £)+(R)j. Il est fondamental de noter que la convolution est bien définie dans £)+(R) (qui forme pour la convolution une algèbre commutative d'élément unité ô).
5.2.1 D é fin itio n s Notation Pour toute distribution T e £ )'(R ), on définit Vintervalle d ’existence de la transformée de
Laplace de T par :
h = {f € R, e-S’T e 5')
(5.22)
Proposition 5.15.
i. It est un convexe de R (un intervalle) qui peut être vide. ii. Si T G £>+(R), It est soit vide, soit de la forme [£o> +°°[ ou ]fo>+°°[ avec f t e R u {-oo}. Démonstration. i. Soit (£i, £2) € /^. Il faut montrer que, pour 9 e]0 , 1 [ : £ = 0£ i + ( l - 0) f t e / r
é~& Posons : fi(t) = —7- -----7-. H est infiniment dérivable, à valeurs dans [0, 1] et à variations lentes. e~t'T = n(t)e~^'T +n{t)e^2,T e S'(R )
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ii. Dans le cas où T € £>+(R), on considère
/7(0 =
4 > ( t ) e ~ {^
et on pose : ù t
où est une fonction C°° à support limité à gauche, qui vaut 1 sur un voisinage de supp(r). ■
Remarque 5.6 i. Si T e fî'(R), alors h = R. ii. Si T g
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Exemple
5 .2
Si /(/) = e~'\ alors // = R, mais si fit) = e'2 alors // = 0. Définition 5.2
La transformée de Laplace d’une distribution T e O'(IR) est définie, pour et p =f +i q e C, par
£{T){p) = T ( e ^ T ) ( n )
e
/7-,
(5.23)
Exemple 5.3 Transformée de Laplace de la distribution de Dirac Compte tenu de /¿> = R : £ W £ + ip)
= T(e^'ô)in)
rm ù = 1
(5 -2 4 )
P ro p o sitio n 5.16 . On admet le résultat de régularité suivant
pour T e £>'(R), £ (T ) est une fonction complexe de la variable complexe p, holomorphe dans /7 + ® c C t Définition 5.3
On appelle abscisse d ’existence de £ (T ) la borne inférieure de / 7- : £0 = inf(/r).
P ro p o sitio n 5.1 7.
i. Injectivité : £ (T \) = X fT f) sur / 7-, n ii. Dérivation : si T €
dk /ink
If2implique \R), alors — r£,{T) = { - \) k£ {tkT) D
Démonstration. i. L’injectivité de la transformée de Laplace est une conséquence de celle de la trans formée de Fourier sur les distributions tempérées. ii. La dérivation est à prendre au sens de C (on utilise à cet effet le changement de variable (f, rj) —> {p, p), qui conduit à
= -(c% - idfj). Le calcul utilise la
dérivation sous le signe intégral et les formules de la dérivée d’une transformée de Fourier. ■ f. L’holomorphie est une extension de la notion de dérivabilité aux fonctions de la variable complexe. Cette condition est beaucoup plus forte que la dérivabilité dans R, puisqu’une fonction holomorphe sur un ouvert de C est e,i.e. indéfiniment dérivable et égale au voisinage de tout point de l’ouvert lytiqu an à la somme de sa série de Taylor.
92
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5.2. Transformation de Laplace
Remarque 5 .7 D a n s le ca s d e fo n c tio n s, par e x e m p le , /
e Ljoc(R )
et
f(t
< 0 ) = 0 , on p eu t interpréter la pp
tran sform ée d e L a p la c e c o m m e le p r o lo n g e m e n t a n a ly tiq u e d e la tran sform ée d e F ourier d e / (d é fin ie sur l ’a x e im a g in a ire) au d em i-p la n £ > £ 0. L’a b sc is se d ’e x iste n c e £o est alors d éfin ie c o m m e la b orn e in férieu re d e l ’e n se m b le d es £ rendant
e~&f(t) à
cr o issa n c e le n te (i.e . b o rn ée par un p o ly n ô m e ) (c e qui revien t à dire q u e
O n a alors :
£(f)(p) =
f
f(t)e~pidt
(5 .2 5 )
JlR+
5.2.2
P ro p rié té s
Dans ce qui suit, T e i)'(R ) désigne une distribution. On se place sur /7 supposé non vide. Proposition 5.18. Transformée de Laplace de la dérivée d yune distribution
Soit T' la dérivée par rapport au temps de la distribution T. Alors : /7 pour Ç e It : £(T')(p) = p£(T)(p) £(T w )(p) = pk£(T)(p),
c
Ij>, et, (526)
*€N
Démonstration, e &T = (e f'T)' + ¿¡e &T donc e &T' € S' (R) si £ € ï j et £(T')(p) = T(e~^T')(rj) = T{(e
+ ǣ(T)(p)
( 5 .2 7 )
= in T ie -t'T M + Ç£(T)(P) = p£(T)(p)
Remarque 5.8 Transformée de Laplace de la dérivée d ’une fonction © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
E n u tilisan t la d istrib u tion 7 > a s s o c ié e à u n e fo n c tio n / (ca u sa le, d ériv a b le sur R +) sach an t q u e ( Tf Y
= 7 > + [ /](0 )(5
et q u e / ( 0 " ) = 0 par h y p o th è se d e ca u sa lité , o n retrou ve la fo rm u le
d e la tran sform ée d e la d ériv ée d ’u n e fo n c tio n :
soit :
£(Tr ) = M T f Y ) - I/K0)X(d)
(5.28)
£ (/') = p £ ( / )- / (0 )
(5.29)
Proposition 5.19. Translation, déphasage, dilatation
i.
Translation : pour h e R, £(Th)(p) = e phC(T)(p)-
ii. Déphasage : pour h e R, £ ( e hlT) = £(T)h ■ 93
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
iii. Dilatation : pour ¡¡e R , £(f(at)) Démonstration. . , ,, , ..tiiicant la translation dans Fourier, On a e-i'Th = e-th{e-&T)h et donc en utilisant £(Th)(p) = e^ hr((e-^ T )h)(v) = e ^ ' ^ T (e^ T M „ , 1 T 1 „ J ’ u n nroduit de convolution Théorème 5.20. Transformée de Laplace d un proau i. Soit T € £>'(R) et S e £'(R). Alors : l j c It*s
(5.30)
£(T * S)(p) = £(T)(p)M S)(p)
(5.31)
et, pour Re(p) € l j :
ii. Soit T € £>;(R) et S e D'+(R). Alors : IT n Is c
I t *s
(5-32)
et, pour Re(p) e î j C\îs : £{T *S)(p) = £(T)(p)-£(S)(p)
(5-33)
Démonstration. On ne démontre que le premier résultat. Si T € £>'(R) et S e fi'(R) : Is = R. Ainsi, si on se place sur l j : é~&T est tempérée et e &S est à support compact. On peut alors définir é~&T * e~&S, qui est une distribution tempérée, e t . e~?T * e-#S = e * \T * S) ce qui conduit à : l j c It*s . Le reste découle des propriétés de la transformée de Fourier.
■
Lemme 5.21. Soit T e D'+(R). Alors :
£(T)(p) = (T ,e-pl)
(5.34)
La notation est à prendre avec précaution puisque e~pt n’est pas dans £)(R), il faut comprendre (T, e-P<) = (e-^T, e-(P-^‘iff) (5.35) oui//e ¿>+(R) est égale à 1 sur un voisinage de supp(T), et Ç\ rend le terme de gauche dans S' (R) et celui de droite dans »S(R), le crochet est celui de la dualité entre S' et S. 94
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5.2. Transformation de Laplace
Théorème 5.22. Valeur initiale
Pour une fonction f causale dérivable dont la dérivée est intégrable sur R + : lim fit) - lim f -£(/)(£) 0+
(5.36)
>+oo
Théorème 5.23. Valeurfinale
Pour une fonction f causale dérivable dont la dérivée est intégrable sur R +, qui admet une limite en + o o t ; lim f{t) = lim p £ if)ip )
f—>+oo
p
(5.37)
—>0
Démonstration. Sachant que ✓ M-oo
£ { f)ip ) =
fit)e~ p,dt = p £ if)ip ) - / ( 0+)
Jo
et que l’on est dans les hypothèses du théorème de Lebesgue pour permuter limite et intégrale, alors :
i. pour p —>0, on a : r*+00 r*+00 f'(t)e~pldt —> f ( t) d t= lim / ( i ) - / ( 0+) J
ii. pour p ->
o
Jo
' ^ +°°
+oo : r
*+oo
Jo
f ( t ) e - p,dt ^ 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
On donne une seconde démonstration du théorème de la valeur finale qui ne re quiert pas la dérivabilité de la fonction.
Démonstration. On pose : lim fit)
t —>+oo
Soit s > 0, d’après la définition de la limite, il existe A > 0 tel que : W>A,
|f’- / ( / ) | < !
f. Remarquons que pour que la fonction ait une limite en +oo, 0 doit nécessairement appartenir à l’intervalle d’existence et il faut que les pôles de la transformée de Laplace soient tous strictement négatifs ou éventuellement de partie réelle nulle mais non conjugués.
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Comme f0°° pe p,dt = 1, on a :
p
£ № p ) 1= <
K Jo 1 Va
\
jo
+00
I
r*+oo
p e ~ pt f ( t ) d t \ = 1 I
1
{ ( - f ( t ) ) p e ~ p t dt\
Jo
p+oo
l i - f ( t ) \ p e ~ pt d t + J
Ja
pA
< 211/llco J
£
\ ( - f ( t ) \ p e ~ p l dt
p + oo
pe~ptd t + - J
p e ~ p , dt
< 2 | | / | U ( l - « _pA) + |
A étant fixé : lim (1 - e~pA) = 0 = > 3p0 > 0, 1 - e~pr>< —
VRe( p) € [0, p0]
Par suite, pour Re(p) 6 [0, po] :
\{-p £ (f)(p )
+! =e
Exemple 5.4 L e th é o rè m e p erm et d ’affirm er q u e la fo n c tio n d on t la tran sform ée vau t — ------ — a p ou r p(p + 2 ) valeu r fin ale
2
Par co n tre, il n e s ’a p p liq u e p as à la fo n c tio n d o n t la tran sform ée vau t —------- — , p u isq u e P\P ~~2 ) le p ô le en p = 2 im p liq u e q u e la fo n c tio n ten d vers l ’in fini en t -> +oo (m ê m e si la lim ite en 0 d e la tran sform ée m u ltip lié e par
5.2 .3
p e x iste ).
In v e rs io n
La question que Von se pose ici est, connaissant une fonction holomorphe dans une bande de C, à quelle condition est-elle la transformée de Laplace d }une fonction (conditions de comportement à Vinfini) ? Les formules pratiques de transformée in verse font appel à des propriétés des fonctions complexes de la variable complexe non abordées ici. En pratique, pour inverser une transformée de Laplace, on identi fie des fonctions connues (en général des fractions rationnelles réduites en éléments simples). 96
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5.2. Transformation de Laplace
Définition 5.4 Étant donnée une fonction G de la variable complexe p , on appelle original de G la fonction g telle que G = JXg)
(5.38)
T héorèm e 5.24. Dans ce qui suit, G désigne une fonction holomorphe que Von étudie sur son domaine d’holomorphie (bande parallèle à Vaxe imaginaire).
Qe- Re(/?)ûr /.
5/, pôwr tout p du domaine d ’holomorphie de G : \G(p)\ < --------— , alors, \p\2 l ’original g est continu et à support dans [ o r , + o o [ .
ii. S’il existe une fonction polynomiale (fpoi de la variable p telle que, pour tout p du domaine d ’holomorphie de G : \G(p)\ <
e-R
alors, l ’original g est dans L+, et à support dans [a , + o o [ . iii. S’il existe un réel strictement positif a tel que, pour tout entier naturel n, il existe une constante positive Cn telle que, pour tout p du domaine d’holomorphie de G :
Qn e\Re(p)|ûr \G(p)\ <
(1 + \p\r
alors, l ’original g appartient à D (R ) et est à support dans [ - a , a[. iv. S’il existe un réel strictement positif a tel que, pour tout entier naturel n et tout p du domaine d’holomorphie de G : (p)< C(1 + \G
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
alors, l ’original g appartient à fî'(lR) et est à support dans [ a , a[. On donne une formule d ’inversion à titre indicatif. En pratique, on se ramène à des transformées inverses de fonctions connues.
T héorèm e 5.25. Pour une fonction f continue, causale, a support compact, telle que : t„ — £(f){ico) € L l(R )e tT (f ) 6 L 1(IR)
OJ on a
fit) =
e,wl£if)(ioj)doj
(5.39)
97
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Remarque 5.9 Rappels sur la décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples U ne fraction rationnelle R est le quotient de deux p olyn ôm es P et Q :
<5'40> D ésign on s par nP le degré de P , et par nQ celu i de Q. On exclu t le cas où la fraction rationnelle R p ossèd e une partie entière, en supposant nP < u q .
Premier cas : décomposition en éléments simples dans C C étant un corps algébriquem ent clo s, le p olyn ôm e Q p ossèd e exactem ent hq racines co m p lexes
z \, ...» zllQynon nécessairem ent distinctes.
S i on d ésign e par Icq < iîq le nombre de racines distinctes de Q , et, pour tout i de {1, . . . , &g}, par ai la m ultiplicité de la racine z, :
kQ
hq
Vz e C :
Q(z) =
La décom position en élém ents sim ples de
f[(z -
/=1
zù = f ] (z " Zi^ ‘
(5.41)
1=1
R(z) dans C
est de la form e :
_^G_ _Ç*i_ r c '7 /=1 7=1
(Z ~ ZiV
(5.42)
où les C i j sont des constantes à valeurs dans le corps C.
Deuxième cas : décomposition en éléments simples dans R Désignons par Icq < nP le nombre de racines distinctes de g, et, pour tout i de {1, ..., par ai la multiplicité de la racine x¡ ; Q se factorise sous la forme : kQ
V a:
g
kç),
lQ
R : Q(x) = ] ~ [ ]” [( a - x¡)ttl ( a3 x2 + b j x + c j f j
(5 .4 3 )
/=1 7=1 où le s
{ cl j a 2
+
b j
x+
C j),
j = 1, . . . , / q , son t d es p o ly n ô m e s irréd u ctib les d e d eg ré 2, qui
ap paraissent a v ec la m u ltip lic ité /? 7 lorsq u e l ’o n fa cto rise Q.
La décomposition en éléments simples de R(x) dans R est de la forme : kQ
/=1 7=1
^
lQ
Xi)J +
Pi
Djj x + E¡j (üíx2 + bix + c¡)i
où les Cij, D¡¡, Ejj sont des constantes à valeurs dans le corps R .
