Paolo Marcellini - Carlo Sbordone
Elementi di Analisi Matematica uno Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea
Liguori Editore
6
Iudice 24. 25.
.' . t One SUCcesslanimona
Il numero e .._ _._.._ _
_.._ _._._ _..__._.._ _.._ _._ _ __._._ _._._ _ _
_ pago 78 . .. 79
Appendice al capitolo 3 26. Infiniti di ordine crescente _ _ __ _ __ _ _ .._._.. 27. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass . 28. Successioni di Cauchy._ _.. ._.._ _ _ __ _ _ _
Capitolo 4 29. 30. 31. -32. 33. 34. 35.
PremeSSIl _. ._ _._. ..__._.__._ __ __.._ _ __. . __..__.__ __._ __._._ _ __ __.. Definizioni Legal;De tra limiti di funzioni e limiti di successioni _ .. Esempi e proprietà dei limiti di fum:ioni _...._._._ _ __.. Funzioni continue -- -----..--.-..- --.-.-.--.- - - . Discootinui tà .__ .._ _ _ _ _ _ Alcuni teoremi sulle funzioni continue _.. ._ _ .
39. 40. 41. 42. 43. 44.
46. 47.
.
85
.. .. ..
91 94 97
..
98
87
.. 101 ... 103 .. 106
" 112 "
114
" 115
DERIVATE
Tasso di accrescimento. Significato meccanico della _ __ _._ _ _ _.._._. __._ _._ _ deriva ta __ Defmizione di derivata _ .._ _._ __ _ _._....._._ _ __.... Operazioni con le derivatc. __ _ _.__..__._ __. . Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse Derivate delle funzioni elementari __ __ _ __ _ Significato geometrico della derivata. Retta tangente _
Appendice al capilolo 5 45. Le funzioni trigonometriche inverse Capitolo 6 -
84
LI1\fiTI DI FUNZIONI. FUNZIONI CONTINUE
Appendice al capitolo 4 36. Metodo di bisezione per il calcola delle radici di UDa equaZIone _ _ _._._.._ _._ _.__..__ . 37. Dimostrazione del teOl:ema di Weierstrass._......_..__....._ . 38. Continuità delle funzioni monotòne e delle funzioni in.. v eTse._ __ __.._ _ _ _ _ _ _ _. _.._ Capitolo 5 -
.."
.__ _
_.........
., " " " " ..
119 120 123 125 128 131
"
137
APPLICAZIONI DELLE DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.. I teoremi di Rolle e di Lagrange __.._ _ _ _
_._ ..
" 141 " 144
Indice
48.
49.
7
crescenti e pago 146
Funzioni convesse e concave li teorema di L'H6pital Srudio del grafico di una funzione La formula di Taytor. prime proprietà
.. .. .. ..
148 152 155 158
Appendice al capitolo 6 53. Ill:eorema di Cauchy. TI teorema di L'HOpital nel caso generale._. . . ..
163
SO. 5!. 52.
Capitolo 7 54. 55. 56. 57. 58. 59.
FUNZIONI DI PIÙ V ARIABIDI Funziolli di due variabili: dominio; rappresentazione caTtesiana._.. ._.__. .__._. . .. Limiti e continuità __" Derivate parziali. Gradiente._ __" Derivate successive. Teorema di Schwarz " Massimi e minimi relativi_ l.. Funziolli di tre o più variabili reali___ "
169 178 180 184 187 193
.
196
__...__....._...._ ..._._.__ " __.__._._.__.... ___" ..
199 203 208 211
Appendiu al capitolo 7 60. Differenziabilità
Capitolo 8 61. 62. 63. 64.
_
INTEGRALI DEFINID TI metodo dì esaustione._.....__ Definizioni e notazioni_._..__._ Proprietà degli integrali definiti _ Il teorema deUa media
Appendice al capitolo 8 65. Uniforme continuità. Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane _ 66. IntegrabilitA delle funzioni continue _
Capilolo 9 67. 68. 69. 70. 71.
.. ..
213 216
Il teorema fondamentale del calcolo integrale...._.__. ." Primitive. Fonnula fondamentale del calcolo integrale .__" L'integrale indefinito _ ..__ __._._._..__.__._.._.___.. Integrazione per decomposizione in somma_.__. .. Integrazione delle funzioni razionali ______..
217 218 221 223 225
lNTEGRALl INDEFINITI
8
illdice
72. 13. 74.
Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Calcolo di aree di figure piane
.
._ pago 230 ..
._.__ . ___"
232 236
.. ntegra l.. l lmpropn. _ _._ _ _ _._ _._._ _ __ __.. " 751 76. Definizione di logaritmo, esponenziale, "
238 241
Appendice al capitolo 9
Caplia/o 10 -
FORMULA DI TAYLOR
" "
245 250 253 254
..._"
255
Serie numeriche _. .. Serie a termini Don negalivi ._ _.__ .. 84. La serie geometriea _ __.._..__. .._.._ ._ _ "
259
77. 78. 79.
BO.
Resto di Peano Uso deUa formula di Taylor nel calcolo di limiti Resto integrale_ .. ..._.. ... ... Resto di Lagrange
._-- _------_ _. __ _..- .._
Appendice al capitolo 10 81. Tabulazione di funzioni ....
Capitolo 11 -
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.
...
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"
SERIE
82. 83.
Appendoce al capitolo 11 89. Serie di Taylof.
.
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263 264
266 269 272 274 275
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12
Capitolo l.
tiva. Nel paragrafo successivo è riportato un elenco delle proprietà che assumiamo valere per assioma. Dividiamo tali proprietà in tre gruppi: quelle relative alle operazioni, le proprietà relative all'ordinamento, e l'assioma di completezza.
2. Gli assiomi dei numeri reali Assiomi relativi alle operazioni. SODO definite le operaziOJ;li di addizione (+) e moltiplicazione (.) tra'coppie dì numeri reali, con le seguenti proprietà (8 b, c indicano numeri reali generici): (2.1)
Proprietà associativa: (a + b) + c = a + Cb + c),
(a· b) . c = a . Cb . c).
(2.3)
Proprietà commutativa: a + b = b + a, a· b = b . a. Proprietà .distributiva: a . (b + c) = a . b + a . c.
(2.4)
Esistenza degli elementi neutri: esistono ill R due numeri distinti O, 1, tali
(2.2)
che a+0=8,
a·1=a.
(2.5)
Esistenza degli opposti: per oglli numero reale a esiste un numero reale, indicato ,con. - a, tale che a + (- a) :: O.
(2.6)
Esistenza degli inversi: per ogni numero reale a Indicato COli a-I, tale che a· (a-I) = 1.
* O esiste
u.n numero,
Assiomi relativi all'ordinamento. È definita la rela2ione di minore o uguale tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà: (2.7)
Dic%rJzia: per ogni coppia di rltimeri reali a, b si ha li [; b oppure b
(2.8)
Proprietà asimmetrica.. se valgono contemportUleamente le relazioni a 5 b, b 5 a, aUo'/'a a = b.
(2.9)
Se a 5 b allora vale anche a
(2.10)
Se 0.$ a e O 5.h allora valgono anche O :5 a + h, O:f a . b.
-t--
li.
c 5 b + c.
Assioma di completeiza (2.11)
Siano A e B due insiemi non viloti di Ilwneri reali con la proprietà che a:5 b; comunque sLscelgano a elemento di A e b elemento di B. Allora esiste almeno un numero reale c mie che a:5 c:5 b, qualu.nqliesiano a in A e b in B.
l 11//IIII:ri
3. Alcune
e
le ftm:tioni reali
13
degli assiomi dei numeri reali
Nel paragrafo precedente sono state elencate le pwprietà dei numeri reali che vengono assunte come assiomi. Tutte le altre propl;età e teoremi esposti in que;sto libro discendono dagli assiomi. Sono conseguenze degli assiomi anche quelle proprietà elementari che in genere fanno parte del «bagaglio matematico» di ogni come ad esempio il fatto che un prodotto è nullo quando almeno Imo dei due fattori è nuUo, oppure quella regola dei segni per il prodotto (che, dagli studenti deHe scuole elementari. talvolta è accettata come imposizione, perché incompresa) che rnr;nte si enuncia: meno per meno fa più; oppure la norma di frequente applicazione nel risolvere disequazioni: moltiplicando entrambi i membri per una quantità negativa. il verso della disequazione cambia. Di seguito esaminiamo alcune proprietà, come quelle sopra enunciate. che sono conseguenza degli assiomi dei numeri reali. (3.1)
Vale la regola di semplificazione rispetto al/a somma: se a + b allora b = c.
=
a + c,
Utilizziamo gli assiomi (2.4) e (2.5). di esistenza dello zero c dell"opposto - a. e le proprielà commutativa e associativa: b '" O + b '" [a + a)] + b '"
[(- a) + al + b '" a) + (a + h)
essendo a + b = a
+ c,
si ottiene
b '" (- a) + (a + h) '" (- a) +
i.--
+ c) '" [(- a) + al + c",
= [a + (- a)] + c = O + c = c + O = c.
