Ushtrime per kapitullin 1 Paraqitja e numrave 1) Jepet numri -25.110 Shpreheni ne sistemin binar: a) Me modul me shenje b) Me komplement te dyshit Te zgjidhet me gabim jo me te madh se 1%. 2) Konvertoni ne binar, ne paraqitjen me complement te dyshit me 16 bit me saktesine maksimale te mundshme, numrat 323.16710 dhe 115.3758 . Llogarisni diferencen e tyre. 3) Kryeni veprimet duke i paraqitur numrat me complement te dyshit me 8 bit. Diskutoni mbi saktesine e rezultatit. a) -128 + 3 b) -128 – 3 4) Te kryhen veprimet e meposhtme mbi numrat binare me 5 bit, duke i supozuar te koduar paraprakisht me complement te dyte dhe me pas me modul me shenje. Ne te dyja rastet te tregohet nqs kemi overflow, dhe pavaresisht ketij fakti te shprehet rezultati i veprimeve ne binar dhe ne dhjetor. a) 11000 – 01001 b) 11001 – 00111
5)
Diferenca e dy numrave binare pa shenje, kryhet duke mbledhur numrin e pare me komplementin me dy te numrit te dyte. Cfare kushti duhet te kontrollojme qe te verifikojme saktesine e rezultatit? Zgjidhje: Kur zbritet nje numer ne i madh nga nje numer me i vogel, merret nje rezultat negativ i cili nuk mund te shprehet si numer pa shenje. Ne kete rast rezultati eshte i pasakte. Megjithate duhet te kontrollohet cfare ndodh kur realizoheet zbritja A – B ku A > B Kini parasysh rrethin e paraqitjeve te vlerave ne complement te dyshit: A dhe B jane te pozicionuar si ne figure:
Te mbledhesh komplementin me dy te B me A do te thote te besh nej rrotullim duke filluar nga A ne nje hark ne rreth sa komplementi i dyshit i B, sa ai vizatuar ne figure, mjaftueshem per te kaluar piken 0. Ne rastin kur A < B te dy paraqitjet invertohen dhe mbartja nuk kryhet asnjehere. Kushti qe duhet kontrolluar eshte prania e mbartjes. Ne te njejtin perfundim mund te arrihet edhe ne rruge analitike. Me formule, te mbledhesh me A, komplementin me dy te B-se do te thote te llogarisesh: X = A + 2n – B = 2n + (A - B) Nqs, A > B, kemi qe X > 2n, pra rezultati eshte pikerisht vlera (pozitive) A – B.
Ushtrime per kapitullin 1 Paraqitja e numrave Nqs A < B, kemi qe X < 2n, pra rezultati eshte 2n – (B - A), qe nga perkufizimi eshte komplementi i dyte i differences B – A. Si perfundim mund te themi qe rezultati eshte i sakte vetem nqs shuma ka mbartje. Ne rast te kundert rezultati i marre eshte komplemeti me dy i vleres se sakte. 6) Gjeni shumen e numrave dhjetore +7 dhe -7.25 duke perdorur paraqitjen binare me presje fikse me complement te dyshit me 6 bit. 7) Jepen numrat e meposhtem: A = 14.7510 B = -4.510 Paraqitini me complement te dyshit me 7 bit . 8) Jepen numrat dhjetore A = -123.45 dhe B = 312.54. Llogarisni A – B duke i shprehur operatoret me complement te dyshit me 14 bit. Pjesa pas presjes te kete numrin maksimal te mundshem te biteve. 9) Llogarisni shumen e numrave dhjetore te meposhtem, duke i shprehur me pare ne paraqitjen me modul me shenje me 8 bit. -7 + 8 10) Kryeni veprimet e meposhtme midis numrave dhjetore duke i shprehur ne paraqitjen “complement i 10” me 3 shifra dhe diskutoni mbi saktesine e veprimeve. a) -65 + 220 b) 230 + 351