98
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(5.44)
Exercices
5 .2 .4
F o rm u la ire fit)
£ if )ip )
m
;
tH(t)
»
V
0
S
jt
P >0 0
fit
№
S
e~a,H(t)
JTa
P>~a
fe ~ a,H(t)
(p+n),,+l
P>
cos
(bt)H(t)
î> > °
p W
sin(bt)H(t) e~atcos(bt)H(t) e~at sm(bt)H(t)
a
P >0 P >0
p+a
(p+aŸ+tf P>
a
P^
a
(p+a)2+b2
Exercices Q | Inversibilité de la tra n sfo rm é e de Fourier d a n s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
L ’objectif de cet exercice est de montrer que la transformation de Fourier est un auto morphisme (application linéaire bijective d ’un espace sur lui-même) de iS(IR), espace des fonctions à décroissance rapide (espace de Schwarz).1234 1. Montrer que / € / €
_£
ipdéfinie sur R par
3. Montrer que
99
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Pour / € *S(R),
a€ R, et
f
In(a) =
f(A)
5. Montrer que, pour tout entier naturel non nul
n eN , on considère
et
Jn(a) =
f(a + Jr
) = J „(a). :
M A) =
)
et en déduire que Jn(a) = fR f (a +f )<£(£) En appliquant le théorème de Lebesgue C.6, montrer alors que : lim Jn = 2 n f(a ) U— >+00 6. Montrer par utilisation du théorème de Lebesgue que :
lim i m n— *+oo
= cr f m
En déduire la formule de réciprocité sur
On considère le problème suivant posé sur R : du • dt
d2u _ dx2 u(0, x) = uq(x )
constitué de l’équation de la chaleur unidimensionnelle, assortie d’une condition ini tiale. 1. Donner l’équation satisfaite par la transformée partielle : (t, y)
h
*
u(t,
y ) =I
Jr
e~'x,Ju(t, x)dx
2. Déterminer, pour tout (t, y), l’expression de à(t, y), et en déduire celle de u(t, x) pour tout (t, x).
(HD Lien entre tra n sform é e et série de Fourier Dans cet exercice, on considère des fonctions de la variable réelle, à valeur dans C. T étant un réel strictement positif, une fonction / sur R est dite T -périodique si : VxeR :
On désigne par / 7- = /¡[o,r] la restriction de / à [0, fonction. 100
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f(x+
appelée aussi motif de la
Exercices
On suppose que f T e L2([0 ,T]), et on désigne par Z^.(R) l’ensemble des fonctions T-périodiques dont la restriction à une période est de carré intégrable. On rappelle l’expression des coefficients de Fourier exponentiels de / : p
1
I
r/'.
Jn = —¡= f(x)e Vt J[o,rj
— 2 in n \
T dx
et
1
\
1
>5
lin n x
S f - — ) f ne t Vf ^
La série de Fourier S /, donnée par :
converge vers / dans L |(R ). Si / est de classe C 1 par morceaux, la série de Fourier de / converge simplement vers la régularisée de / :
Si, de plus, / est continue, la convergence est normale. 1. Résultats préliminaires (a) Montrer que L2([0, T]) c L'([0, T]). (b) Montrer que
est une famille orthonormale de fonctions de V / n e Z L |(R ), puis la relier à un problème de Sturm-Liouville* et en déduire qu’elle constitue une base hilbertienne de L|(R ).
(c) Montrer qu’une fonction périodique non nulle et bornée / ne peut pas ap partenir à L'(R), L2(R) ni tS(R), mais, par contre, qu’elle peut être inter prétée comme une distribution tempérée ( / e S' (R)). (d) Montrer que Tiôa) est la distribution associée à x i-» e~mx et que : © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
T(eiaùJ) = 2 nôa (e) Déterminer la transformée de Fourier d’une fonction périodique en identi fiant la fonction à sa série de Fourier. 2. On définit la distribution « peigne de Dirac » (ou distribution de Poisson) par :
n ir = 5 ] <5«r neZ
(a) Montrer que III7 est une distribution tempérée. f. Les problèmes de Sturm-Liouville sont abordés dans le chapitre suivant.
101
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
z (b) Soit
f(x + nT). n est T-périodique.
(c) Déduire du développement en série de Fourier de PÎ(x) que :
(d) En déduire que ^ (I I I t-) = 2^111^. (e) Retrouver le lien entre série et transformée de Fourier en montrant que :
f = fr * in T 3. Application : déterminer la figure de diffraction if/ d’un réseau unidimensionnel de fentes rectangulaires. On rappelle : (5.46) où tf/Qest le module de l’onde incidente, À est la longueur d’onde, L la distance à l’écran ; X parcourt le réseau, et y parcourt l’écran. t est le facteur de transmission du réseau, on suppose que celui-ci est constitué de fentes de largeur 21 séparées de d et donc que :
Q ) Principe d’incertitude d’Heisenberg
Cet exercice a pour but de démontrer une formule proche du principe d ’incertitude d ’Heisenbergf On va montrer que le produit de la variance d ’une fonction de *S(R) par la variance de sa transformée de Fourier est nécessairement plus grand qu’une constante, ce que l’on peut traduire par le fait qu’une fonction brève en temps (petite variance) a nécessairement un spectre de Fourier étalé (et vice-versa). Soit
f. Werner Karl Heisenberg (1901-1976), physicien allemand. Il fut l’un des fondateurs de la mécanique quantique, ce qui lui valut, en 1932, le prix Nobel de physique.
102
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Exercices
2. En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis l’égalité de Plancherel, mon trer que : dt|û>202(o»)|
\t2
|
\
3. Montrer que l’égalité est atteinte pour \â fonction gaussienne :
t h-* f(f) —
_£ e 2 V2?r
On rappelle que les résultats suivant sur la gaussienne : {¡/{to) = V2/re-S5"
et
| ip(t)dt = 1 Jr
Systèm e d ’O D E par tra n sfo rm é e de Laplace
On considère le système masses-ressorts-amortisseur de la figure 5.1.
Figure 5.1- Système masses-ressorts-amortisseur
Il est régi par le système différentiel :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
(m ÿ = 1 mx = - k x +
-k y +
-
- x) + f
où x et y sont les fonctions inconnues du temps ( > 0), avec les conditions : *(0) = -y(0) = a,
x(0) = y(0) = 0
La fonction / , qui dépend du temps t, est supposée connue, tout comme le réel a et les constantes positives m, k, y. Utiliser la transformée de Laplace pour résoudre le système différentiel. On prendra y = Vmfc et /(i) =
(t) et oH F m
on posera ^ = co^. 103
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
ÍÜ Ü T ra n sfo rm é e de Laplace et équation d e s o n d e s
Soit
c
une constante réelle strictement positive.
Utiliser la transformée de Laplace pour déterminer la solution / : R + x R + —» JR. de l’équation des ondes unidimensionnelles
$J_= l& l dt2 ° dx1 qui satisfait les conditions : fi x , 0) = ^ ( x , 0) = 0 ' / ( 0 , t) = v(t)H(t),
dx
v fonction donnée
lim f(x , r) = 0
V/ e R +
T ra n sfo rm é e de Laplace et so lu tio n p ériod ique
Cet exercice a pour but d’étudier la solution du problème des ondes de tractioncompression dans une barre de longueur finie 0: (x,0 e [0, V où
L]x R +,
§ - ~ c2§
=
c>0 est la célérité, supposée constante.
On commence par deux questions préliminaires : 1. Soit / une fonction causale et pour a 0>, la fonctio pour t > aet 0 pour t < a.Exprimer la transformée de Lap de celle de / . 2 . Soit / une fonction causale périodique sur R +, de période 0. On définit la fonction causale f (extraction de la première période) : 0
t <0
pour
fit) pour € [0, T]
fit) = 0
nour
>
Montrer que :
-et m » =
■£>
On revient au problème de la barre. On considère les conditions initiales et limites suivantes fix , 0) = 0 Vx eR+, l d f (x, 0) = 0 dt
' ;
/ ( 0,/) = 0
W e R +,
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-df i L , t ) = mH(t) dx
Exercices
où H est l’échelon de Heaviside. Autrement dit la barre est initialement au repos, le déplacement est nul à gauche et un effort d’intensité m est appliqué brutalement et maintenu en L. Soit F la transformée de Laplace (en temps) de / . Soit C la variable de Laplace, F est donc une fonction de x et p, typiquement
3. Montrer que F est solution d’une équation différentielle ordinaire (EDO) en x paramétrée par p 4. Donner la solution générale de cette EDO en x, penser que les “constantes” peuvent dépendre de p. 5. Utiliser les conditions aux limites pour déterminer complètement F. 6. Par identification, déterminer la fonction / .
On pourra exploiter la relation suivante :
Pour aller plus loin
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Des exercices supplémentaires corrigés sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Corrigés
1. Soit f e 5(R ) : ttpf ^ \ t ) est C 00 et intégrable Or : t t"f(t) est intégrable, ce qui implique que / est n fois continûment dérivable. / est donc C°°. Par ailleurs : i / (,,)i = i / (n)w i = f
f n\t)e~a ,d t ^ J \f in)(t)\dt < oo
Par suite : \ f {n)it)\dt
l/K
ce qui garantit la décroissance rapide. Le même raisonnement s’applique aux dérivées de / , qui est donc bien dans S(R ). _£ 2 . x h
> 0
Donc (j) e *S(R). De plus, (x, y) i-> e de Fubini : f e~Tdx = ( JR
étant intégrable sur R 2, on peut appliquer le théorème
e~Tdx
WlR
= ( f e~ ^ dxdyj2 = 3.
f
= 0
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J
= V2tt
Corrigés
d’où :
= ae~A2/1 (p(x)dx = V2tt, d’où a = V2Îr, et 0 = y/2n
De plus, 0(0) =
4. I„(a) et Jn(a) existent car / , 0„, / et 0„ sont toutes dans S. De plus : r*+oo f(A)eiaÀ = 1 f(x)e~iÀxdxeiaÀ '-oo f'+OO r*+OO f(x)e-iÀ(x-a)dx = 1 /( Z + a)e~axdX = f(X + a)(A) '-OO J '—o o Jnia) = f f0T+a)(A)4>n(A)dA =: I f(x + a)(j>n(x)dx = Jn(a) KJ
0«(J) =
'R
J
Jr
e~,Àxdx
;
Jr
u
* n
— f e-^e~KAn)undu = n
U a ) = J /( * + a)4>n{x)dx = f f(x + a)n
x= «
6. Le théorème de Lebesgue s’applique, puisque : Vn € N* : \f(a + x)0„(x)| < \f(a + x)|
et x f(a + x) est intégrable sur R. De même : \Ây)4>n(y)e‘ay\< \f(y)\
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Ainsi : lim I f(a + x)(f>n(x)dx = I lim f(a + x)
= f lim lir f(a + -)4>(v)dv n J R ■>+oo = f f(a)
=
f f(y)eiaydy = (Tf)(a) Jr 107
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
Or: lim /„(a) = lim J „(a) Par suite : 2nf(a) = (T f)(a ) = T T f ( a ) => T T =
^ -T = T~l
Le théorème de réciprocité sur é>(R) en découle. [!■&&[
1. On applique simplement la transformée de Fourier à l’équation aux déri vées partielles : dû, A
2.
â +!,“ = 0 En résolvant, pour y fixé, l’équation différentielle portant 1 1-> û(t,y), on obtient : û(t, y) = lûJ Il en résulte : u(t, x)- uq(x) * f l(e y2‘). En utilisant le résultat de l’exercice précédent sur la transformée de Fourier de ¿_ x h î 2 avec la formule de dilatation, on obtient : 1
u(t, x) -
_£
uo() *
V4nt
[!?>$]
1. (a) On applique le théorème de Cauchy-Schwarz : •T
1 2dx = 7 ||/||¿ 2([0ir])
ll/llz.1([0,r]) Ainsi, si
fe L2([0, 7]) : II/ II l 2([0,7]) < 00
Il en résulte : ||/llz.'([0,7']) < °° et / e ¿^ [0 , 7]). L’intérêt de cette question était de montrer que les coefficients de Fourier d’une fonction L2ont bien un sens. (b)
Ainsi, pour m = n : ( _ L ein2nf , - ^ e im2nr ) \Vr
yff
Jl 2[0,T]
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=1
_
4'
Corrigés
et, pour n i m: ^
_ } _ e '" 2 n T '
Vr
Vt
/¿ 2[0,r]
r
i(ii-m )2 jtlf
2ùr(/i - m) ^
]r _ Q
-1°
On considère le problème de Sturm-Liouville périodique :
(E)
d2f
,F ,
I AO) = AT)
(
l f (0 ) =
% )T )
Les solutions sont de la forme :
t
AelÀt + Be~'ÀI
avec (A, B) € C2
Les conditions aux bords imposent : =
( ¥ ï
ce qui conduit à des valeurs propres doubles et des vecteurs propres de la forme i n r t , qui constituent une base hilbertienne. (c) Si / est non nulle : JQT \f(x)\p dx > 0, et donc :
r"(T+l) H/IIzair) = I \f(x)\pdx = +oo JnT Par suite : / £ Z/(R). Bien sûr, une fonction périodique ne pouvant être à décroissance rapide : / 1 S(R)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Par contre, une fonction périodique (suffisamment régulière) peut être considérée comme une distribution tempérée. Typiquement, une fonction périodique bornée peut être majorée par un polynôme, ce qui est un critère pour appartenir à S' (R).