(3.2)
Vale la semplificazione rispetto al prodotto: se allora b = c.
a· b = a· c
e se
a"#. O,
Si può procedere come nella dimostrazione della proprietà precedente scambinndo In l somma con il prodotto e avendo faccortezz8 di ricordare che l'inverso a- di un numero reale a esiste purché sia a O. In tal caso, nella linea deLla dimostrazione di (3.1). si ha: b
= b . 1 = 1 . b = (a . a-I)
.b
= (a-I.
a) . b
= a-l. (a . b) = a-l. (a . c) '" (a-I. a) . c = = (a . a-I) . c = 1 . c = c . 1 = c.
=
CopÉJo'/o J
14
(3.3)
Il prodotto a·b è nullo se e soltanto se almeno
tinO
dei due fattori è nullo.
Proviamo preliminarmente l'implicazione con il "se"; proviamo che a·O = O per ogni numero reeJe a. Ricordiamo ehe lo per l'us;oma (2.4), l'elemento neutro rispetto alla somma; cioè hlle che a .+ O = a per .agoi reale a; ricordi:lmo IU1(:!le che l, elemento neutro rispetlo al prodollo, per l'assiOftlB (1.4) soddisfa la relazione"a·l _ a per ogni reale a. In base alla proprietli R5'"Yiativl abbinmo allora io
+ a . O .. a . l + a . O "" I . (l + O) = a . 1 = Il '" a + O
da cui, .semplificando entrnmlli i membri in base alla proprietà. (3.1), oUeniamo .-0 O. Proviamo ort l'implicazione con il -solo se.; a tale scopo lupponiamo che a·b - O; se a .. O la lesi rnggiunta; altrimenti, .se a>!D, esiste l'imeno a-I e -si ba b = b . I
=b
• (a • a-l)
= a-l.
(•. b)
= a-l.
O .. O.
Si noti cile, nell'ultimo passaggio, abbiamo utilin.,to qualHo aill. provato nelllll prima parte della dimostrazione.
La precedente proposizione (33) spiega nell'ambito dei numeri reali non sia possibile la divisione per zero, cioè perché neU'llS5ioma (2.6) di esistenza dell'inverso a-l si richieda che Infatti, se a = O allora a·b = O,b = O ogni numero b e percib non esiste un numero reale 0-1 tale che ().lr = 1.
rer
(3.4)
l:opposto di un. numero reale è un.ico.
In base all'assioma (U), per ogni numero reale a esiste l'opposto di ., indk:ato con - a, tale che a + (- a) - O. Se suppOlliamo che risulti anche a + b = O, allora, per la legge di semplificazione (3.1) si ba - 11 • b; quindi "opposto t. unico.
(3.5)
L'ùtverso di
W'I
Stessa dimostrazione
(3.6)
numero rl!.Q./e non nulla
del CIISO
unir;o.
precedente.
Per ogni reale a vale la proprietb - (- a) = a.
li numero - (- a) è, pcr definizione, l'opposto di - aj ma essendo
a + (- a) = (- Il) + a ... O. risultlll che è: l'opposto di - a, cioll.a _ - (- a), in base alla proprietà (3.4) chc l'opposto di un numero reale è unico.
(3.7)
Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- alb = - a·b.
/ tlWllui e le flUlzioni reoli
15
Per la proprietà distributiva si ha che
(- a) . b ...
1'1 •
b .. [(- a) ... al . b = O . b = o,
da cui a·h è l'oppOllto di (- a)·b, c;QA - a·b .. (- a)·b.
(3.8)
Per ogni coppia di numeri reali a, b risulta (- a)(- h) = a·b.
Come conseguenza della precedente proprietà (3.7) e delJa proprietà commutlltiva (2.2) abbiamo.
(- 'l . (- b)
- [a . (- b)i = - [(-
b) . al •
- - (- (b .•)] = - [- (•. b)]; la conclusione se&ue infine dalla (3.6), essendo - [- (a·b)} = a·b.
Gli assiomi del paragrafo 2, relativi all'ordinamento, si riferiscono aUa relazione di minon od uguale (s:) tra le coppie di numeri reali. La relazione di maggiore od uguale è ricondotta a quella di minore od uguale diante la definizione:
(II simbolo <=> sta per ...). Pertanto la relazione di > gode di proprietà analoghe a quelle di s. Infine le relazioni di minore «) e di maggiore (», dette anche relazioni di minore stretto e, rispettivamente, di· maggiore stretto, sono definite da:
(3.9)
La re/azione a S; b è. equivalente alla relazione b - a
o.
IDratll, se a S b, allora per la (2.9):
a-bsb-b",O. Viceversa. se b - a si ha:
O, sempre per la (2.9) e per la proprietà associlltiva dell'addizione
a '" O ... a S (b - a) ... a .. b + [(- a) ... aJ '" b _
(3.10)
Propriefà transitiva deU'ordintlmento: se a S b e b S c nllora a s c.
16
Capilolo I
Supponiamo che a :s bob s: c: per La precedente proprietl (3.9) risulta OS b - a, OS c-b. Dalla (2..10) si oniene poi o S (b - B.) + (c - h) :: c - a che.
l1DCOl"lI
(3.11)
per la. (3.9). eqninle ad a
s: c.
Risulta a ;=: O se e soltanto se - a
s: O.
Infatti. per la (2:9); se O S n -allora O + (- a) S a + (- a), c.ioa - a :S O. Viceversa, se - a
(3.12)
s: O"
allora a + (- a) S' a.
O s: a.
Se a S b e c;=: O allora a . c S b . c.
Inf/ltli, se a S b allora. per la (3.9) t anche O .lO b - a dll- cIIi, per in (2.10) e. per la proprieta distributiva (2.1);
o S (b
ancora per la (3.9),
Se a S b
c
(3.13)
e
a) . c .. b .
c - a . Co
c S b . C. $
O
a{ibra
a· c
Per le ipote::si e per la (3.11) s.i ba O .lO b - a. - c
o S (b -
b . c.
O. Dalla (2.10) si ottiene
a) . (- c) = - b . c + a
c,
da cui, per la (3.9), b . c !> a . c
L'assioma di completezza (2.11) a prima vista può sembrare ovvio: «se tutti i numeri dell'insieme A sono mioOli od uguali a rutti i numeri dell'insieme B, allora esisterà certamente un numero c intennedio fra A e B, cioè (aIe che a c b per ogni elemento a di A e per ogni elemento b di B; basterà infatti scegJiere come numero c il più grande elemento di A, oppure il più piccolo elemento di B». Ebbene, la frase scritta precedentemente fra virgolel1l! è sbagliata! Infatti non tutti gli insiemi numerici hanno il pil1 grande o il più piccolo elemento (rimandiamo al paragrafo 12 per un approfondimento di questo punto): ad esempio, l'insieme
B {l.
,
I Ilumrri e le funzit:mi
17
che, rappresentato sulla reUa dà luogo ad uno schema come quello in figura l.I, ha il più grande elemento, che uguale ad l, ma non ha il più piccolo elemento; potrenuno essere tentati di dire che lo zero è il più. piccolo elemento di B, ma lo zero nO'1 è pn elemento di BI Infatti lo zero è diverso da 1/0 qualunque sia n (una frazione è nulla se e soltanto se il numeratore della frazione è nullo).
,
o
.e. 1
o
•
1 1 ......•...$" 4
o
o
o
1 3·
1
1
7
•
figura 1.1
L'assioma di complete7.74 è, in effetti, un assioma molto più protondo di quanto poss't sembrare a prima vista, Come mostreremo nel paragrafo S, tramite l'assioma di completezza è possibile distinguere l'.insieme dei numeri rappresentabili sonp forma di frazione, insieme detto dei numeri raz.ionali, dall'insieme dei numeri reali.
4. Cenni di teoria degli insiemi Introduciamo alcune notazioni e definizioni traUe dalla teoria degli insiemi. Sia S un insieme di natura qualsiasi. Per indicare che x è un elemento di S scriveremo: x e S
(x appartiene a S).
Per indicare, invece, che y non è un elemento di S, scriveremo:
Y' S
(y non appartiene a S).
Se A è un insieme i cui elementi sono anche elementi di S, diremo che A è un sottoinsieme o parte di S. Tra i so«oinsiemi di S si suole considerare anchç l'insieme vuoto, cioè l'insieme privo di elemepti, che si indica con q,. Se A e B sono due sottoinsiemi di S, l'inler.It:lione A n B .di A e B è "insieme degli elementi di S che sono comuni ad A e B (figura 1.2): (4.1)
A n 8 = {x eS: x
E
A
e
" E
BI.
