Determinaci´ on on del interv inter valo de energ ener g´ıa prohibida en un semiconductor Jos´ e Manuel Illanes Illa nes Juan 3 de Diciembre de 2011
´ Indice 1. Objetivos
2
2. Introducci´ on te´ orica
2
3. Montaje Experimental
3
4. Resultados
4
5. An´ alisis
6
6. Conclusiones
9
A. Tablas de Datos
9
1
1.
Objetivos
El objetivo principal de esta pr´actica es medir la anchura de la banda de energ´ıa prohibida en un semiconductor. En este caso el semiconductor es Germanio.
2.
Introducci´ on te´ orica
Seg´ un el modelo de bandas, a los s´olidos cristalinos se les puede asociar unas bandas de energ´ıa en las que se encuentran situados los electrones. La banda que contiene todos los electrones a 0 K se denomina banda de valencia, y la que contiene a los electrones que circulan por el metal a temperatura distinta de 0 K se denomina banda de conducci´on. Los materiales se clasifican siguiendo el criterio de separaci´on entre estas bandas. As´ı, un conductor es aquel en el que ambas bandas se encuentran solapadas y no se necesita energ´ıa para hacer que los electrones conduzcan, un aislante es aquel en el que estas bandas se encuentran muy separadas ( >8 eV) y un semiconductor en el que las bandas se encuentran separadas por una banda prohibida de ∼1 eV. Para los semiconductores, al igual que para los aislantes, la banda de menor energ´ıa (banda de valencia) est´a completa y separada de la siguiente banda de energ´ıa vac´ıa por una banda prohibida. La existencia de un rango prohibido de energ´ıa entre las bandas de valencia y de conducci´on es esencial para la explicaci´on de las caracter´ısticas el´ectricas de los semiconductores. Una caracter´ıstica destacable de los semiconductores es que, a diferencia de lo que ocurre con los metales, su conductividad aumenta con la temperatura. Esto se explica gracias a la teor´ıa de bandas. Al aumentar la temperatura, los electrones se excitan t´ ermicamente desde la banda de valencia a la banda de conducci´on, generando pares electr´onhueco que aumenta la conductividad el´ectrica, ya que los electrones excitados de la banda de conducci´on y los huecos de la banda de valencia tienen conducci´ on el´ ectrica. Si el grado de impurezas no es muy alto(semiconductor intr´ınseco) la dependencia de la conductividad con la temperatura viene dada por la expresi´on: σ = σ0 exp(
−E g
2kB T
)
(1)
A partir de esta relaci´on podemos obtener el ancho de energ´ıa prohibida en un semiconductor E g . La conductividad tambi´en est´a directamente relacionada con la concentraci´on de portadores por la ecuaci´on σ = n e µn + p e µ p
2
Si se supone que el semiconductor es tipo n y que adem´as se encuentra en la zona de saturaci´on, tendremos nNd >>p. Por tanto se tendr´a que la expresi´ on de la conductividad queda σ
N d eµn
(2)
pudi´endose de aqu´ı despejar la concentraci´on de impurezas N d .
3.
Montaje Experimental
El dispositivo que hemos usado para la realizaci´on de esta pr´actica cuenta con: Muestra de Germanio de dimensiones (20.0 mm x 10.0 mm x 1.0 mm) embutida en una pieza de pl´astico aislante. Resistencia integrada en la placa de pl´astico para calentar la muestra. Dos volt´ımetros. Amper´ımetro. Resistencia limitadora. Un term´ ometro para conocer la temperatura ambiente. Fuente de alimentaci´on. Cables para las distintas conexiones. 1. Lo primero que debemos hacer es medir la temperatura ambiente del laboratorio. 2. Se conecta la resistencia limitadora, el amperimetro, la fuente de alimentaci´on y la muestra de Germanio en serie. La resistencia limitadora sirve para que la tensi´on que pasa por el semiconductor no sea muy elevada. 3. Colocamos un voltimetro en paralelo a la muestra que nos dar´a el voltaje que pasa por la muestra. A este voltaje lo llamaremos V 1 Conociendo la intensidad, gracias al amper´ımetro, y la tensi´o n que pasan por la muestra podemos obtener su resistencia en cada caso usando la ley de Ohm: R = V /I . 4. Despues conectamos la fuente de tensi´on alterna con la resistencia integrada que sirve para calentar la muestra. 3
Figura 1: Materiales necesarios para la realizaci´on del experimento. 5. Colocamos el otro voltimetro en la placa de Germanio para saber la temperatura a la que se encuentra el semiconductor. Estos valores de tensi´ on se denotar´an V Ge Para ello usamos la siguiente relaci´on: T =
V Ge µV ( ) 40 µV K
(3)
Esto quiere decir que cada valor de tensi´on obtenido en la muestra hay que dividirlo por 0,04mV/K que es el aumento de temperatura que experimenta el material. A dicho aumento hay que sumarle la temperatura ambiente del laboratorio. 6. Calentamos la muestra y vamos tomando diferentes valores para la temperatura y la conductividad del material.