(d) < n ôa) , 0 = (ôa, r m = (Sa, f
JR
E t:
{T(eiato),
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
(e) Si / est périodique et suffisamment régulière, on l’identifie à sa série de Fourier : /= 2 >
¥
ne Z
En appliquant la transformée de Fourier, on en déduit :
f(ü>) = 2 n Y jfnàif. neZ
Autrement dit, la transformée de Fourier est une somme de Dirac (sur les points multiples de la pulsation) d’amplitude donnée par les coefficients de Fourier. On parle de spectre de raies, caractéristique des phénomènes périodiques, 2 . (a) Soit 0 e S( R). Alors : ( in r ,
ne Z
Comme 0 est à décroissance rapide, on peut trouver A e R tel que, pour tout entier n : A I
110- 0nlli,~(R)
- *
0
11(1 + JC2) ^ - 0n)H¿«(R) —» 0 il en résulte :
№ T )-M k T )\<
110- 0/lll¿”(R) 1 + (IcT)2
puis : (LU7",
\
(.y ~ x)
Le majorant tend vers 0 lorsque (y - x) -* 0. On peut raisonner de même sur les dérivées. 110
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Il0"lb '([«r,(n+l)r]) \y~x\
Corrigés
(C)
{ P % = f T PUt)e~'2f Ld t= f T y
r (k + l)T
f*
_nma
_am
0(0« T dt = I
= 2_J I
R
jç J k T
->(¥) Par suite : (k
l i n Ht
\
1 /s / 2 n 7 ï \
P*T(t) = JjP *T)ne— = Z weZ
linnt
^ r F r ^
/i€Z
'
'
(d) On a : (/ \-\^ l2 n 7 ï\ nnnt
Z te Z
weZ
'
'
Par suite, pour t = 0 :
/fceZ
neZ
'
7
ce qui donne : (lU r, 0) = (IU&, $)
H lr = TOdlij,) T
T ~ \\n T)
=
n i 2s
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
T
La parité de LU conduit alors à : F(H I) = îF(ni) et donc, finalement : T (U ÎT) =
2 ^ U l2 s T
(e) La convolution avec un Dirac équivaut à la translation d’une fonction. Ici, on translate donc le motif une infinité de fois. 11]
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
En prolongeant f j par 0 en dehors de [0, T], on obtient : { f T * IH r )( x ) =
* f T){x )
neZ
= YjénTiy), fr(x - y)) neZ
= Y j ('ô^ )’fT (x -(y + nT))) ne Z = J ]fT (x -n T ) ne Z
On peut décomposer tout x e R de manière unique sous la forme :
x = xq + kT,
*o e [0, T[, k e Z
Ainsi :
(fr * UI:r)(-*o + kT) = fy(xo) = f(x o) et : / = S t * fflr
Par suite : f = 2nfr.UÎ2„,T La transformée de Fourier d’une fonction périodique est donc celle du mo tif dont on extrait (via le peigne) uniquement les valeurs à des fréquences qui sont multiples de la fréquence de base. La valeur de la fonction en ces « pics » est égale aux coefficients de Fourier. 3. On a t = III,/ **[-/,/]• Le calcul de diffraction est un calcul de transformée de Fourier :
m
=
O r:
t = 2nX[-l,l].Ul2n/d 112
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Corrigés
Il reste donc à calculer la transformée de Fourier d’une fenêtre, qui fait appa raître un sinus c ardin al : X h ïj] =
I X[-i,i](x )e~iùJXd x
JR = J
e~mxd x = J
sin cos (cox)dx = 2 -------- = 21ù) = 2Î = 2 / sinc(iu/)
cos (
- ùjx) + i sin (-ii> x)dx
(0 )1)sin col
1. Une intégration par parties conduit à : f JR
-
2t
Comme
k
0 >
2(' , i‘" î 1 = 4 ( X * f<' )H
!<4I
t24>2{t)dt J "
Par isométrie (Fourier) :
£ < p'2№
=2. £
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et donc
dco
f
I J \
\t2J \>'((o)\2 d u
De plus : f Ur(o»)|2 do) = f \a>2 ]R
|2 dco
vR
Il en résulte : dco
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
3. On a :
X
2( t) d t =
¿X e 1y/2n 12Vtt Jfir C /y
«2 du 2 ¿
n
1 2 y/n
et : =
± l t2e 2 n JR
00
1
f » Ml
2/r
2
4
i l f X(‘ - T 2 n JR f ( e -dt T1 1 i 2 n JR
'idt= -
yf
Finalement : œ2\j/2(aj)dt= 2
f
u)2i¡/2(ú))dt n
JR _
~T On pose (variable
v = x -y e tu = ,oyx+n note en majuscule les transformées de Laplace p).
On a :
I
mv = -kv
-
2 t] ù
+
mü = -ku + /
et : w(0) = 0, v(0) = 2a,
) = £>(0) = 0
En appliquant la transformée de Laplace, on obtient alors : r (mp2 + 27 + k)V = 777— + 2inap P
(mp2 + k)U = — P puis :
V=
1_______/Fo + 2ap (p2 + 2cüop >0P + ûJq) \ P
U=
Fo p(p2 + Í02)
ce qui donne :
F0 U= P(P2 + u 20)
Fq/ ù)qF qp/ ùJq (P2 + oj20)
114
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Corrigés
On en déduit : u(t) = ^ H ( t) ( l- c o s ( L ü 0t)) coi, Sachant que (
p 2+
2o)0p +cüq) =
(p + ,on a auss
F0 + 2ap2 _ F o H | 2a - F q/ oj2 p(p +
F q/ ^ q + 2a P
0)q )2
P+ 0)Q
(p + (Jo)2
Par suite : vit) =
- \ m )(l - e°** - co0te-wot) + 2aH(t)e-bJot (1 - coQt) F
Et, finalement : X(t)
u +v =
—
u —V
y(t) = —
(2 - cos(cüot) - e-W0' -
=
t+ a e ^ (1 - "oO
\2 cûq Fo ( mt + o)qte "°f - cos(o)ot)} - ae —^ ^2o»0
=
^ Soit p i-* F(p, x) la transformée de Laplace de de ti-* vit)Hit).
i-» fi t,
(1 -
et
h*
0 V(p) ce^e
En appliquant la Transformation de Laplace à l’équation aux dérivées partieHes ini tiale, on obtient : 2F 2 à f f - ' ÿ =0 ce qui conduit à : F ip,x) = Aip)e-cx + B i p ) e ^
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
La condition lorsque x —> + o o implique Bip) = 0, et on a donc Aip) = V ip)\ ^ reste à conclure en reconnaissant la transformée d’une fonction translatée. F(p, x) =
V ip)e~'x
puis : f i t ,x ) = l>( !• £ ifa )= Î fait)e-P 'dt = T f i t - a) e~p 1dt J R+ J R+
f
f fiu ) f i u ) e- p(l,+a) du = e~pa JR+-a J R+ où on a utilisé la causalité de / pour ramener le domaine d’intégration à R +. =
edu = e
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Chapitre 5 • Transformations intégrales
2. Soit /T-périodique, r
p ï.
£ (/)=
r(n+l)T
f(t)e -r 'd t= Y
f(t)e~pldt JnT
+oo =Z I n=0 ( +0°
+oo ~ m e - p(l+nT)dt = Y j e-P"T f{t)e~p ,dt /1=0
I
\/i=0
dF. d2F m 3. On a p2 F - cL— r = 0 avec F(0, p) = 0 et — (L, p) = — dx dx2 4. Cela donne : F(x, p) = A(p)e ^ + B(p)e‘r 5. On a A(p) + B(p) = 0 et -A(p) e~^ + B(p) e'r =
T?f \ = — mc — -----1 - ([ec^ - e F(x,p) Z7 e c + e c
donc
c)
6. On en déduit _3 Lp
me R i - p± \ e f - e F^ p ^ = - ^ { ec ~ e c ) ~ — n s F 1- e c (L-x)p (L+x)p me e c —e c —e p2( 1 - e~~ e v
v
(
(3 L-x) p
c
+e
(.v+3 L) p \
c
J
4L On reconnaît une fonction------périodique, constituée de la combinaison de 4 c rampes retardées. 4L On travaille sur 0 < t < — à x fixé (0 < x < L) : 0
L-x t— c 2L 3L + x
si SI SI
-t
SI
0
si
0
L-x
L-x L+x ------ < t < -------c c L+ x 3L- x ------ < t < ---------c c. 3L - x 3L + x -------- < t < --------c c 3L + x -------- < t
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MÉTHODE DE SÉPARATION DES VARIABLES La séparation des variables est une technique simple permettant l ’obtention de so lutions d’une équation aux dérivées partielles. Elle connaît actuellement un grand intérêt pour la résolution des problèmes non linéaires multidimensionnels à grand nombre d ’inconnues.
Considérons une une équation aux dérivées partielles dont l’inconnue est une fonc tion / de deux variables x et t, posée sur un domaine prismatique Ix x It, où et I, sont des intervalles de R. On suppose qu’au moins un des intervalles est borné : Ix = [a, b] , -oo < a < b < +oo et que VEDP est « séparée », i.e. de la forme :
ai'W 0 +
h(0 0 + a2( x ) | F - + b2( t ) ^ + (a3(x) + b3(t))f(x, t) = h(x, t) (6.1)
Le principe de la séparation des variables est de chercher une solution sous la forme : (x, t)
f( x , y) = Y j f ‘(x ’ 0 - X i /€ N
ie N
Différentes approches sont possibles, en fonction de l’espace dans lequel évolue la solution. La méthode employée ici consiste à construire, dans un premier temps, la fam ille des fonctions (X/)/6n (qui constitue en fait une base hilbertienne d ’un espace bien choisi), puis à déterminer les ( r ,-)/e]n et» finalement, à étudier la convergence de / \
la série de fonctions
2>
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
V ie N
Les annexes (B et C) donnent des résultats importants pour la compréhension de ce chapitre.
6.1 Fonctions Soit X une fonction de x 6 dans R. On définit la fonction
à variables séparées Ix,à valeurs dans R, et Y une fonction de X®
X ® Y : Ix x Iy -* R (x,y) ^X (x)Y(y)
Yde 1
’ 117
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Iy,
Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
D éfinition 6.1
L’opération ® est appelée produit tensoriel (ou produit direct). Une fonction de la forme X®Y est appelée dyade, ou fonction à variables séparées. Définition 6.2
T (IXx Iy) étant un ensemble de fonctions définies sur Ix x à valeurs dans R, on définit l’espace vectoriel engendré par les dyades de fonctions de T (JX) et de T {Iy\noté T ( l x) ® T iff), par : V/ €
T(Iy),3Ne N, 3(Xf-, F , ) i e
T( I X)®
x
T( Iy) f :
N f(x,y) = J ] x i(x)Yi(y)
(6.3)
i=1 L’espace ^ ( / A) 0 ^(7^) est appelé produit tensoriel de T (IX) et T (Iy). Remarque 6.1 T ( I x) 0 T(Iy) est un sou s-esp ace vectoriel de T { I x x Iy)• L’adhérence de T { I X) ® est constituée par l ’ensem ble des séries de fonctions conver gentes à variables séparées (dans un sens à préciser : convergence sim ple, quadratique, uni form e).
Lorsque Ix et Iy sont de longueur finie, un cadre particulièrement favorable est L \ I X x Iy). En effet : P ro p o sitio n 6.1. i. L2(IX) ® L2(Iy) est dense dans L2(IX x Iy). ii. L2(IX) ® L?(ly) est muni d ’une norme (la « crossnorm ») qui coïncide avec la norme usuelle de L2(IX x Iy).
Il* ® niz2(W®z2(/,) d= № ( / , ) ! № ( / , ) = P ® Ultfovxi,) iii.
(6‘4)
L2(IX) ® L2(Iy) peut être muni d ’un produit scalaire qui coïncide avec celui de L \ h x Iy)
: Y2)L2Ux)zi2(Iij)= V i , X 2)L2Ux)(Y i , Y2)L2W
= (Xi ® iv. Si (X,),€N
,
® Y2)L2(IxXiij)
une èuse de L2(IX), et ( Y j) j^ une base de L2(Iy), alors
(X¡ ® L/)(,j )
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6.1. Fonctions à variables séparées
Démonstration. Les premiers résultats proviennent directement de la construction de l’intégrale de Lebesgue en dimension 2. Pour montrer que (X,® F;)(,j)eNxN forme une base hilbertienne, il suffit de montrer qu’aucune fonction de L2(IXx Iy) ne peut être orthogonale à toutes les fonctions de la famille. ■ Dans ce chapitre, on sera en capacité d’exhiber une base de l’espace L2(IX) (grâce à l’hypothèse d’intervalle spatial borné, le temps étant en général un intervalle de la forme [0, +°o[).
Remarque 6.2 On considérera, par la suite, des fonctions du temps t et de la variable d’espace x. Il est possible de travailler sur des fonctions de l’espace à 2 ou 3 dimensions grâce à la propriété 6.1, qui autorise à utiliser la forme séparée a priori. Reprenons l’équation aux dérivées partielles de référence. L’absence de termes en dérivées croisées (dxdt) peut être obtenue par mise sous forme standard, qui assure, en outre, que le terme a i ne change pas de signe. On suppose donc celui-ci positif. Par linéarité, on commence à s’intéresser à l’existence de solutions du problème homogène 'Ph constitué de l’équation
ai(x)X"(x) T(t) + bx(t)X(x) T" (f) + a2(x)X'(x) T(t) + b2(t)X(x) T'if) + (a3(jc) + b3(t))X(x) T(t) = 0 assortie de conditions homogènes sur le bord de Ix, notées C#, sur une dyade (x, t) hh> X(x)T(t) non trivialement nulle, ce qui conduit à :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
b\T"{t) + b2T'(t) + b3 = m
axX"jx) + a 2X'(x) + a3 x{x)
Le membre de gauche ne dépend que de la variable t, et celui de droite ne dépend que de la variable x : chacun de ces deux membres doit donc être égal à la même constante A € R :
bi T"(t) + b2T \t) + ¿3 m ~
a{X"(x) + a2X'(x) + a3 X(x)
(6.7)
avec, toujours, les conditions homogènes sur le bord de IX,C^ Par suite :
aiX"(x) + a2X'(x) + a3
= -A=> axX"{x) + a2X'(x) + a3 + AX(x) = 0
( 6 . 8)
119
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
rx (J2({/) , En introduisant la fonction x i-» p(x) = e-™ lJ, puis, en posant î
ai
, wu
obtient :
Ix r>lx CH
+ q^ X + ÀS^ X = 0
(6.9)
qui est un problème aux valeurs propres particulier en (A, X) appelé problème de Sturm-Liouville. Sous certaines hypothèses, assez faibles, le spectre résultant est discret : (/!,-),eN> et les fonctions propres associées forment une base hilbertienne de l’espace L2(IX)K À l’aide de cette base, on cherche les fonctions (T,-)/€ff telles que l’équation aux dérivées partielles non homogène et les conditions initiales soient respectés.
6.2 P ro b lèm e
de
S t u r m -L io u v ille
On étudie dans cette section le problème aux valeurs propres exhibé précédem ment (6.9). On donne, pour différentes configurations, les résultats d’existence de bases propres hilbertiennes. Dans ce qui suit, on travaille sur un intervalle I de IR, p désigne une fonction po sitive de classe C1, q une fonction continue, et s une fonction continue et strictement positive. On introduit l'opérateur de Sturm-Liouville S £ , défini par :
“ » -K s i'f M
<6-io)
et le problème aux valeurs propres associé :
S£(X) +
=0
(6.11)
L’opérateur S £ est a priori défini sur l’espace des fonctions de classe C2 sur R. f. On remarque que s > 0 et q = a^s. f. On rappelle que L\{IX) est l’espace de Hilbert formé par les fonctions dont le carré pondéré par la fonction s est intégrable, voir la remarque B.3
120
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
On plonge cet espace dans le produit scalaire :
).
