71 _______________ _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________ ___________
SISTEMI I EKUACIONEVE LINEARE 1. Kuptimet themelore Përkufizim: Ekuacion linear me një numër të çfarëdoshëm të panjohurave e quajmë barazimin (1) a1 x1 a2 x2 a3 x3 an xn b , ku a1 , a2 , a3 , , an , b R
Numrat ai ; (i 1, 2, ..., n) quhen koeficientet e të panjohurave x j ; ( j 1, 2, ..., n) , kurse b quhet gjymtyra e lirë. Çdo n - she she të rendi enditu tur r (1 , 2 ,3 , , n ) e cila e arsyeton ekuacionin (1) d.m.th. a11 a2 2 an n b e quajmë zgjidhje të ekuacionit (1). Përkufizim: Sistem i m -ekuacioneve lineare me n -të panjohura xi ; ( i 1, 2, ..., n) quhet
bashkësia e ekuacioneve: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b 21 1 2 2 2 2n n 2 (2) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm ku aij , bi R ; (i 1, 2, ..., m ; j 1, 2, ..., n).
a11 (3) Matrica A a m1 a11 (4) Matrica A ' a m1
a1n
quhet matrica e sistemit (2). amn mn a1n b1 quhet matrica e zgjeruar e sistemit(2). amn bm m( n1)
Çdo sistem mund të shkruhet në formë të ekuacionit matricial (5) A X B ku A është matrica e sistemit matrica e të panjohurave panjohurave X - është matrica matrica e koeficienteve koeficienteve të lirë B - matrica a11 a1n x1 (6)
a m1
b1 amn mn xn n1 bm m1
72 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
Zgjidhje të sistemit (2) të ekuacioneve e quajmë n -shen e renditur (1 , 2 ,3 , , n ) e cila e
1 arsyeton çdo ekuacion të sistemi (2) veç e veç dhe mund të shkruhet X n
1. 1. Klasifikimi i sistemeve të ekuacioneve lineare
1. 2. Sistemet ekuivalente Dy sisteme të ekuacioneve lineare me të njëjtin numër të pa njohurave i quajmë ekuivalente, në qoftë se çdo zgjidhje e njërit sistem është njëkohësisht zgjidhje edhe e tjetrit sistem.
2. Transformimet elementare në sistemin e ekuacioneve lineare Transformime elementare në një sistem i quajmë këto: 1. E ij ndërrimi i vendeve të ekuacionit i - me ekuacionin j. 2. Ei ( k ); k 0 Ekuacionin i - e shumëzojmë me skalarin k -të ndryshueshëm prej zeros. 3. Eij ( k ) ; ekuacionit i - i shtohet ekuacioni j - më parë i shumëzuar me skelarin k .
Me anën e transformimeve elementare siste met transformohen në sisteme ekuivalente.
3. Sistemet e ekuacioneve lineare jo homogjene Sistemi
(1)
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
quhet sistem i m ekuacioneve lineare jo homogjene me n të panjohura në qoftë se së paku njëra nga gjymtyrët e lira bi (i 1, 2,3,..., n) është e ndryshueshme prej zeros.
73 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
Dihet se sistemi (1) mund të shkruhet në formë të ekuacionit matricial: (2) A X B ku A ( aij ) nn ; X ( xi ) n1 dhe B ( bi ) n1; Në qoftë se në sistemin (1) numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave, rrjedhimisht (m = n), atëherë determinanta e sistemit është: a11 a1n det A
an1 ann (*) Në qoftë se në | A | elementët e cilës do shtyllë i zëvendësojmë me elementët e matricës
B (bij ) n1 , po i zëvendësojmë elementet e matricës B në shtyllën j të A , atëherë do të fitohet determinanta: a1, j 1
b1
a1, j 1
a1n
a21 a2, j 1
b2
a2, j 1
a2 n
a11 (3)
| A j |
an1 an, j 1
bn
an, j1
ann
e cila quhet determinanta e të panjohurës x j , ku ( j 1, 2, 3,..., n)
3.1. Rregulla e Kramerit Në qoftë se determinanta e sistemit të ekuacioneve lineare është jozero ( | A | 0 ), atëherë sistemi i tillë është i pajtueshëm dhe ka vetëm një zgjidhje të vetme: | A j | (4) x j ; ( j 1, 2,3,..., n) | A | Relacioni (4) paraqet formulat e Kramerit (**)
Në qoftë se determinanta e sistemit të ekuacioneve lineare është zero ( | A | 0 ) dhe të
gjitha determinantat e të panjohurave janë gjithashtu zero ( | A j | 0; j 1, 2, 3,..., n ), atëherë sistemi (1) është i pajtueshëm, por i papërcaktuar dhe ka zgjidhje të panumërta. (***) Në qoftë se determinanta e sistemit të ekuacioneve lineare ë shtë zero ( | A | 0 ), por së
paku njëra prej determinantave të pa njohurave | A j | është e ndryshueshme prej zeros, atëherë sistemi (2) është i papajtueshëm, pra kontradiktor d.m.th. nuk ka zgjidhje.