4.
Resultados
Tras medir la temperatura del laboratorio a la cual se va a realizar el experimento hemos obtenido: T amb = (293,5 ± 0,1)K Los datos que vamos a necesitar para calcular la anchura de la banda de energ´ıa prohibida son: La inversa de la temperatura del material 4
El logaritmo de la conductividad para cada valor de T . En el laboratorio hemos obtenido los valores que se representan en la tabla 2 que para no engrosar innecesariamente este informe se presenta en el ap´endice A. Para calcular la resistencia del semiconductor hemos usado la ley de Ohm y a partir de ella hemos obtenido la resistividad ρ utilizando: S ρ = RL =
SV LI
Donde S = 10mm2 es la secci´o n de la muestra y L = 20mm es su longitud. Pero se conoce que la conductividad(σ) es la inversa de la resistividad(ρ); Por tanto: σ=
LI V S
(4)
El error en este caso es: ∆σ =
LI ∆V SV 2
+
L V S ∆I
Pero en el experimento se necesita el ln σ cuyo error es: ∆I ∆V + (5) I V Hay que hacer aqui un peque˜no inciso aclaratorio. Se usa el ln σ pero esto no es del todo correcto ya que los logaritmos deben ser adimensional. En este caso se tiene un logaritmo con dimensiones de conductividad, asi que realmente habr´ıa que utilizar ln σσ que si tiene un argumento adimensional. Esto afectar´ıa a la representaci´on desplazando la gr´afica una distancia ln σ0 en el eje y pero no afectar´ıa a la pendiente, y por tanto no afecta a los c´alculos a realizar. Para obtener la temperatura se usa la ecuaci´on: ∆ ln σ =
0
T = T amb +
V Ge 40
(6)
Cuyo error es: ∆T = ∆T amb +
∆V termopar 40µV/K
= 2,6K
Por u ´ ltimo el error de T −1 es: ∆T = T 2 Al final se obtienen los resultados representados en esta tabla: ∆T −1 =
5
(7)
((T −1 )10−3 ± ∆T −1 10−5 )/K−1 2.5 ± 1.7 2.5 ± 1.7 2.5 ± 1.7 2.5 ± 1.7 2.6 ± 1.8 2.6 ± 1.8 2.6 ± 1.8 2.6 ± 1.8 2.6 ± 1.9 2.6 ± 1.9 2.7 ± 1.9 2.7 ± 1.9 2.7 ± 2.0 2.7 ± 2.0 2.7 ± 2.0 2.8 ± 2.1 2.8 ± 2.1 2.8 ± 2.1 2.8 ± 2.1 2.8 ± 2.2 2.9 ± 2.2 2.9 ± 2.2 2.9 ± 2.3 2.9 ± 2.3 3.0 ± 2.3 3.0 ± 2.4
lnσ ± ∆lnσ · 10−3 4.324 ± 1.698 4.281 ± 1.658 4.239 ± 1.609 4.198 ± 1.569 4.156 ± 1.531 4.115 ± 1.492 4.075 ± 1.471 4.026 ± 1.430 3.997 ± 1.405 3.968 ± 1.382 3.925 ± 1.349 3.900 ± 1.334 3.871 ± 1.312 3.843 ± 1.294 3.817 ± 1.280 3.793 ± 1.262 3.774 ± 1.252 3.759 ± 1.243 3.742 ± 1.235 3.734 ± 1.228 3.726 ± 1.223 3.720 ± 1.220 3.718 ± 1.218 3.719 ± 1.221 3.718 ± 1.224 3.722 ± 1.221
Tabla 1: Datos para calcular E g .