(
L2(I),et, à l’aide d’intégrations par pa
f r s { i { pï h
q f) gsdx
f f c é [ p% ) + ‘" f s ) ‘u df
¡ i fU
p î ) +,,9fs) d x - pgT x - p f Tx Jdl
( /, S £ (g ))L2(I)
df dg P9Tx - p f Tx ai
Dans la suite, on choisit l’intervalle I et les conditions aux limites tels que le terme de bord s’annule, l’opérateur de Sturm-Liouville est alors auto-adjoint dans ): V(f>9) e £?(/) >
( S £ ( f) , g)L2{,) - ( /,
Le caractère auto-adjoint conduit à l’orthogonalité des vecteurs propres associés à des valeurs propres différentes : si (A, f ) et (ji, g) sont des couples valeurs-vecteurs propres avec A ï n ,on a directement : (Af, 9)l]{I) ~ (S £ { f),
- ( /. S £ (g ))L2(l) - (f,H9)ûsv)
et donc (A - n) ( /, g) ¿2(11 = 0 ce qui n’est possible que si et sont orthogonaux. On se retrouve donc dans une configuration analogue à l’étude des matrices sy métriques en dimension finie. On admet que l’opérateur de Sturm-Liouville (défini sur un espace de dimension infinie) satisfait les hypothèses nécessaires à l’existence d’une base hilbertienne propre dans laquelle il est diagonal.
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Définition 6.3
Soit I = [a, b] c R. On suppose que p est à valeurs strictement positives. Les conditions aux limites sont de type Dirichlet ou Neumann ou Fourier, on les écrit de manière générique sous la forme :
i a 0/(tf) + tfi/'(a ) = 0 \ b Qm + bl f ( b ) = 0
avec (<2o , 0i.^o. ¿h) e R 4/
^
(6.12)
Sous une telle configuration, on parle de problèm e régulier de Sturm -Liouville.
121
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
P ro p o sitio n 6.2. On admet les résultats suivants pour le problème régulier
i.
Il existe une famille dénombrable non bornée de valeurs propres réelles simples Uol < |/li| < ... < |/1„|
avec
lim |/l„| = +oo
n -> + o o
ii. Pour tout entier naturel n, la fonction (pn associée à An vérifie :
d_ dx iii.
+ (q + sÀn)
(6.13)
Pour tout entier naturel n, (pn a exactement n zéros sur ]a, b[ ; de plus, les zéros de
iv. Si
f € L2s([a, b]), alors, la série de fonctions | Ç ( / , >n)L2s(iaM)^nj converge vers
f dans L%([a, b]) (convergence quadratique). Si f est de classe C 1par morceaux, la convergence est simple vers la régularisée .
f ( x +) + f(x~)
Si, de plus, f est continue, la convergence est uniforme sur [a, b]. Définition 6.4
Soit [a, b] g R. p est supposée à valeurs strictement positives. Les fonctions don nées et les conditions aux limites sont supposées compatibles avec un comporte ment périodique : ( p(a) = p(b) q(a) = q(b) { s(a)= s(b)
et
m = fia ) =
(6 .1 4 )
On parle alors de problèm e périodique de Sturm -L iouville. P ro p o sitio n 6.3. On admet que le problème périodique possède les mêmes pro
priétés que le problème régulier, à l ’exception suivante : 4o est une valeur propre simple, mais les valeurs propres suivantes peuvent être multiples. On appelle problèm e de Sturm -L iouville singulier un problème qui ne vérifie pas les hypothèses précédentes. De nombreuses fonctions spéciales entrent dans cette catégorie. On donne quelques cas classiques. 122
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
Proposition 6.4.
On se place sur le segment [-1 ,1 \ et on suppose que, pour tout x de [ - 1 ,1 ]: p(x) = (1 - x2) , q(x) = 0 ,
î (jc)
= 1
Si on cherche des solutions à valeur finie en ±1, on obtient les polynômes de Le gendref (/>n)n6N, pour lesquels : Àn = n (n + 1)
(6.15)
Pour tout entier naturel n, Pn est solution de l’équation différentielle : (1 - x2)P”(x) - 2xP'n(x) + n(n + 1)Pn(x) = 0
(6.16)
et donc : fi*2 - •>"] V a: € ( - 1, 1]
(6.17)
Les polynômes de Legendre forment une base hilbertienne de L2( [ - 1,1]). Pour tout entier naturel n, Pn a la même parité que n, et possède n zéros sur ]-1 ,1 [, qui séparent ceux de Pn-\. Proposition 6.5.
On se place sur R tout entier, et on suppose que, pour tout réel x : p(x) = s(x) = éT*2 , q(x) = 0 Si on cherche les solutions à croissance modérée (majorées par un polynôme) à Vin fini, on obtient les polynômes d ’Hermite* {Hn)n £ pour lesquels :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Àn = 2 n
(6.18)
Pour tout entier naturel n, Hn est solution de Véquation différentielle : H;;(x) - 2xH'n(x) + 2nHn(x) = 0
(6.19)
t. Adrien-Marie Legendre (1752-1833), mathématicien français. Il a apporté de nombreuses contribu tions en statistique, théorie des nombres, algèbre et analyse. t. Charles Hermite (1822-1901), mathématicien français, qui travailla, notamment, sur la théorie des nombres (il a démontré que la base e du logarithme népérien était un nombre transcendant, i.e. qui n’est pas racine d’un polynôme), les formes quadratiques, polynômes orthogonaux, les équations dif férentielles et les fonctions elliptiques. Il fut, également, l’un des premiers scientifiques à utiliser les matrices.
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
et donc : H M =
(- ])’> '
, dne~^
e:ê — —
Vxe R
(6.20)
Les polynômes d ’Hermite forment une base hilbertienne de L2 2(R). e-v //s vérifient les mêmes résultats d ’existence des zéros et d ’entrelacement de ceux-ci que les polynômes de Legendre. Proposition 6.6.
On se place sur R +, et on suppose que, pour tout réel positif x : p(x) = s(x) = e- * , #(;c) = 0 5/ on cherche les solutions à croissance modérée (majorées par un polynôme) à l ’in fini et à valeur bornée en 0, on obtient les polynômes de Laguerre* (Ln)ne^, pour lesquels : Àn = n (6.2 1)
Pour tout entier naturel n, Ln est solution de l’équation différentielle : + (1 - Jt)L'(jt) + nLn(x) = 0
(6.22)
K(x) = - e x {dxn > Sx € R +
(6.23)
jcL"( jc)
et donc :
Les polynômes de Laguerre forment une base hilbertienne de L2_,(R+). Ils vérifient les mêmes résultats d ’existence des zéros et d ’entrelacement de ceux-ci que les polynômes de Legendre et Hermite. Proposition 6.7.
Pour a > 0 et v > 0, on se place sur [0, a\, et on suppose quet pour tout x de [0, a] : v2 p(x) = s(x) = x , q(x) = ---JC
Si on cherche les solutions à valeur finie en 0 et valant 0 en a, on obtient la fonction de Bessel de première e s p è c e d ’indice v, Jv. t. Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886), mathématicien français, qui apporta de nombreuses contri butions à l’analyse et la géométrie. t. Ces fonctions furent découvertes par Daniel Bernoulli, mais portent le nom du mathématicien et astronome allemand Friedrich Bessel (1784-1846) , qui les utilisa pour la résolution de problèmes de mécanique céleste faisant intervenir la théorie des perturbations. F. Bessel effectua notamment, en 1838, les premières mesures précises de la distance d’une étoile à un autre corps céleste. Il calcula également le diamètre et la masse terrestres, ainsi que la valeur de l’aplatissement aux pôles.
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6.2. Problème de Sturm-Liouville
Pour tout entier strictement positif n, la fonction x problème de Sturm-Liouville pour lequel
h» J v( s „ x )
est solution du
=4
(6.24)
où (a sfl)neisj* est la suite (infinie) des zéros de Jv. Pour tout entier strictement positif n, la fonction x i-> Jv(snx) est solution de Véquation différentielle : d l dJv(snx)\ v2 , , 0 Tx 1* dx ~ 7 ,/v(in;c) + slx M snx) = 0 Sx e]0, a[
(6.25)
Jv n’a pas, a priori, d ’expression analytique simple. JYa une infinité de zéros sur R + ; entre deux zéros consécutifs de Jv, il y a exactement un zéro de Jv-\. La suite de fonctions (.x i-» yv(iflx))n€N* est une base orthogonale de L*([0, a]).
Exemple 6.1 On considère le problème de Sturm-Liouville :
d2f (6 ) { d ï +Àf = ° / ( 0) = /( i) cri) /'(0) = / '( l ) (T2)
(6.26)
On reconnaît un problème périodique. Pour chercher les valeurs propres À et les fonctions propres non indentiquement milles / associées, on résout l’équation différentielle (£) et on vérifie à quelles conditions les valeurs aux limites peuvent être satisfaites.
Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
i.
Si À = 0, alors : /(*) = a x + p P = a+p a =a Par suite :
f(x) = P J e
(a,/3) € R2
R*
À = 0 est donc valeur propre simple. Les fonctions propres associées sont les fonc tions constantes non milles. ii. Si À > 0, alors, en posant À = co2, on obtient : p sinh(cu x) a = a co sh (iu ) + p sin h (iu ) [ ù>P = (oa sinh(iu) + a)p cosh(iu) i / ( * ) = ol cosh (û > *) +
(a, fi) € R2
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
La vérification des conditions aux limites conduit au système linéaire : 'cosh(cj) - 1 sinh(ic)) sinh(ij) cosh(üj) - 1 Le déterminant de la matrice vaut 2(1 - cosh(û>)) > 0 ; ainsi, a = fi = 0, ce qui donne alors / = 0 : le cas À > 0 est donc à rejeter. iii. Si A < 0, alors, en posant À = - a;2, on obtient : fix) = a co s (îu x ) + ß sin(cjx) (u,y0) e R2 a = a cosioj) + ß sin(w) ü)ß = -cj a sinico) + ü)ß cos ico) La vérification des conditions aux limites conduit donc au système linéaire : c o s ( îu )
- 1
- sin(¿j)
sin(ûf) -
co s (îl >)
1
Le déterminant vaut 2(1 - cos(o/)). Pour co = 2nn (n e Z), le déterminant est nul, et une solution non triviale est possible. Les constantes a et j8 sont alors arbitraires. L’espace propre associé à la valeur propre Àn = - ( 2nn)2 est donc de dimension 2, une base possible est formée des fonctions x\-> f n,\(x) = ^flsin(2nnx)
et
x i-> f n,2 (x) = V2cos(2n/r;c)
où le coefficient a été choisi de manière à normaliser les fonctions. Cet exemple illustre bien comment les conditions aux limites sur un intervalle borné « obligent » le spectre à ne prendre que certaines valeurs discrètes.
6.3 SÉPARATION
DES
VARIABLES
On a vu que le problème de Sturm-Liouville était posé avec conditions aux limites homogènes sur le bord de Ix. La définition suivante montre que ce cadre n’empêche pas de traiter des problèmes plus généraux. Définition 6.5
On appelle relèvement des conditions aux limites une fonction qui satisfait les conditions aux limites, suffisamment régulière pour être introduite dans l’opérateur différentiel. Soit (x , t)
f r(jc, t) un relèvement des conditions aux bords du système (6.1).
126
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6.3. Séparation des variables
Quitte à poser f(x , t) = /,( x ,t) + / ( x , t) et à remplacer le second membre par h(x, t) = h(x, t) ...
-
+ ü2^~dx +
+
+
f)J
alors, / est solution de la même EDP, avec pour second membre h et des conditions aux limites nulles (voir l’exercice 6.4 pour un exemple de relèvement). On reprend alors l’équation (6.1), où l’on fait apparaître un opérateur de SturmLiouville : S £ ( f) + ù i ( O 0 + * * ) £ + h ( t) f(x , t) = h(x, t)
(6.27)
avec, toujours, les conditions homogènes au bord et les conditions initiales sur
:
' f(x , 0) = fo(x) ot
6.3.1
(6.28)
X0) , =
D é te rm in a tio n d es fo n c tio n s te m p o re lle s
Il semble alors légitime de chercher la solution sous la forme (x,
t)/( x ,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ie N
où (X,),-6in est la base hilbertienne solution du problème du Sturm-Liouville, chaque Xj étant associé à la valeur propre A,. On obtient alors : 2
(S£(Xi)Ti + bl T ,i ,Xi + b2T ,i Xi + b3XiTi) = h(x, t)
i€ n
soit : 2 Z6N
(-AiXiTi+ biT'AXi + b2T'iXi + b3XiTi) = h(x, t)
puis : 2 /eN
(bi
T"
+ b2T[ +( h -
) = h(x, ) 127
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
En exploitant le fait que la famille (X,),-6n est orthonormale^ pour découpler les équa tions, on projette suivant Xj, j e N :
Xj, 2 Xi (bxT" + b2T' + (b3 - Ai)Ti) = (X;, h(x, t))L] (/,) '€n '£?(/,)
(6.30)
ce qui conduit à :
bxT'! + bzT’j + (b3 - Aj)Tj = (Xj, h(x, 0 )L?(/t)
(6.31)
Chaque Tj est donc solution d’une équation différentielle ordinaire {EDO). Les conditions initiales des EDO ainsi obtenues sont également données par pro jection des conditions initiales de l’équation aux dérivées partielles :
f{x, 0) = £ Xi(x)Ti{0) = fo(x) /6n df f
t ix ,
0) = 2
X j{ x ) T 'i
(0) =
=*
Tj(0) = (Xj, M x))L2(I )
=>
T 'j{
(6.32)
g 0 {x)
0) = (xJt jo (x ))№
Les Tj, j e N, sont solutions d’équations différentielles ordinaires avec des condi tions initiales découplées. Ils sont donc entièrement déterminés. La série ^ X, 7) est donc connue. v / Considérons alors, pour tout entier N e N, la somme partielle d’indice N :
f N{x,i) = Y J Xn{x)Tn{t) n
Il reste alors à déterminer si la suite de fonctions (/w)weN converge bien vers la solu tion lorsque N tend vers l’infini, mais aussi quel est le type de convergence (simple, uniforme) et quelle est la régularité de la limite. Actuellement, les seules informations relatives à la convergence sont connues en t = 0 où les 77(0) et 77,(0), « e N, sont issus de la projection de fonctions connues sur la base hilbertienne : si les données initiales fo et go sont des fonctions de L?S{IX), le théorème de Parseval permet d’affirmer la convergence absolue des séries numé riques ^ |T„(0)| et ^ |77(0)|. En fonction de la régularité de ces mêmes données fl
n
Tn(0)Xn
initiales, il y a convergence simple ou uniforme de la série de fonctions
n et £
77(0)X„.
n t. Il ne faut pas oublier de normaliser les fonctions.