Vërtetimi i rregullës së Kramerit Le të jetë A X B Të supozojmë se | A | 0 A1, atëherë nga (2)
A X B A1 A X A1 B (5)
X A1 B
74 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
Relacioni (5) paraqet të vetmen zgjidhje të sistemit (1). 1 * Në qoftë se në barazimin (5) zëvendësojmë A1 A , atëherë do të marrim: | A | 1 * (6) ( A B) rrjedhimisht X | A |
11 12 1 X | A | 1 j 1n
21
n1
22
n 2
2 j
2n
b1 b2 nj b n nn
b111 b2 21 bn n1 | A | x1 b112 b2 22 bn n 2 | A| x2 x j b11 j b2 2 j bn nj | A | x n b b b n nn 1 1n 2 2 n | A | Nga relacioni (4) rrjedh: | A j | b11 j b2 2 j bn nj x j Relacioni x j
| A j | | A |
b11 j b2 2 j bn nj | A | ;
A j A
( j 1, 2,3,..., n) paraqet formulat e Kramerit.
Shembull: Le të jetë dhënë sistemi:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 | 0, a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 dhe | A a x a x a x b 31 1 32 2 33 3 3 atëherë zgjidhja e sistemit është:
75 _______________ * MATEMATIKA
x1
| A1 |
| A |
b1
a12
a13
b2
a22
a23
b3
a32
a33
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
; x2
| A2 | | A|
II _*_
; x3
___________
| A3 | | A|
rrjedhimisht treshja e renditur
A A A x1 , x2 , x3 1 , 2 , 3 A A A paraqet zgjidhjen e sistemit. Shembull: Duke aplikuar formulat e Kramerit të zgjidhet sistemi i ekuacioneve. x1 2 x2 x3 4
x1 x2 x3 1 x x 2 x 2 3 1 2
Zgjidhje: Aplikojmë formulat e Kramerit: | A j | , për j 1,2,3. x j | A |
4
x1
1
1
1 1 1 2 1 2
1
1
2
2
1
9 1; 9
x2
1 1 1 1 1 1
2
4
1
1 1
1
2
2
1
2
1
9 1; 9
1 1 1 1 2 1
2 4
1 1 1 x3
1 1
2
1
1
2
9 1 9
1 1 1 1 1
2
Pra zgjidhje e sistemit është treshja e renditur x1 , x2 , x3 1,1,1 , rrjedhimisht:
x1 1 x2 1 x 1 3 Shembull: Të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi i ekuacioneve:
2 x2 x1 2 x1 x2 3 x 1 x2
x3 x3 x3
4 0 3
76 _______________ * MATEMATIKA
për vlera të ndryshme të parametrit real
II _*_
___________
Zgjidhje: Aplikojmë Formulat e Kramerit:
1
2
1 1 4 2 3 10 1
D 2 3
1,2
1
3 9 160
8
D 4 2
3 169
8
2 5 4
5
4
D 2 4 5 4
2
1
D1 0
1 1 4 13 3 1
D1 4 13 1
4
1
D2 2
0
1 8 2 6 9 8
3
3
3
3 2 4
D2 2 3 4 3 1
2
D3 2
4
1 0 20 9 = 1 3
3
D3 20 9
a) për 2 dhe
5
D 0 ,prandaj sistemi është i caktuar dhe ka zgjidhje të
4
vetme: x1
D1
x2
D2 D
2 3 4 3 2 4 5 2 3 4 3 2 4 5
x3
D3
D
D
20 9
2 4 5
b) për 2 D 0 , por p.sh. D2 0 , atëherë sistemi është i papajtueshëm.