L'unione A u B di A e B è l'insieme costiruìto dagli elemc:nti di S che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B (figura lo3):
18
Capi/olo l
(4.2) A u B = Ix ES: X E A oppure x E B}. Diremo che A è contenuto in B (A &: B) se ogni elemento di A è anche elemento dì B:
•
Figura 1.2
(43)
(a e A
(A '" B)
a
E
B)
Si conviene che l'insieme vuoto sia contenuto in ogni sottoinsieme di S. Se A è contenuto in B ed è diverso da B. si dice che A è una parte propria di B. li simbolo <=> si legge e solo se» o, come già detto, «equivale» ed il simbolo ::;. si legge «implica...
.
• I a •
Figura 1..3
Se A e B sono due sottoinsiemi dell'insieme S. il complemento A - B di B rispetto ad A è l'insieme degli elementi di A che non appartengono a B (figura 1.4),
I numeri e
(4.4)
funzioni reali
19
A - B = {x ES: x E A e.x é BI.
In particolare, per A = S. l'insieme S _ a, complemento di B rispetto a S, si chiama anche complementare di B e si indica con ,Bc oppure con - B. Evidentemente si ha BCç;AC .
AcB
(4.5)
L'insieme di tutti i sottoinsiemi di S si. suole indicare con P(S) e chiama insieme delle parti di S.
SI
A
••• •• •
.
••••
•• 8
M
.J
A
\\ Figura lA
Siano A e B due insiemi. Si chiama prodotto cartesiano di A e B e si indica con A x B l'insieme di tutte le coppie ordinate (S., b) con la prima coordinaUl a appartenente ad A e la seconda coordinata b appartenente a B. Le coppie ordinate sono caratterizzate dalla seguente proprietà: (a, b) = (a', b')
(4.6)
se e solo se
a=a',b=b'
Nel caso particolare in cui sia A = B, un sottoinsieme di A x A si chiama re/azione binaria in A. Una relazione binaria 9t in A si chiama relazione di equivalenza, se gode delle seguenti proprietà:
1) riflessiva: per ogni a.E A si ha (a, a) E ':X 2) simmetrica: (a, b) E 9t implica (b, a) E 9t 3) transitiva: se (a, b) E 'n e (b, c) 91, allora (a, c)
e
Se (a, b)
E
E
9t
9t si scrive a - b e si dice che a e b sono equivalentl.
20
Capitolo 1
Indichiamo con [alla classe di equivaLenza di a E A, cioè ('insieme degli elementi equivalenti ad 8. Si prova facilmente che due classi di equivalenza, o coincidono o SODO prive di elementi comuni. L'insieme delle classi di equivalenza di elementi di A rispetto alla rela· rione 9t si chiama insieme e si indica con il simbolo Afl., cioè AJ'Jt = l[aJ' a e AI.
(4.7)
Una relazione binaria 9{ su A si chiama relazwne d'ordine. se gode delle seguenti proprietà: 1) riflessiva 2) transitiva 3) asimmetrica: se (a, b) La relazione di minore
ç=.
c;'J{
e (b, a)
E
$R. allora a = b.
o uguale tra coppie di numeri reali considerata
nei paragrafi 2 e 3 del presente capitolo è una relazione d'ordine.
5. NUI:neri naturali, interi, razionali Abbiamo visto come tra gli assiomi dei Dumeri reali ci sia l'esistenza degli elementi neutri O e 1. Quindi apparteITan..Do ad R (come già detto, indichiamo COD R l'insieme dei numeri realO anche i risultati delle operazioni eseguite a partire da O e 1. In particolare sono numeri reali: 1 + 1 = 2, (l + 1) + 1 = 3, ... Tale sottoinsieme di R. che si chiama insieme dei numeri naturali, si indica con N = {l. 2. 3•...• n •.•• 1.
(5.1)
Nel paragrafo 11 sono studiate alcune proprietà dell'insieme N dei numeri naturali. Analogamente indichiamo con Z il sottoinsieme di R costituito dagli elementi di N, dai loro opposti, e dallo O. Cioè l'insieme dei numeri interi (o interi relalìvi) si indica con
(52)
Z
= IO.
+ 1.
± 2•... J
= [D{
v
I± n , n e N).
I risultati della divisione mln (che, con la terminologia introdotta dagli assiomi, significa m·n-I ) con m, n e Z, n O, si chiamano numeri razioMli e si indicano con
'*
l lIumeri , le fimd()jfi. reali
(5.3)
Q =
21
{l: :m, n EZ, n a} . "F-
Risulta N Z l:; Q ç; R. Naturalmente, essendo N, Z, Q souoinsierrq di R. su di essi sono definite le operazioni di addizione e di moltiplicazione e l'ordinamento indotti da R. Però essi Don soddisfano tutti gli assiomi dei numeri reali. Ad esempio, N non soddisfa (2.5): nell'ambito di soli numeri naturali non esiste l'opposto di alcun numero. Z non soddisfa (2.6): tutti i numeri interi, escluso l, hanno per iI1verso un nwnero reale che non è intero; in altre parole, non esiste l'inverso neU'ambito dei numeri interi. Si può verificare che invece Q soddisfa tUtte le proprietà aigebricbe alle operazioni e all'ordine. L'unico assioma Don soddisfatto da Q è l'assioma di completezza (2.11). Per dimostrare ciò, premettiamo la seguente PROPOSIZIONE. -. Non eruu alcun numero r-ationale c tale che
c!
= 2.
2 Dimostrazione: sia pe"r assurdo c un numero razionare posilivo tale che c '" 2. In base alla (S3) esiStono m, n numeri interi, che suppc;rre entrambi posilivi. lidi che c : mio: Se necessari':) pc>$!liamo -.semplificare. la frazione min. oUenendc.. "' e n non entrambi 2 2 pari. R,isulta (mln) _ c a 2. ciot 201 '" mI. Essendo il primo membro 2n un numero intero pari, anche mI deve essère pari;. ma allora anche m deve pari (se m fosse dispari. 1 ancbe m Sarebbe dispari); quindi m = 21t, con k inte:'O. Ne segue che
doe Ripetendo il ragionamento. risulta che anche n deve essere un numero pari, cibo che contrasta con l'Ipotesi che m ed n si'no numeri Interi non entrambi pari. eonsideriamo ora: gli insiemi A = [a.E Q : a S
01
u
la
&
Q: a
,
:>
O
,l < 21,
8",(be Q:b>O,b :>21. Tutti i numeri di A sano minori di tutti i numeri di B. Inollre, la propo.sizione precedente, risulta AvB '" Q e AnB = fI. Se esislesse un numero razionale c con la proprie Il che a S c S b. per ogni a e A. b e B, tale numero dovrebbe appartenere ad A oppure a 8. Sltpponiamo c c A. Non polendo essere c S O, ne segue che Cl <: 2. Sia n un numero naturale maggior:-: di (2c + 1)/(2 - c2); certa.mente esislenle per proprietà di Archimede (si 2 veda il paragrafo 12). Allora, essendo lIn <: 1/n, (5.6)
:p.
CflpilOlo ]
per cui c +
E A, il che
"
assW'tlo
perc:hé c
più grande di tutti gli elementi di
A.
Anlllogamenie si pervierte ad un assurdo Iiupponendo c e B. Osserviamo ora che i due insiemi A e B, costituiti rla numeri 11lzionali. possono essere riguardati come insiemi di numeri reali e quindi, per l'assioma di completezza. esiste un numero c con la proprietà che n S; c S b per ogni a E A. b e. B. Tale numero, che si può dimostrare essere· unico, tale che rl .. 2, è irrozionElle e si denota con il simbolo c '" ..J2 .
Riassumendo con par9le semplici, possiamo dire che neU'insieme dei numeri naturali N si possono eseguire le operazioni di addizione e di moltiplicazione, ma nOD è possibile io. genere eseguire le operazioni inverse di sottrazione e di divisione. Z è Wl ampliamento di N che permette di calcolare anche le differenze, ma non i quozienti. Q è \W ulteriore ampliamento; in Q è possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali (tranne naturalmente la divisione per zero), ma non è possibile in generale eseguire altri calcoli altrettanto utili, come ad .esempio l'estrazione di radice. Come vedremo, R è invece sufficientemente ricco per la maggior parte delle applicazioni.
6. Funzioni e rappresentazioue cartesiana Siano A e B due insiemi di numeri reali. Una funzione di A in B è UDa legge.che ad ogni e.Iemento di A fa corrispondere uno ed uno solo elemento di B. Se indichiamo con f tale funzione, scriveremo f : A B. oppure y = ((x), intendendo che ad ogni eJemento x E A corrisponde, tramite la funzione f, l'elemento y =- f(x) e B. Si dice che A è iI dominio o insiemI'! di definizionI'! di f. TI simbolo l( ) indica un complesso di operazioni che devono effettuarsi su' x (argomento di f) per ottenere y (valore di f), come negli esempi seguenti: (6.1)
f(x) = 2x + 1
occorre moltiplicare x per 2 e sommare l;
(6.2)
f{x) = 1/x
occorre calcolare l'inverso di x;
(6.3)
f(x) =
.fx
si deve calcolare la radice di x;
osexez (6.4)
f(x) =
{1 altrimenti
occorre riconoscere se x è intero oppure no; e di conseguenza assegnare ad f(x) il valore O oppure 1.