5.
An´ alisis
Para calcular la anchura de la banda prohibida del semiconductor conocemos la relaci´on (1). Si se toman logaritmos: ln σ =
−E g
2kB T
+ ln σ0
Se representa ln σ frente a T −1 y la pendiente de la recta dar´a: m=
−E g 2kB
La representaci´on obtenida la podemos ver en la figura 2. 6
(8)
Figura 2: Representaci´on de la conductividad frente a la temperatura. Para calcular la energ´ıa del gap se utiliza s´olo la parte lineal de la gr´afica. En esa zona la muestra se encuentra en el r´ egimen intr´ınseco. A bajas temperaturas el comportamiento no es lineal porque el semiconductor se encontraba en la zona de saturaci´on. Eliminamos esos datos y calculamos la pendiente de la recta de regresi´on, la ordenada en el origen y sus errores. Los resultados que se obtienen son los siguientes: m = −2187,43 ± 56,36 ; n = 9,9 ± 0,15 Y por u ´ ltimo el coeficiente de correlaci´on es: r 2 = 0,9928 Como r 2 es muy alto, esto quiere decir que los puntos se ajustan con mucha fidelidad a la recta. Asi que los datos obtenidos durante el experimento son bastante fiables. Una vez conocida la pendiente se obtiene el valor de E g : E g = −2kB m = (6,04 ± 0,16)10−20 J= (0,38 ± 9,72 · 10−3 )eV Donde kB = 1,38. 10−23JK−1 = 8,617 · 10−5 eVK−1 Y el error de la energ´ıa se obtiene de la ecuaci´on: ∆E g = 2kB ∆m
(9)
Mirando la bibliograf´ıa se sabe que la energ´ıa del gap te´orica es: E g(teo) = 0,74eV Hay mucha diferencia entre el valor te´orico y el valor experimental.Se puede asociar a varios problemas que se enumeran a continuaci´on: 7
S´ olo se ha podido aumentar la temperatura hasta 100 Kelvin por encima de la temperatura ambiente por lo cual no se ha podido obtener un n´ umero de datos muy elevado en el r´egimen intr´ınseco que es lo que interesa en el estudio de este experimento. Es muy impreciso el sistema realizado para tomar los datos. La medida de V Ge es dif´ıcil porque su valor fluctua muy r´apidamente debido a que la muestra se enfria con mucha r´apidez. Adem´as hay que tomar tres datos simultaneos en cada momento lo cual no es sencillo. Este es uno de los puntos que m´as error introduce en el c´alculo. Si consiguieramos medir con m´as precisi´on cada punto, el resultado ser´ıa mucho m´as satisfactorio. Al hacer la regresi´on lineal hemos utilizado los trece primeros puntos obtenidos. Es posible que se hayan utilizado algunos puntos en los cuales el semiconductor no se encontraba en r´ egimen intr´ınseco sino en r´egimen de saturaci´on. Pero es dif´ıcl saber que puntos se ajustan con precisi´on a la zona lineal. Para ello se ha utilizado el valor de r 2 y cuando se ha obtenido un valor muy pr´oximo a uno se ha considerado que todos los puntos estaba en r´ egimen intr´ınseco. Si se consulta la bibliograf´ıa se puede ver que el valor de temperatura para el cual el Germanio entra en la zona de comportamiento intr´ınseca es T = 353K . El primer punto que se ha tenido en cuenta para hacer el ajuste lineal de la gr´afica tiene un valor de temperatura de T = 363,5K . As´ı que se puede suponer que todos los puntos estaban en r´egimen intr´ınseco. A pesar de la diferencia entre E g(exp) y E g(teo) el resultado obtenido tiene el mismo orden de magnitud. El valor te´orico se encuentra dentro del intervalo de error de la pr´actica. Por u ´ ltimo se puede calcular la concentraci´on de impurezas del material.Para ello se supone que nos encontramos ante un semiconductor tipo n. Se toman los puntos en el r´ egimen de saturaci´on en los cuales la conductividad es pr´acticamente constante.Se hace su valor medio para obtener la conductividad: σsat = (3,719 ± 1,22 · 10−3 )Ω−1 m−1 y la movilidad de los electrones en el Germanio a T = 300K es µn = 3600cm2 /V · · ·. Asi que aproximadamente la concentraci´on de impurezas ser´a: N d
≈
σsat µn e
≈
(6,449 · 1019 ± 2,11 · 1016 )m−3
(10)
El error en este caso se ha obtenido de: ∆N d =
∆σ µn e
(11)
No es un resultado muy fiable porque se ha tenido que decidir si el semiconductor era de tipo n o de tipo p y que en el r´ egimen de saturaci´on 8
todos los portadores eran impurezas.Pero la movilidad de los portadores es muy distinta seg´un sean huecos o electrones, por tanto el resultado s´olo es fiable si hemos elegido bien el tipo de semiconductor usado. El ´unico resultado fiable es el orden de magnitud de la concentraci´on. Adem´a s la zona de saturaci´on a´ un no se encontraba bien definida. Era necesario enfriar m´ as la muestra para obtener la conducitvidad correcta.