128
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6.3. Séparation des variables
6 .3 .2
C o n v e rg e n c e d e la s é rie d e fo n c tio n s
Définition 6.6
Une série de fonctions de terme général (
sp et de somme partielle
11 = £ sp(x) converge uniformément sur [a, b] vers une fonction < P=l Ke N S lorsque n tend vers l’infini si :
x
S„
V £ > 0 , 37V
N , Vn >
g
N , V x e [a, b] \Sn(x) -S (x )\ < £
Proposition 6.8. S'il existe une suite positive {ap)pe^ telle que la série de terme général ap converge
<
+ oo
et telle que :
V N
3 p 0 € N, Sx e [a, b], Vp > p0, |^(x)| < ap
alors, la suite de fonctions x
i->
S„
V
[a,
=^ p=i
b].Onparle de convergence normale.
Sp(x)
converge uniformément sur neN
T héorèm e 6.9. i. Si, pour tout entier naturel p, sp est une fonction continue, et si la suite de fonc tions (S n)nen converge uniformément vers S, alors S est continue sur [a, b].
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ii. Si, pour tout entier naturel p, sp est de classe C 1, si la suite de fonctions (S n)neN converge simplement, et si la suite de fonctions (S'n)ne^ converge uniformément, alors S est de classe C 1, et peN
Les définitions et résultats précédents sont encore valables pour des fonctions de plusieurs variables et la convergence uniforme d’une série de fonctions continues en traîne la continuité de la série, la dérivabilité (partielle) des termes et la convergence uniforme de la série dérivée entraîne la dérivabilité partielle de la série. Remarque 6 3 i. Un cas d’application classique est le suivant : considérons la série numérique, conver gente, de terme général \T„(0)\. 129
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
On suppose, en outre, qu’il existe une constante positive A telle que, pour tout t, on ait : \Tn(t)\ < A|r„(0)|. On suppose, de plus que la série de fonctions ^ Tn(0)Xn converge /t uniformément. Alors, il y a convergence normale (et donc uniforme) de la série de terme général XnTn.
ii. En général, la convergence de la série ^ X„T„ ne pose pas trop de difficultés. Il ne faut n pas oublier de s’assurer de la convergence des séries dérivées.
6 .3 .3 T r o n c a tu re En pratique, on ne calcule que les premiers termes du développement II est donc important de pouvoir évaluer Verreur commise suite à une troncature. Proposition 6.10. Approximation, m esure de Terreur
Supposons qu'il existe un réel A strictement positif tel que, pour tout réel t de It : \Tn(t)\
fp(x,t) = Y J Xn{x)Tn(t) 1=0
/
ainsi que celui concernant la condition initiale : p
P
f p(x) = 2 ( * .. f /
)L2
Xn(x) = 2 Xn(x)Tlt(0) = f p(x, 0)
1=0
/
1=0
Alors\ à t = 0 : \ \ f - f P\\2 = 2 X„T„(0) n>p
= Y j ir«(0)l2 = ll/ll2 - liy?ll2
(6-33)
n>p
et, à t fixé : \\f ( x ,t) - f p(x,t)\\2 = YXn(x)Tn(t)
=2
n>p
|r„(0 l2
n>p
(6.34)
A Y \ Tn m 2 =A (\\f\\2 -\\f¡\\2) n>p
On est donc capable de majorer à chaque instant l'erreur commise en tronquant un développement à l'ordre p. t. Les normes sont au sens de L2S, et les Xn sont supposés normalisés.
1B0
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6.3. Séparation des variables
Exemple 6.2 Propagation de la chaleur dans un barreau métallique On considère un barreau cylindrique métallique, d’axe (Ojc), de longueur L, de chaleur massique c, de masse volumique p, et de conductibilité thermique K. Qn désigne par 0 : ( jc, t) 0(jc, t) la température du barreau. Il est supposé initialement soumis au champ de température 0o • 0(*, 0) = 0o(jc). Les conditions aux limites sont homogènes, de type Dirichlet sur le bord gauche ( jc = 0) et de type Robin sur le bord droit ( jc = L), le coefficient d’échange est noté h. Toutes les constantes introduites sont bien sûr strictement positives. Le problème aux frontières (?y ) modélisant la diffusion de la chaleur dans le barreau est :
de, , d i^ 0 ( 0 ,0
K d^G ^ ( * pc ox¿ =o = —
,0
V * 6 ]0 ,L [, V f> 0
ôG — (L, t) + hG(L, t) = 0
CFÍ)
{Ti)
ox
6(x, 0)
(S )
= Oo(x)
(J)
Pour obtenir de bonnes propriétés de convergence, on suppose que 0o est de carré inté grable et continûment dérivable sur [0, L], et qu’elle vérifie la condition de compatibilité :
~r-{L) + h0o(L) = 0 dx On commence par rechercher une solution de (8) sous la forme : 0o(O) = 0
et
G(x,t) = X(x)T(t)
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Par suite :
X{x)T'{i) = — X"{x)T{t) pc 0o étant non identiquement nulle, il en est nécessairement de même pour X et T. Il existe donc un domaine [a, b] x [t\, ¿2] de R2 où X et T ne s’annulent pas. Dans ce domaine, on a donc : K X”(x) V{t) pc X(x) “ T(t) Le membre de gauche ne dépend que de la variable jc, et celui de droite de la variable t uniquement ; il existe donc une constante À telle que : K X " ( jc) T\t) _ pc X(x) ~ 7X0 “ S’il existe un réel xo en lequel X s’annule, alors, comme T ne s’annule pas sur [t\, Î2L on a: X"(*o)7X0 = 0 La relation — X"(x)-ÀX(x) = 0 pc est donc encore vérifiée. 131
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Par suite, pour tout x de ]0, L[ :
X"(x)-^-AX(x) = 0 Il faut donc chercher des solutions à l’équation différentielle précédente, la forme de celles-ci changeant avec le signe de À9il faut discuter selon les cas. i. Supposons À = 0 ; on aurait alors :
X(x) = a x + p
avec(or,/?) e R2
Les conditions aux limites donnent : ( 0(0,0 = 0 =/? \ de =ï a =p = o — (L, t) + hO(Lt t) = 0 = a + hLa + h/3 Vdx X devant être non identiquement nulle, le cas À = 0 est à rejeter. 0c ii. De même, on exclut le cas À = co2 > 0, car alors : K
X{x) = a cosh(a>x)+ fi cosh(iux)
avec (or,/?) e R2
La condition de Dirichlet en 0 donne a = 0, celle de Robin en L donne alors :
PQi sinh(iuL) + (ocosh(cuL)) = 0 => P = 0 _^ pc 9 P£ iii. — Àest donc strictement négatif, on pose — À = -o r K K 4 On a donc : X(*) = a cos(a>x) + p sin(cu x)
avec (a, P) e R2
La condition de Dirichlet en 0 donne a = 0, celle de Robin en L donne alors :
P ( o j cos( o j L) +h sin(£j L)) = 0 Les solutions non triviales (P ï 0) sont donc obtenues pour : co —+ tan(coL) = 0 h Cette équation admet une infinité dénombrable de solutions que l’on note (con)nen La figure 6.1 représente les solutions cont ne N, pour n = 0,1,2 : ces solutions sont obtenues graphiquement comme étant les abscisses des points d’inter section de la courbe représentative de la fonction co h-> tan(coL) et de la droite représentant , „ co la fonction eu i-> —. h La solution du problème de Sturm-Liouville est donc donnée par : '
-1- Pc X„(x) = pn sin(w„ x)
132
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6.3. Séparation des variables
Figure 6.1 - Obtention graphique des
Pour normaliser les fonctions, on calcule : 1 = fii f sin si (ojfl x)dx Jo _ 02 1 - cos(2^„ x)dxj 2/L _ sin(2o>„L)\ P" \2 4ù>„ ) 2 tm(ù)nL) 2 4ü>n(l + tan2(iu„L)) h 2(h2 + a>2) qui donne l’expression de ßn. On a alors :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Xn(x) =
2 + S in ( iJ „ x ) ' h + L(h2 + a)2)
D’après le théorème de Sturm-Liouville, la famille des (X„);ieN est une base hilbertienne de L2([0, L]). +oo
On cherche alors la solution de YEDP sous la forme 6 = ^ XnTn. n=1 L’équation dans [0, L] devient : +oo +00
puis :
-foo Y j xn(rn + A„Tn) = o n=i 133
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
T'+AnTn = 0
ce qui implique
T„ = Tn(0)e~À"‘ Pour déterminer les r„(0), ne N, on utilise la condition initiale :
0o(x) = 0(x, O) = Y JX„(x)Tn(0) /
1=1
D’après les hypothèses sur 0o> on peut développer cette fonction sur la base et on sait qu’il y a convergence quadratique et uniforme de la série : +oo +OQ 2
T„( 0 ) x „ ( * ) = Y
/1=1
V« € N,
j
( 0 0 . Xn)mio.L]) X „ (x )
/1=1
Tn(0) = (Oqi ^/j)l2([0,L])
D’où, finalement :
0(x, t) = V 2 ^ , . 2 ^", . ( f 0o(y) sin(w„ y)dy\ Sin(iu„ x) e~À"' ¿^h + L(h2 + A„) ( J 0 J
(6.35)
Réciproquement : Vérifions que la fonction 0 ainsi obtenue est bien solution du problème aux frontières initial (?V). Le théorème de Parseval donne \Tn(0)\ = ||0|Il2([o,l]) : il y a donc convergence uniforme n de la série en t = 0. Par ailleurs, les \Tn\ sont des fonctions décroissantes en temps. La série ^ XnTnest donc n uniformément convergente sur [0, L] x [0, + o o [ . Reste à savoir si elle est une fois continûment dérivable. On calcule à cet effet le terme général de la série dérivée une fois en tempsf : Tn = -ÀnTn Pour 0 < to < t, on a : | 7 » | = A„\T„(t)\ = Ane-A^ - ,)\T„(to)\ pour n suffisamment grand le terme en est plus petit que 1 et la série converge comme celle de terme général |T„(io)|. Il y a donc convergence uniforme de la série déri vée sur [0, L]x]0, + o o [ et +oo Jt (x,t) = Y j Xn(x)T'n(t) /
1=1
La fonction obtenue est donc bien solution du problème aux frontières initial (fy).
f. C’est le même terme que la série dérivée deux fois en espace.
134
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Exercices
Exercices
Vibrations libres d’une poutre L’espace euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O;
— ^ ^ ,
On considère une poutre horizontale en équilibre, homogène, de longueur L, de sec tion droite constante, en appui simple à ses deux extrémités. On désigne par E le module d’élasticité (module d’Young) de la poutre, et par I le moment d’inertie de la section droite. En l’absence de forces extérieures, la déflexion verticale au point d’abscisse l’instant tvérifie l’équation aux dérivées partielles :
et à
d 4y
E I —7
+ pS0 dx4
On suppose que, à l’instant initial
(fi)
t =0 : y(x, 0) =
et que chaque point de la poutre est animé d’une vitesse transversale connue :
dy. (x, 0) = i>o(x) dt où «o et vo sont deux fonctions de classe C2 sur [0, L]. Les conditions aux limites d’appui simples se traduisent par un déplacement et un moment nul aux extrémités :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
yi0.
t)=
y{L,
t) =0
52m <92« E I d à (0’t) = E I d à (L,t) = 0
(T)
Déterminer, avec ces conditions aux limites, la solution de l’équation aux dérivées partielles (£). K2J Vibrations d’une membrane circulaire Sion frappe la membrane d ’un tambour en son centre, elle oscillera à des fréquences bien particulières (« les fréquences propres »). Le son émis par le tambour corres pond ainsi à la superposition des fréquences propres, avec, pour chaque fréquence, une amplitude qui dépend de la manière dont on a excité le tambour. Le cas d ’un tam 135
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
bour à cadre circulaire, a été résolu par Rudolf Friedrich Alfred Clebsch^ en 1862. Mais le problème est encore ouvert : en 1966, le mathématicien M. Kac a posé la question suivante : « Peut-on entendre la forme d ’un tambour ? », Le. la forme du tambour est-elle déterminée de manière univoque par le spectre ?[11,13] —^ ^ ^ L’espace euclidien est rapporté à un repère orthonormé (O; i , j , k). On désigne par (r,
f étant une fonction donnée des variables r et tp, de classe C 2, le déplacement vertical d’un point de la membrane et la vitesse, à l’instant t = 0, sont : ( z(t = 0; r, (f) = f(r, (p) \ ^ ( t = 0-,r,
z(t\ r = a,
Remarque 6.4 On se trouve dans un cas où l’espace est de dimension 2. La démarche va être la même : déter mination d’une base de fonctions spatiales puis projection pour déterminer la dépendance en temps. Par ailleurs, d’après les résultats de densité donnés en début de chapitre, il est légitime de chercher une base de l’espace des fonctions spatiales à variables séparées. 1. Pour t > 0, r £ [0, a] et (p € [0 ,2 n], on recherche une solution z du problème homogène sous la forme :
z(t\ r,
136
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Exercices
(b) Montrer qu’il existe deux constantes réelles
telles que :
00 1 d dR + (A -^ )R (r) = 0 _ r dr r dr r¿
(fi#)
(fi*)
(c) Donner l’ensemble des fonctions ( 0 n)n e N solutions de (fi (d) Montrer que, pour tout entier naturel
R est solution de l’équation :
dR f 1 d + 0i - 4 )J?(r) = 0 i r dr r dr =0 Ce problème, quand on lui adjoint la condition de valeur finie de en 0, est un problème singulier de Sturm-Liouville dont on donne les principaux résultats : • Soit Jn la fonction de Bessel de première espèce : T ,
v
"( r )
_ (r\* v (~ 1)Æ ( 2) ^ kl k=0
1 £)! \ 2 /
Jn admet une infinité dénombrable de zéros sur R + notés
N-
• Pour n e N fixé, le problème de Sturm-Liouville ainsi obtenu admet une infinité dénombrable de solutions (A„iP, n avec : \2
Àn’p = ^ v ) '
Rn
• Pour n e N fixé, les (Rn,p)PeN forment une base orthogonale (non nor mée) de Ûr([0, a]).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2. Donner, en fonction de / et des fonctions (0„)„eN et du déplacement vertical z.
_
n 2- l’expression
C a s où l’espace est p ondéré
On considère l’équation aux dérivées partielles pour d2u
2
d2u
e ]l,
€ R+ :
„ du (fi)
avec les conditions aux limites* : u (\,t) = 0 V t > 0 u(e, t) =0 V
0
(C£)
t- e désigne la base du logarithme népérien (ln e = 1).