La funzione (6.1) è definita per ogni x reale; in altre parole il suo dominio è tutto R. La funzione (6.2) è definita per x #. 0, quindi il suo dominio è
l numeri e le fUllzioni reali
23
A = Ix E R: x :j:. 01. li dominio della (6.3) è A = (x E R: x O) • mentre la (6.4) è definita su tutto R. D valore f(x) della funzione f in x si chiama anche immagine di x mediante f. y
.,---- ------ì P l r l
l
! Cl
,
"
Figura L.S
Ricordiamo brevemente come effettuare la rappresenuzzione cartesiana di una funzione. Riferendoci alla figura 1.5, consideriamo due rette perpendicolari che si intersecano in un punto 0, origine degli assi. Fissiamo sulle due rette una direzione positiva ed una unità di misura. Chiamiamo asse delle ascisse, o asse x, una delle due rette, asse delle ordinate, o asse y, L'altra retta. y: 2x4-1
y
1
,
yo'
1/
"2"
J
y
1
,
1
'\
_--
y-IX
....( ).....
/' 1
2
y
3
4
5'
-2
y
•••'-. •i
•
,
1
OselCEZ
y..( 1 altrimenti
,
x
Figuro 1.6
Ad ogni numero rcale x corrisponde in modo biunivoco un punto P 1 dell'asse delle x. scelto in modo che il segmento OPI abbia lunghezza
24
Capitolo l
uguale ad x. Analogamente ad ogni numero reale y corrisponde un punto P2 dell'asse Y1 tale che il segl.. OP2 abbia lunghezza uguale a y. Tracciamo due rette parallele CIgli assi e passanti rispettivamente per Pl e P2. Il punto P di 'ilfcontro delle due c'orrisponde in modo biunivoco nlla coppia di numeri reali (Xi y). Se è assegnata una funzione f. in corrispondenza alle coppie di numeri re:ali (Xi f(x» abbiàmo uIi insieme di punti del piano, ottenuti con la rappresentazl.one cartesiana sopraindicata, che costituisce il grafico della funiione. In figura 1.6 abbiamo .riportato i grafici delle quattro funzioni conside· t'ate fui dall'inizio del paragrafo; il lettore verifichi i disegni proposti per punti, c:ioa: assegnando alla variabile indipendente x dei valori su cui calcohue semplicemente la. funzione; ad esempio, nel caso (63), x = 0, l, 4, 9,...
7. Funzioni inverlibili. Funzioni monotòne Una funzione f da A verso B si dice iniertiva se distinti· banna immagini distinte.. cioè, equivalentemente, se sussiste l'ìmplicazione (7.1}
l(x,}
f(",}
La funzione f si dice poi se per ogni y B esiste almenO' un x e A
. Y'" (1 (y)
• L
- --------
//
---------/,,?..../
-
.J" I•
j : l.
A
, Figura. 1.7
f.
B
•I
y
l mUllui
t
1ft fl/lltioni renli
'25
In tali condizioni diciamo che f è inve7libile. La funzione da B ad A che ad ogni Y E B fa corrispondere l'unico x e A per cui ((x) = y, si cbiama funzione inversa e si indica con [l. Si ha (il simbolo 'V si legge per ogm1: (7.2)
r'(I(x)) = x,
V x e A;
I(r'(y)) = y,
'Vy
E
B.
Da notare che spesso si cambiano le notazioni ed invece di usare x = I l (y) si preferisce. con un pure scambio di simboli; y = I l (x) , per mettere in luce che la variabile indipendente è quella dell'argomento di t-l. In figura 1.7 è riportato il grafico di una funzione f:A - t B invertibile o della sua inversa [l: B -tA. Ad esempio, la furnione (6.1) è invertibile; infatti, fi!l5ato Y..'f(x), risulta x:= (y -1)f2. La fun%ione inversa della (6.1) è quindi (73)
r'(x)=
,-l
2.
Anche la funzione (b.2) è invertibile e risulta;-' (x) := ili (è solo un caso che ( ed r l coincidanol). La funzione (63) anche invertibile e (x) _ il, per x Ò!: O. Mentre la (6.4) nOlI è invertibilc, perché non stabilisce una COrrisPODdenza biunivoca tra l'insieme A <> R e l'insieme' B costituito dai scii due valori O, I.
r
Diremo che una funzfone f è mandfbna fil una' detle Gondìzioni seguenti ('r/ :il,!, x] e- A):
WÌ
msieme A, se verifica
(7.4)
f strettamente crescente:
Xj
(75)
f CresCente:
x, < x,
='>
t(x,)
$
(7.6)
f strettamente· dgcrescenle:
"
Xz
==>
f(x)
> f(Xi),
(7.7)
f decrescente:
x, < x,
='>
t(x,) I(x,).
< '" ='> t(x,) < I(x,),
o::::
t(x,).
Una funzione che- verifi-;a la (7.4), oppure la (7.6), si dice sirettamimie moriotÒno.
Ad esempio, la funzione (6.1) è streHamerite crescente su R; la funzione (6.2) è strettamente decreseente, separat3'merit6 negli ìn'siemi (x > DJ e Ix .e DI, La funzione (63) è strettamente crescente. La mnzione (6.4) non è'
mvnotòna su R. Ci sarà utile 11...1 seguito un criterio per riconoscere- se una data funzione è invertibile. Rimandando al criterio di invert1òilità del paragrafo 35 per una visione più. c'ompleta dell'argomento, supponiamo che· la corrispondenza
26
Copitolo l
tranùte una funzione f tra due insiemi A e B sia tale che ad ogni Y E B corrisponde almeno un x E A. Se f è strettamente monotòna al/ora è anche invertibi/e. Infatti, ad ogni y eB corrisponde un solo x E A per cui C(x) = y; perché, se ne esistessero due distinti Xl 'f;; xz, i corrispondenn valori f(x l ), C(X2) .dovrebbero essere diversi fra loro a causa deUa stretta monotonia. Concludiamo il paragrafo con alcune utili definizioni e notazioni. Sia f: A B una funzione da A verso B. Se X è. un sottoinsieme di A. l'immagine di X mediante f, indicata coli t(X), è il sottoinsieme di B definito da (7.8)
f(X)
{y
E
B :3 x
E
X:·y
f(x)}
(il simbolo 3 si legge esi.!te). L'insieme t(A), cioè l'immagine di A mediante t, si chiama codominio di f. Evidentemente, la funzione f è da A verso B se e solo se il suo codominio coincide con B.. Se Y è un sottoinsieme c;li B, l'immagine inversa di Y mediante f, indicata con r-1(y) è il sottoinsieme di A definito da (7.9)
r'(Y)
= {x
E
A : f(x)
E
Y}.
Diamo infine la definizione di funzione composta mediante due fun· zioni. Siano X, Y, Z tre insiemi e siano g : X Y e f : Y -+ Z due funzioni, tali che l'insieme Y contenente i valori deUa prima coincida con il dominio della seconda. Allora si PI,lÒ considerare la funzione composta h : X ; Z. definita da b(x) == f(g(x») per x E X. In tal caso si usa la notazione h == fog; in altre parole, si pone f<>g(x) f(g(x» per ogni x E X. ::E
8. Funzioni lineari. Funzione valore assoluto Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo (8.1)
y=mx+q
ave m, q sono numeri reali fissati. Si verifica facilmente che il grafico di una tale funzione è una retta, di cui il parametro m è detto coefficiente angolare. Ogni funzione lineare è monotOna su R, anzi, stretfamente monotòna se m 'i": o. Infatti, basta considerare Xl < x2 e t(x) = mx + q. da cui (8.2)
J nllmt!ri e le ftll1r.iolli reali
27
se il coefficiente angolare m è positivo, allora, essendo XI < X'2 risulta anche InXl < mx2 e quindi f(xI) < f(X2) ; in 'questo';caso 'f(x) risulta strettamente crescente su R. Se invece m è negativo, allora da Xl < segue mX l > nlX2 e quindi f(xl) > f(xz) ; perciò, se m < O,la funzione lineare f(x) è strettamente decrescente. Infine, se m = O, allora risulta t(x) = q = costante; essendo f(x l ) = f(x'2) per ogni coppia,di valori XI. Xl, la funzione f(x) è contemporaneamente crescente e decrescente su R; si dice brevemente che la funzione è costante su'R. D grafico di f(x) in questo caso è una retta parallela all'asse Xi, costituita dai punti (x, y) con ascissa arbitraria e ordinata costante uguale a q. Ricordiamo il criterio esposto nel paragrafo criterio in base al quale una funzione strettamente monotOna su un insieme è anche invertibile,su tale insieme. N"eJ caso in considerazione la funzione f(x) = mx + q è strettamente monotOna su R Se m "" Oe quindi è anche invertibile se m fio o. Tale fotto è di semplice verifICa çj.iretta: infatti, se m "" O. Ville l'equivalenza: (8.3)
y=mx+q
<=
y-q m
che, con i simboli introdotti. nel paragrafo precedente. significa che la funzione inversa Il (y) della funzione lineare f(x) '" mx + q è data da f""1(y) ... y-q.