77 _______________ * MATEMATIKA
c) për
5 4
II _*_
___________
D 0 , por p.sh. D1 0 , atëherë sistemi është i papajtueshëm
DETYRA: 1. Duke aplikuar formulat e KRAMERIT të zgjidhen sistemet e ekuacionevet: x 3 y 2 x 2 y 1 a) b) 2 x y 3 y 3 x 3
c)
3 x 2 y z 4 x 2 y 3z 2 2 x y z 2
d)
x 2 y 3z 6 2 x y z 4 3x 4 y z 8
2. Të zgjidhen sistemet e ekuacioneve:
a)
2 x y z t 3 x y 2 z t 1 x 2 y z t 1 2 x y z 2t 2
x 3 y 4 z t 5 2 x y z 3t 7 b) x 2 y z t 3 2 x y z t 5
3. Të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi i ekuacioneve x y z 1
x y z 1 x y z 1
për vlera të ndryshme të parametrit real
.
3.2. Metoda e eliminimit sintetik ose metoda e Gaussit Formulat e KRAMERIT na mundësojnë zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve kur numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave . Tani do të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm: Le të jetë: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 (1)
a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
një sistem prej m ekuacioneve lineare me n të pa njohura Metoda e Gausit bazohet në eliminimin sukcesiv të panjohurave në (1) deri sa të fitohet një sistem ekuivalent sa më i përshtatshëm për diskutim.
78 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
Të supozojmë se a11 0 , ky supozim nuk e kufizon rastin e përgjithshëm, sepse ekziston së paku një rresht elementi i parë i të cilit është i ndryshueshëm prej zeros. Po e pjesëtojmë
ekuacionin e parë të sistemit (1)me a11 0 . E 1 a1 , atëherë sistemi (1) është ekuivalent 11
me sistemin: * x1 a12 x2 a1*n xn b1* a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 Ei1 ( ai1 ); (i 2,3,..., m) a x a x a x b m1 1 m2 2 mn n m * * x1 a12 x2 a13 x3 a1*n xn b1* * * a22 x2 a23 x3 a2*n xn b2* * * * * am 2 x2 am3 x3 amn xn bm
ku bie fjala : * * a21a12 a22 a22
Duke e përsëritur këtë proces arrijmë deri ke ky rezultat që po e japim me teoremën: Teoremë: Çdo sistem i m - ekuacioneve lineare me n - të panjohura mund të reduktohet në një sistem ekuivalent me sistemin (1) forma e të cilit është: x1 c12 x2 c13 x3 c1r xr c1n xn d 1
(2)
x2 c23 x3 c2 r xr c2 n xn d 2 x3 c3r xr c3n xn d 3
xr crn xn d r
0 d r 1
rm
0 d m
Zgjidhjet e sistemit (2) mund të diskutohen dhe të caktohen fare thjesht. (I) Në qoftë se numrat d r 1,..., d m nuk janë të gjithë të barabartë me zero, d.m.th. ekziston së paku një ekuacion i formës: 0 x1 0 x2 ... 0 xn ds ; ds 0; r s m , atëherë sistemi është i papajtueshëm. Në qoftë se numrat d r 1 ,..., d m 0 , atëherë sistemi është i pajtueshëm dhe dallojmë dy raste: 1. r n ; sistemi ka zgjidhje unike (të vetme). 2. r n ; sistemi është i pacaktuar, ku ( n r ) të panjohura merren si të njohura. Në zgjidhjen e detyrave aplikojmë matricën e zgjëruar: (II)
79 _______________ * MATEMATIKA
a11 a12 a21 a22 A ' am1 am 2
a1n b1
a2 n b2
___________
II _*_
amn
bm
e cila i përgjigjet sistemit (1). Në matricën A ' bëjmë transformime elementare rreshtore deri sa të fitohet matrica ekuivalente e matricës A ' e trajtës: 1 c12 c13 c1r c1n d1
0 0 B 0 0 0
1
c23 c2 r
c2 n
0
1
c3r
c3n
0
0
0
1
crn
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
d2 d 3
d r d r 1 d m
Ku r m dhe B A ' . Matricave ekuivalente u përgjigjen sistemet ekuivalente, andaj matrica B i përgjigjet sistemit (2). Ku zgjidhja dhe diskutimi i sistemit janë dhëna më lartë. Shembull: Të diskutohet dhe të zgjidhet sis temi i ekuacioneve: x1 2 x2 x3 2
2 x1 x2 x3 2 3 x x x 5 1 2 3
duke aplikuar metodën e Gausit. Zgjidhje: Në zgjidhjen e detyrave sipas metodës së Gaussit merret matrica e zgjëruar e sistemit, në të cilën kryhen transformime elementare rreshtore. Pra nga sistemi (1) marrim: 1 2 1 2 R21(2) 1 2 1 2 R32(2) 1 2 1 2 R23
A' 2 1 1 2 0 3 3 1 1 5 R (3) 0 5 31
1 0 0 1 0 0
2
1
1
2
3
1
2
0
1
0
0
1
0 3 1 0 1 2
2 3
1 2 R32 (3) 1 2 1 2 R3 ( 7 ) 1 2 1 2 R13 (1)
0 0 3 R12 ( 2) 1 0 1 0 1
3 2
Matrica e fundit i përgjigjet sistemit :
x1 1 x2 1 x 1 3
1 2 4 1
1
2
0
7
3
7
0 0 1
0 1 0 1 1
1
0 1 0 0
2 1
3
1 R23( 2)
80 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
i cili është ekuivalent me sistemin e dhënë, prandaj treshja ( x1 1, x2 1,
x3 1 ) është
njëkohësisht zgjidhje e sistemit të dhënë.