137
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
et les conditions initiales : [ u(x, 0) = 0 < du ) = /(* )
(CI)
où / est une fonction continue sur ] 1 , e[. On cherche ici à résoudre cette équation par la méthode de séparation des variables, en recherchant la solution sous la forme :
u : (x, 0 h-» ^
Xk(x) Tk(t)
AreN*
1. En profitant de l’homogénéité du problème, on pose directement :
u(x, t) = X(x) T(t) dans (S). Montrer que pour que cette forme séparée satisfasse (£), il doit exister une constante réelle A telle que X soit solution de l’équation différentielle suivante :
x1 X,' + 3xX' =A (Sx) X 2. En utilisant les conditions aux limites, donner les valeurs de X (l) et X(e). 3. Pour résoudre l’équation différentielle (Sx), on utilise le changement de va riable x = ez et on pose Z(z) = X(x). Montrer que l’équation devient : Z"(z) + 2Z'(z)-A Z(z) = 0
(Sz)
4. Donner les valeurs de Z(0) et Z(l).
5. (a) Dans le cas où 1 + A > 0, on pose 1 + A = a>2, o) e R +. Donner alors la forme générale des solutions de (Sz). Ce cas est-il compatible avec les conditions aux limites ? (b) Dans le cas où 1 + A = 0, donner la forme générale des solutions de (&z)Ce cas est-il compatible avec les conditions aux limites ? (c) Dans le cas où 1 + A < 0, on pose 1 + A = -a»2, (o e /?+. i. Donner alors la forme générale des solutions de (£>z)
ii. Ce cas peut-il être compatible avec les conditions aux limites ? Montrer alors que u> = kn, k e N, et donner, pour un entier k, l’ex pression correspondante, notée Zk(z), de Z(z). iii. En déduire, pour un entier k, l’expression correspondante de X(x), no tée Xk(x). Quelle propriété vérifie la famille des (Xk) ? 138
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Exercices
iv. Montrer que les fonctions différentielles découplées :
(Tk)associées sont sol
T'k' - A kTk = 0
(& t )
Donner l’expression des Tk. v. En exploitant les conditions initiales, montrer que : +oo _______ . u(x, t) = V ' — sin í Vl + k2n2 i J sin(fc n ln x) Ùo x { où les Ck désignent des constantes réelles à déterminer. Q B I C o n d itio n s au x lim ites non h o m o g è n e s
Soit a, b, a,
/3,uq et l des réels strictement positifs tels que : an2 > bl2
Résoudre l’équation aux dérivées partielles : d2u , du a a ï + b u + ~dt
0
V(x, t) €]0, /[x]0,
+oo[
avec les conditions aux limites non homogènes Í w(0,
{ n(/, t) =
Vf > 0
t)= uoe
e~V Q U t>0
et la condition lim u(x,
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
t —>+oo
t)= 0
Vx €]0, /[
Pour aller plus loin Un exercice supplémentaire et son corrigé sont en accès libre à partir des pages d’accueil du livre sur le site www.dunod.com
139
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Corrigés
12U Afin de chercher la base des fonctions de l’espace, vu que l’équation et les conditions aux limites sont homogènes, on injecte directement la forme séparée dans les équations : y(x, t ) =X( x) T( t ) Il en résulte : =
X(4)U) m
+pS
T"(t) = 0
La solution devant être non identiquement nulle, il en est nécessairement de même pour X et T. Il existe donc un domaine [a, b] x ] de R 2 où et ne s’annulent pas. Dans ce domaine, on a donc : X(4)0 ) _ X(x) "
pS El
) )
Le membre de gauche ne dépend que de la variable x, et celui de droite de la variable t uniquement ; il existe donc une constante € R telle que : x < 4> ( * ) _
X(x)
pS
H O
El
)
S’il existe un réel xq en lequel X s’annule, alors, comme T ne s’annule pas sur [?i, *2]. on a donc : X(4)r ( 0 = 0 La relation X(4)(x) = AX(x) est donc encore vérifiée. Par suite, la fonction de l’espace doit être solution du système suivant : X {4\ x ) = XX(x)
Vx e]0, L[
- X(0) = X(L) = 0 X"(0) = X"(L) = 0 Cette équation différentielle ordinaire du quatrième degré fonctionne comme un pro blème de Sturm-Liouville. Le polynôme caractéristique est : r4 - À Les solutions diffèrent selon le signe de A. 140
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Corrigés
i.
Si A - 0, on a
(a, b, c, d) e R 4
X(x) = a + bx + ex2 + dx2
Les conditions aux limites conduisent àa = b = c = d = 0. Ce cas est à éliminer.
ii. Si A < 0, on pose ô = |/t|“ L On rappelle que les racines quatrièmes de (-1 ) sont les complexes ±e'% et ±e'~F. On a donc : _£gff 1 -=VT X(x) = ae^ + be s + ce* + de 6 ( a ,b ,c ,d ) € C \ Im(X) = 0 J
Les conditions aux limites en 0 donnent : X(0) —ü + b + c + d —0 X"(0) = -^(a + b - c - d ) - 0 donc a = -b et c = -d. Donc
X(x) = a { e y ’i - e ^ ) + c0 A - ■e*i.-'T , »
.•TT
»
y TT
r i3 ;r
X(L) = a(ese 4 - ese 4) + c(e^e 4
e*e 4 ) = 0
r ,(L) = ^ i « ( ^ e'f - e ^ h - c i e *
=
0
ce qui donne directement a = c = 0. Ce cas est également à éliminer.
iii. Si A > 0, on pose 6 - A~X Les racines du polynômes sont r = ±ù_1 et r = ±iô~l. Les solutions sont de la forme :
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
X(x) = a cos ^ j + b sin ^ j + c cosh ^ j + d sinh ^ j
(a, b, c,d) € R
Les conditions en 0 donnent : X(0) = a + c = 0
X"(0) = ^ ( - a + c) = 0 d’où a = c = 0. Alors les conditions en L donnent :
X(L) = b sin ^ j + d sinh ^ j = 0 r U ) = ^ ( - i s in ( | ) + rfsmh ( | ) ) = ° 141
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Comme sinh ï 0, alors : d = 0. Finalement, pour obtenir une solution non triviale, il faut que - e ttN* ô On pose alors :
ök = - , kn Xk(x)
= ^
k e N*
si” ( £ )
Les Xk, k e fi, sont normalisés au sens du produit scalaire de l’espace L2([0, L]), dont ils forment une base hilbertienne. On cherche alors la solution sous la forme
(x, t) i-> y(x, t) = ^ Xk(x)Tk(t) ken* On reprend l’équation initiale :
â*y dx*
p s d2y E l dt2
On utilise alors l’indépendance des Xk pour se ramener à des équations scalaires dé couplées : El V *eN *, o = T'k' + -— Tk PS ô k
Tk(t) = 7*(0) cos
El
V Sót J
pSôt 1 -Tk(0)sin El
Les constantes s’obtiennent par projection des conditions initiales : hoO)
= y(x, 0 ) = 2 Tk(0)Xk(x) ken* («0, ^ ) ¿ 2([0,¿]) - 7*(0) vo(x) = ^ ( x ,0 ) = J ] Tk(0)Xk(x) ken* (vo, Xk)L2([0,L]) = Tk(0) 142
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p S ô î)
Corrigés
Au final, la solution est donc donnée par :
y(x, t)
La majoration
VfceN*, sup IX*7*| < x,t
|7*(0)| +
L2
pS
,
k2TT2
permet de conclure à la convergence de la série de fonctions grâce à la convergence des séries numériques en t = 0. La figure 6.2 représente les trois premiers modes (normalisés) de vibration de la poutre.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
F i g u r e 6 . 2 - L e s S p r e m ie r s m o d e s d e v ib r a t io n d e la p o u t r e
W Èi\
1. (a) Le problème étant à symétrie circulaire, on a Vr > 0 r [0, ] V
=m
I
R "(r)
0(
&(
1 = -T " (t)R (r )0 (
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
La solution étant non identiquement nulle, il existe un domaine l / i . ri\ x [y?i, (pi\ x [ii, Í2] où R ,0 e tT ne s’annulent pas. Sur ce domaine, on peut écrire :
R"(r) 1 R'(r) 1 0"(
R"{r) R(r)
1 £(T) r R(r)
1 * > ) = I = r2 0(
S’il existe un réel
2 R !\r) R(r)
2
R \r) R(r)
0(
Le membre de gauche ne dépend que de la variable r, et celui de droite de la variable
2 R "(r) R '(r) , 2 r ------- + r tttt + Ar R(r) R(r)
¡X € R
d’où le système spatial découplé annoncé. (c) Grâce aux résultats démontrés plus haut, on a donc, pour tout
0 ”(
V
Il est nécessaire de discuter en fonction du signe de /x
-
¡x = 0 alors 0 = a
-
0 o(
1
y¡2ñ
si ¡x < 0 la solution fait apparaître des fonctions exponentielles réelles qui ne peuvent satisfaire la périodicité.
144
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Corrigés
-
si p = u)2 > 0 avec a>> 0. Les solutions sont alors de la forme :
) + /? sin(ai<£i) La 2tt périodicité implique
= V2cos (ntp)
neN*
et
(d) Pour tout entier naturel n, grâce aux résultats précédents, on a : 2 R"(r) R'(r) 2 2 r —— +T + A r = rr Rir) R(r) On y ajoute la condition limite en a et la considération physique que R doit être continu et borné en 0, R est alors solution de : '1 d f dR r d r[ dr
R(r) = 0
R(a) = 0 R(0 ) < oo D ’après l’énoncé, pour n fixé, les solutions sont discrètes (indicées par p e N*) :
© Ounod. La photocopie non autorisée est un délit.
An , p
-
r i-> R„,P(r) Les premiers modes de la membranes sont représentés sur les figures 6.3, 6.4, 6.5, 6.6. 2. On cherche alors la solution sous la forme : (t; r,
2
Rn,P(r) (*n<(P)Tn,p(t) +
(n,p)eNxN*
145
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
On injecte cette forme dans YEDP : n - a _ — d2z ° Az c2 dfi
=
E
T*-p ( K p
(/î,/?)eNxN*
; K ,p
^R'n,p ®n +
+ tn,p [K ,p =
e
(K
t ">p
(n,p)e NxJN*
p
*n
E
+; K ,p
*n
-
'
*»./»
(n,p)6NxlN*
Rn,p
j - ¿Tn.pRn.p&n
4 Rn,P «2^») - ^ K p R n . p ^ n
+ -r Rf„tP è n - j 2 Rn,Pn2^
(*«(-
V » .P- \ °
'
(RnÀn,p)zw et K
^2
r
+ f„ ,p (/?"p
=
+ \ Rn,p < ) - ^KpRn.P^n
'
T 'n'.p)
- ^ f ; ' pRn,p0 n
+& n ( - Àn,Pf n,P -
j K p )
* » L n étant des bases’ on a :
V(n, P ) € N x N*
0 =
c2À„,pTn
Tn,p(t) = r„ tP(0) cos(c ypÇ^t) + — j = T ' np(0) sin(c Cy^ritp et de même pour les f„iP. Les constantes sont déterminées en projetant les conditions initiales :
f{r,
=
E
RnAr)(*ni
(n,p)e NxN*
V(n, p) 6 N x N*
Tn.piO) - ( ( / , ^ ) ¿ 2 ([0i2^]))¿2([0|a])
0 = —(/ = 0; r, y>) =
E
*».p W ( 0 '< W , î>(°) + ^ Î ' . / O ) )
(«,p)eNxN*
V(«,p) € N x N*
n iP(0) = f ; p(0) = 0
146
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)
Corrigés
$o((t>)Ro,2(r )
$oW>)Æo,i(r)
(X J
Figure 6.3- M o d e ( 0 , l ) d u t a m b o u r
Figure 6.4- M o d e ( 0 , 2 ) d u t a m b o u r
Figure 6.5- M o d e ( l . l ) d u t a m b o u r
f i9 u r e 6 6 ~ M o d e ( l, 2 ) d u t a m b o u r
1. On injecte la forme séparée u(x, t) = U(X)
dans (S) :
X T " = x2 X "T + 3 x X ' T
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
puis :
J1// x2X" + 3xX' = A€ R X Y 2. Les conditions aux limites conduisent à : X(l) = X(e) = 0 3. On pose
x = ezet X(x) = Z(z)
x2 X” + 3
x X ' - A X = Z" + 2Z' - AZ 147
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
Z(0) = Z( 1) = 0 5. L’équation caractéristique de (fîz) est donnée par :
0 = r2 + 2r - A Son discriminant réduit est : 1 +A (a) Dans le cas où 1 + A = o>2 > 0, les deux racines réelles distinctes sont
r = —1 ±a> ce qui conduit à :
Z(z) = e~z {Aeù)Z + Be~ü)l) où A et B sont deux constantes réelles. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A + B = 0 Z(l) = e~l (Ae‘° + B e-w) = 0 ce qui conduit nécessairement à A = B = 0 et il n’existe pas de solution non triviale. (b) Dans le cas où 1 + A = to2 = 0, la racine double est r = -1 , ce qui conduit à: Z(z) = e~z (A + B z) où A et B sont deux constantes réelles. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A = 0 Z(l) = e~1 (A + B) = 0 ce qui conduit nécessairement à A = B = 0 et il n’existe pas de solution non triviale. (c) i.
Dans le cas où 1 + A = -o ? < 0, les deux racines complexes distinctes sont r = —1 ± i(o ce qui conduit à :
Z(z) = e~z (A cos ((oz) + B sin (cdz)) où A et B sont deux constantes réelles. 148
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Corrigés
ii. Les conditions aux limites imposent alors : Z(0) = A = 0
Z( 1) = e“1 (B sin (ùj)) = 0 Pour obtenir une solution non triviale on doit donc avoir : sin (eu) = 0
=>
ai = kn, k e N*
Il en résulte :
Zk(z) = Bke~z sin (knz) iii.
D
Xk(x) = Zk(z) = Z*(ln x) =
sin (kn ln x)
les (Xk) forment une base hilbertienne de L?x([\,é\), ils sont orthogo naux au sens du produit scalaire associé : pour k t k’,
(Xk, Xk')Li([i,e]) = J" xXkXk'dx = 0
Les vecteurs sont normalisés en choisissant
Bk = '¡2 On peut retrouver le bon espace en mettant le problème de Sturm Liouville sous forme canonique :
S£(X) : x i—>x2X" + 3xX' = X - ((x3X')') et on identifie p(x) = x3, q = 0, î (*) = x. iv. En injectant la forme ^
XkTk dans (6 ), on obtient :
ke N‘
T''Xk = Y j^ X k’ + 3xX'k)Tk = J ] AkXkTk jfceJN keN* ]T (T ,k'-AkTk)Xk = 0
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2
teN*
keN*
L’indépendance linéaire des X* conduit alors à :
T,k' - A kTk = T,k' + ( l + k 2n2)Tk = 0 de solution générale : ji/ /q \
Tk(t) - Tk(0) cos( V l '
+ k2n2t] + k - sin [ V l + k2n2t\ ' V l + k2n2 V > 149
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Chapitre 6 • Méthode de séparation des variables
v.