(8.4)
m
•
•-•• -•
y I
y= 3x-1
N
o
••
2
-,
--
,, ,,
,
I
Figura 1.8
--• -• •
y
>
"
•
y= 3·2x
2
,
X
-,
'\
3
x
Figura 1.9
Al contrario, se m '" O. lo fu02ione costante f(x) • q non stabilisce Wla conispondenza billniv0l:8 tra l'insieme R e l'insieme B =. [ql costituito dal solo valore y = q; perciò In funzione costante f : R [qlnon è inverlibile.
28
CJpiJolO l
Dato che per due punti distinti de! piano passa una ed una sola relta, per disegnare il grafico-di una funzione lineare è sUfficiente calcolare l'ardi· nata y in (8.1) in corrispondenza a due valori distinti della variabile x. Ad esempio, nel caso della funzione lineare y ::: 3x - l, ad x .. O y • - l e ad x .. 1 conisponde y .. 2: pertanlo il grafico è come quello in figura 1.8, ottenuto disegnalldQ la retta passante per i punti di coordinllte (O. -1) e (l, 2). Illenore ritrovi c!l:l solo il grafico in figura 1.9 relativo alla funzione lineare y ::: 3 - 2x.
11 valore 113S01ulO (o modulo) di x. indicato con il simbolo /xl, è definito d.
IXI
(8.5)
x>O
={ -xx
se
x < O.
II grafico del1a funzione valore assoluto f(x) = Ixl è composto da due semirette per l'origine, di equazione rispettivamente y = x e y = - X, come nella figura 1.10.
;•
y
I-
1
FIgura 1.10
Più precisamente il grafico ìn figura 1.10 della: funzione valore assoluto è unione della semireUa di eqtHizione lineare y = x, con x O. è della semiretta ,/=-x,ooox
'
(8.6)
(8.7)
Ix/=O""
(8.8)
1- xl = lxl.
(8.9)
fX 1 •
(8.10)
Xzr =
I "21 ""
x=O; 'r/ x e R;
Ix1f . IX'2I, ]x111
Kil.
V
Xl , Xl E
V x\ • "'z e R,
R; X2
"* o.
J numeri
l!
Il! fu"ziolli reu/i
29
Dimosll'iamo ad esempio la (8.6): se x Oallora Ixl = x e quindi in questo çaso Ix! Ò!; O; se invece x <; 0, allonl Ixl = - x e quindi, eSliendo - x > 0, risulta Ixl > O; io definitiva Ixl :2: O per ogni x E R. La (8.7) è immediata; le (?9), (8.10) sono diretta conseguenza della ..regola dei segni",. Proviamo la (8.8): se x > Oallora Ixl = x e 1- xl = - (- x) = x, dato che - x <; O; perciò Ixl = 1- xl se x> O. Ana{ogamenle se x <; O risulta Ixl = - x e 1- xl = - x, esseodo - x > O; anelle in questo caso Ixl = 1- xl. Infine, se x = O, si ha - O = O e pertanto 1- 01 = 101.
Esaminiamo ora le seguenti proprietà (8.11) e (8.12), la cui interpretazione geometrica è schematizzata in figura 1.11. PROPOSIZIONE. -
Per ogni numero rea/e r
< ,.
(8.11)
Ixl
(8.12)
Ixl < r
O valgono le equivalenze:
-r
'"
-r
'"
--
--• -•
y
o; Q
, I I
I I I I
, --------
------- ,
y= (x]
I I I
y"
I I
, ,
!
.,
•
-r:S x :Sr
,
Figura 1.11 Diqlostrazione: Ili verlfica delle due equivarenze può procedere !ilio stesso modo; pen:iò ci limitiamo a dimostrale Il;!. (8.11), In base aUa definizione (8.5) del valore assoluto, la rela.zione Ixl::S r equivale Ili due Clisi:
l
x < O
(8.13)
-x::Sr
il primo sistema si riserive nella. forma O:s: x :!O r, mentre il Unendo i due risultati si trova infine r ::S x S; r.
equivale Il - r ::Sx < O.
30
Capitolo l
La seguente proprietà (8.14) del valore assoluto, detta dirugunglianza triangolare, è di grande importanza. La spiegazione intuitiva deUa disuguaglianza è semplice: a secondo membro della (8.14) compare la somma di due numeri positivi o nulli (i moduli dei due numeri x. e xJ, mentre 8 primo membro compare il modulo della somma algebrica di x t e Xl; se i segni di x. e Xl sono discordi, il primo membro della (8.14) è minore del secondo membro, mentre se i segni di Xl e X2 sono concordi, allora i due membri sono tra, loro uguali. DISUGUAGUANZA TRIANGOLARE. xt.
Xl
Per ogni coppia di numeri reali
lIale la disugllagliorJ.l.a
(8.14) Dimostrazione: per ogni numero reale x la relnione /xl s IKI o!; ovvia (anzi. vale eoo il segno .); indicando con r il secondo membro di lale ovvia relltZione, per l'equivalenza (8.11) abbiamo anche - IKI s x s; htl: in particolare, per x .. XI e X '"' 11. 2 : (8.15)
e sommando membro a membro:
La conclusiom: segue da una nuova applicazione dell'equivalenza
(8.11) con r . 1x,1 + 1x,1.
9. Le funzioni potenza, esponenziale, logaritmo Consideriamo la funzione (9.1)
con esponen.te n e N:
f(x) =
XII ,
che è definita, per ogni x E R, moltiplicando il numero x per se stesso volte. La funzione f è strettamente crescente per x O, cioè:
Il
(9.2) Infatti se n = 2 e se O Xl < allorll. moltiplicam10 pl'ima per ilCI. poi per 1C2. si ottiene
,cf
xl
Xz • Xl 11.2 < ; cio.!; < . Se n ='3, partendo da < rasi ouiene x, xf S III xf < X2 (Ii veda anche il paragrafo 11 sul principio di· induzione). "I
xi
il ..
G•
e cosI via se
Q>
J
l numeri e le funzioni reali
31
Per mezzo del teorema dell'esistenza degli zeri. dimostreremo nel paragrafo 35 che ad .ogni y O corrisponde almeno un numero reale x O per cui f(x) = x:' = y_ La condizione di stretta monotonia (9.2) implica, come osservato nel paragrafo 7, che la funzione è invertibile. Perciò è definita la funzione inversa di t(x) = x" (x O), che si chiama funzione radice n-sima, e si indica con
,I
(93)
(x)
'fx
x lm
(x ;, O).
•
I grafici delle funzioni (9.1), per x >0, e, (9.3) sono come in figura 1.12.
•• .•-
"" •
n-3
" •
•
, ,
x
1
x.
Figura 1.12
Per mezzo delle funzioni (9.1), (9.3) si può defu1jre l'elevazione aa esponente razionale (m, n E N, x e R, x > O) :
(9.4)
xml' = x'" •
x-n'n = 11 qx lll
,
A questo punto è stato definito il significato di ab, con a numero reale positivo e b'numero razionale. Utilizzando l'assioma di completezza è possibile estendere la definizione di ab anche se l'esponente b è un numero reale Don razionale. come vedremo nel paragrafo 12_ Un'altra definiZione equivalente è proposta nel paragrafo Elenchiamo alcune proprietà:
(9.5)
ab _ ae = ab
(9.6)
ab > O.