3.3. Teorema e Kroneker-Kapelit Le të jetë
(1)
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
Sistemi (1) mundtë jepet në formëne ekuacionit matricial me barazimin. (2) A X B ku a11 a1n b1
A ( aij ) m n ; A '
a m1
amn
bm m ( n 1)
Çdo minor i matricës A është njëkohësisht minor i matricës A' , prandaj: rang A rang A'
Teoremë: (Teorema e Kroneker-Kapelit) : Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve (1) të jetë i pajtueshëm është që: rang A rang A' Le të jetë rang A rangA' k ; k min( m, n), atëherë ekzistojnë dy mundësi: (I). Në qoftë se k n , atëherë sistemi është i pajtueshëm dhe ka vetëm një zgjidhje, pra sistemi është i caktuar. (II). Në qoftë se k n , ku ( n k ) të panjohura konsiderohen si të njohura atëherë sistemi ka zgjidhje të panumërta, pra është i pacaktuar. Me teoremën e Kroneker-Kapelit shqyrtohet pajtueshmëria e sistemit, kurse për zgjidhje aplikohet njëra prej metodave të përmendura si Metoda e Gaussit ose në rastet kur është numri i ekuacioneve i barabartë me numrin e të panjohurave përdoren formulat e Kramerit. Gjithashtu për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare , ku numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave gjen zbatim edhe matrica inverse.
81 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
4. Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene Sistemi i ekuacioneve lineare në të cilin të gjithë koeficientët e lirë janë të barabartë me zero quhet sistem homogjen. a11 x1 a1n xn 0
a x a x 0 m1 1 mn n
(1)
Sistemi (1) mund të jepet edhe si ekuacion matricial: A X 0 është e qartë se: rang A rangA' Prandaj sipas teoremës së Kroneker-Kapelit çdo sistem homogjen është i pajtueshëm. Një zgjidhje e tillë është: x1 x2 x3 xn 0 e cila quhet zgjidhje triviale. Teoremë: Çdo sistem homogjen ku numri i ekuacioneve është më i vogël se numri i të panjohurave ka zgjidhje jotriviale. Teoremë: Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi homogjen të ketë zgjidhje jotriviale është: rang A n ( ku, n- është numri i të panjohurave) Teoremë: Konditë e nevojshme dhe e mjaftueshme që sistemi i ekuacioneve lineare homogjene , i cili e ka numrin e ekuacioneve të barabartë me numrin e të panjohurave, të ketë zgjidhje jotriviale është: | A | 0 . Shembull: Të gjenden zgjidhjet jo triviale të sistemit: x 2 y 3z 0
3 x y 4 z 0 2 x 3 y 7 z 0
nëse ekzistojnë. Zgjidhje: Marrim matricën e zgjeruar të sistemit të dhënë: 1 2 3 0 R21 (3) 1 2 3 0
R (1) 1 4 0 0 7 13 0 32 2 3 7 0 R (2) 0 7 13 0 31 1 2 3 0 x 2 y 3z 0 13 0 7 13 0 y z 7 y 13 z 0 7 0 0 0 0
A ' 3
x 3 z 2 y 3z
26 7
z
5 7
z
82 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
për z 7t zgjidhjet jo trivialet të sistemit të dhënë janë: x 5t y 13t z 7t ; t R \0 Shembull: Për çfarë vlera të parametrit real x1 x2 x3 0
sistemi ekuacioneve homogjene:
x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0
ka zgjidhje jotriviale, për vlerat e tilla të gjenden zgjidhjet jotriviale të sistemit të dhënë. Zgjidhje: Pasi numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e të panjohurave, atëherë e shqyrtojmë | A | , pra:
1
| A | 1
1 R12 ( 1)
1
1
0
1
1
1
1 1 R23 (1) 1 2
1
1 1
1
0
2
0 R31(1)
1 ( 1)( 1) 0
1
1
1
1
0 R32 ( 2)
( 1) 0
1 1
0
1 2
1
( 1) 0
1
0
0
0
1 ( 1) 2( 2) 2
2
| A | ( 1) ( 2) 2
| A | 0 ( 1) ( 2) 0 Prej nga rrjedh se për 1 1 dhe
2
2 sistemi ka zgjidhje jotriviale.