Les (7*(0)) et (r'(0 )) sont déterminés à l’aide des conditions initiales. La première condition initiale (u(x, 0) = 0) impose directement Vit e W , Tk(0) = 0. La deuxième condition initiale impose ensuite : r\ 4 -0 0 ^ (x ,0 ) = Y J T'km k{x) = f(x) at
k=1
On projette cette équation sur la base hilbertienne
r k(0) = (Xk, f ) L2{[l
u(x, t) = Y j Ck k=1
fl siu(kjr ln(y))f(y)dy Ck —2
V1 + k2n2
U SI On commence par rendre homogènes les conditions aux limites en cherchant un relèvement (le domaine prismatique suggère une fonction affine de x) :
U(x, t) = «o
- y) + y é_/î,j
U est régulier et vérifie les conditions aux limites. On pose ensuite v = u - U.
v est solution de : d2v a dx2
, dv ( d2U dU \ bc + J , = - [ ‘, l ? + l’u + T j = m (
- f ) + № - « y « -'" )
et doit satisfaire les conditions :
v(0, t) = v(l, t) = 0 lim v = lim u - U = 0
t —>+oo
f —>+00
Vi > 0 V x€]0,/[
On injecte la forme à variables séparées dans l’équation homogène v = XT :
La discussion usuelle sur les conditions aux limites conduit à la base hilbertienne suivante :
ISO
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Corrigés
X„Tn dans YEDP :
On injecte enfin la série ne N
2
((è - ^ T " ) T » + T ' ) X » = «0 ((* - or)«-" ( l - y ) + (b
On projette alors le second membre sur la base : il faut donc calculer les projections de x 1 et x h» j : (X„, l)z,2([o,/]) -
V
t
X sin("'rT ) ‘,JC=
-
(- 1)n)
V2 C' . (
(xn , y) =— - | V l J l H[o,i)) IVlJo
x\ V2/ 1V>+1 sin l nn-]xdx = -----( - 1) V U nn
La projection conduit donc, pour tout entier naturel n, à : _ < ?ü-JL)Tn + T'nj = uo ~ ~ {(b ~ a )e at + (b -/3 )(-l)n+le p‘) 2 2
Par hypothèse : b < 0, ce qui donnerait une exponentielle croissante en solution du problème homogène, incompatible avec l’hypothèse de solution nulle à l’infini. On cherche donc une solution particulière qui tend vers 0 en l’infini, et donc :
Tn{t) =
b- a yfÜ nn b —a
mo—
-at
+ (-!>
n+i
b~P
o-P<
ce qui conduit à :
Étant donné que le second membre est C 1, on a convergence uniforme des séries spatiales. Par ailleurs, les |7’„| sont bornés et décroissants (pour n croissant) ; il y a donc conver gence uniforme de la série de fonctions de (x, t) sur tout segment temporel.
©
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2 b- a v{x, t) = V Ko— *h— - a =ii nn b -
151
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Q uelq ues ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES CLASSIQUES Ce chapitre a pour objectif d futiliser les outils précédemment exposés pour étudier des équations classiques de la physique.
7.1
É Q U A T IO N D E T R A N S P O R T
On reprend l’étude de l’équation de transport introduite à la section 1.2.1
Plus précisément, on s’intéresse, au problème de Cauchy suivant :
\
n(x, 0)
= fi0 (x)
6 R
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
où la célérité c et la condition initiale /¿o sont des fonctions données de l’espace, de classe C 1 sur R. Le fait que la célérité ne dépende pas de n fait qu’une première famille d’intégrales premières est constituée de nappes parallèles à l’axe des ordonnées ( ), l’équation dans le plan (x, t) pouvant se déterminer indépendamment de la solution. De plus, l’absence de second membre fait que les plans = Constante constituent la seconde famille de surfaces intégrales. Les courbes caractéristiques sont donc des lignes sur lesquelles la solution est constante. Le système caractéristique de ( ), qui permet de déterminer la projec tion des caractéristiques dans le plan {x, t),est donné par : dx _ dt c(x) 1
(7.2)
En dérivant la solution le long d’une caractéristique, on retrouve bien la conserva tion de la concentration : | (M(x(t), t)) = df t (x(t), t) + j t ^ ( x ( t) , t) =
dt =0
% (x(t),t) + c(x(t)) ^ ( x ( t) , t) dx
(7.3)
1 53
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Pour calculer la solution en un point donné ( il suffit donc de déterminer la caractéristique qui passe par ce point Cd,de trouver la co caractéristique (jc®, 0) e Cd (autrement dit le pied de la caractéristique) ; on obtiendra alors : K *d,t ) = 0(*°) Il est à noter que cette méthode est une méthode locale.
7.1.1
C as où la c é lé rité e s t c o n s ta n te
Cas d’ un domaine non borné Les courbes caractéristiques C r ont pour équation : x - e t - Constante
Ce sont des droites parallèles les unes aux autres. Pour un point ( Xd,td) donné, le pied de la caractéristique passant par ce poin donc Xj - Xd - c t d Exemple 7.1 Considérons le cas suivant : jUoW - e
-r2
et
c =
1
La solution est alors de la forme : //(*, t) = jtio(* - t) La figure 7.1 représente la surface solution sur laquelle on a représenté la condition ini tiale, un ensemble de courbes caractéristiques et pour l’une d’entre elle des intégrales premières associées.
Figure 7.1- Solution de l’équation de transport avec célérité constante
154
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7.1. Équation de transport
Cas d’ un dom aine sem i-borné On considère désormais le cas où x e [0, +oo[ : (7.4)
p(x, 0)
= po(x) x > 0
i. Cas d’une célérité positive La figure 7.2 représente le réseau des droites caractéristiques, qui est donné par x - e t = Constante. Il est clair que, pour un point (x, t) tel que x - et < 0, la caractéristique passant par le point sort du domaine d’étude par la ligne x = 0 et non sur la ligne de condition initiale t = 0.
t
condition intiale n${x ) Figure 7.2- Les caractéristiques de l’équation de transport de l’équation de transport dans le domaine x » 0, dans le cas d’une célérité constante positive
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Il est donc nécessaire d’imposer une condition limite supplémentaire correspon dant à la frontière x = 0, de la forme :
p {0,f)= p \{t)
(7.5)
Physiquement, cela vient du fait que cette frontière x = 0 est celle par laquelle « l’information » entre dans le domaine considéré. Les caractéristiques sont dites « entrantes », ¡x se déplace de la gauche vers la droite, et sa valeur est déterminée par l’extérieur du domaine.
ii. Cas d ’une célérité négative La figure 7.3 représente le réseau des droites caractéristiques, qui est donné par x - c t = Constante : les caractéristiques sont dites « sortantes », p se déplace de la droite vers la gauche. 155
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Figure 7.3- Les caractéristiques de l’équation de transport de l’équation de transport dans le domaine x > 0, dans le cas d’une célérité constante négative
7.1.2
C as où la c é lé rité v a rie d a n s l’esp a ce
Exemple 7.2 O n co n sid è r e le c a s su ivant :
fio(x) = é~xl L e s co u rb es caractéristiq u es
et
c ( jc)
Cr on t p our éq u a tio n
= x
:
ln(jc) - t = C on stan te
xe~l = A e R L a p ro jectio n d es caractéristiq u es d ans le plan (x, t) fo rm e d o n c un réseau d e lig n e s e x p o n e n tie lle s. P our ob ten ir la valeu r d e la so lu tio n en
(xj, /¿), il
suffit d o n c d e d éterm in er le p ie d ( jcJ}, 0 )
d e la ca ractéristiq u e p a ssa n t par c e p o in t :
x°d = xd e~'d L a su rfa ce so lu tio n a d o n c p ou r éq u ation :
H(x, t) = / / o ( * 0 = e _AV2' L a figure 7 .4 m on tre la su rface so lu tio n sur la q u e lle on a rep résen té la co n d itio n in itia le, un e n se m b le d e co u rb es caractéristiq u es et p our l ’u n e d ’entre e lle d es in té g ra les p rem ières a sso c ié e s.
156
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7.1. Équation de transport
7.1.3
É q u a tio n de B u rg ers
On se place ici dans le cas où la célérité dépend de la valeur de la concentration. On passe donc à un problème quasi-linéaire. On va voir que de nombreuses difficultés apparaissent. V éq u a tio n de Burgers régit, notamment, les phénomènes de turbulence1 : du —
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
dt
du +
=
dx
0
,
x
g
R
,
î
g
R
(7 .6 )
Un des intérêts de l’équation de Burgers est qu’elle peut s ’écrire sous forme conservative :
du
9{
dt +
dx
= 0 ,
x€R ,
e R
(7 .7 )
Si on considère le problème de Cauchy avec condition initiale :
9â + d J à û dt
dx ti(x, 0)
= 0 , x € R, t
R
(7 .8 )
Ho(x)
f. Johannes Martinus Burgers (1895-1981), physicien hollandais.
157
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
les caractéristiques (jcc( î ), tc(s),fic(s)) sont obtenues par intégration de (voir (2.16)) :
dxc = Hc(xc, tc)ds ■ dtc = 1 ds
(7.9)
dfic = Ods Le long d’une caractéristique, ¡ic est donc conservé, et la caractéristique passant par (xj, td) et (jc®, 0) a pour équation :
(xd - x°d) = iu(xd, td)td = Mo(Xd)td
(7.10)
Pour un point (xd, td) donné, le pied de caractéristique xd est donc solution d’une équation qui dépend de ¡iqReprenons le cas où mo (x ) = ; la caractéristique issue du point xd a pour équation :
xc - xd + Mo(x°d) t = xd + e~x°
(7.11)
Dans le domaine où e~$ est très petit (pour |jc®| suffisamment grand) les droites _ O2 caractéristiques, quasiment verticales, sont parallèles ; par contre, dès que e x<> n’est plus négligeable devant 1 , les caractéristiques ne sont plus parallèles et donc se croisent. La méthode des caractéristiques ne peut alors plus s’appliquer : si les ca ractéristiques de pied jci et *2 se croisent en on devrait avoir //(je,) = Mo(xi) et M(xj) = Mo(xi) ce qui n’est pas possible dans notre cas. Il y a apparition d’une ligne de discontinuité, ou onde de choc. Ce phénomène est représenté sur la figure 7.5 où on a tracé le réseau des caracté ristiques, et où on peut observer les intersections. Les croisements de caractéristiques engendrent donc des difficultés supplémen taires nécessitant des méthodes de résolution plus poussées. Ces phénomènes de croi sement ne représentent qu’une partie des problèmes que l’on peut rencontrer lors de l’étude d’équations de transport non linéaires. La non-existence de solutions globales requiert donc des traitements adaptés.
7.2
É Q U A T IO N D E S O N D E S
L’équation des ondes en dimension d d’espace s’écrit : Î £ - c2Au = 0 Vx e R d, r e R dt2 • u(x, 0) = uq( x ) V jc e ^
^ ( jc, 0) dt
= i>o(*)
V j : e R 1'
158
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(7.12)
7.2. Équation des ondes
Figure 7.5- L e s c a r a c t é r i s t i q u e s de l ’ é q u a t i o n d e B u r g e r s d a n s l e c a s o ù
c est la célérité, et uq et pectivement. On suppose aussi, bien sûr, que
vqsont
n o № = er*2
deux fonctions données sur C2 (Rrf) et C uest deux fois dérivable en temps
Définition 7.1
1 L’opérateur □ = — —r c1
d2 Aest appelé opérateur dF
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Pour la suite on étudie le cas unidimensionnel Au =
, ou d ’alembertien.
d2u dx2
Théorèm e 7.1. Formule de d ’Alembert
La fonction u définie sur R x R par u(x,
1 1 t) = {-Uo(x - et) + Uo(x + C 0} + - I 2 c J x -c t
(t) dr
(7.13)
est solution de l ’équation des ondes unidimensionnelle. On propose trois techniques différentes pour démontrer cette formule t. Jean le Rond d’Alembert, 1717-1783, mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.
159
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
D ém onstration . Par un changement de variables
Le calcul des caractéristiques conduisant aux courbes
x ± et = Constante on introduit le changement de variables : f £ = x - et Tj
et
= x + et
u(x, t ) = w(£, tj)
(7.14)
d2u 2 d2u A 2 d2ü â f i ~ c a ï = ~4 c m (S' v) L’équation des ondes devient donc :
d2ü dÇdrj ( M = 0
(7.15)
D’où: «(£, V) = /(£ ) + 9(V) Par suite : w(x, t) = f(x - c t ) + g(x + et)
(7.16)
Il suffit ensuite d’exploiter les données de Cauchy :
u(x, 0) = f(x ) + g(x)
= uq(x)
V reR 0) = c ( - f ( x ) + g'(x)) = V0(x) ce qui implique : f ( x ) + g'(x)
=u'Q(x)
Vx e R c ( - f { x ) + g'(x)) = v0(x) La résolution du système linéaire en /'(x ), g'{x) conduit alors à : /'(x ) = ^ {«'(x) - ^ uo(x) Vx e R
g'(x) = ^ |
mq(x)
+
160
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üq(x) |
7.2. Équation des ondes
D ’où: /(* ) = J U0(x) - Yc fo H O d r + C V jc € R 1
1
ex
g(x) = - u0(x) + — J0 u0(t) d r - C 2 2c où C est une constante réelle. La solution de l’équation des ondes unidimensionnelle est donc donnée par : 1 1 / r x+ct r x~ct \ u{x, t) = - ( uq(x + c t)+ uq(x - c 0) + — I J vo(r) d r - J v0(t) drj
a
Démonstration. Par transformée de Fourier On suppose que u et toutes ses dérivées admettent des transformées de Fourier en espace à tout instant t. On a alors : t ¿2 - ^ ( t , t ) = c2? Û (Î ,t)= 0 V £ e R , i > 0 ûtf.O)
t.
ox
=H O
V^eR
= HO
V^eR
Par intégration, on en déduit :
ú{t,t) = Kx(é)eict t + K2(g)e-ict' où les fonctions K\ et K2 sont déterminées grâce aux conditions de Cauchy, qui s’écrivent alors : j Ki(f) + K2(0 = H O V£ e R
= O o (Î)V ^ e R
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
ce qui conduit à :
KliO = \ H O + Yj-ç H O
e R
k 2(0
€r
= ^HO -
HO
Il en résulte :
(KOt) =
HO + YlcÇôo(^ } g,cSt +
" 2Ï7?