(9.7)
a < b,
+ c: ;
c> O
32
CupilOIQ 1
(9.8)
a < b,
0<0
(9.9)
a > 1,
b < c
(9.10)
a < 1,
b
a e > bç
=> =>
•
ab < ae .
ab :> a'" •
Dall'espressione ab derivano çlue diversi tipj di funzione, a seconda si faccia variare la base a o l'esponente b. Nel primo caso consideriamo la funzione potenza f(x) = x b • con bER fissato. seco.qdo caso abbiamo funzione esponenziale f(x) = al[ • con a numero reale positivo fissato. Casi particolari della funzione potenza f(x} = xb sono queUi con b = n e N, oppure 1:1 = lIn, già esaminati in precedenza, La funzione potenu. per x >. O. in base aUa (9.6), è positiva. Inoltre xb è una ftmzione strettamentt;: cresante se b > O e strettamente decrescente se b < O. in base alle (9.7), (9.8). Esempi di. grafici nei vari casi sono riportati in figura 1.13.
y
y
y
1
1
1
"....!. 2
1 lCb con b>1
X
1
)(b con O
I xbcon b
Figura 1.13
La funzione esponenziale f(x) = ali • con a numero reale positivo. è una funzione positiva, è strettamente crescente se a >' l e se a < l, in base alle (9.6), (9.9), (9.10). Esempi di grafici Sono riportati in figura 1.14. Un caso notevolmente importante, e ciò diventerà chiaro nel par-agrafo 43 nello studio delle derivate, si ha quando la base è uguale al numuo di Nepero e = 2.7... (definito nel paragrafo 2S).ln tal caso ovviamente si indica fa funziolle esponenziale con f(x) = eX ; dato che e > l,la funzione e- è crescente. Se a = l, la funzione aX è idenrlcamente uguale a 1. Si dice in tal caso che la funzione è COSCante. Naturalmef!te una funzione costante non è i'nvertibile. Se invece a ;#. l, allora la funzione esponeJ12.iale a X è invertibile. La funzione inversa è definita sui numeri reali positivi (dato che l'immagine
l nlUlltJ'i
Il
lt /unzioni reali
,•
-• • •
y
y
o'
o'
0>1
•
O
li ./ 1
'"
x
33
J
•
1
x
Figura 1.14
della funzione y = al( è appunto costituita dai numeri reaLi positivi); si chiama funzione logaritmo e si scrive f(x) = 10,&aX. Quindi la funz.ione logaritmo è definita da: al' = x.
y=log.x
(9.11)
Si suole omettere l'indicazione tsplicita della base. se tale base è il numero e. Quindi:
{9.12)
y = log x
e)'
= x.
Le formule (9.11), (9.12) sono molto usate anche nella forma-_ seguente: aloioX=x·
(9.13)
(x> O)
•
Se la è maggiore di l, come nel caso (9.12), il logarilmO è una funz.ione strettamente crescente. o
J
1
l'
\,
Iog.x conO
""--
I
1.15
34
Cnpitolo l
[nfatti, siano Xl < X2 e Yl = 10g X" Yl = 10g Xl' Se fosse Y1 < Yl per la (9.9j avrenuno xl = e" < e Y' = Xl' alle ipotesi. Analogatnente l assurdo che Yl = Y2' perché Xl = Quindi deve risultare Yl < Yl' Con çlimostrazione analoga si verifica che il logaritmo è U1UJ funzioM stret· tomente decrescente u la base minore di 1. Esempi di grafici S0l10 riportati in figura 1.15. Elenchiamo a1cune note pmprietà dei logaritmi: +
(9.14)
lo&, (xl x2) =
(9.15)
log.
Xv =
log.
(9.16)
lo&. xb = b
x •
(9.l7j
lo&:, x = lo&. x I log. b,
(Xl
I
10g. Xl
Xl -
log. lo&.
Xl
'I
x, ,x2 >O;
,
'I
x, .xl >O;
V
x >
O;
V X >
O.
Dimoslrazione: per provare la (9.14) poniamo
19.1') in' base alla definizione (9.11) risulta (9.19)
Pertanto (920)
che, di nuovo in base alla definizione (9.11), equivule o. (921)
Ricordando i simboli introdotti all'inizio in (9.18), la (9.21) equivale alla tesi (9.14). Le altre retazioni (9.15), (9.16) e (9.17) si dimostrano in modo onalogo (ed illeltore invilato ad e2guire i c:elcoli espticilamente).
10. Le funzioni trigonometriche Riportiamo in questo paragrafo un breve riassunto di nozioni di trigonometria, in genere già note allettare. 11 lettore sa misurare gli angoli in gradi; ad esempio un angolo retto
I numeri
l!
le fiJl1ziOlli retlli
35
misura 90°, U11 angolo piatto 1800 , un angolo giro 3600 • Per studiare le funzioni trigonometriche è opportuno adottare una diversa unità di misura per gli angoli. Definiamo la misura di lUl angolo'piano espressa ID rildianti. Essa"è data dalla lunghezza dell'arco di circonferenz.a di raggio 1 e centro nel vertice dell'angolo intercettato dalle due semirette individuanti l'llngolo (si veda la figura 1.16).
"n,{
/
.
/
./
./
•
cos x
sen
,
,
••
i't
cosx
Figura 1.16
Si conviene di denotare COll.:n (pi greco) la lunghezza di unasemicircollferenza di raggio 1. Ciò significa che, espresso in radianti, uri angolo piatto misura :re, un angolo retto misura :re/Z, mentre un angolo giro misura 2n: (la lunghezza di una circonferenza di raggio 1 è 27l). Come tutti sanno, un valore numerico approssimato di :rt è 1f = 3.14... Analogamente a quanto si fa per l'ascissa su di una retta, si definisce un'origine ed un' verso di rotazione positivo (si suole scegliere il verso antiorario a partire dall'asse delle x) e si considerano in modo naturale anche angoli maggiori di 2n' radianti, o angoli minori di zero. Così l'angolo x geometricamente corrisponde all'angolo x + 2n' ed anche all'angolo x + 4n, oppure all'angolo x - 2.rr, o in generale all'angolo x + 21m, per ogni k E Z. Le funzioni sen x, cos x si definiscono rispettivamente collie ('ordinata e l'ascissa del punto che si trova sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e che sottende un angolo orientato di lunghezza x, a partire dal\'assé delle ascisse (figura 1.16). Le funzioni sen x, cos x sono definite per ogni x E R, mentre l'immagine delle due funzioni è compresa tra - 1 ed 1, cioè:
36
Cllpit%
(10.1)
J
vx e
- l 5 sen x S l, - l S cos x S l,
R.
Il grafico delle due funzioni è riportato "in figura 1.17. Nel paragrafo 49 sarà. indicato come ottenere il grafico; per ora il leUore controlli sul grafico il segno delle due funzioni in base alla definizione. Le funzioni sen X e cos x Don sono monotòne su R. .
•, •
I ,,
,
-
2.
--',,-_/
"
Figura 1.17
Delle numerose relazioni tra queste due funzioni, la più importante è senza dubbio quella che segue dal teorema di Pitagora sui triangoli rettangoli. l:; utile ricordare come si olliene una dimostfllzione del tcorem.ll di Pitagofll per un triangolo TCttangolo con caleti lunghi a, b e ipolellusa lung' c. Si veda In figura. 1.18. Il triangolo rettangolo ripetuto pill volte in figura 1.1S ha cateti lunghi a, b e angoli Cl, fJ. oltre all'angolo retto. Evidentemente o + fJ ::: 1ffl (perché la somma degli 'lngoli inlerni del triangolo vale H): ne segue che anche l'angoto 'Y in figura 1.18 è ugualé li Jtf2. Perciò il rombo di lato c: rappresentato nella partc destra della figura 1.18 è in rcaltà un quadrato..
•
• Figura J .18
/ mUlU1ri e le fiin'lioni reali
37
L'area del più grande, di lato a ... b. v.le (11 + b)l. Tale area si può ottenere sommando l.e !lree delle figure eomponeqti (quattro lriangoli reltangoli di l:31eLi a, b, ed un quad'.1to di Jato cl. cioè 4(ob/2) ... c'l . Pen:;iò
da cui il ftoremIJ di Piragom:
(10.2)
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di cateti lsen xl e lcos xl e ipotenusa uguale 8 1. si trova la relazione fondamentale (10.3)
'VxeR.
Sono anche importanti le formule di addizione: (10.4) (10.5)
XI
Se nelle identità sopra scritte scegliamo il segno + e pomsrno = Xz = x • otteniamo le formule di dupli.cazione:
(10.6)
sen2x=2senxcosx. I
I I
I
-t
I I
I
I
I
I
I xl
I
I I
,I I
Y
.r
I
/
I
l-t I
I I
I
I •
,
I
I
I I
I
iii
I
•
I
I , 11:
I 3
I
1,""'211:
I
I I
I I
, I
Figura 1.19
2 J IX
I
I I
I I
x
38
CDpilCllo J
cos 2x =
(10.7)
2 COS X -
sen2 x.
A partire dalle funzioni sen x e cos x si definisce la funzione tangente
=-"
sen x 19 x = cos x
(10.8)
il cui grafico è rappresentato i.o figura 1.19.