11) Te shtohet 3110 ne numrat e meposhtem duke i supozuar: Me complement te dyshit Me modul me shenje a) 011100001 b) 001111111 c) 100000000 d) 101111111 12) Shpjegoni si mund te llogarisim numrin minimal te biteve te nevojshme per te paraqitur nje numer dhjetor me 3 shifra te plota dhe 4 shifra pas presjes, me complement te dyshit, ne menyre qe gabimi maksimal i paraqitjes te mos e kaloje 1/1 000 000. Cili eshte numri i biteve qe duhen? Zgjidhje: Pjesa e plote e numrit te paraqitur me baze 10 me 3 shifra eshte me e vogel se 1000. Numri i biteve te nevojshme eshte minimum i N i tille qe: 2N >= 999 Duke ditur qe 210 = 1024, mund te themi qe duhen te pakten 10 bit. Per pjesen pas presjes duhet te marrim parasysh qe kerkohet gabim ε < 1/1000 Nqs perdoren M bit, gabimi maksimal ε < 1/2M, prandaj duhet te perdorim te pakten 10 bit. ε < 1/1024 < 1/1000
Ushtrime per kapitullin 1 Paraqitja e numrave Ne fund duhet te kemi parasysh qe nj bit shtese mund ten a duhet per te paraqitur numrat pozitive dhe negative. Perfundimisht numri i biteve i nevojshem eshte: 10 + 10 +1 = 21 13) Te llogaritet diferenca e numrave te meposhtem te paraqitur me complement te dyshit: 01000 dhe 10100 Mund te themi qe per zbritjet me complement te dyshit vlen i njejti rregull per overflow si ne rastin e mbledhjeve? 14) Jepen numrat e meposhtem hekzadecimale: x1 = D7, x2 = B3, x3 = 4B, x4 = 6B Te konvertohen keto numra ne sistemin binar me 8 bit dhe duke i konsideruar keto rezultate si numra ne complement te dyshi, te kryhen veprimet e meposhtme dhe te tregohet nqs kemi overflow. - x2 + x1 dhe x3 + x4 15) Permbajtja hekzadecimale e 4 qelizave te njepasnjeshme te kujteses eshte si me poshte: 04 A2 B3 09 Interpretojeni kete sekuence si 2 te dhena me nga 16 bit te shprehura ne complement te dyshit (byte i pare eshte me peshen me te madhe) , dhe llogarisni shumen artimetike duke e shprehur rezultatin e marre ne dhjetor. 16) Kryeni veprimet e meposhtme pasi t’i keni konvertuar te gjithe numrat ne complement te dyshit me 8 bit. a) 12810 + (-2)10 b) 12310 - 3710 c) (-67)10 + (-62)10 Per secilin veprim te tregohet nqs rezultati eshte i sakte apo ka overflow. 17) Gjeni numrin minimal te biteve te nevojshme per te paraqitur ne modul me shenje me saktesi 1/1000 rezultatin e veprimit: 107.25110 * 2.61210 Zgjidhje: Duhet qe gabimi i beret e jete me i vogel ose i barabarte me 1/1000. Nqs n eshte numri i biteve pas presjes, gabimi i bere eshte i barabarte me peshen e bitit me me pak peshe, dmth 1/2n. Vlen mosbarazimi: 1/1000 >= 1/2n 1000 <= 2n n >= log21000 10 Mqs 2 = 1024 atehere numri me i vogel n per te cilin plotesohet mosbarazimi eshte n = 10. Per te percaktuar numrin me te vogel te biteve per pjesen e plote, verejme qe rezultati eshte afersisht 280, prandaj duhet te perdoret nje numer bitesh m per te cilin: 2m >= 280 Mqs 28 = 256 dhe 29 = 512 mund te themi qe numri me i vogel per te cilin plotesohet mosbarazimi eshte m = 9. Si perfundim mund te themi qe duhen 10 bite per pjesen pas presjes dhe 9 bite per pjesen e plote dhe ne fund duhet te shtojme 1 bit per shenjen. Paraqitja kerkon gjithesej 20 bit. 18) Ne nje byte jane paraqitur numrat me presje fikse ne paraqitjen me complement te dyshit. Presja eshte e vendosur menjehere pas bitit me me shume peshe (midis bitit te shtate dhe te tete duke u nisur nga e djathta). Te gjendet paraqitja binare dhe vlera perkatese dhjetore per numrat e meposhtem:
Ushtrime per kapitullin 1 Paraqitja e numrave a) b) c) d)
Pasardhesi i zeros Paraardhesi i zeros Me i madhi pozitiv Me i madhi negative (vlera absolute)
Zgjidhje: a) Numri pasardhes i zeros eshte: 0.0000001 = 2-7 = 1/128 = 0.007812510 b) Numri paraardhes i zeros eshte i kunderti i pasardhesit te zeros, dmth Komplementi me dysh i numri ne piken a: 1.1111111 Vlera dhjetore e kunderta e asaj ne piken a: -0.007812510 c) Numri pozitiv me i madh ka paraqitje 0.1111111 Kjo vlere llogaritet duke vene re qe ne mungese te presjes vlera do te ishte 27 – 1. Mqs presja eshte pas shifres se 7, vlera eshte: (27 – 1) 27 = 1 - 27 = 0.992187510 Ne te njejtin perfundim mund te arrijme edhe nqs kemi parasysh qe: 0.1111111 = 1.0000000 – 0.0000001 Vlera dhjetore e te zbritshmit eshte llogaritur ne piken a, prandaj rezultati eshte: 1 - 0.007812510 = 0.992187510 d) Numri negativ me i madh ne vlere absolute eshte 1.0000000 qe i perket vleres dhjetore -1. Ne mungese te presjes vlera do te ishte -27. Duke marre parasysh presjen kemi: -272-7=-1
19) Kryeni veprimet e meposhtme midis numrave binare te shprehur me complement te dyshit me 8 bit dhe tregoni nqs rezultati eshte i sakte dhe nqs ka overflow. a) 0100 1101 + 1001 1111 b) 0100 1101 – 1001 1111 c) 1000 0011 – 0000 0011 20) Paraqitni numrin dhjetor -64.3925 me complement te dyshit ma saktesi 1/1000. Tregoni sa shifra binare duhen dhe shkruani numrin dhjetor korespondues per paraqitjen binare. 21) Jepet numri -25.1 ne paraqitje dhjetore. Shpreheni ate ne paraqitje binare ne: a) Modul me shenje b) Complement te dyshit Kerkohet qe vlerat te mos e kalojne gabimin 0.01 ne dhjetor. 22) Kryeni veprimet e meposhtme duke patur parasysh qe numrat e shprehur ne hekzadecimal do te merren sit e shprehur me complement te dyshit. a) EF + 1 b) FF – 1 c) 80 + 1 d) 80 – 1 23) Njesia aritmetike e nje mikroprocesori mund te kryeje shuma numrash te plote te shprehur me complement te dyshit me 8 bit. Cfare rezultati jep sekuenca e meposhtme e veprimeve: 127 + 64 – 128
Ushtrime per kapitullin 1 Paraqitja e numrave Diskutoni mbi vlefshmerine. Zgjidhje: Paraqesim numrat me complement te dyshit me 8 bit. +127 = +27 – 1 0111 1111 (me i madhi i plote qe mund te shprehet) +64 = +26 0100 0000 -128 = -27 1000 0000 (me i vogli i plote qe mund te shprehet) Llogarisim shumen e pare dhe marrim: 0111 1111 + 0100 0000 1011 1111 Ka overflow mqs te mbledhshmit jane te dy pozitive ndersa rezultati eshte negative. Llogarisim shumen e dyte dhe marrim: 1011 1111 + 1000 0000 1 0011 1111 Perseri kemi overflow. Megjithate rezultati perfundimtar eshte i sakte, mqsh shuma 127 + 64 – 128 = 63 qe perfshihet ne intervalin [-128, 127] te numrave qe paraqiten me complement te dyshit me 8 bit. 24) Kryeni veprimet: (-13) + (+16) ne paraqitje binare me modul me shenje me 6 bit. Diskutoni nqs ka e mbartje apo overflow. Zgjidhje: Konvertohen numrat ne paraqitjen me modul me shenje me 6 bit (1 bit per shenjen dhe 5 per modulin). -13 shenja: 1 moduli: 01101 paraqitja: 1 01101 +16 shenja: 0 moduli: 10000 paraqitja: 0 10000 Mqs numrat jane me shenja te kunderta, per te gjetur shumen duhet te bejme diferencen e moduleve.