Tani do të gjejmë zgjidhjet jo triviale të sistemit të dhënë. 1. Për 1 1 sistemi (1) merr formën:
(*)
x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x x x 0 1 2 3
Ky sistem është ekuivalent me ekuacionin: x1 x2 x3 0 x1 ( x2 x3 ) Për x2 t 1 dhe x3 t2 ku t1 , t2 R \ 0 , atëherë zgjidhja jo triviale e sistemit (*) është:
x1 (t1 t 2 ) ; ku t1, t2 R \ 0 x2 t 1 x t 3 2 2. Për 2 2 , pas zëvendësimit në sistemin (1) do të fitohet sistemi:
83 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
2 x1 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 x x 2 x 0 3 1 2
(**)
Sistemin (**) po e zgjidhim duke aplikuar matricën e zgjeruar, pra metodën e Gaussit 1 0 R12 1 2 1 0 R21(2) 2 1
A ' 1
1
2 1
1 2 1 0 3 3 0 3 3
0 2 1 2 0 1
1
1
1
2
2 1 0 3 3 0 0 0
0 R32 (1) 1
0 0
0 R31( 1)
0 R2
0 0
0
13 1
2 1 0 1 1 0 0 0
0
0
0
Matricës së fundit i përgjigjet sistemi: x1 2 x2 x3 0 (***) x2 x3 0 i cili është ekuivalent me sistemin (**). Zgjidhja e sistemit (***) është x2 x3 t; x1 2 x2 x3 rrjedhimisht zgjidhja e sistemit të dhënë është x1 x2 x3 t ; ku t R | 0 .
DETYRA: Sistemet e dhëna të zgjidhen sipas rregullës së Kramerit: 3 x 5 y 13 3 x 4 y 1 1) 2) 2 x 7 y 81 3 x 4 y 18
(I)
7 x 2 y 3 z 15 3) 5 x 3 y 2 z 15 10 x 11 y 5 z 36
2 x y 5 4) x 3 z 16 5 y z 10
x y 2 z 6 5) 2 x 3 y 7 z 16 5 x 2 y x 16 (II) Duke aplikuar ekuacionin matricial , të zgjidhen sistemet e ekuacioneve: 2 x y z 2 x 2 y 4 z 1
1) x 2 y 3z 1 x 3 y 2 z 3
2) 2 x y 5 z 1 x y z 2
Duke aplikuar metodën e Gausit të diskutohen dhe të zgjidhen sistemet: x 3 y z t 6 x 2 y 3z 6 2 x 3 y 4 z t 6 1) 2 x y z 0 2) x y z t 0 x y 3 z 1 2 x 6 y 2 z 2 t 0
(III)
84 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
x 2 y 3z t 3 3) 2 x y z t 3 x y z t 0 (IV)
Të diskutohet dhe të zgjidhet sistemi në varshmëri të parametrit real x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 1
1) 5 x1 x2 2 x3 2
2 x 2 x x 3 1 2 3
(V)
.
2) x1 x2 x3 1
x x x 1 1 2 3
Të zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare homogjene. 3 x1 2 x2 x3 0 x1 2 x2 x3 0 1) 2) 2 x1 5x2 3x3 0 2 x1 5x2 3x3 0 3 x 4x 2x 0 1 2 3
x1 2 x2 4 x3 3x3 0 3 x 5 x 6 x 4 x 0 1 2 3 4 3) 4 x1 5x2 2x3 3x4 0 3 x1 8 x2 24 x3 19 x4 0 (VI)
2 x1 4x2 5x3 3x4 0 4) 3 x1 6 x 2 4 x3 2 x4 0 4 x 8 x 17 x 11x 0 2 3 4 1
Për çfarë vlera të parametrit real
x1 3 x2 2 x3 0 1) x1 x2 x3 0 8 x x 4 x 0 3 1 2 2
sistemet e ekuacioneve homogjene
2 x1 x2 3x3 0 2) 4 x1 x2 7 x3 0 x x 2 x 0 2 3 1
kanë zgjidhje jo triviale. Për vlerat e tilla të gjenden zgjidhjet jo triviale të sistemeve të dhëna.
85 _______________ * MATEMATIKA
II _*_
___________