•li-
T
"
l ••
19x
o
C05X
A
S
Figura 1.20
La fun2.ione tangente definita se cos x:# O, cioè se x:# nfl + br, con k: E Z. Usando le proprietà dei triangoli simili (BT = BT/OB = AP/OA), si vede che la tangente di Wl angolo x si pub rappresentare come in figura 1.20. Dalla figura risulta chiaro che, se O -< x < nfl allora valgono le disuguaglianze
(10.9)
O
Riportiamo una tabella con i valori delle funzioni trigonometriche per alcuni angoli di uso frequente. n. "modo con cui ottenere tali valori indi· calO negli esercizi. x radianti
O
,,/6
,,/4
,,/3
"fl
gradi
O
30
45
60
X
..n, co,.
O l
.J2fl {ifl {ifl .J2fl 1Il
19<
O
{i 13
1Il
1
{i
.
""
(312»<
90
" 180
270
360
1
O
- 1
O
O
-1
O
l
non
O
non
O
dt!finila
definita
J numeri e le fr.1J11.iolli reali
39
Appendice al capitolo 1 Il. Il principio di induzione Abbiamo utilizzato nel paragrafo 9 la seguente affermazione sulla crescenza della funzione potenza x": (11.1)
=>
,
x" < .. y.!!"
';f D E
N.
Vogliamo dimostrare questa proposizione per mezzo del principio di induzione_ Supponiamo preliminarmente che essa valga per un certo indice n (ciò che dobbiamo provare che la (11.1) sia vera per tutti gli n; qui stiamo supponendo che la (11.1) sia vera per qualche n; ad esempio, per n = Ila (11.1) banalmente vera!). Perciò supponiamo che valgano le disuguaglianze O :S Xl < X2' xi < xi . Otteniamo: (11.2)
Cioè abbiamo provato che, se vale La (11.1) per un certo indice D, allora essa vale anche per l'indice successivo n + 1. Ma allora la (11.1) vale sempre, perché: sappiamo clie la proposizione vale per o = 1 (lo chiamo banalmente); per quanto sopra detto essa vale. anche per l'indice successivo, cioè n = 2; ancora, sempre per lo stesso motivo la (11.1) vale l'"er il successivo n = 3, e così via... Possiamo raggiungere con questo· argomento qualsiasi naturale o. Formuliamo in generale il seguente: PRINCIPIO DI INDUZIONE. -
Supponiamo che una dipendente da un indice n E N sia vera per n = 1 e che inolcre, supposta vera per n, sia vera tl11dIe per il successivo D + 1. Al/ora la proposizione è vera per ogni n E N.
Per chiarire meglio il principio consideriamo altri esempi Dimostriamo per induzione la formula che esprime la somma dei primi n numeri naturali (questa formula era nota a Gauss dall'età di nove anni!):
(113)
1+2+3+ ... +(n-l)+n=
n(n + 1) 2.
La formula è vera per n = 1; infatti si ha l'identità 1 = Cl . 2)fl.
40
ClIpilOlo l
Supponiamo vera la (11.3) e dimostriamo la formula analoga con l'indice n + 1 al posto n. Per ottenere ciò, è naturale sommare ad entrambi i membri il numero n + 1: 1 + 2 + 3 +' ." + n + (D + 1)
:=
n(o + 1) 2 + (D + 1) =
(11.4)
-
0(0 + 1) + 2(0 + 1) (o + 1)(0 + 2) 2 2
Abbiamo ottenuto ciò che volevamo; quindi la (11.3) risulta vera per ogni n E N. Un'altra applicazione del principio di induzione è la seguente: Per ogni numero reale x - l, e
DISEGUAGLIANZA DI BERNOULLI. per ogni naturale n, risulta
(1 + x)- 2: 1 + DX.
(11.5)
DimostraziOne: per n ..-.1 la vent (cpn il segno =), 'Supponiamo vera la (l LS) per un 'nuO\(:ro n, mo/lipliChiamo e;1\[rambi· i men\br.i per: 1 t x, che una qua'nfità maggiore o a tero:
(1 +-J[)_.' (l + nx) (l + '" '1 + x r n'Il: +
nxZ
X)
-=
I + (n + l) x.
Abbiamo .otlenufo la proposizione con n + 1" al posto ai n. P.erciò. in base al principio di indUzione, la (11.5) ! provata
Utilizzando il principio di induzione, dimostriamo la formula che esprime la somma di una progressione geometrica di ragione x -:F 1: (11.7)
1 + 'x +
r
+ '" + X,'I =
1_
X Il+1
l-x
•
Per n = l, a secondo membro abbiamo (11.8)
:;.l----,r=:l-x_
= (1 -
x) (1 + x) l-x
= 1 + x;
'r/x7;l.
l numeri c le Jilllzi'oni reali
41
quindi la (11.7) è vera per n -: 1. Supponendo verifica la la (11.7), som· miamo ad entrambi i membri il termine X- l :
1+x + (11.9)
1 -
r
+ ... + x? +
+ ",,+1 l-x
x"+1
)("+1
_ JC'l+1
=
=
l _
1
l - x
+
x n+1
=
xD.+'l
1- x
.
Abbiamo ottenuto la proposizione con n + 1 al posto ç1i n. Quindi, in base al principio di induzione, la formula (11.7) è dimostrata. Proviamo mediante il principio di induzione una formula, analoga alla (11.3), che verrà utilizzata nel paragrafo 61 introducendo gli integrali" defi· Diti: (11.10)
12 + 22 + 32 + ... +
n'l
= n(n + 1) (20 + 1) 6
pimostratione: la formula (H.IO) è vera per nsl; risulta infaui
(11.11)
Suppon.iamo che (11.10) sia verifièata. per un lndic.c n e dcduciamo da essa la IInalago. con D+1 al posto d.i n. Abbiamo
II + 21 +...+ nl + (n + 1)2 = [1 2 + 21 7 ....+ 021 + (n + 1)2:, (11.12)
C· I)' _n+ ( 1)[n(211+1) +n+ ( ')] '"' = n(n+l)(2n+l) +n+ 6
"'0+1 ( )
6
...
n + 6ft +.6
6
1
(
::00+
l) 20
+ 70 + 6
6
.
Osservando c.be la (11.10) con n + I al pQS!O di D, a seçondo membro h-A l'espressione :11.13)
(n-+ Il (n + 2) [2 (o + 1) + l)
6
•
(o + l) (n + 2) (20 + 3) .6
:imane soltanto .da osscr:vare che 11.14)
(n+l)
20 2
+70+6 ('n+l)(n+2)(2n+3) 6 = '6 •
:hc è una relazione perché, da vcrifica diretta, risulta.2n 2+ 7n + 6::> (o + 2) (2D ... 3).
42
Capitolo 1
Mostriamo infine che (11.15)
1
1
1 n 1 . 2 + 2 . 3 +...+ n (n + 1) = n + 1 .
Dimostrazione: da verifica diretta la formula (11.15) è soddisfaUa per n'"1. Supponendo poi che la (11.15) sia verificala per un indice n generico, otteniamo
l
1 1 j:2 +...+ n (n + l) + (o + 1) (n + 2) '" (IJ.16)
•
I n + n+l (n + I) (n + 2)
n (n + 2) + 1
=(n + I) (n + 2) =
(n + 1)1
n+l
=(n + 1) (n + 2) • (n + 1) (n + 2) =n+2 che corrisponde appunto alla (11.15) con Il + I al posto di n,
CAPITOLO 2 COMPLEMENTI AI NUMERI REAIJ
Raccogliamo in questo capitolo alcuni complementi ai numeri reali. Introduciamo l'estremo superiore e L'estremo inferiore di un insieme di numeri reali, il calcolo combinatorio ed i numeri compLessi. n concetto di estremo superiore, introdotto nel seguente paragràfo 12, è fondamentale per la trattaziQDe della maggior parte dei teoremi di esistenza dell'Analisi Matematica, ad esempio per. la dimostrazione del teorema sulle successioni monotòne del paragrafo 24, o per altri teoremi di esistenza (Bolzano-Weierstrass, Weierstrass, ecc.).
12. Massimo, mjnimo, estremo superiore, estremo inferiore Sia A un insieme di numeri reali. li massimo di A, se esiste, è un numero M dell'insieme A che è maggiore od uguale ad ogni altro elemento dell'insieme. In simboli:
(12.1)
M massimo di A (M = max A)
=
M;,a,\laeA; {M e A.
Analogamente, il minimo di un insieme di numeri reali A. se esiste, numero ID dell'insieme A che è minore ca uguale ad ogni altro elemento di A. In simboli:
(12.2)
minimo di A (m = min A)
ID
=
mSa,'r:IaeA; {
meA.
Non tutti gli insiemi di numeri reali hanno il massimo ed il miniJ:ilo. Ad esempio, se A è costituito da tutti i numeri reali positivi, A non ha né massimo, né minimo (non esiste il più piccolo numero reale positivo; ad esempio, lo zero non è il minimo, perché non appartiene ad A).