-icÇt
e
= { û o ( 0 { e ^ H e - ^ ‘) + ^ ( e i^ - e - ic^) - HO) C O S ( c Ç t ) +
HO . sin(c^) 161
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
Cette dernière forme montre que la transformée de Fourier admet bien une limite finie en 0. La formule d’inversion de Fourier conduit alors à : «U, t) = ± = é r
JT [ I Ù0(i){eict ‘ + e-ict') + ^
f [ ï
ù° ^ ( e ^ (X+C,) + e~‘*{x~c,))
(eict ‘ - e ^ ' )
e ix* dÇ
(e‘t{x+c,) - e-^ x- ct)) dÇ
+
Les deux premières intégrales donnent respectivement uq{x + e t ) et uq( x - e t ) . Les deux derniers termes conduisent à une primitive de vq en x + e t et x - e t respectivement. On retrouve donc bien la formule de d’Alembert. ■
Démonstration. Par découplage En utilisant la factorisation suivante : Ó L - c2 —
dt2
dx2
= Í - -
c
— \ Í -
d x ] \d t
+
c
—
dx
(7.17)
l’équation des ondes apparaît comme un système de deux équations de transport cou plées. du du On pose «i = — et M2 = -x~, le système peut s’écrire matriciellement sous la dt dx forme : (dut
\
/ n
1\
(dut
(7.18) On pose
»■ (:)
—
h
"-0
Le système s’écrit
dU , dU n — + cA— = 0 ot ox
avec
U(t = 0) = Uq
On diagonalise la matrice
A = PDP~l avec
-
n
l)
'" - it .”
On pose :
V = P~l U
V0 = P~l U0
162
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7.2. Équation des ondes
V est solution de : dV dV — + cD— = 0
V(t
avec
ot
ox
viet
Les fonctions
dv\
v2sont respectivement solution des problème
dvi
ui(jc, 0)
et :
0) = V0
—- + c —- = 0 otox VxeR
=
dvi dvi —— c —- = ot ox ü2 ( x , 0) =
0
V j c s R,
V2 ,o(x)
V
eR
ce qui conduit à Vjc € R, i > 0 D e:
= {v2(x,t) =
'
J t>i,oO) =
{ -« o W + cMoU)}
2
Vx e R V2 ,o(x) =
\
{y0
W + C u'0(x)}
on déduit : t)= - {-Co(jt - ct) + c u'0(x
V2(x,
t) =
^
r)} V C
|ü o(j C +
t) +
€ R, C+
0 f)}
V
€
R,
> 0
Enfin, comme :
U(x,t) = P V(x,t)
=
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
il résulte : du
-x:0 . 0 = ui(x,t) ot
,
c
,
c1
1
c t)+ 2 MoO + c t^+ 2 v°(x + c ^ + 2 V°^X ~ Ct')
2oMO ~ et donc : «O . 0 = 2
OoO +
+ Uq( x - c 0} 1
— 2c
nx+c t
1
n x-c t
vQ(Ç)cU;-— Jo 2c o
v0({)dÇ + C(x) 163
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
où C est une fonction à déterminer grâce à la donnée initiale, qui s’écrit alors :
u(x, 0) = uq(x) + C(x) = uo(x) C est donc identiquement nulle. On retrouve bien la formule de d’Alembert.
■
Remarque 7.1 La form ule de D ’A lem bert m et en év id en ce deux classes de solutions :
i.
la première, se propageant à la v itesse c (et donc liée au term e u(x - c t) et à la valeur propre c ) ;
ii. la seconde, se propageant à la vitesse - c (et donc liée au term e u(x + c t) et à la valeur propre - c ) .
Remarque 7.2 Ce type d ’équation, avec une vitesse finie de propagation, induit des propriétés remarquables pour la solution, en term es de dépendance par rapport aux données de C auchy : de par la form ule de d ’A lem bert, la solution évalu ée en * à l ’instant t ne dépendra que des valeurs de «o et mi sur l ’intervalle [x - et, x + et] appelé domaine de dépendance de (x, t)> et noté D Xtt. D e façon parfaitem ent sym étrique, la donnée de C auchy en un point xo sera m ise à contribu tion pour le calcul de la solution dans le côn e C ,0 = {(x, t) £ R x R + : \x - xo\ < c i} appelé domaine d'influence de xo.
7.3
É Q U A T IO N D E L A C H A L E U R
On s’intéresse ici au problème :
(
du — ~aA u= u(x, 0)
V (x, t) e
0
= uo(x)
j
x [0, +oo[
^ ^
Vx € Rd
où a > 0 est un paramètre donné, et où uq est une fonction donnée, de classe C 2 sur R d. De par la forme de l’équation, il est naturel de chercher une solution de classe C 1 en temps, et C 2 en espace. En supposant que u et toutes ses dérivées admettent à tout instant des transformées de Fourier, on en déduit : = -a\\f\\û(t;,i) avec la donnée initiale «(£> 0) = wo(£) 164
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7.3. Équation de la chaleur
On a donc, à tout instant
t: û(£. 0 =
û0(£)
La formule d’inversion de Fourier donne alors : u(x,
t)= = T;
1 (e-“ 1 1*2'1'}
T ~ lû o ( x , t ) = T ~ x {c_a|lf2||,Mo(^ * T ~ x {Ûo(i)} = r x~l [e~a^ ' } * u0 (x)
avec : r ;' \e - ^ '\ 1
1
(4
D’où, finalement : 1
f (x,t)= -V t j , -u--------
e
u0 ( x - y ) d y
(4 na t) 2 J]R‘i
Remarque 7.3 La valeur de la solution en un point x de Rrf dépend de toutes les valeurs de la donnée de Cauchy dans R'7. De plus, pour des petites valeurs de t, seuls les points proches de joueront un rôle important. Définition 7.2
La fonction
1 x ”
--------- 7
IUII2 £
4 al
(7.20)
(47ra/)2
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
est appelée noyau de la chaleur sur R rf. On voit que la solution est obtenue par convolution spatiale du noyau de la chaleur avec le second membre. Remarque 7.4 La présence du terme exponentiel permet, même lorsque la donnée de Cauchy «o n’est pas régulière, d’obtenir une fonction u de classe C°° dans IR^xJO, +oo[. C’est l’effet régularisant de l’opérateur de la chaleur. Par contre, cela entraîne Y irréversibilité de l’évolution de la solution, dans la mesure où la solution à un instant t > 0 est infiniment plus régulière que la donnée initiale. 165
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
7.4 ÉQUATION DE LAPLACE L’équation de Laplace Au = 0, fut ainsi nommée en hommage au mathématicien et physicien Pierre-Simon de Laplace (1749-1827). Introduite, à l’origine, en mé canique newtonienne, elle apparaît également en astronomie, électrostatique, méca nique des fluides, propagation de la chaleur, diffusion, mouvement brownien, méca nique quantique, etc. Dans ce qui suit, u désigne a priori une fonction de classe C2 sur R d, dont on affinera les propriétés par la suite. On commence par étudier les propriétés de l’opérateur de Laplace avant de déduire les propriétés des solutions de cette équation et donner une illustration plus précise dans le cas de l’équation sur un disque.
7.4.1
O p é ra te u r d e Laplace
P roposition 7.2. Invariance par transformation euclidienne Soit T une isométrie affine de Bd : (A(u o T~l))(T(x)) = (Au)(x)
(7.21)
Démonstration. Si T est une isométrie affine, alors, pour tout x de Rd (identifié à son rayon vecteur) : T(x) = Rx + t où R est une matrice orthogonale (RTR = 7) et t est une translation. En différentiant, on en déduit :
dT = R , d2T = 0 On pose alors : x = T(x) et ü(x) = u(x). En utilisant les notations indicielles, on obtient, pour tout i de {1, . . . , n) :
du _ du dxj dxj dxj dxi d2ü dx2l
â2u âxjdxk du d2xj dxidxk dxj dxj + âxij âx2 i j
D’après ce qui précède : â 2X j
dx}
=
0
et
y dxj dxk é-f dxj dxi 1=1
Y j rtknj = ôjk
Étant donné que le laplacien est invariant par rotation, on a souvent intérêt à utiliser des coordonnées polaires. 166
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7.4. Équation de Laplace
Définition 7.3
Soit
Z la sphère unité de R d : Z = jteir/M = ' i= 1
La mesure superficielle de Z est dcr telle que dx = drdS = dr fJ ~ldcr. On note Zd - J^dcr la surface de la sphère unité. La boule unité a alors pour volume
d
.
Pour x 6 R d, on pose
X
x=
rcoù
M (r, cr) forment les coordonnées polaires de x Proposition 7.3. Laplacien d ’une fonction radiale Une fonction u est radiale si elle ne dépend que de r, son laplacien vaut alors : . , . d2u d -\d u A „ fr)= ^ (r) + —
1 d l d_l du\ -)(r) a
n9 OU —2 et
Z ,= 1
du _ dv dr dxi dr âxj â2u _ d2v / dr \2 âv d2r dx? dr 2 \d xj) + â rd x 2
(7.22)
° Xi
avec
dr _ Xi dxi r
dh = \ _ ± dx 2 r r3
Rem arque 7.5
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Dans le cas
n= 3 :
1 ) A«(r) = -r - or tô -W 1 Dans de nombreux problèmes, il est intéressant d’étudier comment le problème se comporte en moyenne sur la sphère de rayon r. Définition 7.4 R ad iaiisation
On appelle radialisée de la fonction u la fonction ü telle que : ü (r)= £ u(rcr)dcr
(7.23)
167
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
P ro p o sitio n 7.4. La radialisation commute avec le laplacien
Ait = Au = J " (Au)(rcr)dcr
(7.24)
Démonstration, soit v défini par : v(r) = u(rcr)dcr. Ainsi : ü(x) = t»(|jr|), et : ] d t
= On peut supposer u définie sur dv C — (r) = grad dr Jz puis :
; on a alors : 1 (u).crdcr r 1 J d B ( 0 ,r) dn
f
X-j-(r) = dr
* ) (W) l f
=—
r“- 1
f sd
Audx =
Js=
J B (0 ,r)
1
o
— dS =
f
(Au)(so-)dcrds
Je
et donc rd~l Av =
^ (r)j =
(Au)(rcr)dcr
À l’opposé des fonctions radiales, on trouve les fonctions sphériques. Définition 7.5 Une fonction est sphérique si elle ne dépend que de cr. Une fonction sphérique est naturellement invariante par homothétie, en par ti2 <92 ticulier si une fonction u est sphérique, alors comme —r = —— - on a dxf r2dcrj Au(x) - —r(Au)(a). Définition 7.6
On appelle laplacien sur la sphère ou opérateur de Laplace-Beltramï' , la trace Ao- du laplacien sur la sphère : A o-u(cr)=
— W/*=«r
(7.25)
P ro p o sitio n 7.5. Décomposition du laplacien en coordonnées polaires
(Aw)(rcr) =
(rcr) +
A
(7.26)
f. Eugène Beltrami (1835-1900), mathématicien et physicien italien, qui apporta de nombreuses contri butions à la théorie de l’élasticité, l’hydrodynamique, l’électricité, au magnétisme, ainsi qu’en géomé trie non-euclidienne.
168
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7.4. Équation de Laplace
Démonstration. Une façon de démontrer ce résultat est d’utiliser la densité des fonc tions à variables séparées u (x ) = u(r)w(cr) dans l’espace des fonctions C2(RJ). ■ Rem arque 7.6
i. Dans R2, en coordonnées polaires : Ao-U(COS(0),
d“* Ô6Z
sin(0)) = — r«(cOS(0), sin(0))
ii. Dans R3, en coordonnées sphériques « usuelles » (
« = ( ¿ 7 s r + ¿ 5 | (“ " * £ ) ) “W ». *» P ro p o sitio n 7.6. Formule de Green*
f
J i2
v(uA
vA u )d Q . =
f
(7.27)
J an \ o n
Démonstration. De la définition A = div grad, on tire I
uAvdQ =I div(w grad(c)) - grad(«).grad(Vk/i2
Jn
Jn
I (uAu - vAu)d€l = | div(n grad(u) - v grad(n)) Jn
Jn
puis on applique la formule (admise) d’Ostrogradsky* I div pdQ. Jn
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7.4 .2
J p.ndS Jan
F o n ctio n s h a rm o n iq u e s
Définition 7.7
Une fonction est dite harmonique sur i l si son laplacien est nul sur i l C’est donc solution de l’équation de Laplace Au = 0. P ro p o sitio n 7.7.
SoitFl (il) l ’ensemble des fonctions harmoniques sur un ouv
de R d. f. Ainsi nommée d’après le mathématicien George Green (1793-1841), physicien britannique, qui tra vailla sur les applications de l’analyse à l’électricité et au magnétisme, f. Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradski (1801-1862), physicien et mathématicien russe.
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Chapitre 7 • Quelques équations aux dérivées partielles classiques
L 7/(i2) est un espace vectoriel il
Exemple 7.3 i. Les fonctions affines sont harmoniques sur Rd. d
d
ii. Une forme quadratique (x\, ..., xj) ■-> ^ ^ UijXiXj est harmonique si la trace de /= i
j= \
d
au = 0). i'=i iii. Dans R2, un polynôme (à deux variables) £ la matrice associée est nulle
est harmonique s’il est la partie
N
réelle d’un polynôme complexe ^ CkZk avec z = x + iy. k =0
Remarque 7.7 Dans R2, une partie significative des résultats s’obtient en identifiant une fonction harmo nique à la partie réelle d’une fonction holomorphe. Proposition 7.8. Les polynômes harmoniques sont les seules distributions tempé rées solutions de Véquation de Laplace sur R^. Une fonction harmonique sur R^ bornée est donc constante. Pour n > 2, il existe des polynômes harmoniques de degré quelconque.
Étant donnée l’invariance par rotation du laplacien, les solutions radiales de l’équa tion de Laplace ont un intérêt particulier. Proposition 7.9. Fonctions harmoniques radiales
On cherche les fonctions radiales harmoniques sur une couronne (0 est donc ex clu)y elles sont de la forme : i. pour d = 2, r u(r) = c ln(r) + co. ii. pour d > 3, r h u(r) = + co170
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7.4. Équation de Laplace
Remarque 7.8 i. Si une fonction radiale harmonique est bornée sur ]0, ro] alors elle est constante. ii. Le calcul précédent restant valable pour les distributions, on remarque qu’une distribution radiale harmonique est une fonction (harmonique et analytique). Malgré la singularité en 0, on peut (à l’instar de l’exercice 4.2) associer à u une distribution sur Rd entier, en posant :
(Au,
(7.28)
Dans R 2, le calcul devient :
L
uâHx=17 Jr=e
(rf )+¿a*)** dr
dr
'dr\
où on a exploité la périodicité de