6.
Conclusiones
El experimento sirve para observar de una forma muy sencilla el comportamiento de la conductividad de un semiconductor seg´un su temperatura. Los errores obtenidos son muy grandes. Debido a esto no se obtienen valores muy fiables. Se deber´ıa mejorar la precisi´o n a la hora de tomar los datos haciendo un proceso m´as preciso, como por ejemplo la utilizaci´on de dos voltimetros en lugar de un voltimetro de dos canales que hace m´as dif´ıcil la adquisici´on simultanea de los datos debido a que hay que cambiar constantemente de canal. Asi que no podemos tomar los valores obtenidos como fiables pero si, al menos, nos da el orden de magnitud de nuestra inc´ognita. Por u ´ ltimo decir que si se conociera el tipo de semiconductor con el que estamos trabajando se podr´ıa decir con mucha exactitud la concentraci´on de impurezas en la muestra sin tener que hacer ninguna medida adicional. Por lo cual se deber´ıa dar en futuras ocasiones este dato para poder sacar m´ as provecho a la pr´actica.
Referencias [1] .Kittel. Introducci´ e, 3a Edici´ on. on a la f´ısica del estado s´ olido, Revert´ [2] .V.Shalimova. F´ısica de los semiconductores, Editorial Mir, 1975.
A.
Tablas de Datos
9
(I ± 0,001)10 −3 /A 2.811 2.783 2.777 2.759 2.739 2.724 2.680 2.659 2.649 2.637 2.620 2.602 2.592 2.575 2.558 2.550 2.538 2.530 2.518 2.518 2.516 2.510 2.509 2.506 2.500 2.512
V 1 ± 0,0001 /V 0.0745 0.0770 0.0801 0.0829 0.0858 0.0889 0.0911 0.0949 0.0973 0.0997 0.1034 0.1053 0.1080 0.1104 0.1125 0.1149 0.1166 0.1179 0.1194 0.1204 0.1212 0.1217 0.1220 0.1216 0.1214 0.1215
σ/Ω−1 m−1 75.463 ± 0.128 72.285 ± 0.120 69.338 ± 0.112 66.562 ± 0.104 63.846 ± 0.098 61.282 ± 0.091 58.836 ± 0.087 56.038 ± 0.080 54.450 ± 0.077 52.899 ± 0.073 50.677 ± 0.068 49.421 ± 0.066 48.000 ± 0.063 46.649 ± 0.060 45.476 ± 0.058 44.386 ± 0.056 43.533 ± 0.054 42.918 ± 0.053 42.178 ± 0.052 41.827 ± 0.051 41.518 ± 0.051 41.249 ± 0.050 41.131 ± 0.050 41.217 ± 0.050 41.186 ± 0.050 41.350 ± 0.050
(V Ge ± 0,1)10−3 /V 4.0 3.9 3.8 3.7 3.6 3.5 3.4 3.3 3.2 3.1 3.0 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2.0 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5
Tabla 2: Tabla de datos obtenidos en el laboratorio
10
T ± 2,6/K 393.5 391 388.5 386 383.5 381 378.5 376 373.5 371 368.5 366 363.5 361 358.5 356 353.5 351 348.5 346 343.5 341 338.5 336 333.5 331