Si verifica Cacilmente che quando esistono, il massimo o il minimo sono unici. Infatti, se MI e Mz sono due massimi di un insieme A, alloca per definizione Va
E
A;
ma· dato che Ml ed Mz sono elementi di A, posto a rispettivamente uguale a MI ed a MI neHe relazioni precedenti, si ottiene M t > MI e MI M h cioè MI = MI. Un numero reale L si dice un maggiorante. per un insieme A se L a per ogni a E A. Analogamente un numero reale r è un minorame di A, se rs a per Qgni a E A. bene notare esplicitamente che un insieme A non sempre ammette maggioranti o minoranti. Se A è di nuovo l'insieme dei numeri reali positivi. A non an'unene alcun maggiorante, mentre lo zero (ed anche qualsiasi numero reale negativo) è un minorante di A. Diciamo che A è limitato superiormente se ammette un m.aggiorante. A è limitato inferiormente se ammette un minorante. Infine si dice limitato un insieme che è limitato sia superiormente che inferiormente. lo simboli si legge esistono): (12.3)
A limitato
=
3t,LER:
r;:;;aSL,'VaEA..
presente la definizione (8.5) della ft!.nz.ione ·yalore assoluto, si riconosce facilmente che:
PROPOSIZIONE. positivo M tale che
Un ilUieme A è limitalo se e sollDnlp se qirte un .numero
(12.4)
lal < M,
Va
E
A.
Dimostrazione: se per ipotesi vale la (13.4). allora, dalla proprieJl (8.11) relativa al valore assoluto si ottiene
(12.5)
v.
E
A,
e quindi vale la (13.3) con t= - M e L = M. Viceversa, se vale la (12.3), allora vale anche la (12.4) (o equivalenremente la (125) cco M '" mal: Uri. 11.11.
(12.6)
- M :s: - lr'l s; r:s: Il S L s ILl s M,
'r;f
a e A.
ai numeri reali
4.5
n risultato che segue, alla base della definizione di estremo superiore, è conseguenza deU'assioma di compleceua (2.11) per i numeri reali. TEOREMA DI ESISTENZA DELL'ESTREMO SUPERIORE. Supponiamo che A sia un insieme non vuoto di numeri reali limilCllo superiormente. A.llora esiste il minimo dell'insieme dei maggioranti di A.
Infatti, indichiamo con B l'insieme costituito dai maggioranti di A B è non vuoto, perché A limitato superiormente. Applichiamo l'assioma di completezza (2.11) ai due insiemi A, B. Esiste un numero reale M tale che
(12.7)
a
M
'Ir:I a
b.
A.
E
TI b
E
B.
Dato che M è maggiore od uguale a tutti gli elementi di A, M è un maggiorante di A; cioè M e B: Inoltre M è qlinore od uguale a tutti gli elementi di B. Quindi, in base alla definizione (12.2), M è il minimo di B. In base al teorema precedente, poniamo la seguente DEFINIZIONE DI ESTREMO SUPERIOltE. - Sia A un insieme di numeri reali non vuoto e limitato superiormente. Diciamo che M E R l'estremo superiore di A se M è il minimo dei maggioranti di A.
Ciò equivale a dire che M è un maggiorante, e che ogni numero più piccolo di M, diciamo M - e: con e: positivo, non è un maggiorantei cioè M e: è minore di qualche elemento dell'insieme A. In simboli (3 si legge esiste): d·l A . M estremo supeTlore (12.8) (M =sup A)
.;==)
{M 2: a, V a e A; 03 aE AM ve>, : -e
w
Analogamente, si verifica che se A è un insieme non vuoto di numeri reali limitato inferiormente, allora l'insieme. dei minoranti di A ha massimo. lo tali oondizioni, si dice che un numero m è l'estremo inferiore di A se m è iL massimo dei minoronti di A. Ciò equivale a: m estremo inferiore di A (12.9) (m = inf A)
<=>
{m a, V a
E
A;
Ve:>O,3ae A:m+e:>a.
46
2
Quindi, se un insieme è limitato superiormente esiste ·l'estremo superiore ed è un nùmero reale. Se un insieme è limitato inferiormente esiste l'estremo inferiore ed è un numero reale. È utile introdurre i simboli .. _, per descrivere gli insiemi non limitati. Precisamente. sia A un insieme non vuolo. L'estremo superiore di A è +co se A non è limitato superiormente; l'estremo inferiore di A è - 00 se A non è limitato inferiormente. In simboli: CIO
(12.10)
supA=+oo
=
(12.11)
infA=-oo
=
vr,38E A:a<:r.
Nelle relazioni sopra scritte ci si può limitare a considerare L > O e r <: O. Facendo uso dei simboli +- e - .... si può quindi affermare che ogni insieme non vuoto di numeri reali ammette sia estremo superiore che estremo inferiore. Se l'insieme è limitato superiormente allora l'estremo superiore è finito; se l'insieme è limitato inferiormente aUora l'estremo inferiore è finito. Diamo ora aicuni
A :: Ix e R:
(12.12)
:Il:
> O} , allora
supA=+_,
infA=O
ed il massimo e minimo di A non esistono. Se B == l(n. - I)1D: n e NI (l'insieme-B ! schema-
lauto in figura 2.1). risulta (12.13)
supB=I,
ioIB==minB=O.
I
o
1 2
2 3
I I IIW
l=supB
3 • -• 5
FigUTa 2.1
Se infine C .. l(n + I)/n: n
(12.14)
e!
NJ) (si veda la figurll 2.2), si trova
lupC=maxC"'2,
iutC .. \.
Siano A e B due sottoinsiemi di R 'e f una fuazione da A verso B. Per ogni sottoinsieme X di A, l'estremo inferiore (risp. l'estremo superiore) dell'insieme f(X) si chiama estremo inferiore (risp. superiore) di f su X. Si pone inoltre .
Comp/elllUlIi Ili lIlunerl reali
in! [(x) = inf !(X) , ..x
(12.15)
47
SUD !(X) = Sup !(X) .
,.X
Se poi f(X) è limitato inferiormente (risp. superiormente) si dice che la fun.rione f è limitata inferiormente (risp. superiormente) su X. Se infine f(X) è un insieme limitato, si dice che f è limitata su X. l:cinfC - - - < '_"HII-+I-+--+-1- -.... 0+1
n
_6 _5
5'"
4
3"
2=maxC
, ---------11-_ .. 2
3
2
Figura 2..2
Alla luce delle nozioni introdotte nel presente paragrafo riportiamo dì seguito alcune proprietà dell'insieme dei numeri naturali e deU'insieme dei numeri razionali Nell'insieme R dei numeri reali. a partire dall'elemeuto 1, si possono determilU'lre gli elementi 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 e cosi via. Tali elementi cn<>tìtuiscono l'insieme dei numeri natu.rali di R. cioè l'insieme N = Il.2.3•... J i cui elementi SODO ordinati secondo le relazioni 1 < 2 < 3 < ... L'insieme N gode di due proprietà caratteristiche: l) Ogni parce non vuota di N i dotata di minimo; 2) ogni parte non vuota di N, superiomu!nte limitata., è dotata di mas· srmo. Tenendo conto di tali proprietà si può dimostrare la seguente PROPRIETÀ DI ARCHIMEDE_ - Per ogni x e R. dirte: n e N tale che n > x. Dimostrazìone: se In proprietà di Archimede fasse falsa, rinsieme dei numeri ruli sarebbe limitato superiol'Tllel\te e quindi, per l'auioma di completetta. dotato di estremo superiore M E R. In par.ticoIRre. per ogni nl,lmero naturale n di R sarebbe"U S M. Poicht anche n + 1 un numero naturale, risulterebbe n + 1 S M, cioè n:s M - l, per ogni Il E N. il che! ll5Surdo perc:M M - I sarebbe un maggiorante di N, contrariamente allatto che M il pìù pice:olo dei maggioranti.
In altre parole, la proprietà di Archimede affenna che l'insieme N dei
numeri naturali non è limitato superiormente. Dalla proprietà di Archimede si ricava che l'insieme Q dei numeri razionali di R. cioè l'insieme dei numeri del tipo mln con m e Z e n E N è
'18
Copilola 2
demo in R, vale a dire, per definizione, che per ogni coppia a. b di numeri-reali con a < b, esiste un numero razionale compreso fra a e b. DENstrA DEI NUMERI RAZIONALI. - L'insif!mf! Q df!i denso
Ùl
nUn!f!(i
razionali è
R.
Dimostrazione: si deve provare che, per ogni coppia a, b di numeri reali"coo a <: b. esiste un n\llnero l"Uionale:r; tale che a <: x <: b. Supposio 4 > O. sia n li< N tale c:he n > LI (b - a)l per cui multeri ob '- na ;. 1. Detto' m il più piccolo numero naturale late cheJia <: in; si avrà In - 1 Soa anche na <: m=(m-I) + 1 Soa + 1 <: oa + (ob-na)= nb. DaUedi5ugWIIglillltte na <: m <: ob segue 1'l$SCtto. U coso